Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Đặng Việt Đông

Tài liệu trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác được biên soạn bởi thầy Đặng Việt Đông gồm 76 trang tuyển chọn các câu hỏi và bài tập vận dụng cao chủ đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

34 17 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A – LÝ THUYẾT CHUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



2 2

sin 1 cos

sin cos 1

cos 1 sin

x x



 



  



 







2 2

1 1

1 tan tan 1

cos cos

x x

    



2 2

1 1

1 cot cot 1

sin sin

x x

    



tan .cot 1 cot

tan

x x x

  



4 4 2 2

6 6 2 2

sin cos 1 2sin cos

sin cos 1 3sin cos

x x x x



  





  















  

3 3

sin cos sin cos 1 sin cos

x x x x x x



   





   





II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV

sin

+ +



cos



tan



cot



III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau





cos cos

x x

 





sin sin

x x

  





tan tan

x x

  





cot cot

x x

  

 Hai cung bù nhau





sin sin

x x



 





cos cos

x x



  





tan tan

x x



  





cot cot

x x



  

 Hai cung phụ nhau

sin cos

x x



 

 

 

 

cos sin

x x



 

 

 

 

tan cot

x x



 

 

 

 

cot tan

x x



 

 

 

 

 Hai cung hơn nhau







sin sin

x x



  





cos cos

x x



  





tan tan

x x



 





cot cot

x x



 

 Hai cung hơn nhau



sin cos

x x



 

 

 

 

cos sin

x x



 

  

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

tan cot

x x



 

  

 

 

cot cot

x x



 

  

 

 

 Với k là số nguyên thì ta có:





sin 2 sin

x k x



 





cos 2 cos

x k x



 





tan tan

x k x



 





cot cot

x k x



 

IV. CÔNG THỨC CỘNG





 

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tan

tan

1 tan tan

x y x y x y

x y

  

  



 







 

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tan

tan

1 tan tan

x y x y x y

x y

  

  



 



Đặc biệt:

TH1: Công thức góc nhân đôi:

2 2 2 2

sin 2 2sin cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2tan

tan 2

1 tan

x x x

x x x x x



 



     











Hệ quả: Công thức hạ bậc 2:

2 2

1 cos2 1 cos2

sin ;cos

2 2

x x

 

 

TH2: Công thức góc nhân ba:

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

x x x



 





 





V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin cos

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2cos sin

2 2

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

 

 

 

  

 

 

 

 

   

cos cos cos cos

sin sin cos cos

sin cos sin sin

cos sin sin sin

x y x y x y

   

 

 

    

 

 

   

 

 

   

 

 

Chú ý:



sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x x

 

   

    

   

   



sin cos 2 sin 2cos

4 4

x x x x

 

   

     

   

   



sin sin

u v k

u v

u v k



 

 



 



  





cos cos

u v k

u v

u v k



 



 



  





tan tan

u v k

u v

u k



 





 



 





 cot cot

u v k

u v

u k



 



 







Đặc biệt:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

sin 0x x k



  

cos 0

x x k



   

sin 1 2

x x k



   

cos 1 2x x k



  

sin 1 2

x x k



     

cos 1 2x x k

 

    

Chú ý:

 Điều kiện có nghiệm của phương trình

sin x m

và

cos x m

là:

1 1

  

 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau

về phương trình cơ bản:

sin cos sin sin

u v u v



 

   

 

 

cos sin cos cos

u v u v



 

   

 

 





sin sin sin sinu v u v    





cos cos cos cos

u v u v



    

 Đối với phương trình

cos 1 cos 1

sin 1

x x



  







 





không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4

phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công

thức

2 2

sin cos 1x x  để biến đổi như sau:

cos 1 sin 0

sin 2 0

cos 0

sin 1

x x



 



  







 Tương tự đối với phương trình

cos

2cos 1 0

cos2 0

1 2sin 0

sin









 

  



 











HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số sin

Hàm số siny x xác định trên  nhận giá trị trên

 

1;1

và:

 Là hàm số lẻ vì

 

sin sinx x  

, x 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2



Hàm số siny x nhận các giá trị đặc biệt

 sin 0x  khi x k



 , k

 sin 1x  khi

x k



 

, k 

 sin 1x   khi

x k



  

, k 

Đồ thị hàm số siny x :

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2. Hàm số côsin

Hàm số cosy x xác định trên  , nhận giá trị trên

 

1;1

và:

 Là hàm số chẵn vì

 

cos cosx x 

, x 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2



Hàm số cosy x nhận các giá trị đặc biệt:

 cos 0x  khi

x k



 

, k

 cos 1x  khi 2x k



 , k 



cos 1

 

khi

x k

 

  





Đồ thị hàm số cosy x :

3. Hàm số tang

Hàm số

sin

tan

cos

y x

  xác định trên

/ ,

k k



 

 

 

 

 

, nhận giá trị trên  và:

 Là hàm số lẻ vì

 

tan tanx x  

/ ,

x k k



 

   

 

 

 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì



Hàm số tany x nhận giá trị đặc biệt

 tan 0x  khi x k



 , k

 tan 1x  khi

x k



 

, k 

 tan 1x   khi

x k



  

,k 

Đồ thị hàm số tany x :

4. Hàm số cô tang

Hàm số

cos

cot

sin

y x

 

xác định trên

 

\ ,k k



 

, nhận giá trị trên  và:

 Là hàm số lẻ vì:

 

cot cotx x  

 

\ ,x k k



   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì



Hàm số coty x nhận các giá trị đặc biệt

 cot 0x  khi

x k k



   

 cot 1x  khi

x k k



   

 cot 1x   khi

x k k



   

Đồ thị hàm số coty x :

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

1. Phương trình sinx a

 



1a 

: Phương trình vô nghiệm



1a 

: Gọi



là một cung sao cho sin a



 . Khi đó

 

1 sin sinx



 

và

 

có các nghiệm

x k

 

 

, k





và

x k

  

  

, k





Chú ý:

 Khi

2 2

 



  

và sin a



 thì ta viết arcsina





 Phương trình sin sinx







có các nghiệm:

360x k



 

 

, k và 180 360x



  

  

, k

 Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ

và radian.

2. Phương trình

cos x a

 



1a 

: Phương trình

 

vô nghiệm



1a 

: Gọi



là một cung sao cho

cos a





. Khi đó

 

2 cos cosx



 

vì

 

có các

nghiệm : 2x k

 

   , k 

Chú ý:

 Khi0

 

  và

cos a





thì ta viết

arccosa





 Phương trình cos cosx







có các nghiệm 360x k



  

 

, k 

3. Phương trình

tan x a

 

 Phương trình

 

xác định khi

x k



 

, k

 a  , tồn tại cung



sao cho

tan a





. Khi đó

 

3 tan tanx



 

và

 

có nghiệm

x k

 

  , k .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chú ý:

 Khi

2 2

 



  

và

tan





thì ta viết

arctan





 Phương trình

tan tan







có các nghiệm

180

x k



 

 

, k





4. Phương trình

cot









 Phương trình





xác định khi

x k





, k





 a

 



, tồn tại cung



sao cho

cot





. Khi đó





4 cot cot



 

và





có nghiệm

x k

 

 

. k





Chú ý:

 Khi

 

 

và

cot





thì ta viết

arccot





 Phương trình

cot cot







có các nghiệm

180

x k



 

 

, k





DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: sin cos

a x b x c

 

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho

2 2

a b



2 2 2 2 2 2

sin cos

a b c

x x

a b a b a b

  

  

C1: Đặt

2 2 2 2

cos , sin

a b

a b a b

 

 

 

. Khi đó

 

2 2

sin ?

PT x x

a b



    



C2: Đặt

2 2 2 2

sin , cos

a b

a b a b

 

 

 

. Khi đó

 

2 2

cos ?

PT x x

a b



    



 Điều kiện có nghiệm của phương trình:

2 2 2

a b c

 

 Chú ý: Khi phương trình có

a c



hoặc

b c



thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép

nhóm nhân tử chung.

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình:

2 2

sin sin cos .cos 0

a x b x x c x d

   

 Cách giải:

Cách 1: + Xét

cos 0



có là nghiệm phương trình không?

+ Xét

cos 0



, chia hai vế phương trình cho

cos

ta được:





2 2

tan tan 1 tan 0 tan

a x b x c d x x x

      

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với

sin 2

và

cos2

(dạng 1)

DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình:

3 3 2 2

sin cos sin cos cos sin sin cos 0

a x b x c x x d x x e x f x

     

 Cách giải:

+ Xét

cos 0



có là nghiệm phương trình không?

+ Xét

cos 0



, chia hai vế phương trình cho

cos

với chú ý:

1 tan

cos

 

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình:





sin cos ,sin cos 0

f x x x x

 

 Cách giải:

+ Đặt

sin cos sin cos

t x x x x



   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

+ Đặt

sin cos sin cos

t x x x x



   

. Đưa về phương trình ẩn t.

Chú ý: Nếu

sin cos 2 sin

t x x x



 

   

 

 

thì

2 2

t  

DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH

 Dạng phương trình:

 

k k

A f x B f x C

f x f x

   

    

   

   

, với





sin ,cos

f x x x



(1)

hoặc









2 2 2 2

tan cot tan cot 0

A a x b x B a x b x C

    

(2).

 Cách giải:  Đối với phương trình (1): Đặt

 

t f x

f x

 

 Đối với phương trình (2): Đặt

tan cot

t a x b x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

B – BÀI TẬP

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

sin cos

2sin cos 3

x x





 

lần lượt là:

1; .

m M

  

1; 2.

m M

  

; 1.

m M

  

1; 2.

m M

 

Câu 2: Hàm số

1 1

tan cot

sin cos

y x x

x x

    không xác định trong khoảng nào trong các khoảng

sau đây?

2 ; 2

k k



 

 



 

 

. B.

2 ; 2

k k



  

 

 

 

 

2 ; 2

k k



  

 

 

 

 

. D.





2 ;2 2

k k

   

 

Câu 3: Tìm tập xác định

của hàm số

5 2cot sin cot

y x x x



 

    

 

 

\ ,

D k



 

 

 

 

 

. B.

\ ,

D k



 

  

 

 

 





. D.





\ ,D k k



 

 

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

sin

 . B.

sin

y x



 

 

 

 

. C.

2 cos

y x



 

 

 

 

.D.

sin 2

y x



Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phố

trong ngày thứ

của năm

2017

được cho bởi một

hàm số

 

4sin 60 10

178

y t



  

, với

t Z



và

0 365

 

. Vào ngày nào trong năm thì

thành phố

có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.

tháng

. B.

tháng

. C.

tháng

. D.

tháng

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu

(mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm

(giờ) trong một ngày bởi công thức

3cos 12

7 8 4

 

 

  

 



 

. Mực nước của kênh cao nhất khi:



(giờ). B.



(giờ). C.



(giờ). D.



(giờ).

Câu 7: Hàm số





3 1 tan

4cot 2

tan

y x



 

đạt giá trị nhỏ nhất là

. B.

3 2 3

 . C.

2 2 2

 . D.



Câu 8: Hàm số

2cos sin

y x x



 

  

 

 

đạt giá trị lớn nhất là

5 2 2

 . B.

5 2 2

 . C.

5 2 2

 . D.

5 2 2

 .

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 4

sin cos sin cos

y x x x x

   là

. B.

. C.

. D.

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos cos sin

y x x x x

 

là

. B.

. C.

. D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 11: Hàm số

2sin 2 cos2

sin2 cos2 3

x x





 

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Câu 12: Cho hàm số

 

4 4

sin cos 2 sin .cos

h x x x m x x

  

.Tất cả các giá trị của tham số

để

hàm số xác định với mọi số thực

(trên toàn trục số) là

1 1

2 2

  

. B.

 

. C.

  

. D.



Câu 13: Tìm

để hàm số

2sin sin 1

x m x



 

xác định trên



[ 2 2;2 2]

m  

. B.





2 2;2 2

m 









; 2 2 2 2;m

    

. D.





2 2;2 2

m 

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 2

1 1

1 os 5 2sin

2 2

y c x x

   



. B.

. C.

. D.

1 5

 .

Câu 15: Cho hàm số

1 1

2 cos 1 cos

x x

 

 

với



 



 

 

. Kết luận nào sau đây là đúng?

min



 

 

 



khi ,

x k k



  



T B.

min



 

 

 



khi





min



 

 

 



khi 2 ,

x k k



  



min



 

 

 



khi





Câu 16: Cho

, , 0

x y z



và

x y z



  

. Tìm giá trị lớn nhất của

1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan

y x y y z z x

     

max

1 2 2

y   . B.

max

3 3

y  . C.

max

y  . D.

max

2 3

y  .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 17: Hỏi trên đoạn





2017;2017



, phương trình

 





sin 1 sin 2 0

x x

  

có tất cả bao nhiêu

nghiệm?

4034.

4035.

641.

642.

Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin 3

4 2



 

 

 

 

bằng:



. B.





. C.



. D.





Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

A. , B. . C. . D. .

Câu 20: Tính tổng

các nghiệm của phương trình

2 2

cos sin 2 2 sin

x x x

   trên khoảng





0;2 .



6 6

sin cos

x x 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



 B.



 C.



 D.





Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

của

3sin3 3cos9 1 4sin 3 .

x x x

  







 C.



 D.





Câu 22: Số nghiệm của phương trình

sin5 3cos5 2sin7

x x x

  trên khoảng



 

 

 

là?

Câu 23: Giải phương trình

3 cos sin 2sin 2 .

2 2

x x x

 

   

   

   

   

, .

18 3

x k



 



 







 







, .

18 3

x k



 



 







  







, .

x k





 







 







18 3

, .

18 3

x k

 



 







  







Câu 24: Gọi

là nghiệm âm lớn nhất của

sin9 3cos7 sin7 3cos9

x x x x

   . Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

;0 .



 

 

 

 

; .

6 12

 

 

  

 

 

; .

3 6

 

 

  





 

; .

2 3

 

 

  





 

Câu 25: Gọi

là nghiệm dương nhỏ nhất của

cos2 3sin2 3sin cos 2.

x x x x

   

Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

0; .



 



 

 

; .

12 6

 

 



 

 

; .

6 3

 

 







 

; .

3 2

 

 







 

Câu 26: Gọi lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

, ta có:

A. . B. . C. . D. .

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và

thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: Số nghiệm của phương trình









3 1 cot 3 1 0

sin

    

trên







là?

Câu 29: Tính tổng

tất cả các nghiệm của phương trình

2cos2 2cos 2 0

x x

  

trên đoạn





0;3



 B.

2 .





4 .





6 .





a b

cos sin 2

2cos sinx 1

x x





 









 



 

3 1

8sin

cos sin

x x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 30: Số nghiệm của phương trình

cos2 4cos

3 6 2

x x

 

   

   

   

   

thuộc





0;2



là?

Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Phương trình có số nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của

phương trình nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Phương trình có số nghiệm trên là:

Câu 36: Phương trình nhận các giá trị

làm nghiệm thì giá trị là:

A. . B. . C. D. .

Câu 37: Phương trình

sin5

5sin



có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Câu 38: Phương trình

2 2

3cot 2 2 sin (2 3 2)cos

x x x

  

có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ,0 ,

x k x k k Z



     

      

thì

 

bằng:



B. -



Câu 39: Phương trình

1 1 1

cos sin 2 sin4

x x x

  có tổng các nghiệm trên

(0; )



là:



Câu 40: Phương trình

sin2 2cos sin 1

tan 3

x x x

  





có bao nhiêu nghiệm trên

(0;3 )



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 41: Phương trình

(1 sin cos2 )sin( )

cos

1 tan

x x x



  





có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ; , ,x k x k k Z

         

        

thì

2 2

 



là:





0;2018

4 4

sin cos 1 2sin

2 2

x x

  

207046



206403



205761



204603



3sin3 3 cos9 2cos 4sin 3

x x x x

  



 

 

 

2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

x x x x

  

sin 0



cos 0



sin9 0



cos2 0



5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x x x

 

   

    

   

   



 

 

 

sin 4cos 2 sin 2

x x x

  





0;2











2sin 1 4cos4 2sin 4cos 3

x x x x

   

arccos

x m k



 

( )











 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



Câu 42: Phương trình

 

4 4

sin 2 cos 2

cos 1

tan tan

4 4

x x

 





   

 

   

   

có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường

tròn lượng giác là:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Câu 43: Phương trình

sin cos 3cos 2

2 2

x x

 

  

 

 

có nghiệm dương nhỏ nhất là

và nghiệm âm

lớn nhất là

thì

a b



là:



. B.



. C.



. D.





Câu 44: Phương trình

4 4

cos sin cos sin 3 0

4 4 2

x x x x

 

   

     

   

   

có tổng

nghiệm âm lớn

nhất liên tiếp là:



 . B.





. C.





. D.



 .

Câu 45: Phương trình

2 3

cos cos 1

cos2 tan

cos

x x

 

 

có bao nhiêu nghiệm trên





1;70

. B.

. C.

. D.

Câu 46: Phương trình

cos cos3 2cos5 0

x x x

  

có các nghiệm là

x k



  và

arccos

x m k



   . Giá trị của

là:

1 17





. B.

1 17





. C.

1 17

 



. D.

1 17

 



Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

sin3 sin sin2 0

x x x

  

trên đường tròn lượng

giác là:

. B.

. C.

. D.

Câu 48: Phương trình

4 4

sin cos

4 4

x x



 

  

 

 

có bao nghiêu nghiệm trên





2 ;3

 

. B.

. C.

. D.

Câu 49: Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Từ phương trình

3 3

1 sin cos sin 2

x x x

   , ta tìm được

cos



 



 

 

có giá trị bằng:





Câu 52: Các nghiệm của phương trình là:

4sin sin cos 0

x x x

  













1 3tan 2sin 2

x x

 

tan cot 2sin 2 cos 2

x x x x

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A. . B. .

C. . D. .

Câu 53: Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 54: Phương trình

3 3

tan tan tan 3 3

x x x

 

   

    

   

   

tương đương với phương trình.

cot 3

x  . B.

cot3 3

x  . C.

tan 3

x  . D.

tan3 3

x  .

Câu 55: Phương trình

2cot 2 3cot3 tan 2

x x x

 

có nghiệm là:

x k



 . B.

x k





. C.

x k





. D. Vô nghiệm.

Câu 56: Giải phương trình

cos cos

 .

x k











  



  



. B.

x k











  



  



. C.

x k









  



. D.

x k









  



Câu 57: Phương trình

cos2

cos sin

1 sin 2

x x

 



có nghiệm là:

x k





  



 









. B.

x k





 



 









. C.

x k





 



  









. D.

x k





 



 









Câu 58: Phương trình

1 1

2sin3 2cos3

sin cos

x x

   có nghiệm là:

x k



  . B.

x k



  . C.

x k



  . D.

x k



   .

Câu 59: Phương trình

2sin 3 1 8sin 2 .cos 2

x x x



 

  

 

 

có nghiệm là:.

x k





 



 





. B.

x k





 



 





. C.

x k





 



  





. D.

x k





 



 





 

4 2

1 1

cot

2 2 2

x k

x arc k

 





 







 







 

1 1

cot

2 2

x k

x arc k





 







 







 

4 2

1 1

arctan

2 2 2

x k

 





 







 







 

4 2

arctan

4 2

x k

 





 







 







1 sin cos sin 2 0

x x x

   



 





 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 60: Phương trình:

4sin .sin .sin cos3 1

3 3

x x x x

 

   

   

   

   

có các nghiệm là:

6 3

x k

 





 









. B.

x k





 









. C.

x k





 







. D.

x k





 









Câu 61: Giải phương trình

10 10 6 6

2 2

sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2

x x x x

x x

 





x k





x k



  . B.



 .

x k



  . D.

x k





x k



  .

Câu 62: Cho phương trình:

sin3 cos3 3 cos2

sin

1 2sin 2 5

x x x

 

 

 

 



 

. Các nghiệm của phương trình

thuộc khoảng





0;2



là:

12 12

 

. B.

6 6

 

. C.

4 4

 

. D.

3 3

 

Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba

Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

A. . B. . C. . D. .

Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

1 cos cos2 cos3 0

x x x

   

cos cos5 cos2 cos4

x x x x



cos3 4cos2 3cos 4 0

x x x

   





0;14

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x x x

 

   

    

   

   



 

 

 

 

8 8 2

8 8

1 sin 2

2 sin

3 sin

128

4 sin 2 2

x cos x cos x

x cos x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A. . B. . C. . D. .

Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Phương trình có phương trình tương đương là:

A. . B. .

C. . D. .

Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. . C. D. .

Câu 71: Phương pháp đánh giá

Với phương trình thì:

A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.

B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.

D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.

Câu 72: Phương pháp hàm số

Phương trình có tổng các nghiệm trong

khoảng là:

A. . B. . C. D. .

Câu 73: Phương trình có các nghiệm dạng

. Với thì

là:

. B. . C. D. .

Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có

nghiệm

. B. . C. D. .

Câu 75: Phương trình

sin 2 2cos cos2 sin

x x x x

  

là phương trình hệ quả của phương trình:

sin( )

4 2



 

sin 2 0



sin cos

x x

 

sin cos

x x 





















cos2 cos6 4 3sin 4sin 1 0

x x x x

    

cos 0



sin3 1 0

 

cos (sin3 1) 0

x x

 

sin 1 0

 

3 1 3

sin sin

10 2 2 10 2

x x

 

   

  

   

   





0;2



 

4 2

sin sin sin 3 sin 2 0

2 2

x x

 

    

 

 

2 ; .

x k k



 



; .

x k k



 







2 1 ; .

x k k



  



; .

x k k



 



 

3cos4 cos2 sin 7 (*)

x x x  





0;2







0;2







0;2







0;2



2 2

sin 1 2sin cos 1 (*)

x x x



 

    

 

 



 

 

 



1 cos sin cos2 sin2 0

x x x x

    

1 2 3 4

2 , 2 , 2 , 2

x a k x b k x c k x d k

   

       

0 , , , 2

a b c d



 

a b c d

  



3 2 2

cos 2 cos 2 sin 0

x x a x

  

0; ?



 



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 76: Giả sử

là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức

2 2 2

1 1

sin

x x



   đúng với

(0; )



 

. Khi đó giá trị của

là

B. 2 C. 4 D.

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của



trong





0;2



để ba phần tử của





sin ,sin2 ,sin3

  



trùng

với ba phần tử của





cos ,cos2 ,cos3

  



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

tan cot 8

x m x

 

có nghiệm.

16.



16.



16.



16.



Câu 79: Biến đổi phương trình





cos3 sin 3 cos sin3

x x x x

  

về dạng









sin sin

ax b cx d

  

với

thuộc khoảng

;

2 2

 

 



 

 

. Tính

b d



b d



  B.

b d



 

b d



  

b d



 

Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





10;10



để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x x m

 

   

   

   

   

vô nghiệm.

21.

20.

18.

Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình





cos sin 2 1

x x m

  

vô

nghiệm.









; 1 1; .

    





1;1 .

m 





  









;0 0; .

   

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





10;10



để phương trình





1 sin cos 1

m x m x m

   

có nghiệm.

21.

20.

18.

11.

Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





2018;2018



để phương trình





1 sin sin 2 cos2 0

m x x x

   

có nghiệm.

4037.

4036.

2019.

2020.

Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có

nghiệm

. B. . C. D. .

Câu 85: Giá trị của

để phương trình





cos2 2 1 cos 1 0

x m x m

    

có nghiệm trên

;

2 2

 

 

 

 

là





;

m a b



thì

a b



là:

. B.



. C.

. D.

Câu 86: Phương trình

6 6

sin cos 3sin cos 2 0

x x x x m

    

có nghiệm khi





;

m a b



thì tích

a b

bằng:

. B.

. C.

. D.

3 2 2

cos 2 cos 2 sin 0

x x a x

  

0; ?



 



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 87: phương trình sin ( 1)cos

cos

m x m x

   . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10

để phương trình có nghiệm là:

. B.

. C.

. D.

Câu 88: Phương trình

sin 4 tan

x x



có nghiệm dạng

x k





và





arccosx m n k k



   



thì

m n



bằng:

m n 

. B.

m n  

. C.

1 3

m n

 

 

. D.

1 3

m n

 

 

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình





cos2 2 1 cos 1 0

x m x m

    

có nghiệm trên khoảng

;

2 2

 

 

 

 

1 0

  

. B.

1 0

  

. C.

1 0

  

. D.

  

Câu 90: Biết rằng khi

m m



thì phương trình





2 2

2sin 5 1 sin 2 2 0

m x m mx

    

có đúng

nghiệm phân biệt thuộc khoảng



 



 

 

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

 



. C.

3 7

; .

5 10

 







 

3 2

; .

5 5

 

  

 

 

Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình





2cos 3 3 2 cos3 2 0

x m x m

    

có đúng

nghiệm thuộc khoảng

; .

6 3

 

 



 

 

1 1.

  

1 2.

 

1 2.

 

1 2.

 

Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

sin cos sin cos 0

x x x x m

   

có nghiệm?

Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình: có

nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Câu 94: Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất

là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





10;10



để phương trình





2 2

11sin 2 sin2 3cos 2

x m x x

   

có nghiệm?

16.

21.

15.

Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc để phương trình









2 2

sin 2 1 sin cos 1 cos

x m x x m x m

    

có nghiệm?

D. Vô số.

Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình

2 2

sin sin cos cos 0

a x a x x b x

  

với



có nghiệm.

a b



. B.

a b

 

. C.



. D.



Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

2sin sin 2 2

x m x m

  vô nghiệm.

sin 2 2 sin 0

x x m



 

   

 

 

3 3

sin 2

cos x x cos x

 





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

. B.





. C.

 

. D.

 



Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





3;3



để phương trình





2 2

2 cos 2 sin 2 1 0

m x m x

   

có nghiệm.

. B.

. C.

. D.

Câu 100: Để phương trình

6 6

sin cos | sin2 |

x x a x

  có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:

 

. B.

1 3

8 8

 

. C.



. D.



Câu 101: Cho phương trình:

sin cos sin cos 0

x x x x m

   

, trong đó

là tham số thực. Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.

2 2

m     . B.

2 1

   

. C.

1 2

m   . D.

2 1

   

Câu 102: Cho phương trình:









4 4 6 6 2

4 sin cos 8 sin cos 4sin 4

x x x x x m

    

trong đó m là tham

số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

4 0

m hay m

  

. B.

   

. C.

   

. D.

2 0

m hay m

  

Câu 103: Cho phương trình:

6 6

2 2

sin cos

2 .tan2

cos sin

x x

m x

x x







, trong đó m là tham số. Để phương trình có

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

1 1

8 8

m hay m

  

. B.

1 1

8 8

m hay m

  

. C.

1 1

2 2

m hay m

  

. D.

1 1

m hay m

  

Câu 104: Cho phương trình

1 4tan

cos4

2 1 tan

x m

 



. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:.

  

. B.

0 1

 

. C.

 

. D.

5 3

2 2

m hay m

  

Câu 105: Để phương trình:

4sin .cos 3sin 2 cos2

3 6

x x a x x

 

   

    

   

   

có nghiệm, tham số

phải thỏa điều kiện:

1 1

  

. B.

2 2

  

. C.

1 1

2 2

  

. D.

3 3

  

Câu 106: Để phương trình

2 2 2

sin 2

1 tan cos2

a x a

x x

 





có nghiệm, tham số

phải thỏa mãn điều kiện:

| | 1



. B.

| | 2



. C.

| | 3



. D.

1, 3

a a

  

Câu 107: Tìm m để phương trình









cos 1 cos2 cos sin

x x m x m x

  

có đúng 2 nghiệm

;



 



 

 

1 1

  

. B.

 

. C.

   



. D.

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 108: Tìm m để phương trình





cos2 2 1 cosx 1 0

x m m

    

có đúng 2 nghiệm ;

2 2

 



 



 

 

1 0

  

. B.

0 1

 

. C.

0 1.

 

1 1.

  

Câu 109: Tìm m để phương trình

2sin cos 1

x m x m

  

có nghiệm

;

2 2

 

 

 

 

 

3 1

  

. B.

2 6

  

. C.

1 3

 

1 3

  

Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên

để phương trình









sin sin3x sin 3sin x 4sin

m m x

   

có

nghiệm thực?

Câu 111: Cho phương trình:









cos 1 cos2 cos sin

x x m x m x

  

. Phương trình có đúng hai nghiệm

thuộc đoạn



 

 

 

khi:

 

 

1 1.

  

1 .

   

Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của

để bất phương trình

3sin 2 cos2

sin2 4cos 1

x x



 

 

đúng với mọi





3 5

m 

3 5 9





65 9





65 9





Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình









cos 1 4cos2 cos sin

x x m x m x

  

có

đúng 2 nghiệm



 



 

 

là:

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Câu 114: Gọi

a b

là các số nguyên thỏa mãn

















0 0 0 0

1 tan1 1 tan 2 ... 1 tan 43 2 . 1 tan

    

đồng thời





, 0;90

a b

. Tính

P a b

 

Câu 115: Tìm

để phương trình









1 cos 1 sin 2 3

m x m x m

    

có hai nghiệm

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x



 

2 3

m   B.

2 3

m   C.

2 3

m   D. Không tồn tại

Câu 116: Các giá trị của





;

m a b



để phương trình

cos2 sin 3cos 5

x x x m

   

có nghiệm thì:

a b

 

. B.

a b

 

. C.

. 8

a b

 

. D.

. 8

a b



Câu 117: Cho phương trình

 

sin 1 cos

cos

m x m x

   . Số các giá trị nguyên dương của

nhỏ

hơn

để phương trình có nghiệm là:

. B.

. C.

. D.

Câu 118: Phương trình





cos2 2 1 sin 1 0

x m x m

    

có nghiệm trên

;



 



 

 

khi tất cả các giá

trị thỏa mãn:



. B.





. C.





1;1

m 

. D.





1;1

m 

Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

nhỏ hơn

2018

để phương trình

3tan tan cot

sin

x x x m

   

có nghiệm?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2000

. B.

2001

. C.

2010

. D.

2011

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

C - HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

sin cos

2sin cos 3

x x





 

lần lượt là:

1; .

m M

  

1; 2.

m M

  

; 1.

m M

  

1; 2.

m M

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

+ TXĐ:



   

sin cos

2 1 sin 1 cos 3

2sin cos 3

x x

y y x y x y

x x



      

 

(1)

+ Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

là

   

2 2

2 1 1 9

y y y

   

4 2 2 0

y y

   



  

+ Vậy

max ;min 1

y y

  



Câu 2: Hàm số

1 1

tan cot

sin cos

y x x

x x

    không xác định trong khoảng nào trong các khoảng

sau đây?

2 ; 2

k k



 

 



 

 

. B.

2 ; 2

k k



  

 

 

 

 

2 ; 2

k k



  

 

 

 

 

. D.





2 ;2 2

k k

   

 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi

sin 0

sin2 0 ,

cos 0

x x k







    









Ta chọn

k x



   nhưng điểm



thuộc khoảng





2 ;2 2

k k

   

 

Vậy hàm số không xác định trong khoảng





2 ;2 2

k k

   

 

Câu 3: Tìm tập xác định

của hàm số

5 2cot sin cot

y x x x



 

    

 

 

\ ,

D k



 

 

 

 

 

. B.

\ ,

D k



 

  

 

 

 





. D.





\ ,D k k



 

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.

5 2cot sin 0

x x

  

cot



 



 

 

xác định và

cot

xác định.

 Ta có

5 2cot sin 0

5 2cot sin 0,

1 sin2 0 5 sin 0

x x

x x x

x x



  

     



    





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

cot



 



 

 

xác định

sin 0 ,

2 2 2

x x k x k k

  

 

 

          

 

 





cot

xác đinh sin 0 ,x x k k



    



Do đó hàm số xác đinh ,

x k





  



  











Vậy tập xác định

\ ,

D k



 

 

 

 

 

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

sin

 . B.

sin

y x



 

 

 

 

. C.

2 cos

y x



 

 

 

 

.D.

sin 2

y x



Hướng dẫn giải

Chọn A

Viết lại đáp án B

 

sin sin cos

y x x x



 

   

 

 

Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D.

 Hàm số xác định

 

sin 2 0 2 2 ; 2 ;

x x k k x k k



    

 

       

 

 

 

; .

D k k k



 

 

   

 

 



 Chọn



 

nhưng



   

Vậy

sin 2

y x



không chẵn, không lẻ.

Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phố

trong ngày thứ

của năm

2017

được cho bởi một

hàm số

 

4sin 60 10

178

y t



  

, với

t Z



và

0 365

 

. Vào ngày nào trong năm thì

thành phố

có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.

tháng

. B.

tháng

. C.

tháng

. D.

tháng

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Vì

   

sin 60 1 4sin 60 10 14

178 178

t y t

 

      

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

   

14 sin 60 1 60 2 149 356

178 178 2

y t t k t k

  



           

Mà

149 54

0 365 0 149 356 365

356 89

t k k          .

Vì





nên



Với

0 149

k t

  

tức rơi vào ngày

tháng

(vì ta đã biết tháng

và

có

ngày,

tháng

có

ngày, riêng đối với năm

2017

thì không phải năm nhuận nên tháng

có

ngày hoặc dựa vào dữ kiện

0 365

 

thì ta biết năm này tháng

chỉ có

ngày).

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu

(mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm

(giờ) trong một ngày bởi công thức

3cos 12

7 8 4

 

 

  

 



 

. Mực nước của kênh cao nhất khi:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



(giờ). B.



(giờ). C.



(giờ). D.



(giờ).

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Mực nước của kênh cao nhất khi

lớn nhất

cos 1 2

8 4 8 4

t t

   



 

     

 

 

với

0 24

 

và





Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án

thỏa mãn.

Vì với



thì

8 4

 



  (đúng với

 



Câu 7: Hàm số





3 1 tan

4cot 2

tan

y x



 

đạt giá trị nhỏ nhất là

. B.

3 2 3

 . C.

2 2 2

 . D.



Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

1 tan

cot2

2tan





Từ đó suy ra





2 2

2 3 1 tan

3cot 2 3cot 2 2 3cot2

2tan

y x x x



   





3cot 2 1 1 1,x x

      



Vậy

min 1 cot 2

y x   

Câu 8: Hàm số

2cos sin

y x x



 

  

 

 

đạt giá trị lớn nhất là

5 2 2

 . B.

5 2 2

 . C.

5 2 2

 . D.

5 2 2

 .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

2cos sin 2cos 2 sin

4 4

y x x x x

 

   

     

   

   

 

2cos sin cos

x x x

  

1 1

2 cos sin

2 2

x x

 

  

 

 

Ta có

2 2

1 1

2 5 2 2

2 2

y y

   

     

   

   

Do đó ta có

5 2 2 5 2 2

y    

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

5 2 2

 .

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 4

sin cos sin cos

y x x x x

   là

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

4 4

sin cos sin cos

y x x x x

  

2 2

1 2sin cos sin cos

y x x x x

    .

1 1

1 sin 2 sin 2

2 2

y x x

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 2

1 1 1 9 1 1 9

1 sin 2 sin 2

2 2 4 8 2 2 8

y x y x

 

   

         

 

   

   

 

 

Dấu bằng xảy ra khi

sin2



Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos cos sin

y x x x x

 

là

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

sin cos cos sin 2 sin cos sin cos

x x x x x x x x

 

1 1

2 sin2 sin2 0

2 2

y x x

  

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

sin 2 0



Câu 11: Hàm số

2sin 2 cos2

sin2 cos2 3

x x





 

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

   

2sin 2 cos2

2 sin2 1 cos2 3 .

sin2 cos2 3

x x

y y x y x y

x x



      

 

Điều kiện để phương trình có nghiệm

     

2 2 2

2 1 3 7 2 5 0

y y y y y

         

 

1 1;0

y y



      



nên có

giá trị nguyên.

Câu 12: Cho hàm số

 

4 4

sin cos 2 sin .cos

h x x x m x x

  

.Tất cả các giá trị của tham số

để

hàm số xác định với mọi số thực

(trên toàn trục số) là

1 1

2 2

  

. B.

 

. C.

  

. D.



Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xét hàm số

 









2 2

sin cos sin 2

g x x x m x

  





2 2 2 2

sin cos 2sin cos sin 2

x x x x m x

   

1 sin 2 sin 2

x m x

   .

Đặt

sin 2

t x







1;1

t  

Hàm số





h x

xác định với mọi









0,g x x

   



 

1 0, 1;1

t mt t       





2 2 0, 1;1

t mt t      

Đặt





2 2

f t t mt

  

trên





1;1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy

 

   

1;1

max 1f t f





hoặc

 

   

1;1

max 1f t f



 

Ycbt

 

 

 

1;1

2 2 0, 1;1 max 0f t t mt t f t



        

 

1 0







 





1 2 0

1 1

1 2 0

2 2

  



    



  



Câu 13: Tìm

để hàm số

2sin sin 1

x m x



 

xác định trên  .

[ 2 2;2 2]m  

. B.





2 2;2 2

m 

   

; 2 2 2 2;m    

. D.

 

2 2;2 2m 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Hàm số xác định trên  khi và chỉ khi

2sin sin 1 0,x m x x     .

Đặt

sint x

 

1;1t  

Lúc này ta đi tìm điều kiện của

để

 

 

2 1 0, 1;1f t t mt t      

Ta có

m  

TH 1:

0 8 0

m    

2 2 2 2m    . Khi đó

 

0,f t t 

(thỏa mãn).

TH 2:

0 8 0

m    

2 2



 











(thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa

mãn).

TH 3:

0 8 0

m    

2 2



 











khi đó tam thức

 

2 1f t t mt  

có hai

nghiệm phân biệt

 

1 2 1 2

;t t t t

Để

 

 

0, 1;1f t t   

thì

 

1 1 8 4

m m

t m m VN

m m

t m m VN



 

      



 



         



Vậy

 

2 2;2 2m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của

Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài

cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số

, còn khoảng hai nghiệm thì

trái dấu với hệ số

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 2

1 1

1 os 5 2sin

2 2

y c x x

   



. B.

. C.

. D.

1 5

 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

2 2 2 2

1 1 1 5 1

1 os 5 2sin 1 os sin

2 2 2 4 2

y c x x y c x x

        

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho

số: 1; 1;

1 os

c x



;

5 1

sin

4 2



ta có:

2 2 2 2 2 2

1 5 1 1 5 1 9 1 22

1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2.

2 4 2 2 4 2 4 2.1 2

c x x c x x          

Hay

y 

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

1 5 1

1 os sin ,

2 4 2 6

c x x x k k



       



Câu 15: Cho hàm số

1 1

2 cos 1 cos

x x

 

 

với



 



 

 

. Kết luận nào sau đây là đúng?

min



 

 

 



khi ,

x k k



  



T B.

min



 

 

 



khi





min



 

 

 



khi 2 ,

x k k



  



min



 

 

 



khi





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1: Ta thấy 2 cos 0,

x x R

   

và

1 cos 0, 0;

x x



 

   

 

 

. Suy ra

2 cos



và

1 cos



là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có

  

1 1 2

2 cos 1 cos

x x

 

 

Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

  

2 cos 1 cos 3

2 cos 1 cos

2 2

2 4

2 cos 1 cos

x x

  

   

  

 

Câu 16: Cho

, , 0

x y z



và

x y z



  

. Tìm giá trị lớn nhất của

1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan

y x y y z z x

     

max

1 2 2

y   . B.

max

3 3

y  . C.

max

y  . D.

max

2 3

y  .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có

 

tan tan

2 2 2

x y z x y z x y z

  

 

          

 

 

tan tan 1

1 tan .tan tan

x y

x y z



 



tan .tan tan .tan 1 tan .tan

x z y z x y

   

tan .tan tan .tan tan .tan 1

x z y z x y



  

Ta thấy

tan .tan ; tan .tan ; tan .tan

x z y z x y

lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn

thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan

x y y z z x

     

2 2 2

1.tan .tan 1.tan .ta1 1 1 . n 1.tan .tan

x z y z x y

 

   

 

tan .tan tan .tan tan .ta

3 3 3

x z y z x y   

Vậy

max

2 3

y 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 17: Hỏi trên đoạn





2017;2017



, phương trình

 





sin 1 sin 2 0

x x

  

có tất cả bao nhiêu

nghiệm?

4034.

4035.

641.

642.

Hướng dẫn giải

Phương trình

 

sin 1

sin 1 2 .

sin 2 vo nghiem

x x k k



 



        











Theo giả thiết

2017 2017

2 2

2017 2 2017

2 2 2

k k

 



 

  

       





xap xi

320,765 321,265 320; 319;...;321 .

k k



      



Vậy có tất cả

642

giá trị nguyên của

tương úng với có

642

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

Chọn D.

Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin 3

4 2



 

 

 

 

bằng:



. B.





. C.



. D.





Hướng dẫn giải

Ta có

3 2

4 3

sin 3 sin 3 sin

4 2 4 3

3 2

4 3

x k

x x

x k

 



  

 



  



   

     



   

   



   





 

7 2

3 2

36 3

11 11 2

3 2

12 36 3

xx k

x k x

 



  





  



  



   







TH1. Với

min

Cho

max

7 7

0 0

7 2

24 36

7 17

36 3

0 1

24 36

x k k x



 





       



  



         





TH2. Với

min

Cho

max

11 11

0 0

11 2

24 36

11 13

36 3

0 1

24 36

x k k x



 





       



  



         





So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là



  và nghiệm dương nhỏ nhất là



 . Khi đó tổng hai nghiệm này bằng

13 7

36 36 6

  

   

Chọn B.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

A. , B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là và Vậy

Câu 20: Tính tổng

các nghiệm của phương trình

2 2

cos sin 2 2 sin

x x x

   trên khoảng





0;2 .



 B.



 C.



 D.





Hướng dẫn giải

Phương trình

2 2

cos sin sin2 2 cos2 sin 2 2

x x x x x      

 

cos 2 1 2 2 .

4 4 8

x x k x k k

  

 

 

          

 

 



1 17

0 2 0 2

8 8 8

k x

x k k

k x



  







  



          



  







7 15 11

8 8 4

 



   

Chọn C.

Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

của

3sin3 3 cos9 1 4sin 3 .

x x x

  







 C.



 D.





Hướng dẫn giải

Phương trình

3sin3 4sin 3 3cos9 1 sin9 3cos9 1

x x x x x

      

1 3 1 1

sin9 cos9 sin 9

2 2 2 3 2

x x x



 

     

 

 

9 2

3 6 18 9

sin 9 sin

7 2

3 6

9 2

3 6 54 9

x k x

   



 

   

 

 

    

 

 

    

 

 

 

 

     

 

 

6 6

sin cos

x x 











6 6 2 2 4 2 2 4

sin cos sin cos sin sin cos cos

x x x x x x x x

    

 

2 2 2 2 2

sin cos 3sin cos 1 sin 2

x x x x x

    

3 1 cos4 5 3cos4

1 .

4 2 8

x x

 

  

5 3cos4 7 1 2

cos4 cos4 cos

8 16 2 3

x x





      

 

4 2

3 6 2

4 2

3 6 2

x k x k

  



  



 

   

 

  

 

     

 

 











1 2

x x



 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

min

Cho 0

min

2 1

0 0

18 9 4 18

7 2 7 7

0 0

54 9 12 54

k k x

  









        







        







So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là





Chọn B.

Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào

thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Câu 22: Số nghiệm của phương trình

sin5 3cos5 2sin7

x x x

  trên khoảng



 

 

 

là?

Hướng dẫn giải

Phương trình

1 3

sin5 cos5 sin7 sin 5 sin7

2 2 3

x x x x x



 

     

 

 

 

7 5 2

sin7 sin 5 .

7 5 2

18 6

x x k

x k

x x k



 



  

 



 



     



 

 

  



   

 

 





 







1 1

0 0 .

6 2 6 3 6

k k k x

  





          





1 8 2

0 1 .

18 6 2 3 3 9

k x

k k k x

k x



   







  



          



  







Vậy có

nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 23: Giải phương trình

3 cos sin 2sin 2 .

2 2

x x x

 

   

   

   

   

, .

18 3

x k



 



 







 







, .

18 3

x k



 



 







  







, .

x k





 







 







18 3

, .

18 3

x k

 



 







  







Hướng dẫn giải

Ta có

cos sin

x x



 

  

 

 

và

sin cos

x x



 

  

 

 

Do đó phương trình

3sin cos 2sin2 3sin cos 2sin 2

x x x x x x

       

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

3 1

sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2

2 2 6 6

x x x x x x x

 

   

           

   

   

 

2 2

6 18 3

2 2 2

6 6

x x k x k

  



 

  

 

      

 

  

 

      

 

 



Xét nghiệm

1 '

, '

5 7

2 '2

6 6

k k

x k x k

 

 

 

     

 

Vậy phương trình có nghiệm

 

2 7

, '2 , ' .

18 3 6

x k x k k k

  



     



Chọn B.

Câu 24: Gọi

là nghiệm âm lớn nhất của

sin9 3cos7 sin7 3cos9

x x x x

   . Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

;0 .



 

 

 

 

; .

6 12

 

 

  

 

 

; .

3 6

 

 

  





 

; .

2 3

 

 

  





 

Hướng dẫn giải

Phương trình

sin9 3cos9 sin7 3cos7

x x x x

   

9 7 2

3 3

sin 9 sin 7

3 3

9 7 2

48 8

3 3

x x k

x k

x x

x x k

 



 



   







   



     

   



   

    

    



 



 



max

Cho 0

max

0 0 1

5 5

0 1

48 8 6 48

k k k x

k k x

 

  









        







          







So sánh hai nghiệm ta được

nghiệm âm lớn nhất của phương trình là

;0 .

48 12

 

 

   

 

 

Chọn A.

Câu 25: Gọi

là nghiệm dương nhỏ nhất của

cos2 3sin2 3sin cos 2.

x x x x

   

Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

0; .



 



 

 

; .

12 6

 

 



 

 

; .

6 3

 

 







 

; .

3 2

 

 







 

Hướng dẫn giải.

Phương trình

1 3 3 1

cos2 sin 2 sin cos 1

2 2 2 2

x x x x

    

sin 2 sin 1

6 6

x x

 

   

    

   

   

Đặt

2 2 2 2 .

6 6 3 6 2

t x x t x t x t

    

           

Phương trình trở thành

sin 2 sin 1 cos2 sin 1

t t t t



 

      

 

 





2sin sin 0 sin 2sin 1 0.

t t t t

     



min

sin 0 0 0 .

6 6 6

t t k x k k k x

 



             



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



min

2 2 0 0 .

6 3 6 3

sin

5 1

2 2 0 0 .

6 2

t k x k k k x

  

 



   





            



 



            







Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

; .

6 12 6

  

 

 

 

 

Chọn B.

Câu 26: Gọi lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

, ta có:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

+ Điều kiện:

+ Phương trình

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm

Chọn

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và

thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện:

a b

cos sin 2

2cos sinx 1

x x





 









 



 

2 2

2cos sinx 1 0 2sin sinx 1 0

x x

      

 

sinx 1

sinx

x k

x k k

x k





  



  



 

    

 



 





 













cos sin 2 3 2cos 1 sin

x x x x

   





cos sin 2 3 cos2 sinx

x x x   

3 1 1 3

3sinx cos sin 2 3cos2 sinx cos sin 2 cos2

2 2 2 2

x x x x x x

       

cos sinx sin cos cos sin 2 sin cos2 sin sin 2

6 6 3 3 6 3

x x x x x

     

   

       

   

   

 

2 2 2

6 3 6

2 2 2 2

6 3 6 3

x x k x k

  

 

   

 

 

      

 

  

 

        

 

 



 

x k k



   



11 11

1 ; 0 .

6 6 36

k a k b a b

  

         

3 1

8sin

cos sin

x x

 

 

sin 0

cos 0

x k k







  









ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình (cùng bậc lẻ)

Chia 2 vế cho (do điều kiện)

Phương trình

Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn

nghiệm cần tìm là Đáp án B.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình









3 1 cot 3 1 0

sin

    

trên







là?

Hướng dẫn giải

Điều kiện:





sin 0 .

x x k k



   



Phương trình

















2 2

1 cot 3 1 cot 3 1 0 cot 3 1 cot 3 0

x x x x

           

 

cot cot

cot 1

4 4

cot 3

cot cot

6 6

x k x



 



 







 



 

    

 



 



 



  









   







thoûa maõn

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 29: Tính tổng

tất cả các nghiệm của phương trình

2cos2 2cos 2 0

x x

  

trên đoạn





0;3



 B.

2 .





4 .





6 .





Hướng dẫn giải

Phương trình





2cos2 2cos 2 0 2 2cos 1 2cos 2 0

x x x x

       

 

cos

4cos 2cos 2 2 0 cos

2 1

cos

x x x







       





 





loaïi

 

0;3

2 ;

9 7 17

4 4 4

4 4 4 4

4 4

x k x x

x k x



  



   

 







    



     



    





Chọn A.

8sin cos 3sin cos

x x x x

  

cos 0



2 2

1 1

8tan 3 tan .

cos cos

x x

  









2 2 2

8tan 3 tan 1 tan 1 tan

x x x x

    

3 2

3 tan 7tan 3 tan 1 0

x x x

    

 

tan 3 tan 6tan 3 0

x x x

 

    

 

 

tan

tan 3 2







  



 





 

arctan 3 2

x k





 



   



  









k 





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 30: Số nghiệm của phương trình

cos2 4cos

3 6 2

x x

 

   

   

   

   

thuộc





0;2



là?

Hướng dẫn giải

Ta có

2 2

cos 2 1 2sin 1 2cos

3 3 6

x x x

  

     

      

     

     

Do đó phương trình

2cos 4cos 0

6 6 2

x x

 

   

      

   

   

 

cos

6 2

cos 2 ,

6 2 6 3

cos

6 2

x k

x x k k

x k



  





 



 

  

 



 

 



          



 



 

 



 

 



 





 





loaïi

Ta có

 

0;2

6 6

x k x



 





     ;

 

0;2

2 2

x k x



 





   

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:

Câu 32: Phương trình có số nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Phương trình





0;2018

4 4

sin cos 1 2sin

2 2

x x

  

207046



206403



205761



204603



2 2 2 2

sin cos 2sin cos 1 2sin

2 2 2 2

x x x x

 

    

 

 

2 2

1 1

1 sin 1 2sin sin 2sin 0

2 2

x x x x

      

 

sinx 0

sinx 4( )

x k k







   









 

2018

0 2018 0 2018 0 1,2,3,...,642

x kx k k



         

 





642 642 1

2 3 ... 642 1 2 3 ... 642 206403

      



           

3sin3 3 cos9 2cos 4sin 3

x x x x

  



 

 

 

3sin3 4sin 3 3cos9 2cos

x x x x

   

1 3

sin 9 3cos9 2cos sin9 cos9 cos

2 2

x x x x x x

     

sin sin9 cos cos9 cos cos 9 cos

6 6 6

x x x x x

  

 

     

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

- TH1: . Chọn

- TH2: . Chọn

Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc

Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của

phương trình nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình

hông

phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Câu 34: Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

Mà

nên

 

9 2

6 48 4

9 2

6 60 5

x x k x k

  



  



 

    

 

  

 

     

 

 



48 4

x k

 

 

 

0;1 ; 0;

48 48 2

k x

  

   

   

 

 

   

60 5

x k

 

 

 

13 5

0;1;2 ; ; 0;

60 60 12 2

k x

   

   

   

 

 

   



 

 

 

2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

x x x x

  

sin 0



cos 0



sin9 0



cos2 0



   

 

2 2 2 2

1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

2 2 2 2

cos12 cos10 cos8 cos6 0 2cos11 cos cos7 cos 0

cos 0

2cos cos11 cos7 0 4cos sin9 sin2 0 sin9 0 cos2 0

sin2 0

x x x x

x x x x x x x x

   

      

       







         







5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x x x

 

   

    

   

   



 

 

 

sin 2 2 3cos 4 1 2sin

2 2

x x x

 

   

   

       

   

   

   

   

 

2 2

sin 2 3 1 2sin 2 3sin 1 2sin

2 2

1 2sin 3sin 1 2sin 2sin sin 0

sin 0

sin

x cos x x cos x x x

x x x x x

x k

x k k

x k

 



   

         

   

   

       











    









 







 



 

 

13 5 17

;2 ; ; ;

6 6 6

  

 

 



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên .

Câu 35: Phương trình có số nghiệm trên là:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên là và

Câu 36: Phương trình nhận các giá trị

làm nghiệm thì giá trị là:

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

1 7

sin 2

2 6

( )

1 1

cos4

arccos( )

4 4 2

1 1

arccos( )

4 4 2

x k

x x k

x k





  







   



  



 

  







   









 

 

 

sin 4cos 2 sin2

x x x

  





0;2



sin 4cos 2 2sin cos

x x x x

   









  

sin 1 2cos 2 1 2cos 0

sin 2 1 2cos 0

sin 2( )

sin 2 0

2 ,( )

1 2cos 0

cos

x x x

x x

x VN

x k k



    

   





 





      



 











0;2









5π









2sin 1 4cos4 2sin 4cos 3

x x x x

   

arccos

x m k



 

( )











 













2sin 1 4cos 4 2sin 4 1 sin 3 0

x x x x

      

















  

2sin 1 4cos4 2sin 1 2sin 1 2sin 0

2sin 1 4cos4 1 0.

x x x x x

x x

      

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vậy



Câu 37: Phương trình

sin5

5sin



có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện:

sin 0 cos 1

x x

   

sin5 5sin 0 sin5 sin 4sin 0

Pt x x x x x

      

2cos3 .sin 2 4sin 0 2cos3 .2sin cos 4sin 0

x x x x x x x

     

sin 0( )

4sin (cos3 cos 1) 0

(cos2 cos4 ) 1 0

x l

x x x

x x







   



  



2 2

cos2 1

cos2 2cos 2 1 2 0 2cos 2 cos2 3 0

cos2 ( )

x x x x

x VN







         



 



Với

cos2 1 1 2sin 1 sin 0

x x x

     

(loại vì không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 38: Phương trình

2 2

3cot 2 2 sin (2 3 2)cos

x x x

  

có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ,0 ,

x k x k k Z



     

      

thì

 

bằng:



B. -



Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện:

sin 0 cos 1

x x

   

2 4 2 2

2 2 2

3cos 2 2 sin 2cos .sin 3 2 cos .sin

3cos (cos 2 sin ) 2sin (cos 2 sin ) 0

Pt x x x x x x

x x x x x x

   

    

2 2

(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0

x x x x

   

2 cos cos 2 0(1)

2cos 3cos 2 0(2)

x x



  





  





cos

(1) 2 ( )

cos 2( )

x k k

x VN









     



 





cos

(1) 2 ( )

cos 2( )

x k k

x VN









     



 





Vậy

; ; .

4 3 12

  

   

  

Câu 39: Phương trình

1 1 1

cos sin 2 sin4

x x x

  có tổng các nghiệm trên

(0; )



là:



Hướng dẫn giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn D

Điều kiện:

cos 0 cos 0 cos 0 sin 1

sin 2 0 sin 0 sin 0 sin 0

sin 4 0 cos2 0

2 2

sin sin

2 2

x x x x

x x

 

 

    

 

 

   

      

   

   

 

 

 

   

 

 

 

2 2

1 1 1

cos 2sin cos 4sin cos cos2

2sin cos2 cos2 1 0

2sin (1 2sin ) 1 2sin 1 0

2sin (1 2sin sin ) 0

sin 1

sin 0

sin

1 2sin sin 0

x x x x x x

x x x

x l

x k

x l

x x

x k



  

   

     

   



 

 



 



   





  





 











=>có 2 nghiệm trên

(0; )



là x=



và x=



Vậy tổng các nghiệm trên

(0; )



là:

6 6

 



 

Câu 40: Phương trình

sin2 2cos sin 1

tan 3

x x x

  





có bao nhiêu nghiệm trên

(0;3 )



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện:

 

cos 0

tan 3







 



sin 2 cos2 sin 1 0 2sin cos sin 2cos 1 0

sin 1

(2cos 1)(sin 1) 0

cos

Pt x x x x x x x

x k

x x k

x k



         



 

  





      







  









Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là

x k



 

Vậy có hai nghiệm thuộc

(0;3 )



là





và





Câu 41: Phương trình

(1 sin cos2 )sin( )

cos

1 tan

x x x



  





có các nghiệm dạng

2 ; 2 , ; , ,x k x k k Z

         

        

thì

2 2

 



là:



Hướng dẫn giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Điều kiện:

 

cos 0

tan 1







 



(1 sin cos2 ) 2sin( )

cos

sin cos

cos

x x x

Pt x

x x



  

 



(1 sin 1 2sin ) 2sin( )

2 sin( )

x x x



   

 



2 2

sin 1

2 sin 2sin 1 2sin sin 1 0

sin

x x x x







        







Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là

x k





  







  







2 2 2 2

2 2

25 26 13

36 36 36 18

   

 

     

Câu 42: Phương trình

 

4 4

sin 2 cos 2

cos 1

tan tan

4 4

x x

 





   

 

   

   

có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường

tròn lượng giác là:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện:

sin( ) 0

4 4

sin( ) 0

4 4

os( ) 0

4 4

os( ) 0

4 4

x x k

c x x k

 



 



 



 



 

    

 

   

 



 

 

   

 

    

 

Ta có:

tan tan tan tan

1 tan 1 tan

4 4

tan tan . . 1

4 4 1 tan 1 tan

1 tan tan 1 tan tan

4 4

x x

 

 

   

    

   

 

   

 

 

4 4 4 2 2 2

sin 2 cos 2 cos 4 1 sin 4 1 sin 4 sin 4 0

x x x x x x          .

 

sin2 0

sin4 0 2sin 2 cos 0

cos 0( )

x x x x k k

x L







       







 .

Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm của phương trình (1) là

( )

x k k Z



 

Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành

( )

4 2

x k k Z

 

  

Câu 43: Phương trình

sin cos 3cos 2

2 2

x x

 

  

 

 

có nghiệm dương nhỏ nhất là

và nghiệm âm

lớn nhất là

thì

a b



là:



. B.



. C.



. D.





Hướng dẫn giải

Chọn C.

sin cos 3cos 2

2 2

x x

 

  

 

 

1 2sin .cos 3 cos 2

2 2

x x

   

sin 3 cos 1 sin

3 2

x x x



 

     

 

 

 

2 2

3 6

3 6 2

x k x k

x k

 



 

  





     

 

  



 

  

 







Nghiệm dương nhỏ nhất là



, nghiệm âm lớn nhất là





Vậy

a b



 

Câu 44: Phương trình

4 4

cos sin cos sin 3 0

4 4 2

x x x x

 

   

     

   

   

có tổng

nghiệm âm lớn

nhất liên tiếp là:



 . B.





. C.





. D.



 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

4 4

cos sin cos .sin 3 0

4 4 2

x x x x

 

   

     

   

   

2 2

1 3

1 2sin .cos sin 4 sin2 0

2 2 2

x x x x



 

 

      

 

 

 

 

2 sin 2 cos4 sin 2 3 0

x x x

     





2 2

2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0

x x x

      

sin 2 sin 2 2 0

x x

   





 

sin 2 2

2 2

2 4

sin 2 1

x vn

x k x k k

 

 

       









Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là

3 7 5

4 4 2

  

    .

Câu 45: Phương trình

2 3

cos cos 1

cos2 tan

cos

x x

 

 

có bao nhiêu nghiệm trên





1;70

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện: cos 0 ;

x x k k



    



PT:





2 2

cos2x tan 1 cos 1 tan

x x x

     

cos 1

2cos cos 1 0

cos

x x

 





    







 

3 3

x k

x k k

x k

 



 





    



  





Mà

 

1;70 1 70

3 3

x k

 

    

3 1 105 1

2 2 2

 

    



0;1;2;...;32}

k 

Vậy PT có 33 nghiệm trên





1;70

Câu 46: Phương trình

cos cos3 2cos5 0

x x x

  

có các nghiệm là

x k



  và

arccos

x m k



   . Giá trị của

là:

1 17





. B.

1 17





. C.

1 17

 



. D.

1 17

 



Hướng dẫn giải

Chọn A.

cos cos3 2cos5 0

x x x

  









cos5 cos cos5 cos3 0

x x x x

    

2cos3 .cos2 2cos4 .cos 0

x x x x

  





4cos 3cos cos 2 cos 4 .cos 0

x x x x x

   





cos 4cos 3cos cos2 cos 4 0

x x x x x

 

   

 





cos 2cos2 1 cos2 2cos 2 1 0

x x x x

 

    

 





cos 4cos 2 cos2 1 0

x x x

   

cos 0

1 17

cos2



















 

1 1 17

arccos 2

2 8

x k





 



 





  







Vậy

1 17





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

sin3 sin sin2 0x x x  

trên đường tròn lượng

giác là:

A. 2. B.

. C. 4 . D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

sin3 sin sin2 0x x x  

2cos 2 .sin 2sin .cos 0x x x x  





sin 2cos cos 1 0

x x x

   

 

sin 0

cos 1 2

cos 2

2 3

x x k

x x k k

x x k



 







 



      





   







Vậy có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Câu 48: Phương trình

4 4

sin cos

4 4

x x



 

  

 

 

có bao nghiêu nghiệm trên

 

2 ;3

 

A. 1. B. 2. C.

. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

4 4

1 cos

1 1 cos2 1

sin cos

4 4 2 2 4

x x



 

 

 



   

 

 

     

   

 

   

 

 

   

1 cos2 1 cos 2 1

x x



 

 

      

 

 

 

 

   

2 2

1 cos2 1 sin 2 1x x    

2 2

1 2cos2 cos 2 1 2sin2 sin 2 1x x x x      

3 2cos2 2sin 2 1x x   

sin 2 cos2 1x x  

2 sin 2 1 sin 2 sin

4 4 4

x x

  

   

     

   

   

 

x k









 



 



 .

Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc

 

2 ;3

 

Câu 49: Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trường hợp 1:

Với phương trình (vô nghiệm).

Vậy không thỏa mãn phương trình.

4sin sin cos 0

x x x

  













sin 1

cos 0 sin 1

sin 1

x x





   



 



sin 1





3 0

 

sin 1

 



5 0

 

cos 0



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:

Phương trình

Với . Với .

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là .

Câu 50: Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện: .

Phương trình

(*)

Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho

(do điều kiện)

(TMĐK)

 Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là .

Câu 51: Từ phương trình

3 3

1 sin cos sin 2

x x x

   , ta tìm được

cos



 



 

 

có giá trị bằng:





Hướng dẫn giải

Phương trình

  

sin cos 1 sin co

1 sin2

sx x x x

  









2 sin cos 2 sin2 3sin2 .

x x x x

    

Đặt

 

sin cos 2 2 sin cos .

t x x t x x



      

Phương trình trở thành









2 2

2 2 1 3 1

t t t

    

cos 0



cos

3 2 2

sin sin 1 1

4. . 0

cos cos cos cos

x x

x x x x

   









3 2 2

4tan tan 1 tan 1 tan 0

x x x x

     

3 2

3tan tan tan 1 0

x x x

    

tan 1

3tan 2tan 1 0( )

x x VN









  



tan 1

x x k



    

k x



    

k x



    

3 7 5

4 4 2

  

   

1 3tan 2sin 2

x x

 

 

cos 0

x x k k



    



sin

1 3 4sin cos

cos

x x

  

cos 3sin 4sin cos

x x x x

  

cos 0



 

2 2

1 1

* 3tan . 4tan

cos cos

x x

  

3 2

3tan tan tan 1 0

x x x

    









tan 1 3tan 2tan 1 0

x x x

    

 

tan 1

x x k k



       



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

3 2

3 3 5 0 .

1 6

t t t

 



     



  





loaïi

Với

 

, ta được

sin cos 1 sin

x x x



 

      

 

 

Mà

2 2 2

1 2

sin cos 1 cos cos .

4 4 4 2 4 2

x x x x

   

       

          

       

       

Chọn D.

Câu 52: Các nghiệm của phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện: .

Phương trình

(*)(đây là phương trình bậc 2)

Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:

Phương trình (*)

(TMĐK)

Câu 53: Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt . Điều kiện: .

tan cot 2sin 2 cos 2

x x x x

  

 

4 2

1 1

cot

2 2 2

x k

x arc k

 





 







 







 

1 1

cot

2 2

x k

x arc k





 







 







 

4 2

1 1

arctan

2 2 2

x k

 





 







 







 

4 2

arctan

4 2

x k

 





 







 







sin 0

cos 0











 

x k k



  



sin cos

2sin 2 cos2

cos sin

x x

   

2 2

sin cos 2sin cos sin2 sin cos cos2

x x x x x x x x

   

1 sin 2 sin2 cos 2

x x x

  

sin 2 0



1 1

1 cot 2

sin 2 2

  

1 cot 2 1 cot 2

x x

   

cot 2 0

cot 2















2 cot

x k

x arc k





 







 





 

4 2

1 1

cot

2 2 2

x k

x arc k

 





 



 



 







1 sin cos sin 2 0

x x x

   



 





 

sin cos 2 sin

t x x x



 

   

 

 

2; 2

 

 

 

2 2 2

sin cos 2sin cos 1 sin2

t x x x x x

    

sin2 1

x t

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình (TMĐK)

Với .

Với

có 2 nghiệm thuộc là và .

Câu 54: Phương trình

3 3

tan tan tan 3 3

x x x

 

   

    

   

   

tương đương với phương trình.

cot 3

x  . B.

cot3 3

x  . C.

tan 3

x  . D.

tan3 3

x  .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện:

cos 0











 

 



 

 



 

 



 

 







 

sin 2

sin sin 2sin 2

pt 3 3 3 3

cos cos

cos cos cos 2 cos

3 3 3

x x x

x x

x x x



  





     

     

   

     

     

 

sin 4sin 2 sin 2sin cos 2 4sin 2 cos

3 3 3 3

cos 1 2cos2 cos 1 2cos2

sin sin3 sin 2sin3 2sin

3 3 3tan3 3 3 tan3 3

cos cos cos3

x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x

 

    

 

   

     

 

Câu 55: Phương trình

2cot 2 3cot3 tan 2

x x x

 

có nghiệm là:

x k



 . B.

x k





. C.

x k





. D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện của phương trình

sin 2 0,sin3 0,cos2 0

x x x

  

Phương trình tương đương

2cot 2 tan 2 3cot3

x x x

 

sin 2 0

cos2 sin 2 cos3

2 3 cos2 0

sin 2 cos2 sin3

sin3 0

x x x







   









2 2

2cos 2 sin 2 cos3 1 3cos4 cos3

3 3

sin2 .cos2 sin3 sin 4 sin3

x x x x x

 

   





1 1 0

t t

    

t t





   



 





2sin 0



 

  

 

 

x k



  

 

x k k



   



 

2sin 1



 

   

 

 

2 sin



 

   

 

 

4 4

x k

 



 





   







  





x k













 







k 





 





 







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

sin3 3sin3 cos4 3cos3 sin 4 sin3 3sin

3sin 4sin 3sin sin 0

x x x x x x x

x x x x

    

    

x k



 

( loại do

sin 2 0



)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 56: Giải phương trình

cos cos

 .

x k











  



  



. B.

x k











  



  



. C.

x k









  



. D.

x k









  



Hướng dẫn giải

Chọn A

4 4 1 cos2 2 2

cos cos cos 2cos2. 1 cos3.

3 3 2 3 3

x x x x x



     

2 3 3 2

2 2 2 2 2 2

2 2cos 1 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos 3 0

3 3 3 3 3 3

x x x x x x

 

         

 

 

cos 1

3 6

2 3

cos

2 5

3 2

3 6















    



 







  





x k











  



  



Câu 57: Phương trình

cos2

cos sin

1 sin 2

x x

 



có nghiệm là:

x k





  



 









. B.

x k





 



 









. C.

x k





 



  









. D.

x k





 



 









Hướng dẫn giải

Chon C.

ĐK

sin 2 1



 

2 2

cos2 cos sin

cos sin cos sin

1 sin 2

sin cos

x x x

x x x x

x x



    











 

cos sin cos sin

cos sin

sin cos

x x x x

x x

 

  



 

cos sin 1

cos sin cos sin 1 0

sin cos sin cos

x x

x x x x



 

       

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2sin 0

cos sin 0

sin cos 1

2sin 1

x x





 

 

 



 



 



 



   

 



  



 

 



     

4 4

2 2 2 .

4 4 2

5 2

4 4

x k x k

x k

x k k x k k x k k

x k

 

  



  



  



 

   



 

  



 



 

             



 



 



 



 

  



 

 

  

Câu 58: Phương trình

1 1

2sin3 2cos3

sin cos

x x

   có nghiệm là:

x k



  . B.

x k



  . C.

x k



  . D.

x k



   .

Hướng dẫn giải

Chọn A

ĐK

sin 2 0



 

1 1 1 1

2sin3 2cos3 2 sin3 cos3

sin cos cos sin

x x x x

      

   

3 3

sin cos

2 3sin 4sin 4cos 3cos

sin cos

x x

x x x x

x x



 

    

 

 

3 3

sin cos

2 3 sin cos 4 sin cos

sin cos

x x

x x x x

x x



 

    

 

   

 

2 2

sin cos

2 3 sin cos 4 sin cos sin sin cos cos

sin cos

x x

x x x x x x x x

x x



 

      

 

    

sin cos

2 3 sin cos 4 sin cos 1 sin cos

sin cos

x x

x x x x x x

x x



      

 

   

sin cos

2 sin cos 3 4 1 sin cos

sin cos

x x

x x x x

x x



     

 

   

sin cos 6 8 1 sin cos 0

sin cos

x x x x

x x

 

     

 

 

 

sin cos 2 8sin cos 0

sin cos

x x x x

x x

 

     

 

 

 

2 sin 2sin cos 8 sin cos 1 0

x x x x x



 

 

     

 

 

 

sin 2sin 2 sin 2 1 0

x x x



 

 

    

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

   

sin 0

2 2

sin 2 1 .

2 2

sin 2

6 12

7 7

2 2

6 12

x k

x k x k

x k k

x k x k



 



 



 

  





 



 

 



 

   



     



     



 



 



   

 



 

Không có đáp án

nào đúng.

Câu 59: Phương trình

2sin 3 1 8sin 2 .cos 2

x x x



 

  

 

 

có nghiệm là:.

x k





 



 





. B.

x k





 



 





. C.

x k





 



  





. D.

x k





 



 





Hướng dẫn giải

Chọn C

 

2 2

sin 3 0

2sin 3 1 8sin 2 .cos 2

4sin 3 1 8sin 2 .cos 2 *

x x x





 

 

 



  

 

   



 

 

 



  

 



 



 

1 cos 6

1 cos4

* 4 1 8sin 2

2 2



 

 

 



 

  





2 1 sin6 1 4sin2 4sin2 cos4

x x x x

    





2 2sin6 1 4sin2 2 sin6 sin2

x x x x

     

2sin 2 1 0

  

 

2 2 1

sin 2

5 5

2 2 2

6 12

x k x k

x k k

x k x k



 



   



     



   





 

chẵn thì

 

1 2 sin 3 1 0

12 4

x n x

 



 

      

 

 

lẻ thì

   

1 2 1 2 sin 3 1 0

12 12 4

x n n x

  

 

 

           

 

 

chẵn thì

 

2 2 sin 3 1 0

12 4

x n x

 



 

       

 

 

lẻ thì

   

5 7

2 2 1 2 sin 3 1 0

12 12 4

x n n x

  

 

 

          

 

 

Vậy tập nghiệm là

x k





 



  





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 60: Phương trình:

4sin .sin .sin cos3 1

3 3

x x x x

 

   

   

   

   

có các nghiệm là:

6 3

x k

 





 









. B.

x k





 









. C.

x k





 







. D.

x k





 









Hướng dẫn giải

Chọn A.

4sin .sin .sin cos3 1

3 3

x x x x

 

   

   

   

   

 

2sin cos cos 2 cos3 1

x x x



 

     

 

 

2sin cos2 cos3 1

x x x

 

   

 

 





sin sin3 sin cos3 1

x x x x

     

sin3 cos3 1

x x

  

2 sin 3 1



 

  

 

 

sin 3 sin

4 4

 

 

  

 

 

 

6 3

x k



 







 



 







Câu 61: Giải phương trình

10 10 6 6

2 2

sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2

x x x x

x x

 





x k





x k



  . B.



 .

x k



  . D.

x k





x k



  .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

2 2 2

4cos 2 sin 2 3cos 2 1 0,x x x x

     



 

10 10 6 6 10 10 6 6

2 2

2 2 2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2 4

4 cos sin 4sin .cos

x x x x x x x x

x x

x x x x

   

  



 









 

2 2 4 2 2 4

10 10

4 2 2 4

sin cos sin sin .cos cos

sin cos

4 cos sin .cos cos

x x x x x x

x x

x x x x

  



 

 

10 10

sin cos 1

x x

  





Ta có

10 2

10 10 2 2

10 2

sin sin

sin cos sin cos 1

cos cos

x x

x x x x

x x







    









Do đó

 

10 2 2

sin 1

sin 0

sin sin sin 0

1 sin 2 0 2

cos cos cos 0

cos 1

cos 0

x x x

x x k x

x x x















 

 



 

        

  

 





 













ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 62: Cho phương trình:

sin3 cos3 3 cos2

sin

1 2sin 2 5

x x x

 

 

 

 



 

. Các nghiệm của phương trình

thuộc khoảng

 

0;2



là:

12 12

 

. B.

6 6

 

. C.

4 4

 

. D.

3 3

 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện:

1 2sin 2 0x 

Phương trình tương đương

sin 2sin sin 2 sin 3 cos3

5 3 cos2

1 2sin 2

x x x x x

  

 

 

 



 

 

sin cos cos3 sin3 cos3

5 3 cos2

1 2sin 2

1 2sin 2 cos

5 3 cos2

1 2sin 2

5cos 3 cos2 2cos 5cos 2 0

cos

cos 2 ( )

x x x x x

x x

x x x x

x k

x loai



   

 

  

 



 

 

  

 



 

      







    







Vì

 

0;2 ,

3 3

x x x

 



    (thỏa điều kiện).

Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình

Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

Vậy ta có 5 điểm.

Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1 cos cos2 cos3 0

x x x

   









1 cos cos2 cos3 0 cos3 cos 1 cos2 0

x x x x x x

        





 

2 2 cos 2 0 2 2 0

3 3 3

4 0 0

2 2 2 2 2

3 3

2 2 2

cos x x cos x cosx cos x cosx

x k

cosx

x k

x x x x

cosxcos cos cos k k

x k

x x

cos k



 



     



 









 



        



 







  







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6.

Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba

Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

Mà

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc .

Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

Mà

nên

cos cos5 cos2 cos4

x x x x



   

1 1

cos cos5 cos2 cos4 cos6 cos4 cos6 cos2

2 2

x x x x x x x x

    

 

4 2 2

cos4 cos2

4 2 2 3 6

x k

x x k

x x x k k

x x k

x k



 







 





       



  







cos3 4cos2 3cos 4 0

x x x

   





0;14





3 2

4 3cos 4 2 1 3cos 4 0

cos x x cos x x

      

 

3 2

4 8 0 0

cos x cos x cosx x k k



        



 

 

1 14 1

0;14 0 14 0;1;2;3

2 2 2

x k k k



           





0;14

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x x x

 

   

    

   

   



 

 

 

sin 2 2 3cos 4 1 2sin

2 2

x x x

 

   

   

       

   

   

   

   

 

2 2

sin 2 3 1 2sin 2 3sin 1 2sin

2 2

1 2sin 3sin 1 2sin 2sin sin 0

sin 0

sin

x cos x x cos x x x

x x x x x

x k

x k k

x k

 



   

         

   

   

       











    









 







 



 

 

13 5 17

;2 ; ; ;

6 6 6

  

 

 



 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên .

Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

Giải :

Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại.

Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Phương trình có phương trình tương đương là:

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình

Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba



 

 

 

 

8 8 2

8 8

1 sin 2

2 sin

3 sin

128

4 sin 2 2

x cos x cos x

x cos x

 

















     

4 4

8 8 2 2 4 2

1 2 1 2 1

sin sin s 2 6 2 1

2 2 8

cos x cos x

x cos x x co x cos x cos x

 

   

       

   

   





 

4 2 2 4 2 2

1 17 1

2 6 2 1 2 2 2 5 2 2 0 2

8 16 2

cos x cos x cos x cos x cos x cos x

        





 

4 2 4 2 2

1 17 1

2 6 2 1 4 2 24 2 13 0 2

8 32 2

cos x cos x cos x cos x cos x

        





 

4 2 4 2 2

1 97 81 3

2 6 2 1 2 2 12 2 0 2

8 128 8 4

cos x cos x cos x cos x cos x

        





 

4 2 4 2 2

1 1

4 6 4 1 2 4 12 4 0 4 0

8 8

cos x cos x cos x cos x cos x

       

 

2 2

2cos 2 1 0 cos 2 .

x x

    





cos2 cos6 4 3sin 4sin 1 0

x x x x

    

cos 0



sin3 1 0

 

cos (sin3 1) 0

x x

 

sin 1 0

 











2 2

2cos 1 1 2sin 3 4 sin3 1 0.

x x x

      

 

2 2

2cos 2sin 3 4sin3 2 0

cos 2 sin3 1 0

sin 1

cos 0

sin 1

sin 1 sin 1 0.

sin3 1 0

4sin sin3 1 0

x x x

x x

    

   















 

      

 



 





   



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm trên của phương trình là:

Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt

Phương trình tương đương

+ Với

(vô nghiệm)

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là .

Nhận xét:

3 1 3

sin sin

10 2 2 10 2

x x

 

   

  

   

   





0;2



3 3 3 9

10 2 2 10 2 10

x x x

t t t

  

       



   

1 9 1 1

sin sin 3 sin sin 3 sin sin 3

2 10 10 2 2

t t t t t t

 



 

        

 

 





 

3 2

2sin 3sint 4sin t sin 1 4sin t 0

sint 0 ( )

( )

1 1

sin t cos2

64 2

3 3

2 0;2

5 5

14 14

2 0;2

15 15

4 4

2 0;2

15 15

t t

t kt k k

t kt

x k x





 

     

  

 



 

   

 

   

  



    



     



    











0;2



3 14 14 9

5 15 15 5

   

  

 

4 2

sin sin sin 3 sin 2 0

2 2

x x

 

    

 

 

2 ; .

x k k



 



; .

x k k



 







2 1 ; .

x k k



  



; .

x k k



 



 

t sin 0;1 , .

t x

    



 

1 (1)

t sin 3 t sin 2 0

sin 2(2)

x x

t x





     



 



1 cos

t 1 sin 1 1 cos 1 2 (2k 1) ,(k )

2 2

x x

x x k x

  



              



t sin 2 sin sin 2

x x

    

2 2

cos 1

sin 1 sin 1

sin sin 2

2 2

sin 1

sin 2 1 sin 2 1

x x

 

 

 



 

    

  

 



 

   

 

(2k 1) ,(k )



  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích

+ Với phương trình (2) có thể giải cách khác như sau:

, phương trình này vô nghiệm do

Câu 71: Phương pháp đánh giá

Với phương trình thì:

A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.

B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.

D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

Phương trình (*) xảy ra

+ Giải (I):

(vô nghiệm)

+ Giải (II):

Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc .

Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sẽ tự

nhiên hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp

giải khác để linh hoạt khi làm bài.

Câu 72: Phương pháp hàm số

. 0 .

A B





 







sin sin 2

 

1 cos

(2) sin 2 2sin cos 3

x x x



      

 

2 2

2 1 3 .

  

 

3cos4 cos2 sin 7 (*)

x x x  





0;2







0;2







0;2







0;2



3cos4 3



 





cos2 sin cos2 sin cos2 sin 2

x x x x x x

     

   

2 2

cos2 sin 4 3cos4 cos2 sin 7

x x x x x

      

 

cos4 1

cos2 1 (I)

cos4 1

3cos4 3

sin 1

cos2 sin 2(1)

cos4 1 cos4 1cos2 sin 4

cos2 sin 2(2) cos2 1 (II)

sin 1

x x

x xx x

x x x

 









 

















  

 

  



  





  

 















    





















2 2

2cos 2 1 1 cos 2 1

cos2 1 sin 0

1 2sin 1

cos2 1 cos2 1

sin 1 sin 1

sin 1

sin 1 sin 1

x x

 

  

 



 

 

 

     

    

  



 



 

   

 

cos 2 1

cos2 1

1 2sin 1

cos2 1 sin 1 2 ( )

sin 1

x x x k k







 



  





         

  

















0;2



sin

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình có tổng các nghiệm trong

khoảng là:

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình

Xét hàm số

trên .

Với ta xét biểu thức

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên

Suy ra phương trình (1) tuuongw đương

Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc là

Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích

Câu 73: Phương trình có các nghiệm dạng

. Với thì

là:

. B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình

Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là

2 2

sin 1 2sin cos 1 (*)

x x x



 

    

 

 



 

 

 



2 2

sin 1 sinx cos cos 1

x x x

      

2 2

sin 1 sinx cos cos 1 (1)

x x x     

( ) 1

f t t t

  





0;1





1 2 1 2

, 0;1

t t va t t

  

 

2 2

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1 2

2 2

1 2 1 2

1 1

( ) ( )

1 1

1 0.

1 1

t t t t

f t f t t t t t

t t t t t t

t t t t

t t

t t t t

    

  

   

  

   



  

   





0;1

 

(sinx) (cos ) sinx cos tan 1 ,

f f x x x x k k



        





 

 

 



1 cos sin cos2 sin2 0

x x x x

    

1 2 3 4

2 , 2 , 2 , 2

x a k x b k x c k x d k

   

       

0 , , , 2

a b c d



 

a b c d

  



2 2

1 sin 2 cos sin cos sin 0

x x x x x

      

      

  

cos sin cos sin cos sin cos sin 0

cos sin cos sin 1 cos sin 0

2sin 0

cos sin 0

( )

22cos 1 0

cos

x x x x x x x x

x x x x x x

x k

x x

x k



       

      



 



 

 

 



 



 



   



 







  









3 7 2 4 3 7 2 4 9

2 v 2 v 2 v 2 .

4 4 3 3 4 4 3 3 2

x k x k x k x k a b c d

        

   

                

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có

nghiệm

. B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc .

-Giải (2) có

Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc

Vậy có 1 giá trị nguyên của là

Câu 75: Phương trình

sin 2 2cos cos2 sin

x x x x

  

là phương trình hệ quả của phương trình:

sin( )

4 2



 

sin 2 0



sin cos

x x

 

sin cos

x x 

Hướng dẫn giải

Chọn C

2sin cos 2cos 2sin sin 1

x x x x x

     

sin 1

(sin 1)(2cos 2sin 1) 0

cos sin

x x x

x x

 





     



 



Câu 76: Giả sử

là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức

2 2 2

1 1

sin

x x



   đúng với

(0; )



 

. Khi đó giá trị của

là

B. 2 C. 4 D.

Hướng dẫn giải:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 . ( )

sin sin

k k f x

x x x x

 



 

        

 

 

với

2 2

1 1

( ) 1.

sin

f x

x x

  

Xét hàm số

( )

f x

trên



 





 

, ta có

3 3

2 2cos

'( ) 0 ; .

sin 2

f x x o

x x



 

     

 

 

Bảng biến thiên:

3 2 2

cos 2 cos 2 sin 0

x x a x

  

0; ?



 



 

 

3 2

1 cos2

cos 2 cos 2 0

x x a



   

 

3 2 2

cos2 1(1)

2cos 2 2cos 2 cos2 0 cos2 1 2cos 2 0

cos 2 (2)

x x a x a x x a







         



 



2 2 ( )

x k x k k

 

    





 

 

 

1 1

0; 2 0; cos2 1 cos 2 1

6 3 2 4

x x x x

 

   

        

   

   

1 1

0; 1 2 .

6 4 2 2





 

       

 

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Từ bảng biến thiên suy ra

. ( ) 0; 4.

k f x x k



 

    

 

 

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của



trong

 

0;2



để ba phần tử của

 

sin ,sin2 ,sin3S

  



trùng

với ba phần tử của

 

cos ,cos2 ,cos3T

  



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải:

Ta có:

sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3

     

    

   

2cos 1 sin2 2cos 1 cos2

   

   

cos

tan 2 1

8 2



 



 





  





 



 





 







Khi

sin 2 cos 2

 



thì ta có thể chia các trường hợp sau:

sin cos

sin3 cos3

12 3



 

 

  





 











 







 





(Loại)

sin cos3 3 2

sin3 cos

8 2



    

 

  



 

     

 



 





   





Chọn D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

tan cot 8

x m x

 

có nghiệm.

16.



16.



16.



16.



Hướng dẫn giải

Phương trình

tan cot 8 tan 8 tan 8tan 0

tan

x m x x x x m

        

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 

4 0 16

m m



      

Chọn D.

Câu 79: Biến đổi phương trình





cos3 sin 3 cos sin3

x x x x

  

về dạng









sin sin

ax b cx d

  

với

thuộc khoảng

;

2 2

 

 



 

 

. Tính

b d



b d



  B.

b d



 

b d



  

b d



 

Hướng dẫn giải

Phương trình

3sin3 cos3 sin 3cos

x x x x

   

3 1 1 3

sin3 cos3 sin cos sin 3 sin .

2 2 2 2 6 3

x x x x x x

 

   

       

   

   

Suy ra

6 3 2

b d

  

   

Chọn D.

Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





10;10



để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x x m

 

   

   

   

   

vô nghiệm.

21.

20.

18.

Hướng dẫn giải

Phương trình vô nghiệm

 

2 2

1 3 2 4 4 0

m m

 



       







 





10;10

10; 9; 8;...; 2;2;...;8;9;10



 

      



có

giá trị.

Chọn C.

Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình





cos sin 2 1

x x m

  

vô

nghiệm.









; 1 1; .

    





1;1 .

m 





  









;0 0; .

   

Hướng dẫn giải

Phương trình vô nghiệm

 

2 2 2

1 1 2 1

 

   

 





4 2 2 2 2

2 0 2 0 0 0.

m m m m m m

         

Chọn D.

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





10;10



để phương trình





1 sin cos 1

m x m x m

   

có nghiệm.

21.

20.

18.

11.

Hướng dẫn giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình có nghiệm

   

2 2

1 1 4 0

m m m m m





        



 



 





10;10

10; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10



 

      



có

giá trị.

Chọn C.

Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





2018;2018



để phương trình





1 sin sin 2 cos2 0

m x x x

   

có nghiệm.

4037.

4036.

2019.

2020.

Hướng dẫn giải

Phương trình

 

1 cos2

1 sin 2 cos2 0

m x x



    





2sin2 1 cos2 1.

x m x m

      

Phương trình có nghiệm

     

2 2 2

2 1 1 4 4 1

m m m m

          

 





2018;2018

2018; 2017;...;0;1



 

    



có

2020

giá trị.

Chọn D.

Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có

nghiệm

. B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình

-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc .

-Giải (2) có

Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc

Vậy có 1 giá trị nguyên của là

Câu 85: Giá trị của

để phương trình





cos2 2 1 cos 1 0

x m x m

    

có nghiệm trên

;

2 2

 

 

 

 

là





;

m a b



thì

a b



là:

. B.



. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.





cos2 2 1 cos 1 0

x m x m

    





2cos 2 1 cos 0

x m x m

    

cos

x m















3 2 2

cos 2 cos 2 sin 0

x x a x

  

0; ?



 



 

 

3 2

1 cos2

cos 2 cos 2 0

x x a



   

 

3 2 2

cos2 1(1)

2cos 2 2cos 2 cos2 0 cos2 1 2cos 2 0

cos 2 (2)

x x a x a x x a







         



 



2 2 ( )

x k x k k

 

    





 

 

 

1 1

0; 2 0; cos2 1 cos 2 1

6 3 2 4

x x x x

 

   

        

   

   

1 1

0; 1 2 .

6 4 2 2





 

       

 

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay





; cos 1;0

2 2

x x

 

 

   

 

 

cos

x  không có nghiệm thỏa mãn

;

2 2

 

 

 

 

Phương trình có nghiệm trên

;

2 2

 

 

 

 

1 0 1m a b      

Câu 86: Phương trình

6 6

sin cos 3sin cos 2 0x x x x m    

có nghiệm khi

 

;m a b

thì tích

.a b

bằng:

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

6 6

sin cos 3sin .cos 2 0x x x x m    

3 3

1 sin 2 sin 2 2 0

4 2

x x m

     

(*)

4 3sin 2 6sin2 12m x x    

Đặt

 

sin2 , 1;1t x t  

. Xét

 

3 6 12f t t t   

trên

 

1;1

Suy ra (*) có nghiệm

3 15

3 4 15

4 4

m m      .

Vậy

ab  .

Câu 87: phương trình sin ( 1)cos

cos

m x m x

   . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10

để phương trình có nghiệm là:

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

+) Điều kiện:

cos 0x 

Khi đó, phương trình tương đương với

tan 1

cos

m x m

  

tan 1m x m  

 

1 tanm x 

tan tan 1 0m x m x   

Nhận xét: Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm.

Nên phương trình có nghiệm kh và chỉ khi

0 









 



Vì

0 10m 

nên

 

1,2,...9m

. Vậy có 9 giá trị.

Câu 88: Phương trình

sin 4 tanx x

có nghiệm dạng

x k





và

 

arccosx m n k k



   

thì

m n

bằng:

m n 

. B.

m n  

. C.

1 3

m n

 

 

. D.

1 3

m n

 

 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Điều kiện: cos 0 ;

x x k k



    

Phương trình

sin 4 .cos sinx x x 

2sin 2 .cos 2 .cos sin 0x x x x  

4sin .cos .cos2 sin 0x x x x  





4cos .cos2 1 sin 0

x x x

  

sin 0

2cos 2 2cos2 1 0

x x









  



 

sin 0

1 3

cos2

1 3

cos2

x VN









 



 



 









 

1 1 3

arccos

2 2

x k









 

 



  







1 1 3 3

2 2 2

m n

 

    

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

 

cos2 2 1 cos 1 0x m x m    

có nghiệm trên khoảng

;

2 2

 

 

 

 

1 0m  

. B.

1 0m  

. C.

1 0m  

. D.

m   .

Hướng dẫn giải.

Phương trình

 

cos

2cos 2 1 cos 0 .

cos

x m x m

x m







     







Nhận thấy phương trình

cos

x  không có nghiệm trên khoảng

;

2 2

 

 

 

 

(Hình vẽ). Do

đó yêu cầu bài toán

cos x m 

có nghiệm thuộc khoảng

; 1 0

2 2

 

 

   

 

 

Chọn B.

Câu 90: Biết rằng khi

m m thì phương trình

 

2 2

2sin 5 1 sin 2 2 0m x m mx     

có đúng

nghiệm phân biệt thuộc khoảng



 



 

 

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 



. C.

3 7

; .

5 10

 







 

3 2

; .

5 5

 

  

 

 

Hướng dẫn giải

Đặt





sin 1 1

t x t

   

Phương trình trở thành





2 2

2 5 1 2 2 0.

t m m m

    





Yêu cầu bài toán tương đương với:

 TH1: Phương trình





có một nghiệm

 

(có một nghiệm

) và một nghiệm

0 1

 

(có bốn nghiệm

) (Hình 1).

 Do

1 2

t t m m

       

 Thay

 

vào phương trình





, ta được









  

3 6 0;1

1 1

0;1

2 4

m t



     



    





loaïi

thoûa

 TH2: Phương trình





có một nghiệm



(có hai nghiệm

) và một nghiệm

1 0

  

(có ba nghiệm

) (Hình 2).

 Do

1 2

t t m m

    

 Thay



vào phương trình





, ta được













 

1 2 1;0

1 3

1;0

2 4

m t



    



    





loaïi

Vậy

 

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do

1 3 2

; .

2 5 5

 

    

 

 

Chọn D.

Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm

theo

rồi cho

thỏa mãn ycbt

Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình





2cos 3 3 2 cos3 2 0

x m x m

    

có đúng

nghiệm thuộc khoảng

; .

6 3

 

 



 

 

1 1.

  

1 2.

 

1 2.

 

1 2.

 

Hướng dẫn giải

Đặt





cos 1 1

t x t

   

. Phương trình trở thành





2 3 2 2 0.

t m t m

    

Ta có

 

2 5

m   . Suy ra phương trình có hai nghiệm

t m







 



Hình 1

Hình

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta thấy ứng với một nghiệm



thì cho ta hai nghiệm

thuộc khoảng

; .

6 3

 

 



 

 

Do đó

yêu cầu bài toán

1 0 1 2 0 1 2.

t m m

          

Chọn B.

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình





2 3 2 2 0

t m t m

    

có hai

nghiệm

1 2

t t

thỏa mãn

 

2 1

1 0 1 . 1 0 .

. 1 0

t t a f

a f







      





 



Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm

theo

rồi cho

thỏa mãn ycbt

Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

sin cos sin cos 0

x x x x m

   

có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Đặt

 

sin cos 2 2 sin cos .

t x x t x x



      

Phương trình trở thành

 

0 2 2 1 1 2 2

t m m t t t m



            

 

2 2 2 1 1 2 1 0 1 3 2 2

t t t               .

Vậy để phương trình có nghiệm

0 3 2 2

1 2 2

2 2 1

m m



     







1;0;1 .



  



Chọn C.

Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình: có

nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt

sin 2 2 sin 0

x x m



 

   

 

 

sin 2 2 sin 0 sin 2 sin 0

x x m x x cosx m



 

        

 

 

sin 2 sin 2; 2 ,

t x cosx x t x



 

 

        

 

 

 



2 2

1 2sin sin 2 1

t xcosx x t

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta đi tìm để phương trình có nghiệm

có nghiệm

Xét trên

Suy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm trên

mà

Vậy có 4 giá trị thỏa mãn.

Câu 94: Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất

là:

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Giải

Đặt

1 0

t t m

   

2; 2

 

 

 

t t m

   

2; 2

 

 

 





f t t t

  

2; 2

 



 

 

1 2 , 2; 2

f t t

 

      

 





m f t

 

2; 2

 



 

1 2;

 

   

 

 





2; 1;0;1

m m    



3 3

sin 2

cos x x cos x

 













3 3 2 2 2 2

cos sin cos2 cos sin cos cos sin sin cos sin

x x x x x x x x x x x

       

















cos sin 1 cos sin cos sin cos sin

x x x x x x x x

     

 

cos sin 0 (1)

1 cos sin cos sin 2

x x

x x x x

 







  



   

1 2 sin 0

4 4

x x k k

 



 

       

 

 







2 :1 cos sin sin cos 0

x x x x

   

sin 2 sin 2; 2 ,

t x cosx x t x



 

 

        

 

 

 



2 2

1 2sin sin 2 1

t xcosx x t

    

 

2 1 0 2 1 0 1

t t t t



          

 

2sin 1

x k







 



     

 



 

 





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vậy nghiệm của phương trình là

Biểu diễn nghiệm này trên vòng tròn lượng giác

ta suy ra nghiệm lớn nhất là và nghiệm bé nhất là

Vậy .

Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

 

10;10

để phương trình

 

2 2

11sin 2 sin2 3cos 2x m x x   

có nghiệm?

16.

21.

15.

Hướng dẫn giải

Phương trình

 

2 2

9sin 2 sin2 cos 0x m x x    

   

1 cos2 1 cos2

9. 2 sin2 0 2 sin2 4cos2 5.

2 2

x x

m x m x x

 

         

Phương trình có nghiệm

   

2 2

2 16 25 2 9

m m





       



 



 





10;10

10; 9;...; 1;5;6;...;10



 

     



có

giá trị nguyên.

Chọn A.

Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc để phương trình

   

2 2

sin 2 1 sin cos 1 cosx m x x m x m    

có nghiệm?

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Phương trình

     

2 2

1 sin 2 1 sin cos 2 1 cos 0m x m x x m x      

     

1 cos2 1 cos2

1 . 1 sin 2 2 1 . 0

2 2

x x

m m x m

 

      

 

2 1 sin2 cos2 2 3 .m x m x m    

Phương trình có nghiệm

   

2 2

4 1 2 3 4 4 0 0 1

m m m m m m

         

 

0;1



  



có 2 giá trị nguyên.

Chọn A.

Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình

2 2

sin sin cos cos 0a x a x x b x  

với

0a 

có nghiệm.

4a b

. B.

4a b 

. C.

 . D.



Hướng dẫn giải

 

x k

x k k

x k





  



 



 









 





1 2

x x



 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Phương trình

tan tan 0

a x a x b

  

Phương trình có nghiệm





4 0 4 0

a ab a a b

       

 

4 4

4 0 0 1.

b a b

a b a

a a



      

Chọn C.

Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

2sin sin 2 2

x m x m

  vô nghiệm.

 

. B.





. C.

 

. D.

 



Hướng dẫn giải

Phương trình

1 cos2

2. sin 2 2 sin 2 cos2 2 1.

m x m m x x m



      

Phương trình vô nghiệm

 

2 2

1 2 1 3 4 0 .

m m m m







       







Chọn B.

Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn





3;3



để phương trình





2 2

2 cos 2 sin 2 1 0

m x m x

   

có nghiệm.

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Phương trình

 

1 cos2

2 . 2 sin2 1 0

m m x



    





2 2

4 sin 2 2 cos2 4

m x m x m

    

Phương trình có nghiệm









2 2

2 2 2 2 2

16 2 4 12 12 1 1

m m m m m m

          

 





3;3

3; 2; 1;1;2;3



 

     



có

giá trị nguyên.

Chọn C.

Câu 100: Để phương trình

6 6

sin cos | sin2 |

x x a x

  có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:

 

. B.

1 3

8 8

 

. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Chọn D.









6 6 2 2 2 2 2 2

sin cos |sin 2 | sin cos 3sin cos sin cos | sin 2 |

x x a x x x x x x x a x

      

2 2

1 sin 2 |sin2 | 0 3sin 2 4 |sin2 | 4 0

x a x x a x

       

Đặt









sin 2 0;1

x t t  . Khi đó ta có phương trình





3 4 4 0 1

t t  

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình





có nghiệm

 

 

4 12 0

0;1 0 1 0

1 4 1 0

t f a

f a





   



      





  



Câu 101: Cho phương trình:

sin cos sin cos 0

x x x x m

   

, trong đó

là tham số thực. Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 2

m     . B.

2 1

   

. C.

1 2

m   . D.

2 1

   

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt

 

sin cos 2 sin cos

x x t t x x



    

. Khi đó ta có phương trình

 

0 2 2 1 0 *

t m t t m



       

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình





có nghiệm

 

2 2 0

2 1 2

2; 2 2 1.

2 1 2 2 2 0

t m

f m



   





   





 

 

        

 

 

  

    

 





   



Câu 102: Cho phương trình:









4 4 6 6 2

4 sin cos 8 sin cos 4sin 4

x x x x x m

    

trong đó m là tham

số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

4 0

m hay m

  

. B.

   

. C.

   

. D.

2 0

m hay m

  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

 

   

4 4 2 2 2 2 2

6 6 2 2 2 2 2 2 2

sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2

sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 sin 2

x x x x x x x

x x x x x x x x x

     

      

Phương trình đã cho trở thành

2 2 2 2

1 3

4 1 sin 2 8 1 sin 2 16sin 2 cos 2

2 4

x x x x m

   

    

   

   





2 2 2

4sin 2 16sin 2 1 sin 2 4

x x x m

    

4 2

16sin 2 12sin 2 4 0

x x m

    

Đặt









sin 2 0;1

x t t  . Khi đó phương trình trở thành





16 12 4 0 *

t t m   





vô nghiệm khi và chỉ khi:

TH1:

100 16 0

m m



      

TH2:

     

100 16 0

0 1 4 0

f f m m





   



   











  









Vậy các giá trị cần tìm

4 0

m hay m

  

. Không có đáp án đúng.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 103: Cho phương trình:

6 6

2 2

sin cos

2 .tan2

cos sin

x x

m x

x x







, trong đó m là tham số. Để phương trình có

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

1 1

8 8

m hay m

  

. B.

1 1

8 8

m hay m

  

. C.

1 1

2 2

m hay m

  

. D.

1 1

m hay m

  

Hướng dẫn giải

Chọn B

ĐK:

cos2 0











2 2 2 2 2 2

6 6

2 2

sin cos 3sin cos sin cos

sin cos

2 .tan 2 2 tan 2

cos sin cos2

x x x x x x

x x

m x m x

x x x

  



  



2 2

1 sin 2

2 tan 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 8 sin 2 4 0.

cos2 4

m x x m x x m x



        

Đặt









sin2 1;1

x t t  

.Khi đó phương trình trở thành:





3 8 4 0 *

t mt  

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình





có nghiệm





1;1

t  

TH1:





có 1 nghiệm

        

1;1 1 1 0 8 1 8 1 0

t f f m m







          



 





TH2:





có 2 nghiệm

 

16 12 0

1 8 1 0

1;1 .

1 8 1 0

3 3

1 1

2 3

4 4

f m

t m VN

f m

s m







   





  



 

     

 

    

 

    

  

 



Câu 104: Cho phương trình

1 4tan

cos4

2 1 tan

x m

 



. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:.

  

. B.

0 1

 

. C.

 

. D.

5 3

2 2

m hay m

  

Hướng dẫn giải

Chọn D.

ĐK:

cos 0.



1 4tan 1 4tan 1

cos4 cos4 cos4 4sin cos

2 1 tan 2 2

cos

x x

x m x m x x x m

       



 

2 2

1 1

1 2sin 2 2sin 2 sin 2 2sin 2 0

2 2

x x m x x m

        

Đặt









sin 2 1;1

x t t   . Khi đó phương trình trở thành:

2 0(*)

t t m   

Phương trình

(*)

vô nghiệm:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

TH1:

3 3

0 .

2 2

m m



     

TH2:

   

5 3

1 1 0

2 2

f f m m









 





 



   

 

 

  



    

  

 



  

















Câu 105: Để phương trình:

4sin .cos 3sin 2 cos2

3 6

x x a x x

 

   

    

   

   

có nghiệm, tham số

phải thỏa điều kiện:

1 1

  

. B.

2 2

  

. C.

1 1

2 2

  

. D.

3 3

  

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình tương đương

2 sin 2 sin 2sin 2

6 2 6

x a x

  

 

   

    

   

 

   

 

2 sin 2 1 2sin 2

6 6

2 sin 2 sin 2 2

6 6

x a x

x x a

 

 

   

     

   

 

   

 

 

   

     

   

 

   

 

4.cos2 .sin 2

cos2

x a



  



 

Để phương trìnhcó nghiệm thì

1 1 2 2



      

Câu 106: Để phương trình

2 2 2

sin 2

1 tan cos2

a x a

x x

 





có nghiệm, tham số

phải thỏa mãn điều kiện:

| | 1



. B.

| | 2



. C.

| | 3



. D.

1, 3

a a

  

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện của phương trình

cos 0,cos2 0,tan 1

x x x

  

Phương trình tương đương

2 2 2 2

2 2 2

2 2

sin 2 sin 2

cos cos cos cos

sin sin

1 1

cos c

1 tan 1 tan

x a x a

x x x

a a

x x

 

 

  



2 2 2 2 2 2

tan 2 1 t( )( ) (

an 1 tan 2

)a x a x a x

       

 Nếu

1 0 | |

a a

    

(1) vô nghiệm.

 Nếu

1:(1) tan

a x

  



. Phương trình có nghiệm khi

1 3

  



Vậy

phương trình đã cho có nghiệm khi

1, 3

a a

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 107: Tìm m để phương trình









cos 1 cos2 cos sin

x x m x m x

  

có đúng 2 nghiệm

;



 



 

 

1 1

  

. B.

 

. C.

   



. D.

  

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có









cos 1 cos2 cos sin

x x m x m x

  

















cos 1 cos2 cos 1 cos 1 cos

x x m x m x x

     

cos 1 cos 1

cos2 cos cos cos2

x x

x m x m m x x m

   

 

 

 

   

 

Với

cos 1 2

x x k

 

    

: không có nghiệm

;



 



 

 

Với

cos2 cos

x m x



   .

Trên



 

 

 

, phương trình

cos

x a



có duy nhất 1 nghiệm với

 

 

 

 

Do đó, YCBT

1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

1 1

2 2





 



 



 



 



 

         

  



 



  





 

  





Câu 108: Tìm m để phương trình





cos2 2 1 cosx 1 0

x m m

    

có đúng 2 nghiệm ;

2 2

 



 



 

 

1 0

  

. B.

0 1

 

. C.

0 1.

 

1 1.

  

Hướng dẫn giải

Chọn B

     

0 .

cos2 2 1 cosx 1 0 1 2 1

2x m m cos x m

cosx

cosx m

x m





      





  









Vì ;

2 2

 



 



 

 

nên

0 1

cosx

 

. Do đó

cosx

 

(loại).

Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ;

2 2

 



 



 

 

khi và chỉ khi

0 1 0 1

cosx m

    

Câu 109: Tìm m để phương trình

2sin cos 1

x m x m

  

có nghiệm

;

2 2

 

 

 

 

 

3 1

  

. B.

2 6

  

. C.

1 3

 

1 3

  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

tan

t  , để

;

2 2

 

 

 

 

 

thì





1;1

t  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

2 2

2 1

2 1 4t 1 1

t t

m m t m mt m m t

t t





         

 

4 1 2t t m  

Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì

 

4 1f t t t  

trên

 

1;1

Ta có

   

' 2 4; ' 0 2f t t f t t    

Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì

2 2 6 1 3m m      

Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên

để phương trình

   

sin sin3x sin 3sin x 4sinm m x   

có

nghiệm thực?

C. 4 D.

Hướng dẫn giải

Ta có

   

sin3 sin sin3x sin 3sinx 4sin sin3m x m x x     

       

sin3 sin sin3x 3sin sin 3sinx sin3 3sinx 4sinm x m x m x m x          

. Chọn A.

Câu 111: Cho phương trình:

  

cos 1 cos2 cos sinx x m x m x  

. Phương trình có đúng hai nghiệm

thuộc đoạn



 

 

 

khi:

1.m  

1.m  

1 1.m  

1 .

m   

Hướng dẫn giải

Ta có

  

cos 1 cos2 cos sinx x m x m x  

     

cos 1 cos2 cos cos 1 cos 1 0x x m x m x x      

 

cos 1 1

cos2 2

x m

 









Vì

2 1

0; cos 1

3 2

x x



 

    

 

 

nên

 

không có nghiệm trên



 

 

 

. Xét

 

cos2 , 0;

f x x x



 

 

 

 

Ta có

   

2sin 2 , 0 sin2 0

f x x f x x









 

     







. Bảng biến thiên:







f x







 

f x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Yêu cầu của bài toán trở thành tìm các giá trị thực của tham số

để





có hai nghiệm

thực phân biệt trên



 

 

 

. Từ bảng biến thiên ta thấy





có hai nghiệm thực phân biệt

trên



 

 

 

khi và chỉ khi

   

. Từ đó ta chọn được đáp án đúng là D.

Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của

để bất phương trình

3sin 2 cos2

sin2 4cos 1

x x



 

 

đúng với mọi





3 5

m 

3 5 9





65 9





65 9





Hướng dẫn giải

Ta có:

3sin 2 cos2 3sin 2 cos2

sin2 4cos 1 sin2 2cos2 3

x x x x

 

 

   

Và sin 2 2cos2 3 0; x x x

    



. xét phương trình

3sin2 cos2

sin2 2cos2 3

x x



 

 













sin2 2cos2 3 3sin2 cos2 3 sin2 2 1 cos2 3

x x y x x y x y x y

         

Phương trình trên có nghiệm nên

     

2 2 2

2 2

3 2 1 3 5 10 10 9

y y y y y y

        

5 65 5 65

4 10 10 0

4 4

y y y

   

       

. Suy ra giá trị lớn nhất của y là

5 65

 

. Chọn D.

Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình









cos 1 4cos2 cos sin

x x m x m x

  

có

đúng 2 nghiệm



 



 

 

là:

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có:









cos 1 4cos2 cos sin

x x m x m x

  













cos 1 4.cos2 cos 1 cos

x x m x m x

    

















cos 1 4.cos2 cos 1 cos 1 cos

x x m x m x x

     













cos 1 4.cos2 cos 1 cos 0

x x m x m x

     









cos 1 4.cos2 0

x x m

   

cos 1 0

4cos2 0

x m

 







 



cos2

x k

 

 













Chọn C.

Câu 114: Gọi

a b

là các số nguyên thỏa mãn

















0 0 0 0

1 tan1 1 tan 2 ... 1 tan 43 2 . 1 tan

    

đồng thời





, 0;90

a b

. Tính

P a b

 

Hướng dẫn giải

Vì





sin 45

sin

1 tan 1 2

cos cos

x x

 



 

   

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Do đó

 

0 0 0

sin 46 sin47 ...sin88

2 .

cos1 cos2 ...cos43

P 

 

sin46

2 .

cos1



 

21 0

2 . 1 tan1  .

Chọn A.

Câu 115: Tìm

để phương trình

   

1 cos 1 sin 2 3m x m x m    

có hai nghiệm

1 2

,x x thỏa mãn

1 2

x x



  .

A. 2 3m   B. 2 3m   C. 2 3m   D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải

Phương trình có nghiệm

     

2 2 2

6 22 6 22

1 1 2 3

2 2

m m m m

   

       

 

2 2 2

1 1 2 3

cos sin

2 2 2 2 2 2

m m m

x x

m m m

  

  

  

 

cos cos

x k

  

 

  

  



   



  



với

2 2

1 2 3

cos ;cos

2 2 2 2

m m

 

 

 

 

 Nếu

1 2

;x x cùng thuộc một họ nghiệm

1 2

2x x k



   (loại)

 Nếu

1 2

;x x cùng thuộc hai họ nghiệm

1 1 2 2

2 ; 2x k x k

     

      

Do đó

 

1 2 1 2

2 2

3 3

x x k k

 

 

     

 

1 2

cos 2 2 cos cos2

3 2

k k



  

     

 

1 1 1 3

2cos 1 2 1

2 2 4 2 2

2 2



 



       

 



 

4 1 0 2 3m m m       (không thỏa mãn

 

)

Vậy không tồn tại

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 116: Các giá trị của

 

;m a b

để phương trình

cos2 sin 3cos 5x x x m    có nghiệm thì:

2a b 

. B.

12a b 

. C.

. 8a b  

. D.

. 8a b 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

2 2

cos2 sin 3cos 5(*)

2cos 1 1 cos 3cos 5 0

cos 3cos 5

x x x m

x x m

   

       

   

Đặt

 

cos 1;1x t  

, phương trình

3 5t t m   

Bảng biến thiên:

=> Phương trình (*) có nghiệm

2 5 4m    

7 1m    

. Vậy a + b = -8

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 117: Cho phương trình

 

sin 1 cos

cos

m x m x

   . Số các giá trị nguyên dương của

nhỏ

hơn

để phương trình có nghiệm là:

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

 

sin 1 cos (*)

cos

m x m x

  

Điều kiện:

cos 0











 

* sin cos 1 cos

sin 2 1 cos2

2 2

sin 2 1 cos2 1(1)

m x x m x m

m m

x x m

m x m x m

   



   

    

+ Từ m = 0





* cos 0

 

loại do điều kiện

 

phương trình (*) vô nghiệm.

+ Với



=> (*) có nghiệm khi (1)

   

2 2

1 1

m m m    

4 0

m m

 



   







Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 118: Phương trình





cos2 2 1 sin 1 0

x m x m

    

có nghiệm trên

;



 



 

 

khi tất cả các giá

trị thỏa mãn:



. B.





. C.





1;1

m 

. D.





1;1

m 

Hướng dẫn giải

Chọn B.





   

  

cos2 2 1 s n 1 0

1 2sin 2 sin sin 1 0

2sin sinx sinx 0

sinx (1)

sinx-m 2sin 1 0

sinx (2)

x m i m

x m x x m

x m m

    

      

    







   







Giải (1):

sinx



luôn có 2 nghiệm

;



 

 

 

 

 

phương trình có nghiệm.

Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

nhỏ hơn

2018

để phương trình

3tan tan cot

sin

x x x m

   

có nghiệm?

2000

. B.

2001

. C.

2010

. D.

2011

Hướng dẫn giải

Chọn D.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

2 2

3tan anx cot

sin

3 1 cot 3tan tan cot 3 0

3 tan cot tan cot 3 0

x t x m

x x x x m

   

       

      

Đặt

2 2 2

tan cot 2 tan cott x x t x x     









 



=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình

 

3 2 3 0t t m     có

nghiệm



 



; 2 2;t     

3 3m t t   

có nghiệm



 



; 2 2;t     

Bảng biến thiên:

=> Phương trình có nghiệm

7m 

Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018

+ Với

sin2 2sin cos 0

cos 0

cos2 2cos 1 1

x x x

x x

 



 



   



thì

 

1 1 1 0m m m      

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/76

| | Tải xuống

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 2 s 
 in x  1 cos x  2 2
sin x  cos x  1   2 2
cos x  1 sin x  1 1  2 2
 1 tan x  tan x  1 2 2 cos x cos x 1 1  2 2
 1 cot x  cot x  1 2 2 sin x sin x 1  tan .
x cot x  1  cot x  tan x 4 4 2 2 s 
 in x  cos x  1 2sin x cos x   6 6 2 2 s
 in x  cos x  1 3sin x cos x  3 3 s
 in x  cos x  
sin x  cos x1 sin x cos x   3 3
sin x  cos x  
sin x  cos x1 sin x cos x 
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III Góc IV sin x + +   cos x +   + tan x +  +  cot x +  + 
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
 Hai cung đối nhau
cos x  cos x
sin x  sin x
tan x   tan x
cot x   cot x  Hai cung bù nhau
sin   x  sin x
cos   x  cos x
tan   x   tan x
cot   x   cot x  Hai cung phụ nhau       sin  x  cos x   cos  x  sin x    2   2        tan  x  cot x   cot  x  tan x    2   2 
 Hai cung hơn nhau 
sin   x  sin x
cos   x  cos x
tan   x  tan x
cot   x  cot x 
 Hai cung hơn nhau 2       sin  x  cos x   cos
 x   sin x    2   2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao       tan
 x   cot x   cot
 x   cot x    2   2 
 Với k là số nguyên thì ta có:
sin  x  k2   sin x
cos  x  k2   cos x
tan  x  k   tan x cot  x  k   cot x IV. CÔNG THỨC CỘNG
sin  x  y  sin x cos y  cos x sin y
sin  x  y  sin x cos y  cos x sin y
cos  x  y  cos x cos y  sin x sin y
cos  x  y  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan x  tan y
tan  x  y 
tan  x  y  1 tan x tan y 1 tan x tan y Đặc biệt:  s
 in 2x  2sin x cos x 
TH1: Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2
cos 2x  cos x  sin x  2 cos x 1  1 2sin x  2 tan x tan 2x  2  1 tan x 1 cos 2x 1 cos 2x
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: 2 2 sin x  ; cos x  2 2 3 s 
 in 3x  3sin x  4sin x
TH2: Công thức góc nhân ba:  3
cos 3x  4 cos x  3cos x 
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x  y x  y 1
cos x  cos y  2 cos cos cos x cos y 
cos  x  y  cos  x  y 2 2 2   x  y x  y 1
cos x  cos y  2  sin cos
sin x sin y  
cos  x  y  cos  x  y 2 2 2   x  y x  y 1
sin x  sin y  2 sin cos sin x cos y 
sin  x  y  sin  x  y 2 2 2   x  y x  y 1
sin x  sin y  2 cos sin cos x sin y 
sin  x  y  sin  x  y 2 2 2   Chú ý:      
 sin x  cos x  2 sin x   2 cos x       4   4       
 sin x  cos x  2 sin x    2 cos x       4   4  u
  v  2k
u  v  k2
 sin u  sin v  
 cos u  cos v  
u    v  k2 
u  v  k2 
u  v  k u
  v  k   
cot u  cot v 
tan u  tan v     u  k u   k    2 Đặc biệt:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 
sin x  0  x  k
cos x  0  x   k 2 
sin x  1  x   k 2
cos x  1  x  k 2 2 
sin x  1  x    k 2 cos x  1
  x    k 2 2 Chú ý:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x  m và cos x  m là: 1   m  1
 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau
về phương trình cơ bản:      
sin u  cos v  sin u  sin  v  
cos u  sin v  cos u  cos  v    2   2 
sin u   sin v  sin u  sin v
cos u   cos v  cos u  cos   v 2 cos x  1 cos x  1 
 Đối với phương trình  
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 2  sin x  1 sin x  1   
phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công 2 cos x  1 sin x  0 thức 2 2
sin x  cos x  1 để biến đổi như sau:    sin 2x  0 2  sin x  1 cos x  0    1 2 cos x  2  2 cos x 1  0  2
Tương tự đối với phương trình     cos 2x  0 2 1 2  1 2sin x  0 sin x    2
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số sin
Hàm số y  sin x xác định trên  nhận giá trị trên  1  ;  1 và: 
Là hàm số lẻ vì sin x  sin x , x   
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt 
sin x  0 khi x  k , k   
sin x 1 khi x 
 k 2 , k  2   sin x  1  khi x  
 k 2 , k  2
Đồ thị hàm số y  sin x :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2. Hàm số côsin
Hàm số y  cos x xác định trên  , nhận giá trị trên  1  ;  1 và: 
Là hàm số chẵn vì cos x  cos x , x   
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y  cos x nhận các giá trị đặc biệt:  
cos x  0 khi x 
 k , k  2 
cos x 1 khi x  k2 , k   cos x  1
 khi x  
  k2 , k 
Đồ thị hàm số y  cos x : 3. Hàm số tang sin x  
Hàm số y  tan x 
xác định trên  /   k , k   , nhận giá trị trên  và: cos x  2    
Là hàm số lẻ vì tan x   tan x , x
   /   k , k   2  
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y  tan x nhận giá trị đặc biệt 
tan x  0 khi x  k , k   
tan x 1khi x 
 k , k  4   tan x  1  khi x  
 k , k  4
Đồ thị hàm số y  tan x : 4. Hàm số cô tang cos x
Hàm số y  cot x 
xác định trên  \ k , k  
 , nhận giá trị trên  và: sin x 
Là hàm số lẻ vì: cot x   cot x , x
   \ k , k   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y  cot x nhận các giá trị đặc biệt  
cot x  0 khi x 
 k , k   2  
cot x 1 khi x 
 k , k   4   cot x  1  khi x  
 k , k   4
Đồ thị hàm số y  cot x :
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
1. Phương trình sin x  a   1 
a  1: Phương trình vô nghiệm 
a  1 : Gọi  là một cung sao cho sin  a . Khi đó  
1  sin x  sin và   1 có các nghiệm
x    k2 , k  và x     k2 , k  Chú ý:    Khi    
và sin  a thì ta viết   arcsin a 2 2
 Phương trình sin x  sin   có các nghiệm:
x     k360 , k  và x  180     360 , k 
 Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cos x  a   1 
a  1 : Phương trình 2 vô nghiệm 
a  1 : Gọi  là một cung sao cho cos  a . Khi đó 2  cos x  cos vì 2 có các
nghiệm : x  
  k2 , k  Chú ý:
 Khi 0    và cos  a thì ta viết   arccos a
 Phương trình cos x  cos   có các nghiệm x     k360 , k 
3. Phương trình tan x  a 3  
Phương trình 3 xác định khi x 
 k , k  2  a
  , tồn tại cung  sao cho tan  a . Khi đó 3  tan x  tan và 3 có nghiệm
x    k , k  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao Chú ý:    Khi    
và tan  a thì ta viết   arctan a 2 2
 Phương trình tan x  tan   có các nghiệm x     1
k 80 , k 
4. Phương trình cot x   4 
Phương trình 4 xác định khi x  k , k   a
  , tồn tại cung  sao cho cot   a . Khi đó 4  cot x  cot và 4 có nghiệm
x    k . k  Chú ý:
 Khi 0     và cot   a thì ta viết   arc cot a
 Phương trình cot x  cot   có các nghiệm x     1
k 80 , k 
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c
 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a  b a b c  sin x  cos x  2 2 2 2 2 2 a  b a  b a  b a b c C1: Đặt  cos ,
 sin  . Khi đó PT  sin  x      x  ? 2 2 2 2 a  b a  b 2 2 a  b a b c C2: Đặt  sin  ,
 cos  . Khi đó PT  cos  x      x  ? 2 2 2 2 a  b a  b 2 2 a  b
 Điều kiện có nghiệm của phương trình: 2 2 2
a  b  c
 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung.
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình: 2 2
a sin x  b sin x cos x  .
c cos x  d  0  Cách giải: Cách 1:
+ Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không?
+ Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho 2 cos x ta được: 2 a x  b
x  c  d  2 tan tan
1  tan x  0  tan x  x
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình: 3 3 2 2
a sin x  b cos x  c sin x cos x  d cos x sin x  e sin x  f cos x  0  Cách giải:
+ Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không? 1
+ Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho 3 cos x với chú ý: 2  1 tan x 2 cos x
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình:
f sin x  cos ,
x sin x cos x  0  Cách giải: 2 t 1
+ Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2 1 t
+ Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x 
. Đưa về phương trình ẩn t. 2   
Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  2 sin x  
 thì  2  t  2  4 
DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH
 Dạng phương trình: 2  k   k  2
A  f  x 
  B  f x 
  C  0 , với f  x  sin x, cos x (1) 2    f  x   f  x      hoặc A 2 2 2 2
a tan x  b cot x  B a tan x  b cot x  C  0 (2). k  Cách giải:
 Đối với phương trình (1): Đặt t  f  x  f x
 Đối với phương trình (2): Đặt t  a tan x  b cot x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao B – BÀI TẬP
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x  cos x Câu 1:
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  lần lượt là:
2sin x  cos x  3 1 1 A. m  1  ; M  . B. m  1  ; M  2.
C. m   ; M  1.
D. m  1; M  2. 2 2 1 1 Câu 2:
Hàm số y  tan x  cot x  
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây?     3 
A. k 2 ;  k 2   .
B.   k 2 ;  k 2   .  2   2     C.
 k 2 ;  k 2   .
D.   k 2 ;2  k2  .  2     Câu 3:
Tìm tập xác định D của hàm số 2 y 
5  2 cot x  sin x  cot  x   .  2   k   k 
A. D   \  , k   .
B. D   \  , k   .  2   2  C. D   .
D. D   \ k , k    . Câu 4:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? 1       A. y  .
B. y  sin x  . C. y  2 cos x 
.D. y  sin 2x . 2     sin x  4   4  Câu 5:
Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một  hàm số y  4 sin
t  60 10 , với t  Z và 0  t  365 . Vào ngày nào trong năm thì 178
thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?. A. 28 tháng 5 . B. 29 tháng 5 . C. 30 tháng 5 . D. 31 tháng 5 . Câu 6:
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức   t   h  3 cos  12  
. Mực nước của kênh cao nhất khi:  7  8 4 
A. t  13 (giờ).
B. t  14 (giờ).
C. t  15 (giờ).
D. t  16 (giờ). 3  2 1 tan x 2  Câu 7:
Hàm số y  4 cot 2x 
đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 . B. 3  2 3 . C. 2  2 2 . D. 1  .    Câu 8:
Hàm số y  2 cos x  sin x  
 đạt giá trị lớn nhất là  4  A. 5  2 2 . B. 5  2 2 . C. 5  2 2 . D. 5  2 2 . Câu 9:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4
y  sin x  cos x  sin x cos x là 9 5 4 A. . B. . C. 1. D. . 8 4 3
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x là A. 0 . B. 2 . C. 4 2 . D. 6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
2 sin 2x  cos 2x
Câu 11: Hàm số y 
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2x  cos 2x  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 12: Cho hàm số h x 4 4
 sin x  cos x  2m sin .
x cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là 1 1 1 1 1 A.   m  . B. 0  m  . C.   m  0 . D. m  . 2 2 2 2 2 3x
Câu 13: Tìm m để hàm số y  xác định trên  . 2
2 sin x  m sin x 1
A. m [  2 2; 2 2 ] . B. m   2  2; 2 2 .
C. m  ; 2  2   2 2;  . D. m  2  2; 2 2 . 1 1
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 y  1 o c s x  5  2 sin x 2 2 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 1 5 . 2 2 2 1 1   
Câu 15: Cho hàm số y   với x  0; 
 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2  cos x 1 cos x  2  4  2  A. min y 
khi x 
 k , k   T B. min y 
khi x     3 3    3 3 0;   0;    2   2  2  4  C. min y 
khi x 
 k 2 , k   D. min y 
khi x  .    3 3    3 3 0;   0;    2   2   Câu 16: Cho ,
x y, z  0 và x  y  z 
. Tìm giá trị lớn nhất của 2 y  1 tan .
x tan y  1 tan .
y tan z  1 tan z.tan x A. y  1 2 2 . B. y  3 3 . C. y  4 . D. y  2 3 . max max max max
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 17: Hỏi trên đoạn  2
 017; 2017 , phương trình sin x  
1 sin x  2   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.    3
Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x      4  2 bằng:     A. . B.  . C. . D.  . 9 6 6 9 7
Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình 6 6
sin x  cos x  là: 16 5  7  A. , B. . C. . D. . 6 2 6 6
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2
cos x  sin 2x  2  sin x trên khoảng 0; 2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 7 21 11 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 8 8 4 4
Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x của 3
3sin 3x  3 cos 9x  1 4 sin 3 . x 0     A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 0 2 0 18 0 24 0 54   
Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x  3 cos 5x  2 sin 7x trên khoảng 0;   là?  2  A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.      
Câu 23: Giải phương trình 3 cos x   sin x   2 sin 2 . x      2   2   5  7 x   k 2  x   k 2 6  6 A.  , k  .  B.  , k  .   2   2 x   k  x    k  18 3  18 3  5   2 x   k 2  x   k 6  18 3 C.  , k  .  D.  , k  .  7   2 x   k 2  x    k  6  18 3
Câu 24: Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x  3 cos 7x  sin 7x  3 cos 9x . Mệnh đề nào sau 0 đây là đúng?                A. x   ; 0 . B. x   ;  . C. x   ;  . D. x   ;  . 0   0   0   0    12   6 12   3 6   2 3 
Câu 25: Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  2. Mệnh đề nào 0 sau đây là đúng?                A. x  0; . B. x  ; . C. x  ; . D. x  ; . 0   0   0   0    12  12 6   6 3   3 2 
Câu 26: Gọi a,b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos x  sin 2x  3 , ta có: 2 2 cos x  s inx 1 2 11 2 11 2  A. ab  0 . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 6 6 36 3 1
Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x  
ở cung phần tư thứ I và cos x sin x
thứ III của đường tròn lượng giác là: A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . 1
Câu 28: Số nghiệm của phương trình  3 1 cot x 
3 1  0 trên 0;  là? 2     sin x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x  2 cos x  2  0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T  .
B. T  2 .
C. T  4 .
D. T  6 . 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao       5
Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 x   4 cos  x     
thuộc 0; 2  là?  3   6  2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x
Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; 2018 của phương trình 4 4 sin  cos  1 2 sin x là: 2 2 A. 207046 . B. 206403 . C. 205761 . D. 204603 .   
Câu 32: Phương trình 3
3sin 3x  3 cos 9 x  2 cos x  4 sin 3x có số nghiệm trên 0; là:    2  A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 33: Phương trình 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x không phải là phương trình hệ quả của
phương trình nào sau đây?
A. sin x  0 . B. cos x  0 .
C. sin 9x  0 .
D. cos 2x  0 .  5   7 
Câu 34: Phương trình sin 2x   3cos x 
 1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc      2   2     ;3 ?    2  A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .
Câu 35: Phương trình sin x  4 cos x  2  sin 2x có số nghiệm trên 0; 2  là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 
Câu 36: Phương trình  x    x  x 3 2 sin 1 4 cos 4 2sin
 4 cos x  3 nhận các giá trị x  arccos m  k 2 (k  )
 làm nghiệm thì giá trị m là: 1 1 1 1 A. m  . B.  . C. m  D. m   . 4 4 16 16 sin 5x
Câu 37: Phương trình  1 có số nghiệm là: 5sin x A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Câu 38: Phương trình 2 2
3 cot x  2 2 sin x  (2  3 2 ) cos x có các nghiệm dạng 
x    k 2 ; x    k 2 , k  Z, 0   ,  
thì . bằng: 2 2  2  7 2  A. B. - C. D. 12 12 12 2 12 1 1 1
Câu 39: Phương trình  
có tổng các nghiệm trên (0; ) là: cos x sin 2x sin 4x   2 A. B. C. D.  6 6 3
sin 2x  2 cos x  sin x 1
Câu 40: Phương trình
 0 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? tan x  3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 
(1 sin x  cos 2x) sin(x  ) 1
Câu 41: Phương trình 4 
cos x có các nghiệm dạng 1 tan x 2
x    k 2 ; x    k 2 ,   ; k  Z , 
  ,    2 2
thì    là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2  2 35 2 13 2 15 A. B. C. D. 36 36 18 18 4 4
sin 2x  cos 2x
Câu 42: Phương trình 4  cos x  
1 có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường       tan  x tan  x      4   4  tròn lượng giác là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2  x x 
Câu 43: Phương trình sin  cos  3 cos x  2  
có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm  2 2 
lớn nhất là b thì a  b là:    A.  . B. . C. . D.  . 2 3 3       3
Câu 44: Phương trình 4 4
cos x  sin x  cos x  sin 3x    0    
có tổng 2 nghiệm âm lớn  4   4  2
nhất liên tiếp là: 3  5 A.  . B.   . C.  . D.  . 2 2 2 2 3
cos x  cos x 1
Câu 45: Phương trình 2
cos 2x  tan x 
có bao nhiêu nghiệm trên 1;70 ? 2 cos x A. 32 . B. 33 . C. 34 . D. 35 . 
Câu 46: Phương trình cos x  cos 3x  2 cos 5x  0 có các nghiệm là x   k và 2 1 x  
arc cos m  k . Giá trị của m là: 2 1  17 1  17 1 17 1 17 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 8 16 8 16
Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3x  sin x  sin 2x  0 trên đường tròn lượng giác là: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .    1
Câu 48: Phương trình 4 4 sin x  cos x    
có bao nghiêu nghiệm trên 2;3  ?  4  4 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 49: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 3
4sin x  sin x  cos x  0 bằng: 5 5 5 A. . B.  . C.  . D.   . 2 2 4
Câu 50: Phương trình 1  3 tan x  2 sin 2x có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 3   
Câu 51: Từ phương trình 3 3
1 sin x  cos x 
sin 2x , ta tìm được cos x    có giá trị bằng: 2  4  2 2 2 A. 1. B.  . C. . D.  . 2 2 2
Câu 52: Các nghiệm của phương trình tan x  cot x  2 sin 2x  cos 2x là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao      x   k  x   k 4 2  2 A.  k . B.  k   . 1 1   1 1 x  arc cot  k
 x  arc cot  k  2 2 2  2 2       x   k  x   k 4 2  4 2 C.  k   . D.  k  . 1 1   1  x  arctan  k
 x  arctan  k  2 2 2  4 2   
Câu 53: Phương trình 1  sin x  cos x  sin 2x  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0; ?    2  A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .     2 
Câu 54: Phương trình tan x  tan x   tan x   3 3    
tương đương với phương trình.  3   3 
A. cot x  3 .
B. cot 3x  3 . C. tan x  3 .
D. tan 3x  3 .
Câu 55: Phương trình 2 cot 2x  3cot 3x  tan 2x có nghiệm là: 
A. x  k .
B. x  k .
C. x  k 2 . D. Vô nghiệm. 3 4x
Câu 56: Giải phương trình 2 cos  cos x . 3  
 x  k3  x  k  
 x  k3
 x  k3   A.  x    k3 . B.  x    k . C.   . D.  5 .  4  4  x    k3  x    k3   4  4 5  5  x    k3  x    k  4  4 cos 2x
Câu 57: Phương trình cos x  sin x  có nghiệm là: 1 sin 2x      3  5 x    k 2  x   k 2 x   k x   k 4  4  4  4        3 A.  x   k . B.  x   k . C.  x    k 2 . D.  x   k .  8  2  2  8      x  k
x  k 2   x  k    x  k  2    4 1 1
Câu 58: Phương trình 2sin 3x   2 cos 3x  có nghiệm là: sin x cos x   3 3 A. x   k . B. x   k . C. x   k . D. x    k . 4 12 4 4   
Câu 59: Phương trình 2 2 sin 3x   1  8sin 2 . x cos 2 x   có nghiệm là:.  4          x   k  x   k x   2k x   k 6  12  12  24 A.  . B.  . C.  . D.  . 5  5 7 5 x   k  x   k  x    2k  x   k  6  12  12  24
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao     2 
Câu 60: Phương trình: 4sin . x sin x  .sin x   cos 3x  1     có các nghiệm là:  3   3    2     x   k  x   k   x   k 2 6 3  4 x   k 2  2 A.  . B.  . C.  3 . D.  . 2     x  k  x  k x  k  x  k    3  3  4 10 10 6 6 sin x  cos x sin x  cos x
Câu 61: Giải phương trình  . 2 2 4
4 cos 2x  sin 2x  k
A. x  k 2 , x   k 2 . B. x  . 2 2   C. x   k .
D. x  k , x   k 2 . 2 2 
sin 3x  cos 3x  3  cos 2 x
Câu 62: Cho phương trình: sin x    
. Các nghiệm của phương trình  1  2 sin 2x  5
thuộc khoảng 0;2  là:  5  5  5  5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3
Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình 1 cos x  cos 2x  cos 3x  0 có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là: A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 .
Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Cho phương trình cos x cos 5x  cos 2x cos 4x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là: A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt  5   7 
Phương trình sin 2x   3cos x 
 1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc      2   2     ;3 ?    2  A. 4 . B. 5. C. 6 . D. 7 .
Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau: 17   8 8 2
1 sin x  cos x  cos 2x 16 17 2 8 8
sin x  cos x  32 97 3 8 8
sin x  cos x  128 1 4 8 8
sin 2x  cos 2x  8
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao A.   1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm Phương trình x  x   3 cos 2 cos 6
4 3sin x  4sin x  
1  0 có phương trình tương đương là: A. cos x  0 .
B. sin 3x 1  0 .
C. cos x(sin 3x 1)  0.
D. sin x 1  0 .
Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba  3 x  1   3x  Phương trình sin   sin    
 có tổng các nghiệm trên 0; 2  là:  10 2  2  10 2  9 9 10 10 A. . B. . C. . D. . 5 15 3 6
Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn  x  x 4 2 Phương trình sin  sin  
sin x  3  sin x  2  0 có các nghiệm là:  2  2 
A. x  k2 ; k  .  .
B. x  k ; k  .  .
C. x  2k   1  ; k  .
 D. x  k ; k  .  . 2
Câu 71: Phương pháp đánh giá Với phương trình x   x  x2 3cos 4 cos 2 sin  7 (*) thì:
A. trên đoạn 0; 2  phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn 0; 2  phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn 0;2  phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn 0; 2  phương trình có 4nghiệm.
Câu 72: Phương pháp hàm số   2  2
Phương trình sin x 1  2 sin
 x  cos x 1 (*)  
có tổng các nghiệm trong  4     khoảng 0; là:    2     A. 0 . B. . C. D. . 2 4 3
Câu 73: Phương trình 1 cos x  sin x  cos 2x  sin 2x  0 có các nghiệm dạng
x  a  k 2 , x  b  k 2 , x  c  k 2 , x  d  k 2 . Với 0  a, , b ,
c d  2 thì 1 2 3 4
a  b  c  d là: 7 5 9 A. 0 . B. . C. D. . 2 4 2
Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình 3 2 2
cos 2x  cos 2x  a sin x  0 có    nghiệm x  0; ?    6  A. 0 . B. 1. C. 2 D. 3 .
Câu 75: Phương trình sin 2x  2 cos x  cos 2x  sin x là phương trình hệ quả của phương trình:  1 1 A. sin(x  )  B. sin 2x  0
C. sin x  cos x  D. 4 2 2 1
sin x  cos x  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 1 1 k 
Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức  1 đúng với x   (0; ) 2 2 2 sin x x  2
. Khi đó giá trị của k là A. 5 B. 2 C. 4 D. 6
Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong 0; 2  để ba phần tử của S  sin,sin 2,sin 3 trùng
với ba phần tử của T  cos, cos 2, cos3 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x  m cot x  8 có nghiệm. A. m  16. B. m  16. C. m  16. D. m  16.
Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3x về dạng sin ax  b  sin cx  d     
với b , d thuộc khoảng  ;    . Tính b d .  2 2     
A. b  d  .
B. b  d  .
C. b  d   .
D. b  d  . 12 4 3 2
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình       sin x   3 cos x   2m     vô nghiệm.  3   3  A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.
Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x  x   2 cos sin 2 m   1 vô nghiệm. A. m  ;    1  1; .
B. m 1;  1 . C. m  ;   D. m  ;  0  0;.
Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình m  
1 sin x  m cos x  1 m có nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2  018; 201  8 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 có nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình 3 2 2
cos 2x  cos 2x  a sin x  0 có    nghiệm x  0; ?    6  A. 0 . B. . 1 C. 2 D. 3 .   3 
Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x  2m  
1 cos x  m 1  0 có nghiệm trên ;   là  2 2  m ;
a b thì a  b là: A. 0 . B. 1  . C. 1. D. 2 . 6 6
Câu 86: Phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  m  2  0 có nghiệm khi m a;b thì tích . a b bằng: 9 9 75 15 A. . B. . C. . D. . 4 2 16 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao m
Câu 87: phương trình m sin x  (m 1) cos x 
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 cos x
để phương trình có nghiệm là: A. 9 . B. 8 . C. 10 . D. 7
Câu 88: Phương trình sin 4x  tan x có nghiệm dạng x  k và x  m arc cos n  k k   thì
m  n bằng: 3 3 1  3 1  3
A. m  n  .
B. m  n   .
C. m  n  .
D. m  n  . 2 2 2 2
Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x  2m  
1 cos x  m 1  0   3  có nghiệm trên khoảng ;   .  2 2  1 A. 1   m  0 . B. 1   m  0 . C. 1   m  0 . D. 1   m  . 2
Câu 90: Biết rằng khi m  m thì phương trình
2 x   m   2 2sin 5
1 sin x  2m  2m  0 có đúng 5 0   
nghiệm phân biệt thuộc khoảng  ;3 
 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  2  1  3 7   3 2  A. m  3  . B. m  . C. m  ; . 
D. m   ;  .   2 0 5 10  0    5 5 
Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2    
2cos 3x  3  2m cos3x  m  2  0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng  ; .    6 3  A. 1   m  1.
B. 1  m  2.
C. 1  m  2.
D. 1  m  2.
Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
sin x cos x  sin x  cos x  m  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.   
Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin 2x  2 sin x   m  0 có    4  nghiệm. A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 .
Câu 94: Phương trình 3 3
cos x  sin x  cos2x có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:  5 7  A. . B. . C. . D.  . 2 4 2 4
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình
2 x  m   2 11sin
2 sin 2x  3cos x  2 có nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6.
Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình
2 x  m   x
x  m   2 sin 2 1 sin cos
1 cos x  m có nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. 2 2
Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  b cos x  0 với a  0 có nghiệm. 4b 4b
A. a  4b . B. a  4  b . C.  1. D.  1. a a
Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2
2sin x  m sin 2x  2m vô nghiệm.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 4 4 4 4 A. 0  m  .
B. m  0 , m  . C. 0  m  . D. m   , m  0 . 3 3 3 3
Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3  ;  3 để phương trình  2 m   2
2 cos x  2m sin 2x  1  0 có nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 .
Câu 100: Để phương trình 6 6
sin x  cos x  a | sin 2x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0  a  . B.  a  . C. a  . D. a  . 8 8 8 4 4
Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:. 1 1 1 1 A. 2   m    2 . B.   2  m  1 . C. 1  m   2 . D.   2  m  1 2 2 2 2 .
Câu 102: Cho phương trình:  4 4 x  x   6 6 x  x 2 4 sin cos 8 sin cos
 4 sin 4 x  m trong đó m là tham
số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 3 A. m  4  hay m  0 . B.   m  1  . C. 2   m   . D. 2 2 m  2  hay m  0 . 6 6 sin x  cos x
Câu 103: Cho phương trình:  2 .
m tan 2x , trong đó m là tham số. Để phương trình có 2 2 cos x  sin x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là: 1 1 1 1 1 1 A. m   hay m  . B. m   hay m  . C. m   hay m 
. D. m  1 hay m  1 8 8 8 8 2 2 . 1 4 tan x
Câu 104: Cho phương trình cos 4x 
 m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m 2 2 1 tan x
phải thỏa mãn điều kiện:. 5 3 A.   m  0 .
B. 0  m  1 . C. 1  m  . D. 2 2 5 3 m   hay m  . 2 2      
Câu 105: Để phương trình: 2 4 sin x  .cos x 
 a  3 sin 2x  cos 2x    
có nghiệm, tham số a  3   6  phải thỏa điều kiện: 1 1 A. 1   a  1. B. 2   a  2 . C.   a  .
D. 3  a  3 . 2 2 2 2 2 a
sin x  a  2
Câu 106: Để phương trình 
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 2 1 tan x cos 2x A. | a | 1. B. | a | 2 . C. | a | 3 .
D. a  1, a   3 .
Câu 107: Tìm m để phương trình  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos
 msin x có đúng 2 nghiệm 2 x    ; 0 .  3   1 1 1 A. 1   m  1 . B. 0  m  . C. 1   m   . D.   m  1. 2 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao  
Câu 108: Tìm m để phương trình cos2x  2m  
1 cosx  m 1  0 có đúng 2 nghiệm x     ; .  2 2  A. 1   m  0 .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  1. D. 1   m  1.    
Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x  1 m có nghiệm x   ;  . 2 2    A. 3   m  1. B. 2   m  6 . C. 1  m  3 D. 1   m  3 .
Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m  m      3 sin sin 3x
sin 3sin x  4sin x có nghiệm thực? A. 9 B. 5 C. 4 D. 8
Câu 111: Cho phương trình:  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos
 msin x . Phương trình có đúng hai nghiệm  2  thuộc đoạn 0;  khi: 3    1 A. m  1  . B. m  1  . C. 1   m  1. D. 1   m   . 2
3sin 2x  cos 2x
Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
 m 1 đúng với mọi 2
sin 2x  4 cos x 1 x   3 5 3 5  9 65  9 65  9 A. m  B. m  C. m  D. m  4 4 2 4
Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình  x    x  m x 2 cos 1 4 cos 2 cos  msin x có  2 
đúng 2 nghiệm x  0;  là: 3    A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
Câu 114: Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn  0   0    0   a   0 1 tan1 1 tan 2 ... 1 tan 43 2 . 1  tan b  đồng thời ,
a b 0;90 . Tính P  a  b ? A. 22 B. 46 C. 27 D. 44
Câu 115: Tìm m để phương trình m  
1 cos x  m  
1 sin x  2m  3 có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2  x  x  . 1 2 3
A. m  2  3
B. m  2  3
C. m  2  3
D. Không tồn tại m
Câu 116: Các giá trị của m a;b để phương trình 2
cos 2x  sin x  3cos x  m  5 có nghiệm thì:
A. a  b  2 .
B. a  b  12 . C. . a b  8  . D. . a b  8 . m
Câu 117: Cho phương trình m sin x  m   1 cos x 
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ cos x
hơn 10 để phương trình có nghiệm là: A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 7 .   
Câu 118: Phương trình cos 2x  2m  
1 sin x  m 1  0 có nghiệm trên  ;   khi tất cả các giá  2  trị thỏa mãn: A. m  . B. m   . C. m  1  ;  1 . D. m   1  ;  1 .
Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình 3 2
 3 tan x  tan x  cot x  m có nghiệm? 2 sin x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao A. 2000 . B. 2001 . C. 2010 . D. 2011 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
C - HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x  cos x Câu 1:
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  lần lượt là:
2sin x  cos x  3 1 1 A. m  1  ; M  . B. m  1  ; M  2.
C. m   ; M  1.
D. m  1; M  2. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A + TXĐ:  . sin x  cos x + y   2 y  
1 sin x   y   1 cos x  3  y (1)
2 sin x  cos x  3 2 2
+ Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm x là  y     y   2 2 1 1  9 y 1 2
 4 y  2 y  2  0  1   y  . 2 1 + Vậy max y  ; min y  1  .  2  1 1 Câu 2:
Hàm số y  tan x  cot x  
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây?     3 
A. k 2 ;  k 2   .
B.   k 2 ;  k 2   .  2   2     C.
 k 2 ;  k 2   .
D.   k 2 ;2  k2  .  2  Hướng dẫn giải Chọn D s  in x  0 k
Hàm số xác định khi và chỉ khi 
 sin 2x  0  x  , k   . cos x  0 2  3 3
Ta chọn k  3  x  nhưng điểm
thuộc khoảng   k 2 ;2  k2  . 2 2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng   k 2 ;2  k2  .    Câu 3:
Tìm tập xác định D của hàm số 2 y 
5  2 cot x  sin x  cot  x   .  2   k   k 
A. D   \  , k   .
B. D   \  , k   .  2   2  C. D   .
D. D   \ k , k    . Hướng dẫn giải Chọn A
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.   2 
5  2 cot x  sin x  0 , cot  x 
 xác định và cot x xác định.  2  Ta có 2 5
  2 cot x  sin x  0 2 
 5  2 cot x  sin x  0, x    .
1 sin 2x  0  5  sin x  0 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao         cot  x   xác định  sin  x  0 
 x  k  x    k , k     .  2   2  2 2
cot x xác đinh  sin x  0  x  k , k   .   x    k k
Do đó hàm số xác đinh  2  x  , k   . 2 x  k   k 
Vậy tập xác định D   \  , k   .  2  Câu 4:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? 1       A. y  .
B. y  sin x  . C. y  2 cos x 
.D. y  sin 2x . 2     sin x  4   4  Hướng dẫn giải Chọn A    1
Viết lại đáp án B y  sin x    
sin x  cos x .  4  2
Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ. Xét đáp án D.    
Hàm số xác định  sin 2x  0  2x k 2 ;  k 2   x  k ;  k  . 2         D  k ;
 k k  .  . 2       Chọn x 
 D nhưng x  
 D. Vậy y  sin 2x không chẵn, không lẻ. 4 4 Câu 5:
Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một  hàm số y  4 sin
t  60 10 , với t  Z và 0  t  365 . Vào ngày nào trong năm thì 178
thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?. A. 28 tháng 5 . B. 29 tháng 5 . C. 30 tháng 5 . D. 31 tháng 5 . Hướng dẫn giải Chọn B.   Vì sin
t  60  1 y  4sin
t  60 10  14 . 178 178
Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất     y  14  sin
t  60  1  t  60 
 k 2  t  149  356k . 178 178 2 149 54
Mà 0  t  365  0  149  356k  365    k  . 356 89
Vì k   nên k  0 .
Với k  0  t  149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày,
tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28
ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0  t  365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày). Câu 6:
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức   t   h  3 cos  12  
. Mực nước của kênh cao nhất khi:  7  8 4 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
A. t  13 (giờ).
B. t  14 (giờ).
C. t  15 (giờ).
D. t  16 (giờ). Hướng dẫn giải Chọn B.
Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất   t    t   cos   1    k 2  
với 0  t  24 và k   .  8 4  8 4
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.  t 
Vì với t  14 thì 
 2 (đúng với k  1  ). 8 4 3  2 1 tan x 2  Câu 7:
Hàm số y  4 cot 2x 
đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 . B. 3  2 3 . C. 2  2 2 . D. 1  . Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 tan x
Ta có cot 2x  2tan x 2 3  2 1 tan x 2  Từ đó suy ra 2
y  3cot 2x 
 3cot 2x  2 3 cot 2x 2 tan x   x  2 3 cot 2 1 1  1  , x    . 1 Vậy min y  1   cot 2x  . 3    Câu 8:
Hàm số y  2 cos x  sin x  
 đạt giá trị lớn nhất là  4  A. 5  2 2 . B. 5  2 2 . C. 5  2 2 . D. 5  2 2 . Hướng dẫn giải Chọn C    1    1
Ta có y  2 cos x  sin x   2 cos x  2 sin x       2 cos x 
sin x  cos x  4  2  4  2  1  1  2  cos x  sin x   .  2  2 2 2  1   1  Ta có 2 2 y  2    y  5  2 2     .  2   2 
Do đó ta có  5  2 2  y  5  2 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5  2 2 . Câu 9:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4
y  sin x  cos x  sin x cos x là 9 5 4 A. . B. . C. 1. D. . 8 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 4 4
y  sin x  cos x  sin x cos x 2 2
 y  1 2 sin x cos x  sin x cos x . 1 1 2
 y  1 sin 2x  sin 2x 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2 2 1  1 1    9 1  1  9  y  1  sin 2x       y   sin 2x     . 2  2  4 8 2    2  8  1
Dấu bằng xảy ra khi sin 2x  . 2
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x là A. 0 . B. 2 . C. 4 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có sin x cos x  cos x sin x  2 sin x cos x sin x cos x 1 1  y  2 sin 2x
sin 2x  0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x  0 . 2 2
2 sin 2x  cos 2x
Câu 11: Hàm số y 
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2x  cos 2x  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B
2 sin 2x  cos 2x Ta có y 
  y  2sin 2x   y   1 cos 2x  3  . y .
sin 2x  cos 2x  3 2 2 2
Điều kiện để phương trình có nghiệm   y     y     y 2 2 1 3
 7 y  2 y  5  0 . 5 1 y y      
 y 1; 
0 nên có 2 giá trị nguyên. 7
Câu 12: Cho hàm số h x 4 4
 sin x  cos x  2m sin .
x cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là 1 1 1 1 1 A.   m  . B. 0  m  . C.   m  0 . D. m  . 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2
Xét hàm số g  x   2 x   2 sin
cos x  msin 2x   x  x2 2 2 2 2 sin cos
 2 sin x cos x  m sin 2x 1 2  1
sin 2x  m sin 2x . 2
Đặt t  sin 2x  t  1  ;  1 . 1
Hàm số h  x xác định với mọi x    g  x  0, x    2
  t  mt 1  0, t   1   ;1 2 2
 t  2mt  2  0, t   1  ;  1 .
Đặt f t  2
 t  2mt  2 trên  1  ;  1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.
Ta thấy max f t   f  
1 hoặc max f t   f   1  1  ;  1 1;  1  f   1  0 Ycbt f t  2
 t  2mt  2  0, t  1; 
1  max f t   0   1;  1  f    1  0  1 2m  0 1 1     m   . 1 2m  0 2 2  3x
Câu 13: Tìm m để hàm số y  xác định trên  . 2
2 sin x  m sin x 1
A. m [  2 2; 2 2 ] . B. m   2  2; 2 2 .
C. m  ; 2  2   2 2;  . D. m  2  2; 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B.
Hàm số xác định trên  khi và chỉ khi 2
2sin x  m sin x 1  0, x    .
Đặt t  sin x  t  1  ;  1
Lúc này ta đi tìm điều kiện của m để f t  2
 2t  mt 1  0, t   1  ;  1 Ta có 2   m  8 t TH 1: 2
  0  m  8  0  2 2  m  2 2 . Khi đó f t   0, t  (thỏa mãn). t m  2 2 TH 2: 2
  0  m  8  0  
(thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa t m  2 2  mãn). m  2 2 TH 3: 2
  0  m  8  0  
khi đó tam thức f t  2
 2t  mt 1 có hai t m  2 2 
nghiệm phân biệt t ;t t  t . 1 2  1 2  2  m  m  8 2 t  1   1 
m  8  m  4 VN 1   4
Để f t  0, t   1  ;  1 thì  .  2 m  m  8 2 t  1    1  
m  8  m  4 VN 2    4 Vậy m   2 
2; 2 2  thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m .
Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài
cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a , còn khoảng hai nghiệm thì
trái dấu với hệ số a .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 1 1
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 y  1 o c s x  5  2 sin x 2 2 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 1 5 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 5 1 Ta có 2 2 2 2 y  1 o c s x 
5  2sin x  y  1 o c s x   sin x 2 2 2 4 2 1 5 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 2 1 o c s x ; 2  sin x ta có: 2 4 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 2 2 2 2 2 2 1. 1 o c s x 1.
 sin x  1 1 . 1 o c s x   sin x  2.   2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 22 Hay y  2 1 5 1  Dấu bằng xảy ra khi 2 2 1 o c s x  
sin x  x  
 k , k   2 4 2 6 1 1   
Câu 15: Cho hàm số y   với x  0; 
 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2  cos x 1 cos x  2  4  2  A. min y 
khi x 
 k , k   T B. min y 
khi x     3 3    3 3 0;   0;    2   2  2  4  C. min y 
khi x 
 k 2 , k   D. min y 
khi x  .    3 3    3 3 0;   0;    2   2  Hướng dẫn giải Chọn D.    1
Cách 1: Ta thấy 2  cos x  0, x
  R và 1 cos x  0, x  0;   . Suy ra và  2  2  cos x 1
là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có 1 cos x 1 1 2   2  cos x 1 cos x
2  cos x1 cos x
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2  cos x 1 cos x 3
2  cos x1 cos x   2 2 2 4  y  
2  cos x1 cos x 3  Câu 16: Cho ,
x y, z  0 và x  y  z 
. Tìm giá trị lớn nhất của 2 y  1 tan .
x tan y  1 tan .
y tan z  1 tan z.tan x A. y  1 2 2 . B. y  3 3 . C. y  4 . D. y  2 3 . max max max max Hướng dẫn giải Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao      tan x  tan y 1
Ta có x  y  z   x  y 
 z  tan  x  y   tan  z     2 2  2  1 tan . x tan y tan z  tan .
x tan z  tan .
y tan z  1 tan .
x tan y  tan .
x tan z  tan .
y tan z  tan . x tan y  1 Ta thấy tan . x tan z; tan . y tan z; tan .
x tan y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn
thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1 tan .
x tan y 1. 1 tan .
y tan z 1. 1 tan . z tan x  2 2 2  1  1 1 . 1. tan .
x tan z 1. tan .
y tan z 1. tan . x tan y   3 3  tan .
x tan z  tan .
y tan z  tan .
x tan y  2 3 Vậy y  2 3 max
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 17: Hỏi trên đoạn  2
 017; 2017 , phương trình sin x  
1 sin x  2   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Hướng dẫn giải sin x  1   Phương trình    sin x  1   x  
 k 2 k  . sin x  2  vo nghiem 2    2017  2017   Theo giả thiết 2 2 2  017  
 k 2  2017   k  2 2 2 xap xi 320, 765 321, 265 k k        k  3  20; 3  19;...;32  1 .
Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.    3
Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x      4  2 bằng:     A. . B.  . C. . D.  . 9 6 6 9 Hướng dẫn giải    3x    k 2  3        4 3 Ta có sin 3x    sin 3x   sin        4  2  4  3  
3x      k2  4 3  7  7 k 2 3x   k 2 x    12  36 3     k  . 11 11 k 2 3x   k 2 x    12  36 3  7 7
x  0  k    k  0  x  min 7 k 2  24 36 TH1. Với Cho x     . 36 3 7 17
x  0  k    k  1  x   max  24 36  11 11
x  0  k    k  0  x  min 11 k 2  24 36 TH2. Với Cho x     . 36 3 11 13
x  0  k    k  1  x   max  24 36 13
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x  
và nghiệm dương nhỏ nhất là 36 7 13 7  x 
. Khi đó tổng hai nghiệm này bằng     . 36 36 36 6 Chọn B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 7
Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình 6 6
sin x  cos x  là: 16 5  7  A. , B. . C. . D. . 6 2 6 6 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 6 6 x  x   2 2 x  x 4 2 2 4 sin cos sin cos
sin x  sin x cos x  cos x 3 1 cos 4x 5  3cos 4x   3 2 2
sin x  cos x 2 2 2
 3sin x cos x  1
sin 2x  1 .  4 4 2 8 5  3cos 4x 7 1 2    cos 4x    cos 4x  cos 8 16 2 3  2    4x   k 2 x   k  3  6 2     k  2   4x k2     x    k  3    6 2   
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x  và x 
Vậy x  x  1 6 2 3 1 2 2
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2
cos x  sin 2x  2  sin x trên khoảng 0; 2 . 7 21 11 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 8 8 4 4 Hướng dẫn giải Phương trình 2 2
 cos x  sin x  sin 2x  2  cos 2x  sin 2x  2       cos 2x   1  2x 
 k 2  x  
 k k    .  4  4 8  7
k  1  x   1 17  k 8
Do 0  x  2   0  
 k  2   k     8 8 8 15
k  2  x   8 7 15 11  T     . 8 8 4 Chọn C.
Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x của 3
3sin 3x  3 cos 9x  1 4 sin 3 . x 0     A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 0 2 0 18 0 24 0 54 Hướng dẫn giải Phương trình 3
 3sin 3x  4sin 3x  3 cos 9x  1  sin 9x  3 cos 9x  1 1 3 1    1  sin 9x  cos 9x   sin 9x     2 2 2  3  2      k 2 9x    k 2 x      3 6    18 9  sin 9x   sin        3  6   7 k 2 9x  k 2      x    3 6    54 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   k 2 1     0 k  k     k  0  x  min  Cho0 18 9 4 18    . 7 k 2 7    k 7   0  k     k  0  x  min  54 9 12 54 
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là x  . 18 Chọn B.
Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào
thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.   
Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x  3 cos 5x  2 sin 7x trên khoảng 0;   là?  2  A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải 1 3    Phương trình  sin 5x 
cos 5x  sin 7x  sin 5x   sin 7x   2 2  3      7x  5x   k 2 x   k   3    6
 sin 7x  sin 5x        k .  3       k 7x  5x k 2      x        3    18 6   1 1    0 k   k     k  
 k  0  x  . 6 2 6 3 6  
k  0  x   18     1 8   k 2  0 k k         
 k  1  x  . 18 6 2 3 3  9  7
k  2  x   18
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D.      
Câu 23: Giải phương trình 3 cos x   sin x   2 sin 2 . x      2   2   5  7 x   k 2  x   k 2 6  6 A.  , k  .  B.  , k  .   2   2 x   k  x    k  18 3  18 3  5   2 x   k 2  x   k 6  18 3 C.  , k  .  D.  , k  .  7   2 x   k 2  x    k  6  18 3 Hướng dẫn giải       Ta có cos x    sin x   và sin x    cos x   .  2   2 
Do đó phương trình   3 sin x  cos x  2 sin 2x  3 sin x  cos x  2  sin 2x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 3 1        sin x 
cos x   sin 2x  sin x 
  sin 2x  sin x   sin      2  x 2 2  6   6      2 x   2
 x  k 2 x    k  6  18 3     k  .  5  x  2x k 2      x    k 2  6    6 5    k k 7 Xét nghiệm 1 ' x  
 k 2   x   k ' 2 . k, k ' 6  6  2 7
Vậy phương trình có nghiệm x    k , x 
 k ' 2 k, k ' . 18 3 6 Chọn B.
Câu 24: Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x  3 cos 7x  sin 7x  3 cos 9x . Mệnh đề nào sau 0 đây là đúng?                A. x   ; 0 . B. x   ;  . C. x   ;  . D. x   ;  . 0   0   0   0    12   6 12   3 6   2 3  Hướng dẫn giải
Phương trình  sin 9x  3 cos 9x  sin 7x  3 cos 7x    9x   7x   k 2  x  k        3 3  sin 9x   sin 7x          5 k  3   3        x   9x 
   7x   k 2    48 8  3   3 
k  0  k  0 k   k  1
  x    max Cho0    . 5 k 5
So sánh hai nghiệm ta được      0 k  k     k  1   x   max  48 8 6 48    
nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x     ;0 .   48  12  Chọn A.
Câu 25: Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  2. Mệnh đề nào 0 sau đây là đúng?                A. x  0; . B. x  ; . C. x  ; . D. x  ; . 0   0   0   0    12  12 6   6 3   3 2  Hướng dẫn giải. 1 3 3 1 Phương trình  cos 2x  sin 2x  sin x  cos x  1 2 2 2 2        sin
 2x  sin x   1     .  6   6      
Đặt t  x    x  t 
 2x  2t   2x   2t  . 6 6 3 6 2   
Phương trình trở thành  sin 2t 
 sin t  1  cos 2t  sin t  1    2  2
 2sin t  sin t  0  sin t 2sin t   1  0.  1  
 sin  0          0 k t t k x k  k     k  0  x  . min 6 6 6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao    1   t 
 k 2   x   k 2  0 k  k     k  0  x  . min 1   6 3 6 3 sin t    2 5 1 t  
 k 2 
 x    k 2  0 k  k      k
 0  x   . min  6 2     
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x   ; . 6 12 6    Chọn B.
Câu 26: Gọi a,b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos x  sin 2x  3 , ta có: 2 2 cos x  s inx 1 2 11 2 11 2  A. ab  0 . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 6 6 36 Hướng dẫn giải: Chọn C. + Điều kiện: 2 2
2cos x  s inx 1  0  2sin x  s inx 1  0   x    k 2  2 s inx  1         x   k 2 1
 k   s inx  6  2    5 x   k 2   6 + Phương trình  x  x   2 cos sin 2
3 2 cos x 1  sin x
 cos x  sin 2x  3 cos 2x  s inx 3 1 1 3 
3 s inx  cos x  sin 2x  3 cos 2x  s inx  cos x  sin 2x  cos 2x 2 2 2 2            cos s inx  sin cos x  cos sin 2x  sin
cos 2x  sin x   sin 2x      6 6 3 3  6   3       x   2x   k 2 x    k2  6 3  6     k        x  2x k 2       x    2k  2  6 3    6 3 
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm x  
 k 2 k   6 2 11  11
Chọn k  1  a 
; k  0  b    . a b   6 6 36 3 1
Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x  
ở cung phần tư thứ I và cos x sin x
thứ III của đường tròn lượng giác là: A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn B. s  in x  0  Điều kiện:   x  k k  cos x  0 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao Phương trình 2
 8sin x cos x  3 sin x  cos x (cùng bậc lẻ) Chia 2 vế cho 3
cos x  0 (do điều kiện) 1 1 Phương trình 2  8 tan x  3 tan . x  2 2 cos x cos x 2  x  x  2  x   2 8 tan 3 tan 1 tan 1 tan x 3 2
 3 tan x  7 tan x  3 tan x  1  0  1   tan x     2
3 tan x  6 tan x  3   0  3   1   tan x   x   k 3  6  
 tan x  3  2   x  arctan  3  2  k k  .   tan x  3  2
 x  arctan  3  2 k    
Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn
nghiệm cần tìm là 4  Đáp án B. 1
Câu 28: Số nghiệm của phương trình  3 1 cot x 
3 1  0 trên 0;  là? 2     sin x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải
Điều kiện: sin x  0  x  k k  . Phương trình   2  x     x     2 1 cot 3 1 cot
3 1  0  cot x   3   1 cot x  3  0       x   0;  3 cot x  cot  x  
 k  x  thoûa maõn         cot x 1  4   4 4       . cot x  3    x     0;   cot x  cot x 
 k  x  thoûa maõn   6  6 6
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B.
Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x  2 cos x  2  0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T  .
B. T  2 .
C. T  4 .
D. T  6 . 4 Hướng dẫn giải Phương trình x  x     2 2 cos 2 2 cos 2 0 2 2 cos x  
1  2 cos x  2  0  2 cos x  2 2 2
 4 cos x  2 cos x  2  2  0    cos x   2 2  1 cos x   loaïi  2   x   0;3   9 x 
 k 2   x  ; x   4 4 4  9 7 17    T     .  x    0;3  7 4 4 4 4 x  
 k 2   x   4 4 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao       5
Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 x   4 cos  x     
thuộc 0; 2  là?  3   6  2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải          Ta có 2 2 cos 2 x   1  2 sin x   1  2 cos  x       .  3   3   6        3 Do đó phương trình 2   2 cos  x  4 cos  x   0      6   6  2     1   cos  x     x    k 2 6 2  1        6    cos  x    x  
 k 2   , k         3  6  2 6 3  cos  x     loaïi
 x   k2   6  2  2 .  x  11   Ta có 0;2  x k 2       x  ; x 0;2  x k 2      x  . 6 6 2 2
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B. x x
Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; 2018 của phương trình 4 4 sin  cos  1 2 sin x là: 2 2 A. 207046 . B. 206403 . C. 205761 . D. 204603 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2  x x  x x Phương trình 2 2 2 2  sin  cos  2sin cos  1 2sin x    2 2  2 2 1 1 s inx  0 2 2  1
sin x  1 2sin x 
sin x  2 sin x  0 
 x  k k    2 2 s inx  4(VN )  2018
0  x  2018  0  kx  2018  0  k 
 k 1, 2,3,..., 64  2 
Vậy tổng các nghiệm cần tìm là: 642 642   1
S    2  3  ...  642   1 2  3  ...  642 
  206403 2   
Câu 32: Phương trình 3
3sin 3x  3 cos 9 x  2 cos x  4 sin 3x có số nghiệm trên 0; là:    2  A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình 3
 3sin 3x  4 sin 3x  3 cos 9x  2 cos x 1 3
 sin 9x  3 cos 9x  2 cos x  sin 9x  cos 9x  cos x 2 2       sin sin 9x  cos
cos 9x  cos x  cos 9x   cos x   6 6  6 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao      9x 
 x  k2 x   k  6  48 4     k     9x x k 2      x   k  6    60 5  
  13     - TH1: x   k
. Chọn k  0;  1  x   ;   0;   48 4  48 48   2   
  13 5     - TH2: x   k
. Chọn k  0;1;  2  x   ; ;   0;   60 5 60 60 12   2    
Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc 0;    2 
Câu 33: Phương trình 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x không phải là phương trình hệ quả của
phương trình nào sau đây?
A. sin x  0 . B. cos x  0 .
C. sin 9x  0 .
D. cos 2x  0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 1 cos 6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x     2 2 2 2
 cos12x  cos10x  cos8x  cos 6x  0  2 cos11x cos x  cos 7x cos x  0 hông cos x  0 
 2 cos x cos11x  cos 7x  0  4
 cos x sin 9x sin 2x  0  sin 9x  0  cos 2x  0  sin 2x  0 
phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.  5   7 
Câu 34: Phương trình sin 2x   3cos x 
 1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc      2   2     ;3 ?    2  A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B.         Phương trình  sin 2x   2  3cos x 
 4  1 2 sin x        2    2          sin 2x   3cos x 
 1 2 sin x  cos2x  3sin x  1 2 sin x      2   2  2 2
 1 2sin x  3sin x  1 2 sin x  2 sin x  sin x  0   x  k sin x  0    1    x 
 k 2 k   sin x   6  2  5  x   k 2  6    
13 5 17  Mà x 
;3 nên x    ; 2 ; ; ;     2   6 6 6 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   
Vậy phương trình có 5 nghiệm trên ;3 .    2 
Câu 35: Phương trình sin x  4 cos x  2  sin 2x có số nghiệm trên 0; 2  là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C.
Phương trình  sin x  4 cos x  2  2sin x cos x
 sin x 1 2cos x  21 2 cos x  0
 sin x  21 2cos x  0
sin x  2(VN ) sin x  2  0      1  x  
 k 2 , (k  ) 1 2 cos x  0 cos x  3   2  5
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên 0; 2  là x  và x  . 3 3 y π 3 O x 5π 3 
Câu 36: Phương trình  x    x  x 3 2 sin 1 4 cos 4 2sin
 4 cos x  3 nhận các giá trị x  arccos m  k 2
(k  ) làm nghiệm thì giá trị m là: 1 1 1 1 A. m  . B.  . C. m  D. m   . 4 4 16 16 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình   x   x  x    2 2 sin 1 4 cos 4 2 sin
4 1  sin x   3  0  2 sin x  
1 4 cos 4x  2 sin x  1 2 sin x 1 2 sin x  0  2 sin x   1 4 cos 4x   1  0.   x    k 2  6   1 7 sin x    x   k 2  2  6    (k  )  1 1 1  cos 4x  
 x  arccos( )  k  4  4 4 2  1 1 
 x   arccos( )  k  4 4 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 1 Vậy m  4 sin 5x
Câu 37: Phương trình  1 có số nghiệm là: 5sin x A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Hướng dẫn giải Chọn A
Điều kiện: sin x  0  cos x  1 
Pt  sin 5x  5sin x  0  sin 5x  sin x  4 sin x  0  2 cos 3 .
x sin 2x  4 sin x  0  2 cos 3 .
x 2 sin x cos x  4 sin x  0
sin x  0(l)
4 sin x(cos 3x cos x 1) 0      1
 (cos 2x  cos 4x) 1  0  2 cos 2x  1 2 2 cos 2x 2 cos 2x 1 2 0
2 cos 2x cos 2x 3 0            3
cos 2x   (VN )  2 Với 2
cos 2x  1  1 2sin x  1  sin x  0 (loại vì không TMĐK)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 38: Phương trình 2 2
3 cot x  2 2 sin x  (2  3 2 ) cos x có các nghiệm dạng 
x    k 2 ; x    k 2 , k  Z, 0   ,  
thì . bằng: 2 2  2  7 2  A. B. - C. D. 12 12 12 2 12 Hướng dẫn giải Chọn A
Điều kiện: sin x  0  cos x  1  2 4 2 2
Pt  3cos x  2 2 sin x  2 cos .
x sin x  3 2 cos . x sin x 2 2 2
 3cos x(cos x  2 sin x)  2 sin x(cos x  2 sin x)  0 2 2
 (cos x  2 sin x)(3 cos x  2 sin x)  0 2
 2 cos x  cos x  2  0(1)   2
2 cos x  3cos x  2  0(2)   2 cos x    (1)  2  x  
 k 2 (k  )  4
cos x   2(VN )   1 cos x   (1)   2  x  
 k 2 (k  )  3 cos x  2  (VN )  2    Vậy   ;   ;.  4 3 12 1 1 1
Câu 39: Phương trình  
có tổng các nghiệm trên (0; ) là: cos x sin 2x sin 4x   2 A. B. C. D.  6 6 3 Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao Chọn D   cos x 0 cos x 0 cos x 0     sin x  1        Điều kiện: s
 in 2x  0  sin x  0  s  in x  0  sin x  0 s  in 4x 0 cos 2x 0       2 2 s  in x    sin x     2   2 1 1 1 Pt    cos x 2sin x cos x
4 sin x cos x cos 2x
 2 sin x cos 2x  cos 2x 1  0 2 2
 2 sin x(1 2sin x) 1 2 sin x 1  0 2
 2 sin x(1 2sin x  sin x)  0          x  l  sin x 1l  x k 2 sin 0   6    1   k   2 1
  2 sin x  sin x  0 sin x  5    x   k 2  2   6  5
=>có 2 nghiệm trên (0; ) là x= và x= 6 6  5
Vậy tổng các nghiệm trên (0; ) là:    6 6
sin 2x  2 cos x  sin x 1
Câu 40: Phương trình
 0 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? tan x  3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B cos x  0 Điều kiện:  * tan x   3 
Pt  sin 2x  cos 2x  sin x 1  0  2 sin x cos x  sin x  2 cos x 1  0   sin x  1  x    k 2  2
(2 cos x 1)(sin x 1) 0       1   k   cos x  
x    k2  2   3 
Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là x   k 2 3  7
Vậy có hai nghiệm thuộc (0;3 ) là x  và x  3 3 
(1 sin x  cos 2x) sin(x  ) 1
Câu 41: Phương trình 4 
cos x có các nghiệm dạng 1 tan x 2
x    k 2 ; x    k 2 ,   ; k  Z , 
  ,    2 2
thì    là: 2  2 35 2 13 2 15 A. B. C. D. 36 36 18 18 Hướng dẫn giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao cos x  0 Điều kiện:  * tan x  1   
(1 sin x  cos 2x) 2 sin(x  ) 4 Pt   cos x sin x  cos x cos x  2
(1 sin x 1 2sin x) 2 sin(x  ) 4   1  2 sin(x  ) 4 sin x  1 2 2 2 sin x 2 sin x 1
2 sin x sin x 1 0           1 sin x   2   x    k 2  6
Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là  k   5  x    k 2  6 2 2 2 2  25 26 13 2 2
        36 36 36 18 4 4
sin 2x  cos 2x
Câu 42: Phương trình 4  cos x  
1 có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường       tan  x tan  x      4   4  tròn lượng giác là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Hướng dẫn giải Chọn B     sin(x  )  0 x    k  4  4     s  in( x) 0    x   k  4  4 Điều kiện:       os c (x ) 0    x   k  4  4      os c (  x)  0 x    k  4  4   tan  tan x tan  tan x      
1 tan x 1 tan x Ta có: 4 4 tan  x tan  x  .  .  1      4   4   
1 tan x 1 tan x 1 tan tan x 1 tan tan x 4 4 1  4 4 4 2 2 2
 sin 2x  cos 2x  cos 4x  1 sin 4x  1 sin 4x  sin 4x  0 . 2 sin 2x  0 
 sin 4x  0  2sin 2x cos x  0   x  k k    . cos x  0 (L) 2  
Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm của phương trình (1) là x  k (k  Z ) 2
Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao  
Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành x   k
(k  Z ) 4 2 2  x x 
Câu 43: Phương trình sin  cos  3 cos x  2  
có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm  2 2 
lớn nhất là b thì a  b là:    A.  . B. . C. . D.  . 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 2  x x  sin  cos  3 cos x  2    2 2  x x  1 2 sin .cos  3 cos x  2 2 2    1
 sin x  3 cos x  1  sin x      3  2      x    k 2 x    k 2  3 6  6     k    5   x k 2     x   k 2  3 6  2  
Nghiệm dương nhỏ nhất là
, nghiệm âm lớn nhất là  . 2 6 
Vậy a  b  . 3       3
Câu 44: Phương trình 4 4
cos x  sin x  cos x  sin 3x    0    
có tổng 2 nghiệm âm lớn  4   4  2
nhất liên tiếp là: 3  5 A.  . B.   . C.  . D.  . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D.       3 4 4
cos x  sin x  cos x  .sin 3x    0      4   4  2 1      3 2 2  1 2 sin . x cos x  sin 4x   sin 2x   0     2   2  2  2
 2  sin 2x  cos 4x  sin 2x  3  0 2   x   2 2 sin 2
1  2sin 2x  sin 2x  3  0 2
 sin 2x  sin 2x  2  0
sin 2x  2vn     2x 
 k 2  x 
 k k    . sin 2x  1 2 4  3 7 5
Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là     . 4 4 2 2 3
cos x  cos x 1
Câu 45: Phương trình 2
cos 2x  tan x 
có bao nhiêu nghiệm trên 1;70 ? 2 cos x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao A. 32 . B. 33 . C. 34 . D. 35 . Hướng dẫn giải Chọn B. 
Điều kiện: cos x  0  x 
 k ; k   2 PT: 2   x   x   2 cos 2x tan 1 cos 1  tan x cos x  1  2 2 cos x cos x 1 0       1 cos x   2
 x    k 2  2     x   k k   x    k 2 3 3  3  2
Mà x 1;70  1   k  70 3 3 3 1 105 1    k   2 2  2
 k 0;1; 2;...;32}
Vậy PT có 33 nghiệm trên 1;70 
Câu 46: Phương trình cos x  cos 3x  2 cos 5x  0 có các nghiệm là x   k và 2 1 x  
arc cos m  k . Giá trị của m là: 2 1  17 1  17 1 17 1 17 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 8 16 8 16 Hướng dẫn giải Chọn A.
cos x  cos 3x  2 cos 5x  0
 cos5x  cos x  cos5x  cos3x  0  2 cos 3 .
x cos 2x  2 cos 4 . x cos x  0   3
4 cos x  3cos xcos 2x  cos 4 . x cos x  0  x  2 cos
4 cos x  3cos xcos 2x  cos 4x  0    x  x   2 cos 2 cos 2
1 cos 2 x  2 cos 2x 1  0    x  2 cos
4 cos 2x  cos 2x   1  0 cos x  0   1 17 cos 2x   8   x   k  2   k  .  1 1 17 x   arccos  k 2  2 8 1  17 Vậy m  . 8
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3x  sin x  sin 2x  0 trên đường tròn lượng giác là: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C.
sin 3x  sin x  sin 2x  0  2 cos 2 .
x sin x  2sin . x cos x  0  x  2 sin
2 cos x  cos x   1  0   sin x  0  x  k    cos x  1
  x    k 2  k     1   cos x   x    k 2  2  3
Vậy có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.    1
Câu 48: Phương trình 4 4 sin x  cos x    
có bao nghiêu nghiệm trên 2;3  ?  4  4 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. 2      2 1 cos x        1  1 cos 2x     2  1 4 4 sin x  cos x             4  4  2   2  4     2        x2 1 cos 2  1 cos    2x  1    2     x2    x2 1 cos 2 1 sin 2  1 2 2
 1 2 cos 2x  cos 2x 1 2 sin 2x  sin 2x  1
 3  2 cos 2x  2 sin 2x  1       
 sin 2x  cos 2x  1  2 sin 2x   1  sin 2x   sin      4   4  4  x  k    k  .  x   k  4
Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 2;3  .
Câu 49: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 3
4sin x  sin x  cos x  0 bằng: 5 5 5 A. . B.  . C.  . D.   . 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. sin x  1
Trường hợp 1: 2
cos x  0  sin x  1  sin x  1  
Với sin x  1  phương trình  3  0 (vô nghiệm).
Với sin x  1  phương trình  5  0 (vô nghiệm).
Vậy cos x  0 không thỏa mãn phương trình.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Trường hợp 2: cos x  0 , chia 2 vế cho 2 cos x ta được: 3 sin x sin x 1 1 Phương trình  4.  .   0 3 2 2 cos x cos x cos x cos x 3  x  x  2  x   2 4 tan tan 1 tan 1 tan x  0 3 2
 3tan x  tan x  tan x 1  0 tan x  1   2
3 tan x  2 tan x 1  0 (VN )  
 tan x  1  x   k 4 3 7 Với k  1   x  
. Với k  2  x   . 4 4 3 7 5
Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là     . 4 4 2
Câu 50: Phương trình 1  3 tan x  2 sin 2x có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. 
Điều kiện: cos x  0  x 
 k k   . 2 sin x Phương trình  1 3
 4 sin x cos x cos x 2
 cos x  3sin x  4sin x cos x (*)
Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là 3 , ta chia 2 vế cho 3 cos x  0 (do điều kiện) 1 1 *   3 tan . x  4 tan x 2 2 cos x cos x 3 2
 3tan x  tan x  tan x 1  0   x   2 tan
1 3 tan x  2 tan x   1  0 
 tan x  1  x  
 k k   (TMĐK) 4
Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là 2 . 3   
Câu 51: Từ phương trình 3 3
1 sin x  cos x 
sin 2x , ta tìm được cos x    có giá trị bằng: 2  4  2 2 2 A. 1. B.  . C. . D.  . 2 2 2 Hướng dẫn giải 3
Phương trình  1 sin x  cos x1 sin x cos x  sin 2x 2
 2  sin x  cos x 2  sin 2x  3sin 2 . x 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2 
sin x cos x  . 2
Phương trình trở thành  t  2  t     2 2 2 1 3 t   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao t   1 3 2
 t  3t  3t  5  0   . t   1 6    loaïi    1 Với t  1
 , ta được sin x  cos x  1  sin x      .  4  2          1    2 Mà 2 2 2 sin x   cos x   1  cos x    cos x    .          4   4   4  2  4  2 Chọn D.
Câu 52: Các nghiệm của phương trình tan x  cot x  2 sin 2x  cos 2x là:      x   k  x   k 4 2  2 A.  k  . B.  k  . 1 1   1 1 x  arc cot  k
 x  arc cot  k  2 2 2  2 2       x   k  x   k 4 2  4 2 C.  k   . D.  k  . 1 1   1  x  arctan  k
 x  arctan  k  2 2 2  4 2 Hướng dẫn giải Chọn A. s  in x  0  Điều kiện:   x  k k  . cos x  0  2 sin x cos x Phương trình  
 2 sin 2x  cos 2x cos x sin x 2 2
 sin x  cos x  2sin x cos x sin 2x  sin x cos x cos 2x 1 2  1  sin 2x 
sin 2x cos 2x (*)(đây là phương trình bậc 2) 2 Chia 2 vế cho 2
sin 2x  0 (do điều kiện) ta được: 1 1 Phương trình (*)   1 cot 2x 2 sin 2x 2 cot 2x  0 1 2
 1 cot 2x  1 cot 2x   1 2 cot 2x   2      2x   k  x   k 2  4 2    
k   (TMĐK) 1  1 1  2x  arc cot  k
 x  arc cot  k  2  2 2 2   
Câu 53: Phương trình 1  sin x  cos x  sin 2x  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0; ?    2  A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C.   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x 
. Điều kiện: t   2; 2  .    4    2 2 2
t  sin x  cos x  2sin x cos x  1 sin 2x 2
 sin 2x 1 t .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao t   0
Phương trình   t   2 1 1 t   0 2
 t  t  0  (TMĐK) t  1        Với t  0  2 sin x   0  x 
 k  x 
 k k  .    4  4 4       1
Với t  1  2 sin x   1    2 sin x       4   4  2    x     k 2 
 x  k 2 4 4     3 k   5   x   k 2 x    k 2   2  4 4     có 2 nghiệm thuộc 0;
là x  0 và x  .    2  4     2 
Câu 54: Phương trình tan x  tan x   tan x   3 3    
tương đương với phương trình.  3   3 
A. cot x  3 .
B. cot 3x  3 . C. tan x  3 .
D. tan 3x  3 . Hướng dẫn giải Chọn D.  cos x  0     
Điều kiện: cos x   0    3     2  cos x   0     3  sin x
sin 2x    sin x 2 sin 2x pt    3 3    3 3 cos x     2  cos x    cos x  cos x  cos    
2x     cos   3   3   3  sin x 4sin 2x
sin x  2 sin x cos 2x  4 sin 2x cos x    3 3   3 3 cos x 1 2 cos 2x
cos x 1 2cos 2x
sin x  sin 3x  sin x  2 sin 3x  2 sin x 
 3 3  3 tan 3x  3 3  tan 3x  3
cos x  cos x  cos 3x
Câu 55: Phương trình 2 cot 2x  3cot 3x  tan 2x có nghiệm là: 
A. x  k .
B. x  k .
C. x  k 2 . D. Vô nghiệm. 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Điều kiện của phương trình sin 2x  0,sin 3x  0, cos 2x  0 .
Phương trình tương đương 2 cot 2x  tan 2x  3cot 3x sin 2x  0 cos 2x sin 2x cos 3x   2   3 cos 2x  0 sin 2x cos 2x
sin 3x sin3x  0  2 2
2 cos 2x  sin 2x cos 3x 1 3cos 4x cos 3x   3   3 sin 2 . x cos 2x sin 3x sin 4x sin 3x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
 sin 3x  3sin 3x cos 4 x  3cos 3x sin 4x  sin 3x  3sin x 3
 3sin x  4 sin x  3sin x  sin x  0
 x  k ( loại do sin 2x  0 )
Vậy phương trình vô nghiệm. 4x
Câu 56: Giải phương trình 2 cos  cos x . 3  
 x  k3  x  k  
 x  k3
 x  k3   A.  x    k3 . B.  x    k . C.   . D.  5 .  4  4  x    k3  x    k3   4  4 5  5  x    k3  x    k  4  4 Hướng dẫn giải Chọn A 4x 4x 1 cos 2x 2x 2x 2 cos  cos x  cos   2 cos 2.  1 cos 3. 3 3 2 3 3  2x  2x 2x 2x 2 x 2 x 2 3 3 2  2 2 cos 1  1  4 cos  3cos  4 cos  4 cos  3cos  3  0  3    3 3 3 3 3
 2x  k2  2x   3
 x  k3 cos  1    3 2x       
 k 2   x    k3 . 2x 3   3 6  4 cos     2x 5   3 2    5    k 2  x    k3  3 6  4 cos 2x
Câu 57: Phương trình cos x  sin x  có nghiệm là: 1 sin 2x      3  5 x    k 2  x   k 2 x   k x   k 4  4  4  4        3 A.  x   k . B.  x   k . C.  x    k 2 . D.  x   k .  8  2  2  8      x  k
x  k 2   x  k    x  k  2    4 Hướng dẫn giải Chon C. ĐK sin 2x  1 2 2 cos 2x cos x  sin x
cos x  sin x 
 cos x  sin x  1 sin 2x
sin x  cos x2
cos x  sin xcos x  sin x
 cos x  sin x 
sin x  cos x2 cos x  sin x  1 
 cos x  sin x  
 cos x  sin x 1  0   sin x  cos x 
sin x  cos x 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao     2 sin x   0   
cos x  sin x  0  4    
sin x  cos x  1       2 sin x   1      4     3 x   k   x   k  4 x k     4   4       x
k 2 k  x k 2 k             x  
 k 2 k   .  4 4  2   3   5 x   k 2
x  k 2  x    k 2  2   4 4  1 1
Câu 58: Phương trình 2sin 3x   2 cos 3x  có nghiệm là: sin x cos x   3 3 A. x   k . B. x   k . C. x   k . D. x    k . 4 12 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A ĐK sin 2x  0 1 1 1 1 2sin 3x   2 cos 3x 
 2sin 3x  cos 3x   sin x cos x cos x sin x x  x  2  sin cos 3
3sin x  4sin x   3
4 cos x  3cos x    sin x cos x sin x  cos x  2 3
 sin x  cos x  4 3 3
sin x  cos x    sin x cos x sin x  cos x
 2 3sin x  cos x  4sin x  cos x  2 2
sin x  sin x cos x  cos x    sin x cos x sin x  cos x  2 3
 sin x  cos x  4sin x  cos x 1 sin x cos x    sin x cos x sin x  cos x
 2 sin x  cos x 3  41 sin x cos x    sin x cos x  1  
 sin x  cos x 6  81 sin x cos x   0  sin x cos x     1  
 sin x  cos x 2  8sin x cos x   0  sin x cos x       x  x x    x x2 2 sin 2 sin cos 8 sin cos 1       0 4        2  sin x 
2 sin 2x  sin 2x 1  0   4    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao     x   k x    k  4  4     sin x 0          4 2x k 2      x   k   2    x    k   4 sin 2 1  
k . Không có đáp án    1 2x    k 2 x    k sin 2x    6  12  2   7  7 2x   k 2 x   k  6  12 nào đúng.   
Câu 59: Phương trình 2 2 sin 3x   1  8sin 2 . x cos 2 x   có nghiệm là:.  4          x   k  x   k x   2k x   k 6  12  12  24 A.  . B.  . C.  . D.  . 5  5 7 5 x   k  x   k  x    2k  x   k  6  12  12  24 Hướng dẫn giải Chọn C     sin 3x   0         4 2  2sin 3x   1 8sin 2 . x cos 2x      4    2  2 4sin 3x   1 8sin 2 . x cos 2x     *    4     1 cos 6x     2  1 cos 4x   *  4  1 8sin 2x 2 2
 21 sin 6x 1 4sin 2x  4sin 2x cos 4x
 2  2sin 6x  1 4sin 2x  2 sin 6x  sin 2x  2sin 2x 1  0     2x   k 2 x   k   1 1  6   x    k  12 sin 2   k  2 5 5 2x k 2    x   k 2  6  12    
+ k chẵn thì   1  x 
 2n  sin 3x   1  0   12  4   11    + k lẻ thì   1  x   2n   1   
 2n  sin 3x   1  0   12 12  4  5   
+ k chẵn thì 2  x 
 2n  sin 3x   1  0   12  4  5 7   
+ k lẻ thì 2  x   2n   1   
 2n  sin 3x   1  0   12 12  4    x   2k  12 Vậy tập nghiệm là  . 7  x    2k  12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao     2 
Câu 60: Phương trình: 4sin . x sin x  .sin x   cos 3x  1     có các nghiệm là:  3   3    2     x   k  x   k   x   k 2 6 3  4 x   k 2  2 A.  . B.  . C.  3 . D.  . 2     x  k  x  k x  k  x  k    3  3  4 Hướng dẫn giải Chọn A.     2       4 sin . x sin x  .sin x   cos 3x  1      2 sin x cos   cos   
2x    cos3x 1   3   3    3    1   2 sin x
 cos 2x  cos 3x  1  
 sin x  sin 3x  sin x  cos3x 1  2    
 sin 3x  cos 3x  1  2 sin 3x   1    4   2 x  k      3  sin 3x   sin     k .  4  4  2  x   k  6 3 10 10 6 6 sin x  cos x sin x  cos x
Câu 61: Giải phương trình  . 2 2 4
4 cos 2x  sin 2x  k
A. x  k 2 , x   k 2 . B. x  . 2 2   C. x   k .
D. x  k , x   k 2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 2 2 2
4 cos 2x  sin 2x  3cos 2x 1  0, x    . 10 10 6 6 10 10 6 6 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x    2 2 4
4 cos 2x  sin 2x 4 4  2 2
cos x  sin x2 2 2  4sin . x cos x   2 2
sin x  cos x 4 2 2 4 10 10 sin x  sin . x cos x  cos sin cos x x x    4 4  4 2 2 4 cos x  sin .
x cos x  cos x 10 10
 sin x  cos x  1   1 . 10 2 s 
 in x  sin x Ta có 10 10 2 2 
 sin x  cos x  sin x  cos x  1 10 2
cos x  cos x  Do đó 2  s  in x  1  10 2 2 2 
sin x  sin x  sin x  0   sin x  0 k   1      
 sin 2x  0  2x  k  x  . 10 2 2 2
cos x  cos x    cos x  1 cos x  0 2    2 cos x  0 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 
sin 3x  cos 3x  3  cos 2 x
Câu 62: Cho phương trình: sin x    
. Các nghiệm của phương trình  1  2 sin 2x  5
thuộc khoảng 0;2  là:  5  5  5  5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C.
Điều kiện: 1 2sin 2x  0
 sin x  2 sin x sin 2x  sin 3x  cos 3x 
Phương trình tương đương 5  3  cos 2 x    1  2 sin 2x 
 sin x  cos x  cos 3x  sin 3x  cos 3x   5  3  cos 2x    1 2sin 2x 
 1 2sin 2x cos x   5  3  cos 2x   1 2 sin 2x   2
 5cos x  3  cos 2x
 2 cos x  5cos x  2  0  1 cos x     2  x    k  3
cos x  2 (loai)   5
Vì x 0; 2   x  , x  (thỏa điều kiện). 3 3
Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình 1 cos x  cos 2x  cos 3x  0 có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Phương trình 1 cos x  cos 2x  cos 3x  0  cos 3x  cos x  1 cos 2x  0 2
 2cos2x cos x  2cos x  0  2cosx cos2x  cosx  0    x   k cosx  0  2     x   k 3x x 3x 3x     2  4cosxcos cos  0  cos  0    k   k   2 2  2  2 2  2    x   k x x   3 3 cos  0    k  2  2 2
Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác Vậy ta có 5 điểm.
Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Cho phương trình cos x cos 5x  cos 2x cos 4x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là: A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1
Phương trình cos x cos 5x  cos 2x cos 4x 
cos6x  cos4x  cos6x  cos2x 2 2  x  k
4x  2x  k 2  k 2 cos 4x cos 2x     
  x  k  k    4x  2
 x  k 2  x  k 3 6   3
Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6.
Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ? A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình 3  cos x  x   2 4 3cos 4 2cos x  
1  3cos x  4  0  3 2
 4cos x  8cos x  0  cosx  0  x 
 k k   2  1 14 1
Mà x 0;14  0   k  14    k    k 0;1; 2;  3 2 2  2
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc 0;14 .
Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt  5   7 
Phương trình sin 2x   3cos x 
 1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc      2   2     ;3 ?    2  A. 4 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B.         Phương trình  sin 2x   2  3cos x 
 4  1 2sin x        2    2          sin 2x   3cos x 
 1 2 sin x  cos2x  3sin x  1 2 sin x      2   2  2 2
 1 2sin x  3sin x  1 2 sin x  2 sin x  sin x  0   x  k sin x  0      1  x 
 k 2 k   sin x   6  2  5  x   k 2  6    
13 5 17  Mà x  ;3 nên   x    ; 2 ; ; ;   2   6 6 6 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   
Vậy phương trình có 5 nghiệm trên ;3 .    2 
Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau: 17   8 8 2
1 sin x  cos x  cos 2x 16 17 2 8 8
sin x  cos x  32 97 3 8 8
sin x  cos x  128 1 4 8 8
sin 2x  cos 2x  8
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là: A.   1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 4 4   cos x    cos x 
sin x  cos x  sin x4  co s x4 1 2 1 2 1 8 8 2 2     4 2
cos 2x  6cos 2x       1  2   2  8 1 17 1 Giải   1 :  4 2
cos 2x  6cos 2x   2 4 2 2 1 
cos 2x  2cos 2x  5cos 2x  2  0  cos 2x  8 16 2 1 17 1 Giải 2 :  4 2
cos 2x  6cos 2x   4 2 2 1 
 4cos 2x  24cos 2x 13  0  cos 2x  8 32 2 1 97 81 3 Giải 3 :  4 2
cos 2x  6cos 2x   4 2 2 1 
 2cos 2x 12cos 2x 
 0  cos 2x  8 128 8 4 1 1 Giải 4 :  4 2
cos 4x  6cos 4x   4 2 2 1 
 2cos 4x  12cos 4x  0  cos 4x  0 8 8  2cos 2x  2 1 2 2
1  0  cos 2x  . 2
Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại.
Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm Phương trình x  x   3 cos 2 cos 6
4 3sin x  4sin x  
1  0 có phương trình tương đương là: A. cos x  0 .
B. sin 3x 1  0 .
C. cos x(sin 3x 1)  0. D. sin x 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn D.  Phương trình 2  x    2 2 cos 1
1 2 sin 3x  4sin 3x   1  0. 2 2
 2 cos x  2sin 3x  4sin 3x  2  0
 cos x  2sin 3x  2 2 1  0  s  in x  1 cos x  0     sin x  1 
 sin x  1  sin x 1  0.  sin 3x 1  0   3 4
 sin x  sin 3x 1  0 
Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao  3 x  1   3x  Phương trình sin   sin    
 có tổng các nghiệm trên 0; 2  là:  10 2  2  10 2  9 9 10 10 A. . B. . C. . D. . 5 15 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 x x 3 3x 9 Đặt t      t    3t 10 2 2 10 2 10 1   9  1 1
 Phương trình  sin t  sin 
 3t  sin t  sin  
  3t   sin t  sin 3t  2  10 10  2 2 3
 2sin t  3sint 4sin t  sin t  2 1 4sin t   0 sint  0
t  k (k  ) t  k     1  1   (k  ) 2 sin t  cos 2t  t    k  4  2  6  3 3 x 
 k 2  x  0;2   5 5  14 14   x 
 k2  x  0; 2   15 15  4 4 x 
 k 2  x  0; 2   15 15 3 14 14 9
Vậy tổng các nghiệm trên 0;2  của phương trình là:    . 5 15 15 5
Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn  x  x 4 2 Phương trình sin  sin  
sin x  3  sin x  2  0 có các nghiệm là:  2  2 
A. x  k2 ; k  .  .
B. x  k ; k  .  .
C. x  2k   1  ; k  .
 D. x  k ; k  .  . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. x Đặt 2 t  sin  t 0;  1 , x  .  2 t  1 (1)
Phương trình tương đương 2
t  sin x  3 t sin x  2  0  t  sin x  2(2)  + Với x 1 cos x 2 t  1  sin  1   1  cos x  1
  x    k 2  x  (2 k1) , (k  ) 2 2 x + Với 2
t  sin x  2  sin  sin x  2 2  x  x 2 2 s  in  1 x sin  1 cos x  1 2  2  sin  sin x  2   2  (vô nghiệm)  2 sin x  1 s  in x 2 1    sin x  2  1   
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là x  (2 k1) , (k  )  .
Nhận xét:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích  A  0 . A B  0  .  B  0  x + Với phương trình 2 sin
 sin x  2 (2) có thể giải cách khác như sau: 2 1 cos x (2) 
 sin x  2  2sin x  cos x  3
 , phương trình này vô nghiệm do 2    2 2 2 2 1 3 .
Câu 71: Phương pháp đánh giá Với phương trình x   x  x2 3cos 4 cos 2 sin  7 (*) thì:
A. trên đoạn 0; 2  phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn 0;2  phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn 0; 2  phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn 0; 2  phương trình có 4nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có 3cos 4x  3  x  x2 2  x  x   x  x 2 2 cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin  2   x  x2   x   x  x2 cos 2 sin 4 3cos 4 cos 2 sin  7 Phương trình (*) xảy ra  c  os 4x  1   c  os 4x  1 c  os 2x  1 (I)   3  cos 4x  3
cos 2x  sin x  2(1) s   in x  1          
cos 2x sin x  2  4  c  os 4x  1  c  os 4x  1   
 cos 2x  sin x  2  (2) c   os 2x  1  (II)  s   in x 1  2 2 2 cos 2x 1  1 cos 2x  1 2   cos 2x  1 1   2 sin x  1 s  in x  0
+ Giải (I): cos 2x  1
 cos 2x  1       sin x  1     sin x  1 sin x  1   sin x  1  sin x  1    (vô nghiệm) + Giải (II): 2 cos 2x  1 2  cos 2x  1 1   2 sin x  1   cos 2x  1     
 sin x  1  x 
 k 2 (k  ) sin x  1   sin x  1 2 sin x  1  
Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc 0; 2  .
Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sin x sẽ tự
nhiên hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp
giải khác để linh hoạt khi làm bài.
Câu 72: Phương pháp hàm số
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   2  2
Phương trình sin x 1  2 sin
 x  cos x 1 (*)  
có tổng các nghiệm trong  4     khoảng 0; là:    2     A. 0 . B. . C. D. . 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình 2 2
 sin x 1   sinx cos x  cos x 1 2 2 
sin x 1  sinx  cos x  cos x 1 (1) Xét hàm số 2
f (t)  t 1  t trên 0;  1 .
Với t , t  0;1 va t  t 1 2   ta xét biểu thức 1 2 2 2 2 2
f (t )  f (t )
t 1  t  t 1  t t  t t  t 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2     t  t t  t  2 2 t  t 1 2 1 2
t 1  t 1t t  1 2 1 2 1 2 2 2 t  t 1 2  1  0.  2 2
t 1  t 1 t  t 1 2  1 2
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 0; 
1 , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương 
f (sinx)  f (cos x)  sinx  cos x  tan x  1  x 
 k , k   4    
Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc 0; là .    2  4
Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích
Câu 73: Phương trình 1 cos x  sin x  cos 2x  sin 2x  0 có các nghiệm dạng
x  a  k 2 , x  b  k 2 , x  c  k 2 , x  d  k 2 . Với 0  a, , b ,
c d  2 thì 1 2 3 4
a  b  c  d là: 7 5 9 A. 0 . B. . C. D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 2 2
 1 sin 2x  cos x  sin x  cos x  sin x  0   x  x2 cos sin
 cos x  sin x  cos x  sin xcos x  sin x  0
 cos x  sin xcos x  sin x 1 cos x  sin x  0       2 sin x   0 x   k
cos x  sin x  0     4   4      (k  )   2cos x 1  0   1 2  cos x  x    k2  2  3
Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là 3 7 2 4 3 7 2 4 9 x 
 k 2 v x 
 k 2 v x 
 k 2 v x 
 k 2  a  b  c  d      . 4 4 3 3 4 4 3 3 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình 3 2 2
cos 2x  cos 2x  a sin x  0 có    nghiệm x  0; ?    6  A. 0 . B. 1. C. 2 D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cos 2x Phương trình 3 2
 cos 2x  cos 2x  a  0 2 cos 2x  1(1) 3 2
2 cos 2x 2 cos 2x a cos 2x a 0 cos 2x  1  2 2 cos 2x a 0            a 2 cos 2x   (2)  2   
-Giải (1)  2x  k2  x  k (k  )
 , các nghiệm này không thuộc 0; .    6        1 1 -Giải (2) có 2 x  0;  2x  0;   cos 2x  1   cos 2x  1      6   3  2 4    1 a 1
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc 0;    1  2   a   .    6  4 2 2
Vậy có 1 giá trị nguyên của a là 1  .
Câu 75: Phương trình sin 2x  2 cos x  cos 2x  sin x là phương trình hệ quả của phương trình:  1 1 A. sin(x  )  B. sin 2x  0
C. sin x  cos x  D. 4 2 2 1
sin x  cos x  2 Hướng dẫn giải Chọn C pt 2
 2 sin x cos x  2 cos x  2
 sin x  sin x 1 sin x  1 
(sin x 1)(2 cos x 2 sin x 1) 0        1
cos x  sin x   2 1 1 k 
Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức  1 đúng với x   (0; ) 2 2 2 sin x x  2
. Khi đó giá trị của k là A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải: 1 1 k  1 1 1 1 2  2  1  k   
 1  k   . f (x) với f (x)   1. 2 2 2  2 2  sin x x  2 2  x sin x  x sin x    2 2 cos x   
Xét hàm số f (x) trên 0; 
, ta có f '( x)     0 x  ; o .   2  3 3   x sin x  2  Bảng biến thiên:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   
Từ bảng biến thiên suy ra 2
k   . f (x) x  0;  k  4.    2 
Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong 0; 2  để ba phần tử của S  sin,sin 2,sin 3 trùng
với ba phần tử của T  cos, cos 2, cos3 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
Ta có: sin  sin 2  sin 3  cos  cos 2  cos 3 .  2  1     k 2 cos    3  2cos  
1 sin 2  2 cos   1 cos 2   2   .   k tan 2 1        8 2
Khi sin 2  cos 2 thì ta có thể chia các trường hợp sau:      k s
 in   cos   4 +)    (Loại)
sin 3  cos 3  k        12 3    
sin  cos 3  3  
   k 2      2 +)   .  k s
 in 3  cos       8 2 Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x  m cot x  8 có nghiệm. A. m  16. B. m  16. C. m  16. D. m  16. Hướng dẫn giải m Phương trình 2
tan x  m cot x  8  tan x 
 8  tan x  8 tan x  m  0 . tan x
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi    2 4
 m  0  m  16 . Chọn D.
Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3x về dạng sin ax  b  sin cx  d     
với b , d thuộc khoảng  ;    . Tính b d .  2 2     
A. b  d  .
B. b  d  .
C. b  d   .
D. b  d  . 12 4 3 2 Hướng dẫn giải
Phương trình  3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x 3 1 1 3        sin 3x  cos 3x  sin x 
cos x  sin 3x   sin x  .     2 2 2 2  6   3    
Suy ra b  d    . 6 3 2 Chọn D.
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình       sin x   3 cos x   2m     vô nghiệm.  3   3  A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Hướng dẫn giải 2 2 m  1 Phương trình vô nghiệm 2
 1   3  2m 2
 4m  4  0  m 1  m 
  m  10;9; 8;...;2; 2;...;8;9;10   có 18 giá trị. m 10;10     Chọn C.
Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x  x   2 cos sin 2 m   1 vô nghiệm. A. m  ;    1  1; .
B. m 1;  1 . C. m  ;   D. m  ;  0  0;. Hướng dẫn giải
Phương trình vô nghiệm     m   2 2 2 2 1 1 2 1    4 2 2  m  m   m  2 m   2 2 0
2  0  m  0  m  0. Chọn D.
Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình m  
1 sin x  m cos x  1 m có nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2 2 m  0
Phương trình có nghiệm  m   2
1  m  1 m 2
 m  4m  0  m  4  m 
  m  10;9; 8;...;4;0;1; 2;...;8;9;10   có 18 giá trị. m 10;10     Chọn C.
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2  018; 201  8 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos 2x  0 có nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Hướng dẫn giải 1 cos 2x
Phương trình  m   1
 sin 2x  cos 2x  0 2
 2sin 2x  1 m cos 2x  m 1. 2 2 2
Phương trình có nghiệm  2  1 m  m   1
 4m  4  m  1 m  
 m  2018; 2017;...; 0;1   có 2020 giá trị. m 2018;2018     Chọn D.
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình 3 2 2
cos 2x  cos 2x  a sin x  0 có    nghiệm x  0; ?    6  A. 0 . B. . 1 C. 2 D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cos 2x Phương trình 3 2
 cos 2x  cos 2x  a  0 2 cos 2x  1(1) 3 2
2 cos 2x 2 cos 2x a cos 2x a 0 cos 2x  1  2 2 cos 2x a 0            a 2 cos 2x   (2)  2   
-Giải (1)  2x  k2  x  k (k  )
 , các nghiệm này không thuộc 0; .    6        1 1 -Giải (2) có 2 x  0;  2x  0;   cos 2x  1   cos 2x  1      6   3  2 4    1 a 1
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc 0;    1  2   a   .    6  4 2 2
Vậy có 1 giá trị nguyên của a là 1  .   3 
Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x  2m  
1 cos x  m 1  0 có nghiệm trên ;   là  2 2  m ;
a b thì a  b là: A. 0 . B. 1  . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B.  1 cos x 
cos 2x  2m  
1 cos x  m 1  0 2
 2cos x  2m  
1 cos x  m  0   2 cos x  m 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   3  1   3  x  ;  cos x   
1;0  cos x  không có nghiệm thỏa mãn ;   .  2 2  2  2 2    3 
Phương trình có nghiệm trên ;    1
  m  0  a  b  1 .  2 2  6 6
Câu 86: Phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  m  2  0 có nghiệm khi m a;b thì tích . a b bằng: 9 9 75 15 A. . B. . C. . D. . 4 2 16 4 Hướng dẫn giải Chọn C. 6 6
sin x  cos x  3sin .
x cos x  m  2  0 3 3 2  1 sin 2x 
sin 2x  m  2  0 (*) 4 2 2
 4m  3sin 2x  6 sin 2x 12
Đặt t  sin 2x,t 1; 
1 . Xét f t 2  3
 t  6t 12 trên  1  ;  1 . 3 15
Suy ra (*) có nghiệm  3  4m  15   m  . 4 4 75 Vậy ab  . 16 m
Câu 87: phương trình m sin x  (m 1) cos x 
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 cos x
để phương trình có nghiệm là: A. 9 . B. 8 . C. 10 . D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A
+) Điều kiện: cos x  0
Khi đó, phương trình tương đương với m
m tan x  m 1 
 m tan x  m 1  m  2 1  tan x 2
 m tan x  m tan x 1  0 2 cos x
Nhận xét: Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm. m  0
Nên phương trình có nghiệm kh và chỉ khi   0  m  4  
Vì 0  m  10 nên m1, 2,...  9 . Vậy có 9 giá trị.
Câu 88: Phương trình sin 4x  tan x có nghiệm dạng x  k và x  m arc cos n  k k   thì
m  n bằng: 3 3 1  3 1  3
A. m  n  .
B. m  n   .
C. m  n  .
D. m  n  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 
Điều kiện: cos x  0  x 
 k ; k   2 Phương trình  sin 4 .
x cos x  sin x  2 sin 2 . x cos 2 .
x cos x  sin x  0 2  4sin . x cos .
x cos 2x  sin x  0   2 4 cos . x cos 2x   1 sin x  0  sin x  0  sin x  0  1   3    cos 2x  2
2cos 2x  2 cos 2x 1  0   2   1   3 cos 2x  VN   2  x  k    1 1 3 k      x   arccos  k  2 2 1 1  3 3  m  n    2 2 2
Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x  2m  
1 cos x  m 1  0   3  có nghiệm trên khoảng ;   .  2 2  1 A. 1   m  0 . B. 1   m  0 . C. 1   m  0 . D. 1   m  . 2 Hướng dẫn giải.  1 cos x  Phương trình 2 2 cos x 2m  1 cos x m 0        2 . cos x  m  O 1   3 
Nhận thấy phương trình cos x 
không có nghiệm trên khoảng ;   (Hình vẽ). Do 2  2 2    3 
đó yêu cầu bài toán  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng ;  1  m  0   .  2 2  Chọn B.
Câu 90: Biết rằng khi m  m thì phương trình
2 x   m   2 2sin 5
1 sin x  2m  2m  0 có đúng 5 0   
nghiệm phân biệt thuộc khoảng  ;3 
 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 1  3 7   3 2  A. m  3  . B. m  . C. m  ; . 
D. m   ;  .   2 0 5 10  0    5 5  Hướng dẫn giải
Đặt t  sin x  1   t   1 . Phương trình trở thành 2
t   m   2 2 5
1  2m  2m  0. * O O Hình 1 Hình 2
Yêu cầu bài toán tương đương với:
 TH1: Phương trình * có một nghiệm t  1
 (có một nghiệm x ) và một nghiệm 1
0  t  1 (có bốn nghiệm x ) (Hình 1). 2 c  Do 2 t  1  t  
 m  m . 1 2 a m  3    t  6   0;1 loaïi 2     Thay t  1
 vào phương trình * , ta được  . 1 1 1 m     t   0;1 thoûa 2     2 4
 TH2: Phương trình * có một nghiệm t 1 (có hai nghiệm x ) và một nghiệm 1 1
  t  0 (có ba nghiệm x ) (Hình 2). 2 c  Do 2 t  1  t   m  m . 1 2 a m  1 
 t  2  1; 0 loaïi 2   
 Thay t  1 vào phương trình * , ta được  . 1 1 3 m    t   1; 0 loaïi 2     2 4 1 1  3 2  Vậy m  
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m     ;  .   2 2  5 5  Chọn D.
Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm t theo m rồi cho t thỏa mãn ycbt
Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2    
2cos 3x  3  2m cos3x  m  2  0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng  ; .    6 3  A. 1   m  1.
B. 1  m  2.
C. 1  m  2.
D. 1  m  2. Hướng dẫn giải
Đặt t  cos x  1   t  
1 . Phương trình trở thành 2
2t  3  2mt  m  2  0.  1 t 
Ta có    m  2 2 5
. Suy ra phương trình có hai nghiệm 1  2 . t  m  2  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao O 1    
Ta thấy ứng với một nghiệm t 
thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng  ; . Do đó 1   2  6 3  yêu cầu bài toán 1   t  0  1
  m  2  0  1  m  2. 2 Chọn B.
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình 2
2t  3  2m t  m  2  0 có hai P  0 
nghiệm t , t thỏa mãn 1
  t  0  t  1   . a f 1  0 . 2 1   1 2
 .a f  1  0 
Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm t theo m rồi cho t thỏa mãn ycbt
Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
sin x cos x  sin x  cos x  m  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải 2 t 1
Đặt t  sin x  cos x  2  t  2 
sin x cos x  . 2 2 t 1 2 Phương trình trở thành 2
 t  m  0  2
 m  t  2t 1  t   1  2  m  2 . 2 Do   t       t       t  2 2 2 2 1 1 2 1 0 1  3  2 2 . 1  2 2
Vậy để phương trình có nghiệm  0  2m  2  3  2 2    m  1 2 m  m 1  ;0;  1 . Chọn C.   
Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin 2x  2 sin x   m  0 có    4  nghiệm. A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B.   
sin 2x  2 sin x 
 m  0  sin 2x  sin x  cosx  m  0    4    
Đặt t  sin x  cosx  2 sin x 
 t   2; 2  , x      4     2 2
t  1  2 sin xcosx  sin 2x  1  t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Ta đi tìm m để phương trình 2
1 t  t  m  0 có nghiệm t   2; 2    2
 1 t  t  m có nghiệm t   2; 2    Xét f t  2
 1 t  t trên  2; 2    5 Suy ra 1
  2  f t   , t    2; 2  4  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm  m  f t có nghiệm trên  2; 2     5   m  1   2; mà   m   m  2  ;1; 0;  1 4   
Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.
Câu 94: Phương trình 3 3
cos x  sin x  cos2x có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:  5 7  A. . B. . C. . D.  . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 3 x  x  x   x  x 2 2 x  x x  x 2 2 cos sin cos 2 cos sin cos cos sin sin
 cos x  sin x
 cos x  sin x 1 cos x sin x  cos x  sin x cos x  sin x
cos x  sin x  0 (1)  
1 cos x sin x  cos x  sin x 2      Giải   1  2 sin x   0  x  
 k k      4  4
Giải 2 :1 cos x sin x  sin x  cos x  0   
Đặt t  sin x  cosx  2 sin x 
 t   2; 2  , x      4     2 2
t  1  2 sin xcosx  sin 2x  1  t 2 1 t 2 2  1
 t  0  t  2t 1  0  t  1 2
 x  k 2    2 sin x 1       3 k      4   x   k 2  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao   x    k 2  4 
Vậy nghiệm của phương trình là x  k 2 k     3  x   k 2  2
Biểu diễn nghiệm này trên vòng tròn lượng giác  3
ta suy ra nghiệm lớn nhất là x  
và nghiệm bé nhất là x  1 4 2 4 
Vậy x  x  . 1 2 2
Câu 95: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trình
2 x  m   2 11sin
2 sin 2x  3cos x  2 có nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Hướng dẫn giải Phương trình 2 
x  m   2 9sin
2 sin 2x  cos x  0 1 cos 2x 1 cos 2x  9.
 m  2sin 2x 
 0  m  2 sin 2x  4 cos 2x  5  . 2 2 2 2 m  5
Phương trình có nghiệm  m  2 16  25  m  2  9  m  1   m 
  m  10;9;...; 1;5;6;...;10 
 có 16 giá trị nguyên. m 10;10     Chọn A.
Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình
2 x  m   x
x  m   2 sin 2 1 sin cos
1 cos x  m có nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Hướng dẫn giải
Phương trình    m
2 x  m   x
x   m   2 1 sin 2 1 sin cos 2 1 cos x  0 1 cos 2x 1 cos 2x  1 m.  m  
1 sin 2x  2m   1 .  0 2 2  2m  
1 sin 2x  m cos 2x  2  3 . m 2 2
Phương trình có nghiệm m   2
 m    m 2 4 1 2 3
 4m  4m  0  0  m  1 m  m 0;  1   có 2 giá trị nguyên. Chọn A. 2 2
Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  b cos x  0 với a  0 có nghiệm. 4b 4b
A. a  4b . B. a  4  b . C.  1. D.  1. a a Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao Phương trình 2
a tan x  a tan x  b  0 . Phương trình có nghiệm 2
   a  4ab  0  a a  4b  0 4b  a 4b
 a 4b  a  0   0   1. a a Chọn C.
Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2
2sin x  m sin 2x  2m vô nghiệm. 4 4 4 4 A. 0  m  .
B. m  0 , m  . C. 0  m  . D. m   , m  0 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 cos 2x Phương trình  2.
 m sin 2x  2m  m sin 2x  cos 2x  2m 1. 2 m  0 Phương trình vô nghiệm m 1 2m 2 2 2 1 3m 4m 0          4 . m   3 Chọn B.
Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3  ;  3 để phương trình  2 m   2
2 cos x  2m sin 2x  1  0 có nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . Hướng dẫn giải 1 cos 2x Phương trình   2 m  2.
 2m sin 2x 1  0 2  m x   2 m   2 4 sin 2
2 cos 2x  m  4 . 2 2 Phương trình có nghiệm 2  m   2 m     2 m   2 2 16 2 4
 12m  12  m  1  m  1 m   
 m  3; 2; 1;1; 2;3   có 6 giá trị nguyên. m 3  ;3     Chọn C.
Câu 100: Để phương trình 6 6
sin x  cos x  a | sin 2x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0  a  . B.  a  . C. a  . D. a  . 8 8 8 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. x  x  a x   x  x3 6 6 2 2 2 2  x x  2 2 sin cos | sin 2 | sin cos 3sin cos
sin x  cos x  a | sin 2x | 3 2 2
 1 sin 2x  a | sin 2x | 0  3sin 2x  4a | sin 2x | 4   0 4
Đặt sin 2x  t t 0; 
1  . Khi đó ta có phương trình 2
3t  4t  4  0   1
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình   1 có nghiệm 2
  4a 12  0  1 t 0; 
1   f 0  1   0  a  . 4
 f  1  4a 1 0 
Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 1 1 1 1 A. 2   m    2 . B.   2  m  1 . C. 1  m   2 . D.   2  m  1 2 2 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2 t 1
Đặt sin x  cos x  t  t  2  sin x cos x 
. Khi đó ta có phương trình 2 2 t 1 2
 t  m  0  t  2t  2m 1  0   * 2
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệm
  2  2m  0  s  2   1  2 m  1  2  1
t   2; 2      1    2  m  1.    f  2  m    2 2
 1 2 2  2m  0   2 
 f  2 1 2 2  2m  0 
Câu 102: Cho phương trình:  4 4 x  x   6 6 x  x 2 4 sin cos 8 sin cos
 4 sin 4 x  m trong đó m là tham
số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 3 A. m  4  hay m  0 . B.   m  1  . C. 2   m   . D. 2 2 m  2  hay m  0 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:
sin x  cos x  sin x  cos x2 1 4 4 2 2 2 2 2
 2sin x cos x  1  sin 2x 2
sin x  cos x  sin x  cos x3 3 6 6 2 2 2 2
 3sin x cos x  2 2
sin x  cos x  2  1  sin 2x 4
Phương trình đã cho trở thành  1   3 2 2  2 2 4 1  sin 2x  8 1 
sin 2x 16 sin 2x cos 2x  m      2   4  2 2  x  x  2 4 sin 2 16sin 2
1 sin 2x  4  m 4 2
 16 sin 2x 12 sin 2x  4  m  0 Đặt 2
sin 2x  t t 0; 
1  . Khi đó phương trình trở thành 2
16t 12t  m  4  0*
* vô nghiệm khi và chỉ khi: 25
TH1:   100 16m  0  m   . 4  25
  100 16m  0    m  4  TH2:    4 . f  0 f  
1  m m  4  0   m  0 
Vậy các giá trị cần tìm m  4
 hay m  0 . Không có đáp án đúng.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 6 6 sin x  cos x
Câu 103: Cho phương trình:  2 .
m tan 2x , trong đó m là tham số. Để phương trình có 2 2 cos x  sin x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là: 1 1 1 1 1 1 A. m   hay m  . B. m   hay m  . C. m   hay m 
. D. m  1 hay m  1 8 8 8 8 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B ĐK: cos 2x  0 
sin x  cos x3 2 2 2 2
 3sin x cos x  2 2 6 6 sin x  cos sin cos x x x   2 . m tan 2x   2m tan 2x 2 2 cos x  sin x cos 2x 3 2 1 sin 2x 3 4 2 2 
 2m tan 2x  1
sin 2x  2m sin 2x  3sin 2x  8m sin 2x  4  0. cos 2x 4
Đặt sin 2x  t t  1  ; 
1  .Khi đó phương trình trở thành: 2
3t  8mt  4  0  *
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệm t 1;  1  1 m   t 
  f   f      m   m   8 1;1 1 1 0 8 1 8 1  0   TH1: * có 1 nghiệm 1 m    8 . 2  1
  16m 12  0 m    f   8 1  8m 1  0     1
TH2: * có 2 nghiệm t 1;  1          m   VN f m . 1 8 1 0 8    s 4m  3 3 1     1   m   2 3    4 4 1 4 tan x
Câu 104: Cho phương trình cos 4x 
 m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m 2 2 1 tan x
phải thỏa mãn điều kiện:. 5 3 A.   m  0 .
B. 0  m  1 . C. 1  m  . D. 2 2 5 3 m   hay m  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. ĐK: cos x  0. 1 4 tan x 1 4 tan x 1 cos 4x   m  cos 4x   m 
cos 4x  4 sin x cos x  m 2 2 1 tan x 2 1 2 2 cos x 1   1 2 1 2sin 2x 2
 2sin 2x  m  sin 2x  2 sin 2x  m   0 2 2 1
Đặt sin 2x  t t 1; 
1  . Khi đó phương trình trở thành: 2
t  2t  m   0 (*) 2
Phương trình (*) vô nghiệm:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 3 3 TH1:  
 m  0  m  . 2 2  3 m   2   0    5 5 TH2:   5  3    m    m   . f   1 f   1 m m 0            2 2  2 2       3 m    2      
Câu 105: Để phương trình: 2 4 sin x  .cos x 
 a  3 sin 2x  cos 2x    
có nghiệm, tham số a  3   6  phải thỏa điều kiện: 1 1 A. 1   a  1. B. 2   a  2 . C.   a  .
D. 3  a  3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B.         
Phương trình tương đương 2 2 sin 2x   sin
 a  2sin 2x          6  2   6         2   2 sin 2x 
1  a  2 sin 2x          6    6         2  2 sin 2x   sin 2x   a  2        6   6   2  4.cos 2 . x sin  a  2 6 2 a  2  cos 2x  2 2 a  2
Để phương trìnhcó nghiệm thì 1    1  2   a  2 . 2 2 2 2 a
sin x  a  2
Câu 106: Để phương trình 
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 2 1 tan x cos 2x A. | a | 1. B. | a | 2 . C. | a | 3 .
D. a  1, a   3 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Điều kiện của phương trình 2
cos x  0, cos 2x  0, tan x  1 2 2 2 2 sin x a  2 sin x a  2 2   2 2 2 2 2 a a
Phương trình tương đương cos x cos x cos x cos x    2 2 2 2 1 tan x sin x 1 tan x sin x 1 1 2 2 cos x cos x 2 2 2 2 2 2
 a  tan x  (a  2) 1
(  tan x)  (a 1) tan x  2  Nếu 2 a 1  0 |
 a | 1  (1) vô nghiệm. 2 2  Nếu 2
a  1: (1)  tan x 
. Phương trình có nghiệm khi  1  a  3 . 2 a 1 2 a 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi a  1, a   3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Câu 107: Tìm m để phương trình  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos
 msin x có đúng 2 nghiệm 2 x    ; 0 .  3   1 1 1 A. 1   m  1 . B. 0  m  . C. 1   m   . D.   m  1. 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos  msin x  cos x  
1 cos 2x  mcos x  m1 cos x1 cos x cos x  1  cos x  1     
cos 2x  m cos x  m  m cos x cos 2x  m   2 Với cos x  1
  x    k 2 : không có nghiệm x    ; 0 .  3   m 1 Với 2
cos 2x  m  cos x  . 2  2   1  Trên 0; 
, phương trình cos x  a có duy nhất 1 nghiệm với a   ;1 3       2   m  1   m  1  m  1   1 m 1   1 Do đó, YCBT     1   1 1   1  1  m m   . 2 2  m   2     2 2  2  1 m 1     1  2 2  
Câu 108: Tìm m để phương trình cos2x  2m  
1 cosx  m 1  0 có đúng 2 nghiệm x     ; .  2 2  A. 1   m  0 .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  1. D. 1   m  1. Hướng dẫn giải Chọn B  1 cosx  
cos2x  2m  
1 cosx  m 1  0   2
1  2cos x  2m   1 cosx m 0     2 . cos x  m    1 Vì x     ;
nên 0  cosx  1. Do đó cosx   (loại).  2 2  2  
Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x     ; khi và chỉ khi  2 2 
0  cosx  1  0  m  1.    
Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x  1 m có nghiệm x   ;  . 2 2    A. 3   m  1. B. 2   m  6 . C. 1  m  3 D. 1   m  3 . Hướng dẫn giải Chọn D x     Đặt t  tan , để x   ; thì t  1  ;  1 . 2  2 2   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 2 2t 1 t 2 t p  2  m
 1 m  4t  m  mt  1 m  1 m 2 t 2
 t  4t 1  2m 2 2 1 t 1 t
Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì f t  2
 t  4t 1 trên  1  ;  1
Ta có f 't  2t  4; f 't   0  t  2
Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì 2   2m  6  1   m  3
Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m  m      3 sin sin 3x
sin 3sin x  4sin x có nghiệm thực? A. 9 B. 5 C. 4 D. 8 Hướng dẫn giải Ta có m  x  m      3 sin 3 sin sin 3x
sin 3sin x  4sin x  sin 3x  m  x  m     x    3 sin 3 sin sin 3x 3sin
sin 3sin x  m  sin 3x  3sin x  m  4sin x . Chọn A.
Câu 111: Cho phương trình:  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos
 msin x . Phương trình có đúng hai nghiệm  2  thuộc đoạn 0;  khi: 3    1 A. m  1  . B. m  1  . C. 1   m  1. D. 1   m   . 2 Hướng dẫn giải Ta có  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos  msin x  cos x  1    1  cos x  
1 cos 2x  mcos x  mcos x   1 cos x   1  0  
cos 2x  m 2   2  1  2  Vì x  0;    cos x  1  nên   1 không có nghiệm trên 0; . Xét 3      2  3   2 
f  x  cos 2x, x  0;  3     x  0
Ta có f  x  2
 sin 2x, f  x  0  sin 2x  0    
 . Bảng biến thiên:  x   2  2 x 0 2 3 f  x 0  0  1 f  x 1  2 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Yêu cầu của bài toán trở thành tìm các giá trị thực của tham số m để 2 có hai nghiệm  2  thực phân biệt trên 0; 
. Từ bảng biến thiên ta thấy 2 có hai nghiệm thực phân biệt 3     2  1 trên 0;  khi và chỉ khi 1   m  
. Từ đó ta chọn được đáp án đúng là D. 3    2
3sin 2x  cos 2x
Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
 m 1 đúng với mọi 2
sin 2x  4 cos x 1 x   3 5 3 5  9 65  9 65  9 A. m  B. m  C. m  D. m  4 4 2 4 Hướng dẫn giải
3sin 2x  cos 2x
3sin 2x  cos 2x Ta có: y   2
sin 2x  4 cos x 1
sin 2x  2 cos 2x  3 .
3sin 2x  cos 2x
Và sin 2x  2 cos 2x  3  0; x
   . xét phương trình y  
sin 2x  2 cos 2x  3
sin 2x  2cos 2x  3 y  3sin 2x  cos 2x   y  3sin 2x  2y   1 cos 2x  3  y 2 2 2
Phương trình trên có nghiệm nên  y     y     y  2 2 3 2 1 3
 5y 10 y 10  9 y 5  65 5  65 2
 4 y 10 y 10  0   y 
. Suy ra giá trị lớn nhất của y là 4 4
5  65 . Chọn D. 4
Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình  x    x  m x 2 cos 1 4 cos 2 cos  msin x có  2 
đúng 2 nghiệm x  0;  là: 3    A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có:  x    x  m x 2 cos 1 4 cos 2 cos
 msin x   x   x  m x  m  2 cos 1 4.cos 2 cos 1  cos x  cos x  
1 4.cos 2x  mcos x  m1 cos x1 cos x  cos x  
1 4.cos 2x  m cos x  m1 cos x  0
x    k 2 cos x 1  0  cos x  
1 4.cos 2x  m  0     m .
4 cos 2x  m  0  cos 2x   4 Chọn C.
Câu 114: Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn  0   0    0   a   0 1 tan1 1 tan 2 ... 1 tan 43 2 . 1  tan b  đồng thời ,
a b 0;90 . Tính P  a  b ? A. 22 B. 46 C. 27 D. 44 Hướng dẫn giải x   0 sin x  45 sin   Vì 1 tan x  1  2   . cos x  cos x   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 0 0 0 43 sin 46 sin 47 ...sin 88 0 43 sin 46
Do đó P   2 .   2  . 21   0 2 . 1  tan1  . 0 0 0 cos1 cos 2 ...cos 43 0 cos1 Chọn A.
Câu 115: Tìm m để phương trình m  
1 cos x  m  
1 sin x  2m  3 có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2  x  x  . 1 2 3 A. m  2  3
B. m  2  3 C. m  2  3
D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải     Phương tr 2 2 2 6 22 6 22
ình có nghiệm m   1  m   1  2m  3   m  * 2 2 m 1 m 1 2m  3 PT  cos x  sin x  2 2 2 2m  2 2m  2 2m  2
x      k 2 m 1 2m  3
 cos  x   1  cos    với cos  ;cos  
x     k 2  2 2 2 2m  2 2m  2
Nếu x ; x cùng thuộc một họ nghiệm  x  x  k 2 (loại) 1 2 1 2
Nếu x ; x cùng thuộc hai họ nghiệm  x      k 2 ; x     k 2 1 2 1 1 2 2  
Do đó x  x 
 2  k  k 2  1 2  1 2  3 3  1
 cos 2  k  k 2  cos  cos 2  1 2  3 2 2 1 1  m 1  3 m  2 1 2  2 cos  1    2   1   2 2 2 2 4 2m  2  2m  2  2
 m  4m 1  0  m  2  3 (không thỏa mãn * )
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Câu 116: Các giá trị của m a;b để phương trình 2
cos 2x  sin x  3cos x  m  5 có nghiệm thì:
A. a  b  2 .
B. a  b  12 . C. . a b  8  . D. . a b  8 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2
cos 2x  sin x  3cos x  m  5(*) 2 2
 2 cos x 11 cos x  3cos x  m  5  0 2
 cos x  3cos x  m  5
Đặt cos x  t  1  ;  1 , phương trình 2
 t  3t  m  5 Bảng biến thiên:
=> Phương trình (*) có nghiệm  2  m  5  4  7   m  1  . Vậy a + b = -8
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao m
Câu 117: Cho phương trình m sin x  m   1 cos x 
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ cos x
hơn 10 để phương trình có nghiệm là: A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B. m
m sin x  m   1 cos x  (*) cos x
Điều kiện: cos x  0    m x
x  m   2 * sin cos 1 cos x  m m m  1  sin 2x 
1 cos 2x  m 2 2
 m sin 2x  m  
1 cos 2x  m 1(1) + Từ m = 0  
*  cos x  0 loại do điều kiện  m  0 phương trình (*) vô nghiệm. + Với m  0 => (*) có nghiệm khi (1)
 m  m  2 2  m   2 1 1 m  4  2
 m  4m  0  m  0 
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.   
Câu 118: Phương trình cos 2x  2m  
1 sin x  m 1  0 có nghiệm trên  ;   khi tất cả các giá  2  trị thỏa mãn: A. m  . B. m   . C. m  1  ;  1 . D. m   1  ;  1 . Hướng dẫn giải Chọn B.
cos 2x  2m  
1 s in  m 1  0 2
 1 2 sin x  2msin x  sin x  m 1  0
 2 sin x m  s inx  m  s inx  0  1 s inx  (1) sinx-m2sin x  1 0      2 sinx  m(2)  1    Giải (1): s inx  luôn có 2 nghiệm   ;   2  2 
 m phương trình có nghiệm.
Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình 3 2
 3 tan x  tan x  cot x  m có nghiệm? 2 sin x A. 2000 . B. 2001 . C. 2010 . D. 2011 . Hướng dẫn giải Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao 3 2
 3 tan x  tanx  cot x  m 2 sin x  3 2 1 cot x 2
 3 tan x  tan x  cot x  3  m  0 Đặt  3 2 2
tan x  cot x  tan x  cot x  3  m  0 2 2 2
t  tan x  cot x  t  2  tan x  cot x t  2  2 
=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình 3t  2  t  3  m  0 có t  2   nghiệm t  ;  2   2; 2
 m  3t  t  3 có nghiệm t  ;  2   2; Bảng biến thiên:
=> Phương trình có nghiệm  m  7
Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018 s
 in 2x  2sin x cos x  0
+ Với cos x  0   thì  
1  m 1  m 1  m  0 2
cos 2x  2 cos x 1  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Đặng Việt Đông

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác - Kết Nối Tri Thức