Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông Toán 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 0

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

MỤC LỤC

NGUYÊN HÀM ...................................................................................................................................... 2

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ ............................................................................... 6

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN .............................................................................. 10

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN ................................................................................................................... 14

TÍCH PHÂN ......................................................................................................................................... 18

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN ................................................ 26

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ................................................................................... 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 .................................................................................................................... 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 .................................................................................................................... 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ........................................................................ 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 ................................................................................... 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 ................................................................................... 41

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ................................................................................... 43

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ................................................................................... 45

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ................................................................................... 46

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 ................................................................................... 47

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ................................................................................................................. 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: ............................................................................................. 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: ............................................................................................. 50

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................................... 51

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ........................................................................................................................ 58

GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN .................................................................................................... 65

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH .......................................................................................................... 70

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ .......................................................................................... 83

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................................................................ Error! Bookmark not defined.

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH .............................. Error! Bookmark not defined.

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ............................... Error! Bookmark not defined.

ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ................................................................. Error! Bookmark not defined.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

NGUYÊN HÀM

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Định nghĩa

Cho hàm số





f x

xác định trên

K

(

K

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số





F x

được gọi là

nguyên hàm của hàm số





f x

trên

K

nếu











F x f x

'

với mọi



x K

.

Kí hiệu:









 



f x dx F x C

.

Định lí:

1) Nếu





F x

là một nguyên hàm của





f x

trên

K

thì với mỗi hằng số

C

, hàm số









 

G x F x C

cũng là một nguyên hàm của





f x

trên

K

.

2) Nếu





F x

là một nguyên hàm của hàm số





f x

trên

K

thì mọi nguyên hàm của





f x

trên

K

đều có

dạng







F x C

, với

C

là một hằng số.

Do đó





 



F x C C,

là họ tất cả các nguyên hàm của





f x

trên

K

.

2. Tính chất của nguyên hàm

 







f x dx f x

và









 



f x dx f x C

'

;

















d f x f x

dx dx

Nếu F(x) có đạo hàm thì:





 



d F x F x C

( ) ( )











 

kf x dx k f x dx

với

k

là hằng số khác

0

.

















 

  

 

  

f x g x dx f x dx g x dx

Công thức đổi biến số: Cho







y f u

và







u g x

.

Nếu

 



f x dx F x C

( ) ( )

thì







 

f g x g x dx f u du

( ) '( ) ( )

 

F u C

( )

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số





f x

liên tục trên

K

đều có nguyên hàm trên

K

.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1.





dx C

0 2.

 



dx x C

3.

 

 





   





x dx x C

1

16.

 







    





ax b

ax b c

a

1

dx , 1

1



4.

  



dx C

x

2

1 1

17.

 



x

xdx C

2

5.

 



dx x C

x

1

ln

18.

  





ax b c

ax b a

dx 1

ln

6.

 



x x

e dx e C

19.

 

 



ax b ax b

e dx e C

a

1

7.

 



x

a

a dx C

a

ln

20.



 



kx b

a

a dx C

k a

1

ln

8.

 



xdx x C

cos sin

21.

   

   



ax b dx ax b C

a

1

cos sin

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

9.

xdx x C

sin cos

  



22.

   

    



ax b dx ax b C

a

1

sin cos

10.

  



x dx x C

tan . ln | cos |

23.

   

    



ax b ax b C

a

1

tan dx ln cos

11.

 



x dx x C

cot . ln | sin |

24.

   

   



ax b ax b C

a

1

cot dx ln sin

12.

 



dx x C

x

2

1

tan

cos

25.

 

  





dx ax b C

a

ax b

2

1 1

tan

cos

13.

  



dx x C

x

2

1

cot

sin

26.

 

   





dx ax b C

a

ax b

2

1 1

cot

sin

14.





  



x dx x C

2

1 tan tan

27.

 

    



ax b dx ax b C

a

2

1

1 tan tan

15.





   



x dx co x C

2

1 cot t

28.

 

     



ax b dx co ax b C

a

2

1

1 cot t

5. Bảng nguyên hàm mở rộng

 





x

C

a a

a x

2 2

dx 1

arctg

   



x x

x a x C

a a

2 2

arcsin dx arcsin



 





a x

C

a a x

a x

2 2

dx 1

ln

2

   



x x

x a x C

a a

2 2

arccos dx arccos





   





x x a C

x a

2 2

dx

ln

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arctan dx arctan ln

2

 





x

C

a

a x

2 2

dx

arcsin

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arccot dx arccot ln

2

 





x

C

a a

x x a

2 2

dx 1

arccos

 

  





a x a

C

a x

x x a

2 2

dx 1

ln

 



 





ax b

C

a

ax b

dx 1

ln tan

2

sin

   

 

     

 

 



b

ax b x ax b x C

a

ln dx ln







 





ax

e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

cos sin

cos dx



   



x a x a x

a x C

a

2 2 2

2 2

dx arcsin

2 2







 





ax

e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

sin cos

sin dx

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm giá trị thực của

a

để

 

1

2 1

ax

F x

x







là một nguyên hàm của hàm số

 

3

4 3

2 1

x

f x

x







.

A.

4

a



. B.

5

a



. C.

4

a

 

. D.

5

a

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 2. Cho









2

2 1

F x ax bx c x

   

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

10 7 2

2 1

x x

f x

x

 





trên

khoảng

1

;

2

 



 

 

. Tính

S a b c

  

.

A.

3

S



. B.

0

S



. C.

6

S

 

. D.

2

S

 

.

Câu 3. Cho









2

2 3

F x ax bx c x

   

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

20 30 7

2 3

x x

f x

x

 





trên

khoảng

3

;

2

 



 

 

. Tính

P abc



.

A.

0

P



. B.

3

P



. C.

4

P



. D.

8

P

 

.

Câu 4. Biết

sin cos

ln sin cos

sin cos

x x

dx a x x C

x x



  





. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

1.

a



B.

2.

a



C.

3.

a



D.

4.

a



Câu 5. Tìm một nguyên hàm của:

2

tan

2

1 4.

tan 1

2

x



 



 

 

biết nguyên hàm này bằng 3 khi

4

x





.

A.

2

1

3.

cos

x



B.

2

1

3.

sin

x



C.

tan 2

x



. D.

cot 2

x



.

Câu 6. Biết

 

5

2

1 1

25 20 4

5 2

dx C

x x

a x

  

 





. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

4.

a



B.

100.

a



C.

5.

a



D.

25.

a



Câu 7. Biết

2

1

ln 2 7

2 5 7

x a

dx x C

x x b



  

 



, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A.

4.

S



B.

2.

S



C.

3.

S



D.

5.

S



Câu 8. Biết

1

tan

1 sin 2 4

a

dx x C

x b

 

  

 



 





, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A.

4.

S



B.

2.

S



C.

3.

S



D.

5.

S



Câu 9. Cho

 

2

8sin

12

f x x



 

 

 

 

. Một nguyên hàm





F x

của





f x

thỏa





0 8

F



là:

A.

4 2sin 2 9

6

x x

 

  

 

 



. B.

4 2sin 2 9

6

x x

 

  

 

 



.

C.

4 2sin 2 7

6

x x

 

  

 

 



. D.

4 2sin 2 7

6

x x

 

  

 

 



.

Câu 10. Biết

( )

F x

là nguyên hàm của

 

2

5 8 4

1

x x

dx

x x

 





với

0 1

x

 

và

1

26

2

F

 



 

 

. Giá trị nhỏ nhất của

( )

F x

là:

A.

24.

B.

20.

C.

25.

D.

26.

Câu 11. Cho





1

f x x

 

. Một nguyên hàm





F x

của





f x

thỏa





1 1

F



là:

A.

2

1

x x

 

B.

2

1

khi 0

2 2

khi 0

2

x

x x

x

x C x



  







  





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.

2

1

2

khi 0

2

khi 0

2

x

x C x

x

x C x



  







  





. D.

2

1

2

khi 0

2

x x C x

x

x C x



   





  





.

Câu 12. Cho





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

1

3

x

f x

e





và

 

1

0 ln 4

3

F  

. Tập nghiệm

S

của

phương trình









3

3 ln 3 2

F x x

  

là:

A.





2

S 

. B.





2;2

S  

. C.





1;2

S 

. D.





2;1

S  

.

Câu 13. (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

1

2

f x

x





, thỏa mãn





3 1

F



và





1 2

F



, giá trị của









0 4

F F bằng

A.

2ln2 3



. B.

2ln 2 2



. C.

2ln 2 4



. D.

2 ln 2

.

Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng

e

x

là một nguyên hàm của





f x



trên khoảng





;

 

.

Gọi





F x

là một nguyên hàm của





e

x

f x



thỏa mãn





0 1

F



, giá trị của





1

F



bằng

A.

7

2

. B.

5 e

2



. C.

7 e

2



. D.

5

2

.

Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x





trên khoảng





0;



. Biết rằng giá trị lớn nhất của





F x

trên khoảng





0;



là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

3 3 4

6

F



 

 

 

 

. B.

2 3

3 2

F



 



 

 

. C.

3

F



 

 

 

 

. D.

5

3 3

6

F



 

 

 

 

.

Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho





F x

là một nguyên hàm của hàm

số

 





2

3

4

x

f x e x x

 

. Hàm số





2

F x x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.

Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết









2

e

x

F x ax bx c



   là một nguyên hàm của hàm số









2

2 5 2 e

x

f x x x



   trên



. Giá trị biểu thức









0

f F bằng:

A.

1

e



. B.

3e

. C.

2

20e

. D.

9e

.

Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số

















2 2

e , 3 4 e

x x

F x x ax b f x x x      .

Biết

,

a b

là các số thực để





F x

là một nguyên hàm của





f x

. Tính

S a b

 

.

A.

6

S

 

. B.

12

S



. C.

6

S



. D.

4

S



.

Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho





F x

là một nguyên hàm

của hàm số

 

4 3 2

2 1

2

x

f x

x x x





 

trên khoảng





0;



thỏa mãn

 

1

2

F



. Giá trị của biểu thức

















1 2 3 ... 2019

S F F F F     bằng

A.

2019

2020

. B.

2019.2021

2020

. C.

1

2018

2020

. D.

2019

2020



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 20. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

2

cos

x x

f x

x





. Hỏi đồ thị của

hàm số





y F x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Vô số điểm. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

2

1

cos 1

2

f x x x

  

. Hỏi đồ thị

của hàm số





y F x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Vô số điểm. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Đổi biến dạng 1

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt









x t

. Trong đó







t

cùng với đạo hàm của nó (







t

'

là những hàm

số liên tục) thì ta được :









 

 

   

 

  

f x dx f t t dt g t dt G t C

( ) ' ( ) ( )

.

1.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t=







x

. Trong đó







x

là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :









dt t dt

'

.

 Bước 3: Biểu thị :









 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt

( ) ' ( )

.

 Bước 4: Khi đó :

   

 

I f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( )

1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có

t

là mẫu số

Hàm số :

 







f x x

;









t x

Hàm

 



a inx+b.cosx

f x

c inx+d.cosx+e

.s

 

 

 

 

x x

t cos

2

tan ; 0

2

Hàm

 

  



 

f x

x a x b

1

Với :

 

x a

0

và

 

x b

0

.

Đặt :

   

t x a x b

Với

 

x a

0

và

 

x b

0

.

Đặt :

     

t x a x b

2. Đổi biến dạng 2

Nếu :

 



f x dx F x C

( ) ( ) và với





u

t





là hàm số có đạo hàm thì :

 



f u du F t C

( ) ( ( ))



2.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn





x t





, trong đó







t

là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế :









dx t dt

'

 Bước 3: Biến đổi :













 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt

( ) '

 Bước 4: Khi đó tính :

  

 

f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( ) .

2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Dấu hiệu Cách chọn



a x

2 2

Đặt 

x a sint

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

hoặc 

x a cost

;

với



 



 

t

0; .



x a

2 2

Đặt



a

x

sint

.

; với

 

 

 

 

 

 

t

; \ 0

2 2

hoặc



a

x

cost

với



 

 



 

 

 

t

0; \ .

2



a x

2 2

Đặt 

x a tant

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

hoặc 

x a t

cot

với







t

0; .





a x

.

hoặc





a x

.

Đặt



x acos t

2









 

x a b x

Đặt  

x a b a sin t

2

–

( )



a x

2 2

1

Đặt



x atant

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của

 

2

tan

cos 1 cos

x

f x

x a x





, biết





0 0

F



,

1

4

F

 



 

 



. Tính

3 4

F F

 

   



   

   

?

A.

5 3

 . B.

5 1



. C.

3 5

 . D.

5 2



Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

 

2017

2019

1 1

1

d .

1 1

b

c

x x

x C

a

x x

 

 

 



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên. Giá trị

a b c

 

bằng

A.

4.2018

. B.

2.2018

. C.

3.2018

. D.

5.2018

.

Câu 3. Giả sử





     

2 3 d

1

1 2 3 1

x x

C

x x x x g x



  

   



(

C

là hằng số).

Tính tổng các nghiệm của phương trình





0

g x



.

A.

1



. B.

1

. C.

3

. D.

3



.

Câu 4. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





2;1



thỏa mãn





0 1

f



và

 





 

2

. 3 4 2

f x f x x x



  

. Giá trị lớn nhất của hàm số





y f x



trên đoạn





2;1



là

A.

3

2 16

. B.

3

18

. C.

3

16

. D.

3

2 18

.

Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số

 

2

1

f x

x





trên khoảng





;

 

?

A.

 





2

ln 1

F x x x C

   

. B.

 





2

ln 1 1

F x x C

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.

 

2

1

F x x C

  

. D.

 

2

1

x

F x C

x

 



Câu 6. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết

( )

F x

nguyên hàm của hàm số

sin2 cos

( )

1 sin

x x

f x

x







và

(0) 2

F



. Tính

2

F



 

 

 

A.

2 2 8

2 3

F





 



 

 

B.

2 2 8

2 3

F





 



 

 

C.

4 2 8

2 3

F





 



 

 

D.

4 2 8

2 3

F





 



 

 

Câu 7. Biết

 

7

5

2 2

cos 2

cos sin .sin 4

x

x x xdx C

a

   



. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

6.

a



B.

12.

a



C.

7.

a



D.

14.

a



Câu 8. Tìm

2

1 2

2

x

R dx

x x









?

A.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin2

t t

R C

t



   



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

B.

tan2 1 1 sin2

ln

2 4 1 sin 2

t t

R C

t



   



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

C.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin 2

t t

R C

t



  



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

D.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin2

t t

R C

t



  



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

Câu 9.

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



có dạng

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

, trong đó

,

a b

là

hai số hữu tỉ. Giá trị

,

b a

lần lượt bằng:

A.

2; 1

. B.

1; 1

. C. ,a b



D.

1; 2

.

Câu 10.

 





2

5 4 7 3

1 cos2

x x x

x e e x dx

  

  



có dạng

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

, trong đó

,

a b

là hai số hữu tỉ.

Giá trị

,

a b

lần lượt bằng:

A.

3; 1

. B.

1; 3

. C.

3; 2

. D.

6; 1

.

Câu 11. Tìm





 

3 2 1

1 . 1 1

x

e x x

I dx

x e x

  



  



?

A.





ln . 1 1

x

I x e x C

    

. B.





ln . 1 1

x

I x e x C

    

.

C.





ln . 1 1

x

I e x C

   

. D.





ln . 1 1

x

I e x C

   

.

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số

 





 

2

1

2

ln 1 2017

ln .

x

x x

f x

e x e



 



 



 

 

?

A.









2 2

ln 1 1008ln ln 1 1

x x

 

   

 

.

B.









2 2

ln 1 2016ln ln 1 1

x x

 

   

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.

   

2 2

1

ln 1 2016ln ln 1 1

2

x x

 

   

 

.

D.

   

2 2

1

ln 1 1008ln ln 1 1

2

x x

 

   

 

.

Câu 13. (Chuyên KHTN) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



và có

3

0

( ) 8

f x dx





và

5

0

( ) 4.

f x dx





Tính

1

( 4 1) .

f x dx





A.

9

.

4

B.

11

.

4

C.

3.

D.

6.

Câu 14. Tìm





 

2 2

2

2 1 2ln . ln

ln

x x x x

G dx

x x x

  







?

A.

1 1

ln

G C

x x x



  



. B.

1 1

ln

G C

x x x

  



.

C.

1 1

ln

G C

x x x

  



. D.

1 1

ln

G C

x x x

  



.

Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của

 

1

1 ln

.ln . ln

n n n

x

h x

x x x x







?

A.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

  

. B.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

  

.

C.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

   

. D.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

   

.

Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

1

x

f x

e





và





0 ln 2

F e

  .

Tập nghiệm

S

của phương trình









ln 1 2

x

F x e

  

là:

A.





3

S  . B.





2;3

S  . C.





2;3

S   . D.





3;3

S   .

Câu 17. Khi tính nguyên hàm

  

3

1

2 1 1

dx

x x 



người ta đặt





t g x



(một hàm biểu diễn theo biến

x) thì nguyên hàm trở thành

2

dt



. Biết

 

3

4

5

g 

, giá trị của









0 1

g g



là:

A.

3 6

.

2



B.

1 6

.

2



C.

2 6

.

2



D.

2 3 6

.

2



Câu 18. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





2;1



thỏa mãn





0 3

f



và

 





 

2

. 3 4 2

f x f x x x



  

. Giá trị lớn nhất của hàm số





y f x



trên đoạn





2;1



là

A.

3

2 42

. B.

3

2 15

. C.

3

42

. D.

3

15

.

Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số





F x

là một nguyên

hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x



 trên khoảng





0;



. Biết rằng giá trị lớn nhất của





F x

trên

khoảng





0;



là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3 3 4

6

F



 

 

 

 

B.

2 3

3 2

F



 



 

 

C.

3

F



 

 

 

 

D.

5

3 3

6

F



 

 

 

 

Câu 20. Cho hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn





0 3

f  và

     

2

. cos . 1

f x f x x f x



  ,

0;

2

x



 

 

 

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất

m

và giá trị lớn nhất

M

của

hàm số





f x

trên đoạn

;

6 2

 

 

 

 

.

A.

21

2

m 

,

2 2

M 

. B.

5

2

m



,

3

M



.

C.

5

2

m 

,

3

M  . D.

3

m  ,

2 2

M 

.

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

 

 

u x v x dx u x v x v x u x dx

( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )

Hay  

 

udv uv vdu

( với









 

du u x dx dv v x dx

’ , ’

)

1.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :  

 

I f x dx f x f x dx

1 2

( ) ( ). ( )

 Bước 2: Đặt :





 



 









du f x dx

u f x

dv f x

v f x dx

1

2

' ( )

( )

 Bước 3: Khi đó :  

 

udv u v vdu

. . .

2. Các dạng thường gặp

2.1. Dạng 1









 

 









x

I P x x dx

e

sin

( ) cos .

. Đặt













 



 



 







x

u P x

x

dv x dx

e

( )

sin

cos .

















 



 



 







x

u du P x dx

x

v x

e

'. '( )

cos

sin

Vậy:

x

I P x x

e

cos

( ) sin

 



 



 

 

 

-

 



 

 

 

 



x

x P x dx

e

cos

sin . '( )

2.2. Dạng 2

I P x xdx

( ).ln



. Đặt















u x

dv P x dx

ln

( )













 





du dx

x

v P x dx Q x

1

( ) ( )

Vậy

 

QI lnxQ xx

dx

x

1

( ).. 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

2.3. Dạng 3





 



 









x

I e dx

x

sin

cos

. Đặt













 



 









x

u e

x

dv dx

x

sin

.

cos

















 



 









x

du e dx

x

v

x

cos

sin

Vậy I =

x

I e

x

cos

sin







 



 







-







 

 









x

e dx

x

cos

sin

Bằng phương pháp tương tự ta tính được







 

 









x

e dx

x

cos

sin

sau đó thay vào

I

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là

A. B.

C. D.

Câu 2: Cho

 

2

cos

x

f x

x



trên

;

2 2

 

 



 

 

và





F x

là một nguyên hàm của





xf x



thỏa mãn





0 0

F



. Biết

;

2 2

a

 

 

 

 

 

thỏa mãn

tan 3

a



. Tính





2

10 3

F a a a

 

.

A.

1

ln10

2



. B.

1

ln10

4



. C.

1

ln10

2

. D.

ln10

.

Câu 3: Cho





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

3

e

x

f x  và





0 2

F



. Hãy tính





1

F



.

A.

15

6

e



. B.

10

4

e



. C.

15

4

e



. D.

10

e

.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số





ln

f x x x

 .

A.

   

3

2

1

d 3ln 2

9

f x x x x C

  



. B.

   

3

2

d 3ln 2

3

f x x x x C

  



.

C.

   

3

2

d 3ln 1

9

f x x x x C

  



. D.

   

3

2

d 3ln 2

9

f x x x x C

  



.

Câu 5: Tìm

 

2

sin cos

x dx

H

x x x







?

A.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



. B.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



.

C.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



. D.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



.

Câu 6:





2

2 1 ln

x x x x dx

 



có dạng





3

2 2 2

1

1 ln

3 6 4

a b

x x x x C

   

, trong đó

,

a b

là hai số hữu

tỉ. Giá trị

a

bằng:

A.

3

. B.

2

. C.

1

. D. Không tồn tại.





2

tan

f x x x



;0

2



 















 

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

 

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 7: Biết

   

ln ln 2 3

c

F x a x b x

x

 

   

 

 

là nguyên hàm của hàm số

 





2

ln 2 3

x

f x

x





. Tính

S a b c

  

.

A.

1

S

 

. B.

1

3

S



. C.

7

3

S



. D.

4

3

S

 

.

Câu 8: (Trần Đại Nghĩa) Cho

 

2

1

ln 1

ln2

1

x x a

I dx

b c

x



  





với

, ,

a b c

là các số nguyên dương và các

phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

a b

S

c





.

A.

5

6

S



. B.

1

3

S



. C.

2

3

S



. D.

1

2

S



.

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số





2

l 1

2 nxx

y

x

 



là

A.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

. B.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

.

C.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

. D.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2

3

2

4

ln

4

x

f x x

x

 





 



 

?

A.

2

4 2

2

4

ln 2

4

x

x x

x

 



 



 

. B.

4 2

2

16 4

ln 2

4 4

x x

x

   

 



   



   

.

C.

2

4 2

2

4

ln 2

4

x

x x

x

 





 



 

. D.

4 2

2

16 4

ln 2

4 4

x x

x

   

 



   



   

.

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết









d 3 cos 2 5

f x x x x C

  



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.









3 d 3 cos 6 5

f x x x x C

  



B.









3 d 9 cos 6 5

f x x x x C

  



C.









3 d 9 cos 2 5

f x x x x C

  



D.









3 d 3 cos 2 5

f x x x x C

  



Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho





2

F x x



là một nguyên hàm của hàm số





2

.

x

f x e

. Khi đó

 

2

. d

x

f x e x





bằng

A.

2

x x C

  

. B.

2

x x C

  

. C.

2

2 2

x x C

 

. D.

2

2 2

x x C

  

.

Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi





F x

là nguyên hàm trên



của hàm số









2

e 0

ax

f x x a

 

, sao cho

 

1

0 1.

F F

a

 

 

 

 

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

0 1

a

 

. B.

2

a

 

. C.

3

a



. D.

1 2

a

 

.

Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và . Tất

cả các nguyên hàm của là

A. . B. .





f x









e ,

x

f x f x x





   







0 2

f







2

e

x

f x





2 e e

x x

x C

  





2

2 e e

x x

x C

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C. . D. .

Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và .

Tất cả các nguyên hàm của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho

( )

f x

là hàm số liên tục trên



thỏa mãn









,f x f x x x



   



và





0 1

f



. Tính





1

f

.

A.

2

e

. B.

1

e

. C.

e

. D.

e

2

.

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng là một nguyên hàm của

trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của thỏa mãn , giá trị

của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





y f x



.

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức









sin = cos cos

x

f x xdx f x x xdx



 

 

. Hỏi hàm số





y f x



là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.





ln

x

f x

 

 

. B.

 

ln

x

f x





. C.





ln

x

f x

 



. D.

 

ln

x

f x



 

.

Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm cấp hai trên





0;



thỏa

mãn

















2

2 cos , 0; ; 4 0





     

xf x f x x x x x f

. Giá trị biểu thức





9

f



là:

A.

0

. B.

3





. C.





. D.

2





.

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 





2

ln 3





x

f x

x

thỏa mãn









2 1 0

  

F F

và









1 2 ln2 ln5

   F F a b

, với

a

,

b

là các số hữu tỷ. Giá trị của

3 6



a b

bằng

A.

4



. B.

5

. C.

0

. D.

3



.

Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo

hàm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

   

3

tan .

cos

x

f x x f x

x



  . Biết rằng

3 3 ln 3

3 6

f f a b

 



   

  

   

   

trong đó

,a b





. Giá trị của biểu thức

P a b

 

bằng

A.

14

9

B.

2

9



C.

7

9

D.

4

9







1 e

x

x C

 





1 e

x

x C

 





f x

   

2

2 2 ,

x

f x xf x xe x





   







0 1

f



 

2

. e

x

x f x





2

1

x C

 

 

2

1

2

x

x e C



 





2

1

x

x e C



 

 

2

1

2

x C

 

e

x





f x







;

 





F x





e

x

f x







0 1

F







1

F



7

2

5 e

2



7 e

2



5

2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN

Câu 1: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

1

\

2

 

 

 



thỏa mãn

2

( )

2 1

f x

x







,

(0) 1

f



và

(1) 2

f



. Giá trị

của biểu thức

( 1) (3)

f f

 

bằng

A.

4 ln5



. B.

2 ln15



. C.

3 ln15



. D.

ln15.

Câu 2: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

1

\

3

 

 

 



thỏa mãn

   

3

, 0 1

3 1

f x f

x



 



và

2

3

f

 



 

 

. Giá

trị của biểu thức









1 3

f f 

bằng

A.

3 5ln2



. B.

2 5ln2

 

. C.

4 5ln2



. D.

2 5ln2



.

Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2





thoả

mãn

 

3 1

2

x

f x

x









,





0 1

f



và





4 2

f

 

. Giá trị của biểu thức









2 3

f f

 

bằng

A.

12

. B.

ln 2

. C.

10 ln2



. D.

3 20ln2



.

Câu 4: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;2





và thỏa mãn

   

2

4

; 3 0

4

f x f

x



  



;





0 1

f



và





3 2

f



. Tính giá trị biểu thức













4 1 4

P f f f    

.

A.

3

3 ln

25

P  

. B.

3 ln3

P

 

. C.

5

2 ln

3

P  

. D.

5

2 ln

3

P  

.

Câu 5: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;1





thỏa mãn

 

2

1

2

f x

x x





 

;









3 3 0

f f

  

và

 

1

0

3

f



. Giá trị của biểu thức













4 1 4

f f f   

bằng

A.

1 1

ln 2

3 3



. B.

1 ln80



. C.

1 4

1 ln2 ln

3 5

 

. D.

1 8

1 ln

3 5



.

Câu 6: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1





thỏa mãn

 

2

1

f x

x







. Biết









3 3 0

f f

  

và

1 1

2

2 2

f f

   

  

   

   

. Giá trị













2 0 4

T f f f   

bằng:

A.

1 5

2 ln

2 9

T  

. B.

1 9

1 ln

2 5

T  

. C.

1 9

3 ln

2 5

T  

. D.

1 9

ln

2 5

T 

.

Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn









4 2

' .

f x f x x x

 

. Biết





0 2

f



. Tính





2

f .

A.

 

2

313

2

15

f 

. B.

 

2

332

2

15

f 

. C.

 

2

324

2

15

f 

. D.

 

2

323

2

15

f 

.

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên





\ 0



thỏa mãn

 





2

f x

f x x

x



 

và





1 1

f

 

. Giá trị của

3

2

f

 

 

 

bằng

A.

1

96

. B.

1

64

. C.

1

48

. D.

1

24

.

Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số

( )

f x

thỏa mãn

(1) 4

f



và

3 2

( ) ( ) 2 3

f x xf x x x



   với mọi

0

x



. Giá trị của

(2)

f

bằng

A.

5

. B.

10

. C.

20

. D.

15

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 10: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 





   

2

4

' . " 15 12 ,



f x f x f x x x x

    

và





0

f







' 0

f

1



. Giá trị của

 





2

1

f

là

A.

10

. B.

8

. C.

5

2

. D.

9

2

.

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số





y f x

 liên tục và có đạo hàm trên đoạn





1;0

 ,

đồng thời thỏa mãn điều kiện

















2

3 2 , 1;0

f x

f x x x e x





     . Tính









0 1

A f f

  

.

A.

1.

A

 

B.

1

.

A

e



C.

1.

A



D.

0.

A



Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên

nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa mãn với mọi

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D.

Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là một

nguyên hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn

















2

2 1

f x F x f x



  . Khẳng định nào dưới

đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a





, b





. B.

1, 4

a b

 

. C.

1, 1

a b

  

. D.





1, \ 4

a b 



.

Câu 14: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên





0;



thỏa mãn

 

1

2

15

f



và













2

2 4 0

f x x f x



  

. Tính













1 2 3

f f f

 

.

A.

7

15

. B.

11

15

. C.

11

30

. D.

7

30

.

Câu 15: Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Biết









6

. 12 13

f x f x x



 

và





0 2

f



. Khi

đó phương trình





3

f x



có bao nhiêu nghiệm?

A.

2

. B.

3

. C.

7

. D.

1

.

Câu 16: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn

 

e e 2

x x

f x





  

,





0 5

f



và

1

ln 0

4

f

 



 

 

.

Giá trị của biểu thức









ln16 ln 4

S f f  

bằng

A.

31

2

S 

. B.

9

2

S



. C.

5

2

S



. D.









0 . 2 1

f f



.

Câu 17: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





0

f x



, x

 



. Biết





0 1

f



và





 

'

2 2

f x

x

f x

 

. Tìm các giá trị thực của tham số

m

để phương trình





f x m



có hai nghiệm

thực phân biệt.

A.

m e



. B.

0 1

m

 

. C. 0

m e

 

. D. 1

m e

 

.

Câu 18: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





0

f x



với mọi x





.













2

2 1

f x x f x



 

và





1 0,5

f  

. Biết rằng tổng

       

1 2 3 ... 2017

a

f f f f

b

    

;





,a b 

 

với

a

b

tối

giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





f x

,







0;















1 1, ' 3 1

f f x f x x

  

0.

x







4 5 5.

f

 





1 5 2.

f

 





3 5 4.

f

 





2 5 3.

f

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1

a b

  

. B.





2017; 2017

a  

. C.

1

a

b

 

. D.

4035

b a

 

.

Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên



,





0

f x



với

mọi

x

và thỏa mãn

 

1

2

f

 

,













2

2 1x ff

x

x 



 .Biết

     

1 2 ... 2019 1

a

f f f

b

    

với





, , , 1

a b a b

 



.Khẳng định nào sau đây sai?

A.

2019

a b

 

. B.

2019

ab



. C.

2 2022

a b

 

. D.

2020

b



.

Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;

 

, biết













2

2 1 0

f x x f x



  

,

0

x

 

và

 

1

2

6

f



. Tính giá trị của biểu thức













1 2 ... 2019

P f f f    .

A.

2021

2020

. B.

2020

2019

. C.

2019

2020

. D.

2018

2019

.

Câu 21: Cho hàm số





0

f x



thỏa mãn điều kiện













' 2

2 3 .

f x x f x

 

và

 

1

0

2

f





. Biết tổng

       

1 2 ... 2017 2018

a

f f f f

b

    

với

*

,a b

 

 

và

a

b

là phân số tối giản. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A.

1

a

b

 

. B.

1

a

b



.

C.

1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

.

Câu 22: Cho hàm số





y f x



,

0

x

 

, thỏa mãn

       

   

2

3

. 2 0

0 0; 0 1

f x f x f x xf x

f f



 

  

 



 





 





. Tính





1

f

.

A.

2

3

. B.

3

2

. C.

6

7

. D.

7

6

.

Câu 23: Giả sử hàm số

( )

f x

liên tục, dương trên



; thỏa mãn





0 1

f



và





 

2

1

f x

x

f x x







. Khi đó hiệu





 

2 2 2 1

T f f

 

thuộc khoảng

A.





2;3

. B.





7;9

. C.





0;1

. D.





9;12

.

Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số





0

f x



với mọi

x





,





0 1

f



và









1.

f x x f x



 

với mọi x





. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





2

f x



B.





2 4

f x

 

C.





6

f x



D.





4 6

f x

 

Câu 25: Giả sử hàm số





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên





0;

 



và thỏa mãn





1 1

f



,









3 1

f x f x x

  

, với mọi

0

x



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.





4 5 5

f

 

. B.





2 5 3

f

 

.

C.





3 5 4

f

 

. D.





1 5 2

f

 

.

Câu 26: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

4

. 15 12

f x f x f x x x

 

   

 

, x

 



và









0 0 1

f f



 

. Giá trị của





2

1

f

bằng

A.

9

2

. B.

5

2

. C.

10

. D.

8

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 27: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn









1 2 1 3

d

5

1

f x x

x C

x

  

 





. Nguyên hàm

của hàm số





2

f x

trên tập





là:

A.

 

2

3

2 4

x

C

x



. B.

2

3

4

x

C

x



. C.

 

2

2 3

4 1

x

C

x



. D.

 

2

2 3

8 1

x

C

x



.

Câu 28: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số

( )

f x

thỏa mãn

(1) 3

f



và

(4 '( )) ( ) 1

x f x f x

  

với

mọi

0

x



. Tính

(2)

f

.

A.

6

. B.

2

. C.

5

. D.

3

.

Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số





y f x

 xác định trên



, thỏa mãn





0

f x



,

x

 



và









2 0

f x f x



 

. Tính





1

f



biết rằng





1 1

f



.

A.

4

e



. B.

3

e

. C.

4

e

. D.

2

e



.

Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là một nguyên hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn

















2

2 1

f x F x f x



  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a





, b





. B.

1, 4

a b

 

. C.

1, 1

a b

  

. D.





1, \ 4

a b 



.

Câu 31: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số

( ) 0

f x



;













2

2 1 .

f x x f x



  và





1 0,5

f   .

Biết tổng

       

1 2 3 ... 2017

a

f f f f

b

    

;





;a b 

 

với

a

b

tối giản. Chọn khẳng

định đúng.

A.

1

a

b

 

. B.

1

a b

 

. C.

4035

b a

 

. D.

1

a b

  

.

Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

liên tục không âm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

     

2

. cos 1

f x f x x f x



 

với mọi

0;

2

x



 



 

 

và





0 3

f 

. Giá trị của

2

f



 

 

 

bằng

A.

2

. B.

1

. C.

2 2

. D.

0

.

Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số





f x

liên tục trên

R

thỏa mãn các điều kiện:





0 2 2,

f





0,



f x

 



x

và

       

2

. 2 1 1 ,



  

f x f x x f x

 



x

. Khi đó giá trị





1

f

bằng

A.

26

. B.

24

. C.

15

. D.

23

.

Câu 34: (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

liên tục trên tập



thỏa

mãn

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

và





1

f x

 

,





0 0

f



. Tính





3

f

.

A.

3

. B. 9. C. 3. D. 0.

Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;4

thỏa mãn

   

 

2

3

2 1

 

 

 

 

 

 



f x

f x f x f x

x

và





0



f x với mọi





0;4

x . Biết rằng









0 0 1



 

f f , giá trị của





4

f bằng

A.

2

e

. B.

2

e

. C.

3

e

. D.

2

1



e

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

1 1 . "

xf x x f x f x



  

   

   

với mọi

x

dương. Biết









1 1 1

f f



 

. Giá trị





2

f

bằng

A.





2

2 2ln 2 2

f

 

. B.





2

2 2ln 2 2

f

 

.

C.





2

2 ln 2 1

f

 

. D.





2

2 ln 2 1

f

 

.

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 





   

2

4

' . " 15 12 ,



f x f x f x x x x

    

và





0

f







' 0

f

1



. Giá trị của

 





2

1

f

là

A.

10

. B.

8

. C.

5

2

. D.

9

2

.

TÍCH PHÂN

1. Công thức tính tích phân

  



b

a

f x dx F x F b F a

( ) ( ) ( ) ( )

.

* Nhận xét: Tích phân của hàm số

f

từ a đến b có thể kí hiệu bởi



b

a

f x dx

( )

hay



b

a

f t dt

( ) .

Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số





f x

và





g x

liên tục trên

, , ,

K a b c

là ba số bất kỳ thuộc

K

. Khi đó ta có :

1.





a

f x dx

( ) 0

2.  

 

b a

a b

f x dx f x dx

( ) ( )

.

3.  

  

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( )

4.

 

  

 

  

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( ) ( )

.

5. 

 

b b

a a

kf x dx k f x dx

( ) . ( )

.

6. Nếu f(x)

x a b

0, ;

 

  

 

thì :

 

  

 



b

a

f x dx x a b

( ) 0 ;

7. Nếu

b b

a a

x a b f x g x f x dx g x dx

; : ( ) ( ) ( ) ( )

 

    

 

 

.

8. Nếu

 

 

 

x a b

;

Nếu

 

M f x N

( )

thì

   

   



b

a

M b a f x dx N b a

( ) .

3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Định lí

Nếu hàm số



u u x

( )

đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

 

a b

;

sao cho





 

f x dx g u x u x dx g u du

( ) ( ) '( ) ( )

thì:

 

 

u b

b

a u a

I f x dx g u du

( )

( ) ( )

.

1.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt   

u u x du u x dx

'

( ) ( )

 Bước 2: Đổi cận :

 



 

x b u u b

x a u u a

( )

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo

u

Vậy:

 

  

 

  

u b

b b

a a u a

I f x dx g u x u x dx g u du

( )

( ) ( ) . '( ) ( )

2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí

Nếu 1) Hàm



x u t

( )

có đạo hàm liên tục trên

 

 

 

;

2) Hàm hợp

f u t

( ( ))

được xác định trên

 

 

 

;

,

3)

 

 

u a u b

( ) , ( )

Khi đó:





 

 

b

a

I f x dx f u t u t dt

'

( ) ( ( )) ( )

.

2.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt







x u t

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :

  

x u t dx u t dt

( ) '( )

Đổi cận:





 



 

x b t

x a t

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t

Vậy:

 

 

 

  

 

  

b

a

I f x dx f u t u t dt g t dt

( ) ( ) '( ) ( )



 



  G t G G

( ) ( ) ( )

2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lí

Nếu





u x

và





v x

là các hàm số có đạo hàm liên tục trên

 

 

a b

;

thì:

 

 

 

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hay



b

a

udv



b

uv

a





b

a

vdu

2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Viết





f x dx

dưới dạng



udv uvdx

'

bằng cách chọn một phần thích hợp của





f x

làm





u x

và phần còn lại



dv v x dx

'( )

 Bước 2: Tính



du u dx

'

và 



v dv





v x dx

'( )

 Bước 3: Tính



b

a

vu x dx

'( )

và

b

uv

a

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng



b

x

a

P x e dx

( )



b

a

P x xdx

( )ln



b

a

P x xdx

( )cos



b

x

a

e xdx

cos

u P(x) lnx P(x)

x

e

dv

x

e dx

P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn

u

là phần của





f x

mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn



dv vdx

'

là phần của





f x dx

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1

I =



 

 



  

 

 

dx adx

ax b

ax b a ax b a

1 1

ln . (với a≠0)

Chú ý: Nếu I =

 





 

  

   





 

k k

k

dx

ax b adx ax b

a a k

ax b

1

1 1

( ) . .( )

(1 )

( )

Dạng 2

 





 

 



dx

I a

ax bx c

2

0

(

  

ax bx c

2

0

với mọi

 

 



 

x

;

)

Xét

  

b ac

2

4

.

 Nếu

0





thì

     

 

b b

x x

a a

1 2

;

2 2

 

  

 

    

 

 

a x x x x a x x x x x x

ax bx c

2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1

( )( ) ( )

thì :

I dx x x x x

a x x x x x x a x x

x x

a x x x x

1 2

1 2 1 2 1 2

1

1 2 2

1 1 1 1

ln ln

( ) ( )

1

ln

( )









 

 

     

 

 

 

   

 





 



 Nếu

0





thì

 



 

 

  

 

b

x

a

ax bx c a x x

0

2 2

0

1 1

2

( )

thì I =

 





 

  



  

 

dx dx

a a x x

ax bx c x x

2 2

0

1 1

( )

 Nếu

 

0

thì

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

dx dx

I

ax bx c

b

a x

a

2

4

Đặt

 

 

    

b

x t dx t dt

a

a a

2

2 2

1

tan 1 tan

2 2

4

Dạng 3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 







 

 



mx n

I dx a

ax bx c

2

, 0

.

(trong đó





 

mx n

f x

ax bx c

2

( )

liên tục trên đoạn

 

 

 

;

)

 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm

A

và

B

sao cho:

  

 

     

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

2

2 2 2

( )'



 

   

A ax b B

ax bx c ax bx c

2 2

(2 )

 Ta có I=







 

 

 

 

     

 

mx n A ax b B

dx dx dx

ax bx c ax bx c ax bx c

2 2 2

(2 )

Tích phân







 



A ax b

dx

ax bx c

2

(2 )

=





 

A ax bx c

2

ln

Tích phân





 



dx

ax bx c

2

thuộc dạng 2.

Dạng 4





b

a

P x

I dx

Q x

( )

với





P x

và





Q x

là đa thức của

x

.

 Nếu bậc của





P x

lớn hơn hoặc bằng bậc của





Q x

thì dùng phép chia đa thức.

 Nếu bậc của





P x

nhỏ hơn bậc của





Q x

thì có thể xét các trường hợp:

 Khi





Q x

chỉ có nghiệm đơn

  

n

1 2

, ,...,

thì đặt

  

   

  

n

A A A

P x

Q x x x x

1 2

( )

...

( )

.

 Khi





Q x

có nghiệm đơn và vô nghiệm











       

Q x x x px q p q

2 2

( ) , 4 0

thì đặt





 



 

P x A Bx C

Q x x

x px q

2

( )

.

( )

 Khi





Q x

có nghiệm bội

 

  

Q x x x

2

( ) ( )( )

với    thì đặt

 

 



  

 



A

P x B C

Q x x x

x

2

( )

.

 

  

Q x x x

2 3

( ) ( ) ( )

với    thì đặt

 

    

    

 

    

P x A B C D E

x x

x x x x x

2 3 2 3 2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.2. Tích phân hàm vô tỉ



b

a

R x f x dx

( , ( ))

Trong đó









,

R x f x

có dạng:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



a x

R x

a x

,

 



 



 

Đặt

x acos t t2 ,

0;

2



 



















R x a x

2 2

,  Đặt

x

a t

sin



hoặc

x

a t

cos





n

ax b

R x

cx d

,

 



 



 

Đặt

n

ax b

d

t

cx







 

R x f x

ax b x x

2

1

,

( )

  



  

Với









x

k x b

x a

2

'

  





Đặt

t x x

2

  

  

, hoặc Đặt

t

ax b

1











R x a x

2 2

,  Đặt x

a t

tan

 ,

t

;

2 2

 

 

 

 

 







R x x a

2 2

, 

Đặt

x

a

x

cos



,

t [0; ]\

2





 



 

 







i

n n n

R x x x

1 2

; ;...; Gọi





1 2

; ;...;

i

k BSCNN n n n



. Đặt

k

x t



Dạng 1

 

 

 



I dx a

ax bx c

2

1

0





Từ :



 

 



 





 

       



 



 

 



 







2

b

x u

b

a

f(x)=ax bx c a x du dx

a

K

a

2

4

2

Khi đó ta có :

 Nếu





        

a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

(1)

 Nếu :





 



     



 

  

 





a

b

f x a x

b

f x a x a u

a

2

0

0 ( )

( ) .

2

(2)

 Nếu :

 

0

.

 Với

0

a



:

















      

f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(3)

 Với

0

a



:

















        

f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

 Phương pháp :

* Trường hợp :





        

a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó đặt :

   

2

ax bx c t a x

.

 

 





 







  



 

 

 

     



 



  







t c

x dx tdt

b a

bx c t ax

b a

x t t x t t

t c

t a x t a

b a

2

0 1

2

;

2

,

.

2

* Trường hợp :





 



     



 

  

 





a

b

f x a x

b

f x a x a u

a

2

0

0 ( )

( ) .

2

Khi đó :

 

 











 

  

 



 

  



 



 

   

 



 



 

b b

x x

a a

a

I dx dx

b b

a

a x x

x x

a a

a

1

ln : 0

2 2

1 1 1

1

ln : 0

2 2

* Trường hợp :

  

a

0, 0

. Đặt :

  





 





     







2

x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1 2

2

* Trường hợp :

  

a

0, 0

. Đặt :

  





 





     







2

x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1 2

2

Dạng 2

 



 

 



mx n

I dx a

ax bx c

2

0





 Phương pháp :

 Bước 1:

Phân tích





 

 



  

     

2

2 2 2

Ad ax bx c

mx n B

f x

ax bx c ax bx c ax bx c

.

( ) 1

 Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số

,

A B

 Bước 3:

Giải hệ tìm

,

A B

thay vào (1)

 Bước 4 :

Tính





2

I A ax bx c B dx

ax bx c

1

2









   

 



(2)

Trong đó

 







 



dx a

ax bx c

2

1

0

đã biết cách tính ở trên

Dạng 3

 





 

  



I dx a

mx n ax bx c

2

1

0

 Phương pháp :

 Bước 1:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Phân tích :

 



 

  

 

 

2

n

mx n ax bx c

m x ax bx c

m

1 1

. (1)

 Bước 2:

Đặt :



 

    



 

 



 

  



   



         

   



   



2

n

y t dy dx

x t m x t

n

x

y m

x t ax bx c a t b t c

y y y

2

1 1

1

1 1 1

 Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :





 

 



dy

I

Ly My N

'

2

'

. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

Dạng 4

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 

 

m

x

I R x y dx R x dx

x

; ;

( Trong đó :





;

R x y

là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và

   

, , ,

là các hằng số đã biết )

 Phương pháp :

 Bước 1:

Đặt :

m

t

x

 

 



 (1)

 Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng









x t

 Bước 3:

Tính vi phân hai vế :









dx t dt

'

và đổi cận

 Bước 4:

Tính :

 

 

 

 

 

 

 



  

 



 

 

m

x

R x dx R t t t dt

x

'

; ; '

3.3. Tích phân hàm lượng giác

Một số dạng tích phân lượng giác

 Nếu gặp ta đặt .

 Nếu gặp dạng ta đặt .

Dạng 1

* Phương pháp

 





sin .cos

b

a

I f x xdx



sin

t x

 





cos .sin

b

a

I f x xdx



cos

t x

 





2

tan

cos

b

a

dx

I f x

x



tan

t x

 





2

cot

sin

b

a

dx

I f x

x



cot

t x

   

n n

1 2

= sinx dx ; cosx dx

 

I I

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 Nếu

n

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

 Nếu

3

n



thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi

 Nếu

3

n

lẻ

( )

2 1

n p

 

thì thực hiện biến đổi:

Dạng 2





sin cos ,

m n

I x xdx m n N

 



* Phương pháp

 Trường hợp 1:

,

m n

là các số nguyên

a. Nếu

m

chẵn,

n

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu

m

chẵn,

n

lẻ

( )

2 1

n p

 

thì biến đổi:

c. Nếu

m

lẻ





2 1

m p

 

,

n

chẳn thì biến đổi:

d. Nếu

m

lẻ,

n

lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

 Nếu

,

m n

là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt

u sinx



(*)

Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số là số nguyên

Dạng 3

( )

.

n N





   

 

n 2p+1

1

= sinx dx = sinx dx    

   

p

I x xdx x d x

2

sin sin 1 cos cos

 

 

 

        

 

 

 

 

 

       

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

cos ... 1 cos ... 1 cos cos

1 1 1

cos cos ... cos ... cos

3 2 1 2 1

   

 

n 2p+1

2

= cosx dx = cosx dx   

   

p

I x xdx x d x

2

cos cos 1 sin sin

 

 

 

       

 

 

 

 

 

      

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

sin ... 1 sin ... 1 sin sin

1 1 1

sin sin ... sin ... sin

3 2 1 2 1

   

     

 

m 2p+1

I = sinx cosx dx   

  

p

m p m

x x xdx x x d x

2

sin cos cos sin 1 sin sin

   

 

   

 

     

 

        

 

 

 

 

       

     

 

 



k p

m k p

k p

p p p p

m m k m p m

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

m m k m p m

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

sin sin ... 1 sin ... 1 sin sin

sin sin sin sin

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

   

     

 

2p+1 n

I = sinx cosx dx    

  

p

n p n

x x xdx x x d x

2

cos sin sin cos 1 cos cos

   

 

   

 

     

 

         

 

 

 

 

        

     

 

 



k p

n k p

k p

p p p p

n n k n p n

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

n n k n p n

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

cos cos ... 1 cos ... 1 cos cos

cos cos cos cos

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

 

   

 

   

  

n n

m

m n m

B x xdx x x xdx u u du

1 1

2 2

sin cos sin cos cos 1

  

m n m k

1 1

; ;

2 2 2

   

n n

1 2

= tan x dx ; = cot x dx

 

I I

 

    

  

dx

x dx d x x c

x

2

1 tan tan tan

cos

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Câu 1. (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết

1

2

0

3 1 5

d 3ln

6 9 6

x a

x

x x b



 

 



, trong đó

a

,

b

là hai số nguyên

dương và

a

b

là phân số tối giản. Khi đó

2 2

a b



bằng

A. 7. B. 6. C. 9. D. 5.

Câu 2. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân

3

3 2

2

1

d ln3 ln 2

  





x a b c

x x

với

a

,

b

,





c . Tính

  

S a b c

.

A.

2

3

 

S . B.

7

6

 

S . C.

2

3



S . D.

7

6



S .

Câu 3. (Sở Phú Thọ) Cho

4

2

3

5x 8

x ln3 ln 2 ln5

3x 2

d a b c

x



  

 



với

, ,

a b c

là các số hữu tỉ. Giá trị của

3

2

a b c

 

bằng

A.

12

. B.

6

. C.

1

. D.

64

.

Câu 4. (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho

5

2

3

2

d ln 2 ln3

3 2

x

x a b c

x x



  

 



với

, ,a b c





.

Tính giá trị của biểu thức

P a b c

  

.

A.

9

. B.

5

. C.

3

. D.

4

.

Câu 5. (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho

1

2

0

4 15 11

d ln 2 ln3

2 5 2

x x

x a b c

x x

 

  

 



với

a

,

b

,

c

là các số hữu tỷ. Biểu thức .

T a c b

 

bằng

A.

4

. B.

6

. C.

1

2



. D.

1

2

.

Câu 6. Biết . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Biết với là các số nguyên dương. Tính

.

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Biết với , , là các số nguyên dương. Tính

.

A. . B. . C. . D. .

 

      

  

dx

x dx d x x C

x

2

1 cot cot cot

sin





     

  

x d x

xdx dx x C

x x

sin cos

tan ln cos

cos cos





   

  

x d x

xdx dx x C

x x

cos sin

cot ln sin

sin sin

     

2

3 2

1

d ln 1 2 3

6 11 6

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  







4

m n p

 

5

0

2

4

 

2

1

d

2 2

x

a b c

x x x x

  

  



, ,

a b c

P a b c

  

2

P



8

P



46

P



22

P



 

2

1

d

1 1

x

I a b c

x x x x

   

  



a

b

c

P a b c

  

24

P



12

P



18

P



46

P



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 9. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

2

0

( ) sin .

x

G x tdt





Tính đạo hàm của hàm số

( ).

G x

A.

( ) 2 sin

G x x x





B.

( ) 2 cos

G x x x





C.

( ) cos

G x x





D.

( ) 2 sin

G x x x





Câu 10. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết rằng

2

0

4sin 7cos

d 2ln

2sin 3cos

x x b

I x a

x x c



 

  





với

*

0; , ;

b

a b c

c

  tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức

P a b c

  

.

A.

1





. B.

1

2





. C.

1

2





. D.

1

.

Câu 48: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân

4

0

1 2

ln

5

2

cot tan

12 6

a

dx b

c

x x



 



 

   

 

   

   



với

, ,

a b c

là các số nguyên dương. Tính

2 2 2

a b c

 

A.

48

. B.

18

. C.

34

. D.

36

.

Câu 4: Biết

5

1

2 2 1

4 ln2 ln5

x

I dx a b

x

 

   



, với

,

a b

là các số nguyên. Tính

.

S a b

 

A.

9.

S



B.

11.

S



C.

5.

S



D.

3.

S

 

Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 1;0





thỏa mãn





1 2ln 2 1

f

 

,





















1 2 1

x x f x x f x x x



    

,





\ 1;0

x  



. Biết





2 ln 3

f a b 

, với

,

a b

là hai

số hữu tỉ. Tính

2

T a b

 

.

A.

3

16

T

 

. B.

21

16

T  . C.

3

2

T



. D.

0

T



.

Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết

 

2

9

ln

x

e

f x t tdt





, tìm điểm cực trị của hàm số đã cho

A.

2

x



B.

0

x



C.

1

x

 

D.

6

x



Câu 13. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho

4

2

1

.

4

.

x

b c

x

x e

dx a e e

x

x e



   



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên.

Tính giá trị

a b c

 

.

A.

4



. B.

5



. C.

3



. D.

3

.

Câu 14.

 

3

2

3

2

d 6

f x x





 



.Gọi

S

là tập hợp tất cả các số nguyên dương

k

thỏa mãn

2

1

2018.e 2018

e d

k

kx

x

k







. Số phần tử của tập hợp

S

bằng.

A.

7

. B.

8

. C. Vô số. D.

6

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 15. (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;3

 thỏa mãn

 

1

0

d 2

f x x





và

 

3

1

d 4

f x x





. Tính

 

3

1

d

f x x





.

A. 6. B. 4. C. 8. D. 2.

Câu 16. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên

m

để

 

2 2

2 2 2 2

0 0

2 d 2 d

x m x x m x

  

 

.

A. Vô số. B.

0

. C. Duy nhất. D.

2

.

Câu 17. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết

 

2

0

d 6

f x x x

 

 

 



và

   

2

0

3 d 10

f x g x x  

 



. Tính

   

2

0

2 +3 d

I f x g x x



 

 



.

A.

12

I



. B.

16

I



. C.

10

I



. D.

14

I



.

Câu 18. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết

 

2

0

d 6

f x x x

 

 

 



và

   

2

0

3 d 10

f x g x x  

 



. Tính

   

2

0

2 +3 d

I f x g x x



 

 



.

A.

12

I



. B.

16

I



. C.

10

I



. D.

14

I



.

Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

và . Tính

A. B. C. D.

Câu 19. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn

(0) 3

f



và

2

( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x

      



. Tích phân

2

0

( )d

xf x x





bằng

A.

4

3



. B.

2

3

. C.

5

3

. D.

10

3



.

Câu 20. Biết rằng hàm số thỏa mãn , và

(với , , ). Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



, thỏa mãn

 

3 5

1

f x

x x







,





1

f a



và





2

f b

 

.

Tính









1 2

f f 

.

A.









1 2

f f a b

    

. B.









1 2

f f a b

   

.

C.









1 2

f f a b

   

. D.









1 2

f f b a

   

.





f x





0;1

 

   

21 1

2

0 0

1

' 1 . .

4

x

e

f x dx x e f x dx



  

 





1 0

f



 

1

0

?

f x dx





2

e



2

e



e

1

e







2

f x ax bx c

  

 

1

0

7

d

2

f x x

 



 

2

0

d 2

f x x

 



 

3

0

13

d

2

f x x





a

b

c





P a b c

  

3

4

P

 

4

3

P

 

4

3

P



3

4

P



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 22. Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 4

1

f x

x x







,





1

f a



,





2

f b

 

.

Giá trị của biểu thức









1 2

f f 

bằng

A.

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

.

Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn khi .

Biết và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 57: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng và

thỏa , . Mệnh đề nào đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên đoạn





1;1



, thỏa mãn





0,f x x

  



và









2 0

f x f x



 

. Biết





1 1

f



, tính





1

f



.

A.





2

1

f e



 

. B.





3

1

f e

 

. C.





4

1

f e

 

. D.





1 3

f

 

.

Câu 24. Cho hàm số

f

liên tục,





1

f x

 

,





0 0

f



và thỏa

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





3

f

.

A.

0

. B.

3

. C.

7

. D.

9

.

Câu 25. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn





0

f x



khi





1,2

x 

. Biết

 

2

1

' 10

f x dx





và





 

2

1

'

ln 2

f x

dx

f x





. Tính





2

f

.

A.





2 10

f

 

. B.





2 20

f



. C.





2 10

f



. D.





2 20

f

 

.

Câu 26. Cho hàm số





y f x



có đồ thị





C

, xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều

kiện





0f x x

  



,

   





2

. ,f x x f x x



  



và





0 2

f



. Phương trình tiếp tuyến tại

điểm có hoành độ

1

x



của đồ thị





C

là.

A.

6 30

y x

 

. B.

6 30

y x

  

. C.

36 30

y x

 

. D.

36 42

y x

  

.

Câu 27. Cho hàm số





0

y f x

 

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt

x

g x f t

 



,









2

g x f x



. Tính

 

1

0

d

g x x



.

A.

1011

2

. B.

1009

2

. C.

2019

2

. D.

505

.

Câu 28. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn





0 9

f





và

   

2

9 9

f x f x x

 

  

 

 

. Tính









1 0

T f f 

.

A.

2 9ln2

T

 

. B.

9

T



. C.

1

9ln2

2

T   . D.

2 9ln2

T

 

.

Câu 29. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn









4 2

.

f x f x x x



 

. Biết





0 2

f



. Tính





2

f

.

A.

 

2

313

2

15

f  . B.

 

2

332

2

15

f  . C.

 

2

324

2

15

f  . D.

 

2

323

2

15

f  .





f x





0



f x





1,2

x

 

2

1

' 10





f x dx





 

2

1

'

ln 2





f x

dx

f x





2

f





2 10

 

f





2 20



f





2 10



f





2 20

 

f







y f x





0;







1 1



f









' 3 1

 

f x f x x





1 5 2

 

f





4 5 5

 

f





2 5 3

 

f





3 5 4

 

f

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 30. Cho hàm số





y f x



có





f x



liên tục trên nửa khoảng





0;



thỏa mãn

   

2

3 1 3.e

x

f x f x





  

. Khi đó:

A.

   

3

2

1 1

e 1 0

2

e 3

f f

  



. B.

   

3

2

1 1

e 1 0

4

2 e 3

f f

  



.

C.

   





2 2

3

e 3 e 3 8

e 1 0

3

f f

  

 

. D.

   





3 2 2

e 1 0 e 3 e 3 8

f f

    

.

Câu 114: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





f x



liên tục trên R thỏa mãn

   

 

2 2 2

0

2018

x

f x f t f t dt

 



   

 



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





1 2018

f e



. B.





1 2018

f  . C.





1 2018

f 

. D.





1 2018

f e

 .

Câu 116: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





f x



liên tục trên R thỏa mãn

   

 

2 2 2

0

2 4 2018

x

f x f t f t dt

 



   

 



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





2

1 1009

f e



. B.





1 1009

f e

 . C.





1 1009

f e



. D.





2

1 1009

f e

 .

Câu 31. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

,





f x

và





f x



đều nhận giá trị dương

trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 2

f



,

       

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

. Tính

 

1

3

0

d

f x x

 

 



.

A.

15

4

. B.

15

2

. C.

17

2

. D.

19

2

.

Câu 32. Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên





\ 0



thỏa mãn

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

với





\ 0

x 



và





1 2

f

 

. Tính

 

2

1

f x dx



.

A.

1

ln2

2

  . B.

3

ln2

2

  . C.

ln2

1

2

  . D.

3 ln2

2 2

  .

Câu 33. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 0

f



. Biết

 

1

2

0

9

d

2

f x x





và

 

1

0

3

cos d

2 4

x

f x x

 







. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1



. B.

4



. C.

6



. D.

2



.

Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và thỏa . Tính .

A. . B. . C. . D. .





f x





0;



 

2

0

.cos







x

f t dt x x





4

f





4 123

f

 

2

4

3



f

 

3

4



f

 

1

4



f

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 34. Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0; 1

, thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

 

và

 

1

2

0

d 4

f x x



 

 



. Giá trị của tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



bằng

A.

1

. B.

8

. C.

10

. D.

80

.

Câu 35. Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn





4;8

và





0 0

f



với





4;8

x 

. Biết rằng

 

2

8

4

1

f x

dx

f x



 

 



 

 



và

   

1 1

4 , 8

4 2

f f

 

. Tính





6

f

.

A.

5

8

. B.

2

3

. C.

3

8

. D.

1

3

.

Câu 36. Suy ra

   

2 2

0 0

4 d 8 d 2

f x x f x x

  

 

. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0; 1





thỏa

mãn điều kiện





1 2ln 2

f  

và













2

1 .

x x f x f x x x



   

. Giá trị





2 ln 3

f a b 

, với

,a b





. Tính

2 2

a b



.

A.

25

4

. B.

9

2

. C.

5

2

. D.

13

4

.

Câu 37. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên



và thỏa mãn









1;1

f x



 

với





0;2

x 

. Biết









0 2 1

f f

 

. Đặt

 

2

0

d

I f x x





, phát biểu nào dưới đây đúng?

A.





;0

I  

. B.





0;1

I 

. C.





1;I

 

. D.





0;1

I 

.

Câu 38. Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1

f



và

       

1 1

2

0 0

1

3 d 2 d

9

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



:

A.

3

2

. B.

5

4

. C.

5

6

. D.

7

6

.

Câu 39. Cho hai hàm số





f x

và





g x

có đạo hàm trên đoạn





1;4

và thỏa mãn hệ thức









       

1 1 4

. ; .

f g

g x x f x f x x g x

 





 

   





. Tính

   

4

1

d

I f x g x x

 

 

 



.

A.

8ln2

. B.

3ln2

. C.

6ln2

. D.

4ln2

.

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1

Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn

[ ; ].

a b

Giả sử hàm số

( )

u u x



có đạo hàm liên tục trên

đoạn

[ ; ]

a b

và

( ) .

u x

 

 

Giả sử có thể viết

( ) ( ( )) '( ), [ ; ],

f x g u x u x x a b

 

với

g

liên tục trên

đoạn

[ ; ].

 

Khi đó, ta có

( )

( ) ( ) .

u b

b

a u a

I f x dx g u du

 

 

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Có

( )

f x

( )

t f x



3

0

1

x dx

I

x







. Đặt

1

t x

 

Có

( )

n

ax b



t ax b

 

1

2016

0

( 1)

I x x dx

 



. Đặt

1

t x

 

Có

( )

f x

a

( )

t f x



tan 3

4

2

0

cos

x

e

I dx

x









. Đặt

tan 3

t x

 

Có

ln

dx

và x

x

ln

t x



hoặc biểu thức

chứa

ln

x

1

ln

(ln 1)

e

xdx

I

x x







. Đặt

ln 1

t x

 

Có

x

e dx

x

t e



hoặc biểu thức

chứa

x

e

ln2

2

0

3 1

x x

I e e dx

 



. Đặt

3 1

x

t e

 

Có sin

xdx

cos

t x



3

2

0

sin cos

I x xdx







. Đặt

sin

t x



Có cos

xdx

sin

t xdx



3

0

sin

2cos 1

x

I dx

x









Đặt

2cos 1

t x

 

Có

2

cos

dx

x

tan

t x



2

4 4

4 2

0 0

1 1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

 

Đặt

tan

t x



Có

2

sin

dx

x

cot

t x



cot cot

4

2

6

1 cos2

2sin

x x

e e

I dx dx

x



 



 

. Đặt

cot

t x



Câu 1. Giá trị của tích phân

   

100

0

1 ... 100 d

x x x x

 



bằng

A.

0

. B.

1

. C.

100

. D. một giá trị khác.

Câu 2. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho

n

là số nguyên dương khác

0

, hãy tính tích phân

 

1

2

0

1 d

n

I x x x

 



theo

n

.

A.

1

2 2

I

n





. B.

1

2

I

n



. C.

1

2 1

I

n





. D.

1

2 1

I

n





.

Câu 3. (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân

 

2

1

2

0

1

d ln

1

x

I x a b c

x



  





, trong đó

a

;

b

;

c

là các số

nguyên. Tính giá trị của biểu thức

a b c

 

.

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

0

.

Câu 4. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết

1

2

0

2

d ln 12 ln 7

4 7

x

x a b

x x



 

 



,

với

a

,

b

là các số nguyên, khi đó

3 3

a b



bằng

A.

9



. B.

0

. C.

9

. D.

7

.

Câu 5. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho

2

0

d ln3

2 4



 

 



x

x a b

x x

với

a

,

b

là

các số thực. Giá trị của

2 2

3



a b

bằng

A.

7

27

. B.

1

2

. C.

5

18

. D.

35

144

.

Câu 6. Tích phân

2

2001

2 1002

1

(1 )

x

I dx

x







có giá trị là

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1001

1

2002.2

. B.

1001

1

2001.2

. C.

1002

1

2001.2

. D.

1002

1

2002.2

.

Câu 7. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số hữu tỉ.

Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho

8

3

1 1

d ln

2

1

a c

I x

b d

x x x

  

 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và

,

a c

b d

tối giản. Giá trị của

abc d



bằng

A.

6



. B.

18

. C.

0

. D.

3



.

Câu 9. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số

hữu tỉ.

Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Biết

 

2

1

d

1 1

x

a b c

x x x x

  

  



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương. Tính

P a b c

  

.

A.

44

P



. B.

42

P



. C.

46

P



. D.

48

P



.

Câu 11. Tích phân

1

2 3

2

0

1

a x ax

I dx

ax









, với

0

a



có giá trị là:

A.





2

4

a a

I





. B.





2

a a

I





. C.





2

4

a a

I





. D.





2

a a

I





.

Câu 12. Biết rằng

1

2

0

d 2

2ln

1

4 3

x a

b

x x

 





 



 

 



với

a

,

b

là các số nguyên dương. Giá trị của

a b



bằng

A.

3

. B.

5

. C.

9

. D.

7

.

Câu 13. Biết

2

3

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2 d

a

x x c

x x x b

 

   

 

 



, với

, ,

a b c

nguyên dương,

a

b

tối giản và



c a

. Tính

  

S a b c

A.

51



S . B.

67



S . C.

39



S . D.

75



S .

Câu 14. Cho số thực dương

0

k



thỏa

 

2

0

ln 2 5

dx

x k

 





. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

3

2

k



. B.

1

0

2

k

 

. C.

1

2

k

 

. D.

3

1

2

k

 

.

Câu 15. Giả sử

2

4

1

1 1

d

x b

x a a b

x c b c



 

 

 



 



với , ,a b c





;

1 , , 9

a b c

 

. Tính giá trị của biểu

thức

2

b a

a c

C





.

A.

165

. B.

715

. C.

5456

. D.

35

.

1

2

d

ln 2 ln3 ln5

5 3 9

x

a b c

x x



  

  



, ,

a b c

 

10



5



10

5

 

4

0

d

ln3 ln 5 ln7

4 1 5 2 1

x

a b c

x x

  

  



, ,

a b c

 

0

4

3



1

4

3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

3

0

ln 2 ln3

3

4 2 1

x a

dx b c

x

  

 



với

a,b,c

là các số nguyên. Giá trị

a b c

 

bằng:

A.

9

B.

2

C.

1

D.

7

Câu 17. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

1

3

1

2

1

d ln

1

x b

x d

x a c

 

 

 



 



, với

, , ,

a b c d

là các số nguyên dương và

b

c

tối giản. Giá trị của

a b c d

  

bằng

A.

12

B.

10

C.

18

D.

15

Câu 18. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân

2 3

2

2 2

1 2

1 1 .

1 . 14 .d 3

a

I x x c d

x x b





 

      

 

 



, trong đó

( , , ,a b c d





,

a

b

là phân số tối

giản). Tính tổng

S a b c d

   

.

A.

3

S



. B.

7

S



. C.

2

S



. D.

11

S



.

Câu 19. (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Biết

2

3

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2

a

x dx c

x x x b

 

   

 

 



với

a

,

b

,

c

nguyên dương,

a

b

tối giản và

c a



. Tính

S a b c

  

.

A.

51

S



. B.

39

S



. C.

67

. D.

75

.

Câu 20. (THTT số 3) Cho tích phân

1

0

1

d

1

x a m

x

x b n





 





, với

, , ,a b n m







, các phân số

,

a m

b n

tối

giản. Tính

b n

a m



.

A. 3. B. 5. C. 8. D. 2.

Câu 21. (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho

1

3

1

2

1

ln ,

1

x b

dx d

x a c

 

 

 



 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và

b

c

tối giản. Giá trị của

a b c d

  

bằng

A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của

a

trong đoạn

;2

4



 

 

 

thỏa mãn

0

sin 2

d

3

1 3cos

a

x







.

A.

2

. B.

1

. C.

4

. D.

3

.

Câu 23. Nếu

6

0

1

sin cos d

64

n

x x x







thì

n

bằng

A.

3.

B.

4.

C.

5.

D.

6.

Câu 24. Cho các tích phân

0

1

1 tan

I dx

x









và

0

sin

cos sin

x

J dx

x x









với

0;

4





 



 

 

, khẳng định sai là

A.

0

cos

cos sin

x

I dx

x x









. B.

ln sin os

I J c

 

  

.

C.

ln 1 tan

I



 

. D.

I J



 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 25. Cho biết

4

0

cos

ln 2

sin cos

x

dx a b

x x



 





với

a

và

b

là các số hữu tỉ. Khi đó

a

b

bằng:

A.

1

4

. B.

3

8

. C.

1

2

. D.

3

4

.

Câu 26. Tích phân

 

3

2

3

sin

cos 3sin

x

I dx

x x











có gái trị là:

A.

3 3 2 3

ln

16 8

3 2

I

 



 

 

 

 

. B.

3 3 2 3

ln

8 8

3 2

I

 



 

 

 

 

.

C.

3 3 2 3

ln

8 8

3 2

I

 



  

 

 

 

. D.

3 3 2 3

ln

16 8

3 2

I

 



  

 

 

 

.

Câu 27. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết

 

2

0

3sin cos 11

ln2 ln3 ,

2sin 3cos 3

x x

dx b c b c Q

x x



 

   





. Tính

b

c

?

A.

22

3

. B.

22

3



. C.

22

3



. D.

22

13



.

Câu 28. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết

 

23

4 3

4

cos sin cos 1

d ln2 ln 1 3

cos sin cos

x x x

x a b c

x x x



 

   





, với

, ,

a b c

là các

số hữu tỉ. Giá trị của

abc

bằng

A.

0

. B.

2



. C.

4



. D.

6



.

Câu 29. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 









2

4

1 cos sin cot

sin

x x x

F x dx

x

 





và

S

là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 

2

F x F



 



 

 

trên khoảng





0;4



. Tổng

S

thuộc khoảng

A.





6 ;9

 

. B.





2 ;4

 

. C.





4 ;6

 

. D.





0;2



.

Câu 30. Tích phân

 

2

3

cos sin

cos 1 cos

x

x x

I dx

e x x











có giá trị là:

A.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





. B.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





. D.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





.

Câu 31. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết

2018

2018 2018

0

sin

d

sin cos

a

x x

x

x x b









, trong đó

a

,

b

là

các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức

2 3

P a b

  là

A.

32

P



. B.

194

P



. C.

200

P



. D.

100

P



.

Câu 32. Xét tích phân

4

2 2

0

1

3sin 2cos 2

A dx

x x





 



. Bằng cách đặt

tan ,

t x



tích phân A được biến đổi

thành tích phân nào sau đây.

A.

1

2

0

1

4

dt

t 



. B.

1

2

0

1

4

dt

t 



. C.

1

2

0

1

2

dt

t 



. D.

1

2

0

1

2

dt

t 



.

Câu 33. Đặt

tan

2

x

t  thì

2

6

0

1

cos

2

I dx

x







được biến đổi thành

 

1

0

2

f t dt



. Hãy xác định





f t

:

A.





2 4

1 2 .

f t t t

  

B.





2 4

1 2 .

f t t t

  

C.





2

1 .

f t t

 

D.





2

1 .

f t t

 

Câu 34. Biết

26

2

6

cos 3

d

1

x x

x a

b c

x x



 



  

 



với

a

,

b

,

c

,

d

là các số nguyên. Tính

M a b c

  

.

A.

35

M



. B.

41

M



. C.

37

M

 

. D.

35

M

 

.

Câu 35. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho





f x

là hàm số chẵn

trên đoạn





;

a a



và

0

k



. Giá trị tích phân





d

1 e

a

kx

a

f x

x







bằng

A.

 

0

d

a

f x x



. B.

 

d

a

f x x





. C.

 

2 d

a

f x x





. D.

 

0

2 d

a

f x x



.

Câu 36. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 

e

2

1

2ln 1

d ln

ln 2

x a c

x

b d

x x



 





với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương, biết

;

a c

b d

là các phân số tối giản. Tính giá trị

a b c d

  

?

A.

18

. B.

15

. C.

16

. D.

17

.

Câu 37. (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết

1

3 3

0

2 e 2 1 1 e

d .ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số nguyên dương. Tính tổng

P m n p

  

A.

5

P



. B.

6

P



. C.

8

P



. D.

7

P



.

Câu 38.

 

e

2

1

2ln 1

d ln

ln 2

x a c

x

b d

x x



 





với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương, biết

;

a c

b d

là các phân số tối

giản. Tính giá trị

a b c d

  

?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

18

. B.

15

. C.

16

. D.

17

.

Câu 39. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho





 

3 2

3

1

e

3 1 ln 3 1

d . .ln 1

1 l

e e

n

x x x

x a b c

x x

  

   





với

, ,

a b c

là các số nguyên và

ln

e

1



. Tính

2 2 2

P a b c

  

.

A.

9

P



. B.

14

P



. C.

10

P



. D.

3

P



.

Câu 40. Biết rằng:

ln 2

0

1 1 5

d ln 2 ln2 ln .

2 1 2 3

a

x

x x b c

e

 

   

 



 



Trong đó

, ,

a b c

là những số nguyên. Khi

đó

S a b c

  

bằng:

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

5

.

Câu 41. Cho





 

2

1

0

e

d .e ln e

e

x

x x

x a b c

x





  





với

a

,

b

,

c





. Tính

2

P a b c

  

.

A.

1

P



. B.

1

P

 

. C.

0

P



. D.

2

P

 

.

Câu 42. Biết





2

1

0

5 6 e

e

d e ln

2 e 3



 



  

 



x

x x

a c

x a b

x

với

a

,

b

,

c

là các số nguyên và

e

là cơ số của

logarit tự nhiên. Tính 2

  

S a b c

.

A.

10



S . B.

0



S . C.

5



S . D.

9



S .

Câu 43.

1

3 3

0

2 e .2 1 1 e

d ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số nguyên dương. Tính

tổng

S m n p

  

.

A.

6

S



. B.

5

S



. C.

7

S



. D.

8

S



.

Câu 44. Biết





3 2

1

2 3

0

1

ln 3 ln

2

3

1 27 27 3 3

9

x x x x

I dx ae e e

x

 

 

 

 

     



, a là các số hữu tỉ. Giá

trị của a là:

A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6.

Câu 45. Cho tích phân





2

4 2

1 ln 1

ln2

ln 2

e

x x

ae be

I dx c d

x x

 



   



. Chọn phát biểu đúng nhất:

A.

a b c d

  

B.

2

1

a b c

d

  

C. A và B đúng D. A và B sai

Câu 46. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

1

2

2 .cos

, ,

1 2

x

x a

dx a b

b





 







. Khi đó

.

a b

bằng

A.

1

2

. B. 0. C. 2. D. 1

Câu 47. Tính tích phân

2

2016

2

d .

1

x

I x

e









A.

0

I



. B.

2018

2

2017

I 

. C.

2017

2

2017

I 

. D.

2018

2

2018

I 

.

Câu 48. Biết tích phân

2

22

2

1 .

1 2 8

x

x a b

dx





 







trong đó

,a b





. Tính tổng

a b



?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 0. B. 1. C. 3. D. -1

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

Câu 49. Biết rằng

2

4

1

d

6

6 5

a b

x

x x







  



trong đó

a

,

b

là các số nguyên dương và

4 5

a b

  

.

Tổng

a b



bằng

A.

5

. B.

7

. C.

4

. D.

6

.

Câu 50. Tích phân

1

2

0

3 4

3 2

x

I dx

x x





 



có giá trị là:

A.

7

4 3 8

6

I



  

. B.

7

4 3 8

6

I



  

.

C.

7

4 3 8

6

I



  

. D.

7

4 3 8

6

I



  

.

Câu 51. Cho

1

2

0

1 2 1

I x x dc a b



    



với

,

a b R



. Giá trị

a b



gần nhất với

A.

1

10

B. 1 C.

1

5

D.

2

Câu 52. Tích phân

  

3

5

2

1 3

I x x dx

  



có giá trị là:

A.

3

6 4

I



  . B.

3

3 8

I



  . C.

3

6 8

I



  . D.

3

3 8

I



  .

Câu 53. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





4

tan cos



f x x

,

 



x . Tính

 

1

0

d





I f x x

.

A.

2

8





. B.

1

. C.

2

4





. D.

4



.

Câu 54. Tính tích phân

 

6 2

4 23

4

1

4 3 2

d 3 4

1 8

x x

x a b c

x





  

   





. Với

a

,

b

,

c

là các số nguyên.

Khi đó biểu thức

2 4

a b c

 

có giá trị bằng

A.

20

. B.

241

. C.

196

. D.

48

.

Câu 55. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



liên tục trên

đoạn





0;4

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 6 2 4

xf x f x x

  

. Tính tích phân

 

4

0

d

f x x



.

A.





5

I

. B.





2

I

. C.





20

I

. D.





10

I

.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1

Câu 1. Cho

 

2

1

1 d 2

f x x x

 



. Khi đó

 

5

2

d

I f x x





bằng

A.

2

. B.

1

. C.

1



. D.

4

.

Câu 2. Cho hàm số





f x

liên tục trên





1;



và

 

3

0

1 d 8

f x x

 



. Tích phân

 

2

1

d

I xf x x





bằng:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

16

I



. B.

2

I



. C.

8

I



. D.

4

I



Câu 3. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho

 

2

1

d 2

I f x x

 



. Giá

trị của





2

0

sin . 3cos 1

d

3cos 1

x f x

J x

x











bằng

A. 2. B.

4

3



. C.

4

3

. D.

2



.

Câu 4. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và có

   

1 3

0 0

d 2; d 6

f x x f x x

 

 

. Tính

 

1

2 1 d

I f x x



 



.

A.

2

3

I



. B.

4

I



. C.

3

2

I



. D.

6

I



.

Câu 5. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;4

và

 

2

0

d 1

f x x





;

 

4

0

d 3

f x x





. Tính

 

1

3 1 d

f x x





.

A.

4

. B.

2

. C.

4

3

. D.

1

.

Câu 6. Cho





f x

là hàm số liên tục trên



và

 

1

0

d 4

f x x





,

 

3

0

d 6

f x x





. Tính

 

1

2 1 d

I f x x



 



.

A.

3

I



. B.

5

I



. C.

6

I



. D.

4

I



.

Câu 7. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa

 

1

0

2 d 2

f x x





và

 

2

0

6 d 14

f x x





. Tính

 

2

5 2 d

f x x







.

A.

30

. B.

32

. C.

34

. D.

36

.

Câu 8. Cho tích phân

 

2

0

cos . sin 8

I x f x dx

 





. Tính tích phân

 

2

0

sin . cos

K x f x dx







.

A.

8

K

 

. B.

4

K



. C.

8

K



. D.

16

K



.

Câu 9. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









2 3

f x f x



, x

 



. Biết rằng

 

1

0

d 1

f x x





.

Giá trị của tích phân

 

2

1

d

I f x x





bằng bao nhiêu?

A.

5

I



. B.

3

I



. C.

8

I



. D.

2

I



.

Câu 10. Cho hàm số





y f x



liên tục và có đạo hàm trên



thỏa mãn





2 2

f



;

 

2

0

d 1

f x x





. Tính

tích phân

 

4

0

d

I f x x







.

A.

10

I

 

. B.

5

I

 

. C.

0

I



. D.

18

I

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 11. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





16

1

d 6

f x

x





và

 

2

0

sin cos d 3

f x x x







. Tính

tích phân

 

4

0

d

I f x x





.

A.

2

I

 

. B.

6

I



. C.

9

I



. D.

2

I



.

Câu 12. Cho





f x

liên tục trên



thỏa





9

1

d 4

f x

x





và

 

2

0

sin cos d 2

f x x x







. Tính

 

3

0

d

I f x x





.

A.

10

I



. B.

6

I



. C.

4

I



. D.

2

I



.

Câu 13. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





2 1

ln

f x

x

f x

x



 

. Tính tích phân

 

4

3

d

I f x x





.

A.

2

3 2 ln 2

I  

. B.

2

2ln 2

I



. C.

2

ln 2

I



. D.

2ln2

I



.

Câu 14. Cho và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hàm





f x

liên tục trên



thỏa mãn

 

4

0

tan d 3

f x x







và





2

1

2

0

d 1

1

x f x

x







. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.

4

. B.

2

. C.

5

. D.

1

.

Câu 16. Cho hàm số





f x

liên tục trên R và

 

2

1

4

2

0 0

tan d 4; d 2

1

x f x

f x x x

x



 



 

. Tính

 

1

0

d

I f x x





.

A.

6

I



. B.

2

I



. C.

3

I



. D.

1

I



.

Câu 17. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa

 

2018

0

d 2

f x x





. Khi đó tích phân

 

2018

e 1

2

0

ln 1 d

1

x

f x x

x







bằng

A.

4

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của

m

để

 

3

0

10

3

9

m

x x dx f

 



  

 

 



, với





15

ln

f x x



.

A.

20

m



. B.

4

m



. C.

5

m



. D.

3

m



.

Câu 19. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









4

f x f x

 

. Biết

 

3

1

d 5

xf x x





. Tính

 

3

1

d

I f x x





.

A.

5

2

I



. B.

7

2

I



. C.

9

2

I



. D.

11

2

I



.

 

1

0

2 1 d 12

f x x

 



 

2

0

sin sin 2 d 3

f x x x







 

3

0

d

f x x



26

22

27

15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 20. Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





1;3

thỏa mãn













4 , 1;3

f x f x x   

và

 

3

1

d 2

xf x x

 



. Giá trị

 

3

1

d

f x x



bằng

A.

2

. B.

1



. C.

2



. D.

1

.

Câu 21. (Chuyên KHTN) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



thỏa mãn

8

3

2

0 1

( )

tan . (cos ) 6

f x

x f x dx dx

x



 

 

.

Tính tích phân

2

1

2

( )

f x

dx

x



A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

Câu 22. Cho hàm số

f

liên tục trên đoạn





6;5



, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như

hình vẽ. Tính giá trị

 

5

6

2 d

I f x x



 

 

 



.

A.

2 35

I



 

. B.

2 34

I



 

. C.

2 33

I



 

. D.

2 32

I



 

.

Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





6

e

1

ln

d 6

f x

x





và

 

2

0

cos sin 2 d 2

f x x x







. Tích phân

 

3

1

2 d

f x x





bằng

A.

10

. B.

16

. C.

9

. D.

5

.

Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

 

4

2

0

tan . cos d 2

x f x x







và





2

ln

d 2

ln

e

f x

x

x x





. Tính





2

1

4

2

d

f x

x



.

A.

0

. B.

1

. C.

4

. D.

8

.

Câu 25. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



và thỏa mãn





2

5 d 1

f x x x



  



,





5

2

1

d 3

f x

x





. Tích phân

 

5

1

d

f x x



bằng

A.

15



. B.

2



. C.

13



. D.

0

.

Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa





3

2

0

16 d 2019

f x x x  



,





8

2

4

d 1

f x

x





. Tính

 

8

4

d

f x x



.

A.

2019

. B.

4022

. C.

2020

. D.

4038

.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2

Cho hàm số





f x

thỏa mãn :

















. . . .

A f x B u f u C f a b x g x



    

O

x

y

5

4



6



1



3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Với





 

u a a

u b b















thì

   

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

.

+) Với





 

u a b

u b a















thì

   

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

.

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số

, ,

A B C

.

Nếu





f x

liên tục trên





;

a b

thì

   

b b

a a

f a b x dx f x dx

  

 

.

Câu 27. Cho hàm số





f x

liên tục trên





0;1

thỏa mãn

 

2 3

6

3 1

f x x f x

x

 



. Tính

 

1

0

d

f x x



A.

2

. B.

4

. C.

1



. D.

6

.

Câu 28. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 3 1 1

xf x f x x

   

. Tích

phân

 

1

0

d

I f x x





bằng

A.

4

I





. B.

6

I





. C.

20

I





. D.

16

I





Câu 29. Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên





0;2

và thỏa mãn điều kiện









2 2

f x f x x

  

. Tính giá trị

của tích phân

 

2

0

I f x dx





.

A.

4

I

 

. B.

1

2

I



. C.

4

3

I



. D.

2

I



.

Câu 30. Xét hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn









2 3 1 1

f x f x x

   

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

3

. B.

1

6

. C.

2

15

. D.

3

5

.

Câu 31. Xét hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn điều kiện









2 3 1 1

f x f x x x

   

.

Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

1

25

I 

. B.

4

15

I

 

. C.

1

15

I

 

. D.

4

75

I 

.

Câu 32. Xét hàm số





f x

liên tục trên





1;2



và thỏa mãn













2 3

2 2 3 1 4

f x xf x f x x

     . Tính

giá trị của tích phân

 

2

1

I f x dx







.

A.

5

I



. B.

5

2

I



. C.

3

I



. D.

15

I



.

Câu 33. Hàm số





f x

liên tục trên





1;2



và thỏa mãn điều kiện









2

2 3 .

f x x xf x

    Tính giá

trị của

 

2

1

d

I f x x







A.

14

3

I



. B.

28

3

I 

. C.

4

3

I



. D.

2

I



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 34. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn

 

2

1

1 3 1

1

f x xf x f x

x

    



. Tính giá

trị của tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

9

ln 2

2

I 

. B.

2

ln 2

9

I 

. C.

4

3

I



. D.

3

2

I



.

Câu 35. Cho hàm số





y f x



và thỏa mãn

 

3

3 4

2

8 0

1

x

f x x f x

x

  



. Tích phân

 

1

0

2

a b

I f x dx

c



 



với

, ,a b c





và

;

a b

c c

tối giản. Tính

a b c

 

A.

6

. B.

4



. C.

4

. D.

10



.

Câu 36. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





ln2;ln2



và thõa mãn

   

1

x

f x f x

e

  



. Biết

 

ln2

d ln2 ln3

f x x a b



 



, với

,a b





. Tính giá trị của

P a b

 

.

A.

1

2

P



. B.

2

P

 

. C.

1

P

 

. D.

2

P



.

Câu 37. Biết hàm số

2

y f x

 

 

 

 



là hàm số chẵn trên đoạn

;

2 2

 



 

 

 

và

 

sin cos

2

f x f x x x

 

   

 

 



. Tính

 

2

0

I f x dx







.

A.

0

I



. B.

1

I



. C.

1

2

I



. D.

1

I

 

.

Câu 38. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



,





0 0

f



và

 

sin .cos

2

f x f x x x



 

  

 

 

với

x

 



. Giá trị của tích phân

 

2

0

xf x dx







bằng

A.

4





. B.

1

4

. C.

4



. D.

1

4



.

Câu 39. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

   

2

1 2x 1 2x ,

1

x

f f x

x

     





. tính tích

phân

 

3

1

I f x dx







.

A.

2

I



 

. B.

1

4

I



 

. C.

1

2 8

I



 

. D.

4

I





.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3

Cách giải: Lần lượt đặt





t u x



và





t v x



để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn





f x

) để suy ra hàm số





f x

(nếu





u x x



thì chỉ cần đặt một lần





t v x



).

Các kết quả đặc biệt:

Cho













. .

Af ax b B f ax c g x

    

với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .

x b x c

A g B g

a a

f x

A B

 

   



   



   





(*)

+)Hệ quả 1 của (*):

       









2 2

. .

A g x B g x

A f x B f x g x f x

A B

 

    



+)Hệ quả 2 của (*):

       





. .

g x

A f x B f x g x f x

A B

    



với





g x

là hàm số chẵn.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 40. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và

 

1

2 3

f x f x

x

 

 

 

 

. Tính





2

1

2

f x

I dx

x





.

A.

3

2

I



. B.

1

I



. C.

1

2

I



. D.

1

I

 

.

Câu 41. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số





y f x

 liên tục trên

1

;3

3

 

 

 

thỏa mãn

 

3

1

.

f x x f x x

x

 

  

 

 

. Giá trị tích phân





3

2

1

3

d

f x

I x

x x







bằng

A.

8

9

. B.

2

3

. C.

3

4

. D.

16

9

.

Câu 42. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 15

2 3 3

2

x

f x f

x

 

  

 

 

,

 

9

3

d

f x x k





. Tính

3

2

1

2

1

d

I f x

x

 



 

 



theo

k

.

A.

45

9

k

I



 

. B.

45

9

k

I





. C.

45

9

k

I





. D.

45 2

9

k

I





.

Câu 43. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

  

. Tính giá trị

của

 

2

d

I f x x









.

A.

2

2019

I 

. B.

2

1009

I 

. C.

4

2019

I 

. D.

1

1009

I 

.

Câu 44. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018

x

f x f x e

  

. Tính giá trị của

 

1

I f x dx







A.

2

1

2019e

e

I





. B.

2

1

2018e

e

I





. C.

0

I



. D.

2

1

e

I

e





.

Câu 45. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



, thỏa mãn









2

2 2 1 12

f x f x x

  

. Phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x



tại điểm có hoành độ bằng

1

là

A.

2 2

y x

 

. B.

4 6

y x

 

. C.

2 6

y x

 

. D.

4 2

y x

 

.

Câu 46. Cho





f x

là hàm số chẵn, liên tục trên



thỏa mãn

 

1

0

2018





f x dx

và





g x

là hàm số liên

tục trên



thỏa mãn









1

  

g x g x

,

 



x . Tính tích phân

   

1

1





I f x g x dx

.

A.

2018



I . B.

1009

2

I

. C.

4036



I . D.

1008



I .

Câu 47. Cho số dương

a

và hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









f x f x a

  

, x

 



. Giá trị

của biểu thức

 

d

a

f x x





bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2

a

. B.

a

. C.

2

a

. D.

2

a

.

Câu 48. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa điều kiện









2sin

f x f x x

  

. Tính

 

2

d

f x x







A.

1



. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Câu 49. Cho

( )

f x

là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính tích phân

 

3

2

3

2

d

I f x x









.

A.

3

I



. B.

4

I



. C.

6

I



. D.

8

I



.

Câu 50. Cho hàm số





y f x



liên tục trên R và thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính

 

2

I f x dx









.

A.

1

I

 

. B.

1

I



. C.

2

I

 

. D.

2

I



.

Câu 51. Cho hàm số liên tục trên và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 52. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





ln2;ln2



và thỏa mãn

   

1

x

f x f x

e

  



.

Biết

 

ln2

d ln2 ln3

f x x a b



 







;a b



. Tính

P a b

 

.

A.

1

2

P



. B.

2

P

 

. C.

1

P

 

. D.

2

P



.

Câu 53. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện









2 3 1 1

   

f x f x x x

. Tính

tích phân

 

1

0





I f x dx

.

A.

4

15

 

I

. B.

1

15



I

. C.

4

75

I

. D.

1

25

I

.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

Câu 54. Cho





f x

và





g x

là hai hàm số liên tục trên





1,1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là hàm số

lẻ. Biết

 

1

0

5

f x dx





và

 

1

0

7

g x dx





. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

 

1

10

f x dx







. B.

 

1

14

g x dx







.

C.

   

1

10

f x g x dx



 

 

 

. D.

   

1

10

f x g x dx



 

 

 

.





f x











2

3 2 tan

f x f x x

  

 

π

4

π

4

d

f x x





π

1

2



π

1

2



π

1

4



π

2



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 56. Cho hàm số





y f x



là hàm lẻ và liên tục trên





4;4



biết

 

0

2

d 2

f x x



 



và

 

2

1

2 d 4

f x x

 



. Tính

 

4

0

d

I f x x





.

A.

10

I

 

. B.

6

I

 

. C.

6

I



. D.

10

I



.

Câu 57. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn





y f x

 liên tục trên



và





1

2

d 8

1 5

x

f x

x









. Giá trị của

 

2

0

d

f x x



bằng:

A.

8

. B.

2

. C.

1

. D.

16

.

Câu 58. Cho





f x

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn





1; 1



và

 

1

d 2

f x x







. Kết quả





1

d

1 e

x

f x

I x









bằng

A.

1

I



. B.

3

I



. C.

2

I



. D.

4

I



.

Câu 59. Cho





y f x



là hàm số chẵn và liên tục trên

.



Biết

   

1 2

0 1

1

d d 1

2

f x x f x x

 

 

. Giá trị của





2

d

3 1

x

f x

x







bằng

A.

1

. B.

6

. C.

4

. D.

3

.

Câu 60. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









3

,f x f x x x

   



. Tính

 

2

0

I f x dx





A.

2

I



. B.

3

2

I



. C.

1

2

I



. D.

5

4

I



.

Câu 61. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn













3 2

2 3 6

f x f x f x x

  

, x

 



. Tính tích

phân

 

5

0

d

I f x x





.

A.

5

4

I



. B.

5

2

I



. C.

5

12

I



. D.

5

3

I



.

Câu 62. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









3

2 1

x f x f x

  

, x

 



. Tính

 

1

2

d

I f x x







.

A.

7

4

I



. B.

7

2

I



. C.

7

3

I



. D.

5

4

I



.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

Bài toán: “ Cho









2

.

f x f a b x k

  

, khi đó

 

d

2

b

a

x b a

I

k f x k



 





Chứng minh:

Đặt

t a b x

  

 

2

dt dx

k

f x

f t

 















và

x a t b

  

;

x b t a

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó

 





 

2

f d

d d 1

b b b

a a a

x x

I

k

k f x k k f x

k

f t

  

 



  

.

 





 

f d

d 1

2

b b

a a

x x

x

I

k f x k k f x

  

 

 

 

1 1

d

b

a

x b a

k k

 



2

b a

I

k



 

.

Câu 63. Cho hàm số





f x

liên tục và nhận giá trị dương trên





0;1

. Biết









. 1 1

f x f x

 

với





0;1

x 

. Tính giá trí

 

1

0

d

1

x

I

f x







A.

3

2

. B.

1

2

. C.

1

. D.

2

.

Câu 64. Cho hàm số





f x

liên tục trên



, ta có





0

f x



và









0 . 2018 1

f f x

 

. Giá trị của tích

phân

 

2018

0

d

1

x

I

f x







A.

2018

I



. B.

0

I



C.

1009

I



D.

4016

Câu 65. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm, liên tục trên



và





0

f x



khi





0;5

x

.

Biết









. 5 1

f x f x

 

,

tính tích phân

 

5

0

d

1

x

I

f x







.

A.

5

4

I



. B.

5

3

I



. C.

5

2

I



. D.

10

I



.

Câu 66. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









4

f x f x

 

. Biết

 

3

1

d 5

xf x x





. Tính

tích phân

 

3

1

d

f x x



.

A.

5

2

. B.

7

2

. C.

9

2

. D.

11

2

.

Câu 67. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên R và





0

f x



khi x  [0; a] (

0

a



). Biết









. 1

f x f a x

 

, tính tích phân

 

0

1

a

dx

I

f x







.

A.

2

a

I



. B.

2

I a



. C.

3

a

I



. D.

4

a

I



.

Câu 68. Cho





f x

là hàm liên tục trên đoạn





0;

a

thỏa mãn









 

 

. 1

0, 0;

f x f a x

f x x a

 







  





và

 

0

d

,

1

a

x ba

f x c







trong đó

b

,

c

là hai số nguyên dương và

b

c

là phân số tối giản. Khi đó

b c



có giá trị thuộc

khoảng nào dưới đây?

A.





11;22 .

B.





0;9 .

C.





7;21 .

D.





2017;2020 .

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6

Câu 69. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;4

, đồng biến trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

đẳng thức





2 .

x x f x



 

2

f x





 

 

,





1;4

x 

. Biết rằng

 

3

1

2

f



, tính

 

4

1

d

I f x x





?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1186

45

I 

. B.

1174

45

I 

. C.

1222

45

I 

. D.

1201

45

I 

.

Câu 70. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



thỏa mãn

 

3 2

1

2

3 .e 0

f x x

x

f x

 



 

và





0 1

f



. Tích phân

 

7

0

. d

x f x x



bằng

A.

2 7

3

. B.

15

4

. C.

45

8

. D.

5 7

4

.

Câu 71. Cho hàm số





4 3 2

4 3 1

f x x x x x

    

, x

 



. Tính

   

1

2

0

. d

I f x f x x







.

A.

2

. B.

2



. C.

7

3



. D.

7

3

.

Câu 72. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;1

và





0

f x



,





0;1

x 

. Biết rằng

1

2

f a

 



 

 

,

3

2

f b

 



 

 

và









2 4

x xf x f x



  

,





0;1

x 

. Tính tích phân

 

23

2

6

sin .cos 2sin2

sin

d

x x x

I x

f x









theo

a

và

b

.

A.

3

4

a b

I

ab





.

B.

3

4

b a

I

ab





. C.

3

4

b a

I

ab





. D.

3

4

a b

I

ab





.

Câu 73. Cho hàm số

f

liên tục,





1

f x



,





0 0

f



và thỏa

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





3

f

.

A.

0

. B.

3

. C.

7

. D.

9

.

Câu 74. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và

 

5

2

d 4

f x x





,





5 3

f



,





2 2

f



. Tính

 

2

3 2

1

1 d

I x f x x



 



A.

3

. B.

4

. C.

1

. D.

6

.

Câu 75. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





2 1

ln

f x

x

f x

x



 

. Tính tích phân

 

4

3

d

I f x x





.

A.

2

3 2 ln 2

I  

. B.

2

2ln 2

I



. C.

2

ln 2

I



. D.

2ln2

I



.

Câu 76. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

 





16

2

1

4

cot . sin d d 1

f x

x f x x x

x



 

 

. Tính tích

phân





1

8

4

d

f x

x



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

I



. B.

3

2

I



. C.

2

I



. D.

5

2

I



.

Câu 77. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 . 3 1 1

x f x f x x

   

. Tích

phân

 

1

0

d

I f x x





bằng:

A.

4

I





. B.

6

I





. C.

20

I





. D.

16

I





.

Câu 78. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

2

0

9

d

5

f x x





 

 



và

 

1

0

2

d

5

f x x





. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

3

5

I



. B.

1

4

I



. C.

3

4

I



. D.

1

5

I



.

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1:

Câu 1. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết

3

2

0

3

d ln

cos

x

I x b

x a



  



. Khi đó, giá trị của

2

a b



bằng

A.

11

. B.

7

. C.

13

. D.

9

.

Câu 2. Tích phân

4

0

d ln2

1 cos 2

x

x a b

x



 





, với

a

,

b

là các số thực. Tính

16 8

a b



A.

4.

B.

5.

C.

2.

D.

3.

Câu 3. Biết

3 23

6 3

3

sin 3

d 3

1

x

x c d

a b

x x



 





   

 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên. Tính

a b c d

  

.

A.

28

a b c d

   

. B.

16

a b c d

   

. C.

14

a b c d

   

. D.

22

a b c d

   

.

Câu 4. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân

2

0

.sin d

I x x x a b



  







,a b



, Mệnh

đề nào sau đây đúng?

A.

3

a

b

 

. B.

2

4

a b

  

. C.

 

1;0

a

b

 

. D.

6

a b

 

.

Câu 5. Cho biết

 

1

2

0

d .

2

x

x e a

x e c

b

x

 





với

a

,

c

là các số nguyên,

b

là số nguyên dương và

a

b

là phân

số tối giản. Tính

a b c

 

.

A.

3

. B.

0

. C.

2

. D.

3



.

Câu 6. (Chuyên Thái Bình Lần 3) Biết

12

1

12

1

c

x

x d

a

x e dx e

x b



 

  

 

 



trong đó

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và các phân số

,

a c

b d

là tối giản. Tính

bc ad



.

A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 7. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết

 

2

1

2

1

p

x

q

x

x e dx me n



  



, trong đó

, , ,

m n p q

là các số nguyên dương và

p

q

là phân số tối giản.

Tính

T m n p q

   

.

A.

11

T



. B.

10

T



. C.

7

T



. D.

8

T



.

Câu 8. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng





2 2

cos 3 d cos3 sin 3

  



x x

e x x e a x b x c

, trong đó

a

,

b

,

c

là các hằng số, khi đó tổng



a b

có giá trị là

A.

5

13



. B.

1

13

. C.

5

13

. D.

1

13



.

Câu 9. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân

4

2

0

sin2 sin 2 1 2 1

d ln ln2

cos

2 1

x x x

x c

x a b



 

  





(với

, ,

a b c

là các số nguyên). Khi đó

a b c

 

bằng

A.

2

. B.

4

. C.

1



. D.

1

.

Câu 10. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho





1

2

0

15 ln 3 ln5

I x x dx a b c     



với

, ,a b c





. Tính tổng

a b c

 

.

A.

1

. B.

5

2

. C.

1

3

. D.

1

3



.

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2:

Câu 11. Cho biết tích phân với là các ước nguyên của 4.

Tổng

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1

Câu 12. (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết

 

3

2

0

ln 16 d ln5 ln 2

2

c

x x x a b

   



, trong đó

a

,

b

,

c

là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức

T a b c

  

A.

2

T

 

. B.

16

T



. C.

2

T



. D.

16

T

 

.

Câu 13. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho

 

1

2

0

ln 2 d ln3 ln2

I x x x a b c

    



với

a

,

b

,

c

là các số hữu

tỷ. Giá trị của

a b c

 

bằng

A.

3

2

. B.

1

. C.

0

. D.

2

.

Câu 14. Tính tích phân

2

2018

2

1

2019log d

ln2

I x x x

 

 

 

 



.

A.

2017

2

I



. B.

2019

2

I



. C.

2018

2

I



. D.

2020

2

I



.

Câu 15. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Biết

 

e

2

1

ln 2

d ln

e+1 e+1

1

x a

x b c

x

  





với , ,a b c





. Tính

a b c

 

.

A.

1



. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

 

4 2

2

1

. .

2 ln

4

e

a e b e c

I x x x dx

 

  



, ,

a b c

?

a b c

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương

a

của phương trình

 

2

1

2 1 ln d ln 9

a

x x x a a a

   



thuộc khoảng nào sau đây?

A.





1;3

. B.





3;5

. C.





5;7

. D.





7;10

.

Câu 17. ( Sở Phú Thọ) Cho tích phân

4

2

0

ln( 2cos )

ln3 ln2 .

sinx x

dx a b c

cos x





  



(với

, ,

a b c

là các số hữu

tỉ). Giá trị biểu thức

abc

bằng.

A.

15

8

. B.

5

8

. C.

5

4

. D.

17

8

.

Câu 18. (HSG Bắc Ninh) Biết

 

4

2

0

ln sin cos

d ln 2

cos

x x

a

x

x b c





 



với

, ,

a b c

là các số nguyên. Khi đó,

bc

a

bằng

A.

6



. B.

8

3

. C.

6

. D.

8

3



.

Câu 19. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân

e

2

1

e

1

ln d .I xx

x

x a b























, a và b

là các số hữu tỉ. Giá trị của

4 3

a b



là

A.

13

2

. B.

13

4

. C.

13

4



. D.

13

2



.

Câu 20. (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả

e

3

1

3e 1

ln d

a

x x x

b







?

A.

. 64

a b



. B.

. 46

a b



. C.

12

a b

 

. D.

4

a b

 

.

Câu 21. Giả sử tích phân

 

1

2017

0

.ln 2 1 d ln3

b

x x x a

c

  



. Với phân số

b

c

tối giản. Lúc đó

A.

6057.

b c

 

B.

6059.

b c

 

C.

6058.

b c

 

D.

6056.

b c

 

Câu 22. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết

 

4

2

0

ln sin cos

d ln 2

cos

x x

a

x

x b c





 



với

, ,

a b c

là các số nguyên. Khi đó,

bc

a

bằng

A.

6



. B.

8

3

. C.

6

. D.

8

3



.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

2

0

1 d 9

A x f x x



  



và









2 0 3

f f

 

. Tính

 

2

0

d

I f x x





A.

12

I



. B.

12

I

 

. C.

6

I

 

. D.

6

I



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

có đạo

hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

1

3

x f x dx





Tính

 

1

3

0

.

x f x dx





A.

1



B.

1

C.

3

D.

3



Câu 3: (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm và

liên tục trên

0;

2

 

 

 



, thoả mãn

 

2

0

cos d 10







f x x x



và





0 3



f . Tích phân

 

2

0

sin2 d



f x x x



bằng

A.

13



B.

13

C.

7

D.

7



Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Gọi





g x

là một

nguyên hàm của hàm số





2

x

y

x f x





. Biết rằng

 

2

1

d 1

g x x





và









2 2 1 2

g g

 

. Tích

phân





2

1

d

x

x f x





bằng

A.

1,5

. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 5: Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3

3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

5

1

.

I x f x dx







.

A.

5

4

. B.

17

4

. C.

33

4

. D.

1761



.

Câu 6: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn

và . Tính

bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên





0;1

. Biết

   

1

0

1

. 1 d

2

x f x f x x



 

  

 

. Tính





0

f

.

A.





0 1

f

 

. B.

 

1

0

2

f



. C.

 

1

0

2

f

 

. D.





0 1

f



.

Câu 8: (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

0

1

d

5

x f x x





và

 

1

2

0

9

d

5

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

3

4

I



. B.

1

5

I



. C.

1

4

I



. D.

4

5

I



.

Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên .

Biết và với mọi . Tính tích phân

.





f x















3

1 1 ,f x f x x x x

     







0 0

f



2

0

d

2

x

I xf x

 

















 



1

10



1

20

1

10

1

20







f x





0;2





0 1

f











2

2 4

2

x x

f x f x e



 





0;2

x















3 2

2

0

3 '

d

x x f x

I x

f x







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



và thỏa mãn

 

3

0

2 4 d 8

x f x x



  



;





2 2

f



. Tính

 

1

2

2 d

I f x x







.

A.

5

I

 

. B.

10

I

 

. C.

5

I



. D.

10

I



.

Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm





f x

có đạo hàm

liên tục trên đoạn





1; 2

thỏa mãn





2 =0

f ,

 

2

1

d

45

f x x







và

   

2

1

1 d

30

x f x x

  



. Tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

1

36

I

 

. B.

1

15

I

 

. C.

1

12

I



. D.

1

12

I

 

.

Câu 12: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;2

, thỏa các

điều kiện





2 1

f



và

   

2 2

2

0 0

2

d d

3

f x x f x x



 

 

 

 

. Giá trị của





2

1

d

f x

x



:

A. 1. B. 2. C.

1

4

. D.

1

3

.

Câu 13: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



và

 









 

 

2

2 6 4 2

4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1

f x x f x x x x x



        . Tích phân

 

1

0

f x dx



bằng?

A.

23

15

. B.

13

15

. C.

17

15



. D.

7

15



.

Câu 14: Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

1

0

'

x

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu thức

2018 2018

Q a b

 

.

A.

8

Q



. B.

6

Q



. C.

4

Q



. D.

2

Q



.

Câu 15: Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

x

f x f x x



  với mọi

x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .

f

A.





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f  .

Câu 16: Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

 

.

A.

2017

2 1

Q

 

. B.

2

Q



. C.

0

Q



. D.

2017

2 1

Q

 

.

Câu 17: Cho hai hàm số liên tục

f

và

g

có nguyên hàm lần lượt là

F

và

G

trên đoạn





1;2

. Biết rằng





1 1

F



,





2 4

F



,

 

3

1

2

G



,





2 2

G



và

   

2

1

67

d

12

f x G x x 



. Tính

   

2

1

d

F x g x x



14

3

I  

32

5

I  

16

3

I  

16

5

I  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

11

12

. B.

145

12



. C.

11

12



. D.

145

12

.

Câu 18: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

2

1

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

2

1

d

f x x



theo

a

và





2

b f .

A.

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

.

Câu 19: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16

f



,

 

2

0

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

1

0

. 2 d

I x f x x







.

A.

13

I



. B.

12

I



. C.

20

I



. D.

7

I



.

Câu 20: Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

1

;4

2

M

 



 

 

và

 

1

2

0

dt 3

f t





, tính

 

0

6

sin 2 . sin d

I x f x x











.

A.

10

I



. B.

2

I

 

. C.

1

I



. D.

1

I

 

.

Câu 21: Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

2

0

sin . d 0

x f x x f







1



. Tính

 

2

0

cos . d

I x f x x









.

A.

1

I



. B.

0

I



. C.

2

I



. D.

1

I

 

.

Câu 22: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

2

d

I f x x









?

A.

2

2019

. B.

2

2018

. C.

2

1009

. D.

4

2019

.

Câu 23: Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

x

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

2

0

. d

I f x g x x







?

A.

4



. B.

e 2



. C.

4

. D.

2 e



.

Câu 24: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên

0;

4



 

 

 

thỏa mãn

3

4

f



 



 

 

,

 

4

0

d 1

cos

f x

x







và

 

4

0

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

4

0

sin . d

x f x x







bằng:

A.

4

. B.

2 3 2

2



. C.

1 3 2

2



. D.

6

.

Câu 25: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16

f



,

 

2

0

d 4

f x x





. Tính

4

0

d

2

x

I xf x

 





 

 



A.

12

I



. B.

112

I



. C.

28

I



. D.

144

I



.

Câu 26: Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả mãn









1 0 1

f f

 

,





0 2018

f



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

  

1

0

1 2018

f x x x



  



d

.

B.

  

1

0

1 1

f x x x

 







d

.

C.

  

1

0

1 2018

f x x x 





d

. D.

  

1

0

1 1

f x x x









d

.

Câu 27: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn

0

2

f



 



 

 

,

 

2

d

4

f x x







 

 



và

 

2

cos d

4

x f x x







. Tính





2018

f



.

A.

1



. B.

0

. C.

1

2

. D.

1

.

Câu 28: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2



. Biết





0 1

f



và

   

2

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x



. Tính tích phân









 

3 2

2

0

3

d

x x f x

I x

f x

 





.

A.

16

3

I

 

. B.

16

5

I

 

. C.

14

3

I

 

. D.

32

5

I

 

.

Câu 29: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



và

     

1 1

2

0 0

e 1

d 1 e d

4

x

f x x x f x x





   

 

 

. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

2 e

I

 

. B.

e 2

I

 

. C.

e

2

I



. D.

e 1

2

I





.

Câu 30: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

2

1

1 d

3

x f x x

  



,





2 0

f



và

 

2

1

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

2

1

d

I f x x





.

A.

7

5

I



. B.

7

5

I

 

. C.

7

20

I  

. D.

7

20

I 

.

Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa

mãn

   

2

1

1 d

3

x f x x

  



,





2 0

f



,

 

2

1

d 7

f x x





 

 



. Tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

7

5

I



. B.

7

5

I

 

. C.

7

20

I  

. D.

7

20

I 

.

Câu 32: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn

0;

4



 

 

 

và

0

4

f



 



 

 

. Biết

 

4

2

0

d

8

f x x







,

 

4

0

sin 2 d

4

f x x x





 



. Tính tích phân

 

8

0

2 d

I f x x







A.

1

I



. B.

1

2

I



. C.

2

I



. D.

1

4

I



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn

Biết và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

1

2

0

1

d

2

f x x





,

   

1

0

cos d

2

f x x x









. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.



. B.

1



. C.

2



. D.

3

2



.

Câu 35: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;



thỏa

mãn:

   

2

0 0

d cos . d

2

f x x x f x x

 





 

 

 

 

và

1

2

f



 



 

 

. Khi đó tích phân

 

2

0

d

f x x





bằng

A.

0

. B.

1

2





. C.

2



. D.

1

2





.

Câu 36: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





1;1

 và thỏa





1 0

f



,

 





 

2

4 8 16 8

f x f x x x



   

với mọi

x

thuộc





1;1

 . Giá trị của

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

5

3



. B.

2

3

. C.

1

5

. D.

1

3



.

Câu 37: Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0

f



,

 

1

2

0

dx

8

f x









và

 

1

0

1

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.

2



. B.



. C.

1



. D.

2



.

Câu 38: Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1

f



và





2 4

f



. Tính









2

1

2 1

d

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



.

A.

1 ln4

J

 

. B.

4 ln2

J

 

. C.

1

ln 2

2

J

 

. D.

1

ln 4

2

J  

.

Câu 39: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

2

0 0

e 1

d 1 e d

4

x

f x x x f x x





   

 

 

và





1 0

f



. Tính

 

1

0

d

f x x



A.

e 1

2



. B.

2

e

4

. C.

e 2



. D.

e

2

.





y f x







0;1





0 0

f



 

1

2

0

9

d

2

f x x





 

1

0

3

cos d

2 4

x

f x x

 







 

1

0

d

f x x



6



2



4



1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 40: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

1

2

0

1

d

3

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

7

5

. B.

1

. C.

7

4

. D.

4

.

Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



,

a

,

b





. Giá trị của biểu thức

2019 2019

a b



bằng

A.

2018

2 1



. B.

2

. C.

0

. D.

2018

2 1



.

Câu 42: (Đoàn Thượng) Cho hàm số

( )

y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và

(0) (1) 0

f f

 

.

Biết

1

2

0

1

( )

2

f x dx





,

1

0

( ) ( )

2

f x cos x dx









. Tính

1

0

( )

f x dx



.

A.



. B.

3

2



. C.

2



D.

1



Câu 43: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

1

2

0

1

d

3

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

7

5

. B.

1

. C.

7

4

. D.

4

.

Câu 44: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 4



f

,

 

1

2

0

d 36





 

 



f x x

và

 

1

0

1

. d

5





x f x x

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

5

6

. B.

3

2

. C.

4

. D.

2

3

.

Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

thỏa mãn





2 3



f ,

 

2

0

d 4





 

 



f x x

và

 

2

0

1

d

3





x f x x

. Tích phân

 

2

0

d



f x x

bằng

A.

2

115

. B.

297

115

. C.

562

115

. D.

266

115

.

Câu 46: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 4



f

,

 

1

2

0

d 5





 

 



f x x

và

 

1

0

1

. d

2

x f x x

 



. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

15

19

. B.

17

4

. C.

17

18

. D.

15

4

.

Câu 47: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

thỏa mãn





2 6

f



 

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

2

0

17

. d

2

x f x x





. Tích phân

 

2

0

d

f x x



bằng

A.

8

. B.

6

. C.

7

. D.

5

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;3

thỏa mãn





3 6

f



 

3

2

0

d 2





 

 



f x x

và

 

3

2

0

154

. d

3





x f x x

. Tích phân

 

3

0

d

f x x



bằng

A.

53

5

. B.

117

20

. C.

153

5

. D.

13

5

.

Câu 49: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 2

f



,

 

1

2

0

d 8

f x x





 

 



và

 

1

3

0

. d 10

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

285



. B.

194

95

. C.

116

57

. D.

584

285

.

Câu 50: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

2

0

d 9

f x x





 

 



và

 

1

3

0

1

d

2

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

3

. B.

5

2

. C.

7

4

. D.

6

5

.

Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và

. Tích phân bằng

A. B. C. D.

Câu 52: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện ;

và . Tính tích phân

A. B. C. D.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Câu 1: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số





f x

liên tục không âm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

     

2

. cos 1

f x f x x f x



 

với mọi

0;

2

x



 



 

 

và





0 3

f 

. Giá trị của

2

f



 

 

 

bằng

A.

2

. B.

1

. C.

2 2

. D.

0

.

Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số





f x

thỏa mãn









. 1

f x f x





, với mọi

x





. Biết

 

2

1

d

f x x a





và





1

f b



,





2

f c



. Tích phân

 

2

1

d

x

f x



bằng

A.

2

c b a

 

. B.

2

a b c

 

. C.

2

c b a

 

. D.

2

a b c

 

.





f x





0;1

   

1

2

0

1

1 0,

11

f f x dx



 

 

 



 

1

4

0

1

55

x f x dx

 



 

1

0

f x dx



1

7



1

7

1

55



1

11





f x





0;1

 

3

1

2

f



 

1

0

5

6

f x dx





   

 

1

2

0

1

1 1

2 3

x

x f x dx

x



   





 

1

2

0

?

f x dx





7

3

8

15

53

60

203

60

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 3: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho

       

1

0

3 1 d 2019, 4 1 0 2020

x f x x f f



   



. Tính

 

1

3

0

3 d

f x x



.

A.

1

9

. B.

3

. C.

1

3

. D.

1

.

Câu 4: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo hàm trên

1 1

;

2 2

 



 

 

thỏa mãn

     

1

2

1

2

109

2 . 3 d

12

f x f x x x



 

   

 



. Tính

 

1

2

0

2

d

1

f x

x

x 



.

A.

7

ln

9

. B.

2

ln

9

. C.

5

ln

9

. D.

8

ln

9

.

Câu 5: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm : 0,

2

f



 



 

 



là

hàm liên tục thỏa mãn điều kiện

 

  

2

0

2 sin co ds 1

2

f x f x x x x



 

   

 



. Tính

2

0

(

d

)

f x x





.

A.

2

0

) 1

d(f x x



 



. B.

2

0

) 1

d(

f x x







. C.

2

0

) 2

d(f x x







. D.

2

0

) 0

d(f x x







.

Câu 6: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên khoảng





0;



và





0

f x



,





0;x

  

thỏa mãn









2

.

f x x f x



  với mọi





0;x

 

, biết

 

2

1

3

f

a





và

 

1

2

4

f



. Tổng tất cả các giá trị nguyên của

a

thỏa mãn là

A.

14



. B.

1

. C.

0

. D.

2



.

Câu 7: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





3 21

f



,

 

3

0

d 9

f x x





.

Tính tích phân

 

1

0

. 3 d

I x f x x







.

A.

15

I



. B.

12

I



. C.

9

I



. D.

6

I



.

Câu 8: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho

( )

f x

là hàm số liên tục trên



thỏa mãn

2

( ) (2 ) . ,

x

f x f x x e x

    



. Tính tích phân

2

0

( )

I f x dx





.

A.

4

1

4

e

I





. B.

2 1

2

e

I





. C.

4

2

I e

 

. D.

4

1

I e

 

.

Câu 9: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;

 

thỏa mãn









2

0

x f x f x



 

và





0

f x



,





0;x

   

. Tính





2

f biết





1 e

f



.

A.





2

2 e

f



. B.





3

2 e

f 

. C.





2

2 2e

f  . D.





2 e

f 

.

Câu 10: (Lý Nhân Tông) Biết

1

3 3

0

2 e 2 1 1 e

d .ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số

nguyên dương. Tính tổng

P m n p

  

A.

5

P



. B.

6

P



. C.

8

P



. D.

7

P



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm, liên tục trên đoạn





1;2

đồng thời

thỏa mãn

(2) 0

f



,

 

2

1

5 2

'( ) d ln

12 3

f x x  



và

2

1

( ) 5 3

d ln

( 1) 12 2

f x

x

  





. Tính

2

1

( )d

I f x x





.

A.

3 2

2ln

4 3

I  

. B.

2

ln

3

I 

. C.

3 3

2ln

4 2

I  

. D.

3 2

2ln

4 3

I  

.

Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng

(1; )



và thỏa mãn





3

( ) 2 ( ) ln ( )

xf x f x x x f x



   ,

(1; )

x

  

; biết





3

f e e



. Giá trị

(2)

f

thuộc

khoảng nào dưới đây?

A.

25

12;

2

 

 

 

. B.

27

13;

2

 

 

 

. C.

23

;12 .

2

 

 

 

D.

29

14;

2

 

 

 

.

Câu 13: (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên

0;

2



 

 

 

, thoả mãn

 

2

0

cos d 10

f x x x









và





0 3

f



. Tích phân

 

2

0

sin2 d





f x x x

bằng

A.

13



B.

13

C.

7

D.

7



Câu 14: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm

( )

y f x



liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn









2

1 2 2 1

f x f x x x

    

Tính tích phân

1

0

( ) .

I f x dx





A.

4

3

I



B.

2

3

I



C.

1

2

I



. D.

1

3

I



Câu 15: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm trên

đoạn





0;3

, thỏa mãn









 

3 . 1

1

f x f x

f x

 













,





0;3

x  và

 

1

0

2

f



. Tính tích phân





   

3

2

0

.

d

1 3 .

x f x

I x

f x f x





  

 



A.

3

2

I



. B.

1

2

I



. C.

1

I



. D.

5

2

I



.

Câu 16: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn













2 . e

x

f x x f x f x



  với





0,

f x x

 

và





0 1

f



. Khi đó





1

f bằng

A.

e 1



. B.

e 2

e



. C.

e 1



. D.

e 1

e



.

Câu 17: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số





f x

thỏa mãn













2

' .ln 2 , 1;xf x x f x x x

    

và





2

e e

f



. Tính tích phân

 

2

e

d

x

I x

f x





.

A.

3

2

I



. B.

1

2

I



. C.

5

3

I



. D.

2

I



.

Câu 18: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn









2018

3 . ( ) 0;1

f x x f x x x



    . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

1

0

d

f x x



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1

2018.2020

. B.

1

2019.2020

. C.

1

2020.2021

. D.

1

2019.2021

.

Câu 19: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số





f x

thỏa mãn các điều kiện





1 2

f



,





0, 0

f x x

  

và





   





2

2 2

1 ' 1

x f x f x x

  

 

 

với mọi

0

x



. Giá trị của





2

f bằng

A.

2

5

. B.

2

5



. C.

5

2



. D.

5

2

.

Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn

( )

y f x



đạt cực trị tại

1

x



và

2

x



. Biết

0

2 ( )

lim 2.

2

x

x f x

x









Tích phân

1

0

( )d

f x x





bằng

A.

3

2

. B.

1

4

. C.

3

4

. D.

1

.

Câu 21: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho









2

4 3

f x xf x x

 

. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

2

I

 

. B.

1

2

I

 

. C.

2

I



. D.

1

2

I



.

Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho





f x

có đạo hàm trên



và thỏa

mãn

 

3 2

1

2

3 . 0

f x x

x

f x e

f x

 



 

với mọi x





. Biết





0 1

f



, tính tích phân

 

7

0

. d

I x f x x





.

A.

9

2

I



. B.

45

8

I 

. C.

11

2

I



. D.

15

4

I



.

Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp trên thỏa mãn

với mọi . Tính tích phân .

A. . B. . C. . D. .

Câu 24: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



,









0 0, 0 0

f f



 

và thỏa mãn hệ thức

























2 2

. 18 3 6 1 ,f x f x x x x f x x f x x

 

      



.

Biết

 

1

2

0

1 d .

f x

x e x a e b

  



, với

;a b





. Giá trị của

a b



bằng.

A.

1

. B.

2

. C.

0

. D.

2

3

.

Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số





f x

xác định và có đạo hàm





f x



liên

tục trên đoạn





1;3

,





0

f x



với mọi





1;3

x , đồng thời

   

 

2

2 2

1 1

f x f x f x x

 



  

 

 

và





1 1

f

 

.

Biết rằng

 

3

1

d ln3

f x x a b

 



,

,a b





, tính tổng

2

.

S a b

 

A.

0

S



. B.

1

S

 

. C.

2

S



. D.

4

S



.

f

n



2

(1 ) ( ) 2

f x x f x x



  

x





1

0

( )

I xf x dx







1

I



1

I



1

3

I



1

3

I

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 26: (Sở Nam Định) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên



. Biết rằng các tiếp

tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoành độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt tạo với chiều

dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



.

Tính tích phân

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

A.

25

3

I 

. B.

0

I



. C.

1

3

I



. D.

3

1

3

I

 

.

Câu 27: (THTT số 3) Cho hàm số





f x

xác định, liên tục trên



và thoả mãn









3 3

1 1

f x x f x x

     

6 4 2

6 12 6 2,x x x x

      



. Tính tích phân

 

1

3

f x dx





.

A. 32. B. 4. C.

36



. D.

20



.

Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn

   

 

2

2 1

2

1 e

x x

f x f x x

 



   , x

 



và





1 e

f



. Giá trị của





5

f

bằng

A.

12

3e 1



. B.

17

5e

. C.

17

5e 1



. D.

12

3e

.

Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho

   

6 6

2

0 0

d . d 72

f x x x f x x

 

 

. Giá trị của

 

3

1

d

f x x



bằng

A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 30: (Ba Đình Lần2) Hàm số





f x

có đạo hàm đến cấp hai trên



thỏa mãn:













2 2

1 3 1

f x x f x

   

. Biết rằng





0,f x x

  



, tính

   

2

0

2 1 "

I x f x dx

 



.

A.

8

. B.

0

. C.

4



. D.

4

.

Câu 31: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

3

' . '' 4 2

f x f x f x x x

  

 

 

với mọi

x





và





0 0

f



. Giá trị của





2

1

f bằng

A.

5

2

. B.

9

2

. C.

16

15

. D.

8

15

.

Câu 32: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số





y f x

 xác định và liên tục trên





\ 0 ,



biết





. 1, 0;

x f x x

   





1 2

f

 

và

 





   

2

. 1 . 0

x f x x f x f x



   

với





\ 0 .

x 



Tính

 

1

d .

e

f x x



A.

1

2

e



. B.

1

2

e



. C.

1

e



. D.

1

e



.

Câu 33: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và

thỏa mãn và . Tích phân bằng

( )

f x



(0) 3

f



2

( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x

      



2

0

( )d

xf x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. . B. . C. . D.

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số





y f x

 liên tục và có đạo hàm trên



thỏa mãn













2

5 7 1 3 2

f x f x x x

    , x

 



. Biết rằng tích phân

 

1

0

. ' d

a

I x f x x

b

  



( với

a

b

là

phân số tối giản). Tính

8 3

T a b

 

.

A.

1

T



.

B.

0

T



.

C.

16

T



. D.

16

T

 

.

Câu 36: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với .

Tính tích phân

A. . B. . C. . D.

Câu 37: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho





f x

liên tục trên



và









10

3 2 ,f x f x x x

    



. Tính

 

1

0

d

I f x x





.

A.

55

I



. B.

1

11

I



. C.

11

I



. D.

1

55

I 

.

Câu 38: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên





1;

  

. Biết đẳng thức

   

2

( 1)

2 ( 1)

3

x x

f x x f x

x





  



được thỏa mãn





1;x

    

. Tính giá trị





0

f .

A.

3 3

 . B.

2 3

 .

C.

3



. D. Chưa đủ dữ kiện tính





0

f .

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

2 ( ) 3 (1 ) 1 ,

f x f x x x

   

với mọi

[0;1].

x



Tích phân

2

0

'

2

x

xf dx

 

 

 



bằng

A.

4

75



. B.

4

25



. C.

16

75



. D.

16

25



.

Câu 40: (Sở Quảng NamT) Cho hàm số





f x

không âm, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





1 1

f



,

















2

2 1 2 1 , 0;1

f x x f x x f x x



 

      

 

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1

. B.

2

. C.

1

3

. D.

3

2

.

Câu 41: (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên



. Biết rằng các

tiếp tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoành độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt tạo với chiều

dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



.

4

3



2

3

5

3

10

3



( )

f x

R

2

( ) 4 ( ) 2 1

f x xf x x

  

x R

 

1

0

( )

I xf x dx







2



1



2

1

( )

f x

2

;1

3

 

 

 

2

2 ( ) 3 ( ) 5

3

f x f x

x

 

2

;1

3

x

 

 

 

 

1

2

3

ln . ( )

x f x dx





5 2 1

ln

3 3 3



5 2 1

ln

3 3 3



5 2 1

ln

3 3 3

 

5 2 1

ln

3 3 3

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tính tích phân

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

A.

25

3

I 

. B.

0

I



. C.

1

3

I



. D.

3

1

3

I

 

.

Câu 42: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số





0

f x



có đạo hàm liên tục trên

0,

3



 

 

 

, đồng thời

thỏa mãn





0 0

f





;





0 1

f



và

   

 

2

.

cos

f x

f x f x f x

x

 

 

 

 

 

 

.Tính

3

T f









 

 

A.

3

4

T



. B.

3

4

T 

. C.

3

2

T 

. D.

1

2

T



.

Câu 43: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0,



. Biết





0 2

f e



và





f x

luôn thỏa mãn đẳng thức













cos

' sin . cos . , 0,

x

f x x f x x e x



   

. Tính

 

0

.

I f x dx







(làm tròn đến phần trăm).

A.

6,55

I



. B.

17,30

I



. C.

10,31

I



. D.

16,91

I



.

Câu 44: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

1 1 .

xf x x f x f x

 

   

  

   

với mọi

x

dương. Biết









1 1 1

f f



 

. Giá trị





2

f bằng

A.





2

2 2ln2 2

f

 

. B.





2

2 2ln 2 2

f

 

.

C.





2

2 ln 2 1

f

 

. D.





2

2 ln2 1

f

 

.

Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số

( )



y f x

có đạo hàm

( ) 0

f x





,

[1;2]

x

 

thỏa mãn

(1) 1

f



,

22

(2)

15

f 

và

 

3

2

4

1

( )

7

375

f x

dx

x







. Tích phân

2

1

( )



f x dx

bằng

A.

1

5

. B.

7

5

. C.

3

5

. D.

4

5

.

Câu 46: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số

( )

y f x



liên tục và có đạo hàm trên



thỏa mãn

3 2

2 ( ) 2 1

3 ( ). '( ) 4 1 (0).

f x x x

f x f x xe f

   

  

Biết rằng

1 4089

4

0

(4 1) ( )d

a

I x f x x

b

 

  



là phân số tối

giản. Tính

3

T a b

 

A.

6123.

T



B.

12279.

T



C.

6125.

T



D.

12273.

T



Câu 47: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

3

d 2ln 2

2

f x x



 

 

 

và





 

1

2

0

3

d 2ln 2

2

1

f x

x

 





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1 2ln 2

2



. B.

3 2ln2

2



. C.

3 4ln2

2



. D.

1 ln 2

2



.

Câu 48: (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số

( )

f x

liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1]. Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

   

1 1

0 0

2 ( ) 3 ( )d 4 ( ) ( ) d

M f x x f x x f x x xf x x

   

 

bằng

A.

1

24



. B.

1

8



. C.

1

12



. D.

1

6



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 49: (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





1;e

thỏa mãn

 

1

2

f



và

     

2

1

. 3x f x xf x f x

x



  

,





1;e

x  . Giá trị của





e

f

bằng

A.

3

2e

. B.

4

3e

. C.

3

4e

. D.

2

3e

.

Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số





f x

thỏa mãn hai điều kiện

   

2

3 2 1 4 .

f x x x x f x

 

   

 

, x

 



và

 

3

1

d 12

f x x







. Giá trị

 

2

0

d

f x x



bằng

A.

6

. B.

7

. C.

8

. D.

5

.

GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của

 

2

1

x

G x t t dt

 



trên đoạn





1;1



.

A.

1

6

. B.

2

. C.

5

6



. D.

5

6

.

Câu 2: Cho





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 





2

3

e 4

x

f x x x

  . Hàm số





F x

có bao nhiêu điểm

cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Câu 3: Biết rằng





F x

là một nguyên hàm trên



của hàm số

 

2018

2

2017

1

x

f x

x





thỏa mãn





1 0

F



. Tìm

giá trị nhỏ nhất

m

của





F x

.

A.

1

2

m

 

. B.

2017

2018

1 2

2

m





. C.

2017

2018

1 2

2

m





. D.

1

2

m



.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất

M

của hàm số

 

0

2 3cos2 2sin2 d

t

f t x x x

 



trong khoảng





0;



.

A.

3 3

M 

. B.

3

M



. C.

2 3

M 

. D.

2

M



.

Câu 5: Cho hàm số





f x

liên tục trên





thỏa mãn

 

1

,f x x x

x





   



và





1 1

f



. Tìm giá trị nhỏ

nhất của





2

f

.

A.

3

. B.

2

. C.

5

ln 2

2



. D.

4

.

Câu 6: Gọi

1 2

,

x x

lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

 

2

e

ln d

x

f x t t t





. Tính

1 2

S x x

 

.

A.

ln2e

. B.

ln2

. C.

ln2



. D.

0

.

Câu 7: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên





1;



thỏa mãn





1 1

f



và





2

3 2 5

f x x x



  

trên





1;



. Tìm số nguyên dương lớn nhất

m

sao cho

 





3;10

min

x

f x m





với mọi hàm số





y f x



thỏa

điều kiện đề bài

.

A.

15

m



. B.

20

m



. C.

25

m



. D.

30

m



.

Câu 8: Xét hàm số

   

2

d

x

F x f t t





trong đó hàm số





y f t



có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị

dưới đây, giá trị nào là lớn nhất?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.





1

F

. B.





2

F

. C.





3

F

. D.





0

F

.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

2

0

x

S x ax d

 



với





0,1

a

A.

2 2

6



. B.

2 1

3



. C.

2 2

3



. D.

2 1

6



Câu 10: Cho

4

a b ab

  

và

a b



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

x

b

a

I x a b x ab d

   



A.

4 3

. B.

12

. C.

2 3

. D.

48

Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

2

2 2 x

b

a

I x m x d

   



trong đó

a b



là hai nghiệm của phương trình





2

2 2 0

x m x

   

A.

128

9

. B.

8 2

3

. C.

8

. D.

2 2

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

3

0

x

S x ax d

 



với





0,1

a

A.

2 2

6



. B.

1

8

. C.

1

4

. D.

2 2

8



Câu 13: Cho

4

a b ab

  

và

a b



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2

x

b

a

I x a x b d

  



A. 12. B. 0. C.

64

3

. D.

49

3

Câu 14: Cho

 





2

2 2

4

a b a b

   

và

a b



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

2

x

b

a

I x a b x ab d

   



A.

16

9

. B.

9

16

. C.

4

3

. D.

3

4

Câu 15: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2

3 2 2 3

4 x 5 2 x

m

S x m m x m d

   



với





1;3

m

.

Mệnh đề nào dưới đây đúng

A.

41

6

a b 

. B.

1

a b

 

. C.

21

4

a b 

. D.

2

a b

 

Câu 16: m là tham số thuộc đoạn





1;3

. Gọi

,

a b

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

   

2

2 2

2 x

m

P x m x m d

  



. Tính

a b

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

31

. B.

36

. C.

122

15

. D.

121

4

Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của

   

2

2 2

2 2 3

2 1 4 x

m

P x m m x m m d



     



là

; ,

a

S a b

b



nguyên dương và

a

b

tối giản. Tính

T a b

 

A. 7. B. 337. C. 25. D. 91

Câu 18:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

. Tìm



   

1

201

1

2

0

8

0

x .min .

x

f A

x f x d

m x f x d



 



 

 



 

A.

1

2019



. B.

1

16144



. C.

2017

2018



. D.

1

16140



Câu 19:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

. Tìm



   

1

2013

1

2

0 0

x+ .m n

x

i .

f A

x f x d

M x f x d



 

 

 

 



A.

1

2014

. B.

503

2014

. C.

2012

2013

. D.

1

8.2013

Câu 20: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn









1

f x f x



 

, x

 



và





0 0

f



.

Tìm giá trị lớn nhất của





1

f

A.

2e 1

e



. B.

e 1

e



. C.

e 1



. D.

2e 1



.

Câu 21:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

và nhận giá trị không âm trên đoạn





0;1

. Tìm m nhỏ

nhất sao cho

 

1 1

2018

0 0

x . x

f x d m f x d f A

  

 

A.

2018

. B.

1

. C.

1

2018

. D.

2018

Câu 22: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





'

f x

liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn









1 2018. 0

f f

. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

 

1 1

2

'

2

0 0

1

x x

M d f x d

f x

 

 

 

 

 

 

A.

ln2018

. B.

2ln2018

. C.

2e

. D.

2018e

Câu 23: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn

   

 

2

'

1

0

1 . 0 ; x 1

f x

f e f e d

f x

 

  

 

 



. Tìm mệnh đề đung

A.

2

1

2

f e

 



 

 

. B.

1

2

f e

 



 

 

. C.

1

2

f e

 



 

 

. D.

1 1

2 2e

f

 



 

 

Câu 24: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





'

f x

liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn









1 . 0

f e f

. Biểu thức

 

1 1

2

'

2

0 0

1

x x 2

d f x d

f x

 

 

 

 

 

 

. Mệnh đề nào đúng

A.

 

2e

1

f

e





. B.

 

2

2e

1

f

e





. C.

 

2 e 2

1

f

e







. D.

 





2

2 e 2

1

f

e







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện với

mọi và . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?

A. B. C. D.

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn với mọi

và . Tìm giá trị lớn nhất của

A. B. C. D.

Câu 27: Cho hàm số liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: và

. Giá trị lớn nhất của tích phân bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn với mọi

. Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng:

A. B. C. D.

Câu 29: Cho hàm số dương và liên tục trên thỏa mãn và biểu

thức đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính ?

A. B. C. D.

Câu 30: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



và

 

4

2

f x x x

x



  

0

x

 

và





1 1

f

 

. Khẳng

định nào sau đây đúng?

A. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





0;1

.

B. Phương trình





0

f x



có đúng

3

nghiệm trên





0;



.

C. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





1;2

.

C. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





2;5

.

Lời giải

Chọn C

 

4

2

f x x x

x



  

6 3

2

2 2

x x

x

 







2

3

2

1 1

0

x

 

 

,

0

x

 

.





y f x

 

đồng biến trên





0;



.





0

f x



có nhiều nhất

1

nghiệm trên khoảng





0;







1

.





y f x







1;1







2

1

f x







1;1

x 

 

1

0

f x dx







 

1

2

1

x f x dx





1

2



1

4



2

3



1







y f x







0;1









8;8

f x  





0;1

x

 

1

0

3

xf x dx





 

1

3

0

?

x f x dx



2

31

16

4

3

17

8





y f x







0;1

 





0;1

max 6

f x



 

1

2

0

x f x dx





 

1

3

0

x f x dx



1

8





3

3 2 4

4



3

2 4

16



1

24





y f x







0;1









2018

3 '

f x xf x x

 





0;1

x

 

1

0

x

f x d



1

2021 2022



1

2018 2021



1

2018 2019



1

2019 2021







y f x







1;3

 

 

 

 

1;3

1

max 2;min

2

f x f x

 

 

3 3

1 1

1

S f x dx dx

f x



 

 

3

1

f x dx



7

2

5

2

7

5

3

5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Mặt khác ta có:

 

4

2

2 0

f x x x

x



   

,

0

x

 

 

2 2

4

2

1 1

2 21

d 2 d

5

f x x x x x

x

 



    

 

 

 

   

21

2 1

5

f f  

 

17

2

5

f 

.

Kết hợp giả thiết ta có





y f x



liên tục trên





1;2

và









2 . 1 0

f f







2

.

Từ





1

và





2

suy ra phương trình





0

f x



có đúng

1

nghiệm trên khoảng





1;2 .

Câu 31: Cho hàm số





f x

thỏa mãn





0

f x





,





1;2

x 

và

 

3

2

4

1

7

d

375

f x

x



 

 





. Biết





1 1

f



,

 

22

2

15

f 

, tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

71

60

P 

. B.

6

5

P



. C.

73

60

P 

. D.

37

30

P 

.

Câu 32: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A. B. C. D.

Câu 33: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A. B. C. D.

Câu 34: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A. B. C. D.

Câu 35: Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1

f



và

       

1 1

2

0 0

1

3 d 2 d

9

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



:

A.

3

2

. B.

5

4

. C.

5

6

. D.

7

6

.

Câu 36: Cho hàm số





y f x



liên tục, không âm trên



thỏa mãn

     

 

2

. 2 1

f x f x x f x



 

và





0 0

f



. Giá trị lớn nhất

M

và giá trị nhỏ nhất

m

của hàm số





y f x



trên đoạn





1;3

lần lượt là

A.

20

M



;

2

m



. B.

4 11

M 

;

3

m 

.

C.

20

M



;

2

m 

. D.

3 11

M 

;

3

m 

.





y f x







0;1

   

0

1

x

g x f t dt

 



   

g x f x







0;1

x

 

1

0

1

dx

g x



1

3

1

2

1

2





y f x







0;1

   

0

1 3

x

g x f t dt

 











2

g x f x







0;1

x

 

1

0

x

g x d



5

2

4

3

7

4

9

5





y f x







0;1

   

2

0

1

x

g x f t dt

 











2

g x xf x







0;1

x

 

1

0

g x dx



2

3

4

1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 37: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị

lớn nhất bằng:

A. B. C. D.

Câu 38: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0; 1

thỏa mãn

 

1

0

d 0

xf x x





và





[0;1]

max 1.

f x



Tích phân

 

1

0

e d

x

I f x x





thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.

5

; .

4

 

 

 

 

B.

3

; e 1 .

2

 



 

 

C.

5 3

; .

4 2

 



 

 

D.





e 1; .

  

Câu 39: Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả mãn

 

1

2

0

d 0

x f x x





và





[0;1]

max 6.

f x



Giá trị

lớn nhất của tích phân

 

1

3

0

d

x f x x



bằng

A.

1

8

. B.





3

3 2 4

4



. C.

3

2 4

16



. D.

1

24

.

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – KIẾN THỨC CHUNG

a - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục

hoành và hai đường thẳng , được xác định:

b - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn

và hai đường thẳng , được xác định:

Chú ý:





y f x







0;1

   

0

1 2

x

g x f t dt

 



   

3

g x f x



 

 





0;1

x

 

1

2

3

0

g x dx

 

 



5

3

4

3

5

( )

y f x







;

a b

x a



x b



( )

b

a

S f x dx





( )

y f x



( )

y g x







;

a b

x a



x b



( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 























1 1

2 2

( ) : ( )

( ): ( )

( )

C y f x

H

x a

x b

1

( )

C

2

( )

C

1 2

( ) ( )

b

a

S f x f x dx

 



a

1

c

y

O

b

x

2

c





















( )

y f x

y 0

H

x a

x b

a

1

c

2

c



( )

y f x

y

O

x

3

c

b

( )

b

a

S f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng

, được xác định:

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ

PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường là .

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình

+) Nếu (1) vô nghiệm thì .

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. . giả sử thì

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu

để tính tích phân.

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ

nhất và lớn nhất của phương trình .

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình tìm các giá trị .

Bước 2. Tính như trường hợp 1.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là.

A.

8

3

. B.

11

3

. C.

7

3

. D.

10

3

.

[ ; ]

a b

( )

f x

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx



 

( )

x g y



( )

x h y



y c



y d



( ) ( )

d

c

S g y h y dy

 



( ), ( ), ,

y f x y g x x a x b

   

( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 



( ) ( ) (1)

f x g x

 

( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 







;

a b



   

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx



   

 

( ) ( )

f x g x







a; b

( ), ( )

y f x y g x

 

( ) ( )

S f x g x dx





 



,

 

( ) ( )

f x g x







a b

 

  

( ) ( )

f x g x



,

 

( ) ( )

S f x g x dx





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 2: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi

đồ thị hàm số

3 2

3

y x x

  , trục hoành và hai đường thẳng

1

x



,

4

x



bằng

A.

51

4

. B.

53

4

. C.

49

4

. D.

55

4

.

Câu 3: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

hàm số

3

y x



,

2

4 4

y x x

  

và trục

Ox

(tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào

dưới đây?

A.

 

2

3 2

0

4 4 d

x x x x

  



. B.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

   

 

.

C.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

  

 

. D.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

  

 

.

Câu 4: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



có

đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ

O

như hình

vẽ. Giá trị của

 

3

d

f x x





bằng:

A.

26

3

. B.

38

3

. C.

4

3

. D.

28

3

.

Câu 5: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số đa thức bậc ba





3 2

( 0)

y f x ax bx cx d a

     

có đồ thị như

hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x

 và trục hoành.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

6

. B.

19

4

. C.

27

4

. D. 8.

Câu 6: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong mặt phẳng cho Parabol

2

( ):

P y x



và đường

tròn

2 2

( ): 2

C x y

 

(xem hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến chữ số hàng

phần trăm).

A. 1,19 B. 1,90. C. 1,81. D. 1,80.

Câu 7: (Sở Quảng NamT) Cho





H

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

2

:

P y x



, tiếp tuyến với





P

tại điểm





2;4

M và trục hoành. Diện tích của hình phẳng





H

bằng

A.

2

3

. B.

8

3

. C.

1

3

. D.

4

3

.

Câu 8: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường

; 0; 0

x

y e y x

  

và

ln 4

x



. Đường thẳng





, 0 ln 4

x k k   chia (H) thành hai phần có diện tích

1

S

và

2

S

như hình vẽ bên. Tìm k để

1 2

2

S S



.

A.

2

ln 4

3

k 

. B.

ln 2

k



. C.

8

ln

3

k 

. D.

ln3

k



.

Câu 9: Parabol

2

x

y 

chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng

2 2

thành hai phần có diện

tích là

1

S

và

2

S

, trong đó

1 2

S S



. Tìm tỉ số

1

2

.

S

A.

3 2

.

21 2







B.

3 2

.

9 2







C.

3 2

.

12





D.

9 2

.

3 2







Câu 10: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hai hàm

2

y x



và

2

1

x

y

x





là

ln 2

S a b

 

với

a

,

b

là những số hữu tỷ. Tính

a b



?

A.

1

3



. B.

2

. C.

2

3



. D.

1

.

Câu 11: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tính diện tích của phần hình

phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

10

3

. B. 4 . C.

13

3

. D.

11

3

.

Câu 12: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn các

đường

2

1y x x  ; 0y  1x  .

A.

2 2 1

3

S



 . B.

3 2

3

S



 . C.

3 2 2

3

S



 . D.

3 2 1

3

S



 .

Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

 

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số 4y x  , trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng : 16 0d ax by   đi qua





0;2

A và chia





H

thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị

a b

bằng

A.

5.

B.

6.

C.

2.

D.

4.

Câu 14: (Ngô Quyền Hà Nội) Diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

x

y  , 3y x   ,

1y  bằng

A.

1

3

ln 2



. B.

1 1

ln 2 2



. C.

1

ln 2



. D.

1

2

ln 2



.

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số

2 2

1 y x x

, trục Ox và đường thẳng 1x bằng

 

ln 1 a b b

c

với

a

, b ,

c

là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của  a b c là

A.

11

. B.

12

. C. 13. D.

14

.

Câu 16: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho parabol





2

:

P y x



và hai điểm ,A B thuộc





P

sao cho 2AB 

. Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi

 

P và đường thẳng AB là

A.

3

.

4

B.

3

.

2

C.

2

.

3

D.

4

.

3

Câu 17: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số ( )y f x là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( )y f x y f x  có diện tích bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

127

40

. B.

127

10

. C.

107

.

5

D.

13

.

5

Câu 18: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số

4 2

y ax bx c   có đồ thị

 

C

, biết rằng

 

C

đi qua

điểm

 

1;0A 

. Tiếp tuyến  tại A của đồ thị

 

C

cắt

 

C

tại hai điểm có hoành độ lần lượt là

0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

0x 

;

2x 

có diện tích bằng

56

5

(phần gạch chéo trong hình vẽ).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

1x  

;

0x 

.

A.

2

5

. B.

2

9

. C.

1

9

. D.

1

5

.

Câu 19: (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số

4 2

y ax bx c   và hàm số

2

y mx nx p   có đồ thị là các

đường cong như hình vẽ bên (đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

4 2

y ax bx c   ). Diện

tích của hình phẳng được tô đậm bằng

A.

32

15

. B.

64

15

. C.

104

15

. D.

52

15

.

Câu 20: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho đồ thị

 

:C y x .

Gọi M là điểm thuộc





C

,





9 ; 0

A . Gọi





1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

, đường

thẳng 9x  và trục hoành.

 

2

S là diện tích tam giác OMA. Tọa độ điểm M để

1 2

2S S là

A.

 

3; 3M . B.

 

4 ; 2M . C.

 

6; 6M . D.

 

9 ; 3M .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số

1

x m

y

x







( với

0

m



) có đồ thị là





C

. Gọi

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị





C

và hai trục tọa độ.

Biết

1

S



, giá trị thực của

m

gần nhất với số nào sau đây:

A.

0,56

. B.

0,45

. C.

4,4

. D.

1,7

.

Câu 22: (Cẩm Giàng) Cho hình thang cong





H

giới hạn bởi các đường

e

x

y



,

0

y



,

0

x



,

ln4

x



. Đường thẳng

x k







0 ln4

k  chia





H

thành hai phần có diện tích là

1

S

và

2

S

như hình

vẽ bên. Tìm

k

để

1 2

2

S S

 .

A.

4

ln2

3

k 

. B.

8

ln

3

k 

. C.

ln2

k



. D.

ln3

k



.

Câu 23: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số

3 2

y x ax bx c

   

có đồ thị





C

. Biết rằng tiếp tuyến

d

của





C

tại điểm

A

có hoành độ bằng

1



cắt





C

tại điểm

B

có hoành độ bằng

2

(xem hình

vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

d

và





C

(phần gạch chéo trong hình) bằng

A.

27

4

. B.

11

2

. C.

25

4

. D.

13

2

.

Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho

3 2

( )

f x x ax bx c

   

và

( ) ( )

g x f dx e

 

với , , , ,a b c d e





có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

( ).

y f x



Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

( )

y f x



và

( )

y g x



gần nhất với kết quả nào

dưới đây?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 4,5. B.

4,25

. C.

3,63

. D.

3,67

.

Câu 25: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số

( )

y f x



liên

tục trên



và hàm số

 

2

( ) .y g x x f x 

có đồ thị trên đoạn

 

0;2 như hình vẽ.

Biết diện tích miền tô màu là

5

2

S 

, tính tích phân

4

1

( )d .I f x x



A.

5I 

. B.

5

2

I 

. C.

5

4

I 

. D. 10I  .

Câu 26: (THTT lần5) Cho hàm số bậc ba





y f x

 có đồ thị





C

như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã

cho cắt trục

Ox

tại 3 điểm có hoành độ

1

x ,

2

x ,

3

x theo thứ tự lập thành cấp số cộng và

3 1

2 3x x  . Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

C và trục

Ox

là

S

. Diện tích

1

S

của hình

phẳng giới hạn bởi các đường





1

y f x

 

,





1

y f x

  

,

1

x x và

3

x x bằng

A. 2 3S  . B. 4 3R S  . C. 4 3. D. 8 3.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 27: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hình phẳng





H

được giới hạn bởi đồ thị





C

của hàm đa

thức bậc ba và parabol





P

có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình

vẽ có diện tích bằng

A.

37

12

. B.

7

12

. C.

11

12

. D.

5

12

.

Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên đoạn





5;3

 có đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Biết diện tích các hình phẳng

















, , ,

A B C D

giới hạn bởi đồ thị hàm

số





f x

và trục hoành lần lượt bằng

6;3;12;2

. Tích phân

 

1

3

2 2 1 1 d

f x x



 

 

 



bằng

A.

27

. B.

25

. C.

17

. D.

21

.

Câu 29: (TTHT Lần 4) Cho hàm số





y f x

 . Hàm số





y f x



 có đồ thị như hình vẽ bên.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 79

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục

Ox

và đồ thị hàm số





y f x



 trên đoạn





2;1

 và





1; 4

lần lượt bằng

9

và

12.

Cho





1 3.

f



Giá trị của biểu thức









2 4

f f 

bằng

A.

21.

B.

9.

C.

3.

D.

3.

Câu 30: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực

a

để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm

2 2

6

2 3

1

x ax a

y

a

 





và

2

6

1

a ax

y

a







có diện tích lớn nhất.

A.

3

1

2

. B. 1. C. 2. D.

3

.

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ

Oxyz

cho





E

có phương trình

 

2 2

1, , 0

x y

a b

  

và đường tròn





2 2

: 7.

C x y

 

Để diện tích elip





E

gấp 7 lần diện tích hình tròn





C

khi đó

A.

7

ab



. B.

7 7

ab 

. C.

7

ab 

. D.

49

ab



.

Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang

trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đồ thị

 

3 2

1

2

y f x ax bx cx

    

và





2

1

y g x dx ex

   

trong đó

, , , , .

a b c d e





Biết

rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng

3; 1; 2,

 

chi phí trồng hoa

là 800000 đồng/1m

2

và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số

nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

A. 4217000 đồng. B. 2083000 đồng. C. 422000 đồng. D. 4220000 đồng.

Câu 33: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số





3 2

, ,y x ax bx c a b c    



có đồ thị





C

và





2

, ,y mx nx p m n p   



có đồ thị





P

như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

và





P

có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 80

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.





0;1

. B.





1;2

. C.





2;3

. D.





3;4

.

Câu 34: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số





3

f x x ax b

  

và









2

g x f cx dx

  với

, , ,a b c d





có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số





y f x



.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong





y f x



và





y g x



gần nhất với kết quả

nào dưới đây?

A.

7,66

. B.

4,24

. C.

3,63

. D.

5,14

.

Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 15) Gọi





H

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

2

3

y x  , trục hoành

và trục tung. Gọi

1

k

,

2

k

(

1 2

k k



) lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm





0;9

A

và chia





H

thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 81

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Giá trị của

1 2

k k bằng

A.

13

2

. B. 7 . C.

25

4

. D.

27

4

.

Câu 36: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị

 

C của hàm số

3 2

3 1y x x  

. Gọi

 

d là tiếp tuyến của

 

C tại điểm A có hoành độ

A

x a

. Biết diện tích

hình phẳng giới hạn bởi

 

d và

 

C bằng

27

4

, các giá trị của a thỏa mãn đẳng thức nào?

A.

2

2 1 0a a   . B.

2

2 0a a  . C.

2

2 0a a   . D.

2

2 3 0a a   .

Câu 37: Cho hình phẳng

 

H giới hạn bởi các đường

2

1y x  và ,0 1.y k k   Tìm k để diện tích của

hình phẳng





H

gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.

A.

3

4.k 

B.

3

2 1.k  

C.

1

.

2

k 

D.

3

4 1.k  

Câu 38: Cho hàm số

 

y f x xác định và liên tục trên đoạn

 

3;3 . Biết rằng diện tích hình phẳng

1

S ,

2

S giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x

 và đường thẳng 1y x   lần lượt là M , m. Tính tích

phân

 

3

df x x





bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 82

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 6

m M

 

. B. 6

m M

 

. C.

6

M m

 

. D.

6

m M

 

.

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số

3 2

( )

f x ax bx cx d

   

, có đồ thị

( )

C

và

M

là một

điểm bất kì thuộc

( )

C

sao cho tiếp tuyến của

( )

C

tại

M

cắt

( )

C

tại điểm thứ hai

N

; tiếp tuyến

của

( )

C

tại

N

cắt

( )

C

tại điểm thứ hai

P

. Gọi

1 2

,

S S

lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đường thẳng

MN

và

( )

C

; đường thẳng

NP

và

( )

C

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

1 2

8

S S

 . B.

2 1

8

S S

 . C.

2 1

16

S S

 . D.

1 2

16

S S

 .

Câu 40: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



có đồ thị





C

nằm trên trục hoành. Hàm số





y f x



thỏa mãn các điều kiện

 

2

. 4

y y y

 

  

và

 

1 5

0 1; .

4 2

f f

 

 

 

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

và trục hoành gần nhất với số

nào dưới đây?

A. 0,95. B. 0,96. C. 0,98. D. 0,97.

Câu 41: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Xác định

0

a



sao cho diện tích giới hạn bởi hai

parabol:

2 2

4

4 2

1

a ax x

y

a

 





,

2

4

1

x

y

a





có giá trị lớn nhất.

A.

4

3

a  . B.

3

a  . C.

3

4

a  . D.

4

5

a  .

Câu 42: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn





;

O R

và





;

O R



,

4

OO R





. Trên đường tròn





;

O R

lấy hai điểm

A

,

B

sao cho

3

AB a

 . Mặt phẳng





P

đi qua

A

,

B

cắt đoạn

OO



và tạo với

đáy một góc

60



,





P

cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó

bằng

A.

2

4 3

3 2

R



 



 

 

. B.

2

2 3

3 4

R



 



 

 

. C.

2

2 3

3 4

R



 



 

 

. D.

2

4 3

3 2

R



 



 

 

.

Câu 43: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình

bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ.

Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và



0

30

BAC  . Diện tích hình (H)

(phần tô đậm) bằng:

A.

2 2 3



 B.

2 3 3





C.

10

2 3

3





D.

7

3 3

3





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 83

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 44: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Biết rằng parabol

2

1

24

y x



chia hình phẳng giới hạn bởi elip có

phương trình

2 2

1

16 1

x y

 

thành hai phần có diện tích lần lượt là

1 2

,

S S

với

1 2

S S



. Tỉ số

1

2

S

bằng

A.

4 3

8 3







. B.

4 2

8 2







. C.

4 3

12





. D.

8 3

12





.

Câu 45: Cho parabol





2

:

P y x



và một đường thẳng

d

thay đổi cắt





P

tại hai điểm

A

,

B

sao cho

2018

AB



. Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





P

và đường thẳng

d

. Tìm giá trị lớn

nhất

max

S

của

.

S

A.

3

2018 1

6

max

S





. B.

3

2018

3

max

S 

. C.

3

2018 1

6

max

S





. D.

3

2018

6



max

S

.

Câu 46: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường

2

4

y x

 

,

2

y



,

y x



có diện tích là

.

S a b



 

. Chọn kết quả đúng:

A.

1

a



,

1

b



. B.

1

a b

 

. C.

2 3

a b

 

. D.

2 2

4 5

a b

 

.

Câu 47: Tìm giá trị của tham số m sao cho: và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng

có cùng diện tích

A. 0 < m < 1. B. m = 1. C. . D. m = 9

Câu 48:

Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm sao cho hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng và có diện tích bằng 4.

A. . B. . C. . D.

Câu 49: Cho hàm số

4

2 2

2

x

y m x

  

. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

m

sao cho đồ thị

của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành

qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng

64

15

là

A.



. B.





1



. C.

2

; 1

2

 

 

 

 

 

 

. D.

1

; 1

2

 

 

 

 

.

Câu 50: Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục

hoành. Với giá trị nào của m thì ?

A. B. C. D.

Câu 51: Cho parabol





2

: 1

P y x

 

và đường thẳng

: 2

d y mx

 

. Biết rằng tồn tại

m

để diện tích hình

phẳng giới hạn bởi





P

và

d

đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A.

0.

S



B.

4

.

3

S



C.

2

.

3

S



D.

4.

S



ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ

3

y x 3x 2

  

1 m 9

 

3 2

1 1

2 2

3 3

y x mx x m

    

5

0;

6

m

 















 

0, 2, 0

x x y

  

1

4

m



1

3

m



1

2

m



1

m



4 2

4

y x x m

  

'

S S



2

m



2

9

m



20

9

m 

1

m



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 84

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 1: (Sở Phú Thọ) Cho hàm số . Đồ thị của hàm số trên như hình vẽ (phần

cong của đồ thị là một phần của parabol ).

Biết , giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



, đồ thị hàm





y f x





như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án , , ,A B C D

dưới đây là đúng?

A.

     

2 1 0f f f  

. B.

     

0 1 2f f f  

.

C.

     

0 2 1f f f  

. D.

     

1 0 2f f f  

.

Câu 3: (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

 

f x



liên tục trên

 

2;1 .

Hình bên là đồ thị của hàm số

 

.y f x





Đặt

   

2

.

2

x

g x f x 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

     

1 2 0 .g g g  

B.

     

0 1 2 .g g g  

C.

     

2 1 0 .g g g  

D.

     

0 2 1 .g g g  

Câu 4: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm

số

 

y f x





có đồ thị hàm số như hình dưới đây.





f x





y f x









3;2



2

y ax bx c

  





3 0

f

 









1 1

f f

 

23

6

31

6

35

3

9

2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 85

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lập hàm số

   

2

3g x f x x x  

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

   

1 1g g 

. B.

   

1 1g g 

.

C.

   

1 2g g  

. D.

   

1 2g g  

.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân

 

2

1

2 1 dI f x x



 



.

A. 2I   . B. 1I   . C. 1I  . D. 2I  .

Câu 6: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số ( )y f x liên tục, có đạo hàm trên

 

; 

và có đồ thị như

hình vẽ. Tích phân

 

1

0

5 3 d

I f x x



 



bằng

A.

9

5

. B.

9

. C.

3

. D. 2 .

4

2

-1

2

3

O

1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 86

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 7: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm

'( )

f x

liên tục trên R và có đồ thị của

hàm số

'( )

f x

như hình vẽ, Biết

 

3

0

1 '( )

 



x f x dx a

và

1

0





f x dx b

'( )

,

3

1





f x dx c

'( )

, 1



f d

( )

. Tích phân

3

0



f x dx

( )

bằng

A.

4 5

   

a b c d

. B.

3 2

   

a b c d

. C.

4 3

   

a b c d

. D.

4 5

   

a b c d

.

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm cấp hai

( )

f x



liên tục trên



và có

đồ thị hàm số

( )

f x

như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số

( )

f x

đạt cực đại tại điểm

1;

x



đường

thẳng



trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

f x

tại điểm có hoành độ

2

x



.

Tích phân

ln3

0

1

2

x

e

e f dx

 





 

 



bằng

A.

8

. B.

4

. C.

3

. D.

6

.

Câu 9: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số





f x

liên

tục có đồ thị như hình bên dưới

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 87

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Biết ( ) ( ), [ 5;2]F x f x x



    và

 

1

3

14

d

3

f xx







. Tính

   

2 5F F  .

A.

145

6



. B.

89

6



. C.

145

6

. D.

89

6

.

Câu 10: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho

 

4 2

5 4 d

b

a

P x x x

   



có giá trị lớn nhất

với (

; ,a b a b  

). Khi đó tính

2 2

S a b 

A.

5S 

. B.

8S 

. C.

4S 

. D.

7S 

.

Câu 11: (Kim Liên) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số ( )y f x



 như hình vẽ. Biết

( ) 0f a  , tìm số giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f x với trục hoành.

A.

3

. B. 4 . C.

0

. D. 2 .

Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số ( )y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





3;3



và đồ thị '( )y f x như hình vẽ. Đặt

2

( ) 2 ( ) 4g x f x x  

. Biết (1) 24f   . Hỏi ( ) 0g x  có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 1. B. 4 . C. 2. D.

0

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 88

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 13: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục

trên



. Hàm số





y f x





có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thuộc đoạn

2;6

 



 

 

của phương trình









0

f x f



là

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số





4 2

f x ax bx c

  

có đồ thị





C

. Gọi





:

y dx e

  

là tiếp tuyến của





C

tại điểm

A

có hoành độ

1.

x

 

Biết



cắt





C

tại hai điểm phân biệt

,

M N

( , )

M N A



có hoành độ lần lượt là

0; 2.

x x

 

Cho biết

 

2

0

28

( ) .

5

dx e f x dx  



Tích

phân

 

0

1

( )

f x dx e dx



 



bằng:

A.

2

5

. B.

1

4

. C.

2

9

. D.

1

5

.

Câu 15: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số

4 3 2

( )

f x ax bx cx dx e

    

và

3 2

( ) 1

g x mx nx px

   

với

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

m

,

n

,

p

,

q

là các số thực. Đồ thị của hai hàm số

( )

y f x





,

( )

y g x





như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình

( ) ( )

f x q g x e

  

bằng

A.

13

3

. B.

13

3



. C.

4

3

. D.

4

3



.

Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục

trên đoạn





3;3

 và đồ thị hàm số





y f x



 như hình vẽ bên. Biết

(1) 6

f



và

   

 

2

1

2

x

g x f x



  . Kết luận nào sau đây là đúng?

O

1



2



3



1

2

3

4

5

6

7

x

y

4

2



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 89

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. Phương trình

 

0g x  có đúng hai nghiệm thuộc

 

3;3 .

B. Phương trình

 

0g x  không có nghiệm thuộc

 

3;3 .

C. Phương trình

 

0g x  có đúng một nghiệm thuộc

 

3;3 .

D. Phương trình

 

0g x  có đúng ba nghiệm thuộc

 

3;3 .

Câu 17: Chọn ngẫu nhiên hai số thực . Tính xác suất để phương trình có

tối đa hai nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình

vẽ.

Giá trị của biểu thức

   

4 2

0 0

' 2 d ' 2 dI f x x f x x   

 

bằng

A. 2 . B. 2 . C.

6

. D.

10

.

Câu 19: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số

 

f x có đạo hàm liên tục trên



và thỏa

mãn

 

0,f x x    . Biết

 

0 1f  và

 

'

2 2

f x

x

f x

 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình

 

f x m có hai nghiệm thực phân biệt.

A.

0 1m 

. B. em  . C.

0 em 

. D.

1 em 

.

Câu 20: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số

4 2

( )f x ax bx 

 

,a b có đồ thị

hàm số

'( )f x

như hình vẽ bên dưới. Biết rằng diện tích phần tô đậm bằng

1

8

. Phương trình

8 ( ) 1 0f x  

có bao nhiêu nghiệm?





, 0;1

a b

3 2

2 3 0

x ax b

  

1

4

P



1

2

P



2

3

P



3

4

P



O

x

y

3



1

3

2



2

4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 90

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 0 . B. 4 . C. 3. D. 2 .

Câu 21: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hàm số

 

4 3 2

f x mx nx px qx r    

 

, , , , .m n p q r  

Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tập nghiệm của phương trình

 

f x r

có số phần tử là

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Câu 22: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số

 

4 3 2

,f x ax bx cx dx m    

(với

, , , ,a b c d m

). Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình vẽ bên.

Tập nghiệm của phương trình

 

1

2

f x f

 



 

 

có số phần tử là

A.

5.

B.

2.

C.

4.

D.

3.

Câu 23: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019)

Cho hàm số

 

5 4 3 2

f x ax bx cx dx ex r     

 

, , , , ,a b c d e r  

. Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình bên (cắt

Ox

tại

 

2;0A 

,

 

1;0B 

,

 

1;0C

,

 

2;0D

). Phương trình

 

f x r

có bao nhiêu nghiệm?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 91

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2

. B.

1

. C.

5

. D.

4

.

Câu 24: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 có đồ thị





'

y f x

 cắt

trục hoành tại ba điểm có hoành độ

a b c

 

như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình









f x a f c

  là

A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.

Câu 25: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số





f x

xác định trên

1

\

2

 

 

 

 và có đồ thị hàm số





y f x



 như hình vẽ, biết





0 1

f



,





1 2

f



. Giá trị của









1 3

P f f   bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 92

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

4 ln15

. B.

2 ln15

. C.

3 ln15

. D.

ln15

.

Câu 26: Cho các số thực , , , a b c d thỏa mãn 0 a b c d    và hàm số

 

y f x . Biết hàm số

 

y f x



 có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số

 

y f x trên

 

0;d . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

   

0M m f f c   . C.

   

M m f b f a   .

B.

   

M m f d f c   . D.

   

0M m f f a   .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số

 

y f x



 , ta có nhận xét:

● Hàm số

 

y f x



 đổi dấu từ  sang  khi qua

x a

.

● Hàm số

 

y f x



 đổi dấu từ  sang  khi qua x b .

● Hàm số

 

y f x



 đổi dấu từ  sang  khi qua

x c

.

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số

 

y f x trên đoạn

 

0;d như sau:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 93

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:

 





















 

     

 

0;

max max 0 , ,

min min ,

d

f x f f b f d

f x f a f c



 

 





 



 



.

Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có

       

 

   

0;

0 min .

b c

d

a b

f x dx f x dx f c f a f x f c

 

        

   

 

Tương tự, ta có

       

     

 

   

0

0;

0 0

0 max 0 .

0

a b

a

c d

d

b c

f x dx f x dx f f b

f f b f d f x f

f x dx f x dx f b f d



 

    



 



     



 



 

    

 





 

Vậy

 









 









0;

max 0 ; min .

d

f x f f x f c

    

   

Chọn A

Câu 27: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình

có bốn nghiệm phân biệt , , , với .

Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. . B. .

C. . D. .

Câu 28: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên



và đồ thị của hàm số





f x



trên đoạn





2;6

 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.





 





2;6

max 2

x

f x f

 

 

. B.





 





2;6

max 2

x

f x f

 

 .

C.





 





2;6

max 6

x

f x f

 

 . D.





 





2;6

max 1

x

f x f

 

 

.

Câu 29: Cho hàm số





y f x

 . Đồ thị của hàm số





y f x



 như hình vẽ bên. Đặt

 





2;6

max

M f x





,

 





2;6

min

m f x





,

T M m

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





y f x







y f x









0

f x





a

0

b

c

0

a b c

  













f a f c f b

 













f a f b f c

 













f c f a f b

 













f b f a f c

 

O

x

y

2



4

6

2

1

2

3

1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 94

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.









5 2

T f f

  

. B.









5 6

T f f  . C.









0 2

T f f  . D.









0 2

T f f

  

.

Câu 30: (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





0

f x



, x

 



. Biết





0 1

f



và













2

6 3 .

f x x x f x



  . Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

m

để phương trình





f x m



có nghiệm duy nhất.

A.

4

e

0 1

m







 



. B.

4

1 e

m

 

. C.

4

e

1

m











. D.

4

1 e

m

 

.

Câu 31: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;5

và đồ thị hàm số





y f x





trên đoạn





0;5

được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng

A.













0 5 3

f f f

 

. B.













3 0 5

f f f

 

.

C.













3 0 5

f f f

 

. D.













3 5 0

f f f 

.

Câu 32: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn

và lần lượt bằng và . Cho . Giá trị biểu thức bằng

A. B. . C. . D. .





y f x







y f x





Ox





y f x









2;1







1;4

9

12





1 3

f











2 4

f f 

21

9

3

2

5



3

5

1

x

O

y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 95

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 - Thể tích vật thể

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là

diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả

sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

2 - Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục

hoành và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

B

( )

S x

x

( )

a x b

 

( )

S x

[ ; ]

a b

( )

b

a

V S x dx





( )

y f x



x a



x b



( )

x g y



y c



y d



( )

y f x



( )

y g x



x a



x b



c

y

O

d

x

( ): ( )

( ):





















C x g y

Oy x 0

y c

y d

 

2

( )

d

y

c

V g y dy

 



( ): ( )

( ):





















C y f x

Ox y 0

x a

x b

 

2

( )

b

x

a

V f x dx

 



a



( )

y f x

y

O

b

x

( )

b

a

S x dx

V 



x

O

a

b

( )

V

S(x)

x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 96

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY)

PHƯƠNG PHÁP:

. Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )y f x , 0y  ,

x a

và ( )x b a b  quay quanh trục Ox là

2

( )

b

a

V f x dx







.

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), ( )y f x y g x  ,

x a

và ( )x b a b  quay quanh trục Ox là

2 2

( ) ( )

b

a

V f x g x dx



 



.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình phẳng D giới

hạn bởi đường cong

 

3 2

1

x

x e

y

xe

 





, trục hoành và hai đường thẳng

0x 

,

1x 

. Khối tròn

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích

1

ln 1V a b

e



 

 

  

 

 

 

 

, trong đó

a

,

b

là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

2 5

a b

 

. B.

3

a b

 

. C.

2 7

a b

 

. D.

5

a b

 

.

Câu 2: (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi

V

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường

y x

, 0y  và

4x 

quanh trục

Ox

. Đường thẳng

 

0 4x a a   cắt

đồ thị hàm số

y x

tại M (hình vẽ). Gọi

1

V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam

giác

OMH

quanh trục

Ox

. Biết rằng

1

2V V . Khi đó

A.

2a 

. B. 2 2a  . C.

5

2

a  . D.

3a 

.

Câu 3: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần

bởi parabol

 

P có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích

V

của khối tròn xoay khi cho phần

S

quay quanh trục

Ox

.

A.

128

5

V





. B.

128

3

V





. C.

64

5

V





. D.

256

5

V





.

2 2

( ) ( )

b

a

V f x g x dx



 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 97

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 4: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hình

1

( )

H

giới hạn bởi các đường

2 , 2 , 4

y x y x x

   

; hình

2

( )

H

là tập hợp tất cả các điểm

( ; )

M x y

thỏa mãn các điều kiện

2 2 2 2

16;( 2) 4

x y x y

    

;

2 2

( 2) 4

x y

  

. Khi quay

1 2

( );( )

H H

quanh

Ox

ta được các

khối tròn xoay có thể tích lần lượt là

1 2

,

V V

.Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

2 1

2

V V

 . B.

1 2

V V



. C.

1 2

48

V V



  . D.

2 1

4

V V

 .

Câu 5: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi

D

là miền được giới hạn bởi các đường

3 10

y x

  

,

1

y



,

2

y x



và

D

nằm ngoài parabol

2

y x



. Khi cho

D

quay xung quanh trục

Ox

, ta nhận

được vật thể tròn xoay có thể tích là:

A.

56

5



. B.

12



. C.

11



. D.

25

3



.

Câu 6: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng cho hình

vuông

ABCD

cạnh

2 2

, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của

hình vuông làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay

quanh đường thẳng

AC

bằng

A.

2

32

4

3





. B.

2

16

2

3





. C.

2

8

3





. D.

2

64

8

3





.

Câu 7: (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị





3 2

:

C y ax bx cx d

   

và Parabol





2

:

P y mx nx p

  

có đồ thị như hình vẽ (đồ thị





C

là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn

bởi





C

và





P

(phần tô đậm) có diện tích bằng

1

. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi

quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

A.

3



. B.

237

35



. C.

5



. D.

159

35



.

Câu 8: Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất

của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của

một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng

Bia không đáng kể).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 98

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 70 (lít). B. 62 (lít). C. 60 (lít). D. 64 (lít).

Câu 9: (Cẩm Giàng)Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông

như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các

đường Parabol).

A.

3

19m . B.

3

21m . C.

3

18m . D.

3

40m .

Câu 10: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định

dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích

thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian

bên trong trại.

A.

3

72 m . B.

3

36 m . C.

3

72 m



. D.

3

36 m



.

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm 3 bởi các

điểm B và C sao cho 2AB BC CD   . Ba nửa đường tròn có bán kính 1 là



AEB

,



BFC và



CGD

có đường kính tương ứng là AB , BC và CD. Các điểm E , F , G lần lượt là tiếp điểm

của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 . Diện

tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) có thể biểu

diễn dưới dạng

a

c d

b



  , trong đó

a

, b ,

c

, d là các số nguyên dương và

a

, b nguyên tố

cùng nhau. Tính giá trị của a b c d   ?

y

O

x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 99

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 14 . B. 15. C. 16. D. 17 .

Câu 12: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng

 

D giới hạn bởi các đường

y x



 

,

insy x và 0x  . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do

 

D quay quanh trục hoành

và

 

4

,V p p



  . Giá trị của 24p bằng

A. 8. B. 4 . C. 24 . D. 12 .

Câu 13: (Sở Hưng Yên Lần1) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là

4cm

, chiều

cao trong lòng cốc là

12cm

đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết

rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường

kính đáy.

A.

3

128 cm



. B.

3

256cm . C.

3

256 cm



. D.

3

128cm .

Câu 14: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Tính thể tích của vật thể nằm

giữa hai mặt phẳng

1

x

 

và

1

x



, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

 

1 1x x  

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng

4

1 x .

A.

3

4

. B.

2

5

. C.

4

. D.

1

4

.

Câu 15: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể

 

T giới hạn bởi

hai mặt phẳng 0x  ; 2x  . Cắt vật thể

 

T bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại

 

0 2x x  ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng

 

1 e

x

x  . Thể tích vật thể

 

T bằng

A.





4

13e 1

4





. B.

4

13e 1

4



. C.

2

2e . D.

2

2 e



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 100

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

0

x



,

x





. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

Ox

tại điểm có

hoành độ

x





0 x



 

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

sin 2

x



.

A.

7

1

6





. B.

9

1

8





. C.

7

2

6





. D.

9

2

8





.

Câu 17: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng

nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai

parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên

của đồng hồ thì chiều cao

h

của mực cát bằng

3

4

chiều cao của bên đó (xem hình).

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi

3

12,72cm

/phút. Khi chiều cao của cát còn

4cm

thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi



8 cm

(xem hình). Biết

sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên

ngoài là bao nhiêu

cm

?

A.

10cm

. B.

9cm

. C.

8cm

. D.

12cm

.

Câu 18: Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :

2

1

( )

1

y f x

x

 



;

2

( )

2

x

y g x 

.Tính thể

tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới

dạng

2

T m n

 

  ;m,n



R thì tổng giá trị

m n



là ?

A.

1

2

B.

13

20

C.

2

5

D.

3

5

Câu 19: Cho hai đường tròn





1

;10

O và





2

;8

O cắt nhau tại hai điểm

,

A B

sao cho

AB

là một

đường kính của đường tròn





2

O

. Gọi





H

là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần

được tô màu như hình vẽ). Quay





H

quanh trục

1 2

OO

ta được một khối tròn xoay. Tính thể

tích

V

của khối tròn xoay tạo thành.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 101

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

824

3



. B.

608

3



. C.

97

3



. D.

145

3



BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH

Câu 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm

O

bán kính

6

m

. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng

6

m

nhận

O

làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng

2

/

m

Hỏi cần bao nhiêu tiền để

trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A.

8412322

đồng. B.

8142232

đồng. C.

4821232

đồng. D.

4821322

đồng

Câu 2: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm

O

. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn

hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh

O

và đối

xứng nhau qua

O

. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm

A

,

B

,

C

,

D

tạo thành

một hình vuông có cạnh bằng

4

m

(như hình vẽ). Phần diện tích

l

S

,

2

S

dùng để trồng hoa, phần

diện tích

3

S

,

4

S

dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh

phí trồng hoa là

150.000

đồng /1m

2

, kinh phí để trồng cỏ là

100.000

đồng/1m

2

. Hỏi nhà trường

cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A.

6.060.000

đồng. B.

5.790.000

đồng. C.

3.270.000

đồng. D.

3.000.000

đồng.

Câu 3: (Sở Hà Nam) Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường

tròn là

20

m

và

15

m

, khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là

30

m

. Phần giao của hai hình

tròn được trồng hoa với chi phí

300000

đồng/

2

m

. Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí

100000

đồng/

2

m

. Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A.

202

triệu đồng. B.

208

triệu đồng.

C.

192

triệu đồng. D.

218

triệu đồng.

Câu 4: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Lô gô gắn tại Shoroom của một hãng ô tô là

một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm gữa Parabol đỉnh

I

và đường gấp khúc

AJB

được giát bạc với chi phí 10 triệu đồng /

2

m

phần còn lại phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/

2

m

.

Biết

2 , 5

AB m IA IB m

   và

13

2

JA JB m

  . Hỏi tổng số tiền giát bạc và phủ sơn của lô

gô nói trên gần với số nào nhất trong các số sau:

A. 19 250 000đồng. B. 19 050 000 đồng.

C. 19 150 000đồng. D. 19 500 000đồng.

Câu 5: (Lý Nhân Tông) Một mảnh vườn hình tròn tâm

O

bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên

dải đất rộng

6

m

nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng/

2

m

. Hỏi cần

bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó ?

C

O

2

O

1

A

B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 102

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

8 412 322

đồng. B.

4 821 322

đồng. C.

3142 232

đồng. D.

4 821 232

đồng.

Câu 6: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số

4 2

6

y x x m

  

có đồ thị





m

C

. Giả sử





m

C

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn

bởi





m

C

và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích

bằng nhau. Khi đó

a

m

b



(với

,

a b

là các số nguyên,

0



b ;

a

b

là phân số tối giản). Giá trị của

biểu thức

S a b

 

là

A.

7

. B.

6

. C.

5

. D.

4

.

Câu 7: (Hàm Rồng) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng

10

cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết

5

AB



cm,

4

OH



cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

A.

2

140

cm

3

. B.

2

160

cm

3

. C.

2

14

cm

3

. D.

2

50 cm

.

Câu 8: (CổLoa Hà Nội) Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài

trục lớn là

10

m, chiều dài trục nhỏ là

4

m, Ban tổ chức vẽ một đường tròn có đường kính bằng

độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ. Trên hình tròn người ta trồng hoa

với giá

100.000

đồng/m

2

, phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá

60.000

đồng/m

2

(biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả công và cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để

trồng hoa và cỏ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 103

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2387000

đồng. B.

2638000

đồng. C.

2639000

đồng. D.

2388000

đồng.

Câu 9: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Gia đình anh A có 1 bồn hoa được thiết kế như hình

dưới đây:

Ở đây

I

là tâm của hình tròn và cũng là trung điểm của

1 2

F F

,

1 2

,

F F

là hai tiêu điểm của hình

elip,

2

A

là một đỉnh của elip,

2 2 2

3, 1

IF F A

 

. Anh A dự định trồng cỏ Nhật toàn bộ phần diện

tích tô đậm. Hỏi số tiền anh A cần phải trả để mua cỏ gần nhất với số nào sau đây biết rằng giá

cỏ Nhật là 65.000đ/m

2

?

A.

563.000

đ. B.

560.000

đ. C.

577.000

đ. D.

559.000

đ.

Câu 10: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh

trang trí hình

MNEIF

ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật

ABCD

có chiều cao

6

BC m



, chiều dài

12

CD m



(hình vẽ bên). Cho biết

MNEF

là hình chữ nhật có

4

MN m



;

cung

EIF

có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi

qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/

2

m

. Hỏi công ty X cần bao nhiêu

tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng.

Câu 11: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Ông An muốn làm cửa

rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol.

Giá

2

1

m

của rào sắt là

700.000

đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như

vậy (làm tròn đến hàng nghìn).

4 m

10 m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 104

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

6.620.000

đồng. B.

6.320.000

đồng. C.

6.520.000

đồng. D.

6.417.000

đồng.

Câu 12: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một mặt bàn hình elip có chiều dài là

120cm, chiều rộng là 60cm. Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá

hoa cương màu trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần đá hoa cương màu vàng

cũng là elip có chiều dài 100 cm và chiều rộng là 40 cm. Biết rằng đá hoa cương màu trắng có

giá

2

600.000 /

vnd m

và đá hoa cương màu vàng có giá

2

650.000 /

vnd m

. Hỏi số tiền để gắn đá

hoa cương theo cách trên gần với số tiền nào dưới đây?

A.

355.000

đồng. B.

339.000

đồng. C.

368.000

đồng. D.

353.000

đồng.

Câu 13: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài

100

và chiều rộng là

60

m

người ta làm một

con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai

đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình

chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là

2

m

. Kinh phí cho mỗi

2

m

làm đường

600.000

đồng.

Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A.

293904000.

B.

283904000.

C.

293804000.

D.

283604000.

Câu 14: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Một thùng đựng dầu có

thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng

2m

, độ dài trục

bé bằng

1m,

chiều dài (mặt trong của thùng) bằng

3,5m.

Thùng được đặt sao cho trục bé nằm

theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm

thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là

0,75m

. Tính thể tích

V

của dầu có trong thùng (Kết quả

làm tròn đến hàng phần trăm).

60

m

100

m

2

m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 105

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

4,42m

V . B.

3

3,23m

V . C.

3

1,26m

V . D.

3

7,08m

V .

Câu 15: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn

bán kính bằng

8

m

. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định

trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông

ABCD

để trồng hoa (phần tô đen). Phần

diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ (phần gạch chéo).

Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết

4

AB m



, giá trồng hoa là

200.000

đ/m

2

, giá

trồng cỏ là

100.000

đ/m

2

, mỗi cây cọ giá

150.000

đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang

trí bồn hoa đó (làm tròn đến hàng nghìn).

A.

13.265.000

đồng. B.

12.218.000

đồng. C.

14.465.000

đồng. D.

14.865.000

đồng.

Câu 16: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát

bằng những viên gạch hình vuông cạnh như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử

dụng các đường cong có phương trình và để tạo hoa văn cho viên gạch.

Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh

1

A

,

2

A

,

1

B

,

2

B

như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường Parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip

tại

4

điểm

, , ,

M N P Q

như hình vẽ sao cho tứ giác

MNPQ

là hình chữ nhật có

4



MN

để chia

vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là

600.000

đồng/

2

m

và trồng rau là

50.000

đồng/

2

m

. Hỏi số tiền phải chi gần nhất với số tiền

nào dưới đây, biết

1 2

8 m

A A



,

1 2

4 m



B B

?

A.

4.899.000

đồng B.

5.675.000

đồng C.

3.526.000

đồng D.

7.120.000

đồng

Câu 18: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip





E

có độ dài trục lớn là

10

AA





, độ dài trục nhỏ là

6

BB





, đường tròn tâm

O

có đường kính

là

BB



(như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích

V

của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền





40

cm

2 4

4

x y



3 2

4( 1)

x y

 





2

506

cm





2

747

cm





2

507

cm





2

746

cm

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 106

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung

quanh trục

AA



.

A.

36

V

 

. B.

60

V

 

. C.

24

V

 

. D.

20

3

V





.

Câu 19: (Chuyên Vinh Lần 2) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh như

hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh , trục đối xứng và đi qua các điểm

. Sau đó sơn phần tô đậm với giá đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với

giá đồng/ . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng

.

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Câu 20: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol





P

có kích

thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng

4

m,

4

AB



m. Người ta thiết kế cửa đi là một

hình chữ nhật

CDEF

(với ,

C F AB



;





,

D E P

 ), phần còn lại (phần tô đậm) dùng để trang

trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là

1.000.000

đồng/

2

m

. Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang

trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?

A.

4.450.000

đồng. B.

4.605.000

đồng. C.

4.505.000

đồng. D.

4.509.000

đồng.

1 2 1 2

, , ,

A A B B

1

B

1 2

B B

,

M N

200.000

2

m

500.000

2

m

1 2 1 2

4 , 2 , 2

A A m B B m MN m

  

N

M

B

1

B

2

A

2

A

1

2.341.000

2.057.000

2.760.000

1.664.000

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 107

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 21: (Sở Thanh Hóa 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để

trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng

vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn

(phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 (m). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm)

dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản

tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ

Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 3.926.990 (đồng). B. 4.115.408 (đồng)C. 1.948.000 (đồng). D. 3.738.574 (đồng).

Câu 22: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai

hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa

hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn

là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm

mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

A.

202

triệu đồng. B.

208

triệu đồng. C.

218

triệu đồng. D.

200

triệu đồng.

Câu 23: Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc

là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2

con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).

A.

1,034

m

2

B.

1,574

m

2

C.

1,989

m

2

D.

2,824

m

2

Câu 24: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng

một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có

một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình

trong hệ tọa độ

Oxy

là





2 2 2

16 25

y x x

  như hình vẽ bên.

Tính diện tích

S

của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ

Oxy

tương ứng

với chiều dài

1

mét.

A.

 

2

125

6

S m



B.

 

2

125

4

S m



C.

 

2

250

3

S m



D.

 

2

125

3

S m



x

y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 108

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

Câu 1: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông,

được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính

của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông?

A. 6



B. 12



C.

3

2



D. 16



Câu 2: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy

1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng

với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo

đơn vị

3

m

)

A. 11,781

3

.m

B. 12,637

3

.m

C. 1

3

14,923 .m D.

3

8,307 .m

Câu 3: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy

có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và

cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là

bao nhiêu?

A.

425,2

lit. B. 425162 lit. C. 212581lit. D.

212,6

lit.

Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 17) Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có

đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 60cm , các cạnh bên hông của

thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới

đây? (giả sử độ dày của thùng bia không đáng kể)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 109

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 70 (lít). B. 62(lít). C. 60 (lít). D. 64(lít).

Câu 5: (ĐH Vinh Lần 1) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một

chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của

chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng

'OO

= 5cm,

OA

= 10cm ,

OB

= 20cm, đường cong AB

là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng

A.

 

3

2750

cm

3



. B.

 

3

2500

cm

3



. C.

 

3

2050

cm

3



. D.

 

3

2250

cm

3



.

Câu 6: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.

Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

B

O'

O

A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 110

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

19

m

. B.

3

21

m

. C.

3

18 .

m

. D.

3

40

m

.

Câu 7: (ĐH Vinh Lần 1) Cây dù ở khu vui chơi “công viên nước” của trẻ em có phần trên là một chỏm

cầu, phần thân là một khối nón cụt như hình vẽ. Biết

2

ON OD m

 

;

40

MN cm



;

40

BC cm



;

20

EF cm



. Tính thể tích của cây dù

A.





3

336000

cm







3

2750

cm

3



. B.

 

3

896000

3

cm



.

C.





3

112000

cm







3

2050

cm

3



. D.





3

896000

cm







3

2250

cm

3



.

Câu 8: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Sân vận động Sports Hub (Singapore)

là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015.

Nền sân là một Elip





E

có trục lớn dài

150

m

, trục bé dài

90

m

. Nếu cắt sân vận động theo mặt

phẳng vuông góc với trục lớn của





E

và cắt





E

tại

M

và

N

(hình a) thì ta được thiết diện

A D

M

F

E

B

O

C

N

0,5

m

0,5

m

19

m

5

m

2

m

0,5

m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 111

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

luôn là một phần của hình tròn có tâm

I

( phần tô đậm trong hình b) với

MN

là dây cung và



0

90

MIN  . Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần

không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu

làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

Hình a Hình b

A.

3

57793

m

. B.

3

115586

m

. C.

3

32162

m

. D.

3

101793

m

.

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác ,

ABCD CDPQ

là các hình vuông cạnh

2,5

cm

. Tứ giác

ABEF

là hình chữ nhật có

3,5

BE cm



. Mặt bên

PQEF

được mài nhẵn theo đường parabol





P

có đỉnh parabol nằm trên

cạnh

EF

. Thể tích của chi tiết máy bằng

A.

3

395

24

cm

. B.

3

50

3

cm

. C.

3

125

8

cm

. D.

3

425

24

cm

.

Câu 10: Một khối cầu có bán kính là





5

dm

, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng

song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng





3

dm

để làm một chiếc lu đựng

nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 112

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

 

3

100

3

dm



B.

 

3

43

3

dm



C.





3

41

dm



D.





3

132

dm



Câu 11: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là

6cm

, chiều cao trong lòng cốc là

10cm

đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước

vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

A.

3

240cm

. B.

3

240 cm



. C.

3

120cm

. D.

3

120 cm



.

Câu 12: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao

từ mặt đất lên là

3,5m

. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng

2m

AB



. Thiết diện

của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

AB

tại

A

là một hình tam giác vuông

cong

ACE

với

4m

AC



,

3,5m

CE



và cạnh cong

AE

nằm trên một đường parabol có trục

đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí

M

là trung điểm của

AC

thì tường cong có độ cao

1m

(xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

A.

3

9,75m

. B.

3

10,5m

. C.

3

10m

. D.

3

10,25m

.

Câu 13:

Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua

đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới

đây)

0

45

A

B

C

M

E

2m

1m

3,5m

4m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 113

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Hình 1 Hình 2

Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính .

A. . B. . C. . D.

Câu 14: Người ta dựng một cái lều vải





H

có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy

của





H

là một hình lục giác đều cạnh

3

m

. Chiều cao

6

SO m



(

SO

vuông góc với mặt phẳng

đáy). Các cạnh bên của





H

là các sợi dây

1

c

,

2

c

,

3

c

,

4

c

,

5

c

,

6

c

nằm trên các đường parabol có

trục đối xứng song song với

SO

. Giả sử giao tuyến (nếu có) của





H

với mặt phẳng





P

vuông

góc với

SO

là một lục giác đều và khi





P

qua trung điểm của

SO

thì lục giác đều có cạnh

1

m

. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều





H

đó.

A.

135 3

5

(

3

m

). B.

96 3

5

(

3

m

). C.

135 3

4

(

3

m

). D.

135 3

8

(

3

m

).

Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật

bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể

là:

V





V cm

3

2250

 

V cm

3

225

4









V cm

3

1250





V cm

3

1350

O

1

c

2

c

3

c

4

c

5

c

6

c

1

m

3

m

S

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 114

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

256

.

3

V 

B.

64

.

3

V 

C.

256 3

.

3

V 

D.

32 3

.

3

V 

Câu 16: Gọi

 

H

là phần giao của hai khối

1

4

hình trụ có bán kính

a

, hai trục hình trụ vuông góc với

nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của

 

H

.

A.

 

3

2

3



H

a

V

. B.

 

3

4



H

a

V

. C.

 

3

2



H

a

V

. D.

 

3

4





H

a

V

.

Câu 17: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một mặt

phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc . Thể tích của

khối gỗ bé là:

A. B. C. D.

ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC

Câu 1: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo

2

/cm s

) là

 

2

20

( )

1 2

a t

t







(với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi 0t  thì

 

30 /v cm s

.

A.

10

1 2t

B.

10

20

1 2t



C.

 

3

1 2 30t



  D.

 

2

20

30

1 2t





Câu 2: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Một ôtô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc

   

6v t t m s

. Đi được

10

s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ôtô tiếp tục chuyển động

chậm dần đều với gia tốc

 

2

60a m s  . Tính quãng đường

S

đi được của ôtô từ lúc bắt đầu

chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A.

 

300 m . B.

 

330 m . C.

 

350 m . D.

 

400 m .

0

45

3

2

.

3

R

V 

3

.

6

R

V





3

.

3

R

V 

3

.

3

R

V





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 115

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 3: Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc

20 /

m s

thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường

ở phía trước cách

45

m

(tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời

điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc





5 20

v t t

  

(

/

m s

), trong đó

t

là khoảng

thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô

tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?

A.

5

m

. B.

4

m

. C.

6

m

. D.

3

m

.

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc

10 /

m s

thì tăng tốc với gia tốc

2

( ) 3

a t t t

 

. Tính quãng đường

vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

A.

4300

.

3

m

B.

4300 .

m

C.

430 .

m

D.

430

.

3

m

Câu 5: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc (m/s). Đi được (s), người lái

xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc

(m/s

2

). Tính quãng đường (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến

khi dừng hẳn.

A. (m). B. (m). C. (m). D. (m).

Câu 6: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc

15

m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc

a



2

/

m s

. Biết

ôtô chuyển động thêm được

20

m

thì dừng hẳn. Hỏi

a

thuộc khoảng nào dưới đây.

A.





3;4

. B.





4;5

. C.





5;6

. D.





6;7

.

Câu 7: Một ôtô đang chạy với vận tốc

18 /

m s

thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ôtô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc





36 18

v t t

  

(

/

m s

) trong đó

t

là khoảng thời gian tính bằng

giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi

dừng hẳn là bao nhiêu mét?

A.

5,5

m

. B.

3,5

m

. C.

6,5

m

. D.

4,5

m

.

Câu 8: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm

công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm?

A. 1,95J. B. 1,59 J. C. 1000 J. D. 10000 J

Câu 9: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc

15

m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc



a

2

/

m s

. Biết

ôtô chuyển động thêm được

20

m

thì dừng hẳn. Hỏi

a

thuộc khoảng nào dưới đây.

A.





3;4

. B.





4;5

. C.





5;6

. D.





6;7

.

Câu 10: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã

được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động

theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật





2

10

v t t t

 

, trong đó

t

(phút) là thời

gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,





v t

được tính theo đơn vị mét/phút (

/

m p

). Nếu như vậy

thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc

v

của khí cầu là

A.





5 /

v m p



. B.





7 /

v m p



. C.





9 /

v m p



. D.





3 /

v m p



.

1

( ) 7

v t t



5

70

a

 

S

95,70

S



87,50

S



94,00

S



96,25

S



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 116

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc

10 /

m s

thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động

chậm dần đều với vận tốc









5 10 /

v t t m s

  

, trong đó

t

là khoảng thời gian tính bằng giây,

kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu

mét?

A.

0,2

m

. B.

2

m

. C.

10

m

. D.

20

m

.

Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho





2

3’

a b

h tt

t

 

và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là

3

150

m

.

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là

3

1100

m

. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được

20 giây là bao nhiêu.

A.

3

8400

m

. B.

3

2200

m

. C.

3

6000

m

. D.

3

4200

m

Câu 13: Gọi





h t





cm

là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được

t

giây. Biết rằng

 

3

1

8

5

h t t



 

và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được

6

giây (chính xác

đến

0,01

cm

)

A.

2,67 .

cm

B.

2,66 .

cm

C.

2,65 .

cm

D.

2,68 .

cm

Câu 14: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là





N t

. Biết rằng

 

4000

1 0,5

N t

t







và lúc đầu đám

vi trùng có

250000

con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất?

A.

251000

con. B.

264334

con. C.

261000

con. D.

274334

con.

Câu 15: Một đám vi trùng tại ngày thứ

t

có số lượng

( )

N t

, biết rằng

7000

( )

2

N t

t







và lúc đầu đám vi

trùng có

300000

con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao nhiêu con?

A.

302542

con. B.

322542

con. C.

312542

con. D.

332542

con.

Câu 16: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

 

2

1000

, 0

1 0,3

B t t

t



 



, trong đó





B t

là số lượng vi khuẩn trên mỗi

ml

nước tại ngày thứ

t

.

Số lượng vi khuẩn ban đầu là

500

con trên một

ml

nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử

dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới

3000

con trên mỗi

ml

nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu

thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?

A.

9

B.

10.

C.

11.

D.

12.

Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi





V t

là thể tích nước

bơm được sau

t

giây. Biết rằng





2

V t at bt



 

và ban đầu bể không có nước, sau

5

giây thể tích

nước trong bể là

3

15

m

, sau

10

giây thì thể tích nước trong bể là

3

110

m

. Thể tích nước bơm được

sau

20

giây bằng

A.

3

60 .

m

B.

3

220 .

m

C.

3

840 .

m

D.

3

420 .

m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 117

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 18: Hạt electron có điện tích âm là

19

1,6.10

C



. Nếu tách hai hạt eletron từ

1

pm

đếm

4

pm

thì công

W

sinh ra là

A.

28

3,194.10 .

J

W



 B.

-16

1,728.10

.

W

J



C.

28

1,728.10 .

J

W



 D.

16

3,194.10 .

J

W





Câu 19: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị

mA

) là một hàm số theo thời gian t, với

( ) 0,3 0,2

I t t

 

. Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05 giây là bao nhiêu?

A.

0,29975 .

mC

B.

0,29 .

mC

C.

0,01525 .

mC

D.

0,01475 .

mC

Câu 20: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ là

 

0

cos

2

i t I t

 

 

 

 





. Biết

i q





với

q

là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc

0

t



, điện

lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian bằng





là

A.

0

2

I





. B. 0. C.

0

2

I



.

D.

0

2

I





.

Câu 21: Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm





x m

so với độ dài tự nhiên là





0,15

m

của lò xo thì chiếc

lò xo trì lại (chống lại) với một lực





800 .

f x x



Hãy tìm công

W

sinh ra khi kéo lò xo từ độ

dài từ





0,15

m

đến





0,18 .

m

A.

2

36.10 .

W J



 B.

2

72.10 .

W J



 C.

36 .

W J



D.

72 .

W J



Câu 22: Một dòng điện xoay chiều i = I

0

2

sin t

T

 



 

 





chạy qua một mạch điện có điện trở thuần R.Hãy

tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T.

A.

2

0

2

RI

T

. B.

2

0

3

RI

T

. C.

2

0

4

RI

T

. D.

2

0

5

RI

T

Câu 23: Đặt vào một đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều u = U

0

2

sin

t

T



. Khi đó trong mạch có dòng

diện xoay chiều i = I

0

2

sin t

T

 



 

 





với



là độ lệch pha giữa dòng diện và hiệu điện

thế.Hãy Tính công của dòng diện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạnh đó trong thời gian

một chu kì.

A.

0 0

2

U I

cos



. B.

0 0

sin

2

U I

T



. C.

0 0

( )

2

U I

Tcos



 

. D.

0 0

2

U I

Tcos



Câu 24: Để kéo căng một lò xo có độ dài tự nhiên từ

10

cm

đến

15

cm

cần lực

40

N

. Tính công (

A

) sinh

ra khi kéo lò xo có độ dài từ

15

cm

đến

18

cm

.

A.

1,56 ( )

A J



. B.

1 ( )

A J



. C.

2,5 ( )

A J



. D.

2 ( )

A J



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 118

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 25: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng

o



 

, một đầu thanh

tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng

của trọng lực. Hãy biểu diễn góc



theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân)

A.

3

(sin sin )

2

o

d

t

a

 







 

. B.

3

(sin sin )

2

o

d

t

g

a

 







 

.

C.

3

(sin sin )

o

d

t

g

a

 







 

. D.

3

(sin sin )

2

o

d

t

g

a

 







 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

NGUYÊN HÀM

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Định nghĩa

Cho hàm số





f x

xác định trên

K

(

K

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số





F x

được gọi

là nguyên hàm của hàm số





f x

trên

K

nếu











F x f x

'

với mọi



x K

.

Kí hiệu:









 



f x dx F x C

.

Định lí:

1) Nếu





F x

là một nguyên hàm của





f x

trên

K

thì với mỗi hằng số

C

, hàm số









 

G x F x C

cũng là một nguyên hàm của





f x

trên

K

.

2) Nếu





F x

là một nguyên hàm của hàm số





f x

trên

K

thì mọi nguyên hàm của





f x

trên

K

đều có dạng







F x C

, với

C

là một hằng số.

Do đó





 



F x C C,

là họ tất cả các nguyên hàm của





f x

trên

K

.

2. Tính chất của nguyên hàm



 







f x dx f x

và









 



f x dx f x C

'

;

















d f x f x

dx dx

 Nếu F(x) có đạo hàm thì:





 



d F x F x C

( ) ( )













 

kf x dx k f x dx

với

k

là hằng số khác

0

.



















 

  

 

  

f x g x dx f x dx g x dx

 Công thức đổi biến số: Cho







y f u

và







u g x

.

Nếu

 



f x dx F x C

( ) ( )

thì







 

f g x g x dx f u du

( ) '( ) ( )

 

F u C

( )

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số





f x

liên tục trên

K

đều có nguyên hàm trên

K

.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1.





dx C

0 2.

 



dx x C

3.

 

 





   





x dx x C

1

16.

 







    





ax b

ax b c

a

1

dx , 1

1



4.

  



dx C

x

2

1 1

17.

 



x

xdx C

2

5.

 



dx x C

x

1

ln

18.

  





ax b c

ax b a

dx 1

ln

6.

 



x x

e dx e C

19.

 

 



ax b ax b

e dx e C

a

1

7.

 



x

a

a dx C

a

ln

20.



 



kx b

a

a dx C

k a

1

ln

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

8.

 



xdx x C

cos sin

21.

   

   



ax b dx ax b C

a

1

cos sin

9.

xdx x C

sin cos

  



22.

   

    



ax b dx ax b C

a

1

sin cos

10.

  



x dx x C

tan . ln | cos |

23.

   

    



ax b ax b C

a

1

tan dx ln cos

11.

 



x dx x C

cot . ln | sin |

24.

   

   



ax b ax b C

a

1

cot dx ln sin

12.

 



dx x C

x

2

1

tan

cos

25.

 

  





dx ax b C

a

ax b

2

1 1

tan

cos

13.

  



dx x C

x

2

1

cot

sin

26.

 

   





dx ax b C

a

ax b

2

1 1

cot

sin

14.





  



x dx x C

2

1 tan tan

27.

 

    



ax b dx ax b C

a

2

1

1 tan tan

15.





   



x dx co x C

2

1 cot t

28.

 

     



ax b dx co ax b C

a

2

1

1 cot t

5. Bảng nguyên hàm mở rộng

 





x

C

a a

a x

2 2

dx 1

arctg

   



x x

x a x C

a a

2 2

arcsin dx arcsin



 





a x

C

a a x

a x

2 2

dx 1

ln

2

   



x x

x a x C

a a

2 2

arccos dx arccos





   





x x a C

x a

2 2

dx

ln

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arctan dx arctan ln

2

 





x

C

a

a x

2 2

dx

arcsin

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arccot dx arccot ln

2

 





x

C

a a

x x a

2 2

dx 1

arccos

 

  





a x a

C

a x

x x a

2 2

dx 1

ln

 



 





ax b

C

a

ax b

dx 1

ln tan

2

sin

   

 

     

 

 



b

ax b x ax b x C

a

ln dx ln







 





ax

e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

cos sin

cos dx



   



x a x a x

a x C

a

2 2 2

2 2

dx arcsin

2 2







 





ax

e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

sin cos

sin dx

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 1. Tìm giá trị thực của

a

để

 

1

2 1

ax

F x

x







là một nguyên hàm của hàm số

 

3

4 3

2 1

x

f x

x







.

A.

4

a



. B.

5

a



. C.

4

a

 

. D.

5

a

 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

3

1

2 1

1

2 1

ax

a x

ax a

x

F x

x



 





 



   

3 3

4

1 4 3

1 4 3 4

1 3

2 1 2 1

a

ax a x

F x f x ax a x a

a

x x





  



          



 



 

.

Câu 2. Cho









2

2 1

F x ax bx c x

   

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

10 7 2

2 1

x x

f x

x

 





trên

khoảng

1

;

2

 



 

 

. Tính

S a b c

  

.

A.

3

S



. B.

0

S



. C.

6

S

 

. D.

2

S

 

.

Lời giải

Chọn D

     

 

2

1 10 7 2

2 2 1

2 1 2 1

x x

F x f x ax b x ax bx c

x x

 



       

 









2

2 2 1

10 7 2

2 1 2 1

ax b x ax bx c

x x

    

 

 

 





2 2

5 3 2 10 7 2

ax b a x c b x x

       

5 10

3 2 7

2

a

a b

c b







   





  



2

1 2

3

a

b S

c







     





 



.

Câu 3. Cho









2

2 3

F x ax bx c x

   

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

20 30 7

2 3

x x

f x

x

 





trên

khoảng

3

;

2

 



 

 

. Tính

P abc



.

A.

0

P



. B.

3

P



. C.

4

P



. D.

8

P

 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

   

 





2

5 3 6 3

1

2 2 3 .

2 3 2 3

ax b a x c b

F x ax b x ax bx c

x x

   



      

 













2 2

5 3 6 3 20 30 7

F x f x ax b a x c b x x



        

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

5 20

3 6 30

3 7

a

b a

c b







   





 



4

2 8

1

a

b S

c







     









.

Câu 4. Biết

sin cos

ln sin cos

sin cos

x x

dx a x x C

x x



  





. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

1.

a



B.

2.

a



C.

3.

a



D.

4.

a



Lời giải

Vì

 

sin cos

ln sin cos

sin cos sin cos

x x

a x x C

x x x x









     

 

 



nên

Nguyên hàm của:

sin cos

x x





là:

ln sin cos

x x C

 

.

Chọn A

Câu 5. Tìm một nguyên hàm của:

2

tan

2

1 4.

tan 1

2

x



 



 

 

biết nguyên hàm này bằng 3 khi

4

x





.

A.

2

1

3.

cos

x



B.

2

1

3.

sin

x



C.

tan 2

x



. D.

cot 2

x



.

Lời giải

 

2

tan 2tan

1

2 2

1 4. 1 1 tan

cos

1 tan

tan 1

2

x x

f x x

x

 

 

      

 

 

 





 

 

Nguyên hàm của





tan

F x x C

 

Ta có:

 

3 tan 3 2 tan 2

4 4

F C C F x x

 

        

 

 

 

Chọn C

Câu 6. Biết

 

5

2

1 1

25 20 4

5 2

dx C

x x

a x

  

 





. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

4.

a



B.

100.

a



C.

5.

a



D.

25.

a



Lời giải

Chú ý nếu chúng ta biến đổi:

 





4

2

3

2

3

2

25 20 4

1

25 20 4

4

25 20 4

x x

dx x x dx C

x x



 

    



 

 

. Là sai

Điều sau đây mới đúng:

   





4

2

3

2 2

25 20 4

25 20 4 25 20 4

4

x x

x x d x x C



 

     





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức





3

2

25 20 4

x x  về dạng

 

n

ax b

 như sau:

 

6

3 6

2

5

1 1

5 2

25 20 4

5 2

1 1

5 5

25 5 2

dx dx x dx

x

x x

x

C C

x



  



 



    



  

Chọn D

Câu 7. Biết

2

1

ln 2 7

2 5 7

x a

dx x C

x x b



  

 



, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A.

4.

S



B.

2.

S



C.

3.

S



D.

5.

S



Lời giải

Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình

bậc 2:

2

2 5 7 0

x x

  

thấy có hai nghiệm là:

7

1,

2

x x

  

.

Áp dụng công thức









2

1 2

ax bx c a x x x x

    

với

1 2

,

x x

là hai nghiệm ta có:









2

2 5 7 1 2 7

x x x x

    

Do đó:

  

2

1 1 1 1

ln 2 7

2 5 7 1 2 7 2 7 2

x x

dx dx dx x C

x x x x x

 

    

    

  

Chọn C

Câu 8. Biết

1

tan

1 sin 2 4

a

dx x C

x b

 

  

 



 





, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A.

4.

S



B.

2.

S



C.

3.

S



D.

5.

S



Lời giải

2

1 1 1

1 sin2

1 cos 2 2cos

2 4

dx dx dx

x

x x

  



   

  

   

   

  

 

1 1

tan tan

2 4 2 4

x C x C

   

      

   

   

 

Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3

Chọn C

Câu 9. Cho

 

2

8sin

12

f x x



 

 

 

 

. Một nguyên hàm





F x

của





f x

thỏa





0 8

F



là:

A.

4 2sin 2 9

6

x x

 

  

 

 



. B.

4 2sin 2 9

6

x x

 

  

 

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.

4 2sin 2 7

6

x x

 

  

 

 



. D.

4 2sin 2 7

6

x x

 

  

 

 



.

Lời giải

Ta cần phải tính

 

2

8sin

12

f x dx x dx

 

 

 

 

 



. Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi





f x

như sau:

 

2

1 cos 2

6

8sin 8

12 2

x

f x x

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 



   

4 4cos 2 4 2sin 2

6 6

f x x F x x x C

   

       

   

   

 

 

0 8 2sin 8 9

6

f C C

 

      

 

 



Chọn B

Câu 10. Biết

( )

F x

là nguyên hàm của

 

2

5 8 4

1

x x

dx

x x

 





với

0 1

x

 

và

1

26

2

F

 



 

 

. Giá trị nhỏ nhất của

( )

F x

là:

A.

24.

B.

20.

C.

25.

D.

26.

Lời giải

Ta có:

 





 

2 2

2

2 2

2

9 4 2 1

5 8 4

1

9 4 4 9

1

x x x

x x

F x dx dx

x x

dx C

x x x

x

  

 

 



 

 

    



 

 

 



Vì

1

26

2

F

 



 

 

nên

4 9

26 0

1

2

C C

    

 



 

 

Lúc này

 

4 9

1

F x

x x

 



với

0 1

x

 

. Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 Step

0.1:

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4

Chọn C

Câu 11. Cho





1

f x x

 

. Một nguyên hàm





F x

của





f x

thỏa





1 1

F



là:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2

1

x x

 

B.

2

1

khi 0

2 2

khi 0

2

x

x x

x

x C x



  







  





.

C.

2

1

2

khi 0

2

khi 0

2

x

x C x

x

x C x



  







  





. D.

2

1

2

khi 0

2

x x C x

x

x C x



   





  





.

Lời giải

Ta có:

 

1 khi 0

x x

f x

x x

 







 



 

2

1

2

khi 0

2

khi 0

2

x

x C x

F x

x

x C x



  



 





  





.

Theo đề

 

1

1 1

2

F C

   

do đó:

2

1

khi 0

2 2

khi 0

2

x

x x

x

x C x



  







  





.

Chọn B

Câu 12. Cho





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

1

3

x

f x

e





và

 

1

0 ln 4

3

F  

. Tập nghiệm

S

của

phương trình









3

3 ln 3 2

F x x

  

là:

A.





2

S 

. B.





2;2

S  

. C.





1;2

S 

. D.





2;1

S  

.

Lời giải

Ta có:

 

d 1 1

1 d ln 3

3 3 3 3

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

      

 

 

 

 

.

Do

 

1

0 ln 4

3

F  

nên

0

C



. Vậy

 





1

ln 3

3

x

F x x e  

.

Do đó:









3 ln 3 2 2

x

F x e x

    

Chọn A

Câu 13. (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

1

2

f x

x





, thỏa mãn





3 1

F



và





1 2

F



, giá trị của









0 4

F F bằng

A.

2ln2 3



. B.

2ln 2 2



. C.

2ln 2 4



. D.

2 ln 2

.

Lời giải

Chọn A

Hàm số





f x

xác định trên





\ 2



.

Ta có:









d

F x f x x





1

d

2

x











 

1

2

ln 2 khi 2

x C x

  









  





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do





 

1

2

3 1

1

2

1 2

F

C

F











 









. Khi đó

 





 

ln 2 1 khi 2

ln 2 2 khi 2

x x

F x

x x

  









  





.

Vậy

















0 4 ln 2 2 ln 2 1 2ln 2 3

F F

      

.

Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng

e

x

là một nguyên hàm của





f x



trên khoảng





;

 

.

Gọi





F x

là một nguyên hàm của





e

x

f x



thỏa mãn





0 1

F



, giá trị của





1

F



bằng

A.

7

2

. B.

5 e

2



. C.

7 e

2



. D.

5

2

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

e e e

x x x

f x x x



    ,





;x

   

.

Do đó

















e e

x x

f x x

   

   

,





;x

   

.

Suy ra









e 1

x

f x x



 

,





;x

   

.

Nên

     

e 1 e 2

x x

f x x x

 



 

   

 









e e 2 .e 2

x x x

f x x x





    

.

Bởi vậy

     

2

1

2 d 2

2

F x x x x C

    



.

Từ đó

   

2

1

0 0 2 2

2

F C C

    

;





0 1 1

F C

   

.

Vậy

       

2 2

1 1 7

2 1 1 1 2 1

2 2 2

F x x F

         

.

Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x





trên khoảng





0;



. Biết rằng giá trị lớn nhất của





F x

trên khoảng





0;



là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

3 3 4

6

F



 

 

 

 

. B.

2 3

3 2

F



 



 

 

. C.

3

F



 

 

 

 

. D.

5

3 3

6

F



 

 

 

 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

2 2 2

2cos 1 cos 1

d d 2 d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  

   





2 2

d sin

1 2

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

     

 

Do





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x





trên khoảng





0;



nên hàm số





F x

có công thức dạng

 

2

cot

sin

F x x C

x

   

với mọi





0;

x



 .

Xét hàm số

 

2

cot

sin

F x x C

x

   

xác định và liên tục trên





0;



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

2

2cos 1

'

sin

x

F x f x

x



 

Xét

   

2

2cos 1 1

' 0 0 cos 2

sin 2 3

x

F x x x k k

x





         

.

Trên khoảng

 

0;



, phương trình

 

' 0F x  có một nghiệm

3

x





Bảng biến thiên:

 

0;

max 3

3

F x F C



 

   

 

 

Theo đề bài ta có,

3 3 2 3C C    

.

Do đó,

 

2

cot 2 3

sin

F x x

x

   

.

Khi đó,

3 3 4

6

F



 

 

 

 

.

Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho

 

F x là một nguyên hàm của hàm

số

 





2

3

4

x

f x e x x

 

. Hàm số





2

F x x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B

 

F x là một nguyên hàm của hàm số

 

2

3

4

x

f x e x x 



   

 

2

3

' 4

x

F x f x e x x  

.

 

2

3 3

0

' 0 4 0 4 0 2

2

x

F x e x x x x x

x







         







 

2 2

' 2 1 . 'F x x x F x x   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2

1

2 1 0

2

0

1

2 1 . ' 0

1

2

2 ( )

x x

x

x x

x

x F x x

x

x x

x

x x ptvn



    









  



 



   







  



 





  



Vậy, phương trình





2

' 0

F x x

 

có 5 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số





2

F x x



có 5 điểm

cực trị.

Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết









2

e

x

F x ax bx c



   là một nguyên hàm của hàm số









2

2 5 2 e

x

f x x x



   trên



. Giá trị biểu thức









0

f F bằng:

A.

1

e



. B.

3e

. C.

2

20e

. D.

9e

.

Lời giải

Chọn D

+ Tính

 

2 2

e 2 e

x x

F x ax bx c ax a b x b c

 



 

        

 





2

2 5 2 e

x

x x



   .

Suy ra

2 2

2 5 1

2 1

a a

a b b

b c c

   

 

 

    

 

 

   

 

nên









2

2 1 e

x

F x x x



    .

+ Tính





0 1

F

 

suy ra













0 1 9e

f F f

  

.

Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số

















2 2

e , 3 4 e

x x

F x x ax b f x x x      .

Biết

,

a b

là các số thực để





F x

là một nguyên hàm của





f x

. Tính

S a b

 

.

A.

6

S

 

. B.

12

S



. C.

6

S



. D.

4

S



.

Lời giải

Chọn D

Nhận xét: Bài này sẽ chặt chẽ hơn nếu thêm điều kiện





F x

là một nguyên hàm của





f x

trên



.

Từ giả thiết ta có









F x f x



 , x

 















2 2

2 e e 3 4 e

x x x

x a x ax b x x        , x

 







2 2

2 3 4

x a x a b x x

       

, x

 



.

Đồng nhất hai vế ta có

2 3

4

a

a b

 





 



.

Suy ra

4

S a b

  

.

Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho





F x

là một nguyên hàm

của hàm số

 

4 3 2

2 1

2

x

f x

x x x





 

trên khoảng





0;



thỏa mãn

 

1

2

F



. Giá trị của biểu thức

















1 2 3 ... 2019

S F F F F     bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2019

2020

. B.

2019.2021

2020

. C.

1

2018

2020

. D.

2019

2020



.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

   

2 2

4 3 2 2

2

2 1 2 1 1 1

d d d

2

1 1

x x

F x x x x

x x x x

x x x

 

 

 

   

 

 

 

  

.

Suy ra:

 

1 1

1

F x c

x x

   



mà

 

1

2

F



nên

1

c



. Hay

 

1 1

1

F x

x x

   



.

Ta có:

















1 2 3 ... 2019

S F F F F    

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 2019 2020

S

       

                

       

       

1 1 1

1 2019.1 2018 2018

2020 2020 2020

S       

.

Câu 20. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

2

cos

x x

f x

x





. Hỏi đồ thị của

hàm số





y F x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Vô số điểm. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn C

Vì





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

2

cos

x x

f x

x





nên suy ra:

2

cos

( ) ( )

x x

F x f x

x





  .

Ta có:

( ) 0

F x





2

cos

0

x x

x



 

 

 

cos 0

1;1 \ 0

x x

x

 









 









1

.

Xét hàm số

( ) cos

g x x x

 

trên





1;1

 , ta có:





( ) 1 sin 0, 1;1

g x x x



      . Suy ra hàm số

( )

g x

đồng biến trên





1;1

 . Vậy phương trình

( ) cos 0

g x x x

  

có nhiều nhất một nghiệm

trên





1;1







2

.

Mặt khác ta có: hàm số

( ) cos

g x x x

 

liên tục trên





0;1

và









0 0 cos 0 1 0

g

    

,





(1) 1 cos 1 0

g

  

nên









0 . 1 0

g g



. Suy ra





0

0;1

x  sao cho





0

g x







3

.

Từ





1

,





2

,





3

suy ra: phương trình

( ) 0

F x





có nghiệm duy nhất

0

x



. Đồng thời vì

0

x

là

nghiệm bội lẻ nên

( )

F x



đổi qua

0

x x



.

Vậy đồ thị hàm số





y F x



có

1

điểm cực trị.

Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

2

1

cos 1

2

f x x x

  

. Hỏi đồ thị

của hàm số





y F x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Vô số điểm. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có

 

/ 2

1

( ) cos 1

2

F x f x x x

   

.

/

( ) sinx

f x x

  

;

//

( ) cos 1 0

f x x x R

     

.

Suy ra hàm số

/

( )

f x

đồng biến trên

R

, từ đó dẫn đến phương trình

/

( ) 0

f x



có nhiều nhất

một nghiệm.

Mặt khác

/

(0) 0

f



suy ra

0

x



là nghiệm duy nhất của phương trình

/

( ) 0

f x



.

Do hàm số

/

( )

f x

liên tục trên mỗi khoảng









;0 ; 0;

 

và vô nghiệm trên mỗi khoảng này

nên dấu của

/

( )

f x

không đổi trên mỗi khoảng trên.

Mà

/ /

( 1) 0; (1) 0

f f

  

suy ra





/

( ) 0 ;0

f x x    và





/

( ) 0 0;f x x

   

.

Vậy hàm số

( )

f x

nghịch biến trên khoảng





;0

 và đồng biến trên khoảng





0;



. Mà

(0) 0

f



nên phương trình

( ) 0

f x



có nghiệm duy nhất

0

x



hay phương trình

/

( ) 0

F x



có

nghiệm duy nhất

0

x



.

Vậy đồ thị của hàm số





y F x



có duy nhất một điểm cực trị.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Đổi biến dạng 1

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt









x t

. Trong đó







t

cùng với đạo hàm của nó (







t

'

là

những hàm số liên tục) thì ta được :









 

 

   

 

  

f x dx f t t dt g t dt G t C

( ) ' ( ) ( )

.

1.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t=







x

. Trong đó







x

là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :









dt t dt

'

.

 Bước 3: Biểu thị :









 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt

( ) ' ( )

.

 Bước 4: Khi đó :

   

 

I f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( )

1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có

t

là mẫu số

Hàm số :

 







f x x

;









t x

Hàm

 



a inx+b.cosx

f x

c inx+d.cosx+e

.s

 

 

 

 

x x

t cos

2

tan ; 0

2

Hàm

 

  



 

f x

x a x b

1

Với :

 

x a

0

và

 

x b

0

.

Đặt :

   

t x a x b

Với

 

x a

0

và

 

x b

0

.

Đặt :

     

t x a x b

2. Đổi biến dạng 2

Nếu :

 



f x dx F x C

( ) ( ) và với





u

t





là hàm số có đạo hàm thì :

 



f u du F t C

( ) ( ( ))



2.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn





x t





, trong đó







t

là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế :









dx t dt

'

 Bước 3: Biến đổi :













 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt

( ) '

 Bước 4: Khi đó tính :

  

 

f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( ) .

2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn



a x

2 2

Đặt 

x a sint

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

hoặc 

x a cost

;

với



 



 

t

0; .



x a

2 2

Đặt



a

x

sint

.

; với

 

 

 

 

 

 

t

; \ 0

2 2

hoặc



a

x

cost

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

với



 

 



 

 

 

t

0; \ .

2



a x

2 2

Đặt 

x a tant

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

hoặc 

x a t

cot

với







t

0; .





a x

.

hoặc





a x

.

Đặt



x acos t

2









 

x a b x

Đặt  

x a b a sin t

2

–

( )



a x

2 2

1

Đặt



x atant

; với

 

 

 

 

 

t

; .

2 2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của

 

2

tan

cos 1 cos

x

f x

x a x





, biết





0 0

F



,

1

4

F

 



 

 



. Tính

3 4

F F

 

   



   

   

?

A.

5 3

 . B.

5 1



. C.

3 5

 . D.

5 2



Lời giải

 

4 4 4

2 2 2

0 0 0

4

2

0

tan tan

cosx 1 cos cos tan 1

1

tan 1

2 tan 1

x x

f x dx dx dx

a x x x a

d x a

x a

 

  

  

 

  



  



2 2

tan 1 tan 0 1 3 2

4

a a       



.

2 1 3 2

a a     





2 1 2 1 3 2 5 2 6

3 6

1 1

3 2

a a a

a a

        



    



Do đó

3

2

4

tan

3 4

cos 1 cos

x

F F dx

x x

   

  

   

   







 

2 2

tan 2 tan 2 5 3

3 4

    

 

.

Chọn A

Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

 

2017

2019

1 1

1

d .

1 1

b

c

x x

x C

a

x x

 

 

 



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên. Giá trị

a b c

 

bằng

A.

4.2018

. B.

2.2018

. C.

3.2018

. D.

5.2018

.

Lời giải

Chọn A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

   

2017

2019 2

1

1 1

d . d

1

1 1

x

I x x

x

x x



 

 

 



 

 

 

.

Đặt

1

x

t

x







 

2

d d

1

t x

x

 



.

Khi đó

2017

d

2

t

I t



2018

1

.

2 2018

t

C

 

2018

1 1

.

2.2018 1

x

C

x



 

 

 



 

2018

1 1

.

2.2018 1

x

C

x



 

 

 



 

 

2018

1

.

2.2018

1

x

C

x



 



.

Suy ra

2.2018

a



,

2018

b



,

2018

c



nên

4.2018

a b c

  

.

Câu 3. Giả sử





     

2 3 d

1

1 2 3 1

x x

C

x x x x g x



  

   



(

C

là hằng số).

Tính tổng các nghiệm của phương trình





0

g x



.

A.

1



. B.

1

. C.

3

. D.

3



.

Lời giải

Chọn D

Ta có













1 2 3 1

x x x x

    









2 2

3 3 2 1

x x x x

   





2

3 1

x x

 

  

 

.

Đặt

2

3

t x x

 

, khi đó





d 2 3 d

t x x

 

.

Tích phân ban đầu trở thành

 

2

d 1

1

t

C

t

  





.

Trở lại biến

x

, ta có





   

2

2 3 d

1

1 2 3 1 3 1

x x

C

x x x x x x



  

     



.

Vậy





2

3 1

g x x x

  

.

 

2

3 5

0 3 1 0

2

g x x x x

 

       hoặc

3 5

2

x

 

 .

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng

3



.

Câu 4. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





2;1



thỏa mãn





0 1

f



và

 





 

2

. 3 4 2

f x f x x x



  

. Giá trị lớn nhất của hàm số





y f x



trên đoạn





2;1



là

A.

3

2 16

. B.

3

18

. C.

3

16

. D.

3

2 18

.

Lời giải

thì ta tìm được

 

3

3 2

1

3 2 2

3

f x x x x

 

   

 

 

 

3 2

3

1

3 2 2 ( ).

3

f x x x x g x

 

     

 

 

( 2). (1) 11.16 0

g g

    

Phương trình

( ) 0

g x



có nghiệm trên





2;1





Hàm số





3

( )

f x g x



không có đạo hàm trên





2;1 .



Trái với giả thiết.

Do vậy mình đã sửa lại giả thiết của đề





0 3

f



để hợp lí hơn.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số

 

2

1

f x

x





trên khoảng





;

 

?

A.

 





2

ln 1

F x x x C

   

. B.

 





2

ln 1 1

F x x C

   

.

C.

 

2

1

F x x C

  

. D.

 

2

1

x

F x C

x

 



Lời giải

Ta có bài toán gốc sau:

Bài toán gốc: Chứng minh

 

2

ln

dx

x x a c a

x a

    







Đặt

2

2 2

2

1

2

x x x a

t x x a dt dx dt dx

x a x a

 

 

       

 

 

 

2

tdx

dt

x a

 



2

dt dx

t

x a

 



Vậy khi đó

2

ln ln

dx dt

t c x x a c

t

x a

      



 

( điều phải chứng minh).

Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có

 





2 2

2

1

ln 1 ln 1

1

F x dx x x c x x c

x

        





.

Chọn A

Câu 6. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết

( )

F x

nguyên hàm của hàm số

sin2 cos

( )

1 sin

x x

f x

x







và

(0) 2

F



. Tính

2

F



 

 

 

A.

2 2 8

2 3

F





 



 

 

B.

2 2 8

2 3

F





 



 

 

C.

4 2 8

2 3

F





 



 

 

D.

4 2 8

2 3

F





 



 

 

Lời giải

Ta có:

 

2 2

0 0

sin2 cos

( ) 0

2

1 sin

x x

f x dx dx F F

x

 





 

  

 



 

 

Đặt

1 sin 2 cos

t x tdt xdx

   

2 2 2

0 0 0

sin2 cos 2sin 1

( ) cos

1 sin 1 sin

x x x

f x dx dx xdx

x x

  

 

 

 

  

 

2

2 2

2 3

2

1 1

1

2( 1) 1 2 2 2 2

2 2 2 -1 2

3 3

t t

tdt t dt t

t

 

  

    

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 8 2 2

0 2

2 3 3 3

F F



  

 

    

 

 

.

Câu 7. Biết

 

7

5

2 2

cos 2

cos sin .sin 4

x

x x xdx C

a

   



. Với a là số nguyên. Tìm a?

A.

6.

a



B.

12.

a



C.

7.

a



D.

14.

a



Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

 





5

2 2

cos sin .sin4

f x x x xdx

 



, Ta có:

 





 

5

2 2

6

cos sin .sin 4 cos2 .2sin 2 .cos2

2 cos 2 .sin 2

f x x x xdx x x x

x xdx

  



 



Đặt cos2 2sin2

t x dt xdx

   

Vậy

 

7 7

6

cos 2

7 7

t x

F x t dt C C



      



Chọn C

Câu 8. Tìm

2

1 2

2

x

R dx

x x









?

A.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin2

t t

R C

t



   



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

B.

tan2 1 1 sin2

ln

2 4 1 sin 2

t t

R C

t



   



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

C.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin 2

t t

R C

t



  



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

D.

tan2 1 1 sin 2

ln

2 4 1 sin2

t t

R C

t



  



với

1

arctan

2 2

x

t

 



 

 

.

Lời giải

Đặt

2cos2

x t



với

0;

2

t



 



 

 

Ta có:

2

4sin2 .

2 2 2sin 2 4sin sin

2 2 2cos2 4cos cos

dx t dt

x t t t

 







 

  



 



2

2 2 2

2

1 sin 2sin 1 cos2

. .4sin 2 .

4cos 2 cos cos 2 cos 2

1 1 tan 2 1 1 sin 2

ln

cos 2 cos2 2 4 1 sin 2

t t t

R t dt dt dt

t t t t

t t

R dt dt C

t t t



      



       



  

 

Chọn A

Câu 9.

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



có dạng

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

, trong đó

,

a b

là

hai số hữu tỉ. Giá trị

,

b a

lần lượt bằng:

A.

2; 1

. B.

1; 1

. C. ,a b



D.

1; 2

.

Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



. Sau đó, ta xác định giá trị của

a

.

Ta có:

3 3

2 2

1 1 3 1 1 3

1 1

2 2

x x dx x dx x dx

x x

   

 

        

   

   

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Để tìm





2

2 1 ln

x x x x dx

 



ta đặt

3

1

2

1 1 3

2

I x dx

x

 



  

 

 



và

2

1

I x dx

 



và tìm

1 2

,

I I

.

*Tìm

3

1

2

1 1 3

2

I x dx

x

 



  

 

 



.

3 4

1 1

2

1 1 3 1 1 1 3

2 4 2

I x dx x x C

x x

 

 

      

 

 



, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

*Tìm

2

1

I x dx

 



.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt

1, 0

t x t

  

ta được

2

1, 2

t x tdt dx

  

.

Suy ra





3

2 3

2 2 2

2 2

1 2 1

3 3

I x dx t dt t C x C

       

 

.

 

3 3

3 4 4

1 2 1 2

2

1 1 3 1 1 1 3 2 1 1 1 3 2

1 1 1 .

2 4 2 3 4 2 3

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

 

  

                  

 

 



Suy ra để

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



có dạng

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

thì

1 , 2 .

a b

   

 

Vậy đáp án chính xác là đáp án D

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

Ta thay giá trị của

,

a b

ở các đáp án vào

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

. Sau đó, với mỗi

,

a b

ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của





3

2 2 2

1

1 ln

3 2 4

a b

x x x x C

   

.

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Một số học sinh không chú ý đến thứ tự

,

b a

nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

*Tìm

2

1

I x dx

 



.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt

1, 0

t x t

  

ta được

2

1,

t x tdt dx

  

.

Suy ra





3

2 3

2 2 2

1 1

3 3

I x dx t dt t C x C

       

 

.

 

3 3

3 4 4

1 2 1 2

2

1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1

1 1 1 .

2 4 2 3 4 2 3

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

 

  

                  

 

 



Suy ra để

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



có dạng

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

thì

1 , 1 .

a b

   

 

Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C. Đáp án C sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

*Tìm

2

1

I x dx

 



.

2 2

1

2 1

I x dx C

x

   





.

Suy ra

3

2

1 1 3

1

2

x x dx

x

 



   

 

 



không thể có dạng

 

3

4

1 1 3

1

4 2 3

a b

x x x C

x



    

,

với ,a b





.

Nên không tồn tại

,

a b

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 10.

 





2

5 4 7 3

1 cos2

x x x

x e e x dx

  

  



có dạng

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

, trong đó

,

a b

là hai số hữu tỉ.

Giá trị

,

a b

lần lượt bằng:

A.

3; 1

. B.

1; 3

. C.

3; 2

. D.

6; 1

.

Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm

 





2 1

1 cos2

x

x e x dx



 



. Sau đó, ta xác định giá trị của

a

.

Ta có:

 





 

2

5 4 7 3

1

1 cos2 1 cos2

1 cos2

x x x

x

x e e x dx x e x dx

x e dx x dx

   

  



 

     

 

 

  

 

.

Để tìm

 





2

5 4

7 3

1 cos2

x x

x

x e e x dx

 



 

  

 

 



ta đặt

 

2

1

x

I x e dx



 



và

2

cos2

I x dx





và

tìm

1 2

,

I I

.

*Tìm

 

2

1

x

I x e dx



 



.

Đặt

      

2

1 ; 2 1 1 2 1

t x dt x x dx x dx



      

.

 

   

2 2

1 1

1 1 1

1

2 2 2

x x

t t

I x e dx e dt e C e C

 

      

 

, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

*Tìm

2

cos2

I x dx





.

2 2

1

cos 2 sin 2

2

I x dx x C

  



.

 





   

2 2

2

1 1

5 4 7 3

1 2 1 2

1 1 1 1

1 cos2 sin 2 sin 2 .

2 2 2 2

x x

x x x

x e e x dx I I e C x C e x C

 

  

           



Suy ra để

 





2

5 4 7 3

1 cos2

x x x

x e e x dx

  

  



có dạng

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

thì

3 , 1 .

a b

   

 

Chọn A

Cách 2:

Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị

,

a b

ở các đáp án vào

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

và lấy đạo hàm của chúng.

Sai lầm thường gặp

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp

,

b a

nên khoanh đáp án B và đã sai

lầm.

C. Đáp án C sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:

Tìm

2

cos2

I x dx





.

2 2

cos2 sin 2

I x dx x C

  



.

 





   

2 2

2

1 1

5 4 7 3

1 2 1 2

1 1

1 cos2 sin 2 sin 2 .

2 2

x x

x x x

x e e x dx I I e C x C e x C

 

  

           



Suy ra để

 





2

5 4 7 3

1 cos2

x x x

x e e x dx

  

  



có dạng

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

thì

3 , 2 .

a b

   

 

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:

Tìm

 

2

1

x

I x e dx



 



.

Đặt

      

2

1 ; 1 1 1

t x dt x x dx x dx



      

.

 

   

2 2

1 1

1 1 1

1

x x

t t

I x e dx e dt e C e C

 

      

 

, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

Học sinh tìm đúng

2 2

1

sin 2

2

I x C

 

nên ta được:

 





   

2 2

2

1 1

5 4 7 3

1 2 1 2

1 1

1 cos2 sin 2 sin 2 .

2 2

x x

x x x

x e e x dx I I e C x C e x C

 

  

           



Suy ra để

 





2

5 4 7 3

1 cos2

x x x

x e e x dx

  

  



có dạng

 

2

1

sin 2

6 2

x

a b

e x C



 

thì

6 , 1 .

a b

   

 

Câu 11. Tìm





 

3 2 1

1 . 1 1

x

e x x

I dx

x e x

  



  



?

A.





ln . 1 1

x

I x e x C

    

. B.





ln . 1 1

x

I x e x C

    

.

C.





ln . 1 1

x

I e x C

   

. D.





ln . 1 1

x

I e x C

   

.

Lời giải

 





 

1 . 1 1 2 1

3 2 1 2 1

1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1

x x

x x x

x e x e x

e x x e x

I dx dx dx dx

x e x x e x x e x

    

   

   

        

   

Đặt:





2 1

. 1 1 1

2 1 2 1

x

x x

e x

e

t e x dt e x dx dx

x x



 

       

 

 

 

Vậy





 

2 1

1

ln ln . 1 1

1 1 1

x

e x

I dx dx x dt x t C x e x C

t

x e x



            

  

  

Chọn A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số

 





 

2

1

2

ln 1 2017

ln .

x

x x

f x

e x e



 



 



 

 

?

A.









2 2

ln 1 1008ln ln 1 1

x x

 

   

 

.

B.









2 2

ln 1 2016ln ln 1 1

x x

 

   

 

.

C.

   

2 2

1

ln 1 2016ln ln 1 1

2

x x

 

   

 

.

D.

   

2 2

1

ln 1 1008ln ln 1 1

2

x x

 

   

 

.

Lời giải

Đặt





 

2

1

2

ln 1 2017

ln .

x

x x

I dx

e x e



 



 



 

 



+Ta có:





 





   





   

2

2 2

2 2 2 2

1

2

ln 1 2017

ln 1 2017 ln 1 2017

1 ln 1 lne 1 ln 1 1

ln .

x

x x

x x x x x

I dx dx dx

x x x x

e x e



 

 

   

 

  

     

     



   

 

 

  

+ Đặt:

 

2

ln 1 1

1

x

t x dt dx

x

    



       

2 2 2 2

2016 1 2016 1

1 1008ln C

2 2 2

1 1 1

ln 1 1008ln ln 1 1 ln 1 1008ln ln 1 1

2 2 2

t

I dt dt t t

t t

I x x C x x C



 

      

 

 

   

             

   

 

Chọn D

Câu 13. (Chuyên KHTN) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



và có

3

0

( ) 8

f x dx





và

5

0

( ) 4.

f x dx





Tính

1

( 4 1) .

f x dx





A.

9

.

4

B.

11

.

4

C.

3.

D.

6.

Lời giải

Chọn C

Ta có

1

1 1

4

1

1 1

4

( 4 1) ( 4 1) ( 4 1)

f x dx f x dx f x dx

 

    

  

1

4

1

4

(1 4 ) (4 1)

f x dx f x dx



   

 

.

I J

 

+) Xét

1

4

1

(1 4 ) .

I f x dx



 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

1 4 4 ;

t x dt dx

    

Với

1

1 5; 0.

4

x t x t

      

1

0 5 5

4

1 5 0 0

1 1 1

(1 4 ) ( )( ) ( ) ( ) 1.

4 4 4

I f x dx f t dt f t dt f x dx



      

   

+) Xét

1

4

(4 1) .

J f x dx

 



Đặt

4 1 4 ;

t x dt dx

   

Với

1

1 3; 0.

4

x t x t

     

1 3 3 3

1

0 0 0

4

1 1 1

(4 1) ( )( ) ( ) ( ) 2.

4 4 4

J f x dx f t dt f t dt f x dx

     

   

Vậy

1

( 4 1) 3.

f x dx



 



Câu 14. Tìm





 

2 2

2

2 1 2ln . ln

ln

x x x x

G dx

x x x

  







?

A.

1 1

ln

G C

x x x



  



. B.

1 1

ln

G C

x x x

  



.

C.

1 1

ln

G C

x x x

  



. D.

1 1

ln

G C

x x x

  



.

Lời giải

Ta có:

 

   

 

     

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 ln ln

2 1 2ln . ln ln 1

ln ln

ln

1 1 1 1 1 1

ln ln ln

x x x x x x

x x x x x x x x

G dx dx dx

x x x x x x

x x x

G dx dx J J dx

x x x

x x x x x x x x x

 

   

     

 

  

 



   

   

           

   

  

   

  

Xét nguyên hàm:

 

2

1

ln

x

J dx

x x x









+ Đặt:

1 1

ln 1

x

t x x dt

x x



     

2

1 1 1

ln

J dt C C

t t x x

 

     





Do đó:

1 1 1

ln

G J C

x x x x

 

    



Chọn A

Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của

 

1

1 ln

.ln . ln

n n n

x

h x

x x x x







?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

  

. B.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

  

.

C.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

   

. D.

1 1

ln ln ln 2016

n n

x x x

n n

   

.

Lời giải

Ta có:

   

2 2

1 1

1 ln 1 ln 1 1 ln 1

. .

ln ln.ln . ln .ln . ln

1

nn n n n n n

n

x x x

L dx dx dx

x x

x xx x x x x x x x

x x

  

  

 

 



 

 

  

Đặt:

2

ln 1 ln

x x

t dt dx

x x



  

   

1

1 1

n

n n n

dt t dt

L

t t t t



  

 

 

+ Đặt

1

1 .

n n

u t du n t dt



   

 

1 1 1 1 1 1 1

. ln 1 ln .ln

1 1

ln

1 1 1 ln

.ln .ln .ln

ln

1 ln

1

n

n n

n

nn n n

n

du u

L du u u C C

n u u n u u n n u

x

t x

x

L C C C

x

n t n n x x

x



 

           

 

 

 

 

      

 



 

Chọn A

Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho





F x

là nguyên hàm của hàm số

 

1

x

f x

e





và





0 ln 2

F e

  .

Tập nghiệm

S

của phương trình









ln 1 2

x

F x e

  

là:

A.





3

S  . B.





2;3

S  . C.





2;3

S   . D.





3;3

S   .

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

1

1 ( 1)

x

x x x

e

I f x dx dx dx

e e e

  

 

  

.

Đặt

x x

t e dt e dx

   .

1 1

( ) ln ln( 1) ln ln( 1) .

( 1) 1

x x

dt

I dt t t C e e C

t t t t

          

 

 

Khi đó:

( ) ln ln( 1) , (0) ln 2 ln 2 ln 2 1 1

x x

F x e e C F e C C

              

Do đó:

( ) ln ln( 1) 1.

x x

F x e e

   













ln 1 2 ln ln( 1) 1 ln 1 2 ln 3 3.

x x x x x

F x e e e e e x

             

Câu 17. Khi tính nguyên hàm

  

3

1

2 1 1

dx

x x 



người ta đặt





t g x



(một hàm biểu diễn theo biến

x) thì nguyên hàm trở thành

2

dt



. Biết

 

3

4

5

g 

, giá trị của









0 1

g g



là:

A.

3 6

.

2



B.

1 6

.

2



C.

2 6

.

2



D.

2 3 6

.

2



Lời giải

Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm. Hs cần phải dự

đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

  

 

3

2

1 1

2 1

2 1 1

1

dx dx

x

x x

x





 



 

Do đó ta đặt:

   

2 2

2 1

2

1

2 1 2 1

2 1 1

1 1

x dx dx

t dt dt

x

x x



    



 

Vì vậy suy ra

  

3

1

2

2 1 1

dx dt

x x



 

 

Tuy nhiên đây là Lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt

   

2 2

2 1

2

1

2 1 2 1

2 1 1

1 1

x dx dx

t C dt dt

x

x x



     



 

Với C là hằng số, kết quả không thay đổi. Vì vậy chính xác ở đây là:

 

2 1

1

x

t C g x

x



  



. Theo đề

 

3

4

5

g 

n33n suy ra C=0.

Cuối cùng ta được

 

2 1

1

x

g x

x







vì vậy

   

2 6

0 1

2

g g



 

Chọn C

Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

     

 

  

3 3

3

1 1 1

2

2 1 1 2 1 1

1 1

2

2 1 1

dt dx t dx

x x x x

g x dx

x x

  

   

 

 

  



Do đó





g x

là nguyên hàm của

  

3

1 1

2

2 1 1

x x 

. Suy ra:

   

  

 

  

 

0 0

3 3

4 4

1 1 1 1

0 4 0 4

2 2

2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Và:

   

  

 

  

 

1 1

3 3

4 4

1 1 1 1

1 4 1 4

2 2

2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Sử dụng MTCT bấm:

  

 

  

 

0 1

3 3

4 4

1 1 1 1

4 4

2 2

2 1 1 2 1 1

dx g dx g

x x x x

  

   

 

Câu 18. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





2;1



thỏa mãn





0 3

f



và

 





 

2

. 3 4 2

f x f x x x



  

. Giá trị lớn nhất của hàm số





y f x



trên đoạn





2;1



là

A.

3

2 42

. B.

3

2 15

. C.

3

42

. D.

3

15

.

Lời giải

Ta có:

 





 

2

. 3 4 2

f x f x x x



  

(*)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được

 





 





 





 





2 2

2 3 2

. 3 4 2 2 2

f x f x dx x x dx f x d f x x x x C



       

  

 





 

3

3 2 3 2

2 2 3 2 2 1

3

f x

x x x C f x x x x C         

Theo đề bài





0 3

f



nên từ (1) ta có

 









3

3 2

0 3 0 2.0 2.0 27 3 9

f C C C

       

 









3

3 2 3 2

3

3 2 2 9 ( ) 3 2 2 9 .

f x x x x f x x x x         

Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số





y f x



trên đoạn





2;1 .



CÁCH 1:

Vì













3 2 2

2 2 9 2 2 2 5 0, 2;1

x x x x x x x           

nên





f x

có đạo hàm trên





2;1



và

 





   

2

2 2

3 2 3 2

3 3

3 3 4 2

3 4 2

0,

3 3 2 2 9 3 2 2 9

x x

f x

x x x x x x

 



  

   

     

   





2;1 .

x  



Hàm số





y f x



đồng biến trên





 









3

2;1

2;1 max 1 .

42

f x f



   

Vậy

 









3

2;1

max 1 42

f x f



  .

CÁCH 2:

 

2

3

2 2

3 2 .

3

223

3 2 2 9

9

3

x x x xf x x

   

   

   

   

    

Vì các hàm số

3

22

2 2

3 , 2

9

3

3 3

y x y x

   

    

   

   

đồng biến trên



nên hàm số

3

223

3 2

3

9

2 2

3

y x x

   

    

   

   

cũng đồng biến trên

.



Do đó, hàm số





y f x



đồng biến

trên





2;1 .



Vậy

 









3

2;1

ax 1

4

m

2

f x f



  .

Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số





F x

là một nguyên

hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x



 trên khoảng





0;



. Biết rằng giá trị lớn nhất của





F x

trên

khoảng





0;



là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

3 3 4

6

F



 

 

 

 

B.

2 3

3 2

F



 



 

 

C.

3

F



 

 

 

 

D.

5

3 3

6

F



 

 

 

 

Lời giải

Ta có:

 

2 2 2

2cos 1 cos 1

d d 2 d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  

   





2 2

d sin

1 2

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

     

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

2

2cos 1

sin

x

f x

x



 trên khoảng





0;



nên hàm số





F x

có công thức dạng

 

2

cot

sin

F x x C

x

   

với mọi





0;

x





.

Xét hàm số

 

2

cot

sin

F x x C

x

   

xác định và liên tục trên





0;



.

   

2

2cos 1

'

sin

x

F x f x

x



 

Xét

   

2

2cos 1 1

' 0 0 cos 2

sin 2 3

x

F x x x k k

x





         



.

Trên khoảng





0;



, phương trình





' 0

F x



có một nghiệm

3

x





Bảng biến thiên:

 

0;

max 3

3

F x F C



 

   

 

 

Theo đề bài ta có,

3 3 2 3

C C     .

Do đó,

 

2

cot 2 3

sin

F x x

x

    .

Câu 20. Cho hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn





0 3

f  và

     

2

. cos . 1

f x f x x f x



  ,

0;

2

x



 

 

 

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất

m

và giá trị lớn nhất

M

của

hàm số





f x

trên đoạn

;

6 2

 

 

 

 

.

A.

21

2

m 

,

2 2

M 

. B.

5

2

m



,

3

M



.

C.

5

2

m 

,

3

M  . D.

3

m  ,

2 2

M 

.

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết

     

2

. cos . 1

f x f x x f x



 









 

2

.

d sin

1

f x f x

x x C

f x



  





Đặt

   

2 2 2

1 1

t f x t f x

    









d d

t t f x f x x



 

.

Thay vào ta được d sin sin

t x C t x C

    



 

2

1 sin

f x x C

   

.

Do





0 3

f 

2

C

 

.









 

2

.

cos

1



 



f x f x

x

f x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

   

2 2 2

1 sin 2 sin 4sin 3

f x x f x x x

      

 

2

sin 4sin 3

f x x x

   

, vì hàm số





f x

liên tục, không âm trên đoạn

0;

2



 

 

 

.

Ta có

1

sin 1

6 2 2

x x

 

    

, xét hàm số





2

4 3

g t t t

  

có hoành độ đỉnh

2

t

 

loại.

Suy ra









1

;1

2

1 8

max g t g

 

 

 

 

,

 

1

;1

2

1 21

min

2 4

g t g

 

 

 

 

 

 

 

.

Suy ra

 

;

6 2

2 2

2

max f x f

 



 

 

 

 

 

 

 

,

 

;

6 2

21

min

6 2

f x g

 



 

 

 

 

 

 

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A – KIẾN THỨC CHUNG

1. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

 

 

u x v x dx u x v x v x u x dx

( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )

Hay  

 

udv uv vdu

( với









 

du u x dx dv v x dx

’ , ’

)

1.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :  

 

I f x dx f x f x dx

1 2

( ) ( ). ( )

 Bước 2: Đặt :





 



 









du f x dx

u f x

dv f x

v f x dx

1

2

' ( )

( )

 Bước 3: Khi đó :  

 

udv u v vdu

. . .

2. Các dạng thường gặp

2.1. Dạng 1









 

 









x

I P x x dx

e

sin

( ) cos .

. Đặt













 



 



 







x

u P x

x

dv x dx

e

( )

sin

cos .

















 



 



 







x

u du P x dx

x

v x

e

'. '( )

cos

sin

Vậy:

x

I P x x

e

cos

( ) sin

 



 



 

 

 

-

 



 

 

 

 



x

x P x dx

e

cos

sin . '( )

2.2. Dạng 2

I P x xdx

( ).ln



. Đặt















u x

dv P x dx

ln

( )













 





du dx

x

v P x dx Q x

1

( ) ( )

Vậy

 

QI lnxQ xx

dx

x

1

( ).. 



2.3. Dạng 3





 



 









x

I e dx

x

sin

cos

. Đặt













 



 









x

u e

x

dv dx

x

sin

.

cos

















 



 









x

du e dx

x

v

x

cos

sin

Vậy I =

x

I e

x

cos

sin







 



 







-







 

 









x

e dx

x

cos

sin

Bằng phương pháp tương tự ta tính được







 

 









x

e dx

x

cos

sin

sau đó thay vào

I

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là





2

tan

f x x x



;0

2



 















 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi

Đặt

Khi đó:

Vì nên , suy ra .

Vậy:

Câu 2: Cho

 

2

cos

x

f x

x



trên

;

2 2

 

 



 

 

và





F x

là một nguyên hàm của





xf x



thỏa mãn





0 0

F



. Biết

;

2 2

a

 

 

 

 

 

thỏa mãn

tan 3

a



. Tính





2

10 3

F a a a

 

.

A.

1

ln10

2



. B.

1

ln10

4



. C.

1

ln10

2

. D.

ln10

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:









d

F x xf x x











d

x f x













d

xf x f x x

 



Ta lại có:

 

2

d d

cos

x

f x x x

x



 





= d tan

x x



tan tan d

x x x x

 



sin

tan d

cos

x

x x x

x

 



 

1

tan d cos

cos

x x x

x

 



tan ln cos

x x x C

  









tan ln cos

F x xf x x x x C

    

Lại có:





0 0

F



0

C

 

, do đó:









tan ln cos

F x xf x x x x

  

.









tan ln cos

F a af a a a a

   

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

 

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

 









2 2 2

2

tan d tan 1 1 d tan 1 d d d d .

cos

x

F x x x x x x x x x x x x x x x

x

        

     

2

d d

1

tan

d d

cos

u x

v x

x







 







 

 











 

2

sin

d d tan d

cos cos 2

x x x

F x x x x x x x

x x

    

  





2 2

d cos

tan tan ln cos .

cos 2 2

x

x x

x x x x x C

x

      



;0

2

x



 





 









 

cos 0

x







ln cos ln cos

x x



   

2

tan ln cos .

2

x

F x x x x C

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó

 

2

cos

a

f a

a







2

1 tan

a a

 

10

a



và

2

1

1 tan

cos

a

 

10



2

1

cos

10

a

 

1

cos

10

a 

.

Vậy





2

10 3

F a a a

 

2 2

1

10 3 ln 10 3

10

a a a a

    

1

ln10

2



.

Câu 3: Cho





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

3

e

x

f x 

và





0 2

F



. Hãy tính





1

F



.

A.

15

6

e



. B.

10

4

e



. C.

15

4

e



. D.

10

e

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

3

d e d

x

I f x x x

 

 

.

Đặt

3

x t x t

  

2

d 3 d

x t t

  khi đó

3

2

e d 3 e d

x t

I x t t

 

 

.

Đặt

2

2 d d

e

e d d

t

t t u

t u

v

t v













 











2

3 e 2 e d

t t

I t t t

  



2

3e 6 e d

t t

t t t

 



.

Tính

e d

t

t t



.

Đặt

d d

e d d e

t t

t u t u

t v v

 

 



 

 

 

e d e e d e e

t t t t t

    

 

.

Vậy





2

3e 6 e e

t t t

I t t C

    

 





3 3 3

3

2

3

3e 6 e e

x x x

F x x x C

    

.

Theo giả thiết ta có





0 2 4

F C

   

 





3 3 3

3

2

3

3e 6 e e 4

x x x

F x x x

    

 

15

1 4

e

F

   

.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số





ln

f x x x

 .

A.

   

3

2

1

d 3ln 2

9

f x x x x C

  



. B.

   

3

2

d 3ln 2

3

f x x x x C

  



.

C.

   

3

2

d 3ln 1

9

f x x x x C

  



. D.

   

3

2

d 3ln 2

9

f x x x x C

  



.

Lời giải

Chọn A





d ln .d

I f x x x x x

 

 

.

Đặt:

1

d d 2 d d

2

t x t x t t x

x

    

.

2 2 2

2 ln .d 4 ln .d

I t t t t t t

  

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt:

2 3

1

d d

ln

d d

3

u t

t

v t t t

v















 













.

 

3 2 3 3 3

1 1 1 1 2

2 ln d 2 ln 3ln 1

3 3 3 9 9

I t t t t t t t C t t C

   

        

   

   



 

3

2

3ln 1

9

x x C

  

 

3

2

1

3ln 2

9

x x C

  

.

Câu 5: Tìm

 

2

sin cos

x dx

H

x x x







?

A.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



.

B.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



.

C.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



.

D.

 

tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



.

Lời giải

Ta có:

   

2

2 2

cos

.

cos

sin cos sin cos

x x x x

H dx dx

x

x x x x x x

 

 

 

Đặt

 

2

2 2

sin cos

cos

sin cos

cos

1

sin cos sin cos sin cos

x

x x x

u

du dx

x

d x x x

x x

dv dx

v

x x x x x x

x x x











 



 



 

 

 



  



 

2

1 1

. tan

cos xsin cos cos cos sin cos

x x

H dx x C

x x x x x x x x



      

 



Chọn C

Câu 6:





2

2 1 ln

x x x x dx

 



có dạng





3

2 2 2

1

1 ln

3 6 4

a b

x x x x C

   

, trong đó

,

a b

là hai số hữu

tỉ. Giá trị

a

bằng:

A.

3

. B.

2

. C.

1

. D. Không tồn tại.

Lời giải

Cách 1:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Theo đề, ta cần tìm





2

2 1 ln

x x x x dx

 



. Sau đó, ta xác định giá trị của

a

.

Ta có:





2 2

2 1 ln 2 1 ln

x x x x dx x x dx x x dx

    

  

.

Để tìm





2

2 1 ln

x x x x dx

 



ta đặt

2

1

2 1

I x x dx

 



và

2

ln

I x x dx





và tìm

1 2

,

I I

.

*

2

1

2 1

I x x dx

 



.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt

2

1, 1

t x t

  

ta được

2 2

1,

t x xdx tdt

  

.

Suy ra:





3

2 2 3 2

1 1 1

2 2

2 1 2 1

3 3

I x x dx t dt t C x C

       

 

, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

*

2

ln

I x x dx





.

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt

2

1

ln

1

2

du dx

u x

x

dv xdx

v x















 













, ta được:

2

2 2 2 2 2

2

ln

1 1 1 1 1 1 1

ln ln ln

2 2 2 2 2 4

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

   

       

  

 

.













3

2 2 2 2

1 2 1 2

3

2 2 2

2 1 1

2 1 ln 1 ln

3 2 4

2 1 1

1 ln

3 2 4

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



.

Suy ra để





2

2 1 ln

x x x x dx

 



có dạng





3

2 2 2

1

1 ln

3 6 4

a b

x x x x C

   

thì

2 , 3 .

a b

   

 

Chọn B

Câu 7: Biết

   

ln ln 2 3

c

F x a x b x

x

 

   

 

 

là nguyên hàm của hàm số

 





2

ln 2 3

x

f x

x





. Tính

S a b c

  

.

A.

1

S

 

. B.

1

3

S



. C.

7

3

S



. D.

4

3

S

 

.

Lời giải

Chọn A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Nguyên hàm của hàm số

 





2

ln 2 3

x

f x

x





là:

 





 

2

ln 2 3

1 1 2

.ln 2 3

2 3

x

f x dx dx x dx

x x x x





    



  

 

1 1 2

.ln 2 3

2 3

x dx

x x x



   









ln 2 3

2 1 2

3 2 3

x

dx

x x x



 

   

 



 







 

ln 2 3

2 2

ln ln 2 3

3 3

x

x x C

x



     

 

2 2 1

ln ln 2 3

3 3

x x C

x

 

     

 

 



   

ln ln 2 3

c

F x a x b x

x

 

   

 

 





 

ln 2 3

2 2

ln ln 2 3

3 3

x

x x C

x



     

, với

0

C



,



 

2 2

1 1

3 3

a b c

 

        

 

 

Câu 8: (Trần Đại Nghĩa) Cho

 

2

1

ln 1

ln2

1

x x a

I dx

b c

x



  





với

, ,

a b c

là các số nguyên dương và các

phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

a b

S

c





.

A.

5

6

S



. B.

1

3

S



. C.

2

3

S



. D.

1

2

S



.

Lời giải

Chọn A

Ta có

     

2 2 2

1 1 1

ln ln

1 1 1

x x x x

I dx dx dx

x x x



  

  

  

.

Xét

 

2

1

2

1

x

I dx

x







.

Đặt

1

t x dt dx

   

.

3

3 3 3

3

1

2 2

2

2 2 2

1 1 1 1 3 1

ln ln

2 6

t

I dt dt dt t

t tt t



      

  

.

Xét

 

2

2 2 2

2

1

1 1 1

ln 1 1 1 1 1

ln ln2

1 1 3 1

1

x

I dx x dx dx

x x x x x

x

 

      

 

  

 



  

.

2

1

1 1 4

ln2 ln ln 2 ln

3 1 3 3

x

I

x

    



.

Do đó

3 1 1 4 2 1

ln ln 2 ln ln 2

2 6 3 3 3 6

I

     

.

2 3 5

6 6

a b

S

c

 

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số





2

l 1

2 nxx

y

x

 



là

A.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

. B.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

.

C.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

. D.

 

2

1 ln

2

x

x x xx

C

    

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:





 

2

1 2

l

2 ln 1

1

n dd d2 1

x x

x x x I

x

I

x

x  

 

  

 

.





1

2 1

ln d

I x

x x





. Đặt

 

2

ln

d

1

d

2 d

x

v x x

u

x

u

x

v x







 



 





 







.

     

 

2 2 2

1

2

1

ln ln

1

d 1 d

l

2

n .

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x

x

x C

   



   

   

 

2

1

d lnxI

x C

x

  



.





   

2

1 2

2 2

1 2

2

d

2

ln 1

ln ln 1 ln .

2

x

x I

x

x x

I

x

x x x x C x x x C

C x



    

 



 

     



Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2

3

2

4

ln

4

x

f x x

x

 





 



 

?

A.

2

4 2

2

4

ln 2

4

x

x x

x

 



 



 

. B.

4 2

2

16 4

ln 2

4 4

x x

x

   

 



   



   

.

C.

2

4 2

2

4

ln 2

4

x

x x

x

 





 



 

. D.

4 2

2

16 4

ln 2

4 4

x x

x

   

 



   



   

.

Lời giải

Đặt:

2

4

2

4 4

3

16

4

ln

16

4

16

4

4 4

x

du

u

x

x x

v

dv x dx



 











  





 

 



 

  









2 4 2 4 2

4 2

2 2 2

4 16 4 16 4

ln ln 4 ln 2

4 4 4 4 4

x x x x x

x dx xdx x C

x x x

         

    

     

         

  

         

 

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

Ta thay giá trị của

a

ở các đáp án vào





3

2 2 2

1

1 ln

3 2 4

a b

x x x x C

   

. Sau đó, với mỗi

a

của

các đáp án ta lấy đạo hàm của





3

2 2 2

1

1 ln

3 2 4

a b

x x x x C

   

.

Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên

việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn.

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của

b

. Học sinh khoanh đáp án A và đã sai

lầm.

C. Đáp án C sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

*

2

1

2 1

I x x dx

 



.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt

2

1, 1

t x t

  

ta được

2 2

1, 2

t x tdt xdx

  

.

Suy ra:





3

2 2 3 2

1 1 1

1 1

2 1 1

3 3

I x x dx t dt t C x C

       

 

, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

Học sinh tìm đúng

2 2

1 1

ln

2 4

I x x x C

  

theo phân tích ở trên.













3

2 2 2 2

1 2 1 2

3

2 2 2

1 1 1

2 1 ln 1 ln

3 2 4

1 1 1

1 ln

3 2 4

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



.

Suy ra để





2

2 1 ln

x x x x dx

 



có dạng





3

2 2 2

1

1 ln

3 6 4

a b

x x x x C

   

thì

1, 3

a b

 

.

Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

*

2

1

2 1

I x x dx

 



.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt

2

1, 1

t x t

  

ta được

2 2

1, 2

t x tdt xdx

  

.

Suy ra:





3

2 2 3 2

1 1 1

1 1

2 1 1

3 3

I x x dx t dt t C x C

       

 

, trong đó

1

C

là 1 hằng số.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Học sinh tìm đúng

2 2

1 1

ln

2 4

I x x x C

  

theo phân tích ở trên.













3

2 2 2 2

1 2 1 2

3

2 2 2

1 1 1

2 1 ln 1 ln

3 2 4

1 1 1

1 ln

3 2 4

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



.

Suy ra để





2

2 1 ln

x x x x dx

 



có dạng





3

2 2 2

1

1 ln

3 6 4

a b

x x x x C

   

thì

1

1 ,

3

a b

   

 

.

Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của

b

.

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết









d 3 cos 2 5

f x x x x C

  



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.









3 d 3 cos 6 5

f x x x x C

  



B.









3 d 9 cos 6 5

f x x x x C

  



C.









3 d 9 cos 2 5

f x x x x C

  



D.









3 d 3 cos 2 5

f x x x x C

  



Lời giải

Cách 1 :

Ta có









d 3 cos 2 5

f x x x x C

  



 

d 3 cos 2 5

f x x x x C



   















3cos 2 5 6 sin 2 5

f x x x x

    













3 3cos 6 5 18 sin 6 5

f x x x x

    

Xét

















3 d 3cos 6 5 18 sin 6 5 d

f x x x x x x

   

 









3cos 6 5 d 18 sin 6 5 d

x x x x x

   

 





1

.

Xét





18 sin 6 5 d

I x x x

 



.

Đặt

   

3 3d d

6sin 6 5 d d cos 6 5

x u x u

x x v x v

 

 

 



 

    

 

 

.









3 cos 6 5 3 cos 6 5 d

I x x x x

    



, thay vào





1

ta được









3 d 3 cos 6 5 .

f x x x x C

  



Cách 2:

Đặt

3

x t



d 3d

x t

 

.

Khi đó:









d 3 cos 2 5

f x x x x C

  















3 3 d 3. 3 cos 2.3 5

f t t t t C

   











3 d 3 cos 6 5

f t t t t C

   











3 d 3 cos 6 5

f x x x x C

   



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho





2

F x x



là một nguyên hàm của hàm số





2

.

x

f x e

. Khi đó

 

2

. d

x

f x e x





bằng

A.

2

x x C

  

. B.

2

x x C

  

. C.

2

2 2

x x C

 

. D.

2

2 2

x x C

  

.

Lời giải

Chọn D

Do





2

F x x



là một nguyên hàm của hàm số





2

.

x

f x e

nên









2

. 2

x

f x e F x x



  .

Xét

 

2

. d

x

f x e x





.

Đặt

   

2 2

d 2 d

d d

x x

u e u e x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

ta có:

     

2 2 2 2

. d . 2 . d 2 2

x x x

f x e x f x e f x e x x x C



     

 

.

Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi





F x

là nguyên hàm trên



của hàm số









2

e 0

ax

f x x a

 

, sao cho

 

1

0 1.

F F

a

 

 

 

 

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.

0 1

a

 

. B.

2

a

 

. C.

3

a



. D.

1 2

a

 

.

Lời giải

Chọn A





2

e d

ax

F x x x





. Đặt

2

d 2 d

1

e

d e d

ax

u x x

u x

v

v x

a







 



 





 



.

   

2 2

1 2 1 2

e e d . 1

ax ax ax

F x x x x x e A

a a a a

    



Xét

e d

ax

A x x





. Đặt

d d

1

d d

ax

u x

v e

v e x

a













 









.

 

1 1

d 2

ax ax

A xe e x

a a

  



Từ





1

và





2

suy ra

 

2 2

2 2 2 3

1 2 2 1 2 2

e e d e e e

ax ax ax ax ax ax

F x x xe x x x C

a a a a a a

      



.

Mà

 

1

0 1

F F

a

 

 

 

 



3 3 3 3

1 2 2 2

e e e 1

C C

a a a a

     

3

e 2 e 2 0 1.

a a a

        

Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và . Tất

cả các nguyên hàm của là





f x









e ,

x

f x f x x





   







0 2

f







2

e

x

f x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có .

Vì .

Vậy

.

Phân tích: Bài toán cho hàm số thỏa mãn điều kiện chứa tổng của và

đưa ta tới công thức đạo hàm của tích với . Từ đó ta cần chọn hàm

cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số và liên tục trên , thỏa mãn

(Chọn ).

Ta có .

.

Với là một nguyên hàm của .

Admin tổ 4 – Strong team : Bản chất của bài toán là cho hàm số thỏa mãn điều kiện

chứa tổng của và liên quan tới công thức đạo hàm của tích với

. Khi đó ta cần chọn hàm thích hợp. Cụ thể, với bài toán tổng quát :

Cho hàm số





y f x



,





y g x



,





y h x



,





y k x



liên tục trên

K

,





0

g x



với

x K

 

và thỏa mãn





















. .

g x f x h x f x k x



 

Ta sẽ đi tìm

v

như sau :





 





 

h x h x

v v

v g x v g

dx dx

x





 



 

Khi đó :

 

ln

x

h x

g x

d

dx e

h x

v v

g x



  



Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn và .

Tất cả các nguyên hàm của là

A. . B. . C. . D. .





2 e e

x x

x C

  





2

2 e e

x x

x C

  





1 e

x

x C

 





1 e

x

x C

 









e

x

f x f x





 









e e 1

x x

f x f x



  

 

e 1

x

f x



 





e

x

f x x C

  





0 2

f



0

2.

e C

 

2

C

 









2

e 2 e

x x

f x x  





2

e d

x

f x x







2 e d

x

x x

 











2 d e

x

x 











2 e e d 2

x x

   







2 e e d

x x

  







2 e e

x x

x C

   





1 e

x

x C

  





y f x







f x





f x



 

. . .

u v u v u v



 

 





u f x



v





y f x







y g x



K

















f x g x f x k x



 





G x

v e



















f x g x f x k x



 





























G x G x G x

e f x g x e f x k x e



  

 

G x G x

e f x k x e



 

















G x G x

e f x k x e dx

 



















G x G x

f x e k x e dx



 







G x





g x





y f x







f x





f x



 

. . .

u v u v u v



 

 





u f x



v





f x

   

2

2 2 ,

x

f x xf x xe x





   







0 1

f



 

2

. e

x

x f x





2

1

x C

 

 

2

1

2

x

x e C



 





2

1

x

x e C



 

 

2

1

2

x C

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn D

Ta có

.

Vì .

Vậy .

Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho

( )

f x

là hàm số liên tục trên



thỏa mãn









,f x f x x x



   



và





0 1

f



. Tính





1

f

.

A.

2

e

. B.

1

e

. C.

e

. D.

e

2

.

Lời giải

Chọn A









(1)

f x f x x



 

.

Nhân 2 vế của

(1)

với

x

e

ta được









e . e . .e

x x x

f x f x x



 

.

Hay

   

e . .e e . .e d

x x x x

f x x f x x x



 

  

 



.

Xét

.e d

x

I x x





.

Đặt

d d

e d d e

x x

u x u x

x v v

  





  



.

.e d .e e d .e e

x x x x x

I x x x x x C

     

 

. Suy ra





e .e e

x x x

f x x C

  

.

Theo giả thiết

(0) 1

f



nên

2

C



   

.e e 2 2

1

e e

x x

x

f x f

 

   

.

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng là một nguyên hàm của

trên khoảng . Gọi là một nguyên hàm của thỏa mãn , giá trị

của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Vì là một nguyên hàm của trên khoảng

, .

Do đó , , .

Nên .

Bởi vậy .

   

2

2 2

x

f x xf x xe





 

   





2 2 2

2 .2

x x x

e f x xf x e xe





  

 

2

x

e f x x



 

 

2

2 d

x

e f x x x x C

   



(0) 1

f



1

C

 

 





2

1

x

f x x e



  

 

2

d

x

xf x e x







2

1 d

x x x

 



   

2 2

1

1 d 1

2

x x

  



 

2

1

2

x C

  

e

x





f x







;

 





F x





e

x

f x







0 1

F







1

F



7

2

5 e

2



7 e

2



5

2

e

x





f x







;

 



 

e e e

x x x

f x x x



   





;x

   

















e e

x x

f x x

   

   





;x

   











e 1

x

f x x



 





;x

   

     

e 1 e 2

x x

f x x x

 



 

   

 









e e 2 .e 2

x x x

f x x x





    

     

2

1

2 d 2

2

F x x x x C

    



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Từ đó ; .

Vậy .

Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





y f x



.

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức









sin = cos cos

x

f x xdx f x x xdx



 

 

. Hỏi hàm số





y f x



là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.





ln

x

f x

 

 

. B.

 

ln

x

f x





. C.





ln

x

f x

 



. D.

 

ln

x

f x



 

.

Lời giải

Chọn B

Hệ thức









sin = cos cos

x

f x xdx f x x xdx



 

 

(1).

Xét





sin

f x xdx



.

Đặt









'

sin cos

u f x du f x

dv xdx v x

  





   





. Ta được













sin cos ' cos

f x xdx f x x f x xdx

  

 

.

Theo hệ thức (1), suy ra





'

x

f x





.

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là

 

ln

x

f x





.

Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm cấp hai trên





0;



thỏa

mãn

















2

2 cos , 0; ; 4 0





     

xf x f x x x x x f

. Giá trị biểu thức





9

f



là:

A.

0

. B.

3





. C.





. D.

2





.

Lời giải

Chọn B

Với mọi





0;x

 

, ta có









   

2

2 cos

1

cos

2

cos sin cos

2 2 2

xf x f x x x x

x f x f x

x x

x

f x f x

x x x x x

C

x x



 





 



 

     

 

 

.

Mà





4 0

f





suy ra

1

2

C





. Vậy

 

sin cos 1

2 2 2

x x x

f x x

 

  

 

 

.

Suy ra





9 3 .

f

 

 

   

2

1

0 0 2 2

2

F C C

    





0 1 1

F C

   

       

2 2

1 1 7

2 1 1 1 2 1

2 2 2

F x x F

         

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 





2

ln 3





x

f x

x

thỏa mãn









2 1 0

  

F F

và









1 2 ln2 ln5

   F F a b

, với

a

,

b

là các số hữu tỷ. Giá trị của

3 6



a b

bằng

A.

4



. B.

5

. C.

0

. D.

3



.

Lời giải

Chọn B

Xét

 





2

ln 3

d d

x

f x x x

x





 

Đặt





ln 3

u x

 

và

2

1

d d

v x

x



, ta có

1

d d

3





u x

x

và chọn

1

v

x

 

. Khi đó

   

 

1 1

d ln 3 d

3

f x x x x

x x x

   



 

 

1 1 1 1

ln 3 d

3 3

 

   

 



 



x x

x x x

   

1 1 1

ln 3 ln ln 3

3 3

      

x x x C

x

 

1 1 1

ln 3 ln

3 3

 

     

 

 

x x C

x

.

+) Xét trên





3;0



ta được

     

1

1 1 1

ln 3 ln

3 3

 

      

 

 

F x x x C

x

Tính

 

1

1 1

2 ln1 ln 2

6 3

   

F C

1

ln 2

3

 

C

;

 

1

2 1

1 ln 2 ln1

3 3

   

F C

1

2

ln 2

3

 

C

+) Xét trên





0;



ta được

   

2

1 1 1

ln 3 ln

3 3

 

     

 

 

F x x x C

x

.

Tính

 

2

4 1

1 ln 4 ln1

3 3

   

F C

2

8

ln2

3

  

C

;

 

2

5 1

2 ln 5 ln 2

6 3

   

F C

.

Ta có









2 1 0

  

F F

1 2

1 8

ln 2 ln 2 0

3 3

    

C C

1 2

7

ln 2

3

  C C

.

Từ đó









1 2

  

F F

1 2

2 5 1

ln 2 ln 5 ln 2

3 6 3

   

C C

1 2

5

ln 2 ln 5

6

   

C C

.

5 7 10 5

ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 5

6 3 3 6

    

ln2 ln5

 

a b

ta được

10

3

a

;

5

6

 

b

3 6 5

  

a b

.

Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo

hàm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

   

3

tan .

cos

x

f x x f x

x



  . Biết rằng

3 3 ln 3

3 6

f f a b

 



   

  

   

   

trong đó

,a b





. Giá trị của biểu thức

P a b

 

bằng

A.

14

9

B.

2

9



C.

7

9

D.

4

9



Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn D

   

3

tan .

cos

x

f x x f x

x



 

   

2

cos . sin .

cos

x

x f x x f x

x



   .

 

2

sin .

cos

x

x f x

x



  

 

.

Do đó

 

2

sin . d d

cos

x

x f x x x

x



 

 

 

 

2

sin . d

cos

x

x f x x

x

 



Tính

2

d

cos

x

I x

x





.

Đặt

2

d d

d

tan

d

cos

u x

x

v x

v

x













 









. Khi đó





2

d cos

d tan tan d tan d tan ln cos

cos cos

x

I x x x x x x x x x x x

x x

      

  

.

Suy ra

 

.tan ln cos ln cos

sin cos sin

x x x x

x

f x

x x x



  

.

2 2ln2 3 3

3 ln3 3 3 2ln

3 6 3 9 2

3

a b f f

   



 

   

      

 

   

 

   

 

5 3

ln3

9



 

. Suy ra

5

9

1

a

b











 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN

Câu 1: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

1

\

2

 

 

 



thỏa mãn

2

( )

2 1

f x

x







,

(0) 1

f



và

(1) 2

f



. Giá trị của

biểu thức

( 1) (3)

f f

 

bằng

A.

4 ln5



. B.

2 ln15



. C.

3 ln15



. D.

ln15.

Lời giải

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng

1

;

2

 



 

 

:

1

2

( ) ln(2 1) .

2 1

f x dx x C

x

   





Lại có

1

(1) 2 2.

f C

  

• Trên khoảng

1

;

2

 



 

 

:

2

( ) ln(1 2 ) .

2 1

f x dx x C

x

   





Lại có

2

(0) 1 1.

f C

  

Vậy

1

ln(2 1) 2

2

( )

1

ln(1 2 ) 1

2

x khi x

f x

x khi x



  









  





.

Suy ra

( 1) (3) 3 ln15.

f f

   

Cách 2:

Ta có:

0 0

0

1

1 1

3 3

3

1

1 1

2 1

(0) ( 1) '( ) ln 2 1 | ln (1)

2 1 3

2

(3) (1) '( ) ln 2 1 | ln5 (2)

2 1

dx

f f f x dx x

x

dx

f f f x dx x

x



 



      











     







 

Lấy (2)-(1), ta được

(3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15

f f f f f f

         

.

Câu 2: Cho hàm số

( )

f x

xác định trên

1

\

3

 

 

 



thỏa mãn

   

3

, 0 1

3 1

f x f

x



 



và

2

3

f

 



 

 

. Giá trị

của biểu thức









1 3

f f 

bằng

A.

3 5ln2



. B.

2 5ln2

 

. C.

4 5ln2



. D.

2 5ln2



.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   

1

ln 3 1 khi x ;

3

3 3

dx=

3 1 3 1

1

ln 3 1 khi x ;

3

x C

f x f x

x x

x C



 

   

 



  



  



 

 



   

 



 





.

Ta có:





1 1

2 2

0 1

0 1 1

2

0 2 2

2

3

f

C C

f



  

 



 

  

 

  



 

 



 



 

1

ln 3 1 1 khi x ;

3

1

ln 3 1 2 khi x ;

3

x

f x

x



 

   

 



  

 



 



   

 



 



.

Khi đó:









1 3 ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5ln 2

f f         

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Cách 2: Ta có

         

       

0 0

00

1 1

3 3

33

2 2

3 3

2 2

3 3

3 1

0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

2 3

3 dx dx ln 3 1 ln8 2

3 3 1

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

 





       









 





      

 





 



 

Lấy









2 1



, ta được:

         

2

3 1 0 ln 32 1 3 3 5ln 2

3

f f f f f f

 

         

 

 

.

Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2





thoả mãn

 

3 1

2

x

f x

x









,





0 1

f



và





4 2

f

 

. Giá trị của biểu thức









2 3

f f

 

bằng

A.

12

. B.

ln 2

. C.

10 ln2



. D.

3 20ln2



.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   

3 1 7

d d 3 d 3 7ln 2

2 2

x

f x f x x x x x x C

x x



 



       

 

 

 

  

,





\ 2

x

  



.

+ Xét trên khoảng





2;

  

ta có:





0 1 7ln 2 1 1 7ln2

f C C        .

Do đó,





3 7ln 2 1 7ln 2

f x x x     , với mọi





2;x

   

.

Suy ra





2 7 7ln 4 7ln 2 7 7ln 2

f      .

+ Xét trên khoảng





; 2

 

ta có:





4 2 12 7ln 2 2 14 7ln2

f C C          .

Do đó,





3 7ln 2 14 7ln 2

f x x x     , với mọi





; 2

x

  

.

Suy ra





3 5 7ln 2

f    .

Câu 4: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;2





và thỏa mãn

   

2

4

; 3 0

4

f x f

x



  



;





0 1

f



và





3 2

f



. Tính giá trị biểu thức













4 1 4

P f f f    

.

A.

3

3 ln

25

P  

. B.

3 ln3

P

 

. C.

5

2 ln

3

P  

. D.

5

2 ln

3

P  

.

Lời giải

Chọn B

Từ

 

2

4

f x

x







 

2

4

dx

f x

x

 





  

4

2 2

dx

x x



 



 

1

2

3

2

ln ; 2

2

ln 2;2

2

ln 2;

2

x

C khi x

x

C khi x

x

C khi x

x

 

   









   









  







Ta có





 

3 0

0 1

2 2

f

 















1

2

3

ln5 0

0 1

1

ln 2

5

C





 



  





 



1

2

3

ln5

1

2 ln5

C

 





 





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay





f x



 

2

ln -ln5 ; 2

2

ln 1 2;2

2

ln 2 ln5 2;

2

x

khi x

x

khi x

x

khi x

x

 

  









   









   







.

Khi đó













4 1 4

P f f f    

1

ln3 ln5 ln3 1 ln 2 ln5

3

      

3 ln3

 

.

Câu 5: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 2;1





thỏa mãn

 

2

1

2

f x

x x





 

;









3 3 0

f f

  

và

 

1

0

3

f



. Giá trị của biểu thức













4 1 4

f f f   

bằng

A.

1 1

ln 2

3 3



. B.

1 ln80



. C.

1 4

1 ln2 ln

3 5

 

. D.

1 8

1 ln

3 5



.

Lời giải

Chọn A

 

2

1

2

f x

x x





 

 

  

 

1

2

3

1 1

ln ; 2

3 2

d d 1 1

ln 2;1

2 1 2 3 2

1 1

ln 1;

3 2

x

C khi x

x

x x x

f x C khi x

x x x x x

x

C khi x

x

 

   









      



    





  







 

Do đó

   

1 3 3 1

1 1 2 1

3 3 0 ln4 ln ln10

3 3 5 3

f f C C C C         

.

Và

 

2 2

1 1 1 1 1 1

0 ln ln2

3 3 2 3 3 3

f C C      

.

 

1

1 1

ln ; 2

3 2

1 1 1 1

ln ln 2 2;1

3 2 3 3

1 1 1

ln ln10 1;

3 2 3

x

C khi x

x

f x khi x

x

C khi x

x

 

   









     









   







.

Khi đó:

     

1 1

1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 ln ln 2 ln 2 ln ln10 ln 2

3 2 3 3 3 3 2 3 3 3

f f f C C

     

             

     

     

.

Câu 6: Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1





thỏa mãn

 

2

1

f x

x







. Biết









3 3 0

f f

  

và

1 1

2

2 2

f f

   

  

   

   

. Giá trị













2 0 4

T f f f   

bằng:

A.

1 5

2 ln

2 9

T  

. B.

1 9

1 ln

2 5

T  

. C.

1 9

3 ln

2 5

T  

. D.

1 9

ln

2 5

T 

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn B

Ta có

 

2

1

d d

1

f x x x

x







 

1 1 1

d

2 1 1

x

x x

 

 

 

 

 



1 1

ln

2 1

x

C

x



 



.

Do đó

 

1

2

1 1

ln khi 1, 1

2 1

1 1

ln khi 1 1

2 1

x

C x x

x

C x

f

x



   





 









 







.

Do









3 3 0

f f

  

nên

1

0

C



,

1 1

2

2 2

f f

   

  

   

   

nên

2

1

C



.

Nên

 

1 1

ln khi 1, 1

2 1

1 1

ln 1 khi 1 1

2 1

x

x x

x

f



  















  







.













2 0 4

T f f f   

1 9

1 ln

2 5

 

.

Vậy









2 3 7 7 ln 2 5 7ln 2 12

f f

      

.

Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn









4 2

' .

f x f x x x

 

. Biết





0 2

f



. Tính





2

f .

A.

 

2

313

2

15

f 

. B.

 

2

332

2

15

f 

. C.

 

2

324

2

15

f 

. D.

 

2

323

2

15

f 

.

Lời giải

Ta có













4 2

' . d d

f x f x x x x x C

  

 





2

5 3

2 5 3

f x

x x

C

   

.

Do





0 2

f



nên suy ra

2

C



.

Vậy

 

2

32 8

2 2 2

5 3

f

 

  

 

 

332

15



.

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên





\ 0



thỏa mãn

 





2

f x

f x x

x



 

và





1 1

f

 

. Giá trị của

3

2

f

 

 

 

bằng

A.

1

96

. B.

1

64

. C.

1

48

. D.

1

24

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 





       

4

2 3 3 3

4

f x

x

f x x xf x f x x xf x x xf x x dx C

x



 

          

 

 



.

 

5

1 1

4

f C

    

. Khi đó

 

4

5 3 1

4 2 96

x

f x f

x



 

  

 

 

.

Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số

( )

f x

thỏa mãn

(1) 4

f



và

3 2

( ) ( ) 2 3

f x xf x x x



   với mọi

0

x



. Giá trị của

(2)

f

bằng

A.

5

. B.

10

. C.

20

. D.

15

.

Lời giải

3 2

2 2

1. ( ) . ( ) 2 3 ( )

( ) ( ) 2 3 2 3

f x x f x x x f x

f x xf x x x x

x x x



  

 



        

 

 

Suy ra,

( )

f x

x

là một nguyên hàm của hàm số





g 2 3

x x

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có





2

2 3 3 ,

x dx x x C

   



C





.

Do đó,

2

1

( )

3 ,

f x

x x C

x

  

(1) với

1

C





nào đó.

Vì

(1) 4

f



theo giả thiết, nên thay

1

x



vào hai vế của (1) ta thu được

1

0

C



, từ đó

3 2

( ) 3

f x x x

  . Vậy

(2) 20

f



.

Câu 10: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 





   

2

4

' . " 15 12 ,



f x f x f x x x x

    

và





0

f







' 0

f

1



.

Giá trị của

 





2

1

f

là

A.

10

. B.

8

. C.

5

2

. D.

9

2

.

Lời giải

Ta có

   

 

   

2

4

. ' ' . " 15 12 , .

f x f x f x f x f x x x x



     











5 2

. 3 6 C, .

f x f x x x x



     



Lại có









0 ' 0 1

f f

 

nên

1

C



do đó









5 2

. ' 3 6 1, .

f x f x x x x

    



 





   

2

5 2

2 . ' 6 12 2,f x f x f x x x x



     



 





2

6 3

1

4 2 , .

f x x x x C x

      



Mà





0 1

f



nên

1

C



. Vậy

 





2

6 3

1 1 4.1 2.1 1 8.

f

    

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số





y f x

 liên tục và có đạo hàm trên đoạn





1;0

 , đồng

thời thỏa mãn điều kiện

















2

3 2 , 1;0

f x

f x x x e x





     . Tính









0 1

A f f

  

.

A.

1.

A

 

B.

1

.

A

e



C.

1.

A



D.

0.

A



Lời giải

Chọn D

Ta có

































2 2

3 2 , 1;0 3 2 , 1;0



 

           

f x f x

f x x x e x f x e x x x

Lấy nguyên hàm hai vế của







ta được

 

3 2

d

f x

e f x x x C

  











3 3

1 1

ln

f x

e x x C f x x x C

       

Do đó





 

   

1

0 ln

0 1 0

1 ln

f C

f f

f C

 



   



 





. Vậy

0

A



.

Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên nhận giá

trị dương trên khoảng và thỏa mãn với mọi Mệnh đề

nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

 

. 3 1

1

3x 1

f x f x x

f x



 



 







f x

,







0;















1 1, ' 3 1

f f x f x x

  

0.

x







4 5 5.

f

 





1 5 2.

f

 





3 5 4.

f

 





2 5 3.

f

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

2

ln 3 1 .

3

f x x C

   

Vì

Vậy

Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là một nguyên

hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn

















2

2 1

f x F x f x



  . Khẳng định nào dưới đây đúng và

đầy đủ nhất?

A. a





, b





. B.

1, 4

a b

 

. C.

1, 1

a b

  

. D.





1, \ 4

a b 



.

Lời giải

Chọn D

Do

4 0

a b

 

nên





F x C x

  



. Vì luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là một nguyên hàm của hàm số





f x

nên





f x

không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết

   

 





 





 

2

2 1

1

f x f x

f x F x f x

F x f x



   



Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân

d

x

ta được:





 





 

   

2

d d 2ln 1 ln

1

f x f x

x x F x f x C

F x f x



    



 

với

C

là hằng số.

       

 

2

1 4

2ln 1 ln ln . 1 .

4

C C C

a x b

F x e f x f x e F x e

x

  

 

      

 



 

 

2

1 4

.

4

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x



  

 





 





 





  

 



 

 





 



Trường hợp 1.

 

2

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

  

 



 



 

Ta có

     

 

2

4

a b

F x f x f x

x





  



.

Đồng nhất hệ số ta có:

 

2

1

4

. 1 4 4

. 4 4

4 1

C

a

b

e a x b a b x

e b b

e

b

e













 

        

 



  





















Loại

4

b



do điều kiện

4 0

a b

 

. Do đó

 

4 1

; 1;

C

e

a b

e

 





 

 

.

Trường hợp 2.

 

2

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

  

 

 

 



 

 

4 4

1 1 0 .

3 3

f C C

      

     

2 4 4

3 1

3 3 3

2 4

ln 3 1 5 3,8.

3 3

x

f x x f x e f e

 

        





3 5 4.

f

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có

     

 

2

4

a b

F x f x f x

x





  



.

Đồng nhất hệ số ta có:

 

2

1

4

. 1 4 4

. 4 4

4 1

C

a

b

e a x b a b x

e b b

e

b

e













 

         

 



   





















Loại

4

b



do điều kiện

4 0

a b

 

. Do đó

 

4 1

; 1;

C

e

a b

e

 





 

 

.

Tổng hợp cả hai trường hợp ta chọn đáp án D.

Câu 14: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên





0;



thỏa mãn

 

1

2

15

f



và













2

2 4 0

f x x f x



  

. Tính













1 2 3

f f f

 

.

A.

7

15

. B.

11

15

. C.

11

30

. D.

7

30

.

Lời giải

Chọn D

Vì













2

2 4 0

f x x f x



  

và





0

f x



, với mọi





0;x

 

nên ta có





 

2

2 4

f x

x

f x



  

.

Suy ra

 

2

1

4

x x C

f x

  

. Mặt khác

 

1

2

15

f



nên

3

C



hay

 

2

1

4 3

f x

x x



 

.

Do đó













1 2 3

f f f

 

1 1 1

8 15 24

  

7

30



.

Câu 15: Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Biết









6

. 12 13

f x f x x



 

và





0 2

f



. Khi đó

phương trình





3

f x



có bao nhiêu nghiệm?

A.

2

. B.

3

. C.

7

. D.

1

.

Lời giải

Chọn A

Từ









6

. 12 13

f x f x x



 













6

. 12 13

f x f x dx x dx



  

 









6 2

6 13

f x df x x x C

   







7

2

6 13

7

f x

x x C

   

 

0 2

2

7

f

C



 

.

Suy ra:





7 2

42 91 2

f x x x

  

.

Từ





3

f x







7

2187

f x 

2

42 91 2 2187

x x   





2

42 91 2185 0 *

x x   

.

Phương trình





*

có

2

nghiệm trái dầu do

0

ac



.

Câu 16: Cho hàm số





f x

xác định trên



thỏa mãn

 

e e 2

x x

f x





  

,





0 5

f



và

1

ln 0

4

f

 



 

 

. Giá

trị của biểu thức









ln16 ln 4

S f f  

bằng

A.

31

2

S 

. B.

9

2

S



. C.

5

2

S



. D.









0 . 2 1

f f



.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có

 

e e 2

x x

f x





  

e 1

e

x





2 2

e e khi 0

x x

x





 









 



.

Do đó

 

2 2

1

2 2

2

2e 2e khi 0

x x

C x

f x

C x





  









   



.

Theo đề bài ta có





0 5

f



nên

0 0

1

2e 2e 5

C

  

1

C

 

.

 

ln4 ln4

2 2

ln 4 2e 2e 1

f



   

6



Tương tự

1

ln 0

4

f

 



 

 

nên

1 1

ln ln

4 4

2 2

2

2e 2e 0

C

   

   

   



   

2

5

C

 

.

 









ln16 ln16

2 2

ln16 2e 2e 5

f

 



     

7

2

 

.

Vậy

   

5

ln16 ln 4

2

S f f

   

.

Câu 17: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





0

f x



, x

 



. Biết





0 1

f



và





 

'

2 2

f x

x

f x

 

. Tìm các giá trị thực của tham số

m

để phương trình





f x m



có hai nghiệm thực

phân biệt.

A.

m e



. B.

0 1

m

 

. C. 0

m e

 

. D. 1

m e

 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có





 

2 2

f x

x

f x



 





 

d 2 2 d

f x

x x x

f x



  

 

.





2

ln 2

f x x x C

   

 

2

.

x x

f x Ae



  . Mà





0 1

f



suy ra

 

2

x x

f x e



 .

Ta có





2 2

2 1 2 1

x x x x

    

 

2

1 1 1

x

   

. Suy ra

2

0

x x

e e



 

và ứng với một giá trị thực

1

t



thì phương trình

2

x x t

 

sẽ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy để phương trình





f x m



có

2

nghiệm phân biệt khi

1

0

m e e

  

.

Câu 18: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





0

f x



với mọi x





.













2

2 1

f x x f x



 

và





1 0,5

f  

. Biết rằng tổng

       

1 2 3 ... 2017

a

f f f f

b

    

;





,a b 

 

với

a

b

tối

giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

1

a b

  

. B.





2017; 2017

a  

. C.

1

a

b

 

. D.

4035

b a

 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có













2

2 1

f x x f x



 





 

2

2 1

f x

x

f x



  





 

2

d 2 1 d

f x

x x x

f x



  

 

 

2

1

x x C

f x

    

Mà

 

1

2

f

 

nên

0

C



 

2

1 1 1

1

f x

x x x x

    

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Mặt khác

       

1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 ... 2017 1 ...

2 3 2 4 3 2018 2017

f f f f

       

            

       

       

       

1 2017

1 2 3 ... 2017 1

2018 2018

f f f f



        

2017

a

  

;

2018

b



.

Khi đó

4035

b a

 

.

Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên



,





0

f x



với mọi

x

và thỏa mãn

 

1

2

f

 

,













2

2 1x ff

x

x 



 .Biết

     

1 2 ... 2019 1

a

f f f

b

    

với





, , , 1

a b a b

 



.Khẳng định nào sau đây sai?

A.

2019

a b

 

. B.

2019

ab



. C.

2 2022

a b

 

. D.

2020

b



.

Lời giải













2

2 1x ff

x

x 









 

2

2 1

x

f x

  







 

2

2 1

dx

f

x dx

f x

x

  



 









 

2

2 1

d f x

x dx

f x

  

 

 

2

1

x x C

f x

    





1

(Với

C

là hằng số thực).

Thay

1

x



vào





1

được

1

2

1

2

C  



0

C

 

.Vậy

 

1 1

1

f x

x x

 



.

1 1 1 1 1 1

(1) (2) ... (2019) ...

2 1 3 2 2020 2019

T f f f

     

          

     

     

1

2020

  

.

Suy ra:

1

2019

2020

a

a b

b





   







Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;

 

, biết













2

2 1 0

f x x f x



  

,

0

x

 

và

 

1

2

6

f



. Tính giá trị của biểu thức













1 2 ... 2019

P f f f    .

A.

2021

2020

. B.

2020

2019

. C.

2019

2020

. D.

2018

2019

.

Lời giải

Chọn C

TH1:





0

f x







0

f x



 

trái giả thiết.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

TH2:





0

f x















2

2 1 .

f x x f x



   





 

2

2 1

f x

x

f x



   

.





 

2

d 2 1 d

f x

x x x

f x



   

 

 

2

1

x x C

f x



    

.

Ta có:

 

1

2

6

f



0

C

 

 

2

1 1 1

1

f x

x x x x

   

 

.

1 1 1 1 1 2019

.....

1 2 2 3 2020 2020

P       

.

Câu 21: Cho hàm số





0

f x



thỏa mãn điều kiện













' 2

2 3 .

f x x f x

 

và

 

1

0

2

f





. Biết tổng

       

1 2 ... 2017 2018

a

f f f f

b

    

với

*

,a b

 

 

và

a

b

là phân số tối giản. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A.

1

a

b

 

. B.

1

a

b



.

C.

1010

a b

 

. D.

3029

b a

 

.

Lời giải

Chọn D

Biến đổi













' 2

2 3 .

f x x f x

 





 

'

2

2 3

f x

x

f x

  





 

'

2

2 3

f x

dx x dx

f x

  

 

 

2

1 1

3

x x C f x

f x x x C

       

 

. Mà

 

1

0

2

f





nên

2



.

Do đó

 

  

2

1 1

3 2 1 2

f x

x x x x

   

   

.

Khi đó

       

1 2 ... 2017 2018

a

f f f f

b

    

1 1 1 1

.....

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

 

     

 

 

1 1 1 1 1 1 1

.....

2 3 3 4 2018 2019 2020

 

        

 

 

1 1

2 2020

 

  

 

 

1009

2020





.

Với điều kiện

,

a b

thỏa mãn bài toán, suy ra:

1009

2020

a

b

 









3029

b a

  

.

Câu 22: Cho hàm số





y f x



,

0

x

 

, thỏa mãn

       

   

2

3

. 2 0

0 0; 0 1

f x f x f x xf x

f f



 

  

 



 





 





. Tính





1

f

.

A.

2

3

. B.

3

2

. C.

6

7

. D.

7

6

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

       

2

3

. 2 0

f x f x f x xf x

 

  

 

 

     

 

2

3

. 2f x f x f x

x

f x

 

  

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

2

f x

x

f x



 

  

 

 





 

2

f x

x

C

f x



   





 

2

0

0 2

f

C

f



   

0

C

 

.

Do đó





 

2

f x

x

f x



 





 

1 1

2

0 0

d d

2

f x

x

x x

f x



  

 

 

1

3

0

1

6

x

f x

 

   

 

 

   

1 1 1

1 0 6

f f

    

 

6

1

7

f

 

.

Câu 23: Giả sử hàm số

( )

f x

liên tục, dương trên



; thỏa mãn





0 1

f



và





 

2

1

f x

x

f x x







. Khi đó hiệu





 

2 2 2 1

T f f

 

thuộc khoảng

A.





2;3

. B.





7;9

. C.





0;1

. D.





9;12

.

Lời giải

Chọn C

Ta có





 

d

f x

x

f x







2

d

1

x















 





2

d 1

d

1

2 1

x

f x

f x x







 

.

Vậy

 

2

1

ln ln 1

2

f x x C

  

, mà





0 1 0

f C

  

. Do đó

 

2

1

f x x

 

.

Nên





2 2 3;

f







2 1 2 2

f 





   

2 2 2 1 3 2 2 0;1

f f    

.

Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số





0

f x



với mọi x





,





0 1

f



và









1.

f x x f x



 

với mọi x





. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





2

f x



B.





2 4

f x

 

C.





6

f x



D.





4 6

f x

 

Lời giải

Ta có:





 

1

f x

x











 

1

d d

1

f x

x x

f x

x



 



 









ln 2 1

f x x C

   

Mà





0 1

f



nên

   

2 1 2 2

2 3 6

x

C f x e f e

 

      

Câu 25: Giả sử hàm số





y f x



liên tục, nhận giá trị dương trên





0;

 



và thỏa mãn





1 1

f



,









3 1

f x f x x

  

, với mọi

0

x



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.





4 5 5

f

 

. B.





2 5 3

f

 

.

C.





3 5 4

f

 

. D.





1 5 2

f

 

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Với điều kiện bài toán ta có









3 1

f x f x x

  





 





 

1 1

d d

3 1 3 1

f x f x

x x

f x f x

x x

 

   

 

 









 

   

1

2

d

1

3 1 d 3 1

3

f x

x x

f x





   

 

 

2

ln 3 1

3

f x x C

   

 

2

3 1

3

e

x C

f x

 

  .

Khi đó

 

4

3

4

1 1 e 1

3

C

f C



     

 

2 4

3 1

3 3

e

x

f x

 

 

   

4

3

5 e 3,79 3; 4

f   



.

Vậy





3 5 4

f

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chú ý: Các bạn có thể tính

d

3 1

x





bằng cách đặt

3 1

t x

 

.

Cách 2:

Với điều kiện bài toán ta có









3 1

f x f x x

  





 

1

3 1

f x

x



 







 

5 5

1 1

1

d d

3 1

f x

x x

f x

x



 



 









 

5

1

d

4

3

f x

 



 

5

1

4

ln

3

f x

 





 

5

4

ln

1 3

f

 

     

4

3

5 1 .e 3,79 3; 4

f f   



.

Câu 26: Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

4

. 15 12

f x f x f x x x

 

   

 

, x

 



và









0 0 1

f f



 

.

Giá trị của





2

1

f

bằng

A.

9

2

. B.

5

2

. C.

10

. D.

8

.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 





   

2

4

. 15 12

f x f x f x x x

 

  

, x

 



.

   

4

. 15 12

f x f x x x



   

 

, x

 











5 2

1

. 3 6

f x f x x x C



   

Do









0 0 1

f f



 

nên ta có

1

1.

C



Do đó:









5 2

. 3 6 1

f x f x x x



  

 

2 5 2

1

3 6 1

2

f x x x



 

   

 

 





2 6 3

2

4 2 .

f x x x x C

    

Mà





0 1

f



nên ta có

2

1.

C



Do đó





2 6 3

4 2 1

f x x x x

   

.

Vậy





2

1 8.

f



Câu 27: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn









1 2 1 3

d

5

1

f x x

x C

x

  

 





. Nguyên hàm

của hàm số





2

f x

trên tập





là:

A.

 

2

3

2 4

x

C

x



. B.

2

3

4

x

C

x



. C.

 

2

2 3

4 1

x

C

x



. D.

 

2

2 3

8 1

x

C

x



.

Lời giải

Chọn D

Theo đề ra ta có:









   





 

2

1 2 1 3 2 1 3

d 2 1 d 1

5

1

1 4

f x x x

x C f x x C

x

    

      



 

 

.

Hay

 





 

2 2

2 3

3

2 d d

4 4

t

f t t C f t t C

t t





    

 

 

.

Suy ra

     

 

1

2

1 1 2 3 2 3

2 d 2 d 2

2 2 8 8

2 4

x x

f x x f x x C C

x

 

 

    

 



 

 

Câu 28: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số

( )

f x

thỏa mãn

(1) 3

f



và

(4 '( )) ( ) 1

x f x f x

  

với mọi

0

x



. Tính

(2)

f

.

A.

6

. B.

2

. C.

5

. D.

3

.

Chọn C

Ta có

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay





(4 '( )) ( ) 1 ( ) '( ) 4 1 ( ) ' 4 1

x f x f x f x xf x x xf x x

         









2

( ) ( ) 'd 4 1 d 2

xf x xf x x x x x x C

      

 

.

Với

1

x



thì

1 (1) 3 3 3 0

f C C C

      

.

Do đó

2

( ) 2

xf x x x

 

. Vậy

2

2 (2) 2.2 2

f

 

hay

(2) 5

f



.

Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số





y f x

 xác định trên



, thỏa mãn





0

f x



, x

 



và









2 0

f x f x



 

. Tính





1

f



biết rằng





1 1

f



.

A.

4

e



. B.

3

e

. C.

4

e

. D.

2

e



.

Lời giải

Chọn A

Vì





0

f x



, nên ta có:









2 0

f x f x



 





 

2

f x



 





 

d 2d

f x

x x

f x



 

 

.

:

C

  







ln 2

f x x C

 





ln 2

f x x C

  

.

Cho

1

x







ln 1 2

f C

  

ln1 2

C

  

2

C

  

Do đó:





ln 2 2

f x x

 





2 2

x

f x e



 





4

1

f e



   .

9

2

S a b c

    

.

Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là một nguyên hàm của hàm số





f x

và thỏa mãn

















2

2 1

f x F x f x



  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a





, b





. B.

1, 4

a b

 

. C.

1, 1

a b

  

. D.





1, \ 4

a b 



.

Lời giải

Do

4 0

a b

 

nên





F x C x

  



. Vì luôn có hai số

a

và

b

để

   

4 0

4

ax b

F x a b

x



  



là

một nguyên hàm của hàm số





f x

nên





f x

không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết

   

 





 





 

2

2 1

1

f x f x

f x F x f x

F x f x



   



Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân

d

x

ta được:





 





 

   

2

d d 2ln 1 ln

1

f x f x

x x F x f x C

F x f x



    



 

với

C

là hằng số.

       

 

2

1 4

2ln 1 ln ln . 1 .

4

C C C

a x b

F x e f x f x e F x e

x

  

 

      

 



 

 

2

1 4

.

4

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x



  

 





 





 





  

 



 

 





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trường hợp 1.

 

2

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

  

 



 



 

Ta có

     

 

2

4

a b

F x f x f x

x





  



.

Đồng nhất hệ số ta có:

 

2

1

4

. 1 4 4

. 4 4

4 1

C

a

b

e a x b a b x

e b b

e

b

e













 

        

 



  





















Loại

4

b



do điều kiện

4 0

a b

 

. Do đó

 

4 1

; 1;

C

e

a b

e

 





 

 

.

Trường hợp 2.

 

2

1 4

.

4

C

a x b

f x e

x

  

 

 

 



 

Ta có

     

 

2

4

a b

F x f x f x

x





  



.

Đồng nhất hệ số ta có:

 

2

1

4

. 1 4 4

. 4 4

4 1

C

a

b

e a x b a b x

e b b

e

b

e













 

         

 



   





















Loại

4

b



do điều kiện

4 0

a b

 

. Do đó

 

4 1

; 1;

C

e

a b

e

 





 

 

.

Câu 31: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số

( ) 0

f x



;













2

2 1 .

f x x f x



  và





1 0,5

f   . Biết

tổng

       

1 2 3 ... 2017

a

f f f f

b

    

;





;a b 

 

với

a

b

tối giản. Chọn khẳng định đúng.

A.

1

a

b

 

. B.

1

a b

 

. C.

4035

b a

 

. D.

1

a b

  

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

     





 

2

2 1 . 2 1

f x

f x x f x x

f x



    





( ) 0

do f x



Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:





 

2

2 2

1 1

d 2 1 d

f x

x x x x x C f x

f x f x x x C





        

 

 

Mà





1 0,5 0

f C

   

, do đó

 

2

1 1 1

1

f x

x x x x



  

 

Nên

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

   

1 1 1 1 1

2017 2016 ... (1) ... 1

2018 2017 2017 2016 2

1 2017

1

2018 2018

f f f

         

   

Suy ra

2017; 2018

a b

  

nên

4035

b a

 

.

Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

liên tục không âm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

     

2

. cos 1

f x f x x f x



 

với mọi

0;

2

x



 



 

 

và





0 3

f 

. Giá trị của

2

f



 

 

 

bằng

A.

2

. B.

1

. C.

2 2

. D.

0

.

Lời giải

Với

0;

2

x



 



 

 

ta có

     









 

2

2 .

. cos 1 cos *

2 1

f x f x

f x f x x f x x

f x



   



.

Suy ra

 

2

1 sin

f x x C

  

.

Ta có





0 3 2

f C

  

.

Dẫn đến

   

2

sin 2 1

f x x

  

.

Vậy

2 2

2

f



 



 

 

.

Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số





f x

liên tục trên

R

thỏa mãn các điều kiện:





0 2 2,

f





0,



f x

 



x

và

       

2

. 2 1 1 ,



  

f x f x x f x

 



x

. Khi đó giá trị





1

f

bằng

A.

26

. B.

24

. C.

15

. D.

23

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

       

2

. 2 1 1



  

f x f x x f x









 

2

.

2 1

1



  



f x f x

x

f x

.

Suy ra









 

2

.

d 2 1 d

1



 



 

f x f x

x x x

f x









 

2

d 1

2 1 d

2 1



  



 

f x

x x

f x

 

2 2

1

    

f x x x C

.

Theo giả thiết





0 2 2

f

, suy ra

 

2

1 2 2 3

   

C C

.

Với

3



C

thì

   

 

2

2 2 2

1 3 3 1

        

f x x x f x x x

. Vậy





1 24

f

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 34: (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

liên tục trên tập



thỏa mãn

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

và





1

f x

 

,





0 0

f



. Tính





3

f

.

A.

3

. B. 9. C. 3. D. 0.

Lời giải

Cách 1.

Với điều kiện bài toán

Ta có

   

2

1 2 1

f x x x f x



  





 

2

2 1

1

f x

x

f x

x



 



.

Suy ra





 

2

d d

2 1

1

f x

x

x x

f x

x







 

 

2

1 1

f x x C

    

.

Với





0 0

f



ta có

1 1 0

C C

   

.

Khi đó

 

2

1 1

f x x

  





2

f x x

 

Vậy





3 3

f



.

Cách 2.

Từ giả thiết ta suy ra được





 

2

*

2 1

1

f x

x

f x

x







.

Ta có





 

3 3

2

0 0

d d

2 1

1

f x

x

x x

f x

x







 

 

3

2

0

1 1

f x x   





 

3 1 0 1 1

f f

    





3 1 2

f

  





3 3

f

 

.

Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;4

thỏa mãn

   

 

2

3

2 1

 

 

 

 

 

 



f x

f x f x f x

x

và





0



f x với mọi





0;4

x . Biết rằng









0 0 1



 

f f ,

giá trị của





4

f bằng

A.

2

e

. B.

2

e

. C.

3

e

. D.

2

1



e

.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   

 

       

 

2 2

3 3

2 1 2 1

   

   

   

     

   

   

 

f x f x

f x f x f x f x f x f x

x x

     

 

2

3 3

1 1

2 1 2 1



 

    



 

     

 

 

   

 

f x f x f x

f x

x x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay





 





 





 

3

2

1

3

1 1

2 1



  

         



 

f x f x f x

dx x dx C

f x f x f x

x

.

Thay

0



x ta được:

1

0



C .





 





 

2

1

ln 2 1

2 1 2 1

 

       

 

 

 

 

f x f x

dx

dx f x x C

f x f x

x x

Thay

0



x ta được

2

1

 

C .





ln 2 1 1

   

 

 

f x x

Thay

4



x ta được









2

ln 4 2 4

  

 

 

f f e

.

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

1 1 . "

xf x x f x f x



  

   

   

với mọi

x

dương. Biết









1 1 1

f f



 

. Giá trị





2

f

bằng

A.





2

2 2ln 2 2

f

 

. B.





2

2 2ln 2 2

f

 

.

C.





2

2 ln 2 1

f

 

. D.





2

2 ln 2 1

f

 

.

Lời giải

Ta có:

     

2

1 1 . " ; 0

xf x x f x f x x



   

   

   

     

2

2 2

. ' 1 1 . "

x f x x f x f x

   

   

   

     

   

2

'

2

1

' 1 . "

1

' . " 1

1

. ' 1

f x f x f x

x

f x f x f x

x

f x f x

x

    

 

   

 

 

   

 

Do đó:

       

'

1

2

1 1

. ' .d 1 .d . ' .

f x f x x x f x f x x c

x x

 

     

 

 

 

 

 

Vì









1 1

1 ' 1 1 1 2 1.

f f c c

       

Nên

   

1

. ' .d 1 .d

f x f x x x x

x

 

  

 

 

 

   

 

1

.d 1 .d

f x f x x x

x

 

   

 

 

 





2

ln .

2 2

f x

x

x x c

    

Vì

 

2 2

1 1

1 1 1 1.

2 2

f c c

      

Vậy





 

2

ln 1 2 2ln2 2

2 2

f x

x

x x f

      

.

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

 





   

2

4

' . " 15 12 ,



f x f x f x x x x

    

và





0

f







' 0

f

1



. Giá trị của

 





2

1

f

là

A.

10

. B.

8

. C.

5

2

. D.

9

2

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

 

   

2

4

. ' ' . " 15 12 , .

f x f x f x f x f x x x x



     











5 2

. 3 6 C, .

f x f x x x x



     



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Lại có









0 ' 0 1

f f

 

nên

1

C



do đó









5 2

. ' 3 6 1, .

f x f x x x x

    



 





   

2

5 2

2 . ' 6 12 2,f x f x f x x x x



     



 





2

6 3

1

4 2 , .

f x x x x C x

      



Mà





0 1

f



nên

1

C



. Vậy

 





2

6 3

1 1 4.1 2.1 1 8.

f

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN

1. Công thức tính tích phân

  



b

a

f x dx F x F b F a

( ) ( ) ( ) ( )

.

* Nhận xét: Tích phân của hàm số

f

từ a đến b có thể kí hiệu bởi



b

a

f x dx

( )

hay



b

a

f t dt

( ) .

Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số





f x

và





g x

liên tục trên

, , ,

K a b c

là ba số bất kỳ thuộc

K

. Khi đó ta có :

1.





a

f x dx

( ) 0

2.  

 

b a

a b

f x dx f x dx

( ) ( )

.

3.  

  

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( )

4.

 

  

 

  

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( ) ( )

.

5. 

 

b b

a a

kf x dx k f x dx

( ) . ( )

.

6. Nếu f(x)

x a b

0, ;

 

  

 

thì :

 

  

 



b

a

f x dx x a b

( ) 0 ;

7. Nếu

b b

a a

x a b f x g x f x dx g x dx

; : ( ) ( ) ( ) ( )

 

    

 

 

.

8. Nếu

 

 

 

x a b

;

Nếu

 

M f x N

( )

thì

   

   



b

a

M b a f x dx N b a

( ) .

3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1

Định lí

Nếu hàm số



u u x

( )

đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

 

a b

;

sao cho





 

f x dx g u x u x dx g u du

( ) ( ) '( ) ( )

thì:

 

 

u b

b

a u a

I f x dx g u du

( )

( ) ( )

.

1.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt   

u u x du u x dx

'

( ) ( )

 Bước 2: Đổi cận :

 



 

x b u u b

x a u u a

( )

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo

u

Vậy:

 

  

 

  

u b

b b

a a u a

I f x dx g u x u x dx g u du

( )

( ) ( ) . '( ) ( )

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí

Nếu 1) Hàm



x u t

( )

có đạo hàm liên tục trên

 

 

 

;

2) Hàm hợp

f u t

( ( ))

được xác định trên

 

 

 

;

,

3)

 

 

u a u b

( ) , ( )

Khi đó:





 

 

b

a

I f x dx f u t u t dt

'

( ) ( ( )) ( )

.

2.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt







x u t

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :

  

x u t dx u t dt

( ) '( )

Đổi cận:





 



 

x b t

x a t

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t

Vậy:

 

 

 

  

 

  

b

a

I f x dx f u t u t dt g t dt

( ) ( ) '( ) ( )



 



  G t G G

( ) ( ) ( )

2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lí

Nếu





u x

và





v x

là các hàm số có đạo hàm liên tục trên

 

 

a b

;

thì:

 

 

 

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hay



b

a

udv



b

uv

a





b

a

vdu

2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Viết





f x dx

dưới dạng



udv uvdx

'

bằng cách chọn một phần thích hợp của





f x

làm





u x

và phần còn lại



dv v x dx

'( )

 Bước 2: Tính



du u dx

'

và 



v dv





v x dx

'( )

 Bước 3: Tính



b

a

vu x dx

'( )

và

b

uv

a

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng



b

x

a

P x e dx

( )



b

a

P x xdx

( )ln



b

a

P x xdx

( )cos



b

x

a

e xdx

cos

u P(x) lnx P(x)

x

e

dv

x

e dx

P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn

u

là phần của





f x

mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn



dv vdx

'

là phần của





f x dx

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

3.1.1. Dạng 1

I =



 

 



  

 

 

dx adx

ax b

ax b a ax b a

1 1

ln . (với a≠0)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chú ý: Nếu I =

 





 

  

   





 

k k

k

dx

ax b adx ax b

a a k

ax b

1

1 1

( ) . .( )

(1 )

( )

3.1.2. Dạng 2

 





 

 



dx

I a

ax bx c

2

0

(

  

ax bx c

2

0

với mọi

 

 



 

x

;

)

Xét

  

b ac

2

4

.

 Nếu

0





thì

     

 

b b

x x

a a

1 2

;

2 2

 

  

 

    

 

 

a x x x x a x x x x x x

ax bx c

2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1

( )( ) ( )

thì :

I dx x x x x

a x x x x x x a x x

x x

a x x x x

1 2

1 2 1 2 1 2

1

1 2 2

1 1 1 1

ln ln

( ) ( )

1

ln

( )









 

 

     

 

 

 

   

 





 



 Nếu

0





thì

 



 

 

  

 

b

x

a

ax bx c a x x

0

2 2

0

1 1

2

( )

thì I =

 





 

  



  

 

dx dx

a a x x

ax bx c x x

2 2

0

1 1

( )

 Nếu

 

0

thì

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

dx dx

I

ax bx c

b

a x

a

2

4

Đặt

 

 

    

b

x t dx t dt

a

a a

2

2 2

1

tan 1 tan

2 2

4

3.1.3. Dạng 3

 







 

 



mx n

I dx a

ax bx c

2

, 0

.

(trong đó





 

mx n

f x

ax bx c

2

( )

liên tục trên đoạn

 

 

 

;

)

 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm

A

và

B

sao cho:

  

 

     

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

2

2 2 2

( )'



 

   

A ax b B

ax bx c ax bx c

2 2

(2 )

 Ta có I=







 

 

 

 

     

 

mx n A ax b B

dx dx dx

ax bx c ax bx c ax bx c

2 2 2

(2 )

Tích phân







 



A ax b

dx

ax bx c

2

(2 )

=





 

A ax bx c

2

ln

Tích phân





 



dx

ax bx c

2

thuộc dạng 2.

3.1.4. Dạng 4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





b

a

P x

I dx

Q x

( )

với





P x

và





Q x

là đa thức của

x

.

 Nếu bậc của





P x

lớn hơn hoặc bằng bậc của





Q x

thì dùng phép chia đa thức.

 Nếu bậc của





P x

nhỏ hơn bậc của





Q x

thì có thể xét các trường hợp:

 Khi





Q x

chỉ có nghiệm đơn

  

n

1 2

, ,...,

thì đặt

  

   

  

n

A A A

P x

Q x x x x

1 2

( )

...

( )

.

 Khi





Q x

có nghiệm đơn và vô nghiệm











       

Q x x x px q p q

2 2

( ) , 4 0

thì đặt





 



 

P x A Bx C

Q x x

x px q

2

( )

.

( )

 Khi





Q x

có nghiệm bội

 

  

Q x x x

2

( ) ( )( )

với    thì đặt

 

 



  

 



A

P x B C

Q x x x

x

2

( )

.

 

  

Q x x x

2 3

( ) ( ) ( )

với    thì đặt

 

    

    

 

    

P x A B C D E

x x

x x x x x

2 3 2 3 2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.2. Tích phân hàm vô tỉ



b

a

R x f x dx

( , ( ))

Trong đó









,

R x f x

có dạng:



a x

R x

a x

,

 



 



 

Đặt

x acos t t2 ,

0;

2



 



















R x a x

2 2

,  Đặt

x

a t

sin



hoặc

x

a t

cos





n

ax b

R x

cx d

,

 



 



 

Đặt

n

ax b

d

t

cx







 

R x f x

ax b x x

2

1

,

( )

  



  

Với









x

k x b

x a

2

'

  





Đặt

t x x

2

  

  

, hoặc Đặt

t

ax b

1











R x a x

2 2

,  Đặt x

a t

tan

 ,

t

;

2 2

 

 

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông







R x x a

2 2

, 

Đặt

x

a

x

cos



,

t [0; ]\

2





 



 

 







i

n n n

R x x x

1 2

; ;...; Gọi





1 2

; ;...;

i

k BSCNN n n n



. Đặt

k

x t



3.2.1. Dạng 1

 

 

 



I dx a

ax bx c

2

1

0





Từ :



 

 



 





 

       



 



 

 



 







2

b

x u

b

a

f(x)=ax bx c a x du dx

a

K

a

2

4

2

Khi đó ta có :

 Nếu





        

a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

(1)

 Nếu :





 



     



 

  

 





a

b

f x a x

b

f x a x a u

a

2

0

0 ( )

( ) .

2

(2)

 Nếu :

 

0

.

 Với

0

a



:

















      

f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(3)

 Với

0

a



:

















        

f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

 Phương pháp :

* Trường hợp :





        

a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

Khi đó đặt :

   

2

ax bx c t a x

.

 

 





 







  



 

 

 

     



 



  







t c

x dx tdt

b a

bx c t ax

b a

x t t x t t

t c

t a x t a

b a

2

0 1

2

;

2

,

.

2

* Trường hợp :





 



     



 

  

 





a

b

f x a x

b

f x a x a u

a

2

0

0 ( )

( ) .

2

Khi đó :

 

 











 

  

 



 

  



 



 

   

 



 



 

b b

x x

a a

a

I dx dx

b b

a

a x x

x x

a a

a

1

ln : 0

2 2

1 1 1

1

ln : 0

2 2

* Trường hợp :

  

a

0, 0

. Đặt :

  





 





     







2

x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1 2

2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

* Trường hợp :

  

a

0, 0

. Đặt :

  





 





     







2

x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1 2

2

3.2.2. Dạng 2

 



 

 



mx n

I dx a

ax bx c

2

0





 Phương pháp :

 Bước 1:

Phân tích





 

 



  

     

2

2 2 2

Ad ax bx c

mx n B

f x

ax bx c ax bx c ax bx c

.

( ) 1

 Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số

,

A B

 Bước 3:

Giải hệ tìm

,

A B

thay vào (1)

 Bước 4 :

Tính





2

I A ax bx c B dx

ax bx c

1

2









   

 



(2)

Trong đó

 







 



dx a

ax bx c

2

1

0

đã biết cách tính ở trên

3.2.3. Dạng 3

 





 

  



I dx a

mx n ax bx c

2

1

0

 Phương pháp :

 Bước 1:

Phân tích :

 



 

  

 

 

2

n

mx n ax bx c

m x ax bx c

m

1 1

. (1)

 Bước 2:

Đặt :



 

    



 

 



 

  



   



         

   



   



2

n

y t dy dx

x t m x t

n

x

y m

x t ax bx c a t b t c

y y y

2

1 1

1

1 1 1

 Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :





 

 



dy

I

Ly My N

'

2

'

. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

3.2.4. Dạng 4

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 

 

m

x

I R x y dx R x dx

x

; ;

( Trong đó :





;

R x y

là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và

   

, , ,

là các hằng số đã biết )

 Phương pháp :

 Bước 1:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt :

m

t

x

 

 



 (1)

 Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng









x t

 Bước 3:

Tính vi phân hai vế :









dx t dt

'

và đổi cận

 Bước 4:

Tính :

 

 

 

 

 

 

 



  

 



 

 

m

x

R x dx R t t t dt

x

'

; ; '

3.3. Tích phân hàm lượng giác

3.3.1. Một số công thức lượng giác

3.3.1.1. Công thức cộng

 



a b a b a b

cos cos .c

( )

os  sin . sin

a b a b b a

sin sin .cos sin .

)

os

(

c

  

a

b

a b

b

a

tan tan

( )

1 tan .tan

tan  





3.3.1.2. Công thức nhân đôi

a a a a

a

2 2 2

2

cos2 cos – sin 2cos – 1

1 tan

1 – 2sin

1 tan

  







a

a a a

2

sin2 2sin .cos

2tan

1 tan



 

;

3.3.1.3. Công thức hạ bậc

; ;

;

3.3.1.4. Công thức tính theo

t

Với

Thì ; ;

3.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

3.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích





a

2

2tan

tan2

1 tan

3

cos3 4cos 3cos

  

 

3

sin3 3sin 4sin

  

 

a

2

1 cos2

sin

2





a

2

1 cos2

cos

2











a

2

1 cos2

tan

1 cos2

 







3

3sin sin3

sin

4

3

cos3 3cos

cos

4

 







a

t

tan

2



t

a

t

2

sin

1





t

a

t

2

1

cos

1







t

a

t

2

tan

1





     

 

   

 

 

   

 

 

   

 

1

cos .cos cos( ) cos( )

2

1

sin .sin cos( ) cos( )

2

1

sin .cos sin( ) sin( )

2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Công thức thường dùng:

Hệ quả:

3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

 Nếu gặp ta đặt .

 Nếu gặp dạng ta đặt .

3.3.2.1. Dạng 1

* Phương pháp

 Nếu

n

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

 Nếu

3

n



thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi

 Nếu

3

n

lẻ

( )

2 1

n p

 

thì thực hiện biến đổi:

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

cos cos 2cos .cos

2 2

cos cos 2sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos

2 2

sin sin 2cos .sin

2 2

sin( )

tan tan

cos cos

sin( )

tan tan

cos cos



 



 



 



 

4 4

6 6

3 cos4

cos sin

4

5 3cos4

cos sin

8

 

   

 

   

   

    

   

   

   

     

   

   

cos sin 2 cos 2 sin

4 4

cos sin 2 cos 2 sin

4 4

 





sin .cos

b

a

I f x xdx



sin

t x

 





cos .sin

b

a

I f x xdx



cos

t x

 





2

tan

cos

b

a

dx

I f x

x



tan

t x

 





2

cot

sin

b

a

dx

I f x

x



cot

t x

   

n n

1 2

= sinx dx ; cosx dx

 

I I

   

 

n 2p+1

1

= sinx dx = sinx dx    

   

p

I x xdx x d x

2

sin sin 1 cos cos

 

 

 

        

 

 

 

 

 

       

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

cos ... 1 cos ... 1 cos cos

1 1 1

cos cos ... cos ... cos

3 2 1 2 1

   

 

n 2p+1

2

= cosx dx = cosx dx   

   

p

I x xdx x d x

2

cos cos 1 sin sin

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

3.3.2.2. Dạng 2





sin cos ,

m n

I x xdx m n N

 



* Phương pháp

 Trường hợp 1:

,

m n

là các số nguyên

a. Nếu

m

chẵn,

n

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu

m

chẵn,

n

lẻ

( )

2 1

n p

 

thì biến đổi:

c.

Nếu

m

lẻ





2 1

m p

 

,

n

chẳn thì biến đổi:

d. Nếu

m

lẻ,

n

lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

 Nếu

,

m n

là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt

u sinx



(*)

Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số là số nguyên

3.3.2.3. Dạng 3

( )

.

n N





 

 

 

       

 

 

 

 

 

      

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

sin ... 1 sin ... 1 sin sin

1 1 1

sin sin ... sin ... sin

3 2 1 2 1

   

     

 

m 2p+1

I = sinx cosx dx   

  

p

m p m

x x xdx x x d x

2

sin cos cos sin 1 sin sin

   

 

   

 

     

 

        

 

 

 

 

       

     

 

 



k p

m k p

k p

p p p p

m m k m p m

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

m m k m p m

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

sin sin ... 1 sin ... 1 sin sin

sin sin sin sin

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

   

     

 

2p+1 n

I = sinx cosx dx    

  

p

n p n

x x xdx x x d x

2

cos sin sin cos 1 cos cos

   

 

   

 

     

 

         

 

 

 

 

        

     

 

 



k p

n k p

k p

p p p p

n n k n p n

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

n n k n p n

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

cos cos ... 1 cos ... 1 cos cos

cos cos cos cos

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

 

   

 

   

  

n n

m

m n m

B x xdx x x xdx u u du

1 1

2 2

sin cos sin cos cos 1

  

m n m k

1 1

; ;

2 2 2

   

n n

1 2

= tan x dx ; = cot x dx

 

I I

 

    

  

dx

x dx d x x c

x

2

1 tan tan tan

cos

 

      

  

dx

x dx d x x C

x

2

1 cot cot cot

sin





     

  

x d x

xdx dx x C

x x

sin cos

tan ln cos

cos cos





   

  

x d x

xdx dx x C

x x

cos sin

cot ln sin

sin sin

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Câu 1. (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết

1

2

0

3 1 5

d 3ln

6 9 6

x a

x

x x b



 

 



, trong đó

a

,

b

là hai số nguyên

dương và

a

b

là phân số tối giản. Khi đó

2 2

a b



bằng

A. 7. B. 6. C. 9. D. 5.

Lời giải

Chọn A

Giả sử:

 

     

2 2 2

2

3 1 3 1 3

6 9 3

3 3 3

x x A B Bx A B

f x

x x x

   

    

  

.

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, suy ra

3

B



và

10

A

 

.

Do đó

 

2

10 3

3

f x

x



 



.

Vậy

   

1 1 1 1

2 2

2

0 0 0 0

3 1 10 3 10 3

d d d d

6 9 3 3

3 3

x

x x x x A B

x x x x

x x

 

  

     

 

   

 

 

   

.

 

1

2

0

10 10 5

d

3 6

3

A x

x



   





.

1

0

3 4

d 3ln 3 3ln

3 3

B x x

x

   





.

Suy ra

4

a



,

3

b



.

Kết luận:

2 2 2 2

4 3 7

a b

   

.

Câu 2. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân

3

3 2

2

1

d ln3 ln 2

  





x a b c

x x

với

a

,

b

,





c . Tính

  

S a b c

.

A.

2

3

 

S . B.

7

6

 

S . C.

2

3



S . D.

7

6



S .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 2 2

1 1

( 1)



 

x x x x

2

1

  



A B C

x x x









2

( 1)

   





A C x A B x B

x x

1

0







  





 



B

A B

A C

1

 





 









A

B

C

.

Khi đó:

3

3 2

2

1

d





x

x x

3

2

1 1 1

d

1

 

   

 



 



x

x x x

3

2

1 1

ln

  

 

 

 

x

x x

1

2ln3 3ln2

6

   

2

  

a ,

3



b ,

1

6



c

1 7

2 3

6 6

     

S .

Câu 3. (Sở Phú Thọ) Cho

4

2

3

5x 8

x ln3 ln 2 ln5

3x 2

d a b c

x



  

 



với

, ,

a b c

là các số hữu tỉ. Giá trị của

3

2

a b c

 

bằng

A.

12

. B.

6

. C.

1

. D.

64

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn D

Ta có:

  









  

4 4 4 4

2

3 3 3 3

3 2 2 1

5x 8 5x 8 3 2

x x x= x

3x 2 1 2 1 2 1 2

x x

d d d d

x x x x x x x

  

 

 

  

 

       

 

   

 

4

3

3ln 1 2ln 2 3ln3 2ln2 3ln2 3ln3 ln2

x x         .

Suy ra

3 6

3, 1, 0 2 2 64

a b c

 

      

.

Câu 4. (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho

5

2

3

2

d ln 2 ln3

3 2

x

x a b c

x x



  

 



với

, ,a b c





.

Tính giá trị của biểu thức

P a b c

  

.

A.

9

. B.

5

. C.

3

. D.

4

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

5 5

2

5

2

3

3 3

2 2 1

d 1 d 2ln 2 ln 1 2 ln 2 2ln3

3 2 2 1

x

x x x x x

x x x x



 

          

 

   

 

 

.

Vậy

2, 1, 2 5

a b c a b c

      

.

Câu 5. (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho

1

2

0

4 15 11

d ln 2 ln3

2 5 2

x x

x a b c

x x

 

  

 



với

a

,

b

,

c

là các số hữu tỷ. Biểu thức .

T a c b

 

bằng

A.

4

. B.

6

. C.

1

2



. D.

1

2

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

1 1 1

2 2

2 2 2

0 0 0

4 15 11 (4 10 4) (5 7) 5 7

d d 2 d

2 5 2 2 5 2 2 5 2

x x x x x x

x x x

x x x x x x

      

 

  

 

     

 

  

1

0

1

1 3 3 5

2 d 2 ln | 2 | ln | 2 1| 2 ln 2 ln3

0

2 2 1 2 2

x x x x

x x

   

          

   

 

   



Vậy

2

a



,

1

b

 

,

5

2

c



nên

6

T



.

Câu 6. Biết . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

.

     

2

3 2

1

d ln 1 2 3

6 11 6

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  







4

m n p

 

5

0

2

4

   

2 2

3 2

1 1

6 11 6 1 2 3 1 2 3

x x A B C

x x x x x x x x x

 

   

        

   

























   

2

2 3 1 3 1 2

1

1 2 3 1 2 3

A x x B x x C x x

x

x x x x x x

       



 

     

























2

1 2 3 1 3 1 2

x A x x B x x C x x

          

1 1

5 4 3 0 5

6 3 2 1 5

A B C A

A B C B

A B C C

   

 

 

       

 

 

   

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

.

Vậy .

Câu 7. Biết với là các số nguyên dương. Tính

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

.

Vậy ; ; nên .

Câu 8. Biết với , , là các số nguyên dương. Tính

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có: , nên:

.

Mà nên . Suy ra: .

Câu 9. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

2

0

( ) sin .

x

G x tdt





Tính đạo hàm của hàm số

( ).

G x

A.

( ) 2 sin

G x x x





B.

( ) 2 cos

G x x x





C.

( ) cos

G x x





D.

( ) 2 sin

G x x x





Lời giải

Chọn A

Gọi





F x

là một nguyên hàm của hàm số





sin

f x x



. Theo định nghĩa:













2

0

G x F x F 

 





 

2 2

' ' .2 ' 0 2 .sin 2 .sin

G x F x x F x x x x

     .

2

3 2

1 1 1 1

d d 5 d 5 d

6 11 6 1 2 3

x

x x x x

x x x x x x



  

     

   

    

5 5

ln 1 2 3

x x x C



    





4 4

m n p

  

 

2

1

d

2 2

x

a b c

x x x x

  

  



, ,

a b c

P a b c

  

2

P



8

P



46

P



22

P



 

2

1

d

2 2

x

x x x x

  



 

2

1

d

2 2

x

x x x x



  







2

1

2

d

2 2

x x

x

x x

 







2

1

1 1

d

2 2 2

x

x x

 

 

 



 







2

1

2

x x  

2 3 3

  

2

a



3

b



3

c



8

P a b c

   

 

2

1

d

1 1

x

I a b c

x x x x

   

  



a

b

c

P a b c

  

24

P



12

P



18

P



46

P



1 0

x x

  





1;2

x 

 

2

1

d

1 1

x

I

x x x x



  



 

2

1

d

1 1

x

x x x x



  







 

  

2

1

1 d

1 1 1

x x x

x x x x x x

 



    







 

2

1

1 d

1

x x x

x x

 







2

1

1 1

d

1

x

x x

 

 

 



 







2

1

2 2 1

x x  

4 2 2 3 2

  

32 12 2

  

I a b c

  

32

12

2

a

b

c

















32 12 2 46

P a b c

      

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 10. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết rằng

2

0

4sin 7cos

d 2ln

2sin 3cos

x x b

I x a

x x c



 

  





với

*

0; , ;

b

a b c

c

  tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức

P a b c

  

.

A.

1





. B.

1

2





. C.

1

2





. D.

1

.

Lời giải

Chọn B

Xét đồng nhất thức:









4sin 7cos 2sin 3cos 2cos 3sin

x x A x x B x x

     

   

2 3 4 1

2 3 sin 3 2 cos

3 2 7 2

A B A

A B x A B x

A B B

   

 

     

 

  

 

 

2 2

2

0

0 0

2 2sin 3cos

4sin 7cos

d 1 d 2ln 2sin 3cos

2sin 3cos 2sin 3cos

x x

I x x x x x

x x x x

 



 





 

 

     

 

 

 

 

2

2ln

2 3



  .

, 2, 3

2

a b c



   

.

Vậy

2 3 1

2 2

P a b c

 

       

.

Câu 48: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân

4

0

1 2

ln

5

2

cot tan

12 6

a

dx b

c

x x



 



 

   

 

   

   



với

, ,

a b c

là các số nguyên dương. Tính

2 2 2

a b c

 

A.

48

. B.

18

. C.

34

. D.

36

.

Lời giải

4 4

0 0

4 4

0 0

5

sin os

1

12 6

5 5

cot tan cos n

12 6 12 6

7

sin n 2

2sin

12 4

12

1

7 7

sin n 2 sin n 2

12 4 12 4

x c x

dx dx

x x x si x

si x

dx dx

si x si x

 

   

 



   

   

 

   

   



       

   

       

       

 

 

 

 

 

   

 

   

   

   

 

   

 

 

4 4

0 0

7 5

tan os

7 5

12 12 6

1 1 tan cot tan

5

12 6 12

cos n

12 6

c x x

dx x x dx

x si x

 

  

 

 

  

  

 

   

 

 

        

 

   

 

    

   

 

 

   

 

   

 

 

4

0

7 5 2 3

tan lnsin lncos ln3

12 6 12 4 2

x x x



   

 

  

   

        

 

   

 

   

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do đó

3; 3; 4

a b c

  

. Vậy

2 2 2

34

a b c

  

.

Câu 4: Biết

5

1

2 2 1

4 ln2 ln5

x

I dx a b

x

 

   



, với

,

a b

là các số nguyên. Tính

.

S a b

 

A.

9.

S



B.

11.

S



C.

5.

S



D.

3.

S

 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

5 2 5

1 1 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1

d d d

x x x

I x x x

x x x

     

  

  









2 5

1 2

2 2 1 2 2 1

5 2 2 3

x x

dx dx dx dx

x x x x

   

 

   

   

   

2 5

1 2

5 3

2 5ln 2 3ln

x dx dx x x x x

x x

   

       

   

   

 

8ln2 3ln5 4

  

8

11.

3

a

a b

b





   



 



Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 1;0





thỏa mãn





1 2ln 2 1

f

 

,





















1 2 1

x x f x x f x x x



    

,





\ 1;0

x  



. Biết





2 ln 3

f a b 

, với

,

a b

là hai

số hữu tỉ. Tính

2

T a b

 

.

A.

3

16

T

 

. B.

21

16

T  . C.

3

2

T



. D.

0

T



.

Lời giải

Chọn A

           

 

2

1 2 1 1

1

x

x x f x x f x x x f x f x

x x



 

       



 

   

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

x x x x x x

f x f x f x

x x x x

x



 





    

 

   



 

 

2 2

1 1

d d

1 1

x x

f x x x

x x



 

 

 

 

 

 

   

2 2

2 2 2

1 1

1

d 1 d ln 1

1 1 1 2

x x x

f x x x x f x x x

x x x



     

 

        

 

   

  

 

     

 

     

4 1 1 3 3 3 3

2 1 ln3 ln2 2 ln3 .

3 2 2 4 4 4 16

f f f a b T             

Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết

 

2

9

ln

x

e

f x t tdt





, tìm điểm cực trị của hàm số đã cho

A.

2

x



B.

0

x



C.

1

x

 

D.

6

x



Lời giải

Chọn B

Gọi





G x

là một nguyên hàm của hàm số





9

ln

g x x x



. Theo định nghĩa:













2x

f x G e G e

 

 





   

9

2 2 4

' ' .e .2 ' 2. 2

x x x

f x G e G e e x

   

/

( ) 0 0

f x x

  

. Suy ra chọn đáp án B.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 13. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho

4

2

1

.

4

.

x

b c

x

x e

dx a e e

x

x e



   



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên.

Tính giá trị

a b c

 

.

A.

4



. B.

5



. C.

3



. D.

3

.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

2 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1

2.

4

. 2 2 . 2 2

x

x x x

x x

x e

x e e e

x e x x e x x



   

 

       

 

   

 

   

 

4 4

4

4 1

2

1

1 1

1 1 1

. . 1

4

. 2

x

x b c

x

x e

dx dx x e e e a e e

x e

x e x

  



 

           

 

 

 

1; 1; 4.

a b c

     

Vậy

1 ( 1) ( 4) 4.

a b c

        

Câu 14.

 

3

2

3

2

d 6

f x x





 



.Gọi

S

là tập hợp tất cả các số nguyên dương

k

thỏa mãn

2

1

2018.e 2018

e d

k

kx

x

k







. Số phần tử của tập hợp

S

bằng.

A.

7

. B.

8

. C. Vô số. D.

6

.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

2

1

e d e

kx kx

x

k

 



 

 



2

e e

k k

k





.

2

1

2018.e 2018

e d

k

kx

x

k







2

e e 2018.e 2018

k k k

k k

 

 









e e 1 2018 e 1

k k k

   

(do

k

nguyên dương).









e 1 e 2018 0

k k

   

1 e 2018

k

  

0 ln2018 7.6

k

   

.

Do

k

nguyên dương nên ta chọn được

k S



(với





1;2;3;4;5;6;7

S 

).

Suy ra số phần tử của

S

là

7

.

Câu 15. (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;3

 thỏa mãn

 

1

0

d 2

f x x





và

 

3

1

d 4

f x x





. Tính

 

3

1

d

f x x





.

A. 6. B. 4. C. 8. D. 2.

Lời giải

Chọn C

Vì





f x

là hàm chẵn nên

   

 

1 1 1

1 0 0

d 2 d 2 d 4

f x x f x x f x x



  

  

.

Ta có:

     

3 1 3

1 1 1

d d d

f x x f x x f x x

 

 

  

   

1 3

0 1

2 d d 4 4 8

f x x f x x

    

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên

m

để

 

2 2

2 2 2 2

0 0

2 d 2 d

x m x x m x

  

 

.

A. Vô số. B.

0

. C. Duy nhất. D.

2

.

Lời giải

Chọn A

 

2 2

2 2 2 2

0 0

2 d 2 d

x m x x m x

  

 





*

Ta có:

2 2

2

2 0

2

x m



 

  









.

TH1. Nếu

0

m



thì





*

luôn đúng.

TH2. Nếu

0

m



thi





*

đúng





 

2 2

2 0 1

2 0 2

x m



 





 





với mọi





0;2

x



.

)



0

m



.





1

đúng

2 2 0

2 2 2

m m



  





  





(vô nghiệm).





2

đúng

0

2 0

2

2 2

m







 

 

   

 











.

)



0

m



.





1

đúng

2 2 0

2 2 2

m m



  





  





(vô nghiệm).





2

đúng

0

2 0

2

2 2

m









 

    

 

 



 





.

Suy ra





 

; 2 2; 0

m

 

      

 

là giá trị cần tìm.

Câu 17. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết

 

2

0

d 6

f x x x

 

 

 



và

   

2

0

3 d 10

f x g x x  

 



. Tính

   

2

0

2 +3 d

I f x g x x



 

 



.

A.

12

I



. B.

16

I



. C.

10

I



. D.

14

I



.

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

2

2 2 2

2

0 0 0

0

d 6 d 6 d 4

2

x

f x x x f x x f x x

      

 

 

  

.

           

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

3 d 10 3 d d 10 d 3 d 10 2

f x g x x f x x g x x g x x f x x

        

 

 

    

.

   

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

I f x g x x

   

 

 



.

Vậy

14

I



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 18. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết

 

2

0

d 6

f x x x

 

 

 



và

   

2

0

3 d 10

f x g x x  

 



. Tính

   

2

0

2 +3 d

I f x g x x



 

 



.

A.

12

I



. B.

16

I



. C.

10

I



. D.

14

I



.

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

2

2 2 2

2

0 0 0

0

d 6 d 6 d 4

2

x

f x x x f x x f x x

      

 

 

  

.

           

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

3 d 10 3 d d 10 d 3 d 10 2

f x g x x f x x g x x g x x f x x

        

 

 

    

.

   

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

I f x g x x

   

 

 



.

Vậy

14

I



.

Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

và . Tính

A. B. C. D.

Lời giải:

Ta có:

.

Chọn B

Câu 19. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn

(0) 3

f



và

2

( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x

      



. Tích phân

2

0

( )d

xf x x





bằng

A.

4

3



. B.

2

3

. C.

5

3

. D.

10

3



.

Lời giải

Chọn D

Thay

0

x



ta được

(0) (2) 2 (2) 2 (0) 2 3 1

f f f f

        

Ta có:

2 2

0 0

( )d (2 )d

f x x f x x

 

 

Từ hệ thức đề ra:

 

2 2 2

2

0 0 0

8 4

( ) (2 ) d 2 2 d ( )d .

3 3

f x f x x x x x f x x

       

  





f x





0;1

 

   

21 1

2

0 0

1

' 1 . .

4

x

e

f x dx x e f x dx



  

 





1 0

f



 

1

0

?

f x dx





2

e



2

e



e

1

e



     

 

2 1 1

0 0

1

1 . . .

4

x x

e

x e f x dx f x d x e



  

 

 

1

0

. . '

x

x e f x dx

 



 

21 1 1

2

2 2

0 0 0

1

' . . ' .

4

x x

e

f x dx x e f x dx x e dx



    

  

 

1 1 1

2

2 2

0 0 0

' . 2 . . ' 0

x x

f x dx x e dx x e f x dx

   

  

 

1

2

0

' . 0

x

f x x e dx

  















' . 1

x x

f x x e f x e x

     

 

1

0

2

f x dx e

  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:

2 2

2

0

0 0

4 10

( )d ( ) ( )d 2.( 1) .

3 3

xf x x xf x f x x



      

 

Câu 20. Biết rằng hàm số thỏa mãn , và

(với , , ). Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Do đó: . Vậy

Câu 21. Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



, thỏa mãn

 

3 5

1

f x

x x







,





1

f a



và





2

f b

 

.

Tính









1 2

f f 

.

A.









1 2

f f a b

    

. B.









1 2

f f a b

   

.

C.









1 2

f f a b

   

. D.









1 2

f f b a

   

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

   

3 5

1

f x

x x



 

  

3 5

1

x x

 







f x



 

nên





f x



là hàm lẻ.

Do đó

     

2 1 2

2 2 1

d 0 d d

f x x f x x f x x



 

  

   

  

.

Suy ra

































1 2 2 1 1 2 2 1

f f f f f f f f a b

             

.

Câu 22. Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 4

1

f x

x x







,





1

f a



,





2

f b

 

.

Giá trị của biểu thức









1 2

f f 

bằng

A.

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

   

2 4

1

f x

x x



 

  

2 4

1

x x









f x





nên





f x



là hàm chẵn.

Do đó

   

1 2

2 1

d d

f x x f x x



 



 

.





2

f x ax bx c

  

 

1

0

7

d

2

f x x

 



 

2

0

d 2

f x x

 



 

3

0

13

d

2

f x x





a

b

c





P a b c

  

3

4

P

 

4

3

P

 

4

3

P



3

4

P



 

3 2 3 2

0

d

3 2 3 2

d

a b a b

f x x x x cx d d cd

 

     

 

 



 

1

0

2

0

3

0

7

d

2

d 2

13

d

2

f x x



 



 













7

3 2 2

8

2 2 2

3

9 13

9 3

2 2

a b

c

a b c



   



    





  





1

3

16

3

a

b

c









 





 



4

3

P a b c

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

































1 2 1 2 2 1 1 2

f f f f f f f f          

   

1 2

2 1

d d

f x x b a f x x



 

   

 

b a

 

.

Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn khi . Biết

và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có: (gt)

(gt)

Vậy ta có hệ:

Chọn B

Câu 57: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa

, . Mệnh đề nào đúng?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Từ gt:

Vì

Chọn D

Câu 23. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên đoạn





1;1



, thỏa mãn





0,f x x

  



và









2 0

f x f x



 

. Biết





1 1

f



, tính





1

f



.

A.





2

1

f e



 

. B.





3

1

f e

 

. C.





4

1

f e

 

. D.





1 3

f

 

.

Lời giải

Chọn C

Biến đổi:





f x





0



f x





1,2

x

 

2

1

' 10





f x dx





 

2

1

'

ln 2





f x

dx

f x





2

f





2 10

 

f





2 20



f





2 10



f





2 20

 

f

       

2

1

' 2 1 10

   



f x dx f x f f





 

     





 

2

1

' 2

ln ln 2 ln 1 ln ln 2

1

         

     



f x f

dx f x f f

f x f









 

2 1 10

2 20

2

1 10

1

  









 







f f

f







y f x





0;







1 1



f









' 3 1

 

f x f x x





1 5 2

 

f





4 5 5

 

f





2 5 3

 

f





3 5 4

 

f

   





 

'

1

' 3 1

3 1

   



f x

f x f x x

f x

x





 

'

1 2

ln 3 1

3

3 1

     

 

 



 

f x

dx dx f x x C

f x

x

 

2

3 1

3

 

 

x C

f x e

 

2

.2

0

3

4

1 1 1

3



      

C

f e e C

   

2 4 4

3 1

3 3 3

5 3,79

 

    

x

f x e f e

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   





 





 





 

1 1 1

1

1 1 1

' '

' 2 0 2 2 4 ln 4

f x f x df x

f x f x dx dx f x

f x f x f x



  

             

  





 





 

   

4 4 4

1 1

ln 4 1 1 .

1 1

f f

e f f e e

f f



       

 

.

Câu 24. Cho hàm số

f

liên tục,





1

f x

 

,





0 0

f



và thỏa

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





3

f

.

A.

0

. B.

3

. C.

7

. D.

9

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   





 

2

1 2 1

1

f x

x

f x x x f x

f x

x



    







 

   

3 3

3

3 3

2

0 0

0

0 0

2

d d 1 1 1 1

1

f x

x

x x f x x f x

f x

x



        



 





 









3 1 0 1 1 3 1 2 3 3

f f f f

         

.

Câu 25. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn





0

f x



khi





1,2

x 

. Biết

 

2

1

' 10

f x dx





và





 

2

1

'

ln 2

f x

dx

f x





. Tính





2

f

.

A.





2 10

f

 

. B.





2 20

f



. C.





2 10

f



. D.





2 20

f

 

.

Lời giải:

Ta có:

       

2

1

' 2 1 10

f x dx f x f f

   



(gt)





 

     





 

2

1

' 2

ln ln 2 ln 1 ln ln2

1

f x f

dx f x f f

f x f

         

     



(gt)

Vậy ta có hệ:









 

2 1 10

2 20

2

1 10

1

f f

f

  









 







Chọn B

Câu 26. Cho hàm số





y f x



có đồ thị





C

, xác định và liên tục trên



thỏa mãn đồng thời các điều

kiện





0f x x

  



,

   





2

. ,f x x f x x



  



và





0 2

f



. Phương trình tiếp tuyến tại

điểm có hoành độ

1

x



của đồ thị





C

là.

A.

6 30

y x

 

. B.

6 30

y x

  

. C.

36 30

y x

 

. D.

36 42

y x

  

.

Lời giải

Chọn C

   





2

.

f x x f x









 

2

f x

x

f x



 





 

1 1

2

0 0

d d

f x

x x x

f x



 

 

 

1

3

2

0

d

3

f x

x

f x

 



 

1

0

1 1

3

f x

  

   

1 1 1

1 0 3

f f

   

 

1 1

1 6

f

 





1 6

f

 

.

   





2

1 1. 1 36

f f



 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là

36 30

y x

 

.

Câu 27. Cho hàm số





0

y f x

 

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt

x

g x f t

 



,









2

g x f x



. Tính

 

1

0

d

g x x



.

A.

1011

2

. B.

1009

2

. C.

2019

2

. D.

505

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

   

0

1 2018 dt

x

g x f t

 



     

2018 2018

g x f x g x



  





 

2018

g x



 





 

0 0

d 2018 d

t t

g x

x x

g x



 

 

 





0

2 2018

t

g x x

 

 





2 1 2018

g t t

   (do





0 1

g



)

 

1009 1

g t t

  

 

1

2

0

1009 1011

dt

2 2

g t t t

 

   

 

 



.

Câu 28. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn





0 9

f





và

   

2

9 9

f x f x x

 

  

 

 

. Tính









1 0

T f f 

.

A.

2 9ln2

T

 

. B.

9

T



. C.

1

9ln2

2

T   . D.

2 9ln2

T

 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

2

9 9

f x f x x

 

  

 

 

 





 

2

9 1

f x f x x

 

    

 

 





 

2

1

9

f x

f x x





  



 

 

.

Lấy nguyên hàm hai vế





 

2

1

d d

9

'

f x

x x

f x x





 

 

 

 

 

1

9

x

C

f x x

  





.

Do





0 9

f





nên

1

9

C



suy ra

 

9

1

f x x

x



 



 

9

1

f x x

x



  



Vậy

   

1

0

9

1 0 d

1

T f f x x

x

 

   

 



 



1

2

0

9ln 1

2

x

 

  

 

 

1

9ln 2

2

 

.

Câu 29. Cho hàm số





y f x



thỏa mãn









4 2

.

f x f x x x



 

. Biết





0 2

f



. Tính





2

f

.

A.

 

2

313

2

15

f  . B.

 

2

332

2

15

f  . C.

 

2

324

2

15

f  . D.

 

2

323

2

15

f  .

Lời giải

Chọn B

Ta có

       

 

   





2

2 2 2

4 2 4 2 2

0

0 0 0

136 136

' . ' .

15 2 15

f x

f x f x x x f x f x dx x x dx f x df x        

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





 

2

2 4

136 332

2

2 15 15

f



  

.

Câu 30. Cho hàm số





y f x



có





f x



liên tục trên nửa khoảng





0;



thỏa mãn

   

2

3 1 3.e

x

f x f x





  

. Khi đó:

A.

   

3

2

1 1

e 1 0

2

e 3

f f

  



. B.

   

3

2

1 1

e 1 0

4

2 e 3

f f

  



.

C.

   





2 2

3

e 3 e 3 8

e 1 0

3

f f

  

 

. D.

   





3 2 2

e 1 0 e 3 e 3 8

f f

    

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   

2

e 3

3 1 3.e

e

x

f x f x







   

   

3 3 2 2

3e e e e 3

x x x x

f x f x



   

.

 

3 2 2

e e e 3

x x x

f x



 

  

 

.

Lấy tích phân từ

0

đến

1

hai vế ta được

 

1 1

3 2 2

0 0

e d e e 3 d

x x x

f x x x



 

 

 

 

 

1

3

1

3 2

0

1

e e 3

3

x x

f x

 

  

 

   





2 2

3

e 3 e 3 8

e 1 0

3

f f

  

  

.

Câu 114: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





f x



liên tục trên R thỏa mãn

   

 

2 2 2

0

2018

x

f x f t f t dt

 



   

 



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





1 2018

f e



. B.





1 2018

f  . C.





1 2018

f 

. D.





1 2018

f e

 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D

     

 

   

 

   





 

2 2 2

2 . 0 1

f x

f x f x f x f x f x f x f x f x

f x



   

        









ln

x C

f x x C f x e



    

Thử vào đẳng thức đã cho suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

2 2018 . 2018 2018 2018

x

C x C t C x C t C C

e e e e dt e e e e e e        



Vậy





. 2018

x C x C x

f x e e e e



   . Suy ra





1 2018

f e

 .

Câu 116: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





f x



liên tục trên R thỏa mãn

   

 

2 2 2

0

2 4 2018

x

f x f t f t dt

 



   

 



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.





2

1 1009

f e



. B.





1 1009

f e

 . C.





1 1009

f e



. D.





2

1 1009

f e

 .

Hướng dẫn giải:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn D

Đạo hàm hai vế ta được:

     





 





   





2 2 2

4 . 2 2 0

f x f x f x f x f x f x

  

    









2

f x f x



 





 

   

2

2 ln 2 .

x

f x

f x x C f x k e

f x



      

0

k



Thử vào đẳng thức đã cho suy ra

2 4 2 4 2 4 2 4 2

0

2 8 2018 2 2 . 2018 2 2018 1009

x

x t x t

k e k e dt k e k e k k        



Vậy









2 2

1009 1 1009

x

f x e f e

  

Câu 31. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

,





f x

và





f x



đều nhận giá trị dương

trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 2

f



,

       

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

. Tính

 

1

3

0

d

f x x

 

 



.

A.

15

4

. B.

15

2

. C.

17

2

. D.

19

2

.

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết, ta có

       

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

       

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d 0

f x f x x f x f x x

 

 

   

 

 

 

       

1

2

0

. 2 . 1 d 0

f x f x f x f x x

 

 

   

 

 



   

2

1

0

. 1 d 0

f x f x x

 



  

 



   

. 1 0

f x f x



  









2

. 1

f x f x



 





3

f x

x C

  

. Mà

 

8

0 2

3

f C

  

.

Vậy





3

3 8

f x x

 

.

Vậy

   

1

1 1

2

3

0 0

0

3 19

d 3 8 d 8

2 2

x

f x x x x x

 

    

 

 

 

 

 

.

Câu 32. Cho hàm số





y f x



xác định và liên tục trên





\ 0



thỏa mãn

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

với





\ 0

x 



và





1 2

f

 

. Tính

 

2

1

f x dx



.

A.

1

ln2

2

  . B.

3

ln2

2

  . C.

ln2

1

2

  . D.

3 ln2

2 2

  .

Lời giải

Chọn A

Ta có

















2 2

2 1 1

x f x x f x xf x



   

 





    

2

1 *

xf x f x xf x



   

Đặt













h x f x xf x



 













h x f x xf x

 

  

, khi đó





*

có dạng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông









2

h x h x









 

2

1

h x



 





 

2

1

h x

dx dx

h x



 

 





 

2

dh x

x C

h x

  



 

1

x C

h x

   

 

1

h x

x C

  



 

1

1xf x

x C

   



Vì





1 2

f

 

nên

1

2 1

1

C

   



0

C

 

Khi đó

 

1

1xf x

x

  

 

2

1 1

f x

x x

   

Suy ra:

 

2 2

2

1 1

f x dx dx

x x

 

  

 

 

 

2

1

ln

x

 

 

 

 

1

ln2

2

  

Câu 33. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





0 0

f



. Biết

 

1

2

0

9

d

2

f x x





và

 

1

0

3

cos d

2 4

x

f x x

 







. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1



. B.

4



. C.

6



. D.

2



.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

 

1 1

0 0

cos d cos d

2 2

x x

f x x f x

 





 

   

1

0

cos . sin . d

2 2 2

x x

f x f x x

  

 



 

1

0

sin . d

2 2

x

f x x

 





.

Suy ra

 

1

0

3

sin . d

2 2

x

f x x







Mặt khác

 

2

1 1

0 0

1 1

sin d 1-cos d

2 2 2

x

x x x



 

 

 

 

 

.

Do đó

   

2

1 1 1

2

0 0 0

d 2 3sin d 3sin d 0

2 2

x x

f x x f x x x

 

 

  

 

 

  

.

hay

 

2

1

0

3sin d 0

2

x

f x x



 

 

 

 



suy ra

 

3sin

2

x

f x



 .

Vậy

 

1

1 1

0

0 0

6 6

d 3sin d cos

2 2

x x

f x x x

 

   

 

.

Câu 53: Cho hàm số liên tục trên và thỏa . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đặt





f x





0;



 

2

0

.cos







x

f t dt x x





4

f





4 123

f

 

2

4

3



f

 

3

4



f

 

1

4



f

















'  



F t f t dt F t f t

   

 

2

0

  



x

G x f t dt F x F

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

(Tính chất đạo hàm hợp: )

Mặt khác, từ gt:

(1)

Tính  ứng với

Thay vào (1)

Chọn D

Câu 34. Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0; 1

, thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

 

và

 

1

2

0

d 4

f x x



 

 



. Giá trị của tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



bằng

A.

1

. B.

8

. C.

10

. D.

80

.

Lời giải

Chọn C

Xét

   

1

2

0

d

f x ax b x

  

 



       

1 1 1

2

0 0 0

d 2 . d d

f x x f x ax b x ax b x

       

   

  

     

1

1 1

3

0 0

0

1

4 2 d 2 d

3

a xf x x b f x x ax b

a

    

 

 

2

4 2

3

a

a b ab b

     

.

Cần xác định

,

a b

để

 

2

2 2 4 0

3

a

b a b b

     

Ta có:

 

2 2

4

4 4 2 4

3

b b b b

      

 

2

0

3

b 

 

2 6

b a

    

.

Khi đó:

   

1

2

0

6 2 d 0

f x x x

   

 

 







6 2

f x x

  

Suy ra

   

1 1

3

0 0

d 6 2 d

f x x x x

  

 

 

 

1

4

0

1

6 2 10

24

x

  

.

Câu 35. Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn





4;8

và





0 0

f



với





4;8

x 

. Biết rằng

 

2

8

4

1

f x

dx

f x



 

 



 

 



và

   

1 1

4 , 8

4 2

f f

 

. Tính





6

f

.

A.

5

8

. B.

2

3

. C.

3

8

. D.

1

3

.

Lời giải

Chọn D

 









/

2 2

' 2 .

 

  

 

G x F x x f x













' ' . '

 

 

f u x f u u x

   

2

0

.cos



 



x

G x f t dt x x









' .cos ' sin cos

   

    

G x x x x x x





2

2 . sin cos

  

   

x f x x x x





4

f

2



x

2



x





4. 4 2 sin2 cos2 1

  

    

f

 

1

4

 

f

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Xét





 





       

 

8 8

2 2

4 4

8

1 1 1

2 4 2

4

8 4

f x df x

dx

f x f x f x f f

 

         

 

 

 

.

+) Gọi

k

là một hằng số thực, ta sẽ tìm

k

để

 

2

8

2

4

0

f x

k dx

f x

 

 

 

 



.

Ta có:

 

2

8 8 8 8

2

2 2

4

2 2

4 4 4 4

2 1 4 4 2 1

f x

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x

f x



 

  

 

        

 

 

 

 

   

.

Suy ra:

1

2

k

 

thì

 

2

8 6 6

2 2 2

4 4 4

1 1 1

0

2 2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

   

     

 

 

  





         

 

6

2

4

6

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1 6

4

4 6 6 3

df x

f

f x f x f f f

            



.

Chú ý:

 

0

b

a

f x dx





không được phép suy ra





0

f x



, nhưng

   

2

0 0

b

k

a

f x dx f x

  



.

Câu 36. Suy ra

   

2 2

0 0

4 d 8 d 2

f x x f x x

  

 

. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0; 1





thỏa

mãn điều kiện





1 2ln 2

f  

và













2

1 .

x x f x f x x x



   

. Giá trị





2 ln 3

f a b 

, với

,a b





. Tính

2 2

a b



.

A.

25

4

. B.

9

2

. C.

5

2

. D.

13

4

.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết, ta có













2

1 .

x x f x f x x x



   



 

2

1

.

1 1

1

x x

f x f x

x x

x



 

 



 

.

1 1

x x

f x

x x



 

 

 

 

 

, với





\ 0; 1

x

  



.

Suy ra

 

.

1

x

f x

x



d

1

x







hay

 

.

1

x

f x

x



ln 1

x x C

   

.

Mặt khác, ta có





1 2ln 2

f  

nên

1

C

 

. Do đó

 

.

1

x

f x

x



ln 1 1

x x

   

.

Với

2

x



thì

 

2

. 2 1 ln3

3

f  



 

3 3

2 ln3

2 2

f   . Suy ra

3

2

a



và

3

2

b

 

.

Vậy

2 2

9

2

a b

 

.

Câu 37. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên



và thỏa mãn









1;1

f x



 

với





0;2

x 

. Biết









0 2 1

f f

 

. Đặt

 

2

0

d

I f x x





, phát biểu nào dưới đây đúng?

A.





;0

I  

. B.





0;1

I 

. C.





1;I

 

. D.





0;1

I 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

     

2 1 2

0 0 1

d d d

I f x x f x x f x x

  

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



               

1 1 1 1

1

0

0 0 0 0

1

d 1 1 d 1 1 d 1 1 d

2

f x x x f x x f x x x f x x x x

 

          

   





1

.



             

2 2 2

2

1

1 1 1

d 1 1 d 1 1 d

f x x x f x x f x x x f x x

 

      

  

 

2

1

1 1 d

2

x x

   







2

.

Từ





1

và





2

suy ra

1 1

1

2 2

I

  

.

Câu 38. Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1

f



và

       

1 1

2

0 0

1

3 d 2 d

9

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



:

A.

3

2

. B.

5

4

. C.

5

6

. D.

7

6

.

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

   





   

1

2

0

3 2.3 1 d 0

f x f x f x f x x

 

 

  

 

 



   

1

2

0

3 1 d 0

f x f x x

 



  

 



.

Suy ra

   

3 1 0

f x f x



 

   

1

3

f x f x



 

   

2

1

.

9

f x f x



 

.

Vì

     

3 2

3.

f x f x f x



 



 

nên suy ra

 

3

1

3

f x



 



 

 

3

1

3

f x x C

  

.

Vì





0 1

f



nên





3

0 1

f



1

C

 

.

Vậy

 

3

1

3

f x x

  

.

Suy ra

 

1

3

0

d

f x x

 

 



1

0

1 7

1 d

3 6

x x

 

  

 

 



.

Câu 39. Cho hai hàm số





f x

và





g x

có đạo hàm trên đoạn





1;4

và thỏa mãn hệ thức









       

1 1 4

. ; .

f g

g x x f x f x x g x

 





 

   





. Tính

   

4

1

d

I f x g x x

 

 

 



.

A.

8ln2

. B.

3ln2

. C.

6ln2

. D.

4ln2

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Ta có

















f x g x x f x g x

 

   

 

 









   

1

f x g x

f x g x x



  

 











   

1

d d

f x g x

x x

f x g x x



  

 



 









ln

f x g x

 

ln

x C

  

Theo giả thiết ta có









ln 1 ln 1 1

C f g  

ln4

C

 

.

Suy ra

   

4

f x g x

x

f x g x

x



 



  





, vì









1 1 4

f g

 

nên

   

4

f x g x

x

 

   

4

1

d 8ln2

I f x g x x    

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 2: Ta có

















f x g x x f x g x

 

   

 

 

















d d

f x g x x x f x g x x

 

    

   

   

 

.

























d d

f x g x x x f x g x f x g x x

      

     

     

 

.

       

C

x f x g x C f x g x

x

       

 

 

. Vì









1 1 4

f g C C

     

Do đó

   

4

f x g x

x

 

. Vậy

   

4

1

d 8ln 2

I f x g x x   

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1

Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn

[ ; ].

a b

Giả sử hàm số

( )

u u x



có đạo hàm liên tục trên

đoạn

[ ; ]

a b

và

( ) .

u x

 

 

Giả sử có thể viết

( ) ( ( )) '( ), [ ; ],

f x g u x u x x a b

 

với

g

liên tục trên

đoạn

[ ; ].

 

Khi đó, ta có

( )

( ) ( ) .

u b

b

a u a

I f x dx g u du

 

 

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

Có

( )

f x

( )

t f x



3

0

1

x dx

I

x







. Đặt

1

t x

 

Có

( )

n

ax b



t ax b

 

1

2016

0

( 1)

I x x dx

 



. Đặt

1

t x

 

Có

( )

f x

a

( )

t f x



tan 3

4

2

0

cos

x

e

I dx

x









. Đặt

tan 3

t x

 

Có

ln

dx

và x

x

ln

t x



hoặc biểu thức

chứa

ln

x

1

ln

(ln 1)

e

xdx

I

x x







. Đặt

ln 1

t x

 

Có

x

e dx

x

t e



hoặc biểu thức

chứa

x

e

ln2

2

0

3 1

x x

I e e dx

 



. Đặt

3 1

x

t e

 

Có sin

xdx

cos

t x



3

2

0

sin cos

I x xdx







. Đặt

sin

t x



Có cos

xdx

sin

t xdx



3

0

sin

2cos 1

x

I dx

x









Đặt

2cos 1

t x

 

Có

2

cos

dx

x

tan

t x



2

4 4

4 2

0 0

1 1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

 

Đặt

tan

t x



Có

2

sin

dx

x

cot

t x



cot cot

4

2

6

1 cos2

2sin

x x

e e

I dx dx

x



 



 

. Đặt

cot

t x



HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 1. Giá trị của tích phân

   

100

0

1 ... 100 d

x x x x

 



bằng

A.

0

. B.

1

. C.

100

. D. một giá trị khác.

Lời giải

Chọn A

Tính

   

100

0

1 ... 100 d

I x x x x

  



.

Đặt 100

t x

 

d d

x t

  

.

Đổi cận: Khi

0

x



thì

100

t



; khi

100

x



thì

0

t



.

Do

























1 ... 100 100 99 ... 1

x x x t t t t

      













1 ... 99 100

t t t t    

nên

   

100

0

1 ... 100 d

I x x x x

  



   

100

0

1 ... 100 d

t t t t I

     



2 0

I

 

0

I

 

.

Câu 2. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho

n

là số nguyên dương khác

0

, hãy tính tích phân

 

1

2

0

1 d

n

I x x x

 



theo

n

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1

2 2

I

n





. B.

1

2

I

n



. C.

1

2 1

I

n





. D.

1

2 1

I

n





.

Lời giải

Chọn A

Với

*

n



, khi đó:

Đặt

2

1 d 2 d

t x t x x

    

1

d d

2

x x t

  

Đổi cận:

0 1; 1 0

x t x t

     

Khi đó

0 1

1

0

1 0

1 1 1 1

d d .

2 2 2 1 2 2

n

n n

t

I t t t t

n n



    

 

 

Cách 2: Ta có

   

2 2

1

d 1 2 d d 1 d

2

x x x x x x

      

     





1

2

1 1

1

2 2 2

0

0 0

1

1 1 1

1 d 1 d 1 .

2 2 1 2 2

n

n n

x

I x x x x x

n n





        

 

 

Câu 3. (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân

 

2

1

2

0

1

d ln

1

x

I x a b c

x



  





, trong đó

a

;

b

;

c

là các số

nguyên. Tính giá trị của biểu thức

a b c

 

.

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

0

.

Lời giải

Chọn A

 

2

1 1 1 1 1

2

2 2 2 2

0 0 0 0 0

1

1 2 2 1

d d 1 d d d 1

1 1 1 1

x

x x x

I x x x x x

x x x x



 

 

      

 

   

 

    

1

2

0

1 ln 1 1 ln2

x     .

1

a

 

,

2

b



,

1

c



nên

2

a b c

  

.

Câu 4. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết

1

2

0

2

d ln 12 ln 7

4 7

x

x a b

x x



 

 



,

với

a

,

b

là các số nguyên, khi đó

3 3

a b



bằng

A.

9



. B.

0

. C.

9

. D.

7

.

Lời giải

Chọn B

Đặt





2

4 7 d 2 4 d

t x x t x x

     

 

1

2 d d

2

x x t

  

.

Đổi cận:

0 7

x t

  

;

1 12

x t

  

.

1 12

12

7

2

0 7

2 1 1 1 1

d d ln ln12 ln 7 ln 12 ln 7

4 7 2 2 2 2

x

x t t

x x t



     

 

 

1

a

 

;

1

b

 

.

Vậy

3 3

0

a b

 

.

Câu 5. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho

2

0

d ln3

2 4



 

 



x

x a b

x x

với

a

,

b

là

các số thực. Giá trị của

2 2

3



a b

bằng

A.

7

27

. B.

1

2

. C.

5

18

. D.

35

144

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Ta có:

2

0

d

2 4

 



x

x x

2

2 2

0

1 1

d

2 4 2 4



 

 

 

   

 



x

x x x x

2 2

0 0

1 1

d d

2 4 2 4



 

   

 

x

x x

x x x x

.

Tính

2

1

2

0

1

d

2 4





 



x

I x

x x

 

2

0

1

ln 2 4

2

  x x

 

1 1

ln12 ln 4 ln3

2 2

   .

Tính

2

0

1

d

2 4



 



I x

x x

 

2

0

1

d

1 3



 



x

.

Đặt

1 3 tan

 

x u

2

3

d du

cos

 x

u

. Đổi cận:

0



x

6



 

u và

2



x

3



 

u .

Suy ra

 

3

2

6

3 1

. d

cos

3 1 tan









I u

u

3

6

1

d

3







u

1

3 6

3

 

 

 

 

 

6 3





.

Vậy

2

1 2

2

0

d

2 4

 

 



x

x I I

x x

1

ln3

2

6 3



 

.

Suy ra

2

2 2

1 1 5

3 3.

2 18

6 3

 

   

 

 

a b

.

Câu 6. Tích phân

2

2001

2 1002

1

(1 )

x

I dx

x







có giá trị là

A.

1001

1

2002.2

. B.

1001

1

2001.2

. C.

1002

1

2001.2

. D.

1002

1

2002.2

.

Lời giải

2 2

2004

1002

3 2 1002

1 1 3

2

1

. .

(1 )

1

x

I dx dx

x x

x

 



 



 

 

 

. Đặt

2 3

1 2

1

t dt dx

x x

     .

HÀM VÔ TỈ

Câu 7. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số hữu tỉ.

Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt

Đổi cận: ; .

Ta có:

=

Suy ra: , , . Vậy

1

2

d

ln 2 ln3 ln5

5 3 9

x

a b c

x x



  

  



, ,

a b c

 

10



5



10

5

3

t x

 

2

3

t x

  

2 d d

t t x

 

2 1

x t

   

1 2

x t

  

1

2

d

5 3 9

x

x x





  



1

2

d

3 5 3 1 6

x

x x



   



2

1

d

2

5 6

t t



 



2

1

3 2

2 d

3 2

t

t t

 

 

 

 

 







2 2

1 1

2 3ln 3 2ln 2

t t   





2 5ln4 2ln3 3ln5

   

20ln 2 4ln3 6ln5

   

20

a

 

4

b



6

c



10

a b c

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 8. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho

8

3

1 1

d ln

2

1

a c

I x

b d

x x x

  

 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và

,

a c

b d

tối giản. Giá trị của

abc d



bằng

A.

6



. B.

18

. C.

0

. D.

3



.

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

1 1 2 d d

t x t x t t x

      

.

Khi

3 2

x t

  

; Khi

8 3

x t

  

.

Khi đó

   

 

  

3 3 3

2

2 2 2

1 2 2

.2 d d d

1 1 1 1

1 1

t t

I t t t t

t t t t t

t t

  

    

 

  

   

  

 

  

 

  

3 3

2 2 2

2 2

1 1 1 1

d d

1 1 1 1 1 1

t t t t

t t

t t t t t t

 

    

  

 

     

 

 

  

 

   

  

 

3 3

2 2

1 1

1 1 1 1

d . d

1 1 2 1 1

1 1

t t

t t t t

t t

   

  

   

   

   

 

   

 

 

3

2

1 1 1 1 1 1

d ln 1 ln 1

2 1 1 2 1

1

t t t

t

 

   

       

 

 

 

  

   



 

 



3

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

ln ln ln

2 1 1 2 2 4 2 3 3

t

t t

  

 

     

 

 

 

 

 

1 1 1 1 1 1 1 3 1

ln ln ln

2 2 2 3 4 3 2 2 12

     

3

a

 

,

2

b



,

1

c



,

12

d



.

Vậy

3.2.1 12 6

abc d

    

.

Câu 9. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng , với là các số

hữu tỉ.

Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt

Đổi cận: ; .

Ta có:

Suy ra: .

 

4

0

d

ln3 ln5 ln7

4 1 5 2 1

x

a b c

x x

  

  



, ,

a b c

 

0

4

3



1

4

3

2 1

t x

 

2

2 1

t x

  

d d

t t x

 

0 1

x t

  

4 3

x t

  

 

4

0

d

4 1 5 2 1

x

x x



  



4

0

d

4 2 5 2 1 2

x

x x

   



3

2

1

d

2 5 2

t t



 











  

3

1

2 2 1 2

1

d

3 2 1 2

t t

t

t t

  



 



3

1

1 2 1

d

3 2 2 1

t

t t

 

 

 

 

 



3

1

1 1

2ln 2 ln 2 1

3 2

t t

 

   

 

 

1 1 1

2ln5 2ln3 ln7 ln3

3 2 2

 

   

 

 

1 2 1

ln3 ln5 ln7

2 3 6

   

1 2 1

, , 0

2 3 6

a b c a b c

        

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 10. Biết

 

2

1

d

1 1

x

a b c

x x x x

  

  



với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương. Tính

P a b c

  

.

A.

44

P



. B.

42

P



. C.

46

P



. D.

48

P



.

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

2 2

1 1

d d

1 1

x x

I

x x x x

 

  

 

.

Đặt

 

1

1 d d

2 1

x x

t x x t x

x x

 

    



 

d d

2

1

x t

t

x x

 



.

Khi

1

x



thì

2 1

t

 

, khi

2

x



thì

3 2

t  

.

 

3 2

2 3 2

2

2 1

1

2 1

d d 1

2 2

1 1

x t

I

t t

x x x x



   

  

 

1 1

2

3 2 2 1

 

  

 

 

 

4 2 2 3 2

  

32 12 4

  

32

a

 

,

12

b



,

4

c



Vậy

48

P a b c

   

Câu 11. Tích phân

1

2 3

2

0

1

a x ax

I dx

ax









, với

0

a



có giá trị là:

A.





2

4

a a

I





. B.





2

a a

I





. C.





2

4

a a

I





. D.





2

a a

I





.

Lời giải

Tích phân

1

2 3

2

0

1

a x ax

I dx

ax









, với

0

a



có giá trị là:

Ta biến đổi:





 

2

1 1 1

2 3

2

2 2

0 0 0

1

1 1

ax ax

a x ax

I dx dx ax ax dx

ax ax



   

 

  

.

Ta nhận thấy:





2

1 ' 2

ax ax

  . Ta dùng đổi biến số.

Đặt

2

1 2

t ax dt axdx

    .

Đổi cận

0 1

1 1

x t

x t a

  





   



.

 

1

2

1

1 1 1

2

2 4 4

a

I tdt t a a



 

   

 

 



.

Chọn C

Câu 12. Biết rằng

1

2

0

d 2

2ln

1

4 3

x a

b

x x

 





 



 

 



với

a

,

b

là các số nguyên dương. Giá trị của

a b



bằng

A.

3

. B.

5

. C.

9

. D.

7

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

  

1 1

2

0 0

d d

1 3

4 3

x x



 

 

Đặt

3 1

t x x

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1 1 1

d d

2

3 1

t x

x x

 

  

 

 

 

  

1 1 3

d

2

1 3

x x

t

x x

 

  

 

 

 

 

 

  

1

d d

2

1 3

t

t x

x x

 

 

 

 

 

 

  

2d d

1 3

t x

t

x x

 

 

.

Khi

0

x



thì

1 3

t  

; khi

1

x



thì

2 2

t   .

1 2 2

2

0

1 3

d d

2

4 3

x t

t

x x





 

 

2 2

1 3

2ln t





2 2

2ln

1 3







2

3

a

b













5

a b

  

.

Câu 13. Biết

2

3

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2 d

a

x x c

x x x b

 

   

 

 



, với

, ,

a b c

nguyên dương,

a

b

tối giản và



c a

. Tính

  

S a b c

A.

51



S . B.

67



S . C.

39



S . D.

75



S .

Lời giải

Chọn C

Ta có

2

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2 d

x x

x x x

 

  

 

 



2

3

2 3

1

1 2

1 d

x x

 

  

 

 



.

Đặt

3

2 2

1 1

t x t x

x x

    

2

3

2

3 d 1 d

t t x

x

 

  

 

 

.

Khi đó:

2

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2 d

x x

x x x

 

  

 

 



3

7

4

3

0

3 d

t t





3

7

4

3

0

3 21

14

4 32

t 

.

Vậy

67



S .

Câu 14. Cho số thực dương

0

k



thỏa

 

2

0

ln 2 5

dx

x k

 





. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

3

2

k



. B.

1

0

2

k

 

. C.

1

2

k

 

. D.

3

1

2

k

 

.

Lời giải

Chọn C

Đặt





2

ln

t x x k

  

2

1

x

x k

dt dx

x x k



 

 

2

1

dt dx

x k

 



Ta có

2 2

2

0 0

dx

dt

x k





 

2

0

t







 

2

0

ln ln 2 5

x x k    









ln 2 4 ln ln 2 5

k k     

 

2 4

ln ln 2 5

k

 

  

2 4

2 5

k

 

  





2 4 2 5

k k

    





2

4 4 4 4 2 5

k k k

      





4 2 5 2

k k

    

   

2

2 5

4 2 5 4 4 2 5

k

k k k















     





   

2

2 5

2 5 9 4 5 0

k

k k















   





2

2 5

0

1

k































ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 15. Giả sử

2

4

1

1 1

d

x b

x a a b

x c b c



 

 

 



 



với , ,a b c





;

1 , , 9

a b c

 

. Tính giá trị của biểu

thức

2

b a

a c

C





.

A.

165

. B.

715

. C.

5456

. D.

35

.

Lời giải

Chọn D

2 2

2

4 3

1 1

1

d d

x

I x x

x x



 

 

Đặt

2

2 3 3

1 2 1

1 2 d d d d

t t t x t t x

x x x

       

Ta được

5

2

2 3

5

2

1

d

3

I t t t

  



1 5

2 2 5

3 5 3

 

 

 



 

.

Vậy

2

a



,

5

b



,

3

c



, suy ra

3

2 7

35

b a

a c

C C





 

.

Câu 16. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

3

0

ln 2 ln3

3

4 2 1

x a

dx b c

x

  

 



với

a,b,c

là các số nguyên. Giá trị

a b c

 

bằng:

A.

9

B.

2

C.

1

D.

7

Lời giải

Chọn C

3

0

2

8 8 8

2 3 2 2

6 6 6

3 2

4 2 1

4 2 1 ( 4) 4( 1)

2( 4) 4

0 6

3 8

8 16 4 12 44 48 3 11 6

.( 4)

8 8 8 2 2

8

3 11 7

( 6ln ) 12ln 2 6ln3

6

24 4 2 3

1

x

dx

x

t x t x

t dt dx

x t

t t t t t t t

I t dt dt dt

t t t

t t

a b c



 

      

  

  

     

      

      

   



  

Câu 17. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

1

3

1

2

1

d ln

1

x b

x d

x a c

 

 

 



 



, với

, , ,

a b c d

là các số nguyên dương và

b

c

tối giản. Giá trị của

a b c d

  

bằng

A.

12

B.

10

C.

18

D.

15

Lời giải

Chọn B

1 1 1

3

1 1 1

3

2 2 2

1

d d d

1

. 1

x x

I x x x

x

  



 



 



 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 Đặt

2

1 1 1

d

t x dx t

x t t



    

Đổi cận:

1

2

x t

  

;

1 1

x t

  

Khi đó:

1 2

2

3 3 3

2 1

1 d

d

1 . 1

t t t

I t

t

t t t



 

 

 

 

 

 

 Đặt

3 2 3 3 2 2 2

2 d

1 1 1 3 d 2 d d

3

u u

u t u t t u t t u u t t           

Đổi cận:

1 2

t u  

;

2 3

t u

  

Ta có:

 

3 3

2

2 2

2 d

3

2 d 1 1 1 3

3

ln ln 2

3 1 3 1 3 2

1 .

2

u u

I

u u



 

    

 

 



 

 

Suy ra

3, 3, 2, 2

a b c d

   

. Vậy

10

a b c d

   

.

Câu 18. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân

2 3

2

2 2

1 2

1 1 .

1 . 14 .d 3

a

I x x c d

x x b





 

      

 

 



, trong đó

( , , ,a b c d





,

a

b

là phân số tối

giản). Tính tổng

S a b c d

   

.

A.

3

S



. B.

7

S



. C.

2

S



. D.

11

S



.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

2

2 3 2 3

2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 . 14 .d 1 . 16 .d

I x x x x

x x x x

 

     

       

     

     

 

Đặt

2

1 1

4sin 1 d 4cos d

x t x t t

x x

 

    

 

 

,

;

2 2

t

 

 

 

 

 

Đổi cận: Với

1 2

4

x t



   

; với

2 3

3

x t



   

.

     

3 3 3

2

3

4

4 4 4

2

4cos . 16 4sin d 16 cos d 8 1 cos2 d 8 4sin2 2 3 4

3

I t t t t t t t x t

  



  



         

  

Mà

2 3

2

2 2

1 2

1 1 .

1 . 14 .d 3 2, 3, 2, 4

a

I x x c d a b c d

x x b





 

            

 

 



.

Vậy

3

S a b c d

    

.

Câu 19. (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Biết

2

3

3 3

2 8 11

1

1 1 1

2

a

x dx c

x x x b

 

   

 

 



với

a

,

b

,

c

nguyên dương,

a

b

tối giản và

c a



. Tính

S a b c

  

.

A.

51

S



. B.

39

S



. C.

67

. D.

75

.

Lời giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Xét

2 2

3 3 3

3

2 8 11 2 9 2

1 1

1 1 1 1 1 1

2 2

I x dx x x dx

x x x x x x

 

       

 

 

 

2

3 3

2 3 2

1

1 1 1

2.

x x dx

x x x

 

   

 

 



2

3

3 2

1

2 1

1

x dx

x x

 

 

  

 

 

 

 



.

Đặt

3

2

1

t x

x

 

3

2

1

t x

x

  

2

3

2

3 1

t dt dx

x

 

  

 

 

.

Đổi cận

1 0

x t

  

;

3

7

2

4

x t   .

Vậy

3

7

4

2

0

.3

I t t dt





3

7

4

3

0

3

t dt





3

7

4

0

3

4

t



3

21 7

16 4



3

21

14

32



.

Từ đó ta suy ra

21

a



;

32

b



;

14

c



39

S a b c

    

.

Câu 20. (THTT số 3) Cho tích phân

1

0

1

d

1

x a m

x

x b n





 





, với

, , ,a b n m







, các phân số

,

a m

b n

tối

giản. Tính

b n

a m



.

A. 3. B. 5. C. 8. D. 2.

Lời giải

Chọn D

Đặt

cos2

x t



. Ta có

d 2sin2 d

x t t

  ,

0 cos 2.

4



 



 

 

và

1 cos0



.

Ta có

2

1 cos2 1 1 2sin

tan

1 cos 2 1 2cos 1

t t

t

t t

  

 

  

.

Vậy

 

1 0

2

0

4

1

d tan 2sin 2 d

1

x

x t t t

x





 



 

 

2

4 4

0 0

4 4 4

0 0 0

4 4

0 0

2 tan sin 2 d 4 sin d

2 1 cos2 d 2 d 2 cos2 d

2 sin 2 1

2

t t t t t

t t

 

  

 



 

   

 

  

1 1

,

2 1

a m

b n

  

. Vì các phân số

,

a m

b n

tối giản nên ta suy ra

1, 2, 1, 1

a b m n

   

.

Do đó

2 1

1 1 2

b n

a m

   

.

Câu 21. (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho

1

3

1

2

1

ln ,

1

x b

dx d

x a c

 

 

 



 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và

b

c

tối giản. Giá trị của

a b c d

  

bằng

A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1 1

2

3

3 3

1 1

2 2

d d

1

( 1)

x x

I x x

x

x x

 



 

. Đặt

3

1

t x

 

2 3

1

t x

  

2

2 d 3 d

t t x x

 

Đổi cận

1 3

2

2 2

x t  

;

1 2

x t  

. Khi đó

2 2

3 3

2 2 2 2

2

d

2 d

3

1 1

t t

t

I

t t t

 

 

 

Đặt

1 1

y t t

   

2

1 1

d d

2 1

t t

y t

t

  

 



2

2d d

1

y t

y

t

 



Đổi cận

4

3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2

1 1 8

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

t y

 

         

;

2 2

2 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1

t y

         

 

4

2 2 2

2

4

8

2 2d 4 4 2 2 2 1 (2 2 2) 1 3

ln ln ln ln( 2)

3 3 3 3 8 3 2

8

y

I y

y



 

     



Do đó

10

a b c d

   

Cách 2: Ta có

 

1 1

2

3

3 3

1 1

2 2

d d .

1

x x

x

x x





 

Đặt

3 2

d 3 d .

t x t x x

   Đổi cận

1 1

; 1 1.

2 8

x t x t

     

Khi đó

2

1 1

2

1 1

8 8

1

d 1

d

1 1 1 1 1 1 3

2

3

ln ln 2 .

1

3 3 2 2 4 3 2

( 1)

1 1

8

2 4

t

I t t

t t

t

 



 

   

 

        

   



   

 

 

 

 

 

Vậy

3 3 2 2 10.

a b c d

       

HÀM LƯỢNG GIÁC, MŨ LÔ GARIT

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của

a

trong đoạn

;2

4



 

 

 

thỏa mãn

0

sin 2

d

3

1 3cos

a

x







.

A.

2

. B.

1

. C.

4

. D.

3

.

Lời giải

Chọn B

Đặt

2

1 3cos 1 3cos 2 d 3sin d .

t x t x t t x x

       

Đổi cận: + Với

0 2

x t

  

+ Với

1 3cos .

x a t a A

    

Khi đó

 

2

0

sin 2 2 2 2

d d 2 1 1 3cos 1 cos 0

3 3 3 3

1 3cos

a

A

x

x t t A A a a

x

           



 

 

2

a k k



   



. Do

0

1 3

;2 2

1

4 4 2 4 2

k

a k k

k

  





 

         



 



 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Bình luận: Khi cho

2

a



 

thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác định (trong

căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận

2

a





.

Câu 23. Nếu

6

0

1

sin cos d

64

n

x x x







thì

n

bằng

A.

3.

B.

4.

C.

5.

D.

6.

Lời giải

Chọn A

Đặt

sin d cos d

t x t x x

  

. Đổi cận: khi

1

0 0;

6 2

x t x t



     

Khi đó:

1

2

0

1 1 1

d .

1 1 2 64

n

t

I t t

n n



 

   

 

 

 



.

Suy ra

1

1 1

2 64

n



 



 

 

có nghiệm duy nhất

3

n



(tính đơn điệu).

Câu 24. Cho các tích phân

0

1

1 tan

I dx

x









và

0

sin

cos sin

x

J dx

x x









với

0;

4





 



 

 

, khẳng định sai là

A.

0

cos

cos sin

x

I dx

x x









. B.

ln sin os

I J c

 

  

.

C.

ln 1 tan

I



 

. D.

I J



 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

1 1 cos

sin

1 tan cos sin

1

cos



  



 

 



nên A đúng.





0

0 0

cos sin

ln cos sin ln cos sin

cos sin cos sin

d x x

x x

I J dx x x

x x x x

 



 





      

 

 

B đúng

0

I J dx x



   



D đúng.

Câu 25. Cho biết

4

0

cos

ln 2

sin cos

x

dx a b

x x



 





với

a

và

b

là các số hữu tỉ. Khi đó

a

b

bằng:

A.

1

4

. B.

3

8

. C.

1

2

. D.

3

4

.

Lời giải

Chọn C

Xét

4

1

0

cos

sin cos

x

I dx

x x









;

4

2

0

sin

sin cos

x

I dx

x x









4

1 2

0

4

I I dx



   



;

4

4 4

1 2

0 0

0

cos sinx (sin cos ) 1

ln(sin cos ) ln 2

sin cos sin cos 2

x d x x

I I dx x x

x x x x



 

 

     

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1

I

 

1

ln 2

8 4





1 1

;

8 4

a b

   

1

2

a

b



.

Cách giải khác:Đặt

4

x t



 

Câu 26. Tích phân

 

3

2

3

sin

cos 3sin

x

I dx

x x











có gái trị là:

A.

3 3 2 3

ln

16 8

3 2

I

 



 

 

 

 

. B.

3 3 2 3

ln

8 8

3 2

I

 



 

 

 

 

.

C.

3 3 2 3

ln

8 8

3 2

I

 



  

 

 

 

. D.

3 3 2 3

ln

16 8

3 2

I

 



  

 

 

 

.

Lời giải

Tích phân

 

3

2

3

sin

cos 3sin

x

I dx

x x











có gái trị là:

Ta có:

 

3 3 3

2 2 2

3 3 3

sin sin sin

1 3cos 3sin

4 sin

4 cos sin

6

2 2

x x x

I dx dxI dx

x x

x

x x

  

   

  

  

   

 



 

 

 

 

 

  

.

Đặt

6 6

u x x u dx du

 

      

.

Đổi cận

3 6

3 2

x u

 



    







  





2 2 2

6 6 6

2 2

6 6

sin

sin .cos sin cos

1 3.sin cos

6

6 6

4sin 4sin 8 sin

1 3sin cos

8 1 cos sin

u

u u

I du du du

u u u

u u

du du

u u

  

 



 

  

 

 



 



 

  

 

 

 

 



 

 

  

 

Xét

2

1

2

6

3sin

1 cos

u

I du

u











.

Đặt





cos , 0; sin

t u u dt udu



    

.

Đổi cận

3

6 2

0

2

u t





   







  





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

0

0 0

1

2

3

3 3

2

2 2

3 3 1 1 3 1 3 3 2

n ln

1 2 1 1 2 1 2

3 2

dt t

I dt l

t t t t

 

   

 

      

 

   

 

 

 

.

Xét

2

6

cos

sin

u

I du

u









.

Đặt

sin , ; cos

2 2

t u u dt udu

 

 

    

 

 

.

Đổi cận

1

6 2

1

2

u t





    







  





.

1

2

1

2

1 1

3

I du

t t



 

    

 

 



.

 

1 2

1 3 3 2 3

ln

8 16 8

3 2

I I I

 



     

 

 

 

.

Chọn D

Câu 27. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết

 

2

0

3sin cos 11

ln2 ln3 ,

2sin 3cos 3

x x

dx b c b c Q

x x



 

   





. Tính

b

c

?

A.

22

3

. B.

22

3



. C.

22

3



. D.

22

13



.

Lời giải

Chọn C

Đặt:









2sin 3cos 2cos 3sin

3sin cos

2sin 3cos 2sin 3cos

m x x n x x

x x

x x x x

  





 









2 3 sin 3 2 cos

2sin 3cos

m n x m n x

x x

  





Đồng nhất hệ số ta có:

3

2 3 3

13

3 2 1 11

13

m

m n

n







 







 

  





 





.

Nên:

   

2 2

0 0

3 11

2sin 3cos 2cos 3sin

3sin cos

13 13

2sin 3cos 2sin 3cos

x x x x

x x

dx dx

x x x x

 

  





 

 

 

2 2

2

0

0 0

3 11 2cos 3sin 3 11 2cos 3sin

.

13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos

x x x x

dx x dx

x x x x

 



 

 

   

 

 

 

 

 

2

0

2sin 3cos

3 11 3 11

ln 2sin 3cos

2

26 13 2sin 3cos 26 13

0

d x x

dx x x

x x



 



    





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

3 11 11

ln2 ln3

26 13 13



   . Do đó:

11

11 26 22

13

.

3

13 3 3

26

b

c



 







  











.

Câu 28. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết

 

23

4 3

4

cos sin cos 1

d ln2 ln 1 3

cos sin cos

x x x

x a b c

x x x



 

   





, với

, ,

a b c

là các

số hữu tỉ. Giá trị của

abc

bằng

A.

0

. B.

2



. C.

4



. D.

6



.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

2

3 3

2 2 4

4 3

4 4

1 tan 1

cos sin cos 1

cos cos cos

d d

cos sin cos 1 tan

x

x x x

x x

x x x x

 

 



 

 

     

2

2 2 2

3

4

1 tan tan 1 tan 1 tan

d

1 tan

x x x x

x



    







 

2

3

2

4

1 tan 1 tan

1 tan d

1 tan

x x

x



  

 





 

23

2

4

1 tan

1 1 tan d

1 tan

x

x x

x



 



  

 



 



.

Đặt

1 tan

t x

 

ta được





2

d 1 tan d

t x x

 

, đổi cận

2, 1 3

4 3

x t x t

 

      

Ta được

Vì là hàm số chẵn nên

Xét tích phân

Đặt

Đổi cận:

1 2; 3 6

x u x u

     

.

Vậy

Câu 29. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 









2

4

1 cos sin cot

sin

x x x

F x dx

x

 





và

S

là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 

2

F x F



 



 

 

trên khoảng





0;4



. Tổng

S

thuộc khoảng

A.





6 ;9

 

. B.





2 ;4

 

. C.





4 ;6

 

. D.





0;2



.

Lời giải





f x

     

2 2

1 1

d 0 d d 8

a

f x x f x x f x x

 

   

  

   

3 3

1 1

2 d 2 d 3

f x x f x x

  

 

 

3

1

2 d 3

K f x x

 



d

2 d 2d d

2

u

u x u x x    

     

6 6 6

2 2 2

1 1

d d 3 d 6

2 2

K f u u f x x f x x

    

  

       

6 6 2 6

1 1 1 2

d d d d 8 6 14.

I f x x f x x f x x f x x



      

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn

Ta có:

 

















2 2 2

4 4 4

1 cos sin cot 1 cos sin 1 cos cot

sin sin sin

x x x x x x x

F x dx dx dx

x x x

   

  

  

Gọi





2

4

1 cos cot

sin

x x

A dx

x







và





2

4

1 cos sin

sin

x x

B dx

x







Ta có:









 

2 2

3

4 2

2 4

1

1 cos cot 1 2cot cot

cot 2cot . cot

sin sin

cot cot

.

2 2

x x x x

A dx dx x x d x

x x

C

 

    

 

   

 

 

  









 

2 2

2

4

2

1 cos sin 1 cos sin

sin

1 cos

x x x x

B dx dx

x

 

 



 

Đặt

cos

t x



, suy ra

sin .

dt x dx

 

. Khi đó:

 

       

2 2

2

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1

1 . 1 1 1

1

1 1 1

2 cos 1 cos 1

t t

B dt dt dt C

t t

t t t t

t

C

x x

 

 

 

         

 

 

 

 

   

 



 

 

  

 

 

 

  

Do đó:

 

2 4

1 1 1 cot cot

2 cos 1 cos 1 2 2

x x

F x A B C

x x

 

      

 

 

 

Suy ra:

 

2 4

1 1 1 cot cot

2 2 cos 1 cos 1 2 2

x x

F x F C C

x x



 

   

      

 

   

 

   

 

2 4

1 1

cot cot 0

cos 1 cos 1

x x

    

 

2 4

2 2 4

2cos cos cos

0

sin sin sin

x x x

   

Với điều kiện

sin 0

x



,

 

   

3

2 2 3

2

cos 0

*

cos

2 1 cos cos 1 cos cos 0

2 cos 0

sin

cos 0

1 17

2cos cos 2 0

cos

4

x

x x x x

x

x x

x











 



    

  



















 







   









Theo giả thiết





0;4

x





nên

3 3

; ; 2 ; 2

2 2 2 2

x x x x

   

 

     

;

; 2

x x

  

  

;

; 2

x x

  

  

.

Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn

9



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 30. Tích phân

 

2

3

cos sin

cos 1 cos

x

x x

I dx

e x x











có giá trị là:

A.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





. B.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





.

C.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





. D.

3 3

2

3

2

ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





.

Lời giải

Tích phân

 

2

3

cos sin

cos 1 cos

x

x x

I dx

e x x











có giá trị là:

Ta biến đổi:

 

2

3

. cos sin

cos 1 cos

x

x x

e x x

I dx

e x e x











.

Đặt





cos cos sin

x x

t e x dt e x x dx

   

.

Đổi cận

3

2

3

1

3 2

2 1

3 2

x t e





  







   





.

 

2

3

1

3 3

21

2

3 3

2

2 2

1

3 3 3

1

2

1

ln ln ln ln

1 1

2 2 2

e

e e

t e e

I dt

t t t

e e e



 

  



 



 

 

 

    

 

 

 

  



.

Chọn A

Câu 31. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết

2018

2018 2018

0

sin

d

sin cos

a

x x

x

x x b









, trong đó

a

,

b

là

các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức

2 3

P a b

  là

A.

32

P



. B.

194

P



. C.

200

P



. D.

100

P



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

2018

2018 2018

0

sin

d

sin cos

x x

I x

x x









. Đổi biến

t x



 

, ta có









   

2018

2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0 0 0

sin

sin sin

d d d

sin cos sin cos sin cos

I

t t

t t t

I t t t

t t t t t t

  

 



 

 

  

    

  



.

Suy ra

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2018

2018 2018

0

sin

d 1

2 sin cos

t

I t

t t









.

Đặt

2018

2

2018 2018

0

sin

d

sin cos

t

J t

t t









. Đổi biến

2

u t



 

, ta có

2018 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

2 2 2 2

cos sin sin

d 1 d 1d d

sin cos sin cos sin cos

v v t

J v v v t

v v v v t t

   

 

    

 

  

 

   

.

Suy ra

 

2018 2018 2018

2

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0 0

2

sin sin sin

d d d 2

sin cos sin cos 2 sin cos 2

t t t

t t t t t t



 



 

   

  

  

.

Từ





1

và





2

suy ra

2

4

I





.

Vậy

2 3 2 3

2 3 2.2 3.4 200

P a b     .

Câu 32. Xét tích phân

4

2 2

0

1

3sin 2cos 2

A dx

x x





 



. Bằng cách đặt

tan ,

t x



tích phân A được biến đổi

thành tích phân nào sau đây.

A.

1

2

0

1

4

dt

t 



. B.

1

2

0

1

4

dt

t 



. C.

1

2

0

1

2

dt

t 



. D.

1

2

0

1

2

dt

t 



.

Lời giải:

Ta có:

2 2 2 2

2

3sin 2cos 2 cos 3tan 2

cos

x x x x

x

 

    

 

 









2 2 2 2 2

cos 3tan 2 2 1 tan cos tan 4

x x x x x

 

     

 

Vậy:

 

4

2 2

0

1

cos tan 4

A dx

x x









, lúc này đặt

tan

t x



và đổi cận ta đc:

1

2

0

4

dt

A dx

t







.

Chọn A

Câu 33. Đặt

tan

2

x

t  thì

2

6

0

1

cos

2

I dx

x







được biến đổi thành

 

1

0

2

f t dt



. Hãy xác định





f t

:

A.





2 4

1 2 .

f t t t

  

B.





2 4

1 2 .

f t t t

  

C.





2

1 .

f t t

 

D.





2

1 .

f t t

 

Lời giải:

2

2 2

2

2 2 2

0 0

1 1 1

. 1 tan .

2

cos cos cos

2 2 2

x

I dx dx

x x x

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

2

1 1

.

2

cos

tan

2

0 0; 1

2

dt dx

x

t

x t x t









 





     





Vậy:

   

 

1 1

2

2 2 4 2 4

0 0

1 .2 2 1 2 1 2

I t dt t t dt f t t t

        

 

Chọn B

Câu 34. Biết

26

2

6

cos 3

d

1

x x

x a

b c

x x



 



  

 



với

a

,

b

,

c

,

d

là các số nguyên. Tính

M a b c

  

.

A.

35

M



. B.

41

M



. C.

37

M

 

. D.

35

M

 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

6

2

6

cos

d

1

x x

x

x x





 



0

6

2 2

0

6

cos cos

d d

1 1

x x x x

x x

x x x x





 

   

 

I J

 

Xét

0

2

6

cos

d

1

x x

I x

x x







 



. Đặt

t x

 





m

C

; Đổi cận:

0 0

x t

  

;

6 6

x t

 

   

.

Suy ra

0

2

6

cos

d

1

x x

I x

x x







 







 

0

2

6

cos

d

1

t t

t

t t



 

 

  



6

2

0

cos

d

1

t t

t

t t







 



6

2

0

cos

d

1

x x

x

x x







 



.

Khi đó

6

2

6

cos

d

1

x x

x

x x





 



6 6

2 2

0 0

cos cos

d d

1 1

x x x x

x x

x x x x

 



 

   

 

6

2 2

0

1 1

cos d

1 1

x x x

x x x x



 

 

 

   

 



6

2

0

2 cos d

x x x



 



.

6

2

6

cos

d

1

x x

x

x x





 



 

2

6

0

2 sin 4 cos 4sin

x x x x x



   

2

3

2

36 3

 

  

 

.

Khi đó

2

a



;

36

b

 

;

3

c

 

.

Vậy

35

M a b c

   

.

Câu 35. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho





f x

là hàm số chẵn

trên đoạn





;

a a



và

0

k



. Giá trị tích phân





d

1 e

a

kx

a

f x

x







bằng

A.

 

0

d

a

f x x



. B.

 

d

a

f x x





. C.

 

2 d

a

f x x





. D.

 

0

2 d

a

f x x



.

Lời giải

Ta có













0

d d d

1 e 1 e 1 e

a a

kx kx kx

a a

f x f x f x

x x x

 

 

  

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Xét tích phân





0

d

1 e

kx

a

f x

x







.

Đặt

t x x t

    

d d d d

t x t x

     

Đổi cận:

x a t a

   

0 0

x t

  

Khi đó,









 

0 0

d d

1 e

kx

k t

a a

f x f t

x t



 



 





0

d

1 e

a

kt

f t

t

















0 0

e . e .

d d

1 e 1 e

kt kx

a a

kt kx

f t f x

x x

 

 

 

Do đó,













0 0

e .

d d d

1 e 1 e 1 e

kx

a a a

kx kx kx

a

f x f x f x

x x x



 

  

  









 

0 0

e 1

d d

1 e

kx

a a

kx

f x

x f x x



 



 

Câu 36. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 

e

2

1

2ln 1

d ln

ln 2

x a c

x

b d

x x



 





với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương, biết

;

a c

b d

là các phân số tối giản. Tính giá trị

a b c d

  

?

A.

18

. B.

15

. C.

16

. D.

17

.

Lời giải

Đặt

d

ln d

x

t x t

x

   .

Đổi cận:

1 0; e 1

     

x t x t

. Khi đó:

   

e 1

2 2

1 0

2ln 1 2 1

d d

ln 2 2

x t

I x t

x x t

 

 

 

 

 

1

2

0 0

3 2 3 9 1

d 2ln 2 ln

2 2 4 2

2

t t

t

 



 

      

 

 

 



 



.

Vậy

9 4 1 2 16

a b c d

       

.

Câu 37. (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết

1

3 3

0

2 e 2 1 1 e

d .ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số nguyên dương. Tính tổng

P m n p

  

A.

5

P



. B.

6

P



. C.

8

P



. D.

7

P



.

Lời giải





3

1 1 1

3 3

3

0 0 0

e.2 2

2 e 2 2

d d d

e.2 e.2 e.2

x x

x x x

x

x x

x x x x



  

 

 

 

  

 

  

 

  

1

4

0

1 1 1 e

.ln e.2 .ln 1

4 eln 2 4 e.ln 2 e

x



     



.

Vậy

4

m



,

2

n



,

1

p



nên

7

P m n p

   

.

Câu 38.

 

e

2

1

2ln 1

d ln

ln 2

x a c

x

b d

x x



 





với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương, biết

;

a c

b d

là các phân số tối

giản. Tính giá trị

a b c d

  

?

A.

18

. B.

15

. C.

16

. D.

17

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Đặt

d

ln d

x

t x t

x

   .

Đổi cận:

1 0; e 1

     

x t x t

. Khi đó:

   

e 1

2 2

1 0

2ln 1 2 1

d d

ln 2 2

x t

I x t

x x t

 

 

 

 

 

1

2

0 0

3 2 3 9 1

d 2ln 2 ln

2 2 4 2

2

t t

t

 



 

      

 

 

 



 



.

Vậy

9 4 1 2 16

a b c d

       

.

Câu 39. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho





 

3 2

3

1

e

3 1 ln 3 1

d . .ln 1

1 l

e e

n

x x x

x a b c

x x

  

   





với

, ,

a b c

là các số nguyên và

ln

e

1



. Tính

2 2 2

P a b c

  

.

A.

9

P



. B.

14

P



. C.

10

P



. D.

3

P



.

Lời giải

Ta có





     

3 2

2

2 3

1 1

e e e

1

e

1

3 1 ln 3 1

3 1 ln 1 ln 1 ln

d d 3 d d 1

1 ln 1 ln 1 ln

e

x x x

x x x x x

I x x x x x A

x x x x x x

  

   

      

  

   

Tính





1

e

1 ln

d

1 ln

x

A x

x x









. Đặt





1 ln d 1 ln d

t x x t x x

    

.

Đổi cận:

e

1

e

1x t

x t

  





   



. Khi đó

e1

1

e1

1

d

ln ln( 1)

e

t

A t

t



   



.

Vậy

3

1 ln( 1)

e eI

   

2 2 2

1

1 3

1

a

b P a b c

c







       





 



.

Câu 40. Biết rằng:

ln 2

0

1 1 5

d ln 2 ln2 ln .

2 1 2 3

a

x

x x b c

e

 

   

 



 



Trong đó

, ,

a b c

là những số nguyên. Khi

đó

S a b c

  

bằng:

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

5

.

Lời giải

Chọn C

ln 2 ln 2 ln2

0 0 0

1 1

d d d

2 1 2 1

x x

x x x x x

e e

 

  

 

 

 

  

.

Tính

ln2

ln 2

2 2

0

ln 2

d

2 2

x

x x  



Tính

ln2

0

1

d

2 1

x

e 



Đặt

d

2 1 d 2 d d

1

x x

t

t e t e x x

t

     



. Đổi cận:

ln 2 5, 0 3

x t x t

     

.

 

ln 2 5 5

5

3

0 3 3

1 d 1 1 5

d d ln 1 ln ln4 ln5 ln2 ln3 ln2 ln

2 1 1 1 3

x

t

x t t t

e t t t t

 

           

 

  

 

  

.

ln 2

2

0

1 1 5

d ln 2 ln2 ln 2, 1, 1

2 1 2 3

x

x x a b c

e

 

        

 



 



Vậy

4

a b c

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 41. Cho





 

2

1

0

e

d .e ln e

e

x

x x

x a b c

x





  





với

a

,

b

,

c





. Tính

2

P a b c

  

.

A.

1

P



. B.

1

P

 

. C.

0

P



. D.

2

P

 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có:





2

1

0

e

d

e

x

x x

I x

x















1

0

1 e e

d

e 1

x x

x

x x

x









.

Đặt

e 1

x

t x

 







d 1 e d

x

t x x

 

.

Đổi cận:

0 1

x t

  

;

1 e 1

x t

   

.

Khi đó:

e 1

1

d

t

I t

t









e 1

1

1 d

t



 

 

 

 



 

e 1

ln

1

t t



 





e ln e 1

  

.

Suy ra:

1

a



,

1

b

 

,

1

c



.

Vậy:

2 2

P a b c

    

.

Câu 42. Biết





2

1

0

5 6 e

e

d e ln

2 e 3



 



  

 



x

x x

a c

x a b

x

với

a

,

b

,

c

là các số nguyên và

e

là cơ số của

logarit tự nhiên. Tính 2

  

S a b c

.

A.

10



S . B.

0



S . C.

5



S . D.

9



S .

Lời giải

Chọn D

Ta có :





  

 

2

1 1

0 0

5 6 e

2 3 e

d d

2 e 2 e 1

x

x x

I x x

x x



 

 

   

 

.

Đặt





2 e

 

x

t x





d 3 e d

  

x

t x x

. Đổi cận :

0 2

  

x t

,

1 3e

  

x t .

 

3e 3e

3e

2

2 2

d 1 3e 1

1 d ln 1 3e 2 ln

1 1 3



 

        

 

 

 

 

t t

I t t t

t t

.

Vậy

3



a ,

2



b ,

1



c

9

 

S .

Câu 43.

1

3 3

0

2 e .2 1 1 e

d ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số nguyên dương. Tính

tổng

S m n p

  

.

A.

6

S



. B.

5

S



. C.

7

S



. D.

8

S



.

Lời giải

Chọn C

Ta có

1 1 1

3 3

3

0 0 0

2 e .2 2 1 2 1

d d d

e.2 e.2 4 e.2 4

x x x x

x x x

x x

x x x x J



  

 

 

     

 

  

 

  

.

Tính

1

0

2

d

e.2

x

J x









. Đặt

1

e.2 e.2 ln 2d d 2 d d

e.ln 2

x x x

t x t x t



     

.

Đổi cận: Khi

0

x



thì

e

t



 

; khi

1

x



thì

2e

t



 

.

1 2e

2e

e

0 e

2 1 1 1 1 e

d d ln ln 1

e.2 eln2 eln2 eln2 e

x

J x t t

t



 



 

    

 

 

 

 

.

Khi đó

1

3 3

0

2 e .2 1 1 e

d ln 1

e.2 4 eln 2 e

x x

x

x x

x



 

 

 

  

 

 

 



4

m

 

,

2

n



,

1

p



. Vậy

7

S



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 44. Biết





3 2

1

2 3

0

1

ln 3 ln

2

3

1 27 27 3 3

9

x x x x

I dx ae e e

x

 

 

 

 

     



, a là các số hữu tỉ. Giá

trị của a là:

A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6.

Lời giải

Biết





3 2

2 3

1

ln 3 ln

2

3

1 27 27 3 3

9

e

x x x x

I dx ae e e

x

 

 

 

 

     



. Giá trị của a là:

Ta có:

 

3 2

1 1

1

ln 3 ln

ln 3 3ln

1

3

e e

x x x x

I dx dx

x x

 

 

 

 

 

 

 

Đặt

3 2

3

ln 3 ln 1

t x x dt x

x

    

Đổi cận

1 3

x t

x e t e

  





   



.





 









1 3

3

3 2 3

3

2 2 2

1 3 3 3 1 9 27 27 3 3 9

3 3 9

e

I tdt t e e e e a



            



.

Chọn A

Câu 45. Cho tích phân





2

4 2

1 ln 1

ln2

ln 2

e

x x

ae be

I dx c d

x x

 



   



. Chọn phát biểu đúng nhất:

A.

a b c d

  

B.

2

1

a b c

d

  

C. A và B đúng D. A và B sai

Lời giải

Chọn B

Ta có





2 2

2 2 2

2

1 ln 1

ln 1 ln

ln ln

1 1 1 1

ln ln

e e

e e e

x x

x x x

I dx dx

x x x x

x dx x dx dx

x x x x x x

 

 

   

     

   

   

 

  

Xét

2

2 4 2

1

ln 1

2 2

e

x e e

M x dx x

x

 



 

     

 

 



Xét

2

1

ln

e

N dx

x x





, đặt

ln

t x



, suy ra

1

dt dx

x



.

Đối cận

1

x e t

  

và

2

x e t

  

ta được

 

2 2

11

ln ln 2 ln1 ln 2

dt

N t

t

    



.

Vậy

4 2

1 ln 2

2

e e

I



  

.

Do đó

1

a b c d

    

. Ta chọn phương án B.

Câu 46. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

1

2

2 .cos

, ,

1 2

x

x a

dx a b

b





 







. Khi đó

.

a b

bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

1

2

. B. 0. C. 2. D. 1

Lời giải

Ta có:

   

 

1

2 2 2

0 0

2

2 cosx 2 cos 2 cos

1

1 2

1 2 .2 1 2 .2

x x x

x

x x

dx dx dx

  





 



 

  

Đặt

x t

 

ta có

0

x



thì 0,x

2

t



 

thì

2

t





và

dx dt

 

 

   

2 2 2 2

0 0 0 0

2 cos

2 cos cos cos

1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2

t

x

x t t x

t

x t x

dx d t dt dx

   



     

   

   

Thay vào (1) có

   

 

1

2 2 2 2 2

2

0

0 0 0 0

2

1 2 cos

2 cosx 2 cos cos cos sin 1

1 2 2 2 2

1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2

x

x x

x

x x x

x

x x x x

dx dx dx dx dx

    







     



  

    

Vậy

1

2

2 cosx 1

1 2 2

x

dx











Chọn C

Câu 47. Tính tích phân

2

2016

2

d .

1

x

I x

e









A.

0

I



. B.

2018

2

2017

I 

. C.

2017

2

2017

I 

. D.

2018

2

2018

I 

.

Lời giải.

Chọn C

Đặt

d d

x t x t

    

. Đổi cận: Với

2 2; 2 2

x t x t

       

Khi đó:

2 2

2016 2016

2 2

d

1 1

x

t x

t x e x

I t

e e



 

 

 

, suy ra

2

2017 2018

2016

2

2 d

2017 2017

x

I x x



  



2017

2

2017

I 

.

Câu 48. Biết tích phân

2

22

2

1 .

1 2 8

x

x a b

dx





 







trong đó

,a b





. Tính tổng

a b



?

A. 0. B. 1. C. 3. D. -1

Lời giải

2 2 2

0

2 2 22 2 2

2

0 0

2 2

1 1 1

1

1 2 1 2 1 2

x x x

I dx dx dx x dx

 

  

    

  

   

Đặt

sin

x t



2

8

I





  .

Chọn C

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

Cho hàm số

f

liên tục và có đạo hàm trên đoạn

[ ; ].

a b

Giả sử hàm số

(t)

x





có đạo hàm và liên

tục trên đoạn

(*)

[ ; ]

 

sao cho

( ) , ( )

a b

   

 

và

( )

a t b



 

với mọi

[ ; ].

t

 



Khi đó:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

( ) ( ( )) '( ) .

b

a

f x dx f t t dt





 



 

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

1.

2 2

a x



: đặt

| |sin ; ;

2 2

x a t t

 

 

  

 

 

2.

2 2

x a



: đặt

| |

; ; \{0}

sin 2 2

a

x t

t

 

 

  

 

 

3.

2 2

x a



:

| | tan ; ;

2 2

x a t t

 

 

  

 

 

4.

a x





hoặc

a x





: đặt

.cos2

x a t



Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính

tích phân

3

2

0

1

x dx

I

x







thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân

3

0

2

1

x dx

I

x







thì nên đổi biến

dạng 1.

Câu 49. Biết rằng

2

4

1

d

6

6 5

a b

x

x x







  



trong đó

a

,

b

là các số nguyên dương và

4 5

a b

  

.

Tổng

a b



bằng

A.

5

. B.

7

. C.

4

. D.

6

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

2 2

4 4

1 1

d d

6 5

4 3

a b a b

x x

x

 



  

 

 

.

Đặt

3 2sin

x t

 

,

;

2 2

t

 

 

 

 

 

,

d 2cos d

x t t



.

Đổi cận

4

x



6

t



 

,

x a b

 

3

arcsin

2

a b

t m

 

  

.

2

6 6

2cos

d d

4 4sin

m m

t

t t

t

 





 

6

m

t m



  

.

Theo đề ta có

m

6 6

 

 

3

arcsin

2 3

a b



 

 

3 3

2 2

a b 

 

3 3

a b

   

.

Do đó

3

a



,

3

b



,

6

a b

 

.

Câu 50. Tích phân

1

2

0

3 4

3 2

x

I dx

x x





 



có giá trị là:

A.

7

4 3 8

6

I



  

. B.

7

4 3 8

6

I



  

.

C.

7

4 3 8

6

I



  

. D.

7

4 3 8

6

I



  

.

Lời giải

Tích phân

1

2

0

3 4

3 2

x

I dx

x x





 



có giá trị là:

Ta có:





2

3 3 ' 3 2

x x x

   

và





3 4 9 2 3 2

x x

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông









1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 0

7 2 2 2 2 2 2

3 4 7

3 2 3 2 3 2 3 2

x x

x

I dx dx dx dx

x x x x x x x x

  



    

       

   

.

Xét

 

1 1

1

2 2

0 0

7 7

3 2

4 1

I dx dx

x x

x

 

 

 

 

.

Đặt

1 2sin , ; 2cos

2 2

x t t dx tdt

 

 

     

 

 

.

Đổi cận

0

6

1 0

x t





   







  



.

0

1

2

6

14cos 7

6

4 4sin

t

I dt

t





  





.

Xét





1

2

0

2 2 2

3 2

x

I dx

x x





 



.

Đặt





2

3 2 2 2

t x x dt x dx

     

.

Đổi cận

0 3

1 4

x t

  





  



.

 

4

1

2

3

2

4 4 2 3

I dt t

t

 

    

 

 



.

1 2

7

4 3 8

6

I I I



    

.

Chọn C

Câu 51. Cho

1

2

0

1 2 1

I x x dc a b



    



với

,

a b R



. Giá trị

a b



gần nhất với

A.

1

10

B. 1 C.

1

5

D.

2

Lời giải

Đáp án: C

Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh.

Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.

Đặt

sin , ;

2 2

x t t

 

 

  

 

 

. I được viết lại là

 

6 6 6

2

0 0 0

1 2sin cos .cos cos sin .cos (cos sin )cos

I t t tdt t t tdt t t tdt

  

     

  

6 6 6 6

2

0 0 0 0

1 1

sin cos cos sin2 (2 ) (cos2 1) (2 )

4 4

t tdt tdt td t t d t

   



     

   

6 6

0 0

cos2 sin2 2 3 1

4 4 12 8

t t t

I

 



 

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

3 1

0,175

12 8





 

.

Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng máy

tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi giải

quyết các bài toán này.

Câu 52. Tích phân

  

3

5

2

1 3

I x x dx

  



có giá trị là:

A.

3

6 4

I



  . B.

3

3 8

I



  . C.

3

6 8

I



  . D.

3

3 8

I



  .

Lời giải

Tích phân

  

3

5

2

1 3

I x x dx

  



có giá trị là:

Ta có:

    

3 3 3

2

5 5 5

2 2 2

1 3 3 2 1 2

I x x dx x xdx x dx

         

  

.

Đặt

2 sin , ; cos

2 2

x t t dx tdt

 

 

     

 

 

.

Đổi cận

5

2 6

3

2

x t





  







  





.

2 2 2

2

2 2

6

6 6 6

1 cos2 1 1 3

1 sin .cos cos sin2

2 2 2 6 8

t

I t tdt tdt dt x t

  



  





 

        

 

 

  

.

Chọn C

Câu 53. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





4

tan cos



f x x

,

 



x . Tính

 

1

0

d





I f x x

.

A.

2

8





. B.

1

. C.

2

4





. D.

4



.

Lời giải

Chọn A

Đặt

tan



t x

. Ta có

2 2

2

1

1 tan 1

cos

   

x t

x

 

4

2 2

1 1

cos

1 1

   

 

x f t

t t

 

1 1

2

0 0

1

d d

1

 



 

I f x x x

x

.

Đặt

tan ,

2 2

x u x

 



 

  

 

 





2

d 1 tan d

x u u

   ; đổi cận:

0 0

x u

  

;

1

4

x u



  

.

 

2

4 4 4

4

2

2 2

2

0 0 0

0

2

1 tan 1 1 1 1 2

du . d cos d sin2

cos 2 4 8

1

1 tan

cos

u

I u u u u u

u



 

 

 

     

 

 

 



 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 54. Tính tích phân

 

6 2

4 23

4

1

4 3 2

d 3 4

1 8

x x

x a b c

x





  

   





. Với

a

,

b

,

c

là các số nguyên.

Khi đó biểu thức

2 4

a b c

 

có giá trị bằng

A.

20

. B.

241

. C.

196

. D.

48

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

6 2 6 2 6 2 6 2

4 2 2 2

2 2 2 2

4 4 4

1 1 1 1

4 3 1 1

d 4 d 4 d d

1 1 1

x x x x

x x x x I J

x x x

   

 

    

       

 

  

 

   

.

Tính

6 2

2

6 2

2

1

4 d 4 2 6 2 2 4

I x x



       



.

Tính

6 2 6 2 6 2

2

2 2 2

2 2

2

4

2

1 1 1

2

1 1

1

d d d .

1

2

x

x x

J x x x

x

  

 



  



 



 

 

 

  

Đặt

2

1 1

1 d

t x dt x

x x

 

    

 

 

. Khi

1 0

6 2

2

x t

  









  





.

Khi đó

 

2

0

d

2

t

J

t







. Đặt





2

2 tan d 2 1 tan d

t u t u u

    . Khi

0 0

2

4

t u



  







  





.

Suy ra

 

2

4 4

4

2

0 0

0

2 1 tan

2 2 2

du du

2 2 8

2 1 tan

u

J u

u

 





   



 

.

Vậy

 

6 2

4 22

4

1

16

4 3 2

d 16 3 16 4

1

1 8

a b

x x

x

c

x





  



  

     











.

Vậy

2 4

241

a b c  

.

Câu 55. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



liên tục trên

đoạn





0;4

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 6 2 4

xf x f x x

  

. Tính tích phân

 

4

0

d

f x x



.

A.





5

I

. B.





2

I

. C.





20

I

. D.





10

I

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

2 2

2 2 2 2

1 2

0 0

4 6 2 4 4 6 2 d 4 d 4 6

xf x f x x xf x f x x x x I I I

         

 

.

Trong đó

 

   

 

2 2 4

2 2 2

1

0 0 0

1 1

d = d d

2 2

I xf x x f x x f x x

 

  

 

     

2 2 4

2

0 0 0

1 1

2 d = 2 d 2 d

2 2

I f x x f x x f x x

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

     

2

2 2

2 2 2

0 0 0

4 d 2 4 4sin .cos d 4 cos d

I x x t t t t t

 

    

  

 

2

0

2 1 cos 2 d 2 sin 2t t t t



    



.

Khi đó ta có hệ

 

4

1 2

0

1

d

4 6

10 2 10

I I

I I f x x

I I

 







    



 





hay

 

4

0

d

5

f x x







.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1

Câu 1. Cho

 

2

1

1 d 2

f x x x

 



. Khi đó

 

5

2

d

I f x x





bằng

A.

2

. B.

1

. C.

1



. D.

4

.

Lời giải

Chọn D

Đặt

2

1 d 2 d

t x t x x

   

Đổi cận:

1 2

x t

  

;

2 5

x t

  

.

Khi đó:

     

5 5 5

2 2 2

1 1

2 d d d 4.

2 2

f t t f x x I f x x

    

  

.

Câu 2. Cho hàm số





f x

liên tục trên





1;



và

 

3

0

1 d 8

f x x

 



. Tích phân

 

2

1

d

I xf x x





bằng:

A.

16

I



. B.

2

I



. C.

8

I



. D.

4

I



Lời giải

Chọn D

 

3

0

1 d 8

I f x x

  



. Đặt

2

1 1 2d d

t x t x t t x

      

;

đổi cận:

0 1

x t

  

;

3 2

x t

  

.

Khi đó

 

2

1

2 d 8

I tf t t

 



 

2

1

d 4

tf t t

 



. Vậy

 

2

1

d 4

I xf x x

 



.

Câu 3. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho

 

2

1

d 2

I f x x

 



. Giá

trị của





2

0

sin . 3cos 1

d

3cos 1

x f x

J x

x











bằng

A. 2. B.

4

3



. C.

4

3

. D.

2



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

3sin

3cos 1 d d

2 3cos 1

x

t x t x

x



   



.

Đổi cận:

0 2

x t

  

;

1

2

x t



  

.

Khi đó:

     

1 2 2

2 1 1

2 2 2 2 4

d d d .2

3 3 3 3 3

J f t t f t t f x x

     

  

.

Câu 4. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và có

   

1 3

0 0

d 2; d 6

f x x f x x

 

 

. Tính

 

1

2 1 d

I f x x



 



.

A.

2

3

I



. B.

4

I



. C.

3

2

I



. D.

6

I



.

Lời giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Có

 

   

1

1 1

2

1 2

1

1 1

2

2 1 d 1 2 d 2 1 d

I f x x f x x f x x I I

 

       

  

Tính

 

1

2

1

1 2 d

I f x x



 



.Đặt

1 2 d 2 d

u x u x

    

. Đổi cận:

1 3

1

0

2

x u

   







  





.

   

0 3

1

3 0

1 1

du du 3

2 2

I f u f u



   

 

Tính

 

1

2

1

2

2 1 d

I f x x

 



. Đặt

2 1 d 2 d

u x u x

   

. Đổi cận:

1 1

1

0

2

x u

  







  





.

   

1 1

2

0 0

1 1

du du 1

2 2

I f u f u

   

 

Vậy

1 2

4

I I I

  

.

Câu 5. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;4

và

 

2

0

d 1

f x x





;

 

4

0

d 3

f x x





. Tính

 

1

3 1 d

f x x





.

A.

4

. B.

2

. C.

4

3

. D.

1

.

Lời giải

Chọn C

 

   

1 1/3 1

1 1 1/3

3 1 d 1 3 d 3 1 d

f x x f x x f x x

 

    

  

.

       

1/3 1

1 1/3

1 1

1 3 d 1 3 3 1 d 3 1

3 3

f x x f x x



      

 

.

     

0 2

4 0

1 1

d d

3 3

f t t f t t

  

 

 

1 1 4

3 .1

3 3 3

    

.

Câu 6. Cho





f x

là hàm số liên tục trên



và

 

1

0

d 4

f x x





,

 

3

0

d 6

f x x





. Tính

 

1

2 1 d

I f x x



 



.

A.

3

I



. B.

5

I



. C.

6

I



. D.

4

I



.

Lời giải

Chọn B

Đặt

2 1

u x

 

1

d d

2

x u

 

. Khi

1

x

 

thì

1

u

 

. Khi

1

x



thì

3

u



.

Nên

 

3

1

d

2

I f u u







   

0 3

1 0

1

d d

2

f u u f u u



 

 

 

 

 

   

0 3

1 0

1

d d

2

f u u f u u



 

  

 

 

 

.

Xét

 

1

0

d 4

f x x





. Đặt

x u



d d

x u

  

.

Khi

0

x



thì

0

u



. Khi

1

x



thì

1

u

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Nên

 

1

0

4 d

f x x

 



 

1

0

d

f u u



 



 

0

1

d

f u u



 



.

Ta có

 

3

0

d 6

f x x





 

3

0

d 6

f u u

 



.

Nên

   

0 3

1 0

1

d d

2

I f u u f u u



 

  

 

 

 

 

1

4 6 5

2

  

.

Câu 7. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa

 

1

0

2 d 2

f x x





và

 

2

0

6 d 14

f x x





. Tính

 

2

5 2 d

f x x







.

A.

30

. B.

32

. C.

34

. D.

36

.

Lời giải

Chọn B

+ Xét

 

1

0

2 d 2

f x x





.

Đặt

2 d 2d

u x u x

  

;

0 0

x u

  

;

1 2

x u

  

.

Nên

 

1

0

2 2 d

f x x





 

2

0

1

d

2

f u u





 

2

0

d 4

f u u

 



.

+ Xét

 

2

0

6 d 14

f x x





.

Đặt

6 d 6d

v x v x

  

;

0 0

x v

  

;

2 12

x v

  

.

Nên

 

2

0

14 6 d

f x x





 

12

0

1

d

6

f v v





 

12

0

d 84

f v v

 



.

+ Xét

 

2

5 2 d

f x x







   

0 2

2 0

5 2 d 5 2 d

f x x f x x



   

 

.

 Tính

 

0

1

2

5 2 d

I f x x



 



.

Đặt

5 2

t x

 

.

Khi

2 0

x

  

,

5 2

t x

  

d 5d

t x

  

;

2 12

x t

   

;

0 2

x t

  

.

 

2

1

12

1

d

5

I f t t







   

12 2

0 0

1

d d

5

f t t f t t

 

 

 

 

 

 

1

84 4 16

5

  

.

 Tính

 

2

1

0

5 2 d

I f x x

 



.

Đặt

5 2

t x

 

.

Khi

0 2

x

 

,

5 2

t x

 

d 5d

t x

 

;

2 12

x t

  

;

0 2

x t

  

.

 

12

2

1

d

5

I f t t





   

12 2

0 0

1

d d

5

f t t f t t

 

 

 

 

 

 

1

84 4 16

5

  

.

Vậy

 

2

5 2 d 32

f x x



 



.

Câu 8. Cho tích phân

 

2

0

cos . sin 8

I x f x dx

 





. Tính tích phân

 

2

0

sin . cos

K x f x dx







.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

8

K

 

. B.

4

K



. C.

8

K



. D.

16

K



.

Lời giải:

 

2

0

cos . sin

I x f x dx







Đặt

2

t x

 



dt dx

  

Đổi cận:

     

0

2 2

0 0

2

cos . sin . sin . cos . sin . cos .

2 2

I t f t dt t f x dt x f x dt

 

   

      

   

 

   

 

  

 



 

(Tích phân

xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)

K



8

K I

  

Chọn C

Câu 9. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









2 3

f x f x



, x

 



. Biết rằng

 

1

0

d 1

f x x





.

Giá trị của tích phân

 

2

1

d

I f x x





bằng bao nhiêu?

A.

5

I



. B.

3

I



. C.

8

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn A

Xét tích phân

 

2

0

d

J f x x





, đặt

2 d 2d

x t x t

  

.

Với

2 1

x t

  

,

0 0

x t

  

.

Ta có

   

1 1

0 0

2 2d 2 2 d

J f t t f t t

 

 

   

1 1

0 0

2 3 d 6 d

f t t f t t

  

 

 

1

0

6 d 6

f x x





.

Mặt khác, ta có

     

2 1 2

0 0 1

d d d

J f x x f x x f x x

  

  

       

2 2 1 1

1 0 0 0

d d d d 5

I f x x f x x f x x J f x x

      

   

.

Câu 10. Cho hàm số





y f x



liên tục và có đạo hàm trên



thỏa mãn





2 2

f



;

 

2

0

d 1

f x x





. Tính

tích phân

 

4

0

d

I f x x







.

A.

10

I

 

. B.

5

I

 

. C.

0

I



. D.

18

I

 

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

t x



, ta có:

2

t x



và

2 d d

t t x



. Khi

0 0

x t

  

;

4 2

x t

  

.

 

4

0

d

I f x x







 

2

0

2 d

tf t t







.

Đặt





2 ; d d

u t v f t t



 

ta được:

d 2d

u t



;





v f t



.

Khi đó:

 

2

0

2 2 d

I tf t f t t

 







4 2 2.1

f 





4. 2 2 10

    

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 11. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





16

1

d 6

f x

x





và

 

2

0

sin cos d 3

f x x x







. Tính

tích phân

 

4

0

d

I f x x





.

A.

2

I

 

. B.

6

I



. C.

9

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn B

Xét





16

1

d 6

f x

I x

x

 



, đặt

d

2

x

x t t

x

  

Đổi cận:

1 1

x t

  

;

16 4

x t

  

 

4

1

2 d 6

I f t t

 



 

4

1

6

d 3

2

f t t

  



.



 

2

0

sin cos d 3

J f x x x



 



, đặt

sin cos d d

x u x x u

  

Đổi cận:

0 0

x u

  

;

1

2

x u



  

 

1

0

d 3

J f u u

 



Vậy

     

4 1 4

0 0 1

d d d 3 3 6

I f x x f x x f x x

     

  

.

Câu 12. Cho





f x

liên tục trên



thỏa





9

1

d 4

f x

x





và

 

2

0

sin cos d 2

f x x x







. Tính

 

3

0

d

I f x x





.

A.

10

I



. B.

6

I



. C.

4

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn C

Ta có:





9

1

d 4

f x

x





, đặt

t x



2

t x

 

2 d d

t t x

 

đổi cận

1 1

x t

  

,

9 3

x t

  

Do đó ta có:





3

1

2 dt 4

f t

t





 

3

1

dt 2

f t

 



(1)

Ta có:

 

2

0

sin cos .d 4

f x x x







, đặt

sin

t x



d cos .d

t x x

 

đổi cận

0 0

x t

  

,

1

2

x t



  

Do đó ta có:

 

2

0

sin cos .d 2

f x x x







 

1

0

d 2

f t t

 



(2)

Từ (1) và (2) ta có:

   

3 3

0 0

d d 4.

f x x f t t

 

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 13. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





2 1

ln

f x

x

f x

x



 

. Tính tích phân

 

4

3

d

I f x x





.

A.

2

3 2 ln 2

I  

. B.

2

2ln 2

I



. C.

2

ln 2

I



. D.

2ln2

I



.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

4

1

d

f x x







4

1

2 1

ln

d

f x

x

 



 

 

 

 







4 4

1 1

2 1

ln

d d

f x

x

x x

x



 

 

.

Xét





4

1

2 1

d

f x

K x

x







.

Đặt

2 1

x t

 

1

2

t

x



 

d

x

t

x

 

.

 

3

1

d

K f t t

 



 

3

1

d

f x x





.

Xét

4

1

ln

d

x

M x

x





 

4

1

ln d ln

x x





4

2

1

ln

2

x

 

2

2 ln 2

.

Do đó

   

4 3

2

1 1

d d 2ln 2

f x x f x x 

 

 

4

2

3

d 2ln 2

f x x 



.

Câu 14. Cho và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt .

Ta có

.

Câu 15. Cho hàm





f x

liên tục trên



thỏa mãn

 

4

0

tan d 3

f x x







và





2

1

2

0

d 1

1

x f x

x







. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.

4

. B.

2

. C.

5

. D.

1

.

Lời giải

Chọn A

 

1

0

2 1 d 12

f x x

 



 

2

0

sin sin 2 d 3

f x x x







 

3

0

d

f x x



26

22

27

15

2 1

x t

 

 

3

1

12 d

2

t

f t



 

 

 

 



 

3

1

d

2

f t t





 

3

1

d

2

f x x





 

3

1

d 24

f x x

 



 

2

0

sin sin 2 d

f x x x





 

2

0

sin .2sin cos d

f x x x x







 

2

0

2sin . sin d sin

x f x x







   

2

2 2

0

sin d sin

f x x







 

1

0

d

f u u





 

1

0

d 3

f x x

 



 

3

0

d

f x x





   

1 3

0 1

d d 3 24 27

f x x f x x

    

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





 





2

1 1 1

2 2

0 0 0

d d d

1 1

x f x f x

x f x x x

x x

 

 

  









 

2

1 1 1

2 2

0 0 0

d d d

1 1

x f x f x

x x f x x

x x

  

 

  

.

Đặt

tan

x t



suy ra

 

2

1

d tan d d d 1 tan d d

cos

x t x t x x t

x

     

.

 

2

d d

d

1

1 tan

t t

x

t

x

  



.

   

1

4

2

0 0

d

tan d

1

t

f x x f t

t



 



 





1

2

0

d

1

f x

x

x 



=3.

Vậy

 

1

0

4

f x dx





.

Câu 16. Cho hàm số





f x

liên tục trên R và

 

2

1

4

2

0 0

tan d 4; d 2

1

x f x

f x x x

x



 



 

. Tính

 

1

0

d

I f x x





.

A.

6

I



. B.

2

I



. C.

3

I



. D.

1

I



.

Lời giải

Chọn A

Từ

 

4

0

t anx d 4

f x







; Ta đặt

tan

t x



ta được





1

2

0

d 4

1

f t

t







Từ

 









 

2

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

1 1

d 2 d 2 d d 2

1 1 1

x f x

x f x f x

x x f x x x

x x x

 

     

  

   

 





1 1

2

0 0

d 2 d 2 4 6

1

f x

f x x x

x

     



 

.

Câu 17. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa

 

2018

0

d 2

f x x





. Khi đó tích phân

 

2018

e 1

2

0

ln 1 d

1

x

f x x

x







bằng

A.

4

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Lời giải

Chọn B

Xét

 

2018

e 1

2

0

ln 1 d

1

x

I f x x

x



 





.

Đặt





2

ln 1

t x

 

2

d d

1

x

t x

x

 



. Đổi cận:

0

x



0

t

 

;

2018

e 1

x

 

2018

t

 

.

Suy ra

   

2018 2018

0 0

1 1 1

d d .2 1

2 2 2

I f t t f x x

   

 

.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của

m

để

 

3

0

10

3

9

m

x x dx f

 



  

 

 



, với





15

ln

f x x



.

A.

20

m



. B.

4

m



. C.

5

m



. D.

3

m



.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+ Từ





15

ln

f x x



 

14

15

15 15

x

f x

x x



  

 

2

15

f x

x





 

do đó

10 243

9 20

f



 





 

 

.

+ Tính tích phân

 

3

0

3 d

m

I x x x

 



:

 Đặt

3

t x

 

3

x t

  

,

d d

x t

 

,

0 3

3 0

x

t

 Do đó

   

0

3

3 d

m

I t t t

  



 

3

1

0

3 d

m m

t t t



 



3

1 2

0

3

1 2

m m

t t

m m

 

 

 

  

2

3

1 2

m

m m





 

+ Ta có

 

3

0

10

3

9

m

x x dx f

 



  

 

 



  

2

3 243

1 2 20

m

m m



 

 

  

2 5

3 3

1 2 4.5

m

m m



 

 

Thay lần lượt các giá trị

m

ở 4 đáp án, nhận giá trị

3

m



.

Chú ý:

-Việc giải phương trình

  

3

3 3

1 2 4.5

m

m m



 

không cần thiết nên chọn phương pháp thế đáp để

làm trắc nghiệm trong bài này.

-Để giải phương trình

  

3

3 3

1 2 4.5

m

m m



 

ta xét hàm trên

 

  

3

3 3

1 2 4.5

m

f m

m m

 

 

với

0

m



thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất

3

m



.

Câu 19. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









4

f x f x

 

. Biết

 

3

1

d 5

xf x x





. Tính

 

3

1

d

I f x x





.

A.

5

2

I



. B.

7

2

I



. C.

9

2

I



. D.

11

2

I



.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh

Cho hàm số





f x

liên tục trên





;

a b

và thỏa mãn điều kiện













, ;

f a b x f x x a b

   

. Khi

đó

   

d d

2

b b

a a

a b

xf x x f x x





 

Chứng minh:

Đặt

t a b x

  

d d

x t

  

, với





;

x a b



. Đổi cận: khi

x a t b

  

; khi

x b t b

  

Ta có

       

d d d

b b a

a a b

xf x x xf a b x x a b t f t t

      

  

               

d d d d d

b b b b b

a a a a a

a b t f t t a b f t t tf t t a b f x x xf x x

        

    

         

2 d d d d

2

b b b b

a a a a

a b

xf x x a b f x x xf x x f x x



    

   

.

Áp dụng tính chất trên với

1

a



,

3

b



.





f x

liên tục trên





;

a b

và thỏa mãn









1 3

f x f x

  

.

Khi đó

     

3 3 3

1 1 1

1 3 5

d d d

4 2

xf x x f x x f x x



  

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 2: Đổi biến trực tiếp:

Đặt 4

t x

 

, với





1;3

x

.

Ta có

           

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

d 4 d 4 d 4 d . d

xf x x xf x x t f t t f t t t f t t

     

    

   

3 3

1 1

5

5 4 d 5 d

2

f t t f t t

    

 

.

Câu 20. Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





1;3

thỏa mãn













4 , 1;3

f x f x x   

và

 

3

1

d 2

xf x x

 



. Giá trị

 

3

1

d

f x x



bằng

A.

2

. B.

1



. C.

2



. D.

1

.

Lời giải

Chọn B

Xét

3

1

( )d

I xf x x





(1).

Đặt

4

x t

 

, ta có

d d

x t

 

;

1 3

x t

  

,

3 1

x t

  

.

Suy ra

 

3

1

4 (4 )d

I t f t t

  



 

3

1

4 ( )d

t f t t

 



, hay

 

3

1

4 ( )

I x f x dx

 



(2).

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được

3

1

2 4 ( )

I f x dx





3

1

( ) 1

2

I

f x dx

   



.

Câu 21. (Chuyên KHTN) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



thỏa mãn

8

3

2

0 1

( )

tan . (cos ) 6

f x

x f x dx dx

x



 

 

.

Tính tích phân

2

1

2

( )

f x

dx

x



A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

Lời giải

Chọn C

+) Đặt

3 2

3

t x t x t dt dx

    

Đổi cận: x 18

t 12

Khi đó

8 2 2

3

2

3

1 1 1

( ) (t) (t)

3 3 6

f x f f

dx t dt dt

x t t

  

  

2

1

(t)

2

f

dt

t

 



+) Đặt

2 2

1

cos 2cos sin 2cos tan tan

2

t x dt x xdx dt x xdx xdx dt

t

         

Đổi cận: x 0

3



t 1

1

4

Khi đó

1

3 4

2

1

0 1

4

1 (t) (t)

tan . (cos ) 6 12

2

f f

x f x dx dt dt

t t



    

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Đặt

2 2

1

2 2

2

dx dx dt

t x dt xdx dt x

x x t

      

Đổi cận: x

1

2

t

1

4

2

Khi đó

2 2 1 2

2

1 1 1

1

2 4 4

( ) 1 (t) 1 (t) 1 (t) 2 12

7

2 2 2 2

f x f f f

dx dt dt dt

x t t t



    

   

Câu 22. Cho hàm số

f

liên tục trên đoạn





6;5



, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như

hình vẽ. Tính giá trị

 

5

6

2 d

I f x x



 

 

 



.

A.

2 35

I



 

. B.

2 34

I



 

. C.

2 33

I



 

. D.

2 32

I



 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

2

1

2 khi 6 2

2

1 4 khi 2 2

2 1

khi 2 5

3 3

x x

f x x x

x x



    



     





  





.

   

5 5 5

6 6 6

2 d d 2 d

I f x x f x x x

  

    

 

  





2 2 5

2

6 2 2

1 2 1

2 d 1 4 d d 22

2 3 3

x x x x x x



 

   

       

   

   

  

2 5

2 2

6 2

1 1

2 22 28

4 3 3

x

x x J x J



   

       

   

   

.

Tính





2

1 4 d

J x x



  



Đặt

2sin

x t



d 2cos d

x t t

 

.

Đổi cận: Khi

2

x



thì

2

t



 

; khi

2

x



thì

2

t





.

 

2

2 2

2

2 2

1 4 d 4 4 cos d 4 2 1 cos2 d 4 2

J x x t t t t

 





 

         

  

. Vậy

32 2

I



 

.

O

x

y

5

4



6



1



3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn





6

e

1

ln

d 6

f x

x





và

 

2

0

cos sin 2 d 2

f x x x







. Tích phân

 

3

1

2 d

f x x





bằng

A.

10

. B.

16

. C.

9

. D.

5

.

Lời giải

Chọn D

Đặt

1 1

ln 2d d

2

t x t x

x

  

.

Đổi cận

x

1

6

e

t

0

3

Khi đó

 

     

6 6

e e 3 3 3

1 1 0 0 0

1

ln

2

d d 2 d 6 d 3 d 3

f x

x x f t t f t t f x x

x x

 

 

 

      

    

.

Đặt

2

cos d 2cos .sin d sin 2 d

u x u x x x x x

     

Đổi cận

x

0

2



u

1

0

Khi đó

 

     

0 1 1

2

0 1 0 0

cos sin 2 d d d 2 d 2

f x x x f u u f u u f x x



     

   

.

Do đó

 

     

3 3 3 3 1 3

3

1

1 1 1 0 0 1

2 d d 2d d d 2d 3 2 2 | 5

f x x f x x x f x x f x x x x

         

     

.

Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

 

4

2

0

tan . cos d 2

x f x x







và





2

ln

d 2

ln

e

f x

x

x x





. Tính





2

1

4

2

d

f x

x



.

A.

0

. B.

1

. C.

4

. D.

8

.

Lời giải

Chọn D

*

 

2

4 4

2

1

2

0 0

cos

1

tan . cos d .sin2 d

2 cos

f x

I x f x x x x

x

 

 

 

.

Đặt

2

cos

x t



sin 2 d d

x x t

  

.

Đổi cận

x

0

4



t

1

2

Khi đó

 

1

2

1

d

2

f t

I t

t

 







1

2

d 4

f t

t

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

*









2 2

e e

2

e e

ln ln

1 2ln

d . d

ln 2 ln

f x f x

x

I x x

x x x x

 

 

.

Đặt

2

ln

x t



2ln

d d

x

x t

x

 

.

Đổi cận

x

e

2

e

t

1

4

Khi đó





4

2

1

d

2

f t

I t

t









4

1

d 4

f t

t

 



.

* Tính





2

1

4

2

d

f x

I x

x





. Đặt 2

x t



1

d

2

x dt

 

.

Đổi cận

x

1

4

2

t

1

2

4

Khi đó













4 1 4

1 1

1

2 2

d d d 4 4 8

f t f t f t

I t t t

t t t

     

  

.

Câu 25. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên



và thỏa mãn





2

5 d 1

f x x x



  



,





5

2

1

d 3

f x

x





. Tích phân

 

5

1

d

f x x



bằng

A.

15



. B.

2



. C.

13



. D.

0

.

Lời giải

Chọn C

Đặt

2

5

t x x

  

suy ra

 

2

2 2 2

2

5 5 1

5 5 2 5 d d

2 2 2 2

t

t x x t x x t tx x x t

t t

 

                

 

 

Đổi cận:

2 5; 2 1.

x t x t

      

Ta có:





   

2 1 5

2

2 2

2 5 1

5 1 1 5

5 d d 1 d 1

2 2 2

f x x x f t t f t t

t t



   

       

   

   

  

.

Suy ra

 

5

2

1

5

1 d 2

f t t

t

 

 

 

 







   





5 5 5 5

2 2

1 1 1 1

5 d d 2 d 2 5 d

f t f t

t f t t f t t t

t t

     

   

 





5 5

2

1 1

d 2 5 d 2 5.3 13

f x

f x x x

x

      

 

.

Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa





3

2

0

16 d 2019

f x x x  



,





8

2

4

d 1

f x

x





. Tính

 

8

4

d

f x x



.

A.

2019

. B.

4022

. C.

2020

. D.

4038

.

Lời giải

Chọn B

Xét





3

2

0

16 d 2019

f x x x  



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

2

16

t x x

  

. Ta có

2 2 2 2

8

16 2 16

2

t

t x x t tx x x x

t

          

.

Suy ra

2

1 8

d d

2

x t

t

 

 

 

 

.

Khi

0

x



thì

4

t



, khi

3

x



thì

8

t



.

Suy ra





   

3 8 8

2

2 2

0 4 4

1 8 1 8

2019 16 d . d . d

2 2

f x x x f t t f x x

t x

   

      

   

   

  

 





 

8 8 8

2

4 4 4

1 1

d 8 d d 8

2 2

f x

f x x x f x x

x

   

  

.

Vậy

 

8

4

d 4022

f x x 



.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2

Cho hàm số





f x

thỏa mãn :

















. . . .

A f x B u f u C f a b x g x



    

+) Với





 

u a a

u b b















thì

   

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

.

+) Với





 

u a b

u b a















thì

   

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

.

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số

, ,

A B C

.

Nếu





f x

liên tục trên





;

a b

thì

   

b b

a a

f a b x dx f x dx

  

 

.

Câu 27. Cho hàm số





f x

liên tục trên





0;1

thỏa mãn

 

2 3

6

3 1

f x x f x

x

 



. Tính

 

1

0

d

f x x



A.

2

. B.

4

. C.

1



. D.

6

.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi

 

2 3

6

3 1

f x x f x

x

 



 

2 3

6

2.3 .

3 1

f x x f x

x

   



với

1

A



,

2

B

 

.

Áp dụng công thức ta có:

 

1 1

0 0

1 6

d d 4

1 2

3 1

f x x x

x

  

 



 

.

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

 

2 3

6

3 1

f x x f x

x

 



 

1 1 1

2 3

0 0 0

1

d 2 3 d 6 d

3 1

f x x x f x x x

x

   



  

Đặt

3 2

3 dx

u x du x  

; Với

0 0

x u

  

và

1 1

x u

  

.

Khi đó

 

   

1 1 1

2 3

0 0 0

3 d d d

x f x x f u u f x x

 

  

thay vào





*

, ta được:

   

1 1 1

0 0 0

1

d 2 d 6 d

3 1

f x x f x x x

x

  



  

 

1 1

0 0

1

d 6 d 4

3 1

f x x x

x

  



 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 28. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 3 1 1

xf x f x x

   

. Tích

phân

 

1

0

d

I f x x





bằng

A.

4

I





. B.

6

I





. C.

20

I





. D.

16

I





Lời giải

Chọn C

Từ

 

1 1 1

2 2 2 2

0 0 0

4 . 3 1 1 2 2 d 3 1 d 1 d

x f x f x x xf x x f x x x x

        

  







+) Đặt

2

d 2 d

u x u x x

  

; Với

0 0

x u

  

và

1 1

x u

  

.

Khi đó

 

     

1 1 1

2

0 0 0

2 d d d 1

xf x x f u u f x x 

  

+) Đặt

1 d d

t x t x

    

; Với

0 1

x t

  

và

1 0

x t

  

.

Khi đó

       

1 1 1

0 0 0

1 d d d 2

f x x f t t f x x  

  

Thay









1 , 2

vào







ta được:

   

1 1 1

2

0 0 0

2 d 3 d 1 d

f x x f x x x x

  

  

 

1 1

2

0 0

1

d 1 d

5 20

f x x x x



   

 

.

Câu 29. Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên





0;2

và thỏa mãn điều kiện









2 2

f x f x x

  

. Tính giá trị

của tích phân

 

2

0

I f x dx





.

A.

4

I

 

. B.

1

2

I



. C.

4

3

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn D

Cách 1: (Dùng công thức)

Với









2 2

f x f x x

  

ta có

1

A



;

1

B



, suy ra:

 

2

0

I f x dx





2

0

1

2

1 1

xdx







2

0

2

x



2



.

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ









2 2

f x f x x

  

   

2 2 2

0 0 0

2 2

f x dx f x dx xdx

   

  

4



(*)

Đặt 2

u x

 

du dx

  

; Với

0

x



2

u

 

và

2

x



0

u

 

.

Suy ra

 

2

0

2

f x dx





 

2

0

f u du





 

2

0

f x dx





.

Thay vào (*), ta được

 

2

0

2 4

f x dx





 

2

0

2

f x dx

 



.

Câu 30. Xét hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn









2 3 1 1

f x f x x

   

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

3

. B.

1

6

. C.

2

15

. D.

3

5

.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

1 d d

t x x t

    

.

Suy ra

       

1 0 1 1

0 1 0 0

1 d d d d

f x x f t t f t t f x x

    

   









2 3 1 1

f x f x x

   

 

1 1

0 0

5 d 1 d

f x x x x

  

 

 

1

3

0

2 2

1

3 3

x

   

.

Suy ra

 

1

0

2

d

15

f x x





.

Chú ý: Ta có thể dùng công thức

   

2 2

1 1

d d

x ax b

f ax b x f x x



 

 

. Khi đó:

Từ









2 3 1 1

f x f x x

   

suy ra:

   

1 1 1

0 0 0

2 d 3 1 d 1 d

f x x f x x x x

   

  

   

1 0 1

0 1 0

2 d 3 1 d 1 d

f x x f x x x x

    

  

   

1 1

0 0

2 2

5 d d

3 15

f x x f x x

   

 

.

Câu 31. Xét hàm số





f x

liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn điều kiện









2 3 1 1

f x f x x x

   

.

Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

1

25

I 

. B.

4

15

I

 

. C.

1

15

I

 

. D.

4

75

I 

.

Lời giải

Chọn B

Do









2 3 1 1

f x f x x x

   

     

1 2

1 1 1

0 0 0

2 d 3 1 d 1 d 1

I I

f x x f x x x x x    

  

 

.

+ Xét

 

1

0

3 1 d

I f x x

 



:

Đặt

1 d d

t x x t

    

. Khi

0 1; 1 0

x t x t

     

.

Khi đó

 

1

0

3 d 3

I f t t I

 



.

+ Xét

1

2

0

1 d

I x x x

 



. Đặt

2

1 1 d 2dt

t x x t x t

      

.

Khi

0 1; 1 0

x t x t

     

.

Khi đó

 

0

5 3

2

1

2 2 4

1 2 d

5 3 15

t t

I t t t t

 

     

 

 



.

Thây vào

 

4 4

1 : 2 3

15 15

I I I

    

.

Câu 32. Xét hàm số





f x

liên tục trên





1;2



và thỏa mãn













2 3

2 2 3 1 4

f x xf x f x x

     . Tính

giá trị của tích phân

 

2

1

I f x dx







.

A.

5

I



. B.

5

2

I



. C.

3

I



. D.

15

I



.

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Với:

















2 3

2 2 3 1 4

f x x f x f x x

     . Ta có:

1; 1; 3

A B C

  

và

2

u x

 

thỏa mãn





 

1 1

2 2

u

 













.

Khi đó áp dụng công thức có:

 

2

2 2

4

3

1 1

1

4 dx 3

1 1 3 5

x

I f x x

 



   

 

 

.

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ













2 3

2 2 3 1 4

f x xf x f x x

     .

 

   

2 2 2 2

2 3

1 1 1 1

dx 2 . 2 dx 3 1 dx 4 dx *

f x x f x f x x

   

     

   

+) Đặt

2

2 du 2 dx

u x x

   

; với

1 1

x u

    

và

2 2

x u

  

.

Khi đó

 

     

2 2 2

2

1 1 1

2 . 2 dx du dx 1

x f x f u f x

  

  

  

+) Đặt

1 dt dx

t x

    

; Với

1 2

x t

   

và

2 1

x t

   

.

Khi đó

       

2 2 2

1 1 1

1 dx dt dx 2

f x f t f x

  

  

  

Thay









1 , 2

vào





*

ta được:

   

2 2

1 1

5 dx 15 dx 3

f x f x

 

  

 

.

Câu 33. Hàm số





f x

liên tục trên





1;2



và thỏa mãn điều kiện









2

2 3 .

f x x xf x

    Tính giá

trị của

 

2

1

d

I f x x







A.

14

3

I



. B.

28

3

I 

. C.

4

3

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: ( Dùng công thức).

Với









2

2 3

f x x xf x

   

   

 

2

1

. 2x . 3 2

2

f x f x x

     

1

1; ; 0

2

A B C

  

và

2

3

u x

 

thỏa mãn





 

1 2

2 1

u

 







 





Khi đó áp dụng công thức ta có:

 

2 2

1 1

1 28

d 2d =

1

3

1 0

2

I f x x x x

 

  

 

 

.

Cách 2: ( Dùng phương pháp đổi biến).

Từ









2

3 2

f x xf x x

   

 

2 2 2

2

1 1 1

14

d 3 d 2d

3

f x x xf x x x x

  

     

  

(*)

Đặt

2

3 d 2 d

u x u x x

    

với

1 2

2 1

x u

   





   



Khi đó

 

2

1

3 d

xf x x



 



   

2 2

1 1

d d

2 2

f u u f x x

 



 

thay vào (*) ta được

     

2 2 2

1 1 1

1 14 28

dx d d =

2 3 3

f x f x x f x x

  

  

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 34. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn

 

2

1

1 3 1

1

f x xf x f x

x

    



. Tính giá

trị của tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

9

ln 2

2

I 

. B.

2

ln 2

9

I 

. C.

4

3

I



. D.

3

2

I



.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: (Dùng công thức)

Với:

   

 

2

1

. 2 1 3 1 2

2

f x x f x f x x

     

. Ta có:

1

A



;

1

2

B





; và

2

u x

 

thỏa mãn





 

0 1

1 0

u















.

Khi đó áp dụng công thức ta có:

 

1

0

d

I f x x





1

0

1 d

1

1 3

2

x





 

  

 

 



1

2

ln 1

0

9

x 

2

ln 2

9



.

Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức)

Từ

 

2

1

1 3 1

1

f x xf x f x

x

    



 

1 1 1

2

0 0 0

d 1 d 3 1 d

f x x xf x x f x x

    

  

1

0

1

d

1

x







1

0

ln 1 ln 2

x   . (*)

+) Đặt

2

1

u x

 

2

du xdx

  

; Với

0 1

x u

  

và

1 0

x u

  

.

Khi đó

 

   

1 1 1

2

0 0 0

1 1

1 d d d

2 2

xf x x f u u f x x

  

  

(1).

+) Đặt

1

u x

 

d d

u x x

  

; Với

0 1

x t

  

và

1 0

x t

  

.

Khi đó

     

1 1 1

0 0 0

1 d d d

xf x x f t t f t t

  

  

(2).

Thay (1), (2) vào (*) ta được:

     

1 1 1

0 0 0

1

d d 3 d ln 2

2

f x x f x x f x x  

  

 

1

0

9

d ln 2

2

f x x 



 

1

0

2

d ln 2

9

f x x 



.

Câu 35. Cho hàm số





y f x



và thỏa mãn

 

3

3 4

2

8 0

1

x

f x x f x

x

  



. Tích phân

 

1

0

2

a b

I f x dx

c



 



với

, ,a b c





và

;

a b

c c

tối giản. Tính

a b c

 

A.

6

. B.

4



. C.

4

. D.

10



.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức).

Biến đổi

 

3

3 4

2

8 0

1

x

f x x f x

x

  



 

   

3

3 4

2

2. 4

1

x

f x x f x

x

   



với

1; 2

A B

  

Áp dụng công thức ta có:

 

1 1 1

3 3

2 2

0 0 0

1

1 2

1 1

x x dx

f x dx dx

x x

 

  

 

 

 

 

  

.

Đặt

2 2 2

1 1

t x t x tdt xdx

      

; Với

0 1

x t

  

và

1 2

x t  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó:

 

1 1

2

0 0

.

1

x

f x dx xdx

x





 

2

1

.

t

tdt

t







 

2

1

t dt

 



2

3

1

3

t

 

 

 

 

2 2

3





2

a b

c





Suy ra

2; 1; 3 6

a b c a b c

      

.

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

 

3

3 4

2

8 0

1

x

f x x f x

x

  



 

1 1 1

3

3 4

2

0 0 0

2 4 0 (*)

1

x

f x dx x f x dx dx

x

   



  

Đặt

4 3

4

u x du x dx

  

; Với

0 0

x u

  

và

1 1

x u

  

.

Khi đó

 

   

1 1 1

3 4

0 0 0

4

x f x dx f u du f x dx

 

  

thay vào (*), ta được:

   

1 1 1

3

2

0 0 0

2 0

1

x

f x dx f x dx dx

x

  



  

 

1 1

3

2

0 0

1

x

f x dx dx

x

 



 

Đặt

2 2 2

1 1

t x t x tdt xdx

      

; Với

0 1

x t

  

và

1 2

x t  

.

Khi đó:

 

1 1

2

0 0

.

1

x

f x dx xdx

x





 

2

1

.

t

tdt

t







 

2

1

t dt

 



2

3

1

3

t

 

 

 

 

2 2

3





2

a b

c





Suy ra

2; 1; 3 6

a b c a b c

      

.

Câu 36. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





ln2;ln2



và thõa mãn

   

1

x

f x f x

e

  



. Biết

 

ln2

d ln2 ln3

f x x a b



 



, với

,a b





. Tính giá trị của

P a b

 

.

A.

1

2

P



. B.

2

P

 

. C.

1

P

 

. D.

2

P



.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Dùng công thức

Với

   

1

x

f x f x

e

  



ta có

1; 1

A B

 

, suy ra

 

ln2 ln2 ln2

1 d 1 d

d

1 1 1 2 1

x x

f x x

e e

  

 

  

  

Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức

Từ

         

ln2 ln2 ln2

1 d

d d *

1 1

x x

x

f x f x f x x f x x

e e

  

      

 

  

Đặt

d d

u x u x

    

     

ln2 ln2 ln2

d du d

f x x f u f x x

  

   

  

thay vào





*

ta được:

   

ln2 ln2 ln2 ln2

d 1 d

2 d d

1 2 1

x x

f x x f x x

e e

   

  

 

   

Đặt

d

x x

t e dt e x

  

Với

1

ln 2 , ln 2 2

2

x t x t

      

 

2

ln2 ln2 2

1

ln2 ln2

2

d d d

ln ln2

1 1 1

1

x

x x

x e x t t

e t t t

e e

 

    

  



  

Khi đó:

 

ln2

,

ln2

1 1

d ln2 ln 2 ln3 , 0

2 2

a b

f x x a b a b





     





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1

2

P a b

   

.

Câu 37. Biết hàm số

2

y f x

 

 

 

 



là hàm số chẵn trên đoạn

;

2 2

 



 

 

 

và

 

sin cos

2

f x f x x x

 

   

 

 



. Tính

 

2

0

I f x dx







.

A.

0

I



. B.

1

I



. C.

1

2

I



. D.

1

I

 

.

Lời giải:

Đặt

2

t x dt dx

    



Đổi cận:

 

0

2 2

0 0

2

.

2 2 2

I f t dt f t dt f x dx

     

       

     

     

  

 



  

(Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)

2

0

2

f x

 

 

 

 











Vì

2

f x

 



 

 



là

hàm số chẵn

2 2

f x f x



   

   

   



   



 

Vậy

     

2 2

2

0 0

0

2 sin cos cos sin 1 1 2

2

I f x f x dx x x dx x x

 

 

           

 

 

 

 

 

 



1

I

  

 Chọn D

Câu 38. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



,





0 0

f



và

 

sin .cos

2

f x f x x x



 

  

 

 

với

x

 



. Giá trị của tích phân

 

2

0

xf x dx







bằng

A.

4





. B.

1

4

. C.

4



. D.

1

4



.

Lời giải

Cách 1: (Dùng công thức)

Với

 

sin .cos

2

f x f x x x



 

  

 

 

, ta có

1; 1

A B

 

.

Suy ra

 

2 2

0 0

1 1

sin .cos .

1 1 4

f x dx x x dx

 

 



 

.

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức)

Từ

 

sin .cos

2

f x f x x x



 

  

 

 

 

2 2 2

0 0 0

1

sin .cos

2 2

f x f x dx x xdx

  



 

    

 

 

  

(*)

Đặt

2

u x du dx



    

Với

0 ; 0

2 2

x u x u

 

     

.

Suy ra

   

2 2 2

0 0 0

2

f x dx f u du f x dx

  



 

  

 

 

  

, thay vào (*) ta được

   

2 2

0 0

1 1

2

2 4

f x dx f x dx

 

  

 

(1)

Đặt

   

u x du dx

dv f x dx v f x

 

 

 



 



 

 

 

       

2

2 2 2

0 0 0

0

2 2

xf x dx xf x f x dx f f x dx



  

 

 



    

 

 

  

(*)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Từ điều kiện

 

sin .cos

2

f x f x x x



 

  

 

 

suy ra

 

0 0

2

0

2

0 0

2

f f

f

f f





 

 

 



    

 



 



  



 

 



 



(2).

Thay (1), (2) vào (*), ta được

 

2

0

1

4

xf x dx





 



.

Chọn D

Câu 39. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

   

2

1 2x 1 2x ,

1

x

f f x

x

     





. tính tích

phân

 

3

1

I f x dx







.

A.

2

I



 

. B.

1

4

I



 

. C.

1

2 8

I



 

. D.

4

I





.

Lời giải.

Đặt

1 2 1 2 2

t x x t

     

và

1

2

t

x





, khi đó điều kiện trở thành

       

2 2

2 1 2 1

2 2

2 5 2 5

t t x x

f t f t f x f x

t t x x

   

      

   

(*)

Cách 1: (Dùng công thức)

Với

   

2

2 1

2

2 5

x x

f x f x

x x

 

  

 

ta có

1; 1

A B

 

.

Suy ra

 

2

3 3

2

1 1

1 2 1

0,429 2

1 1 2 5 2

x x

f x dx dx

x x

 

  

   

  

 

Chọn A

Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức)

Từ (*), ta có

   

2

2 1

2

2 5

x x

f x f x

x x

 

  

 

   

2

3 3 3

2

1 1 1

2 1

2

2 5

x x

f x dx f x dx dx

x x

  

 

   

 

  

(2*)

Đặt

2

u x du dx

   

. Với

1 3; 3 1

x u x u

       

.

Suy ra

     

3 3 3

1 1 1

2

f x dx f u du f x dx

  

  

  

, thay vào (*), ta được:

 

2

3 3

2

1 1

2 1

2

2 5

x x

f x dx dx

x x

 

 



 

 

 

2

3 3

2

1 1

1 2 1

0,429 2 -

2 2 5 2

x x

f x dx dx

x x

 

  

   

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3

Cách giải: Lần lượt đặt





t u x



và





t v x



để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn





f x

) để suy ra hàm số





f x

(nếu





u x x



thì chỉ cần đặt một lần





t v x



).

Các kết quả đặc biệt:

Cho













. .

Af ax b B f ax c g x

    

với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .

x b x c

A g B g

a a

f x

A B

 

   



   



   





(*)

+)Hệ quả 1 của (*):

       









2 2

. .

A g x B g x

A f x B f x g x f x

A B

 

    



+)Hệ quả 2 của (*):

       





. .

g x

A f x B f x g x f x

A B

    



với





g x

là hàm số chẵn.

Câu 40. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và

 

1

2 3

f x f x

x

 

 

 

 

. Tính





2

1

2

f x

I dx

x





.

A.

3

2

I



. B.

1

I



. C.

1

2

I



. D.

1

I

 

.

Lời giải

Chọn A

Đặt,

1 1

t x

x t

  

khi đó điều kiện trở thành

   

1 3 1 3

2 2 .

f f t f x f

t t x x

   

    

   

   

Hay

 

1 6

4 2f x f

x x

 

 

 

 

, kết hợp với điều kiện

 

1

2 3

f x f x

x

 

 

 

 

. Suy ra :

 





2

6 2

3 3x 1

f x

x x x

     

 

2 2

2

1 1

2 2

2

2 2 3

1

2

f x

I dx dx x

x x x



   

     

 

   

   

.

Chọn B

Câu 41. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số





y f x

 liên tục trên

1

;3

3

 

 

 

thỏa mãn

 

3

1

.

f x x f x x

x

 

  

 

 

. Giá trị tích phân





3

2

1

3

d

f x

I x

x x







bằng

A.

8

9

. B.

2

3

. C.

3

4

. D.

16

9

.

Lờigiải

Chọn A

+ Đặt

1

x

t



2

1

d d

x t

t

  

.

+ Đổi cận:

1 1

3; 3

3 3

x t x t

     

.

+ Ta có

 

1

3 3

3

2 2

1 1

3

2

3 3

1 1

1

d . d d

1 1

1

f f

f x

t t

I x t t

x x t t

t t

   

   

   

   

 



  

.

Suy ra:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

  

 

3 3 3 3 3

2

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

1 1

.

1 1

16

2 d d d d 1 d

1 1 1 9

f f x x f

f x x x x

x x

I x x x x x x

x x x x x x x

   



   

 

   

      

   

    

.

Vậy

8

9

I



.

Câu 42. Cho hàm số





y f x



liên tục trên





\ 0



và thỏa mãn

 

2 15

2 3 3

2

x

f x f

x

 

  

 

 

,

 

9

3

d

f x x k





. Tính

3

2

1

2

1

d

I f x

x

 



 

 



theo

k

.

A.

45

9

k

I



 

. B.

45

9

k

I





. C.

45

9

k

I





. D.

45 2

9

k

I





.

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

t x





1

d d

2

x t



. Đổi cận

1

2

3

2

x t

  

.

Khi đó

3

1

1 2

d

2

I f x

t

 



 

 



.

Mà

 

2 15

2 3 3

2

x

f x f

x

 

  

 

 



 

2 5 2

3

2 3

x

f f x

x

 

  

 

 

Nên

     

3 3 3 3

1 1 1 1

1 5 2 5 1 1

3 d d 3 d 5 3 d

2 2 3 4 3 3

x

I f x x x x f x x f x x

 

        

 

 

   

(*)

Đặt

3

u x





1

d d

3

x x



. Đổi cận

1 3

3 9

x u

x t

  

.

Khi đó

 

9

3

1 45

5 d 5

9 9 9

k k

I f t t



       



.

Câu 43. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

  

. Tính giá trị

của

 

2

d

I f x x









.

A.

2

2019

I 

. B.

2

1009

I 

. C.

4

2019

I 

. D.

1

1009

I 

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức)

Với









2018 2 sin

f x f x x x

  

ta có

1; 2018

A B

 

Suy ra

 

2

d

I f x x









2

1

2 sin d

1 2018

x x x











4

2019

Casio





Đáp án C

Cách 2:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Áp dụng Hệ quả 2:













.

A f x Bf x g x

  

 





g x

f x

A B

 



với





g x

là hàm số chẵn.

Ta có









2018 2 sin

f x f x x x

  

 

2 sin

2019

x x

f x 

 

2

d

I f x x









2

sin d

2019

x x x









4

2019

Casio





Đáp án C

Câu 44. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









2018

x

f x f x e

  

. Tính giá trị của

 

1

I f x dx







A.

2

1

2019e

e

I





. B.

2

1

2018e

e

I





. C.

0

I



. D.

2

1

e

I

e





.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức).

Với









2018

x

f x f x e

  

ta có

1; 2018

A B

 

.

Suy ra

 

1

I f x dx







1

1 2018

x

e dx









1

2019

x

e





2

1

2019e

e





.

Cách 2: (Dùng công thức)

Áp dụng Hệ quả 1:













. .

A f x B f x g x

  

 









2 2

. .

Ag x B g x

f x

A B

 

 



.

Ta có:









2018

x

f x f x e

  

 

2

2018

2018 1

x x

e e

f x



 



 

1 1

1

2018

2019.2017

x x

f x dx e e dx



 

  

 

2

3

1

1,164.10

2019e

e



 

(Casio).

Câu 45. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



, thỏa mãn









2

2 2 1 12

f x f x x

  

. Phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x



tại điểm có hoành độ bằng

1

là

A.

2 2

y x

 

. B.

4 6

y x

 

. C.

2 6

y x

 

. D.

4 2

y x

 

.

Lời giải

Chọn C

Áp dụng kết quả

“Cho













. .

A f ax b B f ax c g x

    

(với

2 2

A B



) khi đó

 

2 2

. .g

x b x c

A g B

a a

f x

A B

 

   



   

   





”.

Ta có













2

2 2 1 12

f x f x x g x

   

 

2

1

2.

2 2

2 1

x x

g g

f x



   



   



   

 



 

2

6 3 1

2 1

3

x x

 

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra





 

1 2

1 4

f









 





, khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là:

4 2

y x

 

.

Câu 46. Cho





f x

là hàm số chẵn, liên tục trên



thỏa mãn

 

1

0

2018





f x dx

và





g x

là hàm số liên

tục trên



thỏa mãn









1

  

g x g x

,

 



x . Tính tích phân

   

1

1





I f x g x dx

.

A.

2018



I . B.

1009

2

I

. C.

4036



I . D.

1008



I .

Lời giải

Chọn A

Áp dụng Hệ quả













. .  

Ag x B g x h x

 





 



h x

g x

A B

với





h x

là hàm số chẵn.

Ta có:













1   

g x g x h x

 

1 1

1 1 2

  



g x

.

Kết hợp với điều kiện





f x

là hàm số chẵn, ta có:

     

1 1

1

2

 

 

 

I f x g x dx f x dx

 

1

0

2018

 



f x dx

.

Chú ý: Nếu





f x

là hàm số chẵn, liên tục trên

 

   

0

; 2



  

 

a a

a

a a f x dx f x dx

.

Câu 47. Cho số dương

a

và hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









f x f x a

  

, x

 



. Giá trị

của biểu thức

 

d

a

f x x





bằng

A.

2

a

. B.

a

. C.

2

a

. D.

2

a

.

Lời giải

Chọn C

Đặt

        

d d d d

a a a a

x t f x x f t t f t t f x x



  

         

   

         

2 2

2 d d d 2 d 2 d

a a a a a

f x x f x f x x a x f x x a f x x a

    

        

 

 

    

.

Câu 48. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa điều kiện









2sin

f x f x x

  

. Tính

 

2

d

f x x







A.

1



. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Lời giải

Chọn B

Giả sử

 

2

d

I f x x









.

Đặt

t x

 

d d

t x

  

, đổi cận

2 2

x t

 

   

2 2

x t

 

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó

   

2 2

d d

I f t t f t t

 



  

 

.

Suy ra

   

2

d

I f x f x x





  

 

 



2

2sin 0

dx x





 



2 0

I

 

0

I

 

Câu 49. Cho

( )

f x

là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính tích phân

 

3

2

3

2

d

I f x x









.

A.

3

I



. B.

4

I



. C.

6

I



. D.

8

I



.

Lời giải

Chọn C

Ta có

     

3 3

0

2 2

3 3

0

2 2

d d d

I f x x f x x f x x

 

 

  

  

.

Xét

 

0

3

2

d

f x x







Đặt

d d

t x t x

    

; Đổi cận:

3 3

2 2

x t

 

   

;

0 0

x t

  

.

Suy ra

       

3 3

0 0

2 2

3 3

0 0

2 2

d dt d d

f x x f t f t t f x x

 



      

   

.

Theo giả thiết ta có:

       

 

3 3

2 2

0 0

2 2cos 2 d 2 2cos d

f x f x x f x f x x x x

 

        

 

   

3 3 3

2 2 2

0 0 0

d d 2 sin d

f x x f x x x x

  

   

  

   

3 3

0

2 2

3

0 0 0

2

d d 2 sin d 2 sin d

f x x f x x x x x x

 





   

   

Câu 50. Cho hàm số





y f x



liên tục trên R và thỏa mãn









2 2cos2

f x f x x

   

. Tính

 

2

I f x dx









.

A.

1

I

 

. B.

1

I



. C.

2

I

 

. D.

2

I



.

Lời giải

 

2

I f x dx









(1) Đặt

t x dt dx

    

Đổi cận:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

       

2 2 2

.

I f t dt f t dt f x dx



 

       

  

  

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào

biến số tích phân)

(1) + (2)

   

2 2

2 2 2cos2

I f x f x dx xdx

 

     

 

 

 

 

 

2

2 1 cos2

x dx



  





 

2 2 2

2

2 2 2

2 2cos 2 cos 2 cos 2sin 2 1 1 4

xdx x dx xdx x



  

      

 

 

  

  



  

2

I

 

Chọn D

Câu 51. Cho hàm số liên tục trên và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

.

Đặt , đổi cận , .

Suy ra,

Vậy

Cách 2: ( Trắc nghiệm)

Chọn (Thỏa mãn giả thiết).





f x











2

3 2 tan

f x f x x

  

 

π

4

π

4

d

f x x





π

1

2



π

1

2



π

1

4



π

2



π

4

2

π

4

tan d

x x





4

2

4

1

1 d

cos

x





 

 

 

 



 

π

4

π

4

tan x x



 

π π

1 1

4 4

 

    

 

 

π

2

 

   

π

4

π

4

π

2 3 2 d

2

f x f x x



    

 

 



d d

t x t x

    

π π

4 4

x t

   

π π

4 4

x t

   

   

π

4

π

4

3 2 d

f x f x x



 

 

 



   

π

4

π

4

3 2 d

f t f t t



  

 

 



   

π

4

π

4

3 2 d

f x f x x



  

 

 



   

π π

4 4

π π

4 4

d d

f x x f x x

 

 

 

   

π

4

π

4

π

2 3 2 d

2

f x f x x



   

 

 



 

π

4

π

4

π

2 d

2

f x x



  



 

π

4

π

4

π

d 2

2

f x x



 











2

tan

f x f x x

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó

Câu 52. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





ln2;ln2



và thỏa mãn

   

1

x

f x f x

e

  



.

Biết

 

ln2

d ln2 ln3

f x x a b



 







;a b



. Tính

P a b

 

.

A.

1

2

P



. B.

2

P

 

. C.

1

P

 

. D.

2

P



.

Lời giải

Chọn A

Gọi

 

ln 2

d

I f x x







.

Đặt

t x

 



d

t

x

 

.

Đổi cận: Với

ln 2

x

 



ln2

t



; Với

ln2

x





ln2

t

 

.

Ta được

 

ln2

d

I f t t



  



 

ln2

d

f t t



 



 

ln2

d

f x x



 



.

Khi đó ta có:

2

I

   

ln2 ln2

d d

f x x f x x

 

  

 

   

ln2

d

f x f x x



  

 

 



ln2

1

d

e 1

x









.

Xét

ln2

1

d

e 1

x







. Đặt

e

x

u





d e d

x

u x



Đổi cận: Với

ln 2

x

 



1

2

u



;

ln2

x



2

u

 

.

Ta được

ln2

1

d

e 1

x







 

ln 2

e

d

e e 1

x

x x

x









 

ln2

1

d

1

u

u u









ln2

1 1

d

1

u

u u



 

 

 



 



 

2

1

2

ln ln 1

u u  

ln2



Vậy ta có

1

2

a



,

1

0

2

b a b

   

.

Câu 53. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện









2 3 1 1

   

f x f x x x

. Tính

tích phân

 

1

0





I f x dx

.

A.

4

15

 

I

. B.

1

15



I

. C.

4

75

I

. D.

1

25

I

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức)

Với









2 3 1 1

   

f x f x x x

ta có

2; 3

 

A B

.

Suy ra:

 

1 1

0 0

1

2 3

 



 

f x dx x xdx

 

4

0,05 3

75

 

Casio

.

Áp dụng kết quả

“Cho













. .    

A f ax b B f ax c g x

(Với

2 2



A B

) khi đó

 

π π π

4 4 4

2

π π π

4 4 4

1

d tan xd 1 d 2

cos 2

f x x x x

x



  

 

    

 

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2 2

. .

 

   



   



   





x b x c

A g B g

a a

f x

A B

”

.

Ta có:













2 3 1 1    

f x f x x x g x

 









2 2

2 3 1

2 3

 

 



g x g x

f x





2 1 3 1

5

  





x x x x

.

Suy ra:

 





1 1

0 0

2 1 3 1

5

  

 



 

x x x x

I f x dx dx

 

4

0,05 3

75

 

Casio

.

Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ









2 3 1 1

   

f x f x x x

   

1 1 1

0 0 0

2 3 1 1    

  

f x dx f x dx x xdx

   

4

0, 2 6

15

  

Casio

Đặt 1

    

u x du dx

; Với

0 1

  

x u và

1 0

  

x u .

Suy ra

     

1 1 1

0 0 0

1  

  

f x dx f u du f x dx

thay vào







, ta được:

   

2 2

0 0

4 4

5

15 75

  

 

f x dx f x dx

.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

Câu 54. Cho





f x

và





g x

là hai hàm số liên tục trên





1,1



và





f x

là hàm số chẵn,





g x

là hàm số

lẻ. Biết

 

1

0

5

f x dx





và

 

1

0

7

g x dx





. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

 

1

10

f x dx







. B.

 

1

14

g x dx







.

C.

   

1

10

f x g x dx



 

 

 

. D.

   

1

10

f x g x dx



 

 

 

.

Lời giải

Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh:

Câu 55. Nếu hàm





f x

CHẴN thì

   

0

2

a a

a

f x dx f x dx





 

2. Nếu hàm





f x

LẺ thì

 

0

a

f x dx







Nếu chứng minh thì như sau:

Đặt

     

1

2

1 0 1

1 1 0

A A

A f x dx f x dx f x dx

 

  

  



 

0

1

A f x dx







. Đặt

t x

 

dt dx

  

Đổi cận:

       

0 1 1

1

1 0 0

.

A f t dt f t dt f x dx

       

  

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào

biến số tích phân)

 

1

0

f x dx





(Do





f x

là hàm chẵn









f x f x

  

)

Vậy

     

1 1 1

1 0 0

10

A f x dx f x dx f x dx



   

  

(1)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

     

1

2

1 0 1

1 1 0

B B

B g x dx g x dx g x dx

 

  

  



 

0

1

B g x dx







. Đặt

t x

 

dt dx

  

Đổi cận:

       

0 1 1

1

1 0 0

.

B g t dt g t dt g x dx

       

  

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào

biến số tích phân)

 

1

0

g x dx

 



(Do





f x

là hàm chẵn









g x g x

   

)

Vậy

     

1 1 1

1 0 0

0

B g x dx g x dx g x dx



    

  

(2)

Từ (1) và (2)

Chọn B

Câu 56. Cho hàm số





y f x



là hàm lẻ và liên tục trên





4;4



biết

 

0

2

d 2

f x x



 



và

 

2

1

2 d 4

f x x

 



. Tính

 

4

0

d

I f x x





.

A.

10

I

 

. B.

6

I

 

. C.

6

I



. D.

10

I



.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng công thức:

   

2 2

1 1

1

d d

x x

f ax b x f ax x

a

 

 

và tính chất

 

d 0

a

f x x







với





f x

là hàm số lẻ trên đoạn





;

a a



.

Áp dụng, ta có:



     

2

4 2

2 4

1

1 1

4 2 d d d

2 2

f x x f x x f x x

 

    

  

 

2

4

d 8

f x x



 



.



     

0

0 2

2 0

2

2 d

f x x f x f x



    

  

 

2

0

2

f x

 



Suy ra:

       

4 2 0 4

4 4 2 0

0 d d d d

f x x f x x f x x f x x



  

   

   

   





2 2

2 0

0 8 d d

f x x f x x I



    

 





0 8 0 2 6

I I

       

.

Cách 2: Xét tích phân

 

0

2

d 2

f x x



 



.

Đặt

x t

 

d dt

x

  

.

Đổi cận: khi

2

x

 

thì

2

t



; khi

0

x



thì

0

t



do đó

   

0 0

2 2

d dt

f x x f t



  

 

 

2

0

dt

f t





 

2

0

dt 2

f t

 



 

2

0

d 2

f x x

 



.

Do hàm số





y f x



là hàm số lẻ nên









2 2

f x f x

  

.

Do đó

   

2 2

1 1

2 d 2 d

f x x f x x

  

 

 

2

1

2 d 4

f x x

  



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Xét

 

2

1

2 d

f x x



.

Đặt 2

x t



1

d dt

2

x 

.

Đổi cận: khi

1

x



thì

2

t



; khi

2

x



thì

4

t



do đó

   

2 4

1 2

1

2 d dt 4

2

f x x f t

  

 

 

4

2

dt 8

f t

  



 

4

2

d 8

f x x

  



.

Do

 

4

0

d

I f x x





   

2 4

0 2

d d

f x x f x x

 

 

2 8 6

   

.

Câu 57. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn





y f x

 liên tục trên



và





1

2

d 8

1 5

x

f x

x









. Giá trị của

 

2

0

d

f x x



bằng:

A.

8

. B.

2

. C.

1

. D.

16

.

Lời giải

Chọn D

+) Ta có





1

2

8 d

1 5

x

f x

x

















0 1

1 0

2 2

d d

1 5 1 5

x x

f x f x

x x



 

 

 

. (1)

Xét





0

1

2

d

1 5

x

f x

I x









:

Đặt

t x

 

d d

t x

  

. Đổi cận:

1

x

 

1

t

 

và

0

x



0

t

 

. Khi đó





 

0

1

2

d

1 5

t

f t

I t



 









1

0

2

d

1 5

t

f t

t













1

0

5 2

d

5 1

t

f t

t









.

Vì





y f x

 là hàm chẵn trên



nên









2 2

f t f t

  , t

 



.

Do đó





1

0

5 2

d

5 1

t

f t

I t











1

0

5 2

d

5 1

x

f x

x







. Thay vào (1) thu được









1 1

0 0

5 2 2

8 d d

5 1 1 5

x

x x

f x f x

x x

 

 

 









1

0

5 1 2

d

5 1

x

f x

x









 

1

0

2 d

f x x





.



   

1

0

1

2 d 2 8

2

f x x







 

2

0

d 16

f t t





.

Câu 58. Cho





f x

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn





1; 1



và

 

1

d 2

f x x







. Kết quả





1

d

1 e

x

f x

I x









bằng

A.

1

I



. B.

3

I



. C.

2

I



. D.

4

I



.

Lời giải

Chọn A













1 0 1

1 2

1 1 0

d d d

1 e 1 e 1 e

x x x

f x f x f x

I x x x I I

 

    

  

  

Xét





0

1

d

1 e

x

f x

I x









Đặt

d d

x t x t

    

,

đổi cận:

0 0

x t

  

,

1 1

x t

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





 





0 1

1

1 0

e .

d d

1 e 1 e

t

t t

f x f x

I t t



  

 

 

.

Lại có









1 1

0 0

e . e .

d d

1 e 1 e

t x

f t f x

t x



 

 

.

Suy ra:

     









   

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 e .

e .

1

d d d d d d 1

1 e 1 e 1 e 1 e 2

t

x t t t

f t

f x f t f t

I x t x t f t t f t t

 



      

   

     

.

Câu 59. Cho





y f x



là hàm số chẵn và liên tục trên

.



Biết

   

1 2

0 1

1

d d 1

2

f x x f x x

 

 

. Giá trị của





2

d

3 1

x

f x

x







bằng

A.

1

. B.

6

. C.

4

. D.

3

.

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn

Ta có:





 

0

d d

1

a a

x

a

f x

x f x x

b







 

, với





f x

là hàm số chẵn và liên tục trên





;

a a



.

Áp dụng ta có:





     

2 2 1 2

2 0 0 1

d d d d 1 2 3

3 1

x

f x

x f x x f x x f x x



     



   

Cách 2: Do

 

1

0

d

f x x





 

2

1

d 1

2

f x x





 

1

0

d 1

f x x

 



và

 

2

1

d 2

f x x





   

1 2

0 1

d d

f x x f x x

 

 

 

2

0

d 3

f x x

 



.

Mặt khác





2

d

3 1

x

f x

x

















0 2

2 0

d d

3 1 3 1

x x

f x f x

x x





 

 

và





y f x



là hàm số chẵn, liên tục trên











f x f x x

    



.

Xét





0

2

d

3 1

x

f x

I x









. Đặt

d d

t x x t

    

Suy ra





0

2

d

3 1

x

f x

I x



 









0

2

d =

3 1

t

f t

t











2

0

d =

1

3

t

f t

t











2

0

3

d =

3 1

t

f t

t









2

0

3

d

3 1

x

f x

x









2

d

3 1

x

f x

x



 













0 2

2 0

d d

3 1 3 1

x x

f x f x

x x



 

 

 









2 2

0 0

3

d d

3 1 3 1

x

x x

f x f x

x x

 

 

 









2

0

3 1

d

3 1

x

f x

x









 

2

0

d 3

f x x





.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

“ Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





g f x x

 



 

và





g t

là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc

nghịch biến) trên



.Hãy tính tích phân

 

b

a

I f x dx





“

Cách giải: Đặt













y f x x g y dx g y dy



    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đổi cận





 

x a g y a y

x b g y b y







    





    





Suy ra

   

b

a

I f x dx yg y dy





 

 

Câu 60. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









3

,f x f x x x

   



. Tính

 

2

0

I f x dx





A.

2

I



. B.

3

2

I



. C.

1

2

I



. D.

5

4

I



.

Lời giải

Chọn D

Đặt









3 2

3 1

y f x x y y dx y dy

      

Đổi cận

3

0 0 0

2 2 1

x y y y



     





     





Khi đó

 

   

2 1 1

2 3

0 0 0

5

3 1 3

4

I f x dx y y dy y y dy

      

  

đáp án D

Câu 61. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn













3 2

2 3 6

f x f x f x x

  

, x

 



. Tính tích

phân

 

5

0

d

I f x x





.

A.

5

4

I



. B.

5

2

I



. C.

5

12

I



. D.

5

3

I



.

Lời giải

Chọn B

Đặt





3 2

2 3 6

y f x x y y y

    





2

d 6 1 d

x y y y

    .

Đổi cận: với

3 2

0 2 3 6 0 0

x y y y y

      

và

3 2

5 2 3 6 5 1

x y y y y

      

.

Khi đó

 

1 1

2

0 0

d .6 1 d

I f x x y y y y

   

 

 

1

3 2

0

5

6 d

2

y y y y

   



.

Câu 62. Cho hàm số





f x

liên tục trên



thỏa mãn









3

2 1

x f x f x

  

, x

 



. Tính

 

1

2

d

I f x x







.

A.

7

4

I



. B.

7

2

I



. C.

7

3

I



. D.

5

4

I



.

Lời giải

Chọn A

Đặt









3 2

2 1 d 3 2 d

y f x x y y x y y

          .

Đổi cận: Với

3

2 2 1 2 1

x y y y

      

;

3

1 2 1 1 0

x y y y

      

.

Khi đó:

 

0

2

1

7

3 2 d

4

I y y y

   



.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

Bài toán: “ Cho









2

.

f x f a b x k

  

, khi đó

 

d

2

b

a

x b a

I

k f x k



 





Chứng minh:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

t a b x

  

 

2

dt dx

k

f x

f t

 















và

x a t b

  

;

x b t a

  

.

Khi đó

 





 

2

f d

d d 1

b b b

a a a

x x

I

k

k f x k k f x

k

f t

  

 



  

.

 





 

f d

d 1

2

b b

a a

x x

x

I

k f x k k f x

  

 

 

 

1 1

d

b

a

x b a

k k

 



2

b a

I

k



 

.

Câu 63. Cho hàm số





f x

liên tục và nhận giá trị dương trên





0;1

. Biết









. 1 1

f x f x

 

với





0;1

x 

. Tính giá trí

 

1

0

d

1

x

I

f x







A.

3

2

. B.

1

2

. C.

1

. D.

2

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

















1 1

f x f x f x f x

   





   

1

1 1 1

f x

f x f x



  

Xét

 

1

0

d

1

x

I

f x







.

Đặt

1 1

t x x t

    

d d

x t

  

. Đổi cận:

0 1

x t

  

;

1 0

x t

  

.

Khi đó

     





 

0 1 1 1

1 0 0 0

d

d d d

1 1 1 1 1 1 1

f x x

t t x

I

f t f t f x f x

    

      

   

Mặt khác

 





 





1 1 1 1

0 0 0 0

d 1

d

d d 1

1 1 1 ( )

f x x f x

x

x x

f x f x f t



   

  

   

hay

2 1

I



. Vậy

1

2

I



.

Câu 64. Cho hàm số





f x

liên tục trên



, ta có





0

f x



và









0 . 2018 1

f f x

 

. Giá trị của tích

phân

 

2018

0

d

1

x

I

f x







A.

2018

I



. B.

0

I



C.

1009

I



D.

4016

Lời giải

Chọn C

ta có

I



 

2018

0

1 2018 0

d 1009

1 2.1

x

f x



 





.

Câu 65. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm, liên tục trên



và





0

f x



khi





0;5

x

.

Biết









. 5 1

f x f x

 

,

tính tích phân

 

5

0

d

1

x

I

f x







.

A.

5

4

I



. B.

5

3

I



. C.

5

2

I



. D.

10

I



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

5

x t

 

d d

x t

  

0

5

x

t



 

; 5

0

x

t



 

 





 

0 5

5 0

d

1 5 1

I

f t t

t

f t f t



 

 



 

(do

 

1

5f

f

t

 

)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

5

0

2 d 5

I t

  



5

2

I

 

.

Câu 66. Cho hàm số





y f x



liên tục trên



và thỏa mãn









4

f x f x

 

. Biết

 

3

1

d 5

xf x x





. Tính

tích phân

 

3

1

d

f x x



.

A.

5

2

. B.

7

2

. C.

9

2

. D.

11

2

.

Lời giải

Chọn A

Đặt 4

t x

 

d d

t x

  

và

1 3

x t

  

;

3 1

x t

  

.

Khi đó:

     

3 3

1 1

5 d 4 4 d

xf x x t f t t

   

 

       

3 3

1 1

4 4 d 4 d

x f x x x f x x

    

 

.

Suy ra:

     

3 3

1 1

10 d 4 d

xf x x x f x x

  

 

 

3

1

5

4 d

2

f x x

 



.

Câu 67. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên R và





0

f x



khi x  [0; a] (

0

a



). Biết









. 1

f x f a x

 

, tính tích phân

 

0

1

a

dx

I

f x







.

A.

2

a

I



. B.

2

I a



. C.

3

a

I



. D.

4

a

I



.

Lời giải:

 

0

1

a

dx

I

f x







(1) Đặt

t a x dt dx

    

Đổi cận:

     

0

0 0

1 1

1 1 1

a a

a

dt

I dt dx

f a t f a t f a x

    

     

  

(2) (Tích phân xác định không phụ

thuộc vào biến số tích phân)

(1) + (2)

   

0

1 1

2

1 1

a

I dx

f x f a x

 

  

 

  

 











       









   

2

0 0

1 1 2

1 . 2

a

f a x f x f a x f x

dx dx dx a

f x f a x f x f a x f a x f x

      

   

       

 

2

a

I

 

Chọn A

Câu 68. Cho





f x

là hàm liên tục trên đoạn





0;

a

thỏa mãn









 

 

. 1

0, 0;

f x f a x

f x x a

 







  





và

 

0

d

,

1

a

x ba

f x c







trong đó

b

,

c

là hai số nguyên dương và

b

c

là phân số tối giản. Khi đó

b c



có giá trị thuộc

khoảng nào dưới đây?

A.





11;22 .

B.





0;9 .

C.





7;21 .

D.





2017;2020 .

Lời giải

Chọn B

Cách 1. Đặt

d d

t a x t x

    

Đổi cận

0 ; 0.

x t a x a t

     

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lúc đó

     

 





 

0

0 0 0 0

d

d d d d

1

1 1 1 1

1

a a a a

a

f x x

x t x x

I

f x f a t f a x f x

f x



    

     



    

Suy ra

 





 

0 0 0

d

2 1d

1 1

a a a

f x x

x

I I I x a

f x f x

     

 

  

Do đó

1

1; 2 3.

2

I a b c b c

      

Cách 2. Chọn





1

f x



là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được

1

1; 2 3.

2

I a b c b c

      

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6

Câu 69. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;4

, đồng biến trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

đẳng thức





2 .

x x f x



 

2

f x





 

 

,





1;4

x 

. Biết rằng

 

3

1

2

f



, tính

 

4

1

d

I f x x





?

A.

1186

45

I 

. B.

1174

45

I 

. C.

1222

45

I 

. D.

1201

45

I 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có





2 .

x x f x



 

2

f x





 

 









. 1 2

x f x f x



  





 

1 2

f x

x

f x



 



,





1;4

x 

.

Suy ra





 

d d

1 2

f x

x x x C

f x



 



 





 

d

d d

1 2

f x

x x x C

f x

  



 

 

3

2

1 2

3

f x x C

   

. Mà

 

3

1

2

f



4

3

C

 

. Vậy

 

2

3

2

2 4

1

3 3

2

x

f x

 

 

 

 



.

Vậy

 

4

1

1186

d

45

I f x x 



.

Câu 70. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



thỏa mãn

 

3 2

1

2

3 .e 0

f x x

x

f x

 



 

và





0 1

f



. Tích phân

 

7

0

. d

x f x x



bằng

A.

2 7

3

. B.

15

4

. C.

45

8

. D.

5 7

4

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

3 2

1

2

3 .e 0

f x x

x

f x

 



 



   

 

3

2

2 1

3 . .e 2 .e

f x

x

f x f x x







Suy ra

 

3

2

1

e e

f x

x

C



 

. Mặt khác, vì





0 1

f



nên

0

C



.

Do đó

 

3

2

1

e e

f x

x









3 2

1

f x x

  

 

3

2

1

f x x

  

.

Vậy

 

7

0

. d

x f x x



7

3 2

0

. 1 d

x x x

 



 

7

3 2 2

0

1

1 d 1

2

x x

  



 

7

32 2

0

3

1 1

8

x x

 

  

 

45

8



.

Câu 71. Cho hàm số





4 3 2

4 3 1

f x x x x x

    

, x

 



. Tính

   

1

2

0

. d

I f x f x x







.

A.

2

. B.

2



. C.

7

3



. D.

7

3

.

Lời giải

Chọn D

Đặt









d d

t f x t f x x



  

. Đổi cận:





0 0 1

x t f

   

,





1 1 2

x t f

   

.

Khi đó

2

3

2

1

8 1 7

d

3 3 3 3

t

I t t

    



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 72. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên khoảng





0;1

và





0

f x



,





0;1

x 

. Biết rằng

1

2

f a

 



 

 

,

3

2

f b

 



 

 

và









2 4

x xf x f x



  

,





0;1

x 

. Tính tích phân

 

23

2

6

sin .cos 2sin2

sin

d

x x x

I x

f x









theo

a

và

b

.

A.

3

4

a b

I

ab





.

B.

3

4

b a

I

ab





. C.

3

4

b a

I

ab





. D.

3

4

a b

I

ab





.

Lời giải

Chọn D





0;1

x 

ta có:









2 4

x xf x f x



  









4 2

x f x xf x



   









2 2

4 2

x x xf x x f x



   

 









 

2

2 2

2

4

xf x x f x

x x

f x f x







 

   

2 2

2

4x x x

f x f x



 



 

 

 

.

Tính

   

2 23 3

2 2

6 6

sin .cos 2sin2 sin .cos 4sin .cos

sin sin

d d

x x x x x x x

I x x

f x f x

 

 

 

 

Đặt sin cos

d d

t x t x x

  

, đổi cận

1

6 2

x t



  

,

3

3 2

x t



  

.

Ta có

 

3

2

1

2

4

d

t t

I t

f t







 

3

2

1

2

t

f t



2

3

1

2

1

3

2

f

 

 

   

 

   

 

 

3 1 3

4 4 4

a b

b a ab



  

.

Câu 73. Cho hàm số

f

liên tục,





1

f x



,





0 0

f



và thỏa

   

2

1 2 1

f x x x f x



  

. Tính





3

f

.

A.

0

. B.

3

. C.

7

. D.

9

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   





 

2

1 2 1

1

f x

x

f x x x f x

f x

x



    







 

   

3 3

3

3 3

2

0 0

0

0 0

2

d d 1 1 1 1

1

f x

x

x x f x x f x

f x

x



        



 





 









3 1 0 1 1 3 1 2 3 3

f f f f

         

.

Câu 74. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và

 

5

2

d 4

f x x





,





5 3

f



,





2 2

f



. Tính

 

2

3 2

1

1 d

I x f x x



 



A.

3

. B.

4

. C.

1

. D.

6

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

1

t x

 

d 2 d

t x x

 

.

1 2

x t

  

;

2 5

x t

  

. Khi đó

   

5

2

1

1 d

2

I t f t t



 



.

Đặt

1 d d

u t u t

   

;





d d ,

v f t t





chọn





v f t



.

     

5

2

1 1

1 d

2 2

I t f t f t t

  



   

 

1

4 5 2 2 3

2

f f

   

.

Câu 75. Cho hàm số





f x

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





2 1

ln

f x

x

f x

x



 

. Tính tích phân

 

4

3

d

I f x x





.

A.

2

3 2 ln 2

I  

. B.

2

2ln 2

I



. C.

2

ln 2

I



. D.

2ln2

I



.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

4

1

d

f x x







4

1

2 1

ln

d

f x

x

 



 

 

 

 







4 4

1 1

2 1

ln

d d

f x

x

x x

x



 

 

.

Xét





4

1

2 1

d

f x

K x

x







.

Đặt

2 1

x t

 

1

2

t

x



 

d

x

t

x

 

.

 

3

1

d

K f t t

 



 

3

1

d

f x x





.

Xét

4

1

ln

d

x

M x

x





 

4

1

ln d ln

x x





4

2

1

ln

2

x

 

2

2 ln 2

.

Do đó

   

4 3

2

1 1

d d 2ln 2

f x x f x x 

 

 

4

2

3

d 2ln 2

f x x 



.

Câu 76. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và thỏa mãn

 





16

2

1

4

cot . sin d d 1

f x

x f x x x

x



 

 

. Tính tích

phân





1

8

4

d

f x

x



.

A.

3

I



. B.

3

2

I



. C.

2

I



. D.

5

2

I



.

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

2

1

4

cot . sin d 1

I x f x x



 



,





16

2

1

d 1

f x

I x

x

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 Đặt

2

sin

t x



d 2sin .cos d

t x x x

 

2

2 sin .cot d

x x x



2 .cot d

t x x



.

x

4



2



t

1

2

1

 

2

1

4

cot . sin d

I x f x x







 

1

2

1

. d

2

f t t

t









1

2

1

d

2

f t

t





 

1

4

1

8

4

1

d 4

2 4

f x

x





 

1

4

1

8

4

1

d

2

f x

x





.

Suy ra

 

1

4

1

8

4

d 2 2

f x

x I

x

 



Đặt

t x



2 d d

t t x

 

.

x

1

16

t

1

4





16

2

1

d

f x

I x

x









4

2

1

2 d

f t

t t

t









4

1

2 d

f t

t









 

1

4

2 d 4

4

f x

x









1

4

2 d

f x

x





.

Suy ra





1

2

1

4

1 1

d

2 2

f x

x I

x

 



Khi đó, ta có:

     

1

1 1

4

1 1 1

8 8 4

4 4 4

d d d

f x f x f x

x x x

 

  

1 5

2

2 2

  

.

Câu 77. Xét hàm số





f x

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện





 

2 2

4 . 3 1 1

x f x f x x

   

. Tích

phân

 

1

0

d

I f x x





bằng:

A.

4

I





. B.

6

I





. C.

20

I





. D.

16

I





.

Lời giải

Chọn C

Vì





f x

liên tục trên





0;1

và





 

2 2

4 . 3 1 1

x f x f x x

   

nên ta có

 

1 1

2 2

0 0

4 . 3 1 d 1 d

x f x f x x x x

 

   

 

 

 

1 1 1

2 2

0 0 0

4 . d 3 1 d 1 d

x f x x f x x x x

    

  





1

.

Mà

 

1

2

0

4 . d

x f x x



   

1

2 2

0

2 d

f x x





 

2

1

0

2 d

t x

f t t







2

I



và

 

1

0

3 1 d

f x x





   

1

0

3 1 d 1

f x x

   



 

1

0

3 d

u x

f u u

 





3

I



Đồng thời

1

2

0

1 d

x x





2

sin

2

0

1 sin .cos d

x t

t t t





 



2

0

cos d

t t







 

2

0

1

1 cos 2 d

2

t t



 



4





.

Do đó,





1



2 3

4

I I



 

hay

20

I





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 78. Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

2

0

9

d

5

f x x





 

 



và

 

1

0

2

d

5

f x x





. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

3

5

I



. B.

1

4

I



. C.

3

4

I



. D.

1

5

I



.

Lời giải

Chọn B

Đặt

2

d 2d

t x t x x t t

    

. Đổi cận

0 0; 1 1

x t x t

     

Suy ra

 

1 1

0 0

d 2 . d

f x x t f t t



 

 

1

0

1

. d

5

t f t t

 



. Do đó

 

1

0

1

. d

5

x f x x

 



Mặt khác

     

1

1 1

2 2

0 0

0

. d d

2 2

x x

x f x x f x f x x



 

 

 

1

2

0

1

d

2 2

x

f x x



 



.

Suy ra

 

1

2

0

1 1 3

d

2 2 5 10

x

f x x



  



 

1

2

0

3

d

5

x f x x



 



Ta tính được

 

1

2

0

9

3 d

5

x x





.

Do đó

   

 

1 1 1

2

2 2

0 0 0

d 2 3 d 3 d 0

f x x x f x x x x

 

  

 

 

  

 

1

2

0

3 d 0

f x x x



  







2

3 0

f x x



  





2

3

f x x



 





3

f x x C

  

.

Vì





1 1

f



nên





3

f x x



Vậy

 

1 1

3

0 0

1

d d

4

I f x x x x

  

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1:

Câu 1. (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết

3

2

0

3

d ln

cos

x

I x b

x a



  



. Khi đó, giá trị của

2

a b



bằng

A.

11

. B.

7

. C.

13

. D.

9

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

d d

1

tan

d d

cos

u x

v x

x













 









3 3 3

3

0

0 0 0

sin d 3 d(cos )

tan tan d . 3

3 cos 3 cos

x x x

I x x x x

x x

  



 

     

  

3

0

3 3 1 3

ln cos ln ln1 ln2

3 3 2 3

x



  

      

3; 2

a b

  

. Vậy

2

11

a b

 

.

Câu 2. Tích phân

4

0

d ln2

1 cos 2

x

x a b

x



 





, với

a

,

b

là các số thực. Tính

16 8

a b



A.

4.

B.

5.

C.

2.

D.

3.

Lời giải

Chọn A

Đặt

d d

d

1

d

tan

1 cos2

2

u x

x

v

v x

x

 

 

 



 

 

 





. Ta có

4

0

1 1 1 1 1 1 1 1

tan tan d ln cos ln ln 2 ,

4 4

2 2 8 2 8 2 8 4 8 4

2

0 0

I x x x x x a b



 

  

           



Câu 3. Biết

3 23

6 3

3

sin 3

d 3

1

x

x c d

a b

x x



 





   

 



với

, , ,

a b c d

là các số nguyên. Tính

a b c d

  

.

A.

28

a b c d

   

. B.

16

a b c d

   

. C.

14

a b c d

   

. D.

22

a b c d

   

.

Lời giải

Chọn A

( ).

b

x

a

P x e dx



( ).cos

b

a

P x xdx



( ).sin

b

a

P x xdx



( ). n

b

a

P x l xdx



u P(x) P(x) P(x) lnx

dv

x

e dx

cos

xdx

sin

xdx

P(x)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





 

6 3

3 3 3

6 3

6 6

6 3

3 3 3

1 sin

sin

d d 1 sin d

1

x x x

x

I x x x x x x

x x

  

  

 

    

 

 

  

.

Đặt

t x dt dx

    

. Đổi cận

3 3

x t

 



   







   





.

 

  

   

3 3 3

6 3 6 3 6 3

3 3 3

1 sin 1 sin 1 sin

I t t t dt t t tdt x x xdx

  



 

            

  

Suy ra

 

3 3

2 2 sin sin

I x x dx I x xdx

 

 

    

 

.

 

3 2

3

cos 3 sin 6 cos 6sin 2 6 3

27 3

I x x x x x x x



 





       

Suy ra:

27, 3, 2, 6

a b c d

     

. Vậy

28

a b c d

   

.

Câu 4. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân

2

0

.sin d

I x x x a b



  







,a b



, Mệnh

đề nào sau đây đúng?

A.

3

a

b

 

. B.

2

4

a b

  

. C.

 

1;0

a

b

 

. D.

6

a b

 

.

Lời giải.

Chọn C

Đặt

x t



2

x t

 

d 2 d

x t t

 

.

x

0

2



t

0



Ta có:

2

0

2 sin d

I t t t







.

Đặt

2

d 4 d

2

cos

d sin d

u t t

u t

v t

v t t



 



 

 





.

Suy ra

2

0

2 cos 4 cos d

I t t t t t



  



.

Đặt

1 1

4 d 4d

d cos d sin

u t u t

v t t v t

 

 



 

 

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

2

0

2 cos 4 sin 4sin d

I t t t t t t



   







2

0

2 4cos

t



   

2

2 8



 

.

Do đó

2; 8

a b

  

 

1;0

a

b

   .

Câu 5. Cho biết

 

1

2

0

d .

2

x

x e a

x e c

b

x

 





với

a

,

c

là các số nguyên,

b

là số nguyên dương và

a

b

là phân

số tối giản. Tính

a b c

 

.

A.

3

. B.

0

. C.

2

. D.

3



.

Lời giải

Chọn D

Đặt

2 d d

t x t x

   

, đổi cận

0 2

x t

  

,

1 3

x t

  

.

Ta có

 

1

2

0

e

d

2

x

I x

x







 

2

3

2

2 e

d

t







3

2

4 4

1 e d

t

t t



 

  

 

 



3 3

2 2

2

2 2

4 4

e d e d

t t

 

 

   

 

 

 

+ Tính

3

2

1

2

e d

t

I t







3

2

e e 1

t

  

.

+ Tính

3

2

4 4

e d

t

I t

t t



 

  

 

 



.

Đặt

2

4 4

d d

u u t

t t

   

,

2 2

d e d e

t t

v t v

 

  

Ta có

3

2

4

e d

t





3

2

4

.e

t





3

2

4

e d

t







3

2

4 4

e d

t

I t

t t



 

   

 

 



4

e 2

3

  

.

Suy ra

1

e 1

3

I



 

1

a

  

,

3

b



,

1

c



. Vậy

3

a b c

  

.

Câu 6. (Chuyên Thái Bình Lần 3) Biết

12

1

12

1

c

x

x d

a

x e dx e

x b



 

  

 

 



trong đó

, , ,

a b c d

là các số nguyên

dương và các phân số

,

a c

b d

là tối giản. Tính

bc ad



.

A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

12 12 12

1 1 1

2 2

1 1 1

12 12 12

1 1

1 1 1

x x x

I x e dx x e dx e dx

x x

  

 

   

     

   

 

   

 

  

.

Đặt:

1

2

1

x

u x

du dx

dv e dx

v e

x











 



 

 

 

 

  



 



.

Khi đó:

12

12 12 12 12

1 1 1 1 1

2

1

1 1 1 1

12

12 12 12 12

1

1 .

x x x x x

I x e dx e dx x e e dx e dx

x

    

 

     

 

 

   

1 1 145

12 12

12 12 12

1 143

12

12 12

e e e

 

  

.

Vậy:

143; 12; 145; 12.

a b c d

   

Dó đó:

12.145 143.12 24

bc ad

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 7. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết

 

2

1

2

1

p

x

q

x

x e dx me n



  



, trong đó

, , ,

m n p q

là các số nguyên dương và

p

q

là phân số tối giản.

Tính

T m n p q

   

.

A.

11

T



. B.

10

T



. C.

7

T



. D.

8

T



.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

   

1 1

2 2

1 1

2

1 1

2

1 1

1 2 1 1 2

x x x x

I x e dx x x e dx x e dx xe dx

   

       

   

Xét

 

1

2 2 2 2

1

1 1 1

2

1

2 2 2

2

1

1 . . .

1

x x x x

x

I x e dx x e dx x e d xx

x

d e

x

   

 



 

    

 







   

 

2 2

1 1

1

2

1

2 2

2

x x x x

x e e d x x e xe dx

   

   

 

1 1

2 2

2

1

1 1

1

3

2 2

2

2 4 1

x x x

I xe dx x e I x e e

  

      



Do

 

2

1

2

1

p

x

q

x

x e dx me n



  



, trong đó

, , ,m n p q







và

p

q

là phân số tối giản

4

1

3

2

m

n

p

q























Khi đó,

4 1 3 2 10

T m n p q

        

.

Câu 8. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng





2 2

cos 3 d cos3 sin 3

  



x x

e x x e a x b x c

, trong đó

a

,

b

,

c

là các hằng số, khi đó tổng



a b

có giá trị là

A.

5

13



. B.

1

13

. C.

5

13

. D.

1

13



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

2

d 2 d

1

d cos3 d

sin3

3













 









x

u e x

u e

v x x

v x

.

Ta có

2

cos 3 d



x

e x x

2 2

1 2

sin3 sin3

3 3

 



x x

e x e x

.

Đặt

2

d 2 d

1

d sin3 d

cos3

3













 



 







x

u e x

u e

v x x

v x

Ta có

2

cos 3 d



x

e x x

2 2 2

1 2 4

sin3 cos3 cos3 d

3 9 9

  



x x x

e x e x e x x

2 2 2

1

13 1 2

cos3 d sin3 cos3

9 3 9

   



x x x

e x x e x e x C

2 2

2 3

cos3 d cos3 sin3

13 13

 

   

 

 



x x

e x x e x x C

.

Suy ra

2

13



a

và

3

13



b

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

5

13

 

a b

.

Cách khác:

Ta có

 

2 2

cos3 d cos3 sin 3

x x

e x x e a x b x c

 

  

 











2 2 2

cos3 2 cos3 sin3 3 sin3 3 cos3

x x x

e x e a x b x e a x b x

     









2 2

cos 3 2 3 cos3 3 2 sin 3

x x

e x e a b x a b x

 

     

 

Đồng nhất biểu thức ta có

2

2 3 1

13

3 2 0 3

13

a

a b

b







 







 

  











.

Vậy

5

13

 

a b

.

Câu 9. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân

4

2

0

sin2 sin 2 1 2 1

d ln ln2

cos

2 1

x x x

x c

x a b



 

  





(với

, ,

a b c

là các số nguyên). Khi đó

a b c

 

bằng

A.

2

. B.

4

. C.

1



. D.

1

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

4 4 4

2 2

0 0 0

sin2 sin 2sin sin

d d d

cos cos cos

x x x x x x

x x x

  



 

  

 

4

0

4

0

1 2

2 d cos 2ln cos 2ln ln2

cos 2

x I x I I I

x



         



.

Tính

4

2

0

sin

d

cos

x x

I x

x







.

Đặt:

u x



và

2

sin

d d

cos

x

v x

x

 , ta có

d d

u x



và

1

cos

v

x

 .

Khi đó:

4

0

1

d

cos cos

x

I x

x x



 



4

2

0

cos

2 d

4 1 sin

x



 





 

4

2

0

1

2 d sin

4 sin 1

x



 





4

0

1 sin 1

2 ln

4 2 sin 1

x





 



1

2

2 ln

1

4 2

1

2





 



1 2 1

2 ln

4 2

2 1





 



.

Vậy

4

2

0

sin2 sin 1 2 1

d ln2 2 ln ln2

cos 4 2

2 1

x x x

x I

x



 

     





.

Suy ra:

4

2

1

a

b

c

 















1

a b c

    

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 10. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho





1

2

0

15 ln 3 ln5

I x x dx a b c     



với

, ,a b c





. Tính tổng

a b c

 

.

A.

1

. B.

5

2

. C.

1

3

. D.

1

3



.

Lời giải

Chọn B

Đặt

2

1

15

x

du dx

u x x

x

dv dx

v x



 



 



 

  



 



 











.

Ta có:

 

1

2

0

15 1

15

x

I x x x x dx

x

 

    

 



 



1

2

0

15

5 15

15

x x dx

x

 

    

 



 







1 1

2

0 0

15

5 15 5

15

x x dx dx I J

x

       



 

.

Suy ra:

5

2 2

J

I

 

.

Tính





1

2

0

15

15ln 15

15

J dx x x

x

   





15ln5 15ln 15

 

15 15

15ln5 ln3 ln5

2 2

  

15 15

ln3 ln5

2 2

  

.

Vậy

5 15 15

ln3 ln 5

2 4 4

I   

.

Do đó

5 15 15

; ;

2 4 4

a b c

   

.

Vậy

5

2

a b c

  

.

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2:

Câu 11. Cho biết tích phân với là các ước nguyên của 4.

Tổng

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1

Lời giải

.

Ta có

Chọn A

 

4 2

2

1

. .

2 ln

4

e

a e b e c

I x x x dx

 

  



, ,

a b c

?

a b c

  

 

2 3

1 1 1

2 ln 2 ln

e e e

I x x x dx x dx x xdx

   

  

 

3 4 4

1

1 1

2 1

2 2

e

x dx x e

  



2

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

ln ln

1 1

2 2 2 4

e e

e

x xdx x x x dx e x

x

 



    

 

 

 

   

2 4 2

2 4

1

1 1 2e 1

2 ln 1

2 4 4

e

e e

I x x x dx e

  

     



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 12. (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết

 

3

2

0

ln 16 d ln5 ln 2

2

c

x x x a b

   



, trong đó

a

,

b

,

c

là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức

T a b c

  

A.

2

T

 

. B.

16

T



. C.

2

T



. D.

16

T

 

.

Lời giải

Chọn D

Đặt

2

16

t x

 

d 2 d

t x x

 

d

2

t

x x

 

.

Đổi cận:

0 16

x t

  

;

3 25

x t

  

.

 

3 25

2

0 16

1

ln 16 d ln d

2

I x x x t t

  

 

.

Đặt

ln

d d

u t

v t











1

d d

u t

t

v t

















.

25

16

1

ln d

2

I t t





 

25

16

1 1

ln d

2 2

t t t

 



9

25ln5 32ln2

2

  

.

Vậy

T a b c

  

25 32 9

  

16

 

.

Cách 2.

Đặt

 

2

2 2

2

d d

ln 16

16

d d

8

2 2

x

u x

x

x x

v x x

v









 

 





 









  





.

   

3 3

2

2 2

0 0

3

16

ln 16 d .ln 16 d

2

0

x

I x x x x x x



    

 

9

25ln5 32ln2

2

  

Vậy

T a b c

  

25 32 9

  

16

 

.

Câu 13. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho

 

1

2

0

ln 2 d ln3 ln2

I x x x a b c

    



với

a

,

b

,

c

là các số hữu

tỷ. Giá trị của

a b c

 

bằng

A.

3

2

. B.

1

. C.

0

. D.

2

.

Lời giải

Chọn C

Đặt





2

ln 2

d d

u x

v x x



 











2

d

2

x

du x

x

v





















.

Khi đó,

   

1

1 1

2 2

2

0 0

0

2

ln 2 d ln 2 . d

2 2 2

x x x

I x x x x x

x

 

    

 



 

 

 

1

2 3

2

0

ln 2 d 1

2 2

x x

x

 

  

 



 



.

Xét

1 1 1 1

3

1

2 2 2

0 0 0 0

2 2

d = d d d

2 2 2

x x x

I x x x x x x

x x x

 

   

 

  

 

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





1

2

1

2

0

d 2

2 2

x



 





 

1

2

1

2

0

ln 2

2

x

x  

1

ln3 ln2

2

   .

Thay vào





1

, suy ra

1 1

ln3 ln3 ln 2

2 2

I    

3 1

ln3 ln2

2 2

  

.

Vậy

3

2

1

2

a

b

c







 





 



0

a b c

   

.

Câu 14. Tính tích phân

2

2018

2

1

2019log d

ln2

I x x x

 

 

 

 



.

A.

2017

2

I



. B.

2019

2

I



. C.

2018

2

I



. D.

2020

2

I



.

Lời giải

Chọn B

2

2018

2

1

2019log d

ln2

I x x x

 

 

 

 



2 2

2018 2018

2

1 1

1

2019 log d d

ln 2

x x x x x

 

 

1 2

1

2019

ln 2

I I

 

.

Trong đó

2

2019

2018

2

1

d

2019

x

I x x 



2019

2 1

2019





.

và

2

2018

1 2

1

log d

I x x x





. Đặt

2

2018

log

d d

u x

v x x











2019

1

d d

.ln 2

2019

u x

x

v



















.

Khi đó

2

2019

1 2 2

1

.log

2019 2019.ln2

x

I x I

 

 

 

 

2019 2019

2 1 2 1

.

2019 2019.ln2 2019



 

2019 2019

2

2 2 1

2019 2019 .ln2



 

.

Vậy

2019

2

I



.

Câu 15. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Biết

 

e

2

1

ln 2

d ln

e+1 e+1

1

x a

x b c

x

  





với , ,a b c





. Tính

a b c

 

.

A.

1



. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

2

ln

1

d d

1

u x

v x

x

















1

d d

1

u x

x

v

x























.

 

e e

2

1 1

e

ln ln 1

d d

1

1 1

1

x x

x x x

x

  

 



 

=

e

1

1 1 1

d

e+1 1

x

x x

 

  

 



 



.

=

 

e

1

ln ln 1

1

e+1

x x    =

 

1

1 ln e 1 ln1 ln2

e+1

     

.

=

1 2

ln 1

e+1 e 1

  



=

2

ln

e+1 e+1

a

b c

 

1; 1; 1 1

a b c a b c

        

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương

a

của phương trình

 

2

1

2 1 ln d ln 9

a

x x x a a a

   



thuộc khoảng nào sau đây?

A.





1;3

. B.





3;5

. C.





5;7

. D.





7;10

.

Lời giải

Chọn C

Đặt

ln

u x



và





d 2 1 d

v x x

 

, ta có

1

d d

u x

x

 và

2

v x x

 

.

Khi đó, đặt

 

   

2 2

1

1 1

1

2 1 ln d ln d

a a

a

I x x x x x x x x x

x

     

 

.

 

2

1

ln 1 d

a

a a a x x

   



 

2

1

ln

2

a

x

a a a x

 

   

 

 

 

2

1

ln 1

2 2

a

a a a a

 

     

 

 

 

2

1

ln

2 2

a

a a a a

 

    

 

 

.

Theo giả thiết:





2

ln 9

I a a a

  

2

1 3 2

1

9 2 17 0

2 2

1 3 2

a

a a a

a



 

        



 





.

Do

0

a



nên

1 3 2

a   .

Câu 17. ( Sở Phú Thọ) Cho tích phân

4

2

0

ln( 2cos )

ln3 ln2 .

sinx x

dx a b c

cos x





  



(với

, ,

a b c

là các số hữu

tỉ). Giá trị biểu thức

abc

bằng.

A.

15

8

. B.

5

8

. C.

5

4

. D.

17

8

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

2sin

ln(sin 2 )

sin 2

tan

cosx x

u x cosx

du dx

x cosx

dx

dv

v x

cos x





 





 





 



 





Khi đó

4 4

4

2

0

0 0

ln(sin 2 ) 2sin

tan .ln(sin 2 ) tan .

sin 2

x cosx cosx x

dx x x cosx x dx

cos x x cosx

 



 

  



 

4 4

0 0

3 2 1 2tan 3 2 10

ln tan . ln 2tan 5

2 tan 2 2 tan 2

x

x dx x dx

x x

 



 

     

 

 

 

 

 

4 4

4

0

0 0

1 1 5

ln3 ln2 2ln 5 10 ln3 ln2 10

2 sin 2 2 4 sin 2

cosx cosx

cosx x dx dx

x cosx x cosx

 



        

 

 

Xét tích phân

   

 

4 4

0 0

2 2 2

1

2 5 2

cosx sinx sinx cosx

cosx

dx dx

sinx cosx sinx cosx

 

  



 

 

 

4

0

1 1 3 2 1 3

ln 2 2 ln ln2 ln3 ln2

5 5 2 2 5 2 2

sinx cosx x



 

 

        

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

4

2

0

ln(sin 2 ) 1 5 3 5

ln3 ln2 2(ln3 ln2 ) 3ln3 ln2

2 4 2 2 2 4

x cosx

dx

cos x



  



        



Vậy

5 1 15

3, ,

2 4 8

a b c abc

      

.

Câu 18. (HSG Bắc Ninh) Biết

 

4

2

0

ln sin cos

d ln 2

cos

x x

a

x

x b c





 



với

, ,

a b c

là các số nguyên. Khi đó,

bc

a

bằng

A.

6



. B.

8

3

. C.

6

. D.

8

3



.

Lời giải

Chọn D

Ta có:





2

ln sin cos

1

d d

cos

u x x

v x

x

 













cos sin

d d

sin cos

tan

x x

u x

x x

v x





















.

Khi đó:

 

4

2

0

ln sin cos

d

cos

x x

I x

x





 



 

4

0

cos sin

tan .ln sin cos tan . d

sin cos

x x

x x x x x

x x





 





.

Đặt

4 4

2

0 0

cos sin tan tan

tan . d d

sin cos tan 1

x x x x

J x x x

x x x

 

 

 

 

 

Đặt

 

2

tan 1 tan

1

dt

x t dt x dx dx

t

     



. Với

0 0

x t

  

và

1

4

x t



  

Ta có :

 









 

2

1 1 1 1

2

2 2

0 0 0 0

1 1

dt dt

dt= dt= ln2

1 1 4

1 . 1 1 . 1

t t

J

t t

t t t t



  



   

 

   

   

.

Vậy

3 8

ln 2 ln 2 ln 2

4 2 4 3

bc

I

a

 

       

.

Câu 19. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân

e

2

1

e

1

ln d .I xx

x

x a b























, a và b

là các số hữu tỉ. Giá trị của

4 3

a b



là

A.

13

2

. B.

13

4

. C.

13

4



. D.

13

2



.

Lời giải

Chọn B

Ta có

e e e

1 1 1

1

ln d ln d ln d

1

I x x x x x x x

x

  

 



 

 

  

.

Đặt

ln

u x



và

d d

v x x



, suy ra

1

d d

u x

x

 và

2

1

2

v x

 . Khi đó

e e

2 e 2 2 e 2

1 1

1 1 1 1 1 1

ln d ln d e e

2 2 2 4 4 4

| |x x x x x xx x

     

 

.

Ta có

   

e e

2

e

1

1 1

1 1 1

ln d ln d ln ln

2 2

|

x x x x x

x

  

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

e e

2 2

1 1

1 1 1 1 1 3

ln d ln d e e

4 4 2 4 4

I x x x x x

x

      

 

.

Suy ra

1

4

a



,

3

4

b



. Suy ra

13

4 3

4

a b

 

.

Câu 20. (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả

e

3

1

3e 1

ln d

a

x x x

b







?

A.

. 64

a b



. B.

. 46

a b



. C.

12

a b

 

. D.

4

a b

 

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

3

4

1

d d

ln

1

d d

4

u x

x

v x x

v x















 













. Áp dụng tích phân từng phần ta tính được:

e

3

1

ln d

x x x



e e

e

4 4

4 3 4

1 1

1

1 1 e 1 3e 1

ln d

4 4 4 16 16

x x x x x



    



4

. 64

16

a

a b

b





  







.

Câu 21. Giả sử tích phân

 

1

2017

0

.ln 2 1 d ln3

b

x x x a

c

  



. Với phân số

b

c

tối giản. Lúc đó

A.

6057.

b c

 

B.

6059.

b c

 

C.

6058.

b c

 

D.

6056.

b c

 

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

1 1

2017

0 0

.ln 2 1 d 2017 .ln 2 1 d

I x x x x x x

   

 

.

Đặt

 

2

d d

ln 2 1

2 1

1

d d

2 8

u x

x

v x x

v







 

  



 









 





Do đó

   

 

1

1 1

2 2

0 0

0

1 1 2

.ln 2 1 d ln 2 1 d

2 8 2 8 2 1

x x

x x x x x

x

 

   

     

 

   



   

 

 

1

2

0

3 3

ln3 ln3

8 4 8

x x

 



  

 

 

 

1

2017

0

3 6051

.ln 2 1 d 2017 ln3 ln3.

8 8

I x x x

 

    

 

 



Khi đó

6059.

b c

 

Câu 22. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết

 

4

2

0

ln sin cos

d ln 2

cos

x x

a

x

x b c





 



với

, ,

a b c

là các số nguyên. Khi đó,

bc

a

bằng

A.

6



. B.

8

3

. C.

6

. D.

8

3



.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có:





2

ln sin cos

1

d d

cos

u x x

v x

x

 













cos sin

d d

sin cos

tan

x x

u x

x x

v x





















.

Khi đó:

 

4

2

0

ln sin cos

d

cos

x x

I x

x





 



 

4

0

cos sin

tan .ln sin cos tan . d

sin cos

x x

x x x x x

x x





 





.

Đặt

4 4

2

0 0

cos sin tan tan

tan . d d

sin cos tan 1

x x x x

J x x x

x x x

 

 

 

 

 

Đặt

 

2

tan 1 tan

1

dt

x t dt x dx dx

t

     



. Với

0 0

x t

  

và

1

4

x t



  

Ta có :

 









 

2

1 1 1 1

2

2 2

0 0 0 0

1 1

dt dt

dt= dt= ln2

1 1 4

1 . 1 1 . 1

t t

J

t t

t t t t



  



   

 

   

   

.

Vậy

3 8

ln 2 ln 2 ln 2

4 2 4 3

bc

I

a

 

       

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

   

2

0

1 d 9

A x f x x



  



và









2 0 3

f f

 

. Tính

 

2

0

d

I f x x





A.

12

I



. B.

12

I

 

. C.

6

I

 

. D.

6

I



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

   

1 d d

d d

u x u x

v f x x v f x

  

 

 



 



 

 

 

.

Ta có:

               

2 2 2

0 0 0

2

1 d 1 d 2 0 d

0

A x f x x x f x f x x f f f x x



       

  

.

Với

9

A



và









2 0 3

f f

 

nên

 

2

0

d 6

I f x x

  



.

Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số





f x

có đạo

hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

1

3

x f x dx





Tính

 

1

3

0

.

x f x dx





A.

1



B.

1

C.

3

D.

3



Lời giải

Chọn A

3

2

( ) '( )

3

u f x du f x dx

x

dv x dx v

  







  





1 1

3 3 3 3

0 0

1 1

3 3

0 0

1

( ) '( ) (1) 0. (0) '( )

0

3 3 3 3

1 1

'( ) '( ) 1

3 3

x x x

I f x f x dx f f f x dx

x f x dx x f x dx



    



   

 

Câu 3: (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm và

liên tục trên

0;

2

 

 

 



, thoả mãn

 

2

0

cos d 10







f x x x



và





0 3



f . Tích phân

 

2

0

sin2 d



f x x x



bằng

A.

13



B.

13

C.

7

D.

7



Lời giải.

Từ công thức tính vi phân của hàm số, ta có

(x)dx d( (x))





f f

, và

2 2

d( ) ( ) d sin 2 d



  

cos x cos x x x x

Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, với

2



u cos x

và

(x)



v f

, ta thu được

     

2 2

2

0

0 0

cos d .cos sin2xd



 

 

f x x x f x x f x x

 



Theo giả thiết, ta có

 

2

0

cos d 10







f x x x



. Từ đó

   

2

0

.cos sin2xd 10

 



f x x f x x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

2

2 2

0

sin2 d 10 .cos 0 .cos 0 13

2 2

 

    

 

 



f x x x f f



 

Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên



. Gọi





g x

là một

nguyên hàm của hàm số





2

x

y

x f x





. Biết rằng

 

2

1

d 1

g x x





và









2 2 1 2

g g

 

. Tích

phân





2

1

d

x

x f x





bằng

A.

1,5

. B. 1. C. 3. D. 2.

Lời giải

Chọn B

Vì





g x

là một nguyên hàm của hàm số





2

x

y

x f x





nên

 





2

x

g x

x f x







.

Đặt





2

1

d

x

I x

x f x







 

2

1

d

I xg x x



 



.

Đặt

 

u x

dv g x dx

















 

d d

u x

v g x



















.

Khi đó

   

2

1

2

d

1

I xg x g x x

 











2 2 1 1 1

g g

   

.

Câu 5: Cho hàm số





y f x



thỏa mãn





3

3 1 3 2, .

f x x x x

     



Tính

 

5

1

.

I x f x dx







.

A.

5

4

. B.

17

4

. C.

33

4

. D.

1761



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

   

5

1

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

 

 

 

   

 

 

 

 

 



.

Từ

 









   

3

5 5 1

3 1 3 2

1 2 0

f x

f x x x

f x



 



    





 





, suy ra

 

5

1

23 .

I f x dx

 



Đặt









2

3

3 3

3 1

3 2

dt x dx

t x x

f t x





 



   





 





Đổi cận: Với

3

1 1 3 1 0

t x x x

      

và

3

5 3 1 5 1

t x x x

      

.

Khi đó

   

 

5 1

2

1 0

33

23 23 3 2 3 3

4

Casio

I f x dx x x dx      

 

Chọn C

Câu 6: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn

và . Tính

bằng:

A. . B. . C. . D. .





f x















3

1 1 ,f x f x x x x

     







0 0

f



2

0

d

2

x

I xf x

 

















 



1

10



1

20

1

10

1

20



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết .

Ta có: .

, đặt

Nên

.

Câu 7: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





f x

liên tục trên





0;1

. Biết

   

1

0

1

. 1 d

2

x f x f x x



 

  

 

. Tính





0

f

.

A.





0 1

f

 

. B.

 

1

0

2

f



. C.

 

1

0

2

f

 

. D.





0 1

f



.

Lời giải

Chọn C

Ta có

       

1 1 1

0 0 0

. 1 d . 1 d d

A x f x f x x x f x x f x x

 

 

     

   

.

Đặt

 

1

0

. 1 d

I x f x x



 



.

Đặt

   

d d

d 1 d 1

u x u x

v f x x v f x

 

 

 



 



    

 

 

Khi đó

       

1 1

1

0

0 0

1 . 1 d 0 d

I f x x f x x f f x x

       

 

Do đó

       

1 1

0 0

1 1

0 d d 0

2 2

A f f x x f x x f

       

 

.

Câu 8: (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

0

1

d

5

x f x x





và

 

1

2

0

9

d

5

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

3

4

I



. B.

1

5

I



. C.

1

4

I



. D.

4

5

I



.

Lời giải

Chọn C

Xét

 

1

0

d

A x f x x





. Đặt

 





2

d d

2

u f x x

u f x

x

v x x

v









 









.

















3

1 1 , 1 0

f x f x x x x f

       



       

1 1 1 1

3

0 0 0 0

1 1

d 1 d 1 d d

20 40

f x x f x x x x x f x x      

   

2

0

d

2

x

I xf x

 

















 



d d

d d 2

2 2

u x u x

x x

v f x v f

 

 

 



   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

2 2 2 1

0 0 0 0

2

1

2 2 d 4 1 2 d 2 d 4 d

0

2 2 2 2 10

x x x x

I xf f x f f x f x f t t

       

   

   

       

   

   

   

   

       

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

     

1

1 1

2

2 2

0 0

0

1 1 1 1

d d

2 2 2 2 5

x

A f x x f x x x f x x

 

     

 

 

1

2

0

3

d

5

x f x x



 



.

Xét

   

1 1 1

2

2 2 4

0 0 0

d 2 d d 0

f x x k x f x x k x x

 

  

 

 

  





1

2

9 3 1

2 . 0 3

5 5 5

k k k

     

.





1

trở thành

   

1 1 1

2

2 4

0 0 0

d 6 d 9 d 0

f x x x f x x x x

 

  

 

 

  

 

1

2

0

3 d 0

f x x x



  



.

 

1

2 2

0

3 0 3 d 0

f x x f x x x

 

    



.

Do đó

 

1

2

2 2

0

3 d 0 3 0

f x x x f x x

 

    











2 2 3

3 3 d

f x x f x x x x C



     











3

1 1

f f x x

  

.



 

1 1

3

0 0

1

d d

4

I f x x x x

  

 

.

Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên .

Biết và với mọi . Tính tích phân

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết , thay ta được .

Ta có Đặt

Khi đó:

(do ), với .

Đặt thì





f x





0;2





0 1

f











2

2 4

2

x x

f x f x e



 





0;2

x















3 2

2

0

3 '

d

x x f x

I x

f x







14

3

I  

32

5

I  

16

3

I  

16

5

I  









2

2 4

2

x x

f x f x e



 

2

x







2 1

f















3 2

2

0

3 '

d .

x x f x

I x

f x







 





 

3 2

2

3

d 3 6 d

.

'

d d

ln

u x x

u x x x

f x

v x

v f x

f x





 





 



 



 

 



 









 

2

3 2 2

0

3 ln 3 6 ln d

I x x f x x x f x x

   



 

2

0

3 2 ln d 3

x x f x x J

  







2 1

f



 

2

0

2 ln d

J x x f x x

 



2

x t

 

       

0

2

2 2 2 ln 2 d 2

J t t f t t

 

     

 

 



       

 

0 2

2

2 0

2 2 2 ln 2 d 2 2 ln 2 d .

x x f x x x x f x x

 

        

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

.

Vậy .

Câu 10: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



và thỏa mãn

 

3

0

2 4 d 8

x f x x



  



;





2 2

f



. Tính

 

1

2

2 d

I f x x







.

A.

5

I

 

. B.

10

I

 

. C.

5

I



. D.

10

I



.

Lời giải

Chọn B

+ Xét

 

3

0

2 4 d 8

J x f x x



   



.

Đặt

u x



và

   

1

d 2 4 d d 2 4

2

v f x x f x

 



   

 

 

, ta được

d d

u x



và

 

1

2 4

2

v f x

 

.

   

3

0

3

1 1

. 2 4 2 4 d

0

2 2

J x f x f x x

    



   

3

0

3 1

2 2 4 d

2 2

f f x x

  



 

2

0

1

3 2 4 d

2

f x x

  



.

Vì

8

J



 

3

0

1

3 2 4 d 8

2

f x x

   



 

3

0

2 4 d 10

f x x

   



.

Đặt

2 2 4 2d 2d d d

t x t x t x

     

Đổi cận:

x

0

3

t

2



1

   

1 1

1

2 2

2 d 2 d 10

I f t t f x x

 

   

 

.

Vậy

10

I

 

.

Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm





f x

có đạo hàm

liên tục trên đoạn





1; 2

thỏa mãn





2 =0

f ,

 

2

1

d

45

f x x







và

   

2

1

1 d

30

x f x x

  



. Tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

1

36

I

 

. B.

1

15

I

 

. C.

1

12

I



. D.

1

12

I

 

.

Lời giải

Chọn D

Xét:

   

2

1

1 d

E x f x x

 



. Đặt

 





 

2

d d

.

1

d 1 d

2

u f x x

u f x

x

v x x

v





 



 



 









 

   

2 2 2

0 0 0

2 2 ln d 2 ln 2 d 2 ln 2 d

J x x f x x x x f x x x x f x f x x

       

  

    

2

2 2

2 2 4 2 2

0 0

32 16

2 ln d 2 2 4 d

15 15

x x

x x e x x x x x x J



       

 

16

3

5

I J  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2 2 2

2 2

1 1

2

1 1 1

. d d

1

2 2 2

x x x

E f x f x x f x x

  

 

    

 

 

2

1

d

2 30

x

f x x





   



   

2

1

1 d .

15

x f x x



  



Ta có:

 

2

4

1

1 d

5

x x

 



và

 

2

1

d .

45

f x x







Ta tìm số

k

để

   

 

2

1

1 d 0

f x k x x



  



.

   

 

     

2 2 2 2

2

2 2 4

2

1 1 1 1

1 d 0 d 2 . 1 d 1 d 0

f x k x x f x x k f x x x k x x

  

        

   

2

1 1 1 1

2 . . 0

45 15 5 3

k k k

     

.

Khi đó:

           

2

2 2 3

1

1 1 1

1 d 0 1 0 1

3 3 9

f x x x f x x f x x C

 

 

          

 

 



.

Mà

         

2 2

3 3

1 1

1 1 1 1 1 1

2 0 1 d 1 d

9 9 9 9 9 12

f C f x x f x x x x



 

            

 

 

 

.

Câu 12: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;2

, thỏa các

điều kiện





2 1

f



và

   

2 2

2

0 0

2

d d

3

f x x f x x



 

 

 

 

. Giá trị của





2

1

d

f x

x



:

A. 1. B. 2. C.

1

4

. D.

1

3

.

Lời giải

Chọn C

Đặt

   

d d

u f x u f x x

v x v x





  





 

 





         

2 2 2 2

2

0

0 0 0 0

2 4

d . . d 2 . d . d 2

3 3

f x x x f x x f x x x f x x x f x x

  

          

   

.

Ta lại có:

2

3

2

0

1 2

d

4 12 3

x

x x

 



.

Do đó:

     

2

2 2 2 2

2

0 0 0 0

1 2 4 2 1

d . d d d 0

4 3 3 3 2

f x x x f x x x x f x x x

 

  

       

 

 

 

 

   

 

1

0

2

f x x



  

(vì

 

 

2

0

1

d 0 , 0;2

2

f x x x x

 



   

 

 



)

   

2

1

2 1 0

4

f x x C f C C

       

.

Vậy

 





2

2 2

2

1

1 1

1 1 1 1

d d

4 4 4 4

f x

f x x x x x

x

    

 

.

Tổng quát:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đề bài cho biết giá trị





f a

,





f b

,

   

. d

b

a

u x f x x h







,

 

2

d

b

a

f x x k





 

 



(với





u x

là

một biểu thức chứa

x

đã tường minh), đề tìm





f x

trước tiên ta đi tìm 2 số

,

 

sao cho

   

2

. d 0

b

a

f x u x x

 



  

 

 



, rồi suy ra









.f x u x

 



  

, sau đó nguyên hàm hai vế để

tìm





f x

.

Bài tập tương tự

Vd 1: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0;1

, thỏa mãn các điều kiện





0 0

f



,





1 2

f



,

 

1

2

0

d 4

f x x





 

 



. Tính

 

1

3

0

2018 d

J f x x x

 

 

 



.

Giải:

Ta có:





 

1

0

0 0

d 2 0 2

1 2

f

f x x

f









   











.

Với







, xét tích phân:

       

1 1 1 1

2 2

2

2 2

0 0 0 0

d d 2 d d 4 2 .2 2

I f x x f x x f x x x

     

  

            

   

   

.

Ta có:









0 2 2 2

I f x f x x C





        

.

Mà





 

0 0

0 2

1 2

f

C f x x

f







   









.

Vậy

 

1

3

4 2

0

8 2018

2 2018 d 1011.

4 2

J x x x x x

 

 

    

 

 

 



Vd 2: Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0;1

, thỏa mãn

   

1 1

0 0

d d 1

f x x xf x x

 

 

và

 

1

2

0

d 4

f x x



 

 



. Tính giá trị của tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



.

Giải:

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là

     

2

, ,

f x xf x f x

 

 

nên ta sẽ liên kết với bình

phương

 

2

f x x

 

 

 

 

. Với mỗi số thực

,

 

ta có:

         

 

1 1 1 1

2 2

2

0 0 0 0

2

d d 2 d d

4 2 .

3

f x x x f x x x f x x x x

     



   

         

   

     

   

Cần tìm

,

 

sao cho

 

2

0

d 0

f x x x

 

  

 

 



hay

 

2

4 2 0

3



   

     





2 2

3 6 3 6 2 0

    

      

. Để tồn tại



thì:

 





 

2

2 2

2

3 6 4 3 6 2 0 3 12 12 0

3 2 0 2 6.

    

  

           

        

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

   

 

 

1 1

2 3

0 0

6 2 d 0 6 2, 0;1 10

f x x x f x x x f x

         

   

   

 

Câu 13: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



và

 









 

 

2

2 6 4 2

4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1

f x x f x x x x x



        . Tích phân

 

1

0

f x dx



bằng?

A.

23

15

. B.

13

15

. C.

17

15



. D.

7

15



.

Lời giải

Chọn B

 









 

2

2 6 4 2

4 6 1 . 40 44 32 4

f x x f x x x x



     

 

1 1 1

2

2 6 4 2

0 0 0

4 6 1 . 40 44 32 4 . 1

f x dx x f x dx x x x dx      



  

Xét

 

1 1

2 2

0 0

4 6 1 . 24 4

I x f x dx x f x dx

   

 

.

Đặt





 

2

3

24 4

8 4

u f x

du f x dx

dv x dx

v x x







 

 



 

 





.

 

1 1

1

3 3 3

0

0 0

8 4 . 8 4 . = 4 2 4 2 . .

I x x f x x x f x dx x x f x dx

 

      

 

Do đó:

   

 

   

1 1 1 1

2

3 3 6 4 2

0 0 0 0

1 2 4 2 . 4 2 56 60 36 8 .

f x dx x x f x dx x x dx x x x dx

 

        

   

 

   

1

2

3 3 4 2

0

4 2 0 4 2 .

f x x x dx f x x x f x x x c

 

      



 

   





Mà





1 1 1

f c

  







4 2

1.

f x x x

  

Do đó

 

1 1

4 2

0 0

13

1 .

15

f x dx x x dx   

 

Câu 14: Cho hàm số





f x

thỏa









0 1 1

f f

 

. Biết

   

1

0

'

x

e f x f x dx ae b

  

 

 



. Tính biểu thức

2018 2018

Q a b

 

.

A.

8

Q



. B.

6

Q



. C.

4

Q



. D.

2

Q



.

Lời giải

       

1 2

1 1 1

0 0 0

' '

x x x

A A

A e f x f x dx e f x dx e f x dx

    

 

  

 

 

1

0

x

A e f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt









'

u f x du f x dx

   ,

x

dv e dx

 chọn

x

v e



   

2

1

0

. '

x x

A

A e f x e f x dx

  





Vậy

       

1 1

2 2

0 0

. 1 0 1

x x

A e f x A A e f x e f f e

       

2018 2018

1

1 1 2

1

a

a b

b





     



 



Chọn D

Câu 15: Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









2017 2018

2018 2018. .e

x

f x f x x



  với mọi

x





và





0 2018.

f  Tính giá trị





1 .

f

A.





2018

1 2019e

f  . B.





2018

1 2018.ef



 . C.





2018

1 2018.e

f  . D.





2018

1 2017.e

f  .

Lời giải

Chọn A

Ta có:









2017 2018

2018 2018. .e

x

f x f x x



 









2017

2018

2018.

e

x

f x f x

x





 









1 1

2017

2018

0 0

2018.

d 2018. d

e

x

f x f x

x x x





 

 





1

Xets









1

2018

0

2018.

d

e

x

f x f x

I x









   

1 1

2018 2018

0 0

.e d 2018. .e d

x x

f x x f x x

 



 

 

Xét

 

1

2018

1

0

2018. .e d

x

I f x x







. Đặt









2018 2018

d d

d 2018.e d e

x x

u f x u f x x

v x v

 



   

 



 

  

 

 

.

Do đó

 

   

1

2018 1 2018 2018

1 0

0

. e .e d 1 .e 2018

x x x

I f x f x x I f

  



     



Khi đó





1





2018 2018 1

0

1 .e 2018

x

f x



  





2018

1 2019.e

f  .

Câu 16: Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng:

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



Tính

2017 2017

Q a b

 

.

A.

2017

2 1

Q

 

. B.

2

Q



. C.

0

Q



. D.

2017

2 1

Q

 

.

Lời giải

Chọn C

Đặt









d d

d e d e

x x

u f x u f x x

v x v



   

 



 

 

 

 

.

         

1 1 1

2

1

0 0 0

e d e e d e d

x x x x

f x f x x f x f x x f x x

  

    

 

  









e 1 0

f f 

e 1

 

.

Do đó

1

a



,

1

b

 

.

Suy ra

2017 2017

Q a b

 

 

2017

1 1 0

   

.

Vậy

0

Q



.

Câu 17: Cho hai hàm số liên tục

f

và

g

có nguyên hàm lần lượt là

F

và

G

trên đoạn





1;2

. Biết rằng





1 1

F



,





2 4

F



,

 

3

1

2

G



,





2 2

G



và

   

2

1

67

d

12

f x G x x 



. Tính

   

2

1

d

F x g x x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

11

12

. B.

145

12



. C.

11

12



. D.

145

12

.

Lời giải

Chọn A

Đặt





 

d

u F x

dv g x x

















 

d d

u f x x

v G x















   

2

1

d

F x g x x



   

 

   

2

1

d

F x G x f x G x x

 



           

2

1

2 2 1 1 d

F G F G f x G x x

  



3 67

4.2 1.

2 12

  

11

12



.

Câu 18: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên đoạn





1;2

và

   

2

1

1 d

x f x x a



 



. Tính

 

2

1

d

f x x



theo

a

và





2

b f .

A.

b a



. B.

a b



. C.

a b



. D.

a b

 

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

1 d d

u x u x

   

;





d d

v f x x



 chọn





v f x

 .

   

2

1

1 d

x f x x







     

2

1

1 d

x f x f x x

  



   

2 d

b

a

f f x x

 



 

2

1

b f x

 



.

Ta có

   

2

1

1 d

x f x x a



 



 

2

1

d

b f x x a

  



 

2

1

d

f x x b a

  



.

Câu 19: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16

f



,

 

2

0

d 4

f x x





. Tính tích phân

 

1

0

. 2 d

I x f x x







.

A.

13

I



. B.

12

I



. C.

20

I



. D.

7

I



.

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

d d

1

d 2 d

2

u x

v f x x

v f x









 



 













.

Khi đó,

         

1

1 1 1

0

0 0 0

1 1 1 1 1

. 2 2 d 2 2 d 8 2 d

2 2 2 2 2

I x f x f x x f f x x f x x

     

  

.

Đặt

2 d 2d

t x t x

  

.

Với

0 0

x t

  

;

1 2

x t

  

.

Suy ra

 

2

0

1

8 d 8 1 7

4

I f t t

    



.

Câu 20: Cho





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên



biết đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

1

;4

2

M

 



 

 

và

 

1

2

0

dt 3

f t





, tính

 

0

6

sin 2 . sin d

I x f x x











.

A.

10

I



. B.

2

I

 

. C.

1

I



. D.

1

I

 

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn B

Xét tích phân

   

0 0

6 6

sin 2 . sin d 2sin . sin .cos d

I x f x x x f x x x

 

 

 

 

 

.

Đặt:

sin d cos d

t x t x x

  

. Đổi cận:

1

6 2

0 0

x t





    







  



.

 

0

1

2

2 . d

I t f t t





 



.

Đăt:

   

2 d 2d

d d

u t u t

v f t t v f t

 

 

 



 



 

 

 

.

     

0 0

1 1

2 2

0

1

2 . 2 d 2 d

1

2

I t f t f t t f f t t

 

 

     

 



 

 

.

 Đồ thị hàm số





y f x

 đi qua điểm

1

;4

2

M

 



 

 

1

4

2

f

 

  

 

 

.

 Hàm số





y f x

 là hàm số chẵn, liên tục trên





     

1 1

0

2 2

1

0 0

2

d d d 3

f t t f t t f x x



  

  

.

Vậy

4 2.3 2

I

   

.

Câu 21: Cho hàm số





y f x

 thỏa mãn

   

2

0

sin . d 0

x f x x f







1



. Tính

 

2

0

cos . d

I x f x x









.

A.

1

I



. B.

0

I



. C.

2

I



. D.

1

I

 

.

Lời giải

Chọn C

Đặt





d ( )d

d sin d cos



  





   





u f x u f x x

v x x v x

   

 

2 2

2

0

0 0

sin . d cos . cos . d

x f x x x f x x f x x

 





   

 

.

 

2

0

cos . d

I x f x x





 



   

2

0

sin . d cos .x f x x x f x



 



1 1

 

0



.

Câu 22: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và thỏa mãn









2018 2 sin

f x f x x x

   . Tính

 

2

d

I f x x









?

A.

2

2019

. B.

2

2018

. C.

2

1009

. D.

4

2019

.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có

   

 

2 2

2018 d 2 sin d

f x f x x x x x

 

 

  

 

   

2 2 2

d 2018 d 2 sin d

f x x f x x x x x

  

  

   

  

 

2 2

2019 d 2 sin d

f x x x x x

 

 

 

 





1

+ Xét

2

2 sin d

P x x x









Đặt

2

d sin d

u x

v x x











d 2d

cos

u x

v x









 



 

2 2

2 . cos sin 4

P x x x

 

 

   

Từ





1

suy ra

 

2

d

I f x x









4

2019



.

Câu 23: Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục, có đạo hàm trên



và thỏa mãn









0 . 2 0

f f

 



và













2 e

x

g x f x x x



  . Tính giá trị của tích phân

   

2

0

. d

I f x g x x







?

A.

4



. B.

e 2



. C.

4

. D.

2 e



.

Lời giải

Chọn C

Ta có













2 e

x

g x f x x x



 









0 2 0

g g

  

(vì









0 . 2 0

f f

 



)

   

2

0

. d

I f x g x x







   

2

0

d

f x g x





   

 

2

0

.

f x g x



   

2

0

. d

g x f x x







 

2

0

2 e d 4

x

x x x

   



.

Câu 24: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm và liên tục trên

0;

4



 

 

 

thỏa mãn

3

4

f



 



 

 

,

 

4

0

d 1

cos

f x

x







và

 

4

0

sin .tan . d 2

x x f x x



 



 

. Tích phân

 

4

0

sin . d

x f x x







bằng:

A.

4

. B.

2 3 2

2



. C.

1 3 2

2



. D.

6

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

4

0

sin . d

I x f x x









. Đặt

   

sin d cos d

d d

u x u x x

v f x x v f x

 

 

 



 



 

 

 

.

   

4

0

sin . cos . d

I x f x x f x x



 



1

3 2

2

I

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

4

0

2 sin .tan . d

x x f x x



 



 



 

4

2

0

sin . d

cos

f x

x x

x



 



 

 



 

4

2

0

1 cos . d

cos

f x

x x

x



 

 

 

 



.

 

4 4

0 0

d cos . d

cos

f x

x x f x x

x

 

 

 

 

 

 

1

I

 

.

1

I

  

3 2

1

2

I

  

3 2 2

2





.

Câu 25: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





2 16

f



,

 

2

0

d 4

f x x





. Tính

4

0

d

2

x

I xf x

 





 

 



A.

12

I



. B.

112

I



. C.

28

I



. D.

144

I



.

Lời giải

Chọn B

Đặt

d d

2

u x

x

v f x









 





 



 



d d

2

u x

x

v f











 



 



 



.

Khi đó

4

0

d

2

x

I xf x

 





 

 



4

0

2 2 d

2 2

x x

xf f x

   

 

   

   



1

128 2

I

 

với

4

1

0

d

2

x

I f x

 



 

 



.

Đặt

d 2d

2

x

u x u

  

, khi đó

4

1

0

d

2

x

I f x

 



 

 



 

2

0

2 d

f u u





 

2

0

2 d 8

f x x

 



.

Vậy

1

128 2

I I

 

128 16 112

  

.

Câu 26: Cho hàm số





f x

có đạo hàm cấp hai





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả mãn









1 0 1

f f

 

,





0 2018

f



 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

  

1

0

1 2018

f x x x



  



d

.

B.

  

1

0

1 1

f x x x

 







d

.

C.

  

1

0

1 2018

f x x x 





d

. D.

  

1

0

1 1

f x x x









d

.

Lời giải

Chọn A

Xét

  

1

0

1

I f x x x



 



d

   

 

1

0

1 d

x f x







Đặt

 

1

d d

u x

v f x

 















 

d d

u x

v f x

 

















     

1

0

1

0

1

d

I x f x

f x x







  



       

1

0

1 1 1 0

f f f x

 

    

 













0 1 0

f f f



   

 

 





2018 1 1 2018

      .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 27: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục thỏa mãn

0

2

f



 



 

 

,

 

2

d

4

f x x







 

 



và

 

2

cos d

4

x f x x







. Tính





2018

f



.

A.

1



. B.

0

. C.

1

2

. D.

1

.

Lời giải

Chọn D

Bằng công thức tích phân từng phần ta có

     

2

2 2

cos d sin sin d

xf x x xf x xf x x

 



 



  

  

. Suy ra

 

2

sin d

4

xf x x





 



.

Hơn nữa ta tính được

2

2 2

1 cos2 2 sin 2

sin d d

2 4 4

x x x



 



 



 

 

  

 

 

 

.

Do đó:

     

2 2 2 2

2 2

2

0 0 0 0

d 2 sin d sin d 0 sin d 0

f x x xf x x x x f x x x

   

  

     

   

   

   

.

Suy ra





sin

f x x



  . Do đó





cos

f x x C

 

. Vì

0

2

f



 



 

 

nên

0



C .

Ta được





cos

f x x











2018 cos 2018 1

f

 

  

.

Câu 28: Cho hàm số





f x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2



. Biết





0 1

f



và

   

2

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

, với mọi





0; 2

x



. Tính tích phân









 

3 2

2

0

3

d

x x f x

I x

f x

 





.

A.

16

3

I

 

. B.

16

5

I

 

. C.

14

3

I

 

. D.

32

5

I

 

.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Theo giả thiết, ta có

   

2

2 4

. 2 e

x x

f x f x



 

và





f x

nhận giá trị dương nên

   

2

2 4

ln . 2 lne

x x

f x f x



  

 











2

ln ln 2 2 4

f x f x x x

   

.

Mặt khác, với

0

x



, ta có









0 . 2 1

f f



và





0 1

f



nên





2 1

f



.

Xét









 

3 2

2

0

3

d

x x f x

I x

f x

 





, ta có

 





 

2

3 2

0

3 . d

f x

I x x x

f x



 



Đặt

 

3 2

3

d d

u x x

f x

v x

f x



 

















 

2

d 3 6 d

ln

u x x x

v f x



 













Suy ra

 

2

3 2 2

0

3 ln 3 6 .ln d

I x x f x x x f x x

 

   

 



 

2

0

3 6 .ln d

x x f x x

  







1

.

Đến đây, đổi biến

2

x t

 

d d

x t

  

. Khi

0 2

x t

  

và

2 0

x t

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có

 

  

0

2

3 6 .ln 2 d

I t t f t t

    



 

2

0

3 6 .ln 2 d

t t f t t

   



Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên

 

2

0

3 6 .ln 2 d

I x x f x x

   







2

.

Từ





1

và





2

ta cộng vế theo vế, ta được

 

   

2

0

2 3 6 . ln ln 2 d

I x x f x f x x

    

 

 



Hay

   

2

2 2

0

1

3 6 . 2 4 d

2

I x x x x x

   



16

5

 

.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Chọn hàm số

 

2

e

x x

f x





, khi đó:





 

2

3 2 2

2 2

3 2

2

0 0

3 .e . 2 2

16

d 3 . 2 2 d

5

e

x x

x x x

I x x x x x



 



    

 

.

Câu 29: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



và

     

1 1

2

0 0

e 1

d 1 e d

4

x

f x x x f x x





   

 

 

. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

2 e

I

 

. B.

e 2

I

 

. C.

e

2

I



. D.

e 1

2

I





.

Lời giải

Chọn B

Xét

   

1

0

1 e d

x

A x f x x

 



. Đặt





 

d 1 e d

x

u f x

v x x







 









d d

e

x

u f x x

v x



 













Suy ra

   

1

0

e e d

x x

A x f x x f x x



 



 

1

0

e d

x

x f x x



 



 

1

2

0

1 e

e d

4

x

x f x x





 



Xét

1

2

2 2 2 2

0

1 1 1 e 1

e d e

2 2 4 4

x x

x x x x



 

   

 

 



.

Ta có

   

1 1 1

2

2 2

0 0 0

d 2 e d e d 0

x x

f x x x f x x x x

 

  

 

 

  

 

1

2

0

e d 0

x

f x x x



  



Suy ra





e 0

x

f x x



 





0;1

x  (do

 





2

e 0

x

f x x



 





0;1

x  )





e

x

f x x



  









1 e

x

f x x C

   

Do





1 0

f



nên









1 e

x

f x x

 

Vậy

     

1 1

1

0

0 0

d 1 e d 2 e e 2

x x

I f x x x x x

      

 

.

Câu 30: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

2

1

1 d

3

x f x x

  



,





2 0

f



và

 

2

1

d 7

f x x





 

 



. Tính tích phân

 

2

1

d

I f x x





.

A.

7

5

I



. B.

7

5

I

 

. C.

7

20

I  

. D.

7

20

I 

.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn B

Đặt









d d

u f x u f x x



   ,

 

3

2

1

d 1 d

3

x

v x x v



   

Ta có

   

2

1

1 d

3

x f x x

  



 

2

3 3

2

1

1 1

. d

3 3

x x

f x f x x

 



 



   

2

3

1

1 1

1 d

3 3

x f x x



    



   

2

3

1

1 d 1

x f x x



  



   

2

3

1

2.7 1 d 14

x f x x



    



Tính được

 

2

6

1

49 1 d 7

x x

 



 

2

1

d

f x x





 

 



   

2

3

1

2.7 1 d

x f x x



 



 

2

6

1

49 1 d 0

x x

  



   

2

3

1

7 1 d 0

x f x x

 



   

 



   

3

7 1

f x x



  

 

4

7 1

4

x

f x C



  

.

Do





2 0

f



 

4

7 1

7

4 4

x

f x



  

.

Vậy

 

2

1

d

I f x x





 

4

2

1

7 1

7

d

4 4

x

 



 

 

 



7

5

 

.

Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa

mãn

   

2

1

1 d

3

x f x x

  



,





2 0

f



,

 

2

1

d 7

f x x





 

 



. Tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

7

5

I



. B.

7

5

I

 

. C.

7

20

I  

. D.

7

20

I 

.

Lời giải

Chọn B

Đặt





 

2

d 1 d

u f x

v x x







 





ta được





 

3

d d

1

3

u f x x

v x









 





Khi đó

           

2

2 2

2 3 3

1

1 1

1 d 1 1 d

3 3

x f x x x f x x f x x



    

 

.

   

2

3

1

1 1

1 d

3 3

x f x x



    



.

   

2

3

1

1 d 1

x f x x



  



.

Xét

   

2

3

1

1 d 0

f x k x x

 



  

 







k 



.

       

2 2 2

2

3 6

2

1 1 1

d 2 1 d 1 d 0

f x x k x f x x k x x

 

     

 

 

  

.

2

7 2 0

7

k

   

7

k

 

   

3

7 1

f x x



  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

4

7 1

4

x

f x C



  

.

Do





2 0

f



nên

7

4

C

 

 

4

7 1

7

4 4

x

f x



  

Vậy

 

2

4

1

7

1 1 d

4

I x x

 

  

 



 

2

5

1

7

4 5

x

 



 

 

 

7

5

 

.

Câu 32: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn

0;

4



 

 

 

và

0

4

f



 



 

 

. Biết

 

4

2

0

d

8

f x x







,

 

4

0

sin 2 d

4

f x x x





 



. Tính tích phân

 

8

0

2 d

I f x x







A.

1

I



. B.

1

2

I



. C.

2

I



. D.

1

4

I



.

Lời giải

Chọn D

Tính

 

4

0

sin 2 d

4

f x x x





 



. Đặt

   

sin2 2cos2 d d

d d

x u x x u

f x x v f x v

 

 

 



 



 

 

 

, khi đó

     

4 4

4

0

0 0

sin 2 d sin 2 . 2 cos2 d

f x x x x f x f x x x

 





 

 

   

4

0

sin . sin0. 0 2 cos2 d

2 4

f f f x x x



 

 

  

 

 



 

4

0

2 cos2 d

f x x x



 



.

Theo đề bài ta có

 

4

0

sin 2 d

4

f x x x





 





 

4

0

cos2 d

8

f x x x







.

Mặt khác ta lại có

4

2

0

cos 2 d

8

x x







.

Do

     

4 4

2

2 2

0 0

cos2 d 2 .cos2 cos 2 d

f x x x f x f x x x x

 

 

    

 

 

2 0

8 8 8

  

 

   

 

 

nên





cos 2

f x x

 .

Ta có

8

0

1 1

cos4 d sin 4

4 4

I x x x



  



.

Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn

Biết và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải





y f x







0;1





0 0

f



 

1

2

0

9

d

2

f x x





 

1

0

3

cos d

2 4

x

f x x

 







 

1

0

d

f x x



6



2



4



1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn A

Ta có:

1

1 1

0

0 0

2 2 3

( )sin ( ).cos '( ).cos

2 2 2 2

f x xdx f x x f x xdx

  

 

   

 

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

( ( ) 3sin ) ( ) 6 ( )sin 9 sin 0

2 2 2

f x x dx f x dx f x xdx xdx

  

    

   

Từ đây ta suy ra

 

1 1

0 0

6

( ) 3sin d 3sin

2 2

f x x f x x xdx

 



   

 

.

Câu 34: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và









0 1 0

f f

 

. Biết

 

1

2

0

1

d

2

f x x





,

   

1

0

cos d

2

f x x x









. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.



. B.

1



. C.

2



. D.

3

2



.

Lời giải

Chọn C

Đặt





 

cos

d d

u x

v f x x





















 

d sin d

u x x

v f x

 

 













.

Khi đó:

           

1 1

1

0

0 0

cos d cos sin d

f x x x x f x f x x x

   



 

 

   

 

       

1 1

0 0

1 0 sin d sin d

f f f x x x f x x x

   

    

 

   

1

0

1

sin d

2

f x x x



 



.

Cách 1: Ta có

Tìm

k

sao cho

   

1

2

0

sin d 0

f x k x x



 

 

 



Ta có:

           

1 1 1 1

2

2 2 2

0 0 0 0

sin d d 2 sin d sin d

f x k x x f x x k f x x x k x x

  

    

 

   

2

1

0 1

2 2

k

k k

     

.

Do đó

   

1

2

0

sin d 0

f x x x



 

 

 











sin

f x x



  (do

   

2

sin 0

f x x



 

 

 

x

 



).

Vậy

   

1 1

0 0

2

d sin df x x x x



 

 

.

Cách 2: Sử dụng BĐT Holder.

       

2

2 2

d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

 

  

.

Dấu “



” xảy ra









.

f x k g x

  ,





;

x a b

  .

Áp dụng vào bài ta có

       

2

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1

sin d d . sin d

4 4

f x x x f x x x x

 

 

  

 

 

  

,

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

suy ra









.sin

f x k x



 , k





.

Mà

     

1 1

2

0 0

1 1

sin d sin d 1

2 2

f x x x k x x k

 

    

 









sin

f x x



 

Vậy

   

1 1

0 0

2

d sin df x x x x



 

 

.

Câu 35: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;



thỏa

mãn:

   

2

0 0

d cos . d

2

f x x x f x x

 





 

 

 

 

và

1

2

f



 



 

 

. Khi đó tích phân

 

2

0

d

f x x





bằng

A.

0

. B.

1

2





. C.

2



. D.

1

2





.

Lời giải

Chọn B

*) Xét tích phân

 

0

cos . d

I x f x x







.

Đặt





d cos d

u f x

v x x





















d d

sin

u f x x

v x

















 

0

sin .

I x f x





 

0

sin . d

x f x x









 

0

sin . d

x f x x





 



.

Theo giả thiết

2

I





, suy ra

 

0

sin . d

2

x f x x





 



.

*) Tìm số thực

k

thỏa mãn





.sin 0

f x k x



 

. Khi đó

 

2

0

.sin d 0

f x k x x





 

 

 



.

 

2

0

d

f x x





  

 



 

0

2 sin . d

k x f x x









2 2

0

sin d 0

k x x



 





2

2 . . 0

2 2 2

k k

  

 

   

 

 

2

2 1 0

k k

   

1

k

 

.

Từ đó,





sin 0

f x x



 





sin

f x x



  





cos

f x x C

  

.

Do

1

2

f



 



 

 

nên

1

C



. Vậy





cos 1

f x x

 

.

*) Ta có

 

2

0

d

f x x





 

2

0

cos 1 d

x x



 



 

2

0

sin

x x



 

1

2



 

.

Trắc nghiệm:

Từ giả thiết

 

2

0

d

2

f x x







 

 



và

 

0

sin . d

2

x f x x





 



ta suy ra được





sin

f x x



  .

Từ đó giải tiếp như phần trên.

Câu 36: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





1;1

 và thỏa





1 0

f



,

 





 

2

4 8 16 8

f x f x x x



   

với mọi

x

thuộc





1;1

 . Giá trị của

 

1

0

d

f x x



bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

5

3



. B.

2

3

. C.

1

5

. D.

1

3



.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Đặt

 

1

2 d

I f x x







.

Dùng tích phân từng phần, ta có:





d 2d

u f x

v x



















d d

2 2

u f x x

v x













 





.

             

1 1

1

1 1

2 2 2 2 d 4 1 2 2 d

I x f x x f x x f x f x x



 

 

      

 

   

1

2 2 d

x f x x





  



.

Ta có

 





 

2

4 8 16 8

f x f x x x



   

 

1 1

2

1 1

d 2 2 d

f x x f x x

 



 

 

 

1

2

1

8 16 8 d

x x x



  



 

     

1 1 1

2

1 1 1

d 2 2 2 d 2 2 d

f x x x f x x x x

  

 

    

  

 

1 1

2

1 1

8 16 8 d 2 2 d

x x x x x

 

    

 

   

1

2

1

2 2 d 0

f x x x





   

 

 







2 2

f x x



  





2

f x x x C

   

, C





.

Mà





1 0 3

f C

   





2

2 3

f x x x

   

 

1 1

2

0 0

5

d 2 3 d

3

f x x x x x

     

 

.

Cách 2.

Chọn





2

f x ax bx c

  





0

a



(lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).





2

f x ax b



  

.

Ta có:

 





 

2

4 8 16 8

f x f x x x



   

 





2

2 2

2 4 8 16 8

ax b ax bx c x x

       









2 2 2 2

4 4 4 4 4 8 16 8

a a x ab b x b c x x

        

2

4 4 8

4 4 16

4 8

a a

ab b

b c



 



  





  



1

2

3

a

b

c







 





 



hoặc

2

4

6

a

b

c

 





 





 



.

Do





1 0 0

f a b c

    

1

a

 

,

2

b



và

3

c

 

.

Vậy





2

2 3

f x x x

  

 

1 1

2

0 0

5

d 2 3 d

3

f x x x x x

     

 

.

Câu 37: Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;1

thỏa





1 0

f



,

 

1

2

0

dx

8

f x









và

 

1

0

1

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



. Tính

 

1

0

d

f x x



.

A.

2



. B.



. C.

1



. D.

2



.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt









d d

2

sind cos d

2

u f x x

u f x

x

vv x







 



 



 

 

Do đó

 

1

0

1

cos d

2 2

x f x x



 



 

 



   

1

0

2 2 1

sin sin d

2 2 2

x

f x x f x x

 

 



  

 

 



 

1

0

sin d

2 4

x f x x

 

 



  

 

 



.

Lại có:

1

2

0

1

sin d

2 2

x x



 



 

 



   

2

1 1 1

2

0 0 0

2 2

. d 2 sin d sin d

2 2

I f x x x f x x x x

 

       

 

     

       

       

  

 

2

1

2

0

2 4 2 1

sin d . 0

2 8 2 2

f x x x

  

 



      

 

 



Vì

 

2

sin 0

2

f x x



 



  

 

 

trên đoạn





0;1

nên

 

2

1

0

2

sin d 0

2

f x x x



 



  

 

 



 

2

=sin

2

f x x



 



 

 

 

 

= sin

2 2

f x x

 

 



 

 

 

.

Suy ra

 

=cos

2

f x x C



 



 

 

mà





1 0

f



do đó

 

=cos

2

f x x



 

 

 

.

Vậy

 

1 1

0 0

2

d cos d

2

f x x x x



 

 

 

 

 

.

Câu 38: Xét hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn điều kiện





1 1

f



và





2 4

f



. Tính









2

1

2 1

d

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



.

A.

1 ln4

J

 

. B.

4 ln2

J

 

. C.

1

ln 2

2

J

 

. D.

1

ln 4

2

J  

.

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có









2

1

2 1

d

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2 2 2

2 2

1 1 1

2 1

d d d

f x f x

x x x

x x x x



 

   

 

 

  

.

Đặt

   

2

1 1

d d

u u x

x x

v f x x v f x

 

  

 



 

 



 

 









2

1

2 1

d

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 



 









2

2 2 2

1

1 1 1

1 2 1

. d d d

f x f x

f x x x x

x x x x x

 

    

 

 

  

   

2

1

1 1 1

2 1 2ln ln4

2 2

f f x

x

 

     

 

 

.

Cách 2:









2

1

2 1

d

f x f x

J x

x x



 

 

 

 

 











2

2 2

1

2 1

d

xf x f x

x

x x x





 

  

 

 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2 2

2

1 1

2 1

d d

f x

x x

x x x



 

  

 

 

 

 

2

1

1 1

2ln ln4

2

f x

x

x x

 

    

 

 

.

Cách 3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số





f x ax b

 

. Vì





 

1 1

3

2

2 4

f

a

b

f











 

 









, suy ra





3 2

f x x

 

.

Vậy

2

1

5 3 1 1 1

d 2ln ln 4

2

x

J x x

x x x



   

     

   

   



.

Câu 39: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

     

1 1

2

0 0

e 1

d 1 e d

4

x

f x x x f x x





   

 

 

và





1 0

f



. Tính

 

1

0

d

f x x



A.

e 1

2



. B.

2

e

4

. C.

e 2



. D.

e

2

.

Lời giải

Chọn C

- Tính:

   

1

0

1 e d

x

I x f x x

  



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x f x x J K

  

 

.

Tính

 

1

0

e d

x

K f x x





Đặt

 

   

d e e d

e

d d

x x

x

u f x f x x

u f x

v x





 



 



 

 



 











 

   

1

0

e e e d

x x x

K x f x x f x x f x x



 

   

 



   

1 1

0 0

e d e d

x x

x f x x x f x x



  

 









do 1 0

f



 

1

0

e d

x

K J x f x x



   



 

1

0

e d

x

I J K x f x x



    



.

- Kết hợp giả thiết ta được:

 

1

2

0

1

2

0

e 1

d

4

e 1

d

4

x

f x x

xe f x x







 



 











 







 

1

2

0

1

2

0

e 1

d (1)

4

e 1

2 e d (2)

2

x

f x x

x f x x







 



 













 







- Mặt khác, ta tính được:

1

2

2 2

0

e 1

e d (3)

4

x

x x







.

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

   





1

2

2 2

0

2 e e d 0

x x

f x x f x x x

 

  

 

 



 

1

2

e d 0

x

o

f x x x



  



 

1

2

e d 0

x

o

f x x x





  



hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





e

x

y f x x



  , trục

Ox

, các đường thẳng

0

x



,

1

x



khi quay quanh trục

Ox

bằng

0





e 0

x

f x x



  





e

x

f x x



  









e d 1 e C

x x

f x x x x

     



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

- Lại do













1 0 C 0 1 e

x

f f x x

     

   

1 1

0 0

d 1 e d

x

f x x x x

  

 

 

1

0

1 e e d

x x

  



1

0

1 e e 2

x

    

.

Vậy

 

1

0

d e 2

f x x

 



.

Câu 40: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

1

2

0

1

d

3

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

7

5

. B.

1

. C.

7

4

. D.

4

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Tính:

 

1

2

0

d

x f x x



. Đặt

 





3

2

d d

3

u f x x

u f x

x

v x x

v



 

 



 







.

Ta có:

 

1

3

1 1

2 3

0 0

0

1

d . d

3 3

x f x

x f x x x f x x



 

 









   

1 1

3 3

0 0

1. 1 0. 0

1 1

. d . d

3 3 3

f f

x f x x x f x x



 

   

 

.

Mà

 

1

2

0

1

d

3

x f x x





   

1 1

3 3

0 0

1 1

. d . d 1

3 3

x f x x x f x x

 

     

 

.

Ta có

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



(1).

1

7

6

0

1

d

7 7

x

x x

 



1

6

0

1

49 d .49 7

7

x x

  



(2).

   

1 1

3 3

0 0

. d 1 14 . d 14

x f x x x f x x

 

    

 

(3).

Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra

   

1 1 1

2

6 3

0 0 0

d 49 d 14 . d 7 7 14 0

f x x x x x f x x

 

     

 

 

  

.

   





1

2

3 6

0

14 49 d 0

f x x f x x x

 

   

 

 

 

1

2

3

0

7 d 0

f x x x



 

  

 



.

Do

 

2

3

7 0

f x x



 

 

 

 

1

2

3

0

7 d 0

f x x x



 

  

 



. Mà

 

1

2

3

0

7 d 0

f x x x



 

 

 







3

7

f x x



   .

 

4

7

4

x

f x C

  

. Mà

 

7 7

1 0 0

4 4

f C C

      

.

Do đó

 

4

7 7

4 4

x

f x

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

 

1

1 1

4 5

0 0

0

7 7 7 7 7

d d

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

.

Cách 2: Tương tự như trên ta có:

 

1

3

0

. d 1

x f x x



 



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

 

     

2

1 1 1 1 1

2

2 2 2

3 3

0 0 0 0 0

1

7 7 d 7 d d 7 d d

7

x f x x x x f x x f x x f x x

     

   

           

     

     

     

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi





3

f x ax



 , với a





.

Ta có

 

1

1 1

7

3 3 3

0 0

0

. d 1 . d 1 1 7

7

ax

x f x x x ax x a



          

 

.

Suy ra

   

4

3

7

4

x

f x x f x C



     

, mà





1 0

f



nên

7

4

C



Do đó

 

4

7

1

4

f x x x

   



.

Vậy

 

1 1

4 5

0 0

1

7 7 7 7 7

d d

0

4 4 20 4 5

x x

f x x x x

   

      

   

   

 

.

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho hàm số





f x

và





g x

liên tục trên đoạn





;

a b

.

Khi đó, ta có

       

2

2 2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     

 

     

     

  

.

Chứng minh:

Trước hết ta có tính chất:

Nếu hàm số





h x

liên tục và không âm trên đoạn





;

a b

thì

 

d 0

b

a

h x x





Xét tam thức bậc hai

           

2

2 2 2

2 0

f x g x f x f x g x g x

  

    

 

 

, với mọi







Lấy tích phân hai vế trên đoạn





;

a b

ta được

       

2 2 2

d 2 g d d 0

b b b

a a a

f x x f x x x g x x

 

  

  

, với mọi











*

Coi





*

là tam thức bậc hai theo biến



nên ta có

0



 

     

2

2 2 2

d d d 0

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

  

    

    

  

     

2

2 2 2

d d d

b b b

a a a

f x x f x x g x x

    

 

    

    

  

(đpcm)

Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 với









0 1 1

f f

 

. Biết rằng

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



,

a

,

b





. Giá trị của biểu thức

2019 2019

a b



bằng

A.

2018

2 1



. B.

2

. C.

0

. D.

2018

2 1



.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Cách 1:

Ta có

           

1 1

1

0

0 0

e d e d e e. 1 0 e 1

x x x

f x f x x f x x f x f f



   

      

 

 

   

 

.

Theo đề bài

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



,

a

,

b





suy ra

1

a



,

1

b

 

.

Do đó

 

2019

2019 2019 2019

1 1 0

a b

    

.

Cách 2:

Ta có

       

1 1 1

0 0 0

e d e d e d

x x x

f x f x x f x x f x x

 

   

 

  

.

Đặt





u f x

 ,

d e d

x

v x



; ta có





d d

u f x x



 ,

e

x

v



.

Khi đó,

     

1 1

1

0

0 0

e d e e d

x x x

f x x f x f x x



 

 

 

 

     

1 1

1

0

0 0

e d e d e

x x x

f x x f x x f x



 

  

 

 

         

1

0

e d e e. 1 0 e 1

x x

f x f x x f x f f



 

      

 

 



.

Theo đề bài

   

1

0

e d e

x

f x f x x a b



  

 

 



,

a

,

b





suy ra

1

a



,

1

b

 

.

Do đó

 

2019

2019 2019 2019

1 1 0

a b

    

.

Câu 42: (Đoàn Thượng) Cho hàm số

( )

y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và

(0) (1) 0

f f

 

.

Biết

1

2

0

1

( )

2

f x dx





,

1

0

( ) ( )

2

f x cos x dx









. Tính

1

0

( )

f x dx



.

A.



. B.

3

2



. C.

2



D.

1



Lời giải

Chọn C

Ta có

1

0

( )cos( )

2

I f x x dx





 



.

Đặt

cos( ) sin( )

u x du x

  

   

,

( )

dv f x dx





chọn

( )

v f x



.

1 1

1

0

0 0

( )cos( ) ( )sin( ) (1) (0) ( )sin( ) .

2

|

I f x x f x x dx f f f x x dx



    

       

 

1

0

1

( )sin( )

2

f x x dx



 



.

Ta có

1 1 1

2 2

2 1 2

0 0 0

1

( ) ( )sin( ) ( )

2

I f x dx I I f x x dx f x dx



     

  

.

 

1

2 2

0

( ) ( )sin( ) 0 ( ) ( )sin( ) 0 ( ) ( ) sin 0

f x f x x dx f x f x x f x f x x

  

 

        

 

 



.

( ) 0

f x

 

hoặc





( ) sin 0

f x x



 

. Vì

1

0

I



và

2

0

I



nên

( ) 0

f x



loại.









( ) sin 0 ( ) sin

f x x f x x

 

    

.

1 1

1

0

0 0

cos( x) 2

( ) sin( )

|

f x dx x dx



 

    

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 43: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

1

2

0

1

d

3

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

7

5

. B.

1

. C.

7

4

. D.

4

.

Lời giải

Chọn A

Nhận xét

- Ý tưởng sáng tác bài toán giống câu 50 trong đề minh họa của BGD năm 2018. Vì thầy

Nguyễn Việt Hải phân tích quá hay nên tôi trích dẫn lại nguyên văn nhận xét và ý tưởng đó

Từ giả thiết:

 

1

2

0

1

d

3





x f x x

 

1

2

0

3 d 1

 



x f x x

.

Tính:

 

1

2

0

3 d





I x f x x

.

Đặt:









2 3

d d

d 3 d



   

 



 

 

 

 

u f x u f x x

v x x v x

.

Ta có:

     

1 1

1

2 3 3

0

0 0

3 d . d



  

 

I x f x x x f x x f x x

     

1

3

0

1. 1 0. 0 . d



  



f f x f x x

 

1

3

0

. d



 



x f x x

.

Mà:

 

1

2

0

3 d 1





x f x x

 

1

3

0

1 . d



  



x f x x

 

1

3

0

. d 1



  



x f x x

 

1

3

0

7 . d 7



  



x f x x

   

1 1

2

3

0 0

7 . d d

 

    

 

 

x f x x f x x

, (theo giả thiết:

 

1

2

0

d 7

f x x





 

 



).

   





1

2

3

0

7 . + d 0

 

 

 

 



x f x f x x

   

1

3

0

7 + d 0

 

 

 

 



f x x f x x





3

7 + 0



 

x f x





3

7



  

f x x

 

4

7

4

   

f x x C

.

Với





1 0



f

4

7

.1 0

4

   

C

7

4

 

C .

Khi đó:

 

4

7 7

4 4

  

f x x .

Vậy:

 

1 1

4

0 0

7 7

d d

4 4

 

  

 

 

 

f x x x x

1

5

0

7

4 5

 

  

 

 

x

7

5



.

PHÂN TÍCH



 

1 1 1 1

3 3 3

2 1 3

0

0 0 0 0

1

( )d d ( ) | d ( ) . '( )d

3 3 3 3

x x x

x f x x f x f x f x x f x x

    

   

Từ đây, chúng ta quan sát giả thiết bài toán: Ta thấy xuất hiện





2

'( )

f x

và

3

. '( )

x f x

Nghĩ ngay đến hằng đẳng thức

 



 

2

3

'( )

f x ax

, như vậy số



?

a

tương ứng với bài toán?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+

 





1

2

0

'( ) 7

f x dx

+

 



1

3

0

2 . '( ) 2

ax f x dx a

+

 





1

2

3

0

7

a

ax dx

Do đó số a chọn tương ứng là

 

      

 



1

2

3

0

'( ) 7 2 0 7

7

a

f x ax dx a a

.

. Suy ra



    

4

3

7 7

'( ) 7 ( )

4 4

x

f x x f x

.

Vậy đáp chọn: A

NHẬN XÉT:

Vì đây là trắc nghiệm chỉ cần ĐS đúng do đó ta sử dụng kỷ thuật đồng nhất suy ra đáp số dễ

dàng.

 





1

2

0

'( ) 7

f x dx

và

 

 



1

3

0

7 '( ) 7

x f x dx

. Vì trắc nghiệm nên đồng nhất hai biểu thức dưới dấu

tích phân. Suy ra



     

4

3

7 7

'( ) 7 ( )

4 4

x

f x x f x A

.

Hướng tiếp cận khác theo con đường BĐT.

+ Quan sát giả thiêt bài toán:

 

 



1

2

0

(1) 0, '( ) 7

f f x dx

và





1

2

0

1

( )

3

x f x dx

.

+ Ta nghĩ đến đánh giá bằng BĐT: Thật vậy sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai. Chúng ta

có kết quả BĐT Cauchy – Schawz

           

 

      

 

   



2

2 2 2

2 . 0,

b b b b

a a a a

t f x dx t f x g x dx g x dx t f x g x dx t

.

Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz

       

 



 

 

  

2

2 2

.

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Do đó ta có hướng giải bài toán trên:

 

     

   

1 1 1 1

3 3 3

2 1 3

0

0 0 0 0

1 1

( ) ( ) | ( ) . '( )

3 3 3 3 3

x x x

x f x dx f x d f x df x x f x dx

.

Ta suy ra:

 

 



  

 

 

  

2

1 1

2

3 3

0 0

1 1 1 1

' '

9 3 9 9

x f x dx x dx f x dx .

Tương đương







3

' .

f x k x

Ý TƯỞNG SÁNG TẠO ĐỀ

Tạo hằng tích phân có dạng đẳng thức:

 

 



2

0

a

A B dx

Hoặc

 

  



2

0

a

A B C dx

…

Chọn A, A, B thích hợp tương ứng ta có bài toán.

 

    

   

2

2 2

0 0 0 0

0 2 .

a a a a

A B dx A dx A Bdx B dx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 44: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 4



f

,

 

1

2

0

d 36





 

 



f x x

và

 

1

0

1

. d

5





x f x x

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

5

6

. B.

3

2

. C.

4

. D.

2

3

.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:

 

1

0

1

. d

5





x f x x

 

1

0

5 . d 1

 



x f x x

.

Tính:

 

1

0

5 . d





I x f x x

.

Đặt:

 





2

d d

5

d 5 d

2





 



 











u f x x

u f x

v x x

v x

.

Ta có:

     

1

1 1

2 2

0

0 0

5 5

5 . d . . d

2 2



  

 

I x f x x x f x x f x x

   

1

2

0

5 5

. 1 . d

2 2



 



f x f x x

 

1

2

0

5

10 . d

2



 



x f x x

, (vì





1 4



f )

Mà:

 

1

0

5 . d 1

 



I x f x x

 

1

2

0

5

1 10 . d

2



  



x f x x

 

1

2

0

18

. d

5



 



x f x x

 

1

2

0

10 . d 36



 



x f x x

   

1 1

2

0 0

10 . d d

 

   

 

 

x f x x f x x

, (theo giả thiết:

 

1

2

0

d 36





 

 



f x x

)

   

1

2

0

10 . d 0

 

 

  

 

 



x f x f x x

   

1

2

0

10 d 0

 

 

  

 



f x x f x x





2

10 0



  

x f x





2

10



 

f x x

 

3

10

3

  

x

f x C

Với





1 4



f

10.1

4

3

  

C

2

3

 

C .

Khi đó:

 

3

10 2

3 3

 

x

f x

.

Vậy:

 

1 1

3

0 0

10 2

d d

3 3

 

 

 

 

 

x

f x x x

1

4

0

5 2 3

6 3 2

 

  

 

 

x

x .

Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

thỏa mãn





2 3



f ,

 

2

0

d 4





 

 



f x x

và

 

2

0

1

d

3





x f x x

. Tích phân

 

2

0

d



f x x

bằng

A.

2

115

. B.

297

115

. C.

562

115

. D.

266

115

.

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết:

 

2

0

1

d

3





x f x x

 

2

0

3 d 1

 



x f x x

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tính:

 

2

0

3 d





I x f x x

.

Đặt:









2 3

d d

d 3 d



   

 



 

 

 

 

u f x u f x x

v x x v x

.

Ta có:

     

2 2

2

2 3 3

0

0 0

3 d . . d



  

 

I x f x x x f x x f x x

 

2

3

0

24 . d



 



x f x x

, (vì





2 3



f )

Mà:

 

2

0

3 d 1

 



I x f x x

 

2

3

0

1 24 . d



  



x f x x

 

2

3

0

. d 23



 



x f x x

 

2

3

0

4

. d 4

23



 



x f x x

   

2 2

2

3

0 0

4

. d d

23

 

   

 

 

x f x x f x x

, (theo giả thiết:

 

1

2

0

d 4





 

 



f x x

)

   

2

3

0

4

. d 0

23

 

 

  

 

 

 

 



x f x f x x

   

2

3

0

4

d 0

23

 

 

  

 

 



f x x f x x

 

3

4

0

23



  

x f x

 

3

4

23



 

f x x

 

4

1

23

  

f x x C

Với





2 3



f

16

3

23

  

C

53

23

 C .

Khi đó:

 

4

1 53

23 23

 f x x .

Vậy

 

2 2

4

0 0

1 53

d d

23 23

 

 

 

 

 

f x x x x

2

5

0

1 53 562

115 23 115

 

  

 

 

x x

.

Câu 46: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 4



f

,

 

1

2

0

d 5





 

 



f x x

và

 

1

0

1

. d

2

x f x x

 



. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

15

19

. B.

17

4

. C.

17

18

. D.

15

4

.

Lời giải

Chọn D

Tính:

 

1

0

. d

I x f x x





. Đặt:

 





2

d d

1

d d

2

u f x x

u f x

v x x

v x





 



 











Ta có:

   

1

2 2

0

1

1 1

. d

0

2 2

I x f x x f x x



 



 

1

2

0

1

2 d

2

x f x x



 



, (vì





1 4



f ).

Mà:

 

1

0

1

. d

2

x f x x

 



 

1

2

0

1 1

2 d

2 2



   



x f x x

 

1

2

0

d 5



 



x f x x

, (theo giả thiết:

 

1

2

0

d 5





 

 



f x x

)

   

1 1

2

0 0

d d

 

   

 

 

x f x x f x x

   





1

2

0

d 0

 

  

 

 



x f x f x x

   

1

2

0

. d 0

 

 

  

 



f x x f x x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông







2

0

x f x



 







2

f x x







 

3

1

3

f x x C

 

.

Với





1 4



f



11

3

C



.

Khi đó:

 

3

1 11

3 3

f x x

 

.

Vậy

 

1 1

3 4

0 0

1

1 11 1 11 15

d d

0

3 3 12 3 4

   

    

   

   

 

f x x x x x x

.

Câu 47: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

thỏa mãn





2 6

f



 

2

0

d 7

f x x





 

 



và

 

2

0

17

. d

2

x f x x





. Tích phân

 

2

0

d

f x x



bằng

A.

8

. B.

6

. C.

7

. D.

5

.

Lời giải

Chọn A

Tính:

 

2

0

. d

I x f x x





.

Đặt:

 





2

d d

1

d d

2

u f x x

u f x

v x x

v x





 



 











Ta có:

   

2

2 2

0

2

1 1

. d

0

2 2

I x f x x f x x



 



 

2

0

1

12 d

2

x f x x



 



, (vì





2 6

f



).

Theo giả thiết:

 

2

0

17

. d

2

x f x x





 

2

0

17 1

12 d

2 2



  



x f x x

 

2

0

d 7



 



x f x x



   

2 2

2

0 0

d d

x f x x f x x

 

  

 

 



   





2

0

d 0

x f x f x x

 

 

 

 





   

2

0

. d 0

f x x f x x

 

 

 

 









2

0

x f x



 





2



 

f x x

 

3

1

3

  

f x x C

.

Với





2 6

f





10

3

C  .

Khi đó:

 

3

1 10

3 3

f x x

 

.

Vậy

 

2 2

3 4

0 0

2

1 10 1 10

d d 8

0

3 3 12 3

   

    

   

   

 

f x x x x x x

.

Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;3

thỏa mãn





3 6

f



 

3

2

0

d 2





 

 



f x x

và

 

3

2

0

154

. d

3





x f x x

. Tích phân

 

3

0

d

f x x



bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

53

5

. B.

117

20

. C.

153

5

. D.

13

5

.

Lời giải

Chọn B

Tính

 

3

2

0

. d

I x f x x





.

Đặt

 





3

2

d d

1

d d

3

u f x x

u f x

v x

v x x







 

 



 







.

Ta có

   

3

3 3

0

3

1 1

. d

0

3 3

I x f x x f x x



 



 

3

0

1

54 d

3



 



x f x x

, (vì





3 6

f



).

Theo giả thiết:

 

3

2

0

154

. d

3





x f x x

 

3

0

154 1

54 d

3 3



  



x f x x

 

3

0

d 8



 



x f x x

   

3 3

2

3

0 0

d 4 d

 

   

 

 

x f x x f x x

   





3

2

3

0

4 d 0

 

  

 

 



x f x f x x

   

3

0

4 d 0

 

 

  

 



f x x f x x

.





3

4 0



  

x f x

 

3

4



 

x

f x

 

4

16

  

x

f x C

.

Với





3 6

f



15

16

 

C .

Khi đó:

 

4

15

16 16

 

x

f x

.

Vậy

 

3 3

4 5

0 0

3

1 15 1 15 117

d d

0

16 16 80 16 20

   

    

   

   

 

f x x x x x x

.

Câu 49: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 2

f



,

 

1

2

0

d 8

f x x





 

 



và

 

1

3

0

. d 10

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

285



. B.

194

95

. C.

116

57

. D.

584

285

.

Lời giải

Chọn C

Tính:

 

1

3

0

. d

I x f x x





.

Đặt:

 





4

3

d d

1

d d

4

u f x x

u f x

v x

v x x





 

 



 







.

Ta có:

   

1

4 4

0

1

1 1

. d

0

4 4

I x f x x f x x



 



 

1

4

0

1 1

d

2 4

x f x x



 



, (vì





1 2

f



).

Theo giả thiết:

 

1

3

0

. d 10

x f x x







 

1

4

0

d 38

x f x x



 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

1

4

0

8. d 38.8



  



x f x x

   

1 1

2

4

0 0

8. d 38. d

 

    

 

 

x f x x f x x

   





1

2

4

0

8 38 d 0

 

  

 

 



x f x f x x

   

1

4

0

. 8 38 d 0

 

 

  

 



f x x f x x







4

8 38 0



 

x f x



 

4

19



 

f x x



 

5

4

95

  

f x x C

.

Với





1 2

f





194

95

C .

Khi đó:

 

5

4 194

95 95

  f x x .

Vậy

 

1 1

5 6

0 0

1

4 194 2 194 116

d d

0

95 95 285 95 57

   

      

   

   

 

f x x x x x x

.

Câu 50: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





1 1

f



,

 

1

2

0

d 9

f x x





 

 



và

 

1

3

0

1

d

2

x f x x





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

2

3

. B.

5

2

. C.

7

4

. D.

6

5

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

1

2

0

d 9

f x x





 

 







1

- Tính

 

1

3

0

1

d .

2

x f x x





Đặt





3

d .d

u f x

v x x

 















4

d d

4

u f x x

x

v



 













 

1

3

0

1

d

2

x f x x

 



 

1

4

0

.

4

x

f x

 



 

 

 

1

4

0

1

. d

4

x f x x







 

1

4

0

1 1

. d

4 4

x f x x



 



 

1

4

0

. d 1

x f x x



  



 

1

4

0

18 . d 18

x f x x



  







2

- Lại có:

1

9

8

0

1

d

9 9

x

x x

 



1

8

0

81 d 9

x x

 







3

- Cộng vế với vế các đẳng thức





1

,





2

và





3

ta được:

   

1

2

4 8

0

18 . 81 d 0

f x x f x x x

 

 

  

 

 



 

1

4

0

9 d 0

f x x x



 

  

 



 

1

4

0

. 9 d 0

f x x x





 

  

 



Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





4

9

y f x x



  , trục

hoành

Ox

, các đường thẳng

0

x



,

1

x



khi quay quanh

Ox

bằng

0





4

9 0

f x x



  





4

9

f x x



  









.d

f x f x x



 



4

9

5

x C

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lại do





1 1

f



14

5

C

 

 

5

9 14

5 5

f x x

   

 

1

0

d

f x x

 



1

5

0

9 14

d

5 5

x x

 

 

 

 



1

6

0

3 14 5

10 5 2

x x

 

   

 

 

.

Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và

. Tích phân bằng

A. B. C. D.

Lời giải:

. Suy ra . Hơn nữa ta dễ dàng tính

được . Do đó

.

Suy ra , do đó . Vì nên . Vậy

.

Câu 52: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện ;

và . Tính tích phân

A. B. C. D.

Lời giải:

Sử dụng tích phân từng phần ta có: .

Mặt khác: .

Tích phân hai vế ta .

Áp dụng Holder:

.





f x





0;1

   

1

2

0

1

1 0,

11

f f x dx



 

 

 



 

1

4

0

1

55

x f x dx

 



 

1

0

f x dx



1

7



1

7

1

55



1

11

     

1

1 1

5 5

4

0 0

0

5 5

 



 

 

 

 

x x

x f x dx f x f x dx

 

1

5

0

1

11







x f x dx

 

1

2

5

0

1

11





x dx

   

 

1 1 1

2

5 5

0 0 0

2 0

 

  

 

 

  

f x dx x f x dx x dx

 

1

2

5

0



 

  

 



f x x dx





5





f x x

 

6

1

6

 

f x x C





1 0



f

1

6

 

C

 

1 1

6

0 0

1 1

6 7

 

 

 

x

f x dx dx





f x





0;1

 

3

1

2

f



 

1

0

5

6

f x dx





   

 

1

2

0

1

1 1

2 3

x

x f x dx

x



   





 

1

2

0

?

f x dx





7

3

8

15

53

60

203

60

       

1 1 1

0 0 0

5 2

1

6 3

f x dx f xf x dx xf x dx

 

    

  

   

 

   

 

2 2

2

2 1 1 1 1

2 2

x x

x f x x f x

x x

 

     

 

 

1 1

2 2

0 0

2 4 2

3 3 2 2 3

x x

f x dx f x dx

x x

 

    

 

 

         

 

2

1 1 1 1

2

0 0 0 0

4

2 2

9 2 2

x x

xf x dx x x f x dx x x dx f x dx

x x

 

  

    

 

 

 

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do vậy nên dấu bằng

.

 

1

2

0

2

2 3

x

f x dx

x



 





     

1

2

0

53

2 2

2 60

x

f x x f x x f x dx



       



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Câu 1: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số





f x

liên tục không âm trên

0;

2



 

 

 

, thỏa mãn

     

2

. cos 1

f x f x x f x



 

với mọi

0;

2

x



 



 

 

và





0 3

f 

. Giá trị của

2

f



 

 

 

bằng

A.

2

. B.

1

. C.

2 2

. D.

0

.

Lời giải

Chọn C

Với

0;

2

x



 



 

 

ta có

     









 

2

2 .

. cos 1 cos *

2 1

f x f x

f x f x x f x x

f x



   



.

Suy ra

 

2

1 sin

f x x C

  

.

Ta có





0 3 2

f C

  

.

Dẫn đến

   

2

sin 2 1

f x x

  

.

Vậy

2 2

2

f



 



 

 

.

Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số





f x

thỏa mãn









. 1

f x f x





, với mọi

x





. Biết

 

2

1

d

f x x a





và





1

f b



,





2

f c



. Tích phân

 

2

1

d

x

f x



bằng

A.

2

c b a

 

. B.

2

a b c

 

. C.

2

c b a

 

. D.

2

a b c

 

.

Lời giải

Chọn A

Ta có









. 1

f x f x





 

1

f x



 

suy ra

 

2 2

1 1

d d

x

x xf x x

f x





 

 

2

1

.d

x f x



 

 



   

2

1

d

xf x f x x

 



     

2

1

2 2 1 d

f f f x x

  



2

c b a

  

.

Câu 3: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho

       

1

0

3 1 d 2019, 4 1 0 2020

x f x x f f



   



. Tính

 

1

3

0

3 d

f x x



.

A.

1

9

. B.

3

. C.

1

3

. D.

1

.

Lời giải.

Chọn A

Ta có:

       

 

     

1 1 1

1

0

0 0 0

3 1 d 2019 3 1 d 2019 3 1 3 d 2019

x f x x x f x x f x f x x



        

  

           

1 1 1

0 0 0

1

4 1 0 3 d 2019 2020 3 d 2019 d 1

3

f f f x x f x x f x x        

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Xét:

 

1

3

0

3 d

I f x x





:

Đặt

d

3 d 3d d

3

t

x t t x x

    

; Đổi cận:

1

0 0; 1

3

x t x t

     

.

Vậy:

   

1 1

0 0

1 1 1 1 1

d d .

3 3 3 3 9

I f t t f x x

   

 

Câu 4: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số





f x

liên tục và có đạo hàm trên

1 1

;

2 2

 



 

 

thỏa mãn

     

1

2

1

2

109

2 . 3 d

12

f x f x x x



 

   

 



. Tính

 

1

2

0

2

d

1

f x

x

x 



.

A.

7

ln

9

. B.

2

ln

9

. C.

5

ln

9

. D.

8

ln

9

.

Lời giải

Chọn B

     

1

2

1

2

109

2 . 3 d

12

f x f x x x



 

   

 



.

   

 

2

1

2

1

2

109

3 3 d

12

f x x x x



 

     

 





   

 

1 1

2 2

1 1

2

109

3 d 3 d

12

f x x x x x

 

      

 

.

Mà

 

3

2

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

109

2

3 d 9 6 d 9 3

1

3 12

2

x

x x x x x x x

 

 

      

 









 

Suy ra

   

 

1

2

1

2

3 d 0

f x x x



  



.

Vì

   

2

1 1

3 0, ;

2 2

f x x x

 

      

 

 

 

nên





3

f x x

 

,

1 1

;

2 2

x

 

  

 

 

.

Vậy

 

  

2 2

1 1 1 1

2 2 2

0 0

2

0 0

3 1 2 1 2

1 1 1 1

d d + d

1

d

1

f x

x x

x x x x

x x x x x x

 

   

  

  

 

 

 



   

1

1 2

ln 1 ln ln

2

1 9

0

x

  

    

 



 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 5: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm

: 0,

2

f



 



 

 



là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện

 

  

2

0

2 sin co ds 1

2

f x f x x x x



 

   

 



. Tính

2

0

(

d

)

f x x





.

A.

2

0

) 1

d(f x x



 



. B.

2

0

) 1

d(

f x x







. C.

2

0

) 2

d(f x x







. D.

2

0

) 0

d(f x x







.

Lời giải

Chọn D

Ta có

   

2

2 2

0 0

0

1

sin cos 1 sin 2 cos 2 1

d

2 2

dx x x x x x x



 



 

      

 

 

 

.

 

    

2

0

2 sin cos sin cos

d

f x f x x x x x x



 

    

 



.

 

    

2

2 2

0 0

2 sin cos sin cos 1 1 0

2 2

d df x f x x x x x x x

 

 

         

 

 

.

   

2

0

sin cos d

0

f x x x x



   

 

 



.





sin cos

f x x x

   .

     

2 2

2

0

0 0

sin cos cos si 0

d d nx x x x xf x x

 



      

 

.

Câu 6: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên

khoảng





0;



và





0

f x



,





0;x

  

thỏa mãn









2

.

f x x f x



  với mọi





0;x

 

,

biết

 

2

1

3

f

a





và

 

1

2

4

f



. Tổng tất cả các giá trị nguyên của

a

thỏa mãn là

A.

14



. B.

1

. C.

0

. D.

2



.

Lời giải

Chọn D

Trên





0;



ta có

   

 

   

2

1

.

f x

f x x f x x x

f x f x



 



      

 

 

.

   

2

1 1

d d

2

x

x x x C

f x f x



 

    

 

 

 

.

Có

 

2 3 1 2

1

3 2 2 2

a a

f C C

a

 

     



.

 

1 2 2

2 2

2 2 6

a

f

f a



   



;

 

1 2 1 2

2 0 6 2

4 6 4 4 6

a

f a

a a



        

 

.

Ta có

 

2

1 2

2 2

x a

f x



  . Do đó





0

f x



,





0;x

  

2

a

  

.

Với





2; 1;0;1

a a    



. Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của

a

cần tìm là

2



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 7: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





3 21

f



,

 

3

0

d 9

f x x





. Tính tích phân

 

1

0

. 3 d

I x f x x







.

A.

15

I



. B.

12

I



. C.

9

I



. D.

6

I



.

Lời giải

Chọn D

Đặt

d d

1

d (3 )d

(3 )

3

u x

v f x x

v f x













 











.

Suy ra

1 3

0 0

1

1 1 1 1

. (3 ) (3 )d (3) ( )d 6

0

3 3 3 9

I x f x f x x f f x x

    

 

.

Vậy

6

I



.

Câu 8: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho

( )

f x

là hàm số liên tục trên



thỏa mãn

2

( ) (2 ) . ,

x

f x f x x e x

    



. Tính tích phân

2

0

( )

I f x dx





.

A.

4

1

4

e

I





. B.

2 1

2

e

I





. C.

4

2

I e

 

. D.

4

1

I e

 

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

2

x t dx dt

   

.

       

0 2 2

2 0 0

2 2 2

I f t dt f t dt f x dx

       

  

.

   

 

2 2 2

4

2 2

0

0 0 0

1 1 1

2 2

2 2 2

x x x

e

I f x f x dx xe dx e d x e



        

   

.

Vậy

4

1

4

e

I





.

Câu 9: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên

khoảng





0;

 

thỏa mãn









2

0

x f x f x



 

và





0

f x



,





0;x

   

. Tính





2

f biết





1 e

f



.

A.





2

2 e

f



. B.





3

2 e

f 

. C.





2

2 2e

f  . D.





2 e

f 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có





0

f x



,





0;x

   







0

f x



không có nghiệm trên khoảng





0;

 







0

f x



không có nghiệm trên khoảng





1;2











1 . 2 0

f f



,





1;2

x  .

Mà





1 e 0

f

 

nên





2 0

f



.

Do đó









2

0

x f x f x



 







 

2

1

f x

x f x



 

.

Suy ra





 

2 2

2

1 1

1

d d

f x

x x

x f x



 

 



 

2

1

ln

f x

x

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



   

 

1

1 ln 2 ln 1

2

f f

 

    

 

 



 

1

ln 2 lne

2

f  

 

 



 

1

ln 2 1

2

f

  



 

1

ln 2

2

f





 

1

2

2 e e

f   .

Câu 10: (Lý Nhân Tông) Biết

1

3 3

0

2 e 2 1 1 e

d .ln

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

 

 

  

 

 

 



với

m

,

n

,

p

là các số

nguyên dương. Tính tổng

P m n p

  

A.

5

P



. B.

6

P



. C.

8

P



. D.

7

P



.

Lời giải

Chọn D





3

1 1 1

3 3

3

0 0 0

e.2 2

2 e 2 2

d d d

e.2 e.2 e.2

x x

x x x

x

x x

x x x x



  

 

 

 

  

 

  

 

  

1

4

0

1 1 1 e

.ln e.2 .ln 1

4 eln 2 4 e.ln 2 e

x



     



.

Vậy

4

m



,

2

n



,

1

p



nên

7

P m n p

   

.

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm, liên tục trên đoạn





1;2

đồng

thời thỏa mãn

(2) 0

f



,

 

2

1

5 2

'( ) d ln

12 3

f x x  



và

2

1

( ) 5 3

d ln

( 1) 12 2

f x

x

  





. Tính

2

1

( )d

I f x x





.

A.

3 2

2ln

4 3

I  

. B.

2

ln

3

I 

. C.

3 3

2ln

4 2

I  

. D.

3 2

2ln

4 3

I  

.

Lời giải

Chọn A

+ Đặt





 





2

d d

1

1 1

d d

1

2 1

u f x

u f x x

x

v x

v

x











 



 



 

 



 



.

Khi đó

2

2 2

2

1

1 1

( ) 1 1 1

d ( ) ( )d

( 1) 2 1 1

f x x x

x f x f x x

x x x

 

 



 

 

  

 

 

 

2

1

5 3 1 1 1

ln (2) '( )d

12 2 2 3 x 1

x

f f x x

 



    

 



 



 

2

1

5 3 1

2ln ( )d 1

6 2 1

x

f x x

x





  





.

Xét

2 2

1 1

1 2

d 1 d

1 1

x

x x



   

 

   

 

   

 

 

2

1

4 4 4

1 d 4ln 1

1 1

1

x x x

x x

x

 

       

 

 

 



 



4 5 3

1 4ln3 4ln2 2 4ln

3 3 2

      

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2

1

1 1 5 3

d ln 2

4 1 12 2

x



 

  

 



 



.

Theo đề

 

2

1

5 3

'( ) d ln (3)

12 2

f x x  



.

Từ (1), (2), (3) ta có

2

1

1 1 1 1

( ) d 0 ( ) 0

2 1 2 1

x x

f x x f x

x x

 

 

   

 

    

   

 

 

   

 



1 1

'( )

2 1

x

f x

x



 

 

 



 

.

 

1

( ) 2ln 1

2

f x x x C

    

 

 

 

1

(2) 2 2ln3 0 ln3 1

2

f C C

       

 

1

(x) 2ln 1 ln3 1

2

f x x

     

 

 

 

2

1

2ln 1 ln3 1 d

2

I x x x

 

     

 

 

 



   

2

1

ln3 1 ln 1 d

4

x

x x x

 

    

 

 



 

2

1

ln3 ln 1 d

4

x x

    



   

2

1

ln3 1 ln 1 d

4

x x x x

 

      

 

 



 

1 3 2

ln3 3ln3 2ln2 1 2ln

4 2 3

       

.

Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng

(1; )



và thỏa mãn





3

( ) 2 ( ) ln ( )

xf x f x x x f x



   ,

(1; )

x

  

; biết





3

f e e



. Giá trị

(2)

f

thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

25

12;

2

 

 

 

. B.

27

13;

2

 

 

 

. C.

23

;12 .

2

 

 

 

D.

29

14;

2

 

 

 

.

Lời giải

Chọn C

Vì

(1; )

x

 

nên ta có





2 4

( ) 2 ( ) ln ( )

x f x xf x x x xf x



  

2

4 3

( ) 2 ( ) ( )

ln 1

x f x xf x f x

x

x x



 



  

 

 

2 3

( ) ( )

ln 1

f x f x

x

x x



 

  

 

 

2 3

( ) ( )

ln d 1 d

f x f x

x x x

x x



   

  

   

   

 

2 3 3

( )ln ( ) ( )

d d

f x x f x f x

x x x C

x x x

    

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

2

( )lnf x x

x C

x

  





2

( )ln

( )

ln

x x C

f x x

x C f x

x x



    

.

Theo bài ra

 

3

3 0 ( )=

ln

x

f e e C f x

x

   

.

Do đó

8 23

(2)= ;12 .

ln 2 2

f

 



 

 

Câu 13: (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số





f x

có đạo hàm và liên tục trên

0;

2



 

 

 

, thoả mãn

 

2

0

cos d 10

f x x x









và





0 3

f



. Tích phân

 

2

0

sin2 d





f x x x

bằng

A.

13



B.

13

C.

7

D.

7



Lời giải.

Chọn B

Từ công thức tính vi phân của hàm số, ta có

(x)dx d( (x))

f f





, và

2 2

d( ) ( ) d sin2 d



  

cos x cos x x x x

Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, với

2

u cos x



và

(x)

v f



, ta thu được

     

2 2

2

0

0 0

cos d .cos sin2xd

 





 

 

f x x x f x x f x x

Theo giả thiết, ta có

 

2

0

cos d 10

f x x x









. Từ đó

   

2

0

.cos sin2xd 10

f x x f x x



 



   

2

2 2

0

sin2 d 10 .cos 0 .cos 0 13

2 2



 

 

    

 

 



f x x x f f

Câu 14: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm

( )

y f x



liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa

mãn









2

1 2 2 1

f x f x x x

    

Tính tích phân

1

0

( ) .

I f x dx





A.

4

3

I



B.

2

3

I



C.

1

2

I



. D.

1

3

I



Lời giải

Chọn D

Ta có:









2

1 2 2 1

f x f x x x

    

1 1

2

0 0

(1 ) (2 2 1)

I f x dx x x dx

     

 

1

3 2

0

1

2

(1 )

0

3

I f x dx x x x

 

     

 

 



 

1

0

2

(1 ) 1

3

I f x dx   



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Xét

1

0

(1 )

f x dx





, đặt: 1

t x dt dx

    

Đổi cận

x 0 1

t 1 0

Ta có:

 

1 0 1

0 1 0

(1 ) ( )( ) ( ) 2

f x dx f t dt f t dt I    

  

Từ (1) và (2)

1

0

2

2 ( )

3

f x dx

 



1

0

1

( )

3

f x dx

 



.

Vậy

 

2

0

d 16

f x x





.

Chú ý:

Nếu





f x

là hàm chẵn và liên tục trên





;

a a

 thì





 

0

d d

1

a a

x

a

f x

x f x x

b







 

với mọi

a

,

0

b



.

Câu 15: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số





y f x

 có đạo

hàm trên đoạn





0;3

, thỏa mãn









 

3 . 1

1

f x f x

f x

 













,





0;3

x  và

 

1

0

2

f



. Tính tích phân





   

3

2

0

.

d

1 3 .

x f x

I x

f x f x





  

 



A.

3

2

I



. B.

1

2

I



. C.

1

I



. D.

5

2

I



.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết









 

3 . 1

1

0

2

f x f x

f

 

















3 2

f

 

.

Do

         

2 2

2

3 . 1 1 3 . 1

f x f x f x f x f x

      

   

   

.

Khi đó ta được:





 

     

3 3 3

2

0 0 0

3

.

1 1

d d d 1

0

1 1 1

1

x f x

x

I x x x J

f x f x f x

f x

 



        

 

  

 

 

 

  

.

Tính

       

3 0 3 3

3

0 3 0 0

1 1 1 1

d dt dt d

1 1 3 1 3 1 3

t x

J x x

f x f t f t f x

 

    

      

   

.

Suy ra

     





 

3 3 3 3 3

0 0 0 0 0

1 1 1

2 d d d d d 3

1 1 3 1 1

f x

J x x x x x

f x f x f x f x

     

    

    

.

Do đó

3

2

J



. Vậy

1

2

I



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 16: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn













2 . e

x

f x x f x f x



  với





0,

f x x

 

và





0 1

f



. Khi đó





1

f bằng

A.

e 1



. B.

e 2

e



. C.

e 1



. D.

e 1

e



.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:













2 . e

x

f x x f x f x



  , ta có













e 2

x

f x f x x



 





 

e 2

x

f x

x

f x



  

( vì





0,

f x x

 

)





 

d e 2 d

x

f x

x x x

f x



  

 





2

ln e

x

f x x C

   

.

Mà





0 1

f



nên

1

C

 

.

Khi đó, ta được:





2

ln e 1

x

f x x

  

.

Thế

1

x



, ta có:





ln 1 e 2

f

 





e 2

1 e

f



  .

Câu 17: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số





f x

thỏa mãn













2

' .ln 2 , 1;xf x x f x x x

    

và





2

e e

f



. Tính tích phân

 

2

e

d

x

I x

f x





.

A.

3

2

I



. B.

1

2

I



. C.

5

3

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

     





2

' ln 2 ' ln 2

f x

xf x x f x x f x x x

x

    

,





1;x

  

.

 





' ln d d 2 d

f x

f x x x x x x

x

  

  

 









2

ln d d

f x f x

f x x x x x C

x x

    

 





2

ln

f x x x C

  

,





1;x

  

.

Do





2

e e 0

f C

  

.

Suy ra





2

ln

f x x x



,





1;x

  

   

2

0, 1;

ln

x

f x x

x

     

 

ln

x x

f x x

 

,





1;x

  

.

Vậy

 

2 2

2

e e

2

e e

e

ln 1 3

d d ln

2 2

e

x x

I x x x

f x x

   

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 18: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn









2018

3 . ( ) 0;1

f x x f x x x



    . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

1

0

d

f x x



.

A.

1

2018.2020

. B.

1

2019.2020

. C.

1

2020.2021

. D.

1

2019.2021

.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số:

   

2021

3

.

2021

x

g x x f x 

trên





0;1

.

Ta có:





















2 3 2020 2 2018

3 . 3 . ( ) 0 0;1

g x x f x x f x x x f x x f x x x

  

 

        

 

.

Do đó





g x

là hàm số không giảm trên





0;1

, suy ra













0 0;1

g x g x  

Hay

 

 

 

 

2021 2018

3

. 0, 0;1 0, 0;1

2021 2021

x x

x f x x f x x        

.

Vậy:

 

1 1

2018

0 0

1

d d

2021 2019.2021

x

f x x x 

 

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

2018

2021



x

f x

.

Câu 19: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số





f x

thỏa mãn các điều kiện





1 2

f



,





0, 0

f x x

  

và





   





2

2 2

1 ' 1

x f x f x x

  

 

 

với mọi

0

x



. Giá trị của





2

f bằng

A.

2

5

. B.

2

5



. C.

5

2



. D.

5

2

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

   

 





 

 

2

2 2

2

'

1

1 ' 1 1;2 (*)

1

f x

x

x f x f x x x

f x

x



       

 

 



 

Lấy tích phân 2 vế (*) trên





1;2

ta được

 

2 2 2

2

2 2 2

2

1 1 1

1

2

'

1 1

d d d

1

f x

x

x x x

f x

x



   

   



 



 

 

  

     

2

1

d

2

1 1 1 1 1

1

2 1 2 2

1

x

f f f

x

 



 

 

        

 



 

 



 

1 1 2 1 5

2

2 2 5 2 2

f

       

.

Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn

( )

y f x



đạt cực trị tại

1

x



và

2

x



. Biết

0

2 ( )

lim 2.

2

x

x f x

x









Tích phân

1

0

( )d

f x x





bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

2

. B.

1

4

. C.

3

4

. D.

1

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

( )

y f x



là đa thức bậc bốn nên

( )

f x



là đa thức bậc ba. (1)

Ta có

0

2 ( )

lim 2

2

x

x f x

x











0

( )

lim 1 2

2

x

f x

x





 

 

 

 



0

( )

lim 2

x

f x

x







. (2)

Từ (1), (2) suy ra

( )

f x



có dạng

2

( ) ( 2)

f x x ax bx



  

.

Ta lại có

( )

y f x



đạt cực trị tại

1

x



và

2

x



nên

(1) 0

f





,

(2) 0

f





. Do đó, ta có hệ phương

trình

2 0

8 4 4 0

a b

  





  





1

3

a

b







 



.

Vậy

1 1

2

0 0

1

( )d ( 3 2)d

4

f x x x x x x



   

 

.

Câu 21: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho









2

4 3

f x xf x x

 

. Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x





.

A.

2

I

 

. B.

1

2

I

 

. C.

2

I



. D.

1

2

I



.

Lời giải

Chọn D

Ta có









2

4 3

f x xf x x

 



 

1 1

2

0 0

4 d 3 d

f x xf x x x x

 

 

 

1 1

2

0 0

3

d 4 d

2

f x x xf x x

  

 

.

Xét

 

1

2

0

4 d

A xf x x





.

Đặt

2

d 2 d

t x t x x

   . Đổi cận

0 0

x t

  

,

1 1

x t

  

.

Vậy

   

1 1

0 0

2 d 2 d

A f t t f x x

 

 

   

1 1

0 0

3 1

3 d d

2 2

f x x f x x

   

 

.

Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho





f x

có đạo hàm trên



và

thỏa mãn

 

3 2

1

2

3 . 0

f x x

x

f x e

f x

 



 

với mọi x





. Biết





0 1

f



, tính tích phân

 

7

0

. d

I x f x x





.

A.

9

2

I



. B.

45

8

I 

. C.

11

2

I



. D.

15

4

I



.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

3 2

1

2

3 . 0

f x x

x

f x e

f x

 



 

 

3

2

1

2

3 .

f x

x

e x

f x

e





 

   

 

3

2

2 1

3 . . 2 .

f x

x

f x f x e x e





 

 

3

2

1

f x

x

e e





 

 

3

2

1

*

f x

x

e e C



   .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Thế

0

x



vào





*

ta được

0

e e C C

   

.

Do đó

 

   

3

2

31 3 2 2

1 1

f x

x

e e f x x f x x



      

.

Vậy

   

 

7

4

2

7 7

3

1

3 2 2 2

3

0 0

0

1

1 1

1d 1 d 1 .

4

2 2

3

x

I x x x x x



     

 

 

7

32 2

0

3

1 1

8

x x  

 

3 45

. 16 1

8 8

  

.

Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp trên thỏa mãn

với mọi . Tính tích phân .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có: Thay vào ta được

. Khi đó .

.

Đặt , ta có: .

Do đó ta có hệ phương trình: .

Vậy .

Câu 24: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



,









0 0, 0 0

f f



 

và thỏa mãn hệ thức

























2 2

. 18 3 6 1 ,f x f x x x x f x x f x x

 

      



.

Biết

 

1

2

0

1 d .

f x

x e x a e b

  



, với

;a b





. Giá trị của

a b



bằng.

A.

1

. B.

2

. C.

0

. D.

2

3

.

Lời giải

Chọn A

Ta có

























2 2

. 18 3 6 1

f x f x x x x f x x f x

 

    

   





     

2 2

. 18 d 3 6 1 d

f x f x x x x x f x x f x x

 

 

 

     

 

 

f

n



2

(1 ) ( ) 2

f x x f x x



  

x





1

0

( )

I xf x dx







1

I



1

I



1

3

I



1

3

I

 

0

x



2

(1 ) ( ) 2

f x x f x x



  





1 0

f







2 2

(1 ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2

f x x f x x f x xf x x f x

   

        

(1) 2

f





1 1

2 2

0 0

(1 ) ( ) 2 (1 ) ( ) dx 2 dx

f x x f x x f x x f x x

 

 

      

 

 

 

   

1 1

0 0

(1 )d 1-x 1 2 ( )dx 1

f x f xf x

 

     

 

 

1 1

0 0

dx 2 ( )dx 3

f x xf x



  

 

 

1

0

dx

J f x



   

1 1 1

1

0

0 0 0

( )d ( )d 1 ( )d

I xf x x xf x f x x f f x x J



     

  

2 3 1

1

J I I

I J J

 

   

 



 

 

  

 

 

1

0

( ) 1

I xf x dx



 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

2 3 2

1

6 d 3 d

2

f x x x x x f x x



 

   

 

 

 

 

2 3 2

1

6 3

2

f x x x x f x C

    

, với

C

là hằng số.

Mặt khác: theo giả thiết





0 0

f



nên

0

C



.

Khi đó

 

  

2 3 2

1

6 3 1 ,

2

f x x x x f x x

    



.

















2 3 2

1 12 6 2

f x x x x f x

   









2

2 6 0

f x x f x x

 

   

 

 





 

2

6

f x x













.

Trường hợp 1: Với





2

6 ,f x x x

  



, ta có





0 0

f





(loại).

Trường hợp 2: Với





2 ,f x x x

  



, ta có :

 

1

2

1 1 1

2

2 2

0 0 0

0

1

3 1

1 d 1 d d

2 2 4 4

x

f x

x

x e

e

x e x x e x x e

 



      

 

 

  

3

4

1

4

a

a b

b







   





 





.

Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số





f x

xác định và có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





1;3

,





0

f x



với mọi





1;3

x , đồng thời

   

 

2

2 2

1 1

f x f x f x x

 



  

 

 

và





1 1

f

 

.

Biết rằng

 

3

1

d ln3

f x x a b

 



,

,a b





, tính tổng

2

.

S a b

 

A.

0

S



. B.

1

S

 

. C.

2

S



. D.

4

S



.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

 

2

2 2

1 1

f x f x f x x

 



  

 

 

   





 

2

4

1

f x f x

x

f x





  

.

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

   





 

2

4

1

d 1

f x f x

x x dx

f x





 

 

















 

2

4

1 2

d 1

f x f x f x

x x dx

f x



 

  

 

     

 

3

4 3 2

1

1 1 1

2 d

3

x

f x C

f x f x f x

 



    

 

 



     

 

3

3 2

1

1 1 1

3 3

x

C

f x f x f x



     

   

 

3

2

3

1 3 3 1

3 3

f x f x x

C

f x

  

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Mà





1 1

f

 

nên

1 3 3 1

3 3

C C

 

   



.

Suy ra:

   

 

3

2

3

1 3 3 1

1

3 3 3

f x f x x

f x

  

  



   

 

3

2

3

1 3 3 1

1

3 3 3

f x f x x

f x

  

  

 





 

3

1

f x

x

f x



   

 

3

1

1 1

x

f x

 

   

 

 

 

1

f x

x



 

.

Vậy:

 

3

3 3

1 1

1

d d ln ln 3

f x x x x

x



    

 

. Suy ra

1; 0

a b

  

hay

1

a b

  

.

Câu 26: (Sở Nam Định) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên



. Biết rằng các

tiếp tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoành độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt tạo với

chiều dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



.

Tính tích phân

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

A.

25

3

I 

. B.

0

I



. C.

1

3

I



. D.

3

1

3

I

 

.

Lời giải

Chọn A

Vì các tiếp tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoàng độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt

tạo với chiều dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



nên hệ số góc của các tiếp tuyến lần

lượt là:

 

3

' 1 tan30

3

f     ,





' 0 tan 45 1

f

  

,





' 1 tan60 3

f   

.

Ta có:

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

Đặt





'

t f x







d '' d

t f x x

  . Đổi cận

 

3

1 ' 1

3

0 ' 0 1

1 ' 1 3

x t f



     



   





   





1 3

3

1

3

d + 4 d

I t t t t

 

 

2

4

1

3

=

3

2

1

3

t

t

25

3



.

Câu 27: (THTT số 3) Cho hàm số





f x

xác định, liên tục trên



và thoả mãn









3 3

1 1

f x x f x x

     

6 4 2

6 12 6 2,x x x x

      



. Tính tích phân

 

1

3

f x dx





.

A. 32. B. 4. C.

36



. D.

20



.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

3

1

a x x

  

, khi đó ta có

















2

2 6 1 2 1

f a f a a       . Hàm số





f a

liên tục và

xác định trên



.

Lúc đó ycbt trở thành tính giá trị của tích phân

 

1

3

f a da





. Lấy tích phân hai vế của





1

, ta được

     





 

1 1 1

2

3 3 3

2 6 1 2 40 2

f a da f a da a da

  

        

  

. Từ tích phân

 

1

3

2

f a da



 



ta đặt

2

t a dt da

     

. Khi

3 1; 1 3

a t a t

       

. Tích phân trên chuyển thành

 

1

3

f t dt





, kết hợp với





2

ta suy ra:

   

1 1

3 3

2 40 20.

f a da f a da

 

    

 

Đây chính là đáp số

cần tìm.

Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn

   

 

2

2 1

2

1 e

x x

f x f x x

 



   , x

 



và





1 e

f



. Giá trị của





5

f

bằng

A.

12

3e 1



. B.

17

5e

. C.

17

5e 1



. D.

12

3e

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

 

2

2 1

2

1 e

x x

f x f x x

 



  

   

 

2

1

2

e e 1 e

x

x x

f x f x x



 



   

 

   

2

1

'

2

e 1 e

x

f x x



   .

 

   

2

5 5

1

2

1 1

e d = 1 e d

x

f x x x x





 

 

 

2 2

5 5

1 1

5

2

2 2

1

1 1

e e d e d

x x

x

f x x x x

 



  

 









5

1 2

e 5 1 *

f I I



   

Xét:

2

5

1

2

1

e d

x

I x







.

Đặt:

2 2

1 1

2 2

e d e d

d d

x x

u u x x

v x v x

 

 

 

 



 

 

 

 

.

2 2

5

1 1

2 12

2 2

2 1

1

e e d 5e 1

x x

I x x x I

 

    



12

1 2

5e 1

I I

   













5 12 17

* e 5 1 5e 1 5 5e

f f



      .

Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho

   

6 6

2

0 0

d . d 72

f x x x f x x

 

 

. Giá

trị của

 

3

1

d

f x x



bằng

A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có:

   

6 6

2

0 0

d d 72

f x x xf x x

 

 

;

6

2

0

d 72

x x





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

     

6 6

2

2 2

0 0

2 d d 72 2.72 72 0

f x xf x x x f x x x

 

       

 

 

 





0

f x x

  





f x x

 

 

3 3

1 1

d d 4

f x x x x

  

 

.

Cách 2: Ta có:

   

2

6 6 6

2 2 2 2

0 0 0

72 d d . d 72.72 72

xf x x x x f x x

 

   

 

 

  

.

Dấu “=” xảy ra









0

f x kx k

  

   

6 6

2

0 0

d d 72 1

xf x x kx x k f x x

      

 

.

 

3 3

1 1

d d 4

f x x x x

 

 

.

Câu 30: (Ba Đình Lần2) Hàm số





f x

có đạo hàm đến cấp hai trên



thỏa mãn:













2 2

1 3 1

f x x f x

   

. Biết rằng





0,f x x

  



, tính

   

2

0

2 1 "

I x f x dx

 



.

A.

8

. B.

0

. C.

4



. D.

4

.

Lời giải

Ta có:

 

   

 

   

 

   

2

2 2 4 2 2

2 2

1 3 , 1 1 3 . 1 1

1 3 . 1 2

f x x f x f x x f x

f x x f x



        





   





Từ





1

và





2

   

2

1 3 1 1 3

f x x x

       

   

 

2

1 3

2

f x x

f x

   



 

 

2

0

4 2 d 2 2 4

I x x x x

     



.

Câu 31: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

3

' . '' 4 2

f x f x f x x x

  

 

 

với mọi

x





và





0 0

f



. Giá trị của





2

1

f bằng

A.

5

2

. B.

9

2

. C.

16

15

. D.

8

15

.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

         

2

' . '' . ' '

f x f x f x f x f x

 

   

   

. Từ giả thiết ta có:









3

. ' ' 4 2

f x f x x x

 

 

 

Suy ra:













3 4 2

. ' 4 2

f x f x x x dx x x C

    



. Với





0 0 0

f C

  

Nên ta có:









4 2

. '

f x f x x x

 

Suy ra:

   

 

1

2

1 1

4 2 2

0 0

0

8 16

. ' 1

2 15 15

f x

f x f x dx x x dx f

     

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 32: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số





y f x

 xác định và liên tục trên





\ 0 ,



biết





. 1, 0;

x f x x

   





1 2

f

 

và

 





   

2

. 1 . 0

x f x x f x f x



   

với





\ 0 .

x 



Tính

 

1

d .

e

f x x



A.

1

2

e



. B.

1

2

e



. C.

1

e



. D.

1

e



.

Lời giải

Chọn A

Ta có

           

2 2

. 1 . 0 . 1 .

x f x x f x f x x f x x f x f x

 

          

   









 

2

.

1

. 1

x f x f x

x f x





 



 

 

(do





. 1, 0

x f x x

   

).

   

1 1

1

. 1 . 1

x C

x f x x f x



 

 

    

 

 

 

Do





1 2

f

 

nên

 

1

1 1 1 0

1 1

C C C

f



      



.

Do đó

 

   

2

2 2

1 1 1 1

. 1

x

x x f x x f x

x f x x x x

  

         



Suy ra

 

2

11 1

1 1 1 1

d d ln 2.

e e

e

f x x x x

x x x e

   

      

   

   

 

Câu 33: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D

Cách 1.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: .

Từ

Thay

vào ta được .

Xét

Đặt , đổi cận:

Khi đó

( )

f x



(0) 3

f



2

( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x

      



2

0

( )d

xf x x





4

3



2

3

5

3

10

3



2 2

2

0

0 0

( )d ( ) ( )d

xf x x xf x f x x



 

 





2

( ) (2 ) 2 2, 1

f x f x x x x      



0

x







1

(0) (2) 2 (2) 2 (0) 2 3 1

f f f f

        

2

0

( )d

I f x x





2

x t dx dt

    

0 2

2 0

x t

  





  



0 2 2

2 0 0

(2 ) (2 ) (2 )

I f t dt f t dt I f x dx

       

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do đó ta có

Vậy

Cách 2

Từ

Thay

vào ta được .

Xét hàm số từ giả thiết trên ta có

.

Vậy suy ra .

Phân tích, bình luận và phát triển bài toán.

- Đây là bài toán về tích phân hàm ẩn một dạng toán mà trong đề thi hiện nay hay gặp.

- Trong bài toán trên để tính tích phân sử dụng tích phân từng phần đưa về tính tích

phân . Mặt khác từ biểu thức về hàm số đã cho chứa và , nên ta biến đổi

tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt .

- Để làm được bài toán trên học sinh cần nắm vững cả hai phương pháp tính tích phân là đổi

biến và từng phần.

- Đề xuất một số bài toán tương tự:

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích

phân

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

Từ

Thay

vào ta được

Xét

Đặt , đổi cận:

 

2 2 2 2

2

0 0 0 0

8 4

( ) (2 ) d 2 2 d 2 ( )d ( )d .

3 3

f x f x x x x x f x x f x x

        

   

2 2

2

0

0 0

4 10

( )d ( ) ( )d 2.( 1) .

3 3

xf x x xf x f x x



      

 





2

( ) (2 ) 2 2 1

(0) 3

f x f x x x

f



    







0; 1

x x

 





1

(2) 1; (1)

2

f f

  

2

( )

f x ax bx c

  

3 3

1 1

2 2

4 2 1 3

c c

a b c a

a b c b

  





 

    

 

 

     

 



2

1

( ) 3 3 ( ) 3

2

f x x x f x x



     

 

2 2

0 0

10

( )d 3 d

3

xf x x x x x



   

 

2

0

( )d

xf x x





2

0

( )d

f x x



( )

f x

(2 )

f x



2

x t

 

( )

f x

R

2

( ) 4 ( ) 2 1

f x xf x x

  

x R

 

1

0

( )

I xf x dx







2



1



2

1

1 1

1

0

0 0

( )d ( ) ( )d

xf x x xf x f x x



 

 





2

( ) 4 ( ) 2 1, 1

f x xf x x x    



1

x







1

(1) 4 (1) 3 (1) 1

f f f

    

1

0

( )d

I f x x





2

x t dx tdt

  

0 0

1 1

x t

  





  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó . Ta có

Vậy

Câu 35: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số





y f x

 liên tục và có đạo hàm trên



thỏa

mãn













2

5 7 1 3 2

f x f x x x

    , x

 



. Biết rằng tích phân

 

1

0

. ' d

a

I x f x x

b

  



( với

a

b

là phân số tối giản). Tính

8 3

T a b

 

.

A.

1

T



.

B.

0

T



.

C.

16

T



. D.

16

T

 

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:













2

5 7 1 3 2

f x f x x x

   

Lần lượt chọn

0, 1

x x

 

, ta có hệ sau:

   

 

5

1

5 0 7 1 0

8

5 1 7 0 3

7

0

8

f

f f

f







 

 



 

  













Tính

 

1

0

. ' dx

I x f x





Đặt:

 

' dx

u x

dv f x











Chọn

 

d d

u x

v f x











   

1

0

5

. dx

8

I x f x f x J

   



Đặt

1

x t

 

   

0 1

1 0

1 dt 1 dx

J f t f x K

      

 

. Suy ra

 

1

2

0

5 7 3 2 dx 2

J K x x

    



Ta có:

1

5 7 2

J K





  



  



Vậy

3

5 3

1

8

8 8

a

I

b







   







8 3 0

T a b

   

Câu 36: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với .

Tính tích phân

A. . B. . C. . D.

1 1

2 2

0 0

( ).2 2 ( )

I f t tdt I xf x dx

  

 

1 1

2

0 0

2 ( ) 4 ( )

I I f x dx xf x dx

  

 

1

2

0

( ) 4 ( )

f x xf x dx

 

 

 



 

1

2

0

2 1 2

x dx x x

    



2 2

I I

     

1 1

1

0

0 0

( )d ( ) ( )d 1.( 1) 2 1.

xf x x xf x f x x



     

 

( )

f x

2

;1

3

 

 

 

2

2 ( ) 3 ( ) 5

3

f x f x

x

 

2

;1

3

x

 

 

 

 

1

2

3

ln . ( )

x f x dx





5 2 1

ln

3 3 3



5 2 1

ln

3 3 3



5 2 1

ln

3 3 3

 

5 2 1

ln

3 3 3

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: .

Từ

Thay

và vào ta được hệ .

Xét

Đặt , đổi cận: .

Khi đó .

Ta có

.

Vậy .

Câu 37: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho





f x

liên tục trên



và









10

3 2 ,f x f x x x

    



.

Tính

 

1

0

d

I f x x





.

A.

55

I



. B.

1

11

I



. C.

11

I



. D.

1

55

I 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có









10

3 2 ,f x f x x x

    



.

Do đó ta thay

x x

 

ta được









10

3 2 ,f x f x x x

    



.

 

1 1

1

2

3

2 2

3 3

(

ln . ( ) ln . ( ) )d

f x

x f x dx x f x x

x



 

 

 

2 2

2 ( ) 3 ( ) 5 , ;1 1

3 3

f x f x x

x

 

   

 

 

1

x



2

3

x







1

2

(1) 0

2 (1) 3 ( ) 5

3

2 5

2 10

( )

2 ( ) 3 (1)

3 3

f

f f

f

f f





 





 



 



 

 











1

2

3

d

f x

I x

x







2

2 2

3 3

x dx dt

t t

   

2

1

3

2

1

3

x t



  







  





2

3

2

1

2 1

( ).

2

3

2

3

f

t t

I dt

t

 



1 1

2 2

3 3

2 2

( ) ( )

3 3

.

f f

t x

dt dx

t x

 

 

1 1

2 2

3 3

2

( )

3

2 3 2 3 .

f

f x

x

I I dx dx

x x

  

 

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2

2 ( ) 3 ( )

5 5 1

3

5 . 5

3 3

f x f

x

I dx dx dx I

x x



      

  

 

1 1

1

2

3

2 2

3 3

( 2 2 1 5 2 1

ln . ( ) ln . ( ) )d ln1. (1) ln ( ) ln

3 3 3 3 3 3

f x

x f x dx x f x x f f

x



       

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó ta có hệ phương trình









   

10

3 2

f x f x x



  





  





.

Giải hệ phương trình ta tìm được

 

10

1

5

f x x



. Khi đó

 

1

1 1

10 11

0 0

0

1

d = d =

5 55 55

x x

I f x x x 

 

.

Câu 38: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số





f x

có đạo hàm trên





1;

  

. Biết đẳng

thức

   

2

( 1)

2 ( 1)

3

x x

f x x f x

x





  



được thỏa mãn





1;x

    

. Tính giá trị





0

f .

A.

3 3

 . B.

2 3

 .

C.

3



. D. Chưa đủ dữ kiện tính





0

f .

Lời giải

Chọn B





1;x

    

, ta nhân cả hai vế đẳng thức trên cho

2

1

( 1)

x 

thì ta được:

   

2

( 1)

2 ( 1)

3

x x

f x x f x

x





  



 

2

2 1

( )

1

3

x x

f x f x

x





  



.

2

1

( )

1

3

x x

f x

x





 

 

 



 



 

1 1

2

0 0

1

d d

1

3

x x

f x x x

x





 

 

 



 



 

 

1

2

0

1

3

1

x

f x x

x



 

  

 



 





0 2 3

f  

.

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

2 ( ) 3 (1 ) 1 ,

f x f x x x

   

với mọi

[0;1].

x



Tích phân

2

0

'

2

x

xf dx

 

 

 



bằng

A.

4

75



. B.

4

25



. C.

16

75



. D.

16

25



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

1 1 .

x a x a

    

Khi đó ta có hệ.

   

     

   

2 3 1 1

1

3 1 2 1 .

5

3 2 1 1

f x f x x x

f x x x x x

f x f x x x



   



 

    



 

   





Đặt

1

; 0 0; 2 1.

2 2

x

t dt dx x t x t

        

Khi đó tích phân cần tính:

 

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1

0 0

1

2 . '( )2 4 . '( ) 4 ( ( )) 4 ( ) ( )

0

1

4 (1) (x) 4 0 3 1 2 1

5

4 16

4. .

75 75

I t f t dt t f t dt td f t tf t f t dt

f f dx x x x x dx

 

    

 

 

   

 

      

   

 

   

 

 

 

 

 

   

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 40: (Sở Quảng NamT) Cho hàm số





f x

không âm, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn





1 1

f



,

















2

2 1 2 1 , 0;1

f x x f x x f x x



 

      

 

. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1

. B.

2

. C.

1

3

. D.

3

2

.

Lời giải

Chọn C

Ta có













2

2 1 2 1

f x x f x x f x



 

   

 

 





















2

2 . 2 . 1 . 2

f x f x x f x x f x x

 

    

 

2 2 2

1 .

f x x f x x



 

   

 













2 2 2

1

f x x f x x C

    

.

Với

1

x



thì





2

1 1 1 1 0

f C C C

      

.

Do đó













2 2 2

1

f x x f x x

  

 









 

2 2 2

2

1

1 0

f x l

f x x f x x

f x x

 

     









.

Vậy

 

1

1 1

3

2

0 0

0

1

d d

3 3

x

I f x x x x

   

 

.

Câu 41: (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên



. Biết

rằng các tiếp tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoành độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt

tạo với chiều dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



.

Tính tích phân

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

A.

25

3

I 

. B.

0

I



. C.

1

3

I



. D.

3

1

3

I

 

.

Lời giải

Chọn A

Vì các tiếp tuyến với đồ thị





y f x

 tại các điểm có hoàng độ

1

x

 

,

0

x



,

1

x



lần lượt

tạo với chiều dương của trục

Ox

các góc

30°

,

45



,

60



nên hệ số góc của các tiếp tuyến lần

lượt là:

 

3

' 1 tan30

3

f     ,





' 0 tan 45 1

f

  

,





' 1 tan 60 3

f   

.

Ta có:

       

0 1

3

1 0

' . '' d 4 ' . '' d

I f x f x x f x f x x



   

 

 

.

Đặt





'

t f x







d '' d

t f x x

  . Đổi cận

 

3

1 ' 1

3

0 ' 0 1

1 ' 1 3

x t f



     



   





   





1 3

3

1

3

d + 4 d

I t t t t

 

 

2

4

1

3

=

3

2

1

3

t

t

25

3



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 42: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số





0

f x



có đạo hàm liên tục trên

0,

3



 

 

 

, đồng

thời thỏa mãn





0 0

f





;





0 1

f



và

   

 

2

.

cos

f x

f x f x f x

x

 

 

 

 

 

 

.Tính

3

T f









 

 

A.

3

4

T



. B.

3

4

T 

. C.

3

2

T 

. D.

1

2

T



.

Lời giải

Chọn D

Ta có

   

 

     

 

2

2 2

.

1

.

cos cos

f x f x f x

f x

f x f x f x

x f x x

 

  

 

 

 

     

 

 

 

2

1

tan

cos

f x f x

x C

f x x f x



  

     

 

 

. Vì





 

0 0

0 1

f

















nên

0

C



.

Do đó





 

tan

f x

x

f x



  . Suy ra

 

3 3 3

3

0

0 0 0

(cos )

tan . ln lncos

cos

d f x

d x

x dx f x x

f x x

  



    

  

 

1 1

ln ln 0 ln ln1

3 2 3 2

f f f

 

   

     

   

   

.

Câu 43: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0,



. Biết





0 2

f e



và





f x

luôn thỏa mãn đẳng thức













cos

' sin . cos . , 0,

x

f x x f x x e x



   

. Tính

 

0

.

I f x dx







(làm tròn đến phần trăm).

A.

6,55

I



. B.

17,30

I



. C.

10,31

I



. D.

16,91

I



.

Lời giải

Chọn B









cos

' sin . cos .

x

f x x f x x e

  . Chia hai vế đẳng thức cho

cos

x

e

ta được









cos cos

' . .sin . cos

x x

f x e e x f x x

 

  ( vế trái có dạng

' '

u v uv



)









cos

. ' cos

x

f x e x



 

 





cos

. 'd cos .d

x

f x e x x x



 

 





cos

. sin

x

f x e x C



  

.

Do





0 2

f e



nên

1

2 . 2

e e C C



  

.

Vậy

   

cos

sin 2

x

f x e x

e





  

.

   

cos

0 0

. sin 2

x

I f x dx e x dx

 

  

 

.

Sử dụng MTCT ( để đơn vị rad). KQ: 10,31

Câu 44: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số





f x

thỏa mãn

     

2

1 1 .

xf x x f x f x

 

   

  

   

với mọi

x

dương. Biết









1 1 1

f f



 

. Giá trị





2

f

bằng

A.





2

2 2ln2 2

f

 

. B.





2

2 2ln 2 2

f

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

C.





2

2 ln 2 1

f

 

. D.





2

2 ln2 1

f

 

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

     

2

1 1 . " ; 0

xf x x f x f x x



   

   

   

     

2

2 2

. ' 1 1 . "

x f x x f x f x

   

   

   

     

   

2

'

2

1

' 1 . "

1

' . " 1

1

. ' 1

f x f x f x

x

f x f x f x

x

f x f x

x

   

 

 

   

 

 

   

 

Do đó:

       

'

1

2

1 1

. ' .d 1 .d . ' .

f x f x x x f x f x x c

x x

 

     

 

 

 

 

 

Vì









1 1

1 ' 1 1 1 2 1.

f f c c

       

Nên

   

1

. ' .d 1 .d

f x f x x x x

x

 

  

 

 

 

   

 

1

.d 1 .d

f x f x x x

x

 

   

 

 

 





2

ln .

2 2

f x

x

x x c

    

Vì

 

2 2

1 1

1 1 1 1.

2 2

f c c

      

Vậy





 

2

ln 1 2 2ln2 2

2 2

f x

x

x x f

      

.

Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số

( )



y f x

có đạo hàm

( ) 0

f x





,

[1;2]

x

 

thỏa mãn

(1) 1

f



,

22

(2)

15

f 

và

 

3

2

4

1

( )

7

375

f x

dx

x







. Tích phân

2

1

( )



f x dx

bằng

A.

1

5

. B.

7

5

. C.

3

5

. D.

4

5

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

2

1

22 7

( ) (2) (1) 1 .

15 15

f x dx f f



    



Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

   

3 3

2 2 2 2

3

4 4

( ) ( )

1 1 1 1 3

3 . . ( )

125 125 125 125 25

f x f x

x x x x f x

x x

 



   





1;2

x  .

Do đó

 

3

2 2

2

4

1 1

( )

2 3

( )

125 25

f x

x dx f x dx

x

 



  

 

 

 

 

3

2 2 2

2

4

1 1 1

( )

3 2 7

( )

25 125 375

f x

dx f x dx x dx

x



   

  

.

Vì vậy dấu bằng xảy ra, tức

 

3

2

4

( )

1

125

f x

x





2

( )

5

x

f x



 

.

Ta có

2 3

5 15

x x

dx C

 



3

( )

15

x

f x C

  

với

C

là một hằng số thực.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vì

(1) 1

f



1

15

C

  

14

15

C

 

2

14

( )

5 15

x

f x

  

.

Vậy

2 2

2

1 1

14 7

( ) .

5 15 5

x

f x dx dx

 

  

 

 

 

Câu 46: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số

( )

y f x



liên tục và có đạo hàm trên



thỏa

mãn

3 2

2 ( ) 2 1

3 ( ). '( ) 4 1 (0).

f x x x

f x f x xe f

   

  

Biết rằng

1 4089

4

0

(4 1) ( )d

a

I x f x x

b

 

  



là

phân số tối giản. Tính

3

T a b

 

A.

6123.

T



B.

12279.

T



C.

6125.

T



D.

12273.

T



Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 2

2 ( ) 2 1

3 ( ). '( ) 4 1 (0).

f x x x

f x f x xe f

   

  

3 3 2 2

3 ( ) ( ) 2 1 2 1

( ( ))' (4 1).

f x f x x x x x

f x e e x e e

   

    

 

3 3

2 2

3 2 2 1 2 1

2 1 .

f x x f x x

x x

f x x e x e e e C

 

 

 

 

      

 

Mà





0 1 0

f C

  





3 2

2 1

f x x x

   

3 2 2

3

( ) 2 1 ( ) 2 1

f x x x f x x x

       

1 4089

4

0

12285

(4 1) ( )d

4

I x f x x

 

   



.

Câu 47: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn





1 0

f



,

 

1

2

0

3

d 2ln 2

2

f x x



 

 

 

và





 

1

2

0

3

d 2ln 2

2

1

f x

x

 





. Tích phân

 

1

0

d

f x x



bằng

A.

1 2ln 2

2



. B.

3 2ln2

2



. C.

3 4ln2

2



. D.

1 ln 2

2



.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

         

1

1 1 1 1 1

2

0 0 0 0 0

0

. . 1 . .

d d d d d

1 1 1 2 1 1

1

f x x f x x f x f x f x x f x

x

x f x x x x

x x x x x

x

  

 

      

 

    

 



    









 

1 1

2

0 0

.

3

d d 2ln 2

1 2

1

x f x f x

x x

x



    



 

.

Mặt khác:

 

1

2 2

1 1 1

2

0 0 0

0

1 2 1 1 3

d 1 d 1 d 2ln 1 2ln 2

1 1 1 1 2

1

x

x x x x x

x x x x

x

 

     

          

 

     

   

     



 

 

  

Khi đó:

 





2

1 1 1

2

0 0 0

.

3 3 3

d 2 d d 2ln 2 2 2ln 2 2ln2 0

1 1 2 2 2

x f x

x

f x x x x

x x



   



        

 

   

 

 

   

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

2

1

2

0

2. . d 0

1 1

x x

f x f x x

x x

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 



   

2

1

0

d 0 *

1

x

f x x

x

 



  

 



 



Vì

 

 

2

0, 0;1

1

x

f x x

x

 



   

 



 

nên

 

 

2

1

0

d 0, 0;1

1

x

f x x x

x

 



   

 



 



.

Dấu

" "



xảy ra



 

 

 

 

0, 0;1 , 0;1

1 1

x x

f x x f x x

x x

 

       

 

.

Khi đó:

     

1 1 1 1

2

1

0

0 0 0 0

1

d . . d d 1 d

1 1

x

f x x x f x x f x x x x x

x x

 



       

 

 

 

   

1

2

0

1 1 2ln 2

ln 1 ln2

2 2 2

x

x x

 



       

 

 

Câu 48: (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số

( )

f x

liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1].

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

1 1

0 0

2 ( ) 3 ( )d 4 ( ) ( ) d

M f x x f x x f x x xf x x

   

 

bằng

A.

1

24



. B.

1

8



. C.

1

12



. D.

1

6



.

Lời giải

Chọn A

Đặt

( )

a f x



, ta có:

     

1 1 1 1

0 0 0 0

2 ( ) 3 ( )d 4 ( ) ( ) d (2 3 ) d 4 d

M f x x f x x f x x xf x x a x a x a x xa x

       

   

   

1 1 1

2 2

4

2

0 0 0

1 1

2 4 3 d 2 d d

8 8 8 24

x x

a a xa xa x xa x a x x x

   

          

   

   

  

.

Dấu “=” xảy ra khi

2 4 ( )

4 4

x x

a x a x a f x

      

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M

bằng

1

24



.

Lời bình

Trong bài giải trên có sử dụng biến đổi:

 

2 2

4

2

1

2 4 3 2

8 8 8

x x

a a xa xa x xa a x

       

.

Tuy nhiên, nếu như các hệ số của biểu thức

2

2 4 3

a a xa xa x xa

   bị thay đổi (thành các hệ

số khác) thì ta khó mà đưa về dạng mũ 4 như trên được.

Câu hỏi đặt ra là trong những trường hợp đó thì phải làm thế nào để đưa ra được đánh giá.

Để ý rằng biểu thức

2

2 4 3

a a ax ax x ax

   là đẳng cấp bậc hai. Chúng tôi xin đề xuất một

hướng giải quyết trong trường hợp biểu thức cần đánh giá là đẳng cấp. Chẳng hạn trong bài toán

trên, ta cần đánh giá biểu thức





2

, 2 4 3

g a x a a ax ax x ax

   

, với





0;1

x và





( ) 0, 0;1

a f x x    . Ta sẽ thực hiện như sau:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+) Với

0

x



thì biểu diễn được

 

2

2 4 3

,

a a a a a

g a x x

x x

x x x

 

   

 

 

.

Đặt

0

a

t

x

 

. Khi đó









2 4 3 2

, 2 4 3

g a x x t t t t

   

.

Lập bảng biến thiên của hàm số





4 3 2

2 4 3

h t t t t t

   

trên





0;

 

, ta được





 

0;

1

min

8

h t



 

.

Do đó ta có

  



2

, , 0;1

8

x

g a x x   

.

+) Kiểm tra được đánh giá trên cũng đúng khi

0

x



.

Như vậy

 

 

2

, , 0;1

8

x

g a x x   

. Từ đó lấy tích phân 2 vế trên đoạn





0;1

thì bài toán được

giải quyết.

Chú ý: Nếu

( , )

g a x

là đẳng cấp bậc n thì ta đưa

n

x

ra ngoài dấu ngoặc.

Câu 49: (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số





f x

có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





1;e

thỏa

mãn

 

1

2

f



và

     

2

1

. 3x f x xf x f x

x



  

,





1;e

x  . Giá trị của





e

f

bằng

A.

3

2e

. B.

4

3e

. C.

3

4e

. D.

2

3e

.

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết, với





1; e

x  ta có

           

2 2 2 2

1

3 3 1

xf x xf x f x x f x xf x x f x

x

 

      

















2 2 2

2 1

x f x xf x x f x xf x



    

 

   

 

2

1 1

xf x x xf x f x x xf x



     

 

2 2

1 1

1 1 1

d d ln

1

1 1

xf x xf x

x x x C

x x xf x

xf x xf x

 

 

       



 

 

   

 

1 1 1

1

ln

xf x f x

x C x

x x C

      



.

Thay

1

x



vào ta có

   

 

1 1 1 1 2

1 1 2 e

2 3e

ln 2

f C f x f

C x

x x

         



.

Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số





f x

thỏa mãn hai điều

kiện

   

2

3 2 1 4 .

f x x x x f x

 

   

 

, x

 



và

 

3

1

d 12

f x x







. Giá trị

 

2

0

d

f x x



bằng

A.

6

. B.

7

. C.

8

. D.

5

.

Lời giải

Chọn D









         

2 2

3 2 1 4 .

1 3 1 0 1

f x x x x f x

f x x f x x

   

        

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



Nếu

1

x



thì









1 1 3 1

x f x x

    

         

3 3 3 3

1 1 1 1

1 d d 3 1 d 6 d 10 2

x x f x x x x f x x       

   

.



Nếu

1

x



thì









1 3 1 1

x f x x

    

         

1 1 1 1

3 1 d d 1 d 2 d 2 3

x x f x x x x f x x

   

        

   

.

Từ





2

và





3

 

3

1

4 d 12

f x x



  



.

Do

 

3

1

d 12

f x x







 

3 1 khi 1

1 khi 1

x x

f x

x x

 



 



 



.

Vậy

     

2 1 2

0 0 1

d d d 5

f x x f x x f x x

  

  

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

GTLN, GTNN, BĐT – TÍCH PHÂN

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của

 

2

1

x

G x t t dt

 



trên đoạn





1;1



.

A.

1

6

. B.

2

. C.

5

6



. D.

5

6

.

Lời giải

 

3 2 3 2 3 2

2

1

1 1 5

3 2 3 2 3 2 3 2 6

x

t t x x x x

G x t t dt

 

          

 

 







2

'

G x x x

  

 bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên

Chọn C

Câu 2: Cho





F x

là một nguyên hàm của hàm số

 





2

3

e 4

x

f x x x

  . Hàm số





F x

có bao nhiêu

điểm cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

      

2

e . 2 2

x

F x f x x x x



   

.





F x



đổi dấu qua các điểm

0

x



;

2

x

 

nên hàm số





F x

có 3 điểm cực trị.

Câu 3: Biết rằng





F x

là một nguyên hàm trên



của hàm số

 

2018

2

2017

1

x

f x

x





thỏa mãn





1 0

F



. Tìm giá trị nhỏ nhất

m

của





F x

.

A.

1

2

m

 

. B.

2017

2018

1 2

2

m





. C.

2017

2018

1 2

2

m





. D.

1

2

m



.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

2018

2

2017

1

x

f x dx dx

x





 

   

2018

2 2

2017

1 1

2

x d x



  







2017

2

1

2017

.

2 2017

x

C





 



 

2017

2

1

2 1

C

x

  







F x



Mà





1 0

F



2017 2018

1 1

0

2.2 2

C C     

Do đó

 

2017

2018

2

1 1

2

2. 1

F x

x

  



suy ra

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





F x

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

 

2017

2

1

2 1x 

lớn nhất





2

1

x

 

nhỏ nhất

0

x

 

Vậy

2017

2018 2018

1 1 1 2

2 2 2

m



   

.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất

M

của hàm số

 

0

2 3cos2 2sin2 d

t

f t x x x

 



trong khoảng





0;



.

A.

3 3

M 

. B.

3

M



. C.

2 3

M 

. D.

2

M



.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

0

2 3cos2 2sin2 d

t

f t x x x

 







0

3sin 2 cos2

t

x x

 

3sin2 cos2 1

t t

  

.

 

3 1

2 sin2 cos2 1

2 2

f t t t

 

  

 

 

2sin 2 1 3

6

t



 

   

 

 

.

Dấu bằng xảy ra khi

3

t





.

Vậy giá trị lớn nhất

M

của hàm số là 3.

Câu 5: Cho hàm số





f x

liên tục trên





thỏa mãn

 

1

,f x x x

x





   



và





1 1

f



. Tìm giá trị

nhỏ nhất của





2

f

.

A.

3

. B.

2

. C.

5

ln 2

2



. D.

4

.

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết

 

1

,f x x x

x





   



nên lấy tích phân

2

vế với cận từ

1

đến

2

ta được

 

2 2

1 1

1 3

d d ln 2

2

f x x x x

x

 



   

 

 

 

Mà

         

2

1

d 2 1 2 1

f x x f x f f f



    



nên

   

3 5

2 1 ln 2 2 ln 2

2 2

f f     

Đẳng thức xảy ra khi

   

2

1

, 0 ln

2

x

f x x x f x x C

x



      

.

Mà

 

1

1 1 .

2

f C

  

Vậy

 

2

1

ln

2 2

x

f x x

  

.

KL: giá trị nhỏ nhất của





2

f

bằng

5

ln 2

2



khi

 

2

1

ln

2 2

x

f x x

  

.

Câu 6: Gọi

1 2

,

x x

lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số

 

2

e

ln d

x

f x t t t





. Tính

1 2

S x x

 

.

A.

ln2e

. B.

ln2

. C.

ln2



. D.

0

.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt





ln

g t t t





. Ta có

 

   

2

e

2

e

ln d e e

x

x x

f x t t t g g  



Ta có

 

       

2 2

e . e e . e

x x x x

f x g g

 

  

 

2 2 2

2e .e .lne e .e .ln e

x x x x x x

 

4 2

4 e e

x x

 





2 2

e 4e 1

x x

x

 

.

 

1

2

0

ln2

x

f x

x







 



 



.

1 2

ln2

x x

  

.

Câu 7: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên





1;



thỏa mãn





1 1

f



và





2

3 2 5

f x x x



  

trên





1;



. Tìm số nguyên dương lớn nhất

m

sao cho

 





3;10

min

x

f x m





với mọi hàm số





y f x



thỏa điều kiện đề bài

.

A.

15

m



. B.

20

m



. C.

25

m



. D.

30

m



.

Lời giải

Chọn C

Ta có:





2

3 2 5

f x x x



  

trên





1;



Do

2

3 2 5 0

x x

  

,





1;x

  

nên





0

f x





,





1;x

  

.

Do đó hàm số





f x

đồng biến trên





1;



. Suy ra

 









3;10

min 3

x

f x f





.

Ta lại có:

 

3 3

2

1 1

d 3 2 5 d

f x x x x x



  

 

 





3

3 2

1

5

f x x x x

   









3 1 24

f f

  





3 25

f

 

Vậy

 





3;10

min 25

x

f x





. Hay

25

m



.

Câu 8: Xét hàm số

   

2

d

x

F x f t t





trong đó hàm số





y f t



có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các

giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất?

A.





1

F

. B.





2

F

. C.





3

F

. D.





0

F

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

     

2

d

x

F x f t t f x



 



 

 

 



.

Xét trên đoạn





0;3

, ta thấy





0

F x









0 2

f x x

   

.

Dựa vào đồ thị, ta thấy trên





0;2

hàm số





F x

đồng biến nên









0 2

F F

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Dựa vào đồ thị, ta thấy trên





2;3

hàm số





F x

nghịch biến nên









3 2

F F

.

Vậy





2

F

là giá trị lớn nhất.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

2

0

x

S x ax d

 



với





0,1

a

A.

2 2

6



. B.

2 1

3



. C.

2 2

3



. D.

2 1

6



Lời giải

Phá dấu trị tuyệt đối ta có

   

1

1 1

3 2 3 2 3

2 2 2

0 0

0

2 3a 2

x x x

3 3 3 3 6

a

x ax x ax a

S x ax d x ax d x ax d

   

  

           

   

   

  

min

1 2 2

6

2

S f



 

 

 

 

Câu 10: Cho

4

a b ab

  

và

a b



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

x

b

a

I x a b x ab d

   



A.

4 3

. B.

12

. C.

2 3

. D.

48

Ta có

 





 





 





3 3 3

2 2 2

3 3

2

4

4a 4 4a 2 12

12

48

36. 36 36 36 36

4 3

a b b ab b ab

I

a

I

     



     

 

Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

2

2 2 x

b

a

I x m x d

   



trong đó

a b



là hai nghiệm của phương

trình





2

2 2 0

x m x

   

A.

128

9

. B.

8 2

3

. C.

8

. D.

2 2

 





3

2

3

4

2 8

128 8 2

36a 36 9 3

m

I I

 



    

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

3

0

x

S x ax d

 



với





0,1

a

A.

2 2

6



. B.

1

8

. C.

1

4

. D.

2 2

8



   

1

2 4 4 2

3 3

0

2

2 2 2 2

. .

. x . x

2 4 4 2

1 1 1 1 1

2 4 4 2 4 2 2 2 8 8

a

a x x x a x

S a x x d x a x d

a a a a a

S a

   

       

   

   

   

 

         

   

 

 

   

 

Câu 13: Cho

4

a b ab

  

và

a b



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2

x

b

a

I x a x b d

  



A. 12. B. 0. C.

64

3

. D.

49

3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

             

2 2 2

x x x

b b b

a a a

S x a x a a b d x a x a d a b x a d

             

 

  

   





 





 





2 2 2

4 2 2 2

1 1 1 1

4a 4 4a 2 12 12

12 12 12 12

S a b a b b ab b ab

           

Câu 14: Cho

 





2

2 2

4

a b a b

   

và

a b



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

2

x

b

a

I x a b x ab d

   



A.

16

9

. B.

9

16

. C.

4

3

. D.

3

4

 





   





 

2

2 2 2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

2

4

4 1

4

4 4

36 36 36 36 3

a

a b a b a b a b a b

a b a b

I

b

         

  



    

Khi đó

 

2

2 2

4

0

1

a b

b

a

 



 







 



 



 



Câu 15: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2

3 2 2 3

4 x 5 2 x

m

S x m m x m d

   



với





1;3

m

. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A.

41

6

a b 

. B.

1

a b

 

. C.

21

4

a b 

. D.

2

a b

 

           

 

2 2 2

2 x 2 x x

m m m

S x m x m d x m x m d x m x m m d

           

  

   

2

4 3

2 2

4

3 2

x+m x=

4 3 12

m

m m

m

x m m x m

m

S x m d x m d

 

  

      

 

 

 

Thay





1;3

m

vào ta có

41

6

a b 

Câu 16: m là tham số thuộc đoạn





1;3

. Gọi

,

a b

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

   

2

2 2

2 x

m

P x m x m d

  



. Tính

a b

 

A.

31

. B.

36

. C.

122

15

. D.

121

4

5 5 5

1 3 3 1 122

;

30 30 30 30 15

m

P T

 



    

 

 

Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của

   

2

2 2

2 2 3

2 1 4 x

m

P x m m x m m d



     



là

; ,

a

S a b

b



nguyên dương

và

a

b

tối giản. Tính

T a b

 

A. 7. B. 337. C. 25. D. 91

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có:





3

2

3

4 1

4 3 9

. 9 16 25

3 3 4 16

m m

P T

 

 

      

 

 

Câu 18:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

. Tìm



   

1

201

1

2

0

8

0

x .min .

x

f A

x f x d

m x f x d



 



 

 



 

A.

1

2019



. B.

1

16144



. C.

2017

2018



. D.

1

16140



Lời giải

Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là





f x

có hệ số

2018

; ; 0

a x b x c

   

Nên biểu thức Min tại

 

2017

1

1 1

4036 4035

min

0 0

0

2a 2

1

x x

4a 4. 4 4036 16144

b x

f x

x x

m d d

x x





 





   



   





 

Câu 19:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

. Tìm



   

1

2013

1

2

0 0

x+ .m n

x

i .

f A

x f x d

M x f x d



 

 

 

 



A.

1

2014

. B.

503

2014

. C.

2012

2013

. D.

1

8.2013

Lời giải

Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là





f x

có hệ số

2013

; ; 0

a x b x c

    

Nên biểu thức Max tại

 

2013 2012

1

1 1

4026 4026

x

0 0

0

2a 2 2

1

x x

4a 4. 4.4026 4.4026

ma

b x x

f x

x

x x

M d d

x





  









   





 

Câu 20: Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn









1

f x f x



 

, x

 



và





0 0

f



. Tìm giá trị lớn nhất của





1

f

A.

2e 1

e



. B.

e 1

e



. C.

e 1



. D.

2e 1



.

Lời giải

Chọn B

Ta có x

 



,









1

f x f x



 









e e e

x x x

f x f x



  

 

e e

x x

f x



 

 

 

 

1 1

0 0

e d e d

x x

f x x x



 

 

 

 

 

1

0

e e

x x

f x

 

 

 





e. 1 e 1

f

  

 

e 1

1

e

f



 

.

Do đó giá trị lớn nhất của





1

f

là

e 1

e



.

Câu 21:

A

là tập các hàm số

f

lien tục trên đoạn





0;1

và nhận giá trị không âm trên đoạn





0;1

. Tìm

m nhỏ nhất sao cho

 

1 1

2018

0 0

x . x

f x d m f x d f A

  

 

A.

2018

. B.

1

. C.

1

2018

. D.

2018

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt

2018 2017

x 2018.

t x d t dt

   nên

 

   

1 1 1

2017

2018

0 0 0

x=2018. . . 2018 .

f x d t f t dt f t dt



  

Tìm m nhỏ nhất nên

2018

m



. Ta sẽ Cm

2018

m



là số cần tìm. Xét





n

f x x



ta có





1 1

/2018

0 0

2018 1

2018

x x

2018 1 2018

n n

n

m

x d m x d m

n n n



    

  

 

Cho

n

 

ta có

2018

m



. Vậy

2018

m



là hằng số nhỏ nhất cần tìm

Câu 22: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





'

f x

liên tục trên đoạn





0;1

thỏa

mãn









1 2018. 0

f f

. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

 

1 1

2

'

2

0 0

1

x x

M d f x d

f x

 

 

 

 

 

 

A.

ln2018

. B.

2ln2018

. C.

2e

. D.

2018e

Lời giải

 

2

1 1 1

1

'

' '

0

0 0 0

1

M= x 2 x 2 x 2ln 2ln2018

f x f x

f x d d d f x

f x f x f x

 

    

 

 

  

Câu 23: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

và thỏa mãn

   

 

2

'

1

0

1 . 0 ; x 1

f x

f e f e d

f x

 

  

 

 



. Tìm mệnh đề đung

A.

2

1

2

f e

 



 

 

. B.

1

2

f e

 



 

 

. C.

1

2

f e

 



 

 

. D.

1 1

2 2e

f

 



 

 

Lời giải

Ta có





 

     





 

'

1

0

f 1

x=ln lnf 1 ln 0 ln ln 1

0

f x

d f x f e

f x f

    



Nên

 

2 2

' '

1 1

0 0

x 1 1 x 0

f x f x

d d

f x f x

 

   

 

   

   

 

   

 

 

 

2 2

' ' ' '

1 1

0 0

2. 1 x 0 1 x 0 1 0

f x f x f x f x

d d

f x f x f x f x

 

   

 

        

 

 

 

 

   

 

 

Vậy:





.

x

f x Ae



. Mà









1 . 0

f e f e

 

Nên

 

1

2

x

f x e f e

 

  

 

 





 

   

 

'

1 . 0

1

2

x

f x

f e f e

f x e f e

 

 

  

 

 

Câu 24: Cho hàm số





y f x



nhận giá trị dương và có đạo hàm





'

f x

liên tục trên đoạn





0;1

thỏa

mãn









1 . 0

f e f

. Biểu thức

 

1 1

2

'

2

0 0

1

x x 2

d f x d

f x

 

 

 

 

 

 

. Mệnh đề nào đúng

A.

 

2e

1

f

e





. B.

 

2

2e

1

f

e





. C.

 

2 e 2

1

f

e







. D.

 





2

2 e 2

1

f

e







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Viết lại biểu thức cho dưới dạng

 

2

1

'

0

1

x 0

f x d

f x

 

 

 

 



. Dấu bằng xảy ra khi

 

     

 

   

' '

2

1 1

0 1dx .

2

f x f x f x d f x

f x f x

f x

x c f x x c

     

     

 

Thay

0

x



vào ta có

 

2

0 2

1

2 2 1

0 1

2

1 2 2

f c

f

c

e c

f e

c

f c









    





 





   

2

2 2

1 2

2x 1

1 1

e

f x f

e e

    

 

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện

với mọi và . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta đặt .

Do đó ta suy ra . Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Nếu thì .

Trường hợp 2: Nếu thì .

Trường hợp 3: Nếu thì

khi và chỉ khi .

Kết luận: Như vậy do đó .

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn với

mọi và . Tìm giá trị lớn nhất của





y f x







1;1







2

1

f x







1;1

x 

 

1

0

f x dx







 

1

2

1

x f x dx





1

2



1

4



2

3



1



 

   

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

I x f x dx I x a f x dx x a f x dx x a dx a

   

         

   



1

2

1

min

a

I x a dx





 





0

a



 

1 1

2 2

0 0

1 1

2 2

min min min 2

3 3

a a a

x a dx x a dx a

  

 

 

     

 

 

 



1

a



 

1 1

2 2

1 1

2 4

min min min 2

3 3

a a a

x a dx a x dx a

  

 

 

     

 

 

 







0;1

a

 

     

1 1

2 2 2 2

0;1

1 1

min min

a a

x a dx x a dx a x dx x a dx



 

 



 

      

 

 

   



 

1

3 3 3

2

0;1

1

min min

3 3 3

1

a a

a

x x x

a

x a dx ax ax ax

a

 



 

     



       

 

     



 



     

 





 

1

2

0;1

1

8 2 1

min min 2

3 3 2

a a

x a dx a

 



 

     

 

 





1

4

a



1

2

1

min

2

a

x a dx





 





1 1

min

2 2

I I

   





y f x







0;1









8;8

f x  





0;1

x

 

1

0

3

xf x dx





 

1

3

0

?

x f x dx



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. B. C. D.

Lời giải

Ta đặt khi đó:

.

Trường hợp 1: Nếu khi đó

Trường hợp 2: Nếu khi đó

Trường hợp 3: Nếu khi đó ta có đánh giá sau:

Kết luận: Vậy . Đẳng thức xảy ra khi

.

Câu 27: Cho hàm số liên tục trên đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

và . Giá trị lớn nhất của tích phân bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có với mọi số thực thì do đó:

Do đó: . Tới đây ta chia các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu thì . Khi đó:

Trường hợp 2: Nếu thì . Khi đó:

2

31

16

4

3

17

8

 

1

3

0

I x f x dx





 

   

1 1

3 3

0 0

3

I a x ax f x dx x ax f x dx

    

 

1 1 1

3 3 3

0 0 0

3 8 3 8 min 3 8

a

I a x ax dx a I a x ax dx a I a x ax dx



 

               

 

 

  



 

0

a



 

1 1

3 3

0 0

min 3 8 min 3 8 min 2 2

a a a

a x ax dx a x ax dx a

  

   

       

   

   

 



1

a



 

1 1

3 3

1 1

0 0

min 3 8 min 3 8 min 7 2 5

a a a

a x ax dx a ax x dx a

  

   

       

   

   

 







0;1

a

 

   

 

 

1 1

3 3 3 2

0;1 0;1

0 0

31

min 3 8 min 3 8 8 min 4 2

16

a

a a a

a

a x ax dx a ax x dx x ax dx a a

  

 

          

 

 

  



1

3

0

31 31

min 3 8

16 16

a

a x ax dx I



 

    

 

 





1 31 3

; 3

8 12 8

a I a

   





y f x







0;1

 





0;1

max 6

f x



 

1

2

0

x f x dx





 

1

3

0

x f x dx



1

8





3

3 2 4

4



3

2 4

16



1

24

a





 

1

2

0

ax f x dx





 

   

1 1 1 1

3 3 2 3 2 3 2

0 0 0 0

6x f x dx x ax f x dx x ax f x dx x ax dx a

       

   



   

1 1

3 3 2

0 0

min6 min

a a

x f x dx x ax dx g a

 

  

 

 

0

a











3 2 2

0 0;1

x ax x x a x     

   

1 1

3 2 3 2

0

0 0

1 3

6 6 6 min

4 3 2

a

g a x ax dx x ax dx g a



 

       

 

 

 

1

a











3 2 2

0 0;1

x ax x x a x     

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trường hợp 3: Nếu thì

.

Ta tìm được vậy .

Do vậy:

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn với

mọi . Giá trị nhỏ nhất của tích phân bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

Khi đó Giá trị nhỏ nhất của tích phân là

Câu 29: Cho hàm số dương và liên tục trên thỏa mãn và

biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính ?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

. Ta tìm được khi

.

Câu 30: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm trên



và

 

4

2

f x x x

x



  

0

x

 

và





1 1

f

 

.

Khẳng định nào sau đây đúng?

   

1 1

3 2 2 3

1

0 0

1 1

6 6 6 min

3 4 2

a

g a x ax dx ax x dx g a



 

       

 

 

 





0;1

a

 

1 1

4

3 2 2 3 3 2

0 0

2 4 3

6 6

2

a

a a

f a x ax dx ax x dx x ax dx

 

      

  

 

 

 





3

4

0;1 0;1

3 2 4

2 4 3 1 3

min min

2 4 2 2

a a

g a

 



 

 

   

 

 

 





3

3 2 4

min

4

a

g a









     





 

 





3 3

1 1 1

3 3 3

0;1

0 0 0

3 2 4 3 2 4

min max

4 4

a

x f x dx g a x f x dx x f x dx



 

    

  







y f x







0;1









2018

3 '

f x xf x x

 





0;1

x

 

1

0

x

f x d



1

2021 2022



1

2018 2021



1

2018 2019



1

2019 2021











2018

3 . '

f x x f x x

 









2 3 2020

3 '

x f x x f x x

  

   

 

 

2018

3 2020 3 2020

0 0

0;1

2021

t t

t

x f x x x f x dx x dx t f t

 

   

       

   

 

 

1 1

2018

0 0

1

.

2021 2019.2021

x

f x dx dx  

 

 

1

0

f x dx



1

.

2019.2021





y f x







1;3

 

 

 

 

1;3

1

max 2;min

2

f x f x

 

 

3 3

1 1

1

S f x dx dx

f x



 

 

3

1

f x dx



7

2

5

2

7

5

3

5

 

1

2

f x

 

















2 1 2 0

f x f x

   

 

1 5

2

f x

  

 

1 5

2

f x

  

   

3 3

1 1

5

2

S f x dx f x dx

 

  

 

 

 

25

max

4

S 

 

3

1

5

2

f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





0;1

.

B. Phương trình





0

f x



có đúng

3

nghiệm trên





0;



.

C. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





1;2

.

C. Phương trình





0

f x



có

1

nghiệm trên





2;5

.

Lời giải

Chọn C

 

4

2

f x x x

x



  

6 3

2

2 2

x x

x

 







2

3

2

1 1

0

x

 

 

,

0

x

 

.





y f x

 

đồng biến trên





0;



.





0

f x



có nhiều nhất

1

nghiệm trên khoảng





0;







1

.

Mặt khác ta có:

 

4

2

2 0

f x x x

x



   

,

0

x

 

 

2 2

4

2

1 1

2 21

d 2 d

5

f x x x x x

x

 



    

 

 

 

   

21

2 1

5

f f  

 

17

2

5

f 

.

Kết hợp giả thiết ta có





y f x



liên tục trên





1;2

và









2 . 1 0

f f







2

.

Từ





1

và





2

suy ra phương trình





0

f x



có đúng

1

nghiệm trên khoảng





1;2 .

Câu 31: Cho hàm số





f x

thỏa mãn





0

f x





,





1;2

x 

và

 

3

2

4

1

7

d

375

f x

x



 

 





. Biết





1 1

f



,

 

22

2

15

f 

, tính

 

2

1

d

I f x x





.

A.

71

60

P 

. B.

6

5

P



. C.

73

60

P 

. D.

37

30

P 

.

Lời giải

Chọn A

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

 

3 3

2 2 2 2

3

4 4

3

3 . .

125 125 125 125 25

f x f x

f x

x x x x

x x

 

   



   

   

Lấy tích phân hai vế BĐT trên ta có:

 

3

2 2 2

2

4

1 1 1

3

d 2 d d

125 25

f x

x

x x x

x



 



 

 

  

 

   

 

3 3

2 2

4 4

1 1

7 3 7

d 2. 2 1 d

375 25 375

f x f x

x f f x

x x

 

   

   

      

 

 

.

Kết hợp với giả thiết ta có dấu “



” của BĐT trên xảy ra

 

     

3

2 6 2 3

3

4

125 125 5 15

f x

x x x x

f x f x f x C

x



 

 

 

       

 

 

.

Mà

   

3

1 14 14

1 1 1 1

15 15 15

x

f C C f



       

+) Ta có

2

3

1

14 71

d

15 60

x

I x



 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 32: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt

là hàm số đồng biến trên do vậy ta có

đánh giá:

.

Câu 33: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị

lớn nhất bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt

là hàm số nghịch biến trên do vậy

ta có:

Câu 34: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá trị

lớn nhất bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt





y f x







0;1

   

0

1

x

g x f t dt

 



   

g x f x







0;1

x

 

1

0

1

dx

g x



1

3

1

2

1

2

         

 





 

 

2

0

1 0;1 1 0 0;1

1

x

F x

F x f t dt g x F x f x x x

F x



           





 

2

0

1

1 1

1

t

F x

h t dx t

F t

F x

 



 

     

 



 







0;1

   

 

   

 

 

1

0

1 1 1 1

0 0;1 1 0 1 0;1

1 1 2

h x h x x x x dx

F x F x g x

             

 







y f x







0;1

   

0

1 3

x

g x f t dt

 











2

g x f x







0;1

x

 

1

0

x

g x d



5

2

4

3

7

4

9

5

         

 





 

 

2

0

1 3 0;1 1 0 0;1

3 1

x

F x

F x f t dt g x F x f x x x

F x



           





 

0

2 2

1 3 1

3 3

3 1

t

F x

h t dx F t t

F x

 



 

      

 



 







0;1

   

 

 

 

 

1

0

2 2

0 0;1 3 1 0

3 3

3 7

3 1 1 0;1

2 4

h x h x F x t

F x x x g x dx

       

       







y f x







0;1

   

2

0

1

x

g x f t dt

 











2

g x xf x







0;1

x

 

1

0

g x dx



2

3

4

1

 

   

 





 

 

2

2 2 2

2

0

2

1 2 0;1 1 0 0;1

1

x

xf x

F x f t dt g x F x xf x x x

F x

           





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

là hàm số nghịch biến trên do vậy ta có:

.

Câu 35: Cho hàm số





f x

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn





0 1

f



và

       

1 1

2

0 0

1

3 d 2 d

9

f x f x x f x f x x

 

 

  

 

 

 

 

. Tính tích phân

 

1

3

0

d

f x x

 

 



:

A.

3

2

. B.

5

4

. C.

5

6

. D.

7

6

.

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

   

 

   

1

2

0

3 2.3 1 d 0

f x f x f x f x x

 

 

  

 

 



   

1

2

0

3 1 d 0

f x f x x

 



  

 



.

Suy ra

   

3 1 0

f x f x



 

   

1

3

f x f x



 

   

2

1

.

9

f x f x



 

.

Vì

     

3 2

3.

f x f x f x



 



 

nên suy ra

 

3

1

3

f x



 



 

 

3

1

3

f x x C

  

.

Vì





0 1

f



nên





3

0 1

f



1

C

 

.

Vậy

 

3

1

3

f x x

  

.

Suy ra

 

1

3

0

d

f x x

 

 



1

0

1 7

1 d

3 6

x x

 

  

 

 



.

Câu 36: Cho hàm số





y f x



liên tục, không âm trên



thỏa mãn

     

 

2

. 2 1

f x f x x f x



 

và





0 0

f



. Giá trị lớn nhất

M

và giá trị nhỏ nhất

m

của hàm số





y f x



trên đoạn





1;3

lần

lượt là

A.

20

M



;

2

m



. B.

4 11

M 

;

3

m 

.

C.

20

M



;

2

m 

. D.

3 11

M 

;

3

m 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

 

2

. 2 1

f x f x x f x



 









 

2

.

2

1

f x f x

x

f x



 



.

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

 

2

1

f x x C

  

, do





0 0

f



nên

1

C



.

Vậy

 

4 2 2

2 2

f x x x x x

   

trên đoạn





1;3

.

Ta có

 

2

2 0

2

x

f x x

x



   



với mọi





1;3

x

nên





f x

đồng biến trên





1;3

.

Vậy





3 3 11

M f  ;





1 3

m f  .

 





 

2

0

2

1 ln 1

1

t

xf x

h t dx F t t

F x

 

 

     

 



 







0;1

   

 

 

 

 

1

0

0 0;1 ln 1 0 1 0;1 2

x

h x h x F x x F x e x g x dx

             



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 37: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

. Biết với mọi . Tích phân có giá

trị lớn nhất bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Ta đặt khi đó .

Do vậy .

Xét hàm số: là hàm nghịch

biến trên cho nên

.

Do đó: .

Chọn A

Câu 38: Cho hàm số





y f x



liên tục trên





0; 1

thỏa mãn

 

1

0

d 0

xf x x





và





[0;1]

max 1.

f x



Tích

phân

 

1

0

e d

x

I f x x





thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.

5

; .

4

 

 

 

 

B.

3

; e 1 .

2

 



 

 

C.

5 3

; .

4 2

 



 

 

D.





e 1; .

  

Lời giải

Chọn C

Với mọi





0;1

a

, ta có

 

1

0

0 d

xf x x





 

1

0

d

a xf x x





 

1

0

d

axf x x





Kí hiệu

 

1

0

e d

x

I a ax x

 



.

Khi đó, với mọi





0;1

a

ta có

 

1

0

e d

x

f x x



   

1 1

0 0

e d d

x

f x x axf x x

 

 

 

1

0

e d

x

ax f x x

 



 

1

0

e . d

x

ax f x x

 



 

 

1

0;1

0

e .max d

x

ax f x x



 



 

1

0

e d

x

ax x I a

  



.

Suy ra

 

 

 

1

0;1

0

e d min

x

a

f x x I a







Mặt khác





y f x







0;1

   

0

1 2

x

g x f t dt

 



   

3

g x f x



 

 





0;1

x

 

1

2

3

0

g x dx

 

 



5

3

4

3

5

   

0

x

F x f t dt





     

 

3

1 2 0;1

g x F x f x x     

 





 

 





 

 

3 3

1 0 0;1 1 0 0;1

1 2 1 2

f x F x

x x

F x F x



        

 

 

 

2

3

0

3 3

1 1 2 0;1

4 4

1 2

t

F x

h t dx F t t t

F x

 



 

       

 



 







0;1

   

 

 





 





 

2 2

3 3

3 3 4

0 0;1 1 2 0 1 2 1 0;1

4 4 3

h t h t F t t F t t t             

 

 

   

1 1 1

2

2 2

3 3

3

0 0 0

4 4 5

1 0;1 1

3 3 3

g x x x g x dx x dx g x dx

 

        

   

 

   

 

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Với mọi





0;1

a

ta có

 

1 1

0 0

e d e d

x x

I a ax x ax x

   

 

1

2

0

e

2

x

a

x

 

 

 

 

e 1

2

a

  

 

 

0;1

3

min e

2

a

I a



 

 

1

0

3

e d e 1,22

2

x

f x x   



.

Vậy

5 3

;

4 2

I

 

 

 

 

.

Câu 39: Cho hàm số





y f x



liên tục trên đoạn





0;1

thoả mãn

 

1

2

0

d 0

x f x x





và





[0;1]

max 6.

f x



Giá trị lớn nhất của tích phân

 

1

3

0

d

x f x x



bằng

A.

1

8

. B.





3

3 2 4

4



. C.

3

2 4

16



. D.

1

24

.

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Ta có









6, 0;1

f x x  

.

Xét

 

3

1

1 1

3 3 3

2

1

0 0

2

6 d 6 d d

I x x x x x f x x

  

  

 

3

1

3 3

2

1

0

2

6 d 6 d

x f x x x f x x

   

 

.

Suy ra

 

3

1

2 2

2

1

3 3

0

2

1 1

6 d 6 d

2 2

I x f x x x f x x

   

 

 

1

3

0

3 3

d

2

2 2

x f x x

  



 

3

1

1 1

2 2 2

2

1

3 3 3

0 0

2

1 1 1

6 d 6 d d

2 2 2

x x x x x f x x

  

  

.

 

1

3

0

3 3

d 0

2

2 2

x f x x

   



 





3

1

3

0

3 2 4

d

4

x f x x



 



.

Cách 2:

Ta có với mọi số thực thì do đó:

Do đó: . Tới đây ta chia các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu thì . Khi đó:

Trường hợp 2: Nếu thì . Khi đó:

a





 

1

2

0

ax f x dx





 

   

1 1 1 1

3 3 2 3 2 3 2

0 0 0 0

6x f x dx x ax f x dx x ax f x dx x ax dx a

       

   



   

1 1

3 3 2

0 0

min 6 min

a a

x f x dx x ax dx g a

 

  

 

 

0

a











3 2 2

0 0;1

x ax x x a x     

   

1 1

3 2 3 2

0

0 0

1 3

6 6 6 min

4 3 2

a

g a x ax dx x ax dx g a



 

       

 

 

 

1

a











3 2 2

0 0;1

x ax x x a x     

   

1 1

3 2 2 3

1

0 0

1 1

6 6 6 min

3 4 2

a

g a x ax dx ax x dx g a



 

       

 

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trường hợp 3: Nếu thì

.

Ta tìm được vậy .

Do vậy:





0;1

a

 

1 1

4

3 2 2 3 3 2

0 0

2 4 3

6 6

2

a

a a

f a x ax dx ax x dx x ax dx

 

      

  

 

 

 





3

4

0;1 0;1

3 2 4

2 4 3 1 3

min min

2 4 2 2

a a

g a

 



 

 

   

 

 

 





3

3 2 4

min

4

a

g a









     





 

 





3 3

1 1 1

3 3 3

0;1

0 0 0

3 2 4 3 2 4

min max

4 4

a

x f x dx g a x f x dx x f x dx



 

    

  



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – KIẾN THỨC CHUNG

a - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục

hoành và hai đường thẳng , được xác định:

b - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn

và hai đường thẳng , được xác định:

Chú ý:

- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng

, được xác định:

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ

PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường là .

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình

+) Nếu (1) vô nghiệm thì .

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. . giả sử thì

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu

để tính tích phân.

( )

y f x







;

a b

x a



x b



( )

b

a

S f x dx





( )

y f x



( )

y g x







;

a b

x a



x b



( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 



[ ; ]

a b

( )

f x

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx



 

( )

x g y



( )

x h y



y c



y d



( ) ( )

d

c

S g y h y dy

 



( ), ( ), ,

y f x y g x x a x b

   

( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 



( ) ( ) (1)

f x g x





( ) ( )

b

a

S f x g x dx

 







;

a b



   

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx



   

 

( ) ( )

f x g x







a; b





















1 1

2 2

( ) : ( )

( ): ( )

( )

C y f x

H

x a

x b

1

( )

C

2

( )

C

1 2

( ) ( )

b

a

S f x f x dx

 



a

1

c

y

O

b

x

2

c





















( )

y f x

y 0

H

x a

x b

a

1

c

2

c



( )

y f x

y

O

x

3

c

b

( )

b

a

S f x dx





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ

nhất và lớn nhất của phương trình .

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình tìm các giá trị .

Bước 2. Tính như trường hợp 1.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là.

A.

8

3

. B.

11

3

. C.

7

3

. D.

10

3

.

Lời giải

Chọn D

Nhìn hình vẽ ta thấy diện tích

 

2 4

0 2

2

 

   

 

 

S xdx x x dx

 

4 4

0 2

2

16 10

2

3 3

  

  

 

xdx x dx

.

Câu 2: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi

đồ thị hàm số

3 2

3

y x x

  , trục hoành và hai đường thẳng

1

x



,

4

x



bằng

A.

51

4

. B.

53

4

. C.

49

4

. D.

55

4

.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

3 2

3

y x x

  và trục hoành là:

3 2

0

3 0

3

x

x x

x





  







.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

3 2

3

y x x

  , trục hoành và hai đường

thẳng

1

x



,

4

x



bằng:

( ), ( )

y f x y g x

 

( ) ( )

S f x g x dx





 



,

 

( ) ( )

f x g x







a b

 

  

( ) ( )

f x g x



,

 

( ) ( )

S f x g x dx





 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

4 3 4 3 4

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

1 1 3 1 3

3 d 3 d 3 d 3 d 3 d

S x x x x x x x x x x x x x x x

         

    

3 4

4 4

3 3

1 3

27 51

6

4 4 4 4

x x

   

      

   

   

.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

51

4

S 

.

Câu 3: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

hàm số

3

y x



,

2

4 4

y x x

  

và trục

Ox

(tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào

dưới đây?

A.

 

2

3 2

0

4 4 d

x x x x

  



. B.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

   

 

.

C.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

  

 

. D.

 

1 2

3 2

0 1

d 4 4 d

x x x x x

  

 

.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3

y x



, trục

Ox

,

0

x



,

1

x



.

Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

4 4

y x x

  

, trục

Ox

,

1

x



,

2

x



.

Do đó diện tích cần tính là

 

1 2 1 2

3 2 3 2

0 1 0 1

d 4 4 d d 4 4 d

S x x x x x x x x x x

       

   

.

Câu 4: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



có

đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ

O

như hình

vẽ. Giá trị của

 

3

d

f x x





bằng:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

26

3

. B.

38

3

. C.

4

3

. D.

28

3

.

Lời giải

Chọn D

Dựa và đồ thị ta thấy:

Phần đường thẳng đi qua các điểm





1;1

A  và





2;0

B  nên nó là một phần của đồ thị của

hàm số

2

y x

 

.

Phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ





0;0

O và đi qua điểm





1;1

A  nên nó là một phần

của đồ thị của hàm số

2

y x



.

Do đó

 

2

2 khi 1

khi 1

x x

f x

x x

  







 



Nên

     

3 1 3

3 3 1

d d + d

f x x f x x f x x



  



  

 

1 3

2

3 1

28

2 d d

3

x x x x



 

   

 

.

Câu 5: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số đa thức bậc ba





3 2

( 0)

y f x ax bx cx d a

     

có đồ thị như

hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x

 và trục hoành.

A.

6

. B.

19

4

. C.

27

4

. D. 8.

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số





y f x

 cắt và tiếp xúc trục hoành lần lượt tại tại điểm





2;0

 và





1;0

nên hàm

số có dạng

    





2

3

2 1 3 2

y f x a x x a x x

      

.

Mặt khác đồ thị hàm số lại đi qua điểm





1;4

 nên ta có

1

a



. Vậy





3

3 2

y f x x x

   

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x

 và trục hoành là:

1

3

2

27

3 2

4

S x x dx



   



.

Câu 6: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong mặt phẳng cho Parabol

2

( ):

P y x



và đường

tròn

2 2

( ): 2

C x y

 

(xem hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến chữ số hàng

phần trăm).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 1,19 B. 1,90. C. 1,81. D. 1,80.

Lời giải

Chọn B

Ta có

2 2 2

2 2

x y y x

     

. Vì đường cong nửa trên của

( )

C

tương ứng phần dương

của trục hoành nên có phương trình

 

2

2 , 0

y x y

  

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của

( )

C

và Parabol

( )

P

là :

2 2

2

x x

 

4 2

2 0

x x

   

2

1

2

x





   



 



Suy ra diện tích hình phẳng

( )

H

(phần tô đậm) cần tính là :





1

1 1 1

3

2 2 2 2

1 1 1

1

2

2 2 2

3 3

x

S x x dx x dx x dx

  



        

  

Xét

1

2

1

2

I x dx



 



, đặt

2 sin 2 cos

x t dx tdt

  

ta được

4

2

4

2 2sin 2 cos

I t tdt





 



4

2

4

2cos

tdt









 

4

1 cos2

t dt





 



4

sin 2

2

t





 

 

 

 

1

2



 

.

Do đó

2 1

1 1,90

2 3 2 3

S

 

     

.

Câu 7: (Sở Quảng NamT) Cho





H

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

2

:

P y x



, tiếp tuyến với





P

tại điểm





2;4

M và trục hoành. Diện tích của hình phẳng





H

bằng

A.

2

3

. B.

8

3

. C.

1

3

. D.

4

3

.

Lời giải

Chọn A

Phương trình tiếp tuyến của





P

tại điểm





2;4

M là:

4 4

y x

 

.

Giao điểm của đường thẳng

4 4

y x

 

với trục hoành tại điểm





1;0

A .

Từ đồ thị bên ta có diện tích của hình phẳng





H

là:

 

2 2

2

0 1

2

4 4 .

3

S x dx x dx

   

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 8: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường

; 0; 0

x

y e y x  

và ln4x  . Đường thẳng

 

, 0 ln 4x k k   chia (H) thành hai phần có diện tích

1

S

và

2

S

như hình vẽ bên. Tìm k để

1 2

2S S

.

A.

2

ln 4

3

k 

. B. ln 2k  . C.

8

ln

3

k 

. D. ln3k  .

Trích đề Minh họa 2 - 2017

Lời giải

Ta có:

ln 4

ln4

1 2

0

1, 4

k

x x k x x k

k

S e dx e e S e dx e e       

 

Do đó:

 

1 2

9

2 1 2 4 3 ln3

3

k k k

S S e e e k         

.

Chọn D

Câu 9: Parabol

2

x

y 

chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện

tích là

1

S

và

2

S

, trong đó

1 2

S S

. Tìm tỉ số

1

2

.

S

A.

3 2

.

21 2







B.

3 2

.

9 2







C.

3 2

.

12





D.

9 2

.

3 2







Lời giải

Chọn B

Diện tích hình tròn là

2

8S r

 

  .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có

2

1

2

4

8 d 2

2 3

x

S x x





    



Suy ra

2 1

4

6

3

S S S



   

Vậy

1

2

3 2

9 2

S









.

Câu 10: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hai hàm

2

y x

và

2

1

x

y

x





là

ln 2S a b 

với

a

,

b

là những số hữu tỷ. Tính

a b

?

A.

1

3



. B.

2

. C.

2

3



. D.

1

.

Lời giải

Chọn A

Hình phẳng

 

H giới hạn bởi

 

1

C :

2

y x

và

 

2

C :

2

1

x

y

x





.

Phương trình hoành độ giao điểm của

 

1

C và

 

2

C là

2

1

x





 

1x 

3 2

2 0x x x   

0

1

2

x







  







.

0

2

1

2

d

1

x

S x x

x



 

 

 



 



0

2

1

2

2 d

1

x x

x



 

  

 



 



0

3

1

2 2ln 1

3

x

x x



 

   

 

 

5

2ln2

3

 

.

Suy ra

5

3

a 

và

2b  

.Vậy

1

3

a b



 

.

Câu 11: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tính diện tích của phần hình

phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

10

3

. B. 4 . C.

13

3

. D.

11

3

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Coi

x

là hàm số theo biến số

y

.

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

2

x y

(với 0y  ); 2; 0x y y   .

Ta có:

2 2

1 ( )

2 2 0

2 ( / )

y loai

y y y y

y t m

 



    







Diện tích của hình phẳng cần tìm là

 

2 2

0 0

10

2 d 2 d

3

S y y y y y y      

 

(đvdt)

Cách 2:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số

, 2:y x y x  

 

2

2 4.

5 4 0

2

x

x x x

x x











     

 

  

 





Diện tích của hình phẳng cần tìm là

 

4 4

0 2

10

d 2 d

3

S x x x x

   

 

(đvdt)

Câu 12: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn các

đường

2

1y x x  ; 0y  1x  .

A.

2 2 1

3

S



 . B.

3 2

3

S



 . C.

3 2 2

3

S



 . D.

3 2 1

3

S



 .

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong:

2

1y x x  và trục hoành: 0y  .

2

1 0 0

x x x

   

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1 1

2 2

0 0

1 dx 1dxS x x x x   

 

.

Đặt

2 2 2

1 1 dt d

t x t x t x x

       .

Đổi cận:

0 1

1 2

  







  





x t

.

2

3

2

1

2 2 1

dt

3 3

t

S t



  



.

Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

 

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số 4y x  , trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng : 16 0d ax by   đi qua





0;2

A và chia





H

thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị

a b

bằng

A.

5.

B.

6.

C.

2.

D.

4.

Lời giải

Chọn C

Gọi

S

là diện tích hình

 

H suy ra

0

4

16

4

3

S x dx



  



.

Gọi

1

S là diện tích hình

 

1

H giới hạn bởi đường thẳng

d

, trục tung và trục hoành.

Do : 16 0d ax by   đi qua





0;2

A suy ra

8b 

.

Theo giả thiết thì

1

8

2 3

S

S  

mà

1

1 8 8

. ;0

2 3 3

S OA OB OB B

 

    

 

 

.

Do

6B d a   

.

Vậy

2a b 

.

Câu 14: (Ngô Quyền Hà Nội) Diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

x

y  , 3y x   ,

1y  bằng

A.

1

3

ln 2



. B.

1 1

ln 2 2



. C.

1

ln 2



. D.

1

2

ln 2



.

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

2 3

x

f x x  

, suy ra

 

2 ln2 1 0

x

f x



  

, x  . Suy ra

 

f x

đồng biến.

Mà

 

1 0f 

nên 2 3 2 3 0 1

x x

x x x         .

Ta có 3 1 2x x     .

Ta có 2 1 0

x

x   .

Ta có đồ thị các hàm đã cho như sau:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy diện tích miền hình phẳng cần tìm là

 

1 2

2

1 2

0 1

2 1 1

2 1 d 3 1 d 2

ln2 2 ln2 2

x

S x x x x x

   

            

   

   

 

.

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số

2 2

1

 

y x x

, trục

Ox

và đường thẳng

1



x

bằng





ln 1 

a b b

c

với

a

,

b

,

c

là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của

 

a b c

là

A.

11

. B.

12

. C.

13

. D.

14

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1 (dùng máy tính):

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

1 0 0

x x x

   

Diện tích hình phẳng cần tìm là

1

2 2

0

1d

S x x x

 



vì

 

2 2

1 0, 0;1

x x x    .





1

2 2

0

ln 1

1d

a b b

x x x

c

 

 



Bước 1: Bấm máy tính tích phân

1

2 2

0

1d 0,4201583875

S x x x  



( Lưu D)

Bước 2: Cơ sở: Tìm nghiệm nguyên của phương trình









ln 1 ln 1

a b b a b b

D c

c D

   

  

(coi





c f x



,

a x



,

b





và ta thử các giá trị

... 5; 4;..0,1;2;3;4.....

b

  

)

Thử với

1

b



:

Thử với

2

b



: Mode + 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 





2 ln 1 2

X

F X

D

 



;

Kết quả:

3;c 8,b 2

a

  

Cách 2 (giải tự luận):

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

1 0 0

x x x

   

Diện tích hình phẳng cần tìm là

1

2 2

0

1d

S x x x

 



vì

 

2 2

1 0, 0;1

x x x    .

Đặt





2

tan d 1 tan d

x t x t t

   

Đổi cận

0 0; 1

4

x t x t



     

Khi đó

 

2 24 4 4

2 2 2

3

2 2

2

0 0 0

sin 1 1 sin .cos

tan 1 tan 1 tan d . d d

cos cos cos

cos

t t t

S t t t t t t

t t t

t

  

    

  

Đặt

sin d cos d

u t u t t

  

Đổi cận

2

0 0;

4 2

t u t u



     

 

     

2 2 2

2

2 2 2

3 3 3 2

2 2 2 2

0 0 0

1 1

d d d

1 1 1 1

u

S u u u

u u u u

 

 

 

   

 

   

 

  

Ta có

 

  

2 2 2

3

2 2 2

3

2

0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

d d d

8 1 1 8 1 1

1

u u

H u u u

u u u u

u

 

  

 

   

 

   

 



 

  

   

2

3 3

2

0

1 1 1 3 1 1

d

8 1 1 1

1 1

u

u u u

u u

 

   

 

  

  

 



   

 

2

3 3 2

2

0

1 1 1 6

d

8

1 1

1

u

u u

u

 

 

  

 

 



 



   

 

2

2 2 2

2

0

2

1 1 1 6

d

2

8

16 1 16 1

1

0

u

u u

u

 



   

 

 



 



 

2

0

2 1 6

d

2 8

1

u

 





Tính

 

2

0

6

d

1

K u

u







ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

  

2 2 2

2

2 2 2

2

0 0 0

6 3 1 1 3 1 1

d d d

2 1 1 2 1 1

1

u u

K u u u

u u u u

u

 

  

 

   

 

   

 



 

  

   

  

 

2

2 2

0

2

3 1 1 2 3 1 1 1

d ln 3 2 3ln 1 2

2

2 1 1 2 1 1 1

1 1

0

u

u u u u u

u u

 

  

         

 

    

 

 



Vậy









3 2 3ln 1 2 7 2 3ln 1 2

2

2 8 8

H

   

  

Khi đó





7 2 3ln 1 2

1

8 6

S K

 

 





 





7 2 3ln 1 2 3 2 ln 1 2

1

3 2 3ln 1 2

8 6 8

   

    

Câu 16: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho parabol





2

:

P y x



và hai điểm

,

A B

thuộc





P

sao cho

2

AB



. Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi





P

và đường thẳng

AB

là

A.

3

.

4

B.

3

.

2

C.

2

.

3

D.

4

.

3

Lời giải

Chọn D

Gọi phương trình đường thẳng

AB

là:

y ax b

 





,a b



Phương trình giao điểm của

AB

và





P

là:

2

0

x ax b

  

Để có 2 điểm

,

A B

thì

2

4 0

a b

 

. khi đó:





 

1 1

2 2

1 2

;

A x ax b

B x ax b

x x a

x x b













 



 



Nên





2

2 1

2 1 2

AB a x x

    

Giả sử

2 1

x x



ta có

 

2 1

2

1

x x

a

  



Mặt khác:

 

2

2 1 2 1 1 2

4 4

x x x x x x a b

     

Khi đó

 

2

1

2 2 2 3 3

2 1 2 1 2 1

1

d

2 3

x

a

S ax b x x x x b x x x x

        



   

 

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

1

2 3

a

x x x x b x x x x

 

      

 

 

 

2

2 1

1

.

2 3

a

x x a b a b

 

    

 

 

 

2

2 1

2

3

a b

x x

b

 

  

 

 

 

2

2 1

4

6

a b

x x



 

 

3

2 1

8 4

6 6 3

x x

  

.

Suy ra:

4

3

max

S



khi

1 2

2 1

1 2

0

2

1

x xa

x x

 







 

 

 



(thỏa mãn vì





P

có tính đối xứng)





 

1;1

A

B















hoặc





 

1;1

A

B











.

Câu 17: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số

( )

y f x



là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( )y f x y f x  có diện tích bằng

A.

127

40

. B.

127

10

. C.

107

.

5

D.

13

.

5

Lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho có dạng

4 3 2 3 2

( ) '( ) 4 3 2f x ax bx cx dx e f x ax bx cx d          .

Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm

( 2;0)



,

( 1;1)



,

(0;1)

,

(1;0) và có hai điểm cực tiểu là (1;0) ,( 2;0) nên ta có hệ

1

(0) 1 1

4

( 2) 0 1

1

.(1) 0 16 8 4 2 1

2

'( 2) 0 32 12 4 0

3

'(1) 0 4 3 2 0

4

1

e

f e

a

f a b c d

b

f a b c d

c

f a b c d

d







 

 





 



      

 



  

      



  

  

      

   



    

  

 



 





Do đó

4 3 2 3 2

1 1 3 3 3

( ) 1 '( ) 1.

4 2 4 2 2

f x x x x x f x x x x         

Xét phương trình hoành độ giao điểm

( ) '( ).

f x f x



4 3 2

2

1

1 1 9 1

2 0 .

1

4 2 4 2

4

x

x x x x

x

 





 



      











Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( )y f x y f x  là

4

2

( ) ( )

S f x f x dx





 



Vì biểu thức

4 3 2

1 1 9 1

( ) ( ) 2

4 2 4 2

f x f x x x x x



     

không đổi đấu trên các khoảng ( 2; 1)  ,

( 1;1)



, (1;4) nên ta có

     

1 1 4

2 1 1

107

( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ).

5

S f x f x dx f x f x dx f x f x dx dvdt



 

      

  

Câu 18: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số

4 2

y ax bx c   có đồ thị

 

C

, biết rằng

 

C

đi qua

điểm

 

1;0A 

. Tiếp tuyến  tại A của đồ thị

 

C

cắt

 

C

tại hai điểm có hoành độ lần lượt là

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

0x 

;

2x 

có diện tích bằng

56

5

(phần gạch chéo trong hình vẽ).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

1x  

;

0x 

.

A.

2

5

. B.

2

9

. C.

1

9

. D.

1

5

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Hàm số

4 2

y ax bx c   . TXĐ: D  

Ta có:

3

' 4 2y ax bx  .

Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị

 

C

tại

 

1;0A 

có dạng

  

4 2 1y a b x   

.

Do tiếp tuyến  tại A của đồ thị

 

C

cắt

 

C

tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 nên

phương trình

  

4 2

4 2 1ax bx c a b x     

nhận ba nghiệm là: 1x   ; 0x  ; 2x  .

Suy ra:

3

c a b

b a

  





 



2

3

c a

b a









 



.

Vậy

 

C

:

 

4 2 4 2

3 2 3 2y ax ax a a x x      và  :

 

2 1y a x 

.

Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

0x 

;

2x 

có

diện tích bằng

56

5

nên:

 

2

4 2

0

56

2 1 3 2 d

5

a x a x x x    



 

2

4 2

0

56

2 1 3 2 d

5

a x a x x x     



 

2

4 2

0

56

3 2 d

5

a x x x x    



2

5

3 2

0

56

.

5 5

x

a x x

 



   

 

 

28 56

.

5 5

a 

2a  .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị

 

C

và hai đường thẳng

1x  

;

0x 

là:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

0

4 2

1

3 2 2 1 d

S a x x a x x



    



 

0

5

4 2 3 2

1

2

2 6 4 d 2.

5 5

x

x x x x x x



 

      

 

 



.

Cách 2:

Giả sử đường thẳng :

d y kx m

 

là tiếp tuyến với





C

tại





0; 1

A



nên

1

c

 

và

1

m

 

.

Phương trình hoành độ giao điểm của

d

và





C

là

   

2

4 2

0 1 . . 2 0

ax bx kx a x x x

      

(do phương trình trên có 3 nghiệm như bài toán đã cho).

Theo bài ta có phương trình

   

2

0

56

1 . 2 d 2

5

a x x x x a

    



.

Từ đó ta được

 

0

4 2

1

2( 3 2) 4 1 d

S x x x x



 

    

 



 

0

4 2

1

2

2 6 4

5

x x x dx



   



.

Câu 19: (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số

4 2

y ax bx c

  

và hàm số

2

y mx nx p

  

có đồ thị là các

đường cong như hình vẽ bên (đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

4 2

y ax bx c

  

). Diện

tích của hình phẳng được tô đậm bằng

A.

32

15

. B.

64

15

. C.

104

15

. D.

52

15

.

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm hàm số





4 2

y f x ax bx c

   

đi qua các điểm có tọa độ





1;4

,





0;3

và đạt cực trị tại

1

x







 

1 4

4 1

0 3 3 2

4 2 0 3

1 0

f

a b c a

f c b

a b c

f



    

 



 

     

  

  

  





 







4 2

2 3

f x x x

    

.

Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số





2

y g x mx nx p

   

đi qua các điểm có tọa độ





0;0

,





1;4

và





1;4







 

2

0 0

1 4 4 4 4

4 0

1 4

f

p p

f m n m g x x

m n n

f



 

 



 

        

  

  

  

 

 



.

Diện tích phần tô đậm:

 

1

5

4 2 2 3

1

2 64

2 3 4 d 3

5 3 15

x

S x x x x x x



 

         

 

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 20: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho đồ thị





:

C y x



.

Gọi

M

là điểm thuộc





C

,





9 ; 0

A . Gọi





1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

, đường

thẳng

9

x



và trục hoành.





2

S

là diện tích tam giác

OMA

. Tọa độ điểm

M

để

1 2

2

S S



là

A.





3; 3

M . B.





4 ; 2

M . C.





6; 6

M . D.





9 ; 3

M .

Lời giải

Chọn B

Ta có

9

1

0

0 0 d 18

x x S x x

     



.

M

là điểm thuộc





C

nên





 

2

1 1

; ; . . .9

2 2

OMA

M a a S d M OA OA a S

   

.

Theo đề bài ta có





1 2

2 18 9 4 4 ; 2

S S a a M      .

Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số

1

x m

y

x







( với

0

m



) có đồ thị là





C

. Gọi

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị





C

và hai trục tọa độ.

Biết

1

S



, giá trị thực của

m

gần nhất với số nào sau đây:

A.

0,56

. B.

0,45

. C.

4,4

. D.

1,7

.

Lời giải

Chọn D





C

cắt trục

Ox

tại điểm





;0

A m và cắt trục

Oy

tại điểm





0;

B m



.

Do

0

m



nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

và hai trục tọa độ là:

0

1

m

x m

S dx

x









   

 

0

0 0

1

1 1 ln 1

1 1

m m

m

x m m

dx dx x m x

x x

  

 

        

 

 

 

 









1 ln 1

m m m

    

.

Lại có

1

S















1 ln 1 1 ln 1 1

m m m m

       

(vì

0

m



nên

1 1

m

 

)

1 1 1,71828

m e m e

     



.

Câu 22: (Cẩm Giàng) Cho hình thang cong





H

giới hạn bởi các đường

e

x

y



,

0

y



,

0

x



,

ln4

x



. Đường thẳng

x k







0 ln4

k  chia





H

thành hai phần có diện tích là

1

S

và

2

S

như hình

vẽ bên. Tìm

k

để

1 2

2

S S

 .

A.

4

ln2

3

k 

. B.

8

ln

3

k 

. C.

ln2

k



. D.

ln3

k



.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn D

Diện tích hình thang cong





H

giới hạn bởi các đường

e

x

y



,

0

y



,

0

x



,

ln4

x



là

ln4

0

e d e

x x

S x

  



ln4 0

e e 4 1 3

   

(đvdt).

Ta có

1 2 1 1 1

1 3

2 2

S S S S S S

    

. Suy ra

1

2 2.3

2

3 3

S

  

(đvdt).

Vì

1

S

là phần diện tích được giới hạn bởi các đường

e

x

y



,

0

y



,

0

x



,

x k



nên

1

0

2 e d e

k

x x

S x

   



0

e e e 1

k k

  

.

Do đó

e 3 ln3

k

k   .

Câu 23: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số

3 2

y x ax bx c

   

có đồ thị





C

. Biết rằng tiếp tuyến

d

của





C

tại điểm

A

có hoành độ bằng

1



cắt





C

tại điểm

B

có hoành độ bằng

2

(xem hình

vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

d

và





C

(phần gạch chéo trong hình) bằng

A.

27

4

. B.

11

2

. C.

25

4

. D.

13

2

.

Lời giải

Chọn A

Đồ thị





C

đi qua gốc tọa độ





0;0

O suy ra

0

c



. Tiếp tuyến

d

với





C

tại điểm có hoành

độ

1

x

 

có phương trình





3 2 2

y a b x a

    

. Xét phương trình hoành độ giao điểm của

hai đồ thị

d

và





C

:













3 2 2

3 2 2 1 1 2 0

x ax bc a b x a x x a x a

 

             

 

   

2

1

1 2 0

x

g x x a x a

 







     



.

Vì

d

cắt





C

tại điểm

B

có hoành độ bằng

2

suy ra





2 0 0

g a

  

.

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là

 

2 2

3 3

1 1

27

3 2 3 2

4

S x bx b x dx x x dx

 

        

 

.

Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho

3 2

( )

f x x ax bx c

   

và

( ) ( )

g x f dx e

 

với , , , ,a b c d e





có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

( ).

y f x



Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

( )

y f x



và

( )

y g x



gần nhất với kết quả nào

dưới đây?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

4,5

. B.

4,25

. C.

3,63

. D.

3,67

.

Lời giải

Chọn A

Vì





f x

là hàm số bậc ba và có đồ thị tiếp xúc với

Ox

tại điểm

3

x



, cắt

Ox

tại điểm

0

x



   

2

3

f x x x   .

Ta có









g x f dx e

 

và đồ thị hàm





g x

tiếp xúc

Ox

tại điểm

3

2

x



và cắt

Ox

tại điểm

3

x



nên

   

2

3

2

 

  

 

 

g x k x x .

Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số





f x

và





g x

cắt nhau tại điểm có hoành độ

1

x



.

     

2

3

1 1 4 1 1 3 8

2

f g k k

 

        

 

 

   

2

3

8 3

2

g x x x

 

    

 

 

Do đó đồ thị hàm số hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là:

1; 3

x x

 

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong là:

   

2

3

2

1

3

3 8 3 4,5

2

S x x x x dx

 

 

      

 

 

 

 

 



Câu 25: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số

( )

y f x



liên

tục trên



và hàm số





2

( ) .

y g x x f x

 

có đồ thị trên đoạn





0;2

như hình vẽ.

Biết diện tích miền tô màu là

5

2

S



, tính tích phân

4

1

( )d .

I f x x





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

5I 

. B.

5

2

I 

. C.

5

4

I 

. D. 10I  .

Lời giải

Chọn A

Ta có

2 2

2

1 1

5

( )d ( )d

2

S g x x xf x x  

 

.

Đặt

2

d 2 d

t x t x x

   . Đổi cận:

1 1x t  

;

2 4x t  

.

2 4 4 4

2

1 1 1 1

1 5

( )d ( )d ( )d 5 ( )d 5

2 2

S xf x x f t t f t t f x x       

   

.

Câu 26: (THTT lần5) Cho hàm số bậc ba

 

y f x có đồ thị

 

C như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã

cho cắt trục

Ox

tại 3 điểm có hoành độ

1

x ,

2

x ,

3

x theo thứ tự lập thành cấp số cộng và

3 1

2 3x x  . Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

C và trục

Ox

là

S

. Diện tích

1

S

của hình

phẳng giới hạn bởi các đường

 

1y f x  ,

 

1y f x   ,

1

x x và

3

x x bằng

A. 2 3S  . B. 4 3R S  . C. 4 3. D. 8 3.

Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng

1

S giới hạn bởi các đường





1

y f x

 

,





1

y f x

  

,

1

x x và

3

x x ta được:

   

 

3

1

1 1

x

S f x f x dx    



 

3

1

2 1

x

f x dx 



 

3

1

2 1

x

f x dx 



 



1f x   trên

 



1 3

;x x

 

3 3

1 1

2 2

x x

f x dx dx 

 

.

Vì

1

x ,

2

x ,

3

x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

2

x cách đều

1

x và

3

x . Khi đó điểm

 

2

;0x

là điểm uốn của đồ thị





C

, ta thấy hình phẳng giới hạn bởi





C

và trục

Ox

gồm 2 phần có cùng diệntích

nhưng nằm khác phía so với trục

Ox

, do đó

 

3

1

0

x

f x dx 



.

Suy ra:

 

3

1

1 3 1

2 0 2 2 4 3

x

S dx x x      



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 27: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hình phẳng





H

được giới hạn bởi đồ thị





C

của hàm đa

thức bậc ba và parabol





P

có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình

vẽ có diện tích bằng

A.

37

12

. B.

7

12

. C.

11

12

. D.

5

12

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Gọi hàm số bậc ba là

3 2

y ax bx cx d

   

2

' 3 2

y ax bx c

   

.

Đồ thị





C

đi qua các điểm









1;0 , 2; 2



và đạt cực trị tại

0; 2

x x

 

nên ta có hệ sau :

0 1

2 8 4 2 3

.

0 0

0 12 4 2

a b c d a

a b c d b

c c

a b c d

    

 

 

      

 



 

 

 

   

 

Suy ra hàm số bậc ba là

3 2

y x x

  

.

Gọi hàm bậc hai là

2

y mx nx p

  

. Đồ thị





P

đi qua các điểm













1;0 , 2; 2 , 1; 2

  

nên

ta có hệ sau :

0 1

2 4 2 1

2 0

m n p m

m n p n

m n p p

    

 

 

     

 

 

    

 

.

Suy ra hàm số bậc hai là

2

y x x

  

.

Phương trình hoành độ giao điểm của





C

và





P

là :

3 2 2 3 2

1

3 2 2 2 0 1

2

x

x x x x x x x x

x

 





           







.

Vậy diện tích phần tô đậm là :

 

2

3 2

1

2 2 .

S x x x dx



   



   

1 2

3 2 3 2

1 1

8 5 37

2 2 2 2

3 12 12

S x x x dx x x x dx



          

 

.

Cách 2:

Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là

2, 0

y y

 

nên ta xét hai hàm số là

3 2

2

y ax bx cx

   

,

2

y mx nx

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

* Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là

1; 1; 2

x x x

   

nên ta

có phương trình hoành độ giao điểm:













3 2 2

2 1 1 2 0

ax bx cx mx nx a x x x

         

. Với

0

x



ta được

2 2 1

a a

  

.

*Vậy diện tích phần tô đậm là:

   

2

1

37

1 1 2

12

S x x x dx



    



.

Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên đoạn





5;3

 có đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Biết diện tích các hình phẳng

















, , ,

A B C D

giới hạn bởi đồ thị hàm

số





f x

và trục hoành lần lượt bằng

6;3;12;2

. Tích phân

 

1

3

2 2 1 1 d

f x x



 

 

 



bằng

A.

27

. B.

25

. C.

17

. D.

21

.

Lời giải

Chọn D

Quan sát đồ thị hàm số





f x

trên đoạn





5;3

 , giả sử đồ thị hàm số





f x

cắt trục hoành tại các

điểm 5; ; ;

x x a x b x c

    

với

5 3

a b c

    

. Khi đó, theo đề bài ta có

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

5 5

d 6 d 6

a a

A

S f x x f x x

 

   

 

;

   

d 3 d 3

b b

B

a a

S f x x f x x

    

 

;

   

d 12 d 12

c c

C

b b

S f x x f x x

   

 

;

   

3 3

d 2 d 2

D

c c

S f x x f x x

   

 

.

Xét

 

1

3

2 2 1 1 d

I f x x



  

 

 



. Đặt

2 1 d 2d

t x t x

   

.

Đổi cận

1 3

3 5

x t

 

 



 

   

 

. Do đó

   

3 3 3

5 5 5

1 1

2 1 d d d

2 2

I f t t f t t t

  

   

 

 

  

. Lại có:

         

3 3

5 5

d d d d d

a b c

f t t f t t f t t f t t f t t

 

   

    

6 3 12 2 17

    

.

Vậy

 

3 3

5 5

1

d d 17 4 21

2

I f t t t

 

    

 

.

Câu 29: (TTHT Lần 4) Cho hàm số





y f x

 . Hàm số





y f x



 có đồ thị như hình vẽ bên.

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục

Ox

và đồ thị hàm số





y f x



 trên đoạn





2;1

 và





1; 4

lần lượt bằng

9

và

12.

Cho





1 3.

f



Giá trị của biểu thức









2 4

f f 

bằng

A.

21.

B.

9.

C.

3.

D.

3.

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị hàm số









0

y f x f x

 

  

trên mỗi đoạn





2;1

 và





1; 4 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục

Ox

với đồ thị hàm số





y f x



 trên đoạn





2 ;1



               

1 1

1

2 2

2 1 2 1 9 2 9 1 12.

S f x dx f x dx f f f f f f

 

 

              

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục

Ox

đồ với đồ thị hàm số





y f x



 trên đoạn





1; 4

là

               

4 4

2

1 1

1 4 1 4 12 4 1 12 9.

S f x dx f x dx f f f f f f

 

            

 

Vậy









2 4 12 9 3.

f f

    

Câu 30: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực

a

để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm

2 2

6

2 3

1

x ax a

y

a

 





và

2

6

1

a ax

y

a







có diện tích lớn nhất.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

1

2

. B. 1. C. 2. D.

3

.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

  

2 2 2

2 2

6 6

2 3

3 2 0 2 0

2

1 1

x a

x ax a a ax

x ax a x a x a

x a

a a

 



  

         



 

 



Nếu

0

a



thì diện tích hình phẳng

0

S



.

+ Nếu

0

a



thì

2 2 2 2 3

6 6 6

2 2

3 2 3 2 1

d d .

1 1 6 1

a a

x ax a x ax a a

S x x

a a a

 

   

   

  

 

.

+ Nếu

0

a



thì

2 2

2 2 2 2 3

6 6 6

3 2 3 2 1

d d .

1 1 6 1

a a

x ax a x ax a a

S x x

a a a

 

   

    

  

 

.

Do đó, với

0

a



thì

3 3

6 3

1 1 1

. .

6 6 12

1 2

a a

S

a a

  



.

Dấu

" "



xảy ra khi và chỉ khi

3

1 1

a a

   

.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm đã cho có diện tích lớn nhất khi

1

a



.

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ

Oxyz

cho





E

có phương trình

 

2 2

1, , 0

x y

a b

  

và đường tròn





2 2

: 7.

C x y

 

Để diện tích elip





E

gấp 7 lần diện tích hình tròn





C

khi đó

A.

7

ab



. B.

7 7

ab 

. C.

7

ab 

. D.

49

ab



.

Lời giải

Chọn D

 

2 2

1, , 0

x y b

a b y a x

a b a

     

.

Diện tích





E

là

 

2 2

0 0

d

4 4 d

a a

E

b a x x b

S a x x

a a



  

 

Đặt

sin t, t ; d costdt

2 2

x a x a

 

    

 

 

 

.

Đổi cận:

0 t 0; t

2

x x a

     



 

2 2

0 0

4 a .cos tdt 2 1+cos2t dt

a a

E

b

S ab ab

a

  

 



Mà ta có

 

2

. 7 .

C

S R 

 

Theo giả thiết ta có

   

7. 49 49.

E C

S S ab ab    

 

Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang

trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đồ thị

 

3 2

1

2

y f x ax bx cx

    

và





2

1

y g x dx ex

   

trong đó

, , , , .

a b c d e





Biết

rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng

3; 1; 2,

 

chi phí trồng hoa

là 800000 đồng/1m

2

và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số

nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. 4217000 đồng. B. 2083000 đồng. C. 422000 đồng. D. 4220000 đồng.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm

           

3 2

3

0 0

2

f x g x f x g x ax b d x c e x

          

. (*)

Vì hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng

3; 1; 2

 

nên phương trình (*) có

các nghiệm là

3;

x

 

1

x

 

và

2

x



. Do đó, ta có

       

3 2

3

3 1 2 ,

2

ax b d x c e x a x x x x

          



.

Cho

0

x



ta được

3 1

6

2 4

a a

    

.

Diện tích phần trồng hoa là

       

2 2

2

3 3

1 253

d 3 1 2 d ( )

4 48

S f x g x x x x x x m

 

      

 

.

Số tiền trồng hoa là

800000. 4216666,667

T S

 

(đồng).

Làm tròn đến đơn vị nghìn đồng ta được 4217000 đồng.

Câu 33: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số





3 2

, ,y x ax bx c a b c    



có đồ thị





C

và





2

, ,y mx nx p m n p   



có đồ thị





P

như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

và





P

có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.





0;1

. B.





1;2

. C.





2;3

. D.





3;4

.

Lời giải

Chọn B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Căn cứ đồ thị ta thấy

+ Hàm số

3 2

y x ax bx c

   

đạt cực trị tại

1

x

 

nên ta có





 

1 0

2 3 0 0

2 3 0 3

1 0

y

a b a

a b b

y





   

 



 

  

     



 

 





.

+ Hàm số

2

y mx nx p

  

đạt cực đại tại

1

x

 

và





P

cắt





C

tại hai điểm có hoành độ

1

x

 

nên ta có

2 0 2

1 1

m n n

a b c m n p m

a b c m n p p c

    

 

 

        

 

 

        

 

Suy ra

   

 

1 1

2 3 2 3 2

1 1

4

1 1;2

3

S mx nx p x ax bx x dx x x x dx

 

             

 

Câu 34: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số





3

f x x ax b

  

và









2

g x f cx dx

  với

, , ,a b c d





có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số





y f x



.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong





y f x



và





y g x



gần nhất với kết quả

nào dưới đây?

A.

7,66

. B.

4,24

. C.

3,63

. D.

5,14

.

Lời giải

Chọn D

Ta có





0 1

f



và hàm đạt cực đại tại điểm

1

x

 

nên





 

3

0 1

1 1

3 1

3 0 3

1 0

f

b b

f x x x

a a

f



 

 



     

  

   



 

 





Khi đó

 









3

2 2

3 1

g x cx dx cx dx

    

Đồ thị hàm số





y g x



đi qua các điểm













0;1 ; 1;3 ; 2;3



do đó

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông





 

   

3

0 1

3 1 3

1 3

4 2 3 4 2 3

2 3

1, 1

1

0, 1

2

1 3

,

4 2 1

2 2

1 1

4 2 2

,

2 2

g

c d c d

g

c d c d

g

c d





    



  

 

   

 







  





   



 







 





 



  



  









 







  





Vì hàm số





y g x



có ba điểm cực trị nên

0

c



và





lim

x

g x



 

nên

0

c



Suy ra

2 3 2

1; 1 ( ) ( ) 3( ) 1.

c d g x x x x x

        

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số





y f x



và





y g x



là

 

     

2 3 2 3

2 3 3 2

2

2 2 2 2

2

4 3 2

0

( ) 3( ) 1 3 1

( ) 3 2 0

2 3 0

0

2

2 0

1

3 0

1,39

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x

x x

x

x x x

x x

      

     

 

       

 

 











 



 



 

   





 



Dựa vào đồ thị ta có

Vậy

       

   

1,39

0

3 3

3 2 2 2 2 3

1 0

2

3

3 2 2

1,39

3 3 d 3 3 d

3 3 d 5,14

S x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x



   

           

   

   

 

     

 

 

 





Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 15) Gọi





H

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

2

3

y x  , trục hoành

và trục tung. Gọi

1

k

,

2

k

(

1 2

k k



) lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm





0;9

A

và chia





H

thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên).

Giá trị của

1 2

k k



bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

13

2

. B.

7

. C.

25

4

. D.

27

4

.

Lời giải

Chọn D

Ta có diện tích của hình phẳng





H

là

 

3

2

0

3 d 9

S x x

  



.

Gọi





1

d

,





2

d

lần lượt là hai đường thẳng có hệ số góc

1

k

,

2

k

và cùng đi qua điểm





0;9

A

.

Khi đó phương trình đường thẳng





1

d

là

1 1

( 0) 9 9

y k x k x

    

và phương trình đường

thẳng





2

d

là

2 2

( 0) 9 9

y k x k x

    

.

Đường thẳng





1

d

và





2

d

lần lượt cắt trục

Ox

tại

1

9

;0

 



 

 

B

k

và

2

9

;0

 



 

 

C

k

(vì

2 1

0

k k

 

).

Theo giả thiết thì

2

1

1 9

1

27

9. 3

2

3

2

2 27

1 9

9. 6

3 4

2

AOC

AOB

S S

k

S S k

k





 





 

 

  

 

  

  

  

 





.

Suy ra

1 2

27 27 27

4 2 4

k k    

.

Câu 36: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị





C

của hàm số

3 2

3 1

y x x

  

. Gọi





d

là tiếp tuyến của





C

tại điểm

A

có hoành độ

A

x a



. Biết diện tích

hình phẳng giới hạn bởi





d

và





C

bằng

27

4

, các giá trị của

a

thỏa mãn đẳng thức nào?

A.

2

2 1 0

a a

  

. B.

2

2 0

a a

 

. C.

2

2 0

a a

  

. D.

2

2 3 0

a a

  

.

Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình d:









2 3 2

3 6 3 1

y a a x a a a

     

.

Phương trình hoành độ giao điểm của





C

với





d

:









3 2 2 3 2

3 1 3 6 3 1

x x a a x a a a

       

   

2

2 3 0

x a x a

    

3 2

x a









 



.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

 

3 2

3 2 2 3 2

27

3 3 6 2 3

4

a

S x x a a x a a x



      



d

 

4 3 2

27 81

27 27 0

2

4 2

27 81 27 0

27 27 0

4 2 2

a a a a

a

a a a a vn





   







 



 





    





.

Câu 37: Cho hình phẳng

 

H giới hạn bởi các đường

2

1y x  và ,0 1.y k k   Tìm k để diện tích của

hình phẳng

 

H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.

A.

3

4.k 

B.

3

2 1.k  

C.

1

.

2

k 

D.

3

4 1.k  

Lời giải

Chọn D

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2

1 , , 0

y x y k x

   

bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

2 2

1 , 1, , 0.y x y x y k x     

     

   

1 1 1

2 2 2

0 1

1

1 d 1 d 1 d 1 1 1 1

3

k k

k

x k x k x x k x x k k k k

 



             

  

           

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3

k k k k k k k k k k                 

 

2 4

1 1

3 3

k k   

 

3

1 2k  

3

4 1.k  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 38: Cho hàm số





y f x

 xác định và liên tục trên đoạn





3;3

 . Biết rằng diện tích hình phẳng

1

S

,

2

S

giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x

 và đường thẳng

1

y x

  

lần lượt là

M

,

m

. Tính tích

phân

 

3

d

f x x





bằng

A. 6

m M

 

. B. 6

m M

 

. C.

6

M m

 

. D.

6

m M

 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

   

1

1 1 1

2

1

3 3 3

3

1 d 1 d d

2

x

M S x f x x x x f x x x

  



 

           

 

 

  

 

1

3

d

f x x



 



.

 

   

3 3 3

2

1 1 1

1 d d 1 d

m S f x x x f x x x x

      

  

   

3

3 3

2

1 1

1

d d 6

2

x

f x x x f x x

 

    

 

 

 

.

       

1 3 1 3

1 2

3 1 3 1

d d 6 6 d d

S S f x x f x x M m f x x f x x

 

 

          

 

 

   

 

3

6 d

M m f x x



    



 

3

d 6

f x x m M



   



Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số

3 2

( )

f x ax bx cx d

   

, có đồ thị

( )

C

và

M

là một

điểm bất kì thuộc

( )

C

sao cho tiếp tuyến của

( )

C

tại

M

cắt

( )

C

tại điểm thứ hai

N

; tiếp tuyến

của

( )

C

tại

N

cắt

( )

C

tại điểm thứ hai

P

. Gọi

1 2

,

S S

lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đường thẳng

MN

và

( )

C

; đường thẳng

NP

và

( )

C

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

1 2

8

S S

 . B.

2 1

8

S S

 . C.

2 1

16

S S

 . D.

1 2

16

S S

 .

Lời giải

Chọn C

Giả sử

0

a



và gọi

, ,

m n p

lần lượt là hoành độ các điểm

, ,

M N P

với

m n



. Tiếp tuyến tại

M

là

y ex f

 

cắt

( )

C

tại điểm

M

,

N

có hoành độ

,

m n

trong đó tại điểm

M

là điểm tiếp

xúc. Vì vậy phương trình

3 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

ax bx cx d ex f a x m x n

       

có các nghiệm là

1 2 3

;

x x m x n

  

. Theo định lý vi-et ta có

2 2

b b

m n n m

a a



     

.

Với giả sử

.

3

b

m n m

a



  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Một cách tương tự cho tiếp tuyến

NP

có

2 2 2 2 4

b b b b b

n p p n m m n

a a a a a

   

 

          

 

 

Sử dụng tích phân

2 4

1

( ) ( ) ( )

12

b

a

x a x b dx a b



   



. Diện tích các mặt phẳng:

2 2

4

2 2

1 ( ,( ))

( ) 2 ( ) 2 3

12

b b

m m

a a

MN C

m m

b b a b

S S a x m x m dx a x m x m dx m

a a a

   

     

            

     

     

 

2

2 ( ,( ))

4

2

2 4

2

2 4 6

12

b

m

a

NP C

b

m

a

b

m

a

m

b b

S S a x m x m dx

a a

b b a b

a x m x m dx m

a a a

 



 

   

     

   

   

     

       

     

     



2 1

16

S S

  .

*Lưu ý: Có thể chọn 1 hàm bậc ba cụ thể với điểm M cụ thể để thử đáp án trắc nghiệm.

Câu 40: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x



có đồ thị





C

nằm trên trục hoành. Hàm số





y f x



thỏa mãn các điều kiện

 

2

. 4

y y y

 

  

và

 

1 5

0 1; .

4 2

f f

 

 

 

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi





C

và trục hoành gần nhất với số

nào dưới đây?

A. 0,95. B. 0,96. C. 0,98. D. 0,97.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 





   

2

. 4

f x f x f x

 

  

   

 

. 4

f x f x



  

   

 

. 4

f x f x dx dx



  

 









. 4

f x f x x C



   













. 4

f x f x dx x C dx



   

 

   

 

2

4 .

2

x

f x d f x C x B

    







2

2 .

2

f x

x C x B

    

 

2

4 2 .

f x x C x B

    

.

Giả thiết cho





0 1

f



và

1 5

4 2

f

 



 

 

1

1 5

1

4 2 2

B

C

B









 

 



   







.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

2

4 2 1

f x x x C

    

*) Phương trình hoành độ giao điểm của





C

với trục hoành

2

4 2 1 0

x x

   

.

1

2

1 5

4

4 2 1 0

1 5

4

x

x x

x









     











.

Vì





C

luôn ở phía trên trục hoành nên

1 5

4

2

1 5

4

4 2 1 0,98

S x x dx





    



.

Câu 41: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Xác định

0

a



sao cho diện tích giới hạn bởi hai

parabol:

2 2

4

4 2

1

a ax x

y

a

 





,

2

4

1

x

y

a





có giá trị lớn nhất.

A.

4

3

a  . B.

3

a  . C.

3

4

a  . D.

4

5

a  .

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

2 2 2

2 2

4 4

2

4 2

2 2 4 0

1 1

x a

a ax x x

x ax a

x a

a a

 



 

     





 



.

Diện tích cần tìm là:

 

2 2 2

2 2

4 4 4

2 2

4 2 2

d 2 d

1 1 1

a a

a ax x x

S x x ax a x

a a a

 

     

  

 

3 2 3

2

4 4

2

2 9.

2

3 2

1 1

x a

x ax a

a x

x a

a a

 



    

 

 

 

 

.

Xét hàm số:

 

3

4

9.

1

a

f a

a





,





0;a

 

. Ta có:

 

2 6

2

4

3

9.

1

a a

f a

a









.

 





 

4

0 0;

0 3 0;

3 0;

a

f a a

a

  







     



  



. Từ đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

4

3

a  .

Nhận xét: Có thể đánh giá như sau:

3

4 4 4 4

4

4 3

4

4 3

1 1 4

3 3 3 3 3

a a a a

a a

 

      

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

 

3 3

4

4 4

3

27

9. 9

1 4 3 4 3

3

a a

f a

a

  



. Đẳng thức xảy ra

4

1 3 3

3

a

a a     

Câu 42: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn





;

O R

và





;

O R



, 4OO R



 . Trên đường tròn





;

O R

lấy hai điểm A , B sao cho 3AB a . Mặt phẳng

 

P đi qua A , B cắt đoạn OO



và tạo với

đáy một góc 60,





P

cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó

bằng

A.

2

4 3

3 2

R



 



 

 

. B.

2

2 3

3 4

R



 



 

 

. C.

2

2 3

3 4

R



 



 

 

. D.

2

4 3

3 2

R



 



 

 

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Gọi diện tích cần tìm là S , diện tích của hình này chiếu xuống đáy là .S



Ta có: .cos60S S



 .

Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.

Trong AOB ta có:



2 2 2

1

cos

2. . 2

OA OB AB

AOB

OAOB

 

  



2

3

AOB



 

.

Suy ra: sđ



AOB

lớn

4

3





.

Do đó

2 2 2

quat

4

1 2 2 3

3

. sin

2 2 3 3 4

AOB AOB

S S S R R R



 





 



     

 

 

Vậy

2 2

2 3 4 3

2

cos60 3 4 3 2

S

S R R

 

   



    

   



   

Cách 2: Ta có:

 

2 2 2

1

cos 120 .

2. . 2 2

OA OB AB R

AOB AOB OH

OAOB

 

       

Chọn hệ trục tọa độ

Oxy

như hình vẽ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra: phương trình đường tròn đáy là

2 2 2 2 2

.

x y R y R x

     

Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.

Ta có

2 2

2

2 d .

R

S R x x



 



Đặt .sinx R t

2

2 3

.

3 4

S R



 

  

 

 

Gọi diện tích phần elip cần tính là .S



Theo công thức hình chiếu, ta có

2

4 3

2 .

cos60 3 2

S

S S R



 



   

 



 

Câu 43: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình

bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ.

Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và



0

30BAC  . Diện tích hình (H)

(phần tô đậm) bằng:

A. 2 2 3



 B. 2 3 3





C.

10

2 3

3





D.

7

3 3

3





Lời giải

Chọn B

Ta có diện tích tam giác cong ABC bằng 4 lần diện tích tam giác cong ADO

Diện tích phần P

1

là:

1

0

2 4 1 4

2. 2.2sin120 3

3 3 2 3

P AID

S S

  

     

Vậy diện tích hình tam giác cong

ADO

là:

1

2

1 4 2

.2 2 3 3

2 3 3

P

S S

 

 

      

 

 

P

1

D

C

I

B

O

A

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy diện tích cần tìm là:

2

3( 3) 2 3 3

3

S



   

Câu 44: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Biết rằng parabol

2

1

24

y x



chia hình phẳng giới hạn bởi elip có

phương trình

2 2

1

16 1

x y

 

thành hai phần có diện tích lần lượt là

1 2

,

S S

với

1 2

S S



. Tỉ số

1

2

S

bằng

A.

4 3

8 3







. B.

4 2

8 2







. C.

4 3

12





. D.

8 3

12





.

Lời giải

Chọn A

Elip

 

2 2

: 1

16 1

x y

E

 

. Diện tích của elip là:

 

.4.1 4

E

S

 

  .

Ta có:

2 2

2

1

1 1 .

16 1 16

x y

y x

     

Nhận thấy

1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

2

1

24

y x



và phần elip nằm phía trên

trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của parabol

2

1

24

y x



và elip

2 2

1

16 1

x y

 

là

2

2 4 2

2

12

1 1 1

1 1 0 2 3

24 16 576 16

48 ( )

x

x x x x

x vn





         



 



.

Do đó dựa vào đồ thị ta có:

2 3 2 3 2 3 2 3

2 2

2 2 2

1

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 1 2 3

1 d 16 d d 16 d .

16 24 4 24 4 3

x x

S x x x x x x x

   

 

        

 

 

   

Xét

2 3

2

2 3

16 d .

I x x



 



Đặt

4sin , ;

2 2

x t t

 

 

  

 

 

d 4cos d

x t t

 

. Khi

2 3

3

x t



    

, khi

2 3 .

3

x t



  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Suy ra

 

3 3 3

3

2 2

3

3 3 3

1 cos2 1 1

16 1 sin 4cos d 16 cos d 16 d 16 sin2

2 2 4

t

I t t t t t t t t

  



  



  



   

     

   

   

  

16

4 3.

3



 

Do đó

1

4 2 3 4 3

3 .

3 3 3

S

 



   

2 1

4 3 8 3

4 4 .

3 3

S S

 

 

     

Vậy

1

2

4 3

8 3

S









. Chọn phương án A

Câu 45: Cho parabol





2

:

P y x



và một đường thẳng

d

thay đổi cắt





P

tại hai điểm

A

,

B

sao cho

2018

AB



. Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





P

và đường thẳng

d

. Tìm giá trị lớn

nhất

max

S

của

.

S

A.

3

2018 1

6

max

S





. B.

3

2018

3

max

S 

. C.

3

2018 1

6

max

S





. D.

3

2018

6



max

S

.

Lời giải

Chọn D

Giả sử

2

( ; )

A a a

;

2

( ; )( )

B b b b a



sao cho

2018

AB



.

Phương trình đường thẳng

d

là: ( )

y a b x ab

  

. Khi đó

 

3

2 2

1

( ) d d

6

b b

a a

S a b x ab x x a b x ab x x b a

         

 

.

Vì

 





   





2

2 2 2

2 2 2 2

2018 2018 1 2018

AB b a b a b a b a          

.

 

2

2018

b a  

3

2018

6

b a b a S      

. Vậy

3

max

2018

6

S 

khi

1009

a

 

và

1009

b



.

Câu 46: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường

2

4

y x

 

,

2

y



,

y x



có diện tích là

.

S a b



 

. Chọn kết quả đúng:

A.

1

a



,

1

b



. B.

1

a b

 

. C.

2 3

a b

 

. D.

2 2

4 5

a b

 

.

Lời giải

Chọn D

Các phương trình hoành độ giao điểm:

*

2

4

x x

 



2 2

0

4

x

x x







 





0

2.

x















*

2

4 2

x

 



0

x



.

x

y

3

2

1

-3 -2 -1 32

O

1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

*

2

x



.

Diện tích cần tính là:





 

2 2

2

0

2

2 4 d 2 d

S x x x x

    

 

 

2 2 2

2

0 0

2

2d 2 d 4 d

x x x x x

    

  

 

2

0

2

2 2 4 d

2

x

x x x x

 

    

 

 



2

0

2 2 3 2 2 4 d

x x

    



2

0

3 4 d

x x

  



.

Đặt

2sin

x t





d 2cos d

x t t



. Đổi cận:

0

x





0

t



;

2

x 



4

t





.

Ta có

 

2

4 4 4

2 2 2

0 0 0 0

4 d 4 4sin .2cos d 4cos d 2 1 cos2 d

x x t t x t x t x

  

     

   

4

0

1 1

2 sin 2 2 1

2 4 2 2

t t



 

   

     

   

   

.

Vậy

1

3 1 2 .

2 2

S



    

.

Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra

2

a



,

1

2

b

 

. Do đó mệnh đề đúng là

2 2

4 5

a b

 

.

Câu 47: Tìm giá trị của tham số m sao cho: và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng

có cùng diện tích

A. 0 < m < 1. B. m = 1. C. . D. m = 9

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Điều kiện d: y = m(x+2) và (C): giới hạn 2 hình phẳng:

Gọi S

1

, S

2

lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận được theo thứ tự từ trái sang phải.

Nếu m = 1: d đi qua điểm uốn (0;2) của (C). Khi đó S

1

= S

2

=

Nếu 0 < m < 1: S

1

> 4 > S

2

Nếu 1 < m < 9: S

1

< 4 < S

2

Nếu m > 9  Khi đó:

S

2

 S

1

= 2m

Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B

Câu 48:

Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm sao cho hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng và có diện tích bằng 4.

A. . B. . C. . D.

3

y x 3x 2

  

1 m 9

 

3

x 3x 2 m(x 2)

   

x 2 hoÆc x 1 m, m 0.

     

3

y x 3x 2

  

0 m 9.

 

0

3

2

(x 4x)dx 4



 



1 m 2;1 m 4.

    

2 1 m

3 3

1 2

2

1 m

S x 3x 2 m(x 2) dx; S x 3x 2 m(x 2) dx

 



         

 

m 0



3 2

1 1

2 2

3 3

y x mx x m

    

5

0;

6

m

 















 

0, 2, 0

x x y

  

1

4

m



1

3

m



1

2

m



1

m



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Xét hàm số trên . Ta có ,

. Do nên

và

Ta có bảng biến thiên trong

x

2

y



0

y

Dựa vào BBT suy ra

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:

Chọn C

Câu 49: Cho hàm số

4

2 2

2

x

y m x

  

. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

m

sao cho đồ thị

của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành

qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng

64

15

là

A.



. B.





1



. C.

2

; 1

2

 

 

 

 

 

 

. D.

1

; 1

2

 

 

 

 

.

Lời giải

Tập xác định

D









3 2 2 2

2 4 2 2

y x m x x x m



    ;

0

0 2

2

x

y x m

x m









  



 



Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu

0

m

 

Vì

1

0

2

a

 

nên hàm số đạt cực đại tại

0

x



suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là





0;2

A

Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là

: 2

d y



.

Phương trình hoành độ giao điểm của





m

C

và

d

là:

3 2

1 1

2 2

3 3

y x mx x m

    





0;2

2

2 2

y x mx



  

2

0

2

x m m

y

x m m



  





 



  



5

0;

6

m

 















 

2 2

2 0, 0 2 2

m m m m

       

   

1 5

0 2 0, 2 2 0.

3 3

y m y m

     





0;2

2

m m

  





0

y





2

y





0, 0;2

y x

  

2

3 2

0

2

3 2

0

1 1

4 2 2 4

3 3

1 1 4 10 1

2 2 4 4

3 3 3 2

S x mx x m dx

m

x mx x m dx m

      

 







          









 



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

2

4

2 2

0

2 2 2 2

2

4

2

x

m x x m

x m











     









 



Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn)

2 2 2

4 4 4

2 2 2 2 2 2

2 0 0

5

2 3

2 d 2 2 d 2 2 d

2 2 2

2

2 64

2

10 3 15

0

m m m

m

x x x

S m x x m x x m x x

m

x

m x m



 

     

 

 

 

  

 

 

  

Ta có

1

64

1

15

m

S m

m





   



 



Chọn B

Câu 50: Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục

hoành. Với giá trị nào của m thì ?

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm (*)

Đặt , phương trình trở thành: (**)

Để S>0, S’>0 thì 0<m<4. Khi đó (*) có 4 nghiệm phân biệt với là

hai nghiệm dương phân biệt của (**)

Do ĐTHS hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng nên

Kết hợp với (**) ta được .

Chọn C

Câu 51: Cho parabol





2

: 1

P y x

 

và đường thẳng

: 2

d y mx

 

. Biết rằng tồn tại

m

để diện tích hình

phẳng giới hạn bởi





P

và

d

đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A.

0.

S



B.

4

.

3

S



C.

2

.

3

S



D.

4.

S



Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của





P

và

d

là





2 2

1 2 1 0 *

x mx x mx      

Ta có

2

4 0, .

m m

     



Nên phương trình





*

luôn có 2 nghiệm phân biệt

x a



và





.

x b a b

  Do đó





P

luôn cắt

d

tại 2 điểm phân biệt





; 2

A a ma



và





; 2 .

B b mb 

Với mọi

,

m

đường thẳng

d

luôn đi qua điểm





0;2 .

M Mà

1.

CT

y



Suy ra





2

2 1, ; .

mx x x a b

    

4 2

4

y x x m

  

'

S S



2

m



2

9

m



20

9

m 

1

m



4 2

4 0

x x m

  

2

; 0

x t t

 

2

4 0

t t m

  

2 1 1 2

; ; ;

t t t t

 





1 2 1 2

; ,

t t t t



   

 

1 1

2

4 2 4 2

0

2

4 2

2 2

0

' 4 4

4

4 0 0

5 3

t t

t

S S x x m dx x x m dx

t t

x x m dx m

      

       

 



20

9

m 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi





P

và

d

là

 

   

 

     

3

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 1 d 1 d

2 3

1 1 1

1 1

2 3 2 3 3

1 1

1

2 3 3

1 1

4 1

2 3 3

b b

a a

b

mx x

S mx x x mx x x x

a

m m

b a b a a b ab b a b a a b ab

m

S b a b a a b ab

m

b a ab b a a b ab

 

         

 

 

   

             

   

   

 

       

 

 

 

       

 

 

 

Vì

,

a b

là nghiệm của phương trình





*

nên ta có

.

1

a b m

ab

 





 



Khi đó

 

2

2 2

2 4 16

4 4. .

6 3 9 9

m

S m

 

    

 

 

Đẳng thức xảy ra khi

0.

m



Vậy

min

4

.

3

S



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ

Câu 1: (Sở Phú Thọ) Cho hàm số . Đồ thị của hàm số trên như hình vẽ (phần

cong của đồ thị là một phần của parabol ).

Biết , giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Giải bằng phương pháp tự luận (dùng nguyên hàm)

Ta xác định biểu thức của hàm số . Từ hình vẽ ta thấy trên đồ thị gồm 3 nhánh:

Nhánh parabol xác định trên đi qua 3 điểm , và

.

Nhánh đường thẳng xác định trên đi qua 2 điểm và .

Từ đây, giải các hệ phương trình tương ứng ta suy ra biểu thức của là:

.

là một nguyên hàm của , do đó biểu thức của có dạng:

.





f x





y f x









3;2



2

y ax bx c

  





3 0

f

 









1 1

f f

 

23

6

31

6

35

3

9

2





y f x









3,2



2

1 1 1

y a x b x c

  





3, 1

 





3,0







2,1







1,0



2 2

y a x b

 





1,0







1,0







0,2

3 3

y a x b

 





0,2





0,2





2,0





f x



 

2

4 3 khi -3 -1

2 2 khi -1 0

2 khi 0 2

x x x

f x x x

x x



    





   





   







f x





f x







f x

 

3

2

1

2

3

2 3 khi -3 -1

3

2 khi -1 0

2 khi 0 2

2

x

x x C x

f x x x C x

x

x C x



     



    





    





ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vì nên ta có: .

Do liên tục tại nên ta có: , suy ra:

.

Tương tự, liên tục tại nên ta có:

.

Vậy: .

Cách 2: Giải nhanh bằng phương pháp đánh giá diện tích trên đồ thị

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng có phương song song với trục

được cho bởi công thức: (1)

Áp dụng công thức này ta giải nhanh bài toán này như sau:

Nhánh parabol qua 3 điểm , và nên ta tính ra được hệ số

.





3 0

f

 

 

   

3

2

1 1

3

2 3 3 3 0 0

3

C C



        

f

1

x

 









1 1

lim lim

x x

f x f x

 

 



 

       

3

2 2

1

7

2 1 3 1 1 2 1

3 3

C C



           

f

0

x



2

3 3

7 0 7

0 2.0 2.0

3 2 3

C C

       

       

2

7 1 7 31

1 1 1 2 1 2.1

3 2 3 6

f f

 

           

 

 

Ox

2

day.cao

3

S 

2

y ax bx c

  





3,0







2,1







1,0



1

a



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có: .

Với: , , .

Suy ra: .

Mở rộng bài toán: Một nhược điểm của công thức (1) là chỉ có thể tính được diện tích khi “lát

cắt” parabol song song với trục . Trường hợp “lát cắt” bất kỳ, diện tích hình giới hạn bởi một

đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là (như

hình minh hoạ bên dưới) ta có diện tích được cho bởi công thức:

(2)

Với công thức tính nhanh diện tích “lát cắt parabol”, ta có thể xây dựng bài toán tương tự với đồ

thị liên tục gồm các nhánh là đường thẳng hoặc parabol. Tác giả đề xuất một bài toán tương tự

như sau:

: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số trên như hình vẽ (hai nhánh cong của

đồ thị là parabol)

Biết , giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .





























1 1 2 3

1 1 1 3 1 3

f f f f f f S S S S

               

   

1

2 4

2.1

3 3

S

 

2

1

1.2 1

2

S

 

 

3

1 3

1 2 .1

2 2

S

  

   

31

1 1

6

f f  

Ox

2

( ):

P ax bx c

 

1 2

,

x x

3

1 2

6

a x x

S









f x





y f x









3;4







3 1

f

 









0 3

f f

77

3

23



65

3



27

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 2: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



, đồ thị hàm





y f x





như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án

, , ,

A B C D

dưới đây là đúng?

A.













2 1 0

f f f  

. B.













0 1 2

f f f  

.

C.













0 2 1

f f f

  

. D.













1 0 2

f f f  

.

Lời giải

Chọn B

Gọi

1 2

,

S S

là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.

Ta có:

         

0

1

d 0 1 0 0 1

S f x x f f f f





       



.

           

2 0

2

0 2

d d 0 2 0 0 2

S f x x f x x f f f f

 

       

 

.

Mà

























1 2

0 1 0 2 1 2

S S f f f f f f        

.

Vậy













0 1 2

f f f  

.

           

2 0

2

0 2

d d 0 2 0 0 2

S f x x f x x f f f f

 

       

 

.

Mà

























1 2

0 1 0 2 1 2

S S f f f f f f        

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy













0 1 2

f f f  

.

Câu 3: (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm





f x



liên tục trên





2;1 .



Hình bên là đồ thị của hàm số





.

y f x





Đặt

   

2

.

2

x

g x f x 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.













1 2 0 .

g g g

  

B.













0 1 2 .

g g g

  

C.













2 1 0 .

g g g

  

D.













0 2 1 .

g g g

  

Lời giải

Chọn C

Ta có

'( ) '( ) 0 2 0 1

g x f x x x x x

         

.

Dựa vào đồ thị của hàm số





y f x





và đồ thị hàm số

y x



ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra









0 2

g g

 

và









0 1 .

g g

(1)

Mặt khác, dựa vào đồ thị ta có:

0 1 0 1

1 2

2 0 2 0

'( ) d '( ) d '( )d '( )d

S S f x x x f x x x g x x g x x

 

       

   





























0 2 1 0 1 2

g g g g g g

        

. (2)

Từ (1) và (2) suy ra













2 1 0

g g g

  

nên chọn đáp án C.

Câu 4: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm và liên tục trên



. Biết rằng đồ thị hàm

số





y f x





có đồ thị hàm số như hình dưới đây.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lập hàm số

   

2

3g x f x x x  

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

   

1 1g g 

. B.

   

1 1g g 

.

C.

   

1 2g g  

. D.

   

1 2g g  

.

Lời giải

Chọn A

       

2

3 (2 3)g x f x x x g x f x x

 

      

.

Vẽ đường thẳng 2 3y x  cắt đồ thị hàm số

 

y f x





tại các điểm 2, 1, 1x x x    

Nhìn vào đồ thị ta thấy

1

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

y f x





, 2 3y x  , 2, 1x x    . Khi đó,

   

 

1 1

1

2 2

S (2 3) d (2 3) d 0f x x x f x x x

 

 

      

 

 

1

2

d 0g x x





 



   

1 2g g   

2

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

y f x





, 2 3y x  , 1, 1x x   . Khi đó,

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

   

 

1 1

2

1 1

(2 3) d (2 3) d 0

S f x x x x f x x

 

 

      

 

 

1

d 0

g x x





 











1 1

g g

  

.

Câu 5: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hình bên. Tính tích phân

 

2

1

2 1 d

I f x x



 



.

A.

2

I

 

. B.

1

I

 

. C.

1

I



. D.

2

I



.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số





y f x

 đi qua các điểm





1; 1

 

,





0;3

,





2; 1



,





3;3

nên hàm số





3 2

3 3

y f x x x

   

.

Ta có:

 

2

1

2 1 d

I f x x



 



   

2

1

2 1 d 2 1

2

f x x



  



 

2

1

2 1

2

f x 

   

1

3 1

2

f f 

 

 

1



Câu 6: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số

( )

y f x



liên tục, có đạo hàm trên





;

 

và có đồ thị như

hình vẽ. Tích phân

 

1

0

5 3 d

I f x x



 



bằng

A.

9

5

. B.

9

. C.

3

. D.

2

.

Lời giải

4

2

-1

2

3

O

1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn A

Từ đồ thị hàm số

 

f x

, ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

 

3;2

Xét,

 

1

0

5 3 dI f x x



 



.

Đặt

1

5 3 d 5d d d

5

u x u x x u     

Đổi cận:

x

0

1

u

3



2

Kết hợp với bảng xét dấu của hàm số

 

y f x

, Ta được:

         

2 1 2 1 2

3 3 1 3 1

1 1 1 1 1

d d d d d

5 5 5 5 5

I f u u f u u f u u f u u f u u

 

    

    

     

    

Câu 7: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm '( )f x liên tục trên R và có đồ thị của

hàm số '( )f x như hình vẽ, Biết

 

3

0

1 '( ) 



x f x dx a và

1

0





f x dx b'( )

,

3

1





f x dx c'( )

, 1 f d( )

. Tích phân

3

0



f x dx( )

bằng

A.

4 5   a b c d

. B.

3 2   a b c d

. C.

4 3   a b c d

. D.

4 5   a b c d.

Lời giải

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Tích phân từng phần có

 

3 3 3 3

0 0 0 0

3

1 1 1 4 3 0

0

        

   

x f x x x f x x f x f x x f f f x x

( ) '( )d ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d

Suy ra

3 3

0 0

4 3 0 1 4 3 0

      

 

f x x f f x f x x f f a

( )d ( ) ( ) ( ) '( )d ( ) ( )





1

1 1

0 0

'( ) d '( )d (1) (0) (0) (0)

        

 

b f x x f x x f f d f f d b





2

3 3

1 1

'( ) d '( )d (1) (3) (3) (3)

         

 

c f x x f x x f f d f f d c





3

Từ





1

,





2

,





3

0

( ) 4( ) ( ) 4 3 .

          



f x dx d c d b a a b c d

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số

( )

f x

có đạo hàm cấp hai

( )

f x



liên tục trên



và có

đồ thị hàm số

( )

f x

như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số

( )

f x

đạt cực đại tại điểm

1;

x



đường

thẳng



trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

f x

tại điểm có hoành độ

2

x



.

Tích phân

ln3

0

1

2

x

e

e f dx

 





 

 



bằng

A.

8

. B.

4

. C.

3

. D.

6

.

Lời giải

Chọn D

Đặt

1 1

2 2

x

e

t dt e dx



  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đổi cận

0 1; ln3 2.

x t x t

     

Khi đó

 

ln3 2

0 1

2

1

'' 2 ''( ) 2 '( ) 2 '(2) f'(1) .

1

2

x

e

e f dx f t dt f t f

 



   

 

 

 

Do hàm số đạt cực đại tại điểm

1

x



và có đạo hàm trên

(1) 0

f



 



.

Mặt khác đường thẳng Δ đi qua hai điểm

(1;0)

A ,

(0; 3)

B



nên có hệ số góc

3

B A

y y

k

x x



 



.

Do



tiếp xúc với đồ thị hàm số

( )

f x

tại điểm có hoành độ

2

x



nên

(2) 3

f





.

Vậy

ln3

0

1

2

x

e

e f dx

 





 

 



2(3 0) 6.

  

Câu 9: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số





f x

liên

tục có đồ thị như hình bên dưới

Biết

( ) ( ), [ 5;2]

F x f x x



   

và

 

1

3

14

d

3

f xx







. Tính









2 5

F F

 

.

A.

145

6



. B.

89

6



. C.

145

6

. D.

89

6

.

Lời giải

Chọn C

Trên đoạn





5; 3

 

ta có

 

5

2

x

f x





; trên đoạn





1;2

 ta có





3

f x x

 

.

Khi đó:

     

2

5

2 5 d

F F f x

x



  



.

         

3 1 2 3 1 2

5 3 1 5 3 1

5 145

d d d d d 3 d

2 6

x x x x x x

x

f x f x f x f x x

   

     



       

     

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 10: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho

 

4 2

5 4 d

b

a

P x x x

   



có giá trị lớn nhất

với (

; ,a b a b

 



). Khi đó tính

2 2

S a b

 

A.

5

S



. B.

8

S



. C.

4

S



. D.

7

S



.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số





4 2

5 4

f x x x

   

, có





3

4 10

f x x x



  

.





0

f x





3

4 10 0

x x

   

0

10

2

10

2

x









 



 





.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy





4 2

5 4 0

f x x x

    

với









2; 1 1;2

x    

.

Do đó

P

có giá trị lớn nhất thì

2, 1

1, 2

a b

   





 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

2 2

5S a b  

.

Câu 11: (Kim Liên) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số ( )y f x



 như hình vẽ. Biết

( ) 0f a  , tìm số giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f x với trục hoành.

A.

3

. B. 4 . C.

0

. D. 2 .

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị ta thấy

'( ) 0

x a

f x x b

x c







  







và đi qua các nghiệm trên, đạo hàm đổi dấu nên hàm số

( )f x

có 3 điểm cực trị.

Xét bảng biến thiên

Ta thấy:

( )f a

hoặc

( )f c

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )y f x

. (1)

   

1 2

'( ) ( ) ( ) ; '( ) ( ) ( )

b c

b b

a c

a b

S f x dx f x f b f a S f x dx f x f b f c        

 

Ta thấy

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )S S f b f a f b f c f a f c f a f c          , vì

( ) 0f a 

.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số

( )y f x

nằm hoàn toàn phía trên trục hoành hay đồ thị hàm

số

( )y f x

không cắt trục hoành.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số

( )

y f x



có đạo hàm liên tục trên đoạn





3;3



và đồ thị

'( )

y f x



như hình vẽ. Đặt

2

( ) 2 ( ) 4

g x f x x

  

. Biết

(1) 24

f

 

. Hỏi

( ) 0

g x



có bao nhiêu nghiệm thực?

A.

1

. B.

4

. C.

2

. D.

0

.

Lời giải

Chọn D

2

(1) 2 (1) 1 4 43 0

g f

     

'( ) 2 '( ) 2

g x f x x

 

3

'( ) 0 '( ) 1

3

x

g x f x x x

x

 





     







Bảng biến thiên

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đặt





3;3

M 

,

9

3;

2

N

 

 

 

 

,

9

0;

2

P

 



 

 

,





1;0

A

,





3;0

B

,





3; 3

C



,





1; 1

D



.

9 15

.3

2 2

18

2

MNPO

S

 



 

 

 

,





1 3 .2

4

2

ABCD

S



 

.

Gọi

1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi '( ),

y f x y x

  

,

3

x

 

và

1

x



thì

 

1

3

'( ) d

S f x x x



  



1

3

1

'( )d

2

g x x



 



 

1

(1) ( 3)

2

g g

   

1 43

( 3)

2 2

g

  

.

Vì

1

MNPO

S S

1 43

( 3) 18

2 2

g

   

( 3) 7 0

g

    

.

Gọi

2

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi '( ),

y f x y x

  

,

1

x



và

3

x



thì

   

3 3

2

1 1

'( ) d '( )d (3) (1)

2 2

S f x x x g x x g g    

 

1 43

(3)

2 2

g

 

.

Vì

2

ABCD

S S

1 43

( 3) 4

2 2

g

   

(3) 35 0

g

   

.

Vậy trên đoạn





3;3



phương trình

( ) 0

g x



vô nghiệm.

Câu 13: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục

trên



. Hàm số





y f x





có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Số nghiệm thuộc đoạn

2;6

 



 

 

của phương trình









0

f x f



là

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị của hàm số





'

f x

ta có BBT

Gọi

1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





' ; 0; 0; 2

y f x y x x

   

Gọi

2

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





' ; 0; 2; 5

y f x y x x

   

Gọi

3

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi





' ; 0; 5; 6

y f x y x x

   

     

2

1

0

' 0 2

S f x dx f f   



;

     

5

2

' 5 2

S f x dx f f  



;

     

6

3

5

' 5 6

S f x dx f f   



Từ đồ thị ta thấy

           

2 1

5 2 0 2 5 0

S S f f f f f f      

và

               

1 3 2

0 2 5 6 5 2 6 0

S S S f f f f f f f f         

Khi đó ta có BBT chính xác ( dạng đồ thị chính xác ) như sau:

O

1



2



3



1

2

3

4

5

6

7

x

y

4

2



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy phương trình









0

f x f



có 2 nghiệm thuộc đoạn

2;6

 



 

 

Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số





4 2

f x ax bx c

  

có đồ thị





C

. Gọi





:

y dx e

  

là tiếp tuyến của





C

tại điểm

A

có hoành độ

1.

x

 

Biết



cắt





C

tại hai điểm phân biệt

,

M N

( , )

M N A



có hoành độ lần lượt là

0; 2.

x x

 

Cho biết

 

2

0

28

( ) .

5

dx e f x dx  



Tích

phân

 

0

1

( )

f x dx e dx



 



bằng:

A.

2

5

. B.

1

4

. C.

2

9

. D.

1

5

.

Lời giải

Chọn D





:

y dx e

  

là tiếp tuyến của





C

tại điểm

A

có hoành độ

1

x

 

nên phương trình

( ) 0

f x dx e

  

có nghiệm kép là

1,2

1

x

 

.



cắt





C

tại hai điểm phân biệt

,

M N

( , )

M N A



có hoành độ lần lượt là

0; 2

x x

 

nên

phương trình

( ) 0

f x dx e

  

có thêm nghiệm là

3 4

0; 2

x x

 

.

Do đó

2

( ) ( 1) ( 2)

f x dx e a x x x

    

.

Ta có:

2 2

2

0 0

0

28

28 28

5

( ( ))dx ( 1) ( 2) 1.

5 5

( 1) ( 2)

dx e f x a x x x dx a

x x x dx



         

 

 



Vậy

0 0

2 2

1 1

1

( ) ( 1) ( 2) ( ( ) ) ( 1) ( 2) .

5

f x dx e x x x f x dx e dx x x x dx

 

           

 

Câu 15: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số

4 3 2

( )

f x ax bx cx dx e

    

và

3 2

( ) 1

g x mx nx px

   

với

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

m

,

n

,

p

,

q

là các số thực. Đồ thị của hai hàm số

( )

y f x





,

( )

y g x





như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình

( ) ( )

f x q g x e

  

bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

13

3

. B.

13

3



. C.

4

3

. D.

4

3



.

Lời giải

Chọn C

Đặt

( ) ( ) ( )

h x f x g x

 

. Do hai đồ thị

( )

y f x





,

( )

y g x





cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần

lượt là

1



,

5

4



và

3

; mà bậc của đa thức





h x



bằng 3. Ta có

5

( ) ( 1) ( 3)( 0)

4

h x k x x x k

 



    

 

 

với (0) (0) (0)

h f g e q

   

.

Do đó





0

3 2

0

4 3 2

( ) ( ) (0) (0)

( )d

5

( 1) ( 3)d

4

( 1)(4 5)( 3)

4

(4 13 2 15)

4

13

15 .

4 3

x

h x h x h h

h x x e q

k x x x x e q

k

x x x dx e q

k

x x x dx e q

k

x x x x e q

  



  

 

     

 

 

     

     

 

     

 

 



Phương trình

( ) ( )

f x q g x e

  

tương đương với

4 3 2

5

3

13

( ) 15 0 0

3

3.

x

h x e q x x x x x

x



 



        









ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng

5 4

0 3 .

3 3

   

Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục

trên đoạn





3;3

 và đồ thị hàm số





y f x



 như hình vẽ bên. Biết

(1) 6

f



và

   

 

2

1

2

x

g x f x



  . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Phương trình





0

g x



có đúng hai nghiệm thuộc





3;3

 .

B. Phương trình





0

g x



không có nghiệm thuộc





3;3

 .

C. Phương trình





0

g x



có đúng một nghiệm thuộc





3;3

 .

D. Phương trình





0

g x



có đúng ba nghiệm thuộc





3;3

 .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   

 

2

1

2

x

g x f x



 













1

g x f x x

 

   

.

Vẽ đường thẳng

1

y x

 

trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số





y f x



 (như hình vẽ

bên).

Từ đồ thị ta thấy:













1 0

g x f x x

 

   

,





3;1

x   (do đường cong nằm phía trên đường

thẳng),













1 0

g x f x x

 

   

,





1;3

x  (do đường cong nằm phía dưới đường thẳng).

O

x

y

3



1

3

2



2

4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có:

   

 

2

1 1

2

g f



  6 2 4   .

Bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích

1

S lớn hơn 4 (trong phần bên trái có nhiều hơn 4 ô, mỗi ô có

diện tích bằng 1), do đó:

 

1

3

4 dS g x x





 



 

1

3

4 g x



 

   

4 1 3g g   

 

3 0g   .

Mặt khác: diện tích nhỏ hơn 4 (trong phần bên phải có ít hơn 4 ô), do đó:

 

3

2

1

4 dS g x x



  



 

3

1

4 g x  

   

4 1 3g g  

 

3 0g  .

Vậy phương trình

 

0g x  có đúng một nghiệm thuộc đoạn

 

3;3 (nghiệm này nằm trong

khoảng

 

3;1 ).

Câu 17: Chọn ngẫu nhiên hai số thực . Tính xác suất để phương trình có

tối đa hai nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

+) Xét , .

Yêu cầu bài toán .





, 0;1

a b

3 2

2 3 0

x ax b

  

1

4

P



1

2

P



2

3

P



3

4

P



3 2

2 3

y x ax b

  

 

0

0 6 0

x

y x x a

x a







    



















3

0 0 0

y y a b b a

    

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Mà nên .

Ta thấy việc chọn ngẫu nhiên hai số , chính là việc chọn ngẫu nhiên một điểm

khi xét trên hệ trục tọa độ .

+) Gọi là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta có là tập hợp các điểm sao cho ,

và chính là các điểm thuộc hình vuông trên hình vẽ, do đó .

+) là tập hợp các điểm thuộc hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị , ,

(phần gạch chéo trên đồ thị). Xét phương trình hoành độ giao điểm

.

Vậy xác suất cần tìm là .

Câu 18: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số

 

y f x có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình

vẽ.

Giá trị của biểu thức

   

4 2

0 0

' 2 d ' 2 dI f x x f x x   

 

bằng

A. 2 . B. 2 . C.

6

. D.

10

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Đặt

 

4

1

0

' 2 dI f x x 



,

 

2

0

' 2 dI f x x 



.

Tính

1

I : Đặt

2 d du x u x   

.

Đổi cận:





0;1

b





3 3

0

b b a b a

   

a





0;1

b





;

M a b

Oab

A







;

M a b

a





0;1

b

OACB

1

OACB

S

  





A







H

1

b



3

b a



0

a



3

1 1

a a

  

 

1

1 1

4

3 3

0 0

0

1 3

1 d 1 d 1

4 4 4

a

A a a a a a

 

          

 

 

 

3

4

1 4

P

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có:

   

2 2

1

2 2

' d ' d

I f u u f x x

 

 

 

















2

2 2 2 2 4

f x f f



       

.

Tính

2

I

: Đặt

2 d d

v x v x

   

.

Đổi cận:

Ta có:

   

4 4

2

2 2

' d ' d

I f v v f x x

 

 













4

2

4 2 4 2 2

f x f f

     

.

Vậy:

1 2

4 2 6

I I I

    

.

Cách 2:

           

4 2 4 2

0 0 0 0

' 2 d ' 2 d ' 2 d 2 ' 2 d 2

I f x x f x x f x x f x x

         

   

































4 2

0 0

2 2 2 2 4 2

f x f x f f f f        













2 2 4 2 6

     

.

Câu 19: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa

mãn





0,f x x

  



. Biết





0 1

f



và





 

'

2 2

f x

x

f x

 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình





f x m



có hai nghiệm thực phân biệt.

A.

0 1

m

 

. B.

e

m



. C.

0 e

m

 

. D.

1 e

m

 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có





 





 

   

2

' '

2 2 2 2 ln 2

f x f x

x dx x dx f x x x C

f x f x

        

 

.

Do





0,f x x

  



nên

   

2

2 2

ln 2 e

x x C

f x x x C f x

 

     .

Ta có





0 1 e 1 0

C

f C

    

. Vậy

 

2

e

x x

f x



 .

Cách 1:

Phương trình

 

2

e

x x

f x m m



  





2

2 ln 1

0

x x m

m



 













.

Gọi





2

g x x x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Bảng biến thiên của





g x

.

Phương trình





1

có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

ln 1 0 e

m m

   

.

Cách 2:

Từ

 

2

e

x x

f x





   

2

2 1 e

x x

f x x





   ;





0 1

f x x



  

;









lim lim 0

x x

f x f x

 

 

.

Bảng biến thiên của





f x

Câu 20: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số

4 2

( )

f x ax bx

 





,a b



có đồ thị

hàm số

'( )

f x

như hình vẽ bên dưới. Biết rằng diện tích phần tô đậm bằng

1

8

. Phương trình

8 ( ) 1 0

f x

 

có bao nhiêu nghiệm?

A.

0

. B.

4

. C.

3

. D.

2

.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Diện tích phần tô đậm là

0

1

'( )d

8

S f x x



 





0

1

( )

8

f x







1

(0) ( 1)

8

f f  

.

Mà

4 2

(0) .0 .0 0f a b   .

Do đó

1 1

( 1) (1) ( 1)

8 8

f f f       

(do

( )f x

là hàm số chẵn).

Ta có bảng biến thiên

Ta có

8 ( ) 1 0f x  

1

( )

8

f x  

(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x

và đường thẳng

1

8

y  

.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình

8 ( ) 1 0f x  

có 2 nghiệm

 

1 1x x    .

Câu 21: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hàm số

 

4 3 2

f x mx nx px qx r    

 

, , , , .m n p q r  

Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tập nghiệm của phương trình

 

f x r

có số phần tử là

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có

 

3 2

4 3 2 .f x mx nx px q



    Do đồ thị của hàm

 

f x



cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ

5

1; ;3

4

 nên

         

5

4 1 3 1 4 5 3

4

f x m x x x m x x x

 



       

 

 

, với

0.m 

Suy ra

     

4 3 2

13

1 4 5 3 15 .

3

f x m x x x dx C m x x x x C

 

         

 

 



Theo bài ra,

 

4 3 2

f x mx nx px qx r     nên ta có

 

0f r



C r .

Vậy

 

4 3 2

13

15

3

f x m x x x x r

 

    

 

 

.

Phương trình

 

4 3 2

13

15

3

f x r m x x x x r r

 

      

 

 

4 3 2

13

15 0

3

x x x x    

0x  hoặc 3x  hoặc

5

.

3

x  

Vậy tập nghiệm của phương trình

 

f x r có 3 phần tử.

Câu 22: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số

 

4 3 2

,f x ax bx cx dx m    

(với

, , , ,a b c d m

). Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình vẽ bên.

Tập nghiệm của phương trình

 

1

2

f x f

 



 

 

có số phần tử là

A.

5.

B.

2.

C.

4.

D.

3.

Lời giải

Chọn C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

f x



, trục hoành

Ox

và các đường

thẳng

1x  

;

1.x 

1

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

f x



, trục hoành

Ox

và các đường thẳng

1

2

x 

;

1.x 

2

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

f x



, trục hoành

Ox

và các đường thẳng

1x 

;

2.x 

Dựa vào đồ thị ta có:

2

S S

   

 

1 2

1 1

d df x x f x x



 

  

 

       

1 1 1 2f f f f    

   

1 2f f  

.

1 2

S S

   

 

1 2

1

2

d df x x f x x

 

  

 

     

1

1 1 2

2

f f f f

 

   

 

 

 

1

2

f f

 

 

 

 

Trên khoảng

( 1;1),

hàm số

 

f x

đồng biến nên

   

1

1 1

2

f f f

 

  

 

 

.

Hàm số

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Vậy phương trình

 

1

2

f x f

 



 

 

có tất cả 4 nghiệm thực.

Câu 23: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019)

Cho hàm số

 

5 4 3 2

f x ax bx cx dx ex r     

 

, , , , ,a b c d e r  

. Hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình bên (cắt

Ox

tại

 

2;0A 

,

 

1;0B 

,

 

1;0C

,

 

2;0D

). Phương trình

 

f x r

có bao nhiêu nghiệm?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2

. B.

1

. C.

5

. D.

4

.

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Ta có





5 4 3 2

y f x ax bx cx dx ex r

      





4 3 2

5 4 3 2

f x ax bx cx dx e



     

Đồ thị hàm số





y f x



 đi qua các điểm





2;0

A  ,





1;0

B  ,





1;0

C

,





2;0

D

và





0;4

E

nên ta có:

4

80 32 12 4 0

5 4 3 2 0

80 32 12 4 0

e

a b c d e







    



    





    



    





1

5

0

5

3

0

4

a

b

c

d

e











  















.

Vậy

 

5 3

1 5

4

5 3

y f x x x x r

    

.

Khi đó phương trình





f x r





5 3 4 2

1 5 1 5

4 0 4 0 0

5 3 5 3

x x x x x x x

 

        

 

 

.

Vậy phương trình





f x r



có

1

nghiệm.

Cách 2:

Ta có





y f x





là hàm số bậc 4.

Đồ thị hàm số





y f x





cắt

Ox

tại bốn điểm





2;0

A 

,





1;0

B  ,





1;0

C ,





2;0

D suy ra













2 2

1 4

f x k x x



  

,

0

k



.

Lại có điểm





0;4

E thuộc đồ thị hàm số





y f x







1

k



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy





4 2

5 4

f x x x



  

.

Mặt khác

 

4 2 5 3

1 5

d 5 4 d 4

5 3

f x x x x x x x x r



      

 



 

5 3

1 5

4

5 3

f x x x x r

   

.

Câu 24: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số





y f x

 có đồ thị





'

y f x

 cắt

trục hoành tại ba điểm có hoành độ

a b c

 

như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình









f x a f c

  là

A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.

Lời giải

Chọn D

+) Từ đồ thị





'

y f x

 ta có bảng biến thiên:

+) Từ đồ thị





'

y f x

 ta có:

   

       

   

1 2

d d

b c

a b

S S f x x f x x

f a f b f c f b

f a f c

 

   

   

 

 

+) Số nghiệm của phương trình









f x a f c

  là số giao điểm của đồ thị





y f x a

 

và

đường thẳng





y f c

 trong đó đường thẳng





y f c

 là đường song song hoặc trùng với trục

hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng





f c

, còn đồ thị hàm số





y f x a

 

có được là

do tịnh tiến đồ thị hàm số





y f x

 sang trái theo phương của trục hoành





a



đơn vị.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Từ ba điều trên suy ra phương trình

   

f x a f c  có đúng một nghiệm.

Câu 25: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số

 

f x xác định trên

1

\

2

 

 

 

 và có đồ thị hàm số

 

y f x



 như hình vẽ, biết

 

0 1f  ,

 

1 2f  . Giá trị của

   

1 3P f f   bằng

A.

4 ln15

. B.

2 ln15

. C.

3 ln15

. D.

ln15

.

Lời giải

Chọn C

Ta có đồ thị hàm số

 

y f x



 như hình vẽ, nên hàm số

 

2

2 1

y f x

x



 



.

Ta có

 

1

ln(2 1) ,

2

( ) d d ln 2 1

1

2 1

ln(1 2 ) ,

2

x A x

f x f x x x x C

x

x B x



  





     







  





 

Do

   

1 2 2; 0 1 1f A f B     

Suy ra

1

ln(2 1) 2,

2

( )

1

ln(1 2 ) 1,

2

x x

f x

x x



  









  





.

Vậy

   

1 3 3 ln15P f f     .

Câu 26: Cho các số thực , , , a b c d thỏa mãn 0 a b c d    và hàm số

 

y f x . Biết hàm số

 

y f x



 có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số

 

y f x trên

 

0;d . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.









0

M m f f c

   . C.









M m f b f a

   .

B.









M m f d f c

   . D.









0

M m f f a

   .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số





y f x



 , ta có nhận xét:

● Hàm số





y f x



 đổi dấu từ



sang



khi qua

x a



.

● Hàm số





y f x



 đổi dấu từ



sang



khi qua

x b



.

● Hàm số





y f x



 đổi dấu từ



sang



khi qua

x c



.

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số





y f x

 trên đoạn





0;

d

như sau:

Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:

 





















 

     

 

0;

max max 0 , ,

min min ,

d

f x f f b f d

f x f a f c



 

 





 



 



.

Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có

       

 

   

0;

0 min .

b c

d

a b

f x dx f x dx f c f a f x f c

 

        

   

 

Tương tự, ta có

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

       

     

 

   

0

0;

0 0

0 max 0 .

0

a b

a

c d

d

b c

f x dx f x dx f f b

f f b f d f x f

f x dx f x dx f b f d



 

    



 



     



 



 

    

 





 

Vậy

 









 









0;

max 0 ; min .

d

f x f f x f c

    

   

Chọn A

Câu 27: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình

có bốn nghiệm phân biệt , , , với .

Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có bảng biến thiên

Suy ra (1)

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng , .

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng , .





y f x







y f x









0

f x





a

0

b

c

0

a b c

  













f a f c f b

 













f a f b f c

 













f c f a f b

 













f b f a f c

 

f(c)

f(b)

f(0)

f(a)

-

+

-+

- 000

0

cb0a + 

- 

f(x)

f

/

(x)

x









f c f b



1

S





y f x





x a



0

x



2

S





y f x





0

x



x b



3

S





y f x





x b



x c



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vì

(2)

Từ (1) và (2) .

Câu 28: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



liên tục trên



và đồ thị của hàm số





f x



trên đoạn





2;6

 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.





 





2;6

max 2

x

f x f

 

 

. B.





 





2;6

max 2

x

f x f

 

 .

C.





 





2;6

max 6

x

f x f

 

 . D.





 





2;6

max 1

x

f x f

 

 

.

Lời giải

 Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại

1

x

 

hoặc

6

x



.

 Gọi

1

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x



 và trục





1 2

Ox x

  

,

2

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x



 và trục





2 6

Ox x

 

. Ta có

               

2 6

1 2

d d 2 1 6 2 1 6

S S f x x f x x f f f f f f



 

            

 

.

Vậy





 





2;6

max 6

x

f x f

 

 .

Câu 29: Cho hàm số





y f x

 . Đồ thị của hàm số





y f x



 như hình vẽ bên. Đặt

 





2;6

max

M f x





,

 





2;6

min

m f x





,

T M m

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 3 2

S S S

 



     

0

d d d

c b

a b

f x x f x x f x x

  

 

  



     

0

d d d

c b

a b

f x x f x x f x x

  

  

  



























0 0

f f a f c f b f b f     











f a f c

















f a f c f b

 

O

x

y

2



4

6

2

1

2

3

1



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.









5 2

T f f

  

. B.









5 6

T f f  . C.









0 2

T f f  . D.









0 2

T f f

  

.

Lời giải

Chọn A

Gọi

1

S

,

2

S

,

3

S

,

4

S

lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số





y f x



 với và

trục hoành.

Quan sát hình vẽ, ta có



   

0 2

2 0

d d

f x x f x x



 

 

 

   

0 0

2 2

f x f x



 

















0 2 0 2

f f f f    









2 2

f f  



   

2 5

0 2

d d

f x x f x x

 

 

 

   

0 5

2 2

f x f x

 

















0 2 5 2

f f f f   

0



   

5 6

2 5

d d

f x x f x x

 

 

 

   

5 5

2 6

f x f x

 

















5 2 5 6

f f f f   









2 6

f f 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 









2;6

max 5

M f x f



 

và

0

x



Khi đó









5 2

T f f

  

.

Câu 30: (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số





f x

có đạo hàm liên tục trên



và thỏa mãn





0

f x



, x

 



. Biết





0 1

f



và













2

6 3 .

f x x x f x



  . Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

m

để phương trình





f x m



có nghiệm duy nhất.

A.

4

e

0 1

m







 



. B.

4

1 e

m

 

. C.

4

e

1

m











. D.

4

1 e

m

 

.

Lời giải

Chọn A

Theo giả thiết





0,f x x

  



nên ta có

 





 

2 2

6 3 . 6 3

f x

f x x x f x x x

f x



    

.

Suy ra





 

2 2 3

d 6 3 d ln 3

f x

x x x x f x x x C

f x



     

 

.

Mặt khác





0 1

f



nên





ln 0 ln1 0

C f

  

. Vậy

   

2 3

2 3 3

ln 3 e

x x

f x x x f x



    .

Ta có

 





2 3

6 3 .e

x x

f x x x





 

;

 

0

2

x

f x

x







 







.

Bảng biến thiên của hàm số





f x

Nhận xét:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Số nghiệm của phương trình





f x m



là số giao điểm của đồ thị hàm số





y f x

 và đường

thẳng

y m



. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số





f x

suy ra phương trình





f x m



có

nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

4

e

0 1

m







 



.

Câu 31: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm





f x



liên tục trên đoạn





0;5

và đồ thị hàm số





y f x





trên đoạn





0;5

được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng

A.













0 5 3

f f f

 

. B.













3 0 5

f f f

 

.

C.













3 0 5

f f f

 

. D.













3 5 0

f f f 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

     

5

3

d 5 3 0

f x x f f



  



, do đó









5 3

f f

.

     

3

0

d 3 0 0

f x x f f



  



, do đó









3 0

f f

     

5

0

d 5 0 0

f x x f f



  



, do đó









5 0

f f

Câu 32: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn

và lần lượt bằng và . Cho . Giá trị biểu thức bằng





y f x







y f x





Ox





y f x









2;1







1;4

9

12





1 3

f











2 4

f f 

5



3

5

1

x

O

y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có và .

Dựa vào đồ thị ta có:

.

Tương tự ta có .

Như vậy

.

21

9

3

2

 

1

2

d 9

f x x









 

4

1

d 12

f x x







         

1 1

1

2

2 2

d d 1 2

f x x f x x f x f f



 

 

        

 









1 2 9

f f

    









4 1 12

f f

  

















1 2 4 1 3

f f f f

       

   

   













2 4 2 1 3

f f f

     









2 4 6 3

f f

     









2 4 3

f f

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 - Thể tích vật thể

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ,

. Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

2 - Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

B

( )

S x

x

( )

a x b

 

( )

S x

[ ; ]

a b

( )

b

a

V S x dx





( )

y f x



x a



x b



( )

x g y



y c



y d



( )

y f x



( )

y g x



x a



x b



2 2

( ) ( )

b

a

V f x g x dx



 



c

y

O

d

x

( ): ( )

( ):





















C x g y

Oy x 0

y c

y d

 

2

( )

d

y

c

V g y dy

 



( ): ( )

( ):





















C y f x

Ox y 0

x a

x b

 

2

( )

b

x

a

V f x dx

 



a



( )

y f x

y

O

b

x

( )

b

a

S x dx

V 



x

O

a

b

( )

V

S(x)

x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY)

PHƯƠNG PHÁP:

. Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

y f x



,

0

y



,

x a



và

( )

x b a b

 

quay quanh trục Ox là

2

( )

b

a

V f x dx







.

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ), ( )

y f x y g x

 

,

x a



và

( )

x b a b

 

quay quanh trục Ox là

2 2

( ) ( )

b

a

V f x g x dx



 



.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình phẳng

D

giới

hạn bởi đường cong

 

3 2

1

x

x e

y

xe

 





, trục hoành và hai đường thẳng

0

x



,

1

x



. Khối tròn

xoay tạo thành khi quay

D

quanh trục hoành có thể tích

1

ln 1V a b

e



 

 

  

 

 

 

 

, trong đó

a

,

b

là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

2 5

a b

 

. B.

3

a b

 

. C.

2 7

a b

 

. D.

5

a b

 

.

Lời giải

Chọn A

Thể tích của hình phẳng

D

là





1 1

2

0 0

3 2

d d

1

x

x e

V y x x

xe

 

 

 



 

1

0

3 2

d

1

x x

x

xe e

x

xe



 







1

0

1 2 2

d

1

x x

x

xe e

x

xe



  











1 1

0 0

2 1

d d

1

x

e

x x

xe

 



 



 





1

0

2 1

d

1

x

e

x K

xe

  



   





.

Với

1 1

0 0

1

2 d 2 d

1

x

e

K x x

xe

x

e

 



 



 

.

Đặt

1 1

d 1 d

x x

u x u x

e e

 

    

 

 

. Đổi cận:

1

0 1; 1 1x u x u

e

      

.

1

d 1

2 2 .ln 2 ln 1

e

u

K u

u e

  



 

       

 

 



.

Vậy

1 1

2 ln 1 1 2.ln 1V

e e

  

 

   

     

   

 

   

 

.

Từ đó ta suy ra được

1

2 5

2

a

a b

b





  



 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Câu 2: (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi

V

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường

y x

, 0y  và

4x 

quanh trục

Ox

. Đường thẳng

 

0 4x a a   cắt

đồ thị hàm số

y x

tại M (hình vẽ). Gọi

1

V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam

giác

OMH

quanh trục

Ox

. Biết rằng

1

2V V . Khi đó

A.

2a 

. B.

2 2a 

. C.

5

2

a 

. D.

3a 

.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

4

2

0

8

2

x

V xdx

  

  



. Mà

1 1

2 4V V V



   .

Gọi K là hình chiếu của M trên

Ox

, 4 ,OK a KH a MK a    

.

Khi xoay tam giác

OMH

quanh

Ox

ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh

bởi các tam giác ,

OMK MHK

, hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là

4OH 

nên thể tích của khối tròn xoay đó là

 

2

1

1 4

. .4.

3 3

a

V a



 

, từ đó suy ra

3a 

.

Câu 3: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần

bởi parabol





P

có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích

V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox .

A.

128

5

V





. B.

128

3

V





. C.

64

5

V





. D.

256

5

V





.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta có parabol

 

P có đỉnh O và đi qua điểm

 

4;4B có phương trình

2

1

4

y x

.

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục Ox

là:

2

4

2

1

0

1 64

d

4 5

V x x



 

 

 

 



Thể tích khối trụ khi quay hình vuông OABC quanh cạnh OC là:

2 2

2

.4 .4 64V r h

  

  

.

Suy ra thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox là

2 1

64 256

64

5 5

V V V

 



    

.

Câu 4: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hình

1

( )H giới hạn bởi các đường

2 , 2 , 4y x y x x    ; hình

2

( )H là tập hợp tất cả các điểm

( ; )M x y

thỏa mãn các điều kiện

2 2 2 2

16;( 2) 4x y x y     ;

2 2

( 2) 4x y   . Khi quay

1 2

( );( )H H quanh Ox ta được các

khối tròn xoay có thể tích lần lượt là

1 2

,V V .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

2 1

2V V . B.

1 2

V V . C.

1 2

48V V



  . D.

2 1

4V V .

Lời giải

Chọn D

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số 2y x và 2y x  đối xứng nhau qua trục hoành nên khối tròn

xoay thu được khi quay hình phẳng

1

( )H quanh trục Ox cũng là khối tròn xoay thu được khi

quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

0

4

y x

y

x

















quanh trục Ox .

Do đó

4

2

1

0

2 16V xdx x

  

  



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Gọi

1

( )C là hình tròn tâm O bán kính

1

4R  ,

2

( )C là hình tròn tâm

(2;0)I

bán kính

2

2R 

và

3

( )C là hình tròn tâm

( 2;0)J 

bán kính

3

2R  . Khi đó hình phẳng

2

( )H là phần nằm bên

trong hình tròn

1

( )C nhưng nằm bên ngoài các hình tròn

2

( )C và

3

( )C . Gọi

3 4 5

, ,V V V lần lượt là

thể tích của các khối cầu có bán kính

1 2 3

, ,R R R thì

2 3 4 5

( )V V V V  

Do đó

3 3 3

2

4 .4 4 .2 4 .2

( ) 64

3 3 3

V

  



   

Vậy

2 1

4V V .

Câu 5: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường

3 10y x  

,

1y 

,

2

y x

và D nằm ngoài parabol

2

y x

. Khi cho D quay xung quanh trục

Ox

, ta nhận

được vật thể tròn xoay có thể tích là:

A.

56

5



. B.

12



. C.

11



. D.

25

3



.

Lời giải

Chọn A

Vẽ các đường các đường

3 10y x  

,

1y 

,

2

y x

Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị

2

y x và

1y 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

là

2

1

x





 



 



Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị

2

y x



và

3 10

y x

  

là

2 2

3 10 3 10 0

x x x x

      

2

5

x









 



Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị

3 10

y x

  

và

1

y



là

3 10 1 3

x x

    

Theo hình vẽ,

D

là miền gạch chéo.

Do đó ta có thể tích vật thể tròn xoay nhận được

1 2 3

V V V V

  

, trong đó:

1

V

là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng

1

D

quay quanh

Ox

, với

1

D

giới hạn bởi các

đường

2

; 0; 1; 2

y x y x x

   

.

2

V

là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng

2

D

quay quanh

Ox

, với

2

D

giới hạn bởi các

đường

3 10; 0; 2; 3

y x y x x

     

.

3

V

là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng

3

D

quay quanh

Ox

, với

3

D

giới hạn bởi các

đường

1; 0; 1; 3

y y x x

   

.

Suy ra

 

2 3 3

2

1 2 1

d 10 3 d d

V x x x x x

 

    

 

 

  

 

2 3 3

4 2

1 2 1

d 9 60 100 d d

x x x x x x

 

     

 

 

  

 

2

5

3

3 2

1

2

1

3 30 100

5

x

x x x x

 

     

 

 

     

 

5 3 2 3 2

1

2 1 3.3 30.3 100.3 3.2 30.2 100.2 3 1

5

 

          

 

 

56

5





.

Câu 6: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng cho hình

vuông

ABCD

cạnh

2 2

, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của

hình vuông làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay

quanh đường thẳng

AC

bằng

A.

2

32

4

3





. B.

2

16

2

3





. C.

2

8

3





. D.

2

64

8

3





.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có

 

1;1 , 2 1;1 , 2;0J K C .

Phương trình đường tròn

 

1;1J bán kính 2JB 

là

   

 

2

2 2

2

2 1 1 1 2 1,khi 1

1 1 2

2 1 1 1 2 1,khi 1

y x x x y

x y

y x x x y



        



    



          





.

Do quay hình phẳng xung quanh đường thẳng AC có thể tích gấp đôi khi quay phần hình phẳng

gồm tam giác vuông OBC và nửa hình tròn tâm J bán kính JB .

Nên thể tích khối tròn xoay

   

1 2 1 2

2 2

0 2

2 1 2 1 d 2 1 2 1 dV x x x x x x

 

 

        

 

2

32

4

3



 

(Tính tích phân trên dùng máy tính do thi trắc nghiệm)

Câu 7: (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị

 

3 2

:C y ax bx cx d   

và Parabol

 

2

:P y mx nx p  

có đồ thị như hình vẽ (đồ thị

 

C

là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn

bởi

 

C

và

 

P

(phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi

quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3



. B.

237

35



. C.

5



. D.

159

35



.

Lời giải

Chọn A

Đồ thị





P

đi qua các điểm





1;2

;





3;1

và





5;3

nên Parabol có phương trình là

2

3 29

2

8 8

y x x  

.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị





C

và





P

là













3 2

0

ax b m x c n x d p

       

.

Dựa vào hình vẽ ta có đồ thị





C

cắt đồ thị





P

tại các điểm có hoành độ

1

;

3

;

5

nên phương

trình hoành độ cũng có dạng là













1 3 5 0

a x x x

   









3 2

9 23 15 0 a x x x

     

.

Theo giả thiết ta có diện tích phần tô đậm bằng

1

suy ra

   

3 3

3 2 3 2

1 5

9 23 15 d 9 23 15 d 1

S a x x x x a x x x x

        

 

1

8

a

 

.

Với

1

8

a



ta có

 

3 2

1

9 23 15 0

8

x x x

   

 

3 2

1 9 23 15

0 1

8 8 8 8

x x x    

.

Từ





1

và







ta có

1

8

3 9

8 8

23

2

8

29 15

8 8

a

b

c

d







  







 



  



1

8

3

4

7

8

7

4

a

b

c

d







 

















.

Suy ra





C

có phương trình là

3 2

1 3 7 7

8 4 8 4

y x x x

   

.

Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành là

2 2

3 3

3 2 2

1 1

2 2

5 5

2 3 2

3 3

1 3 7 7 3 29

d 2 d

8 4 8 4 8 8

3 29 1 3 7 7

2 d d

8 8 8 4 8 4

V x x x x x x x

x x x x x x x

 

   

       

   

   

   

      

   

   

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

395 199 409 437

3

84 60 60 84

   



    

.

Câu 8: Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất

của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của

một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng

Bia không đáng kể).

A. 70 (lít). B. 62 (lít). C. 60 (lít). D. 64 (lít).

Lời giải

Chọn D

Gọi





2

:

P y ax bx c

  

là parabol đi qua điểm

3

3;

2

A

 

 

 

và có đỉnh





0;2

I (hình vẽ bên

dưới).

Khi đó thể tích thùng Bia bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi





P

,

trục hoành và hai đường thẳng

3; 3

x x

  

quay quanh trục

Ox

.

Ta thấy





P

có đỉnh





0;2

I nên





2

: 2

P y ax

 

, mặt khác





P

đi qua điểm

3

3;

2

A

 

 

 

nên ta

tìm được





P

có phương trình

2

18

x

y



 

.

Khi đó thể tích thùng Bia là:

 

2

3

2

3

203

2 d 63,77

18 10

x

V x dm

 



 



   

 

 



(lít).

Câu 9: (Cẩm Giàng)Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông

như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các

đường Parabol).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

19m . B.

3

21m . C.

3

18m . D.

3

40m .

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục

Oxy

như hình vẽ.

.

Gọi

 

2

1 1 1

:P y a x b  là Parabol đi qua hai điểm

 

19

;0 , 0;2

2

A B

 

 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

2

19

0 . 2

2

a

b



 

 



 



 







1

8

361

2

a

b



 













 

2

1

8

: 2

361

P y x   

.

Gọi

 

2

2 2 2

:P y a x b  là Parabol đi qua hai điểm

 

5

10;0 , 0;

2

C D

 

 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

 

2

5

0 . 10

2

5

2

a

b



 













2

1

40

5

2

a

b



 















 

2

1 5

:

40 2

P y x   

.

Ta có thể tích của bê tông là:

19

10

2 2 3

2

0 0

1 5 8

5.2 d 2 d 40m

40 2 361

V x x x x

 

   

      

 

   

   

 

 

.

Câu 10: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định

dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích

thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian

bên trong trại.

y

O

x

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

72 m

. B.

3

36 m

. C.

3

72 m



. D.

3

36 m



.

Lời giải

Chọn B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử phương trình của parabol là





2

:

P y ax bx c

  

.

Ta có parabol có đỉnh là

 

0;3 và đi qua điểm

3

;0

2

 

 

 

nên có hệ phương trình

 

2

4

0

3

4

3 0 : 3

3

9 3

0

4

a

b

c b P y x

c

a c















     

 

 



 

 



.

Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

3 3

2 2

x x



 

 

 

 

, ta

thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng

2

4

3

x





mét và chiều dài

bằng 6 mét. Diện tích thiết diện thu được là

2 2

4

6 3 8 18

3

x x



 

   

 

 

.

Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là

   

3

2

2 3

3

2

8 18 d 36 mx x



  



.

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm 3 bởi các

điểm B và C sao cho 2AB BC CD   . Ba nửa đường tròn có bán kính 1 là



AEB ,



BFC

và



CGD

có đường kính tương ứng là AB , BC và CD . Các điểm E , F , G lần lượt là tiếp điểm

của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 . Diện

tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) có thể biểu

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

diễn dưới dạng

a

c d

b



 

, trong đó

a

, b ,

c

, d là các số nguyên dương và

a

, b nguyên tố

cùng nhau. Tính giá trị của a b c d   ?

A. 14 . B. 15. C. 16. D. 17 .

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục

Axy

như hình vẽ, khi đó

 

3;1F

nên đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 có dạng

   

2 2

3 1 4x y    .

Gọi M , N là giao điểm của đường tròn

 

F

với trục hoành.

Suy ra

3 3

M

x  

và

3 3

N

x  

.

Gọi

1

S là diện tích giới hạn bởi nửa đường tròn



AEB , đường tròn

 

F

và trục hoành.

Khi đó,



 

3 3 3 3

2 2

1

1 1

1 4 3 d 1 4 3 d

2 4

AEB

S S x x x x



 

         

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tính

 





3 3

2

1

1 4 3 d

I x x



   



.

Đặt

3 2sin

x t

 



d 2cos .d

x t t



,

;

2 2

t

 

 

 

 

 

.

Khi

1

x



thì

2

t



 

và khi

3 3

x   thì

3

t



 

.

Nên

 

3 3

2

2 2

1 4 4sin .2cos .d 1 2cos .2cos .d

I t t t t t t

 

 

    

 

.

Do

;

2 3

t

 

 

  

 

 

nên

cos 0

t



, suy ra

 

3

2

3

2cos 4cos d 2

3 2

I t t t





     



.

Vậy

1

1 3 7 3

2 2

4 3 2 12 2

S



 

 

       

 

 

.

Gọi

S

là diện tích miền tô đậm.

Ta có

 



1

7 3 1 7

2 4 2 2 3 4

12 2 2 3

F

BFC

S S S S

   

 

          

 

 

.

Suy ra

7

a



,

3

b



,

3

c



,

4

d



. Vậy

17

a b c d

   

.

Câu 12: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng





D

giới hạn bởi các đường

y x



 

,

in

sy

x



và

0

x



. Gọi

V

là thể tích khối tròn xoay tạo thành do





D

quay quanh trục hoành

và





4

,V p p



 



. Giá trị của

24

p

bằng

A.

8

. B.

4

. C.

24

. D.

12

.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y x



 

và

in

sy

x



:

s

in

x



 





is

n 0 1

xx



   . Ta thấy

x





là một nghiệm của phương trình





1

.

Xét hàm số









in os s 0,1f x x f xx x xc



 



    





.





f x

 đồng biến trên



nên

x





là nghiệm duy nhất của phương trình





0

f x



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Cách 1:

Xét hàm số









ins

, 0;

g x x xx



   .









o 0, 0;

1 sxg x c x



  



  , suy ra hàm số





i

s

n

g x x

x



   nghịch biến trên





0;



.













0; : s

in i 0

s nx g x g xx

    

      

  





s

in 2

x x



   .

Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay





D

quanh trục hoành là thể tích của khối nón

khi quay tam giác vuông

OAB

quanh trục hoành.

2 2 4

1 1 1

. . . . .

3 3 3

V OB OA

    

  

1

3

p

 

. Vậy

1

24 24. 8

3

p

 

.

Cách 2: Từ





2

ta có

     

2 2

0 0

d dV x x x x

 

    

    

 

 

3

4

0

.

3 3

x





 

1

3

p

 

.

Vậy

1

24 24. 8

3

p

 

.

Câu 13: (Sở Hưng Yên Lần1) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là

4

cm

, chiều

cao trong lòng cốc là

12

cm

đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết

rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường

kính đáy.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

128 cm



. B.

3

256cm . C.

3

256 cm



. D.

3

128cm .

Lời giải

Chọn D

+) Chọn hệ trục tọa độ

Oxy

như hình vẽ.

4 cmR  là bán kính đáy cốc, 12 cmh  là chiều cao của cốc.

+) Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox

tại điểm có hoành độ

 

4 4x x  

là

một tam giác

ABC

vuông tại B có độ dài cạnh

2 2 2

16BC R x x    và

2 2 2 2

12

. 16 . 3 16

4

h

BA R x x x

R

     

.

+) Diện tích thiết diện là

 

2 2 2

1 3

16 .3 16 16

2 2

S x x x x    

 

2

cm .

+) Thể tích khối nước trong cốc là

 

4

2

4

3

16

2

V x dx



 



3

4

3

16 128

4

2 3

x

 

  

 



 

 

3

cm .

Chú ý: Có thể tính thể tích hình trên bằng công thức tính nhanh

2

3

V R h

.

+) Với 4R  cm,

12h 

cm thể tích cần tìm

2

.4 .12 128

3

V  

3

cm .

Câu 14: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Tính thể tích của vật thể nằm

giữa hai mặt phẳng 1x   và 1x  , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

 

1 1x x  

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng

4

1 x .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

3

4

. B.

2

5

. C.

4

. D.

1

4

.

Lời giải

Chọn B

Gọi độ dài cạnh tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

4

1

x



là

4

1

2

x



Ta có diện tích thiết diện được cho bằng:

 

2

4

1 1 1

1

2 4

2

x

S x x

 



  

 

 

Thể tích vật thể cần tìm là:

 

1 1

4

1 1

1 2

. 1

4 5

V S x dx x dx

 

   

 

.

Câu 15: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể





T

giới hạn bởi

hai mặt phẳng

0

x



;

2

x



. Cắt vật thể





T

bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox

tại





0 2

x x

 

ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng





1 e

x

x  . Thể tích vật thể





T

bằng

A.





4

13e 1

4





. B.

4

13e 1

4



. C.

2

2e

. D.

2

2 e



.

Lời giải

Chọn B

Gọi





S x

là diện tích của thiết diện, ta có

   

2

1 e

x

S x x  .

Thể tích vật thể





T

là

   

2 2

2

0 0

d 1 e d

x

V S x x x x

  

 

.

Đặt

 





2

d 2 1 d

1

e

d e d

2

x

u x x

u x

v

v x

 



 

 



 







.

     

2

2 2

2

2 2 4 2

0

0 0

1 9 1

1 e 1 e d e 1 e d

2 2 2

x x x

V x x x x x

       

 

.

Đặt

2

d d

1

e

d e d

2

x

u x

v

v x





 







 









.

 

2

4

4 2 2 4 2

0

9 1 1 1 1 13e 1

e 1 e e d 3e e

2 2 2 2 4 4

x x x

V x x



 

       

 

 



(đvtt)

Câu 16: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

0

x



,

x





. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

Ox

tại điểm có

hoành độ

x





0 x



 

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

sin 2

x



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

7

1

6





. B.

9

1

8





. C.

7

2

6





. D.

9

2

8





.

Lời giải

Chọn D

Gọi





S x

là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

Ox

tại điểm có

hoành độ

x





0 x



 

,

a

là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

sin 2

x



.

Ta có:

   

2 2

2 2 2

1

sin 2 sin 2

2

a a x a x     

.

   

2

1 1

sin 2

2 4

S x a x  

.

Vậy thể tích vật thể là:

   

 

2

0 0 0 0

1 1 1 1 cos2

d sin 2 d sin 4sin 4 d 4sin 4 d

4 4 4 2

x

V S x x x x x x x x x

   



 

        

 

 

   

 

0

1 1 sin2 9

cos2 8sin 9 d 8cos 9 2

0

8 8 2 8

x

x x x x x

x





 

         

 



 



.

Câu 17: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng

nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai

parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên

của đồng hồ thì chiều cao

h

của mực cát bằng

3

4

chiều cao của bên đó (xem hình).

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi

3

12,72cm

/phút. Khi chiều cao của cát còn

4cm

thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi



8 cm

(xem hình). Biết

sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên

ngoài là bao nhiêu

cm

?

A.

10cm

. B.

9cm

. C.

8cm

. D.

12cm

.

Lời giải

Chọn D

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Gọi







là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát. Khi đó mặt cắt là một

đường tròn có bán kính





cm

x , suy ra diện tích đường tròn là





2 2

cm

t

S x



 .

Chọn hệ trục tọa độ

O

xy

như hình vẽ, gọi phương trình parabol





2

:

P y ax bx c

  

.

Bán kính của đường tròn mặt cát bằng





4 cm

, nên





P

đi qua 3 điểm





0;0

,





0;4

và





4;4

.

Suy ra phương trình của

 

2

: 4 4

4

t

x

P y x y S y



    

.

Suy ra thể tích cát ban đầu là

0 0

d 4 d

h h

t

V S y y y



 

 

(vì mặt cắt vuông góc với

O

y

).

Mà thể tích khối cát là





3

12,72.10 127,2 cm

c

V   .

Suy ra

 

2 2

0

63,6

4 d 127,2 2 127,2 2 127,2 4,5 cm

h

y y y h h

  



       



.

Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là:

 

4

2. . 12 cm

3

h 

.

Câu 18: Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :

2

1

( )

1

y f x

x

 



;

2

( )

2

x

y g x 

.Tính thể

tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới

dạng

2

T m n

 

  ;m,n



R thì tổng giá trị

m n



là ?

A.

1

2

B.

13

20

C.

2

5

D.

3

5

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình

2

1

1 2

x





 



 





Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức:

1

2 2

1

( ) ( )

V f x g x dx





 



 

2

1 1 1

4 4

22

2

1 1 1

1 1

1 4 4

1

x x

V dx dx dx

x

 

  

 

   

 



 



  

   

1

1 1

5

2 2

1 1

1

1 1 1

20 10

1 1

x

dx dx

x x

 

 



  

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1

10

V I



 

với

 

1

2

1

I dx

x









Tính I: Đặt

tan , ;

2 2

x t t

 



 

 

 

 

2

1

(1 tan )

cos

dx dt t dt

t

  

Ta có thể viết I lại dưới dạng

 

2

4 4 4

2

4 4 4

1 tan 1

cos (1 cos2 )

2

1 tan

t

I dt tdt t dt

t

  

  



   



  

2

1 1 1 2

4 2 4 2 10 4 5

I V

   



       

Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó, đòi hỏi thí sinh phải biết đúng công thức và việc xử lí

tích phân khéo léo.

Câu 19: Cho hai đường tròn





1

;10

O và





2

;8

O cắt nhau tại hai điểm

,

A B

sao cho

AB

là một

đường kính của đường tròn





2

O

. Gọi





H

là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần

được tô màu như hình vẽ). Quay





H

quanh trục

1 2

OO

ta được một khối tròn xoay. Tính thể

tích

V

của khối tròn xoay tạo thành.

A.

824

3



. B.

608

3



. C.

97

3



. D.

145

3



Lời giải

Chọn B

C

O

2

O

1

A

B

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Ta xây dựng hệ trục tọa độ

Oxy

như hình vẽ

Ta có

2 2

1 2 1 2

6

O O O A O A

  

.

Ta có









2 1

0;0 , 6;0

O O  .

Đường tròn





2

;8

O có phương trình là:

2 2

64

x y

 

2

64

y x

  

.

Đường tròn





1

;10

O có phương trình là:

 

2

6 100

x y  

 

2

100 6

y x   

.

Thể tích cần tìm

 

8 4

2

0 0

608

64 100 6

3

V x dx x dx



 

 

     

 

 

.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH

Câu 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm

O

bán kính

6

m

. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng

6

m

nhận

O

làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng

2

/

m

Hỏi cần bao nhiêu tiền để

trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A.

8412322

đồng. B.

8142232

đồng. C.

4821232

đồng. D.

4821322

đồng

Lời giải

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là

2 2

x y 36

 

. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình

2

36 ( )

  

y x f x

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị

( )



y f x

và hai đường thẳng

3; 3

  

x x

3

2

3

2 36



  



S x dx

Đặt

6sin 6cos

  

x t dx tdt

. Đổi cận:

3

6

    

x t



;

3

6

  

x t



6

6 6

2

6 6

6

2 36cos 36 (cos2t+1)dt 18(sin2t 2t) 18 3 12

 



      

 

S tdt



 



Do đó số tiền cần dùng là

70000. 4821322



S

đồng

Câu 2: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm

O

. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn

hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh

O

và đối

xứng nhau qua

O

. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm

A

,

B

,

C

,

D

tạo thành

một hình vuông có cạnh bằng

4

m

(như hình vẽ). Phần diện tích

l

S

,

2

S

dùng để trồng hoa, phần

diện tích

3

S

,

4

S

dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh

phí trồng hoa là

150.000

đồng /1m

2

, kinh phí để trồng cỏ là

100.000

đồng/1m

2

. Hỏi nhà trường

cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A.

6.060.000

đồng. B.

5.790.000

đồng. C.

3.270.000

đồng. D.

3.000.000

đồng.

Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Parabol có hàm số dạng

2

y ax bx c

  

có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm





2;2

B

nên có

phương trình

2

1

2

y x



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính

2 2OB 

nên có phương trình là

2 2

8x y  . Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh trên là

2

8y x 

.

Vậy diện tích phần

2

2 2

1

2

1

8 d

2

S x x x



 

  

 

 



Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là

2

2 2

1 2

2

1

2 8 d 15,233...

2

S S x x x



 

    

 

 



Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:

 

2

15,233 150.000 2 2 15,233 100.000 3.274.924



    

đồng.

Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là 3.270.000 đồng.

Câu 3: (Sở Hà Nam) Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường

tròn là 20m

và 15m, khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m. Phần giao của hai hình

tròn được trồng hoa với chi phí 300000đồng/

2

m

. Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí 100000

đồng/

2

m

. Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 202

triệu đồng. B. 208

triệu đồng.

C. 192

triệu đồng. D. 218

triệu đồng.

Lời giải

Chọn A

+ Gắn hệ trục như hình vẽ.

y

x

20

215

12

C

2

(

)

:

x-30

( )

2

+

y

2

=225

C

1

(

)

:

x

2

+

y

2

=400

15

O

I

O

x

y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

+ Đường tròn





1

C

có tâm





0;0

O

, bán kính

1

20

R



có phương trình:

2 2

400

x y 

2

400

y x

   

.

+ Đường tròn





2

C

có tâm





30;0

I

, bán kính

2

15

R



có phương trình:

 

2

30 225

x y  

 

2

225 30

y x    

.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của





1

C

và





2

C

là:

 

2

215

400 225 30

12

x x x     

.

+ Diện tích trồng hoa:

 

215

20

12

2

2 2

1

215

15

12

2. 225 30 d 2. 400 d 60,255

S x x x x m

     

 

.

+ Diện tích trồng cỏ:

2 2 2 2 2

2 1 2 1

2 .20 .15 2.60,255 1842,985

S R R S m

   

      

Tổng chi phí trồng hoa và cỏ là:

1 2

300000. 100000. 300000.60,255 100000.1842,9

85 202375000

P S S

    

đồng

Vậy chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền 202 triệu đồng

Câu 4: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Lô gô gắn tại Shoroom của một hãng ô tô là

một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm gữa Parabol đỉnh

I

và đường gấp khúc

AJB

được giát bạc với chi phí 10 triệu đồng /

2

m

phần còn lại phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/

2

m

.

Biết

2 , 5

AB m IA IB m

   và

13

2

JA JB m

  . Hỏi tổng số tiền giát bạc và phủ sơn của lô

gô nói trên gần với số nào nhất trong các số sau:

A. 19 250 000đồng. B. 19 050 000 đồng.

C. 19 150 000đồng. D. 19 500 000đồng.

Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do

2 , 5

AB m IA IB m

   và

13

2

JA JB m

 

Nên ta có :

     

1

0;0 , 1;2 , 1;2 , 0;

2

I A B J

 



 

 

; phương trình Para bol là

2

y x

 , đường thẳng

JB

là

3 1

2 2

y x

 

.

Gọi

K

là tâm của hình tròn

5 5

0; ,

4 4

KB KI r K r

 

   

 

 

.

Phần diện tích dát bạc là :

1

2 2

1

0

3 1 7

2 2

2 2 6

S x x dx m

 

   

 

 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Phần diện tích phủ sơn là :

2 2

2 1

3,73

S r S m



 



.

Tổng số tiền giát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên là:

7

.10000000 3,73.2000000 19127000

6

 

đồng

Câu 5: (Lý Nhân Tông) Một mảnh vườn hình tròn tâm

O

bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên

dải đất rộng

6

m

nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000

đồng/

2

m

. Hỏi cần

bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó ?

A.

8 412 322

đồng. B.

4 821 322

đồng. C.

3142 232

đồng. D.

4 821 232

đồng.

Lời giải

Chọn B

Đặt hệ trục

Oxy

như hình vẽ.

Phương trình đường tròn

2 2 2

36 36

x y y x

     

.

Diện tích phần trồng cây:

3

2

3

2 36 d

S x x



 



.

Đặt

6sin , ; d 6cos d

2 2

x t t x t t

 

 

    

 

 

. Đổi cận:

3 ; 3

6 6

x t x t

 

       

.

 

6 6 6

2 2

6 6 6

2 36 36sin .6cost.d 72 cos t.d 36 1 cos2 .d

S t t t t t

  

  

    

  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

1

6

36 sin 2 12 18 3

2

6

t t



 

   

 

 



.

Số tiền cần để trồng cây là:

70000. 4 821 322

S



đồng.

Câu 6: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số

4 2

6

y x x m

  

có đồ thị





m

C

. Giả sử





m

C

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn

bởi





m

C

và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích

bằng nhau. Khi đó

a

m

b



(với

,

a b

là các số nguyên,

0



b ;

a

b

là phân số tối giản). Giá trị của

biểu thức

S a b

 

là

A.

7

. B.

6

. C.

5

. D.

4

.

Lời giải

Chọn B

3

4 12

y x x



 

,

0

3

x

y

x







 



 



.





m

C

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi

 





0 . 3 0

y y







9 0

m m

  

0 9

m

  

.

Gọi

1

x

,

2

x

,

3

x

,

4

x

lần lượt là hoành độ giao điểm của





m

C

với trục hoành

(

1 2 3 4

0

x x x x

   

).

Theo đề bài ta có:

     

32 4

1 3 2

d d d

xx x

x x x

f x x f x x f x x

 

  

  

.

Do





f x

là hàm số chẵn và có hệ số

0

a



nên

   

32

1 2

2 d d

xx

x x

f x x f x x

 

 

 

  

   

2

1 2

0

d d 0

x

x x

f x x f x x

  

 

 

 

1

0

d 0

x

f x x

 





 

1

0

4 2

6 d 0

x

x x m x

   





1

5

0

3

2 0

5

x

x mx

 

   

 

 

5

3

1

1 1

2 0

5

x

x mx

    

5 3

1 1 1

10 5 0

x x mx

   





4 2 2

1 1 1

6 4 4 0

x x m x m

     

2

1

x m

 

.

Vì

1

x

là nghiệm phương trình

4 2

6 0

x x m

  

nên

2

6 0

m m m

  

0

5

m













5

m

 

(vì

0 9

m

 

).

Suy ra

5

a



,

1

b



nên

6

a b

 

.

Câu 7: (Hàm Rồng) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng

10

cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết

5

AB



cm,

4

OH



cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

2

140

cm

3

. B.

2

160

cm

3

. C.

2

14

cm

3

. D.

2

50 cm

.

Lời giải

Chọn A

Chon hệ trục tọa độ sao cho

O

là gốc tọa độ

OH

thuộc

,

Oy Ox

vuông góc với

OH

tại

O

chiều

dương hướng từ

A

đến

B

. Khi đó ta có

5

;4

2

B

 

 

 

. Giả sử parabol





P

đi qua

, ,

O A B

nhận

O

làm đỉnh có dạng:

2

x

y ax b c

  

Dễ dàng ta có hệ phương trình

 

0

0 0

2a

16

25

O P

c

b

a

B P











 



  

 

 

  





. Do đó

2

16

25

y x



.

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn các đường

2

16 5 5

, 4, ,

25 2 2

y x y x x



   

, là

1

S

. Khi đó ta có:

2,5

2 3

1

2,5 2,5

16 16 40

4 dx= 4x-

25 75 3

S x x

 

   

  

   

   



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Do đó diện tích hình hoa văn là:

 

2 2

40 140

10 .4

3 3

S cm

  

.

Câu 8: (CổLoa Hà Nội) Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài

trục lớn là

10

m, chiều dài trục nhỏ là

4

m, Ban tổ chức vẽ một đường tròn có đường kính bằng

độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ. Trên hình tròn người ta trồng hoa

với giá

100.000

đồng/m

2

, phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá

60.000

đồng/m

2

(biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả công và cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để

trồng hoa và cỏ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A.

2387000

đồng. B.

2638000

đồng. C.

2639000

đồng. D.

2388000

đồng.

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Elip có độ dài trục lớn bằng

10

m và độ dài trục nhỏ là

4

m

2 10 5

a a

   

;

2 4 2

b b

  

.

Đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ

2 2 4 2.

r b r

    



Tổng số tiền

T

mà ban tổ chức cần để trồng hoa trên hình tròn và trồng cỏ trên phần còn lại

của mảnh vườn là





2 2

100.000 60.000 2388000

T r ab r

  

 

     

 

đồng.

Cách 2:

Theo giả thiết ta có

2 10 5

2 4 2.

a a

b b

 

 



 

 

 

Phương trình chính tắc của Elip là

2 2

1

25 4

x y

 

. Chọn hệ trục như hình vẽ bên dưới.

4 m

10 m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó diện tích của Elip là

5 5

2 2

1

0 0

2 8

4 25 d 25 d

5 5

S x x x x

   

 

.

Đặt

5sin

x t





d 5cos d

x t t



.

Khi đó

 

2 2

2

1

0 0

0

1

40 cos d 20 cos2 1 d 20 sin2 10

2

S t x t x t t

 



 

     

 

 

 

.

Đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ nên

2 4

r





2

r



.

Do đó diện tích đường tròn là

2

4

S r

 

 

.

Vậy số tiền

T

cần tìm là





2 1 2

100.000 60.000 2388000

T S S S      đồng.

Câu 9: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Gia đình anh A có 1 bồn hoa được thiết kế như hình

dưới đây:

Ở đây

I

là tâm của hình tròn và cũng là trung điểm của

1 2

F F

,

1 2

,

F F

là hai tiêu điểm của hình

elip,

2

A

là một đỉnh của elip,

2 2 2

3, 1

IF F A

 

. Anh A dự định trồng cỏ Nhật toàn bộ phần diện

tích tô đậm. Hỏi số tiền anh A cần phải trả để mua cỏ gần nhất với số nào sau đây biết rằng giá

cỏ Nhật là 65.000đ/m

2

?

A.

563.000

đ. B.

560.000

đ. C.

577.000

đ. D.

559.000

đ.

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, ta có:

Phương trình của đường tròn là

2 2

9

x y

 

2

9

y x

   

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Elip có tiêu điểm





2

3;0

F nên

3

c



, nửa trục lớn

4

AO



nên

4

a



,

2 2 2

16 9 7

b a c

    

Phương trình Elip là

2 2

1

16 7

x y

 

2

7 1

16

x

y

 

   

 

 

Giao điểm của đường tròn và Elip là

4 2 7

;

3 3

 

 

 

,

4 2 7

;

3 3

 



 

 

,

4 2 7

;

3 3

 



 

 

,

4 2 7

;

3 3

 

 

 

 

Do tính chất đối xứng nên diện tích cần tính bằng

4 2

4 3

2 23

2 2

0

4 2 4 2

3 3

4 9 7 1 d 4 7 1 d 4 9 d 8,661

16 16

x x

S x x x x x

 

   

 

        

   

 

   

 

  

Suy ra số tiền cần mua cỏ là

8,661 65.000 562.965 563.000

  

.

Câu 10: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh

trang trí hình

MNEIF

ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật

ABCD

có chiều cao

6

BC m



, chiều dài

12

CD m



(hình vẽ bên). Cho biết

MNEF

là hình chữ nhật có

4

MN m



;

cung

EIF

có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi

qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/

2

m

. Hỏi công ty X cần bao nhiêu

tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng.

Lời giải

Chọn C

Gọi O là trung điểm MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh





0;6

I

và đi qua hai điểm





6;0 ,

C





6;0

D 

là

 

2

1

: 6 .

6

P y x

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol





P

, trục Ox và hai đường

thẳng

2,

x

 

2.

x



Khi đó

 

2 2

2 2 2

2 2

1 1 208

6 6 .

6 6 9

S x dx x dx m

 

 

    

 

 

 

Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là

208

900.000 20.800.000

9

T   

(đồng).

Câu 11: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Ông An muốn làm cửa

rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol.

Giá

2

1

m

của rào sắt là

700.000

đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như

vậy (làm tròn đến hàng nghìn).

A.

6.620.000

đồng. B.

6.320.000

đồng. C.

6.520.000

đồng. D.

6.417.000

đồng.

Lời giải

Chọn D

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó





2,5;1,5

A  ,





2,5;1,5

B ,





0;2

C .

Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng

2

y ax bx c

  

, với

; ;a b c





.

Do Parabol đi qua các điểm





2,5;1,5

A  ,





2,5;1,5

B ,





0;2

C nên ta có hệ phương trình

   

2

2,5 2,5 1,5

25

2,5 2,5 1,5 0

2

a

a b c

a b c b

c



 

    



    

 

 



 



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó phương trình Parabol là

2

25

y x

  

.

Diện tích

S

của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

25

y x

  

, trục hoành và hai đường thẳng

2,5

x

 

;

2,5

x



.

Ta có

2,5

3

2

2,5

2 2 55

2 d 2

25 25 3 6

x

S x x x



 

      

 

 



.

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là

55

00000 00000 6.7 7

417.000

6

S   

(đồng).

Câu 12: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một mặt bàn hình elip có chiều dài là

120cm, chiều rộng là 60cm. Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá

hoa cương màu trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần đá hoa cương màu vàng

cũng là elip có chiều dài 100 cm và chiều rộng là 40 cm. Biết rằng đá hoa cương màu trắng có

giá

2

600.000 /

vnd m

và đá hoa cương màu vàng có giá

2

650.000 /

vnd m

. Hỏi số tiền để gắn đá

hoa cương theo cách trên gần với số tiền nào dưới đây?

A.

355.000

đồng. B.

339.000

đồng. C.

368.000

đồng. D.

353.000

đồng.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Diện tích phần đá hoa cương màu vàng là:





2

.0,5.0,2 0,1

m

 



Diện tích phần đá hoa cương màu vàng là:





2

.0,6.0,3 .0,5.0,2 0,08

m

  

 

Số tiền phải trả là:

0,1 .650000 0,08 .600000 355000

 

 

đồng.

Câu 13: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài

100

và chiều rộng là

60

m

người ta làm một

con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai

đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình

chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là

2

m

. Kinh phí cho mỗi

2

m

làm đường

600.000

đồng.

Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

293904000.

B.

283904000.

C.

293804000.

D.

283604000.

Lời giải

Chọn A

Xét hệ trục tọa độ

Oxy

đặt gốc tọa độ

O

vào tâm của hình Elip.

Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là

 

2 2

1

2 2

: 1

50 30

x y

E

 

. Phần đồ thị của





1

E

nằm phía trên trục hoành có phương trình

 

2

1

2

30 1

50

x

y f x

  

.

Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là

 

2 2

2

2 2

: 1

48 28

x y

E

 

. Phần đồ thị của





2

E

nằm phía trên trục hoành có phương trình

 

2

28 1

48

x

y f x

  

.

Gọi

1

S

là diện tích của





1

E

và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành

và đồ thị hàm số





1

y f x



. Gọi

2

S

là diện tích của





2

E

và bằng hai lần diện tích phần hình

phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số





2

y f x



.

Gọi

S

là diện tích con đường. Khi đó

50 48

50

2 2

1

48

2

2 2

2 30 d 21 28 1

50 48

d

x x

S S S

x x

 

    

 

.

Tính tích phân

 

2

2 1 d , ,

a

x

I b a

a

b





  





.

Đặt

sin , d cos d

2 2

x a t t x a t t

 

 

     

 

 

.

Đổi cận

;

2 2

x a t x a t

 

       

.

60

m

100

m

2

m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Khi đó

 

2 2 2

2 2

2 2 2

sin cos d co2 1 s d 1 co. d2 s 2t a t t t t tI b ab b ta

  

  

   

  

2

sin 2

2

ab ab

t





 



 









.

Do đó

1 2

50.30 48.28 156S S S

  

     .

Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000. 600000.156 294053000S



  (đồng).

Câu 14: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Một thùng đựng dầu có

thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2m , độ dài trục

bé bằng 1m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5m. Thùng được đặt sao cho trục bé nằm

theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm

thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0,75m. Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả

làm tròn đến hàng phần trăm).

A.

3

4,42mV . B.

3

3,23mV . C.

3

1,26mV . D.

3

7,08mV .

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Độ dài trục lớn 2 2 1a a   .

Độ dài trục bé

1

2 1

2

b b

  

.

Phương trình đường elip là:

2 2 2

2 2 2 2

1 1

1 4 1 1

1

1 4 2

4

x y x

x y y y x



         

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Gọi

M

,

N

lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi

1

S

là diện tích của elip ta có

1

1 1

.1.

2 2

  

  S ab

.

Gọi

2

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip và đường thẳng

MN

.

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là

0,75m

nên

ta có phương trình của đường thẳng

MN

là

1

4



y

.

Phương trình hoành độ giao điểm của elip và đường thẳng

MN

là

2

1 1

4 3

4 16

x



  

3

2

x  

. Do đó

3 3 3

2 2 2

2

3 3 3

2 2 2

1 1 1 1 1 3

1 d 1 d 1 d

2 4 2 2 2 4

  

   

        

   

   

  

S x x x x x x .

Tính

3

2

3

2

1 d



 



I x x

.

Đặt

sin d cos d

  

x t x t t

.

Đổi cận: Khi

3

2



x thì

3

t



 

; Khi

3

2

x thì

3

t





.

 

3 3

2

3 3

1 1 2 3

cos d 1 cos2 d

2 2 3 2

 



 

 

    

 

 

 

I t t t t

.

Vậy

2

1 1 2 3 3 3

.

2 2 3 2 4 6 8

 

 

    

 

 

S

.

Diện tích giới hạn hình phẳng cần tìm

1 2

3 3

2 6 8 3 8

S S S

  

 

      

 

 

.

Thể tích dầu có trong thùng là

3,5 3,5

0 0

3

4,42

3 8

V Sdx dx



 

   

 

 

 

Câu 15: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn

bán kính bằng

8

m

. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định

trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông

ABCD

để trồng hoa (phần tô đen). Phần

diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ (phần gạch chéo).

Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết

4

AB m



, giá trồng hoa là

200.000

đ/m

2

, giá

trồng cỏ là

100.000

đ/m

2

, mỗi cây cọ giá

150.000

đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang

trí bồn hoa đó (làm tròn đến hàng nghìn).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A.

13.265.000

đồng. B.

12.218.000

đồng. C.

14.465.000

đồng. D.

14.865.000

đồng.

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình

đường tròn là:

2 2

64

x y

 

.

+ Diện tích hình vuông

ABCD

là:





2

4 4 16

ABCD

S m

   .



Số tiền để trồng hoa là:

1

16 200.000 3.200.000

T   

(đồng).

+ Diện tích trồng cỏ là:





 

2

2 2

2

4 64 2 d 94,654

S x x m



   



.



Số tiền trồng cỏ là:

2

94,654 100.000 9.465.000

T   

(đồng).

+ Số tiền trồng 4 cây cọ là:

3

150.000 4 600.000

T   

(đồng).

Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

1 2 3

13.265.000

T T T T   

(đồng).

+ Diện tích trồng cỏ là:





 

2

2 2

2

4 64 2 d 94,654

S x x m



   



.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông



Số tiền trồng cỏ là:

2

94,654 100.000 9.465.000

T   

(đồng).

+ Số tiền trồng 4 cây cọ là:

3

150.000 4 600.000

T   

(đồng).

Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:

1 2 3

13.265.000

T T T T   

(đồng).

Câu 16: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát

bằng những viên gạch hình vuông cạnh như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử

dụng các đường cong có phương trình và để tạo hoa văn cho viên gạch.

Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có hệ trục tọa độ như hình vẽ và đơn vị trong hình tính theo dm.

Xét khi và ta có , .

Diện tích phần tô đậm là





40

cm

2 4

4

x y



3 2

4( 1)

x y

 





2

506

cm





2

747

cm





2

507

cm





2

746

cm

Oxy

0

x



0

y



2 4

4 2

x y y x

  

3 2 3

4( 1) 2 ( 1)

x y y x    

2 2

3

0 1

4 2 4 2 ( 1)

S x dx x dx

  

 

 

2

5

3 2

1

0

8 2 16 32 16 112

1

3 5 3 5 15

x x dm

 

     

 

 

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Vậy

Nhận xét: Dựa vào tính đối xứng của hình, rút ra phương trình các đường cong trong góc phần

tư thứ nhất. Từ đó áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Câu 17: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh

1

A

,

2

A

,

1

B

,

2

B

như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường Parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip

tại

4

điểm

, , ,

M N P Q

như hình vẽ sao cho tứ giác

MNPQ

là hình chữ nhật có

4



MN

để chia

vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là

600.000

đồng/

2

m

và trồng rau là

50.000

đồng/

2

m

. Hỏi số tiền phải chi gần nhất với số tiền nào

dưới đây, biết

1 2

8m

A A



,

1 2

4 m



B B

?

A.

4.899.000

đồng B.

5.675.000

đồng C.

3.526.000

đồng D.

7.120.000

đồng

Lời giải

Chọn E.

Diện tích của hình Elip có trục trục lớn 8 và trục bé 4:

( )

4.2. 8

E

S

 

 

Phương trình đường Elip:

2 2

1

16 4

x y

 

Ta có:

2 2 2

1 4 1

16 4 16

x y x

y

 

     

 

 

Diện tích

trồng hoa:

4 2

2

( )

2 0

3

4 4 1 4

16 2

H

x x

S dx+ dx

 

 

 

 

 

.

Diện tích trồng hoa:

( ) ( ) (H)

R E

S S S

  .

Suy ra số tiền phải chi là:

( ) (H)

50000. 600000. 11.742.142

R

T S S   đồng.

Câu 18: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip





E

có độ dài trục lớn là

10

AA





, độ dài trục nhỏ là

6

BB





, đường tròn tâm

O

có đường kính

là

BB



(như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích

V

của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền

hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung

quanh trục

AA



.

A.

36

V

 

. B.

60

V

 

. C.

24

V

 

. D.

20

3

V





.

Lời giải





2

746,67

S cm



ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Chọn C

Chọn hệ trục

Oxy

như hình vẽ.

Giả sử phương trình chính tắc của elip có dạng

 

2 2

: 1 

x y

E

a b

 

0a b  .

Theo giả thiết ta có

10 2 10 5

6 2 6 3

AA a a

BB b b



  

  

 

  



  

  

 

2 2

2

3

: 1 25

25 9 5

x y

E y x      

.

Đường tròn tâm

O

bán kính

OB

có phương trình

2 2 2

9 9x y y x     

.

Gọi

1

V

là thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

3

25

5

y x 

, 0y  ,

0, 5x x  quay xung quanh trục

Ox

.

Gọi

2

V

là thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

9y x 

, 0y  ,

0, 3x x  quay xung quanh trục

Ox

.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng:

 

   

5 3

2 2

1 2

0 0

9

2 2 25 d 9 d 24

25

V V V x x x x

  

 

      

 

 

 

.

Câu 19: (Chuyên Vinh Lần 2) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh như

hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh , trục đối xứng và đi qua các điểm

. Sau đó sơn phần tô đậm với giá đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với

giá đồng/ . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng

.

1 2 1 2

, , ,

A A B B

1

B

1 2

B B

,

M N

200.000

2

m

500.000

2

m

1 2 1 2

4 , 2 , 2

A A m B B m MN m

  

N

M

B

1

B

2

A

2

A

1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Lời giải

Chọn A

Phương trình đường Elip là: . Diện tích hình Elip là

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ: .

Vậy .

Parabol đối xứng qua có dạng .

Vì .

Diện tích phần tô đậm là:

• Tính . Đặt Đổi cận

Suy ra .

• Tính

Vậy .

2.341.000

2.057.000

2.760.000

1.664.000

B

1

-1

1

y

x

O

1

-1 2-2

M

N

2 2

1

4 1

x y

 

 

.

E

S a b









2

m





,

M N

2 2

1

3

1

4 1

2

x

x y

y

 



 



 

 



 



3 3

1; ,N 1;

2 2

M

   



   

   





P

Oy





2

0

y ax c a

  

   

1

3

0; 1 , 1;

3

2

1

2

c

B N P

a

 



 



  

 



 

 

  



 

2

3

: 1 1

2

P y x

 

   

 

 

1

2

1

0

3

2 1 1 1

4 2

x

S x dx

 

 

    

 

 

 

 

 



1

2

1

0

1

4

x

I dx

 



sin cos .

2 2

x dx

t tdx

  

0 0

.

1

6

x t



  







  





 

6 6 6

2 2

1

0 0 0

1 sin .2cos 2cos 1 cos2

I t tdt tdt t dt

  

    

  

6

0

1 3

sin 2

2 6 4

t t



 

   

 

 

1

3

2

0

3 3 3 2

1 1 1 .

2 2 3 6 3

x

I x dx x

   

   

          

   

   

   

   

   



1

3 3 2

2

6 4 6 3

S



 

   

 

 

3 4

3 6 3



  

2

m

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tổng số tiền sử dụng là: đồng

Câu 20: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol





P

có kích

thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng 4 m, 4AB  m. Người ta thiết kế cửa đi là một

hình chữ nhật CDEF (với ,C F AB ;





,

D E P

 ), phần còn lại (phần tô đậm) dùng để trang

trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/

2

m . Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang

trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?

A. 4.450.000đồng. B. 4.605.000đồng. C. 4.505.000đồng. D. 4.509.000đồng.

Lời giải

Chọn D

* Xét

   

2

: 0P y ax bx c a    có toạ độ đỉnh

 

0;4 và qua điểm có toạ độ

 

2;0 .

Ta có hoành độ đỉnh:

0 0

2

b

a



  

;

 

P qua điểm

 

0;4 4c  và

 

P qua điểm

 

2;0

1a  

Suy ra:

 

2

: 4P y x  

* Xét đường thẳng qua ,E D :

y m

(với 0 4m  ). Khi đó

 

4 ;E m m  và

 

4 ;D m m

là giao điểm của

 

P và đường thẳng

y m

. Suy ra: 2 4ED m  , EF m .

 





1 1

.200000 .500000 2.341.000

E

S S S  

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21

Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

* Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật CDEF phải lớn nhất.

Ta có: . 2 4 .

CDEF

S ED EF m m  

Đặt 4t m 

2 2

4 4t m m t      (với 0 2t  )

Khi đó:

 

2 3

2 4 2 8

CDEF

S f t t t t t     

 

2

6 8 0f t t



   

2

3

t  

Suy ra:

32 3

9

CDEF

MaxS  khi

2 8

3

t m  

* Mặt khác diện tích của chiếc cổng:

2

32

4

3

S x



   



(

m

2

)

Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là:

CDEF

S MaxS 

32 32 3

4,5083

3 9

  (

m

2

)

* Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm: 4,5083 1.000.000 4.508.300  (đồng).

(Lưu ý: Có thể dùng MTBT để tìm GTLN của

CDEF

S trên khoảng 0 4m  ).