Trục đối xứng là gì? Hình thang cân có mấy trục đối xứng?
1. Lý thuyết về đối xứng trục    
Quan sát hình trên, ta thấy đường thẳng a chia hình tam giác thành hai nửa hình tam giác bằng
nhau (nếu ta gấp hình đó theo đường thẳng a thì hai nửa hình tam giác sẽ chồng khít lên nhau).
Những hình có tính chất như vậy được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng a được gọi là trục đối xứng.
1.1 Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng
Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trục của đoạn
thẳng nối hai điểm đó. Quy ước:
Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn
thẳng nối hai điểm đó.
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với M qua đường thẳng d cũng là điểm M.
1.2 Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với
một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.
2. Các hình có trục đối xứng
 Đối với đường tròn, trục đối xứng là đường kính của đường tròn. Một đường tròn có vô số trục đối xứng.
 Trong tam giác cân, trục đối xứng là đường cao, trực tâm, đường trung tuyến và đường phân giác
của tam giác cân xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy. Một tam giác cân chỉ có duy nhất một trục đối xứng.
 Trong một tam giác đều, trục đối xứng là đường cao, đường trung trực và đường trung trực và
đường trung trực của tam giác đều. Một tam giác đều có 3 trục đối xứng.
 Đối với hình thang cân, trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy của hình
thang cân. Hình thang cân có một trục đối xứng.
 Đối với hình thoi, các trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi. Một hình thoi có 2 trục đối xứng.
 Trong một hình vuông, các trục đối xứng là hai đường chéo của hình vuông và hai đường thẳng
đi qua trung điểm của mỗi cặp cạnh đối diện của hình vuông. Một hình vuông có bốn trục đối xứng.
 Trong một hình chữ nhật, trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm của mỗi cặp cạnh
đối diện của hình chữ nhật. Một hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.
 Một đa giác đều có n cạnh thì có n trục đối xứng.
3. Hình thang cân có mấy trục đối xứng?
Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song, hai cạnh song song này được gọi là các
cạnh đáy của hình thang, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau, hình thang cân là một trường
hợp đặc biệt của hình thang.
- Trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân. Hình thang cân có 1 trục đối xứng.
- Hình thang cân có các tính chất sau:
 Hai cạnh đáy song song với nhau.
 Hai cạnh bên bằng nhau.
 Hai góc kề cạnh một đáy bằng nhau.
 Hai đường chéo bằng nhau.
 Hình thang cân nội tiếp đường tròn.
- Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
 Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
 Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Việc nhận biết một hình thang có tính chất là hình thang cân sẽ giúp ích rất nhiều trogn việc làm
các bài tập toán, hơn nữa việc nhận ra được tính chất các hình sẽ giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn
về mối quan hệ tương quan giữa các hình có tính chất tương đồng.
- Phương pháp chứng minh hình thang cân
 Phương pháp 1: Chứng minh hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
 Phương pháp 2: Chứng minh hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
- Cách chứng minh một tứ giác là hình thang cân
 Chứng minh tứ giác đó là hình thang ta chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau,
dựa vào các cách chứng minh song song như: hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong
bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song.
 Chứng minh hình thang là hình thang cân theo hai cách ở trên.
Hình thang cân có 1 trục đối xứng, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng
nhau, hình thang cân là một trường hợp đặc biệt của hình thang, trục đối xứng là đường thẳng đi
qua trung điểm hai đáy của hình thang cân.
4. Các dạng bài tập về trục đối xứng
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a) D đối xứng với E qua AH
b) Tam giác ADC đối xứng với tam giác AEB qua AH. Hướng dẫn giải:
a) Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là đường phân giác của góc A.
Theo giả thiết ta có AD = AE nên tam giác ADE cân tại A nên AH là đường trung trực của DE.
=> D đối xứng với E qua AH.
b) Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là trung trực của BC.
=> B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH.
Mặt khác, ta có A đối xứng với A qua AH theo quy ước.
=> Tam giác ADC đối xứng với tam giác AEB qua AH.
Bài 2: Điền câu trả lời thích hợp vào chỗ trống:
a) Đường thẳng đi qua ...... của hai đáy hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.
b) .... của hình thoi là hai đường chéo của hình thoi.
c) Hình trọn có ... trục đối xứng. Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.
b) Trục đối xứng của hình thoi là hai đường chéo của hình thoi.
c) Hình tròn có vô số trục đối xứng.
Bài 3: Cho AB = 6 cm, A' là điểm đối xứng với A qua B, AA' có độ dài bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải:
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Khi đó, A' là điểm đối xứng với A qua B thì AB = BA' = 6 cm
=> AA' = AB + BA' = 6 + 6 = 12 cm
Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A = 50 độ, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M
qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.
a) Chứng minh rằng AD = AE
b) Tính số đo góc DAE = ? Hướng dẫn giải: a) Theo giả thiết ta có:
 D đối xứng với M qua AB
 E đối xứng với M qua AC
 A đối xứng với A qua AB, AC
=> AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.
Áp dụng tính chất đối xứng ta có: AD = AM; AM = AE => AD = AE => (đpcm). b) Theo ý câu a, ta có:
 Góc A1 đối xứng góc A2 qua AB
 Góc A3 đối xứng góc A4 qua AC
Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có:
Góc A1 = góc A2; góc A3 = A4 => Tổng các góc A1 + A2 + A3 = góc A = 50 độ => Góc DAE = 2A = 100 độ. Vậy góc DAE = 100 độ.