Tuyển tập 198 câu VDC hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Tài liệu gồm 83 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Tư Duy Mở, tuyển tập 198 câu vận dụng cao (VD – VDC) hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh khối 11 rèn luyện khi học tập chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1.
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Hàm số và phương trình lượng giác
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
TUYỂN TẬP 198 CÂU VẬN DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC
LATEX bởi Tư Duy Mở 1
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin4 x + cos4 x − cos 2x + sin2 2x + m = 0 có 4 nghiệm. A m < −2. B −2 6 m 6 0. C −2 < m < 0. D m > 0. Lời giải. 1
Ta có sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − sin2 2x. 2 1 1
Đặt t = cos 2x, |t| 6 1 phương trình đã cho thành 1 − 1 − t2 − t + 1 − t2 + m = 0. 2 4
Hay f (t) = −t2 + 4t − 3 = 4m với −1 6 t 6 1.
Nhận thấy hàm số f (t) luôn đồng biến trên [−1; 1] nên phương trình đã cho có nghiệm khi f (−1) 6 4m 6 f (1) ⇔ −2 6 m 6 0. Chọn đáp án B
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất M của hàm số y = 3 sin x − 4 cos x + 3. A M = 2. B M = 6. C M = −10. D M = −2. Lời giải. 3 4 3 4
Ta có y = 3 sin x − 4 cos x + 3 = 5 sin x −
cos x + 3 = 5 sin(x − α) + 3, trong đó α thoả cos α = và sin α = . 5 5 5 5
Từ −1 6 sin(x − α) 6 1 ta được −2 6 y 6 8. Tồn tại x để y = −2 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là −2. Chọn đáp án D sin x
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = . cot 2x k π
A D = R \ {kπ, k ∈ Z}. B D = R \ , k ∈ Z . 4 k π n π o C D = R \ , k ∈ Z . D D = R \ + kπ, k ∈ Z . 2 2 Lời giải. ( ( cot 2x 6= 0 cos 2x 6= 0 kπ Điều kiện ⇔
⇔ sin 2x cos 2x 6= 0 ⇔ sin 4x 6= 0 ⇔ x 6= . sin 2x 6= 0 sin 2x 6= 0 4 Chọn đáp án B √ m √ a √ π x Câu 4. Gọi
là giá trị lớn nhất của a để bất phương trình a3(x − 1)2 + 6 4 a3 sin có ít n (x − 1)2 2 m
nhất một nghiệm, trong đó m, n là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức n P = 22m + n. A P = 46. B P = 35. C P = 38. D P = 24. Lời giải.
Điều kiện xác định x 6= 1. LATEX bởi Tư Duy Mở 1
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau √ √ π x √ a3(x − 1)4 − 4 a3 sin (x − 1)2 + a 6 0 2 √ 1 2 π x √ 1 ⇔ 4 a3(x − 1)2 − sin + a − sin2 πx 6 0. 2 2 4 2 1 √ 1 • Nếu a > thì a −
sin2 πx > 0, ∀x, nên bất phương trình vô nghiệm. 16 4 2 1 • Nếu a =
thì bất phương trình trở thành 16 1 1 2 π x 1 (x − 1)2 − sin + 1 − sin2 πx 6 0 8 2 2 4 2 sin2 πx = 1 " x = 3 ⇔ 2 1 1 ⇔ π x x = −1. (x − 1)2 = sin 8 2 2 1 Vậy a =
là giá trị lớn nhất để bất phương trình có nghiệm. 16
Suy ra m = 1, n = 16. Vật P = 22 · 1 + 16 = 38. Chọn đáp án C sin x sin y
Câu 5. Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn [0, π]. Có tất cả bao nhiêu bộ ba số (x; y; z) thỏa mãn = √ = 1 3 sin z và x+y+z = π? 2 A 5. B 3. C 4. D 6. Lời giải.
Nếu một trong ba số x, y, z có một số bằng π thì hai số còn lại bằng 0, cho nên ta có ba nghiệm (π; 0; 0), (0; π; 0), (0; 0; π). sin x sin y sin z
Xét 0 < x, y, z < π, ta có 0 < sin x, sin y, sin z < 1. Theo giả thiết = √ = và x + y + z = π suy ra 1 3 2 π π π
sin x, sin y, sin z là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với x, y, z là các góc đối diện, cho nên x = , y = , z = . 6 3 2 Chọn đáp án C sin x
Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số y = . sin2 x − 6 sin x + 8
A D = R\ {π + k2π | k ∈ Z}.
B D = R\ {kπ | k ∈ Z}. C D = R.
D D = R\ {k2π | k ∈ Z}. Lời giải.
Do sin2 x − 6 sin x + 8 = (sin x − 2)(sin x − 4) 6= 0 với mọi x ∈ R nên D = R. Chọn đáp án C
Câu 7. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2 x + π x 2(sin 3x − 1) sin2 − = 0? 4 2 A 5 điểm. B 6 điểm. C 4 điểm. D 7 điểm. Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 2
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình đã cho tương đương với
(1 − sin x)(1 + sin x) + (sin 3x − 1)(1 + sin x) = 0 " sinx = 1 ⇔ sin 3x = sin(π + x) kπ ⇔ x = (k ∈ Z). 2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án C sin x π
Câu 8. Số nghiệm của phương trình = là x 18 A Vô số. B 3. C 1. D 2. Lời giải. x 6= sin 0 x π Ta có = ⇔ π x 18 sin x = x. 18 π
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của hai đồ thị y = sin x và y = x. 18 y π y = x 1 18 x π 2 − 2 x −π π π 0 x1 2 −1 y = sin x π π Đường thẳng y = x có hệ số góc bằng
< 1 nên cắt đồ thị y = sin x tại 3 điểm có hoành độ x1, 0, x2 với −π < 18 18
x1 < 0, 0 < x2 < π và x = 0 thì phương trình chỉ có 2 nghiệm. Chọn đáp án D π 5π
Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình cos(π sin x) = −1 trên khoảng − ; . 2 2 A 3. B 1. C 4. D 2. Lời giải.
Ta có cos(π sin x) = −1 ⇔ π sin x = π + k2π. (*)
Điều kiện để (*) có nghiệm là −π 6 π + k2π 6 π ⇒ k = 0; k = −1. π π 5π
Do đó (*) ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = + kπ. Vì x ∈ − ; nên k ∈ {0; 1}. 2 2 2 Chọn đáp án D
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = pcos2 x − (2 + m) cos x + 2m xác định trên tập R. A m > 1. B m > 1. C −1 < m < 1. D −1 6 m 6 1. Lời giải.
Ta có cos2 x − (2 + m) cos x + 2m = (cos x − 2)(cos x − m), nên hàm số xác định trên tập R khi chỉ khi cos x − m 6
0, ∀x ∈ R tương đương với m > 1. Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 3
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 11. Gọi x1 là nghiệm không âm nhỏ nhất, x2 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan x − sin 2x − 1 cos 2x + 2 2 cos x −
= 0. Khi đó tổng S = x1 + x2 bằng cos x π π A . B 1. C . D 0. 2 4 Lời giải. π Điều kiện x 6=
+ kπ với k ∈ Z. Phương trình đã cho tương đương với 2 sin x 2
− sin 2x − cos 2x + 4 cos x − = 0 cos x cos x
⇔ sin x − 2 sin x cos2 x − cos 2x cos x + 2(2 cos2 x − 1) = 0
⇔ sin x(1 − 2 cos2 x) − cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0
⇔ − sin x cos 2x − cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0 " cos2x = 0 π π
⇔ cos 2x(sin x + cos x − 2) = 0 ⇔ ⇔ x = + k với k ∈ Z
sin x + cos x = 2 (vô nghiệm) 4 2 π π Ta được x1 = , x2 = − . Vậy S = 0. 4 4 Chọn đáp án D
Câu 12. Biết tập hợp các giá trị của m để phương trình m sin2 x + 2 sin 2x + 3m cos2 x = 2 có nghiệm là đoạn
[a; b]. Tính giá trị của biểu thức T = a + 3b. 4 8 8 A T = . B T = . C T = 8. D T = . 3 3 9 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với: 1 − cos 2x 1 + cos 2x m + 2 sin 2x + 3m = 2 2 2
⇔2 sin 2x + m cos 2x = 2 − 2m. (1)
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm, hay 8
22 + m2 > (2 − 2m)2 ⇔ 0 6 m 6 ⇒ a + 3b = 8. 3 Chọn đáp án C √
Câu 13. Cho phương trình sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| −
2 cos2 x + m − m = 0. Số giá trị nguyên của tham
số m để phương trình đã cho có nghiệm thực là A 5. B 9. C 3. D 2. Lời giải. p
sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| − 2 cos2 x + m − m = 0 p
⇔ 2 sin x · cos x + 1 + | sin x + cos x| = 2 cos2 x + m + 2 cos2 x + m p
⇔ (| sin x + cos x|)2 + | sin x + cos x| = 2 cos2 x + m + 2 cos2 x + m 1 2 2 p 1 ⇔ | sin x + cos x| + = 2 cos2 x + m + 2 2 p ⇔ | sin x + cos x| = 2 cos2 x + m ⇔ sin 2x = cos 2x + m π m ⇔ sin 2x − = √ . 4 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 4
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ √ √
Phương trình đã cho có nghiệm khi |m| 6 2 ⇔ − 2 6 m 6 2. Nên m ∈ {−1; 0; 1}. Chọn đáp án C √
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2x +
3 cos 2x = 3m − 2 có nghiệm trong π khoảng − ; 0 2 √ √ 4 3 + 2 3 + 2 4 A 0 6 m 6 . B 0 6 m < . C 0 6 m 6 . D 0 6 m < . 3 3 3 3 Lời giải. π 3m π π 2π π Phương trình ⇔ sin 2x + =
− 1. Do x ∈ − ; 0 nên 2x + ∈ − ; . 3 2 2 3 3 3 √ √ √ " ! π 3 3m 3 3 + 2 Vậy sin 2x + ∈ −1; ⇒ −1 6 − 1 < ⇔ 0 6 m < 3 2 2 2 3 Chọn đáp án B .
Câu 15. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
4 sin4 x + cos4 x − 4 sin6 x + cos6 x − sin2 4x = m có nghiệm. −9 −9 −9 A m > 1. B < m < 1. C 6 m 6 1. D m 6 . 16 16 16 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 4 sin4 2x − 3 sin2 2x − m = 0
Đặt t = sin2 2x, t ∈ [0; 1].
Phương trình đã cho trở thành m = 4t2 − 3t = g(t), t ∈ [0; 1]. Lập bảng biến thiên g(t), suy ra phương trình có nghiệm −9 khi và chỉ khi 6 m 6 1. 16 Chọn đáp án C
Câu 16. Một trong các họ nghiệm của phương trình (1 + 2 sin x)2 cos x = 1 + sin x + cos x có dạng x = α + k2π, h π i (k ∈ 3 Z), với α ∈ − ; 0 . Tính α . 2 3 3 3 3 π π π π A − . B − . C . D . 8 27 8 4 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương
4 sin x cos x(1 + sin x) − (1 + sin x) = 0
⇔ (1 + sin x)(2 sin 2x − 1) = 0 π x = − + k2π sin 2 x = −1 π ⇔ ⇔ x = + k 1 π sin 2x = 12 2 5π x = + kπ. 12 3 π 3 π Vậy 3 α = − = − . 2 8 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 5
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Câu 17. Cho phương trình 3
p(sinx + m)2 + 3psin2 x − m2 = 2 3p(sinx − m)2. Gọi S = [a;b] là tập hợp tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực. Tính giá trị của P = a2 + b2. 162 49 A P = 2. B P = . C P = 4. D P = . 49 162 Lời giải. Ta có q q 3 3 p (sin x + m)2 +
sin2 x − m2 = 2 3 (sin x − m)2 q q ⇔ 3 3 p (sin x + m)2 +
sin2 x − m2 − 2 3 (sin x − m)2 = 0 √ √ √ √ ⇔ 3 sin x + m − 3 sin x − m
3 sin x + m + 2 3 sin x − m = 0 √ √
" 3 sinx + m − 3 sinx − m = 0 ⇔ √ √
3 sin x + m + 2 3 sin x − m = 0 m = 0 ⇔ 7m sin x = 9 9 9 9 9 162
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm ⇔ − 6 m 6 , nên a = − và b = và ta có P = . 7 7 7 7 49 Chọn đáp án B m
Câu 18. Cho phương trình m sin x + (m + 1) cos x =
. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho cos x có nghiệm. " " m > 0 m > 0 A . B . C −4 6 m 6 0. D −4 < m < 0. m 6 −4 m < −4 Lời giải. Điều kiện cos x 6= 0.
Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x, ta được
m tan x + m + 1 = m 1 + tan2x ⇔ m tan2 x − m tan x − 1 = 0. (1)
Đặt tan x = t, phương trình (1) trở thành mt2 − mt − 1 = 0. (∗)
Do phương trình tan x = t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (∗) có nghiệm. "m > 0
⇔ ∆ = m2 + 4m > 0 ⇔ m 6 −4. Chọn đáp án A
Câu 19. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 4x + 6 sin x cos x = m có hai h π i
nghiệm phân biệt trên đoạn 0; ? 4 A 4. B 3. C 2. D 1. Lời giải.
Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 sin2 2x − 3 sin 2x + m − 1 = 0. Nếu đặt t = sin 2x, t ∈ [0; 1], thì phương trình
trở thành 2t2 − 3t + m − 1 = 0 (1). 9 − 8(m − 1) > 0 Từ giả thiết suy ra m − 1 ⇒ 1 6 m 6 2. > 0 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 6
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π
• Với m = 1 giải phương trình được hai nghiệm x = 0, x = . 2 h π i
• Với m = 2 kiểm tra phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm trong đoạn 0; . 4
Vậy, chỉ có một số nguyên m thỏa mãn bài toán đó là m = 1. Chọn đáp án D
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 4 cos2 2x − 4 cos 2x − 3 − 3m = 0 có nghiệm. 1 5 4 5 4 5 A m ∈ − ; . B m ∈ − ; . C m ∈ ; +∞ . D ∈ −∞; . 2 3 3 3 3 3 Lời giải.
Đặt cos 2x = t, |t| 6 1. Phương trình đã cho trở thành: 4t2 − 4t − 3 = 3m. (1)
Xét hàm số g(t) = 4t2 − 4t − 3 trên đoạn [−1; 1]. Ta có bảng biến thiên: 1 t −1 1 2 g0(t) − 0 + 5 −3 − g(t) −4 − 4 5
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t ∈ [−1; 1] ⇔ − 6 m 6 . 3 3 Chọn đáp án B √ √ √ √ Câu 21. Cho phương trình 3 sin3 x − 2 − 3 sin2 x cos x − 2 + 3 sin x cos2 x = 3 cos3 x. Tìm tập hợp
tất cả các nghiệm của phương trình trên nằm trong khoảng (−1; 1). π π π π π π π π π 2π A − ; . B − ; − . C − ; − ; . D − ; − ; − . 4 6 4 6 4 6 3 4 6 3 Lời giải.
Nhận xét: cos x = 0 không thỏa phương trình.
Do đó, chia 2 vế của phương trình cho cos3 x, ta được tan x = −1√ √ √ √ √ 3 3 tan3 x − 2 − 3 tan2 x − 2 + 3 tan x − 3 = 0 ⇔ tan x = − 3 √ tan x = 3 π x = − + kπ 4 π ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z. 6 π x = + kπ 3 π π
So điều kiện x ∈ (−1; 1) ta được x ∈ − ; − . 4 6 Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 7
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 22. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình q √ m + m + 1 + 1 + sin x = sin x
có nghiệm là [α; β ]. Giá trị α + β bằng 1 √ 1 √ 1 √ 1 √ A − + 2. B − − 2. C − − 2. D − + 2. 2 2 4 4 Lời giải. √ √ p p Ta có m + m + 1 + 1 + sin x = sin x ⇔ m + 1 + m + 1 + 1 + sin x = 1 + sin x. √ a = 1 + sinx √ Đặt q √ , điều kiện 0 6 a 6 2 và b > 0. b = m + 1 + 1 + sin x ( ( a2 = m + 1 + b a2 = m + 1 + b (1) Khi đó ta có hệ √ ⇔ b = m + 1 + a b2 = m + 1 + a (2).
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có √
b2 − a2 = a − b ⇔ (a − b)(a + b + 1) = 0 ⇔ a = b (vì 0 6 a 6 2 và b > 0). √
Ta có phương trình a2 = m + 1 + a ⇔ a2 − a − 1 = m với 0 6 a 6 2. √
Xét hàm số f (a) = a2 − a − 1 với 0 6 a 6 2. Bảng biến thiên √ a 0 1 2 2 f 0(a) − 0 + √ −1 − 1 − 2 f (a) 5 − 4 5 √ 1 √ Suy ra m ∈ − ; 1 − 2 ⇒ α + β = − − 2. 4 4 Chọn đáp án C Câu 23. Cho phương trình p
sin x(2 − cos 2x) − 2 2 cos3 x + m + 1 p2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2. 2 π
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x ∈ 0; . 3 A 2. B 1. C 4. D 3. Lời giải. 2cos3 x + m + 2 > 0 Điều kiện 2 π . Ta có x ∈ 0; 3 p
sin x(2 − cos 2x) − 2 2 cos3 x + m + 1 p2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2 p 3 p ⇔ 2 sin3 x + sin x = 2 2 cos3 x + m + 2 + 2 cos3 x + m + 2. (1)
Xét hàm số f (t) = 2t3 + t có f 0(t) = 6t2 + 1 > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến trên R. √ √ Do đó, (1) ⇔ f (sin x) = f 2 cos3 x + m + 2 ⇔ 2 cos3 x + m + 2 = sin x (2) 2 π Vì x ∈ 0; nên sin x ∈ [0; 1]. 3 LATEX bởi Tư Duy Mở 8
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Khi đó (2) ⇔ 2 cos3 x + m + 2 = sin2 x ⇔ −m − 1 = 2 cos3 x + cos2 x. 2 π 1
Xét hàm số g(x) = 2 cos3 x + cos2 x, x ∈ 0; , đặt u = cos x, u ∈
− ; 1 thì hàm số trở thành h(u) = 2u3 + u2, 3 2 1 u = 0 ∈ − ; 1 2 h0(u) = 6u2 + 2u = 0 ⇔ 1 1 u = − ∈ − ; 1 . 3 2
Bảng biến thiên của hàm h(u) 1 1 u − − 0 1 2 3 h0(u) + 0 − 0 + 1 3 h(u) 27 0 0 1 28 < −m − 1 6 3 − 4 6 m < − Yêu cầu bài toán ⇔ 27 ⇔ 27 − m − 1 = 0 m = −1.
Kết hợp m ∈ Z nên ta nhận m ∈ {−4; −3; −2; −1}. Chọn đáp án C
Câu 24. Cho các số thực x1, x2, y1, y2 thay đổi, thỏa mãn x2 + x2 = y2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất P 1 2 1 2 max của
biểu thức P = (1 − x1)(1 − y1) + (1 − x2)(1 − y2). √ √ A Pmax = 4 − 2 2. B Pmax = 4 + 2 2. C Pmax = 8. D Pmax = 2. Lời giải. √ √ √ √ Đặt x1 = 2 cos α, x2 = 2 sin α, y1 = 2 cos β , y1 =
2 sin β . Biểu thức P được viết lại √ √ √ √ P = 2 − 2 sin α − 2 cos α − 2 sin β −
2 cos β + 2 cos α cos β + 2 sin α sin β π π = 2 − 2 sin α + − 2 sin β + + 2 cos(α − β ) 6 8. 4 4
Nên giá trị lớn nhất của P bằng 8. Chọn đáp án C π
Câu 25. Xác định m để phương trình m cos2 2x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 có nghiệm trong khoảng 0; . 4 A m < −1. B 1 < m < 4. C Không có m. D 0 < m < 1. Lời giải. π
Đặt t = sin 2x, với 0 < x <
⇒ 0 < t < 1. Phương trình đã cho trở thành 4
m(1 − t2) − 2t + m − 2 = 0 ⇔ mt2 + 2t + 2 − 2m = 0 (1)
+ Nếu m = 0 thì PT(1) ⇔ t = −1 (loại).
+ Nếu m 6= 0, yêu cầu bài toán ⇔ PT(2) có nghiệm t ∈ (0; 1). Từ đó tìm được 1 < m < 4. Chọn đáp án B cos 4x − cos 2x + 2 sin2 x Câu 26. Cho phương trình
= 0. Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu cos x + sin x LATEX bởi Tư Duy Mở 9
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. √ √ 2 √ √ 2 A . B 2 2. C 2. D . 2 4 Lời giải.
Điều kiện sin x + cos x 6= 0.
Ta có phương trình tương đương " π π cos 2x = 0 x = + k
2 cos2 2x − 1 − cos 2x + 1 − cos 2x = 0 ⇔ ⇔ 4 2 cos 2x = 1 x = kπ. π
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = + kπ, x = kπ. 4
Các họ nghiệm của phương trình biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau: y M A0 A O x N √ 1 2 √
Khi đó SAMA0N = 2S4AMA0 = 2 · AA0 · d(M, AA0) = 2 · = 2. 2 2 Chọn đáp án C
Câu 27. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình (1 + sin x +
cos x) tan(π − x) = sin 2x + 2 sin x + 2 cos x + 2? A 2 điểm. B 3 điểm. C 4 điểm. D 5 điểm. Lời giải.
Điều kiện của phương trình cos x 6= 0. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
− (1 + sin x + cos x) tan x = (sin x + cos x)2 + 2(sin x + cos x) + 1
⇔ − (1 + sin x + cos x) tan x = (1 + sin x + cos x)2
⇔ (1 + sin x + cos x)(sin x + cos x + 1 + tan x) = 0
⇔ (1 + sin x + cos x) [cos x(sin x + cos x) + (sin x + cos x)] = 0 √ √ h π i π ⇔ 1 + 2 sin x + 2 sin x + (cos x + 1) = 0. 4 4 π x = − + kπ ⇔ 4 x = π + k2π.
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 3 điểm trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 10
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin4 x + cos4 x + cos2 4x = m có bốn nghiệm h π π i
phân biệt thuộc đoạn − ; . 4 4 3 m > 47 3 47 3 47 3 A 6 2 m 6 . B < m 6 . C D < m < . 64 2 64 2 47 64 2 m 6 . 64 Lời giải.
Phương trình đã cho viết lại như sau 4 cos2 4x + cos 4x + 3 = 4m. h π π i
Đặt t = cos 4x với t ∈ [−1; 1]. Với t = ±1 thì mỗi t chỉ cho duy nhất một giá trị của x ∈ − ; ; 4 4
Với mỗi −1 < t < 1 thì mỗi t cho hai giá trị x.
Xét hàm số f (t) = 4t2 + t + 3 với −1 6 t 6 1 có bảng biến thiên như sau 1 t −∞ −1 − 1 +∞ 8 +∞ + +∞ + f (t) 6 8 47 16 47 47 3
Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi < 4m 6 6 ⇔ < m 6 . 16 64 2 Chọn đáp án B √ Câu 29. Phương trình
2 (sin x + cos x) − sin x cos x = 1 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 2π)? A 3. B 1. C 2. D 0. Lời giải. √ √ t2 − 1
Đặt t = sin x + cos x (− 2 6 t 6 2) ⇒ sin x cos x = . Phương trình trở thành 2 √ √ " t2 − 1 √ t = 2 + 1 (loại) 2t −
= 1 ⇔ t2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ √ 2 t = 2 − 1. √ √ √ π √ π 2 − 2 Ta có t = 2 − 1 ⇔ 2 cos x − = 2 − 1 ⇔ cos x − = √ 4 4 2 π 2 − 2 ⇔ x = ± arccos + k2π (k ∈ Z). 4 2
Từ đó suy ra trong khoảng (0; 2π) phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn đáp án C π m
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos4 x + sin4 x + = có nghiệm. 4 4 √ i √ √
A m ∈ −∞; 3 − 2 2 .
B m ∈ 3 − 2 2; 3 + 2 2 . h √ h √ √ i C m ∈ 3 + 2 2; +∞ .
D m ∈ 3 − 2 2; 3 + 2 2 . Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 11
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình đã cho tương đương với 1 1 h π i2 m (1 + cos 2x)2 + 1 − cos 2x + = 4 4 2 4
⇔(1 + cos 2x)2 + (1 + sin 2x)2 = m m − 3 ⇔ sin 2x + cos 2x = 2 π m − 3 ⇔ cos 2x − = √ 4 2 2 m − 3 √ √
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi −1 6 √
6 1 ⇔ 3 − 2 2 6 m 6 3 + 2 2. 2 2 Chọn đáp án D
Câu 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = sin6 x + cos6 x và đường thẳng y = m có điểm chung. 1 1 1 m < A 6 m 6 1. B m > . C m 6 1. D 4 . 4 4 m > 1 Lời giải. 5 3 Ta có y = sin6 x + cos6 x = +
cos 4x. Vì −1 6 cos 4x 6 1 nên để đồ thị hàm số y = sin6 x + cos6 x và đường thẳng 8 8 5 3 5 3 1 y = m có điểm chung thì − 6 m 6 + ⇔ 6 m 6 1. 8 8 8 8 4 Chọn đáp án A
Câu 32. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình √ √ sin 2x − (2m +
2)(sin x + cos x) + 2m 2 + 1 = 0 5 π
có đúng hai nghiệm thuộc 0; . 4 √ √ − 2 1 1 − 2 1 A m > . B m > . C m 6 . D < m 6 . 2 2 2 2 2 Lời giải. h √ √ i 5π √ √ i
Đặt t = sin x + cos x, t ∈ − 2; 2 . Với x ∈ 0; ⇒ t ∈ − 2; 2 . 4 √ √ √ "t = 2
Phương trình đã cho trở thành t2 − (2m + 2)t + 2m 2 = 0 ⇔ t = 2m. √ π • Với t = 2 ⇒ x =
là một nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 √ 5 π 2 1
• Do đó, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc 0; ⇔ − < m 6 . 4 2 2 Chọn đáp án D
Câu 33. Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a2 + b2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = a + 2b + 3 . 2a − b + 4 5 6 A Pmax = 6. B Pmax = 2. C Pmax = . D Pmax = . 3 5 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 12
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com sin x + 2 cos x + 3
Đặt a = sin x, b = cos x. Khi đó P = . 2 sin x − cos x + 4 sin x + 2 cos x + 3
Gọi P là một giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình P =
có nghiệm hay phương trình 2 sin x − cos x + 4
(2P − 1) sin x − (P + 2) cos x = 3 − 4P có nghiệm, điều này tương đương với 2
(2P − 1)2 + (P + 2)2 > (3 − 4P)2 ⇔ 6 P 6 2. 11
Nên giá trị lớn nhất của P bằng 2. Chọn đáp án B
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình √
sin 2x + 2 2m(sin x − cos x) + 1 − 4m = 0 chỉ là một điểm trên đường tròn lượng giác. m < 0 m < 0 m 6 0 m 6 0 A . B . C . D . m > 1 m > 1 m > 1 m > 1 Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − , t ∈ [− 2;
2]. Khi đó, phương trình đã cho trở thành 4 √ √ "t = 2 (1)
t2 − 2 2mt + 4m − 2 = 0 ⇔ √ t = 2(2m − 1) (2) √ π 3π Ta có t = 2 ⇔ sin x − = 1 ⇔ x =
+ k2π (k ∈ Z). Để tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương 4 4
trình chỉ là một điểm trên đường tròn lượng giác thì √ √ 2(2m − 1) < − 2 √ √ 2m − 1 < −1 m < 0 ⇔ ⇔ 2(2m − 1) > 2 2m − 1 > 1 m > 1. Chọn đáp án A sin x + cos x − 1
Câu 35. Giả sử đoạn [m, M] là tập giá trị của hàm số y = . Tính S = M2 + m2. cos x − sin x + 2 11 A S = 4. B S = . C S = 5. D S = 6. 2 Lời giải.
Vì cos x − sin x + 2 6= 0 ∀x nên sin x + cos x − 1 y = cosx−sinx+2
⇔ y cos x − y sin x + 2y = sin x + cos x − 1
⇔ (1 + y) sin x + (1 − y) cos x = 2y + 1.
Phương trình này có nghiệm x nên
(1 + y)2 + (1 − y)2 > (2y + 1)2 ⇔ 2y2 + 4y − 1 6 0 √ √ −2 − 6 −2 + 6 ⇔ 6 y 6 . 2 2 √ √ −2 + 6 −2 − 6
Tồn tại x để xảy ra các dấu bằng nên ta có M = và m = .Từ đó M2 + m2 = 5. 2 2 Chọn đáp án C LATEX bởi Tư Duy Mở 13
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com m cos x + m − 1
Câu 36. Tìm tất cả các giá trị m để
< 1 đúng với ∀x ∈ R. 3 + sin x + cos x 7 7 7 7 A m 6 . B m = . C m < − . D m < . 3 3 3 3 Lời giải. m cos x + m − 1 Đặt y =
⇔ y sin x + (y − m) cos x = m − 3y − 1. 3 + sin x + cos x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta có
(m − 3y − 1)2 6 (y2 + (y − m)2)(sin2 x + cos2 x) ⇔ 7y2 − 2(2m − 3)y + 1 − 2m 6 0 1 √ 1 √ 2m − 3 − 4m2 + 2m + 2 6 y 6 2m − 3 + 4m2 + 2m + 2 . 7 7 1 √
Ta có y < 1, ∀x ∈ R ⇔ max y = 2m − 3 + 4m2 + 2m + 2 < 1 7 √ (10 − 2m > 0 7 ⇔
4m2 + 2m + 2 < 10 − 2m ⇔ ⇔ m < . 4m2 + 2m + 2 < (10 − 2m)2 3 Chọn đáp án D
Câu 37. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan x − cot x. k π
A D = R \ {kπ, k ∈ Z}. B D = R \ , k ∈ Z . 4 n π o kπ C D = R \ + kπ, k ∈ Z . D D = R \ , k ∈ Z . 2 2 Lời giải. ( sinx 6= 0 kπ Điều kiện
⇔ sin x cos x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= . cos x 6= 0 2 Chọn đáp án D
Câu 38. Giả sử phương trình (1 − sin x) sin2 x − (1 + cos x) cos2 x = 0 có tập nghiệm dạng S =
α + k2π , β + k2π , γ + kπ k ∈ Z h π π i
, trong đó α, β ∈ [0; π] và γ ∈ − ;
. Tính giá trị biểu thức P = α + β + γ. 2 2 5π 5π π 7π A P = . B P = . C P = . D P = . 4 2 4 4 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với
(1 − sin x)(1 − cos x)(1 + cos x) − (1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x) = 0
⇔ (1 − sin x)(1 + cos x)(sin x + cos x) = 0 π sin x = 1 x = + k2π 2 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π sin x + cos x = 0 π x = − + kπ. 4 π π 5π Vậy α + β + γ = + π + − = . 2 4 4 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 14
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 39. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn tất các nghiệm của phương trình 1 sin x cos x cos 2x cos 4x = ? 8 A 16 điểm. B 4 điểm. C 2 điểm. D 8 điểm. Lời giải. π k2π
Phương trình tương đương sin 8x = 1 ⇔ x = + . 16 8 sin cos
Vậy có 8 điểm biểu diễn. Chọn đáp án D
Câu 40. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2 x + 2 sin x cos x − m cos2 x = 2 có nghiệm thuộc khoảng π i 0; . 4 3 A m > −1. B − < m 6 −1.
C −2 < m < −1. D −2 < m 6 −1. 2 Lời giải.
1. Với cos x = 0 thì phương trình tương đương 1 = 2 ⇒ phương trình vô nghiệm.
2. Với cos x 6= 0. Chia cả hai vế cho cos2 x ta được
− tan2 x + 2 tan x − (m + 2) = 0 ⇔ − tan2 x + 2 tan x − 2 = m. π i
Đặt t = tan x, với x ∈ 0; ⇒ t ∈ (0; 1]. 4
Lập bảng biến thiên cho hàm bậc 2 f (t) = −t2 + 2t − 2 x −∞ 0 1 +∞ f 0(t) + 0 −1 f (t) −2 −
Dựa vào bảng biến thiên ta được −2 < m 6 −1. Chọn đáp án D
Câu 41. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình cot x = cos x + tan x + cos 3x? LATEX bởi Tư Duy Mở 15
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com A 7 điểm. B 6 điểm. C 5 điểm. D 4 điểm. Lời giải.
Điều kiện của phương trình sin x cos x 6= 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương
cot x − tan x = cos x + cos 3x cos 2x ⇔ = 2 cos 2x cos x sin x cos x " cos2x = 0 ⇔ sin 2x cos x = 1 π kπ ⇔ x = + . 4 2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án D π π 3
Câu 42. Tìm nghiệm của phương trình sin4 x + cos4 x + cos x − · sin 3x − − = 0. 4 4 2 π π A x = + k2π, k ∈ Z. B x = + k2π, k ∈ Z. 3 4 π π C x = + kπ, k ∈ Z. D x = + kπ, k ∈ Z. 3 4 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 1 1 π 3 1 − sin2 2x + sin 4x − + sin 2x − = 0 2 2 2 2 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + (sin 2x − cos 4x) − = 0 2 2 2 1 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + sin 2x − + sin2 2x − = 0 2 2 2 2 1 1 ⇔ sin2 2x + sin 2x − 1 = 0 2 2 " sin2x = 1 ⇔ sin 2x = −2(vô nghiệm) π π ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. 2 4 Chọn đáp án D
Câu 43. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 9 π 5π m cos
− x + (2m − 1) sin(7π − x) + 5m − 7 = 2 cos x − . 2 2 π 5π
có đúng một nghiệm thuộc − ; . 6 6 5 5 17 11 A S = ; m = 0 . B S = ∪ ; . 4 4 13 7 5 17 11 5 C S = ∪ ; . D S = . 4 13 7 4 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 16
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình đã cho tương đương với 3(m − 1) sinx = 7 − 5m (1)
Với m = 1 phương trình đã cho vô nghiệm. 7 − 5m
Với m 6= 1 Phương trình đã cho trở thành sin x = 3(m−1) − π 5π −1 Vì x ∈ ; ⇒ sin x ∈ ; 1 . 6 6 2
Dựa vào đường tròn lượng giác suy ra phương trình có 1 nghiệm tương đương với m 6= 1 −1 7 − 5m 1 6 < 2 3(m − 1) 2 5 17 11 ⇔ m = hoặc < m 6 . 7 − 5m 4 13 7 = 1 3(m − 1) m 6= 1 Chọn đáp án C − π
Câu 44. Gọi x1, x2, x3, . . . , xn là nghiệm của phương trình tan 3x = tan x trong đoạn , 11π . Tính tổng 2 x1 + x2 + x3 + · · · + xn. A 125π. B 65π. C 126π. D 66π. Lời giải. π kπ x 6= + Điều kiện: 6 3 ,k ∈ Z. π x 6= + kπ 2 kπ
Khi đó: tan 3x = tan x ⇔ 3x = x + kπ ⇔ x = , k ∈ Z. 2
So điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = kπ, k ∈ Z. − π −π −1 Mà x ∈ , 11π nên 6 kπ 6 11π ⇔
6 k 6 11 ⇔ k ∈ 0, 1, 2, . . . , 11. 2 2 2 11
Suy ra tổng các nghiệm cần tìm là: ∑ kπ = 66π. k=0 Chọn đáp án D Câu 45.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số y 3 3 π 3π y = tan x trên đoạn − ; . Tìm số nghiệm của 2 2 2 3 π 3π
phương trình | tan x| = π trên đoạn − ; . 1 2 2 x A 6. B 5. C 3. D 4. 3π −π π O π π 3π − − 2 2 −1 2 2 −2 Lời giải.
Số nghiệm của phương trình | tan x| = π bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = | tan x| và đường thẳng y = π. LATEX bởi Tư Duy Mở 17
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com y 4 3 2 1 x 3π −π π π π O 3π − − 2 2 2 2 −1 3 π 3π
Từ đồ thị suy ra phương trình có 6 nghiệm trên đoạn − ; . 2 2 Chọn đáp án A
Câu 46. Tính tổng S tất cả các nghiệm trên khoảng (0; 100π) của phương trình cos x = 0. A S = 5050π. B S = 5000π. C S = 4950π. D S = 5100π. Lời giải. π Ta có cos x = 0 ⇔ x = + kπ. 2 99 π
Vì x ∈ (0; 100π) nên k ∈ [0; 99], k ∈ Z. Vậy S = ∑ + kπ = 5000π. k=0 2 Chọn đáp án B sin x + 2 cos x + 1
Câu 47. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = lần lượt là: sin x + cos x + 2 A M = −1; m = −2. B M = 2; m = 1. C M = 2; m = −1. D M = 1; m = −2. Lời giải. Ta có sin x + 2 cos x + 1 y =
⇔ y sin x + y cos x + 2y = sin x + 2 cos x + 1 sin x + cos x + 2
⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = 1 − 2y (∗).
y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇔ (y − 1)2 + (y − 2)2 > (1 − 2y)2 ⇔ y2 + y − 2 6 0 ⇔ −2 6 y 6 1.
Từ đó suy ra M = 1 và m = −2. Chọn đáp án D √
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 7 + 2 cos x + m 5 + 2 cos 2x = 0 có hai nghiệm 4 π thực phân biệt trên 0; 3 A 4. B 2. C 1. D 3. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương p 7 + 2 cos x + m 4 cos2 x + 3 = 0 LATEX bởi Tư Duy Mở 18
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 4 π Đặt t = cos x. Vì x ∈ 0;
nên t ∈ [−1; 1]. Khi đó ta có phương trình 3 p 7 + 2t + m 4t2 + 3 = 0 7 + 2t ⇔ m = √ . 4t2 + 3 2t + 7 6 − 28t Xét hàm số f (t) = √
, ∀t ∈ [−1; 1]. Có f 0 (t) = √ , ∀t ∈ [−1; 1] 4t2 + 3 (4t2 + 3) 4t2 + 3 Bảng biến thiên 3 x −∞ −1 1 +∞ 14 y0 + 0 − √ 2 39 y √ 3 √ 5 7 9 7 7 7 √ 5 7 < −m 6 3
Phương trình có 2 nghiệm ⇔ 7 √ √ . 9 7 2 39 6 −m < 7 3 "m = −2,m = −3 Vì m ∈ Z nên m = −4 Chọn đáp án D √3sinx
Câu 49. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . Tính M · m. cos x + 2 A 2. B 0. C −2. D −1. Lời giải. Ta có √3sinx √ √ y = ⇔ y(cos x + 2) = 3 sin x ⇔ 3 sin x − y cos x = 2y. (1) cos x + 2 p
Chia cả hai vế của (1) cho 3 + y2 ta được √3 y 2y · sin x − · cos x = . (2) p p p 3 + y2 3 + y2 3 + y2 √3 y Đặt cos α = và sin α = , từ (2) suy ra p p 3 + y2 3 + y2 2y 2y
sin x cos α − cos x sin α = ⇔ sin(x − α) = . (3) p p 3 + y2 3 + y2 Từ (3) suy ra 2y
6 1 ⇔ 4y2 6 3 + y2 ⇔ y2 6 1 ⇔ −1 6 y 6 1. p 3 + y2
Cách khác: Điều kiện để phương trình (1) (ẩn x) luôn có nghiệm là √
( 3)2 + (−y)2 > (2y)2 ⇔ 3y2 6 3 ⇔ −1 6 y 6 1.
Do đó, M = 1 và m = −1. Vậy M · m = −1. Chọn đáp án D LATEX bởi Tư Duy Mở 19
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 50. Nghiệm của phương trình cos 2x + 3 sin 2x + 5 sin x − 3 cos x = 3 được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm
trên đường tròn lượng giác? A 4 . B 5. C 2. D 6 . Lời giải.
Phương trình tương đương với
1 − 2 sin2 x + 6 sin x cos x + 5 sin x − 3 cos x − 3 = 0
⇔ (−2 sin2 x + 5 sin x − 2) + 3 cos x(2 sin x − 1) = 0
⇔ (2 sin x − 1)(2 − sin x) + 3 cos x(2 sin x − 1) = 0
⇔ (2 sin x − 1)(3 cos x − sin x + 2) = 0 π x = + k2π " 6 2 sin x = 1 ⇔ ⇔ 5π 3 cos x − sin x + 2 = 0 x = + k2π 6 sin x − 3 cos x = 2. (1)
Phương trình (1) tương đương 1 3 2 √ sin x − √ cos x = √ 10 10 10 2 ⇔ sin (x − α) = √10 2 x = α + arcsin √ + k2π 10 ⇔ 2 x = α + π − arcsin √ + k2π, 10 π 1 ở đó α ∈ 0; sao cho cos α = √
. Vậy các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi bốn điểm trên 2 10
đường tròn lượng giác. Chọn đáp án A x x
Câu 51. Tìm số nghiệm của phương trình 5 sin2 x + sin 2x = 2 sin4 + 2 cos4 trong khoảng (−1; 3). 2 2 A 3. B 4. C 2. D 1. Lời giải. x x (1 − cos x)2 (1 + cos x)2 1 + cos2 x Ta biến đổi sin4 + cos4 = + =
và sin 2x = 2 sin x cos x, phương trình đã cho trở 2 2 4 4 2
thành 5 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 1. sin2 x = 1 π Với cos x = 0 ⇔ π
, phương trình không thỏa nên ta loại x = + kπ. x = + k 2 π 2
Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta được
5 tan2 x + 2 tan x − 1 = 1 + tan2 x ⇔ 4 tan2 x + 2 tan x − 2 = 0 π tan x = −1 x = − + kπ 4 ⇔ ⇔ 1 , k ∈ Z. tan x = 1 2 x = arctan + kπ 2
Kết hợp điều kiện x ∈ (−1; 3) ta được số nghiệm thỏa là 3 nghiệm. Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 20
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 52. Tìm tập nghiệm của phương trình 2 sin4 x + 7 sin2 x cos2 x + cos4 x = 2. π π π π A + kπ; + kπ, k ∈ Z . B + kπ; − + kπ, k ∈ Z . 2 6 6 6 π π π π C + kπ; − + kπ, k ∈ Z . D + k , k ∈ Z . 2 6 2 3 Lời giải.
Với cos x = 0 thì sin2 x = 1 nên phương trình thỏa mãn. π Ta được x =
+ kπ, k ∈ Z là một họ nghiệm của phương trình. 2
Với cos x 6= 0, chia hai vế cho cos4 x, ta được
2 tan4 x + 7 tan2 x + 1 = 2(1 + tan2 x)2 ⇔ 3 tan2 x − 1 = 0 √ 3 tan x = ⇔ 3 √ 3 tan x = − 3 π x = + kπ ⇔ 6 , k ∈ Z. π x = − + kπ 6 π π
Kết hợp các họ nghiệm với nhau, ta được x = + k , k ∈ Z. 2 3 Chọn đáp án D 1 − cos 2x
Câu 53. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình = sin2 2x 1 + cot 2x? A 2 điểm. B 1 điểm. C 4 điểm. D 3 điểm. Lời giải.
Điều kiện của phương trình sin 2x 6= 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương
1 − cos 2x = sin2 2x(1 + cot 2x)
⇔ 1 − cos 2x = sin2 2x + sin 2x cos 2x
⇔ cos2 2x − cos 2x − sin 2x cos 2x = 0
⇔ cos 2x(cos 2x − sin 2x − 1) = 0 √ h π i ⇔ cos 2x 2 cos 2x + − 1 = 0 4 π kπ ⇔ x = + . 4 2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án C √ 2
Câu 54. Tìm tập nghiệm của phương trình 2 tan x + cot x = 3 + . sin 2x π π π A − + kπ, k ∈ Z . B + kπ; + kπ, k ∈ Z . 3 3 2 π π C kπ; + kπ, k ∈ Z . D + kπ, k ∈ Z . 3 3 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 21
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com sin x 6= 0
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
cos x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0. Khi đó, ta có sin 2x 6= 0 √ 2 √ 2 tan x + cot x = 3 + ⇔ 2 sin2 x + cos2 x = 3 sin x cos x + 1 sin 2x √
⇔ 2 sin2 x + (cos2 x − 1) − 3 sin x cos x = 0 √ ⇔ sin2 x − 3 sin x cos x = 0 √ ⇔ tan2 x − 3 tan x = 0 "tanx = 0 (loại) ⇔ √ tan x = 3 (nhận) π ⇔ x = + kπ (nhận). 3 Chọn đáp án D
Câu 55. Phương trình sin 2x − 12(sin x − cos x) + 12 = 0 có hai họ nghiệm dạng x = α + k2π; x = β +
k2π (α, β ∈ [0; π]). Tính α + β . 5π 3π 3π A α + β = π. B α + β = . C α + β = . D α + β = . 2 4 2 Lời giải. h √ √ i
Đặt t = sin x − cos x,t ∈ − 2;
2 , phương trình trở thành: "t = 1 (nhận)
1 − t2 − 12t + 12 = 0 ⇔ t2 + 12t − 13 = 0 ⇔ t = −13 (loại) . √ π π 1 π
Với t = 1 ⇔ sin x − cos x = 1 ⇔ 2 sin x − = 1 ⇔ sin x − = √ = sin 4 4 2 4 π π x − = + k2 π π 4 4 x = + k2π ⇔ ⇔ 2 (k ∈ Z). π 3π x − = + k2π x = π + k2π 4 4 π 3π Vậy α = và β = π, do đó α + β = . 2 2 Chọn đáp án D sin x Câu 56. Cho phương trình
= 0. Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn [0; 2018π] của cos2 x − 3 cos x + 2 phương trình trên. A 1018081π. B 1018018π. C 1020100π. D 1018080π. Lời giải.
Điều kiện cos x 6= 1 ⇔ x 6= k2π, (k ∈ Z).
Phương trình đã cho tương đương sin x = 0 ⇔ x = kπ, (k ∈ Z).
Vậy tổng tất cả các nghiệm trong đoạn [0; 2018π] của phương trình là
π · (1 + 3 + 5 + · · · + 2017) = 1018081π . Chọn đáp án A √ π
Câu 57. Giải phương trình sin 2x − 3 3 cos x − + 4 = 0. 4 5π 5π x = + k2π x = + kπ A 12 12 (k ∈ (k ∈ π Z). B π Z). x = + k2π x = + kπ 12 12 LATEX bởi Tư Duy Mở 22
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 5π 5π x = + kπ x = + k2π C 12 12 (k ∈ (k ∈ π Z). D π Z). x = + k2π x = + kπ 12 12 Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − , t ∈ [− 2;
2]. Khi đó, phương trình đã cho trở thành 4 √ √ √ t = 3 3 3 6 6 (loại) √
t2 − 1 − √ t + 4 = 0 ⇔ t2 − t + 3 = 0 ⇔ 6 2 2 t = . 2 √ √ 5π 6 π 3 x = + k2π Ta có t = ⇔ cos x − = ⇔ 12 (k ∈ Z). 2 4 2 π x = + k2π 12 Chọn đáp án A
Câu 58. Tìm số nghiệm của phương trình cos(3 sin x) = 0 trên khoảng (−π; 3π). A 8. B 5. C 6. D 7. Lời giải. π
Ta có cos(3 sin x) = 0 ⇔ 3 sin x = + k sin x π (*). 2 π
Điều kiện để (*) có nghiệm là −3 6 + kπ 6 3 ⇒ k = 0; k = −1. π 2 6 π Do đó (*) ⇔ sin x = ± . 6 cos x
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có 8 nghiệm trên khoảng (−2 O π ; 4π ). − π6 Chọn đáp án A √3 7 π
Câu 59. Phương trình | cos x| =
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn −π; ? 2 2 A 10. B 9. C 8. D 11. Lời giải. sin x √ √ 3 3 cos x = | cos x| = ⇔ 2 √ 2 3 cos x = − . 2 √ √ cos x 3 O − 3 2 2 7 π
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có 9 nghiệm trên đoạn −π; . 2 Chọn đáp án B
Câu 60. Cho các hàm số y = sin 2x và y = cos x có đồ thị trong cùng hệ tọa độ như sau LATEX bởi Tư Duy Mở 23
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com y 1 π 3π 2 π 2 O x 2π −1
Hỏi hai đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; 2018)? A 1285 điểm. B 1284 điểm. C 321 điểm. D 4036 điểm. Lời giải. π 3
- Hai đồ thị gặp nhau điểm đầu tiên có hoành độ nhỏ hơn 1, điểm thứ hai tại x = > và có 4 giao điểm trong 2 2
khoảng (0; 2π); hơn nữa, các hàm số đã cho tuần hoàn sau mỗi khoảng 2π. π
- Lại có 2018 = 321.2π + a với a ' 1, 098 <
. Như vậy ngoài 4.321 = 1284 giao điểm trong 321 chu kỳ 2π đầu tiên, 2
hai đồ thị còn gặp nhau thêm 1 lần nữa. Chọn đáp án A m sin x + 1 Câu 61. Cho y =
. Tìm m để min y < −1. 2 + cos x A m < −3. B m > 2.√ √ C m < 0.
D m > 2 2 ∨ m < −2 2. Lời giải. m sin x + 1 Ta có y =
⇔ 2y + y cos x = m sin x + 1 ⇔ y cos x − m sin x = 1 − 2y (1). 2 + cos x
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
y2 + m2 > (1 − 2y)2 ⇔ 3y2 − 4y + 1 − m2 6 0 √ √ 2 − 3m2 + 1 2 + 3m2 + 1 ⇔ 6 y 6 3 3 √ 2 − 3m2 + 1 ⇒ min y = . 3 Do đó: √ 2 − 3m2 + 1 min y < −1 ⇔ < −1 3 p ⇔ 2 − 3m2 + 1 6 −3 p ⇔ 3m2 − 1 > 5 √ "m > 2 2 ⇔ √ m < −2 2. Chọn đáp án D
Câu 62. Xét hàm số f (x) = cos 2x trên tập hợp D = [0; 2π] và có đồ thị cho ở hình vẽ. Tìm số giao điểm tối
đa của đường thẳng y = m với m ∈ R và đồ thị hàm số g(x) = | f (x)|. LATEX bởi Tư Duy Mở 24
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com y 1 3π 5π 7π 4 4 4 O π π x 2π 4 A 9. B 10. C 8. D 7. Lời giải.
Đồ thị hàm số g(x) = | f (x)| và đường thẳng y = m như sau: y 1 y = m O π π x 3π 5π 7π 2π 4 4 4 4 Chọn đáp án C
Câu 63. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2x − (2m − 1) cos x − m + 1 = 0 có đúng hai h π π i nghiệm x ∈ − ; . 2 2 A 0 6 m < 1. B −1 < m < 1. C 0 6 m 6 1. D −1 < m 6 0. Lời giải. cos x = m 1
Phương trình đã cho tương đương với (cos x − m)(2 cos x + 1) = 0 ⇔
1 . Vì phương trình cos x = − không cos x = − 2 2 h π π i
có nghiệm trong đoạn − ;
nên yêu cầu bài toán tương đương với điều kiện m ∈ [0; 1). 2 2 Chọn đáp án A
Câu 64. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m (sin x + cos x) + sin 2x = 0 có nghiệm. √ √ √ √ A m ∈ R. B − 2 < m < 2. C 2 6 m 6 2. D −1 6 m 6 1. Lời giải. √ π h √ √ i Đặt t = sin x + cos x = 2 cos x − ,t ∈ − 2; 2 , suy ra sin 2x = t2 − 1. 4 h √ √ i
Khi đó phương trình tương đương mt + t2 − 1 = 0 ⇔ f (t) = t2 + mt − 1 = 0,t ∈ − 2; 2 .
Nhận thấy phương trình bậc hai f (t) = 0 với ∆ = m2 + 4 > 0, ∀t luôn có hai nghiệm phân biệt t1,t2. √ √ t1 ∈ − 2; 2
Theo định lý Viét, ta có t1 · t2 = −1 ⇒ |t1| · |t2| = 1 ⇒ √ √ t2 ∈ − 2; 2 .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với ∀m ∈ R. Chọn đáp án A
Câu 65. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 3 sin x + 4 cos x = (m3 − 4m + 3)x + m + 5 vô nghiệm? A Vô số. B 1. C 2. D 3. Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 25
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Với m = 1 ta có phương trình 3 sin x + 4 cos x = 6 (vô nghiệm.)
Với m = 3 ta có phương trình 3 sin x + 4 cos x = 8 (vô nghiệm.)
Với mọi m 6= 1 và m 6= 3 thì ta thấy đồ thị hàm số y = 3 sin x + 4 cos x và đồ thị hàm số bậc nhất y = (m3 − 4m + 3)x +
m + 5 luôn có ít nhất một giao điểm nên phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Vậy chỉ có 2 giá trị thực của m để phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn đáp án C sin x + 2 cos x − 1
Câu 66. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = lần lượt là: sin x + cos x + 2 A M = 1; m = −2. B M = 2; m = 1. √ √ −5 + 33 −5 − 33 C M = 2; m = −1. D M = ; m = . 2 2 Lời giải. Ta có sin x + 2 cos x − 1 y =
⇔ y(sin x + cos x + 2) = sin x + 2 cos x − 1 sin x + cos x + 2
⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = −1 − 2y (∗).
Phương trình (∗) có nghiệm khi và chỉ khi
(y − 1)2 + (y − 2)2 > (−1 − 2y)2 ⇔ −2y2 − 10y + 4 > 0 √ √ −5 − 33 −5 + 33 ⇔ 6 y 6 . 2 2 √ √ −5 + 33 −5 − 33 Từ đó ta có M = ; m = . 2 2 Chọn đáp án D cot x
Câu 67. Tìm tập xác định của hàm số y = . cos x − 1 n π o A D = R\ + k2π, k ∈ Z .
B D = R\ {kπ, k ∈ Z}. 2 k π
C D = R\ {k2π, k ∈ Z}. D D = R\ , k ∈ Z . 2 Lời giải. ( ( sin x 6= 0 x 6= kπ, k ∈ Z Hàm số xác định khi ⇔ ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. cos x 6= 1 x 6= k2π, k ∈ Z Chọn đáp án B 2
Câu 68. Tìm tập xác định D của hàm số y = . cos 3x + cos x π π kπ A D = R. B D = R \ + kπ; + , k ∈ Z . 2 4 2 π kπ π π kπ C D = R \ + , k ∈ Z . D D = R \ + kπ; + , k ∈ Z . 4 2 2 6 3 Lời giải. π kπ π
Điều kiện cos 3x + cos x 6= 0 ⇔ 2 cos 2x cos x 6= 0 ⇔ x 6= + ; x 6= + kπ. 4 2 2 Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 26
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ Câu 69. Cho phương trình
5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A Phương trình vô nghiệm trên khoảng (π; 2π). π
B Phương trình có nghiệm trên khoảng 0; . 2 π
C Một họ nghiệm của phương trình là x = + k2π, k ∈ Z. 6
D Mọi nghiệm x0 của phương trình đều thỏa mãn sin 3x0 = 1. Lời giải. √ ( cosx 6 0 5π Ta có
5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0 ⇔ ⇔ x = + k2π, k ∈ Z. 5 sin x + cos 2x = 4 cos2 x 6 5 π 5π Mặt khác, sin 3 + k2π = sin
= 1. nên mọi nghiệm x0 của phương trình đều thỏa mãn sin 3x0 = 1. 6 2 Chọn đáp án D cot x
Câu 70. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 2 cos2 x − 3 cos x + 1 n π π o
A D = R\ kπ; − + k2π; + k2π | k ∈ Z .
B D = R\ {k2π | k ∈ Z}. 3 3 n π π o n π π o
C D = R\ k2π; − + kπ; + kπ | k ∈ Z .
D D = R\ kπ; − + kπ; + kπ | k ∈ Z . 3 3 3 3 Lời giải. Hàm số xác định khi ( ( sin x 6= 0 sin x 6= 0 ⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 6= 0
(cos x − 1)(2 cos x − 1) 6= 0 sin x 6= 0 x 6= k π ⇔ cos x 6= 1 ⇔ x 6= k2π , k ∈ Z. 1 π cos x 6= x 6= ± + k2π 2 3 Chọn đáp án A kπ
Câu 71. Các họ nghiệm của phương trình 2 cos 2x + sin x = sin 3x có dạng x = α + 2kπ; x = β + (k ∈ Z), 2 h π i với α, β ∈ 0; . Tính P = αβ . 2 2 2 2 2 π 3π π π A P = . B P = . C P = . D P = . 4 4 16 8 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương 2 cos 2x = 2 cos 2x sin x ⇔ 2 cos 2x(1 − sin x) = 0 " cos2x = 0 ⇔ sin x = 1 π π x = + k ⇔ 4 2 π x = + k2π. 2 2 π π π Vậy αβ = · = . 2 4 8 LATEX bởi Tư Duy Mở 27
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Chọn đáp án D π
Câu 72. Tập nghiệm S của phương trình tan3 x − = tan x − 1 là 4 n π o n π o A S = k2π, + k2π, k ∈ Z . B S = + kπ, k ∈ Z . 4 4 n π o n π o C S = k2π, + kπ, k ∈ Z . D S = kπ, + kπ, k ∈ Z . 4 4 Lời giải. π π 3π x − 6= + kπ x 6= + k π Điều kiện: 4 2 ⇔ 4 π π x 6= + k π x 6= + kπ. 2 2 sin x − cos x 3 PT ⇔ = tan x − 1 cos x + sin x tan x − 1 3 ⇔ = tan x − 1, tan x 6= −1 1 + tan x " " π tan x = 1 tan x = 1 x = + kπ ⇔ ⇔ ⇔ 4 (k ∈ Z).
tan3 x + 2 tan2 x + 5 tan x = 0 tan x = 0 x = kπ Chọn đáp án D r cos2x + 4cosx + 3
Câu 73. Đồ thị các hàm số y =
và y = cos x là các đường cong trong hình nào dưới 2 đây? y 1 π 3π − x 2 π 2 −2π 3π −π π O 2π − 2 −1 2 −2 A 2 y 1 π 3π − − 2 2 −2π 3π −π π π O 2π x − − 2 −1 2 B LATEX bởi Tư Duy Mở 28
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com C y 2 1 x −2π 3π −π π π π O 3π 2π − − 2 2 −1 2 2 y 1 3π π π 3π − − x 2 2 2 2 −2π −π π O 2π −1 −2 D Lời giải.
Dễ thấy ở cả bốn phương án đều có đồ thị hàm y = cos x. r cos2x + 4cosx + 3 Ta có y = = p(cos x + 1)2 = cos x + 1. 2 r cos2x + 4cosx + 3
Suy ra đồ thị hàm số y =
có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos x lên trên 1 đơn vị. 2 Chọn đáp án C π π
Câu 74. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 sin x + · cos x + + sin 2x lần lượt 6 3 là: 1 1 A M = và m = − . B M = 0 và m = −1. 2 2 1 3 √ 1 √ 1 C M = và m = − . D M = 2 − và m = − 2 − . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có π π y = 2 sin x + · cos x + + sin 2x 6 3 π π = sin 2x + + sin − + sin 2x 2 3 1 √ π 1 = cos 2x + sin 2x − = 2 sin 2x + − . 2 4 2 π √ 1 √ 1 Ta có −1 6 sin 2x + 6 1 nên − 2 − 6 y 6 2 − . 4 2 2 √ 1 π √ 1 3π Vậy max y =
2 − , đạt được khi x =
; min y = − 2 − , đạt được khi x = − . 2 8 2 8 Chọn đáp án D LATEX bởi Tư Duy Mở 29
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ √
Câu 75. Trong tất cả các nghiệm của phương trình sin x − 3 cos x =
2, gọi x1, x2 lần lượt là nghiệm âm lớn aπ a
nhất và nghiệm dương nhỏ nhất. Biết rằng x1 + 3x2 =
, với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối b b
giản. Tính tổng T = 2a + b. A T = 15. B T = 17. C T = 5. D T = 16. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với √ √ 1 3 2 sin x − cos x = 2 2 2 π π ⇔ sin x − = sin 3 4 π π x − = + k2π 3 4 ⇔ π 3π x − = + k2π 3 4 7π x = + k2π ⇔ 12 13π x = + k2π. 12 11π 7π 5π Ta tìm được x1 = − và x2 = . Lúc đó, x1 + 3x2 = . 12 12 6 Chọn đáp án D
Câu 76. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 sin4 x + cos4 x + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0 có ít nhất h π i một nghiệm x ∈ 0; . 2 1 10 1 8 4 A m ∈ − ; 0 . B m ∈ − ; −2 . C m ∈ − ; 1 . D m ∈ − ; . 3 3 3 3 3 Lời giải. 1
Ta có: sin4 x + cos 4x = 1 −
sin2 2x, cos 4x = 1 − 2 sin2 2x. 2
Do đó phương trình đã cho tương đương với: 3 sin2 2x − 2 sin 2x = m + 3. (1) h π i
Đặt t = sin 2x, với x ∈ 0; thì t ∈ [0; 1]. 2
Phương trình (1) trở thành 3t2 − 2t = m + 3. (2)
Xét hàm số g(t) = 3t2 − 2t trên đoạn [0; 1]. Bảng biến thiên: 1 t 0 1 3 g0(t) − 0 + 0 1 g(t) 1 − 3 h π i
Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm x ∈ 0;
khi phương trình (2) có nghiệm t ∈ [0; 1], hay 2 1 10 − 6 m + 3 6 1 ⇔ − 6 m 6 −2. 3 3 Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 30
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 77. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40◦ bắc trong ngày thứ t của một năm không
nhuận được cho bởi hàm số h π i d(t) = 3 sin
(t − 80) + 12 với t ∈ Z và 0 < t 6 365. 182
Vào ngày nào trong năm thì thành phố có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
A Ngày thứ 172 trong năm.
B Ngày thứ 171 trong năm.
C Ngày thứ 170 trong năm.
D Ngày thứ 173 trong năm. Lời giải.
Ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi h π i π π sin (t − 80) = 1 ⇔ (t − 80) =
+ k2π ⇔ t = 171 + 364k (k ∈ Z). 182 182 2
Suy ra 0 < 171 + 364k 6 365 ⇔ k = 0. Vậy t = 171. Chọn đáp án B
Câu 78. Tập giá trị của hàm số y = 3 sin2 x + 4 sin x cos x − cos2x + 1 là h √ √ i h √ √ i A −2 2 + 2; 2 2 + 2 . B − 2; 2 + 1 . h √ √ i C [0; 2] . D − 2 − 1; 2 − 1 . Lời giải. 1 − cos 2x 1 + cos 2x √ π y = 3. + 2 sin 2x −
+ 1 = 2 sin 2x − 2 cos 2x + 2 = 2 2 sin 2x − + 2 2 2 4 √ √
Do đó:−2 2 + 2 6 y 6 2 2 + 2.h √ √ i
Vậy tập giá trị của hàm số là T = −2 2 + 2; 2 2 + 2 . Chọn đáp án A π
Câu 79. Gọi x0 là một nghiệm của phương trình sin 2x = cos x trên
; π . Tính giá trị của biểu thức S = 2
sin x0 + sin 2x0 + sin 3x0 + · · · + sin 2018x0.√ √ 1 + 3 1 − 3 1 A S = 0. B S = . C S = . D S = . 2 2 2 Lời giải. π 1 5π • Trên ; π
thì cos x < 0 nên sin 2x = cos x ⇔ 2 sin x · cos x = cos x ⇔ sin x = ⇔ x = . 2 2 6 5π • Với x0 =
thì sin kx0 +sin(k + 6)x0 = sin kx0 +sin (kx0 + 5π) = sin kx0 −sin kx0 = 0. Suy ra sin kx0 +sin(k + 1)x0 + 6
sin(k + 2)x0 + · · · + sin(k + 6)x0 + sin(k + 7)x0 + · · · + sin(k + 11)x0 = 0, ∀ k ∈ N.
Vậy S = sin x0 +sin 2x0 +(sin 3x0 +· · ·+sin 14x0)+(sin 15x0 +· · ·+sin 26x0)+· · ·+(sin 2007x0 +· · ·+sin 2018x0) = √ 1 − 3 sin x0 + sin 2x0 = + . 2 2 Chọn đáp án C π π
Câu 80. Tập nghiệm S của phương trình sin x + sin3 3x + cos 3x + cos3 x = 0 là 4 4 n π o n π o A S = + kπ, k ∈ Z . B S = − + kπ, k ∈ Z . 4 4 n π o π kπ C S = − . D S = − − , k ∈ Z . 4 4 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 31
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Lời giải.
PT ⇔ (sin x + cos x) sin3 3x + (cos 3x − sin 3x) cos3 x = 0
⇔ (sin x + cos x) sin3 3x = (sin 3x − cos 3x) cos3 x (∗)
• cos x = 0, sin 3x = 0 không thỏa mãn.
• Với cos x 6= 0, sin 3x 6= 0, chia hai vế cho cos3 x. sin3 3x ta có sin x + cos x sin 3x − cos 3x (∗) ⇔ = cos3 x sin3 3x
⇔ tan x(1 + tan2 x) + (1 + tan2 x) = (1 + cot2 3x) − cot 3x(1 + cot2 3x)
⇔ (1 + tan x)(1 + tan2 x) = (1 − cot 3x)(1 + cot2 3x)
⇔ (1 + tan x)(1 + tan2 x) = (1 + cot(−3x))(1 + cot2(−3x)) (∗∗)
Xét hàm số y = f (t) = (1 + t)(1 + t2) = t3 + t2 + t + 1,t ∈ R.
• Cách 1: Với mọi t1,t2 ∈ R ta có f (t2) − f (t1) = (t2 − t1)(t2 + t + t 2 2t1 + t 2 1 2 + t1 + 1).
Suy ra 2( f (t2) − f (t1)) = (t2 − t1)((t2 + t1)2 + (t2 + 1)2 + (t1 + 1)2).
Vậy f (t2) − f (t1) = 0 ⇔ t2 = t1. Suy ra π π π kπ
(∗∗) ⇔ f (tan x) = f (cot(−3x)) ⇔ tan x = cot(−3x) = tan + 3x ⇔ x = + 3x +kπ ⇔ x = − − , k ∈ Z. 2 2 4 2
• Cách 2: Ta có f 0(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 với mọi t ∈ R. Suy ra hàm số y = f (t) đồng biến trên R. Suy ra π kπ
(∗∗) ⇔ f (tan x) = f (cot(−3x)) ⇔ tan x = cot(−3x) ⇔ x = − − , k ∈ Z. 4 2 Chọn đáp án D Câu 81. Tính tổng S của tất cả các nghiệm của phương trình
cos 2x cos x = 1 + sin 2x sin x trên đoạn [−π; 4π]. A S = 5π. B S = 3π. C S = 4π. D S = 6π. Lời giải. Ta có
cos 2x cos x = 1 + sin 2x sin x
⇔ cos 2x cos x − sin 2x sin x = 1 ⇔ cos x = 1.
Vì x ∈ [−π; 4π] nên ta có các nghiệm là x = 0; x = 2π; x = 4π. Vậy S = 6π. Chọn đáp án D
Câu 82. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 sin2 2x − 3 sin 2x + m − 1 = 0 có đúng hai nghiệm h π i x ∈ 0; . 4 17 17 17 A m ∈ 2; . B m ∈ 1; . C m ∈ (1; 2). D m ∈ 2; . 8 8 8 Lời giải. h π i h π i
Đặt t = sin 2x, với x ∈ 0; ⇒ 2x ∈ 0; ⇒ t ∈ [0; 1]. 4 2
Phương trình đã cho trở thành: −2t2 + 3t + 1 = m. (1) h π i
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;
nếu phương trình (1) có đúng hai nghiệm t ∈ [0; 1]. Xét 4
hàm số g(t) = −2t2 + 3t + 1 trên đoạn [0; 1]. Bảng biến thiên: LATEX bởi Tư Duy Mở 32
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 3 t 0 1 4 g0(t) + 0 − 17 g(t) 8 1 2 17
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình g(t) = m có hai nghiệm trên đoạn [0; 1] khi 2 6 m < . 8 Chọn đáp án D
Câu 83. Tập tất cả những giá trị thực của m để phương trình m cos x + cos 3x = 1 + cos 2x có tám nghiệm phân π 5π biệt trên khoảng − ;
là khoảng (a; b). Tính giá trị P = b − a. 2 2 9 25 A 2. B . C . D 4. 4 4 Lời giải. " cosx = 0
Ta có m cos x + cos 3x = 1 + cos 2x ⇔ cos x(4 cos2 x − 2 cos x − 3 + m) = 0 ⇔ Phương
4 cos2 x − 2 cos x − 3 + m = 0. π π 5π π 3π trình cos x = 0 ⇔ x = + kπ, vì x ∈ − ; ⇒ x ∈ ; . 2 2 2 2 2 Đặt t = cos x. π
• Với 0 < t < 1 ⇒ cos x = t có nghiệm x = α ∈ 0;
, x = −α, x = α + 2π, x = −α + 2π. 2 π
• Với −1 < t < 0 ⇒ cos x = t có nghiệm x = α ∈ ; π và x = 2π − α. 2 π 3π
• Với t = 0 ⇒ cos x = t = 0 ⇔ x ∈ ; . 2 2
• Với t = −1 ⇒ cos x = t = −1 ⇔ x = π.
• Với t = 1 ⇒ cos x = t = 1 ⇔ x = 0 hoặc x = 2π
Phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 4 cos2 x − 2 cos x − 3 + m = 0 có 6 nghiệm,
tương đương với phương trình f (t) = 4t2 − 2t − 3 + m = 0 có hai nghiệm thỏa mãn −1 < t1 < 0 < t2 < 1 hoặc 0 < t1 < t2 = 1. f (−1) > 0 m − 1 > 0
• −1 < t1 < 0 < t2 < 1 ⇔ f (1) > 0 ⇔
m + 3 > 0 ⇔ 1 < m < 3. f (0) < 0 m − 3 < 0
• 0 < t1 < t2 = 1, khi đó t = 1 là nghiệm của phương trình, suy ra m = 1, phương trình trở thành 4t2 − 2t − 2 = t = 1 0 ⇔
1 không thỏa mãn 0 < t1 < t2 = 1. t = − 2 (b = 3 Vậy m ∈ (1; 3) ⇒ ⇒ b − a = 2. a = 1 Chọn đáp án A 3 π
Câu 84. Cho phương trình sin x cos x = 2(sin4 x + cos4 x) − . Tính tổng S tất cả các nghiệm thuộc 0; của 2 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 33
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com phương trình đã cho. π π 5π 5π A S = . B S = . C S = . D S = . 2 12 12 4 Lời giải. 3 cos 4x Ta có sin4 x + cos4 x = + . Khi đó 4 4 3
sin x cos x = 2(sin4 x + cos4 x) − 2 1 ⇔ sin x cos x = cos 4x 2 π ⇔ sin 2x = sin − 4x 2 π kπ x = + ⇔ 12 3 (k ∈ Z). π x = − − kπ 4 π 5π π π
Suy ra các nghiệm thuộc 0; là ; . Vậy S = . 2 12 12 2 Chọn đáp án A
Câu 85. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành. A 1. B Vô số. C 2. D 0. Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành: π cot(sin x) = 0 ⇔ sin x = + kπ, (k ∈ Z). 2 π Phải có −1 6
+ kπ 6 1 ⇔ k ∈ ∅. Do đó phương trình vô nghiệm. 2
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành là 0. Chọn đáp án D
Câu 86. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
sin6 x + cos6 x = m(sin4 x + cos4 x). 1 3 1 A 6 m 6 . B 6 m 6 1. 2 2 2 3
C m ∈ (−∞; 1] ∪ ( ; +∞). D m ∈ (−∞; 1]. 2 Lời giải. Ta có:
sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) 3
= 1 − 3 sin2 x cos2 x = 1 − sin2 2x. 4 1
sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − sin2 2x. 2
Vậy phương trình đã cho tương đương với: 3 1 1 − sin2 2x = m 1 − sin2 2x
⇔ 4 − 3 sin2 2x = 4m − 2m sin2 2x 4 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 34
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
⇔ (2m − 3) sin2 2x = 4m − 4. (1) 3
• Khi 2m − 3 = 0 ⇔ m = , phương trình (1) trở thành 2
0 · sin2 2x = 2 (vô nghiệm). 3
• Khi m 6= , phương trình (1) trở thành: 2 4m − 4 sin2 2x = . (2) 2m − 3
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi: 4m − 4 3 > 0 m ∈ (−∞; 1] ∪ ; +∞ 4m − 4 2m − 3 2 0 6 6 1 ⇔ ⇔ 2m − 3 4m − 4 2m − 1 6 1 6 0 2m − 3 2m − 3 3 m ∈ (−∞; 1] ∪ ; +∞ 2 1 ⇔ ⇔ m ∈ ; 1 . 1 3 2 m ∈ ; 2 2 1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6 m 6 1. 2 Chọn đáp án B
Câu 87. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2 x − 2m cos x + 6m − 9 = 0 có π π nghiệm x ∈ − ; . 2 2 3 3 A < m 6 2. B 6 m 6 2. C m 6 2. D m = 2. 2 2 Lời giải. " cosx = 3 (loại)
Phương trình đã cho tương đương với cos x = 2m − 3. π π 3
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc − ; ⇔ 0 < 2m − 3 6 1 ⇔ < m 6 2. 2 2 2 Chọn đáp án A
Câu 88. Hình sau là đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây? y 2 1 O x A y = 1 + | sin x|. B y = 1 + | cos x|. C y = 1 + sin |x|. D y = 1 + |sin |x||. Lời giải.
Từ đồ thị hàm số y = sin x, giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sin x nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần
bên dưới trục hoành qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = | sin x| như hình sau: LATEX bởi Tư Duy Mở 35
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com y 2 1 O x
Sau đó dịch chuyển phần đồ thị này lên trên theo phương thẳng đứng một đơn vị, ta được đồ thị như hình trong đề bài. y 2 1 O x
Vậy ta khẳng định hàm số cần tìm là hàm y = 1 + | sin x|. Chọn đáp án A
Câu 89. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2 − 3 sin 3x − cos2 3x + m2 − 3 = 0 có đúng 2 π 4π 4 nghiệm thuộc đoạn ; . 3 3 A Không có m. B m = −2. C m = ±2. D m = 2. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với sin2 3x + m2 − 3 sin 3x + m2 − 4 = 0. "t = −1
Đặt t = sin 3x, |t| 6 1 ta được phương trình t2 + m2 − 3t + m2 − 4 = 0 ⇔ . t = 4 − m2 π 2π 2π 4π 7π
Với t = −1 ⇒ sin 3x = −1 ⇔ x = − + k , k ∈ Z. Do x ∈ ; nên x = . 6 3 3 3 6 7 π 2π 4π
ycbt ⇔ sin 3x = 4 − m2 có đúng 3 nghiệm khác thuộc ; . 6 3 3 2 π 4π Vì x ∈ ;
⇒ 3x ∈ [2π; 4π] nên điều kiện là sin 3x = 4 − m2 = 0 ⇔ m = ±2. 3 3 Chọn đáp án C
Câu 90. Cho phương trình (1 + cos x)(cos 4x − m cos x) = m sin2 x. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 π
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc 0; . 3 1
A m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞). B m ∈ − ; 1 . 2 1 1 C m ∈ − ; . D m ∈ (−1; 1). 2 2 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 36
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình đã cho tương đương
(1 + cos x)(cos 4x − m cos x) = m(1 − cos x)(1 + cos x) "1 + cosx = 0 ⇔
cos 4x − m cos x = m − m cos x 2 π ⇔ cos 4x = m
do 1 + cos x > 0, ∀x ∈ 0; 3 2 π 8π Do x ∈ o; nên 4x ∈ 0;
. Hình vẽ bên biểu diễn cung lượng giác có y 3 3 8π số đo
. Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng thẳng 3 1
x = m cắt cung lượng giác đó tại 3 điểm. Vậy − 6 m < 1. A 2 1 m x O − 2 Chọn đáp án B
Câu 91. Với mỗi cặp (a; b) (a, b ∈ R), ta đặt M(a; b) là giá trị lớn nhất của f (x) = | cos x + a cos 2x + b cos 3x|.
Gọi M = min M(a; b). Khẳng định nào sau đây đúng? a,b∈R 1 3 1 3 A M ∈ 0; . B M ∈ 1; . C M ∈ ; 1 . D M ∈ ; 2 . 2 2 2 2 Lời giải. √ √ √ √ √ ( ) π 5π 3 a 3 a 3 3 3 max f (x) > max f ; f = max + ; − + > . Do đó M(a; b) > ⇒ M > . 3 6 2 2 2 2 2 2 2 1
Mặt khác xét g(x) = cos x − cos 3x. 6 x = k 1 π
Ta có: g0(x) = 0 ⇔ − sin x +
sin 3x = 0 ⇔ 4 sin3 x − sin x = 0 ⇔ π . 2 x = ± + kπ 6 √ √ √ 5 π 3 3 3 g(kπ) = , g ± + kπ = . Vậy max g(x) = hay M 6 . 6 6 √ 2 2 2 3 Như vậy ta có M = . 2 Chọn đáp án C
Câu 92. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sin6 x + cos6 x = m có nghiệm. √ 1 √ A m ∈ [0; 2]. B m ∈ ; 1 . C m ∈ [0; 1]. D m ∈ [1; 2]. 4 Lời giải. 3 3 1 − cos 4x Ta có sin6 x + cos6 x = 1 − sin2 2x = 1 − . 4 4 2 8m − 5
Phương trình đã cho tương đương với cos 4x = . 3 8m − 5 1
Phương trình đã cho có nghiệm khi −1 6 6 1 ⇔ 6 m 6 1. 3 4 Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 37
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 93. Tìm m để bất phương trình sin x + cos x 6 m + sin 2x có tập nghiệm là R. 5 √ 5 √ A m > . B m > 2 − 1. C m > . D m > − 2 − 1. 4 4 Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Điều kiện − 2 6 t 6 2. Khi đó: 4
t2 = (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x ⇒ sin 2x = t2 − 1.
Bất phương trình đã cho trở thành:
t 6 m + t2 − 1 ⇔ m > −t2 + t + 1. (1) √ √
Yêu cầu bài toán là (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [− 2;
2]. Do đồ thị hàm số f (t) = −t2 + t + 1 là một Parabol có 1 5 đỉnh là I ;
, bề lõm hướng xuống nên ta có bảng biến thiên như sau 2 4 √ 1 √ t − 2 2 2 5 −t2 + t + 1 √ 4 √ − 2 − 1 % & − 2 + 1 5
Vậy yêu cầu bài toán là m > . 4 Chọn đáp án A √
Câu 94. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 4 sin x + m + sin x = 3
psin3 x + 4sinx + m − 8 + 2 có nghiệm thực? A 22. B 18. C 21. D 20. Lời giải.√
Đặt a = 3 4 sin x + m và b = 3 psin3 x + 4sinx + m − 8.
Khi đó: a3 + sin3 x = b3 + 8 và
a + sin x = b + 2 ⇔ (a + sin x)3 = (b + 2)3
⇔a3 + sin3 x + 3a sin x(a + sin x) = b3 + 8 + 3 · b · 2(b + 2) "a + sinx = 0
⇔(a + sin x)(a sin x − 2b) = 0 ⇔ asinx−2b = 0.
TH 1. a + sin x = 0 ⇔ m = − sin3 x − 4 sin x.
Do sin x ∈ [−1; 1] nên − sin3 x − 4 sin x ∈ [−5; 5] hay phương trình có nghiệm khi m ∈ [−5; 5].
TH 2. a sin x − 2b = 0 ⇔ sin3 x(4 sin x + m) = 8(sin3 x + 4 sin x + m − 8)
⇔ 8 − sin3 x m = 4 sin4 x − 8 sin3 x − 32 sin x + 64 ⇔ 8 − sin3 x m = 4(sin x − 2) sin3 −8 ⇔ m = 8 − 4 sin x.
Do sin x ∈ [−1; 1] nên (8 − 4 sin x) ∈ [4; 12] hay phương trình có nghiệm khi m ∈ [4; 12].
Từ hai trường hợp ta thu được m ∈ [−5; 12] hay có 18 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Chọn đáp án B
Câu 95. Giải phương trình 2 (tan x − sin x) + 3(cot x − cos x) + 5 = 0. LATEX bởi Tư Duy Mở 38
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ ! π 1 − 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! A 3π 1 − 2 x = − arcsin √ + k2 (k ∈ π Z). 4 2 3 x = arctan − + kπ 2 √ ! π 1 − 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! B 3π 1 − 2 x = − arcsin √ + k2 (k ∈ π Z). 4 2 3 x = arctan − + k2π 2 √ ! π 1 − 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! C 3π 1 − 2 x = − − arcsin √ + k2 (k ∈ π Z). 4 2 3 x = arctan − + kπ 2 √ ! π 1 − 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 2 √ ! D 3π 1 − 2 x = − arcsin √ + k2 (k ∈ π Z). 4 2 2 3 x = arctan − + kπ 2 Lời giải.
Điều kiện sin 2x 6= 0. Phương trình đã cho tương đương với
2 sin x(sin x − sin x cos x) + 3 cos x(cos x − sin x cos x) + 5 sin x cos x = 0
⇔ (2 sin x + 3 cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) = 0 "2sinx + 3cosx = 0 (1) ⇔
sin x + cos x − sin x cos x = 0 (2)
Giải (1): Do cos x = 0 không thỏa mãn (1) nên (1) tương đương với 3 3 tan x = − ⇔ x = arctan − + kπ (k ∈ Z). 2 2 √ π √ √
Giải (2): Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , t ∈ [− 2; 2]. Khi đó, (2) trở thành 4 √ " t2 − 1 t = 1 + 2 (loại) t −
= 0 ⇔ t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ √ 2 t = 1 − 2. √ ! π 1 − 2 √ x = − + arcsin √ + k2π √ π 1 − 2 4 2 Ta có t = 1 − 2 ⇔ sin x + = √ ⇔ √ ! (k ∈ Z). 4 2 3π 1 − 2 x = − arcsin √ + k2π 4 2 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 39
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 96. Tìm số nghiệm của phương trình cos(3π sin x) = cos(π sin x) trên đoạn [−π; 4π]. A 22. B 20. C 21. D 19. Lời giải. sin x = k cos(3 sin x
π sin x) = cos(π sin x) ⇔ 3π sin x = ±π sin x + k2π ⇔ k sin x = . 2 sin x = 0 1 2 Vì −1 6 sin sin x = ±1 x 6 1 và k ∈ Z nên
. Dựa vào đường tròn lượng giác, phương cos x 1 O sin x = ± 2 − 12
trình có 21 nghiệm trên đoạn [−π; 4π]. kπ x = 2 π 5π Hoặc x = + k2π; x = + k2π ⇒ k có 21 giá trị. 6 6 π 7π x = − + k2π; x = + k2π 6 6 Chọn đáp án C
Câu 97. Cho phương trình m(sin x + cos x) + sin 2x = 0. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0; π]. √ √ − 2 2 √ √ A 6 m 6 0. B 0 6 m 6 . C − 2 6 m 6 0. D 0 6 m 6 2. 2 2 Lời giải. √ t2 − 1
Đặt sin x + cos x = t, |t| 6 2, suy ra sin x cos x = . 2
Khi đó, phương trình đã cho trở thành: mt + t2 − 1 = 0 ⇔ t2 + mt − 1 = 0 (1). Với x ∈ [0; π] thì: π π 5π 0 6 x 6 π ⇔ 6 x + 6 4 4 4 √2 π ⇔ − 6 sin x + 6 1 2 4 √ √ π ⇔ −1 6 2 sin x + 6 2 4 √ ⇔ −1 6 t 6 2. √
Vậy để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc [0; π] thì (1) có đúng 2 nghiệm thỏa −1 6 t 6 2. Nghĩa là ta cần có: m2 + 4 > 0 t 1 + t2 + t1t2 + 1 > 0 (t ( 1 + 1) (t2 + 1) > 0 ∆ > 0 t √ ⇔ t 1 + t2 + 2 > 0 1 + t2 + 2 > 0 ⇔ √ −1 6 t √ √ 1 < t2 6 2 t 2 (t 1t2 − 1 + t2) + 2 > 0 √ t1 − 2 t2 − 2 > 0 √ t 2 1 + t2 − 2 6 0 t1 + t2 − 2 2 6 0 −m − 1 + 1 m 6 0 > 0 √ m 6 2 −m + 2 > 0 − 2 ⇔ √ ⇔ −1 ⇔ 6 m 6 0. −1 + 2m + 2 m > √ 2 > 0 √ 2 √ −m − 2 2 6 0 m > −2 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 40
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ − 2 Vậy
6 m 6 0 là giá trị cần tìm của m. 2 Chọn đáp án A √
Câu 98. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình 3 pm + 3 3 m + 3cosx = cosx có nghiệm thực? A 5. B 2. C 3. D 7. Lời giải. √ √ • Ta có: 3
pm + 3 3 m + 3cosx = cosx ⇔ m + 3 3 m + 3cosx = cos3x. √
• Đặt 3 m + 3 cos x = u ⇒ m + 3 cos x = u3 thì phương trình trên trở thành m + 3u = cos3x.
• Đặt cos x = v thì ta được
(m + 3v = u3 ⇒ 3(v−u)+(v−u) v2+uv+u2 = 0 ⇔ (v−u) 3+v2+uv+u2 = 0. m + 3u = v3
Do 3 + v2 + uv + u2 > 0, ∀u, v nên phương trình trên tương đương u = v. √
Suy ra 3 m + 3 cos x = cos x ⇔ m = cos3x − 3 cos x.
• Đặt cos x = t, (−1 6 t 6 1) và xét hàm f (t) = t3 − 3t trên [−1; 1].
Ta có f 0(t) = 3t2 − 3 6 0, ∀t ∈ [−1; 1].
Nên hàm số nghịch biến trên [−1; 1] ⇒ −1 = f (1) 6 f (t) 6 f (−1) = 2 ⇒ −2 6 m 6 2. • Vậy m ∈ {−2; −1}. Chọn đáp án B
Câu 99. Cho m < p là hai số nguyên dương trong đó m chẵn, p lẻ. Gọi n là số nghiệm của phương trình
sin mx + sin px = 0 trên khoảng (0; π). Tính giá trị của n theo m và p. A p − m. B 2p − m − 3. C p − 1. D m − 1. Lời giải. k2π π k2π
sin mx + sin px = 0 ⇔ sin px = sin(−mx) ⇔ x = hoặc x = + . m + p p − m p − m k2π m + p m + p − 1 • 0 < < π ⇔ 0 < k < ⇔ k = 1, 2, . . . , . m + p 2 2 π k2π 1 p − m − 1 p − m − 3 • 0 < + < π ⇔ − < k < ⇔ k = 0, 1, . . . , . p − m p − m 2 2 2 r2π π s2π
• Giả sử tồn tại hai số nguyên r, s sao cho = +
⇒ 2r(p − m) = (1 + 2s)(p + m), do p lẻ, m m + p p − m p − m
chẵn nên không thể xảy ra đẳng thức. m + p − 1 p − m − 3 Vậy phương trình có + + 1 = p − 1 nghiệm. 2 2 Chọn đáp án C √
Câu 100. Cho phương trình sin 2x + 2 2m(sin x − cos x) + 1 − 4m = 0. Tìm m để tập nghiệm của phương
trình được biểu diễn bởi nhiều hơn 1 điểm trên đường tròn lượng giác? 1 1 1 1 A 0 6 m < 1.
B m < − ∨ m > . C − 6 m < .
D m < 0 ∨ m > 1. 2 2 2 2 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 41
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ π √ Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − , |t| 6 2. 4
Khi đó, phương trình đã cho trở thành: √ t2 − 2 2mt + 4m − 2 = 0 0
∆ = 2m2 − 4m + 2 = 2(m − 1)2 √ √
Suy ra phương trình có nghiệm là: t = 2 hoặc t = 2(2m − 1). √ 3π • t = 2 ⇔ x =
+ k2π (k ∈ Z). Những nghiệm này được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác. 4 √ √ • t =
2(2m − 1) nhận được khi |t| 6
2 ⇔ |2m − 1| 6 1 ⇔ 0 6 m 6 1.
Do đó, để tập nghiệm của phương trình có nhiều hơn 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì m phải thỏa 2 điều kiện: (0 6 m 6 1 √ √ ⇔ 0 6 m < 1. 2(2m − 1) 6= 2
Vậy 0 6 m < 1 thì tập nghiệm của phương trình được biểu diễn nhiều hơn 1 điểm trên đường tròn lượng giác. Chọn đáp án A
Câu 101. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin4 x + cos4 x. 1 A 0. B . C 1. D 2. 2 Lời giải.
Ta có y = sin4 x + cos4 x = sin4 x + (1 − sin2 x)2 = 2 sin4 x − 2 sin2 x + 1.
Đặt u = sin2 x, ta có 0 6 u 6 1.
Do đó y = f (u) = u2 − 2u + 1. 1 1 min y = min f (u) = f = . x∈[0; π ] u∈(0;1) 2 2 2 1 π Dấu bằng xảy ra khi u = hay x = . 2 4 Chọn đáp án B
Câu 102. Tìm tập giá trị của m để phương trình 2 sin2 x − m sin 2x + (m + 1) cos2 x = 1 không có 2 nghiệm π thuộc 0; . 2 A (−∞; 1]. B [0; 1]. C (−∞; 0). D (1; +∞). Lời giải.
Phương trình ⇔ sin2 x − 2m sin x cos x + m cos2 x = 0.
Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Với cos x 6= 0, chia cả hai vế cho cos2 x ta được tan2 x − 2m tan x + m = 0. π
Đặt t = tan x, với x ∈ 0;
thì t > 0. Phương trình trở thành t2 − 2mt + m = 0. 2 π
Để phương trình có hai nghiệm thuộc 0;
thì phương trình theo ẩn t phải có hai nghiệm thuộc (0; +∞). 2 0 ∆ > 0 m2 − m > 0 b ⇔ − > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 1. a c m > 0 > 0 a π
Vậy để phương trình đã cho không có 2 nghiệm thuộc 0; thì m 6 1. 2 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 42
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 103. Định tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos4 x + (1 − cos x)4 = m vô nghiệm. 1 1 A m 6 0.
B m < 0 hoặc m > 2. C m < . D m < hoặc m > 17. 8 8 Lời giải. 1 9 1 Đặt t = − cos x, ta có t2 ∈ 0;
. Phương trình đã cho trở thành 2t4 + 3t2 +
− m = 0 (∗). Yêu cầu bài toán tương 2 4 8
đương với các trường hợp sau đây
• TH1: Phương trình (∗) vô nghiệm, tương ứng với m < −1; 1
• TH2: Phương trình (∗) có các nghiệm đều âm, tương ứng với −1 6 m < ; 8 9
• TH3: Phương trình (∗) có một nghiệm lớn hơn
, từ đó tìm được m > 17. 4 1 Như vậy, m <
hoặc m > 17 là các giá trị cần tìm của tham số m. 8 Chọn đáp án D cos x − 2 sin x
Câu 104. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = lần lượt là: 2 − sin x 1 1 1 A M = ; m = − . B M = ; m = −2. 2 √ 2 √ 2 −2 + 19 −2 − 19 2 C M = ; m = . D M = 1; m = − . 3 3 3 Lời giải. cos x − 2 sin x Ta có y =
⇔ y(2 − sin x) = cos x − 2 sin x ⇔ (y − 2) sin x + cos x = 2y (∗). 2 − sin x
Phương trình (∗) có nghiệm khi và chỉ khi
(y − 2)2 + 1 > (2y)2 ⇔ y2 − 4y + 4 + 1 > 4y2 ⇔ 3y2 + 4y − 5 6 0 √ √ −2 − 19 −2 + 19 ⇔ 6 y 6 . 3 3 √ √ −2 + 19 −2 − 19 Từ đó ta có M = ; m = . 3 3 Chọn đáp án C sin x
Câu 105. Tìm tập xác định D của hàm số y = . cos2 x − sin2 x π kπ n π o A D = R \ + , k ∈ Z . B D = R \ + kπ, k ∈ Z . 4 2 4 n π o kπ C D = R \ + kπ, k ∈ Z . D D = R \ , k ∈ Z . 2 2 Lời giải. π kπ
Điều kiện cos2 x − sin2 x 6= 0 ⇔ cos 2x 6= 0 ⇔ x 6= + . 4 2 Chọn đáp án A
Câu 106. Tổng giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = sin2 x + sin x cos x + 2 cos2 x là √ 3 √ 3 2 A . B 2. C 3. D + . 2 2 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 43
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Lời giải. 1 1 + cos 2x 3 1
A = 1 + sin x cos x + cos2 x = 1 + sin 2x + = + (sin 2x + cos 2x). 2 √ 2 2√ 2 √ √ 3 2 3 2 Vì − 2 6 sin 2x + cos 2x 6 2 nên − 6 A 6 + . 2 2 2 2 Vậy min A + max A = 3. Chọn đáp án C
Câu 107. Xét phương trình 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x − cos4 x. Gọi M, m lần lượt là nghiệm lớn nhất và nhỏ
nhất của phương trình trong khoảng (0; 100π). Tính tổng M + m. A 98π. B 101π. C 100π. D 99π. Lời giải. cos x = −2
Phương trình tương đương với 2 cos2 x + 5 cos x + 2 = 0 ⇔ 1 . cos x = − 2 1 2π Phương trình cos x = − ⇔ x = ± + k2π. 2 3 2π 2π 296π
Trong khoảng (0; 100π) giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của họ nghiệm x = + k2π lần lượt là và . 3 3 3 2π 4π 298π
Trong khoảng (0; 100π) giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của họ nghiệm x = − + k2π lần lượt là và . 3 3 3 Vậy M + m = 100π. Chọn đáp án C 1 + cos 2x sin 2x Câu 108. Phương trình = tương đương với cos x 1 − cos 2x kπ x = 4 k2 A π π x = + (k ∈ Z).
B 1 − cos2 2x = sin 2x cos x. 6 3 π x = − k2π 2 π x = + k2π 6
C sin 2x(sin 2x + cos x) = 0. D (k ∈ Z). 5π x = − k2π 6 Lời giải.
Điều kiện: sin x cos x 6= 0. Phương trình đã cho tương đương π x = + k2π 2 cos2 x 2 sin x cos x 6 = ⇔ 2 sin x = 1 ⇔ cos x 2 sin2 x 5π x = + k2π. 6 Chọn đáp án D
Câu 109. Xét phương trình cos2 x + (a + b) cos x + 2a − b = 0 với a, b là tham số. Có bao nhiêu bộ số thực
(a, b) để các nghiệm của phương trình đã cho có điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là ba đỉnh của một tam giác đều? A 2. B 0. C Vô số. D 1. Lời giải.
Đặt t = cos x, ta được phương trình t2 + (a + b)t + 2a − b = 0 (1).
Các điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình cos x = t đối xứng nhau qua trục Ox. 1 1
Từ giả thiết, phương trình (1) phải có một nghiệm t = 1 và một nghiệm t = −
hoặc t = −1 và một nghiệm t = . 2 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 44
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 1 1 a + b = − a + b =
Từ đó có hai hệ phương trình 2 và 2 . 1 1 2a − b = − 2a − b = − 2 2
Giải các hệ này, được 2 bộ số (a, b). Chọn đáp án A
Câu 110. Xét phương trình 2 sin2 x + (m2 − 1) sin x + 2m + 1 = 0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị thực
của tham số m để điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là bốn đỉnh
của một hình chữ nhật? A 0. B 1. C 2. D 3. Lời giải.
Đặt t = sin x, được phương trình 2t2 + (m2 − 1)t + 2m + 1 = 0 (1).
Các điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình sin x = t đối xứng nhau qua trục Oy.
Từ giả thiết, phải có hai điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đối xứng nhau qua gốc tọa độ, từ đó phương trình
(1) phải có hai nghiệm đối nhau, từ đó có m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1.
Với m = 1 thì (1) trở thành 2t2 + 3 = 0. Phương trình này vô nghiệm. 1
Với m = −1 thì (1) trở thành 2t2 − 1 = 0 ⇔ t = ± √ . Dễ thấy các nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 Chọn đáp án B 1 − cos3 x
Câu 111. Giải phương trình tan2 x = . 1 − sin3 x √ ! π −1 + 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! 3π −1 + 2 A x = − arcsin √ + k2π (k ∈ Z). 4 2 x = kπ π x = + kπ 4 √ ! π −1 + 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! 3π −1 + 2 B x = − arcsin √ + k2π (k ∈ Z). 4 2 x = k2π π x = + k2π 4 √ ! π −1 + 2 x = − + arcsin √ + kπ 4 2 √ ! 3π −1 + 2 C x = − arcsin √ + kπ (k ∈ Z). 4 2 x = k2π π x = + kπ 4 √ ! π −1 + 2 x = − + arcsin √ + k2π 4 2 √ ! 3π −1 + 2 D x = − arcsin √ + k2π (k ∈ Z). 4 2 x = k2π π x = + kπ 4 LATEX bởi Tư Duy Mở 45
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Lời giải.
Điều kiện cos x 6= 0. Phương trình đã cho tương đương với 1 − cos2 x 1 − cos3 x = 1 − sin2 x 1 − sin3 x
⇔ (1 − cos2 x)(1 − sin3 x) = (1 − cos3 x)(1 − sin2 x)
⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x + sin2 x)
= (1 − sin x)(1 + sin x)(1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x)
⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 + sin x)(1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x) "1 − cosx = 0 (1) ⇔
(1 + cos x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 + sin x)(1 + cos x + cos2 x) (2)
Giải (1): 1 − cos x = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). Giải (2):
(1 + cos x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 + sin x)(1 + cos x + cos2 x)
⇔ 1 + sin x + sin2 x + cos x + cos x sin x + cos x sin2 x
= 1 + cos x + cos2 x + sin x + sin x cos x + sin x cos2 x
⇔ sin2 x − cos2 x + sin2 x cos x − sin x cos2 x = 0
⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0 " sinx = cosx (3) ⇔
sin x + cos x + sin x cos x = 0. (4) π
Giải (3): sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z). 4 √ π √ √
Giải (4): Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , t ∈ [− 2; 2]. Khi đó, (4) trở thành 4 √ t2 − 1 t = −1 − 2 (loại) t + = 0 ⇔ t2 + 2t − 1 = 0 ⇔ √ 2 t = −1 + 2 √ ! π −1 + 2 √ x = − + arcsin √ + k2π √ π −1 + 2 4 2 Ta có t = −1 + 2 ⇔ sin x + = √ ⇔ √ ! 4 2 3π −1 + 2 x = − arcsin √ + k2π 4 2 với k ∈ Z. Chọn đáp án D
Câu 112. Phương trình cos(sin x) = 1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (−2π; 4π)? A 6. B 8. C 5. D 7. Lời giải.
Ta có cos(sin x) = 1 ⇔ sin x = k2π (*).
Điều kiện để (*) có nghiệm là −1 6 k2π 6 1 ⇒ k = 0.
Do đó (*) ⇔ sin x = 0 ⇔ x = lπ. Vì x ∈ (−2π; 4π) nên l ∈ {−1; 0; 1; 2; 3}. Chọn đáp án C
Câu 113. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2023) của phương trình lượng giác √ √
3 (1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4
3 + 1 sin x. Tổng tất cả các phần tử của S là 312341 310408 A π . B 104760π. C 102827π. D π . 3 3 LATEX bởi Tư Duy Mở 46
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Lời giải. √ √ Ta có
3 (1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x √ √
⇔ 2 3 sin2 x + 2 sin x cos x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x √
⇔ 2 3 sin x (sin x − 2) + 2 cos x (sin x − 2) = 4 (sin x − 2) √
⇔ 2 3 sin x + 2 cos x = 4 (vì sin x 6 1 < 2 ) √ π π ⇔
3 sin x + cos x = 2 ⇔ sin x cos + cos x sin = 1 6 6 π π π π ⇔ sin x + = 1 ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 6 6 2 3 π 1 2023
Theo đề bài x ∈ (0; 2023) ⇒ + k2π ∈ (0; 2023) ⇒ 2k + ∈ 0; ⇒ k ∈ {0; 1; . . . ; 321}. 3 3 π
Tổng tất cả các phần tử của S là π π 310408 322 ·
+ (0 + 1 + 2 + · · · + 321)2π = 322 · + 51681 · 2π = π . 3 3 3 Chọn đáp án D
Câu 114. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin4 x + (sin x − 1)4 = m có nghiệm h π π i thuộc khoảng ; . 6 2 1 1 1 A 6 m 6 1. B m > . C < m 6 1. D m 6 1. 8 8 8 Lời giải. 1 h π π i 1 1 Đặt t = sin x − , x ∈ ; ⇒ sin x ∈ ; 1 ⇒ t ∈ 0; . 2 6 2 2 2 1
Phương trình đã cho trở thành 2t4 + 3t2 + = m. 8 1 1 1 Đặt u = t2, u ∈ 0;
, lập bảng biến thiên của g(u) = 2u2 + 3u + , u ∈ 0; . 4 8 4 1
Phương trình m = g(u) có nghiệm tương đương 6 m 6 1. 8 Chọn đáp án A
Câu 115. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
sin 2x − 4(sin x − cos x) − m = 0 có nghiệm. √ √ √ A m 6 4 2 − 1.
B −4 2 − 1 6 m 6 4 2 − 1. √ √ C m < 4 2 − 1. D m > −4 2 − 1. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với sin 2x − 4(sin x − cos x) = m. √ π √ Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − , |t| 6 2. 4 h √ √ i
Phương trình đã cho trở thành −t2 − 4t + 1 = m, t ∈ − 2; 2 . √ √
Lập bảng biến thiên của f (t) = −t2 − 4t + 1 ⇒ m = f (t) có nghiệm khi và chỉ khi −1 − 4 2 6 m 6 −1 + 4 2. Chọn đáp án B
Câu 116. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình sin3 x − cos3 x = m có nghiệm. √ √ 1 1 A −1 6 m 6 1. B −1 < m < 1. C 2 6 m 6 2. D − 6 m 6 . 2 2 Lời giải.
Ta có sin3 x − cos3 x = m ⇔ (sin x − cos x) (1 + sin x cos x) = m. h √ √ i
Đặt t = sin x − cos x,t ∈ − 2;
2 , phương trình trên trở thành −t3 + 3t = 2m. LATEX bởi Tư Duy Mở 47
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ √
Cách 1: Xét hàm số f (t) = −t3 + 3t trên [− 2; 2]. h √ √ i h √ √ i
• Ta có f (t)+2 = −t3 +3t +2 = (t +1)2(2−t) > 0, ∀t ∈ − 2; 2 . Đẳng thức xảy ra khi t = −1 ∈ − 2; 2 . Suy ra min √ √ f (t) = −2. [− 2; 2] h √ √ i h √ √ i
• Ta có f (t)−2 = −t3 +3t −2 = −(t −1)2(2+t) 6 0, ∀t ∈ − 2; 2 . Đẳng thức xảy ra khi t = 1 ∈ − 2; 2 . Suy ra max √ √ f (t) = 2. [− 2; 2]
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −2 6 2m 6 2 ⇔ −1 6 m 6 1. √ √
Cách 2: Xét hàm số f (t) = −t3 + 3t trên [− 2;
2] ta có bảng biến thiên sau: √ √ t − 2 −1 1 2 f 0(t) − 0 + 0 − √ − 2 2 f (t) √ −2 − 2
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 6 m 6 1. Chọn đáp án A
Câu 117. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin4 x + cos 4x lần lượt là 5 5 A 3 và −5 . B 4 và −5. C 4 và − . D 3 và − . 11 11 Lời giải. 1 − cos 2x 2 11 3 1 y = 3 + 2cos22x − 1 = cos22x − cos 2x − 2 4 2 4 11 3 1
Đặt t = cos 2x, −1 6 t 6 1. Ta có hàm số y = t2 − t − . 4 2 4 Bảng biến thiên 3 t −1 1 11 4 1 y 5 − 11 5
Vậy max y = 4 và min y = − . 11 Chọn đáp án C 2 + cos x
Câu 118. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = lần lượt là: sin x + cos x − 2 1 1 A M = ; m = −3. B M = − ; m = −3. 3 3 √ √ 1 −5 + 19 −5 − 19 C M = 3; m = − . D M = ; m = . 3 2 2 Lời giải. 2 + cos x Ta có y =
⇔ y(sin x + cos x − 2) = 2 + cos x sin x + cos x − 2
⇔ y · sin x + y · cos x − 2y = 2 + cos x ⇔ y · sin x + (y − 1) · cos x = 2 + 2y LATEX bởi Tư Duy Mở 48
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi y2 + (y − 1)2 > (2 + 2y)2 √ √ −5 − 19 −5 + 19 ⇔ 2y2 + 10y + 3 6 0 ⇔ 6 y 6 . √ 2 √ 2 −5 + 19 −5 − 19 Vậy max y = , min y = . 2 2 Chọn đáp án D r 1 − cos x
Câu 119. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 + cos x n π o
A D = R \ {k2π, k ∈ Z}. B D = R \ + kπ, k ∈ Z . 2 C D = R.
D D = R \ {π + k2π, k ∈ Z}. Lời giải. 1 − cos x Điều kiện > 0. 1 + cos x
Vì −1 6 cos x 6 1 nên 1 − cos x > 0 và 1 + cos x > 0 với mọi x ∈ R.
Do đó điều kiện xác định là 1 + cos x 6= 0 ⇔ x 6= π + k2π. Chọn đáp án D
Câu 120. Phương trình sin2 x − sin 2x + 2 cos2 x = 1 tương đương với phương trình nào? A −2 tan x + 1 = 0.
B cos x(2 sin x − 1) = 0.
C sin x(2 sin x − 1) = 0.
D tan x(−2 tan x + 1) = 0. Lời giải.
sin2 x − sin 2x + 2 cos2 x = 1
⇔ −(1 − sin2 x) − 2 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ cos x(−2 sin x + 1) = 0. Chọn đáp án B
Câu 121. Cho phương trình chứa tham số thực m
(m − 2 sin x) (m sin x − 2) = (m cos x − 2) (m − 2 cos x)
Khi m 6= 0, phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20π; 25π]? A 6. B 5. C 4. D 3. Lời giải.
Phương trình tương đương với π x = + kπ 4 (cos
x − sin x) 2m(cos x + sin x) − (m2 + 4) = 0 ⇔ m2 + 4 π sin x + = √ (∗) 4 2m 2 m2 + 4 √ 2
Phương trình (∗) có nghiệm tương đương với √ 6 1 ⇔ |m| − 2 + 2 6 0 (vô lí). 2|m| 2 π Với m 6= 0 có 20π 6
+ kπ 6 25π ⇒ k ∈ {20, 21, 22, 23, 24}. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thỏa mãn yêu 4 cầu bài toán. Chọn đáp án B
(1 + cos 2x + sin 2x) cos x + cos 2x
Câu 122. Tìm số nghiệm của phương trình = cos x trong khoảng 1 + tan x π 0; . 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 49
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com A 1. B 2. C 0. D 3. Lời giải. π Trong khoảng 0;
phương trình đã cho tương đương 2
(sin x + cos x)[(sin x + cos x + cos x − sin x) cos x + cos x − sin x − 1] = 0
⇔ (sin x + cos x)(cos x − sin x)(cos x + sin x + 1) = 0 √ π 2 sin x + = 0 sin x + cos x = 0 4 √ π ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ 2 cos x + = 0 4 sin x + cos x + 1 = 0 π 1 sin x + = − √ 4 2 π x = − + kπ 4 π x = + kπ ⇔ 4 π x = − + k2 π 2 π x = + k2π. 2 π π Vì x ∈ 0; nên x = . 2 4 Chọn đáp án A
Câu 123. Gọi x1, x2, . . . , xn là tất cả các nghiệm của phương trình cos 1009x − cos 1008x = 0 với 0 < x < π.
Tính tổng S = cos x1 + cos x2 + · · · + cos xn. 1 3 A 0. B − . C − . D −1. 2 4 Lời giải. k2π
cos 1009x − cos 1008x = 0 ⇔ x = hoặc x = k2π (loại). 2017 k2π 2π 4π 6π 2π 8π 4π Ta có 0 <
< π ⇔ k = 1, 2, . . . , 1008. 2 sin × S = sin + sin − sin + sin − sin + 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 10π 6π 2018π 2014π 2π 1 sin − sin + · · · + sin − sin = − sin ⇒ S = − . 2017 2017 2017 2017 2017 2 Chọn đáp án B
Câu 124. Tính tổng S của tất cả các nghiệm của phương trình cos2 x − sin2 x = 1 trên đoạn [−π; 2π]. A S = 6π. B S = 4π. C S = −π. D S = 2π. Lời giải. Ta có
cos2 x − sin2 x = 1 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ x = kπ.
Vì x ∈ [−π; 2π] nên ta có các nghiệm là x = −π; x = 0; x = π; x = 2π. Vậy S = 2π. Chọn đáp án D
Câu 125. Tìm m để phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = 0 có nghiệm. √ √ −1 − 2 2 3 − 2 2 A 6 m 6 1. B m > . 2 √ 2 3 − 2 2 C m < 1. D < m < 1. 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 50
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , t ∈ [− 2;
2]. Khi đó, phương trình đã cho trở thành 4
t2 − 1 −t +m = 0 ⇔ t2 −2t +2m−1 = 0 ⇔ t2 −2t −1 = −2m. (*) 2 √ √ √ √ √ √
Đặt f (t) = t2 − 2t − 1 với t ∈ [− 2;
2]. Ta có f (− 2) = 2 2 + 1, f ( 2) = 1 − 2 2 và f (1) = −2. √ √ t − 2 1 2 a > 0 − 0 + √ √ f (− ( 2) f ( 2) f (t) f (1 ( ) 1 √ √
Số nghiệm của (∗) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) với t ∈ [− 2;
2] và đường thẳng y = −2m. Dựa vào √ √ √ √ −1 − 2 2
bảng biến thiên, ta thấy (*) có nghiệm t ∈ [− 2;
2] khi và chỉ khi −2 6 −2m 6 2 2 + 1 ⇔ 6 m 6 1. 2 Chọn đáp án A √
Câu 126. Tìm số nghiệm của phương trình x − x2 · sin 2017x = 0. A 643 nghiệm. B 644 nghiệm. C 645 nghiệm. D 642 nghiệm. Lời giải.
Tập xác định của phương trình là x − x2 > 0 ⇔ x ∈ [0; 1] . Khi đó "p x ∈ [0; 1] p x − x2 = 0 x − x2 · sin 2017x = 0 ⇔ ⇔ kπ sin 2017x = 0 x = . 2017 2017
Kết hợp với tập xác định, ta có 0 6 k 6
⇔ k ∈ {0; 1; 2; . . . ; 642}. Vậy phương trình có 644 nghiệm. π Chọn đáp án B √ π 3 1
Câu 127. Tổng tất cả các nghiệm thuộc 0;
của phương trình 8 sin x = + là 2 cos x sin x 7π π 3π π A . B . C . D . 12 6 2 12 Lời giải. π Điều kiện x 6= k
với k ∈ Z. Phương trình đã cho tương đương với 2 √ √ 8 sin2 x cos x =
3 sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos 2x) cos x = 3 sin x + cos x √ √ ⇔ − 4 cos 2x cos x =
3 sin x − 3 cos x ⇔ −2(cos 3x + cos x) = 3 sin x − 3 cos x √ π x = + k 1 3 π π ⇔ cos 3 6 x = cos x − sin x ⇔ cos 3x = cos x + ⇔ 2 2 3 π π x = − + k . 12 2 π π 5π
Khi đó các nghiệm của phương trình thuộc 0; là x = , x =
. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình thuộc 2 6 12 π 7π 0; bằng . 2 12 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 51
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π
Câu 128. Gọi m là số nghiệm của phương trình cos 2x −
= −1 thuộc đoạn [0; 50]. Khẳng định nào sau 4 đây là đúng? A m > 17. B 0 < m 6 8. C 13 < m 6 17. D 8 < m 6 13. Lời giải. Ta có π π 5π cos 2x − = −1 ⇔ 2x − = π + k2π ⇔ x = + kπ. 4 4 8
Vì x ∈ [0; 50] nên 0 6 k 6 15. Suy ra m = 16. Chọn đáp án C 3 sin x
Câu 129. Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn cos x + 2
[0; π] . Tính tổng T = M + m. √ 2 A T = 1. B T = 3. C T = 0. D T = . 3 Lời giải. 3 sin x Ta có y = ⇔ 3 sin x − y cos x = 2y. (1) 2 + cos x √
Điều kiện có nghiệm của phương trình (1) cho ta |y| 6 3. 3 sin x
Mặt khác với x ∈ [0; π] thì y = > 0. cos x + 2 √ Do đó M = 3, m = 0. Chọn đáp án B
Câu 130. Tìm m để phương trình sin x + cos x = m + sin 2x vô nghiệm. 5 5 5 5 m > m > m > m > A 4 √ . B 4 √ . C 4 √ . D 4 √ . m < −1 − 2 m 6 −1 − 2 m 6 −1 − 2 m < −1 − 2 Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , t ∈ [− 2;
2]. Khi đó, phương trình đã cho trở thành 4
t = t2 + m − 1 ⇔ t2 − t = 1 − m. (*) √ √ √ √ √ √ 1 1
Đặt f (t) = t2 − t với t ∈ [− 2; 2]. Ta có f (− 2) = 2 + 2, f ( 2) = 2 − 2 và f = − . 2 4 √ 1 √ t − 2 2 2 a > 0 − 0 + √ √ f (− ( 2) f ( 2) f (t) 1 1 f 2 √ √
Số nghiệm của (∗) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) với t ∈ [− 2;
2] và đường thẳng y = 1 − m. Dựa vào
bảng biến thiên, ta thấy (∗) vô nghiệm khi và chỉ khi " 1 5 1 − m < − m > 4 √ ⇔ 4 √ 1 − m > 2 + 2 m < −1 − 2. LATEX bởi Tư Duy Mở 52
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Chọn đáp án A
Câu 131. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm thuộc h π π i đoạn − ; . 2 2 A −2 6 m 6 6. B 1 6 m 6 3. C −3 6 m 6 1. D −1 6 m 6 3. Lời giải. Cách 1. x x Ta có cos
không là nghiệm của phương trình. Đặt t = tan . Từ phương trình và giả thiết, yêu cầu bài toán trở thành 2 2
tìm m để phương trình f (t) = t2 − 4t + 1 = 2m có nghiệm t ∈ [−1; 1]. Bảng biến thiên t −1 1 f (− ( 1 − ) y f (1 ( )
Trên đoạn [−1; 1] hàm f (t) nghịch biến, vì vậy phương trình f (t) = 2m có nghiệm khi và chỉ khi
⇔ f (1) 6 2m 6 f (−1) ⇔ −1 6 m 6 3. x
Cách 2. Do m + 1 − m 6= 0 nên cos
= 0 không là nghiệm của phương trình (1). 2 x 2t 1 − t2
Đặt t = tan . Khi đó sin x = ; cos x =
. Phương trình (1) trở thành 2 1 + t2 1 + t2
f (t) = t2 − 4t + 1 − 2m = 0 (2) h π π i x h π π i
Để (1) có nghiệm x ∈ − ; ⇔ ∈ − ;
, thì phương trình (2) có nghiệm t ∈ [−1; 1]. 2 2 2 4 4
Trường hợp 1. Phương trình (2) có một nghiệm t ∈ (−1; 1) và một nghiệm t / ∈ [−1; 1]
⇔ f (−1). f (1) < 0 ⇔ (6 − 2m)(−2 − 2m) < 0 ⇔ −1 < m < 3
Trường hợp 2. Phương trình có hai nghiệm thỏa 0 ∆ > 0 2m + 3 > 0 1. f (−1) > 0 6 − 2m > 0 −1 < t1 6 t2 < 1 ⇔ 1. f (1) > 0 ⇔ − 2 − 2m > 0 S − 1 < 2 < 1 − 1 < < 1 2 hệ vô nghiệm.
Trường hợp 3. Xét f (−1) = 0 ⇔ m = 3, thỏa mãn.
Trường hợp 4. Xét f (1) = 0 ⇔ m = −1, thỏa mãn. Vậy −1 6 m 6 3. Chọn đáp án D π tan x cot x + − π Câu 132. Phương trình = 4
có bao nhiêu nghiệm trong đoạn , 6π ? 1 − tan2 x 2 2 A 19. B 12. C 18. D 11. Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 53
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π tan x cot x + π = 4 ⇔ tan 2x = cot x + . (1) 1 − tan2 x 2 4 π π kπ 2x 6= + kπ x 6= + Điều kiện: 2 ⇔ 4 2 , k ∈ π − Z. π x + 6= k π x 6= + k 4 π 4 π π π π π kπ Khi đó: (1) ⇔ cot − 2x = cot x + ⇔ − 2x = x + + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z. 2 4 2 4 12 3 − π Trong đoạn
, 6π có 19 nghiệm, nhưng do điều kiện nên còn 12 nghiệm. 2 Chọn đáp án B
Câu 133. Phương trình tan 2x + tan x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [−4π; 5π]? A 27. B 18. C 28. D 19. Lời giải. π π kπ 2x 6= + kπ x 6= + Điều kiện: 2 ⇔ 4 2 , k ∈ π Z. π x 6= + k π x 6= + kπ 2 2 Khi đó:
tan 2x + tan x = 0 ⇔ tan 2x = − tan x ⇔ tan 2x = tan(−x) ⇔ 2x = −x + kπ kπ ⇔ 3x = kπ ⇔ x =
, k ∈ Z (thỏa điều kiện) 3 kπ
Mà x ∈ [−4π, 5π] nên −4π 6 6 5π ⇔ −12 6 k 6 15 3 Vậy, số nghiệm là 28. Chọn đáp án C
Câu 134. Cho phương trình sin 2x + 2 cos x + cos 2x − 2 sin x − 1 = 0. Tính tổng S tất cả các nghiệm thuộc
(−π; π) của phương trình đã cho. 2π 6π A S = . B S = −π. C S = . D S = 2π. 3 7 Lời giải.
sin 2x + 2 cos x + cos 2x − 2 sin x − 1 = 0
⇔ (cos x − sin x)(sin x + 1) = 0 π ⇔ cos x + (sin x + 1) = 0 4 π x = + kπ ⇔ 4 π x = − + k2π. 2 π 3π π
Suy ra các nghiệm thuộc (−π; π) là ; − ; − . Vậy S = −π. 4 4 2 Chọn đáp án B
Câu 135. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình | sin x + cos 2x| = m có nghiệm? A 0. B 2. C 3. D 1. Lời giải.
Đặt t = sin x, ta có phương trình m = |2t2 − t − 1|.
Xét hàm số f (t) = |2t2 − t − 1| với t ∈ [−1; 1], được miền giá trị của f (t) là [0; 2].
Do đó, có 3 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. Chọn đáp án C LATEX bởi Tư Duy Mở 54
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 136. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A 16144. B 20179. C 16145. D 20181. Lời giải. Ta có sin 5x − sin x = 0 ⇔ sin 5x = sin x "5x = x + k2π ⇔ 5x = π −x+k2π π x = k ⇔ 2 π π x = + k 6 3 π x = k (k ∈ Z) 2 5 ⇔ π x = + mπ (m ∈ Z) 6 π x = + nπ (n ∈ Z) . 6 π − − 2018π 6 k 6 2018π 4036 6 k 6 4036 2 12113 12103 5π Vì x ∈ [−2018 − π ; 2018π ] nên − 2018 6 m 6 π 6 + mπ 6 2018π ⇔ . Do đó có 8073 giá trị 6 6 6 12109 12107 π − − 2018 + n 6 n 6 π 6 π 6 2018π 6 6 6
k, 4036 giá trị m, 4036 giá trị n, suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 nghiệm. Chọn đáp án C
Câu 137. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình cos2 x + (m − 4) cos x − 2m + 4 = 0 có đúng hai nghiệm h π i x ∈ − ; 2π . 3 m = 1 m = 1 3 3 A 3 . B 1 6 m < . C 1 6 m 6 . D 3 . 6 m 6 3 2 2 < m < 3 2 2 Lời giải. "cosx = 2 − m
Phương trình đã cho tương đương với (cos x − 2)(cos x + m − 2) = 0 ⇔ cosx = 2 > 1(loại). h π i
Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có hai nghiệm x ∈ − ; 2π khi 3 2 − m = 1 m = 1 ⇔ 1 3 − 1 < 2 − m < < m < 3. 2 2 Chọn đáp án D √3 7 π
Câu 138. Phương trình | cos x| =
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn −π; ? 2 2 A 10. B 9. C 11. D 8. Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 55
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ sin x √ 3 3 cos x = | cos x| = ⇔ 2 √ 2 3 cos x = − . 2 √ √ cos x 3 O − 3 7 π 2 2
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có 9 nghiệm trên đoạn −π; . 2 Chọn đáp án B h π π i
Câu 139. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin2 x + 3 cos x trên đoạn − ; . 6 3 9 13 A M = 4. B M = . C M = . D M = 3. 4 4 Lời giải. 1 Đặt t = cos x, t ∈
; 1 . Hàm số được viết lại y = −t2 + 3t + 1. Lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai f (t) = 2 1 −t2 + 3t + 1 trên đoạn ; 1 ta thu được M = 3. 2 Chọn đáp án D
Câu 140. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình m sin x + (m + 1) cos x + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 ∈ [0; 2π] π
và hai nghiệm này cách nhau một khoảng . √ 2 √ √ √ −1 ± 3 −1 − 3 −1 + 3 −1 ± 3 A m = . B m = . C m = . D m 6= . 2 2 2 2 Lời giải. π
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x1 = α; x2 = α + , khi đó 2
m sin α + (m + 1) cos α + 1 = 0
m sin α + (m + 1) cos α + 1 = 0 π π ⇔ π π m sin + (m + 1) cos + 1 = 0 m cos − (m + 1) sin + 1 = 0 α + α + α + α + 2 2 2 2
(m(sinα + cosα) = −1 − cosα ⇔
m(cos α − sin α) = sin α − 1
⇒ (sin α + cos α)(sin α − 1) = (cos α + 1)(sin α − cos α) π √ α = 1 6 −1 ± 3 ⇔ sin α = ⇒ ⇒ m = 2 5π 2 α = 6 √ −1 ± 3
Điều kiện đủ: Thử lại ta thấy m = thỏa mãn điều kiện. 2 Chọn đáp án A √ √ 1 + cos x + 1 − cos x
Câu 141. Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình = 4 sin x trong khoảng cos x
(0; π). Tổng các phần tử của S là 13π 7π 4π 8π A . B . C . D . 15 15 15 15 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 56
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π Điều kiện: x 6=
+ kπ. Phương trình đã cho tương đương với 2 √ x x π k4π 2 cos + sin x = + 2 2 x π = 6 3 4 sin x ⇔ 2 sin + = 2 sin 2x ⇔ cos x 2 4 3π k4π x = + 10 5 π 3π 7π Vậy hai nghiệm là x = , x =
nên tổng các phần tử của S là . 6 10 15 Chọn đáp án B a2 sin2 x + a2 − 2
Câu 142. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình = có nghiệm. 1 − tan2 x cos 2x
A a ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
B a ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞). √
C a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
D a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) \ ± 3 . Lời giải. π x 6= + kπ 2 Điều kiện: 2 (k ∈ . Từ đây dễ thấy để π
Z). Khi đó, ta biến đổi phương trình về dạng sin2 x = 1 + a2 x 6= ± + k π 4 √
phương trình ban đầu có nghiệm thì a2 > 1 và a2 6= 3, tương đương với điều kiện a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) \ ± 3 . Chọn đáp án D √
Câu 143. Số nghiệm của phương trình 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 thuộc khoảng (0; π) là A 4. B 1. C 2. D 3. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với √
4 sin3 x(4 cos3 x − 3 cos x) + 4 cos3 x(3 sin x − 4 sin3 x) + 3 3 cos 4x = 3 √
⇔ − 12 sin3 x cos x + 12 cos3 x sin x + 3 3 cos 4x = 3 √
⇔4 sin x cos x(cos2 x − sin2 x) + 3 cos 4x = 1 √ √ ⇔2 sin 2x cos 2x + 3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x + 3 cos 4x = 1 π π x = − + k π 1 ⇔ sin 4 24 2 x + = ⇔ với k ∈ Z 3 2 π π x = + k 8 2 11π 23π π 5π
Vậy có tất cả 4 nghiệm thuộc khoảng (0; π) là x = , x = , x = , x = . 24 24 8 8 Chọn đáp án A r 2 − sin x
Câu 144. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 − sin x n π o A D = R \ + k2π, k ∈ Z .
B D = R \ {k2π, k ∈ Z}. 2 n π o n π o C D = + kπ, k ∈ Z . D D = + k2π, k ∈ Z . 2 2 Lời giải. 2 − sin x Điều kiện
> 0. Vì −1 6 sin x 6 1 nên 2 − sin x > 0 và 1 − sin x > 0 với mọi x ∈ R. 1 − sin x π
Do đó điều kiện xác định là 1 − sin x 6= 0 ⇔ x 6= + k2π. 2 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 57
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 145. Để phương trình sin6 x + cos6 x = m có nghiệm, tham số m phải thoả mãn điều kiện nào dưới đây? 1 7 1 A 1 6 m 6 2. B −2 6 m 6 −1. C 6 m 6 1. D − 6 m 6 − . 4 4 4 Lời giải.
Cách 1: Dùng phương pháp loại trừ vì 0 6 sin6 x + cos6 x 6 1. 3
Cách 2: Ta có sin6 x + cos6 x = m ⇔ sin2 x + cos2 x3 − 3 sin2 x cos2 x = m ⇔ 1 − sin2 2x = m. 4 1
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6 m 6 1. 4 Chọn đáp án C √ √ 3 sin2 x − 2 sin x cos x − 3 cos2 x
Câu 146. Tìm tập nghiệm của phương trình √ = 0. 2 sin x + 3 4 cos2 x − 3 π π π A + kπ, k ∈ Z . B − + k , k ∈ Z . 3 6 2 π π π π C + kπ; − + kπ, k ∈ Z . D − + (4k + 1) , k ∈ Z . 3 6 6 2 Lời giải. √ 3 sin x 6= − Điều kiện: 2 √ 3 cos x 6= ± . 2 √ √
Phương trình đã cho tương đương với 3 sin2 x − 2 sin x cos x − 3 cos2 x = 0.
Xét thấy cos x = 0 không thỏa phương trình nên ta chia 2 vế cho cos2 x. Ta được √ √ √ tan x = 3√ 3 tan2 x − 2 tan x − 3 = 0 ⇔ 3 tan x = − 3 π x = + kπ ⇔ 3 π x = − + kπ. 6 π π π
Kết hợp với điều kiện ta được x = + k2π = − + (4k + 1) . 3 6 2 Chọn đáp án D √ √ √ Câu 147. Phương trình 1 + 2 (sin x − cos x) + 2 sin x cos x = 1 +
2 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [−π; π]? A 4. B 1. C 2. D 3. Lời giải. √ √ 1 − t2
Đặt t = sin x − cos x,t ∈ [− 2; 2]. Khi đó, sin x cos x = , phương trình trở thành 2 √ √ " 2(1 − t2) √ √ √ √ t = 1 (1 + 2)t + = 1 + 2 ⇔ 2t2 − 2(1 + 2)t + 2 + 2 = 0 ⇔ √ 2 t = 1 + 2 (loại). π √ π π 3π x = + k2π Ta có t = 1 ⇔ − 2 cos x + = 1 ⇔ x + = ± + k2π ⇔ 2 (k ∈ Z). 4 4 4 x = −π + k2π π
Vậy trong đoạn [−π; π] có 3 nghiệm là −π; ; π. 2 Chọn đáp án D LATEX bởi Tư Duy Mở 58
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 148. Tìm nghiệm của phương trình | sin 9x| + | sin 4x| = 0. nπ A x = (n ∈ Z). B x = n3π (n ∈ Z). C x = nπ (n ∈ Z). D x = n2π (n ∈ Z). 2 Lời giải. kπ ( sin9x = 0 x = PT ⇔ ⇔
9 (k,t ∈ Z). Xét phương trình nghiệm nguyên sin 4x = 0 tπ x = 4 kπ tπ t = ⇔ k = 2 + . 9 4 4 tπ 4nπ
Do k,t ∈ Z ⇒ t = 4n (n ∈ Z). Vậy x = = = nπ (n ∈ Z). 4 4 Chọn đáp án C 1 − m sin x Câu 149. Cho hàm số y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá cos x + 2
trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn −2? A 3. B 6. C 9. D 1. Lời giải. Tập xác định: D = R. 1 − m sin x Ta có: y =
⇔ y cos x + m sin x = 1 − 2y. cos x + 2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi √ √ 2 − 1 + 3m2 2 + 1 + 3m2
y2 + m2 > 1 − 4y + 4y2 ⇔ 3y2 − 4y + 1 − m2 6 0 ⇔ 6 y 6 3 3 Theo đề bài, ta có: √ 2 − 1 + 3m2 p min y = < −2 1 + 3m2 > 8 x∈R 3 ⇔ m ∈ [0; 10] m ∈ [0; 10] m ∈ m ∈ Z Z 3 m2 > 63 m2 > 21 ⇔ m ∈ [0; 10] ⇔
m ∈ [0; 10] ⇔ m ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10} m ∈ Z m ∈ Z
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B
Câu 150. Tính tổng các nghiệm của phương trình sin2016 x + cos2016 x = 2 sin2018 x + cos2018 x trong khoảng (0; 2018). 1285 2 1285 2 A π . B (642)2π. C π . D (643)2π. 2 4 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 59
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Ta có
sin2016 x + cos2016 x = 2 sin2018 x + cos2018 x
⇔ sin2016 x − 2 sin2018 x + cos2016x −2 cos2018 x = 0
⇔ sin2016 x 1 − 2 sin2 x + cos2016 x 1 − 2 cos2 x = 0
⇔ sin2016 x cos 2x − cos2016 x cos 2x = 0
⇔ cos 2x sin2016 x − cos2016 x = 0 " cos2x = 0 ⇔ sin2016 x − cos2016 x = 0 " cos2x = 0 ⇔ sin x = ± cos x " cos2x = 0 ⇔ cos2 x − sin2 x = 0 " cos2x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = 0 π kπ ⇔ x = + , k ∈ Z. 4 2
Theo yêu cầu bài toán, ta tìm nghiệm thuộc (0; 2018) nên 0 < x < 2018 π kπ ⇔ 0 < + < 2018 4 2 π kπ π ⇔ − < < 2018 − 4 2 4 1 4036 1 ⇔ − < k < − ≈ 1284,2 2 π 2
⇔ k ∈ {0, 1, 2, . . . , 1284}, (vì k ∈ Z).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; 2018) là 2 π π π 1285 S = 1285 ·
+ (0 + 1 + 2 + · · · + 1284) = (1285 + 1284 · 1285) = π . 4 2 4 2 Chọn đáp án A
Câu 151. Tìm m để phương trình sin x + cos x = m + sin 2x có nghiệm. 5 √ 5 √ 5 5 A m > . B − 2 + 1 6 m 6 . C − 2 − 1 6 m 6 . D m 6 . 4 4 4 4 Lời giải. √ π √ √ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Điều kiện − 2 6 t 6 2. Khi đó 4
t2 = (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x ⇒ sin 2x = t2 − 1.
Phương trình đã cho trở thành t = m + t2 − 1 ⇔ m = −t2 + t + 1 (1) √ √
Yêu cầu bài toán là (1) nghiệm đúng t ∈ [− 2;
2]. Do đồ thị hàm số f (t) = −t2 + t + 1 là một Parabol có đỉnh là 1 5 I ;
, bề lõm hướng xuống nên ta có bảng biến thiên như sau 2 4 LATEX bởi Tư Duy Mở 60
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ 1 √ t − 2 2 2 5 −t2 + t + 1 √ 4 √ − 2 − 1 % & − 2 + 1 √ 5
Vậy yêu cầu bài toán là − 2 − 1 6 m 6 . 4 Chọn đáp án C
Câu 152. Cho phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ π 3π ; . 2 2 A −1 6 m 6 1. B −1 6 m 6 0. C −1 < m < 0. D −1 6 m < 0. Lời giải.
Phương trình tương đương " cos x = m
2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m = 0 ⇔ 1 (*) cos x = . 2 π 3π 1 Với x ∈ ;
, ta có −1 6 cos x < 0. Từ (*), ta loại trường hợp cos x =
và phương trình đã cho có nghiệm 2 2 2 π 3π x ∈ ;
khi và chỉ khi −1 6 m < 0. 2 2 Chọn đáp án D √
Câu 153. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình sin2 x + m + sin x = m có nghiệm thực? A 5. B 4. C 2. D 3. Lời giải.√ Đặt t = m + sin x > 0. ( sin2 x +t = m Ta có
⇔ sin2 x − t2 = −t − sin x ⇔ (sin x + t)(sin x − t + 1) = 0. t2 = m + sin x √
Nếu sin x + t = 0 ⇔ sin x +
m + sin x = 0 ⇔ sin2 x − sin x = m (1). 1
Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ > 0 ⇔ m > − và | sin x| 6 1. 4 √ 1 + 4m + 1 sin x = (1) ⇔ 2 √ 1 − 4m + 1 sin x = . 2 √ 1 + 4m + 1 1 6 1 ⇔ − 6 m 6 0. 2 4 √ 1 − 4m + 1 1 6 1 ⇔ − 6 m 6 2. 2 4
Nếu sin x − t + 1 = 0 ⇔ sin2 x + sin x + 1 − m = 0. 3 3
Giải tương tự như trên ta được 6 m 6 1 hoặc 6 m 6 3. 4 4
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D
Câu 154. Họ nghiệm của phương trình sin 2x − cos 2x + sin x − cos x = 1 được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm
trên đường tròn lượng giác? LATEX bởi Tư Duy Mở 61
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com A 3. B 4. C 6. D 2. Lời giải.
Phương trình tương đương với
2 sin x cos x − 2 cos2 x + sin x − cos x = 0
⇔ 2 cos x(sin x − cos x) + sin x − cos x = 0
⇔ (sin x − cos x)(2 cos x + 1) = 0 π " x = + k sin x − cos x = 0 π 4 ⇔ ⇔ 2 cos x + 1 = 0 2π x = ± + k2π. 3 Chọn đáp án B h π π i
Câu 155. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = tan x + 2 cot x trên đoạn ; . √ 6 4 √ √ 5 3 7 3 A m = 2 2. B m = . C m = 3. D m = . 3 3 Lời giải. 1 2 1 1
Đặt t = tan x, t ∈ √ ; 1 . Khi đó y = t + = t + +
> 2 + 1 = 3. Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3. 3 t t t Chọn đáp án C
Câu 156. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình (m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + 3 có π
2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| = ? 3 A Vô số. B Không tồn tại. C 2. D 1. Lời giải.
(m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + 3 m + 1 m − 1 2m + 3 ⇔ √ cos x + √ sin x = √ 2m2 + 2 2m2 + 2 2m2 + 2 2m + 3
⇔ cos(x + α) = cos β với điều kiện − 1 6 √ 6 1 2m2 + 2 m + 1 2m + 3 (trong đó cos α = √ , cos β = √ ) 2m2 + 2 2m2 + 2 ⇔ x = β ± α + k2π.
Do đó x1, x2 có dạng x1 = β + α + k12π và x2 = β − α + k22π (vì nếu x1, x2 thuộc cùng một họ nghiệm thì |x1 − x2| = π π
m2π với m ∈ Z). Do đó |x1 − x2| = ⇔ |2α + (k1 − k2)2π| = 3 3 π 1 1
Suy ra cos |2α + (k1 − k2)2π| = cos ⇔ cos 2α = ⇔ cos 2α = . 3 2 2
Mặt khác cos 2α = 2 cos2 α − 1 nên 1 m + 1 2 3 (m + 1)2 √ = 2 √ − 1 ⇔ =
⇔ m2 − 4m + 1 = 0 ⇔ m = 2 ± 3, loại 2 2m2 + 2 4 2m2 + 2
Vậy không tồn tại m thỏa mãn bài. Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 62
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 157. Tập nghiệm S của phương trình sin 5x = 5 cos3 2x sin x là √ √ ( r ! r ! ) 6 + 21 6 − 21 A S = kπ, arctan ± + kπ, arctan ± + kπ, k ∈ Z . 3 3 √ √ ( ! ! ) 6 + 21 6 − 21 B S = arctan + kπ, arctan + kπ, k ∈ Z . 3 3 √ √ ( r ! r ! ) 6 + 21 6 − 21 C S = arctan ± + kπ, arctan ± + kπ, k ∈ Z . 3 3 √ √ ( ! ! ) 6 + 21 6 − 21 D S = kπ, arctan + kπ, arctan + kπ, k ∈ Z . 3 3 Lời giải. Ta có sin 5x = 5 cos3 2x sin x
⇔ sin 4x cos x + cos 4x sin x = 5 cos2 2x(cos2 x − sin2 x) sin x
⇔ 2 sin 2x cos 2x cos x + (cos2 2x − sin2 2x) sin x = 5 cos2 2x(cos2 x − sin2 x) sin x (∗)
• cos 2x = 0, cos x = 0 không thỏa mãn.
• Với cos x 6= 0 và cos 2x 6= 0, chia hai vế cho cos2 2x. cos3 x ta có (∗)
⇔ 2 tan 2x(1 + tan2 x) + (1 − tan2 2x) tan x(1 + tan2 x) = 5(1 − tan2 x) tan x 2 tan x 4 tan2 x ⇔ 2 (1 + tan2 x) + 1 −
tan x(1 + tan2 x) = 5(1 − tan2 x) tan x (∗∗) 1 − tan2 x (1 − tan2 x)2
- Xét tan x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z là nghiệm của phương trình.
- Xét tan x 6= 0, đặt t = tan2 x,t 6= 0, t 6= 1, ta có 4 4t (∗∗) ⇔ (1 + t) + 1 − (1 + t) = 5(1 − t) 1 − t (1 − t)2 √ s √ 6 + 21 6 + 21 t = tan x = ± , 3 ⇔ 3 6 t3 − 24t2 + 10t = 0 ⇔ √ ⇒ s √ 6 − 21 t = 6 − 21 3 tan x = ± . 3 Chọn đáp án A 2
Câu 158. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (1 − m) tan2 x − + 1 + 3m = 0 cos x π
có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 1 1 6 m 6 1 < m < 1 m < 1 m 6 1 A 3 . B 3 . C . D . 1 1 1 1 m 6= m 6= m 6= m 6= 2 2 2 2 Lời giải.
Điều kiện xác định cos x 6= 0. 1 − m 2
Phương trình đã cho tương đương với − + 4m = 0(∗) cos2 x cos x π π
Nhận thấy với m = 1 phương trình đã cho có 1 nghiệm x = ∈ 0; ( loại). 3 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 63
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 1
Với m 6= 1 Phương trình (∗) là phương trình bậc hai ẩn có ∆ = (1 − 2m)2. cos x 1 1 1 = 2 m 6= m 6= cos x 2 Khi đó (∗) ⇔ 2
, yêu bài toán tương đương với ⇔ 1 2m 2m 1 = > 1 < m < 1. cos x 1 − m 1 − m 3 Chọn đáp án B
Câu 159. Phương trình 2 tan2 x + 3 tan x + 2 cot2 x + 3 cot x + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong nửa khoảng − π 23π ; ? 4 4 A 8. B 6. C 5. D 7. Lời giải. π x 6= + kπ Điều kiện: 2 , k ∈ Z. x 6= kπ
2 tan2 x + 3 tan x + 2 cot2 x + 3 cot x + 2 = 0 ⇔ 2 tan2 x + cot2 x + 3 (tan x + cot x) + 2 = 0
⇔ 2 (tan x + cot x)2 + 3 (tan x + cot x) − 2 = 0 (1) " 1 t =
Đặt t = tan x + cot x. Khi đó (1) ⇔ 2t2 + 3t − 2 = 0 ⇔ 2 t = −2. 1 1 1 1 • t = ⇔ tan x + cot x = ⇔ =
⇔ sin x cos x = 2 (vô nghiệm). 2 2 cos x · sin x 2 1 −1 −π
• t = −2 ⇔ tan x + cot x = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin x cos x = ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = cos x · sin x 2 2
−π +kπ,k ∈ Z (thỏa điều kiện). 4 −5 π 23π −5π −π 23π Do x ∈ ; nên < + kπ 6
⇔ −π < kπ 6 6π ⇔ −1 < k 6 6. 4 4 4 4 4 − π 23π
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm trong nửa khoảng ; . 4 4 Chọn đáp án D
Câu 160. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin2 x − 2 sin cos x − 3 cos2 x + 2
Tính giá trị của biểu thức M2 + m2. A 15. B 10. C 12. D 9. Lời giải. y =
sin2 x − 2 sin cos x − 3 cos2 x + 2 1 3 =
(1 − cos 2x) − sin 2x − (1 + cos 2x) + 2 2 2 = 1 − 2 cos 2x − sin 2x √ 2 1 = 1 − 5 √ sin 2x + √ cos 2x 5 5 √ = 1 −
5 (sin 2x cos α + cos 2x sin α) √ = 1 − 5 sin(2x + α). LATEX bởi Tư Duy Mở 64
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 2 1
trong đó √ = cos α và √ = sin α. 5 5 −1 6 sin(2x + α) 6 1 √ √ √ ⇔ 1 +
5 > 1 − 2 2 sin(2x + α) > 1 − 5. √ √ √ √ Tồn tại x để y = 1 −
5 và cũng tồn tại x để y = 1 + 5. Do đó M = 1 + 5 và M = 1 −
5. Ta tính được M2 + m2 = 12. Chọn đáp án C kπ
Câu 161. Các họ nghiệm của phương trình sin 2x cos x = cos 2x + sin x có dạng x = α + k2π; x = β + 2 h π i (k ∈ Z), với α, β ∈ 0; . Tính S = α + β . 2 π π π 3π A S = . B S = . C S = . D S = . 2 4 3 4 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương
sin x 2 cos2 x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x(sin x − 1) = 0 π π " cos2x = 0 x = + k ⇔ ⇔ 4 2 sin x = 1 π x = + k2π. 2 π π 3π Vậy α + β = + = . 2 4 4 Chọn đáp án D 2 sin2 x + cos 4x − cos 2x Câu 162. Cho phương trình
= 0. Tính diện tích đa giác có đỉnh là các điểm biểu sin x − cos x
diễn góc lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác, với α là nghiệm của phương trình đã cho. √ √ √ √ A 2. B 2 2. C 2 3. D 3. Lời giải. π Điều kiện: x 6=
+ kπ với k ∈ Z, với điều kiện trên phương trình tương đương với 4
2 sin2 x + cos 4x − cos 2x = 0 sin x − cos x
⇔ 2 sin2 x + cos 4x − cos 2x = 0
⇔ 1 − cos 2x + 2 cos2 2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ 2 cos2 2x − 2 cos 2x = 0 " cos2x = 0 ⇔ cos 2x = 1 π x = − + kπ ⇔ 4 (k ∈ Z) . x = kπ LATEX bởi Tư Duy Mở 65
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π Biểu diễn nghiệm x = − + k y
π và x = kπ trên đường tròn lượng giác ta được hình 4
chữ nhật ABCD như hình vẽ. 1 √ √ B
Xét hình chữ nhật ABCD, ta có SABCD = 2SABC = 2 · · 1 · 2 = 2. 2 A x C O D Chọn đáp án A h π i sin x + 1
Câu 163. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của x thuộc đoạn − ; 2π sao cho biểu thức P = nhận 2 2 + cos x
giá trị nguyên. Tính số phần tử của tập hợp S. A 2. B 3. C 4. D 1. Lời giải. sin x + 1 4 P =
⇔ P cos x − sin x = 1 − 2P. Điều kiện có nghiệm P2 + 1 > (1 − 2P)2 ⇔ 0 6 P 6 . 2 + cos x 3
Từ đây, P nguyên nên P = 0 hoặc P = 1. π x = − 2
• Với P = 0 ⇒ sin x = −1 ⇒ 3π x = . 2 π π π x =
• Với P = 1 ⇒ cos x − sin x = −1 ⇒ sin x − = sin ⇒ 2 4 4 x = π. Chọn đáp án C √ Câu 164. Phương trình
4 − x2 (sin 2πx − 3 cos πx) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A 6. B 10. C 4. D Vô số . Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 4 − x2 > 0 − 2 6 x 6 x " " 4 − x2 = 0 ⇔ x = ±2 sin 2πx − 3 cos πx = 0 cos πx (2 sin πx − 3) = 0 − 2 6 x 6 2 − 2 6 x 6 2 ⇔ " x = ±2 x = ±2 ⇔ 1 cos πx = 0 x = + k (k ∈ Z) 2 3 1 1 3 ⇔ x ∈ −2; − ; − ; ; ; 2 . 2 2 2 2
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Chọn đáp án A √2
Câu 165. Đồ thị các hàm số y =
(sin x + cos x) và y = sin x là các đường cong trong hình nào dưới đây? 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 66
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com A y 1 3π − x π 2 −2π − 3π π π π O 2π 2 − 2 −1 2 y 1 π 3π − −2π 2 2 2π 3π −π π π x O − 2 2 −1 B y 1 − x 2π 3π −π π π π O 3π 2π − − 2 2 2 2 −1 C y 1 π 3π − − x 2π 2 2 3π −π π π O 2π − 2 −1 2 D Lời giải.
Dễ thấy ở cả bốn phương án đều có đồ thị hàm y = sin x. √2 π Ta có y = (sin x + cos x) = sin x + . 2 √ 4 2 π
Suy ra đồ thị hàm số y =
(sin x + cos x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x sang trái đơn vị. 2 4 Chọn đáp án A 1 π
Câu 166. Số nghiệm của phương trình 1 + sin3 2x + cos3 2x =
sin 4x thuộc khoảng − ; π là 2 2 A 2. B 1. C 3. D 4. Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 67
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Phương trình đã cho tương đương với
2 − sin 4x + 2(sin 2x + cos 2x)(1 − sin 2x cos 2x) = 0
⇔(2 − sin 4x) + (sin 2x + cos 2x)(2 − sin 4x) = 0
⇔(2 − sin 4x)(sin 2x + cos 2x + 1) = 0 ⇔ sin 2x + cos 2x = −1 √ π x = − + kπ π 2 ⇔ sin 2x + = − ⇔ 4 với k ∈ Z 4 2 π x = + kπ 2 π x = − 4 π π
Như vậy có 3 nghiệm thuộc − ; π là x = 2 2 3π x = . 4 Chọn đáp án C √
Câu 167. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin3 x − m + 3 cos x3 − m = 2 π 2 sin x + có nghiệm? 3 A 6. B Vô số. C 5. D 4. Lời giải. √ 2 π sin3 x − m + 3 cos x3 − m = 2 sin x + 3 √ √ ⇔ sin3 x + sin x = m + 3 cos x3 + m + 3 cos x
Xét hàm số f (t) = t3 + t ⇒ f 0(t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên R. √
Suy ra phương trình có nghiệm ⇔ sin x = m + 3 cos x. √
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 1 + 32 > m2 ⇔ −2 6 m 6 2.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C Câu 168.
Đường cong trong hình dưới mô tả đồ thị của hàm y
số y = A sin(x + α) + B (A, B, α là các hằng số, α ∈ 3 3α
[−π; 0]). Tính S = A + B − . π A S = 1. B S = 2. C S = 3. D S = 0. − 5π 7π 6 6 x O π 6 −1 Lời giải.
GTLN và GTNN của hàm số lần lượt là |A| + B và −|A| + B. Kết hợp với đồ thị đã cho, ta suy ra |A| = 2, B = 1. Hơn π π π
nữa, GTLN của hàm số đạt tại x = nên sin + α
= ±1, mà α ∈ [−π; 0] nên ta suy ra sin + α = −1 và 6 6 6 2π α = − . Vậy S = 1. 3 Chọn đáp án A LATEX bởi Tư Duy Mở 68
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Câu 169. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2x + 3 sin2 x − 3m + 1 = 0 có nghiệm trong π i khoảng 0; . 2 2 2 2 2 A m ∈ − ; 1 . B m ∈ ; 1 . C m ∈ − ; 1 . D m ∈ ; 1 . 3 3 3 3 Lời giải. π i
Phương trình ⇔ sin2 x + 2 = 3m, do x ∈ 0; nên 0 < sin2 x 6 1. 2 2
Vậy 2 < sin2 x + 2 6 3 nên 2 < 3m 6 3 ⇔ < m 6 1 3 Chọn đáp án B .
Câu 170. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình √ π π 4 sin x + · cos x − = m2 + 3 sin 2x − cos 2x 3 6 có nghiệm? A 5. B 7. C 3. D 1. Lời giải. √ π π 4 sin x + · cos x − = m2 + 3 sin 2x − cos 2x 3 6 √ h π π i ⇔ 2 sin + sin 2x + = m2 + 3 sin 2x − cos 2x 2 6 √ √ ⇔ 3 sin 2x + cos 2x + 2 = m2 + 3 sin 2x − cos 2x m2 − 2 ⇔ cos 2x = . 2 ( m2 − 2 m2 > 0
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi −1 6 6 1 ⇔ ⇔ −2 6 m 6 2. 2 m2 6 4
Các giá trị nguyên của m là −2; −1; 0; 1; 2. Chọn đáp án A 1
Câu 171. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos π x2 + 2x − = sin πx2 là 2 √ √ √ √ 2 − 1 3 + 1 2 + 1 3 − 1 A x = . B x = . C x = . D x = . 2 2 2 2 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với h π i cos − π(x2 + 2x) = sin πx2 2 ⇔ sin π(x2 + 2x) = sin πx2 " π (x2 + 2x) = π x2 + k2π ⇔
π (x2 + 2x) = π − π x2 + k2π "x = k ⇔ , (k ∈ Z), 2x2 + 2x − (2k + 1) = 0 √ √ −b + ∆ −1 + 4k + 3
Do x > 0, k ∈ Z nên suy ra x = = . 2a 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 69
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Để x dương và nhỏ nhất với k ∈ Z và 4k + 3 > 0 thì k = 0. √3−1 ⇒ min x = . 2 Chọn đáp án D x
Câu 172. Số nghiệm của phương trình cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 = 0 trong đoạn [0; 16] là 3 A 1. B 3. C 0. D 2. Lời giải. Ta có x 1 x cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 = 0 ⇔
(1 + cos 2x)2 − cos 2x + 2018 sin2 = 0 3 4 3 1 x ⇔ (1 − cos 2x)2 + 2018 sin2 = 0 4 3 cos 2x = 1 x = mπ ⇔ x ⇔ x sin = 0 = n π 3 3 (m = 3n ⇔ x = mπ
Theo giả thiết 0 6 mπ 6 16 ⇒ m = 0, m = 3. Chọn đáp án D π x 7
Câu 173. Cho phương trình sin x cos 4x − sin2 2x = 4 sin2 −
− . Tìm số nghiệm của phương trình thỏa 4 2 2 mãn |x − 1| < 3. A 1. B 4. C 2. D 3. Lời giải.
Phương trình tương đương với 1 − cos 4x 7 sin x cos 4x − = 2(1 − sin x) − 2 2
⇔ 2 sin x cos 4x + cos 4x + 2(2 sin x + 1) = 0
⇔ (cos 4x + 2)(2 sin x + 1) = 0 π x = − + k2π 6 ⇔ 2 sin x + 1 = 0 ⇔ 7π x = + k2π. 6 π 7π
Do |x − 1| < 3 nên ta có các nghiệm x = − và x = . 6 6 Chọn đáp án C
Câu 174. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) của phương trình √ √
3(1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4
3 + 1 sin x. Tính tổng tất cả các phần tử của S. 312341π 310408π A 103255π. B 102827π. C . D . 3 3 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 70
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com Ta có √ √
3(1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x √
⇔ 3(1 − cos 2x − 4 sin x) + sin 2x − 4 cos x + 8 − 4 sin x = 0 √
⇔ 3 2 sin2 x − 4 sin x + 2 sin x · cos x − 4 cos x − 4 sin x + 8 = 0 √
⇔2 3 sin x · (sin x − 2) + 2(sin x − 2) · (cos x − 2) = 0 √ ⇔2(sin x − 2) · 3 sin x + cos x − 2 = 0 √ ! 3 1 ⇔(sin x − 2) sin x + cos x − 1 = 0 2 2 h π i ⇔(sin x − 2) sin x + − 1 = 0 6 π ⇔ sin x + = 1
(vì sin x − 2 < 0, ∀x ∈ R) 6 π π ⇔x + = + k2π 6 2 π ⇔x = + k2π. 3 π π 1 1009 Xét x =
+ k2π ∈ (0; 2018) ⇒ 0 < + k2π < 2018 ⇔ − < k < . 3 3 6 π
Vì k ∈ Z nên k ∈ {0; 1; 2; . . . ; 321}.
Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) là π π π π S = + + 2π + + 2 · 2π + . . . + + 321 · 2π 3 3 3 3 π = 322 · + (1 + 2 + . . . + 321) · 2π 3 322π 321 · (321 + 1) = + · 2π 3 2 310408π = . 3 Chọn đáp án D
Câu 175. Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x (tham khảo hình vẽ dưới đây), hãy tìm tất cả các giá trị của x để cos x < 0. y 1 3π π 3π − − 2 2 2 O π x 2 3π π π 3π A − < x < − . B + kπ < x < + kπ, k ∈ Z. 2 2 2 2 3π π − < x < − 3π π C − + k2 2 2 π < x < − + k2π, k ∈ Z. D 2 2 π 3π < x < . 2 2 Lời giải. π 3π Ta thấy trên các khoảng + k2π;
+ k2π, k ∈ Z, đồ thị nằm bên dưới trục hoành, ứng với cos x < 0. 2 2 Chọn đáp án C LATEX bởi Tư Duy Mở 71
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com sin6 x + cos6 x
Câu 176. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình = 2m · tan 2x có nghiệm? cos2 x − sin2 x1 1
A m 6 −1 hoặc m > 1. B m < − hoặc m > . 8 8 1 1
C m 6 − hoặc m > .
D m 6 −2 hoặc m > 2. 4 4 Lời giải. π kπ Điều kiện x 6= + . Ta có 4 2 sin6 x + cos6 x 3 = 2m · tan 2x ⇔ 1 − sin2 2x = 2m · sin 2x. cos2 x − sin2 x 4
Đặt sin 2x = t, (−1 6 t 6 1), ta được phương trình −3t2 − 8mt + 4 = 0. (∗) (∗) có 0
∆ = 16m2 + 12 > 0 nên (∗) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do cos 2x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= ±1 nên phương trình đã
cho có nghiệm thì (∗) phải có nghiệm thuộc khoảng (−1; 1). Khi đó một trong các trường hợp sau xảy ra
• Trường hợp (∗) có 2 nghiệm thuộc (−1; 1), tức là 1 − 3. f (−1) > 0 − 3(1 + 8m) > 0 m < − 8 1 − − − 3(1 − 8m) > 0 1 < 3. f (1) > 0 t1 < t2 < 1 ⇔ ⇔ ⇔ m > 8 S 4m − 1 < < 1 − 1 < − < 1 3 3 2 3 − < m < . 4 4 ⇒ Hệ vô nghiệm.
• Trường hợp (∗) có 1 nghiệm thuộc (−1; 1), tức là 1 " − 1 < t m < − 1 < 1 < t2 ⇔ 8
f (−1) · f (1) < 0 ⇔ (1 + 8m)(1 − 8m) < 0 ⇔ t 1 1 < −1 < t2 < 1 m > . 8 1 1 Vậy với m < − hoặc m >
thì phương trình có nghiệm. 8 8 Chọn đáp án B 2 sin2 x − sin x − 1
Câu 177. Trong khoảng (0; 20π) phương trình √ = 0 có bao nhiêu nghiệm? 2 cos x − 3 A 20. B 10. C 30. D 15. Lời giải. √
Điều kiện xác định 2 cos x − 3 6= 0. sin x = 1
Khi đó, phương trình tương đương với 2 sin2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 1 . sin x = 2 π
Phương trình sin x = 1 ⇔ x =
+ k2π. Dễ thấy các giá trị này thỏa mãn điều kiện xác định và trong khoảng (0; 20π) 2 họ này có 10 nghiệm. π x = + k2π 1 6 5π Phương trình sin x = ⇔
. Dễ thấy các giá trị x =
+ k2π thỏa mãn điều kiện xác định và trong 2 5π 6 + k2π 6 LATEX bởi Tư Duy Mở 72
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
khoảng (0; 20π) họ này có 10 nghiệm.
Vậy trong khoảng (0; 20π) phương trình có 20 nghiệm. Chọn đáp án A
Câu 178. Tìm tất cả các số thực m để phương trình cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = 1 có 7 nghiệm phân biệt π trong khoảng − ; 2π . 2 A 1 < m < 3. B 0 < m < 2. C −2 < m < 2. D −1 < m < 1. Lời giải. Ta có
cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = 1 ⇔ cos 3x + cos x + m cos x = 2 cos2 x
⇔ 2 cos 2x cos x + m cos x − 2 cos2 x = 0
⇔ cos x 2 2 cos2 x − 1 − 2 cos x + m = 0
⇔ cos x 4 cos2 x − 2 cos x + m − 2 = 0 " cosx = 0 ⇔ 4cos2x−2cosx+m−2 = 0 π x = + kπ, k ∈ Z ⇔ 2
4 cos2 x − 2 cos x + m − 2 = 0. π 3π π
Dễ thấy phương trình cos x = 0 có hai nghiệm x = và x = trong khoảng − ; 2π . 2 2 2
Xét phương trình 4 cos2 x − 2 cos x + m − 2 = 0 với 0 0
∆ = 9 − 4m. Trường hợp ∆ 6 0, dễ kiểm tra phương trình 4 cos2 x −
2 cos x + m − 2 = 0 có tối đa 4 nghiệm. Do đó ta xét trường hợp 0 ∆ > 0, ta có √ 1 + 9 − 4m cos x = 4 cos2
x − 2 cos x + m − 2 = 0 ⇔ 4 √ 1 − 9 − 4m cos x = . 4 √ 9 1 + 9 − 4m 1 Ta có m < , suy ra ∈ ; +∞ . 4 4 4 √ √ 1 + 9 − 4m 1 − 9 − 4m 1 • Với ∈ (1; +∞), ta được ∈ −∞; − . Khi đó phương trình 4 4 2 √ 1 − 9 − 4m cos x = 4 π
có tối đa 3 nghiệm trong khoảng − ; 2π , hay phương trình ở đề bài có tối đa 5 nghiệm. 2 √ √ 1 + 9 − 4m 1 − 9 − 4m 1 • Với ∈ {1}, ta được ∈ −
. Suy ra tập nghiệm của phương trình ở đề bài là 4 4 2 π 3π 2π 2π 4π S = ; ; 0; − ; ; . 2 2 3 3 3 √ √ 1 + 9 − 4m 1 1 − 9 − 4m 1 1 • Với ∈ ; 1 , ta được ∈ − ; . Khi đó phương trình 4 4 4 2 4 √ 1 + 9 − 4m cos x = 4 π
có 2 nghiệm trong khoảng − ; 2π . 2 LATEX bởi Tư Duy Mở 73
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ √ 1 − 9 − 4m 1 1 − 9 − 4m π – Với ∈
− ; 0 , phương trình cos x =
có 3 nghiệm trong khoảng − ; 2π . 4 2 4 2
Nên phương trình ở đề bài có 7 nghiệm. √ √ 1 − 9 − 4m 1 1 − 9 − 4m π – Với ∈ 0; , phương trình cos x = có 2 nghiệm trong khoảng − ; 2π . 4 4 4 2
Nên phương trình ở đề bài có 6 nghiệm. √ 1 − 9 − 4m 1
Vậy các giá trị của m phải thỏa mãn ∈ − ; 0 hay 0 < m < 2. 4 2 Chọn đáp án B π
Câu 179. Tìm m để phương trình sin4 x + cos 2x + m cos6 x = 0 có nghiệm trong khoảng 0; . 4 A m ∈ (1; 2). B m ∈ (−∞; −1). C m ∈ (−2; −1). D m ∈ (−2; 0). Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với
(1 − cos2 x)2 + 2 cos2 x − 1 + m cos6 x = 0 ⇔ cos4 x + m cos6 x = 0. (1) √ π 2 1 Đặt t = cos2 x. Do x ∈ 0; nên < cos x < 1 ⇒ < t < 1. Từ (1) ta có 4 2 2 do t>0 1
t2 + mt3 = 0 ⇔ 1 + mt = 0 ⇔ t = − . m π
Vậy điều kiện để phương trình đã cho nghiệm trong khoảng 0; là 4 1 1 2 + m + < 0 < 0 1 1 < − < m 1 ⇔ 2 ⇔ 2m 2 m 1 m + 1 + 1 > 0 > 0 m m (m ∈ (−2;0) ⇔ ⇔ m ∈ (−2; −1) .
m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Chọn đáp án C h π π i
Câu 180. Tìm điều kiện của m để phương trình sin2 x + cos 2x = m có nghiệm trên đoạn − ; . 6 3 1 1 1 A m < 1. B 6 m 6 . C 6 m 6 1. D 0 6 m 6 1. 4 2 4 Lời giải. Cách 1. Ta có 1 − cos 2x sin2 x + cos 2x = m ⇔ + cos 2x = m 2
⇔1 − cos 2x + 2 cos 2x = 2m ⇔ cos 2x = 2m − 1. (1) π π π 2π 1 Ta có − 6 x 6 ⇔ − 6 2x 6 . Do đó −
6 cos 2x 6 1. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 6 3 3 3 2 1 1 1 − 6 2m − 1 6 1 ⇔ 6 2m 6 2 ⇔ 6 m 6 1. 2 2 4 Cách 2. Ta có
sin2 x + cos 2x = m ⇔ sin2 x + 1 − 2 sin2 x = m ⇔ sin2 x = 1 − m. (2) LATEX bởi Tư Duy Mở 74
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √ h π π i 1 3 3 Do x ∈ − ; nên − 6 sin x 6 , do đó 0 6 sin2 x 6 . 6 3 2 2 4 3 1
Vậy (2) có nghiệm ⇔ 0 6 1 − m 6 ⇔ 6 m 6 1. 4 4 Chọn đáp án C x
Câu 181. Tìm tập xác định D của hàm số y = . tan x n π o n π o
A D = R \ − + k2π, k ∈ Z . B D = R \ + kπ, k ∈ Z . 2 2 k π C D = R \ , k ∈ Z .
D D = R \ {kπ, k ∈ Z}. 2 Lời giải. ( ( tan x 6= 0 sin x 6= 0 kπ Điều kiện ⇔
⇔ sin x cos x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= . cos x 6= 0 cos x 6= 0 2 Chọn đáp án C
Câu 182. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2 sin2 x + 3 sin 2x − (m + 2) cos2 x = 3 π π
có nghiệm trong khoảng − ; . 4 4 A −12 < m < 4. B −2 < m < 1. C m 6 4. D −12 < m < 0. Lời giải.
Nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai về t −1 1
phương trình cho cos2 x 6= 0. Phương trình đã cho tương đương với:
2 tan2 x + 6 tan x − m − 2 = 3 tan2 x + 3, đặt t = tan x 0
Phương trình đã cho trở thành −t2 + 6t − 5
−t2 + 6t − 5 = m, với t ∈ (−1; 1).
Từ BBT, để pương trình có nghiệm thì −12 < m < 0. −12 − Chọn đáp án D √
Câu 183. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3
pm + 3 3 m + 3cosx = cosx có nghiệm thực là A 3. B 7. C 2. D 5. Lời giải. √ (t3 = m + 3a (1)
Đặt 3 m + 3 cos x = t, a = cos x ⇒ . a3 = m + 3t (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được t3 − a3 = −3(t − a) ⇒ (t − a)(t2 + at + t2 + 3) = 0 ⇒ t = a.
Với t = a, thay vào (1) ta được t3 − 3t = m.
Xét f (t) = t3 − 3t trên đoạn [−1; 1], ta có f 0(t) = 3t2 − 3 = 0 ⇒ t = ±1 ⇒ bảng biến thiên t −1 1 f 0(t) 0 − 0 2 f (t) −2 −
Để phương trình có nghiệm thì −2 6 m 6 2. Vì m ∈ Z nên có 5 giá trị của m thỏa mãn. Chọn đáp án D LATEX bởi Tư Duy Mở 75
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com √
Câu 184. Phương trình 2017sinx = sin x +
2 − cos2 x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−5π; 2017π]. A 20177. B 2023. C 0. D 2022. Lời giải. √ p Ta có 2017sinx = sin x + 2 − cos2 x ⇔ sin x +
1 + sin2 x − 2017sinx = 0 (∗). √
Đặt t = sin x,t ∈ [−1; 1], phương trình (∗) trở thảnh t + 1 + t2 − 2017t = 0. √ t Đặt f (t) = t +
1 + t2 − 2017t ⇒ f 0(t) = 1 + √ − 2017t ln 2017. 1 + t2 t Đặt g(t) = 1 + √
, h(t) = 2017t ln 2017 ⇒ f 0(t) = g(t) − h(t). 1 + t2 √ 1 Tại t = −1 ⇒ f (−1) = 2 − 1 − > 0. √ 2017 Tại t = 1 ⇒ f (1) = 2 + 1 − 2017 < 0. 1 1 Trên −1; − ta có g0(t) =
> 0, h0(t) = 2017t ln2 2017 > 0 ⇒ g(t) và h(t) là hàm đồng biến. 2 1 (1 + t2) 2 1
Mà h(− ) < g(−1) ⇒ trên khoảng xét ta có f 0(t) = g(t) − h(t) > 0 ⇒ f (t) > 0. 2 1 1 Trên − ; 1 ta có g0(t)
< 1, h0(t) > 1 ⇒ f ”(t) = g0(t) − h0(t) < 0 ⇒ f 0(t) đơn điệu giảm ⇒ f (t) đến lúc 2 1 (1 + t2) 2
nào đó sẽ đơn điệu giảm. Nên phương trình f (t) = 0 có tối đa một nghiệm. Dễ thấy đó là
t = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ(k ∈ Z)
Vậy trong [−5π; 2017π] có 2023 nghiệm thuộc dạng kπ. Chọn đáp án B 2 sin x + cos x + 3
Câu 185. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số y = lần lượt là: 2 cos x − sin x + 4 2 2 A M = ; m = 0. B M = 2; m = . C M = 1; m = −1. D M = 1; m = −2. 3 11 Lời giải. 2 sin x + cos x + 3 y =
⇔ 2y · cos x − y · sin x + 4y = 2 sin x + cos x + 3 2 cos x − sin x + 4
⇔ (2y − 1) cos x − (y + 2) · sin x = 3 − 4y (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2
(2y − 1)2 + (y + 2)2 > (3 − 4y)2 ⇔ 11y2 − 24y + 4 6 0 ⇔ 6 y 6 2. 11 2 Vậy max y = 2, min y = . 11 Chọn đáp án B
Câu 186. Cho phương trình sin2 4x + (m2 − 3) sin 4x + m2 − 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình đã 3 π
cho có đúng 4 nghiệm x ∈ ; 2π . 2 A −2 6 m < 2. B m = 2, m = −2. C −2 6 m 6 2. D −2 < m < 2. Lời giải. Ta có: sin 4x = −1
sin2 4x + (m2 − 3) sin 4x + m2 − 4 = 0 ⇔ (1) sin 4x = 4 − m2. LATEX bởi Tư Duy Mở 76
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π kπ 15π 3π Trong các nghiệm x = − +
(k ∈ Z) của phương trình sin 4x = −1 chỉ có nghiệm thuộc đoạn ; 2π . 8 2 8 2 3 π
Vậy từ (1) suy ra điều kiện để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm x thuộc
; 2π là phương trình sin 4x = 4 − m2 2 3 π có đúng ba nghiệm x ∈
; 2π , tức là phương trình sin u = 4 − m2 có đúng ba nghiệm u ∈ [6π; 8π], nghĩa là 2 4 − m2 = 0 ⇔ m = ±2.
Khi m = ±2, phương trình sin u = 4 − m2 trở thành: kπ
sin 4x = 0 ⇔ 4x = kπ ⇔ x = (k ∈ Z). 4 3 π 6π 7π 8π Trong đoạn ; 2π chỉ có các nghiệm , , . 2 4 4 4 3 π
Kết luận: Điều kiện để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm x thuộc ; 2π
là m = ±2 và bốn nghiệm đó là 2 15π 3π 7π , , , 2π. 8 2 4 Chọn đáp án B
Câu 187. Nghiệm của phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x được biểu điễn bởi bao nhiêu điểm
trên đường tròn lượng giác? A 16. B 14. C 18. D 12. Lời giải. Hạ bậc ta có 1 1 1 1 (1 − cos 2x) + (1 − cos 6x) = (1 + cos 4x) + (1 + cos 8x) 2 2 2 2
⇔ ⇔ −(cos 2x + cos 6x) = cos 4x + cos 8x
⇔ 2 cos 2x(cos 4x + cos 6x) = 0 ⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0 π x = + kπ cos x = 0 2 π π x = + k π π ⇔ 4 2 cos 2x = 0 ⇔ x = + k ⇔ π π 4 2 cos 5 + . x = 0 x = k π π x = + k . 10 5 10 5
Từ đó các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 14 điểm trên dường tròn lượng giác. Chọn đáp án B 1 1
Câu 188. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin x + cos x + tan x + cot x + + . sin x cos x √ √ √ √ A 2 − 1. B 2 + 1. C 2 2 − 1. D 2 2 + 1. Lời giải. √ √ t2 − 1
Đặt t = sin x + cos x, t ∈ [− 2; 2] và sin x cos x = . Ta có 2 1 1 y =
sin x + cos x + tan x + cot x + + sin x cos x
(sin x + cos x) sin x cos x + 1 + sin x + cos x = sin x cos x LATEX bởi Tư Duy Mở 77
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com 2 = t − 1 + + 1 . t − 1 √
Với t − 1 > 0 áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có y > 2 2 + 1. 2 √ √
Với t − 1 < 0 áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có 1 − t + > 2 2 nên y 6 1 − 2 2. 1 − t √ √ √ π 1 − 2
Từ đó y > 2 2 − 1. Đẳng thức xảy ra khi t = 1 − 2 2, hay sin x + = √ nên tồn tại x. 4 2 Chọn đáp án C tan x
Câu 189. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = . cot x − 1 π kπ π A x 6=
+ kπ và x 6= kπ với k ∈ Z. B x 6= và x 6= + kπ với k ∈ Z. 2 2 4 π π π C x 6=
+ kπ và x 6= kπ với k ∈ Z. D x 6= + kπ và x 6= + kπ với k ∈ Z. 4 2 4 Lời giải. π π
Hàm tan x xác định khi x 6=
+ kπ, hàm cot x xác định khi x 6= kπ. Phân thức có nghĩa khi cot x 6= 1 ⇔ x 6= + kπ. 2 4 kπ π
Vậy hàm số có nghĩa khi x 6= và x 6= + kπ với k ∈ Z. 2 4 Chọn đáp án B
(3 + 2 sin x) cos x − 2 + cos2 x Câu 190. Phương trình
= 1 có bao nhiêu nghiệm trên [0; 4π]? sin 2x A 3. B 2. C 1. D 0. Lời giải. Điều kiện: sin 2x 6= 0. " cosx = 1
Phương trình ⇔ 3 cos x + sin 2x − 2 − cos2 x = sin 2x ⇔ cos2 x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ . cos x = 2
Phương trình cos x = 2 vô nghiệm.
Phương trình cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z không thỏa điều kiện sin 2x 6= 0. Chọn đáp án D
Câu 191. Cho hàm số f (x) = (m − 1) sin 4x − cos 4x + 4mx + 2018, m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m trong đoạn [−6; 2018] để phương trình f 0(x) = 0 có nghiệm. A 2018. B 6. C 8. D 4. Lời giải.
Ta có f 0(x) = 4 (m − 1) cos(4x) + 4 cos(4x) + 4m ⇔ f 0(x) = 0 ⇔ (m − 1) cos(4x) + cos(4x) = −m.
Để phương trình f 0(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi (m − 1)2 + 1 > m2 ⇔ m 6 1.
Vì m ∈ [−6; 2018] ⇒ −6 6 m 6 1. Vậy có tất cả 8 giá trị nguyên của m để phương trình f 0(x) = 0 có nghiệm. Chọn đáp án C 5 π
Câu 192. Cho phương trình 3 sin x cos2 x − sin3 x = cos − x
(1). Gọi (H ) là hình tạo bởi các điểm 2
biểu diễn nghiệm của (1) trên đường tròn lượng giác. Tính diện tích hình (H ). √ √ 2 + 2 √ √ 2 + 2 √ A . B 2(1 + 2). C . D 1 + 2. 4 2 Lời giải.
• Ta có (1) ⇔ 3 sin x cos2 x − sin3 x = sin x LATEX bởi Tư Duy Mở 78
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
• Với cos x = 0, phương trình trở thành − sin3 x = sin x ⇔ sin x = 0 (loại). • Với cos x 6= 0, ta có " tanx = 0 x = kπ
(1) ⇔ 3 tan x − tan3 x = tan x(1 + tan2 x) ⇔ ⇔ π (k ∈ mathbbZ) tan x = ±1. x = ± + kπ 4 sin cos O
Các điểm biểu diễn nghiệm được cho như hình vẽ. Ta có diện tích của hình (H ) bằng √
4 · 1 · 1 sin 45◦ + 2 · 1 · 1 · sin 90◦ = 1 + 2. Chọn đáp án D √ √
Câu 193. Cho phương trình 2 sin2 x +
3 sin 2x − 2( 3 sin x + cos x) − m = 0. Để phương trình chỉ có hai h π π i
nghiệm x1, x2 thuộc đoạn − ;
thì m ∈ (a; b). Giá trị của b − a là 3 2 √ √ √ A 4. B 4 3 − 2. C 4 − 2 3. D 3 3. Lời giải.√ Đặt t = 3 sin x + cos x (∗) √ √
⇒ t2 = 3 sin2 x + cos2 x + 2 3 sin x cos x = 2 sin2 x + 3 sin 2x + 1 √ ⇒ 2 sin2 x + 3 sin 2x = t2 − 1.
Phương trình đã cho trở thành
t2 − 1 = 2t − m = 0 ⇔ m + 1 = t2 − 2t. (1) h π π i √ π Do x ∈ − ; nên t = 3 sin x + cos x = 2 sin x + ∈ [−1; 2]. 3 2 6 √ h π π i √ Với mỗi t ∈ [−1;
3) thì tương ứng sẽ cho một nghiệm x thuộc đoạn − ;
và mỗi t ∈ [ 3; 2] thì sẽ cho hai nghiệm 3 2 h π π i x thuộc đoạn − ;
. Vậy yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ 3 2 √ √ thuộc [−1;
3) hoặc chỉ có một nghiệm thuộc [ 3; 2] và không có nghiệm thuộc [−1; 3). y x O LATEX bởi Tư Duy Mở 79
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Xét hàm số f (t) = t2 − 2t có bảng biến thiên √ t −1 1 3 2 3 0 √ f (t) 3 − 2 3 −1 −
Dựa vào bảng biến thiên ta được √ √
−1 < m + 1 < 3 − 2 3 ⇔ −2 < m < 2 − 2 3. √ √
Suy ra a = −2, b = 2 − 2 3 ⇒ b − a = 4 − 2 3. Chọn đáp án B h π i π 5
Câu 194. Phương trình cos 2 x + + 4 cos − x = có nghiệm là 3 6 2 π 3π π 5π A x = + k2π, x = + k2π với k ∈ Z. B x = − + k2π, x = + k2π với k ∈ Z. 6 2 3 6 π π π π C x = + k2π, x = + k2π với k ∈ Z. D x = − + k2π, x = + k2π với k ∈ Z. 3 4 6 2 Lời giải. Ta có h π i π 5 π h π π i 5 cos 2 x + + 4 cos − x = ⇔ 1 − 2 sin2 x + + 4 cos − x + = 3 6 2 3 2 3 2 π π 5 ⇔ 1 − 2 sin2 x + + 4 sin x + = 3 3 2 π π ⇔ 4 sin2 x + − 8 sin x + + 3 = 0 3 3 π x = − + k2π π 1 ⇔ sin 6 x + = ⇔ (k ∈ Z). 3 2 π x = + k2π 2 Chọn đáp án D
Câu 195. Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 3x +
(2 sin 2x + 1)(sin 2x − cos x) = 0? A 7 điểm. B 10 điểm. C 8 điểm. D 9 điểm. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương
cos x 4 cos2 x − 3 + (2 sin 2x + 1)(2 sin x − 1) = 0
⇔ cos x 4 cos2 x − 4 + 4 sin 2x sin x − 2 sin 2x + 2 sin x = 0
⇔ cos x −4 sin2 x + 4 sin 2x sin x − 4 sin x cos x + 2 sin x = 0
⇔ sin 2x (−2 sin x + 2 sin 2x − 2 cos x + 1) = 0 kπ x = 2 π x = ± + k2π ⇔ 3
sin 2x(2 cos x − 1)(2 sin x − 1) = 0 ⇔ π x = + k2π 6 5π x = + k2π. 6 LATEX bởi Tư Duy Mở 80
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com
Từ đó có 8 điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho. Chọn đáp án C 3 π x 1 π 3x
Câu 196. Tập nghiệm S của phương trình sin − = sin + là 10 2 2 10 2 7 π 2π 3π A S = + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z . 15 15 10 14 π 4π 3π B S = + k2π, + k2π, + k2π, k ∈ Z . 15 15 5 14 π 4π 3π C S = + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z . 15 15 5 n π π π o D S = + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z . 2 6 3 Lời giải. π π x 1 π x π x Phương trình ⇔ sin − + = 3 sin + − 4 sin3 + 3 30 2 2 30 2 30 2 √3 π x 1 π x 1 π x π x ⇔ cos + − sin + = 3 sin + − 4 sin3 + 2 30 2 2 30 2 2 30 2 30 2 √ π x π x π x ⇔ 4 sin3 + − 4 sin + + 3 cos + = 0 (∗) 30 2 30 2 30 2 π x • sin + = 0 không thỏa mãn. 30 2 π x π x π x • Với sin +
6= 0, chia hai vế của (∗) cho sin3 + và đặt t = cot + ta được phương trình 30 2 30 2 30 2 √ √ √ 4 − 4(1 + t2) + 3t(1 + t2) = 0 ⇔ 3t3 − 4t2 + 3t = 0 14π t = 0 x = + k2π √ 15 4 ⇔ t = 3 π ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 15 1 t = √ 3π 3 x = + k2π 5 Chọn đáp án B 3 π 2 sin x + 3 π π 7
Câu 197. Tập nghiệm S của phương trình cos x + − 3 cos − x + = 0 là 7 14 π sin − 2x 7 19 π 3π A S = − + kπ, − − arctan(2) + kπ, k ∈ Z . 28 7 n π o B S = −
+ kπ, − arctan(2) + kπ, k ∈ Z . 4 5 π 3π C S = − + kπ, − + arctan(2) + kπ, k ∈ Z . 28 7 n π o D S =
+ kπ, arctan(2) + kπ, k ∈ Z . 4 Lời giải. LATEX bởi Tư Duy Mở 81
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ
Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website. tuduymo.com π π π π Điều kiện sin − 2x 6= 0 ⇔ − 2x 6= kπ ⇔ x 6= − k . 7 7 14 2 3 π 2 sin x + 3 π π 3π 7 Phương trình ⇔ cos x + − 3 cos − + x + = 0 7 2 7 6 π sin π − + 2x 7 3 π 2 sin x + 3 π π 3π 7 ⇔ cos x + − 3 cos − + x + = 0 7 2 7 6 π sin + 2x 7 3 π 3π 1 ⇔ cos x + − 3 sin x + + = 0 7 7 3 π cos x + 7 3 π 3π ⇔ 1 − 3 tan x + + 1 + tan2 x + = 0 7 7 3 π tan x + = 1, 5π 7 x = − + kπ ⇔ 28 ⇔ , k ∈ Z. 3π 3π tan x + = 2. x = − + arctan(2) + kπ 7 7 Chọn đáp án C
Câu 198. Gọi a, b là các số để phương trình x2 + 5 = 2 [x − 2 cos(ax + b)] có nghiệm. Tính tổng T = a + b. kπ A T = . B T = π + k2π. C T = k2π. D T = kπ. 3 Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với x2 − 2x + 5 = −4 cos(ax + b).
• Ta có x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 4 > 4 và −4 cos(ax + b) 6 4.
• Do đó, phương trình đã cho tương đương với ( ( x2 − 2x + 5 = 4 x = 1 ⇔ − 4 cos(ax + b) = 4 a + b = π + k2π, k ∈ Z. Chọn đáp án B LATEX bởi Tư Duy Mở 82
Group. Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ