Ung dụng của phương trình sai phân trong bài lãi suất - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen
Ung dụng của phương trình sai phân trong bài lãi suất - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả
Preview text:
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TRONG BÀI TOÁN LÃI SUẤT.
Bài toán 1: ( Dành cho tiền gửi 1 lần ) Gửi ngân hàng số tiền a đồng theo mức
kì hạn 1 tháng với lãi suất r % một tháng. Tính cả vốn lẫn lãi Tn sau n tháng. Giải:
T0 là số tiền gửi ban đầu T0 = a.
T1 là số tiền gửi sau 1 tháng T1 = T0 . r
T2 là số tiền gửi sau 2 tháng T2 = T1 + r . T1
Tương tự Tn+1 là số tiền có được sau n+ 1 tháng Tn+1 = Tn + r . Tn
Dẫn đến thiết lập phương trình sai phân cấp 1 thuần nhất: Tn+1 – (1 + r)Tn = 0, To = a
Phương trình đặc trưng: - (1- r) = 0 = 1 + r nghiệm tổng quát: T n
n = (1+ r) .C ( C là một hằng số).
Điều kiện T0 = a C = a Tn = a(1+ r)n
Số tiền có được sau n tháng là Tn.
Ví dụ: Ông An gửi vào ngân hàng 1 tỷ đồng theo mức kì hạn một tháng với lãi suất
0,65%/ tháng. Tính cả vốn lẫn lãi ông An nhận được sau 10 tháng? ( biết trong quá
trình ông An không rút lãi hàng tháng) Giải:
T0 là số tiền gửi ban đầu T0 = a.
T1 là số tiền gửi sau 1 tháng T1 = T0 . r%
T2 là số tiền gửi sau 2 tháng T2 = T1 + r %. T1
Tương tự Tn+1 là số tiền có được sau n+ 1 tháng Tn+1 = Tn + r . Tn
Dẫn đến thiết lập phương trình sai phân cấp 1 thuần nhất: Tn+1 – (1 + r)Tn = 0, To = a
Phương trình đặc trưng: - (1- r) = 0 = 1 + r nghiệm tổng quát: T n
n = (1+ r) .C ( C là hằng số)
Điều kiện T0 = a C = a. Tn = a(1+ r)n
Số tiền có được sau n tháng là Tn.
Ta có: 10 tháng thì n = 10, lãi suất r = 0,65%, a = 1000000000( đồng). T 10
n =1000000000(1 + 0,0065) = 1066934582
Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông An nhận được là 1066934582 ( đồng).
Bài toán 2: ( Dành cho tiền gửi hàng tháng) một người hàng tháng gửi vào
ngân hàng a đồng theo mức kì hạn 1 tháng với lãi suất r % / tháng. Hỏi sau n
tháng người ấy có bao nhiêu tiền? Giải:
Đầu tháng thứ 1, người đó gửi vào ngân hàng số tiền là a.
Sau tháng thứ 1, người đó có số tiền là T1 = a + r.a
Gọi số tiền người đó có được sau tháng thứ n là Tn.
Số tiền người đó nhận dược sau tháng thứ n + 1 là: Tn + 1 = Tn + a + (Tn + a)r.
Bài toán đưa về dạng phương trính sai phân:
Tn + 1 – (1+r)Tn = a(1 + r) (1), T1 = a(1 + r). Ta có:
Xét phương trình sai phân: Tn+1 – (1 + r)Tn = 0.
Phương trình đặc trưng: - (1 + r) = 0 = 1 + r. Nghiệm tỏng quát: T n
n = (1 + r) .C. ( C là hằng số)
Xét f(n) = a(1 + r) , = 1, m = 0.
= 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng T(n) = A. T(n+1) = A.
Thay T(n,) T(n+1) vào phương trình (1) ta có: A = .
Nghiệm riêng tương ứng: T(n) = .
Nghiệm tổng quát của (1) T(n) = + (1 + r)C. Từ T
1 = a(1 + r) C = a + = (1 + r). T n = .(1 + r).
Vậy số tiền có được sau n tháng là Tn.
Ví dụ: Mỗi tháng ông An gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu. Sau một năm ông nhận
được cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?
Để giải ví dụ này ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập phương trình sai phân.
Bước 2: Giải phương trình sai phân đó.
Bước 3: Áp dụng vào bài toán để tính kết quả cần tìm. Giải:
Đầu tháng thứ 1, người đó gửi vào ngân hàng số tiền là a.
Sau tháng thứ 1, người đó có số tiền là T1 = a + r.a
Gọi số tiền người đó có được sau tháng thứ n là Tn.
Số tiền người đó nhận dược sau tháng thứ n + 1 là: Tn + 1 = Tn + a + (Tn + a)r.
Bài toán đưa về dạng phương trính sai phân:
Tn + 1 – (1+r)Tn = a(1 + r) (1), T1 = a(1 + r). Ta có:
Xét phương trình sai phân: Tn + 1 – (1 + r)Tn = 0.
Phương trình đặc trưng: - (1 + r) = 0 = 1 + r. Nghiệm tỏng quát: T n
n = (1 + r) .C. ( C là hằng số)
Xét f(n) = a(1 + r) , = 1, m = 0.
= 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng T(n) = A. T(n+1) = A.
Thay T(n,) T(n+1) vào phương trình (1) ta có: A = .
Nghiệm riêng tương ứng: T(n) = .
Nghiệm tổng quát của (1) T(n) = + (1 + r)C. ( C là hằng số) Từ T
1 = a(1 + r) C = a + = (1 + r). T n = .(1 + r).
Vậy số tiền có được sau n tháng là Tn.
Áp dụng vào bài với: Tn = 40000000 , n = 12 , r = ? %. Ta có : 40000000 = . .(1 + r) r = 0.0161
Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng 1, 61%.
Bài toán 3: ( Gửi tiền kì hạn 3 tháng, 6 tháng, 1 năm) gửi vào ngân hàng số
tiền a đồng trong n kì hạn với lãi suất một kì hạn là r %. Tính cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn? Giải:
T0 là số tiền gửi ban đầu T0 = a.
T1 là số tiền gửi sau 1 kì hạn T1 = T0 . r
T2 là số tiền gửi sau 2 kì hạn T2 = T1 + r . T1
Tương tự Tn+1 là số tiền có được sau n + 1 kì hạn Tn+1 = Tn + r . Tn
Dẫn đến thiết lập phương trình sai phân cấp 1 thuần nhất: Tn+1 – (1 + r)Tn = 0, To = a
Phương trình đặc trưng: - (1- r) = 0 = 1 + r nghiệm tổng quát: T n
n = (1+ r) .C ( C là một hằng số).
Điều kiện T0 = a C = a Tn = a(1+ r)n
Số tiền có được sau n tháng là Tn.
Ví dụ: Ông Luân gửi vào ngân hàng a đồng vào một ngân hàng theo mức kì hạn 6
tháng với mức lãi xuất 0.65%/ tháng. Sau 2 năm ông Luân nhận được 50 triệu ( cả
gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Luân gửi vào bao nhiêu tiền? ( Biết ông Luân không
rút lãi suất ở tất cả các kì hạn trước đó). Giải:
T0 là số tiền gửi ban đầu T0 = a.
T1 là số tiền gửi sau 1 kì hạn T1 = T0 . r
T2 là số tiền gửi sau 2 kì hạn T2 = T1 + r . T1
Tương tự Tn+1 là số tiền có được sau n + 1 kì hạn Tn+1 = Tn + r . Tn
Dẫn đến thiết lập phương trình sai phân cấp 1 thuần nhất: Tn+1 – (1 + r)Tn = 0, To = a
Phương trình đặc trưng: - (1- r) = 0 = 1 + r nghiệm tổng quát: T n
n = (1+ r) .C ( C là hằng số).
Điều kiện T0 = a C = a Tn = a(1+ r)n
Số tiền có được sau n tháng là Tn.
Áp dụng vào bài toán: Tn = 50000000 , r = 0,65%/ tháng kì hạn 6 tháng: 0,65%.6 = 3,9% , n = 4
50000000 = a(1 + 0,039)4 a = 42904990.
Vậy ban đầu ông Luân gửi 42904990 ( đồng).