Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế Toán 12

Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

41 21 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Thể tích vật thể

Gọi

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

( )S x

là

diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

( )a x b 

Giả sử

( )S x

là hàm số liên tục trên đoạn

[ ; ]a b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

( )

V S x dx





2. Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )y f x



, trục

hoành và hai đường thẳng

x a

x b

quanh trục Ox:

 Lưu ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )x g y



, trục

hoành và hai đường thẳng

y c

y d

quanh trục Oy:

( ): ( )

( ):





















C x g y

Oy x 0

y c

y d

 

( )







V g y dy

( ): ( )

( ):





















C y f x

Ox y 0

x a

x b

 

( )







V f x dx



( )y f x

( )





S x dx

( )

S(x)

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )y f x



( )y g x



và hai đường thẳng

x a

x b

quanh trục Ox:

2 2

( ) ( )

V f x g x dx



 



B. BÀI TẬP

Câu 1. Một Elip có phương trình

2 2

9 4

 

x y

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh

trục

Lời giải

Ta có:

2 2 2

1 2 1 .

9 4 9

     

x y x

Elip đối xứng qua trục

nên ta chỉ cần xét hàm số

2 1

 

khi quay quanh

.Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của

2 1

 

và trục

:Ox

2 1 0 3.

    

Thể tích cần tính:

4 1 16 50,24

 



 

   

 

 



V dx

Câu 2. Tính thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

0, ln( 1)  

y y x x

và

1x 

xung quanh trục

.Ox

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

 

ln( 1) 0 0

ln 1 0





    



 



x x x

Ta có:

   

ln 1 12 ln 2 5



   



V x x dx

Câu 3. Người ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi

đường kính của nửa đường tròn nhỏ.

Nửa hình tròn đường kính

có diện tích là



và



30 

BAC

. Tính thể tích vật thể tròn xoay

được tạo thành khi quay hình phẳng

 

(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng

Lời giải

Dựng hệ trục toạ độ

Oxy

như hình vẽ.

Ta có

32 64 8 4

2 2

  

       

S R R r

   

: 64 8

: 16 4



  











  



C y x



  

BAC

.tan 30

   

y x y

Vậy

 

12 16 8

2 2

6 12 6

784

dx 64 8 dx 16 4 dx

3 3

 

 

       

 

 

  

V x x

Câu 4. Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn

đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường

kính đáy.

Tính thể tích của khối dầu còn lại trong bồn.

Lời giải

Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là:

2 2 3

.1 .5 5 .

  

  

V r h m

Chọn hệ tục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm của mặt đáy.

Đường tròn đáy có bán kính bằng 1 nên có phương trình

2 2

1 

x y

. Suy ra

  y x

Diện tích phần hình tròn đáy bị mất:

2 2

2 1 0,61 .

  



S x dx m

Thể tích phần dầu bị rút ra ngoài:

2 3

2 1 5 3,07 .

     



V S h x dx m

Vậy thể tích của khối dầu còn lại trong bồn:

1 2

12,637

  

V V V m

Câu 5. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây

Người ta đo được đường kính của miệng ly là

4cm

và chiều cao là

6cm

. Biết rằng thiết diện của

chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.

Lời giải

Chọn gốc tọa độ

trùng với đỉnh

của parabol

 

-2

Vì parabol

 

đi qua các điểm

   

2;6 , 2;6

A B

và

 

0;0

nên parabol

 

có phương trình

y x



Ta có

2 2

3 2

2 3

  

y x x y

Thể tích

bằng thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng

 

giới hạn bởi các

đường:

; 0; 0; 6

   

x x y y

quanh quanh trục

Khi đó thể tích của vật thể đã cho là

 

12 cm

 

 

 

 

 



V y dy

6 cm

4 cm

Câu 6. Gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x



và



quanh trục

. Đường thẳng

 

0 4

x a a

  

cắt đồ thị hàm

y x



tại

(hình vẽ sau).

Gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác

OMH

quanh trục

. Biết rằng

2V V

. Tính

Lời giải

Ta có

0 0  

x x

. Khi đó

d 8

V x x

 

 



Ta có

 

;

M a a

Khi quay tam giác

OMH

quanh trục

tạo thành hai hình nón có chung đáy:

 Hình nón

 

có đỉnh là

, chiều cao

 h OK a

, bán kính đáy

 

R MK a

;

 Hình nón

 

thứ 2 có đỉnh là

, chiều cao

  h HK a

, bán kính đáy

 

R MK a

Khi đó

   

2 2

1 1 2

1 1 1 1 4

. .(4 )

3 3 3 3 3

V R h R h a a a a a

    

     

Theo đề bài

2 8 2. 3

 

    

V V a a

Câu 7. Một vật thể được tạo thành bởi hai mặt cầu

 

có cùng bán kính

thỏa mãn tính chất:

tâm của

 

thuộc

 

và ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi

 

và

 

Lời giải

Gắn hệ trục

Oxy

như hình vẽ

2 2 2

( ) :

C x y R

 

Khối cầu

 

,S O R

chứa một đường tròn lớn là

 

2 2 2

C x y R 

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là

 

3 3

2 2 2

2 d 2

3 12

x R

V R x x R x



 

 

    

 

 



Câu 8. Một vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục

của hình giới hạn bởi trục

và đường

 

sin , 0y x x



  

như hình vẽ

Tính thể tích vật thể.

Lời giải

Ta có:

0 0

1 cos2 sin 2

sin

2 2 2 2

x x

V xdx dx x



 



 

    

 

 

 

Câu 9. Gọi

 

là phần giao của hai khối

hình trụ có bán kính

, hai trục hình trụ vuông góc với

nhau như hình vẽ bên.

Tính thể tích của

 

Lời giải

Gọi trục tọa độ

Oxyz

như hình vẽ.

Khi đó phần giao

 

là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm

bán kính

, thiết

diện của mặt phẳng vuông góc với trục

là một hình vuông có diện tích

 

2 2

 S x a x

Thể tích khối

 

là

 

2 2

0 0

 

 

a a

S x dx a dx

Câu 10. Một khối cầu có bán kính là

 

, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng

song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng

 

để làm một chiếc lu

đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

Lời giải

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ

Oxy

, xét đường tròn

2 2

( ) : ( 5) 25

C x y

  

. Ta thấy nếu cho nửa

trên trục

của

 

quay quanh trục

ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình

phẳng

 

giới hạn bởi nửa trên trục

của

 

, trục

, hai đường thẳng

0, 2

x x

 

quay xung quanh trục

ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề

bài. Ta có

2 2 2

( 5) 25 25 ( 5)

x y y x       



Nửa trên trục

của

 

có phương trình

2 2

25 ( 5) 10

y x x x    



Thể tích vật thể tròn xoay khi cho

 

quay quanh

là:

 

2 2

10 d 5

3 3

V x x x x



 

 

    

 

 



Thể tích khối cầu là:

4 500

V .5

3 3



 

Thể tích cần tìm:

 

2 1

500 52

2 2. 132

3 3

V V V dm

 



    

Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích

   

2 2 2

V R x dx x dx



 

    

 

Vậy thể tích của chiếc lu là

4 52

2 .5 2 132

3 3

V V V

  

    

Câu 11. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong

phút với tốc độ lưu lượng nước tại

thời điểm

giây là

 

10 500 /v t t m s

 

. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của

nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?

Lời giải

Lượng nước thoát ra là:

 

   

2400

2 7 3

10 500 d 5 500 3.10

t t t t m

   



Câu 12. Một thùng rượu có bán kính các đáy là

cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai

đáy là đường tròn có bán kính là

cm, chiều cao thùng rượu là

m. Biết rằng mặt phẳng chứa

trục và cắt mặt phẳng xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Tính thể tích của thùng

rượu.

Lời giải

Các đường xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Đặt thùng rượu nằm ngang và chọn

hệ trục có gốc tọa độ là tâm của đáy, trục hoành là trục đối xứng của thùng rượu. Gọi đường

parabol có dạng

y ax bx c  

Theo bài ta có đường parabol này sẽ đi qua các điểm

   

0;0;3 , ;0;4 , 1;0;3

 

 

 

Suy ra

2 2 3

5 5 10

y x x



  

Thể tích thùng rượu chính là thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 2 3

5 5 10

y x x

   

;



;

1x 

 

2 3

2 2 3 203

d m

5 5 10 1500

V x x x



 

     

 

 



425,2 l

Câu 13. Cho hai tam giác cân có chung đường cao

40XY cm

và cạnh đáy lần lượt là

40 cm

và

60cm

, được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác này là trung điểm cạnh đáy của tam

giác kia như hình vẽ .

Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

       

0; 0 , 40; 0 , 0; 20 , 40; 30

Y O X A M

Phương trình đường

: 3 4 0 .

YM x y y   

Phương trình

: 2 40 0 .

AX x y y



    

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

và

là:

3 40

16.

4 2



  

x x

Thể tích vật thể cần tính:

2 2

16 40

0 16

40 3 46240

2 4 3



 



   

  

   

   

 

x x

V dx dx cm

Câu 14. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

cạnh bằng 1. Gọi

,O O



lần lượt là tâm của hình vuông

ABCD

và hình vuông

A B C D

   

. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác

ABC



khi

quay quanh trục



Lời giải

Ta chia

OAB

thành 2 phần gồm

IAB

và

IBC





Thể tích vật thể khi quay

IAB

xung quanh trục



là phần chung của 2 hình nón có cùng

chiều cao

và bán kính đáy là

,OL OA

. Vậy

 

2 2

3 24

V IO OA OL



  

Để tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay

KIC





xung quanh trục



ta chọn chiều dương



, xét mặt phẳng

 

qua

có toạ độ

và vuông góc với



   

;

P IC E P KC F

 

   

Khi đó thiết diện khi cắt vật thể bởi mặt phẳng

 

là 1 vành tròn như hình vẽ bên. Do đó

 

2 dV S x x





. Ta có:

1 1

    

  

IM ME x EM

EM x

IO O C

Tương tự

2 2 2

HF x MF MH HF x     

 

2 2 2 2

1 1

2 d

4 4 6

S x MF ME x V x x



  

   

        

   

   



Vậy

1 2



  V V V

Câu 15. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ.

Tính thể tích của hình đó theo

và

Lời giải

Xét hệ trục toạ độ

Oxy

như hình vẽ.

Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm

 

0; R

và bán kính

xung quanh trục



Phương trình đường tròn

 

2 2

x y R r  

2 2

y R r x



  







  













2 2

2 2 2 2 2 2

dx 4 dx

r r

V R r x R r x R r x

 

 

        

 

Đặt

 

sin dx cos dt 4 cos dt

x r t r t V R r t





 



    



 

2 2 2 2

sin 2 t

2 1 cos 2 dt 2 2

r R t r R t r R



  



 

    

 

 



Câu 16. Cho phần vật thể

 

giới hạn bởi hai mặt phẳng

có phương trình



và



. Cắt

phần vật thể

 

bởi mặt phẳng vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

 

0 2

 

ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng

x x

Tính thể tích

của phần vật thể

 

Lời giải

Diện tích thiết diện:

 

2 3

x x







 

2 3

x x

V x









 

2 d

x x x

 



 

2 d

x x x

 



3 4

3 2 1 3

4 3 4 3

x x

 

  

 

 

Câu 17. Cho hai đường tròn

 

và

 

cắt nhau tại hai điểm

sao cho

là một đường

kính của đường tròn

 

. Gọi

 

là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ).

Quay

 

quanh trục

1 2

O O

ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích

của khối tròn xoay

được tạo thành.

Lời giải

Chọn hệ tọa độ

Oxy

với

O O

O C Ox

O A Oy

Cạnh

2 2

1 2 1 2

O O O A O A

 

2 2

5 3 

4

   

: 4 25

O x y

   

Phương trình đường tròn

 

2 2

x y

 

Kí hiệu

 

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

25 4

y x  

, trục



1x 

Kí hiệu

 

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x 

, trục



Khi đó thể tích

cần tính chính bằng thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

 

xung quanh trục

trừ đi thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

 

xung quanh trục

.Ox

Ta có

1 4

2 3

V r













Lại có

dV y x







 

25 4 dx x



 

  

 



 



 



 

 

 





Do đó

2 1

V V V 



 





Câu 18. Một khối cầu có bán kính

5dm

, người ta cắt bỏ

phần bằng

mặt phẳng vuông góc bán

kính và cách tâm

3dm

để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

5dm

3dm

Lời giải

Đặt hệ trục với tâm

, là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là

, đường thẳng ngang là

, đường tròn lớn có phưong trình

2 2

x y

 

Thể tích là do hình giới hạn bởi

, đường cong

y x 

3, 3

x x

  

quay quanh

Ta có

 

25 d 132

V x x



    



Câu 19. Bạn A có một cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính trong long cốc là

6cm

, chiều cao trong long

cốc là

10cm

đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm

miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với dường kính đáy.

Tính thể tích lượng nước trong cốc.

Chọn hệ trục toạ độ

Oxyz

như hình vẽ.

Cắt khối trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

 

, 0 3

x x

 

ta được

thiết diện là tam giác

ABC

vuông tại

. Khi đó thể tích lượng nước có trong cốc là

 

2 dV S x x





, (với

 

5 9

2 3

ABC

S x S AB BC





  

 

3 3

2 3

0 0

2 d 9 d 60 cm

    

 

V S x x x x

Câu 20. Trong hệ trục

Oxy

, cho tam giác

OAB

vuông ở

, điểm

nằm trong góc phần tư thứ nhất.

nằm trên trục hoành,

2017



. Góc



AOB

 



 

  

 

 

. Khi quay tam giác đó quanh

trục

ta được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất. Tính góc



Lời giải

Phương trình đường thẳng

: .tan

OB y x

 

2017cos

 

Khi đó thể tích nón tròn xoay là :

2017cos

2 2

tan .dV x x



  



2017

cos .sin



  

 

2017

cos 1 cos



   

Đặt

cost  

 



 

 

. Xét hàm số

 

f t t t

  ,

 

 

 

Ta tìm được

 

f t

lớn nhất khi

t 

3 6

cos sin

3 3

     

Câu 21. Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính

30cm

, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua

đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc

45°

để lấy một hình nêm (xem hình minh họa

dưới đây). Ký hiệu

là thể tích của hình nêm. Tính

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

225

y x 

 

15;15

x  

Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

 

 

15;15

x  

cắt hình

nêm theo thiết diện có diện tích là

 

S x

(xem hình).

Dễ thấy

NP y

và

tan 45° 15

MN NP y x   

khi đó

 

1 1

. . 225

2 2

S x MN NP x

  

Suy ra thể tích hình nêm là

 

15 15

d 225 d

V S x x x x

 

  

 

 

2250 cm

 .

Câu 22. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng

Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và

mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy một góc

45 .

Lời giải

Gọi BC là đường kính đáy

Điểm A là điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ sao cho

.OA BC

D là hình chiếu vuông góc của

trên

 

BCD

Ta có:

   

 



; 45 

ABC BCD



45  

AOD

Gắn trục tọa độ

như hình vẽ.

Gọi

 

là mặt phẳng vuông góc với trục

Cắt khối vật thể theo một thiết diện là hình chữ nhật

FGHI

 M OA IF

;

 N OD HG

Đặt

ON x

Ta có:

.tan 45

    IH FG MN x x

2 2 2 2

2 2 2

    HG NH OH ON R x

Diện tích hình chữ nhật

FGHI

bằng:

2 2

. 2

 MN HG x R x

Diện tích

FGHI

là một hàm liên tục trên đoạn

0;R

 

 

 

Thể tích khối vật thể tạo thành:

 

2 2 2 2 2 2

0 0

2     

 

R R

V x R x dx R x d R x

 

2 2 2 2 3

2 2

3 3

    

R x R x R

Công thức tổng quát khi mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc



thì thể tích tạo thành:

tan



V R

Câu 23. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính

0,5m

và hai mặt

phẳng song song cách đều tâm

Biết chiều cao của trống là

0,8m

Tính thể tích

của cái

trống.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Để tạo ra hình trống, ta cho cung tròn nằm trên đường tròn

2 2 2

0,5

 x y

quanh quanh trục

2 2

0,5

   y x

Vì chiều cao trống

0,8

0,4

   

OA OB

Thể tích của trống:

 

0,4

2 2

0,4

0,5

375

 



  



V x dx

Câu 24. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.

Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

Lời giải

Chọn hệ trục

Oxy

như hình vẽ.

Gọi

 

là Parabol nằm ở phía dưới.

 

là Parabol nằm ở phía trên.

Gọi

 

P y ax c 

là Parabol đi qua hai điểm

 

; 0 , 0;2

A B

 

















 

Nên ta có hệ phương trình sau:

 

0 . 2

: 2

361



 

 

 

 

 

    

 

 

 





P y x

Gọi

 

 P y ax c

là Parabol đi qua hai điểm

 

10;0 , 0;

 

 

 

C D

Nên ta có hệ phương trình sau:

 

0 . 10

1 5

40 2

2 2



 

 



 

    

 

 





 

P y x

Ta có thể tích của bê tông là:

2 2 3

0 0

1 5 8

5.2 2 40

40 2 361

 

   

      

 

   

   

 

 

V x dx x dx m

Câu 25. Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp

đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính

có diện tích là



và



BAC

 

. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình

 

(phần

tô đậm) xung quanh đường thẳng

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

(H)

Do nửa đường tròn lớn bằng



nên bán kính của nó bắng 4, suy ra bán kính đường tròn nhỏ

bằng 2.

Phương trình đường tròn lớn

 

4 16

x y

  

nên nửa trên đường tròn có phương trình

 

16 4

y x  

Phương trình đường tròn nhỏ

 

2 4

x y

  

nên nửa trên đường tròn có phương trình

 

4 2

y x  

Đường thẳng tạo với trục hoành góc

30

nên phương trình đường thẳng là

y x



Thể tích cần tính bằng

 

6 4 8

2 2

3 3 6

1 98

4 2 16 4

3 3

x dx x dx x dx

   

      

  

Câu 26. Cho hình vuông

ABCD

có cạnh bằng

4cm

. Tại bốn đỉnh

, , , A B C D

người ta vẽ lần

lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng

1cm

Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục

Lời giải

Ta có vật thể được tạo thành khi quay hình phẳng xung quanh trục

có hình dạng như hình

Khi đó thể tích vật thể được tạo thành sẽ bằng tổng thể tích của hình trụ có bán kính

2R 

chiều cao

4

và 2 hình xuyến dạng cái phao có

2, 1 R r

trừ đi 2 lần thể tích của

nửa

bên trong hình xuyến dạng cái phao có

2, 1R r 

Vậy

 

2 2 2 2

.2 .4 2.2 .1 .2 8 16

   

 

     

V V V

Với



là thể tích một nửa bên trong của hình xuyến dạng cái phao có

2, 1R r 





là thể tích của nửa hình tròn tâm

 

0; 2

, bán kính

1r

quay xung quanh trục

như

hình vẽ.









1 1

2 2 2 2 2

1 1

' 2 2 1 1 4 1 2

   

 

          

 

V x dx x x dx

Vậy

 

2 2 2

4 52

8 16 2 6

3 3



    

 

     

 

 

Câu 27. Bên trong hình vuông cạnh

, đựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ (các kích thước

cần thiết cho ở trong hình).

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục

Lời giải

Do hình sao có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang đều cho thể tích

như nhau.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

 Gọi

là thể tích khối tròn xoay cần tính.

 Gọi

là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục

hoành.

Khi đó

2 .V V

Ta có

2 2

2 .

2 4 2 96



 

   

    

   

   

 

a a

x a a a

V dx x dx

Thể tích cần tính



 

V V

Câu 28. Người ta thiết kế đầu đạn của một quả bom là một khối tròn xoay đặc, được khoét vào trong.

Biết rằng thiết diện qua trục đối xứng của đầu đạn là hai Parabol với các kích thước như hình

vẽ dưới đây.

Tính thể tích của đầu đạn đó.

Lời giải

Ta có

 

2 2

.4. 4 2 24

 

  V

Câu 29. Cho phần vật thể

giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình



và



. Cắt phần vật

thể

bởi mặt phẳng vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

(0 2),

x x

 

ta được thiết

diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng

2 .x x

Tính thể tích của phần vật thể

Lời giải

Tam giác đều cạnh

x x

có diện tích là:

 

2 3

x x

S x





Suy ra thể tích

 

2 2 2

0 0 0

2 3

3 3

4 4 3



    

  

x x

V S x dx dx x x dx

Câu 30. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng

8 cm

và một hình tròn có bán kính

5cm

được xếp chồng

lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ.

Tính thể tích

của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục

.XY

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

-4

-5

 Thể tích khối cầu:

3 3

4 4 500

5 .

3 3 3

V R



 

  

 Gọi

là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng

 

(phần tô màu) được giới hạn bởi

đường thẳng

4

, đường tròn

2 2

y x 

và

4

quanh trục hoành

 

2 2

4 25 .

V x dx



    



Vậy thể tích cần tính

1 2

520

2 .

V V V cm



  

Câu 31. Khi bật công tắc đèn pha từ chế độ chiếu xa sang chiếu gần, bạn hãy hiểu rằng toán học, cụ thể

hơn là các tính chất của parabol, đang phát huy tác dụng. Chùm sáng chiếu xa được tạo thành

khi nguồn sáng đặt tại vị trí tiêu điểm của gương phản xạ và khi đó tia sáng đi song song với

trục đối xứng của parabol. Khi thay đổi vị trí của nguồn sáng, các tia phản xạ không còn song

song với trục đối xứng, ta được chế độ chiếu gần.

Gương phản xạ ở phía sau đèn pha có dạng paraboloit (hình thu được khi cho parabol quay tròn

quanh trục đối xứng của nó) và có các kích thước như hình vẽ trên. Hãy tính thể tích của chiếc

đèn.

Lời giải

Đặt parabol nằm ngang có dạng



x ky

Parabol đi qua điểm

 

10;10

do đó



. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường:

   10 , 0, 0, 10

y x y x x

xoay quanh trục hoành.

Khi đó thể tích của đèn pha là:

 

 



10 500

V xdx cm

 

Câu 32. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay

hình phẳng giới hạn bởi các đường

1y x 

(đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục

quay

quanh trục

.Ox

Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là

2 dm

và

4 .dm

Tính thể tích

của lọ.

Lời giải

Bán kính hai đáy lần lượt là

1dm

và

1 1 0; 1 2 3

x x x x

        

Thể tích của lọ:

 

1 .

2 2

V x dx x



 

 

    

 

 



Câu 33. Người ta dựng một cái lều vải

 

có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên.

Đáy của

 

là một hình lục giác đều cạnh

. Chiều cao

6SO m

(

vuông góc với mặt

phẳng đáy). Các cạnh bên của

 

là các sợi dây

1 2 3 4 5 6

, , , , ,C C C C C C

nằm trên

các đường parabol có trục đối xứng song song với

. Giả sử giao tuyến (nếu có) của

 

với mặt phẳng

 

qua trung điểm của

thì lục giác đều có cạnh

. Tính thể

tích phần không gian nằm bên trong cái lều

 

đó.

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ

Oxy

như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol của

 

là:

2 2

0 9 3

7 1 7

3 6

2 2 2

a b c

y ax bx c a b c b y x x







  





 

             

 

 











Khi cắt

 

bởi mặt phẳng vuông góc với trục

tại điểm có tung độ

 

, 0 6

y y

 

được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh

xác định bởi

1 7

2 2

y x x

  

 

7 1 8 7 1 8

3 3 3

0 3 6.

2 4 2 2

y y

x x S y

 

   

      

 

 

Vậy thể tích túp lều là:

 

6 6

0 0

7 1 8

3 3 135 3

d d

2 2 8

V S y y y m

 

 

  

 

 

 

_______________ TOANMATH.com _______________

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/25

| | Tải xuống

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S (x) là
diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a  x  b) .
Giả sử S (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x
V  S(x) a  dx O b x a S(x) b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S(x)dx  a
2. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y
y  f (x)
(C) : y  f (x)  b
(Ox) : y  0  V   f x dx x  2 ( ) a  O b x x   a a x   b  Lưu ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g( y) , trục
hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d (  C): x  ( g ) y ( d
 Oy) : x  0  V   g y dy y  2 ( ) y    c c c y   d O x
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f (x) ,
y  g(x) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b 2 2 V  
f (x)  g (x) dx  a B. BÀI TẬP 2 2 x y
Câu 1. Một Elip có phương trình 
 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh 9 4 trục Ox . Lời giải 2 2 2 x y x Ta có:   1  y  2  1 . 9 4 9 2 x
Elip đối xứng qua trục Ox nên ta chỉ cần xét hàm số y  2 1 khi quay quanh . Ox 9 2 x 2 x
Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 1 và trục Ox : 2 1   0  x  3. 9 9 3 2  x 
Thể tích cần tính: V   4 1 dx  16  50, 24    9 3  
Câu 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  0, y  x ln(x 1) và x  1 xung quanh trục Ox. Lời giải  x  0
Phương trình hoành độ giao điểm: x ln(x 1)  0   x  0  ln  x   1  0  1  Ta có: 2
V   x ln  x   1 dx  12 ln 2  5  18 0
Câu 3. Người ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi
đường kính của nửa đường tròn nhỏ. 
Nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32 và BAC  30 . Tính thể tích vật thể tròn xoay
được tạo thành khi quay hình phẳng  H  (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB . Lời giải
Dựng hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. 1 R Ta có 2
S  32   R  64  R  8  r   4 2 2 
 C: y  64 x 82    
 C : y  16   x  42   x
BAC  30  PT AC : y  .
x tan 30  y  . 3 12 2 16 8  x 2 2  784 Vậy V    dx  
 64  x 8 dx  16  x  4 dx    . 3 3  6 12 6 
Câu 4. Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn
đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy.
Tính thể tích của khối dầu còn lại trong bồn. Lời giải
Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: 2 2 3
V   r h   .1 .5  5 m . 1
Chọn hệ tục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm của mặt đáy.
Đường tròn đáy có bán kính bằng 1 nên có phương trình 2 2
x  y  1. Suy ra 2
y   1 x . 1
Diện tích phần hình tròn đáy bị mất: 2 2 S  2
1 x dx  0, 61m . 1 2 1
Thể tích phần dầu bị rút ra ngoài: 2 3
V  S  h  2
1 x dx  5  3, 07 m . 2 1 2
Vậy thể tích của khối dầu còn lại trong bồn: 3
V  V V  12, 637 m 1 2
Câu 5. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây 4 cm A B O 6 cm I
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của
chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho. Lời giải
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol  P. y 6 x -2 O 2
Vì parabol  P đi qua các điểm A2;6, B 2;6 và I 0;0 nên parabol  P có phương trình 3 2 y  x . 2 3 2 Ta có 2 2 y  x  x  y . 2 3
Thể tích V bằng thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng H  giới hạn bởi các 2 y đường: x 
; x  0; y  0; y  6 quanh quanh trục Oy 3 6  2 
Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V   y dy  12    3 cm  .  3  0
Câu 6. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ,
y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đường thẳng x  a 0  a  4 cắt đồ thị hàm y  x tại M (hình vẽ sau). y M a H O K 4 x
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng 1
V  2V . Tính a . 1 Lời giải 4
Ta có x  0  x  0 . Khi đó V   d x x  8 0
Ta có M a; a 
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: 
Hình nón  N có đỉnh là O , chiều cao h  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ; 1  1 
Hình nón  N thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h  HK  4  a , bán kính đáy 2  2 R  MK  a 2 2 1 1 1 1 4 Khi đó 2 2 V 
 R h   R h   a .a   a .(4  a)   a 1 1 2     3 3 3 3 3 4
Theo đề bài V  2V  8  2.  a  a  3 . 1 3
Câu 7. Một vật thể được tạo thành bởi hai mặt cầu S , S có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: 2  1 
tâm của S thuộc S và ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi 2  1  S vàS . 2  1  Lời giải
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ y 2 2 2
(C) : x  y  R O R R x 2
Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn là C  2 2 2
: x  y  R
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là R R 3 3      2 2   R  x  2 x 5 R V 2
dx  2  R x    3 R 12 R   2 2 .
Câu 8. Một vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình giới hạn bởi trục Ox
và đường y  sin x,0  x    như hình vẽ y 1 π x O π 2
Tính thể tích vật thể. Lời giải    2 1 cos 2x   sin 2x   Ta có: 2
V   sin xdx   dx  x       . 2 2  2  2 0 0 0 1
Câu 9. Gọi  H  là phần giao của hai khối
hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với 4 nhau như hình vẽ bên. a a
Tính thể tích của  H  . Lời giải
Gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó phần giao  H  là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết
diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích S  x 2 2  a  x a a 3 2a
Thể tích khối  H  là S  x dx   2 2 a    x dx  . 3 0 0
Câu 10. Một khối cầu có bán kính là 5dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng
song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3dm để làm một chiếc lu
đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. Lời giải
Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn 2 2
(C) : (x  5)  y  25 . Ta thấy nếu cho nửa
trên trục Ox của C  quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình
phẳng  H  giới hạn bởi nửa trên trục Ox của C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  2
quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 2 2 2
(x  5)  y  25  y   25  (x  5)
 Nửa trên trục Ox của C có phương trình 2 2 y 
25  (x  5)  10x  x
 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho  H  quay quanh Ox là: 2 2 3    V    x 52 2 10x  x  2
dx   5x   1   3 3 0   0 4 500 Thể tích khối cầu là: 3 V  .5  2 3 3 500 52
Thể tích cần tìm: V  V  2V   2.  132  3 dm 2 1  3 3
Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích R 5  V    52 2 2
R  x dx    2 25  x dx  1  3 d 3 4 52
Vậy thể tích của chiếc lu là 3
V  V  2V  .5  2   132 c 1 3 3
Câu 11. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại
thời điểm t giây là v t   t   3 10
500 m / s  . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của
nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu? Lời giải
Lượng nước thoát ra là: 2400 2400
10t  500dt    2 5t  500t  7  3.10  3 m  . 0 0
Câu 12. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai
đáy là đường tròn có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa
trục và cắt mặt phẳng xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Tính thể tích của thùng rượu. Lời giải
Các đường xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Đặt thùng rượu nằm ngang và chọn
hệ trục có gốc tọa độ là tâm của đáy, trục hoành là trục đối xứng của thùng rượu. Gọi đường parabol có dạng 2
y  ax  bx  c .  1 
Theo bài ta có đường parabol này sẽ đi qua các điểm 0;0;3, ;0; 4 ,   1;0;3 .  2  2  2 3 Suy ra 2 y  x  x  . 5 5 10
Thể tích thùng rượu chính là thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 2 3 y   x  x 
; y  0 ; x  1 . 5 5 10 1 2  2 2 2 3  203 V    x  x  dx     3 m   425,2 l .  5 5 10  1500 0
Câu 13. Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY  40 cm và cạnh đáy lần lượt là 40 cm và
60cm , được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác này là trung điểm cạnh đáy của tam giác kia như hình vẽ .
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY . Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: y M 30 A 20 Y X x 16 40 B N
Y  O 0; 0 , X 40; 0 , A 0; 20 , M 40; 30 . 3x
Phương trình đường YM : 3x  4y  0  y  . 4 40  x
Phương trình AX : x  2y  40  0  y  . 2 3x 40  x
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường YM và AX là:   x  16. 4 2
Thể tích vật thể cần tính: 16 2 40 2  40  x   3x  46240 3 V   dx   dx  cm .        2   4  3 0 16
Câu 14. Cho hình lập phương AB . CD AB C  D
  cạnh bằng 1. Gọi O, O lần lượt là tâm của hình vuông
ABCD và hình vuông AB C  D
  . Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác ABC khi
quay quanh trục OO ? Lời giải Ta chia O
 AB thành 2 phần gồm I  AB và IB  C .
Thể tích vật thể khi quay I
 AB xung quanh trục OO là phần chung của 2 hình nón có cùng 1 
chiều cao IO và bán kính đáy là OL, OA . Vậy V   .IO  2 2 OA  OL  . 1  3 24
Để tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay KIC 
 xung quanh trục OO ta chọn chiều dương
IO , xét mặt phẳng  P qua M có toạ độ x và vuông góc với OO ,
P  IC  E;P  KC  F .
Khi đó thiết diện khi cắt vật thể bởi mặt phẳng  P là 1 vành tròn như hình vẽ bên. Do đó 1 2
V  2 S x dx 2    . Ta có: 0 IM ME x EM   
 EM  x 2 . IO OC 1 1 2 2 1 Tương tự 2 2 2
HF  x  MF  MH  HF   x . 4 1 2  1   1  
 S  x    2 2 MF  ME  2 2    x  V  2  x dx    . 2    4   4  6 0 5
Vậy V  V  V  . 1 2 24
Câu 15. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. r R
Tính thể tích của hình đó theo R và r . Lời giải
Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm 0; R và bán kính r
xung quanh trục Ox . 2 2 
 y  R  r  x
 Phương trình đường tròn    2 2 2 x y R  r   . 2 2
 y  R  r  x  r r
 V    R  r  x 2 R  r  x 2 2 2 2 2 2 2 dx  4 R r  x dx  . r r   2 r  2 Đặt 2
x  r sin t  dx  r cos tdt V  4 R  r cost  dt   r  2   2   2 2  sin 2 t 2   2 r R 1 cos 2t  2 2 2 dt  2 r R t   2 r R    .  2      2 2
Câu 16. Cho phần vật thể  H  giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt
phần vật thể  H  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x  2 ,
ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2  x .
Tính thể tích V của phần vật thể  H  . Lời giải 2
x 2  x 3
Diện tích thiết diện: S  .  4 2 2 2
x 2  x 3 2 3 2 3 3  2 1  3 V  dx 2  x 2  x dx 2  x 2  x dx 3 4  x  x  .           4 4 4 4  3 4  3 0 0 0 0
Câu 17. Cho hai đường tròn O ;5 và O ;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường 2  1 
kính của đường tròn O ;3 . Gọi  D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài 2 
đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ).
Quay  D quanh trục O O ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay 1 2 được tạo thành. Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy với O  O , O C  Ox , O A  Oy . 2 2 2 Cạnh 2 2
O O  O A  O A 2 2
 5  3  4  O : x  4  y  25 . 1   2 2 1 2 1 2
Phương trình đường tròn O : 2 2 x  y  9 . 2 
Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y    x  2 25 4
, trục Ox , x  0 , x  1 . 1  Kí hiệu  H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y  9  x , trục Ox , x  0 , x  3 . 2 
Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 2
 H xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H 1  2  1 xung quanh trục . Ox 1 4 2 Ta có 3 V  .  r 3   .3  18 . 2 2 3 3 1 1   2  x  43 1 14 Lại có 2
V   y dx  25 x 4    
dx   25x    . 1       3 3 0 0   0   14 40
Do đó V  V V  18   . 2 1 3 3
Câu 18. Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán
kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 3dm 5dm 3dm Lời giải
Đặt hệ trục với tâm O , là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là Ox , đường thẳng ngang là
Oy , đường tròn lớn có phưong trình 2 2
x  y  25 .
Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox , đường cong 2 y 
25  x , x  3, x   3 quay quanh Ox . 3 Ta có V    2
25  x dx  132  . 3
Câu 19. Bạn A có một cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính trong long cốc là 6cm , chiều cao trong long
cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm
miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với dường kính đáy.
Tính thể tích lượng nước trong cốc.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
Cắt khối trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, 0  x  3 ta được
thiết diện là tam giác ABC vuông tại B . Khi đó thể tích lượng nước có trong cốc là 3  2 5 9 1  x 
V  2 S  x dx 
, (với S  x  S  A . B BC  ). A  BC 2 3 0 3 3 10
 V  2 S  x dx    2 9  x  3 dx  60 cm . 3 0 0
Câu 20. Trong hệ trục Oxy , cho tam giác OAB vuông ở A , điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất.    A 
nằm trên trục hoành, OB  2017 . Góc AOB   , 0    
 . Khi quay tam giác đó quanh  3 
trục Ox ta được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất. Tính góc  . Lời giải
Phương trình đường thẳng OB : y  .
x tan  , OA  2017 cos  .
Khi đó thể tích nón tròn xoay là : 2017 cos  3 3 2 2 2017  2017  V   x tan .  dx  2  cos .  sin   cos   2 1 cos  . 3 3 0  1   1 
Đặt t  cos   t 0; 2 
 . Xét hàm số f t   t 1 t  , t 0;   .  2   2  3 3 6
Ta tìm được f t  lớn nhất khi t   cos    sin   . 3 3 3
Câu 21. Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua
đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45° để lấy một hình nêm (xem hình minh họa
dưới đây). Ký hiệu V là thể tích của hình nêm. Tính V . Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình: 2 y 
225  x , x 15;15 .
Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,  x 15;15 cắt hình
nêm theo thiết diện có diện tích là S  x (xem hình).
Dễ thấy NP  y và 2
MN  NP tan 45°  y  15  x khi đó 1 1
S  x  MN.NP  . 2 225  x  . 2 2 15 15 1
Suy ra thể tích hình nêm là V 
S  x dx     2
225  x dx   3 2250 cm . 2 15 1  5
Câu 22. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng .
R Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và
mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy một góc 0 45 . Lời giải x
Gọi BC là đường kính đáy
Điểm A là điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ sao cho OA  BC .
D là hình chiếu vuông góc của A trên BCD 
Ta có:  ABC   BCD  ;
 45  AOD  45
Gắn trục tọa độ Ox như hình vẽ.
Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với trục Ox
Cắt khối vật thể theo một thiết diện là hình chữ nhật FGHI .
M  OA  IF ; N  OD  HG
Đặt ON  x
Ta có: IH  FG  MN  .
x tan 45  x 2 2 2 2
HG  2NH  2 OH  ON  2 R  x
Diện tích hình chữ nhật FGHI bằng: 2 2
MN.HG  2x R  x
Diện tích FGHI là một hàm liên tục trên đoạn 0;R  
Thể tích khối vật thể tạo thành: R R 2 2 2 2
V  2x R  x dx   R  x d  2 2 R    x  0 0 2 R    2 2 2 R  x  2 2 3 R  x  R 3 0 3
Công thức tổng quát khi mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc  thì thể tích tạo thành: 2 3 V  R tan  3
Câu 23. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R  0, 5m và hai mặt
phẳng song song cách đều tâm I . Biết chiều cao của trống là h  0,8m Tính thể tích V của cái trống. Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Để tạo ra hình trống, ta cho cung tròn nằm trên đường tròn 2 2 2
x  y  0, 5 quanh quanh trục Ox 2 2
 y   0,5  x AB
Vì chiều cao trống h  0,8  OA  OB   0, 4 2 0,4 59
Thể tích của trống: V     2 2
0, 5  x  dx   375 0  ,4
Câu 24. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Lời giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Gọi  P là Parabol nằm ở phía dưới. 1 
 P là Parabol nằm ở phía trên. 2  19    Gọi P  2
: y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm A ; 0,B   0;  2 1  2 
Nên ta có hệ phương trình sau: 2   19   8 0  . a  2 a   8     2    361   P  2 : y   x  2 1 361  b  2 2  b    5  Gọi  P  2
: y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm C 10;0, D 0; 2    2 
Nên ta có hệ phương trình sau:  5  1 0  . a 102  a     2   40 1 5      P  2 : y   x  2 5 5 40 2    b b    2   2
Ta có thể tích của bê tông là: 19  10  1 5   8   2 2 3 2 V  5.2  x  dx  
x  2 dx  40        m 0 0   40 2   361  
Câu 25. Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp
đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8 và 
BAC  30 . Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H  (phần
tô đậm) xung quanh đường thẳng AB . Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. C (H) A B
Do nửa đường tròn lớn bằng 8 nên bán kính của nó bắng 4, suy ra bán kính đường tròn nhỏ bằng 2.
Phương trình đường tròn lớn  x  2 2 4
 y  16 nên nửa trên đường tròn có phương trình y    x  2 16 4 .
Phương trình đường tròn nhỏ  x  2 2 2
 y  4 nên nửa trên đường tròn có phương trình y    x  2 4 2 . 3
Đường thẳng tạo với trục hoành góc 30 nên phương trình đường thẳng là y  x . 3 6 4 8 1 2 2 98
Thể tích cần tính bằng 2  x dx   
4 x  2 dx  16  x  4 dx   . 3 3 3 3 6
Câu 26. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Tại bốn đỉnh A, B, C, D người ta vẽ lần
lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1cm .
Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục XY . Lời giải
Ta có vật thể được tạo thành khi quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng như hình sau
Khi đó thể tích vật thể được tạo thành sẽ bằng tổng thể tích của hình trụ có bán kính R  2 , 1
chiều cao h  4 và 2 hình xuyến dạng cái phao có R  2, r  1 trừ đi 2 lần thể tích của nửa 2
bên trong hình xuyến dạng cái phao có R  2, r  1 . Vậy 2 2 2 2 V
  .2 .4  2.2 .1 .2 V   8 16 V  . H 
Với V  là thể tích một nửa bên trong của hình xuyến dạng cái phao có R  2, r  1
 V  là thể tích của nửa hình tròn tâm I 0; 2 , bán kính r  1 quay xung quanh trục Ox như hình vẽ. 1 1  V '   2   2 1 x 2 4 2 2 dx     2 2
x 1 4 1 x  2
dx  2   Vậy 3 1  1   4  52 2 2 2 V
 8 16  2    6  . H     3  3
Câu 27. Bên trong hình vuông cạnh a , đựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ (các kích thước
cần thiết cho ở trong hình). a x a 2 2 a a 4 a a a 2 2 4 4 a a 2 a 2 4 a a 2 y 2
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục xy . Lời giải
Do hình sao có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang đều cho thể tích như nhau.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. 
Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục 1 hoành. a a 2 2 2 2 3  x a   a  5 a
Khi đó V  2V . Ta có V    dx   2x  dx  . 1 1      2 4  a  2  96 0 4 3 5 a
Thể tích cần tính V  2V  1 48
Câu 28. Người ta thiết kế đầu đạn của một quả bom là một khối tròn xoay đặc, được khoét vào trong.
Biết rằng thiết diện qua trục đối xứng của đầu đạn là hai Parabol với các kích thước như hình vẽ dưới đây.
Tính thể tích của đầu đạn đó. Lời giải 1 Ta có V   .4. 2 2 4  2   24 . 2
Câu 29. Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt phần vật
thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0  x  2), ta được thiết
diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2  x. Tính thể tích của phần vật thể B . Lời giải 2
x 2  x 3
Tam giác đều cạnh x 2  x có diện tích là: S  x  . 4 2 2 2 x 2  x 2 3 3 3
Suy ra thể tích V  S  x 2 dx  dx 
x 2  x dx     4 4 3 0 0 0
Câu 30. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8 cm và một hình tròn có bán kính 5 cm được xếp chồng
lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ.
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY. Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. y 5 4 x -5 -4 O 3 4 5 -4 -5 4 4 500  Thể tích khối cầu: 3 3
V   R   5  . 1 3 3 3 
Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H  (phần tô màu) được giới hạn bởi 2
đường thẳng y  4 , đường tròn 2 2
y  25  x và x  4 quanh trục hoành 4  2  V      2 10 4 25  x dx  . 2  3 3 520 Vậy thể tích cần tính 3
V  V  2V  cm . 1 2 3
Câu 31. Khi bật công tắc đèn pha từ chế độ chiếu xa sang chiếu gần, bạn hãy hiểu rằng toán học, cụ thể
hơn là các tính chất của parabol, đang phát huy tác dụng. Chùm sáng chiếu xa được tạo thành
khi nguồn sáng đặt tại vị trí tiêu điểm của gương phản xạ và khi đó tia sáng đi song song với
trục đối xứng của parabol. Khi thay đổi vị trí của nguồn sáng, các tia phản xạ không còn song
song với trục đối xứng, ta được chế độ chiếu gần.
Gương phản xạ ở phía sau đèn pha có dạng paraboloit (hình thu được khi cho parabol quay tròn
quanh trục đối xứng của nó) và có các kích thước như hình vẽ trên. Hãy tính thể tích của chiếc đèn. Lời giải
Đặt parabol nằm ngang có dạng  2 x ky . 1
Parabol đi qua điểm 10;10 do đó k 
. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: 10
y  10x , y  0, x  0, x  10 xoay quanh trục hoành. 10
Khi đó thể tích của đèn pha là: V   10xdx   500  3 cm  0
Câu 32. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay
hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
x 1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox quay quanh trục .
Ox Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 d . m
Tính thể tích V của lọ. Lời giải
Bán kính hai đáy lần lượt là 1dm và 2 dm 
x 1  1  x  0; x 1  2  x  3 3 2  x  3 15
Thể tích của lọ:V    x   1 dx    x  .    2 0 2 0  
Câu 33. Người ta dựng một cái lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên.
Đáy của  H  là một hình lục giác đều cạnh 3m . Chiều cao SO  6m ( SO vuông góc với mặt
phẳng đáy). Các cạnh bên của  H  là các sợi dây C ,C ,C ,C ,C ,C nằm trên 1 2 3 4 5 6
các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của
 H  với mặt phẳng P qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể
tích phần không gian nằm bên trong cái lều  H  đó. Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol của C là: 1   1 a   2
0  9a  3b  c    7 1 7 2 2
y  ax  bx  c  3
  a  b  c  b     y  x  x  6 . 2 2 2 6 c    c  6  
Khi cắt  H  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ y, 0  y  6 ta 1 7
được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh x xác định bởi 2 y  x  x  6 . 2 2 2 2 7  1 8y x 3
3 3  7  1 8 y 
Do 0  x  3  x 
 S  y  6.    . 2 4 2  2    2 6
6 3 3  7  1 8y  135 3
Vậy thể tích túp lều là: V  S  y dy    dy     3 m  . 2  2  8 0 0  
_______________ TOANMATH.com _______________

Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12