35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12
35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 x Câu 1. I dx x x2 3 9 1 x 2 2 2 I
dx x(3x 9x d
1) x 3x dx x 9x d 1 x 3x 9x2 1 3 2 3 2 1 2 2 1 2
+ I 3x dx x C 2 1 1 + I x x dx 2 9 1
9x 1d(9x 1) (9x 1) C 2 18 27 3 1 2 2 3 I
(9x 1) x C 27 x2 x Câu 2. I dx 1 x x x2 x x2 x dx dx dx . 1 x x 1 x x 1 x x x2 2 3 2 2 2 4 2 + I dx 1
. Đặt t= 1 x x t 1 x x x t
( 1) x dx t t( 1 d ) t 1 x x 3 4 3 2 4 3 4 4 1 x x 4 t ( 1 d
) t t t C 1 x x C 3 9 3 = 1 9 3 x 2 d(1 x x) 4 + I dx 2 = =
1 x x C2 1 x x 3 1 x x 3 3 4
Vậy: I 1 x x C 9 4 2x 1 3 t2 Câu 3. I dx
Đặt t 2x 1 . I = dt 2 ln2 1t . 0 1 2x 1 1 6 dx
Câu 4. I
Đặt t 4x 1 . I 3 1 ln 2 12
2 2x 1 4x 1 1 1 2 Câu 5. 3 2
I t2 t4
I x 1 x dx Đặt: t x2 1 dt 15 . 0 0 1 1 x Câu 6. I dx 0 1 x 1 t3 t 1 2 2 11
Đặt t x dx t 2 d . t . I = 2 dt 2 2 4ln2 t 1 = t t d t = . 1 t 3 0 0 3 x 3 Câu 7. I dx
0 3 x 1 x 3 Trang 4
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 2 t3 2 t 2 2 8 1
Đặt t x 1 t
2 du dx I dt ( t 2 d 6) t 6 dt 3 3 6ln t2 3 2 1 2 1 t t 1 1 0 Câu 8. 3
I x. x d 1 x 1 1 1 3 t7 t4 3 2 3 9
Đặt t x 1 t x 1 dx t
3 dt I 3 t( 1 d
) t 3 7 4 28 0 0 5 x2 1 Câu 9. I dx 1 x 3x 1 2 t2 1 1 tdt 4 3 t 2 dt 4 4 2 2 dt Đặt t x dx 2 3 1 I . t ( 1 d ) t 2 3 t2 1 3 2 9 2 t. 2 2 t 1 3 4 4 2 1 3 t 1 100 9 t t ln ln . 9 3 t 1 27 5 2 2 3 2x2 x 1 Câu 10. I dx 0 x 1
Đặt x t x t2 1
1 dx t 2 dt 2 2 2 t2 2 ( 1) t2 2 ( 1) 1 t5 4 2 4 3 54 I t 2 dt 2 ( t 2 t 3 d ) t t 2 t 5 5 1 1 1 1 x2dx
Câu 11. I 2
0 (x 1) x 1 2
Đặt t x 1 t x 1 t 2 dt dx 2 2 t2 2 2 2 ( 1) 1 t3 1 16 11 2 I t .2 dt 2
t dt 2 t2 3 3 1 t3 t t 1 1 4 x 1 Câu 12. I dx 2 0 1 1 2x dx t2 t 2
Đặt t 1 1 2x dt dx t ( 1 d ) t và x 1 2x 2 4 1 t2 ( t 2 2) t 4 ( 1) 1 t3 t2 3 t 4 4 2 1 4 2 Ta có: I = dt dt t 3 dt 2 t2 2 t2 2 t t2 2 2 2 t2 1 2 1 = t 3 4ln t 2ln2 2 2 t = 4 8 x 1 Câu 13. I dx x2 3 1 Trang 5
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng 8 x 1 8 2 2
1 ln 3 2 ln 8 3 I dx
= x 1 ln x x 1 3 = x2 1 x2 3 1 1 Câu 14. 3 2
I (x 1) 2x x dx 0 1 1 3 2 2 2
I (x 1) 2x x dx (x 2x 1) 2x x (x 1 d ) x . Đặt t x x2 2 I 2 15 . 0 0
2 2x3 3x2 x Câu 15. I dx x2 0 x 1
2 (x2 x)(2x 1) 3 2 2 4 I dx
. Đặt t x x 1 I 2 t ( 1 d ) t . x2 3 0 x 1 1 2 x d 3 x
Câu 16. I 3 x2 0 4 2 3 2 2 3 2 3 4 3 8 3
Đặt t 4 x x t 4 2xdx t 3 dt I t ( 4t d ) t 4 2 2 2 5 3 4 1 dx
Câu 17. I x x2 11 1
1 1 x 1 x2
1 1 x 1 x2 1 1 1 1 1 x2 Ta có: I dx dx 1 dx dx 2 x 2x (1 ) (1 ) 2 1 x 2 x2 x 1 1 1 1 1 1 1 1 + I
1 dx ln x x 1 | 1 2 x 1 2 1 1 1 x2 2 2 2 2 2 t dt + I dx 2 1 1 2 2 0 2x . Đặt t x t x tdt xdx I2= 2 1 2(t 2 1) Vậy: I 1.
Cách 2: Đặt t x x2 1 . 1 x 1 x33 1 1 1 3 1 1 Câu 18. I dx Ta có: I 1 . dx . Đặt t
1 I 6. x4 2 3 1 1 x x x2 3 3 2 4 x2 Câu 19. I dx x 1 2 4 x2 2 2 2 Ta có: I xdx
. Đặt t = 4 x t 4 x tdt xdx x2 1 0 0 t(tdt 0 ) t2 0 4 t 2 2 3 I = dt (1 d ) t t ln = 3 ln 4 t2 t2 4 t2 4 t 2 3 3 3 3 2 3 Trang 6
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 2 5 x 5 dt 1 15 Câu 20. I dx
Đặt t x2 5 I ln . x2 x2 2 4 4 7 2 ( 1) 5 3 t 27 x 2 Câu 21. I dx x 3 x2 1 3 3 3 6 t 2 2 2t 1
Đặt t x I 5 dt 5 1 dt 2 5 5 3 1 ln t t2 ( 1) t t2 1 t2 3 12 1 1 1 1 1 Câu 22. I dx x2 0 x 1 1 3 2 2dt 1 3 3 2 3
Đặt t x x x 1 I ln t (2 1) ln t 1 2 1 3 1 3 x2 Câu 23. I dx x 2 x 2 0 (1 1 ) (2 1 ) 4 42 36 4
Đặt 2 1 x t I t 2 16 dt 12 42ln t t2 3 3 3 x2 Câu 24. I dx
0 2(x 1) 2 x 1 x x 1 2 t 2 t2 2 ( 1) dt 2 2 2 2 3 2
Đặt t x 1 I 2 t ( 1) dt t ( 1) t t 2 3 3 1 ( 1) 1 1
2 2 3 x x3 x 2011 Câu 25. I dx x4 1 1 3 2 2 1 2 2 2 2011 Ta có: x I dx
dx M N x3 x3 1 1 1 3 7 3 2 2 1 x2 1 2 3 3 3 21 7 M dx . Đặt t 3
1 M t dt x3 2 1 x 2 128 0 2 2 2 2 2 2 2011 3 2011 14077 N dx x 2011 dx x3 2x2 16 1 1 1 3 14077 21 7 I 16 128 . 1 dx
Câu 26. I x3 3 x3 0 (1 ). 1 3 3 2 2 2 3 3 t dt
Đặt t 1 x I dt 2 2 1 t t 1 4 3 3 t2 t3 3 .( 1) .( 1) Trang 7
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng 2 1 3 3 2 1 dt 3 2 dt 3 2 t3 dt 2 2 t4 1 1 1 1 3 1 3 t2.t3 1 t4 1 t3 t3 1 1 2 1 1 1 2 1 dt 3 2 u 2 3 2 1 1 u 1 2 3 1 Đặt u 1 du I du u 3du u3 t3 t4 3 3 3 3 1 0 0 2 0 3 0 2 2 x4 Câu 27. I dx x 1 x2 3 1 x
Đặt t x2 1 3 t2 2 ( 1) 3 t4 t2 3 3 2 1 2 1 19 2 4 2 I dt = dt t dt dt ln t2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 t 2 2 t 4 2
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 1 1 x
Câu 28. I 2x ln
1 xdx 0 1 x 1 1 x Tính H dx
. Đặt x cost;t 0; H 2 2 2 0 1 x 1
u ln(1 x)
Tính K 2x ln(1 x d ) x . Đặt K 1 2 0 dv 2xdx 2 Câu 29. 5 2 2 I
(x x ) 4 x dx 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 2
I = (x x ) 4 x dx = x 4 x dx + x 4 x dx = A + B. 2 2 2 2 5 2 + Tính A = x 4 x dx
. Đặt t x . Tính được: A = 0. 2 2 2 2 + Tính B = x 4 x dx
. Đặt x 2sint . Tính được: B = 2 . 2
Vậy: I 2 . Trang 8
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
2 3 4 x2 dx
Câu 30. I 2x4 1 2 2 3 4 x2 Ta có: I dx dx . 2x4 2x4 1 1 2 3 2 3 4 7 + Tính I1 = dx = x dx . 2x4 2 16 1 1 2 4 x2 + Tính I dx 2
. Đặt x 2sint dx 2costdt . 2x4 1 2 2 1 cos tdt 2 2 1 2 1 1 2 3 I cot t dt cot t d . (cot t 2 ) 4 8 sin t 2 8 sin t 8 8 6 6 6 Vậy: I 1 72 3 16 . 1 x2dx
Câu 31. I x6 0 4 1 3 2 1 dt
Đặt t x dt 3x dx I 3 . 4 t2 0 6 1
Đặt t 2sin u, u 0;
dt 2cosudu 2 I dt 3 18 . 0 2 2 x 2 2 t Câu 32. I dx 2cos 2 sin
I 4 sin dt 2 x 2 Đặt x t dx tdt 2 . 0 0 1 x2dx
Câu 33. I x x2 0 3 2 1 x2dx Ta có: I
. Đặt x 1 2cost . 2 x 2 0 2 ( 1) 2 2 (1 2cost 2 ) 2sint 3 3 3 I dt
= 3 4cost 2cos2tdt = 4 4 (2cost 2 2 ) 2 2 3 2 1 2 6 3 1 Câu 34. 2
1 2x 1 x dx
Đặt x sint I (cost sint)costdt 12 8 8 0 0 Trang 9
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Tích phân từng phần 3 Câu 35. 2 I x dx 1 2 x 2 du dx u x 1 Đặt x2 dv dx 1 v x 3 3 x 3 2 2 1
I x x 1 x.
dx 5 2 x 1 dx 2 x2 1 x2 2 2 1 3 3 2 dx 5 2 x d 1 x
5 2 I ln x x2 3 1 x2 2 2 2 1 I 5 2 ln 2 1 1 ln2 2 4 1
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x 2;3 1 ;1 cost vì Trang 10