35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12

35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

34 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

7 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
I dx
xx
2
3 9 1

x
I dx x x x dx x dx x x dx
xx
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1

+
I x dx x C
23
11
3
+
I x x dx
2
2
91
x d x x C
3
2 2 2
2
2
11
9 1 (9 1) (9 1)
18 27
I x x C
3
23
2
1
(9 1)
27
Câu 2.
xx
dx
xx
2
1
xx
dx dx
x x x x
2
11



.
+
x
I dx
xx
2
1
1
. Đặt t=
x x t x x
2
11
xt
3 2 2
( 1)
x dx t t dt
22
4
( 1)
3
t dt t t C
23
4 4 4
( 1)
3 9 3
=
x x x x C
3
1
44
11
93
+
x
I dx
xx
2
1
=
d x x
xx
2 (1 )
3
1
=
x x C
2
4
1
3

Vậy:
I x x C
3
4
1
9
Câu 3.
x
I dx
x
4
0
21
1 2 1

Đặt
tx21
. I =
t
dt
t
3
2
1
2 ln2
1

.
Câu 4.
dx
I
xx
6
2
2 1 4 1
Đặt
tx41
.
I
31
ln
2 12

Câu 5.
I x x dx
1
32
0
1
Đặt:
tx
2
1
I t t dt
1
24
0
2
15
.
Câu 6.
x
I dx
x
1
0
1
1
Đặt
tx
dx t dt2.
. I =
tt
dt
t
1
3
0
2
1
=
t t dt
t
1
2
0
2
22
1



=
11
4ln2
3
.
Câu 7.
x
I dx
xx
3
0
3
3 1 3
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
Đặt
t x tdu dx12
tt
I dt t dt dt
t
tt
2 2 2
3
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
1
32

3
3 6ln
2
Câu 8.
I x x dx
0
3
1
.1

Đặt
tt
t x t x dx t dt I t dt
1
1
74
3 2 3
3
0
0
9
1 1 3 3( 1) 3
7 4 28



Câu 9.
x
I dx
xx
5
2
1
1
31
Đặt
tdt
t x dx
2
31
3
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3




dt
t dt
t
44
2
2
22
2
( 1) 2
9
1

t
tt
t
3
44
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
22



Câu 10.
xx
I dx
x
3
2
0
21
1

Đặt
x t x t
2
11
dx tdt2
t t t
I tdt t t dt t
t
2
22
2 2 2 5
4 2 3
1
11
2( 1) ( 1) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
55




Câu 11.
x dx
I
xx
1
2
0
2
( 1) 1

Đặt
t x t x tdt dx
2
1 1 2
tt
I tdt t dt t
tt
t
2
2
22
2 2 3
3
1
11
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
33






Câu 12.
x
I dx
x
4
2
0
1
1 1 2

Đặt
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
12
và
tt
x
2
2
2
Ta có: I =
t t t t t t
dt dt t dt
t
t t t
4 4 4
2 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2



=
t
tt
t
2
12
3 4ln
22




=
1
2ln2
4
Câu 13.
x
I dx
x
8
2
3
1
1
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 6
x
I dx
xx
8
22
3
1
11






=
x x x
8
22
3
1 ln 1


=
1 ln 3 2 ln 8 3
Câu 14.
I x x x dx
1
32
0
( 1) 2
I x x x dx x x x x x dx
11
3 2 2 2
00
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)

. Đặt
t x x
2
2
I
2
15

.
Câu 15.
x x x
I dx
xx
2
32
2
0
23
1


x x x
I dx
xx
2
2
2
0
( )(2 1)
1


. Đặt
t x x
2
1
I t dt
3
2
1
4
2 ( 1)
3
.
Câu 16.
x dx
I
x
2
3
3
2
0
4
Đặt
t x x t xdx t dt
3
2 2 3 2
4 4 2 3
I t t dt
3
2
4
3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5



Câu 17.
dx
I
xx
1
2
1
11
Ta có:
x x x x
I dx dx
x
xx
11
22
22
11
1 1 1 1
2
(1 ) (1 )



x
dx dx
xx
11
2
11
1 1 1
1
22





+
I dx x x
x
1
1
11
1
1 1 1
1 ln | 1
22





+
x
I dx
x
1
2
2
1
1
2
. Đặt
t x t x tdt xdx
2 2 2
1 1 2 2
I
2
=
t dt
t
2
2
2
2
0
2( 1)
Vậy:
I 1
.
Cách 2: Đặt
t x x
2
1
.
Câu 18.
xx
I dx
x
1
3
3
1
4
1
3
Ta có:
I dx
xx
1
1
3
23
1
3
11
1.




. Đặt
t
x
2
1
1
I 6
.
Câu 19.
x
I dx
x
2
2
1
4
Ta có:
x
I xdx
x
2
2
2
1
4
. Đặt t =
x t x tdt xdx
2 2 2
44
I =
t tdt t t
dt dt t
t
t t t
0
0 0 0
2
2 2 2
3
3 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
2
4 4 4




=
23
3 ln
23





Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 7
Câu 20.
x
I dx
xx
25
22
2
( 1) 5

Đặt
tx
2
5
dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
47
4

.
Câu 21.
x
I dx
xx
27
3
2
1
2
Đặt
tx
6
tt
I dt dt
t
t t t t
33
3
2 2 2
11
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1




25
5 3 1 ln
3 12



Câu 22.
I dx
xx
1
2
0
1
1

Đặt
t x x x
2
1
dt
It
t
13
13
1
1
2 3 2 3
ln(2 1) ln
2 1 3
Câu 23.
x
I dx
xx
3
2
22
0
(1 1 ) (2 1 )
Đặt
xt21
I t dt
t
t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3



Câu 24.
x
I dx
x x x x
3
2
0
2( 1) 2 1 1
Đặt
tx1
t t dt
I t dt
tt
22
22
2
2
11
2 ( 1)
2 ( 1)
( 1)

t
2
3
1
22
( 1)
33
Câu 25.
x x x
I dx
x
3
22
3
4
1
2011
Ta có:
x
I dx dx M N
xx
3
2 2 2 2
2
33
11
1
1
2011

x
M dx
x
3
22
2
3
1
1
1
. Đặt
t
x
3
2
1
1
M t dt
3
7
3
2
3
0
3 21 7
2 128
N dx x dx
xx
22
2 2 2 2
3
32
11
1
2011 2011 14077
2011
16
2




I
3
14077 21 7
16 128

.
Câu 26.
dx
I
xx
1
3
33
0
(1 ). 1

Đặt
tx
3
3
1
t dt
I dt
t t t t
33
22
2
22
11
4 3 2 3
33
.( 1) .( 1)



Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 8
dt dt
t
dt
t
t
tt
t
t
3 3 3
2
3
2 2 2
3
2 2 4
1 1 1
33
4
23
3
3
1
1
1
1
1
.1










Đặt
dt
u du
tt
34
13
1
uu
I du u du u
1
1
11
21
2
21
2
22
33
33
3
00
0
0
1 1 1
1
3 3 3
2
3







Câu 27.
x
I dx
xx
x
22
4
2
3
1
1




Đặt
tx
2
1
t
I dt
t
3
22
2
2
( 1)
2
=
tt
dt t dt dt
tt
3 3 3
42
2
22
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
34
42
22





Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
Câu 28.
x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1




Tính
x
H dx
x
1
0
1
1
. Đặt
x t tcos ; 0;
2




H 2
2

Tính
K x x dx
1
0
2 ln(1 )
. Đặt
ux
dv xdx
ln(1 )
2

K
1
2
Câu 29.
I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
I =
x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

=
x x dx
2
52
2
4
+
x x dx
2
22
2
4
= A + B.
+ Tính A =
x x dx
2
52
2
4
. Đặt
tx
. Tính được: A = 0.
+ Tính B =
x x dx
2
22
2
4
. Đặt
xt2sin
. Tính được: B =
2
.
Vậy:
I 2
.
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 9
Câu 30.
x dx
I
x
2
2
4
1
34
2

Ta có:
x
I dx dx
xx
22
2
44
11
34
22


.
+ Tính
I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
=
x dx
2
4
1
37
2 16
.
+ Tính
x
I dx
x
2
2
2
4
1
4
2
. Đặt
x t dx tdt2sin 2cos
.
tdt
I t dt t d t
tt
2
2 2 2
22
2
42
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8
sin sin



Vậy:
I
1
7 2 3
16

.
Câu 31.
x dx
I
x
1
2
6
0
4
Đặt
t x dt x dx
32
3
dt
I
t
1
2
0
1
3
4
.
Đặt
t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2



I dt
6
0
1
3 18

.
Câu 32.
x
I dx
x
2
0
2
2
Đặt
x t dx tdt2cos 2sin
t
I dt
2
2
0
4 sin 2
2
.
Câu 33.
x dx
I
xx
1
2
2
0
32

Ta có:
x dx
I
x
1
2
22
0
2 ( 1)

. Đặt
xt1 2cos
.
tt
I dt
t
2
2
2
2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )

=
t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2

=
33
4
22

Câu 34.
x x dx
1
2
2
0
1 2 1
Đặt
xtsin
I t t tdt
6
0
31
(cos sin )cos
12 8 8
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35.
I x dx
3
2
2
1
Đặt
x
du dx
ux
x
dv dx
vx
2
2
1
1



x
I x x x dx x dx
xx
33
22
22
22
3
1
1 . 5 2 1
2
11






dx
x dx
x
33
2
2
22
5 2 1
1

I x x
23
2
5 2 ln 1
I
5 2 1
ln 2 1 ln2
24
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến
x
t
1
cos
vì
2;3 1;1



| 1/7
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 x Câu 1. I dxx x2 3 9 1 x 2 2 2 I
dx x(3x  9x d
1) x  3x dx x 9x d 1 x     3x  9x2 1 3 2 3 2 1 2 2 1 2
+ I  3x dx x C 2 1  1 + I x x dx 2 9 1  
9x 1d(9x 1)  (9x 1)  C  2 18 27 3 1 2 2 3 I
(9x 1)  x C 27 x2  x Câu 2. I dx  1 x x x2  x x2 x dx dx dx   . 1 x x 1 x x 1 x x x2 2 3 2 2 2 4 2 + I dx 1 
. Đặt t= 1 x x t 1  x x x t
( 1) x dx t t( 1 d ) t 1 x x 3 4 3 2 4 3 4 4  1 x x  4 t ( 1 d
) t t t C   1 x x C 3 9 3 = 1 9 3 x 2 d(1 x x) 4 + I dx 2  = =
1 x x C2 1 x x 3 1 x x 3 3 4
Vậy: I   1 x x   C 9 4 2x 1 3 t2 Câu 3. I dx
Đặt t  2x 1 . I = dt 2  ln2 1t . 0 1 2x  1 1 6 dx
Câu 4. I  
Đặt t  4x 1 . I 3 1  ln  2 12
2 2x  1 4x  1 1 1 2 Câu 5. 3 2
I  t2  t4 
I x 1 x dx   Đặt: t   x2 1 dt   15 . 0 0 1 1 x Câu 6. I dx  0 1 x 1 t3  t 1  2 2  11
Đặt t x dx t 2 d . t . I = 2 dt  2   2   4ln2 t 1 = t t dt = .  1 t 3 0 0  3 x  3 Câu 7. I dx
0 3 x  1  x  3 Trang 4
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 2 t3 2  t 2 2 8 1
Đặt t x 1  t
2 du dx I dt  ( t 2  d 6) t  6 dt    3  3   6ln t2  3  2 1 2 1 t t 1 1 0 Câu 8. 3
I x. x d 1 x  1  1 1   3 t7 t4 3 2 3 9
Đặt t x 1  t x 1 dx t
3 dt I  3 t( 1 d
) t  3       7 4  28 0 0 5 x2 1 Câu 9. I dx  1 x 3x  1 2  t2 1    1 tdt 4  3    t 2 dt 4 4 2 2 dt Đặt t x   dx 2 3 1  I  .  t ( 1 d ) t  2 3   t2 1 3 2 9 2 t. 2 2 t 1 3 4 4 2  1 3  t 1 100 9 t t  ln   ln . 9   3   t 1 27 5 2 2 3 2x2  x 1 Câu 10. I dx  0 x 1
Đặt x   t x t2 1
1 dx t 2 dt 2 2 2 t2 2 ( 1) t2 2 ( 1) 1  t5      4 2 4 3 54 I t 2 dt  2 ( t 2  t 3 d ) t    t 2    t  5  5 1 1 1 1 x2dx
Câu 11. I  2
0 (x  1) x  1 2
Đặt t x 1  t x 1 t 2 dt dx 2 2 t2 2 2 2 ( 1)  1  t3 1 16 11 2 I t .2 dt 2 
 t   dt 2  t2       3  3 1 t3 t t 1 1 4 x 1 Câu 12. I dx   2 0 1 1 2x dx t2  t 2
Đặt t 1 1 2x dt   dx t ( 1 d ) t và x 1 2x 2 4 1 t2 (  t 2  2) t 4 ( 1) 1 t3  t2 3  t 4 4  2 1  4 2  Ta có: I = dt dt t  3   dt 2     t2 2 t2 2  t t2 2 2 2   t2 1 2  1 =   t 3  4ln t   2ln2  2  2 t =   4 8 x 1 Câu 13. I dxx2 3 1 Trang 5
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng 8  x 1  8  2 2 
1 ln 3  2  ln 8  3 I   dx  
 =  x 1  ln x x 1   3 =  x2 1 x2  3 1  1 Câu 14. 3 2
I  (x 1) 2x x dx  0 1 1 3 2 2 2
I  (x 1) 2x x dx  (x  2x 1) 2x x (x 1 d ) x   . Đặt t x x2 2  I 2  15 . 0 0
2 2x3 3x2  x Câu 15. I dxx2 0  x 1
2 (x2  x)(2x 1) 3 2 2 4 I dx
. Đặt t x x 1  I  2 t ( 1 d ) t   . x2 3 0  x 1 1 2 x d 3 x
Câu 16. I   3  x2 0 4 2 3 2 2 3 2 3 4 3  8 3 
Đặt t  4  x x t  4  2xdx t 3 dt I t (  4t d ) t    4 2 2  2   5  3 4  1 dx
Câu 17. I     x   x2 11 1
1 1 x  1 x2
1 1 x  1 x2 1 1 1  1  1 x2 Ta có: I dx dx    1 dx dx 2   x     2x  (1  )  (1  ) 2 1 x 2 x2 x 1  1  1  1 1  1  1 1 + I
1 dx  ln x x 1 |  1 2   x    1  2  1  1 1 x2 2 2 2 2 2 t dt + I dx 2   1   1  2  2   0 2x . Đặt t x t x tdt xdx I2=  2 1  2(t 2 1) Vậy: I  1.
Cách 2: Đặt t x x2 1 .  1 x 1  x33 1 1  1 3 1 1 Câu 18. I dx   Ta có: I  1 . dx   . Đặt t
1 I  6. x4 2 3 1 1  xx x2 3 3 2 4  x2 Câu 19. I dxx 1 2 4  x2 2 2 2 Ta có: I xdx
. Đặt t = 4  x t  4  x tdt  xdx x2 1 0 0 t(tdt 0 ) t2 0 4  t  2   2 3   I = dt  (1 d ) t     t  ln  =  3  ln  4  t2 t2  4 t2  4 t  2   3 3 3   3 2  3   Trang 6
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 2 5 x 5 dt 1 15 Câu 20. I dx
Đặt t x2  5 I   ln  . x2  x2 2  4 4 7 2 ( 1)  5 3 t 27 x  2 Câu 21. I dxx 3  x2 1 3 3 3 6 t  2  2 2t 1    
Đặt t x I  5 dt  5 1   dt   2 5  5 3 1 ln   t t2 ( 1)   t t2 1 t2   3  12 1 1 1 1 1 Câu 22. I dxx2 0  x 1 1 3 2 2dt 1 3 3  2 3
Đặt t x x x 1 I   ln t (2 1)  ln  t 1 2 1 3 1 3 x2 Câu 23. I dx    x 2   x 2 0 (1 1 ) (2 1 ) 4  42 36  4
Đặt 2  1 x t I t 2 16   dt  12   42ln  t t2  3 3 3 x2 Câu 24. I dx
0 2(x  1)  2 x  1  x x  1 2 t 2 t2 2 ( 1) dt 2 2 2 2 3 2
Đặt t x 1 I   2 t ( 1) dt    t ( 1)  t t 2 3 3 1 ( 1) 1 1
2 2 3 x x3  x 2011 Câu 25. I dxx4 1 1 3 2 2 1 2 2 2 2011 Ta có: x I dx
dx M N   x3 x3 1 1 1 3 7 3 2 2 1  x2 1 2 3 3 3 21 7 M dx. Đặt t  3
1 M   t dt    x3 2 1 x 2 128 0 2 2 2 2 2 2 2011 3   2011 14077 N dx x 2011 dx      x3  2x2    16 1 1 1 3 14077 21 7 I   16 128 . 1 dx
Câu 26. I    x3 3  x3 0 (1 ). 1 3 3 2 2 2 3 3 t dt
Đặt t  1 x I dt   2  2 1 t t 1 4 3 3  t2 t3 3 .( 1) .( 1) Trang 7
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng 2 1    3 3 2 1 dt 3 2 dt 3 2    t3     dt  2  2  t4 1 1 1   1 3  1 3 t2.t3 1 t4 1       t3   t3  1 1 2 1 1  1  2  1 dt 3 2 u 2 3 2 1  1  u 1 2 3  1 Đặt u  1  du I du u 3du       u3  t3 t4 3 3 3 3 1 0 0   2   0  3  0 2 2 x4 Câu 27. I dx   x 1   x2 3 1  x   
Đặt t x2 1 3 t2 2 ( 1) 3 t4 t2 3 3 2 1     2 1 19 2 4  2 I dt  = dt t dt dt   ln     t2 2 2  2  2 3 4   2  2 2 t 2 2 t 4  2  
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 1  1 x  
Câu 28. I    2x ln 
1 xdx   0  1 x  1 1 x     Tính H dx
. Đặt x  cost;t  0;  H  2   2  2 0 1 x  1
u  ln(1 x)
Tính K  2x ln(1 x d ) x. Đặt K 1  2 0  dv  2xdx 2 Câu 29. 5 2 2 I
(x x ) 4  x dx  2  2 2 2 5 2 2 5 2 2 2
I = (x x ) 4  x dx = x 4  x dx + x 4  x dx = A + B. 2  2  2  2 5 2 + Tính A = x 4  x dx
. Đặt t  x . Tính được: A = 0. 2  2 2 2 + Tính B = x 4  x dx
. Đặt x  2sint . Tính được: B = 2 . 2 
Vậy: I  2 . Trang 8
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
2 3 4  x2 dx
Câu 30. I   2x4 1 2 2 3 4  x2 Ta có: I dx dx   . 2x4 2x4 1 1 2 3 2 3 4  7 + Tính I1 = dx= x dx   . 2x4 2 16 1 1 2 4  x2 + Tính I dx 2 
. Đặt x  2sint dx  2costdt . 2x4 1    2 2 1 cos tdt 2 2 1 2  1  1 2 3 I   cot t dt   cot t d . (cot t 2 )   4 8      sin t 2 8   sin t  8 8  6 6 6 Vậy: I 1  72 3 16 . 1 x2dx
Câu 31. I    x6 0 4 1 3 2 1 dt
Đặt t x dt  3x dx I  3 . 4  t2 0     6 1 
Đặt t  2sin u, u  0;
dt  2cosudu     2     I dt 3 18 . 0  2 2  x 2 2 t Câu 32. I dx   2cos   2  sin
I  4 sin dt    2 x    2 Đặt x t dx tdt 2 . 0 0 1 x2dx
Câu 33. I    x x2 0 3 2 1 x2dx Ta có: I  
. Đặt x 1  2cost . 2  x 2 0 2 ( 1)  2 2 (1 2cost 2 ) 2sint 3  3 3 I   dt
=  3  4cost  2cos2tdt =   4  4  (2cost 2 2 )  2 2 3 2 1  2 6  3 1 Câu 34. 2
1 2x 1 x dx
Đặt x  sint I  (cost  sint)costdt     12 8 8 0 0 Trang 9
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Tích phân từng phần 3 Câu 35. 2 I x dx 1  2  x  2 du dx u x 1 Đặt    x2 dv dx 1 v x 3 3 x 3   2 2 1
I x x 1  x.
dx  5 2   x 1   dx   2 x2 1  x2 2 2 1 3 3 2 dx  5 2  x d 1 x   
 5 2  I  ln x x2 3 1 x2 2 2 2 1 I 5 2   ln 2   1 1  ln2 2 4 1
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x   2;3 1  ;1 cost vì   Trang 10