



















Preview text:
CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI NGUYÊN HÀM 
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số luỹ thừa 
Các công thức thường dùng:   1 +    x
1dx = x + C    x dx = + C,  1 −     +1 1 1 1  
 dx = ln x + C,  1 −     dx = − + C    x 2 x x
Chú ý các công thức biến đổi luỹ thừa:  1   −n  = x   m . n m n x x x +  =   n x m x 1 m   m−n  = x   2  = ; n m n x x x = x   n x
 A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 
Câu 1: Cho hàm số f (x) 2
= 3x + 2x . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của  f ( x) trên  ?  A.  x x F ( x) 3 2
= x + x − 4 . B. F x = +
. C. F x = x − x +1. D. F x = 3x + x .  4 ( ) 3 2 3 ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 Lời giải 
Ta có: F ( x) 2
= 3x + 2x ; F x = x + x ; F x = 3x − 2x ; F  x = 9x + 2x .  4 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 1
Suy ra: F ( x) 2
= 3x + 2x = f x .  1 ( ) Vậy F (x) 3 2
= x + x − 4 là một nguyên hàm của f (x) 2
= 3x + 2x  trên .  1
Câu 2: Cho hàm số ( ) 1 f x = x −
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của  x
f ( x) trên (0;+) ?  A. ( ) 2 x x F x = + x .    B. F x = − x .  2 ( ) 2 1 2 2 C.  ( ) 2 x x F x = + 2 x .  D. F x = − 2 x .  4 ( ) 2 3 2 2 Lời giải  Ta có:  1 1 1 1
F x = x +
; F x = x −
; F x = x +
; F  x = x − .  4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 x 2 x x x Suy ra:  1
F  x = x − = f x .  4 ( ) ( ) x Vậy  ( ) 2 x F x =
− 2 x  là một nguyên hàm của ( ) 1 f x = x −  trên (0;+) .  4 2 x  Trang 1    
Câu 3: Cho hàm số f ( x) 1
= 3 + . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của  x
f ( x) trên (0;+) ?  1 1
A. F x = 3x − . 
B. F x = 3x + ln x . C. F x = 3x +
. D. F x = 3x − ln x .  4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 x 2 x Lời giải  2 1 2 1
Ta có: F x = 3 +
; F x = 3 + ; F x = 3 −
; F  x = 3 − .  4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 x x 3 x x 1
Suy ra: F  x = 3 + = f x .  2 ( ) ( ) x
Vậy F x = 3x + ln x  là một nguyên hàm của f ( x) 1 = 3 + trên (0;+) .  2 ( ) x
Câu 4: Cho hàm số f (x) 2
= 3x + 2x . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của  f ( x) trên  ?  A.  x x F ( x) 3 2
= x + x − 4 . B. F x = +
. C. F x = x − x +1. D. F x = 3x + x .  4 ( ) 3 2 3 ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 Lời giải 
Ta có: F ( x) 2
= 3x + 2x ; F x = x + x ; F x = 3x − 2x ; F  x = 9x + 2x .  4 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 1
Suy ra: F ( x) 2
= 3x + 2x = f x .  1 ( ) Vậy F (x) 3 2
= x + x − 4 là một nguyên hàm của f (x) 2
= 3x + 2x  trên .  1
Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là  A.  2
2x + 4x + C .  B. 2
x + 4x + C .  C. 2 x + C .  D.  2 2x + C .  Lời giải  Ta có f
 (x) x = ( x + ) 2 d 2 4 dx = 2 d x x + 4 dx x = + 4x + C   . 
Câu 6: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = x − 2 là  A.  x f
 (x)dx = 2x +C .  B. f  (x) 3 dx = − 2x + C .  3 C. f  (x) 2
dx = x − 2x + C .  D. f  (x) 3
dx = x − 2x + C .  Lời giải  Ta có f
 (x) x = (x − ) 3 x 2 2 d
2 dx = x dx − 2 dx = − 2x + C   .  3
Câu 7: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 4 3
= 5x − 8x − 6x  là  A. F (x) 5 4 2
= x − 2x − 3x + C.  B. F (x) 5 4 2
= x − x − x + C.  C. F (x) 5 4 2
= x − 4x − 2x + C.  D. F (x) 5 4 2
= x + 2x − 3x + C.  Lời giải   Trang 2    
Ta có F ( x) = ( 4 3
x − x − x) 5 4 2 5 8 6
dx = x − 2x − 3x + C. . 
Vậy một nguyên hàm của hàm số f ( x) là F (x) 5 4 2
= x − 2x − 3x + C. .  F ( x) 1 F ( ) = − Câu 8: 1 2024   Nguyên hàm 
 của hàm số f (x) =  3 2
x − 2x + x − 2024 thỏa mãn   là  3 1 2 1 5 1 2 1 1 A.  4 3 2 x − x + x − 2024x + .  B.  4 3 2 x − x + x − 2024x − .  12 3 2 12 12 3 2 12 1 2 1 1 1 2 1 5 C.  4 3 2 x − x + x − 2024x + .  D.  4 3 2 x − x + x − 2024x − .  12 3 2 12 12 3 2 12 Lời giải   1  1 Ta có  3 2 3 2
x − 2x + x − 2024 dx =
x dx − 2 x dx + d x x − 2024 dx         3  3 4 3 2 1 x x x = 1 2 1 . − 2. + − 2024x + C 4 3 2 = x − x +
x − 2024x + C . 3 4 3 2 12 3 2 F ( ) 1 2 1 1 4 3 2 1 = 2 − 024 
.1 − .1 + .1 − 2024.1 + C = 2 − 024  C = .  12 3 2 12 1
Vậy nguyên hàm F ( x) của hàm số f (x) =  3 2
x − 2x + x − 2024 thỏa mãn F ( ) 1 = 2 − 024 là 3 1 2 1 1 4 3 2 x − x + x − 2024x + .  12 3 2 12 F ( x)
f ( x) = (2x − 3)2 F (− ) = − Câu 9: 1 17   Nguyên hàm   của hàm số   thỏa mãn   là  ( x − )3 2 3 4 2 A.  4 + .    B.  3 2
x − 6x + 9x − .  3 3 3 3 4 8 4 2 C.  3 2
x − 6x + 9x + .  D.  3 2
x − 6x + 9x + .  3 3 3 3 Lời giải  4
Ta có (2x − 3)2 dx = ( 2 4x −12x + 9) 2 3 2
dx = 4 x dx −12 d x x + 9 dx =
x − 6x + 9x + C    .  3 F (− ) 4 = −
 (− )3 − (− )2 + (− ) 2 1 17 . 1 6. 1 9. 1 + C = 1 − 7  C = − .  3 3
Vậy nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa mãn F (− ) 1 = 1 − 7 là 4 2 3 2
x − 6x + 9x − .  3 3
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = 5x − .  2 dx 1 dx A. 
= ln 5x − 2 + C  .  B. 
= ln 5x − 2 + C  .  5x − 2 5 5x − 2 dx 1 dx C. 
= − ln 5x − 2 + C  .  D. 
= 5ln 5x − 2 + C  .  5x − 2 2 5x − 2 Lời giải   Trang 3     dx 1 d (5x − 2) Ta có  1 =
= ln 5x − 2 + C   .  5x − 2 5 5x − 2 5 2
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = x + .  2 x x x A.  f  (x) 3 1 dx = + + C .  B.  f  (x) 3 2 dx = − + C .  3 x 3 x x x C.  f  (x) 3 1 dx = − + C .  D.  f  (x) 3 2 dx = + + C .  3 x 3 x Lời giải  3   Ta có  2 x 2 2 x + dx = − + C   .  2  x  3 x
Câu 12: Biết một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
 là hàm số F ( x) thỏa mãn F ( ) 1 = 5 . Khi đó  2x −1
F ( x) là hàm số nào sau đây? 
A. F ( x) = 2ln 2x −1 + 5. 
B. F ( x) 1 = ln 2x −1 + 5 .  2
C. F ( x) = ln(2x − ) 1 + 5 . 
D. F ( x) = ln 2x −1 + 5 .  Lời giải  Ta có F ( x) 1 1 = dx = ln 2x −1 + C   mà F ( )
1 = 5  C = 5 . Vậy F ( x) 1 = ln 2x −1 + 5 .  2x −1 2 2 x + 3
Câu 13: Tìm họ các nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = . x +   1
A. F(x) = x − ln x +1 + C .
B. F(x) = x + ln x +1 + C .    
C. F(x) = x − 3ln x +1 + C . 
D. F(x) = x+2ln x +1 + C .  Lời giải  x + 3 x + 1 + 2  2 
Ta có f (x)dx = dx = dx = 1 +
dx = x + 2ln x + 1 + C.        x + 1 x + 1  x + 1  − + Câu 14: x x
 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 = .  x −1 1 1 2 A.  x x + +C 1 + + C .  C.  +ln x 1 − +C .  D. 2
x + ln x −1 + C .  x −   B.  1 (x − )2 1 2 Lời giải  − +1 ( 2 2 x − x x x )+1 . Ta có: 1 dx = dx = d x x + dx       x −1 x −1 x −1 1 = d x x + d   (x − ) 1 2 1 =
x + ln x −1 + C .  x −1 2
Câu 15: Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 3x +1 là  3 A. 3 x x + C .  B. 
+ x + C .  C. 3
x + x + C . 
D. 6x + C .  3  Trang 4     Lời giải  Ta có f
 (x) x = ( x + ) 3 x 2 3 d 3 1 dx = 3.
+ x + C = x + x + C .  3
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x −1.  1 A. f
 (x)dx = (2x − )1 2x −1 +C .  B. f  (x) 1 dx = 2x −1 + C .  3 2 2 C. f
 (x)dx = (2x − )1 2x −1+C .  D. f  (x) 1 dx = − 2x −1 + C .  3 3 Lời giải  1 3 − − − f  (x)
( x )2 ( x ) 1 ( x )2 2 1 d 2 1 2 1 1 dx = 2x −1dx = = . + C =   (2x − ) 1
2x −1 + C .  2 2 3 3 2  3 
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số  2 x + − 2 x dx   .   x  3 3 A. x 4 x 4 3 + 3ln x + x + C .  B.  3 + 3ln x − x + C .  3 3 3 3 3 3 C. x 4 x 4 3 + 3ln x − x .  D.  3 − 3ln x − x + C .  3 3 3 3 Lời giải   3  1 4 Ta có:  2 3 3 x +
− 2 x dx = x + 3ln x − x + C   .   x  3 3
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2024 = 3 x + x là  2023 2025 A.  x x x + + C .    B.  3 2 x + + C .  673 2025 2024 C. 1 x + + 1 C .    D.  2025 + 6054x + C .  x 2025 2 x Lời giải  3 1   2025 2 2025 Ta có: ( x 2024 x x 3 x + x )dx 2024 2
= 3x + x dx = 3. + + C 3 = 2 x + + C .    3 2025 2025 2
Câu 19: Họ các nguyên hàm của hàm số y = x( x + )5 1 là  (x + )7 (x + )6 1 1 A.  + + 5 4 C .  B. 6( x + ) 1 + 5( x + ) 1 + C .  7 6 (x + )7 (x + )6 1 1
C. ( x + )5 − ( x + )4 6 1 5 1 + C .  D.  − + C .  7 6 Lời giải 
Ta có y = x( x + )5 = ( x + − )( x + )5 = ( x + )6 − ( x + )5 1 1 1 1 1 1   Trang 5     7 6 6 5 x + 1 x + 1 7 x + 1 6 x + 1 Kiểm tra  6 5 F ( x) ( ) ( ) = −
+ C  ta có F(x) ( ) ( ) = − = (x + ) 1 − ( x + ) 1  7 6 7 6
y = F ( x) F(25) Câu 20: Cho hàm số 
 là một nguyên hàm của hàm số  2 y = x . Tính  .  A. 25.  B. 125.  C. 5.  D. 625.  Lời giải 
Ta có F ( x) là một nguyên hàm của hàm số  2
y = x  nên ta có F( x) 2 = x , x   R .  Do đó F( ) 2 25 = 25 = 625. 
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 5 f x = x .  A. f  (x) 1 5 1 dx x − = + C .  B. f  (x) 5 1 dx x + = + C .  5 −1 C.  1 + f  (x) 5 1 dx 5x − = + C .  D. f  (x) 5 1 dx = x + C .  5 + 1 Lời giải 
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản suy ra f  (x) 1 5 1 dx x + = + C .  5 + 1
Câu 22: Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là  A.  2
2x + 4x + C .  B. 2
x + 4x + C .  C. 2 x + C .  D.  2 2x + C .  Lời giải  Ta có f
 (x) x = ( x + ) 2 d 2
4 dx = x + 4x + C . 
Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = 4x − 2024 là  A. 4
x − 2024x + C .  B.  3
4x − 2024x + C . C.  3 12x + C .  D. 4 x + C .  Lời giải  Ta có ( 3x − ) 4 4
2024 dx = x − 2024x + C .  1
Câu 24: Biết F ( x) 3
= x + +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên miền (0;+) . Khẳng định  x nào sau đây là đúng?  1 1 A. f ( x) 4 = x + lnx .  B. f ( x) 2 = 3x − .  4 2 x 1 1 C. f ( x) 2 = 3x + .    D. f ( x) 4
= x + lnx + x + C .  2 x 4 Lời giải  1 Ta có F ( x) 3
= x + +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên miền (0;+) nên  x '  1  1
F( x) = f ( x) với mọi x (0;+) mà F( x) 3 2
= x + +1 = 3x −   .  2  x  x 2
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = x + .  2 x  Trang 6     3 3 3 3 A. x 1 − + x 2 x 1 x 2 C .  B.  − + C .  C.  + + C .  D.  + + C .  3 x 3 x 3 x 3 x Lời giải    Ta có f  (x) 3 2 x 2 2 dx = x + dx == − + C     2  x  3 x  1  5 6
+ x dx = aln x + bx + C  
Câu 26: Biết  2x 
 với (a,bQ,C R) . Tính 2 a + b ?  5 7 7 A.  .  B. 9.  C.  .  D. .  12 13 6 Lời giải   1  1 1 1 1 1 1 5 Ta có  5 6
+ x dx = ln x + x + C    nên  2 a = ,b =  a + b = + = .   2x  2 6 2 6 4 6 12
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + ) 1 ( x + 2) là  3 A.  x 2 2x + 3 + C .    B.  2
− x + 2x + C .  3 3 3 3 C. x 2 x 3 2
+ x + 2x + C .  D.  2
+ x + 2x + C .  3 3 3 2 Lời giải  Ta có  ( ) x
f x dx =  ( x + )
1 ( x + 2)dx =  (x + 3x + 2) 3 3 2 2 dx =
+ x + 2x + C .  3 2 + Câu 28: 5 2x
 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 4 = .  2 x A.  x f  (x) 3 2x 5 dx = + + C .  B. f  (x) 3 2 5 dx = − + C .  3 x 3 x 5 C. f  (x) 3 2x 2 dx = + 5lnx + C .  D. f  (x) 3 dx = 2x − + C .  3 x Lời giải    Ta có f  (x) 3 5 2x 5 2 dx =  2x + dx = − + C   .  2  x  3 x F ( x) f ( x) = + F ( ) = Câu 29: 2x 3 x 1 0
 Tìm một nguyên hàm   của hàm số   thoả mãn  .  A. F ( x) 2 3 = x + 3 x .  B. F ( x) 2 3 2 = x + 2 x .  C. F ( x) 2 3 2
= x + 3 x − 4 .  D. F ( x) 2 3
= x + 2 x − 3 .  Lời giải 
Ta có: ( x + x) 2 2 3
dx = x + 2x x + C  mà F ( ) 1 = 0  C = 3 − .  Vậy F (x) 2
= x + 2x x − 3 . 
y = f ( x) f ( ) = Câu 30: 2 1 1  Tìm hàm số 
, biết f (x) = 3 x + ,(x  0) và  .  3 x  Trang 7     A. f ( x) 3 2
= 2x x + 3 x − 4 .  B. f ( x) 3 2
= 2x x − 3 x + 2 .  C. f ( x) 3 2
= x + 3 x − 3 .  D. f (x) 3
= x x + 3 x − 3.  Lời giải          Xét  2 2 2 2 3 x + dx = 3 x + dx       3 x + dx = 3 x + dx + C       3 3  x   x  3 3  x   x 
Câu 31: Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa F ( ) 1 0 = . Tính giá trị của  3
biểu thức T = log 3F 1 − 2F 2  2  ( ) ( ).  A. T = 10 .  B. T = 4.  C. T = 2.  D. T = 4 − .  Lời giải  1 1 2x − 3
Ta có: F ( x) = (2x − 3) dx = (2x − 3) (2x − 3) ( )3 2 2 d =  + C .  2 2 3 − Ta có F ( ) 1 1 ( )3 0 3 1 29 0 =  . + C =  C = .  3 2 3 3 6 x − 1 1 29 14 1 1 29
Do đó F ( x) 1 ( )3 2 3 29 = . +  nên F ( ) 1 = . − + = ; F (2) = . + = 5.  2 3 6 2 3 6 3 2 3 6  14 
 T = log 3F 1 − 2F 2  = log 3. − 2.5 = log 4 = 2 .  2  ( ) ( ) 2   2  3  F ( x) F (− ) = F (2) Câu 32: 1 1  Cho 
 là một nguyên hàm của f ( x) 2 = . Biết  , khi đó   bằng  x + 2 A. 2ln3 + 2 .  B. 4ln2 +1.  C. ln8 +1.  D. 2ln4 .  Lời giải 
Ta có F ( x) = f  (x) 2 dx =
 dx = 2ln x + 2 + C  .  x + 2 Do F (− ) 1 = 1 nên 2ln 1
− + 2 + C =1  C =1. 
Vậy F (x) = 2ln x + 2 +1 F (2) = 2ln4 +1 = 4ln2 +1.  F ( x) F (2) = F (3) Câu 33: 1  Cho 
 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = ; biết  . Giá trị   bằng  2x − 3
A. F (3) = 2ln3 +1.    B. F ( ) 1 3 = ln3 + 1.  2
C. F (3) = ln3 +1.    D. F ( ) 1 3 = ln3 −1.  2 Lời giải 
Ta có: F ( x) = f  (x) 1 1 dx =  dx = ln 2x − 3 + C    2x − 3 2  Trang 8    
Thay x = 2 suy ra C = 1 nên F ( x) 1
= ln 2x − 3 +1. Vậy F ( ) 1 3 = ln3 + 1.  2 2 f ( x) 3 = + F ( x) 4 2 = + Câu 34: x 2x ax bx
 Một nguyên hàm của hàm số   có dạng 
. Tính T = 4a + b .  A. T = 0 .  B. T =1.  C. T = 2.  D. T = 3 .  Lời giải  Ta có: ( ) 4 2
F x = ax + bx  là nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = x + 2x  nên    1 4a = 1 a =
F( x) = f ( x), x   R 3 3
 4ax + 2bx = x + 2x, x   R     4  2b = 2     b = 1 1
Do đó T = 4a + b = 4. +1 = 2 .  4
Câu 35: Với giá trị thực nào của tham số m  để hàm số F (x) 3 = mx + ( m + ) 2 3
2 x − 4x + 3 là một 
nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x +10x − 4?  A. m = 0 .  B. m = 1 .  C. m = −1.  D. m = 2 .  Lời giải 
Vì F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) nên ta có   =
F( x) = f ( x) 3m 3 3
 3mx + 2(3m + 2) 2
x − 4 = 3x + 10x − 4      (  = m + ) m 1 2 3 2 = 10 2x + 3  khi x  1
Câu 36: Cho hàm số f ( x) = 
. Giả sử F  là nguyên hàm của f  trên R thỏa mãn  2 3
 x + 2 khi x  1
F (0) = 2 . Giá trị F (− ) 1 + 2F (2) bằng  A. 23.  B. 11.  C. 10.  D. 21.  Lời giải 
Do F  là nguyên hàm của f  trên R nên 
F x =  2x + 3 dx = x + 3x + C  khi x  1  1 ( ) ( ) 2 F ( x) 1 =    F  ( x) =   ( 2  3x + 2) 3
dx = x + 2x + C  khi x  1 2 2
Theo bài ra, ta có F ( x) có đạo hàm trên R nên F ( x) liên tục trên đó và F (0) = 2 .  F 1 = F 1
4 + C = 3 + C C  = 1 1 ( ) 2 ( )
Điều này tương đương với  1 2 1        F 0 = 2 C   = 2 C = 2 2 ( )  2  2 Do đó, F (x) 2
= x + 3x +1, F (x) 3
= x + 2x + 2 , suy ra F (− ) 1 = F 1 − = 1
− , F 2 = F 2 =11.  2 ( ) ( ) 1( ) 1 2 Vậy F (− ) 1 + 2F (2) = 1 − + 2 11 = 21   Trang 9     2x + 5  khi x  1
Câu 37: Cho hàm số f ( x) = 
. Giả sử F  là nguyên hàm của f  trên R thỏa mãn  2 3
 x + 4 khi x  1
F (0) = 2 . Giá trị của F (− ) 1 + 2F (2) bằng  A. 27.  B. 29.  C. 12.  D. 33.  Lời giải 
Theo giả thiết F  là một nguyên hàm của f ( x) trên R nên ta có  2  +   + +  f ( x) 2x 5  khi x 1 =   F (x) x 5x C  khi x 1 1 =    2 3 3
 x + 4 khi x 1
x + 4x + C  khi x  1   2
Vì F (0) = 0  C = 2 .  2
Mặt khác, F ( x) liên tục trên R nên liên tục tại x = 1 nên ta có: 
lim F ( x) = limF ( x)  6 + C = 5 + C  C = C −1 = 1  1 2 1 2 + − x 1 → x 1 → 2  + +  Vậy F ( x) x 5x 1  khi x 1 =   F (− ) 1 + 2F (2) = 3 − + 2.15 = 27 .  3
x + 4x + 2 khi x  1
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.  Câu 1: 
Cho hàm số f ( x) 3
= 4x − 6x . Biết F (x) là một nguyên hàm của f (x) và F (0) = 2. Xét tính 
đúng sai của các khẳng định sau: 
a) F ( x) = f ( x) . 
b) F( x) = f ( x) .  c) F ( x) 4 2
= x − 3x + 2 .  d) F ( ) 1 = 3.  Lời giải 
a) Sai: Theo định nghĩa F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nên F(x) = f (x) 
b) Đúng: F(x) = f (x) 
c) Đúng: Ta có: F ( x) 3 4 2 = 4x dx − 6 d
x x = x − 3x + C   . 
Theo giả thiết F (0) = 2 suy ra C =  F ( x) 4 2 2
= x − 3x + 2   d) Sai: F ( ) 4 2 1 = 1 − 3.1 + 2 = 0  Câu 2: 
Cho hàm số f ( x) = 2x + m  và G( x) 3 2
= x + mx + 3x + m  với m  . Gọi F (x) làm một 
nguyên hàm của f ( x) sao cho F (0) = 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau : 
a) Khi m = 3 thì f  (x) 2
dx = x − 3x + C . 
b) Khi m = 2 thì G ( x) là một nguyên hàm của f ( x) .  1 1 1
c) Khi m = −1 thì (G(x) − f (x)) 4 3 2 dx = x − x + x + C   4 3 2  Trang 10    
d) Có 2 giá trị nguyên dương của m để F ( x)  0, x   .  Lời giải  a) Sai: Khi m = 3 thì  f
 (x) x = ( x + ) 2 d 2 3 dx = 2 d
x x + 3dx = x + 3x + C     b) Sai: Khi m =
f ( x) = x + G( x) 3 2 2, 2 2;
= x + 2x + 3x + 2 .  Ta có G( x) 2
= 3x + 4x + 3  G( ) 1 = 10  f ( )
1  nên khi m = 2 , G ( x) là không phải là một 
nguyên hàm của f ( x) 
c) Đúng: Khi m = − f (x) = x − G(x) 3 2 1, 2 1;
= x − x + 3x −1. 
(G(x) − f (x))dx =( 1 1 1 3 2
x − x + x) 3 2 4 3 2
dx = x dx − x dx + xdx = x − x + x + C      4 3 2
d) Đúng: Ta có F ( x) = f  (x) 2 dx = 2 d x x + d
m x = x + mx + C  
 mà F (0) = 1 suy ra C = 1   F (x) 2 = x + mx +1.  F ( x) 2  0, x
    = m − 4  0  2 −  m  2 . 
Vì m nguyên dương nên m 1;  2  x + Câu 3: 
Cho hàm số f ( x) 2 1 =
x  . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  x −  với  1 1 a) f ( x) 3 = 2 + x − .  1 b)  f
 (x)dx = 2x +3ln(x − )1 +C .  x +
c) Nguyên hàm F ( x) của f ( x) 2 1 =
F 2 = 1 là F ( x) = 2x + 3ln x −1 − 3  x −  thỏa mãn  ( ) 1
d) Phương trình F ( x) = 2x + 2 có 2 nghiệm x ; x . Khi đó T = x + x = 2 .  1 2 1 2 Lời giải  2 x −1 + 3 3
a) Đúng: Ta có f ( x) ( ) = = 2 + .  x −1 x −1   b) Sai:  f  (x) 3 dx = 2 +
dx = 2x + 3ln x −1 + C      x −1    c) Đúng: Ta có f  (x) 3 dx = 2 +
dx = 2x + 3ln x −1 + C   .   x −1 
Ta có: F (2) = 1  2.2 + 3ln 2 −1 + C = 1  C = 3
− nên F (x) = 2x + 3ln x −1 − 3 .  d) Đúng: F (x) 5
= 2x + 2  2x + 3ln x −1 − 3 = 2x + 2  ln x −1 = 5  x −1 = e   5 x = 1+ e  
 (thỏa mãn điều kiện xác định).  5 x = 1− e
Vậy T = x + x = ( 5 1 + e ) + ( 5 1 − e = 2 .  1 2 )  Trang 11     x + x + Câu 4: 
Cho hàm số f ( x) 2 2 3 2 =
 với x  −1 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  x + 1 a) f ( x) 1 = 2x +1+ .  x + 1 b)  f  (x) 2
dx = x + x + ln ( x + ) 1 + C .  x + x +
c) Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 2 3 2 =  thỏa mãn F ( 2 − ) = 3 là x + 1 F ( x) 2
= x + x + ln x +1 +1. 
d) Bất phương trình F ( x) 2
 x + x + 2 có tập nghiệm là T = (−e −1;e − ) 1 .  Lời giải 
a) Đúng: Ta có f ( x) 1 = 2x +1+ x + .  1  1  b) Sai:  f  (x) 2 dx = 2x + 1 +
dx = x + x + ln x + 1 + C      x + 1   1  c) Đúng: Ta có f  (x) 2 dx = 2x + 1 +
dx = x + x + ln x + 1 + C   .   x + 1  2 Ta  có  F ( 2
− ) = 3  (−2) + (−2) + 3ln −2 +1 + C = 3  C = 1  nên  F ( x) 2
= x + x + ln x +1 +1  d) Sai: F ( x) 2 2 2
 x + x + 2  x + x + ln x +1 +1  x + x + 2  ln x +1  1 
 x +1  e  e
−  x +1  e  −e −1  x  e −1, x  −1. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình F ( x) 2
 x + x + 2 là T = ( e − −1;e − ) 1 \ −  1 .  2 Câu 5: 
Cho hàm số f ( x) =
 với x  1 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  2 x − 1 a) f ( x) 1 1 = − .  x − 1 x + 1 x + b)  f  (x) 1 dx = ln + C .  x −1 2
c) Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =  thỏa mãn F ( 2 − ) = ln(3e) là  2 x − 1 − F ( x) x 1 = ln +1 x + .  1
d) Phương trình F ( x) = ln(2e) có 2 nghiệm x ; x . Khi đó S = x .x = 1.  1 2 1 2 Lời giải  x + 1 − x −1 1 1
a) Đúng: Ta có f ( x) ( ) ( ) = ( = − .  x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 x + 1  Trang 12       x − b) Sai:  f  (x) 1 1 1 dx = −
dx = ln x −1 − ln x + 1 + C = ln + C    
 x −1 x +1 x + 1   x − c) Đúng: Ta có f  (x) 1 1 1 dx = −
dx = ln x −1 − ln x + 1 + C = ln + C   . 
 x −1 x +1 x + 1 − − − − F (− ) = ( e) 2 1  + C = ( e) 2 1 2 ln 3 ln ln 3  ln
+ C =1+ ln3  C =1 2 − +1 2 − + .  1 x − Vậy F ( x) 1 = ln +1 x + .  1 x − x −
d) Đúng: F ( x) = ( e) 1 1 ln 2  ln +1 = 1+ ln 2 
= 2  x −1 = 2 x +1 x + 1 x +   1 x = 3 −   1 
 (thỏa mãn điều kiện xác định).  x = −  3
Vậy S = x . x = 1.  1 2 Câu 6: 
Cho hàm số F ( x) = (2x + x )d x (với x  0 ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 
a) F ( x) = 2 x d x + x d x + C    với C  . 
b) G ( x) = F ( x) + 2024  G( x) = (2x + x )d x .  c) F ( x) 2
= x + x x + C .  3 2 28 d) F ( ) 1 =  F (4) = .  3 3 Lời giải  a) Đúng: Vì kf
 (x)dx = k f
 (x)dx,k  0;( f (x)+ g(x))dx = f
 (x)dx + g  (x)dx 
b) Đúng: F ( x),G(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G(x) + C     2
c) Sai: F ( x) = (2x + x ) 1 2 2
d x =  2x + x d x = x + x x + C  suy ra c) sai.  3   2 2 2 25 d) Sai: F ( ) 1 = 1 + + C =  C = 1 −  F (x) 2
= x + x x −1 F (4) =   3 3 3 3 5 3 Câu 7: 
Cho hàm số F ( x) = ( x )d x  (với x  0 ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  a) F ( x) 3 = x d x    5 5 3
b) F ( x) + C = ( x )d x,C      Trang 13     2 3 − c) F ( x) 5 = x + C   5 5 3 d) Biết F ( ) 3
1 = − , khi đó F ( x) 5 8 = x −   8 8 8 Lời giải 
a) Sai: F ( x) = ( x ) 3 5 3 5
d x = x d x   
b) Đúng: Nếu F ( x),G(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G(x) + C   5
c) Sai: F ( x) = ( x ) 3 8 5 3 5 5
d x = x d x = x + C     8 8 5 5 3 5 5 8 d) Sai: F ( x) 5
= x + C,F ( ) 1 =
+ C = −  C = 1 −  F (x) = x −1.  8 8 8 8 Câu 8: 
Cho hàm số f ( x) = 3 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  a)  f
 (x)dx =3x +C .  1 b)  f  (x) 2 3 2
+ x dx = x − x + 2x + C    2
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( )
1 = 1 Thì F ( x) = 3x −1. 
d) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì F ( )
1 + F (2) + ... + F (100) = 14590 khi  F ( ) 1 = 1  Lời giải 
a) Đúng: Ta có: 3dx =3x + C    2 x 2 2 b) Sai:  f
 (x)+ x dx = 
(3+ x) dx = (x +6x+9) 3 2 dx =
+ 3x + 9x + C   3 c) Sai: Ta có F ( )
1 = 1  3 + C = 1  C = 2
− vậy F ( x) = 3x − 2. 
d) Sai: Ta có: F ( x) = 3x − 2 nên F ( )
1 = 1; F (2) = 4; F (3) = 7;....; F (100) = 298 là cấp số cộng 
với u = 1; d = 3.  1 1+ 298 .100 Khi đó: F ( )
1 + F (2) + ... + F (100) ( ) = =14950.  2 Câu 9: 
Cho hàm số f ( x) 3
= x − 4x + 5. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( ) 1 = 3. Xét 
tính đúng sai của các khẳng định sau:  x
a) (x − x + ) 4 3 2 4 5 dx =
− 2x + 5x + C .  4 b) F (0) = 2  x c)  f
 (x)+ f (x) 4 3 2  dx =
+ x − 2x + 9x + C    4  Trang 14     x 1 d)  f  (x + ) 4 3 2 1 dx =
+ x − x + 2x + C   4 2 Lời giải  x
a) Đúng: Ta có (x − x + ) 4 3 2 4 5 dx =
− 2x + 5x + C .  4 b) Sai: Ta có F ( ) 13 1 1 = 3 
+ C = 3  C = − vậy F ( ) 1 0 = − .  4 4 4 x x c) Sai: Ta có:  f
 (x)+ f (x) 4 4 2 3 3 2 '  dx =
− 2x + 5x + x − 4x + C =
+ x − 2x + x + C  .  4 4 4 4 x + 1 d) Đúng:  ( + ) ( ) x f x 1 dx = − 2(x + )2 1 + 5( x + ) 1 3 2 1 + C =
+ x − x + 2x + C .  4 4 2
Câu 10: Cho hàm số f ( x) = x +1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  a) f  (x) 2
dx =x + x + C .  1 b) 
(x − )1.f (x) 3 d
 x = x − x + C    3
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( )
1 = 2 Thì F ( x) 2 = x + x −1. 
d) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( ) 1 = 2 và  1 1 1 1 a + + + +
= thì a + b = 201 .  F ( ) F ( ) ... 1 2 F (99) F (100) b Lời giải  a) Đúng: Ta có: f  (x) 2
dx =x + x + C .  b) Đúng: 
(x − )1.f (x) dx = 
(x − )1.(x + )1dx=( 1 2 x − ) 3 1 dx =
x − x + C .  3 c) Sai: Ta có F ( )
1 = 2  2 + C = 2  C = 0 vậy  ( ) 2
F x = x + x . 
d) Đúng: Ta có: F (x) 2
= x + x = x(x + ) 1 nên ta có:  1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + F ( ) F ( ) ... F ( ) F ( ) ... 1 2 99 100 1.2 2.3 99.100 100.101  1 1 1 1 1 1 1 1 100 = 1− + − + .... + − + − = 1− = 2 2 3 99 100 100 101 101 101
Vậy a = 100;b = 101 nên a + b = 201 .  Câu 11: Cho hàm số  ( ) 2
f x = x . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  x a)  f  (x) 3 dx = + C .  3
b) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F (3) = 1 thì F ( ) 4 4 = .  3  Trang 15     4 c)  f
 (2x + )1dx = (2x + )2 3 2 1 dx=
x + 2x + x + C   3 x x d) x f  (x − ) 4 3 2 . 2 d  x = − + 2x + C    4 3 Lời giải  x a) Đúng: Ta có f  (x) 3 dx = + C   3 x b) Sai: Ta có F ( ) 3 3 3 = 1  + C =1  C = 8 − vậy F (x) 3 = − 8 nên F ( ) 40 4 = .  3 3 3 c) Đúng: f
 (2x + )1dx = (2x + )2 1 dx = ( 4 2 4x + 4x + ) 3 2 1 dx=
x + 2x + x + C .  3 2 d) Sai: x f
 (x − ) x x 
 (x − ) x = x  ( 2 . 2 d =  . 2 d
. x − 4x + 4)dx   = ( x x
x − 4x + 4x) 4 3 4 3 2 2 dx = − + 2x + C   4 3
Câu 12: Cho hàm số F ( x) 2
= x + x − 6 là một nguyên hàm của f ( x) . Xét tính đúng sai của các khẳng  định sau:  x x a) f ( x) 3 2 = + − 6x + C .  3 2 b) f ( )
1 + f (2) + ... + f (49) + f (50) = 2400 
c) Hàm số G ( x) cũng là một nguyên hàm của f ( x) và G( )
1 = 3 thì giá trị G (4) = 24 . 
d) Hàm số H ( x − )
1 cũng là một nguyên hàm của f ( x − )
1 và H (0) = 3 thì giá trị của biểu 
thức H (2) − H (4) = 6 .  Lời giải 
a) Sai: Ta có F( x) = 2x +1  3 +101 .50 b) Sai: Ta có f ( )
1 + f (2) + ... + f (49) + f (50) ( ) = 3 + 5 + ...+101 = = 2600 .  2 c) Sai: Ta có  ( ) 2
G x = x + x + C  với G ( ) 2
1 = 3  1 + 1 + C = 3  C = 1  Khi đó G(x) 2
= x + x +1 G(4) = 21.  2 2 2
d) Sai: H ( x − ) 1 = ( x − ) 1 + ( x − )
1 + C = x − 2x + 1 + x −1 + C = x − x + C  với x = 1 ta có: 
H (0) = 3  C = 3 nên H ( x − ) 2
1 = x − x + 3 ; H (2) = H (3 − )
1 = 9; H (4) = H (5 − ) 1 = 23 
Khi đó: H (2) − H (4) = 9 − 23 = 1 − 4 .  x + x −
Câu 13: Hàm số f ( x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn f ( x) 2 5 7 =
. Xét tính đúng sai của các  x khẳng định sau:   Trang 16     a) f ( x) 7 = x + 5 − .  x x b)  f  (x) 2 dx =
+ 5x − 7ln x + C .  2
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F ( )
1 = 5 . Khi đó ta tìm được  x hàm số F ( x) 2 1 =
+ 5x − 7ln x + .  2 2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( )
1 = 4 và G (3) + G ( 9 − ) = 20 .  Khi đó tìm đượ 2 c G( 6
− ) = aln 2 + bln3 + c , với a, ,
b c  là các số hữu tỉ. Vậy a + b + c = .  3 Lời giải  x + x −
a) Đúng: f ( x) 2 5 7 7 = = x + 5 − .  x x   x b) Đúng: f  (x) 2 7 dx = x + 5 − dx =
+ 5x − 7ln x + C   .   x  2   x c)Sai: Ta có  f  (x) 2 7 dx = x + 5 − dx =
+ 5x − 7ln x + C   .   x  2 x Do F ( ) 1 1 1 = 5 
+ 5 + C = 5  C = − nên F (x) 2 1 =
+ 5x − 7ln x − .  2 2 2 2 2
 x +5x −7ln x +C khi x  0 2  1 x  d) Sai: Ta có  f  (x) 2 dx =
+ 5x − 7ln x + C =  .  2 2
 x + 5x − 7ln(−x) + C khi x  0 2  2  3  3 = − = − G  ( ) C C =  1  1 1 4  2  2 Do        G  (3) + G( 9 − ) = 20 9 3 81 13
 +15 − 7ln3 − + − 45 −14ln3 + C = 20 C  = 21ln3 + 2 2 2 2 2  2 Khi đó: G(− ) 36 13 11 6 = − 30 − 7ln 6 + 21ln3 + = 7 − ln 2 +14ln3 − .  2 2 2 11 3
Vậy a + b + c = 7 − +14 − = .  2 2 x +1 3x − 2
Câu 14: Hàm số f ( x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn f ( x) ( )( ) = . Xét tính đúng sai của  x các khẳng định sau:  a) f ( x) 2 = 3x + 5 −  x b)  f
 (x)dx = 3+ x − 2ln x +C .   Trang 17    
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (3) = 15 . Khi đó ta tìm  x được F (x) 2 3 =
+ x − 2ln x +15 .  2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G(2) = 1 và G(5) + G( 5 − ) =10 . 
Khi đó tìm được G( 1
− 0) = aln 2 + bln5 + c , với a, ,
b c  là các số hữu tỷ. Vậy a + b + c = 75 .  Lời giải  x + x − x + x − a) Sai: f ( x) ( )( ) 2 1 3 2 3 2 2 = = = 3x +1− .  x x x   x b) Sai:  f  (x) 2 2 3 dx = 3x + 1 − dx =
+ x − 2ln x + C   .   x  2   x c) Sai: Ta có  f  (x) 2 2 3 dx = 3x + 1 − dx =
+ x − 2ln x + C   .   x  2 Do F ( ) 27 3 3 = 15 
+ 3 − 2ln3 + C = 15  C = 2ln3 − .  2 2 x Vậy F ( x) 2 3 3 =
+ x − 2ln x + 2ln3 − .  2 2 2
3x + x − 2ln x +C khi x  0 2  1 d) Đúng: Ta có:   f  (x) 3x 2 dx =
+ x − 2ln x + C =    2 2
3x + x − 2ln(−x) + C khi x  0 2  2  (  + + C = G 2) 6 2 1 1 =1  C  = 7 − 1 Do      .  G  (5) + G( 5 − ) 75 75 = 10 + 5 − 2ln5 + C + − 5 − 2ln5 + C =10 C = 4ln 5 − 65   1 2 2  2 2 Nên G( 1
− 0) =150 −10 − 2ln10 + 4ln5 − 65 = 75 − 2ln 2 + 2ln5 = aln 2 + bln5 + c . 
Vậy a + b + c = −2 + 2 + 75 = 75 . 
3x − 2x + x + 5x + 4
Câu 15: Hàm số f ( x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn f ( x) 5 3 2 = . Xét tính đúng  3 x
sai của các khẳng định sau:  1 1 4 a) f ( x) 2 = 3x − 2 + + + .  2 3 x x x 1 1 b)  f  (x) 3
dx = x − 2x + ln x − − + C .  2 x 2x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (− )
1 = 0 . Khi đó tìm được  F ( x) 1 1 3 3
= x − 2x + ln x − − − .  2 x 2x 2  Trang 18    
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( ) 1 = 0 và G ( 3
− ) − G(3) = 2 . Khi  a
đó tìm được G (− ) 1 2 = + , với a, ,
b c  là các số nguyên dương và a  là phân số tối giản.  b log e b c
Vậy a + b + c = 1093 .  Lời giải 
3x − 2x + x + 5x + 4 1 5 4
a) Đúng: f ( x) 5 3 2 2 = = 3x − 2 + + + .  3 2 3 x x x x  1 5 4  1 1 b) Đúng: Ta có f  (x) 2 3 dx = 3x − 2 + + +
dx = x − 2x + ln x − − + C   .  2 3 2  x x x  x 2x  1 5 4  1 1 c) Đúng: Ta có f  (x) 2 3 dx = 3x − 2 + + +
dx = x − 2x + ln x − − + C     2 3 2  x x x  x 2x 1 1 3 Do F (− ) 3 1 = 0  C = −  nên F ( x) 3
= x − 2x + ln x − − − .  2 2 x 2x 2  1 1 3
x − 2x + ln x − − + C khi x  0  2 1 1 1  x 2x d) Sai:  f  (x) 3
dx = x − 2x + ln x − − + C =  .  2 x 2x 1 1 3
x − 2x + ln(−x) − − + C khi x  0 2 2  x 2x  5  5 = = G  ( ) C C =  1  1 1 0  2  2      G  ( 3 − ) − G(3) = 2 1 1 1 1 5 275  27 − + 6 + ln3 + −
+ C − 27 + 6 − ln3 + + − = 2 C  = 2 2  3 18 3 18 2  6   1 1 275 1013 1 a 1 Nên G ( 2 − ) = 8 − + 4 + ln 2 + − + = + = + .  2 8 6 24 log e b log e 2 c
Vậy a + b + c = 1013 + 24 + 2 = 1039 .  2  x −1
Câu 16: Hàm số f ( x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn f ( x) = 
 . Xét tính đúng sai của các   x  khẳng định sau:  2 1
a) f ( x) = 1 − + .  2 x x b)  f  (x) 1
dx = x − 2ln x + + C .  x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (3) = 5 . Khi đó ta tìm được  F ( x) 1
= x − 2ln x − + 5 .  x
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( )
1 = 5 và G (2) + G ( 4 − ) = 2025.  Khi đó tìm đượ a a
c F (−8) = , với a, b  là các số nguyên và 
 là phân số tối giản. Vậy  b b a + b = 16123 .   Trang 19     Lời giải  2 2  −  − + a) Đúng: f (x) x 1 x 2x 1 2 1 = = = 1− +   .  2 2  x  x x x  2 1  1 b) Sai: Ta có  f
 (x)dx = 1− +
dx = x − 2ln x − + C   .  2  x x  x  2 1  1 c) Sai: Ta có  f
 (x)dx = 1− +
dx = x − 2ln x − + C   .  2  x x  x Do F ( ) 1 7 3 = 5  3 − 2ln 3 −
+ C = 5  C = 2ln3 + .  3 3 Vậy F ( x) 1 7
= x − 2ln x − + 2ln3 + .  x 3  1 x − 2ln x − + C khi x  0.  1  d) Đúng: Ta có:  ( ) 1 x
f x dx = x − 2ln x − + C =    x x − (−x) 1 2ln − + C khi x  0. 2  x  =  = G  ( ) C 5 C 5 1 1 1 = 5          G  (2) + G( 4 − ) 1 1 8089 = 2025 2 − 2ln 2 −
+ 5 − 4 − 4ln 2 + + C = 2025 C = 6ln 2 +  2  2  2 4  4 Nên G (− ) 1 8089 16115 8 = 8 − − 6ln 2 + + 6ln 2 + =
 a =16115; b = 8.  8 4 8
Vậy a + b = 16115 + 8 = 16123 .  x +
Câu 17: Hàm hai số f ( x) và g ( x) xác định trên  \   0 thỏa mãn:  f ( x) 2 1 =  và  x g
 (x)dx = x + ln x +C. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:  a)  ( ) 1 f x = x + .  x b) g ( x) 1 = 1+ + C .  x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) + g ( x) và thỏa mãn F (− ) 1 = 3. Khi đó tìm  1 được F ( x) 2
= x + 2ln x − .  2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) + g ( x) . Biết G(2) = 2ln 2 và  G (4) + G( 4
− ) = 2. Khi đó tìm được G( 6
− ) = aln 2 + bln3 + c , với a, ,
b c  là các số thực. Vậy 
a + b + c = 2 − .  Lời giải  + a) Đúng: f (x) 2 x 1 1 = = x + .  x x  Trang 20