Các Dạng Toán Bài Nguyên Hàm Lớp 12 Có Lời Giải Chi Tiết
Các Dạng Toán Bài Nguyên Hàm Lớp 12 Có Lời Giải Chi Tiết. Mời các bạn tham khảo
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 203 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI NGUYÊN HÀM
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Các công thức thường dùng: 1 + x
1dx = x + C x dx = + C, 1 − +1 1 1 1
dx = ln x + C, 1 − dx = − + C x 2 x x
Chú ý các công thức biến đổi luỹ thừa: 1 −n = x m . n m n x x x + = n x m x 1 m m−n = x 2 = ; n m n x x x = x n x
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hàm số f (x) 2
= 3x + 2x . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f ( x) trên ? A. x x F ( x) 3 2
= x + x − 4 . B. F x = +
. C. F x = x − x +1. D. F x = 3x + x . 4 ( ) 3 2 3 ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 Lời giải
Ta có: F ( x) 2
= 3x + 2x ; F x = x + x ; F x = 3x − 2x ; F x = 9x + 2x . 4 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 1
Suy ra: F ( x) 2
= 3x + 2x = f x . 1 ( ) Vậy F (x) 3 2
= x + x − 4 là một nguyên hàm của f (x) 2
= 3x + 2x trên . 1
Câu 2: Cho hàm số ( ) 1 f x = x −
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của x
f ( x) trên (0;+) ? A. ( ) 2 x x F x = + x . B. F x = − x . 2 ( ) 2 1 2 2 C. ( ) 2 x x F x = + 2 x . D. F x = − 2 x . 4 ( ) 2 3 2 2 Lời giải Ta có: 1 1 1 1
F x = x +
; F x = x −
; F x = x +
; F x = x − . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 x 2 x x x Suy ra: 1
F x = x − = f x . 4 ( ) ( ) x Vậy ( ) 2 x F x =
− 2 x là một nguyên hàm của ( ) 1 f x = x − trên (0;+) . 4 2 x Trang 1
Câu 3: Cho hàm số f ( x) 1
= 3 + . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của x
f ( x) trên (0;+) ? 1 1
A. F x = 3x − .
B. F x = 3x + ln x . C. F x = 3x +
. D. F x = 3x − ln x . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 x 2 x Lời giải 2 1 2 1
Ta có: F x = 3 +
; F x = 3 + ; F x = 3 −
; F x = 3 − . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 x x 3 x x 1
Suy ra: F x = 3 + = f x . 2 ( ) ( ) x
Vậy F x = 3x + ln x là một nguyên hàm của f ( x) 1 = 3 + trên (0;+) . 2 ( ) x
Câu 4: Cho hàm số f (x) 2
= 3x + 2x . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f ( x) trên ? A. x x F ( x) 3 2
= x + x − 4 . B. F x = +
. C. F x = x − x +1. D. F x = 3x + x . 4 ( ) 3 2 3 ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 Lời giải
Ta có: F ( x) 2
= 3x + 2x ; F x = x + x ; F x = 3x − 2x ; F x = 9x + 2x . 4 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 1
Suy ra: F ( x) 2
= 3x + 2x = f x . 1 ( ) Vậy F (x) 3 2
= x + x − 4 là một nguyên hàm của f (x) 2
= 3x + 2x trên . 1
Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A. 2
2x + 4x + C . B. 2
x + 4x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C . Lời giải Ta có f
(x) x = ( x + ) 2 d 2 4 dx = 2 d x x + 4 dx x = + 4x + C .
Câu 6: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = x − 2 là A. x f
(x)dx = 2x +C . B. f (x) 3 dx = − 2x + C . 3 C. f (x) 2
dx = x − 2x + C . D. f (x) 3
dx = x − 2x + C . Lời giải Ta có f
(x) x = (x − ) 3 x 2 2 d
2 dx = x dx − 2 dx = − 2x + C . 3
Câu 7: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 4 3
= 5x − 8x − 6x là A. F (x) 5 4 2
= x − 2x − 3x + C. B. F (x) 5 4 2
= x − x − x + C. C. F (x) 5 4 2
= x − 4x − 2x + C. D. F (x) 5 4 2
= x + 2x − 3x + C. Lời giải Trang 2
Ta có F ( x) = ( 4 3
x − x − x) 5 4 2 5 8 6
dx = x − 2x − 3x + C. .
Vậy một nguyên hàm của hàm số f ( x) là F (x) 5 4 2
= x − 2x − 3x + C. . F ( x) 1 F ( ) = − Câu 8: 1 2024 Nguyên hàm
của hàm số f (x) = 3 2
x − 2x + x − 2024 thỏa mãn là 3 1 2 1 5 1 2 1 1 A. 4 3 2 x − x + x − 2024x + . B. 4 3 2 x − x + x − 2024x − . 12 3 2 12 12 3 2 12 1 2 1 1 1 2 1 5 C. 4 3 2 x − x + x − 2024x + . D. 4 3 2 x − x + x − 2024x − . 12 3 2 12 12 3 2 12 Lời giải 1 1 Ta có 3 2 3 2
x − 2x + x − 2024 dx =
x dx − 2 x dx + d x x − 2024 dx 3 3 4 3 2 1 x x x = 1 2 1 . − 2. + − 2024x + C 4 3 2 = x − x +
x − 2024x + C . 3 4 3 2 12 3 2 F ( ) 1 2 1 1 4 3 2 1 = 2 − 024
.1 − .1 + .1 − 2024.1 + C = 2 − 024 C = . 12 3 2 12 1
Vậy nguyên hàm F ( x) của hàm số f (x) = 3 2
x − 2x + x − 2024 thỏa mãn F ( ) 1 = 2 − 024 là 3 1 2 1 1 4 3 2 x − x + x − 2024x + . 12 3 2 12 F ( x)
f ( x) = (2x − 3)2 F (− ) = − Câu 9: 1 17 Nguyên hàm của hàm số thỏa mãn là ( x − )3 2 3 4 2 A. 4 + . B. 3 2
x − 6x + 9x − . 3 3 3 3 4 8 4 2 C. 3 2
x − 6x + 9x + . D. 3 2
x − 6x + 9x + . 3 3 3 3 Lời giải 4
Ta có (2x − 3)2 dx = ( 2 4x −12x + 9) 2 3 2
dx = 4 x dx −12 d x x + 9 dx =
x − 6x + 9x + C . 3 F (− ) 4 = −
(− )3 − (− )2 + (− ) 2 1 17 . 1 6. 1 9. 1 + C = 1 − 7 C = − . 3 3
Vậy nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa mãn F (− ) 1 = 1 − 7 là 4 2 3 2
x − 6x + 9x − . 3 3
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = 5x − . 2 dx 1 dx A.
= ln 5x − 2 + C . B.
= ln 5x − 2 + C . 5x − 2 5 5x − 2 dx 1 dx C.
= − ln 5x − 2 + C . D.
= 5ln 5x − 2 + C . 5x − 2 2 5x − 2 Lời giải Trang 3 dx 1 d (5x − 2) Ta có 1 =
= ln 5x − 2 + C . 5x − 2 5 5x − 2 5 2
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = x + . 2 x x x A. f (x) 3 1 dx = + + C . B. f (x) 3 2 dx = − + C . 3 x 3 x x x C. f (x) 3 1 dx = − + C . D. f (x) 3 2 dx = + + C . 3 x 3 x Lời giải 3 Ta có 2 x 2 2 x + dx = − + C . 2 x 3 x
Câu 12: Biết một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
là hàm số F ( x) thỏa mãn F ( ) 1 = 5 . Khi đó 2x −1
F ( x) là hàm số nào sau đây?
A. F ( x) = 2ln 2x −1 + 5.
B. F ( x) 1 = ln 2x −1 + 5 . 2
C. F ( x) = ln(2x − ) 1 + 5 .
D. F ( x) = ln 2x −1 + 5 . Lời giải Ta có F ( x) 1 1 = dx = ln 2x −1 + C mà F ( )
1 = 5 C = 5 . Vậy F ( x) 1 = ln 2x −1 + 5 . 2x −1 2 2 x + 3
Câu 13: Tìm họ các nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = . x + 1
A. F(x) = x − ln x +1 + C .
B. F(x) = x + ln x +1 + C .
C. F(x) = x − 3ln x +1 + C .
D. F(x) = x+2ln x +1 + C . Lời giải x + 3 x + 1 + 2 2
Ta có f (x)dx = dx = dx = 1 +
dx = x + 2ln x + 1 + C. x + 1 x + 1 x + 1 − + Câu 14: x x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 = . x −1 1 1 2 A. x x + +C 1 + + C . C. +ln x 1 − +C . D. 2
x + ln x −1 + C . x − B. 1 (x − )2 1 2 Lời giải − +1 ( 2 2 x − x x x )+1 . Ta có: 1 dx = dx = d x x + dx x −1 x −1 x −1 1 = d x x + d (x − ) 1 2 1 =
x + ln x −1 + C . x −1 2
Câu 15: Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 3x +1 là 3 A. 3 x x + C . B.
+ x + C . C. 3
x + x + C .
D. 6x + C . 3 Trang 4 Lời giải Ta có f
(x) x = ( x + ) 3 x 2 3 d 3 1 dx = 3.
+ x + C = x + x + C . 3
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x −1. 1 A. f
(x)dx = (2x − )1 2x −1 +C . B. f (x) 1 dx = 2x −1 + C . 3 2 2 C. f
(x)dx = (2x − )1 2x −1+C . D. f (x) 1 dx = − 2x −1 + C . 3 3 Lời giải 1 3 − − − f (x)
( x )2 ( x ) 1 ( x )2 2 1 d 2 1 2 1 1 dx = 2x −1dx = = . + C = (2x − ) 1
2x −1 + C . 2 2 3 3 2 3
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 x + − 2 x dx . x 3 3 A. x 4 x 4 3 + 3ln x + x + C . B. 3 + 3ln x − x + C . 3 3 3 3 3 3 C. x 4 x 4 3 + 3ln x − x . D. 3 − 3ln x − x + C . 3 3 3 3 Lời giải 3 1 4 Ta có: 2 3 3 x +
− 2 x dx = x + 3ln x − x + C . x 3 3
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2024 = 3 x + x là 2023 2025 A. x x x + + C . B. 3 2 x + + C . 673 2025 2024 C. 1 x + + 1 C . D. 2025 + 6054x + C . x 2025 2 x Lời giải 3 1 2025 2 2025 Ta có: ( x 2024 x x 3 x + x )dx 2024 2
= 3x + x dx = 3. + + C 3 = 2 x + + C . 3 2025 2025 2
Câu 19: Họ các nguyên hàm của hàm số y = x( x + )5 1 là (x + )7 (x + )6 1 1 A. + + 5 4 C . B. 6( x + ) 1 + 5( x + ) 1 + C . 7 6 (x + )7 (x + )6 1 1
C. ( x + )5 − ( x + )4 6 1 5 1 + C . D. − + C . 7 6 Lời giải
Ta có y = x( x + )5 = ( x + − )( x + )5 = ( x + )6 − ( x + )5 1 1 1 1 1 1 Trang 5 7 6 6 5 x + 1 x + 1 7 x + 1 6 x + 1 Kiểm tra 6 5 F ( x) ( ) ( ) = −
+ C ta có F(x) ( ) ( ) = − = (x + ) 1 − ( x + ) 1 7 6 7 6
y = F ( x) F(25) Câu 20: Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số 2 y = x . Tính . A. 25. B. 125. C. 5. D. 625. Lời giải
Ta có F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2
y = x nên ta có F( x) 2 = x , x R . Do đó F( ) 2 25 = 25 = 625.
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 5 f x = x . A. f (x) 1 5 1 dx x − = + C . B. f (x) 5 1 dx x + = + C . 5 −1 C. 1 + f (x) 5 1 dx 5x − = + C . D. f (x) 5 1 dx = x + C . 5 + 1 Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản suy ra f (x) 1 5 1 dx x + = + C . 5 + 1
Câu 22: Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A. 2
2x + 4x + C . B. 2
x + 4x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C . Lời giải Ta có f
(x) x = ( x + ) 2 d 2
4 dx = x + 4x + C .
Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = 4x − 2024 là A. 4
x − 2024x + C . B. 3
4x − 2024x + C . C. 3 12x + C . D. 4 x + C . Lời giải Ta có ( 3x − ) 4 4
2024 dx = x − 2024x + C . 1
Câu 24: Biết F ( x) 3
= x + +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên miền (0;+) . Khẳng định x nào sau đây là đúng? 1 1 A. f ( x) 4 = x + lnx . B. f ( x) 2 = 3x − . 4 2 x 1 1 C. f ( x) 2 = 3x + . D. f ( x) 4
= x + lnx + x + C . 2 x 4 Lời giải 1 Ta có F ( x) 3
= x + +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên miền (0;+) nên x ' 1 1
F( x) = f ( x) với mọi x (0;+) mà F( x) 3 2
= x + +1 = 3x − . 2 x x 2
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = x + . 2 x Trang 6 3 3 3 3 A. x 1 − + x 2 x 1 x 2 C . B. − + C . C. + + C . D. + + C . 3 x 3 x 3 x 3 x Lời giải Ta có f (x) 3 2 x 2 2 dx = x + dx == − + C 2 x 3 x 1 5 6
+ x dx = aln x + bx + C
Câu 26: Biết 2x
với (a,bQ,C R) . Tính 2 a + b ? 5 7 7 A. . B. 9. C. . D. . 12 13 6 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 5 Ta có 5 6
+ x dx = ln x + x + C nên 2 a = ,b = a + b = + = . 2x 2 6 2 6 4 6 12
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + ) 1 ( x + 2) là 3 A. x 2 2x + 3 + C . B. 2
− x + 2x + C . 3 3 3 3 C. x 2 x 3 2
+ x + 2x + C . D. 2
+ x + 2x + C . 3 3 3 2 Lời giải Ta có ( ) x
f x dx = ( x + )
1 ( x + 2)dx = (x + 3x + 2) 3 3 2 2 dx =
+ x + 2x + C . 3 2 + Câu 28: 5 2x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 4 = . 2 x A. x f (x) 3 2x 5 dx = + + C . B. f (x) 3 2 5 dx = − + C . 3 x 3 x 5 C. f (x) 3 2x 2 dx = + 5lnx + C . D. f (x) 3 dx = 2x − + C . 3 x Lời giải Ta có f (x) 3 5 2x 5 2 dx = 2x + dx = − + C . 2 x 3 x F ( x) f ( x) = + F ( ) = Câu 29: 2x 3 x 1 0
Tìm một nguyên hàm của hàm số thoả mãn . A. F ( x) 2 3 = x + 3 x . B. F ( x) 2 3 2 = x + 2 x . C. F ( x) 2 3 2
= x + 3 x − 4 . D. F ( x) 2 3
= x + 2 x − 3 . Lời giải
Ta có: ( x + x) 2 2 3
dx = x + 2x x + C mà F ( ) 1 = 0 C = 3 − . Vậy F (x) 2
= x + 2x x − 3 .
y = f ( x) f ( ) = Câu 30: 2 1 1 Tìm hàm số
, biết f (x) = 3 x + ,(x 0) và . 3 x Trang 7 A. f ( x) 3 2
= 2x x + 3 x − 4 . B. f ( x) 3 2
= 2x x − 3 x + 2 . C. f ( x) 3 2
= x + 3 x − 3 . D. f (x) 3
= x x + 3 x − 3. Lời giải Xét 2 2 2 2 3 x + dx = 3 x + dx 3 x + dx = 3 x + dx + C 3 3 x x 3 3 x x
Câu 31: Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa F ( ) 1 0 = . Tính giá trị của 3
biểu thức T = log 3F 1 − 2F 2 2 ( ) ( ). A. T = 10 . B. T = 4. C. T = 2. D. T = 4 − . Lời giải 1 1 2x − 3
Ta có: F ( x) = (2x − 3) dx = (2x − 3) (2x − 3) ( )3 2 2 d = + C . 2 2 3 − Ta có F ( ) 1 1 ( )3 0 3 1 29 0 = . + C = C = . 3 2 3 3 6 x − 1 1 29 14 1 1 29
Do đó F ( x) 1 ( )3 2 3 29 = . + nên F ( ) 1 = . − + = ; F (2) = . + = 5. 2 3 6 2 3 6 3 2 3 6 14
T = log 3F 1 − 2F 2 = log 3. − 2.5 = log 4 = 2 . 2 ( ) ( ) 2 2 3 F ( x) F (− ) = F (2) Câu 32: 1 1 Cho
là một nguyên hàm của f ( x) 2 = . Biết , khi đó bằng x + 2 A. 2ln3 + 2 . B. 4ln2 +1. C. ln8 +1. D. 2ln4 . Lời giải
Ta có F ( x) = f (x) 2 dx =
dx = 2ln x + 2 + C . x + 2 Do F (− ) 1 = 1 nên 2ln 1
− + 2 + C =1 C =1.
Vậy F (x) = 2ln x + 2 +1 F (2) = 2ln4 +1 = 4ln2 +1. F ( x) F (2) = F (3) Câu 33: 1 Cho
là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = ; biết . Giá trị bằng 2x − 3
A. F (3) = 2ln3 +1. B. F ( ) 1 3 = ln3 + 1. 2
C. F (3) = ln3 +1. D. F ( ) 1 3 = ln3 −1. 2 Lời giải
Ta có: F ( x) = f (x) 1 1 dx = dx = ln 2x − 3 + C 2x − 3 2 Trang 8
Thay x = 2 suy ra C = 1 nên F ( x) 1
= ln 2x − 3 +1. Vậy F ( ) 1 3 = ln3 + 1. 2 2 f ( x) 3 = + F ( x) 4 2 = + Câu 34: x 2x ax bx
Một nguyên hàm của hàm số có dạng
. Tính T = 4a + b . A. T = 0 . B. T =1. C. T = 2. D. T = 3 . Lời giải Ta có: ( ) 4 2
F x = ax + bx là nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = x + 2x nên 1 4a = 1 a =
F( x) = f ( x), x R 3 3
4ax + 2bx = x + 2x, x R 4 2b = 2 b = 1 1
Do đó T = 4a + b = 4. +1 = 2 . 4
Câu 35: Với giá trị thực nào của tham số m để hàm số F (x) 3 = mx + ( m + ) 2 3
2 x − 4x + 3 là một
nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x +10x − 4? A. m = 0 . B. m = 1 . C. m = −1. D. m = 2 . Lời giải
Vì F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) nên ta có =
F( x) = f ( x) 3m 3 3
3mx + 2(3m + 2) 2
x − 4 = 3x + 10x − 4 ( = m + ) m 1 2 3 2 = 10 2x + 3 khi x 1
Câu 36: Cho hàm số f ( x) =
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn 2 3
x + 2 khi x 1
F (0) = 2 . Giá trị F (− ) 1 + 2F (2) bằng A. 23. B. 11. C. 10. D. 21. Lời giải
Do F là nguyên hàm của f trên R nên
F x = 2x + 3 dx = x + 3x + C khi x 1 1 ( ) ( ) 2 F ( x) 1 = F ( x) = ( 2 3x + 2) 3
dx = x + 2x + C khi x 1 2 2
Theo bài ra, ta có F ( x) có đạo hàm trên R nên F ( x) liên tục trên đó và F (0) = 2 . F 1 = F 1
4 + C = 3 + C C = 1 1 ( ) 2 ( )
Điều này tương đương với 1 2 1 F 0 = 2 C = 2 C = 2 2 ( ) 2 2 Do đó, F (x) 2
= x + 3x +1, F (x) 3
= x + 2x + 2 , suy ra F (− ) 1 = F 1 − = 1
− , F 2 = F 2 =11. 2 ( ) ( ) 1( ) 1 2 Vậy F (− ) 1 + 2F (2) = 1 − + 2 11 = 21 Trang 9 2x + 5 khi x 1
Câu 37: Cho hàm số f ( x) =
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn 2 3
x + 4 khi x 1
F (0) = 2 . Giá trị của F (− ) 1 + 2F (2) bằng A. 27. B. 29. C. 12. D. 33. Lời giải
Theo giả thiết F là một nguyên hàm của f ( x) trên R nên ta có 2 + + + f ( x) 2x 5 khi x 1 = F (x) x 5x C khi x 1 1 = 2 3 3
x + 4 khi x 1
x + 4x + C khi x 1 2
Vì F (0) = 0 C = 2 . 2
Mặt khác, F ( x) liên tục trên R nên liên tục tại x = 1 nên ta có:
lim F ( x) = limF ( x) 6 + C = 5 + C C = C −1 = 1 1 2 1 2 + − x 1 → x 1 → 2 + + Vậy F ( x) x 5x 1 khi x 1 = F (− ) 1 + 2F (2) = 3 − + 2.15 = 27 . 3
x + 4x + 2 khi x 1
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1:
Cho hàm số f ( x) 3
= 4x − 6x . Biết F (x) là một nguyên hàm của f (x) và F (0) = 2. Xét tính
đúng sai của các khẳng định sau:
a) F ( x) = f ( x) .
b) F( x) = f ( x) . c) F ( x) 4 2
= x − 3x + 2 . d) F ( ) 1 = 3. Lời giải
a) Sai: Theo định nghĩa F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nên F(x) = f (x)
b) Đúng: F(x) = f (x)
c) Đúng: Ta có: F ( x) 3 4 2 = 4x dx − 6 d
x x = x − 3x + C .
Theo giả thiết F (0) = 2 suy ra C = F ( x) 4 2 2
= x − 3x + 2 d) Sai: F ( ) 4 2 1 = 1 − 3.1 + 2 = 0 Câu 2:
Cho hàm số f ( x) = 2x + m và G( x) 3 2
= x + mx + 3x + m với m . Gọi F (x) làm một
nguyên hàm của f ( x) sao cho F (0) = 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau :
a) Khi m = 3 thì f (x) 2
dx = x − 3x + C .
b) Khi m = 2 thì G ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . 1 1 1
c) Khi m = −1 thì (G(x) − f (x)) 4 3 2 dx = x − x + x + C 4 3 2 Trang 10
d) Có 2 giá trị nguyên dương của m để F ( x) 0, x . Lời giải a) Sai: Khi m = 3 thì f
(x) x = ( x + ) 2 d 2 3 dx = 2 d
x x + 3dx = x + 3x + C b) Sai: Khi m =
f ( x) = x + G( x) 3 2 2, 2 2;
= x + 2x + 3x + 2 . Ta có G( x) 2
= 3x + 4x + 3 G( ) 1 = 10 f ( )
1 nên khi m = 2 , G ( x) là không phải là một
nguyên hàm của f ( x)
c) Đúng: Khi m = − f (x) = x − G(x) 3 2 1, 2 1;
= x − x + 3x −1.
(G(x) − f (x))dx =( 1 1 1 3 2
x − x + x) 3 2 4 3 2
dx = x dx − x dx + xdx = x − x + x + C 4 3 2
d) Đúng: Ta có F ( x) = f (x) 2 dx = 2 d x x + d
m x = x + mx + C
mà F (0) = 1 suy ra C = 1 F (x) 2 = x + mx +1. F ( x) 2 0, x
= m − 4 0 2 − m 2 .
Vì m nguyên dương nên m 1; 2 x + Câu 3:
Cho hàm số f ( x) 2 1 =
x . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: x − với 1 1 a) f ( x) 3 = 2 + x − . 1 b) f
(x)dx = 2x +3ln(x − )1 +C . x +
c) Nguyên hàm F ( x) của f ( x) 2 1 =
F 2 = 1 là F ( x) = 2x + 3ln x −1 − 3 x − thỏa mãn ( ) 1
d) Phương trình F ( x) = 2x + 2 có 2 nghiệm x ; x . Khi đó T = x + x = 2 . 1 2 1 2 Lời giải 2 x −1 + 3 3
a) Đúng: Ta có f ( x) ( ) = = 2 + . x −1 x −1 b) Sai: f (x) 3 dx = 2 +
dx = 2x + 3ln x −1 + C x −1 c) Đúng: Ta có f (x) 3 dx = 2 +
dx = 2x + 3ln x −1 + C . x −1
Ta có: F (2) = 1 2.2 + 3ln 2 −1 + C = 1 C = 3
− nên F (x) = 2x + 3ln x −1 − 3 . d) Đúng: F (x) 5
= 2x + 2 2x + 3ln x −1 − 3 = 2x + 2 ln x −1 = 5 x −1 = e 5 x = 1+ e
(thỏa mãn điều kiện xác định). 5 x = 1− e
Vậy T = x + x = ( 5 1 + e ) + ( 5 1 − e = 2 . 1 2 ) Trang 11 x + x + Câu 4:
Cho hàm số f ( x) 2 2 3 2 =
với x −1 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: x + 1 a) f ( x) 1 = 2x +1+ . x + 1 b) f (x) 2
dx = x + x + ln ( x + ) 1 + C . x + x +
c) Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 2 3 2 = thỏa mãn F ( 2 − ) = 3 là x + 1 F ( x) 2
= x + x + ln x +1 +1.
d) Bất phương trình F ( x) 2
x + x + 2 có tập nghiệm là T = (−e −1;e − ) 1 . Lời giải
a) Đúng: Ta có f ( x) 1 = 2x +1+ x + . 1 1 b) Sai: f (x) 2 dx = 2x + 1 +
dx = x + x + ln x + 1 + C x + 1 1 c) Đúng: Ta có f (x) 2 dx = 2x + 1 +
dx = x + x + ln x + 1 + C . x + 1 2 Ta có F ( 2
− ) = 3 (−2) + (−2) + 3ln −2 +1 + C = 3 C = 1 nên F ( x) 2
= x + x + ln x +1 +1 d) Sai: F ( x) 2 2 2
x + x + 2 x + x + ln x +1 +1 x + x + 2 ln x +1 1
x +1 e e
− x +1 e −e −1 x e −1, x −1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình F ( x) 2
x + x + 2 là T = ( e − −1;e − ) 1 \ − 1 . 2 Câu 5:
Cho hàm số f ( x) =
với x 1 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: 2 x − 1 a) f ( x) 1 1 = − . x − 1 x + 1 x + b) f (x) 1 dx = ln + C . x −1 2
c) Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = thỏa mãn F ( 2 − ) = ln(3e) là 2 x − 1 − F ( x) x 1 = ln +1 x + . 1
d) Phương trình F ( x) = ln(2e) có 2 nghiệm x ; x . Khi đó S = x .x = 1. 1 2 1 2 Lời giải x + 1 − x −1 1 1
a) Đúng: Ta có f ( x) ( ) ( ) = ( = − . x + ) 1 ( x − ) 1 x −1 x + 1 Trang 12 x − b) Sai: f (x) 1 1 1 dx = −
dx = ln x −1 − ln x + 1 + C = ln + C
x −1 x +1 x + 1 x − c) Đúng: Ta có f (x) 1 1 1 dx = −
dx = ln x −1 − ln x + 1 + C = ln + C .
x −1 x +1 x + 1 − − − − F (− ) = ( e) 2 1 + C = ( e) 2 1 2 ln 3 ln ln 3 ln
+ C =1+ ln3 C =1 2 − +1 2 − + . 1 x − Vậy F ( x) 1 = ln +1 x + . 1 x − x −
d) Đúng: F ( x) = ( e) 1 1 ln 2 ln +1 = 1+ ln 2
= 2 x −1 = 2 x +1 x + 1 x + 1 x = 3 − 1
(thỏa mãn điều kiện xác định). x = − 3
Vậy S = x . x = 1. 1 2 Câu 6:
Cho hàm số F ( x) = (2x + x )d x (với x 0 ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) F ( x) = 2 x d x + x d x + C với C .
b) G ( x) = F ( x) + 2024 G( x) = (2x + x )d x . c) F ( x) 2
= x + x x + C . 3 2 28 d) F ( ) 1 = F (4) = . 3 3 Lời giải a) Đúng: Vì kf
(x)dx = k f
(x)dx,k 0;( f (x)+ g(x))dx = f
(x)dx + g (x)dx
b) Đúng: F ( x),G(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G(x) + C 2
c) Sai: F ( x) = (2x + x ) 1 2 2
d x = 2x + x d x = x + x x + C suy ra c) sai. 3 2 2 2 25 d) Sai: F ( ) 1 = 1 + + C = C = 1 − F (x) 2
= x + x x −1 F (4) = 3 3 3 3 5 3 Câu 7:
Cho hàm số F ( x) = ( x )d x (với x 0 ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) F ( x) 3 = x d x 5 5 3
b) F ( x) + C = ( x )d x,C Trang 13 2 3 − c) F ( x) 5 = x + C 5 5 3 d) Biết F ( ) 3
1 = − , khi đó F ( x) 5 8 = x − 8 8 8 Lời giải
a) Sai: F ( x) = ( x ) 3 5 3 5
d x = x d x
b) Đúng: Nếu F ( x),G(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G(x) + C 5
c) Sai: F ( x) = ( x ) 3 8 5 3 5 5
d x = x d x = x + C 8 8 5 5 3 5 5 8 d) Sai: F ( x) 5
= x + C,F ( ) 1 =
+ C = − C = 1 − F (x) = x −1. 8 8 8 8 Câu 8:
Cho hàm số f ( x) = 3 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) f
(x)dx =3x +C . 1 b) f (x) 2 3 2
+ x dx = x − x + 2x + C 2
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( )
1 = 1 Thì F ( x) = 3x −1.
d) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì F ( )
1 + F (2) + ... + F (100) = 14590 khi F ( ) 1 = 1 Lời giải
a) Đúng: Ta có: 3dx =3x + C 2 x 2 2 b) Sai: f
(x)+ x dx =
(3+ x) dx = (x +6x+9) 3 2 dx =
+ 3x + 9x + C 3 c) Sai: Ta có F ( )
1 = 1 3 + C = 1 C = 2
− vậy F ( x) = 3x − 2.
d) Sai: Ta có: F ( x) = 3x − 2 nên F ( )
1 = 1; F (2) = 4; F (3) = 7;....; F (100) = 298 là cấp số cộng
với u = 1; d = 3. 1 1+ 298 .100 Khi đó: F ( )
1 + F (2) + ... + F (100) ( ) = =14950. 2 Câu 9:
Cho hàm số f ( x) 3
= x − 4x + 5. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( ) 1 = 3. Xét
tính đúng sai của các khẳng định sau: x
a) (x − x + ) 4 3 2 4 5 dx =
− 2x + 5x + C . 4 b) F (0) = 2 x c) f
(x)+ f (x) 4 3 2 dx =
+ x − 2x + 9x + C 4 Trang 14 x 1 d) f (x + ) 4 3 2 1 dx =
+ x − x + 2x + C 4 2 Lời giải x
a) Đúng: Ta có (x − x + ) 4 3 2 4 5 dx =
− 2x + 5x + C . 4 b) Sai: Ta có F ( ) 13 1 1 = 3
+ C = 3 C = − vậy F ( ) 1 0 = − . 4 4 4 x x c) Sai: Ta có: f
(x)+ f (x) 4 4 2 3 3 2 ' dx =
− 2x + 5x + x − 4x + C =
+ x − 2x + x + C . 4 4 4 4 x + 1 d) Đúng: ( + ) ( ) x f x 1 dx = − 2(x + )2 1 + 5( x + ) 1 3 2 1 + C =
+ x − x + 2x + C . 4 4 2
Câu 10: Cho hàm số f ( x) = x +1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) f (x) 2
dx =x + x + C . 1 b)
(x − )1.f (x) 3 d
x = x − x + C 3
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( )
1 = 2 Thì F ( x) 2 = x + x −1.
d) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F ( ) 1 = 2 và 1 1 1 1 a + + + +
= thì a + b = 201 . F ( ) F ( ) ... 1 2 F (99) F (100) b Lời giải a) Đúng: Ta có: f (x) 2
dx =x + x + C . b) Đúng:
(x − )1.f (x) dx =
(x − )1.(x + )1dx=( 1 2 x − ) 3 1 dx =
x − x + C . 3 c) Sai: Ta có F ( )
1 = 2 2 + C = 2 C = 0 vậy ( ) 2
F x = x + x .
d) Đúng: Ta có: F (x) 2
= x + x = x(x + ) 1 nên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + F ( ) F ( ) ... F ( ) F ( ) ... 1 2 99 100 1.2 2.3 99.100 100.101 1 1 1 1 1 1 1 1 100 = 1− + − + .... + − + − = 1− = 2 2 3 99 100 100 101 101 101
Vậy a = 100;b = 101 nên a + b = 201 . Câu 11: Cho hàm số ( ) 2
f x = x . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: x a) f (x) 3 dx = + C . 3
b) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) . Biết F (3) = 1 thì F ( ) 4 4 = . 3 Trang 15 4 c) f
(2x + )1dx = (2x + )2 3 2 1 dx=
x + 2x + x + C 3 x x d) x f (x − ) 4 3 2 . 2 d x = − + 2x + C 4 3 Lời giải x a) Đúng: Ta có f (x) 3 dx = + C 3 x b) Sai: Ta có F ( ) 3 3 3 = 1 + C =1 C = 8 − vậy F (x) 3 = − 8 nên F ( ) 40 4 = . 3 3 3 c) Đúng: f
(2x + )1dx = (2x + )2 1 dx = ( 4 2 4x + 4x + ) 3 2 1 dx=
x + 2x + x + C . 3 2 d) Sai: x f
(x − ) x x
(x − ) x = x ( 2 . 2 d = . 2 d
. x − 4x + 4)dx = ( x x
x − 4x + 4x) 4 3 4 3 2 2 dx = − + 2x + C 4 3
Câu 12: Cho hàm số F ( x) 2
= x + x − 6 là một nguyên hàm của f ( x) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: x x a) f ( x) 3 2 = + − 6x + C . 3 2 b) f ( )
1 + f (2) + ... + f (49) + f (50) = 2400
c) Hàm số G ( x) cũng là một nguyên hàm của f ( x) và G( )
1 = 3 thì giá trị G (4) = 24 .
d) Hàm số H ( x − )
1 cũng là một nguyên hàm của f ( x − )
1 và H (0) = 3 thì giá trị của biểu
thức H (2) − H (4) = 6 . Lời giải
a) Sai: Ta có F( x) = 2x +1 3 +101 .50 b) Sai: Ta có f ( )
1 + f (2) + ... + f (49) + f (50) ( ) = 3 + 5 + ...+101 = = 2600 . 2 c) Sai: Ta có ( ) 2
G x = x + x + C với G ( ) 2
1 = 3 1 + 1 + C = 3 C = 1 Khi đó G(x) 2
= x + x +1 G(4) = 21. 2 2 2
d) Sai: H ( x − ) 1 = ( x − ) 1 + ( x − )
1 + C = x − 2x + 1 + x −1 + C = x − x + C với x = 1 ta có:
H (0) = 3 C = 3 nên H ( x − ) 2
1 = x − x + 3 ; H (2) = H (3 − )
1 = 9; H (4) = H (5 − ) 1 = 23
Khi đó: H (2) − H (4) = 9 − 23 = 1 − 4 . x + x −
Câu 13: Hàm số f ( x) xác định trên \
0 thỏa mãn f ( x) 2 5 7 =
. Xét tính đúng sai của các x khẳng định sau: Trang 16 a) f ( x) 7 = x + 5 − . x x b) f (x) 2 dx =
+ 5x − 7ln x + C . 2
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F ( )
1 = 5 . Khi đó ta tìm được x hàm số F ( x) 2 1 =
+ 5x − 7ln x + . 2 2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( )
1 = 4 và G (3) + G ( 9 − ) = 20 . Khi đó tìm đượ 2 c G( 6
− ) = aln 2 + bln3 + c , với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Vậy a + b + c = . 3 Lời giải x + x −
a) Đúng: f ( x) 2 5 7 7 = = x + 5 − . x x x b) Đúng: f (x) 2 7 dx = x + 5 − dx =
+ 5x − 7ln x + C . x 2 x c)Sai: Ta có f (x) 2 7 dx = x + 5 − dx =
+ 5x − 7ln x + C . x 2 x Do F ( ) 1 1 1 = 5
+ 5 + C = 5 C = − nên F (x) 2 1 =
+ 5x − 7ln x − . 2 2 2 2 2
x +5x −7ln x +C khi x 0 2 1 x d) Sai: Ta có f (x) 2 dx =
+ 5x − 7ln x + C = . 2 2
x + 5x − 7ln(−x) + C khi x 0 2 2 3 3 = − = − G ( ) C C = 1 1 1 4 2 2 Do G (3) + G( 9 − ) = 20 9 3 81 13
+15 − 7ln3 − + − 45 −14ln3 + C = 20 C = 21ln3 + 2 2 2 2 2 2 Khi đó: G(− ) 36 13 11 6 = − 30 − 7ln 6 + 21ln3 + = 7 − ln 2 +14ln3 − . 2 2 2 11 3
Vậy a + b + c = 7 − +14 − = . 2 2 x +1 3x − 2
Câu 14: Hàm số f ( x) xác định trên \
0 thỏa mãn f ( x) ( )( ) = . Xét tính đúng sai của x các khẳng định sau: a) f ( x) 2 = 3x + 5 − x b) f
(x)dx = 3+ x − 2ln x +C . Trang 17
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (3) = 15 . Khi đó ta tìm x được F (x) 2 3 =
+ x − 2ln x +15 . 2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G(2) = 1 và G(5) + G( 5 − ) =10 .
Khi đó tìm được G( 1
− 0) = aln 2 + bln5 + c , với a, ,
b c là các số hữu tỷ. Vậy a + b + c = 75 . Lời giải x + x − x + x − a) Sai: f ( x) ( )( ) 2 1 3 2 3 2 2 = = = 3x +1− . x x x x b) Sai: f (x) 2 2 3 dx = 3x + 1 − dx =
+ x − 2ln x + C . x 2 x c) Sai: Ta có f (x) 2 2 3 dx = 3x + 1 − dx =
+ x − 2ln x + C . x 2 Do F ( ) 27 3 3 = 15
+ 3 − 2ln3 + C = 15 C = 2ln3 − . 2 2 x Vậy F ( x) 2 3 3 =
+ x − 2ln x + 2ln3 − . 2 2 2
3x + x − 2ln x +C khi x 0 2 1 d) Đúng: Ta có: f (x) 3x 2 dx =
+ x − 2ln x + C = 2 2
3x + x − 2ln(−x) + C khi x 0 2 2 ( + + C = G 2) 6 2 1 1 =1 C = 7 − 1 Do . G (5) + G( 5 − ) 75 75 = 10 + 5 − 2ln5 + C + − 5 − 2ln5 + C =10 C = 4ln 5 − 65 1 2 2 2 2 Nên G( 1
− 0) =150 −10 − 2ln10 + 4ln5 − 65 = 75 − 2ln 2 + 2ln5 = aln 2 + bln5 + c .
Vậy a + b + c = −2 + 2 + 75 = 75 .
3x − 2x + x + 5x + 4
Câu 15: Hàm số f ( x) xác định trên \
0 thỏa mãn f ( x) 5 3 2 = . Xét tính đúng 3 x
sai của các khẳng định sau: 1 1 4 a) f ( x) 2 = 3x − 2 + + + . 2 3 x x x 1 1 b) f (x) 3
dx = x − 2x + ln x − − + C . 2 x 2x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (− )
1 = 0 . Khi đó tìm được F ( x) 1 1 3 3
= x − 2x + ln x − − − . 2 x 2x 2 Trang 18
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( ) 1 = 0 và G ( 3
− ) − G(3) = 2 . Khi a
đó tìm được G (− ) 1 2 = + , với a, ,
b c là các số nguyên dương và a là phân số tối giản. b log e b c
Vậy a + b + c = 1093 . Lời giải
3x − 2x + x + 5x + 4 1 5 4
a) Đúng: f ( x) 5 3 2 2 = = 3x − 2 + + + . 3 2 3 x x x x 1 5 4 1 1 b) Đúng: Ta có f (x) 2 3 dx = 3x − 2 + + +
dx = x − 2x + ln x − − + C . 2 3 2 x x x x 2x 1 5 4 1 1 c) Đúng: Ta có f (x) 2 3 dx = 3x − 2 + + +
dx = x − 2x + ln x − − + C 2 3 2 x x x x 2x 1 1 3 Do F (− ) 3 1 = 0 C = − nên F ( x) 3
= x − 2x + ln x − − − . 2 2 x 2x 2 1 1 3
x − 2x + ln x − − + C khi x 0 2 1 1 1 x 2x d) Sai: f (x) 3
dx = x − 2x + ln x − − + C = . 2 x 2x 1 1 3
x − 2x + ln(−x) − − + C khi x 0 2 2 x 2x 5 5 = = G ( ) C C = 1 1 1 0 2 2 G ( 3 − ) − G(3) = 2 1 1 1 1 5 275 27 − + 6 + ln3 + −
+ C − 27 + 6 − ln3 + + − = 2 C = 2 2 3 18 3 18 2 6 1 1 275 1013 1 a 1 Nên G ( 2 − ) = 8 − + 4 + ln 2 + − + = + = + . 2 8 6 24 log e b log e 2 c
Vậy a + b + c = 1013 + 24 + 2 = 1039 . 2 x −1
Câu 16: Hàm số f ( x) xác định trên \
0 thỏa mãn f ( x) =
. Xét tính đúng sai của các x khẳng định sau: 2 1
a) f ( x) = 1 − + . 2 x x b) f (x) 1
dx = x − 2ln x + + C . x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) và thỏa mãn F (3) = 5 . Khi đó ta tìm được F ( x) 1
= x − 2ln x − + 5 . x
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Biết G( )
1 = 5 và G (2) + G ( 4 − ) = 2025. Khi đó tìm đượ a a
c F (−8) = , với a, b là các số nguyên và
là phân số tối giản. Vậy b b a + b = 16123 . Trang 19 Lời giải 2 2 − − + a) Đúng: f (x) x 1 x 2x 1 2 1 = = = 1− + . 2 2 x x x x 2 1 1 b) Sai: Ta có f
(x)dx = 1− +
dx = x − 2ln x − + C . 2 x x x 2 1 1 c) Sai: Ta có f
(x)dx = 1− +
dx = x − 2ln x − + C . 2 x x x Do F ( ) 1 7 3 = 5 3 − 2ln 3 −
+ C = 5 C = 2ln3 + . 3 3 Vậy F ( x) 1 7
= x − 2ln x − + 2ln3 + . x 3 1 x − 2ln x − + C khi x 0. 1 d) Đúng: Ta có: ( ) 1 x
f x dx = x − 2ln x − + C = x x − (−x) 1 2ln − + C khi x 0. 2 x = = G ( ) C 5 C 5 1 1 1 = 5 G (2) + G( 4 − ) 1 1 8089 = 2025 2 − 2ln 2 −
+ 5 − 4 − 4ln 2 + + C = 2025 C = 6ln 2 + 2 2 2 4 4 Nên G (− ) 1 8089 16115 8 = 8 − − 6ln 2 + + 6ln 2 + =
a =16115; b = 8. 8 4 8
Vậy a + b = 16115 + 8 = 16123 . x +
Câu 17: Hàm hai số f ( x) và g ( x) xác định trên \ 0 thỏa mãn: f ( x) 2 1 = và x g
(x)dx = x + ln x +C. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) ( ) 1 f x = x + . x b) g ( x) 1 = 1+ + C . x
c) Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) + g ( x) và thỏa mãn F (− ) 1 = 3. Khi đó tìm 1 được F ( x) 2
= x + 2ln x − . 2
d) Gọi G ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) + g ( x) . Biết G(2) = 2ln 2 và G (4) + G( 4
− ) = 2. Khi đó tìm được G( 6
− ) = aln 2 + bln3 + c , với a, ,
b c là các số thực. Vậy
a + b + c = 2 − . Lời giải + a) Đúng: f (x) 2 x 1 1 = = x + . x x Trang 20