Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – Phạm Minh Tuấn Toán 12

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1   thỏa mãn 1 1 1 2 1
f 1  0 ,  f '
 x dx  7  và 2
x f xdx  
. Tính f xdx  3 0 0 0 A. 7 7 B. 1 C. D. 7 5 4 Hướng dẫn giải: 1 1 Xét 2
I  x f xdx   . 3 0   u
  f x du f 'x 1 3 1 1  x 1 1 Đặt     I  . f x 3  x f '  x 3 3 dx   x f '  xdx  1  2 x
dv  x dx   3 3 3 v 0 0 0  3 2 b b b  
 Chứng minh BĐT tích phân sau:  f
 xgx 2 dx   f  x 2 d . x g  xdx *    a  a a 2
Với mọi t  ta có:  tf
 x  gx 2 2   t f 
x tf xgx 2 0 2  g x
Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được: h t b b b 2 2  t f
 xdx t f
 xgx 2 2 dx  g
 xdx  0 a a a
h t là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện: 2 2 2 t   0 b        f
 xgx b b b b b 2 dx  f  x 2 d . x g
 xdx  0   f
 xgx 2 dx   f  x 2 d . x g  xdx  ' 0      a  a a  a  a a
Dấu ‚=‛ xảy ra khi tf x  g x 2 1 1 1    2 1 Áp dụng: 3 1   x f '  x 6 dx   x d . x  f '   
 x dx  .7 1  7  0  0 0
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x 3 '  kx . 1 7 Mặc khác: 3 x f '  xdx  1
  k  7  f 'x 3
 7x  f x 3 4
 7x dx   x  C  4 0 1 1 7  7 7  7
Mà f 1  0 nên C   f  x 4 dx   x  dx    4  4 4  5 0 0
NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân
BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau: 1 1 b     1 1 f
 xgx b dx   f  x b p q p q dx  . g
 x dx   
 với p,q  1 thỏa   1 p q a  a   a 
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực ,
m n không đồng thời bằng 0 sao cho
  p   q m f x n g x 2
Hệ quả: Với p  q  2 thì BĐT trở thành  f
 xgxdx 2  f  x 2 d . x g  xdx 1 2 1
BTAD: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn 1 x f 'xdx    . 3 0 1
Giá trị nhỏ nhất của tích phân 2
f xdx  là: 0 f 0  2 3 f 0  2 3 f 0  2 f 0  2 A. B. C. D. 3 3 3 3
Bài 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 0  0 , 1 1 1
max f 'x  6 và f xdx  
. Gọi M là giá trị lớn nhất của tích phân 3
f xdx  . 0;1   3 0 0
Khẳng định nào sau đây đúng?         A. 3 1 1 3
M 1;  B. M 0; 
C. M  ;1
D. M   ; 2  2   2   2   2  Hướng dẫn giải:
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Ta có: f 'x  6, x
  0;1  f 'x f x  6 f x, x   0;1     (1) x x
Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được: f '
 t f tdt  6 f
 tdt, x   0;1   0 0 x 2   2   2 0 x x x f t f x f     6 f  t 2
dt  f x  12 f  t 3
dt  f x  12 f x f
 tdt (2) 2 2 2 0 0 0 0 1 1 x  
Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được: 3 f
 xdx  12 f x f
 tdt dx 0 0  0  I x Đặt u  f
 tdt  du  f x.x'dx  f xdx 0 1 f  tdt 2 2 0 1 1 1   1   1 1 1 Suy ra I  udu    f
 tdt   f
 xdx  .  2   2   2 9 18 0  0   0  1 1 2 Vậy 3
f xdx  12.   18 3 0
Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số f x thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛,
hàm đó là: f x 3 2  2
 8,815042623089894049x  35,5890622041211331x  8,6518534912024751x gx   - Chú ý:  f
 tdt'  f gx.g'x f hx.h'x   h  x  
Bài 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f   6 4 2 0  , 3 1 2
f 1  2 và f 'x  0, x   0;1 
 . Biết tích phân 2
2  2 2x  x   f ' 
 x dx  đạt giá 0
trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính f 2 ?   
A. f   6 4 2 2 
B. f   6 2 2 2 
C. f   3 2 2 2  D. 3 3 2
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn  f   3 2 2  2 Hướng dẫn giải: 1 1 2 2 2 Ta có: 2 I 
2  2 2x  x   f ' 
 x dx  
  2x  x   f '
 x dx  0 0 2 2 2
Ta có :  2  x  x    f '  x 
 2  x  x  f '  x 2   1
    x  x   f  x 1 2 2 2 2 '  dx 
 2  x  x  f '   xdx 2   0 0 1 1 1 4 2 8 2
Mà:  2  x  x  f ' 
x dx   2x  xdx f '
 xdx   f   1  f 0    3 3 0 0 0 8 Do đó I  3 2  
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi : f 'x  2  x  x  f x 
x  2  x3 3    C 3   2  3  6  4 2 Ta có: f  
1  2  C  2  f x 3 
x  2  x  2  f 2    3   3
Bài 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1   thỏa mãn 1 1    2 1  x f t dt  , x   0;1 
 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân 2
f xdx  . Khẳng 2 x 0
định nào sau đây đúng?         A. 3 1 1 3 m 1; 
B. m  0; 
C. m  ;1
D. m  ; 2  2   2   2   2  Hướng dẫn giải: 2 2 1 1 1 1 1    
Theo hệ quả BĐT Holder:  xf  x 2 2 dx   x d . x f   x 2 dx  f
 xdx  3 xf  xdx      0  0 0 0  0  1
Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân xf xdx 
là giải quyết được bài toán 0
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 1 1
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f x , khi đó ta có: xF
 x'dx  xF 
x  F1 0 0 1 1 1 1 1 Mà xF
 x'dx  xF' 
 xdx F
 xdx  xf
 xdx F  xdx 0 0 0 0 0 1 1
Suy ra F 1  xf
 xdx F
 xdx (1) 0 0 1 2 2 1 1 1 2 1  x 1  x 1  x 1
Từ đề: f tdt 
 F 1  F x 
 F 1dx  F xdx  dx      2 2 2 3 x 0 0 0 1 1 2 1  x 1
Tương đương F 1  F xdx  dx    (2) 2 3 0 0 1 1
Thay (1) vào (2) ta được: xf xdx   3 0 2 1  1  1 Vậy 2 f
 xdx  3     3  3 0
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x  x
Bài 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liện tục trên 0;1 
 thỏa mãn f 1  0 , 1  1  f  x 1
 dx x  xe f x 2 2 e 1 ' 1 dx   
. Tính f xdx  . 4 0 0 0 2 e e e  1 A. B. C. e  2 D. 4 2 2 Hướng dẫn giải: 1 u    f x d
 u  f 'xdx
Xét   1 x I x
e f xdx , đặt    d  v   x    0 1 x x e dx v xe 1 2 1 2 1   x x e 1 x e 1
Suy ra I  xe f x  xe f 'xdx 
 xe f 'xdx     0 4 4 0 0
Áp dụng hệ quả BĐT holder:
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 2 2 2 2 1  e 1      x     xe f  x 1 1 x
dx   x e dx  f     x 2 2 2 2 e 1 ' . '  dx      4     4 0 0 0  1 2  x e 1
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi '  x
f x  kxe . Mà xe f 'xdx    k  1   4 0 Suy ra   x     1  x f x xe dx
x e  C . Mà f 1  0  C  0 1
Vậy    1  x  1  x f x x e
x e dx  e  2 0
Bài 6. Cho hàm số f x có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 
 thỏa mãn f 0  1 , 1   1 f
 x f x 1 2 1 3 '  dx  2 f '  
xf xdx. Tính 3f xdx  .  9  0 0 0 5 3 8 7 A. B. C. D. 4 2 5 6 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Đề  3 f '
 x 2f xdx  2 f ' 
xf xdx 3 0 0 2 1 1 1  
Áp dụng hệ quả BĐT holder: d . x f '
  x 2f xdx   f ' 
xf xdx   0 0  0  2 2 1 1 1   1  1  Suy ra 2 f ' 
x f xdx  3 f ' 
xf xdx   3 f ' 
xf xdx   0   3  3  0  0   0  1 1 Hay
f 'x f xdx   3 0 1   f 
x f x 1 ' dx  1
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi 3    0 k  f 
x f x 3 '  k  3 1 1 f x 1 1
Xét f 'x f x   f '
 x 2f x   dx  dx 
 x C  f  x 3  x  3C 3 9 3 9 3
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 1 1 7
Vì f 0  1 nên f x 3 3 
x  1  f xdx   3 6 0
Bài 7. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên a; b thỏa mãn lim f x   ,   xa
lim f x   và f x 2 '
 f x  1  , x
 a;b . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  ba .   x b    A.  B.   C.  D. 2 2 Hướng dẫn giải: f ' x
Ta có: f 'x 2  f x    1    1  2 1  f x
Lấy tích phân hai vế ta được: b f 'x 1 b  1
 dx  arctan f x  a  b  b  a  arctan f b  arctan f a   2 1  f x       a a 0
Vì lim f x  ,lim f x   nên b  a      xa x b 
Nhận xét: Khi hàm số f x  cot x cận b   ,a  0 thì dấu ‚=‛ xảy ra
Bài 8. Cho hàm số f x dương và liên tục trên 1; 3 
 thỏa mãn max f x  2 1  ;3   3 3 1 3 f x 1 min 
và biểu thức S  f
 xd .x dx 
đạt GTLN, khi đó hãy tính f xdx  1  ;3   2 f x 1 1   1 7 3 3 5 A. B. C. D. 5 4 5 2 Hướng dẫn giải   f x 1   f x   2 1  2  Từ đền suy ra
 f x  2, x   1  ; 3   nên  0 , x   1  ; 3   2 f x  1  f x  f x    2 3       3 3  2  1
Lấy tích phân 2 vế ta được: dx  0 
dx  5  f x dx    f x f x 1   1     1
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 2 2 3 3 3 3 3 1   25  5  25 Tương đương f  xdx
dx  5 f x dx     f x dx      f x dx     f x   4  2  4 1 1         1  1   1  3 5
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f xdx   2 1 x2 3 3 2 x  x
Bài 9. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 1; 2 
 thỏa mãn  f  x 2 1  dx    3 x1 2
với mọi x , x  1  ; 2
x  x . Tìm GTLN của tích phân f xdx  . 1 2   sao cho 1 2 1 1 3 5 5 A. B. C. D. 2 2 3 2 Hướng dẫn giải x x x x 2 3 3 x  x 2 2 2 2 2 Ta có: 2 2 1 x dx     f   x 2
 dx  x dx   
  2x  f x dx  0 3 x x x x 1 1 1 1 Do hàm        2 2 f x x
f x  liên tục trên 1; 2   nên: x   f  x 2 2   0  f 
x  x, x   1  ; 2   2 2 2 3
Từ đó suy ra f xdx  f xdx  xdx     2 1 1 1
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x  x ; x  1; x  2 1 2 x
Bài 10. Cho hai hàm số f x không âm và liên tục trên 0;1 
 . Đặt g x  1 2 f  tdt 0
và ta giả sử rằng luôn có g x   f  x 2  , x   0;1  
 . Tìm GTLN của tích phân 1
g xdx  . 0 7 8 5 13 A. B. C. D. 3 5 3 6 Hướng dẫn giải
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn x F'x   f x
Gọi F x là một hàm số thỏa mãn F x  f tdt   g  x  1  2F x 0 2 f x F 'x
Ta có 1 2F x  gx   f x            F x 1
 F x 1 0 1 2 1 2 F 'x F 'x Nháp: xét  1 
dx  x  C  1 2F 
x  xC 1 2F x 1 2F x
Xét hàm số h x  1 2F x  x  C , x  0;1   2F ' x Ta có h'x   
  nên hx nghịch biên trên 0;1   .
 F x 1 0 2 1 2
Suy ra h x  h0  1 2F 0  C 0
Ta có F 0  f
 tdt  0 nên hx  1C . Ta chọn C sao cho 1C  0 C 1 0 1 2 7
Vậy 1  2F x  x  1  gx  x  
1  g  x dx   3 0
BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f x không âm và liên tục trên 0;1   . Đặt   x
g x  1  2 f
 tdt và ta giả sử rằng luôn có gx   f x 3 , x   0;1    . Tìm GTLN 0 1 2
của tích phân 3 g
  x dx  . 0 5 4 A. B. 4 C. D. 5 3 3
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn