Bài 3: Ma trận nghịch đảo – Lý thuyết và bài tập | Tài liệu môn Toán cao cấp Trường đại học sư phạm kĩ thuật TP. Hồ Chí Minh

§3. MA TRAÄN NGHÒCH ÑAÛO
Trong baøi naøy, baïn seõ hoïc
-----------------------------------------------------------------------------------------
 Khaùi nieäm ma trận khaû nghòch vaø ma traän ñaûo cuûa moät ma traän vuoâng;
 Caùc tính chaát ma traän khaû nghòch;
 Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät ma traän vuoâng khaû nghòch;
 Hai caùch cô baûn tìm ma traän ñaûo cuûa moät ma traän khaû nghòch;
 ÖÙng duïng ma traän ñaûo ñeå giaûi phöông trình ma traän vaø heä phöông trình tuyeán tính.
------------------------------------------------------------------------------------------ 3.1. Ñònh nghóa
Ma traän vuoâng A = [aij]nx n goïi laø khaû nghòch neáu coù ma traän B = [bij]nx nsao cho
AB = I = BA n
Khi ñoù B goïi laø ma traän nghòch ñaû
o hay ma traän ñaûo cuûa A, kyù hieäu laø A-1.
Vaäy A khaû nghòch khi vaø chæ khi toàn taïi A-1 vaø AA-1 = I -1 n = A A −
Ví duï 1 Vôùi 1 2  3 2  A =   , B =   . Ta coù 2 3  2 −  1 1 2 − 3 2  1 0  − 3 2  1 2 AB =     =   =     = BA  2 3  2
− 1 0 1  2 −1 2 3 Vaäy − 3 2  1 2 A khaû nghòch vaø −1 − A = 1 
 = B ; B khaû nghòch vaø B = = A   .  2 − 1 2 3
Löu yù Vôùi A = [aij]nxn, B = [bij]nxn : AB = I khi vaø chæ khi BA = I . n n 3.2. Tính chaát
 Ma traän ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát vaø (A-1) -1= A
 Neáu A khaû nghòch thì AT cuõng khaû nghòch vaø (AT)-1 = (A-1)T  Neáu A = [aij]nx , n B = [bij]nx , n C =[cij]nx
n khaû nghòch thì tích AB, ABC cuõng khaû nghòch vaø
(AB)-1 = B-1A-1 ; (ABC)-1 =C-1 B-1A-1
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 19
3.3 .Ñònh lyù ( ñieàu kieän ñeå moät ma traän vuoâng khaû nghòch) Cho A = [aij]nxn. Ta coù :
 A khaû nghòch  A  In
 A khaû nghòch  r(A) = n
 A khaû nghòch  detA  0
bis A khoâng khaû nghòch  detA = 0 1 2 3   
Ví duï 2 Bieän luaän theo tham soá m tính khaû nghòch ma traän A = 1 1 4  .   1 1 m − 3 Giaûi 1 2 3 det A = 1 1 4 = 7 − m 1 1 m − 3
Khi m = 7 thì det A = 0 neân A khoâng khaû nghòch.
Khi m  7 thì det A  0 neân A khaû nghòch.
3.4 . Caùch tìm ma traän ñaûo vaø öùng duïng giaûi phöông trình ma traän
 Caùch 1-Phöông phaùp Gauss- Jordan
Neáu A khaû nghòch thì daõy caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp haøng bieán A thaønh In cuõng ñoàng thôøi bieán I -1 n thaønh A . Töùc laø, (A Bieá n ñ oå i s ô I -1
n) → ......... ........ → (In A ) caá p haøng
 Caùch 2-Phöông phaùp ñònh thöùc Neáu A khaû nghòch thì A-1 = 1 T ij nxn, pi
j =( 1)i + jMij; vôùi Mij laø ñònh thöùc caáp (n-1) coù töø A detA P , P =[p ] - A A T
baèng caùch boû ñi haøng i coät j. Ma traän T P =   p
goïi laø ma traän phuï hôïp cuûa A, A  ij    n n − 1 1
ký hiệu adjA . Vậy A = adjA . det A
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 20 1 0 1    1 −1 2 1 1 2 
Ví duï 3 Tìm ma traän X thoûa: X 1 1 0  +   =  2    2 1 2  2 3 4   0 1 −  2 Giaûi 1 0 1     1 − 1 2 1 1 2  X 1 1 0  +   =  2     2 1 2 2 3 4   0 1 −  2 1 0 1     1 1 2  1 − 1  2  X 1 1 0  =  2 −      2 3 4  2 1 2    0 1 −  2 1 0 1    1 3 2  X 1 1 0 =   
  XA = B 2 5 6    0 1 − 2        A
Aùp duïng phöông phaùp Gauss-Jordan:  1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0    
(AI) = 1 1 0 0 1 0 ⎯h h 2 ⎯ ⎯− 1→ 0 1 −1 −1 1 0      0 1 − 20 0 1  0 1 − 2 0 0 1     1 0 1 1 0 0 1 0 0 2 −1 1    h + h 1   h − 3 h 2 3 ⎯h h 3 ⎯ ⎯− 2 → 0 1 −1−1 1 0 ⎯ −( ⎯
⎯)1 3h→ 0 1 0 − 2 2 −1     0 0 −1 1 −1 1 0 0 1 −1 1 −1      2 −1 1   
Suy ra A khaû nghòch vaø 1− A = − 2 2 −  1 .     −1 1 −  1  2 −1 1     1 3 2  −6 7 − 4  XA = B  1 −
X = BA  X =   − 2 2 −  1 =   2 5 6   − 12 14 − 9     −1 1 −  1 Vaäy  − 6 7 − 4 X =   . −12 14 − 9 2 1 1 −1 2  1 1 2
Ví duï 4 Tìm ma traän X thoûa:  X + =       7 3 2 1 0   2 2  4
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 21 Giải 2 1 1 −1 2   1 1  2 1    1 1 2  1 − 1  2 X + = 2  X = −              7 3 2 1 0   2 2  4 7 3  2 2 4  2 1  0 2  1 0 2 0     X =  (* ) 7  3 0 1 4      A
Aùp duïng phöông phaùp ñònh thöùc ta tính ñöôïc  3 −  7 det A = 1 − vaø P = A    −1 2   − 3 1  Suy ra  3 −  1 1 − 1 A = =  . −   1 − 7 2     7 − 2 (*) 0 2 0  0 2 0  −1 − AX = 1    A AX = A   0 1 4   0 1 4 − 3 1  0 2 0  0 − 5 4   X =   =        7
− 2 0 1 4  0 12 − 8 Vaäy 0 − 5 4  X =   . 0 12 − 8
3.5 . ÖÙng duïng ma traän ñaûo giaûi heä phöông trình tuyeán tính  1 1 2  
Ví duï 5 Cho ma traän A = 1 2 1     2 3 2
a) Chöùng minh A khaû nghòch vaø tìm ma taän ñaûo 1− A .
b) Aùp duïng keát quaû caâu (a) giaûi caùc heä phöông trình sau (m laø tham soá):  x + x + 2x = 1  x + x + 2x = 1 1 2 3 1 2 3    x + 2 x + x = m (1)  x + 2 x + 3x = m (2) 1 2 3 1 2 3   2 x + 3x + 2x = 1 2 x + x + 2x = 1 1 2 3  1 2 3 − x − 4x + 3x = 1 1 2 3  2x − x = m (3) 2 3   x + x − x = 1 1 2 3 Giaûi
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 22 1 1 2
a) det A = 1 2 1 = −1 0 neân A khaû nghòch. 2 3 2
Aùp duïng phöông phaùp Gauss-Jordan:  1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 (    
h −h ;h −2h A I ) =  1 2 1 0 1 0 ⎯ ⎯ 2 ⎯ 1 3 ⎯ ⎯1→ 0 1 − 1 −  1 1 0 ⎯ ⎯h −h h 1 ⎯ 2 ; h 3 ⎯ ⎯ − 2 →       0 1 − 2 −   2 3 2 0 0 1  2 0 1 1 0 3 2 −1 0 1 0 0 −1 − 4 3      h + 3h  1 3 0 1 −1 −  1 1 0 − 2 h 3 h ⎯ ⎯ ⎯ → 0 1 0 0 2 −  1   (− ) 1 h    3 0 0 −1 −1 −  0 0 1 1 1 −   1 1   1 − 1 − 4 3    Suy ra 1− A =  0 2 −1 .      1 1 −1  x   1  1 b) Ñaët    
X =  x , B =  m 2       x 1 3     x + x + 2x = 1 1 1 2   x   1 1 2 3    1      x + 2 x + x
= m (1)  1 2 1  x = m  AX = B 2  1 2 3        2 x + 3x + 2x = 1 2 3 2 x 1 1 2 3    3     x  −1 − 4
3   1 2 − 4m  1          A 1 − AX = A 1 − B  0 2 −1 =     x =   m  m 2 − 1  2    I       x   1 1 − 1 m 3   1     x = 2 − m 4 1
Suy ra x = 2m −1 . 2  x = m 3  x + x + 2x = 1 1 1 2  x   1 1 2 3    1      x + 2 x + 3x
= m (2)  1 2 3 x = m  AT X = B 2  1 2 3        2x + x + 2x = 1 2 1 2 x 1 1 2 3    3     ( AT 1 )− AT X = ( AT 1
)− B  X = ( A 1 − T ) B      I  x   −1 0 1   1  0   1         x  − 4 2
1  m = 2 m− 3 2  =         x   3 −1 − 1 2 − m 3    1    
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 23 x = 0 1
Suy ra x = m 2 − 3 . 2  x = 2 − m 3 − −1 − x −4x +3x = 1  4 3   x  1 1  1 2 3         2x − x = m (3)   0 2 − 
1 x = m  − A X 1 = B 2  2 3         x + x − x = 1   1 1 − x 1 1 2 3  1  3     x 1 1 2  1  3+ m  1           −
AA 1 X = AB =     x 1 2 1 m 2 + 2m 2  = I          x 2 3 2 1 4 + 3m 3        x = 3 + m 1
Suy ra x = 2 + m 2 . 2  x = 4 + m 3 3 BAØI TAÄP
Baøi 1.1 Thöïc hieän caùc pheùp toaùn ma traän. 1 3  2 5       4  a) 6 5  2 11 5    b) ( 1   3   2 −1 1  4 1 3 2 ) c)
(1 4 9 3) d )   2  (1  )    2 0 0 −7 3 2  0 2 1 2 1         0  2 3  5 1  3   2 1 −  1 − 2 1  0   e) A = ; B = ; C =      2  . Tính (2A + 3B)C.  0 1 4  − 3 2  2    1  n f) A = 2 1 1 a  2
 ; f(x) = 3x + 2x - 4. Tính f(A) g) a ,  R vaø n  N .    0 3 0 1 Baøi 1.2 a) 4 x +
Tìm caùc soá x, y, z, w neáu: 3 x y   x 6   y    =   +  
z w −1 2w z + w 3  b) 2 −
Tính AB -BA neáu : A = 1 2    3   , B =   . 4 − 1 − 4 1 
c) Tìm taát caû caùc ma traän caáp 2 giao hoaùn vôùi ma traän A = 2 1   0 1 1 1 3      
Baøi 1.3 Cho caùc ma traän A =    − − 1 2 2, B = −    , C =            2 2 5    
a) Tính 5A -BC, (AB)C , CTBTAT.
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 24
b) Tính f(A) bieát f(x) = 2x2 + 3x + 5 -  . x    
Baøi 1.4 Cho ma traän A =      -1 
 . Tìm ma traän nghòch ñaûo A   −  
baèng phöông phaùp Gauss- Jordan ( phöômg phaùp bieán ñoåi sô caáp haøng ma traän) vaø
aùp duïng keát quaû ñoù giaûi caùc heä phöông trình sau:  x +y +z =  x + y  −z =  −
  x + y − z =  1)    x + y 
+z =  2)  x +y +z =  3)  x  −y +z =   x −y + z  = m    x +y +z = m  − x +y − z =  m  −  
Baøi 1.5 Cho ma traän A =    −  -1 
 . Tìm ma traän nghòch ñaûo A baèng    − −
caùch söû duïng ñònh thöùc vaø aùp duïng keát quaû ñoù giaûi caùc heä phöông trình sau: −
 x + y −z = −  3x + 2y + 3z = 4
3x + 4y + 5z = m 1)    −
 x +y −z = − 2) − 4x − 3y − 5z = 5 3
) 2x +3y + z = 2  x −y +z =    m  5x + y − z = 8 3x + 5y − z = 1
Baøi 1.6 Tìm ma traän X trong caùc tröôøng hôïp sau: 1) 1 2  3 0  3 2   1 − 2         . X =   ; 2) X.  =  ; 3)    . . X   =   3 4 7 2 −2 −1  1 − 1                4)2 1  1 1 −  1 1        
. X − X .  = 
 5)    X -   =3          1 2  1 − 1  1 −1             −    −    1 1 −1 1 1 − 3   6)       −     −  X 2 1 0 = 4 3 2     7) X =        
  −    −     1 −1 1  1 2 − 5     − 
Baøi 1.7 Tính caùc ñònh thöùc sau:      x y z       1)     x  z y   − ; 2
)    ; 3 ) ; 4) ;     y y  x  −         z z x      a + x x x x  + xy xz 5) a a' a a' x b + x x ; 6) xy y + yz ; 7) b b b' b'  x x c + x xz yz z +  ab a' b ab' a' b'
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 25 a x x ....... x x    ....... n − n    x x x x a x ....... x x    ....... n − n   8) x x x
 9) x x a ........ x x ; ........ n − n
10 )      x   x   x
................................
......................................   x   x x  x x x ........ a x    ............  n x x x ........ x a
   ........ n − 
Baøi 1.8 Tìm haïng caùc ma traän sau (bieän luaän theo m):         −        1 7 5 3 2 −          1)    
 2)   −    3)       4) 0 4 2 2 0            −   m    2 −2 4 0 1            m     −        3 1 − 7 1 3 
Baøi 1.9 Chöùng minh raèng:
a) Neáu A, B laø caùc ma traän vuoâng khaû nghòch caáp n vaø AB = BA thì A-1B-1 = B-1A-1
b) Neáu A1, A2, …., Ak laø caùc ma traän vuoâng khaû nghòch caáp n thì (A -1 1.A2 ….Ak) = 1 − 1 − −1 1 − A A . .. . A . A . k k 1 − 2 1 Baøi 1.10   m  
1) Cho ma traän A =    m   
 . Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå r(A) = 2.   m          
2) Cho ma traän A = −    
 . Tìm caùc giaù trò m ñeå r(A) = 3.    −       m 
Baøi 1.11 Tìm haïng caùc ma traänsau:  0 2 − 4  1 3 5 −  1     2 − 1 3 − 2  4 −1 − 4 5 
a) 2 − 1 − 3 4  b)   4 − 2 5 1 7 c)  3 1 7  5 1 −1 7        2 − 1 1 8    2  0 5 − 10  7 7 9 1     2 3 0   −1 1 2  2 1  2 3 − 4 5     
Baøi 1.12 Cho caùc ma traän: A =   −  1 2 3 , B =  3 2  6 , C = 2 − 3 1     1 1 1     −1 1  7 3 − 5 −  1 a) Tìm A-1
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 26 1 2 
b) Tìm caùc ma traän X, Y sau cho: AX = 1 1      , YA = 1 2 1      1 − 3 4 0 −2
Laøm töông töï ñoái vôùi caùc ma traän B, C.
Baøi 1.13 Giaûi caùc phöông trình sau ( laø aån) 2 -  0 0 5 −  − 3 2 1 −  0 − 1 a) 2 3 −  2 = 0 b) 6 − 4−  4 = 0 c) 0 1 −  1 = 0 3 3 4 −  4 − 4 − 5  − 1 1 − 
Baøi 1.14 Cho ma traän A = 1 2   3 2 a) 1 − Tìm ña thöùc baäc hai f (x) = x 2 ( f(x) = det(A-xI)) 3 2 − x
b) Tính f(A) roài döïa vaøo keát quaû ñoù suy ra bieåu thöùc tính A-1 theo A. 3 1  1  
Baøi 1.15 Cho ma traän A = 1 3  1   1 1  3 a) Tính f(x) = det(A-xI)
b) Tính f(A) roài döïa vaøo keát quaû ñoù suy ra bieåu thöùc tính A-1 t heo A.
Baøi 1.16 Cho ma traän A = a b  
 thoûa ñieàu kieän ad-bc  0. c d 
a) Tìm ña thöùc baäc hai f(x) = det(A-xI)
b) Tính f(A) roài döïa vaøo keát quaû ñoù suy ra bieåu thöùc tính A-1 t heo A.
Baøi 1.17 a)Cho ma traän A = a b  
 thoûa ñieàu kieän ad-bc  0. Chöùng minh c d  − 1  d −b A 1 =   .
ad − bc − c a 
b) Chứng minh đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt (x , y ) và (x , y ) trong 1 1 2 2 x y 1
mặt phẳng 0xy có phương trình: x y 1 = 0 1 1 x y 1 2 2
Baøi 1.18 Ma traän vuoâng A M () goïi laø ñoái xöùng neáu AT = A . Chöùng minh raèng n
neáu A, B  M () ñoái xöùng vaø    thì ( A+B) cuõng laø ma traän ñoái xöùng. n
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 27 Baøi 1.19
a) Chöùng minh raèng neáu A M () khaû nghòch thì k k
det A = (det A) vôùi moïi k laø soá n nguyeân.
b) Ma traän vuoâng A M () goïi laø tröïc giao neáu AT A = I . Chöùng minh raèng neáu n
A M () tröïc giao thì det(A) = 1. n
Baøi 1.20 Cho ma traän A M (), B
 M () vaø  . Chöùng minh raèng: n n a) det( A) = n  det(A).
b) Neáu A khaû nghòch vaø   0 thì ma traän  A cuõng khaû nghòch.
c) Neáu tích AB khaû nghòch thì A, B laø caùc ma traän khaû nghòch.
Baøi 1.21 Cho ma traän A M (). Chöùng minh raèng coù khoâng quaù n giaù trò  khaùc n
nhau trong  sao cho det(A − I  ) = 0 . Baøi 1.22 Ma traän * A = a *
 M n() goïi laø ma traän ruùt goïn baäc thang toái giaûn ij  r mn
neáu noù thoûa ñoàng thôøi boán tính chaát sau:
(i) Treân caùc haøng khaùc zeâro (haøng maø coù ít nhaát moät phaàn töû khaùc 0), phaàn töû khaùc 0 ñaàu tieân laø soá 1.
(ii) Treân coät coù soá 1 noùi ôû (i), caùc phaàn töû coøn laïi ñeàu baèng 0.
(iii) Neáu phaàn töû khaùc 0 ñaàu tieân cuûa haøng 1, 2, …, k coù chæ soá coät laø
j , j ,..., j thì j  j 
. (Töùc laø, caùc soá khaùc 0 ñaàu tieân treân moãi haøng xeáp theo thöù töï 1 2 ...  j 1 2 k k
baäc thang töø treân xuoáng döôùi vaø töø traùi sang phaûi)
(iv) Caùc haøng zeâro (neáu coù) ôû phía döôùi caùc haøng khaùc zeâro(haøng zeâro laø haøng maø taát caû caùc
phaàn töû ñeàu baèng 0).
Trình baøy thuaät toaùn aùp duïng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp haøng ñeå ñöa ma traän
A = [aij]mxnMn() veà ma traän ruùt goïn baäc thang toái giaûn * A . r Baøi 1.23
a) Anh (chò) haõy neâu (teân) caùc caùch tìm ma traän ñaûo.
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 28 −1 1 2    b) Tìm ma traän X thoûa:  1 − 1 2 1 1 2 X  2 −1 −  3 +   = 4 .   2 1 0  2 2 4   −1 2 4 
Baøi 1.24 Chứng minh:
a) Neáu A, B, C laø ba ma traän thoûa AB = AC vaø det A  0 thì B = C .
b) Neáu A laø ma traän vuoâng thoûa 2
A = 0 thì ( I − A −1 ) = I + A . Baøi 1.25
a) Chứng minh rằng không tồn tại ma trận cấp 2  2 A và B sao cho AB − BA = I .
b) Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
AB = BA nếu và chỉ nếu 2 2 2 ( A + ) B
= A + 2AB + B Baøi 1.26
Moät coâng ty coù 3 cöûa haøng cuøng baùn boán loaïi saûn phaåm SP, SP , SP , SP vôùi cuøng 1 2 3 4
moät möùc giaù laàn löôït laø 7 , 5 ,9 8
, (ñôn vò tính laø trieäu ñoàng).  5    Goïi  7 
P =   laø ma traän giaù cuûa boán loaïi saûn phaåm SP , SP , SP , SP . Giaû söû soá saûn 9 1 2 3 4    8 
phaåm moãi loaïi baùn ñöôïc trong moät ngaøy taïi 3 cöûa haøng cho trong baûng sau: SP SP SP SP 1 2 3 4 Cöûa haøng 1 2 5 7 4 Cöûa haøng 2 3 6 9 6 Cöûa haøng 3 5 7 10 8  2 5 7 4   
Ñaët ma traän A = 3 6 9 6 . Tính vaø giaûi thích yù nghóa ma traän AP .    5 7 10 8 
Baøi 1.27 Moät coâng ty coù m cöûa haøng cuøng baùn n loaïi saûn phaåm SP , SP ,…. , SP vôùi 1 2 n
cuøng moät möùc giaù laàn löôït laø p p ,..., p (ñôn vò tính laø trieäu ñoàng). 1 2 n  p   1  Goïi  p2 
P =   laø ma traän giaù cuûa n loaïi saûn phaåm SP , SP ,…. , SP . Giaû söû soá saûn  1 2 n    pn 
phaåm moãi loaïi baùn ñöôïc trong moät ngaøy taïi 3 cöûa haøng cho trong baûng sau:
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 29 SP SP …. SP 1 2 n Cöûa haøng 1 a a … a 11 12 n 1 Cöûa haøng 2 a a … a 21 22 2 n      Cöûa haøng m a a …. a 1 m m2 mn  a a 11 12  a1n   
Ñaët ma traän A = a a  a 21 22 2 n  
 . Tính vaø giaûi thích yù nghóa ma traän AP .         m a 1 m a a 2 mn  Baøi 1.28
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………..………….….………….………………… …
. ………………………………… Trang 30