CHƯƠNG 2 Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng cấp cao 2.3 utexlms.hcmute.edu.vn 1 NỘI DUNG BÀI HỌC
Đạo hàm cấp hai của hàm hai biến 01
Đạo hàm cấp hai của 02 hàm ba biến utexlms.hcmute.edu.vn 2
2.3.4. Đạo hàm cấp hai của hàm hai biến Cho hàm hai biến . 𝑓(𝑥, 𝑦) Đạo hàm riêng 𝜕𝑓 cấp 1 𝜕𝑓 = 𝑓 = 𝑓 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑦 𝑦 Đạo hàm riêng cấp 2. 𝝏𝟐𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐𝒇 𝝏 𝝏𝒇 = =𝒇 = =𝒇 = =𝒇 = =𝒇 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝒙𝒙 𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝒙𝒚 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝒚𝒙 𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝒚𝒚 utexlms.hcmute.edu.vn 3 Giải Ví dụ 1 Cho hàm hai biến
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4.
 Đạo hàm riêng cấp 1:
𝑓𝑥= 2𝑥𝑦3 − 12𝑥3
Tìm các đạo hàm cấp hai 𝑓𝑦= 3𝑥2𝑦2 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓
𝜕2𝑓  Đạo hàm riêng cấp hai ; ; ; 𝜕𝑥2 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 𝜕 𝑓𝑥𝑥 = =
2𝑥𝑦3 − 12𝑥3 = 2𝑦3 − 36𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥 𝜕2𝑓 𝜕 𝑓𝑥𝑦 = =
2𝑥𝑦3 − 12𝑥3 = 6𝑥𝑦2 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 utexlms.hcmute.edu.vn 4 Giải Ví dụ 1 Cho hàm hai biến
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4.
 Đạo hàm riêng cấp 1:
𝑓𝑥= 2𝑥𝑦3 − 12𝑥3
Tìm các đạo hàm cấp hai 𝑓𝑦= 3𝑥2𝑦2 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓
𝜕2𝑓  Đạo hàm riêng cấp hai ; ; ; 𝜕𝑥2 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 𝜕 𝑓𝑦𝑦= = 3𝑥2𝑦2 = 6𝑥2𝑦 𝜕𝑦2 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 𝜕 𝑓𝑦𝑥= = 3𝑥2𝑦2 = 6𝑥𝑦2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 utexlms.hcmute.edu.vn 5 Giải Ví dụ 1 Cho hàm hai biến
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4.
 Đạo hàm riêng cấp 1:
𝑓𝑥= 2𝑥𝑦3 − 12𝑥3
Tìm các đạo hàm cấp hai 𝑓𝑦= 3𝑥2𝑦2 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 ; ; ; 𝜕𝑥2 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦2
 Đạo hàm riêng cấp hai
𝑓𝑥𝑥= 2𝑦3 − 36𝑥2 𝑓𝑥𝑦= 6𝑥𝑦2 𝑓𝑦𝑥= 6𝑥𝑦2 𝑓𝑦𝑦= 6𝑥2𝑦 utexlms.hcmute.edu.vn 6 2.3.4. Định lý
Nếu hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 có các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp 𝑓𝑥𝑦
và 𝑓𝑦𝑥 liên tục trên một khoảng mở chứa 𝑥0, 𝑦0 thì
𝑓𝑦𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥𝑦 𝑥0, 𝑦0
Trong ví dụ 1, với hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 3𝑥4, ta có
𝑓𝑦𝑥 = 𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦2 utexlms.hcmute.edu.vn 7
2.3. Đạo hàm cấp hai của hàm ba biến Cho hàm hai biến . 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) Đạo hàm riêng cấp 1 Đạo hàm riêng cấp 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 𝑓 = 𝑓 = 𝑓 𝑥 𝜕𝑦 𝑦 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧
Đạo hàm riêng cấp 2
Đạo hàm riêng cấp 2 𝒇 𝒇 𝒇 𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒚 𝒇𝒙𝒛 𝒚𝒙 𝒇𝒚𝒚 𝒇𝒚𝒛 𝒇𝒛𝒙 𝒛𝒚 𝒇𝒛𝒛 utexlms.hcmute.edu.vn 8 Giải Ví dụ 2 Cho hàm ba biến
Ta có hàm 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧) Khi đó, đạo hàm riêng
Tìm các đạo hàm riêng cấp 𝑓 hai
𝑥 = 3𝑥2 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑧 ; 𝑓𝑦𝑥; 𝑓𝑦𝑦 ;
𝑓𝑦 = 2𝑥3 cos(2𝑦 + 𝑧) 𝑓 𝑓 𝑧 = 𝑥3 cos 2𝑦 + 𝑧
𝑦𝑧 ; 𝑓𝑧𝑥 ; 𝑓𝑧𝑦 ; 𝑓𝑧𝑧 . utexlms.hcmute.edu.vn 9 Giải Ví dụ 2 Cho hàm ba biến
Ta có hàm 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧) Khi đó, đạo hàm riêng
𝑓𝑥 = 3𝑥2 sin(2𝑦 + 𝑧)
Tìm các đạo hàm riêng cấp hai
Các đạo hàm riêng cấp hai
𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑧 ; 𝑓𝑦𝑥; 𝑓𝑦𝑦 ;
𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑦𝑧 ; 𝑓𝑧𝑥 ; 𝑓𝑧𝑦 ; 𝑓𝑧𝑧 .
𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥2 cos( 2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑥𝑧 = 3𝑥2 cos( 2𝑦 + 𝑧) utexlms.hcmute.edu.vn 10 Giải Ví dụ 2 Cho hàm ba biến
Ta có hàm 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧) Khi đó, đạo hàm riêng 𝑓
Tìm các đạo hàm riêng cấp
𝑦 = 2𝑥3 cos(2𝑦 + 𝑧) hai Đạo hàm riêng cấp hai
𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑧 ; 𝑓𝑦𝑥; 𝑓𝑦𝑦 ;
𝑓𝑦𝑥 = 6𝑥2 cos 2𝑦 + 𝑧
𝑓𝑦𝑧 ; 𝑓𝑧𝑥 ; 𝑓𝑧𝑦 ; 𝑓𝑧𝑧 .
𝑓𝑦𝑦 = −4𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧
𝑓𝑦𝑧 = −2𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧) utexlms.hcmute.edu.vn 11 Giải Ví dụ 2 Cho hàm ba biến
Ta có hàm 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧) Khi đó, đạo hàm riêng
𝑓𝑧 = 𝑥3 cos 2𝑦 + 𝑧
Tìm các đạo hàm riêng cấp hai Đạo hàm riêng cấp hai
𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑧 ; 𝑓𝑦𝑥; 𝑓𝑦𝑦 ;
𝑓𝑧𝑥 = 3𝑥2 cos(2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑦𝑧 ; 𝑓𝑧𝑥 ; 𝑓𝑧𝑦 ; 𝑓𝑧𝑧 .
𝑓𝑧𝑦 = −2𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧
𝑓𝑧𝑧 = −𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧 utexlms.hcmute.edu.vn 12 Giải Ví dụ 2 Cho hàm ba biến
Các đạo hàm riêng cấp hai
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 sin(2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥 sin 2𝑦 + 𝑧
Tìm các đạo hàm riêng cấp 𝑓 hai
𝑦𝑦 = −4𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧
𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑧 ; 𝑓𝑦𝑥; 𝑓𝑦𝑦 ;
𝑓𝑧𝑧 = −𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧 𝑓
𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = 6𝑥2 cos( 2𝑦 + 𝑧)
𝑦𝑧 ; 𝑓𝑧𝑥 ; 𝑓𝑧𝑦 ; 𝑓𝑧𝑧 .
𝑓𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑥 = 3𝑥2 cos( 2𝑦 + 𝑧)
𝑓𝑦𝑧 = 𝑓𝑧𝑦 = −2𝑥3 sin 2𝑦 + 𝑧 utexlms.hcmute.edu.vn 13 utexlms.hcmute.edu.vn 14