lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
BÀI 4 CÁC MỨC ĐỘ THỐNG KÊ MÔ TẢ Hướng dẫn học
Bài này giới thiệu một số mức ộ nhằm phản ánh bản chất của các hiện tượng kinh tế xã
hội, gồm: số tuyệt ối và số tương ối; các mức ộ trung tâm (số trung bình, trung vị và mốt)
và các tham số o ộ biến thiên của tiêu thức (khoảng biến thiên, ộ lệch tuyệt ối trung bình,
phương sai, ộ lệch chuẩn và hệ số biến thiên).
Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:
• Học úng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập ầy ủ và tham gia thảo luận trên diễn àn.
• Đọc giáo trình: Lind, Marchal, Wathen. Thống kê trong kinh tế và Kinh doanh (sách dịch), NXB Đại học KTQD.
• Đọc tài liệu: Lý thuyết Thống kê, PGS. TS. Trần Thị Kim Thu chủ biên, NXB Đại học KTQD.
• Sinh viên làm việc theo nhóm và trao ổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email.
• Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học. Nội dung
Bài này sẽ trình bày các mức ộ phản ánh bản chất của các hiện tượng kinh tế - xã hội,
trong ó giới thiệu khái niệm, công thức tính toán và ý nghĩa của các mức ộ trong các phân tích thống kê. Mục tiêu
Sau khi học xong bài này, sinh viên cần thực hiện ược các việc sau:
• Trình bày ược khái niệm và ặc iểm số tuyệt ối, số tương ối trong thống kê.
• Phân biệt ược các loại số tuyệt ối và số tương ối khác nhau.
• Nêu ược khái niệm, công thức tính và so sánh các ặc iểm của số trung bình, trung vị và mốt.
• Nhận biết ược các ặc trưng phân phối của dãy số.
• Trình bày ược khái niệm, công thức tính và ặc iểm các tham số o ộ biến thiên của tiêu thức.
• Tính toán ượ các mức ộ của hiện tượng kinh tế xã hội dựa theo số liệu ã có.
Tình huống dẫn nhập
Ðánh giá năng suất lao ộng và tiền lương
Bạn với cương vị là nhân viên làm thống kê của một doanh nghiệp ang thực hiện nghiên cứu nhằm
ánh giá về năng suất lao ộng và tiền lương của doanh nghiệp mình. Sau khi ã tiến hành iều tra lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
thống kê và tổng hợp số liệu theo một số nội dung quan tâm, bạn thu ược các dãy số phân phối và
các bảng biểu tổng hợp khác. Bây giờ, nhiệm vụ của bạn là thông qua các dãy số phân phối ó thấy
ược các ặc trưng và so sánh ộ biến thiên của hai tiêu thức năng suất lao ộng và tiền lương.
1. Sử dụng mức ộ nào ể thấy ược các ặc trưng về năng suất lao ộng và tiền lương của doanh nghiệp?
2. Sử dụng mức ộ nào ể so sánh ộ biến thiên về năng suất lao ộng trung bình và tiền lương trung bình của doanh nghiệp? 4.1.
Số tuyệt ối và số tương ối trong thống kê 4.1.1.
Số tuyệt ối trong thống kê
4.1.1.1. Khái niệm chung
Khái niệm: Số tuyệt ối trong thống kê là mức ộ biểu hiện quy mô, khối lượng của hiện
tượng nghiên cứu trong iều kiện thời gian và ịa iểm cụ thể.
Như vậy, số tuyệt ối trong thống kê cho biết:
• Số ơn vị của tổng thể hay của bộ phận nghiên cứu
Ví dụ: Tổng số lao ộng của doanh nghiệp A ngày 1/7/N là 100 người.
• Trị số của chỉ tiêu số lượng
Ví dụ: Tổng quỹ tiền lương của doanh nghiệp A năm N là 500 triệu ồng. Tác dụng:
• Số tuyệt ối cho ta nhận thức cụ thể về quy mô, khối lượng thực tế của hiện tượng nghiên cứu.
• Số tuyệt ối là cơ sở ầu tiên ể tiến hành phân tích thống kê, ồng thời còn là cơ sở ể tính các mức ộ khác.
• Số tuyệt ối là căn cứ không thể thiếu ược trong việc xây dựng các kế hoạch kinh tế
quốc dân và chỉ ạo thực hiện kế hoạch. 4.1.1.2. Đặc iểm 46 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Mỗi số tuyệt ối trong thống kê ều bao hàm một nội dung kinh tế - xã hội cụ thể trong
iều kiện thời gian và ịa iểm nhất ịnh.
Phải qua iều tra thực tế và tổng hợp một cách khoa học ể có ược số tuyệt ối trong thống kê.
Các số tuyệt ối trong thống kê ều có ơn vị tính cụ thể.
4.1.1.3. Các loại số tuyệt ối
Căn cứ ặc iểm về qui mô của hiện tượng qua thời gian, số tuyệt ối có hai loại:
• Số tuyệt ối thời kỳ phản ánh quy mô, khối lượng của hiện tượng nghiên cứu trong
một khoảng thời gian nhất ịnh.
Ví dụ về tổng quỹ tiền lương doanh nghiệp A là số tuyệt ối thời kỳ.
Các số tuyệt ối thời kỳ uợc hình thành thông qua sự tích luỹ về luợng trong suốt thời
gian nghiên cứu. Có thể cộng các số tuyệt ối thời kỳ của cùng một chỉ tiêu với nhau;
thời kỳ càng dài thì trị số của nó càng lớn.
• Số tuyệt ối thời iểm phản ánh quy mô, khối lượng của hiện tượng nghiên cứu vào
một thời iểm nhất ịnh.
Ví dụ về tổng số lao ộng của doanh nghiệp A là số tuyệt ối thời iểm.
Số tuyệt ối thời iểm chỉ phản ánh tình hình của hiện tượng vào một thời iểm nào ó;
trước hoặc sau thời iểm ó, trạng thái của hiện tượng có thể khác. Số tuyệt ối thời
iểm không có sự tích luỹ về lượng qua thời gian nên không cộng ược với nhau. 4.1.2.
Số tương ối trong thống kê
4.1.2.1. Khái niệm chung
Khái niệm: Số tương ối trong thống kê biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức ộ nào ó
của hiện tượng nghiên cứu.
Quan hệ so sánh là sự khác biệt cơ bản giữa số tuyệt ối và số tương ối trong thống kê.
Hai mức ộ thiết lập quan hệ so sánh có thể là:
• Hai mức ộ cùng loại nhưng khác nhau về thời gian hoặc về không gian, thực tế với
kế hoạch, bộ phận với tổng thể.
• Hai mức ộ khác loại nhưng có mối liên hệ với nhau. Ðể có thể tính ược số tương ối
này, hai mức ộ so sánh phải có cùng thời gian và không gian. Tác dụng:
• Các số tương ối tính ược bằng các phương pháp so sánh có thể giúp ta i sâu vào ặc iểm của hiện tượng.
• Thuờng dùng trong lập kế hoạch và kiểm tra tình hình thực hiện kế hoạch.
• Dùng các số tương ối ể biểu hiện tình hình thực tế trong khi cần bảo ảm ược tính
chất bí mật của các số tuyệt ối. 4.1.2.2. Đặc iểm lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Số tương ối là kết quả so sánh giữa hai chỉ tiêu thống kê ã có hay giữa hai mức ộ nào ó
của hiện tượng nghiên cứu, không trực tiếp thu thập ược qua iều tra. Mỗi số tương ối ều
phải có gốc dùng ể so sánh. Khi gốc so sánh khác nhau thì ý nghĩa của số tương ối cũng khác nhau.
Đơn vị tính của số tương ối là số lần, phần trăm (%), phần nghìn (‰) hay ơn vị kép tùy
thuộc loại số tương ối.
4.1.2.3. Các loại số tương ối
Căn cứ theo nội dung mà số tương ối phản ánh, có thể chia thành 5 loại số tương ối sau ây:
• Số tương ối ộng thái: biểu hiện biến ộng của hiện tượng nghiên cứu qua thời gian. = y Công thức tính: t 1 (lần, %) y0
Trong ó: t - số tương ối ộng thái
y0, y1 - mức ộ của hiện tượng tại kỳ gốc, kỳ nghiên cứu. Chú ý phải ảm
bảo tính chất có thể so sánh duợc giữa tử số và mẫu số, nghĩa là y0 và y1
phải cùng phạm vi, phương pháp tính và ơn vị tính.
Ví dụ: Tổng giá trị sản xuất của doanh nghiệp A năm 2022 là 23 tỷ ồng và năm 2021
là 20 tỷ ồng. Vậy, số tương ối ộng thái phản ánh sự phát triển về giá trị sản xuất của
doanh nghiệp A là: 𝑡 = 𝑦2022 == 1,15 lần hay 115%. 𝑦2021
• Số tương ối kế hoạch: dùng ể biểu hiện nhiệm vụ kế hoạch và kiểm tra tình hình thực
hiện kế hoạch. Có hai loại sau:
Số tương ối nhiệm vụ kế hoạch: biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức ộ cần ạt tới
của một chỉ tiêu nào ó với mức ộ thực tế của chỉ tiêu này ở một kỳ ược chọn làm gốc so sánh. = y Công thức tính: K k n (lần, %) y0
Trong ó: Kn - Số tương ối nhiệm vụ kế hoạch
yk - Mức ộ kỳ kế hoạch y0 -
Mức ộ thực tế ở kỳ gốc
Ví dụ: Tổng giá trị sản xuất của doanh nghiệp A năm 2021 là 20 tỷ ồng, giá trị sản
xuất kế hoạch ề ra cho năm 2022 là 22 tỷ ồng. Vậy, số tương ối nhiệm vụ kế hoạch là: 48 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả 𝑦𝐾𝐻2022lần hay 110%. 𝐾𝑛 = 𝑦2021 == 1,1
Số tương ối thực hiện kế hoạch: biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức ộ thực tế ạt
ược trong kỳ nghiên cứu với mức ộ kế hoạch ã ề ra cùng kỳ về một chỉ tiêu kinh tế nào ó. y1 (lần, %) Công thức tính: K t = yk
Trong ó: Kt - Số tương ối thực hiện kế hoạch
yk - Mức ộ kỳ kế hoạch y1 - Mức ộ
thực tế ở kỳ nghiên cứu
Ví dụ: Tổng giá trị sản xuất của doanh nghiệp A năm 2022 là 23 tỷ ồng, giá trị sản
xuất kế hoạch ề ra cho năm 2022 là 22 tỷ ồng. Vậy, số tương ối thực hiện kế hoạch
hay tỷ lệ hoàn thành kế hoạch là: 𝐾𝑡 = 𝑦𝑦𝐾𝐻2022𝑇𝑇2022 = = 1,045lần hay 104,5%.
Giữa số tương ối ộng thái, số tương ối nhiệm vụ kế hoạch và số tương ối hoàn thành
kế hoạch (của cùng một chỉ tiêu) có mối quan hệ với nhau. Cụ thể: y1 = yk y1 hay t = Kn KT y0 y0 yk
• Số tương ối kết cấu: biểu hiện tỷ trọng của mỗi bộ phận cấu thành trong một tổng
thể. Nghiên cứu số tương ối kết cấu ể thấy ược ặc iểm cơ bản của hiện tượng trong
những iều kiện khác nhau. ybp Công thức tính: d= (lần, %,‰) ytt Trong
ó: d - Số tương ối kết cấu
ybp - Mức ộ của bộ phận ytt
- Mức ộ của tổng thể Ví dụ:
Tổng số lao ộng của doanh lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả nghiệp A là 100 người,
trong ó, có 80 lao ộng nữ và 20 lao ộng nam.
Như vậy, kết cấu lao ộng nam trong tổng số lao ộng là: dnam = ynam = 20 = 0,2lần hay 20% yLĐ 100
Và kết cấu lao ộng nữ trong tổng số lao ộng là:
dnu = ynu = 80 = 0,8lần hay 80% yLĐ 100
• Số tương ối không gian: sử dụng trong hai trường hợp:
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai hiện tượng cùng loại nhưng khác nhau về không gian.
Ví dụ: Giá vàng ở Hà Nội so với giá vàng ở thành phố Hồ Chí Minh.
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai bộ phận trong một tổng thể.
Ví dụ: Tỷ lệ lao ộng nam so với lao ộng nữ của doanh nghiệp A.
• Số tương ối cường ộ: biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức ộ của hai hiện tượng
khác loại nhưng có mối liên hệ với nhau. Ví dụ: Dân số Mật ộ dân số = (người/km2) Diện tích
Đơn vị tính của số tương ối cường ộ là ơn vị kép. 4.1.3.
Điều kiện vận dụng số tuyệt ối và số tương ối trong thống kê
• Khi sử dụng số tương ối và tuyệt ối phải xét ến ặc iểm của hiện tượng nghiên cứu ể
rút ra kết luận cho úng.
Ví dụ: Cùng là tỷ lệ phế phẩm 5%, nhưng với các sản phẩm bình thuờng thì ây là tỷ
lệ chấp nhận ược. Còn với những sản phẩm y tế, tỷ lệ này lại là quá cao vì hậu quả sẽ rất nghiêm trọng.
• Phải vận dụng một cách kết hợp các số tương ối với số tuyệt ối vì: o
Số tương ối trong thống kê là kết quả so sánh giữa hai số tuyệt ối ã có, là sự
kết hợp khác nhau giữa các số tuyệt ối. o Ý nghĩa của số tương ối còn phụ thuộc
vào trị số tuyệt ối mà nó phản ánh. 50 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Ví dụ: Năm 2022, tốc ộ tăng GDP của quốc gia A là 1,7% trong khi tốc ộ tăng GDP
của quốc gia B là 5,9%. Nếu chỉ căn cứ vào hai số tương ối này, chúng ta có thể ưa
ra nhận ịnh lạc quan rằng trong thời gian tới, nền kinh tế quốc gia A sẽ uổi kịp kinh
tế quốc gia B. Nhưng khi xem xét các số tuyệt ối, ta thấy qui mô GDP của quốc gia
A năm 2020 là 106,426 tỷ USD, trong khi ó, GDP của quốc gia B là 14419,4 tỷ
USD. Như vậy, 1% tăng trưởng của quốc gia B gần gấp rưỡi cả nền kinh tế của Việt
Nam. Vì vậy, nhận ịnh trên là hoàn toàn sai lầm. 4.2.
Các mức ộ trung tâm 4.2.1. Số trung bình
4.2.1.1. Khái niệm chung
Khái niệm: Số trung bình (hay số bình quân) trong thống kê là mức ộ ại biểu theo một
tiêu thức nào ó của một tổng thể gồm nhiều ơn vị cùng loại.
Ví dụ: Năng suất lao ộng trung bình của công nhân doanh nghiệpA tháng 1/N là 30 triệu ồng.
Trong ví dụ này, con số 30 triệu ồng biểu hiện mức ộ ại diện theo tiêu thức năng suất
lao ộng của công nhân toàn doanh nghiệp. Đặc iểm:
• Số trung bình san bằng mọi chênh lệch về lượng biến của tiêu thức nghiên cứu ể có
một con số duy nhất ại diện cho tất cả lượng biến.
• Số trung bình chịu ảnh huởng của lượng biến ột xuất (lượng biến quá lớn hoặc quá
bé) trong dãy số. Ðây cũng là nhược iểm của số trung bình. Tác dụng:
• Nêu lên ặc iểm chung của hiện tượng kinh tế - xã hội số lớn trong iều kiện thời gian và ịa iểm cụ thể.
• Tạo iều kiện ể so sánh giữa các hiện tượng không có cùng quy mô.
Ví dụ: Để so sánh giữa các doanh nghiệp không có cùng qui mô, không thể so sánh
lợi nhuận hay doanh thu của các doanh nghiệp mà phải so sánh năng suất lao ộng
trung bình, mức doanh lợi trung bình…
• Thông qua biến ộng của số bình quân ể thấy ược xu hướng phát triển của hiện tượng.
Ví dụ: Thông qua năng suất lao ộng trung bình của doanh nghiệp qua các năm, có
thể thấy xu hướng phát triển của năng suất lao ộng toàn doanh nghiệp.
• Dùng ể lập kế hoạch, phân tích thống kê.
4.2.1.2. Các loại số bình quân
Thống kê học thường dùng hai loại số trung bình: số trung bình cộng và số trung bình nhân.
• Số trung bình cộng lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Số trung bình cộng thực chất là số trung bình ược tính theo phương pháp trung bình cộng trong toán học.
Công thức chung: Chú ý
Tổng lượng biến của tiêu thức x =
Tổng số ơn vị của tổng thể o
Số trung bình cộng giản ơn: vận dụng khi tài liệu chưa phân tổ xi Công thức tính: x = n o
Số trung bình cộng gia quyền: vận dụng khi tài liệu ã ược phân tổ.
Ứng với mỗi lượng biến xi sẽ có một tần số fi hay nói cách khác, trong mỗi tổ
(bộ phận), mỗi lượng biến xi lặp lại là fi lần. Như vậy, tổng lượng biến của tiêu
thức sẽ là tổng các xifi và tổng số ơn vị của tổng thể sẽ là tổng các fi. Khi ó, công
thức tính số trung bình cộng gia quyền là: = x fi i x fi
Trong ó, fi ược gọi là tần số, óng vai trò là quyền số ( ại lượng có mặt ở cả tử số
và mẫu số), nói lên tầm quan trọng của từng lượng biến trong tính số bình quân.
Có hai trường hợp trong tính trung bình cộng gia quyền:
▪ Trường hợp 1, tính số trung bình với dãy số không có khoảng cách tổ Ví
dụ: Có tài liệu về tiền lương của lao ộng trong doanh nghiệp A: Lương Số lao ộng (triệu ồng) (người) xifi di xidi xi fi 2,5 2 5,0 0,02 0,050 3,0 8 24,0 0,08 0,240 3,5 12 42,0 0,12 0,420 4,0 15 60,0 0,15 0,600 4,5 25 112,5 0,25 1,125 5,0 20 100,0 0,20 1,000 5,5 13 71,5 0,13 0,715 6,0 5 30,0 0,05 0,300 52 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả Tổng 100 445,0 1,00 4,450
Yêu cầu: tính tiền lương trung bình của lao ộng trong doanh nghiệp A nói trên. Phân tích ề bài:
Đây là tài liệu sau khi phân tổ không có khoảng cách tổ, cần phải tính theo
công thức bình quân cộng gia quyền.
Xác ịnh xi, fi. xi: lượng biến, là biểu hiện cụ thể bằng số của tiêu thức số
lượng. Tiêu thức ang nghiên cứu là tiền lương → lượng biến xi là tiền lương.
fi: tần số, là số ơn vị của tổng thể ược sắp xếp vào từng tổ. Ở mỗi mức lương
khác nhau có số lao ộng tương ứng → tần số fi là số lao ộng.
Áp dụng công thức, ta có tiền lương trung bình của lao ộng trong doanh nghiệp là: x = x fi i = 445 = 4,45 (triệu ồng) fi 100
Việc tính số trung bình theo cách nào phụ thuộc vào iều kiện tài liệu cho
phép. Nếu tài liệu chỉ có tần suất di, hoàn toàn có thể sử dụng ể thay thế cho fi. Ta có công thức: = x fi i x di i
(nếu di tính bằng ơn vị lần) x = fi x f
Hoặc: x = i i = x di i (nếu di tính bằng ơn vị %) fi 100
Trong ó, di óng vai trò là quyền số.
Trở lại ví dụ trên, giả sử ề bài chỉ cho tỷ trọng lao ộng trong tổng số công
nhân nhận các mức lương tương ứng, tức chỉ cho tần suất di (bảng trên). Khi
ó, mức lương trung bình của công nhân trong doanh nghiệp sẽ ược tính như sau: = x xdi i = 4,45 (triệu ồng)
Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với kết quả tính ược ở trên. Như vậy, dù
tính theo công thức nào, kết quả số trung bình tính ra ều như nhau. lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
▪ Trường hợp 2, tính số trung bình với dãy số có khoảng cách tổ
Ví dụ, có tài liệu về năng suất lao ộng của lao ộng doanh nghiệp B như sau: Số lao ộng NSLĐ (người) xi xifi di xidi (kg) fi 400 – 500 10 450 4500 0,050 22,50 500 – 600 30 550 16500 0,150 82,50 600 – 700 45 650 29250 0,225 146,25 700 - 800 80 750 60000 0,400 300,00 800 – 900 30 850 25500 0,150 127,50 900 – 1000 5 950 4750 0,025 23,75 Tổng 200 140500 1,000 702,50
Yêu cầu: tính năng suất lao ộng trung bình của lao ộng doanh nghiệp B nói trên. Phân tích ề bài:
Đây là tài liệu sau khi phân tổ có khoảng cách tổ, cần phải tính theo công
thức bình quân cộng gia quyền. Xác ịnh xi, fi.
xi là trị số giữa làm lượng biến ại diện cho từng tổ. Tiêu thức nghiên cứu là
năng suất lao ộng → xi là trị số giữa về năng suất lao ộng của từng tổ fi là tần
số. Ở mỗi mức năng suất lao ộng khác nhau có số lao ộng tương ứng → tần số fi là số lao ộng.
Áp dụng công thức, ta có năng suất lao ộng trung bình của lao ộng là: x = x fi i =140500 = 702,5 kg xi 200
Tương tự ví dụ trên, trong trường hợp chỉ có số liệu tỷ trọng số lao ộng ứng
với các mức năng suất lao ộng, có thể áp dụng công thức: x= xdi i = 702,5 kg
Hai công thức ều cho kết quả như nhau về năng suất lao ộng trung bình của lao ộng doanh nghiệp B.
• Số trung bình nhân
Số trung bình nhân thực chất là số trung bình ược tính theo phương pháp trung bình nhân trong toán học. 54 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Thông thường, vận dụng số trung bình nhân khi các lượng biến có quan hệ tích. Có
hai trường hợp: o Số trung bình nhân giản ơn: áp dụng khi tài liệu chưa phân tổ. x = n x 1 x 2 ... x n = n x i
o Số trung bình nhân gia quyền: áp dụng khi các tần số fi khác nhau
x = fi x 1f1 xf22 ... xfkk = fi xfii
Ví dụ: Có tài liệu về tốc ộ phát triển của chỉ tiêu doanh thu tại doanh nghiệp A trong 10 năm như sau:
5 năm có tốc ộ phát triển hàng năm là 110%
2 năm có tốc ộ phát triển hàng năm là 108%
3 năm có tốc ộ phát triển hàng năm là 115%
Yêu cầu: Tính tốc ộ phát triển doanh thu trung bình hàng năm giai oạn 10 năm
nói trên của doanh nghiệp A. Phân tích:
xi là tốc ộ phát triển. Nếu nhân các tốc ộ phát triển với nhau sẽ ược tốc ộ phát
triển doanh thu của doanh nghiệp năm thứ 10 so với năm ầu tiên. Vì vậy, các xi
có quan hệ tích số và phải sử dụng công thức trung bình nhân trong trường hợp
này. fi là thời gian có các tốc ộ phát triển tương ứng.
Như vậy, tốc ộ phát triển trung bình về doanh thu ược tính theo công thức trung
bình nhân gia quyền như sau:
x = fi xf i i= 101,15 1,082 1,153 =1,1107 lần (111,07%)
4.2.1.3. Điều kiện vận dụng số trung bình
Có hai iều kiện khi vận dụng số trung bình:
Số trung bình nên ược tính từ tổng thể ồng chất. Các ơn vị trong tổng thể ồng chất
có cùng tính chất cơ bản nên mới có thể có cùng một lượng tương ứng ại diện cho các
ơn vị. Trái lại, không nên tính số trung bình từ tổng thể bao gồm các ơn vị khác nhau về
tính chất vì mức ộ này không những không có ý nghĩa thực tế mà còn có khi làm cho ta
hiểu sai lệch bản chất của hiện tượng.
Số trung bình chung chỉ phản ánh ặc trưng chung của toàn bộ tổng thể nghiên cứu,
bỏ qua những chênh lệch thực tế giữa các ơn vị tổng thể. Vì vậy, cần vận dụng kết hợp lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
với số trung bình tổ và dãy số phân phối ể có thể giải thích sâu sắc từng khía cạnh, từng
bộ phận của hiện tượng. 4.2.2. Trung vị (Me)
4.2.2.1. Khái niệm chung
Khái niệm: Trung vị là lượng biến tiêu thức của ơn vị ứng ở vị trí chính giữa trong một
dãy số lượng biến, phân chia dãy số lượng biến thành hai phần, mỗi phần có số ơn vị tổng thể bằng nhau. Tác dụng:
• Trung vị nêu lên mức ộ ại biểu của hiện tượng, mà không san bằng bù trừ chênh lệch
giữa các lượng biến (khác số trung bình). Nó có thể bổ sung hay thay thế cho số
trung bình trong trường hợp tính số trung bình gặp khó khăn.
• Là một trong các chỉ tiêu dùng ể nêu lên ặc trưng của một dãy số phân phối
• Không chịu ảnh hưởng của những lượng biến ột xuất.
• Dựa vào tính chất toán học áng chú ý của trung vị là: Tổng các ộ lệch tuyệt ối giữa
các lượng biến với trung vị là trị số nhỏ nhất so với số trung bình và mốt, nên trung
vị ược sử dụng ứng dụng trong nhiều công tác kỹ thuật và phục vụ công cộng, bố trí
ở vị trí thuận lợi ể có thể phục vụ ược nhiều người mà tiết kiệm nhất.
4.2.2.2. Cách xác ịnh
• Xác ịnh trung vị ối với dãy số không có khoảng cách tổ: Me là lượng biến của ơn vị
ứng ở vị trí chính giữa. o Nếu số ơn vị tổng thể lẻ: ∑f = 2m + 1, trung vị sẽ là lượng
biến của ơn vị ứng ở vị trí thứ m + 1, tức là Me = xm+1 o
Nếu số ơn vị tổng thể chẵn: ∑f = 2m, trung vị sẽ là giá trị trung bình cộng hai = x
lượng biến của ơn vị ứng ở vị trí thứ m và m + 1, tức là M m e + xm 1+ 2
Xét ví dụ về tiền lương của lao ộng trong doanh nghiệp A:
Tiền lương (triệu ồng) xi
Số lao ộng (người) fi
Tần số tích lũy Si 2,5 2 2 3,0 8 10 3,5 12 22 4,0 15 37 4,5 25 62 5,0 20 82 5,5 13 95 6,0 5 100 Tổng 100 56 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Trong ví dụ này, số ơn vị tổng thể (tổng số lao ộng) là chẵn: ∑f = 2m = 100. Vậy
trung vị là trung bình cộng của hai lượng biến ứng ở vị trí thứ 50 và 51.
Ðể xác ịnh giá trị của hai ơn vị thứ 50 và 51 ta phải dựa vào tần số tích luỹ. Từ
bảng tính tần số tích luỹ trên, nhận thấy hai ơn vị thứ 50 và 51 nằm ở tổ thứ năm
và có mức tiền lương là 4,5 triệu ồng. Nghĩa là, xm = xm+1 = 4,5 triệu ồng. Từ ó: Me = xm + xm 1+ =
4,5+ 4,5 = 4,5 (triệu ồng) 2 2
Trung vị về tiền lương của lao ộng doanh nghiệp A tính ra là 4,5 triệu ồng. Ðiều này
có nghĩa là 50% số lao ộng nhận mức lương từ 4,5 triệu ồng trở xuống và 50% số
lao ộng nhận mức lương từ 4,5 triệu ồng trở lên.
• Xác ịnh trung vị ối với dãy số có khoảng cách tổ: thực hiện theo hai bước o Bước
1, xác ịnh tổ có trung vị: tổ chứa lượng biến của ơn vị ứng ở vị trí giữa. o Bước 2,
tính trị số gần úng của trung vị theo công thức: fi −SMe−1 Me = xM mine +hMe 2 fMe
Trong ó: xMe(min) - là giới hạn dưới của tổ có trung vị
hMe - là khoảng cách tổ có trung vị
fi - là tổng số ơn vị tổng thể
S(Me-1) - là tổng các tần số của các tổ ứng trước tổ có trung vị fMe -
là tần số của tổ có trung vị
Xét ví dụ về năng suất lao ộng của lao ộng doanh nghiệp B: NSLĐ (kg)
Số lao ộng (người) fi Si 400 – 500 10 10 500 – 600 30 40 600 – 700 45 85 700 – 800 80 165 800 – 900 30 195 900 – 1000 5 200 Tổng 200 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Dựa vào tần số tích lũy Si, xác ịnh ược tổ chứa trung vị là tổ 700 - 800 vì tổ này
chứa hai ơn vị ứng ở vị trí chính giữa thứ 100 và 101. Từ ó, tính trung vị theo công thức: fi −SMe−1 200 −85 2 M 2 e = xM mine +hMe = 700 100+ = 718,75 kg fMe 80
Như vậy, có 50% số lao ộng có mức năng suất lao ộng từ 718,75kg trở xuống và
50% số lao ộng có mức năng suất lao ộng từ 718,75kg trở lên. 4.2.3. Mốt (Mo)
4.2.3.1. Khái niệm chung
Khái niệm: Mốt là biểu hiện ược gặp nhiều nhất của tiêu thức nghiên cứu trong một
tổng thể hay trong một dãy số phân phối. Ưu iểm:
• Mốt không chịu ảnh hưởng của những lượng biến ột xuất.
• Mốt có thể ược tính ra từ cả tiêu thức thuộc tính và tiêu thức số luợng. Nhược iểm:
• Mốt kém nhạy bén với sự biến thiên của tiêu thức: Chỉ quan tâm tới lượng biến có
tần số lớn nhất mà không quan tâm tới các lượng biến khác.
• Nếu dãy số lượng biến có ặc iểm phân phối không bình thường (có quá nhiều Mốt
hoặc không có Mốt) thì cũng không nên xác ịnh mốt. Tác dụng:
• Mốt nêu lên mức ộ ại biểu của hiện tượng, mà không san bằng bù trừ chênh lệch
giữa các lượng biến (khác số trung bình). Nó có thể bổ sung hay thay thế cho số
trung bình trong trường hợp tính số trung bình gặp khó khăn.
• Là một trong các chỉ tiêu dùng ể nêu lên ặc trưng của một dãy số phân phối
• Không chịu ảnh hưởng của những lượng biến ột xuất
• Mốt sử dụng trong bài toán lý thuyết phục vụ ám ông: trong kinh doanh, chọn loại
nào, màu sắc, kiểu cỡ nào phù hợp nhất và vừa ý nhất với số ông ể sản xuất, áp ứng nhu cầu khách hàng.
4.2.3.2. Cách xác ịnh
• Đối với dãy số thuộc tính: mốt là biểu hiện có tần số lớn nhất.
Ví dụ: Có tài liệu về lao ộng doanh nghiệp A phân tổ theo tiêu thức giới tính vào thời iểm 1/7 như sau:
Số lao ộng (người) Giới tính Nam 30 Nữ 70 58 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Bảng trên cho thấy mốt về giới tính của lao ộng doanh nghiệp A là “nữ” vì có tần số
(số lao ộng) lớn nhất.
• Đối với dãy số lượng biến không có khoảng cách tổ: mốt là lượng biến có tần số lớn nhất.
Xét ví dụ về tiền lương của lao ộng trong doanh nghiệp A (mục 4.2.2.2): Mốt về tiền
lương của lao ộng doanh nghiệp này là 4,5 triệu ồng vì có nhiều lao ộng có mức
lương này nhất (25 lao ộng).
• Đối với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ bằng nhau: xác ịnh Mốt qua hai
bước Bước 1, xác ịnh tổ chứa Mốt, là tổ có tần số lớn nhất. Bước 2, xác ịnh trị số
gần úng của Mốt theo công thức: fMo −fMo 1− Mo = xM min (
o + hMo −fMo 1− ) (+ fMo −fMo 1+ ) fMo
Trong ó: xMo(min): Giới hạn dưới của tổ có mốt
hMo: Khoảng cách tổ có mốt fMo: Tần số của
tổ có mốt fMo-1: Tần số của tổ ứng liền trước
tổ có mốt fMo+1: Tần số của tổ ứng liền sau tổ có mốt.
Xét ví dụ về năng suất lao ộng của lao ộng doanh nghiệp B (mục 4.2.2.2). Xác ịnh
tổ chứa Mốt là tổ 700 – 800 kg vì có số lao ộng lớn nhất (80 người). Từ ó, xác ịnh
giá trị gần úng của Mốt: Mo = 700+100 = 741,2 kg
• Đối với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ không bằng nhau: việc xác ịnh = f
Mốt phải căn cứ vào mật ộ phân phối m i i
. Vì các khoảng cách tổ khác nhau hi
nên tổ chứa Mốt sẽ là tổ có mật ộ phân phối lớn nhất. Cần phải thêm cột vào bảng
tính ể xác ịnh tổ chứa Mốt và tính giá trị Mốt tương tự công thức trên, trong ó tần
số ược thay bằng mật ộ phân phối. 4.2.4.
Đặc trưng phân phối của dãy số
Dựa vào mối quan hệ giữa ba mức ộ trung tâm: số trung bình, trung vị và mốt, có ba ồ
thị biểu diễn ặc trưng phân phối của dãy số như sau: lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả x = Me = Mo x < Me < Mo Mo < Me < x Phân phối chuẩn Phân phối lệch trái Phân phối lệch phải
Từ các ồ thị, xác ịnh ược Mốt trước tiên vì ây là lượng biến tương ứng với tần số lớn
nhất. Số trung bình và trung vị nằm ở âu sẽ quyết ịnh hình dáng của phân phối. Trong
phân phối chuẩn, trung vị luôn nằm giữa số trung bình và Mốt.
• x = Me = Mo: dãy số có phân phối chuẩn.
• x < Me < M0: dãy số có phân phối lệch trái, số ơn vị có lượng biến nhỏ hơn trung bình chiếm a số.
• x > Me > M0: dãy số có phân phối lệch phải, số ơn vị có lượng biến lớn hơn trung bình chiếm a số.
Với ví dụ về năng suất lao ộng ở doanh nghiệp B, ã tính ược:
• Năng suất lao ộng trung bình x = 702,5 kg
• Trung vị về năng suất lao ộng Me = 718,75 kg
• Mốt về năng suất lao ộng Mo =741,2 kg
So sánh giữa số trung bình, trung vị và mốt, nhận thấy dãy số phân phối chuẩn, lệch trái.
Từ ó, số lao ộng có năng suất lao ộng lớn hơn 702,5 kg sẽ chiếm a số. 4.3.
Các tham số o ộ biến thiên của tiêu thức
Ý nghĩa của các tham số o ộ biến thiên hay ộ phân tán của tiêu thức:
• Giúp ánh giá trình ộ ại biểu của số bình quân: nếu ộ biến thiên thấp, trình ộ ại biểu
của số bình quân cao và ngược lại.
• Quan sát ộ biến thiên của tiêu thức trong 1 dãy số lượng biến cho thấy ặc trưng về
phân phối và tính ồng ều của tổng thể.
• Độ biến thiên của tiêu thức thường ược dùng trong nhiều trường hợp nghiên cứu
thống kê: phân tích biến ộng, mối liên hệ trong iều tra, dự oán...
Ví dụ: Số liệu năng suất lao ộng của 5 công nhân trong 2 tổ sản xuất như sau: 60 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả NSLĐA NSLĐB 40 58 50 59 60 60 70 61 80 62
Khi so sánh năng suất lao ộng trung bình ở 2 tổ, kết quả cho thấy x A =xB = 60
kg. Năng suất lao ộng trung bình của công nhân 2 tổ sản xuất như nhau nhưng tính ại
biểu của x B cao hơn vì ộ biến thiên về năng suất lao ộng của 5 công nhân tổ sản xuất B ít hơn.
Với tổng thể số lớn ơn vị, ể ưa ra kết luận úng ắn cho các hiện tượng, người ta cần so
sánh cả ộ biến thiên của tiêu thức. Có 5 tham số sau: 4.3.1. Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên là chênh lệch giữa lượng biến lớn nhất và lượng biến nhỏ nhất của
tiêu thức nghiên cứu, biểu hiện bằng công thức:
Công thức tính: R = xmax - xmin
Khoảng biến thiên là chỉ tiêu ơn giản nhất, nêu lên một cách khái quát nhất ộ biến thiên
của tiêu thức. Nhược iểm của chỉ tiêu này là chỉ phụ thuộc vào 2 lượng biến lớn nhất và
nhỏ nhất trong dãy số, mà không xét ến các lượng biến khác, do ó, việc nhận ịnh có thể
chưa thật hoàn toàn chính xác. Khoảng biến thiên rất nhạy cảm với các lượng biến ột xuất. 4.3.2.
Độ lệch tuyệt ối trung bình
Độ lệch tuyệt ối trung bình là số trung bình cộng của các ộ lệch tuyệt ối giữa các lượng
biến với số trung bình cộng của các lượng biến ó. Công thức: x xi − • Giản ơn: d= n
• Gia quyền: d = xi −xfi fi lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả
Trong công thức này, nguời ta phải lấy giá trị tuyệt ối, tức là bỏ qua sự khác nhau thực
tế về dấu của các ộ lệch.
Độ lệch tuyệt ối trung bình có thể phản ánh ộ biến thiên của tiêu thức một cách chặt chẽ
hơn khoảng biến thiên, vì nó có xét ến tất cả mọi lượng biến trong dãy số. Nhưng khi
tính toán chỉ tiêu này, ta chỉ xét các trị số tuyệt ối của ộ lệch, tức là bỏ qua sự khác nhau
thực tế về dấu của các ộ lệch, vì thế mà việc phân tích bằng các phương pháp toán học gặp nhiều khó khăn. 4.3.3. Phương sai
Phương sai là số trung bình cộng của bình phương các ộ lệch giữa các lượng biến với
số trung bình cộng của các lượng biến ó. Công thức: ( 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 ∑ ̄ 2 2 = 𝑖 − 𝑥 ) = [ 𝑖 −( 𝑖 ) ]=
[ 𝑥 2 −( 𝑥̄) 2 ] ∑𝑥2 ∑ 2 Giản ơn: 𝑆 𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛−1 Gia quyền: 𝑆2 =
∑(𝑥𝑖−𝑥̄)2𝑓𝑖 = 𝑥𝑖 𝑓𝑖 −
𝑖 𝑖=𝑓𝑖 [𝑥2 − (𝑥̄)2] ∑𝑓𝑖−1 ∑𝑓𝑖−1 ∑𝑓𝑖(∑𝑓𝑖−1) ∑𝑓𝑖−1
Phương sai là chỉ tiêu thường dùng ể ánh giá ộ biến thiên của tiêu thức. Vì ược tính trên
cơ sở bình phương các ộ lệch nên kết quả tính toán bị khuếch ại và không có ơn vị tính phù hợp. 4.3.4.
Độ lệch tiêu chuẩn
Độ lệch tiêu chuẩn là căn bậc hai của phương sai, tức là số trung bình toàn phương của
bình phương các ộ lệch giữa các lượng biến với số trung bình cộng của các lượng biến ó.
Công thức: 𝑆 = √𝑆2
Vì là căn bậc hai của phương sai, ộ lệch tiêu chuẩn ã khắc phục ược nhược iểm của
phương sai là có ơn vị tính và giảm khuếch ại.
Độ lệch tiêu chuẩn là chỉ tiêu hoàn thiện nhất và thường dùng nhất trong nghiên cứu
thống kê ể ánh giá ộ biến thiên của tiêu thức.
Cả bốn chỉ tiêu trên ều chỉ dùng ể so sánh biến thiên của các hiện tượng cùng loại và số
trung bình bằng nhau. Trong trường hợp muốn so sánh ộ biến thiên của các hiện tượng
khác loại hoặc các hiện tượng cùng loại và có số trung bình khác nhau, nguời ta sẽ sử
dụng tham số thứ năm, ó là hệ số biến thiên. 62 STA302_Bai4_v1.0013109218 lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả 4.3.5.
Hệ số biến thiên
Hệ số biến thiên là tham số o ộ biến thiên tương ối và ược tính bằng cách so sánh giữa
ộ lệch tiêu chuẩn với số trung bình cộng.
Công thức: 𝑉 = 𝑆 × 100 𝑥
Ví dụ: So sánh ộ biến thiên của năng suất lao ộng và tiền lương trong doanh nghiệp
A, cho biết: xNSLĐ= 50 sản phẩm, 𝑆𝑁𝑆𝐿Đ= 5 sản phẩm, xTL = 3500 nghìn ồng, 𝑆𝑇𝐿= 490 nghìn ồng.
Từ ề bài, nhận thấy năng suất lao ộng và tiền lương là hai hiện tượng khác loại nên cần
dùng hệ số biến thiên ể so sánh ộ biến thiên của hai chỉ tiêu này. 𝑆𝑁𝑆𝐿Đ 5 𝑉𝑁𝑆𝐿Đ = × 100 = × 100 = 10% 𝑥̄𝑁𝑆𝐿Đ 50 𝑆𝑇𝐿 490 𝑉𝑇𝐿 = × 100 = × 100 = 14% 𝑥̄𝑇𝐿
VNSLĐ < VTL nên năng suất lao ộng có ộ biến thiên nhỏ hơn so với tiền lương, năng suất
lao ộng trung bình có trình ộ ại biểu cao hơn so với tiền lương trung bình.
Tóm lược cuối bài
• Các hiện tượng kinh tế - xã hội thường rất a dạng và phức tạp. Mỗi ặc iểm cơ bản của hiện
tượng có thể ược biểu hiện bằng các mức ộ khác nhau. Các mức ộ thường dùng trong thống kê
là: Số tuyệt ối, số tương ối, số trung bình, các chỉ tiêu o ộ biến thiên của tiêu thức.
• Khi vận dụng số tương ối và tuyệt ối cần chú ý iều kiện vận dụng chung: thứ nhất là phải căn
cứ vào ặc iểm của hiện tượng ể rút ra kết luận cho phù hợp; thứ hai là phải vận dụng kết hợp
số tương ối và tuyệt ối ể nhận thức hiện tượng một cách ầy ủ, toàn diện và sâu sắc.
• Các mức ộ trung tâm: số trung bình, trung vị và mốt ều có ý nghĩa phản ánh, công thức tính và
iều kiện vận dụng khác nhau. Vì vậy, trong quá trình vận dụng phải kết hợp phân tích các mức
ộ ó thì việc phân tích mới sâu sắc và toàn diện, mới nhận thức úng sự tồn tại của hiện tượng
trong iều kiện không gian và thời gian cụ thể.
• Các mức ộ o ộ biến thiên giúp chúng ta ánh giá ộ ồng ều của tổng thể và là cơ sở ể áp dụng
nhiều phương pháp thống kê khác. Bao gồm 5 mức ộ: khoảng biến thiên, ộ lệch tuyệt ối trung
bình, phương sai, ộ lệch tiêu chuẩn, hệ số biến thiên. lOMoAR cPSD| 44985297
Bài 4: Các mức ộ thống kê mô tả Câu hỏi ôn tập
1. Trình bày khái niệm, ý nghĩa, ặc iểm và các loại số tuyệt ối trong thống kê.
2. Trình bày khái niệm, ý nghĩa, ặc iểm và các loại số tương ối trong thống kê.
3. Phân tích iều kiện vận dụng chung số tương ối và tuyệt ối trong thống kê.
4. Nêu khái niệm, ý nghĩa số trung bình trong thống kê.
5. Trình bày các loại số trung bình trong thống kê.
6. Trình bày ý nghĩa và nội dung các chỉ tiêu o ộ biến thiên của tiêu thức. Bài tập Bài 1.
Có thông tin về ộ tuổi của 36 triệu phú ở Mỹ như sau: 31 64 39 66 68 45 60 54 53 79 75 47 74 59 64 48 69 71 71 42 39 57 55 61 79 48 68 67 42 79 38 48 77 52 52 66 Yêu cầu:
a. Xây dựng bảng tần số phân bố với 6 tổ có khoảng cách tổ bằng nhau.
b. Tính tuổi bình quân của các triệu phú trên theo hai cách: - Từ tài liệu ban ầu - Từ tài liệu phân tổ
So sánh hai kết quả trên và cho biết kết quả nào chính xác hơn.
c. Tính trung vị về tuổi của các triệu phú trên. Bài 2.
Một nhà nghiên cứu xã hội học ã nghiên cứu tình trạng tội phạm ở một ịa phương. Sau khi thu thập
tài liệu, ông ã tính ược tỷ lệ phần trăm tội phạm so với năm liền trước như sau (tốc ộ phát triển): Năm 2017 2018 2019 2020 2021 2022
Tốc ộ phát triển (%) 96 105 110 103 106 95 Yêu cầu:
a. Tính tốc ộ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2017-2022.
b. Tính tốc ộ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2017-2020. 64 STA302_Bai4_v1.0013109218