Bài giảng các quy tắc tính đạo hàm

Tài liệu gồm 71 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề các quy tắc tính đạo hàm, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5: Đạo Hàm.

43 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

71 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.
+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.
+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
Kĩ năng
+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.
+ Viết được phương trình tiếp tuy
ến và giải quyết các bài toán liên quan.
+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức, tính giới hạn.
TOANMATH.co
m
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

0,
cc
là hằng số;

1;
x
2
11
;




xx

1
;
2
x
x

1
.
nn
xnx ( với n là số tự nhiên).
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Cho các hàm số
;uuxvvx
có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1.

;

uv u v
2.

;

uv u v
3.

.;

uv uv vu
4.


2
0.





uuvvu
vvx
vv
Chú ý:
a)

.
kv kv
( k: hằng số);
b)


2
1
0




v
vvx
vv
.
Mở rộng:

12 12
... ... ;

 
nn
uu u uu u

. .w . .w . .w . .w .

uv u v uv uv
3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số



yfux fu
với
uux
.
Khi đó:
.

x
ux
y
yu
.
4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm hợp

uux
TOANMATH.co
m
Trang 3

0,
cc
là hằng số

1
x
2
11




xx

1
2
x
x

1
.

xax
2
1




u
uu

2
u
u
u

1
..

uuu
5. Đạo hàm các hàm số lượng giác
a) Giới hạn của
sin x
x
.
Định lý:
0
sin
lim 1
x
x
x
.
Chú ý: Nếu hàm số
uuxthỏa mãn điều kiện:
0ux với mọi
0
x
x và
0
lim 0
xx
ux thì


0
sin
lim 1.
xx
ux
ux
b) Đạo hàm của hàm số
sinyx
Định lý:
Hàm số
sinyx
có đạo hàm tại mọi
x
và

sin cos
xx
Chú ý: Nếu
sinyu
và
uux thì

sin .cos
uu u
.
c) Đạo hàm của hàm số
cosyx
Định lý:
Hàm số
cosyx
có đạo hàm tại mọi
x
và

cos sin
xx
Chú ý: Nếu
cosyu và
uux thì

cos .sin
uuu
d) Đạo hàm của hàm số
tanyx
Định lý:
Hàm số
tanyx
có đạo hàm tại mọi
,
2
 xkk
và

2
1
tan
cos
x
x
.
Chú ý: Nếu
tanyu
và
uux
có đạo hàm trên
 
,
2
 Ku x k k
với mọi xK.
Khi đó trên K ta có:

2
tan
cos
u
u
u
.
TOANMATH.co
m
Trang 4
e) Đạo hàm của hàm số
cotyx
Định lý:
Hàm số
cotyx
có đạo hàm tại mọi
,
xkk
và

2
1
cot
sin
x
x
.
Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

sin cos
xx

sin .cos
uu u

cos sin
xx


cos .sinuuu

2
1
tan
cos
x
x

2
tan
cos
u
u
u

2
1
cot
sin
x
x

2
cot
sin

u
u
u
Chú ý: Nếu
cotyu
và
uux
có đạo hàm trên K,

ux k k
với mọi xK. Khi đó trên K ta
có:

2
cot
sin

u
u
u
.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số
y
fx tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
00
;Mx y .
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
00
;Mx y
là:
000

yx x x y
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm
0
x
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm
Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo
hàm
Công thức đạo hàm

1
.
nn
xnx (với n là số tự nhiên).
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Cho các hàm số
;uuxvvx có đạo
hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
a)

12 12
... ... u


nn
uu u uu
.
Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số
32
21
3

x
yx x
x
Hướng dẫn giải
Ta có

32
21
3





x
yx x
x
2
2
2. 2 1 .1
36


xx
xx
x
.
2
2
1
36
xx
x
.
TOANMATH.co
m
Trang 5
b)

. .w . .w . .w . .w

uv u v uv uv
.
c)


2
0





uuvvu
vvx
vv
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số
a)
42
3
2020
2
 yx x x
.
b)
2
1
x
y
x
Hướng dẫn giải
a)


42 3
3
2020 4 3 2020
2





yx x xyxx .
b)





2
2. 1 2 1
1

xx xx
y
x


2
1
.1 2
2
1

xx
x
x

2
12 4
21

xxx
xx

2
14
21

xx
xx
.
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số
a)
2132.yxx x
b)
2
x5. yx x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2
2132 2 32 yxx x x x x
. Khi đó


2
232



yxxx



22
2 .32 32.2
 xx x x xx
2
413232
x
xxx
2
18 2 2xx.
TOANMATH.co
m
Trang 6
b) Ta có


2
5

 yx xx

2. .
 xx x x x
1
2.
2
 xx x
x
3
2
2

x
x
.
Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau
a)

2
;



ab
cd
ax b
cx d
cx d
(a, b, c, d là hằng số)
b)

2
2
11 11 11
2
2
2
111
111
2






ab ac bc
xx
ab a c b c
ax bx c
ax bx c
ax bx c
(a, b, c,
111
,,abc
là hằng số)
c)






2
11
2
11
2
11
11
.2.
bc
aax abx
ab
ax bx c
ax b
ax b
(a, b, c,
11
,ab
là hằng số)
Hướng dẫn giải
a) Ta có


2





ax b cx d ax b cx d
ax b
cx d
cx d


2

acx d ax bc
cx d

2
ad bc
cx d
Vậy

2



ab
cd
ax b
cx d
cx d
b) Ta có
 

22 22
2
111 111
2
2
2
111
111

 






ax bx c a x b x c ax bx c a x b x c
ax bx c
ax bx c
ax bx c
TOANMATH.co
m
Trang 7

22
111 11
2
2
111
2. .2

ax b a x b x c ax bx c a x b
ax bx c

2
11 11 11
2
2
111
.. 2.. ..

ab a b x ac a c x bc b c
ax bx c
Vậy

2
2
11 11 11
2
2
2
111
111
2






ab ac bc
xx
ab a c b c
ax bx c
ax bx c
ax bx c
(điều phải chứng minh).
c) Ta có





22
2
11 11
2
11
11
..
 




ax bx c a x b ax bx c a x b
ax bx c
ax b
ax b

2
11 1
2
11
2. .
ax b a x b ax bx c a
ax b

2
1111
2
11
.2. ..
aax abx bb a c
ax b
(điều phải chứng minh).
Vậy






2
11
2
11
2
11
11
.2.
bc
aax abx
ab
ax bx c
ax b
ax b
Bài toán 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp
Phương pháp giải
Nếu hàm số
ugx có đạo hàm tại x là
x
u
và hàm số

y
fu có đạo hàm tại u là
u
y
thì hàm hợp


yfgx
có đạo hàm tại x là
.

x
ux
y
yu
.
Công thức đạo hàm của một số hàm hợp
thường gặp:

1*
..

nn
unuun

;
2
u
u
u
2
1




u
uu
.
trong đó
uux
.
Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số

2
42
221 yx x x
Hướng dẫn giải
Ta có





2
42
221yxx x


2
44
2
21
22.2
22 1

x
yxxxx
x

43
2
4
22.42
22 1

x
yxxx
x

33
2
2
42.21
21

x
yxx x
x
.
Ví dụ mẫu
TOANMATH.co
m
Trang 8
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
21
1



x
y
x
; b)
2
321yxx.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:



2
22
24
92 1
21 21 21 3
3. . 3. .
11 1
11







x
xx x
y
xx x
xx
b) Ta có:

2
222
321
62 31
23 2 1 23 2 1 3 2 1



  
xx
xx
y
xx xx xx
.
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
;
1




x
y
x
b)
2
1
.




yx
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
11
2
11






xx
y
xx


2
12
2
1
1





x
x
x
x

3
21
1

x
x
x
b) Ta có:








2
111
2. .yx x x
xxx
11 1
2.
22




x
xxxx
111
2. 1
2







x
x
xx
11
11




xx
2
1
1
x
.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số
2
12 1yx x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 9
Ta có:

2
2
2
22
2
21
1
2121
21 121




x
xx
x
y
xx
xxx
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số


f
xaxb, với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
f
xa
B.
.

f
xa
C.
.
f
xb
D.
.

f
xb
Câu 2: Đạo hàm của hàm số
2
51
f
xx x tại 4x là
A. – 1. B. – 5. C. 2. D. 3.
Câu 3: Hàm số
21
1
x
y
x
có đạo hàm là
A.
2.
y
B.

2
1
.
1

y
x
C.

2
3
.
1

y
x
D.

2
1
.
1
y
x
Câu 4: Cho các hàm số
,uuxvvx có đạo hàm trên khoảng J và

0vx với xJ. Khẳng
định nào sau đây sai?
A.
   




ux vx u x v x
. B.



2
1




vx
vx v x
.
C.
     
....




ux vx u x vx v x ux
D.


   

2
..





ux u x vx v x ux
vx v x
.
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số
43
21
8
23

xx
y
x
A.
32
2
1
22 1
yxx
x
B.
32
2
1
22
yxx
x
.
C.
32
221
yxx
D.
32
2
1
22
yx x
x
.
Câu 6: Cho hàm số
2
2
xx
y
x
. Đạo hàm của hàm số tại
1x
là
A.
14.
y
B.
15.
y
C.
13.
y
D.
12.
y
Câu 7: Đạo hàm của hàm số

5
3
1yx
là
A.
4
3
51 .
yx
B.
4
23
15 1 .
 yxx
C.

4
3
31 .
 yx
D.
4
23
51 .
 yxx
Câu 8: Hàm số

2
2
1
x
y
x
có đạo hàm là
TOANMATH.co
m
Trang 10
A.

2
2
2
1

xx
y
x
. B.

2
2
2
1
xx
y
x
C.

22
 yx
. D.

2
2
2
1
xx
y
x
Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số
2
2153yx x x .
A.
22
40 3 6 .
yxxx
B.
32
4036.
yxxx
C.
32
40 3 6 .

y
xxx
D.
32
40 3 .

y
xxx
Câu 10: Đạo hàm của hàm số
6
13
2
2
yx x
x
là
A.
5
2
31
3.
yx
x
x
B.
5
2
31
6.
2
yx
x
x
C.
5
2
31
3.
yx
x
x
D.
5
2
31
6.
2
yx
x
x
Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số
3
2
5
4




yx
x
.
A.
2
32
10 5
34 4 .




yx
xx
B.
2
32
10 5
34 4 .




yx
xx
C.
2
2
5
4.




yx
x
D.
2
32
10 5
34 4 .




yx
xx
Câu 12: Đạo hàm của hàm số

2
23fx x là
A.
2
3
.
23
x
x
B.
2
1
.
22 3 x
C.
2
2
6
.
22 3
x
x
D.
2
3
.
23
x
x
Câu 13: Cho hàm số

2
4

x
yfx
x
. Giá trị
0
y
bằng
A.

1
0.
2
y
B.

1
0.
3
y
C.

01.
y
D.
02.
y
Câu 14: Đạo hàm của hàm số
2
1
1
y
x
có dạng

3
2
1
ax
x
.
Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?
A.
4.a
B.
1.a
C.
2.a
D.
3.a
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số
2
1 yx xx .
A.
21
21

x
yxx
x
B.
21
21

x
yxx
x
C.
21
x
y
x
D.
21
21

x
yxx
x
TOANMATH.co
m
Trang 11
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau
32
23 yx x .
A.

3
3
2
356232
yxx xx
. B.

2
3
2
256332
yxx xx
C.


2
356232
yxx xx
. D.


2
3
2
356232yxx xx
Câu 17: Đạo hàm của hàm số

7
2
37 yxx
là
A.

6
2
72 3 3 7
 yxxx B.

6
2
737
yxx
C.


6
2
23 37
 yx xx D.


6
2
72 3 3 7
 yxxx
Câu 18: Cho
3
13 12fx x x
. Giá trị của
0
f
bằng
A.
5
.
6
B.
5
.
6
C. 0. D. 1.
Câu 19: Đạo hàm của hàm số
2
yx x là
A.
.
2
xx
B.
5
.
2
x
C.
5
.
3
xx
. D.
5
.
2
xx
Câu 20: Đạo hàm của hàm số
2
1
1

xx
y
x
có dạng

2
2
1
ax bx
x
. Khi đó .ab bằng
A.
.2.ab
B.
.1.ab
C.
.3.ab
D.
.4.ab
Câu 21: Đạo hàm của hàm số

1
13

y
xx
bằng
A.

22
1
31xx
. B.
1
.
22x
C.

2
2
22
23

x
xx
. D.

2
2
4
23
xx
Câu 22: Cho hàm số
2018 2017 2 2016 3 ... 1 2018
f
xxxx x
. Giá trị của

1
f
bằng
A.
1009
2019.2018
B.
2019
2018.1009
C.
2018
1009.2019
D.
1009
2018.2019
Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số
22
x
y
ax
A.

2
3
22
.

a
y
ax
B.

2
3
22
.
a
y
ax
C.

2
3
22
2
.
a
y
ax
D.

2
3
22
.
a
y
ax
Câu 24: Đạo hàm của hàm số

2
11 yx xx là
A.
2
2
453
.
21


xx
xx
B.
2
2
453
.
21


xx
xx
C.
2
2
453
.
1


xx
xx
D.
2
2
453
.
21


xx
xx
Câu 25: Cho

32 1
,.
4
41 4141






xaxb
x
xxx
Giá trị của
a
b
bằng
A. – 16. B. – 4. C. – 1. D. 4.
Câu 26: Cho

1 2 3 ...
f
xxx x x xn
với
*
n . Tính

0
f
.
TOANMATH.co
m
Trang 12
A.
00.
f
B.

0
f
n C.

0!
f
n D.


1
0
2
nn
f
Câu 27: Cho hai hàm số
f
x
và
gx
đều có đạo hàm trên và thỏa mãn

322
2223 360, fxf xxgxxx
. Giá trị của
 
32 4 2
Af f
bằng
A. 11. B. 14. C. 13. D. 10.
Câu 28: Cho hai hàm số
f
x và
gx xác định và liên tục trên thoả mãn:
2
,fx x x và
13; 15
gg
. Tính đạo hàm của hàm số hợp
f
gx
tại
1x
.
A. 0. B. 9. C. 15. D. 30.
Câu 29: Biết hàm số
2
f
xfx có đạo hàm bằng 5 tại
1x
và đạo hàm bằng 7 tại
2x
. Tính đạo
hàm của hàm số
4
f
xfx tại 1
x
.
A. 8. B. 12. C. 16. D. 19.
Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm
số lượng giác

sin cos
xx

sin .cos
uu u

cos sin
xx

cos .sinuuu

2
1
tan
cos
x
x

2
tan
cos
u
u
u

2
1
cot
sin
x
x

2
cot
sin

u
u
u
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số
sin 2 cos tan 2020
2

x
yx x
Hướng dẫn giải
Ta có:
 
sin 2 cos tan 2020
2





x
yx x
2
1 2020
2.cos2 sin
2 2 cos 2020

x
x
x
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số
a)
sin 2 cos5yxx
.
b)
sin .cos 4yxx
.
c)
642244
cos 2sin .cos 3sin .cos sin
y
xxxxxx
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:

sin 2 cos5 2cos2 5sin 5 .

yx x xx
b) Ta có:

sin .cos 4 sin . cos 4

yx xxx
cos .cos 4 4sin .sin 4
x
xxx
c) Ta có:
TOANMATH.co
m
Trang 13
42422
sin 1 2 cos cos 3sin cos yx x xxx
4242
sin 1 2 cos cos 1 2 sin xxxx
44 42 24
sin cos 2sin cos 2sin cos
x
xxxxx
 
2
2 2 22 22 2 2
cos sin 2 sin cos 2sin cos cos sin xx xx xxxx
1.
Vậy
10.

y
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số
a)
sin cos 2
36





yx x
tại
.
3
x
b)
2
cos 3 sin 2
63





yx x
tại
.
3
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có

cos 2sin 2 cos 0 2sin 1.
36 3 2






yx xy
b) Ta có
2
3sin 3 2 cos 2
63





yx x
51
3sin 2 cos0 .
36 2





y
Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số
a)
tan 2 1 ;yx
b)

2
cot 3 5 .yx
Hướng dẫn giải
a) Ta có:


2
2
tan 2 1
cos 2 1

yx
x
.
b) Ta có:


2
22
6
cot 3 5
sin 3 5



x
yx
x
.
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số
tan cotfx x x tại điểm
4
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có:


tan cot
2tan cot
xx
fx
xx
22
11
cos sin
2tan cot
xx
xx
TOANMATH.co
m
Trang 14
22
22
sin cos
2 sin cos tan cot
xx
xxx x
2
2cos2
sin 2 tan cot
x
xx x
.
Suy ra








2
2cos
2
0
4
sin tan cot
244
f
.
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số
111111
cos
222222
 yx
với

0;
x .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
111111 1111
cos cos
222222 2222 2
 
x
yx
2
1111 11 11
cos cos cos
2222 2 22 4 22 4
  
xxx
2
cos cos .
88

xx
Do đó
1
cos sin
888




xx
y
.
Ví dụ 6: Cho hàm số
sin cos
cos sin
xx x
y
xx x
Chứng minh rằng:
2
22
sin cos 0
yxxxxy.
Hướng dẫn giải
Ta có:


2
sincoscossinsincoscossin
cos sin


xx x xxx xx x xxx
y
xx x
Ta có:
+)

sin cos cos cos . cos sin

 xx x xx xx x x x
;
+)

cos sin sin sin . sin cos

 xx x xx xx x x x
Do đó:
 
2
22
sin . cos sin sin cos cos
cos sin cos sin



xx xxx xxxxx
x
y
xx x xx x
Ta có:
2
22
sin cos
 VT y x x x x y
TOANMATH.co
m
Trang 15


2
2
2
2
2
sin cos
.sin cos . 0 .
cos sin
cos sin




xxxx
xx x x VP
xx x
xx x
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số
5sin 3cosyxx
.
A.
5cos 3sin .
yxx
B.
cos 3sin .
yxx
C.
cos sin .
yxx
D.
5cos 3sin .
yxx
Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số
32tanyx x
.
A.
2
52tan
23 2tan
x
y
xx
. B.
2
52tan
23 2tan
x
y
xx
C.
2
52tan
23 2tan

x
y
xx
D.
2
52tan
23 2tan

x
y
xx
Câu 3: Cho hàm số
cos3 .sin 2yxx
. Giá trị của
3



y
bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
2
C. – 1. D. 1.
Câu 4: Hàm số
2
cos
y
xx
có đạo hàm là
A.
2
2cos sin.
yxxx x
B.
2
2cos sin.
yxxx x
C.
2
2sin cos.
yxxx x
D.
2
2sin cos.
yxxx x
Câu 5: Đạo hàm của hàm số
sin cos cos sin
y
xx
là
A.

cos cos cos sin sin sinxxxx. B.
sin cos cos cos sin sin



xxxxx
C.

cos cos cos sin sin sin



xxxx
. D.
sin cos cos cos sin sinxxxxx
Câu 6: Đạo hàm của hàm số
44
sin cos
y
xx
là
A.
sin 4 .x
B.
2sin4. x
C.
cos 4 sin 4 .xx
D.
sin 4 . x
Câu 7: Biết hàm số
5sin 2 4 cos5yxx có đạo hàm là sin 5 cos2
ya xb x. Giá trị của
ab
bằng
A. – 30. B. 10. C. – 1. D. – 9.
Câu 8: Cho hàm số


2
cos
yfx
x
. Giá trị của
3
f
bằng
A.
2
. B.
8
.
3
. C.
43
.
3
D. 0.
Câu 9: Cho hàm số
sin cos yfx x x. Giá trị
2
16



f
bằng
A. 0. B.
2. C.
.
2
D.
22
.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số
2
sin .cos
y
xx.
A.
2
sin 3cos 1 .
yx x B.
2
sin 3cos 1 .
yx x
C.

2
sin cos 1 .
yxx D.
2
sin cos 1 .
yxx
Câu 11: Cho hàm số
cos 2 sin 3 2020fx a x x x . Tìm a để phương trình
0
fx có nghiệm
A.
5.a
B.
5.a
C. 5.a D. 5.a
Câu 12: Cho hàm số
y
fx
được xác định bởi biểu thức
cos
yx
và 1
2



f
.
Hàm số
y
fx
là hàm số nào sau đây?
A.
1sinyx
. B.
cosyx
. C.
1cosyx
. D.
sinyx
.
Câu 13: Hàm số
2sin 2cosyx x
có đạo hàm là
A.
11
sin cos
y
xx
. B.
11
sin cos
y
xx
.
C.
cos sin
sin co s

xx
y
xx
D.
cos sin
sin cos

xx
y
xx
Câu 14: Cho

3
sin , 0fx axa
. Tính
f
.
A.
 
2
3sin . cos .

f
aa
B.

0.
f
C.
2
3sin .
f
aa
D.

2
3.sin .cos .

f
aa a
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số
sin
sin cos
x
y
xx
.
A.

2
1
.
sin cos
y
xx
B.

2
1
.
sin cos
y
xx
C.

2
1
.
sin cos
y
xx
D.

2
1
.
sin cos
y
xx
Câu 16: Cho hàm số
cos 2
1sin
x
y
x
. Giá trị của
6



y
bằng
A.
1.
6



y
B.
1.
6




y
C.
3.
6



y
D.
3.
6




y
Câu 17: Đạo hàm của hàm số

222 2 2
22
cos cos cos cos 2sin
33 3 3

 

 
 
fx x x x x x
là
A. 6. B.
2sin2 .x
C. 0. D.
2cos2 .x
Câu 18: Cho hàm số
sin sin
f
xx
. Giá trị của
6



f
bằng
A.
.
2
B.
3
.
2
C. 0. D.
.
2
TOANMATH.co
m
Trang 17
Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số
24
sin cos tan 3 .yx
A.





4433
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . 1 tan 3 .3
yxxxx.
B.
4433
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 . tan 3 . 1 tan 3
yxxxx
C.
4433
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . 1 tan 3
yxxxx
D.
4433
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . 1 tan 3 .3
 yxxxx
Câu 20: Hàm số
cot 2yx có đạo hàm là
A.
2
1cot2
cot 2
x
y
x
. B.

2
1cot2
cot 2

x
y
x
. C.
2
1tan2
cot 2
x
y
x
. D.

2
1tan2
cot 2

x
y
x
Câu 21: Hàm số
tan cotyxx
có đạo hàm là
A.
2
1
.
sin 2
y
x
B.
2
4
.
cos 2
y
x
C.
2
4
.
sin 2
y
x
D.
2
1
.
cos 2
y
x
Câu 22: Hàm số
2
tan
2
x
y
có đạo hàm là
A.
2
tan
2
.
cos
2
x
y
x
B.
2
2sin
2
.
cos
2
x
y
x
C.
3
sin
2
.
2cos
2
x
y
x
D.
3
tan .
2
x
y
Câu 23: Cho hàm số
sin cos
sin cos
xx
y
xx
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
cos sin
.
cos sin
xx
y
xx
B.
cos sin
.
cos sin
xx
y
xx
C.

2
2
.
sin cos
y
xx
D.

2
sin
.
sin cos
x
y
xx
Câu 24: Tính đạo hàm
cos6yx.
A.
3sin 6
2cos6
x
y
x
. B.
3sin 6
cos 6
x
y
x
. C.
3sin 6
cos 6
x
y
x
. D.
3sin 6
cos6
x
y
x
Câu 25: Đạo hàm của hàm số
2
tanyx x x là
A.
1
2tan .
2
yxx
x
B.
2
.
3
C.
2
2
1
2tan .
cos
2

x
yxx
x
x
D.
2
2
1
2tan .
cos

x
yxx
x
x
Câu 26: Cho hàm
f
x
thỏa mãn

2
sin 1 cos cos
4




fx f x x
. Giá trị của

1
f
là
A.
3
.
2
B.
2
.
2
C. 2. D. 1.
TOANMATH.co
m
Trang 18
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số

2
cos tanyx.
A.
22
2 tan . tan 1 .sin tan
yxx x.
B.
2
2 tan .sin tan
yx x
C.
22
2 tan . tan 1 .sin tan
 yxx x
D.
22
2 tan 1 .sin tan
yx x
Câu 28: Đạo hàm của hàm số
1
2tan




yx
x
là
A.
1
1
22 tan




y
x
x
. B.
2
1
1tan
1
22 tan








x
x
y
x
x
C.
2
2
1
1tan
1
.1
1
22 tan












x
x
y
x
x
x
D.
2
2
1
1tan
1
.1
1
22 tan












x
x
y
x
x
x
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa
đạo hàm.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức và quy tắc tính đạo hàm
Áp dụng kiến thức phương trình, bất
phương trình để giải quyết bài toán.
Để tính
0
0
lim
xx
gx
A
xx
biết
0
0gx
.
Ta viết
 
0
gx fx fx
. Khi đó nếu
f
x
có đạo hàm tại
0
x
thì

0
0
0
0
lim

xx
fx fx
A
fx
xx
Để tính


0
lim
xx
Fx
B
Gx
, biết
00
0.Fx Gx
Ta viết:
 
0

F
xfxfx
và
 
0
Gx gx gx
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
3
32520 yx x
.
Giải phương trình
0
y .
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
9 25.
 yx
2
5
09250
3
 yx x
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
5
3
x
và
5
3
x
Ví dụ 2. Tính
3
0
11
lim

x
x
A
x
.
Hướng dẫn giải
Đặt
 

3
2
3
1
1
31

fx x f x
x
và

01f .
TOANMATH.co
m
Trang 19
Nếu hai hàm số
 
,
f
xgx có đạo hàm tại
0
x
x và

0
0
gx thì:



0
0
0
0
0
0
0
lim

xx
fx fx
fx
xx
B
gx gx
gx
xx
Suy ra

0
0
1
lim 0
03

x
fx f
Af
x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số


2
1fx x x
. Chứng minh rằng
2
21 .
xy y
.
Hướng dẫn giải
Ta có
22
2
22
11
1.1.1
1
21 21







 
x
yx x x x
x
xx xx
22
2
222
2
11 1
.21..
12121
21
 



xx xx y
xy y
xxx
xx
Ví dụ 2: Cho hàm số

2
2fx x x. Giải bất phương trình
f
xfx
.
Hướng dẫn giải
Ta có

2
1
2
x
fx
xx
. Khi đó
  
2
2
1
21
2

x
fx fx x x
xx
Điều kiện xác định:

;0 2; x .

22
35
2
112 310
35
2
 
x
xxxxx
x
Kết hợp với điều kiện trên suy ra
0x
hoặc
35
2
x
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
 
3
2
27
3
 
x
fx mx m x
. Tìm giá trị của tham số m để

0
fx
với mọi
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có

2
22
 fx x mxm
2
0, 2 2 0,
 fx x x mxm x
TOANMATH.co
m
Trang 20

2
2
10
20 1 2
20



a
mm m
mm
Vậy
12 m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Giải phương trình
0
fx
trong các trường hợp sau
a)

sin 3 3sin 7fx x x ;
b)
cos 2 2 sin 1
f
xxx
.
Hướng dẫn giải
a)
sin 3 3sin 7 3cos 3 3cos

f
xxxfx xx
. Khi đó:
0 3cos3 3cos 0 cos3 cos
 
f
xxxxx
32
32


xxk
xxk
2
xk
k
x

2

k
xk
b)
cos 2 2sin 1 2sin 2 2cos

f
xxxfx xx
.
0 2sin 2 2cos 0 cos 2sin 1 0
  fx x x x x
cos 0
1
sin
2
x
x
2
2
6
2
6



xk
xk
xk

2
2
6
5
2
6



xk
xkk
xk
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau:
3
22
0
12 13
lim
1cos

x
xx
A
x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 21
Ta có:

3
22
2
00
22
22
12 13
lim lim
2sin 2sin
22



xx
xx
fx
x
A
xx
xx
Mà
2
2
2
00
2sin sin
11
22
lim lim
22
2







xx
xx
x
x
.
Đặt
2
tx
, sử dụng phương pháp liên hợp ta có

3
00
12 13
lim lim 0



xt
tt
fx
t
.
Vậy
0.
A
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số
3
1yx. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
310
yy
. B.
2
10
yy
C.
2
310
yy
D.
2
10
yy
Câu 2: Cho hàm số

3
1
x
fx
x
. Tập nghiệm của phương trình
0
fx
là
A.
2
0; .
3



B.
2
0; .
3



C.
3
0; .
2



D.
3
0; .
2



Câu 3: Cho hàm số
2
1 yx x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
10.
yxy B.
2
10.
yxy C.
2
10.
yxy D.
2
10.
yxy
Câu 4: Cho
32
121
f
xmx mxmx
. Tập hợp các giá trị của m để
0,
fx x
là
A.
1; 4 . B.
1; 4 . C.

1; 4 . D.
1; 4 .
Câu 5: Cho hàm số
3
 fx kx xk
. Giá trị của k để

3
1
2
f
là
A.
1.k
B.
3.k
C.
3.k
D.
9
.
2
k
Câu 6: Cho hàm số
32
395 yx x x
. Phương trình 0
y có tập nghiệm là
A.
1; 2
. B.
1; 3
. C.
0;4
. D.
1; 2
Câu 7: Cho hàm số
2
2yxx. Khi đó
.
yy
bằng
A.
1
.
2
B.
22. x
C.
1. x
D.
2
2
.
2
xx
Câu 8: Cho hàm số
32
23361
f
xxx x
. Để
0
fx
thì x có giá trị thuộc tập hợp
A.
3; 2 .
B.
3; 2 .
C.
6;4 .
D.
4; 6 .
Câu 9: Cho hàm số
32
273
f
xx x x
. Để

0
fx
thì x có giá trị thuộc tập hợp
TOANMATH.co
m
Trang 22
A.
7
;1
3



. B.
7
1;
3



C.
7
;1
3



D.
7
;1
3



Câu 10: Cho hàm số
2
2
27
3

xx
y
x
. Tập nghiệm của phương trình
0
y
là
A.
1; 3
. B.
1; 3
. C.
3;1
. D.
3; 1
Câu 11: Cho hàm số
2
33
1

xx
y
x
. Tất cả các nghiệm của phương trình
0
y
là
A.
0.x
B.
2.x
C.
2.x
D.
0; 2.xx
Câu 12: Cho hàm số

2
2
1
1
x
fx
x
. Đạo hàm của hàm số
f
x
nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào
dưới đây?
A.
;0 .
B.
0; .
C.
;1 1; . 
D.
1;1 .
Câu 13: Cho hàm số

32
5fx x x x
. Với giá trị nào của x thì âm?
A.
1
1.
3
 x
B.
1
1.
3
x
C.
1
1.
3
x
D.
2
2.
3
x
Câu 14: Cho hàm số
2
2 cos 4 1 2 2020
fx x . Giá trị nhỏ nhất của
f
x là bao nhiêu?
A.

min 8
fx
. B.

min 8
fx
C.
min 4
fx D.

min 4
fx
Câu 15: Cho hàm số
3 sin cos 2 2019yxxx. Số nghiệm của phương trình
0
y
trên đoạn
0;2020
là
A. 2019. B. 2020. C. 1011. D. 1010.
Câu 16: Cho hàm số

sin 2
f
xx
. Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu
diễn các nghiệm của phương trình
 
32 5
fx f x ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 17: Cho

32
1
4
2
 fx x x x
. Tìm x sao cho

0
fx
.
A.
4
3
x
hoặc
1x
. B.
4
1.
3
 x
C.
4
3
x
hoặc
1x
. D.
4
1
3
 x
.
Câu 18: Cho hàm số

32
1
22 8 1
3
 fx x x x
. Để
0
fx thì x có giá trị bằng
A.
22 . B. 22. C. 2. D. Không tồn tại.
Câu 19: Cho hàm số
 
32
32
32

mx mx
fx mx
. Tìm m để
0,
fx x
.
A.
12
0
5
m
. B.
12
0
5
m
C.
12
0
5
m
D.
12
0
5
m
TOANMATH.co
m
Trang 23
Câu 20: Cho hàm số

32
3123 fx x mx x với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để
0
fx
với x là
A. 1. B. 5. C. 4. D. 3.
Câu 21: Giá trị của
0
1 1 2 1 3 ... 1 2018 1
lim

x
xxx x
x
bằng
A.
2018.2019.
B.
2019.
C. 2018. D. 1009.2019.
Câu 22: Cho

322
232 6
f
xx axax
. Biết

0
fx
luôn đúng với mọi x và
16
f
. Tìm a
A.
1.a
B.
2.a
C.
1.a
D.
3.a
Câu 23: Cho hàm số

y
fx có đạo hàm


y
fx liên tục trên và hàm số

y
gx với
3
4gx f x
. Biết rằng tập các giá trị của x để

0
fx
là
4;3
. Tập các giá trị của x để
0
gx
là
A.

1; 2 .
B.

8; .
C.
;8 .
D.

1; 8 .
Câu 24: Cho hàm số

0
2
0
khi 0
12 khi


ax x x
fx
xxx
. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương
0
x
và một số
thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng
00
0; ;xx
. Tính giá trị
0
Sx a
.
A.

23 2 2S
. B.
21 4 2S
. C.
23 4 2S
D.

23 2 2S
Câu 25: Cho hàm số

y
fx có đạo hàm tại điểm
0
2x . Tìm

2
22
lim
2
x
fx xf
x
.
A. 0. B.
2.
f C.
 
22 2
f
f . D.
 
222
ff
Câu 26: Giá trị của
0
13 1
lim

n
x
x
x
bằng
A.
.
3
n
B.
3
.
n
C.
1
.
n
D. 3.
n
Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

: Cy fx tại điểm
00
,Mx y .
Bước 1: Tìm đạo hàm


y
fx
, từ đó suy ra
hệ số góc của tiếp tuyến là

0
kyx
.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm
00
;Mx y có dạng

000

yx x x y
.
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
32
:2Cyx x tại điểm
1; 3M .
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
D
Ta có:
2
34 17

 yx xky
.
Phương trình tiếp tuyến tại
1; 3M là
000
:713
dy y x x y y x
TOANMATH.co
m
Trang 24
Chú ý:
+) Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm
0
x
thì
tìm
0
y
bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức
là:
00
y
fx .
+) Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm
0
y
thì tìm
0
x
bằng cách giải phương trình
00
f
xy
.
+) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao
điểm của đồ thị

: Cy fx và đường thẳng
: dy ax b
. Khi đó các hoành độ tiếp điểm
là nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm giữa d và (C).
Đặc biệt:
Trục hoành
:0Ox y
và trục tung
:0Oy x
Sử dụng máy tính cầm tay
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng
: dy kx m
+ Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến

0
kyx
.
Bấm và nhập
f
x
;
0
x
x
, sau đó
bấm
ta được k.
+ Tiếp theo: Bấm phím
để sửa lại thành



0

XX
d
fX X fX
dx
, sau đó bấm phím
với
0
Xx và bấm phím ta được m.
74 yx
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:
74yx
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho điểm M thuộc đồ thị

21
:
1
x
Cy
x
và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm M.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\1 D
.
TOANMATH.co
m
Trang 25
Cách 1. Ta có:

00
1
11
2
 xyy
và


2
33
1
4
1



yky
x
.
Phương trình tiếp tuyến tại M là

31 31
1
42 44
 
x
yx y
.
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là:
31
44

x
y
.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
21
5
x
y
x
tại giao điểm với trục hoành
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\
5. D
.
Tọa độ giao điểm với trục hoành
21 1
00
52
 
x
yx
x
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
2
x
là
1 1 14142
.
22 21121111
 
 
 
 
yy x y x x
Ví dụ 3: Gọi

;
MM
Mx y là một điểm thuộc

32
:32 Cyx x , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại
điểm
;
NN
Nx y
(khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất
22
5
MN
P
xx.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
32 2
32 36

y
xx yxx
.
Gọi

;
MM
Mx y là một điểm thuộc
32
:32 Cyx x , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình
là


232
36 32
MM MMM
yx xxxx x
.
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm
;
NN
Nx y (khác M) nên
,
MN
xx
là nghiệm của phương trình:
32 2 3 2
323 6 3 2
MM MMM
xx x xxx x x
33 22 2
336 0
MMMMM
xx xx x x xx
2
230
MM
xx x x
23

M
M
xx
xx
TOANMATH.co
m
Trang 26
23
NM
xx.
Khi đó

2
2
22 2 2
2
552391299 5
3




MN M M M M M
Pxx x x x x x
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi
2
.
3
M
x
Ví dụ 4: Cho hàm số
1
2
x
y
x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
1; 2M lần lượt cắt hai
trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
\2 D
.
Ta có:


2
3
13
2


yy
x
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

1; 2M
là đường thẳng
có dạng:
111312 31

y
yx y x yx
Suy ra
 
11111
;0 ; 0;1 . . .1
32236

 


OAB
Ox A Oy B S OA OB .
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Phương pháp giải
Bài toán: Cho hàm số
y
fx có đồ thị (C).
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với
hệ số góc k cho trước.
Cách 1.
Bước 1: Gọi
00
;Mx y
là tiếp điểm và tính


y
fx
.
Bước 2:
- Hệ số góc tiếp tuyến là

0
kfx
.
- Giải phương trình này tìm được
0
x
, thay vào
hàm số được
0
y
.
Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các
tiếp tuyến tương ứng

000
:
dy y x x y
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc của tiếp
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

3
:32Cyx x
có hệ số góc bằng 9.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
D
.
Ta có:
2
33
yx
.
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là

00
;Mx y ,
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
22
00 00
93 39 4 2
kyx x x x
.
+ Với
0
2x
ta có
0
4y
, suy ra tiếp điểm
1
2;4M
.
+ Với
0
2x
ta có
0
0y
, suy ra tiếp điểm
2
2;0M
.
Phương trình tiếp tuyến tại
1
M
là
11
:9 24 :914. dy x dy x
.
TOANMATH.co
m
Trang 27
tuyến dưới các dạng sau:
+ Tiếp tuyến
// :dyaxbka
.
Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến
thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng
với đường thẳng
hay không? Nếu trùng thì
phải loại đi kết quả đó.
+ Tiếp tuyến
1
:.1.  dyaxbka k
a
+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc
thì
tan
k
.
Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
:yaxb
một góc
.
Khi đó:
tan
1
ka
ka
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng
: dy kx m.
Tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
.
Nhập

kX fX (hoặc
f
XkX) sau
đó bấm
với
0
X
x
rồi bấm ta
được kết quả là m.
Phương trình tiếp tuyến tại
2
M là
 
22
:9 20 :918 dy x dy x .
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
12
:914; :918 dy x dy x .
Tập xác định
D
.
Ta có:
2
33
yx
.
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là
00
;Mx y
.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
22
00 00
93 39 4 2
kyx x x x
.
+ Với
0
2x ta nhập

3
932 XX X
ta được kết quả
Vậy phương trình đường tiếp tuyến là
1
:914dy x
.
+ Với
0
2x
ta nhập

3
932 XX X
rồi bấm ta được kết quả là
Vậy phương trình đường tiếp tuyến là
2
:918dy x
TOANMATH.co
m
Trang 28
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

21
:
2
x
Cy
x
song song với đường thẳng

:3 2 0xy.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\2D 
Ta có:

2
3
2
y
x
và
:3 2 0 3 2xy y x
.
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là
00
;Mx y
.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
nên


2
00
0
2
00
0
21 1
3
321
21 3
2
xx
kx
xx
x






Cách 1.
+ Với
0
1x 
suy ra
0
1y 
, suy ra tiếp điểm
1
1; 1M 
.
Phương trình tiếp tuyến tại
1
M
là:
11
:
y
311 :32dx dyx .
Lúc này:
1
d 
nên không thỏa mãn.
+ Với
00
35xy ta có tiếp điểm
2
3; 5M
.
Phương trình tiếp tuyến tại
2
M
là
22
:
y
335 :314dx dyx
.
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là
2
:314dy x
.
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay
+ Với
0
1x 
ta nhập:

21
3
2
x
x
x

với
1x 
rồi bấm
ta được kết quả là
Suy ra
11
:32dy x d
(không thỏa mãn).
+ Với
0
3x 
ta nhập:

21
3
2
x
x
x

với
3x 
rồi bấm
ta được kết quả là
TOANMATH.co
m
Trang 29
Suy ra
2
:314dy x
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
32
3
y
xx
có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm
giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng

2
:421dy m x m
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có:
2
36
y
xx
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
1; 2MC
là
2
:23.16.1 1 31yxyx
.
Khi đó:
2
1
34
/
/1
1
211
1
m
m
dm
m
m
m





.
Ví dụ 3: Cho hàm số
42
21 2yx m x m có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có
hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với đường thẳng
:410xy
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có:

3
44 1
y
xmx

.
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.
Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc

144 1 4ky m m

.
Do đó:
1
4. 1 4 4 1
4
dm mm
 
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
31
2
xx
y
x

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc
2k
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
\
2D
Gọi
0
;
o
Mx y
là tọa độ tiếp điểm. Ta có

2
2
45
2
xx
y
x

.
Hệ số góc của tiếp tuyến là
2k
nên
TOANMATH.co
m
Trang 30


2
0
2
00
000
2
0
0
1
45
22430
3
2
x
xx
yx x x
x
x

  
+ Với
0
1x
ta có
0
1y
, suy ra phương trình tiếp tuyến

211 21.yx yx.
+ Với
0
3x
ta có
0
1y
, suy ra phương trình tiếp tuyến

231 25yx yx
.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là
21, 25yx yx 
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
22
1
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
\1D .
Ta có:

2
4
1
y
x
Gọi

00
;Mx y
là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là


0
0
2
0
0
22
4
:
1
1
x
yxx
x
x

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1
.

00
2
0
4
11,3
1
xx
x
 
.
+ Với
0
1x 
ta có
0
0: 1
y
yx
.
+ Với
0
3x
ta có
0
4: 7yyx
.
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),
biết tiếp tuyến đi qua điểm

;
AA
A
xy.
Phương pháp giải
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai
đồ thị
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua
;
AA
A
xy hệ số góc k có dạng:

:*
AA
dy kx x y
Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
3
:431Cy x x đi qua điểm
1; 2A .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có:
2
12 3yx

.
Đường thẳng d đi qua

1; 2A
với hệ số góc k có
phương trình
:12dy kx.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
TOANMATH.co
m
Trang 31
hệ

AA
fx kx x y
fx k

có nghiệm.
Bước 3: Giải hệ trên tìm được x, từ đó tìm ra k
và thế vào phương trình (*), thu được phương
trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2:
Bước 1. Gọi


00
;
M
xfx là tiếp điểm.
Tính hệ số góc tiếp tuyến
0
kfx
theo
0
x
.
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
00 0
:**dy f x x x fx

Vì điểm
;
AA
Ax y d
nên
 
000AA
y
fx x x fx

Giải phương trình này sẽ tìm được
0
x .
Bước 3. Thay
0
x
vừa tìm được vào (**) ta
được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
hệ phương trình

3
2
431 121
12 3 2
xx kx
kx


có
nghiệm.
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
32
431123 12xx x x
32
812 40xx

2
1
10
2
xx




1
1
2
x
x

+ Với
1x 
ta có
9.k 
Phương trình tiếp tuyến là
97yx
.
+ Với
1
2
x
ta có
0.k
Phương trình tiếp tuyến là
2y
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
97; 2yxy
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

21
:
1
x
Cy
x
đi qua điểm
1; 4A
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\1D
.
Ta có:

2
3
1
y
x
.
Đường thẳng d đi qua
1; 4A
với hệ số góc k có phương trình
:14dy kx
.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ



2
21
141
1
3
2
1
x
kx
x
k
x

có nghiệm.
Thay k từ (2) vào (1) ta được:


2
2
1
21 3
14 10 80
14
1
x
x
xxx
xx
x



Vì
1x 
nên
1
4
3
xk
.
TOANMATH.co
m
Trang 32
Phương trình tiếp tuyến là
113
:.
33
dy x
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

2
:1
4
x
Cfx x
đi qua điểm
2; 1M .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Gọi
00
;Nx y là tiếp điểm. Khi đó ta có:

2
00
00 0
1; 1
42
xx
yxfx

.
Phương trình tiếp tuyến tại N là

2
00
00
11
24
xx
yxxx




.
Mà tiếp tuyến đi qua
2; 1M nên








22
00
000
00 0
00
0, 1, 0 1
112 1 0
244
4, 1, 4 1
xyf
xxx
xx x
xyf
Phương trình tiếp tuyến là
1yx
và
3yx
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3
32yx x
có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đường thẳng
:914dy x
sao cho
từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C).
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
2
33yx

.
Gọi
0
x
là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng
23
0000
33 32yx xxxx.
Gọi
;9 m 14Mm
là điểm nằm trên đường thẳng
:914dy x
.
Tiếp tuyến đi qua điểm M khi và chỉ
23
0000
9143 3 3 2mxmxxx
2
00 0
22 3 4 86 0xxmxm



2
00 0
22 3 4 86 0xxmxm




0
2
00 0
2
234860 1
x
xmx m gx

Yêu cầu đề bài tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 2
hoặc phương trình (1) có nghiệm kép khác 2.
TOANMATH.co
m
Trang 33
Ta có:


2
2
0
924480
2
20
12 24 0
4
3
0
924480
4
20
12 24 0
mm
m
g
m
m
mm
m
g
m










Vậy có 3 điểm M thỏa đề bài là
 
12 3
4
2;4 ; ; 2 ; 4; 50
3
MM M




.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
tại điểm có hoành độ 0x là
A.
2yx
. B.
2yx
. C.
2yx
D. yx
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
12yx x
tại điểm có hoành độ 2x là
A.
84yx
. B.
918yx
. C.
44yx
. D.
918yx
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
23yx x tại điểm M có tung độ bằng 5 là
A.
12 7yx
B.
12 7yx
C.
12 17yx
D.
12 17yx
Câu 4: Cho hàm số
32
32123yx x m xm có đồ thị (
m
C ). Với giá trị nào của tham số m thì
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị (
m
C
) vuông góc với đường thẳng :240xy?
A.
2.m 
B.
1.m 
C.
0.m
D.
4.m
Câu 5: Cho hàm số
1
ax b
y
x
có đồ thị cắt trục tung tại

0; 1A , tiếp tuyến tại A có hệ số góc 3k  .
Các giá trị của a, b là
A.
1, 1ab. B. 2, 1ab C. 1, 2ab D. 2, 2ab
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
1
9
2
yxx
tại điểm có hoành độ
2x
có phương trình là
A.
30 28.yx
B.
30 28.yx
C.
42 52.yx
D.
42 52.yx
Câu 7: Cho hàm số
32
311
y
xmxmx có đồ thị (C). Biết rằng khi
0
mm thì tiếp tuyến với đồ
thị (C) tại điểm có hoành độ bằng
0
1x 
đi qua
1; 3A
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
10.m
B.
0
01.m
C.
0
12.m
D.
0
21.m
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của

42
:2Cyx x
tại điểm có hoành độ bằng – 2 là
A.
24 40yx
. B.
24 40yx
C.
24 40yx. D. 24 40yx
Câu 9: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng
31yx
có tọa độ tiếp tuyến là
A.

0; 1A
và

2;5B
. B.

0; 1A
TOANMATH.co
m
Trang 34
C.

2;5B . D.

1; 0A và

5; 2B .
Câu 10: Tiếp tuyến của đồ thị

32
:35Cyx x vuông góc với đường
:90dx y
có phương trình
là
A.
9; 9 32yxyx
. B.
922; 918yx yx
C.
9; 9 32yxyx
D.
922; 918yx yx 
Câu 11: Cho hàm số
2
33
2
xx
y
x

tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng
:3 6 0dyx
là
A.
33; 311yxyx 
. B.
33; 311yxyx 
C.
33; 311yxyx 
. D.
33; 311yxyx
Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị
42
:6Cy x x
vuông góc với đường thẳng
1
:1
6
yx
có
phương trình là
A.
62yx
. B.
62yx
. C.
610yx
. D.
610yx
.
Câu 13: Cho hàm số
32
3
y
xx có đồ thị (C) và điểm M có hoành độ
32
2mm
thuộc (C). Gọi S là
tập hợp các giá trị thực của m để tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Khi đó tổng giá trị các
phần tử thuộc S bằng
A. – 2. B. 1. C. 0. D. – 1.
Câu 14: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2 2018y x mx mx
đều có hệ số góc không âm là
A.

6;0
. B.

6;0
C.
24;0
D.

24;0
Câu 15: Khoảng cách lớn nhất từ điểm
1;1I
đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
bằng
A. 4
2
. B. 2
2
. C.
2
. D. 2.
Câu 16: Cho hàm số

3
2
x
yC
x
. Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm
1; 2 , 1; 0AB
là
A.
51.yx
B.
51.yx
C.
53.yx
D.
53.yx
Câu 17: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số

32
1
1431
3
m
ymxmx mxC
tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại các
điểm đó vuông góc với đường thẳng
:230dx y
là
A.
2
0; .
3



B.

2
;0 ; .
3

 


C.
112
0; ; .
223



D.
12
;;.
23

 


Câu 18: Cho hàm số
1
21
x
y
x

có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng
yxm
luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B. Gọi
12
,kk
lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
TOANMATH.co
m
Trang 35
A.
12
1
..
9
kk
B.
12
1
..
4
kk
C.
12
1
..
16
kk
D.
12
.1.kk
Câu 19: Cho hàm số
21
2
x
y
x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C)
tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
2
5
?
A. 4 điểm. B. 1 điểm. C. 2 điểm. D. 3 điểm
Câu 20: Cho hàm số
y
fx có đạo hàm liên tục trên . Gọi
12
, lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
y
fx
và
2
.4 3yxf x
tại điểm có hoành độ
1x
. Biết rằng hai đường thẳng
12
,
vuông góc nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

312f. B.

12f . C.

12f . D.
2123f.
Câu 21: Cho hàm số
32
69
y
xxx có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng
:10xy
một góc
sao cho
4
cos
41
và tiếp điểm có hoành độ nguyên có phương trình là
A.
9 ; 9 32.yxyx
B.
921; 97.yx yx 
C.
9 ; 9 32.yxyx
D.
921; 97.yx yx 
Câu 22: Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số
32
:2 12
m
Cyx x m xm
vuông góc với đường thẳng
yx
.
A.
10
3
m
. B.
1
3
m
. C.
10
13
m
. D.
1m
.
Câu 23: Cho hàm số
y
fx
xác định và nhận giá trị dương trên
. Biết tiếp tuyến có hoành độ tại
0
1x
của hai đồ thị hàm số
y
fx và

2
fx
y
fx
có hệ số góc lần lượt là – 10 và – 3. Tính giá trị của
1
f
.
A.
1 10.f  B.

10
1.
3
f
C.
14.f D.
14.f 
Câu 24: Cho hàm số
3
3
y
xx
có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng
:12dy kx cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P
vuông góc với nhau. Biết
1; 2M , tích tất cả các phần tử của tập S bằng
A.
1
.
9
B.
2
.
9
C.
1
.
3
D. – 1.
Câu 25: Cho hàm số

2
2
x
yC
x
. Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ
điểm

2;2I
đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A.
4.
A
B
B.
8.
A
B
C.
42.AB
D.
22.AB
TOANMATH.co
m
Trang 36
Câu 26: Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
x
của đồ thị hàm số
;
y
fx y gx
và

3
3
fx
y
gx
bằng nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

11
1.
4
f 
B.

11
1.
4
f 
C.

11
.
4
fx
D.

11
1.
4
f
Câu 27: Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số
1
1
y
x
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 là
A.
34
;
47




. B.
0; 1
. C.
3
;4
4



D.
14
;
43
B



Câu 28: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4
5
21
4
ymxm
tại điểm có hoành độ 1x 
vuông góc với đường thẳng
:2 3 0.dxy
.
A.
3
.
4
B.
1
.
4
C.
7
.
16
D.
9
.
16
Câu 29: Cho hàm số
2
23
x
y
x
có đồ thị (C). Giả sử, đường thẳng :dy kx m là tiếp tuyến của (C),
biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB
cân tại gốc
tọa độ O. Tổng
km có giá trị bằng
A. 1. B. 3. C. – 1. D. – 3
Câu 30: Cho các hàm số
 


3
,,2yxyffxyfx
có đồ thị lần lượt là
123
,,CC C.
Đường thẳng
2x cắt
123
,,CC C lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của
1
C tại A
và của

2
C
tại B lần lượt là
34yx
và
613yx
. Phương trình tiếp tuyến của

3
C
tại C
A.
24 23yx
. B.
10 21yx
. C.
24 21yx
. D.
10 5yx
Câu 31: Cho hàm số
2
23yx x có đồ thị (C) và điểm
1;Aa
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a
để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 32: Cho hàm số
3
2
31yx x có đồ thị (C). Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có
thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 33: Cho hàm số
32
31yx x
có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và
42AB
. Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới
đây?
A.
1; 2 .M 
B.

4;2 .N
C.

1; 2 .P
D.
1; 2 .Q
Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của elip
22
22
1
xy
ab
 tại điểm

00
;
x
y
là
A.
00
22
1.
xx yy
ab

B.
00
22
1.
xx yy
ab

C.
00
22
1.
xx yy
ab

D.
00
22
1.
xx yy
ab

TOANMATH.co
m
Trang 37
Câu 35: Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số
22
:21 2Pyx m xm m cắt
trục hoành tại hai điểm
12
x
x sao cho phần phía trên Ox của tiếp tuyến với (P) tại mọi điểm có hoành độ
0
;3x 
và tung độ không âm hợp với tia Ox một góc tù là
A. – 4. B. 4. C. 3. D. – 3.
Câu 36: Cho hàm số
1
21
x
y
x
. Giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm

MC
mà tiếp
tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng
:21dy m
là
A.
1
.
3
B.
3
.
3
C.
2
.
3
D.
2
.
3
Câu 37: Cho hàm số
32
1
2
m
yx x m

có đồ thị là

m
C
. Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của
m
C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 38: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn
4OA OB
là
A.
15
44
113
44
yx
yx


B.
15
44
113
44
yx
yx


C.
15
44
113
44
yx
yx


D.
15
44
113
44
yx
yx


Câu 39: Cho hàm số
y
fx có đạo hàm trên và thỏa mãn
23
13 9 1
f
xxf x với x .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có hoành độ
1x
là
A.
2.yx
B.
.yx
C.
2.yx
D.
.yx
Câu 40: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị (C) và điểm
1; 2I
. Điểm

;, 0Mab a
thuộc (C) sao cho
tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng IM. Giá trị
ab bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để trên đồ thị hàm số
 
32
1
: 2 3 2019
3
m
Cy xmx m x
có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của đồ
thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng
:260dx y
?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 42: Gọi
123
,,kkk
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị các hàm số
 

,,
fx
yfxygxy
gx

tại
2x
và thỏa mãn
12 3
20kk k
khi đó
A.

1
2.
2
f
B.

1
2.
2
f
C.

1
2.
2
f
D.

1
2.
2
f
TOANMATH.co
m
Trang 38
Câu 43: Cho hàm số

22
1
x
yC
x
. Phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa
độ một tam giác vuông cân là
A.
11
7
yx
yx


B.
11
17
yx
yx


C.
1
17
yx
yx


D.
1
7
yx
yx


Câu 44: Cho hàm số
,
f
xgx
xác định và liên tục trên
thoả mãn
10 3 ,
f
xxxgxx

và hàm số

0,gx x
. Xét hàm số
2 2020hx f x
. Gọi
0
là góc tạo bởi phần phía trên Ox
của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
hx
tại điểm
0
x và tia Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0
90 180
 khi
0
1;12x  . B.
0
90 180
 khi
0
1;x  .
C.
0
090
 khi

0
;12x 
. D.
0
090
 khi
0
;x 
.
Câu 45: Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị (C). Nếu điểm M thuộc
:2 1 0dxy
có hoành độ âm và từ
điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C) thì tọa độ điểm M là
A.
1; 1M 
. B.
2; 3M 
. C.
3; 5M 
D.
4; 7M 
Câu 46: Cho hàm số

21
1
x
yC
x
. Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
6
là
A.
41
31,311,122, .
33
yxyxy xy x   
B.
42
31,311,122, .
33
yxyxy xy x   
C.
43
311, 311, 12, .
34
yxyxy xy x   
D.
42
31,311,122, .
33
yxyxy xy x   
Câu 47: Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm và liên tục trên
. Gọi
12
,dd
lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
y
fx và

21ygx xf x tại điểm có hoành độ
1x
. Biết rằng hai đường thẳng
12
,dd
vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
212.f
B.

12.f
C.

122.f
D.
2122.f
Câu 48: Cho hàm số
 

;;
fx
yfxygxy
gx

liên tục và có đạo hàm trên
. Gọi
123
,,kkk
lần lượt
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số trên tại
2x
và thỏa mãn
12 3
20kk k
. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A.

1
2
2
f
. B.

1
2
2
f
C.

1
2
2
f
D.

1
2
2
f
TOANMATH.co
m
Trang 39
Câu 49: Cho hàm số
32
121yx m x m có đồ thị (C) (m là tham số thực). Gọi
12
,mm là các giá
trị của m để đường thẳng
:1dy x m
cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc
của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 19. Khi đó
12
mm
bằng
A. – 4. B. 2. C. 0. D. – 2.
Câu 50: Cho hàm số
32
23yx mx mx m
có đồ thị là (C), với m là tham số thực. Gọi T là tập tất
cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương. Tổng các phần
tử của T bằng
A. 3. B. 6. C. – 6. D. – 3.
Câu 51: Cho hàm số
2
2xmxm
y
xm

. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến
của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A. 3. B. 4. C. 5. D. 7.
Câu 52: Cho hàm số
432
0yfx ax bx cx dxea
có đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm
phân biệt là

12 3 4
;0 , ;0 , ;0 , ;0Ax Bx Cx Dx
, với
1234
,,,xx xx
theo thứ tự lập thành cấp số cộng và
hai tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức

22
34
3Sfx fx




.
A.
9.
S
B.
3.
S
C.
4.
S
D.
2.
S
Câu 53: Cho hàm số

y
fx
xác định và có đạo hàm trên
thỏa mãn

23
12 1 ,fxxfxx



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có
hoành độ bằng 1 là
A.
6
.
7
yx
B.
18
.
77
yx
C.
16
.
77
yx
D.
18
.
77
yx
Câu 54: Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn

2
22 12 12,fx f x x x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y
fx
tại điểm có
hoành độ bằng 1 là
A.
22.yx
B.
46.yx
C.
26.yx
D.
42.yx
Câu 55: Cho hàm số

y
fx
có đạo hàm
f
x
trên
thỏa mãn

23
12 13 ,fxxfxx



. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có hoành độ
1x
là
A.
2.yx
B.
2.
13
x
y

C.
1
.
13 13
x
y

D.
12
.
13 13
x
y

Câu 56: Cho hàm số
y
fx
xác định, có đạo hàm trên
và thỏa mãn

23
2210fx fx x



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có
hoành độ bằng 2 là
A.
25.yx
B.
23.yx
C.
25.yx
D.
23.yx
TOANMATH.co
m
Trang 40
Câu 57: Cho hàm số
42
2
y
xmxm , có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị
(C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của m để tiếp tuyến A với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn
2
2
:14xy
 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất bằng
A.
16
.
13
B.
13
.
16
C.
13
.
16
D.
16
.
13
Câu 58: Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
32
22 12 4 ,fx f x x x x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có
hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng
yaxb
và
11
ax b
. Giá trị của
11
25
32
ab
ba
bằng
A.
5
46
. B.
46
3
C.
3
46
D.
46
5
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Công thức tính đạo hàm
1 – A 2 – D 3 – C 4 – B 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A 9 – B 10 – A
11 – D 12 – A 13 – A 14 – B 15 – D 16 – D 17 – D 18 – A 19 – D 20 – A
21 – C 22 – C 23 – D 24 – D 25 – C 26 – C 27 – D 28 – D 29 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 6.
Ta có
 

2
2
22
21 2
42
15
22
xx xx
xx
yy
xx





Câu 7.
Ta có
 
44
33 23
51 1 15 1yxx xx

Câu 8.
Ta có
 
2
2
22
221 21
2
11
xxx
xx
y
xx




Câu 9.
Ta có
43 2 3 2
10 3 40 3 6
y
xx x y x x x


Câu 10.
Ta có
5
2
31
3
yx
x
x

Câu 11.
Ta có
2
32
10 5
34 4yx
xx




Câu 12.
TOANMATH.co
m
Trang 41
Ta có


2
2
222
23
63
23
223 223 23
x
xx
fx x
xxx



Câu 13.
Ta có


2
2
22
2
22
2
4
.4 . 4
41
4
0
4442
4
x
x
xxx x
x
x
yfx y
xx
x








Câu 14.
Ta có

 
2
2
2
22 22
1
1
1
1
21.1 1.1
x
x
x
ya
x
xx xx

 
 
Câu 15.
Ta có
21
21
x
yxx
x

Câu 16.
Ta có
3
22
3( 5 6) 2 3 2yxx x x

Câu 17.
Ta có



66
22 2
737 37723 37yxx xx xxx
 
Câu 18.
Ta có



2
3
32 325
0
236
21 3
312
fx f
x
x


Câu 19.
Ta có



22 2 2
115.
..2..2
22
2
xx
y x x x x x x x x x xx xx
x


Câu 20.
Ta có
 
2
2
22
21 1 1
2
2
11
xx xx
xx
yab
xx



Câu 21.
Ta có







 
2
22
2
22
23
11 22
13 23
23 23
xx
x
yy
xx xx
xx xx
Câu 22.
Ta có
 2017 2 2016 3 ... 1 2018 ...2 2018 2016 3 ... 1 2018
f
xxxx xxx
TOANMATH.co
m
Trang 42
... 2018 2018 2017 2 ... 1 2017
x
xx
Suy ra
2017 2017 2017 2017 2017
1 2019 2.2019 3.2019 ... 2018.2019 2019 1 2 3 ... 2018f

2017 2018
2018.2019
2019 . 1009.2019
2

Câu 23.
Ta có


2
22
2
22
22
3
22
x
ax
a
ax
y
ax
ax


Câu 24.
Ta có

2
2
22
21 4 53
11
2121
xxx
yxx x
xx xx


 
Câu 25.
Ta có
 



2
2
24 1 32 .
32 4 1 32 4 1
32
41
41
41
41
xx
xx xx
x
x
x
x
x








24 1 23 2
4141
xx
xx



44
4141
x
xx


.
Suy ra
4, 4ab . Vậy
1
a
b

.
Câu 26.
Đặt
1 2 3 ...ux x x x x n
.
Ta có:
. . 1 2 3 ... . 0 1.2.3.4... n !
f
xxux fxuxxux x x x xnxux f n


Câu 27.
Ta có
322
2223 3601fxf xxgxx
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:

2 2
3 2 . 2 4. 2 3 . 2 3 2 36 0fxfx fxfxxgxxgx




2 2
32 .2 12.23.23 2 3602fxfxfxf xxgxxgx


Thế
0x
vào (1) ta được
 

32
20
22 2 0
22
f
ff
f

Với
20f
thế
0x
vào (2) ta có:
36 0
(vô lí).
TOANMATH.co
m
Trang 43
Với
22f thế 0
x
vào (2) ta có:
22
3 2 . 2 12 2 . 2 36 0 3.2 . 2 12.2. 2 36 0 2 1.ff ff f f f


Vậy
3 2 4 2 3.2 4.1 10Af f

Câu 28.
Ta có
2
2, 1 3 6fx x f x xf g f






 


.30fgx x f gx g x




, suy ra


 


11.130fgx f g g




Câu 29.
Ta có



 


12 2 5 12 2 5
222 14419
2247 224414
ff ff
fx f x f x f x f f
ff ff
 

 





 


Vậy

1419ff
.
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số lượng giác.
1 – A 2 – A 3 – D 4 – A 5 – B 6 – D 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A
11 – B 12 – D 13 – D 14 – B 15 – A 16 – D 17 – C 18 – C 19 – D 20 – B
21 – C 22 – A 23 – C 24 – D 25 – C 26 – D 27 – C 28 – C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Ta có

5sin 3cos 5cos 3sinyx x xx


.
Câu 2:
Ta có




2
2
321tan
32tan
52tan
2 3 2 tan 2 3 2 tan 2 3 2 tan
x
xx
x
y
xx xx xx
Câu 3:
Ta có

cos3 .sin 2 cos3 . sin 2 3sin 3 .sin 2 2 cos3 .cos2yxxxx xxxx


Do đó
22
3sin .sin 2 cos .cos 1
333
y






.
Câu 4:
Ta có
22
2 . cos . sin 2 cos .sin
y
xxx x xxx x

Câu 5:
Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm hàm tổng, sau đó sử dụng

sin , cosuu






sin cos cos sin cos cos . cos sin sin . sinyx x xxxx



TOANMATH.co
m
Trang 44

sin .cos cos cos .sin sin sin .cos cos cos .sin. sinxxxx xxxx 
Câu 6:
Ta có
44 2
131
sin cos 1 sin 2 cos 4
244
yxx x x
Do đó

31 1 1
cos4 cos4 sin4 . 4 sin4
44 4 4
yxxxxx





.
Câu 7.
Ta có:
10 cos 2 20sin 5yxx

, suy ra
20
10
a
b
. Vậy 10ab .
Câu 8.
Ta có







22 2
sin
21 sin3
2. cos . 2. 3 2 . 0
cos cos cos cos 3
x
fx x f
xxx




Câu 9.
Ta có











2
cos sin 1 2
cos sin cos sin 0
16 4 4
222
xx
fx x x f
xxx
Câu 10.
Ta có


22 23
sin .cos sin . cos 2 cos sin sin .yxxxx xxx

Câu 11.
Ta có
2 cos sin 3 0fx xa x

có nghiệm khi và chỉ khi
22
49 5 5aa a
Câu 12.
Ta có
cos sinyxyxC

(C: hằng số).
1sin 1 0
22
fCC


 


. Vậy
sinyx
Câu 13.
Ta có

11cossin
2 sin 2 cos 2.cos . 2 sin
2sin 2cos sin cos
xx
yx xx x
xxxx


Câu 14.
Ta có
32 2
sin 3 sin cos 3 sin .cos 0fx axfxaaxaxf aa a



Câu 15.
Ta có
 
22
cos sin cos sin cos sin
1
sincos sincos
xx x x x x
y
xx xx



Câu 16.
TOANMATH.co
m
Trang 45
Ta có
 




 


22
cos2 . 1 sin cos 2 1 sin 2sin 2 1 sin cos2 .cos
1sin 1sin
xxxx xxxx
y
xx
Suy ra
2
3113
33
2. 1 .
33
2222
24
42333
1
624
1
1
4
2
y
















Câu 17.
Ta có:

2
2244
1cos 2 1cos 2 1cos 2 1cos 2
3333
2sin
2222
xxxx
fx x

  

  
  


2
12 4 12 4
2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 sin
23 3 23 3
fx x x x x x
 

 

 

 

 

 
2
2 cos 2 .cos cos 2 .cos 2 sin
33
fx x x x
 
2
1
2 cos 2 cos 2 2sin
2
fx x x x




2
2cos2 2sin 1fx x x fx 
. Suy ra
0fx
Câu 18.
Ta có
 
cos sin . .sin cos .cos sinyxxxx


Suy ra
3
cos .cos sin . .cos 0.
66 622
f


 

 
 
Câu 19.
Đầu tiên áp dụng

u
, với


4
sin cos tan 3ux
ta có:




44
2 sin cos tan 3 . sin cos tan 3yxx


Sau đó áp dụng

sin u
; với

4
cos tan 3ux
ta có:






444
2 sin cos tan 3 .cos cos tan 3 . cos tan 3yxxx
Áp dụng

cos u
, với
4
tan 3ux



444
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 . tan 3yxxx

Áp dụng

u
, với
tan3ux



443
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . tan 3yxxxx

TOANMATH.co
m
Trang 46




4432
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . 1 tan 3 . 3yxxxxx

4433
sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 .4 tan 3 . 1 tan 3 .3yxxxx

Câu 20.
Ta có

22
21 cot 2 1 cot 2
cot 2
2 cot 2 2 cot 2 cot 2
xx
x
y
xx x


Câu 21.
Ta có

22 22 2
11 1 4
tan cot
cos sin cos .sin sin 2
yxx
xx xx x

Câu 22.
Ta có
2
tan
2
2 tan . tan
22
cos
2
x
xx
y
x




Câu 23.
Ta có


2
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos
xx xx xxxx
y
xx



2
cos sin sin cos sin cos cos sin
sin cos
xxxxxxxx
xx


22
2
sin cos sin cos
sin cos
xx xx
xx


2222
2
sin 2 sin .cos cos sin 2sin . cos cos
sin cos
xxxx xxxx
xx


2
2
sin cosxx
Câu 24.
Ta có


cos 6
6sin6 3sin6
cos 6
2 cos 6 2 cos 6 cos 6
x
xx
yx
xxx


Câu 25.
Ta có



2
22
2
1
tan tan . 2 tan
cos
2
x
yx x xx x xx
x
x

Câu 26.
Ta có

2
sin 1 cos cos
4
fx f x x




, đạo hàm 2 vế ta được
TOANMATH.co
m
Trang 47

cos . sin 1 sin cos 2 cos .sin
44
xf x xf x x x





 
cos . sin 1 sin cos sin 2 *
2
xf x xf x x





Thay
0x
vào phương trình (*), ta được
 
1sin 11
2
ff





Câu 27.



22 2
tan .sin tan 2 tan .tan .sin tanyx x xxx
 
 
222
2
1
2. . tan .sin tan 2 tan . tan 1 .sin tan
cos
xx xx x
x
 
.
Câu 28.
Ta có


 

 


 


 



  
  
  
  
22
2
1
11
2tan
1 tan 1 tan
11
..1
11 1
22 tan 22 tan 22 tan
x
xx
x
xx
yx
xx
xx x
xx x
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa
đạo hàm
1 – A 2 – C 3 – B 4 – D 5 – C 6 – B 7 – C 8 – A 9 – A 10 – B
11 – D 12 – A 13 – C 14 – A 15 – D 16 – C 17 – B 18 – B 19 – C 20 – B
21 – D 22 – A 23 – A 24 – B 25 – C 26 – B 28 – B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có
32 2
3
1131310yxyxyy yy


Câu 2.
Ta có

 
23
32
22
31
23
11
xx x
xx
fx
xx



. Xét phương trình

32
0
02 3 0
3
2
x
fx x x
x

(thỏa
mãn)
Câu 3.
Ta có
2
22
222
1
1110
111
xxx y
yyxyyxy
xxx




Câu 4.
Ta có
 
2
31 41
f
xmxmxm

Với
1: 1 0,mfx x

nên
1m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TOANMATH.co
m
Trang 48
Với

2
10
01
1: 0, 1 4
014
540
m
am
mfx x m
m
mm








Vậy
1; 4m
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 5.
Ta có
 

333
fx kx x f x kx x k x x


Đặt

32
3
2
2
3
11
31
3
3
yxyx yy y
y
x





3
2
3
1
2
3
k
fx k x x
x
x


. Vậy để

3
1
2
f
thì
13
3
32 2
k
k
.
Câu 6.
Ta có
2
369yx x

. Xét phương trình
2
03 690 1;3yxx xx
 
Câu 7.
Ta có
2
1
2
x
y
xx
, suy ra
2
2
1
.2. 1
2
x
yy x x x
xx

Câu 8.
Ta có


32 2
233616636fx x x x x x

Suy ra

22
2
0 6 6 360 60
3
x
fx x x x x
x
  

Câu 9.
Ta có


32 2
273347fx x x x x x
, suy ra

2
7
03 470 1
3
fx x x x

Câu 10.
Ta có

2
2
2
23
3
xx
y
x

. Do đó
2
1
0230
3
x
yxx
x


Câu 11.
Ta có:







 
22 2
2 2
222
33 1 33 1 23 1 33
33 2
1
111
xx x xxx xx xx
xx xx
y
x
xxx
  






Suy ra
2
0
0
20
0
2
2
10
1
x
x
xx
y
x
x
x
x







.
Câu 12.
TOANMATH.co
m
Trang 49
Ta có


2
2
4
1
x
fx
x
. Khi đó
040 0fx x x
 .
Câu 13.
Ta có
2
321
f
xxx

. Khi đó

2
1
03 210 1
3
fx x x x
 
.
Câu 14.
Ta có

8sin 8 2 8,fx x x
 
.
Câu 15.
Ta có:

3 sin cos 2 2020 3 cos sin 2yxxx xx

31
0 3 cos sin 2 0 3 cos sin 2 cos sin 1
22
yxx xxxx
 

cos 1 2 2 ,
66 6
xxkxkk







1 12121
0;2020 0 2 2020
61212
xkk


Mà
k nên
1;2;..;1010k . Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.
Câu 16.
Ta có

2cos2
f
xx
, suy ra
 
3 2 5 3sin 2 4 cos2 5 sin 2 1fx f x x x x


.
22
xkk

, với
là một cung thỏa mãn
3
cos
5
4
sin
5
.
Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của
 
32 5fx f x

Câu 17.
Ta có:

3
34fx x x

, suy ra

3
4
03 40 1
3
fx x x x
 
Câu 18.
Ta có
 
32 2 2
1
22 8 1 42 8 0 42 8 0 22
3
fx x x x x x fx x x x





.
Câu 19.
Ta có

2
3
f
xmxmx m

+ Nếu
0m
thì
30,fx x
 (thỏa mãn).
+ Nếu
0m
thì

2
3
f
xmxmx m

là tam thức bậc hai.
TOANMATH.co
m
Trang 50


2
2
0
0
12
0, 0
43 0
5
5120
m
m
fx x m
mmm
mm




. Vậy
12
0
5
m
Câu 20.
32 2
3123 3612fx x mx x f x x mx
 
.
2
0, 3 6 12 0fx x x mx

với
2
30
0
22
0
9360
a
xm
m






Vì
m
nên
2; 1;0;1;2m 
. Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Câu 21.
Đặt
1 1 2 1 3 ... 1 2018
f
xxxx x
f
x
là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực
.
Ta có
01f
và
1. 1 2 ... 1 2018 2 1 ... 1 2018 ... 2018 1 ... 1 2017
f
xx xx x x x
 

2018 1
0 1 2 3 ... 2018 2018. 1009.2019
2
f

.
Khi đó ta có:

00
1 1 2 1 3 ... 1 2018 1 0
lim lim 0
0
xx
xxx x fxf
f
xx



.
Câu 22.
Ta có

22
62
f
xxaxa



nên

22
0, 2 0,fx x x a xa x
 

2
2
2
24 0
2
3
a
aa
a


.
Mặt khác
 
2
2
1
16 6 1 2 1 6
2
a
faa
a




. Vậy
1a 
.
Câu 23.
Ta có
23
3. 4gx xf x


.
Ta có:

 

23 23
3
0
03.4 0 .4 0
40
x
gx xf x xf x
fx

  

333
000
0
12
12
44 3 8 1 1 8
xxx
x
x
x
xxx







.
Câu 24.
+ Khi
0
0
x
x
ta có
 
2
a
fx ax f x
x

. Ta có
f
x
xác định trên

0
0;
x
nên liên tục trên
khoảng

0
0;
x
.
TOANMATH.co
m
Trang 51
+ Khi
0
x
x ta có
 
2
12 2
f
xx fx x
 . Ta có

f
x
xác định trên
0
;x  nên liên tục trên
khoảng
0
;x  .
+ Tại
0
x
x
ta có

0000
0
0
0
000
00
lim lim lim lim ;
2
xx xx xx xx
ax x
fx fx
ax ax
aa
xx xx xx
xx x






00 00
22
22
0
0
0
00
000
12 12
lim lim lim lim 2 .
xx xx xx xx
xx
fx fx
xx
xx x
xx xx xx





Hàm số f có đạo hàm trên khoảng
0; 
khi và chỉ khi
00
00
0
00
0
lim lim 2
2
xx xx
fx fx fx fx
a
x
xx xx
x





Khi đó

00
0
2
2
a
fx x
x

và

0
0
0
2
2
a
khi x x
fx
x
xkhix x

nên hàm số f có đạo hàm liên tục trên
khoảng
0;  .
Ta có

000
0
241
2
a
xaxx
x

Lại có hàm số f liên tục tại
0
x
nên
2
00
12 2xax
Từ (1) và (2) suy ra
0
2x
và 82a .
Vậy
0
21 4 2Sax .
Câu 25.
Do hàm số
y
fx có đạo hàm tại điểm
0
2x suy ra


2
2
lim 2
2
x
fx f
f
x
.
Ta có
22 22
22
22 222222 22
lim lim lim lim
22 22
xx xx
fx f
fx xf fx f f xf f x
II I
xx xx




22 2If f

.
Câu 26.
Đặt


00
0
13 1 3
1 3 lim lim 0
n
n
xx
fx f
x
fx x f
xxn



.
Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1 – B 2 – D 3 – B 4 – A 5 – B 6 – A 7 – B 8 – A 9 – C 10 – A
11 – A 12 – C 13 – A 14 – B 15 – D 16 – A 17 – C 18 – D 19 – C 20 – C
TOANMATH.co
m
Trang 52
21 – A 22 – A 23 – B 24 – A 25 – C 26 – A 27 – C 28 – D 29 – D 30 – A
31 – A 32 – C 33 – B 34 – A 35 – B 36 – A 37 – D 38 – A 39 – B 40 – D
41 – C 42 – B 43 – D 44 – A 45 – A 46 – D 47 – C 48 – D 49 – D 50 – D
51 – C 52 – C 53 – C 54 – D 55 – D 56 – A 57 – C 58 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Tập xác định
\1D  . Ta có

2
1
1
y
x

.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
 
0. 0 2yy xy y x

Câu 2.
Gọi
00
;Mx y là tọa độ tiếp điểm. Ta có
00
20xy
2
32
12 32 3329yx x x x y x y

  .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
920 918yx yx
Câu 3.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
32
23 5 1xx x
Ta có:
2
66 112yx xy


.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

12 1 5 12 7 12 7yx x yx
Câu 4.
Ta có:
2
22
3 6213 212 23 12222,yxxm xx m x m m x
  
Do đó giá trị lớn nhất của
y
là 22m , đạt tại
0
1x
Với
0
1x
thì
0
42ym
Phương trình tiếp tuyến của

m
C
tại

1; 4 2Mm
là
:4222 1 2224dy m m x y m x m 
Theo đề bài ta có
:240xy
hay
1
:2
2
yx
222 2dm m  
.
Câu 5.

0;1: 11
11
ax b b
ACy b
x


. Ta có

2
1
ab
y
x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là
03 32ky ab ab a b

Câu 6.
TOANMATH.co
m
Trang 53
 
2
3
18 230;232
2
yxxy y


.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
2x
có phương trình
30 2 32yx
hay
30 28yx
.
Câu 7.
Ta có:
2
3x 6 x 1ymm

Với
0
1x  thì
0
21ym, gọi
1; 2 1 2; 2 4Bm AB m

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là
2km
Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là
2
00000 0
36 1 2kyx x mx m m

00 0 0 0
1
36 1 2 4 2
2
mm m m m
.
Câu 8.
Ta có:
3
44
y
xx

.
Với
0
2x  thì
0
8, 2 24yy
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại

2;8M
là
24 2 8 24 40yx yx 
.
Câu 9.
Ta có

2
3
1
y
x
.
Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng
31yx
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
3k
.
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

2
0
3
3
2
1
x
x
x


Trường hợp 1:
0x
, suy ra tung độ của tiếp điểm là
0
1y 
.
Phương trình của tiếp tuyến là:
13 0 3 1
y
xyx
(không thỏa mãn).
Trường hợp 2:
2x 
, suy ra tung độ của tiếp điểm là
0
5y
Phương trình của tiếp tuyến là:
53 2 3 11yxyx
( thỏa mãn).
Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là
2;5B
Câu 10.
Ta có:
2
36;:90yx xdxy

hay
1
9
yx
.
Gọi
d
là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm
00
;Mx y
Do
dd
nên
d
có hệ số góc
9k
. Do đó

00
2
000
00
19
93 6 9
35
xy
yx x x
xy

 

TOANMATH.co
m
Trang 54
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm
1
1; 9M là:
919 9
y
xyx.
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm
2
3; 5M là:
935 932yx yx.
Câu 11.
11
:3 6 0 2
33
d
dyx y x k 
Gọi
00
;Mx y là tọa độ tiếp điểm. Ta có

2
2
43
2
xx
y
x

Tiếp tuyến vuông góc với d


2
00
0
2
0
43
1
.1 3 3 3
2
tt d tt
d
xx
kk k y x
k
x

    
0
2
00
0
3
2
416150
5
2
x
xx
x



Với
0
3
2
x 
ta có
0
3
2
y
, suy ra phương trình tiếp tuyến
33
333
22
yx yx

 


Với
0
5
2
x 
ta có
0
7
2
y 
, suy ra phương trình tiếp tuyến
57
3311
22
yx yx

 


Câu 12.
Ta có:
3
42
y
xx

Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với
1
:1
6
yx
và có tiếp điểm là
000
;Mxy
Do
d 
nên d có hệ số góc
6k 
Khi đó
3
00000
6642614kyx xx xy
  
Phương trình tiếp tuyến tại
1; 4M
là:
614 610yx yx 
Câu 13.
Tập xác định của hàm số là
D
Ta có
2
36
y
xx

Đặt
32
0
2mmx, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
2
2
000 0
3633 13kyx x x x
 với mọi
0
x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0
1x
Vậy
max
3k
khi và chỉ khi
0
1x
, từ đó ta có


32 32 2
1
21 210 1 10
15
2
m
mm mm m mm
m



TOANMATH.co
m
Trang 55
Suy ra tập
1515
1; ;
22
S

 





Khi đó, tổng giá trị các phần tử thuộc S là
15 15
12
22
 

Câu 14.
32 2
2 2018 3 2 2
y
xmxmx yxmxm
 
Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi




2
2
30
32 20 6;0
60
y
a
yx mxm m
mm
Câu 15.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là

 

2
2
2
21
21 210
1
1
m
yxmxmymm
m
m
Do đó


 

2
2
44
2
4
2.1 1 .1 2 1
41 41
,2
21 41
24 1
mmm
mm
dId
mm
m



 
Dấu bằng xảy ra khi
4
14 12mm
Câu 16.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
xm
là


2
53
2
2
m
yxm
m
m

Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm
1; 2 , 1; 0AB
thì có 2 khả năng
+) Tiếp tuyến đó song song với AB


2
02
5
11
2
TT AB
kk
m



(vô nghiệm).
+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB

2
20 5 11 3
1
222
2
m
mm
m
m





Vậy tiếp tuyến cần tìm là
51yx
Câu 17.
Ta có:
2
2143
y
mx m x m

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
1
.1
2
y

có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay
phương trình
22
21432 21230mx m x m mx m x m
có hai nghiệm dương phân
biệt.
TOANMATH.co
m
Trang 56

2
0
4410
1
0
2
21
0
12
23
23
0
m
mm
m
m
S
m
m
m
P
m





Vậy
112
0; ;
223



là những giá trị cần tìm.
Câu 18.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
22 1 0
21
x
xm x mx m
x


. Theo Vi – ét
12
12
1
2
xx m
m
xx


 







12
222 2 2
12
12 1 2
11 1 1
1
21 2 12 1 22 2 1
42 1
ykk
xxx mm
xx x x
Câu 19.

2
5
2
y
x

Gọi
21
;
2
m
Mm
m



. Phương trình tiếp tuyến tại M:

 
2
521
2
2
m
yxmd
m
m



2
222
;0
5
mm
AdOxA







2
2
222
0;
2
mm
BdOyB
m








2
2
2
22 2
22
1
112222222 2 1
.
225 5 52
22
OAB
mm
mm mm mm
SOAOB
m
mm


 




2
2
1
1
1
2
2
53
1
1
2
OAB
mm
m
m
S
m
mm
m






Vậy tìm được hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 20.
Ta có


 
22
.4 3 2.4 3 .4. 4 3yxfx xfx xfx


Vì
12
,
vuông góc nhau nên
  

 
2
1.2 1 4 1 1 4 1 2. 1. 1 1 0fff f ff
 

Để tồn tại


2
114012ff f
TOANMATH.co
m
Trang 57
Câu 21.
Đường thẳng
:10xy
có vectơ pháp tuyến là:
1
1;1n

Gọi
:dykxm
là tiếp tuyến cần tìm
d có vectơ pháp tuyến là

1
k; 1n 

Theo giả thiết, ta có:

12
12
12
.
444
cos cos ,
41 41 41
.
nn
nn
nn
 



22
9
41 1 4 2. 1 9 82 9 0
1
9
k
kkkk
k

+) Với
9k
thì
:9dy x m
d tiếp xúc với (C) khi hệ

32
2
699 1
312992
xxxxm
xx


có nghiệm.
Ta có:

2
009
23120
432932
xmyx
xx
xmyx



+) Với
1
9
k
thì
1
:
9
dy x m
d tiếp xúc với (C) khi hệ


32
2
1
69 3
9
1
3129 4
9
xxxxm
xx


có nghiệm
Ta có:

2
18 2 21
4 27 108 80 0
9
xx x


Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:
9; 9 32yxyx
Câu 22.
2
2
277 7 7
34 13
333 3 3
yxxm x mmymym


 


khi
2
3
x
.
Theo bài toán ta có:
 

 


710
11 11
33
ym m
Câu 23.
Ta có



 



22
222
..2.fx f x fx xf x
fx
yTx
fx f x






Từ giả thiết ta có
110f
 và
13, 0,Tfxx
Do đó
  
2
10
10 1 3 1 1
3
fff

Câu 24.
TOANMATH.co
m
Trang 58
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
 


32
2
12
3121 20
201
xy
xxkx x xx k
xx k



d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1.


1
9
0
4
10
0
k
g
k






Khi đó, d cắt (C) tại
11 2 2
1; 2 , ; , ;MNxyPxy với
12
,xx
là nghiệm của (1).
Theo định lý Vi – ét:
12
12
1
2
Sx x
Pxx k


Tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau

22
12 1 2
. 133331yx yx x x


 
22 2 2 2 2
12 1 2
9 9 919 189 91xx x x P P S
2
323
91810
3
kk k


Vậy tích các phần tử trong S là
1
9
.
Câu 25.
Giả sử
2
;
2
a
Aa
a



. Ta có

2
4
2
y
x
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A:
 


22
4
82
442
0,
2
22
216
a
aa
xy dAd
a
aa
a



Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử
2
A
xa
Đặt
20ta t
. Khi đó

4
8
,
16
t
dAd
t
Xét
 
4
8
0
16
t
ft t
t

, từ bảng biến thiên ta có

0
max 2
t
ft f
Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi
0a
hay

0;0A
Do tính đối xứng nên
4;4B
.
Vậy
42AB .
Câu 26.
Đặt



3
3
fx
hx
gx
. Giả sử
111
f
ghk


.
TOANMATH.co
m
Trang 59
Ta có:




222
331111
1
31313
fxgx gx fx kg f g f
hx k
gx g g





 

 
2
151 190ggf. Tồn tại
  
11
1114101
4
gff 
Câu 27.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
0
x
là
 


000 0
2
0
0
11
1
1
yyx xx yx xx
x
x

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là


0
0
2
0
21
21;0,0;
1
x
Ax B
x




Suy ra

2
0
0
2
0
21
133
.2 ;4
244
1
OAB
x
Sx
x




Câu 28.
 
43
5
:2 3 0 2 3 2, 2 1 4 2 1
4
d
dxy yxkymxm ymx

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

4
5
21
4
ymxm
tại điểm có hoành độ 1
x
 là
3
142 11 42 1
tt
ky m m

Ta có

9
.18211
16
tt d
kk m m 
Câu 29.
Tập xác định:




3
\
2
D
. Ta có

2
1
23
y
x
Tiếp tuyến
:dy kx m
cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên 0, 0mk
Do
A
Ox
nên
;0
m
A
k



,
B
Oy
nên
0;
B
m .
Do tam giác
OAB
cân tại gốc tọa độ O nên
2
2
1
1
10
1
k
m
OA OB m m
kkk





Do

2
0
1
0
23
k
x

nên
1k 
. Suy ra:


2
00
0
2
00
0
11
1
1231
20
23
xy
x
xy
x



+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
1
1;1M
là:

11
y
xyx 
(loại)
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại

2
2;0M
là:

22yx yx 
Khi đó:
12 3km
Câu 30.
TOANMATH.co
m
Trang 60
Phương trình tiếp tuyến của
1
C
tại A là
 


23
22234
210
f
yf x f x
f

Phương trình tiếp tuyến của
1
C
tại B là
 





10 2
2. 2 2 2 2. 10 2 10 6 13
10 25
f
yf ff x ff f f x f x
f
 

Phương trình tiếp tuyến của

3
C
tại C là
 
12. 10 . 2 10 24. 2 25 24 23yf x f x x

.
Câu 31.
Gọi
2
00 0
;23Mx x x
là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng là:

2
0
00 0
2
00
1
23
23
x
yx x xx
xx


00
22
00 00
13
.
23 23
xx
yx
xx xx


 
Vì tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm
1;Aa
nên ta có:

2
00
00
22
22 2
00
00 00 00
0
13
2
232
234
23 23 23
a
xx
aaxx
ax x
xx xx xx



  

22 2
00
0
2340*
a
ax ax a

Vì qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C) nên hệ phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt
42 2
0
00
15
0
15 15
3
350 350
33
a
aa
a
aa a
a





 


Vì
a
nên
1a
.
Câu 32.
Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên
.
Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên
, ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại
0x
.
Thật vậy, ta có:

3
222
0000
03 3
lim lim lim lim 3 0
0
xxxx
yx y x x x x x
xx x
xxx



nên hàm số có đạo hàm tại
0x
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (C) của nó đối xứng qua Oy. Do đó từ điểm A trên trục Oy
nếu kẻ được một tiếp tuyến d đến (C) thì ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy cũng là một tiếp tuyến của
(C). Vậy để qua điểm A trên trục Oy có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có
TOANMATH.co
m
Trang 61
một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị (C), tức là phần đồ thị
của hàm số

32
31yfx x x
, với
0x
.
Gọi

0;Mm
thuộc Oy và

là tiếp tuyến qua

0;Mm
có hệ số góc k. Ta có:

:
y
kx m
Điều kiện tiếp xúc là
32
2
31
36
xx kxm
xxk


Suy ra:


 
32 2 32
31 36 231*xx xxxmm xx
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình (*) có đúng một nghiệm
0x và một nghiệm 0x .
Phương trình (*) có nghiệm
0x
nên
1m
.
Thử lại, với
1m
thì (*) trở thành:
32
0
230
3
2
x
xx
x

(đúng).
Vậy
1m
Câu 33.
Gọi
32 32
11 1 2 2 2
;31, ;31Axxx Bxxx 
với

12
xx
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên chúng có cùng hệ số góc k.
Khi đó phương trình
2
36 0xxk có hai nghiệm phân biệt
93 0 3*kk
 




2
2
22
23322 22
21 21 2 1 21 1 12 2 1 2
3133AB xx xx xx xx xxxx x x


   



  
2
22
12 12 12 12 12
32 4 1 3 1xx xx xx xx xx






Với
12
2xx
và
12
3
k
xx 
nên



2
2
439 6
132 . 9 90 9
39
kk
kk k


(thỏa
mãn (*))
Khi đó

2
11;3
3690 : 20
33;1
xA
xx ABxy
xB



Do đó đường thẳng AB đi qua điểm
4;2N .
Câu 34.
Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm
00
;
x
y
là
000
.1yyx xx y

Từ phương trình elip
22
22
1
xy
ab

, đạo hàm hai vế ta được
2
22 2
22.
0
xyy bx
y
ab ay

 
2
0
0
2
0
*
bx
yx
ay

Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau:
TOANMATH.co
m
Trang 62


2 22
22 22 2 2
0 0000 00
00 0 0 0 0
2 2222 22
0
.. ..
.. 1
bx xx yy x y xx yy
y x x y ay bx bxx ayy
ay a b a b a b
Do
00
;
x
y thuộc elip nên
22
00
22
1
xy
ab

Câu 35.
Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số
10a  và (P) cắt Ox tại các điểm có hoành độ
12
12
x
mm x
Do đó yêu cầu đề bài
31 4mm
.
Câu 36.
Gọi
00
;Mx y C
. Phương trình tiếp tuyến tại M:


00
2
0
3
21
yxxy
x

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung

2
00
2
0
241
21
B
xx
y
x


Từ đó trọng tâm G của
OAB
có tung độ

2
00
2
0
241
3
32 1
B
G
ynn
y
n


Vì
Gd
nên

2
00
2
0
241
21
32 1
xx
m
x


Mặt khác:


2
2
22
00
00 0
222
000
621
241 6
11
21 21 21
xx
xx x
xxx




Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa mãn bài toán thì
11
21
33
mm
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là
1
3
Câu 37.
Ta có
0;1 mM
là giao điểm của

m
C
với trục tung
2
30
y
xm y m


Phương trình tiếp tuyến với

m
C
tại điểm M là
1ymx m
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ
1
;0
m
A
m



và
0;1
B
m
.
Nếu
0m
thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này.
Nếu
0m
ta có:
2
1
945
111
8.8 18 16
22
743
OAB
m
m
m
SOAOB m
mm
m

  

Vậy có 4 giá trị cần tìm.
TOANMATH.co
m
Trang 63
Câu 38.
Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại
00
;Mx y C
cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
4OA OB
Do
OAB
vuông tại O nên
1
tan
4
OB
A
OA

Hệ số góc của (d) bằng
1
4
hoặc
1
4
Hệ số góc của (d) là



00
0
22
00
00
3
1
2
111
0
4
5
11
3
2
xy
yx
xx
xy




  





Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:


13 15
1
42 44
15 113
3
42 44
yx yx
yx yx

 



 


Câu 39.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx
tại điểm có hoành độ
1x
là:
111
y
fx f

Từ giả thiết ta có:
23
13 9 1 1fxxfx
Với
0x
thay vào (1) ta được:
 

23
10
11
11
f
ff
f


Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được
2
613. 13 93 1 . 1
f
xf x f xf x


(2)
Với
0x
thay vào (2) ta được:
2
61. 1 93 1. 1ff f f

 (3)
Trường hợp 1: Với

10f
thay vào (3) ta được:
90
(vô lý).
Trường hợp 2: Với

11f 
thay vào (3) ta được:
  
61931 1 1fff


Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx tại điểm có hoành độ
1x
là
 
111 11
y
fx f x x

Vậy
yx
Câu 40.
Ta có

21
;
1
a
Mab C b
a

. Lại có

2
1
1
y
x
nên tiếp tuyến d tại M có hệ số góc là

2
1
1
k
a
.
TOANMATH.co
m
Trang 64
Đường thẳng IM có một vectơ chỉ phương là
1
1;
1
IM a
a





nên có một vectơ pháp tuyến là


2
1; 1na
Do đó đường thẳng IM có hệ số góc là



22
1
1
11
k
aa



Để
dIM thì


4
22
11 2
11
.1 . 1 11
11 0
11
aa
kk a
aa
aa


 




Mà
0a
, nên
2a
và
3b
. Do đó
5ab
Câu 41.
Ta có
2
223yx mx m

Đường thẳng
 
1
:260 : 3
2
dx y dy x 
có hệ số góc
1
2
k 
Gọi
00
;Mx y C . Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với d nên
 
00
.1 2
xx
yk y


22
00 00
2232 2250*xmxm xmxm
Yêu cầu bài toán
(*) có hai nghiệm trái dấu
5
250
2
mm
Vì m nguyên dương nên
1; 2m
.
Câu 42.
Theo đề bài ta có
 
  

12 3
2
22 2 2
22.
2
fg gf
kk f g k
g



Theo đề bài ta có
12 3
20kk k
nên ta có phương trình
  

   
2
2
22 2
1
2222220
22
fgf
fggf
g



Do
2g
là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số nên phương trình
2
222220ggf
có
nghiệm
 
1
01220 2
2
ff

Câu 43.
Hàm số xác định với mọi
1x
. Ta có:

2
4
1
y
x
Gọi

00
;Mx y
là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của

000
:Cyyx xx y

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong
hai đường phân giác
yx , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1
hay
0
1yx

.
TOANMATH.co
m
Trang 65
Mà
0, 1yx

nên ta có


000
2
0
4
111,3
1
yx x x
x
  
00
10: 1xy yx  
00
34: 7xy yx
Câu 44.
Ta có
2hx f x


và
020hx f x



12
12 1 2 0
1
x
xxgx
x


(Vì

0,gx x)
Từ đó ta có bảng xét dấu của

hx
Chú ý rằng đạo hàm của hàm số
hx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại đó và chính
bằng
0
tan
.
Câu 45.
Vì
:2 1 0Md xy
nên

;2 1Mm m
.
Tiếp tuyến của (C) qua M có phương trình dạng
21ykxm m
.
Từ điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C) khi và chỉ khi hệ



2
3
211
1
4
2
1
x
kx m m
x
k
x

có
nghiệm duy nhất.
Thay (2) vào (1), ta được:

 
2
2
34
21 3 1 4 21 1, 1
1
1
x
xmm x x xmmx x
x
x


Lần lượt thử từng phương án:
Với
1m 
thì phương trình trên trở thành
2
2420xx có nghiệm duy nhất là
1x 
.
Vậy

11;1mM
Câu 46.
Ta có

2
3
1
y
x
. Gọi

00
;Mx y
là tiếp điểm.
TOANMATH.co
m
Trang 66
Phương trình tiếp tuyến
có dạng:


0
0
2
0
0
21
3
1
1
x
yxx
x
x



0
0
2
0
0
0
21
3
:
0
1
1
y
x
Ox A
xx
x
x


Suy ra
2
00
221
;0
3
xx
A





00
2
0
0
0
321
:
1
1
x
xx
Oy B
y
x
x


Suy ra:

2
00
2
0
221
0;
1
xx
B
x





Diện tích tam giác OAB:
2
2
00
0
221
11
.
261
xx
SOAOB
x





Suy ra
2
2
00
0
221
1
1
61
OAB
xx
S
x





22
00
00 0 00
22
00 0 00
00
1
0,
221 1 2 0
2
1
221 12320
,2
2
xx
xx x xx
xx x xx
xx









Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là:
42
31,311,122,
33
yxyxy xy x   
Câu 47.
Ta có:
212.21 1 121gx f x xf x g f f


1
d
có hệ số góc là

1f
2
d
có hệ số góc là
  
1121gf f


Mà
       
2
12
1. 1 1 1. 1 2 1 1 2 1 1. 1 1 0dd f g f f f f f f


 

Để tồn tại
2
1180122ff f

Câu 48.
Ta có:
 


12
123
22
2. 2 2. 2 . 2 . 2
2, 2;
22
fg fg kg kf
kf kg k
gg




Mà
12 3
20kk k
nên ta có:
TOANMATH.co
m
Trang 67

   
2
33
2
3
2
2. 2 2. 2
1111
222.21
22222
kg k f
kfggg
g



Câu 49.
Ta có:

2
32 1
y
xmx

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d là
32
121 1xmx m xm
32
10*xm xxm
Gọi


;1
;1
;1
Aaa m
Bbb m
Ccc m



là tọa độ giao điểm giữa (C), d trong đó a, b, c đôi một khác nhau.
Theo đề bài ta có
 


222
19 3 2 1 19fa fb fc a b c m abc


 



2
32 2119abc abbcca m abc
Mặt khác từ (*)
1
1
abcm
ab bc ca


Do đó ta có
 
22 2
3122119 113 131mmmm



Vậy tổng giá trị
12
2mm
.
Câu 50.
Ta có:
2
32
y
xmxm

. Gọi

00
;Mx y C
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số
góc là

2
22
2
00 0 0
3
32 3
33 3
mm mm
kyx x mx m x m







Để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương thì:
22
33
0030
33
mm mm
m





Tập các giá trị nguyên của m là:
2; 1T 
.
Vậy tổng các phần tử của T là: -3.
Câu 51.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

2
2
:
xmxm
Cy
xm

và trục hoành là
2
2
20*
2
0
xmxm
xmxm
xm
xm




TOANMATH.co
m
Trang 68
Đồ thị hàm số
2
2xmxm
y
xm

cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt
phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt khác
2
2
0
0
1
30
1
3
m
mm
m
m
mm
m






Gọi

00
;Mx y là giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành thì
2
00 0
20yx mxm
và hệ số góc của tiếp
tuyến với (C) tại M là:


2
0000
0
0
2
0
0
22 1 2
22
xmx xmxm
xm
kyx
xm
xm


Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai giao điểm với trục hoành là
12
12
12
22 22
,
xm xm
kk
xm xm



Hai tiếp tuyến này vuông góc
12
12
12
22 22
.1 1
xm xm
kk
xm xm






22
12 1 2 12 1 2
4**xx m x x m xx m x x m



Ta lại có
12
12
2
xx m
xx m

, do đó (**)
2
0
50
5
m
mm
m

. Nhận 5m .
Câu 52.
Do

y
fx có đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
1234
,,,xx xx
nên

1234
,0fx ax x x x x x x x a


234 134
f
x axx xx xx axx xx xx


124 123
axx xx xx axx xx xx
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A là
11121314
1k fx axxxxxx

Ta có
32 32
1111
432 432 2y f x ax bx cx d f x ax bx cx d


Từ (1) và (2) ta suy ra
32
11111
432kfx ax bx cxd

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại B là
3
22212324
2k fx axxxxxx ad

Do hai tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc với nhau nên

2
326
12
1
.112 1
12
kk ad ad 
Ta có:
 
2
326
3313234 3
1
24
3
fx ax x x x x x ad fx ad




 
2
326
4414243 4
6363fx ax x x x x x ad fx ad




TOANMATH.co
m
Trang 69
Vậy

22
34
34Sfx fx




Câu 53.
Ta có:

23
12 1 1fxxfx




2
412.12 131 .1 2fxf x fxfx




Cho
0x
  

23
10
11 10
11
f
ff
f




   
2
24.1.1131.1ff f f




Ta thấy

10f không thỏa mãn, với
 
1
11 1
7
ff
 
Phương trình tiếp tuyến là:
16
77
yx
Câu 54.
Từ giả thiết

2
2 2 1 2 12 , (*)fx f x x x
Chọn
1
0,
2
xx
ta được


20 1 0 0 1
21 0 3 1 2
ff f
ff f







Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
4. 2 2. 1 2 24 ,fx f x xx


Chọn
1
0,
2
xx
ta được


40210 02
412012 14
ff f
ff f









Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
41242yx x
Câu 55.
Từ giả thiết

23
12 13 , (*)fxxfxx



Chọn
0x
ta được
 

23
10
11
11
f
ff
f


Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
 
2
2. 1 2 .2. 1 2 1 3. 1 3 . 3. 1 3 ,fxf x f xf xx


Chọn
0x
ta được
2
4. 1 . 1 1 9 1 . 1ff f f


.

10f 
vô lý.
Suy ra

11f 
và

1
1
13
f

.
TOANMATH.co
m
Trang 70
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

112
11
13 13 13
x
yx

Câu 56.
Từ

23
2210fx fx x



(*), cho
0x
ta có
 

23
20
220
21
f
ff
f




Đạo hàm hai vế của (*) ta được

2
22. 232.210fx f x fx fx




Cho
0x
ta được
   
2
22. 2 3. 2 . 2 10ff f f




2. 2.3 2 2 10ff f



(**).
Nếu
20f
thì (**) vô lý.
Nếu
21f 
, khi đó (**) trở thành
2. 3 2 10 2 2ff


Phương trình tiếp tuyến
221 25
y
xyx
.
Câu 57.
Đường tròn
2
2
:14xy
 có tâm

0;1I
, bán kính
2
R
.
Ta có
3
1;1 ; 4 4 1 4 4Amyxmxy m


Suy ra phương trình
:y 4 4 1 1mx m
Dễ thấy
luôn đi qua điểm cố định
3
;0
4
F



và điểm F nằm trong đường tròn
Giả sử
cắt
tại M, N. Thế thì ta có:
 
22 2
2;24;
M
N R dI dI
Do đó MN nhỏ nhất
;dI lớn nhất
;dI IF IF.
Khi đó đường
có 1 vectơ chỉ phương

3
;1; 1;4 4
4
uIF u m





nên ta có:

313
.01. 44 0
416
un m m 

.
Câu 58.
Từ giả thiết
32
22 12 4 , *fx f x xx x
.
TOANMATH.co
m
Trang 71
Chọn
1
0,
2
xx
ta được




1
20 1 0
0
12
1
1
21 0
1
4
6
ff
f
ff
f






Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
2
4.22.12122,fx f x x xx


Chọn
1
0,
2
xx
ta được




1
0
40210
3
2
41202
1
3
f
ff
ff
f






Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
fx tại điểm có hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần
lượt là
21
32
yx
và
11
312
yx
.
Do đó
11
211 1
;;a;
32 312
ab b


.
Vậy
11
25 46
.
32 5
ab
ba
| 1/71
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.
+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.
+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm. Kĩ năng
+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.
+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan.
+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức, tính giới hạn. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
c  0,c là hằng số; x 1;   1  1   ;   2  x xx 1  ; 2 xnx n 1  .  n x
( với n là số tự nhiên).
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Cho các hàm số u ux; v vx có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1. u v  u  v ;
2. u v  u  v ; 3.   .
u v  uv v ; u   u
uv v 4. 
u v v x  0 .   2      v v Chú ý: a)  
k.v  kv ( k: hằng số);    v b) 1  v v x  0   . 2      v v Mở rộng:   
u u  ...  u
u  u  ...  u; 1 2 n  1 2 n    . u .
v w  u . .w v  . u v .w  . u .w v .
3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y f ux  f u với u ux .
Khi đó: y  y.  u . x u x
4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm hợp u ux TOANMATH.com Trang 2  
c  0,c là hằng số  1  u     2  u ux 1     u u   1  1 2 u     2  x x  u   1  .u .   u x 1  2 x  x   1  .  a x
5. Đạo hàm các hàm số lượng giác
a) Giới hạn của sin x . x Định lý: sin x lim  1. x 0 x
Chú ý: Nếu hàm số u uxthỏa mãn điều kiện: ux  0 với mọi x x và lim ux  0 thì 0 xx0 sin u x  lim  1. xx0 u x
b) Đạo hàm của hàm số y  sin x Định lý: Hàm số 
y  sin x có đạo hàm tại mọi x   và sin x   cos x Chú ý: Nếu
y  sin u và u u x thì sin u  u .cos u .
c) Đạo hàm của hàm số y  cos x Định lý: Hàm số 
y  cos x có đạo hàm tại mọi x   và cos x   sin x Chú ý: Nếu
y  cos u và u u x thì cos u  u .sin u
d) Đạo hàm của hàm số y  tan x Định lý:  Hàm số 1 
y  tan x có đạo hàm tại mọi x   
k , k   và tan x   . 2 2 cos x
Chú ý: Nếu y  tan u và u ux có đạo hàm trên K,ux   
k k   với mọi x K . 2 
Khi đó trên K ta có:   tan   u u . 2 cos u TOANMATH.com Trang 3
e) Đạo hàm của hàm số y  cot x Định lý: Hàm số 1 
y  cot x có đạo hàm tại mọi x  
k , k   và cot x    . 2 sin x
Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác   
sin x   cos x
sinu  u .cosu  
cos x    sin x
cosu  u.sinu    x  1  tan  tan   u u 2 cos x 2 cos u    x  1  cot   cot    u u 2 sin x 2 sin u
Chú ý: Nếu y  cot u và u uxcó đạo hàm trên K, ux  
k k   với mọi x K . Khi đó trên K ta có:   cot    u u . 2 sin u
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến 0
với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x ; y . 0 0 
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x ; y là: y y x x xy 0   0  0 0  0
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x 0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm
Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo
Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số hàm 2 1 3 2   3  x y x x
Công thức đạo hàm x
Hướng dẫn giải n x  n 1  .  n x
(với n là số tự nhiên).     2x 1
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Ta có y   3 x    2 3x      x
Cho các hàm số u ux;v vx có đạo 2.  2 1 .1 2    3  6  x x x x .
hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. 2 x Ta có: 1 2
 3x  6x  . 2 x a)  
u u  ...  uu   u  ...  u . 1 2 n  1 2 n TOANMATH.com Trang 4 b)   . u .
v w  u . .w v  . u v .w  . u .w v  .   u   u v v c) 
u v v x  0   . 2      v v Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số a) 3 4 2 y  x x  2020x . 2 x  b) 2 y x  1
Hướng dẫn giải     a) y   3 4 x  2  x       2020x  3
y  4x  3x  2020 .  2    
x  2 . x  
1   x  2 x   1 b) y  x  2 1
1 .x  1 x 2 2  xx  2 1
x  1  2x  4  x
2 x x  2 1 1 x  4  x .
2 x x  2 1
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số
a) y x 2x   1 3x  2. b) 2
y x  x x  5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có y x x   x     2 2 1 3 2
2x x 3x  2 . Khi đó y    2
2x x 3x  2   2 x x   x   x        2 2 . 3 2 3
2 . 2x x
  x   x     2 4 1 3 2 3 2x x  2
 18x  2x  2 . TOANMATH.com Trang 5 b) Ta có y     2
x    x x   5 
 2x x . x   x  .x 1  2x x  .x 2 x 3  2  x x . 2
Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau a b   ax b c d a)   
(a, b, c, d là hằng số)  cx d  cx d ; 2 a b a c b c 2 x  2 x   2
ax bx c a b a c b c b) 1 1 1 1 1 1   
(a, b, c, a ,b ,c là hằng số) 2 a x b x   c   1 1 1 2 1 1 1
a x b x c 1 1 1 2 b c 2 . a a x  2 . a b x  
ax bx c  1 1 2 a b c)    1
1 (a, b, c, a , b là hằng số) a x   b   1 1 a x b 2 1 1 1 1
Hướng dẫn giải a) Ta có   ax b
ax b cx dax bcx d     cx d  cx d2
a cx d   ax b  c cx d2 ad   bccx d 2 a b   ax b c d Vậy     cx d  cx d2 b) Ta có         2
ax bx c  2
a x b x c    2
ax bx c 2 2
a x b x c ax bx c 1 1 1 1 1 1     2 a x b x   c   2 1 1 1
a x b x c 1 1 1 2 TOANMATH.com Trang 6
2ax b. 2
a x b x c    2
ax bx c . 2a x b 1 1 1   1 1  
a x b x c 2 2 1 1 1
 .ab a .b 2x 2 .ac a .c x  .bc b .c 1 1  1 1   1 1   
a x b x c 2 2 1 1 1 a b a c b c 2 x  2 x   2
ax bx c a b a c b c Vậy 1 1 1 1 1 1   
(điều phải chứng minh). 2 a x b x   c   2 1 1 1
a x b x c 1 1 1 2        2
ax bx c 
.a x b    2 2
ax bx c . a x b ax bx c 1 1   1 1 c) Ta có    a x   b  ax b 2 1 1 1 1
2ax b.a x b  2
ax bx c .a 1 1  1 
a x b 2 1 1 2 . a a x  2 . a b x  .
b b a .c 1 1  1 1  
(điều phải chứng minh).
a x b 2 1 1 b c 2 . a a x  2 . a b x  
ax bx c  1 1 2 a b Vậy    1 1 a x   b
a x b 2 1 1 1 1
Bài toán 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp Phương pháp giải
Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là
Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số 
y   x x2 4 2 2  2x 1
u và hàm số y f u có đạo hàm tại u là  y x u
Hướng dẫn giải
thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là 2    4  2
y  y .  u .
Ta có y  x  2x     2x    1 x u x
Công thức đạo hàm của một số hàm hợp  2 2x 1 thường gặp: y  2  4
x  2x . 4 x  2x     2 x   2 2 1 n u  n 1   n u u * . . n       x y 2  4 4
x  2x . 3 4x  2     2 2 2x 1  u u ; 2 u    x y 4x  2 3 x  2. 3 2x   1  .  2 x   2 1 1     u   . 2  u u
trong đó u ux . Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 7
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3  x   a) 2 1 y    ; b) 2
y  3x  2x 1 .  x 1 
Hướng dẫn giải a) Ta có: 
 2x 1  2x 1  2x 1 3  9 2x  2 2 2 1 y  3. .  3. .        
x 1   x 1 
x 1  x  2 1 x  4 1   2
3x  2x   1 x x  b) Ta có: 6 2 3 1 y    . 2 2 2
2 3x  2x  1
2 3x  2x  1 3x  2x  1
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 2   2 x    a) 1 1 y    ;   b) y x  .   1   x   x
Hướng dẫn giải
  x   x  a) Ta có: 1 1 y  2       1  x 1    x   1 x  2    2  x 2     1  
x  1 x  2 1   x x 1 x 3 2      1   1   1  b) Ta có: y   x      2. x  . x       x     x   x    1   1 1   2. x       x   2 x 2x x  1  1   1   2. x  1     2 x x   x   1   1   1 1      x  x  1  1 . 2 x
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số 2 y
x 1  2x 1
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 8 x  2 2 2 x x x  Ta có: 1 2 1 y   2 2
x 1  2x 1 2  2 x   1  2
x  1  2x   1
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số f x  ax b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f  x  .
a B. f  x   .
a C. f  x  .
b D. f  x    . b
Câu 2: Đạo hàm của hàm số f x 2
x  5x 1 tại x  4 là
A. – 1. B. – 5. C. 2. D. 3. x Câu 3: Hàm số 2 1 y  có đạo hàm là x 1 A. 1 3 1
y  2. B. y   C. y   D. y   . . x   . 2 1 x  2 1 x  2 1
Câu 4: Cho các hàm số u ux,v vx có đạo hàm trên khoảng J và vx  0 với x J . Khẳng
định nào sau đây sai?   1  v x
A. ux  vx   u 
x vx. B..
vx  2  v xu x     
u x .v x   v x .u x
C. ux 
.v x   u 
x.vx vx.ux. D.  .
vx   2  v x  4 3
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số x 2x 1 y     8 2 3 x A. 1 1 3 2
y  2x  2x  1 B. 3 2
y  2x  2x  . 2 x 2 x C. 3 2 1
y  2x  2x 1 D. 3 2
y  2x  2x  . 2 x 2 x
Câu 6: Cho hàm số  x y
. Đạo hàm của hàm số tại x  1 là x  2 A. y  1  4
 . B. y  1  5
 . C. y  1  3  . D. y  1  2  .
Câu 7: Đạo hàm của hàm số y    x 5 3 1 là
A. y    x 4 3 5 1 .
B. y   x   x 4 2 3 15 1 .
C. y     x 4 3 3 1 .
D. y   x   x 4 2 3 5 1 . x  2 2
Câu 8: Hàm số y  có đạo hàm là 1  x TOANMATH.com Trang 9 2 x  2 x A. 2   x 2x y . B. y   2 1 x 2 1 x 2 x C. 2x y  2
 x  2 . D. y  1 x2
Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số 2
y x 2x   1 5x  3 . A. 2 2
y  40x  3x  6x. B. 3 2
y  40x  3x  6x. C. 3 2
y  40x  3x  6x. D. 3 2
y  40x  3x x.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số 1 3 6 y x   2 x là 2 x A. 3 1 3 1 5 y  3x   . B. 5 y  6x   . 2 x x 2 x 2 x C. 3 1 3 1 5 y  3x   . D. 5 y  6x   . 2 x x 2 x 2 x 3  
Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số 5 y  4x    . 2  x  2    2    A. 10 5 10 5 y  3 4  4x  .  
B. y  3 4  4x  .    3 2  x  x  3 2  x  x  2   2    C. 5 10 5 y  4x  .  
D. y  3 4  4x  .    2  x  3 2  x  x
Câu 12: Đạo hàm của hàm số f x 2  2  3x là  2  A. 3x 1 6x 3x . B. . C. . D. . 2 2  3x 2 2 2  3x 2 2 2  3x 2 2  3x
Câu 13: Cho hàm số     x y f x
. Giá trị y0 bằng 2 4  x A. y  1 0 
. B. y  1
0  . C. y0  1. D. y0  2. 2 3
Câu 14: Đạo hàm của hàm số 1 ax y  có dạng . 2 x 1 x  3 2 1
Khi đó a nhận giá trị nào sau đây? A. a  4.  B. a  1.
C. a  2. D. a  3. 
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số 2
y x x x 1 . A.   x x y 2x x  1 
B. y  2x x 1  2 x  1 2 x  1 C.   x x y
D. y  2x x 1  2 x 1 2 x  1 TOANMATH.com Trang 10
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau y   x  3  x  2 2 3 . A. 2 3
y   x x  3   x   x  3 2 3 5 6 2 3
2 . B. y   2
2 x  5x  6  3 x  3 x  2 C. 2 3 y   2
3 x  5x  6  2 x  3 x  2 . D. y   2
3 x  5x  6  2 x  3 x  2
Câu 17: Đạo hàm của hàm số y  x x  7 2 3 7 là
A. y   x  x x  6 2 7 2 3 3
7 B. y  x x  6 2 7 3 7
C. y   x  x x  6 2 2 3 3
7 D. y   x  x x  6 2 7 2 3 3 7
Câu 18: Cho f x 3
 1 3x  1 2x . Giá trị của f 0 bằng A. 5 . B. 5
 . C. 0. D. 1. 6 6
Câu 19: Đạo hàm của hàm số 2 y x x là A. x x x x x x x . B. 5 . C. 5 . . D. 5 . 2 2 3 2 2 x x  2 ax
Câu 20: Đạo hàm của hàm số 1 bx y  có dạng . Khi đó . a b bằng x 1 x  2 1 A. . a b  2  . B. . a b  1  . C. . a b  3. D. . a b  4.
Câu 21: Đạo hàm của hàm số 1 y   bằng x   1  x  3 x   A. 1 2 2  4  . B. 1 . C. . D.
x  32  x  2 1 2x  2
x 2x 32 2
x 2x 32 2
Câu 22: Cho hàm số f x  2018  x2017  2x2016  3x...1 2018x . Giá trị của f   1 bằng A. 1009 2019.2018 B. 2019 2018.1009 C. 2018 1009.2019 D. 1009 2018.2019
Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số  x y 2 2 a x 2 2 2 2 A.    a a 2a a y . B. y  . C. y  . D. y  .  3 3 3 a x 3 2 2  2 2 a x   2 2 a x   2 2 a x
Câu 24: Đạo hàm của hàm số y   x   2 1
x x 1 là 2 x x  2 x x  2 x x  2 x x A. 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 . B. . C. . D. . 2 2 x x  1 2 2 x x 1 2 x x  1 2 2 x x  1    x ax Câu 25: Cho 3 2 b 1  x   
Giá trị của a bằng  4x 1  4x   , . 1 4x 1 4 b
A. – 16. B. – 4. C. – 1. D. 4.
Câu 26: Cho f x  x x  
1  x  2 x  3... x n với *
n   . Tính f 0 . TOANMATH.com Trang 11
A. f 0  0. B. f 0  n C. f 0  n! D.    1 0  n n f 2
Câu 27: Cho hai hàm số f x và g x đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 f   x 2
f   x 2 2 2 2 3
x g x  36x  0,x  . Giá trị của A  3f 2  4 f 2 bằng
A. 11. B. 14. C. 13. D. 10.
Câu 28: Cho hai hàm số f x và g x xác định và liên tục trên  thoả mãn: f x 2
x ,x   và g   1  3; g 
1  5 . Tính đạo hàm của hàm số hợp f g x tại x  1.
A. 0. B. 9. C. 15. D. 30.
Câu 29: Biết hàm số f x  f 2x có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 . Tính đạo
hàm của hàm số f x  f 4x tại x  1.
A. 8. B. 12. C. 16. D. 19.
Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số số lượng giác  x y sin 2x  cos  tan 2020x    2
sin x   cos x
sinu  u .cosu
Hướng dẫn giải  
cos x    sin x
cosu  u.sinu Ta có:       x   x  1  tan  tan   u u
y  sin 2x   cos    tan 2020x 2 cos x 2 cos u  2     1 x 2020 x  1  cot   cot    u u  2.cos2x  sin  2 sin x 2 sin u 2 2 2 cos 2020x Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số
a) y  sin 2x  cos 5x .
b) y  sin x.cos 4x . c) 6 4 2 2 4 4
y  cos x  2 sin x. cos x  3sin x.cos x  sin x .
Hướng dẫn giải a) Ta có: y   
  sin 2x  cos5x  2cos2x  5sin5x. b) Ta có: y   
  sin x .cos4x  sin x.cos4x
 cos x.cos4x  4sin x.sin 4x c) Ta có: TOANMATH.com Trang 12 4 y x  2  x  4  x  2 2 sin 1 2 cos cos
3sin x  cos x  4  x  2  x  4  x  2 sin 1 2 cos cos 1 2 sin x  4 4 4 2 2 4
 sin x  cos x  2sin x cos x  2sin x cos x   x x 2 2 2 2 2 2 2  x x x x  2 2 cos sin 2 sin cos 2 sin cos
cos x  sin x   1.
Vậy y  1  0.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số       
a) y  sin x   cos  2   
x  tại x  .  3   6  3        b) 2 y  cos 3x   sin  2   
x  tại x  .  6   3  3
Hướng dẫn giải            
a) Ta có y  cos x   2sin  2x y  cos       0 2sin   1  .    3   6   3   2        b) Ta có 2 y  3s  in 3x   2cos  2    x   6   3     5 1  y  3s  in  2 cos0  .    3  6 2
Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số
a) y  tan 2x   1 ; b) y   2 cot 3x  5.
Hướng dẫn giải a) Ta có: yx   2    tan 2 1  . 2 cos 2x   1  b) Ta có:    x y cot  6 2 3x  5     . 2 sin  2 3x  5 
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số f x  tan x  cot x tại điểm x  . 4
Hướng dẫn giải  tan x  cot x
Ta có: f  x   
2 tan x  cot x 1 1  2 2 cos x sin  x
2 tan x  cot x TOANMATH.com Trang 13 2 2 sin x  cos  x 2 2
2 sin x cos x tan x  cot x 2  cos2  x . 2
sin 2x tan x  cot x      2 cos Suy ra f   2    0 .  4  2      sin tan    cot  2  4 4
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số 1 1 1 1 1 1 y   
 cos x với x 0;  . 2 2 2 2 2 2
Hướng dẫn giải Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2     cos    x y x cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x 2    cos   cos   cos 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x x 2  cos  cos . 8 8   x  Do đó 1   x y cos   sin   .  8  8 8 x
Ví dụ 6: Cho hàm số sin x cos  x y
cos x x sin x
Chứng minh rằng: y x x x 2 2 2 sin cos  x y  0 .
Hướng dẫn giải Ta có:   
sin x x cos x  cos x x sin x   sin x x cos x cos x x sin x y 
cos x xsin x2 Ta có: +)   
sin x x cos x   cos x xcos x x.cos x   x sin x ; +)   
cos x x sin x   sin x xsin x x.sin x   x cos x
x sin x.cos x x sin x   sin x x cos x  2 x cos x Do đó:    x y
cos x xsin x2
cos x xsin x2
Ta có: VT y x x x 2 2 2 sin cos  x y TOANMATH.com Trang 14 2 2 x
 sin x x cos x  
. sin x x cos xx .  0  V .   P 2  2 2
cos x xsin x
 cos x x sin x
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
A. y  5cos x  3sin x.
B. y  cos x  3sin x.
C. y  cos x  sin x.
D. y  5cos x  3sin x.
Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y  3x  2 tan x . 2  2  A. 5 2 tan   x 5 2 tan x y . B. y  2 3x  2 tan x 2 3x  2 tan x 2   2   C. 5 2 tan   x 5 2 tan x y D. y  2 3x  2 tan x 2 3x  2 tan x   
Câu 3: Cho hàm số y  cos3x.sin 2x . Giá trị của y  bằng  3  A. 1 . B. 1
 . C. – 1. D. 1. 2 2 Câu 4: Hàm số 2
y x cos x có đạo hàm là A. 2
y  2x cos x x sin x. B. 2
y  2x cos x x sin x. C. 2
y  2x sin x x cos x. D. 2
y  2x sin x x cos x.
Câu 5: Đạo hàm của hàm số y  sin cos x  cossin x là
A. cos x coscos x  sin x sinsin x . B.  sin x cos 
cos x cos xsin xsin x
C.  cos x cos 
cos xsin xsinsin x. D. sin xcoscosxcosxsin xsin x
Câu 6: Đạo hàm của hàm số 4 4
y  sin x  cos x là
A. sin 4x.
B. 2  sin 4x.
C. cos 4x  sin 4x. D. sin 4x.
Câu 7: Biết hàm số y  5sin 2x  4 cos 5x có đạo hàm là y  a sin 5x b cos 2x . Giá trị của a b bằng
A. – 30. B. 10. C. – 1. D. – 9.
Câu 8: Cho hàm số y f x 2 
. Giá trị của f 3 bằng cos  x  
A. 2 . B. 8 . . C. 4 3 . D. 0. 3 3 2   
Câu 9: Cho hàm số y f x  sin x  cos x . Giá trị f   bằng  16  
A. 0. B. 2. C. . D. 2 2 . 2  TOANMATH.com Trang 15
Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số 2
y  sin x. cos x . A. y  x  2 sin 3cos x   1 . B. y  x  2 sin 3cos x   1 . C. y  x  2 sin cos x   1 . D. y  x  2 sin cos x   1 .
Câu 11: Cho hàm số f x  acos x  2sin x  3x  2020 . Tìm a để phương trình f  x  0 có nghiệm
A. a  5. B. a  5. C. a  5. D. a  5.   
Câu 12: Cho hàm số y f x được xác định bởi biểu thức y  cos x và f  1   .  2 
Hàm số y f x là hàm số nào sau đây?
A. y  1 sin x . B. y  cos x . C. y  1 cos x . D. y  sin x .
Câu 13: Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là A. 1 1 y   . B. 1 1 y   . sin x cos x sin x cos x C. cos x sin    x x x y D. cos sin y   sin x cos x sin x cos x
Câu 14: Cho f x 3
 sin ax, a  0 . Tính f  .
A. f   2  3sin   a .cos 
a . B. f    0.
C. f   2  3asin  
a . D. f   2  3 . a sin   a .cos  a .
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số sin  x y . sin x  cos xA. 1 1 y  y   B. .
sin x  cos x  . 2
sin x cos x2  C. 1 1 y  y   D. .
sin x  cos x  . 2
sin x  cos x2    Câu 16: Cho hàm số cos 2  x y
. Giá trị của y  bằng 1  sin x  6              A. y  1.   B. y  1.    C. y  3.   D. y   3.    6   6   6   6 
Câu 17: Đạo hàm của hàm số f x         2   2  2 2 2 2 2  cos  x  cos  x  cos  x  cos  x  2sin         x là  3   3   3   3 
A. 6. B. 2sin 2x. C. 0. D. 2 cos 2x.   
Câu 18: Cho hàm số f x  sin sin x. Giá trị của f   bằng  6     A.  . B. 3 . C. 0. D. . 2 2 2 TOANMATH.com Trang 16
Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số 2 y    4 sin cos tan 3x  . A. y 
  4 x   4 x 3 x  3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3 . 1  tan 3x .3. B. y 
  4 x   4 x 3 x  3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
. tan 3 . 1  tan 3x C. y 
  4 x   4 x 3 x  3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3 . 1 tan 3x D. y  
  4 x   4 x 3 x  3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3 . 1  tan 3x .3
Câu 20: Hàm số y  cot 2x có đạo hàm là 2   2 1 cot 2x  2   2 1  tan 2x A. 1 cot 2   x 1 tan 2 y . B. y  . C.   x y . D. y  cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x
Câu 21: Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là A. 1 4 4 1 y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 sin 2x 2 cos 2x 2 sin 2x 2 cos 2x Câu 22: Hàm số 2  x y tan có đạo hàm là 2 x x x tan 2 sin sin A. 2 y  . B. 2 y  . C. 2 y  . D. 3   x y tan . x x x 2 2 cos 2 cos 3 2 cos 2 2 2 x Câu 23: Cho hàm số sin cos  x y
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? sin x  cos x x x A. cos sin   x x y . B. cos sin y  . cos x  sin x cos x  sin x C. 2 sin x y  y   D. .
sin x  cos x  . 2
sin x  cos x2
Câu 24: Tính đạo hàm y  cos6x .   A. 3sin 6   x y . B. 3sin 6   x y . C. 3sin 6   x y . D. 3sin 6   x y 2 cos 6x cos 6x cos 6x cos 6x
Câu 25: Đạo hàm của hàm số 2
y x tan x x là A. 1
y  2x tan x  . B. 2 . 2 x 3 2 2 C. x 1 x 1
y  2x tan x  
. D. y  2x tan x   . 2 cos x 2 x 2 cos x x   
Câu 26: Cho hàm f x thỏa mãn f
x    f x  2 sin 1 cos  cos x  
 . Giá trị của f   1 là  4 
A. 3 . B. 2 . C. 2. D. 1. 2 2 TOANMATH.com Trang 17
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y   2 cos tan x . A. y  x  2 x    2 2 tan . tan
1 .sin tan x  . B. y  x  2
2 tan .sin tan x C. y   x  2 x    2 2 tan . tan
1 .sin tan x
D. y   2 x    2 2 tan 1 .sin tan x   
Câu 28: Đạo hàm của hàm số 1
y  2  tan x    là  x    2 1 1  tan x    A. 1  x y  . B. y   1   1  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x   1   1  2 1  tan x    2 1  tan x     x     x    C. 1 1 y  . 1   D. y  . 1   2  2 1   x   1   x  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm. Phương pháp giải
Sử dụng công thức và quy tắc tính đạo hàm
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 y  3
x  25x  20 .
Áp dụng kiến thức phương trình, bất
Giải phương trình y  0 .
phương trình để giải quyết bài toán.
Hướng dẫn giải g x
 Để tính A  lim
biết g x  0 . Ta có: 2 y  9  x  25. 0  xx x  0 x0 5 2 y    x    x   Ta viết 0 9 25 0 .
g x  f x  f x . Khi đó nếu 0  3
f x có đạo hàm tại x thì 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 x  3
f x   f x0  A  lim  f x 0  và 5 x   xx x  0 x0 3 F x   3 Để tính  x B  lim , biết Ví dụ 2. Tính 1 1 A  lim .
x x0 G x x0 x
F x G x  0.
Hướng dẫn giải 0   0 1 
Ta viết: F x  f x  f x và
Đặt f x 3
 1 x f x  và 0  3 1 x2 3
G x  g x  g x . 0  f 0  1 . TOANMATH.com Trang 18
Nếu hai hàm số f x, g x có đạo hàm tại
f x   f 0 Suy ra A   f   1 lim 0   . x0 x  0 3
x x và g x  0 thì: 0  0
f x   f x0  x x f  x 0 0  B  lim  xx g x g x g 0    x 0   0  x x0 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số f x  x   2
1 x . Chứng minh rằng 2
2 1  x .y  y . Hướng dẫn giải Ta có    1  1  x  2
y   x  1 x   . 2
x  1  x   .1  2   2 2      1 2 1 2 1  x x x x x  2 2 1 1 x x 1 x x y 2  .  
 2 1 x .y  . y 2 2 2 2   1  x 2 1  x 2 1 2 1  x x x
Ví dụ 2: Cho hàm số f x 2
x  2x . Giải bất phương trình f x  f x .
Hướng dẫn giải x x  Ta có 1 f  x  1 
. Khi đó f  x  f x 2 
x  2x   1 2 x  2x 2 x  2x
Điều kiện xác định: x  ;0   2; .  3  5 x    2 2 2
1  x 1  x  2x x  3x  1  0    3  5 x   2 
Kết hợp với điều kiện trên suy ra x  0 hoặc 3 5 x  . 2 3
Ví dụ 3: Cho hàm số f xx 2 
mx  m  2 x  7 . Tìm giá trị của tham số m để f x  0 với mọi 3 x   .
Hướng dẫn giải
Ta có f  x 2
x  2mx m  2 f  x 2
 0, x   x  2mx m  2  0, x  TOANMATH.com Trang 19 a  1  0  2  
m m  2  0  1   m  2 2   m   m  2  0 Vậy 1
  m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Giải phương trình f  x  0 trong các trường hợp sau
a) f x  sin3x  3sin x  7 ;
b) f x  cos2x  2sin x 1.
Hướng dẫn giải
a) f x  sin3x  3sin x  7  f  x  3cos3x  3cos x . Khi đó:
f  x  0  3cos3x  3cos x  0  cos3x  cos x
3x x k2  
3x  x k2 x   k      k x  2    k xk  2
b) f x  cos2x  2sin x 1 f  x  2
 sin 2x  2cos x .
f  x  0  2
 sin 2x  2cos x  0  cos x  2  sin x   1  0 cos x  0   1 sin x   2   x     k 2   
x   k2  6  
x     k2  6   x     k 2   
x   k2 k   6  5 x   k2  6 2 3 2  x  
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau: 1 2 1 3  x A lim x 0 1  cos x
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20 2 3 2
1  2x  1 3x 2 f x  Ta có:  lim x A  lim x0 x x0 x 2 2 2 sin 2 sin 2 2 2 2 x x 2 xx  2 2 sin sin   Mà 1 1 2 2 lim  lim    . 2 x0 x0 x 2 x 2    2  Đặt 2
t x , sử dụng phương pháp liên hợp ta có f x  3
1 2t  1 3t lim  lim  0 . x0 t0 t Vậy A  0.
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Cho hàm số 3
y  1 x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2
3yy  1  0 . B. 2
yy  1  0 C. 2
3yy 1  0 D. 2
yy 1  0
Câu 2: Cho hàm số   3  x f x
. Tập nghiệm của phương trình f  x  0 là x 1         A. 2 0;  . B. 2 0;   . C. 3 0;  . D. 3 0;   .  3  3   2   2  Câu 3: Cho hàm số 2 y x
x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2
y 1  x y  0. B. 2
y 1  x y  0. C. 2
y 1  x y  0. D. 2
y 1  x y  0.
Câu 4: Cho f x  m   3
x  m   2 1 2
1 x mx . Tập hợp các giá trị của m để f  x  0, x   là
A. 1;4. B. 1;4 . C. 1;4 . D. 1;4 .
Câu 5: Cho hàm số f x 3
k x x k  . Giá trị của k để f   3 1  là 2
A. k  1. B. k  3. C. k  3. D. 9 k  . 2 Câu 6: Cho hàm số 3 2
y x  3x  9x  5 . Phương trình y  0 có tập nghiệm là A.  1  ;  2 . B.  1  ;  3 . C. 0;  4 . D. 1;  2 Câu 7: Cho hàm số 2 y
2x x . Khi đó . y y bằng 2 x A. 1 2 x
. B. 2  2x. C. 1 x. D. . 2 2
Câu 8: Cho hàm số f x 3 2
 2x  3x  36x 1. Để f x  0 thì x có giá trị thuộc tập hợp A.  3;   2 . B. 3;  2 . C.  6;   4 . D. 4;  6 .
Câu 9: Cho hàm số f x 3 2
x  2x  7x  3. Để f x  0 thì x có giá trị thuộc tập hợp TOANMATH.com Trang 21         A. 7  ;1   . B. 7 1  ; C. 7  ;1   D. 7  ;1    3   3   3   3  2  x x Câu 10: Cho hàm số 2 7 y
. Tập nghiệm của phương trình y  0 là 2 x  3 A.  1  ;  3 . B. 1;  3 . C.  3;   1 . D.  3;    1 2 x x Câu 11: Cho hàm số 3 3 y
. Tất cả các nghiệm của phương trình y  0 là x  1
A. x  0. B. x  2. C. x  2.
D. x  0; x  2. x
Câu 12: Cho hàm số f x 2 1 
. Đạo hàm của hàm số f x nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào 2 x  1 dưới đây? A.  ;0
 . B. 0;. C.  
;1 1;. D.  1  ;  1 .
Câu 13: Cho hàm số f x 3 2
x x x  5. Với giá trị nào của x thì âm? A. 1
1  x  . B. 1  x  1. C. 1
  x  1. D. 2   x  2. 3 3 3 3
Câu 14: Cho hàm số f x 2  2cos 4x  
1  2  2020 . Giá trị nhỏ nhất của f  x là bao nhiêu?
A. min f  x  8  .
B. min f  x  8
C. min f  x  4
D. min f  x  4 
Câu 15: Cho hàm số y  3 sin x  cos x  2x  2019 . Số nghiệm của phương trình y  0 trên đoạn 0;2020 là
A. 2019. B. 2020. C. 1011. D. 1010.
Câu 16: Cho hàm số f x  sin 2x . Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu
diễn các nghiệm của phương trình 3 f x  2 f  x  5?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 17: Cho f x 1 3 2
x x  4x . Tìm x sao cho f x  0. 2 A. 4 x  hoặc x  1  . B. 4
1  x  . 3 3 C. 4 x  hoặc x  1  . D. 4 1  x  . 3 3
Câu 18: Cho hàm số f x 1 3 2
x  2 2x  8x 1. Để f x  0 thì x có giá trị bằng 3 A. 2
 2 . B. 2 2 . C. 2. D. Không tồn tại. 3 2
Câu 19: Cho hàm số    mx mx f x
 3 mx  2 . Tìm m để f x  0, x  . 3 2 A. 12 0  m  . B. 12 0  m C. 12 0  m D. 12 0  m  5 5 5 5 TOANMATH.com Trang 22
Câu 20: Cho hàm số f x 3 2
 x  3mx 12x  3 với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để
f  x  0 với x   là
A. 1. B. 5. C. 4. D. 3.
1 x1 2x13x...1 2018x1
Câu 21: Giá trị của lim bằng x0 x
A. 2018.2019. B. 2019. C. 2018. D. 1009.2019.
Câu 22: Cho f x 3
x  a   2 2 2 3
2 x  6a x . Biết f  x  0 luôn đúng với mọi x và f   1  6 . Tìm a
A. a  1. B. a  2. C. a  1. D. a  3.
Câu 23: Cho hàm số y f x có đạo hàm y  f  x liên tục trên  và hàm số y g x với
g x   f  3
4  x  . Biết rằng tập các giá trị của x để f  x  0 là  4;
 3 . Tập các giá trị của x để
g x  0 là
A. 1;2. B. 8;. C.  ;8
 . D. 1;8.
a x khi 0  x x
Câu 24: Cho hàm số f x 0  
. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương x và một số 2  0
x  12 khi x   x0
thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; x x ; . Tính giá trị S x a . 0   0  0
A. S  23 2 2 . B. S  21 4 2 . C. S  23 4 2 D. S  23 2 2
2 f x   xf 2
Câu 25: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x  2 . Tìm lim . 0 x2 x  2
A. 0. B. f 2. C. 2 f 2  f 2 . D. f 2  2 f 2 nx
Câu 26: Giá trị của 1 3 1 lim bằng x0 x
A. n . B. 3 . C. 1 . D. n 3. 3 n n
Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C: y f x tại điểm Mx ,y . C 3 2
: y x  2x tại điểm M 1;3 . 0 0 
Bước 1: Tìm đạo hàm y  f  x , từ đó suy ra
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D  
hệ số góc của tiếp tuyến là k y x . 0  Ta có: 2
y  3x  4x k y  1  7 .
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 là
M x ; y có dạng 0 0 
d : y yx x
y y  7 x 1  3 0  0  0  
y y x x xy . 0   0  0 TOANMATH.com Trang 23 Chú ý:
y  7x  4 .
+) Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x thì 0
tìm y bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức 0
là: y f x . 0  0
+) Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y thì tìm 0
x bằng cách giải phương trình f x y . 0  0 0
+) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị 
C : y f x và đường thẳng
d : y ax b . Khi đó các hoành độ tiếp điểm
là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C). Đặc biệt:
Trục hoành Ox : y  0 và trục tung Oy : x  0
Sử dụng máy tính cầm tay
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng
d : y kx m
+ Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k yx . 0  Bấm
và nhập f x; x x , sau đó 0 bấm ta được k. + Tiếp theo: Bấm phím để sửa lại thành
d f X 
X   f X  , sau đó bấm phím dx X X 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là: với y x  .
X x và bấm phím ta được m. 7 4 0 Ví dụ mẫu x
Ví dụ 1: Cho điểm M thuộc đồ thị C 2 1 : y
và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến x 1
của đồ thị (C) tại điểm M.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1 . TOANMATH.com Trang 24   Cách 1. Ta có: 1 3 3 x  1
  y y 1   và y   k y 1   . 2   0 0   2 x  1 4
Phương trình tiếp tuyến tại M là 3 y   x   1 3x 1 1   y    . 4 2 4 4
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: 3x 1 y    . 4 4 x
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 y
tại giao điểm với trục hoành x  5
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   5 . . x
Tọa độ giao điểm với trục hoành 2 1 1 y  0   0  x   . x  5 2
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 x   là 2  1  1   1  4  1  4 2 y y  x   y    x    x  .         2  2   2  11  2  11 11
Ví dụ 3: Gọi M x ;y là một điểm thuộc C 3 2
: y x  3x  2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại M M
điểm N x ; y
(khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2
P  5x x . N N M N
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 3 2 2
y x  3x  2  y  3x  6x .
Gọi M x ;y là một điểm thuộc C 3 2
: y x  3x  2 , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình M M  là y   2 x x x x x x . M M    M  3 2 3 6   3  2 M M
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N x ;y (khác M) nên x , x là nghiệm của phương trình: N N M N 3 2
x x    2 x x x x x x M M    M  3 2 3 2 3 6   3  2 M M   3 3 x x x x x x x x M    2 2  M   2 3 3  6 M M    M   0  x x x x M 2   2  3 M   0 x   xM x  2  x  3  M TOANMATH.com Trang 25 x  2  x  3. N M 2  
Khi đó P  5x x  5x x x x x M N M  2   3 M 2 2 2 2 2 2  9 12  9  9   5 M MM   3 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi 2 x  . M 3 x
Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 1; 2
  lần lượt cắt hai x  2
trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   \   2 .  Ta có: 3 y   y 1  3  . 2   x 2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 1; 2
  là đường thẳng  có dạng:
y y  1  x   1  y   1  3  x   1  2  y  3  x 1   Suy ra  1  Ox A
Oy B  1 1 1 1 ;0 ; 0;1  SO . A OB  . .1    .   3  OAB 2 2 3 6
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Phương pháp giải
Bài toán: Cho hàm số y f x có đồ thị (C).
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với C 3
: y x  3x  2 có hệ số góc bằng 9.
hệ số góc k cho trước.
Hướng dẫn giải Cách 1.
Tập xác định: D   .
Bước 1: Gọi M x ; y là tiếp điểm và tính Ta có: 2
y  3x  3. 0 0 
y  f  x .
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x ; y , 0 0  Bước 2:
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
- Hệ số góc tiếp tuyến là k f  x .
k y x  9  3x  3  9  x  4  x  2  . 0  2 2 0  0 0 0
- Giải phương trình này tìm được x , thay vào
+ Với x  2 ta có y  4 , suy ra tiếp điểm 0 0 0 hàm số được y . M 2;4 . 1   0
Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các + Với x  2
 ta có y  0 , suy ra tiếp điểm 0 0 tiếp tuyến tương ứng M 2;  0 . 2  
d : y yx xy 0  0  0
Phương trình tiếp tuyến tại M là 1
d : y  9 x 2  4  d : y  9x 14.. 1     1
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc của tiếp TOANMATH.com Trang 26
tuyến dưới các dạng sau:
Phương trình tiếp tuyến tại M là 2
+ Tiếp tuyến d / / : y ax b k a .
d : y  9 x 2 0  d : y  9x 18 . 2     2
Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng
d : y  9x 14; d : y  9x 18 . 1   2 
với đường thẳng  hay không? Nếu trùng thì
phải loại đi kết quả đó. + Tiếp tuyến 1
d   : y ax b k.a  1  k   . a
+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì k   tan .
Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
 : y ax b một góc  . k  Khi đó: a  tan 1  ka
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay
Tập xác định D   .
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng Ta có: 2
y  3x  3.
d : y kx m .
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x ; y . 0 0 
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
Tìm hoành độ tiếp điểm x . 0
k y x  2 2
 9  3x  3  9  x  4  x  2  . 0 0 0 0
+ Với x  2 ta nhập X  3 9
X  3X  2 0
Nhập k X   f X  (hoặc f X   kX ) sau ta được kết quả đó bấm
với X x rồi bấm ta 0 được kết quả là m.
Vậy phương trình đường tiếp tuyến là
d : y  9x 14 . 1 + Với x  2
 ta nhập X  3 9
X  3X  2 0
rồi bấm ta được kết quả là
Vậy phương trình đường tiếp tuyến là
d : y  9x 18 2 TOANMATH.com Trang 27 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 2x 1 : y
song song với đường thẳng x  2
:3x y 2  0.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   2 Ta có: 3 y  và        .  : 3x y 2 0 y 3x 2 x  22
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x ; y . 0 0 
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng  nên 3 x  2  1 x  1  k
 3  x  2  1     2  0 2 0 0 x  2 x  2  1  x  3   0  0 0 Cách 1. + Với x  1  suy ra y  1
 , suy ra tiếp điểm M 1  ; 1  . 1   0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M là: d : y  3 x 1 1  d : y  3x  2 . 1   1 1
Lúc này: d   nên không thỏa mãn. 1 + Với x  3
  y  5 ta có tiếp điểm M 3;  5 . 2   0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M là d : y  3 x  3  5  d : y  3x 14 . 2     2  2
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là d : y  3x 14 . 2
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay + Với x  1  ta nhập: 0   x 2x 1 3  với x  1  rồi bấm x  2 ta được kết quả là
Suy ra d : y  3x  2  d   (không thỏa mãn). 1 1 + Với x  3  ta nhập: 0   x 2x 1 3  với x  3  rồi bấm x  2 ta được kết quả là TOANMATH.com Trang 28
Suy ra d : y  3x 14 . 2
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y x  3x có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm
giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng d y   2 :
m  4 x  2m 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có: 2
y  3x  6x .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 1; 2  C là  y    2 : 2 3.1  6.  1  x   1  y  3  x 1. m  1 2  3   m  4  Khi đó:   / /d    m  1   m  1  . 2m 1  1  m  1
Ví dụ 3: Cho hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m  2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có
hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với đường thẳng
 : x  4y 1  0 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có: 3
y  4x  4 m   1 x .
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.
Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc k y 
1  4  4 m   1  4  m . Do đó: 1 d    4  . m  1
  4m  4  m  1. 4 2  
Ví dụ 4: Cho hàm số x 3x 1 y
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của x  2
đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc k  2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   \   2 2   Gọi x 4x 5
M x ; y là tọa độ tiếp điểm. Ta có y  . 0 o  x 22
Hệ số góc của tiếp tuyến là k  2 nên TOANMATH.com Trang 29     y x 4x 5 x 1 x  2 
 2  x  4x  3  0   0  2 0 0 2 0 x 22 0 0 x  3  0 0
+ Với x  1 ta có y  1, suy ra phương trình tiếp tuyến 0 0
y  2 x  
1 1  y  2x 1. .
+ Với x  3 ta có y  1, suy ra phương trình tiếp tuyến 0 0
y  2  x  3 1  y  2x  5 .
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2x 1, y  2x  5. 
Ví dụ 5: Cho hàm số 2x 2 y
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo x 1
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   \   1 .  Ta có: 4 y   x  2 1
Gọi M x ;y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là 0 0    4 2x 2  : y x x  2  0  0 x  1 x 1 0 0
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1  . 4         1 x 1, x 3 . x 1 0 2 0 0 + Với x  1
 ta có y  0   : y  x 1. 0 0
+ Với x  3 ta có y  4   : y  x  7 . 0 0
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
biết tiếp tuyến đi qua điểm Ax ;y . C 3 : y  4
x  3x 1 đi qua điểm A 1  ;2 . A A
Phương pháp giải
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai
Tập xác định D   . đồ thị Ta có: 2 y  12  x  3.
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua
Đường thẳng d đi qua A 1
 ;2 với hệ số góc k có
Ax ; y hệ số góc k có dạng: A A
phương trình d : y k x   1  2 .
d : y k x x   y * A A
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi TOANMATH.com Trang 30 f
  x  k x x y 3  4
x  3x 1  k
x  1 2 1 A  hệ A  có nghiệm. hệ phương trình  có  f
  x  k 2 k  12  x  3  2
Bước 3: Giải hệ trên tìm được x, từ đó tìm ra k nghiệm.
và thế vào phương trình (*), thu được phương
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
trình tiếp tuyến cần tìm. 3
x x    2 4 3 1 1
 2x  3x   1  2 Cách 2: 3 2
 8x 12x  4  0
Bước 1. Gọi M x ; f x là tiếp điểm. 0  0  1   x    x  2 1  0
Tính hệ số góc tiếp tuyến k f  x theo x .  2  0  0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: x  1    1
d : y f  x x xf x **   0   0   0  x  2
Vì điểm Ax ; y d nên A A  + Với x  1  ta có k  9.
y f x x xf x
Phương trình tiếp tuyến là y  9x  7 . A
 0 A 0  0
Giải phương trình này sẽ tìm được x . 0 + Với 1 x  ta có k  0. 2
Bước 3. Thay x vừa tìm được vào (**) ta 0
Phương trình tiếp tuyến là y  2 .
được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  9x  7; y  2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 2x 1 : y  đi qua điểm A 1  ;4. x  1
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1 . Ta có: 3 y   . x  2 1
Đường thẳng d đi qua A 1
 ;4 với hệ số góc k có phương trình d : y k x   1  4 . 2x 1  k
x  1 4 1  x 1
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ  có nghiệm. 3 k  2 2    x   1
Thay k từ (2) vào (1) ta được: 2x 1 3 x  1  
x  1  4  x 10x  8  0   2   2 x  1 x  1 x  4  Vì x  1  nên 1
x  4  k  . 3 TOANMATH.com Trang 31
Phương trình tiếp tuyến là 1 13 d : y x  . 3 3
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   f x 2 x C : 
x 1 đi qua điểm M 2;  1 . 4
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . 2 Gọi x x
N x ; y là tiếp điểm. Khi đó ta có: 0 y
x 1; f x  1. 0 0  0 0 0 0  4 2  
Phương trình tiếp tuyến tại N là x x y  1 
 x x  2 0 0   x 1. 0 0  2  4
Mà tiếp tuyến đi qua M 2;  1 nên 2 2
x  0, y  1, f  0 1 x x x 0 0   1  0 12 x x 1 x 0 0           0     0    0 0   2  4 4
x  4, y  1, f   4 1 0 0   
Phương trình tiếp tuyến là y  x 1 và y x  3.
Ví dụ 3: Cho hàm số 3
y x  3x  2 có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đường thẳng d : y  9x 14 sao cho
từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 2
y  3x  3.
Gọi x là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng 0 y   2
3x  3 x x  3
x  3x  2 . 0 0 0 0 Gọi M  ;9 m
m14 là điểm nằm trên đường thẳng d : y  9x 14 .
Tiếp tuyến đi qua điểm M khi và chỉ 9m 14   2
3x  3m x  3
x  3x  2 0 0 0 0  x  2 2
2x  3m  4 x  8  6m  0 0  0   0   x  2 2
2x  3m  4 x  8  6m  0 0  0   0  x  2 0   2
2x  3m  4 x  8  6m  0  g x 1  0   0  0 
Yêu cầu đề bài tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 2
hoặc phương trình (1) có nghiệm kép khác 2. TOANMATH.com Trang 32 2    0
9m  24m  48  0 m  2   g  2  0   12  m  24  0 Ta có: 4   m    2    0      3 9m 24m 48 0        g    m 4 2  0  12  m  24  0 
Vậy có 3 điểm M thỏa đề bài là  4  M 2;4 ; M ; 2  ; M 4  ; 5  0 . 1   2   3    3 
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số x 2 y
tại điểm có hoành độ x  0 là x  1
A. y x  2 . B. y  x  2 . C. y  x  2 D. y  x
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  2
1  x  2 tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  8x  4 . B. y  9x 18 . C. y  4x  4 . D. y  9x 18
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x tại điểm M có tung độ bằng 5 là
A. y  12x  7 B. y  12x  7 C. y  12x 17 D. y  12x 17 Câu 4: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2m  
1 x  2m  3 có đồ thị ( C ). Với giá trị nào của tham số m thì m
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị ( C ) vuông góc với đường thẳng  : x  2y  4  0 ? m A. m  2.  B. m  1.
C. m  0. D. m  4.  Câu 5: Cho hàm số ax b y
có đồ thị cắt trục tung tại A0; 
1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k  3  . x 1
Các giá trị của a, b là
A. a  1, b  1 . B. a  2, b  1 C. a  1, b  2 D. a  2, b  2
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 3 2 y  
x  9x tại điểm có hoành độ x  2 có phương trình là 2
A. y  30x  28. B. y  30x  28. C. y  42x  52. D. y  42x  52. Câu 7: Cho hàm số 3 2
y x  3mx  m  
1 x 1 có đồ thị (C). Biết rằng khi m m thì tiếp tuyến với đồ 0
thị (C) tại điểm có hoành độ bằng x  1
 đi qua A1;3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 0 A. 1
  m  0. B. 0  m  1. C. 1  m  2. D. 2   m  1  . 0 0 0 0
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của C 4 2
: y x  2x tại điểm có hoành độ bằng – 2 là
A. y  24x  40 .
B. y  24x  40
C. y  24x  40 .
D. y  24x  40  Câu 9: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng x  1
y  3x 1 có tọa độ tiếp tuyến là A. A0;  1 và B  2;
 5. B. A0;  1 TOANMATH.com Trang 33 C. B  2;  5. D. A 1  ;0 và B5; 2  .
Câu 10: Tiếp tuyến của đồ thị C 3 2
: y x  3x  5 vuông góc với đường d : x  9y  0 có phương trình là
A. y  9x; y  9x  32 . B. y  9x  22; y  9x 18
C. y  9x; y  9x  32
D. y  9x  22; y  9x 18 2   Câu 11: Cho hàm số x 3x 3 y
tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng x  2
d : 3y x  6  0 là
A. y  3x  3; y  3x 11. B. y  3x  3; y  3x 11
C. y  3x  3; y  3x 11. D. y  3x  3; y  3x 11
Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị C 4 2
: y  x x  6 vuông góc với đường thẳng 1
 : y x 1 có 6 phương trình là
A. y  6x  2 . B. y  6x  2 . C. y  6x 10 . D. y  6x 10 . Câu 13: Cho hàm số 3 2
y  x  3x có đồ thị (C) và điểm M có hoành độ 3 2
m  2m thuộc (C). Gọi S là
tập hợp các giá trị thực của m để tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng
A. – 2. B. 1. C. 0. D. – 1.
Câu 14: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y x mx  2mx  2018 đều có hệ số góc không âm là A.  6;  0 . B.  6;  0 C.  24  ;0 D.  24  ;0 
Câu 15: Khoảng cách lớn nhất từ điểm x I 1; 
1 đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y  bằng x 1
A. 4 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 2.  Câu 16: Cho hàm số 3 x y
C. Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm x  2 A 1  ; 2
 , B1;0 là
A. y  5x 1. B. y  5x 1. C. y  5x  3. D. y  5x  3.
Câu 17: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 1 3 y
mx  m   2
1 x  4  3mx 1C  tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại các 3 m
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  2y  3  0 là             A. 2 0; .   B.   2 ;0  ; .   C. 1 1 2 0;  ; .     D. 1 2 ;   ; .      3   3   2   2 3   2   3    Câu 18: Cho hàm số x 1 y
có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng y x m luôn cắt (C) tại hai 2x 1
điểm phân biệt A, B. Gọi k ,k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B. Mệnh đề nào sau đây 1 2 đúng? TOANMATH.com Trang 34 A. 1 1 1 k .k
. B. k .k
. C. k .k
. D. k .k  1. 1 2 9 1 2 4 1 2 16 1 2  Câu 19: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) x  2
tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 ? 5
A. 4 điểm. B. 1 điểm. C. 2 điểm. D. 3 điểm
Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Gọi  , lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị 1 2
hàm số y f x và 2
y x . f 4x  3 tại điểm có hoành độ x  1. Biết rằng hai đường thẳng  , 1 2
vuông góc nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3  f  
1  2 . B. f  
1  2 . C. f  
1  2 . D. 2  f   1  2 3 . Câu 21: Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng
 : x y 1  0 một góc  sao cho 4 cos 
và tiếp điểm có hoành độ nguyên có phương trình là 41
A. y  9x; y  9x  32. B. y  9x  21; y  9x  7.
C. y  9x; y  9x  32.
D. y  9x  21; y  9x  7.
Câu 22: Tìm m   để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số C  3 2
: y x  2x  m  
1 x  2m vuông góc với đường thẳng y  x . m A. 10 m  . B. 1 m  . C. 10 m  . D. m  1. 3 3 13
Câu 23: Cho hàm số y f x xác định và nhận giá trị dương trên  . Biết tiếp tuyến có hoành độ tại f x
x  1 của hai đồ thị hàm số y f x và y
có hệ số góc lần lượt là – 10 và – 3. Tính giá trị của 0 f  2 x f   1 .  A. f   1  10.  B. f   10 1  . C. f  
1  4. D. f   1  4  . 3 Câu 24: Cho hàm số 3
y x  3x có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng
d : y k x  
1  2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P
vuông góc với nhau. Biết M  1
 ;2, tích tất cả các phần tử của tập S bằng A. 1 . B. 2
 . C. 1 . D. – 1. 9 9 3 Câu 25: Cho hàm số 2x y
C. Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ x  2 điểm I  2;
 2 đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB  4. B. AB  8. C. AB  4 2. D. AB  2 2. TOANMATH.com Trang 35
Câu 26: Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị hàm số y f x; y g x
f x   3 và y
bằng nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
g x   3 A. f   11 1   . B. f   11 1  
. C. f x  11 
. D. f   11 1  . 4 4 4 4
Câu 27: Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số 1 y
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1
tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 là       A. 3 4  ;   . B. 0;  1  . C. 3 ; 4    D. 1 4 B ;    4 7   4   4 3 
Câu 28: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2m   5 4 1 x m
tại điểm có hoành độ x  1  4
vuông góc với đường thẳng d : 2x y  3  0. .
A. 3 . B. 1 . C. 7 . D. 9 . 4 4 16 16  Câu 29: Cho hàm số x 2 y
có đồ thị (C). Giả sử, đường thẳng d : y kx m là tiếp tuyến của (C), 2x  3
biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc
tọa độ O. Tổng k m có giá trị bằng
A. 1. B. 3. C. – 1. D. – 3
Câu 30: Cho các hàm số y   xy f f x y f  3 , ,
x  2 có đồ thị lần lượt là C , C , C . 1   2   3 
Đường thẳng x  2 cắt C , C , C lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của C tại A 1  1   2   3 
và của C tại B lần lượt là y  3x  4 và y  6x 13 . Phương trình tiếp tuyến của C tại C 3  2 
A. y  24x  23 . B. y  10x  21. C. y  24x  21. D. y  10x  5 Câu 31: Cho hàm số 2 y
x  2x  3 có đồ thị (C) và điểm A1;a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a
để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 32: Cho hàm số 3 2
y x  3x  1 có đồ thị (C). Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có
thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 33: Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và AB  4 2 . Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây? A. M  1  ; 2
 . B. N 4;2. C. P 1
 ;2. D. Q1; 2  . 2 2
Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của elip x y
 1 tại điểm x ;y là 0 0  2 2 a b A. x x y y x x y y x x y y x x y y 0 0   1. B. 0 0   1. C. 0 0   1.  D. 0 0   1.  2 2 a b 2 2 a b 2 2 a b 2 2 a b TOANMATH.com Trang 36
Câu 35: Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số P 2
y x   m   2 : 2
1 x m m  2 cắt
trục hoành tại hai điểm x x sao cho phần phía trên Ox của tiếp tuyến với (P) tại mọi điểm có hoành độ 1 2 x   ;3 
và tung độ không âm hợp với tia Ox một góc tù là 0  
A. – 4. B. 4. C. 3. D. – 3.  Câu 36: Cho hàm số x 1 y
. Giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M C mà tiếp 2x 1
tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y  2m 1 là
A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . 3 3 3 3 Câu 37: Cho hàm số m 3 2 y x
x m  1 có đồ thị là C . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của m  2
C tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8? m
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.  Câu 38: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến x 1
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn OA  4OB là  1 5  1 5  1 5  1 5 y   x   y   x   y   x   y   x   A. 4 4  B. 4 4  C. 4 4  D. 4 4   1 13  1 13  1 13  1 13 y   x   y   x y   x y   x   4 4  4 4  4 4  4 4
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và thỏa mãn 2 f   x 3 1 3
 9x f 1 x với x    .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x  1 là
A. y x  2. B. y  x. C. y  x  2. D. y x.  Câu 40: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị (C) và điểm I 1;2 . Điểm M  ;
a b,a  0 thuộc (C) sao cho x 1
tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng IM. Giá trị a b bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để trên đồ thị hàm số
C y x mx m x
có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của đồ m  1 3 2 : 2 3 2019 3
thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng d : x  2y  6  0 ?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 42: Gọi k ,k ,k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị các hàm số 1 2 3    f x y
f x , y g x    , y
tại x  2 và thỏa mãn k k  2k  0 khi đó g x  1 2 3 A. f   1 2 
. B. f   1 2 
. C. f   1 2  . D. f   1 2  . 2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 37 Câu 43: Cho hàm số 2x 2 y
C. Phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa x 1
độ một tam giác vuông cân là
y  x 11
y  x 11
y  x 1
y  x 1 A. B. C. D.
y  x  7
y  x 17
y  x 17
y  x  7
Câu 44: Cho hàm số f x,g x xác định và liên tục trên  thoả mãn f  x  10  x3 xg x, x
và hàm số g x  0, x
 . Xét hàm số hx  f 2  x  2020 . Gọi  là góc tạo bởi phần phía trên Ox 0
của tiếp tuyến của đồ thị hàm số hx tại điểm x và tia Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng? 0
A. 90    180 khi x  1
 ;12 . B. 90    180 khi x  1  ; . 0   0   0 0
C. 0    90 khi x   ;1  2 .
D. 0    90 khi x   ;   . 0   0   0 0  Câu 45: Cho hàm số x 3 y
có đồ thị (C). Nếu điểm M thuộc d : 2x y 1  0 có hoành độ âm và từ x 1
điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C) thì tọa độ điểm M là A. M  1  ;  1 . B. M  2;  3
 . C. M  3;  5
  D. M 4;  7    Câu 46: Cho hàm số 2x 1 y
C. Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt x 1
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 là 6 A. 4 1
y  3x  1, y  3x  11, y  12x  2, y   x  . 3 3 B. 4 2
y  3x  1, y  3x 11, y  12x  2, y   x  . 3 3 C. 4 3
y  3x  11, y  3x 11, y  12x, y   x  . 3 4 D. 4 2
y  3x  1, y  3x  11, y  12x  2, y   x  . 3 3
Câu 47: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên  . Gọi d ,d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị 1 2
hàm số y f x và y g x  xf 2x  
1 tại điểm có hoành độ x  1. Biết rằng hai đường thẳng d , d 1 2
vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2  f  
1  2. B. f  
1  2. C. f  
1  2 2. D. 2  f   1  2 2. f x
Câu 48: Cho hàm số y f x;y g x   ; y
liên tục và có đạo hàm trên  . Gọi k ,k ,k lần lượt g x  1 2 3
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số trên tại x  2 và thỏa mãn k k  2k  0 . Khẳng định nào 1 2 3 sau đây đúng? A. f   1 2  . B. f   1 2  C. f   1 2  D. f   1 2  2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 38 Câu 49: Cho hàm số 3
y x  m   2
1 x  2m 1 có đồ thị (C) (m là tham số thực). Gọi m , m là các giá 1 2
trị của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc
của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 19. Khi đó m m bằng 1 2
A. – 4. B. 2. C. 0. D. – 2. Câu 50: Cho hàm số 3 2
y x mx mx  2m  3 có đồ thị là (C), với m là tham số thực. Gọi T là tập tất
cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương. Tổng các phần tử của T bằng
A. 3. B. 6. C. – 6. D. – 3. 2   Câu 51: Cho hàm số x 2mx m y
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến x m
của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A. 3. B. 4. C. 5. D. 7.
Câu 52: Cho hàm số y f x 4 3 2
ax bx cx dx ea  0 có đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm
phân biệt là Ax ;0 , B x ;0 , C x ;0 , D x ;0 , với x , x , x , x theo thứ tự lập thành cấp số cộng và 1
  2   3   4  1 2 3 4
hai tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
S  3  f    x  2    f     x  2  3 4  .
A. S  9. B. S  3. C. S  4. D. S  2.
Câu 53: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn
f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1  , x      
 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. 6
y  x  . B. 1 8 y   x  . C. 1 6 y   x  . D. 1 8 y x  . 7 7 7 7 7 7 7
Câu 54: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn
f x  f   x 2 2 2 1 2  12x , x
   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y  2x  2. B. y  4x  6. C. y  2x  6. D. y  4x  2.
Câu 55: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên  thỏa mãn
f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1 3  , x      
 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x  1 là A. x x x
y x  2. B. y    2. C. 1 y    . D. 12 y    . 13 13 13 13 13
Câu 56: Cho hàm số y f x xác định, có đạo hàm trên  và thỏa mãn  f  x   2    f    x   3 2 2   10x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 2 là
A. y  2x  5. B. y  2x  3. C. y  2x  5. D. y  2x  3. TOANMATH.com Trang 39 Câu 57: Cho hàm số 4 2
y x  2mx m , có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị
(C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của m để tiếp tuyến A với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn
  x y  2 2 : 1
 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất bằng A. 16 . B. 13 
. C. 13 . D. 16  . 13 16 16 13
Câu 58: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn
f x  f   x 3 2 2 2 1 2
 4x x , x
  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có 
hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng 2a 5b
y ax b và a x b . Giá trị của bằng 1 1 3b  2a 1 1
A. 5 . B. 46 C. 3 D. 46 46 3 46 5 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Công thức tính đạo hàm 1 – A 2 – D 3 – C 4 – B 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A 9 – B 10 – A 11 – D 12 – A 13 – A 14 – B 15 – D 16 – D 17 – D 18 – A 19 – D 20 – A 21 – C 22 – C 23 – D 24 – D 25 – C 26 – C 27 – D 28 – D 29 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 6.
2x  1x 2 2x x 2   Ta có x 4x 2 y    y 1  5  2 2   x 2 x 2 Câu 7. Ta có 
y    x 4   x    x   x 4 3 3 2 3 5 1 1 15 1 Câu 8.
2  x  21 x    x  22   2 1   Ta có x 2x y   1 x2 1 x2 Câu 9. Ta có 4 3 2 3 2
y  10x x  3x y  40x  3x  6x Câu 10. Ta có 3 1 5 y  3x   2 x x Câu 11. 2    Ta có 10 5 y  3 4  4x     3 2  x  x Câu 12. TOANMATH.com Trang 40  2  2  3x  
Ta có f  x   6x 3x 2 2  3x       2 2 2 2 2  3x 2 2  3x 2  3x Câu 13.          x    2 x 2 2 2 4 . 4 . 4 x x x x x 2 Ta có 
y  f  x  4 x 4 1       y 0   2 2   2   4  x 4  x 4 2 4 x Câu 14.   2  x  1  2 x   1  Ta có x y      a  1  2 2 x 1 2 x  1. 2 x   2 1 x 1. 2 x   1 Câu 15. Ta có x y  2x x  1  2 x  1 Câu 16.
Ta có y  x x
 x  x  3 2 2 3( 5 6) 2 3 2 Câu 17. Ta có 
y  x x  6 x x     x  x x  6 2 2 2 7 3 7 3 7 7 2 3 3 7 Câu 18.
Ta có f  x 3 2    f   3 2 5 0    2 1  3x 3 1 2x 2 3 2 3 6 Câu 19.    Ta có y   1 1 5x. x 2 x x    2
x  . x   x  2 2
.x  2x. x  .x  2x x x x  2 x 2 2 Câu 20.
2x  1x  1 2x x   2 1  Ta có x 2x y      x   ab 2 2 1 x  2 1 Câu 21.  2x 2x 3 1 1    2x  Ta có y  2   y
x 1  x 3      2 x 2x 3
 2x 2x 3         2
 2x 2x 32 Câu 22. Ta có
f  x  2017  2x2016  3x...1 2018x  ...2 2018  x2016  3x...1 2018x  TOANMATH.com Trang 41
...  20182018  x2017  2x...1 2017x Suy ra f   2017 2017 2017 2017 2017 1  2019  2.2019  3.2019 ...  2018.2019  2019 12 3...2018 2018.2019 2017 2018  2019 .  1009.2019 2 Câu 23. 2 x 2 2 a x  2 2 2 Ta có  a a x y    2 2 a x  a x 3 2 2 Câu 24.    Ta có x x x y 
x x 1   x   2 2 1 4 5 3 2 1  2 2 2 x x  1 2 x x 1 Câu 25.    x    x        3  2   x xx  x x    2 2 4 1 3 2 . 3 2 4 1 3 2 4 1 Ta có 4x 1      4x 1    4x 12 4x 1 2  4x   1  2 3  2x    4x   1 4x 1 4  x  4   . 4x   1 4x 1 Suy ra a a  4,
b  4 . Vậy  1 . b Câu 26.
Đặt ux   x  
1  x  2 x  3... x n . Ta có:
f x  x.ux  f  x  ux  x.u x   x  
1  x  2 x  3... x n  .
x u x  f 0  1.2.3.4... n  n! Câu 27. Ta có 3 f   x 2
f   x 2 2 2 2 3
x g x  36x  0  1
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được: 2  
f   x   f
   x  f
  x  f
   x  xg  x 2 3 2 . 2 4. 2 3 . 2 3 2
x gx  36  0 2
  f   xf   x 
f   xf   x  xg x 2 3 2 . 2 12. 2 3 . 2 3 2
x gx  36  02  f 2  0
Thế x  0 vào (1) ta được 3 f 2 2
 2 f 2  0    f  2  2
Với f 2  0 thế x  0 vào (2) ta có: 36  0 (vô lí). TOANMATH.com Trang 42
Với f 2  2 thế x  0 vào (2) ta có: 2
f   f    f   f   2 3 2 . 2 12 2 . 2  36  0  3.2 
. f 2 12.2. f 2  36  0  f 2  1.
Vậy A  3 f 2  4 f 2  3.2  4.1  10 Câu 28.
Ta có f x 2
x f x  2x, f g    1   f   3  6    f
 g x  x  f  
gx.gx  30, suy ra  f gx  1  f 
g 1.g 1  30 Câu 29. Ta có   f  
1  2 f 2  5  f  
1  2 f 2    
f x   f x   f  x  f  x 5 2 2 2      f  
1  4 f 4   f
    f     f     f   19 2 2 4 7 2 2 4 4  14 Vậy f  
1  f 4  19 .
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số lượng giác. 1 – A 2 – A 3 – D 4 – A 5 – B 6 – D 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A 11 – B 12 – D 13 – D 14 – B 15 – A 16 – D 17 – C 18 – C 19 – D 20 – B 21 – C 22 – A 23 – C 24 – D 25 – C 26 – D 27 – C 28 – C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có  
y  5sin x   3cos x   5cos x  3sin x . Câu 2:
3x  2tan x    2 x 5  2 3 2 1 tan Ta có     2 tan x y 2 3x  2 tan x 2 3x  2 tan x 2 3x  2 tan x Câu 3: Ta có  
y  cos3x  .sin 2x  cos3x.sin 2x   3
 sin 3x.sin 2x  2 cos3x.cos2x      Do đó 2 2 y  3  sin.sin  2 cos.cos  1   .  3  3 3 Câu 4: Ta có 2 y  x x x  x  2 2 . cos . sin
 2x cos x x .sin x Câu 5:
Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm hàm tổng, sau đó sử dụng   
sin u ,cos u    
y  sin cos x  cossin x  coscos x.cos x  sin sin x.sin x TOANMATH.com Trang 43
 sin x.coscos x  cos x.sinsin x  sin x.coscos x  cos x.sin.sin x Câu 6: Ta có 1 3 1 4 4 2
y  sin x  cos x  1  sin 2x   cos 4x 2 4 4    Do đó 3 1 1   y   x     x  1 cos 4 cos 4
 sin 4x.4x  sin 4x .  4 4  4 4 Câu 7. a  20
Ta có: y  10 cos 2x  20sin 5x , suy ra 
. Vậy a b  10 . b  10 Câu 8. 2  1  sin  x  
Ta có f  x sin 3    x    f     cos  x  2.cos  . 2. 3 2 . 0 2 cos  x  2 cos  x    2 cos 3 Câu 9. x x  2 cos sin 1  2  
Ta có f  x   
cos x sin x     f    cos  sin  0 2 x 2 x 2 x  16      4 4  Câu 10. Ta có   y   2 x  2 x x x  2 3 sin . cos sin . cos
 2 cos x sin x  sin x. Câu 11.
Ta có f  x  2cos x asin x  3  0 có nghiệm khi và chỉ khi 2 2
4  a  9  a  5  a  5 Câu 12.
Ta có y  cos x y  sin x C (C: hằng số).     f
 1  sin  C  1  C  0  
. Vậy y  sin x  2  2 Câu 13.   Ta có    x    x  1 1 cos x sin x y 2 sin 2 cos  2.cos x.  2sin x   2 sin x 2 cos x sin x cos x Câu 14.
Ta có f x 3 
ax f  x 2  a ax
ax f   2 sin 3 sin cos
 3asin a.cosa  0 Câu 15.
cos x sin x  cos x   sin x cos x  sin x   Ta có 1 y  
sin x cos x2
sin x cos x2 Câu 16. TOANMATH.com Trang 44
cos2x.1 sin x cos2x1 sin x   
2sin 2x 1 sin x  cos2x.cos x Ta có y   1sin x2 1sin x2 3  1  1 3 3 3 2. 1   .          Suy ra 2  2  2 2 3 3 2 4 y    4        2  3  3   3 2 6 1      1  2 4   1    4  2  Câu 17.  2   2   4   4  1  cos  2x 1  cos  2x 1  cos  2x 1  cos  2x         Ta có:         f x  3 3 3 3 2      2sin x 2 2 2 2                f x 1 2 4 1 2 4 2  2  cos  2x  cos  2x  cos  2x  cos
 2x  2sin x           2   3   3  2   3   3 
f x     x
    x     2 2 cos 2 . cos cos 2 . cos 2 sin x 3 3  f x 1  2  cos 
 2x cos  2x 2   2sin x  2  f x 2
 2  cos2x  2sin x f x 1. Suy ra f x  0 Câu 18. Ta có 
y  cos  sin x. .sin x    cos x.cos sin x            Suy ra 3 f    cos .cos  sin  . . cos  0.        6  6  6  2  2  Câu 19.
Đầu tiên áp dụng   
u  , với u    4
sin cos tan 3x  ta có:  y 
  4 x    4 2 sin cos tan 3
. sin cos tan 3x   Sau đó áp dụng  
sin u ; với u   4 cos tan 3x  ta có:  y    4 x
  4 x   4 2 sin cos tan 3 . cos cos tan 3 . cos tan 3x  Áp dụng   cos u , với 4 u  tan 3x y  
  4 x   4 x  4 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3 . tan 3x  Áp dụng   
u  , với u  tan 3x y  
  4 x   4 x 3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3x.tan 3x  TOANMATH.com Trang 45   y  
  4 x   4 x 3 x  2 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3 . 1  tan 3x .3x  y  
  4 x   4 x 3 x  3 sin 2 cos tan 3 . sin tan 3
.4 tan 3 . 1  tan 3x .3 Câu 20.   cot 2x    2  x   2 2 1 cot 2 1 cot 2x  Ta có y    2 cot 2x 2 cot 2x cot 2x Câu 21. Ta có  y   x x  1 1 1 4 tan cot     2 2 2 2 2 cos x sin x cos x.sin x sin 2x Câu 22. x  tan   Ta có x x 2 y  2 tan . tan    2  2 x  2 cos 2 Câu 23.   
sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x sin x  cos x Ta có y 
sin x  cos x2
cosx sin xsin x cosxsin x cosxcosx sin x 
sin x  cos x2
sin x  cos x2 sin x cos x2 
sin x  cos x2  2 2
sin x  2 sin x. cos x  cos x    2 2
sin x  2 sin x. cos x  cos x  
sin x  cos x2 2  
sin x  cos x 2 Câu 24.   cos 6x   Ta có    x    6 sin 6x 3sin 6x y cos 6    2 cos 6x 2 cos 6x cos 6x Câu 25.    Ta có     x y x
tan x  tan x  .x   x  2 1 2 2  2x tan x   2 cos x 2 x Câu 26.    Ta có f
x    f x  2 sin 1 cos  cos x  
 , đạo hàm 2 vế ta được  4  TOANMATH.com Trang 46      
cos x. f sin x  
1  sin xf cos x   2  cos x  .sin x       4   4    
 cos x. f sin x  
1  sin xf cos x    sin 2x   *  2    
Thay x  0 vào phương trình (*), ta được f   1   sin   f     1 1  2  Câu 27.   y    2 x
 2 x    xx  2 tan .sin tan 2 tan . tan .sin tan x  1  2. . tan x.sin  2
tan x   2 tan x. 2 tan x   1 .sin  2 tan x . 2  cos x Câu 28.    1  1 1 2   2   2  tan x     1 tan x  1 tan x          x   x   1   x   1  Ta có y   . x   . 1     2   1   1   x   1   x  2 2  tan x  2 2  tan x  2 2  tan x         x   x   x
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm 1 – A 2 – C 3 – B 4 – D 5 – C 6 – B 7 – C 8 – A 9 – A 10 – B 11 – D 12 – A 13 – C 14 – A 15 – D 16 – C 17 – B 18 – B 19 – C 20 – B 21 – D 22 – A 23 – A 24 – B 25 – C 26 – B 28 – B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có 3 3 2 2
y  1  x y  1 x  3y y  1   3y y  1  0 Câu 2.   2 3 x 0 3 2 3x x 1  x  Ta có     2x 3x f x   . Xét phương trình   f x  3 2      (thỏa  0 2x 3x 0 3 x  2 1 x  2 1 x   2 mãn) Câu 3. 2   Ta có x x x 1 y 2 2 y  1   
y 1 x y y 1 x y  0 2 2 2 x  1 x  1 x  1 Câu 4.
Ta có f  x  m   2 3
1 x  4 m   1 x m
Với m  1: f  x  1  0, x
   nên m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. TOANMATH.com Trang 47 a  0 m 1  0 m  1
Với m  1: f  x  0, x           1  m  4 2   0
m  5m  4  0 1   m  4
Vậy m 1;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 5.    Ta có   3  
     3     3 f x k x x f x k x x k
x    x  Đặt 1 1 3 3 2 y
x y x  3y y  1  y   2 3y 3 3 x 2   k
f  x   k k 1
3 x    x      . Vậy để f  3 1  thì 1 3    k  3. 2 3 2 3 x x 2 3 2 2 Câu 6. Ta có 2
y  3x  6x  9 . Xét phương trình 2
y  0  3x  6x  9  0  x  1  ;x  3 Câu 7.   Ta có 1 x 1 x y  , suy ra 2 .
y y  2x x .  1 x 2 2x x 2 2x x Câu 8. Ta có 
f  x    3 2 x x x   2 2 3 36
1  6x  6x  36 x  2
Suy ra f  x 2 2
 0  6x  6x  36  0  x x  6  0   x  3  Câu 9. Ta có  7
f  x    3 2
x x x   2 2 7
3  3x  4x  7 , suy ra f  x  2
 0  3x  4x  7  0    x  1 3 Câu 10. 2    x  1  Ta có x 2x 3 y    . Do đó 2
y  0  x  2x  3  0   x  32 2 x  3 Câu 11. Ta có:   
x x  
 2x 3x 3 x  1 2x 3x 3x  1 2x 3x  1 2 2 x  3x  3 3 3  2x 2x y       x   1  x  2 1 x  2 1 x  2 1 x  0 2
x  2x  0  x  0
Suy ra y  0    x  2    . x 1  0  x  2  x  1  Câu 12. TOANMATH.com Trang 48 Ta có   4x f x        
. Khi đó f x 0 4x 0 x 0 . x  2 2 1 Câu 13. Ta có 1 f  x 2
 3x  2x 1. Khi đó f x 2
 0  3x  2x 1  0    x  1. 3 Câu 14.
Ta có f  x  8s
 in8x  2  8  , x   . Câu 15.
Ta có: y   3sin x  cos x 2x  2020  3 cos x sin x  2 3 1
y  0  3 cos x  sin x  2  0  3 cos x  sin x  2  cos x  sin x  1 2 2       cos x
 1  x   k2  x    k2 , k      6  6 6  x    1 12121 0;2020
 0    k2  2020   k  6 12 12
Mà k  nên k 1;2;..; 
1010 . Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu. Câu 16.
Ta có f  x  2cos2x , suy ra 3 f x  2 f  x  5  3sin 2x  4cos2x  5  sin2x    1  3    cos     5 x
  k. k  , với  là một cung thỏa mãn  . 2 2 4 si  n   5
Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của 3 f x  2 f  x  5 Câu 17. Ta có: 4 f  x 3
 3x x  4 , suy ra f x 3
 0  3x x  4  0  1  x  3 Câu 18.   
Ta có f  x 1 3 2 2 
x  2 2x  8x 1
x  4 2x  8  f    x 2
 0  x  4 2x  8  0  x  2 2 .  3  Câu 19.
Ta có f  x 2
mx mx  3 m
+ Nếu m  0 thì f  x  3  0, x   (thỏa mãn).
+ Nếu m  0 thì f  x 2
mx mx  3 m là tam thức bậc hai. TOANMATH.com Trang 49      f  x m 0 m 0 12  0, x         0  m  . Vậy 12 0  m  2
  m  4m  3 m 2  0
5m 12m  0 5 5 Câu 20. f x 3 2
 x mx x   f x 2 3 12 3  3
x  6mx 12 . a  0  3   0 f  x 2  0, x     3
x  6mx 12  0 với x         2   m  2 2   0 9m  36  0
Vì m  nên m  2;  1  ;0;1; 
2 . Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn. Câu 21.
Đặt f x  1 x1 2x1 3x...1 2018x
f x là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực  .
Ta có f 0  1 và f  x  1.1 2x...1 2018x  21 x...1 2018x ...  20181 x...1 2017x   f   2018 1
0  1  2  3  ...  2018  2018.  1009.2019 . 2
1 x1 2x13x...1 2018x1
f x   f 0 Khi đó ta có: lim  lim  f 0 . x0 x 0 x x  0 Câu 22.
Ta có f  x 2
 x  a   2 6 2 x a  
 nên f  x 2  x
    x  a   2 0,
2 x a  0, x   a  2    a  22 2  4a  0  2 . a    3 a  1 
Mặt khác f   1  6  6  2
1  a  2  2
1  a   6     . Vậy a  1  . a  2 Câu 23.
Ta có g x 2   x f  3 3 . 4  x  . x  0 
Ta có: g x 2
 0  3x . f  3 4  x  2
 0  x . f  3
4  x   0   f    3 4  x   0 x  0 x  0 x  0 x  0          1  x  2 . 3 3 3
4  4  x  3 8  x  1  1   x  8 1   x  2 Câu 24. + Khi a
0  x x ta có f x   a x f  x  
. Ta có f x xác định trên 0; x nên liên tục trên 0  0 2 x khoảng 0; x . 0  TOANMATH.com Trang 50
+ Khi x x ta có f x 2
x 12  f x  2x . Ta có f x xác định trên x ; nên liên tục trên 0  0
khoảng  x ; . 0 
+ Tại x x ta có 0     
a x x f x f x a x a x 0 a a 0 0  lim  lim  lim  lim  ;     xxxxxxxx  0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 2 x 0 0 0 0 0
f x   f x  2 x 12   2 x  12 2 2  0 x x 0 0 lim  lim  lim
 lim x x  2x .     0  0 xxxxxxxx 0 x x 0 x x 0 x x 0 0 0 0
Hàm số f có đạo hàm trên khoảng 0; khi và chỉ khi
f x   f x f x f x a 0     0 lim  lim   2x   0 xxxx  0 x x 0 x x 2 x 0 0 0  a
khi 0  x x Khi đó  a f x
 2x và f x 0  2 x
nên hàm số f có đạo hàm liên tục trên 0  0 2 x  0 2x khi x x  0 khoảng 0; . Ta có a
 2x a  4x x 1 0 0 0   2 x0
Lại có hàm số f liên tục tại x nên 2 x  12  a x 2 0 0   0
Từ (1) và (2) suy ra x  2 và a  8 2 . 0
Vậy S a x  2 1 4 2 . 0   Câu 25.
f x   f 2
Do hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x  2 suy ra lim  f 2 . 0 x2 x  2 Ta có
2 f x   xf 2
2 f x   2 f 2  2 f 2  xf 2
2  f x  f 2
f 2 x  2 I  lim  I  lim  I  lim  lim x2 x2 x2 x2 x  2 x  2 x  2 x  2
I  2 f 2  f 2 . Câu 26. n 1 3x 1 f x f 0
Đặt f xn       x    f   3 1 3 lim lim 0  . x0 x0 x x n
Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 – B 2 – D 3 – B 4 – A 5 – B 6 – A 7 – B 8 – A 9 – C 10 – A 11 – A 12 – C 13 – A 14 – B 15 – D 16 – A 17 – C 18 – D 19 – C 20 – C TOANMATH.com Trang 51 21 – A 22 – A 23 – B 24 – A 25 – C 26 – A 27 – C 28 – D 29 – D 30 – A 31 – A 32 – C 33 – B 34 – A 35 – B 36 – A 37 – D 38 – A 39 – B 40 – D 41 – C 42 – B 43 – D 44 – A 45 – A 46 – D 47 – C 48 – D 49 – D 50 – D 51 – C 52 – C 53 – C 54 – D 55 – D 56 – A 57 – C 58 – D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Tập xác định 1 D   \   1 . Ta có y   . x  2 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y y0.x y0  y  x  2 Câu 2.
Gọi M x ;y là tọa độ tiếp điểm. Ta có x  2  y  0 0 0  0 0
y   x  2  x   3 2 1
2  x  3x  2  y  3x  3  y2  9 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9 x  2  0  y  9x 18 Câu 3.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3 2
2x  3x  5  x  1 Ta có: 2
y  6x  6x y  1  12 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  12 x  
1  5  12x  7  y  12x  7 Câu 4.
Ta có: y   x x m    x x    m    x  2 2 2 3 6 2 1 3 2 1 2 2 3
1  2m  2  2m  2, x   
Do đó giá trị lớn nhất của y là 2m  2 , đạt tại x  1 0
Với x  1 thì y  4m  2 0 0
Phương trình tiếp tuyến của C tại M 1;4m  2 là m
d : y  4m  2  2m  2 x  
1  y  2m  2 x  2m  4
Theo đề bài ta có  : x  2y  4  0 hay 1
 : y x  2 2
d    2m  2  2   m  2 . Câu 5. ax b ba b A 0; 
1  C : y    1
  b  1. Ta có y  x 1 1 x  2 1
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k y0  a b  3
  a b a  3 b  2 Câu 6. TOANMATH.com Trang 52 3 2 y  
x  18x y2  30; y 2  32 . 2
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  2 có phương trình y  30 x  2  32 hay
y  30x  28 . Câu 7. Ta có: 2 y  3x  6 x m m 1  Với x  1
 thì y  2m 1, gọi B 1;2m  
1  AB  2;2m  4 0 0
Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  m  2
Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là k y x   3 x 2  6m x m 1  m  2 0 0 0 0 0 0 1
 3  6m m 1  m  2  4  m  2   m  . 0 0 0 0 0 2 Câu 8. Ta có: 3
y  4x  4x . Với x  2
 thì y  8, y 2   2  4 . 0   0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M  2;  8 là y  24
 x  2 8  y  24  x  40 . Câu 9. Ta có 3 y   . x  2 1
Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y  3x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  3 . 3 x  0
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:     x   3 2 1 x  2 
Trường hợp 1: x  0 , suy ra tung độ của tiếp điểm là y  1  . 0
Phương trình của tiếp tuyến là: y 1  3 x  0  y  3x 1(không thỏa mãn).
Trường hợp 2: x  2
 , suy ra tung độ của tiếp điểm là y  5 0
Phương trình của tiếp tuyến là: y  5  3 x  2  y  3x 11 ( thỏa mãn).
Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là B  2;  5 Câu 10. Ta có: 2
y  3x  6x; d : x  9y  0 hay 1 y   x . 9
Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm M x ;y 0 0 
x  1  y  9
Do d  d nên d có hệ số góc k  9 . Do đó y x  9  3x  6x  9   0  2 0 0 0 0
x  3  y  5  0 0 TOANMATH.com Trang 53
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;9 là: y  9 x  
1  9  y  9x . 1  
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 3;
 5 là: y  9x  3  5  y  9x  32. 2   Câu 11. 1 1
d : 3y x  6  0  y
x  2  k  3 d 3 2   Gọi x 4x 3
M x ; y là tọa độ tiếp điểm. Ta có y  0 0  x 22 2  
Tiếp tuyến vuông góc với d 1 x xk .k  1   k    3
  yx      tt d tt   4 3 0 0 3 3 0 kdx 22 0  3 x    0 2 2
 4x 16x 15  0   0 0  5 x   0  2   Với 3 3 x  
ta có y  , suy ra phương trình tiếp tuyến 3 3 y  3  x    y  3  x  3 0   2 0 2  2  2   Với 5 7 x  
ta có y   , suy ra phương trình tiếp tuyến 5 7 y  3  x    y  3  x 11 0   2 0 2  2  2 Câu 12. Ta có: 3 y  4  x  2x
Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với 1
 : y x 1 và có tiếp điểm là M x ; y 0  0 0  6
Do d   nên d có hệ số góc k  6  Khi đó k  6
  yx  3  6   4
x  2x  6
  x  1 y  4 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M 1;4 là: y  6  x   1  4  y  6  x 10 Câu 13.
Tập xác định của hàm số là D   Ta có 2 y  3  x  6x Đặt 3 2
m  2m x , hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M là 0
k y x   3
x  6x  3 3x  2 2 1
 3 với mọi x  0 0 0 0 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  1 0 Vậy k
 3 khi và chỉ khi x  1, từ đó ta có max 0 m  1  3 2 3 2 
m  2m  1  m  2m 1  0  m   1  2 m m   1  0  1   5  m   2 TOANMATH.com Trang 54       Suy ra tập 1 5 1 5 S  1; ;   2 2      
Khi đó, tổng giá trị các phần tử thuộc S là 1 5 1 5 1     2  2 2 Câu 14. 3 2 2
y x mx  2mx  2018  y  3x  2mx  2m
Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi a  3  0 2 
y  3x  2mx  2m  0    m  6;0 2  
  m  6m    0 y Câu 15.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là 2 m 1 y x m 2x m 1 y m 2m 1 0 2            2  2    m  1 m 1 2.1  m  2 2
1 .1  m  2m  1 4 m 1 4 m 1
Do đó d I,d     2 2  m  4 1 4  m  4 2 1 2 4 m  4 1
Dấu bằng xảy ra khi m  4 1  4  m  1 2 Câu 16.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 5 3 m
x m là y   x m  2   m  2 m  2
Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm A 1  ; 2
 , B1;0 thì có 2 khả năng 5 0   2  
+) Tiếp tuyến đó song song với AB  k k    (vô nghiệm). TT AB
m  22 1 1       
+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB 2 0 5 1 1 3 m     m   m     2 m  2 1 2  2  m  2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  5x 1 Câu 17. Ta có: 2
y  mx  2 m  
1 x  4  3m
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình 1 y .
 1 có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay 2 phương trình 2
mx  m   2 2
1 x  4  3m  2  mx  2 m  
1 x  2  3m  0 có hai nghiệm dương phân biệt. TOANMATH.com Trang 55 m  0  2
  4m  4m 1  0  1   m    2 1 m 0 2    S   0  1 2 mm     2 3 2 3mP   0  m     Vậy 1 1 2 0;  ;   
 là những giá trị cần tìm.  2   2 3  Câu 18.       x x m 1 2 
Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 2
x m  2x  2mx 1 m  0. Theo Vi – ét  1 m 2x 1 x x   1 2  2  y  1  k k  1  1  1   1 2x  2 1 2 1 2x  2 1 2x  2 1 4x x  2 2 2 x x 1 2 2m 2m 1 1 2  1 2   1 2          Câu 19. 5 y   x 22      Gọi 2m 1 5 2m 1 M ; m
 . Phương trình tiếp tuyến tại M: y x m d 2      m  2  m 2 m  2       A  d  2 2m 2m 2  Ox A ;0   5        B  d  2 2m 2m 2
Oy B 0;   m 22          2 2 2 m m m m m m  2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
2  m m 1  SO . A OB      OAB 2 2 5 m 22 5 m 22 5 m   2  2
m m 1 1  2  m  1 m 2 S     OAB  2 5 m m 1 m  3   1   m 2
Vậy tìm được hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán. Câu 20. Ta có  y   2
x f x    x f x   2 . 4 3 2 . 4
3  x .4. f 4x  3 Vì  2
,  vuông góc nhau nên f   1 .2 f   1  4 f   1   1
  4 f   1   2. f   1 . f   1 1  0 1 2
Để tồn tại f      2 1 f  
1  4  0  f   1  2 TOANMATH.com Trang 56 Câu 21. 
Đường thẳng  : x y 1  0 có vectơ pháp tuyến là: n  1;1 1   
Gọi d : y kx m là tiếp tuyến cần tìm  d có vectơ pháp tuyến là n  k;1 1       n .n Theo giả thiết, ta có: 4    n n  4 1 2 4 cos cos ,      1 2 41 41 n . n 41 1 2 k  9 2 2 
 41 k 1  4 2. k 1  9k  82k  9  0  1 k   9
+) Với k  9 thì d : y  9x m 3 2
x  6x  9x  9x m   1
d tiếp xúc với (C) khi hệ  có nghiệm. 2
3x 12x  9  9  2
x  0  m  0  y  9x Ta có: 2 2
 3x 12x  0  
x  4   m  3
 2  y  9x  32 +) Với 1 k  thì 1 d : y x m 9 9  1 3 2
x  6x  9x x m  3 
d tiếp xúc với (C) khi hệ 9  có nghiệm 1 2
3x 12x  9  4  9   Ta có: 4 18 2 21 2
 27x 108x  80  0  x   9
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: y  9x; y  9x  32 Câu 22. 2  2  7 7 7 7 2
y  3x  4x m 1  3 x
m   m   y  m   y  m    khi 2 x  .  3  3 3 3 3 3  7 
Theo bài toán ta có: y     m
 1  1 m  10 1 1    3  3 Câu 23.
f x  f  2x .f x f x.2x.f  2x  Ta có y       f   T x 2 x  2  f   2x  
Từ giả thiết ta có f   1  1  0 và T   1  3
 , f x  0, x     Do đó 10 f   10 2 1  3 f   1  f   1  3 Câu 24. TOANMATH.com Trang 57
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x  1   y  2 3
x  3x k x  
1  2   x   1  2
x x  2  k   0   2
x x  2  k  0   1
d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1.  9      0    1 k     g    4 1  0 k  0
Khi đó, d cắt (C) tại M  1
 ;2,N x ;y ,P x ;y với x , x là nghiệm của (1). 1 1   2 2 1 2
S x x  1 Theo định lý Vi – ét: 1 2 
P x x  k  2  1 2
Tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau  y x .y x   1    2 3x  3 2 3x  3  1  1 2 1 2   2 2 9x x  9 x x 9 1 9P 18P 9S 9 1 1 2  2  2 1 2      2   2    3   2 3 2
 9k 18k 1  0  k  3
Vậy tích các phần tử trong S là 1 . 9 Câu 25.   Giả sử 2a 4 A ; a   . Ta có y   a  2  x  22 8 a a a  2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: 4 4 2 x y    0  d , A d  2 2     a  2
a  2 a  2 a  24 16
Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử x a  2  A Đặt 8t
t a  2  t  0 . Khi đó d  , A d   4 t  16 Xét   8t f t
t  0, từ bảng biến thiên ta có max f t  f 2 4 t  16 t 0
Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi a  0 hay A0;0
Do tính đối xứng nên B  4;  4 . Vậy AB  4 2 . Câu 26. f x  3
Đặt h x   
. Giả sử f   1  g  1  h  1  k . g x  3 TOANMATH.com Trang 58
f x g x  3  gx f x  3 k g        1  f   1  g     1  f   1  Ta có:  h x              g   xk 1 2  3 g     2 1  3 g     2 1  3 2  g   1  5g   1  f  
1  9  0 . Tồn tại g      
f     f   11 1 11 4 1 0 1   4 Câu 27.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1 1
x là y y x x xy x   x x  0   0   0 2  0  0 x  1 x 1 0 0   
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là  x A 2x 1;0 2 1 0 , B  0;  0  x 2 1    0  1 2x 1   0 2 Suy ra 3 3 S  .   x    OAB  2 ; 4   2 x 1 4  4  0 2 0 Câu 28.
d : 2x y  3  0  y  2x  3  k  2, y m x m   y  m x d 2  5 4 1 4 2  3 1 4
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  2m   5 4 1 x m
tại điểm có hoành độ x  1  là 4
k y    m   3 1 4 2 1 1  4  2m   1 tt
Ta có k k     m     m tt d   9 . 1 8 2 1 1 16 Câu 29.    Tập xác định: 1 D   3
\   . Ta có y   2  2x 32
Tiếp tuyến d : y kx m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên m  0,k  0   Do m
A Ox nên A  ;0 
 , B Oy nên B 0;m .  km  1  k  1 
Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên 2 OA OB   m m 1  0     2 kk  k  1 1
x  1  y  1 Do 1 k    
 1  2x  3  1   2  0 2 0 0 
nên k  1 . Suy ra: 2x  3 0 2 2x 3
x  2  y  0  0 0 0 0
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 1
 ;1 là: y  x  
1 1  y  x (loại) 1  
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 2;
 0 là: y  x  2  y  x  2 2  
Khi đó: k m  1   2  3  Câu 30. TOANMATH.com Trang 59 f   2  3
Phương trình tiếp tuyến của C tại A là y f 2 x  2  f 2  3x  4   1   f  2  10
Phương trình tiếp tuyến của C tại B là 1   f 10  
y f   f  f   x    f f    f   f   x    f   2 2 . 2 2 2 2 . 10 2
10  6x  13    f  10  25
Phương trình tiếp tuyến của C tại C là y  12. f 10. x  2  f 10  24. x  2  25  24x  23. 3  Câu 31. Gọi M  2
x ; x  2x  3 là tiếp điểm. 0 0 0  
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng là: x 1 2 0
y x  2x  3  x x 0 0  0  2 x  2x  3 0 0 x 1 3  x 0 0  y  .x  2 2 x  2x  3 x  2x  3 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm A1;a nên ta có: a  0 x 1 3  x 2  0 0 2 a   
a x  2x  3  2   0 0 2       a x x x x x x   2 2 2 2
x  2x  3  4 2 3 2 3 2 3 0 0  0 0 0 0 0 0 a  0    2 2 2
a x  2ax  3a  4  0 *  0 0  
Vì qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C) nên hệ phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt a  0 a  0 a  0  15        0  a  4 2 2 15 15   3
a  5a  0   3  a  5  0   a  3  3 3
Vì a   nên a  1. Câu 32.
Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên  .
Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên  , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại x  0 . Thật vậy, ta có:
y x   y 0 3 2 2 2 x  3x x x  3x lim  lim  lim
 lim x x 3x  0 nên hàm số có đạo hàm tại x  0 x0 x0 x0 x0 x  0 x x
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (C) của nó đối xứng qua Oy. Do đó từ điểm A trên trục Oy
nếu kẻ được một tiếp tuyến d đến (C) thì ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy cũng là một tiếp tuyến của
(C). Vậy để qua điểm A trên trục Oy có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có TOANMATH.com Trang 60
một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị (C), tức là phần đồ thị
của hàm số y f x 3 2
x  3x 1, với x  0 .
Gọi M 0;m thuộc Oy và  là tiếp tuyến qua M 0;m có hệ số góc k. Ta có:  : y kx m 3 2
x 3x 1  kx m
Điều kiện tiếp xúc là  2 3
 x 6x k Suy ra: 3 x  2
x   x  2
x x   m m   3 x  2 3 1 3 6 2 3x 1*
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình (*) có đúng một nghiệm x  0 và một nghiệm x  0 .
Phương trình (*) có nghiệm x  0 nên m  1. x  0
Thử lại, với m  1 thì (*) trở thành: 3 2 
2x  3x  0  3 (đúng). x   2 Vậy m  1 Câu 33. Gọi A 3 2
x ; x  3x   1 , B  3 2
x ; x  3x 1 với  x x 1 2  1 1 1 2 2 2 
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên chúng có cùng hệ số góc k. Khi đó phương trình 2
3x  6x k  0 có hai nghiệm phân biệt    9  3k  0  k  3  *           ABx x x x 3 
x x  2  x x  1 
x x x x 3x 3x 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2    
 32  x x   4x x  1 x x   x x 3x x  2 2 2  1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2           2 4 k  3 9  k  6 Với k
x x  2 và x x   nên       1  32  .  k  9 2
k  9  0  k  9 (thỏa 1 2 1 2 3 3 9 mãn (*))
x  1  A1;3 Khi đó 2
3x  6x  9  0       x   B    AB : x y 2 0 3 3;1
Do đó đường thẳng AB đi qua điểm N 4;2 . Câu 34.
Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm  x ; y là y y x . x x y 1 0   0  0   0 0  2 2 2 
Từ phương trình elip x y   2x 2 . y y b x
1, đạo hàm hai vế ta được   0  y   2 2 a b 2 2 2 a b a yyx  2 b x0   * 0 2   a y0
Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau: TOANMATH.com Trang 61 2 2 2 y   b x x.x . y y x y x.x . y y 0 x x y a y b x b x.x a . y y 1 2
  0  2 2  2 2  2  2  0  0  0  0  0  0  0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 a y a b a b a b 0 2 2 Do  x y
x ; y thuộc elip nên 0 0   1 0 0  2 2 a b Câu 35.
Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số a  1  0 và (P) cắt Ox tại các điểm có hoành độ
x m 1  m  2  x 1 2
Do đó yêu cầu đề bài  3  m 1  m  4 . Câu 36.  Gọi 3
M x ; y C . Phương trình tiếp tuyến tại M: y x xy 2  0  0 0    2x 1 0  0 2  
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 2x 4x 1 0 0  y B 2x  2 1 0 2  
Từ đó trọng tâm G của  y 2n 4n 1 OAB có tung độ B 0 0 y   G 3 32n  2 1 0 2   Vì 2x 4x 1 G d nên 0 0  m  32x   2 1 2 1 0 2 2x  4x 1 6x  2x 1 6x 0 0 0  0 2 2 2 Mặt khác: 0      2x   1 1 2 1 2x  2 1 2x  2 1 0 0 0
Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa mãn bài toán thì 1 1 2m 1    m  3 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1 3 Câu 37.
Ta có M 0;1 m là giao điểm của C với trục tung 2
y  3x m y0  m m
Phương trình tiếp tuyến với C tại điểm M là y  mx 1 m m    
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ 1 m A ;0   và  m
B 0;1 m .
Nếu m  0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này. Nếu m  0 ta có: 1 1 1  m   m2 1 m  9  4 5 S  8  O . A OB  8  1  m  8   16   OAB 2 2 m m
m  7  4 3
Vậy có 4 giá trị cần tìm. TOANMATH.com Trang 62 Câu 38.
Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại M x ;y C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA  4OB 0 0    Do  OB
OAB vuông tại O nên 1 tan A
  Hệ số góc của (d) bằng 1 hoặc 1  OA 4 4 4   3  x  1  y   0  0  1 1 1  2 
Hệ số góc của (d) là y x    0       0  x  2 1 x  2 1 4   5  0 0 x  3 y  0  0    2   1 
y    x   3 1 5 1  y   x   
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 4 2 4 4     1 
y    x   5 1 13 3  y   x   4 2  4 4 Câu 39.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x  1 là:
y f   1  x   1  f   1 Từ giả thiết ta có: 2 f   x 3 1 3
 9x f 1 x  1  f   1  0
Với x  0 thay vào (1) ta được: 2 f   3 1   f   1    f    1  1
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được f   xf   x 2 6 1 3 . 1 3
 9  3 f 1 x. f 1 x (2)
Với x  0 thay vào (2) ta được: f   f   2 6 1 . 1  9  3 f   1 . f   1 (3)
Trường hợp 1: Với f  
1  0 thay vào (3) ta được: 9  0 (vô lý).
Trường hợp 2: Với f   1  1
 thay vào (3) ta được: 6  f  
1  9  3 f   1  f   1  1 
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x  1 là
y f   1  x   1  f   1    x   1 1  x
Vậy y  x Câu 40.   Ta có 1
M a b C 2a 1 ;  b  . Lại có y 
nên tiếp tuyến d tại M có hệ số góc là a 1 x  2 1 1  k   . a  2 1 TOANMATH.com Trang 63   
Đường thẳng IM có một vectơ chỉ phương là 1 IM a 1; 
 nên có một vectơ pháp tuyến là  a 1  
n   a  2 1; 1    1
Do đó đường thẳng IM có hệ số góc là 1 k   a  2 1 a  2 1 1  1 a 1  1 a  2
Để d IM thì k.k  1   .  1
  a 1  1     2 2  4
a  1 a  1 a 1  1  a  0
Mà a  0 , nên a  2 và b  3. Do đó a b  5 Câu 41. Ta có 2
y  x  2mx  2m  3
Đường thẳng dx y    d 1 : 2 6 0 : y  
x  3 có hệ số góc 1 k   2 2
Gọi M x ;y C . Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với d nên y .k  1  y  2 0 0    x x 0   0 2 2
x  2mx  2m  3  2  x  2mx  2m  5  0 * 0 0 0 0  
Yêu cầu bài toán  (*) có hai nghiệm trái dấu 5
 2m  5  0  m  2
Vì m nguyên dương nên m 1;  2 . Câu 42.
f  2 g 2  g 2 f 2
Theo đề bài ta có k k f  2  g 2 .k  1 2             3 2 g 2
Theo đề bài ta có k k  2k  0 nên ta có phương trình 1 2 3
f 2 g
 2  f 2 1 2
f  2  g 2  2g 2  2 f 2  0 2 g 2         2
Do g 2 là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số nên phương trình 2
g 2  2g 2  2 f 2  0 có
nghiệm      f     f   1 0 1 2 2 0 2  2 Câu 43.
Hàm số xác định với mọi 4
x  1 . Ta có: y   x  2 1
Gọi M x ;y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : y y x x xy 0   0  0 0  0
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong
hai đường phân giác y  x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
 hay yx  1  . 0  TOANMATH.com Trang 64
Mà y  0, x   1 nên ta có  y 4 x  1    1   x  1  , x  3 0  x 1 0 2 0 0  x  1
  y  0   : y  x 1 0 0
x  3  y  4   : y  x  7 0 0 Câu 44.
Ta có h x   f 2  x và h x  0  f 2  x  0    
x  xg  xx 12 12 1 2  0  
(Vì g x  0, x  ) x  1 
Từ đó ta có bảng xét dấu của h x
Chú ý rằng đạo hàm của hàm số hx tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại đó và chính 0 bằng tan . 0 Câu 45.
Vì M d : 2x y 1  0 nên M  ;2 m m   1 .
Tiếp tuyến của (C) qua M có phương trình dạng y k x m  2m 1.
x  3  k
x m 2m 1 1  x 1
Từ điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C) khi và chỉ khi hệ  có 4    k 2 2   x   1 nghiệm duy nhất.
Thay (2) vào (1), ta được: x  3 4  
x m 2m 1 x 3x  1  4
 x m  2m   1  x  2 1 , x  1 2   x 1 x  1
Lần lượt thử từng phương án:
Với m  1 thì phương trình trên trở thành 2
2x  4x  2  0 có nghiệm duy nhất là x  1  . Vậy m  1   M  1  ;  1 Câu 46.  Ta có 3 y  
. Gọi M x ; y là tiếp điểm. 0 0  x  2 1 TOANMATH.com Trang 65  
Phương trình tiếp tuyến  có dạng: 3 2x 1 y x x  2  0  0 x  1 x 1 0 0 y  0  
  Ox A :  3  2x 1 x x   0 2  0  0 x   1 x 1 0 0 2     Suy ra 2x 2x 1 0 0 A  ;0  3   x  0  
  Oy B : 3x 2x  1  0 0 y    x   2 1 x 1 0 0  2    Suy ra: 2x 2x 1 0 0 B  0;   x 2 1    0  2 2     Diện tích tam giác OAB: 1 1 2x 2x 1 0 0 S O . A OB    2 6 x 1  0  2 2     Suy ra 1 2x 2x 1 0 0 S      1 OAB 6 x 1  0   1    2 2 x 0, x          0 0 2x 2x 1 x 1 2x x 0 0 0 0 0 0 2       2 2
2x  2x 1  x 1 
2x  3x  2  0   1 0 0 0 0 0 x  , x  2  0 0  2
Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2
y  3x  1, y  3x  11, y  12x  2, y   x  3 3 Câu 47.
Ta có: g x  f 2x  
1  2x. f 2x   1  g  1  f   1  2 f   1
d có hệ số góc là f   1 1
d có hệ số góc là g  1  f   1  2 f   1 2
Mà d d f   1 .g  1  1   f   1 .  f    1  2 f   2 1   1
  2 f  1  f 1 . f  1 1  0 1 2       
Để tồn tại f   2 1    f  
1  8  0  f   1  2 2 Câu 48.
f  2 .g 2  f 2 .g 2
k .g 2  k . f 2 1   2  
Ta có: k f  2 , k g 2 ;k   1   2  
        3 2 g 2 2 g 2
Mà k k  2k  0 nên ta có: 1 2 3 TOANMATH.com Trang 66
2k .g 2  2k . f 2 1 1 1 1 k    f   gg   g       g 2 2 2 2 . 2 2 3 3 2 1 3 2 2 2 2 2 Câu 49. Ta có: 2
y  3x  2 m   1 x
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d là 3
x  m   2
1 x  2m 1  x m 1 3
x  m   2
1 x x m  0* A ;
a a m   1  Gọi B  ;
b b m  
1 là tọa độ giao điểm giữa (C), d trong đó a, b, c đôi một khác nhau.
C ;ccm  1
Theo đề bài ta có f a  f b  f c    2 2 2 19
3 a b c   2m  
1 a b c  19
 a b c2 3
 2ab bc ca  2m  
1 a b c    19
a b c m 1 Mặt khác từ (*)  
ab bc ca  1 
Do đó ta có m  2    m  2   m  2 3 1 2 2 1 19 1
 13  m   13 1  
Vậy tổng giá trị m m  2  . 1 2 Câu 50. Ta có: 2
y  3x  2mx m . Gọi M x ; y C suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số 0 0    2 2 2       
góc là k y x m m m 3m 2
 3x  2mx m  3 x       m     0 0 0 0  3   3   3 
Để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C) đều có hệ số góc dương thì: 2 2  m  3m   m  3m     0     0  3   m  0  3   3 
 Tập các giá trị nguyên của m là: T   2;    1 .
Vậy tổng các phần tử của T là: -3. Câu 51.  
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số   2 x 2mx m C : y  và trục hoành là x m 2 2
x  2mx m
x  2mx m  0*  0   x m x  m TOANMATH.com Trang 67 2   Đồ thị hàm số x 2mx m y
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm x m m  0 2 
  m m  0   phân biệt khác m 1 m     2 3
 m m  0  1 m    3
Gọi M x ;y là giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành thì 2
y x  2mx m  0 và hệ số góc của tiếp 0 0  0 0 0
tuyến với (C) tại M là:
2x 2mx  1 2x 2mx m  0 0 0 0 
k y x  2x 2m 0   0 x m2 x m 0 0  
Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai giao điểm với trục hoành là 2x 2m 2x 2m 1 2 k  , k  1 2 x m x m 1 2     
Hai tiếp tuyến này vuông góc 2x 2m 2x 2m 1 2
k .k  1      1  1 2 x m x m  1  2 
 4 x x m  x x  2
m    x x m   x x  2  m  ** 1 2 1 2 1 2 1 2    x x mm  0 Ta lại có 1 2  , do đó (**) 2
m  5m  0   . Nhận m  5 .
x x  2m  m  5 1 2 Câu 52.
Do y f x có đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x , x , x , x nên 1 2 3 4
f x  ax x x x x x
x x , a  0 1   2   3   4 
f x  ax x x x x x   ax x x x x x 2 3 4 1 3 4 
ax x  x x  x x   ax x  x x  x x 1 2 4 1 2 3 
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A là k f x a x x x x x x 1 1
 1  1 2  1 3 1 4  
Ta có y  f  x 3 2
 4ax  3bx  2cx d f x  3 2
 4ax  3bx  2cx d 2 1 1 1 1  
Từ (1) và (2) ta suy ra k f  x  3 2
 4ax  3bx  2cx d 1 1 1 1 1
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại B là k f  x   ax x  x x  x x  3  2ad 2 2 2 1 2 3 2 4
Do hai tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc với nhau nên
k .k  1  12 ad 2 1 3 2 6  1  a d  1 2 12
Ta có: f  x   ax x  x x  x x   2ad   f    x  2 1 3 2 6   4a d  3 3 1 3 2 3 4 3  3
f  x   a x x  x x  x x   6ad   f    x  2 3 2 6   36a d  3 4 4 1 4 2 4 3 4  TOANMATH.com Trang 68
Vậy S  3 f    x  2    f     x  2   4 3 4  Câu 53. Ta có:  f    x 2
  x   f     x 3 1 2 1    1   f
   x f  
  x    f    x 2 4 1 2 . 1 2 1 3 1  . f   1 x2 Cho x  0  f  2 3  
    f     f   1 0 1 1 1   0        f    1  1
   f   f      f    2 2 4. 1 . 1 1 3 1  . f    1 Ta thấy f  
1  0 không thỏa mãn, với f      f   1 1 1 1   7
Phương trình tiếp tuyến là: 1 6 y   x  7 7 Câu 54.
Từ giả thiết f x  f   x 2 2 2 1 2  12x , x  (*)
2 f 0  f   1  0  f 0  1    Chọn 1 x  0, x  ta được    2 2 f
 1 f 0  3  f    1  2
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được 4. f 2x  2. f 1 2x  24x, x   4 f  
02 f   1  0  f   0  2 Chọn 1 x  0, x  ta được    2 4 f  
 12 f 0 12  f     1  4
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  4 x   1  2  4x  2 Câu 55.
Từ giả thiết  f    x 2
  x   f     x 3 1 2 1 3  , x   (*)    f   1  0
Chọn x  0 ta được 2 f   3 1   f   1    f    1  1 
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được f   x
f   x 2 2. 1 2 .2. 1 2
 1 3. f 13x. 3. f 13x, x  
Chọn x  0 ta được f   f   2 4. 1 . 1  1 9 f   1 . f   1 . f   1  0  vô lý. Suy ra f   1  1  và f   1 1   . 13 TOANMATH.com Trang 69
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 y   x   x 12 1 1   13 13 13 Câu 56. f 2  0 2 3   Từ  f  x   2    f    x   3 2 2   10x
(*), cho x  0 ta có  f 2   f 2  0        f  2  1 
Đạo hàm hai vế của (*) ta được  f x   f x     f   x   2 2 2 . 2 3 2  . f   x 2 10 Cho 2 x  0 ta được 2
f 2. f 2  3. f  2 . f   2 10
f 2. f 2.3f  2  2  10  (**).
Nếu f 2  0 thì (**) vô lý. Nếu f 2  1
 , khi đó (**) trở thành  f 2. 3
  2 10  f 2  2
Phương trình tiếp tuyến y  2 x  2 1  y  2x  5. Câu 57.
Đường tròn   x   y  2 2 : 1
 4 có tâm I 0; 
1 , bán kính R  2 .
Ta có A  m 3 1;1
; y  4x  4mx y  1  4  4m
Suy ra phương trình  : y  4  4m x   1 1 m  
Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định 3 F ;0 
 và điểm F nằm trong đường tròn    4 
Giả sử  cắt   tại M, N. Thế thì ta có: 2 2 MN
R d I  2 2 ;
 2 4  d I;
Do đó MN nhỏ nhất  d I; lớn nhất  d I;  IF    IF .     
Khi đó đường  có 1 vectơ chỉ phương 3 u IF  ; 1  ; u   
1;4  4m nên ta có:  4    3 u n      m 13 . 0 1. 4 4  0  m  . 4 16 Câu 58.
Từ giả thiết f x  f   x 3 2 2 2 1 2
 4x x , x  * . TOANMATH.com Trang 70
f    f    f   1 2 0 1 0 0      Chọn 1 12 x  0, x  ta được   1  2 2 f   1  f 0   f   1 1   4  6
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được f  x  f   x 2 4. 2 2. 1 2
 12x  2x, x    1   4 f  
02 f   f   0 1 0  Chọn 1 3 x  0, x  ta được    2 4 f  
 12 f 0  2  f  2 1   3
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt là 2 1 y x  và 1 1 y x  . 3 2 3 12   Do đó 2 1 1 1 a  ;b  ;a  ;b  . 1 1 3 2 3 12  Vậy 2a 5b 46  . 3b  2a 5 1 1 TOANMATH.com Trang 71