Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 1 @Copyright 2010
§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn     x   1  p , i , 1 , 3 , 2 .. k . i  x x ... x 1 2 k   ...  x  p p ... p 1 2 k   ...
Chú ý:  p  1 i i
• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại  1 2 3 ... k ...  x  2 k 1 p qp q p ... q  . p .. Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 2 @Copyright 2010
Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng  1 2 3. . . 19 20 x  2 18 19 p pq pq .. . pq q
• 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là:
F (x)  F    X
x X x
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm 2. các t/c F    , 0 F    1 đặc trưng
3. a  X  b  F  X b FX a
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì FX x 
liên tục trên toàn trục số Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 3 @Copyright 2010
• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì X  x  , 0 x  0  0
• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy F x p X     i x x i  • Ví dụ 2.3: 2 5 7  1 , 0 5 , 0 , 0 4 0 nếu x  2  1, 0 nếu 2  x  5
 FX x    nếu 5    6 , 0 x 7  nếu 1 7  x Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 4 @Copyright 2010
Chú ý: Hàm phân phối bên trá FX x  0 i miền giá trị của X và bên FX x 1
phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là:
f  x  f  x  F x  x / X X  • Định lý 2.1: x F x  f t dt  X   X    • Tính chất:   1 f (x)  0     t/c đặc trưng
2 f (x)dx 1     b
(3)P(a  X  b)  f (x).dx  X a Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 5 @Copyright 2010
Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm không có ý nghĩa. 2. Hàm mật độ f x  X 
 0 bên ngoài miền giá trị của X. • Ví dụ 2.4: 2
acos x, x   0, / 2 X f (x)   • 0, x   0, / 2  1a  ?   /2  /2 a 2 1 
f (x)dx  a cos xdx   
 1cos2xdx 2  0 0  /2 a  s in2x  a  4  x   .  a    2  2   0 2 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 6 @Copyright 2010
2. Hãy tìm hàm phân phối F x X   0 nếu x<0  x x   x  F x  f t dt    tdt  x     X     4 2 sin 2 2 cos  ,  nếu   0 x  / 2   2   0 1  ,nếu x   / 2
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:    / 4, / 4   
 / 4  X   / 4  F  / 4  F    / 4  /4  /4  f  x 2 dx  (4 /  ) cos xdx   /4 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 7 @Copyright 2010
• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt
rổ của người thứ nhất,hai là p p . 1, 2 • Giải: Gọi q , q 1
2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 8 @Copyright 2010 X 1 2 . . . k . . . k 1  k2 X 
p  q p . q q ( p  q p ) ..... q q p  p q . . . 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2  1 2 1 Y 0 1 2 . . . k . . . Y  p
q  p  q p  q q q
  p  q p  k 1  k 1 . . .q q    .... . . . 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1  1 2   2k 1 2k Z k 1  k 1  k k 1 Z  q q p q q  p , k  1, 2,... 1 2 1 1 2 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 9 @Copyright 2010
§3: Véc tơ ngẫu nhiên I. Vectơ ngẫu nhiên Giả sử
X , X ,..., X 1 2 là các n
đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X  (X , X ,..., X ) 1 2 n
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:
  x ,Y  y   p ,i 1,k; j 1,h i j ij Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 10 @Copyright 2010 Y y1 y2 … yh Px x x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 … xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 11 @Copyright 2010
2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y p     x   p i  k i  i  h , 1, ij j 1  q   Y  y   p j  h j  i  k , 1, ij i 1 
3.Điều kiện độc lập của X và Y
Định lý 3.1: X,Y độc lập
  : p  p .q i, j ij i j
4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện. pij
( X  x / Y  y )  , i  1, k i j q j pij
(Y  y / X  x )  , j  1, h j i pi Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 12 @Copyright 2010
5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) Định nghĩa 3.1: F  ,
x y   X  , x Y  y Tính chất: (1) F x , là m y
ột hàm không giảm theo từng biến (2) F( ,
 )  0, F( ,  ) 1
(3) (a  x  ,
b c  y  d )  F (a,c)  F ( ,
b d )  F (a,b)  F ( , b c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta có:
F ( x, y)   pij  i x x y  j y Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 13 @Copyright 2010
Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau: y 3 5 X  X 0 0,1 0,2 0,3 2 0,3 0,4 0,7 0,4 0.6 1 Y  Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 14 @Copyright 2010
(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: X 0 2 X
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y P 0,3 0, 7
0,1  0, 3  0, 4  X ,Y là phụ thuộc
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: X 0 2 (4)Tìm hàm phân phối: X Y 0.2 0.4 / 5 P  0.6 0.6 0,
x  0  y  3 0.1, 
0  x  2, 3  y  5 
F  x, y  0.1 0.2, 0  x  2,5  y 0.10.3, 
2  x, 3  y  5 1  ,  2  x, 5  y Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 15 @Copyright 2010
III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: Định nghĩa 3.2: 2   F x y f x, y   ,   x  y  x y Định lý 3.2:
F  x, y  f  
u,vdudv   Dxy Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 16 @Copyright 2010 . HINH 3.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 17 @Copyright 2010 Tính chất:
(1) f  x, y   0    TCDT (2)
f ( x, y)dxdy 1   2 R 
(3)  ,x yD  f
  ,x ydxdy D
3. Các hàm mật độ xác suất lề.  f x  f x y dy  X    ,    f y  f x y dx  Y    ,   Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 18 @Copyright 2010
.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: F x  F x  X    ,  F y  F  y Y    , 
4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập  f  ,
x y  f  x. f y X Y    F  ,
x y  F  x.F y X Y  
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:
f  x, y0  f ( x)  X /Y  0 y f y Y  0 
f  x , y 0  f ( y)  Y / X  0 x f x X  0  Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 19 @Copyright 2010 Ví dụ 3.2: Cho   x y a e ,nếu 0  x  y <+ f  x y . ,   ,nếu trái lại 0  (1) Xác định tham số a.   1  f
 x, y  x y dxdy  a dx e dy   0 x 2 R   a 2 x  a e dx   a  2 0 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 20 @Copyright 2010