Bài giảng Chương 4: Phép biến đổi Laplace môn Cơ sở kỹ thuật điện | Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ
BỘ MÔN CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN
TOÁN ỨNG DỤNG CHO KỸ SƯ
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE LAPLACE TRANSFORMER
TRỢ GIẢNG: LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2 1. ĐỊNH NGHĨA
Biến đổi Laplace của 1 hàm 𝑓(t) với t > 0 được định nghĩa   ( ) −st L f t
= e f (t)dt = F(s) 0
Hay biến đổi Laplace ngược của hàm F(s) được viết 1
L− F (s  ) = f (t) LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3 1. ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1: 𝑓(t) = 1 khi t ≥ 0. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa  − 
F s = L f t  −st 1 −st 1 ( ) ( ) = 1.e dt = e = (s  0)  0 s s 0
Ví dụ 2: 𝑓(t) = 𝑒𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa   
F (s) = L f (t  at −st a − s t 1 − s−a t 1 ( ) ( )
) = e .e dt = e dt = e = (s  a)   0 a − s s − a 0 0 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4 1. ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 3: 𝑓(t) = 𝑒−𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa   
F (s) = L f (t  −at −st − a+s t 1 − a+s t 1 ( ) ( ) ) = e .e dt = e dt = − e = (s  a)   0 a + s s + a 0 0
Ví dụ 4: 𝑓(t) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa at −at e + e 1 at 1 f (t) = cosh −at at = = e + e 2 2 2 1 1 1 s → F(s) = ( + ) = 2 2 2 s − a s + a s − a LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5 1. ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 5: 𝑓(t) = sinℎ 𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa at −at e − e 1 at 1 f (t) = sinh −at at = = e − e 2 2 2 1 1 1 a → F(s) = ( − ) = 2 2 2 s − a s + a s − a
Ví dụ 6: 𝑓(t) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa  − s
F (s) = L f (t 
) = Lcos at st = e cos atdt =  2 2 s + a 0 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 6 1. ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 7: 𝑓(t) = sin 𝑎𝑡 khi t ≥ 0, với a là hằng số. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa  − a
F (s) = L f (t 
) = Lsin at st = e sin atdt =  2 2 s + a 0
Ví dụ 8: 𝑓(t) = 𝑡𝑛+1 khi t ≥ 0. Tìm F(s) sử dụng định nghĩa    + − + − + n +
F (s) = L n st n 1 st n 1 1 t  1 1 −st n
= e t dt = − e t + e t dt   s s 0 0 0 n +1 + + = L n n n n t  1 ! ( 1)! = . = n 1 + n+2 s s s s LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 7 1. ĐỊNH NGHĨA Tính chất:
Laf (t) + bg(t  ) 1
L− aF(s) + bG(s  ) = Laf (t  ) + Lbg(t  ) 1
= L− aF(s  1
) + L− bG(s  ) = L
a  f (t  ) + L
b g(t  ) 1 = L
a − F (s  1 ) + L
b − G(s  )
= aF(s) + bG(s)
= af (t) + bg(t) Với a, b là hằng số LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 8
2. CÔNG THỨC LAPLACE CƠ BẢN f (t) F (s) f (t) F (s) f (t) F (s) f (t) F (s) s cost 1 2 2 − a at s +  − s a at + 1 1− e e cost 2 2 s s(s + a)  (s + a) +  sin t 1 2 2 b a at bt − s +  −at  t − − e − e sin t e 2 2 2 s s (s + a) + 
(s + a)(s + b) cosh at 2 2 − n s a 2 2 s − a at −  n ! t t cost 1− e n 1 a 2 2 2 s +
s(s − a) sinh at (s +  ) 2 2 s − a 2s at 1 e − s at s − a t sin t at (1− at)e s − a 2 e cost 2 2 2 (s +  ) 2 2 (s + a) (s − a) +  2 −at 1 a e a b at bt −  at −1 − + at e at e − s + a e e sin t 2 s (s + a) 2 2
(s − a)(s − b) (s − a) +  LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 9
2. CÔNG THỨC LAPLACE HÀM CƠ BẢN Ví dụ 9: Ví dụ 10: 3 3 L 3! 6 3 t  = = Lsin 3t = = 3 1 + 4 2 2 2 s s s + 3 s + 9 Ví dụ 11: Ví dụ 12:  s s − t 1 3 L cos 2t = = Le  = 2 2 2 s + 2 s + 4 s + 3 Ví dụ 13: L s t t 4 3 2
4e − 3cos 4t = 4L 2
e  − 3Lcos 4t = − 2 s − 2 s +16 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 10
2. CÔNG THỨC LAPLACE HÀM CƠ BẢN Ví dụ 14: Ví dụ 15: Ví dụ 16: −  2  −  4  −  s  1 2 L   = t 1 L   = sin 4t 1 L   = cos 4t 3 s  2 s +16 2 s +16 Ví dụ 17: Ví dụ 18: Ví dụ 19: −  s  −  1  −  2  1 L   = cosh 2t 1 3 − t L   = e 1 L   = sinh 2t 2 s − 4 s + 3 2 s − 4 Ví dụ 20: −  3s 5  −  s  5 −  2  5 1 1 1 L  +  = 3L   + L 
 = 3cos 4t + sin 2t 2 2 2 2
s +16 s + 4 s +16 2 s + 4 2 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 11
3. ĐỊNH LÝ DỜI THỨ NHẤT Nếu −
L f (t  ) = F (s) thì L   at e f (t 
) = F (s + a) s  −a  L   at e f (t 
) = F (s − a) s  a
Chỗ nào có s ta thay bằng s – a hoặc s + a 1 − −at Hoặc 1
L− F (s  ) = f (t) L 
F(s + a  = thì ) e f (t)  1 L− 
F(s − a ) at = e f (t)
Chỗ nào có s – a hoặc s + a ta quăng a ra LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 12
3. ĐỊNH LÝ DỜI THỨ NHẤT
Ví dụ 21: Tìm F(s) sử dụng định lý dời thứ 1 biết f(t) = 𝑡2𝑒3𝑡 L 2! 2 t 2 2 t  = = → L = +  2 3 t e 2 1 3  3 s s (s − 3)
Chỗ nào có s ta thay bằng s – 3
Ví dụ 22: Tìm F(s) sử dụng định lý dời thứ 1 biết f(t) =𝑒−𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 + L t s s − s t 1 cos 2 = = → L e cos 2t = 2 2 2   2 s + 2 s + 4 (s +1) + 4
Chỗ nào có s ta thay bằng s + 1 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 13
3. ĐỊNH LÝ DỜI THỨ NHẤT 1
Ví dụ 23: Tìm f(t) sử dụng định lý dời thứ 1 biết F(s) = 𝑠2+2𝑠+5 1 1 = 2 2 2 s + 2s + 5 (s +1) + 2   − 1 −   t − 1 1 1 1 −t → L   = e L   = e sin 2t 2 2 2 2 (s +1) + 2  s + 2  2
Chỗ nào có s + 1 ta thay bằng s LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 14
3. ĐỊNH LÝ DỜI THỨ NHẤT 6𝑠−4
Ví dụ 24: Tìm f(t) sử dụng định lý dời thứ 1 biết F(s) = 𝑠2−4𝑠+20 6s − 4 6(s − 2) 8 = + 2 2 2 2 2 s − 4s + 20 (s − 2) + 4 (s − 2) + 4  −  − 6(s 2) −  s  t 6 1 2 1 2 → L   = e L   = 6 t e cos 4t 2 2 2 2 (s − 2) + 4  s + 4    − 8   t − 8 1 2 1 2 → L   = e L   = 2 t e sin 4t 2 2 2 2 (s − 2) + 4  s + 4   −  − 6(s 2) 8 1 2t 2 L  +
 = 6e cos 4t + 2 t e sin 4t 2 2 2 2 (s − 2) + 4 (s − 2) + 4  LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 15
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN
Trường hợp 1: Mẫu số chỉ có nghiệm đơn Ví dụ 25: 2 s +12
F (s) = s(s + 2)(s +3) 2 s +12 A B C F (s) = = + +
s(s + 2)(s + 3) s s + 2 s + 3 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 16
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN 2 s +12 12 A = lim = = 2
s→0 (s + 2)(s + 3) 6 2 s +12 16 B = lim = = 8 − s 2 →− s(s + 3) 2 − 2 s +12 21 C = lim = = 7 s 3 →− (s + 2)s 3 2 8 − 7 → F(s) = + + s s + 2 s + 3 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 17
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN
Trường hợp 1: Mẫu số chỉ có nghiệm đơn
Ví dụ 26: Cho các hàm F(s) như sau. Tìm f(t) 2s −11 19s + 37 F (s) = F (s) = (s + 2)(s − 3)
(s − 2)(s +1)(s + 3) s +1 F (s) = 2 6s + 7s + 2 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 18
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN
Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm bội bậc n Ví dụ 27: 2 10s + 4 F (s) = 2
s(s + 2) (s +1) 2 10s + 4 A B C D F (s) = = + + + 2 2
s(s + 2) (s +1) s s +1 (s + 2) s + 2 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 19
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN 2 2 10s + 4 4 10s + 4 14 A = lim = = 1 B = lim = = −14 2 2 s→0 s→ 1 (s + 2) (s +1) 4 − (s + 2) s 1 − 2 10s + 4 44 C = lim = = 22 s 2 →− (s +1)s 2 2 2 2 10s + 4 
20s(s + s) − (2s +1)(10s + 4) 52 D = lim  ' = lim = =13 2 2 s→ 2 − s→ 2  (s +1)s −  (s + s) 4 1 14 − 22 13 → F(s) = + + + 2 s s +1 (s + 2) s + 2 LÊ QUANG SANG
CHƯƠNG 4: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 20
4. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC PHỨC TẠP THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN
Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm bội bậc n
Lưu ý: Khi tìm hệ số nếu đạo hàm n lần thì ta lấy giá trị tìm được chia cho n! 4 3 2
4s + 8s + 8s − 8s A B C D E = + + + + 4 4 3 2 s (s − 2) s s − 2 s s s 4 3 2 1
 4s + 8s + 8s −8s  D = lim  ' = 2 − s→0 2!  s − 2  4 3 2 1
 4s + 8s + 8s −8s  E = lim  '' = 5 − s→0 3!  s − 2  LÊ QUANG SANG