Bài giảng đạo hàm Toán 11 CTST
Tài liệu gồm 94 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề đạo hàm trong chương trình môn Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (CTST).
Tài liệu liên quan:
-
Top 7 chuyên đề đạo hàm
118 59
Preview text:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đạo hàm
HĐ 1: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức 2
s(t) = 4,9t với t là thời gian
tính bằng giây và s tính bằng mét.
Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5 ; t] hoặc [t ; 5] được tính bằng công −
thức s(t) s(5) t − 5
a) Hoàn thiện bảng sau vể vân tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về
s(t) − s(5) khi t càng gần 5 . t − 5
s(t) − s(5) b) Giới hạn lim
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 . Tính giá t→5 t − 5 0 trị này.
s(t) − s(t0 ) c) Tính giới hạn lim
để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm t nào đó t→t 0 0 t − t0
trong quá trình rơi của vật. Lời giải a) Khoảng thời gian [5;6] [5;5, ]1
[5;5,05] [5;5,0 ]1 [5;5,001 [4,999;5 [4,99;5] 49,04 49,004 48,995 48,95
s(t) − s(5) 53,9 49,49 49,24 5 9 9 1 1 t − 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
s(t) − s(5) 2 2 4,9t − 4,9.5 b) lim = lim t→5 − t→5 t 5 t − 5 4,9( 2 2 t − 5 )
4,9(t − 5)(t + 5) = lim = lim t→5 − t→5 t 5 t − 5
= lim4,9(t + 5) = 4,9(5 + 5) = 49 t→5
s(t) − s(t ) 2 2 0 4,9t − 4,9.t0 c) lim = lim t→t0 − t→t t t 0 t − t 0 0 4,9( 2 2 t − t0 )
4,9(t − t t + t 0 ) ( 0 ) = lim = lim t→t0 − t→t t t 0 t − t 0 0
= lim4,9(t + t = 4,9 t + t = 9,8t 0 ) ( 0 0) 0 t→t0
Mở rộng tình huống trong hoạt động trên, giả sử s(t) là tọa độ tại thời điểm t của một chất điểm chuyển
động thẳng trên trục s′Os (Hình 2 ).
s(t) − s(t0 ) Khi đó, giới hạn lim
được gọi là vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm t , kí hiệu t→t 0 0 t − t0
v(t0 ) . Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số s(t) theo thởi gian t tại thời điểm t , kí 0
hiệu s′(t0 ) . − ′ s(t) s t
Vậy v(t = s t = lim . 0 ) ( 0) ( 0) t→t0 t − t0
Tổng quát, ta có định nghĩa đạo hàm của hàm số bất kì như sau:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a;b) và x ∈( ; a b). 0
f (x) − f (x0 )
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim x→ 0 x x − x0
thì giới hạn này được goi là đạo hàm của hàm số f (x) tại x , kí hiệu là f ′ (x y′ x 0 ) hoặc ( 0) . 0 Vậy: − ′ ( f (x) f x f x = lim 0 ) ( 0) x→ 0 x x − x0
Ví dụ 1. Cho hàm số 2
f (x) = x . Tỉnh f ′ (x0 ) với x ∈ 0 . Lời giải 2 2 − ′ f (x) f x − Ta có f (x ) ( 0) x x0 = lim = lim
= lim x + x = 2x . 0 ( 0 ) 0 x→ 0 x − x x x → 0 x − x x x → 0 x 0 0 Chú ý
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a;b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x ∈(a,b)
thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a,b), kí hiệu y′ hoặc f ′(x) .
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1
f (x) = C(C là hằng số )
b) f (x) = với x ≠ 0 . x Lời giải
a) Với bất kì x , ta có: 0 − ′
f (x) f (x0 ) − ( ) = lim = lim C C f x = lim 0 = 0. x→ 0 x − x x x → 0 x − x x x → 4 x 0 0
Vậy f ′(x) (C)′ = = 0 trên .
a) Với bất kì x ≠ 0 , ta có: 0 1 1 − − − f ′ (x ) x x x x 1 1 0 0 = lim = lim = lim = − . 0 2 x→ 1x − x x x → 0 x − x→x xx x x xx x 0 0 ( 0 ) 0 0 0 ′ Vậy ′ 1 1 f (x) = = − trên các khoảng ( ; −∞ 0) và (0;+∞). 2 x x
Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 3
f (x) = x . Lời giải
Với bất kì x0 ta có: 3 3 − − f ′(x)
f (x) f (x0 ) x x0 = lim = lim x→ 0 x − x x x → 0 x x − x 0 0 (x − x )( 2 2 x + . x x + x 0 0 0 ) = ilm x→ 0 x x − x0 = lim( 2 2 x + . x x + x ) 2 2 2
= x + x .x + x = 3x 0 0 0 0 0 0 0 x→ 0 x
Chú ý: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b), có đạo hàm tại x ∈( ; a b). 0 a) Đại lượng x
∆ = x − x gọi là số gia của biến tại x . Đại lượng y
∆ = f (x) − f (x0 ) gọi là số gia tương 0 0 ∆ + ∆ − ′ y f x x f x
ứng của hàm số. Khi đó, x = x + x
∆ và f (x = lim = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 x ∆ →0 ∆ x ∆ →0 x x ∆ ∆
b) Tỉ số y biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ x x ∆ 0 đến x + x
∆ ; còn f ′ (x0 ) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tai điểm x 0 0
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số s = f (t) biếu thị quãng đường di chuyến của vật theo thời gian t thì f ′ (t0 ) biếu thị tốc độ
tức thời của chuyền động tại thời điểm t . 0
- Nếu hàm số T = f (t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f ′ (t0 ) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ
theo thời gian tại thời điểm t . 0
Vận dụng 1: Với tình huống trong Kính lúp 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:
v(2) = s′(2) = 9,8.2 =19,6
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số 1 2
y = f (x) = x có đồ thị (C) và điểm 1
M 1; thuôc (C). 2 2
a) Vẽ (C) và tính f ′(1) .
b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bẳng f ′(1) . Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C) . Lời giải a) 1 2 1 2 x − ⋅1 f ′( ) 2 2 1 = lim x 1 → x −1 1 ( 2x − )1 2 = lim x 1 → x −1 1 (x− )1(x+ )1 2 = lim x 1 → x −1 1 = (x + ) 1 lim 1 = (1+ ) 1 =1 x 1 → 2 2 b)
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 1 điểm M duy nhất
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị (C) của hàm số y = f (x) và điểm M x ; f x thuộc (C) . 0 ( 0 ( 0)) Xét M ( ;
x f (x)) là một diểm di chuyển trên (C) . Đường thẳng M M là một cát tuyến của (C) . Hệ số 0
f (x) − f (x0 )
góc của cát tuyến M M được tính bởi công thức k = β =
. Khi cho x dần tới x thì M M tan 0 0 x − x 0 0
M di chuyển trên (C) tới M . Giả sử cát tuyến M M có vị trí giới hạn là M T thì M T được gọi là * 0 0 0 0
tiếp tuyến của (C) tại M và M được gọi là tiếp điểm. 0 0
f (x) − f (x0 )
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến M T là k = α = β = = f ′ x . M T tan lim tan lim ( 0) 0 0 x→ 0 x x→ 0 x x − x0
Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với trục Oy .
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b) và có đạo hàm tại x ∈ ; a b C 0
( ). Gọi ( ) là đồ thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈ ; a b M T C 0
( ) là hệ số góc của tiếp tuyến 0 của ( ) tại
điểm M x ; f x . 0 ( 0 ( 0)) Tiếp tuyến M T
y − f x = f ' x x − x 0 có phương trình là ( 0) ( 0)( 0 ) .
Ví dụ 3. Cho hàm số 2
y = x có đồ thị (C) và điểm M (2;4)∈(C) . Tính hệ số góc của tiếp tuyến của
(C) tại điểm M và viết phương trình của tiếp tuyến đó. Lời giải Ta có ( 2
x )' = 2x nên tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc là f '(2) = 2.2 = 4
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
y − 4 = 4(x − 2) ⇔ y = 4x − 4
Cho (C) là đồ thị của hàm sổ ( ) 1
f x = và điểm M1;1( )∈(C) . Tính hệ số góc của tiếp tuyến của x
(C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ′ − − Ta có 1 1 = 1
nên tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc là f ′( ) 1 = = 1
− Phương trình tiếp tuyến 2 x x 2 1
của (C) tại M là: y −1 = 1. − (x − )
1 ⇔ y = −x + 2 3. Số e
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r / năm theo thể thức lãi
kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn được cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là a) một năm; b) một tháng.
Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn ( *
n∈ ) thì lãi suất mỗi kì hạn là r . n Lời giải
a) Nếu kì hạn là 1 năm thì tổng tiền vốn và lãi sau một năm gửi là: . A (1+ r) 12
b) Nếu kì hạn là 1 tháng thì tổng tiền vốn và lãi sau một năm gửi là: . 1 r A + 12
Xét tình huống gửi tiết kiệm ở . Kí hiệu T là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau một năm. Tuỳ
theo kì hạn, ta có những công thức tính T khác nhau.
- Nếu kì hạn là 1 năm thì T = (1 A + r) . 2
- Nếu kì hạn là 6 tháng thì 1 r T A = + . 2 4
- Nếu kì hạn là 3 tháng thì 1 r T A = + . 4 12
- Nếu kì hạn là 1 tháng thì 1 r T A = + . 12 365
- Nếu kì hạn là 1 ngày thì 1 r T A = +
(luôn coi một năm có 365 ngày). 365
Tổng quát, nếu một năm được chia thành n kì hạn thì n r 1 ar n T A 1 A 1 = + = +
với m = ,r > 0. n m r
Khi kì hạn càng ngắn thì n càng lớn, do đó m càng lớn. Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn 1 x lim 1 + = e x→+∞ x
Hơn nữa, người ta còn biết rằng e là số vô tỉ và e = 2,718281828… (số thập phân vô hạn không tuần hoàn). m
Từ kết quả trên suy ra, khi kì hạn trở nên rất ngắn (m dần đến +∞) thì 1 1 +
dần đến e , và do đó m 1 m T A 1 = + dần đến r A⋅e . m
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Số e xuất hiện trong nhiều bài toán ở những lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lí, Sinh học, Kinh tế,....
Ví dụ 4. Công thức rt
T = A⋅e được dùng để tính tổng sổ tiền vốn và lãi mà người gửi nhận được sau thời
gian t kể từ thời điểm người đó gửi tiết kiệm A đồng theo thể thức "lãi kép liên tục" với lãi suất r năm.
Trong đó, A và T tính theo đồng, t tính theo năm và t có thể nhận giá trị thực bất kì. Sử dụng máy tính
cầm tay, tính giá trị của T (làm tròn đến hàng đơn vị) khi A = 2000000,r = 0,05 và a) 1 t = ; b) 1 t = . 4 365 Lời giải 1 a) 0.05⋅4 0.0125 T = 2000000⋅e = 2000000⋅e ≈ 2025157 (đồng). 1 b) 0.05 365 T 2000000 e ⋅ = ⋅ ≈ 2000274 (đồng).
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 4% năm và theo thể thức
lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau a) 1 ngày; b) 30 ngày.
(Luôn coi một năm có 365 ngày.) Lời giải
a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là: 1 0,06⋅36 5000000⋅e ς = 5000822 (đồng)
b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là: 30 0,06 365 5000000 e ⋅ ⋅ = 5024718 ( đồng)
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Phương pháp
Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈( ;
a b), ta thực hiện theo các bước sau: 0
1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
2. Lập và rút gọn tỉ số
với x ∈(a;b), x ≠ x . x − x 0 0
f (x) − f (x0 ) 3. Tìm giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số 2 y = 2x + x + 1 tại x . 0 = 2 Lời giải
f (x) − f(x0 ) = f(x) − f(2) = 2 2x + x + 1−11 = 2 2x + x −10
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 5 f (x) f (2) 2 x 2 x 2 ( ) − + − 2x + x −10 2 = = = 2x + 5 x − 2 x − 2 x − 2 f (x) − f (2) Ta có lim = lim (2x + 5) = 9 . x→2 x − 2 x→2 Vậy f'(2) = 9
Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số 2
y = x + 3 tại ; x x ∀ ∈ Lời giải Ta có: Với x bất kì 0
f (x) − f (x0 ) f ′(x = 0 ) lim x→ 0 x x − x0 2 2 x + 3 − x + 3
x − x x + x 0 ( 0 ) ( 0 ) 2x x 0 0 = lim = lim = = x→ 0 x x x − x → 0 x 0 (x − x x + 3 + x + 3 2 x + 3 x + 3 0 ) 2 2 2 2 0 0 0 Vậy '( ) x f x = . 2 x + 3 3 2 x + x +1 −1
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số khi x ≠ 0 f (x) = x tại x = 0 . 0 khi x = 0 Lời giải 3 2
Ta có : f (0) = 0 , do đó:
f (x) − f (0) x + x +1 −1 x +1 1 lim = lim = lim = . 2 x→0 x→0 x→0 3 2 x x x + x +1 +1 2 1 Vậy f (′0) = . 2 2 x + x khi x ≤1
Ví dụ 4: Tìm a,b để hàm số f (x) =
có đạo hàm tại x = 1. ax + b khi x >1 Lời giải Điều kiện cần: f (1) = 2
lim f (x) = lim ( 2 x + x = − − ) 2 x 1 → x 1 →
lim f (x) = lim (ax + b) = a + b x 1+ x 1+ → →
Để hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (x) liên tục tại x = 1
⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ a + b = 2 x 1+ x 1− → → Điều kiện đủ:
f (x) − f (1) 2 f (1− ′ ) = + − lim x x 2 = lim
= lim ( x + 2) = 3 x 1− → x −1 x 1− → x −1 x 1− →
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
f (x) − f (1)
f (x) − f (1)
ax + b − (a + b) f ( − 1+ ′ ) = ax a lim = lim = lim = lim = a x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1
Để hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (1+ ′ ) = f (1− ′
) ⇔ a = 3⇒ b = 1 − .
Dạng 2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 1. Phương pháp
. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động với phương trình s = s (t) là
v(t = s' t 0 ) ( 0).
. Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t) là
I (t = Q' t 0 ) ( 0) .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là:
s = f (t) 2
= t + 4t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)
a) Tính đạo hàm của hàm số f (t) tại điểm t0 .
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5. Lời giải 2 2 − + + − + + a) Ta có:
f (t) f (t t 4t 6 t 4t 6 0 ) ( 0 0 ) lim = lim
== lim(t + t + 4 = 2t + 4. 0 ) 0 t→t0 t→t t − t 0 t→t t − t 0 0 0
Vậy f '(t = 2t + 4 0 ) 0 .
b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = f = + = t '(5) 2.5 4 14 (m/s).
Ví dụ 2: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 6t + 5 (t được
tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t =10 . Lời giải
Vì Q '(t) = 6 ⇒ Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t =10 là I = Q = tt '(10) 6
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến 1. Phương pháp
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M0 (x0;y0 ) là:
y = f′(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình f′(x0 ) = k tìm hoành độ tiếp điểm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) 2
= x + 5 có f ′(x) = 2 .x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại
điểm M có hoành độ x = 1. − 0 Hướng dẫn giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x = 1
− ⇒ f (x ) = (− )2 1 + 5 = 6 0 0 f ′(− ) 1 = 2 − .
Phương trình tiếp tuyến: y = 2 − (x + ) 1 + 6 .
Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 4
y f x = x tại điểm có hoành độ bằng 1 − Hướng dẫn giải
Ta có: f ( ) = f ′(x) 3 1 1;
= 4x , do đó f ′(− ) 1 = 4. −
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4 − (x + ) 1 +1 = 4 − x − 3.
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 3
y f x = x tại điểm mà tiếp điểm có tung độ bằng 1 − Hướng dẫn giải Ta có: Khi y = 1 − thì 3 x = 1 − , do đó x = 1. −
f (− ) = − f ′(x) 2 1 1;
= 3x , do đó f ′(− ) 1 = 3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + ) 1 −1 = 3x + 2.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 4
y f x = x có hệ số góc bằng 4. Hướng dẫn giải Ta có: f ′(x) 3 = 4x .
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 nên 3
4x = 4 , do đó x =1; f ( ) 1 =1.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4(x − ) 1 +1 = 4x − 3.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ( ) 2 f x = −x ; b) f (x) 3 = x − 2x ; c) ( ) 4 f x = . x Lời giải 2 2 2 2 f x − f x −x − −x − x − x − x − x x + x a) f ′(x = lim = lim = lim = lim 0 ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) x→ 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x − x 0 0 0 0
= lim −(x + x 0 ) x→ 0 x = −(x + x = 2 − x 0 0 ) 0 3 3 3 3 f x − f x
x − 2x − x + 2x
x − x − 2x − 2x b) f ′(x ) ( ) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 = lim = lim = lim 0 x→ 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x − x 0 0 0 (x − x )( 2 2 x + .
x x + x − 2 x − x 0 0 0 ) ( 0 ) = lim x→ 0 x x − x0 = lim ( 2 2 x + . x x + x − 2 0 0 ) x→ 0 x = ( 2 2
x + x .x + x ) 2 − 2 = 3x − 2 0 0 0 0 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 4 4 4x − 4x 0 − 3 3 f x − f x − − + c) b) f ′(x ) ( ) ( 0) x 2x x 2x x x . x x 0 0 0 0 = lim = lim = lim = lim 0 x→ 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x − x 0 0 0 0 − − − 4 4 4 = lim = = 2 x→ 0 x . x x . x x x 0 0 0
Bài 2. Cho hàm số f (x) 2 = 2
− x có đồ thị (C) và điểm A(1; 2
− )∈(C) . Tính hệ số góc của tiếp tuyến với
(C) tại điểm A. Lời giải
Ta có f ′(x = 4 − x 0 )
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C)tại điểm A là ( 4 − ).1 = 4 −
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 y = x a) Tại điểm ( 1; − ) 1 ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . Lời giải 2
Ta có: y (′x ) = 3x 0 3 a) Ta có điểm ( 1; − )
1 không thuộc hàm số y = x nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;1). 3
b) Khi x = 2 thì y = 2 = 8
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là 2 3.2 =12
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2;8)là: y −8 =12.(x − 2 )hay y =12x −16
Bài 4. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) 3
= 4t + 6t + 2 , trong đó s tính bằng mét và
t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2. Lời giải
Vận tốc tức thời của chuyển động là: v(t) = s′(t) 2 =12t + 6 Khi t = ( ) 2 2, v 2 =12.2 + 6 = 54
Bài 5. Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5% / năm. Tính
tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức
a) lãi kép với kì hạn 6 tháng; b) lãi kép liên tục. Lời giải
a) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là: 0,05 2 T =10000000 1 ( + ) =10506250 2 (đồng)
b) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là: 0,05 T =10000000e =10512711 (đồng)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Bài 6. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức h(t) 2
= 0,81t , với t
được tính bằng giây và h tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt
Trăng tại thời điểm t = 2.
(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon) Lời giải
Vận tốc tức thời của vật là: v(t) = h′(t) =1,62t
Tại thời điểm t = 2thì v(2) =1,62.2 = 3,24
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số y f x không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó không liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó. Lời giải Chọn C
Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0
A. f x . 0
B. f x h f x 0 0. h C.
f x h f x 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h D.
f x h f x h 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Lời giải Chọn C
Ta có Cho f là hàm số liên tục tại x . 0
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
f x f x
f x f x0 0 lim
thì f x lim . 0 x 0 x x x xx x x 0 0 0 Đặt
f x h f x 0 0
h x x f x lim . 0 0 h0 h
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x là f x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com A.
f x f x f x x f x 0 0 0
f x lim .
B. f x lim . 0 0 x 0 x x x x 0 x 0 C.
f x h f x
f x x f x 0 0 0 0
f x lim .
D. f x lim . 0 0 h0 h x 0 x x x0 Lời giải Chọn D Hàm số
f x f x0
y f x có đạo hàm tại x là f x f x lim . 0 0 0 x 0 x x x0 Đặt f x x f x
f x h f x 0 0 0 0 h x
x x f x lim lim . 0 0 x 0 h0 x h 3 4x khi x 0 Câu 4: Cho hàm số f x 4 . Tính f 0 . 1 khi x 0 4
A. f 1 0 .
B. f 1 0 .
C. f 1 0 . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Chọn B 3 4 x 1 Xét
f x f 0 4 4 2 4 lim lim lim x x0 x0 x0 x 0 x 4x
2 4x2 4x x 1 1 lim lim lim . x0
4x2 4x
x0 4x2 4x x0 42 4x 16 2 x 11
Câu 5: Cho hàm số f x khi x 0 x . Tính f 0 . 0 khi x 0 A. f 0 0. B. f 0 1.
C. f 1 0 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn C 2 x 110 2 Xét
f x f 0 x x 11 lim lim lim 2 x0 x0 x0 x 0 x x
2x 1 1 2x 1 1 2 x 1 1 lim lim lim . x0 2 x 2 x 1 x0 2 1 x 2
x 1 x0 2 1 x 11 2 3 2
x 4x 3x Câu 6: Cho hàm số khi x 1
f x xác định trên \
2 bởi f x 2
x 3x 2 . Tính f 1 . 0 khi x 1
A. f 3 1 . B. f 1 1. C. f 1 0. D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 3 2 Xét
x 4x 3x xx 1 x 3 xx 3
lim f x lim lim lim 2. 2 x 1 x 1 x 1 x 3x 2 x 1 x x 1 2 x 2
Ta thấy: lim f x f
1 . Do đó, hàm số không tiên tục tại điểm x 1. x 1
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x 1. 2 Câu 7: Cho hàm số
f x x 1 khi x 0
. Khẳng định nào sau đây sai? 2 x khi x 0
A. Hàm số không liên tục tại x 0 .
B. Hàm số có đạo hàm tại x 2 .
C. Hàm số liên tục tại x 2 .
D. Hàm số có đạo hàm tại x 0 . Lời giải Chọn D
lim f x lim 2 x 1 1
Xét các giới hạn x0 x0 .
lim f x lim 2 x 0 x0 x0
Do lim f x lim f x nên hàm số không liên tục tại x 0 . x 0 x 0
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x 0 . 2 x khi x 2
Câu 8: Tìm tham số thực b để hàm số f x 2 x
có đạo hàm tại x 2.
bx 6 khi x 2 2 A. b 3. B. b 6. C. b1.
D. b 6. Lời giải Chọn B
Để hàm số có đạo hàm tại x 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x 2 , tức là 2
lim f x lim f x x 2 lim bx 6
lim x 2 2b6 4 b 6. x 2 x 2 x 2 x 2 2
Thử lại với b 6 , ta có 2 2 x 10 x bx 6x 10 f x f 2 2 2 lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 10 x 10 lim lim x 4; x 2 2x x 2 2 2
f x f 2 2 x 4 lim lim 4. x 2 x 2 x 2 x 2 Vì
f x f 2
f x f 2 lim lim
nên hàm số có đạo hàm tại x 2. x 2 x 2 x 2 x 2 2 Câu 9: Cho hàm số f x mx 2x 2 khi x 0
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , m n sao cho nx 1 khi x 0
f x có đạo hàm tại điểm x 0 . A. Không tồn tại , m .
n B. m 2, . n
C. n 2, . m
D. m n 2. Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ta có
f 02 f
x f 2 2 0
mx 2x 22 mx 2 lim lim lim
x lim mx 2 2. x0 x0 x0 x0 x 0 x x
f x f 0 nx 22 lim lim
lim nx lim n n x0 x0 x0 x0 x 0 x x
Hàm số có đạo hàm tại f x f 0
x 0 khi và chỉ khi tồn tại giới hạn lim x0 x 0
f x f 0
f x f 0 lim lim n 2 . x 0 x 0 x 0 x 0 2 x
Câu 10: Cho hàm số f x khi x 1 2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số ,
a b sao cho f x ax b khi x 1
có đạo hàm tại điểm x 1. A. 1
a 1, b . B. 1 1
a , b . C. 1 1
a , b . D. 1
a 1, b . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Hàm số có đạo hàm tại x 1, do đó hàm số liên tục tại x 1. 1
a b . 1 2
f x f 1 ax b .1 a b ax 1 lim lim lim lim a a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có 2 x 1 .
f x f 1 x 1 x 1 x 1 2 2 lim lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x x 1 1 2
Hàm số có đạo hàm tại
f x f 1
f x f 1 x 1 lim lim a 1. 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Từ 1 và 2 , ta có 1
a 1, b . 2
Câu 11: Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2
s t = t , trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t)
tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây. A. 2m/s. B. 3m/s. C. 4m/s. D. 5m/s. Lời giải Chọn C
Ta tính được s′(t) = 2t.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s′(t) = 2t ⇒ v(2) = 2.2 = 4m/s.
Câu 12: Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) 2
= 196t − 4,9t trong đó t > 0, t tính bằng
giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt
đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D
Ta tính được s′(t) =196 − 9,8t.
Vận tốc của viên đạn v(t) = s′(t) =196 − 9,8t ⇒ v(t) = 0 ⇔ 196 − 9,8t = 0 ⇔ t = 20.
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng h = s( ) 2 20 =196.20 − 4,9.20 =1960m.
Câu 13: Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) 3 2
= t − 3t + 9t + 2 , trong đó t > 0, t tính bằng
giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất? A. t =1s. B. t = 2s. C. t = 3s. D. t = 6s. Lời giải Chọn A
Ta tính được s′(t) 2
= 3t − 6t + 9.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s′(t) = t − t + = (t − )2 2 3 6 9 3 1 + 6 ≥ 6. Dấu '' ′′ = xảy ra ⇔ t =1.
Câu 14: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) 2
= 8t + 3t , trong đó
t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà
vận tốc chuyển động là 11 é
m t / giây A. 2 6m/s . B. 2 11m/s . C. 2 14m/s . D. 2 20m/s . Lời giải Chọn C
Ta tính được v′(t) = 8 + 6t. Ta có v(t) 2
= 11 ⇔ 8t + 3t =11 ⇔ t =1 (t > 0).
Gia tốc của chất điểm a(t) = v′(t) = + t ⇒ a( ) = v′( ) 2 8 6 1 1 = 8 + 6.1 =14m/s .
Câu 15: Một vật rơi tự do theo phương trình 1 2
s = gt , trong đó 2
g = 9,8m/s là gia tốc trọng trường. Tìm 2
vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t ∆ với t ∆ = 0,001s. A. v = 49m/s.
B. v = 49,49m/s.
C. v = 49,0049m/s. D. v = 49,245m/s. tb tb tb tb Lời giải Chọn C 1 1 ( + ∆ )− ( ) g (t + t ∆ )2 2 − gt s t t s t Ta có 2 2 1 v = = = gt + g t ∆ = 49,0049m/s. tb t ∆ t ∆ 2
Câu 16: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol 2
y x tại điểm có hoành độ 1. 2 A. k 0. B. k 1. C. 1 k . D. 1 k . 4 2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn B Vậy 1 k = y ′ = 1. 2
Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y x tại điểm 1; 1 .
A. y 3x4. B. y 1.
C. y 3x2.
D. y 3x 2. Lời giải Chọn D
Ta tính được k y' 1 3. x 1 0
Ta có y 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y1 3 x
1 y 3x 2. 0 k 3
Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y tại điểm có hoành độ bằng 1 . x
A. x y2 0.
B. y x 2.
C. y x2.
D. y x 2. Lời giải Chọn A
Ta tính được k y' 1 1.
Với x 1 y 1. 0 0 x 1 0
Ta có y 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y1 1 x
1 y x 2. 0 k 1
Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm có tung độ bằng 8. A. y = 8. B. y = 12 − x +16.
C. y =12x − 24.
D. y =12x −16. Lời giải Chọn D
Với y = 8 ⇒ x = 2. 0 0
Ta tính được k = y′(2) =12. x = 2 0
Ta có y = 8 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y −8 =12(x − 2) ⇔ y =12x −16. 0 k = 12 Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung. A. y = 2 . x B. y = 2. C. y = 0. D. y = 2. − Lời giải Chọn B Ta có : 2
x = 0; y = 2; y′ = 3x − 6x ⇒ k = y′ 0 = 0 0 0 ( )
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x = 0 0
Ta có : y = 2. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. 0 k = 0 Câu 21: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với
đường thẳng y = 2. − A. y = 9 − x + 7; y = 2 − . B. y = 2. −
C. y = 9x + 7; y = 2
− . D. y = 9x + 7; y = 2. Lời giải Chọn C x = 1 −
Phương trình hoành độ giao điểm : 3 2
y = x − 3x + 2 = 2 − ⇔ . x = 2 y = 2 − Với x = 1 − →
. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7. k = y′ (− )1 = 9 y = 2 − Với x = 2 →
. suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. − k = y′ ( 2 − ) = 0 Câu 22: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = 9x + 7.
A. y = 9x + 7; y = 9x − 25.
B. y = 9x − 25.
C. y = 9x − 7; y = 9x + 25.
D. y = 9x + 25. Lời giải Chọn B
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 )
Ta tính được k = y′(x ) 2
= 3x − 6x . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có 0 0 0 x = 1 − 2 0
k = 9 ⇔ 3x − 6x = 9 ⇔ . 0 0 x = 3 0 y = 2 − Với 0 x = 1 − →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7(loaii) (vì trùng với 0 k = 9 đường thẳng đã cho). y = 2 Với 0 x = 3 →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x − 25. 0 k = 9 Câu 23: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng 1 y = − . x 45
A. y = 45x −173; y = 45x + 83.
B. y = 45x −173.
C. y = 45x +173; y = 45x −83.
D. y = 45x −83. Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 )
Ta tính được k = y′(x ) 2
= 3x − 6x . Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = − x nên 0 0 0 45 1 x = 5 có 2 0 k. − = 1
− ⇔ k = 45 ⇔ 3x − 6x = 45 ⇔ . 0 0 45 x = 3 − 0 y = 52 Với 0 x = 5 →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x −173. 0 k = 45 y = 52 − Với 0 x = 3 − →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x + 83. 0 k = 45
Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y = biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 − . x 4
A. x + 4y −1 = 0; x + 4y +1 = 0.
B. x + 4y − 4 = 0; x + 4y + 4 = 0. C. 1 1
y = − x − 4; y = − x + 4. D. 1 y = − x . 4 4 4 Lời giải Chọn B Gọi M (x 1
; y là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được k = y′(x = − . 0 ) 0 0 ) 2 x0 Theo giả thiết ta có 1 1 1 2 k = − ⇔ −
= − ⇔ x = 4 ⇔ x = 2. ± 2 0 0 4 x 4 0 • Với 1
x = 2 → y = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1
y = − (x − ) 1
2 + ⇔ x + 4y − 4 = 0. 0 0 2 4 2 • Với 1 x = 2 − → y = − . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 0 0 2 1 y = − (x + ) 1
2 − ⇔ x + 4y + 4 = 0. 4 2 Câu 25: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo
bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆ : 4x − 3y = 0 bằng 3. 5
A. y = 2; y =1. B. y = 2; − y =1. C. y = 2; − y = 1 − .
D. y = 2; y = 2 − . Lời giải Chọn D
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm⇒ k = y′(x = 3x − 6x . 0 ) 2 0 0 ) 0 0
Phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y = k x − x . 0 ( 0 )
Suy ra tiếp tuyến d có một vectơ pháp tuyến là n = −k d ( ) ;1 .
Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là n = − ∆ (4; 3).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com k = 0 4 − k − 3 Theo đề bài ta có: (d ) 3 cos , ∆ = = ⇒ 24 . 2 k +1 16 + 9 5 k = − 7 Với 24 2 24 k = −
⇒ 3x − 6x = − : vô nghiệm. 0 0 7 7 x = 0 Với 2 0
k = 0 ⇒ 3x − 6x = 0 ⇔ . 0 0 x = 2 0
• x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 2 = 0 ⇔ y = 2. 0 0
• x = 2 ⇒ y = 2
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0 ⇔ y = 2. − 0 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Câu hỏi mở đầu: Giả sử hai hàm số f (x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x là f '(x và g '(x . Làm 0 ) 0 ) 0
thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f (x) và g (x) tại xa ? Lời giải
Ta sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích của thương của f (x)
và g (x) tại x . 0
1. Đạo hàm của hàm số n *
y = x ,n∈ HĐ 1.
a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x . 0
b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số 2 3
y = x , y = x đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm sổ n y = x với * n∈ . Lời giải f x − f x x − x a) y′(x ) ( ) ( 0) 0 = lim = lim = lim1 =1 0 x→ 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x 0 0 b) Đạo hàm của 2
y = x là y′ = 2x . Đạo hàm của 3 y = x là 2 y′ = 3x . Dự đoán đạo hàm của n y = x là 1 . n y n x − ′ = Hàm số n y = x với *
n∈ có đạo hàm trên và ( n x ) n 1 ' nx − = . GV : T RẦ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 5
y = x tại điểm x = 2 và 1 x = − . N 2 ĐÌN Lời giải H 4 C 1 1 5 Ư Ta có ( 3 x ) 4
' = 5x . Từ đó, y ( ) 4
' 2 = 5.2 = 80 và y ' − = 5⋅ − = . – 2 2 16 083 = − 4332133
Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 10
y x tại x = 1 và 3 x = 2 . Lời giải Ta có: 10 9 (x )′ =10x Từ đó: 9 3 9 y (′ 1 − ) =10.( 1 − ) = 10
− , y (′2 – 3) =10.( 2) = 80
2. Đạo hàm của hàm số y = x
HĐ 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x với x > 0 . 0 0 Lời giải − − y′( f x f x x x 1 1 1 x = lim = lim = lim = = 0 ) ( ) ( 0) 0 x→ 0 x x x − x → 0 x x→x 0
( x − x . x + x x + x x + x 2 x 0 ) ( 0 ) 0 0 0 0 0
Hàm số y = x có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và ( x)′ 1 = 2 x
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = 1 và 1 x = . 4 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ta có y′ = ( x)′ 1 =
, x > 0 . Từ đó, y′( ) 1 1 1 = = và 1 1 1 y ′ = = = 1. 2 x 2 1 2 4 1 1 2 2. 4 2
Luyện tập 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x tại điểm có hoành độ bằng 4. Lời giải
Ta có: y′ = ( x)′ 1 = 2 x
Khi x = 4 thì y = 4 = 2
Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 là: 1 1 1 = = 2 x 2 4 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (4;2) là: 1
y − 2 = (x − 4)hay 1 y = x +1 4 4 Nhận xét:
a) Cho số thực α . Hàm số y xα =
được gọi là hàm số lũy thừa (với tập xác định (0;+∞) ). Công thức ( n x )′ n 1
= nx − còn đúng khi n là số thực, tức là với số thực α bất kì ( α )′ α 1 x
= α x − ( x > 0 ). Với 1
α = , ta nhận được công thức đã biết: ( x) 1 1 1 1 1 − 1 − ′ 1 2 2 2 = (x )′ = x = x = ( x > 0 ). 2 2 2 2 x
b) Ở bài học trước, dùng định nghĩa ta tìm được các công thức đạo hàm: GV: T •
(C)′ = 0 (C là hằng số); RẦN ′ Đ 1 1 ÌN • = − ( x ≠ 0 ). 2 H x x CƯ
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số 3
y = x tại điểm x = 8. – 083 Lời giải 4332133 − −
Ta có y′ = ( x) 1 1 2 ′ 1 1 3 1 1 3 3 3
= (x )′ = x = x = . 3 2 3 3 3 x Từ đó, y′( ) 1 1 1 1 8 = = = = . 3 8 3( 2 )2 2 3 2 3 3 3.2 12
Luyện tập 3. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) 4
y = x tại x = 1; b) 1 y = tại 1 x = − . x 4 Lời giải 1 1 3 − 1 − 4 4 4 4
y′ = ( x ′ = ( 1 1 ) x ) 1 ′ = x = x =
a) Với x > 0 , ta có: 4 3 4 4 4 x 1 1 y′ 1 ( ) = = Từ đó: 4 3 4 1 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 ′ 1 − 1 − 1 − 2 − ′ = = ( )′ = 1. − 1 y x − x = −x = 2 b) Ta có: x x − Từ đó, 1 1 y − ′ = = 16 − 2 4 1 4
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác HĐ 3. Cho biết sin lim
x =1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx . x→0 x Lời giải sinx − sinx0 y (′x ) = lim 0 x→ 0 x x − x0
Gọi x = x + x ∆ 0 + ∆ − ∆ + ∆ − Suy ra: sin(x x) sinx
sinx cos x cosx sin x sinx 0 0 0 0 0 y (′x ) = lim = lim 0 x→0 x→0 x ∆ x ∆ ∆ − ∆ sinx cos x sinx cosx sin x 0 0 0 = lim + lim x ∆ →0 x ∆ →0 x ∆ x ∆ cos x ∆ −1 sin x ∆ G = sinx lim + cosx . lim V 0 0 x ∆ →0 x ∆ →0 ∆ ∆ : x x T RẦN sin x sin x ∆ Đ Ta có: lim = 1 Suy ra: lim = 1 ÌN x→0 x x ∆ →0 x ∆ H CƯ cos x ∆ −1 (cos x ∆ −1) cos x ∆ +1 – = Ta lại có: l ) im l ( im 083 x ∆ →0 x ∆ →0 x ∆ ∆ . x (cos x ∆ + ) 1 4332133 2 2 cos x ∆ −1 ∆ = lim = − lim sin x x ∆ →0 x ∆ →0 ∆ ∆ + ∆ ∆ + x (.cos x ) 1 x (.cos x ) 1 sin x ∆ sin x ∆ 0 = − lim . lim = 1. = 0 x ∆ →0 x ∆ →0 x ∆ cos x ∆ +1 1+1
Từ đó: y (′x ) = cosx 1 . = cosx 0 0 0
Ta có công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:
(sin x)′ = cos x ;
(cos x)′ = −sin x ; π ( x)′ 1 tan =
( x ≠ + kπ ,k ∈ ′ 1 ); (cot x) = −
( x ≠ kπ ,k ∈ ). 2 cos x 2 2 sin x π
Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y = cos x tại x = . 6 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com π π
Ta có y (cos x)′ ′ = = −sin x . Vậy 1 y′ = − sin = − . 6 6 2 π
Luyện tập 4. Tính đạo hàm của hàm số y = tan x tại 3 x = . 4 Lời giải
Ta có: y′ = (tanx) 1 ′ = cos2x π Vậy 3 1 y′ = = 2 2 4 3π cos 4
4. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit x ln(1+ x) HĐ 4. − Cho biết e 1 lim = 1 và lim
= 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: x→0 x x→0 x a) x y = e ; b) y = ln x . Lời giải x 0
f (x) − f (x ) x e − e 0 a) y (′x ) = lim = ilm 0 x→ 0 x − x x x → 0 x x − x 0 0
Gọi x = x + x ∆ 0 x x +∆ x x x +∆ 0 x 0 0 0 x ∆ − − − Suy ra: e e e e e 1 y(x )′ = lim = lim = ex . lim 0 0 x ∆ →0 x ∆ →0 x ∆ →0 x ∆ x ∆ x ∆ ∆ G Đặt x
e = n +1. Suy ra x ∆ = ln(n + ) 1 . Khi x ∆ → 0thì n → 0 V: T x ∆ R x e −1 x n x 1 x 1 Ầ Ta có: 0 0 0 0
y (′x ) = e . lim = e .lim = e .lim = e .lim N 0 x ∆ →0 n→0 n→0 x ∆ ln n +1 1 n→0 1 ( ) Đ . n l (n + ) 1 ln(n +1)n ÌN n H 1 CƯ Mà lim( +1)n n = e – n→0 083 1 x 4332133 Suy ra 0 0 y (′x ) x = e . = e 0 lne
b) Ta có: y = ln x . Suy ra y x = e Đạo hàm hai vế ta có: y y 1 1
x′ = y′.(e )′ ⇔ 1 = y′.e ⇔ y′ = ⇔ y′ = y e x
Ta có công thức đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit sau: ( x)′ x e = e ; ( )′ 1
ln x = ( x > 0 ) x ( x)′ x a
= a ln a ( a > 0,a ≠ 1); ( x ′ =
( x > 0 , a > 0 , a ≠ 1) a ) 1 log xln a
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) x
y = e tại x = 2ln3;
b) y = log x tại x = 2 . 5 Lời giải
a) Ta có ′ = ( x )′ x y
e = e . Từ đó, y′( ) = e = (e )2 2 ln 3 ln 3 2 2ln3 = 3 = 9 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com b) Ta có y′ = ( ′ 1 log x =
x > 0 . Từ đó, y′( ) 1 2 = . 5 ) ( ) xln5 2ln5
Luyện tập 5. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) 9x
y = tại x = 1;
b) y = ln x tại 1 x = . 3 Lời giải a) Ta có: ′ = 9 ( x)′ = 9x y .ln9 Suy ra 1 y′ 1
( ) = 9 .ln9 = 9.ln9 b) Ta có: y′ = ( 1 lnx)′ = x Suy ra 1 1 y ′ = = 3 3 13
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
HĐ 5. Cho f (x) và g (x) là hai hàm số có đạo hàm tại x . 0
Xét hàm số h(x) = f (x) + g (x).
h(x) − h(x f x − f x g x − g x 0 ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) Ta có = + . x − x x − x x − x 0 0 0 h x − h x f x − f x g x − g x Nên h′(x) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) = lim = lim + lim = ... + ... x→ 0 x x x − x → 0 x x x − x → 0 x x − x 0 0 0 GV
Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm h′(x) . : TRẦ Lời giải N Đ
h (′x ) = f (′x ) + g (′x ) 0 0 0 ÌN H CƯ
Cho hai hàm số u(x) , v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Ta có: – 083 • ′ + = ′ + ′ 4332133 (u v) u v •
(u − v)′ = u′ − v′ •
(u.v)′ = u v′ + uv′ (1) u ′ u v ′ − uv′ • =
(với v = v(x) ≠ 0 ) (2) 2 v v Chú ý: •
Với u = C (C là hằng số), công thức (1) trở thành (C.v)′ = C.v′ . ′ ′ •
Với u = 1, công thức (2) trở thành 1 v = −
(với v = v(x) ≠ 0 ) 2 v v
Ví dụ 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: + a) 2 y x
= 3x − 4x + 2 ;
b) y = xsin x ; c) 3 2 y = . 2x −1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com a) ( 2 x x
)′ ( 2x)′ ( x)′ ( )′ ( 2 3 4 2 3 4 2 3 x )′ 4(x)′ − + = − + = −
+ 0 = 3.2x − 4.1 = 6x − 4 .
b) (xsin x)′ = x .sin x + .x(sin x)′ ′ = 1.sin+ .
x cos x = sin x + xcos x . ′ + + ′ − − + − ′ − − + c) 3x 2
(3x 2) .(2x 1) (3x 2).(2x 1) 3(2x 1) (3x 2).2 = = . 2x 1 − (2x − )2 1 (2x − )2 1 − − − 6x 3 6x 4 7 = = − . 2 2 (2x −1) (2x −1)
Ví dụ 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 x = 3x y x ; b) y = . cos x Lời giải a) 2 x 2 x 2 x x 2
( 3 )' = ( )'.3 + .(3 )' = 2 .3 + .3x ln3 = 3x x x x x x x (2 + xln3) . ′ ( x) 1
′.cosx − x(cosx ′ − − x ) cos x x ( sin x) b) 2 x
cos x + 2xsin x = = = . 2 2 2 cos x cos x cos x 2 x cos x
Luyện tập 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x log x ; b) 3 x y = x e . 2 Lời giải 1 1 a
) y′ = (xlog x)′ = x′.log x + .
x (log x)′ = log x + . x = log x + 2 2 2 2 2 . x ln2 ln 2 GV x x x x x : T b) 3 3 3 2 3
y′ = (x e )′ = (x )′.e + x .(e )′ = 3x e + x .e RẦ
6. Đạo hàm của hàm hợp N ĐÌN
HĐ 6. Cho hàm số u = sin x và hàm số 2 y = u . H C
a) Tính y theo x . Ư –
b) Tính y′ (đạo hàm của y theo biến x ), y′ (đạo hàm của y theo biến u ) và u′ (đạo hàm của u theo x u x 083
biến x ) rồi so sánh y′ với y′ u′ . u . 4332133 x x Lời giải 2 2
a) y = (sinx) = sin x b) 2 y sin x ′ ′ =
= sinx cosx y′ = u u′ = cosx x ( ) 2 . , u 2 , x
Ta có: y′ u′ = u cosx = sinx cosx u. x 2 . 2 .
Suy ra: y′ = y′ u′ x u. x
Cho u = g (x) là hàm số của x xác định trên khoảng (a;b) và lấy giá trị trên khoảng ( ;
c d ) ; y = f (u)
là hàm số của u xác định trên khoảng ( ;
c d ) và lấy giá trị trên . Ta lập hàm số xác định trên ( ; a b) và
lấy giá trị trên theo quy tắc sau:
x → f (g (x))
Hàm số x → f (g (x)) được gọi là hàm hợp của hàm số y = f (u) với u = g (x).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ví dụ 8.
a) Hàm số y = ( x + )3 2
1 là hàm hợp của các hàm số nào? b) Hàm số y = ( 2 cos x + )
1 là hàm hợp của các hàm số nào? Lời giải
a) Hàm số y = ( x + )3 2
1 là hàm hợp của các hàm số 3
y = u với u = 2x +1 b) Hàm số y = ( 2 cos x + )
1 là hàm hợp của các hàm số y = cosu với 2 u = x +1
Cho hàm số u = g (x) có đạo hàm tại x là u′ , và hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u là y′ thì hàm hợp x u GV
y = f (g (x)) có đạo hàm tại x là y′ = y′ u′ . x u . : x T RẦ
Ví dụ 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau: N Đ = + = x ÌN a) y ( x x)3 2 3 ; b) y sin 2x ; c) 2 1 y e + = . H C Lời giải Ư – a) Đặt 2
u = 3x + x thì 3
y = u . Ta có u′ = x + và 2 y′ = u . u 3 x 6 1 083 2 2 2 4332133
Suy ra y′ = y′ u′ = u x + = x + x x + . x u . x 3 .(6 )1 3(3 ) .(6 )1
Vậy y′ = ( x + x)2 2 3 3 .(6x + ) 1 .
b) Đặt u = 2x thì y = sin u . Ta có u′ = và y u ′ ′ = = u . u (sin ) cos x 2
Suy ra y′ = y′ u′ = u = x . x u . x cos .2 2cos 2
Vậy y′ = 2cos 2x . c) Đặt 2 u = x +1 thì u
y = e . Ta có u′ = x và y e ′ ′ = = e . u ( u) u x 2 Suy ra 2 u x 1
y = y u = e x = xe + ′ ′ ′ . x u . x .2 2 Vậy 2 1 2 x y xe + ′ = .
Thực hành 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = ( x + )2 3 2 3 ; b) y = cos3x ; c) y = log ( 2 x + 2 . 2 ) Lời giải 3 3 3 2 2 3 a
) y′ = 2.(2x + 3 .)(2x + 3)′ = 2.(2x + )
3 .6x =12x (2x + ) 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com b ) y′ = 3 ( x)′.(−si 3 n x) = 3 − si 3 n x 2 1 2 ) ′ = ( + 2)′. x c y x = 2 2
(x + 2 .)ln2 (x + 2 .)ln2 BẢNG ĐẠO HÀM ( nx)′ n 1 = nx − ( nu)′ n 1 = nu − .u′ 1 ′ 1 ′ ′ = − 1 u = − 2 x x 2 u u ( ′ ′ x )′ 1 = ( ) u u = 2 x 2 u
(sin x)′ = cos x
(sinu)′ = u .′cosu
(cos x)′ = −sin x (cosu)′ = u − .′sin u ( ′ x)′ 1 tan = (tan )′ u u = 2 cos x 2 cos u ( ′ x)′ 1 cot = − (cot )′ u u = − 2 sin x 2 sin u ( x)′ x e = e ( u)′ = . u e u′ e ( x)′ x a
= a ln a ( a > 0 và a ≠ 1) ( u)′ = . u a
u′ a ln a ( a > 0 và a ≠ 1) ′ u′ ′ G ( ) 1 ln x = (lnu) = V x u : TR ′ u′ Ầ ( x ′ =
( a > 0 và a ≠ 1) (log u =
( a > 0 và a ≠ 1) a ) a ) 1 log N x ln a u ln a ĐÌNH CƯ
7. Đạo hàm cấp hai – 083
HĐ 7. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) 3
= 2t + 4t +1, trong đó s tính bằng mét 4332133
và t là thời gian tính bằng giây.
a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t .
b) Đạo hàm v′(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động,
kí hiệu a(t) . Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2. Lời giải 2
a)v(t) = s (
′t) = 6t + 4t
b) v (′t) = 2 1 t + 4
Ta có: v '(2) =12.2 + 4 28 =
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) tại mọi x∈( ; a b) .
Nếu hàm số y′ = f ′(x) lại có đạo hàm tại x tì ta gọi đạo hàm của y′ là đạo hàm cấp hai của hàm số
y = f (x) tại x , kí hiệu y′′ hoặc f ′′(x).
Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số: a) 2
y = 3x + 5x +1; b) y = sin x . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) y′ = 3.2x + 5 + 0 = 6x + 5, y′′ = 6.1+ 0 = 6 b) y′ = cos ;
x y′′ = −sin x
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f ′′(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vật chuyển động có phương trình s = f (t) .
Ví dụ 11. Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình s(t) 2
= t − 4t + 3 , trong đó s
tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4. Lời giải
Ta có s′(t) = 2t − 4; s′′(t) = 2 .
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là s′′( ) 2 4 = 2 / m s .
Luyện tập 8. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 2
y = x − x ; b) y = cos x . Lời giải a)
y′ = 2x −1; y′′ = 2
b) y′ = −si ; nx
y′′ = −cosx
Vận dụng. Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) 2
= 4,9t , trong đó s tính
bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 . Lời giải
v(t) = s (′t) = 9,8t G
Gia tốc rơi của hòn sỏi là v '(t) = 9,8 V: TR
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP ẦN
Dạng 1. Đạo hàm của hàm đa thức ĐÌNH 1. Phương pháp CƯ
Chủ yếu ta dùng các công thức sau – 083 ( nx)' n 1 nx − = . 4332133 (c)′ = ; (x)' 0 =1.
(u + v)′ = u′+ v′
(u −v)′ = u′−v′
(uv)′ = u v′ + v u′
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − 5 . Tìm x để y′ = 0 Lời giải 3 2
y = 2x − 3x − 5 x = 0 2
⇒ y′ = 0 ⇔ 6x − 6x = 0 ⇔ x(x − ) 1 = 0 ⇔ . x = 1
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1. Giải bất phương trình y′ ≤ 0 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 3 2 2
y = 3x + x +1⇒ y′ = 9x + 2x 2 2
y′ ≤ 0 ⇔ 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0. 9
Ví dụ 3: Cho hai hàm số f (x) 1 2 = x + 4 ; x g (x) 3 2
= 9x − x . Tìm x để f ′(x) = g′(x) 2 2 Lời giải
f ′(x) = x + 4; g′(x) = 9 − 3 .x
Do đó f ′(x) = g′(x) 5
⇔ 4x = 5 ⇔ x = . 4
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) 1 3
= mx − x . Tìm m để x = 1
− là nghiệm của bất phương trình f ′(x) < 2 3 Lời giải Ta có: f ′(x) 2
= m − x . Giá trị x = 1
− là nghiệm của bất phương trình f ′(x) < 2 khi và chỉ khi:
m −1< 2 ⇔ m < 3.
Dạng 2. Đạo hàm của hàm phân thức 1. Phương pháp
Ta thường sử dụng các công thức sau: ' u u v′ − v u ′ = v ≠ 0 2 ( ) v v ' G u′ V: ' 1 = − , u ≠ 0 . 2 ( ) T u u RẦN Đ
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ÌN H x(1− 3x) C Ví dụ 1: y = Ư x +1 – 083 Lời giải 4332133 x(1− 3x) (1−6x)(x + )1−1( 2 x − 3x ) 2 3x − − 6x +1 y = ⇒ y′ = = . x +1 (x + )2 1 (x + )2 1
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 2x + 3 y = 2x −1 Lời giải Dùng công thức nhanh: ax + b ad − bc y = ⇒ y′ = . cx + d (cx +d)2 Do đó, với 2x + 3 8 y = thì y′ = − . 2x −1 (2x − )2 1
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = 2 x +1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ( 2x )1′ − + 2x y − ′ = = . (x + )21 (x + )2 2 2 1 2
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = ? 2 x −1 Lời giải 2 2 x +1 x −1+ 2 2 y = = = 1+ 2 2 2 x −1 x −1 x −1 2( 2 x )1′ − − Do đó 4x y − ′ = = . (x − )21 (x − )2 2 2 1
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = 2 x + x −1 Lời giải ( 2x x )1′ − + − 2x − −1 y′ = = . (x +x− )21 (x +x− )2 2 2 1 2
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số x + x + 3 y = 2 x + x −1 Lời giải GV 2 2 : T x + x + 3 x + x −1+ 4 4 R y = = = 1+ . Ầ 2 2 2 x + x −1 x + x −1 x + x −1 N Đ ′ ÌN 4 − ( 2 x + x − )1 4 − (2x + ) 1 H ′ Do đó: y = = . C 2 2 Ư ( 2x +x− )1 ( 2x +x− )1 – 083
Dạng 3. Đạo hàm của hàm chứa căn 4332133 1. Phương pháp
Ta thường dùng các công thức sau
Hàm số y = x có đạo hàm tại mọi x dương và ( x)' 1 = . 2 x
Ngoài ra, đối với hàm hợp ( u )' 1 = 2 u
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x − x . Tìm x để y′ = 0 ? Lời giải 1
y = 4x − x ⇒ y′ = 4 − 2 x 1 1 1 y′ = 0 ⇔ 4 −
= 0 ⇔ x = ⇔ x = . 2 x 8 64
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = x − x +1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 2 1 y′ = 3x − . 2 x
Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) 1 3 2
= x − 3 2x +18x − 7. Tìm x để f ′(x) ≤ 0 3 Lời giải
f ′(x) = x − x + = (x − )2 2 6 2 18 3 2 .
f ′(x) ≤ ⇔ (x − )2 0 3 2 ≤ 0 ⇔ x = 3 2.
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) = 1+ x . Tính f (3) + (x −3). f ′(3) ? Lời giải Ta có: f ′(x) 1 = ⇒ f ′( ) 1 3 = . 2 1+ x 4 Lại có: x +
f (3) = 2. Vậy f ( ) + (x − ) f ′( ) = + (x − ) 1 5 3 3 . 3 2 3 . = . 4 4
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số: 1 y = ? 2 x +1 Lời giải −x G 2 x +1 −x V Ta có: y′ = = . : 2 T 3 x +1 2 R (x + )1 ẦN ĐÌN
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số: 2 y = x x +1? H C Lời giải Ư 2 – x 2x +1 2 083
Ta có: y′ = x +1 + . x = . 2 2 x +1 x +1 4332133
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số: 1+ x y = ? 1− x Lời giải + − + + − Ta có: 1 1 x 1 2 2x 1 x 3 ′ = 1− + = . x y x = . 1− x
2 1− x 1− x 2 1− x 2 (1− x)3
Dạng 4. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng giác 1. Phương pháp
• Áp dụng quy tắc tính đạo hàm.
• Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = tan 7x Hướng dẫn giải (7x)′ 7 y′ = = . 2 2 cos 7x cos 7x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = cos x Hướng dẫn giải (cos x)′ −sin x y′ = = . 2 cos x 2 cos x
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x Hướng dẫn giải (cos2x)′ 2 − sin 2x −sin 2x y′ = = = .
2 cos 2x 2 cos 2x cos 2x
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y = sin x Hướng dẫn giải (sin x)′ cos = sin x y x ⇒ y′ = = . 2 sin x 2 sin x
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = sin 3x Hướng dẫn giải (sin3x)′ 3cos3x y′ = = .
2 sin 3x 2 sin 3x
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = tan 5x Hướng dẫn giải ′ G (5x) 10sin 5x V y′ = 2 tan 5 . x = . : 2 3 T cos 5x cos 5x RẦ π N = −
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y cos 3x Đ ÌN 3 H C Hướng dẫn giải Ư ′ – π π π π 083 y = cos
− 3x ⇒ y′ = − 3x . − sin − 3x = 3sin − 3x. 3 3 3 3 4332133 π
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x = − 2 Hướng dẫn giải π y = sin
− 2x = cos 2x ⇒ y′ = 2 − sin 2 . x 2
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = 2sin 2x + cos 2x Hướng dẫn giải y 2(sin2x)′ (cos2x)′ ′ = + = 4cos2x − 2sin2x. Ví dụ 10: Cho ( ) 2 2 π
f x = cos x − sin x. Tính f′ 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có f (x) 2 2
= cos x − sin x = cos 2 .
x Do đó f ′(x) = 2 − sin 2 . x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com π π Vậy f ′ = 2 − sin = 2. − 4 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4
Nhập vào màn hình d (cos(X) 2 (sin(X) 2 +
rồi ấn phím = ta được kết quả dx x π = 4
Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số 3 y = cos 4x Hướng dẫn giải 3 2 y = x ⇒ y′ = x ( x)′ 2 = x (− x) 2 cos 4 3cos 4 . cos 4 3cos 4 . 4sin 4 = 12 − cos 4 . x sin 4 . x π y ′ π
Ví dụ 12: Với y cos 2x = − thì
8 có giá trị bằng bao nhiêu? 4 π y ′ 3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận π π y = cos
− 2x ⇒ y = 2sin − 2x ′ G V 4 4 : TR π π π π π 2π Ầ y′ = 2 sin − = 0; y′ = 2sin − ≠ 0 N 8 4 4 3 4 3 ĐÌN π H ′ y C Ư 8 ⇒ = 0. – π 083 y′ 4 4332133
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4 d π cos − 2X dx 4 x π = Nhập vào màn hình
8 rồi ấn phím = ta được kết quả d π cos − 2X dx 4 x π = 3
Ví dụ 13: Cho hàm số 5π π f (x) 2sin x = + . Tính f ′ . 6 6 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ta có: ′ 5π ′ π f (x) 2cos x f = + ⇒ = 2 − 6 6
Ví dụ142: Cho hàm số 2 2
f (x) = cos x − sin x . Tính π f ′ . 4 Lời giải
Ta có: f (x) = cos 2x ⇒ f (′x) = 2 − sin 2 . x Do đó : π f ′ = 2 − . 4
Ví dụ 15: Cho hàm số π
y = f (x) = tan x + cot x . Tính f ′ . 4 Lời giải 1 1 tanx + cot x ′ − π Ta có: ( ) ( ) 2 2 cos x sin x f x = = ⇒ f ′ ′ = 0.
2 tanx + cot x 2 tanx + cot x 4
Dạng 5: Giải phương trình lượng giác ( f’ x) = 0 1. Phương pháp Tính đạo hàm ( f’ x)
Để giải phương trình f (’x) = 0, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và một GV
số phương trình lượng giác thường gặp. : TR
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ẦN π Đ = −
. Giải phương trình y′ = 0 . ÌN
Ví dụ 1: Cho hàm số 1 y sin x 3 2 H CƯ Hướng dẫn giải – 083 π 1 1 − π 1
y = sin − x ⇒ y′ = cos − x 4332133 3 2 2 3 2 π 1 π 1 y 0 cos x 0 x π k x π ′ = ⇔ − = ⇔ − = + π ⇔ = − − k2 , π k ∈ . 3 2 3 2 2 3
Ví dụ 2: Cho hàm số 2π y = cos
+ 2x .Giải phương trình y′ = 0 . 3 Hướng dẫn giải 2π 2π y = cos + 2x ⇒ y′ = 2 − sin + 2x 3 3 2π 2 y 0 sin 2x 0 π ′ = ⇔ + = ⇔ + 2x = kπ 3 3 2π π k 2x k x π ⇔ = − + π ⇔ = − + ,k ∈ . 3 3 2
Ví dụ 3: Cho hàm số 2 x y = cot
, Giải phương trình y′ = 0 . 4 Hướng dẫn giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x cos 2 x x 1 1 1 4 y = cot ⇒ y′ = 2cot .− . = − 4 4 4 2 x 2 3 x sin sin 4 4 x
y′ = 0 ⇔ cos = 0 ⇔ x = 2π + k4 , π k ∈ . 4
Ví dụ 4: Giải phương trình: f′(x) = 0, biết f(x) = cosx −sinx + x. Hướng dẫn giải
Ta có: f′(x) = −sinx − cosx +1. Vậy: ′( ) π 1
f x = 0 ⇔ sin x + cosx = 1 ⇔ sinx + = 4 2 x π π + = + k2π x = k2π 4 4 ⇔ ⇔ π . π 3π x = + k2 x + = + k2 π π 2 4 4
Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) sin3x cos3x f x = + cosx − 3 sinx +
. Tìm tập nghiệm của f′(x) = 0 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) sin3x cos3x f x = + cosx − 3 sinx + 3 3
f′(x) = cos3x − sinx − 3(cosx − sin3x) GV
f′(x) = 0 ⇔ cos3x − sinx − 3(cosx − sin3x) = 0 : TRẦ
⇔ cos3x + 3 sin3x = sin x + 3 cosx N Đ 1 3 1 3 ÌN ⇔ cos3x + sin3x = sin x + cosx H 2 2 2 2 CƯ
cos π cos3x sin π sin3x cos π sin x sin π ⇔ + = + cosx – 3 3 3 3 083 π π 4332133
⇔ cos3x − = sinx + 3 3 π π π π
⇔ cos3x − = cos − x − = cos − x 3 2 3 6 π π π k 3x x k2 x π − = − + π = + 3 6 8 2 ⇔ ⇔ ; k ∈ . 3x π π x k2 − = − + + π x π = + kπ 3 6 12
Dạng 6. Tính đạo hàm mũ và loga 1. Phương pháp: ( xe)′ x = e ( xa)′ x = a .ln a ( ue)′ u = u e′ ( u a )′ u = u a ′ .ln a
Với mọi 0 < a ≠ 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ( 1 x a ) 1 log ' = (ln x)' = . x ln a x ( u ' 1 loga u)' = (lnu)' = .u' u.ln a u
Ngoài ra ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra và thử đáp án
2. Các ví dụ rèn luyện lĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x − 2 . 3 ( ) Lời giải (2x − 2)' Ta có 1 y' = ( ) = − ( − ) . 2x 2 ln 3 x 1 ln 3
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = 2x Lời giải x 2 − (x + ) x 1 2 ln 2 1− (x + ) 1 ln 2 y' = = x x 4 2
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số x + 2 y = ln (x + 2) x −1 Lời giải 3 − x + 2 1 3 − ln x + 2 ' 1 y = ln x + 2 + . = + 2 ( ) ( ) 2 G (x − )1 x −1 x + 2 (x − )1 x −1 V: TR x Ầ
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) 2 x e− =
. Giải bất phương trình f ′(x) ≥ 0 N ĐÌN Lời giải H 2 C 2x − x 2 Ư f '(x) =
≥ 0 ⇔ 2x − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 x – e 083 4332133
Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y = f (x) 1. Phương pháp
Tính đạo hàm cấp 1: f’(x)
Tính đạo hàm cấp 2: ' f ' (x) = f '(x)
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) 4 5 2 = x − 3x − x + 4 5 Hướng dẫn giải f (x) 4 5 2
= x − 3x − x + 4 thì ′( ) 4
f x = 4x − 6x −1, do đó: ′′( ) 3 f x = 16x − 6. 5
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x Hướng dẫn giải y = cos2x thì y′ = 2 − sin2x. Do đó y′ = 4 − cos2x.
Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) 1 3 1 2
= x + x −12x −1. Giải f ''(x) ≥ 0 3 2 Hướng dẫn giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com f (x) 1 3 1 2
= x + x −12x −1 thì f ′(x) 2
= x + x −12; f ′′(x) = 2x +1. 3 2
Do đó f ′ (x) 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2
Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y = . Tính y′′? x +1 Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 y′ = − ⇒ y′′ = . (x + )2 1 (x + )3 1
Ví dụ 5: Cho hàm số x − 3 y = . Tính = ( ′)2 M 2 y + (1− y).y′.′ x + 4 Hướng dẫn giải Ta có: 7 14 y′ = ⇒ y′′ = − (x + 4)2 (x + 4)3 Lại có x − 3 7 1− y = 1− = x + 4 x + 4 Vậy: = ( )2 + ( − ) 49 7 14 M 2 y 1 y .y = 2. + . ′ ′′ − = 0. ( + )4 x + 4 x 4 (x+4)3
Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 y = x + x +1. Tính 2 y′ − 2y.y′.′ 2 GV: Hướng dẫn giải T R ′ = + ⇒ ′ = Ầ Ta có: y x 1 y 1. N Đ 1 ÌN
Vậy: y′ − 2y.y′ = (x + )2 2 2 2 2
1 − 2 x + x +1.1= x + 2x +1− x − 2x − 2 = 1 − . H 2 CƯ
Ví dụ 7: Cho hàm số y = xsinx. Tính xy − 2(y′ −sinx) + xy′.′ – 083 Hướng dẫn giải 4332133
Ta có: y′ = sinx + cosx ⇒ y′ = cosx + (cosx − xsinx) = 2cosx − xsinx. Vậy: − ( ′ − ) 2 + ′′ = − ( + − ) 2 xy 2 y sin x xy
x sin x 2 sin x x cosx sin x + 2x cosx − x sin x = 0.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = Asin(ωx + ϕ).Tính 2 M = y′ + ω .y. Hướng dẫn giải Ta có: ′ = ω (ω +ϕ) 2 y A cos x
⇒ y′ = −Aω sin(ωx + ϕ) 2 2 ⇒ ′′ + ω = − ω (ω +ϕ) 2 y y A sin x + Aω sin(ωx + ϕ) = 0.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = sin 2x − cos 2x . Giải phương trình y′ = 0. Hướng dẫn giải
Ta có: y′ = 2cos 2x + 2sin 2x ⇒ y′ = 4 − sin 2x + 4cos 2 . x Phương trình π y 0
4sin 2x 4cos 2x 0 sin 2x ′ = ⇔ − + = ⇔ − = 0 4 π π π
⇔ 2x − = kπ ⇔ x = + k ;k ∈ . 4 8 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2
Ví dụ 10: Cho hàm số: = ( − 4) x y m + cos . x 2
Tìm m sao cho y′ ≤ 0 với mọi x ∈ . Hướng dẫn giải
Ta có: y′ = (m − 4) x −sin x ⇒ y′′ = m − 4 − cos x
y′′ ≤ 0 ⇔ m − 4 − cos x ≤ 0 ⇔ cos x ≥ m − 4(*) Vì cos x ≥ 1, − x ∀ ∈ .
Vậy bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng x ∀ ∈ ⇔ 1
− ≥ m − 4 ⇔ m ≤ 3.
Ví dụ 11: Cho hàm số 3x − 2 y =
. Giải bất phương trình y′ > 0. 1− x Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 y′ = ⇒ y′′ = . (1−x)2 (1−x)3 Vậy 2 y′′ > 0 ⇔
> 0 ⇔ 1− x > 0 ⇔ x < 1. (1−x)3 3 3 2 Ví dụ 12 : x + 3x + 2
ax + bx + cx + d
Hàm số f (x) = có f ( ′′ x) =
. Tính S = a − b + c − 2d . x −1 (x − )3 1 Lời giải G 3 x + x + V 3 2 2 6 : Ta có : f (x) = = x + x + 4 + . T x −1 x −1 RẦN Đ 6 ÌN
⇒ f (′x) = 2x +1− . H (x − )2 1 CƯ – 3 3 2 083 12 2(x − )
1 +12 2x − 6x + 6x +10 ⇒ f ( ′′ x) = 2 + = = . 3 3 4332133 (x − )3 1 (x − ) 1 (x − ) 1
⇒ a = 2, b = 6,
− c = 6, d =10 .
Do đó S = a − b + c − 2d = 6 − .
Dạng 8: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai 1. Phương pháp
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời (γ ) tại thời điểm t là đạo hàm cấp 2 của hàm số
s = f (t) .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Câu 1: Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình : 3 2
s = t − 3t + 5t + 2 , trong đó
t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
• Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s ''(3)
• Ta có: s′(t) 2 = 3t − 6t + 5
• s′′(t) = t − ⇒ s′ ( ) 2 6 6 3 =12m / s .
Câu 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t
− + 3t + 9t , trong đó t tính bằng giây và
S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Lời giải
• Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: 2 v = S′ = 3 − t + 6t + 9
• Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: a = S′′ = 6 − t + 6
• Gia tốc triệt tiêu khi S′′ = 0 ⇔ t =1.
• Khi đó vận tốc của chuyển động là S′( ) 1 =12m/ s .
Câu 3: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) 3 2 = t
− + 6t với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động, s(t) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Tính thời điểm t tại đó vận tốc
đạt giá trị lớn nhất. Lời giải
Ta có v(t) = s′(t) 2 = 3
− t +12t có đồ thị là Parabol, do đó v(t) 12 t − ⇔ = = 2. max 6 − GV: T RẦ
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA N Đ
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ÌN 2 H − + 3 x 1 x C a) y = 2x − + 4x − ; b) 2 3 y = ; Ư 2 3 x − 4 – 2 083 − + c) x 2x 3 y = ; d) y = 5x . 4332133 x −1 Lời giải 2
a ) y′ = 6x − x + 4 ′ ′ − + b) 2x 3 5 5 y′ = = 2 − − = 2 x − 4 x − 4 (x − 4) 2 2 − + − − + + c) x 2x 3 x x x 1 2 2 y = = = x −1+ x −1 x −1 x −1 ′ = 1 2 y − 2 (x −1) d) 1 5 y′ = 5 ( x)′. = 2 5x 2 5x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = sin 3x ; b) 3 y = cos 2x ; c) 2 y = tan x ; d) y = ( 2 cot 4 − x ) . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) y′=(3x)′.cos3x=3cos3x 2 2 b
) y′ = (cos2x)′.3.cos 2x = (2x)′.(−sin2x .)3.cos 2x = 6
− sin2 .xcos2x 1 ) ′ = ( )′. 2 2 = .2. tanx c y tanx tanx tanx = 2 2 cos x cos x 2 1 1 − 2 ) ′ = (4 − )′.− = 2 − . x d y x x = 2 2 2 sin x sin x sin x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) = ( 2 − ).2x y x x ; b) 2
y = x log x ; 3 c) 3 1 + = x y e . Lời giải 2 x 2 x x 2
) ′ = ( − )′.2 + ( − ) (.2 )′ = (2 − ) 1 .2 + ( − ) 2 . x a y x x x x x x x .ln2 2 2 2 1
b ) y′ = (x )′.log x + x .(log x)′ = 2 . x log x + x . 3 3 3 . x ln3 3x 1 + 3x 1 c ) y 3 ( x 1) .e 3.e + ′ = + ′ =
Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 4 2
y = 2x − 5x + 3 ; b) = x y xe . Lời giải GV 3 2 : a
) y′ = 8x −10 ; x
y′ = 24x −10 T R x x x x x x Ầ
b )y′ = e + .xe ; y′ = e + e + .xe = 2e + .xex N ĐÌN
Bài 5. Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi H hàm số w(t) 3 2
= 0,000758t − 0,0596t +1,82t + 8,15 , trong đó t được tính bằng tháng và w được tính CƯ –
bằng pound (nguổn: https://www.cde.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi 083
cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi. 4332133 Lời giải 2
Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái là: w (′t) = 0,002274t − 0,1192t +1,82 2
Khi t = 10 , ta có: w′ 10
( ) = 0,002274.10 − 0,1192.10 +1,82 = 0,8554
Bài 6. Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hảng là 2
C(x) = 5x + 60 và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số
x(t) = 20t + 40 . Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó? Lời giải
Tốc độ tăng của chi phí theo thời gian là
C (′t) = C (′x) x (′t) = ( 2 x + 60) 2 1 1 . 5 (20t + 40)′ = 5 ( x + 60)′. .20 =10 . x .20 2 2 2 5x + 60 2 5x + 60 1 1 = 100 . x = 100(20t + 40 .) 2 2 2 5x + 60 5(20t + 40) + 60
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1
C (′4) =100(20.4 + 40 .) = 44,7 2 Khi t = 4 thì 5(20.4 + 0 4 ) + 60
Bài 7. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) 2 = 0,81t , trong đó
t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt
Trăng. Tại thời điềm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:
a) Quãng đường vật đã rơi; b) Gia tốc của vật. Lời giải a) Khi t = 2thì 2
s(t) = 0,81.2 = , 3 ( 24 m)
b) Ta có: v(t) = s (′t) =1,62t
Gia tốc của vật là: v (′t) = ,162
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hàm số f (x) 1 3 2
= x − 2 2x + 8x −1, có đạo hàm là f ′(x) . Tập hợp những giá trị của x 3
để f ′(x) = 0 là: A. { 2 − 2}. B. {2; 2}. C. { 4 − 2}. D. {2 2}. Lời giải Chọn D G ′ V Ta có: f (x) 2
= x − 4 2x + 8 . : TRẦ ′ N
Phương trình f (x) 2
= 0 ⇔ x − 4 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 2 . ĐÌNH Câu 2: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y′. Để y′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào CƯ sau đây? – 083 A. 2 ;0 − . B. 9 ;0 − . 4332133 9 2 C. 9 ; −∞ − ∪ 2 [0;+∞ ). D. ; −∞ − ∪ [0;+∞ ). 2 9 Lời giải Chọn A Ta có: 2
y′ = 9x + 2x . Do đó, 2 2 2
y ≤ 0 ⇔ y = 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0x ∈ − ;0 ′ ′ . 9 9
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f ′(− ) 1 = 4. B. f ′(− ) 1 =14. C. f ′(− ) 1 =15. D. f ′(− ) 1 = 24. Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ta có: f ′(x) 3 2 = 4
− x +12x − 6x + 2.
Suy ra f ′(− ) = − (− )3 + (− )2 1 4 1 12 1 − 6(− ) 1 + 2 = 24 . Câu 4: Cho hàm số 1 3
y = x − (2m + ) 2
1 x − mx − 4, có đạo hàm là y′. Tìm tất cả các giá trị của m để 3
y′ ≥ 0 với x ∀ ∈ . A. 1 m 1; ∈ − − . B. 1 m ∈ 1; − − . 4 4 C. m ( ] 1 ; 1 ; ∈ −∞ − ∪ − +∞ . D. 1 m ∈ 1; − . 4 4 Lời giải Chọn B Ta có: 2
y′ = x − 2(2m + ) 1 x − m .
Khi đó, y′ ≥ 0 với x ∀ ∈ 2
⇔ x − 2(2m + )
1 x − m ≥ 0 với x ∀ ∈ ⇔ ∆′ = ( m + )2 2 1 2
1 + m ≤ 0 ⇔ 4m + 5m +1≤ 0 ⇔ 1 − ≤ m ≤ − . 4 Câu 5: Cho hàm số 1 3
y = − mx + (m − ) 2
1 x − mx + 3, có đạo hàm là y′. Tìm tất cả các giá trị của m 3 GV + = :
để phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x , x thỏa mãn 2 2 x x 6 . T 1 2 1 2 RẦ m = − + ; m = 1 − − 2. m = − − N A. 1 2 B. 1 2. ĐÌN
C. m =1− 2 ; m =1+ 2. D. m = 1 − + 2. H CƯ Lời giải – 083 Chọn A 4332133 Ta có: 2
y′ = −mx + 2(m − ) 1 x − m .
Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ −mx + 2(m − )
1 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ . ∆ = ( ⇔ ′ m − )2 2 1 1 − m > 0 m < 2 2(m − ) 1 + =
Khi đó, gọi x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình x x 1 2 ⇒ . 1 2 m x x = 1 1 2 2 m −1
Ta có: x + x = 6 ⇔(x + x ) ( ) 2 2 2 2 − 2x x = 6⇔ − 2 = 6 1 2 1 2 1 2 m 2
⇔ m + 2m −1 = 0 ⇔ m = 1 − ± 2 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
So với điều kiện thì m = 1
− ± 2 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6: Biết hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a > 0) có đạo hàm f ′(x) > 0 với x
∀ ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac > 0. B. 2
b − 3ac ≥ 0. C. 2
b − 3ac < 0. D. 2
b − 3ac ≤ 0. Lời giải Chọn C
Ta có f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a > 0 và f ′(x) > 0 với x
∀ ∈ nên ∆′ < 0 tức là 2
b − 3ac < 0 .
Câu 7: Biết hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a < 0) có đạo hàm f ′(x) < 0 với x
∀ ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac > 0. B. 2
b − 3ac ≥ 0. C. 2
b − 3ac < 0. D. 2
b − 3ac ≤ 0. Lời giải Chọn C
Ta có f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a < 0 và f ′(x) < 0 với x
∀ ∈ nên ∆′ < 0 tức là 2
b − 3ac < 0
Câu 8: Tính đạo hàm của của hàm số y = (x − x )2 3 2 2 .
A. f ′(x) 5 4 3
= 6x − 20x +16x .
B. f ′(x) 5 3 = 6x +16x . ′ = − + ′ = − − G C. f (x) 5 4 3 6x 20x 4x . D. f (x) 5 4 3
6x 20x 16x . V: TR Lời giải ẦN Đ Chọn A ÌN H ′ C 3 2 3 2 2 3 2 5 4 3 ′ = − − = − − = − + Ư
Ta có: y 2(x 2x ) (x 2x ) 2(3x 4x)(x 2x ) 6x 20x 16x . – 083
Câu 9: Cho hàm số y = ( x + )3 2 2
1 , có đạo hàm là y′. Để y′ ≥ 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây? 4332133
A. Không có giá trị nào của .x B. (−∞;0]. C. [0;+∞). D. . Lời giải Chọn C Ta có: y ( x )′ ′ = + ( x + )2 =
x( x + )2 = x( x + )2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3.4 2 1 12 2 1 .
Do đó, y′ ≥ ⇔ x( x + )2 2 0 12 2 1 ⇔ x ≥ 0 .
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y = ( − x )5 3 1 .
A. y′ = x ( − x )4 2 3 5 1 .
B. y′ = − x ( − x )4 2 3 15 1 .
C. y′ = − x ( − x )4 2 3 3 1 .
D. y′ = − x ( − x )4 2 3 5 1 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn B Ta có: y ( x )′ ′ = −
( − x )4 = (− x )( − x )4 = − x ( − x )4 3 3 2 3 2 3 5 1 1 5 3 1 15 1 .
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = (x − x )2016 3 2 2 . A. y′ = (x − x )2015 3 2 2016 2 . B. y′ = (x − x )2015 3 2 ( 2 2016 2
3x − 4x). C. y′ = ( 3 2 x − x )( 2 2016 2
3x − 4x). D. y′ = ( 3 2 x − x )( 2 2016 2
3x − 2x). Lời giải Chọn B Ta có: y (x x )′ ′ = − (x − x )2015 =
( x − x)(x − x )2015 3 2 3 2 2 3 2 2016 2 2 2016 3 4 2 .
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 .
A. y′ = 4 .x B. 2
y′ = 3x − 6x + 2. C. 2
y′ = 2x − 2x + 4. D. 2
y′ = 6x − 2x − 4. Lời giải Chọn D Ta có: y ( 2 x
)′ ( x ) ( 2x )( x )′ ′ = − − + − −
= x( x − ) + ( 2 x − ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 = 6x − 2x − 4 G
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) tại điểm x = 0 . V: T
A. f ′(0) = 0.
B. f ′(0) = 2018 − !.
C. f ′(0) = 2018!.
D. f ′(0) = 2018. RẦN Đ Lời giải ÌN H C Chọn C Ư – = ≥ ∈ 083
Xét hàm số f (x) f x f x f x ... f x n n . n 1; 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 4332133
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f (x) = f ′ ′
x f x ... f x + f x f ′ x f x + + f x f x f ′ x n ... n ... ... 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) n ( )
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) và thay x = 0 với chú
ý f 0 = 0 ta được: 0 ( ) f ′(0) = (− ) 1 .( 2 − )...( 2018 − )+ 0.( 2 − )....( 2018 − )+ 0.(− ) 1 ...( 2017 − ) = 2018!.
Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) tại điểm x = 1004 − . A. f ′( 1004 − ) = 0. B. f ′( 1004 − ) =1004!. C. f ′( 1004 − ) = 1004 − !. D. f (− ) = ( )2 ' 1004 1004! . Lời giải Chọn D
Xét hàm số f (x) = f x f x f x ... f x n ≥ n∈ . n 1; 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f (x) = f ′ ′
x f x ... f x + f x f ′ x f x + + f x f x
f ′ x . n ... n ... ... 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) n ( )
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) và thay x = 1004 − với chú ý f 1004 − = 0 ta được 1004 ( ) f ′( 1004 − ) = ( 1004 − ).( 1004 − + ) 1 ...( 1004 − +1003). ( 1004 − +1005)...( 100 − 4 + 2018) = (− ) 1 .1.( 2 − ).2.....( 1004 − ).1004 = (1004 )2 ! .
Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2x f x = tại điểm x = 1 − . x −1 A. f ′(− ) 1 =1. B. f ′(− ) 1 1 = − . C. f ′(− ) 1 = 2. − D. f ′(− ) 1 = 0. 2 Lời giải Chọn B TXĐ: D = \{ } 1 . − Ta có f ′(x) 2 1 = ⇒ f ′ 1 − = − 2 ( ) (x − )1 2 2 x + 2x − 3 G
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số y = . V: x + 2 T R 2 2 2 Ầ 3 x + 6x + 7 x + 4x + 5 x + 8x +1 N A. y′ =1+ . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 2 2 Đ (x + 2)2 (x + 2) (x + 2) (x + 2) ÌN H CƯ Lời giải – 083 Chọn A 4332133 Ta có 3 3 y = x − ⇒ y′ =1+ . x + 2 (x + 2)2 x(1−3x)
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y = . x +1 2 2 2 A. 9 − x − 4x +1 − y′ − − + = . B. 3x 6x 1 y′ = . C. 2 y′ =1− 6x . D. 1 6x y′ = . 2 (x +1) 2 (x +1) (x + )2 1 Lời giải Chọn B x( − x) 2 1 3 Ta có: x − 3x y = = x +1 x +1 ( 2
x 3x )′ (x ) 1 ( 2
x 3x )(x ) 1 ′ − + − − +
(1−6x)(x + )1−( 2 x − 3x ) 2 3 − x − 6x +1 ⇒ y′ = = = . (x + )2 1 (x + )2 1 (x + )2 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2 Câu 18: − +
Cho hàm số ( ) 1 3x x f x =
. Giải bất phương trình f ′(x) > 0. x −1 A. x∈ \{ } 1 . B. x∈ . ∅
C. x∈(1;+∞). D. x∈ . Lời giải Chọn A ( 2 1 3x x )′ (x ) 1 ( 2 1 3x x )(x ) 1 ′ − + − − − + −
Ta có: f ′(x) = (x − )2 1 ( 3
− + 2x)(x − ) 1 − ( 2 1− 3x + x ) 2 x − 2x + 2 = = . (x − )2 1 (x − )2 1 2 2 x − 2x + 2
x − 2x + 2 > 0
Bất phương trình f ′(x) > 0 ⇔ > 0 ⇔ ⇔ x ∈ \ 1 . 2 { } (x − )1 x ≠ 1 3
Câu 19: Cho hàm số ( ) x f x =
. Phương trình f ′(x) = 0 có tập nghiệm S là: x −1 A. 2 S 0; = . B. 2 S = − ;0. C. 3 S = 0; . D. 3 S = − ;0. 3 3 2 2 Lời giải GV Chọn C : TR ′ Ầ 3 3 ′ 2 3 3 2 N
(x ) (x− )1− x (x− )1 3x (x− )1− x 2x −3x Đ
Ta có f ′(x) = = = . ÌN (x − )2 1 (x − )2 1 (x − )2 1 H CƯ = – x 0 3 2 083 −
Phương trình f ′(x) 2x 3x 3 2 = 0 ⇔
= 0 ⇔ 2x − 3x = 0 ⇔ . 2 3 4332133 (x − )1 x = 2 2 2 − x + x − 7
Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x + 3 2 2 A. 3
− x −13x −10 − + + y′ = x x 3 ′ ( B. y = . x + 3) . 2 2 (x +3)2 2 2 2 C. −x + 2x + 3 y′ − − − = 7x 13x 10 ′ ( D. y = . x + 3) . 2 2 (x +3)2 2 Lời giải Chọn C ( 2 2x x 7)′ ( 2 x 3) ( 2 x 3)′ − + − + − + ( 2 2 − x + x − 7) Ta có: y′ = ( x + 3)2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ( 4 − x + ) 2 1 (x + 3) − 2 . x ( 2 2 − x + x − 7) 2 −x + 2x + 3 y′ = ( = x )2 2 2 2 (x + + 3) 3
Câu 21: Cho hàm số y = 2 − x + 3 .
x Tập nghiệm S của bất phương trình y′ > 0 là: A. S = ( ; −∞ +∞). B. 1 S ; = −∞ . C. 1 S = ;+∞ . D. S = . ∅ 9 9 Lời giải Chọn C Ta có 1 y − = 2 −
x + 3x ⇒ y′ = + 3. x Do đó 1 − 1 1 y′ > 0 ⇔ + 3 > 0 ⇔ 3 > ⇔ x > x x 9
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x −1 tại điểm x =1. A. f ′( ) 1 1 = . B. f ′( ) 1 =1. C. f ′( ) 1 = 0. D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D GV Ta có f ′(x) 1 = . : T 2 x −1 RẦN
Tại x =1 thì f ′(x) không xác định. ĐÌNH C
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 1− 2x . Ư – 1 4 − x 2 − x 2x 083 A. y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 2 2 2 4332133 2 1− 2x 1− 2x 1− 2x 1− 2x Lời giải Chọn C ( 2 1 2x )′ − − − Ta có 4x 2x y′ = = = . 2 2 2 2 1− 2x 2 1− 2x 1− 2x
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số 2 3
y = x − 4x . 2 2 2 A. x − 6x y′ − − = . B. 1 y′ x 12x x 6x = . C. y′ = . D. y′ = . 2 3 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x Lời giải Chọn A 2 2 − − Ta có 2x 12x x 6x y′ = = . 2 3 2 3 2 x − 4x x − 4x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 25: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ′(x) ≥ f (x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn C ( 2x 2x)′ − − − Ta có f ′(x) 2x 2 x 1 = = = . 2 2 2
2 x − 2x 2 x − 2x x − 2x
Khi đó, f ′(x) ≥ f (x) x −1 2 ⇔ ≥ x − 2x 2 x − 2x 2 2 3− 5 3+ 5
⇔ x −1≥ x − 2x ⇔ x − 3x +1≤ 0 ⇔ ≤ x ≤ 2 2
Vì x ∈ ⇒ x = {1; }
2 ⇒ tập S có 2 giá trị nguyên.
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x x.
A. f ′(x) 1 = x.
B. f ′(x) 3 = x. C. ′( ) 1 x f x = . D. ′( ) x f x = x + . 2 2 2 x 2 Lời giải GV Chọn B : TRẦ ′ N x
Ta có f ′(x) = x′ x + x x = x + x = x + = x Đ ( ) 1 3 . . . . ÌN 2 x 2 2 H CƯ
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x x − 2x. – 083 2 2 2 A. 2x − 2 − − − − y′ 3x 4x 2x 3x 2x 2x 1 = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 4332133 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x Lời giải Chọn C 2 2 2 − − + − − Ta có 2 2x 2 x 2x x x 2x 3 ′ = − 2 + . x y x x x = = . 2 2 2 2 x − 2x x − 2x x − 2x
Câu 28: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x. 2 2 A. 2 4x −1 y′ − = 2 x + x − . B. 2 4x 1
y′ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 x + x 2 2 C. 2 4x −1 y′ + = 2 x + x + . D. 2 4x 1
y′ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 2 x + x Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ′
Ta có y′ = ( x − )′ 2
x + x + ( x − ) ( 2 2 1 . 2 1 . x + x )
(2x − )1(2x + ) 2 1 2 2 4x −1 = 2. x + x + = 2 x + x + . 2 2 2 x + x 2 x + x
Câu 29: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . 2 x +1 A. x y′ = . B. x y′ = − . 2 2 (x +1) x +1 2 2 (x +1) x +1 2 C. x + y′ = . D. x(x 1) y′ = − . 2 2 2(x +1) x +1 2 x +1 Lời giải Chọn B ′ ′ ′ 1 − ( 2x +1) −( 2 x + ) 1 Ta có y′ = = = 2 2 2 x +1 x +1 2 x +1( 2 x + ) 1 −x = . 2 x +1( 2 x + ) 1 G − V x 1 :
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số y = . T 2 R x +1 ẦN 2 + + − + Đ 2x ′ 1 x ′ 2(x 1) ′ x x 1 ′ ÌN A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 2 3 2 3 2 3 H x +1 (x +1) (x +1) (x +1) CƯ – Lời giải 083 4332133 Chọn B ′ x (x )′ x (x )( x ) 2 2 2 x +1 − (x − − + − − + )1 1 . 1 1 1 2 Ta có x +1 y′ = ( = x +1)2 ( x +1)2 2 2 2 2
x +1− x + x 1+ x = ( = x ) . 3 2 3 2 (x + + 1) 1
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số 2x −1 y = . x + 2 A. 5 x + 2 + y′ = . . B. 1 5 x 2 y′ = . . . (2x − )2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 C. 1 x + 2 + y′ x = . . D. 1 5 2 y′ = . . . 2 2x −1
2 (x + 2)2 2x −1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D ′ − + Ta có 1 2x 1 1 5 x 2 y′ = . = . . .
2x −1 x + 2
2 (x + 2)2 2x −1 2 x+2 2 Câu 32: +
Tính đạo hàm của hàm số x 1 y = . x A. 1 x 1 y 1 ′ = − 1 x . B. y′ = . 2 2 2 x +1 x 2 2 x +1 C. 1 x 1 y 1 ′ = + 1 x 1 . D. y′ = x − . 2 2 2 x +1 x 2 2 2 x +1 x Lời giải Chọn A 2 ′ + Ta có 1 x 1 1 x 1 y 1 ′ = = − . 2 2 2 x +1 x 2 x +1 x 2 x
Câu 33: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . G x +1 − x −1 V: T 1 R ′ = − ′ = Ầ A. y . B. 1 y . N + + −
2 x +1 + 2 x −1 ( x 1 x 1)2 ĐÌNH C C. 1 1 y′ = + . D. 1 1 y′ = + . Ư 4 x +1 4 x −1 2 x +1 2 x −1 – 083 Lời giải 4332133 Chọn C Ta có 1 x +1 + x −1 y = = . x +1 − x −1 2 1 ′
⇒ y′ = ( x + + x − ) 1 1 1 1 1 1 1 = + = + . 2
2 2 x +1 2 x −1 4 x +1 4 x −1 2 Câu 34: + +
Tính đạo hàm của hàm số f (x) 3x 2x 1 = tại điểm x = 0. 3 2 2 3x + 2x +1
A. f ′(0) = 0. B. f ′( ) 1 0 = . C. Không tồn tại. D. f ′(0) =1. 2 Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ( ′ 2 3x + 2x + )′ 3 2
1 .2 3x + 2x +1 − ( 2 3x + 2x + ) 1 .( 3 2 2 3x + 2x +1)
Ta có f ′(x) = ( 2 3x + 2x +1)2 3 2 2 ( + ) 3 2 + + − ( 2 + + ) 9x + 4 6 2 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 4 3 2 3 2 3x + 2x +1
9x + 6x − 9x + 8x + 4 = ( = x x )2 4( 3 2 3x + 2x + ) 3 2 3 2 1 3x + 2x + + + 1 2 3 2 1 ⇒ f ′( ) 4 1 0 = = . 8 2 3
Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số a y =
( a là hằng số). 2 2 a − x 3 3 A. a x y′ = a x ( . B. y′ = . 2 2 a − x ) 2 2 a − x 2 2 a − x 3 3 a ( 2 3a − 2x) C. a x y′ = D. y′ = . 2( . 2 2 a − x ) 2 2 a − x 2( 2 2 a − x ) 2 2 a − x Lời giải Chọn A G ′ V 3 2 2 : −a a − x 3 3 T ( ) −a ( 2 − x) a x R Ta có y′ = = = . Ầ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N a − x
2 a − x .(a − x ) (a − x ) a − x ĐÌNH π C Câu 36: y = − x . Ư
Tính đạo hàm của hàm số sin 3 6 – 083 π ′ π = − ′ = − − 4332133 A. y 3cos 3x. B. y 3cos 3x. 6 6 π π C. y cos 3x ′ = − . D. y′ = 3 − sin − 3x. 6 6 Lời giải Chọn B π ′ π π Ta có y 3x .cos 3x 3.cos 3x ′ = − − = − − . 6 6 6 π
Câu 37: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 y sin x = − − . 2 3 π π A. 2 y x cos x ′ = − 1 . B. 2 y′ = x cos − x. 3 2 3 π π C. 1 y xsin x ′ = − 1 . D. 2 y′ = xcos − x . 2 3 2 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A π ′ π π π Ta có 1 2 2 y . 1 x .cos x ′ = − − − = − .( 2 − x) 2 2 .cos − x = . x cos − x . 2 3 3 2 3 3
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
sin x − 3x + 2) . A. y′ = ( 2
cos x − 3x + 2).
B. y′ = ( x − ) ( 2 2
3 .sin x − 3x + 2).
C. y′ = ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2).
D. y′ = −( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2). Lời giải Chọn C Ta có y ( 2 x x )′ ′ = − +
( 2x − x+ ) = ( x− ) ( 2 3 2 .cos 3 2 2
3 .cos x − 3x + 2).
Câu 39: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x tan x + x . A. 1
y′ = 2x tan x + . B. 1
y′ = 2x tan x + . 2 x x 2 2 C. x 1
y′ = 2x tan x + + . D. x 1
y′ = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x 2 cos x x Lời giải GV: T Chọn C RẦN ′ ′ ′ x 1 Đ
Ta có y′ = x tan x+ tan x .x + x = 2x tan x + + . ÌN ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos x 2 x H CƯ Câu 40: y = x . –
Tính đạo hàm của hàm số 2 2cos 083 A. 2 y′ = 2 − sin x . B. 2 y′ = 4 − xcos x . C. 2 y′ = 2 − xsin x . D. 2 y′ = 4 − xsin x . 4332133 Lời giải Chọn D Ta có y′ = − ( 2 x )′ 2 2 2 2. .sin x = 2.2 − . x sin x = 4 − xsin x .
Câu 41: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = tan . 2 A. 1 y′ = . B. 1 y′ = . 1 y′ = − . 1 y′ = − . 2 x +1 + C. + D. + 2cos 2 x 1 cos 2 x 1 2cos 2 x 1 cos 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x +1 ′ ′ Ta có x +1 2 1 y′ = tan = = . 2 2 x +1 2 x + 1 cos 2cos 2 2
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2
y sin 2 x . A. 2x 2 2 y x cos 2 x . B. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x C. x 2 y x 1 cos 2 x . D. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x Lời giải Chọn C 2 Ta có y 2 x 2 2 x 2 2 x 2 cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 2 2 2 x 2 x
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số y cos 2x 1 . A. sin 2x 1 y x x . B. sin 2 1 y .
C. y sin 2x 1. D. sin 2 1 y . 2x 1 2x 1 2 2x 1 Lời giải Chọn A GV ′ : T ′ 2x +1 sin 2x +1 R
Ta có y′ = −( 2x +1) ( ) sin 2x +1 = sin 2x +1 = − . ẦN 2 2x +1 2x +1 ĐÌNH
Câu 44: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . CƯ x x – A. y′ = − . B. y′ = . 083 2 2 2 x +1.sin x +1 2 2 2 x +1.sin x +1 4332133 C. 1 y′ = − . D. 1 y′ = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 Lời giải Chọn A ( ′ x 2 x +1) 2 Ta có x +1 x y′ = − = − = − . 2 2 2 2 2 2 2 sin x +1 sin x +1 x +1.sin x +1
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(sin x).
A. y′ = cos(sin x).
B. y′ = cos(cos x).
C. y′ = cos .xcos(sin x).
D. y′ = cos .xcos(cos x). Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ta có: y = sin (sin x) ′ = (sin x)′ ′
.cos(sin x) = cos .xcos(sin x) .
Câu 46: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(tan x). A. y′ = ( x) 1 sin tan ⋅ ⋅ B. y′ = − ( x) 1 sin tan ⋅ ⋅ 2 cos x 2 cos x
C. y′ = sin (tan x).
D. y′ = sin (tan x). Lời giải Chọn C Ta có y ( x)′ ′ = − ( x) 1 tan sin tan = − .sin tan x . 2 ( ) cos x
Câu 47: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2sin x − cos 2x + x .
A. y′ = 4sin x + sin 2x +1.
B. y′ = 4sin 2x +1.
C. y′ = 4cos x + 2sin 2x +1.
D. y′ = 4sin x − 2sin 2x +1. Lời giải Chọn B
Ta có y 2.2(sin x)′ .sin x (2x)′ ′ = +
sin 2x +1 = 4cos xsin x + 2sin 2x +1
= 2sin 2x + 2sin 2x +1 = 4sin 2x +1 GV π π π : T
Câu 48: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = sin − 2x + x − . RẦ 2 2 4 N Đ π π π π ÌN A. y′ = 2
− sin (π − 4x) + ⋅ B. y′ = 2sin − x cos − x + . H 2 2 2 2 CƯ π π π – ′ = − − + ′ = − π − C. y 2sin xcos x . x D. y 2sin ( 4x). 083 2 2 2 4332133 Lời giải Chọn A π π π 1− cos π − 4x π π 2 ( ) Ta có y = sin − 2x + x − = + x − 2 2 4 2 2 4 1 ( π π π x) 1 cos 4 x = − − + + − 2 2 2 4 π π ′ Suy ra 1 y′ = − (π − x) 1 cos 4 + x + − 2 2 2 4 1 = ( ′ π π
π − 4x) sin(π − 4x) + = 2
− sin (π − 4x) + . 2 2 2
Câu 49: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = cos (2x − ) 1 . A. y′ = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − ) 1 . B. 2
y′ = 3cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com C. 2 y′ = 3 − cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . D. 2
y′ = 6cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . Lời giải Chọn A Ta có 3 y = ( x − ) ′ 2
cos 2 1 = 3cos (2x − ) 1 cos(2x − )1 ′ ′ = − ( x − ) 2 6sin 2 1 cos (2x − ) 1 = 3 − 2sin (2x − ) 1 cos(2x − ) 1 cos(2x − ) 1 = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − )1.
Câu 50: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = sin (1− x) . A. 3
y′ = cos (1− x). B. 3
y′ = −cos (1− x). C. 2 y′ = 3
− sin (1− x).cos(1− x). D. 2
y′ = 3sin (1− x).cos(1− x). Lời giải Chọn C Ta có 3 y′ = ( − x) ′ = ( − x) ′ 2 ( − x) = − ( − x) 2 sin 1 3. sin 1 .sin 1 3.cos 1 .sin (1− x).
Câu 51: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = tan x + cot 2x . 2 A. 2
y′ = 3tan .xcot x + 2 tan 2 .x B. 3tan x 2 y′ = − + . 2 2 G cos x sin 2x V: T 1 2 3tan x 2 R ′ = − ′ Ầ C. 2 y 3tan x . D. y = − . 2 2 2 N sin 2x cos x sin 2x ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn D – 083 2 3 ′ 2 ′ 2 3tan x 2 4332133
Ta có y′ = (tan x + cot 2x) = 3tan x(tan x) − = − 2 2 2 sin 2x cos x sin 2x x + x
Câu 52: Tính đạo hàm của hàm số sin cos y = . sin x − cos x 2 2 A. −sin 2x y′ − = . B. sin x cos x y′ = .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 C. 2 − 2sin 2x y′ − = . D. 2 y′ = .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 Lời giải Chọn D π 2 sin x + + π Ta có sin x cos x 4 y = = = − tan x + . sin x − cos x π 4 2 cos x − + 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com − Suy ra 1 1 2 y′ = − = − = . 2 π
cos x − sin x
(sin x −cos x)2 2 cos x + 4 2
Câu 53: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = − . tan (1− 2x) A. 4x y′ − − − = . B. 4 y′ = . C. 4x y′ = . D. 4 y′ = . 2 sin (1− 2x) sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x) Lời giải Chọn D 1 − 2 − (tan(1− 2x))′ 4. 2 cos (1− 2x) − Ta có 4 y′ = − = = . 2 tan (1− 2x) 2 tan (1− 2x) 2 sin (1− 2x)
Câu 54: Tính đạo hàm của hàm số cos 2x y = . 3x +1 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x A. y′ = . B. y′ = . (3x + )2 1 3x +1 −(3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x 2(3x + )
1 sin 2x + 3cos 2x C. y′ = . D. y′ = . (3x + )2 1 (3x + )2 1 GV: T Lời giải RẦN Chọn A ĐÌN ′ ′ H
(cos2x) (3x + )1−(3x + )1 .cos2x 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x C Ta có y′ = = . Ư 2 2 + + – (3x )1 (3x )1 083 4332133
Câu 55: Cho f (x) 2
= 2x − x + 2 và g (x) = f (sin x) . Tính đạo hàm của hàm số g (x) .
A. g′(x) = 2cos 2x −sin .x
B. g′(x) = 2sin 2x + cos .x
C. g′(x) = 2sin 2x − cos .x D. /
g (x) = 2cos 2x + sin .x Lời giải Chọn C
Ta có g (x) = f ( x) 2
sin = 2sin x − sin x + 2 ⇒ g (x) = ( 2
2sin x − sin x + 2)′ ′ = 2.2sin .
x cos x − cos x = 2sin 2x − cos .x
Câu 56: Tính đạo hàm của hàm số f x 5sin x3cosx tại điểm x . 2 A. f 3. B. C. D. f 3. f 5. f 5. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ta có f x5sin x3cosx 5 sin x
3 cosx 5cosx 3sin x . Suy ra f
5cos 3sin 3 2 2 2
Câu 57: Tính đạo hàm của hàm số f x 3 2sin
2x tại điểm x . 5 5 A. f 4. B. C. D. f 4. f 2. f 2. 5 5 5 5 Lời giải Chọn A Ta có f x 3 3 3 3
2sin 2x 2 . 2x cos
2x 4cos 2x 5 5 5 5 Suy ra 3 2 f 4cos .
4cos 4 5 5 5
Câu 58: Hàm số 4
f x x có đạo hàm là f x , hàm số 2 sin x g x x
có đạo hàm là gx. Tính giá 2 trị biểu thức f 1 P . g 1 A. 4 P . B. P 2. C. P 2. D. 4 P . 3 3 GV Lời giải : TRẦ Chọn B N ĐÌN x x H
Ta có f x 3
4x và gx 2x sin 2 .cos . C 2 2 2 Ư – 083 Suy ra f 1 4 P 2. 4332133 g 1 2 cos 2 2 x
Câu 59: Hàm số f x 4x có đạo hàm là f x, hàm số
g x 4x sin
có đạo hàm là gx. Tính 4 giá trị biểu thức f 2 P . g 2 A. P 1. B. 16 P . C. 16 P . D. 1 P . 16 17 16 Lời giải Chọn A
Ta có f x 4 và 4 cos x g x . 4 4 Suy ra f 2 4 P 1 g 2 .2 4 cos 4 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 60: Hàm số f (x) = asin x + bcos x +1 có đạo hàm là f ′(x). Để f ′( ) 1 0 = và f π − = 1 thì giá 2 4
trị của a và b bằng bao nhiêu? A. 2 a = b = . B. 2 2 a = ; b = − . 2 2 2 C. 1 1 a = ; b = − . D. 1 a = b = . 2 2 2 Lời giải Chọn D f′( ) 1 0 = 2 Ta có /
f (x) = acos x − bsin x. Khi đó f π − = 1 4 1 1 1
a cos0 − bsin 0 = a = 2 b = 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ . π π − + − + = 2 2 1 asin b cos 1 1 − a + b = 0 a = 4 4 2 2 2
Câu 61: Cho hàm số y = f (x) 2
− cos x với f (x) là hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức dưới GV
đây, biểu thức nào xác định hàm số f (x) thỏa mãn y′(x) =1 với mọi x ∈ ? : TRẦN A. f (x) 1
= x + cos2x. B. f (x) 1 = x − cos2x. Đ 2 2 ÌN H
C. f (x) = x −sin2x.
D. f (x) = x + sin2x. CƯ – 083 Lời giải 4332133 Chọn A
Ta có y′(x) = f ′(x) + 2sin x cos x = f ′(x) + sin2x .
Suy ra y′(x) =1⇔ f ′(x) + sin2x =1⇔ f ′(x) =1−sin2x.
Đến đây ta lần lượt xét từng đáp án, ví dụ xét đáp án A ta có / f ′(x) 1 1
= x + cos2x = x + (cos x)/ / 2 =
1− sin 2x (thỏa mãn) 2 2 Câu 62: Cho hàm số 2
y = cos x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; ) π . A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Lời giải Chọn C y' = 2
− cosxsin x + cosx = cosx(1− 2sin x)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x π = + kπ 2 cosx = 0 y' = 0 π ⇔ 1 ⇔ x = + k2π ;(k ∈) sin x = 6 2 5 x π = + k2π 6 Vì π π 5π x∈(0; ) π ⇒ x∈ ; ;
. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng (0; ) π 6 2 6
Câu 63: Cho hàm số y = (m +1)sinx + mcosx − (m + 2)x +1. Tìm giá trị của m để y' = 0 có nghiệm? A. m ≤ 1 − . B. m ≥ 2. C. 1 − ≤ m ≤ 3. D. m ≤ 2. − m ≥ 3 Lời giải Chọn A
y' = (m +1)cosx − msin x − (m + 2)
Phương trình y' = 0 ⇔ (m +1)cosx − msinx = (m + 2)
Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2 a + b ≥ c 2 2 2 2 m ≤ 1 −
⇔ (m +1) + m ≥ (m + 2) ⇔ m − 2m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3
Câu 64: Cho hàm số ( ) cosx f x =
. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f′(x) = 0 trên cos2x GV:
đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt? T RẦ A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 3 điểm. D. 4 điểm. N Đ Lời giải ÌN H Chọn B CƯ 1 – −sin x. cos2x − cosx (−sin2x) 083 f′(x) 2 cos2x sin x = = 3 4332133 cos2x cos2x f '(x) = 0 ⇔ x = k ,k π ∈ .
Ta biểu diễn được 2 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.
Câu 65: Cho hàm số f (x) = −cosx + sinx − cos2x. Phương trình f′(x) =1 tương đương với phương trình nào sau đây? A. sinx = 0. B. sinx −1= 0. C. (sinx − ) 1 (cosx − ) 1 = 0. D. cosx = 0. Lời giải Chọn C
f ′(x) = sinx + cosx + 2sin2x
f′(x) =1⇔ sinx + cosx + 2sin2x =1 Đặt = + ( ≤ ) 2 t sinx cosx t 2 ⇒ sin2x = t −1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com t = 1 Khi đó phương trình 2 2t t 3 0 ⇔ + − = ⇔ 3 t = − (l) 2 x = k2π Với π t 1 sinx cosx 1 2 sin x 1 = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ π ( k∈Z) 4 x = + k2π 2
Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình (sinx − ) 1 (cosx − ) 1 = 0 .
Câu 66: Cho hàm số f (x) 3 cos x 3 = 2
+ sin x − 2cosx − 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng 3
giác f′(x) trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Lời giải Chọn B ′( ) 3 3 f x = 2sin x − 3cos x f′(x) 3 3 3 3 = 0 ⇔ tan x = ⇔ tan x = . 2 2
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Câu 67: Hàm số 2 x +x 1 y 8 + =
(6x +3)ln 2 là đạo hàm của hàm số nào sau đây? A. 2 1 8 + + = x x y B. 2 1 2 + + = x x y C. 2 3 3 1 2 + + = x x y D. 2 3 3 1 8 + + = x x y GV: Lời giải T RẦ Chọn A N ĐÌN
Câu 68: Đạo hàm của hàm số x 1 y + = H 9x CƯ 1− 2( x + ) 1 ln 3 1− (x + ) 1 ln 3 – A. y ' = . B. y ' = . 083 2 3 x 2 3 x 4332133 1− 2( x + ) 1− 2( x + ) C. 1 ln 9 1 ln 3 y ' = . D. y ' = . 3x 3x Lời giải Chọn A (x ) 1 ′
+ .9x − (9x )′ .(x + ) 1
9x − 9x (x + ) 1 ln 9 1− 2(x + ) 1 ln 3 y′ = = = . 2x 2x 2 9 9 3 x
Câu 69: Cho hàm số y = log (2x +1) , ta có: 3 1 2 A. 1 y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. 2 y′ = . 2x +1 (2x +1)ln 3 (2x +1)ln 3 2x +1 Lời giải Chọn C Câu 70: 1
Đạo hàm của hàm số y = là: log x 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com A. ' ln 2 x x y ln 2 ln 2 = − . B. ' ln 2 y = . C. 'y = − . D. 'y = . 2 x ln x 2 x ln x 2 log x 2 log x 2 2 Lời giải Chọn A log x ' ( )' 2 ln 2 y = − = − 2 2 ln x xln x
Câu 71: Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
A. (3x )′ = 3x ln3
B. (10x )′ =10x ln10 C. ( ′ 1 log x = D. ( 2x )′ 2 = x e e 3 ) xln3 Lời giải Chọn D
Ta có ( 2x )′ 2 = 2 x e
e , suy ra D sai.
Câu 72: Đạo hàm của hàm số y = (2x + ) 1 ln (1− x) là. A. ( − x) 2x +1 2ln 1 − .
B. 2xln (x − ) 1 . 1− x C. 2x +1 + + 2x . D. ( − x) 2x 1 2ln 1 + . 1− x 1− x Lời giải Chọn A G ′ ′ 1 − V y′ = (2x + )
1 .ln (1− x) + (2x + )
1 .(ln(1− x)) = 2.ln(1− x) + (2x + ) 1 . : T (1− x) RẦ N 2x +1 Đ = 2ln (1− x) − ÌN 1− x H CƯ x −1 –
Câu 73: Đạo hàm của hàm số y = log2 là: 083 ln x 4332133 + − + − + − + −
A. xln x 1 x
B. xln x 1 x .
C. xln x 1 x .
D. xln x 1 x . x(x − ) . 1 ln 2
(x − )1ln xln 2 (x − )1ln 2 x(x − ) 1 ln 2.ln x Lời giải Chọn D ' x −1 + − Ta có: ' ln x xln x 1 x y = = x − x(x − ) . 1 1 ln 2.ln ln 2 x ln x
Câu 74: Cho hàm số ( ) 2 ` = 2x +a f x v a f ′( )
1 = 2ln2. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 − < a < 0
B. 0 < a <1 C. a >1 D. a < 2 − Lời giải Chọn A Ta có f (x) 2 x +a = x ⇒ f ( ) a 1 + a 1 2 .2 ln 2 1 = 2ln 2.2 = 2ln 2 ⇒ 2 + ′ ′ = 1⇒ a = 1 − Câu 75: Cho hàm số 1
y = ln . Hệ thức nào sau đây đúng? x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com A. y e + y' = 0 B. y e − y' = 0 C. y e .y' = 0 D. y 1 e .y' = 2 x Lời giải Chọn A / 1 Ta có 1 1 1 1 y ' = = = . x − = − y 1 , = ln x e
e = ⇒ y ' y + e = 0 2 1 x x x x x
Câu 76: Đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 5 4
f x = 2x − +1 bằng biểu thức nào sau đây? x A. 3 4 40x 4 8 8 − . B. 3 40x + . C. 3 40x − . D. 3 40x + . 3 x 3 x 3 x 3 x Lời giải CHỌN C ( ) 5 4 f x 4 8 = 2x − +1 thì f′(x) 4 = 10x + , do đó f′ (x) 3 = 40x − . x 2 x 3 x
Câu 77: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào sau đây? A. −sin2x. B. 4 − sin x. C. 4 − sin2x. D. 2 − sin2x. Lời giải CHỌN C
y = sin2x thì y′ = 2cos2x . Do đó y′ = 4 − sin2x . GV 2 : y = cos x. ′′ T Câu 78: Cho hàm số Tính y ? RẦ A. y′ = 2 − cos2x. B. y′ = 4 − cos2x. C. y′ = 2cos2x. D. y′ = 4cos2x. N ĐÌN Lời giải H CHỌN A CƯ Ta có: y′ = 2
− cosxsin x = −sin2x ⇒ y′ = 2 − cos2x. – 083 2 3 4332133
Câu 79: Cho hàm số y = 2x − x . Tính M = y .y′ +1. A. 1 2. − B. 0. C. 1. − D. . 2 2x − x Lời giải CHỌN B 1− x 1 1− x 2 ( )2 Ta có: y = ⇒ y = . 1. − 2x − x ′ ′ − 2 2x − x ( 2 2x x ) 2 2x − x − 1 − 3 3 = ( ⇒ y .y′′ = 1 − ⇒ y .y′′ +1 = 0 . 2 2x − x ) 2 2x − x
Câu 80: Cho hàm số f (x) = (x + )4 1 . Tính f ′ (2). A. 27. B. 81. C. 96. D. 108. Lời giải CHỌN D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: ′( ) = ( + )3 ⇒ ′ ( ) = ( + )2 f x 4 x 1 f x
12 x 1 . Vậy f′′(2) =108. Câu 81: Cho hàm số 3 y = sin .
x Tính M = y′′ + 9 . y A. sinx. B. 6sinx. C. 6cosx. D. 6 − sin x. Lời giải CHỌN B Ta có: 2 2 3
y′ = 3sin x cosx ⇒ y′ = 6sin x cos x − 3sin x. Vậy: 2 3 3 = ′ + = − + = ( 2 2 M y
9y 6sin x cos x 3sin x 9sin x 6sin x cos x + sin x) = 6sinx. Câu 82: Cho hàm số 5 4
y = 3x − 5x + 3x − 2. Giải bất phương trình y′ < 0. A. x∈(−∞ ) ;1 \ { } 0 . B. x∈(1;+∞). C. x∈( 1; − ) 1 . D. x∈( 2; − 2). Lời giải CHỌN A Ta có: 4 3 3 2
y′ = 15x − 20x + 3 ⇒ y′ = 60x − 60x . 3 2 2 ′′ < ⇔ − < ⇔ ( − ) x < 1 y 0 60x 60x 0 60x x 1 < 0 ⇔ . x ≠ 0 Câu 83: Cho hàm số 1 y =
. Giải bất phương trình y′ < 0. (x + )3 1 G A. x < 1. − B. x > 1. − C. x ≠1. D. Vô nghiệm. V: T Lời giải RẦN CHỌN A ĐÌN 3 − 12 H Ta có: y′ = ⇒ y′′ = . 4 5 C x +1 x +1 Ư ( ) ( ) – 083 Vậy 12 y′′ < 0 ⇔
< 0 ⇔ x +1< 0 ⇔ x < 1 − . 4332133 (x + )5 1 − +
Câu 84: Cho hàm số = ( ) 2 2x 3x y f x =
. Đạo hàm cấp 2 của f là: 1− x A. 1 y′′ 2 2 − 2 = 2 + . B. y′′ = . C. y′′ = . D. y′′ = . (1−x)2 (1−x)3 (1−x)3 (1−x)4 Lời giải CHỌN B 1 1 2(1− x)(− ) 1 2 y = 2x −1+ ⇒ y′ = 2 + ⇒ y′ = = . 1− x (1− x)2 (1− x)2 (1− x)3 Câu 85: y = (2 − m) 4 3 2 Cho hàm số: x + 2x + 2mx + 2m −1.
Tìm m để phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. A. 1 3 m 3 1 ∈− ; ∞ ∪ ;+∞ \ { } 2 . B. m∈− ;
∞ − ∪ ;+∞ \ { } 2 . 2 2 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com C. 3 1 m 1 3 ∈− ;
∞ − ∪− ;+∞ \ { } 2 . D. m∈− ; ∞ ∪ ;+∞ \ { } 2 . 2 2 2 2 Lời giải CHỌN D Ta có: ′ = ( − ) 3 2 + + ⇒ ′′ = ( − ) 2 y 4 2 m x 6x 4mx y 12 2 m x +12x + 4m.
Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay phương trình: ( − ) 2 3 2 m x + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt. m ≠ 2 1 2 − m ≠ 0 2 − m ≠ 0 m < ⇔ ⇔ ⇔ . 2 2 ∆ > 0 4m − 8m + 3 > 0 3 m > 2
Câu 86: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t − 3t
(t: tính bằng giây, s: tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v =12m / s.
B. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24m / s.
C. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a =18m / s .
D. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a = 9m / s . Lời giải GV CHỌN C : TR 3 2 2 Ầ
S = t − 3t ⇒ v(t) = S′ = 3t − 6t N Đ 2 ÌN
⇒ v(3) = 3.3 −18 = 9(m / s). H CƯ 3 2
S = t − 3t ⇒ a = S′′ = 6t − 6 – 083 2 ( a = 6.4 − 6 = 18 m / s . t=4s) ( ) 4332133
Câu 87: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 3t + 5t + 2 , trong đó t
tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: A. ( 2 24 m / s ). B. ( 2 17 m / s ). C. ( 2 14 m / s ). D. ( 2 12 m / s ). Lời giải CHỌN D
Gia tốc của chuyển động khi t = 3 bằng S′′(3). ′( ) 2
S t = 3t − 6t + 5; S′′(t) = 6t − 6 nên ′ ( ) = − = ( 2 S 3 18 6 12 m / s ).
Câu 88: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 3t − 9t + 2 (t: tính bằng giây, s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 3.
B. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 là 2 a =12m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là 2 a =12m / s .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0. Lời giải CHỌN C 3 2 S = t − 3t − 9t + 2 ⇒ v(t) 2 = S3t − 6t − 9 ( ) 2 2 t = 1 −
v t = 0 ⇔ 3t − 6t − 9 = 0 ⇔ t − 2t − 3 = 0 ⇔ t =3 3 2 S = t − 3t − 9t + 2 ⇒ a = S′′ = 6t − 6 2 ⇒ (a = 6.3 − 6 = 12 m / s . t=3s) ( )
Câu 89: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 2t + 4t +1, trong đó t tính
bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 2 là: A. ( 2 12 m / s ). B. ( 2 8 m / s ). C. ( 2 7 m / s ). D. ( 2 6 m / s ). Lời giải CHỌN B
Gia tốc của chuyển động khi t = 2 bằng S′′(2). ′( ) 2
S t = 3t − 4t + 4; S′′(t) = 6t − 4 nên ′ ( ) = − = ( 2 S 2 12 4 8 m / s ). G Câu 90: V
Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức : T = − + + R S (t) 2 3 4 2t 4t
2t , trong đó t > 0 và t tính bằng giây (s) , S (t) tính bằng mét (m) . Tìm ẦN Đ
gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 5(s) . ÌN H
A. a = 68 .
B. a =115 .
C. a =100 .
D. a = 225 . CƯ Lời giải – 083 Chọn A 4332133
Theo ứng dụng đạo hàm của hàm số có:
v(t) = S′(t) 2 = 2
− + 8t + 6t và a(t) = v′(t) = 8 +12t ⇒ a( ) = ( 2 5
68 m / s ) .
Câu 91: Một vật chuyển động có phương trình 4 3 2
S = t −3t −3t + 2t +1 (m) , t là thời gian tính bằng
giây. Gia tốc của vật tại thời điểm t = s 3 là A. 2 48 m/s . B. 2 28 m/s . C. 2 18 m/s . D. 2 54 m/s . Lời giải Chọn A 4 3 2
S = f (t) = t − 3t − 3t + 2t +1 ⇒ 3 2
f '(t) = 4t − 9t − 6t + 2 ⇒ 2
a(t) = f '(t) =12t −18t − 6
Gia tốc của vật tại thời điểm t = s 3 là 2
a(3) =12.3 −18.3− 6= 2 48 m/s .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 92: Một chất điểm chuyển động có phương trình 3 2 s = t
− + t + t + 4 ( t là thời gian tính bằng giây).
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là A. 6 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B
Vận tốc của chất điểm có phương trình là: 2 v = s' = 3 − t + 2t +1. b − 1
Vận tốc của chất điểm đạt GTLN khi t = = . 2a 3
Gia tốc của chất điểm có phương trình là: s '' = 6 − t + 2 . 1
Tại thời điểm vận tốc đạt GTLN thì gia tốc bằng s '' = 0 . 3
Câu 93: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s(t) 2t 3t 4t, trong đó t được tính
bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng không là
A. 2,5m / .s
B. 4m / .s
C. 2,5m / .s
D. 8,5m / .s Lời giải Chọn C
Ta có, gia tốc tức thời của chuyển động bằng: a(t) s(t) 12 t6. Thời điểm gia tốc bằng
không là: a(t) s(t) 12 t6 0 t 0,5.Vậy khi đó vận tốc tức thời của chuyển động G V bằng 2 5
v(t) s (t) 6t 6t 4 v(0,5) . vậy chọn C : T 2 RẦN ĐÌNH CƯ – 083 4332133
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x . Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M ( 1; − 4 − ) có hệ số góc bằng A. 3 − . B. 9. C. 9 − . D. 72 . Lời giải Chọn B
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M ( 1; − 4 − ) có hệ số góc là: y′(− ) 2 2
1 = 3x − 6x = 3⋅( 1 − ) − 6⋅(− ) 1 = 9 Câu 2: Hàm số 2
y = −x + x + 7 có đạo hàm tại x =1 bằng A. 1 − . B. 7 . C. 1. D. 6 . Lời giải Chọn A Ta có: y′( ) 1 = 2 − x +1 = 2.1 − +1 = 1 − 2
Câu 3: Cho hai hàm số f (x) 3 2
= 2x − x + 3 và ( ) 3 x g x = x +
− 5 . Bất phương trình f ′(x) > g′(x) G 2 V: T có tập nghiệm là RẦ A. ( ; −∞ 0]∪[1;+∞) . B. (0; ) 1 . C. [0; ] 1 . D. ( ; −∞ 0) ∪(1;+∞) . N ĐÌN Lời giải H C Chọn D Ư – 083 >
f ′(x) > g′(x) x 1 2 2 2
⇔ 6x − 2x > 3x + x ⇔ 3x − 3x > 0 ⇔ 4332133 x < 0 x + Câu 4: 3 Hàm số y = có đạo hàm lả x + 2 A. 1 y′ − − = . B. 5 y′ = . C. 1 y′ = . D. 5 y′ = . (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 Lời giải Chọn C
(x + 3)′(x + 2) −(x + 3)(x + 2)′ 1.(x + 2) −(x + 3)⋅1 1 − y′ = = = 2 2 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2) Câu 5: 1 Hàm số y =
có đạo hàm cấp hai tại x =1 là x +1 A. y′′( ) 1 1 = . B. y′′( ) 1 1 = − . C. y′′( ) 1 = 4 . D. y′′( ) 1 1 = . 2 4 4 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn D 1 1 y′ − − = (x +1)′⋅ = 2 2 (x +1) (x +1) 1 2 x + ′ 1 2 ( )
y′′ = (x +1) . 2 = = 4 4 3 (x +1) (x +1) (x +1) y′′( ) 2 1 1 = = 3 (1+1) 4 B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 6: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x + 3 có đồ thị (C) và điểm M ( 1;
− 6)∈(C). Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) tại điểm M . Lời giải
Ta có: f ′(x) = 2x − 2 nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 1;
− 6) có hệ số góc là: f ′(− ) 1 = 2⋅(− ) 1 − 2 = 4
− Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: y − 6 = 4 − (x + ) 1 ⇔ y = 4x
− − 4 + 6 ⇔ y = 4x − + 2.
Câu 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 3 2
y = 3x − 7x + 3x +1; GV b) y (x x)3 2 = − ; : TRẦ 4x −1 N c) y = . Đ 2x +1 ÌN H Lời giải CƯ a) 3 2 3 2
y′ = 3.4x − 7.3x + 3.2x + 0 =12x − 21x + 6x ; – 083 4332133 b) Đặt 2
u = x − x thì 3
y = u . Ta có: (u ′ = x − x ′ =
− và ( y ′ = u ′ = u . u ) ( 3) 2 3 x ) ( 2 ) 2x 1 Suy ra ( y ′ y ′ u ′ = ⋅ = u ⋅ − = − x − x . x ) ( u ) ( x ) ( ) ( )( )2 2 2 3 2x 1 3 2x 1
Vậy y′ = ( − )(x − x)2 2 3 2x 1 . c) (4x −1)′(2x + ) 1 − (4x − ) 1 (2x +1)′ y′ = 2 (2x +1) 4(2x + ) 1 − (4x − ) 1 ⋅2 = 2 (2x +1) 8x + 4 −8x + 2 6 = = 2 2 (2x +1) (2x +1)
Câu 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com a) = ( 2 + 3 − ) 1 x y x x e ; b) 2
y = x log x 2 . Lời giải a) ( 2 )′ x ( 2 3 1 3 )1 ( x y x x e x x e )′ ′ = + − ⋅ + + − ⋅ = ( + ) x ⋅ + ( 2 + − ) x ⋅ = ( 2 2 3 3 1 + 5 − ) 1 x x e x x e x x ⋅e b) y′ = ( 3 x )′ 3 ⋅ x + x ⋅( x)′ 2 3 1 log log
= 3x log x + x ⋅ 2 2 2 x ⋅ln2
Câu 9: Tính đạo hàm của cảc hảm số sau: a) = tan ( x y e + ) 1 ; b) y = sin 3x ; c) = cot (1− 2x y ). Lời giải a) y′ = ( x e + )′ 1 x 1 1 ⋅ = e ⋅ cos( x e + )2 1 cos( x e + )2 1 b) 1 ' 1 1
y = (sin3x)′⋅
= (3x) ⋅cos3x ⋅ = 3cos3x ⋅ 2⋅ sin3x 2⋅ sin3x 2⋅ sin3x G x ′ 1 − x 1 V: c) y′ = (1− 2 ) ⋅ = 2 ⋅ln2⋅ T 2 x 2 x − − R sin (1 2 ) sin (1 2 ) ẦN ĐÌN
Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai cúa các hàm số sau: H C a) 3 2
y = x − 4x + 2x − 3; Ư – 083 b) 2 = x y x e . 4332133 Lời giải 2 a)
y′ = 3x −8x + 2
y′′ = 6x −8 b) ′ = ( 2 )′ x 2 ⋅ + ⋅( x )′ x 2 x = ⋅ + ⋅ = ( 2 2 2 + ) x y x e x e x e x e x x ⋅e ′ ( 2 )′ x ( 2 ) ( x )′ = + + + ⋅ = ( + ) x ⋅ + ( 2 + ) x ⋅ = ( 2 2 2 2 2 2 + 4 + 2) x y x x e x x e x e x x e x x e
Câu 11: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức s(t) 2
= 4,9t , trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:
a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2;
b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất. Lời giải
Vận tốc rơi của viên sỏi là: v(t) = s′(t) = 9,8t
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) Khi t = 2 thì v(2) =9,8.2 = 19,6 (m/s)
b) Khi viên sỏi chạm đất thì s(t) = 44,1 Hay 2
4,9t = 44,1 ⇔ t = 3
Ta có: v(3) = 9,8.3 = 29,4( m / s)
Câu 12: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) 3
= 2t + 4t +1, trong đó
t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t =1. Lời giải
Vận tốc của vật là: v(t) = s′(t) 2 = 6t + 4
Gia tốc của vật là v′(t) =12t Khi t =1 thì v( ) 2 1 = 6.1 + 4 =10;v′( ) 1 =12.1 =12 500t
Câu 13: Dân số P (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức P(t) = 2t +9
, trong đó t là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm t =12 . Lời giải
Tốc độ tăng trưởng dân số là: ' ' 2 2 G
(500t) (t + 9) −500t (t + 9) V ′ : P (t) = T 2 2 R (t +9) ẦN 2 Đ
500.(t + 9) −500t.2t ÌN P′(t) = H 2 2 C (t +9) Ư – 2 − 083 ′( ) 4500 500t P t = 2 2 4332133 (t +9) 2 − = P′( ) 4500 500.12 Khi t 12 thì 12 = = 2 − ,88 2 ( 2 12 + 9) Câu 14: 1
Hàm số S (r) =
có thể được sử dụng để xác định sức cản S của dòng máu trong mạch máu 4 r
có bán kính r (tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal
medicine 21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của S theo r khi r = 0,8 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Tốc độ thay đổi của S là S′(r) = ( 4 r )′ 1 − 3 1 − 4 − ⋅ ( ) =4r ⋅ = 2 8 5 4 r r r = S′( ) 4 − Khi r 0,8 thì 0,8 = = 12.2 − 5 0,8
Câu 15: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức T (t) 2 = 0
− ,1t +1,2t + 98,6
trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo GV
ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t =1,5 . : TR
(Nguồn: https://www.algebra.com/algebra/homework/ Trigonometry-basics/Trigonometry- ẦN
basics.faq.question. 1111985.html) ĐÌNH Lời giải CƯ
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ là: T′(t) = 0
− ,2t +1,2 Khi t =1,5 thì – 083 T′(1,5) = 0 − ,2⋅1,5 +1,2 = 0,9 4332133
Câu 16: Hàm số ( ) 6000 R v =
có thể được sử dụng để xác định nhịp tim R của một người mà tim của v
người đó có thể đẩy đi được 6000 ml máu trên mỗi phút và v ml máu trên mỗi nhịp đập (theo
Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine 21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của
nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v = 80 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ta có: R′(v) 1 6000 = 6000. − = − . 2 2 v v
Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v = 80 là: R′( ) 6000 80 = − = 0 − ,9375 . 2 80
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG VII A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các phát biểu sau phát biểu nào là đúng?
A. Nếu hàm số y = f (x) không liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó không liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0 Lời giải Chọn C
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó còn nếu hàm số liên tục tại 0
điểm x thì nó chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó. 0 G
Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0 V: TR A. f (x) ẦN
f (x + h − f x 0 ) ( ) ĐÌN B. . H h CƯ
f (x + h − f x 0 ) ( ) – C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h→0 083 h 4332133
f (x + h − f x − h 0 ) ( 0 ) D. lim
( nếu tồn tại giới hạn). h→0 h Lời giải Chọn C f x h f x f ′(x ) ( + )− ( ) = 0 lim . 0 h→0 h
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x là f ′(x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 ) 0 f x − f x f x + x ∆ − f x
A. f ′(x = lim .
B. f ′(x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x x ∆ →0 x ∆ 0
f x + h − f x
f x + x − f x
C. f ′(x = lim .
D. f ′(x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 ) ( 0 ) ( 0) h→0 h x→ 0 x x − x0 Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com f x − f x
f x + h − f x Ta có f ′(x lim , f x lim 0 ) ( ) ( 0) = ′( 0 ) ( 0 ) ( ) = x→x h→ 0 x − 0 x h 0
f x + ∆x − f x và f ′(x lim
là những khẳng định đúng. 0 ) ( 0 ) ( 0) = ∆x→0 ∆x
f x + x − f x
Khẳng định sai là f ′(x lim 0 ) ( 0 ) ( 0) = x→x0 x − x0 3− 4 − x khi x ≠ 0
Câu 4: Cho hàm số f (x) 4 = . Tính f ′(0). 1 khi x = 0 4 A. f ′( ) 1 0 = . B. f ′( ) 1 0 = . C. f ′( ) 1 0 = . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Chọn D f x − f 0 3 − 4 − x Ta có f ′(0) ( ) ( ) = lim = lim
(không tồn tại giới hạn) x→0 x→ x − 0 0 4x
Do đó không tồn tại f ′(0) . GV: T 3 2 R
x − 4x + 3x Ầ khi x ≠ 1 N
Câu 5: Cho hàm số f (x) xác định trên \ { } 2 bởi f (x) 2 = − + . Tính f ′( ) 1 . x 3x 2 ĐÌN 0 khi x =1 H CƯ A. f ′( ) 3 1 = . B. f ′( ) 1 = 1. C. f ′( ) 1 = 0 . D. không tồn tại. – 2 083 Lời giải 4332133 Chọn D 3 2 f (x) x 4x 3x − f ( ) − + − 3 2 0 1 2 x − 3x + 2
x (x − 4x +3) x (x − ) 1 (x + x +3) lim = lim = lim = lim x→ x→ x→ x −1 x −1
(x − )1(x − )1(x −2) x→ (x− )2 0 0 1 1 1 (x − 2) x ( 2 x + x + 3) = lim → Khoâng toàn taïi. x 1 → ( x − ) 1 (x − 2) 2 x -1 khi x 0
Câu 6: Cho hàm số f (x) ≥ = 2
-x khi x < 0
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số không liên tục tại x = 0.
B. Hàm số có đạo hàm tại x = 2 .
C. Hàm số liên tục tại x = 2 .
D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn D
Ta có lim f (x) = f = − + (0) 1 x→0
Mặt khác lim f (x = do đó hàm số không liên tục tại điểm x = 0 nên hàm số không đạo − ) 0 x→0
hàm tại x = 0. 2 mx 2x 2 khi x 0
Câu 7: Cho hàm số f (x) + + > =
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho nx +1 khi ≤ 0
f (x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
A. Không tồn tại m, n. B. m = 2,∀n .
C. n = 2,∀m .
D. m = n = 2 . Lời giải Chọn A
Ta có lim f (x) = f = lim f = + + = + (x) lim+ ( 2 mx 2x 2) 2 − (0) 1, x→0 x→0 x→0
Do đó hàm số không liên tục tại điểm x = 0 nên hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x = 0. 2 x Câu 8: x
Cho hàm số f (x) khi ≤ 1 = 2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số ,
a b sao cho f (x)
ax + b khi > 1 GV: có T RẦ
đạo hàm tại điểm x = 1. N ĐÌN 1 1 1 1 1 1 H
A. a = 1, b = − .
B. a = , b = .
C. a = , b = − .
D. a = 1, b = . C 2 2 2 2 2 2 Ư – Lời giải 083 4332133 Chọn A 1 Ta có lim f = = = + = + −
(x) f ( )1 ,lim f+ (x) lim+(ax b) a b x 1 → 2 x 1 → x 1 → 1
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi lim f = = ⇔ + = −
(x) f ( )1 lim f+ (x) a b x 1 → x 1 → 2 x khi x 1
Mặt khác f (x) < ′ ⇒ f ( − 1 ) =1, f ( + ′ ′ 1 ) = a
ax khi x > 1 1 a = 1 a + b =
Suy ra hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 = ⇒ 2 ⇔ 1 . 1 b a = − = 2 f ( x ∆ + ) 1 − f ( ) 1
Câu 9: Cho f (x) 2018 2 = x
−1009x + 2019x . Giá trị của lim bằng x ∆ →0 x ∆ A. 1009. B. 1008. C. 2018. D. 2019.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D f (∆x + ) 1 − f ( ) 1 Ta có lim = f ′( ) 1 ∆x→0 ∆x f (∆x + ) 1 − f ( ) 1
Mặt khác f ′(x) = 2017 2018x
− 2018x + 2019 suy ra lim = f ′( ) 1 = 2019 . ∆x→0 ∆x x
Câu 10: Cho hàm số f (x) = (
. Giá trị của f ′(0) là x − )
1 (x − 2)....(x − 2019) 1 1 A. − . B. . C. 2019 − ! . D. 2019!. 2019! 2019! Lời giải Chọn A x f x − f 0
x −1 x − 2 .... x − 2019 Ta có f ′(0) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = lim = lim x→0 x→ x − 0 0 x 1 1 = lim = . x→0 (x − )
1 (x − 2)...(x − 2019) 2019 − ! GV: TR
Câu 11: Cho f (x) = x(x + )
1 (x + 2)(x + 3)...(x + n) với *
n∈ . Tính f ′(0) . ẦN Đ n n +1 ÌN
A. f ′(0) = 0 .
B. f ′(0) = n .
C. f ′(0) = n!. D. f ′(0) ( ) = . H 2 CƯ Lời giải – 083 Chọn C 4332133 f x − f 0
x x +1 ... x + n Ta có f ′(0) ( ) ( ) ( ) ( ) = lim = lim = lim (x + )
1 (x + 2)...(x + n) x→0 x→0 x→ x − 0 0 x = 1.2...n = n!.
Câu 12: Cho hàm số f (x) = x − 2 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. f (2) = 0.
B. f (x) nhận giá trị không âm.
C. f (x) liên tục tại x = 2.
D. f (x) có đạo hàm tại x = 2. Lời giải Chọn D
x − 2 khi x ≥ 2 1 khi x > 2
Ta có f (x) = x − 2 =
⇒ f ′(x) =
−x + 2 khi x < 2 -1 khi x < 2
Do lim f (x) = lim f (x = nên hàm số liên tục tại điểm x = 2. + − ) 0 x→2 x→2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Mặt khác f ( + 2 ) ≠ f ( − ′
′ 2 ) nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 2.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f ′(6) = 2 Tính giá trị của biểu thức
f (x) − f (6) lim . x→6 x − 6 1 1 A. 2. B. . C. . D. 12. 3 2 Lời giải Chọn A
f (x) − f (6) Ta có lim = f ′(6) = 2. x→6 x − 6
2 f (x) − xf (2)
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2 . Tìm lim . 0 x→2 x − 2 A. 0. B. f ′(2) .
C. 2 f ′(2) − f (2) .
D. f (2) − 2 f ′(2) . Lời giải Chọn C
2 f (x) − xf (2) x f
( x) − f (2) + 2 f
(x)− xf (x) lim = lim G x→2 x→2 x − x V 2 − 2 : TRẦ
x f (x)− f (2) f x 2 − x N ( )( ) = lim + lim
= 2 f ′ 2 + lim − f x = 2 f ′ 2 − 2 f 2 Đ ( ) . x 2 x 2 x 2 ( ) ( ) ( ) → → → ÌN x − 2 x − 2 H CƯ
Câu 15: Cho hàm số f (x) 1 3 2
= x − 2 2x + 8x −1, có đạo hàm là f '(x) . Tập hợp những giá trị của x – 083 3 4332133
để f '(x) = 0 là { 2− 2} {2; 2} { 4− 2} {2 2} A. B. C. D. Lời giải Chọn D f (x) 2 '
= x − 4 2x + 8 f '(x) 2 ;
= 0 ⇔ x − 4 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 2 . Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y ' . Để y ' ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? A. 2 ;0 − B. 9 − ;0 9 2 C. 9 ; −∞ − ∪[0;+∞ 2 ) D. ; −∞ − ∪[0;+∞ ) 2 9 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2
y ' = 9x + 2x ; 2 2
y ' ≤ 0 ⇔ 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0. Vậy 2 S ;0 = − . 9 9
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f '(− ) 1 = 4 B. f '(− ) 1 =14 C. f '(− ) 1 =15 D. f '(− ) 1 = 24 Lời giải Chọn D
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥3 + 12𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 2 ⇒ 𝑓𝑓′(−1) = 24. Câu 18: Cho hàm số 1 3
y = x − (2m + ) 2
1 x − mx − 4 , có đạo hàm là y ' . Tìm tất cả các giá trị của m để 3
y ' ≥ 0 với x ∀ ∈ . A. 1 m 1; ∈ − − B. 1 m ∈ 1; − − 4 4 C. m ( ] 1 ; 1 ; ∈ −∞ − ∪ − +∞ D. 1 m ∈ 1; − 4 4 Lời giải Chọn B 2
y ' = x − 2.(2m + ) 1 x − m GV
Khi đó 𝑦𝑦′ ≥ 0; ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝛥𝛥′ = (2𝑚𝑚 + 1)2 + 𝑚𝑚 ≤ 0 ⇔ 4𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 + 1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ : TRẦ − 1 N 4 ĐÌN H Vậy 1 m ∈ 1; − −
là giá trị thỏa mãn bài toán. C 4 Ư – 083
Câu 19: Biết hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a > 0) có đạo hàm là f '(x) > 0 với x ∀ ∈ . Mệnh đề 4332133 nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac > 0 B. 2 b − 3ac ≥ 0 C. 2
b − 3ac < 0 D. 2 b − 3ac ≤ 0 Lời giải Chọn C
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 2𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 > 0; ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇔ �𝑎𝑎 > 0
𝛥𝛥′ < 0 ⇔ � 𝑎𝑎 > 0
𝑏𝑏2 − 3𝑎𝑎𝑐𝑐 < 0. 3
Câu 20: Hàm số y = x + x có đạo hàm bằng 2 3x +1 2 3x +1 2 3x + x 3 x + x A. 3 2 x + x B. 3 x + x C. 3 2 x + x D. 3 2 x + x Lời giải Chọn A ( 3x + x) 2 ' 3x +1 y ' = = 3 3
2 x + x 2 x + x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − )4 7 5
A. y = ( x − )3 ' 4 7 5
B. y = − ( x − )3 ' 28 7
5 C. y = − ( − x)3 ' 28 5 7
D. y = ( − x)3 ' 28 5 7 Lời giải Chọn C
y = ( x − ) ( x − )3 = ( x − )3 ' 4. 7 5 '. 7 5 28 7 5 .
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y = ( − x )5 3 1
A. y = x ( − x )4 2 3 ' 5 1
B. y = − x ( − x )4 2 3 ' 15 1
C. y = − x ( − x )4 2 3 ' 3 1
D. y = − x ( − x )4 2 3 ' 5 1 Lời giải Chọn B
y = ( − x ) ( − x )4 = − x ( − x )4 3 3 2 3 ' 5. 1 '. 1 15 1 .
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y = (x − x )2016 3 2 2
y ' = 2016(x − 2x )2015 3 2 y = (x − x )2015 3 2 ( 2 ' 2016 2 3x − 4x) A. B. 2015 3 2 2 3 2 2 G
y ' = 2016(x − 2x ) (3x − 4x)
y ' = 2016(x − 2x )(3x − 2x) V C. D. : TR Lời giải ẦN Đ Chọn B ÌN H 2015 2015 C 3 2 3 2 2 3 2 Ư
y ' = 2016.(x − 2x )'.(x − 2x )
= 2016.(3x − 4x).(x − 2x ) . – 083
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) tại điểm x = 0 4332133 A. f '(0) = 0 B. f '(0) = 2018 − !
C. f '(0) = 2018!
D. f '(0) = 2018 Lời giải Chọn C
f '(x) = (x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) + x(x − 2)...(x − 2018) +...+ x(x − ) 1 ...(x − 2017) f '(0) = (0 − ) 1 .(0 − 2)....(0 − 2018) Suy ra = 1.2.3....2018 = 2018!.
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) tại điểm x = 1004 − A. f '( 1004 − ) = 0 B. f '( 1004 − ) =1004! C. f '( 1004 − ) = 1004 − ! D. f (− ) = ( )2 ' 1004 1004! Lời giải Chọn D
f '(x) = (x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) + x(x + 2)...(x + 2018) +...+ x(x + ) 1 ...(x + 2017)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com f '( 1004 − ) = .x(x + )
1 .(x + 2)...(x +1003).(x +1005)...(x + 2018) Suy ra x= 1004 − = (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) = ( )2
1004 . 1003 . 1002 ... 1 . 2 ...1003.1004 1004! . 2 Câu 26: + −
Tính đạo hàm của hàm số x 2x 3 y = x + 2 2 2 2 A. 3 y + + + + + + ' =1+ B. x 6x 7 y ' = C. x 4x 5 y ' = D. x 8x 1 y ' = (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 Lời giải Chọn A
(2x + 2).(x + 2)−( 2x + 2x −3) 2 2 2
2x + 6x + 4 − x − 2x + 3 x + 4x + 7 y ' = = = (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 .
Câu 27: Đạo hàm của hàm số 2 y = 3x + 4 là A. 1 y ' = B. ' x y = C. 6 ' x y = D. 3 ' x y = 2 2 3x + 4 2 3x + 4 2 3x + 4 2 3x + 4 Lời giải Chọn D 2 G (3x +4)' V 6x 3x : y ' = = = T 2 2 2 R
2 3x + 4 2 3x + 4 3x + 4 Ầ . N ĐÌN
Câu 28: Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x là H C 2 Ư 6x + 2x −1 – y = 2 2 ' + − + + + 2 083 A. 8x 4x 1 y ' = B. 8x 4x 1 y ' = C. 4x 1 y ' = D. 2 x + x 2 2 2 4332133 2 x + x 2 x + x 2 x + x Lời giải Chọn D ( 2x + x ' 2 ) y ' = (2x − )
1 '. x + x + (2x − ) 1 . 2 2 x + x
(2x − )1.(2x + ) 2 2 2 1 2
2x + 2x + 4x −1 6x + 2x −1 = 2 x + x + = = 2 2 2 2 x + x 2 x + x 2 x + x . 3
Câu 29: Đạo hàm của hàm số 2 2 y x = − bằng x 2 2 A. 2 2 y ' 3 x = − 1 2 B. 2
y ' = 6 x − x − x 2 x x 2 2 C. 1 2 2 y ' 6 x 1 2 x = + − D. 2
y ' = 6 x − x − 2 x x x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y ' 3 x x 3 2x x = − − = + − 2 x x x x .
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số 2x −1 y = x + 2 + + A. 5 x 2 y ' = . B. 1 5 x 2 y ' = . . (2x − )2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 + C. 1 x + 2 y x ' = . D. 1 5 2 y ' = . . 2 2x −1
2 (x + 2)2 2x −1 Lời giải Chọn D ' − 5 2x 1 x + 2 (x + 2)2 1 5 x + 2 y ' = = = . . . 2x −1
2x −1 2 (x + 2)2 2x −1 2 2 x + 2 x + 2 = + + G Câu 31: Cho hàm số 2 y x
x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? V: T A. 2
y ' x +1 = y B. 2
2y ' x +1 = y C. 2
y ' x +1 = 2y D. 2 2y x +1 = y ' RẦN Lời giải ĐÌNH Chọn B CƯ – 2x x +1 + x 083 (x x ) 2 ' 2 1 1 + + + 2 2 2 2 x +1 x +1 y y 4332133 y ' = = = = = 2 2 2 2y 2 2 x + x +1 y 2y x +1 2 x +1 Do đó 2
2y ' x +1 = y . 3
Câu 32: Cho hàm số ( ) x f x =
. Phương trình f '(x) = 0 có tập nghiệm S là x −1 A. 2 S 0; = B. 2 S = − ;0 C. 3 S = 0; D. 3 S = − ;0 3 3 2 2 Lời giải Chọn C 2 3 x = 0 3 2 ( ) 3x (x − ) 1 − x 2x − 3 ' x f x 0 = = = ⇔ . (x − )2 (x − )2 3 1 1 x = 2
Câu 33: Cho hàm số y = 2 −
x + 3x . Tập nghiệm S của bất phương trình y ' > 0 là
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com A. S = ( ; −∞ +∞) B. 1 S ; = −∞ C. 1 S = ;+∞ D. S = ∅ 9 9 Lời giải Chọn C 1 1 − 1 − + 3 ' = 2. − + 3 = + 3 x y = > 0 2 x x x 1
⇔ 3 x >1 ⇔ x > . 9
Câu 34: Cho hàm số f (x) 2 = 5
− x +14x − 9 . Tập hợp các giá trị của x để f '(x) < 0 là A. 7 ; +∞ B. 7 ; −∞ C. 7 9 ; D. 7 1; 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn C Điều kiện 2 9 5
− x +14x − 9 > 0 ⇔ 1< x < 5 Khi đó f (x) 7 ' < 0 ⇔ 5
− x + 7 < 0 ⇔ x > 5 GV : T
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 7 9 ; . R 5 5 Ầ N ĐÌN
f (x) − f (2) H
Câu 35: Cho hàm số f (x) 2 3 2018
= x + x + x +...+ x . Tính lim x→2 C x − 2 Ư – A. 2018 2017.2 +1 B. 2017 2019.2 +1 C. 2018 2017.2 −1 D. 2017 2018.2 +1 083 Lời giải 4332133 Chọn A
f (x) − f (2) lim = f '(2) x→2 x − 2 2018 2019 − − Mặt khác ( ) 2 3 2018 1 = + + + ...+ = . x x x f x x x x x x = 1− x 1− x ( 2018 1− 2019x )(1− x)+( 2019 x − x ) 2018 2019 − + − Do đó f (x) 2019.2 1 2 2 ' = ⇒ f ' 2 = 2 ( ) (1− x) 1 2018 = 2017.2 +1.
Câu 36: Cho f (x) là hàm số thỏa mãn f ( ) 1 = f '( ) 1 =1. Giả sử ( ) 2
g x = x f (x) . Tính g '( ) 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
g (x) = x f (x) 2 ' 2 .
+ x . f '(x) Suy ra g '( ) 1 = 2 f ( ) 1 + f '( ) 1 = 3 .
Câu 37: Tính đạo hàm của hàm số y sin 3 x . 6 A. y 3cos 3 x y . B. ' 3cos 3x. 6 6 C. y cos 3 x y . D. ' 3sin 3x. 6 6 Lời giải Chọn B ′ y π π π 3x .cos 3x 3.cos 3x ′ = − − = − − . 6 6 6
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 y sin x . 2 3 A. 2 y 1 x cos x y x . B. 2 cos x . 3 2 3 C. 1 y 1 x cos 3x. D. 2
y x cos x . G 2 3 2 3 V: T Lời giải RẦN Đ Chọn A ÌN H ′ C 1 π π 1 π π Ư 2 2 y′ = − − x .cos − x = − .( 2 − x) 2 2 .cos − x = . x cos − x . – 2 3 3 2 3 3 083 4332133
Câu 39: Tính đạo hàm của hàm số 2
y x tan x x . A. 1
y 2x tan x . B. 1
y 2x tan x . 2 x x 2 2 C. x 1 y x 1 2x tan x .
D. y 2x tan x . 2 cos x 2 x 2 cos x x Lời giải Chọn C y (x )′ x ( x)′ ′ = + x + ( x) 2 2 2 ′ x 1 tan tan . = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x
Câu 40: Tính đạo hàm của hàm số 2 y 2cos x . A. 2
y 2sin x . B. 2
y 4x cos x . C. 2
y 2xsin x . D. 2
y 4xsin x . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com y′ = − ( 2 x )′ 2 2 2 2. .sin x = 2.2 − . x sin x = 4 − .
x sin x .
Câu 41: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y tan . 2 A. 1 y 1 1 1 y y y 2 x . B. 1 2cos 2 x . C. 1 cos 2 x . D. 1 2cos 2 x . 1 cos 2 2 2 2 Lời giải Chọn A x 1 ′ + x +1 ′ 2 1 y′ = tan = = . 2 2 x + 1 2 x + 1 cos 2cos 2 2
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2
y sin 2 x . A. 2x 2 2 y x cos 2 x . B. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x C. x 2 y x 1 cos 2 x . D. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x Lời giải GV: Chọn C T RẦN 2 ′ ′ 2 + x Đ 2 2 2 x 2 ÌN y′ = ( 2+ x ) ( ) cos 2 + x = cos 2 + x = cos 2 + x . 2 2 H 2 2 + x 2 + x CƯ – y = x +
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số cos 2 1 . 083 4332133 A. sin 2x +1 y′ x + x + = − . B. sin 2 1 y′ =
. C. y′ = −sin 2x +1 . D. sin 2 1 y′ = − 2x +1 2x +1 2 2x +1 . Lời giải Chọn A ′ ′ +
y′ = −( x + ) (2x )1 sin 2x +1 2 1 sin 2x +1 = sin 2x +1 = − . 2 2x +1 2x +1
Câu 44: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . A. ′ = − x y . B. ′ = x y . 2 2 2 x +1sin x +1 2 2 2 x +1sin x +1 C. 1 y′ = − . D. 1 y′ = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com ( ′ x 2 x +1) 2 x +1 x y′ = − = − = − . 2 2 2 2 2 2 2 sin x +1 sin x +1 x +1.sin x +1 x +
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số sin cos = x y . sin x − cos x 2 2 A. sin 2 ′ x − = − x y . B. sin cos ′ = x y .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 − C. 2 2sin 2 ′ = x y . D. 2 y′ = − .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 Lời giải Chọn D π 2 sin x + + π Ta có sin x cos x 4 y = = = − tan x + . sin x − cos x 4 π 2 cos x − + 4 − Suy ra 1 1 2 y′ = − = − = . 2 π
cos x − sin x
(sin x −cos x)2 2 cos x + 4 2 GV 2 : y = − T
Câu 46: Tính đạo hàm của hàm số . R tan (1− 2x) ẦN Đ 4 y′ 4 y′ 4 y′ x ÌN A. = . B. = − . C. = − . D. 2 − − 2 − H sin (1 2x) sin (1 2x) sin (1 2x) CƯ 4 – y′ = − . 2 083 sin (1− 2x) 4332133 Lời giải Chọn A 1 − 2 − (tan(1− 2x))′ 4. 2 cos x(1− 2x) 4 y − ′ = − = = . 2 tan (1− 2x) 2 tan (1− 2x) 2 sin (1− 2x) π
Câu 47: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = 5sin x −3cos x tại điểm x = . 2 π π π π A. f ′ = 3 . B. f ′ = 3 − . C. f ′ = 5 − . D. f ′ = 5 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
f (x) (5sin x 3cos x)′ 5(sin x)′ 3(cos x)′ ′ = − = −
= 5cos x + 3sin x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Suy ra f π π π ′ = 5cos + 3sin = 3. 2 2 2
Câu 48: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn hệ thức 2
y′ + 2y + 2 = 0 ?
A. y = sin 2x .
B. y = tan 2x .
C. y = cos 2x .
D. y = cot 2x . Lời giải Chọn D Với 1
y = tan 2x ⇒ y′ = 2 . 2 cos 2x Do đó 2 2 2 4 y′ + 2y + 2 = + 2tan 2x + 2 = 2 2 cos 2x cos 2x − − Với 1
y = cot 2x ⇒ y′ = .2 suy ra 2 2 2 y′ + 2y + 2 =
+ 2cot 2x + 2 = 0 . 2 sin 2x 2 sin 2x
Câu 49: Cho f (x) 3
= sin ax , a > 0 . Tính f ′(π) . A. f ′(π) 2
= 2sin (aπ)cos(aπ) .
B. f ′(π) = 0 . C. f ′(π) 2 = 3a sin (aπ) . D. f ′(π) 2
= 3a sin (aπ)cos(aπ). Lời giải Chọn D GV: T f ′(x) 2
= sin (ax)(sin ax)′ 2 3
= 3sin (ax)(a cos ax) RẦN Đ = ÌN Câu 50: Cho hàm số 2
y sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? H C Ư
A. 2 y′+ y′′ = 2 sin 2x π − .
B. 4y − y′′ = 2 . – 4 083
C. 4y + y′′ = 2 .
D. 2 y′+ y′.tan x = 0 . 4332133 Lời giải Chọn C
y′ = sinx .cosx = sin x, y′′ = cos x = ( 2 − sin x) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 = 2 − 4 sin x Do đó 2 2
4y + y′′ = 4 sin x+ 2 − 4 sin x = 2 . − Câu 51: Xét hàm số 1 cos x y =
khi x ≠ 0 và f (x) = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x
A. f (x) là một hàm số lẻ.
B. f (x) là một hàm tuần hoàn chu kì 2π.
C. f (x) có đạo hàm tại x = 0 bằng 0.
D. f (x) không có đạo hàm tại x = 0 . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
(− ) 1−cos(−x) 1−cosx y x = =
khi x ≠ 0 và f (0) = 0. Do đó, f (x) là một hàm số chẵn, (−x)2 2 x
f (x) không là hàm số tuần hoàn 2 2 2 x x sin sin − Mặt khác 1 cosx 2 1 2 1 lim y = lim = lim = lim
= nên hàm số không liên tục tại 2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 x x 2 x 2 4 2 2
điểm x = 0 do đó f (x) không có đạo hàm tại x = 0 .
Câu 52: Đạo hàm của hàm số y = log 4x +1 là 3 ( ) 4 1 A. ln 3 y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. 4ln 3 y′ = . 4x +1 (4x + )1ln3 (4x + )1ln3 4x +1 Lời giải Chọn B (4x ) 1 ′ + 4 y′ = ( = . 4x + ) 1 ln 3 (4x + ) 1 ln 3
Câu 53: Đạo hàm của hàm số 2017x y = là x G 1 V .2017x y x − ′ = . B. 2017x y′ = C. 2017 y′ = . D. : A. T ln 2017 RẦ x N y′ = 2017 .ln 2017 . ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn D – x
Ta có y′ = 2017 .ln 2017 . 083 4332133
Câu 54: Cho hàm số ( ) = ( + ) 1 x f x x
e . Tính f ′(0) A. 2e . B. 0 . C. 1. D. 2 Lời giải Chọn D Ta có: ( ) = ( + )
1 x ⇒ '( ) = ( + 2) x f x x e f x x
e ⇒ f '(0) = 2 .
Câu 55: Tính đạo hàm của hàm số = 3x y + log x . A. x 1 y′ = 3 ln3+ . B. 1 y′ = log x + . x ln10 3 x ln3
C. y′ = log x + ln 3. D. 1 ln x y − ′ = . 3 ln 3 Lời giải Chọn A = 3x y + log x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x 1 y′ = 3 ln 3+ . x ln10
Câu 56: Tìm tập xác định D của hàm số 2
y = 4 − log x . 2 A. D = [ 2; − 2] .
B. D = (0;16]. C. D = (0;4] . D. 1 D ;4 = . 4 Lời giải Chọn D x > 0 x > 0 x > 0 Hàm số có nghĩa ⇔ ⇔ ⇔ . 2 1 log x ≤ 4 2 − ≤ log x ≤ 2 ≤ x ≤ 4 2 2 4
Câu 57: Cho hàm số f x = ( 4 ( ) ln x + )
1 . Đạo hàm f ′( ) 1 bằng. A. 2 . B. ln 2 . C. 1. D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn C 3 Ta có: ′( ) 4x f x = ⇒ f ′ 1 = 2 . 4 ( ) x +1 G 2 V
Câu 58: Tính đạo hàm của hàm số = ( − 2 + 2)3x y x x . : TR x 2 x x Ầ
A. y′ = (2x − 2)3 + (x − 2x + 2)3 ln3 .
B. y′ = (2x − 2)3 ln 3. N ĐÌN C. 2 ′ = .3x y x .
D. ′ = (2 − 2)3x y x . H C Lời giải Ư – 083 Chọn A 4332133 = ( − ) x + ( 2 ' 2 2 3 − 2 + 2)3x y x x x ln 3.
Câu 59: Đạo hàm của hàm số 1 y = là. 2x A. 2 x y − ′ = ln 2. B. 1 y′ = − . C. ln 2 y′ = − . D. 1 y′ = − . 2x 2x (2x)2 Lời giải Chọn C 1 − x − x ln 2 y = = 2 ⇒ y′ = 2 − .ln 2 = − . 2x 2x
Câu 60: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 x y − = . 1−x 1−x − A. 2 y′ = − 2 . B. ln 2 1 ′ = 2 −x y . C. ln 2 1 ′ = 2 −x y . D. y′′ = . 2 1− x 2 1− x 2 1− x 2 1− x Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn C − ' = ( 1− )' 1−x ln 2 1 .2 .ln 2 = 2 −x y x . 2 1− x
Câu 61: Tính đạo hàm của hàm số tan 2 x y = . tan x 1 − A. tan . x 2 y′ = . B. tan x 1 y tan .x2 − ′ = ln 2 . ln 2 tan x tan x C. 2 ln 2 y′ = . D. 2 ln 2 y′ = . 2 sin x 2 cos x Lời giải Chọn D Ta có: tan ′ = 2 x ln 2(tan )′ 1 tan = 2 x y x ln 2 . 2 cos x
Câu 62: Cho hàm số = ( ) = ln (2.ex y f x
+ m) có f ′(− ) 3
ln 2 = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. m∈(1;3). B. m∈( 5; − 2 − ).
C. m∈(1;+∞) . D. m∈( ; −∞ 3) . Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2.ex + m > 0 . GV: T x RẦ Ta có f ′(x) 2e = . N x + 2e m ĐÌNH −ln 2 1 3 1 2e 3 C
Theo đề bài ta có f ′(− ) 3 ln 2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ m = − . Ư 2 −ln 2 2e + m 2 1+ m 2 3 – 083 Vậy m∈( ; −∞ 3) . 4332133
Câu 63: Cho hàm số = ( 2 ln x y
e + m ) . Với giá trị nào của m thì y′( ) 1 1 = . 2
A. m = .e
B. m = − .e C. 1 m = .
D. m = ± e. e Lời giải Chọn D x Ta có e ′ = ⇒ ′ 1 e y y = . x 2 ( ) 2 e + m e + m Khi đó y′( ) 1 e 1 2 1 = ⇔
= ⇔ 2e = e + m ⇔ m = ± e . 2 2 e + m 2
Câu 64: Hàm số y = ( 2
ln x − 2mx + 4) có tập xác định D = khi các giá trị của tham số m là: A. m < 2. B. m < 2 − hoặc m > . 2 C. m = 2 . D. 2 − < m < 2 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn D Hàm số y = ( 2
ln x − 2mx + 4) có tập xác định khi 2
x − 2mx + 4 > 0, x ∀ ∈ ( ) 1 ( ) a =1> 0 2 1 ⇔
⇔ m − 4 < 0 ⇔ 2 − < m < 2. ∆′ < 0
Câu 65: Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau
mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x ∈ )
ông Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng. A. 145 triệu đồng B. 154 triệu đồng C. 150 triệu đồng D. 140 triệu đồng Lời giải Chọn A 3
Theo công thức lãi kép, số tiền lãi ông Tú nhận được sau 6,5 3 năm là: y x 1 = + − x 100 = ( )3 1,065 −1 x . Ta có: ( )3 30 1,065 −1 x = 30 ⇔ x = ≈144,27 triệu. (1,065)3 −1
Vậy ông Tú cần gửi ít nhất 145 triệu để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy GV
giá trị 30 triệu đồng. : TRẦ x x N
Câu 66: Hàm số y = log 4 − 2 + m có tập xác định là 2 ( ) khi ĐÌNH A. 1 m < . B. m > 0. C. 1 m ≥ . D. 1 m > . CƯ 4 4 4 – Lời giải 083 4332133 Chọn D
Điều kiện: 4x − 2x + m > 0 .
Hàm số đã cho có tập xác định là khi và chỉ khi 4x − 2x + m > 0 (*) x ∀ ∈ . Đặt 2x
t = với t > 0 , khi đó bất phương trình (*) trở thành: 2t − t + m > 0 t ∀ > 0 . Xét hàm số ( ) 2
f t = t − t , t
∀ > 0 ta có f ′(t) = 2t −1; f ′(t) 1 = 0 ⇔ t = . 2
Lập bảng biến thiên ta tìm được f (t) 1 1 min = f = − . ( 0;+∞) 2 4
Để bất phương trình 2t − t + m > 0 , t ∀ > 0 thì 1 1
−m < − ⇔ m > . 4 4 Cách khác: Trường hợp 1: 1
∆ = 1− 4m < 0 ⇔ m > thì 2
t − t + m > 0 t
∀ ∈ (thỏa mãn yêu cầu bài toán) 4 1 Trường hợp 2: 1
∆ = 0 ⇔ m = thì phương trình 2 1
t − t + = 0 ⇔ t = (không thỏa mãn yêu 4 4 2 cầu bài toán).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com b Trường hợp 3: 1
∆ > 0 ⇔ m < . Ta thấy − =1 > 0 nên phương trình 2
t − t + m = 0 không 4 a
thể có hai nghiệm âm. Tức là 2t − t + m không thề luôn dương với mọi t > 0. Vậy 1 m > . 4 B. TỰ LUẬN
Câu 67: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x . Giải bất phương trình f '(x) ≥ f (x) Lời giải f −
'(x) ≥ f (x) 2x 2 2 ⇔
> x − 2x (với 2
x − 2x > 0 ) 2 2 x − 2x x > 2 x > 2 x < 0 ⇔ ⇔ x < 0 (vô nghiệm). 2 2
x −1 > x − 2x
0 > x − x +1
Câu 68: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ℝ. Xét các hàm số g (x) = f (x) − f (2x) và
h(x) = f (x) − f (4x) . Biết rằng g '( )
1 =18 và g '(2) =1000 . Tính h'( ) 1 Lời giải
g '(x) = f '(x) − 2 f '(2x) và h'(x) = f '(x) − 4 f '(4x) GV: T f '( ) 1 − 2 f '(2) =18 f '( ) 1 − 2 f '(2) =18 RẦ Do g '( )
1 =18 và g '(2) =1000 nên ⇔ N f '
(2) − 2 f '(4) =1000 2 f ' (2)− 4 f '(4) = 2000 ĐÌNH
Cộng vế theo vế ta được f '( )
1 − 4 f '(4) = 2018 ⇒ h'( ) 1 = 2018 . CƯ – 083 Câu 69: Cho hàm số y = f (x) 1 = . Tính giá trị của biểu thức 4332133 x + x +1 P = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2018) Lời giải ( ) x +1 − x f x = = x +1 − x x +1− x Suy ra f (x) 1 1 1 1 1 ' = − = − − 2 x 1 2 x 2 x x 1 + + Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019 P − − = − + − + ...+ − = − 1− = 2 1 2 2 3 2018 2019 2 2019 2 2019
Câu 70: Cho hàm số f (x) thỏa mãn '( ) b f x = ax + , f (− ) 1 = 2, f ( ) 1 = 4 , f '( ) 1 = 0 . 2 x 2 Viết ( ) ax b f x =
− + c . Tính abc 2 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải f '( ) 1 a b 0 = + = a = 1
Ta có f (− ) a b 5 1 = − + c = 2 ⇔ b = 1 − ⇒ abc = − . 2 1 − 2 5 ( )1 a b 4 c f c = = − + = 2 2 1 + Câu 71: Cho 2
y = x − 2x + 3 , ' ax b y = . Khi đó giá trị .
a b bằng bao nhiêu? 2 x − 2x + 3 Lời giải (x −2x+3)' 2 2x − 2 x −1 y ' = = = 2 2 2
2 x − 2x + 3 2 x − 2x + 3 x − 2x + 3
Do đó a =1,b = 1 − ⇒ ab = 1 − .
Câu 72: Cho hàm số ( ) sin 4x cos 4 cos 3 sin x f x x x = + − +
. Tìm nghiệm của phương trình 4 4 π
f ′(x) = 0 thuộc 0; 2 Lời giải GV: cos x . sin x. T f ′(x) 4 4 4 4 =
− sinx− 3 cosx − + R Ầ 4 4 N ĐÌN
= cos 4 x− sinx− 3 cosx+ 3 sin 4x H CƯ π π – ′ = ⇔ + = + ⇔ + = + Khi đó f (x) 0
3 sin 4x cos 4 x sinx 3 cosx 2 sin4x 2 sin x 083 6 3 4332133 π π 4x x k2 + = + + π π x = + kπ 6 3 18 ⇔ π π π 2 4 + = − + + π π 2 l. x x l. π x = + 6 3 10 5 π π π
Kết hợp x 0; x ; ∈ ⇒ = . 2 18 2
Câu 73: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2mx + 4) có tập xác định là Lời giải Điều kiện: 2
x − 2mx + 4 > 0 (*)
Để (*) đúng với mọi x∈ thì 2
∆′ = m − 4 < 0 ⇔ 2 − < m < 2.
Câu 74: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% / năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (
người ta gọi đó là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó cần gửi trong
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
khoảng thời gian ít nhất bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi). Lời giải
Ta có công thức tính = (1+ )n A a
r với A là số tiền gởi sau n tháng, a là số tiền gởi ban đầu, r là lãi suất. 6 6 250.10 100.10 (1 0,07)n = + 1,07n ⇔
= 2,5 ⇔ n = log 2,5 =13,542. 1,07
Câu 75: Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, AB là một vecto chỉ phương của đường thẳng
y = 0. Các điểm A , B , C lần lượt nằm trên đồ thị hàm số y = log x ; y = 2log x ; y = 3log x a a a . Tìm a . Lời giải
Do diện tích hình vuông là 36 cạnh bằng 6 Gọi A( ;
m log m ∈ y =
x B(m − 6;log m và C (m − 6;6 + log m a ) a ) a ) loga
Vì B(m − 6;log m ∈ y = x log m = m − (1) a 2loga ( 6) a ) 2loga
Vì C (m − 6;6 + log m ∈ y =
x 6 + log m = m − (2) a 3loga ( 6) a ) 3loga Giải ( )
1 m = 9 Thay vào (2) 6 a = 3 x
Câu 76: Cho hàm số f (x) 2 = . Tính f ( ) 1 19 0 f ... f + + + 2x + 2 10 10 G Lời giải V: T 2a 2b R
Với a + b = 2 , ta có f (a) + f (b) = + Ầ a b N 2 + 2 2 + 2 Đ a b a a b b a+b a a+b b a b ÌN 2 .2 + 2.2 + 2 .2 + 2.2 2 + 2.2 + 2 + 2.2 4 + 2.2 + 4 + 2.2 H = = = = 1. a b a+b a b a b C (2 +2)(2 +2) 2 + 2.2 + 2.2 + 4 4 + 2.2 + 2.2 + 4 Ư – 083
Do đó với a + b = 2 thì f (a) + f (b) =1. 4332133
Áp dụng ta được f ( ) 1 19 0 f ... f + + + 10 10 = f ( ) 1 19 2 18 9 11 0 + f + f + f + f + ...+ f + f + f ( ) 1 10 10 10 10 10 10 1 2 59 = + 9.1+ = . 3 4 6
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
Document Outline
- Bài 7.1_Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm_Lời giải
- CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM
- BÀI 1. ĐẠO HÀM
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- Bài 7.2_Các quy tắc tính đạo hàm_Lời giải
- BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
- Dạng 1. Đạo hàm của hàm đa thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Đạo hàm của hàm phân thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. Đạo hàm của hàm chứa căn
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 4. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng giác
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 5: Giải phương trình lượng giác
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 6. Tính đạo hàm mũ và loga
- 1. Phương pháp:
- 2. Các ví dụ rèn luyện lĩ năng
- Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 8: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
- Bài 7.3_Ôn tập chương_Lời giải
- BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
- A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
- B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
- BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG VII
- A. TRẮC NGHIỆM
- B. TỰ LUẬN
- BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII