-
Thông tin
-
Quiz
Bài giảng đạo hàm Toán 11 KNTTvCS
Tài liệu gồm 101 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề đạo hàm trong chương trình môn Toán 11
Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT) 48 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM
BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM THUẬT NGỮ •
Đạo hàm tại một điểm •
Đạo hàm trên một khoảng •
Hệ số góc của tiếp tuyến • Vận tốc tức thời •
Tốc độ biến đổi tức thời
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG •
Nhận biết một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm. •
Nhận biết định nghĩa đạo hàm. Tính đạo hàm cùa một số hàm đơn giản bằng định nghĩa. •
Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
một điểm thuộc đồ thị. •
Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.
Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark
81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó
chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM GV:
a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng T RẦ
HĐ1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một N Đ
hàm số cùa thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động). ÌNH CƯ – 0834332133
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
s(t) − s(t0 ) b) Giới hạn lim cho ta biết điều gì? t→t0 t − t0 Lời giải
s(t) − s(t0 )
a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: v = av t − t0
s(t) − s(t
s(t) − s(t0 ) 0 ) b) Giới hạn lim cho ta biết v = lim t→t0 t − t t−t t − t 0 0 0
b) Cường độ tức thời
HĐ2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , có dạng Q = Q(t) .
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Q(t) − Q(t0 ) b) Giới hạn lim cho ta biết điều gì? t→t0 t − t0 Lời giải
Q(t) − Q(t0 )
a) Cường độ trung bình I = t − t0
b) Giới hạn này cho biết cường độ dòng điện tại thời điểm t . 0
Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng
f (x) − f (x0 ) lim
, ở đó y = f (x) là một hàm số đã cho. x→ 0 x x − x0
Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a,b) và điểm x ∈( ; a b) 0 .
f (x) − f (x0 )
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số x→ 0 x x − x0
f (x) − f x
y = f (x) tại điểm x ′ ′ 0 ′ =
0 , kí hiệu bởi f ( x
(hoặc y (x , tức là f (x lim . 0 ) ( ) 0 )) 0 ) x→∞ x − x0
Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈( ; a b) 0
, ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính f (x) − f (x . 0 ) GV: T
f (x) − f (x0 ) RẦ
2. Lập và rút gọn tỉ số
với x ∈(a;b), x ≠ x0 . N x − x 0 ĐÌN − H
f (x) f (x0 ) C 3. Tìm giới hạn lim . Ư x→ 0 x x − x0 – 08
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = f (x) = x + 2x tại điểm x =1. 34 0 33 Lời giải 21 33 Ta có: 2 2
f (x) − f (1) = x + 2x − 3 = x −1+ 2x − 2 = (x −1)(x + 3) .
f (x) − f (1) (x −1)(x + 3) Với x ≠ 1, = = x + 3 . x −1 x −1
f (x) − f (1) Tính giới hạn: lim = lim(x + 3) = 4 . x 1 → − x 1 x 1 → Vậy f (1 ′ ) = 4 .
Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:
f (x) − f (1) ( 2x +2x)−3 (x −1)(x + 3) f (′1) = lim = lim = lim = lim(x + 3) = 4. x 1 → − x 1 → − x 1 → − x 1 x 1 x 1 x 1 →
Chú ý. Đặt h = x − x x =1
0 , khi đó đạo hàm của hàm số đă cho tại điểm 0 có thể tính như sau: 2
f (1+ h) − f (1)
(1+ h) + 2(1+ h) − 2 ( 2 1 + 2) (h +4h+3)−3 f (1 ′ ) = lim = lim = lim = lim(h + 4) = 4 . h→0 h→0 h h h→0 h→0 h
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f x + h − f x
Chú ý f ′(x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) h→0 h
Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = −x + 2x +1 tại điểm x = 1 − 0 . Lời giải Ta có 2
y = −x + 2x +1⇒ y′ = ( 2 − x + 2)
Để tính đạo hàm tại điểm x = 1 − , ta thay x = 1
− vào y ' : y (′ 1 − ) = ( 2 − ( 1 − ) + 2) = 4 0
Vậy đạo hàm của hàm số 2
y = −x + 2x +1 tại điểm x = 1 − bằng 4 . 0
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
HĐ3. Tính đạo hàm f ′(x tại điểm x bất kì trong các trường hợp sau: 0 ) 0
a) f (x) = c (c là hằng số);
b) f (x) = x . Lời giải
a) Với hàm số f (x) = c , với c là hằng số bất kỳ, ta có f (′x) = 0 vì đạo hàm của một hằng số bất kỳ luôn
bằng 0 . Do đó, f ′(x = 0 với mọi x . 0 ) 0
b) Với hàm số f (x) = x , ta có f (′x) =1 với mọi x . Do đó, f ′(x =1 với mọi x . 0 ) 0
Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ;
a b) nếu nó có đạo hàm f (′x) tại mọi điểm x
thuộc khoảng đó, kí hiệu là y′ = f (′x) .
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số 2
y = cx , với c là hằng số. GV: Lời giải T RẦ 2 2 cx − cx
c x − x x + x N 0 0 0 ′ = = = + = + =
Với x bất kì, ta có: f (x lim lim lim c x x c x x 2cx . 0 ) ( )( ) ( 0 ) ( 0 0) Đ 0 0 x→ 0 x − x x x → 0 x − x x x → 0 x ÌN 0 0 H C Vậy hàm số 2
y = cx (với c là hằng số) có đạo hàm là hàm số y′ = 2cx Ư – 08
Chú ý. Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f (t) thì v(t) = f (′t) là vận tốc tức thời của vật tại 34 thời điểm t . 33 21
Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bỏ qua sức cản của không khí và làm tròn kết quả đến 33
chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải 1
Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là s = f (t) 2
= gt ( g là gia tốc rơi tự do, lấy 2 2
g = 9,8 m / s ).
Do vậy, vận tốc của qảu bóng tại thời điểm t là v(t) = f '(t) = gt = 9,8t .
Mặt khác, vì chiều cao của tòa tháp là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm t1, với 461,3
f (t = 461,3. Từ đó, ta có: 2
4,9t = 461,3 ⇔ t = (giây). 1 ) 1 1 4,9 461,3
Vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là v(t = 9,8t = 9,8. ≈ 95,1 m / s 1 ) 1 ( ). 4,9
Luyện tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com a) 2 y = x +1;
b) y = kx + c (với k , c là hằng số). Lời giải a) 2
y = x +1 ⇒ y′ = 2x + 0 = 2x
b) y = kx + c ⇒ y′ = k + 0 = k
IV. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
HĐ4. Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) và điểm P(x ; f x ∈ C . 0 ( 0)) ( )
Xét điểm Q( ;x f (x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x0.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P , Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H9.3). Tìm hệ số góc
k của cát tuyến PQ . PQ b) Khi x → x Q( ;x f x )
0 thì vị trí của điểm
( ) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k có giới hạn hữu hạn PQ
k thì có nhận xét gì về vị trí
giới hạn của cát tuyến QP?
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm
(x ; y và (x ; y , với x ≠ x , là 2 2 ) 1 1 ) 1 2 y − y 2 1 k = x − x 2 1 Lời giải
a) Hệ số góc của đường thẳng PQ ′(
f (x) − f x f x = lim 0 ) ( 0) x→ 0 x x − x0
b) Khi x → x thì vị trí của điểm Q( ;
x f (x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x , f x và khi 0 ( 0) 0
x = x hai điểm này sẽ trùng nhau. 0
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ
tiến đến gần vị trí của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P(x , f x . Nói cách khác, khi điểm 0 ( 0))
Q(x, f (x)) tiến đến điểm P(x , f x , thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến vị trí của tiếp tuyến tại điểm 0 ( 0))
P(x , f x . Vì vậy, giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P(x , f x 0 ( 0)) 0 ( 0)) GV: T
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm P(x ; f x là đường thẳng đi qua p với hệ số góc 0 ( 0)) RẦN
f (x) − f (x0 ) Đ k = lim
nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k = f '(x . Điểm P gọi là tiếp 0 ) ÌN x→ 0 x x − x0 H CƯ điểm. – 08
Nhận xét. Hệ số góc tiếp tuyến của đò thị hàm số y = f (x) tại điểm P(x ; f x là đạo hàm f ′(x) 0 ( 0)) 34 33 . 21 33
Ví dụ 4. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ x = 1 − 0 . Lời giải Ta có ( 2
x )′ = 2x nên y'(− ) 1 = 2.(− ) 1 = 2 − .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ x = 1 − − 0 là k = 2 . 1
Luyện tập 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ x = 0 . 2 Lời giải Đặt 1 x = x = 0 2
y′ = x y′( 1 2 x = 2⋅ =1 0 ) 2
b) Phương trình tiếp tuyến
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com HĐ5. Cho hàm số 2
y = x có đồ thị parabol (P) .
a)Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x =1 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó. Lời giải
a) y′(x = y (′1) = 2.1 = 2 0 )
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ x =1 là 2. 0 b) 2 y = (1) =1 0
Do đó, điểm tiếp xúc có tọa độ là (1,1) .
Vì hệ số góc của tiếp tuyến là m = 2 .
y −1 = 2(x −1) ⇔ y = 2x −1
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ x =1 là y = 2x −1. 0
Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta rút ra được kết luận sau:
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
P(x ; y là y − y = f ′ x x − x , trong đó y = f x . 0 ( 0) 0 ( )( 0 ) 0 0 )
Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) 2
: y = 3x tại điểm có hoành độ x =1 0 . Lời giải GV:
Từ Ví dụ 2, ta có y ' = 6x . Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là k = f '( ) 1 = 6 . T RẦ = − = − = − N
Ngoài ra, ta có f ( )
1 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3 6(x ) 1 hay y 6x 3 . ĐÌN
Luyện tập 4. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) 2 : 2
− x tại điểm có hoành độ x = 1 − . H 0 CƯ Lời giải – 08 y′ = 4 − x . 34 33
Đạo hàm của (P) tại x = 1 − : y′(x = 4 − ( 1) − = 4 0 ) 21 0 33
Với m = y′(x = 4, x = 1, − y = 2
− , ta có: y + 2 = 4(x +1) hay y = 4x + 2 . 0 ) 0 0
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm ( 1, − 2 − ).
Vận dụng: Người ta xây một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400
m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10° (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa
phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến
mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Hướng dẫn. Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt cảu cây cầu có hình dạng parabol dạng 2
y = −ax (với a là hằng số dương). Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là k = y ' = 2 − ax, 200 − ≤ x ≤ 200.
Do đó, k = 2a x ≤ 400a . Vì độ dốc của mặt cầu không quá 10° nên ta có: 400a ≤ tan10°. Từ đó tính
được chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường. Lời giải
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đầu mút của cây cầu.
Ta có OB = OA = 200 m .
Theo đề bài, độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10° , do đó độ lệch h giữa đỉnh của cầu và mặt phẳng
AB không vượt quá: h OB tan (10° = ⋅ ) ≈ 34,64m.
Do đó, độ cao giới hạn của cây cầu là h + 200 ≈ 234.6 (m).
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP GV: T
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa RẦN 1. Phương pháp ĐÌN
Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈( ;
a b), ta thực hiện theo các bước sau: H 0 CƯ
1. Tính f (x) − f (x . 0 ) – 0834
f (x) − f (x0 )
2. Lập và rút gọn tỉ số
với x ∈(a;b), x ≠ x . 33 x − x 0 21 0 33
f (x) − f (x0 ) 3. Tìm giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số 2 y = 2x + x + 1 tại x . 0 = 2 Lời giải
f (x) − f(x0 ) = f(x) − f(2) = 2 2x + x + 1−11 = 2 2x + x −10 5 f (x) f (2) 2 x 2 x 2 ( ) − + − 2x + x −10 2 = = = 2x + 5 x − 2 x − 2 x − 2 f (x) − f (2) Ta có lim = lim (2x + 5) = 9 . x→2 x − 2 x→2 Vậy f'(2) = 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số 2
y = x + 3 tại ; x x ∀ ∈ Lời giải Ta có: Với x bất kì 0
f (x) − f (x0 ) f ′(x = 0 ) lim x→ 0 x x − x0 2 2 x + 3 − x + 3
x − x x + x 0 ( 0 ) ( 0 ) 2x x 0 0 = lim = lim = = x→ 0 x x x − x → 0 x 0 (x − x x + 3 + x + 3 2 x + 3 x + 3 0 ) 2 2 2 2 0 0 0 Vậy '( ) x f x = . 2 x + 3 3 2 x + x +1 −1
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số khi x ≠ 0 f (x) = x tại x = 0 . 0 khi x = 0 Lời giải 3 2
Ta có : f (0) = 0 , do đó:
f (x) − f (0) x + x +1 −1 x +1 1 lim = lim = lim = . 2 x→0 x→0 x→0 3 2 x x x + x +1 +1 2 1 Vậy f (′0) = . G 2 V: T 2 R x + x khi x ≤1 Ầ
Ví dụ 4: Tìm a,b để hàm số f (x) =
có đạo hàm tại x = 1. N ax + b khi x >1 ĐÌNH Lời giải CƯ Điều kiện cần: – 08 = 34 f (1) 2 33 2 21
lim f (x) = lim (x + x = − − ) 2 33 x 1 → x 1 →
lim f (x) = lim (ax + b) = a + b x 1+ x 1+ → →
Để hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (x) liên tục tại x = 1
⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ a + b = 2 x 1+ x 1− → → Điều kiện đủ:
f (x) − f (1) 2 f (1− ′ ) = lim x + x − 2 = lim
= lim ( x + 2) = 3 x 1− → x −1 x 1− → x −1 x 1− →
f (x) − f (1)
f (x) − f (1)
ax + b − (a + b) − f (1+ ′ ) = ax a lim = lim = lim = lim = a x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1
Để hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (1+ ′ ) = f (1− ′
) ⇔ a = 3⇒ b = 1 − .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Dạng 2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 1. Phương pháp
. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động với phương trình s = s (t) là
v(t = s' t 0 ) ( 0).
. Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t) là
I (t = Q' t 0 ) ( 0) .
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là:
s = f (t) 2
= t + 4t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)
a) Tính đạo hàm của hàm số f (t) tại điểm t0 .
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5. Lời giải 2 2 − + + − + + a) Ta có:
f (t) f (t t 4t 6 t 4t 6 0 ) ( 0 0 ) lim = lim
== lim(t + t + 4 = 2t + 4. 0 ) 0 t→t0 t→t t − t 0 t→t t − t 0 0 0
Vậy f '(t = 2t + 4 0 ) 0 . = = + = G
b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v f t '(5) 2.5 4 14 (m/s). V: T = + R
Ví dụ 2: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q 6t 5 (t được ẦN
tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm ĐÌN t =10 . H CƯ Lời giải – 08
Vì Q '(t) = 6 ⇒ Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t =10 là I = Q = tt '(10) 6 34 33 21 33
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến 1. Phương pháp
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M0 (x0;y0 ) là:
y = f′(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình f′(x0 ) = k tìm hoành độ tiếp điểm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) 2
= x + 5 có f ′(x) = 2 .x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
tại điểm M có hoành độ x = 1. − 0 Hướng dẫn giải x = 1
− ⇒ f (x ) = (− )2 1 + 5 = 6 0 0 f ′(− ) 1 = 2 − .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Phương trình tiếp tuyến: y = 2 − (x + ) 1 + 6 .
Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 4
y f x = x tại điểm có hoành độ bằng 1 − Hướng dẫn giải
Ta có: f ( ) = f ′(x) 3 1 1;
= 4x , do đó f ′(− ) 1 = 4. −
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4 − (x + ) 1 +1 = 4 − x − 3.
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 3
y f x = x tại điểm mà tiếp điểm có tung độ bằng 1 − Hướng dẫn giải Ta có: Khi y = 1 − thì 3 x = 1 − , do đó x = 1. −
f (− ) = − f ′(x) 2 1 1;
= 3x , do đó f ′(− ) 1 = 3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + ) 1 −1 = 3x + 2.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( ) 4
y f x = x có hệ số góc bằng 4. Hướng dẫn giải Ta có: f ′(x) 3 = 4x .
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 nên 3
4x = 4 , do đó x =1; f ( ) 1 =1.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4(x − ) 1 +1 = 4x − 3. GV: T
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA RẦN
Bài 9.1. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm các hàm số sau: ĐÌN a) 2
y = x − x tại x =1 = − x =1 0 ; b) 3 y x tại 0 . H CƯ Lời giải – 08
f 1+ h − f 1 34 a) f ′( ) ( ) ( ) 1 = lim h→0 33 h 21 2
1+ 2h + h −1− h −1+1 33 = lim h→0 . h 2
= limh + h = li ( m h + ) 1 h→0 h→0 h = 1+1 = 2 − + − − b f ′(− )
f ( 1 h) f ( ) 1 ) 1 = lim h→0 h 3 3 −(h −1) +1 = lim h→0 h −( 3 2
h − 3h + 3h − ) 1 +1 = lim h→0 h
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 3 2
−h + 3h − 3h = lim h→0 h = lim ( 2
−h + 3h − 3) h→0 = 3
Bài 9.2. Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm các hàm số sau: a) 2
y = kx + c (với k, c là các hằng số); b) 3 y = x . Lời giải
f x + h − f x a) f ′(x) ( ) ( ) = lim h→0 h 2
k(x + h) + c − ( 2 kx + c) = lim h→0 h 2 2 2 kx + 2 =
kxh + kh + c − kx − c lim h→0 h 2 2kxh + kh = lim = (
lim 2kx + kh) = 2kx h→0 h→0 h ′( )
f (x + h) − f (x) 3 3 (x + h) ) = = − x b f x lim lim h→0 h→0 h h 3 2 2 3 3 2 2 3
x + 3x h + 3xh + h − x 3x h + 3 = xh + h lim = lim h→0 h→0 h h GV: 2 2 2 T = (
lim 3x + 3xh + h ) = 3x R h→0 ẦN Đ
Bài 9.3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol 2
y = −x + 4x , biết: ÌNH
a) Tiếp tuyến có hoành độ x =1;
b) Tiếp điểm có tung độ y = 0 . C 0 0 Ư – Lời giải 08 34
a) Đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 33 21 f (′x) = 2
− x + 4 đạo hàm của hàm số tại điểm x =1. 0 33 f (1 ′ ) = 2 − (1) + 4 = 2
Phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm x =1 là: 0
y − f (x = f ′ x x − x ⇒ y − f (1) = 2(x −1) . 0 ) ( 0)( ( 0)
Thay f (1) = 3 , ta được phương trình tiếp tuyến: y − 3 = 2(x −1) ⇒ y = 2x +1
b) Tại điểm y = 0 ta có x = 2 0
Đường tiếp tuyến tại điểm (2,0) có độ dốc bằng y′ = 2.2 − + 4 = 4 − .
Sử dụng công thức tương tự, ta có: y − 0 = 4(
− x − 2) ⇒ y = 4 − x + 8
Bài 9.4. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là
19,6 m / s thì độ cao h của nó (tính bằng m) sau t giây được cho bởi công thức 2
h =19,6t − 4,9t . Tìm
vận tốc của vật khi nó chạm đất. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com t = 0
Tại thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0 , ta có: 2
0 =19,6t − 4,9t ⇔ 0 = t(19,6 − 4,9t) ⇔ t = 4
Khi t = 4 (thời điểm vật chạm đất), ta có:19,6 − 9,8(4) = 1 − 9,6.
Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s.
Bài 9.5. Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một đường cong có dạng
parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L L
1 và đoạn dốc xuống 2 là phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0, 5 và 0,
− 75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L L
1 và 2 phải có những tiếp tuyến của
cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là 2
y = ax + bx + c , trong đó x tính bằng mét. a. Tìm c
b. Tính y′(0) và tìm b. GV: T
c. Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a. RẦN
d. Tìm độ chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q . ĐÌN Lời giải H CƯ
a) Ta có y′ = 2ax + b – 08
Ta lại có phương trình của tiếp tuyến là: y − y = y′ x x − x p ( p)( p ) 34 33
Thay các giá trị này vào phương trình tiếp tuyến, ta có: 0 = 2ap + b 21 33 Vậy b = 2 − ap .
Thay x = 0 vào phương trình đường cong ta có 2
y = a(0) + c(0) + c = c ⇒ c = yp
b) y′ = 2ax + b = c khi x = 0 ⇒ y (′0) = b
c) Ta có y′(P) = 2aP + b = 0,5, y′(P) = 2aP + b = 0,75
Trừ hai phương trình, ta có: a(Q P) 1,25 2 1,25 Q P 20 a − − = − ⇔ − = ⇒ = 40
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số y f x không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó không liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0
A. f x . 0
B. f x h f x 0 0 . h C.
f x h f x 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h D.
f x h f x h 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Lời giải Chọn C
Ta có Cho f là hàm số liên tục tại x . 0
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
f x f x
f x f x0 0 lim
thì f x lim . 0 x x0 x x x x x x 0 0 0 Đặt
f x h f x 0 0
h x x f x lim . 0 0 h0 h
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x là f x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 0 A.
f x f x f x x f x 0 0 0
f x lim .
B. f x lim . 0 0 x x0 x x x 0 x 0 G
f x h f x
f x x f x V: C. 0 0 0 0
f x lim .
D. f x lim . 0 0 T h0 h x x0 x x R 0 ẦN Lời giải ĐÌN Chọn D H CƯ
f x f x0
Hàm số y f x có đạo hàm tại x là f x f x lim . 0 0 – 0 x x 0 x x 08 0 34 f x x f x
f x h f x 0 0 0 0 33 Đặt h x
x x f x lim lim . 0 0 x 0 h0 21 x h 33 3 4x khi x 0 Câu 4: Cho hàm số f x 4 . Tính f 0. 1 khi x 0 4
A. f 1 0 .
B. f 1 0 .
C. f 1 0 . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Chọn B 3 4 x 1 Xét
f x f 0 2 4 4 4 x lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 4x
2 4x2 4x x 1 1 lim lim lim . x 0
4x 2 4 x
x 0 4x 2 4 x x0 42 4 x 16
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x 11 Câu 5: Cho hàm số f x khi x 0 . x
Tính f 0. 0 khi x 0
A. f 0 0.
B. f 01.
C. f 1 0 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn C 2 x 1 1 0 2 Xét
f x f 0 x x 1 1 lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x
2x 1 1 2x 1 1 2 x 1 1 lim lim lim . x 0 2 x 2 x 1 x 0 2 1 x 2
x 1 x0 2 1 x 1 1 2 3 2
x 4x 3x Câu 6: Cho hàm số khi x 1
f x xác định trên \2 bởi f x 2
x 3x 2 . Tính f 1 . 0 khi x 1
A. f 3 1 . B. f 1 1. C. f 1 0. D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D 3 2 Xét
x 4x 3x x x 1 x 3 x x 3
lim f x lim lim lim 2. 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3x 2 x 1 x 2 x 2 G V: T
Ta thấy: lim f x f
1 . Do đó, hàm số không tiên tục tại điểm x 1. R x 1 ẦN Đ
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x 1. ÌNH 2 x 1 khi x 0 C
Câu 7: Cho hàm số f x
. Khẳng định nào sau đây sai? Ư 2 x khi x 0 – 08
A. Hàm số không liên tục tại x 0 .
B. Hàm số có đạo hàm tại x 2 . 34 33
C. Hàm số liên tục tại x 2 .
D. Hàm số có đạo hàm tại x 0 . 21 Lời giải 33 Chọn D
lim f x lim 2 x 1 1
Xét các giới hạn x0 x 0 .
lim f x lim 2 x 0 x0 x 0
Do lim f x lim f x nên hàm số không liên tục tại x 0 . x 0 x 0
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x 0 . 2 x khi x 2
Câu 8: Tìm tham số thực b để hàm số f x 2 x
có đạo hàm tại x 2.
bx 6 khi x 2 2 A. b 3. B. b 6. C. b 1.
D. b 6. Lời giải Chọn B
Để hàm số có đạo hàm tại x 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x 2 , tức là
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 x
lim f x lim f x 2 lim
bx 6 lim x 2 2b 6 4 b 6. x 2 x 2 x 2 2 x 2
Thử lại với b 6 , ta có 2 2 x x bx 10 6x 10 f x f 2 2 2 lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x 210 x 10 x lim lim 4; x 2 2x 2 x 2 2
f x f 2 2 x 4 lim lim 4. x 2 x 2 x 2 x 2 Vì
f x f 2
f x f 2 lim lim
nên hàm số có đạo hàm tại x 2. x 2 x 2 x 2 x 2 2 Câu 9: Cho hàm số f x mx 2x 2 khi x 0
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , m n sao cho nx 1 khi x 0
f x có đạo hàm tại điểm x 0 . A. Không tồn tại , m .
n B. m 2, . n
C. n 2, . m
D. m n 2. Lời giải Chọn C Ta có GV: T f 0 2 R Ầ f
x f 0 2 2 N
mx 2x 2 2 mx 2x lim lim lim
lim mx 2 2. Đ x0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x Ì N H
f x f 0 nx 2 2 nx lim lim lim lim C n n Ư x0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x – 08
Hàm số có đạo hàm tại f x f 0
x 0 khi và chỉ khi tồn tại giới hạn lim 34 x 0 x 0 33 21
f x f 0
f x f 0 lim lim n 2 . 33 x 0 x 0 x 0 x 0 2 x Câu 10: Cho hàm số f x khi x 1 2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số ,a b sao cho f x ax
b khi x 1
có đạo hàm tại điểm x 1. A. 1
a 1, b . B. 1 1
a , b . C. 1 1
a , b . D. 1
a 1, b . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Hàm số có đạo hàm tại x 1, do đó hàm số liên tục tại x 1. 1
a b . 1 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f x f 1
ax b . a 1 b ax 1 lim lim lim lim a a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có 2 x 1 .
f x f 1 x 1 x 1 x 1 2 2 lim lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 x 1 2
Hàm số có đạo hàm tại
f x f 1
f x f 1 x 1 lim lim a 1. 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Từ 1 và 2 , ta có 1
a 1, b . 2
Câu 11: Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2
s t = t , trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t)
tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây. A. 2m/s. B. 3m/s. C. 4m/s. D. 5m/s. Lời giải Chọn C
Ta tính được s′(t) = 2t.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s′(t) = 2t ⇒ v(2) = 2.2 = 4m/s.
Câu 12: Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) 2
= 196t − 4,9t trong đó t > 0, t tính bằng
giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt
đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất G bao nhiêu mét? V: T A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m. RẦN Lời giải ĐÌN Chọn D H C ′ Ư
Ta tính được s (t) =196 −9,8t. – 08
Vận tốc của viên đạn v(t) = s′(t) =196 −9,8t ⇒ v(t) = 0 ⇔ 196 −9,8t = 0 ⇔ t = 20. 34 33
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng h = s( ) 2 20 =196.20 − 4,9.20 =1960m. 21 33
Câu 13: Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) 3 2
= t − 3t + 9t + 2 , trong đó t > 0, t tính bằng
giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất? A. t =1s. B. t = 2s. C. t = 3s. D. t = 6s. Lời giải Chọn A
Ta tính được s′(t) 2
= 3t − 6t + 9.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s′(t) = t − t + = (t − )2 2 3 6 9 3 1 + 6 ≥ 6. Dấu '' ′′ = xảy ra ⇔ t =1.
Câu 14: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) 2
= 8t + 3t , trong đó
t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà
vận tốc chuyển động là 11 é
m t / giây
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. 2 6m/s . B. 2 11m/s . C. 2 14m/s . D. 2 20m/s . Lời giải Chọn C
Ta tính được v′(t) = 8 + 6t. Ta có v(t) 2
= 11 ⇔ 8t + 3t =11 ⇔ t =1 ( 0 t > ).
Gia tốc của chất điểm a(t) = v′(t) = + t ⇒ a( ) = v′( ) 2 8 6 1 1 = 8 + 6.1 =14m/s .
Câu 15: Một vật rơi tự do theo phương trình 1 2
s = gt , trong đó 2
g = 9,8m/s là gia tốc trọng trường. Tìm 2
vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t ∆ với t ∆ = 0,001s. A. v = 49m/s.
B. v = 49,49m/s.
C. v = 49,0049m/s. D. v = 49,245m/s. tb tb tb tb Lời giải Chọn C 1 1 ( + ∆ )− ( ) g (t + t ∆ )2 2 − gt s t t s t Ta có 2 2 1 v = = = gt + g t ∆ = 49,0049m/s. tb t ∆ t ∆ 2
Câu 16: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol 2
y x tại điểm có hoành độ 1 . 2 G k k k k V: A. 0. B. 1. C. 1 . D. 1 . 4 2 T RẦ Lời giải N Đ Chọn B ÌNH CƯ Vậy 1 k = y ′ = 1. – 2 08 34
Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y x tại điểm 1; 1 . 33 21
A. y 3x 4. B. y 1.
C. y 3x 2.
D. y 3x 2. 33 Lời giải Chọn D
Ta tính được k y' 1 3. x 1 0
Ta có y 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y 1 3x
1 y 3x 2. 0 k 3
Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y tại điểm có hoành độ bằng 1 . x
A. x y 2 0.
B. y x 2.
C. y x 2.
D. y x 2. Lời giải Chọn A
Ta tính được k y' 1 1.
Với x 1 y 1. 0 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com x 1 0
Ta có y 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y 1 1 x
1 y x 2. 0 k 1
Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm có tung độ bằng 8. A. y = 8. B. y = 12 − x +16.
C. y =12x − 24.
D. y =12x −16. Lời giải Chọn D
Với y = 8 ⇒ x = 2. 0 0
Ta tính được k = y′(2) =12. x = 2 0
Ta có y = 8 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y −8 =12(x − 2) ⇔ y =12x −16. 0 k = 12 Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.
A. y = 2 .x B. y = 2. C. y = 0. D. y = 2. − Lời giải Chọn B Ta có : 2
x = 0; y = 2; y′ = 3x − 6x ⇒ k = y′ 0 = 0 0 0 ( ) GV: x = 0 T 0 R Ầ
Ta có : y = 2. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. N 0 Đ k = 0 ÌNH CƯ Câu 21: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với – 08
đường thẳng y = 2. − 34 A. y = 9 − x + 7; 2
y = − . B. y = 2. −
C. y = 9x + 7; 2
y = − . D. y = 9x + 7; 2 y = . 33 21 Lời giải 33 Chọn C x = 1 −
Phương trình hoành độ giao điểm : 3 2
y = x − 3x + 2 = 2 − ⇔ . x = 2 y = 2 − Với x = 1 − →
. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7. k = y′ (− )1 = 9 y = 2 − Với x = 2 →
. suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. − k = y′ ( 2 − ) = 0 Câu 22: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = 9x + 7.
A. y = 9x + 7; 9 y = x − 25.
B. y = 9x − 25.
C. y = 9x − 7; 9 y = x + 25.
D. y = 9x + 25. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn B
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 )
Ta tính được k = y′(x ) 2
= 3x − 6x . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có 0 0 0 x = 1 − 2 0
k = 9 ⇔ 3x − 6x = 9 ⇔ . 0 0 x = 3 0 y = 2 − Với 0 x = 1 − →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7(loaii) (vì trùng với 0 k = 9 đường thẳng đã cho). y = 2 Với 0 x = 3 →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x − 25. 0 k = 9 Câu 23: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng 1 y = − .x 45
A. y = 45x −173; 45 y = x + 83.
B. y = 45x −173.
C. y = 45x +173; 45 y = x −83.
D. y = 45x −83. Lời giải Chọn A
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 ) GV: T = ′ R
Ta tính được k y (x ) 2
= 3x − 6x . Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = − x nên 0 0 0 Ầ 45 N Đ 1 x = 5 Ì 2 N có 0 k. − = 1
− ⇔ k = 45 ⇔ 3x − 6x = 45 ⇔ . H 0 0 45 x = 3 − C 0 Ư – y = 52 08 Với 0 x = 5 →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x −173. 0 34 k = 45 33 21 y = 52 − 33 Với 0 x = 3 − →
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x + 83. 0 k = 45
Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y = biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 − . x 4
A. x + 4y −1 = 0; x + 4y +1 = 0.
B. x + 4y − 4 = 0; x + 4y + 4 = 0. C. 1 1
y = − x − 4; 4 y = − x + . D. 1 y = − x . 4 4 4 Lời giải Chọn B Gọi 1
M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được k = y′(x = − . 0 ) 0 0 ) 2 x0 Theo giả thiết ta có 1 1 1 2 k = − ⇔ −
= − ⇔ x = 4 ⇔ x = 2. ± 2 0 0 4 x 4 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com • Với 1
x = 2 → y = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1
y = − (x − ) 1
2 + ⇔ x + 4y − 4 = 0. 0 0 2 4 2 • Với 1 x = 2 − → y = − . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 0 0 2 1 y = − (x + ) 1
2 − ⇔ x + 4y + 4 = 0. 4 2 Câu 25: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo
bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆ : 4x − 3y = 0 bằng 3. 5 A. y = 2; 1 y = . B. y = 2; − 1 y = . C. y = 2; − 1 y = − . D. y = 2; 2 y = − . Lời giải Chọn D
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm⇒ k = y′(x = 3x − 6x . 0 ) 2 0 0 ) 0 0
Phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y = k x − x . 0 ( 0 )
Suy ra tiếp tuyến d có một vectơ pháp tuyến là n = −k d ( ) ;1 .
Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là n = − ∆ (4; 3). k = 0 4 − k − 3 Theo đề bài ta có: (d ) 3 cos , ∆ = = ⇒ 24 . 2 k +1 16 + 9 5 k = − G 7 V: T R 24 24 Ầ Với 2 k = −
⇒ 3x − 6x = − : vô nghiệm. N 0 0 7 7 ĐÌNH x = 0 2 C Với 0
k = 0 ⇒ 3x − 6x = 0 ⇔ . 0 0 Ư x = 2 0 – 08
• x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 2 = 0 ⇔ y = 2. 34 0 0 33
• x = 2 ⇒ y = 2
− ⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0 ⇔ y = 2. − 21 0 0 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 32. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM THUẬT NGỮ
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG •
Đạo hàm của tổng, hiệu •
Tính đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản. •
Đạo hàm của tích, thương •
Sử dụng các công thức tính đạo hàm của •
Đạo hàm của hàm số hợp
tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của •
Đạo hàm của các hàm số sơ hàm số hợp. cấp cơ bản •
Vận dụng các quy tắc đạo hàm để giải quyết
một số bài toán thực tiễn.
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên tự
mặt đất với vận tốc ban đầu v = 20 m/s 0 . Trong vật lí, ta biết
rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt
đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi
ném được cho bởi công thức sau: 1 2
h = v t − gt 0 2 Trong đó v g =
0 là vận tốc ban đầu của vật, 2 9,8 m/s là gia
tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực GV:
đại và khi nó chạm đất. T RẦN
1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ĐÌ n N
a) Đạo hàm của hàm số y = x (n∈ *) H CƯ
HĐ1. Nhận biết đạo hàm của hàm số n
y = x – 08 = 34
a) Tính đạo hàm của hàm số 3
y x tại điểm x bất kì. 33
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số 21 33 n
y = x (n∈ *). Lời giải a) 2 y′ = 3x b) n 1 y nx − ′ = Hàm số n
y = x (n∈ *) có đạo hàm trên và ( n x )′ n 1 = nx −
b) Đạo hàm của hàm số y = x
HĐ2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x > 0 . Lời giải
Đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x > 0 là:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 y′ = 2 x
Hàm số y = x có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và ( x)′ 1 = . 2 x 1
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = x tại các điểm x = 4 và x = . 4 Lời giải
Với mọi x ∈(0;+∞) , ta có 1 y′ = . Do đó y′( ) 1 1 4 = = và 1 1 y ′ = = 1. 2 x 2 4 4 4 1 2 4
2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG
HĐ3. Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 3 2
y = x + x tại điểm x bất kì. b) So sánh: ( 3 2 x x )′ + và ( 3)′ ( 2 x x )′ + . Lời giải
a) Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số 3 2
y = x + x tại điểm x bất kì. 2
y′ = 3x + 2x GV: b) ( 3 2 )′ ( 3)′ ( 2 x x x x )′ + = + T RẦN
Giả sử các hàm số u = u(x) , v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . Khi đó ĐÌNH ′ + = ′ + ′ ′ − = ′ − ′ C (u v) u v ; (u v) u v ; Ư – 08 ′ ′ u u v′ − uv′ 34
(uv) = u v′ + uv′; = v = v x ≠ 0 . 2 ( ( ) ) 33 v v 21 33 Chú ý •
Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số. •
Với k là một hằng số, ta có: (ku)′ = ku′ . 1 ′ v′ •
Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: = − v = v x ≠ 0 . 2 ( ( ) ) v v
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 2x +1 a) 3 2
y = x − x + 2x +1; b) y = . 3 x −1 Lời giải 1 1 a) Ta có: y = ( 3 x )′ − ( 2 x )′ + 2(x)′ ′ +1′ 2 = .3x − 2x + 2 2 = x − 2x + 2 3 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
(2x )1′(x )1 (2x )1(x )1′ + − − + − 2(x − ) 1 − (2x + ) 1 3
b) Với mọi x ≠ 1, ta có: y′ = = = − (x − )2 1 (x − )2 1 (x − )2 1
Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải 1
Phương trình chuyển động của vật là 2 v t − gt 0 . 2
Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi công thức v(t) = h′ = v − gt . 0 v
Vật đạt được độ cao cực đại tại thời điểm 0 t = = − = 1
, tại đó vận tốc bằng v(t v gt 0 . 1 ) g 0
Vật chạm đất tại thời điểm t2 mà h(t = 0 nên ta có: 2 ) 1 2 v t 2
− gt = 0 ⇔ t = 0 v t = 0 2 2 2 (loại) và 0 . 2 2 g
Khi chạm đất, bận tốc của vật là v(t = v − gt = −v = 20 − m / s . 2 ) 0 2 0 ( )
Dấu âm của v(t thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20(m / s) (tức là chiều chuyển động của vật 2 )
ngược với chiều dương đã chọn).
Luyện tập 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) x y = ;
b) y = ( x + )( 2 1 x + 2). G x +1 V: T R Lời giải ẦN 1 Đ + − Ì ′ (x 1) x(1) N
x ( x) (′x +1) − x(x +1)′ (x +1) − 2x x H a) y′ = 2 x = = = C 2 + 2 Ư x +1 2 (x +1) (x 1) 2(x +1) x – 08 2 ′ 2 2 ′ 1 2 34
b) y′ = (( x +1)(x + 2) = ( x +1)′(x + 2)+ ( x +1)(x + 2) =
(x +2)+( x +1)(2x) 33 2 x 21 33 x + 4 x + 2 + + = + + 5x 8 x 2 = + 2x( x 1) 2x 2 x 2 x
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
a) Khái niệm hàm số hợp
Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính được cho bởi 2
S = π r . Bán kính r thay đổi theo
nhiện độ t của chiếc đĩa, tức là r = r (t) . Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ = ( ) = π ( ( ))2 S S t r t
. Ta nói S (t) là hàm số hợp của hàm số 2
S = π r với r = r (t)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Giả sử u = g (x)là hàm số xác định trên
khoảng (a;b), có tập giá trị chứa trong khoảng ( ;
c d ) và y = f (u) là hàm số xác định trên khoảng ( ; c d ) . Hàm số
y = f (g (x)) được gọi là hàm số hợp
của hàm số y = f (u) với u = g (x).
Ví dụ 4. Biểu diễn hàm số y = ( x + )10
2 1 dưới dạng hàm số hợp. Lời giải
Hàm số y = ( x + )10
2 1 là hàm số hợp của hàm số 10
y = u với u = 2x +1.
b) Đạo hàm của hàm số hợp
HĐ4. Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp Cho các hàm số 2 y = u và 2 u = x +1.
a) Viết công thức của hàm số hợp = ( ( ))2 y
u x theo biến x .
b) Tính và so sánh: y′(x) và y′(u).u′(x) Lời giải G V: T R a) Ta có 2 y = u và 2
u = x +1, suy ra y = (x + )2 2 1 . ẦN Đ dy dy du Ì 2 N b) Ta có 2
y = (u(x)) , suy ra theo quy tắc chuỗi ta có: y (′x) = = ⋅
= 2u(x).2x = 4x(x + ) 1 H dx du dx CƯ 2 –
Và y (′u) = 2u,u (′x) = 2x, suy ra y (′u).u (′x) = 2u.2x = 4x(x + ) 1 . 08 34
Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm u′ tại x và hàm số y = f (u) có đạo hàm y′ tại u thì hàm số hợp x u 33 21
y = f (g (x)) có đạo hàm y′ tại x là y′ = y′ u′ . x u . x x 33
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = x +1. Lời giải Đặt 2
u = x +1 thì y = u và 1 y′ = u′ = x . u , x 2 2 u
Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có: ′( ) ′( ) 2 . x x y u u x = = 2 2 2 x +1 x +1
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là x y′ = . 2 x +1 2 ′ x 1 ′ +
Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau: ′ = ( 2 + ) ( ) 2 1 x x y x = = = 2 2 2 2 x +1 2 x +1 x +1
Luyện tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com a) x y = ;
b) y = ( x + )( 2 1 x + 2). x +1 Lời giải a) d 10 y (′x) = (2x − 3) 9 d 9 9
=10(2x − 3) . (2x − 3) =10(2x − 3) 2 . = 20(2x − 3) dx dx b) d 2 y (′x) = 1− x d = (1− x )1 2 x 2 = − dx 2 dx 1− x
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a) Đạo hàm của hàm số y = sin x
HĐ 5. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x
a) Với h ≠ 0 , biến đổi hiệu sin (x + h) − sin x thành tích. sin h
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn lim
=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại h→0 h
điểm x bằng định nghĩa. Lời giải + + + − a) sin(
) sin( ) 2cos x h x sin x h x 2cos h sin h x h x x + − = = + 2 2 2 2 2cos h sin h x + sin(x h) sin(x) + − G 2 2 ′ = = V:
b) Áp dụng định nghĩa, ta có: y (x) lim lim h→0 h→0 T h h RẦN h Chia tử và mẫu cho 2sin , ta có: Đ Ì 2 NH C h h Ư cos x + sin – 2 1 h h 1 2 08 y (′x) = lim ⋅ ⋅sin = limcos x + ⋅ ⋅ h→0 h h→0 h h h 34 2 2 sin 33 2 2 2 2 21 33
Áp dụng kết quả của đẳng thức giới hạn, ta có: y (′x) = cos(x).1 = cos(x)
* Hàm số y = sin x có đạo hàm trên và (sin x)′ = cos x .
* Đối với hàm số hợp y = sin u , với u = u (x) , ta có: (sin u)′ = u .′cosu . π
Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x = + . 8 Lời giải π ′ π π Ta có: y 2x .cos 2x 2cos 2x ′ = + + = + 8 8 8 π
Luyện tập 3. Tính đạo hàm của hàm số y sin 3x = − . 3 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com d π π π y sin 3x ′ = −
= f (′g(x)).g (′x) = cos − 3x .( 3 − ) = 3 − cos3x − dx 3 3 3
b) Đạo hàm của hàm số y = cos x
HĐ 6. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x π
Bằng cách viết y cos x sin x = = −
, tính đạo hàm của hàm số y = cos x 2 Lời giải
y′ = cos x = −sin x
* Hàm số y = cos x có đạo hàm trên và (cos x)′ = −sin x .
* Đối với hàm số hợp y = cosu , với u = u (x) , ta có: (cosu)′ = u − .′sin u . π
Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số y cos 4x = − . 3 Lời giải π ′ π π Ta có: y 4x .sin 4x 4sin 4x ′ = − − − = − − 3 3 3 π
Luyện tập 4. Tính đạo hàm của hàm số y 2cos 2x = − . 4 GV: Lời giải T RẦ π π π π π N y′ = 2cos − 2x = 2 − sin − 2x . − 2x = 2 − sin − 2x .( 2) − = 4sin − 2x Đ 4 4 4 4 4 ÌNH
c) Đạo hàm của hàm số y = tan x và y = cot x CƯ –
HĐ 7. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = tan x và y = cot x 08 34 x π 33 a) Bằng cách viết sin y = tan x =
x ≠ + kπ ,k ∈
, tính đạo hàm của hàm số y = tan x . 21 cos x 2 33 π
b) Sử dụng đẳng thức cot x tan x = −
với (x ≠ kπ,k ∈), tính đạo hàm của hàm số y = cot x 2 Lời giải
cos .xsin′ x − sin .xcos′ 2 2 a) (tan ) x x ′ − − + =
cos .xcos x sin .x sin x = cos x sin x 1 = = 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos x − − 2 2 2 2 b) sin .( x cos x) cos . x sin (cot ) x x ′ + + = sin x cos x = cos x sin x = 2 sin x 2 sin x 2 cos x π ′ 1
* Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ + kπ ,k ∈ và (tan x) = . 2 2 cos x ′ 1
* Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ ,k ∈ và (cot x) = − . 2 sin x
* Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u , với u = u (x) , ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com ′ u′ ′ u′ (tan u) = ; tan u = −
(giả thiết tan u và cot u có nghĩa). 2 ( ) 2 cos u sin u π
Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số y tan 2x = + . 4 Lời giải ′ 2 π x + Ta có: 4 2 y′ = = 2 π 2 cos 2 π x cos 2x + + 4 4 π
Luyện tập 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 y 2 tan x 3cot 2x = + − . 3 Lời giải ′ 2 π 2 π y 2tan x 3cot
2x 4sin x 6cos 2π ′ = + − = + − 3 3 π
Vận dụng 1. Một vật chuyển động có phương trình s(t) 4cos 2πt = −
(m) , với t là thời gian tính bằng 8
giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Lời giải π G
v(t) = s '(t) = 8 − π sin 2πt − V: 8 T RẦ π N = − π π − ≈ Suy ra: v(5) 8 sin 2 .5 9,62(m / s) ĐÌ 8 NH C
5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Ư –
a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit 08 34
HĐ 8. Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit 33 21 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1
a) Sử dụng phép đổi biến t = , tìm giới hạn lim(1+ x)1x . x x→0 b) Với = ( + )1 1 x y
x , tính ln y và tìm giới hạn của limln y . x→0 x c) Đặt x t −
= e −1. Tính x theo t và tìm giới hạn e 1 lim . x→0 x Lời giải 1 1
a) lim(1+ x)x = lim(1+ x)x = e x→0 x→∞ 1 + b) l(1+ x) ln y ln(1 x) 1
= ln (1+ x)x = ⇒ lim = lim = 1 x x→0 x→0 x 1+ x x 1 − ln(1+t) 1 − ln(1+t) 1 − c) lim e = lim e , lim e = lim t = 0 x→0 x→0 x ln(1+ t) x→0 + x→0 ln(1 t) 1+ t
Nhận xét. Ta có các giới hạn sau: ln (1+ x) x lim(1 e −1
+ x)1x = e lim = 1 lim = 1 G x→0 x→0 x→0 V: x x T R
b) Đạo hàm của hàm số mũ ẦN Đ
HĐ9. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ ÌNH h e −1 x+h x x h C
a) Sử dụng giới hạn lim
=1 và đẳng thức e − e = e (e − )
1 , tính đạo hàm của hàm số x y = e Ư h→0 h – 08
tại x bằng định nghĩa. 34 x x.ln a 33
b) Sử dụng đẳng thức a = e
(0 < a ≠ )1, hãy tính đạo hàm của hàm số x y = a . 21 33 Lời giải (x + h)e e eln(x+h) eln x a) (′ ) − = lim − x y x = lim e e h→0 h h→0 h ln1 h e + eln x x ln e e −1 1 h e + eln x x eln x = lim e e − e lim = h→0 h h→0 h h
e O( 2h) + h eln x x e e −1 ln e e x x e e −1 lim = lim = h→0 h h→0 h h e x h/ x eln x e −1 1 e e −1 1 = e lim ⋅ = x lim ⋅ h→0 h x
h→0 h / x x x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com u e e e −1 1 = x lim ⋅ x = u→0 u x x x+h x (x+h)ln a xln a b) (′ ) − = lim a − a y x = lim e e h→0 h h→0 h xln a e ( hlna e − ) 1 hln a = lim = x e −1 a lim h→0 h h→0 h hln a = x e −1 a lim .ln a = x a .ln a
h→0 h ln a - Hàm số x
y = e có đạo hàm trên và ( x )′ x e = e . Đối với hàm số hợp u
y = e , với u = u (x) , ta có: ( u )′ = . u e u′ e . - Hàm số x
y = a (0 < a ≠ )
1 có đạo hàm trên và ( x )′ x a = a .ln a . Đối với hàm số hợp u
y = a , với u = u (x) , ta có: ( u )′ = . u a
u′ a .ln a .
Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số 2 2x x y − = Lời giải Ta có: 2 x −x ( ) 2 2 2 . ′ ′ = − .ln 2 = 2x −x y x x .(2x − ) 1 .ln 2 .
Luyện tập 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: GV: 2 x x sin T y e − = 3 x y = R a) ; b) . ẦN Đ Lời giải ÌNH
a) y′ ( f (g(x)))′ =
f ′(g(x)).g′ = (x) g (x) = e .(2x − ) 1 2 x −x = e .(2x − ) 1 CƯ – ′ d sin d ln3.sinx d 08 b) y = (3 x)= (e )= ln3.sin (ln 3.sin x). x e = sin ln 3.cos .3 x x dx dx dx 34 33
c) Đạo hàm của hàm số lôgarit 21 33
HĐ10. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit. ln (1+ t) +
a) Sử dụng giới hạn lim =1 và đẳng thức ln ( ) ln
ln x h ln 1 h x h x + − = = + , tính đạo t→0 t x x
hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa. ln x
b) Sử dụng đẳng thức log x = < a ≠ = a (0
)1, hãy tính đạo hàm của hàm số y log x . ln a a Lời giải a) y = lnx
Sử dụng đẳng thức ln(1+ t) = t + o(t) khi t → 0 , ta có: ln 1 h + ′ lim x y = h→0 h
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com ln 1 h + + Áp dụng giới hạn ln(1 t) lim =1, ta có: ′ x 1 y = lim ⋅ t→0 t h→0 h x x ′ ln(1+ t) 1 lim ( h y t = ⋅ = t→0 t x x ′ 1 y = x b) ln = log x y x = a ln a ′ d ln x y = ; ′ 1 d y = ⋅ (ln x) dx ln a ln a dx
Sử dụng kết quả đã tính ở câu a), ta có: ′ 1 1 y = ⋅ và ′ 1 y = ln a x x⋅ln ax -
Hàm số y = ln x có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và ( )′ 1 ln x = . x ′ u′
Đối với hàm số hợp y = ln u, với u = u (x) , ta có: (ln u) = . u
- Hàm số y = log x có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và ( x ′ = a ) 1 log . a .xln a G u′ ′ V:
Đối với hàm số hợp y = log u với u = u (x) , ta có: (log u = a ) . a , T . u ln a RẦN ′ − ′ x Đ ′ Ì Chú ý.
Với x < 0 , ta có: ln x = ln (−x) và (−x) ( ) 1 ln =
= . Từ đó ta có: ( x ) 1 ln = ,∀ x ≠ 0 N H −x x x CƯ . – 2 08
Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số y = ln (x + ) 1 . 34 33 Lời giải 21 33 2 ′ + (x )1 Vì 2
x +1 > 0 với mọi x nên hàm số xác định trên . Ta có: 2x y′ = = . 2 2 x +1 x +1
Luyện tập 7. Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x −1 . 2 ( ) Lời giải y′ = ( ′ 2 log (2x −1) = 2 ) (2x−1)ln2
Vận dụng 2. Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = −log H+ , ở đó H+ là
nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ H+ . Lời giải Với dpH d pH = −log H + + , ta có: = − . + + ( log H )
d H d H
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com dpH d = ( 1. − log H + + + )
d H d H dpH = 1 d − ⋅ (logH+ . + + ) d H d H
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit tổng quát, ta có: dpH 1 = 1 − ⋅ d H + H + ln10
Vậy tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ dpH H + là: 1 = − d H + H + ln10
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
Dạng 1. Đạo hàm của hàm đa thức 1. Phương pháp GV:
Chủ yếu ta dùng các công thức sau T RẦ n n N (x )' 1 nx − = . ĐÌNH ′ C (c) = ; (x)' 0 =1. Ư – 08
(u + v)′ = u′+ v′ 34 33
(u −v)′ = u′−v′ 21 33
(uv)′ = u v′ + v u′
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − 5 . Tìm x để y′ = 0 Lời giải 3 2
y = 2x − 3x − 5 x = 0 2
⇒ y′ = 0 ⇔ 6x − 6x = 0 ⇔ x(x − ) 1 = 0 ⇔ . x = 1
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1. Giải bất phương trình y′ ≤ 0 . Lời giải 3 2 2
y = 3x + x +1⇒ y′ = 9x + 2x 2 2
y′ ≤ 0 ⇔ 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0. 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 3: Cho hai hàm số f (x) 1 2 = x + 4 ; x g (x) 3 2
= 9x − x . Tìm x để f ′(x) = g′(x) 2 2 Lời giải
f ′(x) = x + 4; g′(x) = 9 − 3 .x
Do đó f ′(x) = g′(x) 5
⇔ 4x = 5 ⇔ x = . 4
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) 1 3
= mx − x . Tìm m để x = 1
− là nghiệm của bất phương trình f ′(x) < 2 3 Lời giải Ta có: f ′(x) 2
= m − x . Giá trị x = 1
− là nghiệm của bất phương trình f ′(x) < 2 khi và chỉ khi:
m −1< 2 ⇔ m < 3.
Dạng 2. Đạo hàm của hàm phân thức 1. Phương pháp
Ta thường sử dụng các công thức sau: ' u u v′ − v u ′ = v ≠ 0 2 ( ) v v ' ′ ' 1 u = − , u ≠ 0 . 2 ( ) u u
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng GV: x(1− 3x) T Ví dụ 1: y = R x +1 ẦN Đ Lời giải ÌN 2 H x(1− 3x) (1−6x)(x + )1−1(x−3x ) 2 3x − − 6x +1 C = ⇒ ′ Ư y y = = . 2 2 x +1 – (x + )1 (x + )1 08 34 + 33
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 2x 3 y = 2x −1 21 33 Lời giải Dùng công thức nhanh: ax + b ad − bc y = ⇒ y′ = . cx + d (cx +d)2 Do đó, với 2x + 3 8 y = thì y′ = − . 2x −1 (2x − )2 1
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = 2 x +1 Lời giải ( 2x )1′ − + 2x y − ′ = = . (x + )21 (x + )2 2 2 1 2
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = ? 2 x −1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 2 2 x +1 x −1+ 2 2 y = = = 1+ 2 2 2 x −1 x −1 x −1 2( 2 x )1′ − − Do đó 4x y − ′ = = . (x − )21 (x − )2 2 2 1
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = 2 x + x −1 Lời giải ( 2x x )1′ − + − 2x − −1 y′ = = . (x +x− )21 (x +x− )2 2 2 1 2
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số x + x + 3 y = 2 x + x −1 Lời giải 2 2 x + x + 3 x + x −1+ 4 4 y = = = 1+ . 2 2 2 x + x −1 x + x −1 x + x −1 4( 2 x x )1′ − + − 4 − (2x + ) 1 Do đó: y′ = = . (x +x− )21 (x +x− )2 2 2 1 GV: T
Dạng 3. Đạo hàm của hàm chứa căn RẦN 1. Phương pháp Đ
Ta thường dùng các công thức sau ÌNH CƯ
Hàm số y = x có đạo hàm tại mọi x dương và ( x)' 1 = . – 2 x 08 34 33
Ngoài ra, đối với hàm hợp ( u )' 1 = 21 2 u 33
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x − x . Tìm x để y′ = 0 ? Lời giải 1
y = 4x − x ⇒ y′ = 4 − 2 x 1 1 1 y′ = 0 ⇔ 4 −
= 0 ⇔ x = ⇔ x = . 2 x 8 64
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = x − x +1 Lời giải 2 1 y′ = 3x − . 2 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) 1 3 2
= x − 3 2x +18x − 7. Tìm x để f ′(x) ≤ 0 3 Lời giải
f ′(x) = x − x + = (x − )2 2 6 2 18 3 2 .
f ′(x) ≤ ⇔ (x − )2 0 3 2 ≤ 0 ⇔ x = 3 2.
Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) = 1+ x . Tính f (3) + (x −3). f ′(3) ? Lời giải Ta có: f ′(x) 1 = ⇒ f ′( ) 1 3 = . 2 1+ x 4 Lại có: x +
f (3) = 2. Vậy f ( ) + (x − ) f ′( ) = + (x − ) 1 5 3 3 . 3 2 3 . = . 4 4
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số: 1 y = ? 2 x +1 Lời giải −x 2 Ta có: x +1 −x y′ = = . 2 x +1 (x + )3 2 1
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số: 2 y = x x +1? G Lời giải V: T 2 x 2x +1 R 2 ′ Ầ
Ta có: y = x +1 + . x = . N 2 2 x +1 x +1 ĐÌN + x H
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số: 1 y = ? CƯ 1− x – Lời giải 08 34 1 1+ x 1 2 − 2x +1+ x 3− x 33 Ta có: y′ = 1− x + = . = . 21 1− x
2 1− x 1− x 2 1− x 2 (1− x)3 33
Dạng 4. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng giác 1. Phương pháp
• Áp dụng quy tắc tính đạo hàm.
• Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = tan 7x Hướng dẫn giải (7x)′ 7 y′ = = . 2 2 cos 7x cos 7x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = cos x Hướng dẫn giải (cos x)′ −sin x y′ = = . 2 cos x 2 cos x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x Hướng dẫn giải (cos2x)′ 2 − sin 2x −sin 2x y′ = = = .
2 cos 2x 2 cos 2x cos 2x
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y = sin x Hướng dẫn giải (sin x)′ cos = sin x y x ⇒ y′ = = . 2 sin x 2 sin x
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = sin 3x Hướng dẫn giải (sin3x)′ 3cos3x y′ = = .
2 sin 3x 2 sin 3x
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = tan 5x Hướng dẫn giải (5x)′ 10sin5 ′ = 2 tan 5 . x y x = . 2 3 cos 5x cos 5x π
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y cos 3x = − 3 Hướng dẫn giải G ′ V: π π π π T y = cos
− 3x ⇒ y′ = − 3x . − sin − 3x = 3sin − 3x. RẦ 3 3 3 3 N Đ π ÌN
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y = sin − 2x H 2 CƯ Hướng dẫn giải – 08 π 34 y = sin
− 2x = cos 2x ⇒ y′ = 2 − sin 2 .x 33 2 21 = + 33
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2sin 2x cos 2x Hướng dẫn giải y 2(sin2x)′ (cos2x)′ ′ = + = 4cos2x − 2sin2x. Ví dụ 10: Cho ( ) 2 2 f x π
= cos x − sin x. Tính f′ 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có f (x) 2 2
= cos x − sin x = cos 2 .
x Do đó f ′(x) = 2 − sin 2 . x π π Vậy f ′ = 2 − sin = 2. − 4 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Nhập vào màn hình d (cos(X) 2 (sin(X) 2 +
rồi ấn phím = ta được kết quả dx x π = 4
Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số 3 y = cos 4x Hướng dẫn giải 3 2 y = x ⇒ y′ = x ( x)′ 2 = x (− x) 2 cos 4 3cos 4 . cos 4 3cos 4 . 4sin 4 = 12 − cos 4 . x sin 4 . x π y ′ π
Ví dụ 12: Với y cos 2x = − thì
8 có giá trị bằng bao nhiêu? 4 π y ′ 3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận π π y = cos
− 2x ⇒ y = 2sin − 2x ′ 4 4 π π π π π 2π y = 2 sin − = 0; y = 2sin ′ ′ − ≠ 0 8 4 4 3 4 3 π y ′ G 8 V: ⇒ = 0. T π R y′ Ầ 4 N ĐÌ
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính NH C
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4 Ư – π 08 d cos − 2X 34 dx 4 x π = 33 8 21 Nhập vào màn hình
rồi ấn phím = ta được kết quả d π 33 cos − 2X dx 4 x π = 3
Ví dụ 13: Cho hàm số 5π π f (x) 2sin x = + . Tính f ′ . 6 6 Lời giải Ta có: ′ 5π ′ π f (x) 2cos x f = + ⇒ = 2 − 6 6
Ví dụ142: Cho hàm số 2 2
f (x) = cos x − sin x . Tính π f ′ . 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Ta có: f (x) = cos 2x ⇒ f (′x) = 2
− sin 2 .x Do đó : π f ′ = 2 − . 4
Ví dụ 15: Cho hàm số π
y = f (x) = tan x + cot x . Tính f ′ . 4 Lời giải 1 1 tanx + cot x ′ − π Ta có: ( ) ( ) 2 2 cos x sin x f x = = ⇒ f ′ ′ = 0.
2 tanx + cot x 2 tanx + cot x 4
Dạng 5: Giải phương trình lượng giác ( f’ x) = 0 1. Phương pháp Tính đạo hàm ( f’ x)
Để giải phương trình f (’x) = 0, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và một số
phương trình lượng giác thường gặp.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số π 1
y = sin − x . Giải phương trình y′ = 0 . 3 2 Hướng dẫn giải GV: π 1 1 − π 1 T
y = sin − x ⇒ y′ = cos − x R 3 2 2 3 2 Ầ N π 1 π 1 π π Đ
y′ = 0 ⇔ cos − x = 0 ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − k2 , π k ∈ . Ì N 3 2 3 2 2 3 H CƯ π = +
.Giải phương trình y′ = 0 . –
Ví dụ 2: Cho hàm số 2 y cos 2x 3 08 34 Hướng dẫn giải 33 21 2π 2π y = cos + 2x ⇒ y′ = 2 − sin + 2x 33 3 3 2π 2 y 0 sin 2x 0 π ′ = ⇔ + = ⇔ + 2x = kπ 3 3 2π π k 2x k x π ⇔ = − + π ⇔ = − + ,k ∈ . 3 3 2
Ví dụ 3: Cho hàm số 2 x y = cot
, Giải phương trình y′ = 0 . 4 Hướng dẫn giải x cos 2 x x 1 1 1 4 y = cot ⇒ y′ = 2cot .− . = − 4 4 4 2 x 2 3 x sin sin 4 4 x
y′ = 0 ⇔ cos = 0 ⇔ x = 2π + k4 , π k ∈ . 4
Ví dụ 4: Giải phương trình: f′(x) = 0, biết f(x) = cosx −sinx + x.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Hướng dẫn giải
Ta có: f′(x) = −sinx − cosx +1. Vậy: ′( ) π 1
f x = 0 ⇔ sin x + cosx = 1 ⇔ sinx + = 4 2 x π π + = + k2π x = k2π 4 4 ⇔ ⇔ π . π 3π x = + k2 x + = + k2 π π 2 4 4
Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) sin3x cos3x f x = + cosx − 3 sinx +
. Tìm tập nghiệm của f′(x) = 0 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) sin3x cos3x f x = + cosx − 3 sinx + 3 3
f′(x) = cos3x − sinx − 3(cosx − sin3x)
f′(x) = 0 ⇔ cos3x − sinx − 3(cosx − sin3x) = 0
⇔ cos3x + 3 sin3x = sin x + 3 cosx 1 3 1 3 ⇔ cos3x + sin3x = sin x + cosx 2 2 2 2
cos π cos3x sin π sin3x cos π sin x sin π ⇔ + = + cosx 3 3 3 3 G π π V:
⇔ cos3x − = sinx + T 3 3 RẦ π π π π N
⇔ cos3x − = cos − x − = cos − x Đ 3 2 3 6 Ì NH π π π kπ C 3x − = − x + k2π x = + Ư 3 6 8 2 – ⇔ ⇔ ; k ∈ . 08 3x π π x k2 − = − + + π x π = + kπ 34 3 6 12 33 21
Dạng 6. Tính đạo hàm 33 1. Phương pháp: ( xe)′ x = e ( xa)′ x = a .ln a ( ue)′ u = u e′ ( u a )′ u = u a ′ .ln a
Với mọi 0 < a ≠ 1 ( 1 x a ) 1 log ' = (ln x)' = . x ln a x ( u ' 1 loga u)' = (lnu)' = .u' u.ln a u
Ngoài ra ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra và thử đáp án
2. Các ví dụ rèn luyện lĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x − 2 . 3 ( )
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải (2x − 2)' Ta có 1 y' = ( ) = − ( − ) . 2x 2 ln 3 x 1 ln 3
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = 2x Lời giải x 2 − (x + ) x 1 2 ln 2 1− (x + ) 1 ln 2 y' = = x x 4 2
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số x + 2 y = ln (x + 2) x −1 Lời giải 3 − x + 2 1 3 − ln x + 2 ' 1 y = ln x + 2 + . = + 2 ( ) ( ) (x − )1 x −1 x + 2 (x − )2 1 x −1
Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) 2 x f x x e− =
. Giải bất phương trình f ′(x) ≥ 0 Lời giải 2
f '(x) 2x − x 2 =
≥ 0 ⇔ 2x − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 x e
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 9.6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: GV: T a) 3 2
y = x − 3x + 2x +1; b) 2
y = x − 4 x + 3 . RẦN Lời giải ĐÌN d 3 d 2 d d H a) y′ =
(x )− (3x )+ (2x)+ (1) C dx dx dx dx Ư – ′ 08 2
y = 3x − 6x + 2 34 33 b) d ( n x ) n 1 nx − = d 1 ( x) =
d ( f (x) + g(x)) = f (′x) + g (′x) 21 dx dx 2 x dx 33
d (cf (x)) = cf (′x) dx d ′ = ( 2) d − (4 ) d y x x + (3) dx dx dx
y′ = 2x − 2 x
Bài 9.7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2x −1 2 a) y = ; b) x y = . x + 2 2 x +1 Lời giải a)
(2)(x + 2) − (2x −1)(1) y′ = 2 (x + 2) 5 y′ = 2 (x + 2)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com (2)( 2 x + ) 1 − (2x)(2x) b) y′ = ( x + )2 2 1 2( 2 1− x ) y′ = ( x + )2 2 1
Bài 9.8. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2
y = xsin x ; b) 2
y = cos x + sin 2x ;
c) y = sin 3x − 3sin x ;
d) y = tan x + cot x . Lời giải a) 2
y′ = xsin 2x + sin x hay 2
y′ = sin x + xsin 2x b) y′ = 2
− sin 2x + 2cos x hay y′ = 2(cos x − sin 2x)
c) y = sin 3x − 3sin x ⇒ y′ = 3cos3x − 3cos x d) 1 1 y′ = − 2 2 cos x sin x 2 2 sin x − cos x y′ = 2 2 sin x⋅cos x
Bài 9.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 3 2 x x y − = ;
b) y = log 4x +1 . 3 ( ) GV: T Lời giải RẦ − N a) 2 3 ′ = 2 x x y .ln 2.(3− 2x) ĐÌNH b) 4 1 4 y′ = ⋅ ⋅ 4 = CƯ ln 3 4x +1 (4x +1)ln 3 – 08 π 34
Bài 9.10. Cho hàm số f (x) 2 = 2sin 3x =
. Chứng minh rằng f ′( x) ≤ 6 với mọi x . 33 4 21 Lời giải 33 d 2 π f (′x) = 2sin 3x − dx 4 π π 4sin 3x cos 3x = − ⋅ − ⋅ 3 4 4 π 6sin 6x = − = 6cos(6x) 2 Vì 1
− ≤ cos(6x) ≤1 với mọi x , nên ta có f ′(x) |
= 6cos(6x) |≤ 6 với mọi x . Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.
Bài 9.11. Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) 2
=100 − 4,9t , ở đó độ cao h so với mặt
đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:
a) Tại thời điểm t = 5 giây; b) Khi vật chạm đất. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
a) Để tính vận tốc của vật tại thời điểm t , ta cần tính đạo hàm của hàm số h(t) tại thời điểm đó: d
v t = h′ t = ( 2 ( ) ( ) 100 − 4.9t ) = 9.8 − t dt
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là: v(5) = 9.8.5 − = 49( m / s) .
b) Vật chạm đất khi h(t) = 0 , tức là: 2 100 − 4.9t = 0 100 ⇒ t = 4,9 v = gh = = = f 2 2.9,8.100 1960 44,3 m / s 0
Bài 9.12. Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) =12 + 0,5sin (4πt), trong đó s
tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? Lời giải
Đạo hàm của hàm s(t) theo thời gian t : ( ) ds v t = = 2π cos(4πt)4 dt
Ta thấy rằng hàm v(t) là một hàm cosin với biên độ bằng 2π , do đó giá trị lớn nhất của hàm này là 2π .
Vậy vận tốc cực đại của hạt là 2πcm / s . D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GV: 1 T
Câu 1: Cho hàm số f (x) 3 2
= x − 2 2x + 8x −1, có đạo hàm là f ′(x) . Tập hợp những giá trị của x R 3 ẦN ′
để f (x) = 0 là: ĐÌNH A. { 2 − 2}. B. {2; 2}. C. { 4 − 2}. D. {2 2}. CƯ – 08 Lời giải 34 33 Chọn D 21 33 Ta có: f ′(x) 2
= x − 4 2x + 8 .
Phương trình f ′(x) 2
= 0 ⇔ x − 4 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 2 . Câu 2: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y′. Để y′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? A. 2 ;0 − . B. 9 − ;0 . 9 2 C. 9 ; −∞ − ∪ 2 [0;+∞ ). D. ; −∞ − ∪ [0;+∞ ). 2 9 Lời giải Chọn A Ta có: 2
y′ = 9x + 2x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Do đó, 2 2 2
y ≤ 0 ⇔ y = 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0x ∈ − ;0 ′ ′ . 9 9
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f ′(− ) 1 = 4. B. f ′(− ) 1 =14. C. f ′(− ) 1 =15. D. f ′(− ) 1 = 24. Lời giải Chọn D
Ta có: f ′(x) 3 2 = 4
− x +12x − 6x + 2.
Suy ra f ′(− ) = − (− )3 + (− )2 1 4 1 12 1 − 6(− ) 1 + 2 = 24 . Câu 4: Cho hàm số 1 3
y = x − (2m + ) 2
1 x − mx − 4, có đạo hàm là y′. Tìm tất cả các giá trị của m để 3
y′ ≥ 0 với x ∀ ∈ . A. 1 m 1; ∈ − − . B. 1 m ∈ 1; − − . 4 4 C. m ( ] 1 ; 1 ; ∈ −∞ − ∪ − +∞ . D. 1 m ∈ 1; − . 4 4 Lời giải Chọn B GV: T Ta có: 2
y′ = x − 2(2m + ) 1 x − m . RẦN 2 Đ
Khi đó, y′ ≥ 0 với x
∀ ∈ ⇔ x − 2(2m + )
1 x − m ≥ 0 với x ∀ ∈ ÌNH CƯ ⇔ ∆′ = ( m + )2 2 1 2
1 + m ≤ 0 ⇔ 4m + 5m +1≤ 0 ⇔ 1 − ≤ m ≤ − . – 4 08 34 1 3 2 33
Câu 5: Cho hàm số y = − mx + (m − )
1 x − mx + 3, có đạo hàm là y′. Tìm tất cả các giá trị của m 21 3 33
để phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x , x thỏa mãn 2 2 x + x = 6 . 1 2 1 2 A. m = 1 − + 2 ; m = 1 − − 2. B. m = 1 − − 2.
C. m =1− 2 ; m =1+ 2. D. m = 1 − + 2. Lời giải Chọn A Ta có: 2
y′ = −mx + 2(m − ) 1 x − m .
Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ −mx + 2(m − )
1 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ . ∆ = ( ⇔ ′ m − )2 2 1 1 − m > 0 m < 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2(m − ) 1
Khi đó, gọi x , x x + x = 1 2 ⇒ 1
2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình m . x x = 1 1 2 2 m −1
Ta có: x + x = 6 ⇔(x + x ) ( ) 2 2 2 2 − 2x x = 6⇔ − 2 = 6 1 2 1 2 1 2 m 2
⇔ m + 2m −1 = 0 ⇔ m = 1 − ± 2 .
So với điều kiện thì m = 1
− ± 2 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6: Biết hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a > 0) có đạo hàm f ′(x) > 0 với x
∀ ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac > 0. B. 2
b − 3ac ≥ 0. C. 2
b − 3ac < 0. D. 2
b − 3ac ≤ 0. Lời giải Chọn C Ta có f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a > 0 và f ′(x) > 0 với x
∀ ∈ nên ∆′ < 0 tức là 2
b − 3ac < 0 .
Câu 7: Biết hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a < 0) có đạo hàm f ′(x) < 0 với x
∀ ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac > 0. B. 2
b − 3ac ≥ 0. C. 2
b − 3ac < 0. D. 2
b − 3ac ≤ 0. GV: Lời giải T RẦ Chọn C N ĐÌN Ta có f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a < 0 và f ′(x) < 0 với x
∀ ∈ nên ∆′ < 0 tức là 2
b − 3ac < 0 H CƯ –
Câu 8: Tính đạo hàm của của hàm số y = (x − x )2 3 2 2 . 08 34
A. f ′(x) 5 4 3
= 6x − 20x +16x .
B. f ′(x) 5 3 = 6x +16x . 33 21
C. f ′(x) 5 4 3
= 6x − 20x + 4x .
D. f ′(x) 5 4 3
= 6x − 20x −16x . 33 Lời giải Chọn A Ta có: y ( 3 2 x x )′ ′ = − ( 3 2 x − x ) = ( 2 x − x)( 3 2 x − x ) 5 4 3 2 2 2 2 3 4 2
= 6x − 20x +16x .
Câu 9: Cho hàm số y = ( x + )3 2 2
1 , có đạo hàm là y′. Để y′ ≥ 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của .x B. (−∞;0]. C. [0;+∞). D. . Lời giải Chọn C Ta có: y ( x )′ ′ = + ( x + )2 =
x( x + )2 = x( x + )2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3.4 2 1 12 2 1 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Do đó, y′ ≥ ⇔ x( x + )2 2 0 12 2 1 ⇔ x ≥ 0 .
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y = ( − x )5 3 1 .
A. y′ = x ( − x )4 2 3 5 1 .
B. y′ = − x ( − x )4 2 3 15 1 .
C. y′ = − x ( − x )4 2 3 3 1 .
D. y′ = − x ( − x )4 2 3 5 1 . Lời giải Chọn B Ta có: y ( x )′ ′ = −
( − x )4 = (− x )( − x )4 = − x ( − x )4 3 3 2 3 2 3 5 1 1 5 3 1 15 1 .
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = (x − x )2016 3 2 2 . A. y′ = (x − x )2015 3 2 2016 2 . B. y′ = (x − x )2015 3 2 ( 2 2016 2
3x − 4x). C. y′ = ( 3 2 x − x )( 2 2016 2
3x − 4x). D. y′ = ( 3 2 x − x )( 2 2016 2
3x − 2x). Lời giải Chọn B Ta có: y (x x )′ ′ = − (x − x )2015 =
( x − x)(x − x )2015 3 2 3 2 2 3 2 2016 2 2 2016 3 4 2 . GV:
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 . T RẦ ′ ′ ′ ′ N
A. y = 4 .x B. 2
y = 3x − 6x + 2. C. 2
y = 2x − 2x + 4. D. 2
y = 6x − 2x − 4. ĐÌNH Lời giải CƯ Chọn D – 08 ′ ′ 34 Ta có: y′ = ( 2
x − ) ( x − ) + ( 2
x − )( x − ) = x( x − ) + ( 2 x − ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 = 6x − 2x − 4 33 21 33
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) tại điểm x = 0 .
A. f ′(0) = 0.
B. f ′(0) = 2018 − !.
C. f ′(0) = 2018!.
D. f ′(0) = 2018. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f (x) = f x f x f x ... f x n ≥ n∈ . n 1; 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f (x) = f ′ ′
x f x ... f x + f x f ′ x f x + + f x f x f ′ x n ... n ... ... 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) n ( )
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) và thay x = 0 với chú
ý f 0 = 0 ta được: 0 ( ) f ′(0) = (− ) 1 .( 2 − )...( 2018 − )+ 0.( 2 − )....( 2018 − )+ 0.(− ) 1 ...( 2017 − ) = 2018!.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) tại điểm x = 1004 − . A. f ′( 1004 − ) = 0. B. f ′( 1004 − ) =1004!. C. f ′( 1004 − ) = 1004 − !. D. f (− ) = ( )2 ' 1004 1004! . Lời giải Chọn D
Xét hàm số f (x) = f x f x f x ... f x n ≥ n∈ . n 1; 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f (x) = f ′ ′
x f x ... f x + f x f ′ x f x + + f x f x
f ′ x . n ... n ... ... 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) n ( )
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) và thay x = 1004 − với chú ý f 1004 − = 0 ta được 1004 ( ) f ′( 1004 − ) = ( 1004 − ).( 1004 − + ) 1 ...( 1004 − +1003). ( 1004 − +1005)...( 100 − 4 + 2018) = (− ) 1 .1.( 2 − ).2.....( 1004 − ).1004 = (1004 )2 ! .
Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2x f x = tại điểm x = 1 − . x −1 A. f ′(− ) 1 =1. B. f ′(− ) 1 1 = − . C. f ′(− ) 1 = 2. − D. f ′(− ) 1 = 0. G 2 V: T Lời giải RẦN Chọn B ĐÌNH TXĐ: D = \{ } 1 . CƯ – 2 − 1 08
Ta có f ′(x) = ⇒ f ′ 1 − = − 2 ( ) 34 (x − )1 2 33 21 2 33
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số x + 2x − 3 y = . x + 2 2 2 2 A. 3 y′ + + + + + + = 1+ . B. x 6x 7 y′ = . C. x 4x 5 y′ = . D. x 8x 1 y′ = . (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 Lời giải Chọn A Ta có 3 3 y = x − ⇒ y′ =1+ . x + 2 (x + 2)2 x(1− 3x)
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y = . x +1 2 2 2 A. 9 − x − 4x +1 − y′ − − + 1 6 = . B. 3x 6x 1 y′ = . C. 2 y′ =1− 6x . D. x y′ = . 2 (x +1) 2 (x +1) (x + )2 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B x( − x) 2 1 3 Ta có: x − 3x y = = x +1 x +1 ( 2
x 3x )′ (x ) 1 ( 2
x 3x )(x ) 1 ′ − + − − +
(1−6x)(x + )1−( 2 x − 3x ) 2 3 − x − 6x +1 ⇒ y′ = = = . (x + )2 1 (x + )2 1 (x + )2 1 2
Câu 18: Cho hàm số ( ) 1−3x + x f x =
. Giải bất phương trình f ′(x) > 0. x −1 A. x∈ \{ } 1 . B. x∈ . ∅
C. x∈(1;+∞). D. x∈ . Lời giải Chọn A ( 2 1 3x x )′ (x ) 1 ( 2 1 3x x )(x ) 1 ′ − + − − − + −
Ta có: f ′(x) = (x − )2 1 ( 3
− + 2x)(x − ) 1 − ( 2 1− 3x + x ) 2 x − 2x + 2 = = . (x − )2 1 (x − )2 1 2 2 G x − 2x + 2
x − 2x + 2 > 0 V:
Bất phương trình f ′(x) > 0 ⇔ > 0 ⇔ ⇔ x ∈ \ 1 . 2 { } T x −1 x ≠ 1 R ( ) ẦN Đ 3 x ÌN
Câu 19: Cho hàm số f (x) =
. Phương trình f ′(x) = 0 có tập nghiệm S là: H x −1 CƯ – = = − = = − A. 2 S 0; . B. 2 S ;0. C. 3 S 0; . D. 3 S ;0. 08 3 3 2 2 34 33 Lời giải 21 33 Chọn C
( 3x)′ (x− ) 3
1 − x (x − )′ 2 1 3x (x − ) 3 3 2 1 − x Ta có ′( ) 2x − 3x f x = = = . (x − )2 1 (x − )2 1 (x − )2 1 x = 0 3 2 −
Phương trình f ′(x) 2x 3x 3 2 = 0 ⇔
= 0 ⇔ 2x − 3x = 0 ⇔ . (x − )2 3 1 x = 2 2
Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số 2 − x + x − 7 y = . 2 x + 3 2 2 A. 3
− x −13x −10 − + + y′ = x x 3 ′ ( B. y = . x + 3) . 2 2 (x +3)2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2 C. −x + 2x + 3 − − − y′ = 7x 13x 10 ′ ( D. y = . x + 3) . 2 2 (x +3)2 2 Lời giải Chọn C ( 2 2x x 7)′ ( 2 x 3) ( 2 x 3)′ − + − + − + ( 2 2 − x + x − 7) Ta có: y′ = ( x + 3)2 2 ( 4 − x + ) 2
1 (x + 3) − 2 .x( 2 2 − x + x − 7) 2 −x + 2x + 3 y′ = ( = x )2 2 2 2 (x + + 3) 3
Câu 21: Cho hàm số y = 2 − x + 3 .
x Tập nghiệm S của bất phương trình y′ > 0 là: A. S = ( ; −∞ +∞). B. 1 S ; = −∞ . C. 1 S = ;+∞ . D. S = . ∅ 9 9 Lời giải Chọn C Ta có 1 y = 2 −
x + 3x ⇒ y − ′ = + 3. x G − V: Do đó 1 1 1 y′ > 0 ⇔ + 3 > 0 ⇔ 3 > ⇔ x > T x x 9 RẦN Đ
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x −1 tại điểm x =1. ÌNH C f ′ = f ′ = f ′ = Ư A. ( ) 1 1 . B. ( ) 1 1. C. ( ) 1 0. D. Không tồn tại. 2 – 0834 Lời giải 33 21 Chọn D 33 Ta có f ′(x) 1 = . 2 x −1
Tại x =1 thì f ′(x) không xác định.
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 1− 2x . A. 1 y′ − − = . B. 4x y′ = . C. 2x y′ = . D. 2x y′ = . 2 2 1− 2x 2 1− 2x 2 1− 2x 2 1− 2x Lời giải Chọn C ( 2 1 2x )′ − − − Ta có 4x 2x y′ = = = . 2 2 2 2 1− 2x 2 1− 2x 1− 2x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số 2 3
y = x − 4x . 2 2 2 A. x − 6x y′ − − = . B. 1 y′ x 12x x 6x = . C. y′ = . D. y′ = . 2 3 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x Lời giải Chọn A 2 2 − − Ta có 2x 12x x 6x y′ = = . 2 3 2 3 2 x − 4x x − 4x
Câu 25: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ′(x) ≥ f (x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn C ( 2x 2x)′ − − − Ta có f ′(x) 2x 2 x 1 = = = . 2 2 2
2 x − 2x 2 x − 2x x − 2x
Khi đó, f ′(x) ≥ f (x) x −1 2 ⇔ ≥ x − 2x 2 x − 2x GV: − + T 2 2 3 5 3 5
⇔ x −1≥ x − 2x ⇔ x − 3x +1≤ 0 ⇔ ≤ x ≤ RẦ 2 2 N ĐÌN
Vì x∈ ⇒ x = {1; }
2 ⇒ tập S có 2 giá trị nguyên. H CƯ
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x x. – 0834
A. f ′(x) 1 = x.
B. f ′(x) 3 = x. C. ′( ) 1 x f x = . D. ′( ) x f x = x + . 33 2 2 2 x 2 21 33 Lời giải Chọn B ′
Ta có f ′(x) = x′ x + x ( x) 1 x 3 . . = x + . x = x + = x. 2 x 2 2
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x x − 2x. 2 2 2 A. 2x − 2 − − − − y′ 3x 4x 2x 3x 2x 2x 1 = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x Lời giải Chọn C 2 2 2 − − + − − Ta có 2 2x 2 x 2x x x 2x 3 ′ = − 2 + . x y x x x = = . 2 2 2 2 x − 2x x − 2x x − 2x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 28: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x. 2 2 A. 2 4x −1 y′ − = 2 x + x − . B. 2 4x 1
y′ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 x + x 2 2 C. 2 4x −1 y′ + = 2 x + x + . D. 2 4x 1
y′ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 2 x + x Lời giải Chọn C ′
Ta có y′ = ( x − )′ 2
x + x + ( x − ) ( 2 2 1 . 2 1 . x + x )
(2x − )1(2x + ) 2 1 2 2 4x −1 = 2. x + x + = 2 x + x + . 2 2 2 x + x 2 x + x
Câu 29: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . 2 x +1 A. x y′ = . B. x y′ = − . 2 2 (x +1) x +1 2 2 (x +1) x +1 2 C. x + y′ x(x 1) = . D. y′ = − . 2 2 2(x +1) x +1 2 x +1 GV: Lời giải T RẦ Chọn B N Đ ′ ÌN 2 2 ′ ′ − + H 1 ( x 1) −(x + ) 1 C Ta có y′ = = = Ư 2 2 2 2 x +1 x +1 2 x +1 x +1 – ( ) 08 34 −x 33 = . 2 2 21 x +1(x + ) 1 33
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số x −1 y = . 2 x +1 2 A. 2x 1+ 2(x +1) − + y′ x x x 1 = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 x +1 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) Lời giải Chọn B ′ x (x )′ x (x )( x ) 2 2 2 x +1 − (x − − + − − + )1 1 . 1 1 1 2 Ta có x +1 y′ = ( = x +1)2 ( x +1)2 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2
x +1− x + x 1+ x = ( = x ) . 3 2 3 2 (x + + 1) 1
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số 2x −1 y = . x + 2 A. 5 x + 2 + y′ = . . B. 1 5 x 2 y′ = . . . (2x − )2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 C. 1 x + 2 + y′ 1 5 x 2 = . . D. y′ = . . . 2 2x −1
2 (x + 2)2 2x −1 Lời giải Chọn D ′ − + Ta có 1 2x 1 1 5 x 2 y′ = . = . . .
2x −1 x + 2 2 (x + 2)2 2x −1 2 x+2 2
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = . x A. 1 x 1 y 1 ′ = − 1 x . B. y′ = . 2 2 2 x +1 x 2 2 x +1 GV: T 1 x 1 1 x 1 R C. y′ = 1+ . D. y′ = x − . Ầ 2 2 2 x +1 x 2 2 2 x +1 x N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn A – 08 2 ′ 34 + Ta có 1 x 1 1 x 1 ′ = = − 33 y 1 . 2 2 2 x +1 x 2 x +1 x 21 2 33 x
Câu 33: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . x +1 − x −1 A. 1 y′ = − ( B. 1 y′ = .
x +1 + x −1) .2
2 x +1 + 2 x −1 C. 1 1 y′ = + . D. 1 1 y′ = + . 4 x +1 4 x −1 2 x +1 2 x −1 Lời giải Chọn C Ta có 1 x +1 + x −1 y = = . x +1 − x −1 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 ′
⇒ y′ = ( x + + x − ) 1 1 1 1 1 1 1 = + = + . 2
2 2 x +1 2 x −1 4 x +1 4 x −1 2 Câu 34: + +
Tính đạo hàm của hàm số f (x) 3x 2x 1 = tại điểm x = 0. 3 2 2 3x + 2x +1
A. f ′(0) = 0. B. f ′( ) 1 0 = . C. Không tồn tại. D. f ′(0) =1. 2 Lời giải Chọn B ( ′ 2 3x + 2x + )′ 3 2
1 .2 3x + 2x +1 − ( 2 3x + 2x + ) 1 .( 3 2 2 3x + 2x +1)
Ta có f ′(x) = ( 2 3x + 2x +1)2 3 2 2 ( + ) 3 2 + + − ( 2 + + ) 9x + 4 6 2 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 3 2 4 3 2 3x + 2x +1
9x + 6x − 9x + 8x + 4 = ( = x x )2 4( 3 2 3x + 2x + ) 3 2 3 2 1 3x + 2x + + + 1 2 3 2 1 ⇒ f ′( ) 4 1 0 = = . 8 2 3 a G
Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số y =
( a là hằng số). V: 2 2 − T a x RẦ 3 a x 3 a x N ′ = ′ = A. y . B. y . Đ 2 2 2 2 2 2 − Ì − − a x N (a x ) a x H C 3 2 Ư 3 a x
a (3a − 2x) – C. y′ = . D. y′ = . 08 2( 2 2 a − x ) 2 2 a − x 2( 2 2 a − x ) 2 2 a − x 34 33 21 Lời giải 33 Chọn A ′ 3 −a ( 2 2 a − x ) 3 −a ( 2 − x) 3 Ta có a x y′ = = = . 2 2 2 2 a − x 2 a − x .( 2 2 a − x ) ( 2 2 a − x ) 2 2 a − x π
Câu 36: Tính đạo hàm của hàm số y sin 3x = − . 6 π π A. y 3cos 3x ′ = − . B. y′ = 3 − cos − 3x. 6 6 π π C. y cos 3x ′ = − . D. y′ = 3 − sin − 3x. 6 6 Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com π ′ π π Ta có y 3x .cos 3x 3.cos 3x ′ = − − = − − . 6 6 6 π
Câu 37: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 y sin x = − − . 2 3 π π A. 2 y x cos x ′ = − 1 . B. 2 y′ = x cos − x. 3 2 3 π π C. 1 y xsin x ′ = − 1 . D. 2 y′ = x cos − x . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A π ′ π π π Ta có 1 2 2 y . 1 x .cos x ′ = − − − = − .( 2 − x) 2 2 .cos − x = . x cos − x . 2 3 3 2 3 3
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
sin x − 3x + 2) . A. y′ = ( 2
cos x − 3x + 2).
B. y′ = ( x − ) ( 2 2
3 .sin x − 3x + 2).
C. y′ = ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2).
D. y′ = −( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2). Lời giải G Chọn C V: T ′ R Ta có 2 2 2
y′ = x − 3x + 2 .cos x − 3x + 2 = 2x − 3 .cos x − 3x + 2 . Ầ ( ) ( ) ( ) ( ) N ĐÌN
Câu 39: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x tan x + x . H CƯ ′ = + ′ = + A. 1
y 2x tan x . B. 1
y 2x tan x . – 08 2 x x 34 2 x 1 2 x 1 33
C. y′ = 2x tan x + + .
D. y′ = 2x tan x + + . 2 2 21 cos x 2 x cos x x 33 Lời giải Chọn C ′ ′ Ta có y (x ) x ( x)′ ′ = x + ( x ) 2 2 2 x 1 tan + tan . = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x
Câu 40: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 2cos x . A. 2 y′ = 2 − sin x . B. 2 y′ = 4 − x cos x . C. 2 y′ = 2 − xsin x . D. 2 y′ = 4 − xsin x . Lời giải Chọn D Ta có y′ = − ( 2 x )′ 2 2 2 2. .sin x = 2.2 − .xsin x = 4 − xsin x .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 41: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = tan . 2 A. 1 y′ = . B. 1 y′ = . C. 1 y′ = − . D. 1 y′ = − . 2 x +1 2cos 2 x +1 cos 2 x +1 2cos 2 x +1 cos 2 2 2 2 Lời giải Chọn A x +1 ′ ′ Ta có x +1 2 1 y′ = tan = = . 2 2 x +1 2 x + 1 cos 2cos 2 2
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2
y sin 2 x . A. 2x 2 2 x y cos 2 x . B. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x C. x x 1 2 y cos 2 x . D. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x Lời giải Chọn C 2 G 2 x 2 2 2 x 2 V:
Ta có y 2x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 2 T 2 2 x 2 x RẦN
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số y cos 2x 1 . ĐÌNH A. sin 2x 1 x x y . B. sin 2 1 y .
C. y sin 2x 1. D. sin 2 1 y . CƯ 2x 1 2x 1 2 2x 1 – 08 Lời giải 34 33 Chọn A 21 33 ′ ′ 2x +1
Ta có y′ = −( x + ) ( ) sin 2x +1 2 1 sin 2x +1 = sin 2x +1 = − . 2 2x +1 2x +1
Câu 44: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . A. x y′ = − . B. x y′ = . 2 2 2 x +1.sin x +1 2 2 2 x +1.sin x +1 C. 1 y′ = − . D. 1 y′ = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 Lời giải Chọn A ( ′ x 2 x +1) 2 Ta có x +1 x y′ = − = − = − . 2 2 2 2 2 2 2 sin x +1 sin x +1 x +1.sin x +1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(sin x).
A. y′ = cos(sin x).
B. y′ = cos(cos x).
C. y′ = cos .xcos(sin x).
D. y′ = cos .xcos(cos x). Lời giải Chọn C Ta có: y = sin (sin x) ′ = (sin x)′ ′
.cos(sin x) = cos .xcos(sin x) .
Câu 46: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(tan x). A. y′ = ( x) 1 sin tan ⋅ ⋅ B. y′ = − ( x) 1 sin tan ⋅ ⋅ 2 cos x 2 cos x
C. y′ = sin (tan x).
D. y′ = sin (tan x). Lời giải Chọn C Ta có y ( x)′ ′ = − ( x) 1 tan sin tan = − .sin tan x . 2 ( ) cos x
Câu 47: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2sin x − cos 2x + x .
A. y′ = 4sin x + sin 2x +1.
B. y′ = 4sin 2x +1. G
C. y′ = 4cos x + 2sin 2x +1.
D. y′ = 4sin x − 2sin 2x +1. V: T R Lời giải ẦN Đ Chọn B ÌNH ′ ′ C ′ = + + = + + Ư
Ta có y 2.2(sin x) .sin x (2x) sin 2x 1 4cos xsin x 2sin 2x 1 – 08
= 2sin 2x + 2sin 2x +1 = 4sin 2x +1 34 33 π π π 21
Câu 48: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = sin − 2x + x − . 33 2 2 4 π π π π A. y′ = 2
− sin (π − 4x) + ⋅ B. y′ = 2sin − x cos − x + . 2 2 2 2 π π π C. y′ = 2sin − x cos − x + .x D. y′ = 2
− sin (π − 4x). 2 2 2 Lời giải Chọn A π π π 1− cos π − 4x 2 ( ) Ta có π π y = sin − 2x + x − = + x − 2 2 4 2 2 4 1 ( π π π x) 1 cos 4 x = − − + + − 2 2 2 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com π π ′ Suy ra 1 y′ = − (π − x) 1 cos 4 + x + − 2 2 2 4 1 = ( ′ π π
π − 4x) sin(π − 4x) + = 2
− sin (π − 4x) + . 2 2 2
Câu 49: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = cos (2x − ) 1 . A. y′ = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − ) 1 . B. 2
y′ = 3cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . C. 2 y′ = 3 − cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . D. 2
y′ = 6cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . Lời giải Chọn A Ta có 3 y = ( x − ) ′ 2
cos 2 1 = 3cos (2x − ) 1 cos(2x − )1 ′ ′ = − ( x − ) 2 6sin 2 1 cos (2x − ) 1 = 3 − 2sin (2x − ) 1 cos(2x − ) 1 cos(2x − ) 1 = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − )1.
Câu 50: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = sin (1− x) . A. 3
y′ = cos (1− x). B. 3
y′ = −cos (1− x). C. 2 y′ = 3
− sin (1− x).cos(1− x). D. 2
y′ = 3sin (1− x).cos(1− x). GV: Lời giải T RẦN Chọn C ĐÌN 3 ′ ′ 2 2 H
Ta có y′ = sin (1− x) = 3.sin (1− x) .sin (1− x) = 3
− .cos(1− x).sin (1− x). CƯ –
Câu 51: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = tan x + cot 2x . 08 34 2 3tan x 2 33 A. 2
y′ = 3tan .xcot x + 2 tan 2 .x B. y′ = − + . 2 2 21 cos x sin 2x 33 1 2 3tan x 2 C. 2
y′ = 3tan x − . D. y′ = − . 2 sin 2x 2 2 cos x sin 2x Lời giải Chọn D 2
Ta có y′ = ( 3 x + x)′ 2 = x( x)′ 2 3tan x 2 tan cot 2 3tan tan − = − 2 2 2 sin 2x cos x sin 2x
Câu 52: Tính đạo hàm của hàm số sin x + cos x y = . sin x − cos x 2 2 A. −sin 2x y′ − = . B. sin x cos x y′ = .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 C. 2 − 2sin 2x y′ − = . D. 2 y′ = .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D 2 sin π x + + π Ta có sin x cos x 4 y = = = − tan x + . sin x − cos x π 4 2 cos x − + 4 − Suy ra 1 1 2 y′ = − = − = . 2 π
cos x − sin x
(sin x −cos x)2 2 cos x + 4 2
Câu 53: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = − . tan (1− 2x) A. 4x y′ − − − = . B. 4 y′ = . C. 4x y′ = . D. 4 y′ = . 2 sin (1− 2x) sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x) Lời giải Chọn D 1 − 2 − (tan(1− 2x))′ 4. 2 cos (1− 2x) − Ta có 4 y′ = − = = . 2 tan (1− 2x) 2 tan (1− 2x) 2 sin (1− 2x) GV: T x = R
Câu 54: Tính đạo hàm của hàm số cos 2 y . Ầ 3x +1 N Đ 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x ÌN A. y′ = . B. y′ = . H (3x + )2 1 3x +1 CƯ – −(3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x 2(3x + )
1 sin 2x + 3cos 2x 08 C. y′ = . D. y′ = . 34 (3x + )2 1 (3x + )2 1 33 21 Lời giải 33 Chọn A
(cos2x)′ (3x )1 (3x )1′ + − + .cos2x 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x Ta có y′ = = . (3x + )2 1 (3x + )2 1
Câu 55: Cho f (x) 2
= 2x − x + 2 và g (x) = f (sin x) . Tính đạo hàm của hàm số g (x) .
A. g′(x) = 2cos 2x −sin .x
B. g′(x) = 2sin 2x + cos .x
C. g′(x) = 2sin 2x − cos .x D. /
g (x) = 2cos 2x + sin .x Lời giải Chọn C
Ta có g (x) = f ( x) 2
sin = 2sin x − sin x + 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com ⇒ g (x) = ( 2
2sin x − sin x + 2)′ ′ = 2.2sin .
x cos x − cos x = 2sin 2x − cos . x
Câu 56: Tính đạo hàm của hàm số
f x 5sin x 3cos x tại điểm x . 2 A. f 3. B. C. D. f 3. f 5. f 5. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Ta có f x5sin x 3cos x 5sin x 3cos x 5cos x 3sin x . Suy ra f
5cos 3sin 3 2 2 2
Câu 57: Tính đạo hàm của hàm số f x 3
2 sin 2x tại điểm x . 5 5 A. f 4. B. C. D. f 4. f 2. f 2. 5 5 5 5 Lời giải Chọn A Ta có f x 3 3 3 3
2 sin 2x 2 . 2x cos
2x 4 cos 2x 5 5 5 5 GV: T Suy ra 3 2 f 4 cos .
4 cos 4 R Ầ 5 5 5 N ĐÌ x N
Câu 58: Hàm số 4
f x x có đạo hàm là f x , hàm số gx 2x sin
có đạo hàm là gx. Tính H 2 CƯ f 1 – giá trị biểu thức P . 08 g 1 34 33 A. 4 P . B. P 2. C. P 2. D. 4 P . 21 3 3 33 Lời giải Chọn B Ta có x x f x 3
4x và gx 2x sin 2 .cos . 2 2 2 Suy ra f 1 4 P 2. g 1 2 cos 2 2 Câu 59: Hàm số x
f x 4x có đạo hàm là f x , hàm số gx 4x sin
có đạo hàm là gx. Tính giá 4 trị biểu thức f 2 P . g2 A. P 1. B. 16 P . C. 16 P . D. 1 P . 16 17 16
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A Ta có x
f x 4 và gx 4 cos . 4 4 Suy ra f 2 4 P 1 g2 . 2 4 cos 4 4
Câu 60: Hàm số f (x) = asin x + bcos x +1 có đạo hàm là f ′(x). Để f ′( ) 1 0 = và f π − = 1 thì giá 2 4
trị của a và b bằng bao nhiêu? A. 2 a = b = . B. 2 2 a = ; b = − . 2 2 2 C. 1 1 a = ; b = − . D. 1 a = b = . 2 2 2 Lời giải Chọn D f′( ) 1 0 = 2 Ta có /
f (x) = acos x − bsin x. Khi đó f π − = 1 GV: 4 T RẦN 1 1 1
a cos0 − bsin 0 = a = Đ b = Ì 2 2 N 2 ⇔ ⇔ ⇔ . H π π − + − + = 2 2 1 C asin b cos 1 1 Ư − a + b = 0 a = 4 4 – 2 2 2 08 34
Câu 61: Cho hàm số y = f (x) 2
− cos x với f (x) là hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức dưới 33 21
đây, biểu thức nào xác định hàm số f x thỏa mãn y′ x = với mọi x ∈ 33 ( ) ( ) 1 ? A. f (x) 1
= x + cos2x. B. f (x) 1 = x − cos2x. 2 2
C. f (x) = x −sin2x.
D. f (x) = x + sin2x. Lời giải Chọn A
Ta có y′(x) = f ′(x) + 2sin x cos x = f ′(x) + sin2x .
Suy ra y′(x) =1⇔ f ′(x) + sin2x =1⇔ f ′(x) =1−sin2x.
Đến đây ta lần lượt xét từng đáp án, ví dụ xét đáp án A ta có / f ′(x) 1 1
= x + cos2x = x + (cos x)/ / 2 =
1− sin 2x (thỏa mãn) 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Câu 62: Cho hàm số 2
y = cos x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π). A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Lời giải Chọn C y' = 2
− cosxsin x + cosx = cosx(1− 2sin x) x π = + kπ 2 cosx = 0 y' = 0 π ⇔ 1 ⇔ x = + k2π ;(k ∈) sinx = 6 2 5 x π = + k2π 6 Vì π π 5π x∈(0; ) π ⇒ x∈ ; ;
. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng (0;π) 6 2 6
Câu 63: Cho hàm số y = (m +1)sinx + mcosx − (m + 2)x +1. Tìm giá trị của m để y' = 0 có nghiệm? A. m ≤ 1 − . B. m ≥ 2. C. 1 − ≤ m ≤ 3. D. m ≤ 2. − m ≥ 3 Lời giải Chọn A
y' = (m +1)cosx − msinx − (m + 2)
Phương trình y' = 0 ⇔ (m +1)cosx − msinx = (m + 2) GV:
Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2 a + b ≥ c T R ≤ − Ầ 2 2 2 2 m 1
⇔ (m +1) + m ≥ (m + 2) ⇔ m − 2m − 3 ≥ 0 ⇔ N m ≥ 3 ĐÌNH C = ′ Ư
Câu 64: Cho hàm số ( ) cosx f x
. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f (x) = 0 trên – cos2x 08
đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt? 34 33 A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 3 điểm. D. 4 điểm. 21 Lời giải 33 Chọn B 1 −sin x. cos2x − cosx (−sin2x) f′(x) 2 cos2x sin x = = 3 cos2x cos2x f '(x) = 0 ⇔ x = k ,k π ∈ .
Ta biểu diễn được 2 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.
Câu 65: Cho hàm số f (x) = −cosx + sinx − cos2x. Phương trình f′(x) =1 tương đương với phương trình nào sau đây? A. sinx = 0. B. sinx −1= 0. C. (sinx − ) 1 (cosx − ) 1 = 0. D. cosx = 0. Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f ′(x) = sinx + cosx + 2sin2x
f′(x) =1⇔ sinx + cosx + 2sin2x =1 Đặt = + ( ≤ ) 2 t sin x cosx t 2 ⇒ sin2x = t −1 t = 1 Khi đó phương trình 2 2t t 3 0 ⇔ + − = ⇔ 3 t = − (l) 2 x = k2π Với π t 1 sinx cosx 1 2 sin x 1 = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ π ( k∈Z) 4 x = + k2π 2
Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình (sinx − ) 1 (cosx − ) 1 = 0 .
Câu 66: Cho hàm số f (x) 3 cos x 3 = 2
+ sin x − 2cosx − 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng 3
giác f′(x) trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Lời giải Chọn B ′( ) 3 3 f x = 2sin x − 3cos x f′(x) 3 3 3 3 = 0 ⇔ tan x = ⇔ tan x = . 2 2 GV: T
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. RẦ 2 N x +x 1 +
Câu 67: Hàm số y = 8
(6x +3)ln 2 là đạo hàm của hàm số nào sau đây? ĐÌNH A. 2 1 8 + + = x x y B. 2 1 2 + + = x x y C. 2 3 3 1 2 + + = x x y D. 2 3 3 1 8 + + = x x y CƯ Lời giải – 08 Chọn A 34 33 x 21
Câu 68: Đạo hàm của hàm số 1 y + = 33 9x 1− 2(x + ) 1− (x + ) A. 1 ln 3 1 ln 3 y ' = . B. y ' = . 2 3 x 2 3 x 1− 2(x + ) 1− 2(x + ) C. 1 ln 9 1 ln 3 y ' = . D. y ' = . 3x 3x Lời giải Chọn A (x ) 1 ′
+ .9x − (9x )′ .(x + ) 1
9x − 9x (x + ) 1 ln 9 1− 2(x + ) 1 ln 3 y′ = = = . 2x 2x 2 9 9 3 x
Câu 69: Cho hàm số y = log (2x +1) 3 , ta có: 1 2 A. 1 y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. 2 y′ = . 2x +1 (2x +1)ln 3 (2x +1)ln 3 2x +1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C 1
Câu 70: Đạo hàm của hàm số y = là: log x 2 A. ' ln 2 x ln 2 x ln 2 y = − . B. ' ln 2 y = . C. 'y = − . D. 'y = . 2 x ln x 2 x ln x 2 log x 2 log x 2 2 Lời giải Chọn A log x ' ( )' 2 ln 2 y = − = − 2 2 ln x xln x
Câu 71: Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
A. (3x )′ = 3x ln3
B. (10x )′ =10x ln10 C. ( ′ 1 log x = D. ( 2x )′ 2 = x e e 3 ) xln3 Lời giải Chọn D
Ta có ( 2x )′ 2 = 2 x e
e , suy ra D sai.
Câu 72: Đạo hàm của hàm số y = (2x + ) 1 ln (1− x) là. A. ( − x) 2x +1 2ln 1 − .
B. 2xln (x − ) 1 . 1− x x + x + G C. 2 1 + 2x. D. ( − x) 2 1 2ln 1 + . V: 1− x 1− x T R Lời giải ẦN Đ Chọn A ÌNH y ( x )′ ′ = +
( − x)+( x + ) ( ( − x))′ = ( − x)+( x + ) 1 2 1 .ln 1 2 1 . ln 1 2.ln 1 2 1 . − CƯ (1− x) – 08 2x +1 = − − 34 2ln (1 x) 1− x 33 21 x −1 33
Câu 73: Đạo hàm của hàm số y = log2 là: ln x + − + − + − + −
A. xln x 1 x
B. xln x 1 x .
C. xln x 1 x .
D. xln x 1 x . x(x − ) . 1 ln 2 (x − ) 1 ln xln 2 (x − )1ln 2 x(x − ) 1 ln 2.ln x Lời giải Chọn D ' x −1 + − Ta có: ' ln x xln x 1 x y = = x − x(x − ) . 1 1 ln 2.ln ln 2 x ln x
Câu 74: Cho hàm số ( ) 2 ` = 2x +a f x v a f ′( )
1 = 2ln2. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 − < a < 0
B. 0 < a <1 C. a >1 D. a < 2 − Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Ta có f (x) 2 x +a = x ⇒ f ( ) a 1 + a 1 2 .2 ln 2 1 = 2ln 2.2 = 2ln 2 ⇒ 2 + ′ ′ = 1⇒ a = 1 − Câu 75: Cho hàm số 1
y = ln . Hệ thức nào sau đây đúng? x A. y e + y' = 0 B. y e − y' = 0 C. y e .y' = 0 D. y 1 e .y' = 2 x Lời giải Chọn A / 1 1 1 1 1 Ta có y ' = = = . x − = − y 1 , = ln x e
e = ⇒ y ' y + e = 0 2 1 x x x x x GV: T RẦ N Đ ÌNH CƯ – 08 34 33 21 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 33. ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí)
được cho bởi phương trình sau: π
x(t) 4cos 2πt = + , 3
ở đó x tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại
thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CẤP HAI
HĐ1. Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số π a)
Gọi g (x) là đạo hàm của hàm số y sin 2x = +
. Tính g ( x) . 4 b)
Tính đạo hàm của hàm số y = g (x) Lời giải π
a) Với hàm số y sin 2x = + , ta có: 4 π y ' 2cos 2x = +
đạo hàm cấp hai của y : 4 ' G π π V:
y '' = 2cos 2x + = 4 − sin 2x + T 4 4 RẦN
b) Giả sử g(x) là đạo hàm của hàm số y = f (x) . ĐÌNH ′ π
Ta có: g(x) f (x) 2cos2x = = + C Ư 4 – 08
Để tính đạo hàm của hàm số y = g(x) , ta tính đạo hàm của g(x) theo công thức: 34 33 π 21 g (′x) = 4 − sin 2x + 33 4
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm tại mỗi điểm x∈( ;
a b) . Nếu hàm số y′ = f ′(x) lại có đạo hàm
tại x thì ta gọi đạo hàm của y′ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) tại x, kí hiệu là y′′ hoặc f ′′(x)
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 2 2x 1 y x e − = +
. Từ đó tính y′′(0). Lời giải
Ta có: y′ = x + ( x − )′ 2x 1− 2x 1 2 2 1 .e
= 2x + 2.e − ;
y′′ = + ( x − )′ 2x 1− 2x 1 2 2 2 1 .e = 2 + 4.e − .
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là 2 1 2 4 x y e − ′′ = + . Khi đó ta có: y ( ) 1 0 2 4e− ′′ = + .
Luyện tập 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com a) 2 = . x y x e
b) y = ln (2x + 3). Lời giải a) 2x 2x 2 ′ = + 2 = (2 +1) x y e xe x e 2x y = xe là 2 ′′ = 2(2 + 2) x y x e − b) 2 d 2 4 y′ = ; y′′ = = 2 2x + 3
dx 2x + 3 (2x + 3)
2.Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI v ∆
Xét một chuyển động có vận tốc tức thời v(t) . Cho số gia t
∆ tại t và v
∆ = v(t + t
∆ ) − v(t) . Tỉ số gọi t ∆
là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian t
∆ . Giới hạn của gia tốc trung bình (nếu có) khi t ∆ dần tới 0
được gọi là gia tốc tức thời của chuyền động tại thời điểm t , kí hiệu là a(t). v ∆
Như vậy a(t) = lim = v′(t) t ∆ →0 t ∆
HĐ2. Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos 2πt .
a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t .
b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t . Lời giải G
a) Để tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta tính đạo hàm cấp nhất của s(t) theo t : V: T R ds Ầ v(t) = = 8
− π sin(2πt) b) Để tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta tính đạo hàm N dt ĐÌN
cấp hai của s(t) theo t : H C 2 Ư d s 2 – a(t) = = 16 − π cos(2πt) 08 dt 34 33
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai 21 33
Một chuyển động có phương trình s = f (t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f (t) là gia tốc
tức thời của chuyển động. Ta có: a(t) = f ′′(t)
Ví dụ 2. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải
Vận tốc của vật tại thời điểm t là π ′ π π
v(t) = x (t) = − 2πt + .4sin 2πt + = 8 − π sin 2πt ′ + . 3 3 3
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là π ′ π π
a(t) = v (t) 2 = 8 − π 2πt + .cos 2πt + = 16 − π cos 2πt ′ + . 3 3 3
Tại thời điểm t = 5 , gia tốc của vật là
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com π π a( ) 2 2 = − π π + = − π ≈ − ( 2 5 16 cos 10 16 cos 79 cm / s ). 3 3 1
Vận dụng. Một vật chuyển động thẳng có phương trình 2 4
s = 2t + t ( s tính bằng mét, t tính bằng 2
giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây. Lời giải
Đạo hàm cấp một của s(t) theo t : 3
v(t) = 4t + 2t
Đạo hàm cấp hai của s(t) theo t : 2
a(t) =12t + 2
Vậy, gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là: 2 a = + = ( 2 (4) 12(4) 2 194 m / s )
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y = f (x) 1. Phương pháp
Tính đạo hàm cấp 1: f’(x)
Tính đạo hàm cấp 2: ' f ' (x) = f '(x)
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) 4 5 2 = x − 3x − x + 4 5 Hướng dẫn giải G 4 ′ ′′ V: f (x) 5 2 = x − 3x − x + 4 thì ( ) 4
f x = 4x − 6x −1, do đó: ( ) 3 f x = 16x − 6. 5 T RẦ
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x N Đ Hướng dẫn giải ÌNH y = cos2x thì y′ = 2 − sin2x. Do đó y′ = 4 − cos2x. CƯ 1 1 – = + −
− Giải f ''(x) ≥ 0
Ví dụ 3: Cho hàm số f (x) 3 2 x x 12x 1. 08 3 2 34 33 Hướng dẫn giải 21 1 1 2 33 f (x) 3 2
= x + x −12x −1 thì f ′(x) = x + x −12; f ′′(x) = 2x +1. 3 2
Do đó f ′ (x) 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2
Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y = . Tính y′′? x +1 Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 y′ = − ⇒ y′′ = . (x + )2 1 (x + )3 1
Ví dụ 5: Cho hàm số x − 3 y = . Tính = ( ′)2 M 2 y + (1− y).y′.′ x + 4 Hướng dẫn giải Ta có: 7 14 y′ = ⇒ y′′ = − (x + 4)2 (x + 4)3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lại có x − 3 7 1− y = 1− = x + 4 x + 4 Vậy: = ( )2 + ( − ) 49 7 14 M 2 y 1 y .y = 2. + . ′ ′′ − = 0. ( + )4 x + 4 x 4 (x+4)3
Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 y = x + x +1. Tính 2 y′ − 2y.y′.′ 2 Hướng dẫn giải
Ta có: y′ = x +1⇒ y′ =1. Vậy: y′ − 2y.y′ = (x + )2 2 1 2 2 2
1 − 2 x + x +1.1= x + 2x +1− x − 2x − 2 = 1 − . 2
Ví dụ 7: Cho hàm số y = xsinx. Tính xy − 2(y′ −sinx) + xy′.′ Hướng dẫn giải
Ta có: y′ = sinx + cosx ⇒ y′ = cosx + (cosx − xsinx) = 2cosx − xsinx. Vậy: − ( ′ − ) 2 + ′′ = − ( + − ) 2 xy 2 y sin x xy
x sin x 2 sin x x cosx sin x + 2x cosx − x sin x = 0.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = Asin(ωx + ϕ).Tính 2 M = y′ + ω .y. Hướng dẫn giải Ta có: ′ = ω (ω +ϕ) 2 y A cos x
⇒ y′ = −Aω sin(ωx + ϕ) 2 2 2 ⇒ ′′ G
y + ω y = −Aω sin(ωx + ϕ) + Aω sin(ωx + ϕ) = 0. V: T
Ví dụ 9: Cho hàm số y = sin 2x − cos 2x . Giải phương trình y′ = 0. RẦN Hướng dẫn giải ĐÌN
Ta có: y′ = 2cos 2x + 2sin 2x ⇒ y′ = 4 − sin 2x + 4cos 2 . x H C π Ư
Phương trình y′ = 0 ⇔ 4
− sin 2x + 4cos 2x = 0 ⇔ sin 2x − = 0 – 4 08 34 π π π
⇔ 2x − = kπ ⇔ x = + k ;k ∈ . 33 4 8 2 21 2 33 x
Ví dụ 10: Cho hàm số: y = (m − 4) + cos .x 2
Tìm m sao cho y′ ≤ 0 với mọi x ∈ . Hướng dẫn giải
Ta có: y′ = (m − 4) x −sin x ⇒ y′′ = m − 4 − cos x
y′′ ≤ 0 ⇔ m − 4 − cos x ≤ 0 ⇔ cos x ≥ m − 4(*) Vì cos x ≥ 1, − x ∀ ∈ .
Vậy bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng x ∀ ∈ ⇔ 1
− ≥ m − 4 ⇔ m ≤ 3.
Ví dụ 11: Cho hàm số 3x − 2 y =
. Giải bất phương trình y′ > 0. 1− x Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 y′ = ⇒ y′′ = . (1−x)2 (1−x)3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Vậy 2 y′′ > 0 ⇔
> 0 ⇔ 1− x > 0 ⇔ x < 1. (1−x)3 3 3 2 Ví dụ 12 : x + 3x + 2
ax + bx + cx + d
Hàm số f (x) = có f ( ′′ x) =
. Tính S = a − b + c − 2d . x −1 (x − )3 1 Lời giải 3 x + 3x + 2 Ta có : f (x) = = 2 6 x + x + 4 + . x −1 x −1 6
⇒ f (′x) = 2x +1− ( . x − )2 1 12 2(x − )3 1 +12 3 2
2x − 6x + 6x +10 ⇒ f ( ′′ x) = 2 + = = ( . x − )3 1 (x − )3 1 (x − )3 1
⇒ a = 2, b = 6,
− c = 6, d =10 .
Do đó S = a − b + c − 2d = 6 − .
Dạng 2: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai 1. Phương pháp GV: T
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời (γ ) tại thời điểm t là đạo hàm cấp 2 của hàm số RẦN s = f (t) Đ . ÌNH CƯ
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng – 3 2 08
Câu 1: Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình : s = t −3t + 5t + 2 , trong 34
đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3 . 33 21 Lời giải 33
• Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s ''(3)
• Ta có: s′(t) 2 = 3t − 6t + 5
• s′′(t) = t − ⇒ s′ ( ) 2 6 6 3 =12m / s .
Câu 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t
− + 3t + 9t , trong đó t tính bằng giây
và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Lời giải
• Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: 2 v = S′ = 3 − t + 6t + 9
• Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: a = S′′ = 6 − t + 6
• Gia tốc triệt tiêu khi S′′ = 0 ⇔ t =1.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
• Khi đó vận tốc của chuyển động là S′( ) 1 =12m/ s .
Câu 3: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) 3 2 = t
− + 6t với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động, s(t) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Tính thời điểm t tại đó vận tốc
đạt giá trị lớn nhất. Lời giải
Ta có v(t) = s′(t) 2 = 3
− t +12t có đồ thị là Parabol, do đó v(t) 12 t − ⇔ = = 2. max 6 −
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 9.13. Cho hàm số ( ) 2 x
f x = x e . Tính f ′′(0) . Lời giải x 2 x ′ = + = ( 2 ( ) 2 + 2 ) x f x xe x e x x e
Tính giá trị của f ′(x) tại điểm x = 0 : ′ = ( x f + ) 0 (0) 0 2.0 e = 0.1 = 0
Bài 9.14. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = ln (x + ) 1 ; b) y = tan 2x . Lời giải a) 1 y′ = x +1 GV: 1 T y′′ = − R 2 Ầ (x +1) N Đ 1 ÌN b) y′ = 2⋅ (2x) H 2 cos x CƯ 1 – 2 y′′ = 8⋅
tan(2x) = 8 1+ tan (2x) tan(2x) 08 2 ( ) cos x 34 33
Bài 9.15. Cho hàm số P(x) 2
= ax + bx + 3 (a,b là hằng số). Tìm a,b biết P( ) 1 = 0 và P′′( ) 1 = 2 − . 21 33 Lời giải Ta có P (1 ′ ) = 0 P (1
′ ) = 2a(1) + b = 0 ⇒ 2a = b − Vì (1 P′′ ) = 2 − P ( ′′ 1) = 2a( 1) − = 2 − ⇒ a =1
Vậy a =1 và b = 2 − a = 2 − 2
⇒ P(x) = x − 2x + 3 π
Bài 9.16. Cho hàm số f (x) 2 2sin x = +
. Chứng minh rằng f ′′ (x) ≤ 4 với mọi x . 4 Lời giải 2 2 π 2
f (x) = 2sin x + = 2 cos(x) 4 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 1 2 1 2 2 sin (x) cos (x)
2 sin(x)cos(x) = + + 2 2
f (′x) = 2(cos(x) − sin(x) + 2 cos(x))
f ′(′x) = 2(−sin(x) − cos(x) + 2(−sin(x) + cos(x))) = 4 − cos(x)
Do đó, với mọi giá trị của x , ta có: f (
′′ x) = 4 | cos(x) |≤ 4 π
Bài 9.17. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) 10 0,5sin 2πt = + + , trong đó s 5
tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả
đến chữ số thập phân thứ nhất). Lời giải π π
Đạo hàm của s(t) theo t : ds 0,5.2π.cos2pit π cos2πt = + = + dt 5 5 2
Đạo hàm cấp hai của s(t) theo π t : d s 2 π sin 2πt = − + 2 dt 5 2
Tại t = 5 giây: d s 2 π 2 = π − sin 2π 5 + ≈ 24.5 − cm / s 2 dt 5
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 5 4
f x = 2x − +1 bằng biểu thức nào sau đây? G x V: T 4 4 8 8 R A. 3 40x − . B. 3 40x + . C. 3 40x − . D. 3 40x + . Ầ 3 x 3 x 3 x 3 x N Đ Lời giải ÌNH CHỌN C CƯ 4 8 – = − + thì f′ x =10x + , do đó f′ x = 40x − . ( ) 5 4 f x 2x 1 ( ) 4 ( ) 3 08 x 2 x 3 x 34 33
Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào sau đây? 21 33 A. −sin2x. B. 4 − sin x. C. 4 − sin2x. D. 2 − sin2x. Lời giải CHỌN C
y = sin2x thì y′ = 2cos2x . Do đó y′ = 4 − sin2x . 2
Câu 3: Cho hàm số y = cos x. Tính y′′? A. y′ = 2 − cos2x. B. y′ = 4 − cos2x. C. y′ = 2cos2x. D. y′ = 4cos2x. Lời giải CHỌN A Ta có: y′ = 2
− cosxsin x = −sin2x ⇒ y′ = 2 − cos2x. 2 3
Câu 4: Cho hàm số y = 2x − x . Tính M = y .y′ +1. A. 1 2. − B. 0. C. 1. − D. . 2 2x − x Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com CHỌN B 1− x 1 1− x 2 ( )2 Ta có: y = ⇒ y = . 1. − 2x − x ′ ′ − 2 2x − x ( 2 2x x ) 2 2x − x − 1 − 3 3 = ( ⇒ y .y′′ = 1 − ⇒ y .y′′ +1 = 0 . 2 2x − x ) 2 2x − x
Câu 5: Cho hàm số f (x) = (x + )4 1 . Tính f ′′(2). A. 27. B. 81. C. 96. D. 108. Lời giải CHỌN D
Ta có: ′( ) = ( + )3 ⇒ ′ ( ) = ( + )2 f x 4 x 1 f x
12 x 1 . Vậy f′′(2) =108. Câu 6: Cho hàm số 3 y = sin .
x Tính M = y′′ + 9 . y A. sinx. B. 6sinx. C. 6cosx. D. 6 − sin x. Lời giải CHỌN B Ta có: 2 2 3
y′ = 3sin x cosx ⇒ y′ = 6sin x cos x − 3sin x. Vậy: 2 3 3 = ′ + = − + = ( 2 2 M y
9y 6sin x cos x 3sin x 9sin x 6sin x cos x + sin x) = 6sinx. GV: Câu 7: = − +
− Giải bất phương trình y′ < 0. T Cho hàm số 5 4 y 3x 5x 3x 2. RẦ A. x∈ − ;1 ∞ \ 0 . B. x∈ 1;+∞ . C. x∈ 1; − 1 . D. x∈ 2; − 2 . N ( ) { } ( ) ( ) ( ) ĐÌN Lời giải H C CHỌN A Ư – Ta có: 4 3 3 2
y′ = 15x − 20x + 3 ⇒ y′ = 60x − 60x . 08 34 3 2 2 x < 1 33
y′′ < 0 ⇔ 60x − 60x < 0 ⇔ 60x (x − ) 1 < 0 ⇔ . x ≠ 0 21 33 Câu 8: Cho hàm số 1 y =
. Giải bất phương trình y′ < 0. (x + )3 1 A. x < 1. − B. x > 1. − C. x ≠1. D. Vô nghiệm. Lời giải CHỌN A Ta có: 3 − 12 y′ = ⇒ y′′ = . (x + )4 1 (x + )5 1 Vậy 12 y′′ < 0 ⇔
< 0 ⇔ x +1< 0 ⇔ x < 1 − . (x + )5 1
Câu 9: Cho hàm số = ( ) 2 2 − x + 3x y f x =
. Đạo hàm cấp 2 của f là: 1− x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. 1 y′′ 2 2 − 2 = 2 + . B. y′′ = . C. y′′ = . D. y′′ = . (1−x)2 (1−x)3 (1−x)3 (1−x)4 Lời giải CHỌN B 1 1 2(1− x)(− ) 1 2 y = 2x −1+ ⇒ y′ = 2 + ⇒ y′ = = . 1− x (1− x)2 (1− x)2 (1− x)3
Câu 10: Cho hàm số: = ( − ) 4 3 2 y 2 m x + 2x + 2mx + 2m −1.
Tìm m để phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. A. 1 3 m 3 1 ∈− ; ∞ ∪ ;+∞ \ { } 2 . B. m∈− ;
∞ − ∪ ;+∞ \ { } 2 . 2 2 2 2 C. 3 1 m 1 3 ∈− ;
∞ − ∪− ;+∞ \ { } 2 . D. m∈− ; ∞ ∪ ;+∞ \ { } 2 . 2 2 2 2 Lời giải CHỌN D Ta có: ′ = ( − ) 3 2 + + ⇒ ′′ = ( − ) 2 y 4 2 m x 6x 4mx y 12 2 m x +12x + 4m.
Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay phương trình: ( − ) 2 3 2 m x + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt. m ≠ 2 G V: 1 2 − m ≠ 0 2 − m ≠ 0 m < T ⇔ ⇔ ⇔ . R 2 2 ∆ > 0 − + > Ầ 4m 8m 3 0 N 3 m > Đ Ì 2 NH CƯ
Câu 11: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t − 3t – 08
(t: tính bằng giây, s: tính bằng mét). 34
Khẳng định nào sau đây là đúng? 33 21
A. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v =12m / s. 33
B. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24m / s.
C. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a =18m / s .
D. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a = 9m / s . Lời giải CHỌN C 3 2 2
S = t − 3t ⇒ v(t) = S′ = 3t − 6t ⇒ ( ) 2 v 3 = 3.3 −18 = 9(m / s). 3 2
S = t − 3t ⇒ a = S′′ = 6t − 6 2 ( a = 6.4 − 6 = 18 m / s . t=4s) ( )
Câu 12: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 3t + 5t + 2 , trong đó t tính
bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. ( 2 24 m / s ). B. ( 2 17 m / s ). C. ( 2 14 m / s ). D. ( 2 12 m / s ). Lời giải CHỌN D
Gia tốc của chuyển động khi t = 3 bằng S′′(3). ′( ) 2
S t = 3t − 6t + 5; S′′(t) = 6t − 6 nên ′ ( ) = − = ( 2 S 3 18 6 12 m / s ).
Câu 13: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 3t − 9t + 2 (t: tính bằng giây, s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 3.
B. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 là 2 a =12m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là 2 a =12m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0. Lời giải CHỌN C 3 2 S = t − 3t − 9t + 2 ⇒ v(t) 2 = S3t − 6t − 9 ( ) 2 2 t = 1 −
v t = 0 ⇔ 3t − 6t − 9 = 0 ⇔ t − 2t − 3 = 0 ⇔ t =3 GV: 3 2 S = t − 3t − 9t + 2 T R ⇒ a = S′′ = 6t − 6 ẦN 2 Đ ⇒ a = 6.3 − 6 = 12 m / s . t=3s Ì ( ) ( ) NH CƯ
Câu 14: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S = t − 2t + 4t +1, trong đó t – 08
tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 2 là: 34 A. 2 12 m / s . B. 2 8 m / s . C. 2 7 m / s . D. 2 6 m / s . 33 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 33 Lời giải CHỌN B
Gia tốc của chuyển động khi t = 2 bằng S′′(2). ′( ) 2
S t = 3t − 4t + 4; S′′(t) = 6t − 4 nên ′ ( ) = − = ( 2 S 2 12 4 8 m / s ).
Câu 15: Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức S (t) 2 3
= 4 − 2t + 4t + 2t , trong đó t > 0 và t tính bằng giây (s) , S (t) tính bằng mét (m) . Tìm
gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 5(s) . A. a = 68 .
B. a =115 .
C. a =100 .
D. a = 225 . Lời giải Chọn A
Theo ứng dụng đạo hàm của hàm số có:
v(t) = S′(t) 2 = 2
− + 8t + 6t và a(t) = v′(t) = 8 +12t ⇒ a( ) = ( 2 5
68 m / s ) .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 16: Một vật chuyển động có phương trình 4 3 2
S = t −3t −3t + 2t +1 (m) , t là thời gian tính bằng giây.
Gia tốc của vật tại thời điểm t = s 3 là A. 2 48 m/s . B. 2 28 m/s . C. 2 18 m/s . D. 2 54 m/s . Lời giải Chọn A 4 3 2
S = f (t) = t − 3t − 3t + 2t +1 ⇒ 3 2
f '(t) = 4t − 9t − 6t + 2 ⇒ 2
a(t) = f '(t) =12t −18t − 6
Gia tốc của vật tại thời điểm t = s 3 là 2
a(3) =12.3 −18.3− 6= 2 48 m/s .
Câu 17: Một chất điểm chuyển động có phương trình 3 2 s = t
− + t + t + 4 ( t là thời gian tính bằng giây).
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là A. 6 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B
Vận tốc của chất điểm có phương trình là: 2 v = s' = 3 − t + 2t +1. b − 1
Vận tốc của chất điểm đạt GTLN khi t = = . 2a 3 GV: T
Gia tốc của chất điểm có phương trình là: s'' = 6 − t + 2 . RẦN 1 = Đ
Tại thời điểm vận tốc đạt GTLN thì gia tốc bằng s '' 0 . ÌN 3 H CƯ
Câu 18: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s(t) 2t 3t 4t, trong đó t được tính – 08
bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng không 34 33 là 21
A. 2,5m / .s
B. 4m / .s
C. 2,5m / .s
D. 8,5m / .s 33 Lời giải Chọn C
Ta có, gia tốc tức thời của chuyển động bằng: a(t) s(t) 12 t6. Thời điểm gia tốc bằng
không là: a(t) s(t) 12 t6 0 t 0,5.Vậy khi đó vận tốc tức thời của chuyển động bằng 2 5
v(t) s(t) 6t 6t 4 v(0,5) . vậy chọn C 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX A. TRẮC NGHIỆM
Câu 9.18. Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng? ′ ′ ′ + ′
A. (u + v)′ = u′ − v′.
B. (uv)′ = u v′ + uv′. C. 1 1 = − u u v uv . D. = . 2 v v 2 v v Lời giải Chọn D π
Câu 9.19. Cho hàm số f (x) 2 3
= x + sin x . Khi đó f ′ bằng 2 A. π . B. 2π . C. π + 3. D. π − 3. Lời giải Chọn A
Câu 9.20. Cho hàm số f (x) 1 3 2
= x − x − 3x +1. Tập nghiệm của bất phương trình f ′(x) ≤ 0 là 3 A. [1; ] 3 . B. [ 1; − ] 3 . C. [ 3 − ; ] 1 . D. [ 3 − ;− ] 1 . Lời giải Chọn D
Câu 9.21. Cho hàm số f (x) = 4 + 3u (x) với u ( ) 1 = 7,u′( )
1 =10. Khi đó f ′( ) 1 bằng GV: T A. 1. B. 6 . C. 3. D. 3 − . RẦN Lời giải ĐÌ Chọn C NH C 3 3 3 Ư f ′(u) = = = . x 1 = – 2 4 + 3u ( ) 1 2 25 10 08 34 Với u′( ) 1 =10 . 33 21 33
Câu 9.22. Cho hàm số ( ) 2 2x f x x e− =
. Tập nghiệm của phương trình f ′(x) = 0 là A. {0; } 1 . B. {0; } 1 − . C. { } 0 . D. { } 1 . Lời giải Chọn A ( ) 2 −x = ⇒ ′( ) = ( 2 )′ 2 + ( 2−x )′ 2 − x 2 2e − 2 = 2 − 2 = 2 − x f x x e f x x e x e xe x e xe (1− x) Giải phương trình 2 2 − x
xe (1− x) = 0 .
Phương trình này có hai nghiệm là x = 0, 1 x = . π
Câu 9.23. Chuyển động của một vật có phương trình s(t) sin 0,8πt = +
, ở đó s tính bằng centimét 3
và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0 , giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần
với giá trị nào sau đây nhất? A. 2 4,5 cm / s . B. 2 5,5 cm / s . C. 2 6,3 cm / s . D. 2 7,1 cm / s .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D Câu 9.24. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 4x −1 có đồ thị là (C). Hê̂ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một
điểm M trên đồ thị (C) là A. 1. B. 2 . C. 1 − . D. 3. Lời giải Chọn B. B. TỰ LUẬN
Bài 9.25. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 5 a) 2x −1 2x y = ; b) y = ; c) x 2
y = e sin x ;
d) y = log(x + x) . x 2 + 2 x +1 Lời giải 4 2x −1
x + 2 .2 − 2x −1 .1 10(2x − ) 1 (x + 2)3 a) y′(x) ( ) ( ) 20x − 50 = 5 . = = . x + 2 (x + 2)2 (x + 2)4 (x + 2)4 2( 2 x + ) 1 − 2x(2x) 2( 2 1− x ) b) y′(x) = ( = . x + )2 1 (x + )2 2 2 1 c) y′(x) x x 2 x = e x c e x c e x( x ) x 2
.2sin . osx + .2sin .2 osx = 2 sin cos x+ sin cos x = 2e sin x ox c x . GV: d) 1 1 1 1 ′ = + = = T y (x) .1 R x x 2 x
x (2 x + x + 2) x (3 x + 2) ẦN ĐÌ
Bài 9.26. Xét hàm số luỹ thừa y xα = với α là số thực: NH C
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho. Ư – α α b) Bằng cách viết ln x y = x = e
, tính đạo hàm của hàm số đã cho. 08 34 Lời giải 33 21
a) Tập xác định của hàm số y xα =
là tập các số thực dương nếu α là số thực chẵn, hoặc tập các số thực 33
nếu α là số thực lẻ.
b) ( ) d ( αlnx ) αlnx d y x e e ( x) α 1 ln α x − ′ = = = . dx dx
Bài 9.27. Cho hàm số f (x) = 3x +1 . Đặt g (x) = f ( ) + ( 2 1 4 x − ) 1 f ′( ) 1 . Tính g (2) . Lời giải f (x) =
x ⇒ f ′(x) 3 = ⇒ f ′( ) 3 3 +1 1 = . 2 3x +1 4 f ′ (x) 9 3 = − ⇒ f ′ 2 = − . 3 ( ) 4(3x + ) 4 7 2 1
Bài 9.28. Cho hàm số f (x) x +1 = . Tính f ′′( ) 1 . x −1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com − − +
f ′(x) (x ) 1 (x ) 1 2 = = − . (x + )2 1 (x − )2 1
f ′′(x) d 2 4 = − = ⇒ f ′′ 1 = 0 2 3 ( ) dx (x ) 1 − (x − )1
Bài 9.29. Cho hàm số f (x) thoả mãn f (1) = 2 và ′ 2
f (x) = x f (x) với mọi x . Tính f ′′(1) . Lời giải f (x) 2 = x f (x) ′ ′′′
= xf (x) + x f ′(x) = xf (x) 2 2 + x x f (x) = ( 4 2 2 2 .
2x + x ) f (x) ⇒ f ( ) = ( 4 1 2.1+1 ) f ( ) 1 = 3.2 = 6
Bài 9.30. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x −1 tại điểm có hoành độ bằng 1. Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x + 6x, y′( ) 1 = 9
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là 3 2
y = x + 3x −1 tại điểm có hoành độ bằng 1 là y − y ( ) 1 = y′( ) 1 (x − ) 1
Thay vào đó các giá trị đã biết: y − y( ) 1 = 9(x − ) 1 , y = 9x − 6
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x −1tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y = 9x − 6.
Bài 9.31. Đồ thị của hàm số a
y = ( a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp GV: x T R
tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không ẦN đổi. ĐÌN Lời giải H C dy a Ư = − – 2 dx a 08 34 a 33
Phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm (x , y là: y − y = − x − x . 0 2 ( 0 ) 0 0 ) 21 x 33
Đường tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm (x ,0 và cắt trục tung tại điểm 0, a y + . 0 ) 0 x 0
Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục hoành là: 1 1 S =
x − 0 . 0 − y = x y 1 ( 0 ) ( 0 ) 0 0 2 2
Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục tung là: 1 a 1
S = y + − y 0 − x = a 2 0 0 ( 0 ) 2 x 2 0 1 1
S = S + S = x y + a = 2a = a 1 2 ( 0 0 ) ( ) 2 2
Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng diện tích của tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và các trục toạ
độ là không đổi và bằng a , với a là hằng số dương của đường hyperbol.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Bài 9.32. Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô,
hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi
hàm số này và giải thích. Lời giải •
Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của chiếc ô tô, nó biểu thị khoảng cách mà chiếc ô tô đã di chuyển từ
điểm xuất phát. Đồ thị của hàm số này là một đường cong mượt mà (nếu không có phần bị gián đoạn) và
có độ dốc dương (nếu chiếc ô tô di chuyển theo phương dương) hoặc âm (nếu chiếc ô tô di chuyển theo phương âm). •
Hàm số thứ hai là hàm vận tốc của chiếc ô tô, nó biểu thị tốc độ của chiếc ô tô tại mỗi thời điểm.
Đồ thị của hàm số này cũng là một đường cong mượt mà (nếu không có phần bị gián đoạn) và có độ dốc
dương (nếu chiếc ô tô tăng tốc) hoặc âm (nếu chiếc ô tô giảm tốc). GV: •
Hàm số thứ ba là hàm gia tốc của chiếc ô tô, nó biểu thị tốc độ thay đổi của chiếc ô tô tại mỗi thời T RẦ
điểm. Đồ thị của hàm số này có thể là một đường cong mượt mà hoặc bị gián đoạn (nếu chiếc ô tô tăng N
tốc/giảm tốc đột ngột). Nếu đồ thị của hàm số này là một đường thẳng thì nghĩa là gia tốc của chiếc ô tô ĐÌN
là hằng số và chiếc ô tô đang di chuyển với chuyển động đều (chuyển động đều là chuyển động mà vận H C
tốc của vật không đổi). Ư – 08 Bài 9.33.
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s = f (t) 3 2
= t − 6t + 9t 34
, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. 33 21
a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây. 33
b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?
c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.
d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.
e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc? Lời giải
a)s = f (t) 3 2
= t − 6t + 9t 2
=> v = s′ = f (′t) = 3t −12t + 9 Tại t =2 giây => 2
v = 3.(2) −12.2 + 9 = 3 − (m / s) Tại t=4 giây => 2
v = 3.(4) −12.4 + 9 = 9(m / s) b) Vật đứng yên khi v=0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2
v = 3t −12t + 9 = 0 t =1s ⇒ t =3s
Vậy tại thời điểm t=1s, t=3s thì vật đứng yên.
c) a = v′ = 6t −12
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là: 2
a = 6.4 −12 =12(m / s )
d) Tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là: 3 2
s = 5 − 6.5 + 9.5 = 20(m)
e) Do t=1s và t=3s thì v=0m/s
t = 2 => v = 3 − m / s
t = 4s => v = 9m / s
t = 5 => v = 24m / s
Trong 5 giây đầu tiên, khi vật tăng tốc sau giây thứ 2, khi nào vật giảm tốc sau giây thứ 1
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IX A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các phát biểu sau phát biểu nào là đúng?
A. Nếu hàm số y = f (x) không liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó không liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0 Lời giải Chọn C
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó còn nếu hàm số liên tục tại 0
điểm x thì nó chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó. 0
Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0 A. f (x)
f (x + h − f x 0 ) ( ) B. . h
f (x + h − f x 0 ) ( ) C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h→0 h G
f (x + h − f x − h 0 ) ( 0 ) V: D. lim
( nếu tồn tại giới hạn). T h→0 R h ẦN Lời giải ĐÌNH Chọn C CƯ –
f x + h − f x 08 f ′(x ) ( ) ( ) = 0 lim . 0 h→0 34 h 33 21
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x là f ′(x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 ) 0 33 f x − f x f x + x ∆ − f x
A. f ′(x = lim .
B. f ′(x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x x ∆ →0 x ∆ 0
f x + h − f x
f x + x − f x
C. f ′(x = lim .
D. f ′(x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0) 0 ) ( 0 ) ( 0) h→0 h x→ 0 x x − x0 Lời giải Chọn D f x − f x
f x + h − f x Ta có f ′(x lim , f x lim 0 ) ( ) ( 0) = ′( 0 ) ( 0 ) ( ) = x→x h→ 0 x − 0 x h 0
f x + ∆x − f x và f ′(x lim
là những khẳng định đúng. 0 ) ( 0 ) ( 0) = ∆x→0 ∆x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
f x + x − f x
Khẳng định sai là f ′(x lim 0 ) ( 0 ) ( 0) = x→x0 x − x0 3− 4 − x khi x ≠ 0
Câu 4: Cho hàm số f (x) 4 = . Tính f ′(0). 1 khi x = 0 4 A. f ′( ) 1 0 = . B. f ′( ) 1 0 = . C. f ′( ) 1 0 = . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Chọn D f x − f 0 x Ta có f (0) ( ) ( ) 3 − 4 − ′ = lim = lim
(không tồn tại giới hạn) x→0 x→ x − 0 0 4x
Do đó không tồn tại f ′(0) . 3 2
x − 4x + 3x Câu 5: Cho hàm số khi x ≠ 1
f (x) xác định trên \ { } 2 bởi f (x) 2
= x −3x + 2 . Tính f ′( ) 1 . 0 khi x =1 A. f ′( ) 3 1 = . B. f ′( ) 1 = 1. C. f ′( ) 1 = 0 . D. không tồn tại. 2 GV: Lời giải T RẦN Chọn D ĐÌN 3 2 H
x − 4x + 3x 3 2 C − f x − 0 f 1 2 x x − 4x + 3 x (x − ) 1 x + x + 3 Ư ( ) ( ) x − 3x + 2 ( ) ( ) lim = lim = lim = lim – 2 x→0 x→0 x→1 x→1 08 x −1 x −1
(x − )1(x − )1(x −2)
(x − )1 (x −2) 34 33 2 21
x (x + x +3) 33 = lim → Khoâng toàn taïi. x 1 →
(x − )1(x −2) 2 x -1 khi x 0
Câu 6: Cho hàm số f (x) ≥ = 2
-x khi x < 0
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số không liên tục tại x = 0.
B. Hàm số có đạo hàm tại x = 2.
C. Hàm số liên tục tại x = 2.
D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0. Lời giải Chọn D
Ta có lim f (x) = f = − + (0) 1 x→0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Mặt khác lim f (x = do đó hàm số không liên tục tại điểm x = 0 nên hàm số không đạo − ) 0 x→0
hàm tại x = 0. 2 mx 2x 2 khi x 0
Câu 7: Cho hàm số f (x) + + > =
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho nx +1 khi ≤ 0
f (x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
A. Không tồn tại m, n. B. m = 2,∀n .
C. n = 2,∀m .
D. m = n = 2 . Lời giải Chọn A
Ta có lim f (x) = f = lim f = + + = + (x) lim+ ( 2 mx 2x 2) 2 − (0) 1, x→0 x→0 x→0
Do đó hàm số không liên tục tại điểm x = 0 nên hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x = 0. 2 x
Câu 8: Cho hàm số f (x) khi x ≤1 = 2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số ,
a b sao cho f (x)
ax + b khi > 1 có
đạo hàm tại điểm x = 1. G a = b = − a = b = a = b = − a = b = V: A. 1 1, . B. 1 1 , . C. 1 1 , . D. 1 1, . 2 2 2 2 2 2 T RẦ Lời giải N ĐÌN Chọn A H CƯ 1 – Ta có lim f = = = + = + −
(x) f ( )1 ,lim f+ (x) lim+(ax b) a b 08 x 1 → 2 x 1 → x 1 → 34 33 1 21
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi lim f = = ⇔ + = −
(x) f ( )1 lim f+ (x) a b x→ x 33 1 1 → 2 x khi x 1
Mặt khác f (x) < ′
⇒ f ( −1 ) =1, f ( + ′ ′ 1 ) = a
ax khi x > 1 1 a = 1 a + b
Suy ra hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 = = ⇒ 2 ⇔ 1 . 1 b a = − = 2 f ( x ∆ + ) 1 − f ( ) 1
Câu 9: Cho f (x) 2018 2 = x
−1009x + 2019x . Giá trị của lim bằng x ∆ →0 x ∆ A. 1009. B. 1008. C. 2018. D. 2019. Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com f (∆x + ) 1 − f ( ) 1 Ta có lim = f ′( ) 1 ∆x→0 ∆x f (∆x + ) 1 − f ( ) 1
Mặt khác f ′(x) = 2017 2018x
− 2018x + 2019 suy ra lim = f ′( ) 1 = 2019 . ∆x→0 ∆x Câu 10: x
Cho hàm số f (x) = (
. Giá trị của f ′(0) là x − )
1 (x − 2)....(x − 2019) A. 1 − . B. 1 . C. 2019 − !. D. 2019!. 2019! 2019! Lời giải Chọn A x f x − f 0
x −1 x − 2 .... x − 2019 Ta có f ′(0) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = lim = lim x→0 x→ x − 0 0 x 1 1 = lim = . x→0 (x − )
1 (x − 2)...(x − 2019) 2019 − !
Câu 11: Cho f (x) = x(x + )
1 (x + 2)(x + 3)...(x + n) với *
n∈ . Tính f ′(0) . G n n +1 V:
A. f ′(0) = 0 .
B. f ′(0) = n .
C. f ′(0) = n!. D. f ′(0) ( ) = . T 2 RẦN Lời giải ĐÌN Chọn C H CƯ f x − f 0
x x +1 ... x + n – 08 Ta có f ′(0) ( ) ( ) ( ) ( ) = lim = lim = lim (x + )
1 (x + 2)...(x + n) x→0 x→0 x→ x − 0 0 x 34 33 21 = 1.2...n = n!. 33
Câu 12: Cho hàm số f (x) = x − 2 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. f (2) = 0.
B. f (x) nhận giá trị không âm.
C. f (x) liên tục tại x = 2.
D. f (x) có đạo hàm tại x = 2. Lời giải Chọn D
x − 2 khi x ≥ 2 1 khi x > 2
Ta có f (x) = x − 2 =
⇒ f ′(x) =
−x + 2 khi x < 2 -1 khi x < 2
Do lim f (x) = lim f (x = nên hàm số liên tục tại điểm x = 2. + − ) 0 x→2 x→2 Mặt khác f ( + 2 ) ≠ f ( − ′
′ 2 ) nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 2.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f ′(6) = 2 Tính giá trị của biểu thức
f (x) − f (6) lim . x→6 x − 6 A. 2. B. 1 . C. 1 . D. 12. 3 2 Lời giải Chọn A
f (x) − f (6) Ta có lim = f ′(6) = 2. x→6 x − 6
2 f (x) − xf (2)
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2 . Tìm lim . 0 x→2 x − 2 A. 0. B. f ′(2) .
C. 2 f ′(2) − f (2) .
D. f (2) − 2 f ′(2) . Lời giải Chọn C
2 f (x) − xf (2) x f
( x) − f (2) + 2 f
(x)− xf (x) lim = lim x→2 x→2 x − 2 x − 2
x f x − f 2 G ( ) ( ) f (x)(2 − x) V: = lim + lim
= 2 f ′(2) + lim − f (x) = 2 f ′(2) − 2 f 2 . x 2 x 2 x 2 ( ) T → → → x − 2 x − 2 RẦN 1 Đ = − + − Ì
Câu 15: Cho hàm số f (x) 3 2
x 2 2x 8x 1, có đạo hàm là f '(x). Tập hợp những giá trị của x NH 3 CƯ
để f '(x) = 0 là – 08 { 2− 2} {2; 2} { 4− 2} {2 2} 34 A. B. C. D. 33 Lời giải 21 33 Chọn D f (x) 2 '
= x − 4 2x + 8 ; f (x) 2 '
= 0 ⇔ x − 4 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 2 . Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y ' . Để y ' ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? A. 2 ;0 − B. 9 − ;0 9 2 C. 9 ; −∞ − ∪[0;+∞ 2 ) D. ; −∞ − ∪[0;+∞ ) 2 9 Lời giải Chọn A 2
y ' = 9x + 2x ; 2 2
y ' ≤ 0 ⇔ 9x + 2x ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 0. Vậy 2 S ;0 = − . 9 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f '(− ) 1 = 4 B. f '(− ) 1 =14 C. f '(− ) 1 =15 D. f '(− ) 1 = 24 Lời giải Chọn D
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥3 + 12𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 2 ⇒ 𝑓𝑓′(−1) = 24. Câu 18: Cho hàm số 1 3
y = x − (2m + ) 2
1 x − mx − 4, có đạo hàm là y ' . Tìm tất cả các giá trị của m để 3
y ' ≥ 0 với x ∀ ∈ . A. 1 m 1; ∈ − − B. 1 m ∈ 1; − − 4 4 C. m ( ] 1 ; 1 ; ∈ −∞ − ∪ − +∞ D. 1 m ∈ 1; − 4 4 Lời giải Chọn B 2
y ' = x − 2.(2m + ) 1 x − m
Khi đó 𝑦𝑦′ ≥ 0; ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝛥𝛥′ = (2𝑚𝑚 + 1)2 + 𝑚𝑚 ≤ 0 ⇔ 4𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 + 1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ − 1 4 G Vậy 1 m ∈ 1; − −
là giá trị thỏa mãn bài toán. V: 4 T RẦN Câu 19: 3 2
f x = ax + bx + cx + d a > 0 có đạo hàm là f '(x) > 0 với x ∀ ∈ Biết hàm số ( ) ( ) . Mệnh đề ĐÌNH nào sau đây đúng? CƯ A. 2
b − 3ac > 0 B. 2 b − 3ac ≥ 0 C. 2
b − 3ac < 0 D. 2 b − 3ac ≤ 0 – 08 Lời giải 34 33 Chọn C 21 33
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 2𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 > 0; ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇔ �𝑎𝑎 > 0
𝛥𝛥′ < 0 ⇔ � 𝑎𝑎 > 0
𝑏𝑏2 − 3𝑎𝑎𝑐𝑐 < 0. 3
Câu 20: Hàm số y = x + x có đạo hàm bằng 2 3x +1 2 3x +1 2 3x + x 3 x + x A. 3 2 x + x B. 3 x + x C. 3 2 x + x D. 3 2 x + x Lời giải Chọn A ( 3x + x) 2 ' 3x +1 y ' = = 3 3
2 x + x 2 x + x .
Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − )4 7 5
A. y = ( x − )3 ' 4 7 5
B. y = − ( x − )3 ' 28 7
5 C. y = − ( − x)3 ' 28 5 7
D. y = ( − x)3 ' 28 5 7
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn C
y = ( x − ) ( x − )3 = ( x − )3 ' 4. 7 5 '. 7 5 28 7 5 .
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y = ( − x )5 3 1
A. y = x ( − x )4 2 3 ' 5 1
B. y = − x ( − x )4 2 3 ' 15 1
C. y = − x ( − x )4 2 3 ' 3 1
D. y = − x ( − x )4 2 3 ' 5 1 Lời giải Chọn B
y = ( − x ) ( − x )4 = − x ( − x )4 3 3 2 3 ' 5. 1 '. 1 15 1 .
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y = (x − x )2016 3 2 2
y ' = 2016(x − 2x )2015 3 2 y = (x − x )2015 3 2 ( 2 ' 2016 2 3x − 4x) A. B. y = (x − x )2015 3 2 ( 2 ' 2016 2 3x − 4x) y = ( 3 2 x − x )( 2 ' 2016 2 3x − 2x) C. D. Lời giải G Chọn B V: T 2015 2015 R 3 2 3 2 2 3 2 y = x − x x − x = x − x x − Ầ ' 2016.( 2 )'.( 2 ) 2016.(3 4 ).( 2x ) N . ĐÌNH
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) tại điểm x = 0 CƯ A. f '(0) = 0 B. f '(0) = 2018 − !
C. f '(0) = 2018!
D. f '(0) = 2018 – 08 Lời giải 34 33 Chọn C 21 33
f '(x) = (x − )
1 (x − 2)...(x − 2018) + x(x − 2)...(x − 2018) +...+ x(x − ) 1 ...(x − 2017)
Suy ra f '(0) = (0 − )
1 .(0 − 2)....(0 − 2018) =1.2.3....2018 = 2018!.
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x(x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) tại điểm x = 1004 − A. f '( 1004 − ) = 0 B. f '( 1004 − ) =1004! C. f '( 1004 − ) = 1004 − ! D. f (− ) = ( )2 ' 1004 1004! Lời giải Chọn D
f '(x) = (x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) + x(x + 2)...(x + 2018) +...+ x(x + ) 1 ...(x + 2017) f '( 1004 − ) = .x(x + )
1 .(x + 2)...(x +1003).(x +1005)...(x + 2018) Suy ra x= 1004 −
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com = (− ) (− ) (− ) (− ) (− ) = ( )2
1004 . 1003 . 1002 ... 1 . 2 ...1003.1004 1004! . 2
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số x + 2x − 3 y = x + 2 2 2 2 A. 3 y ' + + + + + + = 1+ B. x 6x 7 y ' = C. x 4x 5 y ' = D. x 8x 1 y ' = (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 Lời giải Chọn A
(2x + 2).(x + 2)−( 2x + 2x −3) 2 2 2
2x + 6x + 4 − x − 2x + 3 x + 4x + 7 y ' = = = (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 .
Câu 27: Đạo hàm của hàm số 2 y = 3x + 4 là A. 1 y ' = B. ' x y = C. 6 ' x y = D. 3 ' x y = 2 2 3x + 4 2 3x + 4 2 3x + 4 2 3x + 4 Lời giải Chọn D ( 2 3x + 4)' 6x 3 ' = = = x y 2 2 2
2 3x + 4 2 3x + 4 3x + 4 . GV: TR
Câu 28: Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x là ẦN 2 Đ 6x + 2x −1 Ì y = N 2 2 ' 2 H A. 8x + 4x −1 + y ' + + 4x 1 = B. 8x 4x 1 y ' = C. y ' = D. 2 x + x C 2 2 2 Ư 2 x + x 2 x + x 2 x + x – 08 Lời giải 34 33 Chọn D 21 33 ( 2x + x ' 2 ) y ' = (2x − )
1 '. x + x + (2x − ) 1 . 2 2 x + x
(2x − )1.(2x + ) 2 2 2 1 2
2x + 2x + 4x −1 6x + 2x −1 = 2 x + x + = = 2 2 2 2 x + x 2 x + x 2 x + x . 3
Câu 29: Đạo hàm của hàm số 2 2 y x = − bằng x 2 2 A. 2 2 y ' 3 x = − 1 2 B. 2
y ' = 6 x − x − x 2 x x 2 2 C. 1 2 2 y ' 6 x 1 2 x = + − D. 2
y ' = 6 x − x − 2 x x x x Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y ' 3 x x 3 2x x = − − = + − 2 x x x x .
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số 2x −1 y = x + 2 A. 5 x + 2 y ' + = . B. 1 5 x 2 y ' = . . (2x − )2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 C. 1 x + 2 + y ' 1 5 x 2 = . D. y ' = . . 2 2x −1
2 (x + 2)2 2x −1 Lời giải Chọn D ' − 5 2x 1 x + 2 (x + 2)2 1 5 x + 2 y ' = = = . . . 2x −1
2x −1 2 (x + 2)2 2x −1 2 2 x + 2 x + 2 Câu 31: Cho hàm số 2
y = x + x +1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
y ' x +1 = y B. 2
2y ' x +1 = y C. 2
y ' x +1 = 2y D. 2 2y x +1 = y ' Lời giải GV: T Chọn B RẦN 2x x +1 + x Đ + Ì 1 N (x+ x +1) 2 ' 2 2 2 2 H 2 x +1 x +1 y ' y y = = = = = C 2 2 Ư 2 2y 2 2 x + x +1 y 2y x +1 2 x +1 – 0834 Do đó 2
2y ' x +1 = y . 33 21 3 33
Câu 32: Cho hàm số ( ) x f x =
. Phương trình f '(x) = 0 có tập nghiệm S là x −1 A. 2 S 0; = B. 2 S = − ;0 C. 3 S = 0; D. 3 S = − ;0 3 3 2 2 Lời giải Chọn C 2 3 x = 0 3 2 ( ) 3x (x − ) 1 − x 2x − 3 ' x f x 0 = = = ⇔ . (x − )2 (x − )2 3 1 1 x = 2
Câu 33: Cho hàm số y = 2 −
x + 3x . Tập nghiệm S của bất phương trình y ' > 0 là A. S = ( ; −∞ +∞) B. 1 S ; = −∞ C. 1 S = ;+∞ D. S = ∅ 9 9 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Chọn C 1 1 − 1 − + 3 ' = 2. − + 3 = + 3 x y = > 0 2 x x x 1
⇔ 3 x >1 ⇔ x > . 9
Câu 34: Cho hàm số f (x) 2 = 5
− x +14x − 9 . Tập hợp các giá trị của x để f '(x) < 0 là A. 7 ; +∞ B. 7 ; −∞ C. 7 9 ; D. 7 1; 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn C Điều kiện 2 9 5
− x +14x − 9 > 0 ⇔ 1< x < 5 Khi đó f (x) 7 ' < 0 ⇔ 5
− x + 7 < 0 ⇔ x > 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 7 9 ; . 5 5
f (x) − f (2) G
Câu 35: Cho hàm số f (x) 2 3 2018
= x + x + x +...+ x . Tính lim V: x→2 x − 2 T RẦ A. 2018 2017.2 +1 B. 2017 2019.2 +1 C. 2018 2017.2 −1 D. 2017 2018.2 +1 N Đ Lời giải ÌNH C Chọn A Ư – 08
f (x) − f (2) lim = f '(2) 34 x→2 x − 2 33 21 2018 2019 − − 33 Mặt khác ( ) 2 3 2018 1 = + + + ...+ = . x x x f x x x x x x = 1− x 1− x ( 2018 1− 2019x )(1− x)+( 2019 x − x ) 2018 2019 Do đó f (x) 2019.2 −1+ 2 − 2 ' = ⇒ f ' 2 = 2 ( ) (1− x) 1 2018 = 2017.2 +1.
Câu 36: Cho f (x) là hàm số thỏa mãn f ( ) 1 = f '( ) 1 =1. Giả sử ( ) 2
g x = x f (x) . Tính g '( ) 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D
g (x) = x f (x) 2 ' 2 .
+ x . f '(x) Suy ra g '( ) 1 = 2 f ( ) 1 + f '( ) 1 = 3.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 37: Tính đạo hàm của hàm số y sin 3 x . 6 A. y 3cos 3 y x . B. ' 3cos 3x. 6 6 C. y cos 3 y x . D. ' 3sin 3x. 6 6 Lời giải Chọn B ′
y π 3x .cos π 3x 3.cos π 3x ′ = − − = − − . 6 6 6
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 y sin x . 2 3 A. 2 y 1 x cos y x x . B. 2 cos x. 3 2 3 C. 1 y 1 x cos 3x. D. 2
y x cos x . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A GV: ′ π π π π T 1 2 2 1 2 2 ′ = − − − = − − − = − R y x .cos x .( 2x).cos x .xcos x . Ầ 2 3 3 2 3 3 N ĐÌN y x x H
Câu 39: Tính đạo hàm của hàm số 2 tan x . CƯ y y – A. 1 2x tan x . B. 1 2x tan x . 08 2 x x 34 2 x 1 2 x 1 33
C. y 2x tan x .
D. y 2x tan x . 2 2 21 cos x 2 x cos x x 33 Lời giải Chọn C y (x )′ x ( x)′ ′ = + x + ( x) 2 2 2 ′ x 1 tan tan . = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x
Câu 40: Tính đạo hàm của hàm số 2 y 2cos x . A. 2
y 2sin x . B. 2
y 4x cos x . C. 2
y 2xsin x . D. 2
y 4xsin x . Lời giải Chọn D y′ = − ( 2 x )′ 2 2 2 2. .sin x = 2.2 − .xsin x = 4 − .
x sin x .
Câu 41: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y tan . 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. 1 y 1 1 1 y y y 2 x . B. 1 2cos 2 x . C. 1 cos 2 x . D. 1 2cos 2 x . 1 cos 2 2 2 2 Lời giải Chọn A x 1 ′ + x +1 ′ 2 1 y′ = tan = = . 2 2 x +1 2 x + 1 cos 2cos 2 2
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2
y sin 2 x . A. 2x 2 2 y x cos 2 x . B. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x C. x 2 y x 1 cos 2 x . D. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x Lời giải Chọn C ′ ′ + y′ = ( x 2 + x ) ( 2 2 2 2 ) 2 x 2 cos 2 + x = cos 2 + x = cos 2 + x . 2 2 2 2 + x 2 + x GV: T Câu 43: y = x + . R
Tính đạo hàm của hàm số cos 2 1 ẦN x + x + x + Đ A. sin 2 1 y′ = − . B. sin 2 1 y′ =
. C. y′ = −sin 2x +1 . D. sin 2 1 y′ = − ÌN x + x + x + H 2 1 2 1 2 2 1 CƯ . – Lời giải 08 34 33 Chọn A 21 33 ′ 2x 1 ′ + sin 2x +1
y′ = −( 2x +1) ( ) sin 2x +1 = sin 2x +1 = − . 2 2x +1 2x +1
Câu 44: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . A. ′ = − x y . B. ′ = x y . 2 2 2 x +1sin x +1 2 2 2 x +1sin x +1 C. 1 y′ = − . D. 1 y′ = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 Lời giải Chọn A ( ′ x 2 x +1) 2 x +1 x y′ = − = − = − . 2 2 2 2 2 2 2 sin x +1 sin x +1 x +1.sin x +1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số sin x + cos = x y . sin x − cos x 2 2 A. sin 2 ′ x − = − x y . B. sin cos ′ = x y .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 C. 2 − 2sin 2 ′ = x y . D. 2 y′ = − .
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 Lời giải Chọn D 2 sin x π + Ta có sin x + cos x 4 y = =
= − tan x π + . sin x − cos x π 4 2 cos x − + 4 Suy ra 1 1 2 y − ′ = − = − = . 2 π
cos x − sin x
(sin x −cos x)2 2 cos x + 4 2
Câu 46: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = − . tan (1− 2x) A. 4 y′ = . B. 4 y′ = − . C. 4 ′ = − x y . D. 2 2 G sin (1− 2x) sin (1− 2x) sin (1− 2x) V: T 4 R y′ = − . Ầ 2 N sin (1− 2x) ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn A – 08 1 34 4. − ′ 2 33 2 − (tan(1− 2x)) cos x(1− 2x) 4 − 21 y′ = − = = . 2 2 2 − − − 33 tan (1 2x) tan (1 2x) sin (1 2x)
Câu 47: Tính đạo hàm của hàm số π
f (x) = 5sin x − 3cos x tại điểm x = . 2 A. π f ′ π π π = 3 . B. f ′ = 3 − . C. f ′ = 5 − . D. f ′ = 5 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
f (x) (5sin x 3cos x)′ 5(sin x)′ 3(cos x)′ ′ = − = −
= 5cos x + 3sin x Suy ra f π ′ = 5cos π + 3sin π = 3. 2 2 2
Câu 48: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn hệ thức 2
y′ + 2y + 2 = 0 ?
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
A. y = sin 2x .
B. y = tan 2x .
C. y = cos 2x .
D. y = cot 2x . Lời giải Chọn D Với 1
y = tan 2x ⇒ y′ = .2 2 cos 2x Do đó 2 2 2 4 y′ + 2y + 2 = + 2tan 2x + 2 = 2 2 cos 2x cos 2x Với 1 y −
= cot 2x ⇒ y − ′ = .2 suy ra 2 2 2 y′ + 2y + 2 =
+ 2cot 2x + 2 = 0 . 2 sin 2x 2 sin 2x
Câu 49: Cho f (x) 3
= sin ax , a > 0 . Tính f ′(π) . A. f ′(π) 2
= 2sin (aπ)cos(aπ) .
B. f ′(π) = 0 . C. f ′(π) 2 = 3a sin (aπ) . D. f ′(π) 2
= 3a sin (aπ)cos(aπ). Lời giải Chọn D f ′(x) 2
= sin (ax)(sin ax)′ 2 3
= 3sin (ax)(a cos ax) Câu 50: Cho hàm số 2
y = sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? GV:
A. 2 y + y = 2 sin 2x π ′ ′′ − .
B. 4y − y′′ = 2 . T R 4 ẦN
C. 4y + y′′ = 2 .
D. 2 y′+ y′.tan x = 0 . ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn C – 08 2 2 34
y′ = 2 sinx .cosx = 2 sin 2 x, y′′ = 2cos 2 x = 2(1− 2sin x) = 2 − 4sin x 33 21 33 Do đó 2 2
4y + y′′ = 4 sin x+ 2 − 4 sin x = 2 . Câu 51: Xét hàm số 1− cos x y =
khi x ≠ 0 và f (x) = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x
A. f (x) là một hàm số lẻ.
B. f (x) là một hàm tuần hoàn chu kì 2π.
C. f (x) có đạo hàm tại x = 0 bằng 0.
D. f (x) không có đạo hàm tại x = 0 . Lời giải Chọn D
(− ) 1−cos(−x) 1−cosx y x = =
khi x ≠ 0 và f (0) = 0. Do đó, f (x) là một hàm số chẵn, (−x)2 2 x
f (x) không là hàm số tuần hoàn
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 x x sin sin − Mặt khác 1 cosx 2 1 2 1 lim y = lim = lim = lim
= nên hàm số không liên tục tại 2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 x x 2 x 2 4 2 2
điểm x = 0 do đó f (x) không có đạo hàm tại x = 0 .
Câu 52: Đạo hàm của hàm số y = log 4x +1 là 3 ( ) 4 1 A. ln 3 y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. 4ln 3 y′ = . 4x +1 (4x + )1ln3 (4x + )1ln3 4x +1 Lời giải Chọn B (4x ) 1 ′ + 4 y′ = ( = . 4x + ) 1 ln 3 (4x + ) 1 ln 3
Câu 53: Đạo hàm của hàm số 2017x y = là x 1 x A. .2017x y x − ′ = . B. 2017x y′ = C. 2017 y′ = .
D. y′ = 2017 .ln 2017 . ln 2017 Lời giải Chọn D x G
Ta có y′ = 2017 .ln 2017 . V: T RẦ
Câu 54: Cho hàm số ( ) = ( + ) 1 x f x x
e . Tính f ′(0) N ĐÌ A. 2e . B. 0 . C. 1. D. 2 NH Lời giải CƯ – Chọn D 08 34 x x 33
Ta có: f (x) = (x + )
1 e ⇒ f '(x) = (x + 2)e ⇒ f '(0) = 2 . 21 33
Câu 55: Tính đạo hàm của hàm số = 3x y + log x . A. x 1 y′ = 3 ln3+ . B. 1 y′ = log x + . x ln10 3 x ln3
C. y′ = log x + ln3 x 3 . D. 1 ln y − ′ = . ln3 Lời giải Chọn A = 3x y + log x . x 1 y′ = 3 ln 3+ . xln10
Câu 56: Tìm tập xác định D của hàm số 2
y = 4 − log x . 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com A. D = [ 2; − 2] .
B. D = (0;16]. C. D = (0;4] . D. 1 D ;4 = . 4 Lời giải Chọn D x > 0 x > 0 x > 0 Hàm số có nghĩa ⇔ ⇔ ⇔ . 2 1 log x ≤ 4 2 − ≤ log x ≤ 2 ≤ x ≤ 4 2 2 4
Câu 57: Cho hàm số f x = ( 4 ( ) ln x + )
1 . Đạo hàm f ′( ) 1 bằng. A. 2 . B. ln 2 . C. 1. D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn C 3 Ta có: ′( ) 4x f x = ⇒ f ′ 1 = 2 . 4 ( ) x +1
Câu 58: Tính đạo hàm của hàm số = ( 2 − 2 + 2)3x y x x .
A. ′ = ( − ) x + ( 2 2 2 3 − 2 + 2)3x y x x x ln 3 .
B. ′ = (2 − 2)3x y x ln 3. C. 2 ′ = .3x y x .
D. ′ = (2 − 2)3x y x . GV: Lời giải T RẦ Chọn A N ĐÌ x 2 x N
y ' = (2x − 2)3 + (x − 2x + 2)3 ln3. H CƯ – 08
Câu 59: Đạo hàm của hàm số 1 y = là. 2x 34 33 − x ′ 1 21
A. y = 2 ln 2. B. 1 y′ = − . C. ln 2 y′ = − . D. y′ = − . 2x 2x 33 (2x)2 Lời giải Chọn C 1 − x − x ln 2 y = = 2 ⇒ y′ = 2 − .ln 2 = − . 2x 2x
Câu 60: Tính đạo hàm của hàm số 1 2 x y − = . 1−x 1−x − A. 2 y′ = . B. ln 2 1 ′ − 2 = 2 −x y . C. ln 2 1 ′ = 2 −x y . D. y′′ = . 2 1− x 2 1− x 2 1− x 2 1− x Lời giải Chọn C ' = ( 1− )' 1−x − ln 2 1 .2 .ln 2 = 2 −x y x . 2 1− x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
Câu 61: Tính đạo hàm của hàm số tan 2 x y = . tan x 1 − A. tan . x 2 y′ = . B. tan x 1 y tan .x2 − ′ = ln 2 . ln 2 tan x tan x C. 2 ln 2 y′ = . D. 2 ln 2 y′ = . 2 sin x 2 cos x Lời giải Chọn D Ta có: tan ′ = 2 x ln 2(tan )′ 1 tan = 2 x y x ln 2. 2 cos x
Câu 62: Cho hàm số = ( ) = ln(2.ex y f x
+ m) có f ′(− ) 3
ln 2 = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. m∈(1;3). B. m∈( 5; − 2 − ).
C. m∈(1;+∞) . D. m∈( ; −∞ 3) . Lời giải Chọn D
Điều kiện: 2.ex + m > 0 . x Ta có f ′(x) 2e = . 2ex + m −ln 2 G 2e 3 1 3 1 V:
Theo đề bài ta có f ′(− ) 3 ln 2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ m = − . −ln 2 T 2 2e + m 2 1+ m 2 3 RẦN Vậy m∈( ; −∞ 3) . ĐÌNH C x 2 Ư
Câu 63: Cho hàm số y = ln(e + m ) . Với giá trị nào của m thì y′( ) 1 1 = . – 2 08 34
A. m = .e
B. m = − .e C. 1 m = .
D. m = ± e. 33 e 21 Lời giải 33 Chọn D x Ta có e ′ = ⇒ ′ 1 e y y = . x 2 ( ) 2 e + m e + m Khi đó y′( ) 1 e 1 2 1 = ⇔
= ⇔ 2e = e + m ⇔ m = ± e . 2 2 e + m 2
Câu 64: Hàm số y = ( 2
ln x − 2mx + 4) có tập xác định D = khi các giá trị của tham số m là: A. m < 2. B. m < 2 − hoặc m > 2. C. m = 2 . D. 2
− < m < 2 . Lời giải Chọn D Hàm số y = ( 2
ln x − 2mx + 4) có tập xác định khi 2
x − 2mx + 4 > 0, x ∀ ∈ ( ) 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com ( ) a =1> 0 2 1 ⇔
⇔ m − 4 < 0 ⇔ 2 − < m < 2. ∆′ < 0
Câu 65: Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau
mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x∈ )
ông Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng. A. 145 triệu đồng B. 154 triệu đồng C. 150 triệu đồng D. 140 triệu đồng Lời giải Chọn A 3
Theo công thức lãi kép, số tiền lãi ông Tú nhận được sau 3 năm là: 6,5 y x 1 = + − x 100 = ( )3 1,065 −1 x . Ta có: ( )3 1,065 30 −1 x = 30 ⇔ x = ≈144,27 triệu. (1,065)3 −1
Vậy ông Tú cần gửi ít nhất 145 triệu để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 30 triệu đồng.
Câu 66: Hàm số = log 4x − 2x y
+ m có tập xác định là 2 ( ) khi GV: T A. 1 m < . B. m > 0. C. 1 m ≥ . D. 1 m > . R 4 4 4 ẦN Lời giải ĐÌNH Chọn D CƯ – x x
Điều kiện: 4 − 2 + m > 0 . 08 34
Hàm số đã cho có tập xác định là khi và chỉ khi 4x − 2x + m > 0 (*) x ∀ ∈ . 33 21 Đặt 2x
t = với t > 0, khi đó bất phương trình (*) trở thành: 2t − t + m > 0 t ∀ > 0 . 33 Xét hàm số ( ) 2
f t = t − t , t
∀ > 0 ta có f ′(t) = 2t −1; f ′(t) 1 = 0 ⇔ t = . 2
Lập bảng biến thiên ta tìm được f (t) 1 1 min = f = − . ( 0;+∞) 2 4
Để bất phương trình 2t − t + m > 0 , t ∀ > 0 thì 1 1
−m < − ⇔ m > . 4 4 Cách khác: Trường hợp 1: 1
∆ = 1− 4m < 0 ⇔ m > thì 2
t − t + m > 0 t
∀ ∈ (thỏa mãn yêu cầu bài 4 toán) 1 Trường hợp 2: 1
∆ = 0 ⇔ m = thì phương trình 2 1
t − t + = 0 ⇔ t = (không thỏa mãn yêu 4 4 2 cầu bài toán).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com b Trường hợp 3: 1
∆ > 0 ⇔ m < . Ta thấy − =1 > 0 nên phương trình 2
t − t + m = 0 không 4 a
thể có hai nghiệm âm. Tức là 2t − t + m không thề luôn dương với mọi t > 0. Vậy 1 m > . 4 B. TỰ LUẬN
Câu 67: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x . Giải bất phương trình f '(x) ≥ f (x) Lời giải
f '(x) ≥ f (x) 2x − 2 2 ⇔
> x − 2x (với 2
x − 2x > 0 ) 2 2 x − 2x x > 2 x > 2 x < 0 ⇔
⇔ x < 0 (vô nghiệm). 2 2
x −1 > x − 2x
0 > x − x +1
Câu 68: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ℝ. Xét các hàm số g (x) = f (x) − f (2x) và
h(x) = f (x) − f (4x) . Biết rằng g '( )
1 =18 và g '(2) =1000 . Tính h'( ) 1 Lời giải
g '(x) = f '(x) − 2 f '(2x) và h'(x) = f '(x) − 4 f '(4x) GV: T f '( ) 1 − 2 f '(2) =18 f '( ) 1 − 2 f '(2) =18 R ⇔ Ầ Do g '( )
1 =18 và g '(2) =1000 nên N f '
(2) − 2 f '(4) = 1000 2 f ' (2)− 4 f '(4) = 2000 ĐÌNH
Cộng vế theo vế ta được f '( )
1 − 4 f '(4) = 2018 ⇒ h'( ) 1 = 2018. CƯ – 08 Câu 69: Cho hàm số y = f (x) 1 = . Tính giá trị của biểu thức 34 x + x +1 33 21 P = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2018) 33 Lời giải ( ) x +1 − x f x = = x +1 − x x +1− x Suy ra f (x) 1 1 1 1 1 ' = − = − − 2 x 1 2 x 2 x x 1 + + Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1− 2019 P − = − + − + ...+ − = − 1− = 2 1 2 2 3 2018 2019 2 2019 2 2019
Câu 70: Cho hàm số f (x) thỏa mãn '( ) b f x = ax + , f (− ) 1 = 2, f ( ) 1 = 4 , f '( ) 1 = 0 . 2 x 2 Viết ( ) ax b f x =
− + c . Tính abc 2 x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com Lời giải f '( ) 1 a b 0 = + = a = 1 Ta có f (− ) a b 5 1 = − + c = 2 ⇔ b = 1 − ⇒ abc = − . 2 1 − 2 5 ( )1 a b 4 c f c = = − + = 2 2 1 Câu 71: Cho 2 + y ax b
= x − 2x + 3 , y ' = . Khi đó giá trị .
a b bằng bao nhiêu? 2 x − 2x + 3 Lời giải (x −2x+3)' 2 2x − 2 x −1 y ' = = = 2 2 2
2 x − 2x + 3 2 x − 2x + 3 x − 2x + 3
Do đó a =1,b = 1 − ⇒ ab = 1 − .
Câu 72: Cho hàm số ( ) sin 4x cos 4 cos 3 sin x f x x x = + − +
. Tìm nghiệm của phương trình 4 4 π
f ′(x) = 0 thuộc 0; 2 Lời giải GV: cos x . sin x. T f ′(x) 4 4 4 4 =
− sinx− 3 cosx − + R Ầ 4 4 N ĐÌN
= cos 4 x− sinx− 3 cosx+ 3 sin 4x H CƯ π π – ′ = ⇔ + = + ⇔ + = + Khi đó f (x) 0
3 sin 4x cos 4 x sinx 3 cosx 2 sin4x 2 sin x 08 6 3 34 33 21 π π 4x x k2 + = + + π π x = + kπ 33 6 3 18 ⇔ π π π l.2 4x + = − π π x + + 2 l. π x = + 6 3 10 5 π π π
Kết hợp x 0; x ; ∈ ⇒ = . 2 18 2
Câu 73: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2mx + 4) có tập xác định là Lời giải Điều kiện: 2
x − 2mx + 4 > 0 (*)
Để (*) đúng với mọi x∈ thì 2
∆′ = m − 4 < 0 ⇔ 2 − < m < 2.
Câu 74: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% / năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (
người ta gọi đó là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó cần gửi trong
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS
WEB: Toanthaycu.com
khoảng thời gian ít nhất bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi). Lời giải
Ta có công thức tính = (1+ )n A a
r với A là số tiền gởi sau n tháng, a là số tiền gởi ban đầu, r là lãi suất. 6 6 250.10 100.10 (1 0,07)n = + 1,07n ⇔
= 2,5 ⇔ n = log 2,5 =13,542. 1,07
Câu 75: Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, AB là một vecto chỉ phương của đường thẳng
y = 0. Các điểm A , B , C lần lượt nằm trên đồ thị hàm số y = log x ; y = 2log x ; y = 3log x a a a . Tìm a . Lời giải
Do diện tích hình vuông là 36 cạnh bằng 6 Gọi A( ;
m log m ∈ y =
x B(m − 6;log m và C (m − 6;6 + log m a ) a ) a ) loga
Vì B(m − 6;log m ∈ y = x log m = m − (1) a 2loga ( 6) a ) 2loga
Vì C (m − 6;6 + log m ∈ y =
x 6 + log m = m − (2) a 3loga ( 6) a ) 3loga Giải ( )
1 m = 9 Thay vào (2) 6 a = 3 x
Câu 76: Cho hàm số f (x) 2 = . Tính f ( ) 1 19 0 f ... f + + + 2x + 2 10 10 G Lời giải V: T 2a 2b R
Với a + b = 2 , ta có f (a) + f (b) = + Ầ a b N 2 + 2 2 + 2 Đ a b a a b b a+b a a+b b a b ÌN 2 .2 + 2.2 + 2 .2 + 2.2 2 + 2.2 + 2 + 2.2 4 + 2.2 + 4 + 2.2 H = = = = 1. a b a+b a b a b C (2 +2)(2 +2) 2 + 2.2 + 2.2 + 4 4 + 2.2 + 2.2 + 4 Ư – 08
Do đó với a + b = 2 thì f (a) + f (b) =1. 34 33
Áp dụng ta được f ( ) 1 19 0 f ... f + + + 21 10 10 33 = f ( ) 1 19 2 18 9 11 0 + f + f + f + f + ...+ f + f + f ( ) 1 10 10 10 10 10 10 1 2 59 = + 9.1+ = . 3 4 6
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
Document Outline
- BÀI 31_Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm_Lời giải
- CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM
- BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- Bài 32_Quy tắc tính đạo hàm_Lời giải
- BÀI 32. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
- Dạng 1. Đạo hàm của hàm đa thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2. Đạo hàm của hàm phân thức
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 3. Đạo hàm của hàm chứa căn
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 4. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng giác
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 5: Giải phương trình lượng giác
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 6. Tính đạo hàm
- 1. Phương pháp:
- 2. Các ví dụ rèn luyện lĩ năng
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 32. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
- Bài 33_Đạo hàm cấp 2_Lời giải
- BÀI 33. ĐẠO HÀM CẤP HAI
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
- B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
- 1. Phương pháp
- 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
- Dạng 2: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai
- C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
- D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- BÀI 33. ĐẠO HÀM CẤP HAI
- Bài 34 ÔN TẬP_CHƯƠNG 9_ĐẠO HÀM_LỜI GIẢI
- BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX
- A. TRẮC NGHIỆM
- B. TỰ LUẬN
- BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IX
- A. TRẮC NGHIỆM
- B. TỰ LUẬN
- BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX