Bài giảng định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Tài liệu gồm 26 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, có đáp án và lời giải chi tiết

57 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Mục tiêu
Kiến thức
+ Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.
+ Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.
+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại một
điểm.
+ Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán vật lý.
Kĩ năng
+ Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa.
+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
m
ột điểm.
+ Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí.
TOANMATH.co
m
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số
yfx
xác định trên khoảng

;ab
và
0
;.
x
ab
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
0
0
0
lim
xx
f
xfx
xx
thì giới hạn đó
được gọi là đạo hàm của hàm số
yfx
tại
0
x
và kí hiệu là

0
f
x
có nghĩa là


0
0
0
0
0
lim lim
xx x
fx fx
y
fx
x
xx



Trong đó
0
x
xx gọi là số gia của đối số
tại
0
x
.

00 0
yfx fx fx x fx gọi là số gia tương ứng
của hàm số.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải

0
0
0
0
lim ;
xx
f
xfx
fx
xx

0
0
0
0
lim .
xx
f
xfx
fx
xx
Hệ quả: Hàm

f
x có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi tồn tại
0
f
x
và
0
f
x
, đồng thời
00
.
f
xfx


3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số
yfx có đạo hàm trên
;ab nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc

;ab .
- Hàm số

yfx có đạo hàm trên
;ab nếu

f
x
+ Có đạo hàm tại mọi

;
x
ab ;
+ Có đạo hàm trái
;
f
b
+ Có đạo hàm phải
.
f
a
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số
yfx
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại
0
x
.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số
yfx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp
Chú ý:
+ Nếu
y
fx
gián đoạn
tại
0
x
thì nó không có đạo hàm
tại
0
x
.
TOANMATH.co
m
Trang 3
tuyến
0
M
T
của đồ thị hàm số tại điểm
00 0
;.Mxfx
Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
yfx
tại điểm
00 0
;
M
xfx là
000
yy fx xx

trong đó
00
.yfx
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
+ Vận tốc tức thời :
00
;vt s t
+ Gia tốc:
  

00 0
;at v t s t


+ Cường độ dòng điện tức thời:
00
.It Q t
+ Nếu
yfx liên tục tại
0
x
có thể không có đạo hàm tại
0
x
.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Đạo hàm trên một đoạn
Hàm số

yfx
có đạo
hàm trên
;ab nếu



,;
f
xxab
fb
fa

Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số
yfx có đạo
hàm trên

;ab
nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm thuộc
;ab
ĐẠO HÀM
Đạo hàm tại
một điểm
Đạo hàm một bên

0
0
0
0
0
lim lim
xx x
fx fx
y
fx
x
xx



00
;
x
xx y fx fx 
Đạo hàm phải


0
0
0
0
lim ;
xx
f
xfx
fx
xx
Đạo hàm trái

0
0
0
0
lim .
xx
f
xfx
fx
xx
TOANMATH.co
m
Trang 4
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm
Bài toán 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số tại một điểm
Phương pháp giải
Bước 1:
Giả sử
x
là số gia của đối số
tại điểm
0
x
. Tính
00
x
y
fx fx
Bước 2: Lập tỉ số .
y
x
Bước 3: Tìm
0
lim .
x
y
x

Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
2
23yx tại
0
2x .
Hướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số tại
0
2x .
Ta có:

2
2
222232.23yf x f x  
24.xx
Tỉ số
24
28
xx
y
x
xx



.

00
lim lim 2 8 8.
xx
y
x
x
 

Ý NGHĨA
CỦA ĐẠO
HÀM
Ý nghĩa hình học
Ý nghĩa vật lí
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số
yfx
tại điểm
00 0
;
M
xfx
là

000
yy fx xx

0
kfx
là hệ số góc của tiếp tuyến
Vận tốc tức thời
00
;vt s t
Gia tốc tức thời
00
;at v t
Cường độ tức thời
00
It Q t
TOANMATH.co
m
Trang 5
Vậy
28.f
+ Nếu
0
lim
x
y
x

tồn tại hữu hạn thì tại
0
x
hàm
số có đạo hàm

0
0
lim ;
x
y
fx
x

+ Nếu
0
lim
x
y
x

không tồn tại hữu hạn thì tại
0
x
hàm số không có đạo hàm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
21
1
x
y
x
tại
0
3x
.
Hướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số tại
0
3x
.
Ta có:


23 1
552 5 3
33 ;
3144 444
x
xx
yf x f
x
xx



  

33
.
.4 4 4 4
yx
x
xx x


 
Do đó
 
00 0
333
lim lim lim .
.4 4 4 4 16
xx x
yx
xxx x
  


 
Vậy

3
3.
16
f
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
21yx
tại
0
1.x
H ướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số tại
0
1.x
Ta có:

2
112111 ;
211
x
yf x f x
x
 


22
;
211
211
yx
x
x
xx




00
2
lim lim 1
211
xx
y
x
x
 


.
Vậy
11.f
Ví dụ 3. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sinyx tại
0
.
3
x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 6
Giả sử
x
là số gia của đối số
0
.
3
x
Ta có:
sin sin 2cos sin ;
3333322
x
x
yf x f x






sin
2
cos .
32
2
x
yx
x
x





Do đó
00
sin
2
lim lim cos .
32
2
xx
x
yx
x
x
 





Vì
0
sin
2
lim 1
2
x
x
x

nên
00
1
lim lim cos cos
32 32
xx
yx
x

 





.
Vậy
1
.
32
f



Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm số


2
2
1, 0
,0
xx
fx
xx


không có đạo hàm tại
0x nhưng có đạo
hàm tại
2x .
Hướng dẫn giải
Ta có
 
 
2
2
00 00 00
lim lim 1 1; lim lim 0 lim lim .
xx xx xx
f
xx fx x fxfx
  
  

Suy ra hàm số gián đoạn tại
0x nên không có đạo hàm tại đó.
 

2
2
000
2211
lim lim lim 2 2.
xxx
fxf x
x
xx
  
 


Vậy hàm số
y
fx
có đạo hàm tại 2x và
22.f
Ví dụ 5. Chứng minh rằng hàm số

2
21
1
xx
fx
x

liên tục tại
1x  nhưng không có đạo hàm
tại điểm đó.
Hướng dẫn giải
Vì

f
x
là hàm số sơ cấp xác định tại 1x  nên nó liên tục tại đó.
Ta có:



11
1
2
1lim lim 1;
11
xx
fx f
x
f
xx

 








11
1
1lim lim22.
1
xx
fx f
f
x

 




TOANMATH.co
m
Trang 7
Do đó
 
11ff





nên

f
x
không có đạo hàm tại
1x 
.
Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số
y
fx
xác định
trên khoảng
;ba
như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm
1234
,,,.
x
xxx
a, Hàm số có liên tục không?
b, Hàm số có đạo hàm không?
Tính đạo hàm nếu có.
Hướng dẫn giải
a, Hàm số gián đoạn tại các điểm
13
,
x
x vì đồ thị bị đứt tại các điểm
đó. Hàm số liên tục tại
24
,
x
x
vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các
điểm đó.
b, Tại các điểm
13
,
x
x
hàm số không có đạo hàm do hàm số gián
đoạn tại các điểm
13
,.
x
x
Hàm số không có đạo hàm tại
2
x
vì đồ thị bị gãy (không có tiếp
tuyến tại đó).
Hàm số có đạo hàm tại
4
x
và
4
0fx
vì tại
4
x
đồ thị hàm số có
tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 0).
Bài toán 2. Dùng định nghĩa tìm đạo hàm trên một khoảng
Phương pháp giải
Bước 1:
Giả sử
x
là số gia của đối số
tại
0
x
.
Tính
00
.yfx x fx
Bước 2: Lập tỉ số
y
x
.
Bước 3: Tìm
0
lim .
x
y
x

Hàm số
yfx có đạo hàm trê
n
;ab nếu nó có đạo hàm tại mọi điể
m
trên
;ab .
Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm
số
2
yx trên khoảng
;  ?
Hướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số
.
Ta có:

2
2
yfx x fx x x x

2
2. .
x
xx
Tỉ số

2
2.
2.
xx x
y
x
x
xx



TOANMATH.co
m
Trang 8
Hàm số
yfx có đạo hàm trên
;ab
nếu nó có đạo hàm tại mọi điể
m
thuộc
;ab
đồng thời tồn tại đạo hà
m
trái
f
b
và đạo hàm phải
f
a
.

00
lim lim 2 2 .
xx
y
x
xx
x
 

Vậy
2.
f
xx
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
1
x
y
x
trên các
khoảng

;1
và
1;
?
Hướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số
.
Ta có


11 11
xx x x
yfx x fx
xx x xx x


 

1
.11 11
yx
xxxx x xx x


 


2
00
11
lim lim
11
1
xx
y
xxxx
x
 



.
Vậy


2
1
1
fx
x
.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số cosyx trên khoảng
; 
?
Hướng dẫn giải
Giả sử
x
là số gia của đối số
.
Ta có:

cos cos 2sin .sin
22
x
x
yfxxfx xx x x


 


2sin .sin sin .sin
22 22
2
x
xxx
xx
y
x
xx
 
 

 
 


00
sin .sin
22
lim lim sin .
2
xx
xx
x
y
x
x
x
 





Vậy
sin .
f
xx

Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm
Phương pháp giải
TOANMATH.co
m
Trang 9
Sử dụng tính chất
Hàm
f
x có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi
tồn tại
0
f
x
và
0
f
x
đồng thời

00
.
f
xfx


Ví dụ. Tìm
m
để hàm số

2
1
khi 1
1
2 khi 1
x
x
fx
x
mx
có đạo hàm tại
1
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có
 
2
11
1
lim lim 2; 1 2 .
1
xx
x
f
xfm
x


Để hàm số có đạo hàm tại
1
x
thì
f
x
phải liên
tục tại
1
x
, suy ra
1
lim 1 2 2 1.
x
fx f m m

Thay
1m
vào hàm số
f
x thỏa mãn có đạo hàm
1
x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm a, b để hàm số

2
3 khi 2
khi 2
xxx
fx
ax b x


có đạo hàm tại
2x
Hướng dẫn giải
Ta có
2
22 22
lim lim 3 2; lim lim 2a
xx xx
f
xxx fxaxbb
 
 

Để hàm số có đạo hàm tại
2x thì hàm số liên tục tại 2x .
Do đó
2a 2 2a 2bb . Ta lại có:

2
222
2
32
lim lim lim 1 1;
22
xxx
fx f
xx
x
xx





222
22
2
lim lim lim .
222
xxx
fx f axb
ax b
xxx






Do
2a 2b  nên
22 2
22a222a
lim lim lim
222
xx x
ax b ax ax
a
x
xx


 


Để hàm số có đạo hàm tại 2x thì
22
11
22
lim lim
2a 2 4
22
xx
aa
fx f fx f
bb
xx







 


Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số

cos , 0
sin , 0
xx
fx
xx

không có đạo hàm tại
0x .
Hướng dẫn giải
Ta có:
00 00 00
lim lim cos 1; lim lim sin 0 lim lim
xx xx xx
f
xxfx x fxfx


 .
TOANMATH.co
m
Trang 10
Suy ra hàm số gián đoạn tại
0x
nên không có đạo hàm tại đó.
Ví dụ 3. Tìm ,ab để hàm số

3
khi 1
3
khi 1
x
x
fx
ax b x

có đạo hàm tại
1
x
.
Hướng dẫn giải
Điều kiện cần
Ta có
 
3
11
11
1;lim lim
333
xx
x
ffx






và
11
lim lim .
xx
f
xaxbab



Để hàm số

f
x
có đạo hàm tại
1
x
thì

f
x
liên tục tại
1
x
.
Do đó
 
11
1
lim lim 1 .
3
xx
fx fx f ab



Điều kiện đủ:


3
2
111
1
1
1
33
1 lim lim lim 1.
113
xxx
x
fx f
xx
f
xx






111 1
11
1 lim lim lim lim .
11 11
xxx x
fx f fx f axb ab
ax a
f
a
xx xx





Để hàm số

f
x có đạo hàm tại 1
x
thì
 
2
11 1 .
3
ff ab



Vậy
2
1;
3
ab thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Số gia của hàm số
3
f
xx tại điểm
0
1x ứng với
1
x

là
A. 0. B. 1. C. 7. D. 9.
Câu 2: Biểu thức y và
y
x
của hàm số
2
1yx tính theo
và
x
là
A. 0, 0.
y
y
x

B.

2
2. , 2.
y
yx xx xx
x

C.

2
2. 2, 2 .
y
yxx x xx
x

D.

2
, .
y
yx x
x

Câu 3: Đạo hàm của hàm số 21yx tại điểm
0
1x  là
A. -1. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 4: Đạo hàm của hàm số
2
yx x tại điểm
0
x
là
A.

2
0
0
lim .
x
f
xxx




B.

2
2
000
0
lim .
x
f
xxxxx




C.

2
00
0
lim 2 .
x
f
xxxxx




D.

00
0
lim 2 1
x
fx x x


.
TOANMATH.co
m
Trang 11
Câu 5: Đạo hàm của hàm số
2
yx x
tại điểm
0
1x
là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 6: Cho hàm số
1
.y
x
Giá trị của
y2
bằng
A.
1
.
4
B.
2
1
.
x
C.
1
.
2
D. 2.
Câu 7: Giá trị đạo hàm của hàm số 21yx tại điểm
0
5x là
A. 9. B. 6. C.
1
.
3
D.
1
.
6
Câu 8: Cho hàm số
yfx xx. Giá trị
0f
bằng
A. 2. B. 0. C. -1. D. Không tồn tại.
Câu 9: Cho hàm số
f
x xác định bởi

2
11
khi 0
.
0 khi 0
x
x
fx
x
x

Giá trị
0f
bằng
A. 0 B. 1. C.
1
2
.
D. Không tồn tại.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số

2
2
sin
khi 0
khi 0
x
x
fx
x
xx x

tại
0
0x bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 11: Cho hàm số

2
21
1
xx
yfx
x


. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số
f
x liên tục và có đạo hàm tại 1x  .
B. Hàm số
f
x liên tục tại 1x  nhưng không có đạo hàm tại 1x  .
C. Hàm số
f
x không liên tục tại
1x 
.
D. Hàm số

f
x
có tập xác định là
.
Câu 12: Đạo hàm của hàm số

32
2 3 khi x 1
274
khi 1
1
x
fx
xxx
x
x


tại
0
1x bằng
A. 0. B. 4. C. 5. D. Không tồn tại.
Câu 13: Đạo hàm của hàm số yc ( c là hằng số) trên khoảng
;  bằng
A.
0.y
B.
.yc
C.
1.y
D.
.yx
Câu 14: Đạo hàm của hàm số

1
yfx
x
 trên các khoảng

;0 và

0;  bằng
A.
1
y
x
. B. 0.y
C. .yx
D.
2
1
y
x

.
TOANMATH.co
m
Trang 12
Câu 15: Đạo hàm của hàm số
yfx x
trên khoảng

0; 
bằng
A.
1
.
y
x
B.
1
.
2
y
x
C.
.yx
D.
0.y
Câu 16: Giá trị của m để hàm số

4
4
, khi 2
2
khi 2
x
x
fx
x
mx
có đạo hàm tại 2x bằng
A.
3.
m
B.
4.
m
C.
1.
m
D.
2.
m
Câu 17: Cho hàm số
2
32
khi 2
,
8 10 khi 2
xaxb x
y
xx x x


biết hàm số có đạo hàm tại điểm
2x
.
Giá trị của
ab bằng
A. 2. B. 4. C. 1. D. -8.
Câu 18: Nếu hàm số

42
2
21
khi 1
1
khi 1
xx
x
fx
x
ax ax b x



có đạo hàm trên
thì giá trị ab là
A. -1. B. 4. C. 1. D. -4
Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Phương pháp giải
Cho hàm số
yfx có đồ thị
C và điểm

00
;
M
xy C .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
0
x
là

0
kfx
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm

00
;
M
xy có dạng:
000
.
y
yfxxx

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số
góc
k của tiếp tuyến
+ Gọi

00
;
M
xy là tiếp điểm, ta có
0
1
f
xk
+ Giải phương trình
1 tìm
0
x
, từ đó
00
.yfx
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường
cong
3
21yx tại điểm

1; 1 .
Hướng dẫn giải


33
00
21 1 211
lim lim
xx
x
y
xx
 



2
0
lim 2 6 6 6
x
xx


13.ky

Phương trình tiếp tuyến là
16 1 6 5.yxyx
TOANMATH.co
m
Trang 13
+ Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng

00.
y
kx x y
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol
2
yx tại 1
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có


22
00
11
lim lim 2 2.
xx
x
x
x
 


Vậy hệ số góc là
12ky

.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
yx . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
32yx
.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
3
yx và đường thẳng
32yx
là
3
1
320
2
x
xx
x


.
Tại
1
x
ta có



33
2
00
11
lim lim 3 3 3.
xx
x
xx
x
 


Hệ số góc
1
13.ky

Tại
2x  ta có



33
2
00
22
lim lim 6 12 12.
xx
x
xx
x



Hệ số góc
2
2 12.ky

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
yx tại điểm có tung độ bằng 27.
Hướng dẫn giải
Ta có: 27 3yx.



3
2
00 0
327
lim lim lim 9 27 27
xx x
x
y
xx
xx
  



327ky

Phương trình tiếp tuyến
27 27 3 27 54.yxyx
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
x
y
x
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1
9
.
Hướng dẫn giải
Gọi

00
;
M
xy là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
TOANMATH.co
m
Trang 14



0
2
00
00
0
11
lim lim
11
1
xx
y
fx
xxxx
x
 






2
0
00
2
0
0
4
111
19 .
2
99
1
x
fx k x
x
x
 

+ Với
0
4x ta có
0
4
3
y , phương trình tiếp tuyến tại
4
4;
3



là

14116
4.
9399
yx yx 
+ Với
0
2x  ta có
0
2
3
y , phương trình tiếp tuyến tại
2
2;
3



là

1214
2.
9399
yx yx 
Ví dụ 5. Chứng minh rằng để đường thẳng

:dyaxb là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

:Gy fx tại điểm

00
;
x
fx thì điều kiện cần và đủ là

0
00
.
afx
ax b f x

Hướng dẫn giải
Đường thẳng yaxb là tiếp tuyến của đồ thị
:Gy fx
tại điểm
00
;
x
fx
khi và chỉ
khi đồng thời xảy ra
d và
G cùng đi qua điểm
00
;
x
fx tức là
00
.ax b f x
Hệ số góc của

d bằng đạo hàm của
f
tại
0
x
, tức là
0
.afx
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Cho đồ thị của hàm số
f
x trên khoảng
;ab . Biết rằng tại các điểm
123
;;,
M
MM đồ thị hàm
số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của
123
,,.
f
xfxfx

A.
123
0, 0, 0.fx fx fx

 B.
123
0, 0, 0.fx fx fx


C.
123
0, 0, 0.fx fx fx

 D.
123
0, 0, 0.fx fx fx


TOANMATH.co
m
Trang 15
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
y
x
tại điểm có hoành độ là -1.
A. 20.xy B. 2.yx
C. 2.yx D. 2.yx
Câu 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
32yx x tại điểm có hoành độ bằng 2 song song với đường
thẳng
yaxb. Giá trị ab bằng
A. 5. B. 6. C. 4. D. -1.
Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
y
x
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1
.
4
A. 410xy và 4 1 0xy. B. 440xy và 4 4 0xy.
C.
1
4
4
yx
và
1
4
4
yx
.
D.
1
4
yx
.
Câu 5: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol
2
yx tại
1
2
x
là
A. 0. B. 1. C.
1
4
.
D.
1
2
.
Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol
2
yx tại giao điểm của parabol với đường thẳng
32yx bằng
A. 1 và 2. B. 1 và 4. C. 2 và 4. D. 1 và 3.
Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
yx tại điểm
1; 1
là
A. 34.yx B. 1.y  C. 32.yx D. 32.yx
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
yx tại điểm có tung độ bằng 8 là
A. 12 16.yx B. 8.y
C.
12 24.yx
D.
12 16.yx
Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đường cong
1
y
x
tại điểm có hoành độ bằng -1 là
A. 20xy. B. 2.yx
C.
2.yx
D.
2yx
.
Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý
Phương pháp giải
Vận tốc trung bình:

tb
s
ttst
v
t

Ví dụ 1. Một vật rơi tự do có phương trình
chuyển động
2
1
2
s
gt
, trong đó
2
9,8 /
g
ms và
t được tính bằng giây.
a, Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong
TOANMATH.co
m
Trang 16
Vận tốc tức thời:
00
vt s t
Cường độ tức thời tại thời điểm
0
t của một
dòng điện với điện lượng

QQt
là
00
.It Q t
khoảng thời gian từ
t
đến
tt
trong trường hợp
0,1t
và
3t .
b, Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm
5ts .
Hướng dẫn giải
a,


2
2
11
22
tb
g
tt gt
st t st
v
tt




1
.
2
g
tgt
Với
0,1t và 3t thì

1
9,8.3 .9,8.0,1 28,89 /s .
2
tb
vm
b,

2
2
00
11
5.5
22
lim lim
tt
g
tg
s
tt
 


0
1
lim 5 49;
2
t
ggt





5549/svs m

.
Ví dụ 2. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn
theo thời gian biểu thị bởi hàm số 65Qt (t
được tính bằng giây, Q được tính bằng
Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong
dây dẫn tại thời điểm
10.t
Hướng dẫn giải
Vì
6Qt
nên cường độ dòng điện trong dây
dẫn tại thời điểm
10t là
10 10 6.IQ

Ví dụ 1. Một chất điểm có phương trình chuyển động là
2
6
s
ft t t (
t
được tính
bằng giây,
s
được tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
2t .
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 17
Ta có:


00 0
32
00
0
00
00
66
lim lim lim 1 2 1.
tt tt tt
tt t t
ft ft
tt t
tt tt




Vậy
00
21.ft t

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
2t
là
22.215m/s.
tt
vf

Ví dụ 2. Cho chuyển động xác định bởi phương trình
32
391St t t
, trong đó
t
được
tính bằng giây và
S
được tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
Hướng dẫn giải
Ta có


00
32 3 2
00 0
0
2
0 00
00
396 3 96
lim lim 3 6 9;
tt tt
ttt t t t
ft ft
vt t t
tt tt






00
22
00
0
0 0
00
3693 69
lim lim 6 6
tt tt
tt t t
vt vt
at t
tt tt




.
Do đó
0
66.av t

Khi vận tốc triệt tiêu ta có
2
03690 3.vt t t t 
Khi đó gia tốc là
2
36.3612/.ams
Ví dụ 3. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số
2
382Qt t (
t
được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính thời điểm
cường độ của dòng điện trong dây dẫn
50IA .
Hướng dẫn giải
Ta có:


00 0
22
00
0
00
00
3823 82
lim lim lim 3 3 8 6 8.
tt tt tt
tt t t
ft ft
tt t
tt tt




Vậy
68Qt t
. Do đó ta có phương trình
6. 8 50 7 IQt t A t s

.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Một chuyển động có phương trình
2
24
s
tt t (trong đó
s
tính bằng mét, t tính bằng
giây).Vận tốc tức thời của chuyển động tại
1, 5t (giây) là
A. 6m/s. B. 1m/s. C. 8m/s. D. 2m/s.
Câu 2: Xét chuyển động có phương trình

6sin 3
4
st t




trong đó t được tính bằng giây, và
s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là
TOANMATH.co
m
Trang 18
A.

18cos 3
4
vt t




.
B.

18cos 3
4
vt t




.
C.

6cos 3
4
vt t




.
D.

6cos 3
4
vt t




.
Câu 3: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình

43 2
15
10
42
s
ttttt, trong đó
0t
với t được tính bằng giây (s) và
s
được tính bằng mét
(m). Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?
A. 1m/s. B. 3m/s. C. 16m/s. D. 13m/s.
Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình

32
9
6
2
s
tt t t
, trong đó t được tính bằng
giây,
s
được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24m/s là
A. 20
2
/ms . B. 12
2
/ms . C. 39
2
/ms . D. 21
2
/ms .
Câu 5: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
39St t t , trong đó t được tính
bằng giây và
S
được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.
A. 11m/s. B. 0m/s. C. 12m/s. D. 6m/s.
Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật
32
6
s
ttt
với
t
là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động ,

s
t là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Thời điểm t tại đó đạt giá trị
lớn nhất bằng
A. 3t . B. 4t . C. 1t . D. 2t .
Câu 7:
Một vật gaio động điều hòa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian

sinsA t

, trong đó
A
,
,
là hằng số,
t
là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là
A.
cos .vA t
 B.
cos .vA t


C.
cos .vA t

 D.
cos .vA t

Câu 8: Cho biết điện lượng của một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số
2
365Qt t (t
được tính bằng giây,
Q được tính bằng Coulomb). Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời
điểm
2t bằng
A. 16 A. B. 18 A. C. 7 A. D. 4 A.
Câu 9: Tomahawk là tên lửa hành trình có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ
thống phóng mặt đất. Giả sử rằng Tomahawk (không gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phương
trình
2
196 4,9
s
ttt trong đó
t
là thời gian (
0t
, đơn vị giây) và

s
t là khoảng cách của tên
lửa so với mặt đất được tính bằng kilomet. Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận
tốc bằng 0 bằng bao nhiêu?
A. 1069. B. 1960. C. 1690. D. 1906.
Câu 10: Một chất điểm chuyển động có phương trình
42
2631St t t với t tính bằng giây (s) và
S tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm 3t (s) bằng bao nhiêu?
A. 228
2
/ms . B. 64
2
/ms . C. 88
2
/ms . D. 76
2
/ms .
TOANMATH.co
m
Trang 19
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
1- C 2- B 3- D 4- D 5- B 6- A 7- C 8- D 9- C 10- A
11- B 12- D 13- A 14- D 15- B 16- B 17- D 18- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có
33
21217.yf f
Câu 2.
Ta có



22
2
112 ;2.
y
yfxxfx xx x xx x xx
x
  
Câu 3.
Ta có


21 1 211 2 2.
y
yx x
x

Suy ra
00
lim lim 2 2.
xx
y
x
 

Vậy
12.y

Câu 4.
Xét hàm số
2
yfx x x. Gọi
x
là số gia của đối số tại
0
x
.
Ta có

22
2
000000 0
2.yfxxfx xx xx xx x xxx


  


Suy ra

0
00
lim lim 2 1
xx
y
xx
x
 

.
Vậy
00
0
lim 2 1 .
x
fx x x


Câu 5.
Ta có

2
22
1111113yf x f x x x x  ; suy ra

00
lim lim 3 3.
xx
y
x
x
 

Câu 6.
Ta có
 
11 1
.
2 222 22
xy
y
x
xx x


  
Suy ra

00
11
lim lim .
224
xx
y
xx
 



Vậy

1
2
4
y
 .
Câu 7.
Ta có
55923yf x f x ; suy ra
92 3
.
yx
xx


TOANMATH.co
m
Trang 20
Do đó

2
00 0
92 3 2 1
lim lim lim
3
92 3
92 3
xx x
yx
x
x
xx
  




Vậy

1
5.
3
y
Câu 8.
Ta có:
000000
00
lim lim lim 2, lim lim lim 0.
00
xxxxxx
xx xxfx f fx f
xx xx
xxxxxx




 

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại
0
0.x
Câu 9.
Ta có:

2
2
2
000
0
11 1 1
0 lim lim lim .
02
11
xxx
fx f
x
f
xx
x




Câu 10.
Ta có
 

2
2
00 0 00
sin sin
lim lim lim .sin 0; lim lim 0
xx x xx
xx
fx x fx x x
xx
 
 




nên hàm số liên
tục tại
x0
.
Ta lại có:
2
2
00
0
sin
lim lim 1
xx
fx f
x
xx


 và
2
00
0
lim lim 1.
xx
fx f
xx
xx



Vậy
01.f
Câu 11.
Hàm số

2
21
1
xx
yfx
x


có tập xác định là
\1D .
Ta có
 
2
11
21
lim lim 1 1
1
xx
xx
fx f
x
 


nên hàm số liên tục tại
1x  .
Ta có

2
2
2 1 khi 1
21
21
1
khi 1, 1
1
xx
xx
yfx
xx
x
x
x
x





nên



11
1211
lim lim 2
11
xx
fx f x
xx

 



và






2
11 1
21
1
1
2
1
lim lim lim 1.
111
xx x
xx
fx f
x
x
xxx

  





Vậy không tồn tại

1
1
lim
1
x
fx f
x



. Do đó hàm số không có đạo hàm tại
1x  .
Câu 12.
TOANMATH.co
m
Trang 21
Ta có
11
lim lim 2 3 5
xx
fx x





32
2
11 1
274
lim lim lim 3 4 0
1
xx x
xxx
fx x x
x




Suy ra
11
lim lim
xx
f
xfx


hàm số không liên tục tại
1
x
nên hàm số không có đạo
hàm tại
0
1x .
Câu 13.
Ta có

000
lim lim lim 0 0 0.
xxx
fx x fx
cc
fx
xx
  



Câu 14.
Ta có


2
000
11
11
lim lim lim .
xxx
fx x fx
xxx
x
xxxxx
  




Vậy

2
1
.fx
x

Câu 15.
Ta có

000
11 1
lim lim lim .
22
xxx
fx x fx
xx x
fx
xx
x
xx x x
  





Câu 16.
Ta dễ dàng chứng minh được
2
2
4
lim 4.
2
x
x
x
Để hàm số liên tục tại
2x thì
 
2
lim 2 4 4.
x
fx f m

Mặt khác
 
2
22
4
4
2
2
lim lim 1.
22
xx
x
fx f
x
xx



Vậy với
4m
thì hàm số dã cho có đạo hàm tại
2x
.
Câu 17.
Để hàm số có đạo hàm tại 2x thi hàm số phải liên tục tại 2x .
Do đó
32 2
22
lim 8 10 lim 2 4 2 2 6.
xx
xx x xaxb ab ab


  
Hàm số có đạo hàm tại điểm
2x
nên
22
22
lim lim 4 0 4.
22
xx
fx f fx f
aa
xx





Suy ra
2a . Vậy 8.ab 
Câu 18.
Với 1x  hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi x thì hàm số
phải có đạo hàm tại
1x 
.
TOANMATH.co
m
Trang 22
Ta có:

42
2
11
21
lim 0; lim
1
xx
xx
ax ax b b
x

 


. Để hàm số liên tục tại
1x 
thì
11
lim lim 1 0 0
xx
fx fx f b



Với
0;ba , ta có:




42
2
11 11
21
0
11
0
1
lim lim 4; lim lim .
11 11
xx xx
xx
fx f fx f
ax ax
x
a
xxxx
 
   

 


 
Hàm số có đạo hàm tại điểm
0x
khi và chỉ khi:


11
01
lim lim 4 4.
11
xx
fx f fx f
a
xx

 


 
Vậy
4, 0 4.ab ab 
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2
1- C 2- A 3- A 4- B 5- B 6- C 7- D 8- D 9- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại các điểm
123
;;
M
MM
nên hàm số
f
x
có đạo hàm tại các
điểm
123
,,
x
xx.
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) Tiếp tuyến tại điểm
1
M
là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của
tiếp tuyến bằng 0. Suy ra
1
0fx
.
+) Tiếp tuyến tại điểm
2
M
là một đường thẳng đi từ trái sang phải nên hệ số góc của tiếp
tuyến là một số dương. Suy ra
2
0fx
.
+) Tiếp tuyến tại điểm
3
M
là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc của
tiếp tuyến là một số âm. Suy ra
3
0fx
.
Câu 2.
Ta có x 1 y 1  . Khi đó

00
1
lim lim 1 1 1.
1
xx
y
ky
x
x
 


Phương trình tiếp tuyến:
2.yx
Câu 3.
Ta có
0
24yy. Hệ số góc của tiếp tuyến là
TOANMATH.co
m
Trang 23


3
2
22 2
2
324
2 lim lim lim 2 1 9
22
xx x
fx f
xx
yxx
xx




.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là
914yx . Vậy
9; 14 5.ab ab
Câu 4.
Gọi
00
;yMx
là tọa độ tiếp điểm

2
00
000
11
lim lim ;
xx
y
x
xxx x
 




2
00
2
0
11
42
4
fx k x x
x
 .
Với
00
1
2
2
xy
, phương trình tiếp tuyến tại
1
2;
2



là
1
1440
4
yx xy
.
Với
00
1
2
2
xy  , phương trình tiếp tuyến tại
1
2;
2




là
1
1440
4
yx xy .
Câu 5.
Ta có

22
00
11
22
lim lim 1 1.
xx
x
x
x
 





Hệ số góc
1
1.
2
ky




Câu 6.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
320 .
2
x
xx
x

Tại


22
00
11
1: lim lim 2 2.
xx
x
xx
x
 


Hệ số góc
1
k12.y

Tại


22
00
22
2: lim lim 4 4.
xx
x
xx
x
 


Hệ số góc
2
24ky
.
Câu 7.


2
00
lim lim 3 3 3 1 3.
xx
y
xx ky
x
 

Phương trình tiếp tuyến:
13 1 3 2yxyx .
TOANMATH.co
m
Trang 24
Câu 8.
82yx

2
00
lim lim 12 6 12
xx
y
xx
x
 

212ky

Phương trình tiếp tuyến:
8 12 2 12 16.yxyx
Câu 9.
Ta có
11xy 
.

00
1
lim lim 1 1 1.
1
xx
y
ky
xx
 


Phương trình tiếp tuyến: 2.yx
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3
1- B 2- A 3- D 4- D 5- C 6- D 7- C 8- B 9- B 10- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Bằng định nghĩa tính được
22.st t
 Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
1, 5t (giây) là
1, 5 1, 5 2.1, 5 2 1 /svs m
.
Câu 2.
Bằng định nghĩa tính được

18cos 3 .
4
st t




Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là
 
18cos 3 .
4
vt s t t




Câu 3.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của một quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
32
v3510.tt t t
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
2
365at t t
Ta có

2
2
3653122at t t t với mọi t . Dấu “=” xảy ra khi 1t .
Khi đó, vận tốc của chuyển động là
113/svm .
Câu 4.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
TOANMATH.co
m
Trang 25
Bằng định nghĩa tính được
2
39624 2vt s t t t t s
.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
2
69 2 21 /at s t t a m s

 .
Câu 5.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
2
S369vtt
 .
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
66av S t


Gia tốc triệt tiêu khi
01.St


Khi đó vận tốc của chuyển động là
112S
m/s.
Câu 6.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
 
2
2
312 3 21212vt s t t t t
.
Dấu bằng xảy ra khi
2.t Vậy
max
2.vt t
Câu 7.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được


 
sin cos cos .vs A t At t A t


Câu 8.
Bằng định nghĩa tính được
66.Qt t

Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm
1t là

26.2618IQ A
.
Câu 9.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
196 9,8 0 20 .vt s t t vt t s


2
20 196.20 4,9.20 1960.s 
Câu 10.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
 

3
8123.vt St t t

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp 2 của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được
222
24 12 3 24.3 12 228 m/s .at S t t a


Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm

3ts là
2
228m/s .
TOANMATH.co
m
Trang 26
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu Kiến thức
+ Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.
+ Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.
+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
+ Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán vật lý. Kĩ năng
+ Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa.
+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
+ Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x a;b . 0  
f x  f x0 
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó x 0 x x x0
được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại x và kí hiệu là 0
f  x có nghĩa là 0   f x f x yf x  lim  lim 0     0  x   0 x x 0 x x x  0 Trong đó x
  x x gọi là số gia của đối số x tại x . 0 0
y f x  f x f x  x f x gọi là số gia tương ứng 0   0   0  của hàm số.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải  f x f x f x  lim ; 0     0  x    0 x x x0  f x f x f x  lim . 0     0  x    0 x x x0
Hệ quả: Hàm f x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi tồn tại f x  0  0 và f x 
, đồng thời f x  f x   . 0   0  0 
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số y f x có đạo hàm trên a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc a;b .
- Hàm số y f x có đạo hàm trên a;b nếu f x
+ Có đạo hàm tại mọi x a;b ;
+ Có đạo hàm trái f b  ;
+ Có đạo hàm phải f a  . Chú ý:
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
+ Nếu y f x gián đoạn
Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại x . 0 0
tại x thì nó không có đạo hàm
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm 0 Đạo hàm của hàm số tại x .
y f x tại điểm x là hệ số góc của tiếp 0 0 TOANMATH.com Trang 2
tuyến M T của đồ thị hàm số tại điểm M x ; f x .
+ Nếu y f x liên tục tại 0  0  0  0
Phương trình tiếp tuyến
x có thể không có đạo hàm tại 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm x . 0 M x ; f x
là y y f x
x x trong đó y f x . 0  0  0  0  0  0  0  0 
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
+ Vận tốc tức thời : v t st ; 0   0 
+ Gia tốc: a t v t s t    ; 0   0    0
+ Cường độ dòng điện tức thời: I t Qt . 0   0 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA  f x f x yf x  lim  lim 0     0  Đạo hàm tạ xx x  0   i 0 x x x 0 một điểm x
  x x ; y
  f x f x 0    0 ĐẠO HÀM Đạo hàm trái f x f x
f x  lim . 0     0  x    0 x x x Đạo hàm một bên 0
Đạo hàm trên một khoảng Đạo hàm phải
Hàm số y f x có đạo f x f x  0
hàm trên a;b nếu nó có
f x  lim ; 0      x    0 x x x0
đạo hàm tại mọi điểm thuộc a;b
Đạo hàm trên một đoạn
Hàm số y f x có đạo
hàm trên a;b nếu
f x, x   ; a b
 f b  f   a TOANMATH.com Trang 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm M x ; f x là 0  0 0 
số y f x tại điểm   Ý nghĩa hình học
y y f x x x 0  0  0 
k f  x là hệ số góc của tiếp tuyến 0  Ý NGHĨA CỦA ĐẠO
Vận tốc tức thời HÀM
v t st ; 0   0  Ý nghĩa vật lí Gia tốc tức thời
a t vt ; 0   0 
Cường độ tức thời
I t Qt 0   0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm
Bài toán 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số tại một điểm Phương pháp giải
Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số 2
y  2x  3 tại x  2 . 0
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x Hướng dẫn giải
tại điểm x . Tính y f x  x
  f x Giả sử x là số gia của đối số tại x  2 . 0 0   0  0 Ta có: 2 y
y f   x
   f      x    2 2 2 2 2 3 2.2  3
Bước 2: Lập tỉ số . x   2 x  x  4. yBước 3: Tìm lim . x  0 xy  2 x   x   4 Tỉ số   2 x   8 . xxy  lim  lim 2 x   8  8. x  0 x0 x  TOANMATH.com Trang 4
Vậy f 2  8. y+ Nếu lim
tồn tại hữu hạn thì tại x hàm x  0 x  0 y
số có đạo hàm f  x  lim ; 0  x  0 xy+ Nếu lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x  0 x
x hàm số không có đạo hàm. 0 Ví dụ mẫu 2x 1
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  tại x  3. x 1 0 Hướng dẫn giải Giả sử x
 là số gia của đối số tại x  3. 0 2 3  x  1 5 5  2 x  5 3 x  Ta có: y
  f 3 x    f 3         x    x    x   ; 3 1 4 4 4 4 4 y 3x 3   xx    x     x   . .4 4 4 4 y 3x 3 3 Do đó lim  lim  lim  . x  0 x  0 x   .4 x 4  x   x  0 44  x   16 Vậy f   3 3  . 16
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  2x 1 tại x  1. 0 Hướng dẫn giải Giả sử x
 là số gia của đối số tại x 1. 0 x  Ta có: y
  f   x
   f      x   2 1 1 2 1 1 1  ; 2 x  1 1 y  2 x  2   xx   2 x  1   ; 1 2 x  1 1 y  2 lim  lim 1. x  0 x  0 x  2 x  1 1 Vậy f   1  1. 
Ví dụ 3. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  sin x tại x  . 0 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 5  Giả sử x
 là số gia của đối số x  . 0 3             x   x  Ta có: y   fx   f  sin  x   sin  2cos  sin ;          3   3   3  3  3 2  2 x  sin y    x   2  cos  .   x   3 2 x   2 x  sin y    x   Do đó 2 lim  lim cos  .   x  0 x  0 x   3 2 x   2 x  sin y    x    1 Vì 2 lim  1 lim  lim cos   cos    . x  0 x  nên x0 x  0 x   3 2  3 2 2    1 Vậy f   .    3  2
 x 1 , x  0
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm số f x  2  
không có đạo hàm tại x  0 nhưng có đạo 2
x , x  0 hàm tại x  2 . Hướng dẫn giải Ta có
lim f x  lim  x  2
1  1; lim f x  lim          2 x  0
lim f x lim f x. x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0      
Suy ra hàm số gián đoạn tại x  0 nên không có đạo hàm tại đó. f 2  x    f 2 1 x  2 2 1 lim  lim  lim 2  x    2. x  0 x  0 x  0 xx
Vậy hàm số y f x có đạo hàm tại x  2 và f 2  2. 2 2x x 1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng hàm số f x 
liên tục tại x  1
 nhưng không có đạo hàm x 1 tại điểm đó. Hướng dẫn giải
Vì f x là hàm số sơ cấp xác định tại x  1
 nên nó liên tục tại đó. 
f x  f   1 2x
Ta có: f    1   lim  lim 1;   x  1  x 1 x  1  x 1 
f x  f   1 f    1   lim  lim 2  2.   x  1  x 1 x  1  TOANMATH.com Trang 6
Do đó f   
1   f    1        
 nên f x không có đạo hàm tại x  1  .
Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số y f x xác định trên khoảng  ;b a  như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm
x , x , x , x . 1 2 3 4
a, Hàm số có liên tục không?
b, Hàm số có đạo hàm không? Tính đạo hàm nếu có. Hướng dẫn giải
a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x , x vì đồ thị bị đứt tại các điểm 1 3
đó. Hàm số liên tục tại x , x vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các 2 4 điểm đó.
b, Tại các điểm x , x hàm số không có đạo hàm do hàm số gián 1 3
đoạn tại các điểm x , x . 1 3
Hàm số không có đạo hàm tại x vì đồ thị bị gãy (không có tiếp 2 tuyến tại đó).
Hàm số có đạo hàm tại x và f  x  0 vì tại x đồ thị hàm số có 4  4 4
tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0).
Bài toán 2. Dùng định nghĩa tìm đạo hàm trên một khoảng Phương pháp giải
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x tại Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm x . số 2
y x trên khoảng  ;   ? 0
Tính y f x x   f x . Hướng dẫn giải 0   0 y
Giả sử x là số gia của đối số x .
Bước 2: Lập tỉ số . x  Ta có: yBước 3: Tìm lim .
             2 2 y f x x f x x x x x  0 x   2 . x x   x  2  .
Hàm số y f x có đạo hàm trên
a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm yxx   x  2 2 . Tỉ số   2x   . x xx
trên a;b . TOANMATH.com Trang 7
 Hàm số y f x có đạo hàm trên y  lim
 lim 2x x    2 .x x  0 x  0 x
a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm Vậy fx2 .x thuộc  ;
a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái f b 
 và đạo hàm phải f a  . Ví dụ mẫu x
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  trên các x 1 khoảng   ;1  và  1;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x
 là số gia của đối số x . x  x xx
Ta có y f x x
   f x    x x
 1 x 1 x x    1  x   1 yx  1    x   .
x x x    1  x   1 x x    1  x   1 y  1  1  lim  lim  . x   x x    x x    1  x   1 x  2 0 0 1 1 
Vậy f  x  . x  2 1
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y  cos x trên khoảng  ;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x
 là số gia của đối số x .  x   x  Ta có: y
  f x x
   f x  cosx x    cos x  2  sin x  .sin    2  2  x   x   x   x  2  sin x  .sin sin x  .sin y       2  2  2  2    xxx  2  x   x  sin x  .sin y     2  2 lim  lim   sin . x x  0 x  0 xx  2
Vậy f  x  sin . x
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 8 Sử dụng tính chất 2  x 1  khi x  1
Hàm f x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi Ví dụ. Tìm m để hàm số f x   x 1 0
2m khi x 1
tồn tại f x  và f x  đồng thời 0  0 
có đạo hàm tại x  1 .
f x  f x   . Hướng dẫn giải 0   0  2 x 1
Ta có lim f x  lim  2; f   1  2 . m x 1  x 1  x 1
Để hàm số có đạo hàm tại x  1 thì f x phải liên tục tại x  1, suy ra
lim f x  f  
1  2m  2  m  1. x 1 
Thay m  1 vào hàm số f x thỏa mãn có đạo hàm x  1 . Ví dụ mẫu 2
x  3x kh i x  2
Ví dụ 1. Tìm a, b để hàm số f x  
có đạo hàm tại x  2
ax b khi x  2 Hướng dẫn giải Ta có
lim f x  lim           2 x 3x
2; lim f x lim ax b 2a b x 2 x 2 x 2 x 2    
Để hàm số có đạo hàm tại x  2 thì hàm số liên tục tại x  2 . Do đó 2a  b  2   b  2  a  2 . Ta lại có:
f x  f 2 2 x  3x  2 lim  lim  lim x   1  1; x 2  x 2  x 2 x 2 x 2    
f x  f 2
ax b   2   ax b  2 lim  lim  lim . x 2  x 2  x 2 x 2 x 2     x  2 ax b  2 ax  2a  2  2 ax  2a Do b  2a   2 nên lim  lim  lim  a x 2  x 2  x 2 x 2 x 2     x  2
Để hàm số có đạo hàm tại 2 x  thì
f x  f 2
f x  f 2 a 1 a 1 lim  lim     x 2  x 2 x 2    x  2 b   2a   2 b   4   x x
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f x cos , 0  
không có đạo hàm tại x  0 . sin x, 0 x Hướng dẫn giải Ta có:
lim f x  lim cos x 1; lim f x  lim sin x  0  lim f x  lim f x . x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0       TOANMATH.com Trang 9
Suy ra hàm số gián đoạn tại x  0 nên không có đạo hàm tại đó. 3  x  khi x  1 Ví dụ 3. Tìm ,
a b để hàm số f x   3
có đạo hàm tại x  1.
ax b khi x 1 Hướng dẫn giải Điều kiện cần 3 1  x  1 Ta có f  
1  ; lim f x  lim    và lim f x  lim ax b  a  . b x 1 x 1 3     3  3 x 1 x 1  
Để hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f x liên tục tại x  1. 1
Do đó lim f x  lim f x  f  
1  a b  . x 1 x 1   3 Điều kiện đủ: 3 x 1     f   
f xf   2 1 x x 1 3 3 1  lim  lim  lim 1. x 1   x 1   x 1 x 1 x 1   3  f x f f x f
ax b a bax a f 1      1     1    lim  lim  lim  lim  . a x 1   x 1   x 1   x 1 x 1 x 1 x 1   x 1
Để hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f     f      2 1
1  a  1 b   . 3 2
Vậy a  1;b   thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 3
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Số gia của hàm số   3
f x x tại điểm x  1 ứng với x  1 là 0 A. 0. B. 1. C. 7. D. 9. y
Câu 2: Biểu thức y  và của hàm số 2
y x 1 tính theo x và x là xyyA. y   0, 0  . B. y    x  2  2 .x x  ,  x   2 . x xxyyC. y   x x    x  2 2 .  2,  2x   . x D. y    x  2 ,   . x xx
Câu 3: Đạo hàm của hàm số y  2x 1 tại điểm x  1  là 0
A. -1. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 4: Đạo hàm của hàm số 2
y x x tại điểm x là 0
A. f  x   lim x2  x  .
f x  lim  x  x x x . 0 x  0   B.    2 2 0 0 0 x  0  
C. f  x   lim 2x x
  x2  x.
f x  lim x  2x 1 . 0 0 x  0   D.  0   0  x  0 TOANMATH.com Trang 10
Câu 5: Đạo hàm của hàm số 2
y x x tại điểm x  1 là 0
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. 1
Câu 6: Cho hàm số y  . Giá trị của y2 bằng x 1 1 1 A.  . B.  . C. . D. 2. 4 2 x 2
Câu 7: Giá trị đạo hàm của hàm số y  2x 1 tại điểm x  5 là 0 1 1
A. 9. B. 6. C. . D. . 3 6
Câu 8: Cho hàm số y f x  x x . Giá trị f 0 bằng
A. 2. B. 0. C. -1. D. Không tồn tại. 2  x 1 1  
Câu 9: Cho hàm số f x xác định bởi f x khi x 0   . x
Giá trị f 0 bằng  0 khi x  0 1
A. 0 B. 1. C. . D. Không tồn tại. 2 2 sin x  khi x  0
Câu 10: Đạo hàm của hàm số f x   x tại x  0 bằng 0  2
x x khi x  0
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 2 2x x 1
Câu 11: Cho hàm số y f x 
. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1
A. Hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại x  1  .
B. Hàm số f x liên tục tại x  1
 nhưng không có đạo hàm tại x  1  .
C. Hàm số f x không liên tục tại x  1  .
D. Hàm số f x có tập xác định là  . 2x  3 khi x 1 
Câu 12: Đạo hàm của hàm số f x 3 2
  x  2x  7x  4 tại x  1 bằng khi x  1 0  x 1
A. 0. B. 4. C. 5. D. Không tồn tại.
Câu 13: Đạo hàm của hàm s ố y  c ( c là hằng số) trên khoảng  ;   bằng
A. y  0. B. y  .
c C. y  1. D. y  . x
Câu 14: Đạo hàm của hàm số    1 y
f x  trên các khoảng  ;0
  và 0; bằng x 1 1
A. y  . B. 0. y  C. y  .
x D. y   . x 2 x TOANMATH.com Trang 11
Câu 15: Đạo hàm của hàm số y f x  x trên khoảng 0; bằng 1 1 A. y  . B. y 
. C. y  x. D. y  0. x 2 x 4  x  4  , khi x  2
Câu 16: Giá trị của m để hàm số f x   x  2
có đạo hàm tại x  2 bằng
m khi x  2
A. m  3. B. m  4. C. m  1. D. m  2. 2
x ax b khi x  2
Câu 17: Cho hàm số y  
, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 . 3 2
x x 8x 10 khi x  2
Giá trị của ab bằng
A. 2. B. 4. C. 1. D. -8. 4 2
x  2x 1  khi x  1 
Câu 18: Nếu hàm số f x   x 1
có đạo hàm trên  thì giá trị a b là  2
ax ax b khi x  1 
A. -1. B. 4. C. 1. D. -4
Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm Phương pháp giải
Cho hàm số y f x có đồ thị C và điểm Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường    
M x ; y C . cong 3 y 2x 1 tại điểm  1;  1 . 0 0     Hướng dẫn giải
Hệ số góc của tiếp tuyến tại x là 0 2 1   x y
 3  12 3 1   1
k f  x 0  lim  lim x  0 x  0 xx
 Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm  lim     
   2  x 2 6 x 6 6 x 0 
M x ; y có dạng: 0 0 
k y  1  3.
y y f x x x . 0  0  0 
Phương trình tiếp tuyến là
y 1  6 x  
1  y  6x  5.
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số
góc k của tiếp tuyến
+ Gọi M x ; y là tiếp điểm, ta có 0 0 
f  x k 1 0   
+ Giải phương trình   1 tìm x , từ đó 0 y f x . 0  0 TOANMATH.com Trang 12
+ Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng
y k x x y 0  0. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y x tại x  1. Hướng dẫn giải 1 x  2   2 1 Ta có lim  lim 2  x    2. x  0 x0 x
Vậy hệ số góc là k y  1  2 .
Ví dụ 2. Cho hàm số 3
y x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
y  3x  2 . Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 3
y x và đường thẳng y  3x  2 là x 1 3
x  3x  2  0   . x  2  1 x  3  3 1
Tại x  1 ta có lim  lim x   x      x  2 3 3 3. x 0 0  x
Hệ số góc k y 1  3. 1    2   x  3  2  3 Tại x  2  ta có lim  lim x   x      x  2 6 12 12. x 0 0  x
Hệ số góc k y 2   12. 2  
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x tại điểm có tung độ bằng 27. Hướng dẫn giải
Ta có: y  27  x  3. y   3   x  3  27 lim  lim  lim  x   x       x   x     2 9 27 27 x 0 0 0  xx
k y 3    2  7
Phương trình tiếp tuyến y  27  27
 x  3  y  2  7x  54. x
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng x 1 1  . 9 Hướng dẫn giải
Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. Ta có: 0 0  TOANMATH.com Trang 13 y  1  1 
f  x  lim  lim  0  x   x x    x x    1  x   1 x  2 0 0 0 0 1 0 1 1 1 x  4
f  x   k    
   x 1  9  . 2  0 2 0 0  9 x  1 9 x  2   0 0 4  4  +
Với x  4 ta có y  , phương trình tiếp tuyến tại 4; là 0 0   3  3  1 4 1 16
y    x  4   y   x  . 9 3 9 9 2  2  + Với x  2
 ta có y  , phương trình tiếp tuyến tại 2;  là 0 0   3  3  1 2 1 4
y    x  2   y   x  . 9 3 9 9
Ví dụ 5. Chứng minh rằng để đường thẳng d  : y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số a f   x0 
G: y f x tại điểm x ; f x thì điều kiện cần và đủ là  . 0  0 
ax b f x  0  0 Hướng dẫn giải
Đường thẳng y ax b là tiếp tuyến của đồ thị G : y f x tại điểm x ; f x khi và chỉ 0  0  khi đồng thời xảy ra
 d  và G cùng đi qua điểm x ; f x tức là ax b f x . 0  0  0  0 
 Hệ số góc của d  bằng đạo hàm của f tại x , tức là a f x . 0  0
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho đồ thị của hàm số f x trên khoảng  ;
a b . Biết rằng tại các điểm M ; M ; M , đồ thị hàm 1 2 3
số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của f  x , f x , f x . 1   2   3
A. f  x  0, f x  0, f x  0. B. f  x  0, f x  0, f x  0. 1   2   3 1   2   3
C. f  x  0, f x  0, f x  0. D. f  x  0, f x  0, f x  0. 1   2  3 1   2  3 TOANMATH.com Trang 14 1
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm có hoành độ là -1. x A.
x y  2  0. B. 2. y x
C. y x  2.
D. y  x  2.
Câu 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x  2 tại điểm có hoành độ bằng 2 song song với đường
thẳng y ax b . Giá trị a b bằng
A. 5. B. 6. C. 4. D. -1. 1 1
Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng  . x 4
A. x  4 y 1  0 và x  4y 1  0 . B. x  4y  4  0 và x  4y  4  0 . 1 1 1
C. y   x  4 và y   x  4 . D. y   x . 4 4 4 1
Câu 5: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y x tại x  là 2 1 1
A. 0. B. 1. C. . D.  . 4 2
Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2
y x tại giao điểm của parabol với đường thẳng
y  3x  2 bằng
A. 1 và 2. B. 1 và 4. C. 2 và 4. D. 1 và 3.
Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y x tại điểm  1  ;  1 là A. y  3
x  4. B. 1.
y   C. y  3x  2. D. y  3x  2.
Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y x tại điểm có tung độ bằng 8 là A. y  12  x 16. B. y  8.
C. y  12x  24.
D. y  12x 16. 1
Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y  tại điểm có hoành độ bằng -1 là x
A. x y  2  0 .
B. y x  2.
C. y x  2.
D. y  x  2 .
Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý Phương pháp giải
s t t
   st
Ví dụ 1. Một vật rơi tự do có phương trình
Vận tốc trung bình: v tb t  1 chuyển động 2
s gt , trong đó 2
g  9,8m/s và 2
t được tính bằng giây.
a, Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong TOANMATH.com Trang 15
khoảng thời gian từ t đến t t  trong trường hợp t
  0,1 và t  3 .
b, Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t  5s . Hướng dẫn giải a, 1 1 g t t   gt
s t t
   st  2 2 2 2 v   tb tt  1  gt g t  . 2 Với t
  0,1 và t  3 thì 1
v  9,8.3  .9,8.0,1  28,89 m tb  /s. 2 b,
Vận tốc tức thời: v t st 0   0 
1 g 5 t2 1 2  g.5 s  2 2 lim  lim t  0 t  0 tt   1 
 lim 5g g t   49;   t  0  2 
v 5  s5  49m/s .
Cường độ tức thời tại thời điểm t của một Ví dụ 2. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn 0
theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  6t  5 ( t
dòng điện với điện lượng Q Q t là
được tính bằng giây, Q được tính bằng
I t Qt . 0   0 
Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong
dây dẫn tại thời điểm t  10. Hướng dẫn giải
Vì Qt  6 nên cường độ dòng điện trong dây
dẫn tại thời điểm t  10 là I 10  Q10  6.
Ví dụ 1. Một chất điểm có phương trình chuyển động là s f t 2
t t  6 (t được tính
bằng giây, s được tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  2 . Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 16
f t  f t
t t  6  t t  6 0  3  20 0  Ta có: lim  lim
 limt t 1  2t 1. 0  0 tt   0 t t t t 0 t t t t 0 0 0
Vậy f t  2t 1. 0  0
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  2 là
v f 2  2.2 1  5m/s. tt
Ví dụ 2. Cho chuyển động xác định bởi phương trình 3 2
S t  3t  9t 1, trong đó t được tính
bằng giây và S được tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu. Hướng dẫn giải Ta có 3 2 3 2 f t f t
t  3t  9t  6  t  3t  9t  6 v t     0   0 0 0  2  lim  lim
 3t  6t  9; 0 0 0 tt  0 t t t t 0 t t 0 0 2 2       a v t v t 3t 6t 9 3t 6t 9 t  lim  lim  6t  6 . 0     0     0 0  0 t  0 t t t t 0 t t t 0 0
Do đó a v  6  t  6. 0
Khi vận tốc triệt tiêu ta có v t 2
 0  3t  6t  9  0  t  3.
Khi đó gia tốc là a   2
3  6.3  6  12m/s .
Ví dụ 3. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số 2
Q  3t  8t  2 ( t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính thời điểm
cường độ của dòng điện trong dây dẫn I  50A. Hướng dẫn giải Ta có:
f t  f t
3t  8t  2  3t  8t  2 0  2  20 0  lim  lim
 lim3t  3t  8  6t  8. 0  0 tt   0 t t t t 0 t t t 0 t 0 0
Vậy Qt  6t  8 . Do đó ta có phương trình
I Qt  6.t  8  50  A 7
t  s .
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Một chuyển động có phương trình s t 2
t  2t  4 (trong đó s tính bằng mét, t tính bằng
giây).Vận tốc tức thời của chuyển động tại t  1,5 (giây) là
A. 6m/s. B. 1m/s. C. 8m/s. D. 2m/s.   
Câu 2: Xét chuyển động có phương trình s t  6sin 3t  
 trong đó t được tính bằng giây, và s  4 
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là TOANMATH.com Trang 17      
A. v t  18cos 3t  
 . B. vt  18  cos 3t    .  4   4       
C. v t  6cos 3t  
 . D. vt  6  cos 3t    .  4   4 
Câu 3: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình s t 1 5 4 3 2
t t t 10t , trong đó t  0 với t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét 4 2
(m). Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?
A. 1m/s. B. 3m/s. C. 16m/s. D. 13m/s. 9
Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình s t 3 2
t t  6t , trong đó t được tính bằng 2
giây, s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24m/s là A. 20 2
m/s . B. 12 2
m/s . C. 39 2
m/s . D. 21 2 m/s .
Câu 5: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S t
  3t  9t , trong đó t được tính
bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.
A. 11m/s. B. 0m/s. C. 12m/s. D. 6m/s.
Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s t 3 2  t
  6t với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động , s t là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Thời điểm t tại đó đạt giá trị lớn nhất bằng
A. t  3 . B. t  4 . C. t  1. D. t  2 .
Câu 7: Một vật gaio động điều hòa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian
s Asin t   , trong đó A , , là hằng số, t là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là
A. v Acost  . B. v  A cost  .
C. v A cost  . D. v  Acost  .
Câu 8: Cho biết điện lượng của một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số 2
Q  3t  6t  5 ( t
được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t  2 bằng
A. 16 A. B. 18 A. C. 7 A. D. 4 A.
Câu 9: Tomahawk là tên lửa hành trình có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ
thống phóng mặt đất. Giả sử rằng Tomahawk (không gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phương trình s t 2
 196t  4,9t trong đó t là thời gian ( t  0 , đơn vị giây) và s t là khoảng cách của tên
lửa so với mặt đất được tính bằng kilomet. Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận
tốc bằng 0 bằng bao nhiêu?
A. 1069. B. 1960. C. 1690. D. 1906.
Câu 10: Một chất điểm chuyển động có phương trình 4 2
S  2t  6t  3t 1 với t tính bằng giây (s) và
S tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm 3
t  (s) bằng bao nhiêu? A. 228 2
m/s . B. 64 2
m/s . C. 88 2
m/s . D. 76 2 m/s . TOANMATH.com Trang 18
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1 1- C 2- B 3- D 4- D 5- B 6- A 7- C 8- D 9- C 10- A 11- B 12- D 13- A 14- D 15- B 16- B 17- D 18- B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có y
  f    f   3 3 2 1  2 1  7. Câu 2. y Ta có y
  f x x
   f x  x x
 2  x    x x    x  2 2 1 1 2 ;  2x   . x xCâu 3. yy Ta có y   2 1   x   12  1   1  2 x    2.Suy ra lim  lim 2  2. xx  0 x  0 x  Vậy y  1  2. Câu 4. Xét hàm số    2 y
f x x x . Gọi x
 là số gia của đối số tại x . 0
Ta có y f x x
   f x   x x
 2  x x
   x x    x  2 2  2x x    . x 0 0 0 0    0 0  0 y  Suy ra lim  lim  x   2x 1 . 0  x  0 x0 x
Vậy f  x  lim x   2x 1 . 0   0  x  0 Câu 5. Ta có y
  f   x
   f      x  2    x    2   2 1 1 1 1 1 1  3 x   x  ; suy ra y  lim  lim 3 x    3. x  0 x  0 xCâu 6. 1 1 x  y  1  y  1  1 Ta có y      Suy ra lim  lim   .  x    x   x    x   . 2 2 2 2 2 2 x  0 x0 x  2 x  2 4 Vậy y  1 2   . 4 Câu 7. y  9  2 x   3 Ta có y
  f 5  x
   f 5  9  2 x   3; suy ra  . xx  TOANMATH.com Trang 19 2 y  9  2 x   3 2 1 Do đó lim  lim  lim  x  0 x0 xx   9  2 x
  3 x0 9  2 x   3 3 Vậy y  1 5  . 3 Câu 8. Ta có:
f x  f 0 x x x x
f x  f 0 x x x x lim  lim  lim  2, lim  lim  lim  0. x 0  x 0 x 0 x 0  x 0 x 0 x 0 x x x 0 x        x
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x  0. 0 Câu 9. f x f 0 x 1 1 1 1
Ta có: f 0     2  lim  lim  lim  . 2 x0 x0 x0 2 x  0 x x 1 1 2 Câu 10. 2 sin x  sin x
Ta có lim f x  lim  lim
.sin x  0; lim f x  lim     nên hàm số liên       2 x x  0 x0 x0 x0 x0 x0 xx  tục tại x  0 .
f x  f 0 2 sin x
f x  f 0 2 x x Ta lại có: lim  lim  1 và lim  lim  1.   2 x0 x0 x x x 0 x 0 x    x
Vậy f 0 1. Câu 11. 2 2x x 1
Hàm số y f x 
có tập xác định là D   \   1 . x 1 2 2x x 1
Ta có lim f x  lim  1   f  
1 nên hàm số liên tục tại x  1  . x 1  x 1  x 1
2x 1 khi x  1  2 2x x 1 
Ta có y f x 2 
 2x x 1 nên x 1 khi x  1  , x  1  x 1
f x  f   1 2x 1   1 lim  lim  2 và x   1  x    1 x   1      x 1 2 2x x 1
f x  f      1 1  2 x 1 x lim  lim  lim  1. x   1  x    1 x   1  x 1 x   1        x 1
f x  f   1 Vậy không tồn tại lim
. Do đó hàm số không có đạo hàm tại x  1  . x 1  x    1 Câu 12. TOANMATH.com Trang 20
Ta có lim f x  lim 2x  3  5 x 1 x 1   3 2    f xx 2x 7x 4 lim  lim  lim        2 x 3x 4 0 x 1  x 1   x 1 x 1 
Suy ra lim f x  lim f x  hàm số không liên tục tại x  1 nên hàm số không có đạo x 1 x 1   hàm tại x  1. 0 Câu 13.
f x x
   f xc c Ta có lim  lim
 lim 0  0  f x  0. x  0 x  0 x  0 xxCâu 14. 1 1 f x
xf x       1  1 1 Ta có lim  lim x x x  lim  
Vậy f  x   . x   xx xx    x x   . 2 0 0 0 x x 2 x Câu 15. Ta có
f x x
   f xx x   x 1 1 1 lim  lim  lim 
f x  . x  0 x  0 x  0 xxx x   x 2 x 2 x Câu 16. 2 x  4
Ta dễ dàng chứng minh được lim  4. x2 x  2
Để hàm số liên tục tại x  2 thì lim f x  f 2  4  m  4. x2 2 x  4
f x  f    4 2 Mặt khác x  2 lim  lim  1. x2 x2 x  2 x  2
Vậy với m  4 thì hàm số dã cho có đạo hàm tại x  2 . Câu 17.
Để hàm số có đạo hàm tại x  2 thi hàm số phải liên tục tại x  2 . Do đó lim                  3 2 x x 8x 10 lim  2 x ax b 2 4 2a b 2a b 6. x2 x2
Hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 nên
f x  f 2
f x  f 2 lim  lim
 4  a  0  a  4  . x 2  x 2 x 2    x  2
Suy ra a  2 . Vậy ab  8.  Câu 18. Với 1
x   hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi x   thì hàm số
phải có đạo hàm tại x  1  . TOANMATH.com Trang 21 4 2 x  2x 1 Ta có: lim  0; lim  
 . Để hàm số liên tục tại x  1  thì    2 ax ax bb x 1   x 1 x 1 
lim f x  lim f x  f   1  0  b  0 x 1 x 1  
Với b  0; a   , ta có: 4 2 x  2x 1
f x  f    0 1 f x
x  f   2 1 ax ax  0 1 lim  lim  4; lim  lim   . a x 1 x    x 1  x 1 1 x 1  x    x 1 1      x 1
Hàm số có đạo hàm tại điểm x  0 khi và chỉ khi:
f x  f 0
f x  f   1 lim  lim  4  a  4  . x 1 x    x 1 1    x    1 Vậy a  4,
b  0  a b  4  .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2 1- C 2- A 3- A 4- B 5- B 6- C 7- D 8- D 9- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại các điểm M ; M ; M nên hàm số f x có đạo hàm tại các 1 2 3
điểm x , x , x . 1 2 3
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của 1
tiếp tuyến bằng 0. Suy ra f  x  0 . 1 
+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng đi từ trái sang phải nên hệ số góc của tiếp 2
tuyến là một số dương. Suy ra f  x  0 . 2 
+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc của 3
tiếp tuyến là một số âm. Suy ra f  x  0 . 3  Câu 2. y  1 Ta có x  1   y  1  . Khi đó lim  lim  1
  k y  1  1  . x  0 x0 x  1   x
Phương trình tiếp tuyến: y  x  2. Câu 3.
Ta có y y 2  4
 . Hệ số góc của tiếp tuyến là 0   TOANMATH.com Trang 22 3 f x f 2
x  3x  2  4 y2      lim  lim  lim 2
x  2x   1  9  . x2 x2 x2 x  2 x  2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là y  9  x 14 . Vậy a  9
 ;b 14  a b  5. Câu 4.
Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm 0 0  y  1  1 lim  lim   x   x x    x x   ; 2 0 0 x x 0 0 0 f  x  1 1 2  k  
   x  4  x  2  . 0 2 0 x 4 0 1  1  1
Với x  2  y  , phương trình tiếp tuyến tại 2;
là y   x 1  x  4y  4  0 . 0 0   2  2  4 1  1  Với x  2
  y   , phương trình tiếp tuyến tại 2;   là 0 0   2  2  1
y   x 1  x  4y  4  0 . 4 Câu 5. 2 2  1   1   x        2   2 Ta có lim   lim 1 x   1. x  0 x  0 x   1 
Hệ số góc k y 1.    2  Câu 6. x 1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x  3x  2  0   . x  2 1 x  2  2 1 Tại x  1: lim  lim 2  x    2. x  0 x  0 x
Hệ số góc k  y 1  2. 1   2 x  2 22 Tại x  2 : lim  lim 4  x    4. x  0 x  0 x
Hệ số góc k y 2  4 . 2   Câu 7. y  lim  lim  x   x
  k y     x 3 3  2 3 1 3. x 0 0    x
Phương trình tiếp tuyến: y 1  3 x  
1  y  3x  2 . TOANMATH.com Trang 23 Câu 8.
y  8  x  2 y  lim  lim  x   x     x 12 6  2 12 x 0 0  x
k y2 12
Phương trình tiếp tuyến: y  8  12 x  2  y 12x 16. Câu 9. Ta có x  1   y  1  . y  1 lim  lim  1
  k y  1  1  . x  0 x0 x  1   x
Phương trình tiếp tuyến: 2.
y  x
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3 1- B 2- A 3- D 4- D 5- C 6- D 7- C 8- B 9- B 10- A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Bằng định nghĩa tính được st  2t  2. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t  1,5 (giây) là v 1,5  s1,5  2.1,5  2 1m/s . Câu 2.   
Bằng định nghĩa tính được st 18cos 3t  .    4    
Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là v t  st 18cos 3t  .    4  Câu 3.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của một quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được t 3 2 v
t  3t  5t 10.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được a t 2
 3t  6t  5
Ta có a t  t t   t  2 2 3 6 5 3
1  2  2 với mọi t . Dấu “=” xảy ra khi t  1.
Khi đó, vận tốc của chuyển động là v   1  13m/s . Câu 4.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: TOANMATH.com Trang 24
Bằng định nghĩa tính được v t  st 2
 3t  9t  6  24  t  2s.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được a t  st  t   a     2 6 9 2 21 m / s  . Câu 5.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được 2 v  S  3
t  6t  9 .
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được a v  S  6t  6
Gia tốc triệt tiêu khi S  0  t  1.
Khi đó vận tốc của chuyển động là S  1  12 m/s. Câu 6.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v t  st   t t   t  2 2 3 12 3 2 12  12 .
Dấu bằng xảy ra khi t  2. Vậy v t  t  2. max Câu 7.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v s   Asin t    At   
cost    A cost  . Câu 8.
Bằng định nghĩa tính được Qt  6t  6.
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t  1 là I Q2  6.2  6 18 A . Câu 9.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v t  st 196  9,8t vt  0  t  20s. s   2
20  196.20  4,9.20  1960. Câu 10.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v t  S t 3
 8t 12t  3.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp 2 của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được a t  St 2  t   a   2     2 24 12 3 24.3 12 228 m/s .
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3s là 2 228m/s . TOANMATH.com Trang 25 TOANMATH.com Trang 26