Bài giảng Hàm số một biến số | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Hàm số một biến số (Phần 1) Mảng Học tập và NCKH banhoctapvanckh@gmail.com
LCĐ - LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học http://bit.ly/LCDLCHSAMI Group Góc học tập SAMI http://bit.ly/gochoctapSAMI Mục Mụ c Mụ lụ l c ụ 1 Hàm số 1
1.1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Hàm ngược của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tính chẵn, lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Giới hạn 3
2.1 Tiêu chuẩn của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Vô cùng bé, vô cùng lớn 6
3.1 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Hàm số liên tục 8
4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F Ch C ư h ơ ư n ơ g n g 1: 1 : 1 Hà H m à m số s ố s mộ m t ộ t bi b ế i n ế n số s 1. 1 Hà H m à m số s
1.1. Định nghĩa hàm số
Định lí 1.1. Một hàm số đi từ tập X vào tập Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử
x ∈ X với một và chỉ một phần tử y ∈ Y.
- Tập xác định: Là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho f(x) xác định.
- Tập giá trị của hàm số: là tập tất cả các phần tử y ∈ Y. sao cho tồn tại x ∈ X, f(x) = y. - Hàm số đơn điệu:
• Một hàm số f(x) được gọi là đơn điệu tăng trên khoảng (a,b) nếu:
∀x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)
• Một hàm số f(x) được gọi là đơn điệu giảm trên khoảng (a,b) nếu:
∀x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) - Hàm số bị chặn:
• Một hàm số f(x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M ∈ R sao cho f(x) ≤ M với mọi x ∈ TXĐ.
• Một hàm số f(x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M ∈ R sao cho f(x) ≥ M với mọi x ∈ TXĐ.
• Một hàm số f(x) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số sau: 2x a) p y = 4 lg(tan x) b) y = arcsin 1 + x √x c) y = d) y = arccos(2 sin x) sin πx
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 1 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F Giải:  π π   1  a. D = + kπ, + kπ , k ∈ Z b. D = − , 1 4 2 3  π π  c. D = {x ≥ 0 | x /∈ Z}
d. D = − + 2kπ, + 2kπ , k ∈ Z 6 6 Ví dụ: 1
Tìm miền giá trị của hàm số sau: f(x) = . 2 − cos 3x Giải:
Vì 1 ≤ cos 3x ≤ 1 nên hàm f xác định trên tập R. 1 2y Với mỗi số thực − 1 y ta có: = y ⇔ cos 3x = 2 − cos 3x y 2y
Để phương trình có nghiệm thuộc − 1 R thì: −1 ≤ ≤ 1 ⇒ 1/3 ≤ y ≤ 1 y  1 
Vậy miền giá trị của f là: , 1 . 3
1.2. Hàm ngược của một hàm số
Xét hàm f xác định trên tập A. Giả sử B là miền giá trị của f. Hàm f có hàm ngược khi f là một đơn ánh.
Định lí 1.2. Nếu hàm số f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a, b) thì tồn tại hàm
số ngược f−1 của f trên khoảng đó. Ví dụ 2: 1
Tìm hàm ngược của hàm số: − x f (x) = . 1 + x Giải:
Hàm f xác định trên tập R\{−1}. Với mỗi y ∈ R phương trình f(x) = y tương đương với (1 + y)x = 1 − y.
+ Nếu y = −1 thì phương trình vô nghiệm. 1 + Nếu − y
y 6= −1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 6= −1. 1 + y 1 Vậy − x
R\{−1} là miền giá trị của hàm f và hàm g(x) =
là hàm ngược của hàm f. 1 + x
1.3. Tính chẵn, lẻ của hàm số ( x ∈ TXĐ ⇒ −x ∈ TXĐ
- Một hàm số f(x) được gọi là chẵn nếu: f (−x) = f(x)
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. ( x ∈ TXĐ ⇒ −x ∈ TXĐ
- Một hàm số f(x) được gọi là lẻ nếu: f (−x) = −f(x)
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 2 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F 1.4. Hàm tuần hoàn
Hàm số f(x) được gọi là hàm tuần hoàn nếu như tồn tại số thực T > 0 sao cho:
f (x) = f (x + T ) ∀x ∈ TXĐ.
Ví dụ: Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau:
a. f(x) = A cos λx + B sin λx
b. f(x) = sin x + 1 sin 2x + 1 sin 3x 2 3 Giải:
a. Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho, ta có: f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ R
⇔ A cos λ(x + T ) + B sin λ(x + T ) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R
⇔ A[cos λx − cos λ(x + T )] + B[sin λx − sin λ(x + T )] = 0 ∀x ∈ R " −λT   λT  λT # ⇔ 2 sin A sin λx + + B cos λx + = 0 ∀x ∈ R 2 2 2 λT ⇔ sin = 0 2   2kπ ⇔ T =    λ  2π
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì: T = . |λ|
b. Hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với chu kì π, hàm số 2π
sin 3x tuần hoàn với chu kì . 3 1 1
Vậy f(x) = sin x + sin 2x + sin 3x tuần hoàn với chu kì T = 2π. 2 3 Giới ớ i 2. 2 Giớ hạ h n ạ
2.1. Tiêu chuẩn của dãy hội tụ 1. Tiêu chuẩn kẹp:  
xn < yn < zn, ∀n ≥ no Nếu ⇒ lim yn = a.  x n→+∞  lim n = lim zn = a n→+∞ n→+∞
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 3 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F Ví dụ: sin3 n − cos3 n xn = n Ta đánh giá −2 2 −2 2 ≤ x , ∀n ≥ 1. Mặt khác lim = lim = 0 nên theo nguyên n n ≤ n n→+∞ n n→+∞ n lý kẹp thì lim xn = 0. n→+∞
2. Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn:
Mọi dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên hoặc đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Ví dụ: Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy số với số hạng tổng quát q p √ xn = a + a + ... + a (a ≥ 0, n dấu căn).
Nếu a = 0 thì xn = 0, ∀n ∈ N∗  √ x a Nếu 1 =
a > 0 ta biểu diễn lại dãy số {xn} như sau: √ xn+1 = a + xn, ∀n ∈ N∗ Ta thấy: s r r q √ q √ x = x n+1 = a + a + ... + a + a > a + a + ... + a + 0 n | {z } | {z } n+1 dấu căn n dấu căn
⇒ {xn} là dãy đơn điệu tăng. (1) Ta có: √
xn+1 > xn, ∀n ∈ N∗ ⇔ a + xn > xn ⇔ a + xn > x2n ⇔ x2n − xn − a < 0 √ √ 1 − 1 + 4a 1 + 1 + 4a ⇔ < x , ∀n ∈ N∗ ⇒ {x 2 n < 2
n} bị chặn trên. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ {xn} có giới hạn là lim xn = b ≥ 0 n→∞ √ √ 1 + 1 + 4a Cho √ n → ∞ ta được x , ta có n+1 = a + xn b = a + b ⇔ b = 2 √ 1 + 1 + 4a
Vậy dãy số đã cho hội tụ và lim x . n = n→∞ 2 3. Tiêu chuẩn Cauchy
Dãy số a được gọi là dãy số Cauchy nếu n
∀ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho
|an − am| < ε, ∀n, m > N
Dãy số a − n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số Cauchy. 1 1 Ví dụ: 1 CMR dãy số {a là dãy số phân kỳ. n} với an = 1 + + + ... + 2 3 n 1
Chọn ε = , ∀k ∈ N, với n > k ta có 2 1 1 1 n 1 |x2n − xn| = + + ... + > = = ε n + 1 n + 2 2n 2n 2
⇒ Dãy phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 4 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F
2.2. Giới hạn hàm số
Giả sử rằng hàm số f(x) được xác định tại mọi điểm x ∈ (a, b)\ {x0}. Ta nói giới hạn của
hàm số f(x) khi x tiến đến x bằng L và viết: o lim f (x) = L. x→x0
Hay ta có thể làm cho x đủ gần L với một giá trị tùy ý bằng cách chọn x đủ gần xo.
Nói một cách chính xác nếu với mọi ε > 0, tồn tại số thực δ > 0 sao cho nếu |x − x0| < δ thì |f(x) − L| < ε.
Định lí 2.1. (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của hàm số lim f(x), nếu tồn tại là t→x0 duy nhất.
* Giới hạn của hàm hợp: Nếu lim u(x) = u0,
lim f (u) = f (u0) và có hàm hợp x→x0 u→u0
f (u(x)) thì: lim f (u(x)) = f (uo). x→x0
* Giới hạn vô cùng: Giả sử rằng hàm số f(x) được xác định tại mọi điểm x ∈ (a, b)\ {x0}.
Ta nói giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x bằng vô cùng và viết: o lim f (x) = ∞ x→x0
nếu với mọi số M > 0, tồn tại số thực δ > 0 sao cho nếu: |x − x0| < δ thì |f(x)| > M.
* Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn:
Định lí 2.2. Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x trong một lân cận nào đó của a, và tồn tại các giới
hạn lim f(x), lim g(x) thì: x→a x→a lim f (x) ≤ limg(x) x→a x→a
Hệ quả:: Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) trong một lân cận nào đó của a, và tồn tại các giới hạn
lim f (x) = lim h(x). Khi đó tồn tại lim g(x) và: x→a x→a x→a lim f (x) = lim g(x) x→a x→a
Ví dụ: Tính giới hạn của hàm số sau: q p √ x + x + x lim √ x→+∞ x + 1 Giải: r q q p √ p x + x + x 1 + 1/x + 1/x3 lim √ = lim p = 1 x→+∞ x + 1 x→∞ 1 + 1/x √
( Chia cả tử cả mẫu cho x).
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 5 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F V ô cùng n g bé b , é , v ô cù c n ù g n g 3. 3 Vô cùng lớ l n ớ
3.1. Vô cùng bé (VCB)
Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu: lim f (x) = 0. x→a
Mối liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé
lim f (x) = ℓ ⇐⇒ f(x) = ℓ + α(x) x→a Trong đó α(x) là một VCB
Một số tính chất của VCB
1. Tổng hai VCB (Đối với 1 VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó) là một VCB.
2. Tích của VCB với 1 đại lượng bị chặn là một VCB. 3. Tích các VCB là 1 VCB. 0
*Thương của hai VCB là một dạng vô định . 0
So sánh các VCB (VCB cùng bậc, VCB tương đương) Giả sử α(x) và β(x) là các VCB khi x → a. α(x) 1. Nếu lim
= A 6= 0, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCB cùng bậc. x→a β(x) α(x) 2. Đặc biệt, nếu lim
= 1 thì ra nói α(x) và β(x) là các VCB tương đương. x→a β(x) Kí hiệu: α(x) ∼ β(x). α(x) (VCB bậc cao) lim
= 0, ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x). Kí hiệu: α(x) = x→a β(x) o(β(x)). x 2. sin2 ( ) 1 Ví dụ 1: 1 − cos x 2. sin2 u lim = lim 2 = lim = x→0 x2 x→0 x2 u→0 4u2 2
⇒ 1 − cos x là VCB cùng bậc với x2. 2 Ví dụ 2: Tìm ex − cos x2 I = lim x→0 2x2 − 3x4 + 7x5
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 6 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F
Dựa vào công thức ngắt bỏ VCB bậc cao và thay thế VCB tương đương ta được: x4 1 + x2 − (1 − ) x2 1 I = lim 2 = lim = . x→0 2x2 x→0 2x2 2
Ứng dụng của VCB để tìm giới hạn
Định lí 3.1. (Quy tắc thay tương đương). Nếu α1(x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) khi x → a thì: α1(x) + α α α 2(x) 2(x)
1(x) + α2(x) ∼ α2(x) và lim = lim x→a β1(x) + β2(x) x→a β2(x)
Định lí 3.2. (Ngắt bỏ VCB bậc cao). Nếu α1(x) = o(α2(x)), β1(x) = o(β2(x)) khi x → a thì: α α α 1(x) + α2(x) 2(x)
1(x) + α2(x) ∼ α2(x) và lim = lim . x→a β1(x) + β2(x) x→a β2(x)
Nếu α1(x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) khi x → a thì α1(x) − β1(x) ∼ α2(x) − β2(x)
Trừ trường hợp α1(x) và β1(x) là các VCB tương đương hoặc không so sánh được với nhau.
Hiệu hai VCB tương đương là một VCB bậc cao hơn 2 VCB đó. Chứng minh
Giả sử α(x) ∼ β(x) khi x → x . Khi đó: o α(x) − β(x) β(x) lim = 1 − lim = 1 − 1 = 0 x→x0 α(x) x→x0 α(x)
Vậy theo định nghĩa, α(x) − β(x) là một VCB bậc cao hơn α(x).
Vấn đề này sẽ được đề cập kĩ hơn trong bài Định lý của hàm khả vi.
3.2. Vô cùng lớn (VCL)
Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu: lim |f(x)| = ∞ x→a
Nghịch đảo của một VCL là một VCB và ngược lại. So sánh các VCL
(VCL cùng bậc, tương đương). Giả sử α(x) và β(x) là các VCL khi x → a: α(x) 1. Nếu lim
= A 6= 0, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCL cùng bậc. x→a β(x) α(x) 2. Nếu lim
= 1 thì ra nói α(x) và β(x) là các VCL tương đương. x→a β(x)
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 7 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F α(x) (VCL bậc cao) Nếu lim
= ∞ thì ta nói rằng α(x) và β(x) là 2 VCL tương đương. Kí x→a β(x) hiệu α(x) ∼ β(x).
Ứng dụng của VCL để khử dạng ∞ ∞
Định lí 3.3. (Ngắt bỏ VCL bậc thấp) Nếu α1(x) là VCL bậc cao hơn α2(x), β1(x) là VCL
bậc cao hơn β2(x) khi x → a thì: α1(x) + α α α 2(x) 1(x)
1(x) + α2(x) ∼ α2(x) và lim = lim . x→a β1(x) + β2(x) x→a β1(x) 4. Hàm à m 4.
4 Hà sốs ốs lilêinê n . tụ t c ụ 4.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận nào đó của x , nó được gọi là: o
1. Liên tục phải tại x nếu = f (x o lim 0) x + →x0
2. Liên tục trái tại x nếu o lim = f (x0) x→x− 0 3. Liên tục tại x nếu . Nói cách khác o lim = f (x0)
∀ε > 0, ∃δ (ε, x0) > 0 : ∀x, |x − x0| < x→x0  
δ ta có δ f (x) − f (x0) < ε
Từ định nghĩa suy ra hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi nó liên tục phải và liên tục o trái tại xo.
4.2. Điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn của hàm số
Nếu hàm số không liên tục tại điểm x thì ta nói nó gián đoạn tại xo. o
Phân loại điểm gián đoạn: Giả sử x là điểm gián đoạn của o f (x)
1. Điểm gián đoạn loại 1: Nếu    
∃ lim f(x) = f x+ thì lim f(x) = f x− thì x được gọi là điểm gián 0 0 o x + →x x→x− 0 0
đoạn loại 1 của f(x). Khi đó có thể xảy ra 2 trường hợp: • Nếu f(x+) ) thì giá trị )
)| gọi là bước nhảy của hàm số. 0 6= f(x− 0 |f(x+ 0 − f(x−0
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 8 Mảng Học tập và NCKH
LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Reach the Top - Stop the F
• Đặc biệt, nếu f(x+) = f(x−) thì x được gọi là điểm gián đoạn bỏ được hàm 0 0 0
số. Khi đó nếu hàm chưa xác định tại x ta có thể bổ sung thêm giá trị của hàm 0
số tại x để hàm liên tục tại điểm
. Còn nếu hàm số xác định tại điểm thì ta 0 x0 x0
có thể thay đổi giá trị của hàm số tại điểm này để hàm số liên tục tại x0.
2. Điểm gián đoạn loại 2:
Nếu x không là điểm gián đoạn loại 1 thì ta nói nó là điểm gián đoạn loại 2. 0
Ví dụ: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số: 1 f (x) = . 1 1 + 2x
Ta có: f(x) xác định với mọi x 6= 0 ⇒ có một điểm gián đoạn x = 0. 1 1 • Khi x → 0+ ⇒ → +∞ ⇒ f(0+) = lim = 0 x 1 x→0+ 1 + 2x 1 1 • Khi x → 0− ⇒ → −∞ ⇒ f(0−) = lim = 1 x 1 x→0− 1 + 2x
Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
4.3. Hàm số liên tục đều
Định nghĩa: f(x) liên tục đều trên X ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ(ε) > 0, ∀x1, x2 ∈ X,  
|x1 − x2| < δ(ε) ⇒f(x1) − f(x2) < ε.
Định lý Cantor: f(x) liên tục trong [a, b] ⇒ f(x) liên tục đều trong [a, b].
Ví dụ: Chứng minh f(x) = ln(x) không liên tục đều trên (0, 1). 1 e Lấy x1 = → 0+, x → 0+ khi n → ∞ n 2 = n e Ta có: − 1 ⇒ x2 − x1 = → 0 n    x  |ln x 2 2 − ln x1| = ln  = ln e = 1  x1 
Với ε = 1 ⇒|ln x2 − ln x1| = 1  ε.
Vậy f(x) không liên tục đều trên (0, 1).
Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 9