Bài giảng học phần Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng học phần Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

21 11 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng

GIẢI TÍCH II

(lưu hành nội bộ)

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, T , TÍCH PHÂN BỘI ÍCH PHÂN

PHỤ THUỘC THAM SỐ ÍCH PHÂN ĐƯỜNG, T , TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT

TRƯỜNG

Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải

Hà Nội- 2009

MỤC LỤC

Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 5

1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 5

1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm. 5

1.2 Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số . . . . . . . . . . 7

2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 10

2.1 Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 10

2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. . . . . . . . . . . 11

2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai m

Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 38

3 Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 MỤC LỤC

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 63

1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 66

2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 67

2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3 Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 92

Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.1 Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.5 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 105

Chương 6 . Lý thuyết trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

MỤC LỤC 3

2 Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.2 Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.4 Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

4 MỤC LỤC

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

CHƯƠNG 1

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

TRONG HÌNH HỌC

§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG

HÌNH HỌC PHẲNG

1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường

cong tại một điểm.

1. Điểm chính quy.

• Cho đường cong xác định bởi phương trình(L) f (x y, ) = 0. Điểm M (x y

)

được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng

′

(M) , f

′

(M) không đồng thời bằng 0.

•

Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số







x = x (t)

= y (t)

. Điểm

M (x (t

) , y (t

)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các

đạo hàm x

′

) , y

′

) không đồng thời bằng 0.

• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.

2. Các công thức.

• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương

trình tại điểm chính quy:

6 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

– Tiếp tuyến

(

d) : f

′

(M) . (x − x

) + f

′

(M) . (y − y

) = 0.

– Pháp tuyến



′



x − x

′

(M)

y −y

′

(M)

Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x)

thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x y

) chính quy là

y − y

= f

′

(x x

)(x −

). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương

trình phổ thông.

• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong (L) xác định bởi phương

trình tham số







x = x (t)

= y (t)

tại điểm M (x (t

) , y (t

)) chính quy:

– Tiếp tuyến

(

d) :

x − x (t

)

′

)

y −y (t

)

′

)

– Pháp tuyến



′



: x

′

) . (x − x (t

)) + y

′

) . (y − y (t

)) = 0.

1.2 Độ cong của đường cong.

1. Định nghĩa.

2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.

• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì:

(M) =

′′

(1 + y

′2

)

3/2

•

Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số







x = x (t)

= y (t)

thì:

(M) =



′

′′



′2

+ y

′2

)

3/2

• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (φ) thì:

(M) =



+ 2r

′2

−rr

′′



+ r

′2

)

3/2

1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 7

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham

số

1. Định nghĩa: Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi

đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E

và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc

với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong .(L)

2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.

Định lý 1.1.

Cho họ đường cong

F (x, y, c) = 0

phụ thuộc một tham số

. Nếu họ

đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách

khử

từ hệ phương trình







F (x, y, c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

(1)

3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao

(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.

Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

a) y = x

+ 2x

−4x −3 tại .(−2, 5)

Lời giải







Phương trình tiếp tuyến y = 5

Phương trình pháp tuyến x = −2

b) y = e

1−x

tại giao điểm của đường cong với đường thằng .y = 1

Lời giải

. – Tại M

(−1, 1),







Phương trình tiếp tuyến 2x y− + 3 = 0

Phương trình pháp tuyến x + 2y −1 = 0

–

Tại M

(−1, 1),







Phương trình tiếp tuyến 2x + y −3 = 0

Phương trình pháp tuyến x − 2y + 1 = 0

(

x =

1+t

tại .A(2, 2)

Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến .y = x

– Phương trình pháp tuyến .x + y − 4 = 0

8 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

d. x

+ y

= a

tại M(8, 1).

Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến .x + 2y − 10 = 0

– Phương trình pháp tuyến .2x y− −15 = 0

Bài tập 1.2. Tính độ cong của:

a. y = −x

tại điểm có hoành độ x =

Lời giải.

(M) =

′′

(

1 + y

′2

)

3/2

= ... =

192

125

(

x = a (t −sin t)

= a (t −cos t)

(a > 0) tại điểm bất kì.

Lời giải.

(M) =



′

′′



(

′2

+ y

′2

)

3/2

= ... =

√

1 −cos x

c. x

+ y

= a

tại điểm bất kì .(a > 0)

Lời giải

. Phương trình tham số:

(

x = a cos

= a sin

, nên

(M) =



′

′′



(

′2

+ y

′2

)

3/2

= ... =

3a |sin t cos t|

d. r = a ae

bφ

, ( , b > 0)

Lời giải.

(M) =



+ 2r

′2

−rr

′′



(

+ r

′2

)

3/2

bφ

√

1 + b

Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau:

a. y =

+ c

1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9

b. cx

+ c

y = 1

c. y = c

(x − c)

Lời giải. a. Đặt F (x, y, c) := y −

− c

= 0.

Điều kiện: .c 6= 0

Xét hệ phương trình:

(

′

(x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

′

(x, ,y c) = 0

= 0

, hệ phương trình vô

nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có

(

F (x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

y −

− c

= 0

−

2c +

= 0

⇔

(

x = 2c

= 3c

nên





−





= 0. Do điều kiện c 6= 0 nên x, y 6= 0. Vậy ta có hình bao của họ

đường cong là đường





−





= 0 trừ điểm .O (0, 0)

b. Đặt F (x, y, c) := cx

+ c

y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã

cho nên điều kiện: .c 6= 0

Xét hệ phương trình:

(

′

(x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

2cx = 0

= 0

⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì

dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì

dị. Ta có

(

F (x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

+ c

y = 1

+ 2cx = 0

⇔

(

x =

−1

Do đó x, y 6= 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = −

trừ điểm O(0, 0).

c. Đặt F (x, y, c c) :=

(x − c)

− y = 0.

Xét hệ phương trình:

(

′

(x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

′

= 0

−

1 = 0

, hệ phương trình vô nghiệm

nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị.

Ta có

(

F (x, ,y c) = 0

′

(x, ,y c) = 0

⇔

(

(x −c)

− y = 0 (1)

2 2

c (x − c) − c

(x − c) = 0 (2)

(

2) ⇔







c = 0

c = x

, thế vào (1) ta được y = 0, y =

Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y =

10 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Hàm véctơ

Giả sử I là một khoảng trong .R

•

Ánh xạ

I → R

7→

−−→

(t) ∈ R

được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu

= 3, ta viết

−−→

(t t) = x ( ) .

−→

+ y (t) .

−→

+ z (t) .

−→

k . Đặt M (x (t t t) , y ( ) , z ( )), quỹ tích

khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ

−−→

r (t).

• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là

−→

a khi t → t

nếu lim

→t



−−→

r (t) −

−→



−→

0 , kí hiệu lim

t→t

−−→

r (t) =

−→

a .

•

Liên tục: Hàm véctơ

−−→

r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t

∈ I nếu lim

t→t

−−→

r (t) =

−−→

r (t

). (tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng )x (t t t) , y ( ) , z ( )

• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số lim

h→0

∆

−→

= lim

h→0

−→

+h)−

−→

r (t

)

được gọi là đạo hàm

của hàm véctơ

−−→

r (t) tại t

, kí hiệu

−→

′

) hay

−→

r (t

)

, khi đó ta nói hàm véctơ

−−→

r (t) khả

vi tại .t

Nhận xét rằng nếu

x (t t t) , y ( ) , z ( ) khả vi tại t

thì

−−→

r (t) cũng khả vi tại t

và

−→

′

) =

′

) .

−→

+ y

′

) .

−→

+ z

′

) .

−→

k .

2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường

cong cho dưới dạng tham số

Cho đường cong











x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

và M(x y

, z

) là một điểm chính quy.

• Phương trình tiếp tuyến tại M

(

d) :

x − x (t

)

′

)

y −y (t

)

′

)

z − z (t

)

′

)

• Phương trình pháp diện tại .M

(

P) : x

′

) . (x − x (t

)) + y

′

) . (y − y (t

)) + z

′

) . (z − z (t

)) = 0.

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 11

2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt

cong.

Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x y

, z

) là một điểm

chính quy của .S

• Phương trình pháp tuyến tại M

(

d) :

x − x

′

(M)

y −y

′

(M)

z − z

′

(M)

• Phương trình tiếp diện tại M

(

P) : f

′

(M) . (x − x

) + f

′

(M) . (y − y

) + f

′

(M) . (z − z

) = 0.

Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) thì phương trình tiếp diện tại M

là (P) : z − z

= z

′

(M) . (x − x

) + z

′

(M) . (y − y

2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường

cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong

Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau

(

f (x, ,y z) = 0

(x, y, z) = 0

Đặt

−→



′

(M) , f

′

(M) , f

′

(M)



, là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt

cong f (x, y, z) = 0 tại .M

Đặt

−→



′

(M) , g

′

(M) , g

′

(M)



, là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt

cong g (x, y, z) = 0 tại .M

Khi đó

−→

∧

−→

là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương

trình tiếp tuyến là:











PTTQ :

(

′

(M) . (x − x

) + f

′

(M) . (y − y

) + f

′

(M) . (z − z

) = 0.

′

(M) . (x − x

) + g

′

(M) . (y − y

) + g

′

(M) . (z − z

) = 0.

PTCT :

x−x



′

(M) f

′

(M)

′

(M) g

′

(M)



y−y



′

(M) f

′

(M)

′

(M) g

′

(M)



z−z



′

(M) f

′

(M)

′

(M) g

′

(M)



Bài tập 1.4.

Giả sử

−→

(t) ,

−→

(t) ,

−→

α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng:



−→

(t) +

−→

(t)



−→

p (t)

−→

q (t)

12 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học



(t)

−→

(t)



= α (t)

−→

p (t)

+ α

′

(t)

−→

p (t)



−→

p (t)

−→

(t)



−→

(t)

−→

q (t)

−→

p (t)

−→

q (t)



−→

p (t) ∧

−→

(t)



−→

(t) ∧

−→

q (t)

−→

p (t)

∧

−→

q (t)

Lời giải. a. Giả sử

−→

p (t) = (p

(t) , p

(t)) ,

−→

q (t) = (q

(t) , q

(t)), khi đó:



−→

p (t) +

−→

(t)



(t) + q

(t) , p

(t) + q

(t) , p

(t) + q

(t))



′

(t) + q

′

(t) , p

′

(

) + q

′

(

)

, p

′

(

) + q

′

(

)





′

(t) , p

′

(t) , p

′

(t)





′

(t) , q

′

(t) , q

′

(t)



−→

p (t)

−→

q (t)



α (t)

−→

(t)





[α (t) p

( (t)]

′

, [α (t) p

t)]

′

, [α (t) p

(t)]

′





′

(t) p

( (t) + α t) p

′

(t) , α

′

(t) p

(t) + α (t) p

′

(

)

, α

′

(t) p

(

) + α (t) p

′

(

)





′

(t) p

(t) , α

′

(t) p

(t) , α

′

(t) )p

(t)





α (t p

′

(

)

, α (t) p

′

(t) , α (t) p

′

(t)



α (t)

−→

p (t)

+ α

′

(t)

−→

p (t)

c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.



−→

(t) ∧

−→

(t)





(t) p

(t)

(t) q

(t)



(t) p

(t)

(t) q

(t)



(t) p

(t)

(t) q

(t)



= ...



(t) p

′

(

)

(t) q

′

(t)



(t) p

′

(t)

(t) q

′

(t)



(t) p

′

(

)

(t) q

′

(t)



′

(

)

(

)

′

(

)

(

)



′

(

)

(

)

′

(

)

(

)



′

(t) p

(t)

′

(t) q

(t)



−→

(t) ∧

−→

q (t)

−→

p (t)

∧

−→

q (t)

Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13











= a sin

y = b sin t cos t

= c cos

tại điểm ứng với t =

, (a, ,b c > 0).











sin t

√

y = 1

cos t

√

tại điểm ứng với .t = 2

Lời giải

. a. – Phương trình tiếp tuyến: (d) :

x−

y−

z−

−c

–

Phương trình pháp diện: (P) : a



x −



−c



z −



= 0.

b. – Phương trình tiếp tuyến: (d) :

√

y−1

z−

√

–

Phương trình pháp diện: (P) :

√

x +

√



z −

√



= 0.

Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:

a) x

−4y

+ 2z

= 6 tại điểm .(2, 2, 3)

b) z = 2x

+ 4y

tại điểm .(2, 1, 12)

c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0)

Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến: (d) :

x−2

y−2

−

z−3

– Phương trình tiếp diện: (P) : 4 (x −2) − 16 12 0(y − 2) + (z −3) =

b. – Phương trình pháp tuyến: (d) :

x−2

y−1

z−12

−1

– Phương trình tiếp diện: .(P) : 8 (x −2) + 8 (y −1) − (z −12) = 0

c. – Phương trình pháp tuyến: (d) :

x+1

y−3

−1

– Phương trình tiếp diện: .(P) : 2 (x + 1 3) + (y − ) − z = 0

Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

(

+ y

= 10

+ z

= 25

tại điểm A (1, 3, 4)

(

+ 3y

+ z

= 47

+ 2y

= z

tại điểm B (−2, 6, 1)

14 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Lời giải

. a. Ta có

(

f (x, ,y z) := x

+ y

−10 0=

(x, y, z) := y

+ z

−25 = 0

nên

(

= (2, 6, 0)

= (0, 6, 8)

Do đó n

∧n

= 2 (21, −8, 3). Vậy:

– Phương trình tiếp tuyến (d) :

x−1

y−3

−

z−4

– Phương trình pháp diện (P) : 21 0(x −1) −8 3(y − 3) + (z −4) =

b. Tương tự,

(

= (−8, 6, 12)

= (−4, 4, −1)

, n

∧n

= −2 (27, 27, 4) nên

– Phương trình tiếp tuyến (d) :

x+2

y−1

z−6

– Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 0(y − 1 6) + 4 (z − ) =

CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN KÉP

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.

Cho hàm số

f (x, y)

xác định trong một miền đóng, bị chặn

. Chia

miền

một cách tuỳ ý thành

mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là

∆ ∆ ∆S

, S

, ..., S

. Trong mỗi mảnh

∆S

lấy một điểm tuỳ ý

M (x y

)

và thành lập tổng tích

phân

∑

i=1

f (x y

) ∆S

. Nếu khi

n → ∞

sao cho

max {∆S

→ 0}

mà

tiến tới một giá

trị hữu hạn

, không phụ thuộc vào cách chia miền

và cách chọn điểm

M (x

, y

)

thì giới

hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số

f (x, y)

trong miền

, kí hiệu là

f (x, y) dS

Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y) khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụ

thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia thành hai họ đườngD

thẳng song song với các trục toạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viết

(x, y) dS =

f (x, y) dxdy

Tính chất cơ bản:

• Tính chất tuyến tính:

[

f (x, y) + g (x, y)] dxdy =

(x y, ) dxdy +

g (x y, ) dxdy

16 Chương 2. Tích phân bội

k f

(x, y) dxdy = k

f (x y, ) dxdy

• Tính chất cộng tính: Nếu D = D D

∪

và D

∩ D

= ∅ thì

(x y, ) dxdy =

(x y, ) dxdy +

f (x, y) dxdy

1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes

Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.

1. Phác thảo hình dạng của miền .D

2. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một

trong hai tích phân lặp

f (x, y) dxdy =

f (x y, ) dy =

f (x y, ) dx

3. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6

y 6 ψ (x) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau.

f (x y, ) dxdy =

ψ(x)

ϕ(x)

f (x, y) dy

4. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6

x 6 ψ (y) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau.

f (x y, ) dxdy =

ψ(y)

ϕ(y)

f (x y, ) dx

5. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 3,4 thì thông thường ta sẽ chia

miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tính

để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4.

Các dạng bài tập cơ bản

1. Tích phân kép 17

Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.

Trong phần trên, chúng ta biết rằng thứ tự lấy tích phân và hình dáng của miền D có

liên quan chặt chẽ đến nhau. Nếu thứ tự dy trước, dx sau thì miền D có dạng hình thang

cong song song với trục Oy, và có biểu diễn là (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x x) 6 y 6 ψ ( ). Ngược lại,

nếu thứ tự dx trước, dy sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục ,Ox

và có biểu diễn là (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y y) 6 x 6 ψ ( ). Do vậy việc đổi thứ tự lấy tích phân

trong tích phân lặp chẳng qua là việc biểu diễn miền D từ dạng này sang dạng kia.

1. Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D.

2. Nếu D là miền hình thang cong có các cạnh song song với Oy thì ta chia D thành các

hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải tích của các miền

con, ví dụ (D

) : c

6 y 6 d

, ϕ

(y) 6 x 6 ψ

(y), sau đó viết

(x)

(x, y) dy =

∑

(y)

f (x, y) dx

3. Làm tương tự trong trường hợp D là hình thang cong có các cạnh song song với .Ox

Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:

√

1−x

−

√

1−x

f (x y, ) dy

Hình 2.1 a)

Chia miền D thành hai miền con như hình vẽ,D

, D







−1 6 y 6 0

−

− y

6 x 6

1 −y

, D







0 6 y 6 1

−

− y 6 x 6

1 −y

I =

−1

√

1−y

−

√

1−y

f (x, y) dx+

√

1−y

−

√

1−y

f (x y, ) dx

18 Chương 2. Tích phân bội

√

1−y

2−y

f (x y, ) dx

Hình 2.1 b)

Lời giải

. Ta có: D :







1 6 x 6 2

− x 6 y 6

√

2x − x

nên:

I =

√

2x−x

2−x

f (x y, ) dy

√

2x−x

f (x y, ) dx

Hình 2.1 c)

Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ,







0 6 y 6 1

6 x 6 1 −

1 −y

, D







0 6 y 6 1

1 −y

6 x 6 2

, D







1 6 y 6 2

6 x 6 2

Vậy:

I =

−

√

1−y

f (x y, ) dx+

√

1−y

f (x y, ) dx +

f (x, y) dx

1. Tích phân kép 19

√

f (x y, ) dx+

√

4−y

f (x, y) dx

√

Hình 2.1 d)

Lời giải.







6 x 6

√

6 y 6

√

4 −x

nên:

I =

√

4−x

f (x y, ) dy

Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tích

phân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây:

Bài tập 2.2. Tính I =

dy.

Hình 2.2

Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f (x, y) = xe

liên tục trên miền D nên chắc chắn

khả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo

20 Chương 2. Tích phân bội

thứ tự dy trước thì không thể tính được, vì hàm số không có nguyên hàm sơ cấp! Còne

nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì:

I =

√

dx =

2 x



√

dy =

.ydy =

(e − 1)

Dạng 2: Tính các tích phân kép thông thường.

Bài tập 2.3. Tính các tích phân sau:

sin (x + y) d yxd , D =



(x, y) ∈ R

: 0 6 y 6

, 0 6 x 6



Lời giải.

I =

sin (x + y) dy = ... =

hoặc I =

sin (x + y) dx = ... =

I =

(y − x) dxdy, D giới hạn bởi y = x

&x = y

O 1

= x

= y

Hình 2.3

Lời giải.

I =

√



y − x



dy = ... = −

504

1. Tích phân kép 21

Dạng 3: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối trong các bài toán tính

tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ, để tính các tích phân kép dạng

|f (x y x y x, )| dxdy. Khảo sát dấu của hàm f ( , ), do tính liên tục của hàm f ( , y) nên

đường cong f (x y, ) = 0 sẽ chia miền D thành hai miền, D D

−

. Trên , vàD

, f (x y, ) > 0

trên D

−

, f (x, y) 6 0. Ta có công thức:

|f (x, y)|dxdy =

(x y, ) dxdy −

−

f (x y, ) dxdy (1) (1)

Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1. Vẽ đường cong f (x y, ) = 0 để tìm đường cong phân chia miền .D

2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào

là D

, miền nào là D

−

, ta xét một điểm (x y

) bất kì, sau đó tính giá trị f (x

, y

Nếu f (x y

) > 0 thì miền chứa (x

, y

) là D

và ngược lại.

3. Sau khi xác định được các miền D

, D

−

, chúng ta sử dụng công thức (1) để tính tích

phân.

Bài tập 2.4.

Tính

|x + y|d yxd , D :



(x, y) ∈ R

||x 6 1|, |y| 6 1



−

Hình 2.4

Lời giải. Ta có:

= D ∩{x + y x y> 0} = {−1 6 x 6 1, − 6 6 1}

−

= D ∩ {x + y y6 0} = {−1 6 x 6 1, −1 6 6 −x}

22 Chương 2. Tích phân bội

nên:

(

x + y) dxdy −

−

(

x + y) dxdy = ... =

Bài tập 2.5.

Tính

|y − x

|dxdy, D :



(x y, ) ∈ R

||x| 6 61, 0 y 6 1



−

Hình 2.5

Lời giải.

= D ∩

(x, y)



y − x

> 0

−1 6 x 6 1, x

6 y 6 1

−

= D ∩

(x, y)



y − x

6 0

= {−1 6 x 6 1, 0 6 y 6 x}

y − x

dxdy +

−

− ydxdy = I

+ I

trong đó

−1

y − x

dy =

−



1 − x



x=sin t

cos

tdt = ... =

−1

− ydy =

−

dx =

Vậy I =

1. Tích phân kép 23

Dạng 4: Tính các tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối

xứng.

Định lý 2.2.

Nếu miền

là miền đối xứng qua trục

(hoặc tương ứng

) và hàm là

hàm lẻ đối với

(hoặc tương ứng đối với

) thì

f (x, y) dxdy = 0

Định lý 2.3.

Nếu miền

là miền đối xứng qua trục

(hoặc tương ứng

) và hàm là

hàm chẵn đối với

(hoặc tương ứng đối với

) thì

(x y, ) dxdy = 2

′

f (x, y) dxdy

trong đó

′

là phần nằm bên phải trục

của

(hoặc tương ứng phía trên của trục

tương ứng)

Định lý 2.4.

Nếu miền

là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ

và hàm

f (x, y)

thoả mãn

f (−x y x, − ) = −f ( , y)

thì

f (x, y) dxdy = 0

Bài tập 2.6.

Tính

x| | |+ y 61

|x| + |y|dxdy.

Hình 2.6

Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f (x y, ) = |x|+ |y| là hàm chẵn với x, y nên

= 4

f (x, y) dxdy = 4

1−x

(

x + y)dy =

24 Chương 2. Tích phân bội

1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép

Phép đổi biến số tổng quát

Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của

hai họ đường cong. Xét tích phân kép:

I =

f (x x y, y) dxdy, trong đó f ( , ) liên tục trên D.

Thực hiện phép đổi biến số x = x (u u, v) , y = y ( , v) (1)thoả mãn:

• x = x (u u, v) , y = y ( , v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong

miền đóng D

của mặt phẳng .O

′

• Các công thức (1) xác định song ánh từ D

→ D.

• Định thức Jacobi J =

D(x y, )

(u,v)



′



6= 0

Khi đó ta có công thức:

(x y, ) dxdy =

f (x (u u, v) , y ( , v)) |J|dudv

Chú ý:

• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền có hình dángD

phức tạp về tính tích phân trên miền D

đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc

hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn

giản biểu thức tính tích phân .f (x, y)

• Một điều hết sức chú ý trong việc xác định miền D

đó là phép dổi biến số tống quát

sẽ biến biên của miền D thành biến của miền D

, biến miền D bị chặn thành miền

bị chặn.

• Có thể tính J thông qua J

−1

D(u,v)

(x,y)



′



Bài tập 2.7. Chuyển tích phân sau sang hai biến :u, v

−x

(x, y) dxdy, nếu đặt







u = x + y

v = x − y

b) Áp dụng tính với f (x y y, ) = (2 −x − )

1. Tích phân kép 25

′

Hình 2.7

Lời giải.







u = x + y

= x − y

⇒







u+v

u−v

|J| =

D (x, y)

(u, v)



1 1

−1



= −2

hơn nữa







0 6 x 6 1

−

x 6 y 6 x

↔ D







0 6 u 6 2

0 6 v 6 2 −u

nên

2−u



u + v

u − v



Bài tập 2.8.

Tính I =



−2y



dxdy, trong đó D :







1 6 xy 6 4

x 6 y 6 4x

y = 4x

y = x

xy = 4

xy = 1

Hình 2.8

26 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải. Thực hiện phép đổi biến







u = xy

v =

⇒







√

, D







1 6 u 6 4

6 v 6 4

, J

−1



y x

−y



= 2

√

= 2v

khi đó

I =



−2uv



dv =



− u



dv =

−

udu = −

Phép đổi biến số trong toạ độ cực

Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản

hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có

dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,.. . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu thức



+ y



. Toạ độ cực của điểm là bộM (x y, ) (r, ϕ), trong đó









−−→



ϕ =

−−→

OM Ox,

Công thức đổi biến:







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình

dạng của miền D. Khi đó J =

D(x y, )

(r,ϕ)

= r , và I =

rϕ

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ

Đặc biệt, nếu

D :







6 ϕ 6 ϕ

(ϕ) 6 r 6 r

(ϕ)

, thì

I =

dϕ

(ϕ)

f (r rcos ϕ, sin ϕ) rdr

Bài tập 2.9.

Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I =

f (x y, ) dxdy, trong đó D là

miền xác định như sau:

a) a

6 x

+ y

6 b

1. Tích phân kép 27

Hình 2.9a

Lời giải.







0 6 ϕ 6 2π

6 r 6 b

⇒I =

2π

dϕ

f (r rcos ϕ, sin ϕ) rdr

b) x

+ y

> 4x x x x,

+ y

6 8 , y > , y 6 2x

2 8

Hình 2.9b

Lời giải. Ta có:







6 ϕ 6

4 cos

ϕ 6 r 6 8 cos ϕ

⇒I =

dϕ

8 cos ϕ

4 cos ϕ

f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr

Bài tập 2.10. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau:

√

−x

ln .



1 + x

+ y



dy (R > 0)

28 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.10 a

Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền

D là:







0 6 x 6 R

6 y 6

√

− x

nên chuyển sang toạ độ cực, đặt:







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì







6 ϕ 6

0 6 r 6 R

I =

dϕ



1 + r



rdr =



1 + r





1 + r



h

+ 1





+ 1



− R

b) Tính

xy dxdy

, D giới hạn bởi







+ (y −1)

= 1

+ y

−4y = 0

Hình 2.10 b

Đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







0 6 ϕ 6 π

2 sin 4 sinϕ 6 r 6 ϕ

1. Tích phân kép 29

I =

dϕ

4 sin ϕ

2 sin ϕ

cos ϕ. (r sin ϕ)

rdr

= 0

Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và xy

là hàm số lẻ đối với x nên .I = 0

Bài tập 2.11. Tính các tích phân sau:

dxdy

(

)

, trong đó D :







4 8

y 6 x

+ y

6 y

x y

6 6 x

√

y = x

= x

√

Hình 2.11a

Lời giải.

Đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







6 ϕ 6

4 sin 8 sinϕ 6 r 6 ϕ

I =

dϕ

8 sin ϕ

4 sin ϕ

rdr = −



64 sin

−

16 sin



dϕ =

128



1 −

√



1−x

−y

dxdy trong đó D : x

+ y

6 1

30 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.11b

Đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

Ta có:

I =

2π

dϕ

1 −r

+ r

rdr

u=r

2π

1 −u

+ u

Đặt

1 −u

+ u

⇒







= −

(

1+t

)

0 6 t 6 1

I = π

−

(

1 + t

)

= −π

4dt

+ t

+ 4π

(1 + t

)

−4π arctg t



+ 4π



+ 1

arctg t





dxdy trong đó D :











+ y

6 12

+ y

> 2x

+ y

> 2

√

x > 0, y > 0

1. Tích phân kép 31

√

Hình 2.11c

Lời giải. Chia miền D thành hai miền như hình vẽ,

= D D D

∪







6 ϕ 6

2 cos

ϕ 6 r 6 2

√

, D







6 ϕ 6

√

3 sin 3ϕ 6 r 6 2

√

Vậy

I = I

+ I

, trong đó

dϕ

√

2 cos ϕ

cos ϕ sin ϕ

rdr =

cos

ϕ sin ϕ



12 −4cos



dϕ = ... =

dϕ

√

3 sin ϕ

cos ϕ sin ϕ

rdr =

cos

ϕ sin ϕ



12 −12 sin



dϕ = ... =

nên I =

Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng.

Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse

hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt

buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi.

1. Nếu D :

= 1, thực hiện phép đổi biến







x = ar cos ϕ

= br sin ϕ

, J = abr

2. Nếu

D : (x − a)

+ (y − b)

= R

, thực hiện phép đổi biến







x = a + r cos ϕ

= b + r sin ϕ

, J = r

3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng.

32 Chương 2. Tích phân bội

4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến.

Bài tập 2.12.

Tính



−4y



dxdy, trong đó D :

6 1.

Hình 2.12

Lời giải.

Đặt







x = 2r cos ϕ

= 3r sin ϕ

⇒ J = 6r,







0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

Ta có:

= 6

rϕ



36 cos 36 sinr

2 2

ϕ − r

2 2



rdrdϕ = 6.36

2π

|cos 2ϕ|dϕ

dr = ... = 216

Bài tập 2.13. Tính

√

−x

−

√

−x

Rx − x

−y

dy, (R > 0)

Hình 2.13

Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là:







0 6 x 6 R

−

√

Rx − x

6 y 6

√

Rx − x

⇔



−



1. Tích phân kép 33

Đặt







+ rcosϕ

= r sin ϕ

⇒ |J

| =







0 6 ϕ 6 2π

6 r 6

Vậy

I =

2π

dϕ

−r

rdr = 2π.

−1

−r



−r



πR

Bài tập 2.14.

Tính

xydxdy, với

a) D là mặt tròn (x − 2)

+ y

6 1

Hình 2.14a

Lời giải.

Đặt







x = 2 + r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







0 6 r 6 1

0 6 ϕ 6 2π

nên

I =

2π

dϕ

(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0

Cách 2. Nhận xét: Do D là miền đối xứng qua Ox, f (x, y) = xy là hàm lẻ đối với y

nên .I = 0

b) D là nửa mặt tròn (x − 2)

+ y

6 1, y > 0

Hình 2.14b

34 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải.

Đặt







x = 2 + r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







0 6 r 6 1

0 6 ϕ 6 π

nên

I =

dϕ

(

2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr =

2. Tích phân bội ba 35

§2. TÍCH PHÂN BỘI BA

2.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.2.

Cho hàm số

f (x, y, z)

xác định trong một miền đóng, bị chặn

của không

gian

Oxyz

. Chia miền

một cách tuỳ ý thành

miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích

của chúng là

∆

, ∆V

, ..., ∆V

. Trong mỗi miền

∆

lấy một điểm tuỳ ý

M(x y

, z

)

và thành

lập tổng tích phân

∑

i=1

f (x y

, z

) ∆V

. Nếu khi

n → +∞

sao cho

max

{∆V

→ 0}

mà

tiến tới một giá trị hữu hạn

, không phụ thuộc vào cách chia miền

và cách chọn điểm

M(x y

, z

)

thì giới hạn ấy được gọi là

tích phân bội ba

của hàm số

f (x, y, z)

trong miền

kí hiệu là

ZZZ

f (x, y, z) dV

Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trong miền .V

Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành các miền nhỏ nên ta có

thể chia V bởi ba họ mặt thẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, khi đó dV = dxdydz

và ta có thể viết

ZZZ

(x, y, z) dV =

ZZZ

f (x, y, z) dxdydz

Các tính chất cơ bản

• Tính chất tuyến tính

ZZZ

[

f (x, y, z) + g (x, y, z)] dxdydz =

ZZZ

(x, y, z) dxdydz +

ZZZ

g (x, y, z) dxdydz

ZZZ

k f

(x, y, z) dxdydz = k

ZZZ

f (x, y, z) dxdydz

•

Tính chất cộng tính: Nếu V = V

∪V

và V

∩V

= ∅ thì:

ZZZ

(x, y, z) dxdydz =

ZZZ

(x, y, z) dxdydz +

ZZZ

f (x, y, z) dxdydz

2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes

Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích

phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép.

Tích phân ba lớp Tích phân hai lớp Tích phân lặp⇒ ⇒

36 Chương 2. Tích phân bội

Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc

tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ

thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng.

Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z

(x y, ) , z = z

(x y, ), trong đó z

(x y, ) , z

(x, y)

là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta

có:

ZZZ

(x, y, z) dxdydz =

dxdy

(x y, )

f (x, y, z) dz (2.1)

Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp

1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy.

2. Xác định biên dưới z = z

(x y, ) và biên trên z = z

(x, y) của .V

3. Sử dụng công thức 2.1 để hoàn tất việc chuyển đổi.

Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là:

Xác định D và các biên z = z

(x y, ) , z = z

(x, y) như thế nào?

Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền .V

Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học tuy khó thực hiện

hơn nhưng có ưu điểm là rất trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy

có thể áp dụng cho nhiều bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Chúng tôi khuyên các

em sinh viên hãy cố gắng thử cách vẽ hình trước. Muốn làm được điều này, đòi hỏi các bạn

sinh viên phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong không gian như mặt phẳng, mặt

trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn

nữa các bạn cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt của các mặt.

Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền

V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f (x, y, z) đôi khi giúp sinh viên giảm được khối

lượng tính toán đáng kể.

Định lý 2.5.

Nếu

là miền đối xứng qua mặt phẳng

z = 0(Oxy)

và

f (x, y, z)

là hàm số lẻ

đối với

thì

ZZZ

f (x, y, z) dxdydz = 0

Định lý 2.6.

Nếu

là miền đối xứng qua mặt phẳng

z = 0(Oxy)

và

f (x, y, z)

là hàm số

chẵn đối với

thì

ZZZ

(x, y, z) dxdydz = 2

ZZZ

f (x, y, z) dxdydz

, trong đó

là phần phía

trên mặt phẳng

z = 0

của

2. Tích phân bội ba 37

Tất nhiên chúng ta có thể thay đổi vai trò của z trong hai định lý trên bằng x hoặc y. Hai

định lý trên có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số.

Bài tập 2.15.

Tính

ZZZ

zdxdydz

trong đó miền V được xác định bởi:











6 x 6

x y6 6 2x

6 z 6

1 − x

− y

Lời giải.

I =

√

1−x

−y

zdz =



1 −x

− y



dy =



x −



dx =

3072

Bài tập 2.16.

Tính

ZZZ



+ y



dxdydz trong đó V:

(

+ y

+ z

= 1

+ y

−z

= 0

1 −x

− y

+ y

Hình 2.16

38 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải

. Do tính chất đối xứng,

ZZZ



+ y



dxdydz = 2

ZZZ



+ y



dxdydz = 2I

, trong

đó

là nửa phía trên mặt phẳng Oxy của V. Ta có











2 2

+ y

6 z 6

1 − x − y

: x

+ y

với

D là hình chiếu của V

lên Oxy. Ta có

+ y

dxdy

√

1−x

−y

√



+ y





1 − x

−y

−

+ y



dxdy

Đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒ J = r,











0 6 ϕ 6 2π

6 r 6

√

nên

√



1 −r

−r



2π

dϕ = 2π

√



1 −r

−r



dr =

(r=cos α)

...

2π

8 −5

√

Vậy

4π

8 −5

√

2.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba

Phép đổi biến số tổng quát

Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của

ba họ mặt cong. Giả sử cần tính

I =

ZZZ

f (x x, y, z) dxdydz trong đó f ( , y, z) liên tục trên V.

Thực hiện phép đổi biến số











x = x (u, v, w)

y = y (u, v, w)

z = z (u, v, w)

(2.2)

thoả mãn

• x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng V

uvw

của mặt phẳng .O

′

uvw

• Công thức 2.2 xác định song ánh V

uvw

→ V.

2. Tích phân bội ba 39

• J =

D(x, ,y z)

(u,v,w)

6= 0 trong V

uvw

. Khi đó

ZZZ

(x, y, z) dxdydz =

ZZZ

uvw

f [x (u u u, v, w) , y ( , v, w) , z ( , v, w)] |J|dudvdw

Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba

cũng biến biên của miền V thành biên của miền V

uvw

, biến miền V bị chặn thành miền

uvw

bị chặn.

Bài tập 2.17.

Tính thể tích miền V giới hạn bởi











x + y + z = ±3

x + 2y − z = ±1

x + 4y + z = ±2

biết

V =

ZZZ

dxdydz.

Lời giải

. Thực hiện phép đổi biến











u = x + y + z

v = x + 2y −z

w = x + 4y + z

. Vì phép đổi biến biến biên của V

thành biên của

uvw

nên V

uvw

giới hạn bởi:











u = ±3

v = ±1

w = ±2

−1

D (u, v, w)

(x, y, z)



1 1 1

1 2 1−

1 4 1



6 ⇒ J =

⇒ V =

ZZZ

uvw

dudvdw

.6.2.4 8=

Phép đổi biến số trong toạ độ trụ

Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu

D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x

+ y

) thì ta

hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ. Toạ độ trụ của điểm là bộ baM(x, y, z)

( )r, ϕ, z , trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của điểm M

′

là hình chiếu của điểm M lên .Oxy

Công thức đổi biến











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

. Định thức Jacobian của phép biến đổi là J =

D(x,y,z)

(r,ϕ,z)

= r,

ta có:

ZZZ

(x, y, z) dxdydz =

ZZZ

rϕz

f (rc rdrd dzosϕ, r sin ϕ, z) ϕ

40 Chương 2. Tích phân bội

Nếu miền

V :

(

(x y, ) ∈ D

(x y, ) 6 z 6 z

(x y, )

, trong đó D :

(

6 ϕ 6 ϕ

(ϕ) 6 r 6 r

(ϕ)

thì:

I =

dϕ

(ϕ)

rdr

(r cos ϕ,r sin ϕ)

f (r rcos ϕ, sin ϕ, z) dz

Bài tập 2.18.

Tính

ZZZ



+ y



dxdydz, trong đó V :

(

+ y

6 1

6 z 6 2

Hình 2.18

Lời giải

. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

thì











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

1 6 z 6 2

. Ta có

I =

2π

dϕ

zdz

= ... =

3π

Bài tập 2.19.

Tính

ZZZ

+ y

dxdydz, trong đó:

a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x

+ y

= 2x và các mặt phẳng .z = 0, z = a (a > 0)

b) V là nửa của hình cầu x

+ y

+ z

6 a

, z > 0 (a > 0)

2. Tích phân bội ba 41

Hình 2.19a

Lời giải

. a) Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

. Từ

+ y

= 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó:











−

6 ϕ 6

0 6 r 6 2 cos ϕ

0 6 z 6 a

Vậy

I =

−

dϕ

2 cos ϕ

zdz

= ... =

16a

Hình 2.19b

42 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải

. b) Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 a

0 6 z 6

−r

. Vậy

I =

2π

dϕ

√

−r

zdz = 2π

−r

dr =

2πa

Bài tập 2.20.

Tính I =

ZZZ

ydxdydz

, trong đó V giới hạn bởi:

(

y =

+ x

= h

O h

Hình 2.20

Lời giải

. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 h

r 6 y 6 h

. Vậy

I =

2π

dϕ

rdr

ydy = 2π

−r

dr =

πh

Bài tập 2.21.

Tính I =

ZZZ

+ y

dxdydz trong đó V giới hạn bởi:

(

+ y

= z

= 1

2. Tích phân bội ba 43

Hình 2.21

Lời giải

. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

r 6 z 6 1

. Vậy

I =

2π

dϕ

dz = 2π

(1 −r) dr =

Bài tập 2.22.

Tính

ZZZ

dxdydz

√

+ +y

(z−2)

, trong đó V :

(

+ y

=≤ 1

z| ≤ 1

44 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.22

Lời giải

. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

′

= z − 2

⇒

|J| = r, V

rϕz











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

− −

3 6 z

′

6 1

, ta có

I =

2π

dϕ

rdr

−1

−3

′

√

+ z

′2

= π

. ln



′

+ z

′2





′

=−1

′

=−3

= 2π







+ 1 −1



dr −

r ln



+ 9 −3







= 2π (I

− I

)

Vì lim

→0

r ln



√

+ 1 −1



= lim

→0

r ln



√

+ 9 −3



= 0 nên thực chất I

, I

là các tích phân

xác định.

Đặt

√

+ 1 = t ⇒ rdr = tdt, ta có

r ln



+ 1 −1



t ln (t − 1) dt

ln (t −1) −

−1

ln (t −1) −

−

+ C

2. Tích phân bội ba 45

nên



−1

ln (t −1) −

−



√



√

2 −1



−



√

2 −1



Tương tự, I

−9

(

t −3) −

−

+ C nên



−9

ln (t −3) −

−



√



√

10 −3



−



√

10 −3



Vậy

= 2π (I I

−

) = π

√

2 −1

√

10 −3

+ 3

√

10 −8 −

√

Phép đổi biến trong toạ độ cầu

Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,. . . và khi hàm lấy tích

phân

f (x, y, z) có chứa biểu thức



+ y

+ z



thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ

độ cầu.

Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó:













−−→



θ =



−−→

, Oz



ϕ =



−−→

OM Ox

′



Công thức của phép đổi biến là:











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

Định thức Jacobian J =

D(x, ,y z)

(r,θ,ϕ)

= −r

sin θ, ta có:

ZZZ

(x, y, z) dxdydz =

ZZZ

rθ ϕ

(r sin θ cos ϕ, r rsin θ sin ϕ, cos θ) r

sin θdrdθdϕ

Đặc biệt, nếu

rθ ϕ











ϕ ϕ ϕ ϕ

6 ϕ 6

, (

−

6 2π)

(ϕ) 6 θ 6 θ

(ϕ)

(θ, ϕ) 6 r 6 r

(θ, ϕ)

thì

I =

dϕ

(ϕ)

sin θdθ

(θ,ϕ)

(r rsin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, cos θ)r

46 Chương 2. Tích phân bội

Bài tập 2.23.

Tính

ZZZ



+ y

+ z



dxdydz, trong đó V :

(

1 6 x

+ y

+ z

6 4

+ y

6 z

Hình 2.23

Lời giải

. Đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

. Do 1 6 x

+ y

+ z

6 4 nên 1 ≤ r ≤ 2; trên mặt nón có

phương trình x

+ y

= z

nên θ =

. Vậy











0 6 ϕ 6 2π

6 θ 6

1 6 r 6 2

nên

I = 2

2π

dϕ

sin θdθ

r r

dr = 2.2π. (−cos θ)



4.31π

1 −

√

Bài tập 2.24.

Tính

ZZZ

+ y

+ z

dxdydz trong đó V : x

+ y

+ z

6 z.

2. Tích phân bội ba 47

Hình 2.24

Lời giải

. Đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

. Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6

Do x

+ y

+ z

6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy

I =

2π

dϕ

sin θdθ

cos θ

dr = 2π.

sin

θ.

cos

θdθ =

Phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng.

Tương tự như khi tính tích phân kép, khi miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu

có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta sẽ sử dụng phép đổi biến số trong toạ độ cầu

suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi.

1. Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ

độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.

2. – Nếu V :

= 1 thì thực hiện phép đổi biến











x = ar sin θ cos ϕ

y = br sin θ sin ϕ

z = cr cos θ

J = −abcr

sin θ

48 Chương 2. Tích phân bội

– Nếu V : (x − a)

+ (y − b)

+ (z − c)

= R

thì thực hiện phép đổi biến











x = a + r sin θ cos ϕ

y = b + r sin θ sin ϕ

z = c + r cos θ

J = −r

sin θ

3. Xác định miền biến thiên của .ϕ, θ, r

4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến.

Bài tập 2.25.

Tính

ZZZ

+ y

dxdydz, trong đó V là nửa của khối ellipsoit

1, z > 0, (a, b > 0)

Lời giải. Cách 1: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ trụ suy rộng.

Đặt











= bz

′

x = ar cos ϕ

y = ar sin θ

⇒

J =

D (x, ,y z)

(r, ϕ, z)

= a

br V,

rϕz

′ =

0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 1, 0 6 z

′

1 −r

Vậy

I =

2π

dϕ

√

1−r

bz ar brdz

′

. .a

2 ′

= 2a

1 −r

dr =

2πa

Cách 2: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng.

Đặt











x = ar sin θ cos ϕ

y = ar sin θ sin ϕ

z = br cos θ

⇒

J =

D (x, ,y z)

(r, θ, ϕ)

= a

sin θ, V

rϕz

′ =

0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6

, 0 6 6r 1

Vậy

I =

2π

dϕ

dθ

cos θ.ar sin θ.a

b sin θ = 2a

2π

cos

θ sin

πdθ

dr =

2πa

Bài tập 2.26.

Tính

ZZZ





dxdydz , ở đó V :

6 1, (a, ,b c > 0).

2. Tích phân bội ba 49

Lời giải. Đặt











x = ar sin θ cos ϕ

y = br sin θ sin ϕ

z = cr cos θ

⇒

J =

D (x, ,y z)

(r, θ, ϕ)

= abcr

sin θ, V

rϕz

′ = {0 6 ϕ 6 2π, 0 , 06 θ 6 π 6 r 6 1}

Vậy

I = abc

2π

dϕ

dθ

r r

sin θ =

4π

abc

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

50 Chương 2. Tích phân bội

§3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

3.1 Tính diện tích hình phẳng

Công thức tổng quát:

S =

dxdy

Bài tập 2.27.

Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:











= 2

−x

y = 4

= 2

−x

Hình 2.27

Lời giải. Nhận xét:

= D D

∪

, D

(

−2 6 x 6 0

−x

6 y 6 4

, D

(

0 6 x 6 2

6 y 6 4

nên

dxdy

= 2

dxdy

= ... = 2



8 −

ln 2



3. Các ứng dụng của tích phân bội 51

Bài tập 2.28.

Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:

(

= x, y

= 2x

= y, x

= 2y

= x x

2 2

= 2y

= y

x = y

Hình 2.28

Lời giải

. Ta có S =

dxdy. Thực hiện phép đổi biến











⇒

(

1 6 u 6 2

6 v 6 2

thì

−1

D (u, v)

(x, y)



−



= −3

Vậy

dudv =

Bài tập 2.29.

Tính diện tích miền D giới hạn bởi

(

y = 0, y

= 4ax

+ y = 3a, y 6 0 (a > 0)

52 Chương 2. Tích phân bội

−6a

Hình 2.29

Lời giải

. Nhìn hình vẽ ta thấy D :











−6a 6 y 6 0

6 x 6 3a − y

nên

dxdy =

−6a

3a−y

dx =

−



3a − y −



dy = 18a

Bài tập 2.30.

Tính diện tích miền D giới hạn bởi

(

+ y

= 2 4x x,

+ y

= x

= y, y = 0

y = x

2 4

Hình 2.30

Lời giải

. Ta có S =

dxdy

, đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

thì D :







6 ϕ 6

2 cos 4 cosϕ 6 r 6 ϕ

nên

S =

dϕ

4 cos ϕ

2 cos ϕ

rdr

12 cos

ϕdϕ =

3π

3. Các ứng dụng của tích phân bội 53

Bài tập 2.31. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r =

√

cos ϕ.

Chú ý:

• r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính .a

• r = a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a a, 0), bán kính .

Hình 2.31

Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn:

= 1 =

√

cos ϕ ⇔ ϕ = ±

nên

S = 2

dϕ

√

cos ϕ

rdr

= 2.



cos

ϕ −1



dϕ =

√

−

Bài tập 2.32.

Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường



+ y



= 2a

xy (a > 0) (đường

)

= a

sin 2ϕ

Hình 2.32

54 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải

. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

, phương trình đường cong

tương đương với r

= a

sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem

hình vẽ 2.32). Ta có







6 ϕ 6

, π 6 ϕ 6

3π

6 r 6 a

sin 2ϕ

Do tính đối xứng của hình vẽ nên

S = 2

dϕ

√

sin 2ϕ

rdr =

sin 2ϕdϕ = a

Bài tập 2.33. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x

+ y

= axy (a > 0) (Lá Descartes)

TCX: y = −x −

Hình 2.33

Tham số hoá đường cong đã cho, đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

, phương trình đường cong tương đương

với

a sin ϕ cos ϕ

sin cos

ϕ +

Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.33). Ta có











6 ϕ 6

6 r 6

a sin ϕ cos ϕ

sin cos

ϕ +

3. Các ứng dụng của tích phân bội 55

nên

S =

dϕ

a sin ϕcos ϕ

sin cos

ϕ+

rdr

sin cos



sin cos

ϕ +



dϕ

t=tgϕ

+∞



+ 1



( )

+ 1

Bài tập 2.34. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0), (đường

Cardioids hay đường hình tim)

−a

Hình 2.34

Lời giải. Ta có

D = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a (1 + cos ϕ)}

nên

S = 2

dϕ

a(1+cos ϕ)

rdr

= a

(

1 + cos ϕ)

dϕ = ... =

3πa

3.2 Tính thể tích vật thể

Công thức tổng quát:

ZZZ

dxdydz

Các trường hợp đặc biệt

1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục

Oz, đáy là miền , phía trên giới hạn bởi mặt congD trong mặt phẳng Oxy z =

f f

(x y, ) , (x y, ) > 0 và liên tục trên D thì V =

f (x y, ) dxdy. (Xem hình vẽ dưới

đây).

56 Chương 2. Tích phân bội

z = f (x y, )

2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt

z = z

(x, y) , z = z

(x y, ). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền ,D

(x y, ) , z

(x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó:

(x, y) − z

(x y, )|dxdy

z = f (x y, )

z = g x y( , )

Ω

Bài tập 2.35.

Tính diện tích miền giới hạn bởi











3x + y > 1

3x + 2y 6 2

y > 0, 0 6 z 6 1 − x − y

3. Các ứng dụng của tích phân bội 57

Hình 2.35

Lời giải.

f (x, y) dxdy =

2 2− y

1−y

(

1 −x − y) dx =



1 −2y + y



dy =

Bài tập 2.36.

Tính thể tích của miền V giới hạn bởi

(

z = 4 − x

−y

z = 2 + x

+ y

z = 2 + x

+ y

= 4 − x

− y

Hình 2.36

58 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải

. Giao tuyến của hai mặt cong:

(

+ y

= 2

, nên hình chiếu của V lên mặt phẳng

Oxy

là D : x

+ y

≤ 2. Hơn nữa trên D thì 4 − x

− y

2+x

nên ta có:



4 − x

−y

−

2 + x

+ y



dxdy

Đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

thì

(

0 6 ϕ 6 2π

6 r 6

√

, do đó

V =

2π

dϕ

√



3 −



rdr = ... = 3π

Bài tập 2.37.

Tính thể tích của V :

(

0 6 z 6 1 − x

− y

y y

> x, 6

√

O 1

Hình 2.37

Lời giải

. Do x y≤ ≤

√

3x nên x, y ≥ 0. Ta có



1 − x

−y



dxdy

3. Các ứng dụng của tích phân bội 59

Đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

thì







6 ϕ 6

0 6 r 6 1

. Vậy

V =

dϕ



1 −r



rdr = . . . =

Bài tập 2.38.

Tính thể tích V :

(

+ y

+ z

6 4a

+ y

−2ay 6 0

2a2a

Hình 2.38

Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên

= 4

− x

−y

dxdy,

trong đó

D là nửa hình tròn D :

(

+ y

−2ay 6 0

> 0

. Đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒







6 ϕ 6

0 6 r 6 2a sin ϕ

60 Chương 2. Tích phân bội

Vậy

V = 4

dϕ

2a sin ϕ

−r

rdr

−1



−r





r=2a sin ϕ

dϕ



−8a

cos



dϕ

32a



−



Bài tập 2.39.

Tính thể tích của miền V giới hạn bởi











z = 0

Hình 2.39

Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D :

. Do tính chất

đối xứng của miền V nên:

= 2





dxdy,

3. Các ứng dụng của tích phân bội 61

trong đó D

là nửa ellipse D

, y > 0

Đặt

(

x = ar cos ϕ

= br sin ϕ

thì |J| = abr,







6 ϕ 6

0 6 r 6 2 cos ϕ

. Vậy

V = 2

dϕ

2 cos ϕ

rdr = ... =

3π

Bài tập 2.40.

Tính thể tích của miền V :







= x

+ y

z =

+ y

−a

Hình 2.40

Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong:

+ y

⇔

(

+ y

= a

z = a

Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là

: x

+ y

= a

Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên:



+ y

−

+ y



dxdy

62 Chương 2. Tích phân bội

Đặt

(

x = r cos ϕ

= r sin ϕ

thì

(

0 6 ϕ 6 2π

6 r 6 a

. Vậy

V =

2π

dϕ



r −



rdr = ... =

πa

3.3 Tính diện tích mặt cong

Mặt z = f (x y, ) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt

phẳng Oxy là D. f (x y, ) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó:

1 + p

+ q

dxdy, p = f

′

, q = f

′

z = f (x y, )

CHƯƠNG 3

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ.

§1. T .ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ

1.1 Giới thiệu

Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) =

f (x x, y) dx, trong đó f ( , y) khả

tích theo x trên [a, b] với mỗi y ∈ [c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số

tính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích.

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc

tham số.

1) Tính liên tục.

Định lý 3.7.

Nếu

f (x, y)

là hàm số liên tục trên

[ [a, b] × c, d]

thì

I (y)

là hàm số liên

tục trên

[c, d]

. Tức là:

lim

y→y

I (y) = I (y

) ⇔ lim

y→y

f (x y, ) dx =

f (x, y

) dx

2) Tính khả vi.

Định lý 3.8.

Giả sử với mỗi

y ∈ [c, d]

f (x y, )

là hàm số liên tục theo

trên

[a, b]

và

′

(x y, )

là hàm số liên tục trên

[a, b] × [c, d]

thì

I (y)

là hàm số khả vi trên

(c, d)

và

64 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

′

(y) =

′

(x, y) dx

, hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong

tích phân.

3) Tính khả tích.

Định lý 3.9.

Nếu

f (x y, )

là hàm số liên tục trên

[a, b] × [c, d]

thì

I (y)

là hàm số khả

tích trên

[c, d]

, và:

I (y) dy :=





f (x, y) dx





dy =





f (x y, ) dy





Bài tập

Bài tập 3.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y) =

y f (x)

dx , với f (x) là hàm số

dương, liên tục trên .[0, 1]

Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g (x y, ) =

y f (x)

liên tục trên mỗi hình chữ nhật [0, 1] ×[c, d]

và [0, 1] × [−d, −c] với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.7, I (y) liên tục trên mỗi

[ [c, d] , − −d, c] , hay nói cách khác I (y) liên tục với mọi .y 6= 0

Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I (y) tại điểm y = 0 . Do f (x) là hàm số dương, liên

tục trên [0, 1] nên tồn tại m > 0 sao cho f (x) > m > 0 ∀x ∈ [0, 1] . Khi đó với ε > 0 thì:

I (ε) =

ε f (x)

+ ε

dx >

ε.m

+ ε

dx = m.arctg

I (−ε) =

−ε f (x)

+ ε

dx 6

−ε.m

+ ε

dx = −m.arctg

Suy ra |I I(ε) − (−ε)| > 2m.arctg

→ 2m.

khi ε → 0 , tức là |I (ε) − I (−ε)| không tiến tới

0 khi ε → 0 , I (y) gián đoạn tại .y = 0

Bài tập 3.2. Tính các tích phân sau:

a) I

(α) =

xdx , n là số nguyên dương.

Lời giải. – Với mỗi α > 0, hàm số f

(x x, α) = x

, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo x

trên [0, 1]

1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 65

– Vì lim

→0

n+1

x = 0 nên

∂ f

(

x,α)

∂α

= x

n+1

x liên tục trên .[0, 1] ×(0, +∞)

Nghĩa là hàm số f

(x, α) = x

x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.8 nên:

′

−1

(α) =

dα

n−1

xdx =



n−1



dx =

xdx =I

(α)

Tương tự, I

′

−2

= I

n−1

, ..., I

′

= I

, I

′

= I

, suy ra I

(α) = [I

(α)]

(

)

. Mà I

(α) =

dx =

⇒ I

(α) =

(n)

(−

(

α+1)

n+1



1 + ysin



dx, với .y > 1

Lời giải

. Xét hàm số f (x y, ) = ln



1 + ysin



thoả mãn các điều kiện sau:

•

f (x, y) = ln



1 + ysin



xác định trên





× (1, +∞) và với mỗi y > −1 cho

trước,

f (x, y) liên tục theo x trên





• Tồn tại f

′

(x, y) =

sin

+y sin

xác định, liên tục trên





× (1, +∞) .

Theo Định lý 3.8, I

′

(y) =

sin

1+y sin

dx =

sin

Đặt t = tgx thì dx =

, 0 6 t 6 +∞ .

′

(y) =

+∞

(

+ 1) (1 + +t

)

+∞



+ 1

−

+ (y + 1) t



arctgt|

+∞

−

y + 1

arctg



y + 1



+∞

1 −

1 + y

1 1

+ y

Suy ra

(

) =

′

(

)

dy =

1 + y

dy = π ln



1 +

1 + +y



(

) =

0 nên C = −π ln 2 và I

(

) =

π ln



1 +

1 + y



−π ln 2.

Bài tập 3.3. Xét tính liên tục của hàm số I

(

)

−x

(

)

dx.

66 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Lời giải. Tại y = 0 , I

(

)

−

dx = −∞, nên hàm số I

(

)

không xác định tại .y = 0

Tại y 6= 0 , I

(

)

(

)

−2x.x

(

)

dx =





, nên I

(

)

xác định và liên tục

với mọi .y 6= 0

1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với

cận biến đổi.

Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi

(

) =

(

)

(

)

(

x y,

)

dx, với y y∈

[

c, d

]

, a 6 a

(

y y

)

, b

( )

6 b ∀ ∈

[

c, d

]

1) Tính liên tục

Định lý 3.10.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[a, b] × [c, d]

, các hàm số

(

)

, b

(

)

liên tục trên

[c, d]

và thoả mãn điều kiện

a 6 a

(

y y

)

, b

( )

6 b ∀y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là

một hàm số liên tục đối với

trên

[c, d]

2) Tính khả vi

Định lý 3.11.

Nếu hàm số

(

x y,

)

liên tục trên

[a, b] × [c, d]

′

(x, y

)

liên tục trên

[a, b] × [c, d]

, và

(

y y

)

, b

( )

khả vi trên

[c, d]

và thoả mãn điều kiện

6 a

(

y y

)

, b

( )

b ∀y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là một hàm số khả vi đối với y trên

[c, d]

, và ta có:

′

(

) =

(

)

(

)

′

(x y, ,y y

)

dx + f

(

( ) )

′

(y) − f (a (y) , y

)

′

(y)

Bài tập

Bài tập 3.4. Tìm lim

y→0

1+y

Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I

(

)

1+y

liên tục tại y = 0 dựa vào định

lý 3.10, nên lim

y→0

1+y

= I

(

0) =

§2. T .ÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc

tham số.

Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I

(

)

+∞

(

x, y d

)

dx, y ∈

[

]

. Các kết quả

dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều

có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới

dấu tích phân không bị chặn).

1) Dấu hiệu hội tụ Weierstrass

Định lý 3.12.

Nếu

|f (x y, )| 6 g (x) ∀(x y, ) ∈ [a, +∞] × [c, d]

và nếu tích phân suy

rộng

+∞

(

)

hội tụ, thì tích phân suy rộng

(

) =

+∞

(

x y,

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

2) Tính liên tục

Định lý 3.13.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[a, +∞] × [c, d]

và nếu tích phân suy

rộng

(

) =

+∞

(

x y,

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là một hàm số liên tục

trên

[c, d]

3) Tính khả vi

Định lý 3.14.

Giả sử hàm số

(

x, y

)

xác định trên

[a, +∞] ×[c, d]

sao cho với mỗi

y ∈

[c, d]

, hàm số

(

x, y

)

liên tục đối với

trên

[a, +∞]

và

′

(x y,

)

liên tục trên

[a, +∞] ×

[c, d]

. Nếu tích phân suy rộng

(

) =

+∞

(

x y,

)

hội tụ và

+∞

′

(x y,

)

hội tụ đều

đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả vi trên

[c, d]

và

′

(

) =

+∞

′

(x, y

)

4) Tính khả tích

Định lý 3.15.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[a, +∞] × [c, d]

và nếu tích phân suy

rộng

(

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả tích trên

[c, d]

và ta có

68 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công thức:

(

)

dy :=





+∞

(

x y,

)





dy =

+∞





(

x, y

)





dx.

2.2 Bài tập

Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy

tích phân

Giả sử cần tính I

(

)

+∞

(

x, y

)

dx.

B1. Biểu diễn f

(

x, y

)

(

x, y

)

dy.

B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:

(

) =

+∞

(

x, y

)

dx =

+∞





(

x y,

)





dx =





+∞

(

x, y

)





Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.15 đối với tích

phân suy rộng của hàm số .F

(

x y,

)

Bài tập 3.5. Tính các tích phân sau:

−x

dx,

(

0 < a < b

)

Lời giải. Ta có:

− x

= F (x, b

)

− F

(

x, a

)

′

(x y,

)

dy =

dy;



(

x, y

)



nên:

− x

dx =









dx =









dy =

+ 1

dy = ln

b + 1

a + 1

Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 69

+∞

e e

−αx

−

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Ta có:

e e

−αx

−

−βx



F(x,y

)

−yx



= F

(

x, α

)

− F

(

x, β

)

′

(x y,

)

−yx

nên:

+∞

−αx

− e

−βx

dx =

+∞





−yx





dx =





+∞

−yx





dy =

= ln

Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:

+∞

−αx

−

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Ta có:

−αx

−e

−βx



F(x y,

)

−yx



= F

(

x, α

)

− F

(

x, β

)

′

(x, y

)

dy =

−yx

nên:

+∞

−αx

− e

−βx

dx =

+∞





−x





dx =





+∞

−x





Với điều kiện đã biết

+∞

−x

dx =

√

ta có

+∞

−x

dx =

√

Suy ra I =

√

dy =

√

p

β −

√



Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:

+∞

−ax

sin bx cx−sin

(

a, ,b c > 0

)

Lời giải. Ta có:

sin bx − sin cx



F(x,y

−ax

sin yx



= F

(

x, b

)

− F

(

x, c

)

′

(x, y

)

dy =

−ax

cos yxdx

70 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

nên:

I =

+∞





−ax

cos yxdy





dx =





+∞

−ax

cos yxdx





Mà

−ax

cos yxdx = −

−ax

cos yx +

−ax

sin yx, suy ra

+∞

−ax

cos yxdx =

và I =

dy = arctg

−arctg

Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:

Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân.

Giả sử cần tính I

(

)

+∞

(

x, y

)

dx.

B1. Tính I

′

(

)

bằng cách I

′

(

) =

+∞

′

(x, y

)

dx.

B2.

Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I

(

)

bằng cách I

(

) =

′

(

)

dy.

Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.14.

Bài tập 3.6. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I

(

)

+∞

−∞

arctg

(

x+y

)

dx là một

hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I

′

(

)

rồi suy ra biểu thức của .I

(

)

Lời giải. Ta có:

•

(

x y,

) =

arctg(

x+y

)

liên tục trên [−∞, +∞

]

× [−∞, +∞].

•



arctg

(

x+y

)



, mà

+∞

−∞

= π hội tụ, nên I

(

)

+∞

−∞

arctg

(

x+y

)

dx hội tụ đều

trên .

[

−∞, +∞

]

Theo Định lý 3.13, I

(

)

liên tục trên .

[

−∞, +∞

]

Hơn nữa



′

(x, y

)



(

1+x

)

[

1+ +

(

x y)

]

, ∀y; do đó

+∞

−∞

′

(x, y

)

dx hội tụ đều trên

[−∞, +∞]. Theo Định lý 3.14, I

(

)

khả vi trên

[

−∞, +∞

]

, và: I

′

(

) =

+∞

−∞

(

1+x

)

[

(

x+y)

]

dx.

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 71

Đặt

(

1+x

)

[

(

x+y)

]

Ax+B

Cx D+

(

x+y

)

, dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta thu được:A =

−2

(

)

, B =

(

)

, C =

, D =

. Do đó:

′

(

) =

+ 4

+∞

−

∞

−2x + y

+ x

2x + 3y

(

x + y

)

+ 4

−ln



1 + x



+ y arctg x + ln



1 +

(

x + y

)



+ y arctg

(

x + y

)

+∞

x=−∞

4π

+ 4

Suy ra

(

) =

′

(

)

dy = 2 arctg

+ C, mặt khác I

(

0) =

+∞

−∞

arctg x

dx = =0 nên C 0 và

(

) =

2 arctg

Bài tập 3.7. Tính các tích phân sau:

−x

dx,

(

0 < a < b

)

Lời giải. Đặt I

(

)

−x

ln x

dx, f

(

x, a

) =

−x

. Ta có:

•

(

x, a

)

−x

liên tục trên theo x trên

[

0, 1

]

với mỗi .0 < a < b

•

′

(x, a

) = −

liên tục trên [0, 1] × (0, +∞).

•

′

(x, a

)

dx =

−x

dx = −

hội tụ đều trên

[

0, 1

]

vì nó là TPXĐ.

Do đó theo Định lý 3.14,

′

(

) =

′

(x, a

)

dx = −

+ 1

⇒ I (a) =

′

(a) da = −ln .

(

a + 1

) +

Mặt khác I

(

) =

0 nên C = ln

(

b + 1

)

và do đó I

(

) =

b+1

+∞

e e

−αx

−

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

−αx

−e

−βx

dx, f

(

x, α

) =

−αx

−

−βx

. Ta có:

72 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

•

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi .α, β > 0

•

′

(x, α

) = −

−

αx

liên tục trên [0, 0,+∞

)

(

+∞

)

•

+∞

′

(x, α

)

dx =

+∞

−e

−αx

dx = −

hội tụ đều đối với α trên mỗi khoảng

[

ε, +∞

)

theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,

|−

−αx

| 6 e

−εx

, mà

+∞

−εx

dx =

hội tụ.

Do đó theo Định lý 3.14,

′

(

) =

+∞

′

(x, α

)

dx = −

⇒ I (α) =

′

(

α) dα = −ln α + C.

Mặt khác, I

(

) =

0 nên C = ln β và I = ln

+∞

−αx

−

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

e e

−αx

−

−βx

dx, f

(

x, α

) =

−αx

−e

−βx

. Ta có:

•

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi .α, β > 0

•

′

(x, α

) = −

−

αx

liên tục trên

[

0, 0,+∞

)

(

+∞

)

•

+∞

′

(x, α

)

dx =

+∞

−e

−αx

√

α=y

−

+∞

−y

√

= −

√

hội tụ đều theo α

trên mỗi

[

ε, +∞

)

theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,



−e

−αx



6 e

−εx

mà

+∞

−εx

dx hội tụ.

Do đó theo Định lý 3.14,

′

(

) =

+∞

′

(x, α

)

dx = −

√

⇒ I

(

) =

′

(

)

dα = −

√

π.

√

α + C.

Mặt khác,

(

) =

0 nên C =

√

π.

β và .I

(

) =

√

p

β −

√



+∞

(

+y)

n+1

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 73

Lời giải. Đặt I

(

) =

+∞

+y)

n+1

, f

(x y, ) =

(

+y)

n+1

. Khi đó:

[

n−1

(y)]

′





+∞

(

+ y)





′

= −n

+∞

(

+ y)

n+1

= −n.I

(

)

⇒ I

= −

n−1

)

′

Tương tự, I

n−1

= −

−1

n n−2

)

′

, I

−2

= −

−2

n−3

)

′

, ..., I

= −

(

)

′

Do đó,

(

) =

( )−1

(y)]

(

)

. Mà I

(y) =

+∞

dx =

√

arctg

√

+∞

√

nên

(

) =

(2n−1 !!

)

(

2n)!!

√

2n+1

Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

• Các hàm số f

(

x, y

)

, f

′

(x, y

) =

−

(

+y)

, ..., f

(n)

(

x, y

) =

(−1)

(

+y)

n+1

liên tục

trong

[

0, +∞

)

[

ε, +∞

)

với mỗi ε > 0 cho trước.

•

+ε



−1

(

+y)



(

+ε)

, ...,



(−1)

(

+y)

n+1



(

+ε)

n+1

Mà các tích phân

+∞

+ε

dx, ...,

+∞

(

+ε)

n+1

dx đều hội tụ, do đó

+∞

(

x, y

)

dx,

+∞

′

(x, y

)

dx, ...,

+∞

(n)

(x, ,y

)

dx hội tụ đều trên

[

ε +∞

)

với mỗi ε >

+∞

−ax

sin bx cx−sin

dx (a, ,b c > 0

)

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

−ax

sin bx cx−sin

dx, f

(

x, b

) =

−ax

sin bx cx−sin

. Ta có:

•

(

x, b

)

= e

−ax

sin bx−sin cx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi .a, b, c > 0

•

′

(

x, b

) =

−

cos bx liên tục trên .

[

0, 0,+∞

)

(

+∞

)

•

+∞

′

(

x, b

)

dx =

+∞

−ax

cos bx =



−

−ax

cos bx +

−ax

sin bx





+∞

hội tụ đều theo b trên mỗi

(

0, +∞

)

theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,

−ax

cos bx| 6 e

−ax

mà

+∞

−ax

dx hội tụ.

74 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Do đó theo Định lý 3.14, I

′

(

x, b

) =

, I =

db = arctg

+ C.

Mặt khác I

(

) =

0 nên C = −arctg

và I = arctg

−arctg

+∞

−x

cos .

(

yx dx

)

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

−x

cos

(

yx dx

)

, f

(

x, y

) =

−x

cos

(

)

.Ta có:

• f

(

x, y

)

liên tục trên

[

0, +∞

)

(

−∞, +∞

)

•

′

(x y,

) = −

−

sin yx liên tục trên .

[

0, +∞

)

(

−∞, +∞

)

•

+∞

′

(x y,

)

dx =

+∞

−xe

−x

sin yxdx =

−x

sin yx



+∞

−

+∞

−x

cos yxdx =

−y

I (y)

hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,



′

(x y,

)



6 xe

−x

, mà

+∞

−x

dx =

hội tụ.

Do đó theo Định lý 3.14,

′

(y)

(

)

= −

⇒ I = Ce

−

Mà

(

) =

C =

√

nên I

(

) =

√

−

Nhận xét:

• Việc kiểm tra các điều kiện để đạo hàm qua dấu tích phân hay điều kiện đổi thứ tự

lấy tích phân đôi khi không dễ dàng chút nào.

• Các tích phân

+∞

′

(x, α

)

dx ở câu b, c, d chỉ hội tụ đều trên khoảng

[

ε, +∞

)

với mỗi

ε > 0, mà không hội tụ đều trên

(

0, +∞

)

. Tuy nhiên điều đó cũng đủ để khẳng định

rằng I

′

+∞

′

(x, α

)

dx trên

(

0, +∞

)

3. Tích phân Euler 75

§3. TÍCH PHÂN EULER

3.1 Hàm Gamma

(

) =

+∞

p−1

−x

dx xác định trên

(

0, +∞

)

Các công thức

1. Hạ bậc:

(

p + 1

) =

pΓ Γ

(

)

(

α − n

) =

(−1)

Γ(α)

( ) (

1−α)(2−α ... n−α)

Ý nghĩa của công thức trên là để nghiên cứu Γ

(

)

ta chỉ cần nghiên cứu Γ

(

)

với

0 1< p 6 mà thôi, còn với p > 1 chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc.

2. Đặc biệt, Γ

(

) =

1 nên .Γ

(

) =

(

n −1

)

! ∀n ∈ N





√

π nên Γ



n +



(2n−1 !!

)

√

π.

3. Đạo hàm của hàm Gamma: Γ

)

(

) =

+∞

p−1





−x

dx.

4. Γ Γ

(

)

(

1 − p

) =

sin

pπ

∀0 < p < 1.

3.2 Hàm Beta

Dạng 1: B

(

p, q

)

p−1

(1 − x

)

q−1

dx.

Dạng 2: B

(

p, q

)

+∞

p−1

(

1+x)

p+q

dx.

Dạng lượng giác: B

(

p, q

) =

sin cos

2p−1

2q−1

tdt, B



m+1

n+1



= 2

sin cos

tdt.

Các công thức:

1. Tính đối xứng: B .

(

p, q

) =

(

q, p

)

2. Hạ bậc:







(

p, q

) =

p−1

+q−1

B (p −1, q

)

, nếu p > 1

(

p, q

) =

q−1

+q−1

(

p, q −1

)

, nếu q > 1

Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm bêta ta chỉ cần nghiên cứu

nó trong khoảng

(

0, 1 0, 1

]

( ]

mà thôi.

76 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

3. Đặc biệt, B

(

1, 1

) =

1 nên







(

m, n

) =

(

m−1

)

(

n−1 !

)

(

m+n−1)!

, ∀m, n ∈ N

(

p, n

) =

(

n−1

)

( )

p+n−1)(p+n−2)...(p+1 p

∀n ∈ N.

4. Công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma: B

(

p, q

) =

Γ(

p)Γ(q)

(

p+q

)

5. B

(

p, 1 − p

) =

(

)

(

1 − p

) =

sin

pπ

3.3 Bài tập

Bài tập 3.8. Biểu thị

sin cos

xdx qua hàm B

(

m, n

)

Lời giải

. Đặt sin x =

√

t ⇒ 0 6 t 6 1, cos xdx =

√

sin cos

xdx =

sin sin



1 −



n−1

. cos xdx =

(1 − t

)

n−1

−

dt =



m + 1

n + 1



Đây chính là công thức ở dạng lượng giác của hàm Beta.

Bài tập 3.9.

sin cos .

xdx

Lời giải. Ta có













(

)



3 +





2 +



(

)

5!!

√

π.

3!!

√

3π

512

√

− x

(

a > 0

)

Lời giải

. Đặt x = a

√

t ⇒ dx =

adt

√

I =

t t

(

1 −

)

adt

√

2n+2

n−

(1 −t

)

dt =

2n+2



n +



2n+2



n +







(

n + 2

)

2n+2

(2n−1)!!

√

π.

√

(

n + 1)!

= π

2n+2

(2n − 1)!!

(2n + 2)!!

3. Tích phân Euler 77

+∞

−x

Lời giải

. Đặt x =

√

t ⇒ dx =

√

I =

+∞

−t

√

+∞

−t

dt =





9!!

√

9!!

√

+∞

√

(

1+x

)

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ 2xdx = dt

I =

+∞

√

( )

1 + t

+∞

−

( )

1 + t

B (p, q

)

với







−1 = −

+ q = 2

⇒







Vậy





−1









sin

√

+∞

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−

+∞

−

+ t





sin

2π

√

+∞

n+1

(

1+x

)

dx,

(

2 < n ∈ N

)

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−1

I =

+∞

n+1

−1

( )

1 + t

+∞

( )

1 + t

dt =



+ 1, 1 −





+ 1





1 −



−1



, 1 −



sin



2π



78 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

√

1−x

dx, n ∈ N

∗

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−1

I =

−1

(

1 −t)

−1

. (1 −t

)

−

dt =



, 1 −



sin

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

CHƯƠNG 4

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

§1. T IÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f

(

x y,

)

xác định trên một cung phẳng

AB . Chia cung

AB thành n cung

nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là ∆ ∆s

, s

, ...∆s

. Trên mỗi cung ∆s

lấy một điểm

bất kì. Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

(

)

∆ ∆s

khi n → ∞ sao cho max s

→ 0 không

phụ thuộc vào cách chia cung

AB và cách chọn các điểm được gọi là tích phân đườngM

loại một của hàm số f

(

x, y

)

dọc theo cung

, kí hiệu là

(

x, y

)

ds.

Chú ý:

• Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của cung

AB.

• Nếu cung

AB có khối lượng riêng tại M

(

x, y

)

là ρ

(

x, y

)

thì khối lượng của nó là

(

x y,

)

ds. nếu tích phân đó tồn tại.

• Chiều dài của cung

được tính theo công thức l =

ds.

• Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định.

80 Chương 4. Tích phân đường

1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I

1. Nếu cung

AB cho bởi phương trình y x= y

(

)

, a 6 6 b thì

(

x, y

)

ds =

(

x, y

(

))

1 + y

′2

(

)

dx. (1)

2. Nếu cung

AB cho bởi phương trình x = x

(

)

, c 6 y d6 thì

(

x y,

)

ds =

(

y y

)

1 + x

′2

(

)

dy. (2)

3. Nếu

AB cho bởi phương trình x y= x(t), = y(t), t

≤ t ≤ t

, thì

f (x y, )ds =

(x(t t), y( ))

′2

(t t) + y

′2

( )dt (3)

4. Nếu cung

AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r

(

)

, ϕ

≤ ϕ ≤ ϕ

thì coi nó

như là phương trình dưới dạng tham số, ta được

ds =

(

) +

′2

(

)

dϕ và

(

x y,

)

ds =

(

)

cos ϕ, r

(

)

sin ϕ

)

(

) +

′2

(

)

dϕ (4)

1.3 Bài tập

Bài tập 4.1.

Tính

(x − y) ds C,

là đường tròn có phương trình

+ y

= 2x

Lời giải

. Đặt







x = 1 + cos t

= sin t

, 0 6 t 6 2π

I =

2π

(

1 + cos t −sin t)

(−sin t)

+ cos

tdt = 2π

Bài tập 4.2.

Tính

ds C,

là đường cong







x = a

(

t −sin t

)

= a

(

1 −cos t

)

, 0 6 t 6 2π, a > 0.

1. Tích phân đường loại I 81

Lời giải.







′

(

t t

) =

(

1 −cos

)

′

(

) =

a sin t

⇒

′2

(

) +

′2

(

) = 2a sin

⇒ I =

2π

(

1 −cos t

)

.2a sin

dt =

256a

Bài tập 4.3.

Tính

+ y

ds C,

là đường







x = a

(

cos t + t sin t

)

= a

(

sin t − t cos t

)

, 0 6 t 6 2π, a > 0

Lời giải.







′

(

) =

at tcos

′

(

) =

at sin t

⇒

′2

(

) +

′2

(

) =

⇒ I =

2π

(cos t + t sin t

)

(

sin t − t cos t

)

.atdt =



(1 + 4π

)

−1



82 Chương 4. Tích phân đường

§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II

2.1 Định nghĩa

Cho hai hàm số P

(

x x, y

)

, Q

(

, y

)

xác định trên cung

AB. Chia cung

AB thành n cung nhỏ

∆

bởi các điểm chia A

= A, A A

, ..., A

= B.Gọi toạ độ của vectơ

−−−−→

A A

i−1 i

(

∆x

, ∆y

)

và

lấy điểm

bất kì trên mỗi cung ∆s

. Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

[P (M

) ∆x

+ Q (M

) ∆y

]

sao cho max ∆x

→ 0, không phụ thuộc vào cách chia cung

AB và cách chọn các điểm M

được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P

(

x y x y,

)

, Q

(

)

dọc theo cung

AB , kí

hiệu là

(

x y x,

)

dx + Q

(

, y

)

dy.

Chú ý:

• Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của cung

AB, nếu đổi chiều trên đường

lấy tích phân thì tích phân đổi dấu,

(

x y x,

)

dx + Q

(

, y

)

dy = −

(

x x, y

)

dx + Q

(

, y

)

dy.

• Tích phân đường loại hai có các tính chất giống như tích phân xác định.

2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II

1. Nếu cung

AB được cho bởi phương trình y = y

(

)

, điểm đầu và điểm cuối ứng với

x = a, x = b thì

Pdx + Qdy =



(

x x y, y

(

)) +

(

, y

(

))

′

(

)



dx. (5)

2. Nếu cung

AB được cho bởi phương trình x = x

(

)

, điểm đầu và điểm cuối ứng với

y = c, y d= thì

Pdx + Qdy =





x (y) .x

′

(

)



dy, y



+ Q (x (y) , y

)

. (6)

3. Nếu cung

được cho bởi phương trình







x = x

(

)

= y

(

)

, điểm đầu và điểm cuối tương

ứng với t t= t

, = t

thì

Pdx + Qdy =



P (x (t) , y

(

))

′

(

t t

) +

(

( )

, y

(

))

′

(

)



dt (7)

2. Tích phân đường loại II 83

Bài tập

Bài tập 4.4.

Tính



−2xy



dx +



2xy − y



, trong đó

là cung parabol

= x

từ

(

1, 1

)

đến

(

2, 4

)

Lời giải. Áp dụng công thức (5) ta có:

I =

h

−2x





− x



.2x

dx = −

Bài tập 4.5.

Tính



−2 2xy



dx +



xy −y



trong đó

là đường cong







x = a(t − sin t)

y = a(1 − cos t)

theo chiều tăng của

t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0

Lời giải

. Ta có







′

(t t) = a(1 −cos )

′

(t) = a sin t

nên:

I =

2π

{[2a a a(t − sin t) − a(1 − cos t)

]

(1 −cos t) + (t −sin t).a sin t

}

2π

[(2t −2) + sin 2t + (t − 2) sin t − (2t −2) cos t]dt

2π

[(2t −2) + t sin t − 2t cos t]dt



4 6π

− π



Bài tập 4.6.

Tính

ABCA



+ y



dx + x

(

4y + 3

)

ở đó

ABCA

là đường gấp khúc đi qua

A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2)

Hình 4.6

84 Chương 4. Tích phân đường

Lời giải

. Ta có











phương trình đường thẳng AB y: x =

phương trình đường thẳng BC y: x = 2 −

phương trình đường thẳng CA : x = 0

nên

...



+ y



+ y

(

4y + 3

)

dy +

(

2 −y

)

+ y

(

−1 4

) +

(

2 −y

) (

y + 3

)

dy + 0

= 3

Bài tập 4.7.

Tính

ABCDA

dx dy+

|x|+|y|

trong đó

ABCDA

là đường gấp khúc qua

A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0

Hình 4.7

Lời giải. Ta có











AB : x + y = 1 ⇒dx + dy = 0

BC : x −y = −1 ⇒dx = dy

CD : x + y = −1 ⇒dx + dy = 0

DA : x −y = 1 ⇒dx = dy

nên

...

0 +

2dx

+ y

+ 0 +

2dx

x − y

−1

2dx +

2dx

= 0

2. Tích phân đường loại II 85

Bài tập 4.8.

Tính

√

dx + dy

trong đó











= t sin

√

= t cos

√

≤ t ≤

theo chiều tăng của

Lời giải

. Đặt u =

√

t⇒0 ≤ u ≤ π,







= u

sin u

= u

cos u

⇒







′

(

) =

2u sin u + u

cos u

′

(

) =

2u cos u − u

sin u

I =



2u sin u + u

cos u



+ 2u cos u − u

sin u



+ 2u



cos udu

−

+ 2

2.3 Công thức Green.

Hướng dương của đường cong kín: Nếu đường lấy tích phân là đường cong kín thì

ta quy ước hướng dương của đường cong là hướng sao cho một người đi dọc theo đường

cong theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía

bên trái.

Giả sử D ⊂ R

là miền đơn liên, liên thông, bị chặn với biên giới ∂D là đường cong kín với

hướng dương, hơn nữa P, Q cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên .D

Khi đó

Pdx

+ Qdy =



∂Q

∂

−

∂P

∂



dxdy

Chú ý:

86 Chương 4. Tích phân đường

•

Nếu ∂D có hướng âm thì

Pdx

+ Qdy = −



∂Q

∂

−

∂P

∂



dxdy

• Trong nhiều bài toán, nếu C là đường cong không kín, ta có thể bổ sung C để được

đường cong kín và áp dụng công thức Green.

Bài tập 4.9.

Tính các tích phân sau

(xy + x + y) )dx + (xy + x − y dy

bằng hai cách:

tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với

là đường:

+ y

= R

Hình 4.9 a

Cách 1: Tính trực tiếp

Đặt







x = R cos t

= R sin t

⇒0 ≤ t ≤ π

I = ...

2π

(cos t cos 2t + sin t cos 2t) dt

= 0

Cách 2: Sử dụng công thức Green







P(x y, ) = xy y+ x +

(x y, ) = xy + x −y

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= y − x

⇒

I =

(y − x) dxdy

ydxdy

−

xdxdy

= 0

+ y

= 2x

Hình 4.9 b

2. Tích phân đường loại II 87

Cách 1: Tính trực tiếp.

Ta có

+ y

= 2x ⇔ (x −1)

+ y

= 1

nên

Đặt







x = 1 + cos t

= sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π

I =

2π

{[(1 1+ cos t

)

sin sint + 1 + cos t + sin t

] (

− t

) +

[(

1 + cos t

)

sin t + + cos t −sin t

]

cos t

}

2π



−2 sin

t + cos

t t t t−cos t sin + cos −sin − cos t sin cos

t +

t sin t



= ...

= −π

Cách 2: Sử dụng công thức Green.

Ta có:







P(x y, ) = xy y+ x +

(x y, ) = xy + x − y

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= y − x

⇒

I =

(

x−1)

(y − x) dxdy,

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

, −

≤ ϕ ≤

I =

−

dϕ

2 cos ϕ

(r sin ϕ −1 −r cos ϕ)rdr

−



(sin ϕ − cos ϕ

)

.4 cos 2 cos

ϕ − ϕ



dϕ

= −π

= 1, (a, b > 0)

88 Chương 4. Tích phân đường

Cách 1: Tính trực tiếp

Đặt







x = a cos t

= b sin t

⇒











0 ≤ t ≤ 2π

′

(t) = −a sin t

′

(t) = b cos t

I = ...

2π



−ab sin

t + ab cos



= 0

Cách 2: Sử dụng công thức Green







P(x y, ) = xy y+ x +

(x y, ) = xy + x −y

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= y − x

⇒

I =

(y − x) dxdy

ydxdy

−

xdxdy

= 0

Bài tập 4.10.

Tính

=2x



y +



dy −y



x +



dx.

Hình 4.10

Lời giải. Áp dụng công thức Green ta có:



∂Q

∂

−

∂P

∂



dxdy =



4xy +



dxdy =



+ y



dxdy vì

4xydxdy = 0

Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, ta có −

≤ ϕ ≤

, 0 ≤ ≤r 2 cos ϕ. Vậy

−

dϕ

2 cos ϕ

.rdr =

−

4 cos

ϕ =

Bài tập 4.11.

Tính

OABO

[(

1 −cos y

)

dx −

(

y −sin y

)

]

trong đó

OABO

là đường gấp

khúc

O(0, 0), A(1, 1), B(0, 2)

2. Tích phân đường loại II 89

Hình 4.11

Lời giải

. Đặt







(

x, y

) =

(

1 −cos y

)

(

x y,

) = −

(

y −sin y

)

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= −e

Áp dụng công thức Green ta có:

−e

ydxdy

2−x

−e

ydy

(

4x −4

)

= 4 −2e

Bài tập 4.12.

Tính

=2x

( (

xy + e

sin x + x + y) dx − xy − e

−y

+ x −sin y) dy

Hình 4.12

Lời giải

. Đặt







(

x, y

) =

xy y+ e

sin x x+ +

(

x y,

) =

xy −e

−y

+ x −sin y

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= −y − x − 2.

90 Chương 4. Tích phân đường

Áp dụng công thức Green ta có:

−y x− − 2dxdy

−x −2dxdy vì

ydxdy = 0

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒−

≤ ϕ ≤

, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ

−

dϕ

2 cos ϕ

(−r cos ϕ − 2) rdr

= −3π

Bài tập 4.13.

Tính



+ x

+ y cos xy



dx +



+ xy

− x + x cos xy dy



trong đó







x = a cos t

= a sin t

(a > 0).

Hình 4.13

Lời giải

. Đặt







(

x x, y

) =

+ y cos xy

(

x y,

) =

+ xy

− x + x cos xy

⇒

∂Q

∂

−

∂P

∂

= x

+ y

− −4xy

2. Tích phân đường loại II 91

Áp dụng công thức Green ta có:

+ y

−4xy dxdy

−1

+ y

−1dxdy vì

dxdy = 0

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ra

2π

dϕ



−1



rdr



− a



2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II

Áp dụng công thức Green cho hàm số P(x y x y, ), Q( , ) thoả mãn

∂Q

∂

−

∂P

∂

= 1 ta có:

(

) =

dxdy =

∂D

Pdx + Qdy

•

Lấy P(x y, ) = 0, Q(x, y) = x thì S

(

) =

∂D

xdy

•

Lấy P(x, y) = −y, Q(x y, ) = 0 thì S

(

) =

∂

−ydx

• Lấy P(x y, ) =

x x y, Q( , ) =

y thì S

(

) =

∂D

xdy −ydx

Bài tập 4.14.

Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp

xycloit







x = a(t −sin t)

y = a(1 −cos t)

và

Ox(a > 0).

O 2π

Hình 4.14

92 Chương 4. Tích phân đường

Lời giải. Áp dụng công thức

(D) =

∂D

xdy

AmO

xdy

OnA

xdy =

2π

(

t −sin t

)

.a sin tdt = 3πa

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc

đường lấy tích phân.

Giả sử rằng D là miền đơn liên, liên thông, P, Q cùng với các đạo hàm riêng cấp một

của chúng liên tục trên D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương:

∂Q

∂

∂P

∂

với mọi .(x y, ) ∈ D

Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong đóng kín L nằm trong .D

Pdx + Qdy = 0 không phụ thuộc vào đường đi từ A đếnB, với mọi đường cong AB

nằm trong .D

4. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần. Nghĩa là có hàm số u(x y, ) sao cho .du = Pdx + Qdy

Hàm u có thể được tìm theo công thức:

u(x y, ) =

P(x, y

)dx +

Q(x y, )dy =

P(x y, )dx +

Q(x

, y)dy

Giải bài toán tính tích phân đường không phụ thuộc đường đi:

1. Kiểm tra điều kiện P

′

= Q

′

. (1)

2. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và đường lấy tích phân là đường cong kín thì I = 0.

3. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và cần tính tích phân trên cung AB không đóng

thì ta chọn đường tính tích phân sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất, thông

thường ta chọn là đường thẳng nối A với B, hoặc đường gấp khúc có các cạnh song

song với các trục toạ độ. Mặt khác, nếu tìm được hàm F sao cho du = Pdx + Qdy thì

I = u u(B) − (A).

2. Tích phân đường loại II 93

Bài tập 4.15.

Tính

(3,0)

(

−2,1)



+ 4xy



dx +



−5y



dy.

−2

−1

Hình 4.15

Lời giải

. Nhận xét rằng



+ 4xy



′



−5y



′

nên tích phân đã cho không phụ

thuộc vào đường đi. Vậy ta chọn đường đi là đường gấp khúc ACB như hình vẽ.

Pdx

+ Qdy +

Pdx + Qdy = 62

Bài tập 4.16.

Tính

(2,π)

(

1,π)



1 −

cos



dx +



sin

cos



1 2

2π

Hình 4.16

Lời giải

. Đặt







= 1 −

cos

Q = sin

cos

⇒

∂P

∂

∂Q

∂

= −

cos

sin

nên tích phân đã

cho không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B. Khi đó ta chọn đường lấy tích phân là

đường thẳng AB, nó có phương trình .y = πx

I =



1 −π

cos π



dx+

(sin π + π cos π) πdx = 1

94 Chương 4. Tích phân đường

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

CHƯƠNG 5

TÍCH PHÂN MẶT

§1. T IÍCH PHÂN MẶT LOẠI

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S. Chia mặt cong S thành n mặt nhỏ

∆ ∆ ∆ ∆

, S

, . . . , S

. Trên mỗi S

lấy một điểm M

bất kì. Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

f (M S

)∆

khi n → ∞ và max

≤i≤n

d(∆S

) → 0 không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S và cách chọn

các điểm M

được gọi là tích phân mặt loại I của hàm số f (M) trên mặt cong S, kí hiệu là

f (x, y, z)dS.

1.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I

Giả sử S là mặt được cho bởi phương trình z = z(x y, ); ((x y, ) ∈ D ⊂ R

), hay là hình

chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D, ở đó z(x y, ) cùng với các đạo hàm riêng của chúng

liên tục trên D. Khi đó

(x, y, z)dS =

(x x y, y, z( , ))



∂z

∂





∂z

∂



dxdy

1.3 Bài tập

Bài tập 5.1.

Tính



z + 2x +



trong đó



(

x, y, z

)

= 1, x > 0, 0,y > z > 0



96 Chương 5. Tích phân mặt

O B

Hình 5.1

Lời giải. Ta có hình chiều của mặt S lên mặt phẳng Oxy là

(

x y,

)

6 1, x > 0, y > 0

(

x y,

)

|0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3



1 −

o

Mặt khác z = 4(1 −

−

)⇒







= z

′

= −2

= z

′

⇒dS =

1 + p

+ q

dxdy =

√

dxdy nên





1 −

−



+ 2x +



√

dxdy = 4

√

−

= 4

√

Bài tập 5.2.

Tính



+ y



dS, S =



(x, ,y z

)

|z = z

+ y

, 0 6 z 6 1



O 1

−1

Hình 5.2

1. Tích phân mặt loại I 97

Lời giải

. Ta có hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D =



(

x y x,

)

+ y

6 1



Mặt khác,

z = x

+ y

⇒







= z

′

= 2x

= z

′

= 2y

nên



+ y



1 + 4x

+ 4y

dxdy

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 1≤ r ≤

I =

2π

dϕ

1 + 4r

rdr

1 + 4 4r



1 + r



t −1

√

tdt



đặtt = 1 + 4r



√

98 Chương 5. Tích phân mặt

§2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

2.1 Định hướng mặt cong

Cho mặt cong S trong không gian. Tại mỗi điểm M chính quy của mặt cong S có hai

vectơ pháp tuyến đơn vị là

−→

n và −

−→

n .

• Nếu có thể chọn được tại mỗi điểm M của mặt một vectơ pháp tuyến đơn vị n sao cho

vectơ n biến thiên liên tục trên S thì ta nói mặt S định hướng được. Khi đó ta chọn

một hướng làm hướng dương thì hướng còn lại được gọi là hướng âm.

• Ngược lại, thì mặt S gọi là không định hướng được. Ví dụ như lá Mobius.

2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II

Cho một mặt cong định hướng S trong miền V ⊂ R

và n =

(

cos α, cos , cosβ γ

)

là

véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của S tại điểm M(x, y, z). Giả trường

vectơ

−→

(

M M M

) =

(

( )

, Q

(

)

, R

( ))

biến thiên liên tục trên V, nghĩa là các toạ độ

(

M M

)

, Q

(

)

, R

( )

của nó là những hàm số liên tục trên V. Chia mặt S nthành mặt

cong nhỏ, gọi tên và cả diện tích của chúng lần lượt là ∆S S

, ∆

, ..., ∆S

. Trên mỗi ∆S

lấy

một điểm M

bất kì và gọi vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của nó là n

(

cos α

, cos , cosβ

). Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

[P (M

) cos α

+ Q (M

) cos β

+ R (M

) cos γ

]∆S

được gọi là tích phân mặt loại II của các hàm số P

(

x x x, y, z

)

, Q

(

, y, z

)

, R

(

, y, z

)

trên mặt ,S

và được kí hiệu là:

P(x x x, y, z)dydz + Q( , y, z)dzdx + R( , y, z)dxdy

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II

Giả sử

Pdydz

| {z }

Qdzdx

| {z }

Rdxdy

| {z }

Người ta tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân kép. Chẳng hạn xét tích

phân I

. Giả sử mặt S có phương trình z = z(x y, ), z(x y, ) cùng với các đạo hàm riêng của

chúng liên tục trên miền D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Khi đó:

2. Tích phân mặt loại II 99

•

Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương

−→

n tạo với Oz một góc nhọn thì

Rdxdy

(

x x, y, z

(

, y

))

dxdy

•

Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương

−→

n tạo với Oz một góc tù thì

Rdxdy

= −

(

x x, y, z

(

, y

))

dxdy

Tương tự như vậy chúng ta có thể đưa

I I

về tích phân kép.

Bài tập

Bài tập 5.3.

Tính



+ y



dxdy

, trong đó

là nửa mặt cầu

+ y

+ z

= 1, z > 0

hướng của

là phía ngoài mặt cầu.

: x

+ z

≤ a

−→

n (x, y, z)

Hình 5.3

Lời giải

. Ta có mặt z =

1 −x

− y

, hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D :

+ y

≤ 1, hơn nữa

−→

n tạo với Oz một góc nhọn nên:

1 − x

−y



+ y



dxdy

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 1≤ r ≤

2π

dϕ

1 −r

4π

100 Chương 5. Tích phân mặt

Bài tập 5.4.

Tính

ydxdz

+ z

dxdy

trong đó

là phía ngoài mặt

+ z

= 1, x >

0, 0, 0y > z >

−→

n (x, y, z)

Hình 5.4

Lời giải

. Tính I

ydxdz

•

Mặt S : y = 2

√

1 − x

−z

• Hình chiếu của S lên Oxz là

hình tròn, D

: x

+ z

≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0.

•

β = (

−→

n , Oy là góc nhọn.

nên:

1 − x

−z

dxdz

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤

, 0 1≤ ≤r

dϕ

1 −r

rdr

Tính

dxdy

•

Mặt S : z

= 1 − x

−

• Hình chiếu của S lên Oxz là

elip, D

: x

≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

•

γ = (

−→

n , Oz là góc nhọn.

100

2. Tích phân mặt loại II 101

nên:

− x

−

dxdy

đặt







x = r cos ϕ

= 2r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤

, 0 ≤ ≤r 1, J = −2r

dϕ

( )

1 −r

2rdr

Vậy I =

7π

Bài tập 5.5.

Tính

zdxdy

trong đó

là mặt trên của nửa mặt cầu

+ y

+ z

, z ≤ 0

Hình 5.5

Lời giải. Ta có:

•

Mặt S : z = −

− x

− y

• Hình chiếu của S lên Oxy là hình tròn, D : x

+ y

≤ R

•

β = (

−→

n , Oz) là góc nhọn.

101

102 Chương 5. Tích phân mặt

nên:

= −

− x

− y

dxdy

đặt







x = r cos ϕ

= r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, J = −r

I =

2π

dϕ

sin cos

−r

−

105

2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes

Giả sử P, Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên miền bị chặn, đo được trong V ⊂ R

. V

giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh, khi đó:

Pdydz

+ Qdzdx + Rdxdy =

ZZZ



∂P

∂

∂Q

∂

∂R

∂



dxdydz

trong đó tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài.

Chú ý:

• Nếu tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến trong thì

Pdydz

+ Qdzdx + Rdxdy = −

ZZZ



∂P

∂

∂Q

∂

∂R

∂



dxdydz

• Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S

′

kín để áp dụng công

thức Ostrogradsky, rồi trừ đi phần bổ sung.

Bài tập 5.6.

Tính

xdydz + ydzdx + zdxdy

trong đó

là phía ngoài của mặt cầu

+ z

= a

102

2. Tích phân mặt loại II 103

−→

n (x, y, z)

Hình 5.6

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

xdydz

+ ydzdx + zdxdy =

ZZZ

3 4

dxdydz = 3V = πa

Bài tập 5.7.

Tính

dydz + y

dzdx + z

dxdy

trong đó

là phía ngoài của mặt cầu

+ z

= R

Lời giải. Xem hình vẽ 5.6, áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

ZZZ



+ y

+ z



dxdydz

đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

⇒











0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ R

J = −r

sin θ

I = 3

2π

dϕ

dθ

sin θdr

12πR

103

104 Chương 5. Tích phân mặt

Bài tập 5.8.

Tính

zdxdy + xzdydz + x

ydxdz

trong đó

là phía ngoài của miền

x ≤

0, 1, .

y ≤ 0, x

+ y

≤ z ≤ x

+ y

Hình 5.8

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

ZZZ



+ z + x



dxdydz

đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

⇒











≤ ϕ ≤

0 ≤ r ≤ 1

≤ z ≤ r

, J = −r

dϕ



+ z



rdr

Bài tập 5.9.

Tính

xdydz + ydzdx + zdxdy

trong đó

là phía ngoài của miền

(z − 1)

+ y

, a a6 z 6 1, > 0

104

2. Tích phân mặt loại II 105

−→

1 −aa −1

Hình 5.9

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

ZZZ

dxdydz = 3V = 3.

Bh = π

(

1 −a

)

2.5 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại

[P( ( (x, y, z) cos α + Q x, y, z) cos β + R x, y, z) cos γ] dS

P(x x x, y, z)dydz + Q( , y, z)dzdx + R( , y, z)dxdy

(5.1)

trong đó cos α, cos , cosβ γ là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt .S

Bài tập 5.10.

Gọi

là phần mặt cầu

+ y

+ z

= 1

nằm trong mặt trụ

+ x + z

0, 0y ≥

, hướng

phía ngoài. Chứng minh rằng

(x −y) ) )dxdy + (y − z dydz + (z − x dxdz = 0

105

106 Chương 5. Tích phân mặt

−1

Hình 5.10

Lời giải

. Ta có y =

1 − x

−y

nên véctơ pháp tuyến của S là

−→

= ±(−y

′

, 1, −y

′

). Vì

(

−→

, Oy) <

nên

−→

= (−y

′

, 1, −y

′

) =



√

1 −x

− z

, 1,

√

1 − x

− z



Do đó |

−→

| =

−x

−z

+ 1 +

−x

−z

√

1−x

−z

. Vậy











cos α = cos(

−→

, Ox) =

−→

= x

cos β = cos(

−→

, Oy) =

−→

= y

cos

γ = cos(

−→

, Oz) =

−→

= z

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II 5.1 ta có

[(x − y) ) )cos γ + (y − z cos β + (z − x cos α

]

( )x − y)z + (y − z x + (z − x)ydS

= 0

106

CHƯƠNG 6

LÝ THUYẾT TRƯỜNG

§1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 6.3.

Cho

Ω

là một tập con mở của

(hoặc

). Một hàm số

u : Ω → R

( (x, y, z) 7→ u = u x, y, z)

được gọi là một trường vô hướng xác định trên

Ω

Cho c ∈ R, khi đó mặt S = {(x x, y, z) ∈ Ω|u( , y, z) = c} được gọi là mặt mức ứng với giá trị

c (đẳng trị).

1.2 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 6.4.

Cho

u = u(x, y, z)

là một trường vô hướng xác định trên

Ω

và

∈ Ω

Với

−→

là một véctơ khác không bất kì và

M(x, y, z)

sao cho

M M

cùng phương với

−→

, đặt







(x − x

)

+ (y − y

)

+ (z − z

)

nếu

−−−→

M ↑↑

−→

−

(x − x

) ) )

+ (y − y

+ (z − z

nếu

−−−→

M ↑↓

−→

(6.1)

Giới hạn (nếu có) của tỉ số

lim

→0

△u

được gọi là đạo hàm theo hướng

−→

tại

của trường

vô hướng

và được kí hiệu là

∂u

∂

−→

)

Chú ý:

107

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

108 Chương 6. Lý thuyết trường

• Giới hạn trong công thức 6.1 có thể được thay bằng

lim

t→0

u u(x

+ t t tcos α, y

+ cos β, z

+ cos γ) − (x y

, z

)

trong đó

cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của

−→

l .

•

Nếu

−→

l ↑↑ Ox thì

∂u

∂

−→

) =

∂u

∂

•

Đạo hàm theo hướng

−→

l tại điểm M

của trường vô hướng u thể hiện tốc độ biến

thiên của trường vô hướng

u tại M

theo hướng

−→

l .

Định lý 6.16.

Nếu

u = u(x, y, z)

khả vi tại

M(x y

, z

)

thì nó có đạo hàm theo mọi hướng

−→

l 6= 0

tại

và

∂u

∂

−→

(

) =

∂u

∂

). cos α +

∂u

∂

). cos β +

∂u

∂

). cos γ, (6.2)

trong đó

cos α, cos β, cosγ

là các cosin chỉ phương của

−→

1.3 Gradient

Định nghĩa 6.5.

Cho

u(x, y, z)

là trường vô hướng có các đạo hàm riêng tại

(x y

, z

)

Người ta gọi gradient của

tại

là véctơ



∂u

∂

∂u

∂

∂u

∂

)



và được kí hiệu là

−−→

gradu(M

)

Định lý 6.17.

Nếu trường vô hướng

u(x, y, z)

khả vi tại

thì tại đó ta có

∂u

∂

) =

−−→

grad .u

Chú ý:

∂u

∂

) thể hiện tốc độ biến thiên của trường vô hướng u tại M

theo hướng

Từ công thức

∂u

∂

) =

−−→

grad .u



−−→

grad



. cos



−−→

grad



ta có



∂u

∂

)



đạt giá trị lớn

nhất bằng



−−→

grad



nếu

có cùng phương với

−−−→

grad u. Cụ thể

• Theo hướng

l, trường vô hướng u tăng nhanh nhất tại M

nếu

l có cùng phương, cùng

hướng với

−−−→

grad u.

• Theo hướng

l, trường vô hướng u giảm nhanh nhất tại M

nếu

l có cùng phương,

ngược hướng với

−−−→

grad u.

108

1. Trường vô hướng 109

1.4 Bài tập

Bài tập 6.1.

Tính đạo hàm theo hướng

−→

của u = x

+ 2y

− 3z

tại A(2, 0, 1),

−→

l =

−→

AB, B(1, 2, −1).

Lời giải

. Ta có

−→

AB = (−1, 2, −2) nên

cos

α =

−1

−→

−1

∂u

∂

= 3x

⇒

∂u

∂

(A) = 12

cos

β =

−→

∂u

∂

= 6y

⇒

∂u

∂

(A) = 0

cos

γ =

−2

−→

−2

∂u

∂

= −9z

⇒

∂u

∂

(A) = −9

Áp dụng công thức 6.2 ta có

∂u

∂

−→

(

A) = 12.

−1

+ 0.

+ (−9).

−2

= 2

Bài tập 6.2.

Tính mônđun của

−−→

gradu với u = x

+ y

+ z

−3xyz tại A(2, 1, 1). Khi nào thì

−−→

grad

u⊥Oz, khi nào

−−→

gradu = 0.

Lời giải. Ta có

−−→

grad

u =



∂u

∂

∂u

∂

∂u

∂



= (3x

= 3yz zx xy, 3y

−3 , 3z

−3 )

nên

−−→

grad

u = (9, −3, −3) và



−−→

grad



√

9 3 3

= 3

√

11.

•

−−→

grad

u⊥Oz ⇔

−−→

grad

−→

= 0 ⇔

∂u

∂

= 0 ⇔ z

= xy

•

−−→

grad

u = 0 ⇔











= yz

= zx

= xy

⇔ x = =y z

Bài tập 6.3.

Tính

−−→

gradu với u = r

+ ln r và .r =

+ y

+ z

Bài tập 6.4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ

độ O(0, 0) là lớn nhất?

109

110 Chương 6. Lý thuyết trường

Lời giải

. Từ công thức

∂u

∂

(O) =

−−→

grad .u



−−→

grad



. cos



−−→

grad



ta có



∂u

∂

(O)



đạt giá

trị lớn nhất bằng



−−→

grad



nếu

có cùng phương với

−−→

gradu(O) = (0, −1, 0).

Bài tập 6.5.

Tính góc giữa hai véctơ

−−→

grad

z của các hàm z =

+ y

, z = x −3y +

3xy

tại .M(3, 4)

Lời giải. Ta có

•

−−→

grad



√



nên

−−→

grad

(M) =





•

−−→

grad



1 +

√

, −3 +

√



nên

−−→

grad

(M) =



2, −



. Vậy

cos

α =

−−→

grad

−−→

grad



−−→

grad



−−→

grad



−12

√

145

110

2. Trường véctơ 111

§2. TRƯỜNG VÉCTƠ

2.1 Định nghĩa

Cho Ω là một miền mở trong R

. Một hàm véctơ

−→

: Ω → R

7→

−→

F (M),

trong đó

−→

= F

(M)

−→

+ F

(M)

−→

+ F

(M)

−→

2.2 Thông lượng, dive, trường ống

a. Thông lượng: Cho

S là một mặt định hướng và

−→

F là một trường véctơ. Đại lượng

dydz + F

dzdx + F

dxdy (6.3)

được gọi là thông lượng của

−→

F đi qua mặt cong S.

b. Dive: Cho

−→

F là một trường véctơ có thành phần F

, F

là các hàm số có đạo hàm

riêng cấp một thì tổng

∂F

∂

∂F

∂

∂F

∂

được gọi là dive của trường véctơ

−→

F và kí hiệu

là

div

−→

F .

c. Trường véctơ

−→

xác định trên Ω được gọi là một trường ống nếu div

−→

F (M) = 0 với

mọi .M ∈ Ω

Tính chất:

Nếu

−→

F là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra.

2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy

a. Hoàn lưu: Cho C là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong không gian.

Đại lượng

dx + F

dy + F

dz (6.4)

được gọi là hoàn lưu của

−→

F dọc theo đường cong .C

b. Véctơ xoáy: Véctơ

−→

rot

−→







−→

∂

∂z







111

112 Chương 6. Lý thuyết trường

được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường véctơ

−→

F .

2.4 Trường thế - hàm thế vị

Trường véctơ

−→

F được gọi là trường thế (trên Ω) nếu tồn tại trường vô hướng u sao cho

−−→

grad

u =

−→

F (trên Ω). Khi đó hàm u được gọi là hàm thế vị.

Định lý 6.18.

Điều kiện cần và đủ để trường véctơ

−→

F (M)

là một trường thế (trên

Ω

) là

−→

rot

−→

F (M) = 0

với mọi

M ∈ Ω

Chú ý:

Nếu

−→

F là trường thế thì hàm thế vị u được tính theo công thức

u =

(x, y

, z

)dx +

(x, y, z

)dy +

(x, y, z)dz + C (6.5)

2.5 Bài tập

Bài tập 6.6. Trong các trường sau, trường nào là trường thế?

−→

= 5(x

−4xy)

−→

+ (3x

−2y)

−→

k .

−→

= yz

−→

+ xz

−→

+ xy

−→

k .

−→

= (x + y)

−→

+ (x + z)

−→

+ (z + x)

−→

k .

Lời giải. a. Ta có

−→

rot

−→



∂

∂z

Q R



∂

∂x

R P



∂

∂y

P Q



= (0, 0, 6x − 20y) 6= 0

nên trường đã cho không phải là trường thế.

b. Ngoài cách tính

−→

rot

−→

a , sinh viên có thể dễ dàng nhận thấy tồn tại hàm thế vị u = xyz

nên

−→

a là trường thế.

c. Ta có

−→

rot

−→



∂

∂z

Q R



∂

∂x

R P



∂

∂y

P Q



= ( )0, 0, 0

112

2. Trường véctơ 113

nên

−→

a là trường thế. Hàm thế vị được tính theo công thức 6.5:

u =

( )t, y

, z

dt +

(x, t, z

)dt +

(x, y, t)dt + C

tdt +

(x + 0)dt +

( )t + y dt + C

+ xy +

+ yz C+

Bài tập 6.7.

Cho

−→

= xz

−→

+ zy

−→

. Tính thông lượng của

−→

F qua mặt cầu S :

+ y

+ z

= 1 hướng ra ngoài.

Lời giải. Theo công thức tính thông lượng 6.3 ta có

xz yx zy dxdy

dydz +

dxdz +

Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

ZZZ

(

+ +y

)dxdydz

Thực hiện phép đổi biến trong toạ độ cầu











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ











0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 1

J = −r

sin θ

ta có

φ =

2π

dϕ

dθ

r r

sin θdr =

4π

Bài tập 6.8.

Cho

−→

= x(y + z)

−→

+ y(z + x)

−→

+ z(x + y)

−→

k và L là giao tuyến của mặt

trụ

+ y

+ y = 0 và nửa mặt cầu x

+ y

+ z

= 2, z ≥ 0. Chứng minh rằng lưu số của

−→

dọc theo L bằng .0

Lời giải. Theo công thức tính lưu số 6.4

x x(y + z)dx + y(z + )dy + z(x + y)dz

113

114 Chương 6. Lý thuyết trường

Áp dụng công thức Stokes ta có



∂

∂z

Q R



dydz +



∂

∂x

R P



dzdx +



∂

∂y

P Q



dxdy

( ) ) )z − y dydz + (x − z dzdx + (y − x dxdy

= 0 (theo bài tập 5.10).

114

TailieuVNU.com T ng h p & S u t mổ ợ ư ầ

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/115

| | Tải xuống

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN
PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải Hà Nội- 2009 MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 5 1
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 5 1.1
Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm. 5 1.2
Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3
Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số . . . . . . . . . . 7 2
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 10 2.1
Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2
Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 10 2.3
Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. . . . . . . . . . . 11 2.4
Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai m
Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1
Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2
Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3
Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2
Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2
Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 35 2.3
Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 38 3
Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1
Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3
Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1
Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.1
Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 2 MỤC LỤC 1.2
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 63 1.3
Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 66 2
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1
Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 67 2.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3
Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1
Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2
Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1
Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.2
Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2
Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2
Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3
Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4
Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.5
Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 92
Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1
Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.2
Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2
Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.1
Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2
Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3
Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4
Công thức Ostrogradsky, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.5
Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 105
Chương 6 . Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1
Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.2
Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.3
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2 MỤC LỤC 3 2
Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.2
Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.3
Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.4
Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 3 4 MỤC LỤC
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 4 1 CHƯƠNG
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC
§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường
cong tại một điểm. 1. Điểm chính quy.
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f (x, y) = 0. Điểm M (x0, y0)
được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng ′ ′
fx (M) , fy (M) không đồng thời bằng 0. 
x = x (t)
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số . Điểm
y = y (t)
M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các
đạo hàm x′ (t0) , y′ (t0) không đồng thời bằng 0.
• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. 2. Các công thức.
• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương
trình tại điểm chính quy: 5 6
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học – Tiếp tuyến ′ ′
(d) : fx (M) . (x − x0) + f y (M) . (y − y0) = 0. – Pháp tuyến  x − x y − y d′ : 0 = 0 .
f ′x (M)
f ′y (M)
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x)
thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) chính quy là
y − y0 = f ′(x0)(x − x0). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương trình phổ thông.
• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong (L) xác định bởi phương   trình tham số x = x (t)
tại điểm M (x (t 
0) , y (t0)) chính quy: y = y (t) – Tiếp tuyến
x − x (t
y − y (t (d) : 0) = 0) . x′ (t0) y′ (t0) – Pháp tuyến
d′ : x′ (t0).(x − x (t0)) + y′ (t0).(y − y(t0)) = 0.
1.2 Độ cong của đường cong. 1. Định nghĩa.
2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.
• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì: |y′′|
C (M) = (1 + y′2)3/2 
x = x (t)
• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì:
y = y (t)   
 x′ y′     
x′′ y′′
C (M) = (x′2 + y′2)3/2
• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (φ) thì:  
r2 + 2r′2 − rr′′ C (M) = (r2 + r′2)3/2 6
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 7
1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số
1. Định nghĩa: Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi
đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E
và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc
với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L).
2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.
Định lý 1.1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ
đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách
khử c từ hệ phương trình 
F (x, y, c) = 0 (1)  ′
Fc (x, y, c) = 0
3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao
(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.
Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y = x3 + 2x2 − 4x − 3 tại (−2, 5). 
Phương trình tiếp tuyến y = 5
Lời giải. Phương trình pháp tuyến x = −2
b) y = e1−x2tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 . 
Phương trình tiếp tuyến 2x − y + 3 = 0 Lời giải.
– Tại M1 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x+2y−1 = 0 
Phương trình tiếp tuyến – Tại 2x + y − 3 = 0
M2 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x −2y +1 = 0 ( c. x = 1+t t3 tại A(2, 2). y = 3 + 1 2t3 2t Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến y = x.
– Phương trình pháp tuyến x + y − 4 = 0. 7 8
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học d. 2 2 2
x 3 + y 3 = a3 tại M(8, 1). Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến x + 2y − 10 = 0.
– Phương trình pháp tuyến 2x − y − 15 = 0.
Bài tập 1.2. Tính độ cong của:
a. y = −x3 tại điểm có hoành độ x = 1 . 2 Lời giải. |y′′| 192 C (M) = = ... = (1 + y′2)3/2 125 ( b.
x = a (t − sin t) (a > 0) tại điểm bất kì.
y = a (t − cos t) Lời giải.   
 x′ y′     
x′′ y′′  1 1 C (M) = = ... = √ √
(x′2 + y′2)3/2 2a 2 1 − cos x c. 2 2 2
x3 + y 3 = a3 tại điểm bất kì (a > 0).
( x = acos3 t
Lời giải. Phương trình tham số: , nên
y = a sin3 t   
 x′ y′     
x′′ y′′  1 C (M) = = ... =
(x′2 + y′2)3/2
3a |sin t cos t|
d. r = aebφ, (a, b > 0) Lời giải.  
r2 + 2r′2 − rr′′ 1 C (M) = = √ (r2 + r′2)3/2 aebφ 1 + b2
Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau:
a. y = x + c2 c 8
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9
b. cx2 + c2y = 1
c. y = c2 (x − c)2 Lời giải.
a. Đặt F (x, y, c) := y − xc − c2 = 0. Điều kiện: c 6= 0. ( ( Xét hệ phương trình:
F′x (x, y, c) = 0 F′ y c) = 0 ⇔ x (x, , , hệ phương trình vô
F′y (x, y, c) = 0 1 = 0
nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có ( ( (
F (x, y, c) = 0 y − x x = 2c3 ⇔ c − c2 = 0 ⇔
F′c (x, y, c) = 0 −2c + x = 0 y = 3c2 c2 nên     x 2
y 3 = 0. Do điều kiện c 2 − 3
6= 0 nên x, y 6= 0. Vậy ta có hình bao của họ
đường cong là đường     x 2
y 3 = 0 trừ điểm O (0, 0). 2 − 3
b. Đặt F (x, y, c) := cx2 + c2y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã
cho nên điều kiện: c 6= 0. ( ( Xét hệ phương trình:
F′x (x, y, c) = 0 2cx = 0 ⇔
⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì
F′y (x, y, c) = 0 c2 = 0
dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có ( ( (
F (x, y, c) = 0
cx2 + c2y = 1 x = 2 ⇔ ⇔ c
F′c (x, y, c) = 0 x2 + 2cx = 0 y = −1 c2
Do đó x, y 6= 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = −x4 trừ điểm O(0, 0). 4
c. Đặt F (x, y, c) := c2 (x − c)2 − y = 0. ( ( Xét hệ phương trình:
F′x (x, y, c) = 0 F′ ⇔ x = 0
, hệ phương trình vô nghiệm
F′y (x, y, c) = 0 −1 = 0
nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có ( (
F (x, y, c) = 0
c2 (x − c)2 − y = 0 (1) ⇔
F′c (x, y, c) = 0
2c (x − c) − 2c2 (x − c) = 0 (2)  c = 0 ( 
2) ⇔  c = x , thế vào (1) ta được y = 0, y = x4. 16 c = x2
Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y = x4. 16 9 10
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Hàm véctơ
Giả sử I là một khoảng trong R.
• Ánh xạ I → Rn −−→
được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu
t 7→ r (t) ∈ Rn − → − → − →
n = 3, ta viết −−→
r (t) = x (t) . i + y (t) . j + z (t) . k . Đặt M (x (t) , y (t) , z (t)), quỹ tích
M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ −−→ r (t).   −−→ 
• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là − →
a khi t → t nếu 0
lim r (t) − − → a  = t→t0 − → −−→
0 , kí hiệu lim r (t) = − → a . t→t0 −−→
• Liên tục: Hàm véctơ −−→
r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t0 ∈ I nếu lim r (t) = t→t0 −−→
r (t0). (tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , y (t) , z (t)) − → r (t
• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số lim ∆−→ r = lim 0+h)−− →
r (t0) được gọi là đạo hàm h h→ h 0 h→0 của hàm véctơ −−→
r (t) tại t , kí hiệu − →
, khi đó ta nói hàm véctơ −−→ 0
r ′ (t0) hay d− → r (t0) dt r (t) khả vi tại t . 0
Nhận xét rằng nếu x (t) , y (t) , z (t) khả vi tại t thì −−→ và − → 0
r (t) cũng khả vi tại t0 r ′ (t0) = − → − → − →
x′ (t0) . i + y′ (t0) . j + z′ (t0) . k .
2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường
cong cho dưới dạng tham số    
x = x(t) Cho đường cong
và M(x0, y
y = y(t)
0, z0) là một điểm chính quy.  
z = z(t)
• Phương trình tiếp tuyến tại M
x − x (t
y − y (t
z − z (t (d) : 0) = 0) = 0) . x′ (t0) y′ (t0) z′ (t0)
• Phương trình pháp diện tại M.
(P) : x′ (t0) . (x − x (t0)) + y′ (t0) . (y − y (t0)) + z′ (t0) . (z − z (t0)) = 0. 10
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 11
2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong.
Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S.
• Phương trình pháp tuyến tại M x − x y − y z − z (d) : 0 = 0 = 0 .
f ′x (M)
f ′y (M)
f ′z (M)
• Phương trình tiếp diện tại M
(P) : f ′x (M) . (x − x0) + f ′y (M) . (y − y0) + f ′z (M) . (z − z0) = 0.
Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) thì phương trình tiếp diện tại M
là (P) : z − z0 = z′x (M) . (x − x0) + z′y (M) . (y − y0).
2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường
cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong (
Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau
f (x, y, z) = 0 .
g (x, y, z) = 0   Đặt − → n
, là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt f =
f ′x (M) , f ′y (M) , f ′z(M)
cong f (x, y, z) = 0 tại M.   Đặt − → n
, là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt g =
g′x (M) , g′y (M) , g′z (M)
cong g (x, y, z) = 0 tại M. Khi đó − → n
là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại f ∧ − → ng M. Vậy phương trình tiếp tuyến là:  (    f ′ 
x (M) . (x − x0) + f ′y (M) . (y − y0) + f ′z (M) . (z − z0) = 0.  PTTQ : 
g′x (M) . (x − x0) + g′y (M) . (y − y0) + g′z (M) . (z − z0) = 0.  PTCT : x−x0  = y−y0  = z−z0              f ′  f ′  f ′    y (M)
f ′z (M)  z (M)
f ′x (M)  x (M)
f ′y (M)           
 g′y (M) g′z (M) 
 g′z (M) g′x (M) 
 g′x (M) g′y (M) 
Bài tập 1.4. Giả sử − → p (t) , − → q (t) , − →
α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng: a.   d − → p (t) + − → = d− →
p (t) + d−→q(t) dt q (t) dt dt 11 12
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học  b.  d α (t) − →
p (t) = α (t) d− →
p (t) + α′ (t) − → p (t) dt dt  c.  d − → = − →
p (t) d− →
q (t) + d−→p(t) − → q (t) dt p (t) − → q (t) dt dt  d.  d − → p (t) = − → p (t) + d− → p (t) dt ∧ − → q (t)
∧ d−→q(t) dt dt ∧ − → q (t) Lời giải. a. Giả sử − →
p (t) = (p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , − →
q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó: d − →  d p (t) + − → q (t) = (p dt dt
1 (t) + q1 (t) , p2 (t) + q2 (t) , p3 (t) + q3 (t))  
= p′1 (t) + q′1 (t) , p′2 (t) + q′2 (t) , p′3 (t) + q′3 (t)    
= p′1 (t) , p′2 (t) , p′3 (t) + q′1 (t) , q′2 (t) , q′3 (t) d− → p (t) d− → q (t) = + dt dt b. d   α (t) − → p (t) dt 
= [α (t) p1 (t)]′ , [α (t) p2 (t)]′ , [α (t) p3 (t)]′  
= α′ (t) p1 (t) + α (t) p′1 (t) , α′ (t) p2 (t) + α (t) p′2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p′3 (t)    
= α′ (t) p1 (t) , α′ (t) p2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p′1 (t) , α (t) p′2 (t) , α (t) p′3 (t) d− → p (t) = α (t) + α′ (t) − → p (t) dt
c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp. d. d − →  p (t) ∧ − → q (t) dt      ! d  p   p   p  =
 2 (t) p3 (t)      , 3 (t)
p1 (t) , 1 (t) p2 (t)  dt   
q2 (t) q3 (t)   q3 (t) q1 (t)   q1 (t) q2 (t)  = ...       ! p   p (t)   p  =
 2 (t) p′3 (t)   3 (t) p′
  1 (t) p′  , 1  , 2 (t)     
q2 (t) q′ (   q (t)   q (  3 t) 3 (t) q′1 1 (t) q′2 t)       ! p′   p′
  p′ (t) p  +     
 2 (t) p3 (t)  ,  3 (t) p1 (t)  ,  1 2 (t)    q′ (   (    2 t) q3 (t)
q′3 t) q1 (t) q′ ( 1 t) q2 (t) d− → q (t) d− → p (t) = − → p (t) ∧ + ∧ − → q (t) dt dt
Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: 12
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13  
 x = a sin2 t a.
y = b sin t cos t tại điểm ứng với t = π, (a, b, c > 0).  4
 z = c cos2 t   
 x = et sin t √2 b.
tại điểm ứng với t = 2.  y = 1 
 z = et cos t √2 Lời giải. a.
– Phương trình tiếp tuyến: ( x
d) : − a2 = y− b2 = z− c2 a 0 −c   
– Phương trình pháp diện: 
(P) : a x − a − c z − c = 0. 2 2 √ b.
– Phương trình tiếp tuyến: 2 (d) : x √ = y−1 = z− 2 √ . 2 0 2 2 2 √ √  √ 
– Phương trình pháp diện: (P) : 2 x + 2 z − 2 = 0. 2 2 2
Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x2 − 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3).
b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2, 1, 12).
c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0) Lời giải. a.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 = y−2 = z−3 4 −16 12
– Phương trình tiếp diện: (P) : 4 (x − 2) − 16 (y − 2) + 12 (z − 3) = 0 b.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 = y−1 = z−12 8 8 −1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 8 (x − 2) + 8 (y − 1) − (z − 12) = 0. c.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x+1 = y−3 = z 2 1 −1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 2 (x + 1) + (y − 3) − z = 0.
Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: ( a.
x2 + y2 = 10 tại điểm A (1, 3, 4) y2 + z2 = 25 ( b.
2x2 + 3y2 + z2 = 47 tại điểm B (−2,6,1)
x2 + 2y2 = z 13 14
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học ( (
f (x, y, z) := x2 + y2 = Lời giải. a. Ta có − 10 0 nên nf = (2, 6, 0) .
g (x, y, z) := y2 + z2 − 25 = 0 ng = (0, 6, 8)
Do đó nf ∧ ng = 2 (21, −8, 3). Vậy:
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x−1 = y−3 = z−4 21 −8 3
– Phương trình pháp diện (P) : 21 (x − 1) − 8 (y − 3) + 3 (z − 4) = 0 ( b. Tương tự,
n f = (−8, 6, 12) , nf ∧ ng = −2(27,27,4) nên ng = (−4, 4, −1)
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x+2 = y−1 = z−6 27 27 4
– Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 (y − 1) + 4 (z − 6) = 0 14 2 CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN KÉP 1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là ∆S ∆ ∆ . Trong mỗi mảnh lấy một điểm tuỳ ý 1, S2, ..., Sn ∆Si
M (xi, yi) và thành lập tổng tích phân n I . Nếu khi tiến tới một giá
n = ∑ f (xi, yi) ∆Si
n → ∞ sao cho max {∆Si → 0} mà In i=1
trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới
hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, kí hiệu là ZZ
f (x, y) dS D
Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y) khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụ
thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D thành hai họ đường
thẳng song song với các trục toạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viết ZZ ZZ
f (x, y) dS =
f (x, y) dxdy D D Tính chất cơ bản:
• Tính chất tuyến tính: ZZ ZZ ZZ
[ f (x, y) + g (x, y)] dxdy =
f (x, y) dxdy +
g (x, y) dxdy D D D 15 16
Chương 2. Tích phân bội ZZ ZZ
k f (x, y) dxdy = k
f (x, y) dxdy D D
• Tính chất cộng tính: Nếu D = D và 1 ∪ D2
D1 ∩ D2 = ∅ thì ZZ ZZ ZZ
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dxdy +
f (x, y) dxdy D D1 D2
1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes
Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.
1. Phác thảo hình dạng của miền D.
2. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một trong hai tích phân lặp ZZ b Z d Z d Z d Z
f (x, y) dxdy = dx
f (x, y) dy = dy
f (x, y) dx D a c c c
3. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6
y 6 ψ (x) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau. ZZ b Z ψ(x) Z
f (x, y) dxdy = dx
f (x, y) dy D a ϕ(x)
4. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6
x 6 ψ (y) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau. ZZ d Z ψ(y) Z
f (x, y) dxdy = dy
f (x, y) dx D c ϕ(y)
5. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 3,4 thì thông thường ta sẽ chia
miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tính
để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4.
Các dạng bài tập cơ bản 16 1. Tích phân kép 17
Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.
Trong phần trên, chúng ta biết rằng thứ tự lấy tích phân và hình dáng của miền D có
liên quan chặt chẽ đến nhau. Nếu thứ tự dy trước, dx sau thì miền D có dạng hình thang
cong song song với trục Oy, và có biểu diễn là (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6 y 6 ψ (x). Ngược lại,
nếu thứ tự dx trước, dy sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục Ox,
và có biểu diễn là (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y). Do vậy việc đổi thứ tự lấy tích phân
trong tích phân lặp chẳng qua là việc biểu diễn miền D từ dạng này sang dạng kia.
1. Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D.
2. Nếu D là miền hình thang cong có các cạnh song song với Oy thì ta chia D thành các
hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải tích của các miền
con, ví dụ (Di) : ci 6 y 6 di, ϕi (y) 6 x 6 ψi (y), sau đó viết b Z y2(x) Z di Z ψi(y) Z dx
f (x, y) dy = ∑ dy
f (x, y) dx a y i c 1 (x) i ϕi(y)
3. Làm tương tự trong trường hợp D là hình thang cong có các cạnh song song với Ox.
Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: √ 1 Z 1−x2 Z a) dx
f (x, y) dy √ 0 − 1−x2 y 1 D1 O 1 x D2 Hình 2.1 a)
Chia miền D thành hai miền con D như hình vẽ, 1, D2   −1 6 y 6 0 0 6 y 6 1 D1 : , D  p p 2 : p p
− 1 − y2 6 x 6 1 − y2
− 1 − y 6 x 6 1 − y √ √ 0 Z 1−y2 Z 1 Z 1−y Z I = dy
f (x, y) dx+ dy
f (x, y) dx √ √ −1 − 1−y2 0 − 1−y 17 18
Chương 2. Tích phân bội √ 1 Z 1+ 1−y2 Z b) dy
f (x, y) dx y 0 2−y 2 1 O 1 2 x Hình 2.1 b)  1 6 x 6 2
Lời giải. Ta có: D : nên:  √ 2 − x 6 y 6 2x − x2 √ 2 Z 2x−x2 Z I = dx
f (x, y) dy 1 2−x √ y 2 Z 2x Z c) dx
f (x, y) dx √ 2 0 2x−x2 1 O 1 2 x Hình 2.1 c)
Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ,    0 6 y 6 1 0 6 y 6 1 1 6 y 6 2 D1 : , D , D  y2 p 2 : p 3 : y2 6 x 6 1 1
1 + 1 − y2 6 x 6 2  2 − − y2 6 x 6 2 2 Vậy: √ 1 Z 1− 1−y2 Z 1 Z 2 Z 2 Z 2 Z I = dy
f (x, y) dx+ dy
f (x, y) dx + dy
f (x, y) dx √ 0 y2 0 1+ 1−y2 1 y2 2 2 18 1. Tích phân kép 19 √ √ 2 Z y Z 2 Z 4−y2 Z d) dy
f (x, y) dx+ dy
f (x, y) dx √ 0 0 2 0 y √2 √ x O 2 Hình 2.1 d) Lời giải.   √ 0 6 x 6 2 D :  √ x 6 y 6 4 − x2 nên: √ √ 2 Z 4−x2 Z I = dx
f (x, y) dy 0 x
Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tích
phân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây: 1 Z 1 Z
Bài tập 2.2. Tính I = dx xey2dy. 0 x2 y 2 x O 1 Hình 2.2
Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f (x, y) = xey2 liên tục trên miền D nên chắc chắn
khả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo 19 20
Chương 2. Tích phân bội
thứ tự dy trước thì không thể tính được, vì hàm số ey2 không có nguyên hàm sơ cấp! Còn
nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì: √ 1 Z y Z 1 Z  √ 1 Z x= y 1 1 1 I =  dy xey2dx = ey2 x2  ey2.ydy = ey2|1 = (e − 1) 2 x=0 dy = 2 4 0 4 0 0 0 0
Dạng 2: Tính các tích phân kép thông thường.
Bài tập 2.3. Tính các tích phân sau: ZZ a)  
x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 π , 0 6 x 6 π 2 2 D Lời giải. π π π π 2 Z 2 Z 2 2 π Z Z π I = dx
x sin (x + y) dy = ... = hoặc I = dy
x sin (x + y) dx = ... = 2 2 0 0 0 0 ZZ b) I =
x2 (y − x) dxdy, D giới hạn bởi y = x2&x = y2 D y y = x2 x = y2 1 O 1 x Hình 2.3 Lời giải. √ 1 Z x Z   1 I = dx
x2y − x3 dy = ... = −504 0 x2 20 1. Tích phân kép 21
Dạng 3: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối trong các bài toán tính
tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ, để tính các tích phân kép dạng ZZ
| f (x, y)| dxdy. Khảo sát dấu của hàm f (x, y), do tính liên tục của hàm f (x, y) nên D
đường cong f (x, y) = 0 sẽ chia miền D thành hai miền, D+, D−. Trên D+, f (x, y) > 0, và
trên D−, f (x, y) 6 0. Ta có công thức: ZZ ZZ ZZ
| f (x, y)| dxdy =
f (x, y) dxdy −
f (x, y) dxdy (1) (1) D D+ D−
Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Vẽ đường cong f (x, y) = 0 để tìm đường cong phân chia miền D.
2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào
là D+ , miền nào là D−, ta xét một điểm (x0, y0) bất kì, sau đó tính giá trị f (x0, y0).
Nếu f (x0, y0) > 0 thì miền chứa (x0, y0) là D+ và ngược lại.
3. Sau khi xác định được các miền D+, D−, chúng ta sử dụng công thức (1) để tính tích phân. ZZ Bài tập 2.4. Tính  
|x + y|dxdy, D : (x, y) ∈ R2 ||x 6 1| , |y| 6 1 D y 1 D+ x O 1 D− Hình 2.4 Lời giải. Ta có:
D+ = D ∩ {x + y > 0} = {−1 6 x 6 1, −x 6 y 6 1}
D− = D ∩ {x + y 6 0} = {−1 6 x 6 1, −1 6 y 6 −x} 21 22
Chương 2. Tích phân bội nên: ZZ ZZ 8 I =
(x + y) dxdy −
(x + y) dxdy = ... = 3 D+ D− ZZ p Bài tập 2.5. Tính  
|y − x2|dxdy, D : (x, y) ∈ R2 ||x| 6 1, 0 6 y 6 1 D y 1 D+ D− x O 1 Hình 2.5 Lời giải. n   o n o
D+ = D ∩ (x, y) y − x2 > 0 = −1 6 x 6 1, x2 6 y 6 1 n   o
D− = D ∩ (x, y) y − x2 6 0 = {−1 6 x 6 1, 0 6 y 6 x} ZZ q ZZ q I =
y − x2dxdy +
x2 − ydxdy = I1 + I2 D+ D− trong đó π 1 Z 1 Z q 1 2 2 Z  3 Z 2 x=sin t 4 π I1 = dx
y − x2dy = 1 − x2 dx = cos4 tdt = ... = 3 3 4 −1 x2 −1 0 1 Z x2 Z q 1 Z 1 Z 2 4 1 I2 = dx x2 − ydy = |x|3dx = x3dx = 3 3 3 −1 0 −1 0 Vậy I = π + 1 4 3 22 1. Tích phân kép 23
Dạng 4: Tính các tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối xứng.
Định lý 2.2. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (hoặc tương ứng Oy) và hàm là
hàm lẻ đối với y (hoặc tương ứng đối với x ) thì ZZ
f (x, y) dxdy = 0 D
Định lý 2.3. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (hoặc tương ứng Oy) và hàm là
hàm chẵn đối với y (hoặc tương ứng đối với x) thì ZZ ZZ
f (x, y) dxdy = 2
f (x, y) dxdy D D′
trong đó D′ là phần nằm bên phải trục Ox của D (hoặc tương ứng phía trên của trục Oy tương ứng)
Định lý 2.4. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn
f (−x, −y) = − f (x, y) thì ZZ
f (x, y) dxdy = 0 D ZZ Bài tập 2.6. Tính
|x| + |y|dxdy. |x|+|y|61 y 1 D1 x O 1 Hình 2.6
Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f (x, y) = |x| + |y| là hàm chẵn với x, y nên ZZ 1 Z 1−x Z 4 I = 4
f (x, y) dxdy = 4 dx
(x + y)dy = 3 D1 0 0 23 24
Chương 2. Tích phân bội
1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của ZZ
hai họ đường cong. Xét tích phân kép: I =
f (x, y) dxdy, trong đó f (x, y) liên tục trên D. D
Thực hiện phép đổi biến số x = x (u, v) , y = y (u, v) (1)thoả mãn:
• x = x (u, v) , y = y (u, v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong
miền đóng D của mặt phẳng O′uv. uv
• Các công thức (1) xác định song ánh từ Duv → D.    ′ ′ x  
• Định thức Jacobi J = D(x,y) = u xv D(u,v)  6= 0  ′ ′  y  u yv Khi đó ta có công thức: ZZ ZZ I =
f (x, y) dxdy =
f (x (u, v) , y (u, v)) |J| dudv D Duv Chú ý:
• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng
phức tạp về tính tích phân trên miền D đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc uv
hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn
giản biểu thức tính tích phân f (x, y).
• Một điều hết sức chú ý trong việc xác định miền D đó là phép dổi biến số tống quát uv
sẽ biến biên của miền D thành biến của miền D , biến miền uv
D bị chặn thành miền D bị chặn. uv    ′ ′ u 
• Có thể tính J thông qua J−1 = D(u,v) =  x uy. D(x,y)   ′ ′  v  x vy
Bài tập 2.7. Chuyển tích phân sau sang hai biến u, v:  1 Z x Z  a) u = x + y dx
f (x, y) dxdy, nếu đặt v = x − y 0 −x
b) Áp dụng tính với f (x, y) = (2 − x − y)2. 24 1. Tích phân kép 25 v 2 y 1 D O x 1 O′ u 2 Hình 2.7 Lời giải.      u = x + y
x = u+v D (x, y) 1 1  ⇒ 2   , |J| = =   = −2
v = x − y
y = u−v D (u, v) 1 −1 2 hơn nữa   0 6 x 6 1 0 6 u 6 2 D ↔ D  uv
−x 6 y 6 x
0 6 v 6 2 − u nên 2 2−u   1 Z Z
u + v u − v I = du f , dv 2 2 2 0 0  ZZ  Bài tập 2.8. Tính   1 6 xy 6 4 I =
4x2 − 2y2 dxdy, trong đó D : x 6 y 6 4x D y y = 4x y = x 1 xy = 4 xy = 1 x O 1 Hình 2.8 25 26
Chương 2. Tích phân bội
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến       p √ u = xy x = u 1 6 u 6 4  y x y uv ⇒ v   , D , J−1 =   = 2 = 2 p = 2v  √ uv : −y u v = y y = uv 1 1 6 v 6 4   x x x2 x v khi đó 4 Z 4 Z  4 4   4 u  1 Z Z 2u Z 3 45 I = du 4 − 2uv . dv = du − u dv = − udu = − v 2v v2 2 4 1 1 1 1 1
Phép đổi biến số trong toạ độ cực
Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản
hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có
dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu thức    −−→   r = OM
x2 + y2 . Toạ độ cực của điểm M (x, y) là bộ (r, ϕ), trong đó .  \ −−→
ϕ = OM,Ox  
Công thức đổi biến: x = r cos ϕ
, trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình
y = r sin ϕ ZZ
dạng của miền D. Khi đó J = D(x,y) = r , và I =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ D(r,ϕ) Drϕ   Đặc biệt, nếu
ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 D : , thì
r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) ϕ2 Z r2(ϕ) Z I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr ϕ1 r1(ϕ) ZZ
Bài tập 2.9. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I =
f (x, y) dxdy, trong đó D là D miền xác định như sau:
a) a2 6 x2 + y2 6 b2 26 1. Tích phân kép 27 y b a b O a x Hình 2.9a Lời giải.   2π b 0 6 ϕ 6 2π Z Z D : ⇒I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr
a 6 r 6 b 0 a
b) x2 + y2 > 4x, x2 + y2 6 8x, y > x, y 6 2x y O 2 4 8 x Hình 2.9b Lời giải. Ta có:  π π 3 8 cos ϕ 6 ϕ 6 π Z Z D : 4 3 ⇒I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr
4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ π 4 cos ϕ 4
Bài tập 2.10. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau: √ R Z R2−x2 Z   a) dx
ln 1 + x2 + y2 dy (R > 0). 0 0 27 28
Chương 2. Tích phân bội y O R x Hình 2.10 a  
Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền 0 6 x 6 R D là:  √ 0 6 y 6 R2 − x2    
nên chuyển sang toạ độ cực, đặt: x = r cos ϕ
thì 0 6 ϕ 6 π2
y = r sin ϕ 0 6 r 6 R π2 Z R Z   R π Z     I = dϕ ln 1 + r2 rdr =
ln 1 + r2 d 1 + r2 4 0 0 0 π h    i =
R2 + 1 ln R2 + 1 − R2 4  ZZ  b) Tính
x2 + (y − 1)2 = 1
xy2dxdy, D giới hạn bởi .
x2 + y2 − 4y = 0 D y 4 2 O x Hình 2.10 b     Đặt
x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π ⇒
y = r sin ϕ
2 sin ϕ 6 r 6 4 sin ϕ 28 1. Tích phân kép 29 π Z 4 sin ϕ Z I = dϕ
r cos ϕ. (r sin ϕ)2 rdr 0 2 sin ϕ = 0
Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và xy2 là hàm số lẻ đối với x nên I = 0.
Bài tập 2.11. Tính các tích phân sau:  ZZ  a) dxdy , trong đó
4y 6 x2 + y2 6 8y D : √ (x2+y2)2
x 6 y 6 x 3 D y √ 8 y = x 3 y = x 4 x O Hình 2.11a Lời giải.    π
Đặt x = r cos ϕ 6 ϕ 6 π ⇒ 4 3
y = r sin ϕ
4 sin ϕ 6 r 6 8 sin ϕ π π 3 Z 8 sin ϕ Z 3     1 Z 1 1 1 3 1 I = dϕ rdr = − − dϕ = 1 − √ r4 2 64 sin2 ϕ 16 sin2 ϕ 128 3 π 4 sin ϕ π 4 4 ZZ r b) 1−x2−y2
1+x2+y2 dxdy trong đó D : x2 + y2 6 1 D 29 30
Chương 2. Tích phân bội y 1 O 1 x Hình 2.11b     Đặt
x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π ⇒
y = r sin ϕ 0 6 r 6 1 Ta có: s 2π Z 1 Z 1 Z r 1 − r2 u=r2 1 1 − u I = dϕ rdr = 2π du 1 + r2 2 1 + u 0 0 0 Đặt r  1 − u du = − 4t t = ⇒ (1+t2)2 dt 1 + u 0 6 t 6 1 1 Z ! 1 1 4t Z Z 4dt dt I = π t − dt = −π + 4π (1 + t2)2 1 + t2 (1 + t2)2 0 0 0    1 t 1  = −   4π arctg t 1 + 0 + 4π arctg t 1 2 t2 + 1 2 0 π2 = 2     x2 + y2 6 12  ZZ   c) xy
x2 + y2 > 2x
x2+y2 dxdy trong đó D :  √
 x2 + y2 > 2 3y D   
 x > 0, y > 0 30 1. Tích phân kép 31 y √ 2 3 D2 D1 √ O 2 x 2 3 Hình 2.11c
Lời giải. Chia miền D thành hai miền như hình vẽ,   0 6 ϕ 6 π
 π 6 ϕ 6 π D = D 6 6 2 1 ∪ D2, D1 = , D  √ 2 = √ √
2 cos ϕ 6 r 6 2 3
2 3 sin ϕ 6 r 6 2 3
Vậy I = I1 + I2, trong đó π √ π 6 Z 2 3 Z 6 Z
r2 cos ϕ sin ϕ 1   17 I1 = dϕ rdr =
cos ϕ sin ϕ 12 − 4cos2ϕ dϕ = ... = r2 2 32 0 2 cos ϕ 0 π √ π 2 Z 2 3 Z 2
r2 cos ϕ sin ϕ 1 Z   27 I2 = dϕ rdr =
cos ϕ sin ϕ 12 − 12 sin2 ϕ dϕ = ... = √ r2 2 32 π π 6 2 3 sin ϕ 6 nên I = 118
Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng.
Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse
hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt
buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi.   1. Nếu
x = ar cos ϕ
D : x2 + y2 = 1, thực hiện phép đổi biến , J = abr a2 b2
y = br sin ϕ   2. Nếu
x = a + r cos ϕ
D : (x − a)2 + (y − b)2 = R2, thực hiện phép đổi biến , J = r
y = b + r sin ϕ
3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng. 31 32
Chương 2. Tích phân bội
4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến. ZZ Bài tập 2.12. Tính  
9x2 − 4y2 dxdy, trong đó D : x2 + y2 6 1. 4 9 D y 3 O 2 x Hình 2.12 Lời giải.    
Đặt x = 2r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π ⇒ J = 6r,
y = 3r sin ϕ 0 6 r 6 1 Ta có: ZZ   2π Z 1 Z I = 6  
36r2 cos2 ϕ − 36r2 sin2 ϕrdrdϕ = 6.36 |cos 2ϕ| dϕ r3dr = ... = 216 Drϕ 0 0 √ R Z R2−x2 Z p Bài tập 2.13. Tính dx
Rx − x2 − y2dy, (R > 0) √ 0 − R2−x2 y x O R Hình 2.13
Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là:     0 6 x 6 R R 2 R2 D : √ √ ⇔ x − + y2 6
− Rx − x2 6 y 6 Rx − x2 2 4 32 1. Tích phân kép 33     Đặt
x = R + rcosϕ 0 6 ϕ 6 2π 2 ⇒ |J  | = r,
y = r sin ϕ 0 6 r 6 R2 Vậy R R 2π Z r r 2 Z 2 Z   R2 −1 R2 R2 πR3 I = dϕ
− r2rdr = 2π. − r2d − r2 = 4 2 4 4 12 0 0 0 ZZ Bài tập 2.14. Tính xydxdy, với D
a) D là mặt tròn (x − 2)2 + y2 6 1 y O x 1 3 Hình 2.14a Lời giải.     Đặt
x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 ⇒
 y = r sin ϕ 0 6 ϕ 6 2π nên 2π Z 1 Z I = dϕ
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0 0 0
Cách 2. Nhận xét: Do D là miền đối xứng qua Ox, f (x, y) = xy là hàm lẻ đối với y nên I = 0.
b) D là nửa mặt tròn (x − 2)2 + y2 6 1, y > 0 y O x 1 3 Hình 2.14b 33 34
Chương 2. Tích phân bội Lời giải.     Đặt
x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 ⇒
y = r sin ϕ 0 6 ϕ 6 π nên π Z 1 Z 4 I = dϕ
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 3 0 0 34 2. Tích phân bội ba 35
§2. TÍCH PHÂN BỘI BA
2.1 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 2.2. Cho hàm số f (x, y, z)xác định trong một miền đóng, bị chặn V của không
gian Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích của chúng là ∆V . Trong mỗi miền lấy một điểm tuỳ ý
1, ∆V2, ..., ∆Vn ∆i
M(xi, yi, zi) và thành lập tổng tích phân n I . Nếu khi
n = ∑ f (xi, yi, zi) ∆Vi
n → +∞ sao cho max {∆Vi → 0} mà In i=1
tiến tới một giá trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm
M(xi, yi, zi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trong miền V, ZZZ kí hiệu là
f (x, y, z) dV. V
Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trong miền V.
Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành các miền nhỏ nên ta có
thể chia V bởi ba họ mặt thẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, khi đó dV = dxdydz và ta có thể viết ZZZ ZZZ
f (x, y, z) dV =
f (x, y, z) dxdydz V V
Các tính chất cơ bản • Tính chất tuyến tính ZZZ ZZZ ZZZ
[ f (x, y, z) + g (x, y, z)] dxdydz =
f (x, y, z) dxdydz +
g (x, y, z) dxdydz V V V ZZZ ZZZ
k f (x, y, z) dxdydz = k
f (x, y, z) dxdydz V V
• Tính chất cộng tính: Nếu V = V và 1 ∪ V2
V1 ∩ V2 = ∅ thì: ZZZ ZZZ ZZZ
f (x, y, z) dxdydz =
f (x, y, z) dxdydz +
f (x, y, z) dxdydz V V1 V2
2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes
Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích
phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép.
Tích phân ba lớp ⇒ Tích phân hai lớp ⇒ Tích phân lặp 35 36
Chương 2. Tích phân bội
Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc
tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ
thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng.
Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y), trong đó z1 (x, y) , z2 (x, y)
là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta có: ZZZ ZZ z2(x,y) Z I =
f (x, y, z) dxdydz = dxdy
f (x, y, z) dz (2.1) V D z1(x,y)
Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp
1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy.
2. Xác định biên dưới z = z1 (x, y) và biên trên z = z2 (x, y) của V.
3. Sử dụng công thức 2.1 để hoàn tất việc chuyển đổi.
Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là:
Xác định D và các biên z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y) như thế nào?
Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V.
Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học tuy khó thực hiện
hơn nhưng có ưu điểm là rất trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy
có thể áp dụng cho nhiều bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Chúng tôi khuyên các
em sinh viên hãy cố gắng thử cách vẽ hình trước. Muốn làm được điều này, đòi hỏi các bạn
sinh viên phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong không gian như mặt phẳng, mặt
trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn
nữa các bạn cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt của các mặt.
Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền
V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f (x, y, z) đôi khi giúp sinh viên giảm được khối
lượng tính toán đáng kể.
Định lý 2.5. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0(Oxy) và f (x, y, z) là hàm số lẻ ZZZ đối với z thì
f (x, y, z) dxdydz = 0. V
Định lý 2.6. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0(Oxy) và f (x, y, z) là hàm số ZZZ ZZZ
chẵn đối với z thì
f (x, y, z) dxdydz = 2
f (x, y, z) dxdydz, trong đó V+ là phần phía V V+
trên mặt phẳng z = 0 của V. 36 2. Tích phân bội ba 37
Tất nhiên chúng ta có thể thay đổi vai trò của z trong hai định lý trên bằng x hoặc y. Hai
định lý trên có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số.    1  0 6 x 6 ZZZ   4 Bài tập 2.15. Tính
zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi:  x 6 y 6 2x  q V  
 0 6 z 6 1 − x2 − y2 Lời giải. √ 1 1 1 1 4 Z 2x Z −x2−y2 Z 4 Z 2x Z 4   1   1 Z 10 43 I = dx dy zdz = dx
1 − x2 − y2 dy = x − x3 dx = 2 2 3 3072 0 x 0 0 x 0 ZZZ ( Bài tập 2.16. Tính  
x2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 dxdydz trong đó V: .
x2 + y2 − z2 = 0 V z p z = 1 − x2 − y2 p z = x2 + y2 y O D x Hình 2.16 37 38
Chương 2. Tích phân bội ZZZ   ZZZ  
Lời giải. Do tính chất đối xứng,
x2 + y2 dxdydz = 2
x2 + y2 dxdydz = 2I , trong 1 V V1  q q  V x2 2 + y2 6 z 6 1 − x − y2 đó 1 :
V là nửa phía trên mặt phẳng , 1
Oxy của V. Ta có   1
D : x2 + y2 6 , 2
với D là hình chiếu của V lên 1 Oxy. Ta có √ ZZ 1−x2−y2 Z ZZ   q q  I1 =
x2 + y2dxdy dz = x2 + y2
1 − x2 − y2 −
x2 + y2 dxdy √ D x2+y2 D  (   0 6 ϕ 6 2π Đặt
x = r cos ϕ ⇒ J = r, 1 nên
y = r sin ϕ   0 6 r 6 √2 1 √ 1 √ 2 Z p  2π Z 2 Z p  √ 2π 8 − 5 2 I1 = r3
1 − r2 − r dr dϕ = 2π r3
1 − r2 − r dr = (r=cos α) ... = . 5 12 0 0 0 Vậy √ 4π 8 − 5 2 I = . 5 12
2.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ZZZ
ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I =
f (x, y, z) dxdydz trong đó f (x, y, z) liên tục trên V. V
Thực hiện phép đổi biến số   
 x = x (u, v, w)
y = y (u, v, w) (2.2)  
 z = z (u, v, w) thoả mãn
• x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng Vuvw
của mặt phẳng O′uvw.
• Công thức 2.2 xác định song ánh Vuvw → V. 38 2. Tích phân bội ba 39
• J = D(x,y,z) 6= 0 trong V . Khi đó D(u,v,w) uvw ZZZ ZZZ I =
f (x, y, z) dxdydz =
f [x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)] |J| dudvdw V Vuvw
Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba
cũng biến biên của miền V thành biên của miền V , biến miền uvw
V bị chặn thành miền V bị chặn. uvw   
 x + y + z = ±3 ZZZ
Bài tập 2.17. Tính thể tích miền V giới hạn bởi
x + 2y − z = ±1 biết V = dxdydz.  
 x + 4y + z = ±2 V   
u = x + y + z
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến
v = x + 2y − z . Vì phép đổi biến biến biên của V  
w = x + 4y + z     u = ±3 thành biên của V nên uvw
Vuvw giới hạn bởi: v = ±1    w = ±2    1 1 1  ZZZ
D (u, v, w)   1 1 1 J−1 = =  
 1 2 −1  = 6 ⇒ J = ⇒ V = dudvdw = .6.2.4 = 8
D (x, y, z)   6 6 6  1 4 1  Vuvw
Phép đổi biến số trong toạ độ trụ
Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu
D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x2 + y2) thì ta
hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ. Toạ độ trụ của điểm M(x, y, z) là bộ ba
(r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của điểm M′ là hình chiếu của điểm M lên Oxy.   
 x = r cos ϕ Công thức đổi biến
y = r sin ϕ . Định thức Jacobian của phép biến đổi là J = D(x,y,z) = r,  
D(r,ϕ,z)  z = z ta có: ZZZ ZZZ I =
f (x, y, z) dxdydz =
f (rcosϕ, r sin ϕ, z) rdrdϕdz V Vrϕz 39 40
Chương 2. Tích phân bội ( ( ( ) ϕ Nếu miền
x, y ∈ D 1 6 ϕ 6 ϕ2 V : , trong đó D : thì:
z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y)
r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) ϕ2 Z r2(ϕ) Z
z2(r cos ϕ,r sin ϕ) Z I = dϕ rdr
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz ϕ1 r1(ϕ)
z1(r cos ϕ,r sin ϕ) ( ZZZ   x2 + y2 6 1 Bài tập 2.18. Tính
x2 + y2 dxdydz, trong đó V : . 1 6 z 6 2 V z 2 V 1 y O x Hình 2.18    
x = r cos ϕ    0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt
y = r sin ϕ thì 0 6 r 6 1 . Ta có      z = z  1 6 z 6 2 2π Z 1 Z 2 Z 3π I = dϕ r2dr zdz = ... = 4 0 0 1 ZZZ p Bài tập 2.19. Tính z
x2 + y2dxdydz, trong đó: V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a (a > 0).
b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0 (a > 0) 40 2. Tích phân bội ba 41 z y O x Hình 2.19a   π π    − 6
 x = r cos ϕ    ϕ 6 2 2 Lời giải. a) Đặt
y = r sin ϕ . Từ x2 + y2 = 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó: .  0 6 r 6 2 cos ϕ     z = z   0 6 z 6 a Vậy π2 Z 2 cos ϕ Z a Z 16a2 I = dϕ r2dr zdz = ... = 9 − π 0 0 2 z y O x Hình 2.19b 41 42
Chương 2. Tích phân bội     0 6 ϕ 6 2π
 x = r cos ϕ    Lời giải. b) Đặt
y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 a . Vậy      p z = z
0 6 z 6 a2 − r2 √ 2π Z a Z a2−r2 Z a Z a2 − r2 2πa5 I = dϕ r2dr zdz = 2π r2. dr = 2 15 0 0 0 0 p ZZZ ( Bài tập 2.20. Tính y = z2 + x2 I =
ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi: . y = h V z y O h x Hình 2.20    
x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt , ta có 0 6 r 6 h . Vậy
y = r sin ϕ     z = z
r 6 y 6 h 2π Z h Z h Z h Z h2 − r2 πh4 I = dϕ rdr ydy = 2π r. dr = 2 4 0 0 r 0 ZZZ ( p Bài tập 2.21. Tính
x2 + y2 = z2 I =
x2 + y2dxdydz trong đó V giới hạn bởi: . z = 1 V 42 2. Tích phân bội ba 43 z y O x Hình 2.21     0 6 ϕ 6 2π
x = r cos ϕ   Lời giải. Đặt
y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 1 . Vậy       z = z r 6 z 6 1 2π Z 1 Z 1 Z 1 Z π I = dϕ r2dr dz = 2π
r2 (1 − r) dr = 6 0 0 r 0 ZZZ ( Bài tập 2.22. Tính x2 + y2 = dxdydz ≤ 1 √ , trong đó V : .
x2+y2+(z−2)2 |z| ≤ 1 V 43 44
Chương 2. Tích phân bội z y O x Hình 2.22    
x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt
y = r sin ϕ ⇒ |J| = r, V 0 6 r 6 1 , ta có  rϕz :     z′ = z − 2 −3 6 z′ 6 −1 2π Z 1 Z −1 Z dz′ I = dϕ rdr √r2 + z′2 0 0 −3 1 Z  p   =  π r. ln z′ +
r2 + z′2 z′=−1 dr z′=−3 0  1 Z p  1 Z p  = 2π  r ln
r2 + 1 − 1 dr − r ln
r2 + 9 − 3 dr  0 0
= 2π (I1 − I2) √  √  Vì lim r ln
r2 + 1 − 1 = lim r ln
r2 + 9 − 3 = 0 nên thực chất I là các tích phân 1, I2 r→0 r→0 xác định. √
Đặt r2 + 1 = t ⇒ rdr = tdt, ta có Z p  r ln r2 + 1 − 1 dr Z =
t ln (t − 1) dt t2 Z 1 t2 = ln (t − 1) − dt 2 2 t − 1 t2 − 1 t2 t = ln (t − 1) − − + C 2 4 2 44 2. Tích phân bội ba 45 nên   t2 − 1 t2 t √ 1 √  1 1 √  I 2 1 = ln (t − 1) − − | = ln 2 − 1 − − 2 − 1 2 4 2 1 2 4 2
Tương tự, I2 = t2−9 ln (t + 2
− 3) − t24 − 3t C nên 2   t2 − 9 t2 3t √ 1 √  1 3 √  I 10 2 = ln (t − 3) − − | = ln 10 − 3 − − 10 − 3 2 4 2 3 2 4 2 Vậy √ ! 2 − 1 √ √
I = 2π (I1 − I2) = π ln √ + 3 10 − 8 − 2 10 − 3
Phép đổi biến trong toạ độ cầu
Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,. . . và khi hàm lấy tích phân 
f (x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y2 + z2 thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu.
Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó:  −−→     r = OM     \ −−→ 
θ = OM, Oz       \   −−→
ϕ = OM′, Ox   
 x = r sin θ cos ϕ
Công thức của phép đổi biến là: .
 y = r sin θ sin ϕ 
 z = r cos θ
Định thức Jacobian J = D(x,y,z) = −r2 sin θ, ta có:
D(r,θ,ϕ) ZZZ ZZZ
f (x, y, z) dxdydz =
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r2 sin θdrdθdϕ V Vrθϕ   
 ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2, (ϕ2 − ϕ1 6 2π) Đặc biệt, nếu V thì rθ ϕ : θ
 1 (ϕ) 6 θ 6 θ2 (ϕ) 
 r1 (θ, ϕ) 6 r 6 r2 (θ, ϕ) ϕ2 Z θ2(ϕ) Z r2(θ,ϕ) Z I = dϕ sin θdθ
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2dr ϕ1 θ1(ϕ) r1(θ,ϕ) 45 46
Chương 2. Tích phân bội ( ZZZ  
1 6 x2 + y2 + z2 6 4 Bài tập 2.23. Tính
x2 + y2 + z2 dxdydz, trong đó V :
x2 + y2 6 z2 V z V1 y O x Hình 2.23   
 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt
. Do 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 nên 1 ≤ r ≤ 2; trên mặt nón có
 y = r sin θ sin ϕ 
 z = r cos θ
phương trình x2 + y2 = z2 nên θ = π . Vậy 4     0 6 ϕ 6 2π  π 0 6 θ 6   4   1 6 r 6 2 nên 2π π Z ! 4 Z 2 Z  √  π r5  4.31π 2 I =  2 dϕ sin θdθ
r2.r2dr = 2.2π. (− cos θ)  4 = 1 0 . 2 − 5 1 5 2 0 0 1 ZZZ p Bài tập 2.24. Tính
x2 + y2 + z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. V 46 2. Tích phân bội ba 47 z y O x Hình 2.24   
x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt
. Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π .
y = r sin θ sin ϕ 2 
z = r cos θ
Do x2 + y2 + z2 6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy π π 2π Z 2 Z cos θ Z 2 Z 1 π I = dϕ sin θdθ
r.r2dr = 2π.
sin θ. cos4 θdθ = 4 10 0 0 0 0
Phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng.
Tương tự như khi tính tích phân kép, khi miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu
có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta sẽ sử dụng phép đổi biến số trong toạ độ cầu
suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi.
1. Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ
độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng. 2.
– Nếu V : x2 + y2 + z2 = 1 thì thực hiện phép đổi biến a2 b2 c2   
x = ar sin θ cos ϕ , J =
y = br sin θ sin ϕ −abcr2 sin θ 
z = cr cos θ 47 48
Chương 2. Tích phân bội
– Nếu V : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 thì thực hiện phép đổi biến   
 x = a + r sin θ cos ϕ , J =
 y = b + r sin θ sin ϕ −r2 sin θ 
 z = c + r cos θ
3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r.
4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến. ZZZ Bài tập 2.25. Tính p z
x2 + y2dxdydz, trong đó V là nửa của khối ellipsoit x2+y2 + z2 6 a2 b2 V
1, z > 0, (a, b > 0)
Lời giải. Cách 1: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ trụ suy rộng. Đặt     z = bz′
D (x, y, z) n p o
x = ar cos ϕ ⇒ J = = a2br, V
0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 1, 0 6 z′ 6 1 − r2  rϕz′ = 
D (r, ϕ, z)
 y = ar sin θ Vậy √ 2π Z 1 Z 1−r2 Z 1 Z 1 − r2 2πa3b2 I = dϕ dr
bz′.ar.a2brdz′ = 2a3b2π r2. dr = 2 15 0 0 0 0
Cách 2: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng. Đặt   
 x = ar sin θ cos ϕ
D (x, y, z) n π o
y = ar sin θ sin ϕ ⇒ J =
= a2br2 sin θ, V
0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 , 0 6 r 6 1  rϕz′ = 
D (r, θ, ϕ) 2
 z = br cos θ Vậy π 2π Z 2 Z 1 Z 2π Z 1 Z 2πa3b2 I = dϕ dθ
br cos θ.ar sin θ.a2b sin θ = 2a3b2π
cos θ sin2 πdθ r4dr = 15 0 0 0 0 0 ZZZ   Bài tập 2.26. Tính
x2 + y2 + z2 dxdydz , ở đó V : x2 + y2 + z2 6 1, (a, b, c > 0). a2 b2 c2 a2 b2 c2 V 48 2. Tích phân bội ba 49 Lời giải. Đặt   
 x = ar sin θ cos ϕ
D (x, y, z) ⇒ J =
= abcr2 sin θ, V 6 θ 6 π 6 r 6 1}
 y = br sin θ sin ϕ
rϕz′ = {0 6 ϕ 6 2π, 0 , 0  
D (r, θ, ϕ)
z = cr cos θ Vậy 2π Z π Z 1 Z 4π I = abc dϕ dθ
r2.r2 sin θ = abc 5 0 0 0
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 49 50
Chương 2. Tích phân bội
§3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
3.1 Tính diện tích hình phẳng ZZ
Công thức tổng quát: S = dxdy D     y = 2x
Bài tập 2.27. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi: y = 2−x .    y = 4 y y = 2x y = 2−x 4 1 x O Hình 2.27
Lời giải. Nhận xét: ( ( −2 6 x 6 0 0 6 x 6 2
D = D1 ∪ D2, D1 , D2 2−x 6 y 6 4 2x 6 y 6 4 nên ZZ ZZ ZZ ZZ   3 S = dxdy = dxdy + dxdy = 2
dxdy = ... = 2 8 − ln 2 D D1 D2 D1 50
3. Các ứng dụng của tích phân bội 51 (
Bài tập 2.28. Tính diện tích của miền
y2 = x, y2 = 2x D giới hạn bởi:
x2 = y, x2 = 2y y y = x2 x2 = 2y 2x = y2 x = y2 x O Hình 2.28 ZZ
Lời giải. Ta có S =
dxdy. Thực hiện phép đổi biến D    y2  u = ( x 1 6 u 6 2 ⇒ D ,  uv :  x2  v = 1 6 v 6 2 y thì   2y D (u, v)  −y2  J−1 = =    x2 x  = −3 D (x, y)  2x  y − x2 y2 Vậy ZZ 1 1 S = dudv = 3 3 Duv (
Bài tập 2.29. Tính diện tích miền
y = 0, y2 = 4ax D giới hạn bởi .
x + y = 3a, y 6 0 (a > 0) 51 52
Chương 2. Tích phân bội y 3a 3a O x −6a Hình 2.29  
 −6a 6 y 6 0
Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D : nên  y2 
6 x 6 3a − y 4a ZZ 0 Z 3a−y Z 0 Z   y2 S = dxdy = dy dx = 3a − y − dy = 18a2 4a D −6a y2 −6a 4a ( 2 +
Bài tập 2.30. Tính diện tích miền
x2 + y2 = 2x, x y2 = 4x D giới hạn bởi .
x = y, y = 0 y y = x 2 4 x O Hình 2.30  ZZ ( π
x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6
Lời giải. Ta có S = dxdy, đặt thì D : 4 nên
y = r sin ϕ  D
2 cos ϕ 6 r 6 4 cos ϕ π π 4 Z 4 cos ϕ Z 4 1 Z 3π 3 S = dϕ rdr = 12 cos2 ϕdϕ = + 2 4 2 0 2 cos ϕ 0 52
3. Các ứng dụng của tích phân bội 53
Bài tập 2.31. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r = 2√ cos ϕ. 3 Chú ý:
• r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a.
• r = a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a, 0), bán kính a. y x O Hình 2.31
Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn: 2 π
r = 1 = √ cos ϕ ⇔ ϕ = ± 3 6 nên π 2 √ cos ϕ π 6 Z 3Z 6   √ 1 Z 4 3 π S = 2 dϕ rdr = 2.
cos2 ϕ − 1 dϕ = − 2 3 6 18 0 1 0
Bài tập 2.32. Tính diện tích miền 2
D giới hạn bởi đường x2 + y2
= 2a2xy (a > 0) (đường ) y p r = a sin 2ϕ O x Hình 2.32 53 54
Chương 2. Tích phân bội
( x = rcos ϕ
Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
, phương trình đường cong
y = r sin ϕ
tương đương với r2 = a2 sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.32). Ta có   π 3π 0 6 ϕ 6 , π 6 ϕ 6 D : 2 2  p 0 6 r 6 a sin 2ϕ
Do tính đối xứng của hình vẽ nên √ π a sin 2ϕ π 2 Z Z 2 Z S = 2 dϕ rdr =
a2 sin 2ϕdϕ = a2 0 0 0
Bài tập 2.33. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y3 = axy (a > 0) (Lá Descartes) y 1 2 1 x O 2 Hình 2.33
TCX: y = −x − 13 (
Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
x = r cos ϕ, phương trình đường cong tương đương
y = r sin ϕ với
a sin ϕ cos ϕ
r = sin3 ϕ + cos3 ϕ
Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.33). Ta có   π  0 6 ϕ 6 2 D : 
a sin ϕ cos ϕ 
0 6 r 6 sin3 ϕ + cos3 ϕ 54
3. Các ứng dụng của tích phân bội 55 nên
a sin ϕ cos ϕ π 3 3 π 2 Z sin ϕ+cos ϕ Z 2 +∞   a2 Z Z sin2 ϕ cos2 ϕ t=tgϕ a2 1 d t3 + 1 a2 S = dϕ rdr = dϕ = . = 2  2 2
sin3 ϕ + cos3 ϕ 2 3 (t3 + 1) 6 0 0 0 0
Bài tập 2.34. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0), (đường
Cardioids hay đường hình tim) y a O x 2a −a Hình 2.34 Lời giải. Ta có
D = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a (1 + cos ϕ)} nên π Z a(1+cos ϕ) Z π Z 3πa2 S = 2 dϕ rdr = a2
(1 + cos ϕ)2 dϕ = ... = 2 0 0 0
3.2 Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát: ZZZ V = dxdydz V
Các trường hợp đặc biệt
1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục
Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z = ZZ
f (x, y) , f (x, y) > 0 và liên tục trên D thì V =
f (x, y) dxdy. (Xem hình vẽ dưới D đây). 55 56
Chương 2. Tích phân bội
z = f (x, y) z y O D x
2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt
z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D,
z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: ZZ V =
|z1 (x, y) − z2 (x, y)|dxdy D
z = f (x, y) z Ω
z = g(x, y) y O D x   
 3x + y > 1
Bài tập 2.35. Tính diện tích miền giới hạn bởi .  3x + 2y 6 2 
 y > 0, 0 6 z 6 1 − x − y 56
3. Các ứng dụng của tích phân bội 57 z O y x Hình 2.35 Lời giải. 2−2y ZZ 1 Z 3 Z 1 Z 1   1 V =
f (x, y) dxdy = dy
(1 − x − y) dx =
1 − 2y + y2 dy = 6 18 D 0 1−y 0 3 (
Bài tập 2.36. Tính thể tích của miền
z = 4 − x2 − y2 V giới hạn bởi . 2z = 2 + x2 + y2 z
2z = 2 + x2 + y2 O
z = 4 − x2 − y2 y x Hình 2.36 57 58
Chương 2. Tích phân bội ( x2 + y2 = 2
Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong:
, nên hình chiếu của V lên mặt phẳng z = 2
Oxy là D : x2 + y2 ≤ 2. Hơn nữa trên D thì 4 − x2 − y2 2+x2+y2 > nên ta có: 2 ZZ   2 + x2 + y2 V =
4 − x2 − y2 − dxdy 2 D ( ( Đặt
x = r cos ϕ thì 0 6 ϕ 6 2π √ , do đó
y = r sin ϕ 0 6 r 6 2 √ 2π Z 2 Z   3 V = dϕ
3 − r2 rdr = ... = 3π 2 0 0 (
Bài tập 2.37. Tính thể tích của
0 6 z 6 1 − x2 − y2 V : √ .
y > x, y 6 3x z 1 O 1 y Hình 2.37 x √
Lời giải. Do x ≤ y ≤ 3x nên x, y ≥ 0. Ta có ZZ   V =
1 − x2 − y2 dxdy D 58
3. Các ứng dụng của tích phân bội 59 (   π π 6 ϕ 6 Đặt
x = r cos ϕ thì 4 3 . Vậy
y = r sin ϕ 0 6 r 6 1 π 3 Z 1 Z   π V = dϕ
1 − r2 rdr = . . . = 48 π 0 4 (
Bài tập 2.38. Tính thể tích
x2 + y2 + z2 6 4a2 V : .
x2 + y2 − 2ay 6 0 z 2a O 2a 2a x y Hình 2.38
Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên ZZ q V = 4
4a2 − x2 − y2dxdy, D ( (   π 0 6 ϕ 6 trong đó
x2 + y2 − 2ay 6 0
x = r cos ϕ
D là nửa hình tròn D : . Đặt ⇒ 2 x > 0
y = r sin ϕ
 0 6 r 6 2a sin ϕ 59 60
Chương 2. Tích phân bội Vậy π2 Z 2a sin ϕ Z p V = 4 dϕ
4a2 − r2rdr 0 0 π − 2 1 Z 2  3  = 4.
4a2 − r2 2 r=2a sin ϕ  2 3 r=0 dϕ 0 π 2 4 Z   =
8a3 − 8a3 cos3 ϕ dϕ 3 0   32a3 π 2 = − 3 2 3     z = 0    x2 y2
Bài tập 2.39. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi z = + .   a2 b2     x2 y2 2x + = a2 b2 a z
z = x2 + y2 a2 b2 1 O a x Hình 2.39
Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D : x2 + y2 = 2x . Do tính chất a2 b2 a
đối xứng của miền V nên: ZZ   x2 y2 V = 2 + dxdy, a2 b2 D+ 60
3. Các ứng dụng của tích phân bội 61
trong đó D+ là nửa ellipse D+ : x2 + y2 = 2x, y > 0 a2 b2 a (   π 0 6 ϕ 6 Đặt
x = ar cos ϕ thì |J| = abr, 2 . Vậy
y = br sin ϕ
 0 6 r 6 2 cos ϕ π2 Z 2 cos ϕ Z 3π V = 2 dϕ r2rdr = ... = 2 0 0 
 az = x2 + y2
Bài tập 2.40. Tính thể tích của miền V : q .
 z = x2 + y2 z a y −a O a Hình 2.40
Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong: q ( x2 + y2
x2 + y2 = a2 z = x2 + y2 = ⇔ a z = a
Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là
D : x2 + y2 = a2
Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên: ZZ q  x2 + y2 V = x2 + y2 − dxdy a D 61 62
Chương 2. Tích phân bội ( ( 0 6 ϕ 6 2π Đặt
x = r cos ϕ thì . Vậy
y = r sin ϕ 0 6 r 6 a 2π Z a Z   r2 πa3 V = dϕ r − rdr = ... = a 6 0 0
3.3 Tính diện tích mặt cong
Mặt z = f (x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt
phẳng Oxy là D. f (x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: ZZ q σ =
1 + p2 + q2dxdy, p = f ′x, q = f ′y D
z = f (x, y) z O y D x 62 3 CHƯƠNG
TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ.
§1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ. 1.1 Giới thiệu b Z
Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) =
f (x, y) dx, trong đó f (x, y) khả a
tích theo x trên [a, b] với mỗi y ∈ [c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số
tính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích.
1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1) Tính liên tục.
Định lý 3.7. Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y) là hàm số liên
tục trên [c, d]. Tức là: b Z b Z
lim I (y) = I (y
f (x, y) dx =
f (x, y0) dx y→y 0) ⇔ lim 0 y→y0 a a 2) Tính khả vi.
Định lý 3.8. Giả sử với mỗi y ∈ [c, d], f (x, y) là hàm số liên tục theo x trên [a, b] và ′
fy (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và 63 64
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. b Z ′ I′ (y) =
fy (x, y) dx , hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong a tích phân. 3) Tính khả tích.
Định lý 3.9. Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y)là hàm số khả
tích trên [c, d] , và:     d Z d Z b Z b Z d Z
I (y) dy := 
f (x, y) dx dy = 
f (x, y) dy dx c c a a c Bài tập 1 Z
Bài tập 3.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y) = y f (x)
x2+y2 dx , với f (x) là hàm số 0
dương, liên tục trên [0, 1] .
Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g (x, y) = yf(x) liên tục trên mỗi hình chữ nhật [0, 1] × [c, d] x2+y2
và [0, 1] × [−d, −c] với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.7, I (y) liên tục trên mỗi
[c, d] , [−d, −c] , hay nói cách khác I (y) liên tục với mọi y 6= 0.
Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I (y) tại điểm y = 0 . Do f (x) là hàm số dương, liên
tục trên [0, 1] nên tồn tại m > 0 sao cho f (x) > m > 0 ∀x ∈ [0, 1] . Khi đó với ε > 0 thì: 1 Z 1 ε f (x) Z ε.m I (ε) = dx >
dx = m.arctg x x2 + ε2 x2 + ε2 ε 0 0 1 Z 1 − Z ε f (x) −ε.m I (−ε) = dx 6
dx = −m.arctg x x2 + ε2 x2 + ε2 ε 0 0
Suy ra |I (ε) − I (−ε)| > 2m.arctgx khi ε
ε → 2m. π 2
→ 0 , tức là |I (ε) − I (−ε)| không tiến tới
0 khi ε → 0 , I (y) gián đoạn tại y = 0 .
Bài tập 3.2. Tính các tích phân sau: 1 Z a) In (α) =
xα lnn xdx , n là số nguyên dương. 0 Lời giải.
– Với mỗi α > 0, hàm số fn (x, α) = xα lnn x, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo x trên [0, 1] 64
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 65
– Vì lim xα lnn+1 x = 0 nên ∂fn(x,α) = xα lnn+1 x liên tục trên [0, 1] × (0, +∞). ∂α x→0+
Nghĩa là hàm số fn (x, α) = xα lnn x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.8 nên: 1 Z 1 Z   1 Z ′ d d I xα dx = n− ( lnn−1 x xα 1 α) =
xα lnn−1 xdx =
lnn xdx =In (α) dα dα 0 0 0 Tương tự, ′I = ′ = ′ = , suy ra n− I I 2 In−1, ..., I I 2 1, I1 0
n (α) = [I0 (α)](n). Mà I0 (α) = 1 Z h i(n) xαdx = 1 1 = (−1)nn! .
α+1 ⇒ In (α) = α+1 (α+1)n+1 0 π 2 Z   b)
ln 1 + y sin2 x dx, với y > 1. 0  
Lời giải. Xét hàm số f (x, y) = ln 1 + y sin2 x thoả mãn các điều kiện sau:   
• f (x, y) = ln 1 + y sin2 x xác định trên 0, π2 × (1, +∞) và với mỗi y > −1 cho trước, 
f (x, y) liên tục theo x trên 0, π . 2  • Tồn tại ′f
xác định, liên tục trên 
y (x, y) = sin2 x 0, π × (1, +∞) . 1+y sin2 x 2 π π 2 Z 2 Z
Theo Định lý 3.8, I′ (y) = sin2 x dx = dx . 1+y sin2 x 1 +y sin2 x 0 0
Đặt t = tgx thì dx = dt
1+t2 , 0 6 t 6 +∞ . +∞ Z +∞   t2dt Z 1 1 1 I′ (y) = = − dt
(t2 + 1) (1 + t2 + yt2) y t2 + 1 1 + (y + 1) t2 0 0 " #  p  = 1 arctg 1 t|+∞ p arctg t y + 1 |+∞ y 0 − y + 1 0 ! = π 1 π 1 1 − p = p . p 2y 1 + y 2 1 + y 1 + 1 + y Suy ra Z Z π 1  p  I (y) =
I′ (y) dy = p . p dy = π ln 1 + 1 + y + C 2 1 + y 1 + 1 + y Do  p 
I (0) = 0 nên C = −π ln 2 và I (y) = π ln 1 +
1 + y − π ln 2. 1 Z
Bài tập 3.3. Xét tính liên tục của hàm số I (y) = y2−x2
(x2+y2)2 dx. 0 65 66
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. 1 Z
Lời giải. Tại y = 0 , I (0) = − 1 y = 0
x2 dx = −∞, nên hàm số I (y) không xác định tại . 0 1 Z 1 Z   Tại
(x2+y2)−2x.x
y 6= 0 , I (y) = dx = d x = 1
, nên I (y) xác định và liên tục (x2+y2)2 x2+y2 1+y2 0 0 với mọi y 6= 0 .
1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi.
Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi b(y) Z J (y) =
f (x, y) dx, với y ∈ [c, d] , a 6 a (y) , b (y) 6 b ∀y ∈ [c, d] a(y) 1) Tính liên tục
Định lý 3.10. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] , các hàm số a (y) , b (y)
liên tục trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6 b ∀y ∈ [c, d] thì J (y) là
một hàm số liên tục đối với y trên [c, d] . 2) Tính khả vi
Định lý 3.11. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] , ′fy (x, y) liên tục trên
[a, b] × [c, d] , và a (y) , b (y) khả vi trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6
b ∀y ∈ [c, d] thì J (y) là một hàm số khả vi đối với y trên [c, d], và ta có: b(y) Z ′ ′ ′ J′ (y) =
f y (x, y) dx + f (b (y) , y) by (y) − f (a (y) , y) ay (y) a(y) . Bài tập 1+y Z
Bài tập 3.4. Tìm lim dx . y→0 1+x2+y2 y 1+y Z
Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I (y) = dx
liên tục tại y = 0 dựa vào định 1+x2+y2 y 1+y Z 1 Z lý 3.10, nên lim dx = I (0) = dx = π. y→0 1+x2+y2 1+x2 4 y 0 66
§2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.
2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. +∞ Z
Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I (y) =
f (x, y)dx, y ∈ [c, d]. Các kết quả a
dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều
có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới
dấu tích phân không bị chặn).
1) Dấu hiệu hội tụ Weierstrass
Định lý 3.12. Nếu | f (x, y)| 6 g (x) ∀ (x, y) ∈ [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy +∞ Z +∞ Z rộng
g (x) dx hội tụ, thì tích phân suy rộng I (y) =
f (x, y)dx hội tụ đều đối với a a
y ∈ [c, d]. 2) Tính liên tục
Định lý 3.13. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy +∞ Z rộng I (y) =
f (x, y)dx hội tụ đều đối với y ∈ [c, d] thì I (y) là một hàm số liên tục a trên [c, d]. 3) Tính khả vi
Định lý 3.14. Giả sử hàm số f (x, y) xác định trên [a, +∞] × [c, d] sao cho với mỗi y ∈ [ ′
c, d] , hàm số f (x, y) liên tục đối với x trên [a, +∞] và fy (x, y) liên tục trên [a, +∞] × +∞ Z +∞ Z [ ′
c, d]. Nếu tích phân suy rộng I (y) =
f (x, y)dx hội tụ và
fy (x, y)dx hội tụ đều a a +∞ Z đối với ′
y ∈ [c, d] thì I (y) là hàm số khả vi trên [c, d] và I′ (y) =
fy (x, y) dx. a 4) Tính khả tích
Định lý 3.15. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy
rộng I (y) hội tụ đều đối với y ∈ [c, d] thì I (y) là hàm số khả tích trên [c, d] và ta có 67 68
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công thức:     d Z d Z +∞ Z +∞ Z d Z
I (y) dy := 
f (x, y) dx dy = 
f (x, y) dy  dx. c c a a c 2.2 Bài tập
Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân +∞ Z
Giả sử cần tính I (y) =
f (x, y)dx. a d Z
B1. Biểu diễn f (x, y) =
F (x, y) dy. c
B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:     +∞ Z +∞ Z d Z d Z +∞ Z I (y) =
f (x, y)dx =
 F (x, y) dydx = 
F (x, y) dx dy a a c c a
Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.15 đối với tích
phân suy rộng của hàm số F (x, y).
Bài tập 3.5. Tính các tích phân sau: 1 Z a)
xb−xa dx, (0 < a < b). ln x 0 Lời giải. Ta có: b b   xb − xa Z Z xy = ′
F (x, b) − F (x, a) = F , ) dy = xydy;
F (x, y) := ln x y (x y ln x a a nên:     1 Z 1 b b 1 b xb − xa Z Z Z Z Z 1 b + 1 dx =  xydy dx =  xydx dy = dy = ln ln x y + 1 a + 1 0 0 a a 0 a
Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân: 68
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 69 +∞ Z b)
e−αx−e−βx dx, (α, β > 0). x 0 Lời giải. Ta có:   α β
e−αx − e−βx F(x,y):= e−yx Z Z x ′ =
F (x, α) − F (x, β) = F , ) = e−yxdy x y (x y β α nên:     +∞ Z +∞ β β +∞ β
e−αx − e−βx Z Z Z Z Z dy β dx =
 e−yxdydx = 
e−yxdxdy = = ln . x y α 0 0 α α 0 α
Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân: +∞ Z c)
e−αx2−e−βx2 x2
dx, (α, β > 0). 0 Lời giải. Ta có:   ) α Z β Z e−αx2 − F(x,y e−βx2 := e−yx2 x2 ′ =
F (x, α) − F (x, β) = F e−yx2dy x2
y (x, y) dy = β α nên:     +∞ Z +∞ Z β Z β Z +∞ Z
e−αx2 − e−βx2 dx =
 e−x2ydy dx = 
e−x2ydx dy x2 0 0 α α 0 +∞ Z √ +∞ Z √
Với điều kiện đã biết
e−x2dx = π ta có
e−x2ydx = π √ . 2 2 y 0 0 β Z √ Suy ra √ p √  I = π √ dy = π β − α . 2 y α
Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân: +∞ Z e)
e−ax sin bx−sin cx, (a, b, c > 0). x 0 Lời giải. Ta có:  
F(x,y)= e−ax sin yx b Z b Z x
eax sin bx − sin cx ′ =
F (x, b) − F (x, c) = F
e−ax cos yxdx x
y (x, y) dy = c c 69 70
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. nên:     +∞ Z b Z b Z +∞ Z I = 
e−ax cos yxdydx = 
e−ax cos yxdx dy 0 c c 0 Z +∞ Z Mà
e−ax cos yxdx = − a
e−ax cos yxdx = a ,
a2+y2 e−ax cos yx + y
a2+y2 e−ax sin yx, suy ra a2+y2 0 b Z và I = a .
a2+y2 dy = arctg ba − arctg ca c
Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:
Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân. +∞ Z
Giả sử cần tính I (y) =
f (x, y)dx. a +∞ Z
B1. Tính I′ (y) bằng cách I′ (y) = ′
fy (x, y) dx. a Z
B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I (y) bằng cách I (y) =
I′ (y) dy.
Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.14. +∞ Z
Bài tập 3.6. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số arctg(x+y) I (y) = 1+x2 dx là một −∞
hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I′ (y) rồi suy ra biểu thức của I (y). Lời giải. Ta có: arctg
• f (x, y) =
(x+y) liên tục trên [−∞, +∞] × [−∞, +∞]. 1+x2   +∞ Z +∞ Z arctg arctg •    (x+y) (x+y) 6 π . 1 , mà 1
= π hội tụ, nên I (y) = 1+x2 2 1+x2 1+x2 1+x2 dx hội tụ đều −∞ −∞ trên [−∞, +∞].
Theo Định lý 3.13, I (y) liên tục trên [−∞, +∞].   +∞ Z Hơn nữa  ′   f ′
y (x, y) = 1 6 1 f
(1+x2)[1+(x+y)2] 1+x2 , ∀y; do đó
y (x, y)dx hội tụ đều trên −∞ +∞ Z
[−∞, +∞]. Theo Định lý 3.14, I (y) khả vi trên [−∞, +∞], và: I′ (y) = 1 dx.
(1+x2)[1+(x+y)2] −∞ 70
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 71 Đặt 1
= Ax+B + Cx+D , dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta thu được:A =
(1+x2)[1+(x+y)2] 1+x2 1+(x+y)2 −2 , B = 2 , C = 1 , D = 3 . Do đó: y(y2+4) y(y2+4) y2+4 y2+4 +∞ Z " # 1 −2x + y 2x + 3y I′ (y) = + y2 + 4 1 + x2 1 + (x + y)2 −∞ 1 h     i =
− ln 1 + x2 + y arctg x + ln 1 + (x + y)2 + y arctg (x + y) |+∞ y2 + 4 x=−∞ 4π = y2 + 4 Z +∞ Z Suy ra I (y) =
I′ (y) dy = 2 arctg y + C, mặt khác I (0) = arctg x 2 0 nên C 0 và 1+x2 dx = = −∞
I (y) = 2 arctg y2
Bài tập 3.7. Tính các tích phân sau: 1 Z a)
xb−xa dx, (0 < a < b). ln x 0 1 Z
Lời giải. Đặt I (a) =
xb−xa dx, f (x, a) = xb−xa. Ta có: ln x ln x 0
• f (x, a) = xb−xa liên tục trên theo x trên [0, 1] với mỗi 0 < a < b. ln x
• ′fa (x, a) = −xa liên tục trên [0, 1] × (0, +∞). 1 Z 1 Z • ′ f hội tụ đều trên
a (x, a)dx = −xadx = − 1 [0, 1] vì nó là TPXĐ. a+1 0 0 Do đó theo Định lý 3.14, 1 Z Z ′ 1 I′ (a) =
fa (x, a) dx = − ⇒ I (a) =
I′ (a) da = − ln (a + 1) + C. a + 1 0
Mặt khác I (b) = 0 nên C = ln (b + 1) và do đó I (a) = ln b+1. a+1 +∞ Z b)
e−αx−e−βx dx, (α, β > 0). x 0 +∞ Z
Lời giải. Đặt I (α) =
e−αx−e−βx dx, f (x, α) = e−αx−e−βx . Ta có: x x 0 71 72
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
• f (x, α) = e−αx−e−βx liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0. x
• ′fα (x, α) = −e−αx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞). +∞ Z +∞ Z • ′ f hội tụ đều đối với
α (x, α) dx =
−e−αxdx = − 1
α trên mỗi khoảng [ε, +∞) α 0 0 +∞ Z
theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, |−e−αx| 6 e−εx, mà
e−εxdx = 1 hội tụ. ε 0 Do đó theo Định lý 3.14, +∞ Z Z ′ 1 I′ (α) =
fα (x, α) dx = − ⇒ I (α) =
I′ (α) dα = − ln α + C. α 0
Mặt khác, I (β) = 0 nên C = ln β và I = ln β . α +∞ Z c)
e−αx2−e−βx2 x2
dx, (α, β > 0). 0 +∞ Z Lời giải. Đặt −αx2 −βx2 I (α) = e −e . Ta có: x2
dx, f (x, α) = e−αx2−e−βx2 x2 0
• f (x, α) = e−αx2−e−βx2 liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0. x2
• ′fα (x, α) = −e−αx2 liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞). +∞ Z +∞ Z √ +∞ Z √ ′ x α=y • f π hội tụ đều theo
α (x, α) dx =
−e−αx2dx = − e−y2 dy √ = − . 1 √ α α 2 α 0 0 0   trên mỗi [ε  
, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, −e−αx2 6 e−εx2 mà +∞ Z
e−εx2dx hội tụ. 0 Do đó theo Định lý 3.14, +∞ Z √ Z ′ π 1 √ √ I′ (α) =
fα (x, α) dx = −
. √ ⇒ I (α) =
I′ (α) dα = − π. α + C. 2 α 0 Mặt khác, √ p √ p √ 
I (β) = 0 nên C = π.
β và I (α) = π β − α . +∞ Z d) dx (x2+y)n+1 0 72
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 73 +∞ Z
Lời giải. Đặt I dx . Khi đó: n (y) =
, fn (x, y) = 1 (x2+y)n+1 (x2+y)n+1 0  ′ +∞ Z +∞ Z ′ dx dx 1 ′
[In−1 (y)] =   y = −n = −n.I (I . (
n (y) ⇒ In = − n x2 + y)n −1)
(x2 + y)n+1 n 0 y 0 Tương tự, ′ ′ ′ I . n−1 = − 1 (I , I (I , ..., I n−1 n−2) n−2 = − 1 n−2 n−3) 1 = − (I0) +∞ Z Do đó, I −1 n 1 ar nên n (y) = ( ) [I dx = 1 √ ctg x √ = π √ n!
0 (y)](n). Mà I0 (y) = x2+y y y |+∞ 0 2 y 0 I ) .
n (y) = π . (2n−1 !!. 1 √ 2 (2n)!! y2n+1
Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân. • Các hàm số ′
f (x, y) = 1 , f , ..., f (n) liên tục x2+y
y (x, y) = −1 (x2+y)2
yn (x, y) = (−1)n (x2+y)n+1
trong [0, +∞) × [ε, +∞) với mỗi ε > 0 cho trước.         • 1 6 1 ,  −1  , ...,  (−1)n  x2+y
x2+ε (x2+y)2  6 1 (x2+ε)2
(x2+y)n+1  6 1
(x2+ε)n+1 +∞ Z +∞ Z Mà các tích phân 1 dx, ..., 1
dx đều hội tụ, do đó x2+ε
(x2+ε)n+1 0 0 +∞ Z +∞ Z +∞ Z
f (x, y) dx, ′
fy (x, y) dx, ..., f (n) +∞)với mỗi
yn (x, y) dx hội tụ đều trên [ε, ε > 0 0 0 0. +∞ Z e)
e−ax sin bx−sin cxdx (a, b, c > 0) . x 0 +∞ Z
Lời giải. Đặt I (b) =
e−ax sin bx−sin cx dx, f (x, b) = e−ax sin bx−sin cx. Ta có: x x 0
• f (x, b) = e−ax sin bx−sin cx liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi a, b, c > 0. x
• ′f (x, b) = e−ax cos bx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞). b +∞ Z +∞ Z    • ′
f (x, b) dx =
e−ax cos bx =  = a b − a
a2+b2 e−ax cos bx + b
a2+b2 e−ax sin bx +∞ 0 a2+b2 0 0
hội tụ đều theo b trên mỗi (0, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, +∞ Z
|e−ax cos bx| 6 e−ax2 mà
e−ax2dx hội tụ. 0 73 74
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. Z
Do đó theo Định lý 3.14, ′I (x, b) = a , I = a + C. b a2+b2
a2+b2 db = arctg ba
Mặt khác I (c) = 0 nên C = − arctg c và I = arctg b . a a − arctg ca +∞ Z f)
e−x2 cos (yx) dx. 0 +∞ Z
Lời giải. Đặt I (y) =
e−x2 cos (yx) dx, f (x, y) = e−x2 cos (yx) .Ta có: 0
• f (x, y) liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞).
• ′fy (x, y) = −xe−x2 sin yx liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞). +∞ Z +∞ Z  +∞ Z • ′ f  ye−x2
y (x, y) dx =
−xe−x2 sin yxdx = 1 e−x2 sin yx
cos yxdx = −y I (y) 2 +∞ 0 − 12 2 0 0 0   +∞ Z
hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,  ′ 
 fy (x, y) 6 xe−x2, mà
xe−x2dx = 0 1 hội tụ. 2
Do đó theo Định lý 3.14, I′(y) = −y I(y)
2 ⇒ I = Ce− y2 4 . √ √
Mà I (0) = C = π nên I (y) = π 2 e− y24 . 2 Nhận xét:
• Việc kiểm tra các điều kiện để đạo hàm qua dấu tích phân hay điều kiện đổi thứ tự
lấy tích phân đôi khi không dễ dàng chút nào. +∞ Z • Các tích phân ′
f α (x, α) dx ở câu b, c, d chỉ hội tụ đều trên khoảng [ε, +∞) với mỗi 0
ε > 0, mà không hội tụ đều trên (0, +∞). Tuy nhiên điều đó cũng đủ để khẳng định +∞ Z rằng ′ ′ Iα =
fα (x, α) dx trên (0, +∞). 0 74 3. Tích phân Euler 75 §3. TÍCH PHÂN EULER 3.1 Hàm Gamma +∞ Z Γ (p) =
xp−1e−xdx xác định trên (0, +∞) 0 Các công thức
1. Hạ bậc: Γ (p + 1) = pΓ (p) , Γ (α − n) = (−1)nΓ(α) .
(1−α)(2−α)...(n−α)
Ý nghĩa của công thức trên là để nghiên cứu Γ (p) ta chỉ cần nghiên cứu Γ (p) với
0 < p 6 1 mà thôi, còn với p > 1 chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc.
2. Đặc biệt, Γ (1) = 1 nên Γ (n) = (n − 1)! ∀n ∈ N.   √   √ Γ 1 =
π nên Γ n + 1 = (2n−1)!! π. 2 2 22 +∞ Z  
3. Đạo hàm của hàm Gamma: Γ(k) (p) =
xp−1 lnk x .e−xdx. 0
4. Γ (p) .Γ (1 − p) = π
sin pπ ∀0 < p < 1. 3.2 Hàm Beta 1 Z Dạng 1: B q (p −1 , q) = xp−1 (1 − x) dx. 0+∞ Z
Dạng 2: B (p, q) = xp−1
(1+x)p+q dx. 0 π π 2 Z   2 Z
Dạng lượng giác: B (p, q) = 2 sin2p−1 t cos2q−1 tdt, B m+1, n+1 = 2 sinm t cosm tdt. 2 2 0 0 Các công thức:
1. Tính đối xứng: B (p, q) = B (q, p). 2. Hạ bậc: 
B (p, q) = p−1 B (p p+q−1 − 1, q) , nếu p > 1
B (p, q) = q−1 B (p, q p+q−1 − 1) , nếu q > 1
Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm bêta ta chỉ cần nghiên cứu
nó trong khoảng (0, 1] × (0, 1] mà thôi. 75 76
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
3. Đặc biệt, B (1, 1) = 1 nên 
B (m, n) = (m−1)!(n−1)!, ∀m, n ∈ N (m+n−1)! B (p, n) = (n−1)! ∀n ∈ N.
(p+n−1)(p+n−2)...(p+1)p
4. Công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma: B (p, q) = Γ(p)Γ(q). Γ(p+q)
5. B (p, 1 − p) = Γ (p) Γ (1 − p) = π . sin pπ 3.3 Bài tập π 2 Z
Bài tập 3.8. Biểu thị
sinm x cosn xdx qua hàm B (m, n). 0 √
Lời giải. Đặt sin x =
t ⇒ 0 6 t 6 1, cos xdx = 1√ dt 2 t π π π 2 Z 2 Z     n−1 2 Z 1 m n−1 1 m + 1 n + 1
sinm x cosn xdx = 2
sinm x 1 − sin2 x . cos xdx =
t 2 (1 − t) 2 t− 12 dt = B , 2 2 2 2 0 0 0
Đây chính là công thức ở dạng lượng giác của hàm Beta. Bài tập 3.9. π 2 Z a) sin6 x cos4 xdx. 0 Lời giải. Ta có           Γ √ √ 1 7 5 1 Γ 7 Γ 5 1 Γ 3 + 1 2 + 1 5!! 2 2 1 π.3!! π 3π I = B , = . 2 2 = . = . 23 22 = 2 2 2 2 Γ (6) 2 Γ (6) 2 5! 512 a Z √ b)
x2n a2 − x2dx (a > 0) . 0 √
Lời giải. Đặt x = a t ⇒ dx = adt √ 2 t 1 Z 1 Z   1 adt a2n+2 1 a2n+2 1 3 I =
a2ntn.a (1 − t) 2 . √ = .
tn− 12 (1 − t)2 dt = B n + , 2 t 2 2 2 2 0 0     √ Γ Γ 3 (2n √ π a2n+2 n + 1 −1)!! 2 2 a2n+2 π.
a2n+2 (2n − 1)!! = = . 2n 2 = π 2 Γ (n + 2) 2 (n + 1)! 2 (2n + 2)!! 76 3. Tích phân Euler 77 +∞ Z c)
x10e−x2dx 0 √
Lời giải. Đặt x =
t ⇒ dx = dt √ 2 t +∞ Z +∞ Z   √ √ dt 1 9 1 11 1 9!! π 9!! π I =
t5e−t. √ =
t 2 e−tdt = Γ = . = . 2 t 2 2 2 2 25 26 0 0 +∞ Z √ d) x (1+x2)2 dx 0
Lời giải. Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt   +∞ Z 1 t +∞ 4 . dt √ 1 Z t− 1   4 dt 1 p − 1 = −1 p = 3 I = 2 t = = B (p, q) với 4 ⇒ 4 (1 + t)2 2 (1 + t)2 2 p + q = 2 q = 5 0 0 4 Vậy       1 3 5 1 5 3 1 1 3 1 1 π π I = B , = . 4 − 1 B , = .B , = . = √ 2 4 4 2 3 + 5 4 4 8 4 4 8 sin π 4 2 4 4 − 1 4 +∞ Z e) 1 1+x3 dx 0
Lời giải. Đặt x3 = t ⇒ dx = 1t−23dt 3 +∞   1 Z t− 23 dt 1 1 2 1 π 2π I = = B , = = √ 3 1 + t 3 3 3 3sin π3 3 3 0 +∞ Z f)
xn+1 dx, (2 < n ∈ N) (1+xn) 0 Lời giải. Đặt 1
xn = t ⇒ dx = 1 t n −1 n dt +∞ Z n+1 1 +∞ 2   t Z
n . 1t n −1dt 1 t n 1 2 2 I = n = dt = B + 1, 1 − (1 + t)2 n (1 + t)2 n n n 0 0   1 2 2 2 2 π = . n     B , 1 − =  . n 2 + 1 + 1 − 2 n n n2 sin 2π n n − 1 n 77 78
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. 1 Z g) 1 n √
dx, n ∈ N∗ 1−xn 0 Lời giải. Đặt 1
xn = t ⇒ dx = 1 t n −1dt n 1 Z 1 1 1   t Z n −1dt 1 1 1 1 1 1 π I = n =
t n −1. (1 − t)− 1n dt = B , 1 − = 1 (1 n n n n n n sin πn 0 − t) 0
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 78 4 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y) xác định trên một cung phẳng c AB . Chia cung c AB thành n cung
nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là ∆s ∆ lấy một điểm 1,
s2, ...∆sn. Trên mỗi cung ∆si n
M bất kì. Giới hạn, nếu có, của tổng khi i
∑ f (Mi) ∆s n ∆ i
→ ∞ sao cho max si → 0 không i=1
phụ thuộc vào cách chia cung c
AB và cách chọn các điểm M được gọi là tích phân đường i Z
loại một của hàm số f (x, y) dọc theo cung c AB, kí hiệu là
f (x, y) ds. c AB Chú ý:
• Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của cung c AB. • Nếu cung c
AB có khối lượng riêng tại M (x, y) là ρ (x, y) thì khối lượng của nó là Z
ρ (x, y) ds. nếu tích phân đó tồn tại. c AB Z • Chiều dài của cung c
AB được tính theo công thức l = ds. c AB
• Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định. 79 80
Chương 4. Tích phân đường
1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I 1. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình y = y (x) , a 6 x 6 b thì Z b Z q
f (x, y) ds =
f (x, y (x))
1 + y′2 (x)dx. (1) c AB a 2. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình x = x (y) , c 6 y 6 d thì Z d Z q
f (x, y) ds =
f (x (y) , y)
1 + x′2 (y)dy. (2) c AB c 3. Nếu c
AB cho bởi phương trình x = x(t), y = y(t), t , thì 1 ≤ t ≤ t2 Z t2 Z q
f (x, y)ds =
f (x(t), y(t))
x′2(t) + y′2(t)dt (3) c AB t1 4. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (ϕ) , ϕ thì coi nó 1 ≤ ϕ ≤ ϕ2
như là phương trình dưới dạng tham số, ta được p ds =
r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ và Z ϕ2 Z q
f (x, y) ds =
f (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin ϕ)
r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ (4) c AB ϕ1 1.3 Bài tập Z Bài tập 4.1. Tính
(x − y) ds, C là đường tròn có phương trình x2 + y2 = 2x. C  x = 1 + cos t Lời giải. Đặt , 0 6 t 6 2π y = sin t 2π Z q I =
(1 + cos t − sin t)
(− sin t)2 + cos2 tdt = 2π 0  Z  Bài tập 4.2. Tính
x = a (t − sin t)
y2ds, C là đường cong
, 0 6 t 6 2π, a > 0.
y = a (1 − cos t) C 80
1. Tích phân đường loại I 81 Lời giải. 
 x′ (t) = a (1 − cos t) q t ⇒
x′2 (t) + y′2 (t) = 2a sin
y′ (t) = a sin t 2 2π Z t 256a3 ⇒ I =
a2 (1 − cos t)2 .2a sin dt = . 2 15 0  Z  Bài tập 4.3. Tính p
x = a (cos t + t sin t)
x2 + y2ds, C là đường
, 0 6 t 6 2π, a > 0.
y = a (sin t − t cos t) C Lời giải. 
x′ (t) = at cos t q ⇒
x′2 (t) + y′2 (t) = at
y′ (t) = at sin t 2π Z r h i q  a3 ⇒ I =
a2 (cos t + t sin t)2 + (sin t − t cos t)2 .atdt = (1 + 4π2)3 − 1 3 0 81 82
Chương 4. Tích phân đường
§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1 Định nghĩa
Cho hai hàm số P (x, y) , Q (x, y) xác định trên cung c AB. Chia cung c
AB thành n cung nhỏ
∆s bởi các điểm chia i
A0 = A, A1, A2, ..., An = B.Gọi toạ độ của vectơ −−−−→ Ai A
−1 i = (∆xi, ∆yi) và n
lấy điểm M bất kì trên mỗi cung
. Giới hạn, nếu có, của tổng i ∆si
∑ [P (Mi) ∆xi + Q (Mi) ∆yi] i=1
sao cho max ∆xi → 0, không phụ thuộc vào cách chia cung c
AB và cách chọn các điểm Mi
được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P (x, y) , Q (x, y) dọc theo cung c AB , kí Z hiệu là
P (x, y) dx + Q (x, y) dy. c AB Chú ý:
• Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của cung c
AB, nếu đổi chiều trên đường Z Z
lấy tích phân thì tích phân đổi dấu,
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = −
P (x, y) dx + Q (x, y) dy. c AB c BA
• Tích phân đường loại hai có các tính chất giống như tích phân xác định.
2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II 1. Nếu cung c
AB được cho bởi phương trình y = y (x), điểm đầu và điểm cuối ứng với
x = a, x = b thì Z b Z   Pdx + Qdy =
P (x, y (x)) + Q (x, y (x)) .y′ (x) dx. (5) c AB a 2. Nếu cung c
AB được cho bởi phương trình x = x (y), điểm đầu và điểm cuối ứng với
y = c, y = d thì Z d Z     Pdx + Qdy =
P x (y) .x′ (y) dy, y + Q (x (y) , y). (6) c AB c   3. Nếu cung c x = x (t)
AB được cho bởi phương trình
, điểm đầu và điểm cuối tương
y = y (t)
ứng với t = t thì 1, t = t2 Z t2 Z   Pdx + Qdy =
P (x (t) , y (t)) .x′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y′ (t) dt (7) c AB t1 82
2. Tích phân đường loại II 83 Bài tập Z Bài tập 4.4. Tính    
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy, trong đó c
AB là cung parabol y = x2 từ c AB
A (1, 1) đến B (2, 4).
Lời giải. Áp dụng công thức (5) ta có: 2 Z h    i 41 I =
x2 − 2x3 + 2x3 − x4 .2x dx = − . 30 1  Z  Bài tập 4.5. Tính    
x = a(t − sin t)
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy trong đó C là đường cong y = a(1 −cost) C
theo chiều tăng của t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0. 
x′(t) = a(1 − cos t) Lời giải. Ta có nên:
y′(t) = a sin t 2π Z I =
{[2a(t − sin t) − a(1 − cos t)] a(1 − cos t) + a(t − sin t).a sin t} dt 0 2π Z = a2
[(2t − 2) + sin 2t + (t − 2) sin t − (2t − 2) cos t]dt 0 2π Z = a2
[(2t − 2) + t sin t − 2t cos t]dt 0  
= a2 4π2 − 6π . Z Bài tập 4.6. Tính  
2 x2 + y2 dx + x (4y + 3) dy ở đó ABCA là đường gấp khúc đi qua ABCA
A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2). y C B 1 O A 1 x Hình 4.6 83 84
Chương 4. Tích phân đường   
 phương trình đường thẳng 
AB : x = y Lời giải. Ta có
phương trình đường thẳng nên 
BC : x = 2 − y  
 phương trình đường thẳng CA : x = 0 Z Z Z I = ... + ... + ... AB BC CA 1 Z h   i 2 Z h i =
2 y2 + y2 + y (4y + 3) dy +
2 (2 − y)2 + y2 . (−1) + (2 − y) (4y + 3) dy + 0 0 1 = 3 Z Bài tập 4.7. Tính
dx+dy trong đó ABCDA là đường gấp khúc qua A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0 |x|+|y| ABCDA y B 1 C O 1A x D Hình 4.7 Lời giải. Ta có   
AB : x + y = 1 ⇒dx + dy = 0  
BC : x − y = −1 ⇒dx = dy   
CD : x + y = −1 ⇒dx + dy = 0 
DA : x − y = 1 ⇒dx = dy nên Z Z Z Z I = ... + ... + ... + AB BC CD DA Z Z 2dx 2dx = 0 + + 0 + x + y x − y BC DA −1 Z 1 Z = 2dx + 2dx 0 0 = 0 84
2. Tích phân đường loại II 85   √  Z √ 
x = t sin t Bài tập 4.8. Tính 4 x2+y2 √
dx + dy trong đó
theo chiều tăng của t. 2
y = t cos t  C 
0 ≤ t ≤ π24   √
x = u2 sin u
x′ (u) = 2u sin u + u2 cos u
Lời giải. Đặt u =
t⇒0 ≤ u ≤ π, ⇒
y = u2 cos u
y′ (u) = 2u cos u − u2 sin u π 2 Z hu   i I =
2u sin u + u2 cos u + 2u cos u − u2 sin u du 2 0 π Z   u3 = + 2u cos udu 2 0 3 = − π2 + 2 2 2.3 Công thức Green.
Hướng dương của đường cong kín: Nếu đường lấy tích phân là đường cong kín thì
ta quy ước hướng dương của đường cong là hướng sao cho một người đi dọc theo đường
cong theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía bên trái. y D C O x
Giả sử D ⊂ R2 là miền đơn liên, liên thông, bị chặn với biên giới ∂D là đường cong kín với
hướng dương, hơn nữa P, Q cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D. Khi đó Z ZZ  ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy ∂x ∂y C D Chú ý: 85 86
Chương 4. Tích phân đường Z ZZ  ∂Q ∂P
• Nếu ∂D có hướng âm thì Pdx + Qdy = − − dxdy ∂x ∂y C D
• Trong nhiều bài toán, nếu C là đường cong không kín, ta có thể bổ sung C để được
đường cong kín và áp dụng công thức Green. Z
Bài tập 4.9. Tính các tích phân sau
(xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy bằng hai cách: C
tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là đường:
a) x2 + y2 = R2 y O x Hình 4.9 a
Cách 1: Tính trực tiếp
Cách 2: Sử dụng công thức Green    
Đặt x = R cos t
P(x, y) = xy + x + y
⇒0 ≤ t ≤ π
⇒ ∂Q − ∂P = y − x  ∂x ∂y
y = R sin t
Q(x, y) = xy + x − y ZZ I = ... ⇒I =
(y − x) dxdy 2π R3 Z x2+y26R2 =
(cos t cos 2t + sin t cos 2t) dt ZZ ZZ 2 = ydxdy − xdxdy 0 = x2+y26R2 x2+y26R2 0 = 0
b) x2 + y2 = 2x y O x 86 Hình 4.9 b
2. Tích phân đường loại II 87
Cách 1: Tính trực tiếp. Ta có x2 + y2 = 2x ⇔ (x − 1)2 + y2 = 1 nên  
Đặt x = 1 + cos t , 0 ≤ t ≤ 2π y = sin t 2π Z I =
{[(1 + cos t) sin t + 1 + cos t + sin t] (− sin t) + [(1 + cos t) sin t + 1 + cos t − sin t] cos t}dt 0 2π Z   =
−2 sin2 t + cos2 t − cos t sin t + cos t − sin t − cos t sin2 t + cos2 t sin t dt 0 = ... = −π
Cách 2: Sử dụng công thức Green.  
Ta có: P(x, y) = xy + x + y
⇒ ∂Q − ∂P = y  ∂x ∂y − x
Q(x, y) = xy + x − y  ZZ
x = r cos ϕ π π ⇒I =
(y − x) dxdy, đặt , − ≤ ϕ ≤
y = r sin ϕ 2 2 (x−1)2+y261 π2 Z 2 cos ϕ Z I = dϕ
(r sin ϕ − 1 − r cos ϕ)rdr − π 0 2 π2 Z   1 =
(sin ϕ − cos ϕ) .4 cos2 ϕ − 2 cos ϕ dϕ 2 − π2 = −π
c) x2 + y2 = 1, (a, b > 0) a2 b2 87 88
Chương 4. Tích phân đường
Cách 1: Tính trực tiếp 
Cách 2: Sử dụng công thức Green       
0 ≤ t ≤ 2π
P(x, y) = xy + x + y
Đặt x = a cos t
⇒ ∂Q − ∂P = y − x ⇒ x′(t) =  ∂x ∂y  −a sin t
Q(x, y) = xy + x − y
y = b sin t   
y′(t) = b cos t ZZ ⇒I =
(y − x) dxdy I = ... x2 + y261 2π a2 b2 Z   ZZ ZZ =
−ab sin2 t + ab cos2 t dt = ydxdy − xdxdy 0 x2 + y261 x2 + y261 a2 b2 a2 b2 = 0 = 0 Z Bài tập 4.10. Tính    
x2 y + x dy x + y dx. 4 − y2 4 x2+y2=2x y O x Hình 4.10
Lời giải. Áp dụng công thức Green ta có: Z     Z Z ∂Q Z ∂P 3 3 3   I = − dxdy =
4xy + x2 + y2 dxdy =
x2 + y2 dxdy vì 4xydxdy = 0 ∂x ∂y 4 4 4 D D D D  
Đặt x = r cos ϕ , ta có −π ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ. Vậy  2 2
y = r sin ϕ π π 2 2 cos ϕ 2 3 Z Z 3 Z 9 I = dϕ r2.rdr = 4 cos4 ϕ = π 4 4 8 − π 0 − π 2 2 Bài tập 4.11. Tính
H ex [(1 − cosy)dx − (y −siny)dy] trong đó OABO là đường gấp OABO
khúc O(0, 0), A(1, 1), B(0, 2) 88
2. Tích phân đường loại II 89 y B A 1 O 1 x Hình 4.11 
P (x, y) = ex (1 − cos y) Lời giải. Đặt
⇒ ∂Q − ∂P = −exy.  ∂x ∂y
Q (x, y) = −ex (y − sin y)
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I = −exydxdy D 1 Z 2−x Z = dx −exydy 0 x 1 Z 1 =
ex (4x − 4) dx 2 0 = 4 − 2e Bài tập 4.12. Tính H
(xy + ex sin x + x + y) dx − (xy − e−y + x − sin y) dy x2+y2=2x y O x Hình 4.12 
P (x, y) = xy + ex sin x + x + y Lời giải. Đặt
⇒ ∂Q − ∂P = −y − x − 2.  ∂x ∂y
Q (x, y) = xy − e−y + x − sin y 89 90
Chương 4. Tích phân đường
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I =
−y − x − 2dxdy D ZZ ZZ =
−x − 2dxdy vì ydxdy = 0 D D   đặt
x = r cos ϕ π π ⇒ −
≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ
y = r sin ϕ 2 2 π 2 Z 2 cos ϕ Z = dϕ
(−r cos ϕ − 2) rdr − π 0 2 = −3π   
Bài tập 4.13. Tính H 
xy4 + x2 + y cos xy dx + x3 + xy2 − x + x cos xy dy 3 C   trong đó
x = a cos t C (a > 0).
y = a sin t y O x Hình 4.13 
P (x, y) = xy4 + x2 + y cos xy Lời giải. Đặt
⇒ ∂Q − ∂P = x2 + y2 − 4xy3 − 1.  ∂x ∂y
Q (x, y) = x3 + xy2 3
− x + x cos xy 90
2. Tích phân đường loại II 91
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I =
x2 + y2 − 4xy3 − 1dxdy D ZZ ZZ =
x2 + y2 − 1dxdy vì 4xy3dxdy = 0 D D   đặt
x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ra
y = r sin ϕ 2π Z a Z   = dϕ r2 − 1 rdr 0 0   a4 = π − a2 2
2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II
Áp dụng công thức Green cho hàm số P(x, y), Q(x, y) thoả mãn ∂Q = 1 ta có: ∂ − ∂P x ∂y ZZ Z S (D) = 1dxdy = Pdx + Qdy D ∂D Z
• Lấy P(x, y) = 0, Q(x, y) = x thì S (D) = xdy ∂D Z
• Lấy P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0 thì S (D) = −ydx ∂D Z
• Lấy P(x, y) = 1x, Q(x, y) = 1 y thì S (D) = 1 xdy 2 − ydx 2 2 ∂D
Bài tập 4.14. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp  
xycloit x = a(t − sin t)
và Ox(a > 0).
y = a(1 − cos t) y m A O n 2π x 91 Hình 4.14 92
Chương 4. Tích phân đường
Lời giải. Áp dụng công thức Z Z Z 0 Z S(D) = xdy = xdy + xdy =
a (t − sin t) .a sin tdt = 3πa2 ∂D AmO OnA 2π
2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc
đường lấy tích phân.
Giả sử rằng D là miền đơn liên, liên thông, P, Q cùng với các đạo hàm riêng cấp một
của chúng liên tục trên D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương: 1. ∂Q ∂P =
với mọi (x, y) ∈ D. ∂x ∂y Z 2.
Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong đóng kín L nằm trong D. L Z 3.
Pdx + Qdy = 0 không phụ thuộc vào đường đi từ A đếnB, với mọi đường cong AB AB nằm trong D.
4. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần. Nghĩa là có hàm số u(x, y) sao cho du = Pdx + Qdy.
Hàm u có thể được tìm theo công thức: x Z y Z x Z y Z u(x, y) =
P(x, y0)dx +
Q(x, y)dy =
P(x, y)dx +
Q(x0, y)dy x0 y0 x0 y0
Giải bài toán tính tích phân đường không phụ thuộc đường đi:
1. Kiểm tra điều kiện ′ P ′ y = Q x. (1)
2. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và đường lấy tích phân là đường cong kín thì I = 0.
3. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và cần tính tích phân trên cung AB không đóng
thì ta chọn đường tính tích phân sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất, thông
thường ta chọn là đường thẳng nối A với B, hoặc đường gấp khúc có các cạnh song
song với các trục toạ độ. Mặt khác, nếu tìm được hàm F sao cho du = Pdx + Qdy thì
I = u(B) − u(A). 92
2. Tích phân đường loại II 93 (3,0) Z Bài tập 4.15. Tính    
x4 + 4xy3 dx + 6x2y2 − 5y4 dy. (−2,1) y −2 B O x A −1 C Hình 4.15 ′  ′
Lời giải. Nhận xét rằng x4 + 4xy3
= 6x2y2 − 5y4
nên tích phân đã cho không phụ y x
thuộc vào đường đi. Vậy ta chọn đường đi là đường gấp khúc ACB như hình vẽ. Z Z I = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = 62 AC CB (2,π) Z   Bài tập 4.16. Tính  
1 − y2 cos y dx + sin y + y cos y dy x2 x x x x (1,π) y 2π B π A O 1 2 x Hình 4.16 
P = 1 − y2 cos y Lời giải. Đặt x2 x
⇒ ∂P = ∂Q = −2y cos y + y2 sin y nên tích phân đã  ∂y ∂x x2 x x3 x
Q = sin y + y cos y x x x
cho không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B. Khi đó ta chọn đường lấy tích phân là
đường thẳng AB, nó có phương trình y = πx. 2 Z   2 Z I =
1 − π2 cos π dx+
(sin π + π cos π) πdx = 1 1 1 93 94
Chương 4. Tích phân đường
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 94 5 CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S. Chia mặt cong S thành n mặt nhỏ n ∆S ∆ ∆
. Trên mỗi ∆ lấy một điểm
bất kì. Giới hạn, nếu có, của tổng 1, S2, . . . , Sn Si Mi
∑ f (Mi)∆Si i=1
khi n → ∞ và max d(∆Si) → 0 không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S và cách chọn 1≤i≤n
các điểm M được gọi là tích phân mặt loại I của hàm số i
f (M) trên mặt cong S, kí hiệu là ZZ
f (x, y, z)dS. S
1.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I
Giả sử S là mặt được cho bởi phương trình z = z(x, y); ((x, y) ∈ D ⊂ R2), hay là hình
chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D, ở đó z(x, y) cùng với các đạo hàm riêng của chúng
liên tục trên D. Khi đó s ZZ ZZ
 ∂z 2  ∂z2
f (x, y, z)dS =
f (x, y, z(x, y)) 1+ + dxdy ∂x ∂y S D 1.3 Bài tập ZZ    Bài tập 5.1. Tính 
z + 2x + 4y dS trong đó
+ y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0 3
S = (x, y, z) | x2 3 4 S 95 96
Chương 5. Tích phân mặt z C y O B A x Hình 5.1
Lời giải. Ta có hình chiều của mặt S lên mặt phẳng Oxy là n x y o n  x o
D = (x, y) | +
6 1, x > 0, y > 0
= (x, y) |0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3 1 − 2 3 2   ′ p √ Mặt khác p = z z = 4(1 − x ) x = −2
1 + p2 + q2dxdy = 61 2 − y3 ⇒ ⇒dS = dxdy nên  ′ 3 q = zy = 43 ZZ    √ √ 2 Z 3− 3x 2 Z x y 4y 61 61 √ I = 4 1 − − + 2x + dxdy = 4 dx dy = 4 61 2 3 3 3 3 D 0 0 ZZ Bài tập 5.2. Tính    
x2 + y2 dS, S = (x, y, z) |z = z2 + y2, 0 6 z 6 1 . S z 1 y −1 O 1 x Hình 5.2 96
1. Tích phân mặt loại I 97  
Lời giải. Ta có hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D = (x, y) |x2 + y2 6 1   ′ Mặt khác,
p = z x = 2x
z = x2 + y2⇒ nên  ′
q = zy = 2y ZZ   q I = x2 + y2
1 + 4x2 + 4y2dxdy D  đặt
x = r cos ϕ 
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1
y = r sin ϕ 2π Z 1 Z p I = dϕ r2 1 + 4r2rdr 0 0 1 Z π p   = r2
1 + 4r2d 1 + 4r2 4 0 5 π Z t − 1 √   = tdt
đặtt = 1 + 4r2 4 4 1 √ ! π 20 5 4 = + 16 3 15 97 98
Chương 5. Tích phân mặt
§2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1 Định hướng mặt cong
Cho mặt cong S trong không gian. Tại mỗi điểm M chính quy của mặt cong S có hai
vectơ pháp tuyến đơn vị là − → n và −− → n .
• Nếu có thể chọn được tại mỗi điểm M của mặt một vectơ pháp tuyến đơn vị n sao cho
vectơ n biến thiên liên tục trên S thì ta nói mặt S định hướng được. Khi đó ta chọn
một hướng làm hướng dương thì hướng còn lại được gọi là hướng âm.
• Ngược lại, thì mặt S gọi là không định hướng được. Ví dụ như lá Mobius.
2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II
Cho một mặt cong định hướng S trong miền V ⊂ R3 và n = (cos α, cos β, cos γ) là
véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của S tại điểm M(x, y, z). Giả trường vectơ − →
F (M) = (P (M) , Q (M) , R (M)) biến thiên liên tục trên V, nghĩa là các toạ độ
P (M) , Q (M) , R (M) của nó là những hàm số liên tục trên V. Chia mặt S thành n mặt
cong nhỏ, gọi tên và cả diện tích của chúng lần lượt là ∆S . Trên mỗi lấy
1, ∆S2, ..., ∆Sn ∆Si
một điểm M bất kì và gọi vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của nó là i ni = n
(cos αi, cos βi, cos γi). Giới hạn, nếu có, của tổng ∑ [P (Mi) cos αi + Q (Mi) cos βi + R (Mi) cos γi]∆Si i=1
được gọi là tích phân mặt loại II của các hàm số P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z) trên mặt S, và được kí hiệu là: ZZ
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy S
2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II Giả sử ZZ ZZ ZZ I = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . S | {z } S | {z } S | {z } I1 I2 I3
Người ta tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân kép. Chẳng hạn xét tích
phân I . Giả sử mặt 3
S có phương trình z = z(x, y), z(x, y) cùng với các đạo hàm riêng của
chúng liên tục trên miền D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Khi đó: 98
2. Tích phân mặt loại II 99
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương − →
n tạo với Oz một góc nhọn thì ZZ ZZ Rdxdy =
R (x, y, z (x, y)) dxdy S D
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương − →
n tạo với Oz một góc tù thì ZZ ZZ Rdxdy = −
R (x, y, z (x, y)) dxdy S D
Tương tự như vậy chúng ta có thể đưa I về tích phân kép. 1, I2 Bài tập ZZ Bài tập 5.3. Tính  
z x2 + y2 dxdy, trong đó S là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, S
hướng của S là phía ngoài mặt cầu. z − →
n (x, y, z) y O
D : x2 + z2 ≤ a2 Hình 5.3 x p
Lời giải. Ta có mặt z =
1 − x2 − y2, hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D :
x2 + y2 ≤ 1, hơn nữa − →
n tạo với Oz một góc nhọn nên: ZZ q   I =
1 − x2 − y2 x2 + y2 dxdy D  đặt
x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1
y = r sin ϕ 2π Z 1 Z p = dϕ
1 − r2r3dr 0 0 4π = 15 99 100
Chương 5. Tích phân mặt ZZ Bài tập 5.4. Tính
ydxdz + z2dxdy trong đó S là phía ngoài mặt x2 + y2 + z2 = 1, x > 4 S
0, y > 0, z > 0. z − →
n (x, y, z) y O Hình 5.4 x ZZ
Lời giải. Tính I1 = ydxdz S √
• Mặt S : y = 2 1 − x2 − z2
• Hình chiếu của S lên Oxz là 1 hình tròn, D 4
1 : x2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0. • β = (− →
n , Oy là góc nhọn. nên: ZZ p I = 2
1 − x2 − z2dxdz D1  đặt
x = r cos ϕ π
⇒0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 1
z = r sin ϕ 2 π 2 Z 1 Z p = dϕ 2 1 − r2rdr 0 0 π = 3 ZZ Tính I2 = z2dxdy S
• Mặt S : z2 = 1 − x2 − y2 4
• Hình chiếu của S lên Oxz là 1 elip, D 4 2 : x2 + y2
4 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. • γ = (− →
n , Oz là góc nhọn. 100
2. Tích phân mặt loại II 101 nên: ZZ y2 I = 1 − x2 − dxdy 4 D2  đặt
x = r cos ϕ π ⇒0 ≤ ϕ ≤
, 0 ≤ r ≤ 1, J = −2r
y = 2r sin ϕ 2 π 2 Z 1 Z = dϕ (1 − r2)2rdr 0 0 π = 4 Vậy I = 7π 12 ZZ Bài tập 5.5. Tính
x2y2zdxdy trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = S R2, z ≤ 0. z y O x Hình 5.5 Lời giải. Ta có: p
• Mặt S : z = − R2 − x2 − y2
• Hình chiếu của S lên Oxy là hình tròn, D : x2 + y2 ≤ R2. • β = (− →
n , Oz) là góc nhọn. 101 102
Chương 5. Tích phân mặt nên: ZZ q I = − x2y2
R2 − x2 − y2dxdy D   đặt
x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, J = −r
y = r sin ϕ 2π Z R Z p I = dϕ sin2 ϕ cos2 ϕ
R2 − r2.r5dr 0 0 2R7 = − 105
2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes
Giả sử P, Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên miền bị chặn, đo được trong V ⊂ R3. V
giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh, khi đó: ZZ ZZZ   ∂P ∂Q ∂R
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = + + dxdydz ∂x ∂y ∂z S V
trong đó tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài. Chú ý:
• Nếu tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến trong thì ZZ ZZZ   ∂P ∂Q ∂R
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − + + dxdydz ∂x ∂y ∂z S V
• Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S′ kín để áp dụng công
thức Ostrogradsky, rồi trừ đi phần bổ sung. ZZ Bài tập 5.6. Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 + S
y2 + z2 = a2. 102
2. Tích phân mặt loại II 103 z − →
n (x, y, z) y O x Hình 5.6
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có ZZ ZZZ
xdydz + ydzdx + zdxdy =
3dxdydz = 3V = 4πa2 S V ZZ Bài tập 5.7. Tính
x3dydz + y3dzdx + z3dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 + S
y2 + z2 = R2.
Lời giải. Xem hình vẽ 5.6, áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ   I =
3 x2 + y2 + z2 dxdydz V     
x = r sin θ cos ϕ  
0 ≤ ϕ ≤ 2π đặt ⇒
, J = −r2 sin θ
y = r sin θ sin ϕ 0 ≤ θ ≤ π      
z = r cos θ 0 ≤ r ≤ R 2π Z π Z R Z I = 3 dϕ dθ r4 sin θdr 0 0 0 12πR5 = 5 103 104
Chương 5. Tích phân mặt ZZ Bài tập 5.8. Tính
y2zdxdy + xzdydz + x2ydxdz trong đó S là phía ngoài của miền x ≤ S
0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2. z O y x Hình 5.8
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ   I =
y2 + z + x2 dxdydz V     
x = r cos ϕ  
0 ≤ ϕ ≤ π2 đặt ⇒ , J = −r
y = r sin ϕ 0 ≤ r ≤ 1       z = z
0 ≤ z ≤ r2 π 2 Z 1 Z r2 Z   = dϕ dr r2 + z rdr 0 0 0 π = 8 ZZ Bài tập 5.9. Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của miền (z − 1)2 6 S
x2 + y2, a 6 z 6 1, a > 0. 104
2. Tích phân mặt loại II 105 z − → n a y a − 1 O 1 − a x Hình 5.9
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ 1 I =
3dxdydz = 3V = 3. Bh = π (1 − a)3 3 V
2.5 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II ZZ
[P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dS S ZZ (5.1) =
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy S
trong đó cos α, cos β, cos γ là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S.
Bài tập 5.10. Gọi S là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 nằm trong mặt trụ x2 + x + z2 =
0, y ≥ 0, hướng S phía ngoài. Chứng minh rằng ZZ
(x − y)dxdy + (y − z)dydz + (z − x)dxdz = 0 S 105 106
Chương 5. Tích phân mặt z 1 y −1 O 1 x Hình 5.10 p
Lời giải. Ta có y =
1 − x2 − y2 nên véctơ pháp tuyến của S là − →
n = ±(−y′x, 1, −y′z). Vì (− →
n , Oy) < π nên 2   − → x z
n = (−y′x, 1, −y′z) = √ , 1, √ 1 − x2 − z2 1 − x2 − z2 q Do đó |−→ n | = x2 + 1 + z2 = 1 √ . Vậy 1−x2−z2 1−x2−z2 1−x2−z2   n  1 cos α = cos(− → n , Ox) = = x    |− → n | n cos β = cos(− → n , Oy) = 2 = y   |− → n |    n cos γ = cos(− → n , Oz) = 3 = z |− → n |
Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II 5.1 ta có ZZ I =
[(x − y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x) cos α] dS S ZZ =
(x − y)z + (y − z)x + (z − x)ydS S = 0 106
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 6 CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG
§1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 6.3. Cho Ω là một tập con mở của R3 (hoặc R2). Một hàm số u : Ω → R
(x, y, z) 7→ u = u(x, y, z)
được gọi là một trường vô hướng xác định trên Ω.
Cho c ∈ R, khi đó mặt S = {(x, y, z) ∈ Ω|u(x, y, z) = c} được gọi là mặt mức ứng với giá trị c (đẳng trị).
1.2 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 6.4. Cho u = u(x, y, z) là một trường vô hướng xác định trên Ω và M0 ∈ Ω. Với − →
l là một véctơ khác không bất kì và M(x, y, z) sao cho M cùng phương với − → 0 M l , đặt  p − →
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 nếu −−−→
M0M ↑↑ l ρ = (6.1)  p − → − (x − x 2 2 2 nếu −−−→
0) + (y − y0) + (z − z0)
M0M ↑↓ l
Giới hạn (nếu có) của tỉ số △u lim
được gọi là đạo hàm theo hướng − →
l tại M của trường 0 ρ→0 ρ
vô hướng u và được kí hiệu là ∂u − → (M0). ∂ l Chú ý: 107 108
Chương 6. Lý thuyết trường
• Giới hạn trong công thức 6.1 có thể được thay bằng
u(x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u(x0, y lim 0, z0) , t→0 t
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của − → l . • Nếu − →
l ↑↑ Ox thì ∂u −
→ (M0) = ∂u(M0). ∂ l ∂x
• Đạo hàm theo hướng − →
l tại điểm M của trường vô hướng 0
u thể hiện tốc độ biến
thiên của trường vô hướng u tại M theo hướng − → 0 l .
Định lý 6.16. Nếu u = u(x, y, z) khả vi tại M(x0, y0, z0) thì nó có đạo hàm theo mọi hướng − →
l 6= 0 tại M và 0 ∂u ∂u ∂u ∂u − → (M0) = (M0). cos α + (M0). cos β + (M0). cos γ, (6.2) ∂ l ∂x ∂y ∂z
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của − → l . 1.3 Gradient
Định nghĩa 6.5. Cho u(x, y, z) là trường vô hướng có các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0, z0).
Người ta gọi gradient của u tại M là véctơ 0   ∂u ∂u ∂u (M (M (M ∂x 0), ∂y 0), ∂z 0)
và được kí hiệu là −−→ gradu(M0).
Định lý 6.17. Nếu trường vô hướng u(x, y, z) khả vi tại M thì tại đó ta có 0 ∂u −−→ (M ~ 0) = gradu.l ∂~l
Chú ý: ∂u (M theo hướng ~
0) thể hiện tốc độ biến thiên của trường vô hướng u tại M0 l. ∂~l          Từ công thức ∂u −−→ −−→ −−→ ∂u  (M ~     ta có  đạt giá trị lớn
0) = gradu.l = gradu ~l . cos gradu,~l  (M  0) ∂~l ∂~l     
nhất bằng −−→  
gradu ~l nếu~l có cùng phương với −−−→ grad u. Cụ thể
• Theo hướng~l, trường vô hướng u tăng nhanh nhất tại M nếu~ 0
l có cùng phương, cùng hướng với −−−→ grad u.
• Theo hướng ~l, trường vô hướng u giảm nhanh nhất tại M nếu ~ 0 l có cùng phương,
ngược hướng với −−−→ grad u. 108
1. Trường vô hướng 109 1.4 Bài tập
Bài tập 6.1. Tính đạo hàm theo hướng − → − →
l của u = x3 + 2y3 − 3z3 tại A(2, 0, 1), l = −→
AB, B(1, 2, −1).
Lời giải. Ta có −→
AB = (−1, 2, −2) nên −1 −1 ∂u ∂u cos α = −→ = , = 3x2 ⇒ (A) = 12 |AB| 3 ∂x ∂x 2 2 ∂u ∂u cos β = −→ = , = 6y2 ⇒ (A) = 0 |AB| 3 ∂y ∂x −2 −2 ∂u ∂u cos γ = −→ = , = −9z2 ⇒ (A) = −9 |AB| 3 ∂z ∂x
Áp dụng công thức 6.2 ta có ∂u −1 2 −2 − → (A) = 12. + 0. + (−9). = 2 ∂ l 3 3 3
Bài tập 6.2. Tính mônđun của −−→
gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz tại A(2, 1, 1). Khi nào thì −−→
gradu⊥Oz, khi nào −−→ gradu = 0. Lời giải. Ta có   −−→ ∂u ∂u ∂u gradu = , ,
= (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy) ∂x ∂y ∂z   nên −−→ −−→  √ √
gradu = (9, −3, −3) và gradu = 92 + 32 + 32 = 3 11. −−→ D−−→ −→E
• gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = 0 ⇔ ∂u = 0 ∂ ⇔ z2 = xy x    x2 = yz −−→  • gradu = 0 ⇔
⇔ x = y = z y2 = zx   z2 = xy p
Bài tập 6.3. Tính −−→
gradu với u = r2 + 1 + ln r và r =
x2 + y2 + z2. r
Bài tập 6.4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ
độ O(0, 0) là lớn nhất? 109 110
Chương 6. Lý thuyết trường          ∂u 
Lời giải. Từ công thức ∂u −−→ −−→ −−→ (O) = gradu.~   
l =  gradu ~l . cos gradu,~l ta có  (O) đạt giá  ∂~l  ∂~l 
trị lớn nhất bằng −−→  
gradu ~l nếu~l có cùng phương với −−→
gradu(O) = (0, −1, 0). p p
Bài tập 6.5. Tính góc giữa hai véctơ −−→
gradz của các hàm z =
x2 + y2, z = x − 3y + 3xy tại M(3, 4). Lời giải. Ta có   −−→   • gradz x nên −−→ 3 . 1 = √ , y √ gradz1(M) = , 4 x2+y2 x2+y2 5 5   −−→ √ √ 3y   • gradz 3x nên −−→ . Vậy 2 = 1 + √ , −3 + √ gradz 2, −9 2 x 2 y 2(M) = 4 D−−→ −−→ E gradz1,gradz2 −12 cos α =   
−−→  −−→  = √ gradz  5 145 1 . gradz2 110 2. Trường véctơ 111 §2. TRƯỜNG VÉCTƠ 2.1 Định nghĩa
Cho Ω là một miền mở trong R3. Một hàm véctơ − → F : Ω → R3 − → − →
M 7→ F = F (M), trong đó − → − → − → − →
F = Fx(M) i + Fy(M) j + Fz(M) k
2.2 Thông lượng, dive, trường ống
a. Thông lượng: Cho S là một mặt định hướng và − →
F là một trường véctơ. Đại lượng ZZ φ =
Fxdydz + Fydzdx + Fzdxdy (6.3) S
được gọi là thông lượng của − →
F đi qua mặt cong S. b. Dive: Cho − →
F là một trường véctơ có thành phần Fx, Fy, F là các hàm số có đạo hàm z
riêng cấp một thì tổng ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz được gọi là dive của trường véctơ − → F và kí hiệu ∂x ∂y ∂z là − → div F . c. Trường véctơ − → − →
F xác định trên Ω được gọi là một trường ống nếu div F (M) = 0 với mọi M ∈ Ω. Tính chất: Nếu − →
F là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra.
2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy
a. Hoàn lưu: Cho C là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong không gian. Đại lượng Z
Fxdx + Fydy + Fzdz (6.4) C
được gọi là hoàn lưu của − →
F dọc theo đường cong C. b. Véctơ xoáy: Véctơ − → − → − → i j k − →− →   rot F :=  ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z  Fx Fy Fz 111 112
Chương 6. Lý thuyết trường
được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường véctơ − → F .
2.4 Trường thế - hàm thế vị Trường véctơ − →
F được gọi là trường thế (trên Ω) nếu tồn tại trường vô hướng u sao cho −−→ − →
gradu = F (trên Ω). Khi đó hàm u được gọi là hàm thế vị.
Định lý 6.18. Điều kiện cần và đủ để trường véctơ − → − →
F = F (M) là một trường thế (trên − → Ω) là − →
rot F (M) = 0 với mọi M ∈ Ω. Chú ý: Nếu − →
F là trường thế thì hàm thế vị u được tính theo công thức x Z y Z z Z u =
Fx(x, y0, z0)dx +
Fy(x, y, z0)dy +
Fz(x, y, z)dz + C (6.5) x0 y0 z0 2.5 Bài tập
Bài tập 6.6. Trong các trường sau, trường nào là trường thế? a. − → − → − → − →
a = 5(x2 − 4xy) i + (3x2 − 2y) j + k . b. − → − → − → − →
a = yz i + xz j + xy k . c. − → − → − → − →
a = (x + y) i + (x + z) j + (z + x) k . Lời giải. a. Ta có      ! − →  ∂ ∂   ∂ ∂     ∂ ∂  rot− → a =    
∂y ∂z , ∂z ∂x ,  ∂x ∂y = (0, 0, 6x − 20y) 6= 0
Q R  R P   P Q
nên trường đã cho không phải là trường thế. b. Ngoài cách tính − → rot− →
a , sinh viên có thể dễ dàng nhận thấy tồn tại hàm thế vị u = xyz nên − → a là trường thế. c. Ta có      ! − →  ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂  rot− → a =  ∂y ∂z      , ∂z ∂x , ∂x ∂y = (0, 0, 0)       Q R   R P  P Q 112 2. Trường véctơ 113 nên − →
a là trường thế. Hàm thế vị được tính theo công thức 6.5: x Z y Z z Z u =
Fx(t, y0, z0)dt +
Fy(x, t, z0)dt +
Fz(x, y, t)dt + C x0 y0 z0 x Z y Z z Z = tdt + (x + 0)dt +
(t + y)dt + C 0 0 0 x2 z2 = + xy + + yz + C 2 2 Bài tập 6.7. Cho − → F = xz2− → i + 2− → j + zy2− →
k . Tính thông lượng của − →
F qua mặt cầu S :
x2 + y2 + z2 = 1 hướng ra ngoài.
Lời giải. Theo công thức tính thông lượng 6.3 ta có ZZ φ =
xz2dydz + yx2dxdz + zy2dxdy S
Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có ZZZ φ =
(x2 + y2 + z2)dxdydz V      
x = r sin θ cos ϕ  
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Thực hiện phép đổi biến trong toạ độ cầu ,
, J = −r2 sin θ
y = r sin θ sin ϕ 0 ≤ θ ≤ π      
z = r cos θ 0 ≤ r ≤ 1 ta có 2π Z π Z 1 Z 4π φ = dϕ dθ
r2.r2 sin θdr = 5 0 0 0 Bài tập 6.8. Cho − → − → − → − →
F = x(y + z) i + y(z + x) j + z(x + y) k và L là giao tuyến của mặt
trụ x2 + y2 + y = 0 và nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ 0. Chứng minh rằng lưu số của −→ F dọc theo L bằng 0.
Lời giải. Theo công thức tính lưu số 6.4 I I =
x(y + z)dx + y(z + x)dy + z(x + y)dz L 113 114
Chương 6. Lý thuyết trường
Áp dụng công thức Stokes ta có      ZZ  ∂ ∂        ∂ ∂   ∂ ∂  I =
∂y ∂z dydz + ∂z ∂x dzdx + ∂x ∂y  dxdy  Q R   R P   P Q S ZZ =
(z − y)dydz + (x − z)dzdx + (y − x)dxdy S = 0 (theo bài tập 5.10).
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 114

Bài giảng học phần Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Bài giảng giải tích 2 - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Đề thử giữa kỳ môn môn giải tích 2 - nn1 - học kỳ 2021.2 mã đề 1 - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích 2 - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Đề thi cuối kỳ môn giải tích 2 - Học kỳ 2021.2 - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội