Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm Toán 12

Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

53 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.
Kĩ năng
+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm
+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.
+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế.
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa nguyên hàm
Ví dụ:
3
F x x
là một nguyên hàm của hàm
số
3
f x x
vì
'
3 2
3
x x
Cho hàm số
f x
xác định trên K (K là khoảng, đoạn
hay nửa khoảng). Hàm số
F x
được gọi là một
nguyên hàm của hàm số
f x
trên K nếu
'
F x f x
với mọi
x K
.
Định lí
Nhận xét: Nếu
F x
và
G x
cùng là nguyên
hàm của hàm số
f x
trên K thì:
' ' ,
F x G x x K
.
F x G x C
, với C là hằng số nào
đó.
Giả sử hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
F x
trên K. Khi đó:
Với mỗi hằng số C, hàm số
F x C
cũng là
một nguyên hàm của
f x
trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của
f x
trên
K thì tồn tại một hằng số C sao cho
G x F x C
với mọi
x K
. Do đó
,
F x C C là họ tất cả các nguyên hàm
của
f x
trên K. Ký hiệu
f x dx F x C
.
Tính chất Ví dụ 1:
2sin 3cos 2 sin 3 cos
2 cos 3sin 2 cos 3sin
x x dx xdx xdx
x x C x x C
Ví dụ 2:
1 1
ln 3 1
3 1 3
dx x C
x
Nếu
,
f x g x
là hai hàm số liên tục trên K thì:
a)
'
f x dx f x C
b)
kf x dx k f x dx
, với k là hai số thực khác 0.
c)
mf x ng x dx m f x dx n g x dx
với
m,n là hai số thực khác 0.
d) Với
,
a b
và
0
a
ta có:
1
f ax b dx F ax b C
a
, ở đó
F x
là một
nguyên hàm của
f x
.
Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số
f x
liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K.
TOANMATH.com
Trang 3
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm số sơ
cấp
Nguyên hàm của hàm số
hợp
u = u x
Nguyên hàm của hàm số hợp
u = ax + b;a 0
dx x C
du u C
d ax b ax b C
1
1
1
x
x dx C
1
1
1
u
u C
1
1
1
1
ax b
ax b dx C
a
1
ln
dx x C
x
1
ln
du u C
u
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
2
1 1
dx C
x x
2
1 1
du C
u u
2
1 1 1
.
dx C
a ax b
ax b
2
3
xdx x x C
2
3
udu u u C
1 2
.
3
ax bdx ax b ax b C
a
1
2
dx x C
x
1
2
du u C
u
1 1
.2
dx ax b C
a
ax b
x x
e dx e C
u u
e du e C
2
ax b ax b
e dx e C
a
0, 1
ln
x
x
a
a dx C a a
a
0, 1
ln
u
u
a
a du C a a
a
1
. 0, 1
ln
mx n
mx n
a
a dx C a a
m a
sin cos
xdx x C
sin cos
udu u C
1
sin cos
ax b dx ax b C
a
cos sin
xdx x C
cos sin
udu u C
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
tan ln cos
xdx x C
tan ln cos
udu u C
1
tan ln cos
ax b dx ax b C
a
cot ln sin
xdx x C
cot ln sin
udu u C
1
cot ln sin
ax b dx ax b C
a
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
1
cot
sin
du u C
u
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1
tan
cos
du u C
u
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
1
ln tan
sin 2
x
dx C
x
1
ln tan
sin 2
u
du C
u
1
ln tan
sin 2
dx ax b
C
ax b a
TOANMATH.com
Trang 4
1
ln tan
cos 2 4
x
dx C
x
1
ln tan
cos 2 4
u
du C
u
1
cos
1
ln tan
2 4
dx
ax b
ax b
C
a
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
NGUYÊN HÀM:
f x dx F x C
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số
f x
xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số
F x
được gọi là một
nguyên hàm của hàm số
f x
trên K nếu
'
F x f x
với mọi
x K
.
2. Định lí
Giả sử hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên K. Khi đó:
Với mỗi hằng số C, hàm số
F x C
cũng là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên K.
Hàm số
,F x C C
được gọi là họ nguyên hàm của hàm số
f x
trên K. Kí hiệu
f x dx F x C
.
3. Tính chất
Nếu hai hàm số
,
f x g x
liên tục trên K và
k 0
thì ta luôn có:
a)
'
f x dx f x C
b)
kf x dx k f x dx
, với k là hai số thực khác 0.
c)
mf x ng x dx m f x dx n g x dx
với m,n là hai số thực khác 0.
d) Với
,
a b
và
0
a
ta có:
1
f ax b dx F ax b C
a
.
4. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số
f x
liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa
Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ
Phương pháp giải
Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên
hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu
thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức
chứa x là những dạng cơ bản có trong
Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x e x
là:
A.
2x
e x C
B.
2
1
2
x
e x C
TOANMATH.com
Trang 5
bảng nguyên hàm.
C.
2
1 1
1 2
x
e x C
x
D.
1
x
e C
Hướng dẫn giải
2
1
2
x x x
e x dx e dx xdx e x C
.
Chọn B.
Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là
nguyên hàm của hàm số
y x
?
A.
2
3
x x
B.
2
2019
3
x x
C.
1
2
x
D.
2
2020
3
x x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
3
xdx x x C
, với C là hằng số.
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm
số
y x
.
Chọn C.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 3
x
f x x
là
A.
3
3 ln 3
x
x C
B.
3
3
ln 3
x
x C
C.
3
3
x
x C
D.
3
ln 3
3
x
x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
3
3 3 3 3
3
ln 3
x x
x
f x dx x dx x dx dx
x C
Chọn B.
Áp dụng các công thức nguyên hàm
trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm
nguyên hàm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số
4
3
2
2
5
f x x x
x
là:
A.
5
3
2
1 3
4
x x x C
x
B.
5
3
2
1 3
4
x x x C
x
C.
5
3
2
3
3
x x x C
x
D.
3
4
3
2
6 1
20
3
x C
x
x x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 6
Ta có:
4 5
3 3
2 2
2 1 3
5
4
x x dx x x x C
x x
Chọn A.
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số
2
4 6
x x
f x
x
là:
A.
2
2 2 6 ln
x x x C
B.
2
2 6 ln
x x x C
C.
2
2 2 6 ln
x x x C
D.
2
3ln
x x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
4 6 1 6
4 2 2 6 ln
x x
dx x dx x x x C
x x
x
Chọn C.
Chú ý: Tính chất phân thức:
a b c a b c
d d d d
.
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số
2 1
x
x
f x
e
là:
A.
2
ln 2
x
x
x
e C
e
B.
2
ln 2 1
x
x
x
e C
e
C.
2
ln 2 1
x
x
x
e C
e
D.
2
ln 2 1
x
x
x
e C
e
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 1 2 2
ln 2 1
x
x x
x x
x x
dx dx e dx e C
e e e
.
Chọn C.
Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số
2019
2f x x x là:
A.
2021 2020
2 2
2021 1010
x x
C
B.
2020 2018
2 2
2021 1009
x x
C
C.
2021 2020
2 2
2021 1010
x x
C
D.
2021 2020
2 2
2021 1010
x x
C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2019 2019
2021 2020
2020 2019
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2021 1010
x x dx x x dx
x x
x dx x dx C
Chọn D.
Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số
2
1
1
x
f x
e
là:
A.
2
ln 1
x
x e C
B.
2
1
ln 1
2
x
x e C
C.
2
ln 1
x
e C
D.
2
ln 1
x
x e C
TOANMATH.com
Trang 7
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2
2 2 2
1
1
1
1 1 1
x x
x
x x x
e e
e
e e e
.
Do đó
2
2
2
2 2 2
1
1 1 1
1 ln 1
1 1 2 1 2
x
x
x
x x x
d e
e
dx dx dx x e C
e e e
Chọn B.
Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số
1
2 2
f x
x x
là:
A.
3 3
1
2 2
6
x x C
B.
1
2 2
6
x x C
C.
1 1
2 2 2
6 6
x x x C
D.
1 1
2 2 2
6 6
x x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 2 2
4
2 2
1 2 2 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
4 3 3 6 6
x x
dx dx
x x
x x x x C x x x x C
Chọn A.
Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp:
a b
a b
a b
.
Lưu ý:
2
3
ax bdx ax b ax b C
a
.
Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số
2
5 13
5 6
x
f x
x x
là:
A. 2 ln 3 3ln 2
x x C
B. 3ln 3 2 ln 2
x x C
C. 2 ln 3 3ln 2
x x C
D. 2 ln 3 3ln 2
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
5 13 5 13
5 6 2 3
x x
x x x x
Ta sẽ phân tích:
5 13 2 3 1
x A x B x
Thế
2
x
và
3
x
lần lượt vào (1) ta có
3
B
và
2
A
.
Khi đó
2
2 2 3 3
5 13 2 3
5 6 2 3 3 2
2 ln 3 3ln 2
x x
x
dx dx dx dx
x x x x x x
x x C
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 8
Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số
4
5
1
x
f x
x x
là:
A.
4
1
ln ln 1
2
x x C
B.
4
ln ln 1
x x C
C.
4
1
ln ln 1
2
x x C
D.
4
1
ln ln 1
2
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
4 4
4 3
4
5 4
4
1 2
1 1 2 1
ln ln 1
1 2
1
x x
x x
dx dx dx dx x x C
x x x x
x x
Chọn C.
Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số
2
3
3 3 3
3 2
x x
f x
x x
là:
A.
3
ln 2 2 ln 1
1
x x C
x
B.
3
ln 2 2 ln 1
1
x x C
x
C.
3
2 ln 2 ln 1
1
x x C
x
D.
3
2 ln 2 ln 1
1
x x C
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2
3
3 3 3 3 3 3
3 2
1 2
x x x x
dx dx
x x
x x
.
Ta phân tích
2
2
3 3 3 1 1 2 2
x x A x B x x C x
.
Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay
1, 3
A C
và
2
B
.
(thay
2 1; 1 3
x A x C
và
0 2
x B
).
Khi đó
2
2 2
3 3 3 1 1 1 3
2 3 ln 2 2 ln 1
2 1 1
1 2 1
x x
dx dx dx dx x x C
x x x
x x x
.
Chọn A.
Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ
P x
I dx
Q x
, với
P x
và
Q x
là
các đa thức, cụ thể như sau:
Nếu
deg deg
P x Q x
thì ta thực hiện phép chia
P x
cho
Q x
(ở đây, kí hiệu
deg
P x
là bậc của đa thức
P x
).
Khi
deg deg
P x Q x
thì ta quan sát mẫu số
Q x
ta tiến hành phân tích thành các nhân
tử, sau đó, tách
P x
theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức
(hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp
TOANMATH.com
Trang 9
Trường hợp 1:
1 1 a c
ax b cx d ad bc ax b cx d
.
Trường hợp 2:
Ax Ba x Ad Bb
mx n A B
ax b cx d ax b cx d ax b cx d
.
Ta đồng nhất thức
1
mx n Ax Ba x Ad Bb .
Cách 1. Phương pháp đồng nhất hệ số.
Đồng nhất đẳng thức, ta được
Ac Ba m
Ad Bb n
. Suy ra A, B.
Cách 2. Phương pháp giá trị riêng.
Lần lượt thay
;
b d
x x
a c
vào hai vế của (1), tìm được A, B.
Trường hợp 3:
2 2
mx n A B
ax b
ax b ax b
.
Trường hợp 4:
2 2
2
*
mx n A B C
cx d ax b
ax b cx d ax b
mx n A cx d B ax b C ax b cx d
Lần lượt thay
; ; 0
b d
x x x
a c
vào hai vế của (*) để tìm A, B, C.
Trường hợp 5:
2
2
1
A Bx C
x m ax bx c
x m ax bx c
với
2
4 0
b ac
.
Trường hợp 6:
2 2 2 2
1 A B C D
x a x b
x a x b x a x b
.
Ví dụ 10. Cho hàm số
f x
xác định trên
1
\
2
thỏa mãn
2
' ; 0 1
2 1
f x f
x
và
1 2
f
. Giá
trị của biểu thức
1 3
P f f
là:
A.
3ln 5 ln 2
B.
3ln 2 ln 5
C.
3 2 ln 5
D.
3 ln15
Hướng dẫn giải
1
2
1
ln 2 1
2
2
' ln 2 1
2 1 1
ln 1 2
2
x C khi x
f x f x dx dx x C
x
x C khi x
Vì
2
1
0 1
1
2
1 2
f
C
C
f
.
TOANMATH.com
Trang 10
Suy ra
1
ln 2 1 2
2
1
ln 1 2 1
2
x khi x
f x
x khi x
.
Do đó
1 3 3 ln 3 ln 5 3 ln15
P f f
Chọn D.
Chú ý:
Chú ý đến tính liên tục của hàm số
'
f x
và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối.
Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với
1
2
x
và
1
2
x
.
Ví dụ 11. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
, thỏa mãn
2
2
' ; 3 3 2 ln 2
1
f x f f
x
và
1 1
0
2 2
f f
. Giá trị của biểu thức
2 0 4
P f f f là:
A.
2 ln 2 ln 5
B.
6 ln 2 2 ln 3 ln 5
C.
2 ln 2 2 ln 3 ln 5
D.
6 ln 2 2 ln 5
Hướng dẫn giải
2
2 1 1 1
' ln
1 1 1 1
x
f x f x dx dx dx C
x x x x
Hay
1
2
3
1
ln 1
1
1 1
ln ln 1 1
1 1
1
ln 1
1
x
C khi x
x
x x
f x C C khi x
x x
x
C khi x
x
Theo bài ra, ta có:
1 3
2
3 3 2 ln 2
2 ln 2
1 1
0
0
2 2
f f
C C
C
f f
Do đó
3 2 1
3
2 0 4 ln 3 ln 2 ln 2 2 ln 3 ln 5
5
f f f C C C
.
Chọn C.
Bài toán 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác
và biến đổi lượng giác.
Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số
cos3 .cos 2
f x x x
trên
ta thu được kết quả:
TOANMATH.com
Trang 11
về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng
giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ
bản có trong bảng nguyên hàm.
Áp dụng các công thức nguyên hàm trong
bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên
hàm.
A.
sin 5 sin
10 2
x x
f x dx C
B.
sin 5
sin
5
x
f x dx x C
C.
1
sin 3 .sin 2
6
f x dx x x C
D.
sin 5 sin
10 2
x x
f x dx C
Hướng dẫn giải
Ta viết:
1
cos5 cos
2
f x x x
.
Khi đó:
sin 5 sin
10 2
x x
f x dx C
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số
2 cos 3cos 5
x x dx
là:
A.
2sin 15sin 5
x x C
B.
3
2sin sin 5
5
x x C
C.
3
2sin sin 5
5
x x C
D. 2sin 5sin 5
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2 cos 3cos 5 2 sin sin 5
5
x x dx x x C
Chọn C.
Lưu ý:
sin cos
cos ; sin
ax ax
axdx C axdx C
a a
.
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số
sin 5 sin 2
x xdx
là:
A.
1
cos5 cos2
10
x x C
B.
1 1
cos3 sin 7
6 14
x x C
C.
1 1
sin 3 sin 7
3 7
x x C
D.
1 1
sin 3 sin 7
2 2
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 1 1
sin 5 sin 2 cos 3 cos7 cos3 sin 7
2 6 14
x xdx x x dx x x C
Chọn B.
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số
2
4 cos
xdx
là:
TOANMATH.com
Trang 12
A.
4 2sin 2
x x C
B.
3
4 cos
3
x
C
C.
2 sin 2
x x C
D.
2 sin 2
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
4 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
xdx x dx x x C
.
Chọn D.
Chú ý: Dùng công thức hạ bậc:
2 2
1 cos 2 1 cos 2
cos ; sin
2 2
a a
a a
.
Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số
2
1 2 sin
x dx
là:
A.
3 4 cos sin 2
x x x C
B.
3
1 2 sin
3
x
C
C. 3 sin 2
x x C
D. 3 4 cos sin 2
x x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
1 cos2
1 2 sin 1 4sin 4 sin 1 4 sin 4.
2
3 4 sin 2 cos 2 3 4cos sin 2
x
x dx x x dx x dx
x x dx x x x C
Chọn A.
Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số
sin cos sin
x x xdx
là:
A.
1 1 1
sin 2 cos2
2 4 4
x x x C
B.
1 1 1
sin 2 cos 2
2 4 4
x x x C
C.
1 1
sin 2 cos 2
2 2
x x x C
D.
1 1 1
sin 2 cos 2
2 4 4
x x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
sin cos sin sin sin cos
1 cos2 sin 2 1 1 1
sin 2 cos 2
2 2 2 2 2
x x xdx x x x dx
x x
dx x x x C
Chọn B.
Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số
2 2
1
sin cos
dx
x x
là:
A.
tan cot
x x C
B.
tan cot
x x C
C.
tan cot
x x C
D.
cot tan
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2
1 sin cos 1 1
tan cot
sin cos sin .cos cos sin
x x
dx dx dx x x C
x x x x x x
.
Chọn B.
Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số
4 2
1
4 cos 4 cos 1
dx
x x
là:
TOANMATH.com
Trang 13
A.
cot 2
2
x
C
B.
tan 2
x C
C.
cot 2
x C
D.
tan 2
2
x
C
Hướng dẫn giải
Ta có:
4 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 tan 2
(2 )
4 cos 4 cos 1 (2 cos 1) cos 2 2 cos 2 2
x
dx dx dx d x C
x x x x x
Chọn D.
Chú ý: Công thức nhân đôi:
2
cos2 2 cos 1
x x
.
Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số
3
cos
xdx
là:
A.
4
cos
4
x
C
B.
1
3sin sin 3
3
x x C
C.
3
1
sin sin
3
x x C
D.
4
4 sin sin 3
3
x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 3
1 1 1 1
cos 3cos cos3 3sin sin 3 sin sin
4 4 3 3
xdx x x dx x x C x x C
Chọn C.
Chú ý: Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4 cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
a a a
a a a
Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số
3
tan
xdx
là:
A.
2
tan
ln cos
2
x
x C
B.
2
tan
ln sin
2
x
x C
C.
2
tan
ln cos
2
x
x C
D.
4
2
tan
4 cos
x
C
x
Hướng dẫn giải
Từ
3 2
tan tan 1 tan tan
x x x x
Suy ra
2
3
cos
tan
tan tan tan ln cos
cos 2
d x
x
xdx xd x x C
x
.
Chọn A.
Chú ý:
2
2
1
tan ' 1 tan
cos
x x
x
.
Ví dụ 10. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
sin 2 tan
f x x x
thỏa mãn
3
3 4
F
. Giá trị của
4
F
là:
A.
3 1
2 12
B.
3 1
2 12
C.
3 1
2 12
D.
3 1
2 12
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 14
Ta có:
2
sin
sin 2 . tan 2 sin .cos . 2 sin
cos
x
F x x xdx x x dx xdx
x
.
Suy ra
sin 2
1 cos 2
2
x
F x x dx x C
.
Theo giả thiết, ta có:
3 1 2 3 3
sin
3 4 3 2 3 4 2 3
F C C
.
Vậy
sin 2 3
2 2 3
x
F x x
.
Do đó
1 3 3 1
sin 2
4 4 2 4 2 3 2 12
F
.
Chọn D.
Ví dụ 11. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
4
cos 2
f x x
thỏa mãn
0 2019
F . Giá trị của
8
F
là:
A.
3 16153
64
B.
3 129224
8
C.
3 129224
64
D.
3 129224
32
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
4 2
1 cos 4 1
cos 2 1 2 cos 4 cos 4
2 4
1 1 cos8 1
1 2 cos 4 3 4 cos 4 cos8
4 2 8
x
x x x
x
x x x
Do đó
1 1 1
3 4 cos 4 cos8 3 sin 4 sin8
8 8 8
F x x x dx x x x C
Mà
0 2019
F nên ta có
2019
C
.
Vậy
1 1
3 sin 4 sin8 2019
8 8
F x x x x
.
Do đó
3 129224
8 64
F
Chọn C.
Ví dụ 12. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
5
cos
1 sin
x
f x
x
, với
2 ,
2
x k k
và thỏa mãn
3
4
F
. Giá trị của
2
F
là:
A.
2
3
B. 0. C.
5
3
D.
1
3
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 15
Ta thấy:
5
3 2 3
3 4
2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos .sin
1 sin
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x
x x x x x x
x
x x
F x x d x xd x x C
Theo giả thiết, ta có
3
4
F
nên
1
C
.
Vậy
3 4
sin cos
sin
3 4
x x
F x x C
Do đó
1
2 3
F
.
Chọn D.
Chú ý:
Với
*
n
, ta có:
1
cos
cos .sin cos cos
1
n
n n
x
x xdx xd x C
n
và
1
sin
sin .cos sin sin
1
n
n n
x
x xdx xd x C
n
.
Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm
Phương pháp giải
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
Một chất điểm chuyển động theo phương trình
S S t
, với
S t
là quãng đường mà chất
điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời
điểm ban đầu.
Gọi
v t
và
a t
lần lượt là vận tốc tức thời và
gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta
có:
'
v t S t
và
'
a t v t
.
Từ đó ta có:
S t v t dt
và
v t a t dt
.
Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình
2
1
2
S t
, trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S
là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất
điểm tại thời điểm
0
5
t s
là:
A. 5 (m/s). B. 25 (m/s).
C. 2,5 (m/s.) D. 10 (m/s).
Hướng dẫn giải
Ta có:
'
v t S t t
nên
0 0
5 /
v t t m s
Chọn A.
Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì
người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc
10 2 /
v t t m s
,
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được
trong 8 giây cuối cùng.
A. 50 (m). B. 25 (m).
TOANMATH.com
Trang 16
C. 55 (m). D. 10 (m).
Hướng dẫn giải
Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp
phanh. Ta có:
0; 0
t s
.
2
2
10 2 10 ,
0 0 0 10
s t v t dt t dt t t C
s C s t t t
Ô tô dừng hẳn khi
0 10 2 0 5
v t t t
.
Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc
10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần
đều trong 5 giây cuối.
Quãng đường ô tô di chuyển là:
2
3.10 10.5 5 55
s m
.
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc
2
3
/
1
a t m s
t
, trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời
điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?
A. 10 m/s. B. 15,2 m/s. C. 13,2 m/s. D. 12 m/s.
Hướng dẫn giải
Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức:
3
3ln 1
1
v t a t dt dt t C
t
Vì vận tốc ban đầu (lúc
0
t
) của vật là
0
6 /
v m s
nên:
0 3ln 0 1 6 6 3ln 1 6
v C C v t t
.
Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là:
10 3ln 10 1 6 13,2 /
v m s
.
Chọn C.
Ví dụ 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc
3 2 2
1 5
/
24 16
a t t t m s
, trong đó t là khoảng
thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là
bao nhiêu?
A. 5,6 m/s. B. 6,51 m/s. C. 7,26 m/s. D. 6,8 m/s.
Hướng dẫn giải
Vận tốc
v t
chính là nguyên hàm của gia tốc
a t
nên ta có:
3 2 4 3
1 5 1 5
24 16 96 48
v t a t dt t t dt t t C
TOANMATH.com
Trang 17
Tại thời điểm ban đầu
0
t
thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:
4 3
0
1 5
0 0 0 .0 .0 0 0
96 48
v v C C
.
Vậy công thức vận tốc là
4 3
1 5
96 48
v t t t
Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là
5 6,51 /
v m s
.
Chọn B.
Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là
2
3
/
1
a t m s
t
. Ta tính
v t a t dt
, kết hợp với điều kiện
vận tốc ban đầu
0
6 /
v m s
. Suy ra công thức tính vận tốc
v t
tại thời điểm t và tính được
10
v .
Ví dụ 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả
sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là
bao nhiêu?
A. 0,45 m/s. B. 0,4 m/s. C. 0,6 m/s. D. 0,8 m/s.
Hướng dẫn giải
Xem như tại thời điểm
0
0
t
thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có
0 0
s
và
0 20
v
.
Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là
2
9,8 /
n
s t m s
.
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là
1
9,8 9,8
v t dt t C
.
Do
0 20
v
nên
1 1
9,8 20 20 9,8 20
t C C v t t
.
Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là
2 9,8.2 20 0, 4 /
v m s
.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số
15
2
7
f x x x là:
A.
16
2
1
7
2
x C
B.
16
2
1
7
32
x C
C.
16
2
1
7
16
x C
D.
16
2
1
7
32
x C
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số
6
2 3
x
f x e x
là:
A.
6 2
1
4 3
6
x
e x x C
B.
6 2
4 3
x
e x x C
C.
6 2
3
x
e x x C
D.
6 2
1
3
6
x
e x x C
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số
2
4 3
f x
x
là:
TOANMATH.com
Trang 18
A.
2 1
ln 4 3
4 3 4
dx x C
x
B.
2 1 3
ln 2
4 3 2 2
dx x C
x
C.
2
2 ln 4 3
4 3
dx x C
x
D.
2 3
2 ln 2
4 3 2
dx x C
x
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số
2 1
f x x
là:
A.
1
2 1 2 1
3
x x C
B.
1
2 1
2
x C
C.
2
2 1 2 1
3
x x C
D.
1
2 1 2 1
3
x x C
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số
2
1 3
x x
f x e e
là:
A.
2
3
x x
e e C
B.
2x x
e e C
C.
3
x x
e e C
D.
3
x x
e e C
Câu 6: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
2 1
f x
x
; biết
0 2
F
. Giá trị của
1
F là:
A.
1
1 ln3 2
2
F
B.
1 ln 3 2
F
C.
1 2 ln 3 2
F
D.
1
1 ln3 2
2
F
Câu 7: Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và
2
' 2 1, , 0 2
x
f x e x f
. Hàm số
f x
là:
A.
2 2
x
e x
B.
2 2
x
e
C.
2
2
x
e x
D.
2
1
x
e x
Câu 8: Cho hàm số
3
2 2 2
2 2
x x
f x x e xe
, ta có
3
2 2 2x x x
f x dx me nxe pe C
, với m, n, p là
các số hữu tỉ và C là hằng số thực. Giá trị của biểu thức
m n p
bằng:
A.
1
3
B. 2. C.
13
6
D.
7
6
Câu 9: Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
thỏa mãn
1
0
ln 2
F . Giá trị biểu thức
0 1 ... 2018 2019
T F F F F là:
A.
2019
2 1
1009.
ln 2
T
B.
2019.2020
2
T
C.
2019
2 1
ln 2
T
D.
2020
2 1
ln 2
T
Câu 10: Cho biết
3
1
ln 1 1 ln
dx a x x b x C
x x
, với a, b là các số hữu tỉ và C là hằng số
thực. Giá trị của biểu thức
2
P a b
là:
A. 0. B.
1
C.
1
2
D. 1.
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
2 3
1
x x
f x
x
là:
A. 4 ln 1
x x C
B.
4
1
x C
x
C.
2
1 4
2 1
x x C
x
D.
4
1
x C
x
Câu 12: Cho biết
2
4 11
ln 2 ln 3
5 6
x
dx a x b x C
x x
, với a, b là các số nguyên và C là hằng số
thực. Giá trị biểu thức
2 2
P a ab b
là:
TOANMATH.com
Trang 19
A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.
Câu 13: Gọi
2020
x
dx F x C
với C là hằng số. Khi đó hàm số
F x
bằng:
A.
2020 ln 2020
x
B.
1
2020
1
x
x
C.
1
.2020
ln 2020
x
x
D.
2020
ln 2020
x
.
Câu 14: Nguyên hàm của hàm số
3
1
f x x
x
là:
A.
2
2
1
3
f x dx x C
x
B.
4
ln
4
x
f x dx x C
C.
2
2
1
3
f x dx x C
x
D.
4
ln
4
x
f x dx x C
Câu 15: Nguyên hàm của hàm số
2
x
y
là:
A.
2 ln 2.2
x x
dx C
B.
2 2
x x
dx C
C.
2
2
ln 2
x
x
dx C
D.
2
2
1
x
x
dx C
x
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số
1
2 3
f x
x
là:
A.
1
ln 2 3
2
x C
B.
1
ln 2 3
2
x C
C. ln 2 3
x C
D.
1
ln 2 3
ln 2
x C
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số
2
1
y x
là:
A.
3
x x C
B.
3
x C
C.
6
x C
D.
3
3
x
x C
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số
2 2
x
f x e x
là:
A.
2 3
2 3
x
e x
F x C
B.
2 3x
F x e x C
C.
2
2 2
x
F x e x C
D.
3
2
3
x
x
F x e C
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số
3
3 2
f x x x
là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
2
3 3
F x x x C
B.
4
2
3 2
3
x
F x x x C
C.
4 2
3
2
4 2
x x
F x x C
D.
4 2
2
4 2
x x
F x x C
Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số
3
x x
f x e e
là:
A.
1
3
x
x
F x e C
e
B.
3
x
F x e x C
C.
3 ln
x x x
F x e e e C
D.
3
x
F x e x C
Câu 21: Với C là hằng số, nguyên hàm của hàm số
x
f x e x
là:
A.
2
2
x x
x
e x dx e C
B.
2
x x
e x dx e x C
TOANMATH.com
Trang 20
C.
2
2
x x
x
e x dx e C
D.
2x x
e x dx e x C
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số
3
x
f x x
là:
A.
2
3
2 ln 3
x
x
F x C
B.
3
1
ln 3
x
F x C
C.
2
3
2
x
x
F x C
D.
2
3 .ln 3
2
x
x
F x C
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số
2
4 3
f x
x
là:
A.
2 1
ln 4 3
4 3 4
dx x C
x
B.
2 1 3
ln 2
4 3 2 2
dx x C
x
C.
2
2 ln 4 3
4 3
dx x C
x
D.
2 3
2 ln 2
4 3 2
dx x C
x
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số
1
5 4
f x
x
là:
A.
1
ln 5 4
5
x C
B. ln 5 4
x C
C.
1
ln 5 4
ln 5
x C
D.
1
ln 5 4
5
x C
Câu 25: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số
2019
y x
?
A.
2020
1
2020
x
B.
2020
2020
x
C.
2018
2019
y x
D.
2020
1
2020
x
Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là nguyên hàm của hàm số
2
x
y e
?
A.
2
2
x
e
y
B.
2
2
x
y e C C
C.
2
2
x
y e C C
D.
2
2
x
e
y
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số
2
f x x
x
là:
A.
2
2 ln
2
x
x C
B.
2
2
x
x C
C.
2
2
1
C
x
D.
2
2 ln
2
x
x C
Câu 28: Nguyên hàm của hàm số
2
x
y
là:
A. 2 ln 2.2
x x
dx C
B. 2 2
x x
dx C
C.
2
2
ln 2
x
x
dx C
D.
2
2
1
x
x
dx C
x
Câu 29: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
1
f x
x
. Giá trị của
' 2 2 ' 0
F F
là:
A.
2
3
B.
2
3
C.
8
9
D.
1
3
Câu 30: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
4 2
x
f x e x
thỏa mãn
0 1
F
. Hàm số
F x
là:
TOANMATH.com
Trang 21
A.
2 2
4 3
x
F x e x
B.
2 2
2 1
x
F x e x
C.
2 2
2 1
x
F x e x
D.
2 2
2 1
x
F x e x
Câu 31: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
4
2
f x x x
?
A.
4 2
2
F x x x
B.
2
3 2
F x x
C.
5
2
1
5
x
F x x
D.
4 2
4 2
x x
F x
Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số
3
x
f x e
là:
A.
3 1
3 1
x
e
f x dx C
x
B.
3
3
x
f x dx e C
C.
3
f x dx e C
D.
3
3
x
e
f x dx C
Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số
3 1
x
f x
là:
A.
3 ln
x
f x dx x x C
B.
3
ln
x
f x dx x C
x
C.
3
ln 3
x
f x dx x C
D.
3
x
f x dx x C
Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số
cos
f x x x
là:
A.
2
sin
2
x
f x dx x C
B.
1 sin
f x dx x C
C.
sin cos
f x dx x x x C
D.
2
sin
2
x
f x dx x C
Câu 35: Hàm số
2
F x dx
có dạng:
A.
2
F x x C
B.
3
3
F x C
C.
2 2
2
x
F x C
D.
2
F x x C
Câu 36: Cho hàm số
y F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
y x
. Giá trị của
' 25
F bằng:
A. 125. B. 625. C. 5. D. 25.
Câu 37: Nguyên hàm của hàm số
2 2 5
x x
f x
là:
A.
2
5
ln 2
x
x C
B.
5.2 . ln 2
x
x C
C.
2 2
5
ln 2 ln 2
x x
x x C
D.
2
1 5
ln 2
x
C
Câu 38: Họ nguyên hàm của hàm số
2 1
1
x
f x e
x
là:
A.
2 1
1
ln
2
x
e x C
B.
2 1
1
ln
2
x
e x
C.
2 1
2 ln
x
e x C
D.
2 1
1
ln
2
x
e x C
Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số
3 1
x
f x e
là:
TOANMATH.com
Trang 22
A.
3 1
3
x
F x e C
B.
3 1
3 . ln 3
x
F x e C
C.
3 1
1
.ln 3
3
x
F x e C
D.
3 1
1
3
x
F x e C
Câu 40: Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 1
f x x
là:
A.
3
x C
B.
3
3
x
x C
C.
6
x C
D.
3
x x C
Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x e x
là:
A.
2x
e x C
B.
2
1
2
x
e x C
C.
2
1 1
1 2
x
e x C
x
D. 1
x
e C
Câu 42: Hàm số
2
3 4
x
F x e x
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
2
2 3
x
f x e
B.
2
2 3
x
f x xe
C.
1
3
x
f x xe
D.
2
2 1
3
x
f x x e
Câu 43: Cho hàm số
4
2
2 3
x
f x
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
2 3
3 2
x
f x dx C
x
B.
3
2 3
3
x
f x dx C
x
C.
3
2 3
3
x
f x dx C
x
D.
3
3
2
f x dx x C
x
Câu 44: Nguyên hàm
3 1
dx
I
x
là:
A.
1
ln 3 1
3
x C
B. ln 3 1
x C
C. 3ln 3 1
x C
D.
1
ln 3 1
3
x C
Câu 45: Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
thỏa mãn
2
1
'
1
f x
x
. Biết
3 3 4
f f
và
1 1
2
3 3
f f
. Giá trị của biểu thức
5 0 2
f f f
bằng:
A.
1
5 ln 2
2
B.
1
6 ln 2
2
C.
1
5 ln 2
2
D.
1
6 ln 2
2
Câu 46: Biết hàm số
y f x
có
2
' 3 2 1
f x x x m
, với
m
và
2 1
f
. Biết đồ thị của hàm
số
y f x
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5
. Hàm số
f x
là:
A.
3 2
3 5
x x x
B.
3 2
2 5 5
x x x
C.
3 2
2 7 5
x x x
D.
3 2
4 5
x x x
Câu 47: Nguyên hàm của hàm số
ln
x
f x
x
là:
A.
2
ln
f x dx x C
B.
2
1
ln
2
f x dx x C
C.
ln
f x dx x C
D.
x
f x dx e C
Câu 48: Cho biết
2 13
ln 1 ln 2
1 2
x
dx a x b x C
x x
với a, b là các số nguyên và C là hằng số
thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
TOANMATH.com
Trang 23
A.
2 8
a b
B.
8
a b
C.
2 8
a b
D.
8
a b
Câu 49: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2 1
2 3
x
f x
x
thỏa mãn
2 3
F
. Hàm số
F x
là:
A.
4 ln 2 3 1
F x x x
B.
2 ln 2 3 1
F x x x
C.
2 ln 2 3 1
F x x x
D.
2 ln 2 3 1
F x x x
Câu 50: Hàm số
y f x
có một nguyên hàm là
2
x
F x e
. Nguyên hàm của hàm số
1
x
f x
e
là:
A.
1
x x
x
f x
dx e e C
e
B.
1
2
x x
x
f x
dx e e C
e
C.
1
2
x x
x
f x
dx e e C
e
D.
1
1
2
x x
x
f x
dx e e C
e
Câu 51: Nguyên hàm của hàm số
3 1
x
y e
là:
A.
3 1
1
3
x
e C
B.
3 1
3
x
e C
C.
3 1
1
3
x
e C
D.
3 1
3
x
e C
Câu 52: Cho
2
2 2
2
1
9 1 2 ln 1 5
1
x
x
ax b ce x
dx x x x e C
x
, với a, b, c là các số
nguyên và C là hằng số thực. Giá trị biểu thức
M a b c
là:
A. 6. B. 20. C. 16. D. 10.
Câu 53: Biết
2
2 2
dx
a x b x C
x x x x
với a, b là các số nguyên dương và C là hằng
số thực. Giá trị của biểu thức
P a b
là:
A.
2
P
B.
8
P
C.
46
P
D.
22
P
Câu 54: Cho hàm số
f x
xác định trên
3
\
5
D
thỏa mãn
5
' , 0 0
5 3
f x f
x
và
2 1
f
. Giá trị của biểu thức
1 1
f f
bằng:
A.
16
ln 1
21
B. 0. C.
4 ln15
D.
16
ln 1
21
Câu 55: Kết quả
2. 1
x x
dx
e e
là:
A.
1 1
ln
3 2
x
x
e
C
e
B.
1
ln
2
x
x
e
C
e
C.
ln 2 1
x x
e e C
D.
1 1
ln
3 2
x
x
e
C
e
Câu 56: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
2
' 3 1
x
f x x e m
. Biết
0 2, 1 2
f f e
. Giá trị của
m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
2;0
B.
2;3
C.
5;

D.
1;2
Câu 57: Gọi
2
x
F x ax bx c e
, với , ,a b c
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
x
f x x e
.
Giá trị của biểu thức
2
S a b c
là:
A.
3
S
B.
2
S
C.
0
S
D.
4
S
TOANMATH.com
Trang 24
Câu 58: Nguyên hàm của hàm số
2
3sin cos
f x x x
là:
A.
3
sin
x C
B.
3
sin
x C
C.
3
cos
x C
D.
3
cos
x C
Câu 59: Nguyên hàm của hàm số
2
1
sin 3 2
f x
x
là:
A.
1
cot 3 2
2
x C
B.
1
cot 3 2
2
x C
C.
1
tan 3 2
2
x C
D.
cot 3 2
x C
Câu 60: Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm
cos3
f x x
và
2
2 3
F
. Giá trị của
9
F
:
A.
3 2
9 6
F
B.
3 2
9 6
F
C.
3 6
9 6
F
D.
3 6
9 6
F
Câu 61: Nguyên hàm
F x
của hàm số
2
1
2
sin
f x x
x
thỏa mãn
1
4
F
là:
A.
2
2
cot
16
x x
B.
2
2
cot
16
x x
C.
2
cot 1
x x
D.
2
2
cot
16
x x
Câu 62: Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
y e
x
là:
A.
2 tan
x
e x C
B.
2 tan
x
e x C
C.
1
2
cos
x
e C
x
D.
1
2
cos
x
e C
x
Câu 63: Biết
cos3
1
sin 3 2019
x a x
F x x
b c
là một nguyên hàm của hàm số
2 sin 3
f x x x
(với
, ,a b c
). Giá trị của
ab c
bằng:
A. 14. B. 15. C. 10. D. 18.
Câu 64: Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
4
2
sin
cos
x
f x
x
thỏa mãn
0 2020
F . Giá trị của
4
F
là:
A.
8085 3
8
B.
16170 3
8
C.
16170 3
8
D.
8085 3
8
Câu 65: Biết
F x
là nguyên hàm của hàm số
2
cos
x x
f x
x
. Hỏi đồ thị của hàm số
y F x
có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 66: Biết
F x
là nguyên hàm của hàm số
2
1
cos 1
2
f x x x
. Hỏi đồ thị của hàm số
y F x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 67: Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
1
sin 3 cos3
3
xdx x C
B.
x x
e dx e C
TOANMATH.com
Trang 25
C.
4
3
4
x
x dx C
D.
1
ln
dx x C
x
Câu 68: Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 sin
f x x x
là:
A.
3
cos
x x C
B.
6 cos
x x C
C.
3
cos
x x C
D.
6 cos
x x C
Câu 69: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
1
tan
cos
dx x C
x
B.
x x
e dx e C
C.
1
ln
xdx C
x
D.
sin cos
xdx x C
Câu 70: Họ nguyên hàm của hàm số
cos
x
f x e x
là:
A. sin
x
e x C
B.
1
1
sin
1
x
e x C
x
C.
1
sin
x
xe x C
D. sin
x
e x C
Câu 71: Chọn đáp án đúng
sin
xdx f x C
khi và chỉ khi:
A.
cosf x x m m
B.
cos
f x x
C.
cosf x x m m
D.
cos
f x x
Câu 72: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1
cos2 sin 2
2
xdx x C
B.
1
1
e
e
x
x dx C
e
C.
1
ln
2
dx x C
D.
1
1
x
x
e
e dx C
x
Câu 73: Họ nguyên hàm của hàm số
sin 2
f x x x
là:
A.
2
cos 2
2
x
f x dx x C
B.
2
1
cos2
2 2
x
f x dx x C
C.
2
1
cos2
2
f x dx x x C
D.
2
1
cos2
2 2
x
f x dx x C
Câu 74: Nguyên hàm của hàm số
2 sin
x
f x e x
là:
A.
2
2sin cos
x x
e x dx e x C
B.
2
2sin sin
x x
e x dx e x C
C.
2sin 2 cos
x x
e x dx e x C
D.
2sin 2 cos
x x
e x dx e x C
Câu 75: Nếu hàm số
sin
y x
là một nguyên hàm của hàm số
y f x
thì
A.
cos
f x x
B.
sin
f x x
C.
cos
f x x
D.
sin
f x x
Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số
cos 3
6
y x
là:
A.
1
sin 3
3 6
f x dx x C
B.
1
sin 3
3 6
f x dx x C
TOANMATH.com
Trang 26
C.
1
sin 3
6 6
f x dx x C
D.
sin 3
6
f x dx x C
Câu 77: Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
cos2
sin 2 ,
2
x
xdx C C
B. sin 2 cos 2 ,xdx x C C
C.
sin 2 2 cos 2 ,xdx x C C
D.
cos 2
sin 2 ,
2
x
xdx C C
Câu 78: Cho hàm số
f x
thỏa mãn
' 3 5cos
f x x
và
0 5
f
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3 5sin 2
f x x x
B.
3 5sin 5
f x x x
C.
3 5sin 2
f x x x
D.
3 5sin 2
f x x x
Câu 79: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
với
\ ,
4
x k k
, biết
0 1; 0
F F
. Giá trị của biểu thức
11
12 12
P F F
là:
A.
2 3
P
B.
0
P
C. Không tồn tại P. D.
1
P
Câu 80: Nguyên hàm của hàm số
1
sin
2 2
x
f x x
là:
A.
2
1
cos
4 2
x
f x dx x C
B.
2
1
cos
2 2
x
f x dx x C
C.
2
1 1
cos
4 2 2
x
f x dx x C
D.
2
1 1
cos
4 4 2
x
f x dx x C
Câu 81: Họ nguyên hàm của hàm số
tan 2
f x x
là:
A.
2
tan 2 2 1 tan 2
xdx x C
B.
tan 2 ln cos 2
xdx x C
C.
2
1
tan 2 1 tan 2
2
xdx x C
D.
1
tan 2 ln cos 2
2
xdx x C
Câu 82: Biết
2
sin 2 cos 2 cos 4
a
x x dx x x C
b
, với a, b là các số nguyên dương,
a
b
là phân số tối
giản và
C
. Giá trị của
a b
bằng:
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 83: Cho hàm số
f x
xác định trên
có đạo hàm
3
' sin
x
f x x e x
và
1 3
f e
.
Hàm số đã cho là:
A.
4
17
cos
4 4
x
x
f x e x
B.
4
9
cos
4 4
x
x
f x e x
C.
4
17
cos
4
x
f x x e x
D.
4
17
cos
4 4
x
x
f x e x
Câu 84: Nguyên hàm của hàm số
cos6
f x x
là:
TOANMATH.com
Trang 27
A.
cos6 6 sin 6
xdx x C
B.
1
cos6 sin 6
6
xdx x C
C.
1
cos6 sin 6
6
xdx x C
D. cos6 sin 6
xdx x C
Câu 85: Nguyên hàm của hàm số
2 2
cos 2
sin cos
x
f x
x x
là:
A.
cos sin
F x x x C
B.
cos sin
F x x x C
C.
cot tan
F x x x C
D.
cot tan
F x x x C
Câu 86: Nguyên hàm
F x
của hàm số
2
1
2
sin
f x x
x
thỏa mãn
1
4
F
là:
A.
2
2
cot
16
x x
B.
2
2
cot
16
x x
C.
2
cot 1
x x
D.
2
2
cot
16
x x
Câu 87: Nguyên hàm
F x
của hàm số
sin 2
f x x
thỏa mãn
1
2
F
là:
A.
cos 2
1
2 2
x
F x
B.
cos 2
1
2 2
x
F x
C.
cos 2
1
2
x
F x
D.
cos 2
1
2 2
x
F x
Câu 88: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng
2
cos
x
?
A.
3
cos
3
x
y
B.
3
cos
3
x
y C C
C.
sin 2
y x
D.
sin 2y x C C
Câu 89: Họ nguyên hàm của hàm số
2
4 sin
x
f x x
là:
A.
4 1
sin 2
ln 4 4
x
x C
B.
3
sin
4 ln
3
x
x
x C
C.
3
sin
4 ln
3
x
x
x C
D.
4 1
sin 2
ln 4 2 4
x
x
x C
Câu 90: Họ nguyên hàm
F x
của hàm số
2019
tan
f x x
, với ,
2
x k k
là:
A.
2018 2016 2
tan tan tan
... ln sin
2018 2016 2
x x x
F x x C
B.
2018 2016 2
tan tan tan
... ln cos
2018 2016 2
x x x
F x x C
C.
2018 2016 2
tan tan tan
... ln sin
2018 2016 2
x x x
F x x C
D.
2018 2016 2
tan tan tan
... ln cos
2018 2016 2
x x x
F x x C
Câu 91: Nguyên hàm
F x
của hàm số
cos3 cos
f x x x
, biết đồ thị
y F x
đi qua gốc tọa độ là:
A.
sin 4 sin 2
4 2
x x
F x B.
sin 4 sin 2
8 2
x x
F x
TOANMATH.com
Trang 28
C.
cos 4 cos 2
8 4
x x
F x
D.
sin 8 sin 4
8 4
x x
F x
Câu 92: Cho hàm số
F x
xác định trên khoảng
0;
2
và có đạo hàm
2 2
2 2
sin cos 3
'
sin cos
a x x b
F x
x x
.
Biết rằng
,
6 2 4 4
F F
và
3
F
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
9 2
F x x
B.
tan cot
12
3
F x x x x
C.
tan cot
3
F x x x x
D.
tan cot
6
3
F x x x x
Câu 93: Biết
5
2 2
cos
cos sin sin 4
m
nx
x x xdx C
p
, với
, ,m n p
và C là hằng số thực. Giá trị
của biểu thức
T m n p
là:
A.
9
T
B.
14
T
C.
16
T
D.
18
T
Câu 94: Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức
N x
, trong đó x là số ngày kể từ thời
điểm ban đầu. Biết rằng
2000
'
1
N x
x
và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Hỏi ngày thứ 12 số
lượng vi khuẩn gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 10130. B. 10120. C. 5154. D. 10132.
Câu 95: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc
/
v t m s
, có gia tốc
2
3
' /
1
a t v t m s
t
. Biết
vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6 (m/s). Vận tốc của ô tô tại giây thứ 20 là:
A.
3ln 3
v
B.
14
v
C.
3ln 3 6
v
D.
26
v
Câu 96: Gọi
F t
là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết
F t
thỏa mãn
10000
' , 0
1 2
F t t
t
và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Sau 2 giờ số lượng vi khuẩn là:
A. 17094. B. 9047. C. 8047. D. 32118.
Câu 97: Một vật chuyển động không vận tốc đầu xuất phát từ đỉnh mặt
phẳng nằm nghiêng. Biết gia tốc của chuyển động là
2
5 /
m s
và sau 1,2 s thì
vật đến chân của mặt ván. Độ dài của mặt ván là:
A. 3,6 m. B. 3,2 m.
C. 3 m. D. 2,8 m.
Câu 98: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích, kể từ đó xe chạy với gia tốc
2
2 1 /
a t t m s
, trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc nhấn ga. Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe
chạy với vận tốc bao nhiêu km/h?
A. 200 km/h. B. 243 km/h. C. 288 km/h. D. 300 km/h.
Câu 99: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số
B t
liên tục và
có đạo hàm
2
1000
'
1 0,3
B t
t
, trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc ban đầu. Số lượng vi khuẩn ban
TOANMATH.com
Trang 29
đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải
dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?
A. 9 ngày. B. 10 ngày. C. 11 ngày. D. 12 ngày.
Câu 100: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục Ox, với vận tốc cho bởi công thức
2
3 4 /
v t t t m s
, trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Biết rằng tại thời
điểm bắt đầu chuyển động, chất điểm đang ở vị trí có tọa độ
2
x
. Tọa độ chất điểm sau 1 giây chuyển
động là:
A.
9
x
B.
4
x
C.
5
x
D.
6
x
Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt
u = u x
Phương pháp giải
Định lí: Cho
f u du F u C
và
u u x
là
hàm số có đạo hàm liên tục thì
'
f u x u x dx F u x C
Các bước thực hiện đổi biến:
Xét
'
I f u x u x dx
Bước 1: Đặt
u u x
, suy ra
'
du u x dx
Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta
được
I f u du F u C
, trong đó
F u
là
một nguyên hàm của hàm số
f u
.
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số
ln
x
f x
x
là:
A.
2
ln
2
x
C
B.
2
1 ln x
C
x
C.
ln
2
x
C
D.
2
ln
x C
Hướng dẫn giải
Đặt
ln 1
ln
x
A dx x dx
x x
Đặt
1
ln
u x du dx
x
Do đó
2
2
u
A udu C
Vậy
2
ln 1
ln
2
x
dx x C
x
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho
3
2
1
x
I dx
x
. Bằng phép đổi biến
2
1
u x
, khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2
1
x u
B.
xdx udu
C.
2
1 .
I u udu
D.
3
3
u
I u C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2
1 1
u x x u
và
xdx udu
.
Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm
cần tìm là
I F u x C
TOANMATH.com
Trang 30
Khi đó
2 2
3
1 . 1
3
I u udu u du
u
u C
Vậy
2 2 2
1
1 1 1
3
I x x x C
.
Chọn C.
Hệ quả: nếu
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên K và
, ; 0
a b a
ta có:
1
f ax b dx F ax b C
a
.
Ví dụ 3: Ta biết
1
2
dx x C
x
, với
0
x
.
Suy ra
1 1
.2
dx ax b C
a
ax b
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm
F x
của hàm số
3
2 1
.
x
f x x e
, biết
1
1
3
F
là:
A.
3
1
1
3
x
F x e C
B.
3
1
1
2019
3
x
F x e
C.
3
1
1 1
3 3
x
F x e
D.
3
1
1
3
x
F x e
Hướng dẫn giải
Đặt
3
1
u x
ta có
2 2
1
3
3
du x dx x dx du
Suy ra
1 1
3 3
u u
f x dx e du e C
Do đó
3
1
1
3
x
F x e C
.
Mặt khác
1
1
3
F
nên
0
C
. Vậy
3
1
1
3
x
f x dx e
.
Chọn D.
Lưu ý: Ta có thể viết như sau:
3 3 3
2 1 1 3 1
1 1
1
3 3
x x x
f x dx x e dx e d x e C
Chú ý: Với các viết
2 3
1
1
3
x dx d x
, ta có thể tính nguyên hàm đã cho một cách đơn giản và nhanh
gọn.
Ví dụ 2. Nguyên hàm
2sin
1 3cos
x
M dx
x
là:
A.
1
ln 1 3cos
3
M x C
B.
2
ln 1 3cos
3
M x C
C.
2
ln 1 3cos
3
M x C
D.
1
ln 1 3cos
3
M x C
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 31
Đặt
1 3cos
u x
, ta có
3sin
du xdx
hay
2
2sin
3
xdx du
.
Khi đó
2 1 2
ln
3 3
M du u C
u
Vậy
2 sin 2
ln 1 3cos
1 3cos 3
x
M dx x C
x
Chọn C.
Ví dụ 3. Nguyên hàm
3
2
. 1
P x x dx
là:
A.
3
2 2
3
1 1
8
P x x C
B.
2 2
3
1 1
8
P x x C
C.
3
2
3
1
8
P x C
D.
3
2 2
3
1 1
4
P x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 4
3
2 2 2 2
3 3
1 3
. 1 1 1 1
2 8
x x dx x d x x C
.
Chọn A.
Chú ý: chú ý rằng với
0
a
và
, ; 0
m n n
ta luôn có:
m
n
m
n
a a
.
Ví dụ 4. Nguyên hàm
1
1
R dx
x x
là:
A.
1 1 1
ln
2
1 1
x
R C
x
B.
1 1 1
ln
2
1 1
x
R C
x
C.
1 1
ln
1 1
x
R C
x
D.
1 1
ln
1 1
x
R C
x
Hướng dẫn giải
Đặt
2
1 1
u x u x
. Suy ra
2
1
x u
và
2
dx udu
.
Khi đó
2
2
2 2 1 1 1
ln
1 1 1 1
1
u u
R du du du C
u u u u
u u
.
Vậy
1 1
ln
1 1
x
R C
x
Chọn D.
Chú ý: Với
0 1
a
và x, y là các số thực dương, ta có:
log log log
a a a
x
x y
y
.
Ví dụ 5. Nguyên hàm
3 2
9
S x x dx
là:
TOANMATH.com
Trang 32
A.
2
2 2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
B.
4
2 2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
C.
2 2
2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
D.
2
2 2
2
9 9
3 9
5
x x
S x C
Hướng dẫn giải
Xét
3 2 2 2
9 9
S x x dx x x xdx
.
Đặt
2 2 2
9 9
u x u x
. Suy ra
2 2
9
x u
và
xdx udu
.
Khi đó
5
2 4 2 3
9 . 9 3
5
u
S u u udu u u du u C
.
Vậy
2
2 2
2 2
9 9
3 9 9
5
x x
S x x C
Chọn A.
Ví dụ 6. Nguyên hàm
1
ln 1
T dx
x x
là:
A.
1
2 ln 1
T C
x
B. 2 ln 1
T x C
C.
2
ln 1 ln 1
3
T x x C
D. ln 1
T x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 1
ln 1 2 ln 1
ln 1 ln 1
T dx d x x C
x x x
.
Chọn B.
Ví dụ 7. Nguyên hàm
2020
2022
2
1
x
U dx
x
là:
A.
2021
1 2
3 1
x
U C
x
B.
2020
1 2
6060 1
x
U C
x
C.
2021
1 2
6063 1
x
U C
x
D.
2023
1 2
6069 1
x
U C
x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 33
Xét
2020
2020
2022 2
2
2 1
1
1 1
x
x
U dx dx
x
x x
Đặt
2 2
2 3 1 1
1 3
1 1
x
u du dx du dx
x
x x
.
Suy ra.
2020 2021
1 1
3 6063
U u du u C
. Vậy
2021
1 2
6063 1
x
U C
x
Chọn C.
Lưu ý:
1
2
1 1
1
n
n
n
ax b
ax b
dx C
n ad bd cx d
cx d
Ví dụ 8. Xét nguyên hàm
2
ln
1 ln 1
x
V dx
x x
. Đặt
1 1 ln
u x
, khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2
dx
u du
x
B.
2
2
2
. 2 2
u u
V u du
u
C.
5 4 3 2
2 5 16
4
5 2 3
V u u u u C
D.
5 4
3 2
16
4
5 2 3
u u
V u u C
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2
1 1 ln 1 1 ln ln 2 2 2
dx
u x u x x u u u du
x
.
Khi đó
2
2
2
4 3 2 5 4 3 2
2
ln
. 2 2
1 ln 1
2 5 16
2 5 8 4 4
5 2 3
u u
x
V dx u du
u
x x
u u u u du u u u u C
Chọn C.
Ví dụ 9. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
2 3
sin 2 . cos 2
f x x x
thỏa
0
4
F
. Giá trị
2019
F
là:
A.
1
2019
15
F
B.
2019 0
F
C.
2
2019
15
F
D.
1
2019
15
F
Hướng dẫn giải
Đặt
1
sin 2 2 cos 2 cos2
2
u x du xdx du xdx
TOANMATH.com
Trang 34
Ta có
2 3 2 2 2 4
3 5 3 5
1 1
sin 2 . cos 2 . 1
2 2
1 1 1 1
sin 2 sin 2
6 10 6 10
F x x xdx u u du u u du
u u C x x C
3 5
1 1 1
0 sin sin 0
4 6 2 10 2 15
F C C
Vậy
3 5
1 1 1
sin 2 sin 2
6 10 15
F x x x
Do đó
1
2019
15
F
Chọn A.
Ví dụ 10. Biết rằng
2 3
1
1 2 3 1
x dx
C
x x x x g x
(với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của
phương trình
0
g x
. Tổng các phần tử của S bằng:
A. 0. B.
3 5
C.
3
D.
3 5
Hướng dẫn giải
Vì
2
2 2 2
1 2 3 1 3 3 2 1 3 1
x x x x x x x x x x
nên ta đặt
2
3
u x x
, khi đó
2 3
du x dx
Nguyên hàm ban đầu trở thành
2
1
1
1
du
C
u
u
.
Suy ra
2
2 3
1
1 2 3 1 3 1
x dx
C
x x x x x x
Vậy
2 2
3 5
2
3 1; 0 3 1 0
3 5
2
x
g x x x g x x x
x
.
Do đó
3 5 3 5
;
2 2
S
.
Tổng giá trị các phần tử của S bằng
3
.
Chọn C.
Ví dụ 11. Gọi
F x
là nguyên hàm của hàm số
2
8
x
f x
x
trên khoảng
2 2;2 2
thỏa mãn
2 0
F
. Khi đó phương trình
F x x
có nghiệm là:
A.
0
x
B.
1
x
C.
1
x
D.
1 3
x
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 35
Ta có:
2 2
2 2
1
8 8
8 2 8
x
F x dx d x x C
x x
Mặt khác
2
2 0 8 0 2
F x C C
Vậy
2
8 2
F x x
.
Xét phương trình
2 2
2
2
2
2 0
8 2 8 2
8 2
2
2
1 3 1 3
2 4 4 0
1 3
x
F x x x x x x
x x
x
x
x x
x x
x
Chọn D.
Ví dụ 12. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;

và
1
1
2
F
. Tổng
1 2 3 ... 2019
S F F F F là
A.
2019
2020
B.
2019.2021
2020
C.
1
2018
2020
D.
2019
2020
Hướng dẫn giải
Phân tích
2 2
4 3 2
2
2
2 1 2 1 2 1
2
1
x x x
f x
x x x
x x
x x
Khi đó
2
2 2
2
2 2
2 1 1 1x
F x dx d x x C
x x
x x x x
.
Mặt khác
1 1 1
1 1
2 2 2
F C C
.
Vậy
2
1 1 1 1
1 1 1
1 1
F x
x x x x x x
.
Do đó
1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 ... 2019 1 ... 2019
2 2 3 3 4 2019 2020
1 1 1
1 2019 2018 2018
2020 2020 2020
S F F F F
Chọn C.
Ví dụ 13. Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định trên
thỏa mãn
0 2 2, 0
f f x
và
2
. ' 2 1 1 ,f x f x x f x x
. Giá trị
1
f
là:
A.
6 2
B.
10
C.
5 3
D.
2 6
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 36
Ta có:
2
2
. '
. ' 2 1 1 2 1
1
f x f x
f x f x x f x x
f x
.
Suy ra
2
2 2
2 2
1
. '
2 1 2 1 1
1 2 1
d f x
f x f x
dx x dx x dx f x x x C
f x f x
Theo giả thiết
0 2 2
f , suy ra
2
1 2 2 3
C C
Với
3
C
thì
2
2 2 2
1 3 3 1
f x x x f x x x
Vậy
1 24 2 6
f
Chọn D.
Ví dụ 16. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
2;1
thỏa mãn
0 3
f
và
2
2
. ' 3 4 2
f x f x x x
. Giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
2;1
là:
A.
3
2 42
B.
3
2 15
C.
3
42
D.
3
15
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
. ' 3 4 2 *
f x f x x x
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
2
2 3 3 2 3 3 2
1
. ' 3 4 2 2 2 3 6 6 3
3
f x f x dx x x dx f x x x x C f x x x x C
Theo giả thiết, ta có
0 3
f
nên
3
3 2 3 3 2
0 3 0 2.0 2.0 27 3 9 3 6 6 27
f C C C f x x x x
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
3 6 6 27
g x x x x
trên đoạn
2;1
.
Ta có
2
' 9 12 6 0, 2;1
g x x x x nên đồng biến trên đoạn
2;1
.
Vậy
3
3
2;1 2;1
max max 42
f x g x
.
Chọn C.
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2
Phương pháp giải
Kiến thức cần nhớ:
Ta đã biết các đẳng thức sau:
2 2
sin cos 1
t t
, với mọi
t
.
Các kĩ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và
cách xử lí.
TOANMATH.com
Trang 37
2
2
2
2
1
1 tan ,
cos 2
1
1 cot ,
sin
t t k k
t
t t k k
t
Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải quyết ngay
bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1,
đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu
“lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng
giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem
xét các nguyên hàm sau đây:
Bài toán 1: Tính
1
2 2
dx
A
a x
Bài toán 1: Tính
1
2 2
dx
A
a x
Đặt
sin
x a t
, với
;
2 2
t
hoặc
cos
x a t
với
0;
t
Bài toán 2: Tính
2
2 2
dx
A
a x
Bài toán 2: Tính
2
2 2
dx
A
a x
Đặt
tan
x a t
, với
;
2 2
t
.
Bài toán 3: Tính
3
a x
A dx
a x
Bài toán 3: Tính
3
a x
A dx
a x
Đặt
cos2
x a t
với
0;
2
t
Bài toán 4: Tính
4
A x a x b dx
Bài toán 4: Tính
4
A x a x b dx
Đặt
2
sin
x a b a t
với
0;
2
t
Bài toán 5: Tính
2 2
5
A x a dx
Bài toán 5: Tính
2 2
5
A x a dx
Đặt
sin
a
x
t
với
;
2 2
t
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm
2
2
4
x
I dx
x
là:
A.
2
4
arcsin
2 4
x x x
C
B.
2
4
2arccos
2 2
x x x
C
TOANMATH.com
Trang 38
C.
2
4
arccos
2 4
x x x
C
D.
2
4
2arcsin
2 2
x x x
C
Hướng dẫn giải
Đặt
2 sin
x t
với
;
2 2
t
. Ta có
cos 0
t
và
2 cos
dx tdt
.
Khi đó
2
2
2
4 sin
2 cos 4 sin
4 4sin
t
I tdt tdt
t
(vì
cos 0, ;
2 2
t t
).
Suy ra
2 1 cos2 2 sin 2
I t dt t t C
Từ
2 sin arcsin
2
x
x t t và
2
4
sin 2 2sin .cos
2
x x
t t t
Vậy
2 2
2
4
2arcsin
2 2
4
x x x x
I dx C
x
Chọn D.
Ví dụ 2. Nguyên hàm
3
2
1
1
I dx
x
là:
A.
2
2
3
1
x C
B.
2
1
x
C
x
C.
3
2
1
x
C
x
D.
2
1 x
C
x
Hướng dẫn giải
Đặt
cos , 0 sin .
x t t dx t dt
.
Khi đó
3 2
sin .
cot
sin sin
t dt dt
I dt t C
t t
hay
2
1
x
I C
x
Vậy
3 2
2
1
1
1
x
dx C
x
x
Chọn B.
Ví dụ 3. Nguyên hàm
2
1
1
I dx
x
là:
A. arctan
x C
B. arccot
x C
C. arcsin
x C
D. arccos
x C
Hướng dẫn giải
Đặt
tan
x t
với
;
2 2
t
, ta có
2
1 tan
dx t dt
.
Khi đó
2
2
1
1 tan
1 tan
I t dt dt t C
t
Vậy
2
1
arctan
1
I dx x C
x
TOANMATH.com
Trang 39
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hàm số
F x
có
3
4
1
x
F x dx
x
và
0 1
F
. Hàm số
F x
là:
A.
4
ln 1 1
x
B.
4
1 3
ln 1
4 4
x
C.
4
1
ln 1 1
4
x
D.
4
4 ln 1 1
x
Câu 2: Biết rằng
6 8 7
2 3 2 3 2 3 2
x x dx a x b x C
, với
,a b
và C là hằng số thực. Giá
trị của biểu thức
12 7
P a b
là:
A.
23
252
B.
241
252
C.
52
9
D.
7
9
Câu 3: Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
sin
1 3cos
x
f x
x
và
2
2
F
. Giá trị của
0
F là:
A.
1
ln 2 2
3
B.
2
ln 2 2
3
C.
2
ln 2 2
3
D.
1
ln 2 2
3
Câu 4: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;

. Khi đó
'f x
dx
x
bằng:
A.
1
2
f x C
B.
f x C
C.
2
f x C
D.
2
f x C
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số
9 5
1
3
f x
x x
, với
0
x
là:
A.
4
4 4
1 1
ln
3 36 3
x
C
x x
B.
4
4 4
1 1
ln
12 36 3
x
C
x x
C.
4
4 4
1 1
ln
3 36 3
x
C
x x
D.
4
4 4
1 1
ln
12 36 3
x
C
x x
Câu 6: Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
sin 2 cos
1 sin
x x
f x
x
và
0 2
F
. Giá trị của
2
F
là:
A.
2 2 8
3
B.
2 2 8
3
C.
4 2 8
3
D.
4 2 8
3
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số
2019
3 2
1f x x x
là:
A.
2021 2020
2 2
1 1
1
2 2021 2020
x x
C
B.
2021 2020
2 2
1 1
2021 2020
x x
C
C.
2021 2020
2 2
1 1
2021 2020
x x
C
D.
2021 2020
2 2
1 1
1
2 2021 2020
x x
C
TOANMATH.com
Trang 40
Câu 8: Biết
2017
2019
1
1 1
. , 1
1
1
b
x
x
dx C x
a x
x
và
*
,a b
và C là hằng số thực. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
2
a b
B.
2
b a
C.
2018
a b
D.
2018
b a
Câu 9: Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định trên khoảng
0;

thỏa mãn
1 4
f
và
3 2
. ' 2 3
f x x f x x x
với mọi
0
x
. Giá trị của
2
f bằng:
A. 5. B. 10. C. 20. D. 15.
Câu 10: Cho hàm số
f x
không âm, có đạo hàm liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
0 3
f và
2
. ' 1 .cos
f x f x f x x
với mọi
0;
2
x
. Giá trị của
2
f
bằng:
A. 2. B.
2
C.
2 2
D.
3
Câu 11: Xét
5
3 4
4 3
I x x dx
. Bằng cách đặt
4
4 3
u x
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
1
16
I u du
B.
5
1
12
I u du
C.
5
I u du
D.
5
1
4
I u du
Câu 12: Nguyên hàm
2
1 1
cos
dx
x x
bằng:
A.
1
sin
C
x
B.
1
sin
C
x
C.
1
2sin
C
x
D.
1
2sin
C
x
Câu 13: Cho hàm số
F x
có
3
4
1
x
F x dx
x
và.
0 1
F
Hàm số
F x
là:
A.
4
ln 1 1
F x x
B.
4
1 3
ln 1
4 4
F x x
C.
4
1
ln 1 1
4
F x x
D.
4
4 ln 1 1
F x x
Câu 14: Khi tính nguyên hàm
3
1
x
dx
x
, bằng cách đặt
1
u x
ta được nguyên hàm nào?
A.
2
2 4
u u du
B.
2
4
u du
C.
2
2 4
u du
D.
2
3
u du
Câu 15: Cho hàm số
2
sin 2 .sin
f x x x
. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm
f x
?
A.
3 5
4 4
cos sin
3 5
y x x C
B.
3 5
4 4
cos cos
3 5
y x x C
C.
3 5
4 4
cos cos
3 5
y x x C
D.
3 5
4 4
cos sin
3 5
y x x C
Câu 16: Cho hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2 cos 1
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
. Biết
rằng giá trị lớn nhất của
F x
trên khoảng
0;
là
3
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
TOANMATH.com
Trang 41
A.
3 3 4
6
F
B.
2 3
3 2
F
C.
3
3
F
D.
5
3 3
6
F
Câu 17: Cho hàm số
f x
có đạo hàm đến cấp hai xác định trên
1;

thỏa mãn
2
2
' 1 1 . ''
xf x x f x f x
với
1
x
. Biết
1 ' 1 1
f f
. Giá trị của
2
2
f là:
A.
2
2 2 ln 2 2
f
B.
2
2 2 ln 2 1
f
C.
2
2 2 ln 2 2
f
D.
2
2 2 ln 2 1
f
Câu 18: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
2 3
x
f x
e
thỏa mãn
0 10
F
. Hàm số
F x
là:
A.
1 ln 5
ln 2 3 10
3 3
x
x e B.
1
10 ln 2 3
3
x
x e
C.
1 3
ln 2 ln 5 ln 2
3 2
x
x e
D.
1 ln 5 ln 2
ln 2 3 10
3 3
x
x e
Câu 19: Biết
2
2
1
ln 1
1
dx x x C
x
. Nguyên hàm của hàm số
2
sin
cos 1
x
f x
x
là:
A.
2
ln cos cos 1
x x C
B.
2
ln cos cos 1
x x C
C.
2
ln cos 1
x x C
D.
2
ln cos 1
x x C
Câu 20: Biết rằng trên khoảng
3
;
2

, hàm số
2
20 30 7
2 3
x x
f x
x
có một nguyên hàm
2
2 3
F x ax bx c x
(a, b, c là các số nguyên). Tổng
S a b c
bằng:
A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.
Câu 21: Cho nguyên hàm
4 4
sin 2
cos sin
x
I dx
x x
. Nếu
cos 2
u x
đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
1
1
I du
u
B.
2
1
2 1
I du
u
C.
2
1 1
2 1
I du
u
D.
2
2
1
I du
u
Câu 22: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
1
x
f x
e
thỏa mãn
0 ln 2
F . Tập nghiệm S
của phương trình
ln 1 3
x
F x e
là:
A.
3
S
B.
3
S C.
S
D.
3
S
Câu 23: Biết hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
ln
ln 3
x
f x
x x
và đồ thị của hàm số
y F x
đi qua điểm
;2019
e . Khi đó
6
F e
bằng:
A. 2020. B. 2018. C. 2021. D. 2019.
TOANMATH.com
Trang 42
Câu 24: Cho
2
2
2 1 5
1
x
f x x
x
, biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
thỏa mãn
0 6
F
. Giá trị của
3
4
F
là:
A.
125
16
B.
126
16
C.
123
16
D.
127
16
Câu 25: Cho
3
sin cos 1
cos 2
sin cos 2 sin cos 2
m
n
x x
x
dx C
x x x x
, với
,m n
và C là hằng số thực. Giá
trị của biểu thức
A m n
là:
A.
5
A
B.
2
A
C.
3
A
D.
4
A
Câu 26: Nguyên hàm
2 2
9
dx
I
x x
là:
A.
2
9
9
x
I C
x
B.
2
9
9
x
I C
x
C.
2
2
9
9
x
I C
x
D.
2
2
9
9
x
I C
x
Câu 27: Nguyên hàm
3
2
1
x
I dx
x
là:
A.
2 2
1
2 1
3
I x x C
B.
2 2
1
2 1
3
I x x C
C.
2 2
1
2 1
3
I x x C
D.
2 2
1
2 1
3
I x x C
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp giải
Cơ sở của phương pháp:
Ví dụ 1: Kết quả nguyên hàm
x
xe dx
là:
A.
x x
xe e C
B.
2
2
x
x
e C
C.
x x
xe e C
D.
x
xe x C
Hướng dẫn giải
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
Khi đó
. .
.
x x x x
x x
xe dx xde x e e dx
x e e C
Chọn A.
Ở ví dụ 1 này, ta ưu tiên đặt
u x
, phần còn lại sẽ là
dv, tức là
x
dv e dx
. Dòng thứ nhất tính đạo hàm,
dòng thứ hai tìm nguyên hàm
Với
u u x
và
v v x
là các hàm số có đạo
hàm trên khoảng K thì ta có:
. ' ' . '
u v u v v u
Viết dưới dạng vi phân
d uv vdu udv
Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được:
d uv vdu udv
Từ đó suy ra
1
udv uv vdu
Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng
phần.
Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp
Ví dụ 2: Kết quả nguyên hàm
ln 2019
x dx
là:
TOANMATH.com
Trang 43
nguyên hàm từng phần.
Bài toán: Tìm
.
I u x v x dx
, trong đó
u x
và
v x
là hai hàm có tính chất khác nhau,
chẳng hạn:
u x
là hàm số đa thức,
v x
là hàm số lượng
giác.
u x
là hàm số đa thức,
v x
là hàm số mũ.
u x
là hàm số logarit,
v x
là hàm số đa thức.
u x
là hàm số mũ,
v x
là hàm số lượng giác.
A.
2019 ln 2019
x x x C
B.
2019 ln 2019
x x x C
C.
2019 ln 2019
x x C
D.
ln 2019
x C
Hướng dẫn giải
Đặt
1
ln 2019
2019
2019
u x
du dx
x
dv dx
v x
(ở đây từ
dv dx v x C
, ta có thể chọn
2019
C
để việc tính toán đơn giản hơn)
Khi đó
ln 2019 2019 ln 2019
x dx x x dx
Vậy
ln 2019 2019 ln 2019
x dx x x x C
Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm .sin
x
e xdx
A.
2 sin cos
x
e x x C
B.
2 sin cos
x
e x x C
C.
1
sin cos
2
x
e x x C
D.
1
sin cos
2
x
e x x C
Phương pháp nguyên hàm từng phần Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt
'
du u x dx
u u x
dv v x dx v v x dx
Đặt
sin cos
x x
u x du xdx
dv e dx v e
Khi đó
.sin .sin .cos
x x x
e xdx e x e xdx
Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một
lần nữa, cụ thể:
Với
.cos
x
e xdx
ta thực hiện tương tự như sau:
+ Đặt
cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
+ Khi đó
.cos .cos .sin
x x x
e xdx e x e xdx
Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:
udv uv vdu
Lưu ý: Đặt
u u x
(ưu tiên) theo thứ tự:
“Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là,
nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không
có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu
tiên sắp xếp như thế.
TOANMATH.com
Trang 44
Còn đối với nguyên hàm
v v x dx
ta chỉ cần
chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được
làm rõ qua các ví dụ minh họa ở cột bên phải.
Vậy
.sin .sin .cos
.sin .sin .cos .sin
1
.sin . sin cos
2
x x x
x x x x
x x
e xdx e x e xdx
e xdx e x e x e xdx
e xdx e x x C
Chọn C.
Ở đây, lần từng phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ
nguyên tắc ở lần từng phần thứ nhất. Tức là lần thứ
nhất đã ưu tiên u là lượng giác
sin
u x
thì lần thứ
hai ta cũng sẽ ưu tiên u là lượng giác
cos
u x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Kết quả nguyên hàm
2
ln 2
I x x dx
là:
A.
2 2
2
2
ln 2
2 2
x x
x C
B.
2
2 2
2 ln 2
2
x
x x C
C.
2 2 2
2 ln 2
x x x C
D.
2 2
2
2
ln 2
2 2
x x
x C
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2
2
2
ln 2
2
2
2
x
du dx
u x
x
x
dv xdx
v
Khi đó
2 2 2
2 2
2 2
ln 2 ln 2
2 2 2
x x x
I x xdx x C
Chọn D.
Chú ý: Thông thường thì với
2
2
x
dv xdx v
Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý
2
2
2
x
v
mang lại sự hiệu quả.
Ví dụ 2. Kết quả nguyên hàm
2
ln sin 2 cos
cos
x x
I dx
x
là:
A.
tan 2 . ln sin 2 cos 2 ln cos
x x x x x C
B.
tan 2 . ln sin 2 cos 2 ln cos
x x x x x C
C.
tan 2 .ln sin 2 cos 2 ln cos
x x x x x C
D.
cot 2 . ln sin 2 cos 2 ln cos
x x x x x C
TOANMATH.com
Trang 45
Hướng dẫn giải
Đặt
2
cos 2 sin
ln sin 2 cos
sin 2 cos
sin 2 cos
tan 2
cos
cos
x x
u x x
du dx
x x
dx
x x
dv
v x
x
x
Khi đó
cos 2sin
tan 2 ln sin 2 cos
cos
tan 2 ln sin 2 cos 2 ln cos
x x
I x x x dx
x
x x x x x C
Chọn B.
Chú ý: Ở ví dụ này, chọn
tan 2
v x
có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm
vdu
.
Ví dụ 3. Kết quả nguyên hàm
2
sin 5
I x xdx
là:
A.
2
1 2 2
cos 5 sin 5 cos 5
5 25 125
x x x x x C
B.
2
1 2 2
cos 5 sin 5 cos 5
5 25 125
x x x x x C
C.
2
1 2 2
cos 5 sin 5 cos 5
5 25 125
x x x x x C
D.
2
1 2 2
cos5 sin 5 cos 5
5 25 125
x x x x x C
Hướng dẫn giải
Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên
2
u x
là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần
mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể
như sau:
Bước 1: Chia thành 3 cột:
+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.
+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.
+ Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.
Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu
(-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau.
Khi đó
2
1 2 2
cos5 sin 5 cos 5
5 25 125
I x x x x x C
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 46
Chú ý:
Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian.
Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm
và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc.
Ví dụ 4. Nguyên hàm
4 3x
I x e dx
là:
A.
4 3 2
3
2 3 4 5
4 12 24 24
3 3 3 3 3
x
x x x x
I e C
B.
5 3
.
5 3
x
x e
I C
C.
4 3 2
3
2 3 4 5
4 12 24 24
3 3 3 3 3
x
x x x x
I e C
D.
4 3 2
3
2 3
4 12
3 3 3
x
x x x
I e C
Hướng dẫn giải
Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ
đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.
Vậy
4 3 2
3
2 3 4 5
4 12 24 24
3 3 3 3 3
x
x x x x
I e C
.
Chọn A.
Ví dụ 5. Nguyên hàm
sin
x
I e xdx
là:
A.
2 sin cos
x
e x x C
B.
2 sin cos
x
e x x C
C.
1
sin cos
2
x
e x x C
D.
1
sin cos
2
x
e x x C
Hướng dẫn giải
Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người
học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm
được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong ví dụ 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao?
Khi nào sẽ dừng lại?
TOANMATH.com
Trang 47
Khi đó, ta sẽ có thể kết luận
sin cos sin
x x x
I e x e x e xdx
.
Hay
2 sin .cos
x x
I e x e x
. Vậy
1
sin cos
2
x
I e x x C
Chọn C.
Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Dòng cuối thu được
sin
x
xe dx I
.
Ví dụ 6. Tìm
ln
n
I ax b v x dx
, trong đó
v x
là hàm đa thức,
*
n
và
, ; 0
a b a
Hướng dẫn giải
Phân tích: Vì ưu tiên
ln
n
u x ax b
nên
1
.ln
n
na ax b
du dx
ax b
và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ
không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng
na
t x
ax b
từ cột 1 sang nhân với
v x
ở cột 3 để rút gọn
bớt; tiếp tục quá trình như thế cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình
thường.
Ví dụ 6.1. Kết quả nguyên hàm . ln
I x xdx
là:
A.
2 2
.ln 2
2 4
x x
C
B.
2 2
.ln 2
2 4
x x
C
C.
2 2
.ln 2
4 2
x x
C
D.
2 2
.ln 2
4 2
x x
C
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 48
Vậy
2 2
.ln . ln 2
2 4
x x
I x xdx C
Chọn A.
Chú ý: chuyển lượng
1
t x
x
bên cột 1 sang nhân với
2
2
x
v x
ta thu được kết quả
2
x
. Khi đó bên cột
1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của
2
x
là
2
4
x
.
Ví dụ 6.2. Kết quả nguyên hàm
3
4 1 . ln 2
I x x dx
là:
A.
2
2 3 2 2 2
3
2 ln 2 3 3 ln 2 3 6 ln 2 6
2
x
x x x x x x x x x x C
B.
2
2 3 2 2 2
3
2 ln 2 3 3 ln 2 3 6 ln 2 6
2
x
x x x x x x x x x x C
C.
2
2 3 2 2 2
3
2 ln 2 3 3 ln 2 3 6 ln 2 6
2
x
x x x x x x x x x x C
D.
2
2 3 2 2 2
3
2 ln 2 3 3 ln 2 3 6 ln 2 6
2
x
x x x x x x x x x x C
Hướng dẫn giải
Vậy
2
2 3 2 2 2
3
2 ln 2 3 3 ln 2 3 6 ln 2 6
2
x
I x x x x x x x x x x C
Chọn B.
Chú ý:
Chuyển
3
x
, nhân với
2
2
x x
thu được
6 3
x
TOANMATH.com
Trang 49
Chuyển
2
x
, nhân với
2
3 3
x x
thu được
6 6
x
.
Chuyển
1
x
, nhân với
2
3 6
x x
thu được
3 6
x
.
Ví dụ 7. Cho
1
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x e
. Biết rằng hàm số
f x
có đạo
hàm liên tục trên
. Nguyên hàm của hàm số
2
'
x
f x e
là:
A.
2
x
x e C
B.
2
x
x e C
C.
1
x
x e C
D.
1
x
x e C
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2
' 1 . . .
x x x x x x
F x f x e e x e f x e f x e x e
.
Xét
2
'
x
f x e dx
Đặt
2 2
2
'
x x
u e du e dx
dv f x dx v f x
Do đó
2
. 2 2 1
x x x x
I f x e f x e dx xe x e C
Vậy
2
' 2
x x
I f x e dx x e C
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Họ các nguyên hàm của hàm số
sin
f x x x
là:
A.
cos sin
x x x C
B.
cos sin
x x x C
C.
cos sin
x x x C
D.
cos sin
x x x C
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
là:
A.
2 2
2 ln 3
x x x
B.
2 2
2 ln
x x x
C.
2 2
2 ln 3
x x x C
D.
2 2
2 ln
x x x C
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 1 ln
f x x x
là:
A.
3
2
1 ln
3
x
x x x C
B.
3
3
ln
3
x
x x C
C.
3
2
1 ln
3
x
x x x x C
D.
3
3
ln
3
x
x x x C
Câu 4: Tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
là:
A.
cot ln sin
x x x C
B. cot ln sin
x x x C
C.
cot ln sin
x x x C
D.
cot ln sin
x x x C
Câu 5: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3
4
x
f x e x x
. Hàm số
2
F x x
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.
TOANMATH.com
Trang 50
Câu 6: Gọi
2
.
x
F x ax bx c e
, với
, ,a b c
là một nguyên hàm của hàm số
2
1 .
x
f x x e
.
Giá trị của biểu thức
2
S a b c
là:
A.
3
S
B.
2
S
C.
0
S
D.
4
S
Câu 7: Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
' ,
x
f x f x e x
và
0 2
f
. Tất cả
các nguyên hàm của
2
x
f x e
là:
A.
2
x x
x e e C
B.
2
2
x x
x e e C
C.
1
x
x e C
D.
1
x
x e C
Câu 8: Giả sử
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
ln 3
x
f x
x
thỏa mãn
2 1 0
F F
và
1 2 ln 2 ln 5
F F a b , với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị của
3 6
a b
bằng:
A.
4
B. 5. C. 0. D.
3
Câu 9: Biết
2
ln 1 2 ln 1 2
.ln 1 2 . ln
x x
dx a x b x C
x x
với a, b là các số nguyên và C là
hằng số thực. Giá trị của
2
a b
là:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 10: Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
0;
2
thỏa mãn
3
tan . '
cos
x
f x x f x
x
.
Biết rằng
3 3 ln 3
3 6
f f a b
, trong đó
,a b
. Giá trị của biểu thức
P a b
bằng:
A.
14
9
B.
2
9
C.
7
9
D.
4
9
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số
sin ln
f x x x x
là:
A.
2 2
cos ln
2 4
x x
F x x x C
B.
cos ln
F x x x C
C.
2 2
cos ln
2 4
x x
F x x x C
D.
cos
F x x C
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số
2 1 ln
f x x x
là:
A.
2
2
ln
2
x
x x x x C
B.
2 2
ln
x x x x x C
C.
2 2
ln
x x x x x C
D.
2
2
ln
2
x
x x x x C
Câu 13: Cho
2 2
.ln
x x x
F x
a b
là một nguyên hàm của hàm số
ln
f x x x
(với a, b là hằng số). Giá
trị của
2
a b
là:
A. 8. B. 0. C. 1. D.
1
2
Câu 14: Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2 3 2 ln
f x x x
và
1 3
F
. Khẳng định nào
đúng trong các khẳng định sau?
TOANMATH.com
Trang 51
A.
2 2
2 2 ln 1
F x x x x
B.
2 2
2 2 ln 1
F x x x x
C.
2 2
4 2 ln
F x x x x
D.
2 2
4 2 ln 1
F x x x x
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số
2
1 3ln
f x x x
là:
A.
3
3
2
ln
3
x
x x C
B.
3
ln
x x C
C.
3
ln
x x C
D.
3 3
ln
x x x C
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số
1 2 1 ln 1
f x x x
là:
A.
2
2
ln
2
x
x x x x C
B.
2
2
3
ln
2
x
x x x x C
C.
2
2
ln
2
x
x x x x C
D.
2
2
3
ln
2
x
x x x x C
Câu 17: Nguyên hàm
2 1
x
I x e dx
có kết quả là:
A.
2
2 2
x x
x xe e C
B.
2
2
x x
x xe e C
C.
2
2 2
x x
x xe e C
D.
2 x x
x xe e C
Câu 18: Nguyên hàm
1 2 cos 1
I x x dx
có kết quả là:
A.
1 2 sin 2 cos
x x x C
B.
2
1 2 sin 2 cos
x x x x x C
C.
2
1 2 sin 2 cos
x x x x x C
D.
2
1 2 sin 2 cos
x x x x x C
Câu 19: Công thức nào sau đây sai?
A.
1
ln
xdx C
x
B.
2
tan
cos
dx
x C
x
C.
sin cos
xdx x C
D.
x x
e dx e C
Câu 20: Nguyên hàm của hàm số
ln
f x x x
là:
A.
3
2
1
3ln 2
9
f x dx x x C
B.
3
2
2
3ln 2
3
f x dx x x C
C.
3
2
2
3ln 1
9
f x dx x x C
D.
3
2
2
3ln 2
9
f x dx x x C
Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số
2 1 ln
f x x x
là:
A.
2 2
ln
x x x x x C
B.
2
2
ln
2
x
x x x x C
C.
2 2
ln
x x x x x C
D.
2
2
ln
2
x
x x x x C
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
x x x
xe dx e xe C
B.
2
2
x x x
x
xe dx e e C
C.
x x x
xe dx xe e C
D.
2
2
x x
x
xe dx e C
Câu 23: Gọi
F x
là nguyên hàm trên
của hàm số
2
0
ax
f x x e a
, sao cho
1
0 1
F F
a
.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
TOANMATH.com
Trang 52
A.
0 1
a
B.
2
a
C.
3
a
D.
1 2
a
Câu 24: Cho
3
3
x
F x
là một nguyên hàm của
f x
x
. Biết rằng hàm số
f x
có đạo hàm xác định với
mọi
0
x
. Kết quả nguyên hàm
'
x
f x e dx
là:
A.
2
3 6 6
x x x
x e xe e C
B.
2
6 6
x x x
x e xe e C
C.
2
3 6
x x x
x e xe e C
D.
2
3 6 6
x x
x xe e C
Câu 25: Biết
2 2 2
,
x x x
xe dx axe be C a b
và C là hằng số thực. Giá trị tích ab là:
A.
1
4
ab
B.
1
4
ab
C.
1
8
ab
D.
1
8
ab
Câu 26: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
5 1
x
f x x e
và
0 3
F
. Giá trị của
1
F là:
A.
1 11 3
F e
B.
1 3
F e
C.
1 7
F e
D.
1 2
F e
Câu 27: Nguyên hàm
F x
của hàm số
2
.
x
f x x e
là:
A.
2
1
2
2
x
F x e x C
B.
2
1
2
2
x
F x e x C
C.
2
1 1
2 2
x
F x e x C
D.
2
2 2
x
F x e x C
Câu 28: Họ nguyên hàm
F x
của hàm số
cos2
f x x x
là:
A.
sin 2 cos2
F x x x x
B.
1 1
sin 2 cos 2
2 4
F x x x x
C.
1 1
sin 2 cos 2
2 4
F x x x x C
D.
sin 2 cos 2
F x x x x C
Câu 29: Cho
sin 2
F x x xdx
. Chọn kết quả đúng.
A.
1
2 cos2 sin 2
4
F x x x x C
B.
1
2 cos2 sin 2
4
F x x x x C
C.
1
2 cos2 sin 2
4
F x x x x C
D.
1
2 cos2 sin 2
4
F x x x x C
Câu 30: Cho
ln
a
F x x b
x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1 ln
x
f x
x
, trong đó ,a b
. Giá
trị của biểu thức
S a b
là:
A.
2
S
B.
1
S
C.
2
S
D.
0
S
Câu 31: Biết
2 2
1
3 . 2
x x
x e dx e x n C
m
với
,m n
. Khi đó tổng
2 2
S m n
có giá trị
bằng:
A. 10. B. 5. C. 65. D. 41.
Câu 32: Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
3
x
f x e
và
0 2
F
. Giá trị của
1
F
là:
A.
15
6
e
B.
10
4
e
C.
15
4
e
D.
10
e
TOANMATH.com
Trang 53
ĐÁP ÁN
BÀI 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa
1 – D 2 – D 3 – B 4 – D 5 – D 6 – D 7 – D 8 – C 9 – D 10 – A
11 – B 12 – B 13 – D 14 – D 15 – C 16 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – D
21 – C 22 – A 23 – B 24 – D 25 – C 26 – A 27 – D 28 – C 29 – B 30 – B
31 – C 32 – D 33 – B 34 – A 35 – A 36 – B 37 – A 38 – D 39 – D 40 – D
41 – B 42 – B 43 – B 44 – A 45 – A 46 – A 47 – B 48 – D 49 – C 50 – B
51 – C 52 – C 53 – A 54 – A 55 – A 56 – D 57 – B 58 – A 59 – A 60 – C
61 – A 62 – A 63 – B 64 – B 65 – C 66 – C 67 – A 68 – C 69 – C 70 – D
71 – C 72 – D 73 – B 74 – C 75 – C 76 – A 77 – D 78 – C 79 – D 80 – A
81 – D 82 – A 83 – A 84 – B 85 – D 86 – A 87 – B 88 – C 89 – D 90 – D
91 – B 92 – C 93 – C 94 – A 95 – C 96 – B 97 – A 98 – C 99 – B 100 – C
Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
1 – C 2 – D 3 – B 4 – D 5 – B 6 – B 7 – D 8 – A 9 – C 10 – A
11 – C 12 – A 13 – A 14 – C 15 – C 16 – B 17 – A 18 – A 19 – A 20 – D
21 – B 22 – B 23 – A 24 – B 25 – A 26 – A 27 – C 28 – A 29 – B 30 – B
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
1 – D 2 – D 3 – C 4 – A 5 – B 6 – B 7 – D 8 – B 9 – D 10 – A
11 – B 12 – D 13 – A 14 – D 15 – B 16 – A 17 – C 18 – A 19 – C 20 – D
21 – A 22 – D 23 – A 24 – D 25 – D 26 – C 27 – A 28 – A 29 – B 30 – B
31 – C 32 – C 33 – C 34 – C 35 – C 36 – B 37 – C 38 – C 39 – D 40 – D
| 1/53
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.  Kĩ năng
+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm
+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.
+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: F  x 3
 x là một nguyên hàm của hàm
Cho hàm số f  x xác định trên K (K là khoảng, đoạn số f x 2  3x vì x ' 3 2  3x
hay nửa khoảng). Hàm số F  x được gọi là một
nguyên hàm của hàm số f  x trên K nếu
F ' x  f x với mọi x  K . Định lí
Nhận xét: Nếu F x và G  x cùng là nguyên
Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số hàm của hàm số f x trên K thì: F x trên K. Khi đó:
 F 'x  G 'x,x  K .
 Với mỗi hằng số C, hàm số F x  C cũng là
 F x  G x  C , với C là hằng số nào
một nguyên hàm của f  x trên K. đó.
 Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f x trên
K thì tồn tại một hằng số C sao cho
G  x  F x  C với mọi x  K . Do đó
F x  C,C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x trên K. Ký hiệu        f x dx F x C. Tính chất Ví dụ 1:
Nếu f x,g  x là hai hàm số liên tục trên K thì:
2sin x 3cosxdx  2 sin xdx 3 cos   xdx  2 a) ' x dx  f x  C
cos x3sin x  C  2cos x 3sin x  C  f     Ví dụ 2: b) kf  xdx  
k f xdx , với k là hai số thực khác 0. 1 1  ln 3 1 
c) mf x  ng x  dx  m f x dx   dx x C         ngxdx với 3x 1 3
m,n là hai số thực khác 0. d) Với , a b   và a  0 ta có:   1       f ax b dx F ax b
C , ở đó F x là một a
nguyên hàm của f  x. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. TOANMATH.com Trang 2
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm số sơ Nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số hợp cấp hợp u = ux u = ax+b;a  0 dx  x  C  du  u  C  d
 ax  b  ax  bC  1   1   1   1 ax  b  x u ax  b   dx   C     x dx   C     1 u   C    1 1  1  1 a  1 1 1 1 1 dx  ln x  C  du  ln u  C  dx  ln ax  b  C  x u ax  b a 1 1 1 1 1 1 1 dx    C  du    C  dx   .  C  2 x x 2 u u ax  b2 a ax  b 2 2 1 2 xdx  x x  C  udu  u u  C  ax  bdx  .  ax  b ax  b C 3 3 a 3 1 1 1 1 dx  2 x  C  du  2 u  C  dx  .2 ax  b  C  x u ax  b a x x axb 2 e dx  e  C  u u e du  e  C  axb e dx  e  C  a x u  mxn 1 mx n x a a a dx   C a  0,a   1 u a a du   C a  0,a   1 a dx  .  C a  0,a   1 ln a ln a m ln a 1 sin xdx   cos x  C  sin udu   cosu  C  sin
 ax bdx   cosax  bC a 1 cos xdx  sin x  C  cosudu  sin u  C  cos
 ax  bdx  sinax  bC a  ax b 1 tan
dx   ln cosax  b  tan xdx   ln cos x  C  tan udu   ln cosu  C  C a 1 cot xdx  ln sin x  C  cot udu  ln sin u  C  cot
 ax bdx  ln sinax b C a 1 1 1 1 dx   cot x  C  du   cot u  C  dx   cot ax  b  C  2 sin x 2 sin u 2 sin ax  b   a 1 1 1 1 dx  tan x  C  du  tan u  C  dx  tan ax  b  C  2 cos x 2 cos u 2 cos ax  b   a 1 x 1 u dx 1 ax  b dx  ln tan  C  du  ln tan  C   ln tan  C  sin x 2 sin u 2 sin ax  b a 2 TOANMATH.com Trang 3 1 1  x   1  u   dx  dx  ln tan   C  cosax  b   du  ln tan   C    cos x  2 4  cos u  2 4  1  ax  b    ln tan   C a  2 4   
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM: f
 xdx  FxC
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f  x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là một
nguyên hàm của hàm số f  x trên K nếu F ' x  f  x với mọi x  K . 2. Định lí
Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Khi đó:
 Với mỗi hằng số C, hàm số F x  C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K.
 Hàm số F x  C,C  được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f x trên K. Kí hiệu f
 xdx  FxC. 3. Tính chất
Nếu hai hàm số f  x,g  x liên tục trên K và k  0 thì ta luôn có: a) '       f x dx f x C b) kf xdx  
k f xdx , với k là hai số thực khác 0. c) 
 mf x ngxdx  m f xdx   
ng xdx với m,n là hai số thực khác 0. 1 d) Với ,
a b   và a  0 ta có:         f ax b dx F ax b C . a
4. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa
Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ Phương pháp giải
 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số   x f x  e  x là:
hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu x 1 x
thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức A. 2 e  x  C B. 2 e  x  C 2
chứa x là những dạng cơ bản có trong TOANMATH.com Trang 4 bảng nguyên hàm. 1 x 1 C. 2 e  x  C D. x e 1 C x 1 2
 Áp dụng các công thức nguyên hàm Hướng dẫn giải
trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.  xe  x x x 1 2
dx  e dx  xdx  e  x  C   . 2 Chọn B.
Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là
nguyên hàm của hàm số y  x ? 2 2 A. x x B. x x  2019 3 3 1 2 C. D. x x  2020 2 x 3 Hướng dẫn giải 2 Ta có: xdx  x x  C  , với C là hằng số. 3
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số y  x . Chọn C.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số   2  3  3x f x x là 3x A. 3  3x x ln 3  C B. 3 x   C ln 3 ln 3 C. 3  3x x  C D. 3 x   C 3x Hướng dẫn giải Ta có: f  xdx   2 3x  3x  2 dx  3x dx  3x dx   3x 3  x   C ln 3 Chọn B. Ví dụ mẫu 2
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f  x 4 3  5x   x là: 2 x 1 3 1 3 A. 5 3 x   x x  C B. 5 3 x   x x  C 2 x 4 2 x 4 3 6 1 C. 5 3 x   3x x  C D. 3 20x    C 2 x 4 3 2 x 3x x Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 5  2  1 3 Ta có: 4 3 5 3 5x   x dx  x   x x  C  2  2  x  x 4 Chọn A. x  x 
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f x 2 4 6  là: x A. 2 2x  2 x  6 ln x  C B. 2 x  2 x  6 ln x  C C. 2 2x  2 x  6 ln x  C D. 2 x  x  3ln x  C Hướng dẫn giải 2 4x  x  6  1 6  Ta có: 2 dx  4x  
dx  2x  2 x  6 ln x  C   x    x x  Chọn C. a  b  c a b c
Chú ý: Tính chất phân thức:    . d d d d x 
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f  x 2 1  là: x e 2x 2x 2x 2x A.  x  e  C B.  x  e  C C.  x  e  C D. x  e  C x e ln 2 x e ln 2   1 x e ln 2   1 x e ln 2   1 Hướng dẫn giải 2 1  2 x x   x 2x Ta có:  x dx  dx  e dx   e  C    . x   x e  e  e ln 2   1 Chọn C.
Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số f  x  x  x  2019 2 là:
x  2021 x  2020 2 2
x  2020 x  2018 2 2 A.    C B.   C 2021 1010 2021 1009
x  2021 x  2020 2 2
x  2021 x  2020 2 2 C.   C D.   C 2021 1010 2021 1010 Hướng dẫn giải Ta có: x
 x 22019 dx  
x 22x 22019 dx 2021 2020  x  x  
x  22020 dx  2x  22019  2  2 dx    C 2021 1010 Chọn D. 1
Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số f  x  là: 2 x e 1 1 A. 2  ln x x e 1  C B.  ln  2x x e   1  C C.  2 ln x e   1  C D.   2 ln x x e   1  C 2 TOANMATH.com Trang 6 Hướng dẫn giải  2x e   2x 2 1 1 x  e e Ta có:   1 . 2 x 2 x 2 e 1 e 1 x e 1   d  2 2 x x e e   1 1 1 1 Do đó dx   1  dx  dx   x  ln e   C   x x x  2x 1 2 2 2  e 1  e 1 2  e 1 2 Chọn B.
Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số f x 1  là: x  2  x  2 3 3 1 1 A.        x 2   x 2      C B. x 2 x 2  C 6    6   1 1 1 1 C.
x  2   x  2 x  2  C D.  x  2 x  2  x  2  C 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 1 x  2  x  2 Ta có: dx  dx   x  2  x  2 4 1 2     x   2 x    x   1 x   C   x   1 2 2 2 2 2
x  2  x  2 x  2  C 4 3 3  6 6 Chọn A. a  b
Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a  b  . a  b 2 Lưu ý: ax  bdx   ax  b ax  b C. 3a 5x 13
Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 x  5x  6
A. 2 ln x  3  3ln x  2  C
B. 3ln x  3  2 ln x  2  C
C. 2 ln x  3  3ln x  2  C
D. 2 ln x  3  3ln x  2  C Hướng dẫn giải 5x 13 5x 13 Ta có:  2 x  5x  6 x  2x 3
Ta sẽ phân tích: 5x 13  A x  2  Bx  3   1
Thế x  2 và x  3 lần lượt vào (1) ta có B  3 và A  2 . 5x 13
2  x  2  3 x  3 2 3 Khi đó dx  dx  dx  dx     2 x  5x  6 x 2x 3 x  3 x  2
 2 ln x  3  3ln x  2  C Chọn D. TOANMATH.com Trang 7 4 1 x
Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số f  x  là: 5 x  x 1 A. ln x  ln  4 x 1  C B. x   4 ln ln x   1  C 2 1 1 C. ln x  ln  4 x   1  C D. ln x  ln  4 x   1  C 2 2 Hướng dẫn giải   4 1 x  4 4 3  2 1 x x 1 2x 1 Ta có: 4 dx  dx  dx 
dx  ln x  ln x 1  C     5 x  x x  4 x   4   1 x x 1 2 Chọn C. 2 3x  3x  3
Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số f  x  là: 3 x  3x  2 3 3
A. ln x  2  2 ln x 1   C
B. ln x  2  2 ln x 1   C x 1 x 1 3 3
C. 2 ln x  2  ln x 1   C
D. 2 ln x  2  ln x 1   C x 1 x 1 Hướng dẫn giải 2 2 3x  3x  3 3x  3x  3 Ta có: dx  dx   . 3 x  3x  2 x  2 1  x  2
Ta phân tích x  x   A x  2 2 3 3 3 1  B x  
1 x  2  C x  2 .
Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A  1,C  3 và B  2 . (thay x  2
  A  1; x  1 C  3 và x  0  B  2 ). 2 3x  3x  3 1 1 1 3 Khi đó dx  dx  2 dx  3
dx  ln x  2  2 ln x 1        . x   C 2 1  x  2 x  2 x 1 x  2 1 x 1 Chọn A. P x
Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ I     dx , với Px và Qx là Q x
các đa thức, cụ thể như sau:
 Nếu degPx  degQx thì ta thực hiện phép chia Px cho Qx (ở đây, kí hiệu
deg Px là bậc của đa thức Px ).
 Khi degPx  degQx thì ta quan sát mẫu số Qx ta tiến hành phân tích thành các nhân
tử, sau đó, tách P x theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức
(hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp TOANMATH.com Trang 8 1 1  a c  Trường hợp 1:    .
ax bcx d ad bc  ax b cx d        mx  n A B Ax  Bax  Ad  Bb Trường hợp 2:     .
ax  bcx  d ax  b cx  d ax  bcx  d
Ta đồng nhất thức mx  n   Ax  Ba x  Ad  Bb   1 .
Cách 1. Phương pháp đồng nhất hệ số. Ac  Ba  m
Đồng nhất đẳng thức, ta được  . Suy ra A, B. Ad  Bb  n
Cách 2. Phương pháp giá trị riêng. b d
Lần lượt thay x   ; x   vào hai vế của (1), tìm được A, B. a c mx  n A B Trường hợp 3:   .
ax  b2 ax  b ax  b2 mx  n A B C Trường hợp 4:   
ax  b2 cx  d ax  b2 cx  d ax  b
 mx  n  Acx  d  Bax  b2  Cax  bcx  d * b d
Lần lượt thay x   ; x   ; x  0 vào hai vế của (*) để tìm A, B, C. a c 1 A Bx  C Trường hợp 5:    với 2   b  4ac  0 . x  m 2 ax  bx  c 2 x  m ax  bx  c 1 A B C D Trường hợp 6:     .
x a2 x  b2 x  a x  a2 x  b x  b2 1  2
Ví dụ 10. Cho hàm số f  x xác định trên  \   thỏa mãn f 'x 
; f 0  1 và f   1  2 . Giá 2  2x 1
trị của biểu thức P  f   1  f 3 là: A. 3ln 5  ln 2 B. 3ln 2  ln 5 C. 3  2 ln 5 D. 3  ln15 Hướng dẫn giải   x   1 ln 2 1  C khi x   f  x  f  x 1 2 2 ' dx  dx  ln 2x 1  C    2x 1    x 1 ln 1 2  C khi x  2  2
 f 0 1 C 1 Vì 2    .  f    1  2 C  2 1 TOANMATH.com Trang 9   x   1 ln 2 1  2 khi x   Suy ra f  x 2   .    x 1 ln 1 2 1 khi x   2 Do đó P  f  
1  f 3  3 ln3 ln 5  3 ln15 Chọn D. Chú ý:
Chú ý đến tính liên tục của hàm số f ' x và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối. 1 1
Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với x  và x  . 2 2 2
Ví dụ 11. Cho hàm số f  x xác định trên  \ 1; 
1 , thỏa mãn f ' x 
; f 3  f 3  2 ln 2 và 2     x 1  1   1  f   f  0    
. Giá trị của biểu thức P  f  2
   f 0  f 4 là:  2   2  A. 2 ln 2  ln 5 B. 6 ln 2  2 ln 3  ln 5 C. 2 ln 2  2 ln 3  ln 5 D. 6 ln 2  2 ln 5 Hướng dẫn giải    f  x  f  x 2 1 1 x 1 ' dx  dx   dx  ln  C   2 x   1  x 1 x 1 x 1   x 1 ln  C khi x  1    1  x 1  x 1  1 x Hay f  x  ln  C  ln  C khi 1  x  1 2 x 1 1 x    x 1 ln  C khi x  1     3   x 1  f  3
   f 3  2 ln 2  C  C  2 ln 2 Theo bài ra, ta có: 1 3   1   1    f   f  0      C  0 2   2   2  3 Do đó f  2
   f 0  f 4  ln3 C  C  ln  C  2 ln 2  2 ln3 ln 5. 3 2 1 5 Chọn C.
Bài toán 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải
Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số
và biến đổi lượng giác.
f x  cos3x.cos2x trên  ta thu được kết quả:
 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm TOANMATH.com Trang 10
về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng x x A. f  x sin 5 sin dx    C
giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ 10 2
bản có trong bảng nguyên hàm. x B. f  x sin 5 dx   sin x  C  5
Áp dụng các công thức nguyên hàm trong
bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên C. f  x 1 dx  sin 3x.sin 2x  C 6 hàm. x x D. f  x sin 5 sin dx    C 10 2 Hướng dẫn giải 1
Ta viết: f  x  cos5x  cos x . 2 x x Khi đó: f  x sin 5 sin dx    C 10 2 Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số 2cos x 3cos5xdx là: 3
A. 2sin x 15sin 5x  C B. 2sin x  sin 5x  C 5 3 C. 2sin x  sin 5x  C D. 2sin x  5sin 5x  C 5 Hướng dẫn giải Ta có:  x  x 3 2 cos
3cos 5 dx  2sin x  sin 5x  C 5 Chọn C. sin ax cos ax Lưu ý: cos axdx   ; C sin axdx    C   . a a
Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số sin 5x sin 2xdx  là: 1 1 1 A. cos 5x cos2x  C B. cos3x  sin 7x  C 10 6 14 1 1 1 1 C. sin 3x  sin 7x  C D. sin 3x  sin 7x  C 3 7 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: sin 5x sin 2xdx  
cos3x cos7xdx  cos3x  sin7x C 2 6 14 Chọn B.
Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số 2 4 cos xdx  là: TOANMATH.com Trang 11 3 4 cos x A. 4x  2sin 2x  C B.  C C. 2x  sin 2x  C D. 2x  sin 2x  C 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2 4 cos xdx  2 
1cos2xdx  2x sin2x C . Chọn D. 1 cos 2a 1 cos 2a
Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: 2 2 cos a  ; sin a  . 2 2
Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số    2 1 2sin x dx là:   x3 1 2sin
A. 3x  4 cos x  sin 2x  C B.  C 3 C. 3x  sin 2x  C
D. 3x  4 cos x  sin 2x  C Hướng dẫn giải  1 cos 2x 
Ta có: 1 2sin x2 dx   2
1 4 sin x  4sin xdx  1 4sin x  4. dx  2   
 3 4sin x 2cos2xdx  3x 4cos x sin2x C Chọn A.
Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số sin x cos xsin xdx là: 1 1 1 1 1 1
A. x  sin 2x  cos2x  C
B. x  sin 2x  cos2x  C 2 4 4 2 4 4 1 1 1 1 1
C. x  sin 2x  cos2x  C
D. x  sin 2x  cos2x  C 2 2 2 4 4 Hướng dẫn giải Ta có:  x  x xdx   2 sin cos sin sin x  sin x cos xdx  1 cos2x sin 2x  1  1 1    dx  x  sin 2x  cos2x  C      2 2  2  2 2  Chọn B. 1
Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số dx  là: 2 2 sin x cos x
A.  tan x  cot x  C B. tan x  cot x  C C. tan x  cot x  C D. cot x  tan x  C Hướng dẫn giải 2 2 1 sin x  cos x  1 1  Ta có: dx  dx   dx  tan x  cot x  C    . 2 2 2 2  2 2  sin x cos x sin x.cos x  cos x sin x  Chọn B. 1
Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số dx  là: 4 2 4 cos x  4 cos x 1 TOANMATH.com Trang 12 cot 2x tan 2x A.  C B. tan 2x  C C. cot 2x  C D.  C 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 tan 2x Ta có: dx  dx  dx  d(2x)    C 4 2  2 2  2  4 cos x  4 cos x 1 (2 cos x  2 1) cos 2x 2 cos 2x 2 Chọn D.
Chú ý: Công thức nhân đôi: 2 cos2x  2 cos x 1.
Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số 3 cos xdx  là: 4 cos x 1 1 4 A.  C B. 3sin x  sin 3x  C C. 3 sin x  sin x  C D. 4 sin x  sin 3x  C 4 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 1  1  1 Ta có: 3 cos xdx   3cosx cos3x 3 dx 
3sin x  sin 3x  C  sin x  sin x  C   4 4  3  3 Chọn C.
Chú ý: Công thức nhân ba: 3 cos3a  4 cos a  3cos a 3 sin 3a  3sin a  4sin a
Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số 3 tan xdx  là: 2 tan x 2 tan x A.  ln cos x  C B.  ln sin x  C 2 2 2 tan x 4 tan x C.  ln cos x  C D.  C 2 2 4 cos x Hướng dẫn giải Từ 3 x  x  2 tan tan 1 tan x  tan x d cos x tan x Suy ra tan xdx  tan xd   tan x   2 3    ln cos x  C  . cos x 2 Chọn A. 1 Chú ý: tan x 2 '  1 tan x  . 2 cos x    3
Ví dụ 10. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f  x  sin 2x tan x thỏa mãn F    . Giá trị của  3  4    F   là:  4  3 1  3 1  3 1  3 1  A.  B.  C.  D.  2 12 2 12 2 12 2 12 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 13 sin x Ta có: F x 2
 sin 2x.tan xdx  2sin x.cos x. dx  2 sin xdx    . cos x x
Suy ra F x    x sin 2 1 cos 2 dx  x   C . 2    3  1 2 3 3  Theo giả thiết, ta có: F    sin  C   C     .  3  4 3 2 3 4 2 3 x  Vậy F x sin 2 3  x    . 2 2 3     1    3  3 1  Do đó F   sin 2         .  4  4 2  4  2 3 2 12 Chọn D.
Ví dụ 11. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 4
 cos 2x thỏa mãn F 0  2019 . Giá trị của    F   là:  8  3 16153 3 129224 3 129224 3 129224 A. B. C. D. 64 8 64 32 Hướng dẫn giải 2 1 cos 4x  1 Ta có: 4 cos 2x      2 1 2 cos 4x  cos 4x  2  4 1  1 cos8x  1  1 2 cos 4x     3 4cos4x  cos8x 4  2  8 1 1  1 
Do đó F  x  3 4cos4x  cos8xdx  3x sin 4x  sin8x  C   8 8  8 
Mà F 0  2019 nên ta có C  2019 .   Vậy F  x 1 1 
3x  sin 4x  sin 8x  2019   . 8  8     3 129224 Do đó F     8  64 Chọn C. 5 cos x 
Ví dụ 12. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f  x  , với x 
 k2,k  và thỏa mãn 1 sin x 2    F   3  . Giá trị của F  là: 4    2  2 5 1 A. B. 0. C. D. 3 3 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 14 5 cos x Ta thấy: 3
 cos x 1 sin x   2 1 sin x 3 cos x  cos . x sin x 1 sin x 3 4      sin x cos 2 x F x 1 sin x d sin x 3  cos xd  cos x  sin x    C 3 4
Theo giả thiết, ta có F   3  nên C  1. 4 3 4 sin x cos x Vậy F  x  sin x    C 3 4    1 Do đó F     .  2  3 Chọn D. Chú ý: n 1  n n cos x Với * n   , ta có: cos x.sin xdx   cos xd   cos x    C và n 1 n 1  n n x xdx  xd    x sin x sin .cos sin sin   C . n 1
Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình
Một chất điểm chuyển động theo phương trình 1 2
S  t , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S
S  S t , với S t là quãng đường mà chất 2
là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất
điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm tại thời điểm t 5 s là: 0   điểm ban đầu.
Gọi v t và at lần lượt là vận tốc tức thời và A. 5 (m/s). B. 25 (m/s). C. 2,5 (m/s.) D. 10 (m/s).
gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta Hướng dẫn giải
có: v t  S 't và at  v't .
Ta có: v t  S 't  t nên vt  t  5 m / s 0  0  
Từ đó ta có: S t  v
 tdt và vt  a  tdt . Chọn A.
Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì
người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v t  10  2t m / s ,
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 50 (m). B. 25 (m). TOANMATH.com Trang 15 C. 55 (m). D. 10 (m). Hướng dẫn giải
Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp
phanh. Ta có: t  0;s  0 . s t  v
 tdt  102t 2 dt  10t  t  , C
s 0  0  C  0  s t 2  10t  t
Ô tô dừng hẳn khi v t  0  10  2t  0  t  5 .
Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc
10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối. Quãng đường ô tô di chuyển là: 2
s  3.10 10.5  5  55m . Chọn C. Ví dụ mẫu 3
Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc a t   2
m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời t 1
điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu? A. 10 m/s. B. 15,2 m/s. C. 13,2 m/s. D. 12 m/s. Hướng dẫn giải
Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: v t  a  t 3 dt  dt  3ln t 1  C  t 1
Vì vận tốc ban đầu (lúc t  0 ) của vật là v  6m / s nên: 0
v 0  3ln 0 1  C  6  C  6  vt  3ln t 1  6 .
Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v 10  3ln 10 1  6  13,2m / s . Chọn C. 1 5
Ví dụ 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a t 3 2   t  t  2
m / s  , trong đó t là khoảng 24 16
thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu? A. 5,6 m/s. B. 6,51 m/s. C. 7,26 m/s. D. 6,8 m/s. Hướng dẫn giải
Vận tốc v t chính là nguyên hàm của gia tốc at nên ta có:   v t  a  t 1 5 1 5 3 2 4 3 dt   t  t dt   t  t  C    24 16  96 48 TOANMATH.com Trang 16
Tại thời điểm ban đầu t  0 thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: v  0  v 0 1 5 4 3  0   .0  .0  C  0  C  0 . 0 96 48 1 5
Vậy công thức vận tốc là v t 4 3   t  t 96 48
Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v 5  6,51 m / s . Chọn B. 3
Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là a t   2
m / s  . Ta tính vt  a
 tdt , kết hợp với điều kiện t 1
vận tốc ban đầu v  6m / s . Suy ra công thức tính vận tốc v t tại thời điểm t và tính được v10 . 0
Ví dụ 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả
sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu? A. 0,45 m/s. B. 0,4 m/s. C. 0,6 m/s. D. 0,8 m/s. Hướng dẫn giải
Xem như tại thời điểm t  0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có s 0  0 và 0 v 0  20 .
Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là n s t 2  9  ,8 m / s .
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là v t  9  ,8dt  9  ,8t  C  . 1
Do v 0  20 nên 9,8t  C  20  C  20  v t  9  ,8t  20. 1 1  
Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v 2  9
 ,8.2  20  0,4m / s . Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f x  x x  15 2 7 là: 1 1 1 1 A. x  716 2  C B.  x 716 2  C C. x 716 2  C D. x 716 2  C 2 32 16 32
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số   6 x
f x  e  2x  3 là: 1 A. 6 x 2 e  4x  3x  C B. 6 x 2 e  4x  3x  C 6 1 C. 6x 2 e  x  3x  C D. 6 x 2  e  x  3x  C 6
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f x 2  là: 4x  3 TOANMATH.com Trang 17 2 1 2 1 3 A. dx  ln 4x  3  C  B. dx  ln 2x   C  4x  3 4 4x  3 2 2 2 2 3 C. dx  2 ln 4x  3  C  D. dx  2 ln 2x   C  4x  3 4x  3 2
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  2x 1 là: 1 1 A.  2x   1 2x 1  C B. 2x 1  C 3 2 2 1 C. 2x   1 2x 1  C D. 2x   1 2x 1  C 3 3
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số   x  2 1 3 x f x e e    là: A. x 2  3  x e e  C B. x 2 x e  e  C C. x  3 x e e  C D. x  3 x e e  C
Câu 6: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f  x 1 
; biết F 0  2 . Giá trị của F   1 là: 2x 1 A. F   1 1  ln3  2 B. F   1  ln 3  2 C. F   1  2 ln 3  2 D. F   1 1  ln3  2 2 2
Câu 7: Hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  và   2 '  2 x f x e 1, x
 , f 0  2 . Hàm số f x là: A. 2 x e  2x B. 2 x e  2 C. 2x e  x  2 D. 2x e  x 1 Câu 8: Cho hàm số   3 2 x 2 2  2  2 x f x x e xe , ta có    3 x 2 2 x 2 x f x dx  me
 nxe  pe  C , với m, n, p là
các số hữu tỉ và C là hằng số thực. Giá trị của biểu thức m  n  p bằng: 1 13 7 A. B. 2. C. D. 3 6 6
Câu 9: Gọi F  x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x  thỏa mãn F   1 0  . Giá trị biểu thức ln 2 T  F 0  F  
1  ...  F 2018  F 2019 là: 2019 2 1 2019 2 1 2020 2 1 A. T  1009. B. 2019.2020 T  2 C. T  D. T  ln 2 ln 2 ln 2 1 Câu 10: Cho biết
dx  a ln x 1 x 1  b ln x  C 
, với a, b là các số hữu tỉ và C là hằng số 3    x  x
thực. Giá trị của biểu thức P  2a  b là: 1 A. 0. B. 1 C. D. 1. 2 2 x  2x  3
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f x  là: x  2 1 4 1 4 4
A. x  4 ln x 1  C B. x   C C. 2 x  x   C D. x   C x 1 2 x 1 x 1 4x 11 Câu 12: Cho biết
dx  a ln x  2  b ln x  3  C 
, với a, b là các số nguyên và C là hằng số 2 x  5x  6
thực. Giá trị biểu thức 2 2 P  a  ab  b là: TOANMATH.com Trang 18 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Câu 13: Gọi 2020x dx  F 
x C với C là hằng số. Khi đó hàm số Fx bằng: x 1 2020  x 1 x.2020  2020x A. 2020x ln 2020 B. C. D. . x 1 ln 2020 ln 2020 1
Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f x 3  x  là: x 1 4 x A. f  x 2 dx  3x   C B. f
 xdx   ln x C 2 x 4 1 4 x C. f  x 2 dx  3x   C D. f
 xdx  ln x C 2 x 4
Câu 15: Nguyên hàm của hàm số 2x y  là: x 2x x 2x A. 2x  ln 2.2x dx  C  B. 2x  2x dx  C  C. 2 dx   C  D. 2 dx   C  ln 2 x 1
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là: 2x  3 1 1 1 A. ln 2x  3  C B. ln 2x  3  C C. ln 2x  3  C D. ln 2x  3  C 2 2 ln 2
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số 2 y  x 1 là: 3 x A. 3 x  x  C B. 3 x  C C. 6x  C D.  x  C 3
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 x 2  e  x là: 2 x 3 e x A. F  x    C B. F x 2 x 3  e  x  C 2 3 3 C.   2  2 x F x e  2x  C D.   2 x x F x  e   C 3
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f  x 3
 x  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? 4 x A. F  x 2  3x  3x  C B. F x 2   3x  2x  C 3 4 2 x 3x 4 2 x x C. F  x    2x  C D. F  x    2x  C 4 2 4 2
Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số   x 3 x f x e e    là: A. F x 1  3 x e   C B.    3 x F x e  x  C x e C.    3 x x  ln x F x e e e  C D.    3 x F x e  x  C
Câu 21: Với C là hằng số, nguyên hàm của hàm số   x f x  e  x là: A.  x   2 x x e x dx  e   C B.  x   x e x dx  e  2x  C 2 TOANMATH.com Trang 19 C.  x   2 x x e x dx  e   C D.  xe  x x 2 dx  e  x  C 2
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số     3x f x x là: 2 3x x x A. F x    C B. F x 3  1  C 2 ln 3 ln 3 2 x 2 x C. F x   3x  C D. F  x   3x.ln3  C 2 2
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f x 2  là: 4x  3 2 1 2 1 3 A. dx  ln 4x  3  C  B. dx  ln 2x   C  4x  3 4 4x  3 2 2 2 2 3 C. dx  2 ln 4x  3  C  D. dx  2 ln 2x   C  4x  3 4x  3 2
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f x 1  là: 5x  4 1 1 1
A. ln 5x  4  C B. ln 5x  4  C C. ln 5x  4  C D. ln 5x  4  C 5 ln 5 5
Câu 25: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2019 y  x ? 2020 x 2020 x 2020 x A. 1 B. C. 2018 y  2019x D. 1 2020 2020 2020
Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là nguyên hàm của hàm số 2 x y e  ? 2 x e A. y   B. 2  2  x y  e  CC 2 2 x e C. 2  2 x y e  C C  D. y  2
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số   2 f x  x  là: x 2 x 2 x 2 2 x A.  2 ln x  C B.  x  C C. 1  C D.  2 ln x  C 2 2 2 x 2
Câu 28: Nguyên hàm của hàm số 2x y  là: x 2x x 2x A. 2x  ln 2.2x dx  C  B. 2x  2x dx  C  C. 2 dx   C  D. 2 dx   C  ln 2 x 1 1
Câu 29: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f x 
. Giá trị của F '2 2   F'0 là: 2 x 1 2 2 8 1 A. B.  C.  D. 3 3 9 3
Câu 30: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   2  4 x f x
e  2x thỏa mãn F 0  1. Hàm số F x là: TOANMATH.com Trang 20 A. F  x 2 x 2  4e  x  3 B. F  x 2 x 2  2e  x 1 C. F  x 2 x 2  2e  x 1 D. F  x 2 x 2  2e  x 1
Câu 31: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x 4  x  2x ? 5 x 4 2 x x A. F x 4 2  x  2x B. F x 2  3x  2 C. F x 2   x 1 D. F x   5 4 2
Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số   3x f x  e là: 3x 1 e  A. f  xdx   C B.    3  3 x f x dx e  C 3x 1 3x e C.    3 f x dx  e  C D. f  xdx  C 3
Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số   3x f x  1 là: x A.     3x f x dx ln x  x  C B. f  x 3 dx   x  C ln x x C. f  x 3 dx   x  C D.     3x f x dx  x  C ln 3
Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  cos x là: 2 x A. f
 xdx  sin x C B. f
 xdx 1sin x C 2 2 x C. f
 xdx  xsin x cosx  C D. f
 xdx  sin x C 2 Câu 35: Hàm số   2 F x   dx  có dạng: 3  2 2  x A.   2 F x   x  C B. F x   C C. F  x   C D. F x  2 x  C 3 2
Câu 36: Cho hàm số y  F  x là một nguyên hàm của hàm số 2
y  x . Giá trị của F '25 bằng: A. 125. B. 625. C. 5. D. 25.
Câu 37: Nguyên hàm của hàm số   2x 2 x f x    5 là:  2x  A. x  5   C B.  5.2x x . ln 2  C ln 2   2x  2x   2x  C.   x  5x   C D. 1 5   C ln 2 ln 2   ln 2   x 1
Câu 38: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 1  e  là: x 1 1 1 A. 2 x 1 e   ln x  C B. 2 x 1 e   ln x C. 2 x 1 2e   ln x  C D. 2 x 1 e   ln x  C 2 2 2
Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số f  x 3x 1 e   là: TOANMATH.com Trang 21 1 1 A.   3 1 3 x F x e    C B. F x 3x 1 3e   .ln 3  C C. F x 3x 1 e   .ln 3  C D. F x 3x 1 e    C 3 3
Câu 40: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  3x 1 là: 3 x A. 3 x  C B.  x  C C. 6x  C D. 3 x  x  C 3
Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số   x f x  e  x là: 1 x 1 x 1 A. x 2 e  x  C B. 2 e  x  C C. 2 e  x  C D. x e 1 C 2 x 1 2 Câu 42: Hàm số   2 x
F x  e  3x  4 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A.   2  2 x f x e  3 B.   2  2 x f x xe  3 C. f  x x 1 xe    3 D. f  x 2 2 x 1 x e    3 4 2x  3
Câu 43: Cho hàm số f  x 
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 x 3 2x 3 3 2x 3 A. f  xdx    C B. f  xdx    C 3 2x 3 x 3 2x 3 3 C. f  xdx    C D. f  x 3 dx  2x   C 3 x x dx
Câu 44: Nguyên hàm I   là: 3x 1 1 1 A. ln 3x 1  C B. ln 3x 1  C C. 3ln 3x 1  C D.  ln 3x 1  C 3 3 1
Câu 45: Cho hàm số f  x xác định trên  \ 1;  1 thỏa mãn f ' x  . Biết f 3  f  3    4 và 2 x 1  1   1  f  f   2    
. Giá trị của biểu thức f  5
   f 0  f 2 bằng:  3   3  1 1 1 1 A. 5  ln 2 B. 6  ln 2 C. 5  ln 2 D. 6  ln 2 2 2 2 2
Câu 46: Biết hàm số y  f  x có f  x 2 '
 3x  2x  m 1, với m   và f 2  1. Biết đồ thị của hàm
số y  f  x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
 . Hàm số f x là: A. 3 2 x  x  3x  5 B. 3 2 x  2x  5x  5 C. 3 2 2x  x  7x  5 D. 3 2 x  x  4x  5
Câu 47: Nguyên hàm của hàm số   ln x f x  là: x 1 A. f  x 2 dx  ln x  C B. f  x 2 dx  ln x  C 2 C. f  xdx  ln x C D.    x f x dx  e  C 2x 13
Câu 48: Cho biết      
  với a, b là các số nguyên và C là hằng số 
x   dx a ln x 1 b ln x 2 C x 1 2
thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? TOANMATH.com Trang 22 A. a  2b  8 B. a  b  8 C. 2a  b  8 D. a  b  8 x 
Câu 49: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 1 
thỏa mãn F 2  3 . Hàm số F x là: 2x  3
A. F  x  x  4 ln 2x  3 1
B. F  x  x  2 ln2x  3 1
C. F  x  x  2 ln 2x  3 1
D. F  x  x  2 ln 2x  3 1 f x 1
Câu 50: Hàm số y  f  x có một nguyên hàm là   2 x
F x  e . Nguyên hàm của hàm số là: x e f  x 1 f x 1 A. x  x dx  e  e  C  B. dx  2 x  x e  e  C  x e x e f  x 1 f  x 1 1 C. dx  2 x  x e  e  C  D. x  x dx  e  e  C  x e x e 2
Câu 51: Nguyên hàm của hàm số 3x 1 y e   là: 1 1 A. 3  x 1 e   C B. 3 1 3 x e    C C. 3x 1 e    C D. 3 1 3 x e   C 3 3  x 2 ax b ce x 1     Câu 52: Cho 2   dx  9 x 1  2 ln    2 x  x 1  5 x
e  C , với a, b, c là các số 2   x 1 
nguyên và C là hằng số thực. Giá trị biểu thức M  a  b  c là: A. 6. B. 20. C. 16. D. 10. dx Câu 53: Biết    
  với a, b là các số nguyên dương và C là hằng   x   a x b x 2 C x x 2 2 x
số thực. Giá trị của biểu thức P  a  b là: A. P  2 B. P  8 C. P  46 D. P  22 3 5
Câu 54: Cho hàm số f  x xác định trên D   \   thỏa mãn f 'x  , f 0  0 và 5 5x  3 f  2    1
 . Giá trị của biểu thức f   1  f   1 bằng: 16 16 A. ln 1 B. 0. C. 4  ln15 D. ln 1 21 21 dx Câu 55: Kết quả  là: x e 2. x e  1 1 x e 1 x e 1 1 x e 1 A. ln  C B. ln  C C. ln  x  2 x e e   1  C D. ln  C 3 x e  2 x e  2 3 x e  2
Câu 56: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm   2 '  3 x f x
x  e  m 1. Biết f 0  2, f   1  2e . Giá trị của
m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? A. 2;0 B. 2;3 C. 5; D. 1;2
Câu 57: Gọi     2    x F x ax bx c e , với , a ,
b c   là một nguyên hàm của hàm số      2 1 x f x x e .
Giá trị của biểu thức S  a  2b  c là: A. S  3 B. S  2 C. S  0 D. S  4 TOANMATH.com Trang 23
Câu 58: Nguyên hàm của hàm số f  x 2  3sin x cos x là: A. 3 sin x  C B. 3 sin x  C C. 3 cos x  C D. 3  cos x  C 1
Câu 59: Nguyên hàm của hàm số f  x  là: 2 sin 3 2x 1 1 1
A. cot 3  2x  C B.  cot 3 2x  C C. tan 3  2x  C D. cot 3 2x  C 2 2 2    2   
Câu 60: Biết F  x là một nguyên hàm của hàm f  x  cos3x và F   
. Giá trị của F   :  2  3  9     3  2    3  2    3  6    3  6 A. F    B. F    C. F    D. F     9  6  9  6  9  6  9  6 1   
Câu 61: Nguyên hàm F x của hàm số f x  2x  thỏa mãn F  1 là: 2 sin x    4  2  2  2  A. 2 cot x  x  B. 2 cot x  x  C. 2  cot x  x 1 D. 2 cot x  x  16 16 16  x  
Câu 62: Họ nguyên hàm của hàm số x e y  e 2  là: 2  cos  x  x 1 x 1 A. 2 x e  tan x  C B. 2 x e  tan x  C C. 2e   C D. 2e   C cos x cos x x  a x Câu 63: Biết F  x  cos3 1  
 sin 3x  2019 là một nguyên hàm của hàm số b c
f  x   x  2sin3x (với , a ,
b c   ). Giá trị của ab  c bằng: A. 14. B. 15. C. 10. D. 18. 4 sin x
Câu 64: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f  x 
thỏa mãn F 0  2020 . Giá trị của 2 cos x    F   là:  4  8085  3 16170  3 16170  3 8085  3 A. B. C. D. 8 8 8 8 x  cos x
Câu 65: Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x 
. Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có bao 2 x nhiêu điểm cực trị? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2. 1
Câu 66: Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x 2
 cos x  x 1 . Hỏi đồ thị của hàm số y  F x 2
có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 67: Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A. sin 3xdx  cos3x  C  B. x x e dx  e  C  3 TOANMATH.com Trang 24 4 x 1 C. 3 x dx   C  D. dx  ln x  C  4 x
Câu 68: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  3x  sin x là: A. 3 x  cos x  C B. 6x  cos x  C C. 3 x  cos x  C D. 6x  cos x  C
Câu 69: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa, đẳng thức nào sau đây sai? 1 A. dx  tan x  C  B. x x e dx  e  C  2 cos x 1 C. ln xdx   C  D. sin xdx   cos x  C  x
Câu 70: Họ nguyên hàm của hàm số   x f x  e  cos x là: 1 A. x e  sin x  C B. x 1 e   sin x  C C. x 1 xe   sin x  C D. x e  sin x  C x 1
Câu 71: Chọn đáp án đúng sin xdx  f 
x C khi và chỉ khi:
A. f x  cos x  m m  B. f x  cos x
C. f  x  cos x  m m   D. f  x  cos x
Câu 72: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 e 1  A. cos2xdx  sin 2x  C  B. e x x dx   C  2 e 1 1 x 1  C. dx  ln x  C  D. x e e dx   C  2 x 1
Câu 73: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  sin 2x là: 2 x 2 x 1 A. f
 xdx  cos2x C B. f
 xdx   cos2x C 2 2 2 1 2 x 1 C. f  x 2 dx  x  cos2x  C D. f
 xdx   cos2x C 2 2 2
Câu 74: Nguyên hàm của hàm số   x f x  e  2 sin x là: A.  xe  x x 2 2sin dx  e  cos x  C B.  xe  x x 2 2sin dx  e  sin x  C C.  x  2sin  x e x dx  e  2 cos x  C D.  x  2sin  x e x dx  e  2 cos x  C
Câu 75: Nếu hàm số y  sin x là một nguyên hàm của hàm số y  f  x thì A. f x  cos x B. f x  sin x C. f x  cos x D. f x  sin x   
Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số y  cos 3x    là:  6        A. f  x 1 dx  sin 3x   C   B. f  x 1 dx   sin 3x   C   3  6  3  6  TOANMATH.com Trang 25       C. f  x 1 dx  sin 3x   C   D. f
 xdx  sin 3x  C   6  6   6 
Câu 77: Phát biểu nào sau đây đúng? cos 2x A. sin 2xdx   , C C    B. sin 2xdx  cos2x  , C C    2  cos2x C. sin 2xdx  2 cos2x  , C C    D. sin 2xdx   , C C    2
Câu 78: Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x  3 5cos x và f 0  5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x  3x  5sin x  2
B. f  x  3x  5sin x  5
C. f  x  3x  5sin x  2
D. f  x  3x  5sin x  2 1    
Câu 79: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y  với x   \   k,k  , biết 1 sin 2x  4      11 
F 0  1;F    0. Giá trị của biểu thức P  F   F     là:  12   12  A. P  2  3 B. P  0 C. Không tồn tại P. D. P  1  x 
Câu 80: Nguyên hàm của hàm số f x 1  x  sin   là: 2  2  1 x 1 x A. f  x 2 dx  x  cos  C B. f  x 2 dx  x  cos  C 4 2 2 2 1 1 x 1 1 x C. f  x 2 dx  x  cos  C D. f  x 2 dx  x  cos  C 4 2 2 4 4 2
Câu 81: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  tan 2x là: A. xdx    2 tan 2 2 1 tan 2x   C
B. tan 2xdx   ln cos2x  C  1 1 C. tan 2xdx    2 1 tan 2x  C
D. tan 2xdx   ln cos2x  C  2 2 a a Câu 82: Biết  x  x2 sin 2 cos 2
dx  x  cos 4x  C , với a, b là các số nguyên dương, là phân số tối b b
giản và C   . Giá trị của a  b bằng: A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 83: Cho hàm số f  x xác định trên  có đạo hàm   3 ' x
f x  x  e   sin  x và f   1  e  3 . Hàm số đã cho là: 4 x 4 x x 9 x 17 A. f  x   e  cos x  B. f  x   e  cos x  4 4 4 4 4 x x 17 x 17 C. f x 4
 x  e  cos x  D. f  x   e  cos x  4 4 4
Câu 84: Nguyên hàm của hàm số f x  cos6x là: TOANMATH.com Trang 26 1 A. cos6xdx  6sin 6x  C  B. cos6xdx  sin 6x  C  6 1
C. cos6xdx   sin 6x  C  D. cos6xdx  sin 6x  C  6 cos 2x
Câu 85: Nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 2 sin x cos x
A. F  x  cos x  sin x  C
B. F  x  cos x  sin x  C
C. F  x  cot x  tan x  C
D. F  x  cot x  tan x  C 1   
Câu 86: Nguyên hàm F x của hàm số f x  2x  thỏa mãn F  1 là: 2 sin x    4  2  2  2  A. 2  cot x  x  B. 2 cot x  x  C. 2  cot x  x 1 D. 2 cot x  x  16 16 16   
Câu 87: Nguyên hàm F x của hàm số f  x  sin   2x thỏa mãn F  1   là:  2   cos   2x 1 cos   2x 1 A. F  x     B. F  x     2 2 2 2 cos   2x cos   2x 1 C. F  x    1 D. F  x     2 2 2
Câu 88: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng 2 cos x ? 3 cos x 3 cos x A. y  B. y    C C  3 3 C. y  sin 2x
D. y  sin 2x  C C  
Câu 89: Họ nguyên hàm của hàm số f  x x 2  4  sin x là: 4x 1 3 3 4x x 1 x sin x sin x x A.  sin 2x  C B. 4 ln x   C C. 4 ln x   C D.   sin 2x  C ln 4 4 3 3 ln 4 2 4 
Câu 90: Họ nguyên hàm F x của hàm số f x 2019  tan x , với x   k,k  là: 2 2018 2016 2 tan x tan x tan x A. F x    ...   ln sin x  C 2018 2016 2 2018 2016 2 tan x tan x tan x B. F  x    ...   ln cos x  C 2018 2016 2 2018 2016 2 tan x tan x tan x C. F  x    ...   ln sin x  C 2018 2016 2 2018 2016 2 tan x tan x tan x D. F x    ...   ln cos x  C 2018 2016 2
Câu 91: Nguyên hàm F x của hàm số f x  cos3x cos x , biết đồ thị y  F x đi qua gốc tọa độ là: x x x x A. F x sin 4 sin 2   B. F x sin 4 sin 2   4 2 8 2 TOANMATH.com Trang 27 x x x x C. F x cos 4 cos 2   D. F x sin8 sin 4   8 4 8 4    2 2 a sin x cos x  b 3
Câu 92: Cho hàm số F x xác định trên khoảng 0; 
 và có đạo hàm F ' x  .  2  2 2 sin x cos x            Biết rằng F   , F      và F    
. Khẳng định nào sau đây đúng?  6  2  4  4  3    A. F x  9x  2 B. F x  x  tan x cot x 3 12    C. F x  x  tan x  cot x D. F x  x  tan x cot x 3 3 6 cosm nx
Câu 93: Biết cos x sin x5 2 2 sin 4xdx    C , với , m ,
n p   và C là hằng số thực. Giá trị p
của biểu thức T  m  n  p là: A. T  9 B. T  14 C. T  16 D. T  18
Câu 94: Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức N  x, trong đó x là số ngày kể từ thời
điểm ban đầu. Biết rằng N  x 2000 ' 
và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Hỏi ngày thứ 12 số 1 x
lượng vi khuẩn gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 10130. B. 10120. C. 5154. D. 10132. 3
Câu 95: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v tm / s , có gia tốc at  v't   2 m / s  . Biết t 1
vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6 (m/s). Vận tốc của ô tô tại giây thứ 20 là: A. v  3ln 3 B. v  14 C. v  3ln 3  6 D. v  26
Câu 96: Gọi F t là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết F t thỏa mãn F t 10000 '  , t   0 1 2t
và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Sau 2 giờ số lượng vi khuẩn là: A. 17094. B. 9047. C. 8047. D. 32118.
Câu 97: Một vật chuyển động không vận tốc đầu xuất phát từ đỉnh mặt
phẳng nằm nghiêng. Biết gia tốc của chuyển động là 2 5 m / s và sau 1,2 s thì
vật đến chân của mặt ván. Độ dài của mặt ván là: A. 3,6 m. B. 3,2 m. C. 3 m. D. 2,8 m.
Câu 98: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích, kể từ đó xe chạy với gia tốc a t  t   2 2
1 m / s  , trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc nhấn ga. Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe
chạy với vận tốc bao nhiêu km/h? A. 200 km/h. B. 243 km/h. C. 288 km/h. D. 300 km/h.
Câu 99: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số B t liên tục và 1000 có đạo hàm B 't 
, trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc ban đầu. Số lượng vi khuẩn ban 10,3t2 TOANMATH.com Trang 28
đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải
dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9 ngày. B. 10 ngày. C. 11 ngày. D. 12 ngày.
Câu 100: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục Ox, với vận tốc cho bởi công thức v t 2
 3t  4t m / s , trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Biết rằng tại thời
điểm bắt đầu chuyển động, chất điểm đang ở vị trí có tọa độ x  2 . Tọa độ chất điểm sau 1 giây chuyển động là: A. x  9 B. x  4 C. x  5 D. x  6
Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = ux Phương pháp giải Định lí: Cho f
 udu  FuC và u  ux là Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số   ln x f x  là: x
hàm số có đạo hàm liên tục thì 2 ln x 1 ln x f u   xu'   x dx  F u   x  C  A.  C B.  C 2 2 x ln x C.  C D. 2 ln x  C
Các bước thực hiện đổi biến: 2 Hướng dẫn giải Xét I  f  uxu'xdx ln x 1 Đặt A  dx  ln x dx  
Bước 1: Đặt u  u x , suy ra du  u' xdx x x
Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta 1
Đặt u  ln x  du  dx x được I  f
 udu  FuC , trong đó Fu là 2 u Do đó A  udu   C
một nguyên hàm của hàm số f u .  2
Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm ln x 1 Vậy 2 dx  ln x  C  x 2
cần tìm là I  F ux  C Chọn A. 3 x Ví dụ 2: Cho I  dx  . Bằng phép đổi biến 2 x 1 2
u  x 1 , khẳng định nào sau đây sai? A. 2 2 x  u 1 B. xdx  udu 3 u C. I   2 u 1.udu D. I   u  C 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2
u  x 1  x  u 1 và xdx  udu . TOANMATH.com Trang 29 Khi đó I   2 u   1 .udu  2 u   1 du 3 u   u  C 3 1 Vậy I   2 x   2 2 1 x 1  x 1  C . 3 Chọn C.
Hệ quả: nếu F x là một nguyên hàm của hàm số 1 Ví dụ 3: Ta biết dx  2 x  C  , với x  0 . x f  x trên K và , a b  ;  a  0 ta có: 1 1 Suy ra dx  .2 ax  b  C      1
f ax b dx  F ax  b  C . ax  b a a Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nguyên hàm F x của hàm số   3 2 1 . x f x x e   , biết F   1 1  là: 3 1 1 1 1 x 1 A. F x 3 x 1 e    C B. F x 3 x 1 e    2019 C. F x 3 1 e    D. F x 3 x 1 e   3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 Đặt 3 u  x 1 ta có 2 2 du  3x dx  x dx  du 3 Suy ra    u 1 1 u f x dx  e du  e  C  3 3 1 Do đó F x 3 x 1 e    C . 3 1 Mặt khác F   1
1  nên C  0 . Vậy f  x 3 x 1 dx e    . 3 3 Chọn D. x  1 x  1
Lưu ý: Ta có thể viết như sau: f  x 3 3 dx x e dx e d   x  3 2 1 1 3 x 1 1 e       C 3 3 1 Chú ý: Với các viết 2 x dx  d  3 x  
1 , ta có thể tính nguyên hàm đã cho một cách đơn giản và nhanh 3 gọn. 2sin x Ví dụ 2. Nguyên hàm M  dx  là: 1 3cos x 1 2
A. M  ln1 3cos x  C B. M  ln 1 3cos x  C 3 3 2 1
C. M   ln 1 3cos x  C
D. M   ln 1 3cos x  C 3 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 30 2
Đặt u  1 3cos x , ta có du  3
 sin xdx hay 2sin xdx   du . 3 2 1 2 Khi đó M   du   ln u  C  3 u 3 2 sin x 2 Vậy M 
dx   ln 1 3cos x  C  1 3cos x 3 Chọn C. Ví dụ 3. Nguyên hàm 3 2 P  x. x 1dx  là: 3 3 A. P   2 x 1 3 2 x 1  C B. P   2 x 1 2 x 1  C 8 8 3 3 C. 3 2 P  x 1  C D. P   2 x   3 2 1 x 1  C 8 4 Hướng dẫn giải 1 4 1 3 Ta có: 3 2 x. x 1dx  
 2x  1 d 2x  1   2 3 x  3 1  C . 2 8 Chọn A. m
Chú ý: chú ý rằng với a  0 và , m n  ;  n  0 ta luôn có: n m n a  a . 1 Ví dụ 4. Nguyên hàm R  dx  là: x x 1 1 x 1 1 1 x 1 1 A. R  ln  C B. R  ln  C 2 x 1 1 2 x 1 1 x 1 1 x 1 1 C. R  ln  C D. R  ln  C x 1 1 x 1 1 Hướng dẫn giải Đặt 2
u  x 1  u  x 1 . Suy ra 2
x  u 1 và dx  2udu . 2u 2  1 1  u 1 Khi đó R    du  du   du  ln  C    . 2 u   2 1 u u 1  u 1 u 1  u 1 x 1 1 Vậy R  ln  C x 1 1 Chọn D. x
Chú ý: Với 0  a  1 và x, y là các số thực dương, ta có: log x  log y  log . a a a y Ví dụ 5. Nguyên hàm 3 2 S  x x  9dx  là: TOANMATH.com Trang 31 x 92 2 2 x  9 A. S   3 2 x  9 2 x  9  C 5 x 94 2 2 x  9 B. S   3 2 x  9 2 x  9  C 5  2x 9 2x 9 2 C. S   3 2 x  9 2 x  9  C 5 x 92 2 2 x  9 D. 2 S   3 x  9  C 5 Hướng dẫn giải Xét 3 2 2 2 S  x x  9dx  x x  9xdx   . Đặt 2 2 2
u  x  9  u  x  9 . Suy ra 2 2
x  u  9 và xdx  udu . u
Khi đó S  u  u udu  u  u  5 2 4 2 3 9 . 9 du   3u  C . 5 x 92 2 2 x  9 Vậy S   3 2 x  9 2 x  9  C 5 Chọn A. 1 Ví dụ 6. Nguyên hàm T  dx  là: x ln x 1 1 A. T   C B. T  2 ln x 1  C 2 ln x 1 2 C. T  ln x   1 ln x 1  C D. T  ln x 1  C 3 Hướng dẫn giải 1 1 Ta có: T  dx  d  
ln x  1  2 ln x 1  C . x ln x 1 ln x 1 Chọn B. x 22020
Ví dụ 7. Nguyên hàm U   là: x   dx 2022 1 2021 1  x  2  2020 1  x  2  A. U   C   B. U   C   3  x 1  6060  x 1  2021 1  x  2  2023 1  x  2  C. U   C   D. U   C   6063  x 1  6069  x 1  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 32 x 22020 2020  x  2  1 Xét U       x   dx dx 2022 1  x 1  x  2 1 x  2 3 1 1 Đặt u   du  dx  du  dx . x 1 x  2 1 3 x  2 1 1 1 2021 1  x  2  Suy ra. 2020 2021 U  u du  u  C  . Vậy U   C 3 6063   6063  x 1  Chọn C. Lưu ý: ax  bn n 1 1 1  ax  b         cx  d  dx C n2
n 1 ad  bd  cx  d  2 ln x
Ví dụ 8. Xét nguyên hàm V   
dx . Đặt u  1 1 ln x , khẳng định nào sau đây sai? x 1 ln x 1 2 dx  2u 2u A.  2u  2du B. V  .  2u 2du x u 2 5 16 5 4 u u 16 C. 5 4 3 2 V  u  u  u  4u  C D. 3 2 V    u  4u  C 5 2 3 5 2 3 Hướng dẫn giải dx Đặt u    x  u  2 2 1 1 ln
1  1 ln x  ln x  u  2u   2u  2du . x u 2 ln u x 2 2 2 Khi đó V      x  dx u du 1 ln x 1 .2 2 u  2 2 5 16 4 3 2 u  5u  8u  4u 5 4 3 2 du  u  u  u  4u  C 5 2 3 Chọn C.   
Ví dụ 9. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f  x 2 3  sin 2x.cos 2x thỏa F  0   . Giá trị  4  F 2019  là: A. F    1 2019   B. F 2019   0 C. F    2 2019   D. F    1 2019  15 15 15 Hướng dẫn giải 1
Đặt u  sin 2x  du  2 cos2xdx  du  cos2xdx 2 TOANMATH.com Trang 33 1 1 Ta có F x 2 3 2  sin 2x.cos 2xdx  u .    2 1 u du   2 4 u  u du 2 2 1 1 1 1 3 5 3 5  u  u  C  sin 2x  sin 2x  C 6 10 6 10    1  1  1 3 5 F  0  sin  sin  C  0  C      4  6 2 10 2 15 1 1 1 Vậy F x 3 5  sin 2x  sin 2x  6 10 15 Do đó F    1 2019   15 Chọn A. 2x  3dx 1
Ví dụ 10. Biết rằng    
 C (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của
x x 1 x  2 x  3 1 g  x
phương trình g x  0 . Tổng các phần tử của S bằng: A. 0. B. 3  5 C. 3  D. 3  5 Hướng dẫn giải
Vì x x  x   x     x  xx  x     x  x 2 2 2 2 1 2 3 1 3 3 2 1 3 1 nên ta đặt 2 u  x  3x , khi đó du  2x  3 dx du 1
Nguyên hàm ban đầu trở thành     . u   C 2 1 u 1 2x 3dx 1 Suy ra      C
x x 1x  2 x  3 2 1 x  3x 1  3   5 x  Vậy g  x 2  x  x  g x 2 2 3 1;
 0  x  3x 1  0   .  3   5 x   2  3   5 3  5  Do đó S   ;  .  2 2  
Tổng giá trị các phần tử của S bằng 3 . Chọn C. x
Ví dụ 11. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 2 2;2 2 thỏa mãn 2 8  x
F 2  0 . Khi đó phương trình F x  x có nghiệm là: A. x  0 B. x  1 C. x  1 D. x  1 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 34 x 1 Ta có: F  x  dx   d    2 8  x  2   8  x  C 2 2 8  x 2 8  x Mặt khác F   2
2  0   8  x  C  0  C  2 Vậy F  x 2   8  x  2 . 2  x  0  Xét phương trình F x 2 2
 x   8  x  2  x  8  x  2  x   8   x   2  x2 2 x  2 x  2     
 x  1 3  x  1 3 2 2x  4x  4  0  x 1 3 Chọn D. 2x 1
Ví dụ 12. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0; và 4 3 2 x  2x  x F   1 1  . Tổng S  F  
1  F 2  F 3  ...  F 2019 là 2 2019 2019.2021 1 2019 A. B. C. 2018 D.  2020 2020 2020 2020 Hướng dẫn giải 2x 1 2x 1 2x 1 Phân tích f x    4 3 2 2 x  2x  x x x  2 1  2x  x2 2x 1 1 1 Khi đó F  x  dx  d    2x  x    C . 2 2        2 2 2 x  x x x x x Mặt khác F   1 1 1
1     C   C  1 . 2 2 2 1 1  1 1  Vậy F  x   1   1    1 . 2 x x x  x     1  x x 1  
Do đó S  F    F    F     F   1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ...
2019   1      ...    2019  2 2 3 3 4 2019 2020     1  1 1   1  2019  2018   2018    2020  2020 2020 Chọn C.
Ví dụ 13. Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định trên  thỏa mãn f 0  2 2, f  x  0 và
f x f  x   x   2 . ' 2 1 1 f x, x
   . Giá trị f   1 là: A. 6 2 B. 10 C. 5 3 D. 2 6 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 35 f x . f ' x
Ta có: f x. f ' x  2x   2 1 1 f  x       2x 1. 2 1 f  x f  x. f ' x d  2 1 f  x Suy ra dx   2x  1dx    2x   2 1 dx  1 f x 2  x  x  C 2 1 f  x 2 2 1 f  x
Theo giả thiết f 0  2 2 , suy ra   2 1 2 2  C  C  3 Với C  3 thì
 f x  x  x   f x  x  x  2 2 2 2 1 3 3 1 Vậy f   1  24  2 6 Chọn D.
Ví dụ 16. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 
1 thỏa mãn f 0  3 và  f x2 f x 2 . '
 3x  4x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f x trên đoạn 2;  1 là: A. 3 2 42 B. 3 2 15 C. 3 42 D. 3 15 Hướng dẫn giải
Ta có:  f x2 f x 2 . '  3x  4x  2 *
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
 f x2 .f 'xdx   1 2 3x  4x  2 3 dx  f x 3 2 3
 x  2x  2x  C  f x 3 2  3x  6x  6x  3C 3
Theo giả thiết, ta có f 0  3 nên  f  3   3 2    C 3   C  C   f x 3 2 0 3 0 2.0 2.0 27 3 9  3x  6x  6x  27
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số g x 3 2
 3x  6x  6x  27 trên đoạn 2;  1 . Ta có g  x 2 '  9x 12x  6  0, x  2; 
1 nên đồng biến trên đoạn 2;  1 .
Vậy max f  x  max g x 3  42 . 3 2; 1  2  ;  1 Chọn C.
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2 Phương pháp giải Kiến thức cần nhớ:
Các kĩ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và
Ta đã biết các đẳng thức sau: cách xử lí. 2 2
sin t  cos t  1, với mọi t   . TOANMATH.com Trang 36 1  2 1 tan t  , t    k k  2   cos t 2 1 2 1 cot t  , t   k k  2   sin t
Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải quyết ngay
bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1,
đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu
“lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng
giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem
xét các nguyên hàm sau đây: dx dx Bài toán 1: Tính A  Bài toán 1: Tính A  1   2 2 1 a  x 2 2 a  x     
Đặt x  a sin t , với t  ;   hoặc  2 2 
x  a cost với t 0;  dx dx Bài toán 2: Tính A  A  2  Bài toán 2: Tính  2 2 a  x 2 2 2 a  x     
Đặt x  a tan t , với t  ;   .  2 2  a  x a  x Bài toán 3: Tính A  dx A  dx 3  Bài toán 3: Tính  a  x 3 a  x   
Đặt x  a cos2t với t  0;    2  Bài toán 4: Tính A  x  a x  b dx Bài toán 4: Tính A  x  a x  b dx 4     4       
Đặt x  a  b  a 2 sin t với t  0;  2    Bài toán 5: Tính 2 2 A  x  a dx A  x  a dx 5  Bài toán 5: Tính 2 2 5  a      Đặt x  với t  ; sin t  2 2    Ví dụ mẫu 2 x Ví dụ 1. Nguyên hàm I  dx  là: 2 4  x 2 x x 4  x 2 x x 4  x A. arcsin   C B. 2arccos   C 2 4 2 2 TOANMATH.com Trang 37 2 x x 4  x 2 x x 4  x C. arccos   C D. 2arcsin   C 2 4 2 2 Hướng dẫn giải     
Đặt x  2 sin t với t  ; 
 . Ta có cost  0 và dx  2 costdt .  2 2  2 4 sin t      Khi đó 2 I  2 cos tdt  4sin tdt   (vì cos t  0, t   ;   ). 2 4  4sin t  2 2 
Suy ra I  21 cos2tdt  2t sin2t  C x 2 x 4  x
Từ x  2 sin t  t  arcsin và sin 2t  2sin t.cost  2 2 2 2 x x x 4  x Vậy I  dx  2arcsin   C  2 4  2 2 x Chọn D. 1 Ví dụ 2. Nguyên hàm I  dx  là: 1 x 3 2 x x 2 1 x A.   2 2 3 1 x  C B.  C C.  C D.  C 2 1 x   x 3 2 1 x Hướng dẫn giải
Đặt x  cost,t  0    dx  sin .tdt . sin t.dt dt x Khi đó I   dt    cot t  C   hay I   C 3 2 sin t sin t 2 1 x 1 x Vậy dx   C    3 2 2 1 1  x x Chọn B. 1 Ví dụ 3. Nguyên hàm I  dx  là: 2 1 x A. arctan x  C B. arccot x  C C. arcsin x  C D. arccos x  C Hướng dẫn giải      Đặt x  tan t với t  ;   , ta có dx   2 1 tan tdt .  2 2  1 Khi đó I    2
1 tan t dt  dt  t  C  2  1 tan t 1 Vậy I  dx  arctan x  C  2 1 x TOANMATH.com Trang 38 Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 2 3 x
Câu 1: Cho hàm số F x có F  x  dx 
và F 0  1. Hàm số F x là: 4 x 1 1 3 1 A.  4 ln x   1 1 B. ln  4 x   1  C. ln  4 x   1 1 D.  4 4 ln x   1 1 4 4 4 Câu 2: Biết rằng x
  x  6 dx  a x  8 b x  7 2 3 2 3 2 3 2  C , với ,
a b   và C là hằng số thực. Giá
trị của biểu thức P  12a  7b là: 23 241 52 7 A. B. C. D. 252 252 9 9 x   
Câu 3: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f  x sin  và F  2  
. Giá trị của F 0 là: 1 3cos x  2  1 2 2 1 A.  ln 2  2 B.  ln 2  2 C.  ln 2  2 D.  ln 2  2 3 3 3 3 f ' x 
Câu 4: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; . Khi đó dx  bằng: x 1 A. f  x   C B. f  x   C C. 2 f  x   C D. 2 f  x   C 2 1
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x  , với x  0 là: 9 5 x  3x 4 1 1  x  4 1 1  x  A.   ln    C B.   ln    C 4 4 3x 36  x  3  4 4 12x 36  x  3  4 1 1  x  4 1 1  x  C.   ln    C D.   ln    C 4 4 3x 36  x  3  4 4 12x 36  x  3  x  x   
Câu 6: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f  x sin 2 cos 
và F 0  2 . Giá trị của F   1 sin x  2  là: 2 2  8 2 2  8 4 2  8 4 2  8 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f x  x x  2019 3 2 1 là:  2021 2020 x  2021 x  2020 2 2 1 1  1  2x    2 1 x   1 A.     C B.   C 2  2021 2020  2021 2020    2021 2020 x  2021 x  2020 2 2 1 1  2x    2 1 x   1  1 C.   C D.     C 2021 2020 2  2021 2020    TOANMATH.com Trang 39  12017 1  1 b x x  Câu 8: Biết dx  .  C, x   1   và * ,   
a b   và C là hằng số thực. Mệnh đề nào sau x  2019 1 a  x 1 đây đúng? A. a  2b B. b  2a C. a  2018b D. b  2018a
Câu 9: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định trên khoảng 0; thỏa mãn f   1  4 và f  x  x f  x 3 2 . '
 2x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f 2 bằng: A. 5. B. 10. C. 20. D. 15.   
Câu 10: Cho hàm số f  x không âm, có đạo hàm liên tục trên 0; 
thỏa mãn f 0  3 và 2          f  x f  x 2 . '
 1 f x.cos x với mọi x  0; 
. Giá trị của f   bằng: 2     2  A. 2. B. 2 C. 2 2 D. 3
Câu 11: Xét I  x  x   5 3 4 4 3 dx . Bằng cách đặt 4
u  4x  3 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. 5 I  u du  B. 5 I  u du  C. 5 I  u du  D. 5 I  u du  16 12 4 1 1 Câu 12: Nguyên hàm cos dx  bằng: 2 x x 1 1 1 1 A.  sin  C B. sin  C C. 2sin  C D. 2sin  C x x x x 3 x
Câu 13: Cho hàm số F x có F x  dx 
và. F 0  1 Hàm số F x là: 4 x 1 1 3 A. F  x   4 ln x   1 1 B. F x  ln 4 x   1  4 4 1 C. F x  ln 4 x   1 1 D. F  x   4 4 ln x   1 1 4 x  3
Câu 14: Khi tính nguyên hàm dx 
, bằng cách đặt u  x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. u   2 2 u  4du B.  2 u  4du C.   2 2 u  4du D.  2 u  3du
Câu 15: Cho hàm số f  x 2
 sin 2x.sin x . Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f x? 4 4 4 4 A. 3 5 y  cos x  sin x  C B. 3 5
y   cos x  cos x  C 3 5 3 5 4 4 4 4 C. 3 5 y  cos x  cos x  C D. 3 5
y   cos x  sin x  C 3 5 3 5 2 cos x 1
Câu 16: Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f  x 
trên khoảng 0;  . Biết 2 sin x
rằng giá trị lớn nhất của F x trên khoảng 0;  là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. TOANMATH.com Trang 40     2  3     5  A. F  3 3  4   B. F    C. F   3   D. F  3  3    6   3  2  3   6 
Câu 17: Cho hàm số f  x có đạo hàm đến cấp hai xác định trên 1; thỏa mãn xf 2  x 2 2 '  1  x 1   f  
x.f ' x với x 1. Biết f  1  f ' 1 1. Giá trị của f 2 là: A. 2
f 2  2 ln 2  2 B. 2 f 2  2 ln 2 1 C. 2
f 2  2 ln 2  2 D. 2 f 2  2 ln 2 1
Câu 18: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 
thỏa mãn F 0  10 . Hàm số F x 2 x e  3 là: 1 1 x ln 5
A. x  ln2e  3 10  B.  10  ln2 x x e  3 3 3 3 1     x 3 1 x ln 5 ln 2 C.  x  ln 2e   ln 5 ln 2  
D. x  ln2e  3 10  3   2  3 3 1 sin x Câu 19: Biết dx  ln   2
x  x 1  C . Nguyên hàm của hàm số f x  là: 2  x 1 2 cos x 1 A.  2
ln cos x  cos x 1 C B.   2
ln cos x  cos x 1 C C.  2 ln x  cos x 1 C D.   2 ln x  cos x 1 C  3  x  x 
Câu 20: Biết rằng trên khoảng ;   , hàm số f  x 2 20 30 7  có một nguyên hàm  2  2x  3 F  x   2
ax  bx  c 2x 3 (a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng: A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. sin 2x
Câu 21: Cho nguyên hàm I  dx 
. Nếu u  cos 2x đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng? 4 4 cos x  sin x 1 1 1 1 2 A. I  du  B. I  du  C. I  du  D. I  du  2 u 1 2 2u 1 2 2 u 1 2 u 1
Câu 22: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f  x 1 
thỏa mãn F 0   ln 2 . Tập nghiệm S x e 1
của phương trình    ln  x F x e   1  3 là: A. S    3 B. S    3 C. S   D. S    3 ln x
Câu 23: Biết hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
và đồ thị của hàm số 2 x ln x  3
y  F  x đi qua điểm  ; e 2019 . Khi đó  6 F e  bằng: A. 2020. B. 2018. C. 2021. D. 2019. TOANMATH.com Trang 41 x Câu 24: Cho f x   2
2 x 1  5 , biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x thỏa mãn 2  x 1  3 
F 0  6 . Giá trị của F   là:  4  125 126 123 127 A. B. C. D. 16 16 16 16 m cos 2x sin x cos x  1 Câu 25: Cho     , với ,  dx C
m n   và C là hằng số thực. Giá sin x  cos x  23 sin x cos x  2n
trị của biểu thức A  m  n là: A. A  5 B. A  2 C. A  3 D. A  4 dx
Câu 26: Nguyên hàm I   là: 2 2 x 9  x 2 9  x 2 9  x 2 9  x 2 9  x A. I    C B. I   C C. I   C D. I    C 9x 9x 2 9x 2 9x 3 x Câu 27: Nguyên hàm I  dx  là: 2 1 x 1 1 A. I    2 x  2 2 1 x  C B. I   2 x  2 2 1 x  C 3 3 1 1 C. I    2 x  2 2 1 x  C D. I   2 x  2 2 1 x  C 3 3
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần Phương pháp giải
Cơ sở của phương pháp:
Ví dụ 1: Kết quả nguyên hàm x xe dx  là:
Với u  ux và v  v x là các hàm số có đạo 2 x A. x x xe  e  C B. x e  C
hàm trên khoảng K thì ta có:  . u v'  u' . v v 'u 2 C. x x xe  e  C D. x xe  x  C
Viết dưới dạng vi phân d uv  vdu  udv Hướng dẫn giải
Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được: u  x du  dx   Đặt d  uv vdu udv    x x   dv  e dx v  e
Từ đó suy ra udv  uv  vdu   1 Khi đó x x xe dx  xde  x. x x e  e .dx   
Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng  x. x x e  e  C phần. Chọn A.
Ở ví dụ 1 này, ta ưu tiên đặt u  x , phần còn lại sẽ là dv, tức là x
dv  e dx . Dòng thứ nhất tính đạo hàm,
dòng thứ hai tìm nguyên hàm
Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp Ví dụ 2: Kết quả nguyên hàm ln  x 2019dx là: TOANMATH.com Trang 42 nguyên hàm từng phần.
A.  x  2019 ln  x  2019  x  C Bài toán: Tìm I  u
 x.vxdx , trong đó
B.  x  2019ln x  2019  x  C
ux và vx là hai hàm có tính chất khác nhau,
C.  x  2019 ln x  2019  C chẳng hạn: D. ln  x  2019  C
ux là hàm số đa thức, v x là hàm số lượng Hướng dẫn giải giác.  u  x   1 ln 2019 du  dx
u x là hàm số đa thức, vx là hàm số mũ. Đặt    x  2019 dv  dx v  x 2019
u x là hàm số logarit, vx là hàm số đa thức. (ở đây từ dv  dx  v  x C, ta có thể chọn
ux là hàm số mũ, v x là hàm số lượng giác. C  2019 để việc tính toán đơn giản hơn) Khi đó ln
 x 2019dx  x 2019lnx 2019 dx  Vậy ln
 x 2019dx  x 2019lnx 2019 x C Chọn B. Ví dụ 3: Tìm x e .sin xdx  A. 2 x e sin x  cos x  C B. 2 x e sin x  cos x  C 1 C. x e sin x  cos x  C 2 1 D. x e sin x  cos x  C 2
Phương pháp nguyên hàm từng phần Hướng dẫn giải u  u  x du  u'xdx  u  sin x du  cos xdx Bước 1: Đặt    Đặt    x x dv  v dv  e dx v  e  xdx v  vxdx   Khi đó x .sin x  .sin x e xdx e x  e .cos xdx
Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:    
Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một udv uv vdu   lần nữa, cụ thể:
Lưu ý: Đặt u  u x (ưu tiên) theo thứ tự: Với xe.cosxdx 
ta thực hiện tương tự như sau:
“Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là, u  cos x du  sin xdx
nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không + Đặt    x x dv  e dx v  e
có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu tiên sắp xếp như thế. + Khi đó x .cos x  .cos x e xdx e x  e .sin xdx   TOANMATH.com Trang 43
Còn đối với nguyên hàm v  v
 xdx ta chỉ cần Vậy x x x
chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được
e .sin xdx  e .sin x  e .cos xdx  
làm rõ qua các ví dụ minh họa ở cột bên phải. x  e .sin x xdx  e .sin x    xe.cos x x  e .sin xdx   x 1  e .sin x xdx  e .  sin x cos x C 2 Chọn C.
Ở đây, lần từng phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ
nguyên tắc ở lần từng phần thứ nhất. Tức là lần thứ
nhất đã ưu tiên u là lượng giác u  sin x thì lần thứ
hai ta cũng sẽ ưu tiên u là lượng giác u  cos x . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Kết quả nguyên hàm I  x   2 ln 2  x dx là: 2 2 x  2 x x A. ln  2 x  2   C B. x   x   2 2 2 2 ln 2   C 2 2 2 2 2 x  2 x C.  2 x    2 x   2 2 ln 2  x  C D. ln  2 x  2   C 2 2 Hướng dẫn giải  2x du  dx u  ln 2 2  x   2   Đặt x 2    2 dv  xdx x  2 v   2 2 2 2 x  2 x  2 x Khi đó I  ln  2 x  2  xdx  ln   2x 2 C 2 2 2 Chọn D. 2 x
Chú ý: Thông thường thì với dv  xdx  v  2 2 x  2
Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý v 
mang lại sự hiệu quả. 2 ln sin x  2cos x
Ví dụ 2. Kết quả nguyên hàm I  dx  là: 2 cos x
A. tan x  2.ln sin x  2cos x  x  2 ln cos x  C
B. tan x  2.ln sin x  2cos x  x  2 ln cos x  C
C. tan x  2.lnsin x  2cos x  x  2 lncos x  C
D. cot x  2.ln sin x  2cos x  x  2 ln cos x  C TOANMATH.com Trang 44 Hướng dẫn giải       cos x  2 sin ln sin 2 cos x u x x du  dx     Đặt sin x 2 cos x  dx   dv  sin x  2 cos x  2 v  tan x  2 cos x    cos x cos x  2sin x
Khi đó I  tan x  2ln sin x  2 cos x  dx  cos x
 tan x  2lnsin x  2cos x  x  2 ln cos x  C Chọn B.
Chú ý: Ở ví dụ này, chọn v  tan x  2 có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm vdu  .
Ví dụ 3. Kết quả nguyên hàm 2 I  x sin 5xdx  là: 1 2 2 1 2 2 A. 2  x cos5x  x sin 5x  cos 5x  C B. 2  x cos5x  x sin 5x  cos 5x  C 5 25 125 5 25 125 1 2 2 1 2 2 C. 2 x cos5x  x sin 5x  cos 5x  C D. 2  x cos5x  x sin 5x  cos 5x  C 5 25 125 5 25 125 Hướng dẫn giải
Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên 2
u  x là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần
mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:
Bước 1: Chia thành 3 cột:
+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.
+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.
+ Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.
Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu
(-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau. 1 2 2 Khi đó 2 I   x cos5x  x sin 5x  cos 5x  C 5 25 125 Chọn D. TOANMATH.com Trang 45 Chú ý:
Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian.
Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm
và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc. Ví dụ 4. Nguyên hàm 4 3x I  x e dx  là: 4 3 2  x 4x 12x 24x 24  5 3x x e A. 3x I        e  C B. I  .  C 2 3 4 5 3 3 3 3 3   5 3 4 3 2  x 4x 12x 24x 24  4 3 2  x 4x 12x  C. 3x I        e  C D. 3x I     e  C 2 3 4 5 3 3 3 3 3   2 3 3 3 3   Hướng dẫn giải
Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ
đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn. 4 3 2  x 4x 12x 24x 24  Vậy 3x I        e  C . 2 3 4 5 3 3 3 3 3   Chọn A. Ví dụ 5. Nguyên hàm x I  e sin xdx  là: A. 2 x e sin x  cos x  C B. 2 x e sin x  cos x  C 1 1 C. x e sin x  cos x  C D. x e sin x  cos x  C 2 2 Hướng dẫn giải
Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người
học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm
được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong ví dụ 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại? TOANMATH.com Trang 46
Khi đó, ta sẽ có thể kết luận x  sin x  cos x I e x e x  e sin xdx  . 1 Hay 2 x  sin x I e x  e .cos x . Vậy x
I  e sin x  cos x  C 2 Chọn C.
Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Dòng cuối thu được  sin x xe dx  I  . Ví dụ 6. Tìm  lnn
I  ax  bvxdx , trong đó vx là hàm đa thức, * n   và , a b  ;  a  0 Hướng dẫn giải 1 .lnn na  ax  b
Phân tích: Vì ưu tiên    lnn u x ax  b nên du 
dx và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ ax  b
không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng   na t x 
từ cột 1 sang nhân với v x ở cột 3 để rút gọn ax  b
bớt; tiếp tục quá trình như thế cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.
Ví dụ 6.1. Kết quả nguyên hàm I  x.ln xdx  là: 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x A. .ln 2   C B. .ln 2   C C. .ln 2   C D. .ln 2   C 2 4 2 4 4 2 4 2 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 47 2 2 x x Vậy I  x.ln xdx  .ln 2   C  2 4 Chọn A. 2 x x
Chú ý: chuyển lượng   1
t x  bên cột 1 sang nhân với v  x 
ta thu được kết quả . Khi đó bên cột x 2 2 x 2 x
1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của là . 2 4
Ví dụ 6.2. Kết quả nguyên hàm I   x    3 4 1 .ln 2x dx là: 2 3x A.  2 2x  x 3 ln 2x   2 3x  3x  2 ln 2x   2 3x  6xln2x   6x  C 2 2 3x B.  2 2x  x 3 ln 2x   2 3x  3x  2 ln 2x   2 3x  6xln2x   6x  C 2 2 3x C.  2 2x  x 3 ln 2x   2 3x  3x 2 ln 2x   2 3x  6x ln2x   6x  C 2 2 3x D.  2 2x  x 3 ln 2x   2 3x  3x 2 ln 2x   2 3x  6xln2x   6x  C 2 Hướng dẫn giải 2 3x Vậy I   2 2x  x  3 ln 2x   2 3x  3x 2 ln 2x   2 3x  6x ln2x   6x  C 2 Chọn B. Chú ý: 3 Chuyển , nhân với  2
2x  x thu được 6x  3 x TOANMATH.com Trang 48 2 Chuyển , nhân với  2
3x  3x thu được 6x  6 . x 1 Chuyển , nhân với  2
3x  6x thu được 3x  6 . x
Ví dụ 7. Cho       1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x e . Biết rằng hàm số f x có đạo
hàm liên tục trên  . Nguyên hàm của hàm số   2 ' x f x e là: A. 2   x x e  C B. 2   x x e  C C. 1  x x e  C D. 1  x x e  C Hướng dẫn giải Ta có      2x x 
    x    2x    2 ' 1 . . x  . x F x f x e e x e f x e f x e x e . Xét   2 ' x f x e dx  2 x 2     2 x u e du e dx Đặt    dv  f '  xdx v  f  x Do đó    2 . x  2   x x   2   1 x I f x e f x e dx xe x e  C Vậy     2 ' x  2   x I f x e dx x e  C Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x  x sin x là:
A. x cos x  sin x  C B. x cos x  sin x  C C. x cos x  sin x  C D. x cos x  sin x  C
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  4x 1 ln x là: A. 2 2 2x ln x  3x B. 2 2 2x ln x  x C. 2 2 2x ln x  3x  C D. 2 2 2x ln x  x  C
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 3x   1 ln x là: x 3 x A. x x   3 2 1 ln x   C B. 3 x ln x   C 3 3 x 3 x C. x x   3 2 1 ln x   x  C D. 3 x ln x   x  C 3 3 x
Câu 4: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là: 2 sin x
A. x cot x  ln sin x  C B. x cot x  ln sin x  C C. x cot x  ln sin x  C
D. x cot x  lnsin x  C
Câu 5: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   2 x f x  e  3 x  4x . Hàm số  2 F x  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. TOANMATH.com Trang 49
Câu 6: Gọi     2   . x F x ax bx c e , với , a ,
b c   là một nguyên hàm của hàm số      2 1 . x f x x e .
Giá trị của biểu thức S  a  2b  c là: A. S  3 B. S  2 C. S  0 D. S  4
Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm trên  thỏa mãn    '   x f x f x  e , x
   và f 0  2. Tất cả
các nguyên hàm của   2x f x e là: A.   2 x x x e  e  C B.    2 2 x x x e  e  C C.    1 x x e  C D.    1 x x e  C ln x  3
Câu 8: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x    thỏa mãn F  2    F   1  0 và 2 x F  
1  F 2  a ln 2  b ln 5, với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  6b bằng: A. 4 B. 5. C. 0. D. 3 ln 1 2x ln 1 2x Câu 9: Biết dx    . a ln 1 2x  . b ln x  C 
với a, b là các số nguyên và C là 2   x x
hằng số thực. Giá trị của a  2b là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.    x
Câu 10: Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm trên 0; 
 thỏa mãn f  x  tan . x f ' x  .  2  3 cos x       Biết rằng 3 f  f  a 3  b ln 3     , trong đó ,
a b   . Giá trị của biểu thức P  a  b bằng:  3   6  14 2 7 4 A. B. C. D.  9 9 9 9
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin x  x ln x là: 2 2 x x A. F x  cos x  ln x   C
B. F  x  cos x  ln x  C 2 4 2 2 x x C. F x  cos x  ln x   C
D. F  x  cos x  C 2 4
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số f x  2x   1 ln x là: x A. x  x 2 2 ln x   x  C B.  2 x  x 2 ln x  x  x  C 2 x C.  2 x  x 2 ln x  x  x  C D. x  x 2 2 ln x   x  C 2 2 2 x .ln x x Câu 13: Cho F  x  
là một nguyên hàm của hàm số f x  x ln x (với a, b là hằng số). Giá a b trị của 2 a  b là: 1 A. 8. B. 0. C. 1. D. 2
Câu 14: Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  2x 3  2 ln x và F  
1  3 . Khẳng định nào
đúng trong các khẳng định sau? TOANMATH.com Trang 50 A. F  x 2 2  2x  2x ln x 1 B. F  x 2 2  2x  2x ln x 1 C. F  x 2 2  4x  2x ln x D. F  x 2 2  4x  2x ln x 1
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2  x 1 3ln x là: 3 2x A. 3  x ln x  C B. 3 x ln x  C C. 3 x ln x  C D. 3 3 x  x ln x  C 3
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  1 2x 1   ln x   1 là: 2 x 2 3x A. x    2 x  x ln x  C B. x    2 x  x ln x  C 2 2 2 x 2 3x C. x    2 x  x ln x  C D. x    2 x  x ln x  C 2 2
Câu 17: Nguyên hàm  2  x I x e   1dx có kết quả là: A. 2  2 x  2 x x xe e  C B. 2  2 x x x xe  e  C C. 2  2 x  2 x x xe e  C D. 2 x x x  xe  e  C
Câu 18: Nguyên hàm I  1 2xcos x 1dx có kết quả là:
A. 1 2xsin x  2cos x  C B. 2
x  x  1 2xsin x  2cos x  C C. 2
x  x  1 2xsin x  2cos x  C D. 2
x  x  1 2xsin x  2cos x  C
Câu 19: Công thức nào sau đây sai? 1 dx A. ln xdx   C  B.  tan x  C  C. sin xdx   cos x  C  D. x x e dx  e  C  x 2 cos x
Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f  x  x ln x là: 3 1 3 2 A. f  x 2
dx  x 3ln x  2  C B. f  x 2
dx  x 3ln x  2  C 9 3 3 2 3 2 C. f  x 2 dx  x 3ln x   1  C D. f  x 2
dx  x 3ln x  2  C 9 9
Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số f x  2x   1 ln x là: x A.  2 x  x 2 ln x  x  x  C B. x  x 2 2 ln x   x  C 2 x C.  2 x  x 2 ln x  x  x  C D. x  x 2 2 ln x   x  C 2
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x A. x x x xe dx  e  xe  C  B. x x x xe dx  e  e  C  2 2 x C. x x x xe dx  xe  e  C  D. x x xe dx  e  C  2  1 
Câu 23: Gọi F x là nguyên hàm trên  của hàm số   2 ax
f x  x e a  0 , sao cho F  F   01.  a 
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. TOANMATH.com Trang 51 A. 0  a  1 B. a  2 C. a  3 D. 1  a  2 3 x f  x Câu 24: Cho F x  là một nguyên hàm của
. Biết rằng hàm số f x có đạo hàm xác định với 3 x
mọi x  0 . Kết quả nguyên hàm '  x f x e dx  là: A. 2 3 x  6 x  6 x x e xe e  C B. 2 x  6 x  6 x x e xe e  C C. 2 3 x  6 x x x e xe  e  C D. 2 3  6 x  6 x x xe e  C Câu 25: Biết 2 x 2 x 2 x
xe dx  axe  be  C  , a b  
 và C là hằng số thực. Giá trị tích ab là: 1 1 1 1 A. ab   B. ab  C. ab   D. ab  4 4 8 8
Câu 26: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số    5   1 x f x x
e và F 0  3. Giá trị của F   1 là: A. F   1  11e  3 B. F   1  e  3 C. F   1  e  7 D. F   1  e  2
Câu 27: Nguyên hàm F x của hàm số   2  . x f x x e là: x  1  1 A. F x 2  2e x   C   B.   2 x
F x  e  x  2  C  2  2 1 x  1  C. F x 2  e x   C   D.   2  2 x F x e  x  2  C 2  2 
Câu 28: Họ nguyên hàm F x của hàm số f x  x cos2x là:
A. F x  x sin 2x  cos2x B. F x 1 1  x sin 2x  cos2x 2 4 C. F  x 1 1  x sin 2x  cos2x  C
D. F  x  x sin 2x  cos2x  C 2 4
Câu 29: Cho F  x  x sin 2xdx  . Chọn kết quả đúng. 1 1
A. F x  2x cos2x  sin 2x  C
B. F x   2x cos2x  sin 2x  C 4 4 1 1
C. F x   2x cos2x  sin 2x  C
D. F x  2x cos2x sin 2x  C 4 4 a 1 ln x
Câu 30: Cho F x  ln x  b là một nguyên hàm của hàm số f x  , trong đó , a b   . Giá x 2 x
trị của biểu thức S  a  b là: A. S  2 B. S  1 C. S  2 D. S  0  x 1
Câu 31: Biết   3 2 2 .  x x e dx   e 2x  n C với , m n  . Khi đó tổng 2 2 S  m  n có giá trị m bằng: A. 10. B. 5. C. 65. D. 41.
Câu 32: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   3 x
f x  e và F 0  2 . Giá trị của F   1 là: 15 10 15 10 A. 6  B. 4  C.  4 D. e e e e TOANMATH.com Trang 52 ĐÁP ÁN
BÀI 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa 1 – D 2 – D 3 – B 4 – D 5 – D 6 – D 7 – D 8 – C 9 – D 10 – A 11 – B 12 – B 13 – D 14 – D 15 – C 16 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – D 21 – C 22 – A 23 – B 24 – D 25 – C 26 – A 27 – D 28 – C 29 – B 30 – B 31 – C 32 – D 33 – B 34 – A 35 – A 36 – B 37 – A 38 – D 39 – D 40 – D 41 – B 42 – B 43 – B 44 – A 45 – A 46 – A 47 – B 48 – D 49 – C 50 – B 51 – C 52 – C 53 – A 54 – A 55 – A 56 – D 57 – B 58 – A 59 – A 60 – C 61 – A 62 – A 63 – B 64 – B 65 – C 66 – C 67 – A 68 – C 69 – C 70 – D 71 – C 72 – D 73 – B 74 – C 75 – C 76 – A 77 – D 78 – C 79 – D 80 – A 81 – D 82 – A 83 – A 84 – B 85 – D 86 – A 87 – B 88 – C 89 – D 90 – D 91 – B 92 – C 93 – C 94 – A 95 – C 96 – B 97 – A 98 – C 99 – B 100 – C
Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 1 – C 2 – D 3 – B 4 – D 5 – B 6 – B 7 – D 8 – A 9 – C 10 – A 11 – C 12 – A 13 – A 14 – C 15 – C 16 – B 17 – A 18 – A 19 – A 20 – D 21 – B 22 – B 23 – A 24 – B 25 – A 26 – A 27 – C 28 – A 29 – B 30 – B
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần 1 – D 2 – D 3 – C 4 – A 5 – B 6 – B 7 – D 8 – B 9 – D 10 – A 11 – B 12 – D 13 – A 14 – D 15 – B 16 – A 17 – C 18 – A 19 – C 20 – D 21 – A 22 – D 23 – A 24 – D 25 – D 26 – C 27 – A 28 – A 29 – B 30 – B 31 – C 32 – C 33 – C 34 – C 35 – C 36 – B 37 – C 38 – C 39 – D 40 – D TOANMATH.com Trang 53