Bài giảng phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12

Bài giảng phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

18 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Số phức

Môn: Toán 12

Thông tin:

15 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 4
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức
Kĩ năng
+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một
số bài toán liên quan
+ Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai
nghiệm của phương trình
+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực
+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai của một phức
Định nghĩa
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn
2
z w
được gọi là một căn
bậc hai của w
Tìm căn bậc hai của số phức w
w là số thực.
+ Nếu
0
w thì w có hai căn bậc hai là
i w
và
+ Nếu
0
w
thì w có hai căn bậc hai là
w
và
w
w a bi
,
a b ,
0
b
Nếu
z x iy
là căn bậc hai của w thì
2
x iy a bi
Do đó ta có hệ phương trình:
2 2
2x
x y a
y b
Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của
w
2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Xét phương trình
2
0
az bz c
, ,c ; 0
a b a
Ta có
2
4
b ac
Nếu
0
thì phương trình có nghiệm thực
2
b
x
a
Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
1
2
b
x
a
;
2
2
b
x
a
Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
1
2
b i
x
a
;
2
2
b i
x
a
Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
0
a có hai nghiệm phân
biệt
1
x
,
2
x
(thực hoặc phức) thì
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
Nhận xét:
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai
là 0
+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn
bậc hai là hai số đối nhau (khác
0)
Chú ý:
Mọi phương trình bậc n:
1
0 1 1
... 0
n n
n n
A z A z A z A
luôn có n nghiệm phức (không
nhất thiết phân biệt) với n nguyên
dương.
TOANMATH.com
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm
Phương pháp giải
Cho phương trình:
2
0
az bz c
, ,c ; 0
a b a
Giải pương trình bậc hai với hệ số thực
Áp dụng các phép toán trên tập số phức để
biến đổi biểu thức
Ví dụ: Xét phương trình
2
2 5 0
z z
a) Giải phương trình trên tập số phức
b) Tính
1 2
z z
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
2
' 1 5 4 2
i
Phương trình có hai nghiệm là:
1
2 2
z i
;
2
2 2
z i
b) Ta có
2 2
1 2
2 2 2 2
z z
Suy ra
1 2
2 2 2 2 4 2
z z
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tất cả các nghiệm phức của phương trình
2
5 0
z
là
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
, ,c ; 0
a b a
2
4
b ac
0
0
0
Phương trình có hai nghiệm
phức phân biệt
1
2
b i
x
a
;
2
2
b i
x
a
Phương trình có
nghiệm thực duy nhất
2
b
x
a
Phương trình có hai nghiệm thực
phân biệt
1
2
b
x
a
;
2
2
b
x
a
Hệ thức Vi-ét
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
TOANMATH.com
Trang 4
A.
5
B.
5
i
C.
5
i
D.
5
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình:
2 2 2 2
5
5 0 5 5
5
z i
z z z i
z i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là
1
5
z i
và
2
5
z i
Chọn C
Ví dụ 2. Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 1 0
z z . Giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z
là
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Hướng dẫn giải
Ta có
2
7 7
i
nên phương trình có hai nghiệm là:
1 7
4 4
z i
;
1 7
4 4
z i
Suy ra
2 2
1 2
1
A z z
Chọn B
Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình
2
1
z z
z ?
A.
1 3
2
i
B.
1 3
2
C.
1 3
2
D.
1 2
2
i
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
z z
z
2
2
2
1 1 3 1 3
2. .
2 4 4 2 4
i
z z z
1 3 1 3
2 2 2
1 3 1 3
2 2 2
i i
z z
i i
z z
Chọn A
Ví dụ 4. Phương trình
2
0
z az b
,
a b có nghiệm phức là
3 4
i
. Giá trị của
a b
bằng
A. 31 B. 5 C. 19 D. 29
Hướng dẫn giải
Cách 1: Do
3 4
z i
là nghiệm của phương trình
2
0
z az b
nên ta có:
2
3 4 3 4 0 3 7 4 24 0
i a i b a b a i
Chú ý: Nếu
0
z
là
nghiệm của phương
trình bậc hai với hệ số
thực thì
0
z
cũng là
TOANMATH.com
Trang 5
3 7 0 6
4 24 0 25
a b a
a b
Do đó
19
a b
Cách 2: Vì
1
3 4
z i
là nghiệm của phương trình
2
0
z az b
nên
2
3 4
z i
cũng là nghiệm của phương trình đã cho
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có
1 2
1 2
.
z z a
z z b
3 4 3 4
6
19
25
3 4 3 4
i i a
a
a b
b
i i b
Chọn C
nghiệm của phương
trình
Ví dụ 5. Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
6 34 0
z z . Giá trị của
0
2
z i
là
A.
17
B. 17 C.
2 17
D.
37
Hướng dẫn giải
Ta có
2
' 25 5
i
. Phương trình có hai nghiệm là
3 5
z i
;
3 5
z i
Do đó
0 0
3 5 2 1 4 17
z i z i i
Chọn A
Ví dụ 6. Gọi
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 5 0
z z
Tọa độ điểm biểu diễn số phức
1
7 4
i
z
trên mặt phẳng phức là
A.
3;2
P B.
1; 2
N C.
3; 2
Q D.
1;2
M
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1 2
2 5 0
1 2
z i
z z
z i
Theo yêu cầu của bài toán ta chọn
1
1 2
z i
. Khi đó:
2 2
1
7 4 1 2
7 4 7 4
3 2
1 2 1 2
i i
i i
i
z i
Vậy điểm biểu diễn của số phức là
3;2
P
Chọn A
Ví dụ 7. Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 5 0
z z
. Giá trị của biểu thức
2019 2019
1 2
1 1 z z bằng
A.
1009
2
B.
1010
2
C. 0 D.
1010
2
TOANMATH.com
Trang 6
Hướng dẫn giải
Xét phương trình
2
1
2
2
2
4 5 0 2 1
2
z i
z z z
z i
Khi đó ta có:
2019 2019 2019 2019
1 2
1 1 1 1 z z i i
1009 1009
2 2
1 . 1 1 . 1 i i i i
1009 1009
1 . 2 1 . 2
i i i i
505
1009 1010
2 1010 1010
2 1 1 2 .2 2
i i i i i
Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Nghiệm của phương trình
2
1 0
z z trên tập số phức là
A.
3 1
2 2
z i
;
3 1
2 2
z i
B.
3
z i
;
3
z i
C.
1 3
2 2
z i
;
1 3
2 2
z i
D.
1 3
z i
;
1 3
z i
Câu 2: Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0
z z
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
P z z
A.
20
P
B.
40
P
C.
0
P D.
2 10
P
Câu 3: Phương trình
2
2 10 0
z z
có hai nghiệm là
1
z
,
2
z
. Giá trị của
1 2
z z
bằng
A. 4 B. 3 C. 6 D. 2
Câu 4: Biết số phức
3 4
z i
là một nghiệm của phương trình
2
0
z az b
, trong đó a, b là các số
thực. Giá trị của
a b
là
A. –31 B. –19 C. 1 D. –11
Câu 5: Kí hiệu
0
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 6 5 0
z z
. Hỏi điểm nào dưới
đây là điểm biểu diễn của số phức
0
iz
?
A.
1
1 3
;
2 2
M
B.
2
3 1
;
2 2
M
C.
3
3 1
;
2 2
M
D.
4
1 3
;
2 2
M
Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình
2
1 0
x x
. Giá trị của biểu thức
4 3
2
P z z z
là
A.
1 3
2
i
B.
1 3
2
i
C.
2
i
D. 2
Câu 7: Kí hiệu
0
z
là số phức có phần ảo âm của phương trình
2
9 6 37 0
z z
. Tọa độ của điểm biểu
diễn số phức
0
w iz
là
TOANMATH.com
Trang 7
A.
1
2;
3
B.
1
; 2
3
C.
1
2;
3
D.
1
;2
3
Câu 8: Kí hiệu
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 5 0
z z
. Giá trị của
1 2
z z
bằng
A.
2 5
B.
5
C. 3 D. 10
Câu 9: Kí hiệu
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 5 0
z z
. Giá trị của
1
2 6
z i
bằng
A. 5 B.
5
C.
73
D. 73
Câu 10: Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
9 6 4 0
z z
. Giá trị của biểu thức
1 2
1 1
z z
bằng
A.
4
3
B. 3 C.
3
2
D. 6
Câu 11: Ký hiệu
1
z
,
2
z
là nghiệm của phương trình
2
2 10 0
z z
. Giá trị của
1 2
.
z z
bằng
A. 5 B.
5
2
C. 10 D. 20
Câu 12: Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 5 0
z z . Giá trị của biểu thức
2
1 1 2
.
z z z
là
A. 5 B. 10 C. 15 D. 0
Bài tập nâng cao
Câu 13: Phương trình
2
3 4 0
z z
có hai nghiệm phức
1
z
,
2
z
. Giá trị của
2
1 2
.
z z
bằng
A. 27 B. 64 C. 16 D. 8
Câu 14: Gọi
1
z
,
2
z
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 3 0
z z
. Môđun của
3 4
1 2
.
z z
bằng
A. 81 B. 16 C.
27 3
D.
8 2
Câu 15: Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
0
az bz c
, ,ca b
. Giá trị của biểu
thức
2
2 2
1 2 1 2 1 2
M z z z z z z
bằng
A.
4
c
a
B.
4
c
a
C.
4
c
a
D.
4
c
a
Câu 16: Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 5 0
z z
. Trên mặt phẳng tọa độ,
điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
2019
0
w i z
?
A.
2;1
M B.
2;1
M C.
2; 1
M
D.
2; 1
M
Câu 17: Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
4 13 0
z z
và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn
cho hai số phức
1
z
,
2
z
trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác OAB bằng
A. 13 B. 12 C.
13
2
D. 6
TOANMATH.com
Trang 8
Câu 18: Gọi z là một nghiệm của phương trình
2
1 0
z z
. Giá trị của biểu thức
2019 2018
2019 2018
1 1
5
M z z
z z
bằng
A. 5 B. 2 C. 7 D. 1
Câu 19: Trong tập các số phức, cho phương trình
2
6 0
z z m
,
m
1
. Gọi
0
m
là một giá trị của
m để phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1 1 2 2
. .
z z z z
. Hỏi trong khoảng
0;20
có bao nhiêu giá trị
0
m
?
A. 13 B. 11 C. 12 D. 10
Câu 20: Gọi
1
z
và
2
z
là các nghiệm phức của phương trình
2
4 5 0
z z
.
Tính
100 100
1 2
1 1w z z
A.
50
2
w i
B.
51
2
w
C.
51
2
w
D.
50
2
w i
Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng
Phương pháp giải
Định lí Vi-ét: Cho phương trình:
2
0
az bz c ;
, ,ca b
;
0
a
có hai nghiệm phức
1
z
,
2
z
thì
1 2
1 2
.
b
z z
a
c
z z
a
Ví dụ: Phương trình
2
4 24 0
z z có hai
nghiệm phức
1
z
,
2
z
nên
1 2
4
z z
;
1 2
. 24
z z
Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn:
1 2
b
z z
a
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 5 0
z z
. Giá trị của biểu thức
2 2
1 2
z z
bằng
A. 14 B. –9 C. –6 D. 7
Hướng dẫn giải
Gọi
1
z
,
2
z
là nghiệm của phương trình
2
2 5 0
z z
Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2
. 5
z z
z z
Suy ra
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2.5 6
z z z z z z
Chọn C
Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là
1 2
i
?
A.
2
2 3 0
z z
B.
2
2 5 0
z z
C.
2
2 5 0
z z
D.
2
2 3 0
z z
Hướng dẫn giải
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương
Chúng ta có thể giải từng
phương trình:
+)
2
2 3 0
z z
2
2
1 2
z i
1 2
z i
TOANMATH.com
Trang 9
trình bậc hai có nghiệm
1 2
i
thì nghiệm còn lại là
1 2
i
Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5
Vậy số phức
1 2
i
là nghiệm của phương trình
2
2 5 0
z z
Chọn C
1 2
z i
+)
2
2 5 0
z z
2
2
1 4
z i
1 2
z i
1 2
z i
+)
2
2 5 0
z z
2
2
1 4
z i
1 2
z i
1 2
z i
+)
2
2 3 0
z z
2
2
1 2
z i
1 2
z i
1 2
z i
Ví dụ 3: Kí hiệu
1
z
,
2
z
là nghiệm phức của phương trình
2
2 4 3 0
z z
. Tính giá trị biểu thức
1 2 1 2
P z z i z z
A.
1
P
B.
7
2
P
C.
3
P
D.
5
2
P
Hướng dẫn giải
Ta có
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 4 3 0
z z
Theo định lý Vi-ét ta có
1 2
1 2
2
3
.
2
z z
z z
Ta có
2
2
1 2 1 2
3 3 3 5
2 2 2
2 2 2 2
P z z i z z i i
Chọn D
Ví dụ 4: Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 7 0
z z
.
Giá tị của
3 3
1 2
P z z
bằng
A. –20 B. 20
C.
14 7
D.
28 7
Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
. 7
z z
z z
Cách khác:
Ta có:
2
4 7 0
z z
2
2
2 3
z i
1
2
2 3
2 3
z i
z i
Do đó:
TOANMATH.com
Trang 10
Suy ra
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
z z z z z z z z
2
1 2 1 2 1 2
3
z z z z z z
2
4. 4 3.7 20
Chọn A
3 3
1 2
z z
3 3
2 3 2 3
i i
20
Ví dụ 5: Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 2 27 0
z z
. Giá trị của
1 2 2 1
z z z z
bằng
A. 2 B. 6 C.
3 6
D.
6
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
1 2
2
3
z z
và
1 2
. 9
z z
Mà
1 2 1 2 1 2
. 9 3
z z z z z z
Do đó
1 2 2 1 1 2 1 2
2
.3 .3 3 3. 2
3
z z z z z z z z
Chọn A
Ví dụ 6: Cho số thực
2
a
và gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 0
z z a
. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A.
1 2
z z
là số thực B.
1 2
z z
là số ảo
C.
1 2
2 1
z z
z z
là số ảo D.
1 2
2 1
z z
z z
là số thực
Hướng dẫn giải
Ta có
1 2
2
b
z z
a
. Đáp án A đúng
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi
1
z x yi
;
,x y
là một
nghiệm, nghiệm còn lại là
2
z x yi
Suy ra
1 2
2
z z yi
là số ảo. Đáp án B đúng
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
4 2
. .
z z z z
z z z z a
z z z z z z a
Vậy C là đáp án sai và D đúng
Chọn C
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
3
i
và
3
i
làm nghiệm?
A.
2
5 0
z
B.
2
3 0
z
C.
2
9 0
z
D.
2
3 0
z
TOANMATH.com
Trang 11
Câu 2: Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức
2 3
i
và
2 3
i
làm nghiệm?
A.
2
4 3 0
z z
B.
2
4 13 0
z z
C.
2
4 13 0
z z
D.
2
4 3 0
z z
Câu 3: Kí hiệu
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
3 5 0
z z
. Giá trị của
1 2
.
z z
bằng
A. 5 B.
1
2
C. 3 D.
1
2
Bài tập nâng cao
Câu 4: Gọi
1
z
,
2
z
là các nghiệm của phương trình
2
2 5 0
z z
. Giá trị của biểu thức
4 4
1 2
P z z
là
A. –14 B.
14
i
C. 14 D.
14
i
Câu 5: Cho số phức
0
z
có
0
2018
z . Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của
0
z
và
các nghiệm của phương trình
0 0
1 1 1
z z z z
được viết dạng
3
n
,
n
. Chữ số hàng đơn vị của n là
A. 9 B. 8 C. 3 D. 2
Câu 6: Cho phương trình
2
5 0
z mz
trong đó m là tham số thực. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm
1
z
,
2
z
thỏa mãn
2 2
1 2
6
z z
A.
2
m
B.
4
m
C.
3
m
D.
3
m
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình
2 2
2 0
z az a a
có hai nghiệm phức có
môđun bằng 1?
A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 8: Gọi
1
z
,
2
z
là nghiệm phức của phương trình
2
4 7 0
z z
. Số phức
1 2 1 2
z z z z
bằng
A. 2 B. 10 C.
2
i
D.
10
i
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương pháp giải
Nắm vững cách giải phương trình bậc hai
với hệ số thực trên tập số phức
Nắm vững cách giải một số phương trình
quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc
cao;…
Ví dụ: Giải phương trình:
4 2
6 0
z z
trên tập
số phức.
Hướng dẫn giải
Đặt
2
z t
, ta có phương trình:
2
3
6 0
2
t
t t
t
Với
3
t
ta có
2
3 3
z z
Với
2
t
ta có
2
2 2
z z i
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
3
z
;
2
z i
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình
4 2
2 3 2 0
z z
là
A.
3 2
B.
5 2
C.
2 5
D.
2 3
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 12
Ta có:
2
4 2
2 2
2
2
2
2
2 3 2 0
1 1
.
2
2 2
2
2
z
z
z
z z
z i
z i
z i
Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng
2 2
2 2 3 2
2 2
i i
Chọn A
Ví dụ 2: Kí hiệu
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
là bốn nghiệm phức của phương trình
4 2
4 5 0
z z
. Giá trị của
2 2 2 2
1 2 3 4
z z z z
bằng
A.
2 2 5
B. 12 C. 0 D.
2 5
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
4 2
2
1
1
1
4 5 0
5
5
5
z
z
z
z z
z i
z
z i
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là:
1
1
z
,
2
1
z
,
3
5
z i
,
4
5
z i
Do đó:
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2 3 4
1 1 5 5 12
z z z z
Chọn B
Ví dụ 3: Gọi
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 2
4 12 0
z z z z
. Giá trị
của biểu thức
2 2 2 2
1 2 3 4
S z z z z
là
A.
18
S
B.
16
S
C.
17
S
D.
15
S
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2
4 12 0
z z z z
Đặt
2
t z z
, ta có
2
2
4 12 0
6
t
t t
t
Suy ra:
1
2
2
2
3
4
1
2
2 0
1 23
6 0
2
1 23
2
z
z
z z
i
z
z z
i
z
Suy ra
2 2
2 2
2
2
1 23 1 23
1 2 17
2 2 2 2
S
TOANMATH.com
Trang 13
Chọn C
Ví dụ 4: Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
4
2
4
z
z
z
. Khi đó
1 2
z z
bằng
A. 1 B. 4 C. 8 D. 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
z
Ta có:
2
2
4 2
2
.
4 4 4
z z
z z
z z z
z z z
2
1 15 1 15
2 2 2 2
4 0
1 15 1 15
2 2 2 2
z i z i
z z
z i z i
Vậy
1 2
1 15 1 15
1 1
2 2 2 2
z z i i
Chọn A
Ví dụ 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình
4 2
1 0
z az
có bốn nghiệm
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 3 4
4 4 4 4 441
z z z z
. Tìm a
A.
1
19
2
a
a
B.
1
19
2
a
a
C.
1
19
2
a
a
D.
1
19
2
a
a
Hướng dẫn giải
Nhận xét:
2
2 2
4 2 2 2
z z i z i z i
Đặt
4 2
1
f x z az
, ta có:
4 4
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1
4 4 4 4 2 . 2 2 . 2
k k
k k
z z z z z i z i f i f i
2
4 2 4 2
16 4 1 16 4 1 17 4
i ai i ai a
Theo giả thiết, ta có
2
1
17 4 441
19
2
a
a
a
Chọn B
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn
2018 2017
11 10 10 11 0
z iz iz
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 3
z
B.
0 1
z
C.
1 2
z
D.
1 3
2 2
z
Hướng dẫn giải
Ta có
2017
2017 2017
11 10 11 10
11 10 11 10
11 10 11 10
iz iz
z z i iz z z
z i z i
TOANMATH.com
Trang 14
Đặt
z a bi
có
2
2 2
2
2
2 2
2
100 220 121
11 10 10 11 100
11 10
11 10 11 10
121 220 100
121 11 10
a b b
i a bi b a
iz
z i a bi i
a b b
a b
Đặt
t z
0
t
ta có phương trình
2
2017
2
100 220 121
121 220 100
t b
t
t b
Nếu
1 1
t VT
;
1
VP
Nếu
1 1
t VT
;
1
VP
Nếu
1 1
t z
Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Gọi
1
z
,
2
z
,
3
z
là các nghiệm của phương trình
3 2
2 1 0
iz z i z i
. Biết
1
z
là số thuần ảo.
Đặt
2 3
P z z
, hãy chọn khẳng định đúng?
A.
4 5
P
B.
2 3
P
C.
3 4
P
D.
1 2
P
Câu 2: Kí hiệu
1
z
,
2
z
,
3
z
và
4
z
là các nghiệm phức của phương trình
4 2
5 36 0
z z
. Tính tổng
1 2 3 4
T z z z z
.
A.
4
T
B.
6
T
C.
10
T
D.
8
T
Câu 3: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức
1
z
,
2
z
,
3
z
là nghiệm của phương trình
3 2
6 12 7 0
z z z
. Tính diện tích S của tam giác ABC
A.
3 3
S B.
3 3
2
S
C.
1
S
D.
3 3
4
S
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn
2018 2017
11 10 10 11 0
z iz iz
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 3
;
2 2
z
B.
1;2
z C.
0;1
z D.
2;3
z
Câu 5: Cho phương trình
4 3 2
2 6 8 9 0
z z z z
có bốn nghiệm phức phân biệt là
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2
1 2 3 4
4 4 4 4
T z z z z
A.
2
T i
B.
1
T
C.
2
T i
D.
0
T
Câu 6: Biết
1
z
,
2
5 4
z i
và
3
z
là ba nghiệm của phương trình
3 2
0
z bz cz d
, ,b c d
, trong
đó
3
z
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
1 2 3
3 2
w z z z
bằng
A. –12 B. –8 C. –4 D. 0
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn
10 9
11 10 10 11 0
z iz iz
. Tính môđun của số phức z
A.
10
z
B.
1
z
C.
11
z
D.
221
z
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn
6 5 4 3 2
1 0
z z z z z z
. Tìm phần thực của số phức
2
1
W z z z
A. Phần thực bằng 1 B. Phần thực bằng 0
TOANMATH.com
Trang 15
C. Phần thực bằng 2 D. Phần thực bằng
1
2
Câu 9: Kí hiệu
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
,
5
z
,
6
z
là các nghiệm phức của phương trình
6 5 4 3 2
2016 2017 2018 2017 2016 1 0
z z z z z z
Tính
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
T z z z z z z
A.
2
2018
T B.
2
2017
T C.
2
2016
T D.
2
2014
T
Câu 10: Kí hiệu
1
z
,
2
z
,
3
z
,
4
z
là các nghiệm của phương trình
4
1
1
2
z
z i
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
T z z z z
A.
6375
T
B.
6375
T
C.
17
9
T
D.
17
9
T
Câu 11: Cho số phức
z a bi
, , 0
a b a
có
1
z
. Kí hiệu
0
a
là phần thực của biểu thức
3
2
z z z
. Giá trị nhỏ nhất của
0
1
a
a
là
A. –4 B. –1 C. 0 D. 1
Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn
3
5 4 2 4
z i z i
. Phần thực của số phức
3
z
là
A.
12
5
B.
4
5
C.
3
5
D.
1
5
HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình, tính toán biểu thức nghiệm
1- C 2- A 3- C 4- B 5- A 6- D 7- C 8- A 9- A 10- B
11- C 12- B 13- D 14- C 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20-B
Dạng 2: Định lí Vi – ét và ứng dụng
1 - B 2- C 3- A 4- A 5- C 6- A 7- A 8- A
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
1- B 2- C 3- D 4- A 5- B 6- C 7- B 8- D 9- D 10- D
11- B 12- B
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 4
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức  Kĩ năng
+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan
+ Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai
nghiệm của phương trình
+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực
+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai của một phức Định nghĩa
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2
z  w được gọi là một căn bậc hai của w
Tìm căn bậc hai của số phức w Nhận xét:  w là số thực.
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai
+ Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là i w và i w là 0
+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn
+ Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w
bậc hai là hai số đối nhau (khác
 w  a  bi a,b  , b  0 0)
Nếu z  x  iy là căn bậc hai của w thì  x iy2   a  bi 2 2 x  y  a
Do đó ta có hệ phương trình:  2xy   b
Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của w Chú ý:
2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Mọi phương trình bậc n: Xét phương trình 2 az  bz  c  0 a, , b c  ;  a  0 n n 1  A z  A z  ... A z  A  0 0 1 n 1  n Ta có 2   b  4ac
luôn có n nghiệm phức (không
 Nếu   0 thì phương trình có nghiệm thực   b x
nhất thiết phân biệt) với n nguyên 2a dương.
 Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:        b x ;  b x 1 2a 2 2a
 Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: b  i  b  i  x  ; x  1 2a 2 2a
Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 a  0 có hai nghiệm phân
biệt x , x (thực hoặc phức) thì 1 2 S  x  x   b  1 2  a     c P x x 1 2  a TOANMATH.com Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 a,b,c ;a  0 2   b  4ac   0   0   0
Phương trình có hai nghiệm Phương trình có
Phương trình có hai nghiệm thực phức phân biệt nghiệm thực duy nhất phân biệt b  i  b  i  x   b       x  ; x   b x ;  b x 1 1 2 2a 2 2a 2a 2a 2a S  x  x   b  1 2  Hệ thức Vi-ét a     c P x x 1 2  a II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm Phương pháp giải
Ví dụ: Xét phương trình 2 z  2z  5  0 Cho phương trình:
a) Giải phương trình trên tập số phức 2 az  bz  c  0 a, , b c  ;  a  0 b) Tính z  z 1 2
 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải
 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để a) Ta có:        i2 ' 1 5 4 2 biến đổi biểu thức
Phương trình có hai nghiệm là:
z  2  2i ; z  2  2i 1 2 b) Ta có 2 2 z  z  2  2  2 2 1 2
Suy ra z  z  2 2  2 2  4 2 1 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tất cả các nghiệm phức của phương trình 2 z  5  0 là TOANMATH.com Trang 3 A. 5  B. 5i C.  5i D.  5 Hướng dẫn giải z  5i Ta có phương trình: 2 2 2 2
z  5  0  z  5  z  5i   z   5i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z  5i và z   5i 1 2 Chọn C
Ví dụ 2. Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
2z  z 1  0 . Giá trị của biểu thức 2 2 A  z  z 1 2 1 2 là A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Hướng dẫn giải
Ta có      i2 7 7
nên phương trình có hai nghiệm là: 1 7 1 7 z    i ; z    i 4 4 4 4 Suy ra 2 2 A  z  z  1 1 2 Chọn B
Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình 2
z 1  z  z  ? 1 3i 1 3 1 3 1 2i A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 1 1 3  1  3i Ta có 2 z 1  z  z  2  z  2. . z     z     2 4 4  2  4  1 3i  1 3i z   z  2 2 2      1  3i  1 3i z   z   2 2  2 Chọn A Ví dụ 4. Phương trình 2
z  az  b  0 a,b  có nghiệm phức là 3 4i . Giá trị của a  b bằng A. 31 B. 5 C. 19 D. 29 Hướng dẫn giải
Cách 1: Do z  3  4i là nghiệm của phương trình 2
z  az  b  0 nên ta có: Chú ý: Nếu z là 0   i2 3 4
 a 3 4i  b  0  3a  b  7  4a  24i  0 nghiệm của phương
trình bậc hai với hệ số thực thì z cũng là 0 TOANMATH.com Trang 4 3  a  b  7  0 a  6  nghiệm của phương     4a  24  0 b  25 trình Do đó a  b  19
Cách 2: Vì z  3  4i là nghiệm của phương trình 2
z  az  b  0 nên z  3  4i 1 2
cũng là nghiệm của phương trình đã cho z  z  a
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2  z .z   b 1 2   3 4 
i  3 4i  a a  6       a  b   3 4  i3 4i 19  b b  25 Chọn C
Ví dụ 5. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z  6z  34  0 . Giá trị của 0 z  2  i là 0 A. 17 B. 17 C. 2 17 D. 37 Hướng dẫn giải Ta có      i2 ' 25 5
. Phương trình có hai nghiệm là z  3  5i ; z  3  5i
Do đó z  3  5i  z  2  i  1 4i  17 0 0 Chọn A
Ví dụ 6. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z  2z  5  0 1 7  4i
Tọa độ điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức là z1 A. P 3;2 B. N 1;2 C. Q 3; 2   D. M 1;2 Hướng dẫn giải z  1 2i Ta có 2 z  2z  5  0   z  1 2i
Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z  1 2i . Khi đó: 1 7  4i 7  4i 7  4i1 2i    3  2i 2 2 z 1 2i 1  2 1
Vậy điểm biểu diễn của số phức là P 3;2 Chọn A
Ví dụ 7. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4z  5  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 z  2019 1  z  2019 1 bằng 1 2 A. 1009 2 B. 1010 2 C. 0 D. 1010 2 TOANMATH.com Trang 5 Hướng dẫn giải z  2  i Xét phương trình 2
z  4z  5  0   z  22 1  1   z  2   i 2
Khi đó ta có:  z  2019 1  z  2019 1
 1 i2019  1 i2019 1 2
   i  i 1009  i  i 1009 2 2 1 . 1 1 . 1
   i  i1009    i  i1009 1 . 2 1 . 2
  i1009   i  i   i1010   2i 505 1010 1010 2 1 1 2 .2  2  Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1: Nghiệm của phương trình 2
z  z 1  0 trên tập số phức là 3 1 3 1 A. z   i ; z   i
B. z  3  i ; z  3  i 2 2 2 2 1 3 1 3 C. z   i ; z   i
D. z  1 3i ; z  1 3i 2 2 2 2
Câu 2: Gọi z và z là hai nghiệm của phương trình 2
z  2z 10  0 . Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 2 P  z  z 1 2 A. P  20 B. P  40 C. P  0 D. P  2 10 Câu 3: Phương trình 2
z  2z 10  0 có hai nghiệm là z , z . Giá trị của z  z bằng 1 2 1 2 A. 4 B. 3 C. 6 D. 2
Câu 4: Biết số phức z  3  4i là một nghiệm của phương trình 2
z  az  b  0 , trong đó a, b là các số
thực. Giá trị của a  b là A. –31 B. –19 C. 1 D. –11
Câu 5: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
2z  6z  5  0 . Hỏi điểm nào dưới 0
đây là điểm biểu diễn của số phức iz ? 0  1 3   3 1   3 1   1 3  A. M ; B. M ; C. M ;  D. M  ; 1          2 2  2  2 2  3  2 2  4  2 2 
Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình 2
x  x 1  0 . Giá trị của biểu thức 4 3 P  z  2z  z là 1   i 3 1   i 3 A. B. C. 2i D. 2 2 2
Câu 7: Kí hiệu z là số phức có phần ảo âm của phương trình 2
9z  6z  37  0 . Tọa độ của điểm biểu 0
diễn số phức w  iz là 0 TOANMATH.com Trang 6  1   1   1   1  A. 2;   B.  ; 2    C. 2;   D.  ; 2    3   3   3   3 
Câu 8: Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  3z  5  0 . Giá trị của z  z bằng 1 2 1 2 A. 2 5 B. 5 C. 3 D. 10
Câu 9: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  2z  5  0 . Giá trị của z  2  6i 1 1 bằng A. 5 B. 5 C. 73 D. 73
Câu 10: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
9z  6z  4  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 1 1  bằng z z 1 2 4 3 A. B. 3 C. D. 6 3 2
Câu 11: Ký hiệu z , z là nghiệm của phương trình 2
z  2z 10  0 . Giá trị của z . z bằng 1 2 1 2 5 A. 5 B. C. 10 D. 20 2
Câu 12: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 . Giá trị của biểu thức 2 z  z .z là 1 2 1 1 2 A. 5 B. 10 C. 15 D. 0 Bài tập nâng cao Câu 13: Phương trình 2
z  3z  4  0 có hai nghiệm phức z , z . Giá trị của 2 z .z bằng 1 2 1 2 A. 27 B. 64 C. 16 D. 8
Câu 14: Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  3  0 . Môđun của 3 4 z .z bằng 1 2 1 2 A. 81 B. 16 C. 27 3 D. 8 2
Câu 15: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
az  bz  c  0 a,b,c  . Giá trị của biểu 1 2 thức 2 M  z  z
 z  z 2  z  z bằng 1 2 1 2  1 2 2 c c c c A. 4 B. 4 C. D. 4 a a 4a a
Câu 16: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  2z  5  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, 0
điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 2019 w  i z ? 0 A. M  2  ;  1 B. M 2;  1 C. M 2;  1 D. M 2;  1
Câu 17: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z  4z 13  0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn 1 2
cho hai số phức z , z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác OAB bằng 1 2 13 A. 13 B. 12 C. D. 6 2 TOANMATH.com Trang 7
Câu 18: Gọi z là một nghiệm của phương trình 2
z  z 1  0 . Giá trị của biểu thức 1 1 2019 2018 M  z  z    5 bằng 2019 2018 z z A. 5 B. 2 C. 7 D. 1
Câu 19: Trong tập các số phức, cho phương trình 2
z  6z  m  0 , m    
1 . Gọi m là một giá trị của 0
m để phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z .z  z .z . Hỏi trong khoảng 0;20 1 2 1 1 2 2
có bao nhiêu giá trị m   ? 0 A. 13 B. 11 C. 12 D. 10
Câu 20: Gọi z và z là các nghiệm phức của phương trình 2 z  4z  5  0 . 1 2
Tính w  1 z 100  1 z 100 1 2 A. 50 w  2 i B. 51 w  2 C. 51 w  2 D. 50 w  2 i
Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình 2 z  4z  24  0 có hai
Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z , z nên 1 2 2 az  bz  c  0 ; a, , b c   ; a  0 z  z  4 ; z .z  24 1 2 1 2  b z  z    b 1 2 
Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z  z 
có hai nghiệm phức z , z thì a 1 2 a 1 2  c z .z  1 2  a Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  5  0 . Giá trị của biểu thức 2 2 z  z 1 2 1 2 bằng A. 14 B. –9 C. –6 D. 7 Hướng dẫn giải
Gọi z , z là nghiệm của phương trình 2 z  2z  5  0 1 2 z  z  2
Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2  z .z  5  1 2
Suy ra z  z   z  z 2 2 2 2
 2z z  2  2.5  6 1 2 1 2 1 2 Chọn C
Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?
Chúng ta có thể giải từng A. 2 z  2z  3  0 B. 2 z  2z  5  0 phương trình: C. 2 z  2z  5  0 D. 2 z  2z  3  0 +) 2 z  2z  3  0 Hướng dẫn giải   z  2 2 1  2i
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương  z 1 i 2 TOANMATH.com Trang 8
trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i  z  1 i 2
Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5 +) 2 z  2z  5  0
Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình 2 z  2z  5  0   z  2 2 1  4i Chọn C  z 1  2  i  z  1   2i +) 2 z  2z  5  0   z  2 2 1  4i  z 1  2i  z 1 2i +) 2 z  2z  3  0   z  2 2 1  2i  z 1  i 2  z  1   i 2
Ví dụ 3: Kí hiệu z , z là nghiệm phức của phương trình 2
2z  4z  3  0 . Tính giá trị biểu thức 1 2 P  z z  i z  z 1 2  1 2  7 5 A. P  1 B. P  C. P  3 D. P  2 2 Hướng dẫn giải
Ta có z , z là hai nghiệm của phương trình 2 2z  4z  3  0 1 2 z  z  2  1 2 
Theo định lý Vi-ét ta có  3 z .z   1 2  2 2 3 3  3  5
Ta có P  z z  i  z  z    i 2   2i      2  2  1 2 1 2 2 2  2  2 Chọn D
Ví dụ 4: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4z  7  0 . Cách khác: 1 2 Ta có: Giá tị của 3 3 P  z  z bằng 1 2 2 z  4z  7  0 A. –20 B. 20  z  2 2 2  3i C. 14 7 D. 28 7 Hướng dẫn giải z  2  3i 1   z  z  4 z  2  3i 
Theo định lý Vi-ét ta có 1 2  2 z .z  7  1 2 Do đó: TOANMATH.com Trang 9 Suy ra 3 3
z  z   z  z  2 2 z  z z  z 3 3 z  z 1 2 1 2 1 1 2 2  1 2 3 3
 z  z  z  z 2 3z z
 2 3i 2  3i 1 2 1 2 1 2    2 4. 4  3.7  2  0  20 Chọn A
Ví dụ 5: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z  2z  27  0 . Giá trị của z z  z z 1 2 1 2 2 1 bằng A. 2 B. 6 C. 3 6 D. 6 Hướng dẫn giải 2
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z  z  và z .z  9 1 2 3 1 2 Mà z  z  z z  z .z  9  3 1 2 1 2 1 2 2
Do đó z z  z z  z .3  z .3  3 z  z  3.  2 1 2 2 1 1 2  1 2  3 Chọn A
Ví dụ 6: Cho số thực a  2 và gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  a  0 . Mệnh đề 1 2 nào sau đây sai? A. z  z là số thực B. z  z là số ảo 1 2 1 2 z z z z C. 1 2  là số ảo D. 1 2  là số thực z z z z 2 1 2 1 Hướng dẫn giải b
Ta có z  z    2 . Đáp án A đúng 1 2 a
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z  x  yi ; x, y   là một 1
nghiệm, nghiệm còn lại là z  x  yi 2
Suy ra z  z  2yi là số ảo. Đáp án B đúng 1 2 z z z  z z  z  2z z 4  2a 1 2 1 2  2 2 2 1 2 1 2       z z z .z z .z a 2 1 1 2 1 2
Vậy C là đáp án sai và D đúng Chọn C
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
Câu 1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức i 3 và i 3 làm nghiệm? A. 2 z  5  0 B. 2 z  3  0 C. 2 z  9  0 D. 2 z  3  0 TOANMATH.com Trang 10
Câu 2: Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2  3i và 2  3i làm nghiệm? A. 2 z  4z  3  0 B. 2 z  4z 13  0 C. 2 z  4z 13  0 D. 2 z  4z  3  0
Câu 3: Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  3z  5  0 . Giá trị của z .z bằng 1 2 1 2 1 1 A. 5 B.  C. 3 D. 2 2 Bài tập nâng cao
Câu 4: Gọi z , z là các nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 . Giá trị của biểu thức 4 4 P  z  z là 1 2 1 2 A. –14 B. 14i C. 14 D. 14i
Câu 5: Cho số phức z có z  2018 . Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z và 0 0 0 1 1 1
các nghiệm của phương trình  
được viết dạng n 3 , n   . Chữ số hàng đơn vị của n là z  z z z 0 0 A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 Câu 6: Cho phương trình 2
z  mz  5  0 trong đó m là tham số thực. Tìm m để phương trình có hai nghiệm z , z thỏa mãn 2 2 z  z  6  1 2 1 2 A. m  2 B. m  4 C. m  3 D. m  3
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình 2 2
z  az  2a  a  0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1? A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 8: Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 2
z  4z  7  0 . Số phức z z  z z bằng 1 2 1 2 1 2 A. 2 B. 10 C. 2i D. 10i
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình: 4 2
z  z  6  0 trên tập
 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai số phức.
với hệ số thực trên tập số phức Hướng dẫn giải
 Nắm vững cách giải một số phương trình Đặt 2
z  t , ta có phương trình:
quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc t  3 2 cao;… t  t  6  0   t  2 Với t  3 ta có 2 z  3  z   3 Với t  2 ta có 2 z  2   z  i 2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z   3 ; z  i 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 4 2 2z  3z  2  0 là A. 3 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 11 z  2  z   2 2 z  2  Ta có: 4 2 2z 3z 2 0       2 1 1  2 2     . z  i z i  2  2 2   2 z   i  2 2 2
Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2   2  i   i  3 2 2 2 Chọn A
Ví dụ 2: Kí hiệu z , z , z , z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
z  4z  5  0 . Giá trị của 1 2 3 4 2 2 2 2 z  z  z  z bằng 1 2 3 4 A. 2  2 5 B. 12 C. 0 D. 2  5 Hướng dẫn giải z 1  2 z 1 z  1  Ta có: 4 2 z 4z 5 0        2 z  5   z  5i  z    5i
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z  1, z  1, z  i 5 , z  i 5 1 2 3 4 2 2 Do đó: 2 2 2 2 2 2 z  z  z  z 1 1  5  5 12 1 2 3 4     Chọn B 2
Ví dụ 3: Gọi z , z , z , z là các nghiệm phức của phương trình  2 z  z   2
4 z  z  12  0 . Giá trị 1 2 3 4 của biểu thức 2 2 2 2 S  z  z  z  z là 1 2 3 4 A. S  18 B. S  16 C. S  17 D. S  15 Hướng dẫn giải 2 Ta có:  2 z  z   2 4 z  z 12  0 t  2 Đặt 2 t  z  z , ta có 2 t  4t 12  0   t  6 z  1 1 z  2  2  2 z  z  2  0  Suy ra: 1   i 23   z  2 3 z  z  6  0  2  1 i 23 z  4  2 2 2 2 2  1   23   1   23  Suy ra S  1  22 2                   17 2 2 2  2          TOANMATH.com Trang 12 Chọn C 4 z
Ví dụ 4: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình
 z  4. Khi đó z  z bằng 1 2 2 z 1 2 A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 Hướng dẫn giải Điều kiện: z  0 2 4 2 2 z  z   z.z  Ta có:  z  4      z  4     z  4 2 z  z  z      1 15  1 15 z    i z    i 2 2 2 2 2
 z  z  4  0      1 15  1 15 z    i z    i  2 2  2 2 1 15 1 15 Vậy z  z    i   i  1   1 1 2 2 2 2 2 Chọn A
Ví dụ 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình 4 2
z  az 1  0 có bốn nghiệm z , z , z , z thỏa mãn 1 2 3 4
 2z 4 2z 4 2z 4 2z  4  441. Tìm a 1 2 3 4  a  1 a  1 a  1  a  1 A.  19 B.  C.  D.   19 19 19 a   a  a   a   2  2  2  2 Hướng dẫn giải
Nhận xét: z   z   i2 2 2 4 2
 z  2iz  2i Đặt f  x 4 2  z  az 1, ta có:
z 4z 4z 4z 4 4
  z  2i  z  i  f  i f i k  4 2 2 2 2 . 2 2 . 2 1 2 3 4  k      k 1  k 1 
  i  ai   i  ai      a2 4 2 4 2 16 4 1 16 4 1 17 4 a  1 
Theo giả thiết, ta có 17 4a2 441     19 a   2 Chọn B
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017 11z 10iz
10iz 11  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. 2  z  3 B. 0  z  1 C. 1  z  2 D.  z  2 2 Hướng dẫn giải 1110iz 1110iz Ta có z 11z 10i 2017 2017 2017  1110iz  z   z  11z 10i 11z 10i TOANMATH.com Trang 13 1110iz 1110i a  bi 10b 1 2 1 100a 100 2 2 2 a  b   220b 121 Đặt z  a  bi có    11z 10i 11a  bi 2 10i 121a  11b 102 121 2 2 a  b   220b 100 2 100t  220b 121
Đặt t  z t  0 ta có phương trình 2017 t  2 121t  220b 100
Nếu t  1  VT  1; VP  1
Nếu t  1 VT  1; VP  1 Nếu t  1 z  1 Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Gọi z , z , z là các nghiệm của phương trình 3 2
iz  2z  1 i z  i  0 . Biết z là số thuần ảo. 1 2 3 1
Đặt P  z  z , hãy chọn khẳng định đúng? 2 3 A. 4  P  5 B. 2  P  3 C. 3  P  4 D. 1  P  2
Câu 2: Kí hiệu z , z , z và z là các nghiệm phức của phương trình 4 2
z  5z  36  0 . Tính tổng 1 2 3 4 T  z  z  z  z . 1 2 3 4 A. T  4 B. T  6 C. T  10 D. T  8
Câu 3: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z , z , z là nghiệm của phương trình 1 2 3 3 2
z  6z 12z  7  0 . Tính diện tích S của tam giác ABC 3 3 3 3 A. S  3 3 B. S  C. S  1 D. S  2 4
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017 11z 10iz
10iz 11  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3  A. z  ;   B. z  1;2 C. z  0;  1 D. z  2;3 2 2  Câu 5: Cho phương trình 4 3 2
z  2z  6z  8z  9  0 có bốn nghiệm phức phân biệt là z , z , z , z . 1 2 3 4
Tính giá trị của biểu thức T   2 z  4 2 z  4 2 z  4 2 z  4 1 2 3 4  A. T  2i B. T  1 C. T  2i D. T  0
Câu 6: Biết z , z  5  4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 2
z  bz  cz  d  0  , b c, d   , trong 1 2 3
đó z là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w  z  3z  2z bằng 3 1 2 3 A. –12 B. –8 C. –4 D. 0
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 10 9
11z 10iz 10iz 11  0 . Tính môđun của số phức z A. z  10 B. z  1 C. z  11 D. z  221
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 6 5 4 3 2
z  z  z  z  z  z 1  0 . Tìm phần thực của số phức W  z  2 z  z   1 A. Phần thực bằng 1 B. Phần thực bằng 0 TOANMATH.com Trang 14 1 C. Phần thực bằng 2 D. Phần thực bằng 2
Câu 9: Kí hiệu z , z , z , z , z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2
z  2016z  2017z  2018z  2017z  2016z 1  0 Tính T   2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z 1 1 2 3 4 5 6  A. 2 T  2018 B. 2 T  2017 C. 2 T  2016 D. 2 T  2014 4  z 1 
Câu 10: Kí hiệu z , z , z , z là các nghiệm của phương trình
 1. Tính giá trị của biểu thức 1 2 3 4    2z  i  T   2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z 1 1 2 3 4  17 17 A. T  6375 B. T  6375 C. T   D. T  9 9
Câu 11: Cho số phức z  a  bi a,b  ,a  0 có z 1. Kí hiệu a là phần thực của biểu thức 0 a 1 3
z  2z  z . Giá trị nhỏ nhất của 0 là a A. –4 B. –1 C. 0 D. 1
Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn 3
5z  i  4 z  2i  4 . Phần thực của số phức 3 z là 12 4 3 1 A. B.  C. D. 5 5 5 5 HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình, tính toán biểu thức nghiệm 1- C 2- A 3- C 4- B 5- A 6- D 7- C 8- A 9- A 10- B 11- C 12- B 13- D 14- C 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20-B
Dạng 2: Định lí Vi – ét và ứng dụng 1 - B 2- C 3- A 4- A 5- C 6- A 7- A 8- A
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1- B 2- C 3- D 4- A 5- B 6- C 7- B 8- D 9- D 10- D 11- B 12- B TOANMATH.com Trang 15