Bài giảng thể tích khối đa diện

Tài liệu gồm 110 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề thể tích khối đa diện.Mời bạn đọc đón xem.

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

110 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 5
BÀI 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết công thức tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
+ Biết cách xác định chiều cao khối lăng trụ, khối chóp thông qua mối quan hệ về góc, khoảng cách
và các hệ thức lượng trong tam giác.
+ Biết cách tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp: phân chia khối đa diện, tách
ghép, bổ sung khối đa diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích.
+ Biết liên hệ với bài toán thực tế thông qua giải các bài toán thực tế, bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
Kĩ năng
+ Thành thạo công thức tính thể tích các khối đa diện.
+ Tính được khoảng cách, góc thông qua bài toán thể tích.
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ
Thể tích khối chóp:
1
.
3
®¸y
V S h
.
Trong đó:
®¸y
S
: Diện tích mặt đáy.
h: Độ dài chiều cao khối chóp.
Ví dụ:
.
.
1
.
3
S ABCD ABCD
S ABCD
V d S
Thể tích khối lăng trụ:
®¸y
V S h
Trong đó:
®¸y
S
: Diện tích mặt đáy.
h: Chiều cao của khối chóp.
Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là
cạnh bên.
Thể tích khối hộp chữ nhật:
. .
V a b c
Thể tích khối lập phương:
3
V a
Chú ý:
+) Đường chéo của hình vuông cạnh a là:
a 2
.
+) Đường chéo của hình lập phương cạnh a
là:
a 3
+) Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba
kích thước a, b, c là:
2 2 2
a b c
.
+) Đường cao của tam giác đều cạnh a là:
3
2
a
TOANMATH.com
Trang 3
Các công thức hình phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho
ABC
vuông tại A, đường cao AH.
+)
2 2 2
AB AC BC
; +)
2
.
AC CH BC
;
+)
. .
AH BC AB AC
; +)
2
.
AB BH BC
;
+)
2
.
AH BH HC
; +)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
;
+)
.sin .cos .tan .cot
AB BC C BC B AC C AC B
.
b) Cho
ABC
có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài các trung
tuyến
, ,
a b c
m m m
; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán
kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p.
+) Định lí hàm số cosin:
2 2 2
2 .cos
a b c bc A
;
2 2 2
2 .cos
b c a ca B
;
2 2 2
2 .cos
c a b ab C
.
+) Định lí hàm số sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
.
+) Độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m
.
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
+)
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
+)
1 1 1
sin casin sin
2 2 2
S bc A B ab C
+)
4
abc
S
R
+)
S pr
(p: nửa chu vi của tam giác).
+)
S p p a p b p c
+)
ABC
vuông tại A:
. .
2 2
AB AC BC AH
S
+)
ABC
đều, cạnh a:
2
3 3
,
2 4
a a
AH S .
TOANMATH.com
Trang 4
b) Hình vuông:
2
S a
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật:
S ab
(a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành:
®¸y chiÒu cao = . .sin
S AB AD BAD
e) Hình thoi:
1
. .sin .
2
S AB AD BAD AC BD
f) Hình thang:
1
2
S a b h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
.
2
S AC BD
Một số kỹ thuật tính thể tích hay dùng
1. Kĩ thuật chuyển đỉnh
Khi đáy không đổi ra có thể chuyển đỉnh để việc tính
toán dễ dàng hơn.
+) Trường hợp 1: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường
thẳng song song với đáy:
míi cò
V V
+) Trường hợp 2: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường
thẳng cắt đáy:
míi
cò
V
BM
V AM
TOANMATH.com
Trang 5
2. Kĩ thuật chuyển đáy
Khi chiều cao không đổi ta có thể chuyển đáy để việc
tính toán dễ dàng hơn:
SABCD SABCD
EFG EFG
V S
V S
Góc giữa đường thẳng vằ mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa
đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt
phẳng.
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
Để tính góc
,
SA P
, ta gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên
P
. Khi đó HA là hình chiếu vuông góc của SA
trên
P
.
Vậy
, ,
SA P SA AH SAH
.
Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Để tính góc
,
SB SAH
biết
SAH P
ta dựng
BK AH K AH
. Vì
BK AH
BK SH
nên
BK SAH
Khi đó K là hình chiếu vuông góc của B trên
SAH
SK là hình chiếu vuông góc của SB trên
SAH
Vậy
, ,
SB SAH SB SK BSK
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao
tuyến.
TOANMATH.com
Trang 6
Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy
Để tính góc
,
SAB P
, ta gọi H là hình chiếu vuông
góc của S trên
P
.
Kẻ
HI AB I AB
AB HI
AB SHI AB SI
AB SH
Vậy
, ,
SAB P SI HI SIH
.
Góc giữa mặt bên và mặt đứng
Để tính góc
,
SAB SAH
biết
SAH P
, ta kẻ
BK HA
BK HA K HA BK SHA
BK SH
.
Kẻ
KI SA I SA
SA KI
SA BKI SA BI
SA BK
Vậy
, ,
SAB SAH KI BI BIK
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thể tích khối chóp
Bài toán 1. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh
bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
MÔ HÌNH 1
Hình chóp
.
S ABC
, cạnh SA vuông góc với đáy.
+ Đáy là tam giác ABC.
+ Đường cao SA.
+ Cạnh bên SB, SC, SA.
+
SAB
,
SAC
là các tam giác vuông tại A.
+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc
SBA
.
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc
SCA
.
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy là góc
SHA
với H
là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
TOANMATH.com
Trang 7
MÔ HÌNH 2
Hình chóp
.
S ABCD
, có đáy ABCD là hình chữ nhật
(hình vuông) và SA vuông góc với đáy.
+ Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD.
+ Đường cao SA.
+ Cạnh bên SA, SB, SC, SD.
+
, ,
SAB SAC SAD
là các tam giác vuông tại A.
+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là
SBA
.
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là
SCA
.
+ Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là
SDA
.
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy ABCD là
SBA
.
+ Góc giữa mặt bên SCD với đáy ABCD là
SDA
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác .
S ABC
là tam giác vuông tại A,
AB a
,
2
AC a
, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA a
. Thể tích của khối
chóp
.
S ABC
là
A.
3
V a
B.
3
2
a
V
C.
3
3
a
V
D.
3
4
a
V
Hướng dẫn giải
Diện tích đáy
2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AB AC a a a
.
Chiều cao:
SA a
.
Vậy
3
2
.
1 1
. .
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a
.
Chọn C.
Chú ý:
Chóp tam giác
.
O ABC
có
OA, OB, OC đôi một
vuông góc thì thể tích của
khối chóp
.
S ABC
là
. .
6
OAOB OC
V
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
2
SA a
. Thể tích của khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
2
3
a
B.
3
2
a C.
3
2
4
a
D.
3
2
6
a
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 8
Diện tích đáy
2
ABCD
S a
.
Chiều cao:
2
SA a
.
Vậy
3
2
1 1 2
. . 2
3 3 3
ABCD
a
V B h a a
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABC
đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB a
,
60
ACB cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy
một góc bằng
45
. Thể tích của khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
6
a
B.
3
3
18
a
C.
3
3
9
a
D.
3
3
12
a
Hướng dẫn giải
Ta có
ABC
vuông tại B nên
3
.cot .cot 60
3
a
BC AB ACB a
2
1 1 3 3
. .
2 2 3 6
ABC
a a
S BA BC a
Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên
ABC
, , 45
SB ABC SB AB SBA
SAB
vuông tại A nên
.tan .tan 45
SA AB SBA AB a
.
Vậy
2 3
.
1 1 . 3 3
. .
3 3 6 18
S ABC ABC
a a
V S SA a
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang cân,
AD BC
, cạnh
2
AD a
,
AB BC CD a
và SA vuông góc với mặt
phẳng
ABCD
, cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc
60
. Thể tích của khối
chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3 3
4
a
D.
3
3 3
2
a
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Việc chia nhỏ
hình thang cân ABCD
thành ba tam giác đều sẽ
giúp ta thuận tiện trong
việc tính diện tích đáy.
Chú ý: Nếu ABC là tam
giác đều thì
2
3
4
ABC
AB
S
TOANMATH.com
Trang 9
Gọi M là trung điểm AD. Ta chia hình thang cân
ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam
giác này là các tam giác đều cạnh a.
Do đó
2
3 3
4
ABCD
a
S
.
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên
, , 60
ABCD SC ABCD SC AC SCA
.
Lại có AH là đường cao trong tam giác đều ABM nên
3 3
2 3
2 2
AB a
AH AC AH a
.
SAC
vuông tại A nên
.tan .tan 60 3
SA AC SCA AC a
.
Vậy
2 3
.
1 1 3 . 3 3 3
. . .3
3 3 4 4
S ABCD ABCD
a a
V S SA a
.
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là tứ giác lồi
2
AC a
,
3
BD a
,
AC BD
và SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD
, cạnh SC tạo
với mặt phẳng đáy góc
thỏa mãn
1
tan
3
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
2
3
a
B.
3
3
a
C.
3
4
a
D.
3
12
a
Hướng dẫn giải
Ta có
2
.
3
2
ABCD
AC BD
AC BD S a
.
Do AC là hình chiếu vuông góc của SC trên
ABCD
nên
, ,
SC ABCD SC AC SCA
2
.tan
3
a
SA AC
.
Vậy
3
2
. .
1 1 2 2
. 3 .
3 3 3 3
S ABCD S ABCD
a a
V S SA a .
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho hình chóp
.
S ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
vuông góc với nhau,
3
SB a
,
Tổng quát:
Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA vuông góc với mặt
TOANMATH.com
Trang 10
45
BSC
,
30
ASB
. Thể tích khối chóp
SABC
là V. Tỉ số
3
a
V
là
A.
8
3
B.
8 3
3
C.
2 3
3
D.
4
3
Hướng dẫn giải
Ta có:
SA ABC SAB ABC
.
Mà
,
SBC SAB ABC SAB
BC SAB
SBC ABC BC
,
ABC SBC
là các tam giác vuông tại B.
Xét
SAB
vuông tại A có:
3 3
.sin , .cos
2 2
a a
AB SB ASB SA SB ASB
Xét
SBC
vuông tại B có:
.tan 3
BC SB BSC a
2
1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 4
ABC
a a
S AB BC a
Vậy
2 3 3
.
1 1 3 3 3 8
. . . .
3 3 4 2 8 3
S ABC ABC
a a a a
V S SA
V
Chọn A.
phẳng
ABC
, hai mặt
phẳng
SAB
và
SBC
vuông góc với nhau,
BSC
,
ASB
.
Thể tích khối chóp .
S ABC
là:
3
.
.sin 2 .tan
12
S ABC
SB
V
Chứng minh:
Xét
SAB
vuông tại A có:
.sin
AB SB
.cos
SA SB
Xét
SBC
vuông tại B có:
.tan
BC SB
1
.
2
ABC
S AB BC
2
1
. .sin .tan
2
SB
Vậy
.
1
. .
3
S ABC ABC
V S SA
2
sin tan cos
6
SB SB
3
.sin 2 .tan
12
SB
Bài toán 2. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường
cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.
Ta có:
d
a
a
a d
.
TOANMATH.com
Trang 11
Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của
chúng sẽ vuông góc với đáy.
Ta có:
P
P d P
d
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với
ABC
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
9
a
B.
3
3
24
a
C.
3
3
9
a
D.
3
16
a
Hướng dẫn giải
Ta có tam giác ABC đều nên
2 2
3 3
4 4
ABC
AB a
S
.
Tam giác SAB vuông cân tại S và có
AB a
nên
2
a
SH
Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là:
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 2 4 24
ABC
a a a
V SH S
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh
3
BA a
,
4
BC a
. Mặt phẳng
SBC
vuông góc với mặt phẳng
ABC
.
Biết
2 3
SB a
và
30
SBC . Thể tích khối chóp .
S ABC
là
A.
3
3
V a
B.
3
V a
C.
3
3 3
V a
D.
3
2 3
V a
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1
. 6
2
ABC
S BA BC a
Trong tam giác vuông SBH có:
.sin 3
SH SB SBC a
.
Vậy
3
.
1
. 2 3
3
S ABC ABC
V S SH a
.
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 12
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a
,
2
AD a
. Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
ABCD
bằng
45
. Thể
tích của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
17
9
a
B.
3
17
3
a
C.
3
17
6
a
D.
3
17
3
a
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
. 2
ABCD
S AB AD a
.
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó
SM AB SM ABCD
.
Do đó
, , 45
SC ABCD SC MC SCM
.
Khi đó
2
2
17
4
4 2
a a
SM MC a .
Vậy
3
2
.
1 1 17 17
. . .2
3 3 2 3
S ABCD ABCD
a a
V SM S a
.
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD,
AB a
,
3
AD a
, tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng
3
2
a
. Tính thể tích V của khối chóp
.
S ABCD
.
A.
3
3
V a
B.
3
2 3
V a
C.
3
2 3
3
a
V
D.
3
3 3
V a
Hướng dẫn giải
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, kẻ
HK SI
.
Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
Suy ra
SH ABCD
.
TOANMATH.com
Trang 13
CD HI
CD SIH CD HK HK SCD
CD SH
, , ,
CD AB d AB SC d AB SCD d H SCD HK
Suy ra
3
; 3
2
a
HK HI AD a
Trong tam giác vuông SHI ta có
2 2
2 2
.
3
HI HK
SH a
HI HK
Vậy
2 3
.
1 1
. 3 . 3 3
3 3
S ABCD ABCD
V SH S a a a .
Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
2
AB A ,
5
AC A
. Hình chiếu
của điểm S trên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng
SAB
và mặt phẳng
SAC
bằng
60
. Thể tích của khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
5 6
12
a
B.
3
5 10
12
a
C.
3
210
24
a
D.
3
30
12
a
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có
SAB SAC SA
, kẻ
BE SA
và
GH BE
,
Suy ra
, , 60
SAC SAB GH SAC HGI
.
Đặt
SH h
, ta tính được
2
2
7
4
a
SA h và
2
2
5
4
a
SP h .
Vậy
2
2
2 2
2 2
5
2
2.
.
2
.
4
2
,
2
7
4 2
SAB
a
a
a h
h
S
BE SH HM
BE HG HI
SA SM
a a
h h
Tam giác GIH vuông tại I có
TOANMATH.com
Trang 14
2
2
2 2
2 2
2 5
2
.
.
3
2 4
2
sin 60 .
2
7
4 2
a a
a
h
h
IH
HG
a a
h h
2 4
4 2
7 15 2 3
0
4 8 4
a a a
h h h
Vậy
3
1 30
. .
6 12
SABC
a
V AB AC SH
.
Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp
.
S ABC
với các mặt phẳng
, ,
SAB SBC SAC
vuông góc với nhau từng đôi
một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là
2 2 2
20 cm , 27 cm , 30 cm
. Thể tích khối chóp
SABC
là
A.
3
40 3 cm
B.
3
40 cm
C.
3
60 cm
D.
3
60 3 cm
Hướng dẫn giải
Ta có các mặt phẳng
, ,
SAB SBC SAC
vuông góc với nhau từng đôi một nên
SA SB
,
SA SC
,
SB SC
.
2 2
20 cm . 40 cm
SAB
S SA SB
2 2
27 cm . 54 cm
SBC
S SB SC
2 2
30 cm . 60 cm
SAC
S SA SC
2
. . 40.54.60 129600 . . 360
SA SB SC SA SB SC
Do
, ,
SAB SBC SAC
vuông góc với nhau từng đôi một
AS SBC
.
Vậy
3
.
1 1
. . . 60 cm
3 6
S ABC ABC
V S SA SA SB SC .
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng
SAB
và
SAD
cùng vuông
góc với đáy, biết
3
SC a
. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối
chóp
.
A MNPQ
là
A.
3
3
a
B.
3
8
a
C.
3
12
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải
Ta có
MN PQ
MN PQ
NP PQ BD SC
TOANMATH.com
Trang 15
MNPQ
là hình chữ nhật.
Suy ra
. . .
2 2
A MNPQ A MQP M AQP
V V V
Ta có
1
;
2
d M AQP SA
Mà
2 2
1
;
2 2
a
SA SC AC a d M AQP SA
2
2
1 1 3 1 3 3 3
. . . . 2
2 2 4 2 16 16 8
AQP
S AH QP AC BD AC BD a a
Do đó:
3
2
.
1 1 3
; . . .
3 3 2 8 16
M AQP AQP
a a
V d M AQP S a
Vậy
3 3
. .
2 2.
16 8
A MNPQ M AQP
a a
V V
Chọn B.
Bài toán 3. Thể tích khối chóp đều
Phương pháp giải
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và
các cạnh bên bằng nhau.
Trong hình chóp đều:
+) Đáy là một đa giác đều
+) Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
+) Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau .
Đường cao vẽ từ đỉnh của một mặt bên gọi là trung
đoạn của hình chóp đều.
+) Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau
+) Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
Chú ý:
+) Phân biệt hình chóp tam giác đều khác với
hình chóp có đáy là tam giác đều. Hình chóp tam
giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và
các cạnh bên bằng nhau. Nói một cách khác, hình
chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam
giác đều nhưng điều ngược lại không đúng.
+) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có
đáy là hình vuông.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho khối chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối
chóp .
S ABC
là
TOANMATH.com
Trang 16
A.
3
11
12
a
V B.
3
13
12
a
V C.
3
11
6
a
V D.
3
11
4
a
V
Hướng dẫn giải
.
S ABC
là hình chóp tam giác đều và G là
trọng tâm tam giác ABC. Khi đó
SG ABC
. Do đáy là tam giác đều nên
gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là
đường cao của tam giác đáy.
Theo định lý Pi-ta-go ta có
2
2
3
4 2
a a
AI a , và
2 2 3 3
3 3.2 3
a a
AG AI .
Trong tam giác SGA vuông tại G ta có
2
2
11
4
3
3
a a
SG a .
Vậy
3
1 1 3 11 11
. .
3 2 2 12
3
a a a
V a
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
.
Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
4
a
V B.
3
3
12
a
V C.
3
. 5
12
a
V D.
3
. 3
10
a
V
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3
4
ABC
a
S
.
.
S ABC
là hình chóp tam giác đều và G là trọng
tâm tam giác ABC. Khi đó
SG ABC
.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
2 3
3 3
a
AG AM
Xét tam giác SAG vuông tại G có
.tan60
SG AG a
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 4 12
S ABC ABC
a a
V SG S a .
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc
60
. Thể tích của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
6
2
a
V B.
3
6
3
a
V C.
3
3
2
a
V D.
3
6
6
a
V
TOANMATH.com
Trang 17
Hướng dẫn giải
Ta có
2
ABCD
S a
.
Gọi
O AC BD
.
Do
.
S ABCD
là hình chóp đều nên
SO ABCD
.
Ta có
, ,
SB ABCD SB OB SBO
.
Tam giác SOB vuông tại O, có
2 6
.tan .tan60
2 2
a a
SO OB SBO .
Vậy
3
2
.
1 1 6 6
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SO a
.
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc
giữa SG và mặt phẳng
SBC
là
30
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
24
a
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC đều cạnh a nên
2
3
4
ABC
a
S
.
Hạ
, 30
GH SM H SM GH SBC SG SBC GSM
.
1 1 3
.cot . .cot30 . . 3
3 3 2 2
a a
SG GM GSM AM
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 4 2 24
S ABC ABC
a a a
V S SG
.
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là
3
a
. Thể
tích V của khối chóp đó là
A.
3
2 2
3
V a
B.
3
4 2
3
V a
C.
3
2
6
V a
D.
3
2
9
V a
TOANMATH.com
Trang 18
Hướng dẫn giải
Ta có
3
SM a
. Do
SBC
đều nên
2
SC BC a
.
2 2
2
2 2
AC a
SO a
.
Vậy thể tích khối chóp đó là
3
2
1 1 4 2
. 2.4
3 3 3
ABCD
a
V SO S a a
.
Bài toán 4. Thể tích khối chóp biết trước một đường thẳng vuông góc với đáy
Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
Việc tính SH ta thường dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Đề bài thường cho mối quan hệ về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc giữa hai mặt phẳng
xác định độ dài đường cao.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh
2
BC a
, gọi M là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng
ABC
là trung điểm của AM, tam giác SAM vuông tại S. Thể tích
của khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
6
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
9
a
Hướng dẫn giải
Ta có
ABC
vuông cân tại A,
2
BC a
2
1
.
2 2
ABC
BC
AM a S AM BC a
Xét
SAM
vuông tại S có:
2 2
AM a
SH
Vậy
3
2
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SH a
Chọn A.
Chú ý:
Trong tam giác vuông đường
trung tuyến ứng với cạnh
huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .
S ABC
, đáy là tam giác ABC có
19 cm
AB
,
20 cm
BC
,
37 cm
AC
, cạnh bên
SA= 985 cm
. Gọi M là trung điểm
Chú ý:
Khi biết độ dài ba cạnh thì
TOANMATH.com
Trang 19
của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC
là điểm H thỏa
mãn
1
3
AH AM
. Thể tích của khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
570cm
B.
3
760cm
C.
3
1520cm
D.
3
1140cm
Hướng dẫn giải
Ta có
38 cm
2
AB BC AC
p
.
2
S 38 38 19 38 20 38 37 114 cm
ABC
.
2 2 2
3 85 cm
2 4
AB AC BC
AM
1
85 cm
3
AH AM
SAH
vuông tại H có:
2 2
30 cm
SH SA AH
Vậy
3
.
1 1
. . .114.30 1140 cm
3 3
S ABC ABC
V S SH
Chọn D.
diện tích tam giác được tính
theo công thức Hê-rông.
Tam giác ABC có:
; ;
BC a AC b AB c
Nửa chu vi:
2
a b c
p
Khi đó:
ABC
S p p a p b p c
.
Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
.
2 2 2
2
2 4
b
a c b
m
.
2 2 2
2
2 4
c
a b c
m
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB a
,
2
AD a
. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABCD
là trung
điểm H của AD. Cạnh SC tạo với đáy một góc bằng
30
. Thể tích khối
chóp .
S ABCD
là
A.
3
3
a
B.
3
2 6
9
a
C.
3
3
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dẫn giải
Ta có
2
. 2
ABCD
S AB AD a
.
Do HC là hình chiếu vuông góc của SC lên
, 30
ABCD SC ABCD SCH
+ Xét tam giác DHC vuông tại D có:
TOANMATH.com
Trang 20
2 2
2
HC DH DC a
+ Xét tam giác SHC vuông tại H có:
6
.tan .tan30
3
a
SH HC SCH HC
.
Vậy
3
2
.
1 1 6 2 6
. .2a .
3 3 3 9
S ABCD ABCD
a a
V S SH .
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
cạnh
AB a
,
3
BC a
, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AO. Thể
tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
2
a
B.
3
4
a
C.
3
6
a
D.
3
8
a
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1 3
.
2 2
ABC
a
S AB BC
Xét
ABC
vuông tại B có:
2 2
2
AC AB BC a
Xét
SAC
vuông tại S có:
2 2 2
AC AO a
SO AO a HO
Xét
SHO
vuông tại H có:
2
2 2 2
3
4 2
a a
SH SO HO a
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 4
S ABC ABC
a a a
V S SH
Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
60
BAC
, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABCD
trùng
với trọng tâm G của tam giác ABC. Mặt phẳng
SAC
hợp với mặt phẳng
ABCD
một góc
45
. Thể tích khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
3
12
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
2
6
a
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 21
Ta có
60
BAC
nên tam giác ABC đều
2
3
2.
2
ABCD ABC
a
S S
Gọi
O AC BD
Ta có
,
AC BD AC SG
AC SBD AC SO
Mặt khác
OB AC
, 45
SAC ABCD SOB
Xét tam giác SOG vuông tại G:
1 3
.tan .tan 45
3 6
a
SG OG SOB OG BO
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 6 2 12
S ABCD ABCD
a a a
V SG S .
Chọn C.
Bài toán 5. Thể tích khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên, mặt bên cùng tạo với
đáy những góc bằng nhau
Phương pháp giải
- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cạnh
bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt
đáy.
- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những
góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm
đường tròn nội tiếp mặt đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp
.
S ABC
, đáy ABC có
10 cm
AB
,
12 cm
BC
,
14 cm
AC
, các mặt
bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau
và đều bằng
thỏa mãn
tan 3
. Thể tích khối
chóp
.
S ABCD
là
A.
3
228 cm
B.
3
576 cm
C.
3
192 cm
D.
3
384 cm
Hướng dẫn giải
Ta có
18 cm
2
AB BC AC
p
TOANMATH.com
Trang 22
2
18 18 10 18 12 18 14 24 6 cm
S
Các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc
bằng nhau nên hình chiếu của S trên
ABC
là tâm
đường tròn nội tiếp
ABC SI ABC
.
4 6
. cm
3
S
S p r IM r
p
SIM
vuông tại I có
4 6
.tan .3 4 6 cm
3
SI IM SMI
.
Vậy
3
1 1
. . .24 6.4 6 192 cm
3 3
SABC ABBC
V S SI
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, các
cạnh bên bằng nhau và đều bằng
3
a
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
2
a
B.
3
3
6
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
4
a
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm
ABC SG ABC
ABC
đều
3 3
2 3
a a
AM AG
SGA
vuông tại G có
2 2
2 6
3
a
SG SA AG
Vậy
2 3
1 1 3 2 6 2
. . . .
3 3 4 3 6
SABC ABC
a a a
V S SG
Chọn C.
Các cạnh bên bằng nhau nên
hình chiếu của S trên
ABC
là
tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
. Do
ABC
đều nên hình
chiếu vuông góc của S trên
ABC
là trọng tâm G
SG ABC
Ví dụ 2. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy ABC là tam giác cân
AB AC a
,
120
BAC
, các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt
phẳng đáy các góc
30
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3
12
a
B.
3
4
a
C.
3
3
4
a
D.
3
12
a
Hướng dẫn giải
Cạnh bên bằng nhau và cùng
tạo với mặt phẳng đáy các góc
30
nên hình chiếu của S trên
ABC
là tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC
.
, 30
SA ABC SAO
.
TOANMATH.com
Trang 23
2
1 3
. .sin
2 4
ABC
a
S AB AC BAC
Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo
với mặt phẳng đáy các góc
30
nên
hình chiếu O của S trên
ABC
là
tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
SO ABC
, 30
SA ABC SAO
ABC
có
2 2
2 . .cos 3
BC AB AC AB AC BAC a
2
. . 3 3
4 4. 4
abc a a a a
S OA a
R OA
SAO
có
3
.tan
3
a
SO AO SAO
Vậy
2 3
1 1 3 3
. . . .
3 3 4 3 12
SABC AABC
a a a
V S SO
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo
bởi các mặt phẳng
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
với mặt đáy lần lượt
là
90
,
60
,
60
,
60
. Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S,
AB a
và chu vi tứ giác ABCD là
9
a
. Tính thể tích V của khối chóp
.
S ABCD
.
A.
3
3
9
a
V B.
3
3
4
a
V C.
3
2 3
9
a
V D.
3
3
V a
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm AB.
Kẻ
IH BC H BC
, ta có góc giữa
,
SBC ABCD SHI
Do các mặt
SBC
,
SCD
,
SDA
tạo với
ABCD
các góc bằng nhau
Kẻ
IH BC
ta có
TOANMATH.com
Trang 24
và bằng
60
nên các khoảng cách từ I đến các cạnh CD, DA bằng nhau
và bằng IH.
Ta có
2 1 6
.tan60 .
tan60 2 6
3
SI a a
SI IH IH
2
1 1 6 2 6
. 9 .
2 2 6 3
ABCD
a a
S BC CD DA HI a AB
Vậy
2 3
1 1 2 2 6 3
.
3 3 2 6 9
ABCD
a a a
V SI S
Chọn A.
,
SBC ABCD SHI
.
Do các mặt
SBC
,
SCD
,
SDA
tạo với
ABCD
các
góc bằng nhau nên các khoảng
cách từ I đến các cạnh CD, DA
bằng nhau từ đó tính được
.tan
SI IH SIH
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh
AB a
,
2
AD a
. Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C, D, của mặt đáy và
5
SB a
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
15
8
a
B.
3
15
6
a
C.
3
15
4
a
D.
3
15
3
a
Hướng dẫn giải
Ta có
2
. 2
ABCD
S AB AD a
.
AC DB O
. Do S các đều các đỉnh
, , ,
A B C D SO ABCD
.
Ta có
2 2
5
BD AB AD a
5
SB SD BD a
nên
SBD
là tam giác đều
3 15
2 2
BD a
SO
.
Vậy
3
2
.
1 1 15 15
. . .2
3 3 2 3
S ABCD ABCD
a a
V SO S a
.
Chọn D.
Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,
C, D nên tâm hình chữ nhật là
chân đường cao hạ từ đỉnh
xuống đáy.
Ví dụ 5. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các
mặt bên
SAB
,
SAC
,
SBC
lần lượt tạo với đáy các góc là
30
,
45
,
60
. Tính thể tích của khối chóp
.
S ABC
. Biết rằng hình chiếu
vuông góc của S trên
ABC
nằm trong tam giác ABC.
TOANMATH.com
Trang 25
A.
3
3
8 4 3
a
V
B.
3
3
4 3
a
V
C.
3
3
4 4 3
a
V
D.
3
3
2 4 3
a
V
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABC
.
Kẻ
HD AB D AB
,
HE AC E AC
,
HF BC F BC
.
Ta có
.cot 30 3
HD SH SH
, .cot 45
HE SH SH
,
3
.cot 60
3
HF SH SH
Ta có
2
3
4
ABC
a
S mà
ABC HAB HBC HAC
S S S S
2
1 3 3 3
1 3 .
2 3 4
2 4 3
a a
SH a SH
Vậy
2 3
.
1 3 3 3
. .
3 4
2 4 3 8 4 3
S ABCD
a a a
V
Chọn A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
ABC
.
Kẻ
HD AB D AB
HE AC E AC
HF BC F BC
Tam giác ABC bị chia thành 3
tam giác nhỏ do đó
ABC HAB HBC HAC
S S S S
.
Diện tích các tam giác nhỏ biểu
diễn theo cạnh SH và hệ thức
lượng các tam giác vuông. Từ
đó tìm được SH.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
3
SA a
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
a
B.
3
2
a
C.
3
6
a
D.
3
12
a
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng
ABC
và
3
AB a
,
4
BC a
,
5
AC a
,
6
AD a
. Thể tích khối tứ diện ABCD là
A.
3
6
a
B.
3
12
a
C.
3
18
a
D.
3
36
a
TOANMATH.com
Trang 26
Câu 3: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA AB a
,
3
AD a
. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Thể tích khối chóp .
S ABMD
là
A.
3
3
4
a
B.
3
9
4
a
C.
3
3
2
a
D.
3
9
2
a
Câu 4: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2
BC a
, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy
ABC
, mặt bên
SBC
tạo với mặt đáy
ABC
một góc bằng
45
. Thể tích V của khối
chóp
.
S ABC
là
A.
3
2
4
a
V
B.
3
2
12
a
C.
3
2
6
a
V
D.
3
3
18
a
V
Câu 5: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B cạnh
AB BC a
,
SA a
và vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng
SAC
bằng
2
a
. Thể tích V của
khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3
4
a
V
B.
3
3
6
a
V
C.
3
2
a
V
D.
3
3
a
V
Câu 6: Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và SB tạo với đáy một góc
60
. Thể tích V của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
9
V a
B.
3
3
4
a
V
C.
3
9
2
a
V
D.
3
3
V a
Câu 7: Cho khối chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc
45
. Thể tích của khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
2
3
a
B.
3
2
6
a
C.
3
3
a
D.
3
a
Câu 8: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại B,
3
BC a
,
10
AC a , cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
SBC
và mặt phẳng đáy bằng
30
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
6
a
B.
3
3
3
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
a
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có
2
AC AD BC CD a
, cạnh bên BC vuông góc với mặt phẳng
ACD
.
Thể tích khối tứ diện là
A.
3
3
a B.
3
2 3
a C.
3
3
3
a
D.
3
2 3
3
a
Câu 10: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD vuông góc với
đáy, cho
AB AD a
,
3
CD a
,
3
SA a
. Thể tích khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
2
3
a
B.
3
4
3
a
C.
3
2
3
a
D.
3
2 2
3
a
Câu 11: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có
2
AB a
,
AD CD a
,
3
SA a
và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp .
S BCD
bằng là
TOANMATH.com
Trang 27
A.
3
3
6
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
3
a
D.
3
3
a
Câu 12: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh
2
SD a
. Thể tích của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
3
3
a
B.
3
3
6
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
3
a
Câu 13: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy,
5
SB a
. Thể tích khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
6
3
a
B.
3
2
3
a
C.
3
2
a
D.
3
3
a
Câu 14: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2
a
,
SA a
,
3
SB a
. Biết rằng
SAB ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Thể tích của khối chóp .
S BMDN
là
A.
3
3
6
a
B.
3
3
3
a
C.
3
2 3
a D.
3
3
4
a
Câu 15: Thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là
A.
3
2
12
a
B.
3
2
4
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
2
a
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là
3
a
. Thể tích của khối chóp đó là
A.
3
4 2
3
a
B.
3
2 2
3
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
9
a
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc
60
. Tính thể tích V của khối chóp
.
S ABCD
.
A.
3
6
2
a
V B.
3
6
3
a
V C.
3
3
2
a
V D.
3
6
6
a
V
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích V của khối
chóp đã cho là
A.
3
4 7
V a
B.
3
4 7
9
a
V
C.
3
4
3
a
V
D.
3
4 7
3
a
V
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
3
a
, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của
khối chóp
.
S ABC
.
A.
3
3
4
a
V B.
3
3 3
2
a
V C.
3
3 3
4
a
V D.
3
3
4
a
V
Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
8
3
a
B.
3
3
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
2
3
a
TOANMATH.com
Trang 28
Câu 21: Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên tạo với đáy một góc
. Thể
tích khối chóp đó là
A.
3
sin
2
a
B.
3
tan
2
a
C.
3
cot
6
a
D.
3
tan
6
a
Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
, đáy ABCD có diện tích
2
16 cm
, diện tích một mặt bên là
2
8 3 cm
. Tính thể tích V của khối chóp
S.
ABCD
.
A.
3
32 2
cm
3
V
B.
3
32 13
cm
3
V
C.
3
32 11
cm
3
V
D.
3
32 15
cm
3
V
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng
60
. Gọi
M là trung điểm của cạnh SD. Thể tích khối chóp
.
M ABC
là
A.
3
3
24
a
B.
3
2
2
a
C.
3
2
4
a
D.
3
8
a
Câu 24: Cho một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng
60
và diện tích xung
quanh bằng
2
8
a
. Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp.
A.
2
4 3
a B.
2
4
a
C.
2
2
a
D.
2
2 3
a
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng
60
. Thể tích của
khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3
2
h
B.
3
3
h
C.
3
2
3
h
D.
3
3
3
h
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
2
3
a
B.
3
2
6
a
C.
3
2
9
a
D.
3
2
12
a
Câu 27: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều; mặt bên
SAB
nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S,
3
SA a
,
SB a
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
6
6
a
B.
3
2
a
C.
3
6
3
a
D.
3
6
2
a
Câu 28: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
BC a
; mặt bên
SAC
vuông
góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc
45
. Thể tích khối chóp
SABC
là
A.
3
12
a
B.
3
a
C.
3
6
a
D.
3
24
a
Câu 29: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
AB BC a
,
2
AD a
. Hình
chiếu của S lên mặt phẳng
ABCD
trùng với trung điểm cạnh AB. Biết rằng
5
SC a
. Tính theo a thể
tích V của khối chóp .
S ABCD
.
A.
3
5
4
a
B.
3
15
3
a
C.
3
15
4
a
D.
3
2 5
3
a
Câu 30: Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA a
, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
TOANMATH.com
Trang 29
A.
3
6
4
a
B.
3
6
24
a
C.
3
6
12
a
D.
3
6
8
a
Câu 31: Cho tứ diện ABCD có
60
BAC CAD DAB
,
AB a
,
2
AC a
,
3
AD a
.
Thể tích khối ABCD là.
A.
3
2
2
a
B.
3
3 2
2
a
C.
3
3 2
a
D.
3
2
a
Câu 32: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
ABCD
. Biết
2 3
SD a
và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt
phẳng
ABCD
bằng
30
. Thể tích của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
4 6
3
a
B.
3
6
13
a
C.
3
3
4
a
D.
3
2 3
7
a
Câu 33: Khối chóp
.
S ABCD
đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh CD. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng V. Thể tích khối chóp
.
S ABM
là
A.
2
V
B.
3
V
C.
2
3
V
D.
6
V
Câu 34: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
6
AB a
,
7
AC a
và
4
AD a
. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích của tứ diện AMNP là
A.
3
7
2
a
B.
3
14
a
C.
3
28
3
a
D.
3
7
a
Câu 35: Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA x
và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
18 cm
. Có hai giá trị
của x là
1 2
x ;
x
thỏa mãn để thể tích của khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
972 2 cm
. Tổng
2 2
1 2
x x
là
A. 324 B. 486 C. 972 D. 1296
Câu 36: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
4
AB BC a
. Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng
SHD
bằng
10
a .
Thể tích khối chóp .
S HBCD
bằng
A.
3
40 3
3
a
B.
3
28 3
3
a
C.
3
40 3
a D.
3
28 3
a
Câu 37: Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có
SA ABCD
, ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
2
AB a
,
3 3
AD BC a
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo a bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách từ A đến
mặt phẳng
SCD
bằng
3 6
4
a
.
A.
3
6 6
a
B.
3
2 6
a
C.
3
2 3
a
D.
3
6 3
a
Câu 38: Cho hình chóp .
S ABCD
có ABCD là hình thoi tâm O,
5
AB a
,
4
AC a
,
2 2
SO a
. Gọi M là
trung điểm của SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Thể tích khối chóp .
M OBC
là
A.
3
2 2
a
B.
3
2
a
C.
3
2
3
a
D.
3
4
a
Câu 39: Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy,
2
SA a
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
TOANMATH.com
Trang 30
A.
3
2
V a
B.
3
15
12
a
V C.
3
15
6
a
V D.
3
2
3
a
V
Câu 40: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy một
góc
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
của AG. Thể tích của khối chóp .
S ABC
là
A.
3
2 3
a B.
3
3
a C.
3
3
3
a
D.
3
2 3
3
a
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD
, đáy là hình vuông cạnh
2
a
. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng
ABCD
là điểm H thuộc cạnh AC sao cho 3
HC HA
, góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng
60
.
Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
15
6
a
B.
3
2 15
3
a
C.
3
15
9
a
D.
3
15
3
a
Câu 42: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh
3
AB a
, góc
60
ACB
, hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC
là trọng tâm tam giác ABC, gọi N là trung điểm của AC, góc
giữa SN và mặt phẳng đáy là
30
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
6
a
B.
3
18
a
C.
3
9
a
D.
3
12
a
Câu 43: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng
60
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3 3
4
a
B.
3
3
12
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
36
a
Câu 44: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại A có
AC a
và
2
BC a
. Mặt phẳng
SAC
tạo với mặt phẳng
ABC
một góc
60
. Hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm cạnh
BC. Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
2
a
Câu 45: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA a
. Hình chiếu vuông
góc của S lên
ABCD
là điểm H thuộc AC và
4
AC
AH
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Thể tích
khối tứ diện SMBC là
A.
3
14
2
a
B.
3
14
3
a
C.
3
14
6
a
D.
3
14
12
a
Câu 46: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC
là điểm H trên cạnh BC sao cho 2
HC BH

. Biết cạnh SA hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng
60
.
A.
3
12
a
B.
3
3
8
a
C.
3
4
a
D.
3
7
12
a
TOANMATH.com
Trang 31
Câu 47: Cho hình chóp
.
S ABC
biết rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thỏa mãn điều kiện
hai điểm A và H nằm về hai phía so với đường thẳng BC đồng thời ba mặt phẳng
SAB
,
SBC
,
SCA
cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Biết rằng tam giác ABC vuông tại A thỏa mãn điều kiện
3
AB
,
4
AC
và khoảng cách từ H tới
SBC
bằng
12 13
13
. Thể tích của khối chóp
.
S ABC
là
A.
8
V
B.
24
V
C.
12
V
D.
4
V
Câu 48: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
10cm
, các mặt bên cùng tạo với mặt
phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng
thỏa mãn
9
tan
5
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
600cm
B.
3
300cm
C.
3
900cm
D.
3
1200cm
Câu 49: Chóp tam giác đều
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc
60
. Thể tích của khối chóp là
A.
3
3
12
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3 3
4
a
D.
3
3
6
a
Câu 50: Cho hình chóp .
S ABC
có
5 cm
AB
,
6 cm
BC
,
7 cm
CA
. Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng
ABC
nằm bên trong tam giác ABC. Các mặt phẳng
SAB
,
SBC
,
SCA
đều tạo với
đáy một góc
60
. Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác của tam giác ABC với
D BC
,
E AC
,
F AB
. Thể tích khối chóp
.
S DEF
là
A.
3
280 6
cm
143
B.
3
280 2
cm
143
C.
3
280 3
cm
143
D.
3
140 3
cm
143
ĐÁP ÁN
1 - A 2 - B 3 - A 4 - B 5 - C 6 - D 7 - C 8 - A 9 - D 10 - D
11 - A 12 - A 13 - B 14 - B 15 - A 16 - A 17 - D 18 - D 19 - D 20 - C
21 - D 22 - C 23 - A 24 - B 25 - C 26 - B 27 - B 28 - A 29 - C 30 - C
31 - A 32 - A 33 - A 34 - D 35 - C 36 - B 37 - B 38 - C 39 - C 40 - C
41 - D 42 - B 43 - C 44 - A 45 - D 46 - D 47 - A 48 - B 49 - A 50 - C
TOANMATH.com
Trang 32
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ
Bài toán 1. Thể tích lăng trụ đứng
Phương pháp giải
Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh
bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên là chiều
cao của hình lăng trụ đứng.
Các mặt bên là các hình chữ nhật. Các mặt bên đều
vuông góc với đáy.
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là
đa giác đều. Các mặt bên đều là các hình chữ nhật
bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể
tích của khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
3a
.
4
B.
3
a 3
.
4
C.
3
3a 3
.
4
D.
3
a
.
4
Hướng dẫn giải
Ta có
ABC
đều cạnh a
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
2 3
.
3 3
. . .
4 4
ABC A B C ABC
a a
V S AA a
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
, đáy là tam giác ABC
vuông tại A,
, 30
AB a ABC
cạnh
C A
hợp với mặt đáy góc
60
.
Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
.
6
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
6
a
D.
3
3
.
2
a
Hướng dẫn giải
ABC
vuông tại A có:
.tan
AC AB ABC
1
. .
2
ABC
S AB AC
Ta có
C A ABC C AC
TOANMATH.com
Trang 33
ABC
vuông tại A có
3
.tan
3
a
AC AB ABC
2
1 3
. . .
2 6
ABC
a
S AB AC
Ta có
C A ABC C AC
60
.
ACC
vuông tại C có
.tan .
CC AC C AC a
Vậy
2 3
.
3 3
. . .
6 6
ABC A B C AABC
a a
V S CC a
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
, đáy ABC là tam giác vuông
tại A, cạnh
, 30
AC a ABC
, cạnh
BC
hợp với mặt bên
ACC A
góc
30
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
bằng
A.
3
6.
a B.
3
6
.
3
a
C.
3
2 3.
a D.
3
3
.
3
a
Hướng dẫn giải
Ta có
, 30
BA ACC A BC ACC A BC A
.
ABC
vuông tại A có
.cot 3
AB AC ABC a
2
1 3
. .
2 2
ABC
a
S AB AC
ABC
vuông tại A có
60
từ đó dựa vào hệ thức
lương trong
ACC
vuông
tại C tính được
.tan .
CC AC C AC
ABC
vuông tại A có:
.cot
AB AC ABC
1
.
2
ABC
S AB AC
dựa vào hệ thức lượng trong
ABC
vuông tại A tính được
.cot .
AC AB AC B
ACC
vuông tại C tính
được chiếu cao lăng trụ
2 2
CC AC AC
TOANMATH.com
Trang 34
.cot 3. 3 3
AC AB AC B a a
.
ACC
vuông tại C có
2 2
2 2.
CC AC AC a
Vậy
2
3
.
3
. .2 2 6.
2
ABC A B C ABC
a
V S CC a a
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
có cạnh đáy bằng a và
AB BC
. Thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
7
.
8
a
V B.
3
6.
V a
C.
3
6
.
8
a
V D.
3
6
.
4
a
V
Hướng dẫn giải
Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm
1
.
2
B AB CE a
Khi đó tam giác ACE vuông tại
2 2
4 3.
A AE a a a
Tứ giác
BC B E
là hình bình hành
/ /
BC B E
.
Do
AB BC AB B E
.
Mặt khác, ta có
BC B E AB
nên tam giác
AB E
vuông cân tại
B
3 6
.
2
2 2
AE a a
AB
Xét tam giác
AA B
vuông tại
A
2
2 2 2
6 2
.
2 2
a a
AA AB A B a
Vậy
2 3
2 3 6
. .
2 4 8
a a a
V
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A, cạnh
2
BC a
, góc giữa hai đường thẳng
AC
và
BA
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
Ta lấy điểm E là điểm đối
xứng với C qua B.
Khi đó tam giác ACE vuông
tại A.
Tứ giác
BC B E
là hình bình
hành / /
BC B E
.
Do
AB BC
AB B E
.
Ta có
BC B E AB
nên
tam giác
AB E
vuông cân
tại
.
B
Nên tính được
2
AE
AB
.
Dựa vào định lý Py-ta-go
trong tam giác
AA B
vuông
tại
A
tính được
2 2
.
AA AB A B
TOANMATH.com
Trang 35
A.
3
3
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
3
a
D.
3
.
3
a
Hướng dẫn giải
Ta có
1
2 . .
2 2
ABC
a
BC a AB AC a S AB AC
Lấy D,
D
sao cho
.
ABDC A B D C
là hình hộp
/ / , 60
BD AC A BD AC BA
Mà
AB AC A B BD A BD
đều.
Do
A B C D
là hình chữ nhật,
2 2
A D B C a A B a AA a
.
Vậy
3
.
. .
2
ABC A B C ABC
a
V S AA
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác
vuông,
AB BC a
. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
ACC
và
AB C
bằng
60
. Thể tích khối chóp
.
B ACC A
bằng
A.
3
.
3
a
B.
3
.
6
a
C.
3
.
2
a
D.
3
3
.
3
a
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của
A C
.
Do tam giác
' '
A B C
vuông
cân tại
B
nên
B M A C
MB AA C C
.
TOANMATH.com
Trang 36
Gọi M là trung điểm của
A C
. Do tam giác
A B C
vuông cân tại
B
nên
B M A C
MB AA C C
.
Thể tích khối chóp
.
B ACC A
là
.
1
. .
3
B ACC A
V B M AA AC
.
Ta có
2
, 2
2
a
B M AC a
. Do
MB AA C C MB AC
.
Kẻ
MK AC B K AC
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
ACC
và
AB C
là
60
MKB MKB
.
Trong tam giác vông
MKB
ta có
6
tan 60
tan 60 6
MB MB a
MK
MK
.
Trong tam giác vuông
MKC
ta có
2 2 2 2
6
2
6
tan .
2
2 6
4 36
a
MK
MC K
MC MK a a
Mặt khác trong tam giác vuông
AA C
ta có
2
.tan 2
2
AA A C MC K a a
Vậy
3
.
1 1 2
. . . . 2 .
3 3 2 3
B AA C C
a a
V B M AA AC a a
Bài toán 2. Thể tích lăng trụ xiên
Phương pháp giải
Lăng tru xiên có cạnh bên không vuông góc với
đáy. Chiều cao là khoảng cách từ một đỉnh bất kì
của mặt đáy này đến mặt đáy đối diện. Để tính
chiều cao ta dựa vào hệ thức lượng trong tam giác.
Ví dụ 1:Cho lăng trụ
.
ABC A B C
tam giac ABC
vuông cân tại A, cạnh
3
AA a
, hình chiếu
vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABC
là trong
điểm của AC, góc tạo bởi
AA
với
ABC
bằng
45
. Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
A.
3
3 6
.
2
a
B.
3
6
.
3
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
6.
a
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 37
Gọi H là trung điểm
AC A H ABC
;
, 45
AA ABC A AH
.
Xét tam giác
A HA
vuoong cân tại H có
2 6
.sin 3. ,
2 2
a
A H AA A AH a
6
2 6
2
a
AH AH AB AC AH a
2
1
. 3
2
ABC
S AB AC a
.
Vây
3
2
.
6 3 6
. 3 . .
2 2
ABC A B C ABC
a a
V S A H a
.
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho lăng trụ .
ABC A B C
đây là tam giác ABC vuông tại A,
, 3
AB a BC a
, hình chiếu vuông góc của
B
trên mặt phẳng
ABC
trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC,
góc tạo bởi
AB
với
ABC
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
3
.
4
a
B.
3
3 3
.
4
a
C.
3
.
3
a
D.
3
.
a
Hướng dẫn giải
2
1 1 2
. . 2 .
2 2 2
ABC
a
S AB AC a a
Ta có
B H ABC
Ta có
,
AB ABC B AH
60
Tam giác ABC vuông tại A có
nên:
.
AB AC
AH
BC
.
Áp dụng hệ thức lượng trong
tam giác
AHB
vuông tại H
TOANMATH.com
Trang 38
, 60
AB ABC B AH
Xét tam giác ABC vuông tại A có
. . 2 6
3
3
AB AC a a a
AH
BC
a
.
Xét tam giác
AHB
vuông tại H có
6
.tan .tan 60 2
3
a
B H AH B AH a
.
Vậy
2
3
.
2
. . 2
2
ABC A B C ABC
a
V S B H a a
Chọn D.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ
.
ABCD A B C D
đáy là hình thang cân ABCD có
, 2
AC BD AC a
, cạnh
AA
tạo với mặt phẳng đáy góc
60
. Hình
chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC sao cho
1
3
AH HC
. Thể tích của khối lăng trụ .
ABCD A B C D
là
A.
3
2 3
.
3
a
B.
3
2 3.
a
C.
3
3
.
3
a
D.
3
3
a .
Hưỡng dẫn giải
ABCD là hình thang cân
2
AC BD a
2
1
. 2
2
ABCD
S AC BD a
1 1
3 4 2
a
AH HC AH AC
, 60
AA ABCD A AH
Xét tam giác
A HA
vuoong tại H có
3
.tan . 3
2 2
a a
A H AH A AH
.
Vậy
2 3
.
3
. 2 . 3
2
ABCD A B C D ABCD
a
V S A H a a
.
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
, khoảng cách từ C đến đường
thẳng
BB
bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng
BB
và
CC
lần lượt bằng 1 và
3
, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng
ta tính được chiều cao:
.tan
B H AH B AH
Tứ giác ABCD có hai đường
chéo
AC BD
1
. .
2
ABCD
S AC BD
, 60
AA ABCD A AH
Áp dụng hệ thức lượng trong
tam giác
A HA
vuông tại H
ta tính được chiều cao:
.tan
A H AH A AH
TOANMATH.com
Trang 39
A B C
là trung điểm M của
B C
và
2
A M
. Thể tích của khối
lăng trụ
.
ABC A B C
bằng
A.
3.
B. 1.
C. 2. D.
2 3
.
3
Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm BC,
2
AN A M
.
Kẻ
AE BB
tại
,
E AF CC
tại F.
Ta có
EF MN H
nên H là trung điểm EF.
Lại có
.
AE AA
AA AEF AA EF EF BB
AF AA
Khi đó
, 1, , 3, , 2
d A BB AE d A CC AF d C BB EF
Ta có
2 2 2
AE AF EF AEF
vuông tại
1.
2
EF
A AH
Mặt khác
/ /
AA AEF
MN AEF MN AH
MN AA
.
Xét
AMN
vuông tại A có
2 2
. 2 3
3
AH AN
AM
AN AH
.
Ta có
,
AA NM ABC
AA NM AEF
ABC AEF HAN
AA NM ABC AN
AA NM AEF AH
.
1
2
1
. . . 3
2

AH
AN
ABC ABC
AH
AE AF S S AE AF
AN
Vậy
.
2 3
. . 3 2
3
ABC A B C ABC
V S AM
.
Chọn C.
Gọi N là trung điểm BC.
2
AN A M
.
Kẻ
AE BB
tại E,
AF CC
tại F.
Ta có
EF MN H
nên H
là trung điểm EF.
Ta có
AE AA
AF AA
AA AEF
AA EF EF BB
Khi đó
, 1,
d A BB AE
, 3,
d A CC AF
, 2
d C BB EF
.
AMN
vuông tại A ta tính
được chiều cao AM.
Diện tích tam giác AEF tính
theo công thức
.cos
AEF ABC
S S HAN
Tổng quát các dạng bài này:
2
, ,
2 2
,
. .
4
A BB A CC
C BB
d d A M
V
A M d
Bài toán 3. Thể tích hình hộp
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 40
Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình
hành. Có bốn mặt bên đều là các hình bình hành.
Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là
hình bình hành. Có bốn mặt bên đều là các hình chữ
nhật.
Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là
hình chữ nhật. Sau mặt của hình hộp chữ nhât đều
là các hình chữ nhật.
Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả
các cạnh bằng nhau. Sáu mặt đều là các hình vuông.
Ví dụ: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có
4 3
A C
.
Thể tích khối lập phương
.
ABCD A B C D
là
A.
2 3.
B.
4 3.
C. 64. D. 125.
Hướng dẫn giải
Đặt
2.
AB x AC x
A AC
vuông tại A có
2 2 2 2
2 3;
A C AA AC x x x
4 3 3 4 3 4.
A C x x
Vậy
3
.
4 64
ABCD A B C D
V
.
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình hộp đứng .
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a,
120
BAD
.Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, góc tạo
bởi
C G
và mặt đáy bằng
30
. Thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D
là
A.
3
.
a
B.
3
.
3
a
C.
3
.
6
a
D.
3
.
12
a
Hướng dẫn giải
. .sin
ABCD
S AD AD BAD
Góc tạo bởi
C G
và mặt đáy
,
C G ABCD C GC
Áp dụng hệ thức lượng trong
C CG
vuông tại C tính
được
TOANMATH.com
Trang 41
Ta có
2
3
. .sin .
2
ABCD
a
S AB AD BAD
Do
120
BAD ACD
đều
AC a
và
2 2
3 3
a
CG CO OG AC
.
Lại có
, 30
C G ABCD C GC
Xét
C CG
vuông tại C có
2 3
.tan
9
a
CC CG C GC
Vậy
3
.
.
3
ABCD A B C D ABCD
a
V S CC
Chọn B.
Ví dụ 2. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 50cm. Người ta cắt bỏ đi
ở một góc tấm bìa hình vuông cạnh 16cm rồi gấp lại thành một cái
hộp chữ nahat không có nắp. Thể tích khối hộp chữ nhật là
A. 5184
3
.
cm
B. 8704
3
.
cm
C. 4608
3
.
cm
D. 18496
3
.
cm
Hướng dẫn giải
16
AA BB CC DD cm
nên ABCD là hình vuông có
50 2.16 18 .
AB cm
3
.
. . 18.18.16 5184
ABCD A B C D
V AB AC AD cm
.
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ
nhật
15,
AB
5
AD
. Hai mặt bên
ABB A
và
ADD A
lần
lượt tạo với mặt phẳng đáy những góc
30
và
60
, cạnh bên có độ
dài bằng 1. Thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D
là
A. 21. B.
15 65
.
12
C.
15 65
.
13
D.
21
.
2
.tan '
CC CG C GC
.
Khi cắt bỏ một góc tấm bìa
một hình vuông cạnh 16cm
thì cạnh đáy còn lại là
50 2.16 18 ,
cm
chiều
cao là 16cm.
TOANMATH.com
Trang 42
Hướng dẫn giải
Ta có
. 5 15
ABCD
S AB AD
Kẻ
, , ;
A H ABCD MH AB NH AD M AB N AD
, 30 ;
ABB A ABCD A MH
, 60
ADD A ABCD A NH
Đặt
A H x
, khi đó
2 3
,
sin 60 3
x x
A N
3
, 2
3
x
AM NH A M x
.
Xét
A AM
vuông tại M có
2
2 2 2 2
3 39
1 4
3 39
x
A A AM A M x x
Vậy
.
3 39 15 65
. 5 15. .
39 13
ABCD A B C D ABCD
V S A H
Chọn B.
Ta có
. 5 15
ABCD
S AB AD
Kẻ
A H ABCD
,
,
MH AB NH AD
,
ABB A ABCD A MH
,
ADD A ABCD A NH
Xét
A AM
vuông tại M có
2 2 2
A A AM A M
Mà
sin 60
A H
A N
,
, 2
AM NH A M A H
Từ đó suy ra
.
A H
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
, đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,
BC 2a,A 'B a 3
.
Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
.
2
a
B.
3
.
a
C.
3
3 .
a
D.
3
.
3
a
Câu 2: Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng
AB
hợp với đáy một
góc
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ .
ABC A B C
là
A.
3
3
.
2
a
V
B.
3
.
4
a
V
C.
3
3
.
4
a
V
D.
3
.
2
a
V
Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác .
ABC A B C
có
26 , 60 , 74
AB cm BC cm AC cm
, diện tích
xung quanh bằng 2880cm
2
. Thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A. 4320
3
cm
. B. 3840
3
cm
. C. 12960
3
cm
. D. 11520
3
cm
.
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2 ,
AA a
3
A B a
.
Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
TOANMATH.com
Trang 43
A.
3
5 .
a
B.
3
13 .
a
C.
3
5
.
2
a
D.
3
13
.
2
a
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có
, 2 , 120
AB a AC a BAC
, cạnh
C A
hợp với mặt đáy
góc
45
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
2 3
.
3
a
B.
3
2 3.
a C.
3
3
.
3
a
D.
3
3
a .
Câu 6: Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác cân,
, 120
AB AC a BAC
. Mặt phẳng
AB C
tạo với mặt đáy góc
30
. Tính thể tích lăng trụ
.
ABC A B C
bằng V. Tỷ số
3
a
V
có giá trị là
A.
8
.
3
B. 8. C. 4. D.
4
.
3
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối tứ diện
AA BC
là
A.
3
.
2
a
B.
3
3
.
2
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
3
.
12
a
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
A.
3
3
.
2
a
B.
3
6
.
3
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
6
.
4
a
Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh
6
BC a
. Góc
giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCCB
bằng
60
. Thể tích của khối đa diện
AB CA C
là
A.
3
3 3
.
2
a
B.
3
3.
a C.
3
3
.
2
a
D.
3
3
.
3
a
Câu 10: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là một tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng
30
. Hình chiếu của đỉnh
A
trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Thể tích
khối đa diện
ABA B C
là
A.
3
3
.
4
a
B.
3
3
.
3
a
C.
3
3
.
12
a
D.
3
3
.
12
a
Câu 11: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của
A
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên
AA C C
tạo với đáy một góc bằng
45
. Thể
tích của khối đa diện
ABCA B
là
A.
3
.
6
a
B.
3
3
.
4
a
C.
3
3
.
8
a
D.
3
.
4
a
Câu 12: Cho lăng trụ .
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
6 , 8
AC a BC a
, hình chiếu
vuông góc của
C
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của
BC
, góc tạo bởi hai mặt phẳng
C AC
và
ABC
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
A.
3
128 3.
a B.
3
64 3.
a C.
3
96 3.
a D.
3
32 3.
a
TOANMATH.com
Trang 44
Câu 13: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA
và BC
bằng
3
4
a
. Thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
3
.
6
a
B.
3
3
.
12
a
C.
3
3
.
3
a
D.
3
3
.
24
a
Câu 14: Cho lăng trụ tam giác .
ABC A B C
có
BB a
, góc giữa đường thẳng
BB
và
ABC
bằng
60
,
tam giác ABC vuông tại C và góc
60
BAC
. Hình chiếu vuông góc của điểm
B
lên (ABC) trùng với
trọng tâm của
ABC
. Thể tích của khối tứ diện
A ABC
là
A.
3
13
.
108
a
B.
3
7
.
106
a
C.
3
15
.
108
a
D.
3
9
208
a
Câu 15: Cho lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bẳng 4 và khoảng cách từ điểm A đến các
đường thẳng
BB
,
CC
lần lượt bẳng 1 và 2. Biết góc giữa hai mặt phẳng
ABB A
và
ACC A
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
4 3.
B.
3.
C.
3 3.
D.
2 3.
Câu 16: Cho lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông tại A có
1; 2
AB BC
. Góc
90 ; 120
CBB ABB
. Gọi M là trung điểm cạnh
AA
. Biết
7
,
7
d AB CM
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
2 2.
B.
4 2
.
9
C.
4 2.
D.
4 2
.
3
Câu 17: Cho lăng trụ xiên tam giác
.
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh dài 20cm. Hình chiếu của
A
xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết
AA
hợp với đáy một góc
45
. Thể tích
khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
3
1000 3 .
m
B.
3
2000 .
m
C.
3
2000 3 .
m
D.
3
1000 .
m
Câu 18: Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
60
BAD
. Hình chiếu vuông
góc của
A
lên mặt phẳng
ABCD
là điểm H thuộc AB thỏa mãn
, 30
2
BH
AH A AH
. Thể tích khối
hộp
.
ABCD A B C D
là
A.
3
.
6
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
6
a
D.
3
3
.
2
a
Câu 19: Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình bình hành có
, 3 , 120
AB a AD a BAD
,
3
AA a
, hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm
tam giác ABD. Thể tích khối hộp .
ABCD A B C D
là
A.
3
5
.
2
a
B.
3
2 5
.
3
a
C.
3
15.
a D.
3
2 5.
a
Câu 20: Cho hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình vuông có đường chéo
8
AC cm
, cạnh
10
A C cm
. Thể tích khối hộp .
ABCD A B C D
là
A.
3
144 2 .
cm
B.
3
192 2 .
cm
C.
3
144 .
cm
D.
3
192 .
cm
TOANMATH.com
Trang 45
Câu 21: Cho hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi có
6 , 8
AC a BD a
. Chu vi của
một đáy bẳng 4 lần chiều cao khối hộp.Thể tích khối hộp .
ABCD A B C D
là
A.
3
40 .
a
B.
3
80 .
a
C.
3
240 .
a
D.
3
120 .
a
Câu 22: Cho hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi,
60
BAD
,
2 3
AC BD
. Thể
tích khối hộp
.
ABCD A B C D
là
A.
2 3.
B.
4 3.
C.
4 6.
D.
6.
Câu 23: Cho hình hộp đứng .
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, canh biên
3
AA a
và đường chéo
5
AC a
. Thể tích V của khối hộp .
ABCD A B C D
là
A.
3
.
V a
B.
3
16 .
V
C.
3
8 .
V a
D.
3
24 .
V a
Câu 24: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn
60
và đường chéo lớn của đáy bẳng
đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là
A.
3
.
a
B.
3
3.
a C.
3
3
2
a
. D.
3
6
.
2
a
Câu 25: Cho một hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
đáy ABCD là hình vuông cạnh 15cm và đường chéo
BD
với đáy ABCD một góc
30
. Thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D
gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 1949
3
.
cm
B. 1125
3
.
cm
C. 1591
3
.
cm
D. 2756
3
.
cm
Câu 26: Cho hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng
A BCD
bẳng
3
2
a
. Thể tích hình hộp
.
ABCD A B C D
là
A.
3
3,
V a
B.
3
21
.
7
a
V C.
3
.
V a
D.
3
3
3
a
V .
Câu 27: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có diện tích tam giác
ACD
bẳng
2
3
a . Thể tích của hình
lập phương
.
ABCD A B C D
là
A.
3
3 3 .
V a
B.
3
2 6 .
V a
C.
3
8 .
V a
D.
3
2 2 .
V a
Câu 28: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bẳng a, một mặt phẳng
cắt các cạnh
AA
,
BB
,
CC
,
DD
lần lượt tại M, N, P, Q. Biết
1 2
,
3 5
AM a CP a
. Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ bẳng
A.
3
11
.
30
a
B.
3
.
3
a
C.
3
2
.
3
a
D.
3
11
.
15
a
Câu 29: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
A BD
bẳng
4 3
2
a
.
Tính theo a thể tích khối lập phương
.
ABCD A B C D
.
A.
3
8 .
V a
B.
3
3 3 .
V a
C.
3
8 3
V a
. D.
2
216 .
V a
Câu 30: Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
2 , 10
AD AB BD a
, cạnh
A C
hợp với đáy một
góc
45
. Thể tích khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
là
A.
3
2 5
.
3
a
B.
3
10
.
3
a
C.
3
2 10
.
3
a
D.
3
2 5 .
a
TOANMATH.com
Trang 46
.
.
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
ĐÁP ÁN
1-B 2-C 3-C 4-A 5-D 6-B 7-D 8-D 9-B 10-C
11-D 12-C 13-B 14-D 15-D 16-A 17-B 18-A 19-C 20-D
21-D 22-C 21-D 22-D 23-D 24-A 25-D 26-A 27-A 30-D
Dạng 3. Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp
Bài toán 1. Tỉ số thể tích
Bài toán 1.1. Tỉ số thể tích khối chóp
Phương pháp giải
So sánh thể tích khối chóp cần tính với một khối đa
diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết quả
của các bài toán sau
Kết quả 1.
Cho hình chóp .
S ABC
. Lấy
, ,
A B C
tương ứng trên
các cạnh
, ,
SA SB SC
Khi đó
Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm
, ,
A B C
có thể có điểm , ,
A A B B C C
Thông thường, đối với bài toán này, đề thường cho
điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu…
Công thức chỉ đúng khi đáy là tam giác. Nếu đáy là tứ
giác, ngũ giác… ta phải phân chia đáy thành các tam
giác và tính tổng thể tích các khối có đáy là tam giác.
Kết quả 2.
Cho hình chóp .
S ABCD
đáy
ABCD
là hình bình hành.
Mặt phẳng
P
cắt
, , ,
SA SB SC SD
lần lượt
Chứng minh
Đặt
B SC BSC
Ta có
,
,
d A SBC
SA
SA
d A SBC
. .
. .
1
, .
3
1
, .
3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
d A SB C S
V V
V V
d A SBC S
1 1
, . . .sin
3 2
. .
1 1
, . . .sin
3 2
d A SBC SB SC
SA SB SC
SA SB SC
d A SBC SB SC
(điều phải chứng minh)
Chứng minh
1. Chứng minh
a c b d
TOANMATH.com
Trang 47
a c b d
.
.
4
S A B C D
S ABCD
V
a b c d
V abcd
tại
, , ,
A B C D
với
; ; ;
SA SB SC SD
a b c d
SA SB SC SD
; ; ; 0
a b c d
Khi đó ta có hai công thức quan trọng sau
1.
2.
Chú ý: Các công thức 1, 2 chỉ áp dụng cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Các công thức này được ứng
dụng rất nhiều trong các bài toán tìm thiết diện cũng
như thể tích khối đa diện nên tận dụng khi làm trắc
nghiệm để không phải làm theo phương pháp chia nhỏ
đáy thành các tam giác.
Gọi O là
tâm hình bình hành, I là giao điểm của SO và
A B C D
Ta có
2
SA I SC I SA C
SAO SOC
SAO SCO SAC
S S S
S S
S S S
. .sin . .sin
. .sin AS . .sin CS
SA SI A SI SC SI C SI
SA SO O SC SO O
=
'. 'sin ' '
2.
. sin
SA SC A SC
SA SC ASC
. . .
2.
. . .
SA SI SC SI SA SC
SA SO SC SO SA SC
Nhân cả hai vế của đẳng thức với
. .
. .
SA SC SO
SA SC SI
ta được
2.
SA SC SO
SA SC SI
(1)
Chứng minh tương tự
2.
SB SD SO
SB SD SI
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
SA SC SB SD
SA SC SB SD
Hay
a c b d
(điều phải chứng minh)
2. Chứng minh
.
.
4
S A B C D
S ABCD
V
a b c d
V abcd
TOANMATH.com
Trang 48
Ta có
. . .
. . .
2 2
S A B C D S A B C S A D C
S ABCD S ABC S ADC
V V V
V V V
1
. . . .
2
SA SB SC SA SD SC
SA SB SC SA SD SC
=
1 1 1
2 2
d b
abc acd abcd
Do
a c b d
suy ra
2
a b c d
b d
Vậy
.
.
4
S A B C D
S ABCD
V
a b c d
V abcd
(điều phải chứng minh)
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD là
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
8
Hướng dẫn giải
Ta có
1
. .
4
AMND
ABCD
V
AM AN AD
V AB AC AD
Chọn B
Ví dụ 2. Cho hình chóp SABC, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
2 , 4 ,
AM MB BN NC SP PC
. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.BMN và A.CPN là
A.
4
3
. B.
8
3
. C.
5
6
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Ta có
. .
. B.ACS
1 4 4
. . .
3 5 15
S BMN B MNS
S ABC
V V
BM BN BS
V V BA BC BS
. .
. C.ABS
1 1 1
. . .
5 2 10
A CPN C ANP
S ABC
V V
CA CN CP
V V CA CB CS
.
.
4 1 8
:
15 10 3
S BMN
A CNP
V
V
Chọn B
TOANMATH.com
Trang 49
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt
phẳng đáy là
thỏa mãn
1
cos
3
. Mặt phẳng
P
qua AC và vuông góc với mặt phẳng
SAD
chia khối
chóp
.
S ABCD
thành hai khối đa diện có thể tích là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ lệ
1
2
V
V
gần nhất với giá trị nào
trong các giá trị sau?
A.
0,11
. B.
0,13
. C.
0,7
. D.
0,9
.
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm hình vuông
ABCD
.
Vì
.
S ABCD
là hình chóp tứ giác đều nên
SO ABCD
Gọi N là trung điểm CD
,
,
CD SN CD ON
SCD ABCD SNO
SCD ABCD CD
Kẻ
CM SD
Ta có
AC BD
AC SBD AC SD
AC SO
SD ACM ACM SAD
nên mặt phẳng
P
là
ACM
Xét tam giác SON vuông tại O có
3
2
1
2
cos
3
a
ON a
SN
SNO
2 2
2 2
3
2
2 2
a a
SO SN ON a
Xét tam giác SOD vuông tại O có
TOANMATH.com
Trang 50
2
2
2 2
2 10
2
2 2
a a
SD SO OD a
Ta có
3
.
1 1 . 3 10
2
. .
2 2 10
10
2
SCD
a
a
SN CD a
S CM SD SN CD CM
SD
a
Xét tam giác MCD vuông tại M có
2
2 2 2
3 10 10
10 10
a a
DM CD CM a
Ta có
10
1 1 1 1
10
. . . . .
2. 2 2 2 10
10
2
MACD MACD
SABCD SACD
a
V V
DM DA DC DM
V V DS DA DC DC
a
1
10
MACD SABCD
V V
Mặt phẳng
P
chia khối chóp
.
S ABCD
thành 2 khối
MACD
và
SABCM
9
10
SABCD MACD SABCM SABCM SABCD
V V V V V
Do đó
1
0,11
9
MACD
SABCM
V
V
Chọn A
Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh a, góc giữa mặt bên
và mặt phẳng đáy là
. Mặt phẳng
P
qua AC và vuông góc với mặt phẳng
SAD
chia khối chóp
.
S ABCD
thành hai khối đa diện có thể tích là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ số thể tích của hai khối đa diện là
2
1
2
cos
V
V
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2 2
2
1
.
cos
SD SN ND ON ND
SNO
2
2
1
1 cos 1
2 cos 2.cos
a a
Ta có
1 1
. .
2 2
SCD
S CM SD SN CD
TOANMATH.com
Trang 51
2
2
1
.
.
2 cos
1 cos
cos 1
2cos
a
a
SN CD a
CM
a
SD
2
2 2 2
2
2
.cos
1 cos
1 cos
a a
DM CD CM a
1 1
. . . .
2. 2 2
MACD MACD
SABCD SACD
V V
DM DA DC DM
V V DS DA DC DS
2
2
2
2
cos
1 cos
1 cos
2 1 cos
1 cos
2cos
a
a
2 2
2 2 2
cos cos 1
1
1 cos 1 cos 1 cos
MACD SABCD SABCM SABCD SABCD
V V V V V
Do vậy
2
cos
MACD
SABCM
V
V
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.
S ABC
có
0 0
; 2 ,ASB=BSC=60 ,ASC 90
SA SB a SC a
. Thể tích của khối
chóp
.
S ABC
bằng V. Tỉ số
3
6
V
a
bằng
A.
4 6
3
. B.
2
. C.
3
. D.
3
3
.
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm SC.
Ta có
SM a SAM
vuông cân tại S.
Gọi H là trung điểm của AM.
Ta có
2 2 2
2
AM SA SM a
1 2
2 2
a
SH AM
Vì
SM SB a
và
0
60
BSC
nên
BSM
đều
BM a
SAB
có
0
;ASB=60
SA SB a nên là tam giác đều
AB SA a
Suy ra
AB BM a ABM
cân tại B.
Mặt khác
2 2 2
2
AB BM a
và
2 2 2 2 2
2
AM a AB BM AM
ABM
vuông cân tại B (định lý Py-ta-go đảo)
1 2
2 2
a
BH AM
TOANMATH.com
Trang 52
Ta có
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
a a
SH BH a SH BH SB a
SHB
vuông cân tại H (định lý py-ta-go đảo).
Ta có
,
SH AM SH HB SH ABM
.
2 2 3
.
1 1 1 2 2
. .
2 2 3 3 2 2 12
ABM S ABM ABM
a a a a
S AB BM V SH S
3
.
. .
3
.
2 6
2 2 2
6
S ABC
S ABC S ABM
S ABM
V
SC a V
V V
V SM a
Chọn B.
Tổng quát: Cho chóp
.
S ABC
có , ;
SA a SB b SC c
và
ASB= ,BSC= , ASC
. Thể tích khối
chóp
.
S ABC
là
2 2 2
.
1 cos os cos 2cos cos cos
6
S ABC
abc
V c
.
Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt
lấy các điểm
, ,
A B C
sao cho 2 ; 3 ; 4
SA SA SB SB SC SC
, mặt phẳng
A B C
cắt cạnh SD tại
D
.
Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích của hai khối chóp
.
S A B C D
và
.
S ABCD
. Khi đó tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
24
. B.
1
26
. C.
7
12
. D.
7
24
.
Hướng dẫn giải
Cách 1. Phân chia đáy thành 2 tam giác
2 4 3 3 3
SA SC SB SD SD SD
SD SD
SA SC SB SD SD SD
.
. .
.
1 1 1 1 1
. . . .
2 3 4 24 24
S A B C
S A B C S ABCD
S ABC
V
SA SB SC
V S
V SA SB SC
.
. .
.
1 1 1 1 1
. . . .
2 3 4 24 24
S A C D
S A B C S ACD
S ACD
V
SA SD SC
V S
V SA SD SC
. . .
. . .
.
1
24 24
S ABC S ACD S A B C D
S A B C D S A B C S A C D
S ABCD
V V V
V V V
V
TOANMATH.com
Trang 53
Cách 2. Áp dụng trực tiếp công thức
Ta có
.
.
2 4 3 3 1
4.2.4.3.3 24
4. . . .
S A B C D
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
Chọn A.
Bài toán 1.2. Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Phương pháp giải
Trong phương pháp này, ta thường hay sử
dụng kết quả của bài toán
Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có các điểm
M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA , ,
BB CC
sao cho
, ,
AA
AM BN CP
a b c
BB CC
Khi đó
.
3
ABCMNP
ABC A B C
V
a b c
V
Đặc biệt:
. .
. .
,
3 3
A MNP M BCPN
ABC A B C ABC A B C
V V
a b c
V V
Chứng minh
Ta có
. . .
A BCC B ABC A B C A A B C
V V V
.
. .
2
1
3 3
ABC A B C
ABC A B C ABC A B C
V
V V
Ta có
.
.
1
; .
3
; .
ABC
M ABC
ABC A B C
ABC
d M ABC S
V
V
d A ABC S
;
1 1 1
3 3 AA 3
;
d M ABC
AM
a
d A ABC
Suy ra
Ta có
/ / ; ;
AM BCC B d M BCPN d A BCPN
. .
M BCPN A BCPN
V V
. .
.
3
M ABC ABC A B C
a
V V
TOANMATH.com
Trang 54
Suy ra
. .
. .
M BCPN A BCPN BCPN
A BCC B A BCC B BCC B
V V S
V V S
1
. ;
2
. ; 2
BN CP d C BB
BN CP
BB d C BB BB
2 2 2 2 2
BN CP BN CP b c
BB BB BB CC
. .
2
M BCPN A BCC B
b c
V V
.
.
2
.
2 3
ABC A B C
M BCPN
V
b c
V
. .
.
3
M BCPN ABC A C B
b c
V V
Mặt khác
. . . '
.
3
ABCMNP M ABC M BCPN ABC A B C
a b c
V V V V
.
3
ABCMNP
ABC A B C
V
a b c
V
(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA , ,
BB CC
sao cho
A , 3 , 3
M MA BN NB CP PC
. Đặt
1
V
là thể tích của khối đa diện
2
,
ABCMNP V
là thể tích
khối đa diện còn lại. Tỉ số
1
2
V
V
là
A.
3
2
. B.
2
. C.
3
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Ta có
1 3 3
; 3 ; 3
AA 2 4 4
MA BN CP
MA MA BN NB CP PC
BB CC
Đặt
.
ABC A B C
V V
TOANMATH.com
Trang 55
Suy ra
1 1
1 2 1
2
1 3 3
2 2 1
2 4 4
2
3 3 3 3
V V
V V V V V V
V V
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có thể tích là V và độ dài cạnh bên
6
AA
. Trên
cạnh
, ,
A A B B C C
lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
2, ,
AM BN x CP y
với x, y là các số
dương thỏa mãn
12
xy
. Biết rằng thể tích khối đa diện
.
ABC MNP
bằng
1
2
V
. Giá trị của
2 2
x y
bằng
A.
24
. B.
25
. C.
10
. D.
17
.
Hướng dẫn giải
Ta có
.
.
1 1 1 1
; ; ;
3 6 6 3 3 6 6 2
ABC MNP
ABC A B C
V
AM BN x CP y x y
AA BB CC V
.
Suy ra
2
2 2 2 2
7 49 49 2 25
x y x y x y xy x y
Chọn B.
Bài toán 1.3. Tỉ số thể tích khối hộp
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 56
Cho hình khối hộp
.
ABCD A B C D
, mặt
phẳng
cắt các cạnh
, , ,DD
AA BB CC
lần lượt
tại M, N, P, Q sao cho
, , ,
DD
AM BN CP DQ
a b c d
AA BB CC
Khi đó ta có
.
.
1
4
1 1
2 2
ABDC MNPQ
ABCD A B C D
V
a b c d
V
a c b d
Chứng minh
Xét mặt phẳng
ACC A
Từ M, P ta lần lượt kẻ các đường thẳng
song song với AC cắt
OO
theo thứ tự E,
F
Ta có
OF
OO OO
AM CP OE
AA CC
OI - IF 2
OO OO OO
OI IE OI
Tương tự xét mặt phẳng
DD
B B
Ta cũng có
2
DD OO
BN DQ OI
BB
Do đó
DD
AM CP BN DQ
a c b d
AA CC BB
Chia khối hộp
.
ABCD A B C D
thành
hai khối
.
ABC A B C
và
.
ACD A C D
Áp dụng tỉ số thể tích của khối lăng trụ
tam giác ta được
.
.
1
4
ABDC MNPQ
ABCD A B C D
V
a b c d
V
1 1
2 2
a c b d
TOANMATH.com
Trang 57
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có N là trung điểm
CC
. Mặt phẳng
đi qua AN cắt
các cạnh
,
BB DD
lần lượt tại M, P.
chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng
1
V
và
2 1 2
V V V
. Tỉ số
2
1
V
V
bằng
A.
7
3
. B.
2
. C.
3
. D.
5
2
.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
.
1
0
1
2
2 2 4
ABCDPNM
ABCD A B C D
AA CN
V
AA CC
V
Vậy
2
1
3
3
4
ABCDPNM
AMNPA B C D
V
V
V V
Chọn C
Ví dụ 2. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng
3
36
cm
. Gọi hai điểm M, N lần lượt thuộc các
cạnh
,
AA CC
sao cho
2 , 3
AM A M CN C N
. Một mặt phẳng đi qua M, N lần lượt cắt cạnh
,
BB DD
tại P và Q. Thể tích khối
ABCDMPNQ
bằng
A.
3
18
cm
. B.
3
22
cm
. C.
3
10,5
cm
. D.
3
25,5
cm
.
Hướng dẫn giải
Ta có
.
2 3
17
3 4
2 2 24
ABCDMPNQ
ABCD A B C D
AM CN
V
AA CC
V
3
.
17 17
.36 25,5
24 24
ABCDMPNQ ABCD A B C D
V V cm
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 58
Ví dụ 3. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng
V
. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
, , ,DD
AA BB CC
sao cho
2 ,2 3 ;3 4 ;4 5
AM A M BN B N CP C P DQ D Q
. Thể tích khối
ABCDMNPQ
bằng
A.
572
945
V
. B.
13
21
V
. C.
26
45
V
. D.
559
945
V
.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 4 26 3 5 52
;
3 7 21 DD 5 9 45
AM CP BN DQ
AA CC BB
DD
AM CP BN DQ
AA CC BB
Cạnh MP sẽ lệch trên. Khối đa diện lồi
ABCDMNPQ
được chia thành hai khối đa diện theo cạnh MP là
BACNMP và DACQMP.
Ta có
1 1 3 2 4 193
3 3 5 3 7 315
BACNMP
BACB A C
V
BN AM CP
V BB AA CC
193 193
315 630
BACNMP BACB A C
V
V V
.
1 1 5 2 4 113
3 DD 3 9 3 7 189
DACQMP
DACD A C
V
DQ AM CP
V AA CC
113 113
189 378
DACQMP DACD A C
V
V V
Vậy
193 113 572
630 378 945
ABCDMNPQ BACNMP DACQMP
V V V
V V V
Chọn A.
Bài toán 1.3. Tỉ số thể tích khối hộp
Phương pháp giải
Để tính thể tích các khối da diện phức tạp ta
không tính trực tiếp mà tính gián tiếp thông qua
việc tính thể tích các khối đơn giản (khối chóp,
khối lăng trụ).
Ví dụ: Cắt khối hộp
.
ABCD A B C D
bởi các
mặt phẳng
, ,
AB D CB D B AC
,
D AC
ta được
TOANMATH.com
Trang 59
+ Khối đa diện A được tạo bởi các khối đơn
giản
1 2
, ,...
n
A A A
. Khi đó
1 2
...
n
A A A A
V V V V
.
+ Khối đa diện A được bổ sung thêm các khối cơ
bản
1 2
, ,...
n
A A A
để tạo thành khối cơ bản B
Khi đó
1 2
...
n
A B A A A
V V V V V
.
+ Ta có thể sử dụng khôi phục lại hình ẩn ban đầu
để tính toán dễ dàng hơn.
+ Sử dụng phương pháp trải hình trên mặt phẳng
để dễ hình dung và tính toán thuận tiện hơn.
khối đa diện có thể tích lớn nhất là
A.
'
A AB D
. B.
D ADC
.
C.
ACB D
. D.
CC B D
.
Hướng dẫn giải
Cắt khối hộp bởi các mặt phẳng
,
AB D
,
CB D
B AC
,
D AC
ta được 5
khối tứ diện
AA B D
,
B ABC
,
CC B D
,
D DAC
,
AB D C
.
Gọi V là thể tích của khối hộp.
1
6
AA B D B ABC CC B D D ADC
V V V V V
Suy ra
1
3
ACB D
V V
nên tứ diện
ACB D
có thể
tích lớn nhất
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một khúc gỗ có dạng và độ dài các cạnh được cho như hình vẽ. Thể tích khúc gỗ là
A. V = 12. B. V = 96. C. V = 36. D. V = 24.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 60
Khúc gỗ được chia thành 2 phần, mỗi phần là một lăng trụ tam tam giác có đáy là các tam giác vuông, chiều
cao khối lăng trụ bằng 4.
Thể tích khối gỗ là
1 2
1 1
4. .3.2 4. .3.4 36
2 2
V V V
.
Chọn C.
Ví dụ 2. Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Thể tích của khối
tứ diện A.CB’D’ bằng
A.
3
8
cm
. B.
3
12
cm
. C.
3
16
cm
. D.
3
4
cm
.
Hướng dẫn giải
Khối hộp được tạo thành từ 5 khối B.AB’C; D.ACD’; A’.B’AD’; C.B’C’D’; A.CB’D’.
Ta có
. ’ . ’ ’. ’ ’ . ’ ’ ’ . ’ ’
. ' ' ' ' B AB C D ACD A B AD C B C D AABCD A D BC
C D
B
V V V V V V
. ’ . ’ ’ . ’. ' ' ' ' . ' ' ' '
’ . ’
4 4
B AB C A CB D A CB D B C
ABCD A B B AC D ABCD A C D B
V V V V V V
3
. ' ' ' ' . ' ' ' ' '. ' '’ .’ '
1 1 1
4 .2.3.6 12
6 3 3
ABCD A B C D ABCD A B C DA ABCD A B DC CB D
V V V V cm
.
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm
trên các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM =
1
2
AA’; BN =
2
3
BB’; CP =
3
4
CC’. Thể tích khối chóp
M.BCPN là
A.
7
36
V
. B.
17
36
V
. C.
7
18
V
. D.
11
18
V
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 61
Ta có
. ' ' '
'.
ABC A B C ABC
V V AA S
. . ' ' '
1 1 1
. . . '.
3 3 2 6
M ABC M A B C ABC ABC
V
V V MA S AA S
.
Mặt khác
' ' '.
' ' '.
1 ' ' '
3 ' ' '
A B C MNP
A B C ABC
V
A M B N C P
V AA BB CC
' ' '. ' ' '. ' ' '.
1 1 1 1 13
3 2 3 4 36
A B C MNP A B C ABC A B C MNP
V V V V
.
. ' ' '. . ' ' '.
13 17
6 36 36
M BCPN A B C ABC M ABC A B C MNP
V V
V V V V V V
.
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai cạnh AC, BD cắt nhau tại O. Mặt phẳng
(P) đi qua điểm O và song song với mặt phẳng (SAD) cắt khối chóp S.ABCD tạo thành hai khối có thể tích
lần lượt là
1
V
;
2 1 2
( )
V V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
5
11
. B.
3
5
. C.
7
13
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Gọi h, V,
ABCD
S lần lượt là chiều cao, thể tích và diện tích đáy của hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt
hình chóp S.ABCD tạo thành thiết diện như hình vẽ. Khi đó
1
HGFCBE
V V
và thể tích phần còn lại là
2 1 2
( )
V V V
.
Ta có
. . . .
HGFCBE H BEO H BOC H OCF G HCF
V V V V V
.
1 1 1 1
. . .
3 2 3 2 3 2 2
BEO BOC OCF B GCF
h h h
S S S V
1 1 1
. . .
3 2 2 3 2
BEO BOC OCF BCF
h h
S S S S
TOANMATH.com
Trang 62
1 1 1
. . . .
3 2 2 3 2 4
ABCD
BEFC
S
h h
S
1 1 1 1 1 1 1 1 5
. . . . . . .
2 3 2 2 2 4 3 4 16 16
ABCD
ABCD
S
h h S V V V
.
Suy ra
1
5
16
V V
. Do đó
2 1
5 11
16 16
V V V V V V
.
Vậy
1
2
5
11
V
V
.
Cách 2:
Ta có
.
1 1
. . . .
3 3 2 2
S ADFE ADFE
S V
V h S h
.
Lại có
.
.
1 1 2 2 3
4.1.1.2.2. 8
4. . . .
S EFGH
S EFCB
SE SF SB SC
V
SE SF SH SG
SE SF SB SC
V
SE SF SH SG
. .
3 3
8 16
S EFGH S EFCB
V
V V .
Do đó
. . 2
3 11
2 16 16
SADFGHE S ADFE S EFGH
V V V
V V V V
suy ra
1
5
16
V V
.
Vậy
1
2
5
11
V
V
.
Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB’ và P thuộc cạnh
DD’ sao cho
1
DD'
4
DP . Mặt phẳng (AMP) cắt CC’ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng
A.
3
2
V a
. B.
3
3
V a
. C.
3
9
4
a
V
. D.
3
11
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ là V=
3
3
2 8
a a
.
TOANMATH.com
Trang 63
Cách 1: Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’, gọi K=OO’
MP, khi đó
N=AK
CC’.
Ta có
1
2
OK DP BM
1 3 3
2
2 2 4 2
a a a
a CN OK
.
2
1 1 3 5
. .2
2 2 2 2
BMNC
a a
S BM CN BC a a
.
2 3
.
1 1 5 5
. . . .2
3 3 2 3
A BMNC BMNC
a a
V S AB a
.
2
1 1 3
. .2 2
2 2 2 2
DPNC
a a
S DP CN CD a a
.
3
2
.
1 1 4
. . .2 .2
3 3 3
A DPNC DPNC
a
V S AD a a .
3 3
3
. .
5 4
3
3 3
A BMNC A DPNC
a a
V V V a
.
Cách 2:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích khối hộp, ta có
. ' ' ' ' . ' ' ' '
1 1 1 1 3
.
2 ' ' 2 2 4 8
AMNPBCD AMNPBCD
ABCD A B C D ABCD A B C D
V V
BM DP
V BB DD V
3 3
3
.8 3
8
AMNPBCD
V a a
.
Chọn B.
Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC.
Điểm P trên cạnh CD sao cho PD=2CP. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Thể tích khối đa diện BMNPQD
bằng
A.
2
16
. B.
25 2
432
. C.
2
48
. D.
13 2
432
.
Hướng dẫn giải
Ta có MN//AC và PQ = (MNP)
(ACD)
PQ//AC
2
3
DQ DP
DA DC
.
TOANMATH.com
Trang 64
Thể tích khối tứ diện đều ABCD là
2
12
ABCD
V V
.
Chia khối đa diện cần tính thành các khối tứ diện D.PQB; B.MNQ; B.PQN.
Ta có
. . .
BMNPQD D PQB B MNQ B PQN
V V V V
.
Trong đó
2
.
2 4
. . .
3 9
D PQB
DQ DB DP
V V V V
DA DB DC
.
2
. . .
1 1 1 1
. . . . . . . .
2 4 4 12
ACQ
B MNQ B ACQ B ACQ
ACD
S
BM BN BQ AQ
V V V V V V
BA BC BQ S AD
.
. . .
1 1 1
. . . . . .
2 2 6
PQC
B PQN B PQC B PQC
ACD
S
BP BQ BN
V V V V V
BP BQ BC S
.
Vậy
4 1 1 25 2
9 12 6 432
BMNPQD
V V
.
Chọn B.
Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA’=2a và tạo với
đáy một góc
45
. Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là
A.
3
6
12
a
. B.
3
6
8
a
. C.
3
6
4
a
. D.
3
6
6
a
.
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của A’ trên (ABC).
ABC
đều cạnh a
2
3
4
ABC
a
S
.
Ta có
',( ) ' 45
AA ABC A AH
.
'
A AH
vuông tại H có
' '.sin ' 2
A H AA A AH a
.
3
. ' ' '
6
. '
4
ABC A B C ABC
a
V S A H
.
Khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp C.A’B’C’, B’.ABC và A.CA’B’.
Ta có
. ' ' ' . ' ' '
1
3
C A B C ABC A B C
V V
và
'. . ' ' '
1
3
B ABC ABC A B C
V V
TOANMATH.com
Trang 65
3
' ' . ' ' ' . ' ' ' '. . ' ' '
1 6
3 12
ACA B ABC A B C C A B C B ABC ABC A B C
a
V V V V V
.
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 15. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh A’B’,
B’C’, BC sao cho M là trung điểm của A’B’, B’N=
4
' '
5
B C
và BP=
3
5
BC
. Đường thẳng NP cắt đường thẳng
BB’ tại E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB tại Q. Thể tích khối đa diện lồi AQPCA’MNC’ bằng
A.
23
64
. B.
49
16
. C.
83
8
. D.
45
4
.
Hướng dẫn giải
Ta có
3
' ' 4
EB EQ EP BP
EB EM EN B N
, ' ' '
'
4 , ' ' ' 4 , ' ' '
'
, ' ' '
d E A B C
EB
d E A B C d B A B C
BB
d B A B C
Lại có
'
' ' '
' ' 1 4 2
. .
' ' ' ' 2 5 5
B MN
A B C
S
B M B N
S B A B C
.
. ' ' ' ' '
1 1 2
,( ' ) . .4 ,( ' ' ') .
3 3 5
E MB N MB N A B C
V d E MB N S d B A B C S
. ' ' '
8 8
.15 8
15 15
ABC A B C
V
.
3 3
.
. . '
. '
3 27 27
. .
' ' 4 64 64
E QPB
E QPB E MB N
E MB N
V
EP EQ EB EB
V V
V EN EM EB EB
.
Suy ra
. ' . ' . . ' . ' . '
27 37 37 37
.8
64 64 64 8
BQP B MN E MB N E BQP E MB N E MB N E MB N
V V V V V V .
Vậy
' ' . ' ' ' . '
37 83
15
8 8
AQPCA MNC ABC A B C BQP B MN
V V V .
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD có
90
DAB CBD
; AB=a;
5
AC a
;
135
ABC
. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng
30
. Thể tích của tứ diện ABCD bằng
TOANMATH.com
Trang 66
A.
3
2 3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
3 2
a
. D.
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Dựng
( )
DH ABC
.
Ta có
BA DA
BA AH
BA DH
;
BC DB
BC BH
BC DH
.
Tam giác AHB có AB=a,
45
ABH
HAB
vuông cân tại A
AH=AB=a.
Áp dụng định lý cosin, ta có BC=
2
a
.
Vậy
2
1 1 2
. . .sin . . 2.
2 2 2 2
ABC
a
S BA BC CBA a a
.
Dựng
( )
HE DA E AD
HE DAB
HF DB F BD
và
( )
HF DBC
.
Suy ra
( ),( ) ,
DBA DBC HE HF EHF
Đặt DH=x, khi đó
2 2 2 2
2
,
2
ax xa
HE HF
a x a x
.
Suy ra
2 2
2 2
3 2
cos
4
2 2
HE x a
EHF x a
HF
x a
.
Vậy
3
1
. .
3 6
ABCD ABC
a
V DH S
.
Chọn D.
Ví dụ 10. Cho tứ diện
ABCD
có
4; 5;
AB CD AC BD
6
AD BC
.
Thể tích của khối tứ diện
ABCD
là
A.
15 6
4
B.
15 6
2
C.
45 6
4
D.
45 6
2
Hướng dẫn giải
Dựng tứ diện AMNK sao cho B, C, D
lần lượt là trung điểm của các cạnh MN,
NK, KM.
Tứ diện AMNK có AM, AN, AK đôi một
vuông góc.
Chú ý: Cho khối tứ
diện gần đều có độ
dài các cạnh
AB CD a
AC BD b
AD BC c
Đặt
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x a b c
y b c a
z a c b
Khi đó
2
12
ABCD
V xyz
TOANMATH.com
Trang 67
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 6
64 54
100 10 10
144 90
3 10
AM
AM AN AM
AN AK AN AN
AK AM AK
AK
1 1
. . .3 6 10.3 10 15 6
6 6
AMNK
V AM AN AK
Vậy
15 6
4 4
AMNK
ABCD
V
V
Chọn A
Ví dụ 11. Một con kiến đang ở vị trí M là trung điểm
cạnh
A D
của một chiếc hộp hình lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh 5cm.
Con kiến muốn bò qua sáu mặt của chiếc hộp
rồi quay trở lại M. Quãng đường bò đi ngắn
nhất của con kiến là
A.
16 2
cm
. B.
15 2
cm
.
C.
12 2
cm
. D.
13 2
cm
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 68
Trải sáu mặt phẳng của hình lập phương
.
ABCD A B C D
như hình vẽ 1. Để đi đường ngắn nhất từ
M
đến
(
M M M
hay
M
là trung điểm
A D
trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn
MM
.
Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường
MNPQKZM
như hình 2 với N, P, Q, K, Z lần
lượt là trung điểm của DD , , , ,
CD BC BB A B
.
Quãng đường ngắn nhất con kiến bò là đoạn
MNPQKZM
.
Ta có
MNPQKZM MN NP PQ QK KZ ZM
.
Các đoạn thẳng con kiến bò trên các mặt hình lập phương đều có độ dài bằng nửa độ dài đường chéo hình
vuông.
Do đó quãng đường con kiến bò ngắn nhất là
5 2
6. 15 2
2
Chọn B.
Ví dụ 12. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
một con kiến bò từ đỉnh A của đáy để đi tất cả các mặt
xung quanh rồi trở về vị trí A. Biết cạnh bên bằng 6cm, cạnh đáy bằng 4cm. Quãng đường ngắn nhất mà con
kiến đi là
A.
13,48
cm
. B.
10,25
cm
. C.
12,05
cm
. D.
11,73
cm
.
Hướng dẫn giải
Trải hình chóp thành hình như hình vẽ trên. Khi đó quãng đường ngắn nhất con kiến phải bò là
1
AA
Ta có
0 0 0
1
1
sin AS AS 19 28 ASA 8.19 28 155 46
3
AH
H H
SA
2 2
1 1 1 1
2 . cos AS 11,73
AA SA SA SA SA A cm
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 69
Ví dụ 13. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có
SA a
và
11
24
SAB
. Gọi Q là trung điểm cạnh SA.
Trên các cạnh
, ,
SB SC SD
lần lượt lấy các điểm
, ,
M N P
không trùng với các đỉnh của hình chóp. Giá trị
nhỏ nhất của tổng
AM MN NP PQ
theo a là
A.
11
2 sin
24
3
a
B.
3
2
a
C.
2
4
a
D.
11
3 sin
12
3
a
Hướng dẫn giải
Trải phẳng
Do hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên đều là các tam giác cân, theo giả thiết
11
24
SAB
nên
22
24 12
ASB
(1)
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ như trên sao
cho khi ghép lại thì
A A
. Khi đó, tổng
AM MN NP PQ
là tổng các đường gấp khúc nên tổng này
nhỏ nhất nếu xảy ra các điểm
, , , ,
A Q M N P
thẳng hàng và Q là hình chiếu của A trên
SA
.
Đồng thời theo (1) ta có
AS 4.
12 3
A
(2)
Suy ra
ASA
là tam giác đều.
Vậy
3
2
a
AQ
hay GTNN của tổng
3
2
a
AM MN NP PQ
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 70
Ví dụ 14. Cho hình chóp đều
.
S ABC
có
0
30 , 1
ASB SA
. Lấy
,
B C
lần lượt thuộc cạnh
,
SB SC
sao
cho chu vi tam giác
AB C
nhỏ nhất. Tỉ số
.
.
S AB C
S ABC
V
V
gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A.
0,55
. B.
0,65
. C.
0,45
. D.
0,75
.
Hướng dẫn giải
Trải phẳng
, ,
SA AC AB
rồi trải lên mặt
SBC
. Cắt tứ diện theo các cạnh
Tam giác
SBC
giữ nguyên; tam giác
SAB
lật thành tam giác
SAB
; tam giác
SAC
thành tam giác
SCA
Do đó
, 1
AC A C SA SA
0 0
3.30 90
ASA ASB BSC CSA
và
1
SA SA
nên
SAA
là tam giác vuông cân tại S.
2
AB C
C AB B C AC AB B C A C AA
không đổi.
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
, , ,
A B C A
thẳng hàng tức là khi
0 0
,
B B C C
.
Ta có
0
0 0 0
0
0
sin
sin 45
1 3
sin105
sin
SB SB SAB
SB
SB SB SA
SB A
Vậy
2
.
.
. 4 2 3 0,54
S AB C
S ABC
V
SB SC SB
V SB SC SB
.
Chọn A
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hình vẽ bên với E, F lần lượt là trung điểm
các cạnh bên SB và SC.
Khối chóp S.AEF có thể tích là
A.
1
24
abc
. B.
1
12
abc
.
C.
1
8
abc
. D.
11
12
abc
.
TOANMATH.com
Trang 71
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC =
2
a
, SA vuông góc với đáy ABC,
SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng
( )
qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt
tại M, N. Thể tích của khối chóp S.AMN là
A.
3
2
27
a
. B.
3
2
9
a
. C.
3
6
a
. D.
3
5
3
a
.
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau AB = a; AC = 2a và AD
= 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD. Thể tích của tứ diện ADMN là
A.
3
V a
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
3
4
a
V
. D.
3
4
a
V
.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), AB = a, BC =
3
a
, SA = a. Một mặt phẳng
( )
qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Thể tích
khối chóp S.AHK là
A.
3
.
3
20
S AHK
a
V
. B.
3
.
3
30
S AHK
a
V
. C.
3
.
3
60
S AHK
a
V
. D.
3
.
3
90
S AHK
a
V
.
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA
(ABC).
ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh
DA, DB, DC lần lượt lấy ba điểm M, N, P mà
1 1 3
, ,
2 3 4
DM DN DP
DA DB DC
. Thể tích của tứ diện MNPD là
A.
3
12
V
. B.
2
12
V
. C.
3
96
V
. D.
2
96
V
.
Câu 6: Cho hình chóp đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt
SC, SD lần lượt tại M, N. Tỉ số
.
.
S ABMN
S ABCD
V
V
có giá trị là
A.
1
2
. B.
3
8
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC =
3
a
, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Thể
tích của khối chóp A.BCKH là V. Tỉ số
3
a
V
gần nào nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS=2NC, P là điểm trên cạnh SA sao cho PA=2PS. Kí hiệu
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích của các khối tứ diện
BMNP và SABC. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
9
V
V
. B.
1
2
3
4
V
V
. C.
1
2
2
3
V
V
. D.
1
2
1
3
V
V
.
Câu 9: Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm lần lượt thuộc SA và SB sao cho MA=2SM, SN=2NB,
( )
là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu
1
( )
H
và
2
( )
H
là các khối đa diện có được khi chia
TOANMATH.com
Trang 72
khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng
( )
, trong đó
1
( )
H
chứa điểm S,
2
( )
H
chứa điểm A;
1
V
và
2
V
lần lượt
là thể tích của
1
( )
H
và
2
( )
H
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
4
5
. B.
5
4
. C.
3
4
. D.
4
3
.
Câu 10: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Giá trị
.
MNPABC
S ABC
V
V
là
A.
8
7
. B.
7
8
. C. 8. D.
1
8
.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA =
3
a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Thể tích khối chóp S.AMN là
A.
3
2
a
. B.
3
4
a
. C.
3
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM=2MB,
BN=4NC, SP=PC. Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN và A.CPN là
A.
4
3
. B.
8
3
. C.
5
6
. D. 1.
Câu 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc
giữa SG và mặt phẳng (SBC) là
30
. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S.ABC
thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là
A.
1
6
. B.
1
7
. C.
6
7
. D.
2
3
.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA=2cm, SB=3cm, SC=4cm,
0 0
60 , 90
ASB BSC
0
, 120
ASC
. Thể
tích của khối chóp S.ABC là
A.
2 2
. B.
3 2
. C.
2 3
. D.
3 3
.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là
trung điểm BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết
. .
1
4
S AEF S ABC
V V . Thể tích V của khối chóp S.ABC là
A.
3
4
a
. B.
3
12
a
. C.
3
2
a
. D.
3
8
a
.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAD) cùng
vuông góc với mặt đáy. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung
điểm SC, SD. Tính độ dài đường cao h của khối chóp S.ABCD và tỉ số
1
2
V
k
V
.
A.
1
;
4
h a k
. B.
1
;
6
h a k
. C.
1
2 ;
8
h a k
. D.
1
2 ;
3
h a k
.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm, cạnh SA=30cm và
vuông góc với đáy. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’. Thể tích khối chóp S.AB’C’D’ gần nhất giá trị nào dưới đây?
TOANMATH.com
Trang 73
A.
3
2120
cm
. B.
3
2770
cm
. C.
3
1440
cm
. D.
3
1470
cm
.
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho
1
'
3
SA SA
.
Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi
đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng
A.
3
V
. B.
9
V
. C.
27
V
. D.
81
V
.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của
SB, SD. Tỉ số thể tích
.
S ABCD
AOHK
V
V
bằng
A. 12. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O có cạnh bằng a,
0
60
BAD . Gọi H là
trung điểm của OB và SH vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng
45
. Thể tích của khối
chóp S.AHCD là
A.
3
35
32
a
. B.
3
39
24
a
. C.
3
35
24
a
. D.
3
39
32
a
.
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Thể tích của
CMNP theo a bằng
A.
3
3
16
a
. B.
3
3
32
a
. C.
3
3
96
a
. D.
3
3
48
a
.
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=
3
a
, SA=2a và SA vuông
góc với mặt đáy. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Thể tích
khối chóp S.AHIK là
A.
3
8 3
35
a
. B.
3
34 3
105
a
. C.
3
2 3
7
a
. D.
3
2 3
21
a
.
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA=
2
a
. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt
phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Thể tích khối chóp S.AEMF là
A.
3
6
18
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
6
a
.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
0
90
BAD ABC , AB = BC = a, AD = 2a,
SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Thể tích khối chóp
S.BCNM bằng
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
4
a
.
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
. Gọi M
là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng
A.
7
5
. B.
1
7
. C.
7
3
. D.
6
5
.
TOANMATH.com
Trang 74
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp
vuông góc với đáy. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SA sao cho AM=x
0 2
x a
. Tìm x để mặt phẳng
(MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau.
A.
4 5
x a
. B.
3 5
x a
.
C.
3 2
x a
. D.
2 3 5
x a
.
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các
đoạn BC, CD và SA. Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là
1
V
và
2
V
. Biết
rằng
1 2
V V
, tỉ số
1
2
V
V
bằng
A. 1. B.
1
2
. C.
5
6
. D.
2
3
.
Câu 28: Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi
1 2 3 4
, , ,
G G G G
lần lượt là trọng tâm của bốn mặt
của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện
1 2 3 4
G G G G
.
A.
2
4
V
. B.
2
18
V
. C.
9 2
32
V
. D.
2
12
V
.
Câu 29: Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
'
V
V
.
A.
' 2
3
V
V
. B.
' 1
4
V
V
. C.
' 5
8
V
V
. D.
' 1
2
V
V
.
Câu 30: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB,
một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB lần lượt tại các điểm M, N. Đặt
,0 1
SM
x x
SA
. Tìm x sao cho thiết
diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A.
3 13
2
x
. B.
3 17
2
x
. C.
3 15
2
x
. D.
3 19
2
x
.
Câu 31: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm cạnh BB’, điểm N thuộc
cạnh CC’ sao cho CN=2C’N. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V.
A.
.
7
12
A BCNM
V
V
. B.
.
7
18
A BCNM
V
V
. C.
.
5
18
A BCNM
V
V
. D.
.
3
A BCNM
V
V
.
Câu 32: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’NM) cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện MBP.A’B’N bằng
A.
3
7 3
32
a
. B.
3
3
32
a
. C.
3
7 3
68
a
. D.
3
7 3
96
a
.
Câu 33: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Trên các cạnh AA’, BB’ lần lượt lấy các điểm E, F
sao cho AA’ = kA’E, BB’ = kB’F. Mặt phẳng (C’EF) chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm
khối chóp C’.A’B’FE có thể tích
1
V
và khối đa diện ABCEFC’ có thể tích
2
V
.
Biết rằng
1
2
2
7
V
V
. Giá trị k là
TOANMATH.com
Trang 75
A. k = 4. B. k = 3. C. k = 1. D. k = 2.
Câu 34: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng
3
60
cm
, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA’, BB’, CC’ sao cho AM = 2MA’, BN = 3NB’, CP = 4PC’. Thể tích của khối đa diện BC.MNP .
A.
3
93
2
cm
. B.
3
25
cm
. C.
3
31
cm
. D.
3
65
3
cm
.
Câu 35: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp
ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
3
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 36: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng
3
48
cm
. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các
cạnh CC’, BC và B’C’. Tính thể tích của khối chóp A’.MNP.
A.
3
8
cm
. B.
3
12
cm
. C.
3
24
cm
. D.
3
16
3
cm
.
Câu 37: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện A’C’BD và khối hộp
ABCD.A’B’C’D’ bằng
A.
1
3
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 38: Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được
cho như hình vẽ bên.
Thể tích khối đa diện tương ứng là
A.
570
V
. B.
190
V
.
C.
360
V
. D.
540
V
.
Câu 39: Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình
vẽ bên. Thể tích khối đa diện tương ứng là
A.
24
V
. B.
96
V
.
C.
126
V
. D.
102
V
.
Câu 40: Một khúc gỗ có dạng với độ dài
các cạnh được cho như hình vẽ bên dưới.
Thể tích khối đa diện tương ứng là
A.
40
3
V
. B.
32
V
.
C.
40
V
. D.
20
V
.
TOANMATH.com
Trang 76
Câu 41: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi
1 2 3
, ,
G G G
và
4
G
lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD. Biết AB = 6a, AC = 9a, AD = 12a. Tính theo a thể
tích khối tứ diện
1 2 3 4
G G G G
.
A.
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
108
a
. D.
3
36
a
.
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA
(ABCD). Trên đường thẳng vuông
góc với (ABCD) tại D lấy điểm S’ thỏa mãn
1
2
S D SA
và S’, S ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD).
Gọi
1
V
là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD. Gọi
2
V
là thể tích khối chóp
S.ABCD. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
4
9
. B.
7
9
. C.
7
18
. D.
1
3
.
Câu 43: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là
trọng tâm của tam giác SBC, SCA và SAB. Tính thể tích khối ABC.A’B’C’
A.
3
5 2
108
a
. B.
3
2
27
a
. C.
3
4 2
81
a
. D.
3
5 2
96
a
.
Câu 44: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB’, BC’, CA’. Thể tích khối đa diện MNPABC bằng
A.
1
2
V
. B.
2
3
V
. C.
3
4
V
. D.
3
8
V
.
Câu 45: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và góc giữa (AB’C’) và mặt phẳng
(ABC) bằng
60
. Mặt phẳng
( )
đi qua trọng tâm tứ diện AA’B’C’ và song song với mặt phẳng (AB’C’),
lần lượt cắt các cạnh AA’, A’B’, A’C’ tại P, Q, R. Thể tích khối đa diện PQRB’C’CAB là
A.
3
165 3
512
a
. B.
3
55 3
512
a
. C.
3
27 3
64
a
. D.
3
27 3
512
a
.
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA sao cho
2
3
IA
IS
. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần. Khi đó thể tích của phần đa diện không chứa đỉnh S tính thông qua V được
kết quả là
A.
3
4
. B.
11
20
. C.
16
21
. D.
13
20
.
Câu 47: Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a
để được khối hộp chữ thập như hình dưới.
Tính diện tích toàn phần của khối hộp chữ thập đó.
A.
2
20
tp
S a
. B.
2
12
tp
S a
.
C.
2
30
tp
S a
. D.
2
22
tp
S a
.
TOANMATH.com
Trang 77
Câu 48: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy, SA=2a.
Điểm M thuộc đoạn SA, AM=x. Giá trị của x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
có thể tích bằng nhau là
A.
2 5
x a
. B.
3 5
x a
. C.
2 5
x a
. D.
3 5
x a
.
Câu 49: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi M và N theo thứ tự là trung
điểm của A’B’ và B’C’. Tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ bằng
A.
1
2
. B.
1
5
. C.
1
8
. D.
1
4
.
Câu 50: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao 3a. Mặt phẳng (P) qua B’ và
vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
47
. B.
1
107
. C.
1
7
. D.
1
108
.
Câu 51: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng:
A.
5
24
V
. B.
1
4
V
. C.
7
24
V
. D.
1
3
V
.
Câu 52: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện
MBP.A’B’N là
A.
3
3
24
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
7 3
96
a
. D.
3
7 3
32
a
.
Câu 53: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’
và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
47
. B.
1
23
. C.
1
11
. D.
1
7
.
Câu 54: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác
ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.
A.
3
2
162
V cm
. B.
3
2 2
81
V cm
. C.
3
4 2
81
V cm
. D.
3
2
144
V cm
.
Câu 55: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’
sao cho AM=2MA’, NB’=2NB, PC=PC’. Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và
A’B’C’MNP. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
2
V
V
. B.
1
2
1
2
V
V
. C.
1
2
1
V
V
. D.
1
2
2
3
V
V
.
TOANMATH.com
Trang 78
Câu 56: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=11m, BC=AD=20m, BD=AC=21m. Thể tích khối chóp tứ diện
ABCD bằng
A.
3
360
m
. B.
3
720
m
. C.
3
770
m
. D.
3
340
m
.
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC=
3
a
, SB>2a và
90
ABC BAS BCS
. Biết sin của góc
giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng
11
11
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A.
3
2 3
9
a
. B.
3
3
9
a
. C.
3
6
6
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 58: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh a, tam giác ABC vuông tại B, BC=
3
. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
3
2
. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
3
6
. D.
3
2
.
Câu 59: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB=a,
120
BAC
,
90
SBA SCA
. Gọi
là góc giữa SB và (SAC) thỏa mãn
3
8
sin
, khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ hơn 2a. Thể tích của khối
chóp S.ABC bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
24
a
.
Câu 60: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng a và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc
với nhau. Lấy lần lượt hai điểm H, S sao cho:
3 0
DH EH
và
0
SH BH
. Tính theo a thể tích khối đa
diện ABCDSEF.
A.
3
7
6
a
. B.
3
2
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
5
6
a
Câu 61: Một cái hộp hình chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lượt là 4cm, 6cm, 9cm như hình vẽ. Một con
kiến ở vị trí A muốn đến vị trí B. Biết rằng con kiến chỉ có thể bò trên cạnh hay trên bề mặt của hình hộp đã
cho. Gọi x cm là quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ A đến B. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
15;16
x . B.
13;14
x . C.
12;13
x . D.
14;15
x .
Câu 62: Tứ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA, có diện tích bằng nhau và
180
ASB ASC CSB
.
Biết rằng
4, 5, 6
SA a SB b SC c
. Thể tích khối tứ diện SABC là
A.
7 3
2
. B.
15 3
2
. C.
7 6
2
. D.
15 6
2
.
Câu 63: Một khối hộp đựng giấy ăn hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao lần lượt là 25cm;
14cm; 8cm (như hình vẽ). Một con kiến xuất phát từ A muốn đến điểm B thì quãng đường đi ngắn nhất là
bao nhiêu?
TOANMATH.com
Trang 79
A. 41,12cm. B. 39,82cm. C. 40,19cm. D. 38,12cm.
Câu 64: Cho tứ diện ABCD có
180
ACD BCD CAD BAD BAC CBD ABD ABC
,
60
ACB
. Biết chu vi tam giác ABC bằng 3. Giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần của tứ diện ABCD
bằng
A.
4 3
3
. B.
2 3
3
. C.
4
3
. D.
5 3
3
.
ĐÁP ÁN
1-A 2-A 3-D 4-C 5-C 6-B 7-C 8-A 9-A 10-B
11-B 12-B 13-A 14-A 15-D 16-A 17-D 18-C 19-C 20-D
21-C 22-A 23-A 24-B 25-A 26-B 27-A 28-D 29-D 30-B
31-B 32-D 33-B 34-C 35-A 36-A 37-C 38-A 39-B 40-C
41-A 42-C 43-C 44-D 45-A 46-D 47-D 48-D 49-C 50-B
51-A 52-C 53-D 54-C 55-C 56-A 57-C 58-D 59-C 60-D
61-B 62-D 63-B 64-A
Dạng 4.
Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông cân tại
C
và
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cho
SC a
, mặt phẳng
SBC
tạo với
mặt đáy một góc
. Thể tích khối chóp .
S ABC
đạt
giá trị lớn nhất là
A.
3
16
a
. B.
3
3
27
a
.
C.
3
3
48
a
. D.
3
2
24
a
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 80
Ta có
, ,SBC ABC SC AC SCA
Xét
SAC
vuông tại
A
có
.sin sin
.cos cos
SA SC a
AC SC a
2
.
1 1 1
. . .
3 3 2
S ABC ABC
V S SA AC SA
3
2
2
1
. cos . sin cos .sin .
6 6
a
a a
.
S ABC
V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức
2 2
cos .sin . 1 sin .sin
P
đạt giá trị lớn
nhất.
Bước 1: Chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc
hoặc cạnh
thích hợp trong khối đa diện.
Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như
là các yếu tố đã cho để tính thể tích
V
của khối đa
diện theo các phương pháp đã biết.
Bước 3: Ta có một hàm số
,
f x x D
mà cần tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó.
Cách 1:
Đặt
sin
t
. Vì
0 90
nên
0 sin 1
0 1
t
Ta có
2 3
1
P f t t t t t
xác định và liên
tục trên
0;1
.
2
3
(
3
3 1 0
3
(loai)
nha )
3
n
t
f t t f t
t
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
0;1
2 3
max
9
f t
TOANMATH.com
Trang 81
Dùng bất đẳng thức cổ điển
(Cô-si hay Bunhiacopxki) hoặc sử dụng tính đơn điệu
của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
khi
3
3
t .
Vậy
3 3 3
. max
2 3 3
max . .
6 6 9 27
S ABC
a a a
V P khi và
chỉ khi
3
sin
3
.
Chọn B.
1. Bất đẳng thức Cô-si.
a
Cho
0, 0
a b
ta có
2
a b
ab
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
.
b
Cho
0, 0, 0
a b c
ta có
3
.
3
a b c
abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
.
c
Cho
1 2
0, 0, , a 0
n
a a
Ta có
1 2
1 2
. .
n
n
n
a a a
a a a
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
n
a a a
.
Cách 2:
Vì
0 90 sin 0
2
2 2 2
1 sin sin
P
2 2 2
1 sin 1 sin 2sin
=
2
.
Áp dụng Cô-si cho 3 số dương
2 2
1 sin ,1 sin
và
2
2sin
, ta được:
2 2 2
1 sin 1 sin 2sin
3
2 2 2
1 sin 1 sin 2sin
8
3 27
2 2 2
1 sin 1 sin 2sin
4
2 27
2
max max
4 2 3
.
27 9
P P
Đẳng thức xảy ra khi
2 2
3
1 sin 2sin sin .
3
Vậy
3 3 3
. max
2 3 3
max . . .
6 6 9 27
S ABC
a a a
V P
Chọn B.
Các bất đẳng thức cơ bản.
Các dạng hay sử dụng.
2 2 2
1 1 8
2, , 0; ;
a b
a b
b a
a b
a b
1
2, 0
a a
a
TOANMATH.com
Trang 82
2
2 2
4 2
ab a b a b
2
2 2 2
3 3 .
ab bc ca a b c a b c
2
1 2
1 2
1 1 1
n
n
a a a n
a a a
2
1 2 1 2
1 1 1
.
n n
n
a a a a a a
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
a. Dạng đa thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Cho 2 bộ số
1 2
, 2 : , , ,
n
n Z n a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
ta có
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
.
n n
a a a b b b
2
1 1 2 2 n n
a b a b a b
Dấu
" "
xảy ra
1 2
1 2
.
n
n
a
a a
b b b
b. Dạng phân thức
Cho 2 bộ số
1 2
, 2 : , , ,
n
n Z n a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
với
1 2
, , , 0.
n
b b b
Ta có
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
.
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp .
S ABC
có
SA
là đoạn thẳng thay đổi sao cho
SA x
,
0; 3
x
, các cạnh còn lại đều bằng 1. Thể tích khối chóp .
S ABC
đạt giá trị lớn nhất là
A.
1
4
B.
1
16
C.
1
12
D.
1
8
Hướng dẫn giải
Tổng quát:
Cho hình chóp
S.ABC có SA là
đoạn thẳng thay
đổi sao cho
SA=x, các cạnh
còn lại đều
TOANMATH.com
Trang 83
Ta có tam giác
ABC
đều
3
4
ABC
S .
Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
SA
và
BC
.
Ta có
SAB
và
SAC
là hai tam giác cân tại
B
và
C
nên
SA BM
SA CM
.
SA BCM SA BC
Mặt khác
2
2
2
1
4
x
BM CM AB AM BMC
cân tại M.
Suy ra
.
MN BC BC SAN
Kẻ
.
SH AN
Do
.
BC SAN BC SH SH ABC
Ta có
2
2 2 2
3 1
3 .
4 4 2
x
MN SN SM x
2
1 1 . 3
. . .
2 2
3
SAN
SA NM x x
S SA NM SH AN SH SH
AN
2 2 2
. .
1 3 1 3 1
. . .
3 12 12 2 8
ABC ABC
x x x x
S S SH
Vậy
.
1
max
8
S ABC
V
đạt được khi và chỉ khi
2 2 2
3 6
3 .
2 2
x x x x
Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
. Tam giác
SAB
vuông tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường
thẳng
SD
và mặt phẳng
SBC
, với
45
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
.
S ABCD
A.
3
4
a
B.
3
8
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
2
3
a
bằng a (a là
hằng số) với
0; 3
x a
.
Thể tích khối
chóp .
S ABC
đạt giá trị lớn
nhất là
3
.
8
S ABC
a
V
.
TOANMATH.com
Trang 84
Hướng dẫn giải
Gọi
D
là đỉnh thứ tư của hình
bình hành
SADD
.
Khi đó
/ /
DD SA
mà
SA SBC
Nên
DD SBC
Ta có
, ,
SD SBC DSD SDA
Do đó
.tan 2 tan .
SA AD a
Đặt
tan , x 0;1
x
Gọi
H
là hình chiều của
S
lên
AB
, ta có
2
.
1 4
. . .
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S SH
Do đó
.
S ABCD
V đạt giá trị lớn nhất khi
SH
lớn nhất.
Vì
SAB
vuông tại
S
nên
2 2 2 2 2
2
. 2 4 4
2 1 .
2
SA SB SA AB SA ax a a x
SH ax x
AB AB a
2 2
1
2 . .
2
x x
SH a a
Từ đó max
SH a
khi
2
tan .
2
Vậy
3
2
.
1 4
max .4 .
3 3
S ABCD
a
V a a
Chọn C.
Ví dụ 3. Khối chóp .
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
,
SA SB SC a
cạnh
SD
thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
2
a
B.
3
8
a
C.
3
3
8
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải
Gọi
I
là tâm hình thoi
ABCD
,
H
là hình
chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABCD
,
suy ra
H BI
.
Ta có
2 2 2 2 2
,
SI SA IA a IA
2 2 2 2 2
IB AB IA a IA
suy ra
SI IB
.
Khi đó tam giác
SBD
vuông tại
S
.
TOANMATH.com
Trang 85
Đặt
SD x
.
Ta có
.
. . . .
a x
SB SD SH BD a x SH BD SH
BD
Ta có
1 1 1 1 1
. . . . . . .
3 2 3 2 6
SABCD
ax
V SH AC BD AC BD ax AC
BD
Lại có
2 2 2 2 2
BD SB SD a x
suy ra
2 2
2
4
a x
IB
2 2 2 2
2 2
3
.
4 4
a x a x
IA a
Suy ra
2 2
2 2
3
2 2 3 .
4
a x
AC IA a x
2 2 2 3
2 2
1 3
. 3 . .
6 6 2 4
SABCD
a x a x a
V ax a x
Chọn D.
Ví dụ 4 : Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng 2,
2
SA
và
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
ABCD
. Gọi
,
M N
là hai điểm thay đổi trên hai cạnh
,
AB AD
sao cho mặt phẳng
SMC
vuông góc với mặt phẳng
SNC
. Tính tổng
2 2
1 1
T
AN AM
khi thể tích khối chóp
.
S AMCN
đạt giá trị lớn nhất.
A.
2.
T
B.
5
.
4
T
C.
2 3
.
4
T
D.
13
.
9
T
Hướng dẫn giải
Đặt
, .
AM x AN y
Gọi
; E ;
O AC DB BD CM
.
F BD CN
H
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
,
SC
khi đó:
2
.
3
HO
Ta có
.
SC OH SC HE
SC HBD
SC BD SC HF
TOANMATH.com
Trang 86
Do đó góc giữa
SCM
và
SCN
bằng góc giữa
HE
và
HF
. Suy ra
.
HE HF
Mặt khác
.
1 2
. .
3 3
S AMCN AMCN
V SA S x y
Ta có
0, 0
x y
và nếu
2, 2
x y
thì gọi
K
là trung điểm của
AM
, khi đó
2
.
4 2 4 2 4 4
OE KM x OE EB OB x
OE
EB MB x x x x x
Tương tự
2
4
y
OF
y
mà
2
. 2 2 12.
OE OF OH x y
Nếu
2
x
hoặc
2
y
thì ta có
2
. 2 2 12.
OE OF OH x y
Suy ra
.
1 2 2
. 2 2 4
3 3 3
S AMCN AMCN
V SA S x y x y
2 12
2 4 .
3 2
x
x
Do đó
.
2 2 2 2
1
2
1 1 1 1 5
max 2 .
4
2
1
S AMCN
x
y
V T
AM AN x y
x
y
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
với
1, 3.
AB AC
Hình chiếu của
S
trên mặt phẳng đáy là điểm
H
sao cho các mặt phẳng
SAB
và
SAC
cùng tạo với
SH
góc
30
và mặt phẳng
SBC
tạo với mặt phẳng đáy một góc
60
. Thể tích lớn nhất của khối chóp
.
S ABC
là
A.
max
1 3
.
4
V
B.
max
3 3
.
4
V
C.
max
3 1
.
4
V
D.
max
3 3
.
4
V
Hướng dẫn giải
Ta có
, , 30
SH SAB SH SAC
nên hai mặt
phẳng
SAB
và
SAC
sẽ cùng tạo với mặt phẳng đáy
một góc
60
.
Suy ra
, , ,
d H AB d H AC d H BC
tức
H
hoặc là tâm nội tiếp hoặc là tâm bàng tiếp các
góc
, ,
A B C
của tam giác.
TOANMATH.com
Trang 87
Ta có
3 3 3
;
2 2
S p
còn các cạnh
2, 3, 1.
a b c
Khi đó
1 3 3 3
; ;
2 2
a
S S
r r
p p a
1 3 3 3
; .
2 2
b c
S S
r r
p b p c
Chiều cao chóp lớn nhất khi
max max
3 3 3 3 3
3 .
2 4
a
SH r V
Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có các cạnh bên bằng
a
, góc tạo bởi mặt
bên và mặt phẳng đáy là
với
0;
2
. Thể tích khối chóp
.
S ABCD
đạt giá trị lớn
nhất là
A.
3
4 7
.
49
a
B.
3
4 3
.
27
a
C.
3
2 3
.
9
a
D.
3
4 15
.
75
a
Hướng dẫn giải
AC BD O SO ABCD
Gọi
M
là trung điểm của
CD
, .
SCD ABCD SMO
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là
x
.
Tam giác
SMC
vuông tại
M
có
2
2 2 2
.
4
x
SM SC CM a
Tam giác
SOM
vuông tại
O
có:
2
2
.cos cos .
4
x
OM SM SMO a
2 2 2
2 2 2
cos . cos
2 4 4 4
x x x x
a a
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
1
4 .
4 cos 4 2
1 tan
1
1 cos 2 tan
2 tan
1
1 tan
a
a a a
x x
.
TOANMATH.com
Trang 88
2
2
4
.
2 tan
ABCD
a
S
Ta có:
2
.tan
.tan .tan .
2
2 tan
x a
SO OM SMO
2 3
.
2
2 3
2
1 1 4 .tan 4 .tan
. . . . .
3 3
2 tan
2 tan
3 2 tan
S ABCD ABCD
a a a
V S SO
Do
0; tan 0
2
. Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi
3
3
2
4 .tan
.
3
2 tan
a
đạt giá trị lớn nhất.
Ta xét
2
3
2
tan
.
2 tan
f
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương
2
2 2 2
tan 1 1
; ; .
2 tan 2 tan 2 tan
Ta có
2 2
3 2 2 2
2
tan tan 1 1
. .
2 tan 2 tan 2 tan
2 tan
f
3
2
2 2 2
1 tan 1 1 1
.
3 27
2 tan 2 tan 2 tan
2
2
2 2
1 tan 1
tan 1 .
27 4
2 tan 2 tan
f
Vậy
3 3
3
4 4 3
max .
27
3 2 1
SABCD
a a
V
Chọn B.
Ví dụ 7. Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là
S
. Thể tích lớn nhất của khối
hộp chữ nhật là
A.
.
3
S S
B.
.
36
S S
C.
6
.
36
S S
D.
3
.
9
S S
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là
, ,
a b c
với
, , 0
a b c
.
Ta có
2 2 2
S ab ac bc
Áp dụng bất đẳng thức
:
AM GM
3
2 2 2
3
2 2 2 3 2 .2 .2 6
S ab ac bc ab ac bc a b c
Trong các
TOANMATH.com
Trang 89
3 3
3
2 2 2 2 2 2
6
6 .
216 216 36
S S S S
a b c S a b c abc
Đẳng thức xảy ra khi
a b c
hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.
Chọn C.
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Khoảng
cách từ
AA
đến
BCC B
và khoảng cách từ
C
đến
ABC
đều bằng
x
không đổi,
góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
ABC
bằng
0;
2
. Để thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
nhỏ nhất thì góc
có giá trị gần nhất giá trị nào sau đây?
A.
25
B.
35
C.
45
D.
55
Hướng dẫn giải
Dựng
,
AH BC H BC
( )
CK AC K AC
Ta có
;
d AA BCC B AH x
và
;
d C ABC CK x
; .
ABC ABC CAC
Xét tam giác
ACK
vuông tại
K
có
.
sin sin
CK x
AC
Xét tam giác
'
ACC
vuông tại
C
có
' .tan .tan .
sin cos
x x
CC AC
Xét tam giác
ABC
vuông tại
A
có
2
2 2 2
2 3
2 2
1 1 1 .
.
cos
1 sin
AH AC x x
AB
AB AH AC
AH AC
x
Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
3
.
2
1
. . .
2
2sin cos
ABC A B C
x
V AB AC CC
Để thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là nhỏ nhất thì
2
sin cos
lớn nhất.
Ta có
2 4 2 2 2
1
sin cos 2sin cos cos
2
2 2 2 3
2
1 2sin cos cos 8 2 3 3 3
sin cos .
2 3 54 9 4
x
V
Vậy
3
min
3 3
.
4
x
V
hình hộp chữ
nhật có cùng
diện tích
toàn phần thì
hình lập
phương thì
có thể tích
lớn nhất.
TOANMATH.com
Trang 90
Đẳng thức xảy ra khi
2 2
2
2sin cos tan 35 .
2
Chọn B.
Ví dụ 9. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB BC
và
3
BD cm
. Hai mặt
phẳng
ACC A
và
BDD B
hợp với nhau một góc
0
2
. Đường chéo
B D
hợp với mặt phẳng
CDD C
một góc
0
2
. Hai góc
,
thay đổi nhưng
thỏa mãn hình hộp .
ADD A BCC B
luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất thể tích của
khối hộp .
ABCD A B C D
A.
3
3
cm
B.
2 3
3
cm
C.
6 3
3
cm
D.
12 3
3
cm
Hướng dẫn giải
Ta có
;ACC A BDD B COD
.cos 3cos
2 2
CBD BC BD CBD
Lại có
.sin 3sin
2
CD BD CBD
Ta có
;B D CDD C B DC
Do .
ADD A BCC B
luôn là hình lăng trụ đều nên
BC CC
2
.
. . 27.sin .cos
2 2
ABCD A B C D
V BC CD CC
Xét
2 4 2 2 2
1
sin cos .2sin .cos .cos
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2
2sin cos cos
1 4
2 2 2
.
2 3 27
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
TOANMATH.com
Trang 91
2 2 2
1 2
2sin cos tan 2arctan
2 2 2 2 2
2
2 3
sin cos 6 3
2 2 9
V
.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho hình chóp
.
S ABC
có
, 2 , 3
SA a SB a SC a
. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3
3 2
a
B.
3
2
a
C.
3
a
D.
3
4
3
a
Câu 2: Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
thay đổi và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng
a
. Khối chóp
.
S ABCD
có thể tích lớn nhất khi
SA
đạt giá trị nào dưới đây?
A.
2.
SA a
B.
.
SA a
C.
6
.
2
a
SA
D.
3
.
2
a
SA
Câu 3: Trên 3 tia
, ,
Ox Oy Oz
vuông góc với nhau từng đôi, lấy lần lượt các điểm
, ,
A B C
sao cho
; ; .
OA a OB b OC c
Giả sử
A
cố định còn
,
B C
thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn
.
OA OB OC
Thể tích khối tứ diện
OABC
đạt giá trị lớn nhất là
A.
3
.
6
a
B.
3
.
8
a
C.
3
.
24
a
D.
3
.
32
a
Câu 4: Cho hình chóp
.
S ABC
có độ dài các cạnh
, ,
SA BC x SB AC y SC AB z
thỏa mãn
2 2 2
9
x y z
. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
.
S ABC
là
A.
3 6
.
8
B.
3 6
.
4
C.
2 6
.
5
D.
6
.
4
Câu 5: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA y
và vuông góc với
đáy
ABCD
. Trên cạnh
AD
lấy điểm
M
và đặt
,
AM x
biết
2 2 2
x y a
. Thể tích lớn nhất của khối
chóp
.
S ABCM
là
A.
3
3
.
3
a
B.
3
3.
a C.
3
3
.
8
a
D.
3
3
.
24
a
Câu 6: Cho tứ diện
SABC
, có
, ,
SA AB AC
đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh
, , .
BC a SB b SC c
Thể tích khối tứ diện
SABC
đạt giá trị lớn nhất là
A.
2
.
4
abc
B.
2
.
8
abc
C.
2
.
12
abc
D.
2
.
24
abc
Câu 7: Cho hình chóp
.
S ABCD
có
ABCD
là hình thoi cạnh
,
a SA SB SC a
. Thể tích lớn nhất của
khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
3
.
8
a
B.
3
.
2
a
C.
3
.
8
a
D.
3
.
4
a
TOANMATH.com
Trang 92
Câu 8: Xét khối tứ diện
ABCD
có cạnh
AB x
, các cạnh còn lại đều bằng
2 3
. Tìm
x
để thể tích khối tứ
diện
ABCD
đạt giá trị lớn nhất.
A.
6.
x B.
14.
x
C.
3 2.
x
D.
2 3.
x
Câu 9: Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng 64. Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh đạt giá
trị nhỏ nhất là
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
Câu 10: Cho tứ diện
ABCD
, có
6
AB CD
, khoảng cách giữa
AB
và
CD
là 8, góc giữa
AB
và
CD
là
. Thể tích khối tứ diện
ABCD
đạt giá trị lớn nhất là
A. 48 B. 52 C. 64 D. 36
Câu 11: Cho khối chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
,
90
SAB SCB
. Độ dài cạnh AB để khối chóp
.
S ABC
có thể tích nhỏ nhất là
A.
3 5.
AB a B.
3.
AB a C.
2 .
AB a
D.
10
.
2
a
AB
Câu 12: Khối chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
, ,
a SA SB SC a
cạnh
SD
thay đổi. Thể tích lớn
nhất của khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
.
2
a
B.
3
.
8
a
C.
3
3
.
8
a
D.
3
.
4
a
Câu 13: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều có
3
d là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng còn lại chứa một cạnh bên hình chóp.
Thể tích nhỏ nhất của khối chóp là
A. 3. B. 9. C.
9 3.
D. 27.
Câu 14: Cho
,
x y
là các số thực dương. Xét các hình chóp
.
S ABC
có
, ,
SA x BC y
các cạnh còn lại đều
bằng 1. Khi
,
x y
thay đổi, thể tích khối chóp
.
S ABC
có giá trị lớn nhất là
A.
2 3
.
27
B.
1
.
8
C.
3
.
8
D.
2
.
12
Câu 15: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
, cạnh bằng 1;
SO
vuông góc với mặt
phẳng đáy
ABCD
và
1
SC
. Thể tích lớn nhất của khối chóp
.
S ABCD
là
A.
2 3
.
9
B.
2 3
.
3
C.
2 3
.
27
D.
4 3
.
27
Câu 16: Trên đường thẳng
A
và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đều
ABC
cạnh bằng 2, lấy các
điểm
M
và
N
không trùng với
A
sao cho
MBC
vuông góc với
NBC
. Giá trị nhỏ nhất thể tích tứ diện
BMNC
là
A. 2. B.
2 3
. C.
2 2
. D. 6.
Câu 17: Cho khối chóp tứ giác đều
.
S ABCD
mà khoảng cách từ đỉnh
A
đến
SBC
bằng
2
a
. Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
, 2
a SA a
và
vuông góc với mặt đáy
ABCD
. Gọi
M
là điểm di động trên cạnh
CD
và
H
là hình chiếu vuông góc của
TOANMATH.com
Trang 93
S
lên đường thẳng
BM
. Khi điểm
M
di động trên cạnh
CD
, thể tích khối chóp
.
S ABH
có giá trị lớn nhất
bằng
A.
3
2
.
6
a
B.
3
2
.
8
a
C.
3
2
.
12
a
D.
3
2
.
15
a
Câu 18: Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tát cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Lấy các điểm
,
M N
nằm trên
cạnh
BC
, gọi
,
P Q
lần lượt nằm trên cạnh
,
AC AB
sao cho
MNPQ
là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật
.
MNPQ M N P Q
nội tiếp trong lăng trụ đều .
ABC A B C
có thể tích lớn nhất là
A.
3
3
4
a
B.
3
8
a
C.
3
3
8
a
D.
3
6
4
a
Câu 19: Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
ABC
vuông tại
, 3 , .
A AB a AC a
Mặt phẳng
, ,
DBC DAC DAB
lần lượt tạo với mặt phẳng
ABC
các góc
90 , ,
trong đó
90
. Thể
tích khối tứ diện
ABCD
có giá trị lớn nhất là
A.
3
3
.
4
a
B.
3
3
.
13
a
C.
3
3 2
.
10
a
D.
3
3
.
8
a
Câu 20: Cho khối chóp tứ giác đều
.
S ABCD
mà khoảng cách từ đỉnh
A
đến
SBC
bằng
2
a
. Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ nhất ?
A.
1
cos .
3
B.
2
cos .
3
C.
1
cos .
2
D.
3
cos .
2
Câu 21: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
1
AB
, cạnh bên
1, .
SA SA ABCD
Gọi
M
là điểm di động trên đoạn
CD
và
N
là điểm di động trên đoạn
CB
sao cho
60
MAN
. Thể tích nhỏ
nhất của khối chóp
.
S AMN
là
A.
2 3
.
3
B.
2 3
.
9
C.
2 3 3
.
3
D.
2 3 3
.
9
Câu 22: Cho hình lăng trụ .
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
nội tiếp đường tròn đường kính
3, ,BD a ABD CBD
, tam giác
A AC
đều. Hình chiếu vuông góc của
A
trên
ABCD
là trung
điểm
H
của
AC
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABCD A B C D
đạt giá trị lớn nhất là
A.
3
3
4
a
B.
3
3
12
a
C.
3
9
4
a
D.
3
3
4
a
Câu 23: Cho khối chóp
.
S ABC
có
, 60 , 90 , 120 .
SA SB SC a ASB BSC CSA
Gọi
,
M N
lần
lượt là điểm trên cạnh
AB
và
SC
sao cho
CN AM
SC AB
. Khi độ dài đoạn
MN
đạt giá trị nhỏ nhất thì thể tích
của khối chóp
.
S AMN
là
A.
3
2
.
72
a
V
B.
3
5 2
.
72
a
V
C.
3
5 2
.
432
a
V
D.
3
2
.
432
a
V
Câu 24: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, trên đường thẳng vuông góc với
ABCD
tại
A
ta lấy điểm
S
di
động. Hình chiếu vuông góc của
A
lên
,
SB SD
lần lượt là
,
H K
. Thể tích lớn nhất của tứ diện
ACHK
bằng
TOANMATH.com
Trang 94
A.
3
.
6
a
B.
3
3
.
16
a
C.
3
2
.
12
a
D.
3
6
.
32
a
Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Thể tích lớn
nhất của hình hộp chữ nhật đã cho là
A.
max
8.
V
B.
max
12.
V C.
max
8 2.
V D.
max
6 6.
V
Câu 26: Cho hai đường thẳng cố định
a
và
b
chéo nhau. Gọi
AB
là đoạn vuông góc chung của
a
và
b
;
A a B b
. Trên
a
lấy điểm
M
(khác
A
), trên
b
lấy điểm
N
(khác
B
) sao cho
, , 8
AM x BN y x y
. Biết
6
AB
, góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
bằng
60
. Khi thể tích khối tứ
diện
ABNM
đạt giá trị lớn nhất thì độ dài đoạn
MN
(biết
8
MN
) là
A. 13. B. 12. C.
2 39.
D.
2 21.
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước
m n p
(với
, ,
m n p
là các số nguyên dương và
m n p
).
Biết rằng thể tích hình hộp chữ nhật đã cho bằng
1
2
thể tích hình hộp chữ nhật có kích thước
2 2 2
m n p
. Giá trị lớn nhất có thể có của
p
là
A. 30. B. 6. C. 130. D. 120.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-C 2-B 3-C 4-D 5-C 6-D 7-D 8-C 9-C 10-A
11-B 12-D 13-B 14-A 15-D 16-A 17-C 18-C 19-A 20-A
21-C 22-C 23-C 24-C 25-B 26-D 27-D 28-C
Dạng 5:
Sử dụng thể tích để tính khoảng cách
Phương pháp giải
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh và áp
dụng công thức
1 3
. .
3
V
V h S h
S
Trong đó
V
là thể tích khối đa diện,
S
là diện tích đáy và
h
là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.
Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ta áp dụng công thức
1 6
. .sin , ; ; .
6
. .sin ,
V
V AB CD AB CD d AB CD d AB CD
AB CD AB CD
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông ở
B
. Cạnh
SA
vuông
góc với đáy. Biết
, .
SA a AB b
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng chiều cao của hình
TOANMATH.com
Trang 95
là
A.
2 2
.
a b
a b
B.
2 2
2
.
ab
a b
C.
2 2
.
2
ab
a b
D.
2 2
.
ab
a b
Hướng dẫn giải
Ta có
.
3
, .
A SBC
SBC
V
d A SBC
S
Ta có:
. .
1 1
. . . .
3 6
A SBC S ABC ABC
V V SA S SA AB BC
Mặt khác
SA SBC SA BC
mà
ABC
vuông tại
B
nên
.
BC BA
Suy ra
BC SB
hay
SBC
vuông tại
B
1
. .
2
SBC
S BC BS
Vậy
2 2 2 2
1
3. . .
. .
6
, .
1
.
2
SA AB BC
SA AB SA AB ab
d A SBC
SB
SA AB a b
SB BC
Chọn D.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều cạnh bằng 1 và điểm
I
nằm trong tứ diện.
Tổng khoảng cách từ
I
đến các mặt của tứ diện là
A.
6.
B.
6
.
9
C.
3
.
2
D.
6
.
3
Hướng dẫn giải
Xét tứ diện đều
ABCD
có diện tích
đáy là
3
4
và chiều cao là
2
3
nên
thể tích tứ diện đều
ABCD
là
2
.
12
V
Gọi
1 2 3 4
, , ,
h h h h
lần lượt là khoảng
chóp
.
A SBC
.
Do đó:
.
3
, .
A SBC
SBC
V
d A SBC
S
Cách trắc nghiệm: Chọn
đặc biệt
I A
. Khi đó tổng
khoảng cách từ
I
đến các
mặt của tứ diện bằng khoảng
cách từ
A
đến
BCD
và
bằng
6
.
3
TOANMATH.com
Trang 96
cách từ
I
đến các mặt
, , , .
BCD ACD ABD ABC
Đặt
1 2 3 4
, , , .
IBCD IACD IABD IABC
V V V V V V V V
Ta có
1 2 3 4
.
V V V V V
1
1 1 1
3
1
. .
3
BCD
BCD
V
V h S h
S
Tương tự
32 4
2 3 4
3
3 3
, , .
ACD ABD ABC
V
V V
h h h
S S S
Vậy
31 2 4
1 2 3 4
3
3 3 3
.
BCD ACD ABD ABC
V
V V V
h h h h
S S S S
Tứ diện
ABCD
là tứ diện đều nên
3
.
4
BCD ACD ABD ABC
S S S S
Suy ra
1 2 3 4
1 2 3 4
3
3 6
.
3
3 3
4 4
V V V V
V
h h h h
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
3, 4, 5
AB AD AA
. Lấy
điểm
M
trên cạnh
AB
sao cho
4
BM AM
. Khoảng cách từ
C
đến
BD
bằng 4.
Khoảng cách từ điểm
M
đến
BC D
là
A. 2 B.
12
5
C.
3 3
2
D.
8
3
Hướng dẫn giải
Ta có
. .
4 4
4
5 5
M BC D A BC D
BM
BM AM V V
AB
TOANMATH.com
Trang 97
Mà
. . .
1 1
. . . 10 8.
3 6
A BC D C ABD ABD M BC D
V V CC S CC AB AD V
Ta có
2 2
,
1
5, . 10.
2
C BD
C BD
BD AB AD S d BD
Ta có
.
,
, ,
3
1 12
. .
3 5
M BC D
M BC D BC D
M BC D M BC D
BC D
V
V d S d
S
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có
4, 5, 6.
AB CD AC BD AD BC
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BCD
là
A.
3 6
.
7
B.
3 2
.
5
C.
3 42
.
7
D.
7
.
2
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
6 2
ABCD
V a b c a b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 15 6
= 4 5 6 4 5 6 4 5 6 .
4
6 2
Ta có
4 5 6 15
.
2 2 2
BC CD DB
p
Suy ra
15 7
4 5 6 .
4
BCD
S p p p p
Ta có
.
15 6
3.
3
3 42
4
, .
7
15 7
4
A BCD
BCD
V
d A BCD
S
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có
2, 3, 4
SA SB SC
.Góc
45 , 60 , 90
ASB BSC CSA
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA
và BC.
A.
6 34
.
17
B.
4 34
.
17
C.
7 34
.
17
D.
3 34
.
17
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 98
Hình chóp S.ABC có
, ,
SA a SB b SC c
và
, ,ASB BSC CSA
2 2 2
. .
1 cos cos cos 2cos .cos .cos 2.
6
S ABC S ABC
abc
V V
Ta có:
20; 13.
AC BC
2 2 2 2 2 2
3 4 20 13 6 2 3
cos , .
2 .
2.2. 13 26
SB SC AC AB
SA BC
SA BC
Suy ra
17
sin , .
26
SA BC
Suy ra
6 6 34
, .
17
. .sin ,
V
d SA BC
SA BC SA BC
Chọn C
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Trên AB lấy hai điểm M, N trên
CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn
2 3 1
MN PQ
CD AB
. Thể tích khối MNPQ đạt giá trị
lớn nhất bằng
A.
.
8
V
B.
.
16
V
C.
.
24
V
D.
.
32
V
Hướng dẫn giải
1
. . , .sin , ;
6
ABCD
V AB CD d AB CD AB CD
1
. . , .sin , .
6
MNPQ
V MN PQd MN PQ MN PQ
Do
, ,
d AB CD d MN PQ
và
sin , sin ,
AB CD MN PQ
nên
TOANMATH.com
Trang 99
.
.
.
MNPQ
ABCD
V
MN PQ
V AB CD
Ta có 2 3 2 2 .3 2 6 .
MN PQ MN PQ MN PQ
CD AB CD AB CD AB
1
6 .
2
MN PQ
CD AB
do
2 3 1
MN PQ
CD AB
1 1
. .
24 24
MNPQ
ABCD
V
MN PQ
CD AB V
Vậy
.
24 24
MNPQ MNPQ
V V
V MaxV
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và
AD, H là giao điểm của CN với MD. Biết
, 3
SH ABCD SH a
. Khoảng cách giữa DM và SC là
A.
3 57
.
38
a
B.
2 57
.
19
a
C.
3 57
.
19
a
D.
2 57
.
27
a
Câu 2: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên
SCD
tạo
với mặt đáy một góc bằng
60
, M là trung điểm BC. Biết thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
3
.
3
a
Khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng
SCD
là
A.
3
.
6
a
B.
3.
a
C.
3
.
4
a
D.
3
.
2
a
Câu 3: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng
3
24cm , SB BC 5cm, SC 8cm.
Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng
SBC
là
A. 3 cm. B. 4 cm. C. 6 cm. D. 12 cm.
Câu 4: Cho khối chóp
.
S ABCD
có thể tích
3
6
V a
, đáy ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC thỏa
mãn
2
AD BC
, diện tích tam giác SCD bằng
2
34
a
. Khoảng cách từ B đến
SCD
là
A.
3 34
.
34
a
B.
9 34
.
17
a
C.
34
.
17
a
D.
3 34
.
17
a
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có
, 2 , 2 5
AB a AC a AA a
và
120 .
BAC
Gọi
,
K I
lần
lượt là trung điểm của các cạnh
,
CC BB
. Khoảng cách từ điểm
I
đến mặt phẳng
A BK
là
TOANMATH.com
Trang 100
A.
5
6
a
B.
5
3
a
C.
15
a D.
15
3
a
Câu 6: Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có cạnh a. Khoảng cách giữa đường thẳng
1
A B
và
1
B D
là
A.
3
.
6
a
B.
2
.
3
a
C.
6
.
6
a
D.
6
.
3
a
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của điểm S nằm trong tam giác ABC. Tam giác ABC
có bán kính đường tròn nội tiếp
3, 5
r BC
và diện tích tam giác ABC là
10
S
. Các mặt bên của hình
chóp S.ABC đều tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng
60
. Khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng
SBC
là
A.
2 3.
h B.
3.
h C.
3 3.
h D.
3
.
2
h
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có
3 , 2 , 5 ; 60
AB a AC a AD a BAC CAD DAB
. Khoảng cách từ C
đến
ABD
là
A.
2 6
.
3
a
B.
6
.
9
a
C.
6
.
3
a
D.
2 6
.
9
a
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
2
a
. Tam giác SAD cân tại
S và mặt bên
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
3
4
3
a
.
Khoảng cách h từ B đến mặt phẳng
SCD
là
A.
2
.
3
h a
B.
4
.
3
h a
C.
8
.
3
h a
D.
3
.
4
h a
Câu 10: Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy
ABC
bằng
21
7
a
.
Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng
60
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA, MN là
A.
9 3
.
42
a
B.
3 3
.
42
a
C.
6 3
.
42
a
D.
12 3
.
42
a
Câu 11: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A
trên
đáy
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Biết thể tích của khối lăng trụ là
3
3
4
a
. Khoảng cách
giữa hai đường thẳng
AA
và
BC
là
A.
3
2
a
B.
4
3
a
C.
3
4
a
D.
2
3
a
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên
ABC
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2
HA HB
. Góc giữa đường thẳng SC và
ABC
bằng
60
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
TOANMATH.com
Trang 101
A.
21
.
4
a
B.
42
.
24
a
C.
21
.
8
a
D.
42
.
8
a
Câu 13: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích
1
6
V
, góc
45
ACB
và
3
2
AC
AD BC
.
Độ dài cạnh CD là
A.
2 3.
B.
3.
C.
2.
D. 2.
Câu 14: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
60 , 2 .
ABC SA SB SC a
Khoảng cách giữa AB và SC là
A.
11
.
12
a
B.
22
.
4
a
C.
11
.
4
a
D.
22
.
12
a
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-B 2-C 3-C 4-D 5-A 6-C 7-A 8-A 9-A 10-A
11-C 12-D 13-B 14-C
Dạng 6.
Bài toán thực tế về khối đa diện
Phương pháp giải
Phân tích bài toán, chuyển các dữ kiện thực tế về các hình cơ bản.
Áp dụng bất đẳng thức, đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Kim tự tháp Cheops ( có dạng hình chóp đều) là kim tự tháp cao nhất
ở Ai Cập. Đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230m. Các lối đi và
phòng bên trong chiếm 30%, khối lượng riêng của đá bằng 2,5.10
3
kg/m
3
.
Khối lượng đá tạo nên kim tự tháp là 4 443 600 tấn.
Chiều cao kim tự tháp là:
A. 148m B. 144m C. 154m D.156m
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khối lượng riêng để tính thể tích của đá.
Chú ý:
Công thức tính khối lượng
riêng:
m m
D V
V D
Trong đó D là khối lượng
riêng, m là khối lượng và V là
thể tích.
TOANMATH.com
Trang 102
Ta có:
1
1
m m
D V
V D
.
Thể tích của cả khối kim tự tháp là
1
100 10
.
70 7
m
V V
D
(do các lối đi và
phòng bên trong chiếm 30%)
Diện tích đáy
2
230
S
(
2
m
)
Chiều cao
2
3 3.4443600.10
144
2,5.230 .7
V
h m
S
Chọn B.
Ví dụ 2. Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ
nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của
hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất?
A.
3
2
180
(cm) B.
3
360
(cm)
C.
3
720
(cm) D.
3
180
(cm)
Hướng dẫn giải
Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của hình hộp.
Theo bài ra ta có:
2
2
180
180x h h
x
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần S nhỏ nhất.
Ta có
2 2 2 2
2
180 720 360 360
2 4 2 4 . 2 2S x xh x x x x
x x x x
Ta có
3
2 2
3
360 360
3 2 3 2.360
S x
x x
Dấu bằng xảy ra khi
2 3
3
360
2 180 180
x x x
x
Khi đó
3
180
h
Hướng tư duy:
Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là
chiều cao của hình hộp. Ta rút
được h theo x.
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là
ít nhất khi diện tích toàn phần
S nhỏ nhất. Thay h theo x vào
công thức S thì S còn 1 ẩn x ta
có thể sử dụng bất đẳng thức
hoặc công cụ đạo hàm để tìm
minS.
TOANMATH.com
Trang 103
Chọn D.
Ví dụ 3 : Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 2
D. x = 4
Hướng dẫn giải
Ta có: h = x (cm) là chiều cao của hình hộp.
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là :
12 – 2x (cm)
Vậy diện tích đáy hình hộp
2 2
(12 2 ) ( )
S x cm
.
Ta có :
x 0 x 0
x 0;6 .
12 2x 0 x 6
Thể tích của hình hộp là :
2
. .(12 2 )
V S h x x
Xét hàm số
2
.(12 2 ) 0;6
y x x x
Ta có:
2
(12 2 ) 4 (12 2 ) (12 2 )(12 6 );
y x x x x x
0 (12 2 ).(12 6 ) 0 2
y x x x
hoặc
6
x
(loại)
Suy ta với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là
y (2) = 128.
Chọn C.
Ví dụ 4. Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật
không nắp và có các kích thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là
: 1: 3
x y
, thể tích khối hộp bằng 18dm
3
. Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng
x y z
bằng:
A. 10 dm B.
19
dm
2
C. 26 dm D.
26
dm
3
TOANMATH.com
Trang 104
Hướng dẫn giải
Ta có:
: 1: 3 3
x y y x
Theo giả thiết, ta có
2
6
18xyz z
x
Tổng diện tích vật liệu không nắp cần dùng là :
2
2 2
6 6 48
2( ) .3 2 . 3 . 3xy xz yz x x x x x
x x x
Xét hàm
f x
2
48
3x
x
trên
0;

, ta được
f x
nhỏ nhất khi x = 2
Khi
3 19
x 2 y 6,z x y z (dm)
2 2
Chọn B.
Chú ý:
Ta biểu diễn ẩn y;z theo x còn
1 ẩn x ta có thể sử dụng bất
đẳng thức hoặc công cụ đạo
hàm để tìm min S.
Cách khác:
Áp dụng Cô-si
2 2
48 8 8
3 3x x
x x x
2
3
8 8
3.3 . . 36
x
x x
Dấu “=” xảy ra
2
8 8
2
x x
x x
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp
lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là 4800 cm
3
thì cạnh của tấm
bìa có độ dài là
A. 38cm B. 42cm C. 36cm D. 44cm
Câu 2: Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50 m, chiều rộng 30 m. Biết rằng trong hồ bơi có
3 000 000 lít nước. Độ sâu của hồ bơi lúc này là
A. 3m B. 2,5m C. 2m D. 3m
Câu 3: Một hộp sữa tươi dạng hình hộp chữ nhật có thể tích thực của sữa là 180ml,
người ta để khoảng không gian trống cho không khí vào bằng 10% thể tích của sữa.
Đáy hộp là hình chữ nhật có diện tích 16,5cm
2
.
Biết độ dày hộp giấy không đáng kể. Hỏi chiều cao hộp sữa bằng bao nhiêu?
A.
108
11
cm B. 10 cm C.
400
33
cm D. 12cm
Câu 4: Tháp Eiffel ở Pháp cao 300m, được làm hoàn toàn bằng sắt và nặng khoảng 8 000 000 kg.
TOANMATH.com
Trang 105
Người ta làm một mô hình thu nhỏ của tháp với cùng chất liệu và cân nặng 1kg. Hỏi chiều cao của mô hình
là bao nhiêu?
A. 1,5m B. 2m C. 3m D. 0,5m
Câu 5: Một tấm nhôm hình chữ nhật
ABCD
có
24
AD
cm.Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh
MN
và
QP
vào phía trong đến khi
AB
và
CD
trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai
đáy.
Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
A. x = 9 B. x = 8 C. x = 10 D. x = 6
Câu 6: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau.
+) Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V
1
(Hình 1)
+) Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là V
2
(Hình 2)
Tính tỷ số k =
1
2
V
V
A.
3 3
2
k B.
4 3
9
k C.
3 3
4
k D.
3 3
8
k
Câu 7: Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình 1 và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình 2.
Biết cạnh hình vuông bằng 20 cm,
OM x
(cm).
TOANMATH.com
Trang 106
Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất.
A. x = 6 cm B. x = 8 cm C. x = 7 cm D. x = 9 cm
Câu 8: Từ một tấm bìa hình vuông
ABCD
có cạnh bằng 5dm, người
ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là
, ,
AMB BNC CPD
và
DQA
.
Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ
giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiều để thể tích của
nó là lớn nhất?
A.
3 2
2
dm B.
5
2
dm C.
2 2
dm D.
5 2
2
dm
Câu 9: Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a. Người ta cắt khối đá
đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. ( Giả thuyết rằng tổng thể tích của hai
khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu).
A.
2
2a
3
B.
2
3
a
2
C.
2
a
4
D.
2
3
a
4
Câu 10: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
200 m
3
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m
2
(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều
dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể ( làm tròn đến đơn vị triệu đồng).
A. 75 triệu đồng B. 51 triệu đồng C. 36 triệu đồng D. 46 triệu đồng
Câu 11: Người ta cần lợp tôn cho mái nhà như hình vẽ.
Biết mái trước, mái sau là các hình thang cân
ABCD
,
ABEF
; hai đầu hồi là hai tam giác cân ,
ADE BCF
tại
A
và
B
. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
CDEF
là
H
.Biết
16 , 20 , 1,73 , 6
AB m CD FE m AH m ED CF m
Tính tổng diện tích S của mái nhà ( diện tích của hai mái
trước, sau và hai đầu hồi).
A.
141
S
m
2
B.
281
S
m
2
C.
261
S
m
2
D.
78
S
m
2
TOANMATH.com
Trang 107
Câu 12: Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh
bằng a các đoạn bằng x,
0
2
a
x
; phần còn lại là
một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật,
rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ
tam giác đều như hình vẽ.
Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
A.
3
a
B.
4
a
C.
5
a
D.
6
a
Câu 13: Từ hình vuông có cạnh bằng 6, người ta
cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô
đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình
hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khối
hộp là
A.
8 2
B.
10 2
C.
9 2
D.
11 2
Câu 14: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng như hình vẽ. Hai mặt bên
ABB A
và
ACC A
là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 (m) và rộng 5 (m). Gọi x (mét) là độ dài của cạnh
BC
. Tìm
x để khoảng không gian của hành lang (kể cả hai tấm kính) là lớn nhất ?
A.
5( )
x m
B.
5 2( )
x m
C.
5 17( )
x m
D.
25( )
x m
Câu 15: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000
cm
3
. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/m
2
và loại kính để làm mặt
đáy có giá thành 100 000 đồng/m
2
. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A. 320 000 đồng B. 32 000 đồng C. 83 200 đồng D. 68 800 đồng
Câu 16: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm x 40 cm. Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau
như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng x cm, rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp
nhận được có thể tích lớn nhất.
A.
20
3
x cm
B.
4
x cm
C.
5
x cm
D.
10
3
x cm
TOANMATH.com
Trang 108
Câu 17: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông
cạnh x cm, chiều cao là h cm và thể tích là 500 cm
3
. Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra
tốn ít bìa các tông nhất.
A.
2
x cm
B.
3
x cm
C.
5
x cm
D.
10
x cm
Câu 18 : Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích
384 cm
2
. Lề trên và dưới là 3 cm, lề trái và phải là 2 cm. Kích
thước tối ưu của trang giấy là
A. Dài 24 cm; rộng 16 cm
B. Dài 24 cm; rộng 17 cm
C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm
D. Dài 25.6 cm; rộng 15 cm
Câu 19: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m
3
để chứa chất thải chăn
nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng.
Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất
(không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài ; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ
số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là
A. Dài 2,42 m và rộng 1,82m B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
C. Dài 2,26 m và rộng 1,88 m D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Câu 20: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác
đều không nắp có thể tích là 62,5dm
2
. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có
tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Khi đó tổng diện tích S bằng
A. 106,25 dm
2
B. 75 dm
2
C.
50 5
dm
2
D. 125 dm
2
Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ
nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2m
3
. Hỏi
chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?
A.
3 3
( )
2 2
m
B.
3
2
( )
3
m
C.
3
3
( )
2
m
D.
2 2
( )
3 3
m
Câu 22: Bác An cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích
3
6( )
V m
dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bể tông, cốt thép ; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi
phí trung bình là 1 triệu đồng/m
2
và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng
2
9
diện tích nắp
bể. Chi phí thấp nhất mà bác An phải trả là
A. 20 triệu đồng B. 20,5 triệu đồng C. 21 triệu đồng D. 22 triệu đồng
TOANMATH.com
Trang 109
Câu 23: Cho một khối lập phương có cạnh bằng 1m. Biết rằng chiều cao mực nước trong khối lập phương là
0,6m. Hỏi khi đặt khối lập phương đứng ở vị trí đứng cân bằng trên một cạnh như hình vẽ thì chiều cao h
mực nước tính từ mặt phẳng đạt là bao nhiêu ?
A.
2 7 25 2
50
h m
B.
5 2 10
5
h m
C.
4
5
h m
D.
5 2 3
5
h m
Câu 24: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m
2
và chiều cao cố định.
Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có
kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi
phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).
A. 16m x 24m B. 8m x 48m C. 12m x 32m D. 24m x 32m
Câu 25: Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số
thực dương không đổi. Gọi α là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp và mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp
lớn nhất, tính sinα
A. sinα
6
3
B. sinα
3
3
C. sinα
5
3
D. sinα
3
2
Câu 26: Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình
tứ giác đều
.
S ABCD
cạnh bên
600
SA
mét,
15
ASB
. Do có sự cố đường dây điện tại điểm
Q
( là trung
điểm của
SA
) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ
A
đến
Q
gồm bốn đoạn thẳng,
, , ,
AM MN NP PQ
(hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất.
Tính tỷ số
AM MN
k
NP PQ
TOANMATH.com
Trang 110
A.
5
3
k
B.
3
2
k
C.
4
3
k
D.
2
k
Câu 27: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh bằng 1,
M
là trung điểm cạnh
AB
. Một con kiến đi từ
điểm
M
thẳng tới điểm
N
thuộc cạnh
BC
, từ điểm
N
đi thẳng tới điểm
P
thuộc cạnh
CC
,từ điểm
P
đi
thẳng tới điểm
D
( điểm
,
N P
thay đổi tùy theo hướng đi của con kiến). Quãng đường ngắn nhất để con kiến
đi từ
M
đến
D
là
A.
5
2
B.
2 1
C.
7
2
D.
3
2
2
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-C 3-D 4-A 5-B 6-C 7-B 8-C 9-D 10-B
11-A 12-D 13-A 14-C 15-C 16-A 17-D 18-B 19-C 20-B
21-D 22-C 23-B 24-A 25-B 26-D 27-A
| 1/110
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 5
BÀI 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết công thức tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
+ Biết cách xác định chiều cao khối lăng trụ, khối chóp thông qua mối quan hệ về góc, khoảng cách
và các hệ thức lượng trong tam giác.
+ Biết cách tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp: phân chia khối đa diện, tách
ghép, bổ sung khối đa diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích.
+ Biết liên hệ với bài toán thực tế thông qua giải các bài toán thực tế, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.  Kĩ năng
+ Thành thạo công thức tính thể tích các khối đa diện.
+ Tính được khoảng cách, góc thông qua bài toán thể tích. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ 1 Ví dụ: V  d .S S.ABCD S .ABCD 3 ABCD
Thể tích khối chóp: V  1 S .h . 3 ®¸y
Trong đó: S : Diện tích mặt đáy. ®¸y
h: Độ dài chiều cao khối chóp.
Thể tích khối lăng trụ: V  S .h ®¸y
Trong đó: S : Diện tích mặt đáy. ®¸y
h: Chiều cao của khối chóp.
Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
Thể tích khối hộp chữ nhật: V  . a . b c
Thể tích khối lập phương:  3 V a Chú ý:
+) Đường chéo của hình vuông cạnh a là: a 2 .
+) Đường chéo của hình lập phương cạnh a là: a 3
+) Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: 2  2  2 a b c .
+) Đường cao của tam giác đều cạnh a là: a 3 2 TOANMATH.com Trang 2
Các công thức hình phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. +) 2  2  2 AB AC BC ; +) 2 AC  CH.BC ; +) AH.BC  A . B AC ; +) 2 AB  BH.BC ; 1 1 1 +) 2 AH  BH.HC ; +)   ; 2 2 2 AH AB AC +) AB  B . C sin C  B . C cos B  A . C tan C  A . C cot B .
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài các trung
tuyến m , m , m ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán a b c
kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p.
+) Định lí hàm số cosin: 2 a  2 b  2 c  2b . c cos A ; 2 b  2 c  2 a  2c . a cos B ; 2 c  2 a  2 b  2a . b cosC . a b c +) Định lí hàm số sin:    2R . sin A sin B sin C +) Độ dài trung tuyến: 2 2 2 2 2 2 2 2 2    2 b c a 2 c a b 2 a b c m   ; m   ; m   . a 2 4 b 2 4 c 2 4
2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 +) S  . a h  . b h  . c h 2 a 2 b 2 c 1 1 1
+) S  bcsin A  casin B  absin C 2 2 2 abc +) S  4R
+) S  pr (p: nửa chu vi của tam giác).
+) S  p p  a p  b p  c A . B AC B . C AH
+) ABC vuông tại A: S   2 2 2 a 3 a 3
+) ABC đều, cạnh a: AH  , S  . 2 4 TOANMATH.com Trang 3 b) Hình vuông:  2 S a (a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S  ab (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:
S  ®¸y  chiÒu cao = A . B A . D sin  BAD e) Hình thoi: S  AB AD  BAD  1 . .sin A . C BD 2 1
f) Hình thang: S  a  bh (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S  1 A . C BD 2
Một số kỹ thuật tính thể tích hay dùng
1. Kĩ thuật chuyển đỉnh
Khi đáy không đổi ra có thể chuyển đỉnh để việc tính toán dễ dàng hơn.
+) Trường hợp 1: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường
thẳng song song với đáy: V  V míi cò
+) Trường hợp 2: Đỉnh mới và đỉnh cũ nằm trên đường thẳng cắt đáy: V BM míi  V AM cò TOANMATH.com Trang 4 2. Kĩ thuật chuyển đáy
Khi chiều cao không đổi ta có thể chuyển đáy để việc V S
tính toán dễ dàng hơn: SABCD SABCD  V S EFG EFG
Góc giữa đường thẳng vằ mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa
đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
Để tính góc SA P  ,
, ta gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên P . Khi đó HA là hình chiếu vuông góc của SA trên P . Vậy S , A P   S ,AAH     SAH .
Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Để tính góc SB SAH   ,
biết SAH   P ta dựng BK  AH
BK  AH K  AH  . Vì  nên BK  SAH  BK  SH
Khi đó K là hình chiếu vuông góc của B trên SAH 
 SK là hình chiếu vuông góc của SB trên SAH  Vậy SB,SAH    SB,SK    BSK Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến. TOANMATH.com Trang 5
Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy
Để tính góc SAB P  ,
, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên P . Kẻ HI  ABI  AB AB  HI  
 AB  SHI   AB  SI AB  SH Vậy SAB,P   SI,HI    SIH .
Góc giữa mặt bên và mặt đứng
Để tính góc SAB SAH   ,
biết SAH   P , ta kẻ     BK  HA BK HA K HA    BK  SHA . BK  SH Kẻ KI  SAI  SA SA  KI  
 SA  BKI   SA  BI SA  BK
Vậy SAB,SAH    KI,BI    BIK . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thể tích khối chóp
Bài toán 1. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh
bên đó chính là chiều cao của khối chóp. MÔ HÌNH 1
Hình chóp S.ABC , cạnh SA vuông góc với đáy. + Đáy là tam giác ABC. + Đường cao SA. + Cạnh bên SB, SC, SA.
+ SAB , SAC là các tam giác vuông tại A.
+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc  SBA .
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc  SCA .
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy là góc  SHA với H
là hình chiếu vuông góc của A trên BC. TOANMATH.com Trang 6 MÔ HÌNH 2
Hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật
(hình vuông) và SA vuông góc với đáy.
+ Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD. + Đường cao SA. + Cạnh bên SA, SB, SC, SD.
+ SAB, SAC, SAD là các tam giác vuông tại A.
+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là  SBA.
+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là  SCA .
+ Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là  SDA .
+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy ABCD là  SBA .
+ Góc giữa mặt bên SCD với đáy ABCD là  SDA . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , Chú ý:
AC  2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA  a . Thể tích của khối Chóp tam giác . O ABC có chóp S.ABC là OA, OB, OC đôi một 3 a 3 a 3 a
vuông góc thì thể tích của A. 3 V  a B. V  C. V  D. V  2 3 4 khối chóp S.ABC là Hướng dẫn giải O . A O . B OC V  . Diện tích đáy 6 1 1 2 S  A . B AC  . a 2a  a . ABC 2 2 Chiều cao: SA  a . 3 1 1 a Vậy 2 V  S .SA  a .a  . S.ABC 3 ABC 3 3 Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA  a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. 3 a 2 C. D. 3 4 6 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 7 Diện tích đáy 2 S  a . ABCD Chiều cao: SA  a 2 . 3 1 1 a 2 Vậy 2 V  . B h  a .a 2  ABCD 3 3 3 Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a , 
ACB  60 cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy
một góc bằng 45 . Thể tích của khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 6 18 9 12 Hướng dẫn giải
Ta có ABC vuông tại B nên   3 .cot  .cot 60  a BC AB ACB a 3 2 1 1 a 3 a 3  S  B . A BC  . a  ABC 2 2 3 6
Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên  ABC  SB, ABC     SB,AB   SBA  45 SAB vuông tại A nên SA  A . B tan  SBA  A . B tan 45  a . 2 3 1 1 a . 3 a 3 Vậy V  S .SA  .a  S.ABC 3 ABC 3 6 18 Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,
Nhận xét: Việc chia nhỏ
 AD  BC, cạnh AD  2a, AB  BC  CD  a và SA vuông góc với mặt hình thang cân ABCD
thành ba tam giác đều sẽ
phẳng  ABCD , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Thể tích của khối giúp ta thuận tiện trong chóp S.ABCD là
việc tính diện tích đáy. 3 a 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 A. B. C. D. Chú ý: Nếu ABC là tam 3 4 4 2 giác đều thì Hướng dẫn giải 2 AB 3 S  ABC 4 TOANMATH.com Trang 8
Gọi M là trung điểm AD. Ta chia hình thang cân
ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam
giác này là các tam giác đều cạnh a. 2 3a 3 Do đó S  . ABCD 4
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên  ABCD  SC, ABCD     SC,AC   SCA  60 .
Lại có AH là đường cao trong tam giác đều ABM nên AB 3 a 3 AH    AC  2AH  a 3 . 2 2 SAC vuông tại A nên SA  AC.tan  SCA  AC.tan 60  3a . 2 3 1 1 3a . 3 3a 3 Vậy V  S .SA  . .3a  . S.ABCD 3 ABCD 3 4 4 Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi AC  2a ,
BD  3a , AC  BD và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , cạnh SC tạo 1
với mặt phẳng đáy góc  thỏa mãn tan  . Thể tích khối chóp S.ABCD 3 là 3 2a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 3 4 12 Hướng dẫn giải AC.BD Ta có 2 AC  BD  S   3a . ABCD 2
Do AC là hình chiếu vuông góc của SC trên  ABCD nên S , C  ABC    D    S ,CAC SCA  2   .tan  a SA AC . 3 3 1 1 2a 2a Vậy 2 V  S .SA  3a .  . S.ABCD S. 3 ABCD 3 3 3 Chọn A.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC , Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có
hai mặt phẳng SAB và SBC  vuông góc với nhau, SB  a 3 , SA vuông góc với mặt TOANMATH.com Trang 9  3 a
phẳng  ABC , hai mặt BSC  45 , 
ASB  30 . Thể tích khối chóp SABC là V. Tỉ số là V
phẳng SAB và SBC  8 8 3 2 3 4 A. B. C. D. 3 3 3 3 vuông góc với nhau, Hướng dẫn giải  BSC   ,  ASB   .
Ta có: SA   ABC  SAB   ABC .
Thể tích khối chóp S.ABC  là:
 SBC  SAB, ABC  SAB Mà   BC  SAB  3  SB .sin 2.tan 
 SBC  ABC  BC V  S.ABC 12
 ABC, SBC là các tam giác vuông tại B. Chứng minh:
Xét SAB vuông tại A có:
Xét SAB vuông tại A có:  B  a 3 ASB  SA  SB  3a AB S .sin , .cos ASB  AB  S . B sin 2 2 SA  S . B cos
Xét SBC vuông tại B có: BC  S . B tan  BSC  a 3
Xét SBC vuông tại B có: 2 1 1 a 3 3 BC  S . B tan    a S A . B BC  . .a 3  ABC 2 2 2 4 1  S  A . B BC 2 3 3 1 1 3a 3a 3a a 8 ABC 2 Vậy V  .S .SA  . .    S.ABC 3 ABC 3 4 2 8 V 3 1 2  .SB .sin.tan  Chọn A. 2 1 Vậy V  .S .SA S.ABC 3 ABC 2 sin tan  cos  SB SB 6 3 .sin 2.tan  SB 12
Bài toán 2. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Phương pháp giải
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường
cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.         
       d Ta có:   a    . a     a  d TOANMATH.com Trang 10
Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của
chúng sẽ vuông góc với đáy.      P  Ta có:      P  d  P .       d Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với  ABC . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a A. B. C. D. 9 24 9 16 Hướng dẫn giải 2 2 AB 3 a 3
Ta có tam giác ABC đều nên S   . ABC 4 4
Tam giác SAB vuông cân tại S và có AB  a nên  a SH 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2 3 1 1 a a 3 a 3 V  SH.S  . .  3 ABC 3 2 4 24 Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh BA  3a , BC  4a . Mặt phẳng
SBC vuông góc với mặt phẳng  ABC. Biết SB  2a 3 và 
SBC  30 . Thể tích khối chóp S.ABC là A. 3 V  3a B. 3 V  a C. 3 V  3 3a D. 3 V  2 3a Hướng dẫn giải 1 Ta có: 2 S  B . A BC  6a ABC 2
Trong tam giác vuông SBH có: SH  S . B sin  SBC  a 3 . 1 Vậy 3 V  S .SH  2 3a . S.ABC 3 ABC Chọn D. TOANMATH.com Trang 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a , AD  2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD bằng 45. Thể
tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 17 3 a 17 3 a 17 3 a 17 A. B. C. D. 9 3 6 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2 S  A . B AD  2a . ABCD
Gọi M là trung điểm của AB, khi đó
SM  AB  SM   ABCD . Do đó SC, ABCD     SC,MC   SCM  45 . 2 a a 17 Khi đó 2 SM  MC  4a   . 4 2 3 1 1 a 17 a 17 Vậy 2 V  SM.S  . .2a  . S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD, AB  a , AD  a 3 , tam giác SAB cân tại S và nằm trong 3a
mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng
. Tính thể tích V của khối chóp 2 S.ABCD . 3 2 3 A. 3 V  a 3 B. 3 V  2a 3 C.  a V D. 3 V  3a 3 3 Hướng dẫn giải
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, kẻ HK  SI .
Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Suy ra SH   ABCD . TOANMATH.com Trang 12 CD  HI 
 CD  SIH   CD  HK  HK  SCD CD  SH
CD  AB  d  AB, SC  d  AB,SCD  d H ,SCD  HK 3a Suy ra HK  ; HI  AD  a 3 2 2 2 HI .HK
Trong tam giác vuông SHI ta có SH   3a 2 2 HI  HK 1 1 Vậy 2 3 V  SH.S  3 . a a 3  a 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  A 2 , AC  A 5 . Hình chiếu
của điểm S trên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng
SAB và mặt phẳng SAC bằng 60. Thể tích của khối chóp S.ABC là 3 5a 6 3 5a 10 3 a 210 3 a 30 A. B. C. D. 12 12 24 12 Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có SAB  SAC  SA , kẻ BE  SA và GH  BE , Suy ra SAC,SAB    GH,SAC     HGI  60 . 2 7 2 5
Đặt SH  h , ta tính được 2   a SA h và 2   a SP h . 4 4 2 5a 2 a 2 a 2. h  . 2 h S BE SH HM SAB 4 . Vậy 2 BE    HG  , HI   2 2 SA 2 7 SM a a 2 2 h  h  4 2
Tam giác GIH vuông tại I có TOANMATH.com Trang 13 2 a 2 5a 2 a 2 . h  . h IH 3 2 4 2  sin 60  .  2 2 HG 2 7a a 2 2 h  h  4 2 2 4 7a 15a 2a 3 4 2  h  h   0  h  4 8 4 3 1 a 30 Vậy V  A . B AC.SH  . SABC 6 12 Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng SAB, SBC, SAC vuông góc với nhau từng đôi
một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 2 2 2
20 cm , 27 cm , 30 cm . Thể tích khối chóp SABC là A. 3 40 3 cm B. 3 40 cm C. 3 60 cm D. 3 60 3 cm Hướng dẫn giải
Ta có các mặt phẳng SAB, SBC, SAC vuông góc với nhau từng đôi một nên SA  SB , SA  SC , SB  SC . 2 2 S  20 cm  S . A SB  40 cm SAB 2 2 S  27 cm  S . B SC  54 cm SBC 2 2 S  30 cm  S . A SC  60 cm SAC  SA SB SC2 . .
 40.54.60  129600  S . A S . B SC  360
Do SAB,SBC ,SAC  vuông góc với nhau từng đôi một  AS  SBC . 1 1 Vậy 3 V  S .SA  S . A S . B SC  60 cm . S.ABC 3 ABC 6 Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông
góc với đáy, biết SC  a 3 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối chóp . A MNPQ là 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 8 12 4 Hướng dẫn giải MN  PQ  Ta có MN  PQ NP  PQBD   SC  TOANMATH.com Trang 14
 MNPQ là hình chữ nhật. Suy ra V  2V  2V . A MNPQ A.MQP M .AQP Ta có d M  AQP 1 ;  SA 2 1 Mà 2 2      ;    a SA SC AC a d M AQP SA 2 2 1 1 3 1 3 3 S  AH.QP  . AC. BD  AC.BD  a  a AQP  22 3 2 2 2 4 2 16 16 8 1 1 a 3 a Do đó: V  d M AQP S a AQP  ;  3 2 .  . .  M . 3 AQP 3 2 8 16 3 3 a a Vậy V  2V  2.  . A MNPQ M .AQP 16 8 Chọn B.
Bài toán 3. Thể tích khối chóp đều Phương pháp giải
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Trong hình chóp đều:
+) Đáy là một đa giác đều
+) Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
+) Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau .
Đường cao vẽ từ đỉnh của một mặt bên gọi là trung
đoạn của hình chóp đều. Chú ý:
+) Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau
+) Phân biệt hình chóp tam giác đều khác với
+) Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
hình chóp có đáy là tam giác đều. Hình chóp tam
giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và
các cạnh bên bằng nhau. Nói một cách khác, hình
chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam
giác đều nhưng điều ngược lại không đúng.
+) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối chóp S.ABC là TOANMATH.com Trang 15 3 11a 3 13a 3 11a 3 11a A. V  B. V  C. V  D. V  12 12 6 4 Hướng dẫn giải
S.ABC là hình chóp tam giác đều và G là
trọng tâm tam giác ABC. Khi đó
SG   ABC . Do đáy là tam giác đều nên
gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là
đường cao của tam giác đáy.
Theo định lý Pi-ta-go ta có 2 a a 3 2 2a 3 a 3 2 AI  a   , và AG  AI   . 4 2 3 3.2 3 2 a 11a
Trong tam giác SGA vuông tại G ta có 2 SG  4a   . 3 3 3 1 1 a 3 11a 11a Vậy V  . a .  3 2 2 3 12 Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a . 5 3 a . 3 A. V  B. V  C. V  D. V  4 12 12 10 Hướng dẫn giải 2 a 3 Ta có S  . ABC 4
S.ABC là hình chóp tam giác đều và G là trọng
tâm tam giác ABC. Khi đó SG   ABC .
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 2 a 3 AG  AM  3 3
Xét tam giác SAG vuông tại G có SG  AG.tan 60  a 2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy V  SG.S  . . a  . S.ABC 3 ABC 3 4 12 Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V  B. V  C. V  D. V  2 3 2 6 TOANMATH.com Trang 16 Hướng dẫn giải Ta có 2 S  a . ABCD Gọi O  AC  BD .
Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD . Ta có SB, ABCD   SB,OB    SBO .
Tam giác SOB vuông tại O, có SO  OB  a 2 a 6 .tan SBO  .tan 60  . 2 2 3 1 1 a 6 a 6 Vậy 2 V  .S .SO  .a .  . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc
giữa SG và mặt phẳng SBC  là 30 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 8 12 24 Hướng dẫn giải 2 a 3
Tam giác ABC đều cạnh a nên S  . A  BC 4
Hạ GH  SM H  SM   GH  SBC   SG,SBC      GSM  30 .   1 1 a 3 a
SG GM.cot GSM  .AM .cot 30  . . 3  3 3 2 2 2 3 1 1 a 3 a a 3 Vậy V  .S .SG  . .  . S.ABC 3 ABC 3 4 2 24 Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 . Thể
tích V của khối chóp đó là 2 2 4 2 2 2 A. 3 V  a B. 3 V  a C. 3 V  a D. 3 V  a 3 3 6 9 TOANMATH.com Trang 17 Hướng dẫn giải
Ta có SM  a 3 . Do SBC đều nên SC  BC  2a . AC 2a 2  SO    a 2 . 2 2 3 1 1 4a 2
Vậy thể tích khối chóp đó là 2 V  S . O S  a 2.4a  . 3 ABCD 3 3
Bài toán 4. Thể tích khối chóp biết trước một đường thẳng vuông góc với đáy Phương pháp giải
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp.
Việc tính SH ta thường dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Đề bài thường cho mối quan hệ về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc giữa hai mặt phẳng
xác định độ dài đường cao. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh Chú ý:
BC  2a , gọi M là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt Trong tam giác vuông đường
phẳng  ABC là trung điểm của AM, tam giác SAM vuông tại S. Thể tích trung tuyến ứng với cạnh
huyền bằng nửa cạnh huyền. của khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 6 2 3 9 Hướng dẫn giải
Ta có ABC vuông cân tại A, BC  2a BC 1 2  AM   a  S  AM .BC  a 2 A  BC 2 AM a
Xét SAM vuông tại S có: SH   2 2 3 1 1 a a Vậy 2 V  .S .SH  .a .  S.ABC 3 ABC 3 2 6 Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác ABC có AB  19 cm , Chú ý:
BC  20 cm , AC  37 cm , cạnh bên SA= 985 cm . Gọi M là trung điểm Khi biết độ dài ba cạnh thì TOANMATH.com Trang 18
của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là điểm H thỏa diện tích tam giác được tính  1  theo công thức Hê-rông.
mãn AH  AM . Thể tích của khối chóp S.ABC là 3 A. 3 570cm B. 3 760cm C. 3 1520cm D. 3 1140cm Hướng dẫn giải Tam giác ABC có: BC  a; AC  ; b AB  c a  b  c Nửa chu vi: p  2 Khi đó: S
 p p  a p  b p  c . ABC     AB  BC  AC
Công thức độ dài trung tuyến: Ta có p   38 cm . 2  
       2 S
38 38 19 38 20 38 37  114 cm . ABC 2 2 2 AB  AC BC AM    3 85 cm 2 4 1 2 2 2 b  c a  AH  AM  85 cm 2 m   . 3 a 2 4 2 2 2 SAH vuông tại H có: 2 2 SH  SA  AH  30 cm a  c b 2 m   . b 2 4 1 1 Vậy 3 V  .S .SH  .114.30  1140 cm S.ABC 2 2 2 3 ABC 3 a  b c 2 m   . c 2 4 Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  a ,
AD  2a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD là trung
điểm H của AD. Cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 30 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 3 2a 6 3 a 3 3 a 2 A. B. C. D. 3 9 3 3 Hướng dẫn giải Ta có 2 S  A . B AD  2a . ABCD
Do HC là hình chiếu vuông góc của SC lên
 ABCD  SC, ABCD    SCH  30
+ Xét tam giác DHC vuông tại D có: TOANMATH.com Trang 19 2 2 HC  DH  DC  a 2
+ Xét tam giác SHC vuông tại H có: SH  HC  a 6 .tan SCH  HC.tan30  . 3 3 1 1 a 6 2a 6 Vậy 2 V  S .SH  .2a .  . S.ABCD 3 ABCD 3 3 9 Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
cạnh AB  a , BC  a 3 , tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AO. Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 2 4 6 8 Hướng dẫn giải 2 1 a 3 Ta có S  A . B BC  A  BC 2 2
Xét ABC vuông tại B có: 2 2 AC  AB  BC  2a
Xét SAC vuông tại S có: AC AO a SO  AO   a  HO   2 2 2
Xét SHO vuông tại H có: 2 a a 3 2 2 2 SH  SO  HO  a   4 2 2 3 1 1 a 3 a 3 a Vậy V  S .SH  . .  S.ABC 3 ABC 3 2 2 4 Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
BAC  60 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD trùng
với trọng tâm G của tam giác ABC. Mặt phẳng SAC  hợp với mặt phẳng
 ABCD một góc 45. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 a 3 a 3 a 2 A. B. C. D. 12 6 12 6 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20 Ta có 
BAC  60 nên tam giác ABC đều 2 a 3  S  2.S  ABCD ABC 2 Gọi O  AC  BD Ta có AC  BD, AC  SG
 AC  SBD  AC  SO Mặt khác OB  AC
 SAC, ABCD    SOB  45
Xét tam giác SOG vuông tại G: SG  OG  1 a 3 .tan SOB  O . G tan 45  BO  3 6 2 3 1 1 a 3 a 3 a Vậy V  S . G S  . .  . S.ABCD 3 ABCD 3 6 2 12 Chọn C.
Bài toán 5. Thể tích khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên, mặt bên cùng tạo với
đáy những góc bằng nhau Phương pháp giải
- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cạnh Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC có
bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân AB  10 cm , BC  12 cm , AC  14 cm , các mặt
đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau đáy.
và đều bằng  thỏa mãn tan  3 . Thể tích khối
- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những chóp S.ABCD là
góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm A. 3 228 cm B. 3 576 cm
đường tròn nội tiếp mặt đáy. C. 3 192 cm D. 3 384 cm Hướng dẫn giải AB  BC  AC Ta có p   18cm 2 TOANMATH.com Trang 21 S 
         2 18 18 10 18 12 18 14 24 6 cm 
Các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc
bằng nhau nên hình chiếu của S trên  ABC là tâm
đường tròn nội tiếp ABC  SI   ABC  . S 4 6 S  . p r  IM  r   cm p 3 SIM vuông tại I có SI  IM  4 6 .tan SMI  .3  4 6 cm . 3 Vậy 1 1 V  .S .SI  .24 6.4 6  192 SABC ABBC  3 cm  3 3 Chọn C. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, các
cạnh bên bằng nhau và đều bằng a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 2 6 6 4 Hướng dẫn giải
Các cạnh bên bằng nhau nên
Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 
hình chiếu của S trên  ABC là
tâm đường tròn ngoại tiếp  a 3 a 3 ABC đều  AM   AG  2 3
ABC . Do ABC đều nên hình SGA vuông tại G có
chiếu vuông góc của S trên 2a 6  ABC là trọng tâm G 2 2 SG  SA  AG  3  SG   ABC 2 3 1 1 a 3 2a 6 a 2 Vậy V  .S .SG  . .  SABC 3 ABC 3 4 3 6 Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân Cạnh bên bằng nhau và cùng AB  AC  a , 
BAC  120 , các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt tạo với mặt phẳng đáy các góc
phẳng đáy các góc 30 . Thể tích khối chóp S.ABCD là
30 nên hình chiếu của S trên 3  ABC a 3 3 a 3 a 3 3 a là tâm đường tròn A. B. C. D. 12 4 4 12 ngoại tiếp ABC . Hướng dẫn giải SA, ABC     SAO  30. TOANMATH.com Trang 22 S  AB AC  2 1 a 3 . .sin BAC  A  BC 2 4
Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo
với mặt phẳng đáy các góc 30 nên
hình chiếu O của S trên  ABC là
tâm đường tròn ngoại tiếp A  BC  SO   ABC  SA, ABC     SAO  30 ABC có 2 2 BC  AB  AC  2A . B AC.cos  BAC  a 3 2 abc . a . a a 3 a 3 S     OA  a 4R 4.OA 4  a SAO có SO  AO  3 .tan SAO  3 2 3 1 1 a 3 a 3 a Vậy V  .S .SO  . .  SABC 3 AABC 3 4 3 12 Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo
bởi các mặt phẳng SAB , SBC  , SCD , SDA với mặt đáy lần lượt
là 90 , 60 , 60 , 60 . Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, AB  a
và chu vi tứ giác ABCD là 9a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 A. V  B. V  C. V  D. 3 V  a 3 9 4 9 Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm AB.
Kẻ IH  BC H  BC  , ta có góc giữa SBC, ABCD    SHI 
Do các mặt SBC  , SCD , SDA tạo với  ABCD các góc bằng nhau Kẻ IH BC ta có TOANMATH.com Trang 23
và bằng 60 nên các khoảng cách từ I đến các cạnh CD, DA bằng nhau SBC,ABCD    SHI . và bằng IH.
Do các mặt SBC  , SCD , SI a 2 1 a 6
Ta có SI  IH.tan 60  IH   .  tan 60 2 3 6
SDA tạo với  ABCD các 2 1 a a
góc bằng nhau nên các khoảng S  BC  CD  DA HI  a  AB  ABCD   1   6 2 6 . 9 . 2 2 6 3
cách từ I đến các cạnh CD, DA 2 3 1 1 a 2 2a 6 a 3
bằng nhau từ đó tính được Vậy V  SI.S   3 ABCD 3 2 6 9 SI  IH.tan  SIH Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B,
AB  a , AD  2a . Đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C, D, của mặt đáy và C, D nên tâm hình chữ nhật là
SB  a 5 . Thể tích khối chóp S.ABCD là
chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy. 3 a 15 3 a 15 3 a 15 3 a 15 A. B. C. D. 8 6 4 3 Hướng dẫn giải Ta có 2 S  A . B AD  2a . ABCD AC  DB   
O . Do S các đều các đỉnh ,
A B,C, D  SO   ABCD . Ta có 2 2 BD  AB  AD  a 5  BD 3 a 15
SB  SD  BD  a 5 nên SBD là tam giác đều SO   . 2 2 3 1 1 a 15 a 15 Vậy 2 V  S . O S  . .2a  . S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các
mặt bên SAB , SAC , SBC  lần lượt tạo với đáy các góc là 30 ,
45 , 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC . Biết rằng hình chiếu
vuông góc của S trên  ABC nằm trong tam giác ABC. TOANMATH.com Trang 24 3 a 3 3 a 3 A. V  B. V  84  3 4  3 3 a 3 3 a 3 C. V  D. V  44  3 24  3 Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng  ABC . Kẻ HD  ABD  AB HE  AC E  AC HF  BC F  BC
Tam giác ABC bị chia thành 3 tam giác nhỏ do đó S  S  S  S . ABC HAB HBC HAC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABC .
Diện tích các tam giác nhỏ biểu
diễn theo cạnh SH và hệ thức
Kẻ HD  ABD  AB , HE  AC E  AC , HF  BC F  BC .
lượng các tam giác vuông. Từ
Ta có HD  SH.cot 30  3SH , HE  SH.cot 45  SH , đó tìm được SH. 3 HF  SH.cot 60  SH 3 2 a 3 Ta có S  mà S  S  S  S ABC 4 ABC HAB HBC HAC 2 1  3  a 3 3a  SH 1 3  .a   SH  2  3  4   24  3 2 3 1 3a a 3 a 3 Vậy V  . .  S.ABCD 3 24  3 4 84  3 Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC ,
SA  a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là A. 3 a B. 3 2a C. 3 6a D. 3 12a
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC và AB  3a , BC  4a , AC  5a ,
AD  6a . Thể tích khối tứ diện ABCD là A. 3 6a B. 3 12a C. 3 18a D. 3 36a TOANMATH.com Trang 25
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  AB  a , AD  3a . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Thể tích khối chóp S.ABMD là 3 3a 3 9a 3 3a 3 9a A. B. C. D. 4 4 2 2
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  a 2 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy  ABC , mặt bên SBC  tạo với mặt đáy  ABC một góc bằng 45. Thể tích V của khối chóp S.ABC là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 3 A. V  4 B.  C. V  D. V  12 6 18
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B cạnh AB  BC  a , SA  a
và vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC bằng a 2 . Thể tích V của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a A. V  B. V  C. V  D. V  4 6 2 3
Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
 ABCD và SB tạo với đáy một góc 60. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là 3 3a 3 9a A. 3 V  9a B. V  C. V  D. 3 V  3a 4 2
Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 45 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 2 3 a 2 3 a A. B. C. D. 3 a 3 6 3
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC  3a , AC  a 10 , cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng SBC  và mặt phẳng đáy bằng 30 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 a 3 6 3 2
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  CD  2a , cạnh bên BC vuông góc với mặt phẳng  ACD .
Thể tích khối tứ diện là 3 a 3 3 2a 3 A. 3 a 3 B. 3 2a 3 C. D. 3 3
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD vuông góc với
đáy, cho AB  AD  a , CD  3a , SA  a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 2a 3 4a 3 a 2 3 2a 2 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB  2a , AD  CD  a ,
SA  a 3 và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.BCD bằng là TOANMATH.com Trang 26 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 a 3 6 2 3
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh
SD  2a . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 3 6 6 3
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy,
SB  a 5 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 6 3 2a 3 a A. B. C. 3 2a D. 3 3 3
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  a , SB  a 3 . Biết rằng
SAB   ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Thể tích của khối chóp S.BMDN là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. 3 2a 3 D. 6 3 4
Câu 15: Thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 12 4 6 2
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là
a 3 . Thể tích của khối chóp đó là 4 2 2 2 2 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 3 3 6 9
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V  B. V  C. V  D. V  2 3 2 6
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích V của khối chóp đã cho là 3 4 7a 3 4a 3 4 7a A. 3 V  4 7a B. V  C. V  D. V  9 3 3
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 3 3a A. V  B. V  C. V  D. V  4 2 4 4
Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 8a 3 a 3 3 4a 3 2a A. B. C. D. 3 3 3 3 TOANMATH.com Trang 27
Câu 21: Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên tạo với đáy một góc  . Thể tích khối chóp đó là 3 a 3 a 3 a 3 a A. sin B. tan C. cot D. tan 2 2 6 6
Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy ABCD có diện tích 2
16 cm , diện tích một mặt bên là 2
8 3 cm . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 32 2 32 13 32 11 32 15 A. 3 V  cm B. 3 V  cm C. 3 V  cm D. 3 V  cm 3 3 3 3
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 . Gọi
M là trung điểm của cạnh SD. Thể tích khối chóp M .ABC là 3 a 3 3 a 2 3 a 2 3 a A. B. C. D. 24 2 4 8
Câu 24: Cho một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 2
8a . Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp. A. 2 4a 3 B. 2 4a C. 2 2a D. 2 2a 3
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 3h 3 h 3 2h 3 h 3 A. B. C. D. 2 3 3 3
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 3 6 9 12
Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S, SA  a 3 , SB  a . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 6a 3 a 3 6a 3 6a A. B. C. D. 6 2 3 2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC  a ; mặt bên SAC  vuông
góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 . Thể tích khối chóp SABC là 3 a 3 a 3 a A. B. 3 a C. D. 12 6 24
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a , AD  2a . Hình
chiếu của S lên mặt phẳng  ABCD trùng với trung điểm cạnh AB. Biết rằng SC  a 5 . Tính theo a thể
tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 5 3 a 15 3 a 15 3 2a 5 A. B. C. D. 4 3 4 3
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là TOANMATH.com Trang 28 3 6a 3 6a 3 6a 3 6a A. B. C. D. 4 24 12 8
Câu 31: Cho tứ diện ABCD có  BAC   CAD  
DAB  60 , AB  a , AC  2a , AD  3a . Thể tích khối ABCD là. 3 2a 3 3 2a A. B. C. 3 3 2a D. 3 2a 2 2
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD . Biết SD  2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt
phẳng  ABCD bằng 30 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 4a 6 3 a 6 3 a 3 3 2a 3 A. B. C. D. 3 13 4 7
Câu 33: Khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh CD. Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng V. Thể tích khối chóp S.ABM là V V 2V V A. B. C. D. 2 3 3 6
Câu 34: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB  6a , AC  7a và
AD  4a . Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích của tứ diện AMNP là 3 7a 3 28a A. B. 3 14a C. D. 3 7a 2 3
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có SA  x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 18 cm . Có hai giá trị
của x là x ; x thỏa mãn để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3 972 2 cm . Tổng 2 2 x  x là 1 2 1 2 A. 324 B. 486 C. 972 D. 1296
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  4a . Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng SHD bằng a 10 .
Thể tích khối chóp S.HBCD bằng 3 40a 3 3 28a 3 A. B. C. 3 40a 3 D. 3 28a 3 3 3
Câu 37: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA   ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
AB  2a , AD  3BC  3a . Thể tích khối chóp S.ABCD theo a bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách từ A đến 3 6
mặt phẳng SCD bằng a . 4 A. 3 6 6a B. 3 2 6a C. 3 2 3a D. 3 6 3a
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB  a 5 , AC  4a , SO  2 2a . Gọi M là
trung điểm của SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Thể tích khối chóp M.OBC là 3 2a A. 3 2 2a B. 3 2a C. D. 3 4a 3
Câu 39: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, SA  2a . Thể tích khối chóp S.ABCD là TOANMATH.com Trang 29 3 a 15 3 a 15 3 2a A. 3 V  2a B. V  C. V  D. V  12 6 3
Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là trung điểm
của AG. Thể tích của khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 2a 3 A. 3 2a 3 B. 3 a 3 C. D. 3 3
Câu 41: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a 2 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng  ABCD là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC  3HA , góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 60 .
Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 15 3 2a 15 3 a 15 3 a 15 A. B. C. D. 6 3 9 3
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB  a 3 , góc  ACB  60 , hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC là trọng tâm tam giác ABC, gọi N là trung điểm của AC, góc
giữa SN và mặt phẳng đáy là 30 . Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 6 18 9 12
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD bằng 60. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 12 4 36
Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có AC  a và BC  2a . Mặt phẳng
SAC tạo với mặt phẳng ABC một góc 60. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh
BC. Thể tích khối chóp S.ABC là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 8 12 2
Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  a . Hình chiếu vuông AC
góc của S lên  ABCD là điểm H thuộc AC và AH 
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Thể tích 4 khối tứ diện SMBC là 3 a 14 3 a 14 3 a 14 3 a 14 A. B. C. D. 2 3 6 12
Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng   
ABC là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2BH . Biết cạnh SA hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . 3 a 3 a 3 3 a 3 a 7 A. B. C. D. 12 8 4 12 TOANMATH.com Trang 30
Câu 47: Cho hình chóp S.ABC biết rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thỏa mãn điều kiện
hai điểm A và H nằm về hai phía so với đường thẳng BC đồng thời ba mặt phẳng SAB , SBC , SCA
cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Biết rằng tam giác ABC vuông tại A thỏa mãn điều kiện 12 13
AB  3, AC  4 và khoảng cách từ H tới SBC bằng
. Thể tích của khối chóp S.ABC là 13 A. V  8 B. V  24 C. V  12 D. V  4
Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 10cm , các mặt bên cùng tạo với mặt 9
phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng  thỏa mãn tan  . Thể tích khối chóp S.ABCD là 5 A. 3 600cm B. 3 300cm C. 3 900cm D. 3 1200cm
Câu 49: Chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc
60 . Thể tích của khối chóp là 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 A. B. C. D. 12 4 4 6
Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có AB  5 cm , BC  6 cm , CA  7 cm . Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng  ABC nằm bên trong tam giác ABC. Các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều tạo với
đáy một góc 60 . Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác của tam giác ABC với D  BC , E  AC ,
F  AB . Thể tích khối chóp S.DEF là 280 6 280 2 280 3 140 3 A. 3 cm B. 3 cm C. 3 cm D. 3 cm 143 143 143 143 ĐÁP ÁN 1 - A 2 - B 3 - A 4 - B 5 - C 6 - D 7 - C 8 - A 9 - D 10 - D 11 - A 12 - A 13 - B 14 - B 15 - A 16 - A 17 - D 18 - D 19 - D 20 - C 21 - D 22 - C 23 - A 24 - B 25 - C 26 - B 27 - B 28 - A 29 - C 30 - C 31 - A 32 - A 33 - A 34 - D 35 - C 36 - B 37 - B 38 - C 39 - C 40 - C 41 - D 42 - B 43 - C 44 - A 45 - D 46 - D 47 - A 48 - B 49 - A 50 - C TOANMATH.com Trang 31
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ
Bài toán 1. Thể tích lăng trụ đứng Phương pháp giải
Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh
Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác
bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên là chiều ABC.A B  C
  có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể
cao của hình lăng trụ đứng.
tích của khối lăng trụ ABC.A B  C   là
Các mặt bên là các hình chữ nhật. Các mặt bên đều 3 3a 3 a 3 vuông góc với đáy. A. . B. . 4 4
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là 3 3a 3 3 a C. . D. .
đa giác đều. Các mặt bên đều là các hình chữ nhật 4 4 bằng nhau. Hướng dẫn giải 2 a 3
Ta có ABC đều cạnh a  S  . A  BC 4 2 3 a 3 a 3 Vậy V        S .AA .a . ABC.A B C A  BC 4 4 Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB  a,  ABC  30 cạnh C A
 hợp với mặt đáy góc 60 .
Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 a 3 a A. . B. . 6 2 3 a 3 3 a 3 C. . D. . 6 2 ABC vuông tại A có: Hướng dẫn giải AC  A . B tan  ABC 1 S  A . B AC. A  BC 2 Ta có C A   ABC     C A  C TOANMATH.com Trang 32  60
từ đó dựa vào hệ thức
lương trong ACC vuông tại C tính được CC  AC.tan  C A  C.  a
ABC vuông tại A có AC  AB  3 .tan ABC  3 2 1 a 3  S  .A . B AC  . ABC 2 6 Ta có C A   ABC     C A  C  60 .
ACC vuông tại C có CC  AC.tan  C A  C  . a 2 3 a 3 a 3 Vậy V        S .CC .a . ABC.A B C AABC 6 6 Chọn C.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AC  a, 
ABC  30 , cạnh BC hợp với mặt bên  ACC A  
góc 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   bằng 3 a 6 A. 3 a 6. B. . 3 3 a 3 C. 3 2a 3. D. . ABC vuông tại A có: 3 AB  AC.cot  Hướng dẫn giải ABC 1  S  A . B AC A  BC 2
dựa vào hệ thức lượng trong
ABC vuông tại A tính được AC  A . B cot  AC . B
ACC vuông tại C tính
được chiếu cao lăng trụ Ta có BA   ACC A
   BC , ACC A       BC A   30 . 2 2 CC  AC  AC
ABC vuông tại A có AB  AC.cot  ABC  a 3 2 1 a 3  S  A . B AC  . A  BC 2 2 ABC vuông tại A có TOANMATH.com Trang 33 AC  A . B cot  AC B   a 3. 3  3a . ACC vuông tại C có 2 2
CC  AC  AC  2a 2. 2 a 3 Vậy 3 V        S .CC .2a 2 a 6. ABC.A B C A  BC 2 Chọn A.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A B  C
  có cạnh đáy bằng a và
AB  BC . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 7a A. V  . B. 3 V  a 6. 8 3 a 6 3 a 6 C. V  . D. V  .
Ta lấy điểm E là điểm đối 8 4 xứng với C qua B. Hướng dẫn giải Khi đó tam giác ACE vuông tại A. Tứ giác BC B  E  là hình bình hành  BC / /B E  . Do AB  BC  AB  B E  . 1
Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm B  AB  CE  . a Ta có BC  B E   AB nên 2 tam giác AB E  vuông cân
Khi đó tam giác ACE vuông tại 2 2
A  AE  4a  a  a 3. tại B . Tứ giác BC B  E
 là hình bình hành  BC / /B E  . AE Nên tính được AB  .
Do AB  BC  AB  B E  . 2
Mặt khác, ta có BC  B E
  AB nên tam giác AB E  vuông cân tại B
Dựa vào định lý Py-ta-go AE a 3 a 6 trong tam giác   vuông  AA B AB    . 2 2 2 tại A tính được Xét tam giác AA B   vuông tại A 2 2
AA  AB  AB . 2  a 6  a 2 2 2 2
 AA  AB  AB     a  .  2  2   2 3 a 2 a 3 a 6 Vậy V  .  . 2 4 8 Chọn C.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A, cạnh BC  a 2 , góc giữa hai đường thẳng AC và BA
bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là TOANMATH.com Trang 34 3 a 3 3 a A. . B. . 2 2 3 a 3 3 a C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải 1 a
Ta có BC  a 2  AB  AC  a  S  A . B AC  . A  BC 2 2
Lấy D, D sao cho ABDC.AB D  C  là hình hộp  BD / / AC   A B  D   AC ,BA60
Mà AB  AC  AB  BD  A  BD đều. Do AB C  D   là hình chữ nhật, AD  B C
   a 2  AB  a 2  AA  a . 3 a Vậy V       S .AA . ABC.A B C ABC 2
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác
vuông, AB  BC  a . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng  ACC và  AB C
  bằng 60. Thể tích khối chóp B .ACC A   bằng 3 a 3 a A. . B. . 3 6 3 a 3 a 3 C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AC .
Do tam giác A' BC ' vuông cân tại B nên B M   AC  MB   AAC C   . TOANMATH.com Trang 35
Gọi M là trung điểm của AC . Do tam giác AB C
  vuông cân tại B nên B M
  AC  MB   AAC C   . 1
Thể tích khối chóp B .ACC A   là V       B M .AA .AC . B .ACC A 3 a 2 Ta có B M  
, AC  a 2 . Do MB   AA C  C    MB  AC . 2 Kẻ MK  AC  B K   AC .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ACC và  AB C   là  MKB   MKB  60 . Trong tam giác vông MKB ta có MB MB a 6 tan 60   MK   . MK tan 60 6
Trong tam giác vuông MKC ta có a 6  MK 2 6 tan MC K     . 2 2 2 2 MC  MK 2a 6a 2  4 36
Mặt khác trong tam giác vuông AAC ta có AA  A C    2 .tan MC K   a 2  a 2 3 1 1 a 2 a Vậy V         B M .AA .AC . a .a 2 . B .AA C C 3 3 2 3
Bài toán 2. Thể tích lăng trụ xiên Phương pháp giải
Lăng tru xiên có cạnh bên không vuông góc với Ví dụ 1:Cho lăng trụ ABC.A B  C   tam giac ABC
đáy. Chiều cao là khoảng cách từ một đỉnh bất kì vuông cân tại A, cạnh AA  a 3 , hình chiếu
của mặt đáy này đến mặt đáy đối diện. Để tính vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trong
chiều cao ta dựa vào hệ thức lượng trong tam giác.
điểm của AC, góc tạo bởi AA với  ABC bằng
45 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 3a 6 3 a 6 A. . B. . 2 3 3 a 3 C. . D. 3 a 6. 4 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 36
Gọi H là trung điểm AC  AH   ABC  ; AA ,ABC    A A  H  45 .
Xét tam giác AHA vuoong cân tại H có AH  AA  2 a 6 .sin A A  H  a 3.  , 2 2 a 6  AH  AH    AB  AC  2AH  a 6 2 1 2 S  A . B AC  3a . A  BC 2 3 a 6 3a 6 Vây 2 V       S .A H 3a . . . ABC.A B C A  BC 2 2 Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A B  C
  đây là tam giác ABC vuông tại A,
AB  a, BC  a 3 , hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng 
ABC  trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC,
góc tạo bởi AB với  ABC bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 3a 3 3 3a A. . B. . 4 4 3 a C. . D. 3 a .
Ta có  AB , ABC    B A  H 3 Hướng dẫn giải  60
Tam giác ABC vuông tại A có 2 1 1 a 2 S  A . B AC  . a a 2  . A  BC 2 2 2 A . B AC nên: AH  . BC Ta có B H    ABC
Áp dụng hệ thức lượng trong
tam giác AHB vuông tại H TOANMATH.com Trang 37   AB , ABC    B A  H  60
ta tính được chiều cao: B H   AH.tan  
Xét tam giác ABC vuông tại A có B AH A . B AC . a a 2 a 6 AH    . BC a 3 3
Xét tam giác AHB vuông tại H có B H   AH  a 6 .tan B A  H  .tan 60  a 2 . 3 2 a 2 Vậy 3 V  S BH  a  a ABC ABC . . 2 . ABC 2 Chọn D. Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABCD.AB C  D
  đáy là hình thang cân ABCD có
AC  BD, AC  2a , cạnh AA tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Hình
chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn 1
AC sao cho AH  HC . Thể tích của khối lăng trụ ABC . D AB C  D   3 là 3 2a 3 A. . B. 3 2a 3. 3 3 a 3 C. . D. 3 a 3 . 3 Hưỡng dẫn giải
Tứ giác ABCD có hai đường ABCD là hình thang cân chéo AC  BD  AC  BD  2a 1  S  AC.B . D 1 ABCD 2  2 S  AC.BD  2a ABCD 2 AA , ABCD     AAH  60 1 1 a AH  HC  AH  AC  3 4 2
Áp dụng hệ thức lượng trong AA ,ABCD    AAH  60
tam giác AHA vuông tại H
Xét tam giác AHA vuoong tại H có
ta tính được chiều cao: A H   AH.tan  AAH AH  AH  a a 3 .tan AAH  . 3  . 2 2 a 3 Vậy 2 3 V         S .A H 2a . a 3 . ABCD.A B C D ABCD 2 Chọn D.
Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C
  , khoảng cách từ C đến đường
thẳng BB bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và
CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng TOANMATH.com Trang 38  AB C
  là trung điểm M của B C
  và AM  2 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B  C  bằng A. 3. B. 1. 2 3 C. 2. D. . 3 Hướng dẫn giải Gọi N là trung điểm BC. AN  A M   2 . Kẻ AE  BB tại E, AF  CC tại F.
Ta có EF  MN  H nên H là trung điểm EF.
Gọi N là trung điểm BC, AN  A M   2 . AE  AA Ta có  Kẻ AE  BB tại    E, AF  CC tại F. AF AA
Ta có EF  MN  H nên H là trung điểm EF.  AA   AEF         AE  AA AA EF EF BB Lại có 
 AA   AEF   AA  EF  EF  BB . AF  AA Khi đó d  , A BB  AE 1, Khi đó d  ,
A BB  AE 1, d  ,
A CC  AF  3,d C, BB  EF  2 d  , A CC  AF  3, EF d C, BB Ta có 2 2 2
AE  AF  EF  AEF vuông tại A  AH  1.  EF  2 . 2
AMN vuông tại A ta tính AA   AEF  Mặt khác 
 MN   AEF   MN  AH . được chiều cao AM. MN / / AA
Diện tích tam giác AEF tính AH.AN 2 3
Xét AMN vuông tại A có AM   . theo công thức 2 2 AN  AH 3 S  S .cos  HAN A  EF A  BC   AANM    ABC
Tổng quát các dạng bài này:  
 AANM    AEF  Ta có 
  ABC, AEF     2   . d .d .A M   A,BB A,CC    HAN AA NM ABC  AN V  2 2   4AM  d AANM   AEF  AH C,BB AH 1 1  AH AN 2  AE.AF  S .   S  AE.AF  3 2 ABC ABC AN 2 3 Vậy V       S .AM . 3 2 . ABC.A B C A  BC 3 Chọn C.
Bài toán 3. Thể tích hình hộp Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 39
Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.AB C  D  
hành. Có bốn mặt bên đều là các hình bình hành. có A C   4 3 .
Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là
Thể tích khối lập phương ABCD.AB C  D   là
hình bình hành. Có bốn mặt bên đều là các hình chữ A. 2 3. B. 4 3. nhật. C. 64. D. 125.
Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là Hướng dẫn giải
hình chữ nhật. Sau mặt của hình hộp chữ nhât đều là các hình chữ nhật.
Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả
các cạnh bằng nhau. Sáu mặt đều là các hình vuông.
Đặt AB  x  AC  x 2. AAC vuông tại A có 2 2 2 2
AC  AA  AC  2x  x  x 3;
AC  4 3  x 3  4 3  x  4. Vậy 3 V       4 64 . ABCD.A B C D Chọn C. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình hộp đứng ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
BAD  120 .Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, góc tạo bởi C G
 và mặt đáy bằng 30 . Thể tích khối hộp ABCD.AB C  D   là 3 a A. 3 a . B. . 3 3 a 3 a C. . D. . 6 12 Hướng dẫn giải S  A . D A . D sin  BAD ABCD Góc tạo bởi C G  và mặt đáy CG, ABCD     CGC
Áp dụng hệ thức lượng trong C C  G vuông tại C tính được TOANMATH.com Trang 40 a CC  CG.tan  C 'GC . Ta có S  AB AD  2 3 . .sin BAD  . ABCD 2 Do  BAD  120  A  CD đều  AC  a và 2 2a CG  CO  OG  AC  . 3 3 Lại có C G  , ABCD     C G  C  30 a Xét C C
 G vuông tại C có CC  CG  2 3 .tan C G  C  9 3 a Vậy V        S .CC ABCD.A B C D ABCD 3 Chọn B.
Ví dụ 2. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 50cm. Người ta cắt bỏ đi
ở một góc tấm bìa hình vuông cạnh 16cm rồi gấp lại thành một cái
hộp chữ nahat không có nắp. Thể tích khối hộp chữ nhật là A. 5184 3 cm . B. 8704 3 cm . C. 4608 3 cm . D. 18496 3 cm . Hướng dẫn giải
Khi cắt bỏ một góc tấm bìa
một hình vuông cạnh 16cm
thì cạnh đáy còn lại là
50  2.16  18cm, chiều cao là 16cm.
AA  BB  CC  DD  16cm nên ABCD là hình vuông có
AB  50  2.16  18cm.  V        A . B AC.AD 18.18.16 5184 cm . ABCD A B C D  3 .  Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình chữ
nhật AB  15, AD  5. Hai mặt bên  ABB A   và  ADD A   lần
lượt tạo với mặt phẳng đáy những góc 30 và 60 , cạnh bên có độ
dài bằng 1. Thể tích khối hộp ABCD.AB C  D   là 15 65 A. 21. B. . 12 15 65 21 C. . D. . 13 2 TOANMATH.com Trang 41 Hướng dẫn giải Ta có S  A . B AD  5 15 ABCD
Kẻ AH   ABCD, MH  AB, NH  ADM  AB; N  AD Ta có   ABB A  , ABCD     A M  H  30 ; S  A . B AD  5 15 ABCD Kẻ AH   ABCD , ADD A  , ABCD     ANH  60 MH  AB, NH  AD x 2x 3
Đặt AH  x , khi đó AN   ,   ABB A  , ABCD     AMH sin 60 3 x 3  ADD A  , ABCD     ANH AM  NH  , A M   2x . 3
Xét AAM vuông tại M có
Xét AAM vuông tại M có 2 2 2 AA  AM  AM 2 x 3 39 2 2 2 2
AA  AM  AM  1  4x   x  A H  Mà AN  , 3 39 sin 60 3 39 15 65 AM  NH , A M   2AH Vậy V         S .A H 5 15. . ABCD.A B C D ABCD 39 13 Từ đó suy ra AH. Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC  2a,A 'B  a 3 .
Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C  là 3 a 3 a A. . B. 3 a . C. 3 3a . D. . 2 3
Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng AB hợp với đáy một
góc 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 3a 3 a 3 3a 3 a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 4 4 2
Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A B  C   có AB  26c ,
m BC  60cm, AC  74cm , diện tích
xung quanh bằng 2880cm2. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B  C   là A. 4320 3 cm . B. 3840 3 cm . C. 12960 3 cm . D. 11520 3 cm .
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AA  2a, A B   3a .
Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là TOANMATH.com Trang 42 3 5a 3 13a A. 3 5a . B. 3 13a . C. . D. . 2 2
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 có AB  a, AC  2a,  BAC  120, cạnh C A  hợp với mặt đáy
góc 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là 3 2a 3 3 a 3 A. . B. 3 2a 3. C. . D. 3 a 3 . 3 3
Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy là tam giác cân, AB  AC  a, 
BAC  120 . Mặt phẳng 3  a AB C
  tạo với mặt đáy góc 30 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A B  C   bằng V. Tỷ số có giá trị là V 8 4 A. . B. 8. C. 4. D. . 3 3
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
 có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối tứ diện AABC là 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 12
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa hai đường thẳng
AB và BC bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC.AB C  là 3 a 3 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 4
Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC  a 6 . Góc giữa mặt phẳng  AB C
  và mặt phẳng BCCB bằng 60. Thể tích của khối đa diện AB C  A C   là 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3. C. . D. . 2 2 3
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là một tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 30 . Hình chiếu của đỉnh A trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Thể tích khối đa diện ABA B  C   là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 12 12
Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của
A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên  AAC C
  tạo với đáy một góc bằng 45. Thể
tích của khối đa diện ABCA B   là 3 a 3 3a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 6 4 8 4
Câu 12: Cho lăng trụ ABC.A B  C
 có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC  6a, BC  8a , hình chiếu
vuông góc của C lên mặt phẳng  ABC là trung điểm của BC , góc tạo bởi hai mặt phẳng C A  C và
 ABC bằng 60. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là A. 3 128a 3. B. 3 64a 3. C. 3 96a 3. D. 3 32a 3. TOANMATH.com Trang 43
Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC a 3 bằng
. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B  C   là 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 24
Câu 14: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B  C
 có BB  a , góc giữa đường thẳng BB và  ABC bằng 60 ,
tam giác ABC vuông tại C và góc 
BAC  60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên (ABC) trùng với
trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện AABC là 3 13a 3 7a 3 15a 3 9a A. . B. . C. . D. 108 106 108 208
Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B  C
  có độ dài cạnh bên bẳng 4 và khoảng cách từ điểm A đến các
đường thẳng BB , CC lần lượt bẳng 1 và 2. Biết góc giữa hai mặt phẳng  ABB A   và  ACC A   bằng 60
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là A. 4 3. B. 3. C. 3 3. D. 2 3.
Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B  C
  có đáy là tam giác vuông tại A có AB 1; BC  2 . Góc  CBB  90 ;  
ABB  120 . Gọi M là trung điểm cạnh AA . Biết d  AB CM  7 , 
. Thể tích khối lăng trụ 7 ABC.A B  C   là 4 2 4 2 A. 2 2. B. . C. 4 2. D. . 9 3
Câu 17: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.AB C
 có đáy ABC là tam giác đều cạnh dài 20cm. Hình chiếu của
A xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA hợp với đáy một góc 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC.AB C   là A. 3 1000 3m . B. 3 2000m . C. 3 2000 3m . D. 3 1000m .
Câu 18: Cho hình hộp ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
BAD  60 . Hình chiếu vuông BH
góc của A lên mặt phẳng  ABCD là điểm H thuộc AB thỏa mãn AH  ,  A A
 H  30 . Thể tích khối 2 hộp ABCD.AB C  D   là 3 a 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 6 2 Câu 19: Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có đáy ABCD là hình bình hành có AB  a, AD  3a, 
BAD  120 , AA  3a , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm
tam giác ABD. Thể tích khối hộp ABC . D A B  C  D   là 3 a 5 3 2a 5 A. . B. . C. 3 a 15. D. 3 2a 5. 2 3
Câu 20: Cho hình hộp đứng ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình vuông có đường chéo AC  8cm , cạnh
AC  10cm . Thể tích khối hộp ABC . D AB C  D   là A. 3 144 2cm . B. 3 192 2cm . C. 3 144cm . D. 3 192cm . TOANMATH.com Trang 44
Câu 21: Cho hình hộp đứng ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi có AC  6a, BD  8a . Chu vi của
một đáy bẳng 4 lần chiều cao khối hộp.Thể tích khối hộp ABC . D AB C  D   là A. 3 40a . B. 3 80a . C. 3 240a . D. 3 120a .
Câu 22: Cho hình hộp đứng ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi, 
BAD  60 , AC  BD  2 3 . Thể
tích khối hộp ABCD.AB C  D   là A. 2 3. B. 4 3. C. 4 6. D. 6.
Câu 23: Cho hình hộp đứng ABC . D AB C  D
  có đáy là hình vuông, canh biên AA  3a và đường chéo
AC  5a . Thể tích V của khối hộp ABCD.AB C  D   là A. 3 V  a . B. 3 V  16 . C. 3 V  8a . D. 3 V  24a .
Câu 24: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn 60 và đường chéo lớn của đáy bẳng
đường chéo nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là 3 a 3 3 a 6 A. 3 a . B. 3 a 3. C. . D. . 2 2
Câu 25: Cho một hình hộp đứng ABCD.AB C  D
  đáy ABCD là hình vuông cạnh 15cm và đường chéo BD
với đáy ABCD một góc 30 . Thể tích khối hộp ABCD.AB C  D
  gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau? A. 1949 3 cm . B. 1125 3 cm . C. 1591 3 cm . D. 2756 3 cm .
Câu 26: Cho hình hộp đứng ABCD.AB C  D
  có đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt a 3
phẳng  ABCD bẳng
. Thể tích hình hộp ABCD.AB C  D   là 2 3 a 21 3 a 3 A. 3 V  a 3, B. V  . C. 3 V  a . D. V  . 7 3
Câu 27: Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có diện tích tam giác ACD bẳng 2 a 3 . Thể tích của hình lập phương ABCD.AB C  D   là A. 3 V  3 3a . B. 3 V  2 6a . C. 3 V  8a . D. 3 V  2 2a .
Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.AB C  D
  có cạnh bẳng a, một mặt phẳng   cắt các cạnh AA , BB , 1 2
CC , DD lần lượt tại M, N, P, Q. Biết AM  a,CP  a . Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ bẳng 3 5 11 3 a 3 2a 11 A. 3 a . B. . C. . D. 3 a . 30 3 3 15 4a 3
Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.AB C  D
  , khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABD bẳng . 2
Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.AB C  D   . A. 3 V  8a . B. 3 V  3 3a . C. 3 V  8 3a . D. 2 V  216a .
Câu 30: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.AB C  D
  có AD  2AB, BD  10a , cạnh AC hợp với đáy một
góc 45 . Thể tích khối hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D   là 3 2 5a 3 a 10 3 2a 10 A. . B. . C. . D. 3 2 5a . 3 3 3 TOANMATH.com Trang 45 ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-C 4-A 5-D 6-B 7-D 8-D 9-B 10-C 11-D 12-C 13-B 14-D 15-D 16-A 17-B 18-A 19-C 20-D 21-D 22-C 21-D 22-D 23-D 24-A 25-D 26-A 27-A 30-D
Dạng 3. Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp
Bài toán 1. Tỉ số thể tích
Bài toán 1.1. Tỉ số thể tích khối chóp Phương pháp giải
So sánh thể tích khối chóp cần tính với một khối đa
diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết quả của các bài toán sau Kết quả 1. Chứng minh
Cho hình chóp S.ABC . Lấy A , B ,C tương ứng trên các cạnh S , A S , B SC Khi đó V       SA SB SC S.A B C  . . V SA SB SC S.ABC
Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm
A , B ,C có thể có điểm A  A , B  B ,C  C Đặt    B S  C   BSC
Thông thường, đối với bài toán này, đề thường cho d  A ,SBC SA Ta có 
điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu… d  , A SBC SA
Công thức chỉ đúng khi đáy là tam giác. Nếu đáy là tứ
1 d A,SB C.S
giác, ngũ giác… ta phải phân chia đáy thành các tam S  B C V    V   S.A B C A.SB C   3  
giác và tính tổng thể tích các khối có đáy là tam giác. V V 1 S.ABC . A SBC d  , A SBC .S 3 S  BC 1 d A SBC 1 , . SB .SC .sin 3 2 SA SB SC   . . 1    1 , . . .sin SA SB SC d A SBC SB SC  3 2 (điều phải chứng minh) Kết quả 2. Chứng minh
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. 1. Chứng minh a  c  b  d
Mặt phẳng P cắt S , A SB, SC, SD lần lượt TOANMATH.com Trang 46 SA SB SC SD
tại A , B ,C , D với  a;  ; b  c;  d SA SB SC SD a; ;bc;d  0
Khi đó ta có hai công thức quan trọng sau 1. a  c  b  d Gọi O là 2. V        a b c d S.A B C D
tâm hình bình hành, I là giao điểm của SO và  V 4abcd S.ABCD
Chú ý: Các công thức 1, 2 chỉ áp dụng cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Các công thức này được ứng
dụng rất nhiều trong các bài toán tìm thiết diện cũng
như thể tích khối đa diện nên tận dụng khi làm trắc
nghiệm để không phải làm theo phương pháp chia nhỏ đáy thành các tam giác.  AB C  D   S  S  2S Ta có SA I SC I SA C S S       SAO SOC S S S SAO SCO SAC SA .SI.sin  A S  I SC .SI.sin  C S  I   S . A S . O sin  ASO SC.S . O sin  CSO SA'.SC 'sin  A' SC ' = 2. S . A SC sin  ASC SA .SI SC .SI SA .SC    2. S . A SO SC.SO S . A SC S . A SC.SO
Nhân cả hai vế của đẳng thức với SA .SC .SI SA SC SO ta được   2. (1) SA SC SI SB SD SO Chứng minh tương tự   2. (2) SB SD SI SA SC SB SD Từ (1) và (2) suy ra    SA SC SB SD
Hay a  c  b  d (điều phải chứng minh) V        a b c d 2. Chứng minh S.A B C D  V 4abcd S.ABCD TOANMATH.com Trang 47 V V V Ta có S.AB C D   S.AB C   S.AD C     V 2V 2V S.ABCD S.ABC S.ADC
1  SA SB SC SA SD SC   . .  . .   2  SA SB SC SA SD SC  1  1 1  d  b =     2  abc acd  2abcd a  b  c  d
Do a  c  b  d suy ra b  d  2 V        a b c d Vậy S.A B C D  V 4abcd S.ABCD (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD là 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8 Hướng dẫn giải V AM AN AD 1 Ta có AMND  . .  V AB AC AD 4 ABCD Chọn B
Ví dụ 2. Cho hình chóp SABC, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
AM  2MB, BN  4NC, SP  PC . Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.BMN và A.CPN là 4 8 5 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 6 Hướng dẫn giải V V BM BN BS 1 4 4 Ta có S.BMN B.MNS   . .  .  V V BA BC BS 3 5 15 S.ABC B.ACS V V CA CN CP 1 1 1 . A CPN C.ANP   . .  .  V V CA CB CS 5 2 10 S.ABC C.ABS V 4 1 8 S.BMN  :  V 15 10 3 . A CNP Chọn B TOANMATH.com Trang 48
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt 1
phẳng đáy là  thỏa mãn cos  . Mặt phẳng P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SADchia khối 3 V
chóp S.ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V và V với V  V . Tỉ lệ 1 gần nhất với giá trị nào 1 2 1 2 V2 trong các giá trị sau? A. 0,11 . B. 0,13 . C. 0, 7 . D. 0,9 . Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO   ABCD Gọi N là trung điểm CD  CD  SN,CD  ON       SCD, ABCD      SNO   SCD ABCD CD Kẻ CM  SD AC  BD Ta có 
 AC  SBD  AC  SD  AC  SO
 SD   ACM    ACM   SAD nên mặt phẳng P là  ACM  a ON 3 2 a
Xét tam giác SON vuông tại O có SN    cos 1 SNO 2 3 2 2  3a   a 2 2  SO  SN  ON    a 2      2   2 
Xét tam giác SOD vuông tại O có TOANMATH.com Trang 49 2      a  a SD SO OD a 2 2 2 10 2 2      2  2   3a . 1 1 . a SN CD 3a 10 2 Ta có S
 CM .SD  SN.CD  CM    SCD 2 2 SD a 10 10 2
Xét tam giác MCD vuông tại M có 2   2 2 2 3a 10 a 10 DM  CD  CM  a      10  10   a 10 V V 1 DM DA DC 1 DM 1 1 MACD MACD 10 Ta có   . . .  .  .  V 2.V 2 DS DA DC 2 DC 2 SABCD SACD a 10 10 2 1  V  V MACD 10 SABCD
Mặt phẳng P chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và SABCM 9 V  V V  V  V SABCD MACD SABCM SABCM 10 SABCD V 1 Do đó MACD   0,11 V 9 SABCM Chọn A
Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên
và mặt phẳng đáy là  . Mặt phẳng P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SADchia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V và V với V  V . Tỉ số thể tích của hai khối đa diện là 1 2 1 2 V1 2  cos  V2 Hướng dẫn giải 1 Ta có 2 2 2 2 SD  SN  ND  ON .  ND 2 cos  SNO a 1 a 2  1  cos  1 2 2 cos  2.cos 1 1 Ta có S  CM .SD  SN.CD SCD 2 2 TOANMATH.com Trang 50 a 1 . . a SN CD 2 cos a  CM    SD a 2 2 1 cos cos 1   2cos 2  2 2 2 a . a cos  DM  CD  CM  a   2 2 1 cos  1 cos  V V 1 DM DA DC 1 DM MACD MACD   . . .  . V 2.V 2 DS DA DC 2 DS SABCD SACD a cos 2 2 1 1 cos  cos    2 2 a 2 1 cos 1 cos   2cos 2 2 cos   cos   1 V  V  V  1   V   V MACD 2 SABCD SABCM 2 SABCD 2 1 cos   1 cos   1 cos SABCD  V Do vậy MACD 2  cos  . VSABCM
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  a SC  a   0  0 ;
2 , ASB=BSC=60 , ASC  90 . Thể tích của khối 6V
chóp S.ABC bằng V. Tỉ số bằng 3 a 4 6 3 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm SC.
Ta có SM  a  SAM vuông cân tại S.
Gọi H là trung điểm của AM. Ta có 2 2 2 AM  SA  SM  a 2 1 a 2  SH  AM  2 2 Vì SM  SB  a và  0 BSC  60 nên B  SM đều  BM  a S  AB có SA  SB  a  0
;ASB=60 nên là tam giác đều  AB  SA  a
Suy ra AB  BM  a  ABM cân tại B. Mặt khác 2 2 2 AB  BM  2a và 2 2 2 2 2
AM  2a  AB  BM  AM   1 a 2
ABM vuông cân tại B (định lý Py-ta-go đảo)  BH  AM  2 2 TOANMATH.com Trang 51 2 2  a 2   a 2  Ta có 2 2 2 2 2 2 2 SH  BH     
  a  SH  BH  SB  a  2   2     
 SHB vuông cân tại H (định lý py-ta-go đảo).
Ta có SH  AM , SH  HB  SH   ABM  . 2 2 3 1 a 1 1 a 2 a a 2 S  A . B BM   V  SH.S   A  BM S. 2 2 ABM 3 A  BM 3 2 2 12 3 V SC a 2 6V S.ABC   2  V  2V    2 S.ABC S.ABM 3 V SM 6 a S.ABM Chọn B.
Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA  a, SB  ; b SC  c và  ASB=, BSC= , 
ASC   . Thể tích khối chóp S.ABC là abc 2 2 2 V  1 cos   o
c s   cos   2cos cos  cos . S.ABC 6
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt
lấy các điểm A , B ,C sao cho SA  2SA ; SB  3SB ; SC  4SC, mặt phẳng  AB C
  cắt cạnh SD tại D . V
Gọi V ,V lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.AB C  D
  và S.ABCD . Khi đó tỉ số 1 bằng 1 2 V2 1 1 7 7 A. . B. . C. . D. . 24 26 12 24 Hướng dẫn giải
Cách 1. Phân chia đáy thành 2 tam giác SA SC SB SD SD SD     2  4  3   3  SD  3SD SA SC SB SD SD SD V       SA SB SC 1 1 1 1 1 S.A B C  . .  . .   V    S S .A B C S. V SA SB SC 2 3 4 24 24 ABCD S.ABC V       SA SD SC 1 1 1 1 1 S.A C D  . .  . .   V  S S.A B  C  S . V SA SD SC 2 3 4 24 24 ACD S .ACD V V V     1 S.ABC S.ACD S.A B C D  V          V    V S .A B C D S .A B C S .AC D   24 V 24 S .ABCD TOANMATH.com Trang 52
Cách 2. Áp dụng trực tiếp công thức SA SB SC SD    V            2 4 3 3 1 SA SB SC SD Ta có S.A B C D    V SA SB SC SD 4.2.4.3.3 24 S.ABCD 4. . . . SA SB SC SD Chọn A.
Bài toán 1.2. Tỉ số thể tích khối lăng trụ Phương pháp giải
Trong phương pháp này, ta thường hay sử
dụng kết quả của bài toán
Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có các điểm Chứng minh
M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho AM BN CP  a,  , b  c AA BB CC V a  b  c Khi đó ABCMNP  V 3 ABC.A B  C   V a V b  c Đặc biệt: . A MNP M .  , BCPN  V 3 V 3 ABC.AB C   ABC.A B  C   Ta có V     V    V A.BCC B ABC.A B C . A A B  C   1 2VABC.A B C  V      V    ABC.A B C ABC. 3 A B  C   3 1 d M;ABC.SABC V Ta có M .ABC 3  V     d A ; ABC .S ABC.A B C    ABC 1 d M ; ABC  1 AM 1    a
3 d  A ; ABC 3 AA 3 a Suy ra V  .V M .ABC ABC. 3 A B  C   Ta có AM / / BCC B
   d M ; BCPN   d  ; A BCPN   V  V M .BCPN . A BCPN TOANMATH.com Trang 53 V V S Suy ra M.BCPN . A BCPN BCPN   V V S A.BCC B   A.BCC B   BCC B  
1 BN CP.d C;BB 2 BN  CP   BB .d C; BB 2BB BN CP BN CP b  c      2BB 2BB 2BB 2CC 2 b  c  V  V M .BCPN . 2 A BCC B   b  c 2VABC.  V  . AB C   M .BCPN 2 3 b  c  V  .V M .BCPN ABC. 3 A C  B   Mặt khác a  b  c V  V V  .V ABCMNP M .ABC M .BCPN ABC.A' 3 B C   V a  b  c ABCMNP 
(điều phải chứng minh). V    3 ABC.A B C Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC sao cho
AM  MA , BN  3NB ,CP  3PC . Đặt V ABCMNP,V
1 là thể tích của khối đa diện 2 là thể tích V
khối đa diện còn lại. Tỉ số 1 là V2 3 4 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Ta có MA 1 BN 3 CP 3 MA  MA   ; BN  3NB   ;CP  3PC   AA 2 BB 4 CC 4 Đặt V  V ABC.A B  C   TOANMATH.com Trang 54 1 3 3   V 2 2 1 2 4 4 V Suy ra 1 1 
  V  V  V  V V  V   2 1 2 1 V 3 3 3 3 V2 Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B  C
 có thể tích là V và độ dài cạnh bên AA  6 . Trên cạnh A , A B B  ,C C
 lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM  2, BN  x,CP  y với x, y là các số 1
dương thỏa mãn xy  12 . Biết rằng thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng V . Giá trị của 2 2 x  y bằng 2 A. 24 . B. 25 . C. 10. D. 17 . Hướng dẫn giải AM 1 BN x CP y V 1  1 x y  1 Ta có ABC.  ;  ;  ; MNP       . AA 3 BB 6 CC 6 V    3  3 6 6  2 ABC.A B C
Suy ra x  y    x  y2 2 2 2 2 7
 49  x  y  49  2xy  x  y  25 Chọn B.
Bài toán 1.3. Tỉ số thể tích khối hộp Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 55 Cho hình khối hộp ABC . D AB C  D   , mặt
phẳng   cắt các cạnh AA , BB ,CC , DD lần lượt tại M, N, P, Q sao cho AM BN CP DQ  a,  , b  c,  d AA BB CC DD Khi đó ta có VABDC.MNPQ 1  a  b  c  d  V     4 ABCD.A B C D 1  a  c 1  b  d  2 2 Chứng minh Xét mặt phẳng ACC A  
Từ M, P ta lần lượt kẻ các đường thẳng
song song với AC cắt OO theo thứ tự E, F AM CP OE OF Ta có    AA CC OO OO OI  IE OI - IF 2OI    OO OO OO
Tương tự xét mặt phẳng BDD B  BN DQ 2OI Ta cũng có   BB DD OO Do đó AM CP BN DQ     a  c  b  d AA CC BB DD Chia khối hộp ABC . D AB C  D   thành hai khối ABC.AB C  và AC . D AC D  
Áp dụng tỉ số thể tích của khối lăng trụ tam giác ta được VABDC.MNPQ 1  a  b  c  d  V     4 ABCD.A B C D 1  a  c 1  b  d  2 2 TOANMATH.com Trang 56 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có N là trung điểm CC . Mặt phẳng   đi qua AN cắt
các cạnh BB , DD lần lượt tại M, P.   chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng V V và V V  V 2  1 2  . Tỉ số 2 bằng 1 V1 7 5 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 3 2 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có AA CN 1  0  V   1 ABCDPNM AA CC 2    V     2 2 4 ABCD.A B C D V 3 V ABCDPNM 2 Vậy    3 V     4 V AMNPA B C D 1 Chọn C
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 3
36cm . Gọi hai điểm M, N lần lượt thuộc các
cạnh AA ,CC sao cho AM  2A M  ,CN  3C N
 . Một mặt phẳng đi qua M, N lần lượt cắt cạnh
BB , DD tại P và Q. Thể tích khối ABCDMPNQ bằng A. 3 18cm . B. 3 22cm . C. 3 10,5cm . D. 3 25,5cm . Hướng dẫn giải AM CN 2 3 V   ABCDMPNQ   17 AA CC 3 4 Ta có    V     2 2 24 ABCD.A B C D 17 17 3 V  V       .36 25,5cm ABCDMPNQ ABCD. 24 A B C D 24 Chọn D. TOANMATH.com Trang 57
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng V . Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA , BB ,CC , DD sao cho AM  2AM , 2BN  3B N  ;3CP  4C P  ;4DQ  5D Q  . Thể tích khối ABCDMNPQ bằng 572V 13V 26V 559V A. . B. . C. . D. . 945 21 45 945 Hướng dẫn giải AM CP 2 4 26 BN DQ 3 5 52 Ta có     ;     AA CC 3 7 21 BB DD 5 9 45 AM CP BN DQ    AA CC BB DD
Cạnh MP sẽ lệch trên. Khối đa diện lồi ABCDMNPQ được chia thành hai khối đa diện theo cạnh MP là BACNMP và DACQMP. V 1  BN AM CP  1  3 2 4  193 Ta có BACNMP            V        3 BB AA CC  3  5 3 7  315 BACB A C 193 193V  V  V  BACNMP . 315 BACB A C 630 VDACQMP 1  DQ AM CP  1  5 2 4  113            V        3 DD AA CC  3  9 3 7  189 DACD A C 113 113V  V  V  DACQMP 189 DACD A C 378 193V 113V 572V Vậy V  V V    ABCDMNPQ BACNMP DACQMP 630 378 945 Chọn A.
Bài toán 1.3. Tỉ số thể tích khối hộp Phương pháp giải
Để tính thể tích các khối da diện phức tạp ta Ví dụ: Cắt khối hộp ABC . D AB C  D   bởi các
không tính trực tiếp mà tính gián tiếp thông qua mặt phẳng
việc tính thể tích các khối đơn giản (khối chóp,  AB D  ,CB D  ,B A  C ,D A  C ta được khối lăng trụ). TOANMATH.com Trang 58
+ Khối đa diện A được tạo bởi các khối đơn khối đa diện có thể tích lớn nhất là giản A , A ,...A . Khi đó    1 2 n A. A AB D ' . B. D ADC .    V  V V  ... V . C. ACB D   . D. CC B D . A 1 A 2 A n A
+ Khối đa diện A được bổ sung thêm các khối cơ bản A , A ,...A 1 2
n để tạo thành khối cơ bản B
Khi đó V  V  V V  V Hướng dẫn giải A B  ... . 1 A 2 A n A 
+ Ta có thể sử dụng khôi phục lại hình ẩn ban đầu
để tính toán dễ dàng hơn.
+ Sử dụng phương pháp trải hình trên mặt phẳng
để dễ hình dung và tính toán thuận tiện hơn.
Cắt khối hộp bởi các mặt phẳng  AB D  , CB D  , B A  C ,D A  C ta được 5 khối tứ diện AAB D  , B A  BC , CC B  D   , D D  AC , AB D  C  .
Gọi V là thể tích của khối hộp. 1 V        V  V    V  V AA B D B ABC CC B D D ADC 6 1 Suy ra V    V nên tứ diện ACB D   có thể ACB D 3 tích lớn nhất Chọn C. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một khúc gỗ có dạng và độ dài các cạnh được cho như hình vẽ. Thể tích khúc gỗ là A. V = 12. B. V = 96. C. V = 36. D. V = 24. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 59
Khúc gỗ được chia thành 2 phần, mỗi phần là một lăng trụ tam tam giác có đáy là các tam giác vuông, chiều
cao khối lăng trụ bằng 4. 1 1
Thể tích khối gỗ là V  V V  4. .3.2  4. .3.4  36 . 1 2 2 2 Chọn C.
Ví dụ 2. Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Thể tích của khối
tứ diện A.CB’D’ bằng A. 3 8cm . B. 3 12cm . C. 3 16cm . D. 3 4cm . Hướng dẫn giải
Khối hộp được tạo thành từ 5 khối B.AB’C; D.ACD’; A’.B’AD’; C.B’C’D’; A.CB’D’. Ta có V  V V V V V ABCD.A'B'C 'D' B.AB’C D.ACD’ ’ A .B’AD’ C.B’C’D’ A.CB’D’  V  4V V  V  V  4V ABCD.A'B 'C ' D' B.AB’C . A CB’D’ . A CB’D’ ABCD.A' B'C ' D' B.AB’C 1 1 1 3  V  V  4 V  V  .2.3.6  12cm . . A CB’D’ ABCD.A' B'C 'D' ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD.A' B'C 'D' 6 3 3 Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm 1 2 3
trên các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM = AA’; BN = BB’; CP =
CC’. Thể tích khối chóp 2 3 4 M.BCPN là 7V 17V 7V 11V A. . B. . C. . D. . 36 36 18 18 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 60 Ta có V  V  AA'.S ABC.A'B 'C ' ABC 1 1 1 V  V  V  M . A S  . .AA'.S  . M .ABC M .A'B 'C ' 3 ABC 3 2 ABC 6 V 1  A'M B ' N C ' P  Mặt khác A'B'C'.MNP      V 3  AA' BB ' CC '  A'B 'C '.ABC 1  1 1 1  13  V    V  V  V . A' B 'C '.MNP   A'B'C'.ABC A'B 'C '. 3  2 3 4 MNP  36 V 13 17V  V  V V V  V   V  . M .BCPN A'B 'C '.ABC M .ABC A'B 'C '.MNP 6 36 36 Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai cạnh AC, BD cắt nhau tại O. Mặt phẳng
(P) đi qua điểm O và song song với mặt phẳng (SAD) cắt khối chóp S.ABCD tạo thành hai khối có thể tích V
lần lượt là V ; V (V  V ) . Tỉ số 1 bằng 1 2 1 2 V2 5 3 7 1 A. . B. . C. . D. . 11 5 13 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi h, V, S
lần lượt là chiều cao, thể tích và diện tích đáy của hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt ABCD
hình chóp S.ABCD tạo thành thiết diện như hình vẽ. Khi đó V
 V và thể tích phần còn lại là HGFCBE 1 V (V  V ) . 2 1 2 Ta có V  V V V V HGFCBE H .BEO H .BOC H .OCF G.HCF 1 h 1 h 1 h 1  . S  . S  . S  V BEO BOC  OCF B. 3 2 3 2 3 2 2 GCF 1 h 1  1 h   . S  S  S  S BEO BOC OCF  . .    3 2 2  3 2 BCF  TOANMATH.com Trang 61 1 h 1  1 h S   . .S  . . ABCD   3 2 BEFC 2  3 2 4  1 1 S 1 1 1  1  1 1 5  . . . ABCD h  . . . . h S  V  V  V   . 2 3 2 2 2 4  3 ABCD  4 16 16 5 5 11 Suy ra V 
V . Do đó V  V V  V  V  V . 1 16 2 1 16 16 V 5 Vậy 1  . V 11 2 Cách 2: 1 1 S V Ta có V  . . h S  . . h  . S.ADFE 3 ADFE 3 2 2 SE SF SB SC    V 11 2  2 3 Lại có S.EFGH SE SF SH SG    V SE SF SB SC 4.1.1.2.2. 8 S.EFCB 4. . . . SE SF SH SG 3 3V  V  V  . S.EFGH S. 8 EFCB 16 V 3V 11V 5 Do đó V  V V     V suy ra V  V . SADFGHE S.ADFE S.EFGH 2 2 16 16 1 16 V 5 Vậy 1  . V 11 2 Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB’ và P thuộc cạnh 1
DD’ sao cho DP  DD'. Mặt phẳng (AMP) cắt CC’ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng 4 A. 3 V  2a . B. 3 V  3a . C. 3 9 a a V  . D. 3 11 V  . 4 3 Hướng dẫn giải
Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ là V=  a3 3 2  8a . TOANMATH.com Trang 62
Cách 1: Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’, gọi K=OO’  MP, khi đó N=AK  CC’. 1
Ta có OK  DP  BM  2 1  a  3a 3a  a    CN  2OK    . 2  2  4 2 2 1  a  a S  BM  CN BC  a  a  . BMNC   1 3 5 . .2   2 2  2  2 2 3 1 1 5a 5a V  .S .AB  . .2a  . . A BMNC 3 BMNC 3 2 3 1  a a  S  DP  CN CD   a  a . DPNC   1 3 2 . .2 2   2 2  2 2  3 1 1 4a 2 V  .S .AD  .2a .2a  . . A DPNC 3 DPNC 3 3 3 3 5a 4a 3 V  V V    3a . . A BMNC . A DPNC 3 3 Cách 2:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích khối hộp, ta có V 1  BM DP  V 1  1 1  3 AMNPBCD  . AMNPBCD          V 2  BB ' DD '  V 2  2 4  8 ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD.A'B 'C ' D' 3 3 3  V  .8a  3a . AMNPBCD 8 Chọn B.
Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC.
Điểm P trên cạnh CD sao cho PD=2CP. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Thể tích khối đa diện BMNPQD bằng 2 25 2 2 13 2 A. . B. . C. . D. . 16 432 48 432 Hướng dẫn giải DQ DP 2
Ta có MN//AC và PQ = (MNP)  (ACD)  PQ//AC   . DA DC 3 TOANMATH.com Trang 63 2
Thể tích khối tứ diện đều ABCD là V  V  . ABCD 12
Chia khối đa diện cần tính thành các khối tứ diện D.PQB; B.MNQ; B.PQN. Ta có V  V V V . BMNPQD D.PQB B.MNQ B.PQN 2 DQ DB DP  2  4 Trong đó V  . . .V  V  V . D.PQB   DA DB DC  3  9 2 BM BN BQ  1  1 SACQ 1 AQ 1 V  . . .V  .V  . .V  . .V  V . B.MNQ B.ACQ   B. BA BC BQ  2 ACQ  4 S 4 AD 12 ACD BP BQ BN 1 1 SPQC 1 V  . . .V  .V  . .V  V . B.PQN B.PQC B. BP BQ BC 2 PQC 2 S 6 ACD  4 1 1  25 2 Vậy V    V  . BMNPQD    9 12 6  432 Chọn B.
Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA’=2a và tạo với
đáy một góc 45 . Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 12 8 4 6 Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của A’ trên (ABC). 2  a 3 ABC đều cạnh a  S   . ABC 4 Ta có  AA',(ABC)  A' AH  45 .
A' AH vuông tại H có A'H  AA'.sin  A' AH  a 2 . 3 a 6 V  S .A' H  ABC.A' B 'C '  . ABC 4
Khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp C.A’B’C’, B’.ABC và A.CA’B’. 1 1 Ta có V  V và V  V C.A'B 'C ' ABC.A'B 'C ' 3 B '.ABC ABC.A'B 'C ' 3 TOANMATH.com Trang 64 3 1 a 6  V  V V V  V  . ACA' B ' ABC.A'B 'C ' C.A' B 'C ' B '.ABC ABC.A'B 'C ' 3 12 Chọn A.
Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 15. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh A’B’, 4 3
B’C’, BC sao cho M là trung điểm của A’B’, B’N= B 'C ' và BP= BC . Đường thẳng NP cắt đường thẳng 5 5
BB’ tại E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB tại Q. Thể tích khối đa diện lồi AQPCA’MNC’ bằng 23 49 83 45 A. . B. . C. . D. . 64 16 8 4 Hướng dẫn giải EB EQ EP BP 3 Ta có     EB ' EM EN B ' N 4 d E,A'B'C ' EB '      d  d E A B C d B A B C B,A'B 'C ' 4
 , ' ' ' 4  , ' ' ' BB ' S B ' M B ' N 1 4 2 Lại có B'MN  .  .  . S B ' A' B 'C ' 2 5 5 A'B 'C ' 1 1 2  V  d E,(MB ' N) .S  .4d B,(A' B 'C ') . S E.MB'N   MB'N   A'B 'C ' 3 3 5 8 8  V  .15  8 . ABC.A' B'C ' 15 15 3 3 VE.QPB EP EQ EB  EB   3  27 27  . .     V  V     . E.QPB E.MB ' V EN EM EB '  EB '   4  64 64 N E.MB 'N 27 37 37 37 Suy ra V  V V  V  V  V  .8  . BQP.B 'MN E.MB ' N E.BQP E.MB ' N E.MB'N E.MB ' 64 64 N 64 8 37 83 Vậy V  V V 15   . AQPCA'MNC ' ABC.A'B'C ' BQP.B'MN 8 8 Chọn C.
Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD có  DAB  
CBD  90 ; AB=a; AC  a 5 ; 
ABC  135 . Biết góc giữa hai
mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng 30 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng TOANMATH.com Trang 65 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 2 6 Hướng dẫn giải Dựng DH  (ABC) . BA  DA Ta có   BA  AH ; BA  DH BC  DB   BC  BH . BC  DH Tam giác AHB có AB=a,  ABH  45
 HAB vuông cân tại A  AH=AB=a.
Áp dụng định lý cosin, ta có BC= a 2 . a Vậy S  BA BC  2 1 1 2 . . .sin CBA  . . a a 2.   . ABC 2 2 2 2 HE  DA  E  AD Dựng    và HF  (DBC) . HF  DB  F  BD HE (DAB) Suy ra (  DB )A,(DBC)  HE,HF  EHF ax xa 2 Đặt DH=x, khi đó HE  , HF  . 2 2 2 2 a  x 2a  x HE 3 x  2a Suy ra cos  2 2 EHF     x  a . 2 2 HF 4 2x  2a 3 1 a Vậy V  .DH.S  ABCD 3  . ABC 6 Chọn D.
Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4; AC  BD  5; AD  BC  6 . Chú ý: Cho khối tứ diện gần đều có độ
Thể tích của khối tứ diện ABCD là dài các cạnh 15 6 15 6  AB  CD  a A. B. 4 2  AC  BD  b 45 6 45 6 AD  BC  c  C. D. 4 2 2 2 2 x  a  b  c Hướng dẫn giải  2 2 2 y  b  c  a
Dựng tứ diện AMNK sao cho B, C, D Đặt  2 2 2 z  a  c  b
lần lượt là trung điểm của các cạnh MN,  NK, KM. Khi đó
Tứ diện AMNK có AM, AN, AK đôi một 2 vuông góc. V  xyz ABCD 12 TOANMATH.com Trang 66 2 2 2  AM  AN  64 AM  54  AM  3 6     2 2 2
 AN  AK  100   AN 10   AN  10  2 2  2 AK AM 144 AK 90       AK  3 10  1 1 V
 AM.AN.AK  .3 6 10.3 10 15 6 AMNK 6 6 V 15 6 Vậy AMNK V   ABCD 4 4 Chọn A
Ví dụ 11. Một con kiến đang ở vị trí M là trung điểm
cạnh AD của một chiếc hộp hình lập phương ABC . D A B  C  D   cạnh 5cm.
Con kiến muốn bò qua sáu mặt của chiếc hộp
rồi quay trở lại M. Quãng đường bò đi ngắn nhất của con kiến là A. 16 2cm . B. 15 2cm . C. 12 2cm . D. 13 2cm . Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 67
Trải sáu mặt phẳng của hình lập phương ABC . D A B  C  D
  như hình vẽ 1. Để đi đường ngắn nhất từ M đến M (
 M  M  hay M là trung điểm A D
  trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn MM .
Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM như hình 2 với N, P, Q, K, Z lần
lượt là trung điểm của DD ,C , D BC, BB , AB.
Quãng đường ngắn nhất con kiến bò là đoạn MNPQKZM .
Ta có MNPQKZM  MN  NP  PQ  QK  KZ  ZM .
Các đoạn thẳng con kiến bò trên các mặt hình lập phương đều có độ dài bằng nửa độ dài đường chéo hình vuông. 5 2
Do đó quãng đường con kiến bò ngắn nhất là 6.  15 2 2 Chọn B.
Ví dụ 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD một con kiến bò từ đỉnh A của đáy để đi tất cả các mặt
xung quanh rồi trở về vị trí A. Biết cạnh bên bằng 6cm, cạnh đáy bằng 4cm. Quãng đường ngắn nhất mà con kiến đi là A. 13, 48cm . B. 10, 25cm . C. 12, 05cm . D. 11, 73cm . Hướng dẫn giải
Trải hình chóp thành hình như hình vẽ trên. Khi đó quãng đường ngắn nhất con kiến phải bò là AA1 AH 1 Ta có sin  ASH     0 ASH  19 28   0 0
ASA  8.19 28  155 46 1 SA 3 2 2  AA  SA  SA  2S . A SA cos  ASA  11,73cm 1 1 1 1 Chọn D. TOANMATH.com Trang 68 
Ví dụ 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA  a và  11 SAB 
. Gọi Q là trung điểm cạnh SA. 24
Trên các cạnh SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M , N, P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Giá trị
nhỏ nhất của tổng AM  MN  NP  PQ theo a là 11 11 a 2 sin a 3 a 2 a 3 sin A. 24 B. C. D. 12 3 2 4 3 Hướng dẫn giải Trải phẳng 
Do hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên đều là các tam giác cân, theo giả thiết  11 SAB  nên 24  22  ASB     (1) 24 12
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ như trên sao
cho khi ghép lại thì A  A. Khi đó, tổng AM  MN  NP  PQ là tổng các đường gấp khúc nên tổng này
nhỏ nhất nếu xảy ra các điểm , A ,
Q M , N, P thẳng hàng và Q là hình chiếu của A trên SA .  
Đồng thời theo (1) ta có  ASA  4.  (2) 12 3
Suy ra ASA là tam giác đều. a 3 a 3 Vậy AQ 
hay GTNN của tổng AM  MN  NP  PQ  2 2 Chọn B. TOANMATH.com Trang 69
Ví dụ 14. Cho hình chóp đều S.ABC có  0
ASB  30 , SA  1. Lấy B ,C lần lượt thuộc cạnh SB, SC sao V cho chu vi tam giác AB C
  nhỏ nhất. Tỉ số S.AB C gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? VS.ABC A. 0,55 . B. 0, 65 . C. 0, 45 . D. 0, 75 . Hướng dẫn giải Trải phẳng
Cắt tứ diện theo các cạnh S ,
A AC, AB rồi trải lên mặt SBC .
Tam giác SBC giữ nguyên; tam giác SAB lật thành tam giác SAB ; tam giác SAC thành tam giác SCA Do đó AC  A C  , SA  SA 1  ASA   ASB   BSC   0 0
CSA  3.30  90 và SA  SA  1 nên SAA là tam giác vuông cân tại S. C  AB  B C
   AC  AB  B C    A C
   AA  2 không đổi. AB C  
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ,
A B ,C , A thẳng hàng tức là khi B  B ,C  C . 0 0 SB SB SB sin  0 SAB sin 45 Ta có 0 0 0        SB SB SA sin  1 3 0 SB A sin105 0 2 V       SB SC SB  Vậy S.AB C  .   4  2 3  0,54   . V SB SC  SB  S.ABC Chọn A
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hình vẽ bên với E, F lần lượt là trung điểm các cạnh bên SB và SC.
Khối chóp S.AEF có thể tích là 1 1 A. abc . B. abc . 24 12 1 11 C. abc . D. abc . 8 12 TOANMATH.com Trang 70
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vuông góc với đáy ABC,
SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt
tại M, N. Thể tích của khối chóp S.AMN là 3 2a 3 2a 3 a 3 a 5 A. . B. . C. . D. . 27 9 6 3
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau AB = a; AC = 2a và AD
= 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD. Thể tích của tứ diện ADMN là 3 2a 3 3a 3 a A. 3 V  a . B. V  . C. V  . D. V  . 3 4 4
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), AB = a, BC = a 3 , SA = a. Một mặt phẳng () qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Thể tích khối chóp S.AHK là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . S.AHK 20 S.AHK 30 S.AHK 60 S.AHK 90
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA  (ABC).  ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DM 1 DN 1 DP 3
DA, DB, DC lần lượt lấy ba điểm M, N, P mà  ,  ,
 . Thể tích của tứ diện MNPD là DA 2 DB 3 DC 4 3 2 3 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 12 12 96 96
Câu 6: Cho hình chóp đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt V
SC, SD lần lượt tại M, N. Tỉ số S.ABMN có giá trị là VS.ABCD 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 4
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Thể 3 a
tích của khối chóp A.BCKH là V. Tỉ số
gần nào nhất giá trị nào trong các giá trị sau? V A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS=2NC, P là điểm trên cạnh SA sao cho PA=2PS. Kí hiệu V ,V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện 1 2 V
BMNP và SABC. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 9 V 4 V 3 V 3 2 2 2 2
Câu 9: Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm lần lượt thuộc SA và SB sao cho MA=2SM, SN=2NB,
() là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu (H ) và (H ) là các khối đa diện có được khi chia 1 2 TOANMATH.com Trang 71
khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng () , trong đó (H ) chứa điểm S, (H ) chứa điểm A; V và V lần lượt 1 2 1 2 V
là thể tích của (H ) và (H ) . Tỉ số 1 bằng 1 2 V2 4 5 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 4 4 3 V
Câu 10: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Giá trị MNPABC là VS.ABC 8 7 1 A. . B. . C. 8. D. . 7 8 8
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Thể tích khối chóp S.AMN là 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 4 6 3
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM=2MB,
BN=4NC, SP=PC. Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN và A.CPN là 4 8 5 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 6
Câu 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc
giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 30 . Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S.ABC
thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là 1 1 6 2 A. . B. . C. . D. . 6 7 7 3
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA=2cm, SB=3cm, SC=4cm,  0 ASB   0 60 , BSC  90  0 , ASC  120 . Thể
tích của khối chóp S.ABC là A. 2 2 . B. 3 2 . C. 2 3 . D. 3 3 .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là
trung điểm BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết 1 V  V
. Thể tích V của khối chóp S.ABC là S.AEF S. 4 ABC 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 12 2 8
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAD) cùng
vuông góc với mặt đáy. Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung 1 2 V
điểm SC, SD. Tính độ dài đường cao h của khối chóp S.ABCD và tỉ số 1 k  . V2 1 1 1 1 A. h  ; a k  . B. h  ; a k  . C. h  2 ; a k  . D. h  2 ; a k  . 4 6 8 3
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm, cạnh SA=30cm và
vuông góc với đáy. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’. Thể tích khối chóp S.AB’C’D’ gần nhất giá trị nào dưới đây? TOANMATH.com Trang 72 A. 3 2120cm . B. 3 2770cm . C. 3 1440cm . D. 3 1470cm . 1
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho SA'  SA . 3
Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi
đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 9 27 81
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của V
SB, SD. Tỉ số thể tích S.ABCD bằng VAOHK A. 12. B. 6. C. 8. D. 4.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O có cạnh bằng a,  0 BAD  60 . Gọi H là
trung điểm của OB và SH vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 . Thể tích của khối chóp S.AHCD là 35 39 35 39 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 32 24 24 32
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Thể tích của CMNP theo a bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 16 32 96 48
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD= a 3 , SA=2a và SA vuông
góc với mặt đáy. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Thể tích khối chóp S.AHIK là 3 8a 3 3 34a 3 3 2a 3 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 35 105 7 21
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA= a 2 . Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt
phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Thể tích khối chóp S.AEMF là 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. 3 a 6 . 18 6 3
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,  BAD   0 ABC 9  0 , AB = BC = a, AD = 2a,
SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Thể tích khối chóp S.BCNM bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 6 3 2 4
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M
là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 TOANMATH.com Trang 73
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp
vuông góc với đáy. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SA sao cho AM=x 0  x  2a . Tìm x để mặt phẳng
(MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau. A. x  a 4  5 . B. x  a 3 5 . C. x  a 3 2 . D. x  2a 3 5.
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các
đoạn BC, CD và SA. Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là V và V . Biết 1 2 V
rằng V  V , tỉ số 1 bằng 1 2 V2 1 5 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 6 3
Câu 28: Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi G ,G ,G ,G lần lượt là trọng tâm của bốn mặt 1 2 3 4
của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện G G G G . 1 2 3 4 2 2 9 2 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 4 18 32 12
Câu 29: Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh V '
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số . V V ' 2 V ' 1 V ' 5 V ' 1 A.  . B.  . C.  . D.  . V 3 V 4 V 8 V 2
Câu 30: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, SM
một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB lần lượt tại các điểm M, N. Đặt
 x,0  x 1. Tìm x sao cho thiết SA
diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. 3   13 3  17 3   15 3   19 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 2 2 2 2
Câu 31: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm cạnh BB’, điểm N thuộc
cạnh CC’ sao cho CN=2C’N. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V. 7V 7V 5V V A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . . A BCNM 12 . A BCNM 18 . A BCNM 18 . A BCNM 3
Câu 32: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’NM) cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện MBP.A’B’N bằng 3 7a 3 3 a 3 3 7a 3 3 7a 3 A. . B. . C. . D. . 32 32 68 96
Câu 33: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Trên các cạnh AA’, BB’ lần lượt lấy các điểm E, F
sao cho AA’ = kA’E, BB’ = kB’F. Mặt phẳng (C’EF) chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm
khối chóp C’.A’B’FE có thể tích V và khối đa diện ABCEFC’ có thể tích V . 1 2 V 2
Biết rằng 1  . Giá trị k là V 7 2 TOANMATH.com Trang 74 A. k = 4. B. k = 3. C. k = 1. D. k = 2.
Câu 34: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 3
60cm , các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA’, BB’, CC’ sao cho AM = 2MA’, BN = 3NB’, CP = 4PC’. Thể tích của khối đa diện BC.MNP . 93 65 A. 3 cm . B. 3 25cm . C. 3 31cm . D. 3 cm . 2 3
Câu 35: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp 1 2 V
ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số 1 bằng V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4
Câu 36: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 3
48cm . Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các
cạnh CC’, BC và B’C’. Tính thể tích của khối chóp A’.MNP. 16 A. 3 8cm . B. 3 12cm . C. 3 24cm . D. 3 cm . 3
Câu 37: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện A’C’BD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4
Câu 38: Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình vẽ bên.
Thể tích khối đa diện tương ứng là A. V  570 . B.V  190 . C. V  360 . D. V  540 .
Câu 39: Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình
vẽ bên. Thể tích khối đa diện tương ứng là A. V  24 . B. V  96 . C. V  126 . D. V  102 .
Câu 40: Một khúc gỗ có dạng với độ dài
các cạnh được cho như hình vẽ bên dưới.
Thể tích khối đa diện tương ứng là 40 A. V  . B. V  32 . 3 C. V  40 . D. V  20 . TOANMATH.com Trang 75
Câu 41: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi G ,G ,G và G 1 2 3 4
lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD. Biết AB = 6a, AC = 9a, AD = 12a. Tính theo a thể
tích khối tứ diện G G G G . 1 2 3 4 A. 3 4a . B. 3 a . C. 3 108a . D. 3 36a .
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  (ABCD). Trên đường thẳng vuông 1
góc với (ABCD) tại D lấy điểm S’ thỏa mãn S D
  SA và S’, S ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD). 2
Gọi V là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD. Gọi V là thể tích khối chóp 1 2 V S.ABCD. Tỉ số 1 bằng V2 4 7 7 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 18 3
Câu 43: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là
trọng tâm của tam giác SBC, SCA và SAB. Tính thể tích khối ABC.A’B’C’ 3 5a 2 3 a 2 3 4a 2 3 5a 2 A. . B. . C. . D. . 108 27 81 96
Câu 44: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB’, BC’, CA’. Thể tích khối đa diện MNPABC bằng 1 2 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 4 8
Câu 45: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và góc giữa (AB’C’) và mặt phẳng
(ABC) bằng 60 . Mặt phẳng () đi qua trọng tâm tứ diện AA’B’C’ và song song với mặt phẳng (AB’C’),
lần lượt cắt các cạnh AA’, A’B’, A’C’ tại P, Q, R. Thể tích khối đa diện PQRB’C’CAB là 3 165a 3 3 55a 3 3 27a 3 3 27a 3 A. . B. . C. . D. . 512 512 64 512
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là IA 2
trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA sao cho
 . Biết mặt phẳng (MNI) chia khối IS 3
chóp S.ABCD thành hai phần. Khi đó thể tích của phần đa diện không chứa đỉnh S tính thông qua V được kết quả là 3 11 16 13 A. . B. . C. . D. . 4 20 21 20
Câu 47: Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a
để được khối hộp chữ thập như hình dưới.
Tính diện tích toàn phần của khối hộp chữ thập đó. A. 2 S  20a . B. 2 S  12a . tp tp C. 2 S  30a . D. 2 S  22a . tp tp TOANMATH.com Trang 76
Câu 48: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy, SA=2a.
Điểm M thuộc đoạn SA, AM=x. Giá trị của x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
có thể tích bằng nhau là A. x  2  5a . B. x  3 5a . C. x  2  5a . D. x  3 5a .
Câu 49: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi M và N theo thứ tự là trung
điểm của A’B’ và B’C’. Tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 5 8 4
Câu 50: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao 3a. Mặt phẳng (P) qua B’ và V
vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V và V với V  V . Tỉ số 1 1 2 1 2 V2 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 47 107 7 108
Câu 51: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng: 5 1 7 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 24 4 24 3
Câu 52: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện MBP.A’B’N là 3 3a 3 3a 3 7 3a 3 7 3a A. . B. . C. . D. . 24 12 96 32
Câu 53: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’
và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V và V với V  V . Tỉ số 1 2 1 2 V1 bằng V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 47 23 11 7
Câu 54: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác
ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP. 2 2 2 4 2 2 A. 3 V  cm . B. 3 V  cm . C. 3 V  cm . D. 3 V  cm . 162 81 81 144
Câu 55: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’
sao cho AM=2MA’, NB’=2NB, PC=PC’. Gọi V , V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và 1 2 V
A’B’C’MNP. Tính tỉ số 1 . V2 V V 1 V V 2 A. 1  2 . B. 1  . C. 1  1. D. 1  . V V 2 V V 3 2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 77
Câu 56: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=11m, BC=AD=20m, BD=AC=21m. Thể tích khối chóp tứ diện ABCD bằng A. 3 360m . B. 3 720m . C. 3 770m . D. 3 340m .
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC= a 3 , SB>2a và  ABC   BAS  
BCS  90 . Biết sin của góc 11
giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 11 3 2a 3 3 a 3 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 9 9 6 3
Câu 58: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh a, tam giác ABC vuông tại B, BC= 3 . Khoảng 3
cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 2 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 2
Câu 59: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB=a,  BAC  120 ,  SBA   SCA  90 . Gọi  3
là góc giữa SB và (SAC) thỏa mãn sin 
, khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ hơn 2a. Thể tích của khối 8 chóp S.ABC bằng 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 6 12 24
Câu 60: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng a và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc
     
với nhau. Lấy lần lượt hai điểm H, S sao cho: DH  3EH  0 và SH  BH  0 . Tính theo a thể tích khối đa diện ABCDSEF. 7 3 a 2 5 A. 3 a . B. . C. 3 a . D. 3 a 6 2 3 6
Câu 61: Một cái hộp hình chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lượt là 4cm, 6cm, 9cm như hình vẽ. Một con
kiến ở vị trí A muốn đến vị trí B. Biết rằng con kiến chỉ có thể bò trên cạnh hay trên bề mặt của hình hộp đã
cho. Gọi x cm là quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ A đến B. Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 15;16 . B. x 13;14 . C. x 12;13 . D. x 14;15 .
Câu 62: Tứ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA, có diện tích bằng nhau và  ASB   ASC   CSB 180 .
Biết rằng SA  a  4, SB  b  5, SC  c  6 . Thể tích khối tứ diện SABC là 7 3 15 3 7 6 15 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 63: Một khối hộp đựng giấy ăn hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao lần lượt là 25cm;
14cm; 8cm (như hình vẽ). Một con kiến xuất phát từ A muốn đến điểm B thì quãng đường đi ngắn nhất là bao nhiêu? TOANMATH.com Trang 78 A. 41,12cm. B. 39,82cm. C. 40,19cm. D. 38,12cm.
Câu 64: Cho tứ diện ABCD có  ACD   BCD   CAD   BAD   BAC   CBD   ABD   ABC  180 , 
ACB  60 . Biết chu vi tam giác ABC bằng 3. Giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần của tứ diện ABCD bằng 4 3 2 3 4 5 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-D 4-C 5-C 6-B 7-C 8-A 9-A 10-B 11-B 12-B 13-A 14-A 15-D 16-A 17-D 18-C 19-C 20-D 21-C 22-A 23-A 24-B 25-A 26-B 27-A 28-D 29-D 30-B 31-B 32-D 33-B 34-C 35-A 36-A 37-C 38-A 39-B 40-C 41-A 42-C 43-C 44-D 45-A 46-D 47-D 48-D 49-C 50-B 51-A 52-C 53-D 54-C 55-C 56-A 57-C 58-D 59-C 60-D 61-B 62-D 63-B 64-A Dạng 4.
Bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện Phương pháp giải
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cho SC  a , mặt phẳng SBC  tạo với
mặt đáy một góc  . Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là 3 a 3 a 3 A. . B. . 16 27 3 a 3 3 a 2 C. . D. . 48 24 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 79
Ta có SBC, ABC    SC,AC  SCA  
Xét SAC vuông tại A có
SA  SC.sin  asin 
AC  SC.cos  a cos 1 1  1 2   V  S .SA  . AC .SA S.ABC   3 A  BC 3  2  3 1 a  .a cos 2 2 .a sin  cos .sin. 6 6 V
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức S.ABC 2 P      2 cos .sin .
1 sin  .sin đạt giá trị lớn nhất.
Bước 1: Chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc  hoặc cạnh Cách 1:
thích hợp trong khối đa diện.
Đặt t  sin . Vì 0    90 nên 0  sin  1  0  t  1
Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như Ta có P  f t   2  t  3 1 t  t
  t xác định và liên
là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của khối đa
diện theo các phương pháp đã biết. tục trên 0;  1 .  3 t  (nhan)
Bước 3: Ta có một hàm số f x, x
  D mà cần tìm f t   2t   ft    3 3 1 0 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. 3 t   (loai)  3 Bảng biến thiên: 2 3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có max f t   0;  1 9 TOANMATH.com Trang 80 3 khi t  . 3 3 3 3 a a 2 3 a 3 Vậy maxV  .P  .  khi và
Dùng bất đẳng thức cổ điển S.ABC max 6 6 9 27
(Cô-si hay Bunhiacopxki) hoặc sử dụng tính đơn điệu 3
của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. chỉ khi sin  . 3 Chọn B.
1. Bất đẳng thức Cô-si. Cách 2: a  b
Vì 0    90  sin  0
a Cho a  0,b  0 ta có  ab . 2  P     2 2 2 2 1 sin sin 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b . a 2 2 2  b  c
1sin 1sin 2sin 
b Cho a  0,b  0,c  0 ta có 3  abc. = . 3 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Áp dụng Cô-si cho 3 số dương 2 2 1 sin ,1 sin 
c Cho a  0,a  0, , a  0 và 2 2sin  , ta được: 1 2 n a  a  a  2    2    2 1 sin 1 sin 2sin   Ta có 1 2 n n  a .a a . 1 2 n n          3 2 2 2 1 sin 1 sin 2sin 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  a    a . 8 1 2 n      3  27    2    2    2 1 sin 1 sin 2sin   4   2 27 2 4 2 3  P   P  . max max 27 9 Đẳng thức xảy ra khi 2 2 3
1 sin   2sin   sin  . 3 3 3 3 a a 2 3 a 3 Vậy maxV  .P  .  . S.ABC max 6 6 9 27 Chọn B.
Các bất đẳng thức cơ bản. Các dạng hay sử dụng.  a b 1 1 8   2, , a b  0;   ; 2 2 b a a b a b2 1 a   2, a   0 a TOANMATH.com Trang 81
 ab  a  b2   2 2 4 2 a  b 
 ab  bc  ca  a  b  c2   2 2 2 3 3 a  b  c .   
 a  a  a      n n  1 1 1 2 1 2  a a a   1 2 n  2 1 1 1 n     . a a a a  a   a 1 2 n 1 2 n
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
a. Dạng đa thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Cho 2 bộ số
nZ,n  2:a ,a ,,a và 1 2 n b ,b ,,b ta có 1 2 n   2 2 2
a  a  a . b  b  b n  2 2 2 1 2 1 2 n 
 a b  a b  a b 2 1 1 2 2 n n a a a Dấu "  " xảy ra 1 2 n     . b b b 1 2 n b. Dạng phân thức Cho 2 bộ số
nZ,n  2:a ,a ,,a và 1 2 n b ,b ,,b với b  ,b ,,b  0. 1 2 n  1 2 n 2 2 a a a a  a  a 1 2 n  1 2 n 2 2 Ta có    . b b b b  b  b 1 2 n 1 2 n Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA  x ,
x 0; 3 , các cạnh còn lại đều bằng 1. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 16 12 8 Hướng dẫn giải Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA=x, các cạnh còn lại đều TOANMATH.com Trang 82 bằng a (a là hằng số) với x 0;a 3. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là 3 a V  3 . S.ABC
Ta có tam giác ABC đều  S  . 8 ABC 4
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . SA  BM
Ta có SAB và SAC là hai tam giác cân tại B và C nên  SA  CM
 SA  BCM   SA  BC. 2 x
Mặt khác BM  CM  AB   AM 2 2  1  BMC cân tại M. 4
Suy ra MN  BC  BC  SAN .
Kẻ SH  AN. Do BC  SAN   BC  SH  SH   ABC. 2 3 x 1 Ta có 2 2 2 MN  SN  SM    3  x . 4 4 2 2 1 1 S . A NM x 3   x S S . A NM  SH.AN  SH   SH  . SAN 2 2 AN 3 2 2 2 1 x 3  x 1  x  3  x  1 S  S .SH   . ABC ABC    . . . 3 12 12  2  8 1 3 6 Vậy maxV
 đạt được khi và chỉ khi 2 2 2 x  3  x  x   x  . S.ABC 8 2 2 Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường
thẳng SD và mặt phẳng SBC  , với   45 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD 3 8a A. 3 4a B. 3 3 4a 3 2a C. D. 3 3 TOANMATH.com Trang 83 Hướng dẫn giải
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD.
Khi đó DD / /SA mà SA  SBC Nên DD  SBC Ta có SD,SBC     DSD   SD , A Do đó SA  A . D tan  2a tan. Đặt tan  , x x 0;  1
Gọi H là hình chiều của S lên AB , ta có 2 1 4  a V SH.S  .SH. S.ABCD 3 ABCD 3 Do đó V
đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. S.ABCD
Vì SAB vuông tại S nên 2 2 2 2 2 S . A SB SA AB  SA 2ax 4a  4a x 2 SH     2ax 1 x . AB AB 2a 2 2 x 1   x SH 2 . a  . a 2 2
Từ đó max SH  a khi tan  . 2 3 1 4a Vậy 2 maxV  . a 4a  . S.ABCD 3 3 Chọn C.
Ví dụ 3. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a, cạnh SD
thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 a 3 3a 3 a A. B. C. D. 2 8 8 4 Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm hình thoi ABCD , H là hình
chiếu của S lên mặt phẳng  ABCD , suy ra H  BI . Ta có 2 2 2 2 2
SI  SA  IA  a  IA , 2 2 2 2 2
IB  AB  IA  a  IA suy ra SI  IB .
Khi đó tam giác SBD vuông tại S . TOANMATH.com Trang 84 Đặt SD  x . . Ta có .  .  .  .   a x SB SD SH BD a x SH BD SH BD 1 1 1 ax 1 1 Ta có V  SH. AC.BD  . . AC.BD  a . x AC. SABCD 3 2 3 BD 2 6 2 2  Lại có 2 2 2 2 2
BD  SB  SD  a  x suy ra 2  a x IB 4 2 2 2 2 a  x 3a  x 2 2  IA  a   . 4 4 2 2 3a  x Suy ra 2 2 AC  2IA  2  3a  x . 4 2 2 2 3 1 a x  3a  x a 2 2 V  a . x 3a  x  .  . SABCD 6 6 2 4 Chọn D.
Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA  2 và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Gọi M,N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh
AB, AD sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng 1 1 T  
khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. 2 2 AN AM 5 A. T  2. B. T  . 4 2 3 13 C. T   . D. T  . 4 9 Hướng dẫn giải Đặt AM  x, AN  y. Gọi   O  AC  D ; B   E  BD CM; F  BDCN.
H là hình chiếu vuông góc của O 2 trên SC, khi đó: HO  . 3 SC  OH SC  HE Ta có   SC  HBD   . SC  BD SC  HF TOANMATH.com Trang 85
Do đó góc giữa SCM  và SCN  bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE  HF. 1 2 Mặt khác V  S . A S  x  y . S.AMCN AMCN   3 3
Ta có x  0, y  0 và nếu x  2, y  2 thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó OE KM x OE EB OB x 2       OE  . EB MB 4  2x x 4  2x 4  x 4  x y 2 Tương tự OF  mà 2
OE.OF  OH  x  2y  2 12. 4  y
Nếu x  2 hoặc y  2 thì ta có 2
OE.OF  OH  x  2y  2 12. 1 2 2 Suy ra V  S . A S 
x  y   x  2  y  2  4 S.AMCN AMCN       3 3 3  2    x   12 2   4 . 3  x 2    x  1  y  2 1 1 1 1 5 Do đó maxV  2   T      . S.AMCN  2 2 2 2 x  2 AM AN x y 4  y 1 Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB  1, AC  3.
Hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm H sao cho các mặt phẳng SAB và
SAC cùng tạo với SH góc 30 và mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc
60 . Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC là 1 3 3 3 A. V   . B. V   . max 4 max 4 3 1 3 3 C. V   . D. V   . max 4 max 4 Hướng dẫn giải Ta có SH SAB   SH SAC  , ,  30 nên hai mặt
phẳng SAB và SAC sẽ cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
Suy ra d H, AB  d H, AC  d H,BC
tức H hoặc là tâm nội tiếp hoặc là tâm bàng tiếp các góc , A B,C của tam giác. TOANMATH.com Trang 86 3 3 3 Ta có S ; p   
còn các cạnh a  2,b  3,c  1. 2 2 S 1   3 S 3 3 Khi đó r   ;r   ; p 2 a p  a 2 S 1 3 S 3  3 r   ;r   . b p  b 2 c p  c 2 3  3 3 3 3
Chiều cao chóp lớn nhất khi SH  r 3   V  . max a max 2 4 Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt 
bên và mặt phẳng đáy là  với      0;
. Thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn 2    nhất là 3 4a 7 3 4a 3 A. . B. . 49 27 3 2a 3 3 4a 15 C. . D. . 9 75 Hướng dẫn giải AC  BD    O  SO  ABCD
Gọi M là trung điểm của CD   SCD ABCD   ,  SMO  .
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x .
Tam giác SMC vuông tại M có 2 2 2 2 x SM  SC CM  a  . 4
Tam giác SOM vuông tại O có:  2 2  .cos  cos. x OM SM SMO a  4 2 2 2 x   2 x x 2 x 2   cos. a    a   cos  2 4 4 4   2 1 2 2 4a . 2 2 2 4a cos  1 tan  4a 2a  x     x  . 2 2 1 cos  1 2 2  tan  2  tan 1   2 1 tan  TOANMATH.com Trang 87 2 4a  S  . ABCD 2 2  tan  x . a tan Ta có: 
SO  OM.tan SMO  .tan  . 2 2 2  tan  2 3 1 1 4a . a tan 4a .tan V   .S .SO  . .  . S.ABCD ABCD 2 2 3 3 2  tan  2  tan  3 2  tan  3 2    3 4 a .tan Do   0;  tan   
0 . Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi .  2  3 2tan 3 2
đạt giá trị lớn nhất. 2 tan  Ta xét f    .  2  tan  3 2 2 tan  1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ; ; . 2 2 2
2  tan  2  tan  2  tan  2 2 tan  tan  1 1 Ta có f     . .   3 2 2 2 2
2  tan  2  tan  2  tan 2 tan   3 2 1  tan  1 1  1        . 2 2 2 3
  2  tan  2  tan  2  tan   27  f   2 1 tan  1 2     tan  1       . 2 2 27 2  tan  2  tan  4 3 3 4a 4a 3 Vậy maxV   . SABCD   3 27 3 2 1 Chọn B.
Ví dụ 7. Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là S . Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật là S S S S A. . B. . 3 36 S 6S S 3S C. . D. . 36 9 Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a,b,c với , a , b c  0 .
Ta có S  2ab  2ac  2bc
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM : 3 3 2 2 2
S  2ab  2ac  2bc  3 2a . b 2a . c 2bc  6 a b c Trong các TOANMATH.com Trang 88 3 3 hình hộp chữ 3 2 2 2 2 2 2 S S S 6 6 S a b c  S  a b c   abc   . 216 216 36 nhật có cùng
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương. diện tích Chọn C. toàn phần thì
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng hình lập
cách từ AA đến BCC B
  và khoảng cách từ C đến  ABC đều bằng x không đổi, phương thì 
góc giữa hai mặt phẳng  ABC và  ABC bằng     có thể tích  0;
. Để thể tích khối lăng trụ 2    lớn nhất. ABC.AB C
  nhỏ nhất thì góc  có giá trị gần nhất giá trị nào sau đây? A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 Hướng dẫn giải
Dựng AH  BC H  BC, CK  AC (  K  AC ) Ta có d  AA ;BCC B
   AH  x và
d C; ABC  CK  x ABC;ABC    CAC  .
Xét tam giác ACK vuông tại K có CK x AC   . sin sin x x
Xét tam giác ACC ' vuông tại C có CC '  AC.tan  .tan  . sin cos
Xét tam giác ABC vuông tại A có 2 1 1 1 AH.AC x x    AB    . 2 2 2 2 3 AB AH AC 2 AH  AC x  2   cos 1 sin  
Thể tích khối lăng trụ ABC.AB C   là 3 1 x V  A . B AC.CC  . ABC.ABC 2 2sin 2 cos 
Để thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   là nhỏ nhất thì 2 sin cos  lớn nhất. 1 Ta có 2 4 2 2 2
sin  cos   2sin  cos  cos  2 2 2 2 3
1  2sin   cos   cos   8 2 2 3 3x 3      sin cos    V  . 2 3 54 9 4   3 3x 3 Vậy V  . min 4 TOANMATH.com Trang 89 Đẳng thức xảy ra khi 2 2 2
2sin   cos   tan     35 .  2 Chọn B.
Ví dụ 9. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB  BC và BD  3cm . Hai mặt    phẳng  ACC A   và BDD B
  hợp với nhau một góc  0      . Đường chéo  2     B D
 hợp với mặt phẳng CDD C
  một góc  0    
 . Hai góc ,  thay đổi nhưng  2  thỏa mãn hình hộp ADD A  .BCC B
 luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất thể tích của khối hộp ABC . D AB C  D   A. 3 3 cm B. 2 3 3 cm C. 6 3 3 cm D. 12 3 3 cm Hướng dẫn giải Ta có  ACC A  ;BDD B       COD       CBD   BC  B . D cos  CBD  3cos 2 2  Lại có CD  B . D sin  CBD  3sin 2 Ta có B D  ;CDD C       B D  C   Do ADD A  .BCC B
  luôn là hình lăng trụ đều nên BC  CC   2 V        BC.C . D CC 27.sin .cos ABCD.A B C D 2 2   1    Xét 2 4 2 2 2 sin cos  .2sin .cos .cos 2 2 2 2 2 2 3     2 2 2  2sin  cos  cos 1   4 2 2 2     . 2 3 27    
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi TOANMATH.com Trang 90    1 2 2 2 2 2sin  cos  tan     2arctan 2 2 2 2 2   2 3 2  sin cos   V  6 3 . 2 2 9 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  ,
a SB  2a, SC  3a . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là 4 A. 3 3 2a B. 3 2a C. 3 a D. 3 a 3
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA thay đổi và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a . Khối chóp
S.ABCD có thể tích lớn nhất khi SA đạt giá trị nào dưới đây? a 6 a 3 A. SA  a 2. B. SA  . a C. SA  . D. SA  . 2 2
Câu 3: Trên 3 tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi, lấy lần lượt các điểm A, B,C sao cho OA  ; a OB  ; b OC  .
c Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn OA  OB  OC.
Thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất là 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 6 8 24 32
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA  BC  x, SB  AC  y, SC  AB  z thỏa mãn 2 2 2
x  y  z  9 . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là 3 6 3 6 2 6 6 A. . B. . C. . D. . 8 4 5 4
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  y và vuông góc với
đáy  ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM  x, biết 2 2 2
x  y  a . Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCM là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3. C. . D. . 3 8 24
Câu 6: Cho tứ diện SABC , có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC  a,SB  , b SC  .
c Thể tích khối tứ diện SABC đạt giá trị lớn nhất là abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 A. . B. . C. . D. . 4 8 12 24
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a . Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 3 3a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 TOANMATH.com Trang 91
Câu 8: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x  6. B. x  14. C. x  3 2. D. x  2 3.
Câu 9: Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng 64. Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh đạt giá trị nhỏ nhất là A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
Câu 10: Cho tứ diện ABCD , có AB  CD  6 , khoảng cách giữa AB và CD là 8, góc giữa AB và CD là
 . Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất là A. 48 B. 52 C. 64 D. 36
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 ,  
SAB  SCB  90 . Độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất là a 10 A. AB  3a 5. B. AB  a 3. C. AB  2 . a D. AB  . 2
Câu 12: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn
nhất của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 8 8 4
Câu 13: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều có d  3 là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng còn lại chứa một cạnh bên hình chóp.
Thể tích nhỏ nhất của khối chóp là A. 3. B. 9. C. 9 3. D. 27.
Câu 14: Cho x, y là các số thực dương. Xét các hình chóp S.ABC có SA  x,BC  y, các cạnh còn lại đều
bằng 1. Khi x, y thay đổi, thể tích khối chóp S.ABC có giá trị lớn nhất là 2 3 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 27 8 8 12
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông góc với mặt
phẳng đáy  ABCD và SC  1. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 2 3 2 3 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 27 27
Câu 16: Trên đường thẳng A và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đều ABC cạnh bằng 2, lấy các
điểm M và N không trùng với A sao cho MBC vuông góc với NBC. Giá trị nhỏ nhất thể tích tứ diện BMNC là A. 2. B. 2 3 . C. 2 2 . D. 6.
Câu 17: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến SBC bằng 2a . Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA  a 2 và
vuông góc với mặt đáy  ABCD . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của TOANMATH.com Trang 92
S lên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD , thể tích khối chóp S.ABH có giá trị lớn nhất bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 6 8 12 15
Câu 18: Cho lăng trụ đều ABC.A B  C
 có tát cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Lấy các điểm M , N nằm trên
cạnh BC , gọi P,Q lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật MNP . Q M N  P  Q
  nội tiếp trong lăng trụ đều ABC.A B  C
 có thể tích lớn nhất là 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 6 A. B. C. D. 4 8 8 4
Câu 19: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại , A AB  3a, AC  . a Mặt phẳng
DBC, DAC, DAB lần lượt tạo với mặt phẳng ABC các góc 90 ,, trong đó     90. Thể
tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất là 3 a 3 3 3a 3 3a 2 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 13 10 8
Câu 20: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến SBC bằng 2a . Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ nhất ? 1 2 1 3 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 3 3 2 2
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh AB  1, cạnh bên SA  1, SA   ABCD. Gọi
M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho 
MAN  60 . Thể tích nhỏ
nhất của khối chóp S.AMN là 2  3 2  3 2 3  3 2 3  3 A. . B. . C. . D. . 3 9 3 9
Câu 22: Cho hình lăng trụ ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD  a 3,  ABD  , 
CBD   , tam giác AAC đều. Hình chiếu vuông góc của Atrên  ABCD là trung
điểm H của AC . Thể tích khối lăng trụ ABCD.AB C  D
  đạt giá trị lớn nhất là 3 3a 3 a 3 3 9a 3 a 3 A. B. C. D. 4 12 4 4
Câu 23: Cho khối chóp S.ABC có   
SA  SB  SC  a, ASB  60 , BSC  90 , CSA  120 .  Gọi M, N lần CN AM
lượt là điểm trên cạnh AB và SC sao cho 
. Khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất thì thể tích SC AB của khối chóp S.AMN là 3 a 2 3 5a 2 3 5a 2 3 a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 72 72 432 432
Câu 24: Cho hình vuông ABCD cạnh a , trên đường thẳng vuông góc với  ABCD tại A ta lấy điểm S di
động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB,SD lần lượt là H, K . Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng TOANMATH.com Trang 93 3 a 3 a 3 3 a 2 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 16 12 32
Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Thể tích lớn
nhất của hình hộp chữ nhật đã cho là A. V  8. B. V  12. C. V  8 2. D. V  6 6. max max max max
Câu 26: Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b
A ;aBb. Trên a lấy điểm M (khác A ), trên b lấy điểm N (khác B ) sao cho
AM  x,BN  y, x  y  8. Biết AB  6 , góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60 . Khi thể tích khối tứ
diện ABNM đạt giá trị lớn nhất thì độ dài đoạn MN (biết MN  8 ) là A. 13. B. 12. C. 2 39. D. 2 21.
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước m  n p (với m, ,
n p là các số nguyên dương và m  n  p ). 1
Biết rằng thể tích hình hộp chữ nhật đã cho bằng
thể tích hình hộp chữ nhật có kích thước 2
m2n2p2. Giá trị lớn nhất có thể có của p là A. 30. B. 6. C. 130. D. 120.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-B 3-C 4-D 5-C 6-D 7-D 8-C 9-C 10-A 11-B 12-D 13-B 14-A 15-D 16-A 17-C 18-C 19-A 20-A 21-C 22-C 23-C 24-C 25-B 26-D 27-D 28-C Dạng 5:
Sử dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp giải
 Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh và áp 1 3V dụng công thức V  . h S  h  . 3 S
 Trong đó V là thể tích khối đa diện, S là diện tích đáy và h là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.
 Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ta áp dụng công thức 1  B CD AB CD
dAB CD dAB CD 6V V A . .sin , ; ;  . 6 A . B CD.sinAB,CD  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B . Cạnh SA vuông Khoảng cách từ điểm A
góc với đáy. Biết SA  , a AB  .
b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC đến mặt phẳng SBC
bằng chiều cao của hình TOANMATH.com Trang 94 là chóp . A SBC . a  b 2ab Do đó: A. . B. . 2 2 a  b 2 2 a  b  V d A,SBC 3 A.SBC  . S ab ab SBC C. . D. . 2 2 2 a  b 2 2 a  b Hướng dẫn giải 3V Ta có d  A,SBC A.SBC  . S SBC Ta có: 1 1 V  V  S . A S  S . A A . B BC. A.SBC S.ABC 3 ABC 6
Mặt khác SA  SBC  SA  BC mà
ABC vuông tại B nên BC  B . A
Suy ra BC  SB hay SBC vuông tại B 1  S  BC.BS. SBC 2 1 3. S . A AB.BC 6 S . A AB S . A AB ab Vậy d  , A SBC     . 1 2 2 2 2 . SB SA  AB a  b SB BC 2 Chọn D.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều cạnh bằng 1 và điểm I nằm trong tứ diện. Cách trắc nghiệm: Chọn
đặc biệt I  A . Khi đó tổng
Tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện là
khoảng cách từ I đến các 6
mặt của tứ diện bằng khoảng A. 6. B. . 9
cách từ A đến BCD và 3 6 6 C. . D. . bằng . 2 3 3 Hướng dẫn giải
Xét tứ diện đều ABCD có diện tích 3 2 đáy là và chiều cao là nên 4 3
thể tích tứ diện đều ABCD là 2 V  . 12
Gọi h ,h ,h ,h lần lượt là khoảng 1 2 3 4 TOANMATH.com Trang 95
cách từ I đến các mặt
BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt V  V , V  V , V  V , V  V . 1 IBCD 2 IACD 3 IABD 4 IABC
Ta có V  V  V  V  V . 1 2 3 4 1 3V1 V  h .S  h  . 1 1 1 3 BCD SBCD 3V 3V 3V Tương tự 2 3 4 h  ,h  ,h  . 2 3 4 S S S ACD ABD ABC 3V 3V 3V 3V Vậy 1 2 3 4 h  h  h  h     . 1 2 3 4 S S S S BCD ACD ABD ABC 3
Tứ diện ABCD là tứ diện đều nên S  S  S  S  . BCD ACD ABD ABC 4 3V V V V 1 2 3 4  3V 6 Suy ra h  h  h  h    . 1 2 3 4 3 3 3 4 4 Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB  3, AD  4, AA  5. Lấy
điểm M trên cạnh AB sao cho BM  4AM . Khoảng cách từ C đến BD bằng 4.
Khoảng cách từ điểm M đến BC D  là 12 A. 2 B. 5 3 3 8 C. D. 2 3 Hướng dẫn giải BM 4 4 Ta có BM  4AM    V   V M .BC D A. AB 5 5 BC D  TOANMATH.com Trang 96 1 1 Mà V          V  CC .S CC .A . B AD 10 V  8. . A BC D C .ABD ABD M . 3 6 BC D 1 Ta có 2 2 BD  AB  AD  5, S    d BD C BD  . 10. C,BD 2 1 3V  12 Ta có M . V      d . BC D S   d . M ,BC D M ,BC D BC D M ,BC D 3 S  5 BC D Chọn B.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4, AC  BD  5, AD  BC  6.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD là 3 6 3 2 A. . B. . 7 5 3 42 7 C. . D. . 7 2 Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có 1 V  a  b  c a  b  c a  b  c ABCD
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1  2 2 2     2 2 2    2 2 2    15 6 = 4 5 6 4 5 6 4 5 6  . 6 2 4 BC CD DB 4 5 6 15 Ta có p        . 2 2 2 Suy ra S  p p  p  p   B  CD     15 7 4 5 6 . 4 15 6 3. 3VA BCD 4 3 42 Ta có d  , A BCD .    . SBCD 15 7 7 4 Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có
SA  2, SB  3, SC  4 .Góc   
ASB  45 ,BSC  60 ,CSA  90. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC. 6 34 4 34 A. . B. . 17 17 7 34 3 34 C. . D. . 17 17 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 97 Hình chóp S.ABC có SA  , a SB  , b SC  c và   
ASB  ,BSC  ,CSA   abc 2 2 2  V 
1 cos   cos   cos   2 cos.cos .cos  V  2. S.ABC S. 6 ABC Ta có: AC  20; BC  13. SA BC 2 2 2 2 2 2 SB  SC  AC  AB 3  4  20 13  6 2 3 cos ,    . 2S . A BC 2.2. 13 26 Suy ra SA BC 17 sin ,  . 26 6V 6 34 Suy ra d S , A BC   . Chọn C SA BC SA BC  17 . .sin ,
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Trên AB lấy hai điểm M, N trên MN PQ
CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn 2  3
 1. Thể tích khối MNPQ đạt giá trị CD AB lớn nhất bằng V V A. . B. . 8 16 V V C. . D. . 24 32 Hướng dẫn giải 1 V  A . B C . D d AB CD AB CD ABCD  , .sin , ; 6 1 V  M . N P . Qd MN PQ MN PQ MNPQ  , .sin , . 6
Do d  AB,CD  d MN,PQ và
sinAB,CD  sinMN,PQ nên TOANMATH.com Trang 98 VMNPQ MN.PQ  . V A . B CD ABCD MN PQ MN PQ MN PQ Ta có 2  3  2 2 .3  2 6 . CD AB CD AB CD AB MN PQ 1 MN PQ  6 .  do 2  3  1 CD AB 2 CD AB MN PQ 1 VMNPQ 1  .    . CD AB 24 V 24 ABCD V V Vậy V   MaxV  . MNPQ 24 MNPQ 24 Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và
AD, H là giao điểm của CN với MD. Biết SH   ABCD,SH  a 3 . Khoảng cách giữa DM và SC là 3a 57 2a 57 3a 57 2a 57 A. . B. . C. . D. . 38 19 19 27
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên SCD tạo 3 a 3
với mặt đáy một góc bằng 60 , M là trung điểm BC. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Khoảng 3
cách từ điểm M đến mặt phẳng SCD là a 3 a 3 a 3 A. . B. a 3. C. . D. . 6 4 2
Câu 3: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 3
24cm , SB  BC  5cm, SC  8cm. Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng SBC là A. 3 cm. B. 4 cm. C. 6 cm. D. 12 cm.
Câu 4: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích 3
V  6a , đáy ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC thỏa
mãn AD  2BC , diện tích tam giác SCD bằng 2
34a . Khoảng cách từ B đến SCD là 3 34 9 34 34 3 34 A. . a B. . a C. . a D. . a 34 17 17 17
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 có AB  a, AC  2a, AA  2a 5 và 
BAC  120.Gọi K, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh CC , BB . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  ABK là TOANMATH.com Trang 99 a 5 a 5 a 15 A. B. C. a 15 D. 6 3 3
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a. Khoảng cách giữa đường thẳng A B và B D là 1 1 1 1 1 1 a 3 a 2 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của điểm S nằm trong tam giác ABC. Tam giác ABC
có bán kính đường tròn nội tiếp r  3,BC  5 và diện tích tam giác ABC là S  10 . Các mặt bên của hình
chóp S.ABC đều tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SBC là 3 A. h  2 3. B. h  3. C. h  3 3. D. h  . 2
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có    AB  3 , a AC  2a, AD  5 ;
a BAC  CAD  DAB  60 . Khoảng cách từ C đến  ABD là 2a 6 a 6 a 6 2a 6 A. . B. . C. . D. . 3 9 3 9
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại 4
S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a . 3
Khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD là 2 4 8 3 A. h  . a B. h  . a C. h  . a D. h  . a 3 3 3 4 a 21
Câu 10: Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy  ABC bằng . 7
Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA, MN là 9a 3 3a 3 6a 3 12a 3 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 42
Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của Atrên 3 a 3
đáy  ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ là . Khoảng cách 4
giữa hai đường thẳng AA và BC là 3a 4a 3a 2a A. B. C. D. 2 3 4 3
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên  ABC
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa đường thẳng SC và  ABC bằng 60 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là TOANMATH.com Trang 100 a 21 a 42 a 21 a 42 A. . B. . C. . D. . 4 24 8 8 1 AC
Câu 13: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V  , góc 
ACB  45 và AD  BC   3. 6 2 Độ dài cạnh CD là A. 2 3. B. 3. C. 2. D. 2.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, 
ABC  60 , SA  SB  SC  2 . a
Khoảng cách giữa AB và SC là a 11 a 22 a 11 a 22 A. . B. . C. . D. . 12 4 4 12
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-C 3-C 4-D 5-A 6-C 7-A 8-A 9-A 10-A 11-C 12-D 13-B 14-C Dạng 6.
Bài toán thực tế về khối đa diện Phương pháp giải
 Phân tích bài toán, chuyển các dữ kiện thực tế về các hình cơ bản.
 Áp dụng bất đẳng thức, đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Kim tự tháp Cheops ( có dạng hình chóp đều) là kim tự tháp cao nhất Chú ý:
ở Ai Cập. Đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230m. Các lối đi và Công thức tính khối lượng
phòng bên trong chiếm 30%, khối lượng riêng của đá bằng 2,5.103 kg/m3. m m riêng: D   V  V D
Khối lượng đá tạo nên kim tự tháp là 4 443 600 tấn.
Trong đó D là khối lượng
riêng, m là khối lượng và V là thể tích.
Chiều cao kim tự tháp là:
A. 148m B. 144m C. 154m D.156m Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khối lượng riêng để tính thể tích của đá. TOANMATH.com Trang 101 m m Ta có: D   V  . 1 V D 1 100 10m
Thể tích của cả khối kim tự tháp là V  V .  (do các lối đi và 1 70 7D
phòng bên trong chiếm 30%) Diện tích đáy 2 S  230 ( 2 m ) 3V 3.4443600.10 Chiều cao h   144m 2 S 2,5.230 .7 Chọn B.
Ví dụ 2. Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ Hướng tư duy:
Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là
nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của chiều cao của hình hộp. Ta rút
hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất? được h theo x. A. 3 2 180 (cm) B. 3 360 (cm)
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là
ít nhất khi diện tích toàn phần C. 3 720 (cm) D. 3 180 (cm)
S nhỏ nhất. Thay h theo x vào
công thức S thì S còn 1 ẩn x ta Hướng dẫn giải
có thể sử dụng bất đẳng thức
hoặc công cụ đạo hàm để tìm minS.
Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của hình hộp. 180 Theo bài ra ta có: 2 x h  180  h  2 x
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần S nhỏ nhất. 180 720 360 360 Ta có 2 2 2 2
S  2x  4xh  2x  4 . x  2x   2x   2 x x x x  360  360  Ta có 2 3 2 S  33 2x  3 2.360     x  x  360 Dấu bằng xảy ra khi 2 3 3 2x   x 180  x  180 x Khi đó 3 h  180 TOANMATH.com Trang 102 Chọn D.
Ví dụ 3 : Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 6 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 4 Hướng dẫn giải
Ta có: h = x (cm) là chiều cao của hình hộp.
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là : 12 – 2x (cm)
Vậy diện tích đáy hình hộp 2 2 S  (12  2x) (cm ) . x  0 x  0 Ta có :     x 0;6. 1  2  2x  0 x  6
Thể tích của hình hộp là : 2 V  S.h  . x (12  2x) Xét hàm số 2 y  .
x (12  2x) x 0;6 Ta có: 2
y  (12  2x)  4x(12  2x)  (12  2x)(12  6x);
y  0  (12  2x).(12  6x)  0  x  2 hoặc x  6 (loại)
Suy ta với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y (2) = 128. Chọn C.
Ví dụ 4. Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật
không nắp và có các kích thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là
x : y  1: 3 , thể tích khối hộp bằng 18dm3. Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x  y  z bằng: 19 26 A. 10 dm B. dm C. 26 dm D. dm 2 3 TOANMATH.com Trang 103 Hướng dẫn giải Chú ý:
Ta biểu diễn ẩn y;z theo x còn
1 ẩn x ta có thể sử dụng bất
đẳng thức hoặc công cụ đạo hàm để tìm min S. Cách khác: Áp dụng Cô-si 48  8 8
Ta có: x : y  1: 3  y  3x 2 2  3x   3 x     x  x x  6
Theo giả thiết, ta có xyz  18  z  2 x 8 8 2 3  3.3 x . .  36 x x
Tổng diện tích vật liệu không nắp cần dùng là : Dấu “=” xảy ra  6 6  48 2 xy  2(xz  yz)  . x 3x  2 . x  3 . x  3x   8 8 2 2   x x  x 2  x    x  2 x x 48 Xét hàm f  x  2 3x 
trên 0; , ta được f x nhỏ nhất khi x = 2 x 3 19
Khi x  2  y  6, z   x  y  z  (dm) 2 2 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp
lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là 4800 cm3 thì cạnh của tấm bìa có độ dài là A. 38cm B. 42cm C. 36cm D. 44cm
Câu 2: Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50 m, chiều rộng 30 m. Biết rằng trong hồ bơi có
3 000 000 lít nước. Độ sâu của hồ bơi lúc này là A. 3m B. 2,5m C. 2m D. 3m
Câu 3: Một hộp sữa tươi dạng hình hộp chữ nhật có thể tích thực của sữa là 180ml,
người ta để khoảng không gian trống cho không khí vào bằng 10% thể tích của sữa.
Đáy hộp là hình chữ nhật có diện tích 16,5cm2.
Biết độ dày hộp giấy không đáng kể. Hỏi chiều cao hộp sữa bằng bao nhiêu? 108 400 A. cm B. 10 cm C. cm D. 12cm 11 33
Câu 4: Tháp Eiffel ở Pháp cao 300m, được làm hoàn toàn bằng sắt và nặng khoảng 8 000 000 kg. TOANMATH.com Trang 104
Người ta làm một mô hình thu nhỏ của tháp với cùng chất liệu và cân nặng 1kg. Hỏi chiều cao của mô hình là bao nhiêu? A. 1,5m B. 2m C. 3m D. 0,5m
Câu 5: Một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  24 cm.Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP
vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. A. x = 9 B. x = 8 C. x = 10 D. x = 6
Câu 6: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau.
+) Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V1 (Hình 1)
+) Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là V2 (Hình 2) V Tính tỷ số k = 1 V2 3 3 4 3 3 3 3 3 A. k  B. k  C. k  D. k  2 9 4 8
Câu 7: Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình 1 và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình 2.
Biết cạnh hình vuông bằng 20 cm, OM  x (cm). TOANMATH.com Trang 105
Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất. A. x = 6 cm B. x = 8 cm C. x = 7 cm D. x = 9 cm
Câu 8: Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5dm, người
ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB, BNC,CPD và DQA.
Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ
giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiều để thể tích của nó là lớn nhất? 3 2 5 5 2 A. dm B. dm C. 2 2 dm D. dm 2 2 2
Câu 9: Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a. Người ta cắt khối đá
đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. ( Giả thuyết rằng tổng thể tích của hai
khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu). 2 2a 2 a 2 a 2 a A. B. C. D. 3 3 2 4 3 4
Câu 10: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
200 m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m2
(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều
dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể ( làm tròn đến đơn vị triệu đồng). A. 75 triệu đồng B. 51 triệu đồng C. 36 triệu đồng D. 46 triệu đồng
Câu 11: Người ta cần lợp tôn cho mái nhà như hình vẽ.
Biết mái trước, mái sau là các hình thang cân ABCD ,
ABEF ; hai đầu hồi là hai tam giác cân ADE, BCF tại A
và B . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng CDEFlà H .Biết AB  16 ,
m CD  FE  20m, AH  1,73m, ED  CF  6m
Tính tổng diện tích S của mái nhà ( diện tích của hai mái
trước, sau và hai đầu hồi). A. S  141m2 B. S  281m2 C. S  261m2 D. S  78 m2 TOANMATH.com Trang 106
Câu 12: Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh a
bằng a các đoạn bằng x, 0  x  ; phần còn lại là 2
một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật,
rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ
tam giác đều như hình vẽ.
Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. a a a a A. B. C. D. 3 4 5 6
Câu 13: Từ hình vuông có cạnh bằng 6, người ta
cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô
đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình
hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khối hộp là A. 8 2 B. 10 2 C. 9 2 D. 11 2
Câu 14: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng như hình vẽ. Hai mặt bên ABB A   và ACC A
  là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 (m) và rộng 5 (m). Gọi x (mét) là độ dài của cạnh BC . Tìm
x để khoảng không gian của hành lang (kể cả hai tấm kính) là lớn nhất ? A. x  5(m) B. x  5 2(m) C. x  5 17(m) D. x  25(m)
Câu 15: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000
cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt
đáy có giá thành 100 000 đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. A. 320 000 đồng B. 32 000 đồng C. 83 200 đồng D. 68 800 đồng
Câu 16: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm x 40 cm. Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau
như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng x cm, rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp
nhận được có thể tích lớn nhất. 20 10 A. x  cm B. x  4cm C. x  5cm D. x  cm 3 3 TOANMATH.com Trang 107
Câu 17: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông
cạnh x cm, chiều cao là h cm và thể tích là 500 cm3. Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra
tốn ít bìa các tông nhất. A. x  2cm B. x  3cm C. x  5cm D. x  10cm
Câu 18 : Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích
384 cm2. Lề trên và dưới là 3 cm, lề trái và phải là 2 cm. Kích
thước tối ưu của trang giấy là A. Dài 24 cm; rộng 16 cm B. Dài 24 cm; rộng 17 cm
C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D. Dài 25.6 cm; rộng 15 cm
Câu 19: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải chăn
nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng.
Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất
(không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài ; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ
số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là
A. Dài 2,42 m và rộng 1,82m
B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
C. Dài 2,26 m và rộng 1,88 m
D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Câu 20: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác
đều không nắp có thể tích là 62,5dm2. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có
tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Khi đó tổng diện tích S bằng A. 106,25 dm2 B. 75 dm2 C. 50 5 dm2 D. 125 dm2
Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ
nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2m3. Hỏi
chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? 3 3 2 3 2 2 A. (m) B. 3 (m) C. 3 (m) D. (m) 2 2 3 2 3 3
Câu 22: Bác An cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích 3
V  6(m ) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bể tông, cốt thép ; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi 2
phí trung bình là 1 triệu đồng/m2 và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng diện tích nắp 9
bể. Chi phí thấp nhất mà bác An phải trả là A. 20 triệu đồng B. 20,5 triệu đồng C. 21 triệu đồng D. 22 triệu đồng TOANMATH.com Trang 108
Câu 23: Cho một khối lập phương có cạnh bằng 1m. Biết rằng chiều cao mực nước trong khối lập phương là
0,6m. Hỏi khi đặt khối lập phương đứng ở vị trí đứng cân bằng trên một cạnh như hình vẽ thì chiều cao h
mực nước tính từ mặt phẳng đạt là bao nhiêu ? 2 7  25 2 5 2  10 A. h  m B. h  m 50 5 4 5 2  3 C. h  m D. h  m 5 5
Câu 24: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m2 và chiều cao cố định.
Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có
kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi
phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). A. 16m x 24m B. 8m x 48m C. 12m x 32m D. 24m x 32m
Câu 25: Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số
thực dương không đổi. Gọi α là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp và mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính sinα 6 3 5 3 A. sinα  B. sinα  C. sinα  D. sinα  3 3 3 2
Câu 26: Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình
tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA  600 mét, 
ASB  15 . Do có sự cố đường dây điện tại điểm Q ( là trung
điểm của SA ) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng, AM , MN, NP, PQ
(hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. AM  MN Tính tỷ số k  NP  PQ TOANMATH.com Trang 109 5 3 4 A. k  B. k  C. k  D. k  2 3 2 3
Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.AB C  D
  cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB . Một con kiến đi từ
điểm M thẳng tới điểm N thuộc cạnh BC , từ điểm N đi thẳng tới điểm P thuộc cạnh CC ,từ điểm P đi
thẳng tới điểm D ( điểm N, P thay đổi tùy theo hướng đi của con kiến). Quãng đường ngắn nhất để con kiến đi từ M đến D là 5 7 3 A. B. 2 1 C. D.  2 2 2 2
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-C 3-D 4-A 5-B 6-C 7-B 8-C 9-D 10-B 11-A 12-D 13-A 14-C 15-C 16-A 17-D 18-B 19-C 20-B 21-D 22-C 23-B 24-A 25-B 26-D 27-A TOANMATH.com Trang 110