Bài giảng Tích phân suy rộng | Giải tích | Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh
Bài giảng Tích phân suy rộng | Giải tích | Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh. Tài liệu gồm 48 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng Cá ác c tí t ch c h p hân â n sa s u a đ ây ây gọ g i i là l à tí t ch c h ph p ân â su s y y rộng ( lo l ại i 1 1 )
( tích phân có cận là vô hạn ) +∞
∫ f (x) dx d (1 ( ) 1 a a
∫ f (x) dx (2) −∞ +∞
∫ f (x) dx (3) −∞ (a là hằng số)
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng Gi G á i á trị r ị củ c a tích c h ph p ân â su s y y rộng : g +∞ b
∫ f (x) dx = lim
∫ f (x) dx b→+∞ a a
Nếu giới hạn khi lấy lim là số A hữu hạ h n , tích phân gọi là hội i tụ
t , giá trị của nó là A Nếu giới hạn kh k ông t g ồn
n tại hoặc bằng vô hạn ,
tích phân gọi là phân â kỳ k
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 Ví í d ụ ụ 1 : Xét tích phân suy rộng ∫ dx 2 1 x b 1 1 − b 1 − ∫ dx = = +1 2 b 1 x 1 x +∞ 1 b 1 1 − ∫ dx = lim ∫ dx = lim +1 =1 2 2 →∞ 1 x b→+∞ 1 x b b +∞ 1 Vậy ta có tích phân ∫ dx hội i tụ 2 1 x
và giá trị của nó là 1
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 Ví í d ụ ụ 22:: Xét tích phân suy rộng ∫ dx 1 x b 1 b ∫ dx = ln x =ln b 1 x 1 +∞ 1 ∫
dx = lim ln b = ∞ 1 x b→+∞ +∞ 1 Vậy ta có tích phân ∫ dx phân â n kỳ k ỳ 1 x
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng Hai H ai bài i toá oán n đ ối i với i tí t ch c h ph p ân â su s y y rộng : g Tính giá trị tích phân Khả h o ả sá s t á t sự s ự hộ h i ộ itụ t ụ củ c a ủ a tí t c í h c phâ ph n â
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng *) Tí T nh n h giá trị tích ph p â h n
Để tính giá trị tích phân suy rộng ta có thể dùng công thức Newt w on-Le L i e b i nit i z +∞ b + +∞ +b
∫ f (x) dx = F (x) a a
= F(+∞) − F(a)
= lim F(x) − F(a) x→+∞
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng
hoặc công thức tích c p hân â n từng n ph p ần +∞ b + ∞ +∞ b b
∫u(x)dv(x) = u(x)v(x)
− ∫ v(x)du (x) a a a +∞
u(x)v(x)
= lim u(x)v(x) x→+∞
hoặc công thức đổi i b iến n thí h ch c h ợp
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 Ví í d ụ ụ 3 : ∫ dx 2 1 1 + x dùng công thức Newt w on o -Le L i e b i ni n t i z +∞ + 1 +∞ + ∫ dx = arctan x 2 1 1 1 + x = arctan(+∞) − arctan(1) π π π = − = 2 4 4
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ dx Ví í d ụ ụ 4 : ∫ 3 0 1 + x 1 A Bx + C = + 1 / 3 x / 3 + 2 / 3 = − + 3 2 x + x +1 1 x x 1 1 − x +1 2 x 1 +1 x 1 − x +1 dx 1 1 2 1 2x −1 ∫
= ln | x +1| − ln | x − x +1| + arctan + C 3 6 1 3 x 3 3 + +∞ +∞ dx − ∫ 1 1 2 1 2x 1
= ln | x +1| − ln | x − x +1| + arctan 3 + 3 6 3 3 0 1 x 0 (∞ − ∞)
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ dx Ví í d ụ ụ 4 : ∫ 3 0 1 + x 1 A Bx + C = + 1 / 3 x / 3 + 2 / 3 = − + 3 2 x + x +1 1 x x 1 1 − x +1 2 x 1 +1 x 1 − x +1 dx 1 1 2 1 2x −1 ∫
= ln | x +1| − ln | x − x +1| + arctan + C 3 6 1 3 x 3 3 + 1 (x + )2 1 1 2x −1 = ln + arctan + C 2 6 x x 1 3 3 − +
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ +∞ +∞ dx 1 (x + )2 1 1 2x −1 ∫ = ln + arctan 3 2 0 6 1+ x x − x +1 3 3 0 0 1 −1 = ar a c r t c an a + ∞ − ar a c r t c an a 3 3 2π = 3 3
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − Ví í d ụ ụ 5 : ∫ e xdx 0 − +∞ x = − e 0 −∞ 0 = − (e − e ) = − (0 −1) =1
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − Ví dụ 6 : ∫ xe x Ví dụ dx 0 +∞ − = ∫ ( x x d −e ) 0 − +∞ +∞ − + +∞ x −x = x(− ) − ∫ (− e e ) dx 0 0 +∞ −x
= ∫ e dx =1 (vidu5) 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 6 −x Bà Bài i tập : ∫ x e dx 0 +∞ 2 ∫ 7 − ∫ x e x e dx 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − Ví í d ụ ụ 7 : ∫ e xdx 0 x = 0 ,t = 0 2 x = t x = t dx = 2t dt
x = +∞ t = +∞ +∞ + − +∞ − + x −t ∫ e
dx = ∫ e 2tdt 0 0 +∞ − = 2 t ∫ t e dt = 2 0 +∞ 3 − x Bà B i t ập ∫ e dx 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ = du 1 ∫ = 2 2 2 u +∞ du − +∞ = ∫ 1 1 = = 2 u ln 2 ln 2 ln 2 u
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 2 dx x −1 = t ∫ Cá ách c t h t ứ ứ 1 2 2 2 x = 1 + t 2 x x −1 2 x = 1 + t t dx d = dt d 2 1 + t x = 2 → t = 1 x = +∞ → t = +∞
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Cá ách c t h t ứ ứ 2
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân Bà B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng 1 = t (t ≥ 0) x Cá ách c t h t ứ ứ 3 1 x = t 1 − dx = dt 2 t 2 1 x −1 = −1 = 2 t 2 2 1− t 1− t = = 2 t t
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học