Bài giảng Tích phân suy rộng | Giải tích | Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh

Bài giảng Tích phân suy rộng | Giải tích | Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí MinhTài liệu gồm 48 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Các c títích phân sau đây ch phân sau đây ggi i là tílà tích phân suy rch phân suy rngng
( tích phân có cn là vô hn )
( )
f x dx
(1)
+
++
+
( ( loloi i 1 1 ) )
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
( )
a
f x dx
(1)
( )
a
f x dx
(2)
( ) (3)
f x dx
−∞
+∞
(a là hng s)
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Giá tr cGiá tr ca a títích phân suy rch phân suy rng : ng :
( )
a
f x dx
+∞
=
b
a
dxxf )(
+∞
b
lim
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
Nếu gii hn khi ly lim là s
AA hhu u hhnn , tích phân
gi là hhi i tt , giá tr ca nóAA
Nếu gii hn không tkhông tn n ttii hoc bng vô hhnn ,
tích phân gi là phân phân kk
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 1 1 :: Xét tích phân suy rng
2
1
1
dx
x
+∞
2
1
1 1
1
b
b
dx
x
x
=
1
1
b
= +
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
2 2
1 1
1 1
lim
b
b
dx dx
x x
+∞
+∞
=
1
lim 1
b
b
= +
1
=
Vy ta có tích phân
2
1
1
dx
x
+∞
hhi i tt
và giá tr ca nó là 11
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 22:: Xét tích phân suy rng
1
1
dx
x
+∞
1
1
ln
1
b
b
dx x
x
=
ln
b
=
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
1
1
lim ln
b
dx b
x
+∞
+∞
=
=
Vy ta có tích phân
1
1
dx
x
+∞
phân phân k k
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Hai Hai bài i toátoán đn đối vi vi itích phân suy rch phân suy rng :ng :
Tính giá trch phân
Kh
o
t s
h
i
t c
a
ch phân
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
Kh
o
t s
h
i
t c
a
ch phân
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Để tính giá tr tích phân suy rng ta có th dùng
công thc
NewtonNewton--LeibnitzLeibnitz
+
+∞
=
b
b
*) *) TíTính nh giá trgiá tr tích phânch phân
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
( ) ( )
a
f x dx F x
a
+
+
=
( ) ( )
F F a
= +∞
lim ( ) ( )
x
F x F a
+∞
=
b
b
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
hoc công thc tích phân tch phân tng phng phnn
a
xvxuxdvxu
a
+
=
+
)()()()(
+
a
xduxv )()(
b
b
b
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
( ) ( ) lim ( ) ( )
x
u x v x u x v x
+∞
+∞
=
hoc công thc đđổi bii biếến n thíthích hch hpp
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 3 3 ::
2
1
1
1
dx
x
+∞
+
dùng công thc NewtonNewton--LeibnitzLeibnitz
+
+∞
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
2
1
1
arctan
1
1
dx x
x
+∞
+∞
=
+
arctan( ) arctan(1)
= +∞
2 4 4
π π π
= =
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 4 4 ::
+
+
0
3
1 x
dx
3 2
1
1
1 1
x
x x x
A
Bx
C
+
= +
+
+ +
2
/ 3
3
/
1
1
2
1
3
/
x
x
x x
+
=
+
+
+
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
3 2
1
1 1
x
x x x
+
+ +
2
3
1
ln | 1|
1 1 2 1
ln | 1| arctan
6
3 3
1
3
dx x
x x C
x
x
= + + +
+
+
2
1
1
x
x x
+
+
3
0
1
dx
x
+∞
+
2
1 1 2 1
ln | 1| arctan
1
l
6
3 3
n | |
3
0
1x
x
x x
+
= + +
+
( )
( )( )
( )
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 4 4 ::
+
+
0
3
1 x
dx
3 2
1
1
1 1
x
x x x
A
Bx
C
+
= +
+
+ +
2
/ 3
3
/
1
1
2
1
3
/
x
x
x x
+
=
+
+
+
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
3 2
1
1 1
x
x x x
+
+ +
2
3
1
ln | 1|
1 1 2 1
ln | 1| arctan
6
3 3
1
3
dx x
x x C
x
x
= + + +
+
+
( )
2
2
1 2 1
ln ar
1
1
6
ctan
3 3
1
x
C
x x
x
= + +
+
+
2
1
1
x
x x
+
+
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
( )
2
3 2
0
1
1 1 2 1
ln arctan
6
3 3
1 1
0 0
x
dx x
x x x
+
+ +
+
= +
+ +
1 1
arctan arctan
3 3
= +
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
2
3 3
π
=
arctan arctan
3 3
= +
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 5 5 ::
+
0
dxe
x
0
x
e
+∞
=
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
0
( )
e e
−∞
=
(0 1) 1
= =
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
+
0
dxxe
x
Ví d Ví d 6 6 ::
0
( )
x
xd
e
+∞
=
x x
+
+∞
=
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
0
( ) ( )
0
x x
e e
d
x x
+
+∞
=
0
x
e dx
+∞
=
5
1
( )
vidu
=
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
6
0
x
x e dx
+∞
Bài ti tp :p :
+
7
2
dx
e
x
x
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
0
7
2
dx
e
x
x
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Ví d Ví d 7 7 ::
+
0
dxe
x
2
t
x
=
dt
t
dx
2
=
0 , 0
x t
= =
+∞
=
+∞
=
t
x
x t
+ +
x t
=
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
0 0
2
x t
e e
dx tdt
+∞ +∞
=
2
=
0
2
t
t e dt
+∞
=
3
0
x
e dx
+∞
Bài ti tpp
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
+
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
+
=
2
2
u
du
2
ln 2
du
u
+∞
=
1 1
ln2
ln2
u
+∞
= =
1
2
=
2 2
1
x t
= +
2
1
x t
= +
t
dx dt
=
2
2
1
dx
x x
+∞
2
1
x t
=
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Cách thch th 11
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
2
1
t
dx dt
t
=
+
2 1
x t
x t
= =
= +∞ = +∞
Cách thch th 22
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
1
t
x
=
1
x
t
=
( 0)
t
Chương II Chương II – PhéPhép p Tính nh TíTích Phânch Phân
Bài i 1515 -- Tích Phân Suy Rch Phân Suy Rngng
Cách thch th 33
Ngô Thu Lương- Ôn tp Cao Hc
t
2
1
dx dt
t
=
2
2
2 2
2
1
1 1
1 1
x
t
t t
t
t
= =
= =
| 1/48

Preview text:

Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng ác c tí t ch c h p hân â n sa s u a đ ây ây gọ g i i là l à tí t ch c h ph p ân â su s y y rộng ( lo l ại i 1 1 )
( tích phân có cận là vô hạn ) +∞
f (x) dx d (1 ( ) 1 a a
f (x) dx (2) −∞ +∞
f (x) dx (3) −∞ (a là hằng số)
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng Gi G á i á trị r ị củ c a tích c h ph p ân â su s y y rộng : g +∞ b
f (x) dx = lim
f (x) dx b→+∞ a a
Nếu giới hạn khi lấy lim là số A hữu hạ h n , tích phân gọi là hội i tụ
t , giá trị của nó là A Nếu giới hạn kh k ông t g ồn
n tại hoặc bằng vô hạn ,
tích phân gọi là phân â kỳ k
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 í d ụ 1 : Xét tích phân suy rộng ∫ dx 2 1 x b 1  1 −  b 1 − ∫ dx =   = +1 2   b 1 x 1 x +∞ 1 b 1  1 −  ∫ dx = lim ∫ dx = lim  +1 =1 2 2 →∞   1 x b→+∞ 1 x b b +∞ 1 Vậy ta có tích phân ∫ dx hội i tụ 2 1 x
và giá trị của nó là 1
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 í d ụ 22:: Xét tích phân suy rộng ∫ dx 1 x b 1 bdx = ln x =ln b 1 x 1 +∞ 1 ∫
dx = lim ln b = ∞ 1 x b→+∞ +∞ 1 Vậy ta có tích phân ∫ dx phân â n kỳ k 1 x
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng Hai H ai bài i toá oán n đ ối i với i tí t ch c h ph p ân â su s y y rộng : g Tính giá trị tích phân Khả h o ả sá s t á t sự s ự hộ h i ộ itụ t ụ củ c a ủ a tí t c í h c phâ ph n â
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng *) Tí T nh n h giá trị tích ph p â h n
Để tính giá trị tích phân suy rộng ta có thể dùng công thức Newt w on-Le L i e b i nit i z +∞ b + +∞ +b
f (x) dx = F (x) a a
= F(+∞) − F(a)
= lim F(x) − F(a) x→+∞
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng
hoặc công thức tích c p hân â n từng n ph p ần +∞ b + ∞ +∞ b b
u(x)dv(x) = u(x)v(x)
− ∫ v(x)du (x) a a a +∞
u(x)v(x)
= lim u(x)v(x) x→+∞
hoặc công thức đổi i b iến n thí h ch c h ợp
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 1 í d ụ 3 :dx 2 1 1 + x dùng công thức Newt w on o -Le L i e b i ni n t i z +∞ + 1 +∞ + ∫ dx = arctan x 2 1 1 1 + x = arctan(+∞) − arctan(1) π π π = − = 2 4 4
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ dx í d ụ 4 : ∫ 3 0 1 + x 1 A Bx + C = + 1 / 3 x / 3 + 2 / 3 = − + 3 2 x + x +1 1 x x 1 1 − x +1 2 x 1 +1 x 1 − x +1 dx 1 1 2 1  2x −1 ∫
= ln | x +1| − ln | x x +1| + arctan   + C 3 6 1 3 x 3  3  + +∞ +∞ dx   −  ∫ 1 1 2 1 2x 1
= ln | x +1| − ln | x x +1| + arctan    3 +  3 6 3  3  0 1 x 0 (∞ − ∞)
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ dx í d ụ 4 : ∫ 3 0 1 + x 1 A Bx + C = + 1 / 3 x / 3 + 2 / 3 = − + 3 2 x + x +1 1 x x 1 1 − x +1 2 x 1 +1 x 1 − x +1 dx 1 1 2 1  2x −1 ∫
= ln | x +1| − ln | x x +1| + arctan   + C 3 6 1 3 x 3  3  +   1 (x + )2 1 1  2x −1 = ln   + arctan   + C  2 6   x x 1 3  3  − + 
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ +∞ +∞   dx 1 (x + )2 1 1  2x −1 ∫ = ln  + arctan   3  2    0 6 1+ xx x +1 3 3  0 0 1  −1  =  ar a c r t c an a + ∞ − ar a c r t c an a  3  3  2π = 3 3
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − í d ụ 5 :e xdx 0 − +∞ x = − e 0 −∞ 0 = − (ee ) = − (0 −1) =1
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − Ví dụ 6 :xe x Ví dụ dx 0 +∞ − = ∫ ( x x d e ) 0 − +∞ +∞ − + +∞ xx = x(− ) − ∫ (− e e ) dx 0 0 +∞ −x
= ∫ e dx =1 (vidu5) 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 6 −x Bài i tập : x e dx 0 +∞ 2 ∫ 7 − ∫ x e x e dx 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ − í d ụ 7 :e xdx 0 x = 0 ,t = 0 2 x = t x = t dx = 2t dt
x = +∞ t = +∞ +∞ + − +∞ − + xte
dx = ∫ e 2tdt 0 0 +∞ − = 2 tt e dt = 2 0 +∞ 3 − x B i t ậpe dx 0
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ = du 1 ∫ = 2 2 2 u +∞ du − +∞ = ∫ 1 1 = = 2 u ln 2 ln 2 ln 2 u
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng +∞ 2 dx x −1 = t ách c t h t ứ ứ 1 2 2 2 x = 1 + t 2 x x −1 2 x = 1 + t t dx d = dt d 2 1 + t x = 2 → t = 1 x = +∞ → t = +∞
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học ách c t h t ứ ứ 2
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học Ch C ươn ơ g I I – Ph P ép Tí T nh Tí T ch c P h P ân B i 15 - Tí T ch c P h P ân Suy R ộng 1 = t (t ≥ 0) x ách c t h t ứ ứ 3 1 x = t 1 − dx = dt 2 t 2 1 x −1 = −1 = 2 t 2 2 1− t 1− t = = 2 t t
Ngô Thu Lương- Ôn tập Cao Học