Bài giảng toán kinh tế chương 3 | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

Chương III.
GV: ThS. Phạm Thị Yến Anh
Email: phamthiyenanh@tdtu.edu.vn
3.1. Định nghĩa và các công thức, quy tắc tính đạo hàm.
3.2. Cực trị hàm một biến
3.3. Các khái niệm kinh tế liên quan đến đạo hàm và ứng dụng.
3.4. Nguyên hàm và ứng dụng trong kinh tế.
3.5. Tích phân xác định và ứng dụng trong kinh tế. 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 2
 Định nghĩa đạo hàm.
 Công thức tính đạo hàm.
 Các khái niệm kinh tế ứng dụng đạo hàm: Giá trị
cận biên, hàm cung, hàm cầu và chỉ số co dãn của cung - cầu. 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 3
Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), đạo hàm của hàm số 𝑓 tại
điểm 𝑥, được ký hiệu là 𝑦′ℎ𝑎𝑦 𝑓′(𝑥), sẽ là f x h f x ' f x lim
nếu giới hạn này tồn tại. h 0 h
Nếu 𝑓’(𝑥) tồn tại ứng với mỗi giá trị 𝑥 trong khoảng mở
(𝑎; 𝑏) thì 𝑓 được gọi là khả vi trong khoảng (𝑎; 𝑏).
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 12/02/2023 4 Đạo hàm cơ bản Đạo hàm hàm hợp 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 5 Đạo hàm cơ bản Đạo hàm hàm hợp ' ' 1 1 1 v' 7. 7. 2 2 x v v x ' ' u' 1 8. u 8. x 2 u 2 x ' ax b ad 9. bc 2 cx d cx d 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 6 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 7 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 8
Tính đạo hàm cấp 1 các hàm số sau: 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 9
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 10 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 11 12/02/2023
 Khái niệm: (cực trị tương đối hay cực trị địa phương)
Giả sử 𝑥0 là một giá trị tới hạn của hàm số liên tục 𝑓(𝑥). (1) (𝑥 ; 𝑓(𝑥 )) 1 1
là một điểm cực đại địa phương của hàm số
𝑓 nếu tồn tại một khoảng (𝒂, 𝒃) chứa 𝑥 ≥ 1 sao cho 𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Khi đó ta nói hàm 𝑓 đạt cực đại địa
phương tại 𝑥 = 𝑥 và giá trị cực đại địa phương là 1 𝑓(𝑥 ) 1 . (2) (𝑥 ; 𝑓(𝑥 )) 2 2
là một điểm cực tiểu địa phương của hàm số
𝑓 nếu tồn tại một khoảng (𝒂, 𝒃) chứa 𝑥 ≤ 2 sao cho 𝑓 𝑥2
𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Khi đó ta nói hàm 𝑓 đạt cực tiểu địa
phương tại 𝑥 = 𝑥2 và giá trị cực tiểu địa phương là f(x ) 2
Các điểm cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi
chung là điểm cực trị địa phương. 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 12
 Khái niệm: (cực trị tuyệt đối hay cực trị toàn cục)
Là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
toàn miền xác định của hàm số này (hay trong 1 khoảng quan tâm). 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 13
 Tìm cực trị: (Tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1)
Giả sử 𝑥0 là một giá trị tới hạn của hàm số liên tục 𝑓(𝑥).
(1) Nếu 𝑓’(𝑥) đổi dấu từ dương sang âm tại x thì 0
𝑓(𝑥) có cực đại tại x . 0
(2) Nếu 𝑓’(𝑥) đổi dấu từ âm sang dương tại x thì 0
𝑓(𝑥) có cực tiểu tại x . 0
(3) Nếu 𝑓’(𝑥) không đổi dấu tại x thì 𝑓(𝑥) không có 0
cực đại hay cực tiểu tại x . 0
Lưu ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các giá trị mà 𝑓’(𝑥) = 0 hoặc
không xác định. Ta gọi các giá trị này của 𝑥 là giá trị tới hạn. Điểm tương
ứng với giá trị tới hạn của 𝑥 được gọi là điểm tới hạn (hay điểm dừng)
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 12/02/2023 của 14 hàm số.
 Tìm cực trị : (Tiêu chuẩn đạo hàm cấp 2)
(1) Tìm các giá trị tới hạn của hàm số: giải phương trình
f’(x ) = 0 tìm 𝑥 . 0 0
(2) Tính đạo hàm cấp 2: 𝑓’’(𝑥)
(3) Thế 𝑥0 vào 𝑓’’(𝑥)
• Nếu f”(x ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x . 0 0
• Nếu f”(x ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x . 0 0
• Nếu f”(x ) = 0 hoặc không xác định thì ta không áp dụng 0
được tiêu chuẩn đạo hàm cấp 2. Khi đó ta phải dùng tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1.
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 12/02/2023 15 𝟏
VD1: Tìm cực trị hàm số: 𝐟 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑
 Cách 1 (dùng tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1)
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………….... 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 16 𝟏
VD1: Tìm cực trị hàm số: 𝐟 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑
 Cách 2(dùng tiêu chuẩn đạo hàm cấp 2)
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………….... 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 17
 Tìm cực trị hàm số: 𝐟 𝒙 = −𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑 Đáp số:
Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = −1;
Và không đạt cực trị tại 𝑥 = 0 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 18 Cho hàm số y
f (x) liên tục trên đoạn [a; b].
Để tìm max f (x) và min f (x), ta thực hiện các bước sau: x [a;b ] x [a;b ]
• Bước 1. Giải phương trình f (x) 0. Giả sử có n
nghiệm x ,..., x
[a; b] (loại các nghiệm ngoài [a; b]). 1 n
• Bước 2. Tính f (a), f (x ),..., f (x ), f (b). 1 n
• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã
tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm. 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 19 Chú ý
• Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ
của hàm số trước khi làm bước 1. 12/02/2023
C01120 - CIII. ĐH-TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN VÀ ƯD KINH TẾ 20