Bài giảng và Bài tập môn Xác suất thống kê - Xác suất thống kê | Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc phải trải qua k giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện; giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện;...; giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách thực hiện công việc là: 1 2 k. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

Thông tin:
73 trang 2 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài giảng và Bài tập môn Xác suất thống kê - Xác suất thống kê | Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc phải trải qua k giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện; giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện;...; giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách thực hiện công việc là: 1 2 k. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

30 15 lượt tải Tải xuống
lOMoARcPSD|453155 97
lOMoARcPSD|453155 97
CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CÔNG THC TÍNH XÁC SUT
1.1 ÔN TP V GII TÍCH T HP
1.1.1 Mt s khái nim và công thc tính
Hoán v
T hp
Chnh hp
Chnh hp lp
S cách
S cách chn ngu nhiên k
S cách chn ngu
S cách chn ngu
xếp
phn t t n phn t (k n)
nhiên k phn t t n
nhiên k phn t t n
nhiên n
sao cho k phn t đó
phn t (k n) sao cho
phn t sao cho k
t
không lp và không có
k phn t đó không lp
phn t đó có thể
phân bit th t.
có phân bit th t.
lp li và có phân
bit th t.
P
n
n!
C
n
k
n!
A
n
k
n!
B
k
n
k
k!(n k )!
(n k)!
n
Ví d 1.1:
1. Cho tp hp A 1,2,3,4,5 , t tp hp A có th thành lập được bao nhiêu
s t nhiên tho mãn:
a. 5 ch s khác nhau.
b. Có 3 ch s khác nhau.
c. 3 ch s.
2. Mt t có 5 hc sinh, có bao nhiêu cách phân công 3 học sinh đi lao động.
Gii
5! 120 s
1.a
P
5
1.b
3
5!
60 s
A
5
5 3 !
1.c
B
5
3
5
3
125
2.
C
5
3
5!
10 s
3!5 3!
1.1.2 Quí tc cng: Gi s mt công việc k trường hp thc hiện khác nhau đu tha
yêu cầu. Trưng hp 1 n1 cách thc hiện, trường hp 2 n2 cách thc hin,...,
trường hp k có nkch thc hiện. Khi đó, số cách thc hin công vic là: n
1
n
2
n
k
Ví d 1.2: Mt nhóm có 3 nam và 2 n, có bao nhiêu cách chọn ra 3 người
sao cho có ít nht là 2 nam.
Giải: Trường hợp 1: 3 người chn ra có 2 nam và 1 n: C
3
2
C
1
2
3 2 6 cách
Trường hợp 2: 3 người chn ra có 3 nam C
3
3
1cách
Vy s cách chọn ra 3 người sao cho có ít nht là 2 nam là: 6 + 1 = 7 cách
1.1.3 Quy tc nhân: Gi s mt công vic phi trải qua k giai đoạn. Giai đoạn th
nht có n1ch thc hiện; giai đoạn th hai n2 cách thc hiện;...; giai đoạn th
k có nk cách thc hiện. Khi đó, số cách thc hin công vic là: n
1
n
2
n
k
Ví d 1.3: Có 12 quyn sách gm 5 quyn sách Toán, 4 quyn sách Lý, 3 quyn
sách Hóa. Hi có bao nhiêu cách đ ly ra mi loi 2 quyn sách?
Gii: S cách ly ra 2 quyn sách toán: C
5
2
5!
10 cách.
2!5 2!
Tài liệu hướng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
1
lOMoARcPSD|453155 97
S cách ly ra 2 quyn sách lý:
C
4
2
6 cách
2!4 2!
S cách ly ra 2 quyn sách hóa:
C
3
2
3 cách
2 !
Vy s cách ly: n 10 6 3 180 cách
Ví d 1.4: 3 cách đi t địa điểm A
đến địa điểm B, có 5 ch đi t địa
1
điểm B đến địa điểm C và có 2 cách
A
1
B
2
đi t địa đim C đến địa đim D. Hi
2
3
bao nhiêu cách đi t địa điểm A
3
4
đến địa điểm D?
5
Gii: S cách đi từ thành ph A đến
thành
ph D là : n 3 5 2 30
cách
1.2
PHÉP TH BIN C
1.2.1
Khái nim
C
1
D
2
Phép th: Thc hin một nhóm điều kiện xác định lên đối tượng để quan sát
mt hiện tượng nào đó.
Phép th ngu nhiên: Là nhng phép th tha mãn hai tính cht
- Không biết trước kết qu nào s xy ra.
- th c định tt cc kết qu có th xy ra.
Biến c: Là kết qu có th xy ra trong mt phép th.
d 1.5:
Các phép th ngu nhiên: tung một đng xu, tung mt con súc sc, rút mt
cây bài trong b bài 52 lá.
1.2.2 Phân loi biến c và mi quan h giac biến c:
Biến c chc chn: Là biến c chc chn xy ra trong mt phép th. Kí hiu: W
Ví d 1.6: Tung mt con súc sc. Gi A là biến c súc sc xut hin mt có s
chm nh hơn hoặc bằng 6. Khi đó ta nói A là biến c chc chn, A = W.
Biến c không th: Là biến c không th xy ra trong mt phép th. Kí hiu:
Ví d 1.7: Tung mt con súc sc. Gi B là biến c súc sc xut hin mt 7
chấm. Khi đó ta nói A là biến c không th, A = .
Biến c ngu nhiên: Là biến c có th xảy ra cũng không thể xy ra trong mt phép th.
hiu: A, B, C,... A
1
,A
2
Ví d 1.8: Mt x th bn vào mt tm bia, gi A là biến c x th bn trúng bia,
A là biến c ngu nhiên.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
2
lOMoARcPSD|453155 97
Biến c thun li (Biến c kéo theo): Biến c A được gi là thun li cho biến c B nếu A
xy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiu: A B.
Ví d 1.9: Tung ngu nhiên mt con súc sc. Gi A là biến c súc sc xut hin
mt 2 chm và B là biến c xut hin mt chẵn. Khi đó ta nói A B.
Biến c tương đương: Nếu A B và B A thì A và B là hai biến c tương đương.
Kí hiu:
A=B.
d 1.10: Tung ngẫu nhiên đồng thi ba con súc sc. Gi A là biến c mi con súc sắc đu
xut hin mt 1 chm, B là biến c tng s chm ca ba con súc sc là 3 chấm. Khi đó A=B.
Biến c cấp: Biến c A được gi là biến c sơ cấp nếu nó không có biến c
nào thun li cho nó (tr chính nó), tc là không th phân tích được na.
Tp hp tt c các biến c sơ cấp ca mt phép th đưc gi là không gian
các biến c sơ cấp và kí hiu: W
Ví d 1.11: Tung ngu nhiên mt con súc sc. Gi A i là biến c súc sc xut
hin mt i chm (i=1, .., 6) thì A1, A2, .. , A6 là các biến c sơ cấp.
Gi B là biến c thu được mt có s chm chn.
B = A2 A4 A6 B không phi là biến c sơ cấp.
và W = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}.
Biến c hiu: Hiu ca hai biến c A và B là mt biến c xy ra khi và ch
khi A xy ra nhưng B không xảy ra. Kí hiu A\B
Ví d 1.12: Tung mt con súc sc.
Gi A là biến cc sc xut hin mt có s chm l.
B là biến cc sc xut hin mt có s chm l nh hơn 5.
C là biến cc sc xut hin mt 5 chm.
Ta có: C = A\B
Biến c tng: Tng ca hai biến c A và B là mt biến c xy ra khi và ch khi
ít nht mt trong hai biến c A và B xy ra. Kí hiu A B
d 1.13: Hai x th cùng bn vào mt con thú. Gi A là biến c x th th nht bn
trúng, B là biến c x th th hai bắn trúng. Khi đó biến c thú b trúng đạn là C = A B
Tng quát: Tng ca n biến c A1, A2, .., An mt biến c xy ra ít nht mt
trong các biến c Ai xy ra (i = 1,..,n).
Kí hiu: A1 A2 ... An
Chú ý: Biến c chc chn W tng ca mi biến c cấp thể, nghĩa mi biến c
sơ cấp đều thun lợi cho W. Do đó, W còn được gi là không gian các biến c sơ cấp.
Biến c tích: Tích ca hai biến c A và B là mt biến c xy ra c hai biến c A và B
đồng thi xy ra. Kí hiu: A B
d 1.14: Hai x th cùng bn vào mt con thú. Gi A biến c x th th
nht bn không trúng, B là biến c x th th hai bắn không trúng. Khi đó biến
c t không b trúng đạn là C = A B.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
3
lOMoARcPSD|453155 97
Tng quát: Tích ca n biến c A1, A2, .., An là mt biến c xy ra tt c các
biến c Ai
đều xy ra. Kí hiu: A1 A2 ... An
Biến c xung khc: Hai biến c A và B được gi là xung khc nếu chúng
không đồng thi xy ra trong mt phép th.
Ví d 1.15: Tung mt con súc sc, gi A là biến c súc sc xut hin mt chn,
B là biến cc sc xut hin mt 3 chm A, B xung khc.
H biến c đầy đủ, xung khc từng đôi: Hệ biến c {A1, A2, …, An } được gi
h biến c đầy đ, xung khc từng đôi nếu hai biến c bt k trong h xung
khc và tng tt c các biến c là biến c chc chn, tc là:
n
Ai Aj= i, j A
i
= W.
i 1
Biến c đi lp: Biến c A đưc gi là biến c đối lp ca A.
A
đối lp
A A
A
A A W
d 1.16: Tung ngu nhiên mt con súc sc, A biến c c sc xut hin
mt chn, A là biến c súc sc xut hin mt l.
Chú ý: Hai biến c đối lp txung khắc nhưng ngược li hai biến c xung
khắc thì chưa chắc đối lp.
Biến c đồng kh năng: Các biến c A, B, C,... được gọi đng kh năng nếu
chúng có cùng mt kh năng xuất hiện như nhau trong một phép th.
d 1.17: Tung ngu nhiên một đồng xu, gi S biến c đồng xu xut hin
mt sp, N là biến c xut hin mt nga S, N là hai biến c đồng kh năng.
Biến c độc lp: Hai biến c A B được gi độc lp nếu vic xy ra hay
không xy ra biến c này không làm ảnh hưởng đến vic xy ra hay không xy
ra biến c kia và ngược li.
H biến c độc lp toàn phn: H biến c {A1, A2,…, An } được gọi là độc lp toàn phn
nếu mi biến c trong h độc lp vi tích ca mt t hp bt k các biến c còn li.
Nhn xét: Các khái nim v biến c tng, hiệu, tích, đối lập tương ng vi hp,
giao, hiu, phn bù ca lý thuyết tp hợp, do đó thể s dng các phép toán
trên tp hp cho các phép toán trên biến c.
1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
1.3.1 Định nghĩa xác suất theo li c đin
Gi s mt phép th n biến c cấp đng kh năng thể xy ra, trong
đó m biến c cp thun li cho biến c A. Khi đó c suất ca biến c A
được định nghĩa bi công thc sau:
P(A) =
m
n
d 1.19: Tung ngu nhiên mt con súc sc. Tính xác suất để súc sc xut
hin mt trên là chn.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
4
lOMoARcPSD|453155 97
Gii: Gi Ai là biến c xut hin mt trên là i chm.
Gi A biến c xut hin mt trên là chn, ta có A = A2 A4 A6
Khi tung con súc sc có 6 biến c đồng kh năng có thể xảy ra trong đó có 3
biến c thun li cho A nên
P(A) =
m
n
=
3
6
= 0.5
Ví d 1.20: Tung ngu nhiên đng thi 2 con súc sc. Tính xác suất để tng s
chm xut hin hai mt trên ca 2 con súc sc là 7.
Gii : Gi A là biến c tng s chm xut hin hai mt trên ca 2 con súc sc là 7.
A
i
là biến c súc sc th nht xut hin mt trên là i chm (i 1,6) .
B
i
là biến c súc sc th hai xut hin mt trên là i chm (i 1,6) .
Khi ta tung 2 con súc sc cùng lúc thì có 36 biến c sơ cấp đng kh năng có
th xy ra, c th:
W (A
1
, B
1
);
(A
1
, B
2
);
...; (A
1
, B
6
)
( A
2
, B
1
); (A
2
, B
2
);
...; (A
2
, B
6
)
...
...
... ...
( A
6
, B
1
);
(A
6
, B
2
);
...; (A
6
, B
6
)
Và có 6 biến c thun li cho biến c A:
(A
1
, B
6
); (A
2
, B
5
); (A
3
, B
4
); (A
4
, B
3
); (A
5
, B
2
); (A
6
, B
1
)
P(A)
36
6
1
6
Ví d 1.21: Một người gọi điện thoại nhưng li quên hai s cui ca s đin thoi, ch biết rng
hai s đó là khác nhau. Tính xác suất để người đó chỉ bm s mt lần đúng số cn gi.
Gii: Gi B là biến c người đó chỉ quay mt lần đúng số cn gi.
S biến c thun li cho B là: m = 1
S biến c đồng kh năng có thể xy ra là: n A
10
2
90
P(A) =
90
1
Ví d 1.22: Mt hp gm 6 bi trắng và 4 bi đen, lấy ngu nhiên 2 bi t hp. Tính xác suất để
a) Có 1 bi trng.
b) Có 2 bi trng.
Gii: Gi A là biến c có 1 bi trng trong 2 bi ly ra.
Gi B là biến c có 2 bi trng trong 2 bi ly ra.
P(A) =
m
=
C
1
6
C
1
4
=
8
n
C
10
2
15
P(B) =
m
=
C
2
=
1
6
n
C
2
3
10
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
5
lOMoARcPSD|453155 97
d 2.23: Trong mt hộp đựng 20 qu cầu trong đó có 14 quả cầu đỏ 06 qu cu
trng. Ly ngu nhiên (không hoàn li) 5 qu cu t trong hp. Tính xác sut để trong
5 qu cu ly ra có 3 qu cầu đỏ. Biết rng các qu cầu là cân đối và ging nhau.
Gii: Gi A là biến c trong 5 qu cu ly ra có 3 qu cu đ và 2 qu cu trng.
S cách ly 3 qu cu đỏ: C
3
14
S cách ly 2 qu cu trng: C
6
2
P(A)
m
C
6
2
C
14
3
n C
5
20
Tng quát: Cho mt hộp đng N qu cu cân đối và ging nhau trong đó có M
qu cầu đỏ (M< N) và (N M) qu cu trng.
Ly ngu nhn (không hoàn li) n qu cu (n N) t trong hp.
Tính xác suất đ trong n qu cu ly ra có k (k n) qu cu đỏ.
Gi A là biến c trong n qu cu ly ra có k qu cầu đỏ
P(A)
C
k
M
C
n
N
k
M
C
n
N
Nhn xét:
Khi tính xác sut ca các biến c, ta không cn phi ch ra các biến c
cp có th xy ra và các biến c cấp thun li ch cn ch ra s các biến
c sơ cấp có th xy ra, s các biến c sơ cấp thun li cho các biến c đó.
Định nghĩa xác suất theo li c đin có hn chế là: Ch xét cho h hu hn các biến
c sơ cấp, không phải lúc nào cũng phân tích được thành các biến c đồng kh ng.
1.3.2 Định nghĩa xác suất theo li thng kê:
Gi s thc hin 1 phép th nào đó n lần độc lp (kết qu ca phép th sau
không ph thuc vào kết qu ca phép th trước), trong đó biến c A xy ra m ln.
Khi đó: m gọi là tn s xut hin ca biến c A.
m
Khi n , tn xuất f đạt giá tr ổn định và giá tr đó được xem là xác sut ca biến c A.
Ta có:
P( A) lim
f lim
m
n
n
n
Ví d 1.24: Thng kê kết qu x s kiến thiết ca mt Tnh t 01/01/2006 đến
21/01/2010 vi tng s ln quay 12715, kết qu như sau
Sng S ln
0 1266
1 1305
2 1224
3 1276
4 1251
T l
9.96%
10.26%
9.63%
10.04%
9.84%
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
6
lOMoARcPSD|453155 97
5
1289
10.14%
6
1262
9.93%
7
1298
10.21%
8
1253
9.85%
9
1291
10.15%
Tng
12715
100%
Theo công thc xác sut c đin, xác suất để mi qu bóng rơi xuống lòng
cu trong mt ln quay lòng cu là 10%. Bng thng kê trên cho thy t l xut
hin ca mi qu bóng cũng giao động quanh 10%.
Ví d 1.25: Tiến hành sn xut th trên mt h thống máy thu được kết qu như sau:
S sn phm n
100
150
200
250
300
S sn phm khuyết tt m
14
12
22
24
32
Tn xut f
0.14
0.08
0.11
0.096
0.106
Sn xut mt sn phm thc hin mt phép th. Chúng ta quan tâm t l
sn phm khuyết tật. Như vy s sn phm sn xut ra n s phép th độc lp,
s sn phm khuyết tật thu được m. Kết qu trên cho thấy khi n tăng dần, tn xut
f thay đổi đạt ti giá tr ổn định 0,1. th cho rng, c sut ca biến c 1
sn phm sn xut b khuyết tt hay t l sn phm khuyết tt ca h thng là 0.1.
1.3.3 Định nghĩa xác suất theo hình hc
Xét mt pp th không gian các biến c cấp min hình hc W
(đon thng, hình phng, khi không gian,…) số đo (độ i, din tích, th
tích,…) hữu hn, khác không. Gi s mt chất điểm rơi ngẫu nhiên vào min
W, xét min con A của W. Khi đó xác suất để chất điểm rơi vào miền A là:
S đo miền A
P(A) =
S đo miền W
d 1.26: Ném chất điểm vào trong hình vuông
cnh dài 2R. Tính xác suất để chất điểm đó rơi vào
hình tròn ni tiếp hình vuông.
Gii: Gi A biến c chất điểm rơi vào hình tròn nội
tiếp hình vuông .
Trường hp th ca phép th đưc biu din
bng hình vuông ABCD.
Trường hp thun li ca biến c A được biu
din bng hình tròn (O,3).
Chất điểm
A B
A
. O
D
2R
C
Suy ra:
P(A)
S
(O,R)
S
(O,R)
R
2
S
( ABCD)
S
( ABCD)
4R
2
4
Ví d 1.27: (Bài toán hai người gp nhau)
Hai người hn gp nhau một địa điểm xác định vào khong t 7 gi đến 8 gi. Mi
ngưi đến (chc chn s đến) điểm hn trong khong thi gian trên mt cách đc lp vi
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
7
Biu din x, y lên h trc tọa đ Descartes.
Chn gc tọạ độ lúc 7
h
.
Trường hp có th ca phép th:
Wx, y : 0 x, y 1
đưc biu din bng
hình vuông OABC.
1
1
Ta có:
x y
1
x y
3
y x
3
3
1
1
x y
3
y x
3
8
hA
1
1/3
M
O
7
h
y (II)
N
B
A P
W
1/3Q
1
8
h
x (I)
T
r
ư
n
g
h
p
t
h
u
n
l
i
c
h
o
b
i
ế
n
c
A
đ
ư
c
b
i
u
d
i
n
b
n
g
đ
a
g
i
á
c
O
M
N
B
P
Q
.
S
u
y
r
a
x
á
c
s
u
t
c
a
A
l
à
:
P(A)
N
h
n
x
é
t
:
Đ
n
h
n
g
h
ĩ
a
x
á
c
s
u
t
t
h
e
o
h
ì
n
h
h
c
đ
ư
c
x
e
m
n
h
ư
l
à
s
m
r
n
g
c
a
đ
n
h
n
g
h
ĩ
a
x
á
c
s
u
t
t
h
e
o
l
i
c
đ
i
n
t
r
o
n
g
t
r
ư
n
g
h
p
s
k
h
n
ă
n
g
c
ó
t
h
x
y
r
a
l
à
v
ô
h
n
.
1
.
3
.
4
C
á
c
t
í
n
h
c
h
t
c
a
x
á
c
s
u
t
:
i) A
W
:
0
P
(
A
)
1
ii) P
(
A) 1 P(A)
iii) P( ) = 0, vi là biến c rng.
iv) P(W) = 1, vi W là biến c chc
chn.
v) Nếu A B thì P(A) P(B).
1
.
4
M
T
S
C
Ô
N
G
T
H
C
T
Í
N
H
X
Á
C
S
U
T
1
.
4
.
1
C
ô
n
g
t
h
c
c
n
g
A
v
à
B
l
à
h
a
i
b
i
ế
n
c
b
t
k
:
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
P
(
A
B
)
A1, A2 và A3 là ba biến
c bt k:
P
(
A
1
A
2
A
3
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
P
(
A
3
)
P
(
A
1
A
2
)
P
(
A
1
A
3
)
P
(
A
2
A
3
)
+
P
(
A
1
A
2
A
3
)
Xét h các biến c {A1, A2, …, An }:
n
n
PA
i
= P ( A
i
) - P(A
i
A
j
) + P(A
i
A
j
A
k
)( 1)
i 1
i 1
Đ
c
b
i
t
:
i
)
N
ế
u
{
A
1
,
A
2
,
,
A
n
}
l
à
h
b
i
ế
n
c
x
u
n
g
k
h
c
t
n
g
đ
ô
i
t
h
ì
:
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
8
lOMoARcPSD|453155 97
n
n
P
A
i
= P ( A
i
)
i 1
i 1
n
ii) Nếu {A1, A2 ,…, An }là h biến c đầy đủ, xung khc từng đôi thì P(A
i
) 1
i 1
d 1.28: Mt hàng có 10 sn phẩm, trong đó 2 phế phm. Ly ngu
nhiên không hoàn li t hàng ra 6 sn phm. Tìm xác suất để không quá
1 phế phm trong 6 sn phẩm được ly ra.
Gii: Gi A là biến c không có phế phm trong 6 sn phm
ly ra B là biến c có đúng một phế phm.
C là biến c có không quá mt phế phm.
Khi đó A và B là hai biến c xung khc và C = A B
Ta có
P(A)
C
8
6
28
2
C
6
210
15
10
P(B)
C
1
.C
5
112
8
2
8
C
6
210
15
10
P(C) P(A) P(B)
15
2
15
8
2
3
d 1.29: Mt lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoi ng, 30 sinh
viên gii tin hc, 20 sinh viên gii c ngoi ng ln tin hc. Sinh viên o gii ít nht
mt trong hai môn s được thêm điểm trong kết qu hc tp ca hc k. Chn ngu
nhiên mt sinh viên trong lp. Tìm xác suất đ sinh viên đó được thêm đim.
Gii: Gi A là biến c gọi được sinh viên được tăng đim.
B là biến c gọi được sinh viên gii ngoi ng.
C là biến c gọi được sinh viên gii tin hc.
Khi đó A = B C, vi B và C là hai biến c không xung
khc Ta có: P(A) = P(B C) = P(B) + P(C) P(B C)
100
30
100
40
100
20
100
50
Ví d 1.30: Chn ngu nhiên 6 cây bài t b bài có 52 cây bài. Tính xác suất để
ít nht có 2 cây 9 nút.
Gii: Gi A là biến c chn ít nht 2 cây 9 nút t 6 cây bài chn ra.
A
i
là biến c chn đưc i cây 9 nút t 6 cây bài chn ra (i 0,4) .
Suy ra: A A
2
A
3
A
4
Ta có: H các biến c {A
2
, A
3
, A
4
} xung khc từng đôi, nên:
P(A) P(A
2
A
3
A
4
) P(A
2
) P(A
3
) P(A
4
)
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
9
lOMoARcPSD|453155 97
C
2
C
4
C
3
C
3
C
4
C
2
0.06
4 48
4 48
4 48
C
52
6
C
52
6
C
52
6
1.4.2 Công thc nhân xác sut
Xác suất có điều kin, ký hiu P(A\B): Là xác sut ca biến c A vi điều
kin biến c B đã xãy ra.
d 1.31: Hộp 10 viên bi trong đó 4 viên màu đ, 6 viên màu trng. Ln
t rút không hoàn li 2 viên bi. Gi s ln th nhất rút được bi màu đ, tính
xác suất để ln th hai rút được bi màu đỏ.
Gii: Gi A
i
là biến c rút được bi màu đỏ ln th i.
3
Công thc nhân xác sut:
A và B là hai biến c bt k: P(A B) = P(A)P(B\A) = P(B)P(A\B)
Xét h các biến c {A1, A2, …, An }:
n
n 1
P A
i
= P(A1) P(A2\A1) P(A3\A1 A2) ... P A
n
\ A
i
i 1
i 1
Đặc bit:
Nếu A và B độc lập thì P(A∩B) = P(A) P(B)
Nếu h các biến c {A1, A2, …, An c lp toàn phn thì
n
n
P A
i
=P A
i
i 1
i 1
d 1.32: Tung ngẫu nhn đồng thi hai con súc sc. Tính xác suất để c 2
con súc sắc đều xut hin mt 6 chm.
Gii: Gi A là biến c c hai súc sắc đều xut hin mt 6 chm.
A
i
là biến c súc sc th i xut hin mt 6 chm (i = 1, 2)
Ta có: A= A
1
A
2
Do A
1
A
2
độc lp, nên: P(A) P(A
1
A
2
) P(A
1
)P(A
2
)
1
6
1
6 36
1
d 1.33: Thi 2 môn, xác sut đậu môn th nht là 0.6. Nếu môn th nht đậu thì kh
năng sinh viên đó đậu môn th hai 0.8. Nếu môn th nhất không đậu thì kh năng
sinh viên đó đậu môn th 2 ch là 0.6. nh xác suất trong các trường hp sau:
a) Sinh viên đó đu ch mt môn.
b) Sinh viên đó đu 2 môn.
Gii: a. Gi A là biến c sinh viên đó đu ch mt môn.
A
i
là biến c sinh vn đó đu môn th i (i =1, 2).
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
10
lOMoARcPSD|453155 97
Ta có: A A
1
A
2
A
1
A
2
Suy ra: P(A) P(A
1
A
2
A
1
A
2
) P(A
1
A
2
) P(A
1
A
2
)
P(A
1
)P(A
2
\ A
1
) P(A
1
)P(A
2
\ A
1
) = 0.6 0.2 + 0.4 0.6 = 0.36
b. Gi B là biến c sinh viên đậu hai môn.
Ta có: B A
1
A
2
P(A
1
)P(A
2
\ A
1
) 0.6 0.8 0.48
d 1.34: Hai x th mỗi người bn một phát đạn vào bia. Xác sut bn trúng
của người th nht p = 0.9; của người th hai p = 0.7. Gi s hai người
bắn độc lp vi nhau, tính xác suất đ:
a) C hai đều bn trúng.
b) Có đúng một viên đạn trúng bia.
c) Bia b trúng đạn.
Gii : Gi A là biến c x th I bn trúng bia.
B là biến c x th II bn trúng bia.
C là biến c c hai x th trúng bia.
D là biến c có một vn đạn trúng bia.
E là biến c bia b tng đạn.
a) Xác suất để c hai đều bn trúng: Ta có C = A
B P(C) = P(A B) = P(A) P(B) = 0.9 0.7 = 0.63
b) Xác suất để có một viên đạn trúng bia:
Ta có: D A B A B . Vì A B A B là xung khc vi nhau
P(D) P(A B) P(A B) P(A)P(B) P(A)P(B) P D 0.1
0.7 0.9 0.3 0.34
c.) Xác suất để bia b trúng đạn:
Ta có: E A B P(E) P(A B) P(A)P(B) 0.3 0.1 0.03
P(E) = 1 0.03 = 0.97
1.4.3 Công thc xác suất đầy đủ và công thc Bayes
Gi s {A1, A2,. . ,An } h biến c đầy đ, xung khc từng đôi B biến c
bt k th xảy ra đồng thi vi mt trong các biến c Ai (i= 1, .. , n). Khi đó
xác suất B được tính bi công thc:
n
P(B) P(A
i
)P(B / A
i
)
i 1
P(A
k
/ B)
P(A
k
)P(B / A
k
)
P(B)
P(A
k
)P(B / A
k
)
n
P(A
i
)P(B / A
i
)
i 1
(công thức đầy đ)
(công thc Bayes)
Tài liệu hướng dn môn Lý thuyết Xác sut Thng
11
lOMoARcPSD|453155 97
Chú ý: Vn dng công thc xác suất đầy đ công thức Bayes đ gii mt
bài toán, vấn đề quan trng phi ch ra được nhóm biến c đầy đủ xung
khc từng đôi. Trong thực tế việc này thường gp 2 hình thc sau:
Công vic tiến hành tri qua 2 phép th. Thc hin phép th th nht ta mt
trong n kh ng xảy ra là các biến c A
1
, A
2
,..., A
n
. Sau khi thc hin phép th th nht ta
thc hin phép th th hai. Trong phép th th hai ta quan tâm đến biến c B.
Khi đó biến c B s đưc nh theo công thc xác suất đầy đ vi h biến c
đầy đủ và xung khc từng đôi là các biến c A
i
(i 1, n) .
Mt tp hp cha n nhóm phn t. Mi nhóm phn t có mt t l phn t có tính
chất P nào đó. Lấy ngu nhiên t tp hp ra 1 phn t. Gi Ai biến c chọn được phn t
thuc nhóm th i. Khi đó xác suất ca biến c chn đưc phn t có tính cht P trong phép th
s đưc tính theo công thc xác suất đầy đủ vi h biến c đầy đ và xung khc tng đôi
A
i
(i 1, n) .
d 1.35: Xét mt sn phm, trong đó sn phm ca nhà máy 1 chiếm 20%, nhà
máy 2 sn phm chiếm 30%, nhà máy 3 sn phm chiếm 50%. T l phế phm ca nhà
máy 1, 2, 3 lần lượt là 0.001; 0.005; 0.006. Ly ngu nhiên 1 sn phm t lô hàng
a/ Tính xác suất để sn phm ly ra là phế phm.
b/ Gi s sn phm ly ra là phế phm, tính xác suất để sn phm đó là của nhà máy 1.
Gii : Gi B là biến c lấy được sn phm là phế phm.
A1, A2, A3 lần lượt là biến c lấy được sn phm ca nhà máy 1, 2, 3.
Do {A1, A2, A3 } là h biến c đy đủ, xung khc từng đôi nên
a. Theo công thc xác suất đầy đủ, ta có:
3
P(B) = P(A
i
)P(B / A
i
) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3)
i 1
=
100
20
0.001 +
100
30
0.005 +
100
50
0.006 = 0.0047.
b.Theo công thc bayes, ta có:
P(A / B)
P(A
1
)P(B / A
1
)
0.2 0.001
=0.0426
1
P(B)
0.0047
d 1.36: Mt phân xưởng sn xut chi tiết máy hai máy: Máy I sn xut 60% sn phm
của phân xưởng; Máy II sn xut 40% sn phm của phân xưởng. T l sn phm b li ca
máy I 0,1 t l sn phm b li ca máy II 0,05. Sn phm của pn xưởng sau khi sn
xuất được đem trộn ln vi nhau. Ly ngu nhiên mt sn phm của phân xưởng thì thy sn
phẩm đó là sản phm b li, tính xác suất để sn phẩm đó do máy I sản xut.
Gii: Gi B1 là biến c sn phm ly ra do máy I sn xut.
B2 là biến c sn phm ly ra do máy II sn xut.
A là biến c sn phm ly ra là sn phm b li.
B1, B2 lp thành h biến c đầy đủ và xung khc.
Theo công thc xác sut đầy đủ: P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B1)P(A/B2) = 0.08.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
12
lOMoARcPSD|453155 97
Theo công thc Bayes: P(B
1
/
A)
P(B
1
)P(
A
/
B
1
)
0.6 0.1
0.75
.
P( A) 0.08
Vy xác suất để sn phẩm đó do máy I sản xut là P(B1\A) = 0.75.
d 1.37: 3 hp đng sn phm, mi hp có 10 sn phẩm, trong đó sản
phm loi I lần lượt là 2, 3, 4. Chn ngu nhiên mt hp, ri t hộp đã chọn, rút
ra ngu nhiên mt sn phm.
a) Tính xác suất đ sn phm chn ra là sn phm loi I.
b) Nếu sn phm rút ra là sn phm loi I, thì theo bn sn phẩm đó có khả
năng thuộc hp nào nhiu nht, ti sao?
Gii: Gi B là biến c rút đưc sn phm là sn phm loi I.
A
i
là biến c chn đưc hp th i ( i 1,3).
a. Theo công thc xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) P(A
1
)P(B / A
1
) P(A
2
)P(B / A
2
) P(A
3
)P(B / A
3
)
1
3 10
2
1
3 10
3
1
3 10
4
10
3
0.3
b. Theo công thc Bayes, ta có:
P(A
1
)P(B / A
1
)
1
2
2
P(A / B)
3
10
3
1
P(B)
9
10
1
3
P(A
2
)P(B / A
2
)
1
3
P(A
2
/ B)
3
10
P(B)
3
3
9
10
P(A
3
)P(B / A
3
)
1
4
4
P(A
3
/B)
3
10
P(B)
3
9
10
So sánh các kết qu, ta thy phế phm rút ra có kh năng thuộc hp th III nhiu nht.
1.4.4 Công thc Bernoulli
Ta tiến hành n phép th độc lp. Gi s trong mi phép th ch xy ra hai
trường hp: Hoc biến c A xy ra vi xác sut p hoc biến c A không xy ra
vi xác sut q = 1 p. Khi đó xác suất đ trong n phép th đc lp, biến c A
xut hin k lần được được tính bng công thc:
P n; k; p C
n
k pk 1 p
n k
(công thc Bernoulli)
d 1.38: Trong mt phân xưởng 5 máy hot động độc lp, xác sut để
mt máy b trong một ca sn xut bng nhau bng p = 0.1. Tính xác
suất để trong 1 ca có hai máy b hư.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
13
lOMoARcPSD|453155 97
Gii: Do 5 máy hoạt động độc lp nên ta th coi như tiến hành 5 phép th độc lp
mi phép th ch có hai kết cc máy hot động tt hoc máy b hư với xác sut p = 0.1.
Theo công thc Bernoulli, xác suất để trong 1 ca có hai máy b hư:
P(5; 2; 0.1)= C
2
(0.1)
2
(0.9)
3
5
d 1.39: Mt sinh viên thi trc nghim môn Ngoi Ng gm 10 u hi.
Mỗi câu 4 phương án la chọn, trong đó chỉ 1 phương án đúng. Gi s
sinh vn làm bài bng cách chn ngu nhiên các câu hi. Tính xác suất để:
a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm).
b) Sinh viên chọn đúng ít nht 1 câu hi.
Gii: Gi A là biến c sinh viên vừa đủ điểm đậu.
Xem vic chn câu tr li mi câu hi ca sinh viên là 1 phép th thì
trong mi phép th có 1 trong 2 kh năng xảy ra :
Sinh viên tr lời đúng với xác sut là p =0.25.
Sinh viên tr li sai vi xác sut là q =0.75.
a. P(A) P(10; 5; 0.25) C
10
5
0.25
5
0.75
5
0.058
b. Gi B là biến c sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hi.
B là biến c sinh viên không chọn đúng câu hi
nào. Ta có: P(B) P 10; 0; 0.25 C
10
0
0.25
0
0.75
10
0.75
10
P(B) 1 P(B) 1 0.75
10
0.056
Ví d 3.40: Một bác sĩ xác suất cha khi bệnh là 0.8. Có người nói rng c 10 người
đến cha bnh thì chc chắn có 8 ngưi khi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không?
Gii: Ta có th xem vic cha bệnh cho 10 người là mt dãy ca mt phép th
độc lp. Nếu gi A biến c cha khi bnh cho một người thì P(A) = 0.8
Do đó: Xác suất để trong 10 người đến cha bệnh thì có 8 ngưi khi bnh là:
P(10; 8; 0.8) = C
10
8
(0.8)
8
(0.2)
2
0.3108.
Vậy điều khẳng định trên là sai.
Định nghĩa: Một lược đồ Bernoulli m rng gm:
Dãy n phép th độc lp.
H biến c {A
1
, A
2
,..., A
k
} đầy đủ, xung khc.
Trong đó: P( A
1
) p
1
, P( A
2
) p
2
,..., P( A
k
) p
k
p
1
p
2
... p
k
1.
1.4.5 Công thc Bernoulli m rng
Gi s ta thc hin n phép th độc lp, h biến c {A
1
, A
2
,..., A
k
} là đầy đủ, xung khc
từng đôi P( A
1
) p
1
, P( A
2
) p
2
,..., P( A
k
) p
k
p
1
p
2
... p
k
1. Khi đó xác suất đ trong
n phép th đc lp, biến c
A
1
xy ra
m
1
ln, biến c
A
2
xy ra
m
2
lần , …, biến c
A
k
xy
ra
m
k
lần (trong đó
m
1
m
2
... m
k
n ) là được tính theo công thc:
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
14
lOMoARcPSD|453155 97
P(n; m
, m
,..., m
)
n!
p
m
1
.p
m
2
...p
m
k
m
!m
!...m
!
1
2
k
1
2
k
1
2
k
d 1.41: hàng 100 sn phẩm trong đó 30 sn phm loi A, 50 sn
phm loi B và 20 sn phm loi C. Lần lượt t có hoàn li 9 sn phẩm đ
kim tra. Tính xác suất để trong 9 lần rút đó có 3 lần rút được sn phm loi A,
4 lần rút được sn phm loi B và 2 lần rút được sn phm loi C.
Gii: Gi A, B, C lần lượt là biến c rút được sn phm loi A, B, C trong mi ln rút.
Rõ ràng h biến c A, B,C đầy đủ và xung khc từng đôi.
P( A)
30
,
P(B)
50
,
P(A)
20
100
100
100
30
3
50
4
20
2
Do đó: P(9;3A,4B,2C)
0.086
3!4!2!
100
100
100
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1: Mt t gm có 8 nam và 6 n. Tính xác suất để chn ngu nhiên mt nhóm 5
ngưi
a/ Có ít nht 1 n.
sao cho:
b/ S n nhiu hơn số nam.
Bài 2: mt hi đng nhân dân tỉnh 20 đi biểu trong đó 6 ngưi n.
Để điu hành mt công vic nào đó cn thành lp mt tiu ban gồm 5 người. Tính
xác sut sao cho trong tiểu ban đó có số đại biểu nam không ít hơn 3.
Bài 3: Mt lp 30 hc sinh gm: 10 hc sinh gii toán, 10 hc sinh giỏi văn, 10 học
sinh gii ngoi ngữ. Trong đó có 5 hc sinh va gii ngoi ng toán, 3 hc sinh va gii
ngoi ng văn, không học sinh nào giỏi n toán hoc gii c 3 môn. Chn ngu
nhiên mt hc sinh, tính xác suất để đưc hc sinh gii ít nht 1 trong 3 môn nói trên.
Bài 4: Theo thng kê trung bình mt năm (365 ngày) 60 ngày mưa
tht to, 40 ngày có gió tht ln và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to va gió tht
ln). Tính xác suất để mt ngày chn ngu nhn trong năm thi tiết bt
thường (có mưa thật to hoc có gió tht ln).
Bài 5: Trong quan 100 người. Trong đó 60 người gần quan, 30 n,
40 nam gần cơ quan. Tính xác suất để gi ngu nhiên một ngưi trong danh sách
a/ Người đó phải trực cơ quan (theo quy định của quan thì ngưi nào
hoc là nam hoc gn cơ quan s phi tham gia trc).
b/ Người đó phải trực cơ quan với điều kiện người đó là nữ.
Bài 6: Bn liên tiếp vào mt mục tiêu cho đến khi viên đạn đầu tiên trúng mc
tiêu hoc hết đạn thì ngng. Xác sut bn trúng mc tiêu ca mi ln bn là 0,6.
a/ Nếu người đó có 4 viên đạn. Tính xác suất đ bắn đến viên đn th tư.
b/ Nếu người đó có số viên đạn không hn chế. Tính c suất để vic
bn ngng li ln th tư.
Bài 7: Có 3 hp bi, mi hp có 10 bi. Trong hp th i có i bi đỏ, (10
i) bi trng (i = 1,2,3). Ly ngu nhn t mi hp ra 1 bi. Tính xác sut
a/ C 3 bi lấy ra đều đỏ.
b/ 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, 1 bi trng.
c/ Biết 3 bi ly ra có 2 bi đỏ, 1 bi trng. Tính xác sut bi ly ra t hp th hai màu
trng.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
15
lOMoARcPSD|453155 97
Bài 8: Hp I có 15 l thuc tt, 5 l thuc hng.
Hp II có 17 l thuc tt, 3 l thuc hng.
Hp III có 10 l thuc tt, 10 l thuc hng.
a/ Ly mi hp 1 l. Tính xác suất để1 l thuc hng.
b/ Chn ngu nhiên 1 hp, ri t hộp đã chọn ly ra 3 l. Tính xác sut
để đưc 2 l tt và 1 l hng.
c/ Trn chung 3 hp li ri t đó lấy ra 3 l. Tính xác suất để đưc 3 l thuc tt.
d/ Kim tra tng l hp II cho đến khi phát hiện đủ 3 l thuc hng thì dng li.
Tính xác suất để vic kim tra dng li ln kim tra th 4.
Bài 9: Ba khẩu súng độc lp bn vào mt mc tiêu. Xác suất để các khu súng bn
trúng mc tiêu lần lượt là: 0,7 ; 0,8 ; 0,5 (mi khu bn 1 viên). Tính xác suất để:
a/ Có 1 khu bn trúng.
b/ Có 2 khu bn trúng.
c/ Có ít nht 1 khu bn trúng.
d/ Khu th nht bn trúng, biết rng có 2 viên trúng.
Bài 10: 2 chung th: Chung th nhất 5 con đc 2 con cái; Chung th
hai 2 con đực 4 con cái. T chung th nht 1 con th chy qua chung th hai
(không rõ gii tính). Sau khi con th t chung th nht chy qua thì t chung th hai ta
bt ra 1 con. Tính xác sut con th bt ra t chung th hai là con th đực.
Bài 11: Mt hp đựng 3 bi đ và 7 bi xanh. Ly ngu nhiên t hp ra 1 bi, nếu bi ly ra là
bi đỏ thì b vào hp 1 bi xanh, nếu bi ly ra là bi xanh thì b vào hp 1 bi đỏ. Sau đó từ
hp ta ly tiếp ra 1 bi. a/ Tính xác suất để bi ly ra lần sau là bi đ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi ly ra (ly lần đầu và ly ln sau) cùng màu.
c/ Nếu 2 bi ly ra cùng màu, tính xác suất để 2 bi này cùng màu xanh.
Bài 12: Mt cuc thi 3 vòng thi: Vòng I ly 90% tsinh; vòng II ly
80% thí sinh ca vòng I và vòng III ly 90% thí sinh ca vòng II.
a/ Tính xác suất để thí sinh lt qua 3 vòng thi.
b/ Tính xác suất để thí sinh đó bị loi vòng II, nếu biết rằng thí sinh đó bị loi.
Bài 13: Mt chung gà9 coni và 1 con trng. Chung gà kia có 1 con
mái 5 con trng. T mi chung ta bt ngẫu nhiên ra 1 con đem bán. Các con
còn lại được dn vào mt chung th ba. Nếu ta li bt ngu nhiên 1 con gà
na t chung này ra thì xác sut bắt được con gà trng là bao nhiêu?
Bài 14: Mt công ty bo hiểm cho người b tai nn. ng ty chia khách
hàng của mình ra thành 3 nhóm: Ngưi ít b rủi ro, người b ri ro trung bình
người thường xuyên b ri ro vi t l là: 60% , 30% 10%. Xác sut b ri
ro ca các nhóm lần lượt là: 0,01 ; 0,05 ; 0,1.
a/ Tính t l người b tai nạn trong năm.
b/ Nếu người b tai nn trong năm, họ có kh năng thuộc nhóm nào nhiu nht?
Bài 15: Có 20 kin hàng, mi kin có 10 sn phẩm. Trong đó có:
- 8 kin loi I, mi kin có 1 phế phm;
- 7 kin loi II, mi kin có 3 phế phm;
- 5 kin loi III, mi kin có 5 phế phm.
Ly ngu nhn 1 kin, ri t kiện đã chọn ly ngu nhiên 1
sn phm a/ Tính xác sut sn phm ly ra là phế phm.
b/ Biết sn phm ly ra là phế phm. Tính xác sut kin ly ra là loi II.
Bài 16: hi ch có 3 ca hàng: Ca hàng loi I phc v những người “may mắn”
bán hàng có t l phế phm là 1%; Ca hàng loi II phc v những người “bình thường”
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
16
lOMoARcPSD|453155 97
bán hàng có t l phế phm là 5%; Ca hàng loi III phc v nhng người “rủi ro”
bán hàng t l phế phm 10%. Một người vào hi ch phải gieo 2 đồng xu.
Người đó may mn nếu c 2 đồng xu đều sp, ri ro nếu c 2 đồng xu đều
nga. Tính xác suất để 1 người vào hi ch và mua phi hàng xu.
Bài 17: Mt công ty 30 công nhân nam 20 công nhân n. c sut tt
nghip PTTH ca nam là 20%, ca n15%. Chn ngẫu nhiên 1 người trong công ty
a/ Tính xác suất để người này tt nghip PTTH.
b/ Trong điều kin gặp được người tt nghip PTTH, tính xác suất để ngưi này nam.
Bài 18: T l hút thuc một địa phương là 40%. Theo thống kê, t l ngưi mc
bnh phi trong s những người hút thuc 70%, trong s nhng người
không hút thuc 5%. Chn ngẫu nhiên 1 người địa phương này thì thấy
người đó mắc bnh phi. Tính xác suất người đó có hút thuốc.
Bài 19: Hai nhà máy cùng sn xut ra mt loi chi tiết. Năng suất ca
máy I gấp đôi máy II. T l chi tiết đt tiêu chun ca máy I là 64%, ca máy II là
80%. Ly ngu nhiên 1 chi tiết t hàng do 2 nhà máy sn xuất thì được chi
tiết đạt tiêu chun. Tính xác suất để chi tiết đó do máy I sản xut.
i 20: Theo kết qu điu tra, t l bnh lao mt vùng 0,1%. Tính xác
suất để khi khám cho 10 người:
a/ Có 5 người bnh lao.
b/ Có ít nhất 1 người bnh lao.
Bài 21: Mt sinh viên thi trc nghim môn ngoi ng gm 20 câu hi. Mi
câu 4 phần để chn, trong đó chỉ 1 phần đúng. Gi s sinh viên đó đã
biết rõ 8 câu hi, còn li thì chn mt cách ngu nhiên.
a/ Tính xác suất để sinh viên đó làm đúng được toàn bài.
b/ Nếu chọn đúng t phân na tr đi thì sinh viên đó sẽ đu. Tính xác
suất để sinh viên đó đậu.
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
17
lOMoARcPSD|453155 97
CHƯƠNG 2: BIẾN NGU NHIÊN VÀ QUI LUT PHÂN PHI XÁC SUT
2.1 BIN NGU NHIÊN (BNN)
2.1.1 Các định nghĩa
Biến ngu nhiên là biến dùng để biu th các giá tr cho các kết qu ca mt phép th
ngẫu nhiên. Ta thường dùng các kí hiệu X, Y, Z,… để biu th cho biến ngu nhiên.
Ví d 2.1:
Tung mt con súc sc, gi X là biu th s chm xut hin trên mt con
súc sắc. Khi đó, X là BNN.
Đo chiều cao ca các thiếu nn Vit Nam độ tui 13. Gi Y là chiu
cao đo được ca các sinh viên. Gi s Y [1m ; 1.5m]. Vy Y là BNN.
Phân loi BNN:
+ BNN ri rc: là BNN có mt s hu hn hoc vô hạn đếm được các giá
tr. Các giá tr có th ca BNN X được ký hiu x1, x2, …
+ BNN liên tc: là BNN mà các giá tr ca nó lắp đầy mt khong
trên trc s. Trong ví d 2.1, X là BNN ri rc, Y là BNN liên tc.
2.1.2 Bng phân phi xác sut
Bng phân phi xác suất dùng để thiết lp lut phân phi xác sut ca BNN ri rc.
Bng gm 2 dòng: Dòng trên ghi các giá tr có th có ca BNN là: x1, x2, .. , xn; dòng
i ghi các xác suất tương ứng là: P1, P2, .. , Pn.
X
P
x1
x2
x3
. . .
x
n
P1
P2
P3
. . .
P
n
Chú ý: P(X = xi): Xác suất để BNN X nhn giá tr xi.
n
P
i
= 1
i 1
Ví d 2.2: Tung 1 con súc sc, gi X là s chm xut hin trên mt ca mt con
súc sắc. Khi đó bảng phân phi xác sut ca X là:
X
1
2
3
4
5
6
P
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
d 2.3: Tiến hành th đ bn ca 3 loi vt liu, với điều kin vt liu th trước phi vượt
qua được phép th mi th tiếp vt liu sau. Biết rng kh năng vượt qua pp th ca các
vt liệu đều bng 0.8. Hãy tìm lut phân phi xác sut ca s vt liệu vượt qua phép th.
Gii: Gi X là s vt liệu vượt qua phép th.
A
i
biến c vt liu th i vưt qua phép th
i
.
1,3
Ta có:
P(X=0)=P(
)=0.2
A
1
Tài liu hưng dn môn Lý thuyết Xác sut và Thng kê
18
| 1/73

Preview text:

lOMoARcPSD|453 155 97 lOMoARcPSD|453 155 97
CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.1 ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.1.1 Một số khái niệm và công thức tính Hoán vị Tổ hợp Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp
Số cách sắp Số cách chọn ngẫu nhiên k Số cách chọn ngẫu Số cách chọn ngẫu xếp
ngẫu phần tử từ n phần tử (k n) nhiên k phần tử từ n nhiên k phần tử từ n
nhiên n phần sao cho k phần tử đó phần tử (k n) sao cho phần tử sao cho k tử
không lặp và không có k phần tử đó không lặp phần tử đó có thể
phân biệt thứ tự.
và có phân biệt thứ tự. lặp lại và có phân biệt thứ tự. k n! k n! P A Bk nk n n! Cn n k!(n k )! (n k)! n Ví dụ 1.1:
1. Cho tập hợp A 1,2,3,4,5 , từ tập hợp A có thể thành lập được bao nhiêu
số tự nhiên thoả mãn:
a. Có 5 chữ số khác nhau.
b. Có 3 chữ số khác nhau. c. Có 3 chữ số.
2. Một tổ có 5 học sinh, có bao nhiêu cách phân công 3 học sinh đi lao động. Giải 1.a P5 5 ! 120 số 3 5! 1.b A5 5 3 ! 60 số 1.c B 3 5 53 125 5! 2. C 3 5 10 số 3!5 3!
1.1.2 Quí tắc cộng: Giả sử một công việc có k trường hợp thực hiện khác nhau đều thỏa
yêu cầu. Trường hợp 1 có n1 cách thực hiện, trường hợp 2 có n2 cách thực hiện,...,
trường hợp k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách thực hiện công việc là: n 1 n 2 nk

Ví dụ 1.2: Một nhóm có 3 nam và 2 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 3 người
sao cho có ít nhất là 2 nam.

Giải: Trường hợp 1: 3 người chọn ra có 2 nam và 1 nữ: C 2 3 C12 3 2 6 cách
Trường hợp 2: 3 người chọn ra có 3 nam C33 1cách
Vậy số cách chọn ra 3 người sao cho có ít nhất là 2 nam là: 6 + 1 = 7 cách
1.1.3 Quy tắc nhân: Giả sử một công việc phải trải qua k giai đoạn. Giai đoạn thứ
nhất có n1 cách thực hiện; giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện;...; giai đoạn thứ

k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách thực hiện công việc là: n 1 n 2 n k
Ví dụ 1.3: Có 12 quyển sách gồm 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý, 3 quyển
sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy ra mỗi loại 2 quyển sách?
5!
Giải: Số cách lấy ra 2 quyển sách toán: C 2 5 10 cách. 2!5 2!
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 1 lOMoARcPSD|453 155 97 4!
Số cách lấy ra 2 quyển sách lý: C 2 4 6 cách 2!4 2! 3!
Số cách lấy ra 2 quyển sách hóa: C 2 3 3 cách 2! 3 2 !
Vậy số cách lấy: n
10 6 3 180 cách
Ví dụ 1.4: Có 3 cách đi từ địa điểm A
đến địa điểm B, có 5 cách đi từ địa 1
điểm B đến địa điểm C và có 2 cách 1 2 1
đi từ địa điểm C đến địa điểm D. Hỏi A 2 B 3 C D
có bao nhiêu cách đi từ địa điểm A 3 4 2
đến địa điểm D? 5
Giải: Số cách đi từ thành phố A đến
thành phố D là : n 3 5 2 30 cách 1.2
PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1 Khái niệm
Phép thử: Thực hiện một nhóm điều kiện xác định lên đối tượng để quan sát
một hiện tượng nào đó.

Phép thử ngẫu nhiên: Là những phép thử thỏa mãn hai tính chất
- Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.
- Có thể xác định tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Biến cố: Là kết quả có thể xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 1.5:
Các phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu, tung một con súc sắc, rút một
cây bài trong bộ bài 52 lá.

1.2.2 Phân loại biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố:
Biến cố chắc chắn: Là biến cố chắc chắn xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu: W
Ví dụ 1.6: Tung một con súc sắc. Gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số
chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6. Khi đó ta nói A là biến cố chắc chắn, A = W.

Biến cố không thể: Là biến cố không thể xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu:
Ví dụ 1.7: Tung một con súc sắc. Gọi B là biến cố súc sắc xuất hiện mặt 7
chấm. Khi đó ta nói A là biến cố không thể, A = .

Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra cũng không thể xảy ra trong một phép thử.
Kí hiệu: A, B, C,... A1 ,A2
Ví dụ 1.8: Một xạ thủ bắn vào một tấm bia, gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng bia,
A là biến cố ngẫu nhiên.

Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 2 lOMoARcPSD|453 155 97
Biến cố thuận lợi (Biến cố kéo theo): Biến cố A được gọi là thuận lợi cho biến cố B nếu A
xảy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiệu: A B.
Ví dụ 1.9: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc. Gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện
mặt 2 chấm và B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó ta nói A B.
Biến cố tương đương: Nếu A
B và B A thì A và B là hai biến cố tương đương. Kí hiệu: A=B.
Ví dụ 1.10: Tung ngẫu nhiên đồng thời ba con súc sắc. Gọi A là biến cố mỗi con súc sắc đều
xuất hiện mặt 1 chấm, B là biến cố tổng số chấm của ba con súc sắc là 3 chấm. Khi đó A=B.
Biến cố sơ cấp: Biến cố A được gọi là biến cố sơ cấp nếu nó không có biến cố
nào thuận lợi cho nó (trừ chính nó), tức là không thể phân tích được nữa.

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử được gọi là không gian
các biến cố sơ cấp và kí hiệu: W

Ví dụ 1.11: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc. Gọi A i là biến cố súc sắc xuất
hiện mặt i chấm (i=1, .., 6) thì A1, A2, .. , A6 là các biến cố sơ cấp.

Gọi B là biến cố thu được mặt có số chấm chẵn.
B = A2 A4 A6 B không phải là biến cố sơ cấp.
và W = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}.
Biến cố hiệu: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ
khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Kí hiệu A\B

Ví dụ 1.12: Tung một con súc sắc.
Gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
B là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ nhỏ hơn 5.
C là biến cố súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm. Ta có: C = A\B
Biến cố tổng: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi
ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Kí hiệu A B
Ví dụ 1.13: Hai xạ thủ cùng bắn vào một con thú. Gọi A là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn

trúng, B là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng. Khi đó biến cố thú bị trúng đạn là C = A B
Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, .., An là một biến cố xảy ra ít nhất một
trong các biến cố Ai xảy ra (i = 1,..,n).
Kí hiệu: A1 A2 ... An
Chú ý: Biến cố chắc chắn W là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể, nghĩa là mọi biến cố
sơ cấp đều thuận lợi cho W. Do đó, W còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.
Biến cố tích: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra cả hai biến cố A và B
đồng thời xảy ra. Kí hiệu: A B
Ví dụ 1.14: Hai xạ thủ cùng bắn vào một con thú. Gọi A là biến cố xạ thủ thứ
nhất bắn không trúng, B là biến cố xạ thủ thứ hai bắn không trúng. Khi đó biến
cố thú không bị trúng đạn là C = A B.

Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 3 lOMoARcPSD|453 155 97
Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, .., An là một biến cố xảy ra tất cả các biến cố Ai
đều xảy ra. Kí hiệu: A1 A2 ... An
Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng
không đồng thời xảy ra trong một phép thử.

Ví dụ 1.15: Tung một con súc sắc, gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện mặt chẵn,
B là biến cố súc sắc xuất hiện mặt 3 chấm A, B xung khắc.
Hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi: Hệ biến cố {A1, A2, …, An } được gọi là
hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ là xung
khắc và tổng tất cả các biến cố là biến cố chắc chắn, tức là:
n Ai Aj= i, j Ai = W. i 1
Biến cố đối lập: Biến cố A được gọi là biến cố đối lập của A.
A và đối lập A A A A A W
Ví dụ 1.16: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc, A là biến cố súc sắc xuất hiện
mặt chẵn, A là biến cố súc sắc xuất hiện mặt lẻ.

Chú ý: Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhưng ngược lại hai biến cố xung
khắc thì chưa chắc đối lập.

Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A, B, C,... được gọi là đồng khả năng nếu
chúng có cùng một khả năng xuất hiện như nhau trong một phép thử.

Ví dụ 1.17: Tung ngẫu nhiên một đồng xu, gọi S là biến cố đồng xu xuất hiện
mặt sấp, N là biến cố xuất hiện mặt ngửa S, N là hai biến cố đồng khả năng.
Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay
không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy
ra biến cố kia và ngược lại.

Hệ biến cố độc lập toàn phần: Hệ biến cố {A1, A2,…, An } được gọi là độc lập toàn phần
nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.
Nhận xét: Các khái niệm về biến cố tổng, hiệu, tích, đối lập tương ứng với hợp,
giao, hiệu, phần bù của lý thuyết tập hợp, do đó có thể sử dụng các phép toán
trên tập hợp cho các phép toán trên biến cố.

1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
1.3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
Giả sử một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong
đó có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A
được định nghĩa bởi công thức sau:
P(A) = mn
Ví dụ 1.19: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc. Tính xác suất để súc sắc xuất
hiện ở mặt trên là chẵn.

Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 4 lOMoARcPSD|453 155 97 Giải:
Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt trên là i chấm.
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt trên là chẵn, ta có A = A2 A4 A6
Khi tung con súc sắc có 6 biến cố đồng khả năng có thể xảy ra trong đó có 3
biến cố thuận lợi cho A nên
P(A) = mn = 36 = 0.5
Ví dụ 1.20: Tung ngẫu nhiên đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để tổng số
chấm xuất hiện ở hai mặt trên của 2 con súc sắc là 7.

Giải : Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên của 2 con súc sắc là 7.
Ai là biến cố súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt trên là i chấm (i 1,6) .
Bi là biến cố súc sắc thứ hai xuất hiện mặt trên là i chấm (i 1,6) .
Khi ta tung 2 con súc sắc cùng lúc thì có 36 biến cố sơ cấp đồng khả năng có
thể xảy ra, cụ thể:

W (A1 , B1); (A1, B2 ); ...; (A1, B6 )
( A2 , B1); (A2, B2); ...; (A2, B6) ... ... ... ...
( A6 , B1); (A6, B2); ...; (A6, B6)
Và có 6 biến cố thuận lợi cho biến cố A:
(A1, B6 ); (A2, B5); (A3, B4 ); (A4, B3); (A5, B2); (A6, B1) 6 P(A) 36 16
Ví dụ 1.21: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối của số điện thoại, chỉ biết rằng
hai số đó là khác nhau. Tính xác suất để người đó chỉ bấm số một lần đúng số cần gọi. Giải:
Gọi B là biến cố người đó chỉ quay một lần đúng số cần gọi.
Số biến cố thuận lợi cho B là: m = 1
Số biến cố đồng khả năng có thể xảy ra là: n 2 A10 90 1 P(A) = 90
Ví dụ 1.22: Một hộp gồm 6 bi trắng và 4 bi đen, lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Tính xác suất để a) Có 1 bi trắng. b) Có 2 bi trắng.
Giải: Gọi A là biến cố có 1 bi trắng trong 2 bi lấy ra.
Gọi B là biến cố có 2 bi trắng trong 2 bi lấy ra.
P(A) = m = C16C14 = 8 n C 2 10 15 m C2 1 P(B) = = 6 = n C2 3 10
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 5 lOMoARcPSD|453 155 97
Ví dụ 2.23: Trong một hộp đựng 20 quả cầu trong đó có 14 quả cầu đỏ và 06 quả cầu
trắng. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 5 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất để trong
5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ. Biết rằng các quả cầu là cân đối và giống nhau.
Giải: Gọi A là biến cố trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng.
Số cách lấy 3 quả cầu đỏ: C3 14
Số cách lấy 2 quả cầu trắng: C 2 6 m P(A) C 2 C 3 6 14 n C520
Tổng quát: Cho một hộp đựng N quả cầu cân đối và giống nhau trong đó có M
quả cầu đỏ (M< N) và (N – M) quả cầu trắng.

Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) n quả cầu (n N) từ trong hộp.
Tính xác suất để trong n quả cầu lấy ra có k (k n) quả cầu đỏ.
Gọi A là biến cố trong n quả cầu lấy ra có k quả cầu đỏ C P(A) k Cn M N kM CnN Nhận xét:
Khi tính xác suất của các biến cố, ta không cần phải chỉ ra các biến cố sơ
cấp có thể xảy ra và các biến cố sơ cấp thuận lợi mà chỉ cần chỉ ra số các biến
cố sơ cấp có thể xảy ra, số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho các biến cố đó.

Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có hạn chế là: Chỉ xét cho hệ hữu hạn các biến
cố sơ cấp, không phải lúc nào cũng phân tích được thành các biến cố đồng khả năng.
1.3.2 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê:

Giả sử thực hiện 1 phép thử nào đó n lần độc lập (kết quả của phép thử sau
không phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước), trong đó biến cố A xảy ra m lần.
Khi đó: m gọi là tần số xuất hiện của biến cố A. m Khi n
, tần xuất f đạt giá trị ổn định và giá trị đó được xem là xác suất của biến cố A.
Ta có: P( A) lim f lim m n nn
Ví dụ 1.24: Thống kê kết quả xổ số kiến thiết cửa một Tỉnh từ 01/01/2006 đến
21/01/2010 với tổng số lần quay 12715, kết quả như sau

Số bóng Số lần Tỷ lệ 0 1266 9.96% 1 1305 10.26% 2 1224 9.63% 3 1276 10.04% 4 1251 9.84%
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 6 lOMoARcPSD|453 155 97 5 1289 10.14% 6 1262 9.93% 7 1298 10.21% 8 1253 9.85% 9 1291 10.15% Tổng 12715 100%
Theo công thức xác suất cổ điển, xác suất để mỗi quả bóng rơi xuống lòng
cầu trong một lần quay lòng cầu là 10%. Bảng thống kê trên cho thấy tỷ lệ xuất
hiện của mỗi quả bóng cũng giao động quanh 10%.

Ví dụ 1.25: Tiến hành sản xuất thử trên một hệ thống máy thu được kết quả như sau: Số sản phẩm n 100 150 200 250 300
Số sản phẩm khuyết tật m 14 12 22 24 32 Tần xuất f 0.14 0.08 0.11 0.096 0.106
Sản xuất một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Chúng ta quan tâm tỷ lệ
sản phẩm khuyết tật. Như vậy số sản phẩm sản xuất ra n là số phép thử độc lập,
số sản phẩm khuyết tật thu được m. Kết quả trên cho thấy khi n tăng dần, tần xuất
f thay đổi và đạt tới giá trị ổn định là 0,1. Có thể cho rằng, xác suất của biến cố 1
sản phẩm sản xuất bị khuyết tật hay tỷ lệ sản phẩm khuyết tật của hệ thống là 0.1.

1.3.3 Định nghĩa xác suất theo hình học
Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp là miền hình học W
(đoạn thẳng, hình phẳng, khối không gian,…) có số đo (độ dài, diện tích, thể
tích,…) hữu hạn, khác không. Giả sử một chất điểm rơi ngẫu nhiên vào miền
W, xét miền con A của W. Khi đó xác suất để chất điểm rơi vào miền A là:
Số đo miền A P(A) = Chất điểm Số đo miền W
Ví dụ 1.26: Ném chất điểm vào trong hình vuông có A B
cạnh dài 2R. Tính xác suất để chất điểm đó rơi vào
hình tròn nội tiếp hình vuông. A . O
Giải: Gọi A là biến cố chất điểm rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông .
Trường hợp có thể của phép thử được biểu diễn D 2R C
bằng hình vuông ABCD.
Trường hợp thuận lợi của biến cố A được biểu
diễn bằng hình tròn (O,3). S S R 2 Suy ra: (O,R) (O,R) P(A) S S ( ABCD) ( ABCD) 4R 2 4
Ví dụ 1.27: (Bài toán hai người gặp nhau)
Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 7 giờ đến 8 giờ. Mỗi
người đến (chắc chắn sẽ đến) điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập với
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 7 h n g h ĩ a x á c s u t t h e o l ố i c đ i ể n t r o n g t r ư n g h ợ p s ố k h n ă n g c ó t h ể x ả y r a l à v ô h n y .
Biểu diễn x, y lên hệ trục tọa độ Descartes. (II) 8hA1 N
Chọn gốc tọạ độ là lúc 7h. Trườ
ng hợp có thể của phép thử: 1 B .
Wx, y : 0 x, y 1 được biểu diễn bằng hình vuông OABC. A P 3 1/3 M . W 4 1 1 O 1 x y 3 y x 3 C Ta có: x y 7h 1 8h á 3 1 1 1/3Q x (I) x y y x c 3 3 T r ư n g t h ợ p t h u n l ợ i c h í o b i ế n c A đ ư c b i ể u d i ễ n n b ằ n g đ a g i á c O M N B P Q . h c S h u y t r c a x a á x c á s c u ấ s u t c t : a i) A A W : l 0 à : P ( A P(A) ) N h 1 ậ n xét: Đ ị n h n g h ĩ a x á ii) P c s u ấ t t h e o h ì n h h c đ ư ợ c x e m ( n h ư l à s ự m ở r ộ n g c a đ n A) 1 P(A) t ) { h + A iii)
P( ) = 0, với là biến cố rỗng. P ( A iv)
P(W) = 1, với W là biến cố chắc c P 1 1 chắn. ( B A , v)
Nếu A B thì P(A) P(B). c ) 2 1 A n . g ) 2 4 P P ( A , ( 1 M A A A , T v B à 3 ) A S A )
1, A2 và A3 là ba biế Ố n B n cố bất kỳ: P ( A C l P } 2 Ô à ( l N A A à h G a 1 3 h ệ T i A ) H + b b 2 i P i C ế A ( ế A T n n 3 Í c 1 c N ) H = A b P x X 2 ( u Á t A A n C g k 1 3 S k U ) ) : + h
Xét hệ các biến cố {A1, A2, …, An }: T P n P c 1 n ( PA i = P ( A ( .
i ) - P(A i A j ) + P(A i A j A k )( 1) A t i 1 i 1 A Đ ặ c 4 2 B b i ệ t : n . ) ) g 1 + i = P ) đ C ( ô ô P N A i n ( ế g A 3 u t ) h ì :
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống k ê 8 lOMoARcPSD|453 155 97 n n P A i = P ( Ai ) i 1 i 1 n
ii) Nếu {A1, A2 ,…, An }là hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi thì P(A i ) 1 i 1
Ví dụ 1.28: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá
1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra.

Giải: Gọi A là biến cố không có phế phẩm trong 6 sản phẩm
lấy ra B là biến cố có đúng một phế phẩm.
C là biến cố có không quá một phế phẩm.
Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc và C = A B C 6 28 2 Ta có 8 P(A) C 6 210 15 10 C1.C5 112 8 2 8 P(B) C 6 210 15 10 P(C) P(A) P(B) 2 8 15 15 23
Ví dụ 1.29: Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh
viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất
một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kỳ. Chọn ngẫu
nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó được thêm điểm.

Giải: Gọi A là biến cố gọi được sinh viên được tăng điểm.
B là biến cố gọi được sinh viên giỏi ngoại ngữ.
C là biến cố gọi được sinh viên giỏi tin học.
Khi đó A = B C, với B và C là hai biến cố không xung
khắc Ta có: P(A) = P(B C) = P(B) + P(C) – P(B C) 30 40 20 50 100 100 100 100
Ví dụ 1.30: Chọn ngẫu nhiên 6 cây bài từ bộ bài có 52 cây bài. Tính xác suất để
ít nhất có 2 cây 9 nút.

Giải: Gọi A là biến cố chọn ít nhất 2 cây 9 nút từ 6 cây bài chọn ra.
Ai là biến cố chọn được i cây 9 nút từ 6 cây bài chọn ra (i 0,4) .
Suy ra: A A 2 A 3 A4
Ta có: Hệ các biến cố {A2 , A3 , A4 } xung khắc từng đôi, nên:
P(A) P(A2 A3 A4 ) P(A2 ) P(A3) P(A4 )
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 9 lOMoARcPSD|453 155 97 C2C4 C3C3 C4C2 4 4 8 4 4 8 4 48 0.06 C 6 6 6 52 C52 C52
1.4.2 Công thức nhân xác suất
Xác suất có điều kiện, ký hiệu P(A\B): Là xác suất của biến cố A với điều
kiện biến cố B đã xãy ra.

Ví dụ 1.31: Hộp có 10 viên bi trong đó có 4 viên màu đỏ, 6 viên màu trắng. Lần
lượt rút không hoàn lại 2 viên bi. Giả sử lần thứ nhất rút được bi màu đỏ, tính
xác suất để lần thứ hai rút được bi màu đỏ.

Giải: Gọi Ai là biến cố rút được bi màu đỏ lần thứ i. 3
Công thức nhân xác suất:
A và B là hai biến cố bất kỳ: P(A B) = P(A)P(B\A) = P(B)P(A\B)
Xét hệ các biến cố {A1, A2, …, An }: n n 1 P A i
= P(A1) P(A2\A1) P(A3\A1 A2) ... P An \ A i i 1 i 1 Đặc biệt:
Nếu A và B độc lập thì P(A∩B) = P(A) P(B)
Nếu hệ các biến cố {A1, A2, …, An }độc lập toàn phần thì n n P A i =P A i i 1 i 1
Ví dụ 1.32: Tung ngẫu nhiên đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để cả 2
con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.

Giải: Gọi A là biến cố cả hai súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.
Ai là biến cố súc sắc thứ i xuất hiện mặt 6 chấm (i = 1, 2)
Ta có: A= A1 A2
Do A1 và A2 độc lập, nên: P(A) P(A1 A 2 ) P(A1 )P(A 2 ) 1 1 6 16 36
Ví dụ 1.33: Thi 2 môn, xác suất đậu môn thứ nhất là 0.6. Nếu môn thứ nhất đậu thì khả
năng sinh viên đó đậu môn thứ hai là 0.8. Nếu môn thứ nhất không đậu thì khả năng
sinh viên đó đậu môn thứ 2 chỉ là 0.6. Tính xác suất trong các trường hợp sau:

a) Sinh viên đó đậu chỉ một môn.
b) Sinh viên đó đậu 2 môn.
Giải: a. Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu chỉ một môn.
Ai là biến cố sinh viên đó đậu môn thứ i (i =1, 2).
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 10 lOMoARcPSD|453 155 97
Ta có: A A1 A 2 A1 A2
Suy ra: P(A) P(A1 A 2 A1 A 2 ) P(A1 A 2 ) P(A1 A 2 )
P(A1)P(A2 \ A1) P(A1)P(A2 \ A1) = 0.6 0.2 + 0.4 0.6 = 0.36 b.
Gọi B là biến cố sinh viên đậu hai môn.
Ta có: B A1 A 2 P(A1 )P(A 2 \ A1 ) 0.6 0.8 0.48
Ví dụ 1.34: Hai xạ thủ mỗi người bắn một phát đạn vào bia. Xác suất bắn trúng
của người thứ nhất là p = 0.9; của người thứ hai là p = 0.7. Giả sử hai người
bắn độc lập với nhau, tính xác suất để:

a) Cả hai đều bắn trúng.
b) Có đúng một viên đạn trúng bia.
c) Bia bị trúng đạn.
Giải : Gọi A là biến cố xạ thủ I bắn trúng bia.
B là biến cố xạ thủ II bắn trúng bia.
C là biến cố cả hai xạ thủ trúng bia.
D là biến cố có một viên đạn trúng bia.
E là biến cố bia bị trúng đạn.
a) Xác suất để cả hai đều bắn trúng: Ta có C = A
B P(C) = P(A B) = P(A) P(B) = 0.9 0.7 = 0.63
b) Xác suất để có một viên đạn trúng bia: Ta có: D A B A B . Vì A B và A
B là xung khắc với nhau
P(D) P(A B) P(A B) P(A)P(B) P(A)P(B) P D 0.1 0.7 0.9 0.3 0.34
c.) Xác suất để bia bị trúng đạn: Ta có: E A B
P(E) P(A B) P(A)P(B) 0.3 0.1 0.03
P(E) = 1 – 0.03 = 0.97
1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Giả sử {A1, A2,. . ,An } là hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi và B là biến cố
bất kỳ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Ai (i= 1, .. , n). Khi đó
xác suất B được tính bởi công thức:
n P(B) P(A
(công thức đầy đủ) i )P(B / Ai ) i 1 P(A P(Ak )P(B / Ak ) k )P(B / Ak ) P(A (công thức Bayes) k / B) n P(B) P(Ai )P(B / Ai ) i 1
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 11 lOMoARcPSD|453 155 97
Chú ý: Vận dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes để giải một
bài toán, vấn đề quan trọng là phải chỉ ra được nhóm biến cố đầy đủ và xung
khắc từng đôi. Trong thực tế việc này thường gặp ở 2 hình thức sau:

Công việc tiến hành trải qua 2 phép thử. Thực hiện phép thử thứ nhất ta có một
trong n khả năng xảy ra là các biến cố A1 , A2 ,..., An . Sau khi thực hiện phép thử thứ nhất ta
thực hiện phép thử thứ hai. Trong phép thử thứ hai ta quan tâm đến biến cố B.
Khi đó biến cố B sẽ được tính theo công thức xác suất đầy đủ với hệ biến cố
đầy đủ và xung khắc từng đôi là các biến cố Ai (i 1, n) .

Một tập hợp chứa n nhóm phần tử. Mỗi nhóm phần tử có một tỷ lệ phần tử có tính
chất P nào đó. Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra 1 phần tử. Gọi Ai là biến cố chọn được phần tử
thuộc nhóm thứ i. Khi đó xác suất của biến cố chọn được phần tử có tính chất P trong phép thử
sẽ được tính theo công thức xác suất đầy đủ với hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
là Ai (i 1, n) .
Ví dụ 1.35: Xét một lô sản phẩm, trong đó sản phẩm của nhà máy 1 chiếm 20%, nhà
máy 2 sản phẩm chiếm 30%, nhà máy 3 sản phẩm chiếm 50%. Tỷ lệ phế phẩm của nhà
máy 1, 2, 3 lần lượt là 0.001; 0.005; 0.006. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng
a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm.
b/ Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm đó là của nhà máy 1.
Giải : Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm là phế phẩm.
A1, A2, A3 lần lượt là biến cố lấy được sản phẩm của nhà máy 1, 2, 3.
Do {A1, A2, A3 } là hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi nên a.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: 3 P(B) =
P(A i )P(B / A i ) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) i 1 20 30 50 = 100 0.001 + 100 0.005 + 100 0.006 = 0.0047.
b.Theo công thức bayes, ta có:
P(A / B) P(A1)P(B / A1) 0.2 0.001 =0.0426 1 P(B) 0.0047
Ví dụ 1.36: Một phân xưởng sản xuất chi tiết máy có hai máy: Máy I sản xuất 60% sản phẩm
của phân xưởng; Máy II sản xuất 40% sản phẩm của phân xưởng. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của
máy I là 0,1 và tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của máy II là 0,05. Sản phẩm của phân xưởng sau khi sản
xuất được đem trộn lẫn với nhau. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của phân xưởng thì thấy sản
phẩm đó là sản phẩm bị lỗi, tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Giải: Gọi B1 là biến cố sản phẩm lấy ra do máy I sản xuất.
B2 là biến cố sản phẩm lấy ra do máy II sản xuất.
A là biến cố sản phẩm lấy ra là sản phẩm bị lỗi.
B1, B2 lập thành hệ biến cố đầy đủ và xung khắc.
Theo công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B1)P(A/B2) = 0.08.
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 12 lOMoARcPSD|453 155 97
Theo công thức Bayes: P(B )P( A / B ) 0.6 0.1 1 / A) P(B1 1 0.75 . P( A) 0.08
Vậy xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất là P(B1\A) = 0.75.
Ví dụ 1.37: Có 3 hộp đựng sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm, trong đó sản
phẩm loại I lần lượt là 2, 3, 4. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn, rút
ra ngẫu nhiên một sản phẩm.

a) Tính xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm loại I.
b) Nếu sản phẩm rút ra là sản phẩm loại I, thì theo bạn sản phẩm đó có khả
năng thuộc hộp nào nhiều nhất, tại sao?
Giải: Gọi B là biến cố rút được sản phẩm là sản phẩm loại I.
Ai là biến cố chọn được hộp thứ i ( i 1,3). a.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) P(A1)P(B / A1) P(A2 )P(B / A2 ) P(A3 )P(B / A3 ) 1 2 3 4 3
3 10 13 10 13 10 10 0.3 b.
Theo công thức Bayes, ta có: 1 2 P(A1)P(B / A1) 2 P(A / B) 3 10 1 P(B) 3 9 10 1 3 P
(A 2)P(B / A2) 3 10 1 3 P(A2 / B) P(B) 3 3 9 10 1 4
P(A3 )P(B / A3 ) 3 10 4 P(A3 /B) P(B) 3 9 10
So sánh các kết quả, ta thấy phế phẩm rút ra có khả năng thuộc hộp thứ III nhiều nhất.
1.4.4 Công thức Bernoulli
Ta tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ xảy ra hai
trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p hoặc biến cố A không xảy ra
với xác suất q = 1 – p. Khi đó xác suất để trong n phép thử độc lập, biến cố A
xuất hiện k lần được được tính bằng công thức:

P n; k; p Cnk pk 1 p n k
(công thức Bernoulli)
Ví dụ 1.38: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để
một máy bị hư trong một ca sản xuất là bằng nhau và bằng p = 0.1. Tính xác
suất để trong 1 ca có hai máy bị hư.

Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 13 lOMoARcPSD|453 155 97
Giải: Do 5 máy hoạt động độc lập nên ta có thể coi như tiến hành 5 phép thử độc lập và
mỗi phép thử chỉ có hai kết cục máy hoạt động tốt hoặc máy bị hư với xác suất p = 0.1.
Theo công thức Bernoulli, xác suất để trong 1 ca có hai máy bị hư:
P(5; 2; 0.1)= C 2 (0.1)2 (0.9)3 5
Ví dụ 1.39: Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi.
Mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Giả sử
sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu hỏi. Tính xác suất để:

a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm).
b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.
Giải: Gọi A là biến cố sinh viên vừa đủ điểm đậu.
Xem việc chọn câu trả lời ở mỗi câu hỏi của sinh viên là 1 phép thử thì
trong mỗi phép thử có 1 trong 2 khả năng xảy ra :
Sinh viên trả lời đúng với xác suất là p =0.25.
Sinh viên trả lời sai với xác suất là q =0.75. a. P(A) P(10; 5; 0.25) C 5 10 0.25 5 0.75 5 0.058 b.
Gọi B là biến cố sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.
B là biến cố sinh viên không chọn đúng câu hỏi
nào. Ta có: P(B) P 10; 0; 0.25 C 0
10 0.25 0 0.75 10 0.75 10
P(B) 1 P(B) 1 0.75 10 0.056
Ví dụ 3.40: Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0.8. Có người nói rằng cứ 10 người
đến chữa bệnh thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không?

Giải: Ta có thể xem việc chữa bệnh cho 10 người là một dãy của một phép thử
độc lập. Nếu gọi A là biến cố chữa khỏi bệnh cho một người thì P(A) = 0.8

Do đó: Xác suất để trong 10 người đến chữa bệnh thì có 8 người khỏi bệnh là: P(10; 8; 0.8) = C 8 10
(0.8)8 (0.2)2 0.3108.
Vậy điều khẳng định trên là sai.
Định nghĩa: Một lược đồ Bernoulli mở rộng gồm:
Dãy n phép thử độc lập.
Hệ biến cố {A1 , A2 ,..., Ak } đầy đủ, xung khắc.
Trong đó: P( A1 ) p1 , P( A2 )
p2 ,..., P( Ak ) pk và p1 p2 ... pk 1.
1.4.5 Công thức Bernoulli mở rộng
Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập, hệ biến cố {A1 , A2 ,..., Ak } là đầy đủ, xung khắc
từng đôi và P( A1 ) p1 , P( A2 ) p2 ,..., P( Ak ) pk và p1 p2 ... pk 1. Khi đó xác suất để trong
n phép thử độc lập, biến cố A1 xảy ra m1 lần, biến cố A2 xảy ra m2 lần , …, biến cố Ak xảy
ra mk lần (trong đó m1 m2 ... mk n ) là được tính theo công thức:
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 14 lOMoARcPSD|453 155 97 m m P(n; m , m ,..., m ) n! p 1 .p 2 ...p mk 1 2 k m !m !...m ! 1 2 k 1 2 k
Ví dụ 1.41: Lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 30 sản phẩm loại A, 50 sản
phẩm loại B và 20 sản phẩm loại C. Lần lượt rút có hoàn lại 9 sản phẩm để
kiểm tra. Tính xác suất để trong 9 lần rút đó có 3 lần rút được sản phẩm loại A,
4 lần rút được sản phẩm loại B và 2 lần rút được sản phẩm loại C.

Giải: Gọi A, B, C lần lượt là biến cố rút được sản phẩm loại A, B, C trong mỗi lần rút.
Rõ ràng hệ biến cố A, B,C đầy đủ và xung khắc từng đôi. 30 50 20 và P( A) , P(B) , P(A) 100 100 100
9! 30 3 50 4 20 2 Do đó: P(9;3A,4B,2C) 0.086
3!4!2! 100 100 100 BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1: Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một nhóm 5 ngườ i sao cho:
a/ Có ít nhất 1 nữ.
b/ Số nữ nhiều hơn số nam.
Bài 2: Ở một hội đồng nhân dân tỉnh có 20 đại biểu trong đó có 6 người nữ.
Để điều hành một công việc nào đó cần thành lập một tiểu ban gồm 5 người. Tính
xác suất sao cho trong tiểu ban đó có số đại biểu nam không ít hơn 3.

Bài 3: Một lớp có 30 học sinh gồm: 10 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi văn, 10 học
sinh giỏi ngoại ngữ. Trong đó có 5 học sinh vừa giỏi ngoại ngữ và toán, 3 học sinh vừa giỏi
ngoại ngữ và văn, không có học sinh nào giỏi văn và toán hoặc giỏi cả 3 môn. Chọn ngẫu
nhiên một học sinh, tính xác suất để được học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn nói trên.

Bài 4: Theo thống kê trung bình một năm (365 ngày) có 60 ngày có mưa
thật to, 40 ngày có gió thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to vừa gió thật
lớn). Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm là có thời tiết bất
thường (có mưa thật to hoặc có gió thật lớn).

Bài 5: Trong cơ quan có 100 người. Trong đó có 60 người gần cơ quan, 30 nữ,
40 nam gần cơ quan. Tính xác suất để gọi ngẫu nhiên một người trong danh sách
a/ Người đó phải trực cơ quan (theo quy định của cơ quan thì người nào
hoặc là nam hoặc gần cơ quan sẽ phải tham gia trực).
b/ Người đó phải trực cơ quan với điều kiện người đó là nữ.
Bài 6: Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục

tiêu hoặc hết đạn thì ngừng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là 0,6.
a/ Nếu người đó có 4 viên đạn. Tính xác suất để bắn đến viên đạn thứ tư.
b/ Nếu người đó có số viên đạn không hạn chế. Tính xác suất để việc
bắn ngừng lại ở lần thứ tư.
Bài 7: Có 3 hộp bi, mỗi hộp có 10 bi. Trong hộp thứ i có i bi đỏ, (10 –
i) bi trắng (i = 1,2,3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. Tính xác suất
a/ Cả 3 bi lấy ra đều đỏ.
b/ 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, 1 bi trắng.
c/ Biết 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, 1 bi trắng. Tính xác suất bi lấy ra từ hộp thứ hai màu trắng.
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 15 lOMoARcPSD|453 155 97
Bài 8: Hộp I có 15 lọ thuốc tốt, 5 lọ thuốc hỏng.
Hộp II có 17 lọ thuốc tốt, 3 lọ thuốc hỏng.
Hộp III có 10 lọ thuốc tốt, 10 lọ thuốc hỏng.
a/ Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất để có 1 lọ thuốc hỏng.
b/ Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ra 3 lọ. Tính xác suất
để được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng.
c/ Trộn chung 3 hộp lại rồi từ đó lấy ra 3 lọ. Tính xác suất để được 3 lọ thuốc tốt.
d/ Kiểm tra từng lọ ở hộp II cho đến khi phát hiện đủ 3 lọ thuốc hỏng thì dừng lại.
Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4.
Bài 9: Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất để các khẩu súng bắn
trúng mục tiêu lần lượt là: 0,7 ; 0,8 ; 0,5 (mỗi khẩu bắn 1 viên). Tính xác suất để:
a/ Có 1 khẩu bắn trúng.
b/ Có 2 khẩu bắn trúng.
c/ Có ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
d/ Khẩu thứ nhất bắn trúng, biết rằng có 2 viên trúng.
Bài 10: Có 2 chuồng thỏ: Chuồng thứ nhất có 5 con đực và 2 con cái; Chuồng thứ
hai có 2 con đực và 4 con cái. Từ chuồng thứ nhất có 1 con thỏ chạy qua chuồng thứ hai
(không rõ giới tính). Sau khi con thỏ từ chuồng thứ nhất chạy qua thì từ chuồng thứ hai ta
bắt ra 1 con. Tính xác suất con thỏ bắt ra từ chuồng thứ hai là con thỏ đực.

Bài 11: Một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi, nếu bi lấy ra là
bi đỏ thì bỏ vào hộp 1 bi xanh, nếu bi lấy ra là bi xanh thì bỏ vào hộp 1 bi đỏ. Sau đó từ
hộp ta lấy tiếp ra 1 bi.
a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần sau là bi đỏ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra (lấy lần đầu và lấy lần sau) cùng màu.
c/ Nếu 2 bi lấy ra cùng màu, tính xác suất để 2 bi này cùng màu xanh.
Bài 12: Một cuộc thi có 3 vòng thi: Vòng I lấy 90% thí sinh; vòng II lấy
80% thí sinh của vòng I và vòng III lấy 90% thí sinh của vòng II.
a/ Tính xác suất để thí sinh lọt qua 3 vòng thi.
b/ Tính xác suất để thí sinh đó bị loại ở vòng II, nếu biết rằng thí sinh đó bị loại.
Bài 13: Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con
mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra 1 con đem bán. Các con
gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà
nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu?

Bài 14: Một công ty bảo hiểm cho người bị tai nạn. Công ty chia khách
hàng của mình ra thành 3 nhóm: Người ít bị rủi ro, người bị rủi ro trung bình
và người thường xuyên bị rủi ro với tỷ lệ là: 60% , 30% và 10%. Xác suất bị rủi
ro của các nhóm lần lượt là: 0,01 ; 0,05 ; 0,1.

a/ Tính tỷ lệ người bị tai nạn trong năm.
b/ Nếu người bị tai nạn trong năm, họ có khả năng thuộc nhóm nào nhiều nhất?
Bài 15: Có 20 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Trong đó có:
- 8 kiện loại I, mỗi kiện có 1 phế phẩm;
- 7 kiện loại II, mỗi kiện có 3 phế phẩm;
- 5 kiện loại III, mỗi kiện có 5 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm a/ Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm.
b/ Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất kiện lấy ra là loại II.

Bài 16: Ở hội chợ có 3 cửa hàng: Cửa hàng loại I phục vụ những người “may mắn”
bán hàng có tỷ lệ phế phẩm là 1%; Cửa hàng loại II phục vụ những người “bình thường”
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 16 lOMoARcPSD|453 155 97
bán hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%; Cửa hàng loại III phục vụ những người “rủi ro”
bán hàng có tỷ lệ phế phẩm là 10%. Một người vào hội chợ phải gieo 2 đồng xu.
Người đó là may mắn nếu cả 2 đồng xu đều sấp, là rủi ro nếu cả 2 đồng xu đều
ngửa. Tính xác suất để 1 người vào hội chợ và mua phải hàng xấu.

Bài 17: Một công ty có 30 công nhân nam và 20 công nhân nữ. Xác suất tốt
nghiệp PTTH của nam là 20%, của nữ là 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong công ty
a/ Tính xác suất để người này tốt nghiệp PTTH.
b/ Trong điều kiện gặp được người tốt nghiệp PTTH, tính xác suất để người này là nam.
Bài 18: Tỷ lệ hút thuốc ở một địa phương là 40%. Theo thống kê, tỷ lệ người mắc
bệnh phổi trong số những người hút thuốc là 70%, trong số những người
không hút thuốc là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người ở địa phương này thì thấy
người đó mắc bệnh phổi. Tính xác suất người đó có hút thuốc.

Bài 19: Hai nhà máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của
máy I gấp đôi máy II. Tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy I là 64%, của máy II là
80%. Lấy ngẫu nhiên 1 chi tiết từ lô hàng do 2 nhà máy sản xuất thì được chi
tiết đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất để chi tiết đó do máy I sản xuất.

Bài 20: Theo kết quả điều tra, tỷ lệ bệnh lao ở một vùng là 0,1%. Tính xác
suất để khi khám cho 10 người:
a/ Có 5 người bệnh lao.
b/ Có ít nhất 1 người bệnh lao.
Bài 21: Một sinh viên thi trắc nghiệm môn ngoại ngữ gồm 20 câu hỏi. Mỗi
câu có 4 phần để chọn, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên đó đã
biết rõ 8 câu hỏi, còn lại thì chọn một cách ngẫu nhiên.

a/ Tính xác suất để sinh viên đó làm đúng được toàn bài.
b/ Nếu chọn đúng từ phân nữa trở đi thì sinh viên đó sẽ đậu. Tính xác
suất để sinh viên đó đậu.
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 17 lOMoARcPSD|453 155 97
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1
BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN)
2.1.1 Các định nghĩa
Biến ngẫu nhiên là biến dùng để biểu thị các giá trị cho các kết quả của một phép thử
ngẫu nhiên. Ta thường dùng các kí hiệu X, Y, Z,… để biểu thị cho biến ngẫu nhiên. Ví dụ 2.1:
Tung một con súc sắc, gọi X là biểu thị số chấm xuất hiện trên mặt con
súc sắc. Khi đó, X là BNN.

Đo chiều cao của các thiếu niên Việt Nam ở độ tuổi 13. Gọi Y là chiều
cao đo được của các sinh viên. Giả sử Y [1m ; 1.5m]. Vậy Y là BNN.
Phân loại BNN:
+ BNN rời rạc: là BNN có một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá
trị. Các giá trị có thể của BNN X được ký hiệu x1, x2, …
+ BNN liên tục: là BNN mà các giá trị của nó lắp đầy một khoảng
trên trục số. Trong ví dụ 2.1, X là BNN rời rạc, Y là BNN liên tục.
2.1.2 Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của BNN rời rạc.
Bảng gồm 2 dòng: Dòng trên ghi các giá trị có thể có của BNN là: x1, x2, .. , xn; dòng
dưới ghi các xác suất tương ứng là: P1, P2, .. , Pn. X x1 x2 x3 . . . xn P P1 P2 P3 . . . Pn Chú ý:
P(X = xi): Xác suất để BNN X nhận giá trị xi. n Pi = 1 i 1
Ví dụ 2.2: Tung 1 con súc sắc, gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt của một con
súc sắc. Khi đó bảng phân phối xác suất của X là:
X 1 2 3 4 5 6 P 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
Ví dụ 2.3: Tiến hành thử độ bền của 3 loại vật liệu, với điều kiện vật liệu thử trước phải vượt
qua được phép thử mới thử tiếp vật liệu sau. Biết rằng khả năng vượt qua phép thử của các

vật liệu đều bằng 0.8. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số vật liệu vượt qua phép thử.
Giải: Gọi X là số vật liệu vượt qua phép thử. A i
là biến cố vật liệu thứ i vượt qua phép thử i 1,3. Ta có: P(X=0)=P( A1 )=0.2
Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê 18