Bài giảng vi phân và đạo hàm cấp cao

Tài liệu gồm 20 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề vi phân và đạo hàm cấp cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 

58 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

20 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
Mục tiêu
Kiến thức
+ Trình bày được định nghĩa vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n.
Kĩ năng
+ Tính được vi phân của hàm số

f
x tại
0
x
cho trước.
+ Tìm vi phân của hàm số

f
x
.
+ Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.
+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n.
+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan
đến đạo hàm cấp 2,3.
TOANMATH.co
m
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Vi phân
Cho hàm số
y
fx xác định trên

;ab và có đạo hàm tại

;
x
ab
. Gọi
x
là số gia của
x
.
Ta gọi tích

.
xx
là vi phân của hàm số
yfx tại
x
ứng với số
gia
x
. Kí hiệu
df x hoặc dy , tức là
 
.dy df x f x x

.
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là

000
..
f
xxfxfxx

Đạo hàm cấp cao
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số
f
có đạo hàm
f
. Nếu
f
cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của
f
và được
kí hiệu là
f

, tức là

f
f

.
+ Đạo hàm cấp
n : Cho hàm số
f
có đạo hàm cấp 1n
( với
,2nn ) là

1n
f
. Nếu

1n
f
cũng có đạo hàm thì đạo hàm
của nó được gọi là đạo hàm cấp
n của
f
và được kí hiệu là

n
f
, tức là


1nn
ff
.
+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai
s
t

là gia tốc tức thời của chuyển động

s
st
tại thời điểm t .
Nếu chọn hàm số
yx
thì ta
có
1.dy dx x x.
Do vậy ta thường kí hiệu
x
dx và
dy f x dx
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính vi phân
Bài toán 1. Tìm vi phân của hàm số
Phương pháp giải
TOANMATH.co
m
Trang 3
a) Tính vi phân của hàm số
f
x tại
0
x
cho trước:
- Tính đạo hàm của hàm số tại
0
x
.
- Vi phân của hàm số tại
0
x
ứng với số gia
x
là
 
00
.df x f x x
.
b) Tìm vi phân của hàm số

f
x .
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Vi phân của hàm số
.dy df x f x x
.
Ví dụ. Cho hàm số
32
3x 2x 7yx
a)Tính vi phân của hàm số tại điểm
0
1x
,ứng với
số gia
0,02x
.
b) Tìm vi phân của hàm số.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2
362yfx x x

.
Do đó vi phân của hàm số tại điểm
0
1x
,ứng với
số gia
0,02x là
2
1 1 . 3.1 6.1 2 .0,02 0,14df f x
 .
b)
2
.362dyfxxxxdx
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
32
45yx x . Tính vi phân của hàm số tại điểm
0
1x , ứng với số gia
0,02x .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
34
y
fx x x

. Do đó vi phân của hàm số tại điểm
0
1x ,ứng với số gia 0,02x là
2
1 1 . 3.1 4.1 .0,02 0,02df f x
 .
Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số
2
1
x
y
x
Hướng dẫn giải
Ta có
 
222 2
22 2
2
22 2
12 1 1
1
11 1
xx xx x
y dy y dx dx
x
xx x
 






.
Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
Phương pháp giải
Để tính gần đúng giá trị của hàm số

f
x
tại điểm
0
x
xx cho trước, ta áp dụng
công thức
 
000
.
f
xxfxfxx
 .
Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của 49,25 (lấy 5
chữ số thập phân trong kết quả).
Hướng dẫn giải
Ta có 49,25 49 0,25 .
Xét hàm số
 
1
2
fx x f x
x
 .
TOANMATH.co
m
Trang 4
Chọn
0
49x
và
0, 25x
, ta có
000
.
f
xxfxfxx

1
49 0,25 49 .0,25 7 0,01786
249

7,01786
Vậy
49 0,25 7,01786 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Tính gần đúng
1
0,9995
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
11
0,9995 1 0,0005
.
Xét hàm số
 
2
11
fx f x
x
x

.
Chọn
0
1x và 0,0005x , ta có
000
.
f
xxfxfxx


1
1 1. 0,0005 1,0005
1 0,0005

Ví dụ 2. Tính gần đúng
sin 46
.
Hướng dẫn giải
Ta có

sin 46 sin 45 1 sin
4 180




.
Xét hàm số
sin cos
f
xxfx x
 .
Chọn
0
4
x
và
180
x
 , ta có
000
.
f
xxfxfxx

22
sin sin cos .
4 180 4 4 180 2 360





.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Vi phân của hàm số

2
3
f
xxx tại điểm
2x
, ứng với
0,1x
là
A. -0,07. B. 10. C. 1,1. D. -0,4.
Câu 2: Vi phân của hàm số
2
5yxx bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
1
25
dy dx
x
x
.
B.
2
25
5
x
dy dx
x
x
.
C.
2
25
25
x
dy dx
x
x

.
D.
2
25
25
x
dy dx
x
x
.
Câu 3: Vi phân của hàm số sin cosyx x x là
TOANMATH.co
m
Trang 5
A.

2sin cosdy x x x dx . B.
cosdy x xdx
C.
cosdy x x
D.
sin cosdy x x dx
Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của
3
tan
380



được kết quả
A. 1,2608. B. 1,2611. C. 1,3391 D. 1,3392.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

sin
cot
cos
dx
x
dx
 .
B.

sin
tan
cos
dx
x
dx
 .
C.

sin
cot
cos
dx
x
dx
.
D.

sin
tan
cos
dx
x
dx
.
Câu 6: Cho hàm số

2
1yfx x. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số
f
x ?
A.
21dy x dx . B.

2
1dy x dx . C.

21dy x. D.
1dy x dx .
Câu 7: Vi phân của hàm số
32
9125yx x x là
A.
2
31812dy x x dx . B.
2
31812dy x x dx .
C.
2
31812dy x x dx
. D.
2
31812dy x x dx
Câu 8: Vi phân của hàm số là
2
1yxlà
A.
2
1
1
dy dx
x
.
B.
2
1
x
dy dx
x
.
C.
2
2
1
x
dy dx
x
. D.
2
2
1
1
x
dy dx
x
.
Câu 9: Vi phân của hàm số là 32yxlà
A.
3
32
dy dx
x
. B.
1
23 2
dy dx
x
.
C.
1
32
dy dx
x
. D.
3
23 2
dy dx
x
.
Câu 10: Vi phân của hàm số
23
21
x
y
x
là
A.

2
8
21
dy dx
x

. B.

2
4
21
dy dx
x
.
C.

2
4
21
dy dx
x

. D.

2
7
21
dy dx
x

.
Câu 11: Hàm số sin cosyx x x có vi phân là
A.
cos sindy x x x dx . B.
cosdy x x dx .
C.
cos sindy x x dx . D.

sindy x x dx .
TOANMATH.co
m
Trang 6
Câu 12: Xét hàm số

2
1cos2yfx x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

2
sin 4
21 cos2
x
df x dx
x
.
B.

2
sin 4
1cos2
x
df x dx
x
.
C.

2
cos 2
1cos2
x
df x dx
x
. D.

2
sin 2
1cos2
x
df x dx
x
.
Câu 13: Vi phân của hàm số
tan
x
y
x
là
A.
2
2
4cos
x
dy dx
x
xx
. B.

2
sin 2
4cos
x
dy dx
x
xx
.
C.
2
2sin2
4cos
xx
dy dx
xx x
. D.
2
2sin2
4cos
xx
dy dx
xx x
.
Câu 14: Cho hàm số
3
1
3
y
x
. Vi phân của hàm số là
A.
1
4
dy dx . B.
4
1
dy dx
x
. C.
4
1
dy dx
x
 . D.
4
dy x dx .
Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
Bài toán 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số
Phương pháp giải
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp
hai
y
y

. Tính
0
y
x

.
+ Cấp 3,4… ta tính tương tự.
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số
2
cosyx .
Hướng dẫn giải
Ta có

2
1
cos 1 cos 2 sin 2
2
yx xy x

2cos2 4sin2yxyx
 

.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số
31
2
x
y
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có




2
243
72
714
222
x
yy
xxx













34
4
64 8 5
14 2 42 2
42 168
22 2 2
xx
yy
xx x x







.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số
2
sin 2yx .
Hướng dẫn giải
TOANMATH.co
m
Trang 7
Ta có

2
1
sin 2 1 cos4
2
yx x
2sin4 8cos4 32sin4yxy xy x
 


45
128cos4 512sin 4yxyx 
Bài toán 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
Phương pháp giải
Bước 1:
Tính ,,yy y

. Dựa vào các đạo hàm
vừa tính, dự đoán công thức tính

n
y .
Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là
đúng bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số
*
sinyxn .
Hướng dẫn giải
Ta có: cos sin 1.
2
yxx




;
sin sin 2.
2
yxx





;
Dự đoán:

*
sin ,
2
n
yxnn




.

1
Chứng minh

1 bằng quy nạp:
1n :

1 Hiển nhiên đúng.
Giả sử

1 đúng với 1nknghĩa là
sin
2
k
yxk




Ta phải chứng minh

1 đúng với 1nk nghĩa là
ta phải chứng minh


1
sin 1
2
k
yxk




.
2
Thật vậy, xét
2 ta có
'
1
sin cos
22
kk
VT y y x k x k










sin 1
2
x
kVP




.
Suy ra
2 đúng,nghĩa là

1 đúng với
1nk
.
Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức
*
sin ,
2
n
yxnn




TOANMATH.co
m
Trang 8
Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm
,,yy y

, tìm ra quy luật để dự đoán công thức
n
y chính xác
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Tìm đạo hàm cấp
n
của hàm số
31
2
x
y
x
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
  
23 4
7 7.2 7.2.3
,,
22 2
yy y
xx x

 


.
Bằng quy nạp ta chứng minh



1
1.7.!
2
n
n
n
n
y
x
.
2
Với
1
n
ta thấy
2 đúng.
Giả sử
2 đúng với
nk
, tức là



1
1.7.!
2
k
k
k
k
y
x
.
Ta có:







1
1
122
1 .7. 1 .7. !. 1 1 .7. 1 !
222
kk k
k
kkk
kkk k
y
xxx








.
Do đó
2
đúng với mọi số tự nhiên
n
.
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số
31
2
x
y
x
là



1
1.7.!
2
n
n
n
n
y
x
.
Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để
chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, bất phương trình.
Ví dụ. Cho hàm số sinyx x
Chứng minh

.2 sin 0xy y x xy

 .
Hướng dẫn giải
Ta có

sin ' .sin . sinyxx yx xx x



sin cosyxxx


sin cos ' sin cosyxxx xxx




cos '.cos . cos 2cos sin
x
xxxx xxx

.
Ta có
.2 sin 0xy y x xy


TOANMATH.co
m
Trang 9
2
2cos sin 2 sin cos sin sin 0xxxx xxxxxx
22
2cos sin 2cos sin 0xxx xxxx x
00
(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
2
2yxx
. Chứng minh
3
.10yy


.
Hướng dẫn giải
Ta có:

22
22
11
2'.2
22 2
x
yxxy xx
x
xxx


.


22
2
2
1.2 2 .1
2
x
xx xx x
y
xx



2
2
2
2
1
2.1
2
2
x
x
xx
xx
xx

2
2
23
22 2
21
1
2.2 2
xx x
x
xxx xx



.
Ta có
3
32
3
2
1
.10 2 . 10 110
2
yy x x
xx

  
(điều phải chứng minh).
Ví dụ 2. Cho hàm số
33
sin cos
1sin.cos
x
x
y
x
x
. Chứng minh
0yy


.
Hướng dẫn giải
Ta có:
22
sin cos sin cos sin cos
1sincos
x
xx xxx
y
xx

sin cos 1 sin cos
sin cos
1sincos
xx xx
x
x
xx

cos sin sin cosyxxy xx

 .
TOANMATH.co
m
Trang 10
Ta có
0sincossincos000yy x x x x


(điều phải chứng minh).
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
24
43
x
y
xx

. Giải phương trình
0y

.
Hướng dẫn giải
Ta có

2
2
22
24
43
21
x
x
y
xx
x





 



22
222
22
22 22222.22 222
21
21 21
xx xxx
y
x
xx






 
 

 


2
2
2
222
21
x
y
x











   

2
222
4
2
42 21 222.2 2122
21
xx x x x
x
 
 
 



  

222
4
2
42 21 21222
21
xx x x
x






 

22
4
2
42 21 23
21
xx x
x






.
Ta có
 

22
4
2
42 21 23
00
21
xx x
y
x








.
Điều kiện:

2
210x 
.
Khi đó 0 2 0 2yx x

.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Đạo hàm cấp hai của hàm số
32
4fx x x
tại điểm 1
x
là
A. 1. B. 10. C. 4. D. 16.
TOANMATH.co
m
Trang 11
Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số
31
2
x
y
x
là
A.

2
10
2
y
x

.
B.

4
5
2
y
x


.
C.

3
5
2
y
x


.
D.

3
10
2
y
x


.
Câu 3: Cho

sin 3
f
xx
. Giá trị của
2
f




bằng
A. -9. B. 0. C. 9. D. -3.
Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số
2
cosyx là
A. 2cos2yx

 . B. 2sin2yx

 .
C.
2cos2yx

. D.
2sin2yx

.
Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số
sin 3yfx x x là
A.

sin
f
xxx

 . B.
2cos sin
f
xxxx

.
C.
sin cos
f
xxxx

 . D.
1cos
f
xx

 .
Câu 6: Cho hàm số
sinyfx x. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
sin
2
yx




.
B.
sinyx


.
C.
3
sin
2
yx





.
D.

4
sin 2yx

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số sin 5 cos 2yxx là
A.
49sin 7 9sin3yxx

. B.
49sin 7 9sin 3yxx

.
C.
49 9
sin 7 sin 3
22
yxx

.
D.
49 9
sin 7 sin 3
22
yxx

.
Câu 8: Cho hàm số sin 2yx . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 40yy

. B. 40yy

. C. tan 2yy x
. D.

2
2
4yy

.
Câu 9: Cho hàm số
2
23
1
x
x
y
x

. Đạo hàm cấp hai của
f
là
A.

2
1
2
1
y
x


.
B.

3
2
1
y
x

.
C.

3
2
1
y
x

.
D.

4
2
1
y
x

.
Câu 10: Cho hàm số
32
31yx x x . Phương trình 0y

có nghiệm là
A. 2x . B. 4x . C. 1
x
. D. 3x .
Câu 11: Cho
4
cos 2
f
xx x . Tìm
4
f
x .
A.
4
24 16cos 2
f
xx x . B.
4
16cos 2
f
xx .
C.
4
24 8sin 2
f
xx x . D.
4
24 16cos 2
f
xx .
TOANMATH.co
m
Trang 12
Câu 12: Cho hàm số
2
1yx
khẳng định nào đúng?
.2Iyy x
;
2
.II y y y

.
A. Chỉ
I . B. Chỉ

II . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 13: Cho hàm số
2
13yxx. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

2
.1yyy


.
B.

2
2. 1yyy


C.

2
.1yy y


D.

2
.1yyy


Câu 14: Cho hàm số
21
f
xx.Giá trị của

1f

bằng
A. 3. B. -3. C.
3
2
.
D. 0.
Câu 15: Cho hàm số
cos 2
f
xx . Tính
Pf

.
A. 4
P
. B. 0P . C. 4
P
 . D. 1
P
 .
Câu 16: Xét hàm số cos 2
3
yx




. Nghiệm
0;
2
x



của phương trình

4
8fx
là
A.
2
x
. B. 0,
6
xx
. C. 0,
3
xx
. D. 0,
2
xx
.
Câu 17: Cho hàm số
1
y
x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
3
20yy

. B.
3
2yy

. C.

2
20yy y


.
D.

2
2yy y

Câu 18: Cho hàm số
2
sin 2yx . Giá trị của biểu thức

3
16 16 8yy y y


là
A. -8. B. 0. C. 8. D.
16sin 4
x
.
Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số cos 2yx là
A.


1cos2
2
n
n
yxn




.
B.

2cos2
2
n
n
yx




.
C.

1
2cos2
2
n
n
yxn




.
D.

2cos2
2
n
n
yxn




.
Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số
21yx
là
A.


1
21
1 .3.5... 3 1
21
n
n
n
n
y
x

.
B.


1
21
1 .3.5... 2 1
21
n
n
n
n
y
x

.
C.


1
21
1 .3.5... 2 1
21
n
n
n
n
y
x

.
D.


1
21
1 .3.5... 2 3
21
n
n
n
n
y
x

.
Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số
2
21
32
x
y
x
x

là
A.





11
5. 1 . ! 3. 1 . !
21
nn
n
nn
nn
y
xx




.
B.





11
5. 1 . ! 3. 1 . !
21
nn
n
nn
nn
y
xx




.
TOANMATH.co
m
Trang 13
C.





11
5. 1 . ! 3. 1 . !
:
21
nn
n
nn
nn
y
xx



.
D.





11
5. 1 . ! 3. 1 . !
21
nn
n
nn
nn
y
xx




.
Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số
2
56
x
y
xx

là
A.





11
1.3.! 1.2.!
32
nn
n
nn
nn
y
xx




.
B.





1.3.! 1.2.!
32
nn
n
nn
nn
y
xx



.
C.





11
1.3.! 1.2.!
32
nn
n
nn
nn
y
xx




.
D.





11
1.3.! 1.2.!
32
nn
n
nn
nn
y
xx




.
Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số
cos
f
xxa là
A.


2021
cos
2
fx xa




.
B.


2021
sin
2
fx xa




.
C.


2021
cos
2
fx xa




.
D.


2021
sin
2
fx xa




.
Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số
sin 2yx
là
A.

1
2sin2
2
n
n
yxn




.
B.

1
2sin2
2
n
n
yxn




.
C.

2sin2
2
n
n
yx




.
D.

2sin2
2
n
n
yxn




.
Câu 25: Cho hàm số sin 3 .cos sin 2yxxx. Giá trị của

10
3
y



gần nhất với số nào dưới đây?
A. 454492. B. 2454493. C. 454491. D. 454490.
Câu 26: Cho hàm số sin
2
x
y . Đạo hàm

n
y
là
A.
1
sin
222
n
x
n



.
B. sin
22
x
n



.
C.
2sin
22
n
x
n



.
D.
1
sin
22
n
x
n



.
Câu 27: Cho hàm số

9
2
321fx x x
. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm 0x .
A.

6
0 60480f  B.

6
0 34560f 
C.

6
0 60480f D.

6
0 34560f
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4
TOANMATH.co
m
Trang 14
ĐÁP ÁN
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN
Dạng 1. Tính vi phân
1 - C 2 - D 3 - B 4 - A 5 - A 6 - A 7 - A 8 - B 9 - D 10 - A
11 - B 12 - B 13 - C 14 - C
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có:
6 1 2 11 2 2 11.0,1 1,1fx x f df f x

 .
Câu 2.
Ta có
2
25
25
x
dy y dx dx
x
x

.
Câu 3.

sin cos 1.sin .cos sin cosdy x x x dx x x x x dx x xdx

.
Câu 4.
Xét hàm số
2
tan 1 tan
f
xxfx x
 .
Chọn
0
3
x
và
3
80
x
 , ta có
000
.
f
xxfxfxx

2
33
tan tan 1 tan . 1, 2608
380 3 3 80





.
Câu 5.
Ta có




sin sin
cos
cot
cos sin
cos
dx xdx
x
x
dx x
xdx

.
Câu 6.
Ta có
 
2
121dy x dx x dx



.
Câu 7.
Ta có

32 2
9125 31812dy x x x dx x x dx
 .
Câu 8.
Ta có

2
2
22
1
1
21 1
x
x
dy x dx dx
xx


.
Câu 9.
Ta có

3
32
23 2
dy x dx dx
x

.
TOANMATH.co
m
Trang 15
Câu 10.
Ta có

2
23 8
21
21
x
dy dx dx
x
x





.
Câu 11.
Ta có

sin cos sin cos sin cosdy x x x dx x x x xdx x xdx

.
Câu 12.
Ta có


2
222 2
1cos2
2.2.cos2 .sin 2 sin 4 sin 4
2 1 cos 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2
x
xx x x
ydfxdx
x
xx x



.
Câu 13.
Ta có
2
11 1
..tan.
tan
2cos 2
xx
x
x
xx
dy dx dx
x
x





2
11 sin 11
..
2
cos cos 2
x
dx
x
xxx





2
sin cos
.
2.cos
xxx
dx
xx x
2
2sin2
.
4.cos
xx
dx
xx
Câu 14.
Ta có

2
2
34
3
1131
.
33
x
dy dx dx
xx
x




.
Dạng 2. Đạo hàm cấp cao
1 - C 2 - D 3 – A 4 - A 5 – B 6 - D 7 - D 8 – B 9 - B 10 – C
11 – D 12 - D 13 – A 14 – A 15 – C 16 – A 17 – D 18 - B 19 – D 20 - D
21 - D 22 – D 23 - C 24 – D 25 - D 26 – A 27 – A
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có

2
32
f
xxx
.
Suy ra:
62fx x

. Suy ra

14f

.
Câu 2.
Ta có
 
23
55 10
3
2
22
yyy
x
xx



.
TOANMATH.co
m
Trang 16
Câu 3.
Ta có

3sin3
f
xx
, suy ra
9sin3
f
xx

 .
Do đó
3
9sin 9
22
f






.
Câu 4.
2cos . sin sin2 2cos2
y
xx xy x

.
Câu 5.
Ta có

sin 3 sin cosyfx xx xx x


Vậy

sin cos 2cos sinyfx xxx xxx
 
 
.
Câu 6.
Ta có

3
cos sin sin sin sin sin
222 22
yxx y x x y x x









4
3
sin sin 2 sin
22
yx x x





.
Ta có

4
sin 2 sin
x
xy

.
Câu 7.
Ta có:

1
sin5 cos 2x sin 7 sin 3
2
yx xx.
Do đó

1
7cos7 3cos3
2
yxx


1
49sin 7 9sin 3
2
yxx

 .
Câu 8.
Ta có: 2cos 2 4sin 2yxy x

.
Xét đáp án A, 4 4sin 2 4sin 2yy x x

 .
Xét đáp án B,
44sin24sin20yy x x

.
Xét đáp án C,
sin 2
tan 2 2cos2 . 2sin 2
cos 2
x
yx x xy
x
.
Xét đáp án D,

2
222
sin 2 4cos 2 4yy x x

.
Câu 9.
 


2
23
23 1 1 2
21 2
11
11
xx
yfx x y fx y f
xx
x
x

 



.
TOANMATH.co
m
Trang 17
Câu 10.
Tập xác định: D .
Ta có
2
361 66 0 1yx x y x y x


.
Câu 11.
Ta có:

3
42sin2
f
xx x
 , suy ra
2
12 4cos 2 24 8sin 2
f
xx xfxx x
 
 .
Do đó:

 

4
24 16cos 2
f
xfx x


.
Câu 12.
Ta có:

222
1
111
x
yy
xxx



.
Xét
2
2
.1.
1
x
yy x x
x

, do đó khẳng định (I) sai.
Xét


22
22 2
11
.1.
11 1
yy x y
xx x



, do đó khẳng định (II) sai.
Câu 13.
Ta có
 
22
22 2
13 13 2. 32 2. 2. 2 . 1y x x y x x yy x y yy y yy

  .
Câu 14.
Ta có:
 





3
21
21
111
21
21
22 1 2 1 2 1 2 1
21
x
x
fx x f x f x
x
xx xx
x





.






3
2
3
33 5
21
32 1
3
21
21 21 21
x
x
fx
x
xx x



.
Vậy
13f

.
Câu 15.
Ta có:
2sin2 4cos2
f
xxfx x

  .
Do đó:
4f


.
Câu 16.
Ta có:

2sin 2
3
fx x





4cos 2
3
fx x





TOANMATH.co
m
Trang 18

8sin 2
3
fx x







4
16cos 2
3
fx x




.
Xét phương trình


4
1
8cos2
32
fx x

 


2
22
33
2
2
22
6
33
xk
xk
x
k
xk













.
Mà
0;
2
x



nên chỉ có giá trị
2
x
thỏa mãn.
Câu 17.
Ta có
23
12
yy
x
x

 .
Xét đáp án A,
3
3
36
21 2
20 . 20 20yy
xx x


  


(vô lí).
Xét đáp án B,

2
2
32 4
21 1 4
20.2 0 0yy y
xx x x





(vô lí).
Xét đáp án C,
3
3
36
21 2
2. 2 2yy
xx x


 


(vô lí).
Xét đáp án D,

2
2
3244
21 1 2 2
2.2yy y
x
xxxx





(đúng).
Câu 18.
Ta có:

3
2
1cos4
sin 2 2sin 4 8cos4 32sin 4
2
x
y xy y xy xy x


.
Khi đó

3
16 16 8 32sin 4 8cos4 32sin 4 8 1 cos 4 8 0yy y y x x x x

 .
Câu 19.
Ta có
23
2cos 2 ; 2 cos 2 2 ; 2 cos 2 3
222
yxy xy x


 



.
Bằng quy nạp ta chứng minh được

2cos2
2
n
n
yxn




.
Câu 20.
Ta có
 
35
113
,,
21
21 21
yy y
x
xx



.
TOANMATH.co
m
Trang 19
Bằng quy nạp ta chứng minh được



1
21
1.3.5...23
21
n
n
n
n
y
x

.
Câu 21.
Ta có:
53
21
y
x
x


.
Bằng quy nạp ta chứng minh được





11
5. 1 . ! 3. 1 . !
21
nn
n
nn
nn
y
xx




.
Câu 22.
Ta có:
2
3223;56 2 3xx x xx x x .
Suy ra
32
32
y
x
x


.
Mà








11 1
1.1.! 1.! 1.!
11
,
23
22 3
nn n
nn
n
nn n
nn n
xx
xx x








nên ta có





11
1.3.! 1.2.!
32
nn
n
nn
nn
y
xx




.
Câu 23.
Ta có

sin cos ;
2
fx xa xa





2
sin cos ;
22
fx xa xa





…


2021
2021
cos cos
22
fx xa xa

 


.
Câu 24.
Ta có:
23
2sin 2 , 2 sin 2 2 , 2 sin 2 3 ;...
222
yxy xy x






Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

y 2 sin 2
2
n
n
xn




.
Câu 25.
Ta có

11
sin3 .cos sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 4 sin 2
22
yxxx xx x xx.
Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được



1
sin 1 sin
2
nn
n
n
ax a ax




.
Do đó

  

99
10
10 10 10 10
11
1 4 .sin 5 4 1 .2 .sin 5 2 4 .sin 4 2 sin 2
22
yx x x x x

 
TOANMATH.co
m
Trang 20

10
454490,13
3
y




Câu 26.
Chứng minh bằng quy nạp

1
sin
222
n
n
x
n
y




.
1
Với
1n
ta có
11
cos sin
222 22
xx
y




.
Giả sử
1 đúng với
*
,nkk tức là ta có

1
sin
222
k
k
x
k
y




.
Chứng minh

1 đúng với
1nk
tức là cần chứng minh


1
1
1
1
sin
222
k
k
k
x
y




.
Thật vậy,ta có


11
1
111
sin cos sin
222 2 222 22
k
kkk
k
xk xk x
y




 



 


 


.
Câu 27.
Giả sử
218
01 2 18
...
f
xaaxax ax .
Khi đó




66
212
67 8 18 6
6!. ... 0 720
f
xabxbx bxf a .
Ta có

9
99
222
9
0
3 21 123 23
k
k
k
x
xxxCxx
 



99
2
99
00 00
23 23
kk
i
ki i
ki kiki ki
kk
ki ki
CCx x CC x


 

Số hạng chứa
6
x
ứng với ,ki thỏa mãn

09
;6;0,5;1,4;2,3;3
6
ik
ki
ki



   


023
606 514 422 330
696 95 94 93
6
23 23 23 23 84
0 720. 64 60480.
aCC CC CC CC
f




| 1/20
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐẠO HÀM
BÀI GIẢNG VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu Kiến thức
+ Trình bày được định nghĩa vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n. Kĩ năng
+ Tính được vi phân của hàm số f x tại x cho trước. 0
+ Tìm vi phân của hàm số f x .
+ Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.
+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n.
+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan
đến đạo hàm cấp 2,3. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vi phân
Cho hàm số y f x xác định trên a;b và có đạo hàm tại Nếu chọn hàm số y x thì ta
x a;b . Gọi x là số gia của x .
có dy dx  1. x   x.
Do vậy ta thường kí hiệu
Ta gọi tích f  x.x là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số x dxvà dy f xdx.
gia x . Kí hiệu df x hoặc dy , tức là
dy df x  f  x.x .
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là
f x x
  f x f x . . x 0   0   0  Đạo hàm cấp cao
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f  . Nếu f  cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được
kí hiệu là f , tức là f   f    .
+ Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 n 1 n 1
( với n  , n  2 ) là f  . Nếu f  cũng có đạo hàm thì đạo hàm n
của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f , tức là n n   f   1 f   .
+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai st  là gia tốc tức thời của chuyển động s s t
tại thời điểm t .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính vi phân
Bài toán 1. Tìm vi phân của hàm số Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 2
Ví dụ. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2x  7
a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x  1,ứng với 0
số gia x  0, 02 .
b) Tìm vi phân của hàm số. Hướng dẫn giải
a) Tính vi phân của hàm số f x tại x cho trước: 0
a) Ta có y  f  x 2
 3x  6x  2 .
- Tính đạo hàm của hàm số tại x . 0
Do đó vi phân của hàm số tại điểm x  1,ứng với 0
- Vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x là 0 số gia x   0,02 là
df x f x .x . 0   0 
df    f   x    2 1 1 .
3.1  6.1 2.0,02  0,14 .
b) Tìm vi phân của hàm số f x .
b) dy f  xx    2 .
3x  6x  2dx .
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Vi phân của hàm số dy df x  f  x.x . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y x  4x  5. Tính vi phân của hàm số tại điểm x  1, ứng với số gia 0 x   0,02 . Hướng dẫn giải
Ta có y  f  x 2
 3x  4x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x 1,ứng với số gia x   0,02 là 0
df    f   x    2 1 1 . 3.1   4.1 .0,02  0  ,02 . x
Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số y  2 x 1 Hướng dẫn giải  2 2 2 2  x x 1 2xx 1 x 1 Ta có y     dy y dx   dx  . 2   x 1  2x  2 1  2x  2 1  2x  2 1
Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số Phương pháp giải
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f xVí dụ. Tính gần đúng giá trị của 49,25 (lấy 5
tại điểm x   x x
 cho trước, ta áp dụng chữ số thập phân trong kết quả). 0  Hướng dẫn giải
công thức f x  x f x f x .x . 0   0   0 
Ta có 49, 25  49  0, 25 .
Xét hàm số f x  x f  x 1  . 2 x TOANMATH.com Trang 3
Chọn x  49 và x   0,25 , ta có 0
f x  x f x f x .x 0   0   0  1  49  0, 25  49  .0, 25  7  0,01786 2 49  7,01786
Vậy 49  0, 25  7,01786 . Ví dụ mẫu 1
Ví dụ 1. Tính gần đúng . 0,9995 Hướng dẫn giải 1 1 a) Ta có  . 0,9995 1 0,0005 1 1
Xét hàm số f x   f  x   . 2 x x
Chọn x  1 và x   0
 ,0005 , ta có f x  x f x f x .x 0   0   0  0 1  11. 0  ,0005 1,0005 1 0,0005
Ví dụ 2. Tính gần đúng sin 46 . Hướng dẫn giải    
Ta có sin 46  sin 45 1  sin    .  4 180 
Xét hàm số f x  sin x f  x  cos x .   Chọn x  và x  
, ta có f x  x f x f x .x 0   0   0  0 4 180        2 2  sin   sin  cos .     .  4 180  4 4 180 2 360
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Vi phân của hàm số f x 2
 3x x tại điểm x  2 , ứng với x   0,1 là
A. -0,07. B. 10. C. 1,1. D. -0,4.
Câu 2: Vi phân của hàm số 2
y x  5x bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x  5 A. dy dx . B. dy dx . 2 2 x  5x 2 x  5x 2x  5 2x  5 C. dy  
dx . D. dy dx . 2 2 x  5x 2 2 x  5x
Câu 3: Vi phân của hàm số si
y x n x  cos x là TOANMATH.com Trang 4
A. dy  2sin x x cos xdx . B. dy x cos xdx
C. dy x cos x
D. dy  sin x  cos xdx   3 
Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan    được kết quả  3 80 
A. 1,2608. B. 1,2611. C. 1,3391 D. 1,3392.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng? d sin xd sin xA.    . B.   tan x . x cot x d cos d cos xd sin xd sin xC.   . D.  tan x . x cot x d cos d cos x
Câu 6: Cho hàm số y f x   x  2
1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f x ?
A. dy  2 x  
1 dx . B. dy   x  2
1 dx . C. dy  2 x  
1 . D. dy   x   1 dx .
Câu 7: Vi phân của hàm số 3 2
y x  9x 12x  5 là A. dy   2
3x 18x 12dx . B. dy   2 3
x 18x 12dx .
C. dy   2
3x 18x 12dx . D. dy   2 3
x 18x 12dx
Câu 8: Vi phân của hàm số là 2
y  1 x là 1 x A. dy dx . B. dy dx . 2 1 x 2 1 x 2x 2 1 x C. dy dx . D. dy dx . 2 1 x 2 1 x
Câu 9: Vi phân của hàm số là y  3x  2 là 3 1 A. dy dx . B. dy dx . 3x  2 2 3x  2 1 3 C. dy
dx . D. dy dx . 3x  2 2 3x  2 2x  3
Câu 10: Vi phân của hàm số y  là 2x 1 8 4 A. dy  
dx . B. dy dx . 2x  2 1 2x  2 1 4 7 C. dy  
dx . D. dy   dx . 2x  2 1 2x  2 1 Câu 11: Hàm số sin y x
x  cos x có vi phân là
A. dy   x cos x  sin xdx . B. dy   x cos xdx .
C. dy  cos x  sin xdx . D. dy   xsin xdx . TOANMATH.com Trang 5
Câu 12: Xét hàm số y f x 2
 1 cos 2x . Khẳng định nào sau đây đúng? sin 4x sin 4x
A. df x 
dx . B. df x  dx . 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x cos 2x sin 2x
C. df x 
dx . D. df x  dx . 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x tan x
Câu 13: Vi phân của hàm số y  là x 2 x sin 2 x A. dy
dx . B. dy dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
2 x  sin 2 x
2 x  sin 2 x C. dy
dx . D. dy dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x 1
Câu 14: Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số là 3 3x 1 1 1
A. dy dx . B. dy
dx . C. dy   dx . D. 4 dy x dx . 4 4 x 4 x
Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
Bài toán 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số Phương pháp giải
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số 2 y  cos x .
hai y   y . Tính y x . 0  Hướng dẫn giải
+ Cấp 3,4… ta tính tương tự. 1 Ta có 2
y  cos x  1 cos 2x  y  sin 2x 2  y  2c
 os 2x y  4sin 2x . Ví dụ mẫu 3x 1
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y  . x  2 Hướng dẫn giải  7  x  2  7 2   1  4 Ta có y   y   x  22 x  24 x  23  
14  x  23  4  2 x  2    42 4     4 168  y    y   . x  26 x  24 x  28 x  25
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số 2 y  sin 2x . Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 6 1 Ta có 2
y  sin 2x  1 cos 4x 2
y  2sin 4x y  8cos 4x y  3  2sin 4x 4 5  y  128 
cos 4x y  512sin 4x
Bài toán 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số Phương pháp giải
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số y x  * sin n    . Hướng dẫn giải   
Bước 1: Tính y , y , y  . Dựa vào các đạo hàm Ta có: y  cos x  sin x 1.   ;  2 
vừa tính, dự đoán công thức tính ny .   
y  sin x  sin x  2.   ;  2     Dự đoán: n * y  sin x n , n      .   1  2 
Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là Chứng minh   1 bằng quy nạp:
đúng bằng phương pháp quy nạp.  n  1:   1 Hiển nhiên đúng.  Giả sử  
1 đúng với n k  1nghĩa là   k
y  sin x k    2  Ta phải chứng minh  
1 đúng với n k 1 nghĩa là ta phải chứng minh     k 1  y
 sin x  k   1 . 2  2 
Thật vậy, xét 2 ta có  '        k 1 kVT y
  y   sin x k  cos x k          2   2      sin x   k  1  VP  .  2 
Suy ra 2 đúng,nghĩa là  
1 đúng với n k 1.
Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức   n  *
y  sin x n , n       2  TOANMATH.com Trang 7
Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y , y , y  , tìm ra quy luật để dự đoán công thức ny chính xác Ví dụ mẫu 3x 1
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y  . x  2 Hướng dẫn giải 7  7.2 7.2.3  Ta có: y  , y  , y  . x  22 x  23 x  24 1 nn n .7. !
Bằng quy nạp ta chứng minh     y  . 2
x  2n 1
 Với n  1ta thấy 2 đúng. 1 kk k .7. !
 Giả sử 2 đúng với n k , tức là     y  .
x  2k 1    k   k k      k k 1 k .7.  1k .7. !. 1  k 1 1 .7. 1 ! 1   Ta có:     y        .
  x 2k 1   
x  2k2
x  2k2
Do đó 2 đúng với mọi số tự nhiên n .
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số 3x 1 1 nn n .7. ! y  là     y  . x  2
x  2n 1
Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ. Cho hàm số si
y x n x
chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh .xy 2 ysin x xy  0.
phương trình, bất phương trình. Hướng dẫn giải Ta có
y   xsin x  y '  x .sin x  . x sin x  
y  sin x x cos x y
sin x xcos x' sin x xcos x      cos x x '.cos x . x cos x   
 2cos x xsin x . Ta có .
x y  2 y  sin x  xy  0 TOANMATH.com Trang 8 xx x x   x x x x 2 2 cos sin 2 sin cos sin
x sin x  0 2 2
 2x cos x x sin x  2x cos x x sin x  0  0  0
(điều phải chứng minh). Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số 2
y  2x x . Chứng minh 3
y .y 1  0 . Hướng dẫn giải  1  1 x Ta có: y   2
2x x   y'  . 2 2x x   . 2 2 2 2x x 2x x   1 x 2
. 2x x   2
2x x  .1 xy   2x x 2 2  2 1 x  2x x  .1 x 2 2x x   2x x 2 2
2x x  1 x2 2 1    .
2x x . 2x x 2  2x x 3 2 2 2 3 1  Ta có 3
y .y 1  0   2
2x x  .       2x x  1 0 1 1 0 3 2
(điều phải chứng minh). 3 3 sin x  cos x
Ví dụ 2. Cho hàm số y
. Chứng minh y  y  0 . 1 sin . x cos x Hướng dẫn giải x x 2 2 sin cos
sin x  cos x  sin x cos x Ta có: y  1 sin x cos x
sin xcos x1sin xcos x 
 sin x  cos x 1 sin x cos x
y  cos x  sin x y  sin x  cos x . TOANMATH.com Trang 9
Ta có y  y  0  sin x  cos x  sin x  cos x  0  0  0 (điều phải chứng minh). 2x  4
Ví dụ 3. Cho hàm số y
. Giải phương trình y  0 . 2 x  4x  3 Hướng dẫn giải 2x  4 2 x  2 Ta có y   2
x  4x  3 x  22 1 
 2x  2  2x  22  2 2x  2.2x  2 2
 x  22  2  y         x 22 1     x  2 2 1 x  2 2 2 2 1         2
 x  22  2   y       x  2 2 2 1      4
 x  2 x  2 2 2 1   2
 x  22  2.2 x  22 1 2x  2        x  2 4 2 1  
4 x  2  x  22 1  x  22 1 2 x  22  2      x  2 4 2 1  
4 x  2  x  22 1  x  22  3      . x  2 4 2 1  
4 x  2  x  22 1  x  22  3 Ta có y 0         0 . x  2 4 2 1  
Điều kiện:  x  2 2 1  0 . Khi đó 0
y   x  2  0  x  2  .
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f x 3 2
x x  4 tại điểm x  1 là
A. 1. B. 10. C. 4. D. 16. TOANMATH.com Trang 10 3x 1
Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  là x  2 10 5 5 10 A. y 
. B. y  
. C. y  
. D. y   . x  22 x  24 x  23 x  23   
Câu 3: Cho f x  sin 3x . Giá trị của f     bằng  2 
A. -9. B. 0. C. 9. D. -3.
Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số 2
y  cos x là
A. y  2c  os 2x .
B. y  2s  in 2x .
C. y  2cos 2x .
D. y  2sin 2x .
Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số y f x  xsin x  3 là
A. f  x  xsin x .
B. f  x  2cos x xsin x .
C. f  x  sin x x cos x . D. f  x 1 cos x .
Câu 6: Cho hàm số y f x  sin x . Khẳng định nào sau đây sai?   
A. y  sin x    .
B. y  sin  x   .  2   3 
C. y  sin x    . D. 4 y
 sin 2  x  2 
Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 5x cos 2x là
A. y  49sin 7x  9sin 3x . B. y  49
 sin 7x  9sin 3x . 49 9 49 9 C. y 
sin 7x  sin 3x . D. y  
sin 7x  sin 3x . 2 2 2 2
Câu 8: Cho hàm số y  sin 2x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 4y y  0 . B. 4y y  0 . C. y y tan 2x . D. y   y2 2  4 . 2 2  x  3x
Câu 9: Cho hàm số y
. Đạo hàm cấp hai của f là 1 x 1 2
A. y  2  . B. y  . 1 x2 1 x3 2  2 C. y  . D. y  . 1 x3 1 x4 Câu 10: Cho hàm số 3 2
y x  3x x 1. Phương trình y  0 có nghiệm là
A. x  2 . B. x  4 . C. x  1 . D. x  3 .
Câu 11: Cho f x 4
x  cos 2x . Tìm 4 f x . A. 4
f x  24x 16cos 2x . B. 4
f x  16cos 2x . C. 4
f x  24x  8sin 2x . D. 4
f x  24 16cos 2x . TOANMATH.com Trang 11 Câu 12: Cho hàm số 2
y x 1 khẳng định nào đúng?
I  .yy  2x ;
II  2y.y  y.
A. Chỉ I  . B. Chỉ II  . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Câu 13: Cho hàm số 2
y  1 3x x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.y2  . y y  1  .
B.y2  2 . y y  1
C. y y   y2 . 1
D.y2  . y y  1
Câu 14: Cho hàm số f x  2x 1 .Giá trị của f   1 bằng 3
A. 3. B. -3. C. . D. 0. 2
Câu 15: Cho hàm số f x  cos 2x . Tính P f   .
A. P  4 . B. P  0 . C. P  4  . D. P  1  .      
Câu 16: Xét hàm số y  cos 2x    . Nghiệm x  0; của phương trình 4 fx  8  là  3   2        A. x
. B. x  0, x
. C. x  0, x
. D. x  0, x  . 2 6 3 2 1
Câu 17: Cho hàm số y  . Khẳng định nào dưới đây đúng? x A. 3 y y
  2  0 . B. 3 y y
  2 . C. y y    y2 2  0 . D. y y    y2 2 Câu 18: Cho hàm số 2
y  sin 2x . Giá trị của biểu thức 3
y y 16y 16y  8 là
A. -8. B. 0. C. 8. D. 16sin 4x .
Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2x là       A.ny   
1 n cos 2x n
 . B.n  2n y cos 2x    .  2   2         C.nn 1 y
 2 cos 2x n
 . D.n  2n y cos 2x n   .  2   2 
Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số y  2x 1 là   n    n n  n 1 1 .3.5...2 1 n  n 1 1 .3.5...3  1 A. y  . B. y  .
2x  2n 1 1 
2x  2n 1 1    n    n n  n 1 1 .3.5...2 3 n  n 1 1 .3.5...2  1 C. y  . D. y  .
2x  2n 1 1 
2x  2n 1 1  2x 1
Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số y  là 2 x  3x  2 5. 1 n  .n! 3.  1 n n 5. 1 n  .n! 3.  1 n n n . ! n . ! A.     y   . B.     y   .
x  2n 1 x  n 1 1 
x  2n 1 x  n 1 1  TOANMATH.com Trang 12 5. 1 n  .n! 3.  1 n n 5. 1 n  .n! 3.  1 n n n . ! n . ! C.     y  : . D.     y   .
x  2n 1 x  n 1 1 
x  2n 1 x  n 1 1  x
Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số y  là 2 x  5x  6 1 n  .3.n!   1 n n 1 n  .3.n!   1 n n n .2. ! n .2. ! A.     y   . B.     y   .
x 3n 1 x  2n 1 x 3nx  2n 1 n  .3.n!   1 n n 1 n  .3.n!   1 n n n .2. ! n .2. ! C.     y   . D.     y   .
x 3n 1 x  2n 1
x 3n 1 x  2n 1
Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f x  cos x a là       A. 20  21 f
x  cos x a    . B. 2  021 f
x  sin x a    .  2   2        C. 2  021 f
x  cos x a    . D. 20  21 f
x  sin x a    .  2   2 
Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số y  sin 2x là         A.nn 1 y
 2 sin 2x n   . B.nn 1 y
 2 sin 2x n   .  2   2       
C.n  2n y sin 2x  
 . D.n  2n y sin 2x n   .  2   2    
Câu 25: Cho hàm số si y  n 3 .
x cos x  sin 2x . Giá trị của 10 y
  gần nhất với số nào dưới đây?  3 
A. 454492. B. 2454493. C. 454491. D. 454490. x
Câu 26: Cho hàm số y  sin . Đạo hàm ny là 2 1  x    x   A. sin  n   . B. sin  n   . 2n  2 2   2 2   x   1  xC. 2n sin  n   . D. sin  n   .  2 2  2n  2 
Câu 27: Cho hàm số f x   x x  9 2 3 2
1 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm 0 x  . A. 6 f 0  60480  B. 6 f 0  34560  C. 6 f 0  60480 D. 6 f 0  34560
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4 TOANMATH.com Trang 13 ĐÁP ÁN
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN
Dạng 1. Tính vi phân 1 - C 2 - D 3 - B 4 - A 5 - A 6 - A 7 - A 8 - B 9 - D 10 - A 11 - B 12 - B 13 - C 14 - C
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1.
Ta có: f  x  6x 1 f 2 11 df 2  f 2 x   11.0,1  1,1. Câu 2. 2x  5
Ta có dy y dx dx . 2 2 x  5x Câu 3.
dy xsin x cos x  
dx  1.sin x  .
x cos x  sin xdx x cos xdx . Câu 4.
Xét hàm số f x 
x f  x 2 tan 1 tan x .  3 Chọn x  và x   
, ta có f x x
  f x f x .x 0   0   0  0 3 80   3       3 2   tan   tan  1 tan .  1, 2608       .  3 80  3  3   80  Câu 5. d sin x
sin x dx cos x Ta có       . x cot x d cos   sin cos x x dx Câu 6.
Ta có dy   x  2
1  dx  2 x   1 dx   . Câu 7. Ta có dy  3 2 x x x      dx   2 9 12 5
3x 18x 12dx . Câu 8. 2  1 x   x Ta có dy   2 1 x    dx   dx . 2 2 2 1 x 1 x Câu 9.
Ta có dy   x   3 3 2 dx dx . 2 3x  2 TOANMATH.com Trang 14 Câu 10.  2x 3    8  Ta có dy dx dx   .  2x 1  2x  2 1 Câu 11.
Ta có dy xsin x cos x  
dx  sin x x cos x  sin xdx   x cos xdx . Câu 12.  2 1 cos 2x  2.2.  cos 2 . x sin 2x sin 4x sin 4x Ta có y   
df x  dx . 2 2 2 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x Câu 13. 1 1 1  . . x  tan x.   2 tan x Ta có 2 x cos x 2 x dy    dx dxx x    1 1 sin x 1  1   .  .  dx  2 2 cos x
cos x 2 x x  
x  sin x cos x  .dx 2 2x x.cos x
2 x  sin 2 x   .dx 2 4 x.cos x Câu 14.  2  1  1 3x 1 Ta có dy dx  .   dx  . 3   3x  3  2 4 3 x x
Dạng 2. Đạo hàm cấp cao 1 - C 2 - D 3 – A 4 - A 5 – B 6 - D 7 - D 8 – B 9 - B 10 – C
11 – D 12 - D 13 – A 14 – A 15 – C 16 – A 17 – D 18 - B 19 – D 20 - D
21 - D 22 – D 23 - C 24 – D 25 - D 26 – A 27 – A
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1.
Ta có f  x 2  3x  2x .
Suy ra: f  x  6x  2 . Suy ra f   1  4 . Câu 2. 5 5 10 Ta có y  3   y   y   . x  2 x  22 x  23 TOANMATH.com Trang 15 Câu 3.
Ta có f  x  3sin 3x , suy ra f  x  9s  in 3x .     3  Do đó f    9s  in   9      .  2   2  Câu 4. y  2cos .
x sin x  sin 2x y  2  cos 2x . Câu 5.
Ta có y f x   xsin x  3  
 sin x x cos x
Vậy y f x  sin x x cos x  
 2cos x xsin x . Câu 6. Ta có              y  x x   y  x    x   3 cos sin sin sin
y   sin x     sin x           2   2 2   2   2      4 3 
y  sin x    sin  
x  2   sin x.  2 2 
Ta có sin 2  x 4
 sin x y . Câu 7. 1
Ta có: y  sin 5x cos 2 x  sin 7x  sin 3x . 2 1 1
Do đó y  7 cos7x  3cos3x  y   49
 sin 7x  9sin 3x . 2 2 Câu 8.
Ta có: y  2cos 2x y  4  sin 2x .
Xét đáp án A, 4y y  4sin 2x  4sin 2x .
Xét đáp án B, 4y y  4sin 2x  4sin 2x  0 . sin 2x
Xét đáp án C, y tan 2x  2cos 2 . x
 2sin 2x y . cos 2x
Xét đáp án D, y   y2 2 2 2
 sin 2x  4cos 2x  4 . Câu 9. 2  
y f x 2x 3x 1   x  
y  f x 1 2 2 1  2 
y  f   . 1 x 1 x 1 x2 1 x3 TOANMATH.com Trang 16 Câu 10.
Tập xác định: D   . Ta có 2
y  3x  6x 1 y  6x  6  y  0  x  1. Câu 11.
Ta có: f  x 3
 4x  2sin 2x , suy ra f x 2
12x  4cos 2x f x  24x 8sin 2x . Do đó: 4 f
x   f x   24 16cos 2x . Câu 12. x 1 Ta có: y   y  . 2 x 1  2x   2 1 x 1 x Xét 2 .
y y  x 1.
x , do đó khẳng định (I) sai. 2 x 1 1 1 Xét 2
y .y   2 x   1 .  
y , do đó khẳng định (II) sai. 2 x   2 2 1 x 1 x 1 Câu 13. Ta có y
x x y   x x y y   x   y2  y y     y2 2 2 2 1 3 1 3 2 . 3 2 2. 2 . 2  . y y  1  . Câu 14. Ta có:  x    2x 1 2 1 1    f x 
x   f  x    
f  x 1 1 2 1    2 2x 1 2x 1 2x 1
2x  1 2x 1 2x  3 1 .    2x  3 1  2 
f x 32x  1 3    . 2x  3 1 2x  3 1 2x  3 1 2x  5 1
Vậy f   1  3 . Câu 15.
Ta có: f  x  2s
 in 2x f  x  4  cos 2x .
Do đó: f    4  . Câu 16.   
Ta có: f  x  2s  in 2x     3    
f x  4  cos 2x     3  TOANMATH.com Trang 17   
f x  8sin 2x     3     4 
f x 16cos 2x    .  3  Xét phương trình   2    2x    k2 x   k       4  fx 1  8   cos 2x    3 3 2        .  3  2  2  2x     k2 
x    k  3 3   6     Mà x  0; 
nên chỉ có giá trị x  thỏa mãn. 2    2 Câu 17. 1 2 Ta có y    y  . 2 3 x x 3 2  1  2 Xét đáp án A, 3 y y   2  0  .  2  0   2  0 (vô lí). 3   6 x x x 2 2 1  1  4 Xét đáp án B, y y
  2 y2  0  .  2   0   0 (vô lí). 3  2  4 x xx x 3 2  1  2 Xét đáp án C, 3 y y   2  .  2   2 (vô lí). 3   6 x x x 2 2 1  1  2 2 Xét đáp án D, y y
  2 y2  .  2    (đúng). 3  2  4 4 x xx x x Câu 18. 1 cos 4x Ta có: 2 3
y  sin 2x y
y  2sin 4x y  8cos 4x y  32  sin 4x . 2 Khi đó 3
y y 16y 16y  8  32sin 4x  8cos 4x  32sin 4x  81 cos 4x 8  0 . Câu 19.          Ta có 2 3
y  2cos 2x
; y  2 cos 2x  2
; y  2 cos 2x  3      .  2   2   2    
Bằng quy nạp ta chứng minh được n  2n y cos 2x n   .  2  Câu 20. 1 1 3 Ta có y  , y   , y   . 2x 1 2x  3 1 2x  5 1 TOANMATH.com Trang 18 n 1   n n 1 .3.5... 2 3
Bằng quy nạp ta chứng minh được       y  .
2x  2n 1 1  Câu 21. 5 3 Ta có: y   . x  2 x 1 5. 1 n  .n! 3.  1 n n n . !
Bằng quy nạp ta chứng minh được     y   .
x  2n 1 x  n 1 1  Câu 22.
Ta có: x   x     x   2 3 2 2
3 ; x  5x  6   x  2 x  3 . 3 2 Suy ra y   . x  3 x  2 n  1 
 1n .1 .nn!  nn 1 .n!  1   1n .n! Mà   ,       x  2 
x  2n 1 x  2n 1  x 3
x 3n 1 1 n  .3.n!   1 n n n .2. ! nên ta có     y   .
x 3n 1 x  2n 1 Câu 23.   
Ta có f  x  sin  x a  cos x a  ;    2        f  x 2
 sin x a
 cos x a  ;      2   2  …       202  1  fx 2021
 cos x a
 cos x a      .  2   2  Câu 24.          Ta có: 2 3
y  2sin 2x
, y  2 sin 2x  2
, y   2 sin 2x  3 ;...        2   2   2    
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n
y  2n sin 2x n   .  2  Câu 25. 1 1 Ta có y  sin 3 .
x cos x  sin 2x  sin 4x  sin 2x  sin 2x  sin 4x  sin 2x . 2 2   n 
Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được 
axn   n 1 sin 1 n a sin  ax   .  2  1 1 Do đó 10 y
x    9 10
1 4 .sin 5  4x   9 10
1 .2 .sin 5  2x   10 10 4
 .sin 4x  2 sin 2x 2 2 TOANMATH.com Trang 19    10   y  454490,13    3  Câu 26. x n 
Chứng minh bằng quy nạp n 1 y  sin    .   1 2n  2 2  1 x 1  x  
Với n  1 ta có y  cos  sin    . 2 2 2  2 2   x k  Giả sử   1 đúng với *
n k, k   tức là ta có k 1 y  sin    . 2k  2 2      x kk 1 1 Chứng minh  
1 đúng với n k 1 tức là cần chứng minh  1   y  sin    . k 1 2  2 2   Thật vậy,ta có      x k   x k   x k    k  1 1 1   1  y   sin   cos   sin           . k k 1  k 1 2  2 2  2  2 2  2  2 2   Câu 27.
Giả sử f x 2 18
a a x a x ... a x . 0 1 2 18 Khi đó 6 fx 2 12 6
 6!.a b x b x ... b x f 0  720a . 6 7 8 18   6 9 9 9 k Ta có  2
3x  2x   1   2
1 2x  3x k  C  2 2x  3x 9  k 0 9 k
 C C x   x  C C   x k k k i i 2   3  9 2 2 3 i k i k i k i k i 9 9 k   k 0 i0 k 0 i0
0  i k  9 Số hạng chứa 6
x ứng với k,i thỏa mãn 
 k;i 
 6;0,5; 1,4;2,3;3 k i  6
a   C C 2  3
 0  C C 2  3    C C 2  3
 2  C C 2  3  3 6 0 6 5 1 4 4 2 2 3 3 0   8  4 6 9 6 9 5 9 4 9 3   6
f 0  720. 64    60480.  TOANMATH.com Trang 20