Bài tập chương 5 - Tối ưu hóa doanh thu và lợi nhuận trong sản xuất độc quyền Môn Toán Kinh Tế |Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

V.7. Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ độc quyền một loại sản
phẩm có hàm cầu cho bởi P = 2800 – 15Q (đơn vị tính USD) với Q = Qd
là lượng cầu (tính bằng số lượng sản phẩm). Cho biết chi phí bình quân là
AC = 2Q2– 12Q + 280 + 1500Q−1 ; Q > 0.
a) Xác định doanh thu và lợi nhuận.
b) Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và xác định giá tương ứng Giải a)
Chi phí là C = Q.AC = Q(2Q2– 12Q + 280 + 1500Q−1 ) = 2Q3– 12Q2 + 280Q + 1500
Doanh thu là R = PQ = (2800 – 15Q)*Q = 2800Q – 15Q2.
Lợi nhuận u = R – C = (2800Q – 15Q2) – (2Q3– 12Q2 + 280Q + 1500)
Hay lợi nhuận là u = – 2Q3 – 3Q2 + 2520Q –1500; Q > 0. b)
Ta cần tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận tức là tìm Q để u lớn nhất.
Ta có Mu = u’ = – 6Q2 – 6Q + 2520 = –6*(Q2 + Q – 420)
u’’ = – 12Q – 6 = – 6*(2Q + 1) < 0; 6 Q > 0
Mu = 0 - – 6Q2– 6Q + 2520 = 0
- [Q = 20 (nhận) hoặc Q = – 21 (loại)]. Tại Q = 20 ta có:
P = 2800 – 15*20 = 2500; u(20) = – 2*203 – 3*202 + 2520*20 –1500 = 31700.
Vì u’’(Q) < 0 (6Q > 0) nên u đạt cực đại tại Q = 20 với u max = 31700
Kết luận: Khi sản lượng Q = 20 thì lợi nhuận lớn nhất là u max =
31700 (USD) và giá tương ứng là P = 2500 (USD)
V.8. Giả sử doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi công thức R =
240Q + 57Q2 – Q3, Q là lượng hàng hóa bán ra. Tìm sản lượng Q để tối ưu
hóa doanh thu và tính doanh thu lúc đó. Giải
Ta cần tìm mức sản lượng để tối ưu hóa doanh thu tức là tìm Q để R lớn nhất.
Ta có MR = R’= – 3Q2 + 114Q + 240 ; Q > 0 R’’ = – 6Q + 114
MR = 0 - – 3Q2 + 114Q + 240 = 0
- [Q = 40 (nhận) hoặc Q = – 2 (loại)]
R’’(40) = – 6*40 + 114 = –1260 < 0 nên R đạt cực đại tại Q = 40 ;
lúc đó Rmax =R (40) = – 403 + 57*402 + 240*40 = 36800.
Kết luận: Khi sản lượng Q = 40 thì doanh thu lớn nhất là Rmax = 36800 (đvt)
V.9. Giả sử hàm cầu của một loại sản phẩm là P = – 5Q + 30 với P là giá
bán sản phẩm, Q là lượng cầu của sản phảm đó. Tìm mức giá P để tối ưu
hóa doanh thu và tính doanh thu lúc đó. Bài giải
Doanh thu là R = PQ = (– 5Q + 30)*Q = 30Q – 5Q2
Ta cần tìm mức giá để tối ưu hóa doanh thu tức là tìm P để R lớn nhất.
Ta có MR = R’= – 10Q + 30 ; Q > 0
R’’ = – 10 < 0 ; 6 Q > 0 MR = 0 - – 10Q + 30 = 0 - Q = 3 (nhận)
P(3) = – 5*3 + 30 = 15 => R= P*Q = 15*3 =45
Vì R’’ < 0 (6Q > 0) nên R đạt cực đại tại P = 15 với Rmax = 45
Kết luận: Khi mức giá P = 15 (đvt) thì doanh thu lớn nhất là Rmax = 45 (đvt)
V.14. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử
hàm cầu (theo giá) của loại sản phẩm này là và hàm tổng
chi phí để đạt mức sản lượng Q là
Hãy tìm mức sản lượng và giá bán để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại. Giải
Vì ta cần tìm sản lượng Q nên trước hết ta biểu diễn giá theo sản lượng. Ta có: Từ đó suy ra: ● Doanh thu: ● Lợi nhuận:
Vấn đề của Kinh tế được chuyển thành bài toán đơn giản trong Toán học:
tìm mức sản lượng Q và giá bán P để lợi nhuận lớn nhất. Ta có: ● ● ● ⟶ [ (nhận) hoặc (loại)]. Tại ta có: ● ● Vì nên đạt cực đại tại và với 
Kết luận: Với sản lượng cầu , giá bán (đvt) thì lợi nhuận cực đại bằng (đvt).
V.15. Một xí nghiệp độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm.
Giả sử hàm cầu của loại sản phẩm này là và hàm chi tổng phí sản xuất ứng là , trong đó là số lượng sản phẩm
được sản xuất và P là mức giá của mỗi sản phẩm được bán ra. Hãy tính
mức lợi nhuận tối đa mà xí nghiệp có thể thu được biết rằng mỗi sản
phẩm bán ra, xí nghiệp phải chịu thêm mức thuế là 2$. Giải
Vì ta cần tìm sản lượng Q nên trước hết ta biểu diễn giá theo sản lượng. Ta có:
Mức thuế trên 1 đơn vị sản phẩm: Từ đó suy ra: ● Doanh thu: ● Lợi nhuận sau thuế: Ta có: ● ● ● ⟶ (nhận) Tại ta có: Vì nên đạt cực đại tại với 
Kết luận: Với sản lượng cầu
thì lợi nhuận cực đại bằng (đvt).
Document Outline

• Giải
• Giải
• Kết luận: Khi sản lượng Q = 40 thì doanh thu lớn n
• Kết luận: Khi mức giá P = 15 (đvt) thì doanh thu l
• Giải
• Giải