Bài tập chuyên đề tích phân bội 3 | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

BK – Đại Cương Môn Phá i
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN BỘI 3 (Nhóm ngành 1)
Bài 17: Tính, ∭ zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi: 0 ≤ x ≤ 1 { x ≤ y ≤ 2x 0 ≤ z ≤ √5 − x2 − y2 GIẢI: 1 2x √5−x2−y2 I = ∫ dx ∫ dy ∫ zdz 0 x 0 1 2x 5 − x2 − y2 = ∫ dx ∫ 0 x 2 dy 1 1 y3 y = 2x = 2∫ (5 − x2)y − 0 3 | dx y = x 1 1 10x3 = 2∫ (5x − 0 3 ) dx 5 = 6
Bài 18: Tính ∭(3xy2 − 4xyz) dxdydz, trong đó miền V xác định bởi V 1 ≤ y ≤ 2 {0 ≤ xy ≤ 2 0 ≤ z ≤ 2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i GIẢI: 1 ≤ y ≤ 2
Cách 1: V  V1 { 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ z ≤ 2 2 2 2
=> I = ∫ dy ∫y dx ∫ (3xy2 − 4xyz)dz 1 0 0 2 2 y
= ∫ dy ∫ (6xy2 − 8xy)dx 1 0 2 2 x = = ∫ (6y2 − 8y) x2 y 1 2 ⌊ dy x = 0 2 16 = ∫ (12 − 1 y ) dy 2 = (12y − 16lny) ⌊ 1 = 12 – 16ln2 u = xy y x 0
Cách 2: Đặt { v = y = > J-1 = D(u,v,w) = |0 1 0| = y = v w = z D(x,y,z) 0 0 1 0 ≤ u ≤ 2 V  V1 { 1 ≤ v ≤ 2 0 ≤ w ≤ 2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2 2 2 3uv − 4uw I = ∫ du ∫ dv ∫ 0 1 0 v dw 2 2 2u 2 = ∫ du ∫ (3uw − 0 1 v w2) | dv 0 2 2 8u = ∫ du ∫ (6u − 0 1 v ) dv 2 2 8 = ∫ udu . ∫ (6 − 0 1 v) dv = 2 . (6 – 8ln2) = 12 – 16ln2
Bài 19: Tính ∭ xyeyz2 dxdydz , trong đó miền V xác định bởi : V 0 ≤ y ≤ 1 { 0 ≤ z ≤ 1 x2 ≤ z ≤ 1 GIẢI: 0 ≤ y ≤ 1 V  V1 { 0 ≤ z ≤ 1 0 ≤ x ≤ √z 1 1 √z
I = ∫ dy ∫ dz ∫ xyeyz2dx 0 0 0 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 1 1 x2 √z = ∫ dy ∫ ( 0 0 2 yeyz2) | dz 0 1 1 zyeyz2 = ∫ dy ∫ 0 0 2 dz 1 eyz2 1 1 ey − 1 = ∫ 0 4 | dy − ∫ dy 0 0 4 ey − y 1 e − 2 = 4 | = 0 4
Bài 20: Tính I = ∭(x2 + y2) dxdydz, trong đó miền V xác định bởi V 2 2 {x2 + y + z ≤ 1 x2 + y2 − z2 ≤ 0 Giải : Cách 1:
Miền V gồm 2 miền V1, V2 đối xứng nhau qua mặt phẳng Oxy - V giớ ạn bở
ặ ầu x2 + y2 + z2 = 1 và mặt nón z = √x2 + y2 - 1 i h i m t c
= > hình chiếu của V1 lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ 1 2 x = rsinθ cosφ Đặt {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) , J = −r2sinθ z = rcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π = >{ 0 ≤ θ ≤ π x`` 4 0 ≤ r ≤ 1 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i
Ta có: I= 2 ∭(x2 + y2) dxdydz V π 2π 1 4
I = 2 ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sin3θ dr 0 0 0 π 1
= 2.2π ∫4 sin3θ dθ ∫ r4dr 0 0 2 5 1 = 2.2π ( √2 3 − 12 ) − 5 4π 8 − 5√2 = 5 . 12 0 ≤ φ ≤ 2π x = rcosφ
Cách 2: đặt {y = rsinφ = > J = r, V1 { 0 ≤ r ≤ 1√2 r ≤ z ≤ √1 − r2 Bài 21: T
ính I = ∭ z√x2 + y2 , trong đó: V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: a2 + y2 = 2x và các mặt phẳng y = 0, z = 0, z = a, ( y ≥ 0, a > 0)
b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2 , z ≥ 0 (a > 0)
c) V là nửa của khối ellipsoid : x2 + y2 z2
a2 + b2 ≤ 1, z ≥ 0 (a, b > 0) GIẢI: Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i
a) Hình chiếu của V lên mặt Oxy là miền D được giới hạn bởi x2 + y2 ≤ 2x và y ≥ 0 x = rcosφ 0 ≤ φ ≤ π/2
Đặt { y = rsinφ (r ≥ 0) => J = r, {0 ≤ r ≤ 2cosφ z = z 0 ≤ z ≤ a π/2 2cosφ a => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ zr2dz 0 0 0 π/2 2cosφ a2r2 = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr a2 π/2 = 6 ∫ 8cos3φ dφ 0 = 8q2 9 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = rcosφ
b) Đặt {y = rsinφ (r ≥ 0),J = r
- Hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy là x2 + y2 ≤ a2 0 ≤ φ ≤ 2π = > V1 {0 ≤ r ≤ a 0 ≤ z ≤ √a2 − r2 2π a √a2− r2 => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ r2zdz 0 0 0 2π a r2(a2−r2) = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr a2r3 r5 a = 2π ( 6 − 10)| 0 = 2πa5 15 x = arcosφ
c) Đặt { y = arsinφ ( r ≥ 0 a, b > 0) z = bz′ = > J= ba2r
- Hình chiếu V lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ a2 0 ≤ φ ≤ 2π => V: {0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ z′ ≤ √1 − r2 2π 1 √1− r2 => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ bz′. ar. ba2rdz ′ 0 0 0 1r2(1 − r2) = b2a32π ∫ 0 2 dr Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2πa3b2 = 15
Bài 22: Tính I = ∭ ydxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón y = √x2 + z2 và V mặt phẳng y = h (h>0) GIẢI: x = rcosφ Đặt { z = rsinφ (r ≥ 0) 0 ≤ φ ≤ 2π
=> V: { 0 ≤ r ≤ h , J = r r ≤ y ≤ h 2π h h
=> I = ∫ dφ ∫ dr ∫ yrdy 0 0 r 2π h rh2−r3 = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr rh2 r4 h = 2π ( 4 − 8)| 0 πh4 = 4
Bài 23: Tính ∭ x2a2 dxdydz , trong đó V: x2a2 + y2b2 + z2c 2 ≤ 1 (a, b, c > 0) v GIẢI: Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = arsinθ cosφ
Đặt {y = brsinθ sinφ (r ≥ 0) z = crcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π
=> {0 ≤ θ ≤ π , J = - abc.r2sinθ 0 ≤ r ≤ 1 2π π 1
=> I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sinθdr 0 0 0 2π π 1
= abc ∫ sin2φdφ ∫ sin3θdθ ∫ r4dr 0 0 0 4 1 4πabc = abc. π. 3 . 5 = 15 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4
Bài 24: Tính ∭(x2 + y2 + z2)dxdydz, với V { z ≥ √x2 + y2 V GIẢI:
V gồm V1 và V2 đối xứng qua Oxy
=> I = 2 ∭(x2 + y2 + z2)dxdydz V1 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 với V1: { z ≥ √x2 + y2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = rsinθ cosφ
Đặt: {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) z = rcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π => V 1 ≤ r ≤ 2 1: { , J = -r2sinθ 0 ≤ θ ≤ π 4 2π π/4 2
=> I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sinθdr 0 0 1 π/4 2
= 2.2π ∫ sinθdθ ∫ r4dr 0 1 31 = 2.2π (1 − √2 2 ) . 5 62π(2 − √2) = 5
Bài 25: Tính ∭ √x2 + y2 dxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi: V 2 2 {x2 + y = z z = −1 GIẢI: x = rcosφ Đặt: {y = rsinφ (r ≥ 0)
Hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ 1 0 ≤ φ ≤ 2π
= > { 0 ≤ r ≤ 1 , J = r −1 ≤ z ≤ −r Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2π 1 −r
=> I = ∫ dφ ∫ dr ∫ r2dz 0 0 −1 2π 1 = ∫ dφ ∫ r2(1 − r)dr 0 0 1 π = 2π. 12 = 6 Bài 26: Tính dxdydz ∭ [x2 + y2 + (z − 2)2]2 V trong đó V: { x2 + y2 ≤ 1 |z| ≤ 1 GIẢI: x = rcosφ Đặt: {y = rsinφ (r ≥ 0) z = 2 + z′ 0 ≤ φ ≤ 2π
=> V: { 0 ≤ r ≤ 1 (J1 = r) −3 ≤ z′ ≤ −1 2π 1 −1 r => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ 0 0 −3 (r2 + z′2)2 dz′ −1 1 r = 2π ∫ dz′ ∫ −3 0 (r2 + z′2)2 dr −1 − 1 1 = 2π ∫ 2 dz′ −3 r2 + z′2 | 0 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i −1 1 1 = π ∫ ( −3 z′2 − 1 + z′2) dz′ −1 −1 = π ( z′ − arctanz′)| −3 2
= π (3 + arctan1 − arctan3 )
Bài 27: Tính ∭ √x2 + y2+z2 dxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi: x2 + y2+z2 ≤ z V GIẢI: x = rsinθ cosφ
Đặt: {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) z = rcosθ 0 ≤ r ≤ cosφ
=> { 0 ≤ θ ≤ π , J = - r2sinθ 2 0 ≤ φ ≤ 2π 2π π/2 cosθ => I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ sinθ. r3dr 0 0 0 π/2 cos4θ = 2π ∫ sinθ 0 4 dθ −cos5θ π/2 = 2π ( 20 )| 0 π = 10 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i Team Giải Tích 2