Bài tập chuyên đề tích phân bội 3 | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bài tập chuyên đề tích phân bội 3 | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
BK – Đại Cương Môn Phá i
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN BỘI 3 (Nhóm ngành 1)
Bài 17: Tính, ∭ zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi: 0 ≤ x ≤ 1 { x ≤ y ≤ 2x 0 ≤ z ≤ √5 − x2 − y2 GIẢI: 1 2x √5−x2−y2 I = ∫ dx ∫ dy ∫ zdz 0 x 0 1 2x 5 − x2 − y2 = ∫ dx ∫ 0 x 2 dy 1 1 y3 y = 2x = 2∫ (5 − x2)y − 0 3 | dx y = x 1 1 10x3 = 2∫ (5x − 0 3 ) dx 5 = 6
Bài 18: Tính ∭(3xy2 − 4xyz) dxdydz, trong đó miền V xác định bởi V 1 ≤ y ≤ 2 {0 ≤ xy ≤ 2 0 ≤ z ≤ 2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i GIẢI: 1 ≤ y ≤ 2
Cách 1: V V1 { 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ z ≤ 2 2 2 2
=> I = ∫ dy ∫y dx ∫ (3xy2 − 4xyz)dz 1 0 0 2 2 y
= ∫ dy ∫ (6xy2 − 8xy)dx 1 0 2 2 x = = ∫ (6y2 − 8y) x2 y 1 2 ⌊ dy x = 0 2 16 = ∫ (12 − 1 y ) dy 2 = (12y − 16lny) ⌊ 1 = 12 – 16ln2 u = xy y x 0
Cách 2: Đặt { v = y = > J-1 = D(u,v,w) = |0 1 0| = y = v w = z D(x,y,z) 0 0 1 0 ≤ u ≤ 2 V V1 { 1 ≤ v ≤ 2 0 ≤ w ≤ 2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2 2 2 3uv − 4uw I = ∫ du ∫ dv ∫ 0 1 0 v dw 2 2 2u 2 = ∫ du ∫ (3uw − 0 1 v w2) | dv 0 2 2 8u = ∫ du ∫ (6u − 0 1 v ) dv 2 2 8 = ∫ udu . ∫ (6 − 0 1 v) dv = 2 . (6 – 8ln2) = 12 – 16ln2
Bài 19: Tính ∭ xyeyz2 dxdydz , trong đó miền V xác định bởi : V 0 ≤ y ≤ 1 { 0 ≤ z ≤ 1 x2 ≤ z ≤ 1 GIẢI: 0 ≤ y ≤ 1 V V1 { 0 ≤ z ≤ 1 0 ≤ x ≤ √z 1 1 √z
I = ∫ dy ∫ dz ∫ xyeyz2dx 0 0 0 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 1 1 x2 √z = ∫ dy ∫ ( 0 0 2 yeyz2) | dz 0 1 1 zyeyz2 = ∫ dy ∫ 0 0 2 dz 1 eyz2 1 1 ey − 1 = ∫ 0 4 | dy − ∫ dy 0 0 4 ey − y 1 e − 2 = 4 | = 0 4
Bài 20: Tính I = ∭(x2 + y2) dxdydz, trong đó miền V xác định bởi V 2 2 {x2 + y + z ≤ 1 x2 + y2 − z2 ≤ 0 Giải : Cách 1:
Miền V gồm 2 miền V1, V2 đối xứng nhau qua mặt phẳng Oxy - V giớ ạn bở
ặ ầu x2 + y2 + z2 = 1 và mặt nón z = √x2 + y2 - 1 i h i m t c
= > hình chiếu của V1 lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ 1 2 x = rsinθ cosφ Đặt {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) , J = −r2sinθ z = rcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π = >{ 0 ≤ θ ≤ π x`` 4 0 ≤ r ≤ 1 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i
Ta có: I= 2 ∭(x2 + y2) dxdydz V π 2π 1 4
I = 2 ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sin3θ dr 0 0 0 π 1
= 2.2π ∫4 sin3θ dθ ∫ r4dr 0 0 2 5 1 = 2.2π ( √2 3 − 12 ) − 5 4π 8 − 5√2 = 5 . 12 0 ≤ φ ≤ 2π x = rcosφ
Cách 2: đặt {y = rsinφ = > J = r, V1 { 0 ≤ r ≤ 1√2 r ≤ z ≤ √1 − r2 Bài 21: T
ính I = ∭ z√x2 + y2 , trong đó: V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: a2 + y2 = 2x và các mặt phẳng y = 0, z = 0, z = a, ( y ≥ 0, a > 0)
b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2 , z ≥ 0 (a > 0)
c) V là nửa của khối ellipsoid : x2 + y2 z2
a2 + b2 ≤ 1, z ≥ 0 (a, b > 0) GIẢI: Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i
a) Hình chiếu của V lên mặt Oxy là miền D được giới hạn bởi x2 + y2 ≤ 2x và y ≥ 0 x = rcosφ 0 ≤ φ ≤ π/2
Đặt { y = rsinφ (r ≥ 0) => J = r, {0 ≤ r ≤ 2cosφ z = z 0 ≤ z ≤ a π/2 2cosφ a => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ zr2dz 0 0 0 π/2 2cosφ a2r2 = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr a2 π/2 = 6 ∫ 8cos3φ dφ 0 = 8q2 9 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = rcosφ
b) Đặt {y = rsinφ (r ≥ 0),J = r
- Hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy là x2 + y2 ≤ a2 0 ≤ φ ≤ 2π = > V1 {0 ≤ r ≤ a 0 ≤ z ≤ √a2 − r2 2π a √a2− r2 => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ r2zdz 0 0 0 2π a r2(a2−r2) = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr a2r3 r5 a = 2π ( 6 − 10)| 0 = 2πa5 15 x = arcosφ
c) Đặt { y = arsinφ ( r ≥ 0 a, b > 0) z = bz′ = > J= ba2r
- Hình chiếu V lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ a2 0 ≤ φ ≤ 2π => V: {0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ z′ ≤ √1 − r2 2π 1 √1− r2 => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ bz′. ar. ba2rdz ′ 0 0 0 1r2(1 − r2) = b2a32π ∫ 0 2 dr Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2πa3b2 = 15
Bài 22: Tính I = ∭ ydxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón y = √x2 + z2 và V mặt phẳng y = h (h>0) GIẢI: x = rcosφ Đặt { z = rsinφ (r ≥ 0) 0 ≤ φ ≤ 2π
=> V: { 0 ≤ r ≤ h , J = r r ≤ y ≤ h 2π h h
=> I = ∫ dφ ∫ dr ∫ yrdy 0 0 r 2π h rh2−r3 = ∫ dφ ∫ 0 0 2 dr rh2 r4 h = 2π ( 4 − 8)| 0 πh4 = 4
Bài 23: Tính ∭ x2a2 dxdydz , trong đó V: x2a2 + y2b2 + z2c 2 ≤ 1 (a, b, c > 0) v GIẢI: Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = arsinθ cosφ
Đặt {y = brsinθ sinφ (r ≥ 0) z = crcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π
=> {0 ≤ θ ≤ π , J = - abc.r2sinθ 0 ≤ r ≤ 1 2π π 1
=> I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sinθdr 0 0 0 2π π 1
= abc ∫ sin2φdφ ∫ sin3θdθ ∫ r4dr 0 0 0 4 1 4πabc = abc. π. 3 . 5 = 15 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4
Bài 24: Tính ∭(x2 + y2 + z2)dxdydz, với V { z ≥ √x2 + y2 V GIẢI:
V gồm V1 và V2 đối xứng qua Oxy
=> I = 2 ∭(x2 + y2 + z2)dxdydz V1 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 với V1: { z ≥ √x2 + y2 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i x = rsinθ cosφ
Đặt: {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) z = rcosθ 0 ≤ φ ≤ 2π => V 1 ≤ r ≤ 2 1: { , J = -r2sinθ 0 ≤ θ ≤ π 4 2π π/4 2
=> I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ r4sinθdr 0 0 1 π/4 2
= 2.2π ∫ sinθdθ ∫ r4dr 0 1 31 = 2.2π (1 − √2 2 ) . 5 62π(2 − √2) = 5
Bài 25: Tính ∭ √x2 + y2 dxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi: V 2 2 {x2 + y = z z = −1 GIẢI: x = rcosφ Đặt: {y = rsinφ (r ≥ 0)
Hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D: x2 + y2 ≤ 1 0 ≤ φ ≤ 2π
= > { 0 ≤ r ≤ 1 , J = r −1 ≤ z ≤ −r Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i 2π 1 −r
=> I = ∫ dφ ∫ dr ∫ r2dz 0 0 −1 2π 1 = ∫ dφ ∫ r2(1 − r)dr 0 0 1 π = 2π. 12 = 6 Bài 26: Tính dxdydz ∭ [x2 + y2 + (z − 2)2]2 V trong đó V: { x2 + y2 ≤ 1 |z| ≤ 1 GIẢI: x = rcosφ Đặt: {y = rsinφ (r ≥ 0) z = 2 + z′ 0 ≤ φ ≤ 2π
=> V: { 0 ≤ r ≤ 1 (J1 = r) −3 ≤ z′ ≤ −1 2π 1 −1 r => I = ∫ dφ ∫ dr ∫ 0 0 −3 (r2 + z′2)2 dz′ −1 1 r = 2π ∫ dz′ ∫ −3 0 (r2 + z′2)2 dr −1 − 1 1 = 2π ∫ 2 dz′ −3 r2 + z′2 | 0 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i −1 1 1 = π ∫ ( −3 z′2 − 1 + z′2) dz′ −1 −1 = π ( z′ − arctanz′)| −3 2
= π (3 + arctan1 − arctan3 )
Bài 27: Tính ∭ √x2 + y2+z2 dxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi: x2 + y2+z2 ≤ z V GIẢI: x = rsinθ cosφ
Đặt: {y = rsinθ sinφ (r ≥ 0) z = rcosθ 0 ≤ r ≤ cosφ
=> { 0 ≤ θ ≤ π , J = - r2sinθ 2 0 ≤ φ ≤ 2π 2π π/2 cosθ => I = ∫ dφ ∫ dθ ∫ sinθ. r3dr 0 0 0 π/2 cos4θ = 2π ∫ sinθ 0 4 dθ −cos5θ π/2 = 2π ( 20 )| 0 π = 10 Team Giải Tích 2
BK – Đại Cương Môn Phá i Team Giải Tích 2