Bài tập đạo hàm liên tục | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

H l
ọc để ập nghiệp
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BUỔI 03 : HÀM SỐ LIÊN TỤC. ĐẠO HÀM - ĐÁP ÁN BTTL Bài 1:   1.   1
f x  sin arctan    x 
+ Dễ thấy hàm số liên tục x   0.
+ Xét tại x  0 ta có :  1  π
lim f (x)  lim sin arctan  sin    1   x 0 x 0  x  2  1  π
lim f (x)  lim sin arctan sin  1    x 0 x 0    x  2  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 1 2.   2 x x  1 f x  3
+ Dễ thấy hàm số liên tục x
  0 và x  1  . 1 2 x x 
+ Xét tại x  0 ta có : 1
lim f (x)  lim 3
   điểm x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 2 của hàm s . ố x 0 x 0 1 + 2 Xét tại  x  1  ta có : x  x  1
lim f (x)  lim 3
   điểm x  1
 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm  
x( 1)
x( 1) số. Vậy hàm s
ố f x có 2 điểm gián đoạn loại 2 là x  0 và x  1  . 1 sin 3.   x f x  1 x e  1
+ Dễ thấy hàm số có điểm gián đoạn là x  0 . 1 sin
+ Xét tại x  0 ta có : x
lim f (x)  lim   1 x 0 x 0 x e  1
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV:
Học để lập nghiệp
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1 1 sin 1 sin 1 Ta luôn có : x 0   . Mà x lim  0  lim
 0 (theo nguyên lý kẹp) (1). 1 1  1  1 x 0  x 0  x x e  1 e  1 x x e  1 e  1 1 sin x
lim f (x)  lim   1 x 0 x 0 x e  1 1 1 Khi x 0
 ta xét 2 dãy con của x là x  và x 
( k,m là các số nguyên và k π / 2  k2π m π / 2 m2π
k,m   ). Khi đó ta có : sin(π / 2 k2π) 1
lim f (x )  lim   1. k π/2 k 2π k k e 1 0 1 sin( π  / 2 m2π) 1 
lim f (x )  lim   1 . m π  /2 m  2π m m e 1 0  1
Do giới hạn (nếu có) là duy nhất nên lim f (x) không tồn tại (2). x 0 
Từ (1) và (2) ta suy ra x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 2 của hàm s . ố 4.   1 f x  2
ln x  1 + T nh c ập xác đị a
ủ hàm số là D   
\ 0; 1;  2. 1 1
+ Xét tại x  1
 ta có : lim f (x)  lim
 0 ; lim f (x)  lim
0 (tương tự với x  1  )   2 x1
x 1 ln x 1   2 x1
x1 ln x 1  x  1
 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số. 1 1
+ Xét tại x  0 và x   2 ta có : lim f (x) lim
  ; lim f (x)  lim     2 x 0 x0 ln x  1   2 x 2
x 2 ln x 1 1 lim f (x)  lim
   x 0; x   2 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.   2
x( 2)
x( 2 ) ln x 1 Bài 2: π 1 1 1 + Xét tại x 
ta có : lim f (x)  lim 
 1 ; lim f (x) lim  0. 2 tanx π tanx  π   π  π  x ( ) x ( )   1 2 1 0 x ( ) x ( )   1 2 2 2 2 2
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV: H l
ọc để ập nghiệp
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ π  x  n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 2 π 1 1 1
+ + Xét tại x  
ta có : lim f (x)  lim 
 1 ; lim f (x)  lim  0 . 2 tanx π tanx  π   π  π  x ( ) x ( )     1 2 1 0 x ( ) x ( )     1 2 2 2 2 2 π  x   n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 2 Bài 3: π 1 1. arctan 2 x y  e π 1 π π π 1 π π a  rctan  arctan (   ) Ta có : 2 x 2 2 lim y  lim e  e  1 2 x 2 2 π
; lim y  lim e  e  e . x 0 x 0 x 0 x 0  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 của hàm s . ố π 1  2. arccot 2 x y  e π 1 π π π 1 π π  a  rccot 0  arccot π Ta có : 2 x 2 2 lim y  lim e  e  e 2 x 2 2
; lim y  lim e  e  e . x 0 x 0 x 0 x 0  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 của hàm s . ố Bài 4:   1  a  rccot ,x 0 1.   y    x  a  ,x   0
+ Dễ thấy hàm số liên tục x   0 . 1 1
+ Xét tại x  0 ta có : lim y  lim arc cot  0; lim y  lim arc cot  π . x 0 x 0    x x 0 x 0   x
+ Do lim y  lim y nên hàm số gián đoạn tại x  0  không có giá trị nào của a để hàm s ố liên t c ụ trên x 0 x 0    . 2    2. x 1,x a y  3
 x  5,x  a
+ Dễ thấy hàm số liên tục x   a .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV:
Học để lập nghiệp
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+ Xét tại x  a ta có : 2 2
lim y  lim(x 1)  a 1  f (a) ; lim y  lim(3x  5)  3a  5 . x a x a     x a x a
+ Để hàm số liên tục trên  thì hàm s l ố iên t c ụ tại 2
x  a  lim y  lim y  f (a)  a  1  3a  5 x a  x a    a  4   . a  1 
Vậy a  4 hoặc a  1  thì hàm s
ố đã cho liên tục trên  . Bài 5:
1. Khi x  0 ta có : + 4
α(x)  x  x  x (ngắt b V ỏ CB bậc cao). 2 x + sinx sinx β(x)  e  cosx (e
1) (1cosx)  x (do ta có sinx e
1 sinx x và 1 cos x  ngắt bỏ 2 VCB bậc cao).
Vậy β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) khi x  0 .
2. Khi x  0 ta có : + 3 3
α(x)  x  x  x (ngắt b V ỏ CB bậc cao). 2 x + β(x)  cos x 1  . 2
Vậy β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) khi x  0 .
3. Khi x  0 ta có : + 3 2 2 2
α(x)  x  sin x sin x x (ngắt b V ỏ CB bậc cao). + 2 2 2 β(x)  ln 1
  2arctan(x ) 2arctan(x ) 2x     .
Vậy β(x) và α(x) là 2 VCB cùng bậc khi x  0 . 1 1 x  1  2 2 4. α(x) 1 1
Khi x   ta có x x x lim  lim  lim ( ln(1 )  ) x x x β(x) 1  1 2 2 ln(1 ) x x 2 2 x x
 lim (x 1)  . x 
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV: H l
ọc để ập nghiệp
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x   . 3 ( x 1) 3   5. α(x) e 1 (x 1) 3 (x 1) 3
Khi x  1 ta có : lim  lim  lim ( e
 1 (x 1) ) x 1  x 1  x 1 β(x) cot(πx / 2)  cot(πx / 2) 2 3(x  1) lim 0 (L' Hospital) . x 1  1  π . 2 sin (πx / 2) 2
Vậy α(x) là VCB bậc cao hơn β(x) khi x  1 . Bài 6: 1. Xét hàm số 5
f (x)  x với x  32 và x   0
 ,05  f (x )  f (32)  2. 0 0 1 1 1 Ta có : f (  x)  .
 f (x )  f (32)  . 0 5 4 5 80 x 1
 f (31,95)  f (x ). x   f (x )  .( 0
 ,05)  2  1,999375 . 0 0 80 2. Xét hàm số 2x 2
f (x)  3e (1 x) với x  0 và x
  0,02 f (x )  f (0)  2 . 0 0 2x
6e  2(1 x) Ta có : f (  x) 
 f (x )  f (0)  2 . 0 2x 2
2 3e  (1 x)
 f (0,02)  f (x ). x
  f (x )  2.0,02 2  2,04 . 0 0
3. Xét hàm số f (x)  log x với x  100 và x
  1 f (x )  f (100)  2. 0 0 1 1 Ta có : f (  x) 
 f (x )  f (100)  . 0 x ln10 100 ln10 1
 f (101)  f (x ). x   f (x ) 
.1  2  2,00434 . 0 0 100 ln10 4. 2 Xét hàm số 4 f (x) 
với x  0 và x
  0,02 f (x )  f (0)  1. 2 x 0 0 3  4 1  2  2 1 Ta có : f (  x)  . .
 f (x )  f (0)    . 2 0
4  2  x  (2 x) 8 1
 f (0,02)  f (x ). x
  f (x )  .0,02 1 1,0025 . 0 0 8
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV:
Học để lập nghiệp
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Bài 7:  Ta có : x x 2 x x 2
y  x  x  2  x  (x  2)  y  x (lnx  1)  . x  2
 y (1) 0  ồ ạ
và y (2) không t n t i. Bài 8: 1. 1 1/ a 1 dx f (  x)  . 
 dy  f (x)dx  . 2 2 2 2 2 a 1 (x / a) x  a x  a
( chú ý vi phân của hàm số là dy , nếu ta chỉ tính y là không có điểm đâu). 2. 1 1 dx f (  x)  .
 dy  f (x)dx  . 2 2 a 1 (x / a) a 1 (x / a)   3. 1 1 1 1 1 f (x) 
.(ln x  a  ln x  a )  f (  x)  .     . 2 2 2a
2a  x  a x  a  x  a dx
 dy  f (x)dx  . 2 2 x  a 2x 1  2 4. 2 x a 1 dx f (  x)  
 dy  f (x)dx  . 2 2 2
x x  a x  a x  a 5. 3 9x
y  3arcsin3x  3x.   3arcsin3x . 2 2 1 9x 1 9x
 dy  f (x)dx  3arcsin3x.dx. Bài 9:
  sin x  xcos x sin x d     dx    1. d sin x x cos x sin x Ta có : 2   x  x     . 2 3 d(x )   x  2x 2 d(x )  2xdx  2. d(sin x) cos x.dx    cot x . d(cosx) sin x.dx 3 4 6   3. d 4 5 7 (8x 5x 42x )dx 2 5 3 5
(2x  x  6x )
 4x  x  21x . 2 d(x ) 2xdx 2 Bài 10:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV: H l
ọc để ập nghiệp
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d  2 x Ta có : 2
 f (2020x)   f (2020x)  2020 f '(2020x)  x    
 f (2020x)  d(x) 2020 2 2 Đặ t x
t t  2020x  x  t / 2020 f(t)   f (  x) . 3 3 2020 2020 Bài 11:  1. y sinx sin x y  x
 ln y  sinx lnx   cos x lnx  y x   sinx sinx sinx sinx1  y  x cos x lnx   x .cos xln x    x .sin x .  x   2. y cosx cos x y  (sin x)
 ln y  cos xln(sinx) 
  sinx.ln(sinx)  cos x. y sin x   cosx cos x cosx 1  2 cosx 1
 y (sin x)
sin x.ln(sinx) cos x.  (  sinx) .ln(sinx)    cos x.(sinx)  .  sinx  Bài 12: 2 1 x sin 2 2 2 1. x x x Ta có : x 0   ; mà lim  lim
 0 (thay thế VCB) sin x sin x x 0  x 0 sinx  x 2 1 x sin x  lim
 0 (theo nguyên lý kẹp). x 0 sin x     2. ln(x 1) lnx ln(x 1) lnx
lim sin(ln(x  1))  sin(lnx)  lim 2cos sin    L x x 2 2 1 1 ln(1 ) ln(1 )
ln(x 1) ln x 1
Khi x   ta có : x x sin  sin   . 2 2 2 2x 1
ln(x 1)  ln x
 L  lim cos . x x 2 1
ln(x 1) ln x 1 1 Ta có : 0  cos  , mà lim
 0  L  0 (theo nguyên lý kẹp). x 2 x x x
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________www.ede my.vnGV: