Bài tập đạo hàm – Trần Sĩ Tùng

Tài liệu gồm 98 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Minh Tâm, bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập chuyên đề đạo hàm trong chương trình môn Toán 11, có đáp án và lời giải chi tiết.

40 20 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

7 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 71
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0
Î
(a; b):
xx
fxfx
fx
xx
0
0
0
0
()()
'()lim
®
-
=
-
=
x
y
x
0
lim
D
D
D
®
(Dx = x – x
0
, Dy = f(x
0
+ Dx) – f(x
0
))
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
· Ý nghĩa hình học:
+ f
¢
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
(
Mxfx
00
;()
.
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
(
Mxy
00
;
là:
y – y
0
= f
¢
(x
0
).(x – x
0
)
· Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm
t
0
là v(t
0
) = s
¢
(t
0
).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q
¢
(t
0
).
3. Qui tắc tính đạo hàm
· (C)¢ = 0 (x)¢ = 1 (x
n
)¢ = n.x
n–1
nN
n
1
æö
Î
ç÷
>
èø
( )
x
x
1
2
¢
=
·
uv uv
()
¢¢¢
±=±
uv uv vu
()
¢¢¢
=+
uuvvu
v
v
2
¢
æö
¢-¢
=
ç÷
èø
(v ¹ 0)
ku ku
()
¢¢
=
v
v
v
2
1
¢
æö
¢
=-
ç÷
èø
· Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u
¢
x
và hàm số y = f(u) có đạo
hàm tại u là y
¢
u
thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là:
xux
yyu
.
¢=¢¢
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
·
x
x
x
0
sin
lim1
®
=
;
xx
ux
ux
0
sin()
lim1
()
®
=
(với
xx
ux
0
lim()0
®
=
)
· (sinx)¢ = cosx (cosx)¢ = – sinx
( )
x
x
2
1
tan
cos
¢=
( )
x
x
2
1
cot
sin
¢=-
5. Vi phân
·
dydfxfxx
()().
D
==¢
·
fxxfxfxx
000
()()().
DD
+»+¢
6. Đạo hàm cấp cao
·
[ ]
fxfx
''()'()
¢
= ;
[ ]
fxfx
'''()''()
¢
= ;
nn
fxfx
()(1)
()()
-
¢
éù
=
ëû
(n Î N, n ³ 4)
· Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t
0
) = f
¢¢
(t
0
).
CHƯƠNG V
ĐẠO HÀM
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 72
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử
D
x là số gia của đối số tại x
0
. Tính
D
y = f(x
0
+
D
x) – f(x
0
).
B2: Tính
x
y
x
0
lim
D
D
D
®
.
Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) yfxxx
2
()22
==-+
tại x
0
1
=
b)
yfxx
()32
==-
tại x
0
= –3
c)
x
yfx
x
21
()
1
+
==
-
tại x
0
= 2 d)
yfxx
()sin
==
tại x
0
=
6
p
e)
yfxx
3
()== tại x
0
= 1 f)
xx
yfx
x
2
1
()
1
++
==
-
tại x
0
= 0
Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
fxxx
2
()31
=-+
b)
fxxx
3
()2
=-
c) fxxx
()1,(1)
=+>-
d) fx
x
1
()
23
=
-
e)
fxx
()sin
=
f) fx
x
1
()
cos
=
VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxxx
43
1
225
3
=-+-
b)
yxxx
x
2
32
.
3
=-+ c)
yxx
32
(2)(1)
=--
d) yxxx
222
(1)(4)(9)
=---
e)
yxxx
2
(3)(2)
=+-
f)
( )
yx
x
1
11
æö
=+-
ç÷
èø
g) y
x
3
21
=
+
h)
x
y
x
21
13
+
=
-
i)
xx
y
xx
2
2
1
1
+-
=
-+
k)
xx
y
x
2
33
1
-+
=
-
l)
xx
y
x
2
241
3
-+
=
-
m)
x
y
xx
2
2
2
23
=
--
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
24
(1)
=++ b)
yx
25
(12)
=- c)
3211
(2 1)
=-+yxx
d)
25
(2)
=-
yxx
e)
( )
yx
4
2
32=- f) y
xx
22
1
(25)
=
-+
g)
x
y
x
2
3
(1)
(1)
+
=
-
h)
x
y
x
3
21
1
æö
+
=
ç÷
-
èø
i)
3
2
3
2
æö
=-
ç÷
èø
y
x
Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
2
252
=-+
b) yxx
3
2
=-+
c)
yxx
=+
d) yxx
2
(2)3
=-+
e) yx
3
(2)
=- f)
( )
yx
3
112=+-
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 73
g)
x
y
x
3
1
=
-
h)
x
y
x
2
41
2
+
=
+
i)
x
y
x
2
4 +
=
Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
2
sin
1cos
æö
=
ç÷
+
èø
b)
yxx
.cos
=
c) yx
3
sin(21)
=+
d)
yx
cot2
= e)
yx
2
sin2=+ f)
yxx
sin2
=+
g)
yx
23
(2sin2)
=+ h)
(
)
yxx
22
sincostan= i)
yxx
23
2sin43cos5
=-
k)
x
y
x
2
1
cos
1
æö
+
=
ç÷
ç÷
-
èø
l)
yxxx
35
21
tan2tan2tan2
35
=++
Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
nn
xnxnxnx
1
(sin.cos)'sin.cos(1)
-
=+ b)
nn
xnxnxnx
1
(sin.sin)'.sin.sin(1)
-
=+
c)
nn
xnxnxnx
1
(cos.sin)'.cos.cos(1)
-
=+ d)
nn
xnxnxnx
1
(cos.cos)'.cos.sin(1)
-
=-+
VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
)
C
()
Î
là: yyfxxx
000
'()()
-=- (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x
0
là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có:
fxk
0
()
¢=
(ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x
0
, rồi tìm
yfx
00
().
=
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x
1
, y
1
) cho trước:
+ Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm (với y
0
= f(x
0
)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d):
yyfxxx
000
'()()
-=-
(d) qua A xyyyfxxx
1110010
(,)'()()(1)
Û-=-
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x
0
, rồi tìm
yfx
00
()
= và
fx
0
'().
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (
D
): y = ax + b. Khi đó:
+
d
dka
()()
D
¤¤Þ=
+
d
dk
a
1
()()
D
^Þ=-
Baøi 1: Cho hàm số (C): yfxxx
2
()23.
==-+
Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
= 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
Baøi 2: Cho hàm số
xx
yfx
x
2
2
()
1
-+
==
-
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 74
Baøi 3: Cho hàm số
x
yfx
x
31
()
1
+
==
-
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d: yx
1
100
2
=+.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
D: 2x + 2y – 5 = 0.
Baøi 4: Cho hàm số (C):
yxx
32
3.
=-
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Baøi 5: Cho hàm số (C):
yxx
2
1.
=-- Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
=
1
.
2
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức:
( )
nn
yy
/
()(1)
-
=
2. Để tính đạo hàm cấp n:
·
Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
·
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Baøi 1: Cho hàm số
fxxx
()3(1)cos
=+
.
a) Tính
fxfx
'(),''()
b) Tính fff
''(),'',''(1)
2
p
p
æö
ç÷
èø
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a)
yxy
cos,'''
=
b)
yxxxxy
432
52547,''
=-+-+ c)
x
yy
x
3
,''
4
-
=
+
d)
yxxy
2
2,''
=- e)
yxxy
sin,''
=
f)
yxxy
tan,''
=
g)
yxy
23
(1),''
=+ h)
yxxy
63(4)
44,=-+ i)
yy
x
(5)
1
,
1
=
-
Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
n
x
x
()
1
1(1)!
1
(1)
+
æö
-
=
ç÷
+
+
èø
b)
n
n
xx
()
.
(sin)sin
2
p
æö
=+
ç÷
èø
c)
n
n
xx
()
.
(cos)cos
2
p
æö
=+
ç÷
èø
Baøi 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y
x
1
2
=
+
b) y
xx
2
1
32
=
-+
c)
x
y
x
2
1
=
-
d)
x
y
x
1
1
-
=
+
e)
yx
2
sin
= f)
yxx
44
sincos
=+
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 75
Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
yxx
xyyxxy
sin
''2('sin)0
ì
=
í
--+=
î
b)
yxx
yy
2
3
2
''10
ì
ï
=-
í
+=
ï
î
c)
yxx
xyxyy
222
tan
''2()(1)0
ì
=
í
-++=
î
d)
x
y
x
yyy
2
3
4
2(1)''
ì
-
=
ï
í+
ï
¢
=-
î
VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng
xx
ux
ux
0
sin()
lim
()
®
Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức
xx
ux
ux
0
sin()
lim1
()
®
=
(với
xx
ux
0
lim()0
®
=
)
Baøi 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
0
sin3
lim
sin2
®
b)
x
x
x
2
0
1cos
lim
®
-
c)
x
x
x
0
tan2
lim
sin5
®
d)
x
xx
x
4
cossin
lim
cos2
p
®
-
e)
x
xx
xx
0
1sincos
lim
1sincos
®
+-
--
f)
x
x
x
2
2
1sin
lim
2
p
p
®
-
æö
-
ç÷
èø
g)
x
xx
2
limtan
2
p
p
®
æö
-
ç÷
èø
h)
x
x
x
6
sin
6
lim
3
cos
2
p
p
®
æö
-
ç÷
èø
-
VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác
Baøi 1: Giải phương trình
fx
'()0
=
với:
a)
fxxxx
()3cos4sin5
=-+
b)
fxxxx
()cos3sin21
=++-
c)
fxxx
2
()sin2cos
=+ d)
xx
fxx
cos4cos6
()sin
46
=--
e)
x
fxx
3
()1sin()2cos
2
p
p
+
=-++ f)
fxxxxx
()sin33cos33(cos3sin)
=-+-
Baøi 2: Giải phương trình
fxgx
'()()
=
với:
a)
fxx
gxx
4
()sin3
()sin6
ì
=
í
=
î
b)
fxx
gxxx
3
()sin2
()4cos25sin4
ì
=
í
=-
î
c)
x
fxx
gxxxx
22
2
()2cos
2
()sin
ì
=
ï
í
ï
=-
î
d)
x
fxx
x
gxxx
2
()4cos
2
()8cos32sin
2
ì
=
ï
í
ï
=--
î
Baøi 3: Giải bất phương trình
fxgx
'()'()
>
với:
a) fxxxgxxx
32
()2,()32
=+-=++ b)
2
()28,()
=--=
fxxxgxx
c)
x
fxxxgxx
2
323
()23,()3
2
=-+=+- d)
fxgxxx
x
3
2
(),()
==-
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 76
Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R:
a)
mx
fxvôùifxxmx
3
2
'()0()35
3
>=-+-
b)
mxmx
fxvôùifxmx
32
'()0()(1)15
32
<=-++-
Baøi 5: Cho hàm số
32
23.
yxxmx
=-+-
Tìm m để:
a)
'()
fx
bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b)
'()0
fx
³
với mọi x.
Baøi 6: Cho hàm số
32
()(3)2.
32
mxmx
fxmx
=-+--+
Tìm m để:
a)
'()0
fx
<
với mọi x.
b)
'()0
=
fx có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp
'()0
=
fx có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc
vào m.
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 77
BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
32
(4)
=-
b)
yxx
(3)(1)
=+-
c) yxx
6
22
=-+
d) yxx
2
(21)
=-
e)
yxxx
23
(21)(42)
=+- f)
x
y
x
19
1
+
=
+
g)
xx
y
x
2
32
23
-+
=
-
h) y
xx
2
1
2
=
-
i)
22
32
yx
()
=-
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
42
37
=-+
b)
yx
2
1
=-
c) yxx
2
32
=--
d)
x
y
x
1
1
+
=
-
e)
x
y
x
2
1
=
-
f)
x
y
x
3
-
=
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
3
sin(2)
=-+
b)
yx
tan(cos)
=
c)
xx
y
xx
sin
sin
=+
d)
xx
y
xx
sincos
sincos
+
=
-
e) yxx
2
cot(1)
=-
f) yxx
22
cos(22)
=++
g)
yx
cos2
= h)
yx
32
cot1=+ i)
yxx
22
tan(34)
=+
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với:
a) Cyxx
32
():32
=-+
tại điểm
M
(1,2).
--
b)
xx
Cy
x
2
45
():
2
++
=
+
tại điểm có hoành độ x
0
0.
=
c)
Cyx
():21
=+
biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
1
.
3
=
Bài 5: Cho hàm số yxx
32
52
=-+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng
yx
31.
=-+
b) Vuông góc với đường thẳng yx
1
4.
7
=-
c) Đi qua điểm
A
(0;2)
.
Bài 6: a) Cho hàm số
x
fx
x
cos
().
cos2
=
Tính giá trị của
ff
''.
63
pp
æöæö
+
ç÷ç÷
èøèø
b) Cho hai hàm số
fxxx
44
()sincos
=+ và
gxx
1
()cos4.
4
= So sánh
fx
'()
và
gx
'()
.
Bài 7: Tìm m để
fxxR
()0,
¢
>"Î
, với:
a) fxxmxx
32
()(1)21.
=+-++
b)
fxxmxxmx
1
()sinsin2sin32
3
=--+
Bài 8: Chứng minh rằng
fxxR
()0,
¢
>"Î
, với:
a)
fxxx
()2sin.
=+
b) fxxxxxx
9632
2
()2361.
3
=-+-+-
Bài 9:
a)
| 1/7
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trần Sĩ Tùng Đại số 11 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
f (x) - f (x ) Dy f '(x 0 0 ) = lim = lim
(Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)) x®x - Dx®0 Dx 0 x x0
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
· Ý nghĩa hình học:
+ f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (x ; f (x 0 0 )) .
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (x ; y 0 0 ) là:
y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
· Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm
t0 là v(t0) = s¢(t0).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q¢(t0).
3. Qui tắc tính đạo hàm æ nÎ N ö ¢ 1 · (C)¢ = 0 (x)¢ = 1
(xn)¢ = n.xn–1 ç ( x) = è n 1 ÷ > ø 2 x u ¢ æ ö
u¢v - v u ¢
· (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
(uv)¢ = u¢v + v¢u ç ÷ = (v ¹ 0) è v ø v2 1 ¢ æ ö v¢ (ku)¢ = ku¢ ç ÷ = - è v ø v2
· Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo
hàm tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y¢x = y u¢ u . ¢x
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u(x) · lim = 1; lim
= 1 (với lim u(x) = 0 ) x®0 x x®x ( ) x®x 0 u x 0 1 1
· (sinx)¢ = cosx
(cosx)¢ = – sinx (tan x)¢ = (cot x)¢ = - 2 cos x 2 sin x 5. Vi phân
· dy = df (x) = f (¢x).Dx
· f (x + Dx) » f (x ) + f (¢x ).Dx 0 0 0
6. Đạo hàm cấp cao
· f ' (x) [ f '(x)]¢ =
; f '''(x) [ f ''(x)]¢ = ; (n) (n f x f 1) ( ) - ¢ é (x)ù = ë û (n Î N, n ³ 4)
· Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f¢¢(t0). Trang 71 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử Dx là số gia của đối số tại x0. Tính Dy = f(x0 + Dx) – f(x0). Dy B2: Tính lim . Dx®0 Dx
Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f x = x2
( ) 2 - x + 2 tại x0 =1 b) y = f (x) = 3-2x tại x0 = –3 2x +1 p
c) y = f (x) = tại x = ( ) = sin tại x x -1 0 = 2 d) y f x x 0 = 6 x2 + x +1 e) y = f x 3 ( ) = x tại x0 = 1
f) y = f (x) = tại x x -1 0 = 0
Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f x = x2 ( ) - 3x +1 b) f x = x3 ( ) - 2x
c) f (x) = x +1, (x > -1) 1 1 d) f (x) =
e) f (x) = sin x f) f (x) = 2x - 3 cos x
VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 2
a) y = 2x4 - x3 + 2 x - 5 b) y = - x + x x. 3 2
c) y = (x - 2)(1- x ) 3 x2 3 æ 1 ö d) y = x2 - x2 - x2 ( 1)(
4)( - 9) e) y = x2 ( + 3x)(2 - x) f) y = ( x + ) 1 ç -1÷ è x ø 3 2x +1 1+ x - x2 g) y = h) y = i) y = 2x +1 1- 3x 1- x + x2 x2 - 3x + 3 x2 2 - 4x +1 2x2 k) y = l) y = m) y = x -1 x - 3 x2 - 2x - 3
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x2 + x 4 ( +1) b) y = - x2 5 (1 2 ) c) 3 2 11
y = (x - 2 x +1) 4 1 d) 2 5
y = (x - 2x) e) y = ( - x2 3 2 ) f) y = (x2 - 2x 2 + 5) (x 2 +1) æ x 3 2 +1ö 3 æ 3 ö g) y = h) y = ç ÷ i) y = 2 - ç ÷ (x 3 -1) è x -1 ø 2 è x ø
Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x2 2 - 5x + 2
b) y = x3 - x + 2
c) y = x + x 3 d) y = x - x2 ( 2) + 3 e) y = x 3 ( - 2)
f) y = (1+ 1- 2x ) Trang 72 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 x3 4x +1 x2 4 + g) y = h) y = i) y = x -1 x2 + 2 x
Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: æ x 2 sin ö a) y = 3 ç
b) y = x.cos x
c) y = sin (2x +1) è1 cos x ÷ + ø d) y = cot 2x e) y = + x2 sin 2
f) y = sin x + 2x g) y 2 = + x 3 (2 sin 2 ) h) y = ( 2 x 2 sin cos tan x) i) y 2 = x 3 2sin 4 - 3cos 5x æ ö 2 x +1 2 1 k) y = cos ç ÷ 3 5 = tan 2 + tan 2 + tan 2 ç l) y x x x x 1÷ - è ø 3 5
Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) n n x nx n 1 (sin .cos )' sin - =
x.cos(n +1)x b) n n x nx n 1 (sin .sin )' .sin - =
x.sin(n +1)x c) n n x nx n 1 (cos .sin )' .cos - =
x.cos(n +1)x d) n n x nx n 1 (cos .cos )' .cos - = -
x.sin(n +1)x
VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) Î C
( ) là: y - y = f '(x )(x - x 0 0 0 ) (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f (¢x ) = k 0
(ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y = f (x 0 0 ).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước:
+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d): y - y = f '(x )(x - x 0 0 0 )
(d) qua A(x , y ) Û y - y = f '(x ) (x - x 1 1 1 0 0 1 0 ) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y = f (x 0
0 ) và f '(x0 ).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (D): y = ax + b. Khi đó: 1
+ (d) ¤ (D) Þ kd = a
+ (d) ^ (D) Þ kd = - a
Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f x = x2 ( )
- 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. - x + x2 2
Baøi 2: Cho hàm số y = f (x) = (C). x -1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Trang 73 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 3x +1
Baøi 3: Cho hàm số y = f (x) = (C). 1- x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1
d: y = x +100 . 2
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D: 2x + 2y – 5 = 0.
Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x3 - x2 3 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Baøi 5: Cho hàm số (C): y = - x - x2 1
. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1
a) Tại điểm có hoành độ x0 = . 2
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao /
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: (n) ( (n y y 1) - = )
2. Để tính đạo hàm cấp n:
· Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
· Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Baøi 1: Cho hàm số f (x) = 3(x +1)cos x . æ p ö
a) Tính f '(x), f ' (x)
b) Tính f ' (p ), f ' ç ÷, f ' (1) è 2 ø
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: x - 3
a) y = cos x, y '''
b) y = x4 - x3 + x2 5 2
5 - 4x + 7, y '' c) y = , y '' x + 4 d) y = x - x2 2 , y ''
e) y = x sin x, y''
f) y = x tan x, y'' 1 g) y = x2 3 ( +1) , y ''
h) y = x6 - x3 + y(4) 4 4, i) y = , y(5) 1- x
Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (n) n æ 1 ö ( 1 - ) n! æ p ö æ p ö a) = ( ) . ( ) . ç ÷ b) n n
(sin x) = sin ç x + c) n n
(cos x) = cosç x + n ÷ ÷ è1+ x ø (1+ x 1 ) + è 2 ø è 2 ø
Baøi 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 x a) y = b) y = c) y = x + 2 x2 - 3x + 2 x2 -1 1- x d) y = e) y 2 = sin x f) y 4 = x 4 sin + cos x 1+ x Trang 74 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
ìy = x sin x ì 2 ï a) í
b) y = 2x - x í
îxy ' - 2(y '- sin x) + xy = 0 ïîy3y' +1 = 0 ì ìy x - 3 = x tan x ïy = c) í d) í x + 4
îx2y ' - 2(x2 + y2 )(1+ y) = 0
ïî2y 2¢ = (y -1)y'' sin u(x)
VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim x®x ( ) 0 u x
Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u(x) lim
= 1 (với lim u(x) = 0 ) x®x ( ) x®x 0 u x 0
Baøi 1: Tính các giới hạn sau: sin 3x 1- cos x tan 2x cos x - sin x a) lim b) lim c) lim d) lim x®0 sin 2x x® x2 0 x®0 sin 5x p cos2x x® 4 æ p ö 1+ sin x - cos x 1 sinç x - sin x æ p ö - ÷ e) lim f) lim g) lim è 6
ç - x ÷ tan x h) lim ø
x®0 1- sin x - cos x p 2 p è 2 ø x p ® æ p ö x® x® 3 2 ç - x 2 6 - cos x 2 ÷ è ø 2
VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác
Baøi 1: Giải phương trình f '(x) = 0 với:
a) f (x) = 3cos x - 4sin x + 5x
b) f (x) = cos x + 3 sin x + 2x -1 cos 4x cos6x c) f x 2
( ) = sin x + 2 cos x
d) f (x) = sin x - - 4 6 3p + x
e) f (x) = 1- sin(p + x) + 2 cos
f) f (x) = sin 3x - 3 cos3x + 3(cos x - 3 sin x) 2
Baøi 2: Giải phương trình f '(x) = g(x) với: ì 4 ì 3
a) f (x) = sin 3x í
b) f (x) = sin 2x í
îg(x) = sin 6x
îg(x) = 4 cos2x - 5sin 4x ì ì 2 x 2 2 x
ï f (x) = 2x cos
f (x) = 4x cos ï c) í 2 d) 2 í ï x
îg(x) = x - x2 sin x
ïg(x) = 8cos - 3- 2xsin x î 2
Baøi 3: Giải bất phương trình f '(x) > g'(x) với:
a) f x = x3 + x - g x = x2 ( ) 2, ( ) 3 + x + 2 b) 2
f (x) = x - 2x -8, g(x) = x 3 2 3 x2 2
c) f (x) = 2x - x + 3, g(x) = x + - 3
d) f (x) = , g(x) = x - x3 2 x Trang 75 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R: mx3 a) f x > vôùi f x = - x2 '( ) 0 ( ) 3 + mx - 5 3 mx3 mx2 b) f '(x) < 0 vôùi f (x) = - + (m +1)x -15 3 2
Baøi 5: Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + mx - 3. Tìm m để:
a) f '(x) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f '(x) ³ 0 với mọi x. 3 2 Baøi 6: mx mx
Cho hàm số f (x) = - +
- (3- m)x + 2. Tìm m để: 3 2
a) f '(x) < 0 với mọi x.
b) f '(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp f '(x) = 0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Trang 76 Trần Sĩ Tùng Đại số 11
BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x3 x2 ( - 4)
b) y = (x + 3)(x -1)
c) y = x6 - 2 x + 2 1+ 9x d) y = x x2 (2 -1) e) y = x2 + x3 (2 1)(4 - 2x) f) y = x +1 x2 - 3x + 2 1 g) y = h) y = i) 2 2 y = 3 ( - 2x ) 2x - 3 x2 - 2x
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x4 - x2 3 + 7 b) y = - x2 1
c) y = x2 - 3x - 2 1+ x x x - 3 d) y = e) y = f) y = 1- x - x2 1 x
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: sin x x a) y = x3 sin( - x + 2)
b) y = tan (cos x) c) y = + x sin x sin x + cos x d) y = e) y = x x2 cot( -1) f) y 2 = x2 cos ( + 2x + 2) sin x - cos x g) y = cos2x h) y 3 = + x2 cot 1 i) y 2 = x2 tan (3 + 4x)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với:
a) C y = x3 - x2 ( ) :
3 + 2 tại điểm M(-1, 2 - ). x2 + 4x + 5 b) C ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = x + 2 0 0. 1 c) C
( ) : y = 2x +1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = . 3
Bài 5: Cho hàm số y = x3 - x2
5 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng y = -3x +1. 1
b) Vuông góc với đường thẳng y = x - 4. 7
c) Đi qua điểm A(0;2) . cos x æ p ö æ p ö
Bài 6: a) Cho hàm số f (x) =
. Tính giá trị của f 'ç ÷ + f 'ç ÷. cos2x è 6 ø è 3 ø 1
b) Cho hai hàm số f x 4 = x 4 ( ) sin
+ cos x và g(x) = cos 4x. So sánh f '(x) và g'(x) . 4
Bài 7: Tìm m để f ¢(x) > 0, "x Î R , với: 1
a) f x = x3 + m - x2 ( ) ( 1) + 2x +1.
b) f (x) = sin x - m sin 2x - sin 3x + 2mx 3
Bài 8: Chứng minh rằng f ¢(x) > 0, x " Î R , với: 2
a) f (x) = 2x + sin x.
b) f (x) = x9 - x6 + 2x3 - 3x2 + 6x -1. 3 Bài 9: a) Trang 77