Bài tập giải tích 1 | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Bài tập số 2: Tính liên tục Chử Văn Tiệp Giải tích I, 2022-2023 1 Tóm tắt lý thuyết 1.1
Định nghĩa hàm liên tục và liên tục đều • Hàm liên tục tại x0:
Cho f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). Ta nói rằng f liên tục tại x0 nếu ∀ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
|f (x) − f (x0)| < ε nếu |x − x0| < δ. Tức là lim f(x) = f(x0) x→x0
• Hàm liên tục trái, phải tại x0.
• Hàm liên tục trên một khoảng (a, b), đoạn [a, b]. • Liên tục đều:
Hàm f được gọi là liên tục đều trên một khoảng J ⊂ R nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0
sao cho với mọi x1, x2 thuộc J và thỏa mãn |x1 − x2| < δ ta đều có |f (x1) − f (x2)| < ε.
Chú ý 1. Hàm f không liên tục đều trên một khoảng J ⊂ R nếu tồn tại ε0 > 0 sao cho với
mọi δ > 0, tồn tại x1, x2 thuộc J và thỏa mãn |x1 − x2| < δ ta có |f (x1) − f (x2)| ≥ ε0. 1.2
Phân loại điểm gián đoạn
Điểm gián đoạn: x0 được gọi là điểm gián đoạn của f(x) nếu hàm số không liên tục tại x0. Phân loại
• Điểm gián đoạn loại I: Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu tồn tại hữu hạn các giới hạn lim f (x), lim f (x) x→x0+ x→x0−
nhưng cả ba giá trị f(x0), lim f(x), lim f(x) không bằng nhau. (Chú ý chỉ cần hai x→x0+ x→x0−
trong ba giá trị trên không bằng nhau là gián đoạn loại I)
– Điểm gián đoạn loại I được gọi là gián đoạn khử được nếu
lim f (x) = lim f (x) 6= f(x0). x→x0+ x→x0−
– Nếu x0 là điểm gián đoạn loại I nhưng không phải là gián đoạn khử được thì hiệu số
lim f (x) − lim f(x) được gọi là bước nhảy của hàm số f tại điểm x0. x→x0+ x→x0−
• Điểm gián đoạn loại II là các điểm gián đoạn không phải loại I.
Chú ý 2. Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác, lượng giác ngược, mũ, loga,... liên tục
trên từng khoảng xác định của chúng. ĐH BK Đà Nẵng 2022 1 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm 1.3
Một số tính chất của hàm liên tục trên một đoạn đóng
Cho hàm f : [a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó
• Hàm f bị chặn trên đoạn [a, b].
• Hàm f đạt GTLN và GTNN trên [a, b].
• Hàm f nhận mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b).
• Hàm f liên tục đều trên đoạn [a, b]. 2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số:  1 − cos x  , x 6= 0  f (x) = ln(1 + x2)  0, x = 0 Lời giải. TXĐ: D = R. Tại x = x0 ∈ R\{0} ta có 1 − cos x lim f (x) = lim f (x) = f (x 0 0) = + − ln(1 + x2 x→x x→x 0 0 0)
Suy ra f(x) liên tục tại x = x0 ∈ R\{0}. Tại x = 0: 2 1 − cos x x 1 lim f (x) = lim = lim 2 = 6= f(0) = 0. x→0 x→0 ln(1 + x2) x→0 x2 2
Vậy lim f(x) = lim f(x) = 12 6= f(0). Suy ra f(x) gián đoạn loại I (có thể bỏ qua được) tại x→0+ x→0− x0 = 0. 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 3x5 − 4x2 = 3 có nghiệm trong khoảng [0, 2].
Lời giải. Đặt f (x) = 3x5 − 4x2 và chọn m = 3. Hàm f(x) liên tục với mọi x (vì f là đa thức. Chú ý rằng
f (0) = 3(0)5 − 4(0)2 = 2 < 3 và f(2) = 3(2)5 − 4(2)2 = 80 > 3.
Do đó, tồn tại c ∈ (0, 2) sao cho 3c5 − 4c2 = 3. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm y = x liên tục đều trên R.
Lời giải. Với mọi ε > 0 tồn tại δ = ε > 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ R thỏa mãn |x1 − x2| < δ ta có:
|f(x1) − f(x2)| = |x1 − x2| < δ = ε.
Vậy theo định nghĩa hàm y = x liên tục đều trên R.
Chú ý bằng lập luận tương tự ta chứng minh được hàm y = ax + b liên tục đều trên R với mọi
a, b là các hằng số cho trước.  ĐH BK Đà Nẵng 2022 2 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm y = x2 không liên tục đều trên R. 1 δ 1
Lời giải. Chọn ε0 = 1, khi đó với mọi δ > 0 tồn tại x1 = + , x , khi đó δ 2 2 = δ δ |x1 − x2| = < δ 2 và ta có  2  2  1 δ 1  δ2 |f(x1) − f(x2)| =  + −  = 1 + ≥ 1 = ε0.  δ 2 δ  4  
Vậy hàm y = x2 không liên tục đều trên R. 
Chú ý 3. Hàm y = x2 liên tục đều trên mọi đoạn [−a, a] với a > 0 bất kỳ. Thật vậy y = x2 là
đa thức nên liên tục trên R nên liên tục trên mọi đoạn [−a, a]. Theo tính chất của hàm liên tục
trên đoạn đóng thì nó liên tục đều. Ta cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng định nghĩa như sau: ε
Với mọi ε > 0 tồn tại δ = sao cho với mọi x 2a
1, x2 ∈ [−a, a] thỏa mãn |x1 − x2| < δ ta đều có
|f(x1) − f(x2)| = |x21 − x22| = |x1 − x2||x1 + x2| ≤ |x1 − x2|(|x1| + |x2|) ≤ 2a|x1 − x2| < 2aδ = ε.
Vậy hàm y = x2 liên tục đều trên mọi đoạn [−a, a]. 1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng hàm y =
không liên tục đều trên (0, 1]. x 1 Lời giải. Chọn ε0 = . Với mọi δ > 0. 2 1 2
• Nếu δ > 1 chọn x1 = ∈ (0, 1) và x ∈ (0, 1) thỏa mãn δ 2 = 3δ  1 2  1 1 |x   1 − x2| =  −  = ≤ < δ δ 3δ  3δ 3 và ta có  3δ  δ 1 |f(x   1) − f (x2)| = > ε δ −  = 0 = .  2  2 2 √ √ δ √ δ
• Nếu 0 < δ ≤ 1 chọn x1 = δ, x2 =
δ − . Do 0 < δ ≤ 1 ta có 1 ≥ δ ≥ δ > > 0 nên 2 2
0 < x2 < x1 ≤ 1. Khi đó δ |x1 − x2| = < δ, 2 và và ta có  1 1  |x1 − x |x1 − x δ/2 1 |f(x   2| 2| 1) − f (x2)| =  −  = = √ √ ≥ √ √ = = ε0.  x δ 1 x2  |x1x2| 2 | δ( δ − )| δ δ 2
Vậy hàm không liên tục đều.  ĐH BK Đà Nẵng 2022 3 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm 3 Bài tập
Câu 1 (3 điểm). Cho f : R → R được cho bởi công thức   x, x ∈ Q, f (x) =  −x, x ∈ R \ Q.
Chứng minh rằng f liên tục tại 0 và gián đoạn tại mọi điểm x 6= 0.
Câu 2 (2 điểm). Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x − 5 = 0 có nghiệm trong khoảng [1, 2].
Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng phương trình ex + x +2 = 0 có nghiệm trong khoảng [−3, 0].
Câu 4 (2 điểm). Chứng minh rằng phương trình x5 − 3x = 4 − x2 có nghiệm trong khoảng [0, 2]. √
Câu 5 (2 điểm). Chứng minh rằng phương trình x3 = 20 + x có nghiệm trong khoảng [1, 4].
Câu 6 (2 điểm). Chứng minh rằng phương trình x3 = 2x2 + 3x − 3 có ba nghiệm. √
Câu 7 (3 điểm). Chứng minh rằng hàm f (x) =
x liên tục đều trên [0, +∞).
Câu 8 (3 điểm). Chứng minh rằng hàm f (x) = sin(x2) liên tục và bị chặn trên (−∞, +∞)
nhưng không liên tục đều trên đó.
Câu 9 (4 điểm). Tìm các điểm mà tại đó hàm số đang xét là liên tục   0 nếu x vô tỷ, x2 − 1 nếu x vô tỷ, 1. f(x) = 2. f(x) = sin |x| nếu x hữu tỷ. 0 nếu x hữu tỷ.
Câu 10 (6 điểm). Khảo sát tính liên tục của các hàm số dưới đây  sin x nếu x3 + 1  x 6= 0, 4. f(x) = . 1. f(x) = x x + 1 1 nếu x = 0. 5. f (x) = x2 sin πx.  | sin x|  nếu  x 6= 0, 2. f(x) = x    a nếu x = 0. cos2  1 nếu x 6= 0, 6. f(x) = x 3. f(x) = sin(1/x); a nếu x = 0.  x2 − x − 2   , x 6= 2,
Câu 11 (4 điểm). Cho hàm số f (x) = x − 2  m, x = 2.
(a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3;
(b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại 2?
Câu 12 (3 điểm). CMR hàm Dirichlet   1 nếu x hữu tỷ f (x) =  0 x vô tỷ
gián đoạn tại mọi điểm. ĐH BK Đà Nẵng 2022 4 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm
Câu 13 (3 điểm). CMR hàm Riemann  1 p 
nếu x là phân số tối giản , q > 0,  f (x) = q q  0 x vô tỷ,
gián đoạn tại mọi điểm hữu tỷ và liên tục tại các điểm vô tỷ.
Câu 14 (3 điểm). Chứng minh rằng mọi phương trình đại số bậc lẻ bao giờ cũng có nghiệm thực.
Câu 15 (3 điểm). Cho f (x) = xn + a ... + a n−1xn−1 +
0 với n chẵn. CMR tồn tại y sao cho f (y) ≤ f(x) với mọi x.
Câu 16 (3 điểm). Cho phương trình xn + a ∗ n−1xn−1 + ... + a0 = 0 ( )
với n chẵn. CMR tồn tại m sao cho phương trình (*) có nghiệm với mọi c ≥ m và vô nghiệm với c < m.
Câu 17 (3 điểm). Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [a, b] và f (a) < g(a), f(b) > g(b).
CMR tồn tại x sao cho f(x) = g(x).
Câu 18 (3 điểm). Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm liên tục. CMR tồn tại x sao cho f(x) = x.
Câu 19 (3 điểm). Cho f là hàm liên tục trên [0, 1] và f (0) = 1, f(1) = 0 hoặc f (0) = 0, f(1) = 1.
CMR tồn tại x sao cho f(x) = x.
Câu 20 (10 điểm). Khảo sát tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau: 1. 2 f (x) = xx |2x − 3| 2. 1 f (x) = e− 4. f(x) = x 2x − 3   1 nếu x nếu x 6 1  x 6= 0 3. f(x) = 5. f(x) = x lnx nếu x > 1. 1 nếu x = 0.
Câu 21 (3 điểm). Có thể nói gì về hàm f nếu f liên tục trên [a,b] và luôn nhận giá trị hữu tỷ.
Câu 22 (3 điểm). Cho f, g : [0, 1] → [0, 1] là toàn ánh, liên tục. CMR tồn tại x0 để f(g(x0)) = g(f (x0)) 1
Câu 23 (3 điểm). CMR hàm f (x) =
không liên tục đều trên (0, 1]. x
Câu 24 (18 điểm). Khảo sát tính liên tục đều của các hàm sau trên (0, 1) 1. 1 f (x) = ex. 4. f(x) = e x . 3. f(x) = sin 1. x 2. 1 f (x) = x sin 1 . 5. f(x) = e− x x ĐH BK Đà Nẵng 2022 5 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm 7. f(x) = cot x. 6. f(x) = ln x. 8. f(x) = cos x cos π . 9. f(x) = ex cos 1 . x x
Câu 25 (18 điểm). Khảo sát tính liên tục đều của các hàm sau trên [0, +∞) √ √ 1. f(x) = x. 4. f(x) = sin(x2). 7. f(x) = sin x. 2. f(x) = x sin x. 5. f(x) = ex. 8. f(x) = sin(x sin x). 3. f(x) = sin2 x. 6. f(x) = sin(sin x). 9. 2 f (x) = esin(x ) ĐH BK Đà Nẵng 2022 6 / 6
Mỗi bạn làm sao cho được ít nhất được 30 điểm