Bài tập giải tích chương 1: Dãy số các tiêu chuẩn hội tụ | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
Học online tại: https://mapstudy.vn BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ Bài 1: Cho 1 1 x = 1+ +...+
. CMR x h i t ộ ụ n n 1! n!
Hướng dẫn giải Rõ ràng 1 1 1 1 x =1 + +... + + = x +
 x nên dãy đã cho tăng. n 1 + 1! n! (n + ) n 1 ! (n + ) n 1 ! Mặt khác: − 1 1 k 1
k! =1.2...k  2   k  1 k 1 k! 2 − n  1  1−   1 1 1 1 1 1  2 1  x =1 + + ... +  1 +1 + + +... + = 1 + = 1 + 2 −  3 n 2 n 1 − n 1 1! 2! n! 2 2 2 1 2 − 1− 2
Dãy cũng bị chặn trên, vậy nó hội tụ, đpcm
Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau:  n a) x = cos n 4 1 b) x =sin n n 1 c) x ( = 1 − )n +sin n n d) x =sinn n
Hướng dẫn giải a) nπ x = cos n 4 Khi n →  thì: 8nπ (8n +2)π  π  x = cos
= cos2π = 1 →1 và x = = +
= → . Điều này chứng tỏ + cos cos 2π 0 0 8n  4 8n 2 4  2 
hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trườn g 1 Học online tại
: https://mapstudy.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ b) 1 x = sin n n
Ta chứng minh sin(x) < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học.
Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc phần tư thứ nhất,
và sin(x) = OH = BK < BA < cung (BA) = x ta có đpcm. Áp dụng: 1 1
0  x = sin 
→ 0 khi n →  , theo n n n
nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0 c) 1 n x = ( 1
− ) + sin n n Theo câu 2.2 thì 1 limsin
=0 , mặt khác lim(− )n
1 không tồn tại vì nó nhận giá trị xen kẽ -1 n → n n → và 1.
Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó:  1  1 n
lim(−1) = lim x − sin
= lim x − limsin 
, giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn. n  n n → n → n → n  n →  n
Vậy dãy đã cho phân kỳ d) x = sinn n
Giả sử dãy đã cho sin(n) hội tụ, suy ra sin2n cũng hội tụ, suy ra cos2n hội tụ, gọi giới hạn
của sin(n) là a, cos2n là b (a, b hữu hạn) ( + ) = +  = ( ( + )− )2 2 2 sin n 1 sinncos1 cos n sin1 cos nsin 1 sin n 1
sinn cos1 , cho n ra vô cùng được: = ( − )2 = ( − )2 2 2 b sin 1 a a cos1 a 1 cos1 (1) ( + ) = +  = ( ( + )− )2 2 2 sin n 2 sinn cos 2 cosn sin2 cos nsin 2 sin n 2
sinncos 2 , lại cho n ra vô cùng được: =( − )2 = ( − )2 2 2 b sin 2 a a cos 2 a 1 cos 2 (2)
(1) và (2) cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trườn g 2 Học online tại
: https://mapstudy.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ sin 2
(1− cos )2 2 2 =
. Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là sai 2 sin 1
(1−cos )2 1 hay dãy đã cho phân kỳ
Bài 3: Xét sự hội tụ của dãy có số hạng tổng quát như sau: a) 1 1 1 u = 1+ + + ...+ n 2 2 2 2 3 n b) 1 1 1 1 1 u = + + + + ...+ n 3 2 3 2 1 2 3 4 (2n)2 c) sin1 sin 2 sinn u = + + ...+ n 1.2 2.3 n(n + ) 1
Hướng dẫn giải a) 1 1 1 u = 1+ + +...+ n 2 2 2 2 3 n ε   0 N
 sao cho 1  ε, khi đó bất kỳ m  n  N thì: N (1) 1 1 1 1 1 1 u −u = + +... +  + +... + m n (n )2 1 (n 2)2 2 m
n(n +1) (n +1)(n + 2) (m− + + )1m ( 2) 1 1 1 = −   1 1 ε (Gi i thích: ả có (1) do  ) n m n 2 k ( k− )1 k
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy h i t ộ ụ b) 1 1 1 1 1 u = + + + + ...+ n 3 2 3 2 1 2 3 4 (2n)2 Đặt  1 1 1
r = 3,2, 3, 2,...  u = + + ...+ n    n r r r 1 2 n 1 2 2 ε   0 N
 sao cho 1  ε, khi đó bất kỳ m  n  N thì: N (1) 1 1 1 1 1 1 u − u = + + ...+  + + ...+ m n ( ) nr 1+ ( ) nr 2+ rm m n 1 n 2 ( n n + ) 1
(n+ )1( n+ )2 (m− + + )1 m ( 2) 1 1 1 = −   1 1 1
ε (Gi i thích: có (1) ả do   ) n m n k r 2 k k (k −1)k
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy h i t ộ ụ
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trườn g 3 Học online tại
: https://mapstudy.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ c) sin1 sin 2 sinn u = + + ...+ n 1.2 2.3 n(n + ) 1 sin(n +1) sin(n +2) sin(n + (1) − = + + + p)  1 + + 1 u u ... ... n +p n
(n + )1(n +2) (n+ )2(n +3)
(n + p)(n + p + 1)
(n + )1(n+ )2
(n + p)(n + p + 1) 1 1 1 1 = −     n+1 n+ + 1 p n + 1 n
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ
Bài 4: Dùng nguyên lý Cauchy, CMR các dãy số sau phân kỳ a) 1 1
u = 1+ + ...+ n 2 n 1 1 1 u = + + ...+ n ln2 ln 3 lnn
Hướng dẫn giải     a) Lấy 1 1 1 1 1 ε=
, khi đó  N thì với n > N ta có: u − u = 1+ + ...+ − 1+ + ...+     2 2n n  2 2n  2 n 1 1 1 1 1 1 n = + + ...+  + + ...+ = = ε n+ 1 n+ 2 2n 2n 2n 2n 2n
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy phân kỳ, đpcm 1     b) 1 1 1 1
Lấy ε= ,  N, v i n ớ
> N ta có: u − u =  1+ + ...+  − 1+ + ...+  2 2n n  ln 2 ln (2n )  ln 2 lnn    1 1 1 1 1 1 1 = + + +  + + +
 = tương tự câu a, ngoài ra đã kết l ( n n+ ) 1 l ( n n+ ) ... 2 l ( n 2 ) ... ε n n 1 + n +2 2n 2 hợp thêm tính chất: 1 1 lnn  n   n  1 lnn n
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy phân kỳ, đpcm
Bài 5: Dùng nguyên lý Cauchy, CMR các dãy số sau hội tụ. a) sin1 sin 2 sinn u = + + ...+ n 2 n 2 2 2 b) cos1! cos 2! cosn! u = + + ...+ n 1.2 2.3 n(n +1) c) 1 1 1 u = 1+ + + ...+ n 2 3 n 2 3 n
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trườn g 4 Học online tại
: https://mapstudy.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ d) 1 1 1 u = 1+ + +...+ n 2 2 2 2 3 n
Hướng dẫn giải a) 1
Với mọi ε  0, N  sao cho
 ε , khi đó, với mọi n + p > n > N thì: N 2  sin1 sin2
sin( n + p)   sin1 sin2 sin n  u −u =  + + ...+  − + +  ...+ n p + n  2 n p + 2 n  2 2 2   2 2 2    sin(n + ) 1
sin(n + 2)
sin(n + p) 1 1 1 1  1  1 = + + ...+  + +...+ =  1−   ε  n 1 + n 2 + n p + n 1 + n 2 + n p + n p n 2 2 2 2 2 2 2  2  2
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy đã cho hội tụ, đpcm
b) Với mọi ε  0, N
 sao cho 1  ε , khi đó, với mọi m > n > N thì: N  cos1! cos 2!
cos m!   cos1! cos 2! cosn!  u − u = + +  ...+ − + +   ...+ m n   1.2 2.3
m(m +1)   1.2 2.3 n(n +1)  cos(n + ) 1 !
cos (n +2)! cos m! 1 1 1 = ( + + +  + +
n+ 1)(n+ 2) (n+ )
2 (n+ ) ... 3 +
(n+ )1(n+ )2 (n+ )2(n+ ) ... m(m 1) 3 m(m+ ) 1  1 1   1 1   1 1  1 1 1 = − + − + ...+ − = −   ε       n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 3 m m + 1
n+ 1 m + 1 n+       1
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy dãy đã cho hội tụ, đpcm c) Gợi ý: 1 1 1 u − u = + + ...+ m n ( + + n+ )n 1 1 ( n+ )n 2 m 2 m 1 1 1 1 1 1  ( + + + = −  n n + ) 1
( n+ )1( n+ ) ... 2
( m − )1 m n m n d) Gợi ý: 1 1 1 u − u = + + ...+ m n (n+ )2 1 (n+ )2 2 2 m 1 1 1 1 1 1  ( + + + = −  n n + ) 1
( n+ )1( n+ ) ... 2
( m − )1 m n m n __HẾT__
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trườn g 5