Bài tập giải tích chương 1: Dãy số | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ
BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau: 1) lim1 = 1 n+ 1 n→ 3) lim = 0 2
n→ n + 1 2) + n 1 1 lim = 3 n
n→ 2n +1 2 4) lim = + 2
n→ n + 1
Hướng dẫn giải (1) 1) ε
  0 lấy N bất kỳ, khi đó n
  N , u −1 = 1−1 = 0  ε vậy theo định nghĩa ta có lim1 = 1, n n→ đpcm + 2)  1 n 1 1 1 1
ε  0 xét u − = − =  n 2 2n + 1 2
2(2n + 1) 4n   Chọn 1 1 1 1 1 1 N = +   1  
 ε thì n  N u −  
 ε vậy theo định nghĩa  4ε 4ε 4N n 2 4n 4N + ta có n 1 1 lim = đpcm
n→ 2n + 1 2 (1) 3) n+ 1 n+ n 2   ε
  0 xét u −0 =  = . Chọn 2 2 2 N = +   1   ε n 2 2 n 1 + n n  ε ε N Khi đó 2 2 n+ 1 n   N u −0  
 ε vậy theo định nghĩa lim = 0 đpcm n n N 2
n→ n + 1
(1): thay bằng tử số lớn hơn, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn (tất cả dương) 3 3 4) n n n M   0 xét u =  =
. Từ đó nếu chọn N = 2M +1 2M n 2 2 2   thì: n + 1 n + n 2 n N 3 n n   N u  
 M , theo định nghĩa lim = + đpcm n 2 2 2
n→ n + 1
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 1 Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ + u − a = − − = − −   −   − + ( )2N 1 1 a 1 a 0.5 1.5 a 0.5 2N 1
Hai điều trên mâu thuẫn, vậy điều giả sử là sai, suy ra dãy phân kỳ, đpcm
Bài 2: Chứng minh rằng: 1) n lim a = +, a  1 n→ 2) n lim a = 0, a  1 n→ 3) n lim a = 1 a   0 n→ 4) 1 n lim = 1 n→ 2
Hướng dẫn giải 1) Đặt = + (  ) = ( + )n n a 1 b b 0 a
1 b = 1+ nb + ...  nb
limnb = + (do b  0), suy ra n lim a = + đpcm n→ n→
2) nếu a = 0 thì kết luận đúng, nếu a  0 đặt 1 b =
1 . Theo kết quả câu a thì n lim b = + a n→ n 1  lim a = lim = 0, từ đây suy ra n
lim a = 0 (xem bài 1.07) đpcm n n→ n→ b n→ 3) +) Với a > 1 n
 a = 1+ b , b > 0, suy ra a = ( a
n a )n = (1+b)n 1 2 2 n 1
= 1+C b +C b + ...+C b  C b = nb  b  . Từ đó có thể kẹp: n n n n n n a
1 a = 1+ b 1+
→ 1 khi n →  . Suy ra n lim a = 1 n n → +) Với a = 1 ta có n lim a = 1 n →
+) Với 0 < a < 1 khi đó c = 1/a > 1 và: n 1 1 n a = = . Rõ ràng n
lim c =1 như đã chứng minh n c c n →
ở trường hợp đầu, suy ra n lim a = 1 n →
Từ đó ta có với mọi a > 0 n
lim a = 1 đpcm n →
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 2 Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Sử dụng kết quả câu 3): 1 1 1 n lim = lim = = 1 đpcm n→ n→ n 2 2 1
Bài 3: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau: n + − 2 1) n ( 1) x =
10) x = n − n −1 .sinn n ( ) n n n −( 1 − ) n.sinn! 2 + − 11) x = 2) 5n n 7 x = n 2 n +1 n 2
7n − 2n+ 6 n 3 2 − 12) x = 3) 2n 1 5n x = + n n 2 n 2 2n + 3 5n +1 n 2 4) 2
x = n − n − n 13) x = n n n! 5) 3 3
x = n + 1− n 2 2 2
1 +3 +... +(2n +1) n 14) x = n 3 n n − 6) 5 2 x = n n 1 5 + 2 +
15) x = cos lnn −cos ln n +1  n ( ) ( ( ))   n n − + 7) ( 2) 3 x = 1 1 1 n n 1 + n 1 ( 2 − ) + 3 + 16) x = + + ...+ n 1.2 2.3 (n −1)n 2 3 − 8) sin n cos n x =  1  1   1  n n 17) x = 1− 1− ... 1− n  2   2   2   2  3   n  9) n cosn x = 2 2 2 + + + − n 1 2 ... (n 1) n + 1 18) x = n 3 n
Hướng dẫn giải n +( 1 − ) 1 + ( 1 − )n n / n 1) lim x = lim = lim = 1 n n → → n −( 1 − ) →1 − ( 1 − )n n n n / n 2 2 + − + − 2) 5n n 7 5 1/ n 7 / n 5 lim x = lim = lim = n 2 2 n→ n→ n
7n − 2n + 6
→ 7 − 2 / n + 6 /n 7   −  1+ n − + − (n+ 2 3 2 3 5n 2n 1 5n 2n 3n 3n ) 3) lim x = lim lim n  +  =  +  → → 2 → 2n + 3 + 5n 1  2 n n n 2n + 3 + 5n 1       n +1 3n   1+1/ n 3 / n  1 1 = lim − = lim − = − 0 =     2 2 n→  + + n 5n 1 2n 3 → 
 5 +1 / n 2+ 3 / n  5 5
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 3 Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2 2 n − 2 n −n 4) n 1 1 1 lim n n n lim lim lim n ( − 2− ) ( ) = = = = = → n→ 2 → n  2 n→
n+ n − n
n+ n − n + 1 − 1 1 / n 1 +1 2 3 3 3 3 n − n −1 5) 1 lim + − = − − = = lim = 0 → ( 3 3 n 1 n ) lim → ( 3 3 n n 1) ( ) lim → → 2 3
n + n n − 1 + ( 3 n − 1)2 n n n 3 3 2 3
n + n n − 1+ ( 3n − )2 n 3 3 1 n n 1 + − − − 6) 5 2 5 / 2 1/ 2 1/ 2 1 lim = lim = = − n 1 + n 1 n n 5 + 2 5 / 2 + → → + 1 1 2 ( 2 − ) +3 (−2/ )n n n 3 / 3+ 1/ 3 7) 1/ 3 1 lim = lim =
= . Ở đây sử dụng tính chất với -1 < a < 1 (bài này n+ 1 n+ 1 (−2) + 3 ( + → → −2/ )n 1 n n + 1 3 3 1 là -2/3) thì an có gi i h ớ n b ạ ng 0 khi n ra vô cù ằ ng 2 3 − 8) sin n cos n 2 0  x =
 → 0 khi n→   lim x = 0 (nguyên lý kẹp) n n n n n→
− x  x  x mà lim(− x = lim x = 0  lim x = 0 (lại theo nguyên lý kẹp) n ) n n n n n→ n→ n n→ 9) n cosn n 1/ n 0  x =  =
→ 0 khi n→   lim x = 0 (nguyên lý kẹp). Tương tự bài 1.8 n n 1 + n 1 + 1 1 + / n n n→
từ đây có lim x = 0 n n→ 2 2 n − 2 n −1 10)  = 1 0 x n n 1 .sinn n n 1 0 khi n ( − 2− ) 2 ( )  − − = = → n+ 2 n − 1 n + 2 n − 1
n→   lim x = 0 (nguyên lý kẹp). Cũng từ có đây
lim x = 0 n n→ n n→ 11) n.sinn! n 1 / n 0  x =  =
→ 0 khi n→   lim x = 0 (nguyên lý kẹp). Suy ra n 2 2 2 n + 1
n + 1 1+ 1/ n n n→
lim x = 0 n n→ n n n −1 12) n n n
2 = (1+ 1) 0 1 2 n 2 ( )
= C + C + C + ...+ C  C =  x =  n n n n n n n 2 2
n (n −1 )/ 2
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 4 Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ n 2 0  x  =
→ 0 khi n→   limx = 0 n
n(n −1) / 2 n −1 n n→ 13) ( )n 3− 2n 6 − 2n 4 n! 1.2.3.4...n 1.2.3. 4 2.2.2 2 − =   = với n > 4. Suy ra: n n 2 2 1 0  x =  =
→ 0 khi n →   limx = 0 n 2n−4 n−4 n! 2 2 n n→ n n n n n
14) 1 + 3 + ...+ (2n+ 1) = (2k+ )2 2 2 2 1 = ( 2
4k + 4k+ 1)= 2 4 k + 4 k+     1 k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 n n n(n +1)
Ta có: 1 = n và 4k = 4
= 2n (n+ 1) (1) k 0 = k= 0 2 n
n n + 1 2n + 1 2 ( )( ) Bằng quy n p ta ch ạ ứng minh k = (2) = 6 k 0 n
n n + 1 2n + 1 2 ( )( )
Thật vậy với n = 0, (2) đúng vì hai vế bằng 0. Giả sử đúng với n, tức k = , khi k 0 = 6 n+1 n + + 2 n(n )1(2n )1
đó thì k =k ( + n + ) 1 = ( + n + )2 2 2 1 k 0 = k 0 = 6
( + )( 2 + + + ) ( + )( 2 n 1 2n n 6n 6 n 1 2n 7
+ n +6) (n 1
+ )(n +2)(2 (n 1 + ) 1 + ) = = = 6 6 6
Vậy (2) đúng với n+1, theo nguyên lý quy nạp nó đúng với mọi n. Thay (1) và (2) vào: n n n
n n +1 2n +1 2 2 2 2 ( )( )
1 + 3 + ...+ (2n + 1) = 4 k + 4 k + 1 = 4 + 2n(n+ ) 1 + n . Vậy: k= 0 k=0 k= 0 6 n 1
2n n +1 2n +1 2n n + 1 n 4 4 x = 2k +1 = + + → + 0 +0 =  khi n →  n 3 ( )2 ( )( ) ( ) 3 3 3 n k 0 = 3n n n 3 3
lnn + ln n + 1
lnn −ln n +1
15) 0  x = co ( s ln )
n − cos(l ( n n+ ) 1 ) ( ) ( ) = −2sin sin n 2 2 ln(n+ ) 1 − lnn  1 n+1 1 n + 1  1   2 sin = 2 sin ln  2 ln = ln 1+     (*) 2  2 n  2 n  n n n       Chú ý r ng ằ 1 1 1 1 1 limln 1+ = lim ln 1+ = lim limln 1+ = 0 lne =      
0 . Thay điều này lên (*) n→ n→ n→ n  n  n  n  n →  n 
dùng nguyên lý kẹp suy ra lim x = 0, từ đây  lim x =0 n n→ n n→
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 5 Học online t
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________  + 
Cuối cùng, ở (*) đã sử dụng sinx  x với 1 n 1 x = ln  . Ta xem ch u này ứng mình điề bài 2.2 ở 2  n  1 k +1 − 16) k 1 1 1 1 1 k ( x ...
k + 1) = k (k + ) = −  = + + + 1 k k + n 1 1.2 2.3 (n− )1n
 1 1   1 1  1 1  1 1 1 1 1 1 = − + − +...+ −
=1 − + − +... + − = 1− →1       khi n →  1 2 2 3 n −1 n 2 2 3 n−       1 n n 2 2 2  1  1   1 
2 −1 3 −1 n −1 1.3 2.4
(n −1)(n +1) + 17) n 1 1−  1−  ...1− =  ... = ... =  từ đó dãy số có 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2  3   n  2 3 n 2 3 n 2n giới hạn 1/2
n− 1 n 2n − 1 2 2 2 ( ) ( ) 18) Áp dụng kết qu
ả trong câu (14) 1 + 2 + ...+ (n− 1) = thay vào thì 6 (n− )1 ( n 2n − ) 1
(1− 1/ n)(2 −1/ n) 1.2 1 x = = → = khi n →  n 3 6n 6 6 3 __HẾT__
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 6