Bài tập hàm nhiều biến | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bài tập hàm nhiều biến | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 1: Tính các giới hạn sau: 1 𝑎) lim 𝑦5 𝑥𝑒𝑥
(1 + 3𝑥2)𝑥2+𝑦2 𝑐) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦2 𝑏) lim (𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥,𝑦)→(0,0) √2𝑥4 + 3𝑦4 1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑) lim sin(𝑥3 + 𝑦3) 𝑥𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑒) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦2 (1 − cos 𝑦) 𝑓) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2 𝑔) lim 2𝑥𝑦 𝑥2𝑦3 𝑥2 + 𝑦2
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 ℎ) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑖) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 1 ln(2𝑥2 + 2𝑦 + 1) 𝑗) lim 𝑥 tan 𝑦 2𝑥3 ln 𝑦 𝑙) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑘) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2
(𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 1 𝑚) lim (1 + 4𝑦3 + 𝑥3) 𝑥2 𝜋𝑥 𝑥2+𝑦2 𝑛) lim sin (𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥4 + 𝑦4 𝑜) lim (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦
Câu 2: Khảo sát tính liên t c ụ c a ủ các hàm s s ố au: 𝑦2 sin 𝑦 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥3 + 3𝑦3 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑏)(𝑥, 𝑦) = { 𝑥2 + 𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 𝑥2(𝑥2 − 𝑦2)
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2 + 𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑑)𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥4 + 𝑦4 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑒)𝑓(𝑥, 𝑦) = {sin (𝑥2 + 𝑦2) , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑓)𝑓(𝑥, 𝑦) = {cos (𝑥2 + 𝑦2) , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) Câu 3: Tính g ần đúng: 𝑎) 𝐴 = √
3 (1,04)3 + (2,03)2 + 3 𝑏) √
3 4𝑒−0,02 + 2,052 𝑐) 𝐶 = √(6,05)2 + (7,96)2 𝑑) 𝐷 = ln(√1, 3 03+ √0, 4 98 − 1) 𝑒) 𝐸 = √ 4 (3,04)2 + (2,02)3 − 1 𝑓) 𝐹 = √
3 2. (2,98) 3 − 3. (4,01)2 + 2 𝑔) 𝐺 = √ 3 (0,96)3 + (2,03)2 + 3
Câu 4: Tính các đạo hàm riêng: 𝑥 2
𝑎) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑦 arctan (𝑦) , nếu 𝑦 ≠ 0 . Tính 𝑓′𝑦(1,0) 0 , nếu 𝑦 = 0 PHAM THANH TUNG 2𝑥3 − 𝑦3
𝑏) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′ ′ 𝑥 (0,0) v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥2 sin 𝑥
𝑐) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). Tính 𝑓′ ′ 𝑥 (0,0) v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦
𝑑) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′ ′ 𝑥 ( ) 0,0 v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑒) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Câu 5: Tính đạo hàm riêng, vi phân toàn phần của:
𝑎) 𝑧 = ln (𝑥 + √𝑥2 + 𝑦2) 𝑏) 𝑧 = sin(𝑥2 + 𝑦2) 𝑐) 𝑢 = 𝑥𝑦2𝑧 1 𝑧
𝑑) 𝑢 = 𝑒𝑥2+2𝑦2+𝑧2. Tính 𝑑𝑢(1, −1,1) 𝑒) 𝑢 = . Tính 𝑑𝑢(3,4,5) √𝑥2 + 𝑦2
Câu 6: Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau: 𝑥
𝑎) 𝑧 = 𝑒𝑢2−2𝑣2 với 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑏) 𝑧 = ln(𝑢2 + 𝑣2) với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = 𝑦 𝑥 𝑦 𝑢 𝑐) 𝑧 = arctan 2
𝑣 với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = √𝑥2 + 𝑦 𝑑) 𝑧 = ∫ 𝑡2 sin 2𝑡 𝑑𝑡 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦
𝑒) 𝑧 = ∫ 𝑡2 cos 2𝑡 𝑑𝑡 𝑓) 𝑧 = ∫ 𝑡3 tan 4𝑡 𝑑𝑡 𝑔) 𝑧 = ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑥𝑦 𝑥 𝑥3𝑦2 𝑦
Câu 7: Bài toán đạo hàm riêng của hàm ẩn:
a) Tính đạo hàm 𝑦′(1) c a
ủ hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥 r ) út ra t
ừ phương trình 𝑥3 + 3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 = 0 b) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥3 + 𝑦3 3 + 𝑧 − 3𝑥𝑦 = 0
c) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑦 − 1 = 0. Tính 𝑦′(1), 𝑦′′(1).
d) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑦 = 0. Tính 𝑦′(𝑥)
e) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình sin(𝑥𝑦) + 𝑦𝑥2 − 𝑒𝑥𝑦 = T 0. ính 𝑦′(𝑥)
f) Tính đạo hàm 𝑦′(𝑎) c a
ủ hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥 r
) út ra từ phương trình 𝑥4𝑦 + 𝑥𝑦4 − 𝑎𝑥2𝑦2 = 𝑎5 PHAM THANH TUNG g) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑒𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 = 0 h) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥𝑒𝑦𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 i) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥3 − 2𝑦3 + 3𝑧3 = (𝑥 + 𝑦)𝑧 𝑥 j) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑧 − 𝑦𝑒𝑧 = 0
Câu 8: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến:
a) Cho đường cong cho bởi 𝑥3 + 𝑦2 − 3𝑥2 + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại 𝐴(−2,4)
b) Cho đường cong cho bởi 𝑥3 + 3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 = 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại 𝐴(0,1) Câu 9: Tìm c c ự trị c a ủ các hàm s s ố au:
a) 𝑧 = 1 𝑥4 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 d) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑦)4 2
b) 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 e) 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 + 𝑒𝑥2+𝑦2
c) 𝑧 = 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2 + 2𝑦2 f) 𝑧 = 8𝑥2 + 𝑦3 − 6𝑥𝑦
g) 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝑦3 + 2 h) z = 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2 + 4xy − 2𝑦2 Câu 10: Tìm c c
ự trị có điều kiện c a ủ các hàm sau: 𝑦
𝑎) 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2 với 𝑥2 + 𝑦2 𝑥
= 1 𝑏) 𝑧 = 4 + 3 với 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦
𝑐) 𝑧 = 9𝑥 + 8𝑦 với 9𝑥2 + 4𝑦2 = 1 𝑑) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 với 2 + 3 = 1
Câu 11: Bài toán khai triển Taylor của các hàm số sau tại các điểm tương ứng:
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 + 1 tại 𝐴(1,3)
𝑏) 𝑧 = 6𝑥2 + 5𝑦2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 + 1 tại 𝐵(1,1)
𝑐) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1 tại 𝐶(1,2)
Câu 12: Tìm giá trị nh nh ỏ
ất, giá trị lớn nhất c a ủ các hàm s s ố au: 𝜋
𝑎) 𝑧 = sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) với 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 2
𝑏) 𝑧 = 𝑥3 + 2𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 1 𝑥 3 − 1 𝑦 8 trong m ền i ∆OA với A B (7,0),𝐵(0,7), 𝑂(0,0) 𝑥2
𝑐) 𝑧 = 𝑥2 − 9𝑦2 trong m ền elip i 9 + 𝑦2 ≤ 1 PHAM THANH TUNG