Bài tập hàm nhiều biến | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 1: Tính các giới hạn sau: 1 𝑎) lim 𝑦5 𝑥𝑒𝑥
(1 + 3𝑥2)𝑥2+𝑦2 𝑐) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥4 + 𝑦2 𝑏) lim (𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥,𝑦)→(0,0) √2𝑥4 + 3𝑦4 1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑) lim sin(𝑥3 + 𝑦3) 𝑥𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑒) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦2 (1 − cos 𝑦) 𝑓) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2 𝑔) lim 2𝑥𝑦 𝑥2𝑦3 𝑥2 + 𝑦2
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 ℎ) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑖) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 1 ln(2𝑥2 + 2𝑦 + 1) 𝑗) lim 𝑥 tan 𝑦 2𝑥3 ln 𝑦 𝑙) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 𝑘) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥2 + 𝑦2
(𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 1 𝑚) lim (1 + 4𝑦3 + 𝑥3) 𝑥2 𝜋𝑥 𝑥2+𝑦2 𝑛) lim sin (𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥4 + 𝑦4 𝑜) lim (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦
Câu 2: Khảo sát tính liên t c ụ c a ủ các hàm s s ố au: 𝑦2 sin 𝑦 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥3 + 3𝑦3 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑏)(𝑥, 𝑦) = { 𝑥2 + 𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 𝑥2(𝑥2 − 𝑦2)
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2 + 𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑑)𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥4 + 𝑦4 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑒)𝑓(𝑥, 𝑦) = {sin (𝑥2 + 𝑦2) , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑓)𝑓(𝑥, 𝑦) = {cos (𝑥2 + 𝑦2) , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0, (𝑥, 𝑦) = (0,0) Câu 3: Tính g ần đúng: 𝑎) 𝐴 = √
3 (1,04)3 + (2,03)2 + 3 𝑏) √
3 4𝑒−0,02 + 2,052 𝑐) 𝐶 = √(6,05)2 + (7,96)2 𝑑) 𝐷 = ln(√1, 3 03+ √0, 4 98 − 1) 𝑒) 𝐸 = √ 4 (3,04)2 + (2,02)3 − 1 𝑓) 𝐹 = √
3 2. (2,98) 3 − 3. (4,01)2 + 2 𝑔) 𝐺 = √ 3 (0,96)3 + (2,03)2 + 3
Câu 4: Tính các đạo hàm riêng: 𝑥 2
𝑎) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑦 arctan (𝑦) , nếu 𝑦 ≠ 0 . Tính 𝑓′𝑦(1,0) 0 , nếu 𝑦 = 0 PHAM THANH TUNG 2𝑥3 − 𝑦3
𝑏) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′ ′ 𝑥 (0,0) v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥2 sin 𝑥
𝑐) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). Tính 𝑓′ ′ 𝑥 (0,0) v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦
𝑑) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′ ′ 𝑥 ( ) 0,0 v 𝑓 à 𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑒) Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2 + 𝑦2 , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) . Tính 𝑓′𝑦(0,0) 0 , nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Câu 5: Tính đạo hàm riêng, vi phân toàn phần của:
𝑎) 𝑧 = ln (𝑥 + √𝑥2 + 𝑦2) 𝑏) 𝑧 = sin(𝑥2 + 𝑦2) 𝑐) 𝑢 = 𝑥𝑦2𝑧 1 𝑧
𝑑) 𝑢 = 𝑒𝑥2+2𝑦2+𝑧2. Tính 𝑑𝑢(1, −1,1) 𝑒) 𝑢 = . Tính 𝑑𝑢(3,4,5) √𝑥2 + 𝑦2
Câu 6: Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau: 𝑥
𝑎) 𝑧 = 𝑒𝑢2−2𝑣2 với 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑏) 𝑧 = ln(𝑢2 + 𝑣2) với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = 𝑦 𝑥 𝑦 𝑢 𝑐) 𝑧 = arctan 2
𝑣 với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 = √𝑥2 + 𝑦 𝑑) 𝑧 = ∫ 𝑡2 sin 2𝑡 𝑑𝑡 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦
𝑒) 𝑧 = ∫ 𝑡2 cos 2𝑡 𝑑𝑡 𝑓) 𝑧 = ∫ 𝑡3 tan 4𝑡 𝑑𝑡 𝑔) 𝑧 = ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑥𝑦 𝑥 𝑥3𝑦2 𝑦
Câu 7: Bài toán đạo hàm riêng của hàm ẩn:
a) Tính đạo hàm 𝑦′(1) c a
ủ hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥 r ) út ra t
ừ phương trình 𝑥3 + 3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 = 0 b) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥3 + 𝑦3 3 + 𝑧 − 3𝑥𝑦 = 0
c) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑦 − 1 = 0. Tính 𝑦′(1), 𝑦′′(1).
d) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑦 = 0. Tính 𝑦′(𝑥)
e) Cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥), xác định từ phương trình sin(𝑥𝑦) + 𝑦𝑥2 − 𝑒𝑥𝑦 = T 0. ính 𝑦′(𝑥)
f) Tính đạo hàm 𝑦′(𝑎) c a
ủ hàm ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥 r
) út ra từ phương trình 𝑥4𝑦 + 𝑥𝑦4 − 𝑎𝑥2𝑦2 = 𝑎5 PHAM THANH TUNG g) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑒𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 = 0 h) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥𝑒𝑦𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 i) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑥3 − 2𝑦3 + 3𝑧3 = (𝑥 + 𝑦)𝑧 𝑥 j) Tính 𝑧′ ′
𝑥 , 𝑧𝑦 của hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) rút ra từ phương trình 𝑧 − 𝑦𝑒𝑧 = 0
Câu 8: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến:
a) Cho đường cong cho bởi 𝑥3 + 𝑦2 − 3𝑥2 + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại 𝐴(−2,4)
b) Cho đường cong cho bởi 𝑥3 + 3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 = 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại 𝐴(0,1) Câu 9: Tìm c c ự trị c a ủ các hàm s s ố au:
a) 𝑧 = 1 𝑥4 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 d) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑦)4 2
b) 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 e) 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 + 𝑒𝑥2+𝑦2
c) 𝑧 = 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2 + 2𝑦2 f) 𝑧 = 8𝑥2 + 𝑦3 − 6𝑥𝑦
g) 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝑦3 + 2 h) z = 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2 + 4xy − 2𝑦2 Câu 10: Tìm c c
ự trị có điều kiện c a ủ các hàm sau: 𝑦
𝑎) 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2 với 𝑥2 + 𝑦2 𝑥
= 1 𝑏) 𝑧 = 4 + 3 với 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦
𝑐) 𝑧 = 9𝑥 + 8𝑦 với 9𝑥2 + 4𝑦2 = 1 𝑑) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 với 2 + 3 = 1
Câu 11: Bài toán khai triển Taylor của các hàm số sau tại các điểm tương ứng:
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 + 1 tại 𝐴(1,3)
𝑏) 𝑧 = 6𝑥2 + 5𝑦2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 + 1 tại 𝐵(1,1)
𝑐) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1 tại 𝐶(1,2)
Câu 12: Tìm giá trị nh nh ỏ
ất, giá trị lớn nhất c a ủ các hàm s s ố au: 𝜋
𝑎) 𝑧 = sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) với 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 2
𝑏) 𝑧 = 𝑥3 + 2𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 1 𝑥 3 − 1 𝑦 8 trong m ền i ∆OA với A B (7,0),𝐵(0,7), 𝑂(0,0) 𝑥2
𝑐) 𝑧 = 𝑥2 − 9𝑦2 trong m ền elip i 9 + 𝑦2 ≤ 1 PHAM THANH TUNG