Trang 1
12. HÌNH VUÔNG
I. KIN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: hình vuông là t giác có bn góc vuông và bn cnh
bng nhau
T giác
ABCD
là hình vuông
= = = =
= = =
0
90A B C D
AB BC CD D A
T định nghĩa hình vuông suy ra
- Hình vuông là hình ch nht có bn cnh bng nhau.
- Hình vuông là hình thoi có bn góc bng nhau.
Tính cht: Hình vuông có tt c các tính cht ca hình ch nht và hình thoi
Du hiu nhn biết:
- Hình ch nht có hai cnh k bng nhau là hình vuông.
- Hình ch nhật có hai đường chéo vuông góc nhau là hình vuông.
- Hình ch nht có một đường chéo là đường phân giác ca mt góc là hình vuông.
- Hình thoi có mt góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bng nhau là hình vuông.
III. BÀI TP
Bài 1: Cho hình vuông
A BCD
. Trên cnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H
sao cho
A E BF CG DH= = =
. Chng minh
EFGH
là hình vuông.
Bài 2: Cho hình ch nht
A BCD
2A B A D=
. Gi E, F theo th t là trung điểm ca
AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm ca BF và CE.
a) T giác
A DFE
là hình gì? Vì sao?
b) T giác
EMFN
là hình gì? Vì sao?
Bài 3: Cho hình ch nht
. V các tam giác vuông cân
A BI
,
CDK
( )
= = IK
ˆ
90
ˆ
, I và K nm trong hình ch nht. Gọi E là giao điểm ca AI và DK, F là giao
đim ca BI và CK. Chng minh rng:
a) EF song song vi CD.
b)
EKFI
là hình vuông.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. phía ngoài hình bình hành v các hình vuông ADEF
và ABGH .Gọi O là giao điểm các đường chéo ca hình vuông ADEF. Chng minh rng.
a)
=OAH ODC
b)
OH OC=
c)
OH OC
O
A
D
B
C
Trang 2
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Gi M, N, P, Q theo th t là trung điểm ca các cnh AB,
BC, CD, DA.
a) Chng minh AN = DM và
AN DM^
b) Chng minh rằng các đoạn thng DM, AN, BP, CQ giao nhau to thành mt hình
vuông.
c) Gọi E là giao điểm ca DM và AN. Chng minh CE = CD.
Bài 6: Cho t giác ABCD có
·
·
ADC BCD 90+=°
A D BC=
. Gi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm ca AB, AC, CD, BD. Chng minh rng t giác MNPQ là hình vuông.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gi E, F lần lượt trên cnh AB, AD sao cho
A E DF=
.
Chng minh rng
DE CF=
DE CF^
Bài 8: Cho tam giác ABC cân ti A
( )

ˆ
A 90
, các đường cao BD và CE ct nhau ti H. Tia
phân giác ca góc ABD ct EC và AC theo th t ti M và P. Tia phân giác ca góc ACE ct
DB và AB theo th t ti Q và N. Chng minh rng:
a)
·
·
ABD ACE=
. b)
=BH CH
.
c) Tam giác BOC vuông cân. d) MNPQ là hình vuông.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cnh BC. T M, v mt đường thng
ct cnh CD ti K sao cho:
·
·
AMB AMK=
. Chng minh
0
KAM 45=
.
Bài tập tự luyện:
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác này các
hình vuông ABDE và ACFG. Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy;
b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy.
Bài 11: Chonh vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm F sao cho AE = CF. Gọi O trung điểm của EF. Vẽ điểm M sao cho O là trung điểm của
DM. Chứng minh rằng t giác DEMF là nh vuông.
Bài 12: Cho tam giác ABC,
o
A 45 .=
Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N,
P, Q lần lượt trung điểm của AB, AC, HB HC. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ
hình vuông.
KT QU - ĐÁP SỐ
Trang 3
Bài 1: Ch ra
A H BE CF DG= = =
. T đó suy ra:
AEH BFE CGF DHGD = D = D = D
(c-g-c).
Do đó
HE EF FG GH= = =
(1).
Mt khác, vì
·
·
AEH BFE BEF AHED = D Þ =
Suy ra
·
·
·
00
AEH BEF 90 FEH 90+ = Þ =
(2).
(1), (2) suy ra
EFGH
là hình vuông.
Bài 2: a) E, F lần lượt là trung điểm ca AB, CD nên ta có
/ / / /EF A D BC
, do đó dễ thy
A DFE
là hình ch nht.
Mt khác
1
AD AE AB
2
==
. Vy
A DFE
là hình vuông.
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có BCFE cũng là hình
vuông. Do đó hai tam giác MEF và NEF là hai tam giác vuông
cân ti M, N. t đó suy ra
EMFN
là hình vuông.
Bài 3: a) Tam giác KCD cân ti K nên
=KD KC
(1).
=ΔEAD ΔFBC
(g.c.g) nên
=DE CF
(2).
T (1) và (2) suy ra:
= =KD DE KC CF KE KF
.
Tam giác vuông KEF có
=KE KF
nên
=
1
E 45
.
Ta li có:
=
2
D 45 EF//CD
(2 góc đồng v bng nhau).
b) Tam giác EAD có
= =
11
A D 45
nên
=AED 90
.
T giác EKFI có
= = =
ˆ ˆ ˆ
E K I 90
nên
EKFI
là hình ch nht.
Li có
=KE KF EKFI
là hình vuông.
Bài 4: a) Ta có :
OA OD
(tính chất đường chéo hình
vuông) ;
AH DC
( vì
AH AB
,
//A B CD
). Vy
=OAH ODC
(góc có cạnh tương ứng vuông góc).
b) Xét
OA HD
ODCD
:
OA = OD (tính chất đường chéo hình vuông)
=OAH ODC
( câu a)
A H DC=
(cùng bng AB )
Trang 4
Vy
OAH ODCD = D
(c.g.c) suy ra
OH OC=
.
c)
OAH ODCD = D
=
2
O1 O
+=
23
O O 90
(tính chất đường chéo hình vuông ), nên
+=
13
O O 90
.Vy
OH OC
.
Bài 5: a) Xét hai tam giác ABN và DAM vuông ti B và A, có
A B A D=
BN A M=
,
do đó
ABN DAMD = D
suy ra
A N DM=
BAN ADM=
.
·
·
0
BAN DAN 90+=
, do đó
·
·
ADM DAN 90+ = °
, hay
0
AED 90=
.
Vy ta có
A N DM=
A N DM^
.
b) Gi s các đoạn thng DM, AN, BP, CQ giao nhau to thành
t giác EFGH.
MB // DP và
MB DP=
MBPD
là hình bình hành.
Suy ra BP // DM
AN
BP.
Tương tự ta cũng có
CQ DM^
.
Như vậy t giác EFGH có
0
E F H 90= = =
.
* Ta chng minh
EF EH=
:
D thấy EM là đường trung bình trong tam giác ABF, E là trung điểm ca AF.
Tương tự H là trung điểm ca DE.
Xét hai tam giác ABF và DAE vuông ti F là E, có:
A B DA=
;
·
·
BAF ADE=
(vì
ABN DAMD = D
). Suy ra
ABF DAED = D
.A F DE=
T đó ta có EF = EH. Vậy EFGH là hình vuông.
c) H là trung điểm ca DE và
CH DE^
, do đó ta suy ra
CDE
cân ti C, hay là
CE CD=
.
Bài 6: Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên
1
MN BC
2
=
Lp luận tương tự, ta có
1 1 1
PQ BC, MQ AD, NP AD
2 2 2
= = =
Theo gi thiết, AD = BC suy ra
MN QP MQ NP= = =
. Vy
MNPQ
là hình thoi (1).
Mt khác ta có:
Trang 5
·
·
·
·
DPQ DCB, NP C ADC==
(góc đồng v). theo gi thiết
·
·
DCB ADC 90+=°
, suy ra
·
·
DPQ NPC 90+=°
. Do vậy ta được góc
·
QP N 90= °
(2).
T (1) và (2) cho ta MNPQ là hình vuông.
Bài 7: Gọi I là giao điểm ca DE và CF.
Xét hai tam giác ADE và DCF có:
A D DC=
(vì ABCD là hình vuông).
·
·
EAD FDC 90==°
.
A E DF=
(theo gi thiết)
Vy
A DE DCFD = D
, khi đó ta có:
DE CF=
·
·
ADE DCF=
.
Mt khác
·
·
DCF DFC 90+=°
, suy ra
·
·
·
DFC 90 DIF 90A DE
°°
+ = Þ =
. Vy
DE CF^
.
Bài 8:
a)
=ABD ACE
(cùng ph vi
ˆ
A
).
b) Ta có:
=ABC ACB
=ABD ACE
(chng minh trên)
·
·
· ·
33
ABC ABD ACB ACE B CÞ - = - Û =
.
=BH CH
.
c) Tam giác OBC có
==
3 3 2 2
B C ,B C
nên
+ = + =
3 2 3 2
B B C C OBC OCB
ΔOBC
cân ti O (1).
Mt khác, vì
=
21
CB
nên ta có:
+ + + = + + + =
2 3 3 2 2 3 1 3
B B C C B B B C 90
= BOC 90
(2).
T (1) và (2) suy ra
ΔOBC
vuông cân.
d) Tam giác OBC cân ti O nên
=OB OC
(3).
=ΔBMH ΔCQH
(g.c.g),
=BM CQ
(4).
T (3) và (4) suy ra:
= =OB BM OC CQ OM OQ
Trang 6
ΔBNQ
cân tại B có đường cao BO cũng là đường trung tuyến nên O là trung điểm ca
QN hay
=ON OQ
.
Tương tự ta có
=OP OM
.
= = = OM ON OQ OP MNPQ
là hình thoi.
Ta li có:
MP NQ
nên MNPQ là hình vuông
Bài 9: MA là phân giác góc BMK nên MA là trục đối xng của hai đường thng MK và
MB.
Gọi I là điểm đối xng ca K qua MA, suy ra I thuộc đường
thng BC.
Ta có
A I A K=
,
A B A D=
.
Hai tam giác vuông ABI và ADK có hai cnh bng nhau nên
ABI = ADK
.
T đó ta có
·
·
IAB KAD=
.
·
·
·
·
·
IAK IAB BAK KAD BAK 90= + = + = °
. Vy ta có:
·
·
1
MAK IAK 45
2
= = °
.

Preview text:

12. HÌNH VUÔNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau A D
A = B = C = D = 0 90
Tứ giác ABCD là hình vuông  
AB = BC = CD =  DA O
Từ định nghĩa hình vuông suy ra B C
- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình vuông là hình thoi có bốn góc bằng nhau.
Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. III. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình vuông A B CD . Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H
sao cho A E = BF = CG = DH . Chứng minh EFGH là hình vuông.
Bài 2: Cho hình chữ nhật A B CD A B = 2A D . Gọi E, F theo thứ tụ là trung điểm của
AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác A DFE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD(AD  AB  2AD) . Vẽ các tam giác vuông cân A BI , CDK (Iˆ =Kˆ = 
90 ) , I và K nằm trong hình chữ nhật. Gọi E là giao điểm của AI và DK, F là giao
điểm của BI và CK. Chứng minh rằng: a) EF song song với CD.
b) EK FI là hình vuông.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD.Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các hình vuông ADEF
và ABGH .Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình vuông ADEF. Chứng minh rằng. a) OAH = ODC b) OH = OC c) OH ⊥ OC Trang 1
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh AN = DM và AN ^ DM
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành một hình vuông.
c) Gọi E là giao điểm của DM và AN. Chứng minh CE = CD. · ·
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có ADC + BCD = 90° và A D = BC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt trên cạnh AB, AD sao cho A E = DF .
Chứng minh rằng DE = CF và DE ^ CF
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A ( ˆA  9 
0 ) , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia
phân giác của góc ABD cắt EC và AC theo thứ tự tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt
DB và AB theo thứ tự tại Q và N. Chứng minh rằng: · · a) ABD = ACE . b) BH = CH . c) Tam giác BOC vuông cân. d) MNPQ là hình vuông.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC. Từ M, vẽ một đường thẳng · · 0
cắt cạnh CD tại K sao cho: AMB = AMK . Chứng minh KAM = 45 . Bài tập tự luyện:
Bài 10:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác này các
hình vuông ABDE và ACFG. Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy;
b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy.
Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm F sao cho AE = CF. Gọi O là trung điểm của EF. Vẽ điểm M sao cho O là trung điểm của
DM. Chứng minh rằng tứ giác DEMF là hình vuông.
Bài 12: Cho tam giác ABC, o
A = 45 . Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N,
P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, HB và HC. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Trang 2
Bài 1: Chỉ ra A H = BE = CF = DG . Từ đó suy ra:
D AEH = D BFE = D CGF = D DHG (c-g-c).
Do đó HE = EF = FG = GH (1). · ·
Mặt khác, vì DAEH = DBFE Þ BEF = AHE · · 0 · Suy ra 0
AEH + BEF = 90 Þ FEH = 90 (2).
(1), (2) suy ra EFGH là hình vuông.
Bài 2: a) E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên ta có
EF / / A D/ / BC , do đó dễ thấy A DFE là hình chữ nhật. 1 Mặt khác AD = AE =
AB . Vậy A DFE là hình vuông. 2
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có BCFE cũng là hình
vuông. Do đó hai tam giác MEF và NEF là hai tam giác vuông
cân tại M, N. từ đó suy ra EMFN là hình vuông.
Bài 3: a) Tam giác KCD cân tại K nên KD = KC (1).
ΔEAD = ΔFBC (g.c.g) nên DE = CF (2). Từ (1) và (2) suy ra:
KD − DE = KC − CF  KE = KF .
Tam giác vuông KEF có KE = KF nên E = 45 . 1 Ta lại có: D = 
45  EF//CD (2 góc đồng vị bằng nhau). 2
b) Tam giác EAD có A = D = 45 nên AED =  90 . 1 1
Tứ giác EKFI có ˆ = ˆ = ˆ E K
I = 90 nên EKFI là hình chữ nhật.
Lại có KE = KF  EKFI là hình vuông.
Bài 4: a) Ta có : OA ⊥ OD (tính chất đường chéo hình
vuông) ; AH ⊥ DC ( vì AH ⊥ AB , A B / / CD ). Vậy
OAH = ODC (góc có cạnh tương ứng vuông góc).
b) Xét D OA H và D ODC :
OA = OD (tính chất đường chéo hình vuông) OAH = ODC ( câu a)
A H = DC (cùng bằng AB ) Trang 3
Vậy D OAH = D ODC (c.g.c) suy ra OH = OC . c) D OAH = D ODC  O1= 2 O mà 2 O + 3
O = 90 (tính chất đường chéo hình vuông ), nên 1 O + 3 O = 90 .Vậy OH ⊥ OC .
Bài 5: a) Xét hai tam giác ABN và DAM vuông tại B và A, có A B = A D BN = A M , do đó D ABN = D DAM
suy ra A N = DM và BAN = ADM . · · · · Mà 0
BAN + DAN = 90 , do đó ADM + DAN = 90°, hay 0 AED = 90 .
Vậy ta có A N = DM A N ^ DM .
b) Giả sử các đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành tứ giác EFGH.
MB // DP và MB = DP MBPD là hình bình hành.
Suy ra BP // DM  AN ⊥ BP.
Tương tự ta cũng có CQ ^ DM . 0
Như vậy tứ giác EFGH có E = F = H = 90 .
* Ta chứng minh EF = EH :
Dễ thấy EM là đường trung bình trong tam giác ABF, E là trung điểm của AF.
Tương tự H là trung điểm của DE.
Xét hai tam giác ABF và DAE vuông tại F là E, có: A B = DA · ·
; BAF = ADE (vì D ABN = D DAM ). Suy ra D ABF = D DAE  A F = DE .
Từ đó ta có EF = EH. Vậy EFGH là hình vuông.
c) H là trung điểm của DE và CH ^ DE , do đó ta suy ra CDE cân tại C, hay là CE = CD . 1
Bài 6: Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN = BC 2 1 1 1
Lập luận tương tự, ta có P Q = BC, MQ = AD, NP = AD 2 2 2
Theo giả thiết, AD = BC suy ra MN = QP = MQ = NP . Vậy MNPQ là hình thoi (1). Mặt khác ta có: Trang 4 · · · · DP Q = DCB, NP C = ADC · · DCB + ADC = 90°
(góc đồng vị). theo giả thiết , suy ra · · DP Q + NP C = 90° · QP N = 90° . Do vậy ta được góc (2).
Từ (1) và (2) cho ta MNPQ là hình vuông.
Bài 7: Gọi I là giao điểm của DE và CF.
Xét hai tam giác ADE và DCF có:
A D = DC (vì ABCD là hình vuông). · · EAD = FDC = 90° .
A E = DF (theo giả thiết)
Vậy D A DE = D DCF , khi đó ta có: DE = CF · · và ADE = DCF . · · · · ° · Mặt khác DCF + DFC = 90° °
, suy ra A DE + DFC = 90 Þ DIF = 90 . Vậy DE ^ CF . Bài 8:
a) ABD = ACE (cùng phụ với ˆ A ).
b) Ta có: ABC = ACB mà ABD = ACE (chứng minh trên) · · · · ¶ ¶
Þ ABC - ABD = ACB - ACE Û B = C . 3 3  BH = CH .
c) Tam giác OBC có B = C , B = C 3 3 2 2
nên B + B = C + C  OBC = OCB 3 2 3 2  ΔOBC cân tại O (1).
Mặt khác, vì C = B nên ta có: 2 1
B + B + C + C = B + B + B + C = 9  0 2 3 3 2 2 3 1 3  BOC =  90 (2).
Từ (1) và (2) suy ra ΔOBC vuông cân.
d) Tam giác OBC cân tại O nên OB = OC (3).
ΔBMH = ΔCQH (g.c.g),  BM = CQ (4).
Từ (3) và (4) suy ra: OB − BM = OC − CQ  OM = OQ Trang 5
Mà ΔBNQ cân tại B có đường cao BO cũng là đường trung tuyến nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ . Tương tự ta có OP = OM .
 OM = ON = OQ = OP  MNPQ là hình thoi.
Ta lại có: MP ⊥ NQ nên MNPQ là hình vuông
Bài 9: MA là phân giác góc BMK nên MA là trục đối xứng của hai đường thẳng MK và MB.
Gọi I là điểm đối xứng của K qua MA, suy ra I thuộc đường thẳng BC.
Ta có A I = A K , A B = A D .
Hai tam giác vuông ABI và ADK có hai cạnh bằng nhau nên ABI = A  DK . · · Từ đó ta có IAB = KAD . · · · · ·
IAK = IAB + BAK = KAD + BAK = 90° . Vậy ta có: · 1 · MAK = IAK = 45° . 2 Trang 6