Bài tập Môn Giải tích 1, 2 | Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

Câu 1. Trong không gian vectơ R4, cho hệ vectơ {u1, u2, u3}, trong đó
u1 = (1,0,2,3), u2 = (1,1,0,1), u3 = (1,2,3,4).
Hệ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Câu 2. Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 −→ R3 .
(x1, x2) 7−→ (x1+ 2x2, x1− x2, −x2)
a) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở U = {u1, u2} và V = {v1, v2, v3}, trong đó u1 =
(1,0), u2 = (1,1), v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0).
b) Tìm hạt nhân và ảnh của f.
Câu 3. Trong không gian vectơ Euclid R4, cho không gian vectơ con U sinh bởi các vectơ
u1 = (1,1,1,1), u2 = (1,1,1,0), u3 = (1,1,0,0).
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của U.
b) Xác định hình chiếu trực giao của vectơ u = (4, −1, −3,4) lên không gian con U.
Câu 4. Tìm một cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn của không gian véctơ con L ⊂ R4
trong các trường hợp sau:
a) L = ⟨α1, α2, α3⟩ với: α1 = (1,1,0,0), α2 = (1,1,1,1), α3 = (0, −1,0,1).
b) L = ⟨α1, α2, α3⟩ với: α1 = (1,2,2, −1), α2 = (1,1, −5,3), α3 = (3,2,8, −7). c) L . ( ) = − + = ( ) ∈ − − = lOMoAR cPSD| 58675420
Câu 5. Hãy tìm hình chiếu trực giao của véctơ x lên không gian con L của R4 và khoảng
cách từ x đến L với: (a) x = (1, −1,1,0),
L = ⟨α1, α2, α3⟩, trong đó
α1 = (1,1,0,0), α2 = (1,1,1,1), α3 = (0, −1,0,1).
(b) x = (1,0,1,2), L .
Câu 6. Tìm khoảng cách từ véctơ α = (2,1,4,4) đến đa tạp P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính: .
Câu 7. Trong R4, cho hệ véctơ: u1 = (1,1,1,1), u2 = (2,3, −1,0), u3 = (−1, −1,1,1).
Tìm điều kiện cần và đủ để véctơ u = (x1, x2, x3, x4) biểu diễn tuyến tính được qua u1, u2, u3.
Câu 8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 được xác định bởi:
f(x1, x2, x3, x4) = (x1− x2+ x3, 2x1+ x4, 2x2− x3+ x4).
a) Tìm một cơ sở và số chiều của ker f.
b) Tìm một cơ sở và số chiều của Im f.
Câu 9. Cho x = (1,0,1,2) ∈ R4 và không gian con L ⊂ R4 được xác định bởi hệ: .
Tìm hình chiếu trực giao của x lên L và khoảng cách từ x đến L.
———-Hết———-