TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
MÔN: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ONLINE
BÀI TẬP TỰ ĐÁNH GIÁ CHƯƠNG
Chương 1 (04 câu tự luận)
Câu 1. Một lô hàng gồm 50 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra
15 sản phẩm. Tính xác suất để trong 15 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm nào.
Câu 2. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm (sp) gồm 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn
ngẫu nhiên từ lô hàng 4 sp.Tính xác suất để trong 4 sp được chọn ra có:
a. Nhiều hơn 2 sản phẩm tốt. b. Ít nhất 1 sp xấu.
Câu 3. Một hộp gồm 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm của phân xưởng I và 4 sản phẩm của
phân xưởng II. Chọn lần lượt từ hộp đó mỗi lần một sản phẩm (chọn không hoàn lại) đến lúc
nào được sản phẩm của phân xưởng II thì dừng chọn. Tính xác suất để việc chọn dừng ở lần chọn thứ 3.
Câu 4. Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt
nghiệp phổ thông trung học là 60%, còn tỷ lệ này đối với nam là 70%. Chọn ngẫu nhiên một
công nhân của phân xưởng. Tính xác suất để chọn được công nhân đã tốt nghiệp phổ thông trung học.
Chương 2 (04 câu tự luận)
Câu 5. Điểm thi (X)của môn giáo dục quốc phòng một số sinh viên trường đại học A, kết quả như sau: X 5 6 7 8 9 10 Số sv 10 16 50 60 50 14
Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Câu 6. Một lớp học có 100 sinh viên thi môn Tiếng Anh với kết quả điểm như sau: Điểm (X) 4 5 7 8 Số sinh viên 1 3 3 2 5 0 5 0
Tính trung bình, phương sai của X.
Câu 7. Xác suất của sinh viên ra trường làm việc không đúng ngành là 0,3. Tính xác suất trong
10 sinh viên ra trường được khảo sát có không quá 1 người làm việc không đúng ngành.
Câu 8. Trọng lượng của một loại trái cây tuân theo luật phân phối chuẩn có trung bình 5kg,
phương sai 4 kg2. Trái cây gọi là đạt chất lượng nếu có trọng lượng từ 3kg trở lên. Chọn ngẫu
nhiên 1 trái, tính xác suất chọn được trái đạt chất lượng.
Chương 3 (04 câu tự luận)
Câu 9. Xác định trung vị của mẫu sau:
a. 8,2; 5,2; 7,4; 3,8; 5,6; 6,8; 4,5; 7; 8,6; 6,4.
b. 13; 5; 14; 6; 3; 10; 9; 8; 11.
Câu 10. Cân một số sản phẩm của một xí nghiệp ta có bảng sau: X (g) 498 502 506 510 ni 40 20 20 20
Hãy tính khối lượng trung bình của sản phẩm trong mẫu trên.
Câu 11. Điều tra trọng lượng của một loại trái cây trong vườn cây, người ta cân thử 290 trái
thấy trọng lượng trung bình 58,4 gam và độ lệch chuẩn 12 gam.
a. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của vườn cây với độ tin cậy 95%.
b. Muốn ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở vườn cây với độ tin cậy 95% và
độ chính xác 1,5g thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu trái?
c. Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây trên với độ chính xác 1,6 cm
thì sẽ đạt độ tin cậy là bao nhiêu ?
Câu 12. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 trái trong một lô trái cây thấy có 10 trái không đạt tiêu chuẩn.
a. Ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn của lô hàng, với độ tin cậy 97%.
b. Muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,01 và độ tin cậy 98% thì
cần phải kiểm tra tối thiểu bao nhiêu trái?
c. Nếu ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,012 thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? ĐÁP ÁN Bài giải câu 1.
Gọi A là biến cố trong 15 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm nào. 15
Lấy 15 sản phẩm từ 50 sản phẩm thì số khả năng có thể xảy ra là n C  50
Trong 50 sản phẩm có 10 phế phẩm nên số chính phẩm có trong lô hàng là 50 – 10 = 40.
Để trong 15 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm nào thì tất cả 15sản phẩm lấy được đều phải là chính phẩm. 15
Số khả năng lấy 15 được 15 chính phẩm từ 40 chính phẩm là n C  40 15 P A m C40   0,018 15 Vậy: n C50 Bài giải câu 2.
a. Chọn 4 sp được nhiều hơn 2 sp tốt thì có hai khả năng là được 3sp tốt hoặc cả 4 sp đều tốt. Gọi A là biến cố tr 3
ong 4 sp chọn ra được 3 sp tốt và 1 sp xấu. A là biến cố tr 4
ong 4 sp chọn ra được 4 sp tốt và 0 sản phẩm xấu.
Khi đó A1, A là các biến cố xung khắc. 2
A là biến cố trong 4 sp chọn ra có nhiều hơn 2 sản phẩm tốt. Ta có: 3 1 4 0 P A P   A A  P
  A   P A  C .C C .C 15 5 15 5   0  ,75 3 4 3 4 4 4 C C 20 20
b. Chọn 4 sp được ít nhất 1 sp xấu thì có bốn khả năng là được: 1sp xấu hoặc 2 sp xấu hoặc 3 sp xấu hoặc 4 sp xấu.
Khi chọn ra 4 sp thì tất cả có 5 khả năng xảy ra, ngoài bốn khả năng trên thì khả năng còn lại là
chọn được 4 sp đều tốt, tức là không có sp xấu. Vì vậy ta sẽ áp dụng công thức phần bù.
Gọi B là biến cố trong 4 sp chọn ra có ít nhất 1 sp xấu. Ta có: 4 0 P  B 1   P B 1   P A  C .C 15 5 1   0,72 4 4 C20 Bài giải câu 3.
Để việc chọn dừng ở lần chọn thứ 3, thì lần chọn thứ nhất và thứ hai được sản phẩm của phân
xưởng I, lần chọn thứ ba được sản phẩm của phân xưởng II. Gọii A là biến cố l 1
ần thứ nhất chọn được sản phẩm của phân xưởng I. A là biến cố lần thứ 2
hai chọn được sản phẩm của phân xưởng I. A là biến cố lần thứ 3
ba chọn được sản phẩm của phân xưởng II.
A là biến cố việc chọn dừng ở lần chọn thứ 3. Ta có:     6 5 4 1 P A P A .A .A P
 A .P A / A .P A / A .A  . .  0  ,17 1 2 3 
 1  2 1  3 2 3 10 9 8 6 Bài giải câu 4.
Gọi A là biến cố chọn được 1 công nhân là nữ.
A là biến cố chọn được 2 công nhân là nam
Khi đó A1, A là họ đầy đủ các biến cố. 2
B là biến cố chọn được công nhân đã tốt nghiệp phổ thông trung học.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố B với họ đầy đủ A1, A2 ta có:     40 20 P B
P A P B / A  P A P B / A  .0,6  .0,7 0,63 1  1  2  2  60 60 Bài giải câu 5.
Số sinh viên được khảo sát là: n 1
 0 16  50  60  50 14 2  00 10 p  0  ,05
Xác suất để một sinh viên được 5 điểm là : 200 16 p  0  ,08
Xác suất để một sinh viên được 6 điểm là : 200 50 p  0  ,25
Xác suất để một sinh viên được 7 điểm là : 200 60 p  0  ,3
Xác suất để một sinh viên được 8 điểm là : 200 50 p  0  ,25
Xác suất để một sinh viên được 9 điểm là : 200 14 p  0  ,07
Xác suất để một sinh viên được 10 điểm là : 200
Ta được bảng phân phối xác suất của X là: X 5 6 7 8 9 10 P 0,05 0,08 0,25 0,3 0,25 0,07 Bài giải câu 6. 15 p  0  ,15
Xác suất để một sinh viên được 4 điểm là : 100 30 p  0  ,3
Xác suất để một sinh viên được 5 điểm là : 100 35 p  0  ,35
Xác suất để một sinh viên được 7 điểm là : 100 20 p  0  ,2
Xác suất để một sinh viên được 8 điểm là : 100
Ta có bảng phân phối xác suất của X: X 4 5 7 8 P 0,15 0,3 0,35 0,2 Trung bình:
E X  4.0,15 5.0,3 7.0,35 8.0,2 6,15 Phương sai: Var  X   n  x  EX  2 .  p i  i i 1  
 4  6,15 2 .0,15   5  6,15 2 .0,3  7  6,15 2 .0,35  8  6,15 2 .0,2 2  ,0275 Bài giải câu 7.
Gọi X là số sinh viên làm việc không đúng ngành trong 10 sinh viên được khảo sát, thì X có phân phối nhị thức: X B  (10;0,3) P(X 1  ) P X 0   P ( X 1  )  C
0,30 1- 0,310-0 C 0,31 1- 0,310-1 0 1 0  ,149 10 10 Bài giải câu 8.
Gọi X là trọng lượng trái cây thì X có phân phối chuẩn: X ~N  5;4 , tức là μ = 5 và  = 2.
Xác suất chọn được trái đạt chất lượng:    P X   3 5 3 0  ,5 - 0  ,5 -     1 0  ,5     1 0    ,8413  2  .
 1  1,0  
(Tra bảng phân phối chuẩn tắc 0 0,3413) Bài giải câu 9.
a. Trước hết ta sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự tăng dần, kết quả là:
3,8; 4,5; 5,2; 5,6; 6,4; 6,8; 7; 7,4; 8,2; 8,6 .
Ta thấy mẫu có 10 giá trị nên kích thước mẫu n = 10 là số chẵn, nên trung vị là: x  x x  x n/2  n/ 2 1  10/2  10/ 2 1  x  x 6,4  6,8 5 6 Me     6,6 2 2 2 2 .
b. Trước hết ta sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự tăng dần, kết quả là:
3; 5; 6; 8; 9; 10; 11; 13; 14; .
Ta thấy mẫu có 9 giá trị nên kích thước mẫu n = 9 là số lẻ, nên trung vị là: Me x  x x 9  n 1/2 9 1/2 5 . Bài giải câu 10. Ta tính kích thức mẫu: n = 40 + 20 + 20 + 20 =100. Trung bình là:
498.40 502.20 506.20 510.20 X  50  2,8 100 . Bài giải câu 11. Theo đề bài ta có: n 2  90; x 5  8, 4; s 1  2 .
a. Đây là bài toán ước lượng trung bình trường hợp mẩu lớn (n > 30).
Độ tin cậy 95% tức là  0  ,95   1    1   0,95 0  ,05 .   0,05 z 0,5  0,5  0  ,475 /2  Ta tính trị tới hạn: 2 2 .
Tra ngược bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được: z z  1  ,96 /2 0,025 z .  s 1,96.12 /2    1  ,4
Tính độ chính xác ( sai số ước lượng ): n 290 .
Ước lượng trọng lượng trung bình của vườn cây là:
  X  ;X   
 58,4  1,4; 58, 4 1,4   57; 59,8
b. Theo đề bài ta có:  0  ,95;  1  ,5 .
Độ tin cậy 95% tức là  0  ,95   1    1   0,95 0  ,05 .   0,05 z 0  ,5  0  ,5  0  , 475 /2  Ta tính trị tới hạn: 2 2 .  
Tra ngược bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được: z z 1,96 /2 0,025
Số trái cần điều tra tối thiểu là: 2 2  z .  s   1,96.12  /2 n    2  46   1,5      trái.
c. Theo đề bài ta có:  1  ,6 .
Ta tính giá trị tới hạn: .  n 1,6. 290 z   2  ,27 /2 s 12 .  z  2,27 0,  4884  /2  
Tra bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được:  2  . z 2  .0,4884 0  ,977 9  7,7%  /2 
Độ tin cậy đạt được là: . Bài giải câu 12. 10 ˆp  0  ,02
a. Theo để bài ta có kích thước mẫu n = 500 và tỷ lệ mẫu 500 .
Độ tin cậy 97% tức là  0  ,97   1    1   0,97 0  ,03 .   0,03 z       0,5 0,5 0,485 /2  Ta tính trị tới hạn: 2 2 .  
Tra ngược bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được: z z 2,17 /2 0,015
Tính độ chính xác ( sai số ước lượng ): ˆp .1pˆ  0,  02. 1 0,  02  z . 2,  17. 0  ,014 /2 n 500 .
Ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn của lô hàng là: p 
pˆ  ;pˆ   
 0,02  0,014; 0,02  0,01  4   0,006; 0,03  4   0,6%; 3,4% 10 ˆp  0  ,02
b. Theo để bài ta có tỷ lệ mẫu 500
và độ chính xác ε = 0,01
Độ tin cậy 98% tức là  0  ,98   1    1   0,98 0  ,02 .   0,02 z 0  ,5  0  ,5  0  ,49 /2  Ta tính trị tới hạn: 2 2 .  
Tra ngược bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được: z z 2,33 /2 0,01
Số trái cần phải kiểm tra tối thiểu là:  z 2 .ˆ.p1 ˆ p   2,332 .0,02. 1 0,02 / 2   n   1065  2 2  0,01 10 ˆp  0  ,02
c. Theo đề bài ta có kích thước mẫu n = 500 và tỷ lệ mẫu 500 Độ chính xác là  0  ,012 .
Ta tính giá trị tới hạn: n 500 z . 0  ,012. 1  ,92  /2 ˆp .1pˆ  0,02.1 0,02 .  z  1,92 0  ,4726 /2   
Tra bảng hàm  (phân phối chuẩn tắc) ta được:  2.   z 2.0,  4726 0,  945 94,  5%  /2 
Độ tin cậy đạt được là: .