Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết Toán 12
Giới thiệu đến bạn đọc đề bài và lời giải chi tiết 130 bài tập tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết, với nhiều biến dạng khác nhau, đồ phức tạp khác nhau.Mời bạn đọc đón xem.
Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
TỈ SỐ THỂ TÍCH A. BÀI TẬP
Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và
BCD = 120° . SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC
cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S.AMNP . 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 42 21 14 Câu 2.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC,SB,SD lần
lượt tại B ,′C ,′ D′ . Biết rằng 3SB′ = 2SB . Gọi V ,V lần lượt là thể tích hai khối chóp S. ′
A B′C′D′ 1 2 V
và S.ABCD . Tỉ số 1 là V2 V 4 V 1 V 2 V 2 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 9 V 3 V 3 V 9 2 2 2 2
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có = ASB ASC =
BSC = 60° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 7 2 7 2
A. V = 4 2 . B. V = . C. V = .
D. V = 7 2 . 2 3
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P) chứa V
AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S.AB'MD' là VS.ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3
Câu 5.Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối
chóp N.ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 3 6 4 2
Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A .′AB C ′ ′ . 1 1 1
A. V = 3 . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 3
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn
thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng
3 . Biết rằng mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó 2 bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 8.Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 3
12 3a . Thể tích khối chóp A .′ABC là. 3 3a A. 2
V = 4 3a . B. 3
V = 2 3a . C. 3
V = 4 3a . D. V = . 4
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với đáy, biết SC = a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD
, CD , BC . Tính thể tích khối chóp. https://toanmath.com/ 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 8 12 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp
S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A′B C ′ .
A. V = 3
B. V = 12
C. V = 8
D. V = 6
Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số V ′ . V V ′ 1 V ′ 5 V ′ 1 V ′ 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 4 V 8 V 2 V 3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với
đáy một góc 45°. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC
tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S.AHIK là: 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 12 18 36
Câu 13. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.MAB là 3 2a . Thể
tích khối chóp S.ABC bằng. 3 a 1 A. 3 2a . B. 3 4a . C. . D. 3 a . P P P P 4 2
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB ,
SC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho SM = 3MB, SN = NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD
tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S.MNP theo V . V V 9V 7V A. . B. . C. . D. . 8 4 80 40
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD .
A. V 4 .
B. V 6 .
C. V 3 .
D. V 5 .
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích
của khối chóp N.ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba cạnh DM 1 DN 1 DP 3
DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = , = ,
= . Thể tích V của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 1
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ = SA . Mặt 3
phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B '
, C′ , D′ . Tính thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′. V V V V A. . B. . C. . D. . 81 27 3 9 https://toanmath.com/
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA = 1; DA ⊥ ( ABC ). A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM 1 DN 1 DP 3 ,
DA DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho = ; = ;
= . Thể tích của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12
Câu 20. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
a . Gọi M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm của , SA SB, SC, .
SD Thể tích khối chóp S.MNPQ là: 3 a 3 a 2 a 3 a A. B. . C. . D. 16 8 4 6
Câu 21. Cho khối chóp S.ABC . Gọi A′ , B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S.A′B C
′ và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của ,
SA SB, SC, SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. 8 . 4 16 2
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , ABCD là hình chữ nhật. SA = AD = 2a . Góc giữa
(SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp
S.AGD là 3 16a 3 32a 3 3 8a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 27 27 9
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc ,
SA SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM , SB = 3SN , SC = 4SP , SD = 5SQ . Thể tích khối chóp
S.MNPQ là. 4 6 2 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60°
, BC = a , SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 2
Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB′C′D và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8
Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ https://toanmath.com/ S D C B A
Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và = = = = ASB BSC CSD DSA
BSD = 60° . Thể tích khối
đa diện S.ABCD là A. 10 2 . B. 6 2 . C. 5 2 . D. 30 2 .
Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, MQ . Tính tỉ số thể tích VMIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( AB′D′) cắt SC tại C′ . Thể
tích khối chóp SAB′C′D′ là: 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 A. = a V . B. = a V . C. = a V . D. = a V . 3 9 3 9
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) bằng 45°. Gọi V ;V lần 1 2
lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD .
Tính độ dài đường cao của khối chóp V
S.ABCD và tỉ số 1 k = . V2 1 1 1 1 A. h = 2 ; a k = .
B. h = 2a; k = .
C. h = a; k = .
D. h = a; k = . 8 3 4 6
Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với ,
OA OB, OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3 3a 3 2a 3 a A. B. 3 a C. D. 4 3 4 https://toanmath.com/
Câu 32. Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC′ =
SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 4 2 V S.ABC ′ ′ ′
và S.A B C . Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12 . 12 24
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′, D′ , C′ . Thể tích
khối chóp SAB′C′D′ là: 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 A. = a V . B. = a V . C. = a V . D. = a V . 3 9 3 9
Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . 2017 4034 8068 2017 A. . B. . C. . D. . 27 81 27 9
Câu 35. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MBC và thể
tích khối chóp S.ABC bằng. 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 2 4
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA = 2a . Gọi B ;′ D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng
( AB′D′) cắt cạnh SC tại C′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′ 3 16a 3 a 3 2a 3 a A. . B. . C. D. . 45 2 4 3
Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có = 0 ASB CSB = 60 , 0
ASC = 90 , SA = SB = ;
a SC = 3a .Thể tích V của
khối chóp S.ABC là: 3 a 2 3 a 6 3 a 2 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 18 12 6
Câu 38. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DM 1 DN 1 DP 3
DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = , = ,
= . Thể tích V của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng: 3 2 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . V = 12 12 96 D. 96 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp
S.MNC biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 8a . A. 3 V = a . B. 3 V = 2a . C. 3 V = 6a . D. 3 V = 4a . SMNC SMNC SMNC SMNC
Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy
một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. 2 a b cosα. B. 2 a b sin α. C. 2 a b cosα. D. 2 a b sin α. 4 4 12 12 https://toanmath.com/ V
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. ⋅ B. ⋅ C. 2 . D. 4 . 4 2
Câu 42.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD
lần lượt lấy các điểm SA′ SC′ 1 SB′ SD′ 3
A′ , B′ , C′ và D′ sao cho = = và = = . Tính thể tích SA SC 3 SB SD 4
V của khối đa diện lồi SA′B C ′ D ′ ′ . 3 A. V = .
B. V = 9 .
C. V = 4 .
D. V = 6 . 2
Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp
S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5
Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 1 7 1 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 5 3
Câu 45. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ,
N là điểm nằm giữa AC sao cho AN = 2NC . Gọi V là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỉ số 1 V1 . V V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 6 V 2 V 3 V 3
Câu 46. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V . Các điểm A′ , B′ , C′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA
, SB , SC . Thể tích khối chóp S.A′B C ′ ′ bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 16 8 4 2
Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD .
A. V 5 .
B. V 4 .
C. V 6 .
D. V 3 .
Câu 48. Cho khối chóp S.ABC có SA = 9, SB = 4, SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm A ,′ B ,′C′ thỏa mãn SA = 2.SA ,
′ SB = 3.SB ,′ SC = 4.SC .′ Thể tích khối chóp S.A′B C ′ ′ là A. 2 . B. 24 . C. 16 . D. 12 . 1
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA 3
. Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,
′ C ,′ D′ . Khi đó thể tích chóp S.A′B C ′ D ′ ′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 3 27 9 81
Câu 50. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC ) . Tính thể tích khối
chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 5 3 a 3 3 a 5 A. . B. . C. . D. . 12 8 24 24 https://toanmath.com/ 1
Câu 51. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Lấy A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = . SA Mặt 3
phẳng qua A′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,′ C ,′ D .′
Khi đó thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 81 3 9 27
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao
cho SM = 2MD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABNM . A. 9 . B. 6 . C. 10 . D. 12 .
Câu 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M
là trung điểm BC . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , 1 F . Biết V = V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . S . AEF S . 4 ABC 3 a 3 a 3 2a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 8 5 12
Câu 54. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia
khối chóp này thành hai phần có thể tích là V
V và V (V < V . Tính tỉ lệ 1 . 1 2 ) 1 2 V2 16 8 16 8 A. . B. . C. . D. . 75 27 81 19
Câu 55. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , V
SC , SD . Tỉ số S.MNPQ là VS.ABCD 1 1 3 1 A. B. . C. . D. . 6 16 8 8
Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018
thể tích VMIJK bằng: VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 8 3
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3
Câu 58. Cho hình chóp .
A BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC = a , CD = a 3 . Hai mặt
( ABD) và ( ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Biết AB = a , M , N lần lượt thuộc
cạnh AC , AD sao cho AM = 2MC , AN = ND . Thể tích khối chóp . A BMN là 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9
Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C ′ D
′ và khối tứ diện ABCD . https://toanmath.com/ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6
Câu 60. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC) . mp( ABC) qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt SB, SC lần lượt tại H , K . Gọi V ,V 1 2
tương ứng là thể tích của các khối chóp S.AHK và S.ABC . Cho biết tam giác SAB vuông cân, tính tỉ số V1 . V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 3 V 2 V 3 V 4 2 2 2 2
Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN; ; MP .
MQ Tỉ số thể tích VMIJK là VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 8
Câu 62. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm
các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V , khi đó thể tích của
khối chóp S.ABCD là: 2 81V 27V 9 9V A. . B. . C. V . D. . 8 4 2 4
Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( P) qua AM và song
song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối S.ANMK và khối chóp S.ABCD . 2 1 1 3 A. B. C. D. 9 3 2 5
Câu 64. Cho khối chóp S.ABC . Trên các đoạn , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 1 1 SA′ = ; SA SB′ = ; SB SC′ =
SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C
′ ′ và S.ABC 2 3 4 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 2 12 6
Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của
cạnh SC . Thể tích của khối chóp S.ABM bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 https://toanmath.com/
Câu 66. Cho hình chóp S.ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN = 2NC . Tỉ V
số S.AMN . VS.ABC 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4
Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = ; a AC = 2a và
AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD,CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . 3 a 3 3a 3 2a A. V = . B. 3 V = a . C. V = . D. V = . 4 4 3
Câu 68. Cho khối chóp S.ABC có = = ASB BSC CSA = 60 ,
° SA = a, SB = 2a, SC = 4a . Tính thể tích khối
chóp S.ABC theo a . 3 2a 2 3 4a 2 3 a 2 3 8a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ
số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 2 12
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một
mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V là thể tích khối chóp S.AMPN 1 V
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 8 8
Câu 71. Cho tứ diện đều S.ABC . Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác S ∆ AB, S ∆ BC , 1 2 3 V SC
∆ A. Tính S. 1G 2G 3G . VS.ABC 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 48 27 36 81
Câu 72. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 ′
và S.A′B C
′ ′. Khi đó tỉ số V là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 27 9
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của . SB
P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2 .
DP Mặt phẳng ( AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể
tích của khối đa diện ABCDMNP theo V. . 23 7 19 2 A. V = V . B. V = V . C. V = V . D. V = V . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5
Câu 74. Cho khối lăng trụ ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích
của khối chóp A .′BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . https://toanmath.com/
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNPQ và S.ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 16
Câu 76. Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC .
Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ABC ) bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2
Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một
góc 60° . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại
E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 9 6 18
Câu 78. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc
bằng 60°. Kí hiệu V , V lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình 1 2
chóp đã cho. Tính tỉ số V1 . V2 V 32 V 32 V 1 V 9 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 9 V 27 V 2 V 8 2 2 2 2
Câu 79. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng
MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là 3 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 8 8 V
Câu 80. Cho hình chóp S.ABC có A ,
′ B′ lần lượt là trung điểm các cạnh ,
SA SB . Khi đó tỉ số S.ABC bằng
VS.A′B C′ 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 4 . 2 4
Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = a 3 , AC = 2a
và AD = 2a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC . Tính thể tích V của tứ diện AHKD . 2 3 4 3 2 3 4 3 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V a . D. 3 V a . 7 21 21 7
Câu 82. Cho hình chóp S.ABC có A , B lần lượt là trung điểm của các cạnh , SA .
SB Tính tỉ số thể tích VSABC . VSA'B'C 1 1 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 2 4
Câu 83.Cho tứ diện ABC .
D Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ
diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6
Câu 84.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ABCD) , góc
giữa hai mặt phẳng (SBD)và ( ABCD) bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC
. Tính thể tích khối chóp S.ADMN . https://toanmath.com/ 3 a 6 3 a 6 3 3a 6 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 24 16 8
Câu 85. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi
đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16
Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S.ABC sao SM 1 SN cho = ,
= 2. Mặt phẳng (α ) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 MA 2 NB
phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện chứa A , V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ 1 2 V số 1 ? V2 V 5 V 5 V 6 V 4 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 4 V 6 V 5 V 5 2 2 2 2
Câu 87.Cho hình chóp S, ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích V
của khối chóp S.OCD .
A. V = 4 .
B. V = 5 .
C. V = 2 .
D. V = 3 .
Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp . A GBC .
A. V = 6 .
B. V = 5 .
C. V = 3 .
D. V = 4 .
Câu 89. Cho hình chóp S.ABC có 3 V
= 6a . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB S . ABC
, SC sao cho SM = MA , SN = NB , SQ = 2QC . Tính VS.MNQ : 3 a A. . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 3 3a . 2
Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G , G , G , G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện 1 2 3 4
ABCD . Thể tích khối tứ diện G G G G là: 1 2 3 4 V V V V A. . B. . C. . D. . 27 18 4 12
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 4 8
Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ số V
thể tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 4 = = = =
Câu 93. Cho hình chóp S.ABC = SB a SC a ASB BSC CSA = 60° có SA a ; 3 2 ; 2 3 , . Trên
các cạnh SB ; SC lấy các điểm B′ , C′ sao cho SA = SB ' = SC ' = a . Thể tích khối chóp S.ABC là: 3 a 3 A. 3 2a 3 . B. 3 3a 3 . C. 3 a 3 . D. . 3 https://toanmath.com/
Câu 94. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) SM
và SA = a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k,0 < k < 1. Khi đó giá trị của k để mặt phẳng SA
(BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là 1 − + 5 1 − + 2 1 − + 5 1 + 5 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 4 2 2 4
Câu 95. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a ; SA vuông góc mặt phẳng
( ABC), Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC) bằng 30°. Gọi M là trung điểm của
SC , thể tích khối chóp S.ABM là. 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 36 18 18
Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4
Câu 97. Cho hình chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 8 . Gọi M , N ,
P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA . Thể tích của khối chóp S.MNP bằng: A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . V
Câu 98. Cho khối chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số thể tích S.ABC bằng: VS.AGC 3 1 2 A. B. 3 C. D. 2 3 3
Câu 99. Cho hình chóp tam giác S.ABC có = ASB CSB = 60° ,
ASC = 90° , SA = SB = 1 , SC = 3 . Gọi M là điểm trên cạnh 1 SC sao cho SM =
SC . Tính thể tích V của khối chóp S.ABM . 3 2 3 6 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 36 36 4 1
Câu 100. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho A S ′ = SA 3
. Mặt phẳng qua A′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,
′ C ,′ D′ . Khi đó thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 9 3 81
Câu 101. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng ( P) V
qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và .
Q Khi đó SAPMQ bằng VSABCD 2 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 3 2 9
Câu 102. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 ′
và S.A′B C
′ ′. Khi đó tỉ số V là V https://toanmath.com/ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 27
Câu 103. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho
SN = 3NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . 2 1 3 3 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 5 3 8 4
Câu 104.Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC ,
CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp S.MNP . 3 9
A. V = 3 . B. V = . C. V = .
D. V = 4 . 2 2
Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng
qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD) , ( ABD) , ( ABC ) tại
N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 54 27 16
Câu 106. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của V
SA và SB . Tỉ số thể tích S.CDMN là VS.CDAB 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4
Câu 107. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA, SD . Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt SQ = x SB 1
, V là thể tích của khối chóp S.MNQP , V là thể tích của khối chóp S.ABCD . Tìm x để V = V 1 1 2 . 1 1 − + 41 1 − + 33 A. x = . B. x = . C. x = .
D. x = 2 . 2 4 4 V
Câu 108. Cho hình chóp SABC
SABC . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm SB ; SC . Khi đó là bao nhiêu? VSAMN 1 1 1 A. . B. . C. . D. 4 . 4 8 16
Câu 109. Cho khối chóp S.ABC có M ∈ SA , N ∈ SB sao cho MA = 2 − MS , NS = 2
− NB . Mặt phẳng (α )
qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể
tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). 3 4 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 9 4 5
Câu 110. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a . Gọi B′ , C′ lần
lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp S.AB C ′ ′ . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 48 6 12
Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp
M .ABC bằng bao nhiêu? 3 3a 3 a 3 2a 3 2a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 2 12 24 https://toanmath.com/
Câu 112. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 6. Gọi M , N ,
P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C , A A .
B Thể tích V của khối chóp S.MNP là A. V = 3 3 . B. V = . C. V = 9 4 . D. V = . 2 2
Câu 113. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 ′ 1 1 SA = SA , ′ SB = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 V và S. ′ A ′
B C′ . Khi đó tỉ số ′ là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 27
Câu 114. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 2 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 12 6
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của
SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi V là thể tích của 1 khối chóp V
S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI ) chia khối chóp S.ABCD
thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 lần phần còn lại. Tính tỉ số = IA k ? 13 IS 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4
Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD
, ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng V V 4V 4V A. . B. . C. . D. . 27 9 27 9
Câu 118. Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 2a và AD = 4 .
a Tính theo a thể tích V của khối tứ diện
ABCD biết = = BAC CAD DAB = 60 . ° A. 3
V = 2 3 a . B. 3
V = 6 2 a . C. 3
V = 6 3 a . D. 3 V = 2 2 a .
Câu 119. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy
điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3
Câu 120. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A′ là điểm trên cạnh SA sao cho SA′ 3
= . Mặt phẳng (P) đi qua A′ và song song với ( ABCD) cắt SB , SC , SD lần lượt tại SA 4
B′ , C′ , D′ . Mặt phẳng ( P) chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: 37 27 4 27 A. . B. . C. . D. . 98 37 19 87 https://toanmath.com/
Câu 121. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác D
SB . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB, SC, SD
lần lượt tại B ,′C ,′ D′ . Khi đó thể tích khối chóp S.AB′C′D′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 9 27 3 18
Câu 122. Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D ′ ′ cạnh .
a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′
và BC . Mặt phẳng (DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V là thể tích của phần 1 chứa đỉnh V ,
A V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 . 2 V 2 55 37 1 2 A. . B. . C. . D. . 89 48 2 3
Câu 123. Cho tứ diện ABCD có M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD sao cho
MA = MB, NB = 2NC, PC = 2PD . Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số
thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng? 19 26 13 25 A. B. C. D. 26 45 25 43
Câu 124. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi C′ A′ , B′ ,
, D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ ′ ′ ′ ′
số thể tích của hai khối chóp S.A B C D S ABCD và . là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 16 4
Câu 125. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a . Gọi M
, N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA . Tính thể tích khối tứ diện
MNPQ theo a . 3 2a 3 a 3 2a 3 a A. . B. . C. . D. . 27 27 9 9
Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Xét điểm M trên cạnh DC mà 4DM = DC. Thể tích tứ diện ABMD bằng. 2 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 8 48
Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. V = 2V . B. V = 4V . C. V = 6V . D. S . ABCD S . ABC S . ABCD S . ABC S . ABCD S . ABC V = 3V . S . ABCD S . ABC
Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi
M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp
S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 7 7 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 7
Câu 129. Cho khối chóp S.ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh , SA ;
SB thể tích khối chóp S.MNC bằng 3
a . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng. A. 3 a . B. 3 12a . C. 3 8a . D. 3 4a .
Câu 130. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của V
SA và SB . Tính tỉ số thể tích S.CDMN là: VS.CDAB https://toanmath.com/ 1 1 5 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 8 https://toanmath.com/ TỈ SỐ THỂ TÍCH B. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và
BCD = 120° . SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc
với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S.AMNP . 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 42 21 14 Hướng dẫn giải Chọn B S N M K P B C I O A D Gọi a 3
O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì AI = ; 2 1 a 3 OI = AI = . 3 6 1 a a 3
Tam giác ICD vuông I có
ICD = 60° , ID = BD = và IC = . ID cot 60° = . 2 2 6 ⇒ 2a 3
O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD ⇒ AC = AI + IC = . 3 ⊥ Khi đó BD AC
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ SA
Mà SC ⊥ ( P) nên BD // ( P) ( P
) ∩(SBD) = MP Do đó ( )∩( ) ⇒ MP // BD SBD ABCD = BD BD ⊥ (SAC) Lại có ⇒ AN ⊥ MP ⊂ ( ) ⇒ BD ⊥ AN AN SAC 2 SN SA 2 SN SA 3
Tam giác SAC vuông tại A có 2
SN.SC = SA ⇒ = ⇒ = = 2 SC SC 2 2 SC SA + AC 7 a 3
Tam giác ABC có SD = a 2 ; 2 2 BC = IC + IB = và 2 2 2
AC = AB + BC 3
⇒ tam giác ABC vuông tại B ⇒ BC ⊥ (SAB) ; AM ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM https://toanmath.com/ Lại có tam giác SM 1
SAB vuông nên AM ⊥ SB ⇒ M là trung điểm SB ⇒ = SB 2 SP SM 1
Mà MP // BD nên = = SD SB 2 Mặt khác 2 2 a 3 1 a 3 3 a 3 S = S + S 0 = + . CB . CD sin120 = . Suy ra V = V = . ABCD ABC ∆ BC ∆ D 4 2 3 S . ABCD 9 Khi đó V SM SN 3 3 S . AMN = 3 1 3 . = . = ⇒ V = V . Do đó V = V . V SB SC 7 2 14 S . ANP 28 S . ANM 28 S . ABC 3 Vậy V 3 a 3 S . AMNP = ⇒ V = . V 14 S . AMNP 42 S . ABCD Câu 2.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC,SB,SD
lần lượt tại B ,′C ,′ D′ . Biết rằng 3SB′ = 2SB . Gọi V ,V lần lượt là thể tích hai khối chóp 1 2 V S. ′
A B′C′D′ và S.ABCD . Tỉ số 1 là V2 V 4 V 1 V 2 V 2 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 9 V 3 V 3 V 9 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B SB ' 2 SD ' 2 SC Ta có = ⇒ = , bây giờ cần tìm ' SB 3 SD 3 SC
Tọa độ hóa với Ox ≡ OC,Oy ≡ OB,OS≡ Oz và đặc biệt hóa cho OA = 1 A ( 1 − ;0;0) ⇒ C
(1;0;0),S (0;0;a) ⇒ SC = (1;0;−a) ⇒ (P) :(x + )
1 − az = 0 ⇔ x − az +1 = 0 . x = 0
Ta có B (0;1;0) ⇒ SB = (0;1; −a) ⇒ SB : y = 1+ t (t ∈ ) . z = −at Cho giao với ( P) 1 1 2
⇒ a t +1 = 0 ⇒ B ' 0;1− ; . 2 a a https://toanmath.com/ 3 3 − = 2 2 S a (0;0; 3 1 1 ) Ta có 3 0;1 − ;
− a = 2 0;1;−a ⇒ ⇒ a = 3 ⇒ 2 ( ) a a 3
− a = − a ( P
) : x − z 3 +1 = 0 3 2 a Cho SC giao với V 2 1 1
S . AB 'C ' = . = ( P) 1 3 SC ' 1 V 3 2 3 S . ABC 1 ⇒ C ' ;0; ⇒ = ⇒ ⇒ V = V .
S . AB 'C ' D ' S . 2 2 SC 2 V 1 2 1 3 ABCD
S.AC'D' = . = V 2 3 3 S.ACD
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có = ASB ASC =
BSC = 60° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 7 2 7 2
A. V = 4 2 . B. V = . C. V = .
D. V = 7 2 . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B S C' 3 7 2 A C B' B
Lấy hai điểm B′, A′ lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho SB′ = 2 , SC′ = 2.
Ta có hình chóp S.AB C
′ ′ là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 . 3 2 2 ⇒ V = 2 2 = . S . AB C ′ ′ 12 3 Ta lại có: V ′ ′ ′ ′ SA SB SC S . AB C = 2 2 . . = 4 . = . V SA SB SC 3 7 21 S . ABC 21VS.AB C V ′ ′ ⇒ = 21.2 2 = 7 2 = . S . ABC 4 3.4 2
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P) chứa V
AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S.AB'MD' là VS.ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/
Gọi O là tâm hình bình hành đáy.
I = AO ∩ SO .
Đường thẳng qua I và song song BD cắt SB, SD tại B ,′D′. Ta có V = + ′ ′ V ′ V ′ . SAB MD SAB M SAMD V ′ ′ SB SM 2 1 1 SAB M = . = . = 1 nên V = ′ V . SAB M SABCD V SB SC 3 2 3 6 SABC Tương tự V ′ 1 SAMD = 1 nên V = 1 = ′ V V ′ ′ V SAMD SABCD do đó . SAB MD SABCD V 3 6 3 SACD S M D' B' I A D O B C .
Câu 5.Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối
chóp N.ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 3 6 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 1 B = S
, d (S;( ABCD)) = h . Suy ra V = Bh . ABCD 3 1
Vì M là trung điểm của SA nên d (M ;( ABCD)) = d (S;( ABCD)) , 2 1
Lại vì N là trung điểm của MC nên d ( N;( ABCD)) = d (M ;( ABCD)) . Suy ra 2
d ( N ( ABCD)) 1
= d (S ( ABCD)) 1 ; ; = h . Từ đó ta có 4 4 1 1 1 V V
= d N; ABCD .B = . Bh = . N . ABCD ( ( )) 3 4 3 4
Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A . ′ AB C ′ ′ . https://toanmath.com/ 1 1 1
A. V = 3 . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 3 Hướng dẫn giải ChọnD 1 1 1 Ta có: V = = ′ ′ ′ ⋅ = ⋅ = ′ ′ ′ V ′ ′ ′ d ; A A B C S∆ ′ ′ ′ V . A . AB C . A A B C ( ( )) ABC ABC. ′ ′ ′ 3 3 A B C 3
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và
luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC
bằng 3 . Biết rằng mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt 2 cầu đó bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn D z C O B y A x S S 3 Ta có ABC ABC = = V 1
d (O,( ABC )) OABC S .d O ABC ABC ( ,( )) 3 S 3 Mà ABC
= nên d (O,( ABC)) = 2 . V 2 OABC
Vậy mặt phẳng ( ABC) luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = 2 .
Câu 8.Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 3
12 3a . Thể tích khối chóp A .′ABC là. 3 3a A. 2
V = 4 3a . B. 3
V = 2 3a . C. 3
V = 4 3a . D. V = . 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 V = ′ = ′ ′ ′ S .AA 12 3a . ABC. A B C ABC 1 1 3 3 V = S
.AA′ = .12 3a = 4 3a . A'. ABC 3 ABC 3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy, biết SC = a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh
SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp. 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 8 12 3 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/
Gọi F = PQ ∩ AC . Dễ thấy AF ⊥ PQ .
Mặt khác do (MNPQ) // SC nên (SAC ) ∩ (MNPQ) = EF ( EF // SC ; F ∈ SA) .
Dựng AH ⊥ EF . Do PQ ⊥ (SAC ) nên PQ ⊥ AH .
Suy ra AH ⊥ (MNPQ) ⇒ AH = d ( ; A (MNPQ)) . 3 3a 2 3 3 3a Ta có: AE = AC = ; AF = AS 2 2 = SC − AC = 4 4 4 4 4 2 2 AF .AE a 6 Suy ra: AH = = . 2 2 AE + AF 4
Mặt khác do BD ⊥ SC nên PQ ⊥ QM suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 2 1 a 6 S = . MQ QP = B . D SC = MNPQ 4 4 1 3 a Vậy V = AH.S = . . A MNPQ 3 MNPQ 8
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp
S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A′B C ′ .
A. V = 3
B. V = 12
C. V = 8
D. V = 6 Hướng dẫn giải Chọn D S A' B' A B C V ′ ′ ′ ′ SA SB SC Ta có S.A B C = 1 1 . . = 1 . = V SA SB SC 2 2 4 S . ABC Vậy 1 V = 1 = ′ ′ .V .24 = 6 . S . A B C S . 4 ABC 4 https://toanmath.com/
Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh ′
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số V . V V ′ 1 V ′ 5 V ′ 1 V ′ 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 4 V 8 V 2 V 3 Hướng dẫn giải Chọn C A F E G J B D H I C
Gọi khối tứ diện đã cho là ABCD .
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của AD , AB , AC , BC , CD , BD .
Khi đó ta có: V = V ′ + 4.V . . A FEG Mặt khác 1 V = V . . A FEG 8 1 V ′ 1
Suy ra V = V ′ + V ⇒ = . 2 V 2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp
với đáy một góc 45° . H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt
SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S.AHIK là: 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 12 18 36 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có
SBA = 45° ⇒ SA = AB = a . BC ⊥ SA Lại có
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH . BC ⊥ AB
Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC ) ⇒ AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ AH .
Tương tự SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI . 2 2 SA SI a 1 SI 1 Ta có = = = ⇒ = . 2 2 AC IC 2a 2 SC 3 V SA SH SI 1 1 1
Tỉ số S.AHI = . . = 1. . ⇒ V = V . S . AHI S . V SA SB SC 2 3 12 ABCD S . ABC V SA SI SK 1 1 1
Tỉ số S.AIK = . . = 1. . ⇒ V = V . S . AIK S . V SA SC SD 3 2 12 ABCD S . ACD 3 1 1 1 a 2 ⇒ V = V +V = V = . . . a a = . S . AHIK S . AHI S . AIK S . 6 ABCD 6 3 18
Câu 13. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.MAB là 3 2a .
Thể tích khối chóp S.ABC bằng. 3 a 1 A. 3 2a . B. 3 4a . C. . D. 3 a . P P P P 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 3 V = 2V = 4a . S . ABC SMAB
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh
SB , SC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho SM = 3MB, SN = NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt
cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S.MNP theo V . V V 9V 7V A. . B. . C. . D. . 8 4 80 40 Hướng dẫn giải Chọn C
Trong mp (SBC ) gọi E = MN ∩ BC . Trong mp ( ABCD) gọi F = AE ∩ BD .
Trong mp (SBD) gọi P = FM ∩ SD . Khi đó P = ( AMN ) ∩ SD .
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EB NC MS EB SBC ta có: . . = 1 1 ⇒ = . EC NS MB EC 3 Lại có: FB EB EB EB 1 AD ⇒ = = = . FD AD BC 2
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác PD MS FB PD SP SBD ta có: . . = 2 1 ⇒ = 3 ⇒ = . PS MB FD PS 3 SD 5 Khi đó: V V SM SN SP V SMNP SMNP = = ⋅ ⋅ 3 1 3 9 = ⋅ ⋅ = 9 ⇒ V = . V 1 SB SC SD 4 2 5 40 SMNP 80 SBCD ⋅V 2
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD .
A. V 4 .
B. V 6 .
C. V 3 .
D. V 5 . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích
của khối chóp N.ABCD là V V V V A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B S M A N D O B C Đặt 1 B = S
, d (S;( ABCD)) = h . Suy ra V = Bh . ABCD 3 1
Vì M là trung điểm của SA nên d (M ;( ABCD)) = d (S;( ABCD)) , 2 1
Lại vì N là trung điểm của MC nên d ( N;( ABCD)) = d (M ;( ABCD)) . Suy ra 2
d ( N ( ABCD)) 1
= d (S ( ABCD)) 1 ; ; = h . Từ đó ta có 4 4 1 1 1 V V
= d N; ABCD .B = . Bh = . N . ABCD ( ( )) 3 4 3 4
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba cạnh DM 1 DN 1 DP 3
DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = , = ,
= . Thể tích V của tứ DA 2 DB 3 DC 4
diện MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 3 3 V = . .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP = . . = . . = . V DA DB DC 2 3 4 8 DABC 1 3 3 ⇒ V = . = . DMNP 8 12 96 1
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ = SA . 3
Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt
tại B ', C′ , D′ . Tính thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′. https://toanmath.com/ V V V V A. . B. . C. . D. . 81 27 3 9 Hướng dẫn giải Chọn A . SA′ SB′ SC′ SD′ 1 Ta có = = = = (theo Talet). SA SB SC SD 3
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
SA .SB .SC .SD 1 1 1 1 1 V S . A B C D = = . . . = ⇒ V = ′ ′ ′ ′ . V . SA . SB SC.SD 3 3 3 3 81 A B C D 81 S . ABCD
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA = 1; DA ⊥ ( ABC ). A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM 1 DN 1 DP 3 ,
DA DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho = ; = ;
= . Thể tích của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 3 3 V = . .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP = . . = . . = . V DA DB DC 2 3 4 8 DABC 1 3 3 Suy ra V = . = . DMNP 8 12 96
Câu 20. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
a . Gọi M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm của , SA SB, SC, .
SD Thể tích khối chóp S.MNPQ là: 3 a 3 a 2 a 3 a A. B. . C. . D. 16 8 4 6 Chọn B https://toanmath.com/
Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số 1 k =
. Đường cao h′ của hình 2
chóp S.MNPQ bằng 1 đường cao h hình chóp S.ABCD 2 2 Từ đó: 1 1 1 h V = .S .h′ = . .S . S .MNPQ 3 MNPQ 3 2 ABCD 2 3 1 a = V = . S . 8 ABCD 8
Chú ý: Có thể tách khối S.MNPQ ra làm các khối nhỏ hơn và sử dụng công thức tỷ số thể tích.
Câu 21. Cho khối chóp S.ABC . Gọi A′ , B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S.A′B C
′ và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A V ′ ′ ′ ′ SA SB 1 1 1 Ta có S.A B C = . = . = . V SA SB 2 2 4 S . ABC
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của ,
SA SB, SC, SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. 8 . 4 16 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Vì ABCD là hình bình hành nên S S ABC ACD . . Do đó V 2V 2V . S . ABCD S . ABC S . ACD Ta có. https://toanmath.com/ V V V V V V V S .MNPQ S .MNP S .MPQ S .MPQ S . . . MPQ S MNP S MNP V V V V 2V 2V S . ABCD S . ABCD S . ABCD S . ABCD S . ABC S . ACD 1 SM SN SP 1 SM SP SQ 1 1 1 . . . . . . 2 SA SB SC 2 SA SC SD 16 16 8
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , ABCD là hình chữ nhật. SA = AD = 2a . Góc giữa
(SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp
S.AGD là 3 16a 3 32a 3 3 8a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 27 27 9 Hướng dẫn giải Chọn C S G B A M D C Vì góc giữa ( SA 2a
SBC ) và mặt đáy ( ABCD) là 60° nên
SBA = 60° ⇒ AB = = . tan 60° 3 2 Khi đó: 2a 4a 3 S = A . B AD = .2a = . ABCD 3 3 2 Gọi 1 2a 3
M là trung điểm BC , khi đó: S = S = . ADM 2 ABCD 3 2 3 ⇒ 2 2 1 2a 3 8a 3 V = V = . .2 . a = . S . ADG S . 3 ADM 3 3 3 27
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc ,
SA SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM , SB = 3SN , SC = 4SP , SD = 5SQ . Thể tích khối chóp
S.MNPQ là. 4 6 2 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 V = V , V = V . SMNP 24 SABC SMPQ 40 SACD 1 1 8 ⇒ V = .24 + .24 = . SMNPQ 24 40 5
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc
ACB = 60° , BC = a , SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC . https://toanmath.com/ 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B
Cách 1 (Tính trực tiếp). S a 3 M A 60o C a H B .
Gọi H là trung điểm AB ⇒ MH //SA , mà SA ⊥ ( ABC) ⇒ MH ⊥ ( ABC) và SA a 3 MH = = . 2 2 AC 3 Tam giác A
∆ BC là nửa tam giác đều AC = 2BC = 2a và AB =
= a 3 nên diện tích đáy 2 là: 2 1 1 a 3 S = A . B BC = .a 3.a = . ABC 2 2 2 2 3 Vậy thể tích 1 1 a 3 a 3 a V = S .MH = . . = . MABC 3 ABC 3 2 2 4
Cách 2 (Áp dụng tỷ số thể tích tứ diện). S a 3 M A 60o C a B . V SM 1
Vì M trung điểm SB nên tỷ số thể tích tứ diện 1 MABC = = ⇒ V = V . MABC SABC V SB 2 2 SABC AC 3 Tam giác A
∆ BC là nửa tam giác đều AC = 2BC = 2a và AB =
= a 3 nên diện tích đáy: 2 2 1 1 a 3 S = A . B BC = .a 3.a = . ABC 2 2 2 2 3 3 Do đó 1 1 a 3 a a V = S .SA = . .a 3 = . Vậy V = . SABC 3 ABC 3 2 2 MABC 4
Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB′C′D và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn B V AB′ AC′ 1 1 1
Ta có AB 'C 'D = . = . = . V AB AC 2 2 4 ABCD
Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ S D C B A
Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và = = = = ASB BSC CSD DSA
BSD = 60° . Thể tích khối
đa diện S.ABCD là A. 10 2 . B. 6 2 . C. 5 2 . D. 30 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A′ , B′ , C′ sao cho SA′ = SB′ = SC′ = SD = 2 . Ta có
A′B′ = B C ′ ′ = C D
′ = DA′ = 2 . Khi đó hình chóp S.A′B D
′ và hình chóp S.CB D ′ là các hình chóp
tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 . 3 2 2 2 2 V = = = ′ ′ V . S . A B D S .C B ′ D ′ 12 3 Mặt khác V SA SB SD 3 9 9 S . ABD = . . = 3. = , nên V = 9 2 2 V = = ′ ′ . 3 2 . V ′ ′ S . ABD S . A B D ′ ′ SA SB SD 2 2 2 2 3 S . A B D V SC SB SD 3 S .CBD = . . = 2. = 3 V = 2 2 3V = 3. = 2 2 . S CBD S C B ′ D ′ V ′ ′ , nên . . ′ ′ SC SB SD 2 3 S .C B D
Thể tích khối đa diện S.ABCD là V = V +V = 3 2 + 2 2 = 5 2 . S . ABD S .CBD https://toanmath.com/ S A' C' B' D C B
Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, MQ . Tính tỉ số thể tích VMIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8 Hướng dẫn giải Chọn D V MI MJ MK 1 Ta có: MIJK . . . V MN MP MQ 8 MNPQ M K I J N Q P .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy,
SA = a 2 . Gọi B′ , D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( AB′D′) cắt SC
tại C′ . Thể tích khối chóp SAB′C′D′ là: 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 A. = a V . B. = a V . C. = a V . D. = a V . 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ S C' D' B' D A O B C 1 3 2 Ta có: 2 V
= .a .a 2 = a . S . ABCD 3 3
Vì B′ , D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có SC ⊥ ( AB′D′) .
Gọi C′ là hình chiếu của A lên SC suy ra SC ⊥ AC′ mà AC′∩( AB′D′) = A nên
AC′ ⊂ ( AB′D′) hay C′ = SC ∩ ( AB′D′) .
Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC . 2 SB′ SA 2 2 2
Trong tam giác vuông S AB′ ta có = = a = . 2 SB SB 2 3a 3 V V +V
SB′ SC′ SD′ SC′ ′ ′
S AB′C′D′ S AB′C′ S AC′D′ = 1 = + 2 1 = SB SC = 1 . = . V V 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 S . ABCD S . ABCD 3 Vậy a 2 V = .
S AB′C′D′ 9
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) bằng 45°. Gọi
V ;V lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC 1 2 V
và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số 1 k = . V2 1 1 1 1
A. h = 2a; k = .
B. h = 2a; k = .
C. h = a; k = .
D. h = a; k = . 8 3 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C. S K H A a D B C https://toanmath.com/
Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy nên SA ⊥ ( ABCD) . C D ⊥ AD Ta có
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD . C D ⊥ SA
Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) là SDA = 45° .
Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh A . Vậy h = SA = a .
Áp dụng công thức tỉ số thể tích có: V SH SK 1 1 = . = . V SC SD 4 2
Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với ,
OA OB, OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3 3a 3 2a 3 a A. B. 3 a C. D. 4 3 4 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 Ta có 3 V = . .
OA OB .OC = a (đvtt) OABC . 3 2 V CM .CN 1 3 1 a OCMN Ta có = = .Vậy V = V = . V . CA CB 4 OCMN 4 OABC 4 OCAB
Câu 32. Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC′ =
SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 4 2 S.ABC ′ ′ ′ V
và S.A B C . Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12 . 12 24 Hướng dẫn giải Chọn B V SA SB SC Ta có = . . = 3.4.2 = 24 . V '
SA' SB ' SC '
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 1 6 T 1 6 T
SA = a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′ , D′ ,
C′ . Thể tích khối chóp S AB′C′D′ là: 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 A. = a V . B. = a V . C. = a V . D. = a V . 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ S C' D' B' D A O B C 1 3 2 Ta có: 2 V
= .a .a 2 = a . S . ABCD 3 3
Ta có AD′ ⊥ (SDC ) ⇒ AD′ ⊥ SD ; AB′ ⊥ (SBC ) ⇒ AB′ ⊥ SB . Do SC ⊥ ( AB D
′ ′) ⇒ SC ⊥ AC′ .
Tam giác S AC vuông cân tại A nên C′ là trung điểm của SC . 2 SB′ SA 2 2 2
Trong tam giác vuông S AB′ ta có = = a = . 2 SB SB 2 3a 3 V V +V
SB′ SC′ SD′ SC′ ′ ′
S AB′C′D′ S AB′C′ S AC′D′ = 1 = + 2 1 = SB SC = 1 . = . V V 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 S . ABCD S . ABCD 3 Vậy a 2 V = .
S AB′C′D′ 9
Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . 2017 4034 8068 2017 A. . B. . C. . D. . 27 81 27 9 Hướng dẫn giải Chọn A V S 1 1 AEFG EFG = = ⇒ V = V V S 4 AEFG 4 ABCD ABCD BCD . https://toanmath.com/ V SM SN SP 8 AMNP = . . = 8 8 1 2 ⇒ V = V = . V = V V SE SE SG 27 AMNP 27 AEFG 27 4 ABCD 27 ABCD AEFG VQMNP 1 1
Do mặt phẳng (MNP) // ( BCD) nên = ⇔ V = V V 2 QMNP 2 AMNP AMNP 1 2 1 2017 V = . V = V = . QMNP 2 27 ABCD 27 ABCD 27
Câu 35. Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MBC và
thể tích khối chóp S.ABC bằng. 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C
Theo công thức tính thể tích tỷ số thể tích. V SM 1 S .MBC = = . V SA 2 S . ABC
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA = 2a . Gọi B ;′ D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng
( AB′D′) cắt cạnh SC tại C′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′ 3 16a 3 a 3 2a 3 a A. . B. . C. D. . 45 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A S C' B' I D' B A O D C V SB′ SC′ Ta có V = V
mà SAB′C′ = . (*)
S AB′C′D′ 2 S AB′C′ 1 . . ( ) V SB SC SABC
∆SAC vuông tại A nên SC = SA + AC = ( a) + (a )2 2 2 2 2 2 2 2
= 6a suy ra SC = a 6
Ta có BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB′ và SB ⊥ AB′ suy ra AB′ ⊥ (SBC ) nên AB′ ⊥ BC
Tương tự AD′ ⊥ SC . Từ đó suy ra SC ⊥ ( AB′D′) ≡ ( AB′C′D′) nên SC ⊥ AC′ 2 2 SC′ SA 4a 2 Mà 2
SC .′SC = SA suy ra = = = . Ta cũng có 2 2 SC SC 6a 3 2 2 2 SB′ SA SA 4a 4 = = = = 2 2 2 2 2 SB SB SA + AB 4a + a 5 https://toanmath.com/ Từ ( ) V 8 8 1 8 SAB′C′ 8 * ⇒ = suy ra V = V = V = V mà SAB′C′ . SABC SABCD SABCD V 15 15 15 2 30 SABC 3 1 2 = a V S .SA = SABCD 3 ABCD 3 3 3 8 2a 8a Suy ra V = = SAB′C′ . 30 3 45 3 Từ ( ) 16a 1 suy ra V = V = .
S AB′C′D′ 2 .
S . AB′C′ 45
Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có = 0 ASB CSB = 60 , 0
ASC = 90 , SA = SB = ;
a SC = 3a .Thể tích V của
khối chóp S.ABC là: 3 a 2 3 a 6 3 a 2 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 18 12 6 Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC = 3SM ⇒ AB = BM = a; AM = a 2 ⇒ A ∆ BM .
vuông tại B . ⇒ Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp A ∆ BM ⇒ SH ⊥ (ABM) . 3 a 2 ⇒ V = . SABM 12 V SM 1 3 a 2 SABM = = ⇒ V = 3V = . V SC 3 SABC SABM 4 SABC
Câu 38. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . A
∆ BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DM 1 DN 1 DP 3
DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = , = ,
= . Thể tích V của tứ DA 2 DB 3 DC 4
diện MNPD bằng: 3 2 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . V = 12 12 96 D. 96 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 3 3 V = . .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP = . . = . . = . V DA DB DC 2 3 4 8 DABC 1 3 3 ⇒ V = . = DMNP 8 12 96 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp
S.MNC biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 8a . A. 3 V = a . B. 3 V = 2a . C. 3 V = 6a . D. 3 V = 4a . SMNC SMNC SMNC SMNC Hướng dẫn giải Chọn A V SM SN SC 1 Ta có: S.MNC 3 = . . ⇒ V = V = 2a . S .MNC S . V SA SB SC 4 ABC S . ABC https://toanmath.com/
Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy
một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. 2 a b cosα. B. 2 a b sin α. C. 2 a b cosα. D. 2 a b sin α. 4 4 12 12 Hướng dẫn giải Chọn D A' C' S B' A C H H' B
Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABC). Khi đó α = A′AH .
Ta có A′H = A′ .
A sin α = b sin α nên thể tích khối lăng trụ là 2 a b 3 sin α V = ′ = ′ ′ ′ A H .S . ABC. A B C ABC ∆ 4
Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng A′H nên 2 thể tích khối chóp là 1 a b 3 sin α V = V = . S . ABC ABC. ′ ′ ′ 3 A B C 12 V
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. ⋅ B. ⋅ C. 2 . D. 4 . 4 2 Hướng dẫn giải. Chọn D S M N C A B V SA SB SC Ta có S.ABC = . . = 4 . V
SM . SN. SC S .MNC https://toanmath.com/
Câu 42.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA′ SC′ 1
SA , SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm A′ , B′ , C′ và D′ sao cho = = và SA SC 3 SB′ SD′ 3 =
= . Tính thể tích V của khối đa diện lồi SA′B C ′ D ′ ′ . SB SD 4 3 A. V = .
B. V = 9 .
C. V = 4 .
D. V = 6 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B S C' A' D' D B' C A B Ta có V = V = + ′ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V . SA B C D S .D A B S .D C ′ B ′ ′ 3 1 3 3 1 V = = 3 = 9 = ′ ′ ′ . . .V . .V .48 . S .D A B S . 4 3 4 DAB . 16 2 S ABCD 32 2 Tương tự: 9 V = . S .D C ′ B ′ ′ 2 Vậy V = 9.
Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp
S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S N E H C D M O F B A
Giả sử các điểm như hình vẽ.
E = SD ∩ MN ⇒ E là trọng tâm tam giác SCM , DF // BC ⇒ F là trung điểm BM . a a
Ta có: SD ( ABCD) ( )= 6 ,
SDO = 60° ⇒ SO = , 2 2 7 SF = SO + OF = 2 2
⇒ d (O (SAD)) 2 a 6 1 a 7 , = OH = h = ; S = SF.AD = SAD 2 7 2 4 V ME MF MD 1 MEFD = ⋅ ⋅ = V MN MB MC 6 MNBC a ⇒ V = V
= ⋅ ⋅ d M SAD ⋅ S = ⋅ h ⋅ S = BFDCNE MNBC ( ( )) 3 5 5 1 1 5 1 5 6 , 4 SBC SAD 6 6 3 2 18 2 72 3 3 1 a 6 7a 6 V = . SO S = ⇒ V = V −V = ⋅ S.ABCD ABCD SABFEN S.ABCD BFDCNE 3 6 36 V 7 Suy ra: SABFEN = ⋅ V 5 BFDCNE
Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia
khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 1 7 1 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 5 3 Hướng dẫn giải Chọn B S N 60° A B K I a O H M D a C https://toanmath.com/ V V V Đặt 1 SABIKN 1 ? . V V V 2 NBCDIK 2 1 a 6 6 * 2 3 V . a a . S .ABCD 3 2 6 1 1 SO 1 a 6 1 6 * 3 V .NH.S . .S . .a.2a a . N .BMC 3 B MC 3 2 B MC 3 4 2 12
* Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC MK 2 . MN 3 V MD MI MK 1 1 2 1 * M.DIK . . . . . V MC MB MN 2 2 3 6 M .CBN 5 5 6 3 5 6 3 V V V V . a a . 2 M .CBN M .DIK M .CBN 6 6 12 72 7 6 3 6 a V 3 5 6 3 7 6 3 7 1 72 V V V a a a . 1 S .ABCD 2 6 72 72 V 5 6 5 2 3 a 72
Câu 45. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ,
N là điểm nằm giữa AC sao cho AN = 2NC . Gọi V là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỉ số 1 V1 . V V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 6 V 2 V 3 V 3 Hướng dẫn giải Chọn D . V V AS AM AN 1 2 1 1 ASMN = = . . =1. . = .. V V AS AB AC 2 3 3 ASBC
Câu 46. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V . Các điểm A′ , B′ , C′ tương ứng là trung điểm các cạnh
SA , SB , SC . Thể tích khối chóp S.A′B C ′ ′ bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 16 8 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SB SC 1 V Ta có S.A B C = ⋅ ⋅ = ⇒ V = . S . ′ ′ ′ V SA SB SC 8 A B C 8 S . ABC https://toanmath.com/
Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD .
A. V 5 .
B. V 4 .
C. V 6 .
D. V 3 . Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 48. Cho khối chóp S.ABC có SA = 9, SB = 4, SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm A ,′ B ,′C′ thỏa mãn SA = 2.SA ,
′ SB = 3.SB ,′ SC = 4.SC .′ Thể tích khối chóp S.A′B C ′ ′ là A. 2 . B. 24 . C. 16 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 S V . . . SA S . . SA . ABC SBC SB SC . 3 6 V
SA SB SC 1 Ta có: SA B C . . . V SA SB SC 24 SABC V 2 . SAB C S C' A' B' A C B .
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho 1 SA′ =
SA . Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD 3
lần lượt tại B ,′C ,′ D′ . Khi đó thể tích chóp S.A′B C ′ D ′ ′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 3 27 9 81 Hướng dẫn giải Chọn B . Vì ( A′B C ′ D
′ ′) / / ( ABCD) ⇒ A′B′ / / AB, B C
′ ′ / /BC,C D ′ ′ / /CD . SA ' 1 SB′ SC′ D S ′ 1 Mà = ⇒ = = = . SA 3 SB SC D S 3
Gọi V ,V lần lượt là V ,V . 1 2 S . ABC S . ACD
Ta có V + V = V . 1 2 https://toanmath.com/ V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SB SC 1 V S . A B C 1 = . . = ⇔ V = . S . ′ ′ ′ V SA SB SC 27 A B C 27 S . ABC V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SC SD 1 V S . A D C 2 = . . = ⇔ V = . S . ′ ′ ′ V SA SC SD 27 A C D 27 S . ACD Vậy V + V V 1 2 V = + = = ′ ′ ′ ′ V V . S . A B C D
S . A' B 'C ' S . A'C'D' 27 27 Vậy V V = .
S . A' BC ' D ' 27
Câu 50. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC ) . Tính thể tích khối
chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 5 3 a 3 3 a 5 A. . B. . C. . D. . 12 8 24 24 Hướng dẫn giải Chọn D S F N E A C H M B
Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BC và EF ; H là trọng tâm tam giác ABC . ( AEF ) ⊥ (SBC) Ta có ( ) ( AEF )∩(SBC) 1 = EF Trong mặt phẳng ( EF // BC SBC ) , ta có
nên EF ⊥ SM (2) . SM ⊥ BC
Từ (1) và (2) suy ra SM vuông góc với mặt phẳng ( AEF ) tại N Mặt khác HM
Tam giác SHM vuông tại H có cos M = (3). SM MN
Tam giác AMN vuông tại N có cos M = (4) AM
Từ (3) và (4) ta có HM MN =
⇔ SM.MN = HM.AM (vì N là trung điểm SM ) SM AM 1 1 a 2 2 ⇔ SM = 2 2 AM ⇔ SM = AM = 2 3 3 2 1 a 3 a 5
Tam giác SHM vuông tại H có HM = .AM = và 2 2 SH = SM − HM = . 3 6 2 3 https://toanmath.com/ 3 Khi đó 1 a 5 V = .S .SH = . S . ABC 3 ABC 24 1
Câu 51. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Lấy A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = . SA Mặt 3
phẳng qua A′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,′ C ,′ D .′
Khi đó thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 81 3 9 27 Hướng dẫn giải Chọn D 3 V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SB SC 1 V V S . A B C S . = . . ABC = ⇒ V = = S . ′ ′ ′ V SA SB SC 3 A B C 27 54 S . ABC 3 V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SD SC 1 V V S . A D C S . = . . ADC = ⇒ V = = S . ′ ′ ′ V SA SD SC 3 A D C 27 54 S . ADC V V V V = + = + = ′ ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ . S . A B C D S . A B C S . A C D 54 54 27
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao
cho SM = 2MD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABNM . A. 9 . B. 6 . C. 10 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn C .
M ∈( ABM ) ∩(SCD) Có : . AB / /CD
⇔ ( ABM ) ∩(SCD) = MN / /CD . V V V 1 SM SN SN 5 S . ABNM SANM SANB = + = . + = . V 2V 2V 2 SD SC SC 9 SABCD SACD SACB Vậy : 5 V = .V =10 . S . ABNM 9 SABCD
Câu 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M
là trung điểm BC . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , 1 F . Biết V = V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . S . AEF S . 4 ABC 3 a 3 a 3 2a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 8 5 12 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ S F H E A C M B
Ta có BC ⊥ SM . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do FE = ( P) ∩ (SBC )
⇒ FE ⊥ SM ⇒ FE BC và FE đi qua H . 2 1 SE SF SH 1 SH 1 V = 1 V ⇔ . = ⇔ = ⇒
= . Vậy H là trung điểm cạnh SM . S . AEF S . 4 ABC SB SC 4 SM 4 SM 2 a 3 Suy ra S
∆ AM vuông cân tại A ⇒ SA = . 2 2 3 Vậy 1 a 3 a 3 a V = . . = . SABC 3 2 4 8
Câu 54. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia
khối chóp này thành hai phần có thể tích là V
V và V (V < V . Tính tỉ lệ 1 . 1 2 ) 1 2 V2 16 8 16 8 A. . B. . C. . D. . 75 27 81 19 Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SAD , SAC . 1 2 3 https://toanmath.com/ Gọi SG 2 SG
I , J lần lượt là trung điểm của AB , AC thì 1 3 = = SI 3 SJ
⇒ G G // IJ ⇒ G G // ABC . 1 3 ( ) 1 3
Chứng minh tương tự ta có G G // ABC . 2 3 ( )
Suy ra (G G G // ABCD . 1 2 3 ) ( )
Qua G dựng đường song song với AB , cắt SA , SB lần lượt tại M , N . 1
Qua N dựng đường song song với BC , cắt SC tại P .
Qua P dựng đường song song với CD , cắt SD tại Q .
⇒ Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bới (G G G là tứ giác MNPQ . 1 2 3 ) V SM .SN.SP 8 Ta có S.MNP = 8 = ⇒ V = V (1) V . SA . SB SC 27 S .MNP S . 27 ABC S . ABC Tương tự ta cũng có 8 ⇒ V = V (2) S .MPQ S . 27 ACD Từ (1) và (2) suy ra 8 8 19 V 8 V = V ⇒ V =
V ⇒ V = V −V = V . Vậy 1 = . S .MNPQ S . 27 ABCD 1 27 2 1 27 V 19 2
Câu 55. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , VS.MNPQ
SC , SD . Tỉ số là VS.ABCD 1 1 3 1 A. B. . C. . D. . 6 16 8 8 Hướng dẫn giải Chọn D V SM SN SP VS.MQP SM SQ SP
Ta có áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có S.MNP = . . và = . . V SA SB SC V SA SD SC S . ABC S . ADC SM SN SP SQ 1
Vì M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD ⇒ = = = = . SA SB SC SD 2 1 V +V V S .MNP S .MQP 1 1 S .MNPQ 1 Và V = V = V suy ra = + ⇒ = . S . ABC S . ADC S . 2 ABCD 1 8 8 V 8 S . . ABCD VS. 2 ABCD
Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018
thể tích VMIJK bằng: VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 8 3 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ M I K J N Q P VM IJK MI MJ MK 1 1 1 1 Ta có: . = . . = . . = . V MN MP MQ 2 2 2 8 M . NPQ
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 V SE 2 2 1 Ta có: V = V
= . Mặt khác: S.EBD = = →V = V = . S .BCD S . 2 ABCD 2 S .EBD S . V SC 3 3 CBD 3 S .CBD
Câu 58. Cho hình chóp .
A BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC = a , CD = a 3 . Hai mặt
( ABD) và ( ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Biết AB = a , M , N lần lượt thuộc
cạnh AC , AD sao cho AM = 2MC , AN = ND . Thể tích khối chóp . A BMN là 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9 Hướng dẫn giải Chọn C A N a M B D a a 3 C AM Do AM = 2 2MC ⇒ = . AC 3 V AM AN 2 1 1 Ta có . A BMN = . = . = . V AC AD 3 2 3 . A BCD 3 1 1 1 a 3 Mà V = A . B BC.CD = . a . a a 3 = . . A BCD 3 2 6 6 https://toanmath.com/ 3 V a 3 . A BCD ⇒ V = = . . A BMN 3 18
Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C ′ D
′ và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C V ′ ′ ′ ′ AB AC 1 1 1 Ta có: AB C D = ⋅ = ⋅ = . V AB AC 2 2 4 ABCD
Câu 60. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) . mp(ABC) qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt SB, SC lần lượt tại H, K . Gọi
V ,V tương ứng là thể tích của các khối chóp S.AHK và S.ABC . Cho biết tam giác SAB vuông 1 2
cân, tính tỉ số V1 . V2 V 1 V 1 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 3 V 2 V 3 V 4 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có: HK / / BC do cùng ⊥ SB trong (SBC) , mà H là trung điểm SB nên K là trung điểm SC . Vậy có (xem V S 1 A là đỉnh): SHK = = . V ′ S 4 SBC
Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN; ; MP .
MQ Tỉ số thể tích VMIJK là VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 8 Hướng dẫn giải Chọn D
Trong trường hợp này áp dụng công thức tỉ lệ thể tích giữa 2 hình chóp tam giác: V MI MJ MK 1 1 1 1 MIJK = . . = . . = . V MN MP MQ 2 2 2 8 MNPQ
Câu 62. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V , khi đó thể
tích của khối chóp S.ABCD là: https://toanmath.com/ 2 81V 27V 9 9V A. . B. . C. V . D. . 8 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B S N M P Q C K B H F O I E D J A
d (S,(MNPQ)) SM 2 Ta có = = .
d (S,( ABCD)) SI 3 Mặt khác gọi S 1 1 1 S = S ta có DE ∆ J = . = 1 ⇒ S = S . ABCD ∆ S 4 2 8 DEJ 16 B ∆ DA Tương tự ta có S 1 JA ∆ I = 1 ⇒ S = ∆ . S 4 JAI 8 DA ∆ B 1 1 1 Suy ra S = 1− 4. + 2. S = S . HKIJ 16 8 2 2 S MNPQ 2 4 2 Mà = = ⇒ S = S . S 3 9 MNPQ 9 ABCD HKIJ 1 1 3 9 27 Suy ra V
= d S, ABCD .S = . d (S,(MNPQ)). S = V . S . ABCD ( ( )) 3 3 2 2 4
Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( P) qua AM và song
song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối S.ANMK và khối chóp S.ABCD . 2 1 1 3 A. B. C. D. 9 3 2 5 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/
Gọi H là tâm hình vuông ABCD , E = SH ∩ AM ⇒ E là trọng tâm S ∆ AC SE SK ⇒ = SN 2 = = V . SA SK.SM 1 . Ta có S.AKM = 2 1 1 = . = ⇒ V = V SH SD SB 3 V . SA . SD SC 3 2 3 S . AKM S . 6 ABCD S . ADC Tương tự V 1 1 S . ANM = ⇒ V = V . V 3 S . ANM S . 6 ABCD S . ABC 1 1 1 Từ đó V = V +V = V + V = V . S . ANMK S . ANM S . AKM S . ABCD S . 6 6 ABCD . 3 S ABCD
Câu 64. Cho khối chóp S.ABC . Trên các đoạn , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 1 1 SA′ = ; SA SB′ = ; SB SC′ =
SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C
′ ′ và S.ABC 2 3 4 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 2 12 6 Hướng dẫn giải Chọn A V
SA′ SB′ SC′ 1 1 1 1
Ta có: S.A'B'C' = . . = . . = . V SA SB SC 2 3 4 24 S . ABC
Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng 30°. Gọi M là trung điểm của
cạnh SC . Thể tích của khối chóp S.ABM bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ S M A C B . 2 a
Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a nên S = . ABC ∆ 2
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) là góc SBA = 30° . a 3
Tam giác SAB vuông tại A : SA = tan 30 . ° AB = . 3 3 3 1 a 3 V a 3 Ta có: S . V = . ABC SA S = ⇒ V = = . S . ABC ABC ∆ S . 3 18 ABM 2 36
Câu 66. Cho hình chóp S.ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN = 2NC . Tỉ V
số S.AMN . VS.ABC 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 4 Hướng dẫn giải Chọn B V AM AN 1 1 1 Ta có S.AMN = . = . = . V AB AC 2 3 6 S . ABC
Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = a; AC = 2a và
AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD,CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . 3 a 3 3a 3 2a A. V = . B. 3 V = a . C. V = . D. V = . 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A B a M A 3a 2a D N C . AB ⊥ AC
⇒ AB ⊥ ( ACD) . AB ⊥ AD 1 1 1 1 V = S
.AB = . .AC.A . D AB 3 = .2 .3 a . a a = a . ABCD ∆ 3 ACD 3 2 6
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: https://toanmath.com/ 3 V DM DA DN 1 1 1 1 a D.MAN = . . = .1. = ⇒ V = V = . D.MAN D. V DB DA DC 2 2 4 4 BAC 4 D.BAC
Câu 68. Cho khối chóp S.ABC có = = ASB BSC CSA = 60 ,
° SA = a, SB = 2a, SC = 4a . Tính thể tích 1 6 T 1 6 T
khối chóp S.ABC theo a . 3 2a 2 3 4a 2 3 a 2 3 8a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A S A M N B C SM 1 = Lấy SB 2
M ∈ SB, N ∈ SC thoả mãn: SM = SN = SA = a ⇒ . SN 1 = SC 4
Theo giả thiết: = = 0 ASB BSC
CSA = 60 ⇒ S.AMN là khối tứ diện đều cạnh a . 3 Do đó: a 2 V = . S . AMN 12 3 Mặt khác V SM SN 2a 2 : S.AMN = 1 1 1 . = . = ⇒ V = 8V = . V SB SC 2 4 8 S . ABC S . AMN 3 S . ABC
Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 2 12 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S D' A' B' C' D A B C V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SB SC 1 V ′ ′ ′ SA SD SC 1 Ta có SA B C = . . = , SA C D = . . = V SA SB SC 8 V SA SD SC 8 SABC SACD V V + ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V
Suy ra S.A′B C ′ D ′ ′ ′ ′ ′ 1 SA B C SA B C SA C D = = = . V V V +V 8 S . ABCD SABC SABC SACD V ′ ′ ′ ′ 1
Vậy SA B C D = . V 8 SABCD
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một
mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V là thể tích khối chóp 1 V
S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A S P N I M D C O A B https://toanmath.com/ Đặ SM SN t = x ,
= y , 0 < x , y ≤1. SB SD SA SC SB SD 1 1 x Vì + = + nên 1+ 2 = + ⇒ y = SA SP SM SN x y 3x −1 Khi đó V V V 1 SA SN SP 1 SA SM SP 1 1 1 1 1 S . ANP S . = + AMP = . . . + . . . = . . y + . . x V 2V 2V 2 SA SD SC 2 SA SB SC 2 2 2 2 S . ADC S . ABC 1 (x y) 1 x = + = x + 4 4 3x −1 1
Vì x > 0 , y > 0 nên < x < 1 3 x 1
Xét hàm số f ( x) 1 = x + trên ;1 4 3x −1 3 1 1
Ta có f ′( x) = 1− ; f ′(x) 2 = 0 ⇔ x = . 4 (3x )2 1 − 3 Bảng biến thiên x 1 2 1 3 3 y′ – 0 + || 3 y 1 8 3 V 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 bằng . V 3
Câu 71. Cho tứ diện đều S.ABC . Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác S ∆ AB, S ∆ BC , 1 2 3 V SC
∆ A. Tính S. 1G 2G 3G . VS.ABC 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 48 27 36 81 Hướng dẫn giải Chọn B S G3 G1 G2 A C P M N B .
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Ta có. https://toanmath.com/ VSG G G 2 2 2 8 8 8 1 2 1 2 3 = . . = ⇒ V = V = . V = . 1 SG 2 G 3 V 3 3 3 9 G 9 SMNP 8 4 SABC 27 SMNP
Câu 72. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 ′
và S.A′B C
′ ′. Khi đó tỉ số V là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 27 9 Hướng dẫn giải Chọn C V ′
SA′ SB′ SC′ 1 1 1 1 Ta có = . . = . . = . V SA SB SC 3 3 3 27
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của .
SB P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2 .
DP Mặt phẳng ( AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính
thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V. . 23 7 19 2 A. V = V . B. V = V . C. V = V . D. V = V . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 Hướng dẫn giải Chọn A S S M M N I I P P B B O A D S O N C I A O C .
Gọi O là tâm hình bình hành. Gọi I = MP ∩ SO ⇒ N = AI ∩ SC . Ta có: https://toanmath.com/ 1 SP SM S S + S S S = . SP ∆ M SP ∆ I SM ∆ I SP ∆ I SM ∆ I = = = + 3 SD SB S S 2S 2S SD ∆ B SD ∆ B SD ∆ O SB ∆ O . SI SP SM 7 SI SI 4 = + = . ⇒ = 2SO D S SB 12 SO SO 7 Suy ra: SN S S + S S S SI SI SN 2 2 SN SA ∆ N SA ∆ I SN ∆ I SA ∆ I SN ∆ I = = = + = + . = + SC S S 2S 2S 2SO 2SO SC 7 7 SC SA ∆ C SA ∆ C SA ∆ O SC ∆ O . SN 2 ⇒ = SC 5 V V +V V V . SA SM .SP SM .SN.SP 7 Suy ra: S.AMNP S . AMP S .MNP S . AMP S .MNP = = + = + = . V V 2V 2V 2S . A . SB SD 2S . B SC.SD 30 S . D AB S .BCPD 23 ⇒ V = V . ABCD.MNP 30
Câu 74. Cho khối lăng trụ ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể
tích của khối chóp A .′BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 V = ′ = = ′
d A , BCO .S V ′ ′ ′ ′ 1 . A .BCO ( ( )) BCO ABCD. 3 12 A B C D
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNPQ và S.ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 16 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S Q M N P D A B C 1 1 Ta có V = V và V = V S .MNP S . 8 ABC S .MQP S . 8 ADC 1 1 1 ⇒ V = V +V = V + V = V S .MNPQ S .MQP S .MNP S . ABC S . ADC S . 8 8 8 ABCD VS.MNPQ 1 ⇒ = . V 8 S . ABCD
Câu 76. Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC .
Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ABC) bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng (MNP) cũng bằng khoảng
cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (MNP) . V SM SN SP 1 V Ta có: S.MNP = . . = nên V = . V SA SB SC 8 S .MNP 8 S . ABC
Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy
một góc 60° . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt
SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 9 6 18 https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D S M F E I D A O B C
Trong mặt phẳng ( SBD) : EF ∩ SO = I . Suy ra ,
A M , I thẳng hàng. SI 2
Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM , SO cắt nhau tại I suy ra = . SO 3 SE SF SI 2
Lại có EF // BD ⇒ = = = . SB SD SO 3 V SE SM 1 V SF SM 1 Ta có: S.AEM = ⋅ = . S.AFM = ⋅ = . V SB SC 3 V SD SC 3 SABC SADC V +V 1 V 1 Vậy S.AEM S . AFM S . AEMF = ⇒ = . V +V 3 V 3 S . ABC S . ADC S . ABCD a 6
Góc giữa cạnh bên và đáy của S.ABCD bằng góc SBO = 60° suy ra SO = BO 3 = . 2 3 1 a 6
Thể tích hình chóp S.ABCD bằng V = . SO S = . S . ABCD 3 ABCD 6 3 Vậy a 6 V = . S . AEMF 18
Câu 78. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc
bằng 60°. Kí hiệu V , V lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp 1 2
hình chóp đã cho. Tính tỉ số V1 . V2 V 32 V 32 V 1 V 9 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 9 V 27 V 2 V 8 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S M I D C O A B
Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Suy ra SO ⊥ ( ABCD) . Và góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy ( ABCD) là góc
SAO . Theo giả thuyết
SAO = 60° , nên tam giác SAC đều, suy ra SA = a 2 và a 6 SO = . 2
Gọi M là trung điểm SA . Trong (SAC), đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I .
Khi đó, IS = IA = IB = IC = ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 2 SA a 6
Tam giác SAO có SI.SO = SM .SA ⇒ SI = = = R . 2SO 3
Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD nên có bán kính đáy a 2 a r = và chiều cao 6 h = SO = . 2 2 3 4 a 6 .π V 3 3 32 Suy ra 1 = = . 2 V 9 2 1 a 2 a 6 π . 3 2 2
Câu 79. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng
MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là 3 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A
Kẻ MN //AD, ( N ∈ SD) . Mặt phẳng ( MBC ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang
MNCB . Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD . V SM 1 1 1 S .MBC = = ⇒ V = V = V . S .MBC S . V SA 2 2 ABC 4 S . ABC V SM SN 1 1 1 1 S .MNC = . = . ⇒ V = V = V . S .MNC S . V SA SD 2 2 4 ADC 8 S . ADC 3 5 V = V +V = V ⇒ V = V . S .MNCB S .MBC S .MNC 8 MNDCBA 8 3
Vậy tỉ số thể tích của phần trên với phần dưới là . 5 https://toanmath.com/ S M N A B D C . V
Câu 80. Cho hình chóp S.ABC có A ,
′ B′ lần lượt là trung điểm các cạnh ,
SA SB . Khi đó tỉ số S.ABC bằng
VS.A′B C′ 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 4 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D V SA SB SC Ta có S . ABC = . . = 4 . V ′ ′ ′ ′ ′ SC S . A B C SA SB
Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với
nhau; AB = a 3 , AC = 2a và AD = 2a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC .
Tính thể tích V của tứ diện AHKD . 2 3 4 3 2 3 4 3 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V a . D. 3 V a . 7 21 21 7 Hướng dẫn giải Chọn B D 2a H K 2a A C B . 2 V SA SK DH 1 DH . D B 1 AD Ta có: D.AHK = . . = . = . . 2 2 2 V SA SC DB 2 DB 2 AD + AB D. ABC 2 1 4a 2 = . = . 2 2 2 4a + 3a 7 3 1 1 1 2a 3 V = D . A S
= 2a. 2a.a 3 = . D. ABC 3 ABC 3 2 3 3 4a 3 Suy ra V = V = . AHKD D. AHK 21 https://toanmath.com/
Câu 82. Cho hình chóp S.ABC có A , B lần lượt là trung điểm của các cạnh , SA .
SB Tính tỉ số thể tích VSABC . VSA'B'C 1 1 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A V . SA . SB SC . SA SB Ta có SABC = = = 4.. V
SA '.SB '.SC SA '.SB ' SA' B 'C
Câu 83.Cho tứ diện ABC .
D Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 4 6 Hướng dẫn giải Chọn C A B' C' B D C V AB AC 1 1 1
Ta có AB' C' D = ' ' . = . = . V AB AC 2 2 4 ABCD
Câu 84.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ABCD) ,
góc giữa hai mặt phẳng (SBD)và ( ABCD) bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB , SC . Tính thể tích khối chóp S.ADMN . 3 a 6 3 a 6 3 3a 6 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 24 16 8 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S N M A D O B C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có
SOA là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và ( SA a ABCD) nên
SOA = 60° . Khi đó tan 60° = 2 ⇒ SA = A . O tan 60° = 6 . a 3 = . AO 2 2 V SA SM SN 1 V SA SN SD 1 Ta có S.AMN = . . = và S.AND = . . = . V SA SB SC 4 V SA SC SD 2 S . ABC S . ACD 3 Do đó 1 1 1 3 3 1 a 6 a 6 V = V . + = .V 2 = . . .a = . S . ADMN S . 2 ABCD 4 2 . 8 S ABCD 8 3 2 16
Câu 85. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi
đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn C S A' D' B' C' A D B C Ta có V = V +V ; V = + ′ ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ ′ ′. S . ABCD S . ABD S .CBD S . A B C D S . A B D S .C B D ′ ′ ′
Mạt khác: V ′ ′ ′ SA SB SD 1 1 1 1 S . A B D = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ; V SA SB SD 2 2 2 8 S . ABD https://toanmath.com/ V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SC SB SD 1 1 1 1 V ′ ′ ′ ′ 1 S .C B D = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = . Vậy, S.ABC D = . V SC SB SD 2 2 2 8 V 8 S .CBD S . ABCD
Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S.ABC sao SM 1 SN cho = ,
= 2. Mặt phẳng (α ) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 MA 2 NB
phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện chứa A , V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ 1 2 V số 1 ? V2 V 5 V 5 V 6 V 4 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V 4 V 6 V 5 V 5 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
- Trong mặt phẳng (SAC ) dựng MP song song với SC cắt AC tại P . Trong mặt phẳng (SBC )
dựng NQ song song với SC cắt BC tại .
Q Gọi D là giao điểm của MN và PQ . Dựng ME
song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ). SE SM - Ta thấy: 1 = = 1
⇒ SN = NE = NB = SB SB SA 3 3 DB DN
Suy ra N là trung điểm của BE và DM , đồng thời 1 DB = ME = 1 1 AB ⇒ = , = . 3 DA 4 DM 2 DQ DN 1 Do NQ / /MP ⇒ = = . DP DM 2
- Nhận thấy: V = V −V . 1 D. AMP D.BNQ VD.BNQ DB DN DQ 1 1 1 1 = 1 15 15 . . = . . = ⇒ V = V ⇒ V = .V = .V . V DA DM DP 4 2 2 16 D.BNQ D. 16 AMP 1 D. AMP M . 16 16 ADP D. AMP QB NB 1
d ( N; DB) QB 1 1
- Do NQ / /SC ⇒ = = ⇒ = = ⇒ d ( ;
Q DB) = .d (C; AB) CB SB 3 d (C; AB) CB 3 3 https://toanmath.com/ 1 ⇒ 1 1 1 1 S
= .d Q DB DB = . .d (C; AB). AB = 8 S ⇒ S = .S QDB ( ; ). 2 2 3 3 9 CAB ADP 9 ABC 2
Và d (M ;( ADP)) = d (S;( ABC )) 3 1 ⇒ 1 2 8 16 V
= .d M ; ADP .S
= . d (S;( ABC)). S = .V M . ADP ( ( )) 3 ADP ABC S . 3 3 9 27 ABC 15 16 5 ⇒ 4 V = . .V = .V ⇒ V = V −V = .V . 1 S . ABC S . 16 27 9 ABC 2 S . ABC 1 S . 9 ABC V 5 Vậy 1 = . V 4 2
Câu 87.Cho hình chóp S, ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích
V của khối chóp S.OCD .
A. V = 4 .
B. V = 5 .
C. V = 2 .
D. V = 3 . Hướng dẫn giải Chọn C S A D O B C
Cách 1. Gọi h là chiều cao của khối chóp S.ABCD 1 1 Ta có 8 = V = S .h = .4S .h = 4V ⇒ V = 2 . SABCD 3 ABCD 3 OCD SOCD SOCD
Cách 2. Ta có hai hình chóp có cùng chiều cao mà S = 8 4S ⇒ V = = 2 ABCD OCD SOCD 4
Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp . A GBC .
A. V = 6 .
B. V = 5 .
C. V = 3 .
D. V = 4 . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ A B D C Cách 1:
Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp .
A GBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BCD) . Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có S = S = ⇒ S = ∆ S 3S (xem phần chứng minh). BGC ∆BGD ∆CGD ∆BCD ∆BGC
Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: B D N E F M C 1 1 V = . h S ABCD ∆BCD . h S 3 ∆ V 3 BCD S 1 1 ABCD ∆ ⇒ = = BCD = 3 ⇒ V = V = .12 = 4 . 1 V 1 S . A GBC 3 ABCD 3 . V = . A GBC h S . ∆GBC h S . ∆ ∆GBC A GBC 3 GBC 3
Chứng minh: Đặt DN = ; h BC = a . Từ hình vẽ có: MF CM 1 1 h +) MF // ND ⇒ =
= ⇒ MF = DN ⇒ MF = . DN CD 2 2 2 D G A C H1 H I B GE BG 2 2 2 h h +) GE // MF ⇒ =
= ⇒ GE = MF = . = MF BM 3 3 3 2 3 1 1 DN.BC ha S +) ∆BCD 2 2 = = = 3 ⇒ S = 3S S 1 1 ∆BCD ∆GBC h ∆GBC GE.BC a 2 2 3
+) Chứng minh tương tự có S = 3S = 3 ∆ S BCD ∆GBD ∆GCD ⇒ S = S = ∆ S . BGC ∆BGD ∆CGD
Cách 2: https://toanmath.com/
d (G;( ABC )) GI 1 1 . d ( =
= ⇒ d (G; ABC ) = d ( ; D ABC ) ; D ( ABC )) ( ) ( ) DI 3 3 1 1 Nên V
= d G; ABC .S = .V = 4. G. ABC ( ( )) ∆ 3 ABC 3 DABC
Câu 89. Cho hình chóp S.ABC có 3 V
= 6a . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , S . ABC
SB , SC sao cho SM = MA , SN = NB , SQ = 2QC . Tính VS.MNQ : 3 a A. . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 3 3a . 2 Hướng dẫn giải Chọn B S M Q N A C B V SM SN SQ 1 1 Ta có S.MNQ = 1 1 2 . . = 1 . . = ⇒ V = V 3 = .6a 3 = a . V SA SB SC 2 2 3 6 S .MNQ S . 6 ABC 6 S . ABC
Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G , G , G , G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện 1 2 3 4
ABCD . Thể tích khối tứ diện G G G G là: 1 2 3 4 V V V V A. . B. . C. . D. . 27 18 4 12 Hướng dẫn giải Chọn A A G 2 G 3 G 1 I C B G 4 H 1 H 2 K J D
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC .
Gọi h là khoảng cách từ A đến ( BCD) , h là khoảng cách từ G đến (G G G . 1 2 3 ) 1 4
Vì (G G G / / BCD nên d (G , G G G
= d G , BCD = G H = h′ , h = AH . 4 ( 1 2 3 )) ( 1 ( )) 1 2 3 ) ( ) 1 2 1 h KG 1 h 1 1 ⇒ = = ⇒ h = . h KA 3 1 3
Gọi S , S′ , S lần lượt là diện tích các tam giác BCD , IJK và G G G . 1 1 2 3
Vì I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC nên: https://toanmath.com/ 1 S′ = JK d ( I JK ) 1 BC 1 = d ( D BC ) 1 1 = BC d ( D BC ) 1 . , . . , . . . , = S ( ) 1 . 2 2 2 2 4 2 4 G G AG 2
Tam giác G G G đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ số đồng dạng là: 1 2 1 = = . 1 2 3 Ik Ak 3 2 S 2 4 4 1 ⇒ = =
⇒ S = S′ (2) (Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng). S′ 3 9 1 9 S Từ ( ) 1 và (2) ⇒ S = . 1 9
Thể tích khối từ diện 1 1 S h 1 1 V
G G G G là: V = S .h = . . = . .S.h = . 1 2 3 4 1 1 1 3 3 9 3 27 3 27
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A′ , B′ , C′ , D′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 4 8 Hướng dẫn giải Chọn D S D' C' A' B' D C A B V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SA SB SD 1 V ′ ′ ′ 1 Ta có S.A B D = . . = S . A B D ⇒ = . V SA SB SD 8 V 16 S . ABD S . ABCD V ′ ′ ′ ′ ′ ′ SB SD SC 1 V ′ ′ ′ 1 Và S.B D C = . . = S .B D C ⇒ = . V SB SD SC 8 V 16 S .BDC S . ABCD
V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ 1 1 1 V ′ ′ ′ ′ 1 Suy ra S.A B D S . + B D C = + = S . A B C D ⇒ = . V V 16 16 8 V 8 S . ABCD S . ABCD S . ABCD
Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ V
số thể tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/
Do I ; J ; K lần lượt nằm trên ba cạnh MN ; MP ; MQ nên theo công thức tỉ số thể tích cho V MI MJ MK
khối chóp tam giác ta có MIJK = 1 1 1 1 . . = . . = V MN MP MQ 2 2 2 8 MNPQ = = = =
Câu 93. Cho hình chóp S.ABC = SB a SC a ASB BSC CSA = 60° có SA a ; 3 2 ; 2 3 , .
Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B′ , C′ sao cho SA = SB ' = SC ' = a . Thể tích khối chóp
S.ABC là: 3 a 3 A. 3 2a 3 . B. 3 3a 3 . C. 3 a 3 . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn C
Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm B ',C ' sao cho
SA = SB ' = SC ' = a suy ra S.AB 'C ' là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra
AB ' = B 'C ' = C ' A' . 2 a 3 a a 6 Ta có: 2 2 S = ; AH =
⇒ SH = SA − AH = . ABC 4 3 3 3 Khi đó a 2 V SA SB SC 1 V =
. Lại có S.AB'C ' = . . =
S . AB 'C ' 12 V SA SB ' SC ' S ABC 6 6 . Do đó 3 V = a 3 . S . ABC
Câu 94. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( SM
ABCD) và SA = a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k,0 < k < 1. Khi đó giá trị của k SA
để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là 1 − + 5 1 − + 2 1 − + 5 1 + 5 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 4 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C SM SN
Giả sử (MBC ) cắt SD tại N . Khi đó MN //BC//AD suy ra = = k (k > 0) SA SD https://toanmath.com/ V SM V SM SN 2 V k V k Ta có S.MBC S .MNC 2 = = k, = .
= k .Do đó: S.MBC S . = ; MNC = .Bài toán t/m khi V SA V SA SD V 2 V 2 S . ABC S . ADC S . ABCD S . ABCD 2 k k 1 2 −1+ 5 +
= ⇔ k + k −1 = 0 ⇒ k = 2 2 2 2
Câu 95. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a ; SA vuông góc mặt phẳng
( ABC), Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABC) bằng 30°. Gọi M là trung điểm của
SC , thể tích khối chóp S.ABM là. 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 36 18 18 Hướng dẫn giải Chọn B ( a a SBC );( ABC ) = ⇒ 3 3 3 0 0 30
SBA = 30 ⇒ SA = ⇒ V = . 3 SABC 18 3 V 1 a 3 SABM = ⇒ V = . V 2 SABM 36 SABC
Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4 Hướng dẫn giải Chọn B A M N B D C . V AM AN AD 1 Ta có AMND = . . = . V AB AC AD 4 ABCD
Câu 97. Cho hình chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 8 . Gọi M , N ,
P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA . Thể tích của khối chóp S.MNP bằng: A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/
1 BC.d ( ,ABC) V S 2 .2 MP d N , MP S . ABC ∆ABC ( ) 2 = = = = 4 V S 1 . MP d N , MP S .MNP ∆MNP .
MP d ( N, MP) ( ) 2 VS. ⇒ V = ABC = 2 S .MNP 4 V
Câu 98. Cho khối chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số thể tích S.ABC bằng: VS.AGC 3 1 2 A. B. 3 C. D. 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B S L N O A C H G K J B V S d ; B AC BO BL S . ABC ABC ∆ ( ) Ta có = = = = = 3 . V S d G; AC GN GL S . AGC A ∆ GC ( )
Câu 99. Cho hình chóp tam giác S.ABC có = ASB CSB = 60° ,
ASC = 90° , SA = SB = 1 , SC = 3 . Gọi M là điểm trên cạnh 1 SC sao cho SM =
SC . Tính thể tích V của khối chóp S.ABM . 3 2 3 6 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 36 36 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1
Cách 1: Áp dụng công thức 2 2 2 V
= .abc 1− cos α − cos β − cos ϕ + 2cosα cos β cosϕ . S . ABC 6 2 2 1 1 1 2 Ta có: V = .1.1.3 1− − − 0 = . S . ABC 6 2 2 4 V SM 1 1 2 2 S . ABM = = ⇒ V = . = . S . V SC 3 ABM 3 4 12 S . ABC Cách 2: https://toanmath.com/ S 600 600 A 2 2 1 C' H 2 2 A' 3 3 C B .
Gọi A′, C′ lần lượt là các điểm trên SA và SC sao cho SA′ = SC′ = 2. Khi đó ′ = SBA
SBC′ = 90° hay SB ⊥ ( A′BC′) .
Tam giác A′BC′ cân tại B , gọi H là hình chiếu của B trên A′C′ ta có: A′C′ = 2 2 , BH = 1. 1 1 1 1 2 V = = = ′ ′ .S . B .BH .AC .1. .1.2 2 . S . A BC 3 2 3 2 3 V SA SC 1 3 3 3 2 2 S . ABC = . = . = ⇒ V = . = S . V ′ ′ . ′ ′ SA SC 2 2 4 ABC 4 3 4 S . A BC V SM 1 1 2 2 S . ABM = = ⇒ V = . = . S . V SC 3 ABM 3 4 12 S . ABC
Câu 100. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho 1 A S ′ =
SA . Mặt phẳng qua A′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần 3
lượt tại B ,′C ,′ D′. Khi đó thể tích khối chóp S.A′B C ′ D ′ ′ bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 27 9 3 81 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi thể tích 1 1 V = . a h . h . . S . ABCD a 3 2 Với 1 S = đáy a h .
h là chiều cao hính chóp S.ABCD . a 2 1 1 1 1 ′ 1 V = . a h ′ h . ′ mà: h′ = h , a′ = a , h = h .
S . A′B C ′ D ′ ′ a' a a 3 2 3 3 3 V Nên V = S.A BCD .
S . A′B C ′ D ′ ′ 27
Câu 101. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng ( P) V
qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và .
Q Khi đó SAPMQ bằng VSABCD 2 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 3 2 9 Chọn C https://toanmath.com/ S M P B C I Q O A D
Trong ( ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD .
Trong (SAC ) gọi I là giao điểm của SO và AM .
Trong (SBD) từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P , Q , suy ra
mp ( P) là mp ( APMQ) .
+ Ta thấy I là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và SO của tam giác SAC ⇒ I là trọng tâm tam giác SI SP SQ 2 SAC , Suy ra: = =
= (định lý ta lét vì PQ // BD ) SO SB SD 3 V . SA . SP SM 2 1 1 Ta có: SAPM = = . = ⇒ 1 V = V V . SA . SB SC 3 2 3 SAPM 3 SABC SABC VSAQM . SA . SQ SM 2 1 1 = = . = ⇒ 1 V = V V . SA . SD SC 3 2 3 SAQM 3 SADC SADC 1 1 (V +V ) V V +V V SAPMQ ⇒ SAPM SAQM = 3 SABC SADC = 3 SABCD = 1 = V V V V 3 SABCD SABCD SABCD SABCD
Câu 102. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 1 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp 3 3 3 ′
S.ABC và S.A′B C
′ ′. Khi đó tỉ số V là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 27 Hướng dẫn giải Chọn D V
SA SB SC 1 1 1 1 Ta có . . . . V SA SB SC 3 3 3 27 .
Câu 103. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho
SN = 3NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . 2 1 3 3 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 5 3 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có V = V −V −V . ABMN SABC SBMN ABCN 1 3 3 1 Mà V = . .V = .V ; V = .V . SBMN 2 4 SABC 8 SABC ABMN 4 SABC 3 1 3 Suy ra V = V − V − V = V . ABMN SABC 8 SABC 4 SABC 8 SABC
Câu 104.Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC ,
CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp S.MNP . 3 9
A. V = 3 . B. V = . C. V = .
D. V = 4 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 S = S . M ∆ NP ∆ 4 ABC Do đó 1 1 3 V = V = .6 = . S .MNP S . 4 ABC 4 2
Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng
qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD) , ( ABD) , ( ABC )
tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 54 27 16 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ A P Q N B D P′ Q′ M N ′ C ′ MN N M
Tam giác ABN ′ có MN // AB ⇒ = AB N B ′ . ′ MP P M
Tam giác ACP′ có MP // AC = AC P C ′ . ′ MQ Q M
Tam giác ADQ′ có QM // AD ⇒ = AD Q D ′ . ′ ′ ′
Khi đó: MN MP MQ N M P M Q M + + = + + AB AC AD N B ′ P C ′ Q D ′ N M ′ P M ′ Q M ′ S S S MN MP MQ Mà MCD MBD MBC + + = + + = 1 + + = N B ′ P C ′ Q D ′ nên 1 S S S AB AC AD BCD BCD BCD 3 3 Lại có MN MP MQ MN MP MQ 3 3 1 = + + ≥ 3 . . (Cauchy) AB AC AD AB AC AD 1 ⇔ MN. . MP MQ ≤ A .
B AC.AD ⇒ MN. .
MP MQ lớn nhất khi MN MP MQ = = 27 AB AC AD ⇒ MN MP MQ 1
M là trọng tâm tam giác BCD ⇒ = =
= ⇒ (NPQ) // (BCD) , AB AC AD 3 2 S NPQ 2 = 1 1 1 , Mà S = =
d (M , NPQ ) = d ( , A ( BCD)) ′ ′ ′ S nên S S và ( ) S N P Q BCD NPQ BCD ′ ′ ′ 3 4 9 2 N P Q
Vậy giá trị lớn nhất của khối tứ diện 1 MNPQ là V = S .d M NPQ MNPQ NPQ ( ,( )) 3 1 1 1 V ⇔ 1 V = . S . d A BCD = , với V = S .d A BCD = V ABCD BCD ( ,( )) MNPQ BCD ( ,( )) 3 9 3 27 3
Câu 106. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của V
SA và SB . Tỉ số thể tích S.CDMN là VS.CDAB 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A V SC.SM .SN 1 1 Ta có SCMN = = ⇒ V = V . V SC. . SA SB 4 SCMN 4 SCAB SCAB 1 V = V . SCMN S . 8 ABCD V SC.SM .SD 1 1 SCMD = = ⇒ V = V . V SC. . SA SD 2 SCMD 2 SCAD SCAD https://toanmath.com/ 1 ⇒ V = V . SCMD S . 4 ABCD 3 V = V . SCDMN S . 8 ABCD .
Câu 107. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA , SD . Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt
SQ = x , V là thể tích của khối chóp S.MNQP , V là thể tích của khối chóp S.ABCD . Tìm x để SB 1 1 V = V . 1 2 1 1 − + 41 1 − + 33 A. x = . B. x = . C. x = .
D. x = 2 . 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C S P Q M N B C O A D MN // BC Do ( ⇒ PQ // BC . α
) ∩ (SBC) = PQ V V V V 2 S .MNQ S .NPQ V S MNQ S NPQ 1 SM SN SQ SP SN SQ x x 1 + = ⇔ . . + = ⇔ . . + . . = 1 ⇔ + = 1 V V V 2V 2V 2 SA SD SB SC SD SB 4 2 S . ABD S .BCS − + 2 ⇔ 1 33
2x + x − 4 = 0 ⇔ x =
(vì x > 0 ). 4 V
Câu 108. Cho hình chóp SABC
SABC . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm SB ; SC . Khi đó là bao nhiêu? VSAMN 1 1 1 A. . B. . C. . D. 4 . 4 8 16 https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D V SB SC S.ABC = . = 4 . V SM SN S.AMN
Câu 109. Cho khối chóp S.ABC có M ∈ SA , N ∈ SB sao cho MA = 2 − MS , NS = 2 − NB . Mặt phẳng
(α )qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số
thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). 3 4 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 9 4 5 Hướng dẫn giải 1 7 T Chọn D 1 7 T S M N Q C A P B
Cách 1: Ta có mặt phẳng (α ) cắt các mặt (SAC ) theo giao tuyến MQ SC và cắt mặt (SBC )
theo giao tuyến NP SC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α ) với hình chóp là hình thang MNPQ . Do V = V +V , gọi V = V và S = S ta có: MNABPQ N . ABPQ N . AMQ S . ABC ABC ∆ 1 1 1 1 2 7 V
= .d N, ABC .S
= . d (S,( ABC)) S − . S = V . N . ABPQ ( ( )) 3 ABPQ 3 3 3 3 27 1 1 2 4 8 V
= .d N, SAC .S
= . d (B,(SAC)). S = V . N . AMQ ( ( )) ∆ ∆ 3 AMQ 3 3 9 ASC 27 Vậy 5 V = V +V = 4 V ⇒ V = V . MNABPQ N . ABPQ N . AMQ 9 SMNPQC 9 VSMNPQC 4 Suy ra = . V 5 MNABPQ Cách 2: https://toanmath.com/ S M N B A I P Q C
Gọi I = MN ∩ AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có MS IA NB IB 1 ⋅ ⋅ = 1⇒ = . MA IB NS IA 4 BI SA NM NM
Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác A ∆ MI , ta có: ⋅ ⋅ = 1 ⇔ =1. BA SM NI NI Tương tự PI AM AQ 2 ta có:
= 1. Vì MQ//SC ⇒ = = . PQ AS AC 3 Khi đó: V IB IN IP 1 1 1 1 15 I .BNP = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒ V = .V . V IA IM IQ 4 2 2 16 AMQ.NBP I . 16 AMQ I . AMQ V d M ; ABC S
d (M ;( ABC )) SAIQ AI AQ 4 2 8 M . AIQ ( ( )) MA 2 Mà AIQ = ⋅ với = = và = ⋅ = ⋅ = . V d S; ABC S
d (S;( ABC )) SA 3 S AB AC 3 3 9 S . ABC ( ( )) ABC ABC 15 2 8 5 Suy ra V = ⋅ ⋅ ⋅V = V . AMQ.NBP S . ABC S . 16 3 9 9 ABC 5 1− 4
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 9 = . 5 5 9
Câu 110. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a . Gọi B′ , C′ lần
lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp S.AB C ′ ′ . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 48 6 12 Hướng dẫn giải Chọn A A C' B' C S B . AC′ Ta có S
∆ AC vuông cân tại S , SC′ là đường cao ⇒ SC′ cũng là trung tuyến 1 ⇒ = . . AC 2 https://toanmath.com/ ′ Tương tự AB 1 = . AB 2 3 3 1 1 1 a a ⇒ V = . .V = . = .
S . AB 'C ' S . 2 2 ABC 4 6 24
Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp
M .ABC bằng bao nhiêu? 3 3a 3 a 3 2a 3 2a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 2 12 24 Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi H là trung điểm BD , ABCD là trọng tâm A ∆ BD . a 3 2 a 3 Ta có AH = ⇒ AG = AH = . 2 3 3 a 6 Trong A ∆ CG có 2 2 CG = AC − AG = . 3 3 Do đó 1 1 1 2a V = C . G S = C . G A . B A . D sin 60° = . CABD 3 ABD 3 2 12 3 V CM 1 1 2a Mà CABM = = ⇒ V = V = . V CD 2 CABM 2 CABD 24 CABD
Câu 112. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 6. Gọi M , N ,
P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C , A A .
B Thể tích V của khối chóp S.MNP là A. V = 3 3 . B. V = . C. V = 9 4 . D. V = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ S M A C P N B .
+ Gọi h là chiều cao của hình chóp S.ABC và S.MNP . 1 V . . h S . S . ABC 3 ABC 1 V . . h S . S .MNP 3 MNP 1 Mà S S. . MNP 4 ABC 6 6 3 Suy ra 4 V . S .MNP V 4 2 S .MNP
Câu 113. Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh , SA SB,
SC lần lượt lấy ba điểm A , ′ B , ′ C′ sao cho 1 ′ 1 1 SA = SA , ′ SB = SB , SC′ =
SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 V ′ và S. ′ A ′
B C′ . Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 27 Hướng dẫn giải Chọn D V ′ ′ SA ′ SB SC′ 1 1 1 1 Ta có = . . = . . = V SA SB SC 3 3 3 27
Câu 114. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 2 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 12 6 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ S E A D B C . 1 1 Ta có V = V = . SBCD 2 SABCD 2 V SE. . SB SD 2 SEBD = = . Do đó 1 V = . SEBD V SC. . SB SD 3 3 SCBD
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của
SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi V là thể tích 1 của khối chóp V
S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ? V 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Hướng dẫn giải Chọn B .
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . G là trọng tâm tam giác SAC . 1
Ta có M , G, N thẳng hàng. Do ABCD là hình bình hành nên V = V = V . S . ADC S . ABC S . 2 ABCD
Theo công thức tỉ số thể tích ta có: V SM SP V 1 SM V 1 SM S . AMP S . AMP S . = . AMP ⇔ = ⇔ = . V SD SC 1 2 SD V 4 SD S . ADC S . ABCD VS. 2 ABCD Tương tự V SN SP V 1 SN V 1 SN S . ANP S . ANP S . = . ANP ⇔ = ⇔ = . V SB SC 1 2 SB V 4 SB S . ABC S . ABCD VS. 2 ABCD Từ đó suy ra V V 1 SM SN V 1 SM SN S . AMP S . ANP S . AMNP + = + ⇒ = + . V V 4 SD SB V 4 SD SB S . ABCD S . ABCD S . ABCD V 1 SM SN Hay 1 = + . V 4 SD SB https://toanmath.com/ Ta chứng minh SD SB + = 3. SM SN
Thậy vậy, qua B, D kẻ các đường song song với MN cắt SO lần lượt tại E, F . . SD SF SB SE SD SB SE + SF Ta có: = ; = ⇒ + = . SM SG SN SG SM SN SG SD SB 2SO 3 ⇒ + = = 2. = 3. SM SN SG 2 Đặt SD SB = ; x
= y . Ta có x + y = 3 . SM SN Mặt khác V 1 SM SN 1 1 1 x + y 3 3 1 1 = + = + = = ≥ = . V 4 SD SB 4 x y 4xy 4xy (x + y)2 3
Vậy V1 nhỏ nhất bằng 1 . V 3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng (MNI ) chia khối chóp
S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 lần phần còn lại. Tính tỉ số 13 = IA k ? IS 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ S H I Q J A E A D E D M P O M N B N C B C F F
Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNI ) với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với
MN // JI . Ta có MN , AD , IH đồng qui tại E với 1 EA =
ED và MN , CD , HJ đồng qui tại 3 F với 1 FC =
FD , chú ý E , F cố định. 3
Dùng định lí Menelaus với tam giác HS ED IA HS HS 1 SAD ta có . . = 1 ⇔ .3.k = 1 ⇔ = . HD EA SI HD HD 3k
d ( H ,( ABCD)) Từ đó HD 3k . d ( = = S, ( ABCD)) SD 3k +1 Suy ra V = V −V −V . HJIAMNCD H .DFE I . AEM J .NFC Đặt 1 V = V và S = S
, h = d (S,( ABCD)) ta có S = S = S và S . ABCD ABCD AEM NFC 8
d ( I,( ABCD)) IA k d ( = = S, ( ABCD)) SA k +1 2 k + k Thay vào ta được 1 3k 9 1 k 1 1 21 25 V = . . h S − 2. . . h S = . V . HJIAMNCD 3 3k +1 8 3 k +1 8 8 (3k + ) 1 (k + ) 1 2 Theo giả thiết ta có 13 1 21k + 25k 13 V =
V nên ta có phương trình . = , giải phương HJIAMNCD 20 8 (3k + ) 1 (k + ) 1 20 trình này được 2 k = . 3
Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC ,
ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng V V 4V 4V A. . B. . C. . D. . 27 9 27 9 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/
Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . V 8 8 2 Ta có AMNP = ⇒ V = = . AMNP VAEFI V V 9 9 9 AEFI 1 V = = = = = MN V PQ
d (Q (MNP)) 1 1 SMNP
d ( A (MNP)) 1 SMNP
d (Q (MNP)) 1 , . , . , .SMNP VAMNP 3 3 2 6 2 9 .
Câu 118. Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 2a và AD = 4 .
a Tính theo a thể tích V của khối tứ diện
ABCD biết = = BAC CAD DAB = 60 . ° A. 3
V = 2 3 a . B. 3
V = 6 2 a . C. 3
V = 6 3 a . D. 3 V = 2 2 a . Hướng dẫn giải Chọn D A 2a 2a D' 2a C 2a H M B' D a B .
Trên cạnh AB lấy điểm B′; trên cạnh AB lấy điểm D′ sao cho AB′ = AD′ = AC = 2 . a
Gọi V là thể tích tứ diện . A B CD ′ ;
′ V là thể tích tứ diện . A BC . D 1 2
Khi đó các tam giác AB C
′ ; ACD ;′ AB D
′ ′ đều cạnh bằng 2a suy ra tam giác B CD ′ ′ đều, cạnh bằng 2a . Tứ diện AB C
′ D′ đều cạnh bằng 2a nên có thể tích. 2 1 1 1 3 2 2 3 2 2 V = S = − 3 ∆ ′ ′.AH 2 . a 2 . a .
(2a) .2 .a = .a . 1 3 B CD 3 2 2 3 2 3
Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có V AB′ AD′ 2 1 1 1 = . = . = 3
⇒ V = 3V = 2 2a . 2 1 V AB AD 3 2 3 2
Câu 119. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy
điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 3 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ V SE. . SB SD 2 2 1 1 1 Ta có S.EBD = SE = ⇒ V = V = . .V = V = . V SC. . SB SD SC S .EBD S . 3 CBD . 3 2 S ABCD S . 3 ABCD 3 S .CBD
-----------------------------------------------.
Câu 120. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A′ là điểm trên cạnh SA sao cho SA′ 3
= . Mặt phẳng (P) đi qua A′ và song song với ( ABCD) cắt SB , SC , SD lần lượt tại SA 4
B′ , C′ , D′ . Mặt phẳng ( P) chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: 37 27 4 27 A. . B. . C. . D. . 98 37 19 87 Hướng dẫn giải Chọn B 2 V
SA' SB ' SC ' 3 27
Ta có: S.A'B 'C ' = . . = = V SA SB SC 4 64 S . ABC Do đó V 27 V 27
S . A ' B 'C ' =
; tương tự S.D'B'C' = V 37 V 37
ABC. A ' B 'C '
DBC.D ' B 'C '
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra: V V V +V 27
S . A ' B 'C '
S .D ' B 'C '
S . A ' B 'C '
S .D ' B 'C ' = = = V V V + . V 37
ABC. A ' B 'C '
DBC.D ' B 'C '
ABC. A ' B 'C '
DBC.D ' B 'C '
Câu 121. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác D
SB . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh
SB, SC, SD lần lượt tại B ,
′ C ,′ D′. Khi đó thể tích khối chóp S.AB′C′D′ bằng: https://toanmath.com/ V V V V A. . B. . C. . D. . 9 27 3 18 Hướng dẫn giải Chọn C SB′ SD′ SI 2 Ta có = = = . SB SD SO 3 SC ' CA OI SC ' 1 SC ' 1 Mà . . = 1⇒ .2. = 1⇒ = . C 'C AO IS C 'C 2 SC 2
VS AB′D′ 4 . = V 9 S . ABD 1 ⇒ ⇒ V = V .
S . AB′C′D′
VS B′C′D′ 4 1 2 3 . = . = V 9 2 9 S.BCD V 3 3 1 k . V 4 2
Câu 122. Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D ′ ′ cạnh .
a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′
và BC . Mặt phẳng (DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V là thể tích của 1 phần chứa đỉnh V ,
A V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 . 2 V 2 55 37 1 2 A. . B. . C. . D. . 89 48 2 3 S A' M A' M E B' B' K D' C' D' C' A A B B H N N D C D C Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi H = AB ∩ DN ; MH cắt B'B tại K , cắt A' A tại S ; SD cắt A'D' tại E .
Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME .
Phần đa diện chứa A có thể tích là: V = V −V −V . 1 S . ADH
S . A ' EM K .BNH https://toanmath.com/
Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA = BH ; AH = 4A'M ; AD = 4A'E và 1
SA' = B ' K = A' A . 3
Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng 1 2 1thì: SA' = ; KB = . 3 3 1 1 1 4 Ta có: V = S . A . AD AH = 1 + .1.2 = . S . ADH 6 6 3 9 1 1 1 1 V = V = ; V = V =
S . A ' EM S . 64 ADH 144 K .BNH S . 8 ADH 18
Vậy thì phần đa diện chứa A có thể tích là: 4 1 1 55 − − = . 9 144 18 144
Suy ra phần đa diện không chứa 55 89
A có thể tích là: 3 1 − = . 144 144
Câu 123. Cho tứ diện ABCD có M , N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD sao cho
MA = MB, NB = 2NC, PC = 2PD . Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số
thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng? 19 26 13 25 A. B. C. D. 26 45 25 43 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt V = V , V = V , V = V ABCD 1 BDMNPQ 2 ACMNPQ Q = (MNP) MA NB PC QD QD 1 ∩ AD ⇒ . . . = 1⇒ = . MB NC PD QA QA 4 V = V = V +V +V . 2 ACMNPQ C.MNP C.MPQ C. AQM V CN CP 1 2 2 V BM 1 V 2 1 1 V CMNP = . = . = ; BCDM CMNP = = ⇒ = . = ⇒ V = . V CB CD 3 3 9 V BA 2 V 9 2 9 CMNP 9 CMBD BCDA ABCD 2 2 1 2 2 1 V S = S = . S = S ⇒ V = V = V = ; CPQ 3 CDQ 3 5 ACD 15 ACD MCPQ 15 MACD 15 ABCD 15 VAMCQ AM AQ 1 4 2 2V = . = . = ⇒ V = . V AB AD 2 5 5 AMCQ 5 ABCD V V 2V 26V 19V V 26 Suy ra: 2 V = + + = ⇒ V = ⇒ = . 2 1 9 15 5 45 45 V 19 1
Câu 124. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi C′ A′ , B′ ,
, D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ ′ ′ ′ ′
số thể tích của hai khối chóp S.A B C D S ABCD và . là: https://toanmath.com/ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 16 4 Hướng dẫn giải Chọn B
Xét hình chóp S.ABC. V
SA' SB ' SC ' 1 1
S . A ' B 'C ' = . . = ⇒ V = V
S . A ' B 'C ' S . V SA SB SC 8 8 ABC S . ABC Tương tự 1 : V = V
S . A 'C ' D ' S . 8 ACD 1 V = V .
S . A ' B 'C ' D ' S . 8 ABCD
Câu 125. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a . Gọi
M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA . Tính thể tích khối tứ
diện MNPQ theo a . 3 2a 3 a 3 2a 3 a A. . B. . C. . D. . 27 27 9 9 Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi E , F , K lần lượt là trung điểm SB , BC , CS . https://toanmath.com/ 1 Ta có: 3 V = . . SA . SB SC = a . S . ABC 6 Gọi 1
h là chiều cao từ đỉnh P của MNPQ thì h = SA . 3 Mặt khác do 2 2 MN = EF ; MQ = 4 4 1 1 FK ⇒ S = S = . S = S . 3 3 MNQ 9 EFK 9 4 SBC 9 SBC 3 1 1 1 1 V a S . V = . . h S = . . ABC SA S = = . MNPQ 3 MNQ 3 3 9 SBC 27 27
Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Xét điểm M trên cạnh DC mà 4DM = DC. Thể tích tứ diện ABMD bằng. 2 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 8 48 Hướng dẫn giải Chọn C 2
ABCD là tứ diện đều, cạnh bằng 1 nên V = . . ABCD 12 V DM 1 1 2 2 Ta có: DABM = = ⇒ V = . = .. V BC 4 DABM 4 12 48 DABC
Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. V = 2V . B. V = 4V . C. V = 6V . D. S . ABCD S . ABC S . ABCD S . ABC S . ABCD S . ABC V = 3V . S . ABCD S . ABC Hướng dẫn giải Chọn D S A M D B C 1 1 Ta có S = ⇒ V = ∆ S V . ABC 3 ABCD S . ABC S . 3 ABCD
Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 7 7 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 7 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ . = Đặt V V 1 SABIKN V1 → = ?. V = V V 2 NBCDIK 2 1 a 6 6 * 2 3 V = . a = a . S . ABCD 3 2 6 1 1 SO 1 a 6 1 6 * 3 V = .NH.S = . .S = . . .2 a a = a . N .BMC ∆ ∆ 3 BMC 3 2 BMC 3 4 2 12 * Nhận thấy MK 2
K là trọng tâm của tam giác SMC → = . MN 3 V MD MI MK 1 1 2 1 * M .DIK = . . = . . = . V MC MB MN 2 2 3 6 M .CBN 5 5 6 5 6 3 3 →V = V −V = V = . a = a . 2 M .CBN M .DIK M .CBN 6 6 12 72 7 6 3 a 6 5 6 7 6 V 7 3 3 3 1 72 →V = V −V = a − a = a → = = . 1 S . ABCD 2 6 72 72 V 5 6 5 2 3 a 72
Câu 129. Cho khối chóp S.ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh , SA ;
SB thể tích khối chóp S.MNC bằng 3
a . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng. A. 3 a . B. 3 12a . C. 3 8a . D. 3 4a . Hướng dẫn giải Chọn D
Theo công thức tính tỷ số thể tích. V SM .SN 1 S .MNC = = . V . SA SB 4 S . ABC
Câu 130. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của V
SA và SB . Tính tỉ số thể tích S.CDMN là: VS.CDAB 1 1 5 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 8 Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích: https://toanmath.com/ S N A D B C .
Ta thấy việc so sánh luôn thể tích hai khối này trực tiếp thì sẽ khó khăn do đó ta sẽ chia ra như sau: . S MNCD = . S MCD + . S MNC và .
S ABCD = SACD + .
S ABC . Khi đó ta có. V
d(M;(SCD)) 1 SMCD 1 1 = ⇔ V = V ( do SMCD SABCD
và chung diện tích đáy SCD ). V 2 4
d(A;(SCD)) = 2 SACD V S SMNC SMN 1 1 Ta có = = ⇒ V = V . V S 4 SMNC 8 SABCD SABC SAB Từ trên suy ra 1 1 3 V = + V = V . SMNCD 4 8 SABCD 8 SABCD https://toanmath.com/
Document Outline
- 2.5 BT TỈ SỐ THỂ TÍCH
- TỈ SỐ THỂ TÍCH
- A. BÀI TẬP
- TỈ SỐ THỂ TÍCH
- 2.5 HDG TỈ SỐ THỂ TÍCH
- TỈ SỐ THỂ TÍCH
- B. LỜI GIẢI CHI TIẾT
- TỈ SỐ THỂ TÍCH