Bài tập tích phân đường | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Câu 1: Cho 𝐶 là cung bé trên đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 4 từ điểm 𝐴(−2,0) đến 𝐵 . (0,2)
Tính 𝐼 = ∫(𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 𝐶
𝐂â𝐮 𝟐: Cho 𝐴𝐵𝐶 là đường gấp khúc qua 𝐴(0,1), 𝐵(1,0), 𝐶(0, −1), tính ∫ 5𝑦4𝑑𝑥 − 4𝑥3𝑑𝑦 𝐴𝐵𝐶 𝐂â𝐮 𝟑: Cho 𝐴𝐵
⏜ là cung parabol 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝐴(1,0), 𝐵(−1,0),tính ∫(𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 𝐴𝐵 ⏜ 2𝑥𝑑𝑥 3𝑦𝑑𝑦 Câu 4: Cho 𝐿 l cung à
tròn 𝑦 = √1 − 𝑥2 đ từ
i (1,0) đến (0,1), tính ∫(𝑥2 + 2𝑦2)2 +𝑥 2 + 𝑦2 𝐿
Câu 5: Cho 𝑂𝐴𝐵𝑂 là đường gấp khúc qua 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐵(1,1)
Tính ∫ (𝑥3 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 𝑂𝐴𝐵𝑂
𝐂â𝐮 𝟔: Cho 𝐶 là đường 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2 đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,0), tính ∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 3𝑥2𝑑𝑦 𝐶
Câu 8: Với 𝐿 là đường 𝑦 = 1 − 𝑥2
đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1 )
Tính ∫ 𝑒𝑥+𝑦2[(𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥2𝑦𝑑𝑦] 𝐿
Câu 9: Với L là đường 𝑥 = 𝑦3 đi từ 𝑂 (0,0) đến 𝑁(1,1 )
Tính ∫ 𝑒2𝑥+𝑦2[(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦] 𝐿 Câu 1 : 0 Với 𝐶 l nửa à
đường 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0, tính ∫(𝑒𝑦 − 3𝑥2𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦2 + 𝑥𝑒𝑦)𝑑𝑦 𝐶 PHAM THANH TUNG
𝐂â𝐮 𝟏𝟏: Với 𝐶 l nửa à
đường tròn 𝑥 = 2 + 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, tính ∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 𝐶 Câu 1 :
2 Với 𝐿 là đường cong 𝑥 = 𝑒𝑡, 𝑦 = 3𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, tính ∫ 𝑥2𝑑𝑠 𝐿 Câu 1 : 3 Với 𝐿 là đ ạn
o thẳng 𝐴𝐵, 𝐴(0,1), 𝐵(2,3), tính ∫(𝑥𝑦 + 𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑠 𝐿 𝜋 Câu 1 :
4 Với 𝐶 là đường cong 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2,tính ∫(𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑠 𝐶 Câu 1 : Với 𝐶 5 l nửa à
đường tròn 𝑦 = √9 − 𝑥2, tính ∫(3𝑥 − 𝑦)𝑑𝑠 𝐶 Câu 1 :
6 Với 𝐶 là đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, tính ∫(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑠 𝐶 Câu 1 :
7 Với 𝐶 là biên của hìnℎ |𝑥| + |𝑦| ≤ 1, tính ∮ 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐶 2 2 Câu 1 :
8 Với 𝐶 𝑙à đườ𝑛𝑔 𝑥3 + 𝑦3 = 1 trong góc phần tư thứ nhất nối 𝐴(1,0) 𝑣à 𝐵(0, ,1). Tính ∫(𝑦2 + 1)𝑑𝑠 𝐶 Câu 1 : 9 Tính k ối
h lượng của đường cong vật chất c phương trình ó l : à 𝑡 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝜋
2 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑒2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 và hàm mật độ 𝑝(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦 Câu 2 : 0 Tính k ối
h lượng của đường cong vật chất c phương trình ó l : à 2𝜋 5𝜋
𝑥 = √2 cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 3 ≤ 𝑡 ≤ 6 và hàm mật độ 𝑝(𝑥,𝑦) = |𝑥𝑦| PHAM THANH TUNG
𝐂â𝐮 𝟐𝟏: Với 𝐶 l nửa à
đường tròn 𝑥 = √2𝑦 − 𝑦2
đi từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(0,2).
Tính ∫(𝑦2 − 𝑒𝑦 sin 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑒𝑦 cos 𝑥)𝑑𝑦 𝐶 Câu 2 :
2 Với 𝐿 là đường cong 𝑦 = √1 − 𝑥4 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0). 2 2
Tính ∫ (3𝑥2𝑦2 + 𝑥2 + 4)𝑑𝑥 + 3𝑥 ( 3𝑦 + 4𝑦3 + 1)𝑑𝑦 𝐿 Câu 2 :
3 Với 𝐶 là nửa đường tròn (2𝑥 − 1)2 + (2𝑦 − 1)2 = 2 đ t
i ừ 𝑂(0,0) đế𝑛 𝑀(1,1).
(2𝑥 + 𝑦2𝑒𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑒𝑥𝑑𝑦 Tính ∫ √1 + 𝑥2 + 𝑒𝑥𝑦2 𝐶 (5,2) 3 𝑥 − 𝑥𝑦2 Câu 2 :
4 Tính ∫ 1 + 𝑦2(𝑦𝑑𝑥 + 1 + 𝑦2 𝑑𝑦) (2,1)
Câu 25: Chứng minh 𝐼 = ∫(𝑦𝑒𝑥𝑦 − 𝑦 sin 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + cos 𝑥)𝑑𝑦 không phụ thuộc vào 𝐿
đường đi. Tính 𝐼 với 𝐿 là đường cong đi từ 𝐴(0, −1) đến 𝐵(2,3).
(5𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦2)𝑑𝑦 Câu 2 : 6 Với đ ạn o 𝐴𝐵 đ từ 𝐴 i
(2,0) đến 𝐵(0,2), tính ∫ √2𝑥 + 𝑦2 𝐴𝐵
𝐂â𝐮 𝟐𝟕: Tìm 𝑎, 𝑏 để ∫ 𝑒𝑥[(2𝑥 + 𝑎𝑦2 + 1)𝑑𝑥 + (𝑏𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦] không phụ thuộc vào 𝐿. 𝐿 1 Câu 2 :
8 Với 𝐿 là đường 𝑦 = 𝑥3 + 1 đi từ 𝐴(1,2) đến 𝐵(2,9), tính ∫ (𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦) √𝑥2 + 𝑦2 𝐿 Câu 2 :
9 Với 𝐶 là elip 𝑥2 + 4𝑦2 = 1 lấy theo chiều dương
Tính ∮(cos 𝑦 + sin 𝑦 + 3𝑥2𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥(cos 𝑦 − sin 𝑦 + 𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑦 𝐶 PHAM THANH TUNG 8𝑥 Câu 3 : 0 Với 𝐿: 𝑦 =
đi 𝑡ừ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,4), tính ∫(𝑥3 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦4)𝑑𝑦 √𝑥4 + 𝑥2 + 2 𝐿
𝐂â𝐮 𝟑𝟏: Với 𝐶 l àđường 𝑦 = (3𝑥 − 2𝑥2 + 1)3 đi từ 𝐴(0,1) đến 𝐵(1,8)
Tính ∫(𝑥2𝑦 − 4𝑥 + 2𝑦𝑥)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦2 − 4𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝐶 2𝑥 3𝑦
𝐂â𝐮 𝟑𝟐: Với 𝐿: 𝑦 = √1 − 𝑥2 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1), tính ∫(𝑥2 + 2𝑦2)2𝑑𝑥+ 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦 𝐿
𝐂â𝐮 𝟑𝟑: Với 𝐿: 𝑦 = 1 − 𝑥2 từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1), tính ∫ 𝑒𝑥+𝑦2[(𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥2𝑦𝑑𝑦] 𝐿
𝐂â𝐮 𝟑𝟒: Với 𝐿: 𝑦 = 𝑥3 từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,1), tính ∫ 𝑒𝑥2+3𝑦[2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (1 + 3𝑦)𝑑𝑦] 𝐿
𝐂â𝐮 𝟑𝟓: Với 𝐿 là đường cong 𝑦 = √1 − 𝑥4 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0). 2 2
Tính ∫ (3𝑥2𝑦2 + 4𝑥2 + 1)𝑑𝑥 + 3𝑥 ( 3𝑦 + 𝑦3 + 4)𝑑𝑦 𝐿 Câu 3 :
6 Với 𝐶: 𝑦 = √41 − 𝑥2 đ từ 𝐴 i (−1,0 đế𝑛 𝐵 )
(1,0), tính ∫(2𝑒𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥+ (𝑥4 + 𝑒𝑦)𝑑𝑦 𝐶
𝐂â𝐮 𝟑𝟕: Với 𝐶 l biên à của m ền i g ới hạn bởi 𝑦 i = 1 − 𝑥2 v 𝑦 à = 0 theo chiều dương
Tính ∮(𝑒𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑒𝑦𝑑𝑦 𝐶 Câu 3 : 8 Với L l biên của à
miền xác định bởi 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, chiều dương.
Tính ∮(2𝑥𝑦 − 5)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑦 𝐿 Câu 3 : 9 Tính d ện tích D i đ ợc ư g ới hạn bởi i
trục 𝑂𝑦 và {𝑥 = 2(1 − cos 𝑡)
𝑦 = 2(𝑡 − sin 𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 PHAM THANH TUNG
𝐂â𝐮 𝟒𝟎: Tính công của lực 𝐹 = [8𝑥3 − 2𝑦 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑖+ [5𝑦4 − 2𝑥 ln(1 + 𝑥2𝑦2)]𝑗 làm dịc chuyển một h c ất h đ ểm từ A i (0,1) đến B(1,0). Câu 4 :
1 Tính công của lực 𝐹 = (𝑥 + 2𝑦)𝑖 + (3𝑥 + 4𝑦)𝑗 làm dịc chuyển một h chất đ ểm từ i
𝐴(1,3) đến 𝐵(2,4) dọc theo đoạn thẳng AB.
𝑥𝑒𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 + 𝑦𝑒𝑥2+𝑦2𝑑𝑦 Câu 4 : 2 Tính ∫ √ ( ( ( 𝑥 − 1)2 + 𝑦2
với đường 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 𝑡ừ 𝑂 0,0) đế𝑛 𝐴 2,0) 𝐿
𝐂â𝐮 𝟒𝟑: Với 𝐿 l àđường 𝑦 = −6𝑥 + 4 đ 𝐴
i (1, −2) từ 𝐵(2, −8).
Tính ∫ 𝑒𝑦+2𝑥2[(1 + 4𝑥2 − 4𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 − 1)𝑑𝑦] 𝐿 Câu 4 :
4 Với 𝐿 là đường 𝑦 = 2√1 − 𝑥2 đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0).
(10𝑥4 − 4𝑦)𝑑𝑥 + (7𝑥8 − 8𝑦2)𝑑𝑦 Tính ∫ √4𝑥2 + 𝑦2 𝐿 PHAM THANH TUNG