Bài tập tích phân kép | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

BÀI TẬP TÍ CH PHÂN KÉP
Câu 1: Đổi thứ t các tích phân sau: ự 1 √2−𝑦2 2 2−𝑥2 1 𝑦2
𝑎) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑏) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑐) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 0 √𝑦 −1 −𝑥 0 −1 𝑒 ln 𝑥 2 √2𝑥 1 1
𝑑) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 𝑒) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 𝑓) 𝐼 = ∫𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 1 0 0 √2𝑥−𝑥2 0 √2𝑥−𝑥2 √2 𝑦 2 √4−𝑦2 1 1−𝑥2
𝑔) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ℎ) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0 0 √2 0 −1 −√1−𝑥2
Câu 2: Tính các tích phân sau: 1 1 1 1 1 1−𝑥2 𝑥𝑒3𝑦
𝑎) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ sin(𝑦2) 𝑑𝑦 𝑏) 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑦2𝑑𝑦 𝑐) 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 1 − 𝑦 𝑑𝑦 0 𝑥 0 𝑥2 0 0
Câu 3: Tính các tích phân b i 2 sau: ộ 𝑦 𝜋
𝑎) ∬ 1 + 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 ,𝐷:0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 2 𝑏)∬𝑥sin(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ,𝐷:0 ≤ 𝑥,𝑦 ≤ 2 𝐷 𝐷
𝑐) ∬(2𝑥2 + 3𝑦2) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D là miền g ới hạn bởi 𝑦 i = 𝑥, 𝑦 = 1 v 𝑥 à = 0 𝐷
𝑑) ∬(3𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D l àmiền g ới hạn bởi 𝑥 i
= 0, 𝑦 = 0 và 𝑥 + 𝑦 = 1 𝐷
𝑒) ∬ 4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑥 + 𝑦 ≥ 1 𝑓) ∬ 𝑦(1 + 𝑥2) 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥 𝐷 𝐷
𝑔) ∬𝑥2(𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D l àmiền g ới hạn bởi 𝑦 i = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2 𝐷
ℎ) ∬ 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 với m ền 𝐷 i g ới hạn bởi i
𝑥 = 0,𝑥 = 2,𝑦 = 0, 𝑦 = 2, 𝑥 + 𝑦 = 3 𝐷 PHAM THANH TUNG
𝑖) ∬ 𝑥𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với m ền 𝐷 i g ới hạn bởi i
𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0, 𝑦 = 4,𝑥𝑦 = 4 𝐷
Câu 3: Tính các tích phận b i 2 sau: ộ
𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 9, 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑦 𝐷
𝑏) ∬(4𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷:1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 4,𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 4𝑥 𝐷 𝑥2 𝑐) ∬ 2
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D là m ền
i g ới hạn bởi 4 parabol 𝑦 i
= 𝑥 , 𝑦 = 2𝑥2, 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 = 2𝑦2 𝐷
𝑑) ∬(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 2𝑦 − 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D giới hạn bởi 𝑥 + 𝑦 = ±3, 𝑥 − 2𝑦 = 1, 𝑥 − 2𝑦 = 2 𝐷
𝑒) ∬(𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D g ới hạn bởi 𝑦 i
= −2𝑥 + 1,𝑦 = −2𝑥 + 3, 𝑦 = 𝑥 − 2, 𝑦 = 𝑥 𝐷
Câu 4: Tính các tích phân b i 2 sau: ộ
𝑎) ∬ ln(𝑥2 + 𝑦2) với 𝐷 g ới hạn bở i
i 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑒2 và 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑒4 𝐷
𝑏) ∬(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền 𝑥 i
2 + 𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 𝐷
𝑐) ∬ sin √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền 𝜋 i
2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4𝜋2, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 𝐷
𝑑) ∬ 𝑥√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝐷
𝑒) ∬(𝑥4 − 𝑦4)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là m ền i g ới hạn b i ởi x = √1 − 𝑦2 v x à = 0 𝐷 PHAM THANH TUNG
𝑓) ∬ √2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là m ền 𝑥 i
2 + 𝑦2 ≤ 2𝑦,𝑥 ≥ 0 𝐷
𝑔) ∬ √2𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền 𝑥 i
2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝐷
ℎ) ∬√1 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền 𝑥 i
2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √3𝑥 𝐷 𝑥2 𝑖) ∬ √𝑥2 2
9 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: 1 ≤ 9 + 𝑦2 ≤ 4 𝑒) ∬(𝑦2 − 𝑥2)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: 0 < 2y ≤ 𝑥 + 𝑦2 ≤ 2𝑥 𝐷 𝐷 1 𝑗)∬ 2
(𝑥2 + 𝑦2)2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là m ền y i
≤ 𝑥 + 𝑦2 ≤ 2𝑦,𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √3𝑥 𝐷
𝑘) ∬ √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là m ền i g ới hạn b i
ởi 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, 𝑦 = 𝑥,𝑦 = √3𝑥 𝐷 𝑥𝑦 𝑙) ∬ 2
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền 1 i
≤ 𝑥 + 𝑦2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝐷
𝑚)∬(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 l àm ền
i 4x ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 8𝑥, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 𝐷 Câu 5:
Tính các tích phân bôi 2 sau
𝑎)∬ 𝑦(1 + 𝑥2)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,|𝑦| ≤ 𝑥 𝑏) ∬(|𝑥| + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐷 𝐷
𝑐) ∬(|𝑥 − 𝑦| + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝑑)∬(|𝑥| + |𝑦|)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 𝐷 𝐷
𝑒) ∬|𝑥 + 𝑦|𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: |𝑥| ≤ 1, |𝑦| ≤ 1 𝑓) ∬ √|𝑦 − 𝑥2|𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷: |𝑥| ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝐷 𝐷 PHAM THANH TUNG