-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng Toán 12
Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 142 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng Toán 12
Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
142 tài liệu
Môn: Toán 12
3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x –3y + 2z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). uuur r r r
· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = é ù ë P
n , AB = (0;-8; 1 - 2) ¹ 0 û Þ Q ( ) : 2y + z 3 -11 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P) : x + 2y + 3z + 3 = 0 . ĐS: Q
( ) : x - 2y + z - 2 = 0
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ìx = -1+ t A(2;1;3),B(1; 2 ï
- ;1) và song song với đường thẳng d : íy = t 2 . ïîz = 3 - - t 2 uur r
· Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; 2) - . uur ìr uur r r
Gọi nr là VTPT của (P) Þ n ^ BA
ír r Þ chọn n = éëBA,uùû = ( 1 - 0;4;-1) în ^ u
Þ Phương trình của (P): 10x - 4y + z -19 = 0.
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:
x -1 y +1 z d - 2 (
x - 4 y -1 z - 3 1); = = , (d ) : = =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 3 1 2 6 9 3 (d1 ) và (d2) .
· Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của r
véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (a ) : x + 4y + z -11 = 0 và tiếp xúc với (S). r
· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (a) là n = (1;4;1) . r r r Þ VTPT của (P) là: = [ , ] P n n v = (2; 1
- ;2) Þ PT của (P) có dạng: 2x - y + 2z + m = 0 . ém = 21 -
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P)) = 4 Û ê . ëm = 3
Vậy: (P): 2x - y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x - y + 2z - 21 = 0 .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y +1 z (d x y -1 z - 4 1) : = = và (d ) : = =
. Chứng minh rằng điểm M, d , d cùng 1 2 - 3 - 2 1 2 5 1 2
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. r r
· d1 qua M1(0;-1;0) và có u1 = (1; 2 - ; 3)
- , d2 qua M2(0;1;4) và có u2 = (1;2;5) . r r r uuuuuur uuuuuur r r éu ;u ë 1 2 ù = (-4;-8;4) ¹ 0 û , M M
1 2 = (0;2; 4) Þ éu ;u ù .M M
ë 1 2 û 1 2 = 0 Þ d ,d 1 2 đồng phẳng. r
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d ,d
1 2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; 1)
- và đi qua M1 nên có
phương trình x + 2y - z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M(1; –1;1)Î(P). Trang 1
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
x - 3 y - 3 z
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt cầu 2 2 1
(S): x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). r
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1). r r r
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [u,i ] = (0;1;-2) Þ PT của (P) có dạng: y - 2z + D = 0 . 1- 4 + D éD = 3+ 2 5
(P) tiếp xúc với (S) Û d(I,(P)) = R Û
= 2 Û D - 3 = 2 5 Û ê 2 2 1 + 2 ëD = 3 - 2 5
Þ (P): y - 2z + 3 + 2 5 = 0
hoặc (P): y - 2z + 3 - 2 5 = 0 .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 4 = 0 và
mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1)
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). r
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT P n = (1;0;1) .
PT (Q) đi qua M có dạng: A x -
+ B y - + C z + =
A2 + B2 + C2 ( 3) ( 1) ( 1) 0, ¹ 0
(Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q = R Û - A + B + C =
A2 + B2 + C2 ( ,( )) 4 3 (*) r r Q ( ) ^ (P) Û Q n . P
n = 0 Û A + C = 0 Û C = -A (**)
Từ (*), (**) Þ B - A =
A2 + B2 Û B2 - A2 5 3 2 8 7
+10AB = 0 Û A = 2B Ú 7A = -4B
· Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2x + y - 2z - 9 = 0 · Với 7A = 4
- B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4x - 7y - 4z - 9 = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với S x2 + y2 + z2 ( ) :
- 2x + 4y - 4z + 5 = 0 , (P) : 2x + y - 6z + 5 = 0, M(1;1;2) . ĐS: Q
( ) : 2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc Q ( ) :1 x
1 -10y + 2z - 5 = 0 .
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3 .
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 2z –1 = 0 ìx - y - 2 = 0
và đường thẳng d : í
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu î2x - z - 6 = 0
(S) theo một đường tròn có bán kính r = 1.
· (S) có tâm I(-1;1; 1) - , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0). Chọn M(2;0; 2
- ),N(3;1;0)Î d . Trang 2
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian ìM Î(P)
éa = b, c 2 = (
- a + b),d = - a 3 - b (1)
Ta có: ïN Î(P) í Û 1ê ë 7a = 7 - b, c 2 = (
- a + b),d = - a 3 - b (2)
ïîd(I,(P)) = R2 -r2
+ Với (1) Þ (P): x + y - z - 4 = 0
+ Với (2) Þ (P): 7x -17y + z 5 - 4 = 0 x y -1 z
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 D : = = , 2 1 - 1 x -1 y z 2 2 2 2 D : = =
và mặt cầu (S): x + y + z – 2x + 2y + 4z –3 = 0 . Viết phương trình 1 - 1 1 -
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1.
· (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 - 3 2 = 0
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng p = 6p .
· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (b) là h = R2 - r2 2 2 = 5 - 3 = 4 2.1+ 2(-2) - 3 + D éD = 7 - Do đó = 4 Û 5 - + D = 12 Û 2 2 2
êëD =17 (loaïi) 2 + 2 + (-1)
Vậy (b) có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 .
Câu hỏi tương tự: a) S x2 ( ) :
+ y2 + z2 + 2x + 4y - 6z - 11 = 0 , (a ) : 2x + y - 2z +19 = 0 , p = 8p .
ĐS: (b ) : 2x + y - 2z +1 = 0 Trang 3
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .
· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B2 + C2 ¹ 0 ).
· Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A +1 B . +1 C
. = 0 Û C = -A - B (1)
A + 2B - C
· d(M,(P)) = 2 Û
= 2 Û A + B - C 2 = A2 + B2 + C2 ( 2 ) 2( ) (2)
A2 + B2 + C2 éB = 0 (3)
Từ (1) và (2) ta được: AB + B2 8 5 = 0 Û ê ë8A + 5B = 0 (4)
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5x - 8y + 3z = 0 .
x -1 y - 3 z
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : = = và 1 1 4
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ¹ 0 ) r
D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4)
ìa + b + 4c = 0 ìD P (P) ï ìa = 4c Ta có: í Û a + b 5 Û í .
îd(A;(P)) = d í = 4 ï îa = -2c
î a2 + b2 + c2
· Với a = 4c . Chọn a = 4,c = 1Þ b = -8Þ Phương trình (P): 4x - 8y + z -16 = 0 . · Với a = 2
- c . Chọn a = 2,c = 1
- Þ b = 2 Þ Phương trình (P): 2x + 2y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x y z -1 a) Với D : = = ; M(0;3; 2 - ),d = 3. 1 1 4
ĐS: (P) : 2x + 2y - z - 8 = 0 hoặc (P) : 4x - 8y + z + 26 = 0 . ìx = t ï
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : íy = 1 - + t 2 và điểm ïz = 1 î A( 1
- ;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. r r
· (d) đi qua điểm M(0;-1;1) và có VTCT u = (1;2;0) . Gọi n = (a;b;c) với a2 + b2 + c2 ¹ 0 là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a(x - 0) + b(y +1) + c(z -1) = 0 Û ax + by + cz + b - c = 0 (1). r r
Do (P) chứa (d) nên: u n
. = 0 Û a + 2b = 0 Û a = 2 - b (2) - + 3 + 2 5 + 2 ( ,( )) a b c b c d A P = 3 Û = 3 Û = 3 Û b 5 + 2c = 3 b2 5 + c2
a2 + b2 + c2 b2 5 + c2 2
Û b2 - bc + c2 4 4
= 0 Û (2b - c) = 0 Û c = 2b (3)
Từ (2) và (3), chọn b = 1
- Þ a = 2,c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2x - y - 2z +1 = 0 . Trang 4
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1
- ;1;0),N(0;0;-2),I(1;1;1). Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) . ìM Î(P) ï
éa = -b, c
2 = a - b,d = a - b (1)
Ta có: íN Î(P) Û ê . ï ë a 5 = b 7 , c
2 = a - b,d = a - b (2)
îd(I,(P)) = 3
+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + 2 = 0
+ Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 .
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1 - ;2) , B(1;3;0),
C(-3;4;1) , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0). ìA Î(P) ï
ìa - b + c 2 + d = 0
Ta có: íB Î(P)
Û ïïa + b 3 + d = 0 ïîd C
( ,(P)) = d(D,(P)) í 3
- a + 4b + c + d
a + 2b + c + d ï =
ïî a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
éb = 2a,c = 4a,d = 7 - a Û ê
ëc = 2a,b = a,d = -4a
+ Với b = 2a,c = 4a,d = 7
- a Þ (P): x + 2y + 4z - 7 = 0 .
+ Với c = 2a,b = a,d = 4
- a Þ (P): x + y + 2z - 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1),B(-2;1;3),C(2;-1;1),D(0;3;1) .
ĐS: (P) : 4x + 2y + 7z -15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z - 5 = 0 .
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0;-1;2) ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) .
· Vì O Î (P) nên (P) : ax + by + cz = 0, với a2 + b2 + c2 ¹ 0.
Do A Î (P) Þ a + 2b + c
3 = 0 (1) và d(B,(P)) = d C
( ,(P)) Û -b + 2c = a + b + c (2)
Từ (1) và (2) Þ b = 0 hoặc c = 0 .
· Với b = 0 thì a = - c
3 Þ (P) : 3x - z = 0
· Với c = 0 thì a = -2b Þ (P) : 2x - y = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;0),B(0;4;0),C(0;0;3) .
ĐS: -6x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x - 3y + 4z = 0 .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;-1) , B(1;1;2) ,
C(-1;2;-2) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z +1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC .
· PT (a) có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0
Do A(1;1;-1)Î(a )nên: a + b - c + d = 0 (1); (a ) ^ (P) nên a - 2b + 2c = 0 (2)
a + b + 2c + d
-a + 2b - 2c + d
IB = 2IC Þ d(B,(a)) = 2d C ( ;(a)) Þ = 2
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2 Trang 5
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng é a 3 - b 3 + c 6 - d = 0 Û (3) ê ë-a + b 5 - c 2 + d 3 = 0
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
ìa + b - c + d = 0 ï 1 - 3 -
TH1 : ía - 2b + c 2 = 0 Û b =
a; c = -a; d = a .
ï a - b + c - d 2 2 3 3 6 = 0 î
Chọn a = 2 Þ b = -1;c = -2;d = 3
- Þ (a) : 2x - y - 2z - 3 = 0
ìa + b - c + d = 0 ï 3 3 -
TH2 : ía - 2b + c 2 = 0
Û b = a;c = a;d = a .
ï-a + b - c + d 2 2 5 2 3 = 0 î
Chọn a = 2 Þ b = 3;c = 2;d = -3 Þ (a) : 2x + 3y + 2z - 3 = 0
Vậy: (a ) : 2x - y - 2z - 3 = 0 hoặc (a ) : 2x + 3y + 2z - 3 = 0
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d ,d
1 2 lần lượt có phương
x - 2 y - 2 z - 3
x -1 y - 2 z -1 trình d1 : = = , d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng cách 2 1 3 2 2 1 - 4
đều hai đường thẳng d ,d 1 2 . r r
· Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có d
u 1 = (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và có d u 2 = (2; 1 - ;4) . r r r
Do (P) cách đều d ,d
1 2 nên (P) song song với d , d 1 2 Þ P n = é d u , d u 1 2 ù = (7; 2 - ; 4) - ë û
Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x - 2y - 4z + d = 0
Do (P) cách đều d ,d
1 2 suy ra d(A,(P)) = d(B,(P)) 7.2 - 2.2 - 4.3 + d 7.1- 2.2 - 4.1+ d Û =
Û d - = d - Û d 3 2 1 = 69 69 2
Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14x - 4y - z 8 + 3 = 0
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d ,d
1 2 lần lượt có phương ìx = 1+ t ï
x - 2 y -1 z +1
trình d : íy = 2 - t 1 , d2 : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song ïz = 1 1 -2 2 î
với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P). r
· Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u1 = (1;-1;0) r
d2 đi qua B(2;1; 1)
- và có VTCP là u2 = (1; 2 - ;2) r r r
Gọi nr là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n = éu ,u ë 1 2 ù = ( 2 - ;-2;-1) û
Þ Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m = 0 . 7 + m 5 + m
d(d ,(P)) = d(A;(P 1 )) =
; d(d ,(P)) = d(B,(P)) = 3 2 3
é7 + m = 2(5 + m)
d(d ,(P)) = 2d(d ,(P 1 2
)) Û 7 + m = 2. 5 + m Û ê Û m = - m 17 3; = - ë7 + m = 2 - (5 + m) 3
+ Với m = -3 Þ (P) : 2x + 2y + z –3 = 0 + Với m 17 = - Þ P
x + y + z 17 ( ) : 2 2 - = 0 3 3 Trang 6
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1
- ;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2 - + y 2 - + z 2 ( 1) ( 2) ( +1) = 2 .
· (S) có tâm I(1;2; 1)
- , bán kính R = 2 .
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) ìA Î(P) ï
éa = -b,c = -a - b,d = 2a + b 3 (1)
Ta có: íB Î(P) Û ê ï ë a 3 = - b
8 ,c = -a - b,d = 2a + b 3 (2)
îd(I,(P)) = R
+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x - y -1 = 0
+ Với (2) Þ Phương trình của (P): 8x - 3y - z 5 + 7 = 0
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. · Ta có d O
( ,(P)) £ OA . Do đó d O ( ,(P)) = OA max
xảy ra Û OA ^ (P) nên mặt phẳng (P) uuur
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2;-1;1)
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x - y + z - 6 = 0 ..
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có x -1 y z -1 phương trình: = =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d 2 1 3
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A uuur
và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7x + y - z 5 - 77 = 0 .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{x = -2+ t; y = 2
- t; z = 2 + 2t . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì (P) P (d) hoặc (P) É (d) . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH .
ìd(d,(P)) = d(I,(P)) = IH Mặt khác í îH Î(P)
Trong (P), IH £ IA ; do đó maxIH = IA Û H º A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A. r uur r
Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = (6;0;-3), cùng phương với v = (2;0;- ) 1 .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x - 4) -1.(z +1) = 2x - z - 9 = 0 . x - y z -
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 2 : = = và điểm 2 1 2
A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) . r r
(P) có VTPT n = (a;b;c) , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u = (2;1;2) . Trang 7
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng ìM Î(P) ìa + c 2 + d = 0
ì2c = -(2a + b)
Vì (P) É d nên ír r Þ í Þ í
. Xét 2 trường hợp: în u . = 0
î2a + b + 2c = 0
îd = a + b
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x - z +1 = 0 . Khi đó: d(A,(P)) = 0 .
TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2y - (2a +1)z + 2a + 2 = 0 . 9 9
Khi đó: d(A,(P)) = = £ 3 2 a2 8 + 4a 2 + 5 æ ç a 1 ö 3 2 2 + ÷ + è 2 ø 2 1 1
Vậy max d(A,(P)) = 3 2 Û 2a + = 0 Û a = - . Khi đó: (P): x - 4y + z - 3 = 0 . 2 4
Câu hỏi tương tự:
x -1 y +1 z - 2 a) d : = = , A(5;1;6) .
ĐS: (P) : 2x + y - z +1 = 0 2 1 5
x -1 y + 2 z b) d : = = , A(1;4;2).
ĐS: (P) : 5x +13y - 4z + 21 = 0 1 - 1 2
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1 - ;2) và N( 1 - ;1;3) . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
· PT (P) có dạng: Ax + B(y +1) + C(z - 2) = 0 Û Ax + By + Cz + B - C 2 = 0
A2 + B2 + C2 ( ¹ 0) N( 1
- ;1;3)Î(P) Û -A + B + C 3 + B - C
2 = 0 Û A = 2B + C B
Þ (P) : (2B + C)x + By + Cz + B - C
2 = 0; d(K,(P)) = B2 + C2 4 2 + 4BC
· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) B 1 1
· Nếu B ¹ 0 thì d(K,(P)) = = £ 4B2 + C2 2 + 4BC æ C 2 2 2ç 1ö + ÷ + 2 è B ø
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 . Trang 8
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x -1 y z = =
và tạo với mặt phẳng (P) : 2x - 2y - z +1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao 1 -1 2 -
điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz. r r
· () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; 1 - ; 2)
- . (P) có VTPT n¢ = (2;-2;-1) . uuuur uuur ur r
Giao điểm M(0;0;m) cho AM = (-1;0;m) . (a) có VTPT n = éëAM,u ùû = (m;m - 2;1)
(a) và (P): 2x - 2y - z +1 = 0 tạo thành góc 600 nên : r r 1 1 1
cos(n,n¢ ) = Û
= Û 2m2 - 4m +1 = 0 Û m = 2 - 2 hay m = 2 + 2 2 m2 - m 2 2 4 + 5
Kết luận : M(0;0;2 - 2) hay M(0;0;2 + 2)
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao
tuyến d của hai mặt phẳng (a ) : 2x – y –1 = 0 , (b ) : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng Q ( ) : x –2y 2 2
+ 2z –1 = 0 một góc j mà cosj = 9
· Lấy A(0;1;0), B
(1;3;2)Î d . (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = 0 .
(P) qua B nên: A + 3B + C
2 – B = 0 Þ A = -(2B + C 2 )
Þ (P) : -(2B + C
2 )x + By + Cz – B = 0 2 - B - C 2 - 2B + C 2 2 2 cosj = = Û B2 + BC C2 13 8 –5 = 0 .
B + C 2 + B2 + C2 9 3 (2 2 )
Chọn C = Þ B = B 5 1 1; = . 13
+ Với B = C = 1 Þ (P) : -4x + y + z –1 = 0 5 + Với B = , C
= 1 Þ (P) : -23x + 5y +13z –5 = 0 . 13
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1 - ;2; 3 - ),B(2; 1 - ; 6) - và mặt
phẳng (P) : x + 2y + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt 3
phẳng (P) một góc a thoả mãn cosa = . 6
· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) . ìA Î Q ( )
ì-a + 2b - c 3 + d = 0 éa = 4
- b,c = - b 3 ,d = - b 15
Ta có: ïïB Î Q ( )
Û ï2a - b - 6c + d = 0 Û í ï
êëa = -b,c = 0,d = -b 3 í ïcos
a + 2b + c 3 a = ï = ïî 6
ïî a2 + b2 + c2 6 1+ 4 +1
Þ Phương trình mp(Q): 4x - y + z
3 +15 = 0 hoặc (Q): x - y - 3 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) A(0;0;1),B(1;1;0) , P º Oxy 1 ( ) ( ),cosa = . 6
ĐS: (Q): 2x - y + z -1 = 0 hoặc (Q): x - 2y - z +1 = 0 . Trang 9
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ìx + y + z - 3 = 0
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í . Viết
î2x + y + z - 4 = 0
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0 a = 60 .
· ĐS: (P) : 2x + y + z - 2 - 2 = 0 hoặc (P) : 2x - y - z - 2 + 2 = 0
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 5x - 2y + 5z -1 = 0 và Q
( ) : x - 4y - z
8 +12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 0 a = 45 .
· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) .
Ta có: (R) ^ (P) Û a 5 - 2b + c 5 = 0 (1); - 4 - 8 2 · 0 a b c cos((R), Q ( )) = cos45 Û = (2)
a2 + b2 + c2 2 9 2 2 éa = -c
Từ (1) và (2) Þ 7a + 6ac - c = 0 Û ê ëc = a 7
· Với a = -c : chọn a = 1,b = 0,c = -1 Þ PT mặt phẳng (R) : x - z = 0
· Với c = 7a : chọn a = 1,b = 20,c = 7 Þ PT mặt phẳng (R) : x + 20y + 7z = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với P x - y - z = Q º Oyz M 0 ( ) : 2 0,( ) ( ), (2; 3 - ;1),a = 45 .
ĐS: (R) : x + y +1 = 0 hoặc (R) : 5x - 3y + 4z - 23 = 0
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x -1 y +1 z -1 x y z 1 D : = = và D =
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 1 - 3 2 : 1 2 - 1 1 D và tạo với 2 D một góc 0 a = 30 .
· Đáp số: (P): 5x +1 y
1 + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2x - y - z - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x y - 2 z
x - 2 y - 3 z + 5 a) Với 1 D : = = , D : = = , 0 a = 30 . 1 1 - 1 2 2 1 1 -
ĐS: (P): x - 2y - 2z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z - 4 = 0 x -1 y z +1 x y - 2 z +1 b) 1 D : = = , D : = = , 0 a = 30 . -2 1 1 2 1 1 - 1
ĐS: (P): (18 + 114)x + 2 y
1 + (15 + 2 114)z - (3 - 114) = 0
hoặc (P): (18 - 114)x + 2 y
1 + (15 - 2 114)z - (3 + 114) = 0
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 0 0 45 , 30 . r r r
· Gọi n = (a;b;c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0;0), j = (0;1;0) . ì ï Ox P 2 sin( ,( )) = ï ì Ta có: 2 = 2 í Û a b í ï Oy P 1 sin( ,( )) î c = b = ïî 2 Trang 10
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
PT mặt phẳng (P): 2(x -1)+ (y - 2)± (z -3) = 0 hoặc - 2(x -1)+ (y - 2)± (z -3) = 0
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 5 = 0 và đường x + y + z - thẳng d 1 1 3 : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo 2 1 1
với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 (
¹ 0) . Gọi a = · ((P), Q ( )) . ìM Î(P)
ìc = -a - b Chọn hai điểm M( 1 - ; 1
- ;3), N(1;0;4)Î d . Ta có: í Þ îN (P) í Î îd = a 7 + 4b 3 a + b
Þ (P): ax + by + ( 2
- a - b)z + 7a + 4b = 0 Þ cosa = . 6 a2 5 + 4ab + 2b2 3 b 3
TH1: Nếu a = 0 thì cosa = . = Þ 0 a = 30 . 6 2b2 2 b 1 3 + b TH2: Nếu a ¹ 0 thì a cosa = .
. Đặt x = và f x 2 ( ) = cos a 6 b a æ b 2 5 4 2 ö + + a ç a ÷ è ø 9 x2 + 2x +1
Xét hàm số f (x) = . . 6 5 + 4x + 2x2
Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0
min ( ) = 0 Û cosa = 0 Û a = 90 > 30
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1,c = 1,d = 4 .
Vậy: (P): y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: x - y + z
a) Với (Q): x + 2y + 2z –3 = 0 , d 1 2 : = = .
ĐS: (P) : x + 2y + 5z 3 + = 0 . 1 2 1 - x - y + z
b) Với Q º Oxy d 1 2 ( ) ( ), : = = .
ĐS: (P) : x - y + z - 3 = 0 . -1 1 2 ìx = -t ï c) Với Q
( ) : 2x - y - z - 2 = 0 , d : íy = -1+ t 2 .
ĐS: (P) : x + y + z - 3 = 0 . ïîz = 2 + t
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1 - ; 1
- ;3), N(1;0;4) và mặt phẳng
(Q): x + 2y - z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: (P) : y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự: a) M(1;2; 1 - ), N( 1 - ;1;2), Q ( ) º O ( xy).
ĐS: (P) : 6x + 3y + 5z - 7 = 0 . ìx = 1- t ï
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : íy = 2
- + t . Viết phương ïîz = 2t
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d =
a2 + b2 + c2 0 ( ¹ 0) . Gọi ·
a = ((P),Oy). Trang 11
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng ìM Î(P) ì c 2 = a - b
Chọn hai điểm M(1; 2 - ;0), N(0; 1 - ;2)Î d . Ta có: í Þ îN (P) í Î
îd = -a + 2b a - b 2 b
Þ (P): ax + by +
z - a + 2b = 0 Þ sina = . 2 a2 5 + b2 5 - 2ab TH1: Nếu b = 0 thì 0 a = 0 . 2 a
TH2: Nếu b ¹ 0 thì sina =
. Đặt x = và f x 2 ( ) = sin a . b æ a 2 ö a 5ç ÷ + 5 - 2 è b ø b 4 5 1
Xét hàm số f (x) =
. Dựa vào BBT, ta được max f (x) = Û x = Þ 0 a > 0 . 5x2 - 2x + 5 6 5 a 1
Vậy a lớn nhất khi = . Chọn a = 1,b = 5,c = 2
- ,d = 9 Þ (P): x + 5y - 2z + 9 = 0 . b 5 x -1 y + 2 z
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và 1 2 -1
x + 2 y -1 z d2 : =
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 2 1 - 2
1 sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng d2 là lớn nhất. r
· d1 đi qua M(1; 2
- ;0) và có VTCP u = (1;2; 1) - .Vì d Ì P 1
( ) nên M Î(P) .
PT mặt phẳng (P) có dạng: A(x -1) + B(y + 2) + Cz = 0 A2 + B2 + C2 ( ¹ 0) r r
Ta có: d Ì (P) Û u n
. = 0 Û C = A + 2B . 4A + 3B 1 (4A + 3B 2 ) Gọi ·
a = ((P),d2) Þ sina = = .
3. 2A + 4AB + 5B
3 2A2 + 4AB + 5B2 2 2
TH1: Với B = 0 thì sin 2 2 a = 3 A 1 (4t 2 + 3)
TH2: Với B ¹ 0. Đặt t = , ta được: sina = . B 3 2t2 + t 4 + 5 ( t 2 4 + 3) A
Xét hàm số f (t) =
. Dựa vào BBT ta có: f t 25 max ( ) = khi t = 7 - Û = 7 - 2t2 + t 4 + 5 7 B Khi đó a = f 5 3 sin ( 7) - = . 9 5 3 A
So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với sina = khi = 7 - . 9 B
Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7x - y + z 5 9 - = 0 . x + y - z +
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 2 1 : = = và điểm 1 1 1 -
A(2;-1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: (P) : x + y + 2z -1 = 0 . Trang 12
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x - y + z + 2 = 0 và điểm
A(1;1;-1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· ĐS: (P) : y + z = 0 hoặc (P) : 2x + 5y + z - 6 = 0 .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. x y z
· Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ (P) : + + = 1 a b c ì4 5 6 uur uur + + = 1 ï
IA = (4 - a;5;6), JA = (4;5 - b;6) a b c 77 77 77 uur uur Þ í- b 5 + c 6 = 0 Þ a = ; b = ; c =
JK = (0;-b;c),
IK = (-a;0;c) ï ï 4 5 6 î 4 - a + 6c = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y + 6z - 77 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1).
ĐS: (P): x - y - z + 3 = 0
Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi
qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh bc rằng: b + c =
. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 2 x y z 1 1 1 bc
· PT mp (P) có dạng: + + = 1. Vì M Î(P) nên + + = 1 Û b + c = . 2 b c 2 b c 2 uuur uuur Ta có AB( 2
- ;b;0), AC(-2;0;c). Khi đó S = b2 + c2 + b + c 2 ( ) .
Vì b2 + c2 ³ bc b + c 2 2 ; (
) ³ 4bc nên S ³ 6bc .
Mà bc = 2(b + c) ³ 4 bc Þ bc ³ 16 . Do đó S ³ 96 . Dấu "=" xảy ra Û b = c = 4 .
Vậy: min S = 96 khi b = c = 4 .
Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 4 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
· Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 (d ¹ 4) . Giả sử B = Q
( ) ÇOx, C = Q ( ) ÇOy 1 uuur uuur
Þ B(-d;0;0),C(0;-d;0) (d < 0) . S = é ù ABC
ëAB, ACû = 6 Û d = 2 - 2 Þ Q
( ) : x + y + z - 2 = 0 .
Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3; 0;0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt 9
phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng . 2
· ĐS: (P) : x + 2y - 2z - 3 = 0 . Trang 13
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
· Giá sử A(a;0;0)ÎOx,B(0;b;0)ÎOy,C(0;0;c)ÎOz (a,b,c > 0) . x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1. a b c 9 1 1 1
Ta có: M(9;1;1)Î(P) Þ + + = 1 (1); V = abc (2) a b c OABC 6
(1) Û abc = 9bc + ac + ab ≥ 3 3 9(abc 2 ) Û abc 3 ³ abc 2 ( ) 27.9( ) Û abc ³ 243
ì9bc = ac = ab ìa = 27 ï ï x y z
Dấu "=" xảy ra Û í9 1 1
Û íb = 3 Þ (P): + + = 1. + + = 1 ï ï 27 3 3 î îc a b c = 3
Câu hỏi tương tự: x y z
a) Với M(1;2;4) . ĐS: (P) : + + = 1 3 6 12
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) 1 1 1
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức + + có giá trị
OA2 OB2 OC2 nhỏ nhất.
· ĐS: (P) : x + 2y + 3z -14 = 0 .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. x y z · ĐS: (P) : + + = 1.
2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15 Trang 14
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương x + y - z -
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 1 2 : = = và mặt 2 1 3
phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(1;1; 2) - , song song
với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d . uur uur r
x -1 y -1 z + 2 · u = é ù d u ; P n =(2;5; 3) - ë û
. D nhận ur làm VTCP Þ D : = = 2 5 3 -
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
{ x = -t ; y = 1
- + 2t ; z = 2 + t ( t Î R ) và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 3 = 0 .Viết phương
trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; 3 - ;1) .
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: -x + 2y + z + 6 = 0
D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: {x = 1+ t; y = 3 - ;z = 1+ t
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: x -1 y +1 z = =
. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc 2 1 1 - với D. r uuuur · u (2;1; 1) D =
- . Gọi H = d Ç D. Giả sử H(1+ 2t; 1
- + t;-t) Þ MH = (2t -1;t - 2;-t). uuuur r uuuur r
MH ^ uD Û 2( t
2 -1) + t( - 2) - (-t) = 0 Û t 2 = Þ = 3 = (1; 4 - ; 2) - 3 d u MH ìx = 2 + t ï
Þ d: íy = 1- t 4 . ïîz = 2t
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai
điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên (P).
· Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P) Ç (Q) suy ra phương trình (D).
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của ìx - 2z = 0 đường thẳng d : : - 2 + + 5 = 0 3 í
trên mặt phẳng P x y z .
î x - 2y + z - 3 = 0 ìx = t 4 ï 3 r
· PTTS của d: íy = - + t
7 . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 2 - ;1). ï 2 îz = 2t æ ö æ 3 ö æ 3 ö
Gọi A = d Ç (P) Þ A 11
ç 4; ;2 . Ta có Bç 0;- ;0÷Î d,Bç 0;- ;0÷ Ï(P). 2 ÷ è ø è 2 ø è 2 ø æ ö
Gọi H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H 4 7 4 ç - ; ;- . 3 6 3 ÷ è ø Trang 15
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H ìx = 4 +16t uuur r ï 11
Þ D có VTCP u = HA 3
= (16;13;10) Þ Phương trình của D: íy = + t 13 . ï 2 îz = 2 + t 10
Câu hỏi tương tự: x + y - z - ìx = 1+ m 23 ï a) Với d 1 1 2 : = =
, (P) : x - 3y + 2z - 5 = 0 .
ĐS: D : íy = 2 + 29m 2 1 3 ï z = 5 + 32m î
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
(P): 6x + 2y +3z -6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
· Ta có: (P) ÇOx = A(1;0;0); (P) ÇOy = B(0;3;0); (P) ÇOz = C(0;0;2)
Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung æ ö
trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = D Ç (a ) Þ I 1 3 ç ; ;1 . 2 2 ÷ è ø
Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ . ìx 1 = + 6t ï 2 ï í 3
Þ Phương trình đường thẳng d: y = + 2t ï . 2 ïîz =1+ t3
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1
- ),B(2;1;1);C(0;1;2) và x - y + z + đường thẳng d 1 1 2 : = =
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của 2 1 - 2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. uuur uuur uuur uuur
· Ta có AB = (1;-1;2), AC = (-1;-1;3) Þ éëAB, ACùû = ( 1 - ; 5 - ; 2) -
Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H(a;b;c) , khi đó ta có hệ: uuur uuur ìBH.AC = 0
ìa - b + 2c = 3 ìa = 2 ïuuur uuur ï ï C
í H.AB = 0 Û ía + b - c
3 = 0 Û íb =1 Þ H(2;1;1)
ïH Î(ABC) ïa + b 5 + c 2 = 9 ïc = 1 î î î
Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: ìur ^ nr r r r D ABC ír r Þ u = én ù D ë ABC, d u = (12;2;-11) u û . D ^ î d u
x - 2 y -1 z -1
Vậy phương trình đường thẳng D : = = 12 2 -11 Trang 16
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương x - y + z trình d 1 1 : = =
. Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt và 2 1 -1
vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d. ìx = 1+ t 2 ï r
· PTTS của d: íy = 1
- + t . d có VTCP u = (2;1; 1) - . ïz = -t î uuuur
Gọi H là hình chiếu của M trên d Þ H(1+ 2t; 1
- + t;-t) Þ MH = ( t 2 -1; 2
- + t;-t) uuuur r æ ö uuuur æ ö Ta có MH ^ d Û MH u . = 0 Û t 2 = Þ H 7 1 2 ç ;- ;- , MH 1 4 2 = ; - ; - 3 3 3 3 ÷ è ø ç 3 3 3÷ è ø x - 2 y -1 z
Phương trình đường thẳng D: = = . 1 4 - 2 - æ ö
Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua d Þ H là trung điểm của MM¢ Þ M 8 5 4 ¢ç ;- ;- . 3 3 3 ÷ è ø
Câu hỏi tương tự: x + y - z + x +1 y z - 3 a) M - - d 3 1 1 ( 4; 2;4); : = = . ĐS: D : = = 2 1 - 4 3 2 1 -
Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t Î R. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A; cắt và vuông góc với (d). x y - z +
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d 1 1 : = = 1 2
1 và hai điểm A(1;1; 2) - , - B( 1
- ;0;2) . Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách
từ B tới D là nhỏ nhất. r · d có VTCP d u = (1;2; 1)
- . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng D đi qua A và H thỏa YCBT.
Ta có: (P): x + 2y - z - 5 = 0 . Giả sử H(x; y; z) . ìH Î(P) æ ö Ta có: íuuur BH, r Þ H 1 8 2 ç ; ; ÷ î d u cuøng phöông è 3 3 3 ø uuur r
x -1 y -1 z + 2 Þ u 3AH ( 2;5;8) D = = - Þ Phương trình D: = = . 2 - 5 8 x +1 y z +1
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D : = = và hai điểm 2 3 1 - A(1;2; 1
- ), B(3;-1;-5). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng
D sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. uuur uuur
· Giả sử d cắt D tại M Þ M( 1 - + t 2 ; t
3 ;-1- t) , AM = (-2 + 2t; t
3 - 2;-t), AB = (2;-3; 4) -
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d(B,d) = BH £ BA . Vậy d(B,d) lớn nhất bằng BA uuur uuur
Û H º A Û AM ^ AB Û AM.AB = 0 Û 2(-2 + t 2 ) - 3( t
3 - 2) + 4t = 0 Û t = 2 x - y - z + Þ M(3;6; 3)
- Þ PT đường thẳng d 1 2 1 : = = . 1 2 1 - Trang 17
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
x +1 y -1 z thẳng D: =
= . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường 2 1 - 2
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. ìx = -1+ t 2 ï
· Phương trình tham số của D: íy = 1- t
. Điểm C Î D nên C(-1+ t
2 ;1- t;2t) . ïîz = t 2 uuur uuur uuur uuur AC = ( 2 - + t
2 ;-4 - t;2t); AB = (2; 2
- ;6); éëAC, ABùû = ( 2 - 4 - t 2 ;12 - t 8 ;12 - t 2 ) uuur uuur 1 uuur uuur Þ éëAC ABùû = t2 , 2 18 - 3 t
6 + 216 Þ S = éëAC, ABù = t 2
18( -1) +198 ≥ 198 2 û
x - 3 y - 3 z - 6
Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: = = . -2 3 - 4 - x + y - z -
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 2 2 : = = và mặt 3 -2 2
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d). ìx = -1+ t 3 ï r
· Đường thẳng (d) có PTTS: íy = 2 - 2t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2) ïz = 2 + t 2 î uuuur
Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MN = ( t 3 - 3;- t 2 ; t 2 - 2) uuuur r
Để MN // (P) thì MN n
. = 0 Û t = 7 Þ N(20; -12; 16)
x - 2 y - 2 z - 4
Phương trình đường thẳng D: = = 9 7 - 6
Câu hỏi tương tự: x y - z -
x -1 y - 3 z - 3 a) d 1 2 : = =
, (P) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4). ĐS: D : = = 1 2 1 1 1 - 1 x - y z + x -1 y - 2 z +1 b) d 2 2 : = =
, (P) : 2x + y - z +1 = 0 , M(1;2; –1) . ĐS: D : = = 1 3 2 2 9 - 5 -
x - 2 y + 4 z -1
x - 3 y + 2 z + 4 c) = =
, (P) : 3x - 2y - z 3 - 2 = 0 , M(3; 2 - ; 4) - . ĐS: D : = = 3 2 - 2 5 -6 9
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 3x - 2y + z - 29 = 0 và hai
điểm A(4;4;6) ,B(2;9;3) . Gọi E, F là hình chiếu của A và B trên (a ) . Tính độ dài đoạn
EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (a) đồng thời D đi qua giao
điểm của AB với (a ) và D vuông góc với AB. uuur r uuur r · AB = ( 2 - ;5;-3), n = (3; 2 - ;1) a , AB a = AB n 19 sin( ,( )) cos( , ) = a 532 361 171
EF = AB.cos(AB,(a)) = AB 2
1- sin (AB,(a)) = 38 1- = 532 14 uur uuur uur ìx = 6 + t ï
AB cắt (a) tại K(6;-1;9) ; u = éAB,n ù = (1;7;11) D a ë û
. Vậy D : íy = 1 - + t 7 ïz = 9 + t 11 î Trang 18
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần x - y z -
lượt có phương trình: P x - y + z =
Q x - y + z + = d 1 1 ( ) : 2 0, ( ) : 3 3 1 0, ( ) : = = . Lập 2 1 1
phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d). r r r r
· (P), (Q) lần lượt có VTPT là = - = - Þ é ù P n (1; 2;1), Q n (1; 3;3) ë P n , Q n = ( 3 - ;-2;-1) û
PTTS của (d): x = 1+ 2t, y = t,z = 1+ t . Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1+ 2t;t;1+ t) .
. Do A Ì (P) nên: 1+ 2t - 2t +1+ t = 0 Û t = 2 - Þ A( 3 - ; 2 - ; 1) - ìur ^ nr r r r
Theo giả thiết ta có: D P ír r Þ u = é ù D ^ ë P n Q n u = - - - û î D Q n , ( 3; 2; 1)
x + 3 y + 2 z +1
Vậy phương trình đường thẳng (D) : = = . 3 2 1
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1
- ),B(2;1;1),C(0;1;2) và x - y + z + đường thẳng d 1 1 2 ( ) : = =
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của 2 1 - 2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). uuur uuur uuur uuur
· Ta có AB = (1;-1;2), AC = (-1;-1;3) Þ éëAB, ACùû = ( 1 - ; 5 - ; 2) -
Þ phương trình (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0 uuur uuur ìBH.AC = 0
ìa - b + 2c = 3 ìa = 2 ïuuur uuur ï ï
Gọi trực tâm của DABC là H(a;b;c) C
í H.AB = 0 Û ía + b - c
3 = 0 Û íb =1 Þ H(2;1;1) ïH Î(ABC) ïa + b 5 + 2c = 9 ïc = 1 î î î ìur ^ nr r r r
Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: D ABC ír r Þ u = én ù D ë ABC, d n = (12;2; 1 - 1) u û D ^ î d u
x - 2 y -1 z -1
Þ PT đường thẳng D : = = . 12 2 -11
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 , đường x + y + z - thẳng d 3 1 3 : = = và điểm A( 2
- ;3;4). Viết phương trình đường thẳng D nằm 2 1 1
trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên D sao
cho khoảng cách AM ngắn nhất. r r ìD Ì (P) ìu ^ n
· Gọi B = d Ç (P) Þ B( 1 - ;0;4) . Vì í nên D P ír r . îD ^ d uD ^ î d u r 1 r r ìx = -1+ t ï
Do đó ta có thể chọn u = é ù D ë P n , d u = (1; 1 - ; 1)
- Þ PT của D: íy = -t . 3 û ïîz = 4 - t 2 æ 1 ö 26 26 Giả sử M( 1
- + t;-t;4 - t)Î D Þ AM = t2 3 - t 2 + 9 = 3çt - ÷ + ³ è 3 ø 3 3 æ ö æ ö
Dấu "=" xảy ra Û t 1 = Û M 2 1 11 ç - ;- ;
. Vậy AM đạt GTLN khi M 2 1 11 ç - ;- ; . 3 3 3 3 ÷ ÷ è ø è 3 3 3 ø
Câu hỏi tương tự: Trang 19
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng ìx = 1- t ìx = t ï ï
a) (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0 , d : íy = 3 - + t 2 . ĐS: D : íy = 1 - ïz = 3 + t î ïz = 4 + î t
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1 - ;1), đường thẳng x y - 2 z D : =
= , mặt phẳng (P) : x – y + z 5
- = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi 1 2 2
qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 0 45 . r r · Gọi d
u , uD lần lươt là các VTCP của d và D ; P
nr là VTPT của ( P). r r r Đặt 2 2 2 d
u = (a;b;c), (a + b + c ¹ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : P n ^ d u
Þ a – b + c = 0 Û b = a + c ( 1 ).
a + 2b + c 2 2 Theo gt: d 0 ( ,D) = 45 Û =
Û 2(a + 2b + c 2
) = 9(a2 + b2 + c2) (2)
a2 + b2 + c2 2 .3 2 a 15
Thay (1) vào ( 2) ta có : 1 c
4 + 30ac = 0 Û c = 0; c = - 7 ìx = 3 + t ï
+ Với c = 0 : chọn a = b = 1 Þ PTTS của d là : íy = 1– - t ïîz =1 a ìx = 3 + t 7 ï + Với c 15 = -
: chọn a = 7, c = -15, b = 8
- Þ.PTTS của d là: íy = 1 - t –8 . 7 ïîz =1– t 15
x - 3 y + 2 z +1
Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 2 1 1 -
(P): x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 . ìx = 3 + 2t ï r r
· PTTS d: íy = -2 + t Þ M(1;-3;0). (P) có VTPT P
n = (1;1;1) , d có VTCP d u = (2;1; 1) - ïz = 1 - - t î r r r
Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u = éë d u , P n ù = (2; 3 - ;1) D û uuuur
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đó MN = (x -1; y + 3; z) . uuuur ìMN ^ urD ì ï
x + y + z + 2 = 0 ï
Ta có íN Î(P)
Û í2x - 3y + z -11 = 0
Þ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5) ï îMN = 42 ( ïî x 2 -1) + (y 2 + 3) + z2 = 42
x - 5 y + 2 z + 5
· Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình của D : = = 2 -3 1
x + 3 y + 4 z - 5
· Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình của D : = = . 2 -3 1
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x + y - z -1 = 0 , hai đường x -1 y z x y z +1 thẳng (D): = = , (D¢): = =
. Viết phương trình đường thẳng (d) nằm 1 - 1 - 1 1 1 3 Trang 20
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
trong mặt phẳng (a ) và cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 6 . 2 r r
· (a) có VTPT n = (1;1; 1) - , (D) có VTCP u ( 1; 1;1) D = - - Þ (D) ^ (a). uuur Gọi A = (D )
¢ Ç (a ) Þ A(0;0;-1); B = (D)Ç (a ) Þ B(1;0;0) Þ AB = (1;0;1)
Vì (d) Ì (a) và (d) cắt (D¢) nên (d) đi qua A và (D) ^ (a) nên mọi đường thẳng nằm trong
(a) và không đi qua B đều chéo với (D). r r r Gọi d
u = (a;b;c) là VTCP của (d) Þ d u n
. = a + b - c = 0 (1) uuur và d
ur không cùng phương với AB (2) uuur éAB,ur ù ë û 6
2b2 + (a - c 2 ) 6
Ta có: d(d,D) = d(B,d) Þ d = r Û = (3) d u 2
a2 + b2 + c2 2 éa = 0
Từ (1) và (3) Þ ac = 0 Û ê . ëc = 0 r ìx = 0 ï
· Với a = 0 . Chọn b = c = 1 Þ d
u = (0;1;1) Þ d : íy = t ïîz = -1+ t r ìx = t ï
· Với c = 0 . Chọn a = -b = 1 Þ d
u = (1;-1;0) Þ d : íy = -t . ïîz = 1 - Trang 21
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai
x - 7 y - 3 z - 9 ìx = 3 + t 7 ï đường thẳng: 1 D : = = và íy = 1- 2t . 1 2 1 - 2
D : ïz=1- t3 î ìx = 7 + t' ï
· Phương trình tham số của 1
D : íy = 3+ 2t' ïz = 9 - t ' î
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với D1 và D2
Þ M(7 + t¢;3 + 2t¢;9 – t¢) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t) r r
VTCP lần lượt của D1 và D2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3) uuuur r uuuur r ìïMN ^ a ìïMN a . = 0
Ta có: íuuuur r Û íuuuur r
. Từ đây tìm được t và t¢ Þ Toạ độ của M, N. ïîMN ^ b ïîMN b . = 0
Đường vuông góc chung D chính là đường thẳng MN.
Câu hỏi tương tự: ìx = 3 + t ìx = 2 - + 2 t' ï ï
ì2x – y +10z – 47 = 0
a) Với (D ) : íy = 1 - + t 1
2 , (D ) : íy = 2 t' 2 . ĐS: D : í ïz = 4
î x + 3y –2z + 6 = 0 î
ïz = 2 + t 4 ' î
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( 4
x - 2 y +1 z -1 - ; 5 - ;3)
ì2x + 3y +11 = 0
và cắt cả hai đường thẳng: d1 : í và d : = = . îy - 2z + 7 = 0 2 2 3 -5 ìx = 5 - t 3 1 ìx = 2 + t 2 ï 2 ï
· Viết lại phương trình các đường thẳng: d : íy = -7 + 2t 1 1 ,
d : íy = -1+ t 2 3 2 . ïz = t î ï 1 z = 1- t 5 î 2
Gọi A = d Ç d ,B = d Ç d 1 2 Þ A(5 - t 3 ;-7 + 2t ;t 1
1 1) , B(2 + 2t ; -1+ t 3 ;1- t 2 2 5 2). uuur uuur MA = (- t 3 + 9;2t - 2;t 1 1
1 - 3) , MB = ( t 2 + 6; t 3 + 4;- t 2 2 5 2 - 2) uuur uuur
éëMA,MBùû = (-1 t3 t - t8 +1 t3 +16; 1 - t
3 t + 39t ;-1 t
3 t - 24t + 3 t 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 + 48) uuur uuur uuur uuur r ìt = 2
M, A, B thẳng hàng Û MA, MB cùng phương Û éëMA, MBùû = 0 Û 1 ít î 2 = 0 uuur Þ A( 1 - ; 3 - ;2),B(2; 1
- ;1) Þ AB = (3;2;-1) uuur ìx = -4 + t 3 ï
Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2;-1) Þ d : íy = 5 - + t 2 ïîz = 3- t
Câu hỏi tương tự: x y - 2 z ìx = t ï a) M(1;5;0), d1 : = =
, d íy = - t . ĐS: 1 -3 3 - 2 : 4 ïz = 1 - + 2t î
x - 2 y +1 z + 3
x - 3 y - 7 z -1 ìx = 3 + 2t ï b) M(3; 10; 1) , d1 : = = , d : = =
ĐS: d : íy =10 -10t 3 1 2 2 1 2 - -1 ïz = 1- 2t î Trang 22
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1D, 2
D và mặt phẳng (a ) có ìx = 2 + t ï
x -1 y +1 z + 2
phương trình là D : íy = 5 + t 3 , D : = =
, (a) : x - y + z 1 2 + 2 = 0 . Viết phương ïz = t 1 1 2 î
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của 1
D với (a ) đồng thời cắt 2
D và vuông góc với trục Oy. ìx = 2 + t ìt = -1 ï ï · y = 5 + t 3 x = 1
Toạ độ giao điểm A của (a ) và 1 D thoả mãn hệ í Û í Þ A(1;2;-1) z = t y = 2 ï ï
ïîx - y + z + 2 = 0 ïîz = -1 r
Trục Oy có VTCP là j = (0;1;0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt 2 D tại uuur uuurr uuur B(1+ t; 1 - + t;-2 + t
2 ) . AB = t(;t - 3;2t -1);d ^ Oy Û AB j = 0 Û t = 3 Þ AB = (3;0;5) uuur ìx = 1+ u 3 ï
Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3;0;5) làm VTCP có phương trình là íy = 2 . ïz = 1 - + u 5 î ì x = 1+ t ï
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : íy = 1+ t 1
2 , đường thẳng d2 ïz =1+ 2t î
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 . Gọi I là giao
điểm của d ,d
1 2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai
đường thẳng d ,d
1 2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.
· PTTS của d {x = t y = - + t z = - t 2 : '; 1 2 ';
3 2 ' . I = d Ç d 1
2 Þ I (1;1;1) .
Giả sử: B(1+ t;1+ 2t;1+ t 2 )Îd ,C (t';-1+ t 2 ';3 - t
2 ')Î d (t ¹ 0, t 1 2 ' ¹ 1) ìIB = IC ìt = 1
DBIC cân đỉnh I Û uuur uuur ur Û
Þ Phương trình d {x = y = z = + t [ í í î AB , AC ] = 0 ît ' = 2 3 : 2; 3; 1 2
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 1 z 1 = 0 và hai x y - 3 z +1 x - 4 y z - 3 đường thẳng d1: = = , = = . Chứng minh rằng d -1 2 3 1 1 2 1 và d2 chéo
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d1 và d2.
· Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
x + 2 y - 7 z - 5
Phương trình đường thẳng D: = = . 5 8 - 4 -
Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương
x + 5 y - 3 z +1
trình (P): 3x +12y - 3z - 5 = 0 và (Q): 3x - 4y + 9z + 7 = 0 , (d1): = = , (d 2 -4 3 2):
x - 3 y +1 z - 2 = =
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), -2 3 4 (Q) và cắt (d1), (d2). r r · (P) có VTPT P
n = (1; 4; -1), (Q) có pháp vectơ Q
n = (3; - 4; 9) Trang 23
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng r r
(d1) có VTCP u1 = (2; - 4; 3), (d2) có VTCP u2 = ( 2 - ; 3; 4) (
ì D ) = (P) Ç Q 1 ( ) (
ïï P ) É (d ),(P ) P (P) Gọi: 1 1 1 í Q ( ) É (d ), Q
( ) P Q Þ (D) = (P1) Ç (Q1) và (D) // (D1) 1 2 1 ( ) ïr r ïu = uD î 1 r 1 r r
(D) có vectơ chỉ phương u = [ P n ; Q
n ] = (8; - 3; - 4) 4 r r r r
(P1) có cặp VTCP u1 và ur nên có VTPT: P n = u [ ; u 1 1 ] = (25; 32; 26)
Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 Û 25x + 32y + 26z + 55 = 0 r r r r
(Q1) có cặp VTCP u2 và ur nên có VTPT: Q n = u [ ; u 1 2 ] = (0; 24; -18)
Phương trình mp (Q1): 0(x - 3) + 24(y +1) -18(z - 2) = 0 Û 4y - 3x +10 = 0
ì25x + 32y + 26z + 55 = 0
Ta có: (D) = (P ) Ç Q 1
( 1) Þ phương trình đường thẳng (D) : í
î4y - 3z +10 = 0
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và hai x - 4 y -1 z
x + 3 y + 5 z - 7
đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình = = và = = . 2 2 1 - 2 3 -2
Viết phương trình đường thẳng ( D ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2) tại A và B sao cho AB = 3. · A Î(d Î Þ - + ¢ - + ¢ - ¢
1) Þ A(4 + t
2 ;1+ 2t;-t) ; B (d ) B( 3 2t ; 5 t 3 ;7 2t 2 ) uuur r AB = ( 7 - + t 2 ¢ - 2t;-6 + t
3 ¢ - 2t;7 - 2t¢ + t), P n = (2; 1 - ;2). uuur ìAB n .r = 0 ìt¢ = 2 uuur
Từ giả thiết ta có: P í Û í
Þ A(2;-1;1), AB = ( 1 - ;2;2) . îAB = 3 ît = -1
x - 2 y +1 z -1
Þ Phương trình đường thẳng (D): = = . -1 2 2
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 và hai
x -1 y + 2 z - 3
x +1 y -1 z - 2 đường thẳng d1 : = = , d : = =
. Viết phương trình đường 2 1 3 2 2 3 2
thẳng D song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3. r r r
· d1 có VTCP u1 = (2;1;3), d2 có VTCP u2 = (2;3;2), (P) có VTPT n = (2;-1;1). r
Giả sử D có VTCP u = (a;b;c) , E Î d2 có xE = 3 Þ E(3;-1;6). ìD P (P) ìur n .r = 0
ì2a - b + c = 0 ìa = -c r Ta có: íD = - ^ d Û íur ur Û í Û í
Þ Chọn u (1;1; 1) î 1 . î 1 = 0
î2a + b + c 3 = 0 îb = -c
Þ PT đường thẳng D: {x = 3 + t; y = 1
- + t; z = 6 - t .
Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d ),(d 1
2) và mặt phẳng (P) có phương
x +1 y + 2 z
x - 2 y -1 z -1 trình: (d1) : = = , (d ) : = =
; (P) : x + y - 2z + 5 = 0 . Lập phương 1 2 1 2 2 1 1
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d ),(d 1
2) lần lượt tại A, B sao cho
độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Trang 24
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian uuur · Đặt A( 1
- + a;-2 + 2a;a), B(2 + 2b;1+ b;1+ b) Þ AB = (-a + 2b + 3; 2
- a + b + 3;-a + b +1) uuur r uuur
Do AB // (P) nên: AB ^ P
n = (1;1;-2) Û b = a - 4 . Suy ra: AB = (a - 5;-a -1; 3) - AB = a 2 - + -a 2 2 - + - = a2 - a + = a 2 ( 5) ( 1) ( 3) 2 8 35 2( - 2) + 27 ³ 3 3 ìa = 2 uuur
Suy ra: min AB = 3 3 Û í
, A(1;2;2) , AB = ( 3 - ; 3 - ;-3). îb = -2 x - y - z - Vậy d 1 2 2 : = = . 1 1 1
x + 8 y - 6 z -10
Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) : = = 2 1 -1 ìx = t ï
và (d ) : íy = 2 - t 2
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) ïîz = 4 - + 2t
tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB. · Giả sử: A( 8 - + t 2 ;6 + t ;10 - t 1 1 1) Î d1, B t ( ;2 - t ; 4 - + 2t 2 2 2) Î d2. uuur Þ AB = t
( - 2t + 8;-t - t - 4);2t + t 2 1 2 1 2 1 -14) . uuur r ì-t - t - 4 = 0 ìt = -22
AB,i = (1;0;0) cùng phương Û 2 1 í 1 2t Û + t í î 2 1 -14 = 0 t î 2 = 18 Þ A( 5 - 2; 1
- 6;32), B(18;-16;32) .
Þ Phương trình đường thẳng d: {x = 5 - 2 + t; y = 1 - 6; z = 32 . ìx = -23 + t 8 ï
Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): íy = 1 - 0 + t 4 và (d2): ïîz = t
x - 3 y + 2 z =
= . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai 2 2 - 1
đường thẳng (d1), (d2). · Giả sử A( 2 - 3 + t 8 ; 1 - 0 + t 4 ;t 1
1 1) Î d1, B(3 + 2t ; 2 - - t 2 ;t 2 2 2) Î d2. uuur
Þ AB = (2t - t 8 + 26;- t 2 - t 4 + 8;t - t 2 1 2 1 2 1) ì 17 uuur r ì2t - t 8 + 26 = 0 t1 = ï æ ö
AB // Oz Û AB,k cuøng phöông Û 2 1 í 6 ç - 2 Û Þ A 1 4 17 ; ; - t - t í ÷ î 2 4 1 + 8 = 0 ït 5 è 3 3 6 ø 2 = - î 3 ì 1 4 17
Þ Phương trình đường thẳng AB: íx = - ; y = ; z = + t î 3 3 6
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
ì6x - 3y + 2z = 0 đường thẳng (d): í
. Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các
î6x + 3y + 2z - 24 = 0 đường thẳng AB, OC.
· Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0 Trang 25
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ì6x + 3y + 2z -12 = 0
D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: 3 í
î x - 3y + z = 0
Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);
D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường
thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.
· Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0
(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0
Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D)
Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ìx = 1 - - 2t d : ï x y z íy = t 1 và d 2 :
= = . Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình ïz = 1+ t 1 1 2 î
đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2. uuur
· Đường thẳng D cần tìm cắt d1 tại A(–1–2t; t; 1+t) Þ OA = (–1–2t; t; 1+t) uuur r
d ^ d Û OA u . = 0 Û t = 1 - Þ A 2 2 (1; 1 - ;0) Þ PTTS của d {
: x = t; y = -t; z = 0
Câu hỏi tương tự: x + 2 y z -1 ìx = 2 - + 2t ï x - y - z -
a) Với M(1;1;1) , (d1) : = =
, (d ) : íy = - t 5 . ĐS: d 1 1 1 : = = 3 1 -2 2 ï 3 1 1 - îz = 2 + t
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: ìx = t ìx = t ' ï ï
(d1) : íy = 4 + t và (d2) : íy = t 3 '-6 ïz = 6 + t 2 î ïz = t '- 1 î
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của
đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). r r
· (d1) có VTCP u1 = (1; 1; 2); (d2) có VTCP u2 = (1; 3; 1) uur K ( Î d ) Þ K t ( ¢; t
3 ¢ - 6; t¢ -1) Þ IK = (t¢ -1; t 3 ¢ - 5; t¢ 2 - 2) uur r 18 æ18 12 7 ö
IK ^ u Û t¢ -1+ 9t¢ -15 + t¢ - 2 = 0 Û t¢ = Þ K 2 ; - ; 11 ç 11 11 11÷ è ø uuur æ18 56 59 ö
Giả sử (d ) cắt (d1) tại H t ( ; 4 + t; 6 + t
2 ), (H Î(d1)) . HK = - t; - - t; - - 2t ç 11 11 11 ÷ è ø uuur r 18 56 118 26 uuur HK ^ u1 Û - t - - t -
- 4t = 0 Û t = - Þ HK 1 = (44; - 30; - 7). 11 11 11 11 11 ì 18 12 7
Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): íx = + 44l; y = - - 30l; z = - 7l î 11 11 11
Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2)
x -1 y + 2 z với: (d1): = = ; (d + = và (Q): 3 2 1
2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0
x + y - z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2).
· Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3x + 2y + z - 3 = 0 . Trang 26
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian 3
ì x + 2y + z - 3 = 0 ï æ 5 8 ö
A = (d2) Ç (a) Û íx +1 = 0 Û Aç 1 - ; ; ÷ x y z è 3 3 2 0 ø ï + - + = î x y -1 z -1 Þ Phương trình AM: = = . 3 - 2 5
Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x - y + 2z = 0 và 2 đường x - y - z - x - y - z thẳng d 1 1 1 ( ) : = = , (d ) 1 2 ' : =
= . Viết phương trình đường thẳng 1 3 2 - (D) 2 1 1
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). r r ìx = 1- t 2 ï · Ta có P n = (2; 1 - ;2), d
u = (1;3;2) và PTTS của (d'): íy = 2 + t ïz = t î
Gọi A = (d') Ç (P) Þ A(1- t
2 ;2 + t;t).
Do A Î (P) nên: 2(1- t
2 ) - 2 - t + 2t = 0 Û t = 0 Þ A(1;2;0) r r r
Mặt khác (D) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên uD vuông góc với P n , d u Þ ta có thể r r r
x -1 y - 2 z
chọn u = éë P n , d u ù = ( 8 - ;-2;7) D û Þ Phương trình D : = = -8 -2 7
Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z -1 = 0 và hai
x -1 y + 2 z - 3
x +1 y -1 z - 2 đường thẳng (d1): = = , (d = =
. Viết phương trình đường 2 1 3 2): 2 3 2
thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng
(d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3. ìar ^ nr r r r ìx = 3 + t ï · E Î (d V 2) Þ E(3; 7; 6). P ír r Þ a = é V ë P n , d a ù = -4(1;1; 1) - íy = 7 + t a û ^ Þ (D): . î V d a 1 1 ïîz = 6 - t
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt
phẳng (P) có phương trình: 3x - 8y + 7z +1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d
nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P).
· Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) uuur r x - 2 y z -1
Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là éAB, ù ë P n û Þ d: = = 2 -1 2 -
x +1 y -1 z -1
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: = = ; 2 -1 1
x -1 y - 2 z +1 d2: = =
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng 1 1 2
D nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .
· Gọi A = d1 Ç D, B = d2 Ç D. Vì D Ì (P) nên A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P)
Þ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) x -1 y z - 2
Þ D chính là đường thẳng AB Þ Phương trình D: = = . 1 3 -1
Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với Trang 27
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
x -1 y +1 z
mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1) : = = và 2 -1 1 ìx = -1+ t (d ) : ïíy 2 = 1 -
, với t Î R . ïîz = -t
· Lấy M Î(d1) Þ M (1+ t 2 ;-1- t ;t 1
1 1) ; N Î (d2 ) Þ N (-1 + t; 1; - -t) uuuur
Suy ra MN = (t - t
2 - 2;t ;-t - t 1 1 1) ì 4 uuuur r t = ïï æ ö
(d) ^ (P) Û MN = k n
. ;k Î R* Û t - 2t - 2 = t = -t - t 5 1 1 1 Û í Þ M 1 3 2 = ;- ;- ç ÷ ï è 5 5 5 t -2 ø 1 = ïî 5 1 3 2
Þ d: x - = y + = z + 5 5 5
Câu hỏi tương tự:
x -1 y +1 z x - 2 y z -1
a) Với (P): 2x + y + 5z + 3 = 0 , (d1) : = = , (d ) : = = 2 1 2 2 1 1 -2 x + y + z + ĐS: d 1 2 2 : = = 2 1 5
x +1 y -1 z - 2 x - 2 y + 2 z
b) Với (P) : 2x – y – 5z + 1 = 0 , d1 : = = , d : = = 2 3 1 2 1 5 2 -
x -1 y - 4 z - 3 ĐS: = = 2 1 - 5 -
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z +1 = 0 , (Q): x – y
x - 2 y +1 z
+ 2z + 3 = 0 , (R): x + 2y –3z +1 = 0 và đường thẳng 1 D : = = . Gọi -2 1 3 2 D là
giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1 D , 2 D . · 1
D có PTTS: {x = 2 - t 2 ; y = 1
- + t;z = t 3 ; 2
D có PTTS: {x = 2 + s;y = 5 + s 3 ;z = s .
Giả sử d Ç D = A;d Ç D = B 1 2
Þ A(2 - 2t; 1 - + t; t
3 ), B(2 + s;5 + s 3 ;s) uuur r
AB = (s + t 2 ; s
3 - t + 6;s - t
3 ), (R) có VTPT n = (1;2;-3) . uuur r s + t 2 s
3 - t + 6 s - t 3 æ ö
d ^ (R) Û AB, n cùng phương Û = = Þ t 23 = Þ A 1 1 23 ç ; ; 1 2 3 ÷ - 24 è12 12 8 ø x 1 - y 1 - z 23 -
Vậy phương trình của d: 12 12 8 = = . 1 2 3 -
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình ìx = t d ï x y - 2 z
x +1 y -1 z +1 íy = - t 1 : 4 , d2 : = = , d3 : = =
. Viết phương trình đường ïz = 1 - + t 2 1 3 - 3 - 5 2 1 î
thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d , d , d 1 2
3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC .
· Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d , d , d 1 2 3 . Trang 28
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Giả sử A t(;4 –t;-1+ t
2 ), B(u;2 – u 3 ;- u 3 ), C( 1 - + v 5 ;1+ 2v; 1 - + v) .
Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC ìt + (-1+ v 5 ) = 2u ìt = 1 ï ï
Û í4 - t + (1+ 2v) = 2.(2 - u
3 ) Û íu = 0 Þ A(1;3;1), B(0;2;0), C( 1 - ;1; 1) - . ï 1 - + 2t + ( 1 - + v) = 2(- u 3 ) î ïîv = 0 x y - 2 z
Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình: = = 1 1 1
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách ìx = 2 + t 4 ï
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): íy = 3 + t 2 và mặt phẳng ïz = 3 - + t î
(P): -x + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), song song với
(d) và cách (d) một khoảng là 14 .
· Chọn A(2;3; - 3), B(6;5; - 2)Î(d), mà A, B Î (P) nên (d) Ì (P) . ìur ^ ur
Gọi ur là VTCP của ( d1) Ì (P), qua A và vuông góc với (d) thì d íur ^ r î P u r r r
nên ta chọn u = [ d u , P u ] = (3; 9 - ;6) . ìx = 2 + t 3 ï
Phương trình của đường thẳng ( d1) : íy = 3- t
9 t( Î R) ïz = 3 - + t 6 î
Lấy M(2+3t; 3 - 9t; - 3+6t) Î( d1) . (D) là đường thẳng qua M và song song với (d). 1
Theo đề : AM = 14 Û 9t2 + 8 t2 1 + 3 t2 6 = 14 Û t2 1 = Û t = ± 9 3 1
x -1 y - 6 z + 5
· t = - Þ M(1;6; - 5) Þ (D ) : = = 3 1 4 2 1 1 x - 3 y z +1
· t = Þ M(3;0; - 1) Þ (D ) : = = 3 2 4 2 1 Trang 29
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z +1 = 0 và đường
x - 2 y -1 z -1 thẳng: d: = =
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường 1 -1 -3
thẳng D nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến D bằng h = 3 2 . r r · (P) có VTPT P n = (1;1; 1)
- và d có VTCP u = (1; 1 - ; 3)
- . I = d Ç (P) Þ I(1;2;4) r r r
Vì D Ì (P);D ^ d Þ D có véc tơ chỉ phương u = é P
n ,uù = (-4;2; 2) D - ë û
Gọi H là hình chiếu của I trên D Þ H Î mp Q
( ) qua I và vuông góc D
Þ Phương trình (Q): -2(x -1) + (y - 2) - (z - 4) = 0 Û -2x + y - z + 4 = 0 r r ìx = 1 ï
Gọi d = (P) Ç Q ( ) Þ d é ù 1 1 có VTCP ë P n ; Q n = (0;3;3) = 3(0;1;1) û
và d1 qua I Þ d : íy = 2 + t 1 ïz = 4 + t î uur
Giả sử H Î d Þ H
+ t + t Þ IH = t t 1 (1;2 ;4 ) (0; ; ) . Ta có: 2 ét IH = Û t = 3 3 2 2 = 3 2 Û ê ët = 3 -
x -1 y - 5 z - 7
· Với t = 3 Þ H(1;5;7) Þ Phương trình D : = = 2 - 1 -1
x -1 y +1 z -1
· Với t = -3 Þ H(1;-1;1) Þ Phương trình D : = = . 2 - 1 1 -
Câu hỏi tương tự: x - y + z +
a) (P) : x + y + z + 2 = 0 , d 3 2 1 : = = , h = 42 . 2 1 -1
x - 5 y + 2 z + 5
x + 3 y + 4 z - 5 ĐS: D : = = ; D : = = 2 -3 1 2 -3 1
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 và đường x + y - z - thẳng d 1 1 3 : = =
. Viết phương trình đường thẳng D vuông góc với (P) và cắt d 1 7 1 -
tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. r
· Vì D ^ (P) nên D nhận P n = (2;1; 2) - làm VTCP. ét 8 = - ê Giả sử M t ( -1; t
7 +1;3 - t)Îd . Ta có: d(M,(P)) = 2 Û 1 t 1 + 2 = 6 Û 11 ê êt 4 = ë 11 æ ö ì 19 45 41 + Với t 8 = - Þ M 19 45 41 ç - ;- ; Þ D: íx = - + t 2 ; y = - + t; z = - t 2 11 11 11 11 ÷ è ø î 11 11 11 æ ö ì 7 39 29 + Với t 4 = Þ M 7 39 29 ç - ; ; Þ D: íx = - + 2t; y = + t; z = - 2t 11 11 11 11 ÷ è ø î 11 11 11
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z -1 = 0 và các
điểm A(1;0;0); B(0;-2;3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách
B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). r
· Ta có: A(1;0;0)Î(P) . Gọi VTCP của đường thẳng d là: u = a b c a2 + b2 + c2 ( ; ; ), ¹ 0 r r
Ta có: d Ì (P) Û u. P
n = 0 Û c = a + 2b Trang 30
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian uuur uur uuur
AB = (-1;2;-3) ; é ù ë d u , AB = ( 2 - a - b
7 ;2a - 2b;2a + b) û uuur ér ëu, ABùû
12a2 + 24ab + 54b2
Þ d(B,d) = = ur
2a2 + 4ab + b2 5
+ TH1: Nếu b = 0 thì d(B,d) = 6 a 12t2 + 24t + 54
+ TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t = Þ d(B,d) = = f t ( ) b 2t2 + t 4 + 5 1 t2 2 + 2 t 4 + 54
Xét hàm số f (t) =
ta suy ra được 6 £ d(B,d) = f t ( ) £ 14 t2 2 + t 4 + 5
So sánh TH1 và TH2 Þ 6 £ d(B,d) £ 14 Do đó:
a) min(d(B,d)) = 6 Û b = 0 . Chọn a =1 Þ c= 1 ìx = 1+ t ï
Þ Phương trình đường thẳng d: íy = 0 ïz = t î
b) max(d(B,d)) = 14 Û a = -b . Chọn b = –1 Þ a =1 , c = –1 ìx = 1+ t ï
Þ Phương trình đường thẳng d: íy = -t ïz = -t î
Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và các điểm A( 3 - ;0;1) ; B(1; 1
- ;3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và
cách B một khoảng nhỏ nhất. x + y z - · ĐS: d 3 1 : = = . 26 11 2 - x +1 y z - 2
Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D : = = , hai điểm 2 1 -1 A(0; 1
- ;2) , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng D sao
cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). uuur r
· Gọi M = d Ç D . Giả sử M(-1+ t
2 ;t;2 - t). VTCP của d: d
u = AM = (2t -1;t +1;-t) uuur uuur r AB(2;2; 1) - ; éAB; ù ë d
u = (1- t;1;4 - 2t) û uuur éAB,ur ù ë û 1 t2 2 -1 t 8 +18 Þ d d(B,d) = = = f (t) r 2 d u t 6 - t 2 + 2 1 t2 2 + 2 t 4 + 54
Xét hàm số f (t) = . Ta có f t = f = f t = f 1 max ( ) (0) 18; min ( ) (2) = t2 2 + t 4 + 5 11 1 Þ
£ d(B,d) £ 18 11 1 ìx = t 3 ï
a) min(d(B,d)) =
Û t = 2 Þ Phương trình đường thẳng d: íy = 1 - + t 3 11 ïz = 2 - 2t î Trang 31
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng ìx = -t ï
b) max(d(B,d)) = 18 Û t = 0 Þ Phương trình đường thẳng d: íy = 1 - + t ïz = 2 - t î
Câu hỏi tương tự:
ìx + y + z -1 = 0 a) D : í , A(2;1; 1 - ),B( 1 - ;2;0) .
îx - y + z -1 = 0 ìx +1 = 0 ìx + 2y - 3 = 0 ĐS: dmax : í ;d : îy z min 2 0 í + - = îy - z - 2 = 0
x -1 y + 2 z -1 b) D : = = , A(3; 2 - ;1), B(2;1; 1) - . 1 2 -1 x - y + z -
x - 3 y + 20 z -1 ĐS: d 3 2 1 max : = = ; d : = = . 19 -3 5 min -5 20 -7
x -1 y + 2 z c) D : =
= , A(1;4;2), B( 1 - ;2;4) . 1 - 1 2 x - y - z -
x -1 y - 4 z - 2 ĐS: d 1 4 2 max : = = ; d : = = 1 4 - 3 - min 15 18 19 x - y - z
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d 1 2 : = = , hai điểm 2 1 1
A(1;1;0),B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và vuông góc với d, sao cho
khoảng cách từ B đến D là lớn nhất. r uuur
· Ta có VTCP của d là: d
u = (2;1;1) và AB = (1;0;1) .
Gọi H là hình chiếu của B lên D ta có: d(B,D) = BH £ AB . Do đó khoảng cách từ B đến D
lớn nhất khi H º A . Khi đó D là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. ìD ^ d uuur r r Ta có í
Þ Có thể chọn VTCP của D là u = éu , ABù = (1; 1 - ; 1) - îD ^ AB D ë d û ìx = 1+ t ï
Þ PT của D là: íy =1- t ïz = -t î
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1 x +1 y z - 2
- ;2) , cắt đường thẳng 1 D : = =
sao cho khoảng cách giữa d và đường 2 1 1 - x - 5 y z thẳng 2 D : = = là lớn nhất. 2 -2 1 uuur r
· Gọi M = d Ç 1
D . Giả sử M(-1+ t
2 ;t;2 - t).VTCP của d : d
u = AM = (2t -1;t +1;-t) r uuur r r 2
D đi qua N(5;0;0) và có VTCP v (2; 2;1) D = -
; AN = (5;1;-2); év ; ë d
u ù = t( -1;4t -1;6t) D û uuur évr , r ë D d u ù.AN û (2 + t 2 )
Þ d(D ,d) = = 3. = 3. f (t 2 ) évr r 2 , ù ë D d u 5 t 3 -10t + 2 û (2 + t 2 )
Xét hàm số f (t) = . Ta suy ra được f t = f 4 26 max ( ) ( ) = 5 t2 3 -10t + 2 37 9
Þ max(d(D,d)) = 26 Þ Phương trình đường thẳng d: {x = 2 t 9 ; y = -1- 4 t 1 ; z = 2 + 4t
Câu hỏi tương tự: Trang 32
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
x -1 y +1 z -1
ìx + 2y - z +1 = 0 x - y + z - a) A(2; 1 - ;2), 1 D : = = , 2 D : . ĐS: d 2 1 2 : = = . 2 1 1 í
îx - y + z +1 = 0 41 68 -27
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1
- ;2) , song song với mặt phẳng (P) : x + y - z +1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và
ìx + y + z - 3 = 0
đường thẳng D : í là lớn nhất.
î2x - y + z - 2 = 0 ìx = 1 ï · ĐS: íy = 1 - + t . ïîz = 2 + t
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: x y - 2 z =
= và mặt phẳng (P): x - y + z - 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường 1 2 2
thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 0 45 . r r r · Gọi d u ,u , D P
n lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). r Giả sử 2 2 2 d
u = (a;b;c) (a + b + c ¹ 0) . r r + Vì d Ì (P) nên d u ^ P
n Þ a - b + c = 0 Û b = a + c (1)
a + 2b + 2c 2 + · (d D) 0 , = 45 Û =
Û a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 2( 2 ) 9( ) (2)
a2 + b2 + c2 2 3 éc = 0
Từ (1) và (2) ta được: c2
14 + 30ac = 0 Û 1ê ë a 5 + c 7 = 0
+ Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x = 3 + t; y = -1- t; z = 1
+ Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8
Þ PTTS của d: {x = 3 + t 7 ; y = 1 - - t 8 ; z = 1- t 15 .
Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt ìx = 1+ t ìx = 3 - t ï ï
phẳng (P) : x + y – z +1 = 0 , cắt các đường thẳng d : íy = t
; d : íy =1+ t 1 2 và tạo với ïz = 2 + 2t ïz = 1- 2t î î d1 một góc 300. r · Ta có d Ì P 1
( ) . Gọi A = d Ç P 2
( ) Þ A(5;-1;5) . d1 có VTCP u1 = (1;1;2). uuur
Lấy B(1+ t;t;2 + 2t)Î d1 Þ AB = t( - 4;t +1;2t - 3) là VTCP của D 6t - 9 3 ét = -1
Ta có cos(D,d 0 1) = cos30 Û = Û ê t 2 - + t 2 + + t 2 2 6 ( 4) ( 1) (2 - 3) ët = 4 Trang 33
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng uuur ìx = 5 + t ï + Với t = 1 - thì AB = ( 5 - ;0; 5) - Þ d: íy = 1 - ïz = 5 + t î uuur ìx = 5 ï
+ Với t = 4 thì AB = (0;5;5) Þ d: íy = 1 - + t ïz = 5 + t î
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B
thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC)
vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan·
OBC = 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
· BC: {x = 2 + t; y = - t 2 ;z = 0 .
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -1;1), B(0;1; -2) và đường x y - z + thẳng d 3 1 : = =
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của đường 1 -1 2
thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một 5
góc a sao cho cosa = . 6
· PT mặt phẳng (OAB): x + 4y + 2z = 0 . Gọi M = d Ç (OAB) Þ M( 1 - 0;13; 2 - 1). r
Giả sử D có VTCP u = (a;b;c)
+ Vì D Ì (OAB) nên a + 4b + 2c = 0 (1) 5
a - b + 2c 5
+ cosa = Û = (2) 6
a2 + b2 + c2 6 6 éb 5 = c a 2 , = - c Từ (1) và (2) Þ ê 11 11 ê
ëb = c,a = - c 6 5 2 r
x +10 y -13 z + 21 + Với b =
c,a = - c Þ u = (2; 5
- ;-11) Þ PT của D: = = 11 11 2 5 - -11 r
x +10 y -13 z + 21
+ Với b = c,a = -6c Þ u = (6;-1;-1) Þ PT của D: = = 6 -1 -1
Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A(0;1; x + y - z
-2) , vuông góc với đường thẳng d 3 2 : =
= và tạo với mặt phẳng (P): 1 -1 1
2x + y - z + 5 = 0 một góc 0 a = 30 . r
· Giả sử D có VTCP u = (a;b;c). ìar ^ d
ìa - b + c = 0 ï ï
éc = 0,a = b Ta có: í 3 Û í
2a + b - c 3 Û cosa = ê ï =
ëc = -2a,b = -a î 2 ï î
a2 + b2 + c2 2 6 r
+ Với c = 0,a = b Þ u = (1;1;0) Þ D: {x = t; y = 1+ t; z = 2 - r
+ Với c = -2a,b = -a Þ u = (1; 1 - ; 2)
- Þ D: {x = t; y = 1- t; z = 2 - - 2t . Trang 34
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1
- ;2) , song song với mặt phẳng (P) : 2x - y - z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng
x +1 y -1 z D : =
= một góc lớn nhất (nhỏ nhất). 1 2 - 2 r r · D có VTCP u (1; 2;2) D = -
. Gọi VTCP của đường thẳng d là u = (a;b;c) . r r
d P (P) Û u. P
n = 0 Û c = 2a - b . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là a. a 5 4b 1 ( a 5 - 4b 2 ) Þ cosa - = = . 3 a 5 - 4ab + 2b 3 a2 5 - 4ab + 2b2 2 2 1
+ TH1: Nếu b = 0 thì cosa = . 5 3 a 1 ( t 2 5 - 4) 1
+ TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t = Þ cosa = .
= . f (t) b 3 t2 5 - 4t + 2 3 ( t 2 5 - 4)
Xét hàm số f (t) =
. Ta suy ra được: £ a = f t 5 3 0 cos ( ) £ t2 5 - 4t + 2 9 5 3
So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 0 £ cosa £ 9 Do đó: a 4
x -1 y +1 z - 2
a) min(cosa ) = 0 Û = Þ Phương trình đường thẳng d : = = b 5 4 5 3 5 3 a 1
x -1 y +1 z - 2 b) max(cosa) =
Û = - Þ Phương trình đường thẳng d: = = 9 b 5 1 -5 7
Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1
x -1 y - 2 z + 2 - ;0; 1) - , cắt đường thẳng 1 D : = =
sao cho góc giữa d và đường thẳng 2 1 1 -
x - 3 y - 2 z + 3 2 D : = =
là lớn nhất (nhỏ nhất). -1 2 2
· Gọi M = d Ç 1
D . Giả sử M(1+ 2t;2 + t; 2 - - t) . uuur r VTCP của d : d
u = AM = ( t
2 + 2;t + 2;-1- t) . Gọi · a = (d, 2 D ). 2 t2 2 Þ cosa = . . f t() 3 t2 6 +1 t 4 + 9 3 t2
Xét hàm số f (t) = . Ta suy ra được f t = f 9 9 max ( )
(- ) = ; min f t() = f (0) = 0 6t2 +14t + 9 7 5 x +1 y z +1
a) min(cosa ) = 0 Û t = 0 Þ Phương trình đường thẳng d : = = 2 2 1 - 2 5 x +1 y z +1 b) max(cosa ) = Û t 9
= - Þ Phương trình đường thẳng d : = = 5 7 4 5 2 Trang 35
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương
trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là:
x - 2 y - 3 z d - 3
x -1 y - 4 z - 3 1 : = = , d : = =
. Lập phương trình đường thẳng chứa 1 1 2 - 2 1 2 - 1
cạnh BC của DABC và tính diện tích của DABC .
· Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH Þ (P) ^ d Þ (P) : x + y - 2z 1 +1 = 0
B = (P) Ç d Þ B 2
(1;4;3) Þ phương trình BC :{x = 1+ 2t; y = 4 - 2t; z = 3
Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: Q
( ) : x - 2y + z - 2 = 0 Þ K(2;2;4) Þ M(1;2;5) (K là trung điểm của CM). ìx = 1 ï 1 uuur uuur
Þ AB : íy = 4 + 2t , do A = AB Ç d Þ A(1;2;5) Þ S = é ù DABC ëAB, AC 1 û = 2 3 . ï 2 îz = 3 - 2t
Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với A(1; 1 - ;1) và hai đường trung x y -1 z - 2 ìx = 1- t ï
tuyến lần lượt có phương trình là d1 : = = , d : íy = 0 . Viết phương trình 2 3 - -2 2 ïîz =1+t
đường phân giác trong của góc A.
· Ta có A Ï d , AÏ d 1
2 . Gọi M Î d , N Î d 1
2 lần lượt là trung điểm AC, AB. 1
N(1–t;0;1+ t) Þ B(1– t
2 ;1;1+ 2t) . B Î d Þ t 1 = Þ B(0;1;2) 2 1 M( t 2 ;1- t
3 ;2 - 2t) Þ C(4t –1;3 –6t;3 – 4t) . C Î d Þ t = Þ C 2 (1;0;1) 2 uuur uuur
Ta có: AB = 6, AC = 1. Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB = - 6DC æ ö + uuur æ ö - + Þ D 6 1 2 6 ç ; ; ÷ ç Þ AD 1 2 6 1 = ç ; ; ÷ ç ÷ è1 6; 1 6 1 6 ÷ + + + ø è 1+ 6 1+ 6 1+ 6 ø x -1 y +1 z -1
Vậy phương trình đường thẳng AD là: = = . 1 - 2 + 6 1 Trang 36
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2
- ;3) . Viết phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
· Gọi M là hình chiếu của I(1; 2
- ;3) lên Oy, ta có: M(0;-2;0). uuur IM = ( 1 - ;0; 3
- ) Þ R = IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là x 2 - + y 2 + + z 2 ( 1) ( 2) ( - 3) = 10 .
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : {x =2t; y = t; z = 4 và
(d2) : {x = 3 - t; y = t; z =0 . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu
(S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).
· Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) Þ M(2; 1; 4); N(2; 1; 0)
Þ Phương trình mặt cầu (S): x 2 - + y 2 - + z 2 ( 2) ( 1) ( - 2) = 4.
Câu hỏi tương tự: ì = - ¢
x - 2 y -1 z x 2 2t ï 2 2 2 æ 11ö æ 13 ö æ 1 ö 5 a) d1 : = = , d : íy = 3 .
ĐS: (S) : x - + y - + z + = 1 1 - 2 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ï è 6 ø è 6 ø è 3 ø 6 z = t¢ î
x - 2 y -1 z
x - 2 y + 4 z - 2 b) (d ) : = = ,(d 1 2 ) : = = 1 - 2 2 1 6 2 2 æ 5 ö 9
ĐS: (S) : (x 2
- 2) + ç y - ÷ + (z 2 - 3) = è 2 ø 4
x - 4 y -1 z + 5
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : = = và 3 -1 2 - ìx = 2 + t ï d : íy = 3
- + 3t . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường 2 ïîz = t
thẳng d1 và d2 .
· Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính.
Câu hỏi tương tự: ìx = t 2 ìx = 3 - t ï ï
a) d : íy =t 2 2 2 1
, d : íy = t 2 .
ĐS: (S) : (x - 2) + (y -1) + (z - 2) = 4 ïz = 4 î ïz= 0 î
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( 1
D ) có phương trình
{x = t2;y = t;z = 4 ; ( 2D) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a): x + y -3 = 0 và
(b ) : 4x + 4y + 3z -12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng 1 D , 2
D chéo nhau và viết phương trình
mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 D , 2
D làm đường kính.
· Gọi AB là đường vuông góc chung của 1 D , 2 D : A( t 2 ;t;4)Î 1
D , B(3 + s;-s;0)Î 2 D
AB ^ D1, AB ^ D2 Þ A(2;1;4), B(2;1;0) Trang 37
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Þ Phương trình mặt cầu là: x 2 - + y 2 - + z 2 ( 2) ( 1) ( - 2) = 4
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
A º O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’.
· Kẻ CH ^ AB’, CK ^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K.
Þ CH2 = CK2 + HK2 49 =
. Vậy phương trình mặt cầu: x 2 - + y 2 - + z2 49 ( 3) ( 2) = 10 10
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3;
2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 2 = 0 . Gọi A’ là hình chiếu của
A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và
bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
· Dễ thấy A¢( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): 2 2 2
x + y + z - 5x - 2y - 2z +1 = 0 æ ö Þ (S) có tâm I 5;1;1 ç , bán kính R 29 = 2 ÷ è ø 2
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) ìx = 5 / 2 + t ï æ ö
+) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: íy = 1+ t Þ H 5 1 1 ; ; ç ÷ ïz = 1+ t è 3 6 6 î ø IH 75 5 3 = =
, (C) có bán kính r = R2 - IH 2 29 75 31 186 = - = = 36 6 4 36 6 6
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
x +1 y - 2 z + 3 phương trình = =
. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết 2 1 1 -
phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. uur r éëBA,aùû 4 +196 +100 · d(A, (d)) = = = 5 2 ar 4 +1+1
PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : x 2 + y 2 + + z 2 ( –1) ( 2) ( –3) = 50 x + y - z
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d 5 7 : = = và điểm 2 2 - 1
M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 .
Viết phương trình của mặt cầu (S). r uuuur · d đi qua N( 5
- ;7;0) và có VTCP u = (2; 1 - ;1) ; MN = ( 9 - ;6;-6) .
Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d Þ MH = d(M,d) = 3 . 2 2 æ AB 2 ö
Bán kính mặt cầu (S): R = MH + ç ÷ = 18 . è 2 ø
Þ PT mặt cầu (S): x 2 - + y 2 - + z 2 ( 4) ( 1) ( - 6) = 18.
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 2x - y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S) x2 + y2 + z2 :
- 2x + 4y - z
8 - 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt
phẳng (a ) . Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) . Trang 38
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian 2 2 2
· (S) : ( x - )
1 + (y + 2) + (z - 4) = 25 có tâm I (1;-2;4) và R = 5.
Khoảng cách từ I đến (a) là: d (I,(a)) = 3 < R Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau. ìx = 1+ 2t ï
Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ : íy = 2 - - t ïz = 4 + 2t î ìx = 1+ 2t ìt = 1 - ïy = -2 - t ïx = -1
Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả í Û í Þ H ( 1 - ; 1 - ;2) z = 4 + 2t y = 1 - ï ï
ïî2x - y + 2z - 3 = 0 ïîz = 2
Vì H là trung điểm của IJ nên J (-3;0;0) . Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có 2
phương trình: S¢ ( x + ) + y2 + z2 ( ) : 3 = 25 .
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng
Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8.
· Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S0) là mặt cầu có tâm I m 0(0; 0; )
thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo 2 đường tròn tâm O º O 1 (0;0;0) , bán
kính R1 = 2 và tâm O2(0;0;2) , bán kính R2 = 8. ìïR = 2 + m 2 2 2
Gọi R là bán kính mặt cầu thì í
Þ 4 + m2 = 64 + (m 2 - 2) Þ m = 16 ïîR = 8 + m 2 2 2 - 2
Þ R = 2 65 và I0(0;0;16). Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(a;b;16) (a, b Î R), bán kính R = 2 65 .
Vậy phương trình mặt cầu (S): x - a 2 + y - b 2 + z 2 ( ) ( )
( -16) = 260 (a, b Î R).
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 2 = 0 và đường x y +1 z - 2 thẳng d: = =
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một 1 - 2 1
khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.
· Giả sử I(-t; t
2 -1;t + 2)Î d , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). ét 1 = ê 2
Ta có: d(I,(P)) = 2 Û 6 - t - 5 = 6 Û 6 ê
. R2 = (d I P ) + r2 ( ,( ) = 13 êt 11 = - ë 6 æ ö 2 2 2 æ 1 ö æ 2 ö æ 13 ö + Với t 1 = Þ I 1 2 13 ç - ;- ;
Þ (S): ç x + ÷ + ç y + ÷ + ç z - ÷ = 13 6 6 3 6 ÷ è ø è 6 ø è 3 ø è 6 ø æ ö 2 2 2 æ 11ö æ 14 ö æ 1 ö + Với t 11 = - Þ I 11 14 1 ç ;- ; Þ (S): ç x - ÷ + ç y +
÷ + ç z - ÷ = 13 6 6 3 6 ÷ è ø è 6 ø è 3 ø è 6 ø
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng
(P): 2x + y - z + 5 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ 5
tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng . 6 Trang 39
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
· Giả sử (S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - c
2 z + d = 0 . ìa = 1 ï
+ Từ O, A, B Î (S) suy ra: íc = 2 Þ I(1;b;2) . ïîd = 0 b + 5 5 éb = 0 + d I P 5 ( ,( )) = Û = Û 6 6 6 êëb = -10
Vậy (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4z = 0 hoặc (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 20y - 4z = 0
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3; 4), B(1;2; 3 - ),C(6;-1;1) và
mặt phẳng (a ) : x + 2y + 2z -1 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt
phẳng (a ) và đi qua ba điểm A, B,C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (a ) .
· Goi I(a;b;c) là tâm mật cầu ta có : ìIA = IB (
ì 1- a 2) + (3- b 2) + (4 - c 2) = (1- a 2) + (2 - b 2) + (-3- c 2) ï ï íIA = IC Û ( í 1- a 2 ) + (3 - b 2 ) + (4 - c 2 ) = (6 - a 2 ) + (-1- b 2 ) + (1- c 2 ) I ( ï ï Î î a)
îa + 2b + c 2 -1 = 0 ìb + c 7 = 6 ìa = 1 ï ï Û í a 5 - 4b - c 3 = 6 Û íb = 1 - Þ I(1; 1
- ;1) Þ R2 = IA2 = 25
ïa + 2b + c 2 -1 = 0 ïc = 1 î î Þ Phương trình S x 2 - + y 2 + + z 2 ( ) : ( 1) ( 1) ( -1) = 25
Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên S 25 3 ABC = 2 uuur uuur uuur uuur r
AB = (0;-1;-7), AC = (5; 4 - ; 3
- ) Þ p = éëAB, ACùû = ( 2 - 5; 3 - 5;5) r r 17
cos((a),(ABC)) = cos(n , p a ) = 15 3
Gọi S ' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (a ) Ta có S = SABC a ABC 50 3 17 85 ' .cos(( ),( )) = = (đvdt) 4 15 3 6
x -1 y +1 z
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = 3 1 1 và mặt
phẳng (P): 2x + y - 2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng
d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
· Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ I(1+ t 3 ; 1
- + t;t). Bán kính R = IA = t2 11 - t 2 +1 . t 5 + 3
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d(I,(P)) = = R 3 ét = 0 Þ R = 1 Û t2 37 - 2 t 4 = 0 Û ê . êt 24 = Þ R 77 = ë 37 37
Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
Vậy phương trình mặt cầu (S): x 2 - + y 2 + + z2 ( 1) ( 1) = 1. Trang 40
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
x -1 y + 2 z
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng (P): 1 1 1
2x + y –2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng
(P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).
· Gọi I là tâm của (S) Þ I (1+ t;t –2;t). Ta có d(I, (P)) = AI Û t = t 7 1; = . 13 Vậy: S x 2 + y 2 + + z 2 ( ) : ( –2) ( 1) ( –1) = 1 2 2 2 æ 20 ö æ 19 ö æ 7 ö 121
hoặc (S) : x – + y + + z – = ç . 13 ÷ ç 13 ÷ ç 13 ÷ è ø è ø è ø 169
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2;-2) , đường thẳng D:
2x - 2 = y + 3 = z và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8p . Từ
đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S).
· Ta có: d = d(I,(P)) = 3 . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 2pr = 8p Þ r = 4
Suy ra bán kính mặt cầu: R2 = r2 + d2 = 25 Þ S x 2 - + y 2 - + z 2 ( ) : ( 1) ( 2) ( + 2) = 25 æ ö
Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với (D) tại điểm M 5 5 4 ;- ; ç . 3 3 3 ÷ è ø æ ö uuur æ ö
Do đó: (Q) chứa (D) và tiếp xúc với (S) đi qua M 5 5 4 ;- ; ç và có VTPT MI 2 11 10 ;- ; 3 3 3 ÷ ç ÷ è ø è 3 3 3 ø
Þ PT mặt phẳng (Q): 6x - 33y + 30z -105 = 0.
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :{x = t; y = -1; z = -t và 2
mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
· Giả sử: I(t; 1
- ;-t)Î d . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d(I,(P)) = d(I, Q ( )) = R 1- t 5 - t 2 Û =
Û t = 3 . Suy ra: R = ,I(3; 1 - ; 3) - . 3 3 3 2 2 2 4
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x - 3) + (y + ) 1 + (z + 3) = . 9
Câu hỏi tương tự:
a) d :{x = 2 + t; y = 1+ 2t; z = 1- t , (P) : x + 2y - 2z + 5 = 0 , Q
( ) : x + 2y - 2z -13 = 0 . 2 2 2 æ 16 ö æ 11ö æ 5 ö
ĐS: (S) : ç x - ÷ + ç y -
÷ + ç z - ÷ = 9 è 7 ø è 7 ø è 7 ø
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y - 2z +10 = 0 , hai x - 2 y z -1 x - 2 y z + 3 đường thẳng (D1): = = , (D = =
. Viết phương trình mặt cầu (S) 1 1 1 - 2): 1 1 4
có tâm thuộc (D1), tiếp xúc với (D2) và mặt phẳng (P). ìx = 2 + t ï r
· D : íy = t 1 ; 2
D đi qua điểm A(2;0; 3)
- và có VTCP u2 = (1;1;4). ïîz =1- t
Giả sử I(2 + t;t;1- t)Î 1
D là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S). Trang 41
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng uur uur uur r r éAI,u ù ë 2 û t 5 - 4
Ta có: AI = (t;t;4 - t) Þ éAI,u ù = ( t 5 - 4;4 - t ë 2 5 ;0) û Þ d(I, 2 D ) = = ur 2 3 + t - t - - t + t + d I P 2 2 2(1 ) 10 10 ( ,( )) = = 1+ 4 + 4 3 ét 7 (S) tiếp xúc với = ê 2
D và (P) Û d(I,D ) = d(I,(P 2 )) Û t
5 - 4 = t +10 Û 2 . ê ët = -1 æ ö · Với t 7 = Þ I 11 7 5 ç ; ;- , R 9 = Þ 2 2 2 2 ÷ è ø 2 2 2 2 æ 11ö æ 7 ö æ 5 ö 81
PT mặt cầu (S): ç x -
÷ + ç y - ÷ + ç z + ÷ = . è 2 ø è 2 ø è 2 ø 4 · Với t = 1 - Þ I(1; 1
- ;2), R = 3 Þ PT mặt cầu (S): x 2 - + y 2 + + z 2 ( 1) ( 1) ( - 2) = 9 .
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập
phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.
· PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I Î (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác
ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích
bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A¢(0; 0; 2) và điểm C có tung độ
dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB¢C¢M.
· Ta có: AB = 5 và S ABC 5 D
= nên AC = 2 5 .
Vì AA’ ^ (ABC) và A, B Î (Oxy) nên C Î (Oxy). uuur uuur
Gọi C(x; y;0) . AB = (1;2;0), AC = (x; y;0) . ìAB ^ AC ìx + 2y = 0 ìx = 4 - ìx = 4 Ta có: í Û í Û í Ú . Vì
> nên C(–4; 2; 0) . îAC = 2 5 îx2 + y2 = 20 îy 2 í = îy = 2 - C y 0 uuur uuur uuur uuur
Do CC ' = AA' Þ C¢(–4; 2; 2), BB' = AA' Þ B¢(1; 2; 2) và M là trung điểm CC¢ nên M(–4; 2; 1). Trang 42
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: S x2 + y2 + z2 ( ) :
+ 2x + 2by + 2cz + d = 0 ìA(0;0;0)Î(S) ïB'(1;2;2)Î(S) 3 3 3 í
Û a = ;b = - ;c = - ;d = 0 2 2 2 + + - > 0 C '( (thoả a b c d ) -4;2;2)Î(S) 2 2 2 ï
ïîM(-4;2;1)Î(S)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: S x2 + y2 + z2 ( ) :
+ 3x - 3y - z 3 = 0 .
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3),
C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
· Ta tính được AB = CD = 10, AC = BD = 13, AD = BC = 5 . Vậy tứ diện ABCD có các
cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt
cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. æ ö
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là G 3 3 ;0; ç
, bán kính là R = GA 14 = . 2 2 ÷ è ø 2
Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID .
Câu 22. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z - 6 = 0 , gọi A,
B, C lần lượt là giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt cầu
(S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S).
· Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3).
PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + C
2 z + D = 0 A2 + B2 + C2 ( - D > 0) . ìD = 0 3 ï 6 +12A = 0 ì 3 3 A, B, C, O Î (S) Û í Û íA = 3
- ; B = - ; C = - ; D = 0 9 . + 6B = 0 ï î 2 2 ïî9 + C 6 = 0 æ ö
Vậy (S): x2 + y2 + z2 - 6x - 3y - z 3 = 0 có tâm I 3 3 ç3; ; , bán kính R 3 6 = . 2 2 ÷ è ø 2 æ ö
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Þ H là tâm của (C). Tìm được H 8 5 5 ; ; ç . 3 6 6 ÷ è ø
Þ Bán kính của (C): r = R2 - IH2 27 5 2 = -1 = . 2 2
Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn
AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N.
· Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D º O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D¢(0; 2; 0), C(0; 0; 2).
Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C¢(0; 2; 2).
PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C¢ có dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + C
2 z + D = 0 . 1 ì + 2A + D = 0 ï2 + 2B + C 2 + D = 0 ì 5 5 1
M, N, B, C¢ Î (S) Û í
Û íA = - ;B = - ;C = - ;D = 4 8 + 4A + C 4 + D = 0 ï î 2 2 2 8 ïî + 4B + C 4 + D = 0
Vậy bán kính R = A2 + B2 + C2 - D = 15 . Trang 43
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 2(1) - 2(2) - 3 - 4
· I (1; 2; 3); R = 1+ 4 + 9 +11 = 5; d (I; (P)) = = 3 < R = 5. 4 + 4 +1
Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) ìx = 1+ t 2 ï
Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : íy = 2 - 2t ïz = 3 - t î
Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J Î d Þ J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)
J Î (P) Þ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 Þ t = 1
Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R2 - IJ2 = 4
Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Tính bán
kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.
· Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. 1 1 1 1 1 O V ABC = I V OAB+ I V OBC+ O V CA A +V BC = r.. OA
S B + r.. O
S BC + r.. O
S CA + r. S.ABC = r. S. 3 3 3 3 TP 3 1 8 4 1 Mặt khác: O V ABC = O . A O . B OC . = = (đvtt); S = S = S = O . A OB . = 2 6 6 3 OAB OBC OCA 2 3 3 SABC = AB2 = .8 = 2 3 (đvdt) Þ = + (đvdt) 4 4 TP S 6 2 3 V 3 4 Do đó: OABC r = = (đv độ dài) TP S 6 + 2 3
Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m;
0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n =1và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. uuur uuur r
· Ta có: SM = (m;0; 1
- ), SN = (0;n;-1) Þ VTPT của (SMN) là n = (n;m;mn)
Phương trình mặt phẳng (SMN):
nx + my + mnz - mn = 0
n + m - mn 1- m n . 1- mn Ta có: d(A,(SMN)) = = = = 1 n2 2 2 1- mn
+ m2 + m2n2 1- 2mn + m n
Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình ìx = t ìx = 0 d ï ï íy 1 : = 0
, d : íy = t 2
. Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R = 6 , có tâm nằm ïîz = 2 - t ïîz = 2 - t
trên đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi d d
1, 2 và tiếp xúc với d d 1, 2 .
· Phương trình mp(P) chứa d , d 1
2 là (P) : x + y + z - 2 = 0
Phương trình mp(Q) chứa d1 và vuông góc với (P là Q
( ) : x - 2y + z - 2 = 0
Phương trình mp(R) chứa d2 và vuông góc với (P) là (R) : 2x - y - z + 2 = 0 Trang 44
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R):
(PG ) : x - y = 0, (PG ) : x + y - 2z 1 2 + 4 = 0 ìx = t ìx = -t ï ï
Phương trình hai đường phân giác của d1, d2: a :íy = t
b :íy = t ïz = 2 - 2t ïz = 2 î î
Vì cos(a,d ) > cos(b,d 1
1) nên đường thẳng a là phân giác của d1, d2 thỏa mãn điều kiện.
Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I1(2;2;-2), I2( 2 - ; 2 - ;6)
Suy ra (S ) : (x 2 - 2) + (y 2 - 2) + (z 2 2 2 2 1
+ 2) = 6 hoặc (S ) : (x + 2) + (y + 2) + (z 2 - 6) = 6 Trang 45
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ
điểm M thuộc mặt phẳng (P): x - y + z -1 = 0 để DMAB là tam giác đều.
· Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Þ (Q): x + y - z - 3 = 0
d là giao tuyến của (P) và (Q) Þ d: {x = 2; y = t +1;z = t
M Î d Þ M(2;t +1;t) Þ AM = t2 2 - t 8 +11 .
Vì AB = 12 nên D MAB đều khi MA = MB = AB 4 ± 18 æ ö ± ± Û t2 2 - t 8 -1 = 0 Û t = Þ M 6 18 4 18 ç2; ; ÷ . 2 è 2 2 ø
Câu hỏi tương tự: a) Với (
A 4;0;0) , B(0;0; 4) , (P): 2x - y + 2z - 4 = 0 . ĐS:
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ
độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x - y - z +1 = 0 để DMAB là tam giác đều.
· Giả sử M(x; y; z)Î(P) Þ 3x - y - z +1 = 0 (1). ìx 2 = ìMA2 ï = MB2 3 ï ì4x + 8z = 4 - ï ïï 10 æ ö
D MAB đều Û íMA2 = AB2 Û í6z = 1 - Û íy = Þ M 2 10 1 ç ; ;- ÷ ï ï 3 è 3 3 6 ø îM Î(P) 3
ïî x - y - z = 1 - ïz 1 = - ïî 6
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;1;-3),B(3;1; 1
- ),(P) : 3x - 8y + 7z + 4 = 0 . æ ö æ ö ĐS: C 2 6 6 2 6 ç2 + ;1- ; 2 - - ÷ hoặc C 2 6 6 2 6 ç2 - ;1+ ;-2 + ÷ è 3 3 3 ø è 3 3 3 ø
b) Với A(1;2;3),B(-1;4;2),(P) : x - y + z +1 = 0 . æ ö - - æ ö + + ĐS: C 1 3 5 11 3 5 3 ç ;
; ÷ hoặc C 1 3 5 11 3 5 3 ç ; ; ÷ è 4 4 2 ø è 4 4 2 ø
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1; 4) . Tìm tọa độ
điểm C thuộc mặt phẳng (P) : x - y - z -1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 .
· Giả sử: C(x; y; x - y -1)Î(P). AB = 4. AC = BC Þ x 2 - + y 2 - + x - y 2 - = x 2 - + y 2 - + x - y 2 ( 3) ( 5) ( 5) ( 3) ( 1) ( - 5) Þ y = 3
Gọi I là trung điểm AB Þ I(3;3;4) . 2 2 éx = 4 I
S AB = 2 17 Þ CI.AB = 4 17 Þ CI = 17 Û (3- x) + (8- x) = 17 Û ê ëx = 7
+ Với x = 4 Þ C(4;3;0)
+ x = 7 Þ C(7;3;3) .
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z –3 = 0 Trang 46
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
sao cho MA = MB = MC . uuur uuur uuur uuur r · Ta có AB = (2; 3
- ;-1), AC = (-2;-1;-1) Þ n = éëAB, ACùû = (2;4; 8)
- là 1 VTPT của (ABC)
Suy ra phương trình (ABC): x + 2y - 4z + 6 = 0 . Giả sử M(x; y; z). ìx = 2
ìMA = MB = MC ï Ta có: í
Û íy = 3 Þ M(2;3;-7) îM Î(P) ïîz = -7
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( A 0; 2
- ;1), B(2;0;3) và mặt phẳng
(P) : 2x - y - z + 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM ) ^ (P) . r 1 uuuv
· Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của ABÞ n = AB = (1;1;1) là một VTPT của (Q). Q 2 I(1; 1
- ;2) là trung điểm của AB Þ Phương trình Q
( ) : x + y + z - 2 = 0 r r r
Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). n = én ; n ù = (0;3;-3) là VTPT của R ë P Q û
(R) Þ Phương trình của (R) : y - z + 3 = 0
ì2x - y - z + 4 = 0 ï æ 2 1 17 ö
Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: íx + y + z - 2 = 0 Þ M ç - ;- ; ÷ y z è 3 6 6 3 0 ø ï - + = î
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm
tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình
mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S.
· OABC là hình chữ nhật Þ B(2; 4; 0) Þ Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB.
+ Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp
có phương trình z = 2 ) tại I Þ I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S.
+ Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 2 2 1+ 2 + 2 = 3 Þ (S): x 2 - + y 2 - + z 2 ( 1) ( 2) ( - 2) = 9
Câu 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3; –2), B(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P):
2x – y + z +1 = 0 . Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
· A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua (P) Þ A'(3;1;0)
Để M Î (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A¢B Þ M(2;2; 3) - .
Câu hỏi tương tự: æ ö
a) Với A(0;-1;2),B(-1;1;3) , (P) º O ( xy) . ĐS: M 2 1 ç - ;- ;0 5 5 ÷ è ø
b) Với A(1;0;0), B(1;2;0) , (P) : x + y + z - 4 = 0 ĐS: æ ö c) Với A(1;2; 1 - ),B(3;1; 2
- ),(P) : x - y + 2z = 0. ĐS: M 13 4 ç ;1;- . 5 5 ÷ è ø
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng
D có phương trình tham số {x = -1+ 2t; y =1- t; z = t
2 . Một điểm M thay đổi trên đường
thẳng D , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
· Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Điểm M Î D nên M (-1+ t 2 ;1- t t ;2 ). AM + BM = t 2 2 + + t 2 2 (3 ) (2 5) (3 - 6) + (2 5) Trang 47
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng r r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = ( t3;2 5) và v = (- t3 + 6;2 5) . r r Ta có u = t 2 2 + v = t 2 2 (3 ) (2 5) ; (3 - 6) + (2 5) r r r r r r Þ AM + BM |
= u | + | v | và u + v = (6;4 5) |
Þ u + v |= 2 29 r r r r
Mặt khác, ta luôn có | u | + | v | |
³ u + v | Như vậy AM + BM ³ 2 29 r r t 3 2 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng Û = Û t = 1 - t 3 + 6 2 5
Þ M(1;0;2) và min(AM + BM) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29)
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x - 3y + 3z -11 = 0 và hai điểm A(3; 4
- ;5) , B(3;3;-3) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA - MB lớn nhất.
· Xét tương tự như câu 6).
+ Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA - MB £ AB
+ Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P).
Khi đó MA¢ = MA Þ MA - MB = MA¢ - MB £ A B ¢ æ ö ĐS: M 31 5 31 ç - ;- ; . 7 7 7 ÷ è ø
Câu hỏi tương tự:
a) (P) : x + y + z - 4 = 0 , A(1;2;1) , B(0;1;2) . ĐS: æ ö
b) (P) : x - y + 2z = 0, A(1;2; 1 - ),C(1; 2 - ;1) . ĐS: M 7 11 ç ; ;1 2 2 ÷ è ø
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2 y + 2z + 8 = 0 và các
điểm A(–1;2;3), B(3;0; –1) . Tìm điểm MÎ (P) sao cho 2 2
MA + MB nhỏ nhất. 2 2 2 AB2
· Gọi I là trung điểm của AB Þ I(1; 1; 1) . Ta có: MA + MB = 2MI + . 2 Do đó: MA2 MB2 + nhỏ nhất IM2 Û
nhỏ nhất Û M là hình chiếu vuông góc của I trên (P) uuur ìx = 1+ t ìt = -1
ìIM, nr cuøng phöông ïy =1- 2t ïx = 0 Û P í Û Û í Û í . Vậy M(0; 3; –1). îM Î(P) z = 1+ 2t y = 3 ï ï
ïîx - 2y + 2z + 8 = 0 ïîz = 1 -
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): x + y + z = 0 , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7). ĐS: M º O(0; 0; 0). æ ö
b) Với (P): x + 5y - 7z - 5 = 0 , A(4;9; 9 - ),B( 1 - 0;13;1) . ĐS: M 50 192 75 ç - ;- ; . 17 17 17 ÷ è ø
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z - 4 = 0 và các
điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA2 + MB2 2 nhỏ nhất. uur uur r uur uur æ ö
· Giả sử I là điểm thoả mãn: IA + 2IB = 0 Û IA = 2 - IB Þ I 1 4 5 ; ; ç 3 3 3 ÷ è ø
Ta có: MA2 + MB2 = MI 2 + IA2 + IB2 2 3 2
. Do I cố định nên IA2 IB2 , không đổi. Vậy MA2 + MB2 2 nhỏ nhất MI2 Û
nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I Trang 48
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian æ ö trên (P) Û M 5 14 17 ; ; ç . 9 9 9 ÷ è ø
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3),
C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z –3 = 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng
(P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F MA2 MB2 MC2 = + +
. Khi đó tìm toạ độ của M. æ 7 8 ö
· Gọi G là trọng tâm của DABC Þ G ; ;3 2 2 2 56 32 104 64 ç
; GA + GB + GC = + + = 3 3 ÷ è ø 9 9 9 3
uuuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2
Ta có F MA2 MB2 MC2 = + +
= (MG + GA) + (MG + GB) + (MG + GC) uuur uuur uuur uuuur
= MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + MG GA + GB + GC = MG2 + GA2 + GB2 + GC2 3 2 ( ) 3
F nhỏ nhất Û MG2 nhỏ nhất Û M là hình chiếu của G lên (P) 7 8 - - 3 - 3 3 3 19 Û MG = d G ( ,(P)) = = 1+1+1 3 3 2 æ 19 ö 64 553
Vậy F nhỏ nhất bằng 3.ç ÷ + =
khi M là hình chiếu của G lên (P). è 3 3 3 9 ø
Câu hỏi tương tự:
a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x - y - z - 3 = 0 . æ - ö
ĐS: min F = 65 , M 11 2 4 ç ; ; 3 3 3 ÷ è ø æ ö
b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x + 3y – z + 2 = 0 . ĐS: M 22 61 17 ; ;- ç 3 3 3 ÷ è ø
c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x - 2y + 2z + 6 = 0 . ĐS: M (0; 4; 1) .
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1 - ;0;1) , B(2; 1 - ;0) ,
C(2;4;2) và mặt phẳng (P): x + y + 2z + 2 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức T
MA2 MB2 MC2 = + +
đạt giá trị nhỏ nhất.
· Giả sử M(x; y; z)Î(P) Þ x + y + 2z + 2 = 0 Û (x -1) + (y -1) + 2(z -1) + 6 = 0 (1) Ta có: T x2 y2 z2 x y z
éë x 2 y 2 z 2 3( 2 2 2 ) 31 3 ( 1) ( 1) ( 1) ù = + + - - - + = - + - + - û + 22 (2)
Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: (1;1;2) và (x -1; y -1; z -1) , ta được: 2 2 -
= éë x - + y - + z - ù é û £ + + ë x 2 - + y 2 - + z 2 ( 6) 1( 1) 1( 1) 2( 1) (1 1 4) ( 1) ( 1) ( -1) ùû 2 6
ì x -1 y -1 z -1 ìx = 0 ï = = ï Þ T ³ 3.
+ 22 = 40 . Dấu "=" xảy ra Û í
Û íy = 0 Þ M(0;0;-1). 6 1 1 2
ïîx + y + 2z + 2 = 0 ïîz = 1 -
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z - 4 = 0 và các
điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 3 2 nhỏ nhất.
· Giải tương tự như Câu 10.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x - y + z -1 = 0 và các Trang 49
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
điểm A(1;2;-1) , B(1;0; 1)
- , C(2;1;-2) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA2 MB2 MC2 + - nhỏ nhất. æ ö
· Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M 2 1 2 ç ; ; . 3 3 3 ÷ è ø
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x - y + 2z = 0 và các
điểm A(1;2;-1) , B(3;1; 2)
- , C(1;-2;1) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA2 MB2 MC2 - - nhỏ nhất.
· Giải tương tự như Câu 10.
ĐS: M (2;-2;-2) .
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và
mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho uuur uuur uuur
MA + 2MB + 3MC nhỏ nhất. uur uur uur r æ ö
· Gọi I là điểm thoả: IA + 2IB + 3IC = 0 Þ I 23 13 25 ç ; ; 6 6 6 ÷ è ø uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uuur
Ta có: T = MA + 2MB + 3MC = ( MI + IA) + 2( MI + IB) + 3(MI + IC ) = 6MI = 6 MI uuur
Do đó: T nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm được: æ ö M 13 2 16 ç ;- ; . Khi đó T 43 3 min = . 9 9 9 ÷ è ø 3
Cách 2: Giả sử M(x; y; z)Î(P) Þ x + y + z - 3 = 0 (1) 2 2 2 æ 23 ö æ 13 ö æ 25 ö
Khi đó: MI 2 = ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - 6 6 6 ÷ è ø è ø è ø
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: 2 2 é 2 2 2 æ 43 ö æ 23 ö æ 13 ö æ 25 ö æ 23 ö æ 13 ö æ 25 ù é ù ö ç - ÷ = 1 ê .ç x - ÷ +1.ç y - ÷ +1.ç z - ÷ú £ 3êç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - ú è 6 ø ë è 6 ø è 6 ø è 6 øû êëè 6 ø è 6 ø è 6 ÷ø úû 2 æ ö Þ MI2 43 ³ 3ç Û MI 43 3 ³ . 18 ÷ è ø 18 ìx 13 = ì ï x 23 - y 13 - z 25 - 9 ï ïï 2 æ ö Dấu "=" xảy ra Û 6 6 6 í = =
Û íy = - Û M 13 2 16 ç ;- ; ÷ 1 1 1 ï ï 9 è 9 9 9 ø
îx + y + z - 3 = 0 ïz 16 = ïî 9 æ ö Vậy T 43 3 min = khi M 13 2 16 ç ;- ; . 3 9 9 9 ÷ è ø
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z - 4 = 0 và các uuur uuur uuur
điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M Î(P) sao cho MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất.
· Giải tương tự như Câu 16.
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y + z -1 = 0 và ba Trang 50
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
điểm A(2;1;3),B(0; 6
- ;2),C(1;-1;4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho uuur uuur uuur
MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất.
· Dễ thấy A,B,C không thẳng hàng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G(1; 2 - ;3) . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Khi đó với mọi M Î(P) ta có MA + MB + MC = 3MG , do đó MA + MB + MC đạt giá trị uuur
bé nhất Û MG đạt giá trị bé nhất Û M là hình chiếu vuông góc của G trên (P) . r
(P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử M(x ; y ; z )Î(P) Þ x + y + z 0 0 0 0 0 0 -1 = 0 (1). uuur
M là hình chiếu của G trên (P) Û GM = (x -1;y + 2;z 0 0
0 - 3) cùng phương với nr
x -1 y + 2 z - 3 (x -1) + (y + 2) + (z - 3)
(x + y + z -1) -1 1 - 0 0 0 0 0 0 Û = = = 0 0 0 = = 1 1 1 1+1+1 3 3 2 -7 8 æ - ö Û x = ,y = ,z 0 0 0 = . Vậy M 2 7 8 ; ; . 3 3 3 ç 3 3 3÷ è ø
Câu hỏi tương tự: æ ö
a) (P) : x - y + 2z = 0, A(1;2; 1 - ),B(3;1; 2 - ),C(1; 2 - ;1) . ĐS: M 5 1 2 ç ; ;- . 2 3 3 ÷ è ø
Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 3y + 2z + 37 = 0 và
các điểm A(4;1;5),B(3;0;1),C(-1;2;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau
uuur uuur uuur uuur uuuuruuur
đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB + MB M
. C + MC.MA
· Giả sử M(x; y; z)Î(P) Þ 3x - 3y + 2z + 37 = 0 (1) Khi đó S éë x 2 y 2 z 2 3 ( 2) ( 1) ( 2) 5ù = - + - + - - û .
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: 2 2 -
= éë x - - y - + z - ù é û £ + + ë x 2 - + y 2 - + z 2 ( 44) 3( 2) 3( 1) 2( 2) (9 9 4) ( 2) ( 1) ( - 2) ùû 2 Þ x 2 - + y 2 - + z 2 44 ( 2) ( 1) ( - 2) ³ = 88 . 22
x - 2 y -1 z - 2 ìx = 4 - ï Dấu "=" xảy ra Û = =
Û íy = 7 Û M(4;7;-2) . 3 -3 2 ïîz = 2 -
Vậy min S = 3.88 - 5 = 259 khi M(4;7;-2) .
Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B( 1 - ;1;0) và mặt
phẳng (P): x - y + z = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho DMAB vuông cân tại B. uur uuur
· Giả sử M(x; y; z)Î(P) . BA = (1;0;2),MB = (x +1; y -1;z) . ì ì ïx -1- 10 = ïx 4 - + 10 = ìM Î(P) 3 3 ï ï ïuur uuur ìx +1+ 2z = 0 ï ï 4 - + 10 ï -2 + 10 Ta có: íBA BM .
= 0 Û íx - y + z = 0 Û íy = Ú íy = ï ï 6 ï 6 îBA = BM ( ïî x 2 +1) + (y 2 -1) + z2 = 5 ï - - ï ïz 2 10 = ïz 2 - + 10 = î 6 î 6
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1
- ; 3; 0) , C(1; 3; 0) ,
M(0; 0; a) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt
phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất Trang 51
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng 3 æ 3 ö 3 · B V CMN = M V OBC + N V OBC = ç a +
đạt nhỏ nhất Û a = Û a = 3 . 3 a ÷ è ø a
Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng ìx = 2 - t ï
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : íy = t và mặt phẳng ïîz = 1 - - t 2
(P): x + y - z +1 = 0 . Gọi d ¢ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm H
thuộc d ¢ sao cho H cách điểm K(1;1;4) một khoảng bằng 5. ìx = 4 + t 7 ï
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(4; 2
- ;3). PT hình chiếu d¢ của d trên (P): íy = -2 - t 2 . ïîz = 3+ t5 - ±
Giả sử H(4 + t 7 ;-2 - t 2 ;3 + t
5 )Î d¢ . KH2 = 25 Û t 11 238 = Þ H. 39
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường
x -1 y + 2 z thẳng D : =
= . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho: MA2 + MB2 = 28. 1 - 1 2 ìx = 1- t ï
· PTTS của D : íy = -2 + t . M ÎD Þ M(1- t; 2 - + t; t 2 ) ïz = 2t î
Ta có: MA2 + MB2 = Û t2 28 12 - 4 t
8 + 48 = 0 Û t = 2 Þ M(-1;0;4)
Câu 25. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), B(2;2;2),C(-2;3;1) và đường x - y + z - thẳng d 1 2 3 : = =
. Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2 1 - 2 ìx = 1+ t 2 ï 1 uuur uuur r · d : íy = 2
- - t . Giả sử M(1+ t
2 ; - 2 - t; 3 + t
2 )Î d . n = - éëAB; ACùû = (1; 2; - 2) ïz = 3 + t 2 3 î - t - Þ S 9 ABC =
. PT mặt phẳng (ABC): x + 2y - 2z - 2 = 0 . h = d M ABC 4 11 ( ,( ) = 2 3 1 9 t 4 +11 5 M V ABC = . .
= 3 Û t = - hoặc t 17 = - 3 2 3 4 4 æ ö æ ö Þ M 3 3 1 - ; - ; ç hoặc M 15 9 11 - ; ; . 2 4 2 ÷ ç ÷ è ø è 2 4 2 ø Trang 52
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x -1 y z - 3 = =
. Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. 1 1 1
· Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d(M,d) = 2 . 2MH 2 6
Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = = 3 3 ì x - 2 y z - 3 = = ï
Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: 1 1 1 í . ï x 2 - + y 2 - + z 2 8 ( 2) ( 1) ( - 2) = î 3 æ 2 2 2 ö æ 2 2 2 ö
Giải hệ này ta tìm được: Aç 2 + ; ;3 + ÷, Bç2 - ;- ;3 - ÷ . è 3 3 3 ø è 3 3 3 ø
Câu hỏi tương tự: ìx = t ï æ 5 76 10 2 76 ö æ1 76 2 2 76 ö + + - -
a) Với M(1;0;-1) , d : íy = t 2 . ĐS: Aç ; ;1÷,Bç ; ;1÷ ï è 15 15 ø è 15 15 ø îz = 1 æ 5 76 10 2 76 ö æ1 76 2 2 76 ö - - + + hoặc Aç ; ;1÷,Bç ; ;1÷ è 15 15 ø è 15 15 ø
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: ìx = 1- t ï
íy = 2 + 2t . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. ïz = 3 î r · d có VTCP d u = ( 1
- ;2;0) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. uuuur
Giả sử H (1- t; 2 + t
2 ;3) Þ AH = (1- t;1+ 2t;0) uuur r æ ö
Mà AH ^ d nên AH ^ 1
- 1- t + 2 1+ t = 0 d u Þ ( ) ( 2 ) Û t 1 = - 5 Þ H 6 8 ç ; ;3 5 5 ÷ è ø 3 5 2AH 2 15 15 Þ AH =
. Mà DABC đều nên BC = = hay BH = . 5 3 5 5 2 2 æ 1 ö æ 2 ö 15
Giả sử B(1- s;2 + 2s;3) thì ç - - s÷ + ç + 2s÷ = è 5 ø è 5 ø 25 - ± Û s2
25 +10s - 2 = 0 Û s 1 3 = 5 æ ö - + æ ö + - Vậy: B 6 3 8 2 3 ç ; ;3÷ và C 6 3 8 2 3 ç ; ;3÷ è 5 5 ø è 5 5 ø æ ö + - æ ö - + hoặc B 6 3 8 2 3 ç ; ;3÷ và C 6 3 8 2 3 ç ; ;3÷ è 5 5 ø è 5 5 ø
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : x -1 y z + 2 = =
và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0 . 1 2 2 Trang 53
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng 2a 2a a2 8 - 24a + 36
· Gọi A(a; 0; 0) Î Ox Þ d(A; (P)) = =
; d(A; d) = 2 2 2 3 2 +1 + 2 3 2a a2 8 - 24a + 36 d(A; (P)) = d(A; d) Û =
Û 4a2 - 24a + 36 = 0 3 3 Û a 2
4( - 3) = 0 Û a = 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0).
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z –1 = 0 và hai x +1 y z + 9
x -1 y - 3 z +1 đường thẳng D1 : = = ; D = =
. Xác định tọa độ điểm M 1 1 6 2 : 2 1 -2
thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
· M (–1 + t; t; –9 + 6t) ÎD1;
D2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương ar = (2; 1; –2) uuur uuur r
AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ éAM;aù ë
û = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) Ta có : d (M, D 2 2) = d (M, (P)) Û 26 t
1 - 792t + 612 = 1 t 1 - 20 53 æ 18 53 3 ö
Û 35t2 – 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t =
. Vậy M (0; 1; –3) hay M ; ; . 35 ç 35 35 35÷ è ø
Câu hỏi tương tự: x - 3 y - 5 z x -1 2 - y z - 3
a) Với (P): 2x + y + 2z -1 = 0 , 1 D : = = , D : = = 1 1 1 - 2 4 1 1
ĐS: M(2;4;1) , M( 1 - ;1;4) x -1 y z + 2
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 D : = = và 2 1 - 1
x +1 y -1 z - 3 2 D : = =
. Đường vuông góc chung của 1 7 -1 1 D và 2 D cắt 1 D tại A, cắt 2 D tại B. Tình diện tích DOAB. r r · 1
D có VTCP u1 = (2;-1;1), 2
D có VTCP u2 = (1;7;-1)
Giả sử A(1+ 2t ;-t ;-2 + t 1 1 1)Î 1 D , B( 1 - + t ;1+ t 7 ;3 - t 2 2 2) Î 2 D . uuur ìïAB u.r = 0
ìt = 0 Þ A(1;0;-2) 1 uuur uuur 6 Ta có: 1 1 íuuur Û r í Þ = é ù O S AB O
ë A,OBû = . ïAB u . = 0 t = 0 Þ B î î 2 (-1;1;3) 2 2 2
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0 và các
x -1 y - 3 z x - 5 y z + 5 đường thẳng d : = = ; d : = =
M Î d , N Î d 1 2 . Tìm các điểm sao 2 -3 2 6 4 -5 1 2
cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. ìx = 1+ t 2 ï
· PTTS của d1 là: íy = 3- t
3 . M Î d1 nên tọa độ của M (1+ t 2 ;3 - t 3 ;2t) . ïz = t 2 î 1+ 2t - 2(3 - t 3 ) + t 4 -1 12t - 6 ét = 1
Theo đề: d(M;(P)) = = 2 Û = 2 Û 2 2 2 3 êët = 0 1 + ( 2 - ) + 2
+ Với t = 1 ta được M1(3;0;2) ;
+ Với t = 0 ta được M2 (1;3;0) Trang 54
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
· Ứng với M1, điểm N1 Îd2 cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // (P), gọi mp này
là (Q1). PT (Q1) là: (x - 3) - 2y + 2(z - 2) = 0 Û x - 2y + 2z - 7 = 0 (1) . ìx = 5 + t 6 ï
PTTS của d2 là: íy = t 4 (2) ïz = 5 - - t 5 î
Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N1 cần tìm là N1(–1;–4;0).
· Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;–5).
Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 1 = 0 và các x -1 y - 3 z x - 5 y z + 5 đường thẳng d
A Î d , B Î d 1 : = = , d : = = . Tìm các điểm sao 2 1 -2 2 3 4 2 1 2
cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1.
· Giả sử: A( t 2 +1,t + 3,- t 2 )Î d 1 1 1 1 , B( t
3 + 5,4t ,2t - 5)Î d 2 2 2 2 uuur AB = ( t
3 - 2t + 4,4t - t - 3, t 2 + 2t 2 1 2 1 2 1 - 5) uuur r AB. P n = 0 Û 2( t
3 - 2t + 4) - 4t + t + 3 + 2(2t + t 2 1 2 1 2
2 1 - 5) = 0 Û 6t + t 2 1 + 1 = 0
4t + 2 - t - 3 - t 4 -1 t + 2 ét = -5
AB P (P) Þ d(AB,(P)) = d(A,(P 1 1 1 1 )) = = = 1 1 Û 3 3 ê t ë 1 = 1 2 æ 8 -11ö · Với t = 5
- Þ t = Þ A(-9; 2 - ;10),B 1 2 7; ; 3 ç 3 3 ÷ è ø 1 - æ 4 - 17 - ö
· Với t = 1Þ t = Þ A(3;4; 2 - ),B 1 2 4; ; 3 ç 3 3 ÷ è ø
Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm
tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. uuur ìx = 1- t ï · Ta có AB = ( 1 - ; 4 - ; 3)
- . Phương trình đường thẳng AB: íy = 5 - t 4 . ïz = 4 - t 3 î uuur
Gọi D(1- a;5 - 4a;4 - a
3 )Î AB Þ DC = (a;4a - 3; a 3 - 3) . uuur uuur
Độ dài đoạn CD ngắn nhất Û D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB Û AB ^ DC æ ö
Û -a -16a +12 - 9a + 9 = 0 Û a 21 = . Vậy: D 5 49 41 ; ; . 26 ç 26 26 26 ÷ è ø x +1 y z -1
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và -2 1 1 x y z
d2 : = = . Tìm các điểm M thuộc d 1 1 2
1 , N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (P): x - y + z + 2012 = 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 . uuuur ìMN (P) ìïMN n.r P = 0 æ ö
· Lấy M Î d ,N Î d 1 2 . Ta có P í Û Û M N 3 2 5 (0;0;0), ç- ;- ; ÷ . îMN 2 í = ïîMN = 2 è 7 7 7 ø x y + z -
Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d 2 1 : = = và các 1 1 - 1 Trang 55
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
điểm A(1;0;0),B(0;1;1),C(0;0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 0 a = 30 . · ĐS: M(0; 2 - ;1).
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ìx = 1+ t ( ) : ï
x - 3 y -1 z D íy = -1- t 1 và ( 2 D ) : =
= . Xác định điểm A trên D1 và điểm B trên D2 sao ïz = 2 -1 2 1 î
cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. uuur
· Giả sử A(t+1; –t –1; 2)Î D1, B( t'+3; 2t' +1; t')Î D2 Þ AB = (-t '- t + 2;2t'+ t + 2;t'- 2)
Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Û AB là đoạn vuông góc chung của (D1) và (D2) uuur r uuur r ìïAB ^ u1 ìïAB u.1 = 0 ì2t + t 3 ' = 0
Þ íuuur r Û íuuur r Û í
Û t = t ' = 0Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). ïîAB ^ u2 ïîAB u . = 0 î t 3 + t 2 6 ' = 0
Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường ìx = 2 + t 4 ï
thẳng d : íy = 6 - t
. Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. ïîz = 1 - - t 8 uuur · AB = (2; 3
- ;-4)Þ AB // d. Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d .
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B . Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B. Khi đó A1,
I, B thẳng hàng Þ I là giao điểm của A1B và d. Vì AB // d nên I là trung điểm của A1B. æ 36 33 15 ö
Gọi H là hình chiếu của A lên d. Tìm được H ; ; ç
. A’ đối xứng với A qua H nên 29 29 29 ÷ è ø æ 43 95 28 ö æ 65 2 - 1 -43 ö A’ ; ;- ç
. I là trung điểm của A’B suy ra I ; ; . 29 29 29 ÷ ç ÷ è ø è 29 58 29 ø
Câu hỏi tương tự: x - y z + æ ö a) Với A(1; 1 - ;2),B(3;-4; 2) - , d 2 1 : = = . ĐS: I 64 9 45 ç ;- ;- . 4 6 ÷ - 8 - è 29 29 29 ø x - y z -
b) Với A(1;2; –1), B(7; –2;3) , d 2 4 : = = . ĐS: I(2;0;4) . 3 2 - 2
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
x +1 y -1 z thẳng D: =
= . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất. 2 1 - 2 ìx = -1+ 2t ï
· PTTS của D: íy = 1- t . Gọi M( 1 - + t 2 ;1- t; t 2 ) Î D. ïîz = t 2 1 uuur uuur
Diện tích DMAB là S =
éëAM, ABùû = 1 t2 8 - 3 t 6 + 216 = t 2
18( -1) +198 ≥ 198 2
Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay M(1; 0; 2).
Câu hỏi tương tự: x -1 y + 2 z - 3
a) Với A(0;1;0),B(2;2;2) , D : = = . ĐS: M( 3 - ;0;1) , S 3 2 min = 2 1 - 2 2 Trang 56
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian x y - z + b) Với A - B 3 1 (2; 1;1), (0;1; 2 - ),D : = = . ĐS: M - - S 34 ( 5;8; 11),min = 1 1 - 2 2 x - y - z - c) Với A - B 1 2 1 (0;1; 2), (2; 1 - ;1),D : = = . ĐS: M( 2 - ;5; 5 - ),min S = 22 1 1 - 2
ìx + y - z -1 = 0 æ ö d) Với A(2; 1
- ;1),B(1;-1;0),D : í . ĐS: M 1 2 3 ç ;- ;- ÷ . î2x - y -1 = 0 è 6 3 2 ø x - y - z æ ö e) Với A B 1 2 (1;4;2), ( 1 - ;2;4),D : = = . ĐS: M 12 5 38 ç - ; ; . 1 ÷ - 1 2 è 7 7 7 ø
Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 1 - 1) , B(3;5; 4) - , C(2;1;-6) x - y - z - và đường thẳng d 1 2 1 : = =
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao 2 1 1 uuur uuur uuur
cho MA - MB - MC đạt giá trị nhỏ nhất. uuur uuur uuur
· Giả sử M( t 2 +1; t
2 + 2;t +1)Î d Þ MA - MB - MC = (- t 2 -1;- t 2 - 4;-t) uuur uuur uuur 2 æ 10 ö 53 53
MA - MB - MC = ( t 2 2 +1) + ( t 2
2 + 4) + t2 = 9çt + ÷ + ³ è 9 ø 9 3 æ ö
Dấu "=" xảy ra Û t 10 = - Þ M 11 2 1 ç - ;- ;- 9 9 9 9 ÷ è ø
Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P) : x + 2y - z + 5 = 0 điểm A( –2; 3; 4) x + 3
và đường thẳng (d) :
= y +1 = z - 3 . Gọi D là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao 2
điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên D điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. ìx = t 2 - 3 ï
· PTTS của d: íy = t -1 . Gọi I là giao điểm của (d) và (P) Þ I(-1;0;4) ïz = t + 3 îr r r r
(d) có VTCP là a = (2;1;1) , (P) có VTPT là n = (1;2; 1) - Þ [a,n] = ( 3 - ;3;3) . r ìx = 1- u ï
Gọi ur là vectơ chỉ phương của D Þ u = (-1;1;1) Þ D : íy = u . ïz = 4 + u î uuur
Vì M Î D Þ M(-1- u;u;4 + u) , Þ AM = (1- u;u - 3;u) uuur r
AM ngắn nhất Û AM ^ D Û AM u . = 0 Û 1 - (1- u) +1 u ( - 3) +1 u . = 0 Û u 4 = . 3 æ - ö Vậy M 7 4 16 ; ; ç 3 3 3 ÷ è ø
Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có
phương trình x + 3y - z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực
của đoạn AB. Gọi D là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc D sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất. æ 3 - -3 3 ö uuur
· Gọi I là trung điểm của AB Þ I ç ; ; ÷; AB = (-1;-1;-1) è 2 2 2 ø Trang 57
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Þ PT (Q): x + y + z 3 + = 0 2 ì 7 1
D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ PTTS của D: íx = - + t
2 ; y = -t; z = - t . î 4 4 æ 7 1 ö 15 25
Giả sử M ç - + 2t;-t; - t ÷Î ; D OM = t2 6 - t + . è 4 4 ø 2 8 5 æ 1 5 3 ö
OM nhỏ nhất khi t = Þ M ç - ;- ;- . 8 2 8 8 ÷ è ø x - 3 y z +1
Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): = = , (d 1 1 2 - 2):
x - 2 y + 2 z =
= . Một đường thẳng (D) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d -1 2 1 1) tại
điểm B và cắt đường thẳng (d2) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. uuur uuur
· Lấy B Î (d1), C Î (d2). Từ : AB = k AC Þ k 1
= Þ B là trung điểm của đoạn thẳng AC. 2
Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(2;1;5), F(4;3; 9) . Gọi D là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P :
) 2x + y - z + 1 = 0 và Q
( ) : x - y + 2z - 7 = 0 . Tìm điểm I
thuộc D sao cho: IE - IF lớn nhất . ìx = 1+ t ìx = 2 + t¢ ï ï
· PTTS của D: íy = - t
5 . PTTS của EF: íy =1+ t¢ . ïz = 3 - t 3 î ïz = 5 + 2t¢ î 1 ì + t = 2 + t¢ ï ìt = 0 Xét hệ: í- t 5 = 1+ t¢ Û í
Þ EF cắt D tại A(1;0;3). ï - = + ¢ ît t t ¢ = 1 3 3 5 2 - î
Trong mp( D ,EF) mọi điểm I Î D ta có IE - IF £ EF (hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn
cạnh thứ 3). Dấu "=" xảy ra Û I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A.
Vậy điểm I(1;0;3). x y z
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và hai điểm 1 1 1
A(0;0;3) , B(0;3;3) . Tìm điểm M Î d sao cho: uuur uuur
a) MA + MB nhỏ nhất. b) MA2 + MB2 2
nhỏ nhất. c) MA - 3MB nhỏ nhất. ìx = t ï
· a) PTTS của d: íy = t . Gọi M t(;t;t)Îd . Ta có: P = ( t 2 - + + t 2 3 ( 1) 2 ( - 2) + 2 ) ïz = t î t -1 t - 2 Xét hàm số f t = t 2 - + + t 2 ( ) ( 1) 2
( - 2) + 2 Þ f ¢ t() = + t 2 ( -1) + 2 t 2 ( - 2) + 2 t -1 t - 2 t -1 ( - t - 2) f ¢ t() = 0 Û = - Û = (*) (t 2 -1) + 2 t 2 ( - 2) + 2 (t 2 -1) + 2 [ ( - t - 2 ]2 ) + 2 Trang 58
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian u æ ö 2 u 1 2
Xét hàm số g(u) = . Ta có g¢ u
( ) = ç u + 2 - u. ÷. = > 0 u2 + 2 ç è u + 2 ÷ u2 2 + 2 ø u2 3 ( + 2)
nên hàm số g đồng biến trên ¡ .
Do đó từ (*), ta có g t - = g[- t - ] Û t - = -t + Û t 3 ( 1) ( 2) 1 2 = 2 æ ö
Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra f t = f 3 min ( ) = 3 ç . 2 ÷ è ø æ ö
Vậy min(MA + MB) = 3 3 đạt được tại t 3 = , tức là M 3 3 3 ; ; . 2 ç 2 2 2 ÷ è ø
b) Tương tự câu 1), ta tính được Q = MA2 + MB2 = t2 - t + = t 2 2 9 30 45 (3 - 5) + 20 . æ ö
Þ minQ = 20 khi t 5 = , tức M 5 5 5 ; ; . 3 ç 2 2 2 ÷ è ø uuur uuur
c) Theo câu 1) , ta có MA = (-t;-t;3 - t) , MB = (-t;3 - t;3 - t) . uuur uuur uuur uuur
Suy ra MA - 2MB = (t;t - 6;t - 3) Þ MA - MB = t2 - t + = t 2 2 3 18 45 3( - 3) +18 ³ 3 2 uuur uuur
Vậy min MA - 2MB = 3 2 khi t = 3 , tức M(3;3;3) . Trang 59
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0
và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x – 2y – z +1 = 0 , (Q):
x + 2y –2z – 4 = 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8.
· (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) . Gọi H là trung điểm của MN
Þ MH= 4 Þ IH = d(I; d) = -m - 3 r r uur éu; AI ù ë û
(d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) Þ d(I; d) = = 3 ur .
Vậy : -m - 3 =3 Û m = –12.
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0 và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 - 6x - 8y - 2z + 23 = 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P)
theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
· Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1) , bán kính R = 3 ìx = 3 + t ï
Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P) Þ PTTS của d: íy = 4 + t ïz = 1- t î
Khi đó M là giao điểm của d với (S) Þ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: ìx = 3 + t ìt = 1 ìt = -1 ïïy = 4 + t ïx = 4 ïx = 2 íz 1 t Û í È (4;5;0), (2;3;2) y 5 í = - Þ M M = y = 3 1 2 ï ï ï
ïîx2 + y2 + z2 - 6x - 8y - 2z + 23 = 0
ïîz = 0 ïîz = 2
Ta thấy d(M ,(P 1
)) = 4 3 > d(M ,(P 2
)) = 2 3 . Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm.
Mặt cầu (T) có R = MH2 + HE2 2 2 '
= (4 3) + 4 = 8 Þ T x 2 - + y 2 - + z2 ( ) :( 4) ( 5) = 64
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương
trình là S x2 + y2 + z2 ( ) :
- 4x + 2y - 6z + 5 = 0, (P) : 2x + 2y - z +16 = 0 . Điểm M di động
trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị
trí của M, N tương ứng.
· Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3. 2.2 + 2.(-1) - 3 +16
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d (I,(P)) =
= 5 Þ d > R . 3
Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2.
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc
của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S).
Gọi D là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của D và (P). r ìx = 2 + 2t ï
Đường thẳng D có VTCP là nP = (2;2;- )
1 và qua I nên có phương trình là íy = 1 - + 2t . ïz = 3 - t î
Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: Trang 60
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
+ t + - + t - - t + = Û t + = Û t 15 5 2(2 2 ) 2( 1 2 ) (3 ) 16 0 9 15 0 = - = - 9 3 æ 4 13 14 ö uuuur 3 uuur Suy ra N0 - ;- ; ç
. Ta có IM = IN . Suy ra M 3 3 3 ÷ 0(0;–3;4) è ø 0 0 5
Câu hỏi tương tự: a) S
x2 + y2 + z2 ( ) :
- 4x - 4y + 2z = 0 ; (P) : 2x + y - 2z + 4 = 0 . æ - - ö ĐS: M(2 - 2 2;2 - 2; 1 - + 2 2) , N 2 1 5 ç ; ; 3 3 3 ÷ è ø
Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; 3 - ),C(-1;-2; 3) - và mặt cầu (S) có
phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện
ABCD có thể tích lớn nhất.
· (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R = 2 . PT mp(ABC): 2x - 2y + z +1 = 0 1 Ta có A
V BCD = d(D;(ABC S )). ABC nên V
lớn nhất Û d(D;(ABC)) lớn nhất . 3 ABCD Gọi D D
1 2 là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ
thuộc (S) thì d(D;(ABC)) £ max{d(D ;(ABC)); d(D ;(ABC 1 2 } )) .
Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D . 1 hoặc D2 . r D D
1 2 đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là nABC = (2; -2;1) Þ D D
1 2 : {x = 1+ t 2 ;y = - t 2 ;z = -1+ t ìx = 1+ 2t é ï t 2 ï y = 2 - t = ê Tọa độ D 3 1 và D2 thỏa: í Þ ê z = -1+ t ï êt -2 = ( ïî x 2 -1) + y2 + (z 2 +1) = 4 êë 3 æ 7 4 - 1 - ö æ -1 4 5 - ö Þ D ; ; ;D 1 ç ÷ 2 ; ; 3 3 3 ç 3 3 3 ÷ è ø è ø æ ö
Ta thấy: d(D ;(ABC)) > d(D ;(ABC 1 2
)) . Vậy điểm D 7 4 1 ;- ;- ç
là điểm cần tìm. 3 3 3 ÷ è ø Trang 61
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 4: Xác định điểm trong không gian
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai
điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K
sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (a). x - 2 y - 2 z
· I(2;2;0). PT đường thẳng KI: = = . 3 2 -1
Gọi H là hình chiếu của I trên (a): H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). ì
x - 2 y - 2 z 0 0 0 ï = = æ ö Ta có: KH = KO Û 3 2 1 - í Þ K 1 1 3 ç - ; ; ÷ . ï è 4 2 4 ø (x 2 +1) + y 2 + (z 2
-1) = x 2 + y 2 + z 2 î 0 0 0 0 0 0
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3),
D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2
đạt giá trị nhỏ nhất. æ ö
· Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G 7 14 ç ; ;0 . 3 3 ÷ è ø
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 4 æ ö
³ GA2 GB2 GC2 GD2 + + +
. Dấu bằng xảy ra khi M º G 7 14 ç ; ;0 . 3 3 ÷ è ø
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 và điểm A(0;
1; 2). Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). r
· (P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử A¢(x; y; z). æ x y + z + ö
Gọi I là trung điểm của AA¢ Þ I 1 2 ç ; ; . 2 2 2 ÷ è ø uuur ì x y -1 z - 2 ì ìx = 4 - ï ¢ r = = ï ï
A¢ đối xứng với A qua (P) Û AA ,n cuøng phöông í Û 1 1 1 í
Û íy = -3 ïîI Î(P) x y +1 z + 2 ï + + + 3 = 0 ïîz = 2 - î2 2 2 Vậy: A¢(–4; –3; –2).
Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0;0), B(0;1; 0), C(0;3;2) và
mặt phẳng (a ) : x + 2y + 2 = 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm
A, B, C và mặt phẳng (a).
· Giả sử M(x ; y ;z 0 0 0 ) . ì 2 2 2 2 2 2 ìMA = MB
(x -1) + y + z = x + (y -1) + z (1) ï 0 0 0 0 0 0 ï
Ta có: íMB = MC
Û ïx2 + (y 2
-1) + z2 = x2 + (y 2 - 3) + (z 2 0 0 0 0 0 0 - 2) (2) ï í
îMA = d(M,(a )) ï (x + 2y 2 + 2) (x 2 -1) + y2 + z2 0 0 ï 0 0 0 = (3) î 5
éx = 1,y = 1,z 0 0 0 = 2 æ ö Û ê
Þ M(1; 1; 2) hoặc M 23 23 14 ç ; ; - . êx 23 = ,y 23 = ,z 14 ÷ 0 0 = - è 3 3 3 ø ë 3 3 3
Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết Trang 62
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.
· Phương trình (ABC) : x + y + z - 3 = 0 .
DABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 Þ S 9 3 ABC = . 2
Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) ìx = 1+ t ï
Phương trình SG : íy = 1+ t . Giả sử S(1+ t;1+ t;1+ t) ïz = 1+ t î 1
Ta có : VS.ABC=36= SG. S
Û = 8, = -8 . Vậy: S(9;9;9) hoặc S(-7; 7 - ; 7) - . 3 ABC t t
Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác
Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
· Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ^ BC; (Q) qua B và (Q) ^ AC æ 36 18 12 ö
Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H ; ; ç 49 49 49 ÷ è ø
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS:
Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1 - ;3;5) , B( 4 - ;3;2) , C(0;2;1).
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
· Ta có: AB = BC = CA = 3 2 Þ DABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp æ ö
DABC cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: I 5 8 8 - ; ; ç . 3 3 3 ÷ è ø
Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3).
Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. uuur uuur
· Ta có: AB = (2; 2;-2), AC = (0; 2;2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là:
x + y - z -1 = 0, y + z - 3 = 0. uuur uuur r
VTPT của mp(ABC) là n = éëAB, ACùû = (8; 4
- ;4). Suy ra (ABC): 2x - y + z +1 = 0 .
ì x + y - z -1 = 0 ìx = 0 ï ï
Giải hệ: í y + z - 3 = 0 Þ íy = 2 . Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1). ï2x y z 1 0 ï - + + = z = 1 î î
Bán kính là R = IA 2 2 2 = ( 1
- - 0) + (0 - 2) + (1-1) = 5.
Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B( 1 - ;2;0) ,C(1;1; 2) - .
Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
· H(x; y;z) là trực tâm của DABC Û BH ^ AC,CH ^ AB,H Î(ABC) Trang 63
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng uuur uuur ìBH.AC = 0 ïuuur uuur ì 2 29 1 æ ö Û C í H.AB = 0 Û íx = ;y = ;z = - ç - ÷ ï uuur uuur uuur Þ H 2 29 1 ; ; î 15 15 3 é è15 15 3 ø
ëAB, ACùû.AH = 0 î
I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Û AI = BI = CI,I Î(ABC) ìAI2 = BI2 ï ì 14 61 1 æ14 61 1 ö Û C í I2 = BI2 Û í = ; = ; = - Þ ; ;- ç ÷ ï uuur uuur uur x y z I é î 15 30 3 è 15 30 3
ëAB, ACùû AI = 0 ø î
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1
- ;0;1),B(1;2;-1),C( 1 - ;2;3) và
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp
xúc với mặt phẳng (Oxz).
· Phương trình (ABC) : 2x - y + z +1 = 0 . Gọi I(x; y;z).
IA = IB = IC Þ x + y - z -1 = 0, y + z - 3 = 0 (1);
I Î(ABC) Þ 2x - y + z +1 = 0 (2)
Từ (1) (2) Þ I(0; 2;1) . Bán kính mặt cầu là R = d(I, O ( xz)) = 2 Þ (S): x2 + y 2 - + z 2 ( 2) ( -1) = 4
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC.
· Giả sử B(x; y;0)Î O
( xy),C(0;0;z)ÎOz . uuur uuur uuur uuur ìAH ^ BC ìAH BC . = 0 ïuuur uuur ïuuur uuur
H là trực tâm của DABC Û C í H ^ AB C í H.AB = 0 ïuuur uuur uuur
Û ï uuur uuur uuur
îAB, AC, AH ñoàng phaúng é
îëAB, AH ùû.AC = 0 é ìx + z = 0 3 - - 177 17 + 177 3 + 177 ï êx = ; y = ;z =
Û í2x + y - 7 = 0 Û 4 2 4 ê 3
ïî x -3y + yz - z = 0 êx 3 - + 177 = y 17 - 177 = z 3 - 177 ; ; = êë 4 2 4 æ 3 177 17 177 ö æ 3 177 ö - - + + Þ Bç ; ;0÷,C ç 0;0; ÷ è 4 2 ø è 4 ø æ 3 177 17 177 ö æ 3 177 ö - + - - hoặc Bç ; ;0÷,C ç 0;0; ÷ è 4 2 ø è 4 ø
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình
x - 2 y - 3 z d - 3
x -1 y - 4 z - 3 1 : = = và d : = =
. Chứng minh đường thẳng d 1 1 2 - 2 1 2 - 1 1, d2 và
điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. r r
· d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a = (1;1;-2); d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b = (1; 2 - ;1) urr r r r uuuuuur Ta có éëa b
, ùû ¹ 0 , éëa,bùû.M M
1 2 = 0 Þ d , d 1 2 cắt nhau.
Phương trình mặt phẳng chứa d ,d
1 2 : x + y + z – 8 = 0 A Î mp(d , d 1 2 ) . æ t + 5 t + 5 ö
Giả sử B(2 + t;3 + t;3 - 2t) Î d1 Þ trung điểm của AB là M ; ;3 - t ç 2 2 ÷ è ø Trang 64
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
M Î d2 Þ t = -1Þ M(2;2;4)Þ B(1;2;5). uuur r
Giả sử C(1+ t;4 - t
2 ;3 + t)Î d2 . AC ^ a Þ t = 0 Þ C(1;4;2)
Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao
CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là
x - 2 y - 3 z d - 3
x -1 y - 4 z - 3 1 : = = , d : = =
. Tính độ dài các cạnh của tam giác của 1 1 2 - 2 1 2 - 1 tam giác ABC.
· Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d1 Þ (P): x + y –2z +1= 0 . B là giao
điểm của d2 với (P) Þ B(1;4;3).
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d2 Þ (Q): x - 2y + z - 2 = 0 . Gọi K là
giao điểm của d2 với (Q) Þ K
(2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K Þ E(1;2;5) . ìx = 1 ï
Phương trình đường thẳng BE là íy = 4 - t . C là giao điểm của BE và CH Þ C(1;2;5) . ïîz = 3+ t
Ta có AB = AC = BC = 2 2 Þ Tam giác ABC đều.
Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A (3; 1 - ; 2 - ), B(1;5 )
;1 , C (2;3;3) , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D.
· Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.
Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3.
Điểm D cần tìm là giao điểm của D và (S). uuur ìx = 2 - t 2 ï
Đường thẳng D có vectơ chỉ phương AB = ( 2
- ;6;3) nên có phương trình: íy = 3+ 6t ïz = 3 + t 3 î
Phương trình mặt cầu S x 2 - + y 2 + + z 2 ( ) : ( 3) ( 1) ( + 2) = 9
Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: ìx = 2 - t 2 ï ét y t = 1 3 6 - = + ï í Þ 4 t2 9 + 82t z = + t + 33 = 0 Û ê êt 33 3 3 = - (ïïx - î
)2 +(y + )2 +(z+ )2 ë 49 3 1 2 = 9
· Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 33 æ 164 51 48 ö · Với t = - Þ D ;- ; (nhận) 49 ç 49 49 49 ÷ è ø
Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A( 1 - ;2;1), B(2;3;2) .
Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I x + y z -
của hình thoi thuộc đường thẳng d 1 2 : = =
và điểm D có hoành độ âm. -1 -1 1 uur uur
· Gọi I(-1- t;-t;2 + t)Î d . Ta có IA = t(;2 + t; 1
- - t), IB = (3 + t;3 + t;-t). uur uur
Do ABCD là hình thoi nên IA IB = Û t2 . 0
3 + 9t + 6 = 0 Û t = 1 - , t = -2 .
Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: Trang 65
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
+ Với t = -1Þ I(0;1;1) Þ C(1;0;1), D(-2; 1 - ;0) .
+ Với t = -2 Þ I(1;2;0) Þ C(3;2; 1 - ), D(0;1; 2) -
Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C(1;0;1), D(-2;-1;0)
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT nr uur
ìïnr ^ IA = ( 1 - ;1;0) uur uur r Ta có í uur r
Þ có thể chọn n = éëIA,IBùû = (1;1; 4) -
ïîn ^ IB = (2;2;1)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) : x + y – 4z + 3 = 0 ..
Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông, A(1;0;0), C(-1;2;0) , D(-1;0;0) , S(0;0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác
định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. uuur uuur
· AB = DC Þ B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD æ ö Þ M 1 3 ç ;1; ÷ ç
, N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN. Vì DONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của 2 2 ÷ è ø
đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy). ìIO = IN æ ö
Gọi I(x; y;0). Ta có: í Þ I 1 7 ; ;0 ç ÷ . îIO = IB è 6 6 ø
Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3;-1) ,
P(2;3;- 4). Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng
(R) : x + y - z - 6 = 0. æ ö uuur
· Gọi I là tâm hình vuông Þ I 7 5 ç ;3;-
. Gọi N(a;b;c)Î(R) . MP = ( 3 - ;0; 3) - . 2 2 ÷ è ø uur æ 7 5 ö
IN = ça - ;b - 3;c +
; MP = 3 2 Þ IN 3 2 = . 2 2 ÷ è ø 2 ìN Î(R)
ìa + b - c - 6 = 0 uur uuur ï æ 7 ö æ 5 ö
éa = 2,b = 3,c = 1 -
Ta có: ïïIN ^ MP Û ï 3
- ça - ÷ - 3çc + ÷ = 0 Û í í è 2 ø è 2 ø
êëa = 3,b =1,c = -2 ïIN 3 2 = 2 2 ï ïî 2 æ ïça 7 ö - ÷ + b 2 æ - + çc 5 ö 9 ( 3) + ÷ = è î 2 ø è 2 ø 2
· Nếu N(2;3-1) thì Q(5;3;- 4).
· Nếu N(3;1;- 2) thì Q(4;5;- 3).
Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8) ,
D(-5;-4;0) và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C.
· Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0). ìAB2 = AD2 ï ( ìï a 2 - 3) + b2 2 + 8 = (a 2 + 5) + (b 2 + 4)
ABCD là hình vuông Þ 2 í Û í ïAI2 æ 1 2 2 2 ç BD ö = (
ïî a +1) + (b + 2) + 4 = 36 î 2 ÷ è ø ì 17 ìb = 4 - 2a ìa = 1 a = ï æ - ö Û Û hoặc
5 Þ A(1; 2; 0) hoặc A 17 14 ; ;0 ( í í í ç ÷ î a 2 +1) + (6 - 2a 2 ) = 20 îb = 2 b 14 - ï = è 5 5 ø î 5 Trang 66
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian æ - ö æ - - ö
· Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A 17 14 ; ;0 ç Þ C 27 6 ; ;8 . 5 5 ÷ ç ÷ è ø è 5 5 ø
Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2; 0),C(2;3; 4) - .
và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x + 2y + z - 3 = 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên.
· AC = 3 2 Þ AB = 3 . Gọi B(x; y;z) . ìB Î Q ( )
ìx + 2y + z = 3 (1) ï ï
Ta có: íAB = CB Û ( í x 2 -1) + (y 2 - 2) + z2 = (x 2 - 2) + (y 2 - 3) + (x 2 + 4) (2) ïîAB = 3 ( ï x 2 -1) + (y 2 - 2) + z2 = 9 (3) î Û x = 1
- ; y = 1; z = 2 Þ B( 1
- ;1;2) . Vậy D(4;4;-6).
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com Trang 67