Bài tập Toán 9 (Tập 1)

Tài liệu tổng hợp các dạng bài giúp bạn ôn tập kĩ hơn , tốt hơn trong kì thi sắp tới . Giúp bạn đạt được thành tích tốt trong học tập .Chúc bạn thành công trong kì thi sắp tới . Mời bạn đọc đón xem

89 45 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

75 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
NGUYỄN NGỌC DŨNG - VƯƠNG PHÚ QUÝ - TIÊU KHÁNH
VĂN - BÙI TIẾN LỘC - NGUYỄN CAO ĐẲNG - NGUYỄN ANH
KHOA - NGUYỄN NGỌC THIỆN - NGUYỄN THÀNH ĐIỆP
BÀI TẬP
TOÁN
9
TẬP MỘT
A
B
C
D
E
F
H
α
β
γ
γ
δ
n Tóm tắt giáo khoa
n Các dạng toán thường gặp
n Phương pháp giải toán
n Bài tập cơ bản
n Bài tập nâng cao
n Bài tập tổng ôn
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Mục lục
Phần I ĐẠI SỐ 5
Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA 7
§1. CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . 7
2 So sánh các biểu thức của căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Các bài toán về hằng đẳng thức
√
A
2
= |A| . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG . . . . 9
1 Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) . . . . . . . . . . . 9
2 Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Giải phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Giải bất phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§3. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§4. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 33
§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . 33
§2. HÀM SỐ BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Phần II HÌNH HỌC 41
Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI
TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN 57
§1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN 57
§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . . 61
§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§7. ÔN TẬP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 4/75
Phần I
ĐẠI SỐ
5
Chương 1
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1. CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI
1 Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai
Bài 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
−3x + 2a)
r
−4
−2x + 3
b)
√
x + 2 +
√
3 − xc)
2
√
x + 4 − 1
d)
Bài 2: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
p
x(x + 2)a)
√
−5x
2
+ 20b)
√
−5x
2
− 3x + 8c)
1
√
x
2
+ 4x + 4
d)
Bài 3: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
x
2
+ 1a)
−3
√
x
2
− x + 1
b)
√
−5x
2
− 3x + 8c)
1
√
x
2
+ 4x + 4
d)
Bài 4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
p
|x| + 1a)
3x − 1
p
4x
2
+ |x| + 6
b)
√
2x + 4
p
| − 5x
2
− 3x + 8|
c)
p
|x|
√
x
2
+ 4x + 4
d)
Bài 5: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
p
x + 2
√
x − 1a)
p
4x + 4 − 6
√
4x − 5b)
3
p
x
2
− 4
√
x − 2.
√
x + 2
c)
Bài 6: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
1
x −
√
x
+
1
√
x − 1
:
√
x + 1
x − 2
√
x + 1
a)
x − 3
√
x
x − 9
− 1
:
√
x + 2
√
x − 2
−
√
x − 2
√
x + 2
−
2
√
x
x − 4
b)
7
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 7: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
1
√
3x − 2
a) 2 −
√
1 − 4xb)
3
x
2
− 6x + 8
c)
√
x
2
− x + 1d)
√
−x
2
+ 2x − 5e)
√
2x
2
+ 1 +
2
3 − 2x
f)
3 +
√
−x
2
g)
r
−5
x − 2
h)
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
x
2
− 5a)
1
√
x
2
+ 2x − 3
b)
1
p
x −
√
x − 0, 5
c)
−3
1 −
√
x
2
− 3
d)
r
1
x − 1
e)
2
1 −
√
x
f)
2 So sánh các biểu thức của căn bậc hai
Bài 1: So sánh
2 và
√
7a) 7 và
√
48b) 10 và
√
101c)
6 và
√
37d)
Bài 2: So sánh
3
√
3 − 2
√
2 và 2a) 3
√
12 và 2
√
26b) 4 − 2
√
2 và 3 −
√
3c)
Bài 3: So sánh
3 −
√
7
2
và 0a)
15 −
√
107
−22
và 0b)
Bài 4: Cho biểu thức P =
x +
√
x + 1
√
x
Tìm x để P có nghĩaa) So sánh P và
√
Pb) So sánh P và |P |c)
Bài 5: So sánh
√
10 +
√
17 + 1 và
√
61a)
√
24 +
√
99 + 3 và 18b)
√
33 −
√
17 và 6 −
√
15c)
3 Các bài toán về hằng đẳng thức
√
A
2
= |A|
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
p
(2 −
√
5)
2
a)
p
6 − 2
√
5(
√
3 − 2)
p
6 + 2
√
5b)
p
(a − 2)
2
với a < 2c)
1
a − b
.
√
a
2
+ b
2
− 2ab với a > bd)
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
p
6 + 2
√
5a)
p
9 − 6
√
2b)
p
12 + 6
√
3c)
p
7 − 2
√
6d)
p
7 + 4
√
3e)
p
13 − 4
√
3f)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 8/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
1
2
p
12 − 8
√
2 +
p
16 − 12
√
2 − 4
√
2a)
p
6 + 2
√
2 + 2
√
6 + 2
√
3b)
p
11 + 2
√
10 − 4
√
2 − 4
√
5c)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
√
4x
2
+ 4x + 1
4x
2
− 1
với x >
−1
2
a) 9 + x +
√
4 − 4x + x
2
với x < 2b)
√
9x
2
− 6x + 1 −
√
9x
2
+ 6x + 1 với x > 0c)
Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau:
p
4 + 2
√
3 +
p
4 − 2
√
3 = 2
√
3a)
p
6 + 2
√
5 −
p
6 − 2
√
5 = 2b)
r
4
(2 −
√
5)
2
−
r
4
(2 +
√
5)
2
= 8c)
Bài 6: Giải các phương trình sau
√
x
2
= 1a)
√
4x
2
− 4x + 1 = 3b)
p
x + 2
√
x − 1 = 5c)
p
x
2
− 3x + 6 + 4
√
x
2
− 3x + 2 = 1d)
§2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP
KHAI PHƯƠNG
1 Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn)
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
48 − 2
√
75 +
√
108 −
1
7
√
147a)
2
√
7 −
√
5
−
1
3
√
63 +
1
4
√
20b)
12
r
3
5
9
− 4
√
0, 5 + 2
√
2 − 64
√
0, 125c)
6
2 −
√
10
+
6
2 +
√
10
d)
√
27 − 6
r
1
3
+
√
3 − 3
√
3
e) 2
√
3 − 3
√
27 + 4
√
48 − 2
√
75f)
42
r
1
7
−
√
112 +
7 +
√
7
1 +
√
7
g) 2
√
28 + 2
√
63 − 3
√
175 +
√
112 −
√
20h)
√
44 +
√
11
√
11i)
√
24 − 6
r
1
6
−
3
√
2
√
3
j)
3
√
27 −
√
98 − 7
√
3 −
√
2
k)
4
3 +
√
5
−
8
1 +
√
5
+
15
√
5
l)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 9/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
3
√
2 − 2
√
3
√
3 −
√
2
−
10
1 +
√
6
m)
2 +
3 +
√
3
√
3 + 1
.
2 −
3 −
√
3
√
3 − 1
n)
1
3 +
√
8
−
1
3 − 2
√
2
o)
6 + 3
√
3
√
3 + 2
+
1
1 −
√
3
−
√
3
1 +
√
3
p)
−3
5 + 2
√
7
−
1
3 +
√
7
+
6
√
7 − 2
+
5 −
√
7
2
q)
5
√
15
−
√
10 −
3
√
5 − 5
√
3
√
3 −
√
5
2
r)
√
27 − 3
√
2
√
3 −
√
2
+
12
3 +
√
3
+
6
√
3
s)
3
√
3 − 2
√
2
√
3 −
√
2
+ 3
r
2
3
+
4
2 −
√
6
t)
q
√
3 + 1
2
−
q
1 −
√
3
2
u)
q
4 −
√
15
2
+
q
3 −
√
15
2
v)
q
√
3 − 2
2
+
q
1 +
√
3
2
w)
q
3 − 2
√
2
2
−
q
√
2 + 5
2
x)
√
3 −
√
2
2
+
√
24y)
√
2
p
7 + 3
√
5 −
4
√
5 − 1
z)
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:
p
11 − 6
√
2 −
p
11 + 6
√
2a)
q
2 −
√
5
2
+
p
14 − 6
√
5b)
2 +
√
7
p
11 − 4
√
7c)
q
3 +
√
2
2
+
p
6 − 4
√
2d)
p
5 − 2
√
6 −
q
√
2 − 5
√
3
2
e)
√
2
p
3 −
√
5 −
p
√
20 + 6f)
√
2
p
8 + 3
√
7 −
p
11 − 4
√
7g)
√
96 − 6
r
2
3
+
3
3 +
√
6
−
p
10 − 4
√
6h)
1
p
7 −
√
24 + 1
−
1
p
7 +
√
24 − 1
i)
p
9 − 4
√
5
p
√
5 − 2
.
p
√
5 + 2j)
p
10 − 4
√
6
p
√
6 − 2
.
p
√
6 + 2k)
s
√
2 −
√
3
2
2
−
r
7
2
+ 2
√
3l)
1
5
s
11 − 2
√
10
√
10 − 1
+
s
11 + 2
√
10
√
10 + 1
!
2
−
r
8
5
m)
p
5 + 2
√
6 +
p
8 − 2
√
15
p
7 − 2
√
10
.
7 − 2
√
10
n)
2 +
√
3
p
7 − 4
√
3
−
2 −
√
3
p
7 + 4
√
3
!
:
√
3o)
p
3 +
√
5.(
√
10 +
√
2)(3 −
√
5)p)
√
35 + 5
p
6 −
√
35q)
p
13 − 4
√
3 −
r
2
2 +
√
3
r)
2
3 −
√
5
+
r
2
7 + 3
√
5
s)
√
2
p
3 −
√
5
+
r
3 −
√
5
2
t)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 10/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
2
√
5 + 1
+
r
2
3 −
√
5
− 5
r
1
5
u)
2 +
√
3
√
2 +
p
2 +
√
3
+
2 −
√
3
√
2 −
p
2 −
√
3
v)
3 +
√
5
√
2 +
p
3 +
√
5
+
3 −
√
5
√
2 −
p
3 −
√
5
w)
p
√
2 − 1 +
p
√
2 + 1 −
p
2
√
2 + 2x)
p
3 −
√
5.(3 +
√
5)
√
10 +
√
2
y)
14
√
14
+
√
12 +
√
30
√
2 +
√
5
.
p
5 −
√
21z)
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
p
4 +
√
15 +
p
5 −
√
21
p
6 +
√
35
+ 1a)
p
47 + 21
√
5
√
5 + 2
−
p
47 − 21
√
5
√
5 − 2
b)
(2−
√
3)
p
26 + 15
√
3−(2+
√
3)
p
26 − 15
√
3c)
p
16 + 4
√
15 −
p
8 − 4
√
3 −
p
3 −
√
5d)
3 +
√
2
2
√
2 − 1
−
s
1 +
√
2
√
2 − 1
e)
s
2
√
3 − 3
2
√
3 + 3
.(2 +
√
3)f)
s
√
3
8
√
3 + 3
√
21
.(3
√
2 +
√
14)g)
s
3
√
5 − 1
2
√
5 + 3
.(
√
2 +
√
10)h)
s
√
5 + 2
5
√
5 + 11
+
s
√
5 − 2
√
5 + 1
i)
s
3
√
3 − 4
2
√
3 + 1
−
s
√
3 + 4
5 − 2
√
3
j)
Bài tập nâng cao
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
p
√
2 − 1 +
p
√
2 + 1 −
p
2
√
2 + 2a)
p
√
7 −
√
3 −
p
√
7 +
√
3
p
√
7 − 2
b)
p
11 +
√
5 +
p
11 −
√
5
p
11 + 2
√
29
−
p
3 − 2
√
2c)
p
2 +
√
3.
q
2 +
p
2 +
√
3.
r
2 +
q
2 +
p
2 +
√
3.
r
2 −
q
2 +
p
2 +
√
3d)
p
2 +
√
2.
q
3 +
p
7 +
√
2.
r
3 +
q
6 +
p
7 +
√
2.
r
3 −
q
6 +
p
7 +
√
2e)
Hướng dẫn:
p
√
2 − 1 +
p
√
2 + 1 −
√
2
p
√
2 + 1a) Đặt A =
p
√
7 −
√
3 −
p
√
7 +
√
3.
Tính A
2
.
b)
Đặt A =
p
√
7 −
√
3 −
p
√
7 +
√
3.
Tính A
2
.
c) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.d)
Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.e)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 11/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
2 Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn)
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
5
√
x + 4
x +
√
x − 2
+
√
x − 1
√
x + 2
−
√
x + 2
√
x − 1
với x > 0 và x 6= 1.a)
15
√
x − 11
x + 2
√
x − 3
+
3
√
x − 2
1 −
√
x
−
3
√
x + 3
với x > 0 và x 6= 1.b)
x
√
x
x
√
x + x +
√
x + 1
+
1
x + 1
:
√
x − 1
x + 1
với x > 0.c)
1
√
x − 2
−
1
√
x
:
√
x − 1
√
x − 2
−
√
x + 2
√
x + 1
với x > 0 và x 6= 4.d)
√
x
x − 4
+
2
2 −
√
x
+
1
√
x + 2
:
√
x − 2 +
10 − x
√
x + 2
với x > 0 và x 6= 4.e)
√
x
x − 9
+
2
√
x + 3
+
3
3 −
√
x
:
√
x − 3 +
12 − x
√
x + 3
với x > 0 và x 6= 9.f)
x
√
x − 1
x −
√
x
−
x
√
x + 1
x +
√
x
.
x − 1
2 (x − 2
√
x + 1)
với x > 0 và x 6= 1.g)
1
2 (
√
x − 1)
.
x
2
− 8
√
x
x + 2
√
x + 4
+ 1
−
x −
√
x − 1
2
√
x
với x > 0 và x 6= 1.h)
1 −
√
x
√
x + 1
:
√
x + 3
√
x − 2
+
√
x + 2
x − 5
√
x + 6
−
√
x + 2
√
x − 3
với x > 0 và x 6= 4; x 6= 9.i)
1 − x
√
x
1 −
√
x
+
√
x
.
1 −
√
x
1 − x
2
với x > 0 và x 6= 1.j)
6x + 4
3
√
3x
3
−
√
3x
3x + 2
√
3x + 4
2
.
1 + 3
√
3x
3
√
3x + 1
−
√
3x
với x > 0 và x 6=
4
3
.k)
2
3
1
1 +
2
√
x + 1
√
3
2
+
1
1 +
2
√
x − 1
√
3
2
.
2017
x + 1
với x > 0.l)
√
b
a −
√
ab
−
√
a
√
ab − b
.
a
√
b − b
√
a
với a > 0, b > 0, a 6= b.m)
a
√
a + b
√
b
√
a +
√
b
+
b
√
a − a
√
b
√
a −
√
b
a + b +
√
ab
a
√
a − b
√
b
2
với a > 0, b > 0 và a 6= b.n)
Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 12/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 1. Cho biểu thức A =
2x + 1
√
x
3
− 1
−
√
x
x +
√
x + 1
1 +
√
x
3
1 +
√
x
−
√
x
a) Tìm điều kiện có nghĩa của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x để A = 3.
d) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. Cho biểu thức A =
√
x
x − 9
+
2
√
x + 3
+
3
3 −
√
x
:
√
x − 3 +
12 − x
√
x + 3
a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức M =
√
x + 2
√
x + 3
+
8
√
x + 19
x +
√
x − 6
+
1
2 −
√
x
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M .
c) Tìm x để M > 3.
Bài 4. Cho biểu thức sau: A =
r
x
√
x − 1
√
x − 1
+
√
x với x > 1
Với giá trị nào của x thì biểu thức B = A +
9
A
có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Bài 5. Cho biểu thức A =
2x − 3
√
x − 2
√
x − 2
với x > 0 và x 6= 4.
a) Tìm các giá trị của x để giá trị của A 6 5.
b) Tìm các giá trị của x để
2
A
nhận giá trị nguyên.
3 Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
9 + 4
√
5 =
√
5 + 2
2
a)
p
23 + 8
√
7 −
√
7 = 4b)
11 + 6
√
2 =
3 +
√
2
2
c)
3 + 2
√
3
√
3 + 2
+
2 + 2
√
2
√
2 + 1
:
√
2 +
√
3
= 1d)
3
√
2 +
√
6
√
12 + 2
−
√
54
3
.
2
√
6
= −1e)
5 + 2
√
6
√
3 +
√
2
2
−
5 − 2
√
6
√
3 −
√
2
2
= 4
√
6f)
2 +
√
3
√
2 +
p
2 +
√
3
+
2 −
√
3
√
2 −
p
2 +
√
3
=
√
2g)
p
2 +
√
3 =
√
6
2
+
√
2
2
h)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 13/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau
r
a +
√
a
2
− b
2
+
r
a −
√
a
2
− b
2
=
p
a +
√
ba)
r
a +
√
a
2
− b
2
−
r
a −
√
a
2
− b
2
=
p
a −
√
bb)
2 +
a −
√
a
√
a − 1
.
2 −
a +
√
a
1 +
√
a
= 4 − a với a > 0, a 6= 1c)
x
√
x − y
√
y
√
x −
√
y
+
√
xy
:
√
x +
√
y
2
= 1 với (x > 0, y > 0, x 6= y)d)
√
a
2
+ x
2
+
√
a
2
− x
2
√
a
2
+ x
2
−
√
a
2
− x
2
−
r
a
4
x
4
− 1 =
a
2
x
2
với |a| > |x|e)
a + b − 2
√
ab
√
a −
√
b
:
1
√
a +
√
b =
= a − b với a > 0, b > 0 và a 6= bf)
√
n + 1 −
√
n
2
=
p
(2n + 1)
2
−
p
(2n + 1)
2
− 1 với n ∈ Ng)
Bài tập nâng cao
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
|x + y| + |x − y| =
x +
p
x
2
− y
2
+
x −
p
x
2
− y
2
với |x| ≥ |y|
HD: Bình phương hai vế.
a)
3
√
2 +
3
√
20 −
3
√
25 = 3
p
3
√
5 −
3
√
4
HD: Nhận xét 2 vế không âm sau đó bình phương.
b)
p
3 −
√
5 −
p
3 +
√
5 = −
√
2
HD: Đánh giá âm dương, bình phương hai vế hoặc nhân hai vế với
√
2.
c)
4 − 2
√
3
√
3 − 1
=
3
p
6
√
3 − 10
HD: Rút gọn vế trái sau đó lập phương hai vế.
d)
3
p
2 +
√
5 +
3
p
2 −
√
5 = 1
HD: Đặt x =
3
p
2 +
√
5 +
3
p
2 −
√
5. Đưa về phương trình bậc 3 theo x rồi giải phương
trình.
e)
3
p
9 + 4
√
5 +
3
p
9 − 4
√
5 = 3
HD: Tương tự câu trên.
f)
3
p
3
√
2 − 1 =
3
r
1
9
−
3
r
2
9
+
3
r
4
9
HD: Lập phương hai vế. Rút nhân tử chung cho vế phải rồi nhân liên hiệp.
g)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 14/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
4 Giải phương trình chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1. Giải phương trình:
√
x
2
+ 9 = 5a)
√
4x
2
− 20x + 25 = 1b)
√
x
2
− x − 2 =
√
x − 2c)
√
x
2
− 9 =
√
3 − xd)
√
x − 1 + 1 = xe)
√
25x
2
− 30x + 9 = x + 7f)
√
x + 3 +
√
2 − x = 5g)
√
2x + 5 +
√
8 − 2x = 5h)
√
x + 1 = 8 −
√
3x + 1i)
√
3x
2
− 9x + 1 = x − 2j)
√
3x + 7 −
√
x + 1 = 2k)
√
x
2
− 2x − 4 =
√
2 − xl)
√
x
2
+ 6x + 9 = |2x − 1|m)
√
x
2
+ x + 1 = 3 − xn)
√
x +
√
x − 5 =
√
5o)
√
x
2
+ 10x − 5 = 2 (x − 1)p)
√
17 + x −
√
17 − x = 2q)
√
5x − 1 −
√
3x − 2 −
√
x − 1 = 0r)
√
x + 10 −
√
3 − 4x = 2
√
x + 2s)
√
x
2
− 2x − 8 =
√
3 (x − 4)t)
√
x
2
− 6x + 6 = 2x − 1u)
Bài tập nâng cao
Bài 1. Giải phương trình:
√
x
2
− x +
√
x
2
+ x − 2 = 0a)
p
(x − 1)
2
+
√
x
2
+ 4x + 4 = 3b)
√
25x − 50 +
√
x − 2 + 1
2
= 8
r
9x − 18
16
c)
p
x − 1 + 2
√
x − 2 = 2d)
p
x + 6 − 6
√
x − 3 = 1e)
1
x +
√
1 + x
2
+
1
x −
√
1 + x
2
= −2f)
p
x + 2
√
x − 1 +
p
x − 2
√
x − 1 = 2g)
p
2x +
√
4x − 1 +
p
2x −
√
4x − 1 =
√
6h)
3 +
p
x + 2
√
x − 1 = 2
p
x + 4
√
x − 4i)
√
x
2
+ 3x + 12 = x
2
+ 3xj)
√
x
2
+ 2x = −2x
2
− 4x + 3k)
p
(x + 1) (x + 2) = x
2
+ 3x − 4l)
−x
2
+ 2x + 4
p
(3 − x) (x + 1) = 9m) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3xn)
√
x
2
− 3x + 3 +
√
x
2
− 3x + 6 = 3o)
√
3 − x + x
2
−
√
2 + x − x
2
= 1p)
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31q)
√
x + 1 +
√
3 − x −
p
(x + 1) (3 − x) = 2r)
√
3 − x +
√
x − 1 − 4
√
4x − x
2
− 3 = −2s)
√
x + 1 +
√
8 − x +
p
(x + 1) (8 − x) = 3t)
1 +
2
3
√
x − x
2
=
√
x +
√
1 − xu)
√
x − 2 +
√
x + 2 = 2
√
x
2
− 4 + 2x + 2v)
√
x + 1 +
√
4 − x −
p
(x + 1) (4 − x) = 5w) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
x)
√
3x − 2+
√
x − 1 = 4x−9+2
√
3x
2
− 5x + 2y)
√
2x + 3+
√
x + 1 = 3x+2
√
2x
2
+ 5x + 3−
16
z)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 15/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
√
x
2
− x +
√
x
2
+ x − 2 = 0
⇔
√
x
2
− x = 0
√
x
2
+ x − 2 = 0
a)
p
(x − 1)
2
+
√
x
2
+ 4x + 4 = 3
⇔
p
(x − 1)
2
+
p
(x + 2)
2
= 3
⇔ |x − 1| + |x + 2| = 3
b)
√
25x − 50 +
√
x − 2 + 1
2
= 8
r
9x − 18
16
⇔ 5
√
x − 2 +
√
x − 2 + 1
2
= 6
√
x − 2
Đặt t =
√
x − 2 ≥ 0
c)
p
x − 1 + 2
√
x − 2 = 2
⇔
q
√
x − 2 + 1
2
= 2
⇔
√
x − 2 + 1
= 2
d)
p
x + 6 − 6
√
x − 3 = 1
Tương tự câu trên.
e)
1
x +
√
1 + x
2
+
1
x −
√
1 + x
2
= −2 (∗)
ĐKXĐ: x ∈ R.
(∗) ⇔ −x +
√
1 + x
2
− x −
√
1 + x
2
= −2
f)
p
x + 2
√
x − 1 +
p
x − 2
√
x − 1 = 2 (∗)
ĐKXĐ: x ≥ 1
Bình phương hai vế ta ta được phương
trình:
p
x
2
− 4(x − 1) = 2−x ⇔
p
(x − 2)
2
= 2−x
.
Đáp số: S = [1; 2]
g)
p
2x +
√
4x − 1 +
p
2x −
√
4x − 1 =
√
6
Tương tự bài g). Đáp số: x = 1
h)
3 +
p
x + 2
√
x − 1 = 2
p
x + 4
√
x − 4 (∗)
ĐKXĐ: x ≥ 4
(∗) ⇔ 3 +
√
x − 1 + 1
= 2
√
x − 4 + 2
⇔
√
x − 1 = 2
√
x − 4
i)
√
x
2
+ 3x + 12 = x
2
+ 3x
Đặt t =
√
x
2
+ 3x + 12
j)
√
x
2
+ 2x = −2x
2
− 4x + 3
Đặt t =
√
x
2
+ 2x
k)
p
(x + 1) (x + 2) = x
2
+ 3x − 4
Đặt t =
p
(x + 1) (x + 2) =
√
x
2
+ 3x + 2
l)
−x
2
+ 2x + 4
p
(3 − x) (x + 1) = 9
Đặt t =
p
(3 − x) (x + 1) =
√
−x
2
+ 2x + 3
m) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x
Đặt t =
√
x
2
+ 3x
n)
√
x
2
− 3x + 3 +
√
x
2
− 3x + 6 = 3
Đặt t =
√
x
2
− 3x + 3 hoặc t =
√
x
2
− 3x + 6
o)
√
3 − x + x
2
−
√
2 + x − x
2
= 1
Đặt t =
√
3 − x + x
2
hoặc t =
√
2 + x − x
2
p)
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31
Đặt t =
√
x
2
+ 11 hoặc bình phương hai
vế đưa về phương trình trùng phương.
q)
√
x + 1 +
√
3 − x −
p
(x + 1) (3 − x) = 2
Đặt t =
√
x + 1 +
√
3 − x
⇔ t
2
= 4 + 2
p
(x + 1) (3 − x)
r)
√
3 − x +
√
x − 1 − 4
√
4x − x
2
− 3 = −2
Đặt t =
√
3 − x +
√
x − 1
⇔ t
2
= 2 + 2
√
4x − x
2
− 3
s)
√
x + 1 +
√
8 − x +
p
(x + 1) (8 − x) = 3
Đặt t =
√
x + 1 +
√
8 − x
⇔ t
2
= 9 + 2
p
(x + 1) (8 − x)
t)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 16/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
1 +
2
3
√
x − x
2
=
√
x +
√
1 − x
Đặt t =
√
x +
√
1 − x
⇔ t
2
= 1 + 2
√
x − x
2
u)
√
x − 2 +
√
x + 2 = 2
√
x
2
− 4 + 2x + 2
Đặt t =
√
x − 2 +
√
x + 2
⇔ t
2
= 2
√
x
2
− 4 + 2x
v)
√
x + 1 +
√
4 − x −
p
(x + 1) (4 − x) = 5
Đặt t =
√
x + 1 +
√
4 − x
⇔ t
2
= 5 + 2
p
(x + 1) (4 − x)
w) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
Đặt t = x +
√
4 − x
2
⇔ t
2
= 4 + 2x
√
4 − x
2
x)
√
3x − 2+
√
x − 1 = 4x−9+2
√
3x
2
− 5x + 2
Đặt t =
√
3x − 2 +
√
x − 1
⇔ t
2
= 4x − 3 + 2
√
3x
2
− 5x + 2
y)
√
2x + 3+
√
x + 1 = 3x+2
√
2x
2
+ 5x + 3−
16
Đặt t =
√
2x + 3 +
√
x + 1
⇔ t
2
= 3x + 4 + 2
√
2x
2
+ 5x + 3
z)
Bài 2. Giải phương trình:
2 (1 − x)
√
x
2
+ 2x − 1 = x
2
− 2x − 1a) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1b)
5x
2
− 6x + 1 = (x + 1)
√
x
2
+ 3x − 1c) 2x
2
+ 8x − 4 = (x + 7)
√
x
2
+ 2xd)
p
x +
√
2x − 1 +
p
x −
√
2x − 1 =
√
2e)
p
x + 2
√
x − 1 +
p
x − 2
√
x − 1 =
x + 3
2
f)
p
x − 1 + 2
√
x − 2−
p
x − 1 − 2
√
x − 2 =
1
g)
p
x + 2
√
x − 1 −
p
x − 2
√
x − 1 = 2h)
Hướng dẫn:
2 (1 − x)
√
x
2
+ 2x − 1 = x
2
− 2x − 1
Đặt t =
√
x
2
+ 2x − 1, ta được phương
trình:
t
2
− 2 (1 − x) t − 4x = 0 (∗)
có ∆
0
= (x + 1)
2
≥ 0 nên (∗) có hai
nghiệm:
t = 2
t = −2x
⇒
√
x
2
+ 2x − 1 = 2
√
x
2
+ 2x − 1 = −2x
a) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1
Đặt t =
√
x
2
+ 1, ta được phương trình:
t
2
− (x + 3)t + 3x = 0 (∗)
có ∆ = (x − 3)
2
≥ 0 nên (∗) có hai nghiệm:
t = 3
t = x
⇒
√
x
2
+ 1 = 3
√
x
2
+ 1 = x
b)
5x
2
− 6x + 1 = (x + 1)
√
x
2
+ 3x − 1
Đặt t =
√
x
2
+ 3x − 1, ta được phương
trình:
t
2
+ (x + 1) t − 6x
2
+ 3x = 0
c) 2x
2
+ 8x − 4 = (x + 7)
√
x
2
+ 2x
Đặt t =
√
x
2
+ 3x − 1, ta được phương
trình:
2t
2
− (x + 7) t + 4x − 4 = 0
d)
p
x +
√
2x − 1 +
p
x −
√
2x − 1 =
√
2
Bình phương hai vế và rút gọn ta được
phương trình: |x − 1| = 1 − x
e)
p
x + 2
√
x − 1 +
p
x − 2
√
x − 1 =
x + 3
2
⇔
√
x − 1 + 1
+
√
x − 1 − 1
=
x + 3
2
f)
p
x − 1 + 2
√
x − 2−
p
x − 1 − 2
√
x − 2 =
1
⇔
√
x − 2 + 1
−
√
x − 2 − 1
= 1
g)
p
x + 2
√
x − 1 −
p
x − 2
√
x − 1 = 2
⇔
√
x − 1 + 1
−
√
x − 1 − 1
= 2
h)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 17/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3. Giải phương trình:
p
x + 2 + 2
√
x + 1 +
p
x + 2 − 2
√
x + 1 =
x + 5
2
a)
p
x − 1 + 2
√
x − 2 +
p
7 + x + 6
√
x − 2 = 6b)
√
3x
2
− 18x + 28 +
√
4x
2
− 24x + 45 = −5 − x
2
+ 6xc)
√
4x
2
+ 4x + 5 +
√
8x
2
+ 8x + 11 = 4 − 4x
2
− 4xd)
Hướng dẫn:
p
x + 2 + 2
√
x + 1 +
p
x + 2 − 2
√
x + 1 =
x + 5
2
⇔
√
x + 1 + 1
+
√
x + 1 − 1
=
x + 5
2
a)
p
x − 1 + 2
√
x − 2 +
p
7 + x + 6
√
x − 2 = 6
⇔
√
x − 2 + 1
+
√
x − 2 + 3
= 6
b)
√
3x
2
− 18x + 28 +
√
4x
2
− 24x + 45 = −5 − x
2
+ 6x
⇔
√
3x
2
− 18x + 28 − 1 +
√
4x
2
− 24x + 45 − 3 + x
2
− 6x + 9 = 0
⇔
3 (x − 3)
2
√
3x
2
− 18x + 28 + 1
+
4 (x − 3)
2
√
4x
2
− 24x + 45 + 3
+ (x − 3)
2
= 0
⇔ (x − 3)
2
3
√
3x
2
− 18x + 28 + 1
+
4
√
4x
2
− 24x + 45 + 3
+ 1
= 0
c)
√
4x
2
+ 4x + 5 +
√
8x
2
+ 8x + 11 = 4 − 4x
2
− 4x (∗)
Tương tự câu trên:
(∗) ⇔
√
4x
2
+ 4x + 5 − 2
+
√
8x
2
+ 8x + 11 − 3
+
4x
2
+ 4x + 1
= 0
Đáp số: x = −
1
2
d)
5 Giải bất phương trình chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1: Giải bất phương trình:
√
3x + 1 >
√
2x − 3a)
√
x
2
− 4x + 3 <
√
2x
2
− 10x + 11b)
√
x
2
− x − 1 < 1 − xc)
√
x
2
+ x − 6 < x − 1d)
p
4 −
√
1 − x >
√
2 − xe)
√
2x − 1 > 2x − 3f)
√
x
2
− x − 12 < 7 − xg)
√
21 − 4x − x
2
< x + 3h)
√
x
2
− 3x − 10 ≥ x − 2i)
√
3x
2
+ 13x + 4 + 2 − x ≥ 0j)
1 − x +
√
2x
2
− 3x − 5 < 0k)
√
2x + 3 +
√
x + 2 ≤ 1l)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 18/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
3
√
−x
2
+ x + 6 + 2 (2x − 1) > 0m)
√
x + 3 −
√
7 − x >
√
2x − 8n)
p
2x +
√
x
2
+ 1 > x + 1o)
√
2 − x >
√
7 − x −
√
−2x − 3p)
√
11 − x −
√
x − 1 > 2q)
r
1
x
2
−
3
4
<
1
x
−
1
2
r)
1
x
−
1
2
>
r
4
x
2
−
3
4
s)
Bài 2: Giải bất phương trình:
√
3 − x −
√
x + 1 >
1
2
a)
√
x + 3 < 1 − xb)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x − 4c)
√
x
2
− 3x − 10 < x − 2d)
√
x
2
− 16 ≥ 2x − 7e) x − 3
√
x + 1 + 3 > 0f)
√
x
2
− 5x − 14 ≥ 2x − 1g)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3h)
√
−x
2
+ 6x − 5 > 8 − 2xi)
q
(x
2
− x)
2
> x − 2j)
√
x
2
− 3x + 2 > 2x − 5k)
√
x − 1 −
√
x − 2 >
√
x − 3l)
√
3x + 4 +
√
x − 3 ≤
√
4x + 9m)
√
x + 3 ≥
√
2x − 8 +
√
7 − xn)
√
5x − 1 −
√
3x − 2 −
√
x − 1 > 0o)
√
x + 2 −
√
3 − x ≥
√
5 − 2xp)
Bài tập nâng cao
Bài 3: Giải bất phương trình:
x
√
1 − x
2
≤ 0a)
4
√
2 − x −
√
2 + x
< 2b)
√
x
2
− 16
√
x − 3
+
√
x − 3 >
5
√
x − 3
c)
p
|1 − 4x| ≥ 2x + 1d)
(x − 3)
√
x
2
− 4 > x
2
− 9e)
√
x
2
− 4x + 3−
√
2x
2
− 7x + 5 ≥ −
√
x − 1f)
√
x
2
+ 3x + 2 +
√
x
2
+ 6x + 5 ≥
√
2x
2
+ 9x + 7g)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x
2
− 4x + 3 ≥ 2
√
x
2
− 5x + 4h)
√
2 − x + 4x − 4
x
≥ 2i)
√
x + 5
1 − x
< 1j)
√
2x − 4
√
x
2
− 3x − 10
> 1k)
√
51 − 2x − x
2
1 − x
< 1l)
√
8 − 2x − x
2
x + 2
> 1m)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3n)
1
√
2x
2
+ 3x − 5
>
1
2x − 1
o)
√
x +
√
x + 9 ≥
√
x + 1 +
√
x + 4p)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 19/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
x
√
1 − x
2
≤ 0 (∗)
ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1 (∗) ⇔
x ≤ 0
√
1 − x
2
≥ 0
a)
4
√
2 − x −
√
2 + x
< 2 (∗)
ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2 và x 6= 0
(∗) ⇔
√
2 − x >
√
2 + x + 2
b)
√
x
2
− 16
√
x − 3
+
√
x − 3 >
5
√
x − 3
ĐKXĐ: x ≥ 4
Nhân hai vế cho
√
x − 3 ta được phương
trình:
√
x
2
− 16 > 8 − x
c)
p
|1 − 4x| ≥ 2x + 1
|A| ≥ B ⇔ A ≥ B hoặc A ≤ −B
d)
(x − 3)
√
x
2
− 4 > x
2
− 9
AB > 0 ⇔
A > 0
B > 0
hoặc
A < 0
B < 0
e)
√
x
2
− 4x + 3−
√
2x
2
− 7x + 5 ≥ −
√
x − 1(∗)
ĐKXĐ: x ≥ 3
(∗) ⇔
p
(x − 1) (x − 3)−
p
(x − 1) (2x − 5) ≥
−
p
(x − 1)
⇔
√
x − 3 −
√
2x − 5 ≥ −1
(Do
√
x − 1 > 0, ∀x ≥ 3)
f)
√
x
2
+ 3x + 2 +
√
x
2
+ 6x + 5 ≥
√
2x
2
+ 9x + 7
ĐKXĐ: x ≥ −1 hoặc x ≤ −5
⇔
p
(x + 1) (x + 2) +
p
(x + 1) (x + 5) ≥
p
(x + 1) (2x + 7)
Trường hợp 1: x = −1 là nghiệm của bất phương trình.
Trường hợp 2: x > −1
(∗) ⇔
√
x + 2 +
√
x + 5 ≥
√
2x + 7
Trường hợp 3: x ≤ −5
(∗) ⇔
√
−x − 2 +
√
−x − 5 ≥
√
−2x − 7
g)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x
2
− 4x + 3 ≥ 2
√
x
2
− 5x + 4
Tương tự câu trên.
h)
√
2 − x + 4x − 4
x
≥ 2 (∗)
ĐKXĐ: x ≤ 2 và x 6= 0
Trường hợp 1: 0 < x ≤ 2
(∗) ⇔
√
2 − x + 4x − 4 ≥ 2x
Trường hợp 2: x < 0
(∗) ⇔
√
2 − x + 4x − 4 ≤ 2x
i)
√
x + 5
1 − x
< 1
Tương tự câu trên.
j)
√
2x − 4
√
x
2
− 3x − 10
> 1 (∗)
ĐKXĐ: x > 5
(∗) ⇔
√
2x − 4 >
√
x
2
− 3x − 10
k)
√
51 − 2x − x
2
1 − x
< 1
ĐKXĐ: 1 − 2
√
13 < x < 1 + 2
√
13 và
x 6= 1
Xét hai trường hợp: 1 − 2
√
13 < x < 1
và 1 < x < 1 + 2
√
13
l)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 20/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
√
8 − 2x − x
2
x + 2
> 1
Tương tự câu trên.
m)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3
Tương tự câu trên.
n)
1
√
2x
2
+ 3x − 5
>
1
2x − 1
ĐKXĐ: x > 1 hoặc x < −
5
2
Trường hợp 1: x > 1 ⇒ 2x − 1 > 0
Trường hợp 2: x < −
5
2
⇒ 2x − 1 < 0
o)
√
x +
√
x + 9 ≥
√
x + 1 +
√
x + 4
ĐKXĐ: x > 0
Bình phương hai vế hai lần ta được bất
phương trình:
4x +
p
x (x + 9) ≥ 0 (luôn đúng ∀x ≥ 0)
p)
Bài 4: Giải bất phương trình:
√
6x + 1 −
√
2x + 3 <
√
8x −
√
4x + 2a)
9x
2
− 4
√
5x
2
− 1
≥ 3x + 2b)
(2x − 5)
√
2x
2
− 5x + 2 ≥ 0c)
x
2
− 4x + 3
√
x
2
− 4 ≤ 0d)
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0e)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 ≥ 1 − xf)
x
2
− x − 4 +
√
4 − x
2
≥
x
2
2 −
√
4 − x
2
g)
√
4x + 1 −
√
3x − 2 ≤
x + 3
5
h)
3x
2
− 2x −
√
25 − x
2
≤
x
2
5 +
√
25 − x
2
i) x +
√
x
2
+ 16 ≥
40
√
x
2
+ 16
j)
√
3x
2
+ 5x + 7 −
√
3x
2
+ 5x + 2 > 1k)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2l)
4 (x + 1)
2
≤ (2x + 10)
1 −
√
3 + 2x
2
m)
2x
2
3 −
√
9 + 2x
2
≥ x + 21n)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x − 4o) 9 (x + 1)
2
≤ (3x + 7)
1 −
√
3x + 4
2
p)
x
2
+ 4x ≥ (x + 4)
√
x
2
− 2x + 4q)
Hướng dẫn:
√
6x + 1 −
√
2x + 3 <
√
8x −
√
4x + 2
⇔
√
6x + 1 +
√
4x + 2 <
√
8x +
√
2x + 3
⇔ 2
p
(6x + 1) (4x + 2) < 2
p
8x (2x + 3)
a)
9x
2
− 4
√
5x
2
− 1
≥ 3x + 2
⇔ (3x + 2)
3x − 2 −
√
5x
2
− 4
≥ 0
b)
(2x − 5)
√
2x
2
− 5x + 2 ≥ 0
⇔
2x
2
− 5x + 2 = 0
2x
2
− 5x + 2 > 0
2x − 5 ≥ 0
c)
x
2
− 4x + 3
√
x
2
− 4 ≤ 0
⇔
x
2
− 4 = 0
x
2
− 4 > 0
x
2
− 4x + 3 ≤ 0
d)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 21/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0
⇔
2x
2
− 3x − 2 = 0
2x
2
− 3x − 2 > 0
x
2
− 3x ≥ 0
e)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 ≥ 1 − x
⇔ (x − 1)
x − 2 +
√
3x − 2
≥ 0
f)
x
2
− x − 4 +
√
4 − x
2
≥
x
2
2 −
√
4 − x
2
⇔ x
2
− x − 4 +
√
4 − x
2
≥ 2 +
√
4 − x
2
⇔ x
2
− x − 6 ≥ 0
g)
√
4x + 1 −
√
3x − 2 ≤
x + 3
5
⇔
x + 3
√
4x + 1 +
√
3x − 2
≤
x + 3
5
h)
3x
2
− 2x −
√
25 − x
2
≤
x
2
5 +
√
25 − x
2
⇔
5 −
√
25 − x
2
= 0
3x
2
− 2x −
√
25 − x
2
≤ 5 −
√
25 − x
2
Nếu không xét riêng trường hợp :
5 −
√
25 − x
2
= 0 thì sẽ sót nghiệm.
i) x +
√
x
2
+ 16 ≥
40
√
x
2
+ 16
⇔
16
√
x
2
+ 16 − x
≥
40
√
x
2
+ 16
⇔ 5x ≥ 3
√
x
2
+ 16 (Do
√
x
2
+ 16 −x ≥ 0
suy ra từ V T ≥ V T > 0)
j)
√
3x
2
+ 5x + 7 −
√
3x
2
+ 5x + 2 > 1
Đặt t =
√
3x
2
+ 5x + 7
hoặc t =
√
3x
2
+ 5x + 2
k)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2
⇔
√
2x + 1 + 1 > 2x + 2
l)
4 (x + 1)
2
≤ (2x + 10)
1 −
√
3 + 2x
2
⇔ 4 (x + 1)
2
≤ 8 (x + 5)
(x + 1)
2
1 +
√
3 + 2x
2
Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0
m)
2x
2
3 −
√
9 + 2x
2
≥ x + 21
⇔
3 +
√
9 + 2x
2
≥ 2x + 42
(Nhân lượng liên hợp).
n)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x − 4
⇔
1 −
√
1 + x = 0
1 −
√
1 + x
2
> x − 4
o) 9 (x + 1)
2
≤ (3x + 7)
1 −
√
3x + 4
2
⇔ 9 (x + 1)
2
≤ (3x + 7)
9 (x + 1)
2
1 +
√
3x + 4
2
Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0
p)
x
2
+ 4x ≥ (x + 4)
√
x
2
− 2x + 4
⇔ (x + 4)
x −
√
x
2
− 2x + 4
≥ 0
q)
§3. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
1 Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho biểu thức P =
√
x
√
x + 2
Tìm điều kiện xác định của P .a)
Tìm các giá trị của nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 22/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 2: Cho biểu thức P =
x + 2
√
x + 1
√
x
Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0, x 6= 1a)
Tính giá trị của P biết x =
2
2 +
√
3
b)
Bài 3: Cho biểu thức P = a −
√
a
Biết a > 1, hãy so sánh P và Q = |P |a) Tìm a để P = 2b)
Bài 4: Cho biểu thức P =
√
x + 1
√
x − 1
Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.a)
Tìm các giá trị x để P =
√
xb)
Bài 5: Cho biểu thức P =
1 −
√
x + x
√
x
Tìm điều kiện xác định của P .a) Tính giá trị của P biết x = 7 − 4
√
3b)
Tìm các giá trị của x để P > xc)
Bài 6: Cho biểu thức A =
2
√
x − 9
x − 5
√
x + 6
−
√
x + 3
√
x − 2
−
2
√
x + 1
3 −
√
x
Tìm điều kiện xác định của A.a) Rút gọn Ab)
Tính giá trị của A khi x =
2
3 −
√
5
c) Tìm x để A < 1d)
Bài 7: Cho biểu thức M =
a
2
+
√
a
a −
√
a + 1
−
2a +
√
a
√
a
+ 1
Tìm điều kiện xác định của M.a) Rút gọn M.b)
Biết a > 1. Hãy so sánh M và
√
Mc) Tìm a để P = 2d)
Bài 8: Cho biểu thức P =
√
x
√
x − 1
+
3
√
x + 1
−
6
√
x − 4
x − 1
Rút gọn Pa) Tìm x để P <
1
2
b)
Bài 9: Cho biểu thức P =
√
x
√
x − 1
−
2
√
x − 1
x −
√
x
Thu gọn P .a) Giải phương trình P = 2b)
So sánh M và 1c)
Bài 10: Cho biểu thức P =
√
x
x − 4
+
2
2 −
√
x
+
1
√
x + 2
:
√
x − 2 +
10 − x
√
x + 2
Tìm điều kiện xác định của P .a) Rút gọn P .b)
Tìm các giá trị của x để P > 0c)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 23/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 11: Cho biểu thức P =
√
x +
y −
√
xy
√
x −
√
y
:
x
√
xy + y
√
xy
√
xy(y −x)
Tìm điều kiện xác định của P .a)
Rút gọn P .b)
Tính giá trị của P khi x = 4 + 2
√
3, y = 4 − 2
√
3c)
Bài 12: Cho biểu thức M =
2
√
x − 9
x − 5
√
x + 6
−
√
x + 3
√
x − 2
−
2
√
x + 1
3 −
√
x
Tìm điều kiện xác định của P .a) Rút gọn M.b)
Tìm x ∈ Z để M ∈ Zc)
Bài 13: Cho biểu thức P =
2
√
x
√
x + 3
+
√
x
√
x − 3
+
3x + 3
9 − x
.
√
x − 7
√
x + 1
+ 1
Rút gọn P .a) Tìm x để P ≥ −
1
2
b)
Bài 14: Cho biểu thức A =
4 − 4
√
x
x − 2
√
x − 35
+
2
√
x − 7
−
3
√
x + 5
Tìm điều kiện xác định của A.a) Rút gọn A.b)
Bài 15: Cho biểu thức M =
√
x
x − 4
+
1
√
x + 2
+
2
2 −
√
x
:
√
x +
6 − x
√
x + 2
− 2
Tìm điều kiện xác định của M.a) Rút gọn M.b)
Tìm x ∈ Z để M ∈ Zc)
2 bài tập nâng cao
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
D =
r
3 +
q
5 −
p
13 +
√
48
√
6 +
√
2
.
HD:
Ta có: 13 +
√
48 = 12 + 2
√
12 + 1 và 2 +
√
3 =
3
2
+ 2
√
3
√
2
1
√
2
+
1
2
.
Bài 2: Cho biểu thức: D =
1 −
x − 3
√
x
x − 9
:
√
x − 3
2 −
√
x
+
√
x − 2
3 +
√
x
−
9 − x
x +
√
x − 6
với x ≥ 0, x 6= 9, x 6= 4.
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị của x để D = 1.
HD:
a) Sử dụng hằng đẳng thức A
2
−B
2
, chú ý đến đa thức bậc hai với biến là
√
x và thêm
nữa x +
√
x − 6 = (
√
x − 2)(
√
x + 3).
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 24/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
b) Dùng kết quả rút gọn ở câu a).
Bài 3: Cho biểu thức D =
1
√
x
+
1
√
x + 1
:
√
x
x +
√
x
, với x > 0.
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức D có giá trị nguyên.
HD:
b) Để D nhận giá trị nguyên thì mẫu phải là ước của tử.
Bài 4: Cho a = 7 − 4
√
3. Tính giá trị biểu thức D =
8 − a
a + 4
√
a
−
2
√
a + 4
.
4
√
a − 1
√
a − 2
.
HD:
Rút gọn D và lưu ý: 7 − 4
√
3 = 4 − 2.2
√
3 + 3.
Bài 5: Rút gọn biểu thức D = (2 −
√
3)
p
2 +
√
3 + (2 +
√
3)
p
2 −
√
3.
HD: Lưu ý 2 +
√
3 =
3
2
+ 2
√
3
√
2
1
√
2
+
1
2
hoặc 2 +
√
3 =
4 + 2
√
3
2
=
3 + 2
√
3 + 1
2
.
Bài 6: Cho biểu thức D =
√
x
√
x + 2
+
−x + x
√
x + 6
x +
√
x − 2
−
√
x + 1
√
x − 1
, với x ≥ 0, x 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Cho biểu thức T =
(x + 27)D
(
√
x + 3)(
√
x − 2)
, với x ≥, x 6= 1, x 6= 4. Chứng minh T ≥ 6.
HD:
a) Khi rút gọn ta sử dụng sơ đồ Hoocner để phân tích đa thức bậc 3 thành các đơn
thức, chú ý với biến là
√
x.
b) Biến đổi tương đương để đưa T ≥ 6 về hằng đẳng thức.
Bài 7: Cho biểu thức D =
2
√
x − 1
√
x − 1
−
2
√
x + 1
√
x + 1
, với x ≥ 0, x 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm các giá trị của x để D =
3
4
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = (
√
x − 4)(x − 1)D.
HD:
c) Thêm bớt để đưa biểu thức T về hằng đẳng thức và kết luận giá trị nhỏ nhất.
Bài 8: Cho biểu thức D =
2x − 3
√
x − 2
√
x − 2
và T =
√
x
3
−
√
x + 2x − 2
√
x + 2
với x ≥ 0; x 6= 4.
a) Rút gọn các biểu thức D và T .
b) Tìm tất cả giá trị của x để D = T .
HD:
a) Đối với T , ta có thể nhẩm hoặc sử dụng máy tính tìm nghiệm của pt bậc 3 theo biến
√
x và sử dụng Hoocner phân tích thành bậc 2 và 1.
Bài 9: Cho biểu thức D =
2a
2
+ 4
1 − a
3
−
1
1 +
√
a
−
1
1 −
√
a
, với a ≥ 0; a 6= 1.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 25/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D.
HD:
a) Sử dụng các hằng đẳng thức: A
2
− B
2
, A
3
− B
3
.
b) Chú ý tính chất (A + B)
2
+ c ≥ c.
Bài 10: Cho biểu thức sau:
D =
a
3
− a − 2b −
b
2
a
1 −
r
1
a
+
b
a
2
!
(a +
√
a + b)
:
a
3
+ a
2
+ ab + a
2
b
a
2
− b
2
+
b
a − b
với a > 0, b > 0, a 6= b, a + b 6= a
2
.
a) Chứng minh D = a − b.
b) Tìm a, b biết rằng D = 1 và a
3
− b
3
= 7.
HD:
a) Đối với
a
3
− a − 2b −
b
2
a
1 −
r
1
a
+
b
a
2
!
(a +
√
a + b)
quy đồng rút gọn mẫu, sử dụng hằng đẳng thức
A
2
− B
2
. Còn ở tử thì (a
2
)
2
− (a + b)
2
.
a
3
+ a
2
+ ab + a
2
b
a
2
− b
2
+
b
a − b
, quy đồng mẫu và chú ý đến nhân tử chung a + b.
b) Lưu ý: a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
− ab + b
2
) = (a − b)(a − b)
2
+ (a − b)ab = ab = 7
(do D = a − b = 1).
Tổng tích: a + (−b) = 1 và a.(−b) = −7 ⇒ a và −b.
Bài 11: Biết a, b là các số dương, a 6= b và
(a + 2b)
2
− (b + 2a)
2
a + b
:
(a
√
a + b
√
b)(a
√
a − b
√
b)
a − b
− 3ab
= 3. Tính D =
1 + 2ab
a
2
+ b
2
.
HD:
Rút gọn biểu thức đã cho bằng việc chú ý đến hằng đẳng thức A
2
− B
2
và sử dụng thêm
A
3
− B
3
. Kết quả rút gọn b − a = 1.
Bài 12: Rút gọn biểu thức D = 1 +
1
p
2 +
√
3
+
1
p
3 +
√
8
+ ... +
1
p
2017 +
√
2017
2
− 1
.
HD:
Tính
D
√
2
, chú ý: 2k + 2
p
(k − 1)(k + 1) = (
√
k − 1 +
√
k + 1)
2
và:
1
√
k − 1 +
√
k + 1
=
√
k + 1 −
√
k − 1
2
.
Bài 13: Thu gọn biểu thức D =
1
√
2 −
√
3
s
3
√
2 − 2
√
3
3
√
2 + 2
√
3
.
HD:
Nhân lượng liên hợp rồi nhân phân phối.
Bài 14: Cho D =
3
√
a
√
a + 2
+
√
a + 1
√
a − 2
+
5
√
a + 2
4 − a
, với a ≥ 0, a 6= 4.
a) Rút gọn biểu thức D.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 26/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
b*) Tính giá trị biểu thức D khi a =
3
r
1 +
√
84
9
+
3
r
1 −
√
84
9
.
HD:
b*) Ta lưu ý
3
s
1 +
√
84
9
1 −
√
84
9
=
3
r
−
1
27
=
−1
3
.Tiếp theo ta sẽ mũ ba hai vế biểu
thức a =
3
r
1 +
√
84
9
+
3
r
1 −
√
84
9
và rút gọn:
a
3
+ a − 2 = 0 ⇔ (a − 1)(a
2
+ a + 2) = 0 ⇒ a = 1.
Bài 15: Cho biểu thức:
D =
√
3
x
2
+ x
√
3 + 3
+
3
x
3
−
√
27
x
√
3
+
√
3
x
+ 1
, với x 6= 0; x 6=
√
3.
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D khi x =
√
3 +
r
√
5 −
q
3 −
p
29 − 12
√
5.
HD:
a) Sử dụng A
3
+ B
3
.
b) Lưu ý: 29 − 12
√
5 = 20 + 2.3.
√
20 + 9.
Bài 16:
a) Cho các biểu thức D(x) =
1
x
+
9 − x
x + 3
√
x
, T (x) =
√
x + 1
√
x
với x > 0.
Tìm số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn
D(x)
T (x)
≤
1
2
.
b*) Tính giá trị của biểu thức T =
2x
4
− 21x
3
+ 55x
2
− 32x − 4012
x
2
− 10x + 20
khi x = 5 −
√
3 (không
sử dụng máy tính cầm tay).
HD:
a) Rút gọn
D(x)
T (x)
và lưu ý điều kiện x ≥ 0.
b*) Sử dụng máy tính ta ra được T = 2017 và mẫu là −2 với x = 5 −
√
3. Khi đó ta sẽ
tách ra như sau: T =
2x
4
− 21x
3
+ 55x
2
− 32x + 22
x
2
− 10x + 20
+
−4034
x
2
− 10x + 20
.
Bằng tính toán ta có: x
2
− 10x + 22 = 0 khi x = 5 −
√
3, suy ra ta sẽ phân tích:
2x
4
− 21x
3
+ 55x
2
− 32x + 22 = (x
2
− 10x + 22)(2x
2
− x + 1).
Bài 17: Rút gọn biểu thức D =
p
4 + 2
√
3 −
√
3
(
√
5 + 2)
3
p
17
√
5 − 38 − 2
.
HD:
Chú ý: Rút gọn (
√
5 + 2)
3
p
17
√
5 − 38.
Bài 18*: Với a, b là những số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1, chứng minh rằng:
a
1 + a
2
+
b
1 + b
2
=
1 + ab
p
2(1 + a
2
)(1 + b
2
)
.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 27/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HD:
Biến đổi tương đương biểu thức đã cho bằng phương pháp bình phương hai vế. Chú ý điều
kiện ab + a + b = 1 và (a + b)
2
= (ab − 1)
2
.
Bài 19*: Cho các số dương x, y thỏa mãn x = 4y +
√
2xy. Tính D =
3
√
xy(3
3
√
x − 2
3
√
y)
√
2xy
.
HD:
Biến đổi x = 4y +
√
2xy ⇔ x = 8y bằng cách sử dụng hằng đẳng thức thứ 2.
Bài 20*: Rút gọn biểu thức:
D =
1 + ax
1 − ax
r
1 − bx
1 + bx
với x =
1
a
r
2a − b
b
và 0 < a < b < 2a.
HD:
Biến đổi x =
1
a
r
2a − b
b
để tìm bx theo ax (bình phương).
Chú ý điều kiện a < b để chứng minh ax < 1.
§4. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
1 ĐỀ 1
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: (4,5 điểm)
a)
3
√
2 −
√
5
√
5 −
√
90.
b)
q
1 −
√
2
2
+
p
11 − 6
√
2.
c)
2
√
5 +
√
3
−
r
2
4 −
√
15
+ 6
r
1
3
.
Bài 2. (2 điểm)
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức
q
3 −
x
2
có nghĩa ?
b) Giải phương trình:
√
4x
4
− 4x
2
+ 1 = 3.
Bài 3. (3 điểm) Cho P =
2
√
x
√
x + 3
+
√
x + 1
√
x − 3
+
7
√
x + 3
9 − x
với x ≥ 0; x 6= 9.
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để P < 1.
Bài 4. (0,5 điểm) Chứng minh:
1
√
2
+
1
√
3
+
1
√
4
+ . . . +
1
√
100
< 18.
2 ĐỀ 2
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: (3 điểm)
a) 2
√
8 − 2
r
1
2
−
√
18.
b)
p
9 − 3
√
8 −
√
3 − 1
√
2
+
p
5 − 2
√
6 −
p
2 −
√
3.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 28/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
c)
2 −
√
3
√
2 +
p
2 +
√
3
+
2 +
√
3
√
2 −
p
2 −
√
3
.
Bài 2. (3 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: A =
√
18 + 2x ; B =
√
18 − 2x
2
b) Giải phương trình:
5
2
√
3x −
√
3x − 6 =
1
2
√
3x.
Bài 3. (3 điểm) Cho P =
x + 2
√
x
x − 2
√
x
+
x + 12
x − 4
−
x − 2
√
x
x + 2
√
x
với x > 0;x 6= 4.
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để giá trị P lớn hơn giá trị của
1
P
.
Bài 4. (1 điểm) Cho M =
1
1 +
√
2
+
1
√
2 +
√
3
+
1
√
3 +
√
4
+ . . . +
1
√
2017 +
√
2018
và N = 1 +
1
√
2
+
1
√
3
+
1
√
4
+ . . . +
1
√
528
.
a) Tính M.
b) So sánh M và N.
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Bài 1.
a)
3
√
2 −
√
5
√
5 −
√
90 = 3
√
10 − 5 − 3
√
10 = −5.
b)
q
1 −
√
2
2
+
p
11 − 6
√
2 =
√
2 − 1 +
q
3 −
√
2
2
=
√
2 − 1 + 3 −
√
2 = 2.
c)
2
√
5 +
√
3
−
r
2
4 −
√
15
+6
r
1
3
=
2(
√
5 −
√
3)
2
−
q
2
4 +
√
15
+
6
√
3
3
=
√
5−
√
3−
p
8 + 2
√
15+
2
√
3 =
√
5 +
√
3 −
q
√
5 +
√
3
2
=
√
5 +
√
3 −
√
5 +
√
3
= 0.
Bài 2.
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi và chỉ khi 3 −
x
2
≥ 0 ⇔ −
x
2
≥ −3 ⇔ x ≤ 6.
b)
√
4x
4
− 4x
2
+ 1 = 3 ⇔
q
(2x
2
− 1)
2
= 3 ⇔
2x
2
− 1
= 3 ⇔
2x
2
− 1 = 3
2x
2
− 1 = −3
⇔
x
2
= 2
x
2
= −1 (VN)
⇔ x = ±
√
2 .
Bài 3.
a) P =
2
√
x
√
x + 3
+
√
x + 1
√
x − 3
+
7
√
x + 3
9 − x
=
2
√
x(
√
x − 3) + (
√
x + 1)(
√
x + 3) − (7
√
x + 3)
x − 9
=
2x − 6
√
x + x + 4
√
x + 3 − 7
√
x − 3
x − 9
=
3x − 9
√
x
x − 9
=
3
√
x(
√
x − 3)
(
√
x + 3)(
√
x − 3)
=
3
√
x
√
x + 3
.
b) P < 1 ⇔
3
√
x
√
x + 3
< 1 ⇔ 3
√
x <
√
x + 3 ⇔
√
x <
3
2
⇔ x <
9
4
.
Vậy 0 ≤ x <
9
4
.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 29/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4.
Với k > 1 thì
1
√
k
=
2
2
√
k
<
2
√
k +
√
k − 1
= 2
√
k −
√
k − 1
.
Cho số nguyên k chạy từ 2 đến 100
1
√
2
< 2
√
2 −
√
1
1
√
3
< 2
√
3 −
√
2
.. .
1
√
100
< 2
√
100 −
√
99
.
Cộng vế theo vế ta được:
1
√
2
+
1
√
3
+
1
√
4
+ ... +
1
√
100
< 2
√
100 −
√
1
= 18 (đpcm).
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Bài 1.
a) 2
√
8 − 2
r
1
2
−
√
18 = 2
√
4.2 − 4
r
4.
1
2
−
√
9.2 = 4
√
2 −
√
2 − 3
√
2 = 0.
b)
p
9 − 3
√
8 −
√
3 − 1
√
2
+
p
5 − 2
√
6 −
p
2 −
√
3
=
p
6 + 3 − 2
√
6
√
3 −
√
6 −
√
2
2
+
p
3 + 2 − 2
√
3
√
2 −
p
8 − 4
√
3
2
=
q
√
6 −
√
3
2
−
√
6 −
√
2
2
+
q
√
3 −
√
2
2
−
q
√
6 −
√
2
2
2
=
√
6 −
√
3 −
√
6 −
√
2
2
+
√
3 −
√
2 −
√
6 −
√
2
2
= 0.
c)
2 −
√
3
√
2 +
p
2 +
√
3
+
2 +
√
3
√
2 −
p
2 −
√
3
=
2
√
2 −
√
6
2 +
p
4 + 2
√
3
+
2
√
2 +
√
6
2 −
p
4 − 2
√
3
=
2
√
2 −
√
6
3 +
√
3
+
2
√
2 +
√
6
3 −
√
3
=
2
√
2 −
√
6
3 −
√
3
+
2
√
2 +
√
6
3 +
√
3
3 +
√
3
3 −
√
3
=
6
√
2 − 2
√
6 − 3
√
6 + 3
√
2 + 6
√
2 + 2
√
6 + 3
√
6 + 3
√
2
3 +
√
3
3 −
√
3
= 3
√
2.
Bài 2.
a) A =
√
18 + 2x xác định khi và chỉ khi 18 + 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −18 ⇔ x ≥ −9.
B =
√
18 − 2x
2
xác định khi và chỉ khi 18 − 2x
2
≥ 0 ⇔ x
2
− 9 ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≤ 0
⇔ x − 3 ≤ 0 và x + 3 ≥ 0 (do x + 3 > x − 3) ⇔ −3 ≤ x ≤ 3.
b)
5
2
√
3x −
√
3x − 6 =
1
2
√
3x ⇔
3
2
√
3x − 6 =
1
2
√
3x ⇔
√
3x = 6 ⇔ 3x = 36 ⇔ x = 12.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 30/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3.
a) Với x > 0;x 6= 4
P =
x + 2
√
x
x − 2
√
x
+
x + 12
x − 4
−
x − 2
√
x
x + 2
√
x
=
√
x (
√
x + 2)
√
x (
√
x − 2)
+
√
x (
√
x − 2)
√
x (
√
x + 2)
+
x + 12
x − 4
=
(
√
x + 2)
2
− (
√
x − 2)
2
+ x + 12
(
√
x − 2) (
√
x + 2)
=
x + 2
√
x + 6
√
x + 12
(
√
x − 2) (
√
x + 2)
=
√
x (
√
x + 2) + 6 (
√
x + 2)
(
√
x − 2) (
√
x + 2)
=
(
√
x + 2) (
√
x + 6)
(
√
x − 2) (
√
x + 2)
=
√
x + 6
√
x − 2
.
b) P >
1
P
⇔
√
x + 6
√
x − 2
>
√
x − 2
√
x + 6
⇔
(
√
x + 6)
2
− (
√
x − 2)
2
(
√
x − 2) (
√
x + 6)
> 0 ⇔
16 (
√
x + 2)
(
√
x − 2) (
√
x + 6)
> 0
⇔
√
x − 2 > 0 (do 16 (
√
x + 2) > 0 và
√
x + 6 > 0) ⇔
√
x > 2 ⇔ x > 4.
Vậy x > 4.
Bài 4.
a) Nhân lượng liên hiệp từng số hạng trong biểu thức M ta được:
M = −1 +
√
2 −
√
2 +
√
3 −
√
3 +
√
4 − . . . −
√
2017 +
√
2018 = −1 +
√
2018.
b) Với k > 1 thì
1
√
k
=
2
2
√
k
>
2
√
k + 1 +
√
k
= 2
√
k + 1 −
√
k
.
Cho số nguyên k chạy từ 1 đến 528
1
√
1
> 2
√
2 −
√
1
1
√
2
> 2
√
3 −
√
2
.. .
1
√
528
> 2
√
529 −
√
528
.
Cộng vế theo vế ta được:
N = 1 +
1
√
2
+
1
√
3
+
1
√
4
+ ... +
1
√
528
> 2
−
√
1 +
√
529
= 2(−1 + 23) = 44.
Mặc khác M = −1 +
√
2018 < −1 +
√
2025 = −1 + 45 = 44
Do đó M < N .
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 31/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 32/75
Chương 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT
§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM
SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) =
1
2
x + 1 và y = g(x) =
1
2
x
Tính f (−3), f(−0, 5), f(0), f(1, 5).a)
Tính g(−3), g(−0, 5), g(0), g(1, 5).b)
Hãy nhận xét về giá trị của các hàm số đã cho ở trên khi cho biến x lấy cùng một
giá trị?
c)
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) =
−1
3
x + 1.
Tính f (−5), f
−3
2
, f
1
3
, f (1), f
3
2
a)
Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến?b)
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số
y = f(x) = x + 2a) y = f(x) = −4x + 5b) y = f(x) =
−2
3
x − 1c)
y = f(x) = 2x − 3d) y = f (x) = 0, 5x − 0, 5e) y = f(x) =
−3
4
x + 2f)
y = f(x) =
√
3xg) y = f (x) =
√
2xh)
Bài 4: Tìm giá trị của m đề các hàm số sau là hàm số bậc nhất
y = f(x) = (m − 3) x + 1a) y = f(x) =
2
m
2
x −
2
3
b)
y = f(x) =
√
5 − 2mx + m + 3c) y = f (x) = |m − 1|x − 2d)
y = f(x) =
m
2
2m − 1
x − 2e) y = f(x) =
m
2
+ m − 1
x + m + 2xf)
y = f(x) =
p
m + 2
√
m − 1
x + m
2
+
3m
g)
33
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Giải thích
y = f(x) = 3x − 2a) y = f (x) = −x − 7b)
y = f(x) = −
1
2
x +
3
5
c) y = f(x) =
3 −
√
7
x + 2d)
y = f(x) =
√
5 − 2
x +
√
3e) y = f(x) =
2 +
√
5
−3
x − 8f)
y = f(x) =
17
p
2 −
√
3
x −
√
3g) y = f(x) =
p
6 − 2
√
2 − 2
√
3 + 2
√
6
x−
15
h)
§2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) =
3
2
x − 2. Tính f(0), f
1
2
, f
a
2
, f (2a + 2).
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) =
1
2
x + 3. Tính f(5), f
1
2
, f (2).
Bài 3: Một hình chữ nhật có các kích thước là 30 cm và 40 cm. Người ta giảm bớt mỗi
kích thước của hình đó đi x cm. Gọi S và P lần lượt là diện tích và chu vi của hình chữ
nhật mới theo x.
Hỏi rằng các đại lượng S và P có phải là hàm số bậc nhất của x hay không? Vì sao?a)
Tính giá trị tương ứng của P khi x nhận các giá trị (tính theo đơn vị cm) sau: 0; 1, 5;
2, 5; 3, 5.
b)
Bài 4: Chứng minh hàm số f(x) =
3
4
x − 2 đồng biến trên R
Bài 5: Cho hai hàm số f(x) = 5x − 3 và g(x) = −
1
2
x + 1.
Tìm a sao cho f(a) = g(a).a) Tìm b sao cho f(b − 2) = g(2b + 4)b)
Bài 6: Cho hàm số y = (m − 2)x + 3 và y = (m + 1) + 5. Tìm các giá trị của m để hàm số:
Là hàm số bậc nhấta) Là hàm số nghịch biếnb) Là hàm số đồng biếnc)
Bài 7: Cho hàm số y = ax + 5. Tìm hệ số a biết khi x = 1 thì y = 2.
Bài 8 Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất?
y =
√
5 − m(x − 1)a) y =
m + 1
m − 1
x + 3, 5b)
Bài 9: Tìm m để hàm số y = (m
2
− 1)x + 5 đồng biến trên R.
Bài 10: Tìm m để hàm số y = (m
2
− 2m − 3)x + 2 nghịch biến trên R.
Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 34/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) nghịch biến trong khoảng (0; 1). Biết f
√
2
2
= 0. Chứng
minh rằng f
√
3 −
√
2
> 0 và f
√
2 −
√
2
3
< 0.
HD: Lưu ý
√
3 −
√
2 <
√
2
2
(trục căn thức sẽ thấy) cùng với hàm số nghịch biến trong
khoảng (0; 1) và f
√
2
2
= 0.
Bài 2: Tìm a, b để hàm số y = (a
2
− 4)x
2
+ (b − 3a)(b + 2a)x − 2 là hàm số bậc nhất.
HD: Giải phương trình a
2
−4 = 0 ta được hai giá trị của a, lần lượt thay vào (b −3a)(b + 2a)
được một biểu thức theo b. Dùng định nghĩa hàm số bậc nhất để tìm b.
Bài 3: Cho hàm số y =
2 +
√
3
2 −
√
3
+
2 −
√
3
2 +
√
3
x − 5. Hàm số là đồng biến hay nghịch biến.
HD: Dùng trục căn thức để rút gọn
2 +
√
3
2 −
√
3
rồi xét dấu.
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến
khi a < 0.
HD: Sử dụng định nghĩa để chứng minh.
§3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
y = 2x + 6 và y = 2x + 5,a) y = 3x − 3 và y = 4x − 3,b)
y = 7x − 1 và y =
1
7
x − 1,c) y = 8x + 2 và y = 16x + 4,d)
2y = 3x + 4 và y =
3
2
+ 2,e) y = 4x + 5 và 3y − 12x + 15 = 0,f)
7y − 9x + 14 = 0 và y =
9
7
x − 3,g) y = 5x − 32 và 6x + y = 48.h)
Bài 2: Tìm các giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau cắt nhau:
y = mx + 3 và y = (3m + 2)x + 3m,a) y = (m + 1)x + 4 và y = 2x + 4m,b)
y = 5x + 6 và y = (m − 1)x + m,c) 4x + 3my = 0 và y = 3x + 6,d)
6x + my + 3 = 0 và 2y − 3mx + 4 = 0,e) y = 3x + 4 và y = (m
2
+ 4m + 3)x + 9,f)
(m + 1)y + x = 0 và y = (m + 1)x + 4,g) y = (
m
2
2
+ 4)x + 5 và y = (m +
7
2
)x + 3.h)
HD: h) Phân tích
m
2
2
− m +
1
2
thành hằng đẳng thức.
Bài 3: Tìm giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
y = mx + (2m + 1) và y = 7x + 9,a) y = (m − 1)x + 8m và y = 2mx + 3,b)
y = 2m
2
x + 4m và y = 2x − 4,c) y = 3x + 8 và y = (9m + 6)x + 4,d)
my = 4x + 2 và y = 8x + 9,e) 4x −2y + 3 = 0 và mx + (m −1)y + 4 = 0,f)
y = (m
2
+ 1)x + 3 và y = 2mx + m,g) mx + (m + 1)y − 1 = 0
và y = −mx + m + 1.
h)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 35/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HD:
g) Đưa m
2
+ 1 = 2m về hằng đẳng thức.
h) Xét trường hợp m = 0, rồi đưa về dạng y = ax + b.
Bài 4: Tìm giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau trùng nhau:
y = 3x + 2 và y = mx + 3m − 7,a) y = mx + 3m + 2 và y = (−m
2
− 4m +
6)x − 1,
b)
y = 2x +
m
4
và y = (m − 3)x + 4m + 5,c) 4x + my = 0 và y = 3x + m,d)
m
2
x + (m + 1)y + 6 = 0 và
y = (m −
10
3
)x − 2,
e) 7m
3
x+6y+5 = 0 và 4y+(5m+1)x−m = 0,f)
4x + 6m
5
y + m
2
+ 1 = 0 và
3y + 2x = 8m
4
+ 3m
2
,
g) y =
√
2x +
p
2 −
√
3 và
y = (m
2
+ 1)x + m −
3
2
.
h)
HD:
e, f, g) Xét trường hợp hệ số trước y bằng 0, rồi sau đó đưa về trường hợp y = ax + b. Khi
đó, ta giải điều kiện b = b
0
và thế vào điều kiện a = a
0
.
h) Phân tích 2 −
√
3 =
√
3
2
−
1
√
2
2
và xét điều kiện b = b
0
trước.
Bài 5: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 4),a)
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 5,b)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3,c)
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x + 4 tại điểm có hoành độ là −3,d)
Đồ thị hàm số vuông góc với trục tung.e)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(−2;
p
11 + 6
√
2),f)
Đồ thị hàm số tạo với trục hoành và trục tung hai góc đều bằng 45
◦
,g)
HD:
f) Phân tích 11 + 6
√
2 = (3 +
√
2)
2
;
g) Xét hai trường hợp: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là tia phân giác của các góc phần
tư)-loại do đường thẳng không qua gốc tọa độ O và trường hợp không đi qua gốc tọa độ
(cắt trục hoành và tung tại hai điểm A, B, khi đó tam giác OAB vuông cân).
Bài 6: Cho hàm số y = 5x + b. Hãy xác định hệ số b trong các trường hợp sau:
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(
3
2
;
4
7
),a)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 7,b)
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 9x +
17
5
tại điểm có tung độ là 9,c)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(
√
7;
p
8 + 2
√
7),d)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ −2,e)
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 5x + 4f)
Đồ thị hàm số tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân.g)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 36/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HD:
d) Phân tích 8 + 2
√
7 = (
√
7 + 1)
2
;
f) Để y = 5x + b song song với y = 5x + 4 thì b 6= 4;
g) Xét hai trường hợp: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là tia phân giác của góc phần tư
thứ I) và trường hợp không đi qua gốc tọa độ (cắt trục hoành và tung tại hai điểm A, B,
khi đó tam giác OAB vuông cân).
Bài 7: Cho hàm số y = ax + b. Hãy xác định hệ số a, b trong các trường hợp sau:
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; 9),a)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 5 và cắt trục tung tại
điểm có tung độ y = 2,
b)
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2 và qua điểm A(−2; 3),c)
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x + 2 tại A(−1; −1) và đi qua gốc tọa độ,d)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(
√
2; 3) và song song với trục hoành,e)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;
p
4 +
√
7) và B(
√
14;
√
2
2
),f)
Đồ thị hàm số tạo với trục hoành và tạo trục tung 2 góc đều bằng 45
◦
, đồng thời đi
qua điểm A(1; 1).
g)
HD:
f) Phân tích 4 +
√
7 =
√
14
2
+ 1
2
;
g) Xét hai trường hợp:
+Đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là đường phân giác của góc phần tư thứ I và III);
+Đường thẳng không đi qua gốc tọa độ (cắt trục hoành và tung tại hai điểm B, C, khi đó
tam giác OBC vuông cân), đồng thời điểm A(1; 1) là trung điểm cạnh huyền.
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
1 ĐỀ 1
Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y = 2x + 1 có đồ thị là đường thẳng (d)
Tìm tọa độ điểm A thuộc d biết A có hoành độ bằng 2.a)
Tìm tọa độ điểm B thuộc d biết B có tung độ bằng −7.b)
Điểm C(4; 9) có thuộc d không?c)
Bài 2: (3 điểm) Cho hàm số y = (3m + 2) x + 1
Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.a)
Tìm điều kiện của m đề hàm số trên đồng biến, nghịch biến.b)
Tìm điều kiện của m đề hàm số trên đề đồ thị của hàm số trên song song với đường
thẳng y = x − 3.
c)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 37/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3: (3 điểm) Cho hàm số bậc nhất y = f (x) = kx + 3 − 2x + k
Xác định k để hàm số trên đồng biến.a)
Xác định k để đồ thị hàm số trên đi qua điểm M (1; 3).b)
Xác định k để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa tại hai điểm A và B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng 1.
c)
Bài 4: (1 điểm) Cho đường thẳng d y = f(x) =
−2m
m − 1
x +
2
m − 1
với m 6= 1. Tìm m sao
cho khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d là lớn nhất.
2 ĐỀ 2
Bài 1 (2 điểm): Tìm m để:
Hàm số y = (m + 2
√
m + 1)x − 10 là hàm số đồng biến.a)
Hàm số y = (
√
m − 3) + 2 là hàm số nghịch biến.b)
Bài 2 (5 điểm): Cho hai hàm số: y = x + 2(d
1
) và y = −
1
2
x + 1(d
2
).
Vẽ (d
1
) và (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ.a)
Xác định tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) bằng phép toán.b)
Viết phương trình đường thẳng (d
3
) qua O(0; 0) và song song với (d
1
). Tìm toạ độ
giao điểm M của (d
3
) và (d
1
).
c)
Bài 3 (2 điểm): Cho hàm số y = (3m − 2)x − 3 (d) và y = −4x + 3 − 2m (d
0
).
Định m để (d) song song với (d
0
).a)
Định m để (d) và (d
0
) cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.b)
Bài 4 (1 điểm): Chứng minh rằng đường thẳng (m − 2)x + (m − 1)y = 1 (m là tham số)
luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Bài 1:
Điểm A có hoành độ bằng 2 nên tọa độ của A là (2, b). Vì A thuộc d nên b = 2.2 + 1 ⇔
b = 5. Vậy A (2; 5).
a)
Điểm A có tung độ bằng −7 nên tọa độ của B (a; −7). Vì B thuộc d nên −7 = 2.a+1 ⇔
b = −4. Vậy A (−4; −7).
b)
Bài 2:
y = (3m + 2) x + 1 là hàm bậc nhất khi và chỉ khi 3m + 2 6= 0 ⇔ m 6=
−3
2
.a)
y = (3m + 2) x + 1 đồng biến khi và chỉ khi 3m + 2 > 0 ⇔ m >
−3
2
.b)
y = (3m + 2) x + 1 nghịch biến khi và chỉ khi 3m + 2 < 0 ⇔ m <
−3
2
.c)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 38/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3:
y = f(x) = kx + 3 −2x + k ⇔ y = f (x) = (k − 2) x + k + 3. Hàm số đồng biến khi và chỉ
khi k − 2 > 0 ⇔ k > 2.
a)
Đồ thị hàm số y = f (x) = kx + 3 − 2x + k đi qua M (1; 3) khi và chỉ khi 3 = k.1 + 3 −
2.1 + k ⇔ k = 1.
b)
Đồ thị hàm số y = f (x) = (k −2)x +k + 3 cắt Ox tại A
k + 3
2 − k
, cắt Oy tại B (0; k + 3).
Diện tích ∆OAB =
1
2
.OA.OB =
1
2
k + 3
2 − k
. |k + 3| = 1 ⇔ k = −4 +
√
11 hoặc k =
−4 −
√
11.
c)
Bài 4: Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là
2
m − 1
r
−2m
m − 1
2
+ 1
=
2
√
5m
2
− 2m + 1
=
2
r
5
m
2
−
2
5
m +
1
25
+
4
5
=
2
r
5
m −
1
5
2
+
4
5
. Sử dụng hằng đẳng thức để làm các bước
tiếp theo và ta được kết quả m =
1
5
.
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Bài 1
Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi
m + 2
√
m + 1 > 0 ⇔
√
m + 1
2
> 0 ⇔
√
m + 1 6= 0 (luôn đúng)
Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến với mọi m.
a)
Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi
√
m − 3 < 0 ⇔
√
m < 3 ⇔ 0 ≤ m < 3
b)
Bài 2:
x
y
O
−2 2
1
2
(d
1
)
(d
2
)
a)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 39/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Phương trình hoành độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là:
x + 2 = −
1
2
x + 1 ⇔
3
2
x = −1 ⇔ x = −
2
3
Suy ra y =
4
3
. Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là
−
3
2
,
4
3
.
b)
Vì đường thẳng (d
3
) song song với (d
1
) nên phương trình đường thẳng (d
3
) có dạng
y = x + b (b 6= 2).
Ta có O(0; 0) thuộc (d
3
) nên 0 = 0 + b, suy ra b = 0.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = a.
Vì (d
3
) song song với (d
1
) nên không tồn tại giao điểm M của hai đường thẳng.
c)
Bài 3:
Hai đường thẳng (d) song sóng với (d
0
) khi và chỉ khi
3m − 2 = −4
−3 6= 3 − 2m
⇔
(
m = −
2
3
m 6= 3
⇔
m = −
2
3
a)
Giao điểm của (d) và trục hoành là A
3
3m − 2
, 0
. với m 6=
2
3
Giao điểm của (d
0
) và trục hoành là B
3 − 2m
4
, 0
.
Vì (d) và (d
0
) cắt nhau tại trục hoành nên A ≡ B, suy ra
3
3m − 2
=
3 − 2m
4
.
b)
Bài 4:
Gọi A(x
0
, y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua. Ta có: (m − 2)x
0
+ (m − 1)y
0
= 1 ⇔
m(x
0
− y
0
) − 2x
0
− y
0
= 1(1).
Vì đường thẳng đi qua A với mọi m nên m(x
0
− y
0
) = 0 hay x
0
= y
0
, thay vào (1) ta được
x
0
= −1, y
0
= 1.
Thử lại ta thấy đường thẳng luôn đi qua (−1, 1) với mọi m.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 40/75
Phần II
HÌNH HỌC
41
Chương 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC VUÔNG
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6, AC = 8. Tính HB, HC.
Bài 2: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 12, BC = 20. Tính HB, HC.
Bài 3: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 1, HC = 4. Tính AB, AC.
Bài 4: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 5, AC = 7. Tính AH, BC.
Bài 5: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 1, AH = 2. Tính AC, HC.
Bài 6: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC, HB = HC, AH = 2. Tính
AB, HB.
Bài 7: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng AH = 4cm, BC = 10cm. Tính
độ dài các cạnh AB, AC, HB, HC.
Bài 8: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm.
Tính các cạnh của tam giác ABC.a)
Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.b)
Bài 9: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng AB = 2
√
5cm và diện tích tam
giác ABC bằng 15 cm
2
. Tính độ dài các cạnh AC, BC, AH, HB, HC
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông
góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F . Tính độ dài các đoạn thẳng DE, DF, AE, CE, AF, BF .
Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH và trung tuyến AM. Kẻ HD ⊥ AB tại D,
HE ⊥ AC tại E. Biết HB = 4, 5cm, HC = 8cm.
Chứng minh
[
BAH =
\
MAC.a)
Chứng minh AM ⊥ DE tại K.b)
Tính độ dài AK.c)
Hướng dẫn:
43
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
4MAC cân tại Ma)
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên
[
ADE =
[
DAH
4MAB cân tại M nên
\
BAM =
\
ABM
⇒
[
ADE +
\
BAM =
[
DAH +
\
ABM = 90
◦
⇒ AM ⊥ DE
b)
Có HB, HC ta tính được AH, HD, HE. Từ đó tính được AD, AE do tứ giácADHE là
hình chữ nhật.
Từ đó ta tính được AK bằng cách xét 4ADE vuông tại A đường cao AK.
c)
Bài 2: Cho hình thang ABCD có
b
A =
b
D = 90
◦
,
b
B = 60
◦
, CD = 30cm, CA ⊥ CB. Tính diện
tích hình thang.
Hướng dẫn:
Trong tam giác vuông ACD có AC = 2AD do
[
CAD =
[
ABC = 60
◦
Dùng định lý Pytago tính được AD = 10
√
3cm
Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) ta được hình chữ nhật AHCD.
Đáp số: S
ABCD
= 350
√
3cm
2
Bài 3*: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK; H là trực tâm của tam giác. Gọi M
là một điểm trên CK sao cho
\
AMB = 90
◦
. S, S
1
, S
2
theo thứ tự là diện tích các tam giác
AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng S =
√
S
1
S
2
.
Hướng dẫn:
S =
p
S
1
S
2
⇔
1
2
AB.MK =
r
1
2
AB.CK.
1
2
AB.HK
⇔ M K
2
= CK.HK
⇔ AK.KB = CK.HK (Do M K
2
= AK.KB)
⇔ 4AHK v 4CBK
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M nằm giữa B và C. Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Chứng minh rằng M B
2
+ MC
2
= 2MA
2
.
Hướng dẫn:
MB
2
= BD
2
+ MD
2
= 2MD
2
MC
2
= CE
2
+ ME
2
= 2ME
2
⇒ M B
2
+ MC
2
= 2
MD
2
+ ME
2
= 2DE
2
= 2AM
2
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, AC = 5. Đường cao, đường phân giác, đường
trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn tam giác không có điểm
trong chung. Tính diện tích của mỗi tam giác đó.
Hướng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được đây là tam giác vuông tại B.
Để tính diện tích các tam giác đề bài yêu cầu, ta cần tính được các đoạn AH, HD, DM, M C.
Dễ dàng tính được AH =
9
5
, MC =
5
2
.
Do BD là phân giác của góc B nên
DA
DC
=
AB
BC
=
3
4
⇒
DA
CA
=
3
7
⇒ DA =
15
7
.
Từ đó AH < AD < AM , suy ra DM =
5
14
Đáp số: S
4BAH
=
54
25
, S
4BHD
=
72
175
, S
4BDM
=
6
14
, S
4BM C
= 3 (đvdt).
Bài 6*: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính độ
dài các cạnh AB, AC, biết BC =
√
41 và AH : AM = 40 : 41.
Hướng dẫn:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 44/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
AH : AM = 40 : 41 ⇒
AH
40
=
AM
41
= k ⇒ AH = 40k, AM = 41k
MH
2
= AM
2
− AH
2
⇒ M H = 9k ⇒ CH = CM + MH = 50k
4AHB v 4CHA (g- g) nên
AB
AC
=
HA
HC
=
4
5
Suy ra
AB
4
=
AC
5
⇒
AB
2
16
=
AC
2
25
=
AB
2
+ AC
2
41
=
BC
2
41
=
√
41
2
41
= 1
⇒ AB = 4, AC = 5
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Gọi O là
giao điểm của AH và EF . Chứng minh rằng HB.HC = 4OE.OF
Hướng dẫn:
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF ; OE = OF suy ra EF = 2OE.
Ta có OE.OF = OE
2
;
EF
2
= AH
2
= 4OE
2
= 4OE.OF
Tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC nên AH
2
= BH.HC, suy ra BH.HC = 4OE.OF
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M và N
lần lượt là điểm thuộc HC, HB sao cho
\
AMB =
[
ANC = 90
◦
.
Tam giác AMN là tam giác gì? Vì sao?
Hướng dẫn:
Tam giác AMB vuông tại M, ta có
AM
2
= AE.AB (1)
Tam giác ANC vuông tại N, ta có
AN
2
= AD.AC (2)
4ABD v 4ACE (g-g), ta có:
AD.AC = AE.AB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = AN. Vậy 4AMN là tam giác cân tại A.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
M là một điểm trên cạnh AD sao cho
\
ABM = 30
◦
. Tính AM, BM theo a.a)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại F , đường thẳng này cắt CD tại N.
Tính độ dài các đoạn thẳng AF, M F, BF theo a.
b)
Hướng dẫn:
4AMB vuông tại A, có
\
ABM = 30
◦
nên BM = 2AM .
(2AM)
2
− AM
2
= AB
2
⇒ AM =
a
√
3
3
a)
\
MAF =
[
ABF = 30
◦
(cùng phụ với
[
F AB). Từ đó ta có
AF =
AB
2
=
a
2
; MF =
AM
2
=
a
√
3
6
.
AF
2
= F M.F B ⇒ F B =
AF
2
MF
=
a
2
.6
4.a.
√
3
=
a
√
3
2
b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 45/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm giữa điểm A và B. Tia DI cắt
tia BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc gới DE cắt BC tại F . Chứng minh rằng
tổng
1
DI
2
+
1
DE
2
không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.
Hướng dẫn:
4AID v 4CF D (c-g-c) suy ra DI = DF .
4EDF vuông tại D, có DC ⊥ EF suy ra
1
DE
2
+
1
DF
2
=
1
DC
2
Mà DF = DI nên
1
DI
2
+
1
DE
2
=
1
DC
2
không đổi, do đó
1
DI
2
+
1
DE
2
không phụ thuộc vào
vị trí của điểm I.
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0, 3m, BC = 0, 4m. Tính các tỉ số
lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, tan B =
1
3
. Hãy tính các cạnh AC,BC.
Bài 3. Với góc nhọn α tùy ý, hãy chứng minh:
tan α =
sin α
cos α
, cot α =
cos α
sin α
, tan α. cot α = 1.a)
sin
2
α + cos
2
α = 1, 1 + tan
2
α =
1
cos
2
α
, 1 + cot
2
α =
1
sin
2
α
.b)
cot
2
α(2 sin
2
α + cos
2
α − 1) = cos
2
α.c)
Bài 4. Không sử dụng máy tính:
A) Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
sin 60
◦
, cos 34
◦
, sin 54
◦
, cos 17
◦
, sin 87
◦
.a) tan 24
◦
, cot 69
◦
, tan 4
◦
, tan 45
◦
, cot 87
◦
.b)
B) Hãy tính giá trị biểu thức:
cos 10
◦
− sin 80
◦
+ 3 tan 31
◦
. cot 59
◦
.a) tan 50
◦
− cot 40
◦
+
sin
2
20
◦
+ sin
2
70
◦
tan 33
◦
. cot 33
◦
+
cos 66
◦
sin 24
◦
.
b)
Bài 5. Cho góc nhọn α
Cho sin α =
2
3
. Tính cos α;tan α;cot α.a) Cho tan α = 2. Tính sin α;cos α;cot α.b)
Cho tan α = 5. Tính C =
sin α − cos α
sin α + 3 cos α
.c) Cho cot α = 0, 2. Tính D = sin
2
α −
2 sin α cos α + 3 cos
2
α.
d)
Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác
trong BK (K ∈ AC).
Giả sử AB = 3cm;AH = 2, 4cm. Tính BH;BC;tan
[
ABK.a)
Biết
AB
AC
=
2
3
. Tính sin
[
ABC và cos
[
ABC.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 46/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH
Chứng minh cos
2
C =
CH
CB
; tan
2
C =
HB
HC
; cos 2C = 1 − 2 sin
2
C(*).
HD:(*) Gọi M là trung điểm của BC khi đó
\
AMB = 2C
⇒ cos 2C =
MH
MA
=
2MH.BC
BC
2
=
(HC − HB)(HC + HB)
BC
2
=
HC
2
− HB
2
BC
2
.
a)
Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên trên các cạnh AB,AC. Chứng minh AH =
EF. cos
[
BAC.
b)
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh cos A + cos B + cos C ≤
3
2
.
HD: Kẻ AH, BI, CK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC.
Khi đó cos A =
r
AI
AB
.
AK
AC
≤
1
2
AI
AC
+
AK
AB
(bđt Cauchy). Làm tương tự với cos B, cos C.
§3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG
TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI TAM GIÁC
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A có BC = 5cm; AC = 4cm. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm;
b
C = 40
◦
. Hãy giải tam giác vuông
ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có
b
B = 30
◦
. Hãy giải tam giác vuông ABC
Bài 4: Trong tam giác ABC có AB = 11cm;
[
ABC = 38
◦
;
[
ACB = 30
◦
, N là chân đường
vuông góc kẻ từ A đến BC. Tính AN và AC. (Kết quả lấy sau dấu phẩy 2 chữu số)
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết
[
AOD = 70
◦
; AC =
5, 3cm;BD = 4, 0cm. Tính diện tích ABCD. (Biết sin 70
◦
= 0, 9)
Bài 6: Hình bình hành ABCD có
b
A = 120
◦
; AB = a; BC = b các đường phân giác của bốn
góc cắt nhau tạo thành tứ giác MNP Q. Tính diện tích tứ giác MNP Q.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 2cm. HC = 64cm.
Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ).
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 64mm, HC = 81mm.
Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ) và tính AB; AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ
hai).
Bài 9: Một chiếc đò đang ở điểm A muốn băng qua sông theo đường AH vuông góc với bờ
bên kia nhưng bị nước cuốn đi nên tấp vào bờ bên kia ở điểm B cách H 50m (BH = 50m).
Tìm chiều rộng con sông (AH) và quãng đường đò đã đi (AB).
Bài 10: Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao 900m. Một người quan sát nhìn chiếc máy
bay đó dưới góc α ≈ 40
◦
. Tính khoảng cách từ người quan sát đến máy bay (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai).
Bài 11: Từ vị trí A ở đỉnh một ngọn hải đăng cao 100m so với mặt nước biển, người quan
sát nhìn thấy một con tàu (vị trí B) theo một góc 82
◦
so với phương thẳng đứng (hình
trên). Tính khoảng cách từ A đến con tàu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 12: Cho tam giác ABC có BC = 12cm,
b
B = 60
◦
,
b
C = 40
◦
.
Tính chiều cao CH và AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).a)
Tính diện tích tam giác ABC.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 47/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm.
Tính BC;
b
B;
b
C (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữ số)a)
Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD. (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữ
số)
b)
Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?
Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF . (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữu số)
c)
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Kẻ đường phân giác trong AD
của góc vuông cắt cạnh huyền tại D, rồi kẻ đường song song BE với AD (E thuộc đường
thẳng AC)
Chứng minh rằng AE = AB. Tính BE.a)
Tính độ dài đường phân giác AD.b)
Tính diện tích hình thang ADBE và diện tích tam giác ADC.c)
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A và có độ dài hai cạnh góc vuông AB = 24cm,AC =
18cm. Từ trung điểm M trên cạnh huyền BC kẻ đường vuông góc với cạnh huyền cắt AC
tại D và AB tại E.
Tính độ dài M C.a)
Chứng minh rằng ∆DM C đồng dạng với tam giác ∆ABC và tính độ dài các cạnh
của tam giác DMC.
b)
Tính độ dài BE.c)
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai
đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H
trên AB và AC.
Tính độ dai đoạn DE.a)
Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N .
Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
b)
Tính diện tích của tứ giác DENM.c)
Bài 17: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC chứng minh rằng:
∆ANL v ∆ABC.a)
AN.BL.CM = AB.BC.CA. cos A. cos B. cos C.b)
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A,
b
C = 30
◦
, BC = 10cm.
Tính AB, AC.a)
Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong, ngoài của góc
B. Chứng minh rằng: MN k BC và MN = AB.
b)
Chứng minh rằng: ∆M AB v ∆ABC.c)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 48/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.
Chứng minh: sin A + cos A > 1.a)
Vẽ đường cao AH. Chứng minh: AH =
BC
cot B + cot C
.b)
Biết BC = 12cm,
b
B = 60
◦
,
b
C = 45
◦
. Tính diện tích tam giác ABC.c)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, đường cao AH. Chừng minh:
1 + tan
2
B =
1
cos
2
B
.a)
AH = a. sin B cos B, BH = a.cos
2
B và CH = a. sin
2
B.b)
Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh AB
2
= BC.BH, AB.AC = BC.AH và AH
2
=
HB.HC.
c)
Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BH và CK.
Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh ∆AHK v ∆ABC.a)
Biết
b
A = 45
◦
. Chứng minh rằng S
AHK
= S
BCHK
.b)
Bài 4: Cho tam giác ABC
Có
b
A = 120
◦
; AB = 3cm; AC = 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.a)
Có đường phân giác AD thỏa mãn
1
AD
=
1
AB
+
1
AC
. Tính
[
BAC.b)
Bài 5: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai
phần có diện tích bằng 54cm
2
và 96cm
2
. Tính độ dài cạnh huyền?
Bài 6: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD
tại I. Biết IB = 10
√
5; ID = 5
√
5. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 7: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, điểm I thuộc cạnh AC sao cho AI =
1
3
AC, điểm K thuộc tia đối của tia HA sao cho HK =
1
3
HA. Tính
[
BKI.
Bài 8: ∆ABC có
b
A =
b
B + 2
b
C và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.
Tính độ dài các cạnh của tam giác.a)
Tính số đo của các góc trong ∆ABC.b)
Bài 9: Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi bằng 72cm, hiệu giữa đường trung
tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
Bài 10: Cho ∆ABC các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng
quy tại điểm O. Chứng minh rằng AC. cos A = BC. cos B.
Bài 11: Cho ∆ABC, đường phân giác AD. Biết AB = c; AC = b;
b
A = 2α(α < 45
◦
). Chứng
minh rằng: AD =
2bc. cos A
b + c
.
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 49/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
S
ADE
= S
ABC
. cos
2
A.a)
S
BCDE
= S
ABC
. sin
2
A.b)
Nếu cho AE = 3
√
5cm và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài
HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1;2;4;8.
c)
Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính cos
[
EDFd)
Bài 13: Cho tam giád ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AB, AC lấy K, L sao cho
AK = AH = AL. Chứng minh rằng: S
AKL
6
1
2
S
ABC
.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A.
Chứng minh AB. sin C + AC. cos C = BC.a)
Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Chứng minh:
AF.AC
EF.BC
=
AE
AC
.
b)
Chứng minh AH
3
= BC.BE.CF = BC.AE.AF .c)
Bài 15: Cho tam giác ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C; AB < AC).
Chứng minh AH = BC :
1
tan B
+
1
tan C
.a)
Chứng minh S
ABC
=
1
2
CA.CB. sin C.b)
Chứng minh sin B + cos B > 1.c)
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Tia F E cắt BC tại D. Chứng minh:
DE.DF = DB.DC.
d)
Nếu AH
2
= HB.HC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông và DB.DC = DH
2
.e)
Bài 16: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy điểm E và F sao cho
AE = BF ; tia cắt DE tại H và cắt đường thẳng DC tại G.
Chứng minh: DE ⊥ AF .a)
Chứng minh:
1
AE
2
−
1
DG
2
=
1
HA
2
−
1
HD
2
.b)
Nếu cho AE = 3
√
5cm và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài
HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 4; 8.
c)
Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính cos
[
EDF .d)
Bài 17: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại
H. Gọi M, K, N lần lượt là trung điểm của AH, ED, BC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 50/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chứng minh: M, K, N thẳng hàng.a)
Tính
\
MDN.b)
AH cắt BC tại F . Ký hiệu S là diện tích. Chứng minh:
• S
AED
= S
ABC
. cos
2
A
• S
BEDC
= S
ABC
. sin
2
A.
• S
EDF
= (1 − cos
2
A − cos
2
B − cos
2
C).S
ABC
.
c)
Chứng minh cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C < 1 và 2 < sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C < 3.d)
Cho biết
[
BAC = 45
◦
. Khi đó hãy tính tỉ số
HD
HC
và
DE
BC
.e)
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Vẽ DE ⊥ AB tại E, DF ⊥ AC
tại F .
Chứng minh rằng AE =
AC
2
.AB
AC
2
+ AB
2
.a)
Chứng minh rằng
3
√
BC
2
=
3
√
BE
2
+
3
√
CF
2
.b)
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và BC = a.
Cho biết tan
[
BAC + cot
[
BAC = 2.
Tính EF theo a.a)
Chứng minh (cot
[
ABC + 1)(cot
[
ACB + 1) = 2.b)
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm D trên cạnh AC, vẽ DE ⊥ BC tại E.
Chứng minh sinB =
AB.AD + EB.ED
AB.EB + AD.ED
.
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB k CD và
b
C +
b
D = 90
◦
. Biết AD = 4; BC = 7.
Tính số đo của góc C và góc D.a)
Cho biết thêm CD = 13. Tính diện tích hình thang ABCD.b)
Đáp án:
b
C ≈ 29
◦
44
0
;
b
D ≈ 60
◦
16
0
.a) S
ABCD
≈ 31, 3 (đvdt).b)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Các đường phân giác trong và
ngoài của góc B cắt đường thẳng AC tại M và N. Tính độ dài MN.
Đáp án: MN = AN + AM = 6 + 1, 5 = 7, 5.
Bài 3: Cho hình thang ABCD,
b
A =
b
D = 90
◦
, hai đường chéo AC và BD vuông góc với
nhau tại O.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 51/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chứng minh rằng AD là trung bình nhân của hai đáy.a)
Cho biết AB = 18, CD = 32. Tính OA, OB, OC, OD.b)
Chứng minh rằng các độ dài AC, BD, AB + CD là độ dài ba cạnh của một tam giác
vuông.
c)
Đáp án:
Xét tam giác đồng dạng.a)
OA = 14, 4; OB = 10, 8; OC = 25, 6; OD = 19, 2.b)
(AB + CD)
2
= AC
2
+ BD
2
.c)
Bài 4: Giải tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, biết AB = 4, HC = 6.
Đáp án: BC = 8; AC = 4
√
3;
b
B = 60
◦
;
b
C = 30
◦
.
Bài 5: Tam giác ABC có các góc đều nhọn, AB = 15; BC = 14; CA = 13. Tính số đo các
góc của tam giác ABC.
Đáp án:
b
B ≈ 53
◦
7
0
;
b
C ≈ 67
◦
23
0
;
b
A ≈ 59
◦
30
0
.
Bài 6: Tính số đo của góc nhọn x biết:
cos
2
x − 2 sin
2
x =
1
4
a) 7 sin
2
x + 5 cos
2
x = 6, 5b)
5 sin (90
◦
− x) − 3 cos x = 1, 5.c)
Đáp án:
x = 30
◦
a) x = 60
◦
b) x ≈ 41
◦
24
0
.c)
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:
sin
4
α − cos
4
α
sin α + cos α
= sin α − cos αa) sin
6
α + cos
6
α + 3 sin
2
α cos
2
α = 1.b)
Bài 8: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại
O. Cho biết OA = 45 cm; OC = 125 cm.
Tính độ dài đoạn thẳng BD.a) Tính khoảng cách từ O đến cạnh CD.b)
Đáp án:
BD = 102 cma) Khoảng cách OH ≈ 64, 3 cm.b)
Bài 9: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB, AD ⊥ CD và AD = CD. Vẽ đường cao BH.
Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK = CH. Gọi E là giao điểm của hai đường
thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
BC ⊥ CKa)
1
CD
2
=
1
CE
2
+
1
CB
2
.b)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác AD. Cho biết
DB = 51, DC = 85.
Tính tỉ số
HC
HB
.a) Tính các độ dài HB, HC.b)
Đáp án:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 52/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HC
HB
=
25
9
a) HB = 36; HC = 100.b)
Bài 11: Tính số đo của góc nhọn x biết:
7 sin x + 13 cos (90
◦
− x) = 16, 3a) sin
2
x − cos
2
x =
1
2
b)
5 cos
2
x + 4 sin
2
x = 4, 067.c)
Đáp án:
x ≈ 54
◦
35
0
a) x = 60
◦
b) x ≈ 75
◦
.c)
Bài 12*: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó. Trên một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Qua O vẽ một tia cắt tia Ax tại M sao cho
\
AOM = α < 90
◦
. Qua O vẽ tia thứ hai cắt tia By tại N sao cho
\
MON = 90
◦
. Xác định giá
trị của α để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Đặt AB = 2a thì OA = OB = a. Khi đó dễ dàng tính được các cạnh sau:
OM =
a
cos α
; ON =
a
sin α
.
Diện tích ∆MON là S
∆M ON
=
a
2
2 sin α. cos α
≥
a
2
sin
2
α + cos
2
α
≥
a
2
1
.
Vậy min S
∆M ON
= a
2
, khi và chỉ khi α = 45
◦
.
Nhận xét: Nếu O không phải là trung điểm của AB, O chỉ nằm giữa A và B, OA = a;
OB = b thì chứng minh tương tự như trên ta được min S = ab ⇔ α = 45
◦
.
Bài 13*: Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S
∆ABC
= 1. Dựng ba đường cao AD, BE, CF .
Chứng minh rằng:
S
∆AEF
+ S
∆BDF
+ S
∆CDE
= cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C;a)
S
∆DEF
= sin
2
A − cos
2
B − cos
2
C.b)
Hướng dẫn:
Ta có:
AE
AB
= cos C =
AF
AC
. Từ đó suy ra: ∆AEF v ∆ABC ⇒
S
∆AEF
S
∆ABC
=
AE
AB
2
(tỉ
số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng).
Suy ra: S
∆AEF
=
AE
AB
2
= cos
2
A.
Chứng minh tương tự, ta được: S
∆BDF
= cos
2
B và S
∆CDE
= cos
2
C.
a)
Áp dụng câu a) và công thức sin
2
A + cos
2
A = 1.b)
Bài 14**: Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O sao cho
[
AOB < 90
◦
. Gọi H và
K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm
của các tam giác BOC và AOD.
Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh
rằng các tam giác IEG và HF K đồng dạng.
a)
Chứng minh rằng IG vuông góc với HK.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 53/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được EG k AC và
EI k BD.
Suy ra
\
(EG, EI) =
\
(AC, BD). (1)
Mặt khác AF ⊥ BD và DF ⊥ AC nên
\
(AF, DF ) =
\
(AC, BD). (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
d
GEI =
\
HF K.
Dễ thấy EG =
AC
3
; EI =
BD
3
nên
EG
EI
=
AC
BD
.
Gọi M = AC ∩ DF và N = AF ∩BD, ta có:
F K = F M + MK = AM cot
[
COD +
MC cot
[
COD = AC cot
[
COD.
Tương tự F H = BD cot
[
COD. Do đó
F K
F H
=
AC
BD
.
a)
Sử dụng câu a), chú ý rằng IE ⊥ HF .b)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
O
N
M
Bài 15*: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với
A qua B. Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA. Chứng minh rằng
[
DEC = 90
◦
.
Hướng dẫn:
Gọi K là trung điểm của HE. Khi đó: DK k BC và DK ⊥ AE.
Đặt AH = x. Khi đó HE = 2x và HK = KE = x.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta tính được HC =
√
2x; AC =
√
3x;
CE =
√
6x.
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta tính được DB = AB =
√
6x
2
. Từ đó
BH =
√
2x
2
, và suy ra DK =
√
2x.
Tam giác DEC có các cạnh DC = 3x; DE =
√
3x và EC =
√
6x nên vuông tại E.
Bài 16*: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM . Gọi D là hình
chiếu của C trên BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD.
Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của BC và I = AN ∩ BD. Khi đó: AN ⊥ BC; AN = BN = NC;
NM k AB và NM =
AB
2
.
Dễ thấy ∆AMB v ∆DMC, suy ra ∆AM D v ∆BM C.
Suy ra:
\
DAM =
\
CBM ⇒ tan
\
DAM = tan
\
CBM ⇒
HD
AH
=
IN
BN
=
IN
AN
=
1
3
(đpcm).
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
1 ĐỀ 1
Bài 1. (2 điểm) Không sử dụng máy tính hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ
tự tăng dần:
tan 25
◦
, cot 67
◦
, tan 19
◦
, tan 30
◦
, cot 50
◦
.
Bài 2. (3 điểm) Cho góc nhọn α, biết cos α =
1
2
. Tính sin α;tan α;cot α.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 54/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3. (5 điểm) Cho 4ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AD và đường trung
tuyến CE.
Tính số đo
[
ACB và tính độ dài CB, CE nếu biết AC = 2
√
3cm và CD =
√
3cm.a)
Vẽ EH⊥BC tại H và AF ⊥CE tại F , AF cắt BC tại G. Chứng minh CF.CE = CD.CB
và CG.CH = CH
2
− HD
2
.
b)
Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AG tại I. Chứng minh I, H, E
thẳng hàng.
c)
2 ĐỀ 2
Bài 1 (1,5 điểm):
Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ
lớn đến nhỏ: tan 25
◦
, cot 15
◦
, tan 50
◦
, cot 67
◦
30
0
.
Bài 2 (2,5 điểm):
Giải tam giác ABC biết
b
B = 90
◦
,
b
C = 40
◦
, AC = 20 cm (làm tròn hai chữ số ở phần thập
phân).
Bài 3 (2 điểm):
Không dùng bảng và máy tính, hãy tính:
A = 2 tan 27
◦
tan 63
◦
− sin
2
15
◦
− sin
2
75
◦
Bài 4 (4,5 điểm): Cho ∆ABC có AC = 16 cm, AB = 12 cm, BC = 20 cm. Đường cao AH.
Chứng minh ∆ABC vuông.a)
Tính AH,
b
B,
b
C.b)
Từ H kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AC, AB. Tính HE, HF .c)
So sánh: tan B và sin B (không dùng bảng và máy tính bỏ túi).d)
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Bài 1. (2 điểm) Ta có : cot 67
◦
= tan 23
◦
, cot 50
◦
= tan 40
◦
.
tan 19
◦
< tan 23
◦
< tan 25
◦
< tan 30
◦
< tan 40
◦
⇒ tan 19
◦
< cot 67
◦
< tan 25
◦
< tan 30
◦
< cot 50
◦
.
Bài 2. (3 điểm) Ta có sinα =
√
1 − cos
2
α =
r
1 −
1
2
2
=
√
3
2
.
tan α =
sin α
cos α
=
√
3; cot α =
1
tan α
=
1
√
3
.
Bài 3. (5 điểm)
A
BC D
E
F
G
H ≡ K
I
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 55/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
4ABC vuông tại D nên cos
[
ACD =
CD
AC
=
1
2
⇒
[
ACB = 60
◦
4ABC vuông tại A nên
AC
CB
= cos
[
ACB =
1
2
⇒ CB = 2AC = 4
√
3cm và
AB
CB
=
sin
[
ACB =
√
3
2
⇒ AB = CB.
√
3
2
= 6cm ⇒ AE = 3cm.
Ta có CE
2
= AE
2
+ AC
2
= 3
2
+ (2
√
3)
2
= 21 ⇒ CE =
√
21.
a)
Áp dụng hệ thức lượng cho 4AEC vuông tại A có đường cao AF và 4ABC vuông
tại A có đường cao AD ta có: CF.CE = CA
2
= CD.CB (đpcm).
4ABD có E là trung điểm của AB và EH k AD ⇒ H là trung điểm của BD ⇒
HB = HD
4CF G ∼ 4CHE(g.g) ⇒
CG
CE
=
CF
CH
⇒ CG.CH = CF.CE mà CF.CE = CD.CB(cmt)
nên CG.CH = CD.CB = (CH − HD)(CH + HB) = (CH − HD)(CH + HD) = CH
2
−
HD
2
(đpcm).
b)
Vẽ BK⊥IE tại K. Áp dụng hệ thức lượng cho 4AEC vuông tại A có đường cao AF
và 4IBE vuông tại B có đường cao BK, kết hợp E là trung điểm của AB ta có:
EF.EC = EA
2
= EB
2
= EK.EI ⇒
EC
EI
=
EK
EF
4EKC ∼ 4EF I(c.g.c) ⇒ CK⊥IE tại K mà BK⊥IE tại K ⇒ B, K, C thẳng hàng
do đó K là giao điểm của BC và IE suy ra H ≡ K hay I, H, K thẳng hàng (đpcm).
c)
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 56/75
Chương 2
ĐƯỜNG TRÒN
§1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI
XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC, vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 14cm, HB = 7cm.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân, có góc
b
A = 120
◦
, nội tiếp đường tròn (O; R). Tính diện tích
tam giác ABC theo R.
Bài 3: Cho tam giác đều ABC, trực tâm H, cạnh a:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm nào?a)
Tính bán kính của đường tròn đó theo a;b)
Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Xác định vị trí tương dối của điểm K và
đường tròn đó.
c)
Bài 4: Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm
E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O
Chứng minh rằng ba điểm F, O, H thẳng hàng;a)
Chứng minh rằng O cách đều bốn điểm E, F, G, H;b)
Biết
[
BEC = 60
◦
, BC = 6cm, hãy tính BE.c)
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A (
b
A < 90
◦
), đường cao BD. Đường tròn đường kính
AC cắt AB ở E (E khác A). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân.
HD: Tam giác EBC vuông tại E, chứng minh ∆EBC = ∆DCB, từ đó suy ra EC = BD
và ED k BC (định lí Ta-lét đảo).
Bài 2: Cho đường tròn (O; R). Gọi AB, CD là hai đường kính có vị trí thay đổi.
Tứ giác ACBD là hình gì? Giải thích?a)
Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD theo R.b)
57
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HD:
Hình bình hành → Hình chữ nhật.a)
S
ABCD
= 2S
∆ABC
= AC.BH lớn nhất khi BH là lớn nhất hay BH là bán kính (BH
là đường cao kẻ từ B xuống AC).
b)
Bài 3: Cho hai điểm A và B nằm bên ngoài một đường tròn. Qua A hãy kẻ một đường
thẳng cắt đường tròn tại C và D sao cho điểm B cách đều hai điểm C và D.
HD: Gọi O là tâm, đường thẳng qua A và vuông góc với BO, cắt đường tròn tại hai điểm
C và D.
Bài 4: Chứng minh rằng không thể vẽ được quá 6 đường tròn đi qua điểm A cho trước
sao cho tâm của mỗi đường tròn không nằm trong các đường tròn khác.
HD: Gọi O
1
, O
2
, ..., O
6
là tâm của 6 đường tròn qua điểm A, giả sử
\
O
1
AO
2
là góc nhỏ nhất
trong các góc tạo từ
\
O
k
AO
l
, với k 6= l; k, l ∈ {1; 2; ...; 5; 6}, khi đó
\
O
1
AO
2
< 60
◦
nên O
1
O
2
hoặc nhỏ hơn O
1
A hoặc nhỏ hơn O
2
A hay O
2
∈ (O
1
) hoặc O
1
∈ (O
2
).
Bài 5: Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC có cạnh AB cố định, đường trung tuyến
AM có độ dài không đổi bằng m.
HD: Lấy B
0
đối xứng với B qua A khi đó ta có MA là đường trung bình của tam giác
BB
0
C khi đó B
0
C = 2AM = 2m cố định nên C ∈ (B
0
; 2m).
Bài 6: Tìm tập hợp các trọng tâm của các tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường
trung tuyến AM có độ dài không đổi bằng m.
HD: Do GM =
1
3
AM nên G ∈ (M ;
m
3
).
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O), AC = 40cm, BC = 48cm.
Tính khoảng cách từ O đến BC.
HD: Gọi M là trung điểm BC, AM
2
= AB
2
− BM
2
và OM
2
= OC
2
− MC
2
.
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), cạnh bên bằng b, đường cao
AH = h. Tính bán kính của đường tròn (O).
HD: Gọi M = AH ∩(O), M 6= A; ∆AHB ∼ ∆CHM (chú ý
\
ACM vuông), suy ra
AH
CH
=
AB
CM
.
§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC. BH và CK là các đường cao của tam giác. CMR:
Bốn điểm B, C, H, K thuộc cùng một đường tròn.a)
HK < BC.b)
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có
b
B =
b
D = 90
o
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.a)
So sánh AC và BD.b)
Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 10cm. Gọi H là một điểm thuộc bán kính
OA. Kẻ dây CD đi qua H và vuông góc với OA.
Tính diện tích tứ giác ACBD biết OH = 3 cm.a)
Điểm H ở vị trí nào thì diện tích ACBD là lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 58/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho đường tròn (O) bán kính 5cm, dây AB = 8cm. Đường kính CD cắt dây AB tại
I tạo thành góc
d
CIB = 45
o
. Tính độ dài IA, IB.
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AD. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm
của OA.
Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?a)
Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao?b)
Cho OA = R. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABD theo R.c)
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Điểm C chuyển động trên nửa đường
tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB. Tính giá trị lớn nhất của BD
theo R.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD có
b
B =
b
D = 90
◦
.
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.a)
So sánh AC và BD.b)
Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm C. Nối
C với một điểm M bất kì trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: CA 6= CM 6= CB.
Bài 9: Cho đường tròn (O), dây P Q. Vẽ đường kính AB không cắt dây P Q. Các đường
vuông góc với P Q tại P và Q cẳt AB theo thứ tự ở H và K. Chứng minh rằng AH = BK.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 11: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, dây CD. các đường vuông góc với CD tại
C và D cắt AB theo thứ tự ở E, F . Tính diện tích tứ giác CDEF biết CD = 7cm, AB = 25cm.
Bài 12: Cho đường tròn (O), bán kính OA =
√
5cm. Kẻ bán kính OB vuông góc với OA.
Gọi I là trung điểm của OB. Vễ dây AC đi qua I. Tính AC.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D cách
đều tâm O. Qua C vàD, kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở I và K.Chứng minh
rằng IC vuông góc với IK.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), H là trực tâm của tam giác
ABC. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC. Chứng minh rằng:
OM =
1
2
AH.a)
AH
2
+ BC
2
= 4R
2
.b)
HD:
Kẻ đường kính CK và sau đó chứng minh OM =
1
2
KB.a)
Sử dụng kết quả AH = 2OM và BC = 2M C.b)
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kì thuộc cung BC
không chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí
của M để DE có độ dài lớn nhất.
HD: Dễ dàng chứng minh được AD = AM = AE.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 59/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Mặt khác:
\
MAD +
\
MAE = 2
\
MAB +
\
MAC
= 2
[
BAC.
Tam giác ADE cân tại A có
[
DAE = 2
[
BAC không đổi nên DE lớn nhất ⇔ AD lớn nhất
⇔ AM lớn nhất ⇔ AM là đường kính.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA và cách
O là 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài MC, M D (MC < M D).
HD: Kẻ OH vuông góc với CD sau đó ta tính OH. Từ đó suy ra được độ dài M C, M D.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 24cm, dây AC = 20 cm
[
BAC = 90
◦
.Gọi
M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.a)
Tính bán kính của đường tròn.b)
HD:
Kẻ MH và CK vuông góc với AB, chứng minh KA = KB khi đó ta được điều phải
chứng minh.
a)
dễ dàng tìm được khi ta chứng minh được câu a.b)
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây
AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B đến AC và AD.
Chứng minh rằng:
Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn.a)
HK < 2R.b)
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. TrênAB lấy điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M và N, kẻ các đường thẳng song song với nhau và chúng cẳt nửa đường
tròn tại C và D. Chứng minh MC và ND vuông góc với CD.
Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF . Đường tròn đi qua D, E, F cẳt
BC, CA, AB theo thứ tự ở M, N, P . Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ từM vuông góc
BC, kẻ từ N vuông góc AC, kẻ từ P vuông góc với AB đồng quy.
Bài 8: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB,
E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
Bài 9: Cho đường tròn (O, 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện
tích lớn nhất của tứ giác ABCD.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông
góc với AB tại H.
Tính độ dài HA, HB.a)
Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác
CMHN.
b)
HD:
Tự tính.a)
Diện tích CM HN bằng tổng diện tích hai tam giác HCM và CAH. Việc tính diện
tích 2 tam giác nói trên, ta tính độ dài MH, MC, HN, NC bằng cách sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác vuông. Khi đó ta sẽ tính được diện tích CMHN.
b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 60/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với
CD tại C và D tương ứng cắt AB tại M và N. Chứng minh AM = BN .
Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD.
Chứng minh rằng CH = DK.a)
Chứng minh rằng S
AHK B
= S
ACB
+ S
ADB
.b)
HD: Kẻ OM vuông góc với CD, dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang,
chứng minh M là trung điểm của HK, chứng minh được câu b.
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM
ĐẾN DÂY
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây cung CD vuông góc với AB tại điểm H
thuộc bán kính OA. Gọi M là điểm thuộc bán kính OB, E và F theo thứ tự là giao điểm
của CM và DM với đường tròn (E khác C, F khác D). Chứng minh rằng:
MC = MDa) M E = MFb)
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ các dây BC, BD thuộc hai nửa mặt phẳng
đối nhau bờ AB sao cho BD > BC. So sánh độ dài hai dây AD và AC.
Bài 3: Cho một điểm I nằm bên trong đường tròn (O). Qua I kẻ một dây AB bất kì và
kẻ dây CD vuông góc với OI. OI kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Bán kính vuông góc với
AB tại H.
So sánh AB và CD.a) So sánh IE và HF .b)
Bài 4: Cho hai dây AB và CD bằng nhau, cắt nhau ở E nằm trên trong đường tròn (O).
Chứng minh rằng điểm E chia AB và CD thành những đoạn thẳng bằng nhau từng đôi
một.
Bài 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD. Chứng
minh rằng:
AC = BD;a) Ba điểm C, O, D thẳng hàng.b)
Bài 6: Cho cung phần tư AB của đường tròn (O). Từ A và B, ta kẻ hai dây bằng nhau
AM và BN. Hai dây này cắt nhau ở C. Chứng minh rằng OC vuông góc với AB.
Bài 7: Cho đường ròn tâm O bán kính 10cm, dây AB bằng 16cm. Vẽ dây CD song song
với AB và có khoảng cách đến AB bằng 11cm. Tính độ dài dây CD.
Bài 8: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm. Hai dây AB và CD song song với nhau có
độ dài lần lượt là 6cm và 8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại
E. CD = 4cm, DE = 28cm.
Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.a)
Vẽ đường kính DF của (O). So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây cung CF
và AB.
b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 61/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA của
đường tròn và cách O 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài M C, M D
(biết CM < M D).
Bài 11: Cho tam giác MN P vuông tại M nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính 2, 5cm và
MN = 4cm. Gọi OH, OK là khoảng cách từ O đến MN, M P . So sánh OH, OK.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho đường tròn tâm O có bán kính 15cm. Điểm M cách O 9cm.
Dựng dây AB đi qua M và có độ dài 26cm.a)
Có bao nhiêu dây đi qua M và có độ dài là một số nguyên centimét?b)
HD:
Gọi H là trung điểm AB. Tính OH, MH.a)
Dây ngắn nhất qua M có độ dài 24cm, dài nhất 30cm. Từ đó suy ra.b)
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có bán kính 13. Điểm M cách O 5.
Tính độ dài dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua Ma)
Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên.b)
HD: Tương tự câu trên.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có
b
A =
b
C = 90
◦
Chứng minh rằng AC 6= BDa) Trong trường hợp nào thì AC = BDb)
HD: Áp dụng định nghĩa.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD. Gọi E là điểm bất kì
trên đường tròn, H và K theo thứ tự là hình chiếu của E trên AC, AD. Chứng minh rằng
HK < AB.
HD: Xét xem khi E di chuyển trên đường tròn thì H, K di chuyển ở đâu.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm (
[
BAC < 90
◦
và điểm O
nằm trong góc
[
BAC). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8
cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.a)
Tính bán kính của đường tròn.b)
HD:
Gọi H chân đường vuông góc vẽ từ M xuống AB. Tính được AH. Gọi K là trung
điểm AB. Suy ra được điều cần chứng minh.
a)
Áp dụng câu a).b)
Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông
góc với AB tại H.
Tính các độ dài HA, HB.a)
Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác
CMHN.
b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 62/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
HD:
Tính bình thường.a) Chứng minh CM HN là hình chữ nhật.b)
Bài 7: Cho đường tròn tâm O và dây AB không là đường kính. Gọi M là trung điểm của
AB, qua M vẽ dây cung CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
M không phải là trung điểm của CD.a) AB < CD.b)
HD: Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây cung.
Bài 8: Cho đường tròn tâm O, hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại điểm
M nằm ngoài (O). Gọi H, E là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB < CD ⇔
MH < ME.
HD: Biểu diễn M H, ME qua OM, OH, OE.
§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Chứng minh rằng AB là tiếp
tuyến của đường tròn (C; AC).
Bài 2: Cho đường tròn (O; R), dây AB > 2R. Qua O kẻ đường vuông góc dây AB, cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O) tại C.
Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).a)
Cho R = 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.b)
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm trên đường tròn, dây BC vuông góc với OA
tại trung điểm của OA.
Tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?a)
Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt OA tại E. Tính độ dài BE theo R.b)
Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, điểm O là trung điểm của AD và
[
BOC = 90
◦
Gọi E là giao điểm của BO và CD. Chứng minh rằng tam giác BCE cân tại C.a)
Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD.b)
Hướng dẫn:
4BCE có OC vừa là đường cao vừa là trung tuyến.a)
Kẻ OH ⊥ BC tại H. OC là phân giác của 4BCEb)
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AK, BD và CE cắt nhau tại H. Gọi (O)
là đường tròn đường kính AH, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 63/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
D và E thuộc đường tròn (O).a)
MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).b)
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ tiếp
tuyến CD với đường tròn (O), kẻ đường vuông góc DH từ D đến AB. Chứng minh rằng:
Tam giác OAD là tam giác đều.a)
[
HBD = 60
◦
.b)
Đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BH.c)
Hướng dẫn:
4COD có OC = 2OD ⇒
[
COD = 60
◦
a)
4AOD đều có DH là đường cao nên cũng là đường phân giác.b)
Kẻ BK ⊥ CD tại K. Hai tam giác vuông HBD và KBD bằng nhau trong trường
hợp cạnh huyền góc nhọn.
c)
Bài 7: Cho đường tròn (O) bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn, OA = 25cm.
Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).a)
Tính các cạnh của tam giác ABC.b)
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm M chạy trên nửa đường tròn.
Qua điểm M , kẻ tiếp tuyến với đường tròn và gọi I, K theo thứ tự là chân các đường vuông
góc kẻ từ A, B đến tuyến tuyến ấy.
So sánh các độ dài M I và MK.a)
Chứng minh rằng AB = AI + BK.b)
Chứng minh rằng AM là tia phân giác của
d
OAI, BM là tia phân giác của
[
OBK.c)
Xét vị trí tương đối của đường thẳng AB và đường tròn đường kính IK.d)
Khi M chạy trên nửa đường tròn (O), tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất khi M ở
vị trí nào? Tính diện tích lớn nhất đó?
e)
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường trung trực của BC cắt
BC, AC, AB theo thứ tự tại M, D, E. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính DE.
Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối
xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt EC tại K (K không trùng với
C). Gọi M là trung điểm AK. Chứng mình rằng:
HM ⊥ AK.a)
HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 64/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
HM là đường trung bình của hình thang vuông ABEK.a)
(
[
OKE =
[
OEK =
[
OBA
\
HKE =
\
MHK =
\
MHA =
[
HAB
⇒
[
OKE +
\
HKE = 90
◦
b)
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 6cm. Qua A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn
(O). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 2cm, trên tia Ay lấy điểm D sao cho AD = 9cm.
Chứng minh rằng OD vuông góc với BC.
Hướng dẫn:
Từ D kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), F là tiếp điểm (F không trùng với A).
K là giao điểm của AF với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).
⇒ BK k AC (1)
4ABK v 4DAO (g-g) ⇒
BK
AB
=
AO
DA
⇒ BK =
AB.AO
DA
=
6.3
9
= 2cm
⇒ BK = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACBK là hình bình hành ⇒ BC k AK hay BC k AF , mà AF ⊥ OD
⇒ BC ⊥ OD.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường
tròn (O). Gọi CD là một đường kính có vị trị thay đổi. Gọi giao điểm của các tia AC, AD
với d là E, F .
Chứng minh rằng tích BE.BF là một hằng số.a)
Tính độ dài nhỏ nhất của EF khi đường kính CD thay đổi.b)
Hướng dẫn:
BE.BF = AB
2
= 4R
2
= consta)
EF = BE + BF ≥ 2
√
BE.BF = 4R. Dấu "=" xảy ra ⇔ BE = BF ⇔ CD ⊥ ABb)
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A; I giao điểm của các đường phân giác trong của tam
giác ABC.
Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp
tam giác BIC.
a)
Gọi H là trung điểm của BC; IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh
rằng
AI
AK
=
HI
HK
.
b)
Hướng dẫn:
Với H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC, hơn nữa O, H, A thẳng hàng.
d
OCI =
d
OIC
d
ICA =
d
ICB
⇒
d
OCI +
d
ICA = 90
◦
a)
Với R là bán kính của đường tròn (O), ta có
AI
AK
=
HI
HK
⇔
OA − R
OA + R
=
R − OH
R + OH
⇔
OA − R
2.OA
=
R − OH
2.R
⇔ 1 −
R
OA
= 1 −
OH
R
⇔ R
2
= OH.OA ⇔ OC
2
= OH.OA
b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 65/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 5*: Cho góc xOy, hai điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên Ox, Oy sao cho chu vi
tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.
Hướng dẫn:
Dựng đường tròn bàng tiếp góc O của tam giác OAB
(hình bên).
Ta có OM + ON = OA + OB + AB là chu vi tam giác
OAB không đổi nên OM + ON không đổi. Mặt khác,
OM = ON (bằng nửa chu vi tam giác OAB) ⇒ M, N
cố định ⇒ giao điểm I của đường vuông góc với Ox kẻ
từ M với đường phân giác góc xOy là cố định.
Vậy AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I
bán kính IM.
x
y
O
I
M
N
A
B
Bài 6*: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E trên cạnh BC và điểm F trên cạnh CD sao
cho AB = 3BE = 2DF . Chứng minh rằng EF tiếp xúc với cung tròn tâm A bán kính AB.
Hướng dẫn:
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD.
Ta có 3BE = 2DF = AB
⇒ BE =
a
3
, DF =
a
2
= CF ⇒ CE =
2a
3
.
Trong tam giác vuông CEF có:
EF
2
= CE
2
+ CF
2
=
4a
2
9
+
a
2
4
=
25a
2
36
⇒ EF =
5a
6
. Các tam giác ABE, ADF, CEF là các tam
giác vuông.
A
B
CD
E
F
G
⇒ S
ABE
=
a
2
6
; S
ADF
=
a
2
4
; S
CEF
=
a
2
6
S
AEF
= a
2
− S
ABE
− S
AD F
− S
CEF
⇒ S
AEF
=
5a
2
12
(1)
Kẻ AG ⊥ EF
⇒ S
AEF
=
EF.AG
2
=
5a.AG
12
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AG = AB. ⇒ EF tiếp xúc với cung tròn tâm A bán kính AB.
§5. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn. Kẻ đường kính COD. Tia phân giác của góc BOD cắt AB ở E.
Chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn O.a)
Chứng minh rằng AC + DE > 2R.b)
Tính số đo góc AOE.c)
Bài 2: Cho đường tròn (O) bán kính OM = 15cm. Trên tia đối của tia M O lấy điểm A
sao cho M A = 24cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 66/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Tính các độ dài AB, AC.a)
Tính độ dài DE.b)
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) bán kính OA = R. Gọi B là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ
các tiếp tuyến BM, BN với đường tròn (O).
Tính số đo góc MBN.a)
Tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?b)
Tính OH theo R (H là giao điểm của OA và MN).c)
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), dây MN vuông góc với bán kính OA tại trung điểm H của
OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M và N cắt nhau ở B.
Chứng minh rằng ba điểm O, A, B thẳng hàng.a)
Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?b)
Tính BM theo R.c)
Bài 5: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OA và đường tròn (O), gọi CK là đường
kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng:
BC vuông góc với OA.a)
BI là tia phân giác của góc ABC.b)
BK song song với OA.c)
Bài 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn
(O) tại A, lấy các điểm B và C (A nằm giữa B và C). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường
tròn (O) (D và E khác A). Chứng minh rằng:
[
BOC +
[
DAE = 180
◦
.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 15cm, BC = 24cm. Tính bán kính của đường
tròn nội tiếp tam giác đó.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Đường tròn (I) nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E.
Tính số đo góc BIC.a)
Tính diện tích tứ giác ADIE.b)
Bài 9: Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt BC tại H, cắt cung nhỏ và
cung lớn BC lần lượt tại I và K.
Chứng minh OA vuông góc với BC và HI.OA = R
2
.a)
Chứng minh tam giác ABC đều và ABKC là hình thoi.b)
Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính theo R bán kính
đường tròn này.
c)
Vẽ đường kính CD. Chứng BD song song với AO.d)
Vẽ cát tuyến bất kỳ AMN của (O; R). Gọi E là trung điểm của M N. Chứng minh 5
điểm O, E, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
e)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 67/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, M E
với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với
đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh rằng chu vi tam giác MP Q
bằng 2M D.
Bài 11: Cho
d
xOy = 60
◦
. Một đường tròn tâm K bán kính R = 5cm tiếp xúc với Ox tại A
và tiếp xúc với Oy tại B. Từ điểm M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox
và Oy lần lượt tại E và F .
Tính chu vi ∆OEF . Chứng minh chu vi đó không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.a)
Chứng minh số đo
[
EKF không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.b)
Bài 12: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lần lượt vẽ các tiếp tuyến d
1
và d
2
của (O) tại A và B. Lấy tùy ý M trên (O) (M khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt
d
1
và d
2
lần lượt tại C và D.
Chứng minh: CD = AC + BD và
[
COD = 90
◦
.a)
Gọi E là giao điểm của CO và AM , F là giao điểm của BM và DO, MH là đường
cao của ∆AMB. Chứng minh: MF OE là hình chữ nhật và 5 điểm O, H, E, M, F cùng
thuộc một đường tròn.
b)
Chứng minh: OE.OC = OF.OD = AC.BD = R
2
.c)
Chứng minh: đường tròn (K) đường kính CD tiếp xúc với AB.d)
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax của (O) lấy điểm
C, trên tiếp tuyến By của (O) lấy điểm D sao cho AC + BD = CD.
Chứng minh: CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại E.a)
Từ E kẻ EF vuông góc với AB(F ∈ AB). Giao điểm của BC và EF là L. Chứng
minh: I là trung điểm của EF .
b)
Bài 14: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC =
a; CA = b; AB = c lần lượt tại D, E, F . Gọi p là nửa chu vi của ∆ABC. Chứng minh:
Diện tích của ∆ABC là S = pr.a)
AE = AF = p − a; BD = BF = p − b; CD = CE = p − c.b)
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 9cm, HC = 16cm. Tính bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm, bán kính đường tròn nội tiếp bằng
1cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. GỌi H là chân đường vuông góc kẻ
từ M đến OB. Tia MH cắt đường tròn (O) ở D. Đường vuông góc với OK tại K cắt OB
ở I. Chứng minh rằng:
OH.OI = OM.OK.a)
ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 68/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), AB = 16cm, AC = 20cm, BC = 24cm.
Tiếp tuyến của đường tròn (I) song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.
Tính chu vi tam giác ADE.a)
Tính độ dài DE.b)
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By
và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự ở C, D.
Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.a)
Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.b)
Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.c)
§6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O
0
; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O
0
).
Tính độ dài BC.a)
Tính diện tích tứ giác OBCO
0
.b)
Bài 2. Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O
0
; 2cm), OO
0
= 9cm. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
AB, A ∈ (O), B ∈ (O
0
).
Tính độ dài AB.a)
Gọi I là giao điểm của AB và OO
0
. Tính độ dài OI.b)
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O
0
) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO
0
,
gọi C là điểm đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng OO
0
song song với BC.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O
1
; R),(O
2
; R) cắt nhau ở M và B. Gọi AB là dây của đường
tròn (O
1
), BC là dây của đường tròn (O
2
). Vẽ hình bình hành ABCD. Tính bán kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM .
Bài 5. Vẽ các đường tròn có đường kính là các cạnh của một tứ giác. Chứng minh rằng
bốn đường thẳng chứa dây chung của các đường tròn đó cắt nhau tạo thành một hình
bình hành.
Bài 6. Cho ba đường tròn (O
1
),(O
2
),(O
3
) bằng nhau và ở ngoài nhau. Hãy dựng một đường
tròn tiếp xúc ngoài (hoặc tiếp xúc trong) với các đường tròn (O
1
),(O
2
),(O
3
).
Bài 7. Cho ba đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại A,B,C. Tia AB cắt một đường tròn
tại D. Tia AC cắt đường tròn ấy ở E. Chứng minh rằng DE chính là đường kính của đường
tròn ấy.
Bài 8. Ba đường tròn không biết tâm, tiếp xúc ngoài với nhau tại A,B,C. Hãy tìm tâm
của chúng bằng thước thẳng.
Bài 9. Cho đường tròn (O; 16mm) và đường thẳng d đi qua tâm O. Hãy xác định tâm của
một đường tròn có bán kính 4mm, tiếp xúc với đường tròn (O) và tiếp xúc với đường thẳng
d.
Bài 10. Cho hai đường tròn có bán kính là r và có đoạn nối tâm cũng là r. Hãy xác định
tâm của một đường tròn có bán kính là
r
2
và tiếp xúc với hai đường tròn đã cho.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 69/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 11. Cho hai đường tròn ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (A,B là các tiếp
điểm). Kẻ hai tiếp tuyến chung trong cắt AB ở C và D. Chứng minh rằng AC = DB.
Bài 12. Kẻ bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoài nhau. Chứng minh rằng đoạn
tiếp tuyến chung trong bao gồm giữa các tiếp tuyến chung ngoài bằng đoạn tiếp tuyến
chung ngoài bao gồm giữa các tiếp điểm.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 1 (đơn vị độ dài), r
A
là bán kính của đường tròn
bàng tiếp trong góc A và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Biết rằng r
A
= 2r,
hãy tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14. Trong hình vuông ABCD, ta vẽ các nửa đường tròn có đường kính là AD và
BC. Vẽ đường tròn (P ) tiếp xúc với hai nửa đường tròn đó và tiếp xúc với cạnh AB. Biết
DC = 2n
2
, hãy tính bán kính của đường tròn (P ).
Bài 15. Cho hai đường tròn (O
1
),(O
2
) ở ngoài nhau. Từ một điểm P ở ngoài hai đường
tròn đó, hãy dựng hai đoạn thẳng P C và P D sao cho C thuộc (O
1
), D thuộc (O
2
), P C = P D
và
[
CP D = α.
Bài 16. Cho hai đường tròn (O; 80cm) và (O
0
; 45cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O
0
). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I. Gọi H là giao
điểm của IO và AB, K là giao điểm của IO
0
và AC.
Tứ giác AHIK là hình gì? Vì sao?a)
Tính các cạnh của tam giác ABC.b)
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại
điểm thứ hai D (khác A).
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).a)
Vẽ đường kính DCE của đường tròn (C). Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại E cắt
BA ở K. CMR: CK vuông góc với CB.
b)
CMR: AD song song với CK.c)
Tính diện tích tứ giác BDEK, biết AB = 4cm, AC = 6cm.d)
Bài 18. Cho hai đường tròn (O; R) và (O
0
; r) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài
BC cắt đường nối tâm ở M, trong đó B ∈ (O), C ∈ (O
0
) và BC = CM = 4cm. Tính R và r.
§7. ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài tập cơ bản
Bài 1: Hình thang ABCD có
b
A =
b
D = 90
◦
; AB = 1; AD = CD = 4. Vẽ đường tròn đường
kính BC. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng AD
Bài 2: Cho tam giác ABC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O
đường kính CH. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường
tròn.
Bài 3: Cho đường tròn (O; 3) và đường thẳng xy sao cho khoảng cách OH từ O tới xy là
4, 5. Trên đường thẳng xy lấy điểm A bất kì. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OA tại K và cắt OH tại I. Chứng minh rằng:
∆AOH v ∆IOK;a)
Khi A di động trên xy thì dây BC luôn đi qua một điểm cố định.b)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 70/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến xy, tiếp điểm A. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA.
Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau.a)
Vẽ dây BC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại một điểm thứ hai là M. Chứng
minh rằng MA = M C.
b)
Đường thẳng OM cắt xy tại B. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn
(O).
c)
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại
O cắt AC tại N . Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
Chứng minh rằng tứ giác AM ON là hình thoi.a)
Đường thẳng MN có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O) không?b)
Tính diện tích hình thoi AM ON.c)
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn và
H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ đường tròn (A; AH). Vẽ các tiếp tuyến BM và CN với
đường tròn (A) sao cho các tiếp điểm M và N không trùng với H. Chứng minh rằng:
BM k CN ;a)
MB.CN = AH
2
;b)
MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).c)
HD: Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy
với đường tròn. Trên xy lấy một điểm M khác điểm A. Vẽ đường tròn (M ; MA) cắt đường
tròn (O) tại một điểm thứ hai là B.
Chứng minh rẳng MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) và OB là tiếp tuyến của đường
tròn (M ).
Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ trung điểm M của OA ta vẽ dây CD ⊥ OA.
Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = R. Chứng minh rằng:
EC là tiếp tuyến của đường tròn.a)
EC
2
= 3R
2
.b)
Bài 9: Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến d và d
0
song song với nhau. Gọi A và B lần
lượt là các tiếp điểm của d và d
0
với đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trên d. Đường
thẳng M O cắt d
0
tại N . Từ O vẽ một đường thẳng vuông góc với M N cắt d
0
tại C.
Chứng minh rằng: AB là đường kính của đường tròn.a)
Chứng minh rằng: Tam giác CM N là tam giác cân.b)
Cho biết vị trí của đường thẳng MC đối với đường tròn (O).c)
Bài 10: Hai đường tròn (O; R) và (O
0
; r) tiếp xúc ngoài tại A (R > r). Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O
0
). Gọi M là trung điểm của OO
0
, gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ M đến BC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 71/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Tính số đo góc OHO
0
.a)
Chứng minh rằng OH là tia phân giác của góc AOB.b)
Chứng minh rằng AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O
0
).c)
Cho R = 5 cm, r = 2 cm, tính độ dài BC.d)
ĐS:
\
OHO
0
= 90
◦
a) BC = 2
√
10.d)
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu của H trên
AB, E là hình chiếu của H trên AC. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB, (O
0
) là đường
tròn đường kính HC. Chứng minh rằng:
Điểm D thuộc đường tròn (O), điểm E thuộc đường tròn (O
0
).a)
Hai đường tròn (O) và (O
0
) tiếp xúc ngoài.b)
AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó.c)
AH = DE.d)
DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O
0
).e)
Diện tích tứ giác DEO
0
O bằng nửa diện tích tam giác ABC.f)
Bài 12: Cho đường tròn (O) bán kính 15 cm, dây BC = 24 cm. Các tiếp tuyến của đường
tròn tại B và C cắt nhau tại A.
Tính khoảng cách OH từ O đến BC.a)
Chứng minh rằng ba điểm O, H, A thẳng hàng.b)
Tính độ dài AB, AC.c)
Gọi M là giao điểm của AB và CO, N là giao điểm của AC và BO. Chứng minh rằng
BCN M là hình thang cân.
d)
Bài 13: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại điểm H nằm
giữa O và A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H.
Tứ giác ACED là hình gì? Chứng minh.a)
Gọi I là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng điểm I thuộc đường tròn (O
0
)
có đường kính là EB.
b)
Chứng minh rằng HI là tiếp tuyến của đường tròn (O
0
).c)
Tính độ dài HI, biết bán kính các đường tròn (O) và (O
0
) nói trên theo thứ tự bằng
5 cm và 3 cm.
d)
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Bx vuông góc với AB. Trên tia Bx lấy một điểm O
sao cho BO =
AB
2
. Tia AO cắt đường tròn (O; OB) ở D và E (D nằm giữa A và O). Đường
tròn (A; AD) cắt AB ở C.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 72/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chứng minh DE
2
= AD.AE.a)
Chứng minh AC
2
= CB.AB.b)
Tia BD cắt đường tròn (A) ở P . Một đường thẳng đi qua D cắt đường tròn (A) ở
M và cắt đường tròn (O) ở N. Chứng minh rằng hai tam giác DP M và DBN đồng
dạng.
c)
Bài 15: Cho đường tròn (O; 2, 5) đường kính AB. Trên AB lấy điểm H sao cho AH = 1.
Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H.
Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi.a)
Gọi I là giao điểm của DE và BC. Vẽ đường tròn (O
0
) đường kính EB. Chứng minh
rằng đường tròn này đi qua I.
b)
Chứng minh rằng HI là tiếp tuyến của đường tròn (O
0
).c)
Tính độ dài HI.d)
Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn
vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AH và BK cùng vuông góc với xy.
Chứng minh rằng tổng AH + BK có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa
đường tròn.
a)
Chứng minh rằng đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB.b)
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKH lớn
nhất. Tính diện tích đó.
c)
HD:
Đường trung bình của hình thang.a) Kẻ MI ⊥ AB. Chứng minh MI =
HK
2
.b)
Lưu ý: HK ≤ AB. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ HK k AB.c)
Bài 2: Cho hai đường tròn đồng tâm O; D là một điểm cố định trên đường tròn nhỏ. Vẽ
dây DC của đường tròn nhỏ, dây AB của đường tròn lớn đi qua D sao cho AB ⊥ CD. Gọi
H là trung điểm của AB, CH cắt OD tại G. Chứng minh rằng khi dây DC quay quanh D
thì:
G là một điểm cố định.a)
G là trọng tâm của tam giác ABC.b)
HD:
Kẻ OK ⊥ CD. Chứng minh
OG
GD
=
1
2
.a) Từ câu a) suy ra.b)
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O
0
) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến CAD quay
quanh A với C ∈ (O) và D ∈ (O
0
). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O và O
0
trên CD.
Vẽ điểm E đối xứng với A qua trung điểm M của OO
0
. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 73/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
MH = MK.a)
Đường trung trực của CD đi qua một điểm cố định.b)
HD:
Kẻ M I ⊥ CD. Chứng minh ∆MHK cân.a)
Sử dụng câu a) gợi ý cho câu b). Chứng minh ∆CED cân tại E.b)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đường cao AH, AB = AD + AH. Tia phân giác của
góc D cắt AB tại M và cắt đường thẳng BC tại N . Vẽ các đường tròn (A; AD), (B; BN).
Chứng minh rằng hai đường tròn (A) và (B) tiếp xúc ngoài với nhau.a)
Cho biết vị trí tương đối của đường thẳng CD đối với hai đường tròn (A) và (B).b)
HD:
Chứng minh AB bằng tổng hai bán kính (sử dụng tam giác cân).a)
Dựng BK ⊥ CD. Vận dụng giả thiết AB = AD + AH và chứng minh BK = AH để
từ đó suy ra BK = BN .
b)
Bài 5: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F . Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng EF .
Chứng minh rẳng ∆BHF v ∆CKE.a)
Chứng minh rằng ∆BHL v ∆CKLb)
Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác LBC. Chứng minh rằng ba điểm L, I, D thẳng
hàng.
c)
HD:
∆BHF v ∆CKE (g-g).a) Sử dụng câu a) và lưu ý:
HL
KL
=
BD
DC
.b)
Sử dụng câu b), chứng minh LD là tia phân giác của
[
BLC theo tính chất tỉ số phân
giác.
c)
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn đó. Vẽ
CH ⊥ AB. Từ C vẽ một tiếp tuyến của nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến Ax và By tại
M và N. Các tia BC và AC lần lượt cắt Ax và By tại D và E. Chứng minh rằng:
M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BE;a)
Ba đường thẳng AN, BM và CH đồng quy.b)
HD:
Chứng minh ∆MAC cân.a)
Chứng minh AN và BM cắt CH tại trung điểm I của CH. Dùng định lý Ta-lét,
chứng minh:
IH
NB
=
IC
NB
.
b)
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là các điểm
đối xứng của H qua AB, AC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 74/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng.a)
Vẽ các đường tròn (B; BD) và (C; CE). Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp
xúc với nhau và tiếp xúc với DE.
b)
Vẽ đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn
này.
c)
HD:
Chứng minh
[
DAE = 2
[
BAC.a)
Ý đầu dùng dấu hiệu d = R + r. Ý sau chứng minh BD ⊥ DE và CE ⊥ DE.b)
Gọi O là trung điểm của BC. Hãy chứng minh OA ⊥ DE.c)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 75/75
| 1/75
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NGUYỄN NGỌC DŨNG - VƯƠNG PHÚ QUÝ - TIÊU KHÁNH
VĂN - BÙI TIẾN LỘC - NGUYỄN CAO ĐẲNG - NGUYỄN ANH
KHOA - NGUYỄN NGỌC THIỆN - NGUYỄN THÀNH ĐIỆP BÀI TẬP 9 TOÁN TẬPMỘT C δ D E F γ γ A α β B H n Tóm tắt giáo khoa n Bài tập cơ bản
n Các dạng toán thường gặp n Bài tập nâng cao n Phương pháp giải toán n Bài tập tổng ôn
(Tài liệu lưu hành nội bộ) Mục lục Phần I ĐẠI SỐ 5 Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA 7 §1.
CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . 7 2
So sánh các biểu thức của căn bậc hai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 √ 3
Các bài toán về hằng đẳng thức A2 = |A|
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §2.
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG . . . . 9 1
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) . . . . . . . . . . . 9 2
Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) . . . . . . . . . . . . . . . 12 3
Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4
Giải phương trình chứa căn bậc hai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §3.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 Bài tập cơ bản
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 bài tập nâng cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §4.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 33 §1.
NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . 33 §2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 §3.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
. . . . . . . . . . . . . . . . 35 §4.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 §5.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 ĐỀ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 ĐỀ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Phần II HÌNH HỌC 41 Chương 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43 §1.
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43 §2.
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 §3.
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI TAM GIÁC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 §4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §5.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 ĐỀ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN 57 §1.
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN 57 §2.
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §3.
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . . 61 §4.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
. . . . . . . . . . . . . . . . 63 §5.
TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §6.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
. . . . . . . . . . . . . . . . . 69 §7. ÔN TẬP CHƯƠNG II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 4/75 Phần I ĐẠI SỐ 5 Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1. CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI 1
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai
Bài 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ r −4 √ √ a) −3x + 2 b) c) x + 2 + 3 − x −2x + 3 2 d) √x + 4 − 1
Bài 2: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ √ p a) x(x + 2) b) −5x2 + 20 c) −5x2 − 3x + 8 1 d) √x2 + 4x + 4
Bài 3: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ −3 √ a) x2 + 1 b) √ c) −5x2 − 3x + 8 x2 − x + 1 1 d) √x2 + 4x + 4
Bài 4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ p 3x − 1 2x + 4 a) |x| + 1 b) c) p p 4x2 + |x| + 6 | − 5x2 − 3x + 8| p|x| d) √x2 + 4x + 4
Bài 5: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ √ p p 3 a) x + 2 x − 1 b) 4x + 4 − 6 4x − 5 c) √ √ px2 − 4 x − 2. x + 2
Bài 6: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ √ √ √ √ 1 1 x + 1 x − 3 x x + 2 x − 2 2 x a) √ + √ : √ b) − 1 : √ − √ − x − x x − 1 x − 2 x + 1 x − 9 x − 2 x + 2 x − 4 7
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 7: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: 1 √ 3 a) √ b) 2 − 1 − 4x c) 3x − 2 x2 − 6x + 8 √ √ √ 2 d) x2 − x + 1 e) −x2 + 2x − 5 f) 2x2 + 1 + 3 − 2x √ r −5 3 + −x2 g) h) x − 2
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: √ 1 1 a) x2 − 5 b) √ c) √ x2 + 2x − 3 px − x − 0, 5 − r 3 1 2 d) √ e) f) √ 1 − x2 − 3 x − 1 1 − x 2
So sánh các biểu thức của căn bậc hai Bài 1: So sánh √ √ √ a) 2 và 7 b) 7 và 48 c) 10 và 101 √ d) 6 và 37 Bài 2: So sánh √ √ √ √ √ √ a) 3 3 − 2 2 và 2 b) 3 12 và 2 26 c) 4 − 2 2 và 3 − 3 Bài 3: So sánh √ √ 3 − 7 15 − 107 a) và 0 b) và 0 2 −22 √ x + x + 1 Bài 4: Cho biểu thức P = √x √ a) Tìm x để P có nghĩa b) So sánh P và P c) So sánh P và |P | Bài 5: So sánh √ √ √ √ √ √ √ √ a) 10 + 17 + 1 và 61 b) 24 + 99 + 3 và 18 c) 33 − 17 và 6 − 15 √ 3
Các bài toán về hằng đẳng thức A2 = |A|
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: √ √ √ √ p p p (2 − 5)2 a) b) 6 − 2 5( 3 − 2) 6 + 2 5 √ p 1 c) (a − 2)2 với a < 2 d)
. a2 + b2 − 2ab với a > b a − b
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: √ √ √ p p p a) 6 + 2 5 b) 9 − 6 2 c) 12 + 6 3 √ √ √ p p p d) 7 − 2 6 e) 7 + 4 3 f) 13 − 4 3
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 8/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: 1 √ √ √ √ √ √ p p p a) 12 − 8 2 + 16 − 12 2 − 4 2 b) 6 + 2 2 + 2 6 + 2 3 2 √ √ √ p c) 11 + 2 10 − 4 2 − 4 5
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: √4x2 + 4x + 1 −1 √ a) với x > b) 9 + x + 4 − 4x + x2 với x < 2 4x2 − 1 2 √ √ c) 9x2 − 6x + 1 − 9x2 + 6x + 1 với x > 0
Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau: √ √ √ √ √ p p p p a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 2 3 b) 6 + 2 5 − 6 − 2 5 = 2 r 4 r 4 c) √ − √ = 8 (2 − 5)2 (2 + 5)2
Bài 6: Giải các phương trình sau √ √ a) x2 = 1 b) 4x2 − 4x + 1 = 3 √ √ p p c) x + 2 x − 1 = 5 d)
x2 − 3x + 6 + 4 x2 − 3x + 2 = 1
§2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 1
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: √ √ √ 1 √ 2 1 √ 1 √ a) 48 − 2 75 + 108 − 147 b) √ √ − 63 + 20 7 7 − 5 3 4 r 5 √ √ √ 6 6 c) 12 3 − 4 0, 5 + 2 2 − 64 0, 125 d) √ + √ 9 2 − 10 2 + 10 √ √ r 1 3 − 3 √ √ √ √ e) 27 − 6 + √
f) 2 3 − 3 27 + 4 48 − 2 75 3 3 √ r 1 √ 7 + 7 √ √ √ √ √ g) 42 − 112 + √ h) 2 28 + 2 63 − 3 175 + 112 − 20 7 1 + 7 √ √ √ √ √ r 1 3 2 i) 44 + 11 11 j) 24 − 6 − √ 6 3 √ √ √ √ 4 8 15 3 27 − 98 − 7 3 − 2 k) l) √ − √ + √ 3 + 5 1 + 5 5
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 9/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ √ √ 3 2 − 2 3 10 3 + 3 3 − 3 m) √ √ − √ n) 2 + √ . 2 − √ 3 − 2 1 + 6 3 + 1 3 − 1 √ √ 1 1 6 + 3 3 1 3 o) √ − √ p) √ + √ − √ 3 + 8 3 − 2 2 3 + 2 1 − 3 1 + 3 √ √ √ −3 1 6 5 − 7 5 √ 3 5 − 5 3 2 q) √ − √ + √ + r) √ − 10 − √ √ 5 + 2 7 3 + 7 7 − 2 2 15 3 − 5 √ √ √ √ r 27 − 3 2 12 6 3 3 − 2 2 2 4 s) √ √ + √ + √ t) √ √ + 3 + √ 3 − 2 3 + 3 3 3 − 2 3 2 − 6 q √ q √ q √ q √ 3 + 12 − 1 − 32 u) 4 − 152 + 3 − 152 v) q √ q √ q √ q √ 3 − 22 + 1 + 32 w) 3 − 2 22 − 2 + 52 x) √ √ √ √ √ p 4 y) 3 − 22 + 24 z) 2 7 + 3 5 − √5 − 1
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau: √ √ q √ √ p p p a) 11 − 6 2 − 11 + 6 2 b) 2 − 52 + 14 − 6 5 √ √ q √ √ p c) 2 + 7 p11 − 4 7 d) 3 + 22 + 6 − 4 2 √ q √ √ √ √ √ p p p 5 − 2 6 − 2 − 5 32 e) f) 2 3 − 5 − 20 + 6 √ √ √ √ r √ p p 2 3 p g) 2 8 + 3 7 − 11 − 4 7 h) 96 − 6 + √ − 10 − 4 6 3 3 + 6 √ p 1 1 9 − 4 5 √ p i) √ − √ j) √ . 5 + 2 p p p 7 − 24 + 1 7 + 24 − 1 5 − 2 √ s √ √ p r 10 − 4 6 √ √ p 2 − 32 7 k) √ . 6 + 2 l) − + 2 3 p 6 − 2 2 2 2 s √ s √ ! √ √ r p p 1 11 − 2 10 11 + 2 10 8 5 + 2 6 + 8 − 2 15 √ m) √ + √ − √ . 7 − 2 10 n) 5 10 − 1 10 + 1 5 p7 − 2 10 √ √ ! 2 + 3 2 − 3 √ √ √ √ √ p o) √ − √ : 3 p) 3 + 5.( 10 + 2)(3 − 5) p p 7 − 4 3 7 + 4 3 √ √ √ r p 2 q) 35 + 5 p6 − 35 r) 13 − 4 3 − √ 2 + 3 √ r √ 2 r 2 2 3 − 5 s) √ + √ t) √ + 3 − 5 7 + 3 5 p3 − 5 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 10/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ r 2 r 2 1 2 + 3 2 − 3 u) √ + √ − 5 v) √ √ + √ √ 5 + 1 3 − 5 5 p p 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 √ √ 3 + 5 3 − 5 √ √ √ p p p w) √ √ + √ √ x) 2 − 1 + 2 + 1 − 2 2 + 2 p p 2 + 3 + 5 2 − 3 − 5 √ √ √ √ p3 − 5.(3 + 5) 14 12 + 30 √ p y) √ √ z) √ + √ √ . 5 − 21 10 + 2 14 2 + 5
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau: √ √ √ √ p p p p 4 + 15 + 5 − 21 47 + 21 5 47 − 21 5 a) √ + 1 b) √ − √ p6 + 35 5 + 2 5 − 2 √ √ √ √ √ √ √ p p p p p c) (2− 3) 26 + 15 3−(2+ 3) 26 − 15 3 d) 16 + 4 15 − 8 − 4 3 − 3 − 5 √ s √ s √ 3 + 2 1 + 2 2 3 − 3 √ e) √ − √ f) √ .(2 + 3) 2 2 − 1 2 − 1 2 3 + 3 s √ s √ 3 √ √ 3 5 − 1 √ √ g) √ √ .(3 2 + 14) h) √ .( 2 + 10) 8 3 + 3 21 2 5 + 3 s √ s √ s √ s √ 5 + 2 5 − 2 3 3 − 4 3 + 4 i) √ + √ j) √ − √ 5 5 + 11 5 + 1 2 3 + 1 5 − 2 3 Bài tập nâng cao
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: √ √ √ p p p a) 2 − 1 + 2 + 1 − 2 2 + 2 √ √ √ √ p p 7 − 3 − 7 + 3 b) √ p 7 − 2 √ √ p p 11 + 5 + 11 − 5 √ p c) √ − 3 − 2 2 p11 + 2 29 r r √ q √ q √ q √ p p p p d) 2 + 3. 2 + 2 + 3. 2 + 2 + 2 + 3. 2 − 2 + 2 + 3 r r √ q √ q √ q √ p p p p e) 2 + 2. 3 + 7 + 2. 3 + 6 + 7 + 2. 3 − 6 + 7 + 2 Hướng dẫn: √ √ √ √ √ √ √ √ p p p p p a) 2 − 1 + 2 + 1 − 2 2 + 1 b) Đặt A = 7 − 3 − 7 + 3. Tính A2. √ √ √ √ p p c) Đặt A = 7 − 3 − 7 + 3.
d) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái. Tính A2.
e) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 11/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 2
Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: √ √ √ 5 x + 4 x − 1 x + 2 a) √ + √ − √ với x > 0 và x 6= 1. x + x − 2 x + 2 x − 1 √ √ 15 x − 11 3 x − 2 3 b) √ + √ − √ với x > 0 và x 6= 1. x + 2 x − 3 1 − x x + 3 √ √ x x 1 x − 1 c) √ √ + : với x > 0. x x + x + x + 1 x + 1 x + 1 √ √ 1 1 x − 1 x + 2 d) √ − √ : √ − √ với x > 0 và x 6= 4. x − 2 x x − 2 x + 1 √ x 2 1 √ 10 − x e) + √ + √ : x − 2 + √ với x > 0 và x 6= 4. x − 4 2 − x x + 2 x + 2 √ x 2 3 √ 12 − x f) + √ + √ : x − 3 + √ với x > 0 và x 6= 9. x − 9 x + 3 3 − x x + 3 √ √ x x − 1 x x + 1 x − 1 g) √ − √ . √ với x > 0 và x 6= 1. x − x x + x 2 (x − 2 x + 1) √ √ 1 x2 − 8 x x − x − 1 h) √ . √ + 1 − √ với x > 0 và x 6= 1. 2 ( x − 1) x + 2 x + 4 2 x √ √ √ √ x x + 3 x + 2 x + 2 i) 1 − √ : √ + √ − √
với x > 0 và x 6= 4; x 6= 9. x + 1 x − 2 x − 5 x + 6 x − 3 √ √ 1 − x x √ 1 − x 2 j) √ + x . với x > 0 và x 6= 1. 1 − x 1 − x √ √ 6x + 4 3x 2 1 + 3 3x3 √ 4 k) √ − √ . √ − 3x với x > 0 và x 6= . 3 3x3 3x + 2 3x + 4 3x + 1 3   2  1 1  2017  l) +  . với x > 0. 3 √ √  2 2  x + 1  2 x + 1 2 x − 1  1 + √ 1 + √ 3 3 √ √ b a √ √ m) √ − √ . a b − b a
với a > 0, b > 0, a 6= b. a − ab ab − b √ √ √ √ √ a a + b b b a − a b a + b + ab 2 n) √ √ + √ √ √ √
với a > 0, b > 0 và a 6= b. a + b a − b a a − b b Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 12/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ 2x + 1 x 1 + x3 √ Bài 1. Cho biểu thức A = √ − √ √ − x x3 − 1 x + x + 1 1 + x
a) Tìm điều kiện có nghĩa của A. b) Rút gọn A. c) Tìm x để A = 3.
d) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất. √ x 2 3 √ 12 − x Bài 2. Cho biểu thức A = + √ + √ : x − 3 + √ x − 9 x + 3 3 − x x + 3
a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên. √ √ x + 2 8 x + 19 1
Bài 3. Cho biểu thức M = √ + √ + √ . x + 3 x + x − 6 2 − x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M . c) Tìm x để M > 3. √ r x x − 1 √
Bài 4. Cho biểu thức sau: A = √ + x với x > 1 x − 1 9
Với giá trị nào của x thì biểu thức B = A +
có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. √ A 2x − 3 x − 2 Bài 5. Cho biểu thức A = √ với x > 0 và x 6= 4. x − 2
a) Tìm các giá trị của x để giá trị của A 6 5. 2
b) Tìm các giá trị của x để nhận giá trị nguyên. A 3
Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai Bài tập cơ bản
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau √ √ √ √ p 9 + 4 5 = 5 + 22 a) b) 23 + 8 7 − 7 = 4 √ √ √ √ 3 + 2 3 2 + 2 2 √ √ 11 + 6 2 = 3 + 22 c) d) √ + √ : 2 + 3 = 1 3 + 2 2 + 1 √ √ √ √ √ 3 2 + 6 54 2 5 + 2 6 2 5 − 2 6 2 √ e) √ − . √ = −1 f) √ √ − √ √ = 4 6 12 + 2 3 6 3 + 2 3 − 2 √ √ √ √ 2 + 3 2 − 3 √ √ p 6 2 g) √ √ + √ √ = 2 h) 2 + 3 = + p p 2 + 2 + 3 2 − 2 + 3 2 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 13/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau r √ r √ a + a2 − b a − a2 − b √ p a) + = a + b 2 2 r √ r √ a + a2 − b a − a2 − b √ p b) − = a − b 2 2 √ √ a − a a + a c) 2 + √ . 2 − √
= 4 − a với a > 0, a 6= 1 a − 1 1 + a √ √ x x − y y √ √ √ d) √ √ + xy : x +
y2 = 1 với (x > 0, y > 0, x 6= y) x − y √ √ r a2 + x2 + a2 − x2 a4 a2 e) √ √ − − 1 = với |a| > |x| a2 + x2 − a2 − x2 x4 x2 √ a + b − 2 ab 1 f) √ √ : √ √
= a − b với a > 0, b > 0 và a 6= b a − b a + b = √ √ p g) n + 1 − n2 =
(2n + 1)2 − p(2n + 1)2 − 1 với n ∈ N Bài tập nâng cao
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau a) | p x + y| + |x − y| = x +
x2 − y2 + x − px2 − y2 với |x| ≥ |y| HD: Bình phương hai vế. √ √ √ √ √ p 3 b) 2 + 3 20 − 3 25 = 3 3 5 − 3 4
HD: Nhận xét 2 vế không âm sau đó bình phương. √ √ √ p p c) 3 − 5 − 3 + 5 = − 2 √
HD: Đánh giá âm dương, bình phương hai vế hoặc nhân hai vế với 2. √ 4 − 2 3 √ d) √ = 3 p6 3 − 10 3 − 1
HD: Rút gọn vế trái sau đó lập phương hai vế. √ √ 3 p e) 2 + 5 + 3 p2 − 5 = 1 √ √ HD: Đặt x = 3
p2 + 5 + 3p2 − 5. Đưa về phương trình bậc 3 theo x rồi giải phương trình. √ √ 3 p f) 9 + 4 5 + 3 p9 − 4 5 = 3 HD: Tương tự câu trên. √ r r r 1 2 4 3 p 3 g) 2 − 1 = 3 − 3 + 3 9 9 9
HD: Lập phương hai vế. Rút nhân tử chung cho vế phải rồi nhân liên hiệp.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 14/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 4
Giải phương trình chứa căn bậc hai Bài tập cơ bản
Bài 1. Giải phương trình: √ √ a) x2 + 9 = 5 b) 4x2 − 20x + 25 = 1 √ √ √ √ c) x2 − x − 2 = x − 2 d) x2 − 9 = 3 − x √ √ e) x − 1 + 1 = x f) 25x2 − 30x + 9 = x + 7 √ √ √ √ g) x + 3 + 2 − x = 5 h) 2x + 5 + 8 − 2x = 5 √ √ √ i) x + 1 = 8 − 3x + 1 j) 3x2 − 9x + 1 = x − 2 √ √ √ √ k) 3x + 7 − x + 1 = 2 l) x2 − 2x − 4 = 2 − x √ √ m) x2 + 6x + 9 = |2x − 1| n) x2 + x + 1 = 3 − x √ √ √ √ o) x + x − 5 = 5 p) x2 + 10x − 5 = 2 (x − 1) √ √ √ √ √ q) 17 + x − 17 − x = 2 r) 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0 √ √ √ √ √ s) x + 10 − 3 − 4x = 2 x + 2 t) x2 − 2x − 8 = 3 (x − 4) √ u) x2 − 6x + 6 = 2x − 1 Bài tập nâng cao
Bài 1. Giải phương trình: √ √ √ a) p x2 − x + x2 + x − 2 = 0 b) (x − 1)2 + x2 + 4x + 4 = 3 √ √ r x − 2 + 1 9x − 18 √ p c) 25x − 50 + = 8 d) x − 1 + 2 x − 2 = 2 2 16 √ p 1 1 e) x + 6 − 6 x − 3 = 1 f) √ + √ = −2 x + 1 + x2 x − 1 + x2 √ √ √ √ √ p p p p g) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 h) 2x + 4x − 1 + 2x − 4x − 1 = 6 √ √ √ p p i) 3 + x + 2 x − 1 = 2 x + 4 x − 4 j) x2 + 3x + 12 = x2 + 3x √ k) p x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3 l)
(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4 √ m) − p x2 + 2x + 4 (3 − x) (x + 1) = 9
n) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x √ √ √ √ o) x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3 p) 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1 √ √ √ q) x2 + x2 + 11 = 31 r) x + 1 +
3 − x − p(x + 1) (3 − x) = 2 √ √ √ √ √ s) p 3 − x +
x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2 t) x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3 2 √ √ √ √ √ √ u) 1 + x − x2 = x + 1 − x v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2 3 √ √ √ √ w) x + 1 +
4 − x − p(x + 1) (4 − x) = 5 x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 x) √ √ √ √ √ √ y)
3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z)
2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3− 16
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 15/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Hướng dẫn: √ √ √ a) p x2 − x + x2 + x − 2 = 0 b) (x − 1)2 + x2 + 4x + 4 = 3 √ x2 − x = 0 ⇔ p p (x − 1)2 + (x + 2)2 = 3 ⇔ √x2 + x − 2 = 0 ⇔ |x − 1| + |x + 2| = 3 √ √ r x − 2 + 1 9x − 18 √ p c) 25x − 50 + = 8 d) x − 1 + 2 x − 2 = 2 2 16 √ q √ √ x − 2 + 1 √ ⇔ x − 2 + 12 = 2 ⇔ 5 x − 2 + = 6 x − 2 √ 2 √ ⇔ x − 2 + 1 = 2 Đặt t = x − 2 ≥ 0 √ p 1 1 e) x + 6 − 6 x − 3 = 1 f) √ + √ = −2 (∗) x + 1 + x2 x − 1 + x2 Tương tự câu trên. ĐKXĐ: x ∈ R. √ √ (∗) ⇔ −x + 1 + x2 − x − 1 + x2 = −2 √ √ √ √ √ p p p p g) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 (∗) h) 2x + 4x − 1 + 2x − 4x − 1 = 6 ĐKXĐ: x ≥ 1
Tương tự bài g). Đáp số: x = 1
Bình phương hai vế ta ta được phương trình: p p x2 − 4(x − 1) = 2−x ⇔ (x − 2)2 = 2−x . Đáp số: S = [1; 2] √ √ √ p p i) 3 + x + 2 x − 1 = 2 x + 4 x − 4 (∗) j) x2 + 3x + 12 = x2 + 3x √ ĐKXĐ: x ≥ 4 √ √ Đặt t = x2 + 3x + 12
(∗) ⇔ 3 + x − 1 + 1 = 2 x − 4 + 2 √ √ ⇔ x − 1 = 2 x − 4 √ k) p x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3 l)
(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4 √ √ Đặt t = x2 + 2x Đặt p t = (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2 √ m) − p x2 + 2x + 4 (3 − x) (x + 1) = 9
n) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x √ √ Đặt p t = (3 − x) (x + 1) = −x2 + 2x + 3 Đặt t = x2 + 3x √ √ √ √ o) x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3 p) 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1 √ √ √ √ Đặt t = x2 − 3x + 3 hoặc t = x2 − 3x + 6 Đặt t = 3 − x + x2 hoặc t = 2 + x − x2 √ √ √ q) x2 + x2 + 11 = 31 r) x + 1 +
3 − x − p(x + 1) (3 − x) = 2 √ √ √ Đặt t =
x2 + 11 hoặc bình phương hai Đặt t = x + 1 + 3 − x
vế đưa về phương trình trùng phương. ⇔ p t2 = 4 + 2 (x + 1) (3 − x) √ √ √ √ √ s) p 3 − x +
x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2 t) x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3 √ √ √ √ Đặt t = 3 − x + x − 1 Đặt t = x + 1 + 8 − x √ ⇔ t2 = 2 + 2 4x − x2 − 3 ⇔ p t2 = 9 + 2 (x + 1) (8 − x)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 16/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 2 √ √ √ √ √ √ u) 1 + x − x2 = x + 1 − x v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2 3 √ √ √ √ Đặt t = x + 1 − x Đặt t = x − 2 + x + 2 √ √ ⇔ ⇔ t2 = 1 + 2 x − x2 t2 = 2 x2 − 4 + 2x √ √ √ √ w) x + 1 +
4 − x − p(x + 1) (4 − x) = 5 x) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 √ √ √ Đặt t = x + 1 + 4 − x Đặt t = x + 4 − x2 √ ⇔ p t2 = 5 + 2 (x + 1) (4 − x) ⇔ t2 = 4 + 2x 4 − x2 √ √ √ √ √ √ y)
3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z)
2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3− √ √ 16 Đặt t = 3x − 2 + x − 1 √ √ √ Đặt t = 2x + 3 + x + 1
⇔ t2 = 4x − 3 + 2 3x2 − 5x + 2 √
⇔ t2 = 3x + 4 + 2 2x2 + 5x + 3
Bài 2. Giải phương trình: √ √ a) 2 (1 − x)
x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1 b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1 √ √ c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1 d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x √ √ √ √ √ p p p p x + 3 e) x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2 f) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 √ √ √ √ p p p p g) x − 1 + 2 x − 2− x − 1 − 2 x − 2 = h) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = 2 1 Hướng dẫn: √ √ a) 2 (1 − x)
x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1 b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1 √ √ Đặt t =
x2 + 2x − 1, ta được phương Đặt t =
x2 + 1, ta được phương trình: trình: t2 − (x + 3)t + 3x = 0 (∗)
t2 − 2 (1 − x) t − 4x = 0 (∗)
có ∆ = (x − 3)2 ≥ 0 nên (∗) có hai nghiệm:
có ∆0 = (x + 1)2 ≥ 0 nên (∗) có hai √ t = 3 x2 + 1 = 3 nghiệm: ⇒ √ √ t = x x2 + 1 = x t = 2 x2 + 2x − 1 = 2 ⇒ √ t = −2x x2 + 2x − 1 = −2x √ √ c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1 d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x √ √ Đặt t =
x2 + 3x − 1, ta được phương Đặt t =
x2 + 3x − 1, ta được phương trình: trình:
t2 + (x + 1) t − 6x2 + 3x = 0
2t2 − (x + 7) t + 4x − 4 = 0 √ √ √ √ √ p p p p x + 3 e) x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2 f) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2
Bình phương hai vế và rút gọn ta được √ √ x + 3 ⇔ x − 1 + 1 x − 1 − 1
phương trình: |x − 1| = 1 − x + = 2 √ √ √ √ p p p p g) x − 1 + 2 x − 2− x − 1 − 2 x − 2 = h) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = 2 1 √ √ √ √
⇔ x − 1 + 1 − x − 1 − 1 = 2 ⇔
x − 2 + 1 − x − 2 − 1 = 1
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 17/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3. Giải phương trình: √ √ p p x + 5 a) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 2 √ √ p p b) x − 1 + 2 x − 2 + 7 + x + 6 x − 2 = 6 √ √ c) 3x2 − 18x + 28 +
4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x √ √ d) 4x2 + 4x + 5 +
8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x Hướng dẫn: √ √ p p x + 5 a) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 2 √ √ x + 5 ⇔ x + 1 + 1 + x + 1 − 1 = 2 √ √ p p b) x − 1 + 2 x − 2 + 7 + x + 6 x − 2 = 6 √ √ ⇔ x − 2 + 1 + x − 2 + 3 = 6 √ √ c) 3x2 − 18x + 28 +
4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x √ √ ⇔ 3x2 − 18x + 28 − 1 +
4x2 − 24x + 45 − 3 + x2 − 6x + 9 = 0 3 (x − 3)2 4 (x − 3)2 ⇔ √ + √ + (x − 3)2 = 0 3x2 − 18x + 28 + 1 4x2 − 24x + 45 + 3 3 4 ⇔ (x − 3)2 √ + √ + 1 = 0 3x2 − 18x + 28 + 1 4x2 − 24x + 45 + 3 √ √ d) 4x2 + 4x + 5 +
8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x (∗) Tương tự câu trên: √ √ (∗) ⇔ 4x2 + 4x + 5 − 2 +
8x2 + 8x + 11 − 3 + 4x2 + 4x + 1 = 0 1 Đáp số: x = − 2 5
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai Bài tập cơ bản
Bài 1: Giải bất phương trình: √ √ √ √ a) 3x + 1 > 2x − 3 b) x2 − 4x + 3 < 2x2 − 10x + 11 √ √ c) x2 − x − 1 < 1 − x d) x2 + x − 6 < x − 1 √ √ √ p e) 4 − 1 − x > 2 − x f) 2x − 1 > 2x − 3 √ √ g) x2 − x − 12 < 7 − x h) 21 − 4x − x2 < x + 3 √ √ i) x2 − 3x − 10 ≥ x − 2 j) 3x2 + 13x + 4 + 2 − x ≥ 0 √ √ √ k) 1 − x + 2x2 − 3x − 5 < 0 l) 2x + 3 + x + 2 ≤ 1
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 18/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ √ √
m) 3 −x2 + x + 6 + 2 (2x − 1) > 0 n) x + 3 − 7 − x > 2x − 8 √ p √ √ √ o) 2x + x2 + 1 > x + 1 p) 2 − x > 7 − x − −2x − 3 √ √ r 1 3 1 1 q) 11 − x − x − 1 > 2 r) − < − x2 4 x 2 r 1 1 4 3 s) − > − x 2 x2 4
Bài 2: Giải bất phương trình: √ √ 1 √ a) 3 − x − x + 1 > b) x + 3 < 1 − x 2 √ √ c) x2 − 4x − 12 ≤ x − 4 d) x2 − 3x − 10 < x − 2 √ √ e) x2 − 16 ≥ 2x − 7 f) x − 3 x + 1 + 3 > 0 √ √ g) x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1 h) x2 − 4x − 12 > 2x + 3 √ q i) − 2 x2 + 6x − 5 > 8 − 2x j) (x2 − x) > x − 2 √ √ √ √ k) x2 − 3x + 2 > 2x − 5 l) x − 1 − x − 2 > x − 3 √ √ √ √ √ √ m) 3x + 4 + x − 3 ≤ 4x + 9 n) x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x √ √ √ √ √ √ o) 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 > 0 p) x + 2 − 3 − x ≥ 5 − 2x Bài tập nâng cao
Bài 3: Giải bất phương trình: √ 4 a) x 1 − x2 ≤ 0 b) √ √ < 2 2 − x − 2 + x √x2 − 16 √ 5 c) √ p + x − 3 > √ d) |1 − 4x| ≥ 2x + 1 x − 3 x − 3 √ √ √ √ e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9 f)
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1 √ √ √ g) x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7 √ √ √ h) x2 − 3x + 2 +
x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4 √ √ 2 − x + 4x − 4 x + 5 i) ≥ 2 j) < 1 x 1 − x √ √ 2x − 4 51 − 2x − x2 k) √ > 1 l) < 1 x2 − 3x − 10 1 − x √ √ 8 − 2x − x2 1 − 1 − 4x2 m) > 1 n) < 3 x + 2 x 1 1 √ √ √ √ o) √ > p) x + x + 9 ≥ x + 1 + x + 4 2x2 + 3x − 5 2x − 1
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 19/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Hướng dẫn: √ 4 a) x 1 − x2 ≤ 0 (∗) b) √ √ < 2 (∗) 2 − x − 2 + x x ≤ 0
ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1 (∗) ⇔ √
ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2 và x 6= 0 1 − x2 ≥ 0 √ √ (∗) ⇔ 2 − x > 2 + x + 2 √x2 − 16 √ 5 c) √ p + x − 3 > √ d) |1 − 4x| ≥ 2x + 1 x − 3 x − 3 ĐKXĐ: x ≥ 4
|A| ≥ B ⇔ A ≥ B hoặc A ≤ −B √ Nhân hai vế cho x − 3 ta được phương √ trình: x2 − 16 > 8 − x √ √ √ √ e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9 f)
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1(∗) A > 0 A < 0 ĐKXĐ: x ≥ 3 AB > 0 ⇔ hoặc B > 0 B < 0
(∗) ⇔ p(x − 1) (x − 3)−p(x − 1) (2x − 5) ≥ −p(x − 1) √ √ ⇔ x − 3 − 2x − 5 ≥ −1 √ (Do x − 1 > 0, ∀x ≥ 3) √ √ √ g) x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7
ĐKXĐ: x ≥ −1 hoặc x ≤ −5 ⇔ p p (x + 1) (x + 2) +
(x + 1) (x + 5) ≥ p(x + 1) (2x + 7)
Trường hợp 1: x = −1 là nghiệm của bất phương trình. Trường hợp 2: x > −1 √ √ √ (∗) ⇔ x + 2 + x + 5 ≥ 2x + 7 Trường hợp 3: x ≤ −5 √ √ √ (∗) ⇔ −x − 2 + −x − 5 ≥ −2x − 7 √ √ √ h) x2 − 3x + 2 +
x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4 Tương tự câu trên. √ √ 2 − x + 4x − 4 x + 5 i) ≥ 2 (∗) j) < 1 x 1 − x ĐKXĐ: x ≤ 2 và x 6= 0 Tương tự câu trên.
Trường hợp 1: 0 < x ≤ 2 √ (∗) ⇔ 2 − x + 4x − 4 ≥ 2x Trường hợp 2: x < 0 √ (∗) ⇔ 2 − x + 4x − 4 ≤ 2x √ √ 2x − 4 51 − 2x − x2 k) √ > 1 (∗) l) < 1 x2 − 3x − 10 1 − x √ √ ĐKXĐ: x > 5
ĐKXĐ: 1 − 2 13 < x < 1 + 2 13 và √ √ (∗) ⇔ 2x − 4 > x2 − 3x − 10 x 6= 1 √
Xét hai trường hợp: 1 − 2 13 < x < 1 √ và 1 < x < 1 + 2 13
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 20/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ 8 − 2x − x2 1 − 1 − 4x2 m) > 1 n) < 3 x + 2 x Tương tự câu trên. Tương tự câu trên. 1 1 √ √ √ √ o) √ > p) x + x + 9 ≥ x + 1 + x + 4 2x2 + 3x − 5 2x − 1 ĐKXĐ: x > 0 5
ĐKXĐ: x > 1 hoặc x < −
Bình phương hai vế hai lần ta được bất 2 phương trình:
Trường hợp 1: x > 1 ⇒ 2x − 1 > 0 p 5 4x +
x (x + 9) ≥ 0 (luôn đúng ∀x ≥ 0) Trường hợp 2: x < − ⇒ 2x − 1 < 0 2
Bài 4: Giải bất phương trình: √ √ √ √ 9x2 − 4 a) 6x + 1 − 2x + 3 < 8x − 4x + 2 b) √ ≥ 3x + 2 5x2 − 1 √ √ c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0 d) x2 − 4x + 3 x2 − 4 ≤ 0 √ x2 √ e) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0 f) √ − 3x − 2 ≥ 1 − x 3x − 2 √ x2 √ √ x + 3 g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥ √ h) 4x + 1 − 3x − 2 ≤ 2 − 4 − x2 5 √ x2 √ 40 i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤ √ j) x + x2 + 16 ≥ √ 5 + 25 − x2 x2 + 16 √ √ 2x k) 3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 > 1 l) √ > 2x + 2 2x + 1 − 1 √ 2x2 4 (x + 1)2 ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x2 m) n) √ ≥ x + 21 3 − 9 + 2x2 x2 √ o) √ > x − 4 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 42 p) 1 + 1 + x2 √ q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4 Hướng dẫn: √ √ √ √ 9x2 − 4 a) 6x + 1 − 2x + 3 < 8x − 4x + 2 b) √ ≥ 3x + 2 √ √ √ √ 5x2 − 1 ⇔ 6x + 1 + 4x + 2 < 8x + 2x + 3 √ ⇔ (3x + 2) 3x − 2 − 5x2 − 4 ≥ 0 ⇔ p p 2 (6x + 1) (4x + 2) < 2 8x (2x + 3) √ √ c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0 d) x2 − 4x + 3 x2 − 4 ≤ 0  2x2 − 5x + 2 = 0  x2 − 4 = 0 ⇔  2x2 − 5x + 2 > 0 ⇔  x2 − 4 > 0 2x − 5 ≥ 0 x2 − 4x + 3 ≤ 0
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 21/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ x2 √ e) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0 f) √ − 3x − 2 ≥ 1 − x 3x − 2  2x2 − 3x − 2 = 0 √ ⇔ (x − 1) x − 2 + 3x − 2 ≥ 0 ⇔  2x2 − 3x − 2 > 0 x2 − 3x ≥ 0 √ x2 √ √ x + 3 g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥ √ h) 4x + 1 − 3x − 2 ≤ 2 − 4 − x2 5 √ √ x + 3 x + 3 ⇔ x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥ 2 + 4 − x2 ⇔ √ √ ≤ 4x + 1 + 3x − 2 5 ⇔ x2 − x − 6 ≥ 0 √ x2 √ 40 i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤ √ j) x + x2 + 16 ≥ √ 5 + 25 − x2 x2 + 16 √ 5 − 25 − x2 = 0 16 40 ⇔ √ √ ⇔ √ ≥ √ 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤ 5 − 25 − x2 x2 + 16 − x x2 + 16 √ √
Nếu không xét riêng trường hợp : ⇔ 5x ≥ 3 x2 + 16 (Do x2 + 16 − x ≥ 0 √ 5 −
25 − x2 = 0 thì sẽ sót nghiệm.
suy ra từ V T ≥ V T > 0) √ √ 2x k) 3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 > 1 l) √ > 2x + 2 √ 2x + 1 − 1 Đặt t = 3x2 + 5x + 7 √ √ ⇔ 2x + 1 + 1 > 2x + 2 hoặc t = 3x2 + 5x + 2 √ 2x2
m) 4 (x + 1)2 ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x2 n) √ ≥ x + 21 3 − 9 + 2x2 (x + 1)2 ⇔ 4 (x + 1)2 ≤ 8 (x + 5) √ √ ⇔ 3 + 9 + 2x2 ≥ 2x + 42 1 + 3 + 2x2 (Nhân lượng liên hợp).
Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0 x2 √ o) √ > x − 4
p) 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 42 1 + 1 + x2 √ 9 (x + 1)2 1 − 1 + x = 0 ⇔ 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) √ ⇔ √ 1 + 3x + 42 1 − 1 + x2 > x − 4
Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0 √ q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4 √ ⇔ (x + 4) x − x2 − 2x + 4 ≥ 0
§3. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1 Bài tập cơ bản √x
Bài 1: Cho biểu thức P = √x + 2
a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Tìm các giá trị của nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 22/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ x + 2 x + 1 Bài 2: Cho biểu thức P = √x
a) Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0, x 6= 1 2
b) Tính giá trị của P biết x = √ 2 + 3 √
Bài 3: Cho biểu thức P = a − a
a) Biết a > 1, hãy so sánh P và Q = |P | b) Tìm a để P = 2 √x + 1
Bài 4: Cho biểu thức P = √x − 1
a) Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên. √
b) Tìm các giá trị x để P = x √ 1 − x + x Bài 5: Cho biểu thức P = √x √
a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Tính giá trị của P biết x = 7 − 4 3
c) Tìm các giá trị của x để P > x √ √ √ 2 x − 9 x + 3 2 x + 1 Bài 6: Cho biểu thức A = √ − √ − √ x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
a) Tìm điều kiện xác định của A. b) Rút gọn A 2
c) Tính giá trị của A khi x = √ d) Tìm x để A < 1 3 − 5 √ √ a2 + a 2a + a Bài 7: Cho biểu thức M = √ − √ + 1 a − a + 1 a
a) Tìm điều kiện xác định của M . b) Rút gọn M . √
c) Biết a > 1. Hãy so sánh M và M d) Tìm a để P = 2 √ √ x 3 6 x − 4
Bài 8: Cho biểu thức P = √ + √ − x − 1 x + 1 x − 1 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 2 √ √ x 2 x − 1
Bài 9: Cho biểu thức P = √ − √ x − 1 x − x a) Thu gọn P .
b) Giải phương trình P = 2 c) So sánh M và 1 √ x 2 1 √ 10 − x Bài 10: Cho biểu thức P = + √ + √ : x − 2 + √ x − 4 2 − x x + 2 x + 2
a) Tìm điều kiện xác định của P . b) Rút gọn P .
c) Tìm các giá trị của x để P > 0
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 23/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ √ √ y − xy x xy + y xy Bài 11: Cho biểu thức P = x + √ √ : √ x − y xy(y − x)
a) Tìm điều kiện xác định của P . b) Rút gọn P . √ √
c) Tính giá trị của P khi x = 4 + 2 3, y = 4 − 2 3 √ √ √ 2 x − 9 x + 3 2 x + 1 Bài 12: Cho biểu thức M = √ − √ − √ x − 5 x + 6 x − 2 3 − x
a) Tìm điều kiện xác định của P . b) Rút gọn M . c) Tìm x ∈ Z để M ∈ Z √ √ √ 2 x x 3x + 3 x − 7 Bài 13: Cho biểu thức P = √ + √ + . √ + 1 x + 3 x − 3 9 − x x + 1 1 a) Rút gọn P . b) Tìm x để P ≥ − 2 √ 4 − 4 x 2 3 Bài 14: Cho biểu thức A = √ + √ − √ x − 2 x − 35 x − 7 x + 5
a) Tìm điều kiện xác định của A. b) Rút gọn A. √ x 1 2 √ 6 − x Bài 15: Cho biểu thức M = + √ + √ : x + √ − 2 x − 4 x + 2 2 − x x + 2
a) Tìm điều kiện xác định của M . b) Rút gọn M . c) Tìm x ∈ Z để M ∈ Z 2 bài tập nâng cao
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: r q √ p 3 + 5 − 13 + 48 D = √ √ . 6 + 2 HD: √ √ √ √ 3 3 1 1 Ta có: 13 + 48 = 12 + 2 12 + 1 và 2 + 3 = + 2 √ √ + . 2 2 2 2 √ √ √ x − 3 x x − 3 x − 2 9 − x Bài 2: Cho biểu thức: D = 1 − : √ + √ − √ x − 9 2 − x 3 + x x + x − 6 với x ≥ 0, x 6= 9, x 6= 4. a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị của x để D = 1. HD: √
a) Sử dụng hằng đẳng thức A2 − B2, chú ý đến đa thức bậc hai với biến là x và thêm √ √ √ nữa x + x − 6 = ( x − 2)( x + 3).
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 24/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
b) Dùng kết quả rút gọn ở câu a). √ 1 1 x Bài 3: Cho biểu thức D = √ + √ : √ , với x > 0. x x + 1 x + x a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức D có giá trị nguyên. HD:
b) Để D nhận giá trị nguyên thì mẫu phải là ước của tử. √ √ 8 − a 2 4 a − 1
Bài 4: Cho a = 7 − 4 3. Tính giá trị biểu thức D = √ − √ . √ . a + 4 a a + 4 a − 2 HD: √ √
Rút gọn D và lưu ý: 7 − 4 3 = 4 − 2.2 3 + 3. √ √ √ √ p p
Bài 5: Rút gọn biểu thức D = (2 − 3) 2 + 3 + (2 + 3) 2 − 3. √ √ √ √ 3 3 1 1 √ 4 + 2 3 3 + 2 3 + 1 HD: Lưu ý 2 + 3 = + 2 √ √ + hoặc 2 + 3 = = . 2 2 2 2 2 2 √ √ √ x −x + x x + 6 x + 1
Bài 6: Cho biểu thức D = √ + √ − √ , với x ≥ 0, x 6= 1. x + 2 x + x − 2 x − 1 a) Rút gọn biểu thức D. (x + 27)D b) Cho biểu thức T = √ √
, với x ≥, x 6= 1, x 6= 4. Chứng minh T ≥ 6. ( x + 3)( x − 2) HD:
a) Khi rút gọn ta sử dụng sơ đồ Hoocner để phân tích đa thức bậc 3 thành các đơn √
thức, chú ý với biến là x.
b) Biến đổi tương đương để đưa T ≥ 6 về hằng đẳng thức. √ √ 2 x − 1 2 x + 1
Bài 7: Cho biểu thức D = √ − √ , với x ≥ 0, x 6= 1. x − 1 x + 1 a) Rút gọn biểu thức D. 3
b) Tìm các giá trị của x để D = . 4 √
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = ( x − 4)(x − 1)D. HD:
c) Thêm bớt để đưa biểu thức T về hằng đẳng thức và kết luận giá trị nhỏ nhất. √ √ √ 2x − 3 x − 2 x3 − x + 2x − 2 Bài 8: Cho biểu thức D = √ và T = √ với x ≥ 0; x 6= 4. x − 2 x + 2
a) Rút gọn các biểu thức D và T .
b) Tìm tất cả giá trị của x để D = T . HD:
a) Đối với T , ta có thể nhẩm hoặc sử dụng máy tính tìm nghiệm của pt bậc 3 theo biến
√x và sử dụng Hoocner phân tích thành bậc 2 và 1. 2a2 + 4 1 1 Bài 9: Cho biểu thức D = − √ − √ , với a ≥ 0; a 6= 1. 1 − a3 1 + a 1 − a
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 25/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D. HD:
a) Sử dụng các hằng đẳng thức: A2 − B2, A3 − B3.
b) Chú ý tính chất (A + B)2 + c ≥ c.
Bài 10: Cho biểu thức sau: b2 a3 − a − 2b − a3 + a2 + ab + a2b b D = a : + r ! 1 b √ a2 − b2 a − b 1 − + (a + a + b) a a2
với a > 0, b > 0, a 6= b, a + b 6= a2. a) Chứng minh D = a − b.
b) Tìm a, b biết rằng D = 1 và a3 − b3 = 7. HD: b2 a3 − a − 2b − a) Đối với a
quy đồng rút gọn mẫu, sử dụng hằng đẳng thức r ! 1 b √ 1 − + (a + a + b) a a2
A2 − B2. Còn ở tử thì (a2)2 − (a + b)2. a3 + a2 + ab + a2b b +
, quy đồng mẫu và chú ý đến nhân tử chung a + b. a2 − b2 a − b
b) Lưu ý: a3 − b3 = (a − b)(a2 − ab + b2) = (a − b)(a − b)2 + (a − b)ab = ab = 7 (do D = a − b = 1).
Tổng tích: a + (−b) = 1 và a.(−b) = −7 ⇒ a và −b.
Bài 11: Biết a, b là các số dương, a 6= b và √ √ √ √
(a + 2b)2 − (b + 2a)2 (a a + b b)(a a − b b) 1 + 2ab : − 3ab = 3. Tính D = . a + b a − b a2 + b2 HD:
Rút gọn biểu thức đã cho bằng việc chú ý đến hằng đẳng thức A2 − B2 và sử dụng thêm
A3 − B3. Kết quả rút gọn b − a = 1. 1 1 1
Bài 12: Rút gọn biểu thức D = 1 + √ + √ + ... + √ . p p p 2 + 3 3 + 8 2017 + 20172 − 1 HD: D √ √ Tính √ , chú ý: p 2k + 2 (k − 1)(k + 1) = ( k − 1 + k + 1)2 và: 2 √ √ 1 k + 1 − k − 1 √ √ = . k − 1 + k + 1 2 s √ √ 1 3 2 − 2 3
Bài 13: Thu gọn biểu thức D = √ √ √ √ . 2 − 3 3 2 + 2 3 HD:
Nhân lượng liên hợp rồi nhân phân phối. √ √ √ 3 a a + 1 5 a + 2 Bài 14: Cho D = √ + √ + , với a ≥ 0, a 6= 4. a + 2 a − 2 4 − a a) Rút gọn biểu thức D.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 26/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 r √ r √ 3 84 3 84
b*) Tính giá trị biểu thức D khi a = 1 + + 1 − . 9 9 HD: s √ √ r 84 84 1 −1 b*) Ta lưu ý 3 1 + 1 − = 3 − =
.Tiếp theo ta sẽ mũ ba hai vế biểu 9 9 27 3 r √ r √ 3 84 3 84 thức a = 1 + + 1 − và rút gọn: 9 9
a3 + a − 2 = 0 ⇔ (a − 1)(a2 + a + 2) = 0 ⇒ a = 1. Bài 15: Cho √ biểu thức: √ 3 3 x 3 √ D = √ + √ √ + + 1 , với x 6= 0; x 6= 3. x2 + x 3 + 3 x3 − 27 3 x a) Rút gọn biểu thức D. r √ √ q √ p
b) Tính giá trị của biểu thức D khi x = 3 + 5 − 3 − 29 − 12 5. HD: a) Sử dụng A3 + B3. √ √
b) Lưu ý: 29 − 12 5 = 20 + 2.3. 20 + 9. Bài 16: √ 1 9 − x x + 1
a) Cho các biểu thức D(x) = + √ , T (x) = √ với x > 0. x x + 3 x x D(x) 1
Tìm số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn ≤ . T (x) 2
2x4 − 21x3 + 55x2 − 32x − 4012 √
b*) Tính giá trị của biểu thức T = khi x = 5 − 3 (không x2 − 10x + 20
sử dụng máy tính cầm tay). HD: D(x) a) Rút gọn
và lưu ý điều kiện x ≥ 0. T (x) √
b*) Sử dụng máy tính ta ra được T = 2017 và mẫu là −2 với x = 5 − 3. Khi đó ta sẽ
2x4 − 21x3 + 55x2 − 32x + 22 −4034 tách ra như sau: T = + . x2 − 10x + 20 x2 − 10x + 20 √
Bằng tính toán ta có: x2 − 10x + 22 = 0 khi x = 5 − 3, suy ra ta sẽ phân tích:
2x4 − 21x3 + 55x2 − 32x + 22 = (x2 − 10x + 22)(2x2 − x + 1). √ √ p4 + 2 3 − 3
Bài 17: Rút gọn biểu thức D = √ √ . ( 5 + 2) 3 p17 5 − 38 − 2 HD: √ √ Chú ý: Rút gọn ( 5 + 2) 3 p17 5 − 38.
Bài 18*: Với a, b là những số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1, chứng minh rằng: a b 1 + ab + = . 1 + a2 1 + b2 p2(1 + a2)(1 + b2)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 27/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HD:
Biến đổi tương đương biểu thức đã cho bằng phương pháp bình phương hai vế. Chú ý điều
kiện ab + a + b = 1 và (a + b)2 = (ab − 1)2. √ √ √ √ 3 xy(3 3 x − 2 3 y)
Bài 19*: Cho các số dương x, y thỏa mãn x = 4y + 2xy. Tính D = √ . 2xy HD: √ Biến đổi x = 4y +
2xy ⇔ x = 8y bằng cách sử dụng hằng đẳng thức thứ 2.
Bài 20*: Rút gọn biểu thức: r r 1 + ax 1 − bx 1 2a − b D = với x = và 0 < a < b < 2a. 1 − ax 1 + bx a b HD: r 1 2a − b Biến đổi x =
để tìm bx theo ax (bình phương). a b
Chú ý điều kiện a < b để chứng minh ax < 1.
§4. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG 1 ĐỀ 1
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: (4,5 điểm) √ √ √ √ a) 3 2 − 5 5 − 90. q √ √ p b) 1 − 22 + 11 − 6 2. r 2 r 2 1 c) √ √ − √ + 6 . 5 + 3 4 − 15 3 Bài 2. (2 điểm) q x
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức 3 − có nghĩa ? 2 √ b) Giải phương trình: 4x4 − 4x2 + 1 = 3. √ √ √ 2 x x + 1 7 x + 3
Bài 3. (3 điểm) Cho P = √ + √ + với x ≥ 0; x 6= 9. x + 3 x − 3 9 − x
a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x để P < 1. 1 1 1 1
Bài 4. (0,5 điểm) Chứng minh: √ + √ + √ + . . . + √ < 18. 2 3 4 100 2 ĐỀ 2
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: (3 điểm) √ r 1 √ a) 2 8 − 2 − 18. 2 √ √ √ √ p 3 − 1 p p b) 9 − 3 8 − √ + 5 − 2 6 − 2 − 3. 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 28/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ √ 2 − 3 2 + 3 c) √ √ + √ √ . p p 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 Bài 2. (3 điểm) √ √
a) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: A = 18 + 2x ; B = 18 − 2x2 5 √ √ 1 √ b) Giải phương trình: 3x − 3x − 6 = 3x. 2 2 √ √ x + 2 x x + 12 x − 2 x Bài 3. (3 điểm) Cho P = √ + − √ với x > 0;x 6= 4. x − 2 x x − 4 x + 2 x
a) Rút gọn biểu thức P . 1
b) Tìm x để giá trị P lớn hơn giá trị của . P 1 1 1 1 Bài 4. (1 điểm) Cho M = √ + √ √ + √ √ + . . . + √ √ 1 + 2 2 + 3 3 + 4 2017 + 2018 1 1 1 1
và N = 1 + √ + √ + √ + . . . + √ . 2 3 4 528 a) Tính M . b) So sánh M và N . 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 Bài 1. √ √ √ √ √ √ a) 3 2 − 5 5 −
90 = 3 10 − 5 − 3 10 = −5. q √ √ √ q √ √ √ p b) 1 − 22 + 11 − 6 2 = 2 − 1 + 3 − 22 = 2 − 1 + 3 − 2 = 2. √ √ √ r 2 r 2 1 2( 5 − 3) q √ 6 3 √ √ √ p c) √ √ − √ +6 = − 2 4 + 15+ = 5− 3− 8 + 2 15+ 5 + 3 4 − 15 3 2 3 √ √ √ q √ √ √ √ √ √ 2 3 = 5 + 3 − 5 + 32 = 5 + 3 − 5 + 3 = 0. Bài 2. x x
a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi và chỉ khi 3 − ≥ 0 ⇔ − ≥ −3 ⇔ x ≤ 6. 2 2 √ q 2x2 − 1 = 3 x2 = 2 b) 2 4x4 − 4x2 + 1 = 3 ⇔
(2x2 − 1) = 3 ⇔ 2x2 − 1 = 3 ⇔ ⇔ 2x2 − 1 = −3 x2 = −1 (VN) √ ⇔ x = ± 2 . Bài 3. √ √ √ √ √ √ √ √ 2 x x + 1 7 x + 3
2 x( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − (7 x + 3) a) P = √ + √ + = x + 3 x − 3 9 − x x − 9 √ √ √ √ √ √ √
2x − 6 x + x + 4 x + 3 − 7 x − 3 3x − 9 x 3 x( x − 3) 3 x = = = √ √ = √ . x − 9 x − 9 ( x + 3)( x − 3) x + 3 √ 3 x √ √ √ 3 9 b) P < 1 ⇔ √ < 1 ⇔ 3 x < x + 3 ⇔ x < ⇔ x < . x + 3 2 4 9 Vậy 0 ≤ x < . 4
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 29/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Bài 4. 1 2 2 √ √
Với k > 1 thì √ = √ < √ √ = 2 k − k − 1. k 2 k k + k − 1
Cho số nguyên k chạy từ 2 đến 100 1 √ √ √ < 2 2 − 1 2 1 √ √ √ < 2 3 − 2 3 . . . 1 √ √ √ < 2 100 − 99. 100
Cộng vế theo vế ta được: 1 1 1 1 √ √ √ + √ + √ + ... + √ < 2 100 − 1 = 18 (đpcm). 2 3 4 100 4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Bài 1. √ r r 1 √ √ 1 √ √ √ √ a) 2 8 − 2 − 18 = 2 4.2 − 4 4. − 9.2 = 4 2 − 2 − 3 2 = 0. 2 2 √ √ √ √ p 3 − 1 p p b) 9 − 3 8 − √ + 5 − 2 6 − 2 − 3 2 √ √ √ √ √ √ √ p p 6 − 2 p 8 − 4 3 = 6 + 3 − 2 6 3 − + 3 + 2 − 2 3 2 − 2 2 √ √ q √ √ q √ √ 6 − 2 q √ √ 6 − 22 = 6 − 32 − + 3 − 22 − √ √ 2 √ √ 2 √ √ 6 − 2 √ √ 6 − 2 = 6 − 3 − + 3 − 2 − 2 2 = 0. √ √ 2 − 3 2 + 3 c) √ √ + √ √ p p 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 √ √ √ √ 2 2 − 6 2 2 + 6 = √ + √ p p 2 + 4 + 2 3 2 − 4 − 2 3 √ √ √ √ 2 2 − 6 2 2 + 6 = √ + √ 3 + 3 3 − 3 √ √ √ √ √ √ 2 2 − 6 3 − 3 + 2 2 + 6 3 + 3 = √ √ 3 + 3 3 − 3 √ √ √ √ √ √ √ √
6 2 − 2 6 − 3 6 + 3 2 + 6 2 + 2 6 + 3 6 + 3 2 = √ √ 3 + 3 3 − 3 √ = 3 2. Bài 2. √ a) A =
18 + 2x xác định khi và chỉ khi 18 + 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −18 ⇔ x ≥ −9. √ B =
18 − 2x2 xác định khi và chỉ khi 18 − 2x2 ≥ 0 ⇔ x2 − 9 ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ≤ 0
⇔ x − 3 ≤ 0 và x + 3 ≥ 0 (do x + 3 > x − 3) ⇔ −3 ≤ x ≤ 3. 5 √ √ 1 √ 3 √ 1 √ √ b) 3x − 3x − 6 = 3x ⇔ 3x − 6 = 3x ⇔ 3x = 6 ⇔ 3x = 36 ⇔ x = 12. 2 2 2 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 30/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Bài 3. a) Với x > 0;x 6= 4 √ √ √ √ √ √ x + 2 x x + 12 x − 2 x x ( x + 2) x ( x − 2) x + 12 P = √ + − √ = √ √ + √ √ + x − 2 x x − 4 x + 2 x x ( x − 2) x ( x + 2) x − 4 √ 2 √ 2 √ √ √ √ √
( x + 2) − ( x − 2) + x + 12 x + 2 x + 6 x + 12 x ( x + 2) + 6 ( x + 2) = √ √ = √ √ = √ √ ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) √ √ √ ( x + 2) ( x + 6) x + 6 = √ √ = √ . ( x − 2) ( x + 2) x − 2 √ √ √ 2 √ 2 √ 1 x + 6 x − 2 ( x + 6) − ( x − 2) 16 ( x + 2) b) P > ⇔ √ > √ ⇔ √ √ > 0 ⇔ √ √ > 0 P x − 2 x + 6 ( x − 2) ( x + 6) ( x − 2) ( x + 6) √ √ √ √ ⇔
x − 2 > 0 (do 16 ( x + 2) > 0 và x + 6 > 0) ⇔ x > 2 ⇔ x > 4. Vậy x > 4. Bài 4.
a) Nhân lượng liên hiệp từng số hạng trong biểu thức M ta được: √ √ √ √ √ √ √ √ M = −1 + 2 − 2 + 3 − 3 + 4 − . . . − 2017 + 2018 = −1 + 2018. 1 2 2 √ √
b) Với k > 1 thì √ = √ > √ √ = 2 k + 1 − k. k 2 k k + 1 + k
Cho số nguyên k chạy từ 1 đến 528 1 √ √ √ > 2 2 − 1 1 1 √ √ √ > 2 3 − 2 2 . . . 1 √ √ √ > 2 529 − 528. 528
Cộng vế theo vế ta được: 1 1 1 1 √ √
N = 1 + √ + √ + √ + ... + √ > 2 − 1 + 529 = 2(−1 + 23) = 44. 2 3 4 528 √ √ Mặc khác M = −1 + 2018 < −1 + 2025 = −1 + 45 = 44 Do đó M < N .
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 31/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 32/75 Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ 1 1
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) = x + 1 và y = g(x) = x 2 2
a) Tính f (−3), f (−0, 5), f (0), f (1, 5).
b) Tính g(−3), g(−0, 5), g(0), g(1, 5).
c) Hãy nhận xét về giá trị của các hàm số đã cho ở trên khi cho biến x lấy cùng một giá trị? −1
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) = x + 1. 3 −3 1 3 a) Tính f (−5), f , f , f (1), f 2 3 2
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số −2 a) y = f (x) = x + 2 b) y = f (x) = −4x + 5 c) y = f (x) = x − 1 3 −3 d) y = f (x) = 2x − 3 e) y = f (x) = 0, 5x − 0, 5 f) y = f (x) = x + 2 4 √ √ g) y = f (x) = 3x h) y = f (x) = 2x
Bài 4: Tìm giá trị của m đề các hàm số sau là hàm số bậc nhất 2 2 a) y = f (x) = (m − 3) x + 1 b) y = f (x) = x − m2 3 √ c) y = f (x) = 5 − 2mx + m + 3
d) y = f (x) = |m − 1| x − 2 m2 e) y = f (x) = x − 2
f) y = f (x) = m2 + m − 1 x + m + 2x 2m − 1 √ p g) y = f (x) = m + 2 m − 1 x + m2 + 3m 33
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Giải thích a) y = f (x) = 3x − 2 b) y = f (x) = −x − 7 1 3 √ c) y = f (x) = − x + d) y = f (x) = 3 − 7 x + 2 2 5 √ √ √ 2 + 5 e) y = f (x) = 5 − 2 x + 3 f) y = f (x) = x − 8 −3 17 √ √ √ √ p g) y = f (x) = √ x − 3 h) y = f (x) = 6 − 2 2 − 2 3 + 2 6 x− p2 − 3 15 §2. HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài tập cơ bản 3 1
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) = x − 2. Tính f (0), f , f a2, f (2a + 2). 2 2 1 1
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) = x + 3. Tính f (5), f , f (2). 2 2
Bài 3: Một hình chữ nhật có các kích thước là 30 cm và 40 cm. Người ta giảm bớt mỗi
kích thước của hình đó đi x cm. Gọi S và P lần lượt là diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới theo x.
a) Hỏi rằng các đại lượng S và P có phải là hàm số bậc nhất của x hay không? Vì sao?
b) Tính giá trị tương ứng của P khi x nhận các giá trị (tính theo đơn vị cm) sau: 0; 1, 5; 2, 5; 3, 5. 3
Bài 4: Chứng minh hàm số f (x) = x − 2 đồng biến trên R 4 1
Bài 5: Cho hai hàm số f (x) = 5x − 3 và g(x) = − x + 1. 2
a) Tìm a sao cho f (a) = g(a).
b) Tìm b sao cho f (b − 2) = g(2b + 4)
Bài 6: Cho hàm số y = (m − 2)x + 3 và y = (m + 1) + 5. Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Là hàm số bậc nhất
b) Là hàm số nghịch biến
c) Là hàm số đồng biến
Bài 7: Cho hàm số y = ax + 5. Tìm hệ số a biết khi x = 1 thì y = 2.
Bài 8 Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất? √ m + 1 a) y = 5 − m(x − 1) b) y = x + 3, 5 m − 1
Bài 9: Tìm m để hàm số y = (m2 − 1)x + 5 đồng biến trên R.
Bài 10: Tìm m để hàm số y = (m2 − 2m − 3)x + 2 nghịch biến trên R. Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 34/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 √ 2
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) nghịch biến trong khoảng (0; 1). Biết f = 0. Chứng 2 √ √ √ √ 2 minh rằng f 3 − 2 > 0 và f 2 − < 0. 3 √ √ √ 2 HD: Lưu ý 3 − 2 <
(trục căn thức sẽ thấy) cùng với hàm số nghịch biến trong √ 2 2 khoảng (0; 1) và f = 0. 2
Bài 2: Tìm a, b để hàm số y = (a2 − 4)x2 + (b − 3a)(b + 2a)x − 2 là hàm số bậc nhất.
HD: Giải phương trình a2 − 4 = 0 ta được hai giá trị của a, lần lượt thay vào (b − 3a)(b + 2a)
được một biểu thức theo b. Dùng định nghĩa hàm số bậc nhất để tìm b. √ √ 2 + 3 2 − 3 Bài 3: Cho hàm số y = √ + √
x − 5. Hàm số là đồng biến hay nghịch biến. 2 − 3 2 + 3 √ 2 + 3
HD: Dùng trục căn thức để rút gọn √ rồi xét dấu. 2 − 3
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.
HD: Sử dụng định nghĩa để chứng minh.
§3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) y = 2x + 6 và y = 2x + 5,
b) y = 3x − 3 và y = 4x − 3, 1 c) y = 7x − 1 và y = x − 1, d) y = 8x + 2 và y = 16x + 4, 7 3 e) 2y = 3x + 4 và y = + 2,
f) y = 4x + 5 và 3y − 12x + 15 = 0, 2 9 g) 7y − 9x + 14 = 0 và y = x − 3,
h) y = 5x − 32 và 6x + y = 48. 7
Bài 2: Tìm các giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau cắt nhau:
a) y = mx + 3 và y = (3m + 2)x + 3m,
b) y = (m + 1)x + 4 và y = 2x + 4m,
c) y = 5x + 6 và y = (m − 1)x + m,
d) 4x + 3my = 0 và y = 3x + 6,
e) 6x + my + 3 = 0 và 2y − 3mx + 4 = 0,
f) y = 3x + 4 và y = (m2 + 4m + 3)x + 9, m2 7
g) (m + 1)y + x = 0 và y = (m + 1)x + 4, h) y = ( + 4)x + 5 và y = (m + )x + 3. 2 2 m2 1 HD: h) Phân tích − m + thành hằng đẳng thức. 2 2
Bài 3: Tìm giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) y = mx + (2m + 1) và y = 7x + 9,
b) y = (m − 1)x + 8m và y = 2mx + 3,
c) y = 2m2x + 4m và y = 2x − 4,
d) y = 3x + 8 và y = (9m + 6)x + 4, e) my = 4x + 2 và y = 8x + 9,
f) 4x − 2y + 3 = 0 và mx + (m − 1)y + 4 = 0,
g) y = (m2 + 1)x + 3 và y = 2mx + m, h) mx + (m + 1)y − 1 = 0 và y = −mx + m + 1.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 35/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HD:
g) Đưa m2 + 1 = 2m về hằng đẳng thức.
h) Xét trường hợp m = 0, rồi đưa về dạng y = ax + b.
Bài 4: Tìm giá trị m (nếu có) để các cặp đường thẳng sau trùng nhau:
a) y = 3x + 2 và y = mx + 3m − 7,
b) y = mx + 3m + 2 và y = (−m2 − 4m + 6)x − 1, m c) y = 2x + và y = (m − 3)x + 4m + 5, d) 4x + my = 0 và y = 3x + m, 4 e) m2x + (m + 1)y + 6 = 0 và
f) 7m3x+6y+5 = 0 và 4y+(5m+1)x−m = 0, 10 y = (m − )x − 2, 3 √ √ p g) 4x + 6m5y + m2 + 1 = 0 và h) y = 2x + 2 − 3 và 3y + 2x = 8m4 + 3m2, 3 y = (m2 + 1)x + m − . 2 HD:
e, f, g) Xét trường hợp hệ số trước y bằng 0, rồi sau đó đưa về trường hợp y = ax + b. Khi
đó, ta giải điều kiện b = b0 và thế vào điều kiện a = a0. √ √ 3 1 2 h) Phân tích 2 − 3 = − √
và xét điều kiện b = b0 trước. 2 2
Bài 5: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 4),
b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 5,
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3,
d) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x + 4 tại điểm có hoành độ là −3,
e) Đồ thị hàm số vuông góc với trục tung. √ p
f) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(−2; 11 + 6 2),
g) Đồ thị hàm số tạo với trục hoành và trục tung hai góc đều bằng 45◦, HD: √ √ f) Phân tích 11 + 6 2 = (3 + 2)2;
g) Xét hai trường hợp: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là tia phân giác của các góc phần
tư)-loại do đường thẳng không qua gốc tọa độ O và trường hợp không đi qua gốc tọa độ
(cắt trục hoành và tung tại hai điểm A, B, khi đó tam giác OAB vuông cân).
Bài 6: Cho hàm số y = 5x + b. Hãy xác định hệ số b trong các trường hợp sau: 3 4
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( ; ), 2 7
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 7, 17
c) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 9x +
tại điểm có tung độ là 9, 5 √ √ p
d) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 7; 8 + 2 7),
e) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ −2,
f) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 5x + 4
g) Đồ thị hàm số tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 36/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HD: √ √
d) Phân tích 8 + 2 7 = ( 7 + 1)2;
f) Để y = 5x + b song song với y = 5x + 4 thì b 6= 4;
g) Xét hai trường hợp: đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là tia phân giác của góc phần tư
thứ I) và trường hợp không đi qua gốc tọa độ (cắt trục hoành và tung tại hai điểm A, B,
khi đó tam giác OAB vuông cân).
Bài 7: Cho hàm số y = ax + b. Hãy xác định hệ số a, b trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; 9),
b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 5 và cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 2,
c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2 và qua điểm A(−2; 3),
d) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x + 2 tại A(−1; −1) và đi qua gốc tọa độ, √
e) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3) và song song với trục hoành, √ √ √ p 2
f) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4 + 7) và B( 14; ), 2
g) Đồ thị hàm số tạo với trục hoành và tạo trục tung 2 góc đều bằng 45◦, đồng thời đi qua điểm A(1; 1). HD: √ √ 14 2 f) Phân tích 4 + 7 = + 1 ; 2 g) Xét hai trường hợp:
+Đường thẳng đi qua gốc tọa độ (là đường phân giác của góc phần tư thứ I và III);
+Đường thẳng không đi qua gốc tọa độ (cắt trục hoành và tung tại hai điểm B, C, khi đó
tam giác OBC vuông cân), đồng thời điểm A(1; 1) là trung điểm cạnh huyền.
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG 1 ĐỀ 1
Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y = 2x + 1 có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc d biết A có hoành độ bằng 2.
b) Tìm tọa độ điểm B thuộc d biết B có tung độ bằng −7.
c) Điểm C(4; 9) có thuộc d không?
Bài 2: (3 điểm) Cho hàm số y = (3m + 2) x + 1
a) Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Tìm điều kiện của m đề hàm số trên đồng biến, nghịch biến.
c) Tìm điều kiện của m đề hàm số trên đề đồ thị của hàm số trên song song với đường thẳng y = x − 3.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 37/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3: (3 điểm) Cho hàm số bậc nhất y = f (x) = kx + 3 − 2x + k
a) Xác định k để hàm số trên đồng biến.
b) Xác định k để đồ thị hàm số trên đi qua điểm M (1; 3).
c) Xác định k để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1. −2m 2
Bài 4: (1 điểm) Cho đường thẳng d y = f (x) = x + với m 6= 1. Tìm m sao m − 1 m − 1
cho khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d là lớn nhất. 2 ĐỀ 2
Bài 1 (2 điểm): Tìm m để: √
a) Hàm số y = (m + 2 m + 1)x − 10 là hàm số đồng biến. √
b) Hàm số y = ( m − 3) + 2 là hàm số nghịch biến. 1
Bài 2 (5 điểm): Cho hai hàm số: y = x + 2(d1) và y = − x + 1(d2). 2
a) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Xác định tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng phép toán.
c) Viết phương trình đường thẳng (d3) qua O(0; 0) và song song với (d1). Tìm toạ độ
giao điểm M của (d3) và (d1).
Bài 3 (2 điểm): Cho hàm số y = (3m − 2)x − 3 (d) và y = −4x + 3 − 2m (d0).
a) Định m để (d) song song với (d0).
b) Định m để (d) và (d0) cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.
Bài 4 (1 điểm): Chứng minh rằng đường thẳng (m − 2)x + (m − 1)y = 1 (m là tham số)
luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 Bài 1:
a) Điểm A có hoành độ bằng 2 nên tọa độ của A là (2, b). Vì A thuộc d nên b = 2.2 + 1 ⇔ b = 5. Vậy A (2; 5).
b) Điểm A có tung độ bằng −7 nên tọa độ của B (a; −7). Vì B thuộc d nên −7 = 2.a+1 ⇔
b = −4. Vậy A (−4; −7). Bài 2: −3
a) y = (3m + 2) x + 1 là hàm bậc nhất khi và chỉ khi 3m + 2 6= 0 ⇔ m 6= . 2 −3
b) y = (3m + 2) x + 1 đồng biến khi và chỉ khi 3m + 2 > 0 ⇔ m > . 2 −3
c) y = (3m + 2) x + 1 nghịch biến khi và chỉ khi 3m + 2 < 0 ⇔ m < . 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 38/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Bài 3:
a) y = f (x) = kx + 3 − 2x + k ⇔ y = f (x) = (k − 2) x + k + 3. Hàm số đồng biến khi và chỉ
khi k − 2 > 0 ⇔ k > 2.
b) Đồ thị hàm số y = f (x) = kx + 3 − 2x + k đi qua M (1; 3) khi và chỉ khi 3 = k.1 + 3 − 2.1 + k ⇔ k = 1. k + 3
c) Đồ thị hàm số y = f (x) = (k − 2)x + k + 3 cắt Ox tại A , cắt Oy tại B (0; k + 3). 2 − k 1 1 k + 3 √ Diện tích ∆OAB = .OA.OB = . |k + 3| = 1 ⇔ k = −4 + 11 hoặc k = 2 2 2 − k √ −4 − 11. 2 2 Bài 4: Khoảng cách từ m − 1
O đến đường thẳng d là = √ = r 2 −2m 5m2 − 2m + 1 + 1 m − 1 2 2 =
. Sử dụng hằng đẳng thức để làm các bước r r 2 1 4 2 1 4 5 m2 − m + + 5 m − + 5 25 5 5 5 1
tiếp theo và ta được kết quả m = . 5 4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Bài 1
a) Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi √ √ √ m + 2 m + 1 > 0 ⇔ m + 12 > 0 ⇔ m + 1 6= 0 (luôn đúng)
Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến với mọi m.
b) Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi √ √ m − 3 < 0 ⇔ m < 3 ⇔ 0 ≤ m < 3 Bài 2: a) y (d1) 2 (d2) 1 −2 O x 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 39/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là: 1 3 2 x + 2 = − x + 1 ⇔ x = −1 ⇔ x = − 2 2 3 4 3 4 Suy ra y =
. Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là − , . 3 2 3
c) Vì đường thẳng (d3) song song với (d1) nên phương trình đường thẳng (d3) có dạng y = x + b (b 6= 2).
Ta có O(0; 0) thuộc (d3) nên 0 = 0 + b, suy ra b = 0.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = a.
Vì (d3) song song với (d1) nên không tồn tại giao điểm M của hai đường thẳng. Bài 3: ( 2 3m − 2 = −4 a) Hai đường thẳng m = −
(d) song sóng với (d0) khi và chỉ khi ⇔ ⇔ −3 6= 3 − 2m 3 m 6= 3 2 m = − 3 3 2
b) Giao điểm của (d) và trục hoành là A , 0 . với m 6= 3m − 2 3 3 − 2m
Giao điểm của (d0) và trục hoành là B , 0 . 4 3 3 − 2m
Vì (d) và (d0) cắt nhau tại trục hoành nên A ≡ B, suy ra = . 3m − 2 4 Bài 4:
Gọi A(x0, y0) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua. Ta có: (m − 2)x0 + (m − 1)y0 = 1 ⇔
m(x0 − y0) − 2x0 − y0 = 1(1).
Vì đường thẳng đi qua A với mọi m nên m(x0 − y0) = 0 hay x0 = y0, thay vào (1) ta được x0 = −1, y0 = 1.
Thử lại ta thấy đường thẳng luôn đi qua (−1, 1) với mọi m.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 40/75 Phần II HÌNH HỌC 41 Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6, AC = 8. Tính HB, HC.
Bài 2: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 12, BC = 20. Tính HB, HC.
Bài 3: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 1, HC = 4. Tính AB, AC.
Bài 4: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 5, AC = 7. Tính AH, BC.
Bài 5: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 1, AH = 2. Tính AC, HC.
Bài 6: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC, HB = HC, AH = 2. Tính AB, HB.
Bài 7: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng AH = 4cm, BC = 10cm. Tính
độ dài các cạnh AB, AC, HB, HC.
Bài 8: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH. √
Bài 9: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng AB = 2 5cm và diện tích tam
giác ABC bằng 15 cm2. Tính độ dài các cạnh AC, BC, AH, HB, HC
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông
góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F . Tính độ dài các đoạn thẳng DE, DF, AE, CE, AF, BF . Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH và trung tuyến AM . Kẻ HD ⊥ AB tại D,
HE ⊥ AC tại E. Biết HB = 4, 5cm, HC = 8cm. a) Chứng minh [ BAH = \ M AC.
b) Chứng minh AM ⊥ DE tại K. c) Tính độ dài AK. Hướng dẫn: 43
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) 4M AC cân tại M
b) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên [ ADE = [ DAH 4M AB cân tại M nên \ BAM = \ ABM ⇒ [ ADE + \ BAM = [ DAH + \ ABM = 90◦ ⇒ AM ⊥ DE
c) Có HB, HC ta tính được AH, HD, HE. Từ đó tính được AD, AE do tứ giácADHE là hình chữ nhật.
Từ đó ta tính được AK bằng cách xét 4ADE vuông tại A đường cao AK.
Bài 2: Cho hình thang ABCD có b A = b D = 90◦, b
B = 60◦, CD = 30cm, CA ⊥ CB. Tính diện tích hình thang. Hướng dẫn:
Trong tam giác vuông ACD có AC = 2AD do [ CAD = [ ABC = 60◦ √
Dùng định lý Pytago tính được AD = 10 3cm
Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) ta được hình chữ nhật AHCD. √ Đáp số: SABCD = 350 3cm2
Bài 3*: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK; H là trực tâm của tam giác. Gọi M
là một điểm trên CK sao cho \
AM B = 90◦. S, S1, S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác √
AM B, ABC và ABH. Chứng minh rằng S = S1S2. Hướng dẫn: r p 1 1 1 S = S1S2 ⇔ AB.M K = AB.CK. AB.HK 2 2 2 ⇔ M K2 = CK.HK
⇔ AK.KB = CK.HK (Do M K2 = AK.KB) ⇔ 4AHK v 4CBK
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M nằm giữa B và C. Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Chứng minh rằng M B2 + M C2 = 2M A2. Hướng dẫn: M B2 = BD2 + M D2 = 2M D2 M C2 = CE2 + M E2 = 2M E2
⇒ M B2 + M C2 = 2 M D2 + M E2 = 2DE2 = 2AM 2
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, AC = 5. Đường cao, đường phân giác, đường
trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn tam giác không có điểm
trong chung. Tính diện tích của mỗi tam giác đó. Hướng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được đây là tam giác vuông tại B.
Để tính diện tích các tam giác đề bài yêu cầu, ta cần tính được các đoạn AH, HD, DM, M C. 9 5 Dễ dàng tính được AH = , M C = . 5 2DA AB 3 DA 3 15
Do BD là phân giác của góc B nên = = ⇒ = ⇒ DA = . DC BC 4 CA 7 7 5
Từ đó AH < AD < AM , suy ra DM = 14 54 72 6 Đáp số: S4BAH = , S4BHD = , S4BDM = , S4BMC = 3 (đvdt). 25 175 14
Bài 6*: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM . Tính độ √
dài các cạnh AB, AC, biết BC = 41 và AH : AM = 40 : 41. Hướng dẫn:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 44/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 AH AM AH : AM = 40 : 41 ⇒ = = k ⇒ AH = 40k, AM = 41k 40 41
M H2 = AM 2 − AH2 ⇒ M H = 9k ⇒ CH = CM + M H = 50k AB HA 4 4AHB v 4CHA (g- g) nên = = AC HC 5 √ 2 AB AC AB2 AC2 AB2 + AC2 BC2 41 Suy ra = ⇒ = = = = = 1 4 5 16 25 41 41 41 ⇒ AB = 4, AC = 5
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Gọi O là
giao điểm của AH và EF . Chứng minh rằng HB.HC = 4OE.OF Hướng dẫn:
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF ; OE = OF suy ra EF = 2OE. Ta có OE.OF = OE2; EF 2 = AH2 = 4OE2 = 4OE.OF
Tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC nên AH2 = BH.HC, suy ra BH.HC = 4OE.OF
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M và N
lần lượt là điểm thuộc HC, HB sao cho \ AM B = [ AN C = 90◦.
Tam giác AM N là tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn:
Tam giác AM B vuông tại M , ta có AM 2 = AE.AB (1)
Tam giác AN C vuông tại N , ta có AN 2 = AD.AC (2) 4ABD v 4ACE (g-g), ta có: AD.AC = AE.AB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = AN . Vậy 4AM N là tam giác cân tại A.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
a) M là một điểm trên cạnh AD sao cho \
ABM = 30◦. Tính AM, BM theo a.
b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại F , đường thẳng này cắt CD tại N .
Tính độ dài các đoạn thẳng AF, M F, BF theo a. Hướng dẫn: a) 4AM B vuông tại A, có \ ABM = 30◦ nên BM = 2AM . √ a 3
(2AM )2 − AM 2 = AB2 ⇒ AM = 3 b) \ M AF = [
ABF = 30◦ (cùng phụ với [ F AB). Từ đó ta có √ AB a AM a 3 AF = = ; M F = = . 2 2 2 6 √ AF 2 a2.6 a 3 AF 2 = F M.F B ⇒ F B = = √ = M F 4.a. 3 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 45/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm giữa điểm A và B. Tia DI cắt
tia BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc gới DE cắt BC tại F . Chứng minh rằng 1 1 tổng +
không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. DI2 DE2 Hướng dẫn:
4AID v 4CF D (c-g-c) suy ra DI = DF .
4EDF vuông tại D, có DC ⊥ EF suy ra 1 1 1 + = DE2 DF 2 DC2 1 1 1 1 1 Mà DF = DI nên + = không đổi, do đó + không phụ thuộc vào DI2 DE2 DC2 DI2 DE2 vị trí của điểm I.
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0, 3m, BC = 0, 4m. Tính các tỉ số
lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A. 1
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, tan B =
. Hãy tính các cạnh AC,BC. 3
Bài 3. Với góc nhọn α tùy ý, hãy chứng minh: sin α cos α a) tan α = , cot α = , tan α. cot α = 1. cos α sin α 1 1
b) sin2 α + cos2 α = 1, 1 + tan2 α = , 1 + cot2 α = . cos2 α sin2 α
c) cot2 α(2 sin2 α + cos2 α − 1) = cos2 α.
Bài 4. Không sử dụng máy tính:
A) Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
a) sin 60◦, cos 34◦, sin 54◦, cos 17◦, sin 87◦.
b) tan 24◦, cot 69◦, tan 4◦, tan 45◦, cot 87◦.
B) Hãy tính giá trị biểu thức: sin220◦ + sin2 70◦
a) cos 10◦ − sin 80◦ + 3 tan 31◦. cot 59◦. b) tan 50◦ − cot 40◦ + + tan 33◦. cot 33◦ cos 66◦ . sin 24◦ Bài 5. Cho góc nhọn α 2 a) Cho sin α = . Tính cos α;tan α;cot α.
b) Cho tan α = 2. Tính sin α;cos α;cot α. 3 sin α − cos α c) Cho tan α = 5. Tính C = .
d) Cho cot α = 0, 2. Tính D = sin2 α − sin α + 3 cos α 2 sin α cos α + 3 cos2 α.
Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác trong BK (K ∈ AC).
a) Giả sử AB = 3cm;AH = 2, 4cm. Tính BH;BC;tan [ ABK. AB 2 b) Biết = . Tính sin [ ABC và cos [ ABC. AC 3
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 46/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH CH HB a) Chứng minh cos2 C = ; tan2 C = ; cos 2C = 1 − 2 sin2 C(*). CB HC
HD:(*) Gọi M là trung điểm của BC khi đó \ AM B = 2C M H 2M H.BC (HC − HB)(HC + HB) HC2 − HB2 ⇒ cos 2C = = = = . M A BC2 BC2 BC2
b) Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên trên các cạnh AB,AC. Chứng minh AH = EF. cos [ BAC. 3
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh cos A + cos B + cos C ≤ . 2
HD: Kẻ AH, BI, CK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC. r AI AK 1 AI AK Khi đó cos A = . ≤ +
(bđt Cauchy). Làm tương tự với cos B, cos C. AB AC 2 AC AB
§3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG
TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI TAM GIÁC Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A có BC = 5cm; AC = 4cm. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm; b
C = 40◦. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có b
B = 30◦. Hãy giải tam giác vuông ABC
Bài 4: Trong tam giác ABC có AB = 11cm; [ ABC = 38◦; [
ACB = 30◦, N là chân đường
vuông góc kẻ từ A đến BC. Tính AN và AC. (Kết quả lấy sau dấu phẩy 2 chữu số)
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết [ AOD = 70◦; AC =
5, 3cm;BD = 4, 0cm. Tính diện tích ABCD. (Biết sin 70◦ = 0, 9)
Bài 6: Hình bình hành ABCD có b
A = 120◦; AB = a; BC = b các đường phân giác của bốn
góc cắt nhau tạo thành tứ giác M N P Q. Tính diện tích tứ giác M N P Q.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 2cm. HC = 64cm.
Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ).
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 64mm, HC = 81mm.
Tính góc B, góc C (làm tròn đến độ) và tính AB; AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 9: Một chiếc đò đang ở điểm A muốn băng qua sông theo đường AH vuông góc với bờ
bên kia nhưng bị nước cuốn đi nên tấp vào bờ bên kia ở điểm B cách H 50m (BH = 50m).
Tìm chiều rộng con sông (AH) và quãng đường đò đã đi (AB).
Bài 10: Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao 900m. Một người quan sát nhìn chiếc máy
bay đó dưới góc α ≈ 40◦. Tính khoảng cách từ người quan sát đến máy bay (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai).
Bài 11: Từ vị trí A ở đỉnh một ngọn hải đăng cao 100m so với mặt nước biển, người quan
sát nhìn thấy một con tàu (vị trí B) theo một góc 82◦ so với phương thẳng đứng (hình
trên). Tính khoảng cách từ A đến con tàu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 12: Cho tam giác ABC có BC = 12cm, b B = 60◦, b C = 40◦.
a) Tính chiều cao CH và AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 47/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm. a) Tính BC; b B; b
C (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữ số)
b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD. (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữ số)
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?
Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF . (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 chữu số)
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Kẻ đường phân giác trong AD
của góc vuông cắt cạnh huyền tại D, rồi kẻ đường song song BE với AD (E thuộc đường thẳng AC)
a) Chứng minh rằng AE = AB. Tính BE.
b) Tính độ dài đường phân giác AD.
c) Tính diện tích hình thang ADBE và diện tích tam giác ADC.
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A và có độ dài hai cạnh góc vuông AB = 24cm,AC =
18cm. Từ trung điểm M trên cạnh huyền BC kẻ đường vuông góc với cạnh huyền cắt AC tại D và AB tại E. a) Tính độ dài M C.
b) Chứng minh rằng ∆DM C đồng dạng với tam giác ∆ABC và tính độ dài các cạnh của tam giác DM C. c) Tính độ dài BE.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai
đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. a) Tính độ dai đoạn DE.
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N .
Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích của tứ giác DEN M .
Bài 17: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC chứng minh rằng: a) ∆AN L v ∆ABC.
b) AN.BL.CM = AB.BC.CA. cos A. cos B. cos C.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, b C = 30◦, BC = 10cm. a) Tính AB, AC.
b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong, ngoài của góc
B. Chứng minh rằng: M N k BC và M N = AB.
c) Chứng minh rằng: ∆M AB v ∆ABC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 48/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.
a) Chứng minh: sin A + cos A > 1. BC
b) Vẽ đường cao AH. Chứng minh: AH = . cot B + cot C c) Biết BC = 12cm, b B = 60◦, b
C = 45◦. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, đường cao AH. Chừng minh: 1 a) 1 + tan2 B = . cos2 B
b) AH = a. sin B cos B, BH = a.cos2B và CH = a. sin2 B.
c) Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh AB2 = BC.BH, AB.AC = BC.AH và AH2 = HB.HC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BH và CK.
a) Dùng tỉ số lượng giác để chứng minh ∆AHK v ∆ABC. b) Biết b
A = 45◦. Chứng minh rằng SAHK = SBCHK. Bài 4: Cho tam giác ABC a) Có b
A = 120◦; AB = 3cm; AC = 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD. 1 1 1
b) Có đường phân giác AD thỏa mãn = + . Tính [ BAC. AD AB AC
Bài 5: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai
phần có diện tích bằng 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài cạnh huyền?
Bài 6: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD √ √
tại I. Biết IB = 10 5; ID = 5 5. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 7: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, điểm I thuộc cạnh AC sao cho AI = 1 1
AC, điểm K thuộc tia đối của tia HA sao cho HK = HA. Tính [ BKI. 3 3 Bài 8: ∆ABC có b A = b B + 2 b
C và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính số đo của các góc trong ∆ABC.
Bài 9: Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi bằng 72cm, hiệu giữa đường trung
tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
Bài 10: Cho ∆ABC các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng
quy tại điểm O. Chứng minh rằng AC. cos A = BC. cos B.
Bài 11: Cho ∆ABC, đường phân giác AD. Biết AB = c; AC = b; b
A = 2α(α < 45◦). Chứng 2bc. cos A minh rằng: AD = . b + c
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 49/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) SADE = SABC. cos2 A. b) SBCDE = SABC. sin2 A. √
c) Nếu cho AE = 3 5cm và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài
HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1;2;4;8.
d) Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính cos [ EDF
Bài 13: Cho tam giád ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AB, AC lấy K, L sao cho 1
AK = AH = AL. Chứng minh rằng: SAKL 6 SABC. 2
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh AB. sin C + AC. cos C = BC.
b) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Chứng minh: AF.AC AE = . EF.BC AC
c) Chứng minh AH3 = BC.BE.CF = BC.AE.AF .
Bài 15: Cho tam giác ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C; AB < AC). 1 1 a) Chứng minh AH = BC : + . tan B tan C 1
b) Chứng minh SABC = CA.CB. sin C. 2
c) Chứng minh sin B + cos B > 1.
d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H lên AB và AC. Tia F E cắt BC tại D. Chứng minh: DE.DF = DB.DC.
e) Nếu AH2 = HB.HC. Khi đó chứng minh ∆ABC vuông và DB.DC = DH2.
Bài 16: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy điểm E và F sao cho
AE = BF ; tia cắt DE tại H và cắt đường thẳng DC tại G. a) Chứng minh: DE ⊥ AF . 1 1 1 1 b) Chứng minh: − = − . AE2 DG2 HA2 HD2 √
c) Nếu cho AE = 3 5cm và HA = 6cm. Khi đó hãy chứng minh rằng các độ dài
HE, HA, HD, HG lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 4; 8.
d) Nếu cho E là trung điểm của AB. Khi đó, tính cos [ EDF .
Bài 17: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại
H. Gọi M, K, N lần lượt là trung điểm của AH, ED, BC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 50/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) Chứng minh: M, K, N thẳng hàng. b) Tính \ M DN .
c) AH cắt BC tại F . Ký hiệu S là diện tích. Chứng minh: • SAED = SABC. cos2 A • SBEDC = SABC. sin2 A.
• SEDF = (1 − cos2 A − cos2 B − cos2C).SABC.
d) Chứng minh cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 và 2 < sin2 A + sin2 B + sin2 C < 3. HD DE e) Cho biết [
BAC = 45◦. Khi đó hãy tính tỉ số và . HC BC
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Vẽ DE ⊥ AB tại E, DF ⊥ AC tại F . AC2.AB a) Chứng minh rằng AE = . AC2 + AB2 √ √ √
b) Chứng minh rằng 3 BC2 = 3 BE2 + 3 CF 2.
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và BC = a. Cho biết tan [ BAC + cot [ BAC = 2. a) Tính EF theo a. b) Chứng minh (cot [ ABC + 1)(cot [ ACB + 1) = 2.
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm D trên cạnh AC, vẽ DE ⊥ BC tại E. AB.AD + EB.ED Chứng minh sinB = . AB.EB + AD.ED
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB k CD và b C + b
D = 90◦. Biết AD = 4; BC = 7.
a) Tính số đo của góc C và góc D.
b) Cho biết thêm CD = 13. Tính diện tích hình thang ABCD. Đáp án: a) b) b C ≈ 29◦440; b D ≈ 60◦160. SABCD ≈ 31, 3 (đvdt).
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Các đường phân giác trong và
ngoài của góc B cắt đường thẳng AC tại M và N . Tính độ dài M N .
Đáp án: M N = AN + AM = 6 + 1, 5 = 7, 5.
Bài 3: Cho hình thang ABCD, b A = b
D = 90◦, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 51/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) Chứng minh rằng AD là trung bình nhân của hai đáy.
b) Cho biết AB = 18, CD = 32. Tính OA, OB, OC, OD.
c) Chứng minh rằng các độ dài AC, BD, AB + CD là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Đáp án:
a) Xét tam giác đồng dạng.
b) OA = 14, 4; OB = 10, 8; OC = 25, 6; OD = 19, 2. c) (AB + CD)2 = AC2 + BD2.
Bài 4: Giải tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, biết AB = 4, HC = 6. √ Đáp án: BC = 8; AC = 4 3; b B = 60◦; b C = 30◦.
Bài 5: Tam giác ABC có các góc đều nhọn, AB = 15; BC = 14; CA = 13. Tính số đo các góc của tam giác ABC. Đáp án: b B ≈ 53◦70; b C ≈ 67◦230; b A ≈ 59◦300.
Bài 6: Tính số đo của góc nhọn x biết: 1 a) cos2 x − 2 sin2 x = b) 7 sin2 x + 5 cos2 x = 6, 5 4
c) 5 sin (90◦ − x) − 3 cos x = 1, 5. Đáp án: x = 30◦ a) x = 60◦ b) c) x ≈ 41◦240.
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau: sin4 α − cos4 α a) = sin α − cos α
b) sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α = 1. sin α + cos α
Bài 8: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại
O. Cho biết OA = 45 cm; OC = 125 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD.
b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh CD. Đáp án: a) BD = 102 cm
b) Khoảng cách OH ≈ 64, 3 cm.
Bài 9: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB, AD ⊥ CD và AD = CD. Vẽ đường cao BH.
Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK = CH. Gọi E là giao điểm của hai đường
thẳng AD và BC. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) BC ⊥ CK b) = + . CD2 CE2 CB2
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác AD. Cho biết DB = 51, DC = 85. HC a) Tính tỉ số .
b) Tính các độ dài HB, HC. HB Đáp án:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 52/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HC 25 a) = b) HB = 36; HC = 100. HB 9
Bài 11: Tính số đo của góc nhọn x biết: 1
a) 7 sin x + 13 cos (90◦ − x) = 16, 3 b) sin2 x − cos2 x = 2
c) 5 cos2 x + 4 sin2 x = 4, 067. Đáp án: x ≈ 54◦350 a) x = 60◦ b) c) x ≈ 75◦.
Bài 12*: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó. Trên một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Qua O vẽ một tia cắt tia Ax tại M sao cho \
AOM = α < 90◦. Qua O vẽ tia thứ hai cắt tia By tại N sao cho \
M ON = 90◦. Xác định giá
trị của α để tam giác M ON có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn:
Đặt AB = 2a thì OA = OB = a. Khi đó dễ dàng tính được các cạnh sau: a a OM = ; ON = . cos α sin α a2 a2 a2
Diện tích ∆M ON là S∆MON = ≥ ≥ . 2 sin α. cos α sin2 α + cos2 α 1
Vậy min S∆MON = a2, khi và chỉ khi α = 45◦.
Nhận xét: Nếu O không phải là trung điểm của AB, O chỉ nằm giữa A và B, OA = a;
OB = b thì chứng minh tương tự như trên ta được min S = ab ⇔ α = 45◦.
Bài 13*: Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S∆ABC = 1. Dựng ba đường cao AD, BE, CF . Chứng minh rằng:
a) S∆AEF + S∆BDF + S∆CDE = cos2 A + cos2 B + cos2 C;
b) S∆DEF = sin2 A − cos2 B − cos2 C. Hướng dẫn: AE AF S AE 2 a) Ta có: ∆AEF = cos C =
. Từ đó suy ra: ∆AEF v ∆ABC ⇒ = (tỉ AB AC S∆ABC AB
số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng). AE 2 Suy ra: S∆AEF = = cos2 A. AB
Chứng minh tương tự, ta được: S∆BDF = cos2 B và S∆CDE = cos2 C.
b) Áp dụng câu a) và công thức sin2 A + cos2 A = 1.
Bài 14**: Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O sao cho [ AOB < 90◦. Gọi H và
K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm
của các tam giác BOC và AOD.
a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh
rằng các tam giác IEG và HF K đồng dạng.
b) Chứng minh rằng IG vuông góc với HK.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 53/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Hướng dẫn:
a) Dễ dàng chứng minh được EG k AC và EI k BD. Suy ra ( \ EG, EI) = ( \ AC, BD). (1)
Mặt khác AF ⊥ BD và DF ⊥ AC nên F ( \ AF, DF ) = ( \ AC, BD). (2) Từ (1) và (2) suy ra: C d GEI = \ HF K. AC BD EG M Dễ thấy EG = ; EI = nên = B G K 3 3 EI N AC . H BD
Gọi M = AC ∩ DF và N = AF ∩ BD, ta có: O E F K = F M + M K = AM cot [ COD + M C cot [ COD = AC cot [ COD. F K I Tương tự F H = BD cot [ COD. Do đó = F H A D AC . BD
b) Sử dụng câu a), chú ý rằng IE ⊥ HF .
Bài 15*: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với
A qua B. Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA. Chứng minh rằng [ DEC = 90◦. Hướng dẫn:
Gọi K là trung điểm của HE. Khi đó: DK k BC và DK ⊥ AE.
Đặt AH = x. Khi đó HE = 2x và HK = KE = x. √ √
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta tính được HC = 2x; AC = 3x; √ CE = 6x. √6x
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta tính được DB = AB = . Từ đó √ 2 2x √ BH = , và suy ra DK = 2x. 2 √ √
Tam giác DEC có các cạnh DC = 3x; DE = 3x và EC = 6x nên vuông tại E.
Bài 16*: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM . Gọi D là hình
chiếu của C trên BM , H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD. Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của BC và I = AN ∩ BD. Khi đó: AN ⊥ BC; AN = BN = N C; AB N M k AB và N M = . 2
Dễ thấy ∆AM B v ∆DMC, suy ra ∆AMD v ∆BMC. HD IN IN 1 Suy ra: \ DAM = \ CBM ⇒ tan \ DAM = tan \ CBM ⇒ = = = (đpcm). AH BN AN 3
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG 1 ĐỀ 1
Bài 1. (2 điểm) Không sử dụng máy tính hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
tan 25◦, cot 67◦, tan 19◦, tan 30◦, cot 50◦. 1
Bài 2. (3 điểm) Cho góc nhọn α, biết cos α = . Tính sin α;tan α;cot α. 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 54/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3. (5 điểm) Cho 4ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AD và đường trung tuyến CE. √ √ a) Tính số đo [
ACB và tính độ dài CB, CE nếu biết AC = 2 3cm và CD = 3cm.
b) Vẽ EH⊥BC tại H và AF ⊥CE tại F , AF cắt BC tại G. Chứng minh CF.CE = CD.CB và CG.CH = CH2 − HD2.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AG tại I. Chứng minh I, H, E thẳng hàng. 2 ĐỀ 2 Bài 1 (1,5 điểm):
Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ
lớn đến nhỏ: tan 25◦, cot 15◦, tan 50◦, cot 67◦300. Bài 2 (2,5 điểm): Giải tam giác ABC biết b B = 90◦, b
C = 40◦, AC = 20 cm (làm tròn hai chữ số ở phần thập phân). Bài 3 (2 điểm):
Không dùng bảng và máy tính, hãy tính:
A = 2 tan 27◦ tan 63◦ − sin2 15◦ − sin2 75◦
Bài 4 (4,5 điểm): Cho ∆ABC có AC = 16 cm, AB = 12 cm, BC = 20 cm. Đường cao AH. a) Chứng minh ∆ABC vuông. b) Tính AH, b B, b C.
c) Từ H kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AC, AB. Tính HE, HF .
d) So sánh: tan B và sin B (không dùng bảng và máy tính bỏ túi). 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Bài 1. (2 điểm) Ta có : cot 67◦ = tan 23◦, cot 50◦ = tan 40◦.
tan 19◦ < tan 23◦ < tan 25◦ < tan 30◦ < tan 40◦ ⇒ tan 19◦ < cot 67◦ < tan 25◦ < tan 30◦ < cot 50◦. √ √ r 2 1 3
Bài 2. (3 điểm) Ta có sinα = 1 − cos2 α = 1 − = . 2 2 sin α √ 1 1 tan α = = 3; cot α = = √ . cos α tan α 3 Bài 3. (5 điểm) A E F C D G H ≡ K B I
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 55/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 CD 1
a) 4ABC vuông tại D nên cos [ ACD = = ⇒ [ ACB = 60◦ AC 2 AC 1 √ AB 4ABC vuông tại A nên = cos [ ACB = ⇒ CB = 2AC = 4 3cm và = √ CB √ 2 CB 3 3 sin [ ACB = ⇒ AB = CB. = 6cm ⇒ AE = 3cm. 2 2 √ √
Ta có CE2 = AE2 + AC2 = 32 + (2 3)2 = 21 ⇒ CE = 21.
b) Áp dụng hệ thức lượng cho 4AEC vuông tại A có đường cao AF và 4ABC vuông
tại A có đường cao AD ta có: CF.CE = CA2 = CD.CB (đpcm).
4ABD có E là trung điểm của AB và EH k AD ⇒ H là trung điểm của BD ⇒ HB = HD CG CF 4CF G ∼ 4CHE(g.g) ⇒ =
⇒ CG.CH = CF.CE mà CF.CE = CD.CB(cmt) CE CH
nên CG.CH = CD.CB = (CH − HD)(CH + HB) = (CH − HD)(CH + HD) = CH2 − HD2(đpcm).
c) Vẽ BK⊥IE tại K. Áp dụng hệ thức lượng cho 4AEC vuông tại A có đường cao AF
và 4IBE vuông tại B có đường cao BK, kết hợp E là trung điểm của AB ta có: EC EK EF.EC = EA2 = EB2 = EK.EI ⇒ = EI EF
4EKC ∼ 4EF I(c.g.c) ⇒ CK⊥IE tại K mà BK⊥IE tại K ⇒ B, K, C thẳng hàng
do đó K là giao điểm của BC và IE suy ra H ≡ K hay I, H, K thẳng hàng (đpcm). 4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 56/75 Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN
§1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC, vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 14cm, HB = 7cm.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân, có góc b
A = 120◦, nội tiếp đường tròn (O; R). Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 3: Cho tam giác đều ABC, trực tâm H, cạnh a:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm nào?
b) Tính bán kính của đường tròn đó theo a;
c) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Xác định vị trí tương dối của điểm K và đường tròn đó.
Bài 4: Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm
E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O
a) Chứng minh rằng ba điểm F, O, H thẳng hàng;
b) Chứng minh rằng O cách đều bốn điểm E, F, G, H; c) Biết [
BEC = 60◦, BC = 6cm, hãy tính BE. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A ( b
A < 90◦), đường cao BD. Đường tròn đường kính
AC cắt AB ở E (E khác A). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân.
HD: Tam giác EBC vuông tại E, chứng minh ∆EBC = ∆DCB, từ đó suy ra EC = BD
và ED k BC (định lí Ta-lét đảo).
Bài 2: Cho đường tròn (O; R). Gọi AB, CD là hai đường kính có vị trí thay đổi.
a) Tứ giác ACBD là hình gì? Giải thích?
b) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD theo R. 57
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HD:
a) Hình bình hành → Hình chữ nhật.
b) SABCD = 2S∆ABC = AC.BH lớn nhất khi BH là lớn nhất hay BH là bán kính (BH
là đường cao kẻ từ B xuống AC).
Bài 3: Cho hai điểm A và B nằm bên ngoài một đường tròn. Qua A hãy kẻ một đường
thẳng cắt đường tròn tại C và D sao cho điểm B cách đều hai điểm C và D.
HD: Gọi O là tâm, đường thẳng qua A và vuông góc với BO, cắt đường tròn tại hai điểm C và D.
Bài 4: Chứng minh rằng không thể vẽ được quá 6 đường tròn đi qua điểm A cho trước
sao cho tâm của mỗi đường tròn không nằm trong các đường tròn khác.
HD: Gọi O1, O2, ..., O6 là tâm của 6 đường tròn qua điểm A, giả sử \ O1AO2 là góc nhỏ nhất trong các góc tạo từ \
OkAOl, với k 6= l; k, l ∈ {1; 2; ...; 5; 6}, khi đó \ O1AO2 < 60◦ nên O1O2
hoặc nhỏ hơn O1A hoặc nhỏ hơn O2A hay O2 ∈ (O1) hoặc O1 ∈ (O2).
Bài 5: Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC có cạnh AB cố định, đường trung tuyến
AM có độ dài không đổi bằng m.
HD: Lấy B0 đối xứng với B qua A khi đó ta có M A là đường trung bình của tam giác
BB0C khi đó B0C = 2AM = 2m cố định nên C ∈ (B0; 2m).
Bài 6: Tìm tập hợp các trọng tâm của các tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường
trung tuyến AM có độ dài không đổi bằng m. 1 m HD: Do GM = AM nên G ∈ (M ; ). 3 3
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O), AC = 40cm, BC = 48cm.
Tính khoảng cách từ O đến BC.
HD: Gọi M là trung điểm BC, AM 2 = AB2 − BM 2 và OM 2 = OC2 − M C2.
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), cạnh bên bằng b, đường cao
AH = h. Tính bán kính của đường tròn (O). AH AB
HD: Gọi M = AH ∩(O), M 6= A; ∆AHB ∼ ∆CHM (chú ý \ ACM vuông), suy ra = . CH CM
§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC. BH và CK là các đường cao của tam giác. CMR:
a) Bốn điểm B, C, H, K thuộc cùng một đường tròn. b) HK < BC.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có b B = b D = 90o
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. b) So sánh AC và BD.
Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 10cm. Gọi H là một điểm thuộc bán kính
OA. Kẻ dây CD đi qua H và vuông góc với OA.
a) Tính diện tích tứ giác ACBD biết OH = 3 cm.
b) Điểm H ở vị trí nào thì diện tích ACBD là lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 58/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho đường tròn (O) bán kính 5cm, dây AB = 8cm. Đường kính CD cắt dây AB tại I tạo thành góc d
CIB = 45o. Tính độ dài IA, IB.
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AD. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao?
c) Cho OA = R. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABD theo R.
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Điểm C chuyển động trên nửa đường
tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB. Tính giá trị lớn nhất của BD theo R.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD có b B = b D = 90◦.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. b) So sánh AC và BD.
Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm C. Nối
C với một điểm M bất kì trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: CA 6= CM 6= CB.
Bài 9: Cho đường tròn (O), dây P Q. Vẽ đường kính AB không cắt dây P Q. Các đường
vuông góc với P Q tại P và Q cẳt AB theo thứ tự ở H và K. Chứng minh rằng AH = BK.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 11: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, dây CD. các đường vuông góc với CD tại
C và D cắt AB theo thứ tự ở E, F . Tính diện tích tứ giác CDEF biết CD = 7cm, AB = 25cm. √
Bài 12: Cho đường tròn (O), bán kính OA =
5cm. Kẻ bán kính OB vuông góc với OA.
Gọi I là trung điểm của OB. Vễ dây AC đi qua I. Tính AC.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D cách
đều tâm O. Qua C vàD, kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở I và K.Chứng minh
rằng IC vuông góc với IK. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), H là trực tâm của tam giác
ABC. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC. Chứng minh rằng: 1 a) OM = AH. 2 b) AH2 + BC2 = 4R2. HD: 1
a) Kẻ đường kính CK và sau đó chứng minh OM = KB. 2
b) Sử dụng kết quả AH = 2OM và BC = 2M C.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kì thuộc cung BC
không chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí
của M để DE có độ dài lớn nhất.
HD: Dễ dàng chứng minh được AD = AM = AE.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 59/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Mặt khác: \ M AD + \ M AE = 2 \ M AB + \ M AC = 2 [ BAC.
Tam giác ADE cân tại A có [ DAE = 2 [
BAC không đổi nên DE lớn nhất ⇔ AD lớn nhất
⇔ AM lớn nhất ⇔ AM là đường kính.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA và cách
O là 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài M C, M D (M C < M D).
HD: Kẻ OH vuông góc với CD sau đó ta tính OH. Từ đó suy ra được độ dài M C, M D.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 24cm, dây AC = 20 cm [ BAC = 90◦ .Gọi
M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
b) Tính bán kính của đường tròn. HD:
a) Kẻ M H và CK vuông góc với AB, chứng minh KA = KB khi đó ta được điều phải chứng minh.
b) dễ dàng tìm được khi ta chứng minh được câu a.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây
AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B đến AC và AD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn. b) HK < 2R.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. TrênAB lấy điểm M, N sao cho
AM = BN . Qua M và N , kẻ các đường thẳng song song với nhau và chúng cẳt nửa đường
tròn tại C và D. Chứng minh M C và N D vuông góc với CD.
Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF . Đường tròn đi qua D, E, F cẳt
BC, CA, AB theo thứ tự ở M, N, P . Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ từM vuông góc
BC, kẻ từ N vuông góc AC, kẻ từ P vuông góc với AB đồng quy.
Bài 8: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB,
E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
Bài 9: Cho đường tròn (O, 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện
tích lớn nhất của tứ giác ABCD.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại H. a) Tính độ dài HA, HB.
b) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CM HN . HD: a) Tự tính.
b) Diện tích CM HN bằng tổng diện tích hai tam giác HCM và CAH. Việc tính diện
tích 2 tam giác nói trên, ta tính độ dài M H, M C, HN, N C bằng cách sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác vuông. Khi đó ta sẽ tính được diện tích CM HN .
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 60/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với
CD tại C và D tương ứng cắt AB tại M và N . Chứng minh AM = BN .
Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD.
a) Chứng minh rằng CH = DK.
b) Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB.
HD: Kẻ OM vuông góc với CD, dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang,
chứng minh M là trung điểm của HK, chứng minh được câu b.
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây cung CD vuông góc với AB tại điểm H
thuộc bán kính OA. Gọi M là điểm thuộc bán kính OB, E và F theo thứ tự là giao điểm
của CM và DM với đường tròn (E khác C, F khác D). Chứng minh rằng: a) M C = M D b) M E = M F
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ các dây BC, BD thuộc hai nửa mặt phẳng
đối nhau bờ AB sao cho BD > BC. So sánh độ dài hai dây AD và AC.
Bài 3: Cho một điểm I nằm bên trong đường tròn (O). Qua I kẻ một dây AB bất kì và
kẻ dây CD vuông góc với OI. OI kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Bán kính vuông góc với AB tại H. a) So sánh AB và CD. b) So sánh IE và HF .
Bài 4: Cho hai dây AB và CD bằng nhau, cắt nhau ở E nằm trên trong đường tròn (O).
Chứng minh rằng điểm E chia AB và CD thành những đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
Bài 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD. Chứng minh rằng: a) AC = BD;
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Bài 6: Cho cung phần tư AB của đường tròn (O). Từ A và B, ta kẻ hai dây bằng nhau
AM và BN . Hai dây này cắt nhau ở C. Chứng minh rằng OC vuông góc với AB.
Bài 7: Cho đường ròn tâm O bán kính 10cm, dây AB bằng 16cm. Vẽ dây CD song song
với AB và có khoảng cách đến AB bằng 11cm. Tính độ dài dây CD.
Bài 8: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm. Hai dây AB và CD song song với nhau có
độ dài lần lượt là 6cm và 8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại E. CD = 4cm, DE = 28cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
b) Vẽ đường kính DF của (O). So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây cung CF và AB.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 61/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA của
đường tròn và cách O 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài M C, M D (biết CM < M D).
Bài 11: Cho tam giác M N P vuông tại M nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính 2, 5cm và
M N = 4cm. Gọi OH, OK là khoảng cách từ O đến M N, M P . So sánh OH, OK. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho đường tròn tâm O có bán kính 15cm. Điểm M cách O 9cm.
a) Dựng dây AB đi qua M và có độ dài 26cm.
b) Có bao nhiêu dây đi qua M và có độ dài là một số nguyên centimét? HD:
a) Gọi H là trung điểm AB. Tính OH, M H.
b) Dây ngắn nhất qua M có độ dài 24cm, dài nhất 30cm. Từ đó suy ra.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có bán kính 13. Điểm M cách O 5.
a) Tính độ dài dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua M
b) Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên. HD: Tương tự câu trên.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có b A = b C = 90◦
a) Chứng minh rằng AC 6= BD
b) Trong trường hợp nào thì AC = BD HD: Áp dụng định nghĩa.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD. Gọi E là điểm bất kì
trên đường tròn, H và K theo thứ tự là hình chiếu của E trên AC, AD. Chứng minh rằng HK < AB.
HD: Xét xem khi E di chuyển trên đường tròn thì H, K di chuyển ở đâu.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm ( [ BAC < 90◦ và điểm O nằm trong góc [
BAC). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
b) Tính bán kính của đường tròn. HD:
a) Gọi H chân đường vuông góc vẽ từ M xuống AB. Tính được AH. Gọi K là trung
điểm AB. Suy ra được điều cần chứng minh. b) Áp dụng câu a).
Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại H.
a) Tính các độ dài HA, HB.
b) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CM HN .
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 62/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 HD: a) Tính bình thường.
b) Chứng minh CM HN là hình chữ nhật.
Bài 7: Cho đường tròn tâm O và dây AB không là đường kính. Gọi M là trung điểm của
AB, qua M vẽ dây cung CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
a) M không phải là trung điểm của CD. b) AB < CD.
HD: Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây cung.
Bài 8: Cho đường tròn tâm O, hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại điểm
M nằm ngoài (O). Gọi H, E là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB < CD ⇔ M H < M E.
HD: Biểu diễn M H, M E qua OM, OH, OE.
§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Chứng minh rằng AB là tiếp
tuyến của đường tròn (C; AC).
Bài 2: Cho đường tròn (O; R), dây AB > 2R. Qua O kẻ đường vuông góc dây AB, cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O) tại C.
a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Cho R = 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm trên đường tròn, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA.
a) Tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, điểm O là trung điểm của AD và [ BOC = 90◦
a) Gọi E là giao điểm của BO và CD. Chứng minh rằng tam giác BCE cân tại C.
b) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD. Hướng dẫn:
a) 4BCE có OC vừa là đường cao vừa là trung tuyến.
b) Kẻ OH ⊥ BC tại H. OC là phân giác của 4BCE
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AK, BD và CE cắt nhau tại H. Gọi (O)
là đường tròn đường kính AH, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 63/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) D và E thuộc đường tròn (O).
b) M D là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ tiếp
tuyến CD với đường tròn (O), kẻ đường vuông góc DH từ D đến AB. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OAD là tam giác đều. b) [ HBD = 60◦.
c) Đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BH. Hướng dẫn: 4COD có OC = 2OD ⇒ [ COD = 60◦ a)
b) 4AOD đều có DH là đường cao nên cũng là đường phân giác.
c) Kẻ BK ⊥ CD tại K. Hai tam giác vuông HBD và KBD bằng nhau trong trường
hợp cạnh huyền góc nhọn.
Bài 7: Cho đường tròn (O) bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn, OA = 25cm.
Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.
a) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tính các cạnh của tam giác ABC.
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm M chạy trên nửa đường tròn.
Qua điểm M , kẻ tiếp tuyến với đường tròn và gọi I, K theo thứ tự là chân các đường vuông
góc kẻ từ A, B đến tuyến tuyến ấy.
a) So sánh các độ dài M I và M K.
b) Chứng minh rằng AB = AI + BK.
c) Chứng minh rằng AM là tia phân giác của d
OAI, BM là tia phân giác của [ OBK.
d) Xét vị trí tương đối của đường thẳng AB và đường tròn đường kính IK.
e) Khi M chạy trên nửa đường tròn (O), tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất khi M ở
vị trí nào? Tính diện tích lớn nhất đó?
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường trung trực của BC cắt
BC, AC, AB theo thứ tự tại M, D, E. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối
xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt EC tại K (K không trùng với
C). Gọi M là trung điểm AK. Chứng mình rằng: a) HM ⊥ AK.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 64/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 Hướng dẫn:
a) HM là đường trung bình của hình thang vuông ABEK. ( [ OKE = [ OEK = [ OBA ⇒ [ OKE + \ HKE = 90◦ b) \ HKE = \ M HK = \ M HA = [ HAB
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 6cm. Qua A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn
(O). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 2cm, trên tia Ay lấy điểm D sao cho AD = 9cm.
Chứng minh rằng OD vuông góc với BC. Hướng dẫn:
Từ D kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), F là tiếp điểm (F không trùng với A).
K là giao điểm của AF với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). ⇒ BK k AC (1) BK AO AB.AO 6.3 4ABK v 4DAO (g-g) ⇒ = ⇒ BK = = = 2cm AB DA DA 9 ⇒ BK = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACBK là hình bình hành ⇒ BC k AK hay BC k AF , mà AF ⊥ OD ⇒ BC ⊥ OD.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường
tròn (O). Gọi CD là một đường kính có vị trị thay đổi. Gọi giao điểm của các tia AC, AD với d là E, F .
a) Chứng minh rằng tích BE.BF là một hằng số.
b) Tính độ dài nhỏ nhất của EF khi đường kính CD thay đổi. Hướng dẫn: a) BE.BF = AB2 = 4R2 = const √
b) EF = BE + BF ≥ 2 BE.BF = 4R. Dấu "=" xảy ra ⇔ BE = BF ⇔ CD ⊥ AB
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A; I giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác ABC.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BIC.
b) Gọi H là trung điểm của BC; IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AI HI rằng = . AK HK Hướng dẫn:
a) Với H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC, hơn nữa O, H, A thẳng hàng. d OCI = d OIC ⇒ d OCI + d ICA = 90◦ d ICA = d ICB
b) Với R là bán kính của đường tròn (O), ta có AI HI OA − R R − OH OA − R R − OH R OH = ⇔ = ⇔ = ⇔ 1 − = 1 − AK HK OA + R R + OH 2.OA 2.R OA R ⇔ R2 = OH.OA ⇔ OC2 = OH.OA
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 65/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 5*: Cho góc xOy, hai điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên Ox, Oy sao cho chu vi
tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định. Hướng dẫn: x
Dựng đường tròn bàng tiếp góc O của tam giác OAB (hình bên). Ta có M
OM + ON = OA + OB + AB là chu vi tam giác
OAB không đổi nên OM + ON không đổi. Mặt khác, I A
OM = ON (bằng nửa chu vi tam giác OAB) ⇒ M, N
cố định ⇒ giao điểm I của đường vuông góc với Ox kẻ
từ M với đường phân giác góc xOy là cố định.
Vậy AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I y bán kính O N IM . B
Bài 6*: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E trên cạnh BC và điểm F trên cạnh CD sao
cho AB = 3BE = 2DF . Chứng minh rằng EF tiếp xúc với cung tròn tâm A bán kính AB. Hướng dẫn: Gọi F
a là cạnh hình vuông ABCD. D C Ta có 3BE = 2DF = AB a a 2a ⇒ BE = , DF = = CF ⇒ CE = . 3 2 3 G
Trong tam giác vuông CEF có: 4a2 a2 25a2 EF 2 = CE2 + CF 2 = + = 9 4 36 E 5a ⇒ EF =
. Các tam giác ABE, ADF, CEF là các tam 6 giác vuông. A B a2 a2 a2 ⇒ SABE = ; SADF = ; SCEF = 6 4 6 5a2
SAEF = a2 − SABE − SADF − SCEF ⇒ SAEF = (1) 12 Kẻ AG ⊥ EF EF.AG 5a.AG ⇒ SAEF = = (2) 2 12
Từ (1) và (2) suy ra AG = AB. ⇒ EF tiếp xúc với cung tròn tâm A bán kính AB.
§5. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn. Kẻ đường kính COD. Tia phân giác của góc BOD cắt AB ở E.
a) Chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn O.
b) Chứng minh rằng AC + DE > 2R. c) Tính số đo góc AOE.
Bài 2: Cho đường tròn (O) bán kính OM = 15cm. Trên tia đối của tia M O lấy điểm A
sao cho M A = 24cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 66/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) Tính các độ dài AB, AC. b) Tính độ dài DE.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) bán kính OA = R. Gọi B là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ
các tiếp tuyến BM, BN với đường tròn (O). a) Tính số đo góc M BN .
b) Tứ giác AM ON là hình gì? Vì sao?
c) Tính OH theo R (H là giao điểm của OA và M N ).
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), dây M N vuông góc với bán kính OA tại trung điểm H của
OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M và N cắt nhau ở B.
a) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Tam giác BM N là tam giác gì? Vì sao? c) Tính BM theo R.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OA và đường tròn (O), gọi CK là đường
kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) BC vuông góc với OA.
b) BI là tia phân giác của góc ABC. c) BK song song với OA.
Bài 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn
(O) tại A, lấy các điểm B và C (A nằm giữa B và C). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường
tròn (O) (D và E khác A). Chứng minh rằng: [ BOC + [ DAE = 180◦.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 15cm, BC = 24cm. Tính bán kính của đường
tròn nội tiếp tam giác đó.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Đường tròn (I) nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E. a) Tính số đo góc BIC.
b) Tính diện tích tứ giác ADIE.
Bài 9: Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt BC tại H, cắt cung nhỏ và
cung lớn BC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh OA vuông góc với BC và HI.OA = R2.
b) Chứng minh tam giác ABC đều và ABKC là hình thoi.
c) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính theo R bán kính đường tròn này.
d) Vẽ đường kính CD. Chứng BD song song với AO.
e) Vẽ cát tuyến bất kỳ AM N của (O; R). Gọi E là trung điểm của M N . Chứng minh 5
điểm O, E, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 67/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 10: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến M D, M E
với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với
đường tròn, cắt M D và M E theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh rằng chu vi tam giác M P Q bằng 2M D. Bài 11: Cho d
xOy = 60◦. Một đường tròn tâm K bán kính R = 5cm tiếp xúc với Ox tại A
và tiếp xúc với Oy tại B. Từ điểm M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox
và Oy lần lượt tại E và F .
a) Tính chu vi ∆OEF . Chứng minh chu vi đó không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh số đo [
EKF không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 12: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lần lượt vẽ các tiếp tuyến d1 và d2
của (O) tại A và B. Lấy tùy ý M trên (O) (M khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt
d1 và d2 lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và [ COD = 90◦.
b) Gọi E là giao điểm của CO và AM , F là giao điểm của BM và DO, M H là đường
cao của ∆AM B. Chứng minh: M F OE là hình chữ nhật và 5 điểm O, H, E, M, F cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh: OE.OC = OF.OD = AC.BD = R2.
d) Chứng minh: đường tròn (K) đường kính CD tiếp xúc với AB.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax của (O) lấy điểm
C, trên tiếp tuyến By của (O) lấy điểm D sao cho AC + BD = CD.
a) Chứng minh: CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại E.
b) Từ E kẻ EF vuông góc với AB(F ∈ AB). Giao điểm của BC và EF là L. Chứng
minh: I là trung điểm của EF .
Bài 14: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC =
a; CA = b; AB = c lần lượt tại D, E, F . Gọi p là nửa chu vi của ∆ABC. Chứng minh:
a) Diện tích của ∆ABC là S = pr.
b) AE = AF = p − a; BD = BF = p − b; CD = CE = p − c. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 9cm, HC = 16cm. Tính bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm, bán kính đường tròn nội tiếp bằng
1cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. GỌi H là chân đường vuông góc kẻ
từ M đến OB. Tia M H cắt đường tròn (O) ở D. Đường vuông góc với OK tại K cắt OB ở I. Chứng minh rằng: a) OH.OI = OM.OK.
b) ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 68/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), AB = 16cm, AC = 20cm, BC = 24cm.
Tiếp tuyến của đường tròn (I) song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. a) Tính chu vi tam giác ADE. b) Tính độ dài DE.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By
và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự ở C, D.
a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.
§6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O0; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O0). a) Tính độ dài BC.
b) Tính diện tích tứ giác OBCO0.
Bài 2. Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O0; 2cm), OO0 = 9cm. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB, A ∈ (O), B ∈ (O0). a) Tính độ dài AB.
b) Gọi I là giao điểm của AB và OO0. Tính độ dài OI.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO0,
gọi C là điểm đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng OO0 song song với BC.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O1; R),(O2; R) cắt nhau ở M và B. Gọi AB là dây của đường
tròn (O1), BC là dây của đường tròn (O2). Vẽ hình bình hành ABCD. Tính bán kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM .
Bài 5. Vẽ các đường tròn có đường kính là các cạnh của một tứ giác. Chứng minh rằng
bốn đường thẳng chứa dây chung của các đường tròn đó cắt nhau tạo thành một hình bình hành.
Bài 6. Cho ba đường tròn (O1),(O2),(O3) bằng nhau và ở ngoài nhau. Hãy dựng một đường
tròn tiếp xúc ngoài (hoặc tiếp xúc trong) với các đường tròn (O1),(O2),(O3).
Bài 7. Cho ba đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại A,B,C. Tia AB cắt một đường tròn
tại D. Tia AC cắt đường tròn ấy ở E. Chứng minh rằng DE chính là đường kính của đường tròn ấy.
Bài 8. Ba đường tròn không biết tâm, tiếp xúc ngoài với nhau tại A,B,C. Hãy tìm tâm
của chúng bằng thước thẳng.
Bài 9. Cho đường tròn (O; 16mm) và đường thẳng d đi qua tâm O. Hãy xác định tâm của
một đường tròn có bán kính 4mm, tiếp xúc với đường tròn (O) và tiếp xúc với đường thẳng d.
Bài 10. Cho hai đường tròn có bán kính là r và có đoạn nối tâm cũng là r. Hãy xác định r
tâm của một đường tròn có bán kính là
và tiếp xúc với hai đường tròn đã cho. 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 69/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 11. Cho hai đường tròn ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (A,B là các tiếp
điểm). Kẻ hai tiếp tuyến chung trong cắt AB ở C và D. Chứng minh rằng AC = DB.
Bài 12. Kẻ bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoài nhau. Chứng minh rằng đoạn
tiếp tuyến chung trong bao gồm giữa các tiếp tuyến chung ngoài bằng đoạn tiếp tuyến
chung ngoài bao gồm giữa các tiếp điểm.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 1 (đơn vị độ dài), rA là bán kính của đường tròn
bàng tiếp trong góc A và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Biết rằng rA = 2r,
hãy tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14. Trong hình vuông ABCD, ta vẽ các nửa đường tròn có đường kính là AD và
BC. Vẽ đường tròn (P ) tiếp xúc với hai nửa đường tròn đó và tiếp xúc với cạnh AB. Biết
DC = 2n2, hãy tính bán kính của đường tròn (P ).
Bài 15. Cho hai đường tròn (O1),(O2) ở ngoài nhau. Từ một điểm P ở ngoài hai đường
tròn đó, hãy dựng hai đoạn thẳng P C và P D sao cho C thuộc (O1), D thuộc (O2), P C = P D và [ CP D = α.
Bài 16. Cho hai đường tròn (O; 80cm) và (O0; 45cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O0). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I. Gọi H là giao
điểm của IO và AB, K là giao điểm của IO0 và AC.
a) Tứ giác AHIK là hình gì? Vì sao?
b) Tính các cạnh của tam giác ABC.
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại điểm thứ hai D (khác A).
a) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
b) Vẽ đường kính DCE của đường tròn (C). Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại E cắt
BA ở K. CMR: CK vuông góc với CB. c) CMR: AD song song với CK.
d) Tính diện tích tứ giác BDEK, biết AB = 4cm, AC = 6cm.
Bài 18. Cho hai đường tròn (O; R) và (O0; r) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài
BC cắt đường nối tâm ở M , trong đó B ∈ (O), C ∈ (O0) và BC = CM = 4cm. Tính R và r. §7. ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài tập cơ bản Bài 1: Hình thang ABCD có b A = b
D = 90◦; AB = 1; AD = CD = 4. Vẽ đường tròn đường
kính BC. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng AD
Bài 2: Cho tam giác ABC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O
đường kính CH. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh M D là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 3: Cho đường tròn (O; 3) và đường thẳng xy sao cho khoảng cách OH từ O tới xy là
4, 5. Trên đường thẳng xy lấy điểm A bất kì. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OA tại K và cắt OH tại I. Chứng minh rằng: a) ∆AOH v ∆IOK;
b) Khi A di động trên xy thì dây BC luôn đi qua một điểm cố định.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 70/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 4: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến xy, tiếp điểm A. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau.
b) Vẽ dây BC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại một điểm thứ hai là M . Chứng minh rằng M A = M C.
c) Đường thẳng OM cắt xy tại B. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại
O cắt AC tại N . Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M .
a) Chứng minh rằng tứ giác AM ON là hình thoi.
b) Đường thẳng M N có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O) không?
c) Tính diện tích hình thoi AM ON .
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn và
H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ đường tròn (A; AH). Vẽ các tiếp tuyến BM và CN với
đường tròn (A) sao cho các tiếp điểm M và N không trùng với H. Chứng minh rằng: a) BM k CN ; b) M B.CN = AH2;
c) M N là tiếp tuyến của đường tròn (O).
HD: Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy
với đường tròn. Trên xy lấy một điểm M khác điểm A. Vẽ đường tròn (M ; M A) cắt đường
tròn (O) tại một điểm thứ hai là B.
Chứng minh rẳng M B là tiếp tuyến của đường tròn (O) và OB là tiếp tuyến của đường tròn (M ).
Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ trung điểm M của OA ta vẽ dây CD ⊥ OA.
Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = R. Chứng minh rằng:
a) EC là tiếp tuyến của đường tròn. b) EC2 = 3R2.
Bài 9: Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến d và d0 song song với nhau. Gọi A và B lần
lượt là các tiếp điểm của d và d0 với đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trên d. Đường
thẳng M O cắt d0 tại N . Từ O vẽ một đường thẳng vuông góc với M N cắt d0 tại C.
a) Chứng minh rằng: AB là đường kính của đường tròn.
b) Chứng minh rằng: Tam giác CM N là tam giác cân.
c) Cho biết vị trí của đường thẳng M C đối với đường tròn (O).
Bài 10: Hai đường tròn (O; R) và (O0; r) tiếp xúc ngoài tại A (R > r). Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O0). Gọi M là trung điểm của OO0, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 71/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) Tính số đo góc OHO0.
b) Chứng minh rằng OH là tia phân giác của góc AOB.
c) Chứng minh rằng AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O0).
d) Cho R = 5 cm, r = 2 cm, tính độ dài BC. ĐS: √ \ OHO0 = 90◦ a) d) BC = 2 10.
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu của H trên
AB, E là hình chiếu của H trên AC. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB, (O0) là đường
tròn đường kính HC. Chứng minh rằng:
a) Điểm D thuộc đường tròn (O), điểm E thuộc đường tròn (O0).
b) Hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài.
c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. d) AH = DE.
e) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O0).
f) Diện tích tứ giác DEO0O bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Bài 12: Cho đường tròn (O) bán kính 15 cm, dây BC = 24 cm. Các tiếp tuyến của đường
tròn tại B và C cắt nhau tại A.
a) Tính khoảng cách OH từ O đến BC.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, H, A thẳng hàng. c) Tính độ dài AB, AC.
d) Gọi M là giao điểm của AB và CO, N là giao điểm của AC và BO. Chứng minh rằng BCN M là hình thang cân.
Bài 13: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại điểm H nằm
giữa O và A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H.
a) Tứ giác ACED là hình gì? Chứng minh.
b) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng điểm I thuộc đường tròn (O0) có đường kính là EB.
c) Chứng minh rằng HI là tiếp tuyến của đường tròn (O0).
d) Tính độ dài HI, biết bán kính các đường tròn (O) và (O0) nói trên theo thứ tự bằng 5 cm và 3 cm.
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Bx vuông góc với AB. Trên tia Bx lấy một điểm O AB sao cho BO =
. Tia AO cắt đường tròn (O; OB) ở D và E (D nằm giữa A và O). Đường 2 tròn (A; AD) cắt AB ở C.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 72/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) Chứng minh DE2 = AD.AE. b) Chứng minh AC2 = CB.AB.
c) Tia BD cắt đường tròn (A) ở P . Một đường thẳng đi qua D cắt đường tròn (A) ở
M và cắt đường tròn (O) ở N . Chứng minh rằng hai tam giác DP M và DBN đồng dạng.
Bài 15: Cho đường tròn (O; 2, 5) đường kính AB. Trên AB lấy điểm H sao cho AH = 1.
Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Vẽ đường tròn (O0) đường kính EB. Chứng minh
rằng đường tròn này đi qua I.
c) Chứng minh rằng HI là tiếp tuyến của đường tròn (O0). d) Tính độ dài HI. Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn
vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AH và BK cùng vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng tổng AH + BK có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB.
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKH lớn
nhất. Tính diện tích đó. HD: HK
a) Đường trung bình của hình thang.
b) Kẻ M I ⊥ AB. Chứng minh M I = . 2
c) Lưu ý: HK ≤ AB. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ HK k AB.
Bài 2: Cho hai đường tròn đồng tâm O; D là một điểm cố định trên đường tròn nhỏ. Vẽ
dây DC của đường tròn nhỏ, dây AB của đường tròn lớn đi qua D sao cho AB ⊥ CD. Gọi
H là trung điểm của AB, CH cắt OD tại G. Chứng minh rằng khi dây DC quay quanh D thì:
a) G là một điểm cố định.
b) G là trọng tâm của tam giác ABC. HD: OG 1
a) Kẻ OK ⊥ CD. Chứng minh = . b) Từ câu a) suy ra. GD 2
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến CAD quay
quanh A với C ∈ (O) và D ∈ (O0). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O và O0 trên CD.
Vẽ điểm E đối xứng với A qua trung điểm M của OO0. Chứng minh rằng:
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 73/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956 a) M H = M K.
b) Đường trung trực của CD đi qua một điểm cố định. HD:
a) Kẻ M I ⊥ CD. Chứng minh ∆M HK cân.
b) Sử dụng câu a) gợi ý cho câu b). Chứng minh ∆CED cân tại E.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đường cao AH, AB = AD + AH. Tia phân giác của
góc D cắt AB tại M và cắt đường thẳng BC tại N . Vẽ các đường tròn (A; AD), (B; BN ).
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (A) và (B) tiếp xúc ngoài với nhau.
b) Cho biết vị trí tương đối của đường thẳng CD đối với hai đường tròn (A) và (B). HD:
a) Chứng minh AB bằng tổng hai bán kính (sử dụng tam giác cân).
b) Dựng BK ⊥ CD. Vận dụng giả thiết AB = AD + AH và chứng minh BK = AH để từ đó suy ra BK = BN .
Bài 5: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F . Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng EF .
a) Chứng minh rẳng ∆BHF v ∆CKE.
b) Chứng minh rằng ∆BHL v ∆CKL
c) Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác LBC. Chứng minh rằng ba điểm L, I, D thẳng hàng. HD: HL BD a) ∆BHF v ∆CKE (g-g).
b) Sử dụng câu a) và lưu ý: = . KL DC
c) Sử dụng câu b), chứng minh LD là tia phân giác của [
BLC theo tính chất tỉ số phân giác.
Bài 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn đó. Vẽ
CH ⊥ AB. Từ C vẽ một tiếp tuyến của nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến Ax và By tại
M và N . Các tia BC và AC lần lượt cắt Ax và By tại D và E. Chứng minh rằng:
a) M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BE;
b) Ba đường thẳng AN, BM và CH đồng quy. HD: a) Chứng minh ∆M AC cân.
b) Chứng minh AN và BM cắt CH tại trung điểm I của CH. Dùng định lý Ta-lét, IH IC chứng minh: = . N B N B
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là các điểm
đối xứng của H qua AB, AC.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 74/75
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
a) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Vẽ các đường tròn (B; BD) và (C; CE). Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp
xúc với nhau và tiếp xúc với DE.
c) Vẽ đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn này. HD: a) Chứng minh [ DAE = 2 [ BAC.
b) Ý đầu dùng dấu hiệu d = R + r. Ý sau chứng minh BD ⊥ DE và CE ⊥ DE.
c) Gọi O là trung điểm của BC. Hãy chứng minh OA ⊥ DE.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 75/75
Document Outline

  • I ĐẠI SỐ
    • CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
      • CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI
        • Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai
        • So sánh các biểu thức của căn bậc hai
        • Các bài toán về hằng đẳng thức A2=|A|
      • LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
        • Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn)
        • Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn)
        • Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai
        • Giải phương trình chứa căn bậc hai
        • Giải bất phương trình chứa căn bậc hai
      • BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
        • Bài tập cơ bản
        • bài tập nâng cao
      • ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
        • ĐỀ 1
        • ĐỀ 2
        • ĐÁP ÁN ĐỀ 1
        • ĐÁP ÁN ĐỀ 2
      • HÀM SỐ BẬC NHẤT
        • NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
        • HÀM SỐ BẬC NHẤT
        • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
        • BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
        • ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
          • ĐỀ 1
          • ĐỀ 2
          • ĐÁP ÁN ĐỀ 1
          • ĐÁP ÁN ĐỀ 2
        • II HÌNH HỌC
          • HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
            • MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
              • TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
                • MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI TAM GIÁC
                  • BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
                    • ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
                      • ĐỀ 1
                      • ĐỀ 2
                      • ĐÁP ÁN ĐỀ 1
                      • ĐÁP ÁN ĐỀ 2
                    • ĐƯỜNG TRÒN
                      • SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
                      • ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
                      • LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
                      • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
                      • TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
                        • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
                        • ÔN TẬP CHƯƠNG II