Bài Tập Toán 9 Tuần 5 Có Lời Giải Chi Tiết

BÀI TẬP TOÁN 9 TUẦN 5
I. ĐẠI SỐ: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI. Bài 1.
Giải phương trình: 1
a) 4x −12 + x − 3 − 9x − 27 = 8 3
b) 36x + 36 − 9x+9 + 4x + 4 = 42 − x +1 3 x − 6 1 c) = 7 x − 3 6 2 x +1 1 d) = x − 3 3 Bài 2.
Phân tích đa thức thành nhân tử ( ,
m n, a,b  0) .
a) mn +1+ m + n
b) a + b − 2 ab − 25
c) a − 4 a − 5
d) a − 5 a + 6 Bài 3. Tính giá trị
a) Lớn nhất của biểu thức A = 14 x − x
b) Nhỏ nhất của biểu thức B = x − 4 x +12 x + 2 Bài 4.
Tìm giá trị x nguyên để biểu thức A =
nhận giá trị nguyên. x − 5 Bài 5.
Cho các số không âm a , b , c . Chứng minh: a + b 1 a)  ab .
b) a + b  a + b .
c) a + b +  a + b . 2 2 a + b a + b
d) a + b + c  ab + bc + ca . e)  . 2 2 Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = x − 2 + 4 − x .
b) B = 6 − x + x + 2 .
c) C = x + 2 − x . II. HÌNH HỌC: Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A , AB = 6cm ; AC = 8cm . a) Tính BC , ˆ ˆ B,C .
b) Phân giác của  cắt BC tại D . Tính BD , CD .
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì?
d) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF . Bài 2.
Cho tam giác ABC cạnh AB = 6c ;
m AC = 4,5c ;
m BC = 7,5cm .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính góc B , góc C và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC . Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH = 5c ,
m CH = 20cm . Chứng minh ˆ ˆ tgB = 4tgC . Trang 1
…………………………………….HẾT…………………………………….
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I.
ĐẠI SỐ: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI.
Bài 1: Giải phương trình: 1
a) 4x −12 + x − 3 − 9x − 27 = 8 3
b) 36x + 36 − 9x+9 + 4x + 4 = 42 − x +1 3 x − 6 1 c) = 7 x − 3 6 2 x +1 1 d) = x − 3 3 Lời giải a) ĐKXĐ: x  3 1 4x −12 + x − 3 − x − 27 = 8 3  1   2 +1−
x − 3 = 8  x − 3 = 3  x − 3 = 9  x = 12(TM )    3  b) ĐKXĐ: x  −1
36x + 36 − 9x + 9 + 4x+4 = 42 − x + 1  (6 − 3 + 2 + ) 1 x + 1 = 42
 x +1 = 7  x +1 = 49  x = 48(TM ) 9
c) ĐKXĐ: x  0; x  49 6 x −
(3 x −6)−(7 x −3 3 6 1 ) =  =  x =
 x =  x = TM 7 x − 3 6 6(7 x − 3) 0 11 33 3 9( )
d) ĐKXĐ: x  0; x  9 3 x +
(2 x + )1−( x −3 2 1 1 ) =  = x − 3 3( x − 3) 0 3  5 x = −6 (Vô lý vì 5 x  0 x   0; x  9 )
Vậy phương trình đãch o vô nghiệm.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( ,
m n, a,b  0) . Trang 2
a) mn +1+ m + n .
b) a + b − 2 ab − 25
c) a − 4 a − 5 .
d) a − 5 a + 6 . Lời giải a)
mn +1+ m + n = ( mn + m) + ( n + ) 1 = ( n + ) 1 ( m + ) 1 b) Ta có:
a + b − 2 ab − 25 = (a + b − 2 ab ) − 25 = ( a − b)2 2
− 5 = ( a − b − 5)( a − b + 5)
c) a − 4 a − 5 = (a + a ) − (5 a + 5) = ( a + ) 1 ( a − 5)
d) a − 5 a + 6 = (a − 2 a ) − (3 a − 6) = ( a − 2)( a − 3)
Bài 3: Tính giá trị
a) Lớn nhất của biểu thức A = 14 x − x
b) Nhỏ nhất của biểu thức B = x − 4 x +12 . Lời giải
a) Ta có: A = −(x − x + )+ = −( x − )2 14 49 49 7 + 49  0 + 49 Do −( x − )2 7  0 x   0
Vậy GTLN của A = 49 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − 7 = 0  x = 49
b) Ta có: B = x − x +
= (x − x + ) + = ( x − )2 4 12 4 4 8 2 + 8  8 Vì ( x − )2 2  0 x   0
Vậy GTNN của B = 8 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − 2 = 0  x = 2  x = 4 . x + 2 Bài 4.
Tìm giá trị x nguyên để biểu thức A =
nhận giá trị nguyên. x − 5 Lời giải x  0  x  0  x  0
+) Điều kiện xác định:       x −5  0  x  5 x  25 Trang 3 x + 2 x − 5 + 7 7 +) A = = =1+ x − 5 x − 5 x − 5
+) Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương
 x − 5 là số vô tỉ  7 A = 1+ là số vô tỉ x − 5
 A Z (loaïi)
+) Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương 7 7 A = 1+ là số nguyên 
là số nguyên  x − 5Ö (7) x − 5 x − 5 x − 5 7 − 1 − 1 7 x −2 4 6 12 x loaïi 16 (thoûa maõn)
36 (thoûa maõn) 144 (thoûa maõn)
Vậy x = 16 , x = 36 , x = 144 là các giá trị cần tìm. Bài 5.
Cho các số không âm a , b , c . Chứng minh: a + b a)  ab . 2
b) a + b  a + b . 1
c) a + b +  a + b . 2
d) a + b + c  ab + bc + ca . a + b a + b e)  . 2 2 Lời giải a + b a)  ab . 2
Với a,b  0 ta có: ( a − b )2  0
 a + b − 2 ab  0
 a + b  2 ab a + b   ab (ñpcm) 2 Trang 4 a + b
Vậy với a,b  0 thì  ab . 2
Dấu " = " xảy ra khi a − b = 0  a = b  a = b  0 .
b) a + b  a + b .
Với a,b  0 ta có: 2 ab  0
 a + b + 2 ab  a + b  ( + )2  ( + )2 a b a b
 a + b  a + b (ñpcm)
Vậy với a,b  0 thì a + b  a + b .  a = 0 a = 0
Dấu " = " xảy ra khi ab = 0     .  b = 0 b = 0 1
c) a + b +  a + b . 2 2 2  1   1 
Với a,b  0 ta có: a − + b −  0      2   2  1 1
 a − a + + b − b +  0 4 4 1
 a + b +  a + b (ñpcm) 2 1
Vậy với a,b  0 thì a + b +  a + b . 2  1  1  1 a − = 0 a = a =  2  2     4 Dấu " = " xảy ra khi      1 1 1  b 0  b b  − = = =  2  2  4
d) a + b + c  ab + bc + ca . 2 2 2 Với a, ,
b c  0 ta có: ( a − b) +( b − c ) +( c − a )  0
 a − 2 ab + b + b − 2 bc + c + c − 2 ca + a  0
 a + b + b + c + c + a  2 ab + 2 bc + 2 ca
 2(a + b + c)  2 ab + 2 bc + 2 ca Trang 5
 a + b + c  ab + bc + ca (ñpcm) Vậy với a, ,
b c  0 thì a + b + c  ab + bc + ca .  a − b = 0 
Dấu " = " xảy ra khi  b − c = 0  a = b = c  a = b = c  c − a = 0  a + b a + b e)  . 2 2
Với a,b  0 ta có: ( a − b )2  0
 a + b − 2 ab  0
 a + b  2 ab
 2(a + b)  a + b + 2 ab  ( + )  ( + )2 2 a b a b
 2(a + b)  a + b a + b a + b   (ñpcm) 2 2 a + b a + b
Vậy với a,b  0 thì  . 2 2
Dấu " = " xảy ra khi a − b = 0  a = b  a = b  0 . Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = x − 2 + 4 − x .
b) B = 6 − x + x + 2 .
c) C = x + 2 − x . Lời giải
Với a,b  0 ta có: ( a − b )2  0
 a + b − 2 ab  0
 a + b  2 ab
 2(a + b)  a + b + 2 ab Trang 6  ( + )  ( + )2 2 a b a b
 2(a + b)  a + b
Vậy với a,b  0 thì  2(a + b)  a + b . Dấu " = " xảy ra khi a = b  0 . ( ) 1
a) A = x − 2 + 4 − x . x − 2  0 x  2
+) Điều kiện xác định:     2  x  4 4 − x  0 x  4 +) Áp dụng ( )
1 ta có: A = x − 2 + 4 − x  2( x − 2 + 4 − x)  A  2 2  x  4
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x = 3.
x − 2 = 4 − x
b) B = 6 − x + x + 2 . 6 − x  0 x  6
+) Điều kiện xác định:     2 −  x  6 x + 2  0 x  2 − +) Áp dụng ( )
1 ta có: B = 6 − x + x + 2  2(6 − x + x + 2)  B  4  2 −  x  6
Vậy giá trị lớn nhất của B là 4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x = 2
6 − x = x + 2
c) C = x + 2 − x . x  0 x  0
+) Điều kiện xác định:     0  x  2 2 − x  0 x  2 +) Áp dụng ( )
1 ta có: C = x + 2 − x  2( x + 2 − x)  C  2 0  x  2
Vậy giá trị lớn nhất của C là 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x =1. x = 2 − x II. HÌNH HỌC: Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A , AB = 6cm ; AC = 8cm . a) Tính BC , ˆ ˆ B,C .
b) Phân giác của  cắt BC tại D . Tính BD , CD .
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì? Trang 7
d) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF . Lời giải A F E C B D
a) Theo định lý Py-ta-go ta có 2 2 2 2 2 2 2
BC = AB + AC  BC = AB + AC = 6 + 8 = 10cm . AB 6 3 ' ' ' ˆ ˆ ˆ sinC = = =  C  36 5
 2  B  90 − 36 5  2 = 53 8  . BC 10 5
b) Theo tính chất của đường phân giác ta có: BD AB 6 3 BD 3 BD 3 30 = = =  =  =  BD = cm . CD AC 8 4 CD + BD 4 + 3 BC 7 7 30 40
CD = BC − BD = 10 − = cm . 7 7
c) Tứ giác AEDF có ˆ ˆ ˆ
A = E = F = 90 nên AEDF là hình chữ nhật. Lại có đường chéo AD
đồng thời là tia phân giác nên AEDF là hình vuông. d) Ta có
DE ⊥ AB   DE// AC . AC ⊥ AC Theo định lý Talet : BD ED BD 30 / 7 24 =  ED = .AC = .8 = cm . BC AC BC 10 7 24 96
Chu vi hình vuông AEDF : P = .4 = cm . 7 7 2  24  576
Diện tích hình vuông AEDF : 2 S = = cm   .  7  49 Bài 2.
Cho tam giác ABC cạnh AB = 6c ;
m AC = 4,5c ;
m BC = 7,5cm .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính góc B , góc C và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC . Lời giải Trang 8 A M C K B H a) Ta có: 2 2 2 2
AB + AC = 6 + 4,5 = 56, 25 2 2 BC = 7,5 = 56, 25 2 2 2
 BC = AB + AC  ABC vuông tại A. AC 4,5 3 ' ' ˆ ˆ ˆ sin B = = =  B  36 5  2  C  53 8  . BC 7,5 5 A . B AC 6.4,5 AH.BC = AB.AC  AH = = = 3,6cm . BC 7,5 b) Phần thuận:
Kẻ MK vuông góc với BC tại K . Ta có 1 S = AH.BC ABC  2 1 S = MK.BC M  BC 2 =  = = S S AH MK 3,6cm . A  BC A  BC
Vậy M di chuyển trên đường thẳng d song song với BC , cách BC một khoảng bằng AH hay 3,6 cm. Phần đảo
Lấy điểm M  d . Kẻ M K
  ⊥ BC . Vì d cách BC một khoảng bằng AH nên M K   = AH . 1 1 Do đó S =   = = .   M K .BC AH.BC S M BC 2 2 A  BC Kết luận:
Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC là đường thẳng
song song với BC , cách BC một khoảng bằng AH hay 3,6 cm. Có 2 đường thẳng như thế. Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH = 5c ,
m CH = 20cm . Chứng minh ˆ ˆ tgB = 4tgC . Lời giải Trang 9 A B 5 20 H C AH AH
Trong tam giác vuông HAB ta có ˆ tgB = = BH 5 AH AH
Trong tam giác vuông HAC ta có ˆ tgC = = CH 20 Do đó ˆ ˆ tgB = 4tgC .  HẾT  Trang 10