Bài tập toán cao cấp | Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 (KHÔNG GIAN VECTƠ)
Bài 1. Hãy biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ cho kèm theo: a) X = (7,11, 6 − ) X = (1,3, 2 − ) ; X = (3,4, 1
− ) ; X = (5,5,1) 1 2 3
b) X = (1,3, 2) X = (1,2,3) ; X = (2,5,8); X = ( 5 − , 1 − , 2 − ) 1 2 3
Bài 2. Các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: X = (1,−1,0) X = (−1,1,−2)  1 1 X = (2, 1 − ,3)   1 a) 
b)  X = (−2,1,−1) c)  X = (−2,1,−1) 2 2 X = ( 4 − ,2, 6 − )  2   X = (−3, 2, −1)  X = (3, 1 − ,1) 3  3 X = ( 1 − ,1, 2 − ,4) X = ( 1 − ,1, 2 − ,2) X = (1,−1,1,−1) 1 1   1  X = ( 2 − ,1, 1 − ,3) 2 d)  X = ( 2 − ,1, 1
− ,0) e) X = (2,1,0,−1) f)* 2 2   X = (3, 1 − ,1,2)  X = (3, 1 − ,1,4)  X = (3, −6,5, −4) 3 3  3 X = (2,3,4, 2) −  4
Bài 4*. Tìm hạng của hệ vectơ sau: X = (1,−2,1,0) X = (1,2,1,3) X = (1,1,−2) 1  1  1  X = (1,0,−1,4) X = ( 1 − ,0,1,2) X = (−1,4, 6) − 2 2 2 a)  b)  c)  X = (5, −4, −1,12)  X = (2, 4, 1 − ,2) X = (2, 3 − ,4) 3  3  3 X = (1,−6,5,−8)  X = (5,8,0,6) X = (1,6, 10 − ) 4  4  4
(Chú ý: Những bài * nên học xong chương 2 quay lại chữa)
BÀI TẬP CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1. Cho các ma trận:  1 2 2 −   4 2 1 −   2 3 −        A = 1 − 3 0 B = 1 2 − 2 C = 1 4             0 2 − 1 3 0 1      6 5 
a)Tìm các phần tử trên dòng 2 của AB’ b) Tìm các phần tử trên cột 1 của BC
c) Tìm các phần tử trên dòng 1 của C’A d) Tìm ma trận X sao cho: 2A-B -X=O3
e) Tìm Y sao cho: Y- A+2B= E3 f) Tính det(A+B)
g) Tính det( A+3B ) h) Tính det(B-2A)  1 1 − 2 4  1 − 1 1 − 2      1 − 2 7 3 1 2 4 5 −
Bài 2. Cho hai ma trận: A=      và B = 2 1 2 1  2 − −1 5 − 7       3 m 2 − 8  2 1 5 7 − 
a)Tìm m để ma trận A khả nghịch, khi đó tìm phần tử ở dòng 2 cột 4 của ma trận A-1
b)Hãy tìm các phần tử thuộc cột 3 của ma trận AB.
c)Tìm hạng của ma trận B.
d)Tìm m để det(A-B) = 2022 .
Bài 3. Tìm phần tử trên dòng 2 cột 1 của ma trận ABC, cho biết:  3 8   3 4 5 2      1 2 −  1 2 4 A 2 0 2 3 , B   = − − = , C = .      1 − 3     1 − 0 3  1 − 5 0 6      0 1 
Bài 4. Tính các phần tử trên cột 2 của : 2  2 1 2 −    3 0 3     −4 5 6  
Bài 5. Tính các định thức sau: − 2 −2 −3 −1 1 4 3 4 3 1 1 3 − 3 6 3 2 − a) b) − 1 2 4 − 3 1 − 7 0 1 4 1 0 1 2 1 1 3 3 − 9 2 1 2 − 5 2 − 7 − 3 4 3 5 5 8 5 2 c) d ) 2 4 3 2 4 5 − 7 4 − 4 2 4 3 − 7 8 − 6 − 3
Bài 6. Tính các định thức sau (với a, , b ,
c d, x  R ): 2 −3 4 1 1 a 2 − 5 4 −2 3 2 2 b 5 2 a) b) a b c d 1 c 4 3 −2 −1 4 3 2 d 1 1 a x x x x a 0 0 x a x x a x a 0 c) d ) x x a x 0 a x a x x x a 0 0 a x  1 2 3    A = 1 − 1 4 Bài 7. a)Cho   
 . Tìm các phần tử trên dòng 2 của ma trận nghịch 2 1 − 3   đảo của A.  1 2 3    B = 4 − 1 2 b) Cho ma trận   
 . Tìm các phần tử trên cột 3 của ma trận nghịch 5 1 0   đảo của B. 1 2 1   1 3      a) 1 4 1 − .X = 4 − 5 Bài 8.       
 . Tìm phần tử dòng 1 cột 2 của ma trận X 2 1 − 2 2 1 −      1 − 3 1   1 − 3 1      b) X . 1 3 − 2 − = 1 2 2   
 . Tìm phần tử dòng 2 cột 3 của ma trận X.     4 2 1 2 − 4 3    
Bài 9. Tìm hạng của các ma trận sau:  −  3 5 6 4  1 2 3 − 4      2 6 − 0 7 a) 2 2 1 −1     b)    2 − 1 − 3 0  4 6 5 − 7      0 0 0 3 −  1 2 3 4   1 2 3 4      0 1 1 1 − 0 1 − 4 5 c)      d ) 0 0 1 1   1 − 3 − 1 1       2 5 7 7   1 3 2 3    −  2 0 1 3 1 −  1 2 1 1 0     2 1 − 1 3 4 0 2 − 1 5 3 −   e)   f ) 2 1 − 2 1 2 −  1 1 0 1 − 1      2 1 − 1 2 2 −   1 3 − 2 9 5 −     4 − 1 3 − 1 8   2 3 1 −   
Bài 10. Tìm m để r(A) =3, với: A = 3 − m 4     1 5 6    1 2 1    m −1 10  
Bài 11. Tìm m để r(B) lớn nhất: B =  − 1 m −6    2 5 1 
BÀI TẬP CHƯƠNG 3: (HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH)
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: x + x + x + x = 2 x - x + x - x = 2 1 2 3 4  1 2 3 4 
x + x + 3x − 4x = 2 x − x +2x = 0 a) 1 2 3 4  b) 1 3 4  2x +3x + 5x +9x = 2  -x +2x − 2x +7x = 7 − 1 2 3 4  1 2 3 4
x + x + 2x + 7x = 2 
2x − x − x = 3 1 2 3 4  1 2 3
x + 2x − x + 3x + x = 2
−x + x − x + x + x =1 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5 
2x − x + x − 4x − x = −3 3x 
− 2x + 2x − 3x + x = 2 c) 1 2 3 4 5  d) 1 2 3 4 5 
-x − 7x + 4x −13x - 4x = 9 − 
2x − x + x − 2x + 2x = 3 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5
x − 3x + 2x − 7x − 2x = 5 −  x − x +3x = 4 1 2 3 4 5  1 4 5
Bài 2. Tìm m để hệ có nghiệm, giải hệ với m vừa tìm được:
x + 2x − x + 3x = 2
2x − x + x − 4x = 3 − 1 2 3 4  1 2 3 4 
-x − 7x + 4x −13x = 9 −
-x − 7x + 4x −13x = 9 − a) 1 2 3 4  b) 1 2 3 4 
2x − x + x − 4x = 3 − 
x + 2x − x + 3x = 2 1 2 3 4  1 2 3 4
x − 3x + 2x − 7x = m 
x − 3x + 2x +mx = 5 − 1 2 3 4  1 2 3 4 x + 2x + 3x = 7 x + 2x +x + x = m 1 2 4 1 2 3 4   2x + 5x +x +5x = 16   x + 3x − x - x = 2 1 2 3 4  c) 1 2 3 4  d) 3x  + 7x + x +8x = 23 x + x + 3x +3x = 2m − 2 1 2 3 4  1 2 3 4 5x +12x +2x +13x = m 3x  + 7x +x +x = m  1 2 3 4  1 2 3 4 6x +14x +3x +16x = 46  1 2 3 4
Bài 3. Hãy xác định giá và lượng cân bằng của thị trường 2 hàng hóa, cho biết hàm
cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:
Hàng hóa 1: Qs1= -3 + 2p1, Qd1= 20 - 3p1+ 6p2 ;
Hàng hóa 2: Qs2= -4 + 6p2, Qd2= 5 + 3p1- 5p2.
Bài 4. Hãy xác định giá và lượng cân bằng của thị trường 3 hàng hóa, cho biết hàm
cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:
Hàng hóa 1: Qs1 = -10 + 2p1, Qd1= 44 - p1+ 6p2 - 7p3;
Hàng hóa 2: Qs2 = -20 + 2p2, Qd2 = 11 +5p1- 5p2 - 6p3;
Hàng hóa 3: Qs3 = -5 + 2p3, Qd3= 111 - 10p1 - 2p2 - 2p3;
Bài 5. Hãy xác định giá và lượng cân bằng của thị trường 3 hàng hóa, cho biết hàm
cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:
Hàng hóa 1: Qs1 = -10 + 3p1, Qd1 = 72 - p1+ 2p2 - 4p3;
Hàng hóa 2: Qs2 = -5 + 3p2, Qd2 = 45 +5p1- 9p2 - 2p3;
Hàng hóa 3: Qs3 = -13 + 2p3, Qd3 = 100 - 6p1 - p2 - 2p3; BÀI TẬP CHƯƠNG 4:
PHÉP TÍNH I PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN
Dạng 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2 x 6x khi x 3
Bài 1. Cho f (x)
. Tính lim f (x) 4x 2 khi x 3 x 3 2
x − 2020x + 2021 a Bài 2. Biết lim
= (a,b là hai số nguyên và (a,b) =1). Tính a + b ? 2 x→+ 4x + 5 b 2 x − 5x + 6
Bài 3. Tính giới hạn I = lim x→2 x − 2 10 − x − 3
Bài 4. Tính giới hạn lim x 1 → 3 + x − 2 x + 1 − x + 7
Bài 5. Tính giới hạn lim 2 x→2 x − 4 2 x + ax −12
Bài 6. Tìm a để lim = 5 x 2 →− x + 2 1+ ax −1 Bài 7. Giả sử lim
= L . Hệ số a bằng bao nhiêu để L =3. x→0 4x 1 4x 3 a Bài 8. Biết L lim (a,b
Z; (a,b) = 1). Tính a.b = ? 2 x 2 x 3x 2 b  x −1 −1  
Bài 9. Tìm m để hàm số khi x 2
f (x) =  x − 2
có giới hạn khi x dần tới 2. m khi x  2 
DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC VÀ KHẢ VI 2  x + 7x +10  khi x<-2
Bài 1. Chàm số f (x) =  x + 2 mx +3 khi x  −2
Tìm giá trị m để hàm số liên tục tại x = - 2.  x − 2x + 3  khi x  3
Bài 2. Cho hàm số : f (x) =  x − 3 mx+2 khi x  3
Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x =3? os4x c 1−2022x e − e  khi x  0
Bài 3. Cho hàm số f (x) =  x cos x 3x  + . m e khi x  0
Tìm m để f(x) liên tục tại x=0. 2
x − 2x + 3 khi x  2
Bài 4. Cho hàm số f (x) =  4x + a khi x  2
Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x =2. Khi đó hàm số f(x) có khả vi tại x =2 hay không? 1 1  − khi x  0
Bài 5. Cho hàm số f (x) x =  x e −1 m khi x = 0
a)Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x =0.
b)Hàm số f(x) có khả vi tại x=0 hay không?
ln(1+ x) − ln(1− x)  khi x  0
Bài 6. Cho hàm số f (x) =  x
.Tìm m để f(x) liên tục x =0. 2x + m +1 khi x = 0
DẠNG 3. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG KINH TẾ
Bài 1. Một hãng sản xuất quần áo có hàm chi phí: 2
TC = Q3 – 3Q2 + 132Q + 25 và hàm cầu là Q = 148 − P . 3
a)Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P=90, nêu ý nghĩa của con số đó.
b)Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho lợi nhuận cực đại.
Bài 2. Giả sử một doanh nghiệp sản xuất máy tính có hàm chi phí là: 2
TC = Q + 50Q + 600
a)Xác định chi phí cận biên tại mức sản lượng Q = 10 (đvsl). Nêu ý nghĩa của con số đó?
b)Nếu giá thị trường là P = 750 (đv tiền) để lợi nhuận của doanh nghiệp thu được đạt
cực đại thì doanh nghiệp cần sản xuất ở mức sản lượng là bao nhiêu?
Bài 3. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn của một doanh nghiệp là Q = 100.5 L3 (L  0) và
giá của một đơn vị sản phẩm là p = 5$; giá thuê một đơn vị lao động là pL= 3$.
a)Tính MPPL tại mức sử dụng lao động L0 = 32. Nêu ý nghĩa của con số đó?
b)Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. BÀI TẬP CHƯƠNG 4:
PHÉP TOÁN VI PHÂN HÀM SỐ HAI BIẾN
DẠNG 1. Tính đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số hai biến sau: a) 3 2 xy
z = x y + xe b) 2
z = sin(xy ) c) 2 2
z = x ln(x + y + 1)
Bài 2. Tính vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của các hàm số sau: 2 a) y z = x b) 2 3 z = os c (x y ) c) x y z = e
DẠNG 2. Các bài toán cực trị tự do của hàm hai biến
Bài 1. Tìm cực trị của hàm 3 2 2 f ( ,
x y) = 4x − x + y − 2xy
Bài 2. Tìm cực trị của hàm 2 2 f ( ,
x y) = x + y − 6x + 8y
Bài 3. Tìm cực trị của hàm 3 3 f ( ,
x y) = x + y − 3xy
Bài 4. Tìm cực trị của hàm ( , ) y
f x y = x + y − xe
Bài 5. Hãy xác định sản lượng tối ưu của một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 1
loại sản phẩm với hàm chi phí: 2 2
TC = 2Q + 4Q Q + Q +10 . 1 1 2 2
Doanh nghiệp bán sản phẩm tại 2 thị trường có hàm cầu như sau:
Cầu của thị trường 1: P = 50 − 2Q Cầu của thị trường 2: P =100 − 5Q 1 1 2 2
Bài 6. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm và bán sản phẩm của
mình tại 2 thị trường có hàm cầu như sau: 1
Cầu của thị trường 1: Q = 50 − P Cầu của thị trường 2: Q = 25 − P 1 1 2 2 3
Biết rằng doanh nghiệp sản xuất với hàm chi phí: 2 2
TC = Q + Q Q + Q +10 , 1 1 2 2
Bài 7. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là: 2 2
TC = 6Q + 3Q + 4Q Q + 205 và giá sản phẩm là P 1 2 1 2
1 = 560, P2 = 280. Hãy xác định mức
sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 8. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là: 2 2
TC = 6Q + 3Q + 4Q Q + 250 và giá sản phẩm là P 1 2 1 2
1 = 120, P2 = 68. Hãy xác định mức
sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa).
DẠNG 3. Các bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến
Bài 1. Tìm cực trị của hàm 2 2 f ( ,
x y) = x + y − 2x − 2y với điều kiện 2 2 x + y = 2
Bài 2. Tìm cực trị của hàm 2 2 f ( ,
x y) = x + 4xy + y với điều kiện x + y = 2
Bài 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 f ( ,
x y) = x +12xy + 2y với điều kiện 2 2 4x + y = 25 2 2 x y
Bài 4. Tìm cực trị của hàm f (x, y) = xy với điều kiện + = 1 8 2
CHƯƠNG 5: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Bài 1. Tính các tích phân sau: 1 1 0 5−3x 0 2 x − 3x + 5 1 3 x − 2 x + 2x +1 1.  dx dx dx dx 2x 3. 4.  +1 2.  4x  − 3 1− x 3 − 2x 0 −1 −1 0
Bài 2. Tính các tích phân sau: 1 1 0 1 2 1 4 1 1. dx  2. dx  3. dx  4. dx  2 x − 4 2 x + 2x − 8 2 2x + 3x +1 2 2 − x − x 0 1 − 1 3
Bài 3. Tính các tích phân sau: 0 2x + 2 0 2x − 3 1 x + 2 1 4 − 3x 1.  dx 2. dx  3. dx  4. dx  2 x + 2x − 2 − − 2 − − 2 − − − 3 x 2x 8 2x 3x 2 6 x x 2 1 − 0 2 −
Bài 4. Tính các tích phân sau: 2 x +1 3ln 2 5 1 1.  dx 2. dx  3. 3 2 x x +  4dx x −1 x + 2 0 e +1 0 2 1 6 2 −1 x + 3 1 4.  dx 5. dx  6.  dx x 5 − 2 3 1 x x x 1 x 1 −2 −
Bài 5. Tính các tích phân sau:    2 2 2 1. 2 2
(x + cos x) s inxdx  2. x cos xdx  3. (x +  1) sinxdx 0 0 0
Bài 6. Tính các tích phân sau: ln2 1 1 1. ( +1) x x e dx  2. 2 ( − x + ) x e x e dx  3. 2 1 (x-2)e x− dx  0 0 0
Bài 7. Tính các tích phân sau: e 2 3 ln(1+ x) e e 1+ 1+ ln x 2 ln x 1. x ln xdx  2. dx  3. dx  4. dx  2 x x x 1+ ln x. 1 1 1 1
Bài 8. Tính các tích phân suy rộng sau: + + + + 1 1+ ln x dx a) dx  b) 2x e− dx  c) dx  d)  2 x + 2x + 5 2 x 2 x(4 − ln x) 1 0 1 1
Bài 9. Cho biết hàm cầu ngược 2
p = 44 − 9Q − Q . Giả sử sản phẩm được bán trên d
thị trường với giá p = 8. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng. 0
Bài 10. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm là:
Q = 113 − p;Q = p −1 d s
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Bài 11. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm là:
Q = 164 − p;Q = p − 2 d s
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. 1
Bài 12. Cho hàm tiêu dùng cận biên MCP = 0, 4 +
và mức tiêu dùng thiết yếu là 3 Y
C = 55 Hãy tìm hàm tiêu dùng C(Y)? 0
Bài 13. Giả sử chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là 2
MR = 25 − 30Q + 9Q .
Hãy xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu về sản phẩm.
Bài 14. Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t được xác định dưới dạng hàm số 0,5
I (t) = 10t
và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0)=20.
a) Hãy xác định quỹ vốn tại thời điểm t=3.
b) Hãy xác định quỹ vốn trong khoảng thời gian từ t1 =4 đến t2 =9?
BÀI TẬP CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài tập. Giải các phương trình vi phân sau: 2 4 a) 4
xy '− 2 y = 2x b) 3
y '− 2xy = 2x c) y'− y = 1− lnx x x d) 2
x y'− 3y + x = 0 e) 2 ( ' ) x x y y e− − =
f) xy '− y = cos3x
…………………………………Hết………………………………………