Bài tập trắc nghiệm GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 12

Bài tập trắc nghiệm GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

19 10 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

42 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Strong Team Toán VD – VDC Trang 1/44
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
ĐỀ BÀI
Câu 1. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 5
y x x
trên đoạn
3;0
. Khi đó tổng
M m
là
A.
5
. B.
9
. C. 14. D.
8
.
Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
3 7
y x x
trên đoạn
0;4
là
A.
0
. B.
11
. C.
. D.
7
.
Câu 3. Cho hàm số
4 2
16 7
y x x
, gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn
0;4
. Tính giá trị biểu thức
2M m
.
A.
14
. B.
57
. C.
64
. D.
60
.
Câu 4. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 1
2
x
f x
x
trên đoạn
1;1
. Giá trị của biểu thức
2 3M m
là
A.
1
. B.
1
3
. C.
0
. D. 6.
Câu 5. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
trên đoạn
1
2;
2
. Giá trị của biểu thức
3
M m
bằng
A.
27
2
. B.
10
. C.
40
3
. D.
16
.
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
e 4e 4e 10
x x x
f x
trên đoạn
0 ; ln 4
A.
9
. B.
6
. C.
10
. D.
5
.
Câu 7. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln 2ln 3
f x x x
trên
đoạn
2
1;
e
. Giá trị
M m
bằng
A.
4
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
Câu 8. Giả sử
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
cos2 2sin 3
y x x
trên
3
0;
2
. Tính
4M m
.
A.
6
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 9. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
1 3
y x x
. Khi
đó
4
a
M m b c
, với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính
T a bc
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 2/44
A.
7
. B.
9
. C.
12
. D.
8
.
Câu 10. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1 5 3f x x x x
trên đoạn
2;4
. Tính giá trị biểu thức
T M m
.
A.
18T
. B.
19T
. C.
20T
. D.
2T
.
Câu 11. Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2 2
4 3 1 y x x x
trên
4;2
bằng
A.
200
. B.
200
. C.
50
. D.
0
.
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3 2 3y x x x
là 2
a
. Tìm
a
.
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 13. Cho hàm số
2
3 1 1 2y x x
. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn
3
0;
2
. Giả sử
M a
m b
(
a
b
là phân số tối giản), biểu thức
T a b
có giá trị
bằng
A. 37. B. 40. C. 13. D. 20.
Câu 14. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
, có đồ thị
C
như hình vẽ sau
Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
0;4
.
Khi đó biểu thức
2M m
có giá trị
A.
4
. B.
1
. C.
8
. D.
0
.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1 1y f x
trên đoạn
2;2
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 3/44
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
f x x x m
trên
1;2
bằng 5.
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 17. Tính tích tất cả các số thực
m
để hàm số
3 2
4
6 8
3
y x x x m
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0; 3
bằng
18
là.
A.
432
. B.
216
. C.
432
. D.
288
.
Câu 18. Cho hàm số
4 2
2 1
f x x x m
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
sao
cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;2
bằng
18
. Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
5
. B.
4
. C.
14
. D.
10
.
Câu 19. Cho hàm số
2
1
x m
f x
x
. Gọi
S
là tập hợp tất các giá trị của
m
để
2; 0
min 2
f x
.Tổng các
phần tử của tập
S
là
A.
2
. B.
8
. C.
5
. D.
3
.
Câu 20. Cho hàm số
2
1
x
y f x m
x
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị của
m
sao
cho
2;3
min 5
f x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 21. Cho hàm số
2
y f x ax bx c
có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên
của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
g x f x m
trên đoạn
0;4
bằng
9
.
A.
10
. B.
6
. C.
4
. D.
8
.
Câu 22. Cho hàm số
3
3f x x x
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số
sin 1
y f x m
bằng 4. Tổng các phần tử của
S
bằng
A. 4. B. 2. C. 0. D. 6.
Câu 23. Biết đồ thị hàm số
4 2
f x ax bx c
có đúng ba điểm chung với trục hoành và
1 1; 1 0
f f
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
m
để bất
phương trình
12
f x m
nghiệm đúng
0;2
x
. Số phần tử của
S
là
A.
10
. B.
16
. C.
11
. D.
0
.
Câu 24. Cho hàm số
2020
x
f x
x m
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho
0;2019
max 2020
f x
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Câu 25. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 4
2
x m
f x
x m
x
trên đoạn
1;1
bằng
3
. Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
Strong Team Toán VD – VDC Trang 4/44
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Câu 26. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số
m
sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
y x m x m
trên
2; 1
m
nhỏ hơn 2020.
A.
2043210
. B.
2034201
. C.
3421020
D.
3412020
.
Câu 27. Cho hàm số
3 2
9
6 3
2
y x x x m
. Tổng các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;3
không bé hơn 5.
A.
1
. B.
1
. C.
0
. D.
7
.
Câu 28. Cho hàm số
4 3 2
1
4
y x x x m
. Tính tổng tất cả các số nguyên
m
để
1;2
max 11
y
.
A.
19
. B.
37
. C.
30
. D.
11
.
Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 cos 2 sin 4
y x x m
trên
đoạn
0;
2
nhỏ hơn hoặc bằng 4?
A. 12. B. 14. C. 13. D. 15.
Câu 30. Cho hàm số
2
2 3
f x x mx
. Có bao nhiêu giá trị
m
nguyên để giá trị lớn nhất của
f x
trên đoạn
1;2
không lớn hơn
3
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 31. Cho hàm số
3 2
3 9
y x x x m
(với
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên
của tham số
m
để
2;3
max 50
y
. Tổng các phần tử của
M
là
A.
0
. B.
737
. C. 759. D.
215
.
Câu 32. Cho hàm số
4 3 2
2
y x x x a
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
để
1; 2
max 100
y
.
A.
197
. B.
196
. C.
200
. D.
201
.
Câu 33. Cho hàm số
sin cos
y x x m
, có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm số có giá trị lớn
nhất bé hơn
2
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 34. Gọi
M
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
y x x m
trên đoạn
2;1
. Với
3;3
m
, giá
trị lớn nhất của
M
bằng
A.
1
. B. 2. C.
3
. D.
4
.
Câu 35. Gọi
M
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 1
y x x m
trên đoạn
1;1
. Với
4;3
m
,
giá trị lớn nhất của
M
bằng
B.
1
. B. 2. C.
3
. D.
4
.
Câu 36. Cho hàm số
4 3 2
4 4
f x x x x m
. Khi
m
thuộc
3;3
thì giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x
trên đoạn
0;2
đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 5/44
Câu 37. Cho hàm số
2
4 2 3
y x x m
với
m
là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
1;3
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
a
khi
m b
. Tính
2
P b a
.
A.
1
2
. B.
13
4
. C.
9
4
. D.
6
.
Câu 38. Cho hàm số
3 2 2
1 27
y x x m x
. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
3; 1
có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của
S
là
A.
4
. B.
4
. C.
8
. D.
8
.
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
1 19
30
4 2
y x x x m
trên đoạn
0;2
đạt giá trị nhỏ nhất?
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Câu 40. Gọi
S
là tập hợp các giá trị thực của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
2
y x x m
trên đoạn
0;2
bằng 3. Số phần tử của
S
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
4
.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
9 9y x mx x m
trên đoạn
2;2
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D.
6
.
Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
8
y f x x x m
trên đoạn
1; 3
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
23
. B.
24
. C.
25
. D.
26
.
Câu 43. Cho hàm số
4 3 2
2
y x x x a
. Có bao nhiêu số thực
a
để
1;2
1;2
min max 10
y y
A.
1
. B.
5
. C.
3
. D.
2
.
Câu 44. Cho hàm số
2
4
x ax
y
x
(
a
là tham số). Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên
1;4
. Có bao nhiêu giá trị thực của
a
để
2 7
M m
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
Câu 45. Cho hàm số
4 3
( ) 2
f x x x m
(
m
là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của
m
sao cho
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10
f x f x
.
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 46. Cho hàm số
3 2
3
f x x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
thỏa mãn
1;3
1;3
3max 2min 17
f x f x
.
A.
9; 5;29
m
. B.
5
9; 5;
3
m
. C.
9; 5
m
. D.
9; 5;5
m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 6/44
Câu 47. Cho hàm số
3
3y f x x x m
. Tích tất cả các giá trị của tham số
m
để
0;2
0;2
min max 6f x f x
là
A.
16
B.
9
C.
16
D.
144
Câu 48. Cho hàm số
2
x m
f x
x
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị của
m
sao cho
0;1
0;1
2max 3min 6f x f x
. Số phần tử của
S
là
A.
6
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 49. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên trên đoạn
4;4
như sau
Có bao nhiêu giá trị của tham số
4;4m
để giá trị lớn nhất của hàm số
3
3g x f x x f m
trên đoạn
1;1
bằng
11
2
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 50. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ
Đặt
1 2 1 2
1 2
2 2
m m
g x f x x f
. Với giá trị nào của
m
thì giá trị nhỏ
nhất của hàm số
g x
là
0
.
A.
1
2
. B.
0
. C.
1
2
. D. Không tồn tại.
-------------------- HẾT --------------------
Strong Team Toán VD – VDC Trang 7/44
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.C
7.B
8.B
9.D
10.A
11.D
12.B
13.D
14.A
15.C
16.C
17.C
18.A
19.B
20.B
21.B
22.C
23.B
24.A
25.B
26.A
27.D
28.C
29.D
30.A
31.B
32.A
33.B
34.B
35.B
36.B
37.D
38.D
39.D
40.A
41.B
42.D
43.D
44.B
45.C
46.C
47.B
48.B
49.C
50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 5
y x x
trên đoạn
3;0
. Khi đó tổng
M m
là
A.
5
. B.
9
. C. 14. D.
8
.
Lời giải
Chọn C
Xét
2
4 5g x x x
liên tục trên đoạn
3;0
.
Ta có
2 4
g x x
,
0 2 3;0
g x x
.
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
3;0
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra
-3;0
max max 8 ; 9 ; 5 9
M g x
,
-3;0
min min 8 ; 9 ; 5 5
m g x
Vậy
14
M m
.
Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
3 7
y x x
trên đoạn
0;4
là
A.
0
. B.
11
. C.
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
3 2
3 7
f x x x
liên tục trên đoạn
0;4
.
Ta có:
2
3 6f x x x
,
2
0 0;4
0 3 6 0
2 0;4
x
f x x x
x
.
Ta có:
0 7
f
,
2 11
f
,
4 9
f
.
Bảng biến thiên của hàm số
f x
trên đoạn
0;4
Strong Team Toán VD – VDC Trang 8/44
Khi đó
0;4
max 9
f x
,
0;4
min 11
f x
.
Suy ra
0;4
max 11
f x
.
Câu 3. Cho hàm số
4 2
16 7
y x x
, gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn
0;4
. Tính giá trị biểu thức
2M m
.
A.
14
. B.
57
. C.
64
. D.
60
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
4 2
16 7
y x x
liên tục trên
0;4
.
Ta có
3
4 32f x x x
;
0 4 0;4
0 2 2 0;4
2 2 0;4
x
f x x
x
Có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
0;4
0;4
min 0 4 7; max 2 2 71
f x f f f x f
.
Vậy
2 57
M m
.
Câu 4. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 1
2
x
f x
x
trên đoạn
1;1
. Giá trị của biểu thức
2 3M m
là
A.
1
. B.
1
3
. C.
0
. D. 6.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
2 1
2
x
g x
x
liên tục trên đoạn
1;1
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 9/44
2
5
0
2
g x
x
,
1;1x
. Do đó hàm số
y g x
đồng biến trên đoạn
1;1
.
1 3g
;
1
1
3
g
.
Ta có bảng biến thiên của
g x
và
f x
trên đoạn
1;1
:
Suy ra
1;1 1;1 1;1
1
max max max 3 ; 3
3
M f x g x
khi
1x
.
Và
1;1 1;1 1;1
1
min min min 3 ;0; 0
3
m f x g x
khi
1
2
x
.
Vậy
2 3 2.3 3.0 6M m
.
Câu 5. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
trên đoạn
1
2;
2
. Giá trị của biểu thức
3M m
bằng
A.
27
2
. B.
10
. C.
40
3
. D.
16
.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
2
3 3
1
x x
y f x
x
.
Hàm số xác định và liên tục trên
1
2;
2
D
.
Ta có
2
2
2
1
x x
f x
x
,
0f x
0
2
x D
x D
.
Bảng biến thiên
Strong Team Toán VD – VDC Trang 10/44
Ta có
13
2
3
f
,
1 7
2 2
f
,
0 3
f
.
Suy ra
1
2;
2
max 3
f x
tại
0
x
,
1
2;
2
13
min
3
f x
tại
2
x
.
Từ đó ta có,
1
2;
2
13
max
3
M f x
tại
2
x
,
1
2;
2
min 3
m f x
tại
0
x
.
Vậy
3 16
M m
.
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
e 4e 4e 10
x x x
f x
trên đoạn
0 ; ln 4
A.
9
. B.
6
. C.
10
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
e
x
t
.
Ta có
0 ln4
x
0 ln 4
e e e
x
1 4t
.
Khi đó hàm số
f x
trên đoạn
0;ln 4
trở thành
3 2
4 4 10
g t t t t
, với
1;4
t
.
Xét hàm số
3 2
4 4 10
h t t t t
.
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
1;4
.
2
' 3 8 4h t t t
;
2 1;4
' 0
2
1;4
3
t
h t
t
.
1 9
h
,
2 10
h
,
4 6
h
.
Khi đó
1;4
max 6
h t
,
1;4
min 10
h t
.
Suy ra
0;ln4 1;4
max max 10
f x h t
khi
2 ln2
t x
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
f x
trên đoạn
0 ; ln 4
là 10.
Câu 7. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln 2ln 3
f x x x
trên
đoạn
2
1;
e
. Giá trị
M m
bằng
A.
4
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Xét
2
ln 2ln 3u x x x
trên
2
1;e
;
u x
xác định và liên tục trên
2
1;e
.
Ta có
2ln 2
x
u x
x x
,
2
0 ln 1 1;u x x x e e
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 11/44
Ta có
2
1 3, 4, 3.
u u e u e
2 2
2
1; 1;
max max max 1 , , 4
e e
M f x u x u u e u e
khi
x e
.
2 2
2
1; 1;
min min min 1 , , 3
e e
m f x u x u u e u e
khi
1x
.
Vậy
4 3 7.
M m
Câu 8 . Giả sử
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
cos2 2sin 3
y x x
trên
3
0;
2
. Tính
4M m
.
A.
6
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
cos2 2sin 3u x x x
với
3
0;
2
x
.
u x
liên tục trên
3
0;
2
.
+)
-2sin 2 2cosu x x x
.
+)
0
u x
-2sin2 2cos 0
x x
cos 2sin 1 0
x x
cos 0
2sin 1 0
x
x
2
2
6
5
2
6
x k
x k k
x k
. Mà
3
0;
2
x
nên
3 5
; ; ;
2 2 6 6
x
.
+)
0 2
u
,
3
6
2
u
,
2
2
u
,
3
6 2
u
,
5 3
6 2
u
.
Khi đó:
3π
0;
2
3
max
2
u x
,
3
0;
2
min 6
u x
.
Suy ra:
3π
0;
2
max 6
M u x
khi
3
2
x
,
3
0;
2
3
min
2
m u x
khi
5
;
6 6
x
.
Vậy
4 0
M m
.
Câu 9. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
1 3
y x x
. Khi
đó
4
a
M m b c
, với
a
,
b
,
c
nguyên. Tính
T a bc
.
A.
7
. B.
9
. C.
12
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
3; 3
D
.
Đặt
2
3 , 0; 3
t x t
.
Khi đó hàm số đã cho trở thành:
2 2
2 2
y t t t t
.
Xét
2
2g t t t
liên tục trên đoạn
0; 3
ta có:
1
2 1 0
2
g t t t
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 12/44
Bảng biến thiên của
y g t
và
y g t
trên đoạn
0; 3
.
Từ bảng biến thiên ta có:
1 9
2 4
M g
;
3 3 1m g
.
5
3
4
M m
5a
;
1b
;
3c
.
Vậy
5 1.3 8T a bc
.
Câu 10. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1 5 3f x x x x
trên đoạn
2;4
. Tính giá trị biểu thức
T M m
.
A.
18T
. B.
19T
. C.
20T
. D.
2T
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
D
.
Ta có
2
2
2
4 2 1
1 5 3
6 4 1
x x khi x
f x x x x
x x khi x
.
+) Với
1x
: Ta có
2
4 2f x x x .
Đạo hàm:
2 4f x x
.
0 2f x x
(nhận).
+) Với
1x
: Ta có
2
6 4f x x x .
Đạo hàm:
2 6f x x
.
0 3f x x
(loại).
+)
2 20f
;
2 2f
;
4 2f
.
+) Bảng biền thiên của hàm số
2
1 5 3f x x x x trên đoạn
2;4
.
ta có
2;4
max 2 20
x
M f x f
;
2;4
min 2 2
x
m f x f
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 13/44
Vậy
18
T M m
.
Câu 11. Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2 2
4 3 1
y x x x
trên
4;2
bằng
A.
200
. B.
200
. C.
50
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
D
.
Ta có:
2
2 4 2 khi ;1 3;
4 4 khi 1;3
x x x
y
x x
 
.
4 4 ;1 3;
'
4 1;3
 
x khi x
y
khi x
.
Có
' 0
y
(Vô nghiệm).
Bảng biến thiên
Ta có:
4 50
1 0
2 4
y
y
y
.
Suy ra
4;2
max 50
y
tại
4
x
4;2
;min 0
y
tại
0
x
.
Vậy
4;2
4;2
max . min 0
y y
.
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3 2 3
y x x x
là
2
a
. Tìm
a
.
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2
2
2
2
4 1 khi 3
2 5 khi 3 1
3 2 3
4 1 khi 1 2
2 5 khi 2
x x x
x x x
y x x x
x x x
x x x
.
Bảng biến thiên:
Strong Team Toán VD – VDC Trang 14/44
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là
4 2 4 2
a
a
.
Câu 13. Cho hàm số
2
3 1 1 2
y x x
. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn
3
0;
2
. Giả sử
M a
m b
(
a
b
là phân số tối giản), biểu thức
T a b
có giá trị
bằng
A. 37. B. 40. C. 13. D. 20.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
2
2
3 2 khi 2
1
3 2 khi 2
3
1
3 2 2 khi 2
3
3 2 2 khi 2
x x x
x x x
y
x x x
x x x
.
Xét trên đoạn
3
0;
2
ta có:
2
2
2
2
1
3 2 khi 0
3
1 2
3 4 khi
3 3
2
3 khi 2
3
3
3 4 khi 2
2
x x x
x x x
y
x x x
x x x
.
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
3
0;
2
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra
3
3
0;
0;
2
2
26 14
max ; min
9 9
M y m y
.
Vậy
13
7
M
m
hay
13; 7 20
a b T a b
.
Câu 14 . Cho hàm số
y f x
liên tục trên
, có đồ thị
C
như hình vẽ sau
Strong Team Toán VD – VDC Trang 15/44
Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
0;4
.
Khi đó biểu thức
2M m
có giá trị
A.
4
. B.
1
. C.
8
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
+) Từ đồ thị hàm số
y f x
ta suy ra đồ thị hàm số
y f x
như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và phía trên trục hoành của
C
( ứng với
0f x
) ,
lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành của
C
( ứng với
0
f x
).
Bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành của
C
.
+) Dựa vào đồ thị ta suy ra
0;4
max 4M f x
, đạt được khi
0x
hoặc
3x
.
0;4
min 0m f x
, đạt được khi
1x
hoặc
4x
. Vậy
2 4M m
.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Strong Team Toán VD – VDC Trang 16/44
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1 1
y f x
trên đoạn
2;2
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
1
g x f x
. Ta có bảng biến thiên
Khi đó hàm số
1
p x g x f x
là hàm chẵn nên có bảng biến thiên như sau
Xét hàm số
1 1 1 1
h x f x g x p x
. Ta có bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số
1 1
y f x h x
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số
1 1
y f x
trên đoạn
2;2
là
3
tại
2
x
.
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
f x x x m
trên
1;2
bằng 5.
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 17/44
Lời giải
Chọn C
+) Đặt
2
2
g x x x m
.
+) Ta có:
,
2 2g x x
,
0 2 2 0 1g x x x
.
+)
1 3
1 1
2
g m
g m
g m
.
+) Suy ra
1;2
1;2
min 1
max 3
g x m
g x m
.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1:
1 0 1
m m
.
1;2
min 1
f x m
1 5 6
m m
( thoả mãn).
TH2:
3 0 3
m m
.
1;2
min 3
f x m
3 5 8
m m
( thoả mãn).
TH3:
1 0 3 3 1
m m m
.
1;2
min 0
f x
mà theo bài
1;2
min 5
f x
nên không có
m
thỏa mãn.
Vậy có hai giá trị của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 17. Tính tích tất cả các số thực
m
để hàm số
3 2
4
6 8
3
y x x x m
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0; 3
bằng
18
là.
A.
432
. B.
216
. C.
432
. D.
288
.
Lời giải
Chọn C
+ Xét hàm số
3 2
4
6 8
3
f x x x x m
liên tục trên đoạn
0; 3
.
+ Ta có
2
4 12 8
f x x x
.
+
2
1 0;3
0 4 12 8 0
2 0;3
x
f x x x
x
.
+
10 8
0 ; 1 ; 2 ; 3 6
3 3
f m f m f m f m
.
Khi đó
0;3
0;3
max max 0 ; 1 ; 2 ; 3 3 6
min min 0 ; 1 ; 2 ; 3 0
f x f f f f f m
f x f f f f f m
.
Suy ra
0;3
min min 0; ; 6
y m m
.
TH1.
0
m
.
0;3
min 18
y m m
(thỏa mãn).
Strong Team Toán VD – VDC Trang 18/44
TH2.
6 0 6
m m
.
0;3
min 6 6 18 24
y m m m
(thỏa mãn).
TH3.
0;3
6 0 6 0
min 0
m m ym
(loại).
Kết luận: tích các số thực
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
24.18 432
.
Câu 18. Cho hàm số
4 2
2 1
f x x x m
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
sao
cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;2
bằng
18
. Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
5
. B.
4
. C.
14
. D.
10
.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
4 2
2 1
g x x x m
liên tục trên đoạn
0;2
.
3
4 4g x x x
.
0
g x
1 0;2
0 0;2
1 0;2
x
x
x
0 1
g m
,
1 2
g m
,
2 7
g m
.
0;2
min 2
x
g x m
,
0;2
max 7
x
g x m
.
0;2
min min 0, 2 , 7
x
f x m m
.
Trường hợp 1:
2
m
.
0;2
min 2 2 18 20
x
f x m m m
( nhận).
Trường hợp 2:
7 0 7
m m
.
0;2
min 7 7 18 25
x
f x m m m
(nhận).
Trường hợp 3:
2 7 0 7 2
m m m
.
0;2
min 0
x
f x
(loại).
Suy ra
20; 25
m
.
Vậy tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
5
.
Câu 19. Cho hàm số
2
1
x m
f x
x
. Gọi
S
là tập hợp tất các giá trị của
m
để
2; 0
min 2
f x
.Tổng các
phần tử của tập
S
là
A.
2
. B.
8
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
+)
\{1}
D
.
*) Với
2
m
. Ta có
2 2
2
1
x
f x
x
nên
2; 0
min 2
f x
. Vậy
2
m
(nhận).
*) Với
2
m
. Khi đó,
2
,
1
2
1
m
f x
x
x
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 19/44
+) Ta có
4
2
3
m
f
,
0
f m
;
( ) 0 2
2
m
f x x m x
. Ta xét các trường hợp
sau:
TH1: Đồ thị hàm số
( )y f x
cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ thuộc
2; 0
, tức là
2 0 4 0
2
m
m
. Khi đó
2; 0
min 0
f x
(loại).
TH2: Đồ thị hàm số
( )y f x
không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại một điểm có hoành
độ nằm ngoài đoạn
2; 0
, tức là
4
2
0
0
2
2
m
m
m m
(*).
Khi đó:
2; 0
4 4
min min 2 ; 0 min ; min ;
3 3
m m
f x f f m m
.
+) Nếu
2 2
4
4 3 4 3 4 2 4 4 0
3
m
m m m m m m m
2
1
m
m
(**) thì
2; 0
4
min
3
m
f x
.
Ta có
4 6 2 (loaïi, )
4
2
3
4 6 10 (nhaä
2
n)
m m m
m
m m
(do điều kiện (*) và (**)).
+) Nếu
4
3
m
m
1 2
m
thì
2; 0
min
f x m
.
Ta có
2 (loaïi)
2
2 (loaïi)
m
m
m
.
Suy ra
{2; 10}
S
.
Vậy tổng các phần tử của
S
là
8
.
Câu 20. Cho hàm số
2
1
x
y f x m
x
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị của
m
sao
cho
2;3
min 5
f x
. Số phần tử của
S
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Hàm số
2
1
x
y f x m
x
liên tục trên đoạn
2;3
.
2
2
2
1
x x
f x
x
.
Ta có
0
0
2
x
f x
x
;
0, 2 2;3
x x
.
2 4
f m
,
9
3
2
f m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 20/44
+ Nếu
9
2 . 3 0 4
2
f f m
thì
2;3
min 0
f x
. Trường hợp này không thoả yêu cầu
bài toán.
+ Ta xét trường hợp
9
2 . 3 0
2
4
m
f f
m
.
Khi đó
2;3
min min 2 ; 3
f x f f
9
min 4 ;
2
m m
.
TH1:
2;3
min 4 5
f x m
1
9
4 5
19
1
9
5
2
2
1
2
m
m
m
m
m
m
m
(thoả mãn).
TH2:
2;3
9
min 5
2
f x m
1
2
9
5
19
19
2
2
2
4 5
9
1
m
m
m
m
m
m
m
(thoả mãn).
Vậy có
2
giá trị của
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 21. Cho hàm số
2
y f x ax bx c
có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên
của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
g x f x m
trên đoạn
0;4
bằng
9
.
A.
10
. B.
6
. C.
4
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Strong Team Toán VD – VDC Trang 21/44
Từ đồ thị hàm số
2
y f x ax bx c
ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng
2
x
là trục
đối xứng, mà
0 5 4 5
f f
. Suy ra:
1 5, 0;4
f x x
.
Xét hàm số
g x f x m
,
0;4
x
.
Ta có:
0;4
1 ; 5
max g x max m m
.
Trường hợp 1:
0;4
3
1 5
3
10
8
9
1 9
10
m
m m
m
m
m
max g x
m
m
.
Trường hợp 2:
0;4
3
1 5
3
4
4
9
5 9
14
m
m m
m
m
m
max g x
m
m
.
Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của
m
là:
10 4 6
.
Câu 22. Cho hàm số
3
3f x x x
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số
sin 1
y f x m
bằng 4. Tổng các phần tử của
S
bằng
A. 4. B. 2. C. 0. D. 6.
Lời giải
Chọn C
Đặt
sin 1 0;2
t x t
, khi đó
3
sin 1 3
y f x m f t m t t m
.
Xét hàm số
3
3
u t t t m
liên tục trên đoạn
0;2
có
2
3 3
u t t
.
2
1 0;2
0 3 3 0
1 0;2
t
u t t
t
.
Ta có
0 ; 1 2; 2 2
u m u m u m
0;2
max 2
u x m
,
0;2
min 2
u x m
.
Khi đó
max max 2 ; 2
y m m
.
TH1:
6
2 4
2
2
2 2
0
m
m
m
m
m m
m
.
TH2:
2
2 4
2
6
2 2
0
m
m
m
m
m m
m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 22/44
Vậy
2; 2 2 2 0
S
.
Câu 23. Biết đồ thị hàm số
4 2
f x ax bx c
có đúng ba điểm chung với trục hoành và
1 1; 1 0
f f
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
m
để bất
phương trình
12
f x m
nghiệm đúng
0;2
x
. Số phần tử của
S
là
A.
10
. B.
11
. C.
11
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số
4 2
f x ax bx c
có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra
0 0 0
f c I
.
Ta có
3
4 2f x ax bx
.
Theo giả thiết
1 1
1
4 2 0
1 0
f
a b c
II
a b
f
.
Từ
I
và
II
suy ra
4 2
1; 2; 0 2a b c f x x x
.
Xét hàm số
4 2
2
y x x m
trên đoạn
0;2
.
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn
0;2
và có
3
0 0;2
0 4 4 0 1 0;2
1 0;2
x
y x x x
x
.
Khi đó
0
y m
;
1 1
y m
;
2 8
y m
.
0;2
0;2
max 8
min 1
y m
y m
.
Theo bài ra
4 2
8 12
8 1
2 12, 0;2 max 1 ; 8 12
1 12
1 8
m
m m
x x m x m m
m
m m
4 20
7
7
4
2
2
4 11
7
13 11
11
2
7
2
m
m
m
m
m
m
m
.
Suy ra
S
có 11 phần tử.
Câu 24. Cho hàm số
2020
x
f x
x m
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho
0;2019
max 2020
f x
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Hàm số
f x
xác định với mọi
x m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 23/44
*Nếu
2020
m
thì
1, 2020
f x x
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Nếu
2020
m
thì
f x
đơn điệu trên mỗi khoảng
;m
và
;m
nên yêu cầu bài
toán
0;2019
max 2020
f x
0;2019
max 0 ; 2019 2020
m
f f
0;2019
2020 4039
max ; 2020
2019
m
m m
.
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
0
0;2019
2019
2020
2020 1 1
4039
2020
4039
2019
2020
2019
m
m
m
m m
m
m
m
.
Trường hợp 2:
0
2019
0;2019
4082419
2021
4039 4082419
2020
2020 2021
4074341
2019 2020
2017
2020
2020
2020
2020
2020
m
m
m
m
m
m
m
m
m
.
Vậy có 2 giá trị của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 4
2
x m
f x
x m
x
trên đoạn
1;1
bằng
3
. Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
`A.
1
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định
\ 2
D R
.
Xét hàm số
2
2 4
2
x mx m
g x
x
trên đoạn
1;1
. Hàm số xác định và liên tục trên
1;1
.
Ta có
2
2
4
2
x x
g x
x
.
2
0 1;1
0 4 0
4 1;1
x
g x x x
x
.
Ta có
0 2g m
;
1 2 1
g m
;
1
1 2
3
g m
.
1;1
max 2 1
g x m
;
1;1
min 2g x m
.
Suy ra
1;1
max max 2 1 ; 2f x m m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 24/44
Ta có
1;1
2 1 3
1
2 1 2
max 3
3
2 3
2
2 2 1
m
m
m m
f x
m
m
m m
.
Suy ra
3
1;
2
S
.
Vậy tổng các phần tử thuộc tập
S
bằng
1
2
.
Câu 26. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số
m
sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
y x m x m
trên
2; 1
m
nhỏ hơn 2020.
A.
2043210
. B.
2034201
. C.
3421020
D.
3412020
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
+) Xét hàm số
2
1
f x x m x m
liên tục trên
2; 1
m
với
6
m
.
Ta có:
1
2 1 ; 0 2; 1
2
m
f x x m f x x m
.
Khi đó:
2
1
1
2 2 ; ; 1 2 .
2 4
m
m
f m f f m m
+) Vì
2
1
2 0, 6
4
m
m m
nên
[2; 1]
1
max max 2 ; ; 1 2
2
m
m
f x f f f m m
;
và
2
[2;m-1]
1
1
min min 2 ; ; 1
2 4
m
m
f x f f f m
.
Do đó:
2
[2;m-1]
1
min min 2 ; 2
4
m
y m m
+) Theo yêu cầu bài toán:
2 2020 2020 2 2020 2018 2022
m m m
+) Vì
m
và
6
m
nên
7;8;9; ;2021
m
.
+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
là:
2021
7
7 2021 2015
2043210
2
n
n
.
Cách 2:
+) Xét hàm số
2
1
f x x m x m
liên tục trên
2; 1
m
với
6
m
.
2
1
0 1 0
x
f x x m x m
x m
.
Do
6
m
nên ta có:
1
2
2
1
1
2
m
m
m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 25/44
2
1
1
2 2 ; ; 1 2 .
2 4
m
m
f m f f m m
Từ bảng biến thiên suy ra:
[2;m-1]
min 2
f x m
Theo bài ra ta có:
[2;m-1]
min 2020 2 2020 2022
f x m m
.
Kết hợp với điều kiện
6
m
suy ra
7;8;...;2021
m
.
+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
là:
2021
7
7 2021 2015
2043210
2
n
n
.
Câu 27. Cho hàm số
3 2
9
6 3
2
y x x x m
. Tổng các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;3
không bé hơn 5.
A.
1
. B.
1
. C.
0
. D.
7
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
3 2
9
6 3
2
f x x x x m
liên tục trên đoạn
0;3
.
Ta có
2
3 9 6f x x x
;
1 0;3
0
2 0;3
x
f x
x
.
0 3
f m
;
1
1
2
f m
;
2 1
f m
;
3
3
2
f m
.
Suy ra
0;3
3
max
2
f x m
;
0;3
min 3
f x m
.
TH1:
3
3 0
2
m m
. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
trên đoạn
0;3
là 0 (loại).
TH2:
3
3 0
2
m m
. Khi đó:
0;3
3
min min ; 3
2
y m m
.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;3
không bé hơn 5
Strong Team Toán VD – VDC Trang 26/44
3
3
2
3 5
3
3
2
3
5
2
m m
m
m m
m
3
4
8
2
3
4
7
2
13
2
m
m
m
m
m
m
8
13
2
m
m
.
Suy ra các giá trị
10;10
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
10; 9; 8; 7;8;9;10
S
.
Vậy tổng các giá trị
m
cần tìm là
7
.
Câu 28. Cho hàm số
4 3 2
1
4
y x x x m
. Tính tổng tất cả các số nguyên
m
để
1;2
max 11
y
.
A.
19
. B.
37
. C.
30
. D.
11
.
Lời giải
Chọn C
+ Xét hàm số
4 3 2
1
4
f x x x x m
liên tục trên đoạn
1; 2
.
+ Ta có
3 2
3 2f x x x x
.
+
3 2
0 1;2
0 3 2 0 1 1;2
2 1;2
x
f x x x x x
x
.
+
9 1
1 ; 0 ; 1 ; 2
4 4
f m f m f m f m
.
Khi đó
1;2
1;2
9
max max 1 ; 0 ; 1 ; 2 1
4
min min 1 ; 0 ; 1 ; 2 0 2
f x f f f f f m
f x f f f f f f m
.
Vậy
0;3
9
max max ,
4
y m m
, theo yêu cầu bài toán
0;3
max 11
y
9
11
4
9
4
11
9
4
m
m m
m
m m
53 35
4 4
9 35
9
35
8 4
8
11
9
4
11
11 11
8
9
8
m
m
m
m
m
m
m
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 27/44
Vì
m
nguyên nên
11; 10;...;8
m
.
Kết luận: tổng các số nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
11 10 9 ... 8 30
.
Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 cos 2 sin 4
y x x m
trên
đoạn
0;
2
nhỏ hơn hoặc bằng 4?
A. 12. B. 14. C. 13. D. 15.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
4 cos 2 sin 4
y x x m
2
4 1 cos 2sin
x x m
2
4sin 2sin
x x m
.
Đặt
sint x
, do
0;
2
x
nên suy ra
0;1
t
.
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 2
y t t m
trên đoạn
0;1
.
Xét hàm số
2
4 2
f t t t m
liên tục trên đoạn
0;1
, ta có:
8 2f t t
;
1
0 0;1
4
f t t
.
0
f m
;
1 6
f m
.
Trường hợp 1: Nếu
0
m
0;1
min
y m
. Kết hợp với giả thiết ta có
0 4
m
.
1
Trường hợp 2: Nếu
6 0
m
6
m
0;1
min 6
y m
. Kết hợp với giả thiết ta có
6 4
6
m
m
10 6
m
.
2
Trường hợp 3: Nếu
6 0
m m
6 0
m
0;1
min 0 4
y
. Trường hợp này thỏa mãn.
3
Từ
1 , 2
và
3
ta được
10;4
m
. Vì
m
là số nguyên nên
10, 9, 8,..., 2,3, 4
m
.
Vậy có 15 số nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 30. Cho hàm số
2
2 3
f x x mx
. Có bao nhiêu giá trị
m
nguyên để giá trị lớn nhất của
f x
trên đoạn
1;2
không lớn hơn
3
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có giá trị lớn nhất của
f x
trên đoạn
1;2
không lớn hơn 3, tức là
1;2
max 3
f x
2
2
2 3 3, 1;2
2 3 3, 1;2
x mx x
x mx x
2
2 , 1; 2
6
2 , 1; 2
m x x
x
m x
x
1;2
2
1;2
2 max 1
6
2 min 2
m x
x
m
x
.
+)
1 2 2 1.
m m
+) Xét hàm
2
6 6
x
g x x
x x
với
1;2
x
có
2
6
1g x
x
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 28/44
Suy ra:
0, 1;2
g x x
1;2
min 2 5
g x g
.
Do đó
5
2
2
m
.
Vậy
5
1
2
m
, mà
m
nên
1;2
m
.
Câu 31. Cho hàm số
3 2
3 9
y x x x m
(với
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên
của tham số
m
để
2;3
max 50
y
. Tổng các phần tử của
M
là
A.
0
. B.
737
. C. 759. D.
215
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
3 2
3 9
f x x x x m
liên tục trên đoạn
2;3
.
Ta có
2
3 6 9f x x x
.
2
1
0 3 6 9 0
3
x
f x x x
x
.
Có
2 2; 1 5; 3 27
f m f m f m
.
Suy ra
2;3
max 5
f x m
;
2;3
min 27
f x m
.
Do đó
2;3
max max 5 ; 27
M y m m
.
5 27
2 22 0
5 50
11;45
50 5 50
50 23;45
2 22 0
23;11
5 27
50 27 50
27 50
m m
m
m
m
m
M m
m
m
m m
m
m
.
Do đó
22; 21; 20;...; 1;0;1;2;...;44
S
.
Vậy tổng các phần tử của
M
là 737.
Câu 32. Cho hàm số
4 3 2
2
y x x x a
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
để
1; 2
max 100
y
.
A.
197
. B.
196
. C.
200
. D.
201
.
Lời giải
Chọn A
Xét
4 3 2
2
u x x x a
liên tục trên đoạn
1; 2
.
3 2
' 4 6 2u x x x
.
0 1;2
' 0 1 1;2
1
1;2
2
x
u x
x
Suy ra
1; 2
1; 2
1
max max 1 , 0 , , 1 , 2 1 2 4
2
1
min min 1 , 0 , , 1 , 2 0 1
2
M u u u u u u u u a
m u u u u u u u u a
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 29/44
Vậy
1; 2
4 100
100 2
max max 4 , 100
4 100
2 96
a a
a
y a a
a a
a
.
Vậy
100, 99,..., 96
a
có
197
số nguyên thỏa mãn.
Câu 33. Cho hàm số
sin cos
y x x m
, có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm số có giá trị lớn
nhất bé hơn
2
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
sin cos
f x x x m
, có tập xác định:
D
.
Ta có:
2 sin cos 2
m x x m m
,
x
.
Suy ra
2 2
m f x m
,
x
.
Vậy:
max 2
D
y m
hoặc
max 2
D
y m
.
Yêu cầu bài toán
2 2
2 2 2 2
2 2
0
2 2 2 2
2 2
0
2 2
m
m
m m
m
m
m
m
m m
0 2 2
2 2 2 2
2 2 0
m
m
m
.
Do
0
m m
. Vậy chỉ có một giá trị nguyên của
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 34. Gọi
M
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
y x x m
trên đoạn
2;1
. Với
3;3
m
, giá
trị lớn nhất của
M
bằng
A.
1
. B.2. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Xét
2
2
f x x x m
liên tục trên
2;1
.
Ta có:
2 2
f x x
;
0 1 2;1
f x x
.
2
f m
;
1 3
f m
;
1 1
f m
;
+) Trường hợp 1:
1 3 0 3 1
m m m
, lúc đó
2;1
min 0
M y
.
+) Trường hợp 2:
3
1 3 0
1
m
m m
m
(*).
Do đó:
2;1
min min 1 ; 3
M y m m
.
Khi
2 2
1 3 1 3 1
m m m m m
, kết hợp với điều kiện (*) ta được
1
m
,
lúc đó:
2;1
min 1
M y m
.
Khi
1 3
m m
1
m
, kết hợp với điều kiện (*) ta được
3
m
, lúc đó:
Strong Team Toán VD – VDC Trang 30/44
2;1
min 3
M y m
.
Xét các giá trị
3;3
m
0 khi 3 1
0 khi 3 1
1 khi 1 3
1 khi 1 3
m
m
M
m m
m m
.
Dễ dàng nhận thấy M đạt giá trị lớn nhất bằng
2
khi
3
m
.
Câu 35. Gọi
M
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 1
y x x m
trên đoạn
1;1
. Với
4;3
m
,
giá trị lớn nhất của
M
bằng
B.
1
. B. 2. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Xét
3 2
3 1
f x x x m
trên
1;1
.
Ta có:
2
3 6f x x x
;
0 1;1
0
2 1;1
x
f x
x
.
1 1
f m
;
0 1
f m
;
1 3
f m
;
+) Trường hợp 1:

1 3 0 3 1
m m m
,
1;1
min 0
M y
.
+) Trường hợp 2:

1
1 3 0
3
m
m m
m
(*).
Do đó:
1;1
min min 1 ; 3
M y m m
.
Khi
2 2
1 3 1 3 1
m m m m m
, kết hợp với điều kiện (*) ta được
1
m
,
lúc đó:
1;1
min 1
M y m
.
Khi
1 3
m m
1
m
, kết hợp với điều kiện (*) ta được
3
m
, lúc đó:
1;1
min 3
M y m
.
Xét các giá trị
4;3
m
:
3 4 3
0 3 1
1 1 3
m khi m
M khi m
m khi m
Strong Team Toán VD – VDC Trang 31/44
Dựa vào đồ thị, M đạt giá trị lớn nhất bằng
2
khi
3m
.
Câu 36. Cho hàm số
4 3 2
4 4f x x x x m
. Khi
m
thuộc
3;3
thì giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x
trên đoạn
0;2
đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định:
D
.
Xét
4 3 2
4 4u x x x x m
liên tục trên
0;2
.
Ta có
3 2
4 12 8u x x x x
,
0
0 1
2
x
u x x
x
.
Ta có:
0
1 1
2
u m
u m
u m
.
Suy ra:
[0;2]
[0;2]
min
max 1
u x m
u x m
.
0;2
min min 0; ; 1f x m m
hoặc
0;2
min 0f x
, với
3;3m
(*).
Trường hợp 1:
1 0 1 0m m m
.
0;2
min 0f x
Strong Team Toán VD – VDC Trang 32/44
Trường hợp 2:
0m
kết hợp với (*) ta có:
0 3m
.
0;2
min f x m
.
Trường hợp 3:
1 0 1m m
kết hợp với (*) ta có
3 1m
.
0;2
min 1f x m
.
Khi đó:
[0;2]
, 0;3
min 1 , 3; 1
0 , 1;0
m m
f x m m
m
.
Dựa vào đồ thị ta thấy
[0;2]
min f x đạt giá trị lớn nhất bằng
3
khi
3m
.
Câu 37. Cho hàm số
2
4 2 3y x x m
với
m
là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
1;3
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
a
khi
m b
. Tính
2P b a
.
A.
1
2
. B.
13
4
. C.
9
4
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
2
4 2 3y f x x x m
liên tục trên đoạn
1;3
.
+)
2 4f x x
;
0 2 1;3f x x
.
+)
1 2 6f m
,
2 2 7f m
,
3 2 6f m
.
Khi đó
1;3
max max 2 6 ; 2 7f x m m M
.
Ta có:
2 6
2 2 6 7 2 2 6 7 2 1
2 7 7 2
M m
M m m m m
M m m
1
2
M
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 33/44
Dấu
" "
xảy ra
1
2 6 2 7
13
2
4
2 6 7 2 0
m m
m
m m
.
Do đó
1
2
M a
khi
13
4
m b
2 6
P b a
.
Câu 38. Cho hàm số
3 2 2
1 27
y x x m x
. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
3; 1
có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của
S
là
A.
4
. B.
4
. C.
8
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
3 2 2
1 27
f x x x m x
liên tục trên đoạn
3; 1
.
Ta có
2 2
3 2 1 0
f x x x m
với
3; 1
x
.
Ta có
2
3 6 3f m
;
2
1 26
f m
.
Khi đó
2 2
3; 1
max max 6 3 ; 26
f x m m M
.
Lại có
2 2
2 2
6 3 6 3
4 72 18
26 3 3 78
M m M m
M M
M m M m
.
Dấu bằng xẩy ra khi
2 2
2
2 2
6 3 26 18
2 2
8
6 3 3 78 0
2 2
m m
m
m
m m
m
.
Vậy với
2 2
2 2
m
m
thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
3; 1
có giá trị nhỏ nhất.
Khi đó tích các giá trị là
2 2. 2 2 8
.
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
1 19
30
4 2
y x x x m
trên đoạn
0;2
đạt giá trị nhỏ nhất?
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
4 2
1 19
30
4 2
f x x x x m
liên tục trên đoạn
0;2
.
Ta có
3
19 30
f x x x
+
5 0;2
0 3 0;2
2 0;2
x
f x x
x
.
+ Ta có :
0 ; 2 26
f m f m
.
Khi đó
0;2
max max ; 26
f x m m
26
m
;
0;2
min min ; 26
f x m m
m
.
Suy ra
0;2
max max ; 26
f x m m
M
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 34/44
Ta có
26
M m m
M m
2 26
M m m
26
2
m m
M
26
2
m m
13
.
Dấu bằng xảy ra khi
26 13
26 0
m m
m m
13
m
.
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
1 19
30
4 2
y x x x m
trên đoạn
0;2
đạt giá trị nhỏ
nhất bằng
13
khi
13
m
.
Vậy có
1
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 40. Gọi
S
là tập hợp các giá trị thực của tham số
m
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
2
y x x m
trên đoạn
0;2
bằng 3. Số phần tử của
S
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Xét
2
2
u x x m
liên tục trên trên đoạn
0;2
.
Ta có:
2 2u x
;
0 2 2 0 1 0;2
u x x
.
0 , 1 1, 2
u m u m u m
Khi đó:
0;2
max max 0 , 1 , 2 ax , 1,
u u u u m m m m m
.
0;2
min min 0 , 1 , 2 min , 1, 1
u u u u m m m m
.
Suy ra
0;2
3
3
3
1 1
max max 1 , 3 3, 2
1 3 4
2
1
1
m
m
m
m m m m
y m m m m
m m
m
m m
m m
.
Vậy số phần tử của
S
là 2.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
9 9y x mx x m
trên đoạn
2;2
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
3 2
9 9f x x mx x m
. Dễ thấy
2;2
min 0
f x
, dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi phương
trình
0
f x
có nghiệm
2;2
x
.
Ta có:
2 2
9 9
f x x x m x m x x m
.
3
0 3
x
f x x
x m
.
Do đó điều kiện cần và đủ để
0
f x
có nghiệm
2;2
x
là
2;2
m
.
Mà
m
nên
2; 1;0;1;2
m
.
Vậy có
5
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 35/44
Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
8
y f x x x m
trên đoạn
1; 3
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
23
. B.
24
. C.
25
. D.
26
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
4 2
8
y f x x x m
=
2
4 2 2
8 4 16
x x m x m
.
Đặt
2
2
4
t x
, vì
1; 3
x
, suy ra
0; 25
t
.
Khi đó
16
y g t t m
.
Ta có
1;3 0; 25
min min min 9 , 16
f x g t m m
.
Nếu
9 0 9
m m
, khi đó
1;3
min
f x
=
9 0
m
, khi đó
1;3
min min 0
f x
, khi
9
m
.
Nếu
16 0 16
m m
, khi đó
1;3
min
x
f x
=
16 0
m
, khi đó
1;3
min min 0
f x
, khi
16
m
.
Nếu
9 16 0 16 9
m m m
, khi đó
1;3
min
x
f x
=
0
, khi đó
1;3
min min 0
f x
.
Vậy
1;3
min min 0
f x
, khi
16 9
m
.
Vì
m
, nên có
26
số nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 43. Cho hàm số
4 3 2
2
y x x x a
. Có bao nhiêu số thực
a
để
1;2
1;2
min max 10
y y
A.
1
. B.
5
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
4 3 2
2
u x x x a
liên tục trên đoạn
1; 2
có
3 2
4 6 2u x x x
.
0 1;2
0 1 1;2
1
1;2
2
x
u x
x
1;2
1;2
1
max max 1 , 2 , 0 , , 1 1 2 4.
2
1
min min 1 , 2 , 0 , , 1 0 1
2
M u u u u u u u u a
m u u u u u u u u a
+) Trường hợp 1: Nếu
1;2
1;2
0 0 min ; max .m a y m y M
Ta có điều kiện
0
3
4 10
a
a
a a
( thoả mãn).
+) Trường hợp 2: Nếu
0 4
M a
.
Khi đó:
1;2
1;2
min ; max
y M y m
.
Ta có điều kiện
4
7
4 10
a
a
a a
( thoả mãn).
Strong Team Toán VD – VDC Trang 36/44
+) Trường hợp 3:
0 4 0
m M a
.
Khi đó:
1;2
1;2
min 0; max max 4 , max 4; 10
y y a a a a
.
Suy ra
1;2
1;2
min max 0 10 10
y y
( loại).
Vậy có 2 giá trị của tham số
a
thỏa mãn đề bài là
3
7
a
a
.
Câu 44. Cho hàm số
2
4
x ax
y
x
(
a
là tham số). Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên
1;4
. Có bao nhiêu giá trị thực của
a
để
2 7
M m
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
2
4
x ax
g x
x
liên tục trên đoạn
1;4
.
Ta có
2
2
4
0
x
g x
x
1;4
x
Hàm số đồng biến trên
1;4
1;4
1;4
min 1 3
max 4 3
g x g a
g x g a
.
Trường hợp 1:
3 0 3
a a
.
Ta có
3 3
3 3
a a
a a
1;4
1;4
min 3
max 3
m g x a
M g x a
.
Khi đó
2 7
M m
3 2 3 7
a a
10
3
a
(thỏa mãn).
Trường hợp 2:
3 0 3
a a
.
Ta có
3 3
3 3
a a
a a
1;4
1;4
min 3
max 3
m g x a
M g x a
.
Khi đó
2 7
M m
3 2 3 7
a a
10
3
a
(thỏa mãn).
Trường hợp 3:
3 0 3 3 3
a a a
.
Ta có
3 3
3 3
a a
a a
1;4
1;4
min 0
max max 3; 3
m g x
M g x a a
Khi đó
2 7
M m
3 2.0 7 4
3 3 0
4
3 2.0 7 4
3 3 0
a a
a a a
a
a a
a a a
(không thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị của
a
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
10
3
a
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 37/44
Câu 45. Cho hàm số
4 3
( ) 2
f x x x m
(
m
là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của
m
sao cho
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10
f x f x
.
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta xét
4 3
( ) 2
f x x x m
liên tục trên đoạn
0;1
,
3 2
'( ) 4 6f x x x
.
0 0;1
'( ) 0
3
0;1
2
x
f x
x
.
(0) ; (1) 1
f m f m
.
Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu
0
m
thì
0;1
0;1
max ( ) 1 ; min ( )
f x m f x m
.
Khi đó:
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10 (1 ) 2( ) 10 3
f x f x m m m
( thỏa điều kiện).
- Nếu
1
m
thì
0;1
0;1
max ( ) ; min ( ) 1
f x m f x m
.
Khi đó:
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10 2( 1) 10 4
f x f x m m m
(thỏa điều kiện).
- Nếu
1
1
2
m
thì
0;1
0;1
max ( ) ; min ( ) 0
f x m f x
.
Khi đó:
0;1
0;1
max ( ) 2 min ( ) 10 10
f x f x m
( không thỏa điều kiện).
- Nếu
1
0
2
m
thì
0;1
0;1
max ( ) 1 ; min ( ) 0
f x m f x
.
Khi đó:
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10 1 10 9
f x f x m m
( không thỏa điều kiện).
Do đó có hai giá trị
3
m
và
4
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy tổng tất cả các giá trị của
m
sao cho
0;1
0;1
max ( ) 2min ( ) 10
f x f x
là
1
.
Câu 46. Cho hàm số
3 2
3
f x x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
thỏa mãn
1;3
1;3
3max 2min 17
f x f x
.
A.
9; 5;29
m
. B.
5
9; 5;
3
m
. C.
9; 5
m
. D.
9; 5;5
m
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
3 2
3
f x x x m
liên tục trên đoạn
1;3
.
Xét hàm số
3 2
3
y x x m
Ta có
2
3 6
y x x
;
0 1;3
0
2 1;3
x
y
x
Khi đó
1;3
1;3
min min 1 ; 3 ; 2 min 2; ; 4 4
max max 1 ; 3 ; 2 max 2; ; 4
y y y y m m m m
y y y y m m m m
Strong Team Toán VD – VDC Trang 38/44
+) Nếu
1;3
1;3
min 4
4 0 4
max
f x m
m m
f x m
.
Ta có
1;3
1;3
3max 2min 17 3 2 4 17 9
f x f x m m m
(thoả mãn).
+) Nếu
1;3
1;3
min
0
max 4
f x m
m
f x m
.
Ta có
1;3
1;3
3max 2min 17 3 4 2 17 5
f x f x m m m
( thoả mãn).
+) Nếu
1;3
1;3
min 0
0 2
max 4
f x
m
f x m
.
Ta có
1;3
1;3
5
3max 2min 17 3 4 17
3
f x f x m m
( không thoả mãn).
+) Nếu
1;3
1;3
min 0
2 4
max
f x
m
f x m
.
Ta có
1;3
1;3
17
3max 2min 17 3 17
3
f x f x m m
(không thoả mãn).
Vậy
9; 5
m
.
Câu 47. Cho hàm số
3
3
y f x x x m
. Tích tất cả các giá trị của tham số
m
để
0;2
0;2
min max 6
f x f x
là
A.
16
. B.
9
. C.
16
. D.
144
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số:
3
3
f x x x m
trên
0;2
Ta có:
2
3 3
f x x
.
Khi đó
1
0
1
x
f x
x
.
Ta có:
0
1 2
2 2
f m
f m
f m
suy ra
0;2
0;2
x
min 2
2ma
f x m
f x m
.
Trường hợp 1:
2
2 2 0
2
m
m m
m
.
Khi đó:
0;2
0;2
min max 6 2 2 6
f x f x m m
.
Nếu
2
m
ta có:
2 2 6 3
m m m
(thỏa).
Nếu
2
m
ta có:
2 2 6 3
m m m
(thỏa).
Trường hợp 2:
2 2 0 2 2
m m m
(*)
Khi đó:
0;2
min 0
f x
và
Strong Team Toán VD – VDC Trang 39/44
0;2
0;2 0;2
min max 6 6
maxf x f x f x
.
2 2
2 2
2 6
4 8
4
4
2 2 2 2
4 8
2 6
m m
m m
m
m m
m
m
m m m m
m m
m
(không thỏa (*))
Vậy tích các giá trị của tham số
m
thỏa yêu cầu bài toán là:
3.3 9
.
Câu 48. Cho hàm số
2
x m
f x
x
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập hợp các giá trị của
m
sao cho
0;1
0;1
2max 3min 6
f x f x
. Số phần tử của
S
là
A.
6
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta thấy hàm số
2
x m
f x
x
liên tục trên đoạn
0;1
,
1
0 ; 1
2 3
m m
f f
và đồ thị hàm
số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
x m
.
Trường hợp 1: Nếu
0 1 1 0
m m
thì
0;1
1
max max ;
2 3
m m
f x
;
0;1
min 0
f x
.
Do đó
0;1
0;1
6
2 6
2
2max 3min 6 8
1
2 6
10
3
m
m
f x f x m
m
m
(không thỏa mãn).
Trường hợp 2: Nếu
0 0
m m
thì
0;1
1
max max ;
2 3
m m
f x
;
0;1
1
min min ;
2 3
m m
f x
.
Ta có
1 2
2 3 6
m m m
suy ra
1
khi 2
2 3
1
khi 0 2
2 3
m m
m
m m
m
.
+ Với
2
m
, ta có
0;1
0;1
5
2max 3min 6 1 6
2
f x f x m m m
( thỏa mãn).
+ Với
0 2
m
, ta có
0;1
0;1
1 32
2max 3min 6 2. 3. 6
3 2 13
m m
f x f x m
( không thỏa mãn).
Trường hợp 3: Nếu
1 1
m m
thì
0;1
0;1
1 1
max max ; ; min min ;
2 3 2 3
m m m m
f x f x
.
Strong Team Toán VD – VDC Trang 40/44
Ta có
1 2
0, 1
2 3 6
m m m
m
suy ra
1
khi 1
2 3
m m
m
. Do đó:
0;1
0;1
1 7
2max 3min 6 2. 3. 6
2 3 2
m m
f x f x m
( thỏa mãn).
Vậy có
2
giá trị của
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 49. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên trên đoạn
4;4
như sau
Có bao nhiêu giá trị của tham số
4;4
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
3
3
g x f x x f m
trên đoạn
1;1
bằng
11
2
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
y g x
trên đoạn
4;4
.
Ta có
4;4 4;4
x x
g x g x
y g x
là hàm số chẵn trên
4;4
.
Do đó:
1;1 0;1
11
max max
2
g x g x
.
Xét
0;1
x
khi đó:
3
3
g x f x x f m
Đặt
3
3u x x
,
2
3 3 0, 0;1
u x x
. Suy ra
0 1 0 4
u u u u
.
Hàm số trở thành
h u f u f m
với
0;4
u
.
0;1 0;4
max max 0 3
g x h u f f m f m
Mà
0;1
11
max
2
g x
11 5
3
2 2
f m f m
.
Từ bảng biến thiên của hàm số
y f x
suy ra có 4 giá trị của
m
.
Câu 50. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ
Strong Team Toán VD – VDC Trang 41/44
Đặt
1 2 1 2
1 2
2 2
m m
g x f x x f
. Với giá trị nào của
m
thì giá trị nhỏ
nhất của hàm số
g x
là
0
.
A.
1
2
. B.
0
. C.
1
2
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn A
Với
1 1
;
2 2
m
điều kiện xác định của
g x
là:
1 1
1 2 0
2 2
x x
.
Trên tập
1 1
;
2 2
D
hàm số
f x
có đồ thị
Do đó đồ thị hàm số
y f x
có dạng :
Strong Team Toán VD – VDC Trang 42/44
Ta có
1 1
0 1, ;
2 2
f x x
và
0 1 2 1 1 1 2 0
x x
1 1 2 1
f x x
.
Do đó
1 1
;
2 2
1 2 1 2
min 1
2 2
m m
g x f
vị trí
0
x
.
Theo yêu cầu bài toán
1 1
;
2 2
1 2 1 2
min 0 1
2 2
m m
g x f
.
Đặt
1 2 1 2
2 2
m m
t
,
1 1
;
2 2
m
.
Ta có
1 1 1 1 1
0, ;
2 2
2 2 1 2 1 2
t m
m m
t
đồng biến trên
1 1
;
2 2
1 1
2 2
t
.
Khi đó
1 1 2 1 2 1
1
2 2
2 2
m m
f t t
1
2
m
.
Vậy
1
2
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
-------------------- HẾT --------------------
| 1/42
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ĐỀ BÀI Câu 1.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  4x  5 trên đoạn
3;0 . Khi đó tổng M m là A. 5 . B. 9 . C. 14. D. 8 . Câu 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x  3x  7 trên đoạn 0;  4 là A. 0 . B. 11. C. 9. D. 7 . Câu 3. Cho hàm số 4 2
y x 16x  7 , gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 
4 . Tính giá trị biểu thức M  2m . A. 14 . B. 57 . C. 64 . D. 60 . 2x 1 Câu 4.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  trên đoạn x  2  1  ; 
1 . Giá trị của biểu thức 2M  3m là 1 A. 1. B. . C. 0 . D. 6. 3 2 x  3x  3 Câu 5.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên đoạn x 1  1  2; 
. Giá trị của biểu thức 3M m bằng 2    27 40 A. . B. 10 . C.  . D. 16 . 2 3 Câu 6.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   3x 2 e 4e x 4ex f x   
10 trên đoạn 0 ; ln 4 A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 5 . Câu 7.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
 ln x  2 ln x  3 trên đoạn 2 1  ; e  
 . Giá trị M m bằng A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 3 . Câu 8.
Giả sử M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2x  2sin x  3  3  trên 0; 
. Tính M  4m . 2    A. 6 . B. 0 . C. 2  . D. 3 . Câu 9.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y x 1  3  x . Khi a đó M m
b c , với a , b , c nguyên. Tính T a bc . 4 Strong Team Toán VD – VDC Trang 1/44 A. 7 . B. 9 . C. 12 . D. 8 .
Câu 10. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x 1  x  5x  3 trên đoạn  2
 ; 4. Tính giá trị biểu thức T M m . A. T  18 . B. T  19 . C. T  20 . D. T  2 .
Câu 11. Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2
y x  4x  3  x 1 trên  4  ; 2 bằng A. 2  00 . B. 200 . C. 50 . D. 0 .
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  3x  2  x  3 là 2a . Tìm a . A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 13. Cho hàm số 2
y  3x 1 1  x  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  3  M a a hàm số trên đoạn 0;  . Giả sử  (
là phân số tối giản), biểu thức T a b có giá trị 2    m b b bằng A. 37. B. 40. C. 13. D. 20.
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên  , có đồ thị C  như hình vẽ sau
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 0; 4 .
Khi đó biểu thức M  2m có giá trị A. 4 . B. 1. C. 8 . D. 0 . Câu 15. Cho hàm số
y f x có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x   1 1 trên đoạn  2  ; 2. A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Strong Team Toán VD – VDC Trang 2/44
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x  2x m trên  1  ; 2 bằng 5. A. 3. B. 1. C. 2 . D. 4 . 4
Câu 17. Tính tích tất cả các số thực m để hàm số 3 2 y
x  6x  8x m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3 0;  3 bằng 18 là. A. 432 . B. 2  16. C. 4  32. D. 288 .
Câu 18. Cho hàm số f x 4 2
x  2x m 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao
cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 
2 bằng 18 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 5  . B. 4 . C. 1  4 . D. 1  0 . 2x m
Câu 19. Cho hàm số f x 
. Gọi S là tập hợp tất các giá trị của m để min f x  2 .Tổng các 1 x  2;  0
phần tử của tập S là A. 2 . B. 8 . C. 5  . D. 3 . 2 x
Câu 20. Cho hàm số y f x 
m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao x 1
cho min f x  5 . Số phần tử của S là 2;3 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Câu 21. Cho hàm số    2 y
f x ax bx c có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên
của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g x  f x  m trên đoạn 0;  4 bằng 9 . A. 1  0. B. 6  . C. 4 . D. 8 .
Câu 22. Cho hàm số f x 3
x  3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số y f sin x 1  m bằng 4. Tổng các phần tử của S bằng A. 4. B. 2. C. 0. D. 6.
Câu 23. Biết đồ thị hàm số   4 2
f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành và f   1  1  ; f  
1  0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất
phương trình f x  m  12 nghiệm đúng x0; 
2 . Số phần tử của S là A. 10 . B. 16 . C. 11. D. 0 . x  2020
Câu 24. Cho hàm số f x 
( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m x m
sao cho max f x  2020 . 0;2019 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2  x m f xx 2m 4  trên đoạn  1  ; 
1 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng x  2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 3/44 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 26. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  m  
1 x m trên 2;m   1 nhỏ hơn 2020. A. 2043210 . B. 2034201. C. 3421020 D. 3412020 . 9 Câu 27. Cho hàm số 3 2 y x
x  6x  3  m . Tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2
10;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;3 không bé hơn 5. A. 1. B. 1. C. 0 . D. 7 . 1 Câu 28. Cho hàm số 4 3 2 y
x x x m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max y 11. 4 1;2 A. 1  9. B. 3  7 . C. 3  0. D. 11.
Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên m 2
để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4 cos x  2 sin x m  4 trên    đoạn 0;  nhỏ hơn hoặc bằng 4? 2    A. 12. B. 14. C. 13. D. 15.
Câu 30. Cho hàm số f x 2
x  2mx  3 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 1;  2 không lớn hơn 3 ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 31. Cho hàm số 3 2
y x  3x  9x m (với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên
của tham số m để max y  50 . Tổng các phần tử của M là  2  ;  3 A. 0 . B. 737 . C. 759. D. 2  15 . Câu 32. Cho hàm số 4 3 2
y x  2x x a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để max y  100 .  1  ; 2 A. 197 . B. 196 . C. 200 . D. 201.
Câu 33. Cho hàm số y  sin x  cos x m , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có giá trị lớn nhất bé hơn 2 . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 34. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  2x m trên đoạn 2; 
1 . Với m  3;3, giá
trị lớn nhất của M bằng A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 .
Câu 35. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  3x m 1 trên đoạn 1; 
1 . Với m  4; 3,
giá trị lớn nhất của M bằng B. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 .
Câu 36. Cho hàm số f x 4 3 2
x  4x  4x m . Khi m thuộc  3  ; 
3 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x trên đoạn 0; 
2 đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Strong Team Toán VD – VDC Trang 4/44 Câu 37. Cho hàm số 2
y x  4x  2m  3 với m là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1; 
3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng a khi m b . Tính P  2b a . 1 13 9  A. . B. . C. . D. 6 . 2 4 4 Câu 38. Cho hàm số 3 2
y x x   2 m  
1 x  27 . Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3;  
1 có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của S là A. 4 . B. 4 . C. 8 . D. 8 .
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 1 19 4 2 y x
x  30x m trên đoạn 0; 
2 đạt giá trị nhỏ nhất? 4 2 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.
Câu 40. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y x  2x m trên đoạn 0; 
2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4 .
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x mx  9x  9m trên đoạn  2
 ; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 .
Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 4 2
 x  8x m trên đoạn  1  ; 
3 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 23. B. 24 . C. 25 . D. 26 . Câu 43. Cho hàm số 4 3 2
y x  2x x a . Có bao nhiêu số thực a để min y  max y  10  1  ;2  1  ;2 A. 1 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . 2 x ax  4
Câu 44. Cho hàm số y
( a là tham số). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x
nhất của hàm số trên 1;4. Có bao nhiêu giá trị thực của a để M  2m  7 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 Câu 45. Cho hàm số 4 3
f (x)  x  2 x m ( m là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của m sao cho
max f (x)  2 min f (x)  10 . 0;  1 0;  1 A. 4 . B. 3  . C. 1. D. 2 .
Câu 46. Cho hàm số f x  3 2
x  3x m . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn
3 max f x  2 min f x  17 . 1;3 1;3  5  
A. m 9;5;  29 . B. m  9  ; 5  ;  .
C. m 9;  5 . D. m 9; 5  ;  5 .  3  Strong Team Toán VD – VDC Trang 5/44
Câu 47. Cho hàm số y f x 3
x  3x m . Tích tất cả các giá trị của tham số m để
min f x  max f x  6 là 0;2 0;2 A. 16 B. 9  C. 16 D. 144 x m
Câu 48. Cho hàm số f x 
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho x  2
2 max f x  3min f x  6 . Số phần tử của S là 0;  1 0;  1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 49. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên trên đoạn  4  ; 4 như sau
Có bao nhiêu giá trị của tham số m  4
 ; 4 để giá trị lớn nhất của hàm số 11
g x  f  3
x  3 x   f m trên đoạn  1  ;  1 bằng . 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 50. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ
 1 2m  1 2m
Đặt g x  f x  1 2 x f
 . Với giá trị nào của m thì giá trị nhỏ  2 2   
nhất của hàm số g x là 0 . 1 1 A.  . B. 0 . C. . D. Không tồn tại. 2 2
-------------------- HẾT -------------------- Strong Team Toán VD – VDC Trang 6/44 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A 11.D 12.B 13.D 14.A 15.C 16.C 17.C 18.A 19.B 20.B 21.B 22.C 23.B 24.A 25.B 26.A 27.D 28.C 29.D 30.A 31.B 32.A 33.B 34.B 35.B 36.B 37.D 38.D 39.D 40.A 41.B 42.D 43.D 44.B 45.C 46.C 47.B 48.B 49.C 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  4x  5 trên đoạn
3;0 . Khi đó tổng M m là A. 5 . B. 9 . C. 14. D. 8 . Lời giải Chọn C
Xét g x 2
x  4x  5 liên tục trên đoạn 3;0 .
Ta có g x  2x  4 , g x  0  x  2   3  ; 0 .
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 3; 0
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra M  max g x  max 8  ; 9  ; 5    9 , -3;0
m  min g x  min 8  ; 9  ; 5    5 -3;0
Vậy M m  14 . Câu 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x  3x  7 trên đoạn 0;  4 là A. 0 . B. 11. C. 9. D. 7 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số f x 3 2
x  3x  7 liên tục trên đoạn 0;  4 .
x  0 0; 4
Ta có: f  x 2
 3x  6x , f  x 2
 0  3x  6x  0   .
x  2 0; 4  Ta có: f 0  7  , f 2  1
 1, f 4  9.
Bảng biến thiên của hàm số f x trên đoạn 0; 4 Strong Team Toán VD – VDC Trang 7/44
Khi đó max f x  9 , min f x  1  1. 0;4 0;4
Suy ra max f x  11. 0;4 Câu 3. Cho hàm số 4 2
y x 16x  7 , gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 
4 . Tính giá trị biểu thức M  2m . A. 14 . B. 57 . C. 64 . D. 60 . Lời giải Chọn B Xét hàm số 4 2
y x 16x  7 liên tục trên 0;  4 .
x  0  40; 4 
Ta có f  x 3
 4x  32x ; f  x  0  x  2 2 0; 4 
x  2 2 0; 4  Có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: min f x  f 0  f 4  7; max f x  f 2 2  71. 0;  4 0;4
Vậy M  2m  57 . 2x 1 Câu 4.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  trên đoạn x  2  1  ; 
1 . Giá trị của biểu thức 2M  3m là 1 A. 1. B. . C. 0 . D. 6. 3 Lời giải Chọn D 2x 1
Xét hàm số g x 
liên tục trên đoạn  1  ;  1 . x  2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 8/44 5 g x   0 , x   1  ; 
1 . Do đó hàm số y g x đồng biến trên đoạn  1  ;  1 .  x  22 1 g   1  3  ; g   1  . 3
Ta có bảng biến thiên của g x và f x trên đoạn  1  ;  1 :  1 
Suy ra M  max f x  max g x  max  3 ;   3 khi x  1  . 1;  1 1;  1 1;  1 3    1  1
Và m  min f x  min g x  min  3 ;0;   0 khi x  .  1  ;  1 1;  1  1  ;  1 3   2
Vậy 2M  3m  2.3  3.0  6 . 2 x  3x  3 Câu 5.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên đoạn x 1  1  2; 
. Giá trị của biểu thức 3M m bằng 2    27 40 A. . B. 10 . C.  . D. 16 . 2 3 Lời giải Chọn D. 2 x  3x  3
Đặt y f x  . x 1  1 
Hàm số xác định và liên tục trên D  2;  . 2    2 x  2xx  0  D
Ta có f  x 
, f  x  0  .   x  2 1 x  2  D  Bảng biến thiên Strong Team Toán VD – VDC Trang 9/44 13  1  7
Ta có f 2   , f     , f 0  3  . 3  2  2 13
Suy ra max f x  3 tại x  0 , min f x  tại x  2 .  1   1  3 2;  2  ; 2       2  13
Từ đó ta có, M  max f x 
tại x  2 , m  min f x  3 tại x  0 .  1  3  1  2;  2; 2       2 
Vậy 3M m 16 . Câu 6.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   3x 2 e 4e x 4ex f x   
10 trên đoạn 0 ; ln 4 A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 5 . Lời giải Chọn C
Đặt ex t . Ta có 0  x  ln 4 0 x ln 4  e  e  e 1  t  4 .
Khi đó hàm số f x trên đoạn 0;ln 4 trở thành g t  3 2
t  4t  4t 10 , với t 1;4.
Xét hàm số ht  3 2
t  4t  4t 10 .
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1;4. t  2 1;4 h t 2 '
 3t  8t  4 ; h 't  0    2 . t  1;4  3 h  1  9  , h2  1
 0 , h4  6 .
Khi đó max h t   6 , min h t   10 . 1;4 1;4
Suy ra max f x  max ht   10 khi t  2  x  ln 2 . 0;ln4 1;4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0 ; ln 4 là 10. Câu 7.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
 ln x  2 ln x  3 trên đoạn 2 1  ; e  
 . Giá trị M m bằng A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn B Xét u x 2
 ln x  2 ln x  3 trên 2 1  ;e  
 ; u x xác định và liên tục trên 2 1  ;e    . 2 ln x 2
Ta có u x  
, u x  
x   x e   2 0 ln 1 1; e  . x x Strong Team Toán VD – VDC Trang 10/44
Ta có u     u e   u  2 1 3, 4, e   3.
M  max f x  max u x 2
 max u 1 , u e , u e
 4 khi x e . 2 2            1;e 1;e    
m  min f x  min u x 2
 min u 1 , u e , u e  3 khi x  1 . 2 2            1;e 1;e    
Vậy M m  4  3  7.
Câu 8 . Giả sử M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2x  2sin x  3  3  trên 0; 
. Tính M  4m . 2    A. 6 . B. 0 . C. 2  . D. 3 . Lời giải Chọn B  3   3 
Xét hàm số u x  cos 2x  2sin x  3 với x  0; 
. u x liên tục trên 0; . 2       2 
+) u x  -2sin 2x  2cos x . cos x  0
+) u x  0  -2sin 2x  2cos x  0  cos x 2sin x  
1  0  2sin x 1 0    x   k  2     3   3  5   x
k 2 k   . Mà x  0; nên x   ; ; ; .   6  2     2 2 6 6   5  x   k 2  6  3        3  5  3 +) u 0  2  , u  6    , u  2    , u     , u     .  2   2   6  2  6  2 3
Khi đó: max u x   , min u x  6 .  3π   3  0; 2  0; 2       2  3 3  5 
Suy ra: M  max u x  6 khi x
, m  min u x  khi x   ;  .  3π   3  2 0; 2  6 6   0;   2     2 
Vậy M  4m  0 . Câu 9.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y x 1  3  x . Khi a đó M m
b c , với a , b , c nguyên. Tính T a bc . 4 A. 7 . B. 9 . C. 12 . D. 8 . Lời giải Chọn D
Tập xác định: D   3; 3 .   Đặt 2
t  3  x ,t  0; 3  .  
Khi đó hàm số đã cho trở thành: 2 2
y  t t  2  t t  2 . Xét g t  2
t t  2 liên tục trên đoạn 0; 3 ta có:   1
gt   2t 1  0  t  . 2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 11/44
Bảng biến thiên của y g t  và y g t  trên đoạn 0; 3 .    1  9
Từ bảng biến thiên ta có: M g   
; m g  3  3 1.  2  4 5  M m
 3  a  5 ; b  1; c  3 . 4
Vậy T a bc  5 1.3  8 .
Câu 10. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x 1  x  5x  3 trên đoạn  2
 ; 4. Tính giá trị biểu thức T M m . A. T  18 . B. T  19 . C. T  20 . D. T  2 . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D   . 2 
x  4x  2 khi x  1
Ta có f x 2
x 1  x  5x  3   . 2
x  6x  4 khi x  1 
+) Với x  1: Ta có f x 2
x  4x  2 .
Đạo hàm: f  x  2x  4 .
f  x  0  x  2 (nhận).
+) Với x  1: Ta có f x 2
x  6x  4 .
Đạo hàm: f  x  2x  6 .
f  x  0  x  3 (loại). +) f  2
   20 ; f 2  2
 ; f 4  2 .
+) Bảng biền thiên của hàm số f x 2
x 1  x  5x  3 trên đoạn  2  ; 4.
ta có M  max f x  f  2
   20 ; m  min f x  f 2  2  . x   2  ;4 x   2;  4 Strong Team Toán VD – VDC Trang 12/44
Vậy T M m  18 .
Câu 11. Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2
y x  4x  3  x 1 trên  4  ; 2 bằng A. 2  00 . B. 200 . C. 50 . D. 0 . Lời giải Chọn D
Tập xác định: D   . 2
2x  4x  2 khi x    ;1  3;    Ta có: y   .
4x  4 khi x   1;3 
4x  4 khi x    ;1 3;     y '   . 4 khi x   1;3 
Có y '  0 (Vô nghiệm). Bảng biến thiên  y 4  50  Ta có:  y   1  0 .  y2  4 
Suy ra max y  50 tại x  4
 ; min y  0 tại x  0 .  4  ;2  4  ;2 Vậy  max  y . min  y   0 .  4  ;2 4;2    
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  3x  2  x  3 là 2a . Tìm a . A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn B 2 x  4x 1 khi x  3   2
x  2x  5 khi  3  x  1 Ta có 2
y x  3x  2  x  3   . 2
x  4x 1 khi 1  x  2   2 x  2x  5 khi x  2  Bảng biến thiên: Strong Team Toán VD – VDC Trang 13/44
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4  2a  4  a  2 . Câu 13. Cho hàm số 2
y  3x 1 1  x  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  3  M a a hàm số trên đoạn 0;  . Giả sử  (
là phân số tối giản), biểu thức T a b có giá trị 2    m b b bằng A. 37. B. 40. C. 13. D. 20. Lời giải Chọn D 2
 3x x  2 khi x   2   1 2 3x  2  x khi  2  x    3 Ta có y   . 1 2
 3x  2  2  x khi  x  2  3  2
3x  2  x  2 khi x  2    1 2
x  3x  2 khi 0  x   3  1 2  2
x  3x  4 khi  x   3   3 3 Xét trên đoạn 0;  ta có: y   . 2    2 2 x  3x khi  x  2  3  3 2
x  3x  4 khi 2  x   2  3 
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 0;  2    26 14
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra M  max y
; m  min y  .  3   3  0; 9 0; 9   2     2  M 13 Vậy 
hay a  13;b  7  T a b  20 . m 7
Câu 14 . Cho hàm số y f x liên tục trên  , có đồ thị C  như hình vẽ sau Strong Team Toán VD – VDC Trang 14/44
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 0; 4 .
Khi đó biểu thức M  2m có giá trị A. 4 . B. 1. C. 8 . D. 0 . Lời giải Chọn A
+) Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra đồ thị hàm số y f x như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và phía trên trục hoành của C  ( ứng với f x  0 ) ,
lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành của C  ( ứng với f x  0 ).
Bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành của C  .
+) Dựa vào đồ thị ta suy ra M  max f x  4 , đạt được khi x  0 hoặc x  3. 0;4
m  min f x  0 , đạt được khi x  1 hoặc x  4 . Vậy M  2m  4 . 0;4
Câu 15. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Strong Team Toán VD – VDC Trang 15/44
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x   1 1 trên đoạn  2  ; 2 . A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Xét hàm số g x  f x  
1 . Ta có bảng biến thiên
Khi đó hàm số p x  g x   f x  
1 là hàm chẵn nên có bảng biến thiên như sau
Xét hàm số h x  f x  
1 1  g x  1  p x 1. Ta có bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 1 1  h x
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y f x   1 1 trên đoạn  2  ; 2 là 3 tại x  2 .
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x  2x m trên  1  ; 2 bằng 5. A. 3. B. 1. C. 2 . D. 4 . Strong Team Toán VD – VDC Trang 16/44 Lời giải Chọn C
+) Đặt g x 2
x  2x m . +) Ta có: ,
g x  2x  2 ,
g x  0  2x  2  0  x  1. g   1  m  3  +) g   1  m 1 .
g 2  m
min g x  m 1  1  ;2 +) Suy ra  . max g
x  m  3 1;2 
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: m 1  0  m  1 .
min f x  m 1  m 1  5  m  6 ( thoả mãn).  1  ;2
TH2: m  3  0  m  3  .
min f x  m  3  m  3  5  m  8  ( thoả mãn).  1  ;2
TH3: m 1  0  m  3  3   m 1 .
min f x  0 mà theo bài min f x  5 nên không có m thỏa mãn. 1;2  1  ;2
Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn. 4
Câu 17. Tính tích tất cả các số thực m để hàm số 3 2 y
x  6x  8x m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3 0;  3 bằng 18 là. A. 432 . B. 2  16. C. 4  32. D. 288 . Lời giải Chọn C 4
+ Xét hàm số f x 3 2
x 6x 8x m liên tục trên đoạn 0;  3 . 3
+ Ta có f x 2  4x 1  2x 8. x 10;  3  + f x 2
 0  4x 12x 8  0   . x  2   0;  3  10 8 + f 0  ; m f   1   ; m f 2   ; m f   3  6  m . 3 3 m
 ax f x max   f   0 ; f   1 ; f   2 ; f   3   f   3  m  6  0; 3  Khi đó  . m
 in f x min f   0 ; f   1 ; f   2 ; f   3   f   0  m  0; 3 
Suy ra min y  min0; m ; m  6 . 0;  3 TH1. m  0 .
min y m m  18 (thỏa mãn). 0;  3 Strong Team Toán VD – VDC Trang 17/44
TH2. m  6  0  m  6  . min y m  6  m
 6 18  m  2  4 (thỏa mãn). 0;  3
TH3. mm  6  0  6  m  0  min y  0 (loại). 0;  3
Kết luận: tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2  4.18  4  32 .
Câu 18. Cho hàm số f x 4 2
x  2x m 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao
cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 
2 bằng 18 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 5  . B. 4 . C. 1  4 . D. 1  0 . Lời giải Chọn A
Xét hàm số g x 4 2
x  2x m 1 liên tục trên đoạn 0;  2 . g x 3  4x  4x . x  1  0; 2 
g x  0  x  0   0;2 x 10;2 
g 0  m 1, g  
1  m  2 , g 2  m  7 .
 min g x  m  2 , max g x  m  7 . x   0; 2 x   0;2
 min f x  min0, m  2 , m  7 . x   0;2
Trường hợp 1: m  2 .
min f x  m  2  m  2  18  m  20 ( nhận). x   0;2
Trường hợp 2: m  7  0  m  7  .
min f x  m  7  m  7  18  m  25  (nhận). x   0;2
Trường hợp 3: m  2m  7  0  7   m  2 .
min f x  0 (loại). x   0;2
Suy ra m 20; 2  5 .
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 5  . 2x m
Câu 19. Cho hàm số f x 
. Gọi S là tập hợp tất các giá trị của m để min f x  2 .Tổng các 1 x  2;  0
phần tử của tập S là A. 2 . B. 8 . C. 5  . D. 3 . Lời giải Chọn B
+) D   \ {1} . 2x  2
*) Với m  2 . Ta có f x 
 2 nên min f x  2 . Vậy m  2 (nhận). 1 x  2;  0 2  m
*) Với m  2 . Khi đó, f  x  , x  1 . 1 x2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 18/44 m  4 m
+) Ta có f 2 
, f 0  m ; f (x)  0  2x m x
. Ta xét các trường hợp 3 2 sau:
TH1: Đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ thuộc  2  ; 0 , tức là m 2 
 0  4  m  0 . Khi đó min f x  0 (loại). 2  2;  0
TH2: Đồ thị hàm số y f (x) không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại một điểm có hoành  m  2  m  4 2 
độ nằm ngoài đoạn  2  ; 0 , tức là    (*). m m  0   0   2 Khi đó:  m  4   m  4 
min f x  min f  2
  ; f 0  min  ; m   min  ; m  .  2  ; 0 3 3     m  4 2 2 +) Nếu
m m  4  3 m  m  4  3m  4  2m4m  4  0 3 m  2 m  4  
(**) thì min f x  . m  1    2  ; 0 3 m  4 m  4  6
m  2 (loaïi, m  2) Ta có  2  
(do điều kiện (*) và (**)). 3   m  4  6 m  10 (nhaän)   m  4 +) Nếu  m  1
  m  2 thì min f x  m . 3  2  ; 0 m  2 (loaïi) Ta có m  2   . m  2 (loaïi) 
Suy ra S  {2; 10} .
Vậy tổng các phần tử của S là 8  . 2 x
Câu 20. Cho hàm số y f x 
m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao x 1
cho min f x  5 . Số phần tử của S là 2;3 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B 2 x
Hàm số y f x 
m liên tục trên đoạn 2;  3 . x 1 2 x  2x
f  x  .  x  2 1 x  0
Ta có f  x  0  
; x  0, x  2 2;3 . x  2  9
f 2  m  4 , f 3  m  . 2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 19/44 9
+ Nếu f 2. f 3  0    m  4
 thì min f x  0 . Trường hợp này không thoả yêu cầu 2 2;3 bài toán.  9 m  
+ Ta xét trường hợp f 2. f 3 0    2 . m  4    9 
Khi đó min f x  min f 2 ; f 3  min  m  4 ; m  . 2;  3 2   m  1 m  9   m  4  5   
TH1: min f x  m  4  5  19      m  1 9 m   (thoả mãn). 2;3 m   5    2 2    1   m    2  1 m   2  9  9 m   5 19   19
TH2: min f x  m   5  2   m     m   (thoả mãn). 2;  3 2  2 2  m 4 5     m  9 m 1 
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 21. Cho hàm số    2 y
f x ax bx c có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên
của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g x  f x  m trên đoạn 0;  4 bằng 9 . A. 1  0. B. 6  . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B Strong Team Toán VD – VDC Trang 20/44 Từ đồ thị hàm số    2 y
f x ax bx c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  2 là trục
đối xứng, mà f 0  5  f 4  5 . Suy ra: 1 f x  5, x  0;  4 .
Xét hàm số g x  f x  m , x  0;4 .
Ta có: max g x  maxm 1 ; m  5 . 0;4 m  3 
m 1  m  5  m  3    Trường hợp 1:     m  8  m  1  0 .
max g x  9 m 1  9   0;4    m  1  0  m  3 
m 1  m  5  m  3    Trường hợp 2:     m  4  m  4 .
max g x  9 m  5  9   0;4    m  1  4 
Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của m là: 10  4   6 .
Câu 22. Cho hàm số f x 3
x  3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số y f sin x 1  m bằng 4. Tổng các phần tử của S bằng A. 4. B. 2. C. 0. D. 6. Lời giải Chọn C
Đặt t  sin x  1 t 0; 2 , khi đó y f
x    m f t  3 sin 1
m t  3t m .
Xét hàm số u t 3
t 3t m liên tục trên đoạn 0; 
2 có ut 2  3t  3. t  10;2 ut  2
 0  3t  3  0   .
t  10; 2  Ta có u 0  ; m u  
1  m  2; u 2  m  2  max u x  m  2 , min u x  m  2 . 0;2 0;2
Khi đó max y  max m  2 ; m  2  . m  6  m2  4    TH1:  
m  2  m  2   .
m  2  m   2   m 0 m2  m 2  4    TH2:   
m  6  m  2   .
m  2  m   2   m   0  Strong Team Toán VD – VDC Trang 21/44
Vậy S   2  ;  2  2  2  0.
Câu 23. Biết đồ thị hàm số   4 2
f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành và f   1  1  ; f  
1  0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất
phương trình f x  m  12 nghiệm đúng x 0; 
2 . Số phần tử của S là A. 10 . B. 11 . C. 11. D. 0 . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số   4 2
f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra f 0  0  c  0  I  .
Ta có f  x 3
 4ax  2bx .  f    1  1
a b c  1 Theo giả thiết    II  . f     1  0 4a  2b  0  
Từ  I  và  II  suy ra a b   c   f x 4 2 1; 2; 0  x  2x . Xét hàm số 4 2
y x 2x m trên đoạn 0; 2.
x  0 0; 2 
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0; 2 và có 3
y  0  4x  4x  0  x  1  0;2 .
x  10;2 
max y  m  8  0;2
Khi đó y 0  m  ; y   1  m
 1; y 2  m 8 .   .
min y  m 1  0;2 
 m  8  12  
 m  8  m 1   Theo bài ra 4 2
x  2x m  12, x
 0; 2  max m 1 ; m  8  12    m 1  12 
 m 1  m  8    4   m  20   7  7  m  4   m   2   2     4   m  11  .  1  3  m  11 7    m  11   7  2 m    2 Suy ra S có 11 phần tử. x  2020
Câu 24. Cho hàm số f x 
( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m x m
sao cho max f x  2020 . 0;2019 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A
Hàm số f x xác định với mọi x m . Strong Team Toán VD – VDC Trang 22/44 *Nếu m  2
 020 thì f x  1, x   20 
20 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Nếu m  2
 020 thì f x đơn điệu trên mỗi khoảng  ;  m và  ;
m  nên yêu cầu bài toán m 0; 2019 m 0; 2019  
max f x  2020       2020 4039   . 0;2019 max 
f 0 ; f 2019  2020 max   ;   2020  m m  2019     
Ta xét hai trường hợp sau:    m  0 m   0;2019 m  2019    2020  Trường hợp 1:   2020  m  1   m  1 . m   4039    2020 4039   2020  m  2019 m 2019     m  0   m  2019  m  0;2019  4082419  m   2021  4039    2020 4082419 Trường hợp 2:   2020    m   2021 . m  2019 4074341 2020  m   2017   2020 2020   2020  2020 m     2020  m
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2  x m f xx 2m 4  trên đoạn  1  ; 
1 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng x  2 1 1 3 `A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B
Tập xác định D R \   2 . 2
x  2mx  4m
Xét hàm số g x  trên đoạn  1  ; 
1 . Hàm số xác định và liên tục trên  1  ;  1 . x  2 2 x  4xx  0 1  ;1 2  
Ta có g x 
. g x  0  x  4x  0   .  x  22 x  4   1  ;  1  1
Ta có g 0  2m ; g  
1  2m 1; g   1  2m  . 3
 max g x  2m 1; min g x  2m .  1  ;  1  1  ;  1
Suy ra max f x  max 2m 1 ; 2m .  1  ;  1 Strong Team Toán VD – VDC Trang 23/44  2m 1  3   m  1 2m 1  2m  
Ta có max f x 3     3 .   1;  1   2m  3 m     2 
 2m  2m 1    3  Suy ra S  1  ;   .  2  1
Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng  . 2
Câu 26. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  m  
1 x m trên 2;m   1 nhỏ hơn 2020. A. 2043210 . B. 2034201. C. 3421020 D. 3412020 . Lời giải Chọn A Cách 1:
+) Xét hàm số f x 2
x  m  
1 x m liên tục trên 2;m   1 với m  6 . m 1
Ta có: f  x  2x  m  
1 ; f  x  0  x  2; m   1 . 2  m 1  m  2 1
Khi đó: f 2  2  ; m f   ; f   m   1  2  . m  2  4 m  2 1 +) Vì 
 2  m  0, m   6 nên 4   m 1 
max f x  max  f 2; f ; f   m   1   2  m ; [2;m 1  ]   2     m 1   m  2 1
và min f x  min  f 2; f ; f   m   1    . [2;m-1]   2  4    m 2 1   
Do đó: min y  min  2  m ;    2  m [2;m-1] 4    
+) Theo yêu cầu bài toán: 2  m  2020  2
 020  2  m  2020  2  018  m  2022
+) Vì m   và m  6 nên m 7;8;9;;202  1 . 2021 7  202  1 2015
+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là: n   2 043210  . n 2 7 Cách 2:
+) Xét hàm số f x 2
x  m  
1 x m liên tục trên 2; m   1 với m  6 .  x  1 f x 2
 0  x  m  
1 x m  0   . x m   m 1  2  
Do m  6 nên ta có: 2  . m 1   m 1   2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 24/44 m 1  m  2 1 f 2  2  ; m f   ; f   m   1  2  . m  2  4
Từ bảng biến thiên suy ra: min f x  m  2 [2;m-1]
Theo bài ra ta có: min f x  2020  m  2  2020  m  2022 . [2;m-1]
Kết hợp với điều kiện m  6 suy ra m 7;8;...; 202  1 . 2021 7  202  1 2015
+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là: n   2 043210  . n 2 7 9 Câu 27. Cho hàm số 3 2 y x
x  6x  3  m . Tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2
10;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;3 không bé hơn 5. A. 1. B. 1. C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn D 9
Xét hàm số f x 3 2  x
x  6x  3  m liên tục trên đoạn 0;3 . 2 x  10;  3
Ta có f  x 2
 3x  9x  6 ; f  x  0   . x  2 0;  3  1 3
f 0  3  m ; f   1  
m ; f 2  1 m ; f 3   m . 2 2 3
Suy ra max f x 
m ; min f x  3  m . 0  ;3 2 0  ;3  3  TH1:  m   3
  m  0 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;  3 là 0 (loại).  2   3   3  TH2:  m   3
  m  0 . Khi đó: min y  min   m ; 3   m  .  2  0;  3 2  
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;3 không bé hơn 5 Strong Team Toán VD – VDC Trang 25/44  3 m    3  4   m  3   m    m  8 2         m  2  3   m  5    m  8     3   3   m   13 .  m  3   m    4 m     2   2   7  3  m      m  5 2   2    13 m     2
Suy ra các giá trị m  10;10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là S  10; 9; 8; 7;8;9;1  0 .
Vậy tổng các giá trị m cần tìm là 7 . 1 Câu 28. Cho hàm số 4 3 2 y
x x x m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max y 11. 4 1;2 A. 1  9. B. 3  7 . C. 3  0. D. 11. Lời giải Chọn C 1
+ Xét hàm số f x 4 3 2
x x x m liên tục trên đoạn  1  ;  2 . 4
+ Ta có f x 3 2
x 3x 2x .
x  0 1;2   + f x 3 2
 0  x 3x  2x  0  x 1  1; 2 . 
x  2 1;2  9 1 + f   1   ; m f 0  ; m f   1   ; m f   2  m . 4 4  f x 
f   f   f   f   f   9 max max 1 ; 0 ; 1 ; 2 1  m   Khi đó 1;2 4  .
min f x min   f   1 ; f   0 ; f  
1 ; f 2  f 0  f   2  m 1;2   9   m 11  4    9    9     m   m 
Vậy max y  max  m
, m  , theo yêu cầu bài toán max y 11   4     0;3  4    0;  3 m 11   9   m m    4    53 35     m    4 4   9 35   9     m   m    8 4 35    8    11 m   .  9 4     11 m 11   11 m       8  9 m      8 Strong Team Toán VD – VDC Trang 26/44
Vì m nguyên nên m   1  1; 1  0;...;  8 .
Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1110  9 ... 8  30 .
Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên m 2
để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4 cos x  2 sin x m  4 trên    đoạn 0;  nhỏ hơn hoặc bằng 4? 2    A. 12. B. 14. C. 13. D. 15. Lời giải Chọn D Ta có: y   2
4 cos x  2 sin x m  4   2
4 1 cos x  2sin x m 2
 4 sin x  2 sin x m .   
Đặt t  sin x , do x  0; 
nên suy ra t 0;  1 . 2   
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  4t  2t m trên đoạn 0;  1 .
Xét hàm số f t  2
 4t  2t m liên tục trên đoạn 0;  1 , ta có: 1
f t   8t  2 ; f t   0  t   0  ;1 . 4
f 0  m; f   1  m  6 .
Trường hợp 1: Nếu m  0  min y m . Kết hợp với giả thiết ta có 0  m  4 . 1 0;  1
Trường hợp 2: Nếu m  6  0  m  6
  min y  m  6 . Kết hợp với giả thiết ta có 0;  1 m  6  4   1  0  m  6  . 2 m  6  
Trường hợp 3: Nếu mm  6  0  6
  m  0  min y  0  4 . Trường hợp này thỏa mãn.   3 0;  1 Từ   1 , 2 và 3 m 1
 0; 4 . Vì m là số nguyên nên m 10, 9, 8,..., 2,3,  4 . ta được  
Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 30. Cho hàm số f x 2
x  2mx  3 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 1;  2 không lớn hơn 3 ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn A
Ta có giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 1; 
2 không lớn hơn 3, tức là max f x  3 1;2 2
2m x, x  1; 2
x  2mx  3  3, x    1;2    2   2 x  6
x  2mx  3  3, x    1;2  2m  , x  1; 2  x
2m  max  x   1 1;2    2   . x  6  2m  min   2 1;2  x    +)  
1  2m  2  m 1. 2 x  6 6 6
+) Xét hàm g x   x  với x 1; 
2 có g x  1 . x x 2 x Strong Team Toán VD – VDC Trang 27/44
Suy ra: g x  0, x  1; 
2  min g x  g 2  5 . 1;2 5
Do đó 2  m  . 2 5 Vậy 1  m
, mà m   nên m 1;  2 . 2 Câu 31. Cho hàm số 3 2
y x  3x  9x m (với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên
của tham số m để max y  50 . Tổng các phần tử của M là  2  ;  3 A. 0 . B. 737 . C. 759. D. 2  15 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số f x 3 2
x  3x  9x m liên tục trên đoạn  2  ;  3 .
Ta có f  x 2
 3x  6x  9 . x  1  f  x 2
 0  3x  6x  9  0   . x  3 
Có f 2  m  2; f  
1  m  5; f 3  m  27 .
Suy ra max f x  m  5 ; min f x  m  27 . 2;3 2;3
Do đó M  max y  max m  5 ; m  27 .  2   ;3
 m  5  m  27  2m  22  0    m  5  50  50   m  5  50 m    11;45 M  50       m   23  ; 45 . 
m  5  m  27 2m  22  0 m    23  ;11       50   m  27  50 m 27 50   
Do đó S  22; 21; 20;...;1;0;1; 2;...;4  4 .
Vậy tổng các phần tử của M là 737. Câu 32. Cho hàm số 4 3 2
y x  2x x a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để max y  100 .  1  ; 2 A. 197 . B. 196 . C. 200 . D. 201. Lời giải Chọn A Xét 4 3 2
u x  2x x a liên tục trên đoạn  1  ; 2. 3 2
u '  4x  6x  2x . 
x  01; 2 
u '  0  x  1  1;2  1
x  1;2  2    1  
M  max u  max u     1 , u 0, u , u    
1 , u 2  u  
1  u 2  a  4  1  ; 2    2   Suy ra  .    1  
m  min u  min u    1 , u 0, u , u    
1 ,u 2  u 0  u   1  a   1  ; 2    2   Strong Team Toán VD – VDC Trang 28/44
a  4  a  100
100  a  2
Vậy max y  max  a  4 , a   100     . 1; 2
a a  4  100 2  a  96   Vậy a  1  00,  99,..., 9 
6 có 197 số nguyên thỏa mãn.
Câu 33. Cho hàm số y  sin x  cos x m , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có giá trị lớn nhất bé hơn 2 . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số f x  sin x  cos x m , có tập xác định: D   .
Ta có:  2  m  sin x  cos x m  2  m , x    .
Suy ra  2  m f x  2  m , x    .
Vậy: max y m  2 hoặc max y m  2 . D D  m  2  2    2
  2  m  2  2   m 2 m 2      m  0  Yêu cầu bài toán       m  2  2   2
  2  m  2  2     m  0 
 m  2  m  2  0  m  2  2    2
  2  m  2  2 .
2  2  m  0 
Do m  m  0 . Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 34. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x  2x m trên đoạn 2; 
1 . Với m  3;  3 , giá
trị lớn nhất của M bằng A. 1. B.2. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Xét f x 2
x  2x m liên tục trên 2;  1 .
Ta có: f  x  2x  2 ; f  x  0  x  1 2;  1 . f  2
   m ; f  
1  m  3 ; f   1  m 1 ;
+) Trường hợp 1: m  
1 m  3  0  3  m  1 , lúc đó M  min y  0 .  2  ;  1 m  3 
+) Trường hợp 2: m   1 m   3  0   (*). m  1 
Do đó: M  min y  min m 1 ; m  3 .  2  ;  1 2 2
Khi m 1  m  3  m   1
 m  3  m  1, kết hợp với điều kiện (*) ta được m 1,
lúc đó: M  min y m 1 . 2;  1
Khi m 1  m  3  m  1
 , kết hợp với điều kiện (*) ta được m  3  , lúc đó: Strong Team Toán VD – VDC Trang 29/44
M  min y m  3 .  2  ;  1
Xét các giá trị m  3;3 0 khi  3  m  1  0 khi  3  m  1 M     . m 1 khi 1  m  3  m 1 khi 1  m  3  
Dễ dàng nhận thấy M đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m  3 .
Câu 35. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  3x m 1 trên đoạn 1; 
1 . Với m  4; 3,
giá trị lớn nhất của M bằng B. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Xét f x 3 2
x  3x m 1 trên 1;  1 .
x  0 1  ;1 Ta có:   f x 2
 3x  6x ; f x 0   . x  2   1  ;1  f  
1  m 1; f 0  m 1 ; f   1  m  3 ;
+) Trường hợp 1: m   1 m  
3  0  3  m  1 , M  min y  0 .  1  ;  1 m
+) Trường hợp 2: m m   1 1 3  0   (*). m  3  
Do đó: M  min y  min  m 1 ; m  3 . 1;  1 2 2
Khi m 1  m  3  m   1  m   3
m 1, kết hợp với điều kiện (*) ta được m 1,
lúc đó: M  min y m 1 . 1;  1
Khi m 1  m  3  m  1
 , kết hợp với điều kiện (*) ta được m  3  , lúc đó:
M  min y m  3 . 1;  1
Xét các giá trị m  4;3:
 m3 khi 4  m 3  M  0 
khi 3  m 1   m 1
khi 1 m  3  Strong Team Toán VD – VDC Trang 30/44
Dựa vào đồ thị, M đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m  3 .
Câu 36. Cho hàm số f x 4 3 2
x  4x  4x m . Khi m thuộc  3  ; 
3 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x trên đoạn 0; 
2 đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B
Tập xác định: D   . Xét u x 4 3 2
x  4x  4x m liên tục trên 0; 2 . x  0 
Ta có u x 3 2
 4x 12x  8x , u x  0  x  1  . x  2  u  0  m  Ta có: u    1  m 1.
u2  m
min u x  m  [0;2] Suy ra:  . max u
x  m 1 [0;2] 
min f x  min0; m ; m 1 hoặc min f x  0 , với m 3  ;  3 (*). 0;2 0;2
Trường hợp 1: mm   1  0  1   m  0 .
min f x  0 0;2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 31/44
Trường hợp 2: m  0 kết hợp với (*) ta có: 0  m  3.
min f x  m . 0;2
Trường hợp 3: m 1  0  m  1
 kết hợp với (*) ta có 3   m  1  .
min f x  m 1 . 0;2  m , m  0;  3 
Khi đó: min f x   m 1 ,m 3;  1 . [0;2] 0 , m  1  ;0 
Dựa vào đồ thị ta thấy min f x đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi m  3 . [0;2] Câu 37. Cho hàm số 2
y x  4x  2m  3 với m là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1; 
3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng a khi m b . Tính P  2b a . 1 13 9  A. . B. . C. . D. 6 . 2 4 4 Lời giải Chọn D
Xét hàm số y f x 2
x  4x  2m  3 liên tục trên đoạn 1;  3 .
+) f  x  2x  4 ; f  x  0  x  21;  3 . +) f  
1  2m  6 , f 2  2m  7 , f 3  2m  6 .
Khi đó max f x  max  2m  6 ; 2m  7   M . 1;  3
M  2m  6  1 Ta có: 
 2M  2m  6  7  2m  2m  6  7  2m  1  M  .
M  2m  7  7  2m   2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 32/44  1
2m  6  2m  7   13 Dấu "  " xảy ra   2  m  .  
m    m 4 2 6 7 2  0  1 13 Do đó M   a khi m
b P  2b a  6 . 2 4 Câu 38. Cho hàm số 3 2
y x x   2 m  
1 x  27 . Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3;  
1 có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của S là A. 4 . B. 4 . C. 8 . D. 8 . Lời giải Chọn D
Xét hàm số f x 3 2
x x   2 m  
1 x  27 liên tục trên đoạn 3;   1 .
Ta có f  x 2 2
 3x  2x m 1  0 với x  3;   1 . Ta có f   2
3  6  3m ; f   2 1  26  m .
Khi đó max f x  max 2 2
6  3m ; 26  m   M .  3  ;  1 2 2
M  6  3m
M  6  3m   Lại có   
 4M  72  M  18 . 2 2
M  26  m 3
M  3m  78   2 2
 6  3m  26  m  18   m  2 2 Dấu bằng xẩy ra khi 2   m  8   .  2  6  3m  2 3m  78  0 m  2 2   m  2 2 Vậy với 
thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3;  
1 có giá trị nhỏ nhất. m  2  2 
Khi đó tích các giá trị là 2 2.2 2   8 .
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 1 19 4 2 y x
x  30x m trên đoạn 0; 
2 đạt giá trị nhỏ nhất? 4 2 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D 1 19
Xét hàm số f x 4 2  x
x  30x m liên tục trên đoạn 0;  2 . 4 2
Ta có f  x 3
x 19x  30  x  5  0; 2 
+ f  x  0  x  3  0;2 .  x  20;2 
+ Ta có : f 0  ;
m f 2  m  26.
Khi đó max f x  max ; m m  2 
6  m  26 ; min f x  min ; m m   26  m . 0;2 0;2
Suy ra max f x  max m ; m  26  M . 0;2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 33/44
M m  m
m m  26
m m  26 Ta có 
 2M  m m  26  M    13. M m  26   2 2
m m  26  13  Dấu bằng xảy ra khi   m  1  3. m  m  26  0  1 19
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 y x
x  30x m trên đoạn 0;  2 đạt giá trị nhỏ 4 2
nhất bằng 13 khi m  1  3 .
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 40. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y x  2x m trên đoạn 0; 
2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn A Xét 2
u x  2x m liên tục trên trên đoạn 0;  2 .
Ta có: u  2x  2 ; u  0  2x  2  0  x  10;2 . u 0  , m u  
1  m 1, u 2  m
Khi đó: max u  maxu 0,u   1 ,u 2  a m x  , m m 1,  m m . 0;2
min u  min u 0,u  
1 ,u 2  min , m m 1,  m m 1. 0;2 m  3  m 3    m  3     m m 1
 m m 1    Suy ra max y
max m 1 , m  3      
m  3, m  2  . 0;2 m 1 3       m  4        m  2 m 1 m   
 m 1  m 
Vậy số phần tử của S là 2.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x mx  9x  9m trên đoạn  2
 ; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B
Đặt f x 3 2
x mx  9x  9m . Dễ thấy min f x  0 , dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi phương  2  ;2
trình f x  0 có nghiệm x  2  ; 2 .
Ta có: f x 2
x x m   x m   2 9
x  9 x m . x  3 
f x  0  x  3 .  x m
Do đó điều kiện cần và đủ để f x  0 có nghiệm x  2
 ; 2 là m 2  ; 2 .
Mà m  nên m  2  ; 1  ;0;1;  2 .
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Strong Team Toán VD – VDC Trang 34/44
Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 4 2
 x  8x m trên đoạn  1  ; 
3 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 23. B. 24 . C. 25 . D. 26 . Lời giải Chọn D
Ta có y f x 4 2
 x  8x m = x x m   x  2 4 2 2 8 4  16  m .
Đặt t   x  2 2 4 , vì x  1  ; 
3 , suy ra t 0; 2  5 .
Khi đó y g t   t 16  m .
Ta có min f x  min g t   min m  9 , m 16.  1  ;  3  0  ;  25
Nếu m  9  0  m  9 , khi đó min f x = m  9  0 , khi đó min  min f x  0 , khi m  9 .  1  ;3  1  ;  3  
Nếu m 16  0  m  1
 6 , khi đó min f x = m 16  0 , khi đó min  min f x  0 , khi x   1;3  1  ;  3   m  1  6 .
Nếu m  9m 16  0  1
 6  m  9 , khi đó min f x = 0 , khi đó min  min f x  0 . x   1;3  1  ;  3  
Vậy min  min f x  0 , khi 1  6  m  9 .  1  ;  3  
Vì m   , nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 43. Cho hàm số 4 3 2
y x  2x x a . Có bao nhiêu số thực a để min y  max y  10  1  ;2  1  ;2 A. 1 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Xét hàm số 4 3 2
u x  2 x x a liên tục trên đoạn1; 2 có 3 2
u  4x  6x  2x . 
x  0 1;2 
u  0  x  1  1;2  1  x   1  ; 2  2    1  
M  max u  max  u  
1 ,u 2 ,u 0,u , u     1   u  
1  u 2  a  4. 1;2    2        1  
m  min u  min u  
1 ,u 2,u 0 ,u , u    
1   u 0  u   1  a  1;2    2  
+) Trường hợp 1: Nếu m  0  a  0  min y  ;
m max y M .  1  ;2  1  ;2 a  0 Ta có điều kiện 
a  3 ( thoả mãn).
a a  4  10 
+) Trường hợp 2: Nếu M  0  a  4  .
Khi đó: min y  M ; max y  m . 1;2 1;2 a  4  Ta có điều kiện 
a  7 ( thoả mãn). 
 a  4  a  10  Strong Team Toán VD – VDC Trang 35/44
+) Trường hợp 3: m  0  M  4   a  0 .
Khi đó: min y  0; max y  max a  4 , a   maxa  4;  a  10 .  1  ;2  1  ;2
Suy ra min y  max y  0  10  10 ( loại).  1  ;2  1  ;2 a  3
Vậy có 2 giá trị của tham số a thỏa mãn đề bài là  . a  7   2 x ax  4
Câu 44. Cho hàm số y
( a là tham số). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x
nhất của hàm số trên 1;4. Có bao nhiêu giá trị thực của a để M  2m  7 ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 Lời giải Chọn B 2 x ax  4
Xét hàm số g x 
liên tục trên đoạn 1;4. x 2 x  4
Ta có g  x   0 x
 1;4  Hàm số đồng biến trên 1;4 2 x
min g x  g   1  a  3  1;4   . max g
x  g 4  a  3 1;4 
Trường hợp 1: a  3  0  a  3.
m  min g x  a  3
a  3  a  3   1;4 Ta có    .
a  3  a  3   M  max g
x  a  3 1;4  10
Khi đó M  2m  7  a  3  2a  3  7  a  (thỏa mãn). 3
Trường hợp 2: a  3  0  a  3  .
m  min g x  a  3
a  3  a  3   1;4 Ta có    .
a  3  a  3   M  max g
x  a  3 1;4  10
Khi đó M  2m  7  a  3  2a  3  7  a   (thỏa mãn). 3
Trường hợp 3: a  3  0  a  3  3   a  3.
m  min g x  0
a  3  a  3   1;4 Ta có   
a  3  a  3  
M  max g x  maxa  3;a    3 1;  4 
a  3  2.0  7 a  4  
a  3  a  3 a  0  
Khi đó M  2m  7    a  4  (không thỏa mãn).  a 3 2.0 7      a  4     
 a  3  a  3   a  0  10
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a   . 3 Strong Team Toán VD – VDC Trang 36/44 Câu 45. Cho hàm số 4 3
f (x)  x  2 x m ( m là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của m sao cho
max f (x)  2 min f (x)  10 . 0;  1 0;  1 A. 4 . B. 3  . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C Ta xét 4 3
f (x)  x  2 x m liên tục trên đoạn 0;  1 , 3 2
f '(x)  4 x  6 x . x  00  ;1 f '(x) 0    3 . x  0  ;1  2
f (0)  m; f (1)  m 1.
Ta xét các trường hợp sau: -
Nếu m  0 thì max f (x)  1 ;
m min f (x)  m . 0;  1 0;  1
Khi đó: max f (x)  2 min f (x)  10  (1 m)  2(m)  10  m  3 ( thỏa điều kiện). 0;  1 0;  1 -
Nếu m  1 thì max f (x)  ;
m min f (x)  m 1. 0;  1 0;  1
Khi đó: max f (x)  2 min f (x)  10  m  2(m 1)  10  m  4 (thỏa điều kiện). 0;  1 0;  1 1 - Nếu
m  1 thì max f (x)  ;
m min f (x)  0 . 2 0;  1 0;  1
Khi đó: max f (x)  2 min f (x)  10  m  10 ( không thỏa điều kiện). 0;  1 0;  1 1 - Nếu 0  m
thì max f (x)  1 ;
m min f (x)  0 . 2 0;  1 0;  1
Khi đó: max f (x)  2 min f (x)  10  1 m  10  m  9 ( không thỏa điều kiện). 0;  1 0;  1
Do đó có hai giá trị m  3
 và m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy tổng tất cả các giá trị của m sao cho max f (x)  2 min f (x)  10 là 1. 0;  1 0;  1
Câu 46. Cho hàm số f x  3 2
x  3x m . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn
3 max f x  2 min f x  17 . 1;3 1;3  5  
A. m 9;5;  29 . B. m  9  ; 5  ;  .
C. m 9;  5 . D. m 9; 5  ;  5 .  3  Lời giải Chọn C
Hàm số f x  3 2
x  3x m liên tục trên đoạn 1;3. Xét hàm số 3 2
y x  3x m
x  0 1;  3 Ta có 2
y  3x  6x ; y  0  
x  2 1;  3  Khi đó
min y  miny 
1 ; y 3; y2  minm  2; ; m m   4  m  4  1;  3 
max y  maxy 
1 ; y 3; y 2  maxm  2; ; m m   4   m 1;  3  Strong Team Toán VD – VDC Trang 37/44
min f x  m  4  1;  3
+) Nếu m  4  0  m  4   . max f   x  m 1;  3 
Ta có 3max f x  2 min f x  17  3m  2m  4  17  m  9 (thoả mãn). 1;  3 1;  3
min f x  m  1;  3
+) Nếu m  0   . max f
x  4  m 1;  3 
Ta có 3max f x  2 min f x  17  34  m  2m  17  m  5 ( thoả mãn). 1;3 1;3
min f x  0  1;3
+) Nếu 0  m  2   . max f
x  4  m 1;  3  5
Ta có 3max f x  2 min f x  17  34  m  17  m  ( không thoả mãn). 1;3 1;3 3
min f x  0  1;  3
+) Nếu 2  m  4   . max f   x  m 1;  3  17
Ta có 3max f x  2 min f x  17  3m  17  m  (không thoả mãn). 1;  3 1;  3 3 Vậy m 9;  5 .
Câu 47. Cho hàm số y f x 3
x  3x m . Tích tất cả các giá trị của tham số m để
min f x  max f x  6 là 0;2 0;2 A. 16 . B. 9  . C. 16 . D. 144 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số: f x 3
x  3x m trên 0;2
Ta có: f  x 2  3x  3 . x  1
Khi đó f  x  0   . x  1  
f 0  m
min f x  2  m   0;2 Ta có:  f   1  2   m suy ra  .  x ma f
x  2  m
f 2  2  m 0;2   m  2 
Trường hợp 1:  2
  m2  m  0   . m  2 
Khi đó: min f x  max f x  6  2
  m  2  m  6 . 0;2 0;2 Nếu m  2
 ta có: 2  m  2  m  6  m  3  (thỏa). Nếu m  2 ta có: 2
  m  2  m  6  m  3 (thỏa).
Trường hợp 2:  2
  m2  m  0  2   m  2 (*)
Khi đó: min f x  0 và 0;2 Strong Team Toán VD – VDC Trang 38/44
min f x  max f x  6  max f x  6 0;2 0;2 0;2 .
 m  2  2  m
 m  2  2  m    m  2  6  
m  4  m  8   m  4       (không thỏa (*)) 
m  2  2  m  
m  2  2  m m  4     2  m  6
m  4  m  8   
Vậy tích các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài toán là: 3  .3  9  . x m
Câu 48. Cho hàm số f x 
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho x  2
2 max f x  3min f x  6 . Số phần tử của S là 0;  1 0;  1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B x m m m 1
Ta thấy hàm số f x 
liên tục trên đoạn 0;  1 , f 0  ; f   1  và đồ thị hàm x  2 2 3
số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  m .  m m 1 
Trường hợp 1: Nếu 0  m  1  1
  m  0 thì max f x  max  ;  ; 0;  1 2 3  
min f x  0 . 0;  1  m 2  6 m  6  2 Do đó 
2 max f x 3min f x 6      m  8 (không thỏa mãn).   0;1   0;1 m 1    2  6 m  10   3   m m 1
Trường hợp 2: Nếu m  0  m  0 thì max f x  max  ;  ; 0  ;1  2 3   m m 1
min f x  min  ;  . 0;  1  2 3   m m 1  khi m  2 m m 1 m  2   2 3 Ta có   suy ra  . 2 3 6 m m 1   khi 0  m  2   2 3
+ Với m  2 , ta có 5
2 max f x  3min f x  6  m m 1  6  m  ( thỏa mãn).   0;1   0;1 2
+ Với 0  m  2 , ta có m 1 m 32
2 max f x  3min f x  6  2.  3.  6  m  ( không thỏa mãn). 0;  1   0;1 3 2 13
Trường hợp 3: Nếu m  1  m  1  thì  m m 1  m m 1
max f x  max  ;
; min f x  min  ;   .   0;1   0;1  2 3   2 3  Strong Team Toán VD – VDC Trang 39/44 m m 1 m  2 m m 1 Ta có     0, m   1 suy ra   
khi m  1. Do đó: 2 3 6 2 3 mm 1 7
2 max f x  3min f x  6  2.  3.  6  m   ( thỏa mãn).   0;1   0;1 2 3 2
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Câu 49. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên trên đoạn  4  ; 4 như sau
Có bao nhiêu giá trị của tham số m  4
 ; 4 để giá trị lớn nhất của hàm số 11
g x  f  3
x  3 x   f m trên đoạn  1  ;  1 bằng . 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C
Xét hàm số y g x trên đoạn 4; 4 . x  
4;4  x  4  ; 4 Ta có 
y g x là hàm số chẵn trên 4; 4 . g
 x  g x  11
Do đó: max g x  max g x  .  1  ;  1 0;  1 2 Xét x 0 
;1 khi đó: g x  f  3
x  3x  f m Đặt 3
u x  3x , 2
u  3x  3  0, x  0; 
1 . Suy ra u 0  u u   1  0  u  4 .
Hàm số trở thành h u  f u  f m với u 0;4 .
max g x  max h u  f 0  f m  3  f m 0;  1 0;4 11 11 5
Mà max g x 
 3  f m 
f m  . 0;  1 2 2 2
Từ bảng biến thiên của hàm số y f x suy ra có 4 giá trị của m .
Câu 50. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Strong Team Toán VD – VDC Trang 40/44
 1 2m  1 2m
Đặt g x  f x  1 2 x f
 . Với giá trị nào của m thì giá trị nhỏ  2 2   
nhất của hàm số g x là 0 . 1 1 A.  . B. 0 . C. . D. Không tồn tại. 2 2 Lời giải Chọn A  1 1  1 1 Với m   ; 
điều kiện xác định của g x là: 1 2 x  0    x  . 2 2    2 2  1 1  Trên tập D   ; 
hàm số f x có đồ thị 2 2   
Do đó đồ thị hàm số y f x có dạng : Strong Team Toán VD – VDC Trang 41/44  1 1 
Ta có 0  f x  1, x    ; 
và 0  1 2 x  1  1
   1 2 x  0 2 2     1
  f x  1 2 x  1 .
 1 2m  1 2m
Do đó min g x  1 f
 vị trí x  0 .    1 1 2 2     ;  2 2  
 1 2m  1 2m
Theo yêu cầu bài toán min g x  0  f    1.    1 1 2 2     ;  2 2  
1 2m  1 2m  1 1  Đặt t  , m   ; . 2 2  2 2   1  1 1   1 1   1 1  Ta có t    0, m    ;   
  t đồng biến trên  ; 2 2    1 2m 1 2m   2 2   2 2  1 1    t  . 2 2 1
1 2m  1 2m 1 1
Khi đó f t   1  t       m   . 2 2 2 2 2 1 Vậy m  
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
-------------------- HẾT -------------------- Strong Team Toán VD – VDC Trang 42/44