KĨ THUẬT GIẢI NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Phương pháp chung:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

y  Ax⁴  Bx²  C

Lý thuyết: y  Ax⁴  Bx²  C

TXĐ: D = R

y '  4ax³  2bx

Hàm số có 3 CT khi y’ = 0 có 3 nghiệm pb.





 x  0

 x1  0



 y1  c

b2

b

2a

 A(0; c)



b

2a

b2 

 2x 2ax²  b  0   b  x    y    c

 B   ;   c 

 x   0 

2 2

2

 2a 





4a  4a 

b²  b b² 

b

2a

 x₃   y₂   4a  c  C  2a ;  4a  c 

  

+) Hàm số bậc 4 trùng phương khi có 3 CT thì luôn tạo thành tam giác cân tại A(0;c).

b⁴ b

b

2a

+) AB  AC 

b

2a

 ; BC  2.

16a² 2a



 3

+) Phương trình đường thẳng qua BC:

+) Gọi góc BAC =  ta luôn có:

y  và AB;AC:

4a

y    

 

x  c

₃ b³  8a ₂ b⁵

8a(1 cos )  b (1 cos )  0  cos  b3  8a ; S



32a³

+) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

b³  8a

R

8 a .b



=> 3 CỰC TRỊ TẠO THÀNH TAM GIÁC ĐỀU: AB=BC

3 CỰC TRỊ TẠO THÀNH TAM GIÁC VUÔNG: AB.AC  0

CÔNG THỨC TÍNH NHANH:

(BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ VỚI HÌNH HỌC CƠ BẢN)

Câu 1: Cho y  x⁴  2mx²  m²  m cos 3 cực trị sao cho khoảng cách 2 điểm cực tiểu

bằng 2 . Tìm m.

2

A.1 B.2 C.3. D.4

Giải:

a.b  0





• 0

1

2m  0

Hàm số có 2 CT, 1CĐ thỏa mãn:



a  0 

at ²  2b  0  2

 m  2

Tương tự 2 CĐ, 1CT thỏa mãn:



a.b  0

a  0



at ²  2b  0



_1.2 2 

 2(2m)  0

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y

x4

2mx²

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông ?

1

2.

0.

3.

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

y có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân ?

x4

2mx²

1

1.

1.

A. m

1

3 9

B. m

C. m

D. m

Câu 56. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y

1

3 9

x4

2(m 2)x²

m2

5m

5

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân ?

1.

1.

1.

2.

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 57. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y

x4

2(m 2)x²

m2

5m

5

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều ?

2 3.

2

3.

2 ³ 3.

2 ³ 3.

A. m

x4

2mx²

m2

m

B. m

C. m

D. m

Câu 58. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120⁰

1

3 3

0

y

?

1

3 3

có ba

A. m

0

hoặc

m

B. m

hoặc m

C. m D. m

0.

3 3

1

Câu 59. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số

y

có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 ?

x4

2mx²

m 1

1 5

2

1

1 5

2

A. m

1

hoặc

m

B. m

hoặc m

C. m

1

hoặc

m

D. m

hoặc m

Câu 61. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y có

1 5

2

1

1 5

2

x4

2(1 m² )x²

m 1

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất ?

2.

2.

0.

2.

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 62. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y

1 x4

4

(3m 1)x²

2m 2

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O ?

2

3

1

3

A. m

C. m

2

3

hoặc

2

3

m

B. m

D. m

1

3

hoặc m

Câu 63. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số

1

3

y

có ba

điểm cực trị tạo thành tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

x4

(3m 1)x²

3

3

5

3

5

3

3

5

độ dài cạnh bên?

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 64. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số

3

5

y

có ba

điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh một hình thoi với O là gốc tọa độ ?

2x⁴

m2x2

m2

1

2.

2.

2

2

A. m

2.

B. m

C. m

D. m

Câu 66. Với m bằng bao nhiêu thì đồ thị hàm số thỏa mãn tam giác ABC vuông tại A(2;2) ?

x3

3mx 1

2.

2.

2.

y

có hai cực trị B, C

A. m

B. m

C. m

D. Đáp án kháC.

Câu 67. Với m bằng bao nhiêu thì đồ thị hàm số

y

có hai

cực trị A, B thỏa mãn AB ?

2x³ 3(m 1)x² 6mx

m3

2

A.

m

0.

B.

m

2.

C.

m

0

hoặc

m

2.

D.

m

2.

hoặc

m

0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Giá trị cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑥³ − 3𝑥 là:

• 1. B. -2 C. 2 D. -4

Câu 2: Cho hàm số y x³ 3mx² 3 1 m² x m³ m² có hai điểm cực trị A, B. Tìm

m để đường thẳng AB đi qua điểm M 0; 2

2

A. m

C. m

hoặc m

hoặc m

0

0

2

B. m

D. m

x3

mx 1

hoặc m

hoặc m

1

2

1

2

Câu 3. Với giá trị nào của m thì hàm số

y

có hai cực trị:

A. m 0 B. m 0 Câu 4. Với giá trị nào của m thì hàm số	y	x3	C. m 2mx	D. m đạt cực tiểu tại x	0 1 :
A. m 3 B. m 3			C. m	2 D. m	2
2 2				3	3

Câu 5. Cho hàm số

y

có hai điểm cực trị là

x , x . Khi đó tích

x₁.x₂ bằng:

1 x3

3

4x²

5x 17

1 2

• 1. B.-5 C.8 D.

2 11

x2

x

x 1

2

Câu 6.Cho hàm số

y

. Hàm số có hai điểm cực trị

x , x .Tích

x .x bằng

A.- 3 B. 2 C.- 2 D. 3

1 2

1 2

Câu 7.Cho hàm số y x³ 3x² 1. Biểu thức liên hệ giữa giá trị cực đại (y ) và giá trị cực tiểu (y ) là:

3.yCT

3.yCT

3.yCD

yCT

CT

CD

1. yCD
2. yCD
3. yCT
4. yCD

Câu 8:Hàm số y

1 x3

3

mx m 5

bằng bao nhiêu?

1. m

4

1. m

đạt cực tiểu tại x

1. m

2

1

khi tham số m lấy giá trị

1. m

3

1

Câu 9.Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y

x3 x2

mx 5

cực trị. Chọn kết quả đúng:

có hai

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 10.Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm sốy

1

3

1

3

1

3

1

3

x3

3x 1

thẳng AB bằng :

.Khi đó đoạn

A. 2

5

B. 3

C. 2

D. 3

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

5

2

2

y 2x³ (m 1)x² (m² 4)x m 1đạt cực tiểu tại x = 0

2

2

3

3

A. m

m x3

3

m 1 x²

mx 7

B. m

C. m

D. m

Câu 12.Hàm số

y

có hai cực trị khi và chỉ khi:

A. m

1

2

và m

B. m

C. m

D. m

Câu 13.Cho hàm số y

0

đây là sai

1 x3

3

mx²

(2m 1)x 1 , m là tham số thực. Mệnh đề nào sau

1. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m
2. Hàm số có hai điểm cực trị khi m

1

1. Hhàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu khi m

1

1. Hàm số có cực trị khi m

1

Câu 14.Hàm số y  x3  mx 1 , m là tham số thực, có 2 cực trị khi :

• 1. m  0

D. m  0

2

• 1. m  0
  2. m  0

Câu 15.Hàm số mãn:

y  x³  3x²  mx

đạt cực tiểu tại x

khi giá trị của tham số m thỏa

A. m  0

• 1. m  0

B. m  0

C. m  0

Câu 16.Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y

x3

3mx²

3(m² 1)

đạt cực đại tại x 1 . Kết quả nào đúng?

1

2

A. Không có giá trị m B. m

3

0

5

2

C. m

D. m

Câu 17: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y là

x2

x 1

x 2

A.	1;	1 và	3;	5 .	B.	3;	5 .
C.	1;	1 .			D.	1;	3 .

Câu 18: Điểm cực đại của hàm số y là .

x sin 2x

6

k

6

k

6

k

1. x

3

k2

. B. x

. C. x

. D. x .

Câu 19: Hàm số y

chỉ khi.

m 1

m 3

1 x3

3

(m²

m 2)x²

(3m²

1)x 1 đạt cực tiểu tại x = - 2 khi và

A.

. B.

. C. m 1. D. m 3 .

Câu 20: Đồ thị hàm số y x³ 3mx² 2m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua

m

m

1

3

đường thẳng x 2y 1 0 khi và chỉ khi :

A. m	{ 1;0;1}. B. m	1.	C. m 1 . D. m .
Câu 21. Giá trị tam giác đều.	m để đồ thị hàm	y x4	2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một
A. m	1 B. m	3 3	C. m 3 3 D. m 1
Câu 22. Giá trị	m để đồ thị hàm	y x4	2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một

tam giác có diện tích bằng 4

2

2

1

A. m

2

x4

4x² 1

B. m

C. m

D. m

Câu 23. Ba điểm cực trị của hàm số diện tích S bằng

4

2 2

8 2

y

tạo thành một tam giác cân có

A. S

B. S

C. S

D. S

Câu 24. Cho hàm số y

1 x3

3

mx²

3 2

4 2

(2m 1)x m 2 có cực đại, cực tiểu và hoành độ

các điểm cực trị dương thì tập giá trị của m bằng

1

1 ;

2

1

;0

A.

; 1

2

B.

C.

D. ”

Câu 25. Cho hàm số y x³ 2mx 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

3

2

3

2

2

3

2

3

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 26. Cho hàm số y x³ 3x² 3(m 1)x 2 . Tìm tất cả các giá trị của mđể hàm số có cực trị.

2

2

0

A. m

0

x3

3x²

mx

B. m

C. m

D. m

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số tiểu tại x = 2 .

0

0

0

y

đạt cực

A. m

B. m

C. m

D. m

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0

y

A. m

2

đạt cực đại tại x 2 .

B. m

x3

(m 1)x²

2m 1

1

C. m

5

D. m

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

3

x3

mx²

m

2 x

3

7

có cực trị tại x = 1.

A. m

7

9

B. m

C. m

D. m

Câu 30. Cho hàm số y x³ 3x² 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực

3

7

7

đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

A. y 2x 1 . B. y 2x 1. C. y 2x 1. D. y 2x 1.

x4

3mx

m2

1

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cực tiểu tại x 0 .

y

đạt

1. m 0 . B. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

C. m 0 . D. m 0 .

1 x3

3

mx²

2 5m 8 x 1

Câu 32. Tất cả các giá trị của m để hàm số và cực tiểu.

y

đạt cực đại

A.

m 2

8

m

Câu 33. Hàm số

hoặc m 8 B. 2

y

1 x3

3

mx²

m2

4 x

5

C. 2

đạt cực tiểu tại x

m 8

D. m

khi:

1

hoặc

A. m

m 8

2

3

B. m

C. m

D. m

Câu 34. Tìm tất cả giá trị m sao cho điểm I(1;0) thuộc đường thẳng qua 2 điểm cực

1

0

1

x3

3mx²

2

trị của đồ thị hàm số y

A. m

1

1. m
2. m=0 D.

m

mx4 (m 3)x2 2m 1

m 3

m 0

Câu 35. Tìm tất cả giá trị mđể hàm số không có cực tiểu

2

0

y

chỉ đạt cực đại mà

A. m

3

B. m

C.

D. m

Câu 36. Tìm tất cả giá trị m để hàm số điểm cực trị

m – 1 x⁴

m² – 2m x ²

m2

0 m 1

m 2

1

m

m

0

2

y

có ba

1. ​
2. D.

Câu 37. Tìm tất cả giá trị mđể hàm số

1 m 1

m 2

m 1

1 m 2

y

có hai điểm cực trị

1. B. 0 < m < 8 C. D.

x3

3mx²

6mx m

m 0

m 2

m 0

m 8

m 0

m 2

Câu 38. Hàm số y = x³ – mx + 1 có hai cực trị khi:

A. m < 0 B. m > 0 C. m = 0 D. m

0

Câu 39: Cho hàm số y x⁴ 2mx² 2m 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số có 3 điểm cực trị:

A. y B. m < 0 C. m = 0 D. m

x4

4x²

2

0

Câu 40: Giá trị của m để haøm soá y = x³ – 2mx + 1 ñaït cöïc tieåu taïi x = 1 là:

1. m = - 2

3

; B. m = 2 3

; C. m = - 3 2

; D. m = 3 2

ĐÁP ÁN:

3

Trên đây là toàn bộ phương pháp giải nhanh cực trị hàm bậc 4 trùng phương