CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM NG ƯƠ
I ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ CH
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f (′x) ;
Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình f (′x) = 0 ;
Bước 4. Tính giới hạn lim y; lim y và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); x→+∞ x→−∞
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);
Bước 8. Vẽ đồ thị. Page 257
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0 y y Phương trình / y = 0 có 1 1
2 nghiệm phân biệt 1 O x 1 O x y y 1 Phương trình / y  0 có 1 1 nghiệm kép O x 1 O x y y 1 Phương trình / y = 0 vô O 1 nghiệm 1 x 1 O x
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x = 0 2
y′ = 3x − 6x .Xét y′ = 0 ⇔  x =  2
+ Các giới hạn tại vô cực 3  3 2 lim y lim x 1   3 2  = − + = +∞   ; 3
lim y = lim x 1− + =  . −∞ 3 x→+∞ x→+∞  x x  3 x→−∞ x→−∞  x x  + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+ ∞) ;
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) + Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y = y(0) = 2 .Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y = y = − ct (2) 2 cd + Đồ thị x = 1 Ta có 3 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ 
⇒ đồ thị hàm số qua điểm A(1;0). 2 x − 2x − 2 =  0
Cho x = 0 ⇒ y = 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;2).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x − 3x + 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:
y′ = − x + x − = − (x − )2 2 3 6 3 3 1 ≤ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 1.
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực Page 259
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3  3 3 1 lim y lim x 1   3 3 1  = − + − + = −∞   ; 3
lim y = lim x  1 − + − + =  . +∞ 2 3 x→+∞ x→+∞  x x x  2 3 x→−∞ x→−∞  x x x  + Bảng biến thiên: Đồ thị Ta có 3 2
−x + 3x − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ đồ thị hàm số qua A(1;0).
Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;1).
Cho x = 2 ⇒ y = 1
− ⇒ Đồ thị hàm số qua C (2;−1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn).
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
y  x 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2
y′ = 3x ≥ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 0.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực 3
lim y = lim x = +∞; 3 lim y = lim x = . −∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đồ thị Ta có 3
x = 0 ⇔ x = 0 .Vậy đồ thị hàm số qua O(0;0)
Cho x = 1 ⇒ y = 1:Đồ thị hàm số cắt Oy tại B 1;  1 .Cho x = 1 − ⇒ y = 1
− :Đồ thị hàm số cắt qua C ( 1 − ; −1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểmO là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ax b y =
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d
D = ad − bc > 0
D = ad − bc < 0 Page 261
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x1 x1 Lời giải:
Tập xác định: D =  { \ } 1 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y − ′ =
.Ta thấy y′ không xác định khi x = 1; y′ luôn âm với mọi x ≠ 1 (x−1)2
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;+ ∞) và (−∞; 1). + Cực trị:
Hàm số không có cực trị + Tiệm cận x + 1 lim y = lim
= 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang x→±∞ x −1 x + 1 lim y x + 1 = lim = +∞; lim y = lim = .
−∞ Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận ngang − + x 1+ x 1 → → x −1 − x 1 x 1 → → x −1 + Bảng biến thiên: Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0 ;−1) và cắt trục hoành tại điểm B( 1 − ;0) (Hình vẽ) y 1 -2 0 1 x
Lưu ý: Giao điểm I (1 ;1) của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x +1
Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x −1 Lời giải 1
Tập xác định: D  \  =  2   3 − 1 Ta có 'y =
< 0 với mọi x ≠ (2x − )2 1 2 1 lim y = lim y = 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = x→+∞ x→−∞ 2 2
lim y = +∞, lim y = −∞ 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =  1 +   1 − 2 x  x  → →  2  2    
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:
Đồ thị hàm số có dạng: Page 263
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
ax + bx + c y =
(a ≠ 0, m ≠ 0)
mx + n
 Bước 1: Tìm tập xác định D
 Bước 2: Tính y ' và giải y ' = 0
 Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính lim y và lim y rồi suy ra tiệm cận đứng là m x = − m+ − n x m →− x→− n n + Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng r
y = px + q + mx + n
- Tính lim y − ( px + q) 
 và lim  y − ( px + q) 
 rồi suy ra tiệm cận xiên là y = px + q x→+∞ x→−∞
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị Bước 7: Vẽ đồ thị 2
Hình dạng đồ thị hàm số
ax + bx + c y = mx + n y ' = 0 a, m cùng dấu a, m trái dấu nghiệm phân biệt
hiệm kép hoặc vô nghiệm
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau 2 a) 2x + 5x + 5 y = x +1 2 b) −x + 2x y = x −1 Lời giải 2 a) 2x + 5x + 5 y = x +1  D =  \{− } 1 2 2x + 4 ' x y = 2  (x + )1 x = 0 y ' = 0 ⇔  x = 2 − lim y = +∞  x 1+ →− lim y = −∞ x 1− →− ⇒ TCĐ: x = 1 − lim y −  (2x +3) = 0   x→+∞ lim y −  (2x +3) = 0  x→−∞
⇒ TCX: y = 2x + 3  Bảng biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên (− ; ∞ 2
− ) và (0;+∞) , nghịch biến trên ( 2; − − ) 1 và ( 1; − 0)
Hàm số đạt cực đại tại điểm ( 2; − 3
− ) và đạt cực tiểu tại điểm (0;5) .
Hàm số có tâm đối xứng là I ( 1; − ) 1  Bảng giá trị x -3 -2 0 1 y -4 -3 5 6  Đồ thị Page 265
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 b) −x + 2x y = x −1  D =  \{ } 1 2 −x + 2x − 2 y ' = 2  (x − )1 y ' = 0(VN ) lim y = +∞  x 1+ → lim y = −∞ x 1− → ⇒ TCĐ: x =1 lim y −  (−x + )1 = 0   x→+∞ lim y −  (−x + )1 = 0  x→−∞
⇒ TCX: y = −x +1  Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên (−∞ ) ;1 và (1;+∞) .
Hàm số không có cực trị.
Hàm số có tâm đối xứng là I (1;0)
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 266
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bảng giá trị x -1 0 2 3 y 3 0 0 3 − 2 2  Đồ thị
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) 3 2
y = x − 3x + 4 b) 3 2
y = −x + 3x − 3x + 7
Câu 8: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số x + 2 y = x + 5 2 Câu 9: Cho hàm số
ax + bx + c y =
(a > 0,m ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi trong các số ,bc, , m n mx + n
có tất cả bao nhiêu số dương? Page 267
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 f (x) + 4 = 0 là: 2 −x + mx − 2
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = cắt trục hoành x −1 tại 2 điểm phân biệt?
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 268
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM NG ƯƠ
I ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ CH
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f (′x) ;
Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình f (′x) = 0 ;
Bước 4. Tính giới hạn lim y; lim y và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); x→+∞ x→−∞
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);
Bước 8. Vẽ đồ thị. Page 257
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0 y y Phương trình / y = 0 có 1 1
2 nghiệm phân biệt 1 O x 1 O x y y 1 Phương trình / y  0 có 1 1 nghiệm kép O x 1 O x y y 1 Phương trình / y = 0 vô O 1 nghiệm 1 x 1 O x
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x = 0 2
y′ = 3x − 6x .Xét y′ = 0 ⇔  x =  2
+ Các giới hạn tại vô cực 3  3 2 lim y lim x 1   3 2  = − + = +∞   ; 3
lim y = lim x 1− + =  . −∞ 3 x→+∞ x→+∞  x x  3 x→−∞ x→−∞  x x  + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+ ∞) ;
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) + Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y = y(0) = 2 .Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y = y = − ct (2) 2 cd + Đồ thị x = 1 Ta có 3 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ 
⇒ đồ thị hàm số qua điểm A(1;0). 2 x − 2x − 2 =  0
Cho x = 0 ⇒ y = 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;2).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x − 3x + 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:
y′ = − x + x − = − (x − )2 2 3 6 3 3 1 ≤ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 1.
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực Page 259
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3  3 3 1 lim y lim x 1   3 3 1  = − + − + = −∞   ; 3
lim y = lim x  1 − + − + =  . +∞ 2 3 x→+∞ x→+∞  x x x  2 3 x→−∞ x→−∞  x x x  + Bảng biến thiên: Đồ thị Ta có 3 2
−x + 3x − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ đồ thị hàm số qua A(1;0).
Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;1).
Cho x = 2 ⇒ y = 1
− ⇒ Đồ thị hàm số qua C (2;−1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn).
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
y  x 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2
y′ = 3x ≥ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 0.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực 3
lim y = lim x = +∞; 3 lim y = lim x = . −∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đồ thị Ta có 3
x = 0 ⇔ x = 0 .Vậy đồ thị hàm số qua O(0;0)
Cho x = 1 ⇒ y = 1:Đồ thị hàm số cắt Oy tại B 1;  1 .Cho x = 1 − ⇒ y = 1
− :Đồ thị hàm số cắt qua C ( 1 − ; −1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểmO là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ax b y =
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d
D = ad − bc > 0
D = ad − bc < 0 Page 261
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x1 x1 Lời giải:
Tập xác định: D =  { \ } 1 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y − ′ =
.Ta thấy y′ không xác định khi x = 1; y′ luôn âm với mọi x ≠ 1 (x−1)2
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;+ ∞) và (−∞; 1). + Cực trị:
Hàm số không có cực trị + Tiệm cận x + 1 lim y = lim
= 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang x→±∞ x −1 x + 1 lim y x + 1 = lim = +∞; lim y = lim = .
−∞ Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận ngang − + x 1+ x 1 → → x −1 − x 1 x 1 → → x −1 + Bảng biến thiên: Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0 ;−1) và cắt trục hoành tại điểm B( 1 − ;0) (Hình vẽ) y 1 -2 0 1 x
Lưu ý: Giao điểm I (1 ;1) của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x +1
Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x −1 Lời giải 1
Tập xác định: D  \  =  2   3 − 1 Ta có 'y =
< 0 với mọi x ≠ (2x − )2 1 2 1 lim y = lim y = 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = x→+∞ x→−∞ 2 2
lim y = +∞, lim y = −∞ 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =  1 +   1 − 2 x  x  → →  2  2    
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:
Đồ thị hàm số có dạng: Page 263
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
ax + bx + c y =
(a ≠ 0, m ≠ 0)
mx + n
 Bước 1: Tìm tập xác định D
 Bước 2: Tính y ' và giải y ' = 0
 Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính lim y và lim y rồi suy ra tiệm cận đứng là m x = − m+ − n x m →− x→− n n + Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng r
y = px + q + mx + n
- Tính lim y − ( px + q) 
 và lim  y − ( px + q) 
 rồi suy ra tiệm cận xiên là y = px + q x→+∞ x→−∞
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị Bước 7: Vẽ đồ thị 2
Hình dạng đồ thị hàm số
ax + bx + c y = mx + n y ' = 0 a, m cùng dấu a, m trái dấu nghiệm phân biệt
hiệm kép hoặc vô nghiệm
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn