Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Tài liệu gồm 448 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Huỳnh Văn Ánh, bao gồm lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm và hệ thống bài tập tự luận chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao. Mời bạn đọc đón xem!

CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 257
Sưu tm và biên son
BÀI 4. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA HÀM S
I. SƠ ĐỒ KHO SÁT HÀM S
c 1. Tìm tập xác định ca hàm s;
c 2. Tính đạo hàm
()y fx
′′
=
;
c 3. Tìm nghim của phương trình
() 0fx
=
;
c 4. Tính gii hn
lim ; lim
xx
yy
+∞ −∞
và tìm tim cận đứng, ngang (nếu có);
c 5. Lp bng biến thiên;
c 6. Kết lun tính biến thiên và cực trị (nếu có);
c 7. Tìm các điểm đc bit ca đ th (giao vi trc
Ox
,
Oy
, các điểm đi xng, …);
c 8. V đồ th.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT VÀ V
ĐỒ TH CA HÀM S
I
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
II. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA HÀM S BC BA
(
)
y ax bx cx d a= + ++
32
0
TRƯNG HP
0a >
0
a <
Phương trình
/
0
y =
2 nghim phân bit
Phương trình
/
0
y
nghim kép
Phương trình
/
0y =
nghim
MT S VÍ D V BÀI TOÁN KHO SÁT VÀ V Đ TH CA HÀM S
Câu 1: Kho sát và v đồ th hàm s
32
32yx x=−+
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
2
36
yxx
=
.Xét
0
0
2
x
y
x
=
=
=
+ Các gii hn ti vô cc
3
3
32
lim lim 1 ;
xx
yx
x
x
→+ →+

= + = +∞


3
3
32
lim lim 1 .
xx
yx
x
x
→− →−∞

= + = −∞


+ Bng biến thiên:
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 259
Sưu tm và biên son
Hàm s đồng biến trên các khoảng
( )
;0−∞
( )
+∞2;
;
Hàm s nghch biến trên khoảng
( )
0;2
+ Cực trị:
Hàm s đạt cực đại ti
0;x =
(
)
02
cd
yy= =
.Hàm s đạt cc tiu ti
2;x =
(
)
22
ct
yy
= =
+ Đồ th
Ta có
32
2
1
3 20
2 20
x
xx
xx
=
+=
−=
đồ th hàm s qua điểm
(
)
1; 0 .A
Cho
02xy=⇒=
:Đồ th hàm s ct
Oy
ti
( )
0;2 .B
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
(
)
1;0
I
m tâm đi xng. Hoành độ điểm
I
là nghim ca
phương trình
0y
′′
=
(Đim un)
Câu 2: Kho sát và v đồ th hàm s
32
3 31yx x x=−+ +
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
( )
2
2
3 633 1 0y xx x x
= + = ∀∈
.Xét
0 1.yx
=⇔=
Suy ra hàm số nghch biến trên khoảng
( )
;.−∞ +
+ Cực trị: Hàm s không có cực trị
+ Các gii hn ti vô cc
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
3
23
33 1
lim lim 1 ;
xx
yx
x
xx
→+ →+

= + + = −∞


3
23
33 1
lim lim 1 .
xx
yx
x
xx
→− →−

= + + = +∞


+ Bng biến thiên:
Đồ th
Ta có
32
3 3 10 1xxx x + += =
đồ th hàm s qua
( )
1; 0 .A
Cho
01xy=⇒=
Đồ th hàm s ct
Oy
ti
( )
0;1
B
.
Cho
21xy=⇒=
Đồ th hàm s qua
( )
2; 1 .C
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
( )
1;0I
m m đi xứng.Hoành độ điểm
I
là nghim ca
phương trình
0y
′′
=
(Đim un).
Câu 3: Kho sát và v đồ th hàm s
3
1yx
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
2
30yx x
= ∀∈
.Xét
0 0.yx
=⇔=
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng
(
)
;.−∞ +
+ Cực trị: Hàm s không có cực trị
+ Các gii hn ti vô cc
3
lim lim ;
xx
yx
→+ →+
= = +∞
3
lim lim .
xx
yx
→− →−
= = −∞
+ Bng biến thiên:
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 261
Sưu tm và biên son
Đồ th
Ta có
3
00xx=⇔=
.Vậy đồ th hàm s qua
( )
0;0O
Cho
11xy=⇒=
:Đồ th hàm s ct
Oy
ti
1; 1B
.Cho
11xy=−⇒ =
:Đồ th hàm s ct
qua
( )
1; 1 .
C −−
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
( )
0;0
O
m m đi xứng. Hoành độ điểm
O
là nghim ca
phương trình
0
y
′′
=
(Đim un)
II. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA MT S HÀM PHÂN THC HU T
1. Kho sát s biến thiên và v đồ th ca hàm s
( )
00,
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −≠
+
0D ad bc=−>
0D ad bc=−<
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
MT S VÍ D V BÀI TOÁN KHO SÁT VÀ V Đ TH CA HÀM S
Câu 4: Kho sát và v đồ th hàm s
1
1
x
x
Li gii:
Tập xác định:
{ }
\1D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
(
)
2
2
1
y
x
=
.Ta thy
y
không xác định khi
1;x =
y
luôn âm vi mi
1x
Vy hàm s nghch biến trên các khoảng
( )
1;+∞
( )
;1 .−∞
+ Cực trị:
Hàm s không có cực trị
+ Tim cn
1
lim lim 1.
1
x
x
y
x
±∞
+
= =
Vậy đường thng
1y =
là tim cn ngang
1
1
1
lim lim ;
1
x
x
x
y
x
+
+
+
= = +∞
1
1
1
lim lim .
1
x
x
x
y
x
+
= = −∞
Vậy đường thng
1x =
là tim cn ngang
+ Bng biến thiên:
Đồ th
Đồ th ct trc tung ti đim
(
)
0; 1A
và ct trc hoành tại điểm
( )
1;0
B
(Hình v)
Lưu ý: Giao điểm
( )
1 ;1I
ca hai tim cận là tâm đối xng của đồ th
x
y
-2
1
0
1
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 263
Sưu tm và biên son
Câu 5: Kho sát và v đồ th ca hàm s
1
21
x
y
x
+
=
Li gii
Tập xác định:
1
\
2
D

=


Ta có
(
)
'
2
3
0
21
y
x
= <
vi mi
1
2
x
1
lim lim
2
xx
yy
+∞ →−∞
= =
. Đồ th hàm s có tim cn ngang là
1
2
y =
11
22
lim , lim
xx
yy
+−
 
→→
 
 
= +∞ = −∞
. Đồ th hàm s có tim cận đứng là
1
2
x =
Bng biến thiên ca hàm s có dng:
Đồ th hàm s có dng:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
2. Kho sát s biến thiên và v đồ th ca hàm s
( )
,
ax bx c
y am
mx n
++
= ≠≠
+
2
00
c 1: Tìm tập xác định D
c 2: Tính
'y
và giải
'0
y =
Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính
lim
m
x
n
y
+
→−
lim
m
x
n
y
→−
rồi suy ra tiệm cận đứng là
m
x
n
=
+ Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng
r
y px q
mx n
= ++
+
- Tính
(
)
lim
x
y px q
+∞
− +

( )
lim
x
y px q
−∞
− +

rồi suy ra tiệm cận xiên là
y px q= +
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị
Bước 7: Vẽ đồ thị
Hình dạng đồ th hàm s
2
ax bx c
y
mx n
++
=
+
'0y =
a, m cùng dấu
a, m trái dấu
nghi
m phân bit
hi
ệm kép hoặc vô nghim
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 265
Sưu tm và biên son
MT S VÍ D V BÀI TOÁN KHO SÁT VÀ V Đ TH CA HÀM S
Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a)
2
2 55
1
xx
y
x
++
=
+
b)
2
2
1
xx
y
x
−+
=
Lời giải
a)
2
2 55
1
xx
y
x
++
=
+
{
}
\1D
=
( )
2
2
24
'
1
xx
y
x
+
=
+
0
'0
2
x
y
x
=
=
=
1
lim
x
y
+
→−
= +∞
1
lim
x
y
→−
= −∞
TCĐ:
1x =
( )
lim 2 3 0
x
yx
→+∞
+ =

( )
lim 2 3 0
x
yx
→−∞
+ =

TCX:
23yx= +
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên
( )
;2−∞
( )
0; +∞
, nghch biến trên
( )
2; 1−−
(
)
1; 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm
( )
2; 3−−
và đạt cực tiểu tại điểm
( )
0;5
.
Hàm số có tâm đối xứng là
( )
1;1I
Bảng giá trị
x
-3
-2
0
1
y
-4
-3
5
6
Đồ thị
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 266
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
b)
2
2
1
xx
y
x
−+
=
{
}
\1
D =
( )
2
2
22
'
1
xx
y
x
−+
=
( )
'0y VN=
1
lim
x
y
+
= +∞
1
lim
x
y
= −∞
TCĐ:
1
x =
( )
lim 1 0
x
yx
→+∞
+ =

( )
lim 1 0
x
yx
→−∞
+ =

TCX:
1yx
=−+
Bảng biến thiên:
Hàm số nghch biến trên
( )
;1−∞
( )
1; +∞
.
Hàm số không có cực trị.
Hàm số có tâm đối xứng là
( )
1; 0I
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 267
Sưu tm và biên son
Bảng giá trị
x
-1
0
2
3
y
3
2
0
0
3
2
Đồ thị
Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a)
32
34yx x
=−+
b)
32
3 37yx x x=−+ +
Câu 8: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
2
5
x
y
x
+
=
+
Câu 9: Cho hàm s
(
)
2
0, 0
ax bx c
y am
mx n
++
= >≠
+
có đ th như hình vẽ bên. Hi trong các s
,, ,bcmn
có tt c bao nhiêu s dương?
II
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 268
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
Câu 10: Cho m s
( )
y fx=
đồ th như hình vẽ bên. S nghim thc của phương trình
:
Câu 11: bao nhiêu giá trị nguyên ca tham s
m
để đồ th hàm s
2
2
1
x mx
y
x
−+
=
ct trc hoành
tại 2 điểm phân bit?
( )
3 40fx+=
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 257
Sưu tm và biên son
BÀI 4. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA HÀM S
I. SƠ ĐỒ KHO SÁT HÀM S
c 1. Tìm tập xác định ca hàm s;
c 2. Tính đạo hàm
()y fx
′′
=
;
c 3. Tìm nghim của phương trình
() 0fx
=
;
c 4. Tính gii hn
lim ; lim
xx
yy
+∞ −∞
và tìm tim cận đứng, ngang (nếu có);
c 5. Lp bng biến thiên;
c 6. Kết lun tính biến thiên và cực trị (nếu có);
c 7. Tìm các điểm đc bit ca đ th (giao vi trc
Ox
,
Oy
, các điểm đi xng, …);
c 8. V đồ th.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT VÀ V
ĐỒ TH CA HÀM S
I
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
II. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA HÀM S BC BA
(
)
y ax bx cx d a= + ++
32
0
TRƯNG HP
0a >
0
a <
Phương trình
/
0
y =
2 nghim phân bit
Phương trình
/
0
y
nghim kép
Phương trình
/
0y =
nghim
MT S VÍ D V BÀI TOÁN KHO SÁT VÀ V Đ TH CA HÀM S
Câu 1: Kho sát và v đồ th hàm s
32
32yx x=−+
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
2
36
yxx
=
.Xét
0
0
2
x
y
x
=
=
=
+ Các gii hn ti vô cc
3
3
32
lim lim 1 ;
xx
yx
x
x
→+ →+

= + = +∞


3
3
32
lim lim 1 .
xx
yx
x
x
→− →−

= + = −∞


+ Bng biến thiên:
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 259
Sưu tm và biên son
Hàm s đồng biến trên các khoảng
( )
;0−∞
( )
+∞2;
;
Hàm s nghch biến trên khoảng
( )
0;2
+ Cực trị:
Hàm s đạt cực đại ti
0;x =
(
)
02
cd
yy= =
.Hàm s đạt cc tiu ti
2;x =
(
)
22
ct
yy
= =
+ Đồ th
Ta có
32
2
1
3 20
2 20
x
xx
xx
=
+=
−=
đồ th hàm s qua điểm
(
)
1; 0 .A
Cho
02xy=⇒=
:Đồ th hàm s ct
Oy
ti
( )
0;2 .B
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
(
)
1;0
I
m tâm đi xng. Hoành độ điểm
I
là nghim ca
phương trình
0y
′′
=
(Đim un)
Câu 2: Kho sát và v đồ th hàm s
32
3 31yx x x=−+ +
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
( )
2
2
3 633 1 0y xx x x
= + = ∀∈
.Xét
0 1.yx
=⇔=
Suy ra hàm số nghch biến trên khoảng
( )
;.−∞ +
+ Cực trị: Hàm s không có cực trị
+ Các gii hn ti vô cc
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
3
23
33 1
lim lim 1 ;
xx
yx
x
xx
→+ →+

= + + = −∞


3
23
33 1
lim lim 1 .
xx
yx
x
xx
→− →−

= + + = +∞


+ Bng biến thiên:
Đồ th
Ta có
32
3 3 10 1xxx x + += =
đồ th hàm s qua
( )
1; 0 .A
Cho
01xy=⇒=
Đồ th hàm s ct
Oy
ti
( )
0;1
B
.
Cho
21xy=⇒=
Đồ th hàm s qua
( )
2; 1 .C
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
( )
1;0I
m m đi xứng.Hoành độ điểm
I
là nghim ca
phương trình
0y
′′
=
(Đim un).
Câu 3: Kho sát và v đồ th hàm s
3
1yx
Li gii:
Tập xác định:
D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
2
30yx x
= ∀∈
.Xét
0 0.yx
=⇔=
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng
(
)
;.−∞ +
+ Cực trị: Hàm s không có cực trị
+ Các gii hn ti vô cc
3
lim lim ;
xx
yx
→+ →+
= = +∞
3
lim lim .
xx
yx
→− →−
= = −∞
+ Bng biến thiên:
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 261
Sưu tm và biên son
Đồ th
Ta có
3
00xx=⇔=
.Vậy đồ th hàm s qua
( )
0;0O
Cho
11xy=⇒=
:Đồ th hàm s ct
Oy
ti
1; 1B
.Cho
11xy=−⇒ =
:Đồ th hàm s ct
qua
( )
1; 1 .
C −−
Lưu ý: Đồ th m s nhận điểm
( )
0;0
O
m m đi xứng. Hoành độ điểm
O
là nghim ca
phương trình
0
y
′′
=
(Đim un)
II. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V ĐỒ TH CA MT S HÀM PHÂN THC HU T
1. Kho sát s biến thiên và v đồ th ca hàm s
( )
00,
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −≠
+
0D ad bc=−>
0D ad bc=−<
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
MT S VÍ D V BÀI TOÁN KHO SÁT VÀ V Đ TH CA HÀM S
Câu 4: Kho sát và v đồ th hàm s
1
1
x
x
Li gii:
Tập xác định:
{ }
\1D =
S biến thiên:
+ Chiu biến thiên:
(
)
2
2
1
y
x
=
.Ta thy
y
không xác định khi
1;x =
y
luôn âm vi mi
1x
Vy hàm s nghch biến trên các khoảng
( )
1;+∞
( )
;1 .−∞
+ Cực trị:
Hàm s không có cực trị
+ Tim cn
1
lim lim 1.
1
x
x
y
x
±∞
+
= =
Vậy đường thng
1y =
là tim cn ngang
1
1
1
lim lim ;
1
x
x
x
y
x
+
+
+
= = +∞
1
1
1
lim lim .
1
x
x
x
y
x
+
= = −∞
Vậy đường thng
1x =
là tim cn ngang
+ Bng biến thiên:
Đồ th
Đồ th ct trc tung ti đim
(
)
0; 1A
và ct trc hoành tại điểm
( )
1;0
B
(Hình v)
Lưu ý: Giao điểm
( )
1 ;1I
ca hai tim cận là tâm đối xng của đồ th
x
y
-2
1
0
1
CHUYÊN Đ I NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
Page 263
Sưu tm và biên son
Câu 5: Kho sát và v đồ th ca hàm s
1
21
x
y
x
+
=
Li gii
Tập xác định:
1
\
2
D

=


Ta có
(
)
'
2
3
0
21
y
x
= <
vi mi
1
2
x
1
lim lim
2
xx
yy
+∞ →−∞
= =
. Đồ th hàm s có tim cn ngang là
1
2
y =
11
22
lim , lim
xx
yy
+−
 
→→
 
 
= +∞ = −∞
. Đồ th hàm s có tim cận đứng là
1
2
x =
Bng biến thiên ca hàm s có dng:
Đồ th hàm s có dng:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM Đ KHO SÁT HÀM S
Giáo viên: Hunh Văn Ánh 42 Nguyn Cư Trinh Thun Hòa TP HuếĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyn thi: Tuyn sinh vào lp 10 – Tt Nghip THPT Quc Gia BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tm và biên son
2. Kho sát s biến thiên và v đồ th ca hàm s
( )
,
ax bx c
y am
mx n
++
= ≠≠
+
2
00
c 1: Tìm tập xác định D
c 2: Tính
'y
và giải
'0
y =
Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính
lim
m
x
n
y
+
→−
lim
m
x
n
y
→−
rồi suy ra tiệm cận đứng là
m
x
n
=
+ Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng
r
y px q
mx n
= ++
+
- Tính
(
)
lim
x
y px q
+∞
− +

( )
lim
x
y px q
−∞
− +

rồi suy ra tiệm cận xiên là
y px q= +
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị
Bước 7: Vẽ đồ thị
Hình dạng đồ th hàm s
2
ax bx c
y
mx n
++
=
+
'0y =
a, m cùng dấu
a, m trái dấu
nghi
m phân bit
hi
ệm kép hoặc vô nghim
| 1/448

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM NG ƯƠ
I ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ CH
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f (′x) ;
Bước 3.
Tìm nghiệm của phương trình f (′x) = 0 ;
Bước 4.
Tính giới hạn lim y; lim y và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); x→+∞ x→−∞
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);
Bước 8.
Vẽ đồ thị. Page 257
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0 y y Phương trình / y = 0 1 1
2 nghiệm phân biệt 1 O x 1 O x y y 1 Phương trình / y  0 1 1 nghiệm kép O x 1 O x y y 1 Phương trình / y = 0 O 1 nghiệm 1 x 1 O x
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x = 0 2
y′ = 3x − 6x .Xét y′ = 0 ⇔  x =  2
+ Các giới hạn tại vô cực 3  3 2 lim y lim x 1   3 2  = − + = +∞   ; 3
lim y = lim x 1− + =  . −∞ 3 x→+∞ x→+∞  x x  3 x→−∞ x→−∞  x x  + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+ ∞) ;
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) + Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y = y(0) = 2 .Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y = y = − ct (2) 2 cd + Đồ thị x = 1 Ta có 3 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ 
⇒ đồ thị hàm số qua điểm A(1;0). 2 x − 2x − 2 =  0
Cho x = 0 ⇒ y = 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;2).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x − 3x + 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:
y′ = − x + x − = − (x − )2 2 3 6 3 3 1 ≤ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 1.
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực Page 259
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3  3 3 1 lim y lim x 1   3 3 1  = − + − + = −∞   ; 3
lim y = lim x  1 − + − + =  . +∞ 2 3 x→+∞ x→+∞  x x x  2 3 x→−∞ x→−∞  x x x  + Bảng biến thiên: Đồ thị Ta có 3 2
x + 3x − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ đồ thị hàm số qua A(1;0).
Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;1).
Cho x = 2 ⇒ y = 1
− ⇒ Đồ thị hàm số qua C (2;−1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn).
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
y x 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2
y′ = 3x ≥ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 0.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực 3
lim y = lim x = +∞; 3 lim y = lim x = . −∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đồ thị Ta có 3
x = 0 ⇔ x = 0 .Vậy đồ thị hàm số qua O(0;0)
Cho x = 1 ⇒ y = 1:Đồ thị hàm số cắt Oy tại B 1;  1 .Cho x = 1 − ⇒ y = 1
− :Đồ thị hàm số cắt qua C ( 1 − ; −1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểmO là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ax b y =
(c ≠ 0, ad bc ≠ 0)
cx + d
D = ad bc > 0
D = ad bc < 0 Page 261
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x1 x1 Lời giải:
Tập xác định: D =  { \ } 1 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y − ′ =
.Ta thấy y′ không xác định khi x = 1; y′ luôn âm với mọi x ≠ 1 (x−1)2
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;+ ∞) và (−∞; 1). + Cực trị:
Hàm số không có cực trị + Tiệm cận x + 1 lim y = lim
= 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang x→±∞ x −1 x + 1 lim y x + 1 = lim = +∞; lim y = lim = .
−∞ Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận ngang − + x 1+ x 1 → → x −1 − x 1 x 1 → → x −1 + Bảng biến thiên: Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0 ;−1) và cắt trục hoành tại điểm B( 1 − ;0) (Hình vẽ) y 1 -2 0 1 x
Lưu ý: Giao điểm I (1 ;1) của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x +1
Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x −1 Lời giải 1
Tập xác định: D  \  =  2   3 − 1 Ta có 'y =
< 0 với mọi x ≠ (2x − )2 1 2 1 lim y = lim y = 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = x→+∞ x→−∞ 2 2
lim y = +∞, lim y = −∞ 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =  1 +   1 − 2 xx  → →  2  2    
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:
Đồ thị hàm số có dạng: Page 263
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
ax + bx + c y =
(a ≠ 0, m ≠ 0)
mx + n
 Bước 1: Tìm tập xác định D
 Bước 2: Tính y ' và giải y ' = 0
 Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính lim y và lim y rồi suy ra tiệm cận đứng là m x = − m+ − n x m →− x→− n n + Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng r
y = px + q + mx + n
- Tính lim y − ( px + q) 
 và lim  y − ( px + q) 
 rồi suy ra tiệm cận xiên là y = px + q x→+∞ x→−∞
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị Bước 7: Vẽ đồ thị 2
Hình dạng đồ thị hàm số
ax + bx + c y = mx + n y ' = 0 a, m cùng dấu a, m trái dấu nghiệm phân biệt
hiệm kép hoặc vô nghiệm
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau 2 a) 2x + 5x + 5 y = x +1 2 b) −x + 2x y = x −1 Lời giải 2 a) 2x + 5x + 5 y = x +1  D =  \{− } 1 2 2x + 4 ' x y = 2  (x + )1 x = 0 y ' = 0 ⇔  x = 2 − lim y = +∞  x 1+ →− lim y = −∞ x 1− →− ⇒ TCĐ: x = 1 − lim y −  (2x +3) = 0   x→+∞ lim y −  (2x +3) = 0  x→−∞
⇒ TCX: y = 2x + 3  Bảng biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên (− ; ∞ 2
− ) và (0;+∞) , nghịch biến trên ( 2; − − ) 1 và ( 1; − 0)
Hàm số đạt cực đại tại điểm ( 2; − 3
− ) và đạt cực tiểu tại điểm (0;5) .
Hàm số có tâm đối xứng là I ( 1; − ) 1  Bảng giá trị x -3 -2 0 1 y -4 -3 5 6  Đồ thị Page 265
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 b) −x + 2x y = x −1  D =  \{ } 1 2 −x + 2x − 2 y ' = 2  (x − )1 y ' = 0(VN ) lim y = +∞  x 1+ → lim y = −∞ x 1− → ⇒ TCĐ: x =1 lim y −  (−x + )1 = 0   x→+∞ lim y −  (−x + )1 = 0  x→−∞
⇒ TCX: y = −x +1  Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên (−∞ ) ;1 và (1;+∞) .
Hàm số không có cực trị.
Hàm số có tâm đối xứng là I (1;0)
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 266
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bảng giá trị x -1 0 2 3 y 3 0 0 3 − 2 2  Đồ thị
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) 3 2
y = x − 3x + 4 b) 3 2
y = −x + 3x − 3x + 7
Câu 8: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số x + 2 y = x + 5 2 Câu 9: Cho hàm số
ax + bx + c y =
(a > 0,m ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi trong các số ,bc, , m n mx + n
có tất cả bao nhiêu số dương? Page 267
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 f (x) + 4 = 0 là: 2 −x + mx − 2
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = cắt trục hoành x −1 tại 2 điểm phân biệt?
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 268
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM NG ƯƠ
I ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ CH
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f (′x) ;
Bước 3.
Tìm nghiệm của phương trình f (′x) = 0 ;
Bước 4.
Tính giới hạn lim y; lim y và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); x→+∞ x→−∞
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);
Bước 8.
Vẽ đồ thị. Page 257
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) TRƯỜNG HỢP a > 0 a < 0 y y Phương trình / y = 0 1 1
2 nghiệm phân biệt 1 O x 1 O x y y 1 Phương trình / y  0 1 1 nghiệm kép O x 1 O x y y 1 Phương trình / y = 0 O 1 nghiệm 1 x 1 O x
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x = 0 2
y′ = 3x − 6x .Xét y′ = 0 ⇔  x =  2
+ Các giới hạn tại vô cực 3  3 2 lim y lim x 1   3 2  = − + = +∞   ; 3
lim y = lim x 1− + =  . −∞ 3 x→+∞ x→+∞  x x  3 x→−∞ x→−∞  x x  + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 258
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+ ∞) ;
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) + Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y = y(0) = 2 .Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y = y = − ct (2) 2 cd + Đồ thị x = 1 Ta có 3 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ 
⇒ đồ thị hàm số qua điểm A(1;0). 2 x − 2x − 2 =  0
Cho x = 0 ⇒ y = 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;2).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x − 3x + 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:
y′ = − x + x − = − (x − )2 2 3 6 3 3 1 ≤ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 1.
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực Page 259
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3  3 3 1 lim y lim x 1   3 3 1  = − + − + = −∞   ; 3
lim y = lim x  1 − + − + =  . +∞ 2 3 x→+∞ x→+∞  x x x  2 3 x→−∞ x→−∞  x x x  + Bảng biến thiên: Đồ thị Ta có 3 2
x + 3x − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ đồ thị hàm số qua A(1;0).
Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ Đồ thị hàm số cắt Oy tại B(0;1).
Cho x = 2 ⇒ y = 1
− ⇒ Đồ thị hàm số qua C (2;−1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0) làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn).
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
y x 1 Lời giải:
Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2
y′ = 3x ≥ 0 x
∀ ∈  .Xét y′ = 0 ⇔ x = 0.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng (−∞;+ ∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực 3
lim y = lim x = +∞; 3 lim y = lim x = . −∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ + Bảng biến thiên:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 260
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đồ thị Ta có 3
x = 0 ⇔ x = 0 .Vậy đồ thị hàm số qua O(0;0)
Cho x = 1 ⇒ y = 1:Đồ thị hàm số cắt Oy tại B 1;  1 .Cho x = 1 − ⇒ y = 1
− :Đồ thị hàm số cắt qua C ( 1 − ; −1).
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng. Hoành độ điểmO là nghiệm của
phương trình y′′ = 0 (Điểm uốn)
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ax b y =
(c ≠ 0, ad bc ≠ 0)
cx + d
D = ad bc > 0
D = ad bc < 0 Page 261
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x1 x1 Lời giải:
Tập xác định: D =  { \ } 1 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y − ′ =
.Ta thấy y′ không xác định khi x = 1; y′ luôn âm với mọi x ≠ 1 (x−1)2
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;+ ∞) và (−∞; 1). + Cực trị:
Hàm số không có cực trị + Tiệm cận x + 1 lim y = lim
= 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang x→±∞ x −1 x + 1 lim y x + 1 = lim = +∞; lim y = lim = .
−∞ Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận ngang − + x 1+ x 1 → → x −1 − x 1 x 1 → → x −1 + Bảng biến thiên: Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0 ;−1) và cắt trục hoành tại điểm B( 1 − ;0) (Hình vẽ) y 1 -2 0 1 x
Lưu ý: Giao điểm I (1 ;1) của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 262
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x +1
Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x −1 Lời giải 1
Tập xác định: D  \  =  2   3 − 1 Ta có 'y =
< 0 với mọi x ≠ (2x − )2 1 2 1 lim y = lim y = 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = x→+∞ x→−∞ 2 2
lim y = +∞, lim y = −∞ 1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =  1 +   1 − 2 xx  → →  2  2    
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:
Đồ thị hàm số có dạng: Page 263
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
ax + bx + c y =
(a ≠ 0, m ≠ 0)
mx + n
 Bước 1: Tìm tập xác định D
 Bước 2: Tính y ' và giải y ' = 0
 Bước 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm số
+ Tiệm cận đứng: Tính lim y và lim y rồi suy ra tiệm cận đứng là m x = − m+ − n x m →− x→− n n + Tiệm cận xiên:
- Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng r
y = px + q + mx + n
- Tính lim y − ( px + q) 
 và lim  y − ( px + q) 
 rồi suy ra tiệm cận xiên là y = px + q x→+∞ x→−∞
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận các khoảng biến thiên và tâm đối xứng I của hàm số
Bước 6: Lập bảng giá trị Bước 7: Vẽ đồ thị 2
Hình dạng đồ thị hàm số
ax + bx + c y = mx + n y ' = 0 a, m cùng dấu a, m trái dấu nghiệm phân biệt
hiệm kép hoặc vô nghiệm
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 264
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán
Sưu tầm và biên soạn