Thông tin
Quiz

Bài tập trắc nghiệm hàm số (hàm ẩn) vận dụng cao Toán 12

Bài tập trắc nghiệm hàm số (hàm ẩn) vận dụng cao được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

137 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập trắc nghiệm hàm số (hàm ẩn) vận dụng cao Toán 12

61 31 lượt tải Tải xuống

HAØM SOÁ (hàm ẩn)

Vận dụng cao

Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Vấn đề 1. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số





fux





Câu 1. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình

bên. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số

 

đồng biến trên

 

2;1 .

B. Hàm số

 

đồng biến trên





1; 

C. Hàm số





nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng

D. Hàm số

 

nghịch biến trên

 

; 2. 

Câu 2. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

   

32gx f x

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

0;2 .





1; 3 .

 

; 1. 

 

1; . 

Câu 3. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

   

12gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

1; 0 .

 

;0 .

 

0;1 .

 

1; .

Câu 4. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới. Hàm số

 

gx f e

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?







. B.

 

0;

. C.





1; 3



. D.





2;1



Câu 5. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 





đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?







 











;1 .



















 

1; 2 .

 

;1 .

Câu 6. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

3gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?





; 1. 

 

1; 2 .

 

2;3 .





4;7 .

Câu 7.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình

bên. Hỏi hàm số

 

gx f x



đồng biến trên khoảng nào trong

các khoảng sau ?

 

; 1. 

 

1; . 

 

1; 0 .

 

0;1 .

Câu 8. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

; 2. 

 

2; 1 .

 

1; 0 .

 

1; 2 .

Câu 9. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 





gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 1. 

 

1;1 .



 

1; .



 

0;1 .

Câu 10.

Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Đặt

 





2.gx f x



Mệnh đề nào dưới

đây sai ?

A. Hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

2; .

B. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

0;2 .

C. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

1; 0 .

D. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

; 2. 

Câu 11. Cho hàm số

 

y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hỏi hàm số

 





5gx f x



có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?

Câu 12. Cho hàm số





y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 

1gx f x

nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

1; 2

. B.

 

0;

 

2; 1

. D.

 

1;1

Câu 13.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 

3gx f x

đồng biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

2;3 .

 

2; 1 .

 

0;1 .

 

1; 0 .

Câu 14. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số





 

gx f x x

nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

1; 2 .

 

;0 .

 

;2 .



















Câu 15. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới và

   

2 20ff

 

Hàm số

   

gx f x







nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

1; .



















 

2; 1 .

 

1;1 .

 

1; 2 .

Câu 16. Cho hàm số

 

y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới và



 



2 2 0.ff 

Hàm số

   

3gx f x







nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?





2; 1 .



 

1; 2 .

 

2;5 .

 

5; .

Câu 17. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

22gx f x x 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 1 2 2.

  

 

;1 .

 

1; 2 2 1 .





2 2 1; . 

Câu 18. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số





 

23 22gxfxx xx  

đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

 

; 1. 





































 

1; . 

Câu 19. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

   

' 22gx f x

 

như hình vẽ bên. Hàm số

 

y fx

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

1;1 .



















 

;2 .

 

2; .

-1

Vấn đề 2. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

   

.fux gx







Câu 20. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số





y fx





như

hình bên dưới

Đặt

   

,gx f x x

khẳng định nào sau đây là đúng ?

     

2 1 1.gg g 



  

 

1 1 2.

g gg 

     

1 1 2.g gg 



  

 

1 1 2.gg g 

Câu 21. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên dưới

Hàm số



  

2gx f x x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

 

; 2. 

 

2;2 .

 

2;4 .

 

2; .

Câu 22.

Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Hỏi hàm số

     

21gx f x x 

đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

3;1 .

 

1; 3 .

 

;3 .

 

3; .

Câu 23. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên dưới

Hỏi hàm số

 

gx f x x

  

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?





3;1 .

 

2;0 .

1; .



















 

1; 3 .

Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





Câu 24. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biên thiên như hình vẽ

Hàm số

 

gx f x x







 











nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

1; .



















;1 .

















1; .



































Câu 25. Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên

.

Bảng biến thiên của hàm số

 



như hình vẽ

Hàm số

 

gx f x







 











nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

4; 2 .

 

2;0 .

 

0;2 .

 

2;4 .

Vấn đề 4. Cho biểu thức

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





Câu 26. Cho hàm số

 

có đạo hàm





2fx x x





với mọi

x 



Hàm số

 

gx f x







 











đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 6. 





6;6 .

 

62;62.

 

6 2; . 

Câu 27. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

    

94fx xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số





 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

2;2 .



 

; 3. 

   

; 3 0;3 .  

 

3; .

Câu 28. Cho hàm số

 

có đạo hàm

   

 

12fx x x x



 

với mọi

.x  

Hỏi số thực

nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số

 

22gx f x x 

2.



Câu 29. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

    



12f x xx x



 

với mọi

x 



Hàm số

 

gx f





















đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 2. 

 

2;1 .



 

0;2 .

 

2;4 .

Câu 30. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

      

1 4.f x x x x tx



 

với mọi

x 



và

 

0tx

với mọi

 

Hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng

sau ?

 

; 2. 

 

2; 1 .





1;1 .



 

1; 2 .

Câu 31. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 

 

  

' 1 2 . 2018f x x x tx  

với mọi

x 



và

 

0tx

với mọi





Hàm số

   

1 2018 2019gx f x x  

nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

;3 .

 

0;3 .





1; .





3; .

Vấn đề 5. Cho biểu thức

 

', .f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





đồng biến, nghịch biến.

Câu 32. Cho hàm số

 

có đạo hàm

   

 

12fx x x x



 

với mọi

x  

Có bao nhiêu

số nguyên

100m 

để hàm số





 

8gx f x x m 

đồng biến trên khoảng

 

4;

18.

82.

83.

84.

Câu 33. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 

19f x x x x mx



  

với mọi

x  

Có

bao nhiêu số nguyên dương

để hàm số

   

3gx f x

đồng biến trên khoảng

 



Câu 34. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm

   

 

15f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số

 

gx f x

đồng biến trên

 

1; 

Câu 35. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 

13 1f x x x x mx



 

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng

 

0;

Phần 2. Cực trị của hàm số

Vấn đề 1. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số





fux





Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số





y fx





Số điểm cực trị của

hàm số

 

y fx

là

Câu 2. Cho hàm số

 

y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

3.gx f x

Câu 3. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên



và có bảng xét dấu của

 

y fx





như sau

Hỏi hàm số

 

2gx f x x

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Câu 4. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên



và

 

0 0,f 

đồng thời đồ thị hàm

số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số

   

gx f x

là

Câu 5. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

'y fx

như hình vẽ bên

dưới

Số điểm cực trị của hàm số

   

2017 2018 2019gx f x x  

là

Câu 6. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm trên



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hỏi hàm số





 

gx f x x



đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

0.x 

1.x 

x 

D. Không có điểm cực tiểu.

Câu 7. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số





y fx





như hình vẽ bên

dưới.

Hàm số



  

gx f x x x

   

đạt cực đại tại

1x 

. B.

0x 

. C.

1x 

. D.

2x 

Câu 8. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hàm số

   

2gx f x x

đạt cực tiểu tại điểm

1.x 

0.x 

1.x 

2.x



Câu 9. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hỏi đồ thị hàm số

   

3gx f x x

có bao nhiểu điểm cực trị ?

Câu 10. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị của hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số

 





2018gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 11. Cho hàm số bậc bốn

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số

 

22gx f x x 

là

Câu 12. Cho hàm số

 

y fx

. Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số

 

   

fx fx

gx e





là

Câu 13. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới và

 

0fx





với mọi

  



; 3, 4 9; .

x     

Đặt

  



g x f x mx 

Có bao nhiêu giá trị dương của

tham số

để hàm số

 

có đúng hai điểm cực trị ?

Câu 14. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

 

gx f x m

có

điểm cực trị ?

D. Vô số.

Câu 15. Cho hàm số

 

y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số





 

gx f x m

có

điểm cực trị ?

D. Vô số.

Vấn đề 2. Cho biểu thức





Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

fux





Câu 16. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

    

13fx x x



 

với mọi

.x  

Hàm số





y fx



đạt cực đại tại

0.x 

1.x



2.x 

3.x 

Câu 17. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm



  

 

1 1 21

fx x x x



   

với mọi

.x 



Hàm số



  

gx f x x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 18. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 





fx x x



 

với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f x

có bao nhiêu điểm cực đại ?

Câu 19. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 

 



14fx xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số





 

gx f x



có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 20. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 

2fx x x





với mọi

 

Hàm số

 

8gx f x x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 21. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm cấp

liên tục trên



và thỏa mãn

    

  

. 14

f x f x xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số

  

  

 

2.gx f x f x f x



 





có bao

nhiêu điểm cực trị ?

Câu 22. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm cấp

liên tục trên



và thỏa mãn

     

. 15 12f x fx f x x x



 

 



với mọi

.x  

Hàm số

     

.gx f x f x





có bao nhiêu

điểm cực trị ?

Câu 23. Cho hàm số

 

có đạo hàm

       

453

123fx x x x



  

với mọi

x 



Số điểm

cực trị của hàm số

 

gx f x

là

Câu 24. Cho hàm số

 

y fx



có đạo hàm

    

 

12 4fx x x x



  

với mọi

.x  

Số

điểm cực trị của hàm số

 

gx f x



là

Câu 25. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm

   

 

24f x xx x



 

với mọi

.x  

Số điểm

cực trị của hàm số

 

gx f x



là

Vấn đề 3. Cho biểu thức

 

', .

f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





có

điểm cực trị

Câu 26. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 

1 25f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên



để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Câu 27. Cho hàm số

 

y fx



có đạo hàm



  

 

1 34 3fx x x m m x



  

với mọi

.x  

Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Câu 28. Cho hàm số

 

có đạo hàm

 



 



 

4 53

13fx x xm x



  

với mọi





Có bao

nhiêu số nguyên

thuộc đoạn





5;5



để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Câu 29. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 





1 25f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số

 

gx f x

có đúng

điểm cực trị ?

Câu 30. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

  



 

12fx x x x



 

với mọi

.x 



Có bao

nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số





 

gx f x x m 

có

điểm cực

trị ?

15.

16.

17.

18.

Vấn đề 4. Cho đồ thị

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





Câu 31. Cho hàm số

 

xác định trên



và có đồ thị

 

như hình vẽ bên dưới. Hàm số

   

gx f x x

đạt cực đại tại

1.x 

0.x 

1.x 

2.x 

Câu 32. Cho hàm số





y fx



có đồ thị hàm số như hình bên.

Hàm số

 

3gx f x x 

có bao nhiêu điểm cực đại ?

Câu 33.

Cho hàm số

 

y fx



có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm

số

 

gx f x







có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

Câu 34. Cho hàm số

 

y fx



có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm

số



 



gx f f x







có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 35. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên



và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số

điểm cực trị của hàm số

 

  



2 3.

fx fx



Câu 36. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số

  



gx f x

có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng

Câu 37. Cho hàm số

 

y fx



có đồ thị hàm số như hình bên.

Đồ thị hàm số

   

23hx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 38. Cho hàm số

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

 

2018gx f x

là

Câu 39. Cho hàm số

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

 

gx f x



là

Câu 40.

Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ

bên.

Đồ thị hàm số

 

21gx f x 

có bao nhiêu điểm cực

trị ?

Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm

 

.fux





Câu 41. Cho hàm số

 

y fx

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

Hàm số

 

31gx f x

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?

1x 

. B.

1x 

. C.

1x 

. D.

0x 

Câu 42. Cho hàm số





y fx



có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số

 

1gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 43. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

3.gx f x

Câu 44. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số

   

2017 2018

gx f x 

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 45. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

gx f x

nhiều nhất là bao nhiêu ?

11.

13.

 

'fx

 









2018





2018





Vấn đề 6. Cho đồ thị

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số





f u xm





Câu 46. Cho hàm bậc ba





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của

tham số

để hàm số

   

gx f x m

có

điểm cực trị là



hoặc

3.m



3m 

hoặc

1.m



1m 

hoặc

3.m 

1 3.m



Câu 47. Cho hàm số

 

y fx



có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số

   

2gx f x m

có

điểm cực trị khi

 

4;11 .m 

2; .











2; .



















3.m 

Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số

để hàm số

3 95

yx x x   

có

điểm cực trị bằng

2016.

496.

1952.

2016.

Câu 49. Cho hàm số bậc bốn

 

y fx

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của

để hàm số

 

()gx fx m

có

điểm cực trị.

2 2.m 

2.m 

2.m 











Câu 50. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương

của tham số

để hàm số

   

2018gx f x m 

có

điểm cực trị ?

Câu 51. Cho hàm số





y fx

có đồ thị như hình vẽ

bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để

hàm số

  



2018

gx f x m

 

có

điểm cực trị ?

Câu 52. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

 

4;4

để hàm số

   

1gx f x m 

có

điểm cực trị ?

Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

 

.y fx

Với

1m 

thì hàm số

 

gx f x m

có

bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 54. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

để hàm số

 

gx f x m

có

điểm cực trị.

m 

m 

1.m 

1.m 

Câu 55. Cho hàm số





y fx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số

 

  



hx f x f x m

 

có đúng

điểm cực trị.

m 

m 

1.m 

m 

Vấn đề 7. Cho biểu thức

 

,.f xm

Tìm

để hàm số





fux





có

điểm cực trị

Câu 56. Hàm số

 

y fx

có đúng ba điểm cực trị là

2; 1

và

Hàm số

 

2gx f x x



có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 57. Cho hàm số

     

21 2 2f x x m x mx    

với

là tham số thực. Tìm tất cả

các giá trị của

để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị.

 



m

Câu 58. Cho hàm số

   

3 32 2mx mxf mx mx    

với

là tham số thực. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

10;10

m 

để hàm số

   

gx f x

có

điểm cực trị ?

10.

11.

Câu 59. Cho hàm số bậc ba

 

f x ax bx cx d  

có đồ thị nhận hai điểm





0;3A

và

 

2; 1B 

làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số

 

.g x ax x bx c x d 

11.

Câu 60. Cho hàm số

 

f x ax bx cx d  

với

, , , abcd 

và

2018 .

2018 0

abcd













 





Hàm số

   

2018gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 61. Cho hàm số

 

f x x ax bx c 

với

, ,

abc 

và

84 2 0

a bc



  







  





Hàm số



 



gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 62. Cho hàm số

 

1f x x mx nx 

với

, mn 

và





7 22 0











 





Hàm số





 

gx f x



có bao nhiêu điểm cực trị ?

11.

Câu 63. Cho hàm số

y ax bx cx d  

đạt cực trị tại các điểm

thỏa mãn





1; 0







1; 2x 

. Biết hàm số đồng biến trên khoảng

 

;xx

. Đồ thị hàm số cắt trục

tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

0, 0, 0, 0.abcd 

0, 0, 0, 0.abcd 

0, 0, 0, 0.

abcd 

0, 0, 0, 0.abcd

Câu 64. Cho hàm số

 

y f x ax bx c 

biết

0,a 

2018c 

và

2018.

abc

Số cực

trị của hàm số

   

2018gx f x

là

Câu 65. Cho hàm số

 

   

4 4 12 2

1 2 . 4 4 16

fx m x m x



     

với

là tham số thực.

Hàm số

  



1gx f x



có bao nhiêu điểm cực tri ?

---------- HẾT ----------

HÀM SỐ 2

VẬN DỤNG CAO

Phần 3. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1) Cho đồ thị hàm số

 

.fx

Hỏi GTLN-GTNN của hàm số

   

fux gx







Câu 1. Cho hàm số





y fx



liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Gọi

, Mm

lần lượt là GTLN –

GTNN của hàm số

 





2 sin cos .

gx f x x









Tổng

Mm

bằng

Câu 2.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên R và có đồ

thị là hình bên. Gọi

, Mm

theo thứ tự là GTLN –

GTNN của hàm số

   

 

23 2 5y fx fx   

trên đoạn

 

1; 3

. Tích

.Mm

bằng

54.

55.

Câu 3. Cho hàm số





y fx

liên tục, có đạo hàm trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Ký hiệu





 

22 1 .

gx f x x m

 

Tìm

điều kiện của tham số

sao cho

 

 

 

 

0;1

max 2 min .gx gx

4.m 

3.m 

0 5.m

2.m 

Câu 4.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có đồ thị

như hình vẽ bên. Xét hàm số





 

2 1.gx f x x m

 

Tìm

để

 

 

0;1

max 10.gx

13.m 

12.m 

1.m 

3.m 

Câu 5.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục, đạo hàm trên



và

đồ thị

 

y fx

như hình vẽ bên. Ký hiệu

 

2 3,

gx f x x x m   

với

là tham số thực. Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

 

 

 

 

0;1

3max 4 minP m gx gx m  

150.

102.

50.

Vấn đề 2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số

 

, , fx f x fx

Câu 6. Cho hàm số

 







với

là tham số thực và

1.m 

Tìm tất cả các

giá trị của

để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 

0;4

nhỏ hơn

 

1; 3 .m 

 

1; 3 5 4 .m 

 

1; 5 .m 

 

1; 3 .m 

Câu 7. Gọi

, Mm

lần lượt là GTLT–GTNN của hàm số





3 2 3y x x a xa    

(với

là tham số thực) trên đoạn

 

1 2 ;2 3 .aa

Tính





1.P 

P 

3.P 

6.P 

Câu 8. Cho hàm số

ax b







với

0a 

và

, ab

là các tham số thực. Biết

max 6,y 

min 2.y 

Giá trị của biểu thức





bằng

3.



Câu 9. Biết hàm số





y fx

liên tục trên



và có

, Mm

lần lượt là GTLN-GTNN

của hàm số trên đoạn

 

0;2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và

GTNN trên đoạn

 

0;2

tương ứng là

và





















 

2 sin cos .yf x x

 

2 sin cos .yf x x

 

2.y fx x 

Câu 10. Cho hai hàm số

   

y f x y gx

liên tục và có đạo hàm trên đoạn

 

1;1

thỏa mãn



  

0, 0f x gx

với mọi





1;1



và

 

0f x gx





với mọi

 

1;1 .x 

Gọi

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

       

2hx f xgx g x

trên đoạn

 

1;1 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?





mh

 

0.mh

 

1.mh





 





Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số

 

  

3 72 90

fx x x x m

trên đoạn

 

5;5

bằng

2018.

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?



1618.m



1600 1700.

 400.



1500 1600.

Câu 12. Gọi

là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số

sao cho giá trị lớn nhất

của hàm số

 

1 19

30 20

fx x x x m   

trên đoạn

 

0;2

không vượt quá

20.

Tổng các phần tử của

bằng

195.



105.

210.

300.

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

sao cho giá trị lớn nhất của hàm

số

 





4 2 3 22

f x x m x mx m   

trên đoạn

 

0;2

luôn bé hơn hoặc bằng

Câu 14. Gọi

, Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

432

fx x x x  

trên đoạn





0;2 .

Có bao nhiêu số nguyên

thuộc đoạn

 

7;4

sao cho

2Mm

10.

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số





24fx x x m  

trên đoạn

 

2;1

bằng

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

fx e e m

trên

 

0;ln 4

bằng

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số





x mx m







trên đoạn

 

1; 2

bằng

Câu 18. Gọi

là tập các giá trị thực của tham số

để giá trị nhỏ nhất của hàm số





fx x x m 

trên đoạn

 

2;3



bằng

Tổng các phần tử của tập

bằng

20.

24.

40.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để giá trị nhỏ nhất của

hàm số

4 34y x x mx  

lớn hơn

D. Vô số.

Câu 20. Cho hàm số





fx x x m 

Có bao nhiêu số nguyên

m 

để với mọi

bộ ba số thực

 

, , 1;3abc

thì

  



 

, , fa fb fc

là độ dài ba cạnh một tam giác ?

Câu 21. Cho hàm số

 

3 2.fx x x m  

Có bao nhiêu số nguyên dương

2018

m 

sao cho với mọi bộ ba số thực phân biệt

 

, , 1;3abc

thì



 



, ,

fa fb fc

là độ dài ba

cạnh một tam giác nhọn ?

1968.

1969.

1970.

2008.

Vấn đề 3) Cho biết hàm số

 

đạt GTLN (GTNN) tại





;.x ab

Hỏi trên khoảng

 

;cd

hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào

Câu 22. Cho hàm số

 

f x ax b x c

 

0a 

có

 

   

min 1 .fx f





Giá trị nhỏ

nhất của hàm số

 

trên đoạn







bằng

8.ca



c 

c 

ca

Câu 23. Biết hàm số

   

  



112 1184fxmx mnx mn

đạt giá trị

lớn nhất trên khoảng

 

;0

tại

3x 

. Hỏi trên đoạn







hàm số đã cho có giá

trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?

10.

11.

12.

13.

Câu 24. Cho hàm số

   

 

2 2 1 8 4.f x x ax ax a b a b

     

Biết rằng trên

khoảng

;







 











hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

3.x 

Hỏi trên đoạn

 

1; 3

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào ?

1.x 

x 

2.x 

3.x 

Câu 25. Cho hàm số

  



0f x ax cx d a

  

có

 

   

min 2 .fx f





Giá trị lớn

nhất của hàm

 

trên đoạn

 

1; 3

bằng

16 .da

11 .da

ad

Vấn đề 4) Bài toán tìm tham số

để GTLN của hàm số đạt GTNN

Câu 26. Tìm

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

24fx x x m  

trên đoạn

 

2;1

đạt giá trị nhỏ nhất.

1.m 

2.m 

3.m 

4.m 

Câu 27. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

 

32 2

1 47fx x x m x m    

trên

đoạn

 

0;2

đạt giá trị nhỏ nhất khi



Khẳng định nào sau đây đúng ?





3; 2 .

m  





2; 1 .m  

 

1; 0 .m



 

0;3 .m 

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

xm m







trên đoạn

 

1; 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

m 





5 165





2.m 

Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

ln 1

fx m







trên đoạn

1; e







có giá trị

nhỏ nhất là





Câu 30. Cho hàm số

    

2 13fx x x x x m   

với

là tham số thực. Khi

giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì khẳng định nào sau đây đúng ?

 

0;1 .m



 

1; 2 .m 

 

2;3 .m 

 

3; 4 .m 

Vấn đề 5) Cho đồ thị hàm số

 

.fx



Hỏi GTLN-GTNN của hàm số



 



fux gx







Câu 31. Cho hàm số

 

y fx

có đạo

hàm

 



liên tục trên



và đồ thị của

hàm số

 



trên đoạn

 

2;6

như hình

vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 

   

2;6

max 1 .fx f





 

   

2;6

max 2 .fx f





 

   

2;6

max 6 .

fx f





 

     

 

2;6

max max 1 , 6 .fx f f





Câu 32. Cho hai hàm số





y fx

và

 

y gx



liên tục trên



có đồ thị hàm số





y fx





là đường cong nét đậm và

 

y gx





là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao

điểm

, , ABC

của đồ thị

 

y fx





và

 

y gx





trên hình vẽ

lần lượt có hoành độ là

, , .abc

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

     

hx f x gx

trên

đoạn

 

;

bằng

 

0.h

 

.ha

 

.hc

Câu 33. Cho hàm số





y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Biết rằng

 



 



03 25.

ffff



Giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của





trên đoạn

 

0;5

lần

lượt là

   

0 ; 5 .ff



  

2 ; 0 .ff

   

1 ; 5 .ff

   

2 ; 5 .ff

Câu 34.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Biết rằng

  

    

 

0 1 2 2 4 3.ff f ff  

Hỏi trong các giá trị

       

0, 1, 3, 4f ff f

giá trị nào là

giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

y fx

trên đoạn

 

0;4

 

0.f

 

1.f

 

3.f

 

4.f

Câu 35.

Cho hai hàm số





,y fx

 

y gx

có

đạo hàm là

 



 

.gx



Đồ thị hàm số

 

y fx





và





y gx





được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

       

0 6 0 6.f f gg

Giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số

    



hx f x gx

trên đoạn

 

0;6

lần lượt là

   

6 , 2 .hh

   

2 , 6 .hh

   

0 , 2 .hh

   

2 , 0 .

Câu 36.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Xét hàm số

     

2 1,gx f x x 

mênh đê nào sau

đây đúng ?

 

   

3;3

max 1 .gx g





 

   

3;3

max 3 .gx g





 

   

3;3

min 1 .gx g





D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của

 

trên

 

3;3 .

Câu 37. Cho hàm số

 

y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình vẽ bên. Xét hàm

   

133

2018,

34 2

gx f x x x x   

mệnh đề nào sau đây đúng ?









 

3;1

min 3 .gx g





 

   

3;1

min 1 .gx g





 

 





3;1

min 1 .

gx g









 

   

3;1

min .







Câu 38.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Xét hàm

   

2 2 4 3 65gx f x x x m  

với

là tham số thực. Để

 

0gx

với mọi

5; 5 ,x









khẳng định nào sau đây đúng ?

 

mf

 

mf

 

0 2 5.







5 4 5.

mf 

Câu 39.

Cho hàm số





y fx

có đạo hàm liên tục trên

 

2;2

và

đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Đặt

  



.gx f x x



Khẳng định nào sau đây đúng ?

  

  

0 2 2.gg g 

    



2 0 2.ggg 

   

 

2 2 0.gg g 

     

0 2 2.ggg 

Câu 40.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số

   

3 15 1gx f x x x  

trên đoạn

 

0;3

là

 

0.g

 

1.g

 

2.g





Phần 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vấn đề 1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước

Câu 1.

Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số





 







có tất cả bao nhiêu

đường tiệm cận đứng ?

Câu 2. Cho hàm trùng phương

 

y fx

có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

2018

fx fx









có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận ?

Câu 3.

Cho hàm trùng phương





y fx



có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số





 

2018

2019gx



có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận ?

Câu 4. Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

f x fx







có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 5. Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

f x fx







có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 6.

Cho hàm trùng phương

 

y fx

có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số

 

  



  

xx x

f x fx







có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 7. Cho hàm số bậc năm





y fx

liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số













f x fx







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 8. Cho hàm số bậc năm





y fx

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

f x fx





có

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 9.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số











 



32 1xx x

xf x f x

 











có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 10. Cho hàm số bậc ba





y fx



có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

x x xx

xf x f x

 











có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 11.

Cho hàm số bậc năm

 

y fx

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

f x fx







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 12.

Cho hàm bậc bốn





y fx

liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

2 5421

11 28

x x xx

f x fx

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 13. Cho hàm số bậc ba





y fx



có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị

hàm số

 

  

   

1 22 3 1

x x xx

f x fx

   





có bao nhiêu đường tiệm

cận đứng ?

Câu 14.

Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị như hình

vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

10 9 5 2

8 13

f x fx

 





có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng ?

Câu 15. Cho hàm bậc ba





y fx



có đồ thị như hình. Đồ thị hàm

số

 

1 43

x xx



 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Vấn đề 2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên

Câu 16. Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có bảng

biến thiên như hình bên. Tìm tất cả các số thực

để đồ

thị hàm số

 

fx m





có ba đường tiệm cận đứng ?

5.m 

5.m 

5 4.

m 

5 4.m

 

Câu 17.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã

cho có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ tính đường tiện

đứng và đường tiệm cận ngang) ?

Câu 18.

Hàm số

 

y fx



xác định và có đạo hàm trên

 

\ 1;1 ,

có bảng biến thiên như hình bên. Gọi

, kl

lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số

 





. Tính

.kl

2.kl

3.kl

4.kl

5.kl

Câu 19. Cho hàm số





y fx

liên tục trên



và có bảng

biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 





có

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 20.

Cho hàm số bậc ba





y fx



có bảng biến thiên

như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Câu 21.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số





 





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Câu 22.

Cho hàm số





y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

 





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Câu 23. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

log 4





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Câu 24. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

2018





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Câu 25. Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có bảng biến

thiên như hình. Đồ thị hàm số

 

2 7 34 5

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Vấn đề 3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số

Câu 26. Cho hàm số

 

y fx

thỏa mãn

 

lim 1





và

 

lim .

fx m





Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

 





có duy nhất một tiệm

cận ngang.

1.m 

m 

 

1; 2 .m  

 

1; 2 .m 

Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên của tham số thực

 

3; 6m 

để đồ thị hàm số

22 2 1

x xm x





  

có đúng

đường tiệm cận ?

10.

Câu 28. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

để đồ thị hàm số

x mx m







có

đúng hai tiệm cận đứng.

   

; 12 0; .m     

 

0; .m

 

0; .



















0; .



















Câu 29. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

để đồ thị hàm số

12 4

x xm







có

đúng hai tiệm cận đứng.

4; .

















4; .



















 

8;9 .m 

 

0;9 .m 

Câu 30. Cho hàm số

 

21 2

x m x mxm





  





Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận.

 

0;1 .m 

 

0;1 .m 

 

0;1 \ .













 

;1 \ .





 







Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên





1; 3m



để đồ thị hàm số

 

x mx







có

đường tiệm cận đứng ?

Câu 32. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

y ax x 

có tiệm cận ngang ?

D. Vô số.

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

sao cho đồ thị của hàm số







có hai tiệm cận ngang.

0.m



0.m



0.m



.m 

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

để đồ thị hàm số

x mx







có đúng một tiệm cận ngang ?

D. Vô số.

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

để đồ thị hàm số

 

2018 1

x mx



 



có hai tiệm cận ngang ?

2016.

2017.

2018.

2019.

Phần 5. TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Vấn đề 1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức

Câu 1. Cho hàm số

 

1gx x



và hàm số

 

3 1.fx x x 

Tìm

để phương

trình





f gx m







có 4 nghiệm phân biệt.

3 1.

m  

3 1.m

  

3 1.m

  

m 

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

f fx m x m 

có nghiệm

 

1; 2x

biết

 

34fx x x m 

15.

16.

17.

18.

Câu 3. Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để phương trình bậc ba

 

3 2 1 16 2 0x x mx m    

có nghiệm nằm trong đoạn

 

2;4 .

m 

m

8.m 

m

Câu 4. Cho hàm số

 

.f x x ax bx c 

Nếu phương trình

 

0fx

có ba nghiệm

phân biệt thì phương trình

    



2 fxf x f x



 





có bao nhiêu nghiệm ?

Câu 5. Biết rằng đồ thị hàm số





4 32

y f x ax bx cx dx e    

(với

,,, ,abcde 

và

0; 0ab

) cắt trục hoành tại

điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số

       

.0gx f x f x f x



 

 



cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ?

Vấn đề 2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên

Câu 6.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên

 

\0

và có bảng biến thiên như hình bên. Gọi

là số

nghiệm của phương trình

 

3fx



và

là số

nghiệm của phương trình

 

3fx

. Khẳng định

nào sau đây đúng ?

4.hk



hk

7.hk

hk

Câu 7. Cho hàm số





y fx



liên tục trên

 

\0

và có bảng biến thiên như hình bên. Với

là tham

số thực bất kỳ, phương trình

 

0fx m

có

nhiều nhất bao nhiêu nghiệm ?

Câu 8.

Cho hàm số





y fx

liên tục trên đoạn

 

1; 8 ,

biết

     

1 3 82fff

và có bảng biến

thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

để phương trình

   

fx fm

có ba

nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

1; 8

Câu 9. Cho hàm số

 

liên tục trên

 

0;5

và có bảng biến

thiên như hình. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để phương

trình

 

3 10 2 .

x x mu x 

có nghiệm trên đoạn

 

0;5

Câu 10.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên đoạn

 

1; 3

và có bảng biến thiên như hình. Tổng các giá trị

m  

sao cho phương trình

 

6 12





có hai

nghiệm phân biệt trên đoạn

 

2;4

bằng

297

. B.

294

. C.

75

. D.

72

Vấn đề 3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị

Câu 11. Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có đồ thị như

hình vẽ bên. Hỏi phương trình





4fx







có bao

nhiêu nghiệm ?

Câu 12.

Cho hàm số





y fx



xác định trên

.

Đồ thị hàm

số

 

y fx





cắt trục hoành tại ba điểm

,,abc

()abc

như hình vẽ. Biết

 

0,fb

hỏi đồ thị hàm số

 

y fx

cắt

trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ?

Câu 13.

Cho hàm số





y fx



xác định trên

.

Đồ thị hàm

số

 

y fx





cắt trục hoành tại ba điểm

,,abc

()abc

như hình vẽ. Biết





0,fa



hỏi đồ thị hàm số

 

y fx

cắt

trục hoành nhiều nhất bao nhiêu điểm ?

Câu 14. Cho hàm số

 

6 93y fx x x x  

có đồ thị

như hình vẽ. Phương trình

    



6 9 30fx fx fx



  



có bao nhiêu nghiệm ?

Câu 15. Cho hàm số

 

32y fx x x  

có đồ thị như

hình vẽ. Phương trình

   

32 32

323 3220xx xx 

có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt ?

Câu 16. Cho hàm số bậc ba





y fx



có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình

 

0ffx







có bao nhiêu nghiệm thực phân

biệt ?

Câu 17. Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị như hình vẽ

bên. Gọi

là số nghiệm thực của phương trình

 

1.ffx







Khẳng định nào sau đây đúng ?

3.m



4.m



7.m 

9.m



Câu 18. Cho hàm số

 

fx x x 

có đồ thị như hình

vẽ bên. Hỏi phương trình

 





3 54

ffx

f x fx









có bao nhiêu

nghiệm thực ?

Câu 19. Cho hàm bậc bốn

 

y fx

có đồ thị như hình bên.

Phương trình

   

21f fx fx



 





có bao nhiêu nghiệm

Câu 20.

Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình bên. Hỏi có

bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm

của phương trình

 

cos 2 0ff x







điểm. B.

điểm.

Vô số.

Câu 21. Cho hàm số





y fx

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi

phương trình

 

cos 1 0

ff x







có bao nhiêu nghiệm thuộc

đoạn

 

0;2

Câu 22. Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị hàm số như hình vẽ

bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình

 

4 3 2.fxx   

Câu 23.

Cho hàm số

 

y fx

xác định trên



và có đồ thị

như hình bên. Hỏi phương trình

 

fx 

có bao nhiêu

nghiệm ?

Câu 24.

Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó phương trình

 

2 1 30fx 

có bao nhiêu

nghiệm lớn hơn

Câu 25.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có đồ thị

như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

2fx x m

có đúng

nghiệm thực

phân biệt thuộc đoạn

;











Câu 26.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ. Với

là tham số thực bất kì thuộc đoạn

 

0;5 ,

hỏi phương trình

 

6 25fx x x m m  

có bao nhiêu nghiệm thực ?

Câu 27. Cho hàm số

 

y fx



liên tục và có đạo hàm trên



, có

đồ thị như hình vẽ. Với

là tham số bất kì thuộc

 

0;1 .

Phương

trình

 

3 3 41

fx x m m

  

có bao nhiêu nghiệm thực ?

Câu 28. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có đồ thị như

hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình

   

 

6 sin 8 cos 1f x x f mm 

có nghiệm

x  

Câu 29. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên. Có

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

2 sin

f xf



















có

nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

;2

Câu 30. Cho hàm số

 

1.y x fx



liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 





thuộc khoảng nào sau đây ?

 

0;2 .





1; 3 .

 

2;4 .

 

3;5 .

Câu 31. Cho hàm số

     

2.gx x f x

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi với

thuộc khoảng nào dưới đây

thì phương trình

 

2fxx m

có nhiều nghiệm nhất ?

 

2;0 .

 

0;1 .

 

1; 2 .

 

0;2 .

Câu 32.

Cho hàm số

   

1.y x fx

xác định và liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của

để

đường thẳng

ym m



cắt đồ thị hàm số

 

1y fxx

tại hai

điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn

 

1;1 .

0.m 

1m 

hoặc

0.m 

1.m 

0 1.m

Câu 33. Hình bên là đồ thị của hàm số

2 3.yx x

Sử dụng

đồ thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để

phương trình

   

22 2

16 12 1 1x x x mx  

có nghiệm.

1 0.m 

1 4.

m 

1 4.m

D. Với mọi

Câu 34.

Hình bên là đồ thị của hàm số

3.yx x



Sử dụng đồ

thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương

trình

33x xm 

có hai nghiệm thực âm phân biệt.

1 1.m 

1 1.m 

1 1.m 

4.m 

Câu 35.

Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ. Tồn tại bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

23 .x x mf x 

có nghiệm trên đoạn

 

0;3 ?

HAØM SOÁ (hàm ẩn)

Vận dụng cao

Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Cho đồ thị





'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số





.fux





…………………….….………. 02

2. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

   

fux gx







…………….…….…. 14

3. Cho bảng biến thiên





'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số





.fux





………………. 17

4. Cho biểu thức

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





………….………………. 18

5. Cho biểu thức

 

', .f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





đồng biến, nghịch biến…..….. 21

Phần 2. Cực trị của hàm số

Kí hiệu

 

fux





là các hàm số hợp; hàm tổng, hàm chứa trị tuyệt đối.

1. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





…………………………….………. 23

2. Cho biểu thức

 

'.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





………………………..……. 31

3. Cho biểu thức





', .

f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





có

điểm cực trị……………..….. 34

4. Cho đồ thị

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





………………………………….…… 36

5. Cho bảng biến thiên của hàm

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





…… 42

6. Cho đồ thị

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

,.f uxm





……………………….……….… 44

7. Cho biểu thức

 

,.f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





có

điểm cực trị……………..….. 49

Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Vấn đề 1. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





Câu 1. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình

bên. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số

 

đồng biến trên

 

2;1 .

B. Hàm số

 

đồng biến trên

 

1; 

C. Hàm số

 

nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng

D. Hàm số





nghịch biến trên

 

; 2. 

Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số

 

'y fx

ta thấy:

●

 

'0fx

khi



 



 











đồng biến trên các khoảng

 

2;1







Suy ra A đúng, B đúng.

●

 

'0fx

khi

2x    

 

nghịch biến trên khoảng

 

;2 

. Suy ra D đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.

Câu 2. Cho hàm số

 

.y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

   

32gx f x

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

0;2 .

 

1; 3 .

 

; 1. 

 

1; . 

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra







 













Ta có

   

2 32.gx f x



 

Xét

 

2 32 2

0 32 0 .

32 5

gx f x



 











   













Vậy

 

nghịch biến trên các khoảng

;

















và

 

; 1. 

Chọn C.

Cách 2. Ta có

  



 

theo do thi '

32 2

0 32 0 32 2 .

32 5

gx f x x x











 





        













Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ ta chọn

0 1; ,







 











suy ra

32 3









  

theo do thi '

3 2 3 0.

f xf



   

Khi đó



 



0 3 0.



 

Nhận thấy các nghiệm của

 



là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 3. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

12gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

1; 0 .

 

;0 .

 

0;1 .

 

1; .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 

















Ta có



 



2 12.

gx f x



 

Xét



  

12 1

0 12 0 .

112 2

gx f x







 







   



 









Vậy

 

đồng biến trên các khoảng



















và





1; .



Chọn D.

Cách 2. Ta có

   

 

theo do thi '

12 1

0 2 12 0 .

12 2

1 2 4 nghiem kep

gx f x









 















     























Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ chọn

 

2 1; ,x   

suy ra

12 3x 

 

   

theo do thi '

1 2 3 0.

f xf



    

Khi đó

   

2 2 3 0.gf



  

Nhận thấy các nghiệm

 

và



của

 



là các nghiệm đơn nên qua nghiệm

đổi dấu; nghiệm

x 

là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 4. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới. Hàm số

 

gx f e

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

 

;0

. B.

 



. C.

 

1; 3

. D.

 

2;1

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có

 

















Xét

 

theo do thi '

. 2 ; 0 2 0 0.

xx x

gx ef e gx f e x







  

        









Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số





nghịch biến trên

 

;0 .

Chọn A.

Câu 5. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 





đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?







 











;1 .



















 

1; 2 .

 

;1 .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 

















Ta có

   

 

2 3 2 .2 .ln 2.

gx f x





 

Xét



 



32 1

0 32 0 .

132 4

gx f x









 







   







 









Vậy

 

đồng biến trên các khoảng

;1 ,



















 

2; .

Chọn B.

Cách 2. Ta có

 

theo do thi '

32 1

0 32 0 32 4 .

32 1

gx f x x x









 





        













Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Câu 6. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

3gx f x



đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 1. 

 

1; 2 .

 

2;3 .





4;7 .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 



 













và

 

















 Với

3x 

khi đó

 

  



1 31 2 4

3 30

34 7

gxfx gxfx



   





        



 



 

hàm số

 

đồng biến trên các khoảng

 

3; 4 ,

 

7; .

 Với

3x 

khi đó



 

  

 

3 3030gxfx gxfx fx

 

          

 

13 4





 









 



loaïi

 

hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

1; 2 .

Chọn B.

Câu 7.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình

bên. Hỏi hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong

các khoảng sau ?

 

; 1. 

 

1; . 

 

1; 0 .

 

0;1 .

Lời giải. Ta có

 

g x xf x





Hàm số

 

đồng biến

 

theo do thi '

1 0 1



































   











   



























   



























 



Chọn C.

Cách 2. Ta có





 

theo do thi '





















   





















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

1; 



 

1; 0.

xx   

 



 

1; 1xx   

. Với

 





theo do thi '

1 0.

x fx



  





Từ

 

và

 

suy ra

 

g x xf x





trên khoảng

 

1; 

nên

 



mang dấu



Nhận thấy các nghiệm của

 



là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 8.

Cho hàm số





y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

; 2.

 

 

2; 1 .

 

1; 0 .





1; 2 .

Lời giải. Ta có

 

g x xf x





Hàm số

 

đồng biến

 

theo do thi '

1 1 4



































   











   



























   

















0 1 2



 







  



Chọn B.

Cách 2. Ta có

 

theo do thi '

0 1.

gx x

























    























Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

2;



 

2; 0.xx   

 



 

2; 4xx   

. Với

 

theo do thi '

4 0.

x fx



  

 

Từ





và





suy ra

 

20g x xf x





trên khoảng

 

2;

nên

 



mang dấu



Nhận thấy các nghiệm của

 



là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 9. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số





 

gx f x



đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 1.

 

 

1;1 .



 

1; .

 

0;1 .

Lời giải. Ta có









g x xf x





 





theo do thi '



















   





















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Câu 10.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Đặt

 





2.gx f x

Mệnh đề nào dưới

đây sai ?

A. Hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

2; .

B. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

0;2 .

C. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

1; 0 .

D. Hàm số

 

nghịch biến trên khoảng

 

; 2. 

Lời giải. Ta có

 

2 2;g x xf x









 





theo do thi '

0 2 1 nghiem kep 1.

gx x x



















      



















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Câu 11. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hỏi hàm số





 

5gx f x

có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?

Lời giải. Ta có

 

2 5;g x xf x













 

theo do thi '















 





   









 

















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Câu 12.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 

1gx f x

nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

1; 2

. B.

 

0;

 

2; 1

. D.

 

1;1

Lời giải. Ta có

 

21 .g x xf x



 

Hàm số

 

nghịch biến

 































 





























 Trường hợp 1:

 

1 1 2 : vo nghiem



















 



 









 Trường hợp 2:

 

1 11 2















 



 



  









Chọn B.

Cách 2. Ta có

 

theo do thi '

0 1 1 0.

gx x x















      

















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ chọn

 

1 0; .x   



1 2 0.xx    

 



 

theo do thi '

1 1 0 1 0 0 2 0.

x x f xf f

 

         

 

Từ

 

và

 

suy ra

 

10g





trên khoảng

 

0; .

Nhận thấy nghiệm của





0gx





là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 13.

Cho hàm số





y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số

 





gx f x

đồng biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

2;3 .

 

2; 1 .





0;1 .

 

1; 0 .

Lời giải. Ta có





 

23 .

g x xf x



 

Hàm số





đồng biến

 































 





























 

theo do thi '

13 2

63 1



















 















 































   



























































































  













 





































Chọn D.

Cách 2. Ta có

 

theo do thi '

















 







   









 















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

Câu 14.

Cho hàm số

 

.y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Hỏi hàm số





 

gx f x x

nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

 

1; 2 .

 

;0 .

 

;2 .



















Lời giải. Ta có



  

 

' 12 .gx xf x x



 

Hàm số

 

nghịch biến





 

12 0

fxx































 





























 Trường hợp 1:

 

12 0

1 2

fxx

xx xx

















 



 









  





 Trường hợp 2:

 

12 0

1 2 : vo nghiem

fxx





















 









 





Kết hợp hai trường hợp ta được

x 

Chọn D.

Cách 2. Ta có





 

theo do thi '

12 0

0 1: vo nghiem .

2 : vo nghiem

gx x x x

fxx

















      

















Bảng biến thiên

Cách 3. Vì





 

theo do thi '

1 11

2 44

xx x fxx









       











Suy ra dấu của

 

'gx

phụ thuộc vào dấu của

1 2.x

Yêu cầu bài toán cần

 

' 0 12 0 .

gx x x      

Câu 15. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới và

   

2 20ff

 

Hàm số

   

gx f x







nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

1; .



















 

2; 1 .

 

1;1 .

 

1; 2 .

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

y fx





suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

như sau

Từ bảng biến thiên suy ra





0, .

fx x 

Ta có

     

2 ..gx f x fx





Xét



  

 

0 .0 .

gx f x fx



















  















Suy ra hàm số

 

nghịch biến trên các khoảng

 

; 2, 

 

1; 2 .

Chọn D.

Câu 16. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới và

   

2 2 0.ff 

Hàm số

   

3gx f x







nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

2; 1 .

 

1; 2 .

 

2;5 .

 

5; .

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y fx





suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

như sau

Từ bảng biến thiên suy ra





0, .

fx x

 

Ta có

     

23.3.gx f xf x



  

Xét



    

 

23 1 2 5

0 3 .3 0 .

32 1

gx f xf x











   







     







 





 



Suy ra hàm số

 

nghịch biến trên các khoảng

 

;1 ,

 

2;5 .

Chọn C.

Câu 17. Cho hàm số





y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

22gx f x x 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 1 2 2.  

 

;1 .

 

1; 2 2 1 .

 

2 2 1; .

 

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

 

0 1.

fx x









 







Ta có

 

2 2;

gx f x x





 



 

theo do thi '

1 nghiem boi ba

0 2 2 1 1 22 .

220

1 22

2 23

gx x x x

fx x



















        













 

 





Lập bảng biến thiên và ta chọn A.

Chú ý: Cách xét dấu

 



như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

1; 1 2 2 

ta chọn

0.x



Khi

đó

 

0 20





vì dựa vào đồ thị

 



ta thấy tại

 

2 1; 3x 

thì

 

2 0.f





Các nghiệm của phương trình

 

0gx





là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 18. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên dưới

Hàm số

 

23 22gxfxx xx  

đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

 

; 1. 





































 

1; . 

Lời giải. Ta có

   

 

1 2 3 2 2.

23 22

gxx fxx xx

xx xx













   













 



23 22

xx xx



 

với mọi

.x  

 



   

0 23 22 1

12 11

uxx xx

    



 

 





theo do thi '

0, .

fu x



   



 

Từ

 

và

 

suy ra dấu của

 



phụ thuộc vào dấu của nhị thức

1x 

(ngược dấu)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Câu 19. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

   

' 22gx f x 

như hình vẽ bên. Hàm số

 

y fx

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

1;1 .

















 

;2 .

 

2; .

-1

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có

 

' 2 2 2 1 3.fx x      

Đặt

2,tx

ta được

 

' 22 1 23ft t

hay

 

' 0 1 1.ft t     

Chọn A.

Cách khác. Từ đồ thị hàm số

 

' 22fx

tịnh tiến xuống dưới

đơn vị, ta được đồ thị

hàm số

 

'2fx

(tham khảo hình vẽ bên dưới).

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số

 

'2fx

sang trái

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

 

(tham khảo hình vẽ bên dưới).

-1

-3

Từ đồ thị hàm số

 

'fx

, ta thấy

 

'0fx

khi

 

1;1 .x 

Vấn đề 2. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

   

.fux gx







Câu 20. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên dưới

Đặt

   

,gx f x x

khẳng định nào sau đây là đúng ?

     

2 1 1.gg g 

     

1 1 2.g gg 

     

1 1 2.g gg 

     

1 1 2.gg g 

Lời giải. Ta có

       

1 0 1.gx f x gx f x

  

      

Số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y fx





và

đường thẳng

dy

(như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

 

0 1.

gx x









 







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên

     

2 1 1.gg g    

Chọn C.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

2; ,

ta thấy đồ thị

hàm số nằm phía trên đường thẳng

1y 

nên

   

1gx f x





mang dấu

.

Câu 21. Cho hàm số

 

y fx



có đạo hàm liên tục trên



Đồ thị hàm số





y fx





như

hình bên dưới

Hàm số

  



gx f x x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

 

; 2.

 

 

2;2 .

 

2;4 .

 

2; .



Lời giải. Ta có

       

22 0 .gx f x x gx f x x

  

      

Số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y fx





và

đường thẳng

:dy x

(như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

 

0 2.

gx x









 







Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với

 

2;2x 

thì đồ thị hàm số

 



nằm phía trên

đường thẳng



nên

 

0gx





)

 

hàm số

 

đồng biến trên





2;2 .

Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm liên tục trên



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Hỏi hàm số

     

21gx f x x 

đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

3;1 .

 

1; 3 .

 

;3 .

 

3; .

Lời giải. Ta có



        

2 2 1 0 1.gx f x x gx f x x

  

         

Số nghiệm của phương trình









chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y fx





và

đường thẳng

:1dy x 

(như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

 

0 1.

gx x









 







Yêu cầu bài toán













 







(vì phần đồ thị của

 

'fx

nằm phía trên đường

thẳng

1yx 

). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 23. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên dưới

Hỏi hàm số

   

gx f x x  

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?





3;1 .

 

2;0 .

1; .



















 

1; 3 .

Lời giải. Ta có

   

1 1.

gx f x x



   

Để

   

0 1 1.gx f x x



  

Đặt

1tx

, bất phương trình trở thành





.ft t





Kẻ đường thẳng

yx

cắt đồ thị hàm số

 

'fx

lần lượt tại ba điểm

3; 1; 3.xxx  

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

 

31 3 4

1 3 11 3 2 0

t xx

ft t

t xx

 

   

 



   

 

    

 

Đối chiếu đáp án ta chọn B.

Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên





'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





Câu 24. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biên thiên như hình vẽ

Hàm số

 

gx f x x







 











nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

1; .



















;1 .

















1; .



































Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

 

















và

 

0 2 3.fx x



   

Ta có

 

5 53

42 .

2 22

gx x f x x

  







  









  

Xét

 

fx x





































 



































































 



























22 3

fx x













  















 

   

























fx x





































 









































 



















































  











Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.

Câu 25. Cho hàm số





có đạo hàm liên tục trên



Bảng biến thiên của hàm số

 



như hình vẽ

Hàm số

 

gx f x







 











nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

4; 2 .

 

2;0 .

 

0;2 .

 

2;4 .

Lời giải. Ta có

 

1 1.

gx f









  











Xét

 

01 2

gx f









  











 TH1:

1 2 2 1 3 4 2.









 











Do đó hàm số nghịch biến trên

 

4; 2

 TH2:

1 2 11 0 2 22 4

f a ax









   











nên hàm số chỉ nghịch biến

trên khoảng

 

2 2 ;4a

chứ không nghịch biến trên toàn khoảng

 

2;4 .

Vậy hàm số

 

gx f x







 











nghịch biến trên

 

4; 2 .

Chọn A.

Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.

Vấn đề 4. Cho biểu thức

 

'.fx

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

 

.fux





Câu 26. Cho hàm số

 

có đạo hàm

 

2fx x x





với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f x







 











đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 6. 

 

6;6 .

 

62;62.

 

6 2; . 

Lời giải. Ta có

 

11 9

1 4 1 21 4 .

2 2 2 2 2 28

x xx x

gx f



 



 

 



         

 

 



 

 

 





Xét

0 36 6 6.

   

Chọn B.

Câu 27. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm

    

94fx xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

2;2 .

 

; 3. 

   

; 3 0;3 .  

 

3; .

Lời giải. Ta có

 

    

2 52 2

2 2 9 4;g x xf x x x x



  

 



 

52 2

0 2 9 4 0 3.

gx x x x x









    







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

Câu 28. Cho hàm số





có đạo hàm

   





12fx x x x



 

với mọi

.x  

Hỏi số thực

nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số





 

22gx f x x 



1.

Lời giải. Ta có

   

 

2 1 22gx x f x x



  

 

  

  

 

   

2 22

2 1 221 22 2 22

2 1 1 1.

x xx xx xx



     







  





Xét

 

2 1 1 10 .









  











Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng

 

0;1 ,

 

2; .

Vậy số

thuộc khoảng đồng biến của hàm số

 

.gx

Chọn B.

Câu 29. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

     

12f x xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f





















đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 

; 2. 

 

2;1 .

 

0;2 .

 

2;4 .

Lời giải. Ta có

     

0 1 2 0 1.

f x xx x x









    







Xét

 





 

20 5 0

20 5 5

; 0 .

1 nghiem boi chan

4 nghiem boi chan

gx f gx





































 

  















































Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

4;

ta chọn

5x 



 

20 5

5 0.



 



 



5 25 25 25 25 25

5 1 2 0.

29 29 29 29 29

    

 

 



        

 

 

 

 

    



 

Từ

 

và

 

suy ra

 





trên khoảng

 

4; .

Câu 30. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

      

1 4.f x x x x tx



 

với mọi





và

 

0tx

với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng

sau ?

 

; 2. 

 

2; 1 .

 

1;1 .



 

1; 2 .

Lời giải. Ta có

 





2.g x xf x





Theo giả thiết

  



  

   

 



2 2 42 2 2

1 4. 1 4. .

f x x x x tx f x x x x tx



       

Từ đó suy ra

 

 

  

52 2 2

2 1 4. .g x x x x tx



 

Mà





 

0, 0,

tx x tx x    

nên dấu của





'gx

cùng dấu

 

52 2

2 1 4.xx x



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Câu 31. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

      

' 1 2 . 2018f x x x tx  

với mọi

 

và

 

0tx

với mọi

.x  

Hàm số

 

1 2018 2019gx f x x  

nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

 

;3 .

 

0;3 .

 

1; .

 

3; .

Lời giải. Ta có

   

' ' 1 2018.gx f x  

Theo giả thiết

 

          

' 1 2 . 2018 ' 1 3 . 1 2018.

f x x x tx f x x x t x          

Từ đó suy ra

 

   

' 3 .1 .gx x xt x  

Mà

   

0, 1 0, txx txx     

nên dấu của

 

'gx

cùng dấu với

 

3.xx

Lập bảng xét dấu cho biểu thức

 

3xx

, ta kết luận được hàm số

 

nghịch biến trên các

khoảng

 

;0

 

3; .

Chọn D.

Vấn đề 5. Cho biểu thức

 

', .f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





đồng biến, nghịch biến.

Câu 32. Cho hàm số





có đạo hàm

   

 

12fx x x x



 

với mọi

.x  

Có bao nhiêu

số nguyên

100m 

để hàm số

 

8gx f x x m 

đồng biến trên khoảng

 

4;

18.

82.

83.

84.

Lời giải. Ta có



 







1 20 .

fx x x x









   







Xét

 

2 8. 8 .gx x f x x m



  

Để hàm số





đồng biến trên khoảng





4;

khi và

chỉ khi

 

0, 4gx x



 





 





 

2 8 . 8 0, 4

8 0, 4

8 0, 4;

18.

8 2, 4;

x fx xm x

fx xm x

x xm x



     



    



     



 



     





Vậy

18 100.

m

Chọn B.

Câu 33. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 

19f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên dương

để hàm số

 

3gx f x

đồng biến trên khoảng

 

3;

Lời giải. Từ giả thiết suy ra

   

     

3 3 2 3 3 9.f x x x xmx





    





Ta có

   

3.gx f x



 

Để hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

3;

khi và chỉ khi

  



0, 3;gx x



   

   

        

 

3 0, 3;

3 2 3 3 9 0, 3;

, 3;

fx x

x x xmx x



     



          







    



 

minm hx





với

 







Ta có

 

3 2 3 . 6.

3 33

hx x x

x x x



     

 

Vậy suy ra





6 1;2;3; 4;5; 6 .





    



Chọn B.

Câu 34. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 

15f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số

 





gx f x

đồng biến trên

 

1; 

Lời giải. Từ giả thiết suy ra

 





2 42 4 2

1 5.f x x x x mx



  

Ta có









g x xf x





Để hàm số

 

đồng biến trên khoảng

 

1; 

khi và chỉ khi



 



0, 1;gx x



   

 





42 4 2

2 0, 1

2 . 1 5 0, 1

5 0, 1

, 1

xf x x

x x x x mx x

x mx x



  

     

   



   

 

maxm hx





với

 





Khảo sát hàm

 





trên

 

1; 

ta được

 

max 2 5.hx





Suy ra

 

25 4;3;2;1.





         



Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm

   

 

13 1f x x x x mx



 

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số









gx f x



đồng biến trên khoảng

 

0;

Lời giải. Từ giả thiết suy ra

     

2 22 8 6

1 3 1.f x x x x mx



  

Ta có

 

2.g x xf x





Để hàm số





đồng biến trên khoảng

 

0;

khi và chỉ khi

   

 

0, 0; 2 0, 0;g x x xf x x



        

   





 

22 8 6

2 . 1 3 1 0, 0;

3 1 0, 0;

, 0;

x x x x mx x

x mx x

       

      



     

 





max

m hx





với

 





Khảo sát hàm

 

31x





trên

 

0;

ta được

 

max 4.hx





Suy ra

 

4 4;3;2;1.





         



Chọn B.

Phần 2. Cực trị của hàm số

Vấn đề 1. Cho đồ thị

 

'.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số





fux





Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số





y fx





Số điểm cực trị của

hàm số

 

y fx

là

Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số

 



có

điểm chung với trục hoành

1 23

; 0; ; x xx

nhưng

chỉ cắt thực sự tại hai điểm là

và

Bảng biến thiên

Vậy hàm số

 

y fx

có

điểm cực trị. Chọn A.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của

 

'fx

có

điểm chung với trục hoành nhưng cắt và

băng qua luôn trục hoành chỉ có

điểm nên có hai cực trị.

 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.

 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.

Câu 2.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

 





gx f x

Lời giải. Ta có

 

2 3;g x xf x





 

theo do thi '

0 32 1 .

2 nghiem kep

3 1 nghiem kep

gx x x















      



















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

2;



 

2; 0.

xx   







 





theo do thi '

22 2

2; 4 3 1 3 0.

x x x fx



         

 

Từ

 

và

 

suy ra





 

2 30g x xf x



 

trên khoảng

 

2;

nên

 



mang dấu



Nhận thấy các nghiệm

x 

và

0x 

là các nghiệm bội lẻ nên

 



qua nghiệm đổi dấu;

các nghiệm

2x 

là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy

 



tiếp xúc với trục

hoành tại điểm có hoành độ bằng

) nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 3. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm trên



và có bảng xét dấu của

 

y fx





như sau

Hỏi hàm số

 





gx f x x

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Lời giải. Ta có

   

 

2 2 2;gx x f x x



 

 

theo BBT '

2 20

1 2 nghiem kep

2 1 nghiem kep

fx x











 







   























Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

3;



 

3; 2 2 0.

    

 



 









theo BBT '

3; 2 3 2 0.

x xx fxx



       





Từ

 

và

 

suy ra

   

 

22 2 0gx x f x x



 

trên khoảng

 

3;

nên

 



mang

dấu



Nhận thấy các nghiệm



và



là các nghiệm bội lẻ nên

 



qua nghiệm đổi dấu.

Câu 4. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên



và

 

0 0,f 

đồng thời đồ thị hàm

số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số



  

gx f x

là

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có

 

1 nghiem kep

















Bảng biến thiên của hàm số

 

y fx

Xét

    



 





 

theo BBT

1 nghiem kep

2 ; 0 .

gx f xfx gx

x aa

x bb

















 

   



 













Bảng biến thiên của hàm số

 

Vậy hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn C.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ chọn

 

0 1;

xb 



 

theo do thi '

0 0 0.



  

 

 Theo giả thiết

 

0 0.

f 





Từ

 

và

 

suy ra









trên khoảng

 

1; .b

Nhận thấy

2; ; x x ax b  

là các nghiệm đơn nên

 



đổi dấu khi qua các nghiệm này.

Nghiệm



là nghiệm kép nên

 



không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến

thiên ta bỏ qua nghiệm

1x 

vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của

 

.gx



Câu 5. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

'y fx

như hình vẽ bên

dưới

Số điểm cực trị của hàm số

   

2017 2018 2019gx f x x  

là

Lời giải. Ta có

       

' 2017 2018; 0 ' 2017 2018.gx f x gx f x



     

Dựa vào đồ thị hàm số





'y fx

suy ra phương trình

 

' 2017 2018fx

có

nghiệm đơn

duy nhất. Suy ra hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn A.

Câu 6. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hỏi hàm số

   

gx f x x

đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

x 

1.x 

2.x 

D. Không có điểm cực tiểu.

Lời giải. Ta có

  



   

1; 0 1.gx f x gx f x

  

    

Suy ra số nghiệm của phương trình









chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

 



và đường thẳng

1.y 

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 

0 1.

gx x









 







Lập bảng biến thiên cho hàm

 

ta thấy





đạt cực tiểu tại

1.x 

Chọn B.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng

 

;0

ta thấy đồ thị hàm

 



nằm phía dưới đường

1y 

nên

 



mang dấu

.

Câu 7. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới.

Hàm số

   

gx f x x x   

đạt cực đại tại

1x 

. B.

0x 

. C.

1x 

. D.

2x 

Lời giải. Ta có

      

  

2 1; 0 1 .gx f x x x gx f x x

  

      

Suy ra số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

 



và parapol

   

: 1.Py x

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 

0 1.

gx x









 







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

 

đạt cực đại tại

1.x 

Chọn C.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng

 

;0

ta thấy đồ thị hàm

 



nằm phía trên đường





1yx



nên

 



mang dấu

.

Nhận thấy các nghiệm

0; 1; 2x xx 

là các nghiệm đơn nên qua nghiệm

 



đổi dấu.

Câu 8. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hàm số

   

2gx f x x

đạt cực tiểu tại điểm

1.x 

x 

1.x 

2.x 

Lời giải. Ta có

     

 

2 2 ; 0 .gx f x x gx f x x

  

    

Suy ra số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

 



và đường thẳng

.yx

Dựa vào đồ thị ta suy ra































Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy





đạt cực tiểu tại



Chọn B.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng

 

;1 

ta thấy đồ thị

hàm







nằm phía trên đường

yx

nên

 



mang dấu

.

Câu 9. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm trên

.

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên

dưới. Hỏi đồ thị hàm số



 



gx f x x

có bao nhiểu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

  

    

3; 0 3.gx f x gx f x

  

    

Suy ra số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

 



và đường thẳng



Dựa vào đồ thị ta suy ra

 



























Ta thấy

1, 0, 1x xx  

là các nghiệm đơn

và

2x 

là nghiệm kép nên đồ thị hàm số

   

3gx f x x

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 10. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị của hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số

 

2018

gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 



ta thấy

 



cắt trục hoành tại

điểm có hoành độ dương

(và

điểm có hoành độ âm)

 

 

có

điểm cực trị dương

 

 

có

điểm cực trị

 

2018

fx  

có

điểm cực trị với mọi

(vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không

ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn C.

Câu 11. Cho hàm số bậc bốn

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số

 

22gx f x x 

là

Lời giải. Ta có

 

2 2.

gx f x x





 



Suy ra





 

theo do thi '

22 1

0 1 2.

220

2 21

2 23

gx x

fx x



















  







    









 







 







 



Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số

 

22gx f x x 

có

điểm cực đại. Chọn A.

Chú ý: Cách xét dấu



hay



của

 

'gx

để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị

thuộc

khoảng đang xét rồi thay vào

 

.gx



Chẳng hạn với khoảng

 

1; 1 2 

ta chọn

 

0 0 20

x gf



    

vì dựa vào đồ thị ta thấy

 

2 0.f





1



12













Câu 12. Cho hàm số





y fx



. Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số

 

   

fx fx

gx e





là

Lời giải. Ta thấy đồ thị của hàm số

 



cắt trục hoành tại

điểm phân biệt, suy ra hàm

số





có

điểm cực trị.

Ta có

   

 

   

 

21 21

2 . .5 .ln 5 . 2 5 . ln 5 .

fx fx fx fx

gx fxe fx fx e



  

  

Vì

   

2 5 . ln 5 0

fx fx





với mọi

nên

   

0 0.gx f x



 

Suy ra số điểm cực trị của hàm số





bằng số điểm cực trị của hàm số

 

.fx

Chọn C.

Câu 13. Cho hàm số

 

.y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới và

 

0fx





với mọi

 

; 3, 4 9; .x     

Đặt









g x f x mx

 

Có bao nhiêu giá trị dương của

tham số

để hàm số

 

có đúng hai điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

      

  

; 0 0 .gx fx mgx fx m fx m

   

    

Để hàm số

 

có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình

 

0gx





có hai nghiệm

bội lẻ phân biệt

 

1;2;3;4;5;10;11;12 .

10 13











    









Chọn C.

Câu 14. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số





 

gx f x m

có

điểm cực trị ?

D. Vô số.

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 



ta thấy

 



cắt trục hoành tại

điểm có hoành độ dương

(và

điểm có hoành độ âm)

 

fx 

có

điểm cực trị dương

 

fx 

có

điểm cực trị

 

fx m  

có

điểm cực trị với mọi

(vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh

hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D.

Chú ý: Đồ thị hàm số





fx m

có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số

 

fx m

có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Câu 15. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số





y fx





như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

 

gx f x m

có

điểm cực trị ?

D. Vô số.

Lời giải. Từ đồ thị

 



ta có

 

0 1.

fx x









 







Suy ra bảng biến thiên của

 

Yêu cầu bài toán



hàm số

 

fx m



có

điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua

ta được đồ thị hàm số

 

fx m

có đúng

điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của

 

,fx

suy ra

 

fx m

luôn có

điểm cực trị dương



tịnh tiến

 

(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn

đơn vị

1.m  

 Tịnh tiến sang phải không vượt quá

đơn vị

2.m   

Suy ra

 

2 1 2; 1; 0 .



        



Chọn B.

Vấn đề 2. Cho biểu thức

 

'.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

fux





Câu 16. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

    

13fx x x



 

với mọi

.x  

Hàm số

 

y fx

đạt cực đại tại

0.x 

1.x 

2.x



3.x



Lời giải. Ta có

    

0 13 0 .

fx x x









   







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số





y fx



đạt cực đại tại

3.x



Chọn D.

Câu 17. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm

      

1 1 21fx x x x



   

với mọi

.x  

Hàm số

 





gx f x x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

 







 

1 1 1 2;gx f x x x x



    



 



 





0 1 1 2 0 1.

gx x x x x









     







Ta thấy

1x 

và

2x 

là các nghiệm đơn

còn

1x 

là nghiệm kép

 

hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 18. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm

 

14fx x x



 

với mọi

.x  

Hàm số





 

3gx f x



có bao nhiêu điểm cực đại ?

Lời giải. Ta có

  

   

  

 

3 3 1 4 3 2 4 1;

gx f x x x x xx





          





 

 

 

0 2 4 1 0 2.

gx x xx x









    







Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số

 

đạt cực đại tại

2.x



Chọn B.

Câu 19. Cho hàm số

 

y fx



có đạo hàm



 





fx xx x



 

với mọi

.x  

Hàm số

 

gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

 



  



2 52 2

2 2 1 4;g x xf x x x x



  

 

  

   

52 2

02 1 4 0 1 .

2 20

gx x x x x









    



 



Ta thấy

1x 

và



là các nghiệm bội lẻ

 

hàm số





có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 20. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

 

2fx x x





với mọi

.x  

Hàm số

 

8gx f x x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

   

 





   

2 22

24 824 2 2 2;gx x fxx x xx xx





    





 

   

22 2

02 4 2 2 2 0 2 0 .

gx x xx xx xx





















       























Ta thấy

1 3, 0, 2x xx  

và

4x 

đều là các nghiệm đơn

 

hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn C.

Câu 21. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm cấp

liên tục trên



và thỏa mãn

    

  

. 14

f x f x xx x



 

với mọi





Hàm số

 



    

2.gx f x f x f x



 





có bao

nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

  



             

2 2 . 2. 2. ;gx f xf x f xf x fxf x fxf x

      

   

           

23 2

0 . 0 1 4 0 1 0 1.

g x f x f x xx x x x











 

       









Ta thấy

0x 

và



là các nghiệm đơn

 

hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm cấp

liên tục trên



và thỏa mãn

     

. 15 12f x fx f x x x



 

 



với mọi

.x  

Hàm số

     

.gx f x f x





có bao nhiêu

điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có

       

. 15 12 .gx f x fx f x x x



  

  



 

0 15 12 0 .

gx x x









  









Nhận thấy

0x 

và

x 

là các nghiệm bội lẻ

 

hàm số

 

có

điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 23. Cho hàm số

 

có đạo hàm

       

453

123fx x x x



  

với mọi

.x 



Số điểm

cực trị của hàm số

 





gx f x



là

Lời giải. Ta có

 



 



453

0 1 2 3 0 2.

fx x x x x









     







 



chỉ đổi dấu khi

đi qua

x 

và



 

hàm số

 

có

điểm cực trị

3x 

và

2x 

trong đó chỉ có

điểm cực trị dương

 

hàm số

 

có

điểm cực trị (cụ thể là

2; 0; 2

x xx  

do tính đối xứng của

hàm số chẵn

 

). Chọn B.

Câu 24. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

    

 

12 4fx x x x



  

với mọi

.x  

Số

điểm cực trị của hàm số

 

gx f x

là

Lời giải. Ta có









  

 

1 2 40xx x  















 



đổi dấu khi

đi qua các điểm điểm

1; 2xx 

 

hàm số

 

có

điểm cực trị nhưng chỉ có

điểm cực trị dương là

1x 

và

2x 

 

hàm số

 

có

điểm cực trị (cụ thể là

2; 1; 0xxx  

do tính đối xứng của

hàm số chẵn

 

). Chọn C.

Câu 25. Cho hàm số

 

y fx



có đạo hàm

   

 

24f x xx x



 

với mọi

.x  

Số điểm

cực trị của hàm số

 

gx f x

là

Lời giải. Ta có

 

0fx





 

2 40xx x  















 



chỉ đổi dấu khi

đi qua điểm

0x Oy



 

hàm số





có

điểm cực trị

x Oy



 

hàm số

 

có

điểm cực trị (cụ thể là

0x 

do tính đối xứng của hàm số chẵn





). Chọn B.

Vấn đề 3. Cho biểu thức

 

', .f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





có

điểm cực trị

Câu 26. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm

  



 

1 25f x x x x mx



  

với mọi

.x  

Có

bao nhiêu số nguyên

m 

để hàm số





 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục

của đồ thị hàm thị hàm số

 

nên yêu cầu

bài toán

 

fx

có

điểm cực trị dương.

 

Xét

 

0 10 1 .

2 50 2 501

fx x x

x mx x mx









     



   





Do đó

   

*1

có hai nghiệm dương phân biệt

20 5

Sm m







  



    











 

9;8;7;6;5;4;3.





 



Chọn B.

Câu 27. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm

   

 





1 34 3fx x x m m x



  

với mọi

.x  

Có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Xét

 

0 3 40 3 .

3 4 01

fx x m m x

xm m











    











Yêu cầu bài toán

 



có hai nghiệm trái dấu

3 40 1 4mm m      

 

0;1;2;3 .



   



Chọn B.

Câu 28. Cho hàm số

 

có đạo hàm

       

4 53

13fx x xm x



  

với mọi

.x  

Có bao

nhiêu số nguyên

thuộc đoạn





5;5

để hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Xét

 

1 nghiem boi 4

0 0 nghiem boi 5 .

3 nghiem boi 3

fx xm x m













  











 Nếu

1m 

thì hàm số

 

có hai điểm cực trị âm (

3; 1xx 

). Khi đó, hàm

số

 

chỉ có

cực trị là

0.x 

Do đó,



không thỏa yêu cầu đề bài.

 Nếu

3m 

thì hàm số





không có cực trị. Khi đó, hàm số

 

chỉ có

cực trị là

0.x 

Do đó,

m 

không thỏa yêu cầu đề bài.

 Khi

















thì hàm số

 

có hai điểm cực trị là



và

3 0.x  

Để hàm số

 

có

điểm cực trị thì hàm số





phải có hai điểm cực trị trái dấu

 

 

5;5

0 1;2;3;4;5 .





      



Chọn C.

Câu 29. Cho hàm số





y fx



có đạo hàm

 





 

1 25

f x x x x mx



  

với mọi

 

Có

bao nhiêu số nguyên âm

để hàm số

 

gx f x



có đúng

điểm cực trị ?

Lời giải. Xét

 

0 10 1 .

2 50 2 501

fx x x

x mx x mx









     



   





Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình

 

có hai nghiệm âm phân biệt

2 0 5.

Sm m







  



    











Trường hợp này không có giá trị

thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2. Phương trình

 

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

50m



   





5 5 2; 1 .





         



Chọn A.

Câu 30. Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm



 



 

12fx x x x



 

với mọi

.x  

Có bao

nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để hàm số

 

8gx f x x m 

có

điểm cực

trị ?

15.

16.

17.

18.

Lời giải. Xét

   

 

1 nghiem boi 2

0 1 20 0 .

fx x x x x









    









Ta có

 





24 8 ;gx x f x x m



  

  



 





 

8 1 nghiem boi 2

02 4 8 0 .

8 0 1

8 2 2

x xm

gx x f x x m

x xm







 





    



 



 





Yêu cầu bài toán

 

0gx





có

nghiệm bội lẻ



mỗi phương

trình

   

1 , 2

đều có hai nghiệm phân biệt khác

 

Xét đồ thị

 

của hàm số

8yx x

và hai đường thẳng

: , : 2dymdym  

(như

hình vẽ).

Khi đó

 

* , dd

cắt

 

tại bốn điểm phân biệt

16 16.

mm   

Vậy có

giá trị

nguyên dương thỏa. Chọn A.

Vấn đề 4. Cho đồ thị

 

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

.fux





Câu 31. Cho hàm số

 

xác định trên



và có đồ thị

 

như hình vẽ bên dưới. Hàm số

   

gx f x x

đạt cực đại tại

x 

0.x



1.x 

2.x 

Lời giải. Ta có

       

1; 0 1.gx f x gx f x

  

   

Suy ra số nghiệm của phương trình

 

0gx





chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

 



và đường thẳng

1.y 

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 

0 1.

gx x









 







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

 

đạt cực đại tại

1.x 

Chọn A.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng

 

;1 

ta thấy đồ thị

hàm

 



nằm phía trên đường

1y 

nên

 



mang dấu



Câu 32.

Cho hàm số





y fx

có đồ thị hàm số như hình bên.

Hàm số

 

3gx f x x 

có bao nhiêu điểm cực đại ?

Lời giải. Ta có













2 3. 3 ;

gx x f x x



   

 





theo do thi

2 30

3 17

0 32 .

gx x x

fx x

















 









      







 





 















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ chọn

3 17













  













2 3 5 0.x   

 



 

theo do thi

3 4 40

xx f



     

( vì

đang tăng).

 

Từ

 

và

 

suy ra



 



 

23 3 0

gx x f x x



    

trên khoảng

3 17

























Nhận thấy các nghiệm của phương trình

 

0gx





là các nghiệm bội lẻ nên







qua

nghiệm đổi dấu.

Câu 33.

Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm

số

   

gx f x







có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

điểm cực đại,

điểm cực tiểu.

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có

   

0 1 nghiem kep

fx x







 









và

 

01 .

xa a

fx x

xb b



 





 



 





Ta có

   

 





 

2 . ; 0 .

1 nghiem boi 2

xa a

xb b

gx f xfx gx



 













 



 

  





















Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận





có

điểm cực đại,

điểm cực tiểu. Chọn C.

Câu 34. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm

số

 

gx f f x







có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy

 

đạt cực trị tại

0, 2.xx

Suy ra

 

0 nghiem don

2 nghiem don



















Ta có



  

   





 

. ; 0 .

gx f xf fx gx

f fx











  

 



















 

0 nghiem don

2 nghiem don





















 

   

f fx























Dựa vào đồ thị suy ra:

 Phương trình

 

có hai nghiệm

0x 

(nghiệm kép) và

 

2.x aa

 Phương trình

 

có một nghiệm

 

.x bb a



Vậy phương trình

 

0gx





có

nghiệm bội lẻ là

0, 2, xxxa

và

.xb

Suy ra hàm số

   

gx f f x







có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số





y fx

có đạo hàm trên



và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số

điểm cực trị của hàm số

 



 



2 3.

fx fx



Lời giải. Ta có

  



   

2 .ln 2 3 .ln 3 ;

fx fx

gx f x











 

  











 





 





0 1

ln 2

3 ln 2

log 1 2

2 .ln 2 3 .ln 3 0

ln 3

2 ln 3

fx fx



























  







  

























Dựa vào đồ thị ta thấy:







có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số





y fx



có

điểm cực trị).



 

1, fx x     

phương trình

 

vô nghiệm.

Vậy hàm số

 

   

fx fx

gx

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 36. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số

  



gx f x

có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng

Lời giải. Đồ thị hàm số

   

4gx f x

có được bằng cách

 Tịnh tiến đề thị hàm số

 

lên trên

đơn vị ta được

 

4.fx

 Lấy đối xứng phần phía dưới

của đồ thị hàm số

 

4fx

qua

,Ox

ta được

 

fx

Dựa vào đồ thị hàm số



  

4,gx f x

suy ra tọa độ các điểm cực trị là

     

1;0 , 0; 4 , 2;0

 

tổng tung độ các điểm cực trị bằng

040 4.

Chọn C.

Câu 37. Cho hàm số





y fx



có đồ thị hàm số như hình bên.

Đồ thị hàm số

  



hx f x



có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Xét



      

2 3 2;gxfx gxfx



    



  

 





theo do thi

00 .

gx f x

xa a













   



 









Ta tính được









 



























Bảng biến thiên của hàm số

 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

 Đồ thị hàm số

 

có

điểm cực trị.

 Đồ thị hàm số

 

cắt trục

tại

điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số

   

23hx f x

có

điểm cực trị. Chọn C.

Câu 38. Cho hàm số

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

 

2018gx f x

là

Lời giải. Từ đồ thị ta thấy hàm số

 

có

điểm cực trị dương

 

hàm số

 

có

điểm cực trị

 

hàm số

 

2018fx

có

điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị).

Chọn C.

Câu 39. Cho hàm số

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

 

2gx f x

là

Lời giải. Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số

 

fx

được suy ra từ đồ thị hàm số

 

bằng cách tịnh tiến sang phải

đơn vị rồi mới lấy đối xứng.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

2,fx

suy ra hàm số





có

điểm cực trị. Chọn C.

Câu 40. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm số

 

21gx f x 

có bao nhiêu điểm cực

trị ?

Lời giải. Đồ thị hàm số

 

21gx f x

 

được suy ra từ đồ thị hàm số

 

như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua

nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải

đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên

đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và

Bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số

 

bằng số điểm cực

trị của đồ thị hàm số

 

là

điểm cực trị. Chọn B.

Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm

 

.fux





Câu 41. Cho hàm số





y fx



xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

Hàm số

   

31gx f x

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?

1x 

. B.

1x 

. C.

1x 

. D.

0x 

Lời giải. Ta có

 

3' .

gx f x





Do đó điểm cực tiểu của hàm số





trùng với điểm cực tiểu của hàm số





.fx

Vậy điểm cực tiểu của hàm số

 

là

1.x 

Chọn C.

Câu 42. Cho hàm số





y fx



có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số

 





gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Ta có





 

2 . 1;

g x xf x





 

theo BBT 2

0 nghiem don

0 1 2 0 nghiem boi 3

0 nghiem kep

gx x x

















      



















Vậy

 

0gx





có duy nhất nghiệm bội lẻ

x 

nên hàm số

 

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 43. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số

  



3.gx f x

Lời giải. Ta có

   

3.gx f x



 



   

theo BBT

30 3

03 0 .

32 1

gx f x



 





     



 





 



không xác định

3 1 2.xx

 

Bảng biến thiên

Vậy hàm số

 

gx f x



có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 44. Cho hàm số





y fx



có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số

  



2017 2018

gx f x 

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Đồ thị hàm số

   

2017 2018ux f x 

có được từ đồ thị





bằng cách tịnh tiến

đồ thị





sang phải

2017

đơn vị và lên trên

2018

đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của

 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số

   

gx ux

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 45. Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

 

gx f x

nhiều nhất là bao nhiêu ?

11.

13.

Lời giải. Ta có đồ thị hàm số

 

y fx

có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị

hàm số cắt trục hoành tại tối đa

điểm có hoành độ dương. Khi đó

 

'fx

 



1





2018





2018





 

'ux

 



2016

2020





4036









 Đồ thị hàm số





cắt trục hoành tối đa

điểm.

 Hàm số

 

có

điểm cực trị.

Suy ra hàm số

 

gx f x

sẽ có tối đa

điểm cực trị. Chọn B.

Vấn đề 6. Cho đồ thị

 

.fx

Hỏi số điểm cực trị của hàm số





,.f uxm





Câu 46. Cho hàm bậc ba





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của

tham số

để hàm số

   

gx f x m

có

điểm cực trị là

1m 

hoặc

m 



hoặc

m 

1m 

hoặc

3.m 

1 3.m

Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số

 

bằng

AB

với



là số điểm cực trị của hàm







là số giao điểm của

 

với trục hoành (không tính các điểm trùng với

ở trên)

Áp dụng: Vì hàm





đã cho có

điểm cực trị nên

 

fx m

cũng luôn có

điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị

 

fx m

với trục hoành là

, ta cần

 Tịnh tiến đồ thị

 

xuống dưới tối thiểu

đơn vị

1.m   

 Hoặc tịnh tiến đồ thị

 

lên trên tối thiểu

đơn vị

3.m

  

Vậy

1m 

hoặc

3.m 

Chọn A.

Câu 47. Cho hàm số

 

y fx

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số

   

2gx f x m

có

điểm cực trị khi





4;11 .m 

2; .











2; .



















3.m 

Lời giải. Vì hàm

 

đã cho có

điểm cực trị nên

 

2fx m

cũng luôn có

điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

2fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị





2fx m

với trục hoành là

ta cần tịnh tiến đồ thị

 

xuống

dưới lớn hơn

đơn vị nhưng phải nhỏ hơn

đơn vị

2 11









 



  





 











Chọn C.

Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số

để hàm số

3 95

yx x x   

có

điểm cực trị bằng

2016.



496.

1952.

2016.

Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số

 

3 95fx x x x 

như hình bên dưới

Ta thấy hàm số





có

điểm cực trị nên

 

fx

cũng luôn có

điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

fx

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị

 

fx

với trục hoành là

ta cần tịnh tiến đồ thị

 

lên

trên nhưng phải nhỏ hơn

đơn vị

 

0 32 0 64 1; 2; 3; ...; 63



          



2016.m  



Chọn D.

Câu 49. Cho hàm số bậc bốn

 

y fx



có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của

để hàm số

 

()gx f x m

có

điểm cực trị.

2 2.

m 

2.m 

m 











Lời giải. Vì hàm

 

đã cho có

điểm cực trị nên

 

fx m

cũng luôn có

điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị

 

fx m

với trục hoành là

ta cần tịnh tiến đồ thị

 

xuống

dưới ít nhất

đơn vị (bằng

đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung

của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)

2 2.mm      

Chọn C.

Câu 50. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương

của tham số

để hàm số



 



2018gx f x m 

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Vì hàm





đã cho có

điểm cực trị nên





2018

fx m

cũng luôn có

điểm

cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

2018fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị





2018

fx m

với trục hoành là

ta cần đồng thời

 Tịnh tiến đồ thị

 

xuống dưới nhỏ hơn

đơn vị

2m   

 Tịnh tiến đồ thị





lên trên nhỏ hơn

đơn vị

3.m  

Vậy

 

2 3 1; 2 .





      



Chọn A.

Câu 51.

Cho hàm số





y fx

có đồ thị như hình vẽ

bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để

hàm số



 



2018gx f x m 

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Vì hàm

 

đã cho có

điểm cực trị nên

 

2018fx m

cũng luôn có

điểm

cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

2018fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị

 

2018fx m

với trục hoành là

ta cần

 Tịnh tiến đồ thị

 

xuống dưới tối thiểu

đơn vị

2:   m

vô lý

 Hoặc tịnh tiến đồ thị

 

lên trên tối thiểu

đơn vị nhưng phải nhỏ hơn

đơn vị

 

2 6 2; 2 .









         



  





m

Chọn B.

Câu 52. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

 

4;4

để hàm số

   

1gx f x m 

có

điểm cực trị ?

Lời giải. Vì hàm

 

đã cho có

điểm cực trị nên

 

1fx m

cũng luôn có

điểm cực trị

(do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán



số giao điểm của đồ thị

 

1fx m

với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị





1fx m



với trục hoành là

ta cần

 Tịnh tiến đồ thị

 

xuống dưới tối thiểu

đơn vị

2.m   

 Hoặc tịnh tiến đồ thị

 

lên trên tối thiểu

đơn vị nhưng phải nhỏ hơn

đơn vị

3 6.m

   

Vậy





 

4;4

4; 3; 2; 3; 4 .











       









Chọn B.

Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

 

.y fx



Với

m 

thì hàm số









gx f x m

có

bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Đồ thị hàm số

 

fx m

được suy ra từ đồ thị hàm số

 

bằng cách lấy đối xứng

trước rồi mới tịnh tiến.

Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số

 

như hình bên dưới

Dựa vào đồ thị hàm số

 

ta thấy có

điểm cực trị

 

fx m  

cũng luôn có

điểm

cực trị (vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C.

Câu 54. Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

để hàm số

 

gx f x m

có

điểm cực trị.

m 

m 

1.m 

1.m 

Lời giải. Nhận xét: Hàm

 

gx f x m



là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục

0x  

là một điểm cực trị của hàm số.

Ta có

 

gx f x m





với

0.x 

 

theo do thi

00 .

xm x m

gx f x m

xm x m



  





      



   





 

Để hàm số

 

có

điểm cực trị



 

có

nghiệm phân biệt khác

1 0 1.







     





  





Chọn A.

Cách 2. Đồ thị hàm số





fx m

được suy ra từ đồ thị hàm số





bằng cách tịnh tiến

trước rồi mới lấy đối xứng.

Để hàm số





fx m

có

điểm cực trị



hàm số

 

fx m

có

điểm cực trị dương. Do đó

ta phải tịnh tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số

 

qua phía bên phải trục tung nghĩa là

tịnh tiến đồ thị hàm số

 

sang phải lớn hơn

đơn vị

1.m   

Câu 55. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số



    

hx f x f x m 

có đúng

điểm cực trị.

m 

m 

1.m 

1.m 

Lời giải. Xét

           

2 1.gx f x fx m gx f x fx





      



 





 

theo do thi

0 3.

gx x

x aa

















   















Ta tính được

     

 

1 11

g f f mm

ga m





  















Bảng biến thiên của hàm số

 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số

 

có

điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số

 

     

hx f x fx m fx m





     





có

điểm cực trị khi và

chỉ khi đồ thị hàm số

 

nằm hoàn toàn phía trên trục

(kể cả tiếp xúc)

m  

Chọn B.

Vấn đề 7. Cho biểu thức





,.f xm

Tìm

để hàm số

 

fux





có

điểm cực trị

Câu 56. Hàm số

 

y fx

có đúng ba điểm cực trị là

2; 1

và

Hàm số

 

2gx f x x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Từ giả thiết suy ra

 

0 1.

fx x









  







Ta có

   

 

2 1 2;

gx x f x x



 

 





 

1 nghiem boi ba

0 0 nghiem don .

2 nghiem don

gx x

fx x

















 





   







 

















Vì

 

0gx





có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên





có

điểm cực trị. Chọn A.

Câu 57. Cho hàm số

     

21 2 2f x x m x mx    

với

là tham số thực. Tìm tất cả

các giá trị của

để hàm số

 





gx f x

có

điểm cực trị.

m 

m

m

Lời giải. Ta có



  

3 22 1 2 .fx x m x m



   

Hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị



hàm số

 

có hai cực trị dương

 

0fx





có hai nghiệm dương phân biệt

 





2 1 32 0

22 1

0 0 2.





 















   























Chọn C.

Câu 58. Cho hàm số

   

3 32 2mx mxf mx mx    

với

là tham số thực. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

10;10m 

để hàm số

   

gx f x

có

điểm cực trị ?

10.

11.

Lời giải. Để

   

gx f x

có

điểm cực trị

 

0fx

có

nghiệm phân biệt.





Xét

   

 

0 1 2 20 .

2 2 0 1

x mx mx m

mx mx m







    



  







Do đó

 



phương trình





có hai nghiệm phân biệt khác









1 20

m mm











    





 









 

10;10

0 1; 2; 3; ...; 10 .





   



Chọn C.

Câu 59. Cho hàm số bậc ba

 

f x ax bx cx d  

có đồ thị nhận hai điểm

 

0;3

và

 

2; 1B 

làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số

 

.g x ax x bx c x d 

11.

Lời giải. Ta có

 

.g x ax x bx c x d f x   

Hàm số

 

có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng

và một điểm cực trị

dương

 

hàm số





có

điểm cực trị.

 

Đồ thị hàm số

 

có điểm cực trị

 

0;3A Oy

và điểm cực trị

 

2; 1B 

thuộc góc phần tư

thứ

nên đồ thị

 

cắt trục hoành tại

điểm (

điểm có hoành độ âm,

điểm có hoành

độ dương)

 

đồ thị hàm số

 

cắt trục hoành tại

điểm phân biệt.

 

Từ

 

và

 

suy ra đồ thị hàm số

 

gx f x

có

điểm cực trị. Chọn B.

Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị

 

rồi suy ra đồ thị

 

, tiếp tục suy ra đồ thị

 

.fx

Câu 60. Cho hàm số

 

f x ax bx cx d  

với

, , , abcd 

và

2018 .

2018 0

abcd













 





Hàm số

   

2018gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Hàm số

   

2018gx f x

(là hàm số bậc ba) liên tục trên

.

Ta có

 









lim

0 2018 0

1 2018 0

lim

g abcd









 



 



 





 



 





 

0gx

có đúng

nghiệm phân biệt trên

.

Khi đó đồ thị hàm số





2018



cắt trục hoành tại

điểm phân biệt nên hàm số

   

2018

gx f x

có đúng

điểm cực trị. Chọn D.

Câu 61. Cho hàm số

 

f x x ax bx c

 

với

, , abc 

và

84 2 0

a bc



  







  





Hàm số

   

gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Hàm số

 

f x x ax bx c 

(là hàm số bậc ba) liên tục trên

.

Ta có

 

lim

2 84 2 0

lim

f a bc









 



     



 





  



 





 

0fx

có đúng

nghiệm phân biệt trên

.

Khi đó đồ thị hàm số

 

cắt trục hoành tại

điểm phân biệt nên hàm số

   

gx f x

có

đúng

điểm cực trị. Chọn D.

Câu 62. Cho hàm số

 

1f x x mx nx 

với

, mn 

và

 

7 22 0











 





Hàm số

 

gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

11.

Lời giải. Ta có





 

2 74 2 0

f mn









 





  





và

 

lim 2

fx p



 

sao cho

 

0.fp

Suy ra

 

0fx

có ba nghiệm phân biệt

 

0;1 ,c 

 

1; 2c 

và

 

2; .cp

 

Suy ra đồ thị hàm số

 

có hai điểm cực trị





1 12

;

x cc

và

 

2 23

;.x cc





Từ

 

và

 

suy ra đồ thị hàm số

 

có dạng như hình bên dưới

Từ đó suy ra hàm số

 

có

điểm cực trị

 

hàm số

 

có

điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 63. Cho hàm số

y ax bx cx d

  

đạt cực trị tại các điểm

thỏa mãn





1; 0







1; 2x 

. Biết hàm số đồng biến trên khoảng

 

;xx

. Đồ thị hàm số cắt trục

tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

0, 0, 0, 0.abcd 

0, 0, 0, 0.abcd 

0, 0, 0, 0.abcd 

0, 0, 0, 0.abcd

Lời giải. Vì hàm số hàm số

y ax bx cx d  

đạt cực trị tại các điểm

và hàm số

đồng biến trên khoảng

 

;xx

nên suy ra

0.a 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên



Ta có

32y ax bx c



 

. Hàm số đạt cực trị tại các điểm

thỏa mãn

 

1; 0 ,x 





1; 2

x 

nên suy ra





có hai nghiệm trái dấu

0 0.ac c    

Mặt khác

 

1; 0 ,x







1; 2



nên

0 0 0.

xx b

       

Vậy

0, 0, 0, 0.abcd 

Chọn A.

Câu 64. Cho hàm số

 

y f x ax bx c 

biết

0,a 

2018c 

và

2018.

abc

Số cực

trị của hàm số

   

2018gx f x

là

Lời giải. Đặt

   

2018 2018.h x f x ax bx c    

Từ giả thiết

2018

abc















   



















đồ thị hàm số

 

có

điểm cực trị.

 

Ta có





 

1 2018 0

0 2018 0

h abc





  







 





   

1. 0 0hh

có nghiệm thuộc

 

0;1

 

0hx

có

nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng phương).

 

Từ

 

và

 

suy ra hàm số

   

2018gx f x

có

điểm cực trị. Chọn D.

Cách 2. Trắc nghiệm. Chọn

   

4 2018 4 1 .

2019

b gx f x x x







        











Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có

điểm cực trị.

Câu 65. Cho hàm số

 

4 4 12 2

1 2 . 4 4 16

fx m x m x



     

với

là tham số thực.

Hàm số

   

1gx f x



có bao nhiêu điểm cực tri ?

Lời giải. Ta có

     

 

11gx fx fx  

Suy ra

 





 

;

f x fx















 























 





có

nghiệm đơn phân biệt vì



 

4 12

12 . 4 0



  

với mọi



 

10fx

vô nghiệm do

 





2 . 2 1 . 4 15



    

 

2 4 24

4.2 . 4 15 4 15 2 11 11 0.

m mm

m m mm         

Vậy hàm số đã cho có

cực trị. Chọn A.

Cách 2. Hàm số

 

có

điểm cực trị (do hệ số

và

trái dấu)

 

1fx

  

cũng có

điểm cực trị.

Phương trình





10fx

vô nghiệm (đã giải thích ở trên).

Vậy hàm số



  

1gx f x

có

cực trị.

HAØM SOÁ 2

Phần 3. GTLN – GTNN của hàm số

1) Cho đồ thị hàm số





.fx

Hỏi GTLN-GTNN của hàm số

   

fux gx







………..

2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số

 

, , fx f x fx

………………………………………….... .

3) Cho biết hàm số





đạt GTLN (GTNN) tại

 

;.x ab

Hỏi trên khoảng

 

;cd

hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào…………………………. .

4) Bài toán tìm tham số

để GTLN của hàm số đạt GTNN………………………………. .

5) Cho đồ thị hàm số





.fx



Hỏi GTLN-GTNN của hàm số

  



fux gx







……….. .

Phần 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước……………………………………………. .

2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên……………………………………….…… .

3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số…………………………………. .

Phần 5. Tương giao giữa hai đồ thị

1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức………………………………………….. .

2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên………………………………. .

3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị……………………………………………….… .

Phần 3. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1) Cho đồ thị hàm số

 

.fx

Hỏi GTLN-GTNN của hàm số

   

fux gx







Câu 1.

Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Gọi

lần lượt là GTLN –

GTNN của hàm số

 





2 sin cos .

gx f x x









Tổng

Mm

bằng

Lời giải. Ta có

 

44 2 44

sin cos 1 sin 2 1 2 sin cos 2.

xx x xx



        



Dựa vào đồ thị suy ra

   

max 1 3

min 2 1

M gx f

m gx f





 



   





 





Chọn B.

Câu 2.

Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên R và có đồ

thị là hình bên. Gọi

, Mm

theo thứ tự là GTLN –

GTNN của hàm số

   

 

23 2 5y fx fx   

trên đoạn

 

1; 3

. Tích

.Mm

bằng

54.

55.

Lời giải. Trên

 

1; 3

, ta có

   

 

1 7 1 2 5 0 2 5.fx fx fx

           

Đặt

 

2t fx

với

 

0;5 .t 

Khi đó

32 2

3 5 3 60 .

yt t y t t









      







Ta có

     

0 5; 2 1; 5 55.y yy 

Suy ra

. 55.







  











Chọn D.

Câu 3.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục, có đạo hàm trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Ký hiệu

 

22 1 .gx f x x m 

Tìm

điều kiện của tham số

sao cho

 

 

 

 

0;1

max 2 min .gx gx

4.m 

3.m 

0 5.m

2.m 

Lời giải. Đặt

 

2 2 1 7 1 4 2 1 1 1.

t x xt x x x t



           

Lại có

     

22 2

22 1 22. 1 22 1 1 3.txx xx x x

  

      

  

  

Khi đó

   

gx f t m

với

 

1; 3 .t 

Dựa vào đồ thị ta có

 

   

 

   

1;3

max 3 5

min 2 1

ft f



















Ycbt















 



1;3

max 2 min 5 2 1 3.

fx m fx m m m m



        



Chọn B.

Câu 4.

Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có đồ thị

như hình vẽ bên. Xét hàm số

 

2 1.gx f x x m 

Tìm

để

 

 

0;1

max 10.gx

13.m 

12.m 

1.m 

3.m



Lời giải. Đặt

 

21tx x x 

với

 

0;1 .x 

Ta có

   

6 1 0, 0;1 .tx x x



  

Suy ra hàm số

 

đồng biến nên

 

0;1 1; 2 .xt

    

Từ đồ thị hàm số ta có

 

 

 

 

1;2 1; 2

max 3 max 3 .ft ft m m





     



Theo yêu cầu bài toán ta cần có:

3 10 13.mm   

Chọn A.

Câu 5. Cho hàm số

 

y fx

liên tục, đạo hàm trên



và

đồ thị





y fx



như hìn

h vẽ bên. Ký hiệu

 





2 3,gx f x x x m   

với

là tham số thực. Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

 

 





 

0;1

3max 4 minP m gx gx m  

150.



102.

50.

Lời giải. Đặt

2tx x x  

có

3 2 1 0,txx x



   

nên

đồng biến trên

.

Do đó với

 

0;1x



thì

 

 

 

   

 

 

 

   

0;1 1;3

do thi

0;1 1;3

max 2 max 3 5

1; 3 .

min 2 min 2 1

fx x x ft f





    



   





    





Khi đó

 

 

 

 

 

0;1

3max 4 min 3. 5 3 4 1 3P m gx gx m m m m m

     

 

22 19 11 102 102.mm m      

Chọn B.

Vấn đề 2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số

 

, , fx f x fx

Câu 6. Cho hàm số

 







với

là tham số thực và

1.m 

Tìm tất cả các

giá trị của

để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 

0;4

nhỏ hơn

 

1; 3 .m 

 

1; 3 5 4 .m 

 

1; 5 .m







1; 3 .m 

Lời giải. Ta có

 

   

2 24

, 0 0; 4 .

21 1

fx fx x x

x xx







        



Tính được



  

0 , 4, 4 .

f mf m f









  











Vì

 

 

 

0;4

max 4.

1 24

fx m













   







   





Do đó ycbt

 

4 3 5 1; 5 .

mm m



        

Chọn C.

Câu 7. Gọi

lần lượt là GTLT–GTNN của hàm số

 

3 2 3y x x a xa    

(với

là tham số thực) trên đoạn

 

1 2 ;2 3 .aa

Tính





P 

P  C.

P 

6.P



Lời giải. Điều kiện:

1 2 2 3 1.aa a

Ta có

3 6 2 0,y x xa x



    

(do



Suy ra hàm số

tăng trên

 

1 2 ;2 3aa

nên

 

2 3 8 22 20 3

1 2 8 22 0 9

M ya a a a

my a a





    



 





   















Chọn C.

Câu 8. Cho hàm số

ax b







với

0a 

và

, ab

là các tham số thực. Biết

max 6,y 

min 2.y



Giá trị của biểu thức





bằng

3.



Lời giải. Vì

max 6,

y 

min 2y



nên suy ra tập giá trị của

là

 

2;6 .

 

Ta có

2 0.

ax b

y yx ax y b



    



 

Với

0,y 

để

 

có nghiệm

 

2 22

4 2 0 8 4 0.a y y b y by a      

 

Từ





và

 

suy ra

, Mm

là nghiệm của phương trình

84 0y by a 

nên theo

Viet ta có

2 22

64 1

11 .

96 3

a aa





 











 

     

 

 



 



  





Chọn C.

Câu 9. Biết hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

, Mm

lần lượt là GTLN-GTNN

của hàm số trên đoạn

 

0;2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và

GTNN trên đoạn





0;2

tương ứng là

và





















 

2 sin cos .yf x x

 

2 sin cos .yf x x

 

2.y fx x 

Lời giải. Bằng cách đặt ẩn phụ

sau đó tìm được tập giá trị của

cũng thuộc đoạn

 

0;2

thì kết luận đáp án đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với





có

 





; 0 1 0;2 .

t tx





   



Lập bảng biến thiên ta tìm được

0 2.t

Chọn A.

Với





2 sin cos 2 2 sin 0; 2 2

t xx x











   















khi

 

0;2 .x 

Với

 

2 sin cos 2;2t xx



 





khi

 

0;2 .x 

Với

2 2;2tx x



  





khi

 

0;2 .x 

Câu 10. Cho hai hàm số

 

, y f x y gx



liên tục và có đạo hàm trên đoạn

 

1;1

thỏa mãn

   

0, 0f x gx

với mọi

 

1;1x 

và





 

f x gx





với mọi





1;1 .x 

Gọi

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

       

2hx f xgx g x

trên đoạn

 

1;1 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?





1.mh

 

0.mh

 

1.mh



 







Lời giải. Ta có

 

  

  

  

 



222

h x f xgx f xg x g xgx

  



 

  

  

 

2 20

gx f x gx gxfx



 

  



(do giả thiết).

Suy ra hàm số

 

đồng biến trên

 





   

1;1

1;1 min 1 .m hx h



     

Chọn A.

Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số





  

3 72 90

fx x x x m

trên đoạn

 

5;5

bằng

2018.

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?



1618.m

1600 1700.m

 400.m

1500 1600.m

Lời giải. Xét hàm số

 

  

3 72 90gx x x x

có

 

3 6 72;gx x x

 







 



  

















6 5; 5

0 .

4 5;5

Ta tính được



    

   5 400; 4 86; 5 70.

g gg

Do đó với

 

5; 5 x

thì

    

  

    86;400 0;400 .gx gx

Từ đó ta suy ra

 

 

5;5

max 400fx m





. Do đó ycbt





400 2018 1618 1600;1700mm   

. Chọn B.

Câu 12. Gọi

là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số

sao cho giá trị lớn nhất

của hàm số

 

1 19

30 20

fx x x x m   

trên đoạn

 

0;2

không vượt quá

20.

Tổng các phần tử của

bằng

195.

105.

210.

300.

Lời giải. Xét hàm số

 

1 19

30 20

gx x x x m   

trên đoạn

 

0;2 .

Ta có

 

19 30

gx x x



 

;





 

5 0;2

02 .

3 0;2

gx x



 





 









Bảng biến thiên như hình bên

Dựa vào BBT, để

 

 

0;2

max 20



thì

 

0 20

20 20

0 14

6 20

2 20









 



  















 

0;1;2;...;14



     



tổng các phần tử của

là

105.

Chọn B.

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

sao cho giá trị lớn nhất của hàm

số

 

4 2 3 22

f x x m x mx m   

trên đoạn

 

0;2

luôn bé hơn hoặc bằng

Lời giải. Xét hàm số

 

4 2 3 22

gx x m x mx m  

trên đoạn

 

0;2 .

Ta có

 





 





3 2 2 22 2

2 2 2 0, 0;2 .g x x m x mx x x x m x



        

Suy ra hàm số

 

nghịch biến trên

 

0;2  

yêu cầu bài toán

 





















 

3 53 3 53

4 24 5

m mm











  





    





 

1; 0;1; 2 .



    



Chọn B.

Câu 14. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

432

fx x x x  

trên đoạn

 

0;2 .

Có bao nhiêu số nguyên

thuộc đoạn

 

7;4



sao cho

Mm

10.

Lời giải. Xét hàm số

 

432

gx x x x  

trên đoạn





0;2 .

Lập bảng biến thiên ta được

 

gx 

trên đoạn





0;2 .

† TH1) Nếu

 

0 2 1 2. 3 3; 4 .

3 33

a aa

Mm a a









           











† TH2) Nếu

 

1 0 2 2. 1 6 7; 6 .

3 33

a aa

Mm a a

















              

















 





† TH3) Nếu



thì khi đó

















nên

2Mm

không thể xảy ra.

Vậy có

giá trị của

thỏa mãn bài toán là





7; 6;3;4 .

Chọn A.

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số





24fx x x m  

trên đoạn





2;1



bằng

Lời giải. Xét

 

24gx x x m  

trên





2;1 ,

có

   

2 2; 0 1.gx x gx x



    

Ta có

 

 









2;1

1 5 max max 1 , 5 .

g m fx m m











       











† Trường hợp 1.

14 .















Thử lại

 

  







   

5 max 1 , 5 max 4; 0 4 :

3 max 1 , 5 max 4; 8 8 :

m mm



      



       





thoûa maõn

loaïi

† Trường hợp 2.

54 .















Thử lại như trên ta được

1m 

thỏa mãn.

Vậy có

giá trị của tham số

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị nhỏ nhất của hàm số





fx e e m



trên

 

0;ln 4

bằng

Lời giải. Đặt

te

với

   

0;ln4 1;4 .xt   

Khi đó

 

4.ft t t m

Đặt

 

gt t t m

có

     

2 4; 0 2 1; 4 .gt t gt t



   

Ta có

 

 

 

 

 

 

0;ln4 1;4

2 4 min min min , 4 .

g m fx ft mm









      











Làm tương tự như bài trên ta được

 

6;10m

thỏa mãn. Chọn B.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

x mx m







trên đoạn

 

1; 2

bằng

Lời giải. Xét hàm số

 

x mx m







liên tục trên

 

1; 2 .

Ta có

 





0, 1; 2

gx x





  



nên

 

   

 

 

1;2

max max 1 ; 2 max ; .

fx g g m m





  







Làm như các bài trên ta được

m 

và



là các giá trị cần tìm. Chọn B.

Câu 18. Gọi

là tập các giá trị thực của tham số

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3fx x x m 

trên đoạn

 

2;3



bằng

Tổng các phần tử của tập

bằng

20.

24.

40.

Lời giải. Xét

 

3,gx x x m 

có

   

3 6 ; 0 .

gx x xgx









  







Bảng biến thiên như hình bên

Nhận xét: Vì









2;3

min 2





nên trên đoạn

 

2;3

đồ thị của hàm số

 

nằm hoàn toàn phía trên

trục hoành hoặc hoàn toàn phía dưới trục hoành

(hay nói cách khác là

 

0gx



vô nghiệm trên đoạn

 

2;3

)

20 0 20











 



• Nếu

 

 

 

 

2;3 2;3

0 min min 2 2.

m f x gx m m

 

         

• Nếu

 





 

 

2;3 2;3

20 min min 20 2 22.

m f x gx m m

 

         

Vậy tổng các giá trị của

là

 

22 2 20. 

Chọn B.

Nhận xét: Bài toán này khác với các bài toán trên là đề bài hỏi min nên nhận xét

trong bài giải rất quan trọng.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để giá trị nhỏ nhất của

hàm số

4 34y x x mx  

lớn hơn

D. Vô số.

Lời giải. • Với

3,x 

ta được

4 34 .y x x mx

  

Có

 

2 44 2 4 1 0y x mx m



     

(do

3x 

và

nguyên dương).

Suy ra hàm số đồng biến trên

 

3;

nên





 

min 3 12 .ym





 

• Với

1 3,x

ta được

4 34 .y x x mx   

Có

 

2 4 4 22 2 0y x m mx



      

(do

1 3,x

và

nguyên dương).

Suy ra hàm số đồng biến trên

 

1; 3

nên

 

 

1;3

min 1 4 .yy m

 

• Với

1,x 

ta được

4 34 .y x x mx  

Có

2 4 4 ; 0 2 2 .y x my x m



    

Bảng biến thiên như hình bên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 

min 2 2 8 4 1.yy m m m



   

 

Từ

   

1 , 2

và

 

suy ra

min 8 4 1.y mm 



Theo ycbt

8 4 1 2 1.

mm m m





         



Chọn A.

Câu 20. Cho hàm số

 

fx x x m 

Có bao nhiêu số nguyên

10m 

để với mọi

bộ ba số thực

 

, , 1;3abc



thì

     

, ,

fa fb fc

là độ dài ba cạnh một tam giác ?

Lời giải. Ta có



  

3 6 ; 0 .

fx x xfx









  







Khi đó

 

     

 

 

 

 

    



 

 

 

1;3

min min 1 ; 2 ; 3 2 4

max max 1 ; 2 ; 3 3

fx f f f f m





  







 





Ycbt



  

 

 





 





 

 

1;3

min 0

2 min max

fa fb fc m

fx fx

















       

















 





   



Chọn A.

Câu 21. Cho hàm số

 

3 2.fx x x m  

Có bao nhiêu số nguyên dương

2018

m 

sao cho với mọi bộ ba số thực phân biệt

 

, , 1;3abc

thì



 



, ,

fa fb fc

là độ dài ba

cạnh một tam giác nhọn ?

1968.

1969.

1970.

2008.

Lời giải. Ta tìm được

 

 

 

 

1;3

min

max 20

fx m





















Khi đó ycbt

     

2 22

fa fb fc





















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;3

min 0

2min max

2 min max 0

fx fx











  























 

 

2018

20 1 2 49;...;2017 .







    



Chọn B.

Chú ý: • Nếu

, , ab c

tùy ý thì min có thể đồng thời xảy ra, tức là

   

 

 

1;3

2 min .fa fb fx

Ta luôn có

 

   

1;3

max .fx fc

Vậy ta cần

 

 

 

 

1;3

2 min maxfx fx

thì sẽ suy ra được



 



 

.fa fb fc



• Nếu

, , abc

phân biệt thì min không đồng thời xảy ra, tức là

   

 

 

1;3

2 min .fa fb fx

Ta luôn có

 

   

1;3

max .fx fc

Vậy ta cần

 

 

 

 

1;3

2 min maxfx fx

thì sẽ suy ra được



    

fa fb fc

Vấn đề 3) Cho biết hàm số

 

đạt GTLN (GTNN) tại

 

;.x ab

Hỏi trên khoảng

 

;cd

hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào

Câu 22. Cho hàm số

 

f x ax b x c

 

0a 

có

 

   

min 1 .fx f





Giá trị nhỏ

nhất của hàm số

 

trên đoạn







bằng

8.ca

c 

c 

.ca

Lời giải. Ta có

 









4 2 2 2 ; 0 .

f x ax bx x ax b f x











    









Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Do đó từ giả thiết

 

   

min 1

min 1 .

fx f

















   











Vậy

   

 

min 1

min .

fx f

fx f a b c

fx c a

































 





     



















Chọn D.

Câu 23. Biết hàm số



 



 



 

112 1184fxmx mnx mn



đạt giá trị

lớn nhất trên khoảng

 

;0

tại

3x 

. Hỏi trên đoạn







hàm số đã cho có giá

trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?

10.

11.

12.

13.

Lời giải. Đặt

1,tx



khi đó

     

1 2 1 84ft a t a b t a b      

là hàm chẵn

nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Do đó từ giả thiết

 

  







 



  

;0 ;1 1;

max 3 max 2 max 2

fx f ft f ft f



  

  

       

max 1 16 1 4 2 1 8 4 12.

fx f a a b a b









            

Chọn C.

Câu 24. Cho hàm số

   

 

2 2 1 8 4.f x x ax ax a b a b     

Biết rằng trên

khoảng

;







 











hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

3.x 

Hỏi trên đoạn

 

1; 3

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào ?

1.x 

x 

2.x 

3.x 

Lời giải. Ta có

   

 

2 2 2 5 1.f x x ax ax a b



   

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm



trên khoảng

;







 











thì

 



phải đổi dấu qua

x  

phương trình

2 5 10ax ax a b 

có nghiệm

3x 





17 8 8 0 49 0

4 10 4 1

a ab a a

ab b a





 







    



  

  

  

  





  



  





    



2 2 3 2 1.

f x ax x x





     

• TH1:

0a 

ta có bảng biến thiên như hình

bên. Ta thấy hàm số không đạt giá trị nhỏ

nhất tại điểm

x 

trên khoảng

;







 











• TH2:

0a 

ta có bảng biến thiên như hình

bên dưới. Ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ

nhất tại điểm



trên khoảng

;







 











(thỏa mãn giả thiết). Suy ra trên đoạn

 

1; 3

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm



Chọn B.

Câu 25. Cho hàm số

   

0f x ax cx d a  

có

 

   

min 2 .fx f





Giá trị lớn

nhất của hàm

 

trên đoạn

 

1; 3

bằng

16 .da



11 .da

ad

8.ad

Lời giải. Ta có

   

3 ; 0 .

fx ax cfx x



    

Nếu

0a 

thì

 

lim



  

không tồn tại GTNN trên khoảng

 

;0 .

Do đó

0.a 

Vì

 

  



min 2 2 0 12 0.fx f f a c





        

Khi đó

 

12 .f x ax ax d 

Xét

 

f x ax ax d 

trên đoạn

 

1; 3 .

Ta có

 





 

2 1; 3

3 12 3 4 ; 0 .

2 1; 3

fx ax a ax fx









    



 





Suy ra

 

       

 

1;3

max max 1 ; 2 ; 3 max 11 ; 16 ; 19 16 .

fx ff f dadadada



     

Chọn A.

Vấn đề 4) Bài toán tìm tham số

để GTLN của hàm số đạt GTNN

Câu 26. Tìm

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

24fx x x m

  

trên đoạn

 

2;1

đạt giá trị nhỏ nhất.

1.m 

2.m 

3.m 

4.m 

Lời giải. Xét

 

24gx x x m  

trên đoạn

 

2;1 .

Đạo hàm

     

2 2; 0 1 2;1 .gx x gx x



      

Ta có









 

 













2;1

max 1

15 .

min 5

gx m

















    



















Cách 1. Suy ra

 

 

 

   

2;1

max max 1 , 5 2.

fx m m





   

Dấu

'' ''

xảy ra

1 5 3.m mm   

Chọn C.

Cách 2. • Nếu

   

1 50 3mm m   

thì

 

 

2;1

max 1 2.fx m



 

Dấu

'' ''

xảy ra

3.m

• Nếu

 

1 50 3

mm m   

thì

 

   

2;1

max 5 2.fx m



  

Dấu

'' ''

xảy ra

3.m

Câu 27. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số





 

32 2

1 47fx x x m x m    

trên

đoạn

 

0;2

đạt giá trị nhỏ nhất khi

.mm

Khẳng định nào sau đây đúng ?

 

3; 2 .m  

 

2; 1 .m  

 

1; 0 .m 

 

0;3 .m 

Lời giải. Xét

 

32 2

1 47gx x x m x m   

trên đoạn

 

0;2 .

Đạo hàm

 





3 2 1 0, g x x x m m gx



       

đồng biến trên

 

0;2

 

   

 

   

0;2

max 2 2 4 1

min 0 4 7

gx g m m

gx g m





  



 





  





• Nếu

  



2 0 0 2 8 80

g g mm







   









thì

 

   

0;2

max 2fx g

2 41mm 

đạt giá trị nhỏ nhất khi

2 8.m 

• Nếu

  



2 002 8 802 8 2 8g g mm m

     

thì

 

  



0;2

min 0fx g

47m

đạt giá trị nhỏ nhất khi

2 8.m 

Vậy tóm lại GTLN của

 

đạt GTNN khi

2 8.m 

Chọn C.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

xm m







trên đoạn

 

1; 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

m 





5 165





2.m 

Lời giải. Xét

 

xm m







trên

 

1; 2 ,

có

 

 

0, 1; 2 .

gx x





  



Suy ra

 

đồng biến trên

 

1; 2

nên

 





 





   

1;2

max 2

min 1

gx g





 











 









• Nếu

   

5 5 7 5 165 5 165

1 20 0

6 10 10

gg m

   

    

thì

 

 

1;2

max

3 35



 

 

đạt tại

5 165





• Nếu

   

5 5 7 5 165

1 20 0

6 10

gg m

  

   

hoặc

5 165





thì

 

 

1;2

max

2 25





 

đạt tại

5 165





Vậy

5 165





thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

ln 1

fx m







trên đoạn

1; e







có giá trị

nhỏ nhất là





Lời giải. Ta có





 

0;2

max max .

fx m















Xét

   

 

; 0 1.

gt mg t t





    



Ta có

 

 

 

 

0;2

1 2 max max 1 ; 2 .

g m gx m m













       











Dấu

'' ''



xảy ra khi

12 .

m mm



    

Chọn A.

Câu 30. Cho hàm số

    

2 13fx x x x x m   

với

là tham số thực. Khi

giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì khẳng định nào sau đây đúng ?

 

0;1 .m 

 

1; 2 .m 

 

2;3 .m 





3; 4 .m 

Lời giải. Đặt

  

13 .tx x

Hàm số trở thành

 

3ft t t m  

với

0 2.t

Xét

 

3,gt t t m  

có

   

2 1; 0 .

gt t gt t



   

Ta có

  



1 13

0 3, , 2 1.

gmg m gm







  











Suy ra

 

 

0;2

13 9

max max , 1 .

4 28

ft m m







   







Dấu

'' ''

xảy ra khi

13 17

mm m

   

Chọn C.

Vấn đề 5) Cho đồ thị hàm số

 

.fx



Hỏi GTLN-GTNN của hàm số

   

fux gx







Câu 31. Cho hàm số





y fx



có đạo

hàm

 



liên tục trên



và đồ thị của

hàm số

 



trên đoạn





2;6

như hình

vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 

   

2;6

max 1 .

fx f





 

   

2;6

max 2 .fx f





 

   

2;6

max 6 .fx f





 

 



  

 

2;6

max max 1 , 6 .fx f f





Lời giải. Đồ thị

 



có bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên suy ra

    



 

[ 2;6]

max max 1 ; 6 .fx f f





Chọn D.

Câu 32. Cho hai hàm số

 

y fx



và

 

y gx

liên tục trên



có đồ thị hàm số

 

y fx





là đường cong nét đậm và

 

y gx





là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao

điểm

, , ABC

của đồ thị

 

y fx





và

 

y gx





trên hình vẽ

lần lượt có hoành độ là

, , .abc

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

     

hx f x gx

trên

đoạn

 

;ac

bằng





0.h





.ha





.hb

 

.hc

Lời giải. Ta có



      

do thi

0.hx f

hx x b









    

 

 







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

 

 





;

min .

hx hb

Chọn C.

Câu 33.

Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Biết rằng

  



 





03 25.ffff

Giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

 

trên đoạn

 

0;5

lần

lượt là

   

0 ; 5 .ff

  



2 ; 0 .ff





 

1 ; 5 .

   

2 ; 5 .ff

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 

y fx





trên đoạn

 

0;5 ,

ta có bảng biến thiên của hàm

số





y fx



như hình bên.

Suy ra

 

   

0;5

min 2fx f

và

 

  

 



 

0;5

max max 0 ; 5 .fx f f

Từ giả thiết, ta có

       

5 3 0 2.ff ff

 

Hàm số

 

đồng biến trên

 

   

2;5 3 2 .ff  

 

Từ

 

và

 

, suy ra



 









 



 





0;5

5 0 max 0 , 5 5 .f f fx f f f

    

Chọn D.

Câu 34. Cho hàm số

 

.y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Biết rằng

         

0 1 2 2 4 3.ff f ff  

Hỏi trong các giá trị

       

0, 1, 3, 4f ff f

giá trị nào là

giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

y fx



trên đoạn

 

0;4

 

0.f

 

1.f

 

3.f

 

4.f

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 

,y fx





ta suy ra bảng biến thiên của hàm số





y fx

Từ BBT suy ra

 

 

  







0;4

min min 0 , 4 .

fx f f

Ta tiếp tục đi so sánh

 

và

 

4.f

Từ giả thiết ta có

     

   

4 0 1 3 22 0f f ff f 

(vì

       

1 2 , 3 2f ff f

Suy ra

 

4 00

ff

hay

   

4 0.ff

Vậy





  



0;4

min 4 .fx f

Chọn D.

Câu 35. Cho hai hàm số

 

,y fx

 

y gx

có

đạo hàm là

 



 

.gx



Đồ thị hàm số

 

y fx





và

 

y gx





được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

      



0 6 0 6.f f gg



Giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số

 

   

hx f x gx

trên đoạn

 

0;6

lần lượt là

   

6 , 2 .hh

   

2 , 6 .hh

   

0 , 2 .hh

   

2 , 0 .hh

Lời giải. Xét trên đoạn

 

0;6 ,

ta có

     

0 2.hx f x gx x

 

  

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có

 



 



0;6

min 2 .hx h



Từ giả thiết suy ra

       

00 66fgfg 

   

 

   

0;6

0 6 max 6 .h h hx h     

Chọn A.

Câu 36. Cho hàm số





.y fx

Đồ thị hàm số





y fx





như hình bên. Xét hàm số



    

2 1,gx f x x 

mênh đê

nào sau đây đúng ?

 

   

3;3

max 1 .gx g





 

 

3;3

max 3 .gx g





 



  

3;3

min 1 .gx g





D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của

 

trên





3;3 .

Lời giải. Ta có

  

     



2 2 1 ; 0 1.

gx f x x gx f x x

  

    

Suy ra số nghiệm của phương trình





0gx





chính là số giao

điểm giữa đồ thị của hàm số

 

y fx





và đường thẳng

1.yx

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 

0 1.

gx x









 







Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

 

  



3;3

max 1 .gx g





Chọn A.

Chú ý: Dấu của

 



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

3;

ta thấy

đồ thị hàm số

 

y fx





nằm phía trên đường thẳng

yx

nên suy ra

 

0.gx





Câu 37. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như

hình vẽ bên. Xét hàm



  

133

2018,

34 2

gx f x x x x   

mệnh đề nào sau đây đúng ?

 

   

3;1

min 3 .gx g





 

   

3;1

min 1 .gx g





 

   

3;1

min 1 .gx g





 

 

   

3;1

min .







Lời giải. Ta có

   

gx f x x x









 











Số nghiệm của phương trình





0gx





chính là số giao điểm của đồ thị

 

của hàm số

 

y fx





và

đồ thị

 

của hàm số





hx x x 

Ta thấy

 

cắt

 

tại ba điểm

   

3; 3 , 1; 2

 

và

 

1;1 .

Do đó ta có

 

' 0 1.

gx x







  







Bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên ta suy ra

 

   

3;1

min 1 .gx g





Chọn B.

Câu 38. Cho hàm số

 

.y fx

Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình bên. Xét hàm số

   

2 2 4 3 65gx f x x x m  

với

là tham số thực.

Để

 

gx

với mọi

5; 5 ,x









khẳng định nào sau đây

đúng ?

 

mf

 



 

0 2 5.

mf

 

5 4 5.

mf 

Lời giải. Ta có

   

2 6 4;gx f x x



 

   

0 23.gx f x x



    

Để

 

0gx

với

5; 5x



 





thì

 

5; 5

max 0.gx











 

Dựa vào đồ thị hàm số

 

y fx





và

32yx

ta thấy

 

3 2 0, 5; 5fx x x





    





 

0, 5; 5gx x





     





nên hàm số

 

luôn đồng

biến trên

5; 5









Suy ra

 

   

5; 5

max 5 2 5 3 .gx g f m









 

 

Từ

 

và

 

suy ra

 

mf

Chọn A.

Câu 39.

Cho hàm số

 

y fx

có đạo hàm liên tục trên

 

2;2

và

đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Đặt



  

.gx f x x



Khẳng định nào sau đây đúng ?

     

0 2 2.gg g 

  

  

2 0 2.ggg 

     

2 2 0.gg g 

     

0 2 2.ggg 

Lời giải. Ta có

    



 

1; 0 1.gx f x gx f x

  

   

Dựa vào đồ thị ta thấy đường



cắt đồ thị hàm số

 

y fx





tại các điểm















Bảng biến thiên như hình bên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

 

lớn nhất trong các giá trị

     

2 ; 0 ; 2 .g gg

Dựa vào đồ thị, ta có



  

1d 1 dfx x fx x







 





  

        

  



d d 0 202 22.gx x gx x g g g g g g





         



Vậy

     

0 22gg g 

. Chọn A.

Câu 40.

Cho hàm số





.y fx



Đồ thị hàm số

 

y fx





như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số

   

3 15 1gx f x x x

  

trên đoạn

 

0;3

là

 

0.g

 

1.g

 

2.g

 

3.g

Lời giải. Ta có

  

    

3 3 15; 0 5 .

gx f x x gx f x x

  

     

Đồ thị hàm số







cắt đồ thị hàm số

yx

tại hai điểm

   

0;5 , 2;1 .AB

Dựa vào đồ thị, ta thấy

 

5 khi 2

fx x x







 



 







 





Hàm số

 

đồng biến trên

 

2;

và nghịch biến trên





;2 .



Do đó

 

     

 

0;3

max max 0 , 3 .gx g g

 

Dựa vào đồ thị, ta có

 

5d 5dfx x x fx x x





  







hay

         

3 23

2 00

d d d 0 3 0.gx x gx x gx x g g

 

      

 

 

Từ

 

và

 

suy ra

 

   

0;3

max 3 .gx g

Chọn D.

Phần 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vấn đề 1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước

Câu 1. Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số















có tất cả bao nhiêu

đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra phương trình

 

1fx

có

nghiệm phân

biệt là

 

21xa a   

 

xb b  

và

 

xc c

 

. Nhận thấy các

nghiệm này đều khác

2.

Vậy đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn D.

Câu 2. Cho hàm trùng phương





y fx



có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

2018

fx fx









có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận ?

Lời giải. Ta có

   

 

10 .

fx fx





















Dựa vào đồ

thị ta thấy phương trình

   

10fx fx







có

nghiệm

phân biệt trong đó không có nghiệm nào bằng

 

đồ thị hàm số có

đường tiệm cận đứng.

Lại có

 

là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

 

đồ thị hàm số

 

có đúng một tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số

 

   

 

2018

fx fx





có

đường tiệm cận. Chọn D.

Câu 3. Cho hàm trùng phương





y fx



có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số









2018

2019



có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận ?

Lời giải. Ta có

 

2018 2019

2018

2019 .

fx fx



 

Dựa vào đồ thị ta thấy

   

0, 2018 2019 0, .fx x fx x     

Dựa vào đồ thị ta thấy

 







   







ĐTHS có

TCĐ:

2x 

và

2.x 

Ta có

 

lim 2019





và





lim 2019



  

ĐTHS có TCN

2019.y 

Chọn C.

Câu 4.

Cho hàm số bậc ba





y fx



có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

f x fx







có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

  





  



  

40 .

f x fx







 









Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy

•

 

có nghiệm

1xa 

(nghiệm đơn) và

1x 

(nghiệm kép)

 



 

1.fx x ax    

•





có nghiệm

1x 

(nghiệm kép) và

1xb

(nghiệm đơn)

   

 

41 .fx x x b     

Do đó

 

  



 

 

    

 

   

1. 1

x ax x x b

fx fx

x ax x x b





 



 



  



 

đồ thị hàm số

 

có 4 đường TCĐ. Chọn D.

Câu 5.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 





 

f x fx







có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

   

20 .

f x fx







 









Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy

•

 

có nghiệm

1xa

 

(nghiệm đơn) và

1x 

(nghiệm kép)

  

 

1.fx x ax    

•

 

có nghiệm

 

; 1, 0x ba x  

và

1xc

     

2.f x x bxx c     

Do đó

 

   

      

    

xaxbxxc

xax xbxxc







 

  

 

đồ thị hàm số

 

có 4 đường TCĐ. Chọn D.

Câu 6. Cho hàm trùng phương





y fx



có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số

 

  

   

xx x

f x fx







có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

 







  





 

f x fx







 









. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

•

       

1 1 1.fx x x    

•



  

  



2.f x x ax x b    

Do đó















xx x a x b





 

ĐTHS

 

có 4 đường TCĐ. Chọn D.

Câu 7.

Cho hàm số bậc năm





y fx



liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số







 



f x fx







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

   

4 9 0 1, 5 2 .

1, 5 3

f x fx fx







   







Dựa vào đô thị, ta có

•



 

  

 

1 2 2.fx x xx    

•

 

có nghiệm

2xa 

(nghiệm bội lẻ) và



(nghiệm bội chẵn).

 

•

 

có nghiệm

2xb

(nghiệm bội lẻ) và

1x 

(nghiệm bội chẵn).

 

Do đó

 

  

   



 

 

   

3 22

11 11

2 24 9

xxx xx

f x fx

x x fx

 







 





 

Từ

   

4 , 5

và

 

 

đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 8.

Cho hàm số bậc năm

 

y fx

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

f x fx





có

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để

có nghĩa là

0.x 

Xét

   

20 .

f x fx







  









•

 

có nghiệm

 

3; 1



  









loaïi

thoûa maõn

•

 

có nghiệm









 

1; 3



 









loaïi

thoûa

 

đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 9.

Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị là đường

cong hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

32 1xx x

xf x f x

 











có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để

1x 

có nghĩa là

1.x 

Xét

   

f x fx







 









•





có nghiệm

 













loaïi

nghiem kep

•





có nghiệm





1; 2 .

















Do đó





  

      

    

12 1

. 2. 1

xx x

xxax xcxd

xxax x xcxd

 







 





đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 10. Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị là đường cong

hình bên. Đồ thị hàm số

 

   

x x xx

xf x f x

 











có tất cả

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để



có nghĩa là

   

; 1 0; .x     

Xét

   

20 .

f x fx







 









Dựa vào đồ thị, ta có

•

 

có nghiệm

 

   

3 nghiem kep

1; 0







 





loaïi

•

 

có nghiệm

 

3; 1 .







  



 





Do đó

 

  

     

  

     

.3 .

.3 .1

x x xx

xx xaxbxc

xx xax xbxc

 





 

  

 

đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ là

0, , 3, .x x bx x c   

Chọn C.

Câu 11. Cho hàm số bậc năm





y fx

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số





   

f x fx







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để



có nghĩa là

1.x 

Ta có

 

   

 

   

 

4 9 21

f x fx

fx f x x x

















•

2 1 0, 1.

xx x

  

•

 

00 .

2 triet tieu

fx x







 







loaïi

nghiem kep

•

 









1, 5 .



 



 









loaïi

•

 









1, 5 .

















thoûa maõn

Vậy đồ thị hàm số





có

đường TCĐ. Chọn A.

Câu 12.

Cho hàm bậc bốn





y fx

liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

2 5421

11 28

x x xx

f x fx

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để

x 

có nghĩa là

x 

Ta có

 





 

2 12

11 28

7 4 2 12

f x fx

fx fx x









  

  

  

•

 

4fx

có nghiệm

0,x 

x 

(nghiệm kép) và

12xa

     

46.f x xx x a     

•

 

7fx

có nghiệm

1, 5x 

(nghiệm kép),

 

6;12xb

và

 

12;xc a

    

fx x x b x c







      











Suy ra

 

      

 

6 . .2 12

x xaxbxc x



    

 

đồ thị hàm số

 

có

đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Câu 13. Cho hàm số bậc ba





y fx



có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị

hàm số

 

  

   

1 22 3 1

x x xx

f x fx

   





có bao nhiêu đường tiệm

cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để

31xx

có nghĩa là





hoặc





Khi đó

 





   

 

3 11

1 5 3 11

fx fx

fx fx x x

 





  



  

  

   

  

•





fx

có nghiệm

0xa

(nghiệm đơn) và

2x 

(nghiệm kép).

•

 

5fx



có nghiệm

0x 

(nghiệm kép) và

3x 

(nghiệm đơn).

Suy ra

 

    

 

   

 

22 2

2 3 3 11 2 3 11

xax xx x x x xa x x





        

 

đồ thị hàm số





có

đường tiệm cận đứng là

.xa



Chọn A.

Câu 14. Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình

vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

10 9 5 2

8 13

f x fx

 





có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để căn thức có nghĩa là

10 9 0

52 0

10 2







  











Từ đồ thị của hàm số

 

,fx

ta tìm được

 

3 5.fx x x 

•

 

0, ; .

10 2

fx x





  





•

 

10 2

 



























 









Vậy hàm số đã cho có

tiệm cận đứng. Chọn B.

Câu 15.

Cho hàm bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình.

Đồ thị hàm

số

 

1 43

x xx



 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng





 





1 nghiem kep

2 nghiem don

















     

1 2.fx x x    

Khi đó

 

   

    

1 13

x xx





 

Vì hàm số

 

xác định trên

   

1 2;  

nên

1, 1xx 

không là các đường

TCĐ. Vậy ĐTHS

 

có

đường TCĐ là

3.x



Chọn A.

Vấn đề 2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên

Câu 16.

Cho hàm số





y fx

liên tục trên



và có bảng

biến thiên như hình bên. Tìm tất cả các số thực

để đồ

thị hàm số





 

fx m





có ba đường tiệm cận đứng ?

5.m 

5.m 

5 4.

m 

5 4.m 

Lời giải. Để đồ thị hàm số

 

fx m





có ba tiệm cận đứng thì phương trình

 

0fx m

có ba nghiệm phân biệt. Dựa vào BBT

5.m   

Chọn B.

Câu 17.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã

cho có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ tính đường tiện

đứng và đường tiệm cận ngang) ?

Lời giải. Ta có

 

lim TCD : 1

lim TCD : 3

fx x













    







   





Lại có

 

lim 0





 

TCN:

0.y 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có

đường tiệm cận. Chọn C.

Câu 18. Hàm số

 

y fx



xác định và có đạo hàm trên

 

\ 1;1 ,

có bảng biến thiên như hình bên. Gọi

lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số

 





. Tính

.kl

2.kl

3.kl

4.kl

5.kl

Lời giải. Dựa vào BBT, ta thấy

 







   



 



ĐTHS

 

có hai TCĐ.

Lại có





 





lim lim 0 0 TCN

lim 0 lim 1 1 TCN

fx y

 

 





     











        









Vậy

2, 2 4.k l kl     

Chọn C.

Câu 19.

Cho hàm số





y fx

liên tục trên



và có bảng

biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 





có

bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có





   



  

10 .







 









Dựa vào bảng biến thiên ta thấy mỗi

phương trình

 

và

 

đều có một nghiệm (hai nghiệm này khác nhau)

 

Đồ thị

hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 20.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có bảng biến thiên

như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 











có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

 

   

40 .

















Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

•

 

có nghiệm duy nhất

0xa

     

2.f x hx x a    

với





là hàm bậc hai và

 

0hx

vô nghiệm.

•

 

có nghiệm

 

0, 1; 2x xb 

và

 

xc  

   



2.f x xx b x c     

Do đó

 

     

 

     

xx x

hxxaxxbxc hxxaxbxc





   

 

đồ thị hàm số

 

có

đường tiệm cận đứng. Chọn C.

Câu 21. Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Lời giải. Dựa vào BTT, ta thấy phương trình





 

2 2;2 .

fx x b



 



   









Suy ra

 

3 20 3 3

xa x a

f x xb x b

xc x c



 



     



 



 

đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn D.

Câu 22.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

 









có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Lời giải. Dựa vào BTT, ta thấy phương trình

 

4fx



có duy nhất nghiệm

2.xa

Suy ra

 

3 40 3 3f x xa x a    

 

đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 23. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

 

log 4





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

   

log 4 0 16 .

fx fx







  









Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

•

 

có

nghiệm

0.xa

•

 

có

nghiệm

   

;0 , 0;1xb a xc 

và

1.xc



Vậy đồ thị hàm số

 

có

đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Câu 24.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có

bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

 

2018





có bao nhiêu tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

 

   

01 .

e e fx







  









Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

•





có

nghiệm

1x 

và

5.xa

•

 

có

nghiệm

 

1, 1; 2xb xc    

và

5.x 

Vậy đồ thị hàm số

 

có

đường tiệm cận đứng. Chọn C.

Câu 25. Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có bảng biến

thiên như hình. Đồ thị hàm số





 

2 7 34 5

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Điều kiện để

45x 

có nghĩa là

x 

Từ bảng biến thiên, ta xác định được hàm số

 

3 1.fx x x



Ta có





 









 

12 7 34 5

fx x x





  

•

2 7 3 4 5 0, .

xxx     

•

   

 

10 1 3

fx fx x







   







loaïi

hoặc

 

1 nghiemkep triet tieu



  



 









loaïi

Vậy đồ thị hàm số

 

có

đường TCĐ là

0, 3.xx

Chọn B.

Vấn đề 3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số

Câu 26. Cho hàm số





y fx

thỏa mãn

 

lim 1





và

 

lim .

fx m





Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

 





có duy nhất một tiệm

cận ngang.

1.m 

2.m 

 

1; 2 .m  

 

1; 2 .m 

Lời giải. Ta có

 

lim 1

2 12



   

 

đồ thị hàm số luôn có TCN

1.y 

Do đó để ycbt thỏa mãn khi

 

lim 1 1

lim 2

fx m







   







 









Chọn C.

Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên của tham số thực

 

3; 6m 

để đồ thị hàm số

22 2 1

x xm x





  

có đúng

đường tiệm cận ?

10.

Lời giải. Ta có

lim







và

lim







nên ĐTHS có

đường TCN.

Do đó để yêu cầu bài toán thỏa mãn khi ĐTHS có đúng

TCĐ



phương trình

2 2 2 10x xm x    

có

nghiệm phân biệt khác

Ta có

22 2 1 .

4 10

x xm x

x xm







  





  





 

Để

 

có

nghiệm phân biệt khác

 





  

 

1 4.1 1 0

** .

1 10

xx m



 

















 

  



 

  

 

 

 







 







 









Chọn B.

Câu 28. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

để đồ thị hàm số

x mx m







có

đúng hai tiệm cận đứng.

   

; 12 0; .m     

 

0; .m  

0; .



















0; .



















Lời giải. Điều kiện:

x mx m

















Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình

30x mx m

có

nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng



  

   

1 12

12 0

0 12 0

1 1 1 0 3 10 0 .

1 10

xxm

xx m

x x x mm m















  





             

 

 





 









Chọn D.

Câu 29. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

để đồ thị hàm số

12 4

x xm







có

đúng hai tiệm cận đứng.

4; .

















4; .



















 

8;9 .m 

 

0;9 .m 

Lời giải. Điều kiện:

62 0

x xm











 





Tương tự như bài trên, yêu cầu phương trình

62 0x xm 

có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

44 .

0; m 

Chọn A.

Câu 30. Cho hàm số





21 2

x m x mxm





  





Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận.

 

0;1 .m 

 

0;1 .m 

 

0;1 \ .













 

;1 \ .





 







Lời giải. Ta có

lim 0



  

đồ thị hàm số có TCN:

0.y 

Do đó để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận

 

đồ thị hàm số phải có

TCĐ

 

phương trình

 

21 2 0x m xm 

 

có

nghiệm phân biệt lớn hơn

 

 



   

1 12

218 0

0 0.

xm xmxm

xm xm





 

















     

 

 



 





 









Chọn C.

Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên

 

1; 3m 

để đồ thị hàm số

 

x mx







có

đường tiệm cận đứng ?

Lời giải. Ta có

 

lim 2 1 2 1

x mx m



   

với

1.m 

Do đó với



thì hàm

số không có giới hạn khi

1x 

nên ĐTHS không có TCĐ.

• Với

















thì





 

lim 2 1 2 1 0

lim

lim 1 0

x mx m







   



  











nên ĐTHS có

TCĐ là

1.x 

• Với

3m 

ta có

 

11 1

2 31 1

lim lim lim

12 3 1

xx x

x xx

 

 





 

 

lim

2 31 1

xx x





 

 

nên ĐTHS có TCĐ là

1.x 

Vậy để ĐTHS có TCĐ thì

 

 

1;3

1 1; 0;1; 2; 3 .





       



Chọn D.

Câu 32. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

41y ax x 

có tiệm cận ngang ?

D. Vô số.

Lời giải. Ta có

 

lim lim 4 1 lim .

xx x

y ax x

ax x

  



  



Với

a 

ta có

 

lim

ax x





   



ĐTHS không có TCN.

Với

40 2aa   

ta có

 

lim lim 0

41 41

ax x ax x

 





   

 

ĐTHS có

TCN là

0.y 

Vậy

2a 

thỏa mãn. Chọn C.

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

sao cho đồ thị của hàm số







có hai tiệm cận ngang.

0.m



0.m



0.m



.m 

Lời giải. Khi

0,m 

ta có



1 11

lim lim

 



    



là TCN ;



lim lim

xm m

 





















    



là TCN.

Với



suy



  

đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Với



thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN.

Vậy với

0m 

thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn D.

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

để đồ thị hàm số

x mx







có đúng một tiệm cận ngang ?

D. Vô số.

Lời giải. Ta có



lim lim

x mx

 









với

0m 

;



lim lim

x mx

 









với

0, 1.

mm

Nếu

m 

thì

 

1 11

lim lim lim . ,

xx x

  















  











 











   

suy ra hàm số chỉ có đúng một TCN là

y 

do lim khi 1 .





















Do đó giá trị

1m 

thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu

















, để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

  



Vậy

0, 1mm

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

để đồ thị hàm số

 

2018 1

x mx



 



có hai tiệm cận ngang ?

2016.

2017.

2018.

2019.

Lời giải. Nếu

0m 

hoặc

2018m 

thì TXĐ không chứa



nên không có TCN.

Xét

0 2018,m

ta có

1 2018

lim









và

1 2018

lim .









Để đồ thị hàm số có hai TCN ta cần

0 2018

1 2018 0 2017

9081

1 2018 1 2018















   























 





 

0;1;...;2018 \ 2017 .



   



Chọn C.

Phần 5. TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Vấn đề 1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức

Câu 1. Cho hàm số

 

1gx x

và hàm số

 

3 1.fx x x 

Tìm

để phương

trình

 

0f gx m







có 4 nghiệm phân biệt.

3 1.m  

3 1.

m  

3 1.m  

1.m 

Lời giảỉ. Ta có

 

   

 

2 2 62

13 11 3 1 .m f gx x x x x hx



       



Đạo hàm

 

6 6 0; 0 .

hx x x hx









   







Bảng biến thiên như hình bên

Yêu cầu bài toán

3 1.

m     

Chọn A.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình





 

f fx m x m

 

có nghiệm

 

1; 2x

biết

 

34fx x x m 

15.

16.

17.

18.

Lời giải. Đặt

   

.y fx m y fx m     

 

Từ đề bài suy ra

 

.fy x m

 

Lấy



  

12

ta được:

   

3 3 53 5 3

4y fy x fx y y x x  









xet ham 5 3

32 .y x m x x gx     

Ta có

 

560

gx x x





nên

 

đồng biến trên

 

1; 2 .

Do đó yêu cầu bài toán



  

1 3 2 1 16.g mg m      

Chọn B.

Câu 3. Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để phương trình bậc ba

 

3 2 1 16 2 0

x x mx m    

có nghiệm nằm trong đoạn

 

2;4 .

m 

m

8.m



m

Lời giải. Phương trình

   

3 2 16 1 8

, 2;4 .

22 2 1

xx x

m x x fx x

 

    



Ta có





 

1 ; 0 3.

fx x fx x



    



Bảng biến thiên như hình bên

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn

 

2;4

thì

m

Chọn D.

Câu 4. Cho hàm số

 

.f x x ax b x c

 

Nếu phương trình

 

0fx

có ba nghiệm

phân biệt thì phương trình

     

2 fxf x f x



 





có bao nhiêu nghiệm ?

Lời giải. Gọi

123

,,xxx

là ba nghiệm của phương trình

 

0.fx

Đặt



 

    

2. ,

gx f x f x f x



 





có

 



  

2 . 12 ;gx fx f x fx

 



   

00gx fx x x



 

hoặc

xx

hoặc

.xx

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số

 

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

 

0gx  

có hai nghiệm phân biệt hay phương trình

     

 

2. 0fx f x f x

 



có

nghiệm phân biệt. Chọn B.

Câu 5. Biết rằng đồ thị hàm số

 

4 32

y f x ax bx cx dx e    

(với

,,, ,abcde 

và

0; 0ab

) cắt trục hoành tại

điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số

 

     

.0gx f x f x f x



 

 



cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ?

Lời giải. Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

y fx

và trục hoành là

1234

, , , .xxxx

Suy ra

 

 

 

 

1234

.fx axx xx xx xx   

Đạo hàm

         

234 134

fx axx xx xx axxxx xx





     

 

124 123

axxxx xx axx xx xx

• Ta có

         

. 0,

ii iii i

gx fx f xfx fx x

 

  

   

 

 

gx  

không có nghiệm

• Xét



ta có

     

1234

1111 1

f x fx fx

xx xx xx xx xx













  











 





 

fx fx

fx x x fx x x



















     





















     

 

f x fx f x





 





     









hay

     

. 0,

f x f x fx x x



 

  



Vậy trong mọi trường hợp phương trình

 

0gx

đều vô nghiệm. Chọn A.

Vấn đề 2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên

Câu 6. Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên

 

\0

và có bảng biến thiên như sau

Gọi

là số nghiệm của phương trình

 

3fx

và

là số nghiệm của phương trình

 

3fx

. Khẳng định nào sau đây đúng ?

4.hk

6.hk

7.hk

8.hk

Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số





, suy ra

† Bảng biến thiên của hàm số

 

.fx

Trong đó

là

hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

y fx

với

trục hoành.

Dựa vào BBT

 

3fx  

có đúng

nghiệm.

† Bảng biến thiên của hàm số

 

.fx

Dựa vào BBT





3fx  

có đúng

nghiệm.

Vậy

3 4 7.hk



Chọn C.

Câu 7. Cho hàm số





y fx



liên tục trên

 

\0

và có bảng biến thiên như sau

Với

là tham số thực bất kỳ, phương trình

 

0fx m

có nhiều nhất bao nhiêu

nghiệm ?

Lời giải. Từ BBT của hàm số

 

y fx

 

0fx  

có

nghiệm phân biệt

 

0fx m   

có tối đa ba nghiệm

 

0fx m

   

có tối đa 6 nghiệm phân

biệt (khi ĐTHS

 

y fx m

cắt trục hoành tại

điểm có hoành độ dương). Chọn C.

Câu 8. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên đoạn

 

1; 8 ,

biết

     

1 3 82fff

và

có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

   

fx fm

có ba

nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

1; 8

Lời giải. Phương trình



  

fx fm

là phương

trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

  



:C y fx

và đường

 

:.d y fm

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc

đoạn

     

BBT

1; 8 2; 4fm    



   



BBT

1;1 3;5 5; 8 .m

      

Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn

 

0;5

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên

để phương trình

 

3 10 2 .x x mu x 

có nghiệm

trên đoạn

 

0;5

Lời giải. Từ BBT ta có

 

14ux

với mọi





0;5 .

x 

Xét hàm

 

3 10 2fx x x

 

trên

 

0;5 ,

ta được

 

   

 

   

0;5

min 0 10

max 3 5

fx f





















Từ đó suy ra

 

khi 0 khi 3

10 3 10 2







 

để phương trình đã cho có

nghiệm

m 

Vì

m  

nên

 

1;2;3;4;5m 

. Chọn C.

Câu 10. Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên đoạn

 

1; 3

và có bảng biến thiên như sau

Tổng các giá trị

m 



sao cho phương trình

 

6 12





có hai nghiệm

phân biệt trên đoạn

 

2;4

bằng

297.

294.

72.

131.

Lời giải. Từ đề, suy ra

 

   

6 12 . 1 , 2;4 .m x x fx x    

Xét hàm số

 

   

6 12 . 1 , 2;4 .gx x x f x x    

Ta có



    

 

 

2;4

2 6 . 1 6 12 . 1 0 3.

gx x fx x x f x x





          

Thật vậy

•

 

2 60

2 3 0.

6 12 0

x gx













  



















•

 

2 60

3 4 0.

6 12 0

x gx













  



















Bảng biến thiên như hình bên

Dựa vào BBT, suy ra

12 3m  





12; 11;...; 4 72.



         



Chọn C.

Vấn đề 3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị

Câu 11. Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như

hình vẽ bên. Hỏi phương trình

 

4fx







có bao

nhiêu nghiệm ?

Lời giải. Ta có

 

4 .





















Phương trình

 

có đúng

nghiệm.

Phương trình

 

có

nghiệm. Vậy phương trình

 

4fx







có

nghiệm. Chọn C.

Câu 12.

Cho hàm số

 

y fx

xác định trên

.

Đồ thị hàm

số

 

y fx





cắt trục hoành tại ba điểm

,,abc

()abc

như hình vẽ. Biết

 

0,fb



hỏi đồ thị hàm số

 

y fx

cắt

trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ?

Lời giải. Từ đồ thị của





y fx





ta có BBT của hàm số

 

y fx

như hình bên. Do

     

, , fa fb fc

đều âm nên

đồ thị hàm số

 

cắt trục hoành tại

điểm. Chọn B.

Câu 13.

Cho hàm số

 

y fx

xác định trên

.

Đồ thị hàm

số

 

y fx





cắt trục hoành tại ba điểm

,,abc

()abc

như hình vẽ. Biết

 

0,fa

hỏi đồ thị hàm số

 

y fx

cắt

trục hoành nhiều nhất bao nhiêu điểm ?

Lời giải. Từ đồ thị của

 

y fx





ta có BBT của hàm số

 

y fx

như hình bên. Do

   

0fb fa

nên đồ thị hàm

số





cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất khi

 

0.fc

Khi đó đồ thị hàm số





cắt trục hoành tại

điểm. Chọn B.

Câu 14.

Cho hàm số

 

6 93y fx x x x  

có đồ thị

như hình vẽ. Phương trình

     

6 9 30fx fx fx



  



có bao nhiêu nghiệm ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y fx

ta suy ra phương trình



 



 



 





 



6 9 30 1 2

fx a a

fx fx fx fx b b

fx c c



 





     







 



 

Phương trình





là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số



  

:C y fx



với đường thẳng

:dy a





0 1.a



Dựa vào đồ thị ta thấy

cắt

 

tại

điểm

phân biệt. Do đó

 

có ba nghiệm. Tương tự

 

có một nghiệm,

 

có một nghiệm.

Do đó phương trình đã cho có tất cả

nghiệm. Chọn B.

Câu 15. Cho hàm số

 

32y fx x x  

có đồ thị như

hình vẽ. Phương trình

 

32 32

323 3220xx xx 

có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số





,y fx

ta suy ra phương trình



  

 

32 32 32

3 2 1 0

323 3220 321

3 2 2 3

xx a a

xx xx xx

xx b b



    



 



  



 

Như bài trước, dễ dàng nhận thấy

 

có

nghiệm nhưng có

nghiệm thực dương;

 

có

nghiệm nhưng có

nghiệm thực dương,

 

có duy nhất

nghiệm dương.

Do đó phương trình đã cho có tất cả

nghiệm thực dương. Chọn B.

Câu 16. Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình

 

0ffx







có bao nhiêu nghiệm thực phân

biệt ?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

y fx

ta suy ra phương trình

 

   





 





0 01

fx a a

ffx fx b b

fx c c



   





  







 







 

Mỗi phương trình đều có

nghiệm. Chọn D.

Câu 17.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ

bên. Gọi

là số nghiệm thực của phương trình

 

1.ffx







Khẳng định nào sau đây đúng ?

3.m



4.m



m 

Lời giải. Đặt





.t fx



Dựa vào đồ thị, ta có

 

1 0 1.

ta a

ft t b b

t cc



  



  







• Phương trình

,ta

suy ra

   

10fx a a  

có

nghiệm phân biệt.

• Phương trình

,tb

suy ra

   

01fx b b 

có

nghiệm phân biệt.

• Phương trình

,tc



suy ra

   

2fx cc

có

nghiệm. Vậy

7.m 

Chọn C.

Câu 18.

Cho hàm số





34fx x x

 

có đồ thị như hình

vẽ bên. Hỏi phương trình

 

3 54

ffx

f x fx









có bao nhiêu

nghiệm thực ?

Lời giải. Ta có

 

   

    

  

32 2

1 3 43 5 4

3 54

ffx

fx fx fx fx

f x fx





    



   

 

6 5 0 1 2 .

f x f x fx fx







    







Dựa vào đồ thị ta thấy

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm. Chọn C.

Câu 19.

Cho hàm bậc bốn

 

y fx

có đồ thị như hình bên.

Phương trình

  



21f fx fx



 





có bao nhiêu nghiệm

Lời giải. Dựa vào đồ thị

 

2fx x x   

Đặt

 

,0t fx t

. Khi đó phương trình đã cho trở thành

 





2 42 0

2 1 2 21

ft t ft t t t



         

Do đó





1 1 25

4 42

fx x x x



  

. Vậy phương có

nghiệm. Chọn A.

Câu 20.

Cho hàm số





y fx



có đồ thị như hình bên. Hỏi có

bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm

của phương trình

 

cos 2 0ff x







điểm. B.

điểm.

Vô số.

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy khi

 

1;1x 

thì

 

0;1 .

y 

Do đó nếu đặt

cos 2tx

thì





1;1 ,t 

khi đó



  

cos 2 0;1 .fx

Dựa vào đô thị, ta có

 

    



 

cos 2 0

cos 2 0 cos 2 1 .

cos 2 1

ffx fxaa

f x bb









   











loaïi

Phương trình

  



cos 2 0 cos 2 0 .

f x x x kk



        

Vậy phương trình đã

cho có

điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Chọn C.

Câu 21. Cho hàm số

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi

phương trình

 

cos 1 0ff x







có bao nhiêu nghiệm thuộc

đoạn

 

0;2

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có

 

cos 1 0ff x







   

11 1 1

22 2 2

33 3 3

cos 1 ; 2; 1 cos 1 1;0

cos 1 ; 1;0 cos 1 0;1

cos 1 ; 1;2 cos 1 2;3

fx xx fxx m



       



        



    



 

Xét





là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

trên đoạn

 

1;1

với đường thẳng

 

1 0.ym m  

Dựa vào đồ thị ta thấy

 

có

nghiệm, tức là

có

giá trị của

 

0;2

cos



   

cho ra

nghiệm

Tương tự

 

có

nghiệm

 

vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có

nghiệm. Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số bậc ba





y fx

có đồ thị hàm số như hình vẽ

bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình

 

4 3 2.fxx   

Lời giải.

43xx 

xác định khi

1 3.x



Từ đồ thị của hàm số, ta có





 

43 0

43 2 431 .

4 3 2;3

xx a

fxx xx

xx b





  



   





  





loaïi

•

4 3 1 2.xx x   

•

2 22

43 43 0x x bx x b

có

 





4 3 1 0, 2;3 .b bb



       

Vậy phương trình

 

43 2fxx   

có đúng

nghiệm. Chọn A.

Câu 23.

Cho hàm số

 

y fx

xác định trên



và có đồ thị

như hình bên. Hỏi phương trình

 

fx 

có bao nhiêu

nghiệm ?

Lời giải. Hàm

 

fx m

được thực hiện bằng cách lấy đối xứng qua trục

trước,

sau đó mới tịnh tiến. Do đó lấy đối xứng phần đồ thị của

 

bên phải trục tung qua

,Oy

sau đó tịnh tiến sang

phải

đơn vị ta được đồ thị hàm số

 

2fx

(tham khảo

hình vẽ). Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng

y 

cắt

đồ thị tại 4 điểm phân biệt

 

phương trình

 

fx 

có 4 nghiệm phân biệt. Chọn C.

Câu 24.

Cho hàm số bậc ba

 

y fx

có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó phương trình

 

2 1 30fx 

có bao nhiêu

nghiệm lớn hơn

Lời giải. Đặt

 

1tx x



(vì

 

đồng biến nên mỗi

có một

). Với

1 0.xt

Phương trình trở thành

 

ft

với

t 

Đây là phương trình hoành độ giao điểm

của đồ thị

 

y ft

với

t 

và đường thẳng

y 

(tham khảo hình vẽ). Dựa vào đồ thị ta thấy phương

trình





ft

có

nghiệm dương nên suy ra

phương trình đã cho có

nghiệm lớn hơn

Chọn B.

Câu 25.

Cho hàm số

 

y fx



liên tục trên



và có đồ thị

như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

2fx x m

có đúng

nghiệm thực

phân biệt thuộc đoạn

;











Lời giải. Đặt

tx x

với

;











thì

1; .











Nhận xét: Cứ một nghiệm

















sẽ cho hai nghiệm

và



sẽ cho một

nghiệm

Do đó để phương trình





2fx x m

có đúng

nghiệm





ft m



có

đúng

nghiệm.

Dựa vào đồ thị, ta có

 

ft m

với











có đúng

nghiệm















Chọn B.

Câu 26. Cho hàm số bậc ba

 

y fx



có đồ thị như hình vẽ. Với

là tham số thực bất kì thuộc đoạn





0;5 ,

hỏi phương trình





6 25fx x x m m

  

có bao nhiêu nghiệm thực ?

Lời giải. Đặt

2 5.km m 

Ta có

5 15.

2 1. 5 15

k mm





 



   





   





Đặt

6tx x x

(vì là hàm đồng biến nên mỗi

có một

Phương trình trở thành

 

ft k

với

5; 15 .k









Dựa vào đồ thị ta thấy đường

thẳng

yk

với

5; 15k









cắt đồ thị

 

tại

điểm phân biệt nên phương trình





ft k



luôn có

nghiệm

 

phương trình

 

6 25fx x x m m  

với

 

0;5m 

có

nghiệm

Chọn C.

Câu 27. Cho hàm số





y fx

liên tục và có đạo hàm trên



, có

đồ thị như hình vẽ. Với

là tham số bất kì thuộc

 

0;1 .

Phương

trình





3 3 41

fx x m m

  

có bao nhiêu nghiệm thực ?

Lời giải. Đặt

3 4 1 3 5.km m k      

Đặt

 

3,tx x x

có

   

3 6 ; 0 0tx x xtx x



  

hoặc

2.x 

Bảng biến thiên như hình bên.

Phương trình trở thành





ft k



với

 

3;5k 

 

BBT

do thi BBT

BBT

0 1 nghiem

4 0 3 nghiem .

4 1 nghiem

ta x

tb b x

tc x



    



     



     



Vậy phương trình đã cho có

nghiệm

Chọn C.

Câu 28.

Cho hàm số

 

y fx

liên tục trên



và có đồ thị như

hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình

 

6 sin 8 cos 1f x x f mm

 

có nghiệm

x  

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có





y fx

là hàm số đồng biến trên

.

Do đó

  



 

6 sin 8 cos 1 6 sin 8cos 1 .

f x x f mm x x mm     

Mà

10 6 sin 8 cos 10xx  

nên

 

1 41 1 41

10 1 10 .

mm m

 

       

Vậy có

số nguyên

thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D.

Câu 29.

Cho hàm số

 

y fx



có đồ thị như hình vẽ bên. Có

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

2 sin

f xf



















có

nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

;2



Lời giải. Đặt

 

2 sin 0 2 .t xt 

Ta thấy

0t 

cho ta

nghiệm

 

;2 ,x 

mỗi

 

0;2t 

cho ta

nghiệm

 

;2 ,x 

2t 

cho ta

nghiệm

 

;2 .x 

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình

 

ft f



















có

tối đa

nghiệm

(đường thẳng



















cắt đồ thị

tối đa hai điểm). Do đó để phương trình đã cho có

đúng

nghiệm

phân biệt thuộc

 

;2

khi và chỉ khi phương trình





ft f



















có đúng

nghiệm

phân biệt thuộc

 

0;2

16 2







    











suy ra

 

1; 2 .



















    



















Chọn A.

Câu 30. Cho hàm số

 





y x fx

liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ bên. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 





thuộc khoảng nào sau đây ?

 

0;2 .

 

1; 3 .

 

2;4 .

 

3;5 .

Lời giải. Ta có

   

fx x x fx

    



Đồ thị hàm số

 

1x fx

xác định bằng cách giữ phần



và



của đồ thị

hàm số









x fx

và lấy đối xứng phần

11x

 

của đồ thị hàm số





 

x fx

qua trục

.Ox

Vẽ đường thẳng



cắt đồ thị hàm số

 

1x fx



tại hai điểm

 

10xa a  

và

 

2 3.xb b 

Do đó tổng các nghiệm của

phương trình

 





nằm trong khoảng

 

1; 3 .

Chọn B.

Câu 31.

Cho hàm số

     

2.gx x f x

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi với

thuộc khoảng nào dưới đây

thì phương trình

 

2fxx m

có nhiều nghiệm nhất ?

 

2;0 .

 

0;1 .

 

1; 2 .

 

0;2 .

Lời giải. Đồ thị hàm số

 

2fxx



được xác định bằng cách

giữ phần

2x 

của đồ thị hàm số

  

2fx x

và lấy đối xứng

qua

phần

2x 

của đồ thị hàm số

  

2.fx x

Dựa vào đồ thị suy ra, để số nghiệm của phương trình

 

2fxx m

là lớn nhất thì

 

0;1 .m 

Chọn B.

Câu 32. Cho hàm số

   

y x fx

xác định và liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của

để

đường thẳng

ym m

cắt đồ thị hàm số

 

1y fxx

tại hai

điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn





1;1 .

m 

hoặc

0.m 

1.m



0 1.m

Lời giải. Đồ thị hàm số





fxx

như hình bên. Dựa vào đồ thị

suy ra, để phương trình

 

fxx m m 

có hai nghiệm có

hoành độ nằm ngoài đoạn

 

1;1

thì

01mm m

    

hoặc

0.m 

Chọn B.

Câu 33.

Hình bên là đồ thị của hàm số

2 3.yx x

Sử dụng

đồ thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để

phương trình

   

22 2

16 12 1 1x x x mx  

có nghiệm.

1 0.m 

1 4.m 

1 4.

m

D. Với mọi

Lời giải. Phương trình

3 2 32

2 2 22

16 12 2 3 .

1 1 11

x x xx

 





    









 

  

Đặt





. Ta có

xx

suy ra





Do đó

01t

Phương trình trở thành

 

23 *

t tm

. Đây là phương trình hoành độ giao điểm

của đồ thị hàm số

23yt t

(chỉ xét trong phần

 

0;1t 

) và đường thẳng

.ym

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

 

có nghiệm thuộc đoạn

 

0;1 1 0.m  

Chọn A.

Câu 34. Hình bên là đồ thị của hàm số

3.yx x

Sử dụng đồ

thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương

trình

33x xm 

có hai nghiệm thực âm phân biệt.

1 1.m 

1 1.m 

1 1.m 

4.m 

Lời giải. Điều kiện:

 

1 1x



và





xm

Khi đó phương trình

2 3 32

3 3 3 3.x xmx x m      

Đây là phương trình

hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

:3Cyx x

(chỉ xét trong phần

thỏa

điều kiện

 

) và đường thẳng

:3dy m

(cùng phương với trục hoành).

Để phương trình

33x xm 

có hai nghiệm thực âm phân biệt khi

cắt

 

tại

điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng

1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

2 3 4 1 1.mm     

Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số





y fx

có đồ thị như hình vẽ. Tồn tại bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

23 .

x x mf x

 

có nghiệm trên đoạn

 

0;3 ?

Lời giải.

23xx

có nghĩa khi và chỉ khi

 

0;3 .

x 

Khi đó

 





Ta có

   

2 3 3 .2 1 3

x xx x

fx f





    













 

 

3, 0;3 .



    

Dấu

""

xảy ra khi

x 

Mặt khác

   

2 3 23 3 3

x xxx x

fx f





      













 





23 3

, 0;3 .



    

Dấu

""

xảy ra khi

0.x



Vậy

 

3 1; 2; 3 .



     



Chọn B.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/137

| | Tải xuống

Preview text:

HAØM SOÁ (hàm ẩn) Vận dụng cao
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 1. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình
bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f x đồng biến trên 2;  1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên 1;
C. Hàm số f x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
D. Hàm số f x nghịch biến trên  ;  2.
Câu 2. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f 32x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 0;2. B. 1;  3 . C.  ;    1 . D. 1;.
Câu 3. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f 12x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 1;0. B.  ;  0. C. 0;  1 . D. 1;.
Câu 4. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới. Hàm số   2 x g x f
 e  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A.  ;  0. B. 0; . C. 1;  3 . D. 2;  1 .
Câu 5. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới Hàm số   3 2  2 f x g x  
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?     A. 1  ;    .    B. 1   ;1. C. 1;2. D.  ;   1 .  2  2 
Câu 6. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  3 x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 .
B. 1;2. C. 2;  3 . D. 4;7.
Câu 7. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình
bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 . B. 1;. C. 1;0. D. 0;  1 .
Câu 8. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 1;0. D. 1;2.
Câu 9. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới Hàm số    3 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 . B. 1;  1 . C. 1;. D. 0;  1 .
Câu 10. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Đặt gx f  2
x 2. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số gx đồng biến trên khoảng 2;.
B. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng 0;2.
C. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng 1;0.
D. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng  ;  2.
Câu 11. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hỏi hàm số gx f  2 x  
5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 12. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số gx f  2
1 x  nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 1;2 . B. 0; . C. 2;  1 . D. 1;  1 .
Câu 13. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số gx f  2
3 x  đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 2;  3 . B. 2;  1 . C. 0;  1 . D. 1;0.
Câu 14. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  x  nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 1;2. B.  ;  0.   C.  ;  2. D. 1  ;  .  2 
Câu 15. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới và
f 2  f 2  0
Hàm số      2 g x f x  
 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?   A. 3   1; .  B. 2;  1 . C. 1;  1 . D. 1;2.  2
Câu 16. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới và
f 2  f 2  0.
Hàm số gx  f   x 2 3  
 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 2;  1 . B. 1;2. C. 2;  5 . D. 5;.
Câu 17. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  2x 2x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;
 12 2. B.  ;   1 . C. 1;2 2   1 . D. 2 2 1;   .
Câu 18. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  2 2
x  2x  3  x  2x  2 đồng biến trên khoảng nào sau đây ?     A.  ;    1 . B. 1  ;   .    C. 1  ;. D. 1;.  2 2 
Câu 19. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y
g x  f 'x 2 2 như hình vẽ bên. Hàm số y  f x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2   A. 1;  1 . B. 3 5  ; .  2 2 x 2 C.  ;  2.
D. 2;. O 1 3 -1
Vấn đề 2. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux  gx.  
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Đặt gx f x x, khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g2 g  1  g   1 . B. g  1  g   1  g 2. C. g  1  g   1  g 2. D. g  1  g   1  g 2.
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f x 2 2
 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A.  ;  2.
B. 2;2. C. 2;4. D. 2;.
Câu 22. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên. Hỏi hàm số
g x  f xx  2 2
1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 3;  1 . B. 1;  3 . C.   ;3 . D. 3;.
Câu 23. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới 2 Hỏi hàm số    x g x f 1 x
 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2   A. 3;  1 . B. 2;0. C. 3   1; .  D. 1;  3 .  2
Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 24. Cho hàm số y  f x có bảng biên thiên như hình vẽ  
Hàm số gx 5 3 2
 f 2x  x    
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2 2         A. 1   1; .        B. 1  ;1. C. 5 1;  . D. 9  ;.  4 4   4 4 
Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên .
 Bảng biến thiên của hàm số
f x như hình vẽ   Hàm số   x g x  f 1      x 
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2  A. 4;2. B. 2;0. C. 0;2. D. 2;4.
Vấn đề 4. Cho biểu thức f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f x 2
 x 2x với mọi x  .  Hàm số    x  g x  f 1      4x 
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2  A.  ;  6. B. 6;6. C. 6 2;6 2. D. 6 2;   .
Câu 27. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  x  2 2 9 4 với mọi x  .  Hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 2;2. B.  ;    3 . C.  ;    3 0;  3 . D. 3;.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Hỏi số thực
nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số gx f  2
x 2x  2 ? A. 2. B. 1. C. 3 . D. 3. 2
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2
1 x 2 với mọi x  .  Hàm số    5x  g x  f   
 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2 x  4 A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 0;2. D. 2;4.
Câu 30. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x  
1 x 4.t x với mọi x   và
t x 0 với mọi x  .
 Hàm số     2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 1;  1 . D. 1;2.
Câu 31. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f 'x 1 xx 2.t x2018 với mọi x   và
t x 0 với mọi x  .
 Hàm số gx  f 1 x 2018x  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.   ;3 . B. 0;  3 . C. 1;. D. 3;.
Vấn đề 5. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 đồng biến, nghịch biến.
Câu 32. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Có bao nhiêu
số nguyên m 100 để hàm số gx f  2
x 8x  m đồng biến trên khoảng 4; ? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84.
Câu 33. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2  2 1
x  mx  9 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số gx f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 34. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên 1; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7.
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2  4 3 1
3x  mx   1 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng 0; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Phần 2. Cực trị của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y  f x. Số điểm cực trị của
hàm số y  f x là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 2. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số gx f  2 x   3 . A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 3. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của y  f x như sau
Hỏi hàm số gx f  2
x 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 4. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên  và f 0 0, đồng thời đồ thị hàm
số y  f x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số   2
g x  f x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 5. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f 'x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số gx f x 20172018x 2019 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hỏi hàm số gx f x x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ? A. x  0. B. x  1. C. x  2.
D. Không có điểm cực tiểu.
Câu 7. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới. 3
Hàm số gx f x x 2 
 x  x  2 đạt cực đại tại 3 A. x  1. B. x  0 . C. x  1. D. x  2 .
Câu 8. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hàm số gx f x 2 2
 x đạt cực tiểu tại điểm A. x  1. B. x  0. C. x  1. D. x  2.
Câu 9. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hỏi đồ thị hàm số gx f x3x có bao nhiểu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 7.
Câu 10. Cho hàm số y  f x. Đồ thị của hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số gx f  x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y  f x. Đồ thị hàm số
y  f x như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số
g x  f  2
x  2x  2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 12. Cho hàm số y  f x . Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ dưới đây
Số điểm cực trị của hàm số gx 2 f x 1 f x e   5 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 13. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới và f x 0 với mọi x  ;
 3,49;. Đặt gx  f xmx 5. Có bao nhiêu giá trị dương của
tham số m để hàm số gx có đúng hai điểm cực trị ? A. 4. B. 7. C. 8. D. 9.
Câu 14. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx f  x m  có 5 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số.
Câu 15. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx f  x m có 5 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.
Vấn đề 2. Cho biểu thức f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 16. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  
1 3 x với mọi x  .  Hàm số
y  f x đạt cực đại tại A. x  0. B. x  1. C. x  2. D. x  3.
Câu 17. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  x  2 1
1 x 21 với mọi x  . 
Hàm số gx f x x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 18. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x  2 x  
1 x 4 với mọi x  .  Hàm số
g x  f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 19. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  x  2 2 1 4 với mọi x  .  Hàm số    2 g x
f x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x 2x với mọi x  .  Hàm số
g x  f  2
x 8x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 3 liên tục trên  và thỏa mãn
f x f  x  x x  2 x  3 . 1 4 với mọi x  .
 Hàm số gx   f x 2 2 f x. f  x   có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 6.
Câu 22. Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  và thỏa mãn
 f x 2  f x f  x 4 .  15x 12x   với mọi x  .
 Hàm số gx  f x. f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  4 x  5 x  3 1 2 3 với mọi x  .  Số điểm
cực trị của hàm số gx f  x  là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 24. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  x  4  2 1 2
x  4 với mọi x  .  Số
điểm cực trị của hàm số gx f  x  là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 25. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  4  2 2
x  4 với mọi x  .  Số điểm
cực trị của hàm số gx f  x  là A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Vấn đề 3. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị
Câu 26. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  2mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số gx f  x  có 5 điểm cực trị ? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Câu 27. Cho hàm số 2 3
y  f x có đạo hàm f x  x   x m  m  x  5 2 2 1 3 4 3 với mọi x  .
 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số gx  f  x  có 3 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  4 x m5 x  3 1 3 với mọi x  .  Có bao
nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số gx f  x  có 3 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  2mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số gx f  x  có đúng 1 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 30. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Có bao
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số gx f  2
x 8x  m có 5 điểm cực trị ? A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.
Vấn đề 4. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 31. Cho hàm số f x xác định trên  và có đồ thị f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số
g x  f x x đạt cực đại tại
A. x  1. B. x  0. C. x  1. D. x  2.
Câu 32. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số như hình bên.
Hàm số gx f  2
x 3x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 33. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số      2 g x f x  
 có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Câu 34. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm
số gx f  f x 
 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số
điểm cực trị của hàm số gx f x f x  2 3 . A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 36. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số gx f x 4
có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 37. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số như hình bên.
Đồ thị hàm số hx 2 f x3 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 5. C. 7. D. 9.
Câu 38. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  x  2018 là A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 39. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  x 2 là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 40. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên.
Đồ thị hàm số gx f  x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm f ux.  
Câu 41. Cho hàm số y  f x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Hàm số gx 3 f x1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ? A. x  1 . B. x  1. C. x  1 . D. x  0 .
Câu 42. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số gx f  2 x  
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 43. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số gx f 3 x. A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.
Câu 44. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như sau x  1 3  f 'x  0  0  f x 2018  2018 
Hỏi đồ thị hàm số gx f x 20172018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 45. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Hỏi số điểm cực trị của hàm số gx f  x  nhiều nhất là bao nhiêu ? A. 5. B. 7. C. 11. D. 13.
Vấn đề 6. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux,m.  
Câu 46. Cho hàm bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số gx f xm có 3 điểm cực trị là
A. m  1 hoặc m  3.
B. m  3 hoặc m 1.
C. m  1 hoặc m  3.
D. 1 m  3.
Câu 47. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Đồ thị hàm số gx f x2m có 5 điểm cực trị khi    
A. m 4;  11 . B. 11 m  2; . C. 11 m 2; . D. m  3.  2     2 
Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số m m để hàm số 3 2
y  x 3x 9x 5  có 5 2 điểm cực trị bằng A. 2016. B. 496. C. 1952. D. 2016.
Câu 49. Cho hàm số bậc bốn y  f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số gx f (x)m có 5 điểm cực trị. m  2
A. 2  m  2. B. m  2. C. m  2. D.  . m  2 
Câu 50. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương
của tham số m để hàm số gx f x 2018m có 7 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 51. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số gx f x   2
2018  m có 5 điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 52. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 4;4 để hàm số gx f x   1  m có 5 điểm cực trị ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 7.
Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y  f x. Với m  1 thì hàm số gx  f  x m  có
bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 54. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số gx f  x m có 5 điểm cực trị. A. m  1. B. m  1. C. m 1. D. m 1.
Câu 55. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   2
h x  f x f x m có đúng 3 điểm cực trị. A. 1 m  . B. 1 m  . C. m 1. D. m 1. 4 4
Vấn đề 7. Cho biểu thức f x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị
Câu 56. Hàm số y  f x có đúng ba điểm cực trị là 2;1 và 0. Hàm số gx f  2 x 2x
có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 57. Cho hàm số f x 3
 x  m   2 2
1 x 2mx  2 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để hàm số gx f  x  có 5 điểm cực trị. A. 5 2  m  . B. 5   m  2.
C. 5  m  2.
D. 5  m  2. 4 4 4 4
Câu 58. Cho hàm số f x 3 2
 mx 3mx 3m 2x  2m với m là tham số thực. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để hàm số gx f x có 5 điểm cực trị ? A. 7. B. 9. C. 10. D. 11.
Câu 59. Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có đồ thị nhận hai điểm A0;  3 và B2; 
1 làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x 2 2
 ax x bx  c x  d . A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. a   0 
Câu 60. Cho hàm số   3 2 
f x  ax  bx  cx  d với ,
a b, c, d   và d   2018 .
abc d 20180 
Hàm số gx f x2018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 
 8  4a 2b  c  0
Câu 61. Cho hàm số   3 2
f x  x  ax  bx  c với ,
a b, c   và  . Hàm số 8
  4a  2b  c  0 
g x  f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. m  n  0
Câu 62. Cho hàm số f x 3 2
 x  mx  nx 1 với ,
m n   và  . Hàm số 7   2 
2m n 0 
g x  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 5. C. 9. D. 11. Câu 63. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d đạt cực trị tại các điểm x , x thỏa mãn 1 2
x  1;0 , x  1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng x ;x . Đồ thị hàm số cắt trục 1 2  2   1  
tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. a  0, b  0, c  0, d  0. B. a  0, b  0, c  0, d  0. C. a  0, b  0, c  0, d  0. D. a  0, b  0, c  0, d  0.
Câu 64. Cho hàm số    4 2 y
f x  ax  bx  c biết a  0, c  2018 và a  b  c  2018. Số cực
trị của hàm số gx f x2018 là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 65. Cho hàm số    4   4  m 1 2    2 1 2 . 4  4m f x m x m x
16 với m là tham số thực.
Hàm số gx f x1 có bao nhiêu điểm cực tri ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 7.
---------- HẾT ---------- HÀM SỐ 2 VẬN DỤNG CAO
Phần 3. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx  
Câu 1. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là GTLN –
GTNN của hàm số gx f   4 4
2 sin x cos x   . Tổng  
M  m bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 2. Cho hàm số y  f x liên tục trên R và có đồ
thị là hình bên. Gọi M , m theo thứ tự là GTLN –
GTNN của hàm số y  f x 3
2 3 f x22 5
trên đoạn 1;3. Tích M.m bằng A. 2. B. 3. C. 54. D. 55. 1
Câu 3. Cho hàm số y  f x liên tục, có đạo hàm trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Ký hiệu gx f 2 2x  1x  . m Tìm
điều kiện của tham số m sao cho max gx 2min gx. 0  ;1 0  ;1 A. m  4. B. m  3.
C. 0  m  5.
D. m  2.
Câu 4. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ bên. Xét hàm số gx f  3 2x  x   1  . m Tìm
m để max g x  10. 0  ;1 A. m  13. B. m  12.
C. m  1. D. m  3.
Câu 5. Cho hàm số y  f x liên tục, đạo hàm trên  và đồ thị
y  f x như hình vẽ bên. Ký hiệu
g x  f  3 2
x  x  x  23 ,
m với m là tham số thực. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2
P  m  3max g x 4 min gx m 0  ;1 0  ;1 A. 150. B. 102. C. 50. D. 4.
Vấn đề 2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số f x, f  x  , f x
Câu 6. Cho hàm số   2 x m f x 
với m là tham số thực và m 1. Tìm tất cả các x 1
giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;4 nhỏ hơn 3.
A. m 1;  3 .
B. m 1;3 5 4. C. m 1; 5.
D. m 1;3.
Câu 7. Gọi M , m lần lượt là GTLT–GTNN của hàm số 3 2
y  x  3x  a
 2x a 3 (với m  M
a là tham số thực) trên đoạn 12a;2a 3. Tính P  . 2 A. P  1. B. 3 P  . C. P  3. D. P  6. 2 Câu 8. Cho hàm số ax  b y  với a  0 và ,
a b là các tham số thực. Biết max y  6, 2 x  2 2 2 a b
min y  2. Giá trị của biểu thức P  bằng 2 a A. 3. B. 1  . C. 1. D. 3. 3 3 2
Câu 9. Biết hàm số y  f x liên tục trên  và có M, m lần lượt là GTLN-GTNN
của hàm số trên đoạn 0;2. Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và
GTNN trên đoạn 0;2 tương ứng là M và m ?   A. 4x y  f    .
B. y  f  2sin x cos x. 2 x 1
C. y  f   3 3
2 sin x  cos x.
D. y  f  2
x  2  x .
Câu 10. Cho hai hàm số y  f x, y  gx liên tục và có đạo hàm trên đoạn 1;  1
thỏa mãn f x 0, gx 0
 với mọi x 1; 
1 và f x gx 0 với mọi x 1;  1 .
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số hx f x gx 2 2
 g x trên đoạn 1;  1 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng ? h  1  h  1
A. m  h 
1 . B. m  h0.
C. m  h  1 . D. m  . 2
Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 x  2
3x 72x  90  m trên đoạn
5;5 bằng 2018. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?
A. m 1618.
B. 1600  m 1700. C. m  400.
D. 1500  m 1600.
Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất
của hàm số f x 1 19 4 2  x 
x  30x  m 20 trên đoạn 0;2 không vượt quá 20. 4 2
Tổng các phần tử của S bằng A. 195. B. 105. C. 210. D. 300.
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x 1 1 4  x   2 m 2 3 2 2
x m x  m trên đoạn 0;2 luôn bé hơn hoặc bằng 5 ? 4 3 A. 0. B. 4. C. 7. D. 8.
Câu 14. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   4 3 2 a
f x  x  4x  4x 
trên đoạn 0;2. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3
7;4 sao cho M  2m ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 10.
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f x 2
 x  2x  m 4 trên đoạn 2;  1 bằng 4 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 x  4 x f x e
e  m trên 0;ln 4 bằng 6 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 3
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
  x mx m f x 
trên đoạn 1;2 bằng 2 ? x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 18. Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 2
 x 3x  m trên đoạn 2;3 bằng 2. Tổng các phần tử của tập S bằng A. 0. B. 20. C. 24. D. 40.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  x  4x  3  4mx lớn hơn 2 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 20. Cho hàm số f x 3 2
 x 3x  .
m Có bao nhiêu số nguyên m 10 để với mọi bộ ba số thực ,
a b, c 1;3 thì f a, f b , f c
là độ dài ba cạnh một tam giác ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 21. Cho hàm số f x 3
 x 3x  m  2. Có bao nhiêu số nguyên dương m  2018
sao cho với mọi bộ ba số thực phân biệt ,
a b, c 1;3 thì f a, f b , f c là độ dài ba
cạnh một tam giác nhọn ? A. 1968. B. 1969. C. 1970. D. 2008.
Vấn đề 3) Cho biết hàm số f x đạt GTLN (GTNN) tại x a;b. Hỏi trên khoảng 0
c;d hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào
Câu 22. Cho hàm số   4 2
f x  ax  bx  c a  0 có min f x  f   1 . Giá trị nhỏ ;0  
nhất của hàm số f x trên đoạn 1  ;2 bằng 2    A. a a c  8 . a B. 7 c  . C. 9 c  . D. c  . a 16 16
Câu 23. Biết hàm số f x m  x  4  mn  x  2 1 1 2 1
1 8m  4n đạt giá trị  
lớn nhất trên khoảng  ;
 0 tại x  3 . Hỏi trên đoạn 1
 ;3 hàm số đã cho có giá 2   
trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
Câu 24. Cho hàm số f x x  2  2 2
ax  2ax a b   1 8a  4 .
b Biết rằng trên   khoảng 5  ;     
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  3. Hỏi trên đoạn 1;3  2
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào ? A. x  1. B. 1 x  . C. x  2. D. x  3. 2 4
Câu 25. Cho hàm số f x 3
 ax  cx  d a  0 có min f x  f 2. Giá trị lớn ; 0
nhất của hàm f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 16 . a B. d 11 . a
C. 2a  d.
D. 8a  d.
Vấn đề 4) Bài toán tìm tham số m để GTLN của hàm số đạt GTNN
Câu 26. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số f x 2
 x  2x  m 4 trên đoạn 2; 
1 đạt giá trị nhỏ nhất. A. m  1. B. m  2. C. m  3. D. m  4.
Câu 27. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 2
 x  x  2 m  
1 x  4m 7 trên
đoạn 0;2 đạt giá trị nhỏ nhất khi m  m . Khẳng định nào sau đây đúng ? 0
A. m  3;2 . B. m  2;1 .
C. m  1;0 . D. m  0;3 . 0   0   0   0  
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
  x m m f x 
trên đoạn 1;2 đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 A. 1   m  . B. 1 7 m  . C. 5 165 m  . D. m  2. 2 2 10
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số  f x ln x 1   m trên đoạn 2 1;  e    2 ln x 1  có giá trị nhỏ nhất là A. 2 1    . B. 2 1. C. 1 2 . D. 1 2 . 2 4 2 4
Câu 30. Cho hàm số f x 2
 2x  x  x  
1 3 x  m với m là tham số thực. Khi
giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì khẳng định nào sau đây đúng ?
A. m 0;  1 .
B. m 1;2.
C. m 2;  3 .
D. m 3;4.
Vấn đề 5) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx  
Câu 31. Cho hàm số y  f x có đạo
hàm f x liên tục trên  và đồ thị của
hàm số f x trên đoạn 2;6 như hình
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. max f x f   1 . 2;6
B. max f x f 2. 2;6
C. max f x f 6.
D. max f x max f   1 , f 6. 2;6 2;6 5
Câu 32. Cho hai hàm số y  f x và y  gx liên tục trên 
có đồ thị hàm số y  f x là đường cong nét đậm và
y  gx là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm ,
A B, C của đồ thị y  f x và y  gx trên hình vẽ
lần lượt có hoành độ là ,
a b, c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số hx  f x gx trên
đoạn a;c bằng A. h0.
B. ha.
C. hb.
D. hc.
Câu 33. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Biết rằng f 0 f  
3  f 2 f   5 . Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn0;5 lần lượt là
A. f 0 f  ;  5 .
B. f 2 f  ; 0. C. f   1 f  ;  5 .
D. f 2 f  ;  5 .
Câu 34. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Biết rằng f 0 f  
1 2 f 2  f 4 f   3 .
Hỏi trong các giá trị f 0, f   1 , f  
3 , f 4 giá trị nào là
giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x trên đoạn 0;4 ? A. f 0. B. f   1 . C. f   3 . D. f 4.
Câu 35. Cho hai hàm số y  f x, y  gx có
đạo hàm là f x , gx. Đồ thị hàm số y  f x
và y  gx được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f 0 f 6 g0 g6. Giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số hx f x gx trên đoạn 0;6 lần lượt là
A. h6, h 2.
B. h2, h 6.
C. h0, h 2.
D. h2, h 0.
Câu 36. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Xét hàm số gx f xx  2 2 1 , mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. max gx g  1 .
B. max gx g  3 . 3;3 3;3
C. min gx g  1 . 3;3
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của gx trên 3;3. 6
Câu 37. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình vẽ bên. Xét hàm gx f x 1 3 3 3 2
 x  x  x  2018, 3 4 2
mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. min gx g  3 .
B. min gx g  1 . 3  ;1 3  ;1 g   3  g   1
C. min gx g  1 .
D. min gx . 3  ;1 3  ;1 2
Câu 38. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Xét hàm gx f x 3 2
 2x 4x 3m 6 5
với m là tham số thực. Để gx 0 với mọi x  5; 5   ,   
khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 2 m  f  5.
B. m  f  5. 3 3 C. 2 2 m 
f 02 5.
D. m  f  54 5. 3 3
Câu 39. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên 2;2 và
đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên. Đặt gx f x x.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. g0 g2 g2.
B. g2 g0 g2.
C. g2 g2 g0.
D. g0 g2 g2.
Câu 40. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số
g x  f x 3 3
 x 15x 1 trên đoạn 0;3 là A. g0. B. g  1 . C. g2. D. g  3 . 7
Phần 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước
Câu 1. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong
hình bên. Đồ thị hàm số  g x x 2  có tất cả bao nhiêu f x1
đường tiệm cận đứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 2. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường
cong hình bên. Đồ thị hàm số   2018x g x  có tất cả
f x f x1  
bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 9.
Câu 3. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx 2018   2019 có tất cả bao f x
nhiêu đường tiệm cận ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 4. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong 2
hình bên. Đồ thị hàm số  g x x 1  có tất cả bao 2
f x4 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 5. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong x   1  2 x   1
hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả bao 2
f x2 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường x x   1 x  2 1
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả 2
f x 2 f x
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 8
Câu 7. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có đồ 3
thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x  x g x  có bao 3
4 f x9 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Câu 8. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x g x  có 2
f x f x2
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 9. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường
 2x 3x 2 x 1
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx 2 x  f 
x f x  
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 10. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong
 2x 4x   2 3 x  x
hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả 2 x  f 
x2 f x  
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 11. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   g x x 2 x 1  có bao 3
4 f x9 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 12. Cho hàm bậc bốn y  f x liên tục trên  và có đồ 2
thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   
g x 2x
5x 4x 2x 1  2
f x11 f x 28
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 9
Câu 13. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị x   1 x 2 2
2 x 3x 1
hàm số gx
có bao nhiêu đường tiệm 2
f x6 f x5 cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 14. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình
vẽ. Đồ thị hàm số  
10x  9  52x g x  có bao nhiêu 2
8 f x13 f x
đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 15. Cho hàm bậc ba y  f x có đồ thị như hình. Đồ thị hàm f x số gx
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? x  2  2 1 x  4x   3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Vấn đề 2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên
Câu 16. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng
biến thiên như hình bên. Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số   1 g x 
có ba đường tiệm cận đứng ?
f xm A. m  5. B. m  5.
C. 5  m  4.
D. 5  m  4.
Câu 17. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã
cho có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ tính đường tiện
đứng và đường tiệm cận ngang) ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 18. Hàm số y  f x xác định và có đạo hàm trên  \1; 
1 , có bảng biến thiên như hình bên. Gọi k, l
lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số gx 1 
. Tính k  l. f x1
A. k  l  2.
B. k  l  3.
C. k  l  4.
D. k  l  5. 10
Câu 19. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng
biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số gx 1  có 2 f x1
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 20. Cho hàm số bậc ba y  f x có bảng biến thiên 2
như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x 2x g x  có bao 2 f x4
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 21. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
f 3 x2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 22. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
f 3 x4 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 23. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ? 2 log f x  4 2   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 24. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 2018 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ? 2 f x e e A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 11
Câu 25. Cho hàm số bậc ba y  f x có bảng biến
thiên như hình. Đồ thị hàm số   
g x 2x 7 3 4x 5  f x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Vấn đề 3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số
Câu 26. Cho hàm số y  f x thỏa mãn lim f x 1 và lim f x . m Tìm tất cả x  x 
các giá trị thực của tham số 1
m để đồ thị hàm số y  có duy nhất một tiệm f x 2 cận ngang. A. m  1. B. m  2.
C. m  1;2.
D. m  1;2.
Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên của tham số thực m 3;6 để đồ thị hàm số x 1 y 
có đúng 4 đường tiệm cận ? 2
2x 2x m  2  x 1 A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.
Câu 28. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của 1 x 1
m để đồ thị hàm số y  có 2
x  mx 3m
đúng hai tiệm cận đứng. A. m  ;
 120;.
B. m 0;.     C. 1 m  0; .   D. 1
m  0; .  2  2 2
Câu 29. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của 12  4x  x
m để đồ thị hàm số y  có 2
x 6x  2m
đúng hai tiệm cận đứng.     A. 9 m  4;   . B. 9
m  4; .
C. m 8;9.
D. m 0;9. 2     2 Câu 30. Cho hàm số 1 y 
. Tìm tất cả các giá trị thực của 2 x   2m  
1 x  2m x m  
tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.    
A. m 0;  1 .
B. m 0;  1 . C. m   1 0;1 \      . D. m   1 ;1 \    . 2   2   12 2
Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên 2x  mx 1
m 1;3 để đồ thị hàm số y  có x  2 1
đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số 2
y  ax  4x 1 có tiệm cận ngang ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y  có hai tiệm cận ngang. 2 mx 1 A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  . 
Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị hàm số x 3 y 
có đúng một tiệm cận ngang ? 2 x  mx  4 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị hàm số 2 3x mx 1 
x 2018m 2 x 1 y e   có hai tiệm cận ngang ? A. 2016. B. 2017. C. 2018. D. 2019.
Phần 5. TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Vấn đề 1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức
Câu 1. Cho hàm số gx 2
 x 1 và hàm số f x 3 2
 x 3x 1. Tìm m để phương
trình f gx m  0  
có 4 nghiệm phân biệt.
A. 3  m  1. B. 3  m  1.
C. 3  m  1. D. m  1.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình     3 3 f f x
m  x m có nghiệm x 1;2 biết f x 5 3
 x 3x 4m . A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.
Câu 3. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình bậc ba 3 2
x 3x  21mx 16  2m  0 có nghiệm nằm trong đoạn 2;4. A. 11 m  .
B. 20  m  8. C. m  8.
D. 11  m  8. 2 3 2
Câu 4. Cho hàm số f x 3 2
 x  ax bx  c. Nếu phương trình f x  0 có ba nghiệm
phân biệt thì phương trình
        2 2 f x f x f x  
 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 13
Câu 5. Biết rằng đồ thị hàm số    4 3 2 y
f x  ax  bx  cx  dx  e (với ,
a b,c,d,e   và a  0; 0
b  ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số
g x   f x 2  f  x. f x  0  
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ? A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
Vấn đề 2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên
Câu 6. Cho hàm số y  f x liên tục trên  \0
và có bảng biến thiên như hình bên. Gọi h là số
nghiệm của phương trình f x  3 và k là số
nghiệm của phương trình f  x   3 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. h  k  4.
B. h  k  6.
C. h  k  7.
D. h  k  8.
Câu 7. Cho hàm số y  f x liên tục trên  \0
và có bảng biến thiên như hình bên. Với m là tham
số thực bất kỳ, phương trình f  x m  0 có
nhiều nhất bao nhiêu nghiệm ? A. 3. B. 5 C. 6. D. 7.
Câu 8. Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn
1;8, biết f   1  f  
3  f 8  2 và có bảng biến
thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình f x f m có ba
nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;8 ? A. 1. B. 7. C. 8. D. 9.
Câu 9. Cho hàm số ux liên tục trên 0;5 và có bảng biến
thiên như hình. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương
trình 3x  102x  .
m ux có nghiệm trên đoạn 0;5 ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 10. Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1;3
và có bảng biến thiên như hình. Tổng các giá trị m   sao cho phương trình    m f x 1  có hai 2 x 6x 12
nghiệm phân biệt trên đoạn 2;4 bằng A. 297 . B. 294 . C. 75 . D. 72 . 14
Vấn đề 3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị
Câu 11. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như
hình vẽ bên. Hỏi phương trình  f x 2  4   có bao nhiêu nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 12. Cho hàm số y  f x xác định trên .  Đồ thị hàm
số y  f x cắt trục hoành tại ba điểm ,
a b, c (a  b  c)
như hình vẽ. Biết f b 0, hỏi đồ thị hàm số y  f x cắt
trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 13. Cho hàm số y  f x xác định trên .  Đồ thị hàm
số y  f x cắt trục hoành tại ba điểm ,
a b, c (a  b  c)
như hình vẽ. Biết f a 0, hỏi đồ thị hàm số y  f x cắt
trục hoành nhiều nhất bao nhiêu điểm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 14. Cho hàm số y  f x 3 2
 x 6x  9x 3 có đồ thị
như hình vẽ. Phương trình  f x 3   f x 2 6
 9 f x3  0     có bao nhiêu nghiệm ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Câu 15. Cho hàm số y  f x 3 2
 x 3x  2 có đồ thị như
hình vẽ. Phương trình x  x  3  x  x  2 3 2 3 2 3 2 3 3 2  2  0
có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. 15
Câu 16. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình f  f x  0  
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Câu 17. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f  f x 1.  
Khẳng định nào sau đây đúng ? A. m  3. B. m  4. C. m  7. D. m  9.
Câu 18. Cho hàm số f x 3 2
 x 3x  4 có đồ thị như hình
f  f x
vẽ bên. Hỏi phương trình    1 có bao nhiêu 2
3 f x5 f x 4 nghiệm thực ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
Câu 19. Cho hàm bậc bốn y  f x có đồ thị như hình bên.
Phương trình f  f 
x 2  f 
x1 có bao nhiêu nghiệm   A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình bên. Hỏi có
bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm
của phương trình f  f cos2x  0   ? A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. D. Vô số. 16
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi
phương trình f  f cos x1  0  
có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;2 ? A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 22. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị hàm số như hình vẽ
bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình f  2
x  4x 32. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Cho hàm số y  f x xác định trên  và có đồ thị
như hình bên. Hỏi phương trình f  x   1 2   có bao nhiêu 2 nghiệm ? A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 24. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình f  3 2
x 1  3  0 có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 1 ? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 25. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m để phương trình f  2
x 2x m có đúng 4 nghiệm thực   phân biệt thuộc đoạn 3 7  ;  ?  2 2   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 26. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Với
m là tham số thực bất kì thuộc đoạn 0;5, hỏi phương trình f  3 2
x  x  6x 2m  5m có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 17
Câu 27. Cho hàm số y  f x liên tục và có đạo hàm trên  , có
đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số bất kì thuộc 0;  1 . Phương trình f  3 2
x 3x  3 m  4 1m có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 9.
Câu 28. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
f 6 sin x 8cos x  f mm  
1  có nghiệm x   ? A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  m
f 2 sin x   f     
có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn    ;2 ?  2  A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 30. Cho hàm số y   2 x  
1 . f x liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình   x f x 
thuộc khoảng nào sau đây ? 2 x 1 A. 0;2. B. 1;  3 . C. 2;4. D. 3;  5 .
Câu 31. Cho hàm số gx x 2. f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi với m thuộc khoảng nào dưới đây
thì phương trình f x x 2  m có nhiều nghiệm nhất ? A. 2;0. B. 0;  1 . C. 1;2. D. 0;2.
Câu 32. Cho hàm số y  x  
1 . f x xác định và liên tục trên
 và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 2
y  m m cắt đồ thị hàm số y  f x x 1 tại hai
điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn 1;  1 . A. m  0.
B. m 1 hoặc m  0. C. m 1.
D. 0  m 1. 18
Câu 33. Hình bên là đồ thị của hàm số 3 2
y  2x 3x . Sử dụng
đồ thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2 x  x  2
x   m 2 16 12 1 x  3 1 có nghiệm.
A. 1 m  0.
B. 1 m  4.
C. 1 m  4. D. Với mọi . m
Câu 34. Hình bên là đồ thị của hàm số 3 2
y  x  3x . Sử dụng đồ
thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 3
3x 3  x  m có hai nghiệm thực âm phân biệt.
A. 1 m 1.
B. 1 m 1.
C. 1 m 1. D. m  4.
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ. Tồn tại bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2x  3 x  .
m f x có nghiệm trên đoạn 0;3 ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 19 HAØM SOÁ (hàm ẩn) Vận dụng cao
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux. 
 …………………….….………. 02
2. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux  gx  
…………….…….…. 14
3. Cho bảng biến thiên f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.   ………………. 17
4. Cho biểu thức f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux. 
 ………….………………. 18
5. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 đồng biến, nghịch biến…..….. 21
Phần 2. Cực trị của hàm số
Kí hiệu f ux 
 là các hàm số hợp; hàm tổng, hàm chứa trị tuyệt đối.
1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux. 
 …………………………….………. 23
2. Cho biểu thức f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux. 
 ………………………..……. 31
3. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị……………..….. 34
4. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux. 
 ………………………………….…… 36
5. Cho bảng biến thiên của hàm f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.   …… 42
6. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux,m. 
 ……………………….……….… 44
7. Cho biểu thức f x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị……………..….. 49 1
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 1. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình
bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f x đồng biến trên 2;  1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên 1;
C. Hàm số f x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
D. Hàm số f x nghịch biến trên  ;  2.
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y  f 'x ta thấy: 2  x 1
● f 'x 0 khi   
đồng biến trên các khoảng , .  f x 2;  1 1; x 1  Suy ra A đúng, B đúng.
● f 'x 0 khi x 2 
 f x nghịch biến trên khoảng  ;
 2 . Suy ra D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f 32x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 0;2. B. 1;  3 . C.  ;    1 . D. 1;. 2  x  2
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f x 0   . x  5 
Ta có gx 2 f 32x. 1 5
2  32x  2  Xét    x 
g x  0  f 32x 0    2 2 . 32x  5   x  1   
Vậy gx nghịch biến trên các khoảng 1 5  ;   và  ;    1 . Chọn C. 2 2  5 x   2 32x  2   Cách 2. Ta có 
gx   f   x
theo do thi f 'x 1 0 3 2
 0 32x  2  x  .   2 32x  5   x  1   Bảng biến thiên 2
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.  
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ ta chọn 1 x  0    1; ,  suy ra 32x  3  2
theo do thi f 'x
 f 32x  f  
3  0. Khi đó g0   f   3  0.
Nhận thấy các nghiệm của gx là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f 12x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 1;0. B.  ;  0. C. 0;  1 . D. 1;. x  1
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f x 0   . 1   x  2 
Ta có gx 2 f 12x. x 1 1  2x  1 
Xét gx 0  f 12x 0     1 . 1  12x  2   x  0   2  
Vậy gx đồng biến trên các khoảng 1   ;0 
và 1;. Chọn D.  2  x  1 1 2x 1        x  0  1  2x 1 
Cách 2. Ta có gx   f   x
theo do thi f 'x  1 0 2 1 2  0   . 1  2  2 x x     2  1 
 2x  4nghiem kep  3  x    2 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ chọn x  2 1;, suy ra 12x  3
theo do thi f 'x
 f 12x  f  
3  0. Khi đó g2  2 f   3  0. 3 Nhận thấy các nghiệm 1
x   ; x  0 và x  1 của gx là các nghiệm đơn nên qua nghiệm 2 đổi dấu; nghiệm 3
x   là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu. 2
Câu 4. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới. Hàm số   2 x g x f
 e  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A.  ;  0. B. 0; . C. 1;  3 . D. 2;  1 . x  0
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có f x 0   . x  3  2 x  e  0 Xét gx x
 e . f 2 x
 e ; gx 0  f 2 x  e 
theo do thi f 'x  0    x  0.  2 x  e  3  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số gx nghịch biến trên  ;
 0. Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới Hàm số   3 2  2 f x g x  
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?     A. 1  ;    .    B. 1   ;1. C. 1;2. D.  ;   1 .  2  2  x  1
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f x 0   . 1   x  4 
Ta có gx 2 f 32x f 32x .2 .ln 2. 4 x  2 32x  1 
Xét gx 0  f 32x 0      1 . 1   32x  4   x 1   2  
Vậy gx đồng biến trên các khoảng 1   ;1, 
2;. Chọn B.  2  x  2 32x  1   
Cách 2. Ta có gx  f   x
theo do thi f 'x 1 0 3 2
 0 32x  4  x   .   2 32x 1   x  1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Câu 6. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  3 x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 .
B. 1;2. C. 2;  3 . D. 4;7. 1 x 1 x  1
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f x 0   và      f x 0 . x  4  1   x  4  1 x 3 1 2  x  4
 Với x  3 khi đó g x  f x   3 
 gx  f x   3  0     x 3  4 x  7   
 hàm số g x đồng biến trên các khoảng 3;4, 7;.
 Với x  3 khi đó g x  f 3 x 
 gx   f 3 x 0  f 3 x 0 3 x  1 x  4 loaïi     1   3 x  4   1 x  2  
 hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;2. Chọn B.
Câu 7. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình
bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 . B. 1;. C. 1;0. D. 0;  1 .
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x . 5 x  0    x  0     f    2 x     2 2 0 1 x  0  x 1
Hàm số gx đồng biến  gx 
theo do thi f 'x  0       x  0  x  0         f    2 x  2 2  0
x 1  0  x 1     x 1   . Chọn C. 1 x  0  x  0  2 x  0
x  1 x  0
Cách 2. Ta có gx theo do thi f '  x  0       f    . 2 x   2  0 x  0 x  1    2 x  1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;
 x  1;  x  0.   1  x    2 1;  x 1 . Với 2
theo do thi f 'x
x   f  2 1 x  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra gx  xf  2 2
x  0 trên khoảng 1; nên gx mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm của gx là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 8. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 1;0. D. 1;2.
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x . x  0    x  0     f    2 x     2 2 0 1 x 1  x  4
Hàm số gx đồng biến  gx 
theo do thi f 'x  0       x  0  x  0         f    2 x  2 2  0
x 1  1 x  4     0  x 1  x  2   . Chọn B. 2  x 1  x  0  x  0 2 x  0 x  1 
Cách 2. Ta có gx theo do thi f '  x  0         f    x 1. 2 x   2  0 x  1     x  2 2  x  4  Bảng biến thiên 6
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
 x  2;  x  0.   1  x    2 2;  x  4 . Với 2
theo do thi f 'x
x   f  2 4 x  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra gx  xf  2 2
x  0 trên khoảng 2; nên gx mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm của gx là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 9. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới Hàm số    3 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;    1 . B. 1;  1 . C. 1;. D. 0;  1 .
Lời giải. Ta có gx 2  x f  3 3 x ; 2 x  0  2   3 x  0 x  0 x  0 gx 
theo do thi f 'x  0         f  . 3 x  3  0 x  1 x  1    3 x 1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 10. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Đặt gx f  2
x 2. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số gx đồng biến trên khoảng 2;.
B. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng 0;2.
C. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng 1;0.
D. Hàm số gx nghịch biến trên khoảng  ;  2.
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x 2; 7 x  0 x  0 x  0   gx theo do thi f '  x  2  0           f    x 2 1 nghiem kep x 1. 2 x 2     0    2     x  2 x 2 2   Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 11. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hỏi hàm số gx f  2 x  
5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x   5 ; x  0 x  0   2 x  0 x 5  4 x  1 g x theo do thi f '  x 0         f    . 2 x    2 5  0 x 5  1 x  2     2 x 5  2 x   7   Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 12. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số gx f  2
1 x  nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 1;2 . B. 0; . C. 2;  1 . D. 1;  1 .  2  x  0  f    2 1 x  0
Lời giải. Ta có gx  xf  2 2
1 x . Hàm số gx nghịch biến  gx 0    .  2  x  0 f    2 1 x  0   8   2x  0 x  0   Trường hợp 1:      f    . 2 1 x  2  0 1
 1 x  2 : vo nghiem     2x  0 x  0   Trường hợp 2:       Chọn B.  f    x 0. 2 1 x  2 2  0 1
  x 11 x  2   x  0 x  0 
Cách 2. Ta có gx theo do thi f '  x 2  0         f  1 x 1 x 0. 2 1 x  0       2 1   x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ chọn x 10;.  x  1  2x  0.   1  2
x    x    f  2 1 1 0
1 x  f 0 theo do thi f 'x
 f 0  2  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra g 
1  0 trên khoảng 0;.
Nhận thấy nghiệm của gx 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 13. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số gx f  2
3 x  đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 2;  3 . B. 2;  1 . C. 0;  1 . D. 1;0. x  0  f    2 3 x  0
Lời giải. Ta có gx  xf  2 2
3 x . Hàm số gx đồng biến  gx 0    x  0 f    2 3 x  0   x  0     x  0      2   3    x  6 2    x  9    x  3    2    
 1 3 x  2 2  4  x 1   2  x 1
theo do thi f 'x          . Chọn D. x  0    x  0 3  x  2        2 
 6  3 x  1  2      1   x  0 4 x 9       2   3 x  2 2     x 1    x  0 x  0   2 x  0
3x  6 x  3
Cách 2. Ta có gx theo do thi f '  x  0       f    . 2 3 x   2  0 3 x  1 x  2    2  3 x  2 x  1   Bảng biến thiên 9
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 14. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Hỏi hàm số    2 g x
f x  x  nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ? A. 1;2. B.  ;  0.   C.  ;  2. D. 1  ;  .  2 
Lời giải. Ta có g x   x f  2 ' 1 2 x  x .  1  2x  0  f    2 x  x  0
Hàm số gx nghịch biến  gx 0    .  1  2x  0 f    2 x  x  0    1 1  2x  0 x    1  Trường hợp 1:        f    2 x . 2 x  x  0  2   2 2 x  x 1
 x  x  2   1 1  2x  0 x     Trường hợp 2:     f    2 . 2 x  x  0    2 1
  x  x  2 : vo nghiem 
Kết hợp hai trường hợp ta được 1
x  . Chọn D. 2  1 x   2 1  2x  0 
Cách 2. Ta có gx theo do thi f '  x 1 2  0          f    x x 1: vo nghiem x . 2 x  x  0  2 2 
x x  2 : vo nghiem   Bảng biến thiên 2   Cách 3. Vì 1 1 1 2
theo do thi f 'x
x  x  x 
     f     2
x  x  0.  2 4 4
Suy ra dấu của g 'x phụ thuộc vào dấu của 12x.
Yêu cầu bài toán cần g x 1 '  0 
12x  0  x  . 2 10
Câu 15. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới và
f 2  f 2  0
Hàm số      2 g x f x  
 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?   A. 3   1; .  B. 2;  1 . C. 1;  1 . D. 1;2.  2
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x, suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau
Từ bảng biến thiên suy ra f x 0, . x  
Ta có gx 2 f x. f x.
 f x 0 x  2
Xét gx 0  f x. f x 0      .
 f x 0 1   x  2  
Suy ra hàm số gx nghịch biến trên các khoảng  ;
 2, 1;2. Chọn D.
Câu 16. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới và
f 2  f 2  0.
Hàm số gx  f   x 2 3  
 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 2;  1 . B. 1;2. C. 2;  5 . D. 5;.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x, suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau 11
Từ bảng biến thiên suy ra f x 0, . x  
Ta có gx 2 f 3 x. f 3 x.
 f 3 x 0 2  3 x 1 2     x  5
Xét gx 0  f 3 x. f 3 x 0        .
 f 3x 0 3 x  2 x 1   
Suy ra hàm số gx nghịch biến trên các khoảng  ;   1 , 2;  5 . Chọn C.
Câu 17. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  2x 2x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;
 12 2. B.  ;   1 . C. 1;2 2   1 . D. 2 2 1;   . x  1 
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f x 0  x 1 .  x  3  Ta có  gx x 1  f  2
x  2x  2 ; 2  x  2x  2 x 1  0
x  1 nghiem boi ba x 1  0     
gx  0     f x
  x  x    x    f
x  2x  2 theo do thi '  2 2 2 1 1 2 2 . 2  0   2 
 x 2x 2  3 x  12 2  
Lập bảng biến thiên và ta chọn A.
Chú ý: Cách xét dấu gx như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;12 2 ta chọn x  0. Khi đó g  1 0 
f  2 0 vì dựa vào đồ thị f x ta thấy tại x  2 1; 
3 thì f  2 0. 2
Các nghiệm của phương trình gx 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. 12
Câu 18. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f  2 2
x  2x  3  x  2x  2 đồng biến trên khoảng nào sau đây ?     A.  ;    1 . B. 1  ;   .    C. 1  ;. D. 1;.  2 2   
Lời giải. Ta có gx x   1 1 1       f     2 2
x  2x  3  x  2x  2 . 2 2 
 x  2x 3
x  2x  2  1 1  
 0 với mọi x  .    1 2 2 x  2x  3 x  2x  2 1 1  2 2
0  u  x  2x  3  x  2x  2   1
x  2   x  2 2 1 1 2 1 1
theo do thi f 'x
 f u 0,x  .  2 Từ  
1 và 2, suy ra dấu của gx phụ thuộc vào dấu của nhị thức x 1 (ngược dấu) Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
Câu 19. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y
g x  f 'x 2 2 như hình vẽ bên. Hàm số y  f x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2   A. 1;  1 . B. 3 5  ; .  2 2 x 2 C.  ;  2.
D. 2;. O 1 3 -1
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f 'x 22  21 x  3.
Đặt t  x 2, ta được f 't2  21 t 2  3 hay f 't 01 t 1. Chọn A.
Cách khác. Từ đồ thị hàm số f 'x 22 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị
hàm số f 'x 2 (tham khảo hình vẽ bên dưới). 13 y x 2 O 1 3 -3
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f 'x 2 sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f 'x
(tham khảo hình vẽ bên dưới). y x -1 1 O 3 -3
Từ đồ thị hàm số f 'x , ta thấy f 'x 0 khi x 1;  1 .
Vấn đề 2. Cho đồ thị f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux  gx.  
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Đặt gx f x x, khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g2 g  1  g   1 . B. g  1  g   1  g 2. C. g  1  g   1  g 2. D. g  1  g   1  g 2.
Lời giải. Ta có gx f x1 
 gx  0  f x  1.
Số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x và
đường thẳng d : y  1 (như hình vẽ bên dưới). 14 x  1 
Dựa vào đồ thị, suy ra gx 0  x 1 .  x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên 
 g2 g  1  g   1 . Chọn C.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;, ta thấy đồ thị
hàm số nằm phía trên đường thẳng y  1 nên gx f x1 mang dấu .
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới
Hàm số gx f x 2 2
 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A.  ;  2.
B. 2;2. C. 2;4. D. 2;.
Lời giải. Ta có gx 2 f x2x 
 gx  0  f x  x.
Số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x và
đường thẳng d : y  x (như hình vẽ bên dưới). x  2 
Dựa vào đồ thị, suy ra gx 0  x  2 .  x  4 
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x 2;2 thì đồ thị hàm số f x nằm phía trên
đường thẳng y  x nên gx 0 ) 
 hàm số g x đồng biến trên 2;2. Chọn B. 15
Câu 22. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên. Hỏi hàm số
g x  f xx  2 2
1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 3;  1 . B. 1;  3 . C.   ;3 . D. 3;.
Lời giải. Ta có gx 2 f x2x   1 
 gx  0  f x  x 1.
Số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x và
đường thẳng d : y  x 1 (như hình vẽ bên dưới). x  3 
Dựa vào đồ thị, suy ra gx 0  x 1 .  x  3  x  3
Yêu cầu bài toán  gx 0  
(vì phần đồ thị của f 'x nằm phía trên đường 1   x  3 
thẳng y  x 1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình bên dưới 2 Hỏi hàm số    x g x f 1 x
 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2 16   A. 3;  1 . B. 2;0. C. 3   1; .  D. 1;  3 .  2
Lời giải. Ta có gx  f 1 x x 1.
Để gx 0  f 1 x x 1. Đặt t 1 x , bất phương trình trở thành f t t  .
Kẻ đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số f 'x lần lượt tại ba điểm x  3; x  1; x  3. t  3 1   x  3 x  4
Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình f t t        . 1   t  3 1  1 x  3 2  x  0   
Đối chiếu đáp án ta chọn B.
Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 24. Cho hàm số y  f x có bảng biên thiên như hình vẽ  
Hàm số gx 5 3 2
 f 2x  x    
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2 2         A. 1   1; .        B. 1  ;1. C. 5 1;  . D. 9  ;.  4 4   4 4  x  2
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f x 0   và  
f x 0  2  x  3. x  3   5   4x   0   2    5 3 2 
 f 2x  x     0    2 2       
Ta có gx 5 5 3 2  4x    f      2x  x 
 . Xét g x 0  .  2  2 2   5 4x   0   2   5 3  2  f   2x  x    0   2 2    17  5  5 4x   0   x  2    8 9      1 x  .   5 3  2 5 3    2 4
 f 2x  x    0 
 2  2x  x   3    2 2    2 2  5   x    8  5 3 x  1 2  5  2
 x  x   3  4x   0     2 2   2         .   5 3   2
 f 2x  x    0      5  1 5   2 2   x     x   8 4 8  5 3 2 2 
 x  x  2   2 2
Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.
Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên .
 Bảng biến thiên của hàm số
f x như hình vẽ   Hàm số   x g x  f 1      x 
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2  A. 4;2. B. 2;0. C. 0;2. D. 2;4.    
Lời giải. Ta có   1 x x
g x   f  1  
  1. Xét gx 0  f  1      2 2  2   2   x  x  TH1: f  1  
   2  2 1  3  4  x  2. 
Do đó hàm số nghịch biến trên 4;2.  2  2  x  x  TH2: f  1  
   2  11  a  0  2  2 2a  x  4 
nên hàm số chỉ nghịch biến  2  2
trên khoảng 22a;4 chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4.   Vậy hàm số   x g x  f 1      x 
nghịch biến trên 4;2. Chọn A.  2 
Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.
Vấn đề 4. Cho biểu thức f 'x. Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ux.  
Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f x 2
 x 2x với mọi x  .  Hàm số    x  g x  f 1      4x 
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2  A.  ;  6. B. 6;6. C. 6 2;6 2. D. 6 2;   . 2   2      
Lời giải. Ta có   1 x 1 x x 9 x g x   f 1      4    1        2 1            4   . 2 2 2  2   2  2 8   18 2 Xét 9 x 2 
 0  x  36 
6  x  6. Chọn B. 2 8
Câu 27. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  x  2 2 9 4 với mọi x  .  Hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 2;2. B.  ;    3 . C.  ;    3 0;  3 . D. 3;.
Lời giải. Ta có gx xf x  x x  x  2 2 5 2 2 2 2 9 4 ; x  0 
gx  0  2x x 9x 42 5 2 2
 0  x  3.  x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Hỏi số thực
nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số gx f  2
x 2x  2 ? A. 2. B. 1. C. 3 . D. 3. 2
Lời giải. Ta có gx x   f  2 2 1
x 2x  2    2x  
1 x 2x 2 2 1 
 x 2x22 2 2 2 2
x 2x  2   2x 5 1 x  4 1 1     .     x 
Xét x  5 x   4 0 1 2 1 1 1  0   .    x  2 
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 0;  1 , 2;.
Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số gx. Chọn B.
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2
1 x 2 với mọi x  .  Hàm số    5x  g x  f   
 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2 x  4 A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 0;2. D. 2;4. x  0 
Lời giải. Ta có f x 0  x x  2
1 x 2  0  x  1 .  x  2  19 2 205x  0   5x   x  2  0   2 2 x  4      x  0 Xét   20 5x 5x g x  f    ; 0 g x     5   x  . 2 2     2 x  4  x  4   1 x  1  nghiem boi chan 2  x 4  
x  4 nghiem boi chan  5x    2 2 x 4 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 4; ta chọn x  5 2 20 5x  x  5   0.   1 x 42 2 2 5x 25 25 25 25  25   x  5     f          1   2       2  0. 2 x 4 29 29 29 29  29  Từ  
1 và 2, suy ra gx 0 trên khoảng 4;.
Câu 30. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x  
1 x 4.t x với mọi x   và
t x 0 với mọi x  .
 Hàm số     2 g x
f x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ;  2. B. 2;  1 . C. 1;  1 . D. 1;2.
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x .
Theo giả thiết f x 2
 x x  x   t x   f  2 x  4  x  2 x   2
x   t  2 1 4 . 1 4 . x .
Từ đó suy ra gx 5  x  2 x   2
x   t  2 2 1 4 . x .
Mà t x x    t  2 0, x  0  ,
x   nên dấu của g 'x cùng dấu 5 x  2 x   2 2 1 x  4. Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Câu 31. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f 'x 1 xx 2.t x2018 với mọi x   và
t x 0 với mọi x  .
 Hàm số gx  f 1 x 2018x  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.   ;3 . B. 0;  3 . C. 1;. D. 3;.
Lời giải. Ta có g 'x  f '1 x2018. 20
Theo giả thiết f 'x 1 xx 2.t x2018 
 f '1 x  x 3 x.t 1 x 2018.
Từ đó suy ra g 'x x 3 x.t 1 x.
Mà t x 0, x     t   1 x 0,
x   nên dấu của g 'x cùng dấu với x 3 x.
Lập bảng xét dấu cho biểu thức x 3 x, ta kết luận được hàm số gx nghịch biến trên các khoảng  ;
 0, 3;. Chọn D.
Vấn đề 5. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 đồng biến, nghịch biến.
Câu 32. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Có bao nhiêu
số nguyên m 100 để hàm số gx f  2
x 8x  m đồng biến trên khoảng 4; ? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84. x  0
Lời giải. Ta có f x x  2 1  2
x 2x 0   . x  2 
Xét gx  x   f  2 2 8 .
x 8x  m. Để hàm số gx đồng biến trên khoảng 4; khi và
chỉ khi gx 0, 4 x 
 2x 8. f  2
x 8x  m 0, 4 x   f  2
x 8x  m 0, 4 x  2
x 8x m  0, x 4;    m 18.  2
x 8x  m  2, x 4; 
Vậy 18  m 100. Chọn B.
Câu 33. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2  2 1
x  mx  9 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số gx f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f  x  x x2  x  2 3 3 2 3 m3 x 9          .  
Ta có gx  f 3 x.
Để hàm số gx đồng biến trên khoảng 3; khi và chỉ khi gx 0, x  3;
 f 3 x 0, x  3;
3 x2 x2 3 x2 m3 x 9     
   0, x  3;      x  2 3  9  m  , x   3; x 3 x  2 3  9
 m  min hx với hx  . 3; x 3 x  2 3  9
Ta có hx  x   9   x   9 3 2 3 .  6. x 3 x 3 x 3 Vậy suy ra 6 m m    
 m  1;2;3;4;5;6. Chọn B.
Câu 34. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên 1; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. 21
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f  2 x  4  x  2 x   4 2
1 x  mx   5 .
Ta có gx xf  2 2 x .
Để hàm số gx đồng biến trên khoảng 1; khi và chỉ khi gx 0, x  1;  2xf  2 x  0, x 1 4  2x.x  2 x   1  4 2 x  mx   5  0, x 1 4 2
 x  mx 5  0, x 1 4 x  5  m   , x 1 2 x 4 x  5
 m  max hx với hx   . 1; 2 x 4 Khảo sát hàm  hx x 5  
trên 1; ta được max hx 2 5. 2 x 1; Suy ra 2 5 m m     
 m  4;3;2;  1 . Chọn B.
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  2  4 3 1
3x  mx   1 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số    2 g x
f x  đồng biến trên khoảng 0; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f x  x x  2 2 2 2  8 6 1
3x  mx   1 .
Ta có gx xf  2 2
x . Để hàm số gx đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi gx
x    xf  2 0, 0; 2
x  0, x  0;
 2x.x x  2 2 2 1  8 6
3x  mx   1  0, x   0; 8 6
 3x  mx 1 0, x  0; 8 3x 1  m   , 0; x   6   x 8 3x 1
 m  max hx với hx   . 0; 6 x 8 Khảo sát hàm  hx 3x 1  
trên 0; ta được max hx 4. 6 x 0; Suy ra 4 m m     
 m  4;3;2;  1 . Chọn B. 22
Phần 2. Cực trị của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y  f x. Số điểm cực trị của
hàm số y  f x là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số f x có 4 điểm chung với trục hoành x ; 0; x ; x nhưng 1 2 3
chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và x . 3 Bảng biến thiên
Vậy hàm số y  f x có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f 'x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và
băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số gx f  2 x   3 . A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có gx xf  2 2 x   3 ; x  0 x  0 x  0   gx theo do thi f '  x  2  0           f    x 3 2 x 1 . 2 x   3  0    2  
x 3  1 nghiem kep
x  2 nghiem kep   Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. 23
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
 x  2;  x  0.   1  x    2 2
theo do thi f 'x  x  
 x    f  2 2; 4 3 1 x   3  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra gx  xf  2 2 x  
3  0 trên khoảng 2; nên gx mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm x  1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ nên gx qua nghiệm đổi dấu;
các nghiệm x  2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x tiếp xúc với trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của y  f x như sau
Hỏi hàm số gx f  2
x 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có gx  x   f  2 2 2
x 2x; x  1 x  1   2 2x 2  0
x 2x  2      gx
theo BBT f 'x x 1 2  nghiem kep  0       f    . 2 x 2x 2  0
x 2x   1 nghiem kep  x  1    2 x 2x  3 x  3   Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;
 x  3;  2x 2  0.   1  x    2
theo BBT f 'x
 x  x   f  2 3; 2 3
x 2x 0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra gx   x   f  2 2 2
x 2x 0 trên khoảng 3; nên gx mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm x  1 và x  3 là các nghiệm bội lẻ nên gx qua nghiệm đổi dấu.
Câu 4. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên  và f 0 0, đồng thời đồ thị hàm
số y  f x như hình vẽ bên dưới 24
Số điểm cực trị của hàm số   2
g x  f x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x  2
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có f x 0   . 
x  1 nghiem kep 
Bảng biến thiên của hàm số y  f x x  2 
 f x 0
x 1 nghiem kep
Xét gx 2 f x f x; gx
theo BBT f x  0       . f  x  0
x  aa  2  
x  bb  0 
Bảng biến thiên của hàm số gx
Vậy hàm số gx có 3 điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0 1;b 
theo do thi f 'x
x  0  f 0 0.   1
 Theo giả thiết f 0  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra g0 0 trên khoảng 1;b.
Nhận thấy x  2; x  a;
x  b là các nghiệm đơn nên gx đổi dấu khi qua các nghiệm này.
Nghiệm x  1 là nghiệm kép nên gx không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến
thiên ta bỏ qua nghiệm x  1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của gx.
Câu 5. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f 'x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số gx f x 20172018x 2019 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có gx f 'x 20172018; gx 0  f 'x 2017 2018. 25
Dựa vào đồ thị hàm số y  f 'x suy ra phương trình f 'x 2017 2018 có 1 nghiệm đơn
duy nhất. Suy ra hàm số gx có 1 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 6. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hỏi hàm số gx f x x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ? A. x  0. B. x  1. C. x  2.
D. Không có điểm cực tiểu.
Lời giải. Ta có gx f x1; gx 0  f x 1.
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
f x và đường thẳng y  1. x  0 
Dựa vào đồ thị ta suy ra gx 0  x 1 .  x  2 
Lập bảng biến thiên cho hàm gx ta thấy gx đạt cực tiểu tại x 1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;
 0 ta thấy đồ thị hàm
f x nằm phía dưới đường y  1 nên gx mang dấu .
Câu 7. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới. 3
Hàm số gx f x x 2 
 x  x  2 đạt cực đại tại 3 A. x  1. B. x  0 . C. x  1. D. x  2 .
Lời giải. Ta có gx f x x  x 
gx   f x  x  2 2 2 1; 0 1 .
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
f x và parapol P y  x  2 : 1 . 26 x  0 
Dựa vào đồ thị ta suy ra gx 0  x 1 .  x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy gx đạt cực đại tại x 1. Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;
 0 ta thấy đồ thị hàm
f x nằm phía trên đường y  x  2
1 nên gx mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm x  0; 1 x  ;
x  2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm gx đổi dấu.
Câu 8. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hàm số gx f x 2 2
 x đạt cực tiểu tại điểm A. x  1. B. x  0. C. x  1. D. x  2.
Lời giải. Ta có gx 2 f x2x; gx 0  f x x.
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
f x và đường thẳng y  x. 27 x  1  x  0
Dựa vào đồ thị ta suy ra gx 0   .  x  1  x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy gx đạt cực tiểu tại x  0. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;    1 ta thấy đồ thị
hàm f x nằm phía trên đường y  x nên gx mang dấu .
Câu 9. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên .
 Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên
dưới. Hỏi đồ thị hàm số gx f x3x có bao nhiểu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 7.
Lời giải. Ta có gx f x3; gx 0  f x 3.
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
f x và đường thẳng y  3. x  1  x  0
Dựa vào đồ thị ta suy ra gx 0   .  Ta thấy x  1, x  0,
x  1 là các nghiệm đơn x  1  x  2 
và x  2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số gx f x3x có 3 điểm cực trị. Chọn B. 28
Câu 10. Cho hàm số y  f x. Đồ thị của hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số gx f  x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương
(và 1 điểm có hoành độ âm) 
 f x có 2 điểm cực trị dương 
 f  x  có 5 điểm cực trị 
 f  x 2018 có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không
ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn C.
Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y  f x. Đồ thị hàm số
y  f x như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số
g x  f  2
x  2x  2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có  gx x 1  f  2
x  2x  2 . 2  x  2x  2 x 1  0  x  1   2 x 1  0 
 x  2x  2  1 
Suy ra g x 0           f  f x x 1 2 . 2
x  2x  2 theo do thi '   2  0
 x 2x 2 1    x  1 2   2
 x  2x  2  3  Bảng xét dấu x  1 2 1 1 2  g '  0  0  0 
Từ đó suy ra hàm số gx f  2x 2x 2 có 1 điểm cực đại. Chọn A.
Chú ý: Cách xét dấu  hay  của g 'x để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x thuộc 0
khoảng đang xét rồi thay vào gx. Chẳng hạn với khoảng 1;1 2 ta chọn 1 x  0   g 0 
f  2  0 vì dựa vào đồ thị ta thấy f  2 0. 0     2 29
Câu 12. Cho hàm số y  f x . Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ dưới đây
Số điểm cực trị của hàm số gx 2 f x 1 f x e   5 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta thấy đồ thị của hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, suy ra hàm
số f x có 3 điểm cực trị.
Ta có gx 2 f x 2 f x 1 .e
  f x f x .5
.ln 5  f x 2 f x 1  f x .2e 5 .ln  5 .
Vì 2 f x 1 f x 2e
 5 .ln 5  0 với mọi x nên gx 0  f x 0.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số gx bằng số điểm cực trị của hàm số f x. Chọn C.
Câu 13. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới và f x 0 với mọi x  ;
 3,49;. Đặt gx  f xmx 5. Có bao nhiêu giá trị dương của
tham số m để hàm số gx có đúng hai điểm cực trị ? A. 4. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải. Ta có gx f xm; gx 0  f xm  0  f x . m
Để hàm số gx có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình gx 0 có hai nghiệm m  5 bội lẻ phân biệt m     
 m  1;2;3;4;5;10;11;12. Chọn C. 10   m 13 
Câu 14. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx f  x m  có 5 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương
(và 1 điểm có hoành độ âm) 
 f x có 2 điểm cực trị dương 30 
 f  x  có 5 điểm cực trị 
 f  x m  có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh
hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D.
Chú ý: Đồ thị hàm số f  x m  có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.
Đồ thị hàm số f  x m có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.
Câu 15. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx f  x m có 5 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. x  2 
Lời giải. Từ đồ thị f x ta có f x 0  x 1 . 
Suy ra bảng biến thiên của f x x  2 
Yêu cầu bài toán  hàm số f x m có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy
ta được đồ thị hàm số f  x m có đúng 5 điểm cực trị).
Từ bảng biến thiên của f x, suy ra f x m luôn có 2 điểm cực trị dương  tịnh tiến
f x (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn
 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị  m 1.
 Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị  m  2. Suy ra 2 1 m m     
m  2;1;0. Chọn B.
Vấn đề 2. Cho biểu thức f 'x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 16. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  
1 3 x với mọi x  .  Hàm số
y  f x đạt cực đại tại A. x  0. B. x  1. C. x  2. D. x  3. x  1
Lời giải. Ta có f x 0  x  
1 3 x  0   . x  3  Bảng biến thiên 31
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f x đạt cực đại tại x  3. Chọn D.
Câu 17. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  x  2 1
1 x 21 với mọi x  . 
Hàm số gx f x x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có gx f x  x  x  2 1 1 1 x 2; x  1 
gx  0  x   1 x  2
1 x 2  0  x  1 . 
Ta thấy x  1 và x  2 là các nghiệm đơn x  2 
còn x  1 là nghiệm kép 
 hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 18. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x  2 x  
1 x 4 với mọi x  .  Hàm số
g x  f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Ta có gx  f   x   x2 3 3
1 4 3 x  2 x4  xx     1 ;     x  1 
gx  0  2 x4  xx  
1  0  x  2 .  x  4 
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số gx đạt cực đại tại x  2. Chọn B.
Câu 19. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  x  2 2 1 4 với mọi x  .  Hàm số    2 g x
f x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có gx xf x  x x  x  2 2 5 2 2 2 2 1 4 ; x  0  g x 0 2x x 1x 42 5 2 2 0         x  1 .
x22x 22 0 
Ta thấy x  1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ 
 hàm số gx có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x 2x với mọi x  .  Hàm số
g x  f  2
x 8x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Ta có g x x   f x  x x   x  x2 2 2   2 2 4 8 2 4 2 2 x 2x   ;    x  4 x 4  0   x  0
gx  0  2x 4 x 2x2 2 2 2 x 2x 2   0 
 x 2x  0   .     x  2  2 x 2x  2    x  1 3 
Ta thấy x  1 3, x  0,
x  2 và x  4 đều là các nghiệm đơn 
 hàm số g x có 5
điểm cực trị. Chọn C. 32
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 3 liên tục trên  và thỏa mãn
f x f  x  x x  2 x  3 . 1 4 với mọi x  .
 Hàm số gx   f x 2 2 f x. f  x   có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 6.
Lời giải. Ta có gx 2 f  x f x2 f x. f  x2 f x. f x 2 f x. f x; x  0 x  0  
gx  0  f x. f  x  0  x x  2
1 x  43  0  x  2
1  0  x  1 .   x  4 x  4  
Ta thấy x  0 và x  4 là các nghiệm đơn 
 hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 22. Cho hàm số y  f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  và thỏa mãn
 f x 2  f x f  x 4 .  15x 12x   với mọi x  .
 Hàm số gx  f x. f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có gx  f x 2  f x f  x 4 .  15x 12x.   x  0  gx 4
 0  15x 12x  0   . 4  3 x     5 Nhận thấy 4 x  0 và 3
x   là các nghiệm bội lẻ 
 hàm số g x có 2 điểm cực trị. 5 Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  4 x  5 x  3 1 2 3 với mọi x  .  Số điểm
cực trị của hàm số gx f  x  là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. x  1 
Lời giải. Ta có f x 0  x  4
1 x 25 x  3
3  0  x  2 .  x  3 
Do f x chỉ đổi dấu khi x đi qua x  3 và x  2 
 hàm số f x có 2 điểm cực trị x  3 và x  2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương 
 hàm số f  x  có 3 điểm cực trị (cụ thể là x  2; 0; x  2
x  do tính đối xứng của
hàm số chẵn f  x ). Chọn B.
Câu 24. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  x  4  2 1 2
x  4 với mọi x  .  Số
điểm cực trị của hàm số gx f  x  là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. x  1
Lời giải. Ta có f x 0  x  x  4  2 1 2 x  4 0   . x  2 
Do f x đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x 1; 2 x   
 hàm số f x có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x  1 và x  2 33 
 hàm số f  x  có 5 điểm cực trị (cụ thể là x  2; x  1; 0
x  do tính đối xứng của
hàm số chẵn f  x ). Chọn C.
Câu 25. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x x  4  2 2
x  4 với mọi x  .  Số điểm
cực trị của hàm số gx f  x  là A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. x  0
Lời giải. Ta có f x 0  x x  4  2 2 x  4 0   . x  2 
Do f x chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x  0 Oy 
 hàm số f x có 1 điểm cực trị x  0 Oy 
 hàm số f  x  có 1 điểm cực trị (cụ thể là x  0 do tính đối xứng của hàm số chẵn
f  x ). Chọn B.
Vấn đề 3. Cho biểu thức f 'x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị
Câu 26. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  2mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số gx f  x  có 5 điểm cực trị ? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f  x  nên yêu cầu
bài toán  f x có 2 điểm cực trị dương. * 2 x  0 x  0  
Xét f x 0   x 1  0   x  1 .    2  2
x  2mx 5  0
x  2mx 5  0   1   2
  m 5  0  Do đó *   
1 có hai nghiệm dương phân biệt S     2m  0  m   5 P 50  m10
m         Chọn B. m  9; 8; 7; 6; 5; 4;  3 .  Câu 27. Cho hàm số 2 3
y  f x có đạo hàm f x  x   x m  m  x  5 2 2 1 3 4 3 với mọi x  .
 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số gx  f  x  có 3 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. x 1  0 x  1  
Lời giải. Xét f x 2 2  0 
 x  m 3m 4  0   x  3 .     2 2 x  3  0 
x  m 3m  4  0   1  
Yêu cầu bài toán   
1 có hai nghiệm trái dấu 2
 m 3m 4  0  1 m  4 m 
m  0;1;2;  3 . Chọn B.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x  4 x m5 x  3 1 3 với mọi x  .  Có bao
nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số gx f  x  có 3 điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 34 x 1  0
x  1 nghiem boi 4  
Lời giải. Xét f x 0  x m  0    x  m  nghiem boi  5 .  x 3 0     
x  3 nghiem boi  3 
 Nếu m  1 thì hàm số f x có hai điểm cực trị âm ( x  3;
x  1 ). Khi đó, hàm
số f  x  chỉ có 1 cực trị là x  0. Do đó, m  1 không thỏa yêu cầu đề bài.
 Nếu m  3 thì hàm số f x không có cực trị. Khi đó, hàm số f  x  chỉ có 1 cực trị là
x  0. Do đó, m  3 không thỏa yêu cầu đề bài. m   1  Khi 
thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x  m và x  3  0. m   3 
Để hàm số f  x  có 3 điểm cực trị thì hàm số f x phải có hai điểm cực trị trái dấu  m  0 m   
m  1; 2; 3; 4; 5 . Chọn C. m 5;5    
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x 2
 x x   2
1 x  2mx   5 với mọi x  .  Có
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số gx f  x  có đúng 1 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 2 x  0 x  0  
Lời giải. Xét f x 0   x 1  0   x  1 .    2  2
x  2mx 5  0
x  2mx 5  0   1  
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra 2
  m 5  0 
Trường hợp 1. Phương trình  
1 có hai nghiệm âm phân biệt S     2m  0  m  5. P 50 
Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình  
1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2
   m 5  0 5 5 m m       
 m  2;  1 . Chọn A.
Câu 30. Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x x  2  2 1
x 2x với mọi x  .  Có bao
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số gx f  2
x 8x  m có 5 điểm cực trị ? A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.
x 1 nghiem boi 2 
Lời giải. Xét f x 0 x 2 1  2 x 2x 0         x  0 .   x  2 
Ta có gx x   f  2 2 4
x 8x  m; x  4  2
x 8x m 1 nghiem boi 2 
gx  0  2x 4 f  2
x 8x  m 0   . 2
x 8x  m  0   1  2
x 8x m  2  2 
Yêu cầu bài toán  gx 0 có 5 nghiệm bội lẻ  mỗi phương trình   1 , 
2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. * 35
Xét đồ thị C của hàm số 2
y  x 8x và hai đường thẳng d : y   , m
d : y  m   2 (như 1 2 hình vẽ).
Khi đó *  d, d cắt C tại bốn điểm phân biệt  m
  16  m 16. 1 2
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. Chọn A.
Vấn đề 4. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux.  
Câu 31. Cho hàm số f x xác định trên  và có đồ thị f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số
g x  f x x đạt cực đại tại
A. x  1. B. x  0. C. x  1. D. x  2.
Lời giải. Ta có gx f x1; gx 0  f x1.
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số
f x và đường thẳng y  1. x  1 
Dựa vào đồ thị ta suy ra gx 0  x 1 .  x  2  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy gx đạt cực đại tại x  1. Chọn A.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;    1 ta thấy đồ thị
hàm f x nằm phía trên đường y 1 nên gx mang dấu .
Câu 32. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số như hình bên.
Hàm số gx f  2
x 3x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 36
Lời giải. Ta có gx  x   f  2 2 3 . x 3x;  3  3 x  x   2  2  2x 3  0    gx theo do thi f  x 2 3 17  0           f    x 3x 2 x . 2
x 3x 0   2 2 
x 3x  0   x  0    x  3  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.   Chú ý: Dấu của  
gx được xác định như sau: Ví dụ chọn 3 17 x  4   ;      2 
 2x  3  5  0.   1  2
theo do thi f x
x 3x  4  f 4 0 ( vì f đang tăng). 2   Từ    
1 và 2, suy ra gx   x   f  2 2 3
x 3x 0 trên khoảng 3 17  ;   .    2 
Nhận thấy các nghiệm của phương trình gx 0 là các nghiệm bội lẻ nên gx qua nghiệm đổi dấu.
Câu 33. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số      2 g x f x  
 có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có x  0
x  a 0  a   1   f x 0    x   1 nghiem kep  
và f x 0  x 1 .    x  3 
x  b 1 b   3  37
x  a 0  a   1  x 1  f x 0    
x  b 1 b   3
Ta có gx 2 f x. f x; gx 0     .  f  x  0 x  0  
x 1 nghiem boi 2  x  3  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận gx có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C.
Câu 34. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm
số gx f  f x 
 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại x  0, 2 x  .
x  0 nghiem don
Suy ra f x 0   .  x  2  nghiem don 
 f x 0
Ta có gx f x. f   f x gx ; 0    .   
 f   f x  0   
x  0 nghiem don
 f x 0   1
 f x  0   .       f
f x  0  . x  2     nghiem don  f
 x  2 2 
Dựa vào đồ thị suy ra:  Phương trình  
1 có hai nghiệm x  0 (nghiệm kép) và x  a a  2.
 Phương trình 2 có một nghiệm x  b b  a.
Vậy phương trình gx 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x  0, 2 x  ,
x  a và x  . b Suy ra hàm số
g x  f  f x 
 có 4 điểm cực trị. Chọn B. 38
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số
điểm cực trị của hàm số gx f x f x  2 3 . A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có gx f x f x f x 2 .ln 23 .ln3;   
 f x 0     f x f x 0   1  0   gx   f x  0        f x f x 3 ln 2 ln 2 .     2 .ln 2 3 .ln 3  0        
f x  log  1 2 3    2 ln 3  ln 3   2
Dựa vào đồ thị ta thấy:   
1 có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y  f x có 3 điểm cực trị).
 f x  1, x   
 phương trình 2 vô nghiệm.
Vậy hàm số gx f x f x  2 3
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 36. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số gx f x 4
có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số gx f x 4 có được bằng cách
 Tịnh tiến đề thị hàm số f x lên trên 4 đơn vị ta được f x 4.
 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f x 4 qua Ox, ta được f x 4 .
Dựa vào đồ thị hàm số gx f x 4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là 1;0,  0;4,  2;0 
 tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0  4  0  4. Chọn C. 39
Câu 37. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số như hình bên.
Đồ thị hàm số hx 2 f x3 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 5. C. 7. D. 9.
Lời giải. Xét gx 2 f x3 
 gx  2 f x; x  1 g  1  1   x  0 g07
gx  0  f x
theo do thi f x  0   .   Ta tính được  . x  a  1 a  2
ga1   x  2   g21 
Bảng biến thiên của hàm số gx
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
 Đồ thị hàm số g x có 4 điểm cực trị.
 Đồ thị hàm số g x cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Suy ra đồ thị hàm số hx 2 f x3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
Câu 38. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  x  2018 là A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Từ đồ thị ta thấy hàm số f x có 2 điểm cực trị dương 
 hàm số f  x  có 5 điểm cực trị 
 hàm số f  x 2018 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị). Chọn C. 40
Câu 39. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
g x  f  x 2 là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số f  x 2 được suy ra từ đồ thị hàm số
f x bằng cách tịnh tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng.
Dựa vào đồ thị hàm số f  x 2, suy ra hàm số gx có 5 điểm cực trị. Chọn C.
Câu 40. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên.
Đồ thị hàm số gx f  x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Đồ thị hàm số gx f  x 2 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f x như sau:
Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.
Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải 2 đơn vị.
Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên 1 đơn vị.
Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và
Bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số gx bằng số điểm cực
trị của đồ thị hàm số f x là 3 điểm cực trị. Chọn B. 41
Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm f ux.  
Câu 41. Cho hàm số y  f x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Hàm số gx 3 f x1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ? A. x  1 . B. x  1. C. x  1 . D. x  0 .
Lời giải. Ta có gx 3 f 'x.
Do đó điểm cực tiểu của hàm số gx trùng với điểm cực tiểu của hàm số f x.
Vậy điểm cực tiểu của hàm số gx là x  1. Chọn C.
Câu 42. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số gx f  2 x  
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Ta có gx x f  2 2 .  x   1 ; x  0 x  0 
x  0 nghiem don gx  theo BBT 2  0            . f   x 1 2 x 0 nghiem boi 3 2 x    1       x  0 nghiem kep 2    x 1  1  
Vậy gx 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x  0 nên hàm số gx có 1 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 43. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số gx f 3 x. A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.
Lời giải. Ta có gx  f 3 x. 3 x  0 x  3
 g x  0  f 3 x theo BBT  0     . 3 x  2 x 1   42
 g x không xác định  3 x  1  x  2. Bảng biến thiên
Vậy hàm số gx f 3 x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 44. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như sau x  1 3  f 'x  0  0  f x 2018  2018 
Hỏi đồ thị hàm số gx f x 20172018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số ux f x 20172018 có được từ đồ thị f x bằng cách tịnh tiến
đồ thị f x sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của ux x  2016 2020  u 'x  0  0  ux 4036  0 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số gx ux có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 45. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Hỏi số điểm cực trị của hàm số gx f  x  nhiều nhất là bao nhiêu ? A. 5. B. 7. C. 11. D. 13.
Lời giải. Ta có đồ thị hàm số y  f x có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị
hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó 43
 Đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành tối đa 4 điểm.
 Hàm số f  x  có 3 điểm cực trị.
Suy ra hàm số gx f  x  sẽ có tối đa 7 điểm cực trị. Chọn B.
Vấn đề 6. Cho đồ thị f x. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f ux,m.  
Câu 46. Cho hàm bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số gx f xm có 3 điểm cực trị là
A. m  1 hoặc m  3.
B. m  3 hoặc m 1.
C. m  1 hoặc m  3.
D. 1 m  3.
Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số f x bằng A  B với
 A là số điểm cực trị của hàm f x
 B là số giao điểm của f x với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)
Áp dụng: Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f xm cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f xm với trục hoành là 1.
Để số giao điểm của đồ thị f xm với trục hoành là 1, ta cần
 Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị  m  1.
 Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 3 đơn vị  m  3.
Vậy m  1 hoặc m  3. Chọn A.
Câu 47. Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Đồ thị hàm số gx f x2m có 5 điểm cực trị khi    
A. m 4;  11 . B. 11 m  2; . C. 11 m 2; . D. m  3.  2     2 
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f x2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f x2m với trục hoành là 3 . 44
Để số giao điểm của đồ thị f x2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f x xuống m   2   2m  4 
dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị       11. Chọn C. 2m  11 m     2
Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số m m để hàm số 3 2
y  x 3x 9x 5  có 5 2 điểm cực trị bằng A. 2016. B. 496. C. 1952. D. 2016.
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số f x 3 2
 x 3x 9x 5 như hình bên dưới Ta thấy hàm số m
f x có 2 điểm cực trị nên f x
cũng luôn có 2 điểm cực trị. 2 Do đó yêu cầu bài toán m
 số giao điểm của đồ thị f x với trục hoành là 3 . 2
Để số giao điểm của đồ thị   m f x 
với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f x lên 2
trên nhưng phải nhỏ hơn m 32 đơn vị 0 32 0 m 64 m        
m  1; 2; 3; ...; 6  3 2 
m  2016. Chọn D.
Câu 49. Cho hàm số bậc bốn y  f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số gx f (x)m có 5 điểm cực trị. m  2
A. 2  m  2. B. m  2. C. m  2. D.  . m  2 
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f xm cũng luôn có 3 điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f xm với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị f xm với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f x xuống
dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung
của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)   m
  2  m  2. Chọn C. 45
Câu 50. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương
của tham số m để hàm số gx f x 2018m có 7 điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x 2018m cũng luôn có 3 điểm
cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f x 2018m với trục hoành là 4.
Để số giao điểm của đồ thị f x 2018m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời
 Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị  m  2
 Tịnh tiến đồ thị f x lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị  m  3. Vậy 2 3 m m      
 m  1; 2. Chọn A.
Câu 51. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
hàm số gx f x   2
2018  m có 5 điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x   2
2018  m cũng luôn có 3 điểm
cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f x   2
2018  m với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị f x   2
2018  m với trục hoành là 2, ta cần
 Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị 2 
 m  2 : vô lý
 Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị  2  m  6 2   2  m  6  m  
m  2;  2 .  Chọn B.   6  m  2  46
Câu 52. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 4;4 để hàm số gx f x   1  m có 5 điểm cực trị ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x  
1  m cũng luôn có 3 điểm cực trị
(do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f x  
1  m với trục hoành là 2.
Để số giao điểm của đồ thị f x  
1  m với trục hoành là 2, ta cần
 Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị  m  2.
 Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị  3  m  6. m  2 Vậy m    
m  4;3;2;3;4 . Chọn B. m 4  ;4     3  m  6 
Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y  f x. Với m  1 thì hàm số gx  f  x  m  có
bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số f  x m  được suy ra từ đồ thị hàm số f x bằng cách lấy đối xứng
trước rồi mới tịnh tiến.
Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số f  x  như hình bên dưới
Dựa vào đồ thị hàm số f  x  ta thấy có 3 điểm cực trị 
 f  x m  cũng luôn có 3 điểm
cực trị (vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C. 47
Câu 54. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số gx f  x m có 5 điểm cực trị. A. m  1. B. m  1. C. m 1. D. m 1.
Lời giải. Nhận xét: Hàm gx f  x m là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy 
 x  0 là một điểm cực trị của hàm số. Ta có   x g x 
. f  x  m với x  0. x  x m 1  x 1m 
 gx  0  f  x m
theo do thi f x  0     .  * x m 1     x  1m  
Để hàm số gx có 5 điểm cực trị  * có 4 nghiệm phân biệt khác 0 1  m  0      1m  0
 m  1. Chọn A.
1m 1m 
Cách 2. Đồ thị hàm số f  x m được suy ra từ đồ thị hàm số f x bằng cách tịnh tiến
trước rồi mới lấy đối xứng.
Để hàm số f  x m có 5 điểm cực trị  hàm số f x m có 2 điểm cực trị dương. Do đó
ta phải tịnh tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số f x qua phía bên phải trục tung nghĩa là
tịnh tiến đồ thị hàm số f x sang phải lớn hơn 1 đơn vị  m  1.
Câu 55. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   2
h x  f x f x m có đúng 3 điểm cực trị. A. 1 m  . B. 1 m  . C. m 1. D. m 1. 4 4
Lời giải. Xét gx 2
 f x f x m 
 gx  f x2 f x1.   48     g    2 1  f   1  f   1  m  m  f x x 1  0   gx
theo do thi f x  0   
 x  3 . 
Ta tính được g  3  m . 2 f  x 1      x  a  a  0 
ga 1  m   2
Bảng biến thiên của hàm số gx
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số gx có 3 điểm cực trị. 2  
Suy ra đồ thị hàm số hx 1 1 2
 f x f x m   f x   m  có 3 điểm cực trị khi và  2   4
chỉ khi đồ thị hàm số gx nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) 1 
m  . Chọn B. 4
Vấn đề 7. Cho biểu thức f x,m. Tìm m để hàm số f ux 
 có n điểm cực trị
Câu 56. Hàm số y  f x có đúng ba điểm cực trị là 2;1 và 0. Hàm số gx f  2 x 2x
có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. x  2 
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f x 0  x  1.  x  0 
Ta có gx x   f  2 2 1 x 2x; x  1 
x 1 nghiem boi ba 2 x  1
x 2x  2 
gx  0         f    x 0 nghiem don . 2 x 2x     2  0
x 2x  1    x  2 nghiem don 2   x 2x 0     
Vì gx 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên gx có 3 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 57. Cho hàm số f x 3
 x  m   2 2
1 x 2mx  2 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để hàm số gx f  x  có 5 điểm cực trị. A. 5 2  m  . B. 5   m  2.
C. 5  m  2.
D. 5  m  2. 4 4 4 4
Lời giải. Ta có f x 2
 3x 22m   1 x  2  . m
Hàm số gx f  x  có 5 điểm cực trị  hàm số f x có hai cực trị dương 49
 m 2 2 1 32m 0  0        22m   1 5
 f x  0 có hai nghiệm dương phân biệt S  0       0   m  2.   3 4 P  0     2m   0  3 Chọn C.
Câu 58. Cho hàm số f x 3 2
 mx 3mx 3m 2x  2m với m là tham số thực. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để hàm số gx f x có 5 điểm cực trị ? A. 7. B. 9. C. 10. D. 11.
Lời giải. Để gx f x có 5 điểm cực trị  f x 0 có 3 nghiệm phân biệt. * x  1
Xét f x 0 x  1  2 mx 2mx m 2 0         . 2
mx 2mx m2  0    1   m  0  Do đó  
*  phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt khác  2 1  
   m mm 2 0
 f  120   m  0 m  
m  1; 2; 3; ...; 10 . Chọn C. m 10;10    
Câu 59. Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có đồ thị nhận hai điểm A0;  3 và B2; 
1 làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x 2 2
 ax x bx  c x  d . A. 5. B. 7. C. 9. D. 11.
Lời giải. Ta có gx 2 2
 ax x bx  c x  d  f  x  .
Hàm số f x có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương 
 hàm số f  x  có 3 điểm cực trị.   1
Đồ thị hàm số f x có điểm cực trị A0; 
3 Oy và điểm cực trị B2;  1 thuộc góc phần tư
thứ IV nên đồ thị f x cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương) 
 đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 2 Từ  
1 và 2 suy ra đồ thị hàm số gx  f  x  có 7 điểm cực trị. Chọn B.
Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f x rồi suy ra đồ thị f  x , tiếp tục suy ra đồ thị f  x  . a   0 
Câu 60. Cho hàm số   3 2 
f x  ax  bx  cx  d với ,
a b, c, d   và d   2018 .
abc d 20180 
Hàm số gx f x2018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Lời giải. Hàm số gx f x2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên .  50
 lim gx  x
g0d20180 Ta có  
 gx  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên .  g   
1  a  b  c  d 2018  0
 lim gx x
Khi đó đồ thị hàm số f x2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số
g x  f x2018 có đúng 5 điểm cực trị. Chọn D. 
 8  4a 2b  c  0
Câu 61. Cho hàm số   3 2
f x  x  ax  bx  c với ,
a b, c   và  . Hàm số 8
  4a  2b  c  0 
g x  f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Lời giải. Hàm số   3 2
f x  x  ax  bx  c (là hàm số bậc ba) liên tục trên . 
 lim f x  x
f 284a2bc 0 Ta có  
 f x  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên .   f
 2  8  4a  2b  c  0
 lim f x x
Khi đó đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số gx f x có
đúng 5 điểm cực trị. Chọn D. m  n  0
Câu 62. Cho hàm số f x 3 2
 x  mx  nx 1 với ,
m n   và  . Hàm số 7   2 
2m n 0 
g x  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 5. C. 9. D. 11.
 f 0 1 
Lời giải. Ta có  f  
1  m  n  0
và lim f x   p  2 sao cho f p 0.  x 
 f 2 74m 2n  0 
Suy ra f x 0 có ba nghiệm phân biệt c  0;1 , c  1;2 và c  2; p .   1 3   2   1  
Suy ra đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị x  c ;c và x  c ;c . 2 2  2 3 1  1 2  Từ  
1 và 2, suy ra đồ thị hàm số f x có dạng như hình bên dưới
Từ đó suy ra hàm số f  x  có 5 điểm cực trị 
 hàm số f  x  có 11 điểm cực trị. 51 Chọn D. Câu 63. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d đạt cực trị tại các điểm x , x thỏa mãn 1 2
x  1;0 , x  1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng x ;x . Đồ thị hàm số cắt trục 1 2  2   1  
tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. a  0, b  0, c  0, d  0. B. a  0, b  0, c  0, d  0. C. a  0, b  0, c  0, d  0. D. a  0, b  0, c  0, d  0.
Lời giải. Vì hàm số hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d đạt cực trị tại các điểm x , x và hàm số 1 2
đồng biến trên khoảng x ;x nên suy ra a  0. 1 2 
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  0. Ta có 2
y  3ax  2bx  c . Hàm số đạt cực trị tại các điểm x , x thỏa mãn x  1;0 , 1   1 2
x  1;2 nên suy ra y  0 có hai nghiệm trái dấu 
ac  0  c  0. 2   Mặt khác 2b
x  1;0 , x  1;2 nên x  x  0    0  b  0. 2   1   1 2 3a Vậy a  0, b  0, c  0,
d  0. Chọn A.
Câu 64. Cho hàm số    4 2 y
f x  ax  bx  c biết a  0, c  2018 và a  b  c  2018. Số cực
trị của hàm số gx f x2018 là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Đặt hx f x 4 2
2018  ax bx  c 2018. a   0  a   0 Từ giả thiết c  2018     
 đồ thị hàm số hx có 3 điểm cực trị.   1  b   0 a  b c 2018       h   
1  a  b  c 2018  0 Ta có   h 
1 .h0 0 có nghiệm thuộc 0; 
1  hx  0 có 4 h
 0 c 2018  0 
nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng phương). 2 Từ  
1 và 2, suy ra hàm số gx  f x2018 có 7 điểm cực trị. Chọn D. a  1 
Cách 2. Trắc nghiệm. Chọn b
 4  gx f x 4 2
2018  x 4x 1 . c  2019 
Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có 7 điểm cực trị.
Câu 65. Cho hàm số    4   4  m 1 2    2 1 2 . 4  4m f x m x m x
16 với m là tham số thực.
Hàm số gx f x1 có bao nhiêu điểm cực tri ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải. Ta có gx f x   f x 2 1 1 52
f x. f x1
 f x 0 Suy ra g x    
; gx  0   . 
 f x 2 1 f  x1  0 
 f x  0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì  4 m   m 1  2 1 2
.m  4 0 với mọi . m 2
 f x1  0 vô nghiệm do    m 2    4 2 . 2   1 .4m m m   15 m m        m m m m 2 2 4 2 4 4.2 . 4 15 4 15 2 11m 11 0.
Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị. Chọn A.
Cách 2. Hàm số f x có 3 điểm cực trị (do hệ số a và b trái dấu) 
 f x1 cũng có 3 điểm cực trị.
Phương trình f x1 0 vô nghiệm (đã giải thích ở trên).
Vậy hàm số gx f x1 có 3 cực trị. 53 HAØM SOÁ 2
Phần 3. GTLN – GTNN của hàm số
1) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx   ………..
2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số f x, f  x  , f x
………………………………………….... .
3) Cho biết hàm số f x đạt GTLN (GTNN) tại x a;b. 0
Hỏi trên khoảng c;d hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào…………………………. .
4) Bài toán tìm tham số m để GTLN của hàm số đạt GTNN………………………………. .
5) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx   ……….. .
Phần 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số
1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước……………………………………………. .
2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên……………………………………….…… .
3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số…………………………………. .
Phần 5. Tương giao giữa hai đồ thị
1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức………………………………………….. .
2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên………………………………. .
3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị……………………………………………….… . 1
Phần 3. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx  
Câu 1. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là GTLN –
GTNN của hàm số gx f   4 4
2 sin x cos x   . Tổng  
M  m bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải. Ta có 1 4 4 2 sin cos 1 sin 2 x x x x      1 2 4 4
sin x  cos x 2. 2
M  max gx f   1  3
Dựa vào đồ thị suy ra  
 M  m  4. Chọn B. m
  min gx f 21 
Câu 2. Cho hàm số y  f x liên tục trên R và có đồ
thị là hình bên. Gọi M , m theo thứ tự là GTLN –
GTNN của hàm số y  f x 3
2 3 f x22 5
trên đoạn 1;3. Tích M.m bằng A. 2. B. 3. C. 54. D. 55.
Lời giải. Trên 1;3, ta có 1 f x 7  1 f x2  5 
0  f x2  5. t  0
Đặt t  f x2 với t 0;5. Khi đó 3 2 2
y  t 3t  5  y  3t 6t  0   . t  2  M  55
Ta có y0 5; y21; y  5  55. Suy ra  
 M.m  55. Chọn D. m   1 
Câu 3. Cho hàm số y  f x liên tục, có đạo hàm trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Ký hiệu gx f 2 2x  1x  . m Tìm
điều kiện của tham số m sao cho max gx 2min gx. 0  ;1 0  ;1 A. m  4. B. m  3.
C. 0  m  5.
D. m  2. 0x 1  Lời giải. Đặt 2
t  2 2x  1 x  t  7x 1 4 2x 1 x  1  t 1. Lại có     t  x   x  x   x  
2    x2  x2 2 2 1 2 2. 1 2 2 1 1   3.     m
 ax f t f   3  5 
Khi đó gx f tm với t 1;3. Dựa vào đồ thị ta có 1;3  . min 
f t  f 2  1  1;3  2
Ycbt  max  f xm  2min  f xm  5m  21m  m  3. 1;3   1;3   Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ bên. Xét hàm số gx f  3 2x  x   1  . m Tìm
m để max g x  10. 0  ;1 A. m  13. B. m  12.
C. m  1. D. m  3.
Lời giải. Đặt t x 3
 2x  x 1 với x 0; 
1 . Ta có t x 2
 6x 1 0, x  0;  1 .
Suy ra hàm số t x đồng biến nên x 0;  1  t 1;2.
Từ đồ thị hàm số ta có max f t 3 
max  f t m  3 . m 1;2 1;2  
Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3 m  10  m  13. Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số y  f x liên tục, đạo hàm trên  và đồ thị
y  f x như hình vẽ bên. Ký hiệu
g x  f  3 2
x  x  x  23 ,
m với m là tham số thực. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2
P  m  3max g x 4 min gx m 0  ;1 0  ;1 A. 150. B. 102. C. 50. D. 4. Lời giải. Đặt 3 2
t  x  x  x  2 có 2
t   3x 2x 1 0, x   nên t đồng biến trên .  m  ax f   3 2
x  x  x  2 max f t f   3  5
Do đó với x 0;  1 thì t 1;3  0 ;1 1;3 do thi     . min  f  3 2
x  x  x  2 min f t f 21  0 ;1 1;3  Khi đó 2
P  m  3max g x 4 min gx 2
 m  m 3.53m 413m m 0  ;1 0  ;1  m  m   m  2 2 22 19
11 102  102. Chọn B.
Vấn đề 2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số f x, f  x  , f x
Câu 6. Cho hàm số   2 x m f x 
với m là tham số thực và m 1. Tìm tất cả các x 1
giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;4 nhỏ hơn 3.
A. m 1;  3 .
B. m 1;3 5 4. C. m 1; 5.
D. m 1;3.
Lời giải. Ta có   2 m x f x  , f x m 2 4 1  0   x   x   0;4 . 2   2x   1 x x   1 m m   Tính được  m  f 0 4 4 2  , m f   
  m  4, f 4  . 2   m  5 3  2
 m 4  m  Vì  m  max m  2 m  4 f x 2 1  m  4. 1  m 4  m 22 2 x   0;4    2  2 5 Do đó ycbt 2 m 1 m 4 3 m 5       
m 1; 5. Chọn C.
Câu 7. Gọi M , m lần lượt là GTLT–GTNN của hàm số 3 2
y  x  3x  a
 2x a 3 (với m  M
a là tham số thực) trên đoạn 12a;2a 3. Tính P  . 2 A. P  1. B. 3 P  . C. P  3. D. P  6. 2
Lời giải. Điều kiện: 12a  2a 3  a 1. Ta có 2
y  3x  6x  a 2
  0, x   (do a 1 ).
Suy ra hàm số y tăng trên 12a;2a 3 nên
M  y2a  3 2
3  8a 22a  20a 3  m  M    P   3. Chọn C. m
  y12a 3 2
 8a  22a 20a  9 2  Câu 8. Cho hàm số ax  b y  với a  0 và ,
a b là các tham số thực. Biết max y  6, 2 x  2 2 2 a b
min y  2. Giá trị của biểu thức P  bằng 2 a A. 3. B. 1  . C. 1. D. 3. 3 3
Lời giải. Vì max y  6, min y  2 nên suy ra tập giá trị của y là 2;6.   1 Ta có ax  b 2 y  
yx ax  2y b  0. * 2 x  2
Với y  0, để * có nghiệm 2
 a  y y b 2 2 4 2
 0  8y 4by a  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra M , m là nghiệm của phương trình 2 2
8y  4by a  0 nên theo  4b  4b M  m  4    2  8    8 b   8 Viet ta có b 64 1        P  1  1  . Chọn C. 2 2 2 2  a  a a   96 a 96 3 Mm  12        8    8
Câu 9. Biết hàm số y  f x liên tục trên  và có M, m lần lượt là GTLN-GTNN
của hàm số trên đoạn 0;2. Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và
GTNN trên đoạn 0;2 tương ứng là M và m ?   A. 4x y  f    .
B. y  f  2sin x cos x. 2 x 1
C. y  f   3 3
2 sin x  cos x.
D. y  f  2
x  2  x . 4
Lời giải. Bằng cách đặt ẩn phụ t, sau đó tìm được tập giá trị của t cũng thuộc đoạn
0;2 thì kết luận đáp án đó thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Với 4x 4x  4 t  có t  ; 0
t    x  1  0;2 . 2   2 x 1  2x  1
Lập bảng biến thiên ta tìm được 0  t  2. Chọn A.   Với 
t  2sin x  cos x  2 2 sinx     0; 2 2     khi x 0;2.  4    Với t  3 3 x x 4 2 sin cos 2;2     khi   x 0;2. Với 2 t x 2 x  2;2      khi   x 0;2.
Câu 10. Cho hai hàm số y  f x, y  gx liên tục và có đạo hàm trên đoạn 1;  1
thỏa mãn f x 0, gx 0
 với mọi x 1; 
1 và f x gx 0 với mọi x 1;  1 .
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số hx f x gx 2 2
 g x trên đoạn 1;  1 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng ? h  1  h  1
A. m  h 
1 . B. m  h0.
C. m  h  1 . D. m  . 2
Lời giải. Ta có hx 2 f x gx2 f x gx2gx gx
 2gx f x gx 2gx f x 0   (do giả thiết).
Suy ra hàm số hx đồng biến trên 1;  1 
m  min hx  h  1 . Chọn A. 1  ;1
Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 x  2
3x 72x  90  m trên đoạn
5;5 bằng 2018. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?
A. m 1618.
B. 1600  m 1700. C. m  400.
D. 1500  m 1600.
Lời giải. Xét hàm số gx 3 x  2
3x 72x  90 có gx 2
 3x  6x 72;
x  6  5;5 gx   0  
. Ta tính được g  
5  400; g 4  86; g  5  70. x  4   5;5 
Do đó với x 5;5 thì gx86;400
 gx 0;400. Từ đó ta suy ra
max f x  400  m . Do đó ycbt  400  m  2018  m  1618 1600;1700 . Chọn B. 5;5
Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất
của hàm số f x 1 19 4 2  x 
x  30x  m 20 trên đoạn 0;2 không vượt quá 20. 4 2
Tổng các phần tử của S bằng A. 195. B. 105. C. 210. D. 300.
Lời giải. Xét hàm số gx 1 19 4 2  x 
x  30x  m 20 trên đoạn 0;2. 4 2 5
x  5  0;2 
Ta có gx 3
 x 19x 30 ; g x 0     x  2 .  
x  3  0;2 
Bảng biến thiên như hình bên g020 m    20  20
Dựa vào BBT, để max gx  20 thì      0  m 14 0;2 g2 20 m   6  20   m 
m  0;1;2;...;14 
 tổng các phần tử của S là 105. Chọn B.
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x 1 1 4  x   2 m 2 3 2 2
x m x  m trên đoạn 0;2 luôn bé hơn hoặc bằng 5 ? 4 3 A. 0. B. 4. C. 7. D. 8.
Lời giải. Xét hàm số gx 1 1 4  x   2 m 2 3 2 2
x m x  m trên đoạn 0;2. 4 3
Ta có gx 3  x  2 m   2 2 2
x  m x  x x   2 2 2
2 x  m  0, x  0;2. g0 5
Suy ra hàm số gx nghịch biến trên 0;2  yêu cầu bài toán    g25  m   5  3  53 3  53    8   m  m 
m  1;0;1;2. Chọn B. 4    2 m  2 2
 4m  m  5 4 4  3
Câu 14. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   4 3 2 a
f x  x  4x  4x 
trên đoạn 0;2. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3
7;4 sao cho M  2m ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 10.
Lời giải. Xét hàm số   4 3 2 a
g x  x  4x  4x  trên đoạn 0;2. 3
Lập bảng biến thiên ta được a    a
g x  1 trên đoạn 0;2. 3 3  a M  1  † TH1) Nếu a  3 a a  0  
 M  2m  1 2.  a  3  a  3;4. 3  a 3 3 m    3  a M    † TH2) Nếu a  3 a  a  1 0  
 M  2m    2. 
1  a 6  a  7;6. 3  a 3  3  m   1  3 M  0 † TH3) Nếu a a
 0  1 thì khi đó 
nên M  2m không thể xảy ra. 3 3 m   0  6
Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn bài toán là 7;6;3;4. Chọn A.
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f x 2
 x  2x  m 4 trên đoạn 2;  1 bằng 4 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Xét gx 2
 x  2x  m 4 trên 2; 
1 , có gx  2x  2; gx  0  x  1.
g2 m4 
Ta có g  1  m 5 
max f x  max m1 , m5 .  2  ;1
g 1 m1  m  5
† Trường hợp 1. m 1  4   . m  3  m  5 
max m1 , m5   max4; 0  4 :thoûa maõn Thử lại  .  m  3 
max m1 , m5   max4;  8  8 : loaïi  m  9
† Trường hợp 2. m 5  4  
. Thử lại như trên ta được thỏa mãn.  m  1 m  1 
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 x  4 x f x e
e  m trên 0;ln 4 bằng 6 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Đặt x
t  e , với x 0;ln 4 
t 1;4. Khi đó f t 2
 t 4t  m . Đặt gt 2
 t 4t  m có gt  2t 4; gt 0
  t  2 1;4. g  1  m 3 
Ta có g2 m4 
min f x  min f t  min m , m4 .  0;ln 4 1;4
g4 m 
Làm tương tự như bài trên ta được m  6;1 
0 thỏa mãn. Chọn B.
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
  x mx m f x 
trên đoạn 1;2 bằng 2 ? x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2
Lời giải. Xét hàm số   x mx m g x 
liên tục trên 1;2. Ta có x 1 2  
  x 2x 1 4  g x   0, 1;
x  2 nên max f x max g 
1 ; g 2 max m ; m      . 2   x   1 1;2  2 3   
Làm như các bài trên ta được 5 m   và 2
m  là các giá trị cần tìm. Chọn B. 2 3 7
Câu 18. Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 2
 x 3x  m trên đoạn 2;3 bằng 2. Tổng các phần tử của tập S bằng A. 0. B. 20. C. 24. D. 40. x  0
Lời giải. Xét gx 3 2
 x 3x  ,
m có gx 2
 3x 6x; gx  0   . x  2 
Bảng biến thiên như hình bên
Nhận xét: Vì min gx  2 nên trên đoạn 2;3 x   2;3
đồ thị của hàm số gx nằm hoàn toàn phía trên
trục hoành hoặc hoàn toàn phía dưới trục hoành m  0 m  0
(hay nói cách khác là gx 0 vô nghiệm trên đoạn 2;3)     . m20  0 m  20  
• Nếu m  0 
 min f x  min gx  m  2  m  2. x   2;3 x   2;3
• Nếu m  20 
 min f x  min gx  m 20  2  m  22. x   2;3 x   2;3
Vậy tổng các giá trị của m là 22 2 20. Chọn B.
Nhận xét: Bài toán này khác với các bài toán trên là đề bài hỏi min nên nhận xét
trong bài giải rất quan trọng.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  x  4x  3  4mx lớn hơn 2 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Lời giải. • Với x  3, ta được 2
y  x  4x  3  4mx.
Có y  2x 4  4m  2x  4m 
1  0 (do x  3 và m nguyên dương).
Suy ra hàm số đồng biến trên 3; nên min  y  3  12 . m   1 3;
• Với 1 x  3, ta được 2
y  x  4x 3  4mx.
Có y  2x  4  4m  22 2m x 0 (do 1 x  3, và m nguyên dương).
Suy ra hàm số đồng biến trên 1; 
3 nên min y  y  1  4 . m 2 1;3
• Với x 1, ta được 2
y  x  4x  3  4mx.
Có y  2x 4  4m; 0
y   x  2 2 . m
Bảng biến thiên như hình bên
Dựa vào bảng biến thiên ta có min y  y22m 2
 8m 4m 1.   3   ;1 Từ   1 ,  2 và   3 , suy ra 2
min y  8m  4m 1.  Theo ycbt 1 3 2 8 4 1 2 m m m m         
 m  1. Chọn A. 2 2 8
Câu 20. Cho hàm số f x 3 2
 x 3x  .
m Có bao nhiêu số nguyên m 10 để với mọi bộ ba số thực ,
a b, c 1;3 thì f a, f b , f c
là độ dài ba cạnh một tam giác ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x  0
Lời giải. Ta có f x 2
 3x 6x f x ; 0    . x  2  min 
f x  min   f  
1 ; f 2; f  
3   f 2 m 4 Khi đó 1;3   . m
 ax f x max f  
1 ; f 2; f   3   f   3  m  1;3  min  f x 0  m    4  0 Ycbt
f a f b f c 1;3           m  8 2  min f 
x max f x 2  m 8  m   1;3 1;3  m 
 m  9 . Chọn A. m 1  0  
Câu 21. Cho hàm số f x 3
 x 3x  m  2. Có bao nhiêu số nguyên dương m  2018
sao cho với mọi bộ ba số thực phân biệt ,
a b, c 1;3 thì f a, f b , f c là độ dài ba
cạnh một tam giác nhọn ? A. 1968. B. 1969. C. 1970. D. 2008. min 
f x  m 
 f a f b f c
Lời giải. Ta tìm được 1;3  . Khi đó ycbt    m  ax f 
x m 20 2  f a 2  f b 2
 f c 0  1;3   min  f x 0 1;3   2  
 min f x max f x
 m  201 2 m  
m  49;...;2017 . Chọn B. m2018    1;3 1;3  2 2      2
 min f x max f x  0  1;3     1;3   Chú ý: • Nếu ,
a b, c tùy ý thì min có thể đồng thời xảy ra, tức là
f a f b 2 min f x. Ta luôn có max f x f c. 1;3 1;3
Vậy ta cần 2 min f x max f x thì sẽ suy ra được f a f b f c. 1;3 1;3 • Nếu ,
a b, c phân biệt thì min không đồng thời xảy ra, tức là
f a f b 2 min f x. Ta luôn có max f x f c. 1;3 1;3
Vậy ta cần 2 min f x max f x thì sẽ suy ra được f a f b f c. 1;3 1;3 9
Vấn đề 3) Cho biết hàm số f x đạt GTLN (GTNN) tại x a;b. Hỏi trên khoảng 0
c;d hàm số đạt GTLN (GTNN) tại điểm nào
Câu 22. Cho hàm số   4 2
f x  ax  bx  c a  0 có min f x  f   1 . Giá trị nhỏ ;0  
nhất của hàm số f x trên đoạn 1  ;2 bằng 2    A. a a c  8 . a B. 7 c  . C. 9 c  . D. c  . a 16 16 x  0 
Lời giải. Ta có f x 3
 4ax  2bx  2x  2
2ax  b; f x 0   b . 2 x    2a
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. min 
f x  f   1  1    ;2 Do đó từ giả thiết 
min f x  f   2 1       . ;0  b    1  2a min 
f x  f   1  1  min   
f x  f 1  a  b  c  ;2       Vậy 1 2         ;2      2  Chọn D.   
min f x  c  . a    1 b   ;2    1 b   2a  2     2a 
Câu 23. Biết hàm số f x m  x  4  mn  x  2 1 1 2 1
1 8m  4n đạt giá trị  
lớn nhất trên khoảng  ;
 0 tại x  3 . Hỏi trên đoạn 1
 ;3 hàm số đã cho có giá 2   
trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
Lời giải. Đặt t  x 1, khi đó f t a   4t  a b   2 1 2
1 t  8a  4b là hàm chẵn
nên đồ thị đối xứng qua trục tung.
Do đó từ giả thiết max f x f   tx 1 3 
max f t  f 2 
max f t  f 2 ;0   ;1 1; tx 1 
max f x  f   1  16a  
1  42a b  
1 8a  4b  12. Chọn C. 1   ;3 2   
Câu 24. Cho hàm số f x x  2  2 2
ax  2ax a b   1 8a  4 .
b Biết rằng trên   khoảng 5  ;     
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  3. Hỏi trên đoạn 1;3  2
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào ? A. x  1. B. 1 x  . C. x  2. D. x  3. 2
Lời giải. Ta có f x x   2 2
2 2ax  5ax  a b   1 . 10  
Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  3 trên khoảng 5  ;       thì f x  2
phải đổi dấu qua x  3  phương trình 2
2ax  5ax  a b 1  0 có nghiệm x  3 2 2    0 17
 a 8ab 8a  0   49a  0 a   0              f    3  0
4a b 1 0 b   4a 1 b   4a 1     b4a 1 
 f x  2ax  2x   3 2x   1 .
• TH1: a  0 ta có bảng biến thiên như hình
bên. Ta thấy hàm số không đạt giá trị nhỏ  
nhất tại điểm x  3 trên khoảng 5  ;       2
• TH2: a  0 ta có bảng biến thiên như hình
bên dưới. Ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ  
nhất tại điểm x  3 trên khoảng 5  ;       2
(thỏa mãn giả thiết). Suy ra trên đoạn 1;3
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 1 x  . 2 Chọn B.
Câu 25. Cho hàm số f x 3
 ax  cx  d a  0 có min f x  f 2. Giá trị lớn ; 0
nhất của hàm f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 16 . a B. d 11 . a
C. 2a  d.
D. 8a  d.
Lời giải. Ta có   2
 ax  c f x 2 c f x 3 ;  0  x   . 3a
Nếu a  0 thì lim f x  
 không tồn tại GTNN trên khoảng  ;  0. x 
Do đó a  0. Vì min f x f 2 
 f 2  0  12a  c  0. ; 0
Khi đó f x 3
 ax 12ax  d. Xét f x 3
 ax 12ax  d trên đoạn 1;3. x  2 1;3
Ta có f x 2
 3ax 12a  3a 2
x  4; f x 0   .  x  2   1;3  a0
Suy ra max f x max f  
1 ; f 2; f  
3   maxd 11a;d 16a;d 19a  d 16 . a 1;3 Chọn A.
Vấn đề 4) Bài toán tìm tham số m để GTLN của hàm số đạt GTNN
Câu 26. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số f x 2
 x  2x  m 4 trên đoạn 2; 
1 đạt giá trị nhỏ nhất. A. m  1. B. m  2. C. m  3. D. m  4. 11
Lời giải. Xét gx 2
 x  2x  m 4 trên đoạn 2;  1 .
Đạo hàm gx 2x 2; gx 0  x  12;  1 .
g2 m4  m
 ax gx m1   Ta có g  2  ;1 1 m 5       .  min   
g x  m 5 g   2 ;1 1 m 1   m 1  5m
Cách 1. Suy ra max f x max m1 , m5       2. 2  ;1 2
Dấu ''  '' xảy ra  m 1  5m  m  3. Chọn C.
Cách 2. • Nếu m  1 m  
5  0  m  3 thì max f x  m 1 2. 2  ;1
Dấu ''  '' xảy ra  m  3. • Nếu m  1 m  
5  0  m  3 thì max f x  m   5  2. 2  ;1
Dấu ''  '' xảy ra  m  3.
Câu 27. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 2
 x  x  2 m  
1 x  4m 7 trên
đoạn 0;2 đạt giá trị nhỏ nhất khi m  m . Khẳng định nào sau đây đúng ? 0
A. m  3;2 . B. m  2;1 .
C. m  1;0 . D. m  0;3 . 0   0   0   0  
Lời giải. Xét gx 3 2
 x  x  2 m  
1 x  4m 7 trên đoạn 0;2.
Đạo hàm gx 2
 x  x  2 3 2 m   1  0, m 
 gx đồng biến trên 0;2 m
 ax gx g2 2
 2m 4m 1  0;2    . min 
g x  g0  4m 7  0;2  m  2  8
• Nếu g2 g0 2 0 2m 8m 8 0         
thì max f x g2 m  2  8  0;2 2
 2m 4m 1 đạt giá trị nhỏ nhất khi m  2  8.
• Nếu g  g  2 2
0  0  2m 8m 8  0  2  8  m  2  8 thì min f x  g0 0;2
 4m 7 đạt giá trị nhỏ nhất khi m  2  8.
Vậy tóm lại GTLN của f x đạt GTNN khi m  2 8. Chọn C.
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
  x m m f x 
trên đoạn 1;2 đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 A. 1   m  . B. 1 7 m  . C. 5 165 m  . D. m  2. 2 2 10 2 2
Lời giải. Xét   x m m m m 1 g x 
trên 1;2, có gx  0, 1; x  2 . 2   x 1 x   1 12 2     
g x  g  m m 2 max 2  
Suy ra gx đồng biến trên 1;2 nên 1;2  3  . 2     
g x  g  m m 1 min 1   1;2  2 2 • Nếu     
g   g  5m 5m 7 5 165 5 165 1 2  0   0   m  6 10 10 7 2   2 thì m   m   max f x 2 5 1    đạt tại 5 165 m  . 1;2 3 3 5 10 2 • Nếu     
g   g  5m 5m 7 5 165 1 2  0   0  m  hoặc 5 165 m  6 10 10 7 2 1 thì m m   max f x 1 5 1    đạt tại 5 165 m  . 1;2 2 2 5 10 Vậy 5  165 m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 10
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số  f x ln x 1   m trên đoạn 2 1;  e    2 ln x 1  có giá trị nhỏ nhất là A. 2 1    . B. 2 1. C. 1 2 . D. 1 2 . 2 4 2 4 tln x Lời giải. Ta có  f x t 1 max  max  m .  2 1;e  0;2 2     t 1 Xét   t 1    gt 1 t g t m; 0    t  1. t 1  t 12 2 2
g01m  Ta có   g    m   g x 2 1 1 2 max
 max m 1 ; m  2  .  0;2     2
g  3 5 2   m  5 Dấu  ''  '' xảy ra khi 1 2
m 1   2 m  m   . Chọn A. 2
Câu 30. Cho hàm số f x 2
 2x  x  x  
1 3 x  m với m là tham số thực. Khi
giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì khẳng định nào sau đây đúng ?
A. m 0;  1 .
B. m 1;2.
C. m 2;  3 .
D. m 3;4.
Lời giải. Đặt t  x  
1 3 x. Hàm số trở thành f t 2
 t t  m 3 với 0  t  2. Xét gt 2
 t t  m 3, có gt  t  gt 1 2 1; 0   t  . 2 13   Ta có g  1 13 0  m 3, g      m  , g  2  m 1.  2 4 13 mm1   Suy ra  f t 13 9   4 max  max m  , m 1   . 0;2  4  2 8  
Dấu ''  '' xảy ra khi 13 17
m  m 1  m  . Chọn C. 4 8
Vấn đề 5) Cho đồ thị hàm số f x. Hỏi GTLN-GTNN của hàm số f ux  gx  
Câu 31. Cho hàm số y  f x có đạo
hàm f x liên tục trên  và đồ thị của
hàm số f x trên đoạn 2;6 như hình
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. max f x f   1 . 2;6
B. max f x f 2. 2;6
C. max f x f 6.
D. max f x max f   1 , f 6. 2;6 2;6
Lời giải. Đồ thị f x có bảng biến thiên như hình bên
Từ bảng biến thiên suy ra
max f x  max f  
1 ; f 6. Chọn D. [2;6]
Câu 32. Cho hai hàm số y  f x và y  gx liên tục trên 
có đồ thị hàm số y  f x là đường cong nét đậm và
y  gx là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm ,
A B, C của đồ thị y  f x và y  gx trên hình vẽ
lần lượt có hoành độ là ,
a b, c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số hx  f x gx trên
đoạn a;c bằng A. h0.
B. ha.
C. hb.
D. hc. x  a 
Lời giải. Ta có hx f x gx do thi 
hx  0  x  b .  x  c  Bảng biến thiên 14
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min hx hb. Chọn C. a;c
Câu 33. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Biết rằng f 0 f  
3  f 2 f   5 . Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn0;5 lần lượt là
A. f 0 f  ;  5 .
B. f 2 f  ; 0. C. f   1 f  ;  5 .
D. f 2 f  ;  5 .
Lời giải. Từ đồ thị hàm số y  f x trên đoạn 0;5, ta có bảng biến thiên của hàm
số y  f x như hình bên.
Suy ra min f x f 2 và max f x max f 0; f   5 . 0;5 0;5
Từ giả thiết, ta có f   5  f  
3  f 0 f 2.   1
Hàm số f x đồng biến trên 2;5  f  
3  f 2. 2 Từ  
1 và 2 , suy ra f   5  f 0 
max f x   f 0, f   5   f   5 . Chọn D. 0;5
Câu 34. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Biết rằng f 0 f  
1 2 f 2  f 4 f   3 .
Hỏi trong các giá trị f 0, f   1 , f  
3 , f 4 giá trị nào là
giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x trên đoạn 0;4 ? A. f 0. B. f   1 . C. f   3 . D. f 4.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số y  f x, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f x
Từ BBT suy ra min f x min f 0, f 4. 0;4
Ta tiếp tục đi so sánh f 0 và f 4. Từ giả thiết ta có
f 4 f 0  f   1  f   3 2 f 2 0 (vì f  
1  f 2, f   3  f 2).
Suy ra f 4 f 0 0 hay f 4 f 0. Vậy min f x f 4. Chọn D. 0;4
Câu 35. Cho hai hàm số y  f x, y  gx có
đạo hàm là f x , gx. Đồ thị hàm số y  f x
và y  gx được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f 0 f 6 g0 g6. Giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số hx f x gx trên đoạn 0;6 lần lượt là
A. h6, h 2.
B. h2, h 6.
C. h0, h 2.
D. h2, h 0.
Lời giải. Xét trên đoạn 0;6, ta có hx f x gx 0  x  2. 15 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có min hx h2. 0;6
Từ giả thiết suy ra f 0 g0 f 6 g6 
h0 h6 
max hx  h6. Chọn A. 0;6
Câu 36. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình bên. Xét hàm số gx f xx  2 2 1 , mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. max gx g  1 . 3;3
B. max gx g  3 . 3;3
C. min gx g  1 . 3;3
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của gx trên 3;3.
Lời giải. Ta có gx 2 f x2x  
1 ; gx  0  f x  x 1.
Suy ra số nghiệm của phương trình gx 0 chính là số giao
điểm giữa đồ thị của hàm số y  f x và đường thẳng x  3 
y  x 1. Dựa vào đồ thị ta suy ra gx  0  x  1 .  x  3  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max gx g  1 . Chọn A. 3;3
Chú ý: Dấu của gx được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3; ta thấy
đồ thị hàm số y  f x nằm phía trên đường thẳng y  x 1 nên suy ra gx 0.
Câu 37. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như
hình vẽ bên. Xét hàm gx f x 1 3 3 3 2
 x  x  x  2018, 3 4 2
mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. min gx g  3 .
B. min gx g  1 . 3  ;1 3  ;1 g   3  g   1
C. min gx g  1 .
D. min gx . 3  ;1 3  ;1 2 16  
Lời giải. Ta có gx f x 3 3 2 x  x   .  
Số nghiệm của phương trình g x 0  2 2
chính là số giao điểm của đồ thị C của hàm số y  f x và đồ thị  3 3
H  của hàm số hx 2
 x  x  . 2 2
Ta thấy H  cắt C tại ba điểm 3;  3 ,  1;  2 và 1;  1 . x  3 
Do đó ta có g 'x 0  x  1.  x 1 
Bảng biến thiên như hình bên
Từ bảng biến thiên ta suy ra min gx g  1 . Chọn B. 3  ;1
Câu 38. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x như hình bên. Xét hàm số
g x  f x 3 2
 2x 4x 3m 6 5 với m là tham số thực.
Để gx 0 với mọi x  5; 5   , 
khẳng định nào sau đây   đúng ? A. 2 2 m  f  5.
B. m  f  5. 3 3 C. 2 2 m 
f 02 5.
D. m  f  54 5. 3 3
Lời giải. Ta có gx f x 2 2
 6x 4; gx   f x 2 0  2 3x .
Để gx 0 với x  5; 5     thì  
max g x 0.   1  5; 5   
Dựa vào đồ thị hàm số y  f x và 2
y  3x 2 ta thấy f x 2
3x 2  0, x    5; 5    
 gx 0, x    5; 5  nên hàm số luôn đồng   g x biến trên  5; 5   .  
Suy ra max gx g   2 
 5 2 f  5 3 . m  5; 5   Từ   2
1 và 2, suy ra m  f  5. Chọn A. 3
Câu 39. Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên 2;2 và
đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ bên. Đặt gx f x x.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. g0 g2 g2.
B. g2 g0 g2.
C. g2 g2 g0.
D. g0 g2 g2. 17
Lời giải. Ta có gx f x1; gx 0
  f x  1.
Dựa vào đồ thị ta thấy đường y  1 cắt đồ thị hàm số x  2 
y  f x tại các điểm x  0 .  x  2 
Bảng biến thiên như hình bên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra g0 lớn nhất trong các giá trị g2 g ; 0 g ; 2. 0 2
Dựa vào đồ thị, ta có  f x1 dx  1 f x dx       2 0 0 2 
gxdx   gxdx  g0 g2 g0 g2  g2 g2.   2 0
Vậy g0 g2 g2 . Chọn A.
Câu 40. Cho hàm số y  f x. Đồ thị hàm số y  f x
như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số
g x  f x 3 3
 x 15x 1 trên đoạn 0;3 là A. g0. B. g  1 . C. g2. D. g  3 .
Lời giải. Ta có gx f x 2  x 
gx   f x 2 3 3 15; 0  5 x .
Đồ thị hàm số f x cắt đồ thị hàm số 2
y  5 x tại hai điểm A0;  5 , B 2;  1 .
 f x 2
 5 x khi x  2
Dựa vào đồ thị, ta thấy  
 Hàm số g x
 f x 2
 5 x khi x  2 
đồng biến trên 2; và nghịch biến trên  ;  2. Do đó
max g x  maxg0, g  3 . 0;3   1 3 2
Dựa vào đồ thị, ta có  f x   2x   5  dx    f x   2x       5  dx   2 0 3 2 3 hay
gxdx   gxdx 
gxdx  0   g  3  g 0.    2 2 0 0 Từ  
1 và 2, suy ra max gx  g  3 . Chọn D. 0;3 18
Phần 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1) Tìm số đường tiệm cận thông qua đồ thị cho trước
Câu 1. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong
hình bên. Đồ thị hàm số  g x x 2  có tất cả bao nhiêu f x1
đường tiệm cận đứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra phương trình f x 1 có 3 nghiệm phân
biệt là x  a 2  a  
1 , x  b 1 b  0 và x  c 1 c  2 . Nhận thấy các
nghiệm này đều khác 2. Vậy đồ thị hàm số gx có 3 đường TCĐ. Chọn D.
Câu 2. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường
cong hình bên. Đồ thị hàm số   2018x g x  có tất cả
f x f x1  
bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 9.
 f x 0
Lời giải. Ta có f x f x1  0   .    Dựa vào đồ f  x  1 
thị ta thấy phương trình f x f x1  0   có 8 nghiệm
phân biệt trong đó không có nghiệm nào bằng 0 
 đồ thị hàm số có 8 đường tiệm cận đứng.
Lại có gx là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu 
 đồ thị hàm số g x có đúng một tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số   2018x g x 
có 9 đường tiệm cận. Chọn D.
f x f x  1
Câu 3. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx 2018   2019 có tất cả bao f x
nhiêu đường tiệm cận ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2018
2018  2019 f x
Lời giải. Ta có gx  2019  . f x f x
Dựa vào đồ thị ta thấy f x 0,x   
2018  2019 f x 0,x  .  19 x  2
Dựa vào đồ thị ta thấy f x 0     ĐTHS có và  2 TCĐ: x  2 x  2. x  2 
Ta có lim gx 2019 và lim gx 2019 
 ĐTHS có TCN y  2019. Chọn C. x  x 
Câu 4. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong 2
hình bên. Đồ thị hàm số  g x x 1  có tất cả bao 2
f x4 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 0   1 Lời giải. Ta có 2
f x 4 f x 0     . 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f
 x  4 2  •  
1 có nghiệm x  a  1 (nghiệm đơn) và x  1 (nghiệm kép) 1 2 
 f x  x ax  2 1 .
• 2 có nghiệm x  1 (nghiệm kép) và x  b 1 (nghiệm đơn) 3 4 
 f x  x  2 4 1 x b. Do đó 2 x 1 x   1 x   1 g x 1   
f x f x4  
x ax  2 1 .x  2
1 x b x ax   1 .x   1 x b 
 đồ thị hàm số g x có 4 đường TCĐ. Chọn D.
Câu 5. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong x   1  2 x   1
hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả bao 2
f x2 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 0   1 Lời giải. Ta có 2
f x 2 f x 0     . 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f
 x  2 2  •  
1 có nghiệm x  a  1 (nghiệm đơn) và x  1 (nghiệm kép) 1 2 
 f x  x ax  2 1 .
• 2 có nghiệm x  b  a;1 , x  0 và x  c 1 3   4 5 
 f x2  x bx x c. x  2 1 x   1 Do đó  g x x 1  
x ax  2
1 .x bx x c x ax bx x c 
 đồ thị hàm số gxcó 4 đường TCĐ. Chọn D. 20
Câu 6. Cho hàm trùng phương y  f x có đồ thị là đường x x   1 x  2 1
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả 2
f x 2 f x
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 0   1 Lời giải. Ta có 2
f x 2 f x 0     
. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có f
 x  2 2  •   
 f x  x  2 x  2 1 1 1 . •   
 f x  x a 2 2
x x b. Do đó gx 1  
 ĐTHS g x có 4 đường TCĐ. Chọn D. x x  
1 x ax b
Câu 7. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có đồ 3
thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x  x g x  có bao 3
4 f x9 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
 f x 0   1  Lời giải. Ta có 3
4 f x 9 f x 0     f
 x  1,5 2. 
 f x1,5   3  Dựa vào đô thị, ta có •   
 f x  x  2 x x  2 1 2 2 .
• 2 có nghiệm x  a 2 (nghiệm bội lẻ) và x  1 (nghiệm bội chẵn). 4 •  
3 có nghiệm x  b  2 (nghiệm bội lẻ) và x  1 (nghiệm bội chẵn).   5 x x   1 x   1 x   1 x   1
Do đó gx  . 6 3
4 f x9 f x x 22 x 22 2 4 f  x9   Từ 4,   5 và 6 
 đồ thị hàm số g x có 6 đường TCĐ. Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x g x  có 2
f x f x2
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Điều kiện để x có nghĩa là x  0.
 f x1   1 Xét 2
f x f x 2 0      .  f
 x  2 2  21
x  a 3;  1 loaïi
x  c 3 loaïi •   1 có nghiệm  .   • 2 có nghiệm . x  b  3   thoûa maõn  x  d   1;  3 thoûa  
 đồ thị hàm số g x có 2 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường
 2x 3x 2 x 1
cong hình bên. Đồ thị hàm số gx 2 x  f 
x f x  
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
 f x 0   1
Lời giải. Điều kiện để x 1 có nghĩa là x 1. Xét 2
f x f x 0     .  f
 x  1 2    x  1
x  a 1 loaïi 3  1   •   1 có nghiệm  .  
• 2 có nghiệm x  c  1;2 . 4   x  2 nghiem   kep 2     x  d  2  5 x  
1 x 2 x 1 Do đó  g x x 1  
x.x ax 22 .x  
1 x cx d
x x ax 2x cx d x 1 
 đồ thị hàm số g x có 3 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 10. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị là đường cong
 2x 4x   2 3 x  x
hình bên. Đồ thị hàm số gx có tất cả 2 x  f 
x2 f x  
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Điều kiện để 2
x  x có nghĩa là x   ;    1 0;.
 f x 0   1 Xét 2
f x 2 f x 0     . 
Dựa vào đồ thị, ta có f
 x  2 2    x  1 x  3 nghiem kep 3  1   •   1 có nghiệm  .  
• 2 có nghiệm x  b  3;1 . 4  
x  a  1;0   2      loaïi 
x  c  3  5 x   1 x   2 2 3 x  x Do đó   x  x g x   x.x  2
3 x a.x  
1 x bx c x.x  
3 x a.x bx c 
 đồ thị hàm số g x có 4 đường TCĐ là x  0, x  b, x  3,
x  c. Chọn C. 22
Câu 11. Cho hàm số bậc năm y  f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   g x x 2 x 1  có bao 3
4 f x9 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Điều kiện để x 1 có nghĩa là x 1. x 2 x 1 x 22
Ta có gx  . 3
4 f x9 f x f x 2 4 f  x9 
x 2 x 1
x  2loaïi 
• x  2 x 1  0, x 1. • f x 0    x  0  loaïi . 
x  2nghiem kep triet tieu 
x  a 2loaïi
x 1 thoûa maõn • f x 1,5     .  
• f x1,5  . x      1 loaïi  x  b  2  thoûa maõn 
Vậy đồ thị hàm số gx có 2 đường TCĐ. Chọn A.
Câu 12. Cho hàm bậc bốn y  f x liên tục trên  và có đồ 2
thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số   
g x 2x
5x 4x 2x 1  2
f x11 f x 28
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Điều kiện để 2x 1 có nghĩa là 1 x   . 2
x  2x 122 x 2x  2 3
Ta có gx  . 2
f x11 f x 28
 f x7  f x4   
 2x 1  22
• f x 4 có nghiệm x  0, x  6 (nghiệm kép) và x  a 12 
 f x  x x  2 4 6 x a.
• f x 7 có nghiệm x 1,5 (nghiệm kép), x  b 6;12 và x  c 12;a 2     f x 3 7  x 
  x bx c.   2 Suy ra gx 4 
x 6 x a.x bx c. 2x 122 2 
 đồ thị hàm số g x có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B. 23
Câu 13. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị x   1 x 2 2
2 x 3x 1
hàm số gx
có bao nhiêu đường tiệm 2
f x6 f x5 cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Điều kiện để   2
x 3x 1 có nghĩa là 3 5 x  hoặc 3 5 x  . 2 2
 x 3x 1 2 2 1 x x  2 2 3
Khi đó gx  .
 f x1  f x 2 5    
 f x1  f x5 2x 3x 1     1
• f x1 có nghiệm x  a  0 (nghiệm đơn) và x  2 (nghiệm kép).
• f x 5 có nghiệm x  0 (nghiệm kép) và x  3 (nghiệm đơn). 2 2 Suy ra x x    gx 3 x 3   2 2
x ax 22 x x  
3  x 3x 1   1 x 22 2 2
x a 2x 3x 1  1 
 đồ thị hàm số g x có 1 đường tiệm cận đứng là x  . a Chọn A.
Câu 14. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình
vẽ. Đồ thị hàm số  
10x  9  52x g x  có bao nhiêu 2
8 f x13 f x
đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 10  x 9  0
Lời giải. Điều kiện để căn thức có nghĩa là 9 5     x  . 5  2x  0 10 2 
Từ đồ thị của hàm số f x, ta tìm được f x 3 2
 x 3x 5.   • f x 9 5  0, ; x   .  10 2     5
x  a 2;  9 5     •      f x 13 x 2 10 2    . 8  3 x   2
Vậy hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 15. Cho hàm bậc ba y  f x có đồ thị như hình. Đồ thị hàm f x số gx
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? x  2  2 1 x  4x   3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 24
x  1 nghiem kep
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng f x 0     x  2  nghiem don  x  2 1 x 2 
 f x  x  2
1 x 2. Khi đó gx  . x  2 1 x   1 x   3
Vì hàm số f x xác định trên  
1 2; nên x  1, x  1 không là các đường
TCĐ. Vậy ĐTHS gx có 1 đường TCĐ là x  3. Chọn A.
Vấn đề 2) Tìm số đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên
Câu 16. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng
biến thiên như hình bên. Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số   1 g x 
có ba đường tiệm cận đứng ?
f xm A. m  5. B. m  5.
C. 5  m  4.
D. 5  m  4.
Lời giải. Để đồ thị hàm số   1 g x 
có ba tiệm cận đứng thì phương trình
f xm
f xm  0 có ba nghiệm phân biệt. Dựa vào BBT 
m  5. Chọn B.
Câu 17. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số đã
cho có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ tính đường tiện
đứng và đường tiệm cận ngang) ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 lim f x    TCD : x  1 
Lời giải. Ta có x1  .
lim f x  TCD: x  3 x3
Lại có lim f x 0   TCN: y  0. x 
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 18. Hàm số y  f x xác định và có đạo hàm trên  \1; 
1 , có bảng biến thiên như hình bên. Gọi k, l
lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số gx 1 
. Tính k  l. f x1
A. k  l  2.
B. k  l  3.
C. k  l  4.
D. k  l  5. x  0
Lời giải. Dựa vào BBT, ta thấy f x1     ĐTHS có hai TCĐ.  g x x  a  1  25  f  x 1 lim     lim  0   y  0 TCN x x  f  x1 Lại có  .  f x 1 lim  0   lim  1   y  1 TCN x x   f x1  Vậy k  2, l  2 
 k  l  4. Chọn C.
Câu 19. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng
biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số gx 1  có 2 f x1
bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
 f x 1   1 Lời giải. Ta có 2 f x 1 0     . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy mỗi f
 x  1 2  phương trình  
1 và 2 đều có một nghiệm (hai nghiệm này khác nhau)   Đồ thị
hàm số gx có 2 đường TCĐ. Chọn C.
Câu 20. Cho hàm số bậc ba y  f x có bảng biến thiên 2
như hình vẽ. Đồ thị hàm số   x 2x g x  có bao 2 f x4
nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 2   1 Lời giải. Ta có 2 f x 4 0     . 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f
 x  2 2  •  
1 có nghiệm duy nhất x  a  0 
 f x 2  hx.x a với hx là hàm bậc hai và hx  0 vô nghiệm.
• 2 có nghiệm x  0, x  b 1;2 và x  c 2; 
 f x2  x x bx c. x x 2 x 2
Do đó gx 
hxx a.x x bx c
hxx a.x bx c 
 đồ thị hàm số g x có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn C.
Câu 21. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
f 3 x2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 26
x  a  2, 
Lời giải. Dựa vào BTT, ta thấy phương trình f x 2 
  x  b 2;2.   x  c  2  3 x  a x  3a  
Suy ra f 3 x2  0  3 x  b  x  3b   3 x c    x  3c   
 đồ thị hàm số g x có 3 đường TCĐ. Chọn D.
Câu 22. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
f 3 x4 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dựa vào BTT, ta thấy phương trình f x 4 có duy nhất nghiệm x  a  2.
Suy ra f 3 x4  0  3 x  a  x  3a 
 đồ thị hàm số g x có 1 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 1 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ? 2 log f x  4 2   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 4   1 Lời giải. Ta có 2 log f x 2 4 0 f x 16       . 2  
 f x 4 2 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra •  
1 có 1 nghiệm x  a  0.
•2 có 3 nghiệm x  b a;0, x  c 0; 
1 và x  c 1.
Vậy đồ thị hàm số gx có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn D.
Câu 24. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x 2018 
có bao nhiêu tiệm cận đứng ? 2 f x e e A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.  f x  1 1 2    
Lời giải. Ta có f x 2 e e 0 f x 1       .  f
 x  1 2  27
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra •  
1 có 2 nghiệm x  1 và x  a  5.
• 2 có 3 nghiệm x  b 1, x  c 1;2 và x  5.
Vậy đồ thị hàm số gx có 5 đường tiệm cận đứng. Chọn C.
Câu 25. Cho hàm số bậc ba y  f x có bảng biến
thiên như hình. Đồ thị hàm số   
g x 2x 7 3 4x 5  f x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Điều kiện để 4x 5 có nghĩa là 5 x   . 4
Từ bảng biến thiên, ta xác định được hàm số f x 3
 x 3x 1. x  2 4 1
Ta có gx .
 f x  12x 73 4x 5 • 5
2x 7  3 4x  5  0, . x   4 x  0 
x 1 nghiemkep triet tieu
• f x 1 0 f x 1       x  3
hoặc f x 1     .   x  2  x   3   loaïi  loaïi
Vậy đồ thị hàm số gx có 2 đường TCĐ là x  0,
x  3. Chọn B.
Vấn đề 3) Tìm số đường tiệm cận thông qua biểu thức của hàm số
Câu 26. Cho hàm số y  f x thỏa mãn lim f x 1 và lim f x . m Tìm tất cả x  x 
các giá trị thực của tham số 1
m để đồ thị hàm số y  có duy nhất một tiệm f x 2 cận ngang. A. m  1. B. m  2.
C. m  1;2.
D. m  1;2. Lời giải. Ta có 1 1 lim   1 
 đồ thị hàm số luôn có TCN y  1.
x  f x 2 1 2  1 1  lim  1   m  1
x f x2 m  2
Do đó để ycbt thỏa mãn khi  .  Chọn C. 1  lim    m  2 x f  x2  28
Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên của tham số thực m 3;6 để đồ thị hàm số x 1 y 
có đúng 4 đường tiệm cận ? 2
2x 2x m  2  x 1 A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. Lời giải. Ta có 1 lim y  và 1 lim y 
nên ĐTHS có 2 đường TCN. x  2 1 x   2 1
Do đó để yêu cầu bài toán thỏa mãn khi ĐTHS có đúng 2 TCĐ  phương trình 2
2x  2x  m  2  x 1  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. x 1 Ta có 2 2x 2x m 2 x 1          . * 2
x 4x m 1 0 
Để * có 2 nghiệm phân biệt khác 1   '  0 m  3  0     2 1
 4.1m 1 0 m   2    3  m  6    1 x x2 4        Chọn B. x 1  * * .
 x 1 x 1  0 x x m  1  2  1   1 2 m  2  1     x 1   
 x 1  x 1  0  2  1   2  
Câu 28. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của 1 x 1
m để đồ thị hàm số y  có 2
x  mx 3m
đúng hai tiệm cận đứng. A. m  ;
 120;.
B. m 0;.     C. 1 m  0; .   D. 1
m  0; .  2  2 x 1
Lời giải. Điều kiện: 
. Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình 2
x mx 3m  0  2
x mx 3m  0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2  2    0 m  12m  0  m  12m  0       
x x m 1 x 1  x 1 x 1 0          
 3m  m 1 0  0  m  . Chọn D. 1  1  2  1 2 1 x x2 3  m    2 x 1     
 x 1  x 1  0 m   2  0 2  1   2    2
Câu 29. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của 12  4x  x
m để đồ thị hàm số y  có 2
x 6x  2m
đúng hai tiệm cận đứng.     A. 9 m  4;   . B. 9
m  4; .
C. m 8;9.
D. m 0;9. 2     2 29 0   x  4
Lời giải. Điều kiện: 
. Tương tự như bài trên, yêu cầu phương trình 2
x 6x 2m  0  2
x 6x  2m  0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;4 9 
 4  m  . Chọn A. 2 Câu 30. Cho hàm số 1 y 
. Tìm tất cả các giá trị thực của 2 x   2m  
1 x  2m x m  
tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.    
A. m 0;  1 .
B. m 0;  1 . C. m   1 0;1 \      . D. m   1 ;1 \    . 2   2  
Lời giải. Ta có lim y  0 
 đồ thị hàm số có TCN: y  0. x 
Do đó để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận 
 đồ thị hàm số phải có 3 TCĐ   phương trình 2
x 2m  
1 x  2m  0 * có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn m    0   2  m  2 1 8m  0     1   m   x m 0  
    x m x m  0    2 . Chọn C. 1  1  2    
x m  0  0          m 1 2 x m x m 0  1   2   2
Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên 2x  mx 1
m 1;3 để đồ thị hàm số y  có x  2 1
đường tiệm cận đứng ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có lim    
 với m  1. Do đó với m  1 thì hàm   2 2x mx 1 2 m 1 x 1 
số không có giới hạn khi x  1 nên ĐTHS không có TCĐ.  2 m  1
lim 2x  mx 1  2  m 1  0  x 1    • Với  thì  
 lim y   nên ĐTHS có m   3  lim  x  2 x 1 1  0   x 1  TCĐ là x  1. 2 2 • Với 2x  3x 1 x 1
m  3 ta có lim y  lim  lim x 1  x 1  x  2 x 1 1  x  2 1  2
2x  3x 1 x 1  lim
  nên ĐTHS có TCĐ là x  1. x 1   2
2x  3x 1x   1
Vậy để ĐTHS có TCĐ thì m  1 m   
m  1;0;1;2;3 . Chọn D. m 1;3    
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số 2
y  ax  4x 1 có tiệm cận ngang ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. 2 2 a  4 x 1
Lời giải. Ta có lim y  lim ax  x   x  x  2 4 1   lim . x  2 ax  4x 1 30
 2a 4 2x 1 Với 2
a  4  0 ta có lim     ĐTHS không có TCN. x  2 ax  4x 1
 2a 4 2x 1 Với 1 2
a  4  0  a  2 ta có lim  lim  0   ĐTHS có x  2 x  2 ax  4x 1 ax  4x 1
TCN là y  0. Vậy a  2 thỏa mãn. Chọn C.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y  có hai tiệm cận ngang. 2 mx 1 A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  . 
Lời giải. Khi m  0, ta có 1 1 x 1   1 1  lim  lim x    y  là TCN ; x  2 mx 1 x  1 m m m  2 x  1    1 x 1    1  x  1 1  lim  lim x y      y   là TCN. x  x  1 1 m m x m  m  2 2 x x Với x  m  0 suy 1 y  
 đồ thị hàm số không có tiệm cận. 1
Với m  0 thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN.
Vậy với m  0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn D.
Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị hàm số x 3 y 
có đúng một tiệm cận ngang ? 2 x  mx  4 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Ta có x 3 1  lim y  lim  với m  0 ; x  x  2 x  mx  4 1 m x 3 1  lim y  lim  với m  0, 1 m  . x  x  2 x  mx  4 1 m  3  4            x   3  2 x  4  x 1 1 1   2  x  x  Nếu  m  1 thì 2 lim y  lim  lim x .  ,  x  x  4 x  4  
suy ra hàm số chỉ có đúng một TCN là 1 y  1
do lim y  khi m 1. Do đó giá trị 2  x   2 
m  1 thỏa yêu cầu bài toán. m   0 Nếu 
, để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang 1 1    m  0. m  1  1 m 1 m 31 Vậy m  0, 1
m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đồ thị hàm số 2 3x mx 1 
x 2018m 2 x 1 y e   có hai tiệm cận ngang ? A. 2016. B. 2017. C. 2018. D. 2019.
Lời giải. Nếu m  0 hoặc m  2018 thì TXĐ không chứa  nên không có TCN. 3 m 3 m
Xét 0  m  2018, ta có 1 2018 lim m y  e và 1 2018 lim m y  e . x  x    0   m  2018   0   m  2018  
Để đồ thị hàm số có hai TCN ta cần 1  2018 m 0       m  2017      3 m 3   9081 m   m             5 1 2018 m 1 2018 m m  m  0;1;...; 
2018 \2017. Chọn C. 32
Phần 5. TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Vấn đề 1) Tìm nghiệm của phương trình thông qua biểu thức
Câu 1. Cho hàm số gx 2
 x 1 và hàm số f x 3 2
 x 3x 1. Tìm m để phương
trình f gx m  0  
có 4 nghiệm phân biệt.
A. 3  m  1. B. 3  m  1.
C. 3  m  1. D. m  1.
Lời giảỉ. Ta có m  f gx  
 x  3  x  2 2 2 6 2 1 3
1 1  x 3x 1  hx. x  0
Đạo hàm hx 5
 6x 6x  0; hx 0    . x  1 
Bảng biến thiên như hình bên Yêu cầu bài toán 
3  m  1. Chọn A.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình     3 3 f f x
m  x m có nghiệm x 1;2 biết f x 5 3
 x 3x 4m . A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.
Lời giải. Đặt y  f x 3 3  m 
 y  f x . m   1
Từ đề bài suy ra f y 3  x  . m 2 Lấy   1 2 ta được: 3
y  f y 3
 x  f x 5 3 5 3
 y  y  x  4x xet ham   1 5 3
 y  x 3m  x  2x  gx.
Ta có gx 4 2
 5x  6x  0 nên gx đồng biến trên 1;2.
Do đó yêu cầu bài toán  g 
1  3m  g 2 
1 m 16. Chọn B.
Câu 3. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình bậc ba 3 2
x 3x  21mx 16  2m  0 có nghiệm nằm trong đoạn 2;4. A. 11 m  .
B. 20  m  8. C. m  8.
D. 11  m  8. 2 3 2 3 2
Lời giải. Phương trình
x 3x  2x 16 1 8 2 m   x  x 
 f x, x 2;4. 2x 2 2 x 1
Ta có f x 8  x 1 ; 0
f  x   x  3. 2   x   1
Bảng biến thiên như hình bên
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn 2;4
thì 11  m  8. Chọn D. 2
Câu 4. Cho hàm số f x 3 2
 x  ax bx  c. Nếu phương trình f x  0 có ba nghiệm
phân biệt thì phương trình
        2 2 f x f x f x  
 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 33
Lời giải. Gọi x , x , x là ba nghiệm của phương trình f x 0. 1 2 3
Đặt gx f x f  x f x 2 2 .  , 
 có gx  2 f x. f x  12 f x;
gx  0  f x  0  x  x hoặc x  x hoặc x  x . 1 2 3 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số gx cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 
 gx  0 có hai nghiệm phân biệt hay phương trình f x f x f x2 2 .  0
có 2 nghiệm phân biệt. Chọn B.
Câu 5. Biết rằng đồ thị hàm số    4 3 2 y
f x  ax  bx  cx  dx  e (với ,
a b,c,d,e   và a  0; 0
b  ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số
g x   f x 2  f  x. f x  0  
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm ? A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
Lời giải. Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f x và trục hoành là x , x , x ,
x . Suy ra f x  ax  x x  x x  x
x  x . 1  2  3  4  1 2 3 4
Đạo hàm f x ax  x x  x x  x a x  x x  x x  x 2  3  4   1  3  4 
ax  x x  x x  x a x  x x  x x  x . 1  2  4   1  2  3 
• Ta có gx   f x  2  f x  f x   f x  2 .   0, x i i i i i i     
 gx  0 không có nghiệm x . i 4   • Xét 1 1 1 1   1
x  x , ta có f x  f x      f   x. i x  x x  x x  x x  x   x  x 1 2 3 4 i 1 i f x 4 1  f   x  4   1                 f x             i 1  x x f x  x x i   i 1 i 
f x. f x  f x 2 4 1      
 0, x hay  f x 2  f x. f x 0, x  x  i   f x 2
i x  xi 2 1  
Vậy trong mọi trường hợp phương trình gx 0 đều vô nghiệm. Chọn A. 34
Vấn đề 2) Tìm nghiệm của phương trình thông qua bảng biến thiên
Câu 6. Cho hàm số y  f x liên tục trên  \0 và có bảng biến thiên như sau
Gọi h là số nghiệm của phương trình f x  3 và k là số nghiệm của phương trình
f  x   3 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. h  k  4.
B. h  k  6.
C. h  k  7.
D. h  k  8.
Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số f x , suy ra
† Bảng biến thiên của hàm số f x . Trong đó a là
hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f x với trục hoành. Dựa vào BBT 
 f x  3 có đúng 3 nghiệm.
† Bảng biến thiên của hàm số f  x . Dựa vào BBT 
 f  x   3 có đúng 4 nghiệm.
Vậy h  k  3 4  7. Chọn C.
Câu 7. Cho hàm số y  f x liên tục trên  \0 và có bảng biến thiên như sau
Với m là tham số thực bất kỳ, phương trình f  x m  0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm ? A. 3. B. 5 C. 6. D. 7.
Lời giải. Từ BBT của hàm số y  f x 
 f x  0 có 3 nghiệm phân biệt 
 f x  m  0 có tối đa ba nghiệm 
 f  x m  0 có tối đa 6 nghiệm phân
biệt (khi ĐTHS y  f x m cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương). Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1;8, biết f   1  f  
3  f 8  2 và
có bảng biến thiên như sau 35
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x f m có ba
nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;8 ? A. 1. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải. Phương trình f x f m là phương
trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
C: y  f x và đường d : y  f m.
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn   BBT 1;8 
 f m2;4 BBT  m 1;  1 3; 
5 5;8. Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số ux liên tục trên đoạn 0;5 và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 3x  102x  .
m ux có nghiệm trên đoạn 0;5 ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Từ BBT ta có 1 ux 4 với mọi x 0;5. min f 
x f 0 10
Xét hàm f x 3x  102x trên 0;5, ta được x 0;5  . m
 ax f x f   3  5 x 0;5  khi x 0 khi 3 x  Từ đó suy ra 10 3x  10 2x   5 
 để phương trình đã cho có 4 ux nghiệm 10 
 m  5. Vì m   nên m  1;2;3;4  ;5 . Chọn C. 4
Câu 10. Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1;3 và có bảng biến thiên như sau Tổng các giá trị m
m   sao cho phương trình f x   1  có hai nghiệm 2 x 6x 12
phân biệt trên đoạn 2;4 bằng A. 297. B. 294. C. 72. D. 131.
Lời giải. Từ đề, suy ra m   2
x 6x 12. f x   1 , x 2;4.
Xét hàm số gx  2
x 6x 12. f x   1 , x 2;4.
Ta có gx  x   f x   2 2 6 . 1
x 6x 12. f x   x   2;4
1  0 x  3. Thật vậy 36 2  x 6  0  2  x 6  0    
 f x   1  0
 f x   1  0 • 2  x  3   
 gx 0. • 3  x  4   
 gx 0. 2
x 6x 12  0  2
x 6x 12  0    
 f x   1  0  
 f x   1  0 
Bảng biến thiên như hình bên
Dựa vào BBT, suy ra 12  m  3 m 
m  12; 11;...; 4  S  72. Chọn C.
Vấn đề 3) Tìm nghiệm của phương trình thông qua đồ thị
Câu 11. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như
hình vẽ bên. Hỏi phương trình  f x 2  4   có bao nhiêu nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.  2 f x  2   1
Lời giải. Ta có  f x  4   .    Phương trình   1 có đúng 1 nghiệm. f
 x  2 2 
Phương trình 2 có 3 nghiệm. Vậy phương trình  f x 2  4  
có 4 nghiệm. Chọn C.
Câu 12. Cho hàm số y  f x xác định trên .  Đồ thị hàm
số y  f x cắt trục hoành tại ba điểm ,
a b, c (a  b  c)
như hình vẽ. Biết f b 0, hỏi đồ thị hàm số y  f x cắt
trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Từ đồ thị của y  f x ta có BBT của hàm số
y  f x như hình bên. Do f a, f b , f c đều âm nên
đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 2 điểm. Chọn B.
Câu 13. Cho hàm số y  f x xác định trên .  Đồ thị hàm
số y  f x cắt trục hoành tại ba điểm ,
a b, c (a  b  c)
như hình vẽ. Biết f a 0, hỏi đồ thị hàm số y  f x cắt
trục hoành nhiều nhất bao nhiêu điểm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Từ đồ thị của y  f x ta có BBT của hàm số
y  f x như hình bên. Do f b f a 0 nên đồ thị hàm 37
số f x cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất khi f c 0. Khi đó đồ thị hàm số f x
cắt trục hoành tại 2 điểm. Chọn B.
Câu 14. Cho hàm số y  f x 3 2
 x 6x  9x 3 có đồ thị
như hình vẽ. Phương trình  f x 3   f x 2 6
 9 f x3  0     có bao nhiêu nghiệm ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x, ta suy ra phương trình
 f x a 0  a   1    1
f x 3 6 f x 2  9 f x3  0       f    
 x  b 1 b  2 2. 
 f x  c  3  c  4    3 Phương trình  
1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y  f x
với đường thẳng d : y  a 0  a  
1 . Dựa vào đồ thị ta thấy d cắt C  tại 3 điểm phân biệt. Do đó  
1 có ba nghiệm. Tương tự 2 có một nghiệm,   3 có một nghiệm.
Do đó phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm. Chọn B.
Câu 15. Cho hàm số y  f x 3 2
 x 3x  2 có đồ thị như
hình vẽ. Phương trình x  x  3  x  x  2 3 2 3 2 3 2 3 3 2  2  0
có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x, ta suy ra phương trình 3 2
x 3x 2  a 1 a  0    1
x 3x 23 3x 3x 22 3 2 3 2  3 2
 2  0  x 3x  2 1 2.  3 2
x 3x  2  b 2  b   3    3
Như bài trước, dễ dàng nhận thấy  
1 có 3 nghiệm nhưng có 2 nghiệm thực dương;
2 có 3 nghiệm nhưng có 2 nghiệm thực dương,  
3 có duy nhất 1 nghiệm dương.
Do đó phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm thực dương. Chọn B.
Câu 16. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình f  f x  0  
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. 38
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x, ta suy ra phương trình
 f x  a 
2  a   1    1 f f x 0  
   f x b 0  b      1 2. 
 f x  c  1 c  2    3
Mỗi phương trình đều có 3 nghiệm. Chọn D.
Câu 17. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f  f x 1.  
Khẳng định nào sau đây đúng ? A. m  3. B. m  4. C. m  7. D. m  9.
t  a 1 a  0 
Lời giải. Đặt t  f x. Dựa vào đồ thị, ta có f t 1 
  t  b 0  b    1 . 
t  c c  2 
• Phương trình t  ,
a suy ra f x  a 1 a  0 có 3 nghiệm phân biệt.
• Phương trình t  b, suy ra f x b 0  b  
1 có 3 nghiệm phân biệt.
• Phương trình t  c, suy ra f x c c  2 có 1 nghiệm. Vậy m  7. Chọn C.
Câu 18. Cho hàm số f x 3 2
 x 3x  4 có đồ thị như hình
f  f x
vẽ bên. Hỏi phương trình    1 có bao nhiêu 2
3 f x5 f x 4 nghiệm thực ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
f  f x Lời giải. Ta có   3
 1  f x 2 3 f x 2  4  3 f
x 5 f x  4 2    
3 f x5 f x 4
 f x 0   1  3 f x 2
6 f x 5 f x 0       f
 x  1 2. Dựa vào đồ thị ta thấy   1 có 2 
 f x 5   3 
nghiệm; 2 có 3 nghiệm;  
3 có 1 nghiệm. Chọn C.
Câu 19. Cho hàm bậc bốn y  f x có đồ thị như hình bên.
Phương trình f  f 
x 2  f 
x1 có bao nhiêu nghiệm   A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 39
Lời giải. Dựa vào đồ thị   f x 4 2  x 2x .
Đặt t  f x, t  0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành f t t 1 2
 2  t 1  f t 4 2 0
 2  t  2t 1 t  . 2 Do đó  f x 1 1 2 5 4 2
  x 2x   x  
. Vậy phương có 2 nghiệm. Chọn A. 4 4 2
Câu 20. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình bên. Hỏi có
bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm
của phương trình f  f cos2x  0   ? A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. D. Vô số.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy khi x 1;  1 thì y 0;  1 .
Do đó nếu đặt t  cos2x thì t 1; 
1 , khi đó f cos 2x0;  1 .
 f cos2x 0 
Dựa vào đô thị, ta có f f cos2x 0  
   f cos2x a a      1 loaïi . 
 f cos2x b b   1 loaïi  Phương trình  
f cos 2x  0 
cos 2x  0  x   k k  . Vậy phương trình đã 4 2
cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Chọn C.
Câu 21. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi
phương trình f  f cos x1  0  
có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;2 ? A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f  f cos x1  0  
 f cos x1 x ; 2 x   ;1
 f cos x  x 1 m  1;0   1 1 1     1 1    
 f cosx 1 x ; x 1;0      
 f cos x  x 1  m  0;1 2. 2 2      2 2    
 f cos x1 x ; 1 x  ;2
 f cos x  x 1  m  2;3   3 3 3     3 3     Xét  
1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f t trên đoạn 1;  1
với đường thẳng y  m 1 m  0 . Dựa vào đồ thị ta thấy   1 có 1 nghiệm, tức là 1  1  có 1 giá trị của   0;2  cos x x  
 cho ra 2 nghiệm x. Tương tự 2 có 2 nghiệm x;   3
vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn B. 40
Câu 22. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị hàm số như hình vẽ
bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình f  2
x  4x 32. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. 2
x  4x 3 xác định khi 1 x  3.  2
 x 4x 3  a  0loaïi 
Từ đồ thị của hàm số, ta có f  2
x  4x 3  2
 2   x  4x 3 1 .  2
 x  4x 3  b 2;  3  • 2
x  4x 3  1  x  2. • 2 2 2
x  4x 3  b  x 4x 3 b  0 có    2 b  2 4 3
 1b  0, b 2;  3 .
Vậy phương trình f  2
x  4x 32 có đúng 1 nghiệm. Chọn A.
Câu 23. Cho hàm số y  f x xác định trên  và có đồ thị
như hình bên. Hỏi phương trình f  x   1 2   có bao nhiêu 2 nghiệm ? A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
Lời giải. Hàm f  x m  được thực hiện bằng cách lấy đối xứng qua trục Oy trước,
sau đó mới tịnh tiến. Do đó lấy đối xứng phần đồ thị của
f x bên phải trục tung qua Oy, sau đó tịnh tiến sang
phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số f  x 2  (tham khảo
hình vẽ). Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng 1 y   cắt 2
đồ thị tại 4 điểm phân biệt   phương trình f  x   1
2   có 4 nghiệm phân biệt. Chọn C. 2
Câu 24. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình f  3 2
x 1  3  0 có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 1 ? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải. Đặt t x 3
 x 1 (vì t x đồng biến nên mỗi x có một t ). Với x 1  t  0. 41
Phương trình trở thành f  t  3
 với t  0. Đây là phương trình hoành độ giao điểm 2
của đồ thị y  f  t  với t  0 và đường thẳng 3 y  2
(tham khảo hình vẽ). Dựa vào đồ thị ta thấy phương
trình f  t  3
 có 4 nghiệm dương nên suy ra 2
phương trình đã cho có 4 nghiệm lớn hơn 1. Chọn B.
Câu 25. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m để phương trình f  2
x 2x m có đúng 4 nghiệm thực   phân biệt thuộc đoạn 3 7  ;  ?  2 2   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.     Lời giải. Đặt 2
t  x 2x, với 3 7
x   ;  thì 21 t  1; .  2 2    4     
Nhận xét: Cứ một nghiệm 21 t    1;  
sẽ cho hai nghiệm x và t  1 sẽ cho một  4 
nghiệm x. Do đó để phương trình f  2
x 2x m có đúng 4 nghiệm  f t m có đúng 2 nghiệm. 
Dựa vào đồ thị, ta có    m 
f t  m với 21 t  1;  có đúng 2 nghiệm 2 4   . Chọn B.  4    m  5 
Câu 26. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ. Với
m là tham số thực bất kì thuộc đoạn 0;5, hỏi phương trình f  3 2
x  x  6x 2m  5m có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
k  m 5  5
Lời giải. Đặt k  2m  5m. Ta có    5  k  15.
k  21. m 5m  15  Đặt 3 2
t  x  x  6x (vì là hàm đồng biến nên mỗi t có một x ).
Phương trình trở thành f t k với k  5; 15  . 
Dựa vào đồ thị ta thấy đường  
thẳng y  k với k  5; 15   cắt đồ thị tại   f t
3 điểm phân biệt nên phương trình
f t  k luôn có 3 nghiệm t 
 phương trình f  3 2
x  x  6x 2m  5m với
m 0;5 có 3 nghiệm x. Chọn C. 42
Câu 27. Cho hàm số y  f x liên tục và có đạo hàm trên  , có
đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số bất kì thuộc 0;  1 . Phương trình f  3 2
x 3x  3 m  4 1m có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 9.
Lời giải. Đặt k  3 m  4 1m  3  k  5. Đặt t x 3 2
 x 3x , có t x 2
 3x 6x t x ; 0
  x  0 hoặc x  2.
Bảng biến thiên như hình bên.
Phương trình trở thành f t k với k 3;5 BBT
t  a  0   1 nghiem x  do thi    t  b 
4  b  0 BBT   3 nghiem x .  BBT
t  c  4   1 nghiem x 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm x. Chọn C.
Câu 28. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có đồ thị như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
f 6 sin x 8cos x  f mm  
1  có nghiệm x   ? A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có y  f x là hàm số đồng biến trên . 
Do đó f 6sin x 8cos x f mm  
1   6sin x 8cos x  mm   1 . Mà    
10  6 sin x  8cos x 10 nên 
 mm   1 41 1 41 10 1 10    m  . 2 2
Vậy có 6 số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D.
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  m
f 2 sin x   f     
có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn    ;2 ?  2  A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Đặt t  2 sin x 
0  t  2. Ta thấy t  0 cho ta 4 nghiệm x    ;2, mỗi
t  0;2 cho ta 6 nghiệm x  
 ;2, t  2 cho ta 3 nghiệm x    ;2.  
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình   m
f t  f      có  2    tối đa m
2 nghiệm t (đường thẳng y  f      cắt đồ thị  2 
tối đa hai điểm). Do đó để phương trình đã cho có 43   đúng m
12 nghiệm x phân biệt thuộc  
 ;2 khi và chỉ khi phương trình f t  f       2 
có đúng 2 nghiệm t phân biệt thuộc 0;2  m 0    2 27 m  0   m  4    f    2    0, suy ra  m    
m  1;2. Chọn A. 16  2  m 3 m   3      2 2
Câu 30. Cho hàm số y   2 x  
1 . f x liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ bên. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình   x f x 
thuộc khoảng nào sau đây ? 2 x 1 A. 0;2. B. 1;  3 . C. 2;4. D. 3;  5 .
Lời giải. Ta có f x x 2  
 x  x 1 f x. 2 x 1 Đồ thị hàm số 2
x 1 f x xác định bằng cách giữ phần x 1 và x  1 của đồ thị hàm số  2 x  
1 f x và lấy đối xứng phần 1 x 1 của đồ thị hàm số  2 x   1 f x qua trục Ox.
Vẽ đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số 2
x 1 f x tại hai điểm
x  a 1 a  0 và x  b 2  b  
3 . Do đó tổng các nghiệm của phương trình   x f x 
nằm trong khoảng 1;  3 . Chọn B. 2 x 1
Câu 31. Cho hàm số gx x 2. f x liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi với m thuộc khoảng nào dưới đây
thì phương trình f x x 2  m có nhiều nghiệm nhất ? A. 2;0. B. 0;  1 . C. 1;2. D. 0;2.
Lời giải. Đồ thị hàm số f x x 2 được xác định bằng cách
giữ phần x  2 của đồ thị hàm số f xx 2 và lấy đối xứng
qua Ox phần x  2 của đồ thị hàm số f xx 2.
Dựa vào đồ thị suy ra, để số nghiệm của phương trình
f x x 2  m là lớn nhất thì m 0;  1 . Chọn B. 44
Câu 32. Cho hàm số y  x  
1 . f x xác định và liên tục trên
 và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 2
y  m m cắt đồ thị hàm số y  f x x 1 tại hai
điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn 1;  1 . A. m  0.
B. m 1 hoặc m  0. C. m 1.
D. 0  m 1.
Lời giải. Đồ thị hàm số f x x 1 như hình bên. Dựa vào đồ thị
suy ra, để phương trình f x 2
x 1  m m có hai nghiệm có
hoành độ nằm ngoài đoạn 1;  1 thì 2
m m  0  m 1 hoặc
m  0. Chọn B.
Câu 33. Hình bên là đồ thị của hàm số 3 2
y  2x 3x . Sử dụng
đồ thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2 x  x  2
x   m 2 16 12 1 x  3 1 có nghiệm.
A. 1 m  0.
B. 1 m  4.
C. 1 m  4. D. Với mọi . m 3 2 3 2    
Lời giải. Phương trình x x 2x 2x  16 12     m  2 3       . m 2 2 2 2 x 1  x 1 x 1 x 1 Đặt 2x 2x t   0 . Ta có 2
x 1  2x suy ra t 
1. Do đó 0  t 1 . 2 x 1 2 x 1 Phương trình trở thành 3 2
2t 3t  m * . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y  2t 3t (chỉ xét trong phần t 0; 
1 ) và đường thẳng y  . m
Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
* có nghiệm thuộc đoạn 0; 
1  1  m  0. Chọn A.
Câu 34. Hình bên là đồ thị của hàm số 3 2
y  x  3x . Sử dụng đồ
thị đã cho tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 3
3x 3  x  m có hai nghiệm thực âm phân biệt.
A. 1 m 1.
B. 1 m 1.
C. 1 m 1. D. m  4.
Lời giải. Điều kiện: x 1   1 và 3
x  m 2. Khi đó phương trình 2 3 3 2
 3x 3  x  m  x 3x  m 3. Đây là phương trình
hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C 3 2
: y  x  3x (chỉ xét trong phần x thỏa điều kiện  
1 & 2 ) và đường thẳng d : y  m 3 (cùng phương với trục hoành). Để phương trình 2 3
3x 3  x  m có hai nghiệm thực âm phân biệt khi d cắt C
tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Dựa vào đồ thị ta suy ra 2  m 3  4  1 m 1. Chọn B. 45
Câu 35. Cho hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ. Tồn tại bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2x  3 x  .
m f x có nghiệm trên đoạn 0;3 ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. 2x  3 x
2x  3 x có nghĩa khi và chỉ khi x 0;3. Khi đó m  . f x
 2x  3x  x 3x. 2 1  3 Ta có  2x  3 x   
 3, x 0;3.
 f x f 21  f x
Dấu "  " xảy ra khi x  2.
 2x  3x  2x 3x  3 x  3 Mặt khác  2x  3 x 3     , x 0;3.
 f x f 0 5  f x 5
Dấu "  " xảy ra khi x  0. Vậy 3 3 m m     m  1; 2  ; 3 . Chọn B. 5 46
Document Outline

Hàm số vận dụng cao - Đề 2
Hàm số vận dụng cao - Đề 1
Hàm số vận dụng cao - Lời giải Đề 2
Hàm số vận dụng cao - Lời giải đề 1