Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải Toán 12

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
124 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải Toán 12

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

62 31 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

124 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
https://toanmath.com/
NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số
(
)
fx
xác định trên
K
(
K
là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
trên
K
nếu
(
) (
)
'Fx fx
=
với mọi
xK∈
.
Định lí:
1) Nếu
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
thì với mỗi hằng số
C
, hàm số
( ) ( )
Gx Fx C= +
cũng là một nguyên hàm của
trên
K
.
2) Nếu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
thì mọi nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
đều có dạng
( )
Fx C+
, với
C
là một hằng số.
Do đó
(
)
,F x CC
+∈
là họ tất cả các nguyên hàm của
trên
K
. Ký hiệu
( ) ( )
xf xd Fx C
= +
∫
.
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
( )
(
)
( )
xfxd fx
′
=
∫
và
( ) ( )
'xf xd f x C= +
∫
Tính chất 2:
( ) ( )
xxkf xd k f xd=
∫∫
với
k
là hằng số khác
0
.
Tính chất 3:
( )
( ) (
) (
)
x xxf x gx d f xd gxd±= ±


∫ ∫∫
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên
K
đều có nguyên hàm trên
K
.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
( )
( )
u ux=
xd xC= +
∫
ud uC= +
∫
( )
1
1
x1
1
xd x C
αα
α
α
+
= + ≠−
+
∫
( )
1
1
u1
1
ud u C
αα
α
α
+
= + ≠−
+
∫
1
x lnd xC
x
= +
∫
1
u lnd uC
u
= +
∫
x
xx
ed e C= +
∫
u
uu
ed e C= +
∫
( )
x 0, 1
ln
x
x
a
ad C a a
a
= + >≠
∫
( )
u 0, 1
ln
u
u
a
ad C a a
a
= + >≠
∫
https://toanmath.com/
sin dx cosx
xC=−+
∫
sin du cosu
uC=−+
∫
cosxdx sin xC
= +
∫
cosudu sinuC= +
∫
2
1
x tan
cos
d xC
x
= +
∫
2
1
u tan
cos
d uC
u
= +
∫
2
1
x cot
sin
d xC
x
=−+
∫
2
1
u cot
sin
d uC
u
=−+
∫
B - BÀI TẬP
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có đạo hàm trên
[ ]
;ab
.
(2): Mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có nguyên hàm trên
[
]
;ab
.
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên
[
]
;
ab
đều có nguyên hàm trên
[ ]
;ab
.
(4): Mọi hàm số liên tục trên
[
]
;ab
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
[ ]
;ab
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 2. Cho hai hàm số
( )
fx
,
( )
gx
liên tục trên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) (
) ( )
d ddfx gx x fx x gx x+= +


∫ ∫∫
.
B.
( ) ( ) ( ) ( )
. d d. dfxgx x f x x gx x=


∫ ∫∫
.
C.
( )
( )
(
) (
)
d dd
fx gx x f x x gx x−= −


∫ ∫∫
.
D.
( )
( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
( )
0;kk≠∈
.
Câu 3. Cho
( )
fx
,
( )
gx
là các hàm số xác định và liên tục trên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d d. dfxgxx fxxgxx
=
∫ ∫∫
. B.
(
) ( )
2 d2 dfx x fx x=
∫∫
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
dddfx gx x fx x gx x+=+


∫ ∫∫
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
dddfx gx x fx x gx x−=−


∫ ∫∫
.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
( ) ( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
với
k ∈
.
B.
(
) ( )
( ) (
)
d ddfx gx x f x x gx x+= +


∫ ∫∫
với
( )
fx
;
(
)
gx
liên tục trên
.
C.
1
1
d
1
xx x
αα
α
+
=
+
∫
với
1
α
≠−
.
D.
( )
( )
( )
dfx x fx
′
=
∫
.
Câu 5. Cho hai hàm số
( )
fx
,
( )
gx
là hàm số liên tục, có
( )
Fx
,
( )
Gx
lần lượt là nguyên hàm
của
( )
fx
,
( )
gx
. Xét các mệnh đề sau:
( )
I
.
( ) ( )
Fx Gx+
là một nguyên hàm của
( ) ( )
fx gx+
.
( )
II
.
( )
.kF x
là một nguyên hàm của
( )
.kf x
với
k ∈
.
( )
III .
( ) ( )
.FxGx
là một nguyên hàm của
( ) ( )
.f xgx
.
Các mệnh đề đúng là
https://toanmath.com/
A.
( )
II
và
( )
III
. B. Cả
3
mệnh đề. C.
( )
I
và
( )
III
. D.
( )
I
và
( )
II
.
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
(
) (
) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx−= −


∫ ∫∫
, với mọi hàm số
( ) ( )
,fx gx
liên tục trên
.
B.
(
) ( )
f x dx f x C
′
= +
∫
với mọi hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx+= +


∫ ∫∫
, với mọi hàm số
(
)
(
)
,fx gx
liên tục trên
.
D.
( ) (
)
kf x dx k f x dx
=
∫∫
với mọi hằng số
k
và với mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên
.
Câu 7. Cho hàm số
(
)
fx
xác định trên
K
và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
(
)
( )
f x Fx
′
=
,
xK
∀∈
. B.
( ) ( )
Fx fx
′
=
,
xK
∀∈
.
C.
( ) ( )
Fx fx=
,
xK∀∈
. D.
( ) ( )
Fx fx
′′
=
,
xK∀∈
.
Câu 8. Cho hàm số
(
)
fx
xác định trên
K
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
thì với mỗi hằng số
C
, hàm số
( ) ( )
Gx Fx C= +
cũng là một nguyên hàm của
trên
K
.
B. Nếu
( )
fx
liên tục trên
K
thì nó có nguyên hàm trên
K
.
C. Hàm số
( )
Fx
được gọi là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
nếu
(
)
(
)
Fx fx
′
=
với mọi
xK
∈
.
D. Nếu hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
thì hàm số
( )
Fx−
là một nguyên
hàm của
( )
fx
trên
K
.
DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
Câu 9. Cho
(
)
1
2
fx
x
=
+
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Trên
( )
2;− +∞
, nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
( ) ( )
1
ln 2Fx x C= ++
; trên khoảng
( )
;2−∞ −
, nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
( )
( )
2
ln 2Fx x C= −− +
(
12
,CC
là các hằng số).
B. Trên khoảng
( )
;2−∞ −
, một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
( ) ( )
ln 2 3Gx x= −− −
.
C. Trên
(
)
2;− +∞
, một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
( ) (
)
ln 2Fx x= +
.
D. Nếu
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của của
( )
fx
thì chúng sai khác nhau một hằng
số.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai?
A.
cos d sinxx x C
=−+
∫
. B.
1
d ln
x xC
x
= +
∫
.
C.
2
2dxx x C= +
∫
. D.
ed e
xx
xC= +
∫
.
Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A.
4
3
d
4
xC
xx
+
=
∫
. B.
1
d lnx xC
x
= +
∫
.
C.
sin d cosxx C x= −
∫
. D.
( )
2e d 2 e
xx
xC= +
∫
.
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
d2xx C= +
∫
(
C
là hằng số). B.
1
d
1
n
n
x
xx C
n
+
= +
+
∫
(
C
là hằng số;
n∈
).
C.
0dxC=
∫
(
C
là hằng số). D.
ed e
xx
xC= −
∫
(
C
là hằng số).
https://toanmath.com/
Câu 13. Tìm nguyên hàm
( )
2
dFx x
π
=
∫
.
A.
(
)
2
Fx x C
π
= +
. B.
( )
2Fx x C
π
= +
.
C.
( )
3
3
Fx C
π
= +
. D.
(
)
22
2
x
Fx C
π
= +
.
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e cos 2018
x
fx x=++
là
A.
( )
e sin 2018
x
Fx x x C
=++ +
. B.
( )
e sin 2018
x
Fx x x C=−+ +
.
C.
( )
e sin 2018
x
Fx x x=++
. D.
( )
e sin 2018
x
Fx x C=++ +
.
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số
(
)
3
29
fx x
= −
là:
A.
4
1
9
2
x xC−+
. B.
4
49x xC−+
. C.
4
1
4
xC
+
. D.
3
49x xC−+
.
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e
e. 4fx x= +
là
A.
101376
. B.
2 e1
e.xC
−
+
. C.
e1
4
e1
x
xC
+
++
+
. D.
e1
e.
4
e1
x
xC
+
++
+
.
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số
( )
42
561fx x x=−+
là
A.
3
20 12x xC−+
. B.
53
2x x xC− ++
.
C.
53
20 12x x xC− ++
. D.
4
2
22
4
x
x xC
+ −+
.
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
0dxC
=
∫
. B.
5
4
d
5
x
xx C= +
∫
. C.
1
d lnx xC
x
= +
∫
. D.
ed e
xx
xC= +
∫
.
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số
2
1
3yx x
x
=−+
là
A.
32
3
ln
32
xx
xC−− +
. B.
32
2
31
32
xx
C
x
− ++
.
C.
32
3
ln
32
xx
xC−++
. D.
32
3
ln
32
xx
xC−+ +
.
Câu 20. Cho hàm số
(
)
2
2
ab
fx
xx
= ++
, với
a
,
b
là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
( )
1
1
2
d 2 3ln 2
fx x= −
∫
. Tính
T ab= +
.
A.
1T = −
. B.
2T
=
. C.
2T = −
. D.
0T =
.
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 25
fx x x= ++
là
A.
( )
32
5Fx x x=++
. B.
( )
3
Fx x x C= ++
.
C.
( )
32
5Fx x x x C=+++
. D.
( )
32
Fx x x C=++
.
Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số
( )
5
() 3 1
fx x= +
?
A.
( )
( )
6
31
8
18
x
Fx
+
= +
. B.
( )
( )
6
31
2
18
x
Fx
+
= −
.
C.
( )
( )
6
31
18
x
Fx
+
=
. D.
( )
( )
6
31
6
x
Fx
+
=
.
https://toanmath.com/
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số
(
)
2
2
11
3
fx x
x
= −−
là
A.
42
3
3
xx
C
x
−+ +
+
. B.
2
2
2xC
x
−
−+
. C.
42
3
3
xx
C
x
++
−+
. D.
3
1
33
xx
C
x
−
−−+
.
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
6
2
11
72
fx x
xx
= ++ −
là
A.
7
1
ln 2xx x
x
+ −−
. B.
7
1
ln 2x x xC
x
+ +− +
.
C.
7
1
ln 2x x xC
x
+ +− +
. D.
7
1
ln 2x x xC
x
+ −− +
.
Câu 25. Nguyên hàm của
( )
32
2fx x x x=−+
là:
A.
43 3
14
43
xx xC−+ +
. B.
43 3
114
433
x x xC−+ +
.
C.
43 3
12
43
xx xC−+ +
. D.
43 3
112
433
x x xC−+ +
.
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2018
3fx x x= +
là
A.
2019
673
x
xC++
. B.
2019
3
2
2019
x
xC++
.
C.
2019
1
673
x
C
x
++
. D.
2017
1
6054
2
xC
x
++
.
Câu 27. Hàm số
( ) tan
x
Fx e x C=++
là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A.
2
1
()
sin
x
fx e
x
= −
B.
2
1
()
sin
x
fx e
x
= +
C.
2
() 1
cos
x
x
e
fx e
x
−

= +


D.
(
)
2
1
cos
x
fx e
x
= +
Câu 28. Nếu
( )
1
d ln 2fx x x C
x
=++
∫
với
( )
0;
x∈ +∞
thì hàm số
( )
fx
là
A.
( )
2
11
.fx
xx
=−+
B.
( )
1
.
2
fx x
x
= +
C.
( ) ( )
2
1
ln 2 .fx x
x
= +
D.
( )
2
11
.
2
fx
xx
=−+
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
1
xx
fx
x
−+
=
−
.
A.
1
1
xC
x
++
−
. B.
( )
2
1
1
1
C
x
++
−
. C.
2
ln 1
2
x
xC+ −+
. D.
2
ln 1x xC
+ −+
.
Câu 30. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
1
3
sin
fx
x
= −
là
A.
( )
3 tanFx x x C=−+
. B.
( )
3 tanFx x x C=++
.
C.
( )
3 cotFx x x C=++
. D.
( )
3 cotFx x x C=−+
.
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3cosfx x
x
= +
trên
( )
0;+∞
.
A.
1
3sin xC
x
− ++
. B.
1
3sin xC
x
−+
. C.
1
3cos xC
x
++
. D.
3cos lnx xC++
.
https://toanmath.com/
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sinfx x x= +
là
A.
3
cosx xC++
. B.
3
sinx xC++
. C.
3
cosx xC−+
. D.
3
3 sinx xC−+
.
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 8sinfx x x= +
.
A.
( )
d 6 8cosfx x x xC
=−+
∫
. B.
( )
d 6 8cosfx x x xC=++
∫
.
C.
( )
3
d 8cosfx x x xC=−+
∫
. D.
( )
3
d 8cosfx x x xC=++
∫
.
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
cos
2
x
fx

=


A.
(
)
d sinfx x x xC=++
∫
. B.
( )
d sin
fx x x xC
=−+
∫
.
C.
(
)
1
d sin
22
x
fx x xC
=++
∫
. D.
(
)
1
d sin
22
x
fx x xC
=−+
∫
.
Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
cosfx x x= +
.
A.
( )
2
d sin
2
x
fx x xC=++
∫
. B.
( )
d 1 sinfx x xC=−+
∫
.
C.
( )
d sin cos
fx x x x xC= ++
∫
. D.
(
)
2
d sin
2
x
fx x xC
=−+
∫
.
Câu 36.
( )
23
2
x x dx+
∫
có dạng
34
34
ab
x xC++
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
9
. D.
32
.
Câu 37.
35
1 13
35
x x dx

+
+



∫
có dạng
46
12 6
ab
x xC++
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
1
. B.
12
. C.
(
)
36
13
5
+
. D. Không tồn tại.
Câu 38.
( )
( )
32
21a x bx dx++
∫
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Biết rằng
( )
( )
3 2 43
3
21
4
a x bx dx x x C+ + = ++
∫
. Giá trị
,ab
lần lượt bằng:
A.
1; 3
. B.
3; 1
. C.
1
;1
8
−
. D.
11
sin 2 cos2
42
xx x
−
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thỏa mãn điều kiện:
( )
2 3cos , 3
2
fx x xF
π

=−=


A.
2
2
( ) 3sin 6
4
Fx x x
π
= − ++
B.
2
2
( ) 3sin
4
Fx x x
π
=−−
C.
2
2
( ) 3sin
4
Fx x x
π
=−+
D.
2
2
( ) 3sin 6
4
Fx x x
π
= − +−
Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số
2
1
() 2
sin
fx x
x
= +
thỏa mãn
F( ) 1
4
π
= −
là:
A.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
=− +−
B.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
= −+
C.
2
F( ) ot
x cx x=−+
D.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
=− +−
https://toanmath.com/
Câu 41. Nếu
2
( ) sin
x
f x dx e x C=++
∫
thì
()fx
là hàm nào?
A.
2
cos
x
ex
+
B.
sin 2
x
ex−
C.
cos2
x
ex+
D.
sin 2
x
ex+
Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của
3
2
1
()
x
fx
x
−
=
biết F(1) = 0
A.
2
11
()
22
x
Fx
x
= −+
B.
2
13
()
22
x
Fx
x
= ++
C.
2
11
()
22
x
Fx
x
= −−
D.
2
13
(x)
22
x
F
x
= +−
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số
23
()fx
x
x
= +
là :
A.
4 3ln
x xC++
. B.
2 3ln
x xC++
.
C.
( )
1
4 3lnx xC
−
++
. D.
16 3ln
x xC−+
.
Câu 44. Tính
3
2
4
()
x dx
x
+
∫
A.
3
5
3
4ln
5
x xC
−++
. B.
3
5
3
4ln
5
x xC−+
.
C.
3
5
5
4ln
3
x xC
++
. D.
3
5
3
4ln
5
x xC
++
.
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số
32
() 4 3 2 2fx x x x= − +−
thỏa mãn
F(1) 9=
là:
A.
432
F( ) 2
xxxx
=−+−
. B.
432
F( ) 10xxxx=−++
.
C.
432
F( ) 2xxxx x=−+−
. D.
432
F( ) 2 10xxxx x
=−+−+
.
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số
5
(2 1)yx= +
là:
A.
6
1
(2 1)
12
xC++
. B.
6
1
(2 1)
6
xC++
.
C.
6
1
(2 1)
2
xC++
. D.
4
10(2 1)xC
++
.
Câu 47. Nguyên hàm
(
)
Fx
của hàm số
( )
23
24fx x x= +−
thỏa mãn điều kiện
(
)
00F
=
là
A.
34
24xx−
. B.
4
3
2
4
34
x
xx+−
. C.
34
2xx x−+
. D. Đáp án khác.
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng
( )
32
’ 4 –3 2Fx x x= +
và
( )
13F −=
A.
( )
43
– 23Fx x x x= −−
B.
( )
43
3+–2Fx x x x= +
C.
( )
43
– 23Fx x x x= −+
D.
( )
43
23Fx x x x=+++
Câu 49. Hàm số
xác định, liên tục trên
và có đạo hàm là
( )
1fx x
′
= −
. Biết rằng
( )
03f =
. Tính
( ) ( )
24ff+
?
A.
10
. B.
12
. C.
4
. D.
11
.
Câu 50. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
( )
sinfx x x
′
= +
và
( )
01f =
. Tìm
( )
fx
.
A.
( )
2
cos 2
2
x
fx x=−+
. B.
( )
2
cos 2
2
x
fx x=−−
.
C.
( )
2
cos
2
x
fx x= +
. D.
( )
2
1
cos
22
x
fx x=++
.
https://toanmath.com/
Câu 51. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
3 5cosfx x
′
= −
và
( )
05f =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
3 5sin 2fx x x=++
. B.
( )
3 5sin 5fx x x=−−
.
C.
( )
3 5sin 5fx x x=−+
. D.
( )
3 5sin 5fx x x=++
.
Câu 52. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của của hàm số
( )
sinfx x=
và đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi
qua điểm
(
)
0;1
M
. Tính
.
2
F
π



A.
2
2
F
π

=


. B.
1
2
F
π

= −


. C.
0
2
F
π

=


. D.
1
2
F
π

=


.
Câu 53. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
23fx x x=−+
thỏa mãn
( )
02F =
, giá trị
của
( )
1F
bằng
A.
4
. B.
13
3
. C.
2
. D.
11
3
.
Câu 54. Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) ( )
2
0
b
f x ax x
x
=+≠
, biết rằng
( )
11F −=
,
( )
14F =
,
( )
10f =
.
A.
(
)
2
3 37
424
x
Fx
x
= ++
. B.
(
)
2
3 37
424
x
Fx
x
= −−
.
C.
( )
2
3 37
244
x
Fx
x
= +−
. D.
( )
2
3 31
222
x
Fx
x
= −−
.
Câu 55. Biết hàm số
( )
y fx=
có
( )
2
32 1
fx x xm
′
= + −+
,
( )
21f =
và đồ thị của hàm số
( )
y fx=
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5−
. Hàm số
( )
fx
là
A.
32
35xx x+−−
. B.
32
2 55xxx
+ −−
. C.
32
2 75xx x
+−−
. D.
32
45
xx x++−
.
Câu 56. Gọi
(
)
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
23fx x= −
thỏa mãn
( )
1
0
3
F =
. Giá trị của biểu
thức
( ) ( )
2
log 3 1 2 2FF−


bằng
A.
10
. B.
4−
. C.
4
. D.
2
.
Câu 57. Gọi
(
)
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
3
42 1 5fx x m xm= + − ++
, với m là tham số
thực. Một nguyên hàm của
biết rằng
( )
18F =
và
( )
01F =
là:
A.
( )
42
2 61Fx x x x=+ ++
B.
( )
4
61
Fx x x=++
.
C.
( )
42
21Fx x x=++
. D. Đáp án A và B
https://toanmath.com/
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên
[
]
;ab
đều có đạo hàm trên
[ ]
;ab
.
(2): Mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có nguyên hàm trên
[ ]
;ab
.
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên
[
]
;
ab
đều có nguyên hàm trên
[
]
;
ab
.
(4): Mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
[ ]
;ab
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Khẳng định (1): Sai, vì hàm số
yx=
liện tục trên
[
]
1;1
−
nhưng không có đạo hàm tại
0x =
nên không thể có đạo hàm trên
[ ]
1;1−
Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có nguyên hàm trên
[ ]
;ab
.
Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên
[ ]
;ab
thì đều liên tục trên
[ ]
;ab
nên
đều có nguyên hàm trên
[
]
;
ab
.
Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên
[ ]
;ab
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên
[
]
;
ab
.
Câu 2. Cho hai hàm số
( )
fx
,
(
)
gx
liên tục trên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d ddfx gx x f x x gx x+= +


∫ ∫∫
.
B.
( ) ( ) ( ) ( )
. d d. dfxgx x f x x gx x=


∫ ∫∫
.
C.
( ) (
) (
) (
)
d dd
fx gx x f x x gx x−= −


∫ ∫∫
.
D.
( ) ( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
( )
0;kk≠∈
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 3. Cho
( )
fx
,
( )
gx
là các hàm số xác định và liên tục trên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
A.
( )
( ) ( )
( )
d d. d
fxgxx fxxgxx=
∫ ∫∫
. B.
( ) ( )
2 d2 dfx x fx x=
∫∫
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
dddfx gx x fx x gx x+=+


∫ ∫∫
. D.
( ) (
) ( ) (
)
dddf x gx x fx x gx x−=−


∫ ∫∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
( ) ( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
với
k ∈
.
B.
( )
( ) ( ) ( )
d ddfx gx x f x x gx x+= +


∫ ∫∫
với
( )
fx
;
( )
gx
liên tục trên
.
C.
1
1
d
1
xx x
αα
α
+
=
+
∫
với
1
α
≠−
.
D.
( )
( )
( )
dfx x fx
′
=
∫
.
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( ) (
)
ddkfx x kfx x
=
∫∫
với
k ∈
sai vì tính chất đúng khi
{ }
\0k ∈
.
Câu 5. Cho hai hàm số
(
)
fx
,
( )
gx
là hàm số liên tục, có
( )
Fx
,
( )
Gx
lần lượt là nguyên hàm
của
(
)
fx
,
( )
gx
. Xét các mệnh đề sau:
( )
I
.
( ) ( )
Fx Gx+
là một nguyên hàm của
( )
(
)
fx gx
+
.
(
)
II
.
( )
.kF x
là một nguyên hàm của
( )
.kf x
với
k ∈
.
(
)
III
.
( ) ( )
.FxGx
là một nguyên hàm của
( ) ( )
.f xgx
.
Các mệnh đề đúng là
A.
( )
II
và
(
)
III
. B. Cả
3
mệnh đề. C.
( )
I
và
( )
III
. D.
( )
I
và
(
)
II
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo tính chất nguyên hàm thì
(
)
I
và
( )
II
là đúng,
( )
III
sai.
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx−= −


∫ ∫∫
, với mọi hàm số
(
) (
)
,
fx gx
liên tục trên
.
B.
( ) (
)
f x dx f x C
′
= +
∫
với mọi hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
.
C.
( )
( )
( ) (
)
f x g x dx f x dx g x dx
+= +


∫ ∫∫
, với mọi hàm số
(
) ( )
,fx gx
liên tục trên
.
D.
( )
( )
kf x dx k f x dx=
∫∫
với mọi hằng số
k
và với mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mệnh đề:
( )
( )
kf x dx k f x dx
=
∫∫
với mọi hằng số
k
và với mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên
là mệnh đề sai vì khi
0k =
thì
( ) ( )
kf x dx k f x dx≠
∫∫
.
Câu 7. Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
(
)
fx
trên
K
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
f x Fx
′
=
,
xK∀∈
. B.
( ) ( )
Fx fx
′
=
,
xK∀∈
.
C.
( ) ( )
Fx fx=
,
xK∀∈
. D.
( ) ( )
Fx fx
′′
=
,
xK∀∈
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
d
Fx fx x=
∫
,
xK∀∈
( ) ( )
Fx fx
′
⇒=


,
xK∀∈
.
Câu 8. Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
thì với mỗi hằng số
C
, hàm số
( ) ( )
Gx Fx C= +
cũng là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
.
B. Nếu
( )
fx
liên tục trên
K
thì nó có nguyên hàm trên
K
.
C. Hàm số
( )
Fx
được gọi là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
nếu
( ) ( )
Fx fx
′
=
với mọi
xK∈
.
D. Nếu hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
K
thì hàm số
( )
Fx−
là một nguyên
hàm của
( )
fx
trên
K
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng.
https://toanmath.com/
Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng.
Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm.
https://toanmath.com/
DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
Câu 9. Cho
(
)
1
2
fx
x
=
+
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Trên
( )
2;− +∞
, nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
( ) ( )
1
ln 2Fx x C= ++
; trên khoảng
( )
;2−∞ −
, nguyên hàm của hàm số
là
( ) ( )
2
ln 2Fx x C= −− +
(
12
,CC
là các hằng số).
B. Trên khoảng
( )
;2−∞ −
, một nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
là
( ) ( )
ln 2 3Gx x= −− −
.
C. Trên
( )
2;− +∞
, một nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
là
(
)
(
)
ln 2
Fx x
= +
.
D. Nếu
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của của
thì chúng sai khác nhau một hằng
số.
Hướng dẫn giải
Chọn D
D sai vì
( )
( )
ln 2
Fx x= +
và
( ) ( )
ln 2 3Gx x= −− −
đều là các nguyên hàm của hàm số
( )
fx
nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai?
A.
cos d sinxx x C=−+
∫
. B.
1
d lnx xC
x
= +
∫
.
C.
2
2d
xx x C= +
∫
. D.
ed e
xx
xC
= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
cos d sinxx x C= +
∫
⇒
A sai.
Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A.
4
3
d
4
xC
xx
+
=
∫
. B.
1
d lnx xC
x
= +
∫
.
C.
sin d cos
xx C x= −
∫
. D.
( )
2e d 2 e
xx
xC= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
1
d lnx xC
x
= +
∫
.
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
d2xx C= +
∫
(
C
là hằng số). B.
1
d
1
n
n
x
xx C
n
+
= +
+
∫
(
C
là hằng số;
n∈
).
C.
0dxC=
∫
(
C
là hằng số). D.
ed e
xx
xC= −
∫
(
C
là hằng số).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện
1n ≠−
.
Câu 13. Tìm nguyên hàm
( )
2
dFx x
π
=
∫
.
A.
( )
2
Fx x C
π
= +
. B.
( )
2
Fx x C
π
= +
.
C.
( )
3
3
Fx C
π
= +
. D.
( )
22
2
x
Fx C
π
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
22
d
Fx x x C
ππ
= = +
∫
(vì
2
π
là hằng số).
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e cos 2018
x
fx x=++
là
https://toanmath.com/
A.
(
)
e sin 2018
x
Fx x x C
=++ +
. B.
( )
e sin 2018
x
Fx x x C=−+ +
.
C.
( )
e sin 2018
x
Fx x x=++
. D.
( )
e sin 2018
x
Fx x C=++ +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số
(
)
3
29
fx x
= −
là:
A.
4
1
9
2
x xC−+
. B.
4
49
x xC
−+
. C.
4
1
4
xC+
. D.
3
49x xC
−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
(
)
3
2 9d
xx−
∫
4
2. 9
4
x
xC= −+
4
9
2
x
xC=−+
.
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e
e. 4fx x= +
là
A.
101376
. B.
2 e1
e.xC
−
+
. C.
e1
4
e1
x
xC
+
++
+
. D.
e1
e.
4
e1
x
xC
+
++
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
e1
e
e.
d e. 4 d 4
e1
x
fx x x x xC
+
= + = ++
+
∫∫
.
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số
( )
42
561fx x x
=−+
là
A.
3
20 12x xC−+
. B.
53
2
x x xC− ++
.
C.
53
20 12
x x xC− ++
. D.
4
2
22
4
x
x xC
+ −+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
42 53
5 6 1d 2x x x x x xC− + = − ++
∫
.
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
0dxC
=
∫
. B.
5
4
d
5
x
xx C= +
∫
. C.
1
d lnx xC
x
= +
∫
. D.
ed e
xx
xC= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
1
d ln
x xC
x
= +
∫
⇒
C sai.
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số
2
1
3
yx x
x
=−+
là
A.
32
3
ln
32
xx
xC−− +
. B.
32
2
31
32
xx
C
x
− ++
.
C.
32
3
ln
32
xx
xC−++
. D.
32
3
ln
32
xx
xC−+ +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng công thức nguyên hàm ta có
32
2
13
3 d ln
32
xx
x x x xC
x

−+ = − + +


∫
.
https://toanmath.com/
Câu 20. Cho hàm số
(
)
2
2
ab
fx
xx
= ++
, với
a
,
b
là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
( )
1
1
2
d 2 3ln 2fx x= −
∫
. Tính
T ab= +
.
A.
1
T = −
. B.
2T =
. C.
2T = −
. D.
0T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
(
)
1
1
2
d
fx x=
∫
1
2
1
2
2d
ab
x
xx

++


∫
1
1
2
ln 2
a
bx x
x

=−+ +


1 ln 2ab= ++
.
Theo giả thiết, ta có
2 3ln 2 1 ln 2ab− = ++
. Từ đó suy ra
1a =
,
3b = −
.
Vậy
2
T ab=+=−
.
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 25fx x x= ++
là
A.
( )
32
5Fx x x=++
. B.
( )
3
Fx x x C= ++
.
C.
(
)
32
5
Fx x x x C=+++
. D.
( )
32
Fx x x C
=++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 25fx x x= ++
là
( )
32
5Fx x x x C
=+++
.
Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số
( )
5
() 3 1fx x
= +
?
A.
( )
( )
6
31
8
18
x
Fx
+
= +
. B.
( )
( )
6
31
2
18
x
Fx
+
= −
.
C.
(
)
(
)
6
31
18
x
Fx
+
=
. D.
( )
( )
6
31
6
x
Fx
+
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng
( )
( )
1
1
d
1
ax b
ax b x C
a
α
α
α
+
+
+= +
+
∫
với
1
α
≠−
và
C
là hằng số.
Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề.
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
2
11
3
fx x
x
= −−
là
A.
42
3
3
xx
C
x
−+ +
+
. B.
2
2
2xC
x
−
−+
. C.
42
3
3
xx
C
x
++
−+
. D.
3
1
33
xx
C
x
−
−−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
2
11
d
3
xx
x

−−


∫
22
1
d
3
xx x
−

= −−


∫
3
1
33
xx
C
x
=−− −+
.
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
6
2
11
72fx x
xx
= ++ −
là
A.
7
1
ln 2xx x
x
+ −−
. B.
7
1
ln 2x x xC
x
+ +− +
.
https://toanmath.com/
C.
7
1
ln 2
x x xC
x
+ +− +
. D.
7
1
ln 2x x xC
x
+ −− +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
(
)
d
fx x
∫
7
1
ln 2x x xC
x
= + −− +
.
Câu 25. Nguyên hàm của
( )
32
2fx x x x
=−+
là:
A.
43 3
14
43
xx xC
−+ +
. B.
43 3
114
433
x x xC−+ +
.
C.
43 3
12
43
xx xC−+ +
. D.
43 3
112
433
x x xC
−+ +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
32 4 3 3
114
2
433
x x x dx x x x C−+ = − + +
∫
.
Chọn A
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2018
3fx x x= +
là
A.
2019
673
x
xC
++
. B.
2019
3
2
2019
x
xC++
.
C.
2019
1
673
x
C
x
++
. D.
2017
1
6054
2
xC
x
++
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( )
2018
3dxx x+
∫
1
2018
2
3dxx x

= +


∫
3
2019
2
3.
3
2019
2
xx
C=++
2019
3
2
2019
x
xC=++
.
Câu 27. Hàm số
( ) tan
x
Fx e x C=++
là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A.
2
1
()
sin
x
fx e
x
= −
B.
2
1
()
sin
x
fx e
x
= +
C.
2
() 1
cos
x
x
e
fx e
x
−

= +


D.
( )
2
1
cos
x
fx e
x
= +
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
2
1
tan
cos
xx
e xC e
x
′
+ +=+
.
Chọn D
Câu 28. Nếu
( )
1
d ln 2fx x x C
x
=++
∫
với
( )
0;x
∈ +∞
thì hàm số
( )
fx
là
A.
( )
2
11
.fx
xx
=−+
B.
( )
1
.
2
fx x
x
= +
C.
( ) ( )
2
1
ln 2 .fx x
x
= +
D.
( )
2
11
.
2
fx
xx
=−+
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
dfx x Fx C Fx fx
′
= +⇒ =
∫
https://toanmath.com/
Do đó
( )
( )
( )
22
2
1 1 1 11
ln 2 ln 2
2
x
fx x x
x x x x xx
′
′′

′
= + = + =−+ =−+


với
( )
0;x∈ +∞
.
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
1
xx
fx
x
−+
=
−
.
A.
1
1
xC
x
++
−
. B.
( )
2
1
1
1
C
x
++
−
. C.
2
ln 1
2
x
xC+ −+
. D.
2
ln 1
x xC
+ −+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
2
11
11
xx
fx x
xx
−+
= = +
−−
( )
2
d ln 1
2
x
fx x x C⇒ = + −+
∫
.
Câu 30. Nguyên hàm
(
)
Fx
của hàm số
( )
2
1
3
sin
fx
x
= −
là
A.
( )
3 tanFx x x C=−+
. B.
( )
3 tanFx x x C=++
.
C.
(
)
3 cotFx x x C
=++
. D.
( )
3 cotFx x x C=−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Nguyên hàm của hàm số
(
)
2
1
3
sin
fx
x
= −
là
( )
3 cotFx x x C=++
.
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3cos
fx x
x
= +
trên
( )
0;+∞
.
A.
1
3sin
xC
x
− ++
. B.
1
3sin
xC
x
−+
. C.
1
3cos xC
x
++
. D.
3cos lnx xC++
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
2
11
d 3cos d 3sin
b
a
fx x x x x C
xx

= + = −+


∫∫
.
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sinfx x x= +
là
A.
3
cosx xC++
. B.
3
sinx xC++
. C.
3
cosx xC
−+
. D.
3
3 sinx xC−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sinfx x x= +
là
3
cosx xC−+
.
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 8sinfx x x= +
.
A.
( )
d 6 8cosfx x x xC=−+
∫
. B.
( )
d 6 8cosfx x x xC=++
∫
.
C.
( )
3
d 8cosfx x x xC
=−+
∫
. D.
( )
3
d 8cosfx x x xC=++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
( )
dfx x
∫
( )
2
3 8sin dx xx
= +
∫
3
8cosx xC=−+
.
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
cos
2
x
fx

=


A.
( )
d sinfx x x xC=++
∫
. B.
( )
d sinfx x x xC=−+
∫
.
https://toanmath.com/
C.
(
)
1
d sin
22
x
fx x xC=++
∫
. D.
( )
1
d sin
22
x
fx x xC=−+
∫
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
1 cos 1
d d sin
2 22
xx
fx x x xC
+

= =++


∫∫
.
Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
cosfx x x= +
.
A.
( )
2
d sin
2
x
fx x xC=++
∫
. B.
( )
d 1 sinfx x xC=−+
∫
.
C.
(
)
d sin cos
fx x x x xC= ++
∫
. D.
( )
2
d sin
2
x
fx x xC=−+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( )
( )
2
d cos d sin
2
x
fxx x xx xC=+ =++
∫∫
.
Câu 36.
( )
23
2x x dx+
∫
có dạng
34
34
ab
x xC++
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
9
. D.
32
.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
( )
23
2x x dx+
∫
. Sau đó, ta xác định giá trị của
a
.
Ta có:
( )
23 3 4
11
2
32
x x dx x x C+ =++
∫
.
Suy ra để
( )
23
x x dx+
∫
có dạng
34
34
ab
x xC++
thì
1, 2.ab= =
Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
Ta thay giá trị của
a
ở các đáp án vào
34
34
ab
x xC++
. Sau đó, với mỗi
a
của các đáp án ta
lấy đạo hàm của
34
34
ab
x xC++
.
Ví dụ:
A. Thay
2a =
vào
34
34
ab
x xC++
ta được
34
2
34
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
34
2
34
b
x xC++
:
3 4 23
2
2
34
b
x xC xbx
′

+ +=+


, vì không tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
2 3 23
22 ,x x x bx x+ = + ∀∈
nên ta loại
đáp án A
B. Thay
1a =
vào
34
34
ab
x xC++
ta được
34
1
34
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
34
1
34
b
x xC++
:
3 4 23
1
34
b
x xC xbx
′

+ +=+


, vì tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
2 3 23
22 ,x x x bx x+ = + ∀∈
( cụ
thể
2b = ∈
) nên ta nhận đáp án B
https://toanmath.com/
C. Thay
9
a =
vào
34
34
ab
x xC++
ta được
34
3
4
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
34
3
4
b
x xC++
:
3 4 23
39
4
b
x xC xbx
′

+ +=+


, vì không tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
2 3 23
922 ,x x x bx x+ = + ∀∈
nên ta loại
đáp án C
D. Thay
32a
=
vào
34
34
ab
x xC
++
ta được
34
32
34
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
34
32
34
b
x xC++
:
3 4 23
32
32
34
b
x xC xbx
′

+ += +


, vì không tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
2 3 23
32 2 2 ,x x x bx x+ = + ∀∈
nên ta loại
đáp án D
Chú ý:
Ta chỉ cần so sánh hệ số của
2
x
ở 2 vế của đẳng thức
2 3 23
22x x x bx
+=+
;
2 3 23
922x x x bx
+=+
;
2 3 23
32 2 2x x x bx
+=+
và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của
b
. Nên khoanh đáp ánA.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
( )
23 34
2 38x x dx x x C+ =++
∫
.
Vì thế,
9a =
để
( )
23 34
2 38x x dx x x C+ =++
∫
có dạng
34
34
ab
x xC++
.
Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
( )
23 34
2 38x x dx x x C+ =++
∫
.
Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị
b
.
Để
( )
23
2x x dx+
∫
có dạng
34
34
ab
x xC++
thì
32b =
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.
Câu 37.
35
1 13
35
x x dx

+
+



∫
có dạng
46
12 6
ab
x xC++
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
1
. B.
12
. C.
( )
36
13
5
+
. D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
35
1 13
35
x x dx

+
+



∫
. Sau đó, ta xác định giá trị của
a
.
Ta có:
https://toanmath.com/
35 46
1 13 1 13
3 5 12 30
x x dx x x C

++
+ =++



∫
.
Suy ra để
35
1 13
35
x x dx

+
+



∫
có dạng
46
12 6
ab
x xC++
thì
13
1, .
5
ab
+
=∈= ∉
Chọn D
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.
Ta thay giá trị của
a
ở các đáp án vào
46
12 6
ab
x xC++
. Sau đó, với mỗi
a
của các đáp án ta
lấy đạo hàm của
46
12 6
ab
x xC
++
.
Ví dụ:
A. Thay
1
a =
vào
46
12 6
ab
x xC++
ta được
46
1
12 6
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
46
1
12 6
b
x xC
++
:
4 6 35
11
12 6 3
b
x x C x bx
′

+ +=+


, vì không tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
3 5 35
1 13 1
,
353
x x x bx x
+
+ = + ∀∈
nên ta
loại đáp ánA.
B. Thay
12a =
vào
46
12 6
ab
x xC++
ta được
46
6
b
x xC++
. Lấy đạo hàm của
46
6
b
x xC++
:
4 6 35
4
6
b
x x C x bx
′

+ +=+


, vì không tồn tại số hữu tỉ
b
sao cho
3 5 35
1 13
4,
35
x x x bx x
+
+ = + ∀∈
nên ta loại đáp án B
C. Loại đáp án C
Ta có thể loại nhanh đáp án C vì
( )
36
13
5
+∉
và
a∈
.
Vậy đáp án chính xác là đáp án D
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của
a
( không tìm giá trị của
b
).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của
a
như sau:
( )
3 5 4 64 6
61 3
1 13 1 13
36
35 3 5 5
x xdx x xCx xC
+

++
+ =⋅ +⋅ + = + +



∫
.
Vì thế,
12a =
để
( )
3 54 6
61 3
1 13
35 5
x x dx x x C
+

+
+ =++



∫
có dạng
46
12 6
ab
x xC++
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của
b
do không
đọc kĩ yêu cầu bài toán:
https://toanmath.com/
( )
3 5 4 64 6
61 3
1 13 1 13
36
35 3 5 5
x xdx x xCx xC
+

++
+ =⋅ +⋅ + = + +



∫
.
Vì thế,
( )
36
13
5
b = +
để
( )
3 54 6
61 3
1 13
35 5
x x dx x x C
+

+
+ =++



∫
có dạng
46
12 6
ab
x xC++
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 38.
( )
( )
32
21a x bx dx++
∫
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Biết rằng
( )
(
)
3 2 43
3
21
4
a x bx dx x x C
+ + = ++
∫
. Giá trị
,ab
lần lượt bằng:
A.
1; 3
. B.
3; 1
. C.
1
;1
8
−
. D.
11
sin 2 cos2
42
xx x
−
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta cần tìm
( )
( )
32
21a x bx dx
++
∫
.
Ta có:
(
)
( )
(
)
32 4 3
11
21 21
43
a x bx dx a x bx C++ = ++ +
∫
.
Vì ta có giả thiết
( )
(
)
3 2 43
3
21
4
a x bx dx x x C+ + = ++
∫
nên
( )
43
11
21
43
a x bx C++ +
có dạng
43
3
4
xxC
++
.
Để
(
)
43
11
21
43
a x bx C++ +
có dạng
43
3
4
xxC++
thì
( )
13
21
44
1
1
3
a
b
+=
=
, nghĩa là
1
3
a
b
=
=
.
Vậy đáp án chính xác là đáp ánA.
Cách 2:
Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị
a
ở đáp án C không thỏa điều kiện
a∈
.
Tiếp theo, ta thay giá trị
,ab
ở các đáp án A, B vào
(
)
( )
32
21
a x bx dx++
∫
và tìm
(
)
( )
32
21a x bx dx
++
∫
.
Ta có:
( )
3 2 43
3
33
4
x x dx x x C+ = ++
∫
nên đáp án chính xác là đáp ánA.
Chú ý:
Giả sử các giá trị
,ab
ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác
là Chọn D.
Sai lầm thường gặp:
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ:
Ta có:
https://toanmath.com/
(
)
(
)
( )
32 43
21 21a x bx dx a x bx C
+ + = + ++
∫
.
Vì ta có giả thiết
(
)
( )
3 2 43
3
21
4
a x bx dx x x C
+ + = ++
∫
nên
( )
43
21a x bx C
+ ++
có dạng
43
3
4
xxC++
.
Để
( )
43
11
21
43
a x bx C++ +
có dạng
43
3
4
xxC
++
thì
( )
3
21
4
1
a
b
+=
=
,
nghĩa là
1
8
1
a
b
= −
=
.
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thỏa mãn điều kiện:
( )
2 3cos , 3
2
fx x xF
π

=−=


A.
2
2
( ) 3sin 6
4
Fx x x
π
= − ++
B.
2
2
( ) 3sin
4
Fx x x
π
=−−
C.
2
2
( ) 3sin
4
Fx x x
π
=−+
D.
2
2
( ) 3sin 6
4
Fx x x
π
= − +−
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( )
2
2 3cos 3sinF x x x dx x x C=− =−+
∫
2
2
3 3sin 3 6
2 22 4
F CC
π ππ π
 
=⇔ − +=⇔=−
 
 
Vậy
2
2
( ) 3sin 6
4
Fx x x
π
= − +−
Chọn D
Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số
2
1
() 2
sin
fx x
x
= +
thỏa mãn
F( ) 1
4
π
= −
là:
A.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
=− +−
B.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
= −+
C.
2
F( ) otx cx x=−+
D.
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
=− +−
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
1
2 cot
sin
F x x dx x x C
x

= + =−+


∫
2
2
1 cot 1
4 4 4 16
F CC
π ππ π
 
=−⇔ − + =−⇔ =
 
 
Vậy
2
2
F( ) ot
16
x cx x
π
=− +−
Chọn A
Câu 41. Nếu
2
( ) sin
x
f x dx e x C=++
∫
thì
()fx
là hàm nào?
A.
2
cos
x
ex+
B.
sin 2
x
ex−
C.
cos2
x
ex
+
D.
sin 2
x
ex+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
sin sin 2
xx
e xC e x
′
+ +=+
Chọn D
https://toanmath.com/
Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của
3
2
1
()
x
fx
x
−
=
biết F(1) = 0
A.
2
11
()
22
x
Fx
x
= −+
B.
2
13
()
22
x
Fx
x
= ++
C.
2
11
()
22
x
Fx
x
= −−
D.
2
13
(x)
22
x
F
x
= +−
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
32
22
111
2
xx
F x dx x dx C
x xx
−

= = − = ++


∫∫
( )
2
11 3
10 0
21 2
F CC
−
=⇔ ++ = ⇔ =
Vậy
2
13
(x)
22
x
F
x
= +−
Chọn D
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số
23
()fx
x
x
= +
là :
A.
4 3lnx xC++
. B.
2 3lnx xC++
.
C.
( )
1
4 3ln
x xC
−
++
. D.
16 3lnx xC
−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
23
4 3lndx x x C
x
x

+=++


∫
.
Chọn A
Câu 44. Tính
3
2
4
()x dx
x
+
∫
A.
3
5
3
4ln
5
x xC−++
. B.
3
5
3
4ln
5
x xC
−+
.
C.
3
5
5
4ln
3
x xC++
. D.
3
5
3
4ln
5
x xC++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
5
3
2
43
4ln
5
x
x dx x C
x

+=++


∫
.
Chọn D
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số
32
() 4 3 2 2fx x x x= − +−
thỏa mãn
F(1) 9=
là:
A.
432
F( ) 2xxxx=−+−
. B.
432
F( ) 10xxxx
=−++
.
C.
432
F( ) 2
xxxx x=−+−
. D.
432
F( ) 2 10xxxx x=−+−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
3 2 432
4 3 22 2F x x x x dx x x x x C= − + − =−+−+
∫
(
)
432 4 3 2
1 9 1 1 1 2.1 9 10 F( ) 2 10
F C C xxxx x=⇔−+− +=⇔ = ⇒ = − + − +
.
Chọn D
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số
5
(2 1)yx= +
là:
A.
6
1
(2 1)
12
xC++
. B.
6
1
(2 1)
6
xC++
.
https://toanmath.com/
C.
6
1
(2 1)
2
xC++
. D.
4
10(2 1)xC++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
(
)
6
56
21
11
21 . 21
2 6 12
x
x dx x C
+
+ = = ++
∫
.
Chọn A
Câu 47. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
23
24fx x x= +−
thỏa mãn điều kiện
(
)
00
F
=
là
A.
34
24
xx−
. B.
4
3
2
4
34
x
xx+−
. C.
34
2xx x−+
. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
34
23
2
24 4
34
xx
F x x x dx x C= +− = + −+
∫
( ) ( )
34 4
3
2.0 0 2
00 0 0 4
34 3 4
x
F C C Fx x x=⇔ + +=⇔=⇒ = + −
.
Chọn D
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng
(
)
32
’ 4 –3 2Fx x x
= +
và
( )
13F −=
A.
(
)
43
– 23Fx x x x
= −−
B.
( )
43
3+–2Fx x x x= +
C.
( )
43
– 23Fx x x x
= −+
D.
(
)
43
23Fx x x x=+++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( )
( )
3 2 43
x 4x 3x 2 x 2xF x F xd d x x C
′
= = − + =−+ +
∫∫
(
)
( )
(
)
(
)
43
1 3 1 1 2. 1 3 3F CC
− = ⇔− −− + − + = ⇔ =
Vậy
( )
43
3+–2Fx x x x= +
Chọn B
Câu 49. 17THàm số
xác định, liên tục trên
và có đạo hàm là
( )
1fx x
′
= −
. Biết rằng
( )
03f =
. Tính
( ) ( )
24ff+
?
A.
10
. B.
12
. C.
4
. D.
11
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
1 khi 1
1 khi 1
xx
fx
xx
−≥
′
=
−− <
.
Khi
1x
≥
thì
( ) ( )
2
1
1d
2
x
fx x x xC= − = −+
∫
.
Khi
1x
<
thì
( ) ( )
2
2
1d
2
x
fx x x x C

=− − =− −+


∫
.
Theo đề bài ta có
( )
03f =
17T nên
2
3C =
( )
2
3
2
x
fx x

⇒ =− −+


17T khi
1x <
.
Mặt khác do hàm số
( )
fx
liên tục tại
1x =
nên
( ) ( ) ( )
11
lim lim 1
xx
fx fx f
−+
→→
= =
22
1
11
lim 3 lim
22
xx
xx
x xC
−+
→→

 
⇔ − −+= −+

 
 

1
11
13 1
22
C

⇔− − + = − +


1
4C⇔=
.
Vậy khi
1x ≥
thì
( )
2
4
2
x
fx x= −+
( ) ( )
2 4 12ff⇒+=
.
https://toanmath.com/
Câu 50. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
( )
sinfx x x
′
= +
và
( )
01f =
. Tìm
( )
fx
.
A.
( )
2
cos 2
2
x
fx x=−+
. B.
( )
2
cos 2
2
x
fx x=−−
.
C.
( )
2
cos
2
x
fx x= +
. D.
( )
2
1
cos
22
x
fx x=++
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
(
)
sin
fx x x
′
= +
( )
2
cos
2
x
fx xC
⇒ =−+
;
( )
01f =
11C⇔− + =
2
C⇔=
.
Vậy
( )
2
cos 2
2
x
fx x=−+
.
Câu 51. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
(
)
3 5cos
fx x
′
= −
và
( )
05f =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
3 5sin 2fx x x=++
. B.
( )
3 5sin 5fx x x=−−
.
C.
(
)
3 5sin 5fx x x=−+
. D.
( )
3 5sin 5fx x x=++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
3 5cos d 3 5sinfx x x x xC=− =−+
∫
.
Lại có:
( )
0 5 3.0 5sin0 5 5f CC=⇔ − +=⇔=
. Vậy
( )
3 5sin 5fx x x=−+
.
Câu 52. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của của hàm số
(
)
sinfx x=
và đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi
qua điểm
( )
0;1
M
. Tính
.
2
F
π



A.
2
2
F
π

=


. B.
1
2
F
π

= −


. C.
0
2
F
π

=


. D.
1
2
F
π

=


.
Hướng dẫn giải
Chọn A
* Ta có
(
)
cosFx x C=−+
, với
C
là hằng số tùy ý.
* Đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi qua điểm
( )
0;1M
nên
1 cos0 C=−+
2C⇔=
( )
cos 2Fx x⇒ =−+
. Do đó
2
2
F
π

=


.
Câu 53. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
23fx x x=−+
thỏa mãn
( )
02
F =
, giá trị
của
( )
1F
bằng
A.
4
. B.
13
3
. C.
2
. D.
11
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
3
22
2 3d 3
3
x
x x x x xC−+ = −++
∫
.
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
có
( )
02F =
2C⇒=
.
Vậy
( )
3
2
32
3
x
Fx x x= −++
( )
13
1
3
F⇒=
.
https://toanmath.com/
Câu 54. Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) ( )
2
0
b
f x ax x
x
=+≠
, biết rằng
( )
11F −=
,
( )
14F =
,
( )
10
f =
.
A.
( )
2
3 37
424
x
Fx
x
= ++
. B.
( )
2
3 37
424
x
Fx
x
= −−
.
C.
( )
2
3 37
244
x
Fx
x
= +−
. D.
(
)
2
3 31
222
x
Fx
x
= −−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
( ) ( )
( )
21 2
2
2
dd d
21 2
b ax bx ax b
F x f x x ax x ax bx x C C
xx
−
−

= = + = + = + += −+

−

∫∫ ∫
Ta có:
(
)
( )
(
)
3
1
22
11
3
14 4 .
22
10
07
4
a
bC a
F
a
F bC b
f
ab
C

++ = =

−=


= ⇔ −+ = ⇔ =−


=
+=

=


Vậy
( )
2
3 37
424
x
Fx
x
= ++
.
Câu 55. Biết hàm số
( )
y fx
=
có
( )
2
32 1fx x xm
′
= + −+
,
( )
21f =
và đồ thị của hàm số
( )
y fx
=
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5−
. Hàm số
( )
fx
là
A.
32
35xx x+−−
. B.
32
2 55xxx
+ −−
. C.
32
2 75xx x+−−
. D.
32
45xx x++−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
2 32
3 2 1d 1f x x x m x x x mx C= + −+ = + +− +
∫
.
Theo đề bài, ta có
( )
( )
( )
( )
32
21
2 1 12 1
4
35
5
05
5
f
mC
m
fx x x x
C
f
C
=
− ++ =
=

⇒ ⇒ ⇒ =+−−

= −
= −
= −
.
Câu 56. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
23fx x= −
thỏa mãn
(
)
1
0
3
F =
. Giá trị của biểu
thức
(
) ( )
2
log 3 1 2 2FF
−


bằng
A.
10
. B.
4−
. C.
4
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
3122FF
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2 2 0 0FF FFF= − +−+


( )
( )
12
20
1
3d d
3
fx x fx x
= ++
∫∫
4=
.
( ) ( )
22
log 3 1 2 2 log 4 2FF⇒ −==


.
Câu 57. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
3
42 1 5fx x m xm= + − ++
, với m là tham số
thực. Một nguyên hàm của
biết rằng
( )
18F =
và
( )
01F =
là:
A.
( )
42
2 61Fx x x x=+ ++
B.
( )
4
61Fx x x=++
.
https://toanmath.com/
C.
( )
42
21Fx x x=++
. D. Đáp án A và B
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( ) (
)
3 42
42 1 5 1 5x mxmdxxmxm xC

+ − ++ =+− ++ +

∫
.
Lại có:
(
)
( )
01
11
115 8 1
18
F
CC
mmC m
F
=
= =

⇔⇔

+−+++= =
=

Vậy
(
)
4
61Fx x x
=++
.
Chọn B
Câu 58. Tìm
23
1 ...
2! 3! !
n
n
x
T dx
xx x
x
n
=
++ + ++
∫
?
A.
2
. ! !ln 1 ...
2! !
n
xx
T xn n x C
n

= + ++ ++ +


.
B.
2
. ! !ln 1 ...
2! !
n
xx
T xn n x C
n

= − ++ + + +


.
C.
2
!ln 1 ...
2! !
n
xx
Tn x C
n

= ++ ++ +


.
D.
2
!ln 1 ... . !
2! !
n
n
xx
T n x xn C
n

= ++ ++ − +


.
Hướng dẫn giải
Đặt
(
)
(
)
(
)
234 23 1
1 ... 1 ...
2! 3! 4! ! 2! 3! 1 !
nn
xxx x xx x
gxx gxx
nn
−
′
=++++++⇒ =+++++
−
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
!
!
n
n
x
gx g x x n gx g x
n
′′
− =⇒= −
( )
( )
( )
( )
( )
2
!.
! 1 !. !ln ! !ln 1 ...
2! !
n
n gx g
gx
xx
T dx n dx n x n n x n x C
gx gx n
′
−


′


⇒ = = − = − = − ++ ++ +




∫∫
Chọn B
https://toanmath.com/
DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
f(x) là hàm hữu tỉ:
()
()
()
Px
fx
Qx
=
– Nếu bậc của P(x)
≥
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x)
thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:
1
( )( )
AB
xaxb xa xb
= +
−− − −
2
22
1
, 40
( )( )
A Bx C
vôùi b ac
x m ax bx c x m ax bx c
+
= + ∆= − <
− ++ − ++
22 2 2
1
()() () ()
ABCD
xa xb xa xa xb xb
=+ ++
−− − − − −
BÀI TẬP
Câu 59. Cho hàm số
4
2
52
()
x
fx
x
+
=
. Khi đó:
A.
3
25
()
3
x
f x dx C
x
= −+
∫
B.
3
5
() 2f x dx x C
x
= −+
∫
C.
3
25
()
3
x
f x dx C
x
= ++
∫
D.
3
2
2
( ) 5ln
3
x
f x dx x C=++
∫
Câu 60. Nguyên hàm
()Fx
của hàm số
2
2
1
()
x
fx
x

+
=


là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
3
1
() 2
3
x
Fx x C
x
= −+ +
. B.
3
1
() 2
3
x
Fx x C
x
= ++ +
.
C.
3
2
3
()
2
x
x
Fx C
x
+
= +
. D.
3
3
2
3
()
2
x
x
Fx C
x

+

= +




.
Câu 61. Nguyên hàm của hàm số
4
2
23x
y
x
+
=
là:
A.
3
23
3
x
C
x
−+
. B.
3
3
3xC
x
− −+
. C.
3
23
3
x
C
x
++
. D.
3
3
3
x
C
x
−+
.
Câu 62. Tính nguyên hàm
1
d
23
x
x


+

∫
A.
1
ln 2 3
2
xC++
. B.
( )
1
ln 2 3
2
xC++
. C.
2ln 2 3xC++
. D.
ln 2 3xC++
.
Câu 63. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
+
, biết
e1 3
22
F
−

=


là:
A.
( )
1
2ln 2 1
2
Fx x= +−
. B.
( )
2ln 2 1 1Fx x= ++
.
C.
( )
1
ln 2 1 1
2
Fx x= ++
. D.
( )
1
ln 2 1
2
Fx x= ++
.
https://toanmath.com/
Câu 64. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
1
fx
x
=
−
và
(
)
21F =
. Tính
( )
3F
.
A.
( )
3 ln 2 1F = −
. B.
( )
3 ln 2 1F = +
. C.
( )
1
3
2
F
=
. D.
( )
7
3
4
F =
.
Câu 65. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
1
1
fx
x
=
+
và
( )
02F =
thì
( )
1F
bằng.
A.
ln 2
. B.
2 ln 2+
. C.
3
. D.
4
.
Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số
3
2
()
(3 2 x)
fx=
−
là :
A.
( )
2
1
23 2
C
x
−
+
+
. B.
( )
1
43 2
C
x
+
−
. C.
( )
2
2
32
C
x
+
−
. D.
( )
2
1
23 2
C
x
+
−
.
Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
2
(2 )
()
( 1)
xx
fx
x
+
=
+
A.
2
1
1
xx
x
−−
+
. B.
2
1
1
xx
x
+−
+
. C.
2
1
1
xx
x
++
+
. D.
2
1
x
x
+
.
Câu 68. Tính
1
( 3)
dx
xx−
∫
.
A.
1
ln
33
x
C
x
+
−
. B.
13
ln
3
x
C
x
+
+
. C.
1
ln
33
x
C
x
+
+
. D.
13
ln
3
x
C
x
−
+
.
Câu 69.
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3
21
fx x
x
= +
+
. Biết
(
)
00
F =
,
( )
1 ln 3
b
Fa
c
= +
trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức
abc++
bằng.
A.
4
. B.
9
. C.
3
. D.
12
.
Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2
2
1
xx
fx
x
+
=
+
.
A.
( )
2
1
1
1
xx
Fx
x
−−
=
+
. B.
( )
2
2
1
1
xx
Fx
x
+−
=
+
. C.
( )
2
3
1
1
xx
Fx
x
++
=
+
. D.
( )
2
4
1
x
Fx
x
=
+
.
Câu 71. Cho biết
2 13
d ln 1 ln 2
( 1)( 2)
x
xa x b x C
xx
−
= ++ − +
+−
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
28ab+=
. B.
8
ab+=
. C.
28ab−=
. D.
8ab−=
.
Câu 72. Cho
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
21
23
x
fx
x
+
=
−
thỏa mãn
(2) 3F =
. Tìm
( )
Fx
:
A.
( ) 4ln 2 3 1
Fx x x=+ −+
. B.
( ) 2ln(2 3) 1Fx x x=+ −+
.
C.
( ) 2ln 2 3 1Fx x x=+ −+
. D.
( ) 2ln | 2 3| 1Fx x x=+ −−
.
Câu 73. Tích phân
(
)
2
1
2
0
1
d ln
1
x
I xabc
x
−
= = +
+
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
abc++
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 74. Tính
2
1
43
dx
xx−+
∫
, kết quả là:
https://toanmath.com/
A.
11
ln
23
x
C
x
−
+
−
. B.
13
ln
21
x
C
x
−
+
−
. C.
2
ln 4 3xx C
− ++
. D.
3
ln
1
x
C
x
−
+
−
.
Câu 75. Nguyên hàm
2
1
76
dx
xx−+
∫
là:
A.
11
ln
56
x
C
x
−
+
−
. B.
16
ln
51
x
C
x
−
+
−
.
C.
2
1
ln 7 6
5
xx C− ++
. D.
2
1
ln 7 6
5
xx C− − ++
.
Câu 76. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
+
, biết
( )
01F =
. Giá trị của
( )
2
F −
bằng
A.
1
1 ln 3
2
+
. B.
1
1 ln 5
2
+
. C.
1 ln3+
. D.
( )
1
1 ln3
2
+
.
Câu 77. Tìm nguyên hàm
2
1
d.
4
Ix
x
=
−
∫
A.
12
ln .
22
x
IC
x
+
= +
−
B.
12
ln .
22
x
IC
x
−
= +
+
C.
12
ln .
42
x
IC
x
−
= +
+
D.
12
ln .
42
x
IC
x
+
= +
−
Câu 78. Tìm nguyên hàm
2
3
d
32
x
x
xx
+
++
∫
.
A.
2
3
d 2ln 2 ln 1
32
x
x x xC
xx
+
= + − ++
++
∫
.
B.
2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x xC
xx
+
= +− + +
++
∫
.
C.
2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x xC
xx
+
= ++ + +
++
∫
.
D.
2
3
d ln 1 2ln 2
32
x
xx x C
xx
+
= ++ + +
++
∫
.
Câu 79. Nguyên hàm
32
2
2 6 41
32
xxx
dx
xx
− ++
−+
∫
là:
A.
2
1
ln
2
x
xC
x
−
++
−
. B.
2
12
ln
21
x
xC
x
−
++
−
.
C.
2
11
ln
22
x
xC
x
−
++
−
. D.
2
2
ln
1
x
xC
x
−
++
−
.
Câu 80. Nguyên hàm
2
33
2
x
dx
xx
+
− −+
∫
là:
A.
2ln 1 ln 2x xC−− + +
. B.
2ln 1 ln 2x xC− −+ + +
.
C.
2ln 1 ln 2x xC−+ + +
. D.
2ln 1 ln 2x xC− −− + +
.
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số
32
2
3 31
()
21
xxx
fx
xx
+ +−
=
++
khi biết
(
)
1
1
3
F
=
là
A.
( )
2
2 13
.
2 16
x
Fx x
x
= ++ −
+
B.
( )
2
2 13
.
2 16
x
Fx x
x
= ++ +
+
https://toanmath.com/
C.
( )
2
2
.
21
x
Fx x
x
= ++
+
D.
( )
2
2
.
21
x
Fx x C
x
= ++ +
+
Câu 82. Biết luôn có hai số
a
và
b
để
( )
4
ax b
Fx
x
+
=
+
(
)
40ab
−≠
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
2
21f x Fx f x
′
= −


.
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A.
1
a =
,
4
b
=
. B.
1a =
,
1b = −
. C.
1a =
,
{ }
\4b∈
. D.
a∈
,
b∈
.
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số
3
2
() 3fx x xx= +
là :
A.
2
3
29
48
xx xx
C++
. B.
3
22
5 27
38
xx x x
C
++
.
C.
2
3
29
35
xx x x
C−+
. D.
3
22
29
38
xx x x
C++
.
Câu 84. Nguyên hàm của
( )
3
12
3fx
xx
=++
là:
A.
3
2
23 3x x xC+ ++
. B.
3
2
4
23
3
x x xC
+ ++
.
C.
3
2
1
33
2
x x xC+ ++
. D.
3
2
14
3
23
x x xC
+ ++
.
Câu 85. Tính
1
dx
x−
∫
thu được kết quả là:
A.
1
C
x−
B.
21 xC− −+
C.
2
1
C
x
+
−
D.
1 xC−+
Câu 86. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
1fx x
x
= +−
. Nguyên hàm của
( )
fx
biết
( )
36
F =
là:
A.
(
) (
)
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + −+
. B.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + ++
.
C.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + −−
. D.
( )
( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + +−
.
Câu 87. Cho
(x 2) 2 (x 1) 1
21
dx
a x b xC
xx
= + + + + ++
++ +
∫
. Khi đó
3
ab+
bằng:
A.
2
3
−
. B.
1
3
. C.
4
3
. D.
2
3
.
Câu 88. Tìm
1
1
x
Q dx
x
−
=
+
∫
?
A.
22
1 ln 1Qx xx C= −+ + − +
. B.
22
1 ln 1Qx xx C= −− + − +
.
C.
22
ln 1 1Q xx x C= + − − −+
. D. Cả đáp án B,C đều đúng.
https://toanmath.com/
Câu 89. Biết
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
(
)
1
1
21
fx m
x
= +−
+
thỏa mãn
( )
00F =
và
( )
37F =
. Khi đó, giá trị của tham số
m
bằng
A.
2
−
. B.
3
. C.
3−
. D.
2
.
Câu 90. Hàm số
( ) ( )
41F x ax b x=++
(
,ab
là các hằng số thực) là một nguyên hàm của
( )
12
41
x
fx
x
=
+
. Tính
ab+
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 91. Biết
(
)
( )
2
23F x ax bx c x
= ++ −
(
)
, , abc∈
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
20 30 11
23
xx
fx
x
−+
=
−
trên khoảng
3
;
2

+∞


. Tính
T abc=++
.
A.
8T =
. B.
5T =
. C.
6T =
. D.
7T =
.
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số
(
)
2cos2
fx x=
là
A.
2sin 2xC−+
. B.
sin 2xC+
. C.
2sin 2xC
+
. D.
sin 2xC+
.
Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
sin5 2fx x= +
là
A.
5cos5xC+
. B.
1
cos5 2
5
x xC
− ++
. C.
1
cos5 2
5
x xC++
. D.
cos5 2
x xC
++
.
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2 sin 2fx x x= +
là
A.
2
1
cos2
2
x xC−+
. B.
2
1
cos2
2
x xC++
. C.
2
2cos2
x xC−+
. D.
2
2cos2x xC
++
.
Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) cos 2fx x
=
là:
A.
1 cos4
28
x
C++
. B.
cos4
22
xx
C−+
. C.
1 cos4
22
x
C−+
. D.
cos4
28
xx
C++
.
Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
cos 3
6
fx x
π

= +


.
A.
( )
d 3sin 3
6
fx x x C
π

= ++


∫
. B.
( )
1
d sin 3
36
fx x x C
π

=− ++


∫
.
C.
( )
d 6sin 3
6
fx x x C
π

= ++


∫
. D.
(
)
1
d sin 3
36
fx x x C
π

= ++


∫
.
Câu 97. Cho
( )
cos2 sinFx x x C= −+
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
. Tính
( )
πf
.
A.
( )
π3f = −
. B.
( )
π1f =
. C.
( )
π1f = −
. D.
( )
π0f =
.
Câu 98. Tính:
1 cos
dx
x+
∫
A.
2tan
2
x
C+
. B.
tan
2
x
C+
. C.
1
tan
22
x
C+
. D.
1
tan
42
x
C+
.
Câu 99. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
6 sin3fx x x= +
, biết
( )
2
0
3
F =
.
A.
( )
2
cos3 2
3
33
x
Fx x=−+
. B.
(
)
2
cos3
31
3
x
Fx x=−−
.
https://toanmath.com/
C.
(
)
2
cos3
31
3
x
Fx x
=++
. D.
( )
2
cos3
31
3
x
Fx x=−+
.
Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) tan
fx x
=
là:
A.
cot xxC−+
. B.
tan
xxC−+
. C.
cot xxC− −+
. D.
tan xxC− −+
.
Câu 101. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
cos
y
x
= −
và
( )
01F =
. Khi đó, ta có
( )
Fx
là:
A.
tan x−
. B.
tan 1x−+
. C.
tan 1x +
. D.
tan 1x −
.
Câu 102. Cho hàm số
( )
4
sin 2
fx x
=
. Khi đó:
A.
( )
11
3 sin 4 sin8
88
f x dx x x x C

=++ +


∫
. B.
( )
11
3 cos4 sin8
88
f x dx x x x C

=−+ +


∫
.
C.
( )
11
3 cos4 sin8
88
f x dx x x x C

=++ +


∫
. D.
( )
11
3 sin 4 sin8
88
f x dx x x x C

=−+ +


∫
.
Câu 103. Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) (
)
sin 1 2fx x= −
và thỏa mãn
1
1.
2
F

=


Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
( )
13
cos 1 2 .
22
Fx x=− −+
B.
( ) ( )
cos 1 2 .Fx x= −
C.
( ) ( )
cos 1 2 1.Fx x= −+
D.
( )
( )
11
cos 1 2 .
22
Fx x= −+
Câu 104. Nguyên hàm
( )
sin 2 cosx x dx+
∫
là:
A.
1
cos2 sin
2
x xC++
. B.
cos2 sinx xC− ++
.
C.
1
cos2 sin
2
x xC− ++
. D.
cos2 sinx xC
− −+
.
Câu 105. Nguyên hàm
( ) ( )
sin 2 3 cos 3 2x x dx++ −


∫
là:
A.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC− +− − +
. B.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC− ++ − +
.
C.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC+− − +
. D.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC++ − +
.
Câu 106. Nguyên hàm
(
)
2
sin 3 1 cosx x dx

++

∫
là:
A.
(
)
1
3sin 6 2 sin
2
x x xC− ++ +
. B.
( )
3sin 6 2 sinx x xC− ++ +
.
C.
(
)
1
3sin 3 1 sin
2
x x xC− ++ +
. D.
( )
1
3sin 6 2 sin
2
x x xC− +− +
.
Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của
( )
33
sin cosx x dx+
∫
?
A.
22
3cos .sin 3sin .cosx x x xC
−+
. B.
(
)
3
sin 2 sin cos
2
x x xC−+
.
C.
3 2 sin 2 sin
4
xx C
π

−+


. D.
3 2 sin .cos .sin
4
xx x C
π

−+


.
Câu 108. Cho hàm số
( )
cos3 .cosfx x x=
. Một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
bằng 0 khi
0x =
là:
A.
3sin3 sinxx+
B.
sin 4 sin 2
84
xx
+
C.
sin 4 sin 2
24
xx
+
D.
cos4 cos2
84
xx
+
https://toanmath.com/
Câu 109. Họ nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
(
)
2
cot
fx x
=
là:
A.
cot xxC−+
B.
cot xxC− −+
C.
cot xxC++
D.
tan xxC++
Câu 110. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin 4
1 cos
x
fx
x
=
+
thỏa mãn
0
2
F
π

=


. Tính
( )
0F
.
A.
( )
0 4 6ln 2F =−+
. B.
( )
0 4 6ln 2F =−−
. C.
( )
0 4 6ln 2F = −
. D.
( )
0 4 6ln 2F = +
.
Câu 111. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
tanfx x=
và
1
4
F
π

=


. Tính
4
F
π

−


.
A.
1
44
F
ππ

−=−


. B.
1
42
F
ππ

−=−


. C.
1
4
F
π

−=−


. D.
1
42
F
ππ

−=+


.
Câu 112. Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
(
)
( )
2
1 sinfx x= +
biết
3
24
F
ππ

=


A.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x=+−
B.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x=−−
C.
(
)
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x=−+
D.
(
)
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x
=++
Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3sin 3 2cos3
5sin3 cos3
xx
fx
xx
−+
=
−
.
A.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC−+ − +
B.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC
−− − +
C.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC+ −+
D.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC− −+
Câu 114. Biết
(
)
2
sin 2 cos2 d cos 4
a
x x x x xC
b
− =++
∫
, với
a
,
b
là các số nguyên dương,
a
b
là phân
số tối giản và
C
∈
. Giá trị của
ab+
bằng
A.
5
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 115. Tính
8sin3 cos d cos 4 cos2I x xxa xb xC
= =++
∫
. Khi đó,
ab−
bằng
A.
3
. B.
1−
. C.
1
. D.
2
.
Câu 116.
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2sin cos3y xx
=
và
(
)
00
F
=
, khi đó
A.
( )
cos4 cos2Fx x x= −
. B.
( )
cos2 cos4 1
4 88
xx
Fx=−−
.
C.
( )
cos2 cos4 1
2 44
xx
Fx=−−
. D.
( )
cos4 cos2 1
4 24
xx
Fx=−+
.
Câu 117. Cho
α
∈
. Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x=
.
A.
(
)
1
cosFx x= −
. B.
( )
2
2sin sin
22
xx
Fx
αα
+−
=
.
C.
( )
3
2sin sin
22
xx
Fx
αα

=−+ −


. D.
( )
4
2cos sin
22
xx
Fx
αα
+−
=
.
Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
tan 2
2
fx x= +
.
A.
2
1
tan 2 d 2tan 2 2
2
x x x xC

+ = −+


∫
. B.
2
1
tan 2 d tan 2
22
x
x x xC

+ = −+


∫
.
C.
2
1
tan 2 d tan 2
2
x x xxC

+ = −+


∫
. D.
2
1 tan 2
tan 2 d
2 22
xx
xx C

+ = −+


∫
.
https://toanmath.com/
Câu 119. Hàm số
(
)
ln sin 3cos
Fx x x
= −
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
đây?
A.
( )
sin 3cos
cos 3sin
xx
fx
xx
−
=
+
. B.
( )
cos 3sin
sin 3cos
xx
fx
xx
−−
=
−
.
C.
(
)
cos 3sin
sin 3cos
xx
fx
xx
+
=
−
. D.
( )
cos 3sinfx x x= +
.
Câu 120. Hàm số
(
)
7cos 4sin
cos sin
xx
fx
xx
−
=
+
có một nguyên hàm
( )
Fx
thỏa mãn
3
48
F
ππ

=


. Giá trị
2
F
π



bằng?
A.
3 11ln 2
4
π
−
. B.
3
4
π
. C.
3
8
π
. D.
3 ln 2
4
π
−
.
Câu 121. Tìm
sin
sin cos
x
I dx
xx
=
+
∫
?
A.
( )
1
ln sin cos
2
I x x xC
=+ ++
. B.
ln sin cosIx x xC=+ ++
.
C.
ln sin cosIx x xC=− ++
. D.
( )
1
ln sin cos
2
I x x xC=− ++
.
Câu 14. Biết
sinx cos sinx
cos sinx cos sinx
x
I dx A B dx
xx
−

= = +

++

∫∫
. Kết quả của A, B lần lượt là
A.
1
.
2
AB= =
B.
1
.
2
AB= = −
C.
11
,.
22
AB=−=
D.
11
,.
22
AB= = −
Câu 122. Tìm
4
44
cos
sin cos
x
I dx
xx
=
+
∫
?
A.
1 1 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x


+
=−+




−


. B.
1 2 sin 2
ln
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x

+
=−+


−

.
C.
1 1 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x


+
=++




−


. D.
1 2 sin 2
ln
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x

+
=−+


−

.
Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
3sin 2 2cos e
x
fx x x=− +−
là
A.
6cos2 2sin e
x
x xC− + −+
. B.
6cos2 2sin e
x
x xC− −+
.
C.
3
cos2 2sin e
2
x
x xC− −+
. D.
3
cos2 2sin e
2
x
x xC+ −+
.
Câu 124. Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
0; \
2
π
π



thỏa mãn
( )
tanfx x
′
=
,
5
;\
44 2
x
ππ π

∀∈−



,
( )
00f =
,
( )
1f
π
=
. Tỉ số giữa
2
3
f
π



và
4
f
π



bằng:
A.
( )
2
2 log e 1+
. B.
2
. C.
( )
1 1 ln 2
2 ln 2
+
+
. D.
( )
2
2 1 log e−
.
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
5
x
fx=
.
https://toanmath.com/
A.
2
5d
x
x
∫
2
5
2.
ln5
x
C= +
. B.
2
5d
x
x
∫
25
2ln5
x
C= +
.
C.
2
5d
x
x
∫
2
2.5 ln5
x
C= +
. D.
2
5d
x
x
∫
1
25
1
x
C
x
+
= +
+
.
Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
2018
e.
x
fx=
A.
( )
2018
1
d .e
2018
x
fx x C= +
∫
. B.
(
)
2018
de
x
fx x C
= +
∫
.
C.
( )
2018
d 2018e
x
fx x C= +
∫
. D.
( )
2018
d e ln 2018
x
fx x C
= +
∫
.
Câu 127. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
e
x
fx=
, biết
( )
01F
=
.
A.
(
)
2
e
x
Fx=
. B.
( )
2
e1
22
x
Fx= +
. C.
( )
2
2e 1
x
Fx= −
. D.
( )
e
x
Fx=
.
Câu 128. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
3
e
x
fx=
thỏa mãn
( )
01F =
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
( )
3
12
e
33
x
Fx= +
. B.
( )
3
1
e
3
x
Fx=
.
C.
( )
3
1
e1
3
x
Fx= +
. D.
( )
3
14
e
33
x
Fx
=−+
.
Câu 129. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
e2
x
fx x= +
thỏa mãn
(
)
3
0
2
F =
. Tìm
(
)
Fx
.
A.
(
)
2
5
e
2
x
Fx x
=++
. B.
(
)
2
1
2e
2
x
Fx x= +−
.
C.
( )
2
3
e
2
x
Fx x
=++
. D.
( )
2
1
e
2
x
Fx x=++
.
Câu 130. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
2018 ln2018 cos
x
fx x
′
= −
và
( )
02f =
. Phát biểu nào sau
đúng?
A.
( )
2018 sin 1
x
fx x= ++
. B.
( )
2018
sin 1
ln2018
x
fx x= ++
.
C.
( )
2018
sin 1
ln2018
x
fx x= −+
. D.
( )
2018 sin 1
x
fx x= −+
.
Câu 131. Tính
32
(2 )
x
e dx
+
∫
A.
36
41
3
36
xx
xe eC
+++
B.
36
45
4
36
xx
xe eC+++
C.
36
41
4
36
xx
xe eC+−+
D.
36
41
4
36
xx
xe eC+++
Câu 132. Nếu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của
( ) (1 )
xx
fx e e
−
= −
và
(0) 3F =
thì
()Fx
là?
A.
x
ex−
B.
2
x
ex−+
C.
x
e xC−+
D.
1
x
ex−+
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số
()
xx
fx e e
−
= −
là :
A.
xx
ee C
−
++
. B.
xx
ee C
−
−+
.
C.
xx
ee C
−
−+ +
. D.
xx
eeC++
.
Câu 134. Hàm số
()
xx
Fx e e x
−
=++
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
https://toanmath.com/
A.
() 1
xx
fx e e
−
= ++
B.
2
1
()
2
xx
fx e e x
−
=−+
C.
() 1
xx
fx e e
−
=−+
D.
2
1
()
2
xx
fx e e x
−
=++
Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số
23
()
xx
fx e e
−
= −
là :
A.
32
32
xx
ee
C
−
++
. B.
23
23
xx
ee
C
−
++
.
C.
33
22
xx
ee
C
−
++
. D.
23
32
xx
ee
C
−
++
.
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số
23
() 3 2
xx
fx
−
= −
là :
A.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
++
. B.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
−+
.
C.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
++
. D.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
−+
.
Câu 137. Hàm số
()y fx=
có một nguyên hàm là
( )
2
e
x
Fx=
. Tìm nguyên hàm của hàm số
() 1
e
x
fx
+
.
A.
() 1
dee
e
xx
x
fx
xC
−
+
=−+
∫
. B.
() 1
d 2e e
e
xx
x
fx
xC
−
+
= −+
∫
.
C.
() 1
d 2e e
e
xx
x
fx
xC
−
+
= ++
∫
. D.
() 1 1
d ee
e2
xx
x
fx
xC
−
+
= −+
∫
.
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
( )
e1e
xx
fx
−
= +
.
A.
( )
de
x
fx x C
−
= +
∫
. B.
(
)
de
x
fx x xC= ++
∫
.
C.
( )
dee
xx
fx x C
−
=++
∫
. D.
( )
de
x
fx x C
= +
∫
.
Câu 139.
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
.
x
y xe
=
Hàm số nào sau đây không phải là
( )
Fx
?
A.
( )
2
1
2
2
x
Fx e= +
. B.
( )
( )
2
1
5
2
x
Fx e= +
.
C.
(
)
2
1
2
x
Fx e C=−+
. D.
( )
( )
2
1
2
2
x
Fx e=−−
.
Câu 140. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
23
4
xx
x
x
fx

= −



.
A.
( )
12 2
ln12 3
x
xx
Fx C=−+
. B.
( )
12
x
Fx xx C=++
.
C.
( )
2
23
ln 2 ln3 4
xx
x
xx
Fx

= −



. D.
( )
2
2 3 ln 4
ln 2 ln3 4
xx
x
xx
Fx

= −



.
Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số
( )
5
2018e
e 2017
x
x
fx
x
−

= −


.
A.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
. B.
( )
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
.
C.
(
)
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
. D.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
.
https://toanmath.com/
Câu 142. Tính
2
2 .3 .7
xxx
dx
∫
A.
84
ln84
x
C+
B.
2
2 .3 .7
ln 4.ln3.ln 7
xxx
C+
C.
84
x
C+
D.
84 ln84
x
C+
Câu 143. Nguyên hàm
21
3
2
x
x
e
dx
e
+
−
∫
là:
A.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+−
−+
. B.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+
++
.
C.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+
−+
. D.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+−
++
.
Câu 144. Cho
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
1
3
x
fx
e
=
+
và
( )
1
0 ln 4
3
F = −
. Tập nghiệm
S
của
phương trình
( )
( )
3 ln 3 2
x
Fx e
+ +=
là
A.
{ }
2S =
. B.
{ }
2;2S = −
. C.
{ }
1; 2S =
. D.
{ }
2;1S = −
.
Câu 145. Hàm số
( )
( )
31 2
1
e 9 24 17
27
x
Fx x x C
+
= − ++
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây.
A.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= +−
. B.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= −−
.
C.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= −+
. D.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
−
= −−
.
Câu 146. Cho hai hàm số
( )
( )
2 x
F x x ax b e
−
= ++
và
( )
( )
2
36
x
fx x x e
−
=−+ +
. Tìm
a
và
b
để
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
.
A.
1a =
,
7b = −
. B.
1a = −
,
7b = −
. C.
1a = −
,
7
b =
. D.
1a =
,
7b =
.
Câu 147. Tìm
nx
F x e dx=
∫
?
A.
( ) (
)
( )
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
xn n n n
F e x nx n n x n x n x C
−
−−

= − + − ++− +− ++

.
B.
( ) ( ) (
)
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
xn n n
F e x nx n n x n x n C
−
−−

= − + − ++− +− +

.
C.
!
x
F ne C= +
.
D.
( ) ( ) ( )
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
nn n x
F x nx n n x n x n e C
−
−−
=− + − ++− +−++
.
Câu 148. Giả sử
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C+ −+ = + ++ +
∫
. Khi đó
abcd+++
bằng
A. -2 B. 3 C. 2 D. 5
Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số
( )
5
2018e
e 2017
x
x
fx
x
−

= −


.
A.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
. B.
(
)
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
.
C.
( )
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
. D.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
.
Câu 150. Giả sử
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C+ −+ = + ++ +
∫
. Khi đó
abcd+++
bằng
A. -2 B. 3 C. 2 D. 5
Câu 151. Cho
( )
( )
22
e
x
F x ax bx c= +−
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
22
2018 3 1 e
x
fx x x= −+
trên khoảng
( )
;−∞ +∞
. Tính
24Tabc=++
.
A.
3035T = −
. B.
1007T =
. C.
5053T = −
. D.
1011T =
.
https://toanmath.com/
Câu 152. Biết
(
)
(
)
2 x
F x ax bx c e
−
= ++
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2 52
x
fx x x e
−
= −+
trên
. Tính giá trị của biểu thức
(
)
0fF


.
A.
1
e
−
−
. B.
2
20e
. C.
9e
. D.
3e
.
Câu 153. Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
fx=
, thỏa mãn
(
)
1
0
ln 2
F
=
. Tính giá trị
biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 ... 2017TF F F F= + + ++
.
A.
2017
21
1009.
ln 2
T
+
=
. B.
2017.2018
2T =
. C.
2017
21
ln 2
T
−
=
. D.
2018
21
ln 2
T
−
=
.
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 59. Cho hàm số
4
2
52
()
x
fx
x
+
=
. Khi đó:
A.
3
25
()
3
x
f x dx C
x
= −+
∫
B.
3
5
() 2
f x dx x C
x
= −+
∫
C.
3
25
()
3
x
f x dx C
x
= ++
∫
D.
3
2
2
( ) 5ln
3
x
f x dx x C=++
∫
Hướng dẫn giải
Ta có:
43
2
22
52 5 2 5
2
3
xx
dx x dx C
xx x
+

= + = −+


∫∫
.
Chọn A
Câu 60. Nguyên hàm
()
Fx
của hàm số
2
2
1
()
x
fx
x

+
=


là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
3
1
() 2
3
x
Fx x C
x
= −+ +
. B.
3
1
() 2
3
x
Fx x C
x
= ++ +
.
C.
3
2
3
()
2
x
x
Fx C
x
+
= +
. D.
3
3
2
3
()
2
x
x
Fx C
x

+

= +




.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 42 3
2
22
1 2x 1 1 1
x 2 2x
3
xx x
dx d x C
x x xx

+ ++

= = ++ = + − +




∫∫ ∫
.
Chọn A
Câu 61. Nguyên hàm của hàm số
4
2
23x
y
x
+
=
là:
A.
3
23
3
x
C
x
−+
. B.
3
3
3
xC
x
− −+
. C.
3
23
3
x
C
x
++
. D.
3
3
3
x
C
x
−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
43
2
22
23 3 2 3
2
3
xx
dx x dx C
x xx
+

= + = −+


∫∫
.
Chọn A
Câu 62. Tính nguyên hàm
1
d
23
x
x


+

∫
A.
1
ln 2 3
2
xC
++
. B.
(
)
1
ln 2 3
2
xC
++
. C.
2ln 2 3xC++
. D.
ln 2 3xC++
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
( )
1 11 1
d d23 ln23
23 223 2
x x xC
xx
 
= + = ++
 
++
 
∫∫
Câu 63. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
+
, biết
e1 3
22
F
−

=


là:
A.
(
)
1
2ln 2 1
2
Fx x= +−
. B.
( )
2ln 2 1 1Fx x= ++
.
https://toanmath.com/
C.
(
)
1
ln 2 1 1
2
Fx x
= ++
. D.
(
)
1
ln 2 1
2
Fx x= ++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng
( )
1
d
21
Fx x
x
=
+
∫
1
ln 2 1
2
xC= ++
.
Mà
e1 3
22
F
−

=


1 e1 3
ln 2 1
22 2
C
−

⇔ ++ =


1C⇔=
.
Câu 64. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
1
fx
x
=
−
và
( )
21F =
. Tính
( )
3
F
.
A.
( )
3 ln 2 1F = −
. B.
( )
3 ln 2 1F = +
. C.
( )
1
3
2
F =
. D.
(
)
7
3
4
F
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
1
( ) d ln 1
1
Fx x x C
x
= = −+
−
∫
.
Theo đề
( )
2 1 ln1 1 1F CC=⇔ +=⇔=
.
Vậy
( )
3 ln 2 1F
= +
.
Câu 65. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
1
1
fx
x
=
+
và
( )
02F =
thì
( )
1F
bằng.
A.
ln 2
. B.
2 ln 2
+
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
1
d ln 1
1
Fx x x C
x
= = ++
+
∫
mà
( )
02
F =
nên
( )
ln 1 2Fx x= ++
.
Do đó
(
)
1 2 ln 2F = +
.
Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số
3
2
()
(3 2 x)
fx=
−
là :
A.
( )
2
1
23 2
C
x
−
+
+
. B.
(
)
1
43 2
C
x
+
−
. C.
( )
2
2
32
C
x
+
−
. D.
( )
2
1
23 2
C
x
+
−
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) (
)
32
21
32 232
dx C
xx
= +
−−
∫
.
Chọn D
Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
2
(2 )
()
( 1)
xx
fx
x
+
=
+
A.
2
1
1
xx
x
−−
+
. B.
2
1
1
xx
x
+−
+
. C.
2
1
1
xx
x
++
+
. D.
2
1
x
x
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( )
2
22
22
11 11 11
2
01 0 1 11
1 22
1
11
xx
xx x x
x
xx
−−
++
′

+− + +
= =

+
++

.
Chọn B
https://toanmath.com/
Câu 68. Tính
1
( 3)
dx
xx−
∫
.
A.
1
ln
33
x
C
x
+
−
. B.
13
ln
3
x
C
x
+
+
. C.
1
ln
33
x
C
x
+
+
. D.
13
ln
3
x
C
x
−
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
1 1 11 1 3
.ln
333 3
x
dx dx C
xx x x x
−

= −= +

−−

∫∫
.
Chọn D
Câu 69.
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
3
21
fx x
x
= +
+
. Biết
(
)
00
F
=
,
(
)
1 ln 3
b
Fa
c
= +
trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức
abc++
bằng.
A.
4
. B.
9
. C.
3
. D.
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
2
1
3d
21
Fx x x
x

= +

+

∫
3
1
ln 2 1
2
x xC= + ++
.
Do
( )
00F =
⇒
0C =
⇒
( )
3
1
ln 2 1
2
Fx x x
=++
.
Vậy
( )
1
1 1 ln3
2
F = +
⇒
1;
a =
1;b
=
2c =
⇒
4abc++=
.
Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số
(
)
( )
2
2
2
1
xx
fx
x
+
=
+
.
A.
( )
2
1
1
1
xx
Fx
x
−−
=
+
. B.
( )
2
2
1
1
xx
Fx
x
+−
=
+
. C.
( )
2
3
1
1
xx
Fx
x
++
=
+
. D.
( )
2
4
1
x
Fx
x
=
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
(
)
( )
2
1
2
2
1
xx
Fx
x
+
′
=
+
, đáp án A là nguyên hàm của
( )
fx
.
( )
( )
( )
2
2
2
22
1
xx
Fx
x
++
′
=
+
, đáp án B không phải là nguyên hàm của
( )
fx
.
( )
( )
( )
2
3
2
2
1
xx
Fx
x
+
′
=
+
, đáp án C là nguyên hàm của
.
( )
( )
( )
2
4
2
2
1
xx
Fx
x
+
′
=
+
, đáp án D là nguyên hàm của
( )
fx
.
Câu 71. Cho biết
2 13
d ln 1 ln 2
( 1)( 2)
x
xa x b x C
xx
−
= ++ − +
+−
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
28ab+=
. B.
8ab+=
. C.
28ab−=
. D.
8ab−=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
https://toanmath.com/
2 13
d
( 1)( 2)
x
x
xx
−
+−
∫
53
d
12
x
xx

= −

+−

∫
11
5 d3 d
11
xx
xx
= −
+−
∫∫
5ln 1 3ln 2x xC= +− − +
.
Vậy
5
3
a
b
=
= −
8ab⇒−=
.
Câu 72. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
21
23
x
fx
x
+
=
−
thỏa mãn
(2) 3
F =
. Tìm
( )
Fx
:
A.
( ) 4ln 2 3 1Fx x x=+ −+
. B.
( ) 2ln(2 3) 1
Fx x x=+ −+
.
C.
( ) 2ln 2 3 1Fx x x=+ −+
. D.
( ) 2ln | 2 3| 1Fx x x=+ −−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
(
)
21
d
23
x
Fx x
x
+
=
−
∫
4
1 d 2ln 2 3
23
xx x C
x

= + =+ −+

−

∫
.
Lại có
(2) 3F =
2 2ln 1 3C⇔+ + =
1C⇔=
.
Câu 73. Tích phân
(
)
2
1
2
0
1
d ln
1
x
I xabc
x
−
= = +
+
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
abc++
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
2
1
2
0
1
d
1
x
Ix
x
−
=
+
∫
1
2
0
2
1d
1
x
x
x

= −

+

∫
( )
1
2
0
ln 1 1 ln 2xx=− +=−
.
Khi đó
1a = −
,
2b
=
,
1
c =
.
Vậy
2abc++=
.
Câu 74. Tính
2
1
43
dx
xx−+
∫
, kết quả là:
A.
11
ln
23
x
C
x
−
+
−
. B.
13
ln
21
x
C
x
−
+
−
. C.
2
ln 4 3xx C
− ++
. D.
3
ln
1
x
C
x
−
+
−
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )( )
2
11 1 1 3
ln
43 1 32 3 1 2 1
dx dx x
dx C
xx x x x x x
−

= = −= +

−+ − − − − −

∫∫ ∫
.
Chọn B
Câu 75. Nguyên hàm
2
1
76
dx
xx−+
∫
là:
A.
11
ln
56
x
C
x
−
+
−
. B.
16
ln
51
x
C
x
−
+
−
.
C.
2
1
ln 7 6
5
xx C− ++
. D.
2
1
ln 7 6
5
xx C− − ++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )( )
( )
2
1 1 11 1 1 1 6
ln 6 ln 1 ln
76 165615 51
x
dx dx dx x x C C
xx x x x x x
−

= = − = −− − += +

−+ − − − − −

∫∫ ∫
.
https://toanmath.com/
Chọn B
Câu 76. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
1
21
fx
x
=
+
, biết
( )
01F
=
. Giá trị của
( )
2F −
bằng
A.
1
1 ln 3
2
+
. B.
1
1 ln 5
2
+
. C.
1 ln3+
. D.
(
)
1
1 ln3
2
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
(
)
( )
d1
d ln 2 1
2 12
x
Fx fx x x C
x
= = = ++
+
∫∫
.
( )
(
) (
)
1 11
0 1 ln1 1 1 ln 2 1 1 2 1 ln 3
2 22
F C C Fx x F
=⇔ + =⇔ =⇒ = ++⇒ − =+
.
Câu 77. Tìm nguyên hàm
2
1
d.
4
Ix
x
=
−
∫
A.
12
ln .
22
x
IC
x
+
= +
−
B.
12
ln .
22
x
IC
x
−
= +
+
C.
12
ln .
42
x
IC
x
−
= +
+
D.
12
ln .
42
x
IC
x
+
= +
−
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )( )
1 11 1 1 2
d d ln .
22 4 22 4 2
x
I x xC
xx xx x
+

=− =− −= +

−+ −+ −

∫∫
Câu 78. Tìm nguyên hàm
2
3
d
32
x
x
xx
+
++
∫
.
A.
2
3
d 2ln 2 ln 1
32
x
x x xC
xx
+
= + − ++
++
∫
.
B.
2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x xC
xx
+
= +− + +
++
∫
.
C.
2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x xC
xx
+
= ++ + +
++
∫
.
D.
2
3
d ln 1 2ln 2
32
x
xx x C
xx
+
= ++ + +
++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )( )
2
3 3 21
dd d
32 1 2 1 2
xx
xx x
xx x x x x
++

= = −

++ + + + +

∫∫ ∫
2ln 1 ln 2x xC= +− + +
.
Câu 79. Nguyên hàm
32
2
2 6 41
32
xxx
dx
xx
− ++
−+
∫
là:
A.
2
1
ln
2
x
xC
x
−
++
−
. B.
2
12
ln
21
x
xC
x
−
++
−
.
C.
2
11
ln
22
x
xC
x
−
++
−
. D.
2
2
ln
1
x
xC
x
−
++
−
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
https://toanmath.com/
32
2
22
2 6 41 1 1 1 2
2 2 ln
32 32 2 1 1
xxx x
dx x dx x dx x C
xx xx x x x
− ++ −

=+ =+− =+ +

−+ −+ − − −

∫∫ ∫
Chọn D
Câu 80. Nguyên hàm
2
33
2
x
dx
xx
+
− −+
∫
là:
A.
2ln 1 ln 2x xC−− + +
. B.
2ln 1 ln 2
x xC− −+ + +
.
C.
2ln 1 ln 2x xC
−+ + +
. D.
2ln 1 ln 2x xC
− −− + +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
(
)
2
33 33 2 1
2ln 1 ln 2
21 2 1 2
xx
dx dx dx x x C
x x xx xx
++

= = − =− −− + +

− −+ − + − +

∫∫ ∫
.
Chọn B
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số
32
2
3 31
()
21
xxx
fx
xx
+ +−
=
++
khi biết
( )
1
1
3
F =
là
A.
( )
2
2 13
.
2 16
x
Fx x
x
= ++ −
+
B.
(
)
2
2 13
.
2 16
x
Fx x
x
= ++ +
+
C.
( )
2
2
.
21
x
Fx x
x
= ++
+
D.
(
)
2
2
.
21
x
Fx x C
x
= ++ +
+
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
32 2
22
3 31 2 2
d 1 d ()
2 1 ( 1) 2 1
xxx x
x x x x C Fx
xx x x

+ +−
= +− = + + + =

++ + +

∫∫
.
Mà
( )
1 1 1 13
1 11
32 3 6
F CC= ⇔ +++ = ⇔ =−
nên
(
)
2
2 13
.
2 16
x
Fx x
x
= ++ −
+
Câu 82. Biết luôn có hai số
a
và
b
để
( )
4
ax b
Fx
x
+
=
+
( )
40ab−≠
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
2
21f x Fx f x
′
= −


.
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A.
1a =
,
4b =
. B.
1
a =
,
1b = −
. C.
1a =
,
{ }
\4b∈
. D.
a
∈
,
b∈
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
4
ax b
Fx
x
+
=
+
là nguyên hàm của
( )
fx
nên
(
) ( )
( )
2
4
4
ab
fx Fx
x
−
′
= =
+
và
( )
( )
3
28
4
ba
fx
x
−
′
=
+
.
Do đó:
( ) ( )
( )
( )
2
21f x Fx f x
′
= −
( )
( ) ( )
2
43
24
28
1
4
44
ab
ax b b a
x
xx
−
+−

⇔=−

+

++
( )
44a b ax b x⇔ −=− +−−
( )( )
41 0 1xaa⇔ + − =⇔=
(do
40x +≠
)
Với
1a =
mà
40ab−≠
nên
4b ≠
.
Vậy
1a =
,
{ }
\4b∈
.
Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
https://toanmath.com/
+ Vì
40ab−≠
nên loại được ngay phương án A:
1a =
,
4b =
và phương án D:
a∈
,
b∈
.
+ Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy
0b =
,
1a =
. Khi đó, ta có
( )
4
x
Fx
x
=
+
,
(
)
( )
2
4
4
fx
x
=
+
,
(
)
( )
3
8
4
fx
x
′
= −
+
.
Thay vào
(
)
( )
(
)
( )
2
21f x Fx f x
′
= −
thấy đúng nên
Chọn C
https://toanmath.com/
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số
3
2
() 3fx x xx
= +
là :
A.
2
3
29
48
xx xx
C++
. B.
3
22
5 27
38
xx x x
C++
.
C.
2
3
29
35
xx x x
C−+
. D.
3
22
29
38
xx x x
C++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
33
3 8 22
3
2
2 3 29
3 3.
3 8 38
x x xx x x
x x x dx C C
+ = + += + +
∫
.
Chọn D
Câu 84. Nguyên hàm của
( )
3
12
3fx
xx
=++
là:
A.
3
2
23 3
x x xC
+ ++
. B.
3
2
4
23
3
x x xC+ ++
.
C.
3
2
1
33
2
x x xC+ ++
. D.
3
2
14
3
23
x x xC+ ++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
12
11
3
2
33
22
3
12
3 2 3 233 2 3 3
dx x x dx x x x C x x x C
xx
−
−


+ + = + + = + ++= + ++




∫∫
.
Chọn A
Câu 85. Tính
1
dx
x−
∫
thu được kết quả là:
A.
1
C
x−
B.
21 xC− −+
C.
2
1
C
x
+
−
D.
1 xC−+
Hướng dẫn giải
Ta có:
21
1
dx
xC
x
=− −+
−
∫
. Chọn B
Câu 86. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
1fx x
x
= +−
. Nguyên hàm của
( )
fx
biết
( )
36
F =
là:
A.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + −+
. B.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + ++
.
C.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + −−
. D.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + +−
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
3
2
12 1
11
3
x dx x C
xx

+− = + + +


∫
.
Theo đề bài, ta lại có:
(
)
( )
3
21 1
3 6 31 6
33 3
F CC=⇔ + ++ =⇔ =
.
( ) ( )
3
2 11
1
33
Fx x
x
= + ++
.
Chọn B
https://toanmath.com/
.
Câu 87. Cho
(x 2) 2 (x 1) 1
21
dx
a x b xC
xx
= + + + + ++
++ +
∫
. Khi đó
3ab+
bằng:
A.
2
3
−
. B.
1
3
. C.
4
3
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
22
( 2 1)dx (x 2) 2 (x 1) 1
33
21
dx
x x x xC
xx
= +− + = + +− + ++
++ +
∫∫
22
;
33
ab⇒= =−
4
3
3
ab
⇒ +=
Câu 88. Tìm
1
1
x
Q dx
x
−
=
+
∫
?
A.
22
1 ln 1
Qx xx C= −+ + − +
. B.
22
1 ln 1Qx xx C= −− + − +
.
C.
22
ln 1 1Q xx x C= + − − −+
. D. Cả đáp án B,C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
1
1
0
1
1
x
x
x
x
≥
−
≥⇔
<−
+
Trường hợp 1: Nếu
1x ≥
thì
22
2 22
11 1
1 ln 1
1
1 11
xx x
Q dx dx dx dx x x x C
x
x xx
−−
= = = − = −− + − +
+
− −−
∫∫ ∫ ∫
Trường hợp 2: Nếu
1
x
<−
thì
22
2 22
11 1
ln 1 1
1
1 11
xx x
Q dx dx dx dx x x x C
x
x xx
−−
= = = − = + − − −+
+
− −−
∫∫ ∫ ∫
Chọn D
Câu 89. Biết
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
1
1
21
fx m
x
= +−
+
thỏa mãn
( )
00F =
và
(
)
37
F
=
. Khi đó, giá trị của tham số
m
bằng
A.
2
−
. B.
3
. C.
3−
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
Fx
1
1d
21
mx
x

= +−

+

∫
( )
11
x m xC= ++ − +
.
Theo giả thiết, ta có
( )
( )
00
37
F
F
=
=
10
38
C
Cm
+=
⇒
+=
1
3
C
m
= −
⇔
=
.
Vậy
( )
Fx
12 1xx= ++ −
.
Câu 90. Hàm số
( ) (
)
41F x ax b x
=++
(
,ab
là các hằng số thực) là một nguyên hàm của
( )
12
41
x
fx
x
=
+
. Tính
ab+
.
https://toanmath.com/
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
2
41 .
41
x
F x a x ax b
x
′
= ++ +
+
62
41
ax a b
x
++
=
+
.
Để
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
thì
6 2 12
41 41
ax a b x
xx
++
=
++
6 12 2
20 1
aa
ab b
= =

⇔⇔

+= =−

.
Do đó
1
ab+=
.
Câu 91. Biết
( )
(
)
2
23
F x ax bx c x= ++ −
( )
, , abc∈
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
20 30 11
23
xx
fx
x
−+
=
−
trên khoảng
3
;
2

+∞


. Tính
T abc
=++
.
A.
8T =
. B.
5T =
. C.
6T =
. D.
7T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
(
) ( )
Fx fx
′
=
.
Tính
( )
( )
( )
2
1
2 23 .
23
F x ax b x ax bx c
x
′
= + −+ + +
−
( )( )
2
2 23
23
ax b x ax bx c
x
+ −+ + +
=
−
( )
2
5 36 3
23
ax b a x b c
x
+ − −+
=
−
.
Do đó
( )
2
5 36 3
23
ax b a x b c
x
+ − −+
−
2
20 30 11
23
xx
x
−+
=
−
( )
22
5 3 6 3 20 30 11
ax b a x b c x x
⇒ + − − += − +
5 20
3 6 30
3 11
a
ba
bc
=
⇒ −=−
− +=
4
2
5
a
b
c
=
⇒=−
=
7T⇒=
.
https://toanmath.com/
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2cos2fx x=
là
A.
2sin 2
xC
−+
. B.
sin 2xC+
. C.
2sin 2xC+
. D.
sin 2xC+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
d 2cos2 d
fx x xx=
∫∫
1
2. sin 2 sin 2
2
xC xC= += +
.
Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
sin5 2fx x= +
là
A.
5cos5xC
+
. B.
1
cos5 2
5
x xC
− ++
. C.
1
cos5 2
5
x xC++
. D.
cos5 2x xC++
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) (
)
1
d sin52d cos52
5
fx x x x x xC= + =− ++
∫∫
.
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2 sin 2fx x x= +
là
A.
2
1
cos2
2
x xC−+
. B.
2
1
cos2
2
x xC++
. C.
2
2cos2x xC−+
. D.
2
2cos2x xC
++
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
d 2 sin 2 dfxx x xx= +
∫∫
2
1
cos2
2
x xC=−+
.
Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) cos 2fx x
=
là:
A.
1 cos4
28
x
C++
. B.
cos4
22
xx
C−+
. C.
1 cos 4
22
x
C−+
. D.
cos4
28
xx
C++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1 cos 4 sin 4
cos 2 .
2 28
xx x
x dx dx C
+

= =++


∫∫
.
Chọn D
Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
cos 3
6
fx x
π

= +


.
A.
( )
d 3sin 3
6
fx x x C
π

= ++


∫
. B.
(
)
1
d sin 3
36
fx x x C
π

=− ++


∫
.
C.
( )
d 6sin 3
6
fx x x C
π

= ++


∫
. D.
( )
1
d sin 3
36
fx x x C
π

= ++


∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng công thức:
( ) ( )
1
cos d sinax b x ax b C
a
+ = ++
∫
.
Câu 97. Cho
( )
cos2 sinFx x x C= −+
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
. Tính
( )
πf
.
A.
( )
π3f = −
. B.
( )
π1f =
. C.
( )
π1
f = −
. D.
( )
π0f =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
fx Fx
′
=
( )
2sin 2 cosfx x x⇒=− −
Do đó:
( )
π1f =
.
https://toanmath.com/
Câu 98. Tính:
1 cos
dx
x
+
∫
A.
2tan
2
x
C+
. B.
tan
2
x
C+
. C.
1
tan
22
x
C
+
. D.
1
tan
42
x
C
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
tan
1 cos 2
2cos
2
dx dx x
C
x
x
= = +
+
∫∫
.
Chọn B
Câu 99. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
6 sin3fx x x= +
, biết
( )
2
0
3
F =
.
A.
( )
2
cos3 2
3
33
x
Fx x
=−+
. B.
( )
2
cos3
31
3
x
Fx x=−−
.
C.
(
)
2
cos3
31
3
x
Fx x
=++
. D.
(
)
2
cos3
31
3
x
Fx x
=−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( )
( ) ( )
2
cos3
d 6 sin3 d 3
3
x
fxx x xx x CFx= + = − +=
∫∫
.
(
)
2
0
3
F
=
12
0 .1
33
C
⇔− + =
1C⇔=
.
Vậy
( )
2
cos3
31
3
x
Fx x=−+
.
Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) tanfx x=
là:
A.
cot xxC
−+
. B.
tan
xxC
−+
. C.
cot xxC− −+
. D.
tan
xxC− −+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
22
tan tan 1 1 tan
xdx x dx x x C= +− = − +
∫∫
.
Chọn B
Câu 101. Cho
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
cos
y
x
= −
và
( )
01F =
. Khi đó, ta có
( )
Fx
là:
A.
tan x−
. B.
tan 1x−+
. C.
tan 1x +
. D.
tan 1x −
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
tan
cos
dx
Fx x C
x
=− =−+
∫
. Mà
( )
0 1 tan 0 1 1F CC= ⇔− + = ⇔ =
Vậy
( )
tan 1Fx x
=−+
.
Chọn B
Câu 102. Cho hàm số
( )
4
sin 2fx x=
. Khi đó:
A.
( )
11
3 sin 4 sin8
88
f x dx x x x C

=++ +


∫
. B.
( )
11
3 cos4 sin8
88
f x dx x x x C

=−+ +


∫
.
C.
( )
11
3 cos4 sin8
88
f x dx x x x C

=++ +


∫
. D.
( )
11
3 sin 4 sin8
88
f x dx x x x C

=−+ +


∫
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Ta có:
( )
( )
2
42
11
sin 2x. x 1 cos4x 1 2cos4 cos 4
44
d dx x x dx=− =−+
∫∫ ∫
( )
1 11
3 4cos4 cos8 3 sin 4 sin8
8 88
x x dx x x x C

=− + =−+ +


∫
.
Chọn D
Câu 103. Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
sin 1 2fx x= −
và thỏa mãn
1
1.
2
F

=


Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( ) (
)
13
cos 1 2 .
22
Fx x=− −+
B.
( ) ( )
cos 1 2 .Fx x= −
C.
( )
(
)
cos 1 2 1.
Fx x
= −+
D.
( )
( )
11
cos 1 2 .
22
Fx x= −+
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
( ) (
) ( )
( )
11
d sin12 d cos12 cos12
22
Fx fxx xx x C x C= = − =− − − += − +


∫∫
.
Mà
(
)
(
)
11 1 1 1 1 1
1 cos 1 2. 1 1 cos 1 2 .
22 2 2 2 2 2
F C C C Fx x

=⇔ − +=⇔+=⇔=⇒ = − +


Câu 104. Nguyên hàm
( )
sin 2 cosx x dx+
∫
là:
A.
1
cos2 sin
2
x xC++
. B.
cos2 sinx xC− ++
.
C.
1
cos2 sin
2
x xC
− ++
. D.
cos2 sinx xC
− −+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
1
sin 2 cos cos2 sin
2
x x dx x x C+ =− ++
∫
.
Chọn C
Câu 105. Nguyên hàm
( ) ( )
sin 2 3 cos 3 2x x dx++ −


∫
là:
A.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC− +− − +
. B.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC− ++ − +
.
C.
(
) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC+− − +
. D.
( ) ( )
2cos 2 3 2sin 3 2x xC++ − +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
) ( )
( ) ( )
sin 2 3 cos 3 2 2cos 2 3 2sin 3 2x x dx x x C++ − =− +− − +


∫
.
Chọn A
Câu 106. Nguyên hàm
( )
2
sin 3 1 cosx x dx

++

∫
là:
A.
( )
1
3sin 6 2 sin
2
x x xC− ++ +
. B.
( )
3sin 6 2 sinx x xC− ++ +
.
C.
(
)
1
3sin 3 1 sin
2
x x xC
− ++ +
. D.
( )
1
3sin 6 2 sin
2
x x xC− +− +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
https://toanmath.com/
( )
( )
( )
( )
2
1 cos 6 2
11
sin 3 1 cos cos cos 6 2 cos
2 22
1
3sin 6 2 sin
2
x
x x dx x dx x x dx
x x xC
−+



++= +=− ++





= − ++ +
∫∫ ∫
Chọn A
Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của
( )
33
sin cosx x dx+
∫
?
A.
22
3cos .sin 3sin .cosx x x xC−+
. B.
( )
3
sin 2 sin cos
2
x x xC−+
.
C.
3 2 sin 2 sin
4
xx C
π

−+


. D.
3 2 sin .cos .sin
4
xx x C
π

−+


.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
33 2 2
sin cos 3cos .sin 3sin .cos
3 32
sin 2 sin cos sin 2 sin
2 24
x x dx x x x x C
x x xC x x C
π
+= − +

= − += − +


∫
Chọn C
Câu 108. Cho hàm số
( )
cos3 .cosfx x x=
. Một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
bằng 0 khi
0x =
là:
A.
3sin3 sinxx
+
B.
sin 4 sin 2
84
xx
+
C.
sin 4 sin 2
24
xx
+
D.
cos4 cos2
84
xx
+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
(
)
1 11
cos3 .cos. cos2 4 sin 4 sin 2
2 84
F x x dx x cos x dx x x C
= = + =++
∫∫
( )
11
0 0 sin0 sin0 0 0
84
F CC
=⇔ + +=⇔=
Vậy
( )
cos4 cos2
84
xx
Fx= +
Chọn D
Câu 109. Họ nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
cotfx x=
là:
A.
cot xxC−+
B.
cot xxC− −+
C.
cot xxC++
D.
tan xxC++
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
22
cot cot 1 1 cotxdx x dx x x C= +− =− − +
∫∫
.
Chọn B
Câu 110. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin 4
1 cos
x
fx
x
=
+
thỏa mãn
0
2
F
π

=


. Tính
( )
0F
.
A.
( )
0 4 6ln 2F =−+
. B.
( )
0 4 6ln 2F =−−
. C.
( )
0 4 6ln 2F = −
. D.
( )
0 4 6ln 2F = +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1.
Ta có
( ) ( )
d
Fx fx x=
∫
.
( )
( )
'
2
2.cos2 . 3 cos2
sin 4 2sin 2 .cos2 4sin 2 .cos2
ddd d
1 cos2
1 cos 3 cos 2 3 cos 2
1
2
xx
x xx xx
Fxxxx x
x
x xx
−+
= = = =
+
+ ++
+
∫∫∫∫
https://toanmath.com/
( )
( ) ( )
3 cos 2 3
3
2 d 3 cos2 2 1 d 3 cos 2
3 cos 2 3 cos 2
x
xx
xx
+−

=− + =−− +

++

∫∫
( )
2 3 cos2 6ln 3 cos 2x xC=−+ + + +
.
Do
( )
0 2 3 cos 6ln 3 cos 0 4 6ln 2
2
F CC
π
ππ

= ⇔− + + + + = ⇔ = −


.
( ) ( )
0 2 3 cos0 6ln 3 cos0 4 6ln 2 4 6ln 2F⇒ =− + + + + − =−+
.
Cách 2:
(
)
( )
( )
2
2
2
0
0
sin 4
d 00
1 cos 2
x
x Fx F F F
x
π
π
π

= = −=−

+

∫
.
( )
2
2
0
sin 4
0 d 0,15888
1 cos
x
Fx
x
π
⇒=− ≈
+
∫
.
Câu 111. Biết
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
tanfx x=
và
1
4
F
π

=


. Tính
4
F
π

−


.
A.
1
44
F
ππ

−=−


. B.
1
42
F
ππ

−=−


. C.
1
4
F
π

−=−


. D.
1
42
F
ππ

−=+


.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
22
tan d tan 1 1 d tanxx x x x x C

= + − = −+

∫∫
.
Do
1 tan 1
4 44 4
F CC
π ππ π

=⇔ −+=⇔=⋅


Vậy
tan 1
4 4 4 42
F
π π π ππ
 
−= −−−+=−
 
 
.
Câu 112. Tìm một nguyên hàm
(
)
Fx
của hàm số
( ) ( )
2
1 sinfx x= +
biết
3
24
F
ππ

=


A.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x
=+−
B.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x=−−
C.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x
=−+
D.
( )
31
2cos sin 2 .
24
Fx x x x=++
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
2
1 cos2
1 sin 1 2sin sin 1 2sin
2
x
x dx x x dx x dx
−

+ =++ =++


∫∫ ∫
31
2cos sin 2
24
x x xc=−− +
33 1 3
2cos sin 0
2 4 22 2 4 4
F cc
ππ π π π
π

= ⇔ − + += ⇔=


.
Vậy
( )
31
2cos sin 2
24
Fx x x x=−−
.
Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3sin 3 2cos3
5sin3 cos3
xx
fx
xx
−+
=
−
.
https://toanmath.com/
A.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC−+ − +
B.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC
−− − +
C.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC+ −+
D.
17 7
ln 5sin 3 cos3 .
26 78
x x xC
− −+
Hướng dẫn giải
Chọn A
(
)
(
)
3sin3 2cos3 5sin3 cos3 15cos3 3sin3
17
53 3
26
15 2 7
78
x xA x x B x x
A
AB
AB
B
−+ = −+ +
−
=
+=−
⇒⇒

−+ =
=
Câu 114. Biết
( )
2
sin 2 cos2 d cos 4
a
x x x x xC
b
− =++
∫
, với
a
,
b
là các số nguyên dương,
a
b
là phân
số tối giản và
C ∈
. Giá trị của
ab
+
bằng
A.
5
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
2
sin 2 cos 2 dx xx−
∫
( )
1 2sin 2 cos2 dx xx
= −
∫
(
)
1 sin 4 dxx= −
∫
1
cos4
4
x xC=++
.
Mà
( )
2
sin 2 cos2 d cos 4
a
x x x x xC
b
− =++
∫
nên
1
4
a
b
=
=
5ab⇒+=
.
Câu 115. Tính
8sin3 cos d cos4 cos 2I x xxa xb xC= =++
∫
. Khi đó,
ab−
bằng
A.
3
. B.
1−
. C.
1
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
8sin3 cos dI x xx
=
∫
( )
4 sin 4 sin 2 dx xx= +
∫
cos4 2cos2
x xC
=−− +
1, 2ab⇒=− =−
.
Câu 116.
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2sin cos3y xx=
và
( )
00F =
, khi đó
A.
( )
cos4 cos 2
Fx x x= −
. B.
( )
cos2 cos4 1
4 88
xx
Fx
=−−
.
C.
( )
cos2 cos4 1
2 44
xx
Fx
=−−
. D.
( )
cos4 cos2 1
4 24
xx
Fx=−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
sin 4 sin 2yxx= −
( )
cos4 cos2
42
xx
Fx C⇒=− + +
, vì
( )
00F =
nên
1
4
C = −
.
Nên
(
)
cos2 cos4 1
2 44
xx
Fx
=−−
.
Câu 117. Cho
α
∈
. Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số
( )
sin
fx x=
.
A.
(
)
1
cosFx x= −
. B.
( )
2
2sin sin
22
xx
Fx
αα
+−
=
.
C.
( )
3
2sin sin
22
xx
Fx
αα

=−+ −


. D.
( )
4
2cos sin
22
xx
Fx
αα
+−
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
https://toanmath.com/
Ta có
sin d cos
xx x C
=−+
∫
. Đáp án A là nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x=
.
2sin sin cos cos
22
xx
x
αα
α
+−
= −
. Đáp án B là nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x=
.
( )
2sin sin cos 2 cos
22
xx
x
αα α

− + −= −


. Đáp án C là nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x=
.
2cos .sin sin sin
22
xx
x
αα
α
+−
= −
. Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x=
.
Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
2
1
tan 2
2
fx x= +
.
A.
2
1
tan 2 d 2 tan 2 2
2
x x x xC

+ = −+


∫
. B.
2
1
tan 2 d tan 2
22
x
x x xC

+ = −+


∫
.
C.
2
1
tan 2 d tan 2
2
x x xxC

+ = −+


∫
. D.
2
1 tan 2
tan 2 d
2 22
xx
xx C

+ = −+


∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
2
1 1 1 tan 2
tan 2 d d
2 cos 2 2 2 2
xx
xx x C
x

+ = − = −+


∫∫
.
Câu 119. Hàm số
(
)
ln sin 3cos
Fx x x
= −
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
đây?
A.
( )
sin 3cos
cos 3sin
xx
fx
xx
−
=
+
. B.
( )
cos 3sin
sin 3cos
xx
fx
xx
−−
=
−
.
C.
(
)
cos 3sin
sin 3cos
xx
fx
xx
+
=
−
. D.
( )
cos 3sin
fx x x
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Câu 120. Hàm số
(
)
7cos 4sin
cos sin
xx
fx
xx
−
=
+
có một nguyên hàm
(
)
Fx
thỏa mãn
3
48
F
ππ

=


. Giá trị
2
F
π



bằng?
A.
3 11ln 2
4
π
−
. B.
3
4
π
. C.
3
8
π
. D.
3 ln 2
4
π
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
(
) (
)
3 11
sin cos sin cos
22
cos sin
xx xx
fx
xx
+ +− +
=
+
3 11 sin cos
.
2 2 cos sin
xx
xx
−+
= +
+
( ) ( )
dFx fx x⇒=
∫
3 11 sin cos
.d
2 2 cos sin
xx
x
xx
−+

= +

+

∫
3 11 sin cos
.d
2 2 cos sin
xx
xx
xx
−+
= +
+
∫
( )
3 11 1
d cos sin
2 2 cos sin
x xx
xx
=++
+
∫
3 11
ln cos sin
22
x x xC=+ ++
.
( ) ( )
( )
cos 3sin
ln sin 3cos
sin 3cos
xx
fx Fx x x
xx
+
′
′
==−=
−
https://toanmath.com/
Mà
3
48
F
ππ

=


3 11 3
ln 2
82 8
C
ππ
⇒ + +=
11
ln 2
4
C⇒=−
Do đó
3 3 11
ln 2
2 4 44
FC
ππ π

= += −


.
Câu 121. Tìm
sin
sin cos
x
I dx
xx
=
+
∫
?
A.
( )
1
ln sin cos
2
I x x xC=+ ++
. B.
ln sin cosIx x xC=+ ++
.
C.
ln sin cos
Ix x xC=− ++
. D.
(
)
1
ln sin cos
2
I x x xC=− ++
.
Hướng dẫn giải
Đặt:
cos
sin cos
x
T dx
xx
=
+
∫
( )
1
sin cos sin cos
1
sin cos sin cos sin cos
x x xx
I T dx dx dx x C
xx xx xx
+
⇒+ = + = =+
+++
∫∫∫
Ta lại có:
( )
( )
2
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
sin cos
ln sin cos 2
sin cos
x x xx
I T dx dx dx
xx xx xx
dx x
IT x xC
xx
−
−= − = =
+++
+
⇔−=− =− + +
+
∫∫∫
∫
Từ
( ) ( )
1;2
ta có hệ:
( )
( )
1
2
1
ln sin cos
2
ln sin cos
1
ln sin cos
2
I x x xC
IT xC
IT x xC
T x x xC
=− ++
+=+

⇒

−=− + +
=+ ++
Chọn D
Câu 14. Biết
sinx cos sinx
cos sinx cos sinx
x
I dx A B dx
xx
−

= = +

++

∫∫
. Kết quả của A, B lần lượt là
A.
1
.
2
AB= =
B.
1
.
2
AB
= = −
C.
11
,.
22
AB=−=
D.
11
,.
22
AB
= = −
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( ) (
)
( ) (
)
cos sin cos sin
sin cos sin
cos sin cos sin cos sin
sin = cos sin cos sin ( )cos ( )sin
A x xB x x
x xx
AB
xx xx xx
xA x x B x x A B x A B x
++ −
−

=+=

++ +

⇒ + + − =+ +−
Do đó:
1
0
2
11
2
A
AB
AB
B
=
+=
⇔

−=
= −
Câu 122. Tìm
4
44
cos
sin cos
x
I dx
xx
=
+
∫
?
https://toanmath.com/
A.
1 1 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x


+
=−+




−


. B.
1 2 sin 2
ln
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x

+
=−+


−

.
C.
1 1 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x


+
=++




−


. D.
1 2 sin 2
ln
2 2 2 sin 2
x
Ix C
x

+
=−+


−

.
Hướng dẫn giải
Đặt:
4
44
sin
sin cos
x
T dx
xx
=
+
∫
(
)
4 4 44
1
44 44 44
cos sin sin cos
1
sin cos sin cos sin cos
x x xx
I T dx dx dx x C
xx xx xx
+
⇒+ = + = =+
+++
∫∫∫
Mặt khác:
(
)
4 4 44
44 44 44
22
22
2
2
2
cos sin cos sin
sin cos sin cos sin cos
cos sin cos2
1
1 2sin .cos
1 sin
2
2cos 2 1 2 sin 2
ln 2
2 sin 2
2 2 2 sin 2
x x xx
I T dx dx dx
xx xx xx
xx x
I T dx dx
xx
x
xx
I T dx C
x
x
−
−= − =
+++
−
⇔−= =
−
−

+
⇔−= = +


−
−

∫∫∫
∫∫
∫
Từ
( ) ( )
1;2
ta có hệ:
1
2
1 1 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
1 2 sin 2
ln
1 1 2 sin 2
2 2 2 sin 2
ln
2
2 2 2 sin 2
x
Ix C
IT xC
x
x
IT C
x
x
Tx C
x


+
=++

+=+



−



⇒
+

−= +




+

−
=−+





−


Chọn C
Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
3sin 2 2cos e
x
fx x x=− +−
là
A.
6cos2 2sin e
x
x xC− + −+
. B.
6cos2 2sin e
x
x xC− −+
.
C.
3
cos2 2sin e
2
x
x xC
− −+
. D.
3
cos2 2sin e
2
x
x xC
+ −+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
3
3sin 2 2cos e d cos2 2sin e
2
xx
x xx x xC− + − = + −+
∫
.
Câu 124. Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
0; \
2
π
π



thỏa mãn
( )
tanfx x
′
=
,
5
;\
44 2
x
ππ π

∀∈−



,
( )
00f =
,
( )
1
f
π
=
. Tỉ số giữa
2
3
f
π



và
4
f
π



bằng:
A.
( )
2
2 log e 1+
. B.
2
. C.
( )
1 1 ln 2
2 ln 2
+
+
. D.
( )
2
2 1 log e−
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
https://toanmath.com/
Ta có
( )
(
)
1
2
lncos khi 0
2
tan d ln cos
ln cos khi
2
xC x
fx xx x C
xC x
π
π
π
− + ≤<
= =− +=
− − + <≤
∫
.
( )
1
00 0fC=⇒=
và
( )
2
11fC
π
=⇒=
.
Khi đó
( )
( )
lncos khi 0
2
ln cos 1 khi
2
xx
fx
xx
π
π
π
− ≤<
==
− − + <≤
.
Suy ra
( )
2
ln 2 1
3
f
π

= +


và
1
ln 2
42
f
π

=


.
Vậy tỉ số cần tìm là
( )
2
2 log e 1+
https://toanmath.com/
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
5
x
fx=
.
A.
2
5d
x
x
∫
2
5
2.
ln5
x
C= +
. B.
2
5d
x
x
∫
25
2ln5
x
C= +
.
C.
2
5d
x
x
∫
2
2.5 ln5
x
C= +
. D.
2
5d
x
x
∫
1
25
1
x
C
x
+
= +
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
5d
x
x
∫
25 d
x
x=
∫
25
ln 25
x
C= +
25
2ln5
x
C= +
.
19TCâu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
2018
e.
x
fx
=
19TA.
( )
2018
1
d .e
2018
x
fx x C
= +
∫
. B.
( )
2018
de
x
fx x C= +
∫
.
19TC.
( )
2018
d 2018e
x
fx x C= +
∫
. D.
( )
2018
d e ln 2018
x
fx x C= +
∫
.
19THướng dẫn giải
19TChọn A
19TTheo công thức nguyên hàm mở rộng.
Câu 127. Tìm nguyên hàm
(
)
Fx
của hàm số
( )
2
e
x
fx=
, biết
( )
01F =
.
A.
( )
2
e
x
Fx=
. B.
( )
2
e1
22
x
Fx= +
. C.
( )
2
2e 1
x
Fx= −
. D.
( )
e
x
Fx=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( )
( )
22
1
d ed e
2
xx
Fx fx x x C= = = +
∫∫
.
Theo giả thiết:
( )
1
01
2
FC=⇒=
. Vậy
( )
2
e1
22
x
Fx
= +
.
Câu 128. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
3
e
x
fx=
thỏa mãn
( )
01
F =
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
( )
3
12
e
33
x
Fx= +
. B.
( )
3
1
e
3
x
Fx=
.
C.
( )
3
1
e1
3
x
Fx= +
. D.
( )
3
14
e
33
x
Fx=−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
33
1
ed e
3
xx
Fx x C= = +
∫
.
Lại có
(
)
12
01 1
33
F CC=⇔+=⇔ =
Câu 129. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
e2
x
fx x= +
thỏa mãn
( )
3
0
2
F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
2
5
e
2
x
Fx x=++
. B.
( )
2
1
2e
2
x
Fx x= +−
.
C.
( )
2
3
e
2
x
Fx x=++
. D.
( )
2
1
e
2
x
Fx x=++
.
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn D
(
)
(
)
2
e 2d e
xx
Fx x x x C= + =++
∫
.
( )
3
0
2
F
=
0
3
e
2
C⇔ +=
1
2
C⇔=
.
( )
2
1
e
2
x
Fx x=++
.
Câu 130. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
(
)
2018 ln2018 cos
x
fx x
′
= −
và
( )
02f =
. Phát biểu nào sau
đúng?
A.
( )
2018 sin 1
x
fx x= ++
. B.
( )
2018
sin 1
ln2018
x
fx x= ++
.
C.
( )
2018
sin 1
ln2018
x
fx x= −+
. D.
( )
2018 sin 1
x
fx x= −+
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
(
)
2018 ln2018 cos d
x
fx x x= −
∫
2018 sin
x
xC= −+
Mà
( )
02f =
0
2018 sin 0 2C
⇔ − +=
1C⇔=
Vậy
( )
2018 sin 1
x
fx x= −+
.
Câu 131. Tính
32
(2 )
x
e dx+
∫
A.
36
41
3
36
xx
xe eC+++
B.
36
45
4
36
xx
xe eC+++
C.
36
41
4
36
xx
xe eC+−+
D.
36
41
4
36
xx
xe eC
+++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( )
3 6x
2
3x 3x 6x
4e
2 4 4e x 4x
36
x
e
e dx e d C+ =+ + =+ ++
∫∫
.
Chọn D
Câu 132. Nếu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của
( ) (1 )
xx
fx e e
−
= −
và
(0) 3F =
thì
()Fx
là?
A.
x
ex
−
B.
2
x
ex−+
C.
x
e xC−+
D.
1
x
ex−+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( ) ( )
.1 1
xx x x
F x e e dx e dx e x C
−
= − = − = −+
∫∫
( )
0
03 0 3 2F eC C=⇔ −+ =⇔ =
Vậy
( )
2
x
Fx e x= −+
Chọn B
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số
()
xx
fx e e
−
= −
là :
A.
xx
ee C
−
++
. B.
xx
ee C
−
−+
.
C.
xx
ee C
−
−+ +
. D.
xx
eeC++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
xx xx
e e dx e e C
−−
− =++
∫
.
Chọn A
Câu 134. Hàm số
()
xx
Fx e e x
−
=++
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
https://toanmath.com/
A.
() 1
xx
fx e e
−
= ++
B.
2
1
()
2
xx
fx e e x
−
=−+
C.
() 1
xx
fx e e
−
=−+
D.
2
1
()
2
xx
fx e e x
−
=++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
1
xx xx
e e dx e e x C
−−
+ + = − ++
∫
.
Chọn C
Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số
23
()
xx
fx e e
−
= −
là :
A.
32
32
xx
ee
C
−
++
. B.
23
23
xx
ee
C
−
++
.
C.
33
22
xx
ee
C
−
++
. D.
23
32
xx
ee
C
−
++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
23
23
23
xx
xx
ee
e e dx C
−
−
− =++
∫
.
Chọn B
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số
23
() 3 2
xx
fx
−
= −
là :
A.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
++
. B.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
−+
.
C.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
++
. D.
23
32
2.ln3 3.ln 2
xx
C
−
−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
23
23
32
32
2.ln3 3.ln 2
xx
xx
dx C
−
−
− =++
∫
.
Chọn A
Câu 137. Hàm số
()y fx
=
có một nguyên hàm là
( )
2
e
x
Fx=
. Tìm nguyên hàm của hàm số
() 1
e
x
fx
+
.
A.
() 1
dee
e
xx
x
fx
xC
−
+
=−+
∫
. B.
() 1
d 2e e
e
xx
x
fx
xC
−
+
= −+
∫
.
C.
() 1
d 2e e
e
xx
x
fx
xC
−
+
= ++
∫
. D.
() 1 1
d ee
e2
xx
x
fx
xC
−
+
= −+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì hàm số
()y fx
=
có một nguyên hàm là
( )
2
e
x
Fx=
nên ta có:
( ) ( )
( )
2
2e
x
fx Fx
′
= =
.
Khi đó:
2
( ) 1 2e 1
dd
ee
x
xx
fx
xx
++
=
∫∫
( )
2e e
xx
dx
−
= +
∫
2e e
xx
C
−
= −+
.
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
( )
e1e
xx
fx
−
= +
.
A.
( )
de
x
fx x C
−
= +
∫
. B.
( )
de
x
fx x xC= ++
∫
.
C.
( )
dee
xx
fx x C
−
=++
∫
. D.
( )
de
x
fx x C= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
d e 1d e
xx
fx x x xC= + = ++
∫∫
.
https://toanmath.com/
Câu 139.
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
.
x
y xe=
Hàm số nào sau đây không phải là
( )
Fx
?
A.
( )
2
1
2
2
x
Fx e= +
. B.
( )
( )
2
1
5
2
x
Fx e= +
.
C.
(
)
2
1
2
x
Fx e C
=−+
. D.
(
)
(
)
2
1
2
2
x
Fx e=−−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta thấy ở đáp án C thì
2 22
1
2
x xx
e C xe xe
′

− +=−≠


nên hàm số ở đáp án C không là một
nguyên hàm của hàm
2
.
x
y xe=
Câu 140. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
23
4
xx
x
x
fx

= −



.
A.
( )
12 2
ln12 3
x
xx
Fx C=−+
. B.
( )
12
x
Fx xx C=++
.
C.
( )
2
23
ln 2 ln3 4
xx
x
xx
Fx

= −



. D.
( )
2
2 3 ln 4
ln 2 ln3 4
xx
x
xx
Fx

= −



.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
2
2 3 12
4
xx x
x
x
fx x

= −=−



Nên
(
)
(
)
12 2
12 d
ln12 3
x
x
xx
Fx x x C=− =−+
∫
.
Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số
(
)
5
2018e
e 2017
x
x
fx
x
−

= −


.
A.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
. B.
( )
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
.
C.
(
)
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
. D.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
( )
5
4
504,5
d 2017e 2018 d 2017e
xx
fx x x x C
x
−
= − = ++
∫∫
.
Câu 142. Tính
2
2 .3 .7
xxx
dx
∫
A.
84
ln84
x
C+
B.
2
2 .3 .7
ln 4.ln3.ln 7
xxx
C+
C.
84
x
C+
D.
84 ln84
x
C+
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
84
2 .3 .7 84
ln84
x
xxx x
dx dx C= = +
∫∫
.
Chọn A
Câu 143. Nguyên hàm
21
3
2
x
x
e
dx
e
+
−
∫
là:
https://toanmath.com/
A.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+−
−+
. B.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+
++
.
C.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+
−+
. D.
5
1
33
52
33
x
x
e eC
+−
++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
55
21 21
21 1 1
33 3 3 3 3
3
33
2 2 52
22
33
xx x x
xx
x xx
xx
x
ee
dx dx e e dx e e dx e e C
e
ee
++
+− − + − + −


−

=−= −=−=++




∫∫ ∫ ∫
.
Chọn D
Câu 144. Cho
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
1
3
x
fx
e
=
+
và
( )
1
0 ln 4
3
F = −
. Tập nghiệm
S
của
phương trình
( )
( )
3 ln 3 2
x
Fx e+ +=
là
A.
{ }
2S =
. B.
{ }
2;2S = −
. C.
{ }
1; 2S =
. D.
{ }
2;1S = −
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
( )
d1 1
1 d ln 3
33 3 3
x
x
xx
xe
Fx x x e C
ee

= = − = − ++

++

∫∫
.
Do
( )
1
0 ln 4
3
F = −
nên
0C =
. Vậy
( )
( )
( )
1
ln 3
3
x
Fx x e=−+
.
Do đó:
( )
( )
3 ln 3 2 2
x
Fx e x+ + =⇔=
Chọn A
Câu 145. Hàm số
(
)
( )
31 2
1
e 9 24 17
27
x
Fx x x C
+
= − ++
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây.
A.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= +−
. B.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= −−
.
C.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
+
= −+
. D.
( )
( )
2 31
2 1e
x
fx x x
−
= −−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
( ) ( ) ( )
31 2 31 2 31 2
11
e 9 24 17 3.e 9 24 17 e 9 24 17
27 27
x xx
Fx xx xx xx
+ ++
′


′
′
= −+ = −++ −+




(
)
(
)
(
) ( )
31 2 31 31 2 31 2
11
3.e 9 24 17 e 18 24 e 27 54 27 e 2 1
27 27
x xx x
x x x x x xx
+ ++ +

= − + + − = − + = −+

.
Câu 146. Cho hai hàm số
( )
( )
2
x
F x x ax b e
−
= ++
và
( )
( )
2
36
x
fx x x e
−
=−+ +
. Tìm
a
và
b
để
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
.
A.
1a =
,
7b = −
. B.
1a = −
,
7b = −
. C.
1a = −
,
7b =
. D.
1a =
,
7b =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
( )
( )
2
2
x
F x x ax a be f x
−
= −
′
+ − +− =
nên
23 1
67
aa
ab b
−= =−

⇔

−= =−

.
Câu 147. Tìm
nx
F x e dx=
∫
?
A.
(
) ( ) ( )
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
xn n n n
F e x nx n n x n x n x C
−
−−

= − + − ++− +− ++

.
https://toanmath.com/
B.
( ) ( ) ( )
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
xn n n
F e x nx n n x n x n C
−
−−

= − + − ++− +− +

.
C.
!
x
F ne C
= +
.
D.
( ) ( ) ( )
1
12
1 ... ! 1 ! 1
nn
nn n x
F x nx n n x n x n e C
−
−−
=− + − ++− +−++
.
Hướng dẫn giải
Lưu ý: ta luôn có điều sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
..
x xx x
efx efx ef x C e fx f x C
′
′′

= + += + +



(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
(
) ( ) (
(
) (
) ( )
1
11 2 2 3
1
12
. 1 1 2 ... ! 1 1 !
1 ... ! 1 ! 1
n
xn n n n n n
nn
xn n n
F e x nx n x n x n n x n x n x n
F e x nx n n x n x n
−
−− − − −
−
−−
= + − +− + − +− ++ − ++ −

⇔= − + − ++− +−

∫
Chọn B
Câu 148. Giả sử
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C+ −+ = + ++ +
∫
. Khi đó
abcd+++
bằng
A. -2 B. 3 C. 2 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C
+ −+ = + ++ +
∫
nên
( )
( )
32 2 2 2 232
32 2
32 2
()'(32)2()
2 (3 2 ) (2 2 ) 2
(2 5 2 4)
x xx
x
x
ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d
ax abx bcxcde
xxxe
+ ++ + = + + + + ++
= + + + + ++
= + −+
Do đó
22 1
325 1
22 2 2
24 3
aa
ab b
bc c
cd d
= =


+= =

⇔

+=− =−


+= =

. Vậy
3
abcd
+++ =
.
Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số
(
)
5
2018e
e 2017
x
x
fx
x
−

= −


.
A.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
. B.
(
)
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= ++
∫
.
C.
( )
4
504,5
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
. D.
( )
4
2018
d 2017e
x
fx x C
x
= −+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
( )
5
4
504,5
d 2017e 2018 d 2017e
xx
fx x x x C
x
−
= − = ++
∫∫
.
Câu 150. Giả sử
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C
+ −+ = + ++ +
∫
. Khi đó
abcd+++
bằng
A. -2 B. 3 C. 2 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C+ −+ = + ++ +
∫
nên
( )
( )
32 2 2 2 232
32 2
32 2
()'(32)2()
2 (3 2 ) (2 2 ) 2
(2 5 2 4)
x xx
x
x
ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d
ax abx bcxcde
xxxe
+ ++ + = + + + + ++
= + + + + ++
= + −+
https://toanmath.com/
Do đó
22 1
325 1
22 2 2
24 3
aa
ab b
bc c
cd d
= =


+= =

⇔

+=− =−


+= =

. Vậy
3abcd
+++ =
.
Câu 151. Cho
(
)
(
)
22
e
x
F x ax bx c
= +−
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
22
2018 3 1 e
x
fx x x
= −+
trên khoảng
(
)
;−∞ +∞
. Tính
24Tabc=++
.
A.
3035T = −
. B.
1007T =
. C.
5053T = −
. D.
1011T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì
( )
(
)
22
e
x
F x ax bx c
= +−
là một nguyên hàm của hàm số
( )
(
)
22
2018 3 1 e
x
fx x x
= −+
trên
khoảng
(
)
;−∞ +∞
nên ta có:
( )
( )
( )
Fx fx
′
=
, với mọi
( )
;x∈ −∞ +∞
.
( )
(
)
( )
2 2 22
2 2 2 2 e 2018 3 1 e
xx
ax x b a c b x x
⇔ + + −+ = −+
, với mọi
( )
;x∈ −∞ +∞
.
2 2018
22 3
21
a
ba
cb
=
⇔ +=−
− +=
1009
2021
2
2023
4
a
b
c
=
⇔=−
= −
.
Vậy
24
Tabc=++
2021 2023
1009 2. 4.
24

= +− +−


3035= −
.
Câu 152. Biết
( )
( )
2 x
F x ax bx c e
−
= ++
là một nguyên hàm của hàm số
( )
(
)
2
2 52
x
fx x x e
−
= −+
trên
. Tính giá trị của biểu thức
( )
0fF


.
A.
1
e
−
−
. B.
2
20e
. C.
9e
. D.
3e
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
22 2
2
x xx x
F x ax bx c e ax bx c e ax b e ax bx c e
− −− −
′′
′
= ++ + ++ = + − ++
( )
( )
2
2
x
Fx ax abxbce
−
′

=− + − +−

Vì
( )
( )
2 x
F x ax bx c e
−
= ++
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
( )
2
2 52
x
fx x x e
−
= −+
trên
nên:
( ) ( ) ( )
( )
22
, 2 2 52 ,
xx
Fx fx x ax abxbce x x e x
−−
′

= ∀∈ ⇔− + − + − = − + ∀∈


22
251
21
aa
ab b
bc c
−= =−


⇔ − =−⇔ =


−= =−

.
Như vậy
( )
(
)
( )
( )
2 20
2 1 0 2.0 0 1 1
x
Fx x x e F e
−−
=− +− ⇒ =− +− =−
.
Bởi vậy
( ) ( )
( )
2
0 1 2.1 5.1 2 9fF f e e= −= + + =


.
Câu 153. Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
fx=
, thỏa mãn
( )
1
0
ln 2
F =
. Tính giá trị
biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 ... 2017TF F F F= + + ++
.
https://toanmath.com/
A.
2017
21
1009.
ln 2
T
+
=
. B.
2017.2018
2T
=
. C.
2017
21
ln 2
T
−
=
. D.
2018
21
ln 2
T
−
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( )
( )
2
d 2d
ln 2
x
x
Fx fx x x C= = = +
∫∫
.
Mà
(
)
1
0
ln 2
F
=
( )
11 2
0
ln 2 ln 2 ln 2
x
C C Fx
⇒ += ⇒=⇒ =
.
Khi đó:
( )
( ) ( ) ( )
0 1 2 ... 2017
TF F F F
= + + ++
0 2 2017 2018 2018
2 2 2 2 112 2 1
... .
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 2 ln 2
−−
=++++ = =
−
https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
BÀI TẬP
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
Câu 1. Cho hàm số
( )
2
2
1
x
fx
x
=
+
. Khi đó:
A.
( )
( )
2
2ln 1
f x dx x C= ++
∫
. B.
( )
( )
2
3ln 1f x dx x C
= ++
∫
.
C.
(
)
(
)
2
4ln 1f x dx x C
= ++
∫
. D.
( )
( )
2
ln 1f x dx x C= ++
∫
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
(
)
4
2
1
f x xx= +
. Biết F(x) là một nguyên hàm của
()fx
đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi qua điểm
( )
1; 6M
. Khi đó F(x) là:
A.
(
)
( )
4
2
1
2
45
x
Fx
+
= −
. B.
( )
( )
5
2
1
15
10 8
x
Fx
+
= −
.
C.
( )
( )
5
2
1
15
10 8
x
Fx
+
= +
. D.
( )
( )
5
2
1 14
1
10 5
Fx x= ++
.
Câu 3. Tính
2
2
1
x
dx
x
−
−
∫
thu được kết quả là:
A.
1
1
x
C
x
+
+
−
. B.
1
x
C
x
+
−
.
C.
1
1
C
x
+
−
. D.
2
ln 1 xC−+
.
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số
2
21
()
4
x
fx
xx
+
=
++
là:
A.
2
2ln 4xx C++ +
. B.
2
ln 4xx C
++ +
.
C.
2
ln 4
2
xx
C
++
+
. D.
2
4ln 4xx C+++
.
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
44
x
fx
xx
+
=
+−
là :
A.
2
1
.ln 4 4
2
xx C+ −+
. B.
2
ln 4 4xx C+ −+
.
C.
2
2ln 4 4xx C+ −+
. D.
2
4ln 4 4xx C+ −+
.
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
4
x
fx
x
=
+
là:
A.
2
2ln 4
xC++
B.
2
ln 4
2
x
C
+
+
C.
2
ln 4xC++
D.
2
4ln 4xC++
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3
3
()
4
x
fx
x
=
+
là:
A.
3
3ln 4xC++
B.
3
3ln 4
xC− ++
https://toanmath.com/
C.
3
ln 4
xC
++
D.
3
ln 4
xC− ++
Câu 8. Một nguyên hàm của
2
()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
1
ln 1
2
x +
B.
( )
2
2ln 1x +
C.
2
1
ln( 1)
2
x
+
D.
2
ln( 1)x +
Câu 9. Tính
3
4
()
1
x
F x dx
x
=
−
∫
A.
4
( ) ln 1Fx x C
= −+
B.
4
1
( ) ln 1
4
Fx x C= −+
C.
4
1
( ) ln 1
2
Fx x C= −+
D.
4
1
( ) ln 1
3
Fx x C= −+
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số
sin
()
cos 3
x
fx
x
=
−
là:
A.
ln cos 3xC− −+
B.
2ln cos 3xC
−+
C.
ln cos 3
2
x
C
−
−+
D.
4ln cos 3xC−+
Câu 11. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
sin
1 3cos
x
fx
x
=
+
và
2
2
F
π

=


. Tính
(
)
0.F
A.
( )
1
0 ln 2 2
3
F =−+
. B.
(
)
2
0 ln 2 2
3
F
=−+
. C.
( )
2
0 ln 2 2
3
F =−−
. D.
( )
1
0 ln 2 2
3
F =−−
.
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số:
23
.y sin x cos x=
là:
A.
35
11
sin sin
35
x xC−+
. B.
35
11
sin sin
35
x xC−++
.
C.
35
sin sinx xC
++
. D.
35
sin sinx xC
−+
.
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số:
3
.y sin x cosx=
là:
A.
4
1
cos
4
xC+
. B.
4
1
sin
4
xC+
. C.
3
1
sin
3
xC+
. D.
2
cos xC−+
.
Câu 14. Tính
2
cos .sin .x x dx
∫
A.
3sin sin3
12
xx
C
−
+
B.
3cos cos3
12
xx
C
−
+
C.
3
sin
3
x
C+
D.
2
sinx.cos xC+
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
1
sin
fx
x
=
là:
A.
ln cot
2
x
C+
B.
ln tan
2
x
C+
C.
ln tan
2
x
C−+
D.
ln sin xC+
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
tanfx x=
là:
A.
ln cos xC+
B.
ln cos xC−+
https://toanmath.com/
C.
2
tan
2
x
C+
D.
( )
ln cos xC+
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
2
1 2sin
2sin
4
x
fx
x
π
−
=

+


.
A.
( )
d ln sin cosfx x x x C= ++
∫
. B.
( )
1
d ln sin cos
2
fx x x x C= ++
∫
.
C.
( )
d ln 1 sin 2
fx x x C=++
∫
. D.
( )
1
d ln 1 sin 2
2
fx x x C=++
∫
.
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số
()
3
x
x
e
fx
e
=
+
là:
A.
3
x
eC− −+
B.
39
x
eC++
C.
2ln 3
x
eC− ++
D.
ln 3
x
eC++
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 22
x
fx x=
là:
A.
2
1
ln2.2
x
C+
B.
2
1
.2
ln 2
x
C+
C.
2
ln 2
2
x
C+
D.
2
ln2.2
x
C+
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2
x
f x xe=
là:
A.
2
x
e
C
−
+
. B.
2
2
x
e
C+
.
C.
x
eC−+
. D.
2
x
eC+
.
Câu 21. Tính
2
1
.
x
x e dx
+
∫
A.
2
1x
eC
+
+
. B.
2
1
2
x
eC+
.
C.
2
1
1
2
x
eC
+
+
. D.
2
1
1
2
x
eC
−
+
.
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
ln x
fx
x
=
.
A.
( )
2
d lnfx x xC= +
∫
. B.
( )
2
1
d ln
2
fx x xC= +
∫
.
C.
( )
d lnfx x xC= +
∫
D.
( )
d
x
fx x e C= +
∫
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số
ln 2
()
x
fx
x
=
là :
A.
ln 2
xC+
. B.
2
ln xC+
.
C.
2
ln 2
2
x
C+
. D.
ln
2
x
C+
.
Câu 24. Nguyên hàm
( )
1 ln
d0
x
xx
x
+
>
∫
bằng
A.
2
1
ln ln
2
x xC++
. B.
2
lnx xC++
. C.
2
ln lnx xC++
. D.
2
1
ln
2
x xC++
.
Câu 25. Tính
()
2ln 1
dx
Fx
xx
=
+
∫
A.
( ) 2 2ln 1Fx x C= ++
B.
( ) 2ln 1Fx x C= ++
https://toanmath.com/
C.
1
( ) 2ln 1
4
Fx x C
= ++
D.
1
( ) 2ln 1
2
Fx x C
= ++
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số
ln
()
x
fx
x
=
là:
A.
2
ln xC
+
B.
ln xC
+
C.
2
ln
2
x
C+
D.
ln
2
x
C
+
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
2
( ) ln( 1)
1
x
fx x
x
= +
+
là:
A.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
B.
2
ln( 1) Cx ++
C.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
D.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
Câu 28. Tính
.ln
dx
xx
∫
A.
ln xC
+
B.
ln | |xC
+
C.
ln(lnx) C+
D.
ln | lnx | C+
Câu 29. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
21
fx
x
=
−
thỏa mãn
( )
57F =
.
A.
( )
22 1Fx x= −
. B.
( )
22 11Fx x= −+
.
C.
( )
2 14Fx x
= −+
. D.
(
)
2 1 10Fx x= −−
.
Câu 30. Họ nguyên hàm
3
2
. 1dxx x+
∫
bằng
A.
2
3
1
. ( 1) .
8
xC
++
B.
2
3
3
. ( 1) .
8
xC
++
C.
24
3
3
. ( 1) .
8
xC
++
D.
24
3
1
. ( 1) .
8
xC++
Câu 31. Biết
( )
( )
d 2 ln 3 1fx x x x C
= −+
∫
với
1
;
3
x

∈ +∞


Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
( ) ( )
3 d 2 ln 9 1f xx x x C= −+
∫
. B.
( )
(
)
3 d 6 ln 3 1f xx x x C
= −+
∫
.
C.
( )
(
)
3 d 6 ln 9 1
f xx x x C= −+
∫
. D.
( ) ( )
3 d 3 ln 9 1f xx x x C
= −+
∫
.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
Câu 32. Cho
() () .f x dx F x C= +
∫
Khi đó với a ≠ 0, ta có
(a )
f x b dx+
∫
bằng:
A.
1
(a ) C
2
F xb
a
++
B.
. (a ) CaF x b++
C.
1
(a ) CF xb
a
++
D.
(a ) CF xb++
Câu 33. Hàm số
10
( ) (1 )fx x x= −
có nguyên hàm là:
A.
12 11
( 1) ( 1)
()
12 11
xx
Fx C
−−
=−+
. B.
12 11
( 1) ( 1)
()
12 11
xx
Fx C
−−
=++
.
C.
11 10
( 1) ( 1)
11 10
xx
C
−−
++
. D.
11 10
( 1) ( 1)
()
11 10
xx
Fx C
−−
=−+
.
https://toanmath.com/
Câu 34. Tính
2
x
(1 )
d
xx+
∫
thu được kết quả là:
A.
( )
2
ln 1
xx C++
. B.
2
ln 1x xC++
.
C.
2
ln
1
x
C
x
+
+
. D.
2
2
1
.ln
21
x
C
x
+
+
.
Câu 35. Tính
(
)
3
1x x dx+
∫
là :
A.
( )
( )
54
11
54
xx
C
++
++
B.
( )
( )
54
11
54
xx
C
++
−+
C.
54 2
3
3
54 2
xx x
xC+ +− +
D.
54 2
3
3
54 2
xx x
xC
+ −+ +
Câu 36. Tìm nguyên hàm
2 15
( 7) d
xx x
+
∫
A.
( )
16
2
1
7
2
xC++
. B.
( )
16
2
1
7
32
xC− ++
. C.
( )
16
2
1
7
16
xC++
. D.
(
)
16
2
1
7
32
xC++
.
Câu 37. Xét
(
)
5
34
4 3dI xx x
= −
∫
. Bằng cách đặt:
4
43ux= −
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
1
d
16
I uu=
∫
. B.
5
1
d
12
I uu=
∫
. C.
5
dI uu=
∫
. D.
5
1
d
4
I uu=
∫
.
Câu 38. Cho
( ) ( ) ( )
6 87
232d 32 32xx xAx Bx C− = −+ −+
∫
với
A
,
B
∈
và
C ∈
. Giá trị của
biểu thức
12 7AB+
bằng
A.
23
252
. B.
241
252
. C.
52
9
. D.
7
9
.
Câu 39. Giả sử
( )
( ) ( )
2017
11
1d
ab
xx
xx x C
ab
−−
− =−+
∫
với
,ab
là các số nguyên dương. Tính
2ab−
bằng:
A.
2017
. B.
2018
. C.
2019
. D.
2020
.
Câu 40. Nguyên hàm của
2
1
x
dx
x +
∫
là:
A.
ln tC+
, với
2
1tx= +
. B.
ln tC−+
, với
2
1tx= +
.
C.
1
ln
2
tC
+
, với
2
1
tx= +
. D.
1
ln
2
tC−+
, với
2
1tx
= +
.
Câu 41. Tính
( )
2
4
2
d
9
x
x
x +
∫
là:
A.
( )
5
2
1
59
C
x
−+
+
B.
( )
3
2
1
39
C
x
−+
+
C.
( )
5
2
4
9
C
x
−+
+
D.
( )
3
2
1
9
C
x
−+
+
Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của
( )
( )
2017
2019
71
21
x
K dx
x
−
=
+
∫
?
A.
2018
1 71
.
18162 2 1
x
x
−


+

. B.
( ) ( )
( )
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
+ +−
+
.
https://toanmath.com/
C.
( )
(
)
(
)
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
− + +−
+
. D.
( ) ( )
( )
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
+ −−
+
.
Câu 43. Với phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm
2
1
1
dx
x
+
∫
bằng:
A.
2
1
2
tC
+
. B.
1
2
tC
+
. C.
2
tC+
. D.
tC+
.
Câu 44. Giả sử
(
)
( )( )( ) ( )
2 3d
1
1 2 31
xx
C
xx x x gx
+
=−+
+ + ++
∫
(
C
là hằng số).
Tính tổng các nghiệm của phương trình
( )
0gx
=
.
A.
1−
. B.
1
. C.
3
. D.
3−
.
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
23fx x= +
A.
(
)
2
d 23
3
fx x x x C= ++
∫
. B.
( )
( )
1
d 2323
3
fx x x x C= + ++
∫
.
C.
( ) ( )
2
d 2323
3
fx x x x C= + ++
∫
. D.
( )
d 23
fx x x C= ++
∫
.
Câu 46. Hàm số
( )
Fx
nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số
3
1yx= +
?
A.
(
) ( )
4
3
3
1
8
Fx x C= ++
. B.
( )
( )
4
3
4
1
3
Fx x C= ++
.
C.
( )
( )
3
3
11
4
Fx x x C= + ++
. D.
( )
( )
3
4
3
1
4
Fx x C= ++
.
Câu 47. Tìm hàm số
(
)
Fx
biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx x
=
và
( )
11F =
.
A.
( )
2
3
Fx xx
=
. B.
( )
21
33
Fx xx= +
.
C.
( )
11
2
22
Fx
x
= +
. D.
( )
25
33
Fx xx
= −
.
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
1
22 1
fx
x
=
+
.
A.
(
)
1
d 21
2
fxx x C
= ++
∫
. B.
( )
d 21fxx x C= ++
∫
.
C.
(
)
d 22 1fxx x C= ++
∫
. D.
( )
( )
1
d
2121
fxx C
xx
= +
++
∫
.
Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số:
2
() 1fx x x
= +
là:
A.
(
)
3
2
1
() 1
3
Fx x= +
B.
(
)
2
2
1
() 1
3
Fx x= +
C.
(
)
2
2
2
() 1
2
x
Fx x= +
D.
(
)
2
2
1
() 1
2
Fx x= +
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2 1fx xx= +
là:
A.
( )
3
2
2
1
3
xC++
B.
( )
3
2
21xC− ++
https://toanmath.com/
C.
( )
3
2
1xC++
D.
( )
3
2
1
1
3
xC
−
++
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2 1
fx x x= −
là:
A.
( )
3
2
1
1
3
xC
−+
B.
(
)
3
2
1
xC−− +
C.
(
)
3
2
21
xC
−+
D.
( )
3
2
2
1
3
xC
− −+
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số
3
() 3 1fx x x= −
là:
A.
(
)
( )
75
33
11
31 31
21 15
x xC−+ −+
. B.
(
)
(
)
64
33
11
31 31
18 12
x xC−+ −+
.
C.
(
)
( )
3
3
3
1
31 31
9
x xC− + −+
. D.
( )
(
)
4
3
3
11
31 31
12 3
x xC− + −+
.
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số
3
() 2 1 2fx x x= −
là:
A.
(
) ( )
36
33
312 312
6 12
xx
C
−−
−++
B.
( ) ( )
47
33
312 312
8 14
xx
C
−−
−++
C.
( )
( )
36
33
312 312
6 12
xx
C
−−
−+
D.
( )
( )
47
33
312 312
8 14
xx
C
−−
−+
Câu 54. Cho
32
5dI xx x= +
∫
, đặt
2
5
ux= +
khi đó viết
I
theo
u
và
du
ta được
A.
42
( 5 )d .I u uu= −
∫
B.
2
d.I uu=
∫
C.
43
( 5 )d .I u uu= −
∫
D.
43
( 5 )d .I u uu= +
∫
Câu 55. Cho
4
0
12dI x xx= +
∫
và
21ux= +
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
( )
3
22
1
1
1d
2
I xx x= −
∫
. B.
( )
3
22
1
1dI uu u= −
∫
.
C.
3
53
1
1
25 3
uu
I

= −


. D.
( )
3
22
1
1
1d
2
I uu u= −
∫
.
Câu 56. Khi tính nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
−
+
∫
, bằng cách đặt
1ux
= +
ta được nguyên hàm nào?
A.
(
)
2
2 4duu u−
∫
. B.
( )
2
4duu−
∫
. C.
( )
2
2 4duu−
∫
. D.
( )
2
3duu−
∫
.
Câu 57. Cho
(
)
2
2
() 2 1 5
1
x
fx x
x
= ++
+
, biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa
( )
06F =
. Tính
3
4
F



.
A.
125
16
. B.
126
16
. C.
123
16
. D.
127
16
.
Câu 58. Tính tích phân:
5
1
d
31
x
I
xx
=
+
∫
được kết quả
ln3 ln5Ia b= +
. Tổng
ab+
là
A.
2
. B.
3
. C.
1−
. D.
1
.
Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
2
1
x
fx
x
=
−
là:
https://toanmath.com/
A.
( )
22
1
21
3
x xC
+ −+
B.
( )
22
1
11
3
x xC− + −+
C.
( )
22
1
11
3
x xC
+ −+
D.
( )
22
1
21
3
x xC− + −+
Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
2
1xC++
B.
2
1
21
C
x
+
+
C.
2
21xC++
D.
2
41xC
++
Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số
2
4
()
4
x
fx
x
=
−
là:
A.
2
24
xC
− −+
. B.
2
44 xC−+
.
C.
2
4
2
x
C
−
−+
. D.
2
44 xC− −+
.
Câu 62. Với phương pháp đổi biến số
(
)
xt
→
, nguyên hàm
2
1
23
I dx
xx
=
−+ +
∫
bằng:
A.
sintC+
. B.
tC
−+
. C.
costC−+
. D.
tC+
.
Câu 63. Biết rằng trên khoảng
3
;
2

+∞


, hàm số
(
)
2
20 30 7
23
xx
fx
x
−+
=
−
có một nguyên hàm
( )
( )
2
23F x ax bx c x= ++ −
(
a
,
b
,
c
là các số nguyên). Tổng
S abc=++
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Câu 64.
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
có dạng
( )
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
,ba
lần lượt bằng:
A.
2; 1
. B.
1; 1
. C.
,ab∈∅
D.
1; 2
.
Câu 65. Tìm
( )
1
1
n
n
n
dx
T
x
+
=
+
∫
?
A.
1
1
1
n
n
TC
x
−

=++


B.
1
1
1
n
n
TC
x

= ++


C.
( )
1
1
n
n
Tx C
−
=++
D.
( )
1
1
n
n
Tx C= ++
.
Câu 66. Tìm
2
12
2
x
R dx
xx
−
=
+
∫
?
A.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin2
tt
RC
t
+
=−+ +
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
B.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin 2
tt
RC
t
+
=−− +
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
C.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin2
tt
RC
t
+
=++
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
D.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin 2
tt
RC
t
+
=−+
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
https://toanmath.com/
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với
cos , sint xu x= =
, nguyên hàm của
(
)
tan cotI x x dx
= +
∫
là:
A.
ln lnt uC−+ +
. B.
ln lnt uC−+
.
C.
ln lnt uC++
. D.
ln lnt uC−− +
.
Câu 68. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
sin .cosfx x x=
và
( )
0F
π
=
. Tính
2
F
π



.
A.
2
F
π
π

= −


. B.
2
F
π
π

=


. C.
1
24
F
π
π

=−+


. D.
1
24
F
π
π

= +


.
Câu 69. Tìm nguyên hàm
2
sin 2
d
1 sin
x
x
x+
∫
. Kết quả là
A.
2
1 sin
2
x
C
+
+
. B.
2
1 sin xC++
. C.
2
1 sin xC−+ +
. D.
2
2 1 sin xC++
.
Câu 70. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
23
sin 2 .cos 2fx x x=
thỏa
0
4
F
π

=


là
A.
( )
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=−+
. B.
( )
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=+−
.
C.
( )
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=−−
. D.
( )
35
11 4
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=+−
.
Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
5
tan
fx x=
.
A.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C
= −++
∫
.
B.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= +−+
∫
.
C.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= +++
∫
.
D.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= −−+
∫
.
Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm của
3
2sin 2cos
1 sin 2
xx
I dx
x
+
=
−
∫
là:
A.
3
2 tC+
. B.
3
6 tC+
. C.
3
3 tC
+
. D.
3
12 tC+
.
HÀM MŨ –LÔGARIT
Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
21x
f x xe
+
=
A.
5 3 42
11
2 d ln
4
t t t t t tC
t
− − −−

−+ − = − − +


∫
. B.
( )
3
1
d3
x
fx x e C
+
= +
∫
.
C.
( )
3
1
1
d
3
x
fx x e C
+
= +
∫
. D.
( )
3
3
1
d
3
x
x
fx x e C
+
= +
∫
.
Câu 74. Tìm nguyên hàm
d
1
x
x
I
e
=
+
∫
.
https://toanmath.com/
A.
ln 1
x
Ix e C
=− −+
. B.
ln 1
x
Ix e C
=+ ++
.
C.
ln 1
x
I x eC=−− + +
. D.
ln 1
x
Ix e C=− ++
.
Câu 75.
Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
2e 3
x
fx
=
+
thỏa mãn
( )
0 10F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
( )
( )
1 ln5
ln 2e 3 10
33
x
Fx x= − + ++
. B.
( )
( )
( )
1
10 ln 2e 3
3
x
Fx x= +− +
.
C.
( )
13
ln e 10 ln 5 ln 2
32
x
Fx x


= − + ++ −




. D.
( )
1 3 ln 5 ln 2
ln e 10
323
x
Fx x
−

= − + +−




.
Câu 76. Với phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm
ln 2x
dx
x
∫
bằng:
A.
2
1
2
tC+
. B.
2
tC+
. C.
2
2tC+
. D.
2
4tC+
.
Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
(
)
sin cos
2 .2 cos sin
xx
y xx
= −
?
A.
sin cos
2
xx
yC
+
= +
. B.
sin cos
2 .2
ln 2
xx
y =
. C.
sin cos
ln2.2
xx
y
+
=
. D.
sin cos
2
ln 2
xx
yC
+
=−+
.
Câu 78. Cho hàm số
ln 2
() 2
x
fx
x
=
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
()fx
?
A.
() 2
x
Fx C= +
. B.
(
)
() 22 1
x
Fx C= −+
.
C.
( )
() 22 1
x
Fx C= ++
. D.
1
() 2
x
Fx C
+
= +
.
Câu 79. Nguyên
hàm của
( )
1 ln
.ln
x
fx
xx
+
=
là
A.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x xC
xx
+
= +
∫
. B.
2
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x xC
xx
+
= +
∫
.
C.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x x xC
xx
+
=++
∫
. D.
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x xC
xx
+
= +
∫
.
Câu 80.
( )
( )
2
54 73
1 cos2
xx x
x e e x dx
−+ −
+ ⋅+
∫
có dạng
( )
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
, trong đó
,ab
là hai số
hữu tỉ. Giá trị
,ab
lần lượt bằng:
A.
3; 1
. B.
1; 3
. C.
3; 2
. D.
6; 1
.
Câu 81. Tìm
( )
( )
32 1
1 . 11
x
x
ex x
I dx
x ex
−+ −
=
− −+
∫
?
A.
( )
ln . 1 1
x
Ix e x C= + −+ +
. B.
( )
ln . 1 1
x
Ix e x C= − −+ +
.
C.
( )
ln . 1 1
x
I ex C= −+ +
. D.
( )
ln . 1 1
x
I ex C= −− +
.
Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
( )
( )
2
2
1
2
ln 1 2017
ln .
x
x
xx
fx
ex e
+
++
=

+


?
https://toanmath.com/
A.
( ) ( )
22
ln 1 1008ln ln 1 1xx

++ ++

.
B.
( ) ( )
22
ln 1 2016ln ln 1 1xx

++ ++

.
C.
( )
( )
22
1
ln 1 2016ln ln 1 1
2
xx

++ ++

.
D.
(
) ( )
22
1
ln 1 1008ln ln 1 1
2
xx

++ ++

.
Câu 83. Tìm
( )
( )
22
2
2
2 1 2ln . ln
ln
x xx x
G dx
x xx
++ +
=
+
∫
?
A.
11
ln
GC
xx x
−
=−+
+
. B.
11
ln
GC
xx x
=−+
+
.
C.
11
ln
GC
xx x
=−+
+
. D.
11
ln
GC
xx x
=++
+
.
Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
( )
( )
1
1 ln
.ln . ln
n nn
x
hx
x xx x
−
−
=
+
?
A.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− ++
. B.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
+ ++
.
C.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− + ++
. D.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− − +−
.
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
Câu 1. Cho hàm số
( )
2
2
1
x
fx
x
=
+
. Khi đó:
A.
(
)
( )
2
2ln 1f x dx x C
= ++
∫
. B.
(
)
(
)
2
3ln 1
f x dx x C
= ++
∫
.
C.
(
)
( )
2
4ln 1f x dx x C= ++
∫
. D.
( )
( )
2
ln 1f x dx x C= ++
∫
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
22
1
2x.
ln 1
11
dx
dx
xC
xx
+
= = ++
++
∫∫
.
Chọn D
Câu 2. Cho hàm số
( )
(
)
4
2
1
f x xx= +
. Biết F(x) là một nguyên hàm của
()fx
đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi qua điểm
( )
1; 6M
. Khi đó F(x) là:
A.
( )
( )
4
2
1
2
45
x
Fx
+
= −
. B.
( )
( )
5
2
1
15
10 8
x
Fx
+
= −
.
C.
( )
( )
5
2
1
15
10 8
x
Fx
+
= +
. D.
(
)
(
)
5
2
1 14
1
10 5
Fx x= ++
.
Hướng dẫn giải
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
44 5
2 22 2
11
1 11 1
2 10
Fxxxdx xdx x C= + = + += + +
∫∫
( ) ( )
( )
( )
5
5
2
1 14 1 14
1; 6 ( ) : ( ) 6 1 1 1
10 5 10 5
M C y Fx C C Fx x∈ = ⇔= + + ⇔ = ⇒ = + +
Chọn D
Câu 3. Tính
2
2
1
x
dx
x
−
−
∫
thu được kết quả là:
A.
1
1
x
C
x
+
+
−
. B.
1
x
C
x
+
−
.
C.
1
1
C
x
+
−
. D.
2
ln 1
xC
−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
22
1
2.
ln 1
11
dx
x dx
xC
xx
−
−
= = −+
−−
∫∫
.
Chọn D
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số
2
21
()
4
x
fx
xx
+
=
++
là:
A.
2
2ln 4xx C++ +
. B.
2
ln 4xx C++ +
.
C.
2
ln 4
2
xx
C
++
+
. D.
2
4ln 4xx C++ +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
22
4
21
ln 4
44
dx x
x
dx x x C
xx xx
++
+
= = ++ +
++ ++
∫∫
.
Chọn B
https://toanmath.com/
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
44
x
fx
xx
+
=
+−
là :
A.
2
1
.ln 4 4
2
xx C
+ −+
. B.
2
ln 4 4xx C+ −+
.
C.
2
2ln 4 4xx C+ −+
. D.
2
4ln 4 4xx C+ −+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
2
2
22
44
21 1
. .ln 4 4
44 2 44 2
dx x
x
dx x x C
xx xx
++
+
= = + −+
+− ++
∫∫
.
Chọn A
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
4
x
fx
x
=
+
là:
A.
2
2ln 4xC++
B.
2
ln 4
2
x
C
+
+
C.
2
ln 4xC++
D.
2
4ln 4xC++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
22
4
2
ln 4
44
dx
x
xC
xx
+
= = ++
++
∫∫
Chọn C
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3
3
()
4
x
fx
x
=
+
là:
A.
3
3ln 4xC++
B.
3
3ln 4xC− ++
C.
3
ln 4xC++
D.
3
ln 4
xC− ++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
3
2
3
33
4
3.
ln 4
44
dx
x dx
xC
xx
+
= = ++
++
∫∫
Chọn C
Câu 8. Một nguyên hàm của
2
()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
1
ln 1
2
x +
B.
( )
2
2ln 1x
+
C.
2
1
ln( 1)
2
x +
D.
2
ln( 1)x +
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
2
2
22
1
.1 1
ln 1
12 1 2
dx
x dx
x
xx
+
= = +
++
∫∫
Chọn C
Câu 9. Tính
3
4
()
1
x
F x dx
x
=
−
∫
A.
4
( ) ln 1Fx x C
= −+
B.
4
1
( ) ln 1
4
Fx x C= −+
C.
4
1
( ) ln 1
2
Fx x C
= −+
D.
4
1
( ) ln 1
3
Fx x C
= −+
Ta có:
34
4
44
1 ( 1) 1
ln 1
1 4 14
x dx
dx x C
xx
−
= = −+
−−
∫∫
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Ta có:
34
4
44
1 ( 1) 1
ln 1
1 4 14
x dx
dx x C
xx
−
= = −+
−−
∫∫
Chọn B
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số
sin
()
cos 3
x
fx
x
=
−
là:
A.
ln cos 3
xC
− −+
B.
2ln cos 3
xC
−+
C.
ln cos 3
2
x
C
−
−+
D.
4ln cos 3
xC
−+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
cos 3
sin
ln cos 3
cos 3 cos 3
dx
x
dx x C
xx
−−
= =− −+
−−
∫∫
Chọn A
Câu 11. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
sin
1 3cos
x
fx
x
=
+
và
2
2
F
π

=


. Tính
(
)
0.
F
A.
( )
1
0 ln 2 2
3
F =−+
. B.
(
)
2
0 ln 2 2
3
F =−+
. C.
( )
2
0 ln 2 2
3
F =−−
. D.
( )
1
0 ln 2 2
3
F =−−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( )
d 1 3cos
sin 1 1
d ln 1 3cos
1 3cos 3 1 3cos 3
x
x
x xC
xx
+
=− =−+ +
++
∫∫
.
Do
(
)
2
2 2 0 ln 2 2
23
F CF
π

=⇔=⇒ =− +


.
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số:
23
.y sin x cos x=
là:
A.
35
11
sin sin
35
x xC−+
. B.
35
11
sin sin
35
x xC−++
.
C.
35
sin sin
x xC++
. D.
35
sin sin
x xC
−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
23 2 4
sin .cos . sin .cos .
x dx sin x x x dx= −
∫∫
( )
( )
35
24
sin sin
sin . sin
35
xx
sin x x d x C= − =−+
∫
.
Chọn A
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số:
3
.y sin x cosx=
là:
A.
4
1
cos
4
xC+
. B.
4
1
sin
4
xC+
. C.
3
1
sin
3
xC+
. D.
2
cos xC−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
4
33
sin
sin .cos . sin . sin
4
x
x xdx xd x C= = +
∫∫
.
Chọn B
Câu 14. Tính
2
cos .sin .x x dx
∫
A.
3sin sin3
12
xx
C
−
+
B.
3cos cos3
12
xx
C
−
+
C.
3
sin
3
x
C+
D.
2
sinx.cos xC+
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
3
22
sin
cos .sin . sin . sin
3
x
x xdx xd x C= = +
∫∫
Chọn C
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
(
)
1
sin
fx
x
=
là:
A.
ln cot
2
x
C+
B.
ln tan
2
x
C+
C.
ln tan
2
x
C−+
D.
ln sin xC
+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
22 2
cos
sin . sin . 1 cos 1
ln
sin 1 cos cos 1 cos 1 2 cos 1
dx
dx x dx x dx x
C
x xx x x
−−
= = = = +
− −− +
∫∫ ∫ ∫
Chọn B
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
tan
fx x
=
là:
A.
ln cos
xC
+
B.
ln cos
xC−+
C.
2
tan
2
x
C+
D.
( )
ln cos xC+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
sin .
tan . ln cos
cos cos
d cosx
x dx
x dx x C
xx
= =− =−+
∫∫ ∫
Chọn B
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
2
1 2sin
2sin
4
x
fx
x
π
−
=

+


.
A.
( )
d ln sin cosfx x x x C= ++
∫
. B.
( )
1
d ln sin cos
2
fx x x x C= ++
∫
.
C.
( )
d ln 1 sin 2fx x x C=++
∫
. D.
( )
1
d ln 1 sin 2
2
fx x x C=++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức
2 22
1 2sin cos2 cos sinx x xx−==−
và
( )
2
2
2sin sin cos
4
x xx
π

+= +


Hàm số được rút gọn thành
(
)
cos sin
sin cos
xx
fx
xx
−
=
+
Nguyên hàm
( )
( )
d sin cos
d
sin cos
xx
fx x
xx
+
=
+
∫∫
=
ln sin cosx xC++
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số
()
3
x
x
e
fx
e
=
+
là:
A.
3
x
eC− −+
B.
39
x
eC++
C.
2ln 3
x
eC− ++
D.
ln 3
x
eC++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
3
ln 3
33
x
x
x
xx
de
e
dx e C
ee
+
= = ++
++
∫∫
Chọn D
https://toanmath.com/
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 22
x
fx x=
là:
A.
2
1
ln2.2
x
C+
B.
2
1
.2
ln 2
x
C+
C.
2
ln 2
2
x
C+
D.
2
ln2.2
x
C+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2 2 22
1 11
2 .2 2 .2 .ln 2 2 .2
ln 2 ln 2 ln 2
x x xx
x dx x d C= = = +
∫∫ ∫
Chọn B
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2
x
f x xe=
là:
A.
2
x
e
C
−
+
. B.
2
2
x
e
C+
.
C.
x
eC−+
. D.
2
x
eC+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2 22
2.
x xx
x e dx d e e C= = +
∫∫
.
Chọn D
Câu 21. Tính
2
1
.
x
x e dx
+
∫
A.
2
1x
eC
+
+
. B.
2
1
2
x
eC+
.
C.
2
1
1
2
x
eC
+
+
. D.
2
1
1
2
x
eC
−
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 22
1 11
11
()
22
x xx
I xe dx d e e C
+ ++
= = = +
∫∫
.
Chọn C
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
ln
x
fx
x
=
.
A.
( )
2
d lnfx x xC= +
∫
. B.
( )
2
1
d ln
2
fx x xC= +
∫
.
C.
( )
d lnfx x xC= +
∫
D.
(
)
d
x
fx x e C= +
∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
d ln d lnfx x x x=
∫∫
2
1
ln
2
xC= +
.
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số
ln 2
()
x
fx
x
=
là :
A.
ln 2xC+
. B.
2
ln xC
+
.
C.
2
ln 2
2
x
C+
. D.
ln
2
x
C+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
ln 2 ln 2
ln 2 . ln 2
2
xx
dx x d x C
x
= = +
∫∫
.
Chọn C
Câu 24. Nguyên hàm
(
)
1 ln
d0
x
xx
x
+
>
∫
bằng
A.
2
1
ln ln
2
x xC++
. B.
2
lnx xC++
. C.
2
ln lnx xC++
. D.
2
1
ln
2
x xC++
.
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1 ln 1 ln
dd d
xx
xx x
x xx
+
= +
∫ ∫∫
( )
2
11
d ln d ln ln ln
2
x x x x xC
x
=+ =++
∫∫
.
Câu 25. Tính
()
2ln 1
dx
Fx
xx
=
+
∫
A.
( ) 2 2ln 1Fx x C= ++
B.
( ) 2ln 1Fx x C= ++
C.
1
( ) 2ln 1
4
Fx x C= ++
D.
1
( ) 2ln 1
2
Fx x C
= ++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( 2ln 1) 2ln 1Fx d x x C= + = ++
∫
.
Chọn B
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số
ln
()
x
fx
x
=
là:
A.
2
ln
xC+
B.
ln xC+
C.
2
ln
2
x
C+
D.
ln
2
x
C+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
ln ln
ln . lnx
2
xx
dx x d C
x
= = +
∫∫
Chọn C
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
2
( ) ln( 1)
1
x
fx x
x
= +
+
là:
A.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
B.
2
ln( 1) C
x ++
C.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
D.
22
1
ln ( 1) C
2
x ++
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2 22
2
21
ln( 1) ln( 1) d(ln( 1)) ln ( 1) C
12
x
x dx x x x
x
+ = + + = ++
+
∫∫
Chọn D
Câu 28. Tính
.ln
dx
xx
∫
A.
ln xC
+
B.
ln | |xC+
C.
ln(lnx) C+
D.
ln | lnx | C+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
ln
ln ln
.ln ln
dx
dx
xC
xx x
= = +
∫∫
Chọn D
Câu 29. Tìm nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
2
21
fx
x
=
−
thỏa mãn
( )
57F =
.
A.
( )
22 1Fx x= −
. B.
( )
22 11Fx x= −+
.
C.
(
)
2 14Fx x
= −+
. D.
( )
2 1 10Fx x= −−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
d2 1
2
d2
21 221
x
x
xx
−
=
−−
∫∫
22 1xC= −+
;
https://toanmath.com/
Do
( )
57F =
nên
67
C
+=
1
C
⇒=
.
Câu 30. Họ nguyên hàm
3
2
. 1d
xx x+
∫
bằng
A.
2
3
1
. ( 1) .
8
xC
++
B.
2
3
3
. ( 1) .
8
xC++
C.
24
3
3
. ( 1) .
8
xC++
D.
24
3
1
. ( 1) .
8
xC
++
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
2
. 1d
xx x+
∫
( ) ( )
1
22
3
1
1d 1
2
xx=++
∫
( )
4
2
3
3
1
8
xC= ++
(
)
4
2
3
3
1
8
xC= ++
.
Câu 31. Biết
( ) ( )
d 2 ln 3 1
fx x x x C= −+
∫
với
1
;
3
x

∈ +∞


Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
(
) ( )
3 d 2 ln 9 1
f xx x x C= −+
∫
. B.
( ) ( )
3 d 6 ln 3 1f xx x x C= −+
∫
.
C.
( ) (
)
3 d 6 ln 9 1
f xx x x C= −+
∫
. D.
( ) ( )
3 d 3 ln 9 1f xx x x C= −+
∫
.
Lởi giải
Chọn A
Cách 1:
( )
( )
d 2 ln 3 1
fx x x x C
= −+
∫
⇒
( )
3df xx
∫
( ) ( )
1
3 d3
3
fx x=
∫
( ) ( )
1
2. 3 ln 3.3 1
3
x xC= −+
( )
2 ln 9 1xx C= −+
Cách 2:
Ta có
( ) (
)
d 2 ln 3 1
fx x x x C
= −+
∫
( ) ( )
( )
2 ln 3 1fx x x C
′
⇒ = −+
( )
6
2ln 3 1
31
x
x
x
= −+
−
.
Khi đó
( ) ( )
18
3 2ln 9 1
91
x
fx x
x
= −+
−
.
( )
3df xx
∫
( )
18
2ln 9 1 d
91
x
xx
x

= −+

−

∫
( )
2
2 ln 9 1 d 2 d
91
xx x
x

= − ++

−

∫∫
( ) ( ) ( )
22
91ln919 2 ln91
99
x x xx x C= − −− + + −+


( )
2ln 9 1
xC= −+
.
https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
Nếu
( ) ( )
d
fx x Fx C= +
∫
thì
( ) ( ) ( )
.' df ux u x x Fux C= +
 
 
∫
.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm
( )
dI fx x=
∫
, trong đó ta có thể phân tích
( ) ( )
( )
( )
'
f x gux u x=
thì ta thực hiện phép đổi biến số
( )
t ux=
, suy ra
( )
d 'dt uxx=
.
Khi đó ta được nguyên hàm:
( )
( )
(
)
d.gt t Gt C Gux C
= += +


∫
Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo
t
thì ta phải thay
( )
t ux=
.
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
Câu 32. Cho
() () .
f x dx F x C= +
∫
Khi đó với a ≠ 0, ta có
(a )f x b dx
+
∫
bằng:
A.
1
(a ) C
2
F xb
a
++
B.
. (a ) CaF x b++
C.
1
(a ) CF xb
a
++
D.
(a ) CF xb++
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
I f ax b dx= +
∫
Đặt:
1
t ax b dt adx dt dx
a
= +⇒ = ⇒ =
.
Khi đó:
( )
( )
11
I f t dt F t C
aa
= = +
∫
Suy ra:
(
)
1
I F ax b C
a
= ++
Chọn C
Câu 33. Hàm số
10
( ) (1 )fx x x= −
có nguyên hàm là:
A.
12 11
( 1) ( 1)
()
12 11
xx
Fx C
−−
=−+
. B.
12 11
( 1) ( 1)
()
12 11
xx
Fx C
−−
=++
.
C.
11 10
( 1) ( 1)
11 10
xx
C
−−
++
. D.
11 10
( 1) ( 1)
()
11 10
xx
Fx C
−−
=−+
.
Hướng dẫn giải
Ta có: I
( )
10
.1 .x x dx= −
∫
. Đăt:
1 ,1t x dt dx x t= − ⇒− = = −
.
Khi đó
( )
10 11 10 12 11
11
1 . . ( ).
12 11
I t t dt t t dt t t c=− =− = −+
∫∫
Suy ra
( )
( )
12 11
11
11
12 11
I x xC= −− −+
.
Chọn A
Câu 34. Tính
2
x
(1 )
d
xx+
∫
thu được kết quả là:
A.
( )
2
ln 1xx C++
. B.
2
ln 1x xC++
.
C.
2
ln
1
x
C
x
+
+
. D.
2
2
1
.ln
21
x
C
x
+
+
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Ta có:
2 22
xx
(1 ) (1 )
d xd
xx xx
=
++
∫∫
. Đặt:
22
1
1 ., 1
2
t x dt x dx x t
=+⇒ = =−
.
Khi đó:
( )
2
2
11 1 1 1
. .ln ln .
2. 1 2 2 1
tx
I dt C I C
tt t x
−
= = + ⇒= +
−+
∫
Chọn D
Câu 35. Tính
( )
3
1x x dx
+
∫
là :
A.
( )
( )
54
11
54
xx
C
++
++
B.
( )
( )
54
11
54
xx
C
++
−+
C.
54 2
3
3
54 2
xx x
xC+ +− +
D.
54 2
3
3
54 2
xx x
xC+ −+ +
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
3
1I x x dx= +
∫
Đặt:
1 ,1
t x dt dx x t= +⇒ = =−
Khi đó:
( )
( )
54
3 43
1. .
54
tt
I t t dt t t dt C

=− = − =−+


∫∫
Suy ra:
( ) ( )
54
11
54
xx
IC
++
=−+
Chọn B
Câu 36. Tìm nguyên hàm
2 15
( 7) dxx x+
∫
A.
( )
16
2
1
7
2
xC++
. B.
(
)
16
2
1
7
32
xC− ++
. C.
( )
16
2
1
7
16
xC
++
. D.
( )
16
2
1
7
32
xC
++
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
2
1
7 d 2d d d
2
t x t xx xx t
= +⇒ = ⇒ =
Ta có
( )
16
16
2 15 15 2
11 1
( 7) d d . 7
2 2 16 32
t
xx x t t C x C+ = = += + +
∫∫
.
Câu 37. Xét
( )
5
34
4 3dI xx x= −
∫
. Bằng cách đặt:
4
43ux
= −
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
1
d
16
I uu=
∫
. B.
5
1
d
12
I uu=
∫
. C.
5
dI uu=
∫
. D.
5
1
d
4
I uu=
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
4 33
1
4 3 d 16 d d d
16
u x u xx u xx= −⇒ = ⇒ =
.
5
1
d
16
I uu
⇒=
∫
.
Câu 38. Cho
( ) ( ) ( )
6 87
232d 32 32xx xAx Bx C− = −+ −+
∫
với
A
,
B
∈
và
C ∈
. Giá trị của biểu
thức
12 7AB+
bằng
A.
23
252
. B.
241
252
. C.
52
9
. D.
7
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
https://toanmath.com/
Đặt
32tx= −
2
3
t
x
+
⇒=
1
dd
3
tx⇒=
.
Ta có:
6
22
.d
33
t
tt
+
∫
(
)
76
2
+2 d
9
ttt=
∫
87
24
..
98 97
tt
C=++
( ) ( )
87
14
.3 2 .3 2
36 63
x xC= −+ −+
.
Suy ra
1
36
A
=
,
4
63
B
=
,
1 47
12. 7.
36 63 9
+=
.
Câu 39. Giả sử
(
)
( )
( )
2017
11
1d
ab
xx
xx x C
ab
−−
− =−+
∫
với
,
ab
là các số nguyên dương. Tính
2
ab−
bằng:
A.
2017
. B.
2018
. C.
2019
. D.
2020
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
2018 2019
2017 2017 2017 2018
11
1 d 111 d 1 1 d
2018 2019
xx
xxxx xx x x x C
−−
−=−+−=−−− =− + +
∫∫ ∫
Vậy
2019, 2018 2 2020
a b ab= = ⇒ −=
.
Chọn D
Câu 40. Nguyên hàm của
2
1
x
dx
x +
∫
là:
A.
ln tC+
, với
2
1
tx
= +
. B.
ln tC−+
, với
2
1
tx
= +
.
C.
1
ln
2
tC+
, với
2
1tx= +
. D.
1
ln
2
tC−+
, với
2
1tx= +
.
Hướng dẫn giải
Đặt
2
12
t x dt xdx= +⇒ =
.
2
11 1
... ln
1 22
x
dx dt t C
xt
⇒===+
+
∫∫
.
Chọn C
Câu 41. Tính
( )
2
4
2
d
9
x
x
x +
∫
là:
A.
( )
5
2
1
59
C
x
−+
+
B.
( )
3
2
1
39
C
x
−+
+
C.
(
)
5
2
4
9
C
x
−+
+
D.
(
)
3
2
1
9
C
x
−+
+
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
4
2
d
9
x
Ix
x
=
+
∫
Đặt:
2
9 2.t x dt x dx= +⇒ =
Khi đó: I
4
43
1
.
3
dt
t dt C
tt
−
= = =−+
∫∫
Suy ra:
( )
2
1
39
IC
x
=−+
+
Chọn B
Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của
( )
( )
2017
2019
71
21
x
K dx
x
−
=
+
∫
?
https://toanmath.com/
A.
2018
1 71
.
18162 2 1
x
x
−


+

. B.
( ) ( )
( )
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
+ +−
+
.
C.
( ) (
)
(
)
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
− + +−
+
. D.
( ) ( )
( )
2018 2018
2018
18162 2 1 7 1
18162 2 1
xx
x
+ −−
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
(
)
2017
2017
2019 2
71
71 1
.
21
21 21
x
x
K dx dx
x
xx
−
−

= =

+

++
∫∫
Đặt
(
)
(
)
22
71 9 1
21 9
2 1 98 1
x dt
t dt dx dx
x
xx
−
= ⇒= ⇔ =
+
++
2018
2018
2017
1 1 71
.
9 18162 18162 2 1
tx
K t dt C C
x
−

⇒ = = += +

+

∫
Chọn D
Câu 43. Với phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm
2
1
1
dx
x +
∫
bằng:
A.
2
1
2
tC+
. B.
1
2
tC+
. C.
2
tC+
. D.
tC+
.
Hướng dẫn giải
Ta đặt:
2
1
tan , ;
2 2 cos
x t t dx dt
t
ππ

= ∈− ⇒ =


.
2
1
...
1
dx dt t C
x
⇒===+
+
∫∫
.
Chọn D
Câu 44. Giả sử
( )
( )( )( )
( )
2 3d
1
1 2 31
xx
C
xx x x gx
+
=−+
+ + ++
∫
(
C
là hằng số).
Tính tổng các nghiệm của phương trình
( )
0gx=
.
A.
1−
. B.
1
. C.
3
. D.
3
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )( )( )
1 2 31xx x x+ + + +=
(
)( )
22
3 3 21
xxxx+ +++
( )
2
2
31xx

= ++

.
Đặt
2
3tx x= +
, khi đó
( )
d 2 3dtx x= +
.
Tích phân ban đầu trở thành
( )
2
d1
1
1
t
C
t
t
=−+
+
+
∫
.
Trở lại biến
x
, ta có
( )
(
)( )( )
2
2 3d
1
1 2 31 31
xx
C
xx x x x x
+
=−+
+ + ++ + +
∫
.
Vậy
( )
2
31gx x x=++
.
( )
2
35
0 3 10
2
gx x x x
−+
= ⇔ + += ⇔ =
hoặc
35
2
x
−−
=
.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng
3
−
.
https://toanmath.com/
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
23fx x= +
A.
( )
2
d 23
3
fx x x x C
= ++
∫
. B.
( ) ( )
1
d 2323
3
fx x x x C= + ++
∫
.
C.
( )
( )
2
d 2323
3
fx x x x C
= + ++
∫
. D.
(
)
d 23
fx x x C
= ++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét
(
)
2 3dI xx= +
∫
.
Đặt
23xt+=
2
23tx⇔= +
2 d 2dtt x⇔=
.
2
.d t dI tt t t= =
∫∫
3
1
3
tC= +
(
)
3
1
23
3
xC= ++
(
)
(
)
1
d 2323
3
fx x x x C
⇔ = + ++
∫
.
Câu 46. Hàm số
( )
Fx
nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số
3
1yx
= +
?
A.
( )
(
)
4
3
3
1
8
Fx x C
= ++
. B.
( ) ( )
4
3
4
1
3
Fx x C= ++
.
C.
( )
( )
3
3
11
4
Fx x x C= + ++
. D.
( )
( )
3
4
3
1
4
Fx x C
= ++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3
1dI xx= +
∫
.
Đặt:
3
1tx= +
3
1
tx
⇒=+
2
3d dtt x⇒=
.
2
.3 d
I tt t⇒=
∫
3
3dtt=
∫
4
3
4
tC= +
( )
4
3
3
1
4
xC= ++
( )
3
3
11
4
x xC= + ++
.
Vậy
(
) (
)
3
3
11
4
Fx x x C= + ++
18T.
Câu 47. Tìm hàm số
(
)
Fx
biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx x=
và
( )
11F =
.
A.
( )
2
3
Fx xx=
. B.
( )
21
33
Fx xx= +
.
C.
( )
11
2
22
Fx
x
= +
. D.
( )
25
33
Fx xx= −
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
(
)
dFx xx=
∫
Đặt
tx=
suy ra
2
tx=
và
d 2dxt=
. Khi đó
3
2
.2 d
3
I t tt t C= = +
∫
2
3
I xx C⇒= +
.
Vì
( )
11F =
nên
1
3
C =
.Vậy
( )
21
33
Fx xx= +
.
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
1
22 1
fx
x
=
+
.
A.
( )
1
d 21
2
fxx x C= ++
∫
. B.
( )
d 21fxx x C= ++
∫
.
https://toanmath.com/
C.
(
)
d 22 1
fxx x C= ++
∫
. D.
(
)
(
)
1
d
2121
fxx C
xx
= +
++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
21xt+=
2
21xt⇒ +=
d dtxt⇒=
.
Khi đó ta có
1
2 1d
2
xx
+
∫
1 dt
2
t
t
=
∫
=
1
dt
2
=
∫
1
2
tC
= +
1
21
2
xC= ++
.
Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số:
2
() 1fx x x= +
là:
A.
(
)
3
2
1
() 1
3
Fx x= +
B.
(
)
2
2
1
() 1
3
Fx x= +
C.
(
)
2
2
2
() 1
2
x
Fx x= +
D.
(
)
2
2
1
() 1
2
Fx x= +
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1
I x x dx= +
∫
Đặt:
22 2
1 1 ..t x t x t dt x dx= + ⇒=+ ⇒ =
Khi đó: I
3
2
..
3
t
t t dt t dt C= = = +
∫∫
Suy ra: I
(
)
3
2
1
1
3
xC= ++
Chọn A
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2 1fx xx= +
là:
A.
( )
3
2
2
1
3
xC++
B.
( )
3
2
21
xC
− ++
C.
( )
3
2
1xC++
D.
( )
3
2
1
1
3
xC
−
++
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
21
I x x dx= +
∫
Đặt:
2 22
1 12 2t x t x tdt xdx= +⇒ = +⇒ =
.
Khi đó: I
3
2
2
.2 . 2 .
3
t
t t dt t dt C= = = +
∫∫
Suy ra: I
( )
3
2
2
1
3
xC= ++
.
Chọn A
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số
2
() 2 1fx x x= −
là:
A.
(
)
3
2
1
1
3
xC
−+
B.
( )
3
2
1 xC−− +
C.
( )
3
2
21xC−+
D.
( )
3
2
2
1
3
xC− −+
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
21I x x dx= −
∫
Đặt:
22 2
1 1 22t x t x tdt xdx
= − ⇒ = − ⇒− =
.
Khi đó: I
( )
3
2
2
. 2. 2.
3
t
t t dt t dt K=− =− =−+
∫∫
https://toanmath.com/
Suy ra: I
(
)
3
2
2
1
3
xC=− −+
.
Chọn D
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số
3
() 3 1fx x x= −
là:
A.
(
)
(
)
75
33
11
31 31
21 15
x xC
−+ −+
. B.
( )
( )
64
33
11
31 31
18 12
x xC−+ −+
.
C.
(
)
( )
3
3
3
1
31 31
9
x xC− + −+
. D.
( ) (
)
4
3
3
11
31 31
12 3
x xC− + −+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
31I x x dx
= −
∫
. Đặt:
32
3
31 31 .t x t x t dt dx= −⇒ = −⇒ =
Khi đó:
( )
3 75
2 64
11 1
.. .
3 3 37 5
t tt
I t t dt t t dt C

+
= = + = ++


∫∫
Suy ra
( )
(
)
75
33
11 1
31 31
37 5
I x xC

= −+ − +


.
Chọn A
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số
3
() 2 1 2fx x x= −
là:
A.
( )
( )
36
33
312 312
6 12
xx
C
−−
−++
B.
( ) ( )
47
33
312 312
8 14
xx
C
−−
−++
C.
( )
( )
36
33
312 312
6 12
xx
C
−−
−+
D.
(
)
( )
47
33
312 312
8 14
xx
C
−−
−+
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2 12I x xdx= −
∫
Đặt:
32
3
3
12 12 .
2
t x t x t dt dx= − ⇒ = − ⇒− =
.
Mặt khác:
3
21xt
= −
Khi đó: I
47
3 2 36
33 3
(1 ) . (t )
2 2 24 7
tt
t t t dt t dt C

=−− =− − =− − +


∫∫
Suy ra: I
( )
( )
47
33
12 12
3
24 7
xx
C

−−

=− −+


.
Chọn B
Câu 54. Cho
32
5dI xx x= +
∫
, đặt
2
5ux= +
khi đó viết
I
theo
u
và
du
ta được
A.
42
( 5 )d .I u uu= −
∫
B.
2
d.I uu=
∫
C.
43
( 5 )d .I u uu= −
∫
D.
43
( 5 )d .I u uu= +
∫
Hướng dẫn giải.
Chọn A
Đặt
2
5ux= +
22
5d du x uu xx⇒ = +⇒ =
Khi đó:
32
5dI xx x= +
∫
( )
22 2
.. 5d 5..dx x x x u uu u= += −
∫∫
( )
42
5du uu= −
∫
Câu 55. Cho
4
0
12dI x xx= +
∫
và
21ux= +
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
https://toanmath.com/
A.
( )
3
22
1
1
1d
2
I xx x= −
∫
. B.
(
)
3
22
1
1d
I uu u= −
∫
.
C.
3
53
1
1
25 3
uu
I

= −


. D.
( )
3
22
1
1
1d
2
I uu u= −
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
4
0
1 2dI x xx
= +
∫
Đặt
21ux
= +
( )
2
1
1
2
xu
⇒= −
ddx uu⇒=
, đổi cận:
01xu
=⇒=
,
43xu=⇒=
.
Khi đó
( )
3
22
1
1
1d
2
I u uu= −
∫
.
Câu 56. Khi tính nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
−
+
∫
, bằng cách đặt
1ux= +
ta được nguyên hàm nào?
A.
( )
2
2 4duu u−
∫
. B.
( )
2
4duu
−
∫
. C.
( )
2
2 4duu−
∫
. D.
( )
2
3duu−
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
1
ux
= +
,
0u
≥
nên
2
1
ux= +
2
d 2d
1
x uu
xu
=
⇒
= −
.
Khi đó
3
d
1
x
x
x
−
+
∫
2
13
.2 d
u
uu
u
−−
=
∫
( )
2
2 4duu= −
∫
.
Câu 57. Cho
(
)
2
2
() 2 1 5
1
x
fx x
x
= ++
+
, biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thỏa
( )
06F =
. Tính
3
4
F



.
A.
125
16
. B.
126
16
. C.
123
16
. D.
127
16
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
1d dt x tt xx= +⇒ =
.
(
)
2
2
( )d 2 1 5 d
1
x
fx x x x
x
= ++
+
∫∫
(
)
2
2 5d 5t tt tC
= + =++
∫
( )
22
15 1x xC= + + ++
.
(0) 6 0FC=⇒=
.
Vậy
3 125
4 16
F

=


.
Câu 58. Tính tích phân:
5
1
d
31
x
I
xx
=
+
∫
được kết quả
ln3 ln5Ia b= +
. Tổng
ab+
là
A.
2
. B.
3
. C.
1−
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
5
1
31
dx
I
xx
=
+
∫
https://toanmath.com/
Đặt
31ux= +
2
1
3
u
x
−
→=
1
2
3
dx udu
→=
Đổi cận:
12
xu
=→=
54xu=→=
Vậy
( )
( )( )
4
44
2
2
22
11
2 1 31
ln ln ln 2ln3 ln5
1 1 1 1 53
uu
u
I du du
u uu u
+− −
−
= = = =−= −
− +− +
∫∫
Do đó
2; 1ab= = −
1ab→+=
.
Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số
(
)
3
2
1
x
fx
x
=
−
là:
A.
( )
22
1
21
3
x xC+ −+
B.
(
)
22
1
11
3
x xC
− + −+
C.
( )
22
1
11
3
x xC+ −+
D.
( )
22
1
21
3
x xC− + −+
Hướng dẫn giải
Ta có :
3
2
1
x
I dx
x
=
−
∫
Đặt
22 2
11t x t x tdt xdx= − ⇒ = − ⇒− =
Khi đó:
23
2
(1 )
( 1)
3
tt
I tdt t dt t C
t
−
=− = − = −+
∫∫
.
Thay
2
1tx= −
ta được
( )
23
2 22
(1 ) 1
1 21
33
x
I xC x xC
−
= −−+=− + −+
.
Chọn D
Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
2
1xC++
B.
2
1
21
C
x
+
+
C.
2
21xC++
D.
2
41xC++
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
1
x
I dx
x
=
+
∫
Đặt:
2 22
1 1 2. 2 .t x t x t dt x dx= +⇒ = +⇒ =
.
Khi đó: I
2.
2
t dt
tC
t
= = +
∫
Suy ra: I
2
21xC= ++
.
Chọn C
Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số
2
4
()
4
x
fx
x
=
−
là:
A.
2
24 xC− −+
. B.
2
44 xC−+
.
C.
2
4
2
x
C
−
−+
. D.
2
44 xC− −+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
4
4
x
I dx
x
=
−
∫
. Đặt:
22 2
4 4 44t x t x tdt xdx= − ⇒ = − ⇒− =
.
https://toanmath.com/
Khi đó:
2
4
4 44
tdt
I tC I x C
t
−
= =−+ ⇒==− − +
∫
.
Chọn D
Câu 62. Với phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm
2
1
23
I dx
xx
=
−+ +
∫
bằng:
A.
sintC+
. B.
tC
−+
. C.
costC−+
. D.
tC+
.
Hướng dẫn giải
Ta biến đổi:
( )
2
1
41
I dx
x
=
−−
∫
.
Đặt
1 2sin , , 2cos
22
x t t dx tdt
ππ

−= ∈− ⇒ =


.
I dt t C⇒= =+
∫
.
Chọn D
Câu 63. Biết 17Trằng17T trên khoảng
3
;
2

+∞


, hàm số
( )
2
20 30 7
23
xx
fx
x
−+
=
−
có một nguyên hàm
( )
(
)
2
23
F x ax bx c x
= ++ −
(
a
,
b
,
c
là các số nguyên). Tổng
S abc=++
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2
23 23d dt x t x x tt= −⇒ = −⇒ =
Khi đó
2
20 30 7
d
23
xx
x
x
−+
−
∫
2
22
33
20 30 7
22
d
tt
tt
t

++
−+


=
∫
( )
42
5 15 7 dtt t= ++
∫
53
57t t tC=+ ++
( ) ( )
53
23 523 723x x xC= − + − + −+
( ) (
)
2
23 2352323723x x x x xC= − −+ − −+ −+
( )
2
4 2 12 3xx x C= − + −+
Vậy
( )
( )
2
4 2 12 3Fx x x x= −+ −
. Suy ra
3S abc=++=
.
Câu 64.
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
có dạng
( )
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
, trong đó
,ab
là hai số hữu tỉ. Giá trị
,ba
lần lượt bằng:
A.
2; 1
. B.
1; 1
. C.
,
ab∈∅
D.
1; 2
.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
. Sau đó, ta xác định giá trị của
a
.
Ta có:
33
22
11 3 11 3
11
22
x x dx x dx x dx
xx

++
++++ = ++ + +



∫ ∫∫
.
Để tìm
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
ta đặt
3
1
2
11 3
2
I x dx
x

+
= ++



∫
và
2
1I x dx= +
∫
và tìm
12
,II
.
https://toanmath.com/
*Tìm
3
1
2
11 3
2
I x dx
x

+
= ++



∫
.
34
11
2
113 1 113
24 2
I x dx x x C
xx

++
= + + = −+ +



∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
*Tìm
2
1I x dx
= +
∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt
1, 0t xt= +≥
ta được
2
1, 2t x tdt dx=+=
.
Suy ra
(
)
3
23
2 22
22
12 1
33
I x dx t dt t C x C
= + = = += ++
∫∫
.
( )
3
34 4
12 1 2
2
113 1 113 2 1 113
11
2 423 42
xx dxIIxxCxCxx
xx x

++ +
+ ++ + =+ = −+ + + + + = −+ +



∫
Suy ra để
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
có dạng
(
)
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
thì
1, 2.ab
=∈=∈
Vậy đáp án chính xác là đáp án D
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
Ta thay giá trị của
,
ab
ở các đáp án vào
( )
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
. Sau đó, với
mỗi
,ab
ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 24
ab
x x x xC++ − +
.
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự
,ba
nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*Tìm
2
1I x dx
= +
∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt
1, 0t xt
=+≥
ta được
2
1,t x tdt dx=+=
.
Suy ra
( )
3
23
2 22
11
11
33
I x dx t dt t C x C= + = = += ++
∫∫
.
( )
3
34 4
12 1 2
2
113 1 113 1 1 113
11
2 423 42
xx dxIIxxCxCxx
xx x

++ +
+ ++ + =+ = −+ + + + + = −+ +



∫
Suy ra để
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
có dạng
( )
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
thì
1,1.ab=∈=∈
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*Tìm
2
1I x dx= +
∫
.
22
1
1
21
I x dx C
x
= += +
+
∫
.
https://toanmath.com/
Suy ra
3
2
11 3
1
2
x x dx
x

+
+ ++ +



∫
không thể có dạng
( )
3
4
11 3
1
4 23
ab
x xxC
x
+
−+ + + +
, với
,ab∈
.
Nên không tồn tại
,ab
thỏa yêu cầu bài toán.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 65. Tìm
(
)
1
1
n
n
n
dx
T
x
+
=
+
∫
?
A.
1
1
1
n
n
TC
x
−

=++


B.
1
1
1
n
n
TC
x

= ++


C.
(
)
1
1
n
n
Tx C
−
=++
D.
( )
1
1
n
n
Tx C= ++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
.1
1
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
dx dx x
T dx x dx
x
x
x
x
x
−−
−−
−−
++
+
+

= = = = +



+

+
+




∫∫ ∫ ∫
Đặt:
1
1
1
1
n
nn
n
t dt nx
xx
−−
+
= +⇒ =− =−
1
11
1
11
1
n
nn
n
T t dt t C C
nx
−
−
−−

⇒=− = += + +


∫
Chọn A
Câu 66. Tìm
2
12
2
x
R dx
xx
−
=
+
∫
?
A.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin2
tt
RC
t
+
=−+ +
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
B.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin 2
tt
RC
t
+
=−− +
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
C.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin2
tt
RC
t
+
=++
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
D.
tan2 1 1 sin 2
ln
2 4 1 sin 2
tt
RC
t
+
=−+
−
với
1
arctan
22
x
t

=


.
Hướng dẫn giải
Đặt
2cos2xt=
với
0;
2
t
π

∈


Ta có:
2
2
4sin 2 .
2 2 2sin 2 4sin sin
2 2 2cos2 4cos cos
dx t dt
x t tt
x t tt
= −
−−
= = =
++
2
2 22
2
1 sin 2sin 1 cos2
. .4sin 2 .
4cos 2 cos cos 2 cos 2
1 1 tan2 1 1 sin2
ln
cos 2 cos2 2 4 1 sin 2
t tt
R t dt dt dt
tt t t
tt
R dt dt C
tt t
−
⇒=− =− =−
+
⇔=− + =− + +
−
∫ ∫∫
∫∫
https://toanmath.com/
Chọn A
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với
cos , sint xu x
= =
, nguyên hàm của
(
)
tan cot
I x x dx
= +
∫
là:
A.
ln ln
t uC−+ +
. B.
ln lnt uC−+
.
C.
ln lnt uC++
. D.
ln lnt uC−− +
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
sin cos
tan cot
cos sin
xx
x x dx dx dx
xx
+= +
∫ ∫∫
.
Xét
1
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
. Đặt
11
1
cos sin lnt x dt xdx I dt t C
t
= ⇒ =− ⇒=− =− +
∫
.
Xét
2
cos
sin
x
I dx
x
=
∫
. Đặt
22
1
sin cos lnu x du xdx I du u C
u
= ⇒ = ⇒= = +
∫
.
12
ln ln
II I t uC⇒= + =− + +
Chọn A
Câu 68. Biết46T
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
sin .cosfx x x
=
và
( )
0F
π
=
. Tính
2
F
π



.
A.
2
F
π
π

= −


. B.
2
F
π
π

=


. C.
1
24
F
π
π

=−+


. D.
1
24
F
π
π

= +


.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
sintx
=
d cos d
t xx⇒=
.
( ) ( )
d
Fx fx x=
∫
3
sin cos dx xx
=
∫
3
dtt=
∫
4
4
t
C
= +
4
sin
4
x
C= +
.
(
)
0F
π
=
4
sin
4
C
π
π
⇒ +=
C
π
⇔=
( )
4
sin
4
x
Fx
π
⇒= +
.
4
sin
2
24
F
π
π

=


1
4
π
= +
.
Câu 69. Tìm nguyên hàm
2
sin 2
d
1 sin
x
x
x
+
∫
. Kết quả là
A.
2
1 sin
2
x
C
+
+
. B.
2
1 sin xC++
. C.
2
1 sin xC−+ +
. D.
2
2 1 sin xC++
.
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Đặt
2
1 sintx= +
22
1 sin 2 d sin 2 dt x tt xx⇒=+ ⇒ = ⇒
2
sin 2 2
dd
1 sin
xt
xt
t
x
=
+
∫∫
2
2d 2 2 1 sint tC xC= =+= + +
∫
Câu 70. Nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
23
sin 2 .cos 2fx x x=
thỏa
0
4
F
π

=


là
https://toanmath.com/
A.
(
)
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x
=−+
. B.
(
)
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x
=+−
.
C.
(
)
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x
=−−
. D.
(
)
35
11 4
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=+−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
sin 2tx=
d 2.cos2 d
t xx⇒=
1
d cos 2 d
2
t xx⇒=
.
Ta có:
(
)
23
sin 2 .cos 2 d
F x x xx=
∫
( )
22
1
.1 d
2
t tt= −
∫
( )
24
1
d
2
ttt= −
∫
35
11
6 10
t tC
=−+
35
11
sin 2 sin 2
6 10
x xC=−+
.
0
4
F
π

=


35
11
sin sin 0
6 2 10 2
C
ππ
⇔ − +=
1
15
C⇔=−
.
Vậy
( )
35
11 1
sin 2 sin 2
6 10 15
Fx x x=−−
.
Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
(
)
5
tan
fx x=
.
A.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= −++
∫
.
B.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= +−+
∫
.
C.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C=+++
∫
.
D.
( )
42
11
d tan tan ln cos
42
fx x x x x C= −−+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
5
5
5
sin
d tan d d
cos
x
I f x x xx x
x
= = =
∫∫∫
( ) ( )
22
22
55
1 os . 1 os .sinx
sin .sin .sinx
dd
cos cos
cx cx
x
xx
xx
−−
= =
∫∫
Đặt
cos d sin d
t x t xx= ⇒=−
( ) ( )
( ) ( )
22
24
55
1 .1
12
dd
tt
tt
I tt
tt
−−
−+
= −= −
∫∫
53
1 21
dt
ttt

= −+− =


∫
5 3 42
11
2 d ln
4
t t t t t tC
t
− − −−

−+ − = − − +


∫
42
42
1 11 1
cos cos ln cos . ln cos
4 4 cos cos
x x xC xC
xx
−−
= −−+= −−+
( ) ( )
2
22
1
. tan 1 tan 1 ln cos
4
x x xC= + − +− +
( ) ( )
42 2
1
tan 2tan 1 tan 1 ln cos
4
x x x xC
= + +− +− +
42
11 1
tan tan ln cos
42 4
x x xC= − − ++
42
11
tan tan ln cos
42
x x xC
=−−+
.
https://toanmath.com/
Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số
(
)
xt
→
, nguyên hàm của
3
2sin 2cos
1 sin 2
xx
I dx
x
+
=
−
∫
là:
A.
3
2 tC+
. B.
3
6 tC+
. C.
3
3 tC+
. D.
3
12 tC
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
(
)
3
2
3
2 sin cos
2sin 2cos
1 sin 2
sin cos
xx
xx
I dx dx
x
xx
+
+
= =
−
−
∫∫
.
Đặt
( )
sin cos sin cost x x dt x x dx= − ⇒= +
.
1
3
3
3
2
21
2. 6
2
1
3
I dt t C t C
t
⇒= = + = +

+−


∫
.
Chọn B
HÀM MŨ –LÔGARIT
Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
21x
f x xe
+
=
A.
5 3 42
11
2 d ln
4
t t t t t tC
t
− − −−

−+ − = − − +


∫
. B.
( )
3
1
d3
x
fx x e C
+
= +
∫
.
C.
( )
3
1
1
d
3
x
fx x e C
+
= +
∫
. D.
( )
3
3
1
d
3
x
x
fx x e C
+
= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
32
1d3dt x t xx= +⇒ =
Do đó, ta có
(
)
33
21 1
11 1
d d .d
33 3
xt t x
f x x xe x e t e C e C
++
= = = += +
∫∫∫
.
Vậy
( )
3
1
1
d
3
x
fx x e C
+
= +
∫
.
Câu 74. Tìm nguyên hàm
d
1
x
x
I
e
=
+
∫
.
A.
ln 1
x
Ix e C=− −+
. B.
ln 1
x
Ix e C=+ ++
.
C.
ln 1
x
I x eC=−− + +
. D.
ln 1
x
Ix e C=− ++
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
dd
1
1
x
x
xx
x ex
I
e
ee
= =
+
+
∫∫
.
Đặt
xx
t e dt e dx=⇒=
( )
d 11
ln ln 1 ln ln 1 ln 1
(1 ) 1
1
x
xx x
xx
e x dt
I ttCeeCxeC
t t tt
ee

= = = − = − ++ = − ++ =− ++

++
+

∫ ∫∫
Câu 75.
Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
2e 3
x
fx=
+
thỏa mãn
( )
0 10F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
(
)
( )
1 ln 5
ln 2e 3 10
33
x
Fx x= − + ++
. B.
( )
( )
( )
1
10 ln 2e 3
3
x
Fx x= +− +
.
https://toanmath.com/
C.
( )
13
ln e 10 ln 5 ln 2
32
x
Fx x


= − + ++ −




. D.
( )
1 3 ln 5 ln 2
ln e 10
323
x
Fx x
−

= − + +−




.
Hướng dẫn giải
Chọn A
(
)
( )
(
)
1e
dd d
2e 3
2e 3 e
x
x
xx
Fx fx x x x= = =
+
+
∫∫ ∫
.
Đặt
e d ed
xx
t tx=⇒=
. Suy ra
( )
( )
( )
( )
1 1 1e 1
d ln ln ln 2e 3
23 323 3 2e3 3
x
x
x
t
Fx t C C x C
tt t

= = += += − + +

++ +

∫
.
Vì
( )
0 10F =
nên
(
)
1 ln5
10 0 ln5 10
33
CC= − +⇔= +
.
Vậy
( )
( )
(
)
1 ln5
ln 2e 3 10
33
x
Fx x= − + ++
.
Câu 76. Với phương pháp đổi biến số
( )
xt→
, nguyên hàm
ln 2x
dx
x
∫
bằng:
A.
2
1
2
tC+
. B.
2
tC+
. C.
2
2tC+
. D.
2
4
tC
+
.
Hướng dẫn giải
Đặt
11
ln 2 2.
2
t x dt dx dt dx
xx
= ⇒= ⇒=
.
2
ln 2 1
...
2
x
dx tdt t C
x
⇒===+
∫∫
.
Chọn A
Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
( )
sin cos
2 .2 cos sin
xx
y xx= −
?
A.
sin cos
2
xx
yC
+
= +
. B.
sin cos
2 .2
ln 2
xx
y =
. C.
sin cos
ln2.2
xx
y
+
=
. D.
sin cos
2
ln 2
xx
yC
+
=−+
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( )
sin cos
2 .2 cos sin d
xx
I x xx= −
∫
( )
sin cos
2 cos sin d
xx
x xx
+
= −
∫
.
Đặt:
sin costxx
= +
( )
d cos sin dt x xx⇒= −
.
2
2d
ln 2
t
t
It C⇒= = +
∫
sin cos
2
ln 2
xx
C
+
= +
sin cos
2 .2
ln 2
xx
C
= +
.
Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số:
sin cos
2 .2
ln 2
xx
y =
.
Câu 78. Cho hàm số
ln 2
() 2
x
fx
x
=
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
()fx
?
A.
() 2
x
Fx C= +
. B.
( )
() 22 1
x
Fx C= −+
.
C.
( )
() 22 1
x
Fx C= ++
. D.
1
() 2
x
Fx C
+
= +
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Chọn A
Cách 1: Đặt
1
2
t x dt dx
x
=⇒=
.
2 ln 2
( ) ( ) 2 2.ln 2 2.2 2.2
x
t tx
F x f x dx dx dt C C
x
= = = = += +
∫∫ ∫
nên A sai.
Ngoài ra:
+ D đúng vì
( ) 2.2
x
Fx C
= +
.
+ B đúng vì
( ) 2.2 2 2.2
xx
Fx C C
′
= −+ = +
.
+ C đúng vì
( ) 2.2 2 2.2
xx
Fx C C
′
= ++ = +
.
Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì
chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai
thì A sai thôi.
Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai.
Câu 79. Nguyên
hàm của
( )
1 ln
.ln
x
fx
xx
+
=
là
A.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x xC
xx
+
= +
∫
. B.
2
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x xC
xx
+
= +
∫
.
C.
1 ln
d ln ln
.ln
x
x x xC
xx
+
=++
∫
. D.
1 ln
d ln .ln
.ln
x
x x xC
xx
+
= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
(
)
1 ln
dd
.ln
x
I fx x x
xx
+
= =
∫∫
.
Đặt
lnxxt=
(
)
ln 1 d d
x xt⇒+=
. Khi đó ta có
1 ln
d
.ln
x
Ix
xx
+
=
∫
1
dt
t
=
∫
ln tC= +
ln .lnx xC= +
Câu 80.
( )
( )
2
54 73
1 cos2
xx x
x e e x dx
−+ −
+ ⋅+
∫
có dạng
(
)
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
, trong đó
,ab
là hai số hữu
tỉ. Giá trị
,ab
lần lượt bằng:
A.
3; 1
. B.
1; 3
. C.
3; 2
. D.
6; 1
.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
( )
( )
( )
21
1 cos 2
x
x e x dx
+
++
∫
. Sau đó, ta xác định giá trị của
a
.
Ta có:
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
54 73
1
54 73
1 cos2 1 cos 2 1 cos 2
xx x
x
xx x
x e e x dx x e x dx x e dx x dx
− ++ −
+
−+ −

+ ⋅+ = + + =+ +


∫ ∫ ∫∫
.
Để tìm
( )
( )
2
54
73
1 cos2
xx
x
x e e x dx
−+
−

+ ⋅+


∫
ta đặt
( )
( )
2
1
1
1
x
I x e dx
+
= +
∫
và
2
cos2I x dx=
∫
và tìm
12
,II
.
*Tìm
( )
( )
2
1
1
1
x
I x e dx
+
= +
∫
.
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
2
1; 21 1 21t x dt x x dx x dx
′
=+ =++ =+
.
( )
( ) ( )
22
11
1 11
11 1
1
22 2
xx
tt
I x e dx e dt e C e C
++
= + = = += +
∫∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
https://toanmath.com/
*Tìm
2
cos2I x dx=
∫
.
22
1
cos2 sin 2
2
I x dx x C
= = +
∫
.
(
)
(
)
( )
( )
22
2
11
54 73
12 1 2
1 1 11
1 cos2 sin 2 sin 2 .
2 2 22
xx
xx x
x e e xdx I I e C xC e xC
++
−+ −
+ ⋅+ =+=+++=++
∫
Suy ra để
(
)
( )
2
54 73
1 cos2
xx x
x e e x dx
−+ −
+ ⋅+
∫
có dạng
( )
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
thì
3,1.ab=∈=∈
Chọn A
Cách 2:
Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị
,ab
ở các đáp án vào
( )
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
và lấy đạo hàm của chúng.
Sai lầm thường gặp
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp
,ba
nên khoanh đáp án B và đã
sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:
Tìm
2
cos2I x dx=
∫
.
22
cos2 sin 2
I xdx x C
= = +
∫
.
( )
( )
( )
( )
22
2
11
54 73
12 1 2
11
1 cos2 sin2 sin 2 .
22
xx
xx x
x e e xdx I I e C xC e xC
++
−+ −
+ ⋅+ =+= +++= ++
∫
Suy ra để
( )
( )
2
54 73
1 cos2
xx x
x e e x dx
−+ −
+ ⋅+
∫
có dạng
(
)
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
thì
3,2.ab
=∈=∈

D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:
Tìm
( )
(
)
2
1
1
1
x
I x e dx
+
= +
∫
.
Đặt
( ) ( )( ) ( )
2
1; 1 1 1t x dt x x dx x dx
′
=+ =++ =+
.
( )
( ) ( )
22
11
1 11
1
xx
tt
I x e dx e dt e C e C
++
= + = =+= +
∫∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
Học sinh tìm đúng
22
1
sin 2
2
I xC= +
nên ta được:
( )
(
)
(
) (
)
22
2
11
54 73
12 1 2
11
1 cos2 sin2 sin 2 .
22
xx
xx x
x e e xdx I I e C xC e xC
++
−+ −
+ ⋅+ =+=+++=++
∫
Suy ra để
(
)
( )
2
54 73
1 cos2
xx x
x e e x dx
−+ −
+ ⋅+
∫
có dạng
( )
2
1
sin 2
62
x
ab
e xC
+
++
thì
6,1.ab=∈=∈
Câu 81. Tìm
( )
(
)
32 1
1 . 11
x
x
ex x
I dx
x ex
−+ −
=
− −+
∫
?
A.
( )
ln . 1 1
x
Ix e x C= + −+ +
. B.
( )
ln . 1 1
x
Ix e x C= − −+ +
.
C.
( )
ln . 1 1
x
I ex C= −+ +
. D.
( )
ln . 1 1
x
I ex C
= −− +
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
1 . 11 2 1
32 1 21
1 . 11 1 . 11 1 . 11
xx
xx
xx x
x ex e x
ex x ex
I dx dx dx dx
x ex x ex x ex
− −+ + −
−+ − −
= = = +
− −+ − −+ − −+
∫ ∫ ∫∫
Đặt:
(
)
21
. 11 1
21 21
x
x
xx
ex
e
t e x dt e x dx dx
xx
−

= −+⇒ = + − =

−−

Vậy
( )
( )
( )
21
1
ln ln . 1 1
1 11
x
x
x
ex
I dx dx x dt x t C x e x C
t
x ex
−
⇒ = + = + = + + = + −+ +
− −+
∫∫ ∫
Chọn A
Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
(
)
( )
2
2
1
2
ln 1 2017
ln .
x
x
xx
fx
ex e
+
++
=

+


?
A.
( ) (
)
22
ln 1 1008ln ln 1 1xx

++ ++

.
B.
( ) ( )
22
ln 1 2016ln ln 1 1xx

++ ++

.
C.
( )
(
)
22
1
ln 1 2016ln ln 1 1
2
xx

++ ++

.
D.
( ) (
)
22
1
ln 1 1008ln ln 1 1
2
xx

++ ++

.
Hướng dẫn giải
Đặt
( )
( )
2
2
1
2
ln 1 2017
ln .
x
x
xx
I dx
ex e
+
++
=

+


∫
+Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
22
22 22
1
2
ln 1 2017
ln 1 2017 ln 1 2017
1 ln 1 lne 1 ln 1 1
ln .
x
x
xx
x x xx x
I dx dx dx
xx xx
ex e
+

++
+ + ++

= = =

+ ++ + ++
+



∫∫ ∫
+ Đặt:
( )
2
2
2
ln 1 1
1
x
t x dt dx
x
= + +⇒ =
+
( )
(
) (
) (
)
2 2 22
2016 1 2016 1
1 1008ln C
22 2
11 1
ln 1 1008ln ln 1 1 ln 1 1008ln ln 1 1
22 2
t
I dt dt t t
tt
Ix xCx xC
+

⇒= = + = + +


 
⇔= +++ +++= ++ +++
 
∫∫
Chọn D
Câu 83. Tìm
( )
( )
22
2
2
2 1 2ln . ln
ln
x xx x
G dx
x xx
++ +
=
+
∫
?
A.
11
ln
GC
xx x
−
=−+
+
. B.
11
ln
GC
xx x
=−+
+
.
C.
11
ln
GC
xx x
=−+
+
. D.
11
ln
GC
xx x
=++
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
https://toanmath.com/
( )
( )
(
)
(
) (
)
( )
( )
( )
( )
2
2 22
22
2 22
22
2
22 2
2
2 ln ln
2 1 2ln . ln ln 1
ln ln
ln
11 1 11 1
ln ln ln
x x x x xx
x xx x x x xx
G dx dx dx
xx x xx x
x xx
xx x
G dx dx J J dx
x xx
xx x xx x xx x

+ + ++
++ + + + +

= = =
++
+

+ +− +
⇔ = + =−+ = + =


++ +

∫∫ ∫
∫∫ ∫
Xét nguyên hàm:
( )
2
1
ln
x
J dx
xx x
+
=
+
∫
+ Đặt:
11
ln 1
x
t x x dt
xx
+
=+ ⇒ =+=
2
11 1
ln
J dt C C
t t xx
−−
⇒= = += +
+
∫
Do đó:
1 11
ln
GJ C
x xx x
−−
= += − +
+
Chọn A
Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
( )
( )
1
1 ln
.ln . ln
n nn
x
hx
x xx x
−
−
=
+
?
A.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− ++
. B.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
+ ++
.
C.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− + ++
. D.
11
ln ln ln 2016
nn
x xx
nn
− − +−
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
22
11
1 ln 1 ln 1 1 ln 1
..
ln ln
.ln . ln .ln . ln
1
n
n nn n nn
n
xx x
L dx dx dx
xx
xx
x xx x x xx x
xx
− −−
−− −
= = =

++
+


∫∫ ∫
Đặt:
2
ln 1 lnxx
t dt dx
xx
−
= ⇒=
( )
( )
1
11
n
n nn
dt t dt
L
tt t t
−
⇒= =
++
∫∫
+ Đặt
1
1.
nn
u t du nt dt
−
= +⇒ =
( )
1 1 11 1 1 1
. ln 1 ln .ln
11
ln
1 1 1 ln
.ln .ln .ln
ln
1 ln
1
n
nn
n
n
n nn
n
du u
L du u u C C
n uu n u u n n u
x
tx
x
LC C C
x
n t n n xx
x
−

⇒ = = − = − − + = +


−−

⇔= += += +
++
+
∫∫
Chọn A
https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số
u
và
v
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
.
Khi đó:
d d.
u v uv v u
= −
∫∫
( )
*
Để tính nguyên hàm
(
)
dfx x
∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn
, uv
sao cho
( )
ddf x x uv=
(chú ý
( )
d 'dv vx x=
).
Sau đó tính
dvv=
∫
và
d '.d
uux=
.
Bước 2. Thay vào công thức
(
)
*
và tính
dvu
∫
.
Chú ý. Cần phải lựa chọn và
d
v
hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được
v
và tích phân
dvu
∫
dễ tính hơn
duv
∫
. Ta thường gặp các dạng sau
● Dạng 1.
( )
sin
d
cos
x
I Px x
x

=


∫
, trong đó
( )
Px
là đa thức.
u
Với dạng này, ta đặt
( )
sin
dd
cos
u Px
x
vx
x
=

=


.
● Dạng 2.
( )
d
ax b
I Pxe x
+
=
∫
, trong đó
( )
Px
là đa thức.
Với dạng này, ta đặt
( )
dd
ax b
u Px
ve x
+
=
=
.
● Dạng 3.
( )
( )
ln d
I P x mx n x= +
∫
, trong đó
là đa thức.
Với dạng này, ta đặt
( )
( )
ln
dd
u mx n
v Px x
= +
=
.
● Dạng 4.
sin
d
cos
x
x
I ex
x

=


∫
.
Với dạng này, ta đặt
sin
cos
dd
x
x
u
x
vex

=


=
.
BÀI TẬP
DẠNG 1.
Câu 1. Tìm
sin 2x xdx
∫
ta thu được kết quả nào sau đây?
A.
sin cosx x xC++
B.
11
sin 2 cos2
42
x x xC−+
C.
sin cosxx x+
D.
11
sin 2 cos2
42
xx x−
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x x=
là:
A.
( )
cos sinFx x x x C=− −+
. B.
( )
cos sinFx x x x C= −+
.
https://toanmath.com/
C.
( )
cos sin
Fx x x x C=− ++
. D.
( )
cos sinFx x x x C= ++
.
Câu 3. Biết
cos2 d sin 2 cos2x xxax xb xC= ++
∫
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab
=
. B.
1
4
ab
=
. C.
1
8
ab = −
. D.
1
4
ab
= −
.
Câu 4. Cho biết
(
)
3
11
2
3
Fx x x
x
= +−
là một nguyên hàm của
( )
( )
2
2
2
xa
fx
x
+
=
. Tìm nguyên hàm
của
( )
cosg x x ax=
.
A.
sin cosx x xC−+
. B.
11
sin 2 cos2
24
x x xC−+
.
C.
sin cosx x xC++
. D.
11
sin 2 cos2
24
x x xC++
.
Câu 5. Nguyên hàm của
2
sinI x xdx=
∫
là:
A.
( )
2
1
2 sin 2 cos 2
8
xx x xC−−+
. B.
( )
2
11
cos2 sin 2
84
x xx xC++ +
.
C.
2
11
cos2 sin 2
42
x xx x C

−− +


. D. Đáp án A và C đúng.
Câu 6. Tìm nguyên hàm
( )
1 sin 2 dI x xx= −
∫
A.
( )
1 2 cos2 sin 2
2
xx x
IC
−+
= +
. B.
( )
2 2 cos 2 sin 2
2
xx x
IC
−+
= +
.
C.
( )
1 2 cos2 sin 2
4
xx x
IC
−+
= +
. D.
(
)
2 2 cos 2 sin 2
4
xx x
IC
−+
= +
.
Câu 7. Tìm nguyên hàm
sin dxx
∫
A.
1
sin d cos
2
xx x C
x
= +
∫
. B.
sin d cosxx x C=−+
∫
.
C.
sin d cosxx x C
= +
∫
. D.
sin d 2 cos 2sinxx x x x C=− ++
∫
.
Câu 8. Nguyên hàm của
2
sin cos
I x x xdx=
∫
là:
A.
33
1
1
cos , sin
3
I x x t t Ct x
=− +− + =
. B.
33
1
2
cos , sin
3
I x x t t Ct x=− +− + =
.
C.
33
1
1
cos , sin
3
I x x t t Ct x= +− + =
. D.
33
1
2
cos , sin
3
I x x t t Ct x= +− + =
.
Câu 9. Một nguyên hàm của
( )
2
cos
x
fx
x
=
là :
A.
tan ln cos xxx
−
B.
( )
tan ln cos x
xx+
C.
tan ln cosxxx+
D.
tan ln sinxx x−
Câu 10. Một nguyên hàm của
( )
2
sin
x
fx
x
=
là :
A.
cot ln sinxxx
−
B.
( )
cot ln sinxx x−+
C.
tan ln cosxxx−+
D.
tan ln sinxx x−
https://toanmath.com/
Câu 11. Cho
(
)
2
cos
x
fx
x
=
trên
;
22
ππ

−


và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
xf x
′
thỏa mãn
(
)
00
F =
. Biết
;
22
a
ππ

∈−


thỏa mãn
tan 3
a =
. Tính
(
)
2
10 3Fa a a
−+
.
A.
1
ln10
2
−
. B.
1
ln10
4
−
. C.
1
ln10
2
. D.
ln10
.
DẠNG 2.
Câu 12. Họ nguyên hàm của
( )
1
x
e x dx+
∫
là:
A.
xx
I e xe C=++
. B.
1
2
xx
I e xe C=++
.
C.
1
2
xx
I e xe C= ++
. D.
2
xx
I e xe C=++
.
Câu 13. Biết
( )
2 22
d , .
x xx
xe x axe be C a b= ++ ∈
∫
Tính tích
ab
.
A.
1
4
ab = −
. B.
1
4
ab =
. C.
1
8
ab = −
. D.
1
8
ab =
.
Câu 14. Cho biết
2
ed
x
xx
∫
(
)
2
1
e
4
x
ax b C= ++
, trong đó
,ab
∈
và
C
là hằng số bất kì. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng.
A.
20ab
+=
. B.
ba>
. C.
ab
. D.
20ab+=
.
Câu 15. Biết
( ) ( )
x
F x ax b e= +
là nguyên hàm của hàm số
( )
23
x
yxe= +
.Khi đó
ab+
là
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 16. Biết
(
) ( )
22
1
3. d 2
xx
x e x e xn C
m
−−
+ =− ++
∫
, với
,mn∈
. Tính
22
Sm n= +
.
A.
10S =
. B.
5
S =
. C.
65S =
. D.
41S
=
.
Câu 17. Tìm nguyên hàm
( )
21 d
x
I x ex
−
= −
∫
.
A.
( )
21
x
I xeC
−
=−+ +
. B.
( )
21
x
I xeC
−
=−− +
.
C.
( )
23
x
I x eC
−
=−+ +
. D.
( )
23
x
I x eC
−
=−− +
.
Câu 18. Cho
()
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
5 1e
x
fx x= +
và
( )
03F =
. Tính
( )
1F
.
A.
( )
1 11e 3F = −
. B.
(
)
1 e3F = +
. C.
( )
1 e7
F = +
. D.
( )
1 e2F
= +
.
Câu 19. Cho hàm số
( ) ( )
23
x
fx x e= −
. Nếu
( ) ( )
x
F x mx n e= +
( )
,mn∈
là một nguyên hàm của
( )
fx
thì hiệu
mn−
bằng
A.
7.
B.
3.
C.
1
. D.
5.
Câu 20. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
e
x
fx=
và
( )
02F =
. Hãy tính
( )
1F −
.
A.
15
6
e
−
. B.
10
4
e
−
. C.
15
4
e
−
. D.
10
e
.
DẠNG 3.
Câu 21. Kết quả của
ln
xdx
∫
là:
A.
lnx xxC++
B. Đáp án khác
C.
lnx xC+
D.
lnx xxC−+
Câu 22. Nguyên hàm của
lnI x xdx=
∫
bằng với:
https://toanmath.com/
A.
2
ln
2
x
x xdx C−+
∫
. B.
2
1
ln
22
x
x xdx C
−+
∫
.
C.
2
1
ln
2
x x xdx C−+
∫
. D.
2
lnx x xdx C
−+
∫
.
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số
(
) (
)
ln 2
fx x x
= +
.
A.
( )
( )
22
4
d ln 2
24
x xx
fx x x C
+
= +− +
∫
.
B.
( )
( )
22
44
d ln 2
24
x xx
fx x x C
−−
= +− +
∫
.
C.
( ) ( )
22
4
d ln 2
22
x xx
fx x x C
+
= +− +
∫
.
D.
( ) ( )
22
44
d ln 2
22
x xx
fx x x C
−+
= +− +
∫
.
Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
( )
( )
2
ln
1
x
gx
x
=
+
?
A.
ln 2 ln 2
ln 1999
11
xx x
xx
−−
++
++
. B.
ln
ln 1998
11
xx
xx
−
−+
++
.
C.
ln
ln 2016
11
xx
xx
−+
++
. D.
ln
ln 2017
11
xx
xx
++
++
.
Câu 25. Họ nguyên hàm của
( )
2
ln cos
sin
x
I dx
x
=
∫
là:
A.
( )
cot .ln cosx x xC
++
. B.
( )
cot .ln cosx x xC− −+
.
C.
( )
cot .ln cosx x xC−+
. D.
( )
cot .ln cosx x xC− ++
.
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
lnfx x x
=
.
A.
( ) ( )
3
2
1
d 3ln 2
9
fx x x x C
= −+
∫
. B.
( )
( )
3
2
2
d 3ln 2
3
fx x x x C= −+
∫
.
C.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 1
9
fx x x x C= −+
∫
. D.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 2
9
fx x x x C= −+
∫
.
Câu 27. Giả sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
( )
2
ln 3x
fx
x
+
=
sao cho
( ) ( )
2 10FF−+ =
. Giá trị
của
( ) ( )
12FF−+
bằng
A.
10 5
ln 2 ln 5
36
−
. B.
0
. C.
7
ln 2
3
. D.
23
ln 2 ln5
36
+
.
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
3
2
4
ln
4
x
fx x
x

−
=

+

?
A.
2
42
2
4
ln 2
4
x
xx
x

−
−

+

. B.
42
2
2
16 4
ln 2
44
xx
x
x

−−
−

+

.
C.
2
42
2
4
ln 2
4
x
xx
x

−
+

+

. D.
42
2
2
16 4
ln 2
44
xx
x
x

−−
+

+

.
Câu 29. Tìm
( )
2
2
sin cos
x dx
H
xx x
=
+
∫
?
https://toanmath.com/
A.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
= ++
+
.
B.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
= −+
+
.
C.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
−
= ++
+
.
D.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
−
= −+
+
.
Câu 30.
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
có dạng
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 64
ab
x x x xC++ − +
, trong đó
,ab
là hai số
hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D. Không tồn tại.
Câu 31. Cho
2
1
()
2
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
()
fx
x
. Tính
e
1
( )ln df x xx
′
∫
bằng:
A.
2
2
e3
2e
I
−
=
. B.
2
2
2e
e
I
−
=
. C.
2
2
e2
e
I
−
=
. D.
2
2
3e
2e
I
−
=
.
Câu 32. Cho
(
) (
)
ln
a
Fx x b
x
= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1 ln x
fx
x
+
=
, trong đó
a
,
b∈
.
Tính
S ab= +
.
A.
2
S
= −
. B.
1S =
. C.
2S =
. D.
0S =
.
Câu 33. Cho các số thực
a
,
b
khác không. Xét hàm số
( )
( )
3
e
1
x
a
f x bx
x
= +
+
với mọi
x
khác
1−
.
Biết
( )
0 22f
′
= −
và
(
)
1
0
d5fx x
=
∫
. Tính
ab+
?
A.
19
. B.
7
. C.
8
. D.
10
.
Câu 34. Cho
a
là số thực dương. Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
1
e ln
x
f x ax
x

= +


thỏa mãn
1
0F
a

=


và
( )
2018
2018 eF =
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
1
;1
2018
a

∈


. B.
1
0;
2018
a

∈

. C.
[
)
1;2018a∈
. D.
[
)
2018;
a
∈ +∞
.
DẠNG 4:
Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx= −
∫∫
. B.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx=−+
∫∫
.
C.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx= +
∫∫
. D.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx=−−
∫∫
Câu 36. Tìm
.sinx
x
J e dx=
∫
?
A.
( )
cos sin
2
x
e
J x xC= −+
. B.
( )
sin cos
2
x
e
J x xC= ++
.
C.
( )
sin cos
2
x
e
J x xC= −+
. D.
( )
sin cos 1
2
x
e
J xxC= + ++
.
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1.
Câu 1. Tìm
sin 2
x xdx
∫
ta thu được kết quả nào sau đây?
A.
sin cosx x xC++
B.
11
sin 2 cos2
42
x x xC−+
C.
sin cosxx x+
D.
11
sin 2 cos2
42
xx x−
Hướng dẫn giải
Ta có:
sin 2I x xdx
=
∫
Đặt:
1
sin 2
cos2
2
du dx
ux
dv xdx
vx
=
=
⇒

=
= −
Khi đó:
11 11
cos2 cos 2 cos2 sin 2
22 24
I uv vdu x x xdx x x x C=−=−+ =−++
∫∫
Chọn B
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x x=
là:
A.
( )
cos sinFx x x x C=− −+
. B.
(
)
cos sinFx x x x C= −+
.
C.
( )
cos sinFx x x x C=− ++
. D.
( )
cos sinFx x x x C= ++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
(
)
d sin d
I f x x x xx= =
∫∫
.
Đặt
d sin d
ux
v xx
=
=
Ta có
dd
cos
ux
vx
=
= −
.
( )
d sin d cos cos d cos sinI fxxxxxxx xxxx xC= = =−+ =−++
∫∫ ∫
.
Câu 3. Biết
cos2 d sin 2 cos2x xxax xb xC= ++
∫
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab =
. B.
1
4
ab =
. C.
1
8
ab = −
. D.
1
4
ab = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
dd
1
d cos2 d
sin 2
2
ux
ux
v xx
vx
=
=
⇒

=
=
Khi đó
11
cos2 d sin 2 sin 2 d
22
x xx x x xx= −
∫∫
11
sin 2 cos2
24
x x xC= ++
1
2
a⇒=
,
1
4
b =
.
Vậy
1
8
ab =
.
Câu 4. Cho biết
( )
3
11
2
3
Fx x x
x
= +−
là một nguyên hàm của
( )
( )
2
2
2
xa
fx
x
+
=
. Tìm nguyên hàm
của
( )
cosg x x ax=
.
https://toanmath.com/
A.
sin cosx x xC−+
. B.
11
sin 2 cos2
24
x x xC−+
.
C.
sin cos
x x xC++
. D.
11
sin 2 cos2
24
x x xC++
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
( )
2
2
2
22
1
2
xa
Fx x
xx
+
′
= ++ =
. Suy ra
1a =
.
Khi đó
( )
d cos d dsin .sin sin d .sin cosgx x x xx x x x x xx x x x C= = = − = ++
∫∫ ∫ ∫
.
Câu 5. Nguyên hàm của
2
sin
I x xdx=
∫
là:
A.
( )
2
1
2 sin 2 cos2
8
xx x xC−−+
. B.
( )
2
11
cos2 sin 2
84
x xx xC++ +
.
C.
2
11
cos2 sin 2
42
x xx x C

−− +


. D. Đáp án A và C đúng.
Hướng dẫn giải
Ta biến đổi:
1
22
1
1 cos 2 1 1 1 1
sin cos2 cos 2
2 2 2 42
I
x
I x xdx x dx xdx x xdx x x xdx C
−

== =−=−+


∫ ∫ ∫∫ ∫
 
1
cos2I x xdx=
∫
.
Đặt
1
cos2
sin 2
2
du dx
ux
dv x
vx
=
=
⇒

=
=
.
1
11 11
cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2
22 24
I x xdx x x xdx x x x C⇒= = − = + +
∫∫
.
( )
(
)
22
2
11 1
cos2 sin 2 2 2 sin 2 cos2
42 8
11
cos2 sin 2
84
I x xxxC xxx xC
x xx xC

⇒= − − + = − − +


=− ++ +
.
Chọn C
Câu 6. Tìm nguyên hàm
( )
1 sin2 dI x xx= −
∫
A.
( )
1 2 cos2 sin 2
2
xx x
IC
−+
= +
. B.
( )
2 2 cos 2 sin 2
2
xx x
IC
−+
= +
.
C.
( )
1 2 cos2 sin 2
4
xx x
IC
−+
= +
. D.
( )
2 2 cos 2 sin 2
4
xx x
IC
−+
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
dd
1
1
d sin 2 d
cos2
2
ux
ux
v xx
vx
=
= −
⇒

=
= −
Khi đó
( ) ( )
( )
1111
1 sin 2 d 1 cos2 cos2 d 1 cos2 sin 2
2224
I x xx x x xx x x x C=− =−− + =−− + +
∫∫
Câu 7. Tìm nguyên hàm
sin dxx
∫
https://toanmath.com/
A.
1
sin d cos
2
xx x C
x
= +
∫
. B.
sin d cos
xx x C=−+
∫
.
C.
sin d cosxx x C= +
∫
. D.
sin d 2 cos 2sin
xx x x x C
=− ++
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
tx=
, ta có
sin d 2 sin dxx t tt=
∫∫
Đặt
2
d sin d
ut
v tt
=
=
ta có
d 2d
cos
ut
vt
=
= −
2 sin d 2 cos 2cos d 2 cos 2sin 2 cos 2sint tt t t tt t t t C x x x C
=− + =− + +=− + +
∫∫
Câu 8. Nguyên hàm của
2
sin cosI x x xdx=
∫
là:
A.
33
1
1
cos , sin
3
I x x t t Ct x=− +− + =
. B.
33
1
2
cos , sin
3
I x x t t Ct x=− +− + =
.
C.
33
1
1
cos , sin
3
I x x t t Ct x= +− + =
. D.
33
1
2
cos , sin
3
I x x t t Ct x= +− + =
.
Hướng dẫn giải
Ta đặt:
23
sin cos cos
u x du dx
du x x u xdx
= =

⇒

= = −

.
1
2 33
1
sin cos cos cos
I
I x x xdx x x xdx C⇒= =− + +
∫∫

.
Xét
( )
32
1
cos cos 1 sin
I xdx x x dx
= = −
∫∫
.
Đặt
sin cost x dt xdx= ⇒=
.
( )
23
12
1
1
3
I t dt t t C⇒= − =− +
∫
.
3 33
1
1
cos cos
3
IxxIxxttC⇒=−+=−+−+
.
Chọn A
Câu 9. Một nguyên hàm của
( )
2
cos
x
fx
x
=
là :
A.
tan ln cos xxx−
B.
( )
tan ln cos xxx+
C.
tan ln cosxxx+
D.
tan ln sinxx x−
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
cos
x
I dx
x
=
∫
Đặt:
2
1
tan
cos
ux
du dx
vx
dv dx
x
=
=
⇒

=
=
Khi đó:
tan tan tan ln cosI uv vdu x x xdx x x x C=−= − = + +
∫∫
Chọn C
Câu 10. Một nguyên hàm của
( )
2
sin
x
fx
x
=
là :
A.
cot ln sinxxx−
B.
( )
cot ln sinxx x−+
https://toanmath.com/
C.
tan ln cosxxx−+
D.
tan ln sinxx x−
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
sin
x
I dx
x
=
∫
Đặt:
2
1
cot
sin
ux
du dx
vx
dv dx
x
=
=
⇒

= −
=
Khi đó:
cot cot cot ln sinI uv vdu x x xdx x x x C=−=−+ =−+ +
∫∫
Chọn B
Câu 11. Cho
(
)
2
cos
x
fx
x
=
trên
;
22
ππ

−


và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
xf x
′
thỏa mãn
( )
00F =
. Biết
;
22
a
ππ

∈−


thỏa mãn
tan 3a =
. Tính
(
)
2
10 3
Fa a a−+
.
A.
1
ln10
2
−
. B.
1
ln10
4
−
. C.
1
ln10
2
. D.
ln10
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
dF x xf x x
′
=
∫
( )
dxfx
=
∫
(
) ( )
dxfx fx x= −
∫
Ta lại có:
( )
2
dd
cos
x
fx x x
x
=
∫∫
( )
= d tan
xx
∫
tan tan dx x xx
= −
∫
sin
tan d
cos
x
xx x
x
= −
∫
( )
1
tan d cos
cos
xx x
x
= +
∫
tan ln cos
x x xC=++
( ) ( )
tan ln cosF x xf x x x x C⇒= − − +
Lại có:
( )
00
F
=
0C⇒=
, do đó:
( ) ( )
tan ln cosF x xf x x x x=−−
.
( ) ( )
tan ln cosF a af a a a a
⇒= − −
Khi đó
( )
2
cos
a
fa
a
=
( )
2
1 tanaa= +
10a=
và
2
2
1
1 tan
cos
a
a
= +
10=
2
1
cos
10
a⇔=
1
cos
10
a⇔=
.
Vậy
( )
2
10 3
Fa a a−+
22
1
10 3 ln 10 3
10
aa aa= −− − +
1
ln10
2
=
.
DẠNG 2.
Câu 12. Họ nguyên hàm của
( )
1
x
e x dx+
∫
là:
A.
xx
I e xe C=++
. B.
1
2
xx
I e xe C=++
.
C.
1
2
xx
I e xe C
= ++
. D.
2
xx
I e xe C=++
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
1
1
1
x xxx x
I
I e x dx e dx e xdx e C xe dx= + = + =++
∫ ∫∫ ∫

.
Xét
1
x
I e xdx=
∫
.
Đặt
xx
ux dux
dv e dx v e
= =

⇒

= =

.
https://toanmath.com/
1 12
1
2
xx x
I xe xe dx I xe C⇒= − ⇒= +
∫
.
1
2
xx
I e xe C
⇒= + +
.
Chọn B
Câu 13. Biết
( )
2 22
d , .
x xx
xe x axe be C a b= ++ ∈
∫
Tính tích
ab
.
A.
1
4
ab
= −
. B.
1
4
ab =
. C.
1
8
ab
= −
. D.
1
8
ab =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
2
dd
1
dd
2
x
x
ux
ux
ve
ve x
=
=
⇒

=
=
Suy ra:
2 22
11
dd
22
x xx
xe x xe e x= −
∫∫
22
11
24
xx
xe e C= −+
Vậy:
11 1
; .
24 8
a b ab
= =−⇒ =−
Câu 14. Cho biết
2
ed
x
xx
∫
( )
2
1
e
4
x
ax b C
= ++
, trong đó
,ab
∈
và
C
là hằng số bất kì. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng.
A.
20
ab
+=
. B.
ba>
. C.
ab
. D.
20ab+=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
ddux u x=⇒=
,
2
2
e
d ed
2
x
x
v xv
= ⇒=
.
Ta có
2
ed
x
xx
∫
22
ee
d
22
xx
x
x= −
∫
22
ee
24
xx
x
C= −+
( )
2
e
21
4
x
xC= −+
. Suy ra
2a =
,
1b = −
.
Câu 15. Biết
( ) ( )
x
F x ax b e= +
là nguyên hàm của hàm số
( )
23
x
yxe= +
.Khi đó
ab+
là
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
2x+3 d ax+b
xx
ex e
=
∫
, nghĩa là:
( ) ( )
ax+b ' 2x+3
xx
ee

=

( ) ( )
. ax = 2x+3
xx x
ae e b e⇔+ +
( ) (
)
ax = 2x+3
xx
e ab e⇔ ++
Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1
Vậy
3ab+=
.
Chọn B
Câu 16. Biết
( ) ( )
22
1
3. d 2
xx
x e x e xn C
m
−−
+ =− ++
∫
, với
,mn∈
. Tính
22
Sm n= +
.
A.
10S =
. B.
5S =
. C.
65S =
. D.
41
S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
2
dd
3
1
dd
2
x
x
ux
ux
ve
ve x
−
−
=
= +
⇒

= −
=
https://toanmath.com/
Khi đó
(
)
(
)
22 2
11
3. d 3 d
22
xx x
x ex ex ex
−− −
+ =− ++
∫∫
(
)
22
11
.3
24
xx
ex e C
−−
=− +− +
( )
( )
22
11
.261 27
44
xx
ex C ex C
−−
=− ++ + =− + +
4; 7mn⇒= =
.
22
65.Sm n= +=
Câu 17. Tìm nguyên hàm
(
)
21 d
x
I x ex
−
= −
∫
.
A.
( )
21
x
I xeC
−
=−+ +
. B.
( )
21
x
I xeC
−
=−− +
.
C.
( )
23
x
I x eC
−
=−+ +
. D.
( )
23
x
I x eC
−
=−− +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2 1 d 2d
d
xx
ux u x
dv e x v e
−−
=−=

⇒

= = −

.
Ta có
(
) ( ) (
)
21 2.d 21 2 21
x x xx x
I xe ex xe eC xeC
− − −− −
=−− + =−− − +=−+ +
∫
.
Câu 18. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) (
)
5 1e
x
fx x= +
và
(
)
03
F =
. Tính
( )
1F
.
A.
(
)
1 11e 3F
= −
. B.
( )
1 e3F = +
. C.
( )
1 e7F = +
. D.
( )
1 e2
F
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
(
)
5 1ed
x
Fx x x= +
∫
.
Đặt
51
d ed
x
ux
vx
= +
=
d 5d
e
x
ux
v
=
⇒
=
.
(
) (
)
5 1 e 5e d
xx
Fx x x
=+−
∫
( )
5 1 e 5e
xx
xC=+ −+
( )
5 4e
x
xC=−+
.
Mặt khác
( )
03
F =
43C⇔− + =
7C⇔=
.
( ) ( )
5 4e 7
x
Fx x⇒ =−+
.
Vậy
(
)
1 e7
F = +
.
Câu 19. Cho hàm số
( ) ( )
23
x
fx x e= −
. Nếu
( ) ( )
x
F x mx n e= +
( )
,mn∈
là một nguyên hàm của
( )
fx
thì hiệu
mn−
bằng
A.
7.
B.
3.
C.
1
. D.
5.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Tính
( )
23d
x
x ex−
∫
.
Đặt
2 3 d 2d ; d d
xx
u x u xvex ve= −⇒ = = ⇒=
. Suy ra:
( ) ( )
23d 23 2d
x xx
x ex x e exC− =−− +
∫∫
( )
23 2
xx
x e eC=− −+
( )
25
x
x eC=−+
Suy ra:
2m
=
;
5n = −
Vậy
7mn−=
.
Câu 20. 17TCho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
e
x
fx=
và
( )
02F =
. Hãy tính
(
)
1F −
.
A.
15
6
e
−
. B.
10
4
e
−
. C.
15
4
e
−
. D.
10
e
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
3
d ed
x
I fx x x= =
∫∫
.
https://toanmath.com/
Đặt
3
3
xt xt=⇒=
2
d 3dx tt⇒=
khi đó
3
2
e d 3e d
xt
I x tt= =
∫∫
.
Đặt
2
2d d
e
ed d
t
t
tt u
tu
v
tv
=
=
⇒

=
=
( )
2
3e 2ed
tt
I t tt
⇒= −
∫
2
3e 6 e d
tt
t tt= −
∫
.
Tính
ed
t
tt
∫
.
Đặt
dd
ed d e
tt
tu t u
tv v
= =

⇒

= =

ede edee
t t t tt
ttt tt⇒ =−=−
∫∫
.
Vậy
( )
2
3e 6 e e
t tt
It t C⇒= − − +
( )
( )
3 33
3
2
3
3e 6 e e
x xx
Fx x x C⇒ = − −+
.
Theo giả thiết ta có
(
)
02 4FC=⇒=−
( )
( )
3 33
3
2
3
3e 6 e e 4
x xx
Fx x x⇒ = − −−
(
)
15
14
e
F
⇒ −= −
.
DẠNG 3.
Câu 21. Kết quả của
ln xdx
∫
là:
A.
lnx xxC++
B. Đáp án khác
C.
lnx xC+
D.
lnx xxC−+
Hướng dẫn giải
Ta có:
lnI xdx=
∫
Đặt:
ln
dx
ux
du
x
dv dx
vx
=
=
⇒

=
=
Khi đó:
ln lnI uv vdu x x dx x x x C
= − = − = −+
∫∫
Chọn D
Câu 22. Nguyên hàm của
lnI x xdx=
∫
bằng với:
A.
2
ln
2
x
x xdx C−+
∫
. B.
2
1
ln
22
x
x xdx C−+
∫
.
C.
2
1
ln
2
x x xdx C
−+
∫
. D.
2
lnx x xdx C
−+
∫
.
Hướng dẫn giải
Ta đặt:
2
1
ln
2
du dx
ux
x
dv xdx
x
v
=
=
⇒

=
=
.
2
1
ln ln
22
x
I x xdx x xdx⇒= = −
∫∫
.
Chọn B
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
ln 2fx x x= +
.
A.
( ) ( )
22
4
d ln 2
24
x xx
fx x x C
+
= +− +
∫
.
B.
( ) ( )
22
44
d ln 2
24
x xx
fx x x C
−−
= +− +
∫
.
https://toanmath.com/
C.
( )
( )
22
4
d ln 2
22
x xx
fx x x C
+
= +− +
∫
.
D.
( ) ( )
22
44
d ln 2
22
x xx
fx x x C
−+
= +− +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
(
)
2
d
d
ln 2
2
dd
2
x
u
ux
x
x
v xx
v
=
= +

+
⇒

=
=
suy ra
( ) ( ) ( )
22
1
d ln 2 d ln 2 d
2 22
xx
fx x x x x x x
x
= + = +−
+
∫∫ ∫
( )
( )
2 22
14 4 4
ln 2 2 d ln 2
2 2 22 2
x x xx
xx x x C
x
−−

= +− −+ = +− +

+

∫
.
Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
( )
( )
2
ln
1
x
gx
x
=
+
?
A.
ln 2 ln 2
ln 1999
11
xx x
xx
−−
++
++
. B.
ln
ln 1998
11
xx
xx
−
−+
++
.
C.
ln
ln 2016
11
xx
xx
−+
++
. D.
ln
ln 2017
11
xx
xx
++
++
.
Hướng dẫn giải
Đặt
(
)
2
1
ln
1
1
1
1
ux
du dx
x
dv dx
v
x
x
=
=

⇒

=
−

=
+
+
(
)
( )
ln 1 ln 1 1 lnx 1
111 11 1
ln ln
ln ln 1 ln
1 11
x x dx
S dx dx dx
x xx x x x x x x
x xx
S xx C C
x xx
−− −

⇒ = + = + − = ++ −

+++ ++ +

−−
⇔= + − ++= + +
+ ++
∫ ∫ ∫∫
.
Chọn A
Câu 25. Họ nguyên hàm của
( )
2
ln cos
sin
x
I dx
x
=
∫
là:
A.
( )
cot .ln cosx x xC++
. B.
( )
cot .ln cosx x xC− −+
.
C.
( )
cot .ln cosx x xC−+
. D.
( )
cot .ln cosx x xC− ++
.
Hướng dẫn giải
Ta đặt:
( )
2
ln cos
tan
cot
sin
ux
du xdx
dx
vx
dv
x
=
= −
⇒

= −
=
.
( ) ( )
cot .ln cos cot .ln cosIxxdxxxxC⇒=−−=−−+
∫
.
Chọn B
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
lnfx x x=
.
https://toanmath.com/
A.
( ) ( )
3
2
1
d 3ln 2
9
fx x x x C
= −+
∫
. B.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 2
3
fx x x x C= −+
∫
.
C.
( )
( )
3
2
2
d 3ln 1
9
fx x x x C= −+
∫
. D.
( ) ( )
3
2
2
d 3ln 2
9
fx x x x C= −+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
(
)
d ln .d
I fx x x xx
= =
∫∫
.
Đặt:
1
d d 2d d
2
t x t x tt x
x
= ⇒= ⇒ =
.
22 2
2 ln .d 4 ln .dI ttt ttt⇒= =
∫∫
.
Đặt:
23
1
dd
ln
dd
3
ut
ut
t
vtt t
v
=
=
⇒

=
=
.
( )
3 2 33 3
11 11 2
2 ln d 2 ln 3ln 1
33 39 9
I tt tt tt tC t t C

⇒= − = − + = −+


∫
( )
3
2
2
3ln 1
9
x xC= −+
( )
3
2
1
3ln 2
9
xxC= −+
.
Câu 27. Giả sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của
(
)
( )
2
ln 3x
fx
x
+
=
sao cho
(
) ( )
2 10FF−+ =
. Giá trị
của
( ) ( )
12FF−+
bằng
A.
10 5
ln 2 ln 5
36
−
. B.
0
. C.
7
ln 2
3
. D.
23
ln 2 ln5
36
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: Ta có hàm số
( )
fx
liên tục trên các khoảng
( )
3;0−
và
(
)
0;+∞
.
Tính
(
)
2
ln 3
d
x
x
x
+
∫
.
Đặt
( )
2
1
ln 3
dd
3
d
11 3
d
33
ux
ux
x
x
x
v
v
x
xx
= +
=

+
⇒

+
=

=−−=−
(Chọn
1
3
C = −
)
Suy ra:
( )
( )
( )
2
ln 3
31
d ln 3 d
33
x
x
Fx x x x
xx x
+
+
= =− ++
∫∫
( )
31
ln 3 ln
33
x
x xC
x
+
=− ++ +
.
•Xét trên khoảng
( )
3;0−
, ta có:
( )
1
1
2 ln 2
3
FC−= +
;
( )
1
2
1 ln 2
3
FC−= +
•Xét trên khoảng
( )
0;+∞
, ta có:
( )
22
48
1 ln 4 ln 2
33
F CC=− +=− +
;
( )
2
51
2 ln5 ln 2
63
FC=−++
Suy ra:
( ) ( )
2 10FF−+ =
12
18
ln 2 ln 2 0
33
CC

⇔ + +− + =


12
7
ln 2
3
CC⇔+=
.
https://toanmath.com/
Do đó:
( ) ( )
12
2 51
1 2 ln 2 ln5 ln 2
3 63
FF C C

− + = + +− + +


2517105
ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 2 ln5
3633 3 6
=−++ = −
.
Cách 2: (Tận dụng máy tính)
•Xét trên khoảng
( )
3;0−
, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
11
2
22
ln 3
1 2 d d 0,231
x
F F fx x x A
x
−−
−−
+
−− − = = ≈ →
∫∫
(lưu vào
A
)
( )
1
•Xét trên khoảng
(
)
0;
+∞
, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
22
2
11
ln 3
2 1 d d 0,738
x
F F fx x x B
x
+
−= = ≈ →
∫∫
(lưu vào
A
)
( )
2
•Lấy
( )
1
cộng
( )
2
theo vế ta được:
( )
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 2 0,969F F F F AB F F AB−+ − −− =+⇔ −+ =+≈
.
So các phương án ta
Chọn A
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
2
3
2
4
ln
4
x
fx x
x

−
=

+

?
A.
2
42
2
4
ln 2
4
x
xx
x

−
−

+

. B.
42
2
2
16 4
ln 2
44
xx
x
x

−−
−

+

.
C.
2
42
2
4
ln 2
4
x
xx
x

−
+

+

. D.
42
2
2
16 4
ln 2
44
xx
x
x

−−
+

+

.
Hướng dẫn giải
Đặt:
2
4
2
44
3
16
4
ln
16
4
16
4
44
x
x
du
u
x
x
xx
v
dv x dx

−
=
=
 −
+
⇒


−

= −=
=
242 42
42
22 2
4 16 4 16 4
ln ln 4 ln 2
4 44 44
xxx xx
x dx xdx x C
xx x
  
− −− −−
⇒ = − = −+
  
++ +
  
∫∫
Chọn B
Câu 29. Tìm
( )
2
2
sin cos
x dx
H
xx x
=
+
∫
?
A.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
= ++
+
.
B.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
= −+
+
.
C.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
−
= ++
+
.
D.
( )
tan
cos sin cos
x
H xC
xx x x
−
= −+
+
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
2
22
cos
.
cos
sin cos sin cos
x xx x
H dx dx
x
xx x xx x
= =
++
∫∫
https://toanmath.com/
Đặt
( )
(
)
( )
2
22
sin cos
cos
cos
sin cos
cos
1
sin cos sin cos
sin cos
x
xx x
u
du dx
x
x
dx x x
xx
dv dx
v
xx x xx x
xx x
+
=
=

⇒

+

= =
= −
++
+
( )
2
11
. tan
cos xsin cos cos cos sin cos
xx
H dx x C
x xx x xxxx
−
⇒=− + = + +
++
∫
Chọn C
Câu 30.
(
)
2
2 1 lnx x x x dx
++
∫
có dạng
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 64
ab
x x x xC++ − +
, trong đó
,ab
là hai số
hữu tỉ. Giá trị
a
bằng:
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
. Sau đó, ta xác định giá trị của
a
.
Ta có:
(
)
22
2 1 ln 2 1 lnx x x x dx x x dx x xdx++ = + +
∫ ∫∫
.
Để tìm
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
ta đặt
2
1
21
I x x dx= +
∫
và
2
ln
I x x dx=
∫
và tìm
12
,II
.
*
2
1
21I x x dx= +
∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt
2
1, 1
tx t= +≥
ta được
22
1,t x xdx tdt=+=
.
Suy ra:
(
)
3
2 23 2
1 11
22
2 12 1
33
I x x dx t dt t C x C= + = = += + +
∫∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
*
2
lnI x xdx=
∫
.
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt
2
1
ln
1
2
du dx
ux
x
dv xdx
vx
=
=
⇒

=
=
, ta được:
2
2 2 2 22
2
ln
1 111111
ln ln ln
2 2 2224
I x xdx udv uv vdu
xx x dx xx xdx xx xC
x
= = = −
= − ⋅= − = −+
∫∫∫
∫∫
.
(
)
(
)
(
)
3
2 2 22
12 1 2
3
2 22
2 11
2 1 ln 1 ln
3 24
2 11
1 ln
3 24
x x x x dx I I x C x x x C
x x x xC
++ = + = + + + − +
= ++ − +
∫
.
Suy ra để
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
có dạng
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 64
ab
x x x xC++ − +
thì
2,3.
ab=∈=∈
Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.
https://toanmath.com/
Ta thay giá trị của
a
ở các đáp án vào
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 24
ab
x x x xC++ − +
. Sau đó, với mỗi
a
của các đáp án ta lấy đạo hàm của
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 24
ab
x x x xC++ − +
.
Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên
việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn.
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của
b
. Học sinh khoanh đáp án A và đã
sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*
2
1
21I x x dx= +
∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt
2
1, 1tx t= +≥
ta được
22
1, 2t x tdt xdx=+=
.
Suy ra:
(
)
3
2 23 2
1 11
11
21 1
33
I x x dx t dt t C x C= + = = += + +
∫∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
Học sinh tìm đúng
22
22
11
ln
24
I x x xC
= −+
theo phân tích ở trên.
(
)
(
)
(
)
3
2 2 22
12 1 2
3
2 22
1 11
2 1 ln 1 ln
3 24
1 11
1 ln
3 24
x x x x dx I I x C x x x C
x x x xC
++ = + = + + + − +
= ++ − +
∫
.
Suy ra để
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
có dạng
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 64
ab
x x x xC++ − +
thì
1, 3ab
= =
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*
2
1
21I x x dx= +
∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt
2
1, 1tx t= +≥
ta được
22
1, 2t x tdt xdx=+=
.
Suy ra:
(
)
3
2 23 2
1 11
11
21 1
33
I x x dx t dt t C x C= + = = += + +
∫∫
, trong đó
1
C
là 1 hằng số.
Học sinh tìm đúng
22
22
11
ln
24
I x x xC= −+
theo phân tích ở trên.
(
)
(
)
(
)
3
2 2 22
12 1 2
3
2 22
1 11
2 1 ln 1 ln
3 24
1 11
1 ln
3 24
x x x x dx I I x C x x x C
x x x xC
++ = + = + + + − +
= ++ − +
∫
.
Suy ra để
(
)
2
2 1 lnx x x x dx++
∫
có dạng
(
)
3
2 22
1
1 ln
3 64
ab
x x x xC++ − +
thì
1
1,
3
ab=∈=∉
.
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của
b
.
https://toanmath.com/
Câu 31. Cho
2
1
()
2
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
()
fx
x
. Tính
e
1
( )ln d
f x xx
′
∫
bằng:
A.
2
2
e3
2e
I
−
=
. B.
2
2
2e
e
I
−
=
. C.
2
2
e2
e
I
−
=
. D.
2
2
3e
2e
I
−
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do
2
1
()
2
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
nên
2
() 1
2
fx
xx
′

=


( )
2
1
fx
x
⇔=−
.
Tính
e
1
( )ln dI f x xx
′
=
∫
. Đặt
( )
( )
1
ln
dd
dd
xu
xu
x
fxx v
fx v
=
=

⇒

′
=
=
.
Khi đó
( )
( )
( )
e
e
1
1
.ln d
fx
I fx x x
x
′
= −
∫
(
)
ee
22
11
11
.ln
2
x
xx
=−−
2
2
e3
2e
−
=
.
Câu 32. Cho
(
) ( )
ln
a
Fx x b
x
= +
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
2
1 ln x
fx
x
+
=
, trong đó
a
,
b∈
.
Tính
S ab= +
.
A.
2S = −
. B.
1S =
. C.
2S =
. D.
0S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
2
1 ln
dd
x
I fx x x
x
+

= =


∫∫
.
Đặt
2
1 ln
1
dd
xu
xv
x
+=
=
1
dd
1
xu
x
v
x
=
⇒
−=
khi đó
( )
2
11
1 ln dI xx
xx
=−+ +
∫
( )
11
1 ln xC
xx
=− + −+
( )
1
ln 2
xC
x
=− ++
1; 2
ab⇒=− =
.
Vậy
1S ab=+=
.
Câu 33. Cho các số thực
a
,
b
khác không. Xét hàm số
(
)
(
)
3
e
1
x
a
f x bx
x
= +
+
với mọi
x
khác
1−
.
Biết
( )
0 22f
′
= −
và
( )
1
0
d5
fx x=
∫
. Tính
ab+
?
A.
19
. B.
7
. C.
8
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
4
3
ee
1
xx
a
f x b bx
x
−
′
= ++
+
nên
( )
0 3 22f ab
′
=− +=−
( )
1
.
( )
( )
11
3
00
d ed
1
x
a
f x x bx x
x

= +

+


∫∫
( )
11
3
00
d
ed
1
x
x
a b x x aI bJ
x
= +=+
+
∫∫
.
Tính
( )
1
3
0
d
1
x
I
x
=
+
∫
( )
2
1
13
0
8
21
x
=−=
+
.
Tính
1
0
ed
x
J xx=
∫
. Đặt
dd
d ed e
xx
ux u x
v xv
= =

⇒

= =

.
https://toanmath.com/
Khi đó
(
)
1
0
11
e ed e e 1
00
x x xx
Jx x= − =−=
∫
. Suy ra
3
5
8
ab
+=
( )
2
.
Từ
( )
1
và
( )
2
ta có
3 22
3
5
8
ab
a
b
− +=−
+=
8
2
a
b
=
⇔
=
. Vậy
10ab+=
.
Câu 34. Cho
a
là số thực dương. Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
(
)
1
e ln
x
f x ax
x

= +


thỏa mãn
1
0F
a

=


và
( )
2018
2018 eF =
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
1
;1
2018
a

∈


. B.
1
0;
2018
a

∈

. C.
[
)
1;2018a∈
. D.
[
)
2018;
a∈ +∞
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
1e
e ln d e ln d d
x
xx
I ax x ax x x
xx

= += +


∫ ∫∫
(1)
Tính
( )
e ln d
x
ax x
∫
:
Đặt
( )
1
ln
dd
d ed
e
x
x
u ax
ux
x
vx
v
=
=

⇒

=
=
(
) ( )
e
e ln d e ln d
x
xx
ax x ax x
x
⇒=−
∫∫
Thay vào (1), ta được:
(
) (
)
e ln
x
F x ax C= +
.
Với
( )
2018
1
0
2018 e
F
a
F

=


=
( )
1
2018 2018
e .ln1 0
e ln .2018 e
a
C
aC
+=
+=
( )
0
ln .2018 1
C
a
=
=
e
2018
a
=
.
Vậy
1
;1
2018
a

∈


.
DẠNG 4:
Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx= −
∫∫
. B.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx=−+
∫∫
.
C.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx= +
∫∫
. D.
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx=−−
∫∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
e
d sin d
x
u
v xx
=
=
d
cos
x
du e x
vx
=
⇒
= −
e sin d e cos e cos d .
x xx
xx x xx⇒ =−+
∫∫
.
Câu 36. Tìm
.sinx
x
J e dx=
∫
?
A.
( )
cos sin
2
x
e
J x xC= −+
. B.
( )
sin cos
2
x
e
J x xC= ++
.
C.
( )
sin cos
2
x
e
J x xC= −+
. D.
( )
sin cos 1
2
x
e
J xxC= + ++
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Đặt:
11
11
.
sin .dx cos
xx
u e du e dx
dv x v x

= =
⇒

= = −

( )
cos cos cos .cos
xx x x
JexexdxexTTe xdx⇒=−+ =−+ =
∫∫
Tính
.cos
x
T e xdx=
∫
:
( ) ( )
sin sin sin
cos sin 2 sin cos sin cos
2
xx x
x
xx x
TexexdxexJ
e
JexexJJexxJ xxC
⇒= − = −
⇒=− + −⇔ = − ⇔= − +
∫
Chọn C
| 1/124

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số
F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . Định lí:
1) Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K .
2) Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x) trên
K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
Do đó F (x) + C,C ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K . Ký hiệu f ∫ (x) x
d = F ( x) + C .
2. Tính chất của nguyên hàm ′
Tính chất 1: ( f ∫ (x) x
d ) = f ( x) và f ' ∫ (x) x
d = f ( x) + C
Tính chất 2: kf ∫ (x) x d = k f ∫ (x) x
d với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f
∫ (x)± g(x) x d = f
∫ (x)dx ± g
∫ (x)dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
(u = u(x)) x d = x + C ∫ u d = u + C ∫ α 1 α α 1 1 α x dx x + = + C ∫ (α ≠ − ) 1 1 + = + α ≠ − α u du u C ∫ ( ) 1 +1 α +1 1 1 x
d = ln x + C ∫ u
d = ln u + C ∫ x u x x x
e d = e + C ∫ u u u
e d = e + C ∫ x a u a x a dx =
+ C (a > 0,a ≠ ∫ )1 u a u d =
+ C (a > 0,a ≠ ∫ )1 ln a ln a https://toanmath.com/ sin dx x = − cos x + C ∫ sin du u = − cos u + C ∫
cos xdx = sin x + C ∫
cos udu = sin u + C ∫ 1 1 x
d = tan x + C ∫
du = tan u + C ∫ 2 cos x 2 cos u 1 1
dx = − cot x + C ∫
du = − cot u + C ∫ 2 sin x 2 sin u B - BÀI TẬP
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1.
Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có đạo hàm trên [a;b] .
(2): Mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có nguyên hàm trên [a;b] .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [a;b] đều có nguyên hàm trên [ ; a b] .
(4): Mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a;b] . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 2.
Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx. B. f
∫ (x).g(x)dx = f  ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx. C. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx . D. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx (k ≠ 0;k ∈). Câu 3.
Cho f ( x) , g ( x) là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f
∫ (x)g(x)dx = f ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx. B. 2 f
∫ (x)dx = 2 f
∫ (x)dx . C. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . D. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx. Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với k ∈ . B. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx với f (x); g(x) liên tục trên  . α 1 C. α 1 x dx x + = ∫ α ≠ − α với 1 . +1 ′ D. ( f
∫ (x)dx) = f (x). Câu 5.
Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) là hàm số liên tục, có F ( x) , G ( x) lần lượt là nguyên hàm
của f ( x) , g ( x) . Xét các mệnh đề sau:
(I ) . F (x)+G(x) là một nguyên hàm của f (x)+ g (x).
(II ) . k.F (x) là một nguyên hàm của k.f (x) với k ∈ .
(III ) . F (x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g (x) .
Các mệnh đề đúng là https://toanmath.com/
A. ( II ) và ( III ) .
B. Cả 3 mệnh đề.
C. ( I ) và ( III ) .
D. ( I ) và ( II ) . Câu 6.
Mệnh đề nào sau đây sai? A. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên  . B. f ′
∫ (x)dx = f (x)+C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên  . C. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx , với mọi hàm số f (x), g(x)liên tục trên  . D. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên  . Câu 7.
Cho hàm số f ( x) xác định trên K và F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. f ′( x) = F ( x) , x ∀ ∈ K .
B. F ′( x) = f ( x) , x ∀ ∈ K .
C. F ( x) = f ( x) , x ∀ ∈ K .
D. F ′( x) = f ′( x) , x ∀ ∈ K . Câu 8.
Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K .
B. Nếu f ( x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
C. Hàm số F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f ( x) trên K nếu F′( x) = f ( x) với mọi
x ∈ K .
D. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì hàm số F (−x) là một nguyên
hàm của f ( x) trên K .
DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho f ( x) 1 =
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x + 2 A. Trên ( 2;
− +∞) , nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (x + 2) + C ; trên khoảng 1 ( ; −∞ 2
− ) , nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (−x − 2) + C (C , C là các hằng số). 2 1 2 B. Trên khoảng ( ; −∞ 2
− ) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là G (x) = ln (−x − 2) − 3. C. Trên ( 2;
− +∞) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (x + 2) .
D. Nếu F ( x) và G ( x) là hai nguyên hàm của của f ( x) thì chúng sai khác nhau một hằng số.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1
A. cos x dx = − sin x + C ∫ . B.
dx = ln x + C ∫ . x C. 2
2x dx = x + C ∫ .
D. ex d = ex x + C ∫ .
Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C 1 A. 3 x dx = ∫ . B.
dx = ln x + C ∫ . 4 x C. sin d
x x = C − cos x ∫ . D. 2exd = 2 ∫ (ex x + C).
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? n 1 x +
A. dx = x + 2C ∫ ( C n là hằng số). B. x dx = + C ∫
( C là hằng số; n ∈  ). n +1
C. 0dx = C ∫ ( C x x là hằng số).
D. e dx = e − C ∫
( C là hằng số). https://toanmath.com/
Câu 13. Tìm nguyên hàm F ( x) 2 = π dx ∫ . A. ( ) 2
F x = π x + C .
B. F ( x) = 2π x + C . π π x C. F ( x) 3 = + C . D. F ( x) 2 2 = + C . 3 2
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ cos x + 2018 là A. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x + C . B. ( ) = ex F x
− sin x + 2018x + C . C. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x . D. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018 + C .
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 2x − 9 là: 1 1 A. 4
x − 9x + C . B. 4
4x − 9x + C . C. 4 x + C . D. 3
4x − 9x + C . 2 4
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) e = e.x + 4 là e 1 x + e 1 e.x + A. 101376 . B. 2 e 1
e .x − + C . C. + 4x + C + 4x + C e + . D. 1 e + . 1
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) 4 2
= 5x − 6x +1 là A. 3
20x −12x + C . B. 5 3
x − 2x + x + C . 4 x C. 5 3
20x −12x + x + C . D. 2
+ 2x − 2x + C . 4
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? 5 x 1
A. 0 dx = C ∫ . B. 4 x dx = + C ∫ . C.
dx = ln x + C ∫ .
D. ex d = ex x + C ∫ . 5 x 1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2
y = x − 3x + là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 A. −
− ln x + C . B. − + + C . 3 2 2 3 2 x 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. −
+ ln x + C . D. −
+ ln x + C . 3 2 3 2 a b
Câu 20. Cho hàm số f ( x) =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện 2 x x 1 f
∫ (x)dx = 2−3ln2. Tính T = a +b. 1 2 A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − .
D. T = 0 .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + 2x + 5 là A. F ( x) 3 2
= x + x + 5 . B. ( ) 3
F x = x + x + C . C. F ( x) 3 2
= x + x + 5x + C . D. ( ) 3 2
F x = x + x + C .
Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x = ( x + )5 ( ) 3 1 ? x + x +
A. F ( x) ( )6 3 1 = + 8 .
B. F ( x) ( )6 3 1 = − 2 . 18 18 x + x + C. F ( x) ( )6 3 1 = . D. F ( x) ( )6 3 1 = . 18 6 https://toanmath.com/ 1 1
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = − x − là 2 x 3 4 2 −x + x + 3 2 − 4 2 x + x + 3 3 −x 1 x A. + C . B.
− 2x + C . C. − + C . D. − − + C . 3x 2 x 3x 3 x 3 1 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 6 = 7x + + − 2 là 2 x x 1 1 A. 7 x + ln x − − 2x . B. 7 x + ln x +
− 2x + C . x x 1 1 C. 7 x + ln x +
− 2x + C . D. 7 x + ln x −
− 2x + C . x x
Câu 25. Nguyên hàm của f ( x) 3 2
= x − x + 2 x là: 1 4 1 1 4 A. 4 3 3 x − x + x + C . B. 4 3 3 x − x + x + C . 4 3 4 3 3 1 2 1 1 2 C. 4 3 3 x − x + x + C . D. 4 3 3 x − x + x + C . 4 3 4 3 3
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2018 = 3 x + x là 2019 x 2019 x A. x + + C . B. 3 2 x + + C . 673 2019 2019 1 x 1 C. + + C . D. 2017 + 6054x + C . x 673 2 x Câu 27. Hàm số ( ) x
F x = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 x 1
A. f (x) = e −
B. f (x) = e + 2 sin x 2 sin x − xex 1 C. f (x) x = e 1  + 
D. f ( x) = e + 2  cos x  2 cos x Câu 28. Nếu f ∫ (x) 1 dx =
+ ln 2x + C với x ∈(0;+∞) thì hàm số f (x) là x 1 1
A. f ( x) = − + . B. f ( x) 1 = x + . 2 x x 2x 1 1 1
C. f ( x) = + ln 2x .
D. f ( x) = − + . 2 ( ) x 2 x 2x x − x +
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 = x − . 1 1 1 2 x A. x + +C 1+ + C . C.
+ ln x −1 +C . D. 2
x + ln x −1 + C . x − . B. 1 (x − )2 1 2 1
Câu 30. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 − là 2 sin x
A. F ( x) = 3x − tan x + C .
B. F ( x) = 3x + tan x + C .
C. F ( x) = 3x + cot x + C .
D. F ( x) = 3x − cot x + C . 1
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3cos x + trên (0; + ∞) . 2 x 1 1 1 A. 3
− sin x + + C . B. 3sin x − + C . C. 3cos x + + C .
D. 3cos x + ln x + C . x x x https://toanmath.com/
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C . B. 3
x + sin x + C . C. 3
x − cos x + C . D. 3
3x − sin x + C .
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x + 8sin x . A. f
∫ (x)dx = 6x−8cos x+C . B. f
∫ (x)dx = 6x+8cos x+C . C. f ∫ (x) 3
dx = x − 8 cos x + C . D. f ∫ (x) 3
dx = x + 8 cos x + C . x
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = cos    2  A. f
∫ (x)dx = x+sinx+C . B. f
∫ (x)dx = x−sinx+C . x x C. f ∫ (x) 1 dx =
+ sinx + C . D. f ∫ (x) 1 dx = − sinx + C . 2 2 2 2
Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x + cos x . x A. f ∫ (x) 2 dx =
+ sin x + C . B. f
∫ (x)dx =1−sin x+C . 2 x C. f
∫ (x)dx = xsin x+cos x+C . D. f ∫ (x) 2 dx =
− sin x + C . 2 a b Câu 36. ∫( 2 3
x + 2x ) dx có dạng 3 4 x +
x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1. C. 9 . D. 32 .  1 1+ 3  a b Câu 37. 3 5 ∫ x + x dx   có dạng 4 6 x +
x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5   12 6 bằng: 36 A. 1. B. 12 . C. (1+ 3).
D. Không tồn tại. 5
Câu 38. ∫( a + ) 3 2 2
1 x + bx ) dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng ∫( 2a + ) 3 3 2 1 x + bx ) 4 3 dx =
x + x + C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 A. 1; 3 . B. 3; 1. C. − ; 1 . D. 8 1 1 x sin 2x − cos 2x 4 2  π 
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện: f ( x) = 2x − 3cos x, F = 3    2  2 π 2 π A. 2
F (x) = x − 3sin x + 6 + B. 2
F (x) = x − 3sin x − 4 4 2 π 2 π C. 2
F (x) = x − 3sin x + D. 2
F (x) = x − 3sin x + 6 − 4 4 1 π
Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2x + thỏa mãn F( ) = 1 − là: 2 sin x 4 2 π 2 π A. 2 F(x) = − o
c tx + x − B. 2 F(x) = o
c tx − x + 16 16 2 π C. 2 F(x) = − o
c tx + x D. 2 F(x) = − o
c tx + x − 16 https://toanmath.com/ Câu 41. Nếu x 2
f (x)dx = e + sin x + C ∫
thì f (x) là hàm nào? A. x 2
e + cos x B. x
e − sin 2x C. x
e + cos 2x D. x
e + sin 2x 3 x −1
Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f (x) = biết F(1) = 0 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3
A. F (x) = − +
B. F (x) = + + 2 x 2 2 x 2 2 x 1 1 2 x 1 3
C. F (x) = − − D. F (x) = + − 2 x 2 2 x 2 2 3
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + là : x x
A. 4 x + 3ln x + C .
B. 2 x + 3ln x + C . − C. ( x ) 1 4
+ 3ln x + C .
D. 16 x − 3ln x + C . 4 3 2 ( x + )dx ∫ Câu 44. Tính x 3 3 A. 3 5 −
x + 4 ln x + C . B. 3 5
x − 4 ln x + C . 5 5 5 3 C. 3 5
x + 4 ln x + C . D. 3 5
x + 4 ln x + C . 3 5
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2
f (x) = 4x − 3x + 2x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là: A. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2 . B. 4 3 2
F(x) = x − x + x +10 . C. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x . D. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x +10 .
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5
y = (2x +1) là: 1 1 A. 6
(2x +1) + C . B. 6
(2x +1) + C . 12 6 1 C. 6
(2x +1) + C . D. 4
10(2x +1) + C . 2
Câu 47. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 3
= 2x + x − 4 thỏa mãn điều kiện F (0) = 0 là 4 2 x A. 3 4
2x − 4x . B. 3 x + − 4x . C. 3 4
x − x + 2x .
D. Đáp án khác. 3 4
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ( x) 3 2 ’
= 4x – 3x + 2 và F (− ) 1 = 3 A. F ( x) 4 3
= x – x − 2x − 3 B. F ( x) 4 3
= x – x +2x + 3 C. F ( x) 4 3
= x – x − 2x + 3 D. F ( x) 4 3
= x + x + 2x + 3
Câu 49. Hàm số f ( x) xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f ′( x) = x −1 . Biết rằng
f (0) = 3 . Tính f (2) + f (4) ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11.
Câu 50. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ′( x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f ( x) . x x A. f ( x) 2 = − cos x + 2 . B. f ( x) 2 =
− cos x − 2 . 2 2 x x C. f ( x) 2 = + cos x . D. f ( x) 2 1 = + cos x + . 2 2 2 https://toanmath.com/
Câu 51. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) = 3 − 5cos x và f (0) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x) = 3x + 5sin x + 2 .
B. f ( x) = 3x − 5sin x − 5 .
C. f ( x) = 3x − 5sin x + 5 .
D. f ( x) = 3x + 5sin x + 5 .
Câu 52. Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x) đi  π qua điể  m M (0; ) 1 . Tính F .    2   π   π   π   π  A. F = 2   . B. F = 1 −   . C. F = 0   . D. F =1   .  2   2   2   2 
Câu 53. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= x − 2x + 3 thỏa mãn F (0) = 2, giá trị của F ( ) 1 bằng 13 11 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 3 3 b
Câu 54. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ax +
x ≠ 0 , biết rằng F (− ) 1 = 1 , 2 ( ) x f ( ) 1 = 0 F ( ) 1 = 4 , . x x A. F ( x) 2 3 3 7 = + + . B. F ( x) 2 3 3 7 = − − . 4 2x 4 4 2x 4 x x C. F ( x) 2 3 3 7 = + − . D. F ( x) 2 3 3 1 = − − . 2 4x 4 2 2x 2
Câu 55. Biết hàm số y = f ( x) có f ′( x) 2
= 3x + 2x − m +1, f (2) =1 và đồ thị của hàm số
y = f ( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
− . Hàm số f (x) là A. 3 2
x + x − 3x − 5 . B. 3 2
x + 2x − 5x − 5 . C. 3 2
2x + x − 7x − 5 . D. 3 2
x + x + 4x − 5 .
Câu 56. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Giá trị của biểu 3
thức log 3F 1 − 2F 2  2  ( ) ( ) bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 .
Câu 57. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 4x + 2(m − )
1 x + m + 5 , với m là tham số
thực. Một nguyên hàm của f ( x) biết rằng F ( )
1 = 8 và F (0) = 1 là: A. F ( x) 4 2
= x + 2x + 6x +1 B. F ( x) 4
= x + 6x +1. C. F ( x) 4 2
= x + 2x +1.
D. Đáp án A và B https://toanmath.com/
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1.
Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên [a;b] đều có đạo hàm trên [ ; a b] .
(2): Mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có nguyên hàm trên [a;b] .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ ;
a b] đều có nguyên hàm trên [ ; a b] .
(4): Mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a;b] . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B
Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y = x liện tục trên [ 1 − ; ]
1 nhưng không có đạo hàm tại x = 0
nên không thể có đạo hàm trên [ 1 − ; ] 1
Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có nguyên hàm trên [ ; a b] .
Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên [ ;
a b] thì đều liên tục trên [a;b] nên
đều có nguyên hàm trên [ ; a b] .
Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ;
a b] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên [a;b] . Câu 2.
Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx. B. f
∫ (x).g(x)dx = f  ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx. C. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx . D. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx (k ≠ 0;k ∈). Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3.
Cho f ( x) , g ( x) là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f
∫ (x)g(x)dx = f ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx. B. 2 f
∫ (x)dx = 2 f
∫ (x)dx . C. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . D. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx. Hướng dẫn giải Chọn A
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với k ∈ . B. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx với f (x); g(x) liên tục trên  . α 1 C. α 1 x dx x + = ∫ α ≠ − α với 1 . +1 ′ D. ( f
∫ (x)dx) = f (x). https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải Chọn A Ta có kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với k ∈ sai vì tính chất đúng khi k ∈ \{ } 0 . Câu 5.
Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) là hàm số liên tục, có F ( x) , G ( x) lần lượt là nguyên hàm
của f ( x) , g ( x) . Xét các mệnh đề sau:
(I ) . F (x)+G(x) là một nguyên hàm của f (x)+ g (x).
(II ) . k.F (x) là một nguyên hàm của k.f (x) với k ∈ .
(III ) . F (x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g (x) .
Các mệnh đề đúng là
A. ( II ) và ( III ) .
B. Cả 3 mệnh đề.
C. ( I ) và ( III ) .
D. ( I ) và ( II ) . Hướng dẫn giải Chọn D
Theo tính chất nguyên hàm thì ( I ) và ( II ) là đúng, ( III ) sai. Câu 6.
Mệnh đề nào sau đây sai? A. f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g
∫ (x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên  . B. f ′
∫ (x)dx = f (x)+C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên  . C. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx , với mọi hàm số f (x), g(x)liên tục trên  . D. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên  . Hướng dẫn giải Chọn D Mệnh đề: kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên
 là mệnh đề sai vì khi k = 0 thì kf
∫ (x)dx ≠ k f ∫ (x)dx. Câu 7.
Cho hàm số f ( x) xác định trên K và F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. f ′( x) = F ( x) , x ∀ ∈ K .
B. F ′( x) = f ( x) , x ∀ ∈ K .
C. F ( x) = f ( x) , x ∀ ∈ K .
D. F ′( x) = f ′( x) , x ∀ ∈ K . Hướng dẫn giải Chọn B ′
Ta có F ( x) = f
∫ (x)dx , x
∀ ∈ K ⇒ F  ( x) = f  (x) , x ∀ ∈ K . Câu 8.
Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K .
B. Nếu f ( x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
C. Hàm số F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f ( x) trên K nếu F′( x) = f ( x) với mọi
x ∈ K .
D. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì hàm số F (−x) là một nguyên
hàm của f ( x) trên K . Hướng dẫn giải Chọn D
Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. https://toanmath.com/
Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng.
Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. https://toanmath.com/
DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho f ( x) 1 =
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x + 2 A. Trên ( 2;
− +∞) , nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (x + 2) + C ; trên khoảng 1 ( ; −∞ 2
− ) , nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (−x − 2) + C (C , C là các hằng số). 2 1 2 B. Trên khoảng ( ; −∞ 2
− ) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là G (x) = ln (−x − 2) − 3. C. Trên ( 2;
− +∞) , một nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = ln (x + 2) .
D. Nếu F ( x) và G ( x) là hai nguyên hàm của của f ( x) thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D
D sai vì F ( x) = ln ( x + 2) và G ( x) = ln (−x − 2) − 3 đều là các nguyên hàm của hàm số f ( x)
nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1
A. cos x dx = − sin x + C ∫ . B.
dx = ln x + C ∫ . x C. 2
2x dx = x + C ∫ .
D. ex d = ex x + C ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có cos x dx = sin x + C ∫ ⇒ A sai.
Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C 1 A. 3 x dx = ∫ . B.
dx = ln x + C ∫ . 4 x C. sin d
x x = C − cos x ∫ . D. 2exd = 2 ∫ (ex x + C). Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có
dx = ln x + C ∫ . x
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? n 1 x +
A. dx = x + 2C ∫ ( C n là hằng số). B. x dx = + C ∫
( C là hằng số; n ∈  ). n +1
C. 0dx = C ∫ ( C x x là hằng số).
D. e dx = e − C ∫
( C là hằng số). Hướng dẫn giải Chọn B
Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n ≠ 1 − .
Câu 13. Tìm nguyên hàm F ( x) 2 = π dx ∫ . A. ( ) 2
F x = π x + C .
B. F ( x) = 2π x + C . π π x C. F ( x) 3 = + C . D. F ( x) 2 2 = + C . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có F ( x) 2 2
= π dx = π x + C ∫ (vì 2 π là hằng số).
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ cos x + 2018 là https://toanmath.com/ A. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x + C . B. ( ) = ex F x
− sin x + 2018x + C . C. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x . D. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018 + C . Hướng dẫn giải Chọn A
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 2x − 9 là: 1 1 A. 4
x − 9x + C . B. 4
4x − 9x + C . C. 4 x + C . D. 3
4x − 9x + C . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A 4 4 ∫( x x 3 2x − 9)dx = 2. − 9x + C = − 9x + C . 4 2
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) e = e.x + 4 là e 1 x + e 1 e.x + A. 101376 . B. 2 e 1
e .x − + C . C. + 4x + C + 4x + C e + . D. 1 e + . 1 Hướng dẫn giải Chọn D e.x + Ta có f
∫ (x)dx = ∫(e.x +4) e 1 e dx = + 4x + C . e +1
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) 4 2
= 5x − 6x +1 là A. 3
20x −12x + C . B. 5 3
x − 2x + x + C . 4 x C. 5 3
20x −12x + x + C . D. 2
+ 2x − 2x + C . 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ∫( 4 2 x − x + ) 5 3 5 6
1 dx = x − 2x + x + C .
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? 5 x 1
A. 0 dx = C ∫ . B. 4 x dx = + C ∫ . C.
dx = ln x + C ∫ .
D. ex d = ex x + C ∫ . 5 x Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có:
dx = ln x + C ∫ ⇒ C sai. x 1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2
y = x − 3x + là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 A. −
− ln x + C . B. − + + C . 3 2 2 3 2 x 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. −
+ ln x + C . D. −
+ ln x + C . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D 3 2  1  x 3x
Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 2 x − 3x + dx = − + ln x + C ∫  .  x  3 2 https://toanmath.com/ a b
Câu 20. Cho hàm số f ( x) =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện 2 x x 1 f
∫ (x)dx = 2−3ln2. Tính T = a +b. 1 2 A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − .
D. T = 0 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1  1 a b   a  Ta có
f ( x) dx = ∫ + + 2 dx ∫ 
= − + b ln x + 2x
 = a +1+ b ln 2 . 2  x x   x 1  1 1 2 2 2
Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a +1+ b ln 2 . Từ đó suy ra a = 1, b = 3 − .
Vậy T = a + b = 2 − .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + 2x + 5 là A. F ( x) 3 2
= x + x + 5 . B. ( ) 3
F x = x + x + C . C. F ( x) 3 2
= x + x + 5x + C . D. ( ) 3 2
F x = x + x + C . Hướng dẫn giải Chọn C
Nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + 2x + 5 là F (x) 3 2
= x + x + 5x + C .
Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x = ( x + )5 ( ) 3 1 ? x + x +
A. F ( x) ( )6 3 1 = + 8 .
B. F ( x) ( )6 3 1 = − 2 . 18 18 x + x + C. F ( x) ( )6 3 1 = . D. F ( x) ( )6 3 1 = . 18 6 Hướng dẫn giải Chọn D α + α ax + b
Áp dụng ∫(ax + b) ( ) 1 1 dx = + C với α ≠ 1
− và C là hằng số. a α +1
Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 1 1
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = − x − là 2 x 3 4 2 −x + x + 3 2 − 4 2 x + x + 3 3 −x 1 x A. + C . B.
− 2x + C . C. − + C . D. − − + C . 3x 2 x 3x 3 x 3 Hướng dẫn giải Chọn D  1 1   3 − 1  1 x x Ta có 2 − x − dx ∫  2 2 = x − x − dx ∫  = − − − + C . 2  x 3   3  x 3 3 1 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 6 = 7x + + − 2 là 2 x x 1 1 A. 7 x + ln x − − 2x . B. 7 x + ln x +
− 2x + C . x x https://toanmath.com/ 1 1 C. 7 x + ln x +
− 2x + C . D. 7 x + ln x −
− 2x + C . x x Hướng dẫn giải Chọn D 1 f ( x) dx ∫ 7
= x + ln x − − 2x + C . x
Câu 25. Nguyên hàm của f ( x) 3 2
= x − x + 2 x là: 1 4 1 1 4 A. 4 3 3 x − x + x + C . B. 4 3 3 x − x + x + C . 4 3 4 3 3 1 2 1 1 2 C. 4 3 3 x − x + x + C . D. 4 3 3 x − x + x + C . 4 3 4 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: ∫( 1 1 4 3 2
x − x + 2 x ) 4 3 3 dx = x − x + x + C . 4 3 3 Chọn A
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2018 = 3 x + x là 2019 x 2019 x A. x + + C . B. 3 2 x + + C . 673 2019 2019 1 x 1 C. + + C . D. 2017 + 6054x + C . x 673 2 x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 3 1 2019 2019 ∫(   2 x x x 2018 3 x + x )dx 2018 2
= ∫3x + x dx = 3. + + C 3 = 2 x + + C .   3 2019 2019 2 Câu 27. Hàm số ( ) x
F x = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 x 1
A. f (x) = e −
B. f (x) = e + 2 sin x 2 sin x − xex 1 C. f (x) x = e 1  + 
D. f ( x) = e + 2  cos x  2 cos x Hướng dẫn giải ′ x x 1
Ta có: (e + tan x + C ) = e + . 2 cos x Chọn D x ∈ (0; +∞) f ( x) Câu 28. Nếu f ∫ (x) 1 dx =
+ ln 2x + C với thì hàm số là x 1 1
A. f ( x) = − + . B. f ( x) 1 = x + . 2 x x 2x 1 1 1
C. f ( x) = + ln 2x .
D. f ( x) = − + . 2 ( ) x 2 x 2x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f
∫ (x)dx = F (x)+C ⇒ F′(x) =f (x) https://toanmath.com/ ′ ′ ′ Do đó     ′ f ( x) 1 1 = + x = + ( x ) 1 (2x) 1 1 ln 2 ln 2 = − + = − +    
với x ∈ (0; +∞) . 2 2  x   x x 2x x x x − x +
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 = x − . 1 1 1 2 x A. x + +C 1+ + C . C.
+ ln x −1 +C . D. 2
x + ln x −1 + C . x − . B. 1 (x − )2 1 2 Hướng dẫn giải Chọn C x − x + Ta có f ( x) 2 1 1 = = x + x −1 x − 1 ⇒ ∫ ( ) 2 x f x dx =
+ ln x −1 + C . 2 1
Câu 30. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 − là 2 sin x
A. F ( x) = 3x − tan x + C .
B. F ( x) = 3x + tan x + C .
C. F ( x) = 3x + cot x + C .
D. F ( x) = 3x − cot x + C . Hướng dẫn giải Chọn C 1
Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 −
là F ( x) = 3x + cot x + C . 2 sin x 1
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3cos x + trên (0; + ∞) . 2 x 1 1 1 A. 3
− sin x + + C . B. 3sin x − + C . C. 3cos x + + C .
D. 3cos x + ln x + C . x x x Hướng dẫn giải Chọn B b  1  1 Ta có f
∫ (x)dx = 3cos x+ dx = 3sin x − + C ∫  . 2  x x a
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C . B. 3
x + sin x + C . C. 3
x − cos x + C . D. 3
3x − sin x + C . Hướng dẫn giải Chọn C
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x là 3
x − cos x + C .
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x + 8sin x . A. f
∫ (x)dx = 6x−8cos x+C . B. f
∫ (x)dx = 6x+8cos x+C . C. f ∫ (x) 3
dx = x − 8 cos x + C . D. f ∫ (x) 3
dx = x + 8 cos x + C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f ( x) dx ∫ = ∫( 2
3x + 8sin x)dx 3
= x − 8cos x + C .  x
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = cos    2  A. f
∫ (x)dx = x+sinx+C . B. f
∫ (x)dx = x−sinx+C . https://toanmath.com/ x x C. f ∫ (x) 1 dx =
+ sinx + C . D. f ∫ (x) 1 dx = − sinx + C . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C  + x x Ta có f ∫ (x) 1 cos 1 dx = dx = + sin x + C ∫  .  2  2 2
Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x + cos x . x A. f ∫ (x) 2 dx =
+ sin x + C . B. f
∫ (x)dx =1−sin x+C . 2 x C. f
∫ (x)dx = xsin x+cos x+C . D. f ∫ (x) 2 dx =
− sin x + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A
∫ ( ) x = ∫(x+ x) 2 x f x d cos dx = + sin x + C . 2 a b Câu 36. ∫( 2 3
x + 2x ) dx có dạng 3 4 x +
x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1. C. 9 . D. 32 . Hướng dẫn giải Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm ∫( 2 3
x + 2x ) dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ∫( 1 1 2 3 x + 2x ) 3 4 dx = x + x + C . 3 2 Suy ra để a b ∫( 2 3
x + x ) dx có dạng 3 4 x +
x + C thì a = 1, b = 2. 3 4 Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a b
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3 4 x +
x + C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 3 4 a b lấy đạo hàm của 3 4 x + x + C . 3 4 Ví dụ: a b 2 b 2 b
A. Thay a = 2 vào 3 4 x +
x + C ta được 3 4 x +
x + C . Lấy đạo hàm của 3 4 x + x + C 3 4 3 4 3 4 : ′  2 b  3 4 2 3 x + x + C = 2x + bx   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho  3 4  2 3 2 3
x + 2x = 2x + bx , x ∀ ∈  nên ta loại đáp án A a b 1 b 1 b
B. Thay a = 1 vào 3 4 x +
x + C ta được 3 4 x +
x + C . Lấy đạo hàm của 3 4 x + x + C 3 4 3 4 3 4 : ′  1 b  3 4 2 3 x + x + C = x + bx  
, vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 2 3
x + 2x = 2x + bx , x ∀ ∈  ( cụ  3 4 
thể b = 2 ∈  ) nên ta nhận đáp án B https://toanmath.com/ a b b b
C. Thay a = 9 vào 3 4 x +
x + C ta được 3 4 3x +
x + C . Lấy đạo hàm của 3 4 3x + x + C : 3 4 4 4 ′  b  3 4 2 3 3x + x + C = 9x + bx   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho  4  2 3 2 3
9x + 2x = 2x + bx , x ∀ ∈  nên ta loại đáp án C a b 32 b
D. Thay a = 32 vào 3 4 x +
x + C ta được 3 4 x +
x + C . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 32 b 3 4 x + x + C : 3 4 ′  32 b  3 4 2 3 x + x + C = 32x + bx  
, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho  3 4  2 3 2 3
32x + 2x = 2x + bx , x ∀ ∈  nên ta loại đáp án D Chú ý:
Ta chỉ cần so sánh hệ số của 2
x ở 2 vế của đẳng thức 2 3 2 3
x + 2x = 2x + bx ; 2 3 2 3
9x + 2x = 2x + bx ; 2 3 2 3
32x + 2x = 2x + bx và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: ∫( 2 3 x + x ) 3 4 2
dx = 3x + 8x + C . a b
Vì thế, a = 9 để ∫( 2 3 x + x ) 3 4 2
dx = 3x + 8x + C có dạng 3 4 x + x + C . 3 4
Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: ∫( 2 3 x + x ) 3 4 2
dx = 3x + 8x + C .
Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . Để a b ∫( 2 3
x + 2x ) dx có dạng 3 4 x +
x + C thì b = 32 . 3 4
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.  1 1+ 3  a b Câu 37. 3 5 ∫ x + x dx   có dạng 4 6 x +
x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5   12 6 bằng: 36 A. 1. B. 12 . C. (1+ 3).
D. Không tồn tại. 5 Hướng dẫn giải Cách 1:  +  Theo đề 1 1 3 , ta cần tìm 3 5 ∫ x + x dx  
. Sau đó, ta xác định giá trị của a . 3 5   Ta có: https://toanmath.com/  1 1+ 3  1 1+ 3 3 5 4 6 ∫ x + x dx = x + x + C   . 3 5 12 30    +  + Suy ra để 1 1 3 a b 1 3 3 5 ∫ x + x dx   có dạng 4 6 x +
x + C thì a = 1∈ ,  b = ∉ .  3 5   12 6 5 Chọn D
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. a b
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 4 6 x +
x + C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 12 6 a b lấy đạo hàm của 4 6 x + x + C . 12 6 Ví dụ: a b 1 b
A. Thay a = 1 vào 4 6 x +
x + C ta được 4 6 x +
x + C . Lấy đạo hàm của 12 6 12 6 1 b 4 6 x + x + C : 12 6 ′  1 b  1 4 6 3 5 x + x + C = x + bx  
, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 12 6  3 1 1+ 3 1 3 5 3 5 x + x =
x + bx , x ∀ ∈  nên ta 3 5 3 loại đáp ánA. a b b b
B. Thay a = 12 vào 4 6 x +
x + C ta được 4 6 x +
x + C . Lấy đạo hàm của 4 6 x + x + C : 12 6 6 6 ′  b  4 6 3 5 x + x + C = 4x + bx   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho  6  1 1+ 3 3 5 3 5 x +
x = 4x + bx , x
∀ ∈  nên ta loại đáp án B 3 5
C. Loại đáp án C 36
Ta có thể loại nhanh đáp án C vì
(1+ 3)∉ và a∈. 5
Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b
).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau:  +  6 1+ 3 1 1 3 1 1+ 3 3 5 4 6 4 ( ) 6 ∫ x +
x dx = 3⋅ x + 6 ⋅
x + C = x + x + C   . 3 5 3 5 5    +  6 1+ 3 1 1 3 3 5 4 ( ) a b
Vì thế, a = 12 để 6 ∫ x +
x dx = x + x + C   có dạng 4 6 x + x + C . 3 5 5   12 6
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không
đọc kĩ yêu cầu bài toán: https://toanmath.com/  +  6 1+ 3 1 1 3 1 1+ 3 3 5 4 6 4 ( ) 6 ∫ x +
x dx = 3⋅ x + 6 ⋅
x + C = x + x + C   . 3 5 3 5 5    +  6 1+ 3 1 1 3 3 5 4 ( ) 36 Vì thế, b = (1+ 3) để 6 ∫ x +
x dx = x + x + C   có dạng 5 3 5 5   a b 4 6 x + x + C . 12 6
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 38. ∫( a + ) 3 2 2
1 x + bx ) dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng ∫( 2a + ) 3 3 2 1 x + bx ) 4 3 dx =
x + x + C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 A. 1; 3 . B. 3; 1. C. − ; 1 . D. 8 1 1 x sin 2x − cos 2x 4 2 Hướng dẫn giải Cách 1:
Ta cần tìm ∫( a + ) 3 2 2
1 x + bx ) dx . Ta có: ∫( 2a + ) 1 1 3 2
1 x + bx ) dx = (2a + ) 4 3
1 x + bx + C . 4 3 3 1 1
Vì ta có giả thiết ∫( 2a + ) 3 2 1 x + bx ) 4 3 dx =
x + x + C nên (2a + ) 4 3
1 x + bx + C có dạng 4 4 3 3 4 3
x + x + C . 4 1 ( a+ ) 3 2 1 =   = Để 1 1 3 4 4 a (2a + ) 4 3
1 x + bx + C có dạng 4 3
x + x + C thì  , nghĩa là 1  . 4 3 4 1  b  = 3 b = 1 3
Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2:
Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a ∈  .
Tiếp theo, ta thay giá trị a, b ở các đáp án A, B vào ∫( a + ) 3 2 2
1 x + bx ) dx và tìm ∫( a + ) 3 2 2
1 x + bx ) dx . 3 Ta có: ∫( 3 2 3x + 3x ) 4 3 dx =
x + x + C nên đáp án chính xác là đáp ánA. 4 Chú ý:
Giả sử các giá trị a, b ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có: https://toanmath.com/ ∫( a + ) 3 2
x + bx ) dx = ( a + ) 4 3 2 1 2
1 x + bx + C . 3
Vì ta có giả thiết ∫( 2a + ) 3 2 1 x + bx ) 4 3 dx =
x + x + C nên ( a + ) 4 3 2
1 x + bx + C có dạng 4 3 4 3
x + x + C . 4 (   2a + ) 3 = Để 1 1 3 1 (2a + ) 4 3
1 x + bx + C có dạng 4 3
x + x + C thì  4 , 4 3 4 b  =1  1  = − nghĩa là a  8 . b  =1  π 
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện: f ( x) = 2x − 3cos x, F = 3    2  2 π 2 π A. 2
F (x) = x − 3sin x + 6 + B. 2
F (x) = x − 3sin x − 4 4 2 π 2 π C. 2
F (x) = x − 3sin x + D. 2
F (x) = x − 3sin x + 6 − 4 4 Hướng dẫn giải
Ta có: F ( x) = ∫( x − x) 2 2 3cos
dx = x − 3sin x + C 2 2  π   π  π π F = 3 ⇔
− 3sin + C = 3 ⇔ C = 6 −      2   2  2 4 2 π Vậy 2
F (x) = x − 3sin x + 6 − 4 Chọn D 1 π
Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2x + thỏa mãn F( ) = 1 − là: 2 sin x 4 2 π 2 π A. 2 F(x) = − o
c tx + x − B. 2 F(x) = o
c tx − x + 16 16 2 π C. 2 F(x) = − o
c tx + x D. 2 F(x) = − o
c tx + x − 16 Hướng dẫn giải  1  Ta có: F ( x) 2 = 2x +
dx = x − cot x + C ∫  2  sin x  2 2  π   π  π π F = 1 − ⇔ − cot + C = 1 − ⇔ C =      4   4  4 16 2 π Vậy 2 F(x) = − o
c tx + x − 16 Chọn A Câu 41. Nếu x 2
f (x)dx = e + sin x + C ∫
thì f (x) là hàm nào? A. x 2
e + cos x B. x
e − sin 2x C. x
e + cos 2x D. x
e + sin 2x Hướng dẫn giải ′ Ta có: ( x 2 + sin + ) x e x C = e + sin 2x Chọn D https://toanmath.com/ 3 x −1
Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f (x) = biết F(1) = 0 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3
A. F (x) = − +
B. F (x) = + + 2 x 2 2 x 2 2 x 1 1 2 x 1 3
C. F (x) = − − D. F (x) = + − 2 x 2 2 x 2 Hướng dẫn giải x −1  1  x 1 Ta có: F ( x) 3 2 = dx = x − dx = + + C ∫ ∫  2 2 xx  2 x − F ( ) 2 1 1 3 1 = 0 ⇔
+ + C = 0 ⇔ C = 2 1 2 2 x 1 3 Vậy F (x) = + − 2 x 2 Chọn D 2 3
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + là : x x
A. 4 x + 3ln x + C .
B. 2 x + 3ln x + C . − C. ( x ) 1 4
+ 3ln x + C .
D. 16 x − 3ln x + C . Hướng dẫn giải  2 3  Ta có: +
dx = 4 x + 3ln x + C ∫  .  x x Chọn A 4 Câu 44. Tính 3 2 ( x + )dx ∫ x 3 3 A. 3 5 −
x + 4 ln x + C . B. 3 5
x − 4 ln x + C . 5 5 5 3 C. 3 5
x + 4 ln x + C . D. 3 5
x + 4 ln x + C . 3 5 Hướng dẫn giải 3 5  4  3 x Ta có: 3 2 x + dx = + 4ln x + C ∫  .  x  5 Chọn D
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2
f (x) = 4x − 3x + 2x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là: A. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2 . B. 4 3 2
F(x) = x − x + x +10 . C. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x . D. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x +10 . Hướng dẫn giải
Ta có: F ( x) = ∫( 3 2
x − x + x − ) 4 3 2 4 3 2
2 dx = x − x + x − 2x + C F ( ) 4 3 2 4 3 2
1 = 9 ⇔ 1 −1 +1 − 2.1+ C = 9 ⇔ C = 10 ⇒ F(x) = x − x + x − 2x +10 . Chọn D
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5
y = (2x +1) là: 1 1 A. 6
(2x +1) + C . B. 6
(2x +1) + C . 12 6 https://toanmath.com/ 1 C. 6
(2x +1) + C . D. 4
10(2x +1) + C . 2 Hướng dẫn giải 6 + 5 1 2x 1 1 6 Ta có: ∫(2x + ) ( ) 1 dx = . = (2x + )1 +C . 2 6 12 Chọn A
Câu 47. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 3
= 2x + x − 4 thỏa mãn điều kiện F (0) = 0 là 4 2 x A. 3 4
2x − 4x . B. 3 x + − 4x . C. 3 4
x − x + 2x .
D. Đáp án khác. 3
4 Hướng dẫn giải 2x x
Ta có: F ( x) = ∫(2x + x − 4) 3 4 2 3 dx = + − 4x + C 3 4 ( x F 0) 3 4 2.0 0 = 0 ⇔ +
+ C = 0 ⇔ C = 0 ⇒ F (x) 4 2 3 = x + − 4x . 3 4 3 4 Chọn D
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ( x) 3 2 ’
= 4x – 3x + 2 và F (− ) 1 = 3 A. F ( x) 4 3
= x – x − 2x − 3 B. F ( x) 4 3
= x – x +2x + 3 C. F ( x) 4 3
= x – x − 2x + 3 D. F ( x) 4 3
= x + x + 2x + 3 Hướng dẫn giải
Ta có: F ( x) = F′
∫ (x)d = ∫( 3 2 − + ) 4 3 x 4x 3x 2 x
d = x − x + 2x + C
F (− ) = ⇔ (− )4 − (− )3 1 3 1 1 + 2.(− )
1 + C = 3 ⇔ C = 3 Vậy F ( x) 4 3
= x – x +2x + 3 Chọn B f ( x)
f ′( x) = x −1 Câu 49. Hàm số
xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là . Biết rằng 1 7 T f (0) = 3 f (2) + f (4) . Tính ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Hướng dẫn giải Chọn B x −1 khi x ≥ 1
Ta có f ′( x) = − .  ( x − ) 1 khi x < 1 x
Khi x ≥ 1 thì f ( x) = ∫(x − ) 2 1 dx = − x + C . 1 2  x
Khi x < 1 thì f ( x) = −∫(x − ) 2 1 dx = −  − x  + C . 2  2  ( ) 2  x
⇒ f x = − − x + 3 Theo đề C = 3  2 
bài ta có f (0) = 3 nên 2 khi x < 1. 1 7 T 1 7 T
Mặt khác do hàm số f ( x) liên tục tại x = 1 nên lim f ( x) = lim f ( x) = f ( ) 1 − + x 1 → x 1 → 2 2   x    x   ⇔  1  1 lim −
− x  + 3 = lim  − x + C  ⇔ − −1 + 3 = −1+ C   ⇔ C = 4 . − + 1 1 x 1 → x 1   2 →    2   1  2  2 x
Vậy khi x ≥ 1 thì f ( x) 2 =
− x + 4 ⇒ f (2) + f (4) =12 . 2 https://toanmath.com/ f ( x)
f ′( x) = x + sin x f (0) = 1 Câu 50. Cho hàm số
thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm f ( x) . x x A. f ( x) 2 = − cos x + 2 . B. f ( x) 2 =
− cos x − 2 . 2 2 x x C. f ( x) 2 = + cos x . D. f ( x) 2 1 = + cos x + . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x
Ta có f ′( x) = x + sin x ⇒ f ( x) 2 =
− cos x + C ; f (0) =1 ⇔ 1
− + C =1 ⇔ C = 2 . 2 x Vậy f ( x) 2 = − cos x + 2 . 2
Câu 51. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) = 3 − 5cos x và f (0) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x) = 3x + 5sin x + 2 .
B. f ( x) = 3x − 5sin x − 5 .
C. f ( x) = 3x − 5sin x + 5 .
D. f ( x) = 3x + 5sin x + 5 . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có f ( x) = ∫(3−5cos x)dx = 3x −5sin x + C .
Lại có: f (0) = 5 ⇔ 3.0 − 5sin 0 + C = 5 ⇔ C = 5 . Vậy f ( x) = 3x − 5sin x + 5 .
Câu 52. Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x) đi  π qua điể  m M (0; ) 1 . Tính F .    2   π   π   π   π  A. F = 2   . B. F = 1 −   . C. F = 0   . D. F =1   .  2   2   2   2  Hướng dẫn giải Chọn A
* Ta có F ( x) = − cos x + C , với C là hằng số tùy ý.
* Đồ thị hàm số y = F (x) đi qua điểm M (0; ) 1 nên  π 
1 = − cos 0 + C ⇔ C = 2 ⇒ F ( x) = − cos x + 2 . Do đó F = 2   .  2 
Câu 53. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= x − 2x + 3 thỏa mãn F (0) = 2, giá trị của F ( ) 1 bằng 13 11 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 3 x Ta có: 2 2
x − 2x + 3dx =
− x + 3x + C ∫ . 3
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) có F (0) = 2 ⇒ C = 2 . x Vậy F ( x) 3 2 =
− x + 3x + 2 ⇒ F ( ) 13 1 = . 3 3 https://toanmath.com/ b
Câu 54. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ax +
x ≠ 0 , biết rằng F (− ) 1 = 1 , 2 ( ) x f ( ) 1 = 0 F ( ) 1 = 4 , . x x A. F ( x) 2 3 3 7 = + + . B. F ( x) 2 3 3 7 = − − . 4 2x 4 4 2x 4 x x C. F ( x) 2 3 3 7 = + − . D. F ( x) 2 3 3 1 = − − . 2 4x 4 2 2x 2 Hướng dẫn giải Chọn A . − ( ) = ∫ ( )  b  − ax bx ax b F x f x dx = ax + dx = ∫  ∫(ax+bx ) 2 1 2 2 dx = + + C = − + C 2  x  2 1 − 2 xa  3 + + = =   F (− ) b C 1 a = 2 2 1 1    a  3 x Ta có: F ( )
1 = 4 ⇔  − b + C = 4 ⇔ b
 = − . Vậy F ( x) 2 3 3 7 = + + .    4 2x 4 f  ( ) 2 2 1 = 0 a + b = 0  7 C =     4
Câu 55. Biết hàm số y = f ( x) có f ′( x) 2
= 3x + 2x − m +1, f (2) =1 và đồ thị của hàm số
y = f ( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5
− . Hàm số f (x) là A. 3 2
x + x − 3x − 5 . B. 3 2
x + 2x − 5x − 5 . C. 3 2
2x + x − 7x − 5 . D. 3 2
x + x + 4x − 5 . Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có f ( x) = ∫( 2
x + x − m + ) 3 2 3 2
1 dx = x + x + (1− m) x + C .  f  (2) =1 2(1− m) + + =  = Theo đề C 12 1 m 4 bài, ta có  ⇒  ⇒  ⇒ f (x) 3 2 = + − −  f  ( x x x 0) 3 5 = 5 − C  = 5 − C  = 5 − .
Câu 56. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − )2 2 3 thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Giá trị của biểu 3
thức log 3F 1 − 2F 2  2  ( ) ( ) bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 2 1 3F ( )
1 − 2F (2) = 3 F  ( )
1 − F (2) + F
(2)− F (0)+ F (0) = 3 f (x)dx + f (x)dx + ∫ ∫ = 4 . 3 2 0
⇒ log 3F 1 − 2F 2  = log 4 = 2 2  ( ) ( ) . 2
Câu 57. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = 4x + 2(m − )
1 x + m + 5 , với m là tham số
thực. Một nguyên hàm của f ( x) biết rằng F ( )
1 = 8 và F (0) = 1 là: A. F ( x) 4 2
= x + 2x + 6x +1 B. F ( x) 4
= x + 6x +1. https://toanmath.com/ C. F ( x) 4 2
= x + 2x +1.
D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: 3  x + ∫ (m − ) 4 x + m + d
x = x + (m − ) 2 4 2 1 5
1 x + (m + 5) x + C   . Lại có: F  (0) = 1 C  = 1 C  = 1  ⇔  ⇔  F  ( ) 1 = 8 1
 + m −1+ m + 5 + C = 8 m = 1 Vậy F ( x) 4 = x + 6x +1. Chọn B n x
Câu 58. Tìm T = dx ∫ ? 2 3 n x x x 1+ x + + + ...+ 2! 3! n! 2 nx x A. T = . x n!+ n!ln 1  + x + + ...+  + C .  2! n!  2 nx x B. T = . x n!− n!ln 1  + x + + ...+  + C .  2! n!  2 nx x
C. T = n!ln 1  + x + + ...+  + C .  2! n!  2 nx x
D. T = n!ln 1  + x + + ... n +
 − x .n!+ C .  2! n!  Hướng dẫn giải 2 3 4 n 2 3 n 1 − Đặ x x x x x x x
t g ( x) = 1+ x + + + + ...+
⇒ g′(x) =1+ x + + + ...+ 2! 3! 4! n! 2! 3! (n − ) 1 ! n x
Ta có: g ( x) − g′( x) n =
⇒ x = n (!g (x) − g′(x)) n!  ( ) − ′( )  ′  ( ) 2 !. n n g x g g x   x x  ⇒ T = ∫ ( ) dx = n! 1 ∫ −  ( ) dx
 = n!.x − n!ln = n!x − n!ln 1  + x + + ...+  + C g x g x   2! n!  Chọn B https://toanmath.com/
DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f(x) là hàm hữu tỉ: P(x) f (x) = Q(x)
– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x)
thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Chẳng hạn 1 A B : = +
(x − a)(x − b) x − a x − b 1 A Bx + C 2 = +
, vôùi ∆ = b − 4ac < 0 2 2
(x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c 1 A B C D = + + + 2 2 2 2
(x − a) (x − b) x − a (x − a) x − b (x − b) BÀI TẬP 4 5 + 2x
Câu 59. Cho hàm số f (x) = . Khi đó: 2 x 3 2x 5 5 A. f (x)dx = − + C ∫ B. 3
f (x)dx = 2x − + C ∫ 3 x x 3 2x 5 3 2x C. f (x)dx = + + C ∫ D. 2 f (x)dx = + 5lnx + C ∫ 3 x 3 2 2  x +1
Câu 60. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 
 là hàm số nào trong các hàm số sau? x  3 x 1 3 x 1
A. F (x) =
− + 2x + C .
B. F (x) =
+ + 2x + C . 3 x 3 x 3 3 x 3   + x x + x   C. 3 F (x) = + C . D. 3 F (x) =   + C . 2 x 2 x     2  2  4 2x + 3
Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y = là: 2 x 3 2x 3 3 3 2x 3 3 x 3 A. − + C . B. 3 3
− x − + C . C. + + C . D. − + C . 3 x x 3 x 3 x  1 
Câu 62. Tính nguyên hàm dx ∫   2x + 3  1 1 A.
ln 2x + 3 + C . B.
ln (2x + 3) + C . C. 2 ln 2x + 3 + C .
D. ln 2x + 3 + C . 2 2  e −1 3
Câu 63. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 1 = , biết F =   là: 2x +1  2  2 A. F ( x) 1
= 2ln 2x +1 − .
B. F ( x) = 2 ln 2x +1 +1. 2 C. F ( x) 1 = ln 2x +1 +1. D. F ( x) 1 = ln 2x +1 + . 2 2 https://toanmath.com/
Câu 64. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
và F (2) = 1. Tính F (3) . x −1
A. F (3) = ln 2 −1.
B. F (3) = ln 2 +1. C. F ( ) 1 3 = . D. F ( ) 7 3 = . 2 4
Câu 65. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) 1 =
và F (0) = 2 thì F ( ) 1 bằng. x +1 A. ln 2 . B. 2 + ln 2 . C. 3 . D. 4 . 2
Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 (3 − là : 2 x) 1 − 1 2 1 A. + C . B. + C . C. + C . D. + C . 2 (3 + 2x)2 4 (3 − 2x) (3− 2x)2 2 (3 − 2x)2 x(2 + x)
Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 (x + 1) 2 x − x −1 2 x + x −1 2 x + x +1 2 x A. x + . B. 1 x + . C. 1 x + . D. 1 x + . 1 1 dx ∫ x(x−3) Câu 68. Tính . 1 x 1 x + 3 1 x 1 x − 3 A. ln + C ln + C . C. ln + C ln + C . 3 x − . B. 3 3 x 3 x + . D. 3 3 x 1 b
Câu 69. F ( x) = + = = +
là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 3x
. Biết F (0) 0 , F ( ) 1 a ln 3 2x +1 c
trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức c
a + b + c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . 2 x + 2x
Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( . x + )2 1 x − x −1 x + x −1 x + x +1 x A. F ( x) 2 = F x = F x = F x = 1 x + . B. 2 ( ) 2 1 x + . C. 3 ( ) 2 1 x + . D. 4 ( ) 2 1 x + . 1 2x −13 Câu 71. Cho biết
dx = a ln x +1 + b ln x − 2 + C ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? (x +1)(x − 2)
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 8 .
C. 2a − b = 8 .
D. a − b = 8 . x +
Câu 72. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 =
thỏa mãn F (2) = 3. Tìm F ( x) 2x − 3 :
A. F (x) = x + 4 ln 2x − 3 +1.
B. F (x) = x + 2 ln(2x − 3) +1 .
C. F (x) = x + 2 ln 2x − 3 +1.
D. F (x) = x + 2 ln | 2x − 3 | 1 − . (x − )2 1 1
Câu 73. Tích phân I =
dx = a ln b + c ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 x +1 0
biểu thức a + b + c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 1 Câu 74. Tính dx ∫ , kết quả là: 2 x − 4x + 3 https://toanmath.com/ 1 x −1 1 x − 3 x − 3 A. ln + C ln + C x − x + + C . D. ln + C 2 x − . B. 3 2 x − . C. 2 ln 4 3 1 x − . 1 1 Câu 75. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 x − 7x + 6 1 x −1 1 x − 6 A. ln + C ln + C 5 x − . B. 6 5 x − . 1 1 1 C. 2
ln x − 7x + 6 + C . D. 2
− ln x − 7x + 6 + C . 5 5
Câu 76. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
, biết F (0) = 1. Giá trị của F ( 2 − ) 2x +1 bằng 1 1 1 A. 1+ ln 3 . B. 1+ ln 5 . C. 1+ ln 3. D. (1+ ln3). 2 2 2 1
Câu 77. Tìm nguyên hàm I = d . x ∫ 2 4 − x 1 x + 2 1 x − 2 A. I = ln + C. I = ln + C. 2 x − B. 2 2 x + 2 1 x − 2 1 x + 2 C. I = ln + C. I = ln + C. 4 x + D. 2 4 x − 2 x + 3
Câu 78. Tìm nguyên hàm dx ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 A.
dx = 2 ln x + 2 − ln x +1 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 B.
dx = 2 ln x +1 − ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 C.
dx = 2 ln x +1 + ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 D.
dx = ln x +1 + 2 ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 3 2
2x − 6x + 4x +1 Câu 79. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 x − 3x + 2 x −1 1 x − 2 A. 2 x + ln + C x + ln + C x − . B. 2 2 2 x − . 1 1 x −1 x − 2 C. 2 x + ln + C x + ln + C 2 x − . D. 2 2 x − . 1 3x + 3 Câu 80. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 −x − x + 2
A. 2 ln x −1 − ln x + 2 + C . B. 2
− ln x −1 + ln x + 2 + C .
C. 2 ln x −1 + ln x + 2 + C . D. 2
− ln x −1 − ln x + 2 + C . 3 2
x + 3x + 3x −1
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f (x) = F = là 2 x + 2x + khi biết ( ) 1 1 1 3 x x A. F ( x) 2 2 13 = + x + − . F x = + x + + 2 x + B. ( ) 2 2 13 . 1 6 2 x + 1 6 https://toanmath.com/ x x C. F ( x) 2 2 = + x + . F x = + x + + C 2 x + D. ( ) 2 2 . 1 2 x + 1 ax + b
Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F ( x) =
(4a −b ≠ 0) là nguyên hàm của hàm số f (x) x + 4 và thỏa mãn: 2
2 f ( x) = F
 ( x) −1 f ′  ( x) .
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a = 1, b = 4 .
B. a = 1, b = 1 − .
C. a = 1, b ∈  \ { }
4 . D. a ∈  , b ∈  .
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 f (x) =
x + 3x x là : 3 2 2x x 9x x 2 3 2 5x x 27x x A. + + C . B. + + C . 4 8 3 8 2 3 2x x 9x x 2 3 2 2x x 9x x C. − + C . D. + + C . 3 5 3 8 1 2
Câu 84. Nguyên hàm của f ( x) = + + 3 là: 3 x x 4 A. 3 2
2 x + 3 x + 3x + C . B. 3 2 2 x +
x + 3x + C . 3 1 1 4 C. 3 2
x + 3 x + 3x + C . D. 3 2 x +
x + 3x + C . 2 2 3 dx Câu 85. Tính ∫
thu được kết quả là: 1− x C 2 A. B. 2
− 1− x + C C. + C
D. 1− x + C 1− x 1− x 1
Câu 86. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x +1 −
. Nguyên hàm của f ( x) biết 2 x F (3) = 6 là: 2 1 1 2 1 1
A. F ( x) = (x + )3 1 − + .
B. F ( x) = (x + )3 1 + + . 3 x 3 3 x 3 2 1 1 2 1 1
C. F ( x) = (x + )3 1 − − .
D. F ( x) = (x + )3 1 + − . 3 x 3 3 x 3 dx Câu 87. Cho
= a(x+ 2) x + 2 + b(x+1) x +1 + C ∫
. Khi đó 3a + b bằng: x + 2 + x +1 2 − 1 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 x −1 Q = dx ∫ + Câu 88. Tìm x 1 ? A. 2 2 Q = x −1 + ln x +
x −1 + C . B. 2 2 Q =
x −1 − ln x +
x −1 + C . C. 2 2 Q = ln x + x −1 −
x −1 + C .
D. Cả đáp án B,C đều đúng. https://toanmath.com/
Câu 89. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
+ m −1 thỏa mãn F (0) = 0 và 2 x +1
F (3) = 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 − . B. 3 . C. 3 − . D. 2 .
Câu 90. Hàm số F ( x) = (ax + b) 4x +1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của ( ) 12x f x =
. Tính a + b . 4x +1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 91. Biết F ( x) = ( 2
ax + bx + c) 2x − 3 (a, b, c ∈) là một nguyên hàm của hàm số − +  3  f ( x) 2 20x 30x 11 = trên khoảng ; +∞ 
 . Tính T = a + b + c . 2x − 3  2 
A. T = 8 .
B. T = 5 .
C. T = 6 . D. T = 7 .
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 cos 2x là A. 2
− sin 2x + C .
B. sin 2x + C .
C. 2 sin 2x + C .
D. sin 2x + C .
Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 5x + 2 là 1 1
A. 5 cos 5x + C .
B. − cos 5x + 2x + C . C. cos 5x + 2x + C . D. cos 5x + 2x + C . 5 5
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + sin 2x là 1 1 A. 2 x −
cos 2x + C . B. 2 x +
cos 2x + C . C. 2
x − 2 cos 2x + C . D. 2
x + 2 cos 2x + C . 2 2
Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = cos 2x là: 1 cos 4x x cos 4x 1 cos 4x x cos 4x A. + + C . B. − + C . C. − + C . D. + + C . 2 8 2 2 2 2 2 8  π 
Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3x +   .  6   π   π  A. f
∫ (x)dx = 3sin 3x+ +C   . B. f ∫ (x) 1
dx = − sin 3x + + C   .  6  3  6   π   π  C. f
∫ (x)dx = 6sin 3x+ +C   . D. f ∫ (x) 1 dx = sin 3x + + C   .  6  3  6 
F ( x) = cos 2x − sin x + C f ( x) f (π) Câu 97. Cho
là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f (π) = 3 − .
B. f (π) = 1. C. f (π) = 1 − .
D. f (π) = 0 . dx ∫
Câu 98. Tính: 1+ cos x x x 1 x 1 x A. 2 tan + C . B. tan + C . C. tan + C . D. tan + C . 2 2 2 2 4 2
Câu 99. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 6x + sin 3x , biết F ( ) 2 0 = . 3 cos 3x 2 cos 3x A. F ( x) 2 = 3x − + . B. F ( x) 2 = 3x − −1. 3 3 3 https://toanmath.com/ cos 3x cos 3x C. F ( x) 2 = 3x + +1. D. F ( x) 2 = 3x − +1. 3 3
Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = tan x là:
A. cot x − x + C .
B. tan x − x + C .
C. − cot x − x + C .
D. − tan x − x + C . 1
Câu 101. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = −
và F (0) = 1. Khi đó, ta có F ( x) là: 2 cos x
A. − tan x .
B. − tan x +1.
C. tan x +1.
D. tan x −1.
Câu 102. Cho hàm số f ( x) 4
= sin 2x . Khi đó:     A. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x + sin 4x + sin 8x + C   . B. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x − cos 4x + sin 8x + C   8  8  8  8  .     C. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x + cos 4x + sin 8x + C   . D. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x − sin 4x + sin 8x + C   8  8  8  8  .  1 
Câu 103. Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin (1− 2x) và thỏa mãn F =1.    2 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3
A. F ( x) = − cos (1− 2x) + .
B. F ( x) = cos (1− 2x). 2 2 1 1
C. F ( x) = cos (1− 2x) +1.
D. F ( x) = cos (1− 2x) + . 2 2
Câu 104. Nguyên hàm ∫(sin 2x + cos x)dx là: 1 A.
cos 2x + sin x + C . B. − cos 2x + sin x + C . 2 1
C. − cos 2x + sin x + C .
D. − cos 2x − sin x + C . 2
Câu 105. Nguyên hàm sin
∫ (2x+3)+cos(3−2x)dx  là: A. 2
− cos(2x + 3) − 2sin (3− 2x) + C . B. 2
− cos(2x + 3) + 2sin (3− 2x) + C .
C. 2 cos (2x + 3) − 2sin (3 − 2x) + C .
D. 2 cos (2x + 3) + 2sin (3 − 2x) + C . Câu 106. Nguyên hàm 2 sin ∫ (3x + ) 1 + cos x dx    là: 1 A.
x − 3sin (6x + 2) + sin x + C .
B. x − 3sin (6x + 2) + sin x + C . 2 1 1 C.
x − 3sin (3x + )
1 + sin x + C . D.
x − 3sin (6x + 2) − sin x + C . 2 2
Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ∫( 3 3
sin x + cos x) dx ? 3 A. 2 2 3cos .
x sin x − 3sin .
x cos x + C . B.
sin 2x (sin x − cos x) + C . 2  π   π 
C. 3 2 sin 2x sin x − + C   . D. 3 2 sin . x cos . x sin x − + C   .  4   4 
Câu 108. Cho hàm số f ( x) = cos 3 .
x cos x . Một nguyên hàm của hàm số f ( x) bằng 0 khi x = 0 là: sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x
A. 3sin 3x + sin x B. + C. + D. + 8 4 2 4 8 4 https://toanmath.com/ F ( x) f ( x) 2 = cot x
Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là:
A. cot x − x + C
B. − cot x − x + C
C. cot x + x + C
D. tan x + x + C sin 4x  π 
Câu 110. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = thỏa mãn F = 0   . Tính F (0) . 2 1+ cos x  2  A. F (0) = 4
− + 6ln 2 . B. F (0) = 4
− − 6ln 2 . C. F (0) = 4 − 6ln 2 . D. F (0) = 4 + 6ln 2.  π   π 
Câu 111. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = tan x và F =1   . Tính F −   .  4   4   π  π  π  π  π   π  π A. F − = −1   . B. F − = −1   . C. F − = 1 −   . D. F − = +1   .  4  4  4  2  4   4  2  π  3π
Câu 112. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( + x)2 1 sin biết F =    2  4 A. F ( x) 3 1
= x + 2cos x − sin 2 . x B. F ( x) 3 1
= x − 2cos x − sin 2 . x 2 4 2 4 C. F ( x) 3 1
= x − 2cos x + sin 2 . x D. F ( x) 3 1
= x + 2cos x + sin 2 . x 2 4 2 4 − x + x
Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3sin 3 2 cos 3 = .
5sin 3x − cos 3x 17 7 17 7 A. − x +
ln 5sin 3x − cos 3x + C . B. − x −
ln 5sin 3x − cos 3x + C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x +
ln 5sin 3x − cos 3x + C . D. x −
ln 5sin 3x − cos 3x + C . 26 78 26 78 a Câu 114. Biết ∫( x − x)2 sin 2 cos 2 dx = x +
cos 4x + C , với a , b là các số nguyên dương, a là phân b b
số tối giản và C ∈  . Giá trị của a + b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 115. Tính I = 8sin 3x cos d
x x = a cos 4x + b cos 2x + C ∫
. Khi đó, a − b bằng A. 3 . B. 1 − . C. 1. D. 2 .
Câu 116. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sin x cos 3x và F (0) = 0 , khi đó x x
A. F ( x) = cos 4x − cos 2x . B. F ( x) cos 2 cos 4 1 = − − . 4 8 8 x x x x C. F ( x) cos 2 cos 4 1 = − − . D. F ( x) cos 4 cos 2 1 = − + . 2 4 4 4 2 4
Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x . x + α x − α
A. F x = − cos x . B. F x = 2 sin sin . 2 ( ) 1 ( ) 2 2  x   x  α + x α − x C. F x = 2 − sin α + sin α − . D. F x = 2 cos sin . 4 ( ) 3 ( )      2   2  2 2 1
Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = tan 2x + . 2  1   1  x A. 2 tan 2x +
dx = 2 tan 2x − 2x + C ∫  . B. 2 tan 2x + dx = tan 2x − + C ∫  .  2   2  2  1   1  tan 2x x C. 2 tan 2x +
dx = tan 2x − x + C ∫  . D. 2 tan 2x + dx = − + C ∫  .  2   2  2 2 https://toanmath.com/
Câu 119. Hàm số F ( x) = ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? x − x − x − x A. f ( x) sin 3cos = . B. f ( x) cos 3sin = . cos x + 3sin x sin x − 3cos x x + x C. f ( x) cos 3sin = .
D. f ( x) = cos x + 3sin x . sin x − 3cos x x − x  π  3π
Câu 120. Hàm số f ( x) 7 cos 4 sin =
có một nguyên hàm F ( x) thỏa mãn F =   . Giá trị cos x + sin x  4  8  π 
F   bằng?  2  3π −11ln 2 3π 3π 3π − ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 sin x I = dx ∫ Câu 121. Tìm sin x + cos x ? 1 A. I =
(x+ln sin x+cos x )+C .
B. I = x + ln sin x + cos x + C . 2 1
C. I = x − ln sin x + cos x + C . D. I =
(x−ln sin x+cos x )+C . 2 s inx  cos x − sinx 
Câu 14. Biết I =
dx = A + B dx ∫ ∫ 
 . Kết quả của A, B lần lượt là cos x + s inx  cos x + sinx  1 1 1 1 1 1
A. A = B = .
B. A = B = − .
C. A = − , B = . D. A = , B = − . 2 2 2 2 2 2 4 cos x I = dx ∫ 4 4 Câu 122. Tìm sin x + cos x ? 1  1  2 + sin 2x  1  2 + sin 2x A. I =  x − ln   + C    .
B. I = x − ln   + C . 2    2 2 2 − sin 2x    2 2 2 − sin 2x   1  1  2 + sin 2x  1  2 + sin 2x C. I =  x + ln   + C    .
D. I = x − ln   + C . 2    2 2 2 − sin 2x    2 2 2 − sin 2x  
Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 3 − sin 2 + 2cos − ex f x x x là A. 6 − cos 2 + 2sin − ex x x + C .
B. 6 cos 2 − 2 sin − ex x x + C . 3 3 C. cos 2 − 2 sin − ex x x + C . D. cos 2 + 2 sin − ex x x + C . 2 2 π 
Câu 124. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [0;π ] \   thỏa mãn f ′( x) = tan x ,  2   π 5π  π   2π   π  x ∀ ∈ − ; \ 
   , f (0) = 0, f (π ) =1. Tỉ số giữa f
 và f   bằng:  4 4   2   3   4  1(1+ ln 2)
A. 2 (log e +1 . B. 2 . C. 2 1− log e . 2 ) 2 + . D. ( 2 ) ln 2
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 5 x f x = . https://toanmath.com/ 2 5 x x A. 2 5 x dx ∫ = 2. + C . B. 2 5 x dx ∫ 25 = + C . ln 5 2 ln 5 x 1 25 + C. 2 5 x dx ∫ 2
= 2.5 x ln 5 + C . D. 2 5 x dx ∫ = + C x + . 1 ( ) 2018 e x f x = .
Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫ ( ) 1 2018 d = .e x f x x + C ∫ ( ) 2018 d = e x f x x + C A. 2018 . B. . ∫ ( ) 2018 d = 2018e x f x x + C ∫ ( ) 2018 d = e x f x x ln 2018 + C C. . D. . F ( x) ( ) 2ex f x = F (0) = 1
Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . x A. ( ) 2ex F x = . B. F ( x) 2 e 1 = + . C. ( ) 2 2e x F x = −1. D. ( ) ex F x = . 2 2
Câu 128. Cho F ( x) là một nguyên hàm của ( ) 3 e x f x =
thỏa mãn F (0) = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 x 2 A. F ( x) 3 = e + . B. ( ) 3 e x F x = . 3 3 3 1 1 x 4 C. ( ) 3 e x F x = +1. D. F ( x) 3 = − e + . 3 3 3
Câu 129. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 =
. Tìm F ( x) . 2 x 1 x 5 A. F ( x) 2 = e + x + . B. F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2 x 1 x 3 C. F ( x) 2 = e + x + . D. F ( x) 2 = e + x + . 2 2
Câu 130. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ′( ) = 2018x f x
ln 2018 − cos x và f (0) = 2 . Phát biểu nào sau đúng? x A. ( ) = 2018x f x + sin x +1. B. f ( x) 2018 = + sin x +1. ln 2018 x C. f ( x) 2018 = − sin x +1. D. ( ) = 2018x f x − sin x +1. ln 2018 3x 2 (2 + e ) dx ∫ Câu 131. Tính 4 4 x 5 x 1 A. 3 6 3 x x + e + e + C B. 3 6 4 x x + e + e + C 3 6 3 6 4 4 x 1 x 1 C. 3 6 4 x x + e − e + C D. 3 6 4 x x + e + e + C 3 6 3 6 x x =
Câu 132. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f (x) e (1 e− = −
) và F(0) 3 thì F(x) là? A. x e − x B. x
e − x + 2 C. x
e − x + C D. x
e − x +1
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e− = − là : A. x − x e + e + C . B. x − x e − e + C . C. x − x
−e + e + C . D. x x
e + e + C . − Câu 134. Hàm số ( ) x x
F x = e + e
+ x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? https://toanmath.com/ − x − x 1 A. ( ) x x f x = e + e +1 B. 2
f (x) = e − e + x 2 x − x 1 C. ( ) x x f x e e− = − +1 D. 2
f (x) = e + e + x 2
Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 ( ) x x f x e e− = − là : 3x 2 − x e e 2 x 3 − x e e A. + + C . B. + + C . 3 2 2 3 3x 3 − x e e 2 − x 3x e e C. + + C . D. + + C . 2 2 3 2
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số 2 x 3 ( ) 3 2 x f x − = − là : 2 x 3 3 2− x 2 x 3 3 2− x A. + + C . B. − + C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 2 − x 3 3 2 x 2 − x 3 3 2 x C. + + C . D. − + C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 f (x) +1
Câu 137. Hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2ex F x =
. Tìm nguyên hàm của hàm số ex . f (x) +1 f (x) +1 A.
dx = ex − e−x + C ∫ . B.
dx = 2ex − e−x + C ∫ . ex ex f (x) +1 f (x) +1 1 C.
dx = 2ex + e−x + C ∫ . D. dx =
ex − e−x + C ∫ . ex ex 2
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ex (1 e x f x − = + ).
A. ∫ ( )d = e−x f x x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x
+ x + C .
C. ∫ ( )d = ex + e−x f x x + C . D. ∫ ( )d = ex f x x + C . 2
Câu 139. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số x
y = xe . Hàm số nào sau đây không phải là F ( x) ? 2 1 A. ( ) 2 1 x F x = e + 2 . B. ( ) = ( x F x e + 5) . 2 2 2 1 C. ( ) 2 1 x F x = − e + C . D. ( ) = − (2 x F x − e ) . 2 2  x
Câu 140. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 = 2 x 3x −    . 4x   x x x A. F ( x) 12 2 = − + C . B. ( ) =12x F x
+ x x + C . ln12 3 x xx x x xx xC. F ( x) 2 2 3 =  −    . D. F ( x) 2 2 3 ln 4 =  −    . ln 2 ln 3 4x   ln 2 ln 3 4x   −   x 2018e x
Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2017  −  . 5  x  2018 504, 5
A. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C .
B. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C . 4 x 4 x 504, 5 2018
C. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C .
D. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C . 4 x 4 x https://toanmath.com/ 2
2 x.3x.7x dx ∫ Câu 142. Tính 84x 2 2 x.3x.7x A. + C B.
+ C C. 84x + C
D. 84x ln 84 + C ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 2 x 1 e + − 2 Câu 143. Nguyên hàm dx ∫ là: 3 x e 5 x 5 x x 1 5 + 2 − x 1 5 + 2 A. 3 3 e
− e + C . B. 3 3 e
+ e + C . 3 3 3 3 5 x 5 x x 1 5 + 2 x 1 5 + 2 − C. 3 3 e
− e + C . D. 3 3 e
+ e + C . 3 3 3 3
Câu 144. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = và F ( ) 1
0 = − ln 4 . Tập nghiệm S của x e + 3 3
phương trình 3 ( ) + ln( x F x e + 3) = 2 là A. S = { } 2 . B. S = { 2; − } 2 . C. S = {1; } 2 . D. S = { 2; − } 1 . 1
Câu 145. Hàm số F ( x) 3x 1 e + = ( 2
9x − 24x +17) + C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = + − . B. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = − − . C. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = − + . D. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x − = − − .
Câu 146. Cho hai hàm số ( ) ( 2 ) x F x x ax b e− = + + và ( ) ( 2 3 6) x f x x x e− = − + +
. Tìm a và b để
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) .
A. a = 1, b = 7 − . B. a = 1 − ,b = 7 − . C. a = 1 − ,b = 7 .
D. a = 1, b = 7 . n x F = x e dx ∫ Câu 147. Tìm ? n 1 − n A. x n n 1 − =  − + ( − ) n−2 1 + ...+ (!− ) 1 + (!− ) 1 n F e x nx n n x n x n  + x + C   . n 1 − n B. x n n 1
F = e x − nx − + n (n − ) n−2 1 x + ...+ n (!− ) 1 x + n ( ! − ) 1  + C   . C. = ! x F
n e + C . n 1 − n D. n n 1 − = − + ( − ) n−2 1 + ...+ (!− ) 1 + (!− ) 1 x F x nx n n x n x n
+ e + C . Câu 148. Giả sử 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫
. Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 −   x 2018e x
Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2017  −  . 5  x  2018 504, 5
A. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C .
B. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C . 4 x 4 x 504, 5 2018
C. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C .
D. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C . 4 x 4 x Câu 150. Giả sử 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫
. Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 151. Cho ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 − + ) 2 2018 3 1 e x f x x x trên khoảng ( ;
−∞ +∞) . Tính T = a + 2b + 4c . A. T = 3035 − .
B. T = 1007 . C. T = 5053 − .
D. T = 1011. https://toanmath.com/ Câu 152. Biết ( ) ( 2 ) x F x ax bx c e− = + +
là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 2 5 2) x f x x x e− = − + trên
 . Tính giá trị của biểu thức f F (0)   . A. 1 e− − . B. 2 20e . C. 9e . D. 3e .
Câu 153. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị ln 2
biểu thức T = F (0) + F ( )
1 + F (2) + ... + F (2017) . 2017 2 +1 2017 2 −1 2018 2 −1 A. T = 1009. . B. 2017.2018 T = 2 . C. T = . D. T = . ln 2 ln 2 ln 2 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI 4 5 + 2x
Câu 59. Cho hàm số f (x) = . Khi đó: 2 x 3 2x 5 5 A. f (x)dx = − + C ∫ B. 3
f (x)dx = 2x − + C ∫ 3 x x 3 2x 5 3 2x C. f (x)dx = + + C ∫ D. 2 f (x)dx = + 5lnx + C ∫ 3 x 3 Hướng dẫn giải 4 3 5 + 2x  5  2x 5 Ta có: 2 dx = + 2x dx = − + C ∫ ∫  . 2 2 xx  3 x Chọn A 2 2  x +1
Câu 60. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 
 là hàm số nào trong các hàm số sau? x  3 x 1 3 x 1
A. F (x) =
− + 2x + C .
B. F (x) =
+ + 2x + C . 3 x 3 x 3 3 x 3   + x x + x   C. 3 F (x) = + C . D. 3 F (x) =   + C . 2 x 2 x     2  2  Hướng dẫn giải 2 2 4 2 3  x +1 x + 2x +1  1  x 1 Ta có: 2 dx ∫  = dx = x + 2 + = + 2x − + C ∫ ∫  . 2 2  x xx  3 x Chọn A 4 2x + 3
Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y = là: 2 x 3 2x 3 3 3 2x 3 3 x 3 A. − + C . B. 3 3
− x − + C . C. + + C . D. − + C . 3 x x 3 x 3 x Hướng dẫn giải 4 3 2x + 3  3  2x 3 Ta có: 2 dx = 2x + dx = − + C ∫ ∫  . 2 2 xx  3 x Chọn A  1 
Câu 62. Tính nguyên hàm dx ∫   2x + 3  1 1 A.
ln 2x + 3 + C . B.
ln (2x + 3) + C . C. 2 ln 2x + 3 + C .
D. ln 2x + 3 + C . 2 2 Hướng dẫn giải
Chọn A  1  1  1  1 Ta có: dx = d ∫  ∫
 (2x + 3) = ln 2x + 3 + C  2x + 3  2  2x + 3  2  e −1 3
Câu 63. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 1 = , biết F =   là: 2x +1  2  2 A. F ( x) 1
= 2ln 2x +1 − .
B. F ( x) = 2 ln 2x +1 +1. 2 https://toanmath.com/ C. F ( x) 1 = ln 2x +1 +1. D. F ( x) 1 = ln 2x +1 + . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng F ( x) 1 = dx ∫ 1
= ln 2x +1 + C . 2x +1 2  e −1 3 1  e −1 3 Mà F =   ⇔ ln 2
+1 + C = ⇔ C =1.    2  2 2  2  2
Câu 64. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
và F (2) = 1. Tính F (3) . x −1
A. F (3) = ln 2 −1.
B. F (3) = ln 2 +1. C. F ( ) 1 3 = . D. F ( ) 7 3 = . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F (x) =
dx = ln x −1 + C ∫ . x −1
Theo đề F (2) =1 ⇔ ln1+ C =1⇔ C =1. Vậy F (3) = ln 2 +1.
Câu 65. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) 1 =
và F (0) = 2 thì F ( ) 1 bằng. x +1 A. ln 2 . B. 2 + ln 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B F ( x) 1 =
dx = ln x +1 + C ∫
mà F (0) = 2 nên F ( x) = ln x +1 + 2 . x +1 Do đó F ( ) 1 = 2 + ln 2 . 2
Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 (3 − là : 2 x) 1 − 1 2 1 A. + C . B. + C . C. + C . D. + C . 2 (3 + 2x)2 4 (3 − 2x) (3− 2x)2 2 (3 − 2x)2 Hướng dẫn giải 2 1 Ta có: = + ∫ ( dx C . 3 − 2x)3 2 (3 − 2x)2 Chọn D x(2 + x)
Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 (x + 1) 2 x − x −1 2 x + x −1 2 x + x +1 2 x A. x + . B. 1 x + . C. 1 x + . D. 1 x + . 1 Hướng dẫn giải 1 1 1 −1 1 −1 2 x + 2x + ′ 2 2
x + x −1 0 1 0 1 1 1 x + 2x + 2 Ta có:   = = .  x +1  (x + )2 1 (x + )2 1 Chọn B https://toanmath.com/ 1 dx ∫ x(x−3) Câu 68. Tính . 1 x 1 x + 3 1 x 1 x − 3 A. ln + C ln + C . C. ln + C ln + C . 3 x − . B. 3 3 x 3 x + . D. 3 3 x Hướng dẫn giải 1 1  1 1  1 x − 3 Ta có: ∫ ( ∫ . − ) dx = − dx = .ln + C   x x 3 3  x − 3 x  3 x Chọn D 1 b
Câu 69. F ( x) = + = = +
là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 3x
. Biết F (0) 0 , F ( ) 1 a ln 3 2x +1 c
trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức c
a + b + c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A  1  1 Ta có F ( x) 2 = 3x + dx ∫  3
= x + ln 2x +1 + C .  2x +1  2 1
Do F (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ F ( x) 3
= x + ln 2x +1 . 2 Vậy F ( ) 1 1 = 1+
ln 3 ⇒ a = 1; b = 1; c = 2 ⇒ a + b + c = 4 . 2 2 x + 2x
Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( . x + )2 1 x − x −1 x + x −1 x + x +1 x A. F ( x) 2 = F x = F x = F x = 1 x + . B. 2 ( ) 2 1 x + . C. 3 ( ) 2 1 x + . D. 4 ( ) 2 1 x + . 1 Hướng dẫn giải Chọn C ( ( )) 2 ′ x + 2x F x =
, đáp án A là nguyên hàm của f (x) . 1 (x + )2 1 ( ′ + + F ( x)) 2 x 2x 2 =
, đáp án B không phải là nguyên hàm của f (x) . 2 (x + )2 1 ( ( )) 2 ′ x + 2x F x =
, đáp án C là nguyên hàm của f (x) . 3 (x + )2 1 ( ( )) 2 ′ x + 2x F x =
, đáp án D là nguyên hàm của f (x) . 4 (x + )2 1 2x −13 Câu 71. Cho biết
dx = a ln x +1 + b ln x − 2 + C ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? (x +1)(x − 2)
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 8 .
C. 2a − b = 8 .
D. a − b = 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có https://toanmath.com/ 2x −13   dx ∫ 5 3 = − dx ∫ 1 1   = 5 dx − 3 dx ∫ ∫
= 5ln x +1 − 3ln x − 2 + C . (x +1)(x − 2)
x +1 x − 2  x +1 x −1 a = 5 Vậy 
⇒ a − b = 8 . b  = 3 − x +
Câu 72. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 1 =
thỏa mãn F (2) = 3. Tìm F ( x) 2x − 3 :
A. F (x) = x + 4 ln 2x − 3 +1.
B. F (x) = x + 2 ln(2x − 3) +1 .
C. F (x) = x + 2 ln 2x − 3 +1.
D. F (x) = x + 2 ln | 2x − 3 | 1 − . Hướng dẫn giải Chọn C x +   Ta có F ( x) 2 1 = dx ∫ 4 = 1+
dx = x + 2 ln 2x − 3 + C ∫  . 2x − 3  2x − 3 
Lại có F (2) = 3 ⇔ 2 + 2 ln 1 + C = 3 ⇔ C = 1. (x − )2 1 1
Câu 73. Tích phân I =
dx = a ln b + c ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 x +1 0
biểu thức a + b + c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D (x − )2 1 1 1  2x I = dx ∫ = 1− dx ∫ 
= (x −ln x +1)1 2 =1− ln 2 . 2 x +1 2  x +1  0 0 0 Khi đó a = 1
− , b = 2 , c =1.
Vậy a + b + c = 2 . 1 Câu 74. Tính dx ∫ , kết quả là: 2 x − 4x + 3 1 x −1 1 x − 3 x − 3 A. ln + C ln + C x − x + + C . D. ln + C 2 x − . B. 3 2 x − . C. 2 ln 4 3 1 x − . 1 Hướng dẫn giải dx dx 1  1 1  1 x − 3 Ta có: = = − dx = ln + C ∫ ∫ ∫  . 2 x − 4x + 3
(x − )1(x −3) 2  x −3 x −1 2 x −1 Chọn B 1 Câu 75. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 x − 7x + 6 1 x −1 1 x − 6 A. ln + C ln + C 5 x − . B. 6 5 x − . 1 1 1 C. 2
ln x − 7x + 6 + C . D. 2
− ln x − 7x + 6 + C . 5 5 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1  1 1  1 1 x − 6 dx = dx = − dx =
ln x − 6 − ln x −1 + C = ln + C ∫ ∫ ∫  2 ( ) x − 7x + 6 (x − ) 1 ( x − 6) 5  x − 6 x −1  5 5 x −1 . https://toanmath.com/ Chọn B
Câu 76. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
, biết F (0) = 1. Giá trị của F ( 2 − ) 2x +1 bằng 1 1 1 A. 1+ ln 3 . B. 1+ ln 5 . C. 1+ ln 3. D. (1+ ln 3) . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x
Ta có F ( x) = f ∫ (x) d 1 dx = = ln 2x +1 + C ∫ . 2x +1 2 F ( ) 1 = ⇔
+ C = ⇔ C = ⇒ F (x) 1 =
x + + ⇒ F (− ) 1 0 1 ln1 1 1 ln 2 1 1 2 = 1+ ln 3 . 2 2 2 1
Câu 77. Tìm nguyên hàm I = d . x ∫ 2 4 − x 1 x + 2 1 x − 2 A. I = ln + C. I = ln + C. 2 x − B. 2 2 x + 2 1 x − 2 1 x + 2 C. I = ln + C. I = ln + C. 4 x + D. 2 4 x − 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1  1 1  1 x + 2 Ta có I = −∫ ( = − − = + ∫ 
x − )( x + ) dx dx ln C. 2 2 4  x − 2 x + 2  4 x − 2 x + 3
Câu 78. Tìm nguyên hàm dx ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 A.
dx = 2 ln x + 2 − ln x +1 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 B.
dx = 2 ln x +1 − ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 C.
dx = 2 ln x +1 + ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 x + 3 D.
dx = ln x +1 + 2 ln x + 2 + C ∫ . 2 x + 3x + 2 Hướng dẫn giải Chọn B x + 3 x + 3  2 1  Ta có dx = dx = − dx ∫ ∫ ∫ 
= 2ln x +1 − ln x + 2 + C . 2 x + 3x + 2 (x + )1(x + 2)
x +1 x + 2  3 2
2x − 6x + 4x +1 Câu 79. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 x − 3x + 2 x −1 1 x − 2 A. 2 x + ln + C x + ln + C x − . B. 2 2 2 x − . 1 1 x −1 x − 2 C. 2 x + ln + C x + ln + C 2 x − . D. 2 2 x − . 1 Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ 3 2
2x − 6x + 4x +1  1   1 1  x − 2 2 dx = 2x + dx = 2x + − dx = x + ln + C ∫ ∫  ∫  2 2 x − 3x + 2  x − 3x + 2   x − 2 x −1  x −1 Chọn D 3x + 3 Câu 80. Nguyên hàm dx ∫ là: 2 −x − x + 2
A. 2 ln x −1 − ln x + 2 + C . B. 2
− ln x −1 + ln x + 2 + C .
C. 2 ln x −1 + ln x + 2 + C . D. 2
− ln x −1 − ln x + 2 + C . Hướng dẫn giải Ta có: 3x + 3 3x + 3  2 1  dx = dx = − dx = 2
− ln x −1 − ln x + 2 + C ∫ ∫ ∫  . 2 −x − x + 2 (1− x)(x + 2) 1− x x + 2  Chọn B 3 2
x + 3x + 3x −1
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f (x) = F = là 2 x + 2x + khi biết ( ) 1 1 1 3 x x A. F ( x) 2 2 13 = + x + − . F x = + x + + 2 x + B. ( ) 2 2 13 . 1 6 2 x + 1 6 x x C. F ( x) 2 2 = + x + . F x = + x + + C 2 x + D. ( ) 2 2 . 1 2 x + 1 Hướng dẫn giải Chọn A 3 2 2
x + 3x + 3x −1  2  x 2 Ta có dx = x +1− dx = + x +
+ C = F(x) ∫ ∫  . 2 2 x + 2x +1  (x +1)  2 x +1 x Mà F ( ) 1 1 1 13 1 =
⇔ +1+1+ C = ⇔ C = − nên F ( x) 2 2 13 = + x + − . 3 2 3 6 2 x + 1 6 ax + b
Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F ( x) =
(4a −b ≠ 0) là nguyên hàm của hàm số f (x) x + 4 và thỏa mãn: 2
2 f ( x) = F
 ( x) −1 f ′  ( x) .
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a = 1, b = 4 .
B. a = 1, b = 1 − .
C. a = 1, b ∈  \ { }
4 . D. a ∈  , b ∈  . Hướng dẫn giải Chọn C ax + b 4a − b Ta có F ( x) =
là nguyên hàm của f ( x) nên f ( x) = F′( x) = và x + 4 (x + 4)2 ′( ) 2b −8a f x = ( . x + 4)3 2 (4a − b)2 Do đó:  ax + b  2b − 8a 2
2 f ( x) = ( F ( x) − ) 1 f ′( x) ⇔ = − (   x + 4) 1 4  x + 4  (x + 4)3
⇔ 4a − b = −(ax + b − x − 4) ⇔ (x + 4)(1− a) = 0 ⇔ a =1 (do x + 4 ≠ 0 )
Với a = 1 mà 4a − b ≠ 0 nên b ≠ 4 .
Vậy a = 1, b ∈  \ { } 4 .
Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: https://toanmath.com/
+ Vì 4a − b ≠ 0 nên loại được ngay phương án A: a = 1, b = 4 và phương án D: a ∈  , b ∈  .
+ Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b = 0, a =1. Khi đó, ta có ( ) x 4 8 F x = , f ( x) =
, f ′( x) = − . x + 4 (x + 4)2 (x + 4)3 Thay vào 2
2 f ( x) = ( F ( x) − )
1 f ′( x) thấy đúng nên Chọn C https://toanmath.com/
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 f (x) =
x + 3x x là : 3 2 2x x 9x x 2 3 2 5x x 27x x A. + + C . B. + + C . 4 8 3 8 2 3 2x x 9x x 2 3 2 2x x 9x x C. − + C . D. + + C . 3 5 3 8 Hướng dẫn giải 3 8 2 2 2 x 3 x 2x x 9x x Ta có: ∫( 3 2 x + 3x x ) 3 3 dx = + 3. + C = + + C . 3 8 3 8 Chọn D 1 2
Câu 84. Nguyên hàm của f ( x) = + + 3 là: 3 x x 4 A. 3 2
2 x + 3 x + 3x + C . B. 3 2 2 x +
x + 3x + C . 3 1 1 4 C. 3 2
x + 3 x + 3x + C . D. 3 2 x +
x + 3x + C . 2 2 3 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1 2  1 2   − −  3 2 2 3 2 3 + + 3 dx = ∫ 
∫ x + 2x +3 dx
 = 2x + 3x + 3x + C = 2 x + 3 x + 3x + C . 3  x x    Chọn A dx Câu 85. Tính ∫
thu được kết quả là: 1− x C 2 A. B. 2
− 1− x + C C. + C
D. 1− x + C 1− x 1− x Hướng dẫn giải dx Ta có: = 2 − 1− x + C ∫ . Chọn B 1− x 1
Câu 86. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x +1 −
. Nguyên hàm của f ( x) biết 2 x F (3) = 6 là: 2 1 1 2 1 1
A. F ( x) = (x + )3 1 − + .
B. F ( x) = (x + )3 1 + + . 3 x 3 3 x 3 2 1 1 2 1 1
C. F ( x) = (x + )3 1 − − .
D. F ( x) = (x + )3 1 + − . 3 x 3 3 x 3 Hướng dẫn giải Ta có:  1  2 x + − dx = ∫  (x + )3 1 1 1 + + C . 2  x  3 x Theo đề 2 1 1
bài, ta lại có: F (3) = 6 ⇔ (3+ )3 1
+ + C = 6 ⇔ C = . 3 3 3 F ( x) 2 = (x + )3 1 1 1 + + . 3 x 3 Chọn B https://toanmath.com/ . dx Câu 87. Cho
= a(x+ 2) x + 2 + b(x+1) x +1 + C ∫
. Khi đó 3a + b bằng: x + 2 + x +1 2 − 1 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C dx 2 2
= ( x + 2 − x +1)dx = (x+ 2) x + 2 − (x+1) x +1 + C ∫ ∫ x + 2 + x +1 3 3 2 2
⇒ a = ; b = − 3 3 4
⇒ 3a + b = 3 x −1 Q = dx ∫ + Câu 88. Tìm x 1 ? A. 2 2 Q = x −1 + ln x +
x −1 + C . B. 2 2 Q =
x −1 − ln x +
x −1 + C . C. 2 2 Q = ln x + x −1 −
x −1 + C .
D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải −  ≥ Điề x 1 x 1 u kiện: ≥ 0 ⇔  x +1 x < 1 −
Trường hợp 1: Nếu x ≥1 thì x −1 x −1 x 1 2 2 Q = dx = dx = dx − dx =
x −1 − ln x + x −1 + C ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x +1 x −1 x −1 x −1
Trường hợp 2: Nếu x < 1 − thì x −1 1− x 1 x 2 2 Q = dx = dx = dx − dx = ln x +
x −1 − x −1 + C ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x +1 x −1 x −1 x −1 Chọn D
Câu 89. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
+ m −1 thỏa mãn F (0) = 0 và 2 x +1
F (3) = 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 − . B. 3 . C. 3 − . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B  1  Ta có F ( x) = + m −1 dx ∫ 
= x +1 + (m − ) 1 x + C .  2 x +1  F  (0) = 0 C  +1 = 0 C  = 1 − Theo giả thiết, ta có  ⇒  ⇔  . F  (3) = 7 C  + 3m = 8 m = 3
Vậy F ( x) = x +1 + 2x −1.
Câu 90. Hàm số F ( x) = (ax + b) 4x +1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của ( ) 12x f x =
. Tính a + b . 4x +1 https://toanmath.com/ A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B x
6ax + a + 2b
Ta có F ′( x) = a
x + + (ax + b) 2 4 1 . = . 4x +1 4x +1 + +  =  = Để 6ax a 2b 12x 6a 12 a 2
F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì = ⇔  ⇔  4x +1 4x +1 a + 2b = 0 b  = 1 − .
Do đó a + b =1.
Câu 91. Biết F ( x) = ( 2
ax + bx + c) 2x − 3 (a, b, c ∈) là một nguyên hàm của hàm số − +  3  f ( x) 2 20x 30x 11 = trên khoảng ; +∞ 
 . Tính T = a + b + c . 2x − 3  2 
A. T = 8 .
B. T = 5 .
C. T = 6 .
D. T = 7 . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có F ′( x) = f ( x) . 1
Tính F ′( x) = (2ax + b) 2x − 3 + ( 2
ax + bx + c). 2x − 3
( ax +b)( x − ) 2 2 2
3 + ax + bx + c 2
5ax + (3b − 6a) − + = x 3b c = . 2x − 3 2x − 3 2
5ax + (3b − 6a) − + 2 Do đó x 3b c 20x − 30x +11 = 2x − 3 2x − 3 2
⇒ ax + ( b − a) 2 5 3 6
x − 3b + c = 20x − 30x +11 5  a = 20 a = 4  ⇒  3
b − 6a = 30 − ⇒ b  = 2 − ⇒ T = 7 .   3 − b + c =11  c = 5  https://toanmath.com/
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 cos 2x là A. 2
− sin 2x + C .
B. sin 2x + C .
C. 2 sin 2x + C .
D. sin 2x + C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f
∫ (x)dx = 2cos2xdx ∫ 1
= 2. sin 2x + C = sin 2x + C . 2
Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 5x + 2 là 1 1
A. 5 cos 5x + C .
B. − cos 5x + 2x + C . C. cos 5x + 2x + C . D. cos 5x + 2x + C . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f ∫ (x) x = ∫( x + ) 1 d sin 5
2 dx = − cos 5x + 2x + C . 5
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + sin 2x là 1 1 A. 2 x −
cos 2x + C . B. 2 x +
cos 2x + C . C. 2
x − 2 cos 2x + C . D. 2
x + 2 cos 2x + C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có f
∫ (x)dx = ∫(2x+sin2x)dx 2
= x − cos 2x + C . 2
Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = cos 2x là: 1 cos 4x x cos 4x 1 cos 4x x cos 4x A. + + C . B. − + C . C. − + C . D. + + C . 2 8 2 2 2 2 2 8 Hướng dẫn giải 1+ cos 4x x sin 4x Ta có: 2 cos 2 . x dx = dx = + + C ∫ ∫  .  2  2 8 Chọn D  π 
Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3x +   .  6   π   π  A. f
∫ (x)dx = 3sin 3x+ +C   . B. f ∫ (x) 1
dx = − sin 3x + + C   .  6  3  6   π   π  C. f
∫ (x)dx = 6sin 3x+ +C   . D. f ∫ (x) 1 dx = sin 3x + + C   .  6  3  6  Hướng dẫn giải Chọn D 1 Áp dụng công thức: cos
∫ (ax+b)dx = sin(ax+b)+C . a
F ( x) = cos 2x − sin x + C f ( x) f (π) Câu 97. Cho
là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f (π) = 3 − .
B. f (π) = 1. C. f (π) = 1 − .
D. f (π) = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có: f ( x) = F′( x) ⇒ f ( x) = 2
− sin 2x − cos x Do đó: f (π) =1. https://toanmath.com/ dx ∫
Câu 98. Tính: 1+ cos x x x 1 x 1 x A. 2 tan + C . B. tan + C . C. tan + C . D. tan + C . 2 2 2 2 4 2 Hướng dẫn giải dx dx x Ta có: = = tan + C ∫ ∫ . 1+ cos x x 2 2 2 cos 2 Chọn B
Câu 99. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 6x + sin 3x , biết F ( ) 2 0 = . 3 cos 3x 2 cos 3x A. F ( x) 2 = 3x − + . B. F ( x) 2 = 3x − −1. 3 3 3 cos 3x cos 3x C. F ( x) 2 = 3x + +1. D. F ( x) 2 = 3x − +1. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:  cos 3x f
∫ (x)dx = ∫(6x+sin3x) 2 dx = 3x −
+ C = F (x) . 3  1 2 F ( ) 2 0 = ⇔ 0 − .1+ C = ⇔ C = 1. 3 3 3 cos 3x Vậy F ( x) 2 = 3x − +1. 3
Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = tan x là:
A. cot x − x + C .
B. tan x − x + C .
C. − cot x − x + C .
D. − tan x − x + C . Hướng dẫn giải Ta có: 2 xdx = ∫ ∫( 2 tan tan x +1− )
1 dx = tan x − x + C . Chọn B 1
Câu 101. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = −
và F (0) = 1. Khi đó, ta có F ( x) là: 2 cos x
A. − tan x .
B. − tan x +1.
C. tan x +1.
D. tan x −1. Hướng dẫn giải dx
Ta có: F ( x) = − = − tan x + C ∫
. Mà F (0) = 1 ⇔ − tan 0 + C = 1 ⇔ C = 1 2 cos x
Vậy F ( x) = − tan x +1. Chọn B
Câu 102. Cho hàm số f ( x) 4
= sin 2x . Khi đó:     A. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x + sin 4x + sin 8x + C   . B. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x − cos 4x + sin 8x + C   8  8  8  8  .     C. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x + cos 4x + sin 8x + C   . D. f ∫ (x) 1 1 dx =
3x − sin 4x + sin 8x + C   8  8  8  8  . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 2 1 Ta có: 4 sin 2x. x d = ∫
∫(1−cos4x) dx = ∫( 2
1− 2 cos 4x + cos 4x) dx 4 4 1 ∫(   = − x + x) 1 1 3 4 cos 4 cos 8 dx =
3x − sin 4x + sin 8x + C   . 8 8  8  Chọn D  1 
Câu 103. Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin (1− 2x) và thỏa mãn F =1.    2 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3
A. F ( x) = − cos (1− 2x) + .
B. F ( x) = cos (1− 2x). 2 2 1 1
C. F ( x) = cos (1− 2x) +1.
D. F ( x) = cos (1− 2x) + . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D
F ( x) = f
∫ (x) x = ∫ ( − x) 1 x = − −  ( − x) 1 d sin 1 2 d cos 1 2  + C = cos  (1− 2x)+C . 2 2  1  1  1  1 1 1 1 Mà F =1 ⇔ cos 1− 2.
+ C =1 ⇔ + C =1 ⇔ C = ⇒ F    
(x) = cos(1− 2x)+ .  2  2  2  2 2 2 2
Câu 104. Nguyên hàm ∫(sin 2x + cos x)dx là: 1 A.
cos 2x + sin x + C . B. − cos 2x + sin x + C . 2 1
C. − cos 2x + sin x + C .
D. − cos 2x − sin x + C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: ∫( x + x) 1 sin 2 cos dx = −
cos 2x + sin x + C . 2 Chọn C
Câu 105. Nguyên hàm sin
∫ (2x+3)+cos(3−2x)dx  là: A. 2
− cos(2x + 3) − 2sin (3− 2x) + C . B. 2
− cos(2x + 3) + 2sin (3− 2x) + C .
C. 2 cos (2x + 3) − 2sin (3 − 2x) + C .
D. 2 cos (2x + 3) + 2sin (3 − 2x) + C . Hướng dẫn giải Ta có: sin
∫ (2x+3)+cos(3−2x)dx = 2 − cos 
(2x +3)− 2sin(3− 2x)+C . Chọn A Câu 106. Nguyên hàm 2 sin ∫ (3x + ) 1 + cos x dx    là: 1 A.
x − 3sin (6x + 2) + sin x + C .
B. x − 3sin (6x + 2) + sin x + C . 2 1 1 C.
x − 3sin (3x + )
1 + sin x + C . D.
x − 3sin (6x + 2) − sin x + C . 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ 1− cos 6x + 2  1 1  2 sin ∫ (3x + ) ( ) 1 + cos x dx  = + cos x dx = − cos   ∫  ∫
(6x + 2)+ cos x dx   2   2 2  1
= x − 3sin (6x + 2) + sin x + C 2 Chọn A
Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ∫( 3 3
sin x + cos x) dx ? 3 A. 2 2 3cos .
x sin x − 3sin .
x cos x + C . B.
sin 2x (sin x − cos x) + C . 2  π   π 
C. 3 2 sin 2x sin x − + C   . D. 3 2 sin . x cos . x sin x − + C   .  4   4  Hướng dẫn giải Ta có: ∫( 3 3 x + x) 2 2 sin cos dx = 3cos .
x sin x − 3sin .
x cos x + C 3  π  = x ( x − x) 3 2 sin 2 sin cos + C = sin 2x sin x − + C   2 2  4  Chọn C
Câu 108. Cho hàm số f ( x) = cos 3 .
x cos x . Một nguyên hàm của hàm số f ( x) bằng 0 khi x = 0 là: sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x
A. 3sin 3x + sin x B. + C. + D. + 8 4 2 4 8 4 Hướng dẫn giải 1 1 1
Ta có: F ( x) = cos 3 . x cos.dx = ∫
∫(cos2x+cos4x)dx = sin4x+ sin2x+C 2 8 4 F ( ) 1 1 0 = 0 ⇔ sin 0 +
sin 0 + C = 0 ⇔ C = 0 8 4 x x Vậy F ( x) cos 4 cos 2 = + 8 4 Chọn D F ( x) f ( x) 2 = cot x
Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là:
A. cot x − x + C
B. − cot x − x + C
C. cot x + x + C
D. tan x + x + C Hướng dẫn giải Ta có: 2 xdx = ∫ ∫( 2 cot cot x +1− )
1 dx = − cot x − x + C . Chọn B sin 4x  π 
Câu 110. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = thỏa mãn F = 0   . Tính F (0) . 2 1+ cos x  2  A. F (0) = 4
− + 6ln 2 . B. F (0) = 4
− − 6ln 2 . C. F (0) = 4 − 6ln 2 . D. F (0) = 4 + 6ln 2. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1.
Ta có F ( x) = f ∫ (x)dx . − + F ( x) sin 4x 2 sin 2 . x cos 2x 4 sin 2 . x cos 2x 2.cos 2 . x (3 cos 2x)' = dx = dx = dx = dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1+ cos x 1+ cos 2x 3 + cos 2x 3 + cos 2x 1+ 2 https://toanmath.com/ (3+ cos2x)−3 ∫ (   = − + x) 3 2 d 3 cos 2 = 2 − 1− d ∫  (3 + cos 2x) 3 + cos 2x  3 + cos 2x  = 2
− (3+ cos 2x) + 6ln 3+ cos 2x + C .  π  Do F = 0 ⇔ 2 −  
(3+ cosπ )+ 6ln 3+ cosπ +C = 0 ⇔ C = 4−6ln 2.  2  ⇒ F (0) = 2
− (3+ cos0) + 6ln 3+ cos0 + 4 − 6ln 2 = 4 − + 6ln 2 . Cách 2: π 2 sin 4x π  π  dx = F ∫ (x) 2 = F − F 0 = −F 0   . 2 ( ) ( ) 0 1+ cos x  2  0 π ⇒ ( ) 2 sin 4x F 0 = − dx ≈ 0,15888 ∫ . 2 1+ cos x 0  π   π 
Câu 111. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = tan x và F =1   . Tính F −   .  4   4   π  π  π  π  π   π  π A. F − = −1   . B. F − = −1   . C. F − = 1 −   . D. F − = +1   .  4  4  4  2  4   4  2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x x =  ∫ ∫( 2 tan d tan x + )
1 −1 dx = tan x − x + C  .  π  π π π Do F
=1 ⇔ tan − + C =1 ⇔ C = ⋅    4  4 4 4  π   π   π  π π Vậy F − = tan − − − + = −1       .  4   4   4  4 2  π  3π
Câu 112. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ( + x)2 1 sin biết F =    2  4 A. F ( x) 3 1
= x + 2cos x − sin 2 . x B. F ( x) 3 1
= x − 2cos x − sin 2 . x 2 4 2 4 C. F ( x) 3 1
= x − 2cos x + sin 2 . x D. F ( x) 3 1
= x + 2cos x + sin 2 . x 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ∫(  − x
1+ sin x)2 dx = ∫( 1 cos 2 2
1+ 2 sin x + sin x)dx = 1+ 2 sin x + dx ∫   2  3 1
= x − 2cos x − sin 2x + c 2 4  π  3π 3 π π 1 3π F = ⇔ − 2cos + sinπ + c = ⇔ c = 0   .  2  4 2 2 2 4 4 Vậy F ( x) 3 1
= x − 2cos x − sin 2x . 2 4 − x + x
Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3sin 3 2 cos 3 = .
5sin 3x − cos 3x https://toanmath.com/ 17 7 17 7 A. − x +
ln 5sin 3x − cos 3x + C . B. − x −
ln 5sin 3x − cos 3x + C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x +
ln 5sin 3x − cos 3x + C . D. x −
ln 5sin 3x − cos 3x + C . 26 78 26 78 Hướng dẫn giải Chọn A 3
− sin 3x + 2cos3x = A(5sin 3x − cos3x) + B(15cos3x + 3sin 3x)  17 − A = 5  A + 3B = 3 −  26 ⇒  ⇒  −A +15B = 2 7 B =  78 a Câu 114. Biết ∫( x − x)2 sin 2 cos 2 dx = x +
cos 4x + C , với a , b là các số nguyên dương, a là phân b b
số tối giản và C ∈  . Giá trị của a + b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có ∫( x − x)2 sin 2 cos 2
dx = ∫(1− 2sin 2xcos 2x)dx = ∫(1−sin 4x)dx = x + cos 4x + C . 4 aa = 1 Mà ∫( x − x)2 sin 2 cos 2 dx = x +
cos 4x + C nên  ⇒ a + b = 5. b b  = 4
Câu 115. Tính I = 8sin 3x cos d
x x = a cos 4x + b cos 2x + C ∫
. Khi đó, a − b bằng A. 3 . B. 1 − . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
I = 8sin 3x cos d x x ∫
= 4∫(sin 4x +sin 2x)dx = −cos4x − 2cos2x +C ⇒ a = 1 − ,b = 2 − .
Câu 116. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sin x cos 3x và F (0) = 0 , khi đó x x
A. F ( x) = cos 4x − cos 2x . B. F ( x) cos 2 cos 4 1 = − − . 4 8 8 x x x x C. F ( x) cos 2 cos 4 1 = − − . D. F ( x) cos 4 cos 2 1 = − + . 2 4 4 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C x x 1
Ta có y = sin 4x − sin 2x ⇒ F ( x) cos 4 cos 2 = − +
+ C , vì F (0) = 0 nên C = − . 4 2 4 x x Nên F ( x) cos 2 cos 4 1 = − − . 2 4 4
Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x . x + α x − α
A. F x = − cos x . B. F x = 2 sin sin . 2 ( ) 1 ( ) 2 2  x   x  α + x α − x C. F x = 2 − sin α + sin α − . D. F x = 2 cos sin . 4 ( ) 3 ( )      2   2  2 2 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ Ta có sin d
x x = − cos x + C ∫
. Đáp án A là nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x . x + α x − α 2 sin sin
= cosα − cos x . Đáp án B là nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x . 2 2  x   x  2 − sin α + sin α − = cos    
(2α )−cos x . Đáp án C là nguyên hàm của hàm số  2   2 
f ( x) = sin x . α + x α − x 2 cos .sin
= sinα − sin x . Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2
f ( x) = sin x . 1
Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = tan 2x + . 2  1   1  x A. 2 tan 2x +
dx = 2 tan 2x − 2x + C ∫  . B. 2 tan 2x + dx = tan 2x − + C ∫  .  2   2  2  1   1  tan 2x x C. 2 tan 2x +
dx = tan 2x − x + C ∫  . D. 2 tan 2x + dx = − + C ∫  .  2   2  2 2 Hướng dẫn giải Chọn D  1   1 1  tan 2x x Ta có: 2 tan 2x + dx = − dx = − + C ∫  ∫  . 2  2   cos 2x 2  2 2
Câu 119. Hàm số F ( x) = ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? x − x − x − x A. f ( x) sin 3cos = . B. f ( x) cos 3sin = . cos x + 3sin x sin x − 3cos x x + x C. f ( x) cos 3sin = .
D. f ( x) = cos x + 3sin x . sin x − 3cos x Hướng dẫn giải Chọn C ′ x + x
Ta có f ( x) = F′( x) = ( x − x ) cos 3sin ln sin 3cos = . sin x − 3cos x x − x  π  3π
Câu 120. Hàm số f ( x) 7 cos 4 sin =
có một nguyên hàm F ( x) thỏa mãn F =   . Giá trị cos x + sin x  4  8  π 
F   bằng?  2  3π −11ln 2 3π 3π 3π − ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A 3 ( x + x) 11 sin cos +
(−sin x + cos x) 3 11 −sin x+cosx Ta có f ( x) 2 2 = = + . cos x + sin x 2 2 cos x + sin x  − + − + ⇒ 3 11 sin x cos x x x
F ( x) = f ∫ (x)dx = + . dx ∫ 3 11 sin cos   = x + . dx ∫
 2 2 cos x + sin x  2 2 cos x + sin x 3 11 1 = 3 11 x + d ∫
(cos x +sin x) = x + ln cos x +sin x +C . 2 2 cos x + sin x 2 2 https://toanmath.com/  π  3π 3π 11 3π Mà F =   ⇒ + ln 2 + C = 11 ⇒ C = − ln 2  4  8 8 2 8 4  π  π π Do đó 3 3 11 F = + C = − ln 2   .  2  4 4 4 sin x I = dx ∫ Câu 121. Tìm sin x + cos x ? 1 A. I =
(x+ln sin x+cos x )+C .
B. I = x + ln sin x + cos x + C . 2 1
C. I = x − ln sin x + cos x + C . D. I =
(x−ln sin x+cos x )+C . 2 Hướng dẫn giải Đặ cos x t: T = dx ∫ sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x ⇒ I + T = dx + dx =
dx = x + C 1 ∫ ∫ ∫ 1 ( ) sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x Ta lại có: sin x cos x sin x − cos x I − T = dx − dx = dx = ∫ ∫ ∫ sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x
d (sin x + cos x) ⇔ I −T = −
= − ln sin x + cos x + C 2 ∫ 2 ( ) sin x + cos x  1 I =  + = + 
(x−ln sin x+cos x )+C I T x C  1  2 Từ ( ) 1 ;(2) ta có hệ:  ⇒ 
I −T = − ln sin x + cos x + C 1  2 T
 = (x +ln sin x +cos x )+C  2 Chọn D s inx  cos x − sinx 
Câu 14. Biết I =
dx = A + B dx ∫ ∫ 
 . Kết quả của A, B lần lượt là cos x + s inx  cos x + sinx  1 1 1 1 1 1
A. A = B = .
B. A = B = − .
C. A = − , B = . D. A = , B = − . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: sin x
 cos x − sinx A(cos x + sinx) + B (cos x − sinx) = A + B =   cos x + sin x
 cos x + sinx  cos x + s inx
⇒ sinx=A(cos x + sinx) + B(cos x − sinx) = (A + B)cos x + (A − B)sinx  1 A =  + =  Do đó: A B 0  2  ⇔  A − B =1 1 B = −  2 4 cos x I = dx ∫ 4 4 Câu 122. Tìm sin x + cos x ? https://toanmath.com/ 1  1  2 + sin 2x  1  2 + sin 2x A. I =  x − ln   + C    .
B. I = x − ln   + C . 2    2 2 2 − sin 2x    2 2 2 − sin 2x   1  1  2 + sin 2x  1  2 + sin 2x C. I =  x + ln   + C    .
D. I = x − ln   + C   . 2  2 2 2 − sin 2x    2 2 2 − sin 2x   Hướng dẫn giải 4 Đặ sin x t: T = dx ∫ 4 4 sin x + cos x 4 4 4 4 cos x sin x sin x + cos x ⇒ I +T = dx + dx =
dx = x + C 1 ∫ ∫ ∫ 4 4 4 4 4 4 1 ( ) sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x Mặt khác: 4 4 4 4 cos x sin x cos x − sin x I − T = dx − dx = dx ∫ ∫ ∫ 4 4 4 4 4 4 sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 2 2 cos x − sin x cos 2x ⇔ I −T = dx = dx ∫ ∫ 2 2 1− 2 sin . x cos x 1 2 1− sin x 2 2 cos 2x 1  2 + sin 2x  ⇔ I −T = dx = ln ∫   + C 2 2 2 ( )   2 − sin 2x 2 2 2 − sin 2x   Từ ( ) 1 ;(2) ta có hệ:  1  1  2 + sin 2x 
I + T = x + CI =  x + ln   + C 1      2  2 2 2 − sin 2x     1  2 + sin 2x  ⇒  I − T = ln    + C      +  2 1 1 2 sin 2x 2 2 2 − sin 2x    T =  x − ln    + C    2  2 2 2 − sin 2x     Chọn C
Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 3 − sin 2 + 2cos − ex f x x x là A. 6 − cos 2 + 2sin − ex x x + C .
B. 6 cos 2 − 2 sin − ex x x + C . 3 3 C. cos 2 − 2 sin − ex x x + C . D. cos 2 + 2 sin − ex x x + C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D ∫( x − + − ) 3 3sin 2 2 cos e d = cos 2 + 2 sin − ex x x x x x + C . 2 π 
Câu 124. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [0;π ] \   thỏa mãn f ′( x) = tan x ,  2   π 5π  π   2π   π  x ∀ ∈ − ; \ 
   , f (0) = 0, f (π ) =1. Tỉ số giữa f
 và f   bằng:  4 4   2   3   4  1(1+ ln 2)
A. 2 (log e +1 . B. 2 . C. 2 1− log e . 2 ) 2 + . D. ( 2 ) ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/  π
− ln cos x + C khi 0 ≤ x <  1  2
Ta có f ( x) = tan x dx = − ln cos x + C = ∫  π .
−ln(−cos x) +C khi < x ≤ π 2  2
f (0) = 0 ⇒ C = 0 và f (π ) = 1 ⇒ C = 1. 1 2  π
− ln cos x khi 0 ≤ x <  Khi đó  f ( x) 2 ==  π .
−ln(−cos x)+1 khi < x ≤ π  2  2π   π  1 Suy ra f = (ln 2 +   )1 và f = ln 2   .  3   4  2
Vậy tỉ số cần tìm là 2(log e +1 2 ) https://toanmath.com/
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 5 x f x = . 2 5 x x A. 2 5 x dx ∫ = 2. + C . B. 2 5 x dx ∫ 25 = + C . ln 5 2 ln 5 x 1 25 + C. 2 5 x dx ∫ 2
= 2.5 x ln 5 + C . D. 2 5 x dx ∫ = + C x + . 1 Hướng dẫn giải Chọn B x x Ta có 2 5 x dx ∫ = 25x dx ∫ 25 = + 25 C = + C . ln 25 2 ln 5 ( ) 2018 e x f x = .
Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 9 T ∫ ( ) 1 2018 d = .e x f x x + C ∫ ( ) 2018 d = e x f x x + C A. 2018 . B. . 1 9 T ∫ ( ) 2018 d = 2018e x f x x + C ∫ ( ) 2018 d = e x f x x ln 2018 + C C. . D. . 1 9 T Hướng dẫn giải 1 9 T Chọn A 1 9 T
Theo công thức nguyên hàm mở rộng. 1 9 T F ( x) ( ) 2ex f x = F (0) = 1
Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . x A. ( ) 2ex F x = . B. F ( x) 2 e 1 = + . C. ( ) 2 2e x F x = −1. D. ( ) ex F x = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B x 1 Ta có: ( ) = ∫ ( ) 2 2 d = e d = e x F x f x x x + C ∫ . 2 x
Theo giả thiết: F ( ) 1 0 = 1 ⇒ C = . Vậy F ( x) 2 e 1 = + . 2 2 2
Câu 128. Cho F ( x) là một nguyên hàm của ( ) 3 e x f x =
thỏa mãn F (0) = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 x 2 A. F ( x) 3 = e + . B. ( ) 3 e x F x = . 3 3 3 1 1 x 4 C. ( ) 3 e x F x = +1. D. F ( x) 3 = − e + . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A x 1 Ta có ( ) 3 3 = e d = e x F x x + C ∫ . 3 Lại có F ( ) 1 2 0 = 1 ⇔ + C = 1 ⇔ C = 3 3
Câu 129. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 =
. Tìm F ( x) . 2 x 1 x 5 A. F ( x) 2 = e + x + . B. F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2 x 1 x 3 C. F ( x) 2 = e + x + . D. F ( x) 2 = e + x + . 2 2 https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D
F ( x) = ∫( x + x) x 2 e 2
dx = e + x + C . 3 F ( ) 3 0 = 0 ⇔ e + C = 1 ⇔ C = . 2 2 2 F ( x) x 1 2 = e + x + . 2
Câu 130. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ′( ) = 2018x f x
ln 2018 − cos x và f (0) = 2 . Phát biểu nào sau đúng? x A. ( ) = 2018x f x + sin x +1. B. f ( x) 2018 = + sin x +1. ln 2018 x C. f ( x) 2018 = − sin x +1. D. ( ) = 2018x f x − sin x +1. ln 2018 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) = ∫(2018x f x
ln 2018 − cos x)dx = 2018x − sin x + C Mà f (0) = 2 0
⇔ 2018 − sin 0 + C = 2 ⇔ C =1 Vậy ( ) = 2018x f x − sin x +1. 3x 2 (2 + e ) dx ∫ Câu 131. Tính 4 4 x 5 x 1 A. 3 6 3 x x + e + e + C B. 3 6 4 x x + e + e + C 3 6 3 6 4 4 x 1 x 1 C. 3 6 4 x x + e − e + C D. 3 6 4 x x + e + e + C 3 6 3 6 Hướng dẫn giải 4e x e
Ta có: ∫(2 + e ) dx = ∫(4 + 4e + e ) 3 6x 2 3x 3x 6x x d = 4x + + + C . 3 6 Chọn D x x =
Câu 132. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f (x) e (1 e− = −
) và F(0) 3 thì F(x) là? A. x e − x B. x
e − x + 2 C. x
e − x + C D. x
e − x +1 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) x = . ∫ (1 −x − ) = ∫( x − )1 x F x e e dx e
dx = e − x + C F ( ) 0
0 = 3 ⇔ e − 0 + C = 3 ⇔ C = 2 Vậy ( ) x
F x = e − x + 2 Chọn B
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e− = − là : A. x − x e + e + C . B. x − x e − e + C . C. x − x
−e + e + C . D. x x
e + e + C . Hướng dẫn giải Ta có: ∫( x − x − ) x − x e e
dx = e + e + C . Chọn A − Câu 134. Hàm số ( ) x x
F x = e + e
+ x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? https://toanmath.com/ − x − x 1 A. ( ) x x f x = e + e +1 B. 2
f (x) = e − e + x 2 x − x 1 C. ( ) x x f x e e− = − +1 D. 2
f (x) = e + e + x 2 Hướng dẫn giải Ta có: ∫( x − x + + ) 1 x − x e e
dx = e − e + x + C . Chọn C
Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 ( ) x x f x e e− = − là : 3x 2 − x e e 2 x 3 − x e e A. + + C . B. + + C . 3 2 2 3 3x 3 − x e e 2 − x 3x e e C. + + C . D. + + C . 2 2 3 2 Hướng dẫn giải x − x − e e Ta có: ∫( x x e − e ) 2 3 2 3 dx = + + C . 2 3 Chọn B
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số 2 x 3 ( ) 3 2 x f x − = − là : 2 x 3 3 2− x 2 x 3 3 2− x A. + + C . B. − + C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 2 − x 3 3 2 x 2 − x 3 3 2 x C. + + C . D. − + C . 2.ln 3 3.ln 2 2.ln 3 3.ln 2 Hướng dẫn giải − x − x 3 x 2 x Ta có: ∫(3 − 2 ) 2 3 2 3 dx = + + C . 2.ln 3 3.ln 2 Chọn A f (x) +1
Câu 137. Hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2ex F x =
. Tìm nguyên hàm của hàm số ex . f (x) +1 f (x) +1 A.
dx = ex − e−x + C ∫ . B.
dx = 2ex − e−x + C ∫ . ex ex f (x) +1 f (x) +1 1 C.
dx = 2ex + e−x + C ∫ . D. dx =
ex − e−x + C ∫ . ex ex 2 Hướng dẫn giải Chọn B ′
Vì hàm số y = f (x) có một nguyên hàm là ( ) 2ex F x = nên ta có: ( ) = ( ( )) 2 = 2e x f x F x . 2 x + +
Khi đó: f (x) 1 2e 1 dx = dx ∫ ∫ = ∫( −
2ex + e−x ) dx = 2ex − e x + C . ex ex
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ex (1 e x f x − = + ).
A. ∫ ( )d = e−x f x x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x
+ x + C .
C. ∫ ( )d = ex + e−x f x x + C . D. ∫ ( )d = ex f x x + C . Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có ∫ ( )d = ∫(ex + ) 1 d = ex f x x x + x + C . https://toanmath.com/ 2
Câu 139. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số x
y = xe . Hàm số nào sau đây không phải là F ( x) ? 2 1 A. ( ) 2 1 x F x = e + 2 . B. ( ) = ( x F x e + 5) . 2 2 2 1 C. ( ) 2 1 x F x = − e + C . D. ( ) = − (2 x F x − e ) . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C ′  
Ta thấy ở đáp án C thì 2 2 2 1 x x x
− e + C = −xe ≠ xe  
nên hàm số ở đáp án C không là một  2  2 nguyên hàm của hàm x y = xe .  x
Câu 140. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 = 2 x 3x −    . 4x   x x x A. F ( x) 12 2 = − + C . B. ( ) =12x F x
+ x x + C . ln12 3 x xx x x xx xC. F ( x) 2 2 3 =  −    . D. F ( x) 2 2 3 ln 4 =  −    . ln 2 ln 3 4x   ln 2 ln 3 4x   Hướng dẫn giải Chọn A x  Ta có f ( x) 2 = 2 x 3x −  = 12x − x   4x   x x x
Nên F ( x) = ∫( x − x ) 12 2 12 dx = − + C . ln12 3 −   x 2018e x
Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2017  −  . 5  x  2018 504, 5
A. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C .
B. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C . 4 x 4 x 504, 5 2018
C. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C .
D. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C . 4 x 4 x Hướng dẫn giải Chọn B f ∫ (x)dx = ∫( x − x 504, 5 5
2017e − 2018x )dx = 2017e + + C . 4 x 2
2 x.3x.7x dx ∫ Câu 142. Tính 84x 2 2 x.3x.7x A. + C B.
+ C C. 84x + C
D. 84x ln 84 + C ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 Hướng dẫn giải x x x x 84x Ta có: 2
2 .3 .7 dx = 84 dx = + C ∫ ∫ . ln 84 Chọn A 2 x 1 e + − 2 Câu 143. Nguyên hàm dx ∫ là: 3 x e https://toanmath.com/ 5 x 5 x x 1 5 + 2 − x 1 5 + 2 A. 3 3 e
− e + C . B. 3 3 e
+ e + C . 3 3 3 3 5 x 5 x x 1 5 + 2 x 1 5 + 2 − C. 3 3 e
− e + C . D. 3 3 e
+ e + C . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có:   2 x 1 + 2 x 1 + x x 5 x 5 x −  2x 1+− −   x 1+ −  x 1 e 2 e 2 5 + 2 − =  −  3 3 3 3 3 3 dx dx = ∫ ∫ ∫e
− 2e dx = ∫e −2e dx = e + e +C 3 x x x   3 3 e     3 3  e e  . Chọn D
Câu 144. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = và F ( ) 1
0 = − ln 4 . Tập nghiệm S của x e + 3 3
phương trình 3 ( ) + ln( x F x e + 3) = 2 là A. S = { } 2 . B. S = { 2; − } 2 . C. S = {1; } 2 . D. S = { 2; − } 1 . Hướng dẫn giải dx 1 xe  1 Ta có: F ( x) = = ∫ ∫1− dx = x − e + + C . x x ( ln( x 3) e + 3 3  e + 3  3 1 Do F ( ) 1
0 = − ln 4 nên C = 0 . Vậy ( ) = ( −ln( x F x x e + 3) . 3 3 Do đó: 3 ( ) + ln( x F x
e + 3) = 2 ⇔ x = 2 Chọn A 1
Câu 145. Hàm số F ( x) 3x 1 e + = ( 2
9x − 24x +17) + C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = + − . B. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = − − . C. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x + = − + . D. ( ) ( 2 ) 3 1 2 1 e x f x x x − = − − . Hướng dẫn giải Chọn C ′    ′ F ′( x) 1 x+ 1 3 1 = e  ( 2 9x − 24x +17) 3x 1 = 3.e +   ( 2 9x − 24x +17) 3x 1 + e + ( 2
9x − 24x +17)   27  27   1 x+ x+ 1 3 1 = 3.e ( 2 9x − 24x +17) 3 1 + e (18x − 24) 3x 1 = e + ( 2
27x − 54x + 27) 3x 1 = e +   ( 2x −2x+   )1 27 27 .
Câu 146. Cho hai hàm số ( ) ( 2 ) x F x x ax b e− = + + và ( ) ( 2 3 6) x f x x x e− = − + +
. Tìm a và b để
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) .
A. a = 1, b = 7 − . B. a = 1 − ,b = 7 − . C. a = 1 − ,b = 7 .
D. a = 1, b = 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 − a = 3 a = 1 − Ta có ′( ) = ( 2
− + (2 − ) + − ) −x F x x a x a b e = f (x) nên  ⇔  . a − b = 6 b  = 7 − n x F = x e dx ∫ Câu 147. Tìm ? n 1 − n A. x n n 1 − =  − + ( − ) n−2 1 + ...+ (!− ) 1 + (!− ) 1 n F e x nx n n x n x n  + x + C   . https://toanmath.com/ n 1 − n B. x n n 1
F = e x − nx − + n (n − ) n−2 1 x + ...+ n (!− ) 1 x + n ( ! − ) 1  + C   . C. = ! x F
n e + C . n 1 − n D. n n 1 − = − + ( − ) n−2 1 + ...+ (!− ) 1 + (!− ) 1 x F x nx n n x n x n
+ e + C . Hướng dẫn giải
Lưu ý: ta luôn có điề ′ u sau x  ( ) x  = . ( ) x + . ′( ) x e f x e f x e f
x + C = e f  
 ( x) + f ′( x) + C  − F = e  ∫ ( n x n x + . n
n x − ) − n( n x − + (n − ) 1 n
x − ) + n(n − ) 1 ( n
x − + (n − 2) n
x − ) + ...+ n ( ! − ) 1 1 1 2 2 3 1 (x + ) 1 + n ( ! −  −
⇔ F = e x − nx − + n(n − ) n n x n n 1 n
x − + ... + n ( ! − ) 1 1 2 1 x + n ( ! − ) 1    Chọn B Câu 148. Giả sử 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫
. Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫ nên ( 3 2 2
(ax + bx + cx + d ) x e + C) 2 2 x 2 x 3 2
' = (3ax + 2bx + c)e
+ 2e (ax + bx + cx + d) = ( 3 2
2ax + (3a + 2b)x + (2b + 2c)x + c + 2d ) 2x e 3 2 2
= (2x + 5x − 2x + 4) x e 2a = 2 a = 1    + =  = Do đó 3a 2b 5 b 1  ⇔ 
. Vậy a + b + c + d = 3 . 2b + 2c = 2 − c = 2 −   c + 2d = 4 d = 3 −   x 2018e x
Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2017  −  . 5  x  2018 504, 5
A. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C .
B. ∫ ( )d = 2017ex f x x + + C . 4 x 4 x 504, 5 2018
C. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C .
D. ∫ ( )d = 2017ex f x x − + C . 4 x 4 x Hướng dẫn giải Chọn B f ∫ (x)dx = ∫( x − x 504, 5 5
2017e − 2018x )dx = 2017e + + C . 4 x Câu 150. Giả sử 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫
. Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 x 3 2 3 2 2 (2 + 5 − 2 + 4) = ( + + + ) x e x x x dx ax bx cx d e + C ∫ nên ( 3 2 2
(ax + bx + cx + d ) x e + C) 2 2 x 2 x 3 2
' = (3ax + 2bx + c)e
+ 2e (ax + bx + cx + d) = ( 3 2
2ax + (3a + 2b)x + (2b + 2c)x + c + 2d ) 2x e 3 2 2
= (2x + 5x − 2x + 4) x e https://toanmath.com/ 2a = 2 a = 1    + =  = Do đó 3a 2b 5 b 1  ⇔ 
. Vậy a + b + c + d = 3 . 2b + 2c = 2 − c = 2 −   c + 2d = 4 d = 3 Câu 151. Cho ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 − + ) 2 2018 3 1 e x f x x x trên khoảng ( ;
−∞ +∞) . Tính T = a + 2b + 4c . A. T = 3035 − .
B. T = 1007 . C. T = 5053 − .
D. T = 1011. Hướng dẫn giải Chọn A Vì ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 − + ) 2 2018 3 1 e x f x x x trên ′ khoảng ( ;
−∞ +∞) nên ta có: (F (x)) = f (x) , với mọi x∈( ; −∞ +∞) . ⇔ ( 2 + ( + )− + ) 2x = ( 2 − + ) 2 2 2 2 2 e 2018 3 1 e x ax x b a c b x x , với mọi x ∈ ( ; −∞ +∞) .   =  a 1009 2a = 2018   ⇔  2021 2b + 2a = 3 − ⇔ b  = − .  2  2 − c + b =1   2023 c = −  4  2021  2023 
Vậy T = a + 2b + 4c = 1009 + 2. − + 4. −     = 3035 − .  2   4  Câu 152. Biết ( ) ( 2 ) x F x ax bx c e− = + +
là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 2 5 2) x f x x x e− = − + trên
 . Tính giá trị của biểu thức f F (0)   . A. 1 e− − . B. 2 20e . C. 9e . D. 3e . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ′( ) = ( ′ ′ 2 +
+ ) −x + ( 2 + + )( −x ) = ( + ) −x − ( 2 2 + + ) −x F x ax bx c e ax bx c e ax b e ax bx c e ( ) 2 = − + (2 − ) x F x ax
a b x + b − c e− ′     Vì ( ) ( 2 ) x F x ax bx c e− = + +
là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 2 5 2) x f x x x e− = − + trên  nên: ′( ) = ( ) 2 ∀ ∈  ⇔ − + ( − ) − x + −  = ( 2 , 2 2 − 5 + 2) −x F x f x x ax a b x b c e x x e , x ∀ ∈    −a = 2 a = 2 −  
⇔ 2a −b = 5 − ⇔ b  = 1 .   b − c = 2 c = 1 −   Như vậy ( ) ( 2 ) −x F x x x e F ( ) ( 2 ) 0 2 1 0 2.0 0 1 e− = − + − ⇒ = − + − = 1 − .
Bởi vậy f F  ( ) = f  (− ) = ( 2 0 1
2.1 + 5.1+ 2)e = 9e .
Câu 153. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị ln 2
biểu thức T = F (0) + F ( )
1 + F (2) + ... + F (2017) . https://toanmath.com/ 2017 2 +1 2017 2 −1 2018 2 −1 A. T = 1009. . B. 2017.2018 T = 2 . C. T = . D. T = . ln 2 ln 2 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn D x
Ta có: F ( x) = f ∫ (x) x 2 dx = 2 dx = + C ∫ . ln 2 1 1 2x Mà F ( ) 1 0 = ⇒ + C =
⇒ C = 0 ⇒ F (x) = . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó:
T = F (0) + F ( )
1 + F (2) + ... + F (2017) 0 2 2017 2018 2018 2 2 2 2 1 1− 2 2 −1 = + + +...+ = . = ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1− 2 ln 2 https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Câu 1.
Cho hàm số f ( x) = . Khi đó: 2 x +1 A. f ∫ (x)dx = ( 2
2 ln 1+ x ) + C . B. f ∫ (x)dx = ( 2
3ln 1+ x ) + C . C. f ∫ (x)dx = ( 2
4 ln 1+ x ) + C . D. f ∫ (x)dx = ( 2 ln 1+ x ) + C . Câu 2.
Cho hàm số f ( x) = x ( x + )4 2
1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) đồ thị hàm số y = F ( x)
đi qua điểm M (1;6). Khi đó F(x) là: (x + )4 2 1 (x + )5 2 2 1 15
A. F ( x) = − .
B. F ( x) = − . 4 5 10 8 (x + )5 2 1 15 1 14
C. F ( x) = + .
D. F ( x) = (x + )5 2 1 + . 10 8 10 5 2 − x Câu 3. Tính dx ∫
thu được kết quả là: 2 1− x 1+ x x A. + C . B. + C . 1− x 1− x 1 C. + C . D. 2 ln 1− x + C . 1− x 2x +1 Câu 4.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x + x + 4 A. 2
2 ln x + x + 4 + C . B. 2
ln x + x + 4 + C . 2 ln x + x + 4 C. + C . D. 2
4 ln x + x + 4 + C . 2 2 + x Câu 5.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là : 2 x + 4x − 4 1 A. 2
.ln x + 4x − 4 + C . B. 2
ln x + 4x − 4 + C . 2 C. 2
2 ln x + 4x − 4 + C . D. 2
4 ln x + 4x − 4 + C . 2x Câu 6.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x + 4 2 ln x + 4 A. 2
2 ln x + 4 + C B. + C 2 C. 2
ln x + 4 + C D. 2
4 ln x + 4 + C 2 3x Câu 7.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x + là: 4 A. 3
3ln x + 4 + C B. 3 3
− ln x + 4 + C https://toanmath.com/ C. 3
ln x + 4 + C D. 3
−ln x + 4 + C x Câu 8.
Một nguyên hàm của f (x) = là: 2 x +1 1 1 A. ln x +1 B. ( 2 2 ln x + ) 1 C. 2 ln(x +1) D. 2 ln(x +1) 2 2 3 x F (x) = dx ∫ 4 Câu 9. Tính x −1 1 A. 4
F (x) = ln x −1 + C B. 4 F (x) =
ln x −1 + C 4 1 1 C. 4 F (x) =
ln x −1 + C D. 4 F (x) =
ln x −1 + C 2 3 sin x
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: cos x − 3
A. − ln cos x − 3 + C
B. 2 ln cos x − 3 + C ln cos x − 3 C. − + C
D. 4 ln cos x − 3 + C 2 x  π 
Câu 11. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) sin = và F = 2   . Tính F (0). 1+ 3cos x  2  A. F ( ) 1
0 = − ln 2 + 2 . B. F ( ) 2 0 = −
ln 2 + 2 . C. F ( ) 2 0 = − ln 2 − 2 . D. 3 3 3 F ( ) 1 0 = − ln 2 − 2 . 3
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: 2 3 y = sin . x cos x là: 1 1 1 1 A. 3 5
sin x − sin x + C . B. 3 5
− sin x + sin x + C . 3 5 3 5 C. 3 5
sin x + sin x + C . D. 3 5
sin x − sin x + C .
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: 3 y = sin . x cosx là: 1 1 1 A. 4
cos x + C . B. 4
sin x + C . C. 3
sin x + C . D. 2 −cos x + C . 4 4 3 2 cos . x sin . x dx ∫ Câu 14. Tính
3sin x − sin 3x
3cos x − cos 3x A. + C B. + C 12 12 3 sin x C. + C D. 2
sinx .cos x + C 3
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = là: sin x x x A. ln cot + C B. ln tan + C 2 2 x C. − ln tan + C
D. ln sin x + C 2
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan x là:
A. ln cos x + C
B. − ln cos x + C https://toanmath.com/ 2 tan x C. + C
D. ln (cos x) + C 2 2 1− 2 sin x
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = .  π  2 2 sin  x +   4  A. f
∫ (x)dx = ln sin x+cos x +C . B. f ∫ (x) 1 dx =
ln sin x + cos x + C . 2 C. f
∫ (x)dx = ln 1+sin2x +C . D. f ∫ (x) 1 dx =
ln 1+ sin 2x + C . 2 x e
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x e + là: 3 A. x
−e − 3 + C B. 3 x
e + 9 + C C. 2 − ln x
e + 3 + C D. ln x
e + 3 + C 2
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 2x f x x là: 1 2 1 ln 2 2 A. + C B. .2x + C C. + C
D. ln 2.2x + C 2 2 ln 2.2x ln 2 2x 2
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 x f x xe là: x − 2 e x e A. + C . B. + C . 2 2 2 C. x
−e + C . D. x e + C . 2 1 . x x e + dx ∫ Câu 21. Tính 2 + 2 1 A. x 1 e + C . B. x e + C . 2 2 1 2 1 C. x 1
e + + C . D. x 1 e − + C . 2 2
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln x f x = . x 1 A. f ∫ (x) 2
dx = ln x + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
ln x + C . 2 C. f
∫ (x)dx = ln x+C D. ∫ ( )d x f x
x = e + C ln 2x
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là : x
A. ln 2x + C . B. 2
ln x + C . 2 ln 2x ln x C. + C . D. + C . 2 2 1+ ln x Câu 24. Nguyên hàm dx ∫
(x > 0) bằng x 1 1 A. 2
ln x + ln x + C . B. 2
x + ln x + C . C. 2
ln x + ln x + C . D. 2 x + ln x + C . 2 2 dx
Câu 25. Tính F (x) = ∫ x 2 ln x +1
A. F (x) = 2 2 ln x +1 + C
B. F (x) = 2 ln x +1 + C https://toanmath.com/ 1 1
C. F (x) =
2 ln x +1 + C
D. F (x) =
2 ln x +1 + C 4 2 ln x
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: x 2 ln x ln x A. 2
ln x + C
B. ln x + C C. + C D. + C 2 2 2x
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 f (x) = ln(x +1) là: 2 x +1 1 A. 2 2 ln (x +1) + C B. 2 ln(x +1) + C 2 1 1 C. 2 2 ln (x +1) + C D. 2 2 ln (x +1) + C 2 2 dx Câu 28. Tính ∫ . x ln x
A. ln x + C
B. ln | x | +C C. ln(lnx) + C
D. ln | lnx | + C
Câu 29. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 =
thỏa mãn F (5) = 7 . 2x −1
A. F ( x) = 2 2x −1 .
B. F ( x) = 2 2x −1 +1.
C. F ( x) = 2x −1 + 4 .
D. F ( x) = 2x −1 −10 .
Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . x x +1dx ∫ bằng 1 3 3 1 A. 2 3
. (x +1) + C. B. 2 3
. (x +1) + C. C. 2 4 3
. (x +1) + C. D. 2 4 3 . (x +1) + C. 8 8 8 8  1 
Câu 31. Biết f
∫ (x)dx = 2xln(3x− )1+C với x∈ ;+∞    3 
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f
∫ (3x)dx = 2xln(9x− )1+C . B. f
∫ (3x)dx = 6xln(3x− )1+C . C. f
∫ (3x)dx = 6xln(9x− )1+C . D. f
∫ (3x)dx = 3xln(9x− )1+C .
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho
f (x)dx = F (x) + C. ∫
Khi đó với a ≠ 0, ta có f (a x + b)dx ∫ bằng: 1 A.
F (a x + b) + C B. .
a F (a x + b) + C 2a 1 C.
F (a x + b) + C
D. F (a x + b) + C a Câu 33. Hàm số 10
f (x) = x(1− x) có nguyên hàm là: 12 11 (x −1) (x −1) 12 11 (x −1) (x −1)
A. F (x) = − + C .
B. F (x) = + + C . 12 11 12 11 11 10 (x −1) (x −1) 11 10 (x −1) (x −1) C. + + C .
D. F (x) = − + C . 11 10 11 10 https://toanmath.com/ dx Câu 34. Tính ∫
thu được kết quả là: 2 (1+ x )x A. x ( 2 ln x + ) 1 + C . B. 2
ln x 1+ x + C . x 2 1 x C. ln + C . D. .ln + C 2 2 1+ x 2 1+ . x
Câu 35. Tính x ( x + ∫ )3 1 dx là : ( 5 4 x + )5 (x + )4 1 1 (x + ) 1 (x + ) 1 A. + + C B. − + C 5 4 5 4 5 4 2 x 3x x 5 4 2 x 3x x C. 3 + + x − + C D. 3 + − x + + C 5 4 2 5 4 2
Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15
x(x + 7) dx ∫ 1 1 1 1 A. (x +7)16 2 + C . B. − (x +7)16 2 + C . C. (x +7)16 2 + C . D. (x +7)16 2 + C 2 32 16 32 .
Câu 37. Xét I = x ( x − ∫ )5 3 4 4
3 dx . Bằng cách đặt: 4
u = 4x − 3 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. 5 I = u du ∫ . B. 5 I = u du ∫ . C. 5 I = u du ∫ . D. 5 I = u du ∫ . 16 12 4 6 8 7 Câu 38. Cho 2x
∫ (3x−2) dx = A(3x−2) + B(3x−2) +C với A, B ∈ và C∈ . Giá trị của
biểu thức 12A + 7B bằng 23 241 52 7 A. . B. . C. . D. . 252 252 9 9 a b − − 2017 1 x 1 x
Câu 39. Giả sử x ∫ (1− x) ( ) ( ) dx = −
+ C với a,b là các số nguyên dương. Tính a b
2a − b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . x
Câu 40. Nguyên hàm của dx ∫ là: 2 x +1
A. ln t + C , với 2
t = x +1.
B. − ln t + C , với 2
t = x +1. 1 1 C.
ln t + C , với 2
t = x +1. D. −
ln t + C , với 2 t = x +1. 2 2 2x Câu 41. Tính ∫ ( dx là: 4 2 x + 9) 1 1 A. − + C B. − + C 5( x + 9)5 2 3( x + 9)3 2 4 1 C. − ( + C D. − + C x + 9)5 2 (x +9)3 2 (7x − )2017 1
Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K = ∫ ( dx ? 2x + )2019 1 2018 2018 2018 1  7x −1 18162 (2x + ) 1 + (7x − ) 1 A. .  . B. . 18162  2x +1 18162 (2x + )2018 1 https://toanmath.com/ 2018 2018 18162 − (2x + )2018 1 + (7x − )2018 1 18162 (2x + ) 1 − (7x − ) 1 C. . D. . 2018 18162 (2x + )2018 1 18162 (2x + ) 1 1
Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm dx ∫ bằng: 2 x +1 1 1 A. 2 t + C . B. t + C . C. 2 t + C .
D. t + C . 2 2 (2x +3)dx 1
Câu 44. Giả sử ∫ (
( C là hằng số). + ) = − + C
x x 1 ( x + 2)( x + 3) +1 g ( x)
Tính tổng các nghiệm của phương trình g ( x) = 0 . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − .
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 3 1 A. f ∫ (x) 2 dx =
x 2x + 3 + C . B. f
∫ (x)dx = (2x+3) 2x+3 +C . 3 3 2 C. f
∫ (x)dx = (2x+3) 2x+3 +C . D. f
∫ (x)dx = 2x+3 +C . 3
Câu 46. Hàm số F ( x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 y = x +1 ? F ( x) 3 = (x + )43 1 + C 4 A. 8 .
B. F ( x) = (x + )4 3 1 + C . 3 3 3
C. F ( x) = ( x + ) 3 1
x +1 + C .
D. F ( x) = (x + )3 4 1 + C . 4 4
Câu 47. Tìm hàm số F ( x) biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x và F ( ) 1 = 1. A. F ( x) 2 = x x . B. F ( x) 2 1 = x x + . 3 3 3 C. F ( x) 1 1 =
+ . D. F (x) 2 5 = x x − . 2 x 2 2 3 3
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = . 2 2x +1 A. f ∫ (x) 1 dx =
2x +1 + C . B. f
∫ (x)dx = 2x+1+C . 2 1 C. f
∫ (x)dx = 2 2x+1+C . D. f ∫ (x)dx = + ( C . 2x + ) 1 2x +1
Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2
f (x) = x 1+ x là: 1 1
A. F (x) = ( 1+x )32
B. F (x) = ( 1+x )22 3 3 2 2 x 1 C. F x = ( 2 ( ) 1+ x )
D. F (x) = ( 1+x )22 2 2
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 2x x +1 là: 2 A. (x + )3 2 1 + C B. − (x + )3 2 2 1 + C 3 https://toanmath.com/ 1 − C. ( x + )3 2 1 + C D. (x + )3 2 1 + C 3
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 2x 1− x là: 1 A. (1− x )3 2 + C B. − ( − )3 2 1 x + C 3 2 C. ( − )3 2 2 1 x + C D. − (1− x )3 2 + C 3
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = x 3x −1 là: 1 7 1 5 1 6 1 4 A. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . B. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . 21 15 18 12 1 3 1 4 1 C. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . D. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . 9 12 3
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = 2x 1− 2x là: ( − 4 7 x)3 ( − x)6 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( − x) 3 3 1 2 3 (1− 2x) A. − + + C B. − + + C 6 12 8 14 ( − 4 7 x)3 ( − x)6 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( − x) 3 3 1 2 3 (1− 2x) C. − + C D. − + C 6 12 8 14 Câu 54. Cho 3 2 I = x x + 5dx ∫ , đặt 2 u =
x + 5 khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2
I = (u − 5u )du. ∫ B. 2 I = u du. ∫ C. 4 3
I = (u − 5u )d . u ∫ D. 4 3
I = (u + 5u )d . u ∫ 4
Câu 55. Cho I = x 1+ 2x dx ∫ và u =
2x +1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 1 3 A. 2 I = x ( 2 x − ∫ )1dx. B. 2 I = u ( 2 u − ∫ )1du . 2 1 1 3 5 3 1  u u  3 1 C. I =  −  . D. 2 I = u ( 2 u − ∫ )1du. 2  5 3  2 1 1 x − 3
Câu 56. Khi tính nguyên hàm dx ∫
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A. u ∫ ( 2 2
u − 4)du . B. ∫( 2
u − 4)du . C. ∫ ( 2
2 u − 4)du . D. ∫( 2 u − 3)du . x
Câu 57. Cho f (x) = ( 2
2 x +1 + 5 , biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa 2 ) x +1  3 
F (0) = 6 . Tính F   .  4  125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 5 dx
Câu 58. Tính tích phân: I = ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5 . Tổng a + b là x 3x +1 1 A. 2 . B. 3 . C. 1 − . D. 1. x
Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = là: 2 1− x https://toanmath.com/ 1 1 A. ( 2 x + 2) 2 1− x + C B. − ( 2 x + ) 2 1
1− x + C 3 3 1 1 C. ( 2 x + ) 2 1
1− x + C D. − ( 2 x + 2) 2
1− x + C 3 3 2x
Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x +1 1 A. 2
x +1 + C B. + C 2 2 x +1 C. 2
2 x +1 + C D. 2
4 x +1 + C 4x
Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 4 − x A. 2 2
− 4 − x + C . B. 2
4 4 − x + C . 2 4 − x C. − + C . D. 2 4
− 4 − x + C . 2 1
Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm I = dx ∫ bằng: 2 −x + 2x + 3
A. sin t + C . B. t − + C .
C. − cos t + C .
D. t + C .  3  x − x +
Câu 63. Biết rằng trên khoảng ; + ∞ 
 , hàm số f ( x) 2 20 30 7 = có một nguyên hàm  2  2x − 3 F ( x) = ( 2
ax + bx + c) 2x − 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .  1 1+ 3  a 1 1+ 3 b Câu 64. 3
∫ x + x+1+ +
dx có dạng x − + x + ( x+1)3 4
+ C , trong đó a, b 2   x 2   4 x 2 3
là hai số hữu tỉ. Giá trị ,
b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1 .
C. a, b ∈ ∅ D. 1; 2 . dx T = ∫ ( + n n x + )n 1 1 Câu 65. Tìm ? 1 − 1  1 n   1 nA. T = +1 + C   B. T = +1 + C   nxnx  − C. = ( n + ) 1 1 n T x + C D. = ( n + )1 1 n T x + C . 1 2 − x
Câu 66. Tìm R = dx ∫ ? 2 x 2 + x tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x A. R = − + ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x B. R = − − ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x C. R = + ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x D. R = − ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  https://toanmath.com/ HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t = cos x,u = sin x , nguyên hàm của
I = ∫(tan x + cot x)dx là:
A. − ln t + ln u + C .
B. ln t − ln u + C .
C. ln t + ln u + C .
D. − ln t − ln u + C .  π  F  
Câu 68. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = sin .
x cos x và F (0) = π . Tính  2  .  π  F = π −    π   π  1  π  1 A.  2  . B. F = π   . C. F = − +π   . D. F = +π   .  2   2  4  2  4 sin 2x
Câu 69. Tìm nguyên hàm dx ∫ . Kết quả là 2 1+ sin x 2 1+ sin x A. + C . B. 2
1+ sin x + C . C. 2
− 1+ sin x + C . D. 2
2 1+ sin x + C . 2  π 
Câu 70. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 3 = sin 2 .
x cos 2x thỏa F = 0   là  4  1 1 1 1 1 1 A. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x + . B. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4 C. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x − . D. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . 6 10 15 6 10 15
Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 5 = tan x . 1 1 A. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x −
tan x + ln cosx + C . 4 2 1 1 B. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x +
tan x − ln cosx + C . 4 2 1 1 C. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x +
tan x + ln cosx + C . 4 2 1 1 D. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x −
tan x − ln cosx + C . 4 2
2 sin x + 2 cos x
Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm của I = dx ∫ là: 3 1− sin 2x A. 3
2 t + C . B. 3
6 t + C . C. 3
3 t + C . D. 3 12 t + C . HÀM MŨ –LÔGARIT
Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 2 x 1 x e + =  − − 1  1 − − + A. 5 3 4 2 t
− + 2t − dt = t − t − ln t + C ∫  . B. ∫ ( ) 3 1 d = 3 x f x x e + C . t  4 1 3 x + C. f ∫ (x) 3 x 1 dx e + = + C . D. f ∫ (x) 3 x 1 dx = e + C . 3 3 dx
Câu 74. Tìm nguyên hàm I = ∫ . 1 x + e https://toanmath.com/ A. = − ln 1 x I x
− e + C . B. = + ln 1 x I x
+ e + C . C. = − − ln 1 x I x
+ e + C . D. = − ln 1 x I x + e + C .
Câu 75. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
thỏa mãn F (0) = 10 . Tìm F ( x) 2ex + 3 . 1 1 x ln 5
A. F ( x) = ( x − ln (2e + 3) +10 + . B. ( ) = ( +10−ln(2ex F x x + 3) . 3 3 3   
C. F ( x) 1 x 3 = x − ln e + +10 + ln 5 − ln 2    . D. 3   2      − F ( x) 1 x 3 ln 5 ln 2 = x − ln e + +10 −    . 3   2   3 ln 2x
Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm dx ∫ bằng: x 1 A. 2 t + C . B. 2 t + C . C. 2 2t + C . D. 2 4t + C . 2
Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số sin x cos = 2 .2 x y
(cos x −sin x)? sin +cos = + sin x cos 2 .2 x A. 2 x x y C . B. y = . C. sin cos ln 2.2 x x y + = . D. ln 2 sin x+cos 2 x y = − + C . ln 2 ln 2
Câu 78. Cho hàm số ( ) = 2 x f x
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. ( ) = 2 x F x + C . B. ( ) = 2 (2 x F x − ) 1 + C . C. ( ) = 2 (2 x F x + ) 1 + C . D. 1 ( ) 2 x F x + = + C . + x
Câu 79. Nguyên hàm của f ( x) 1 ln = là . x ln x 1+ ln x 1+ ln x A.
dx = ln ln x + C ∫ . B. 2
dx = ln x .ln x + C ∫ . . x ln x . x ln x 1+ ln x 1+ ln x C.
dx = ln x + ln x + C ∫ . D. dx = ln .
x ln x + C ∫ . . x ln x . x ln x 2 a (x+ )2 b
Câu 80. ∫( x + ) x −5x+4 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx có dạng 1 e
+ sin 2x + C , trong đó a, b là hai số 6 2
hữu tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3 . C. 3; 2 . D. 6; 1. x
e (3x − 2) + x −1
Câu 81. Tìm I = dx ∫ ? x −1 ( x e . x −1 + ) 1 A. = + ln ( x I x e . x −1 + ) 1 + C . B. = − ln ( x I x e . x −1 + ) 1 + C . C. = ln ( x I e . x −1 + ) 1 + C . D. = ln ( x I e . x −1 − ) 1 + C . x ln ( 2 1+ x ) + 2017x
Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ? x +  
ln ( .ex + e) 2 1 2    https://toanmath.com/ A. ( 2x + )+  ( 2 ln 1 1008 ln ln x + ) 1 +1 . B. ( 2x + )+  ( 2 ln 1 2016 ln ln x + ) 1 +1 . 1 C. ln ( 2 x + ) 1 + 2016 ln ln  ( 2 x + ) 1 +1 . 2 1 D. ln ( 2 x + ) 1 +1008 ln ln  ( 2 x + ) 1 +1 . 2 2 2x + (1+ 2 ln x) 2 .x + ln x
Câu 83. Tìm G = ∫ ( dx ?
x + x ln x)2 2 1 − 1 1 1 A. G = − + C . B. G = − + C . x x + ln x x x + ln x 1 1 1 1 C. G = − + C . D. G = + + C . x x + ln x x x + ln x 1− ln x
Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h ( x) = ? 1−n x .ln . x ( n x + lnn x) 1 1 1 1 A. ln − ln n + lnn x x x + 2016 . B. ln + ln n + lnn x x x + 2016 . n n n n 1 1 1 1 C. − ln + ln n + lnn x x x + 2016 . D. − ln − ln n + lnn x x x − 2016 . n n n n https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Câu 1.
Cho hàm số f ( x) = . Khi đó: 2 x +1 A. f ∫ (x)dx = ( 2
2 ln 1+ x ) + C . B. f ∫ (x)dx = ( 2
3ln 1+ x ) + C . C. f ∫ (x)dx = ( 2
4 ln 1+ x ) + C . D. f ∫ (x)dx = ( 2 ln 1+ x ) + C . Hướng dẫn giải d ( 2 x dx + ) 1 2x. Ta có: 2 = = ln x +1 + C ∫ ∫ . 2 2 x +1 x +1 Chọn D Câu 2.
Cho hàm số f ( x) = x ( x + )4 2
1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) đồ thị hàm số y = F ( x)
đi qua điểm M (1;6). Khi đó F(x) là: (x + )4 2 1 (x + )5 2 2 1 15
A. F ( x) = − .
B. F ( x) = − . 4 5 10 8 (x + )5 2 1 15 1 14
C. F ( x) = + .
D. F ( x) = (x + )5 2 1 + . 10 8 10 5 Hướng dẫn giải 4 4 5 1 1
Ta có F ( x) = x
∫ ( 2x + )1 dx = ∫( 2x + )1 d ( 2x + )1 = ( 2x + )1 +C 2 10 M (1;6) 1
∈(C) : y = F(x) ⇔ 6 = (1+ ) 14 1 + C ⇔ C = ⇒ F (x) 1 = (x + )5 5 14 2 1 + 10 5 10 5 Chọn D 2 − x Câu 3. Tính dx ∫
thu được kết quả là: 2 1− x 1+ x x A. + C . B. + C . 1− x 1− x 1 C. + C . D. 2 ln 1− x + C . 1− x Hướng dẫn giải − d ( 2 1 2 . − x x dx ) Ta có: 2 = = ln 1− x + C ∫ ∫ . 2 2 1− x 1− x Chọn D 2x +1 Câu 4.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x + x + 4 A. 2
2 ln x + x + 4 + C . B. 2
ln x + x + 4 + C . 2 ln x + x + 4 C. + C . D. 2
4 ln x + x + 4 + C . 2 Hướng dẫn giải + d x ( 2x + x+4 2 1 ) Ta có: 2 dx =
= ln x + x + 4 + C ∫ ∫ . 2 2 x + x + 4 x + x + 4 Chọn B https://toanmath.com/ 2 + x Câu 5.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là : 2 x + 4x − 4 1 A. 2
.ln x + 4x − 4 + C . B. 2
ln x + 4x − 4 + C . 2 C. 2
2 ln x + 4x − 4 + C . D. 2
4 ln x + 4x − 4 + C . Hướng dẫn giải + d x ( 2x +4x+4 2 1 ) 1 Ta có: 2 dx = .
= .ln x + 4x − 4 + C ∫ ∫ . 2 2 x + 4x − 4 2 x + 4x + 4 2 Chọn A 2x Câu 6.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x + 4 2 ln x + 4 A. 2
2 ln x + 4 + C B. + C 2 C. 2
ln x + 4 + C D. 2
4 ln x + 4 + C Hướng dẫn giải d x ( 2x +4 2 ) Ta có: 2 = = ln x + 4 + C ∫ ∫ 2 2 x + 4 x + 4 Chọn C 2 3x Câu 7.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x + là: 4 A. 3
3ln x + 4 + C B. 3 3
− ln x + 4 + C C. 3
ln x + 4 + C D. 3
−ln x + 4 + C Hướng dẫn giải d x dx ( 3 2 x + 4 3 . ) Ta có: 3 = = ln x + 4 + C ∫ ∫ 3 3 x + 4 x + 4 Chọn C x Câu 8.
Một nguyên hàm của f (x) = là: 2 x +1 1 1 A. ln x +1 B. ( 2 2 ln x + ) 1 C. 2 ln(x +1) D. 2 ln(x +1) 2 2 Hướng dẫn giải d ( 2 x x dx + ) 1 . 1 1 Ta có: = = ln ∫ ∫ ( 2x +1 2 2 ) x +1 2 x +1 2 Chọn C 3 x Câu 9. Tính F (x) = dx ∫ 4 x −1 1 A. 4
F (x) = ln x −1 + C B. 4 F (x) =
ln x −1 + C 4 1 1 C. 4 F (x) =
ln x −1 + C D. 4 F (x) =
ln x −1 + C 2 3 3 4 x 1 d (x −1) 1 Ta có: 4 dx = = ln x −1 + C ∫ ∫ 4 4 x −1 4 x −1
4 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 3 4 x 1 d (x −1) 1 Ta có: 4 dx = = ln x −1 + C ∫ ∫ 4 4 x −1 4 x −1 4 Chọn B sin x
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: cos x − 3
A. − ln cos x − 3 + C
B. 2 ln cos x − 3 + C ln cos x − 3 C. − + C
D. 4 ln cos x − 3 + C 2 Hướng dẫn giải sin x
−d (cos x −3) Ta có: dx =
= −ln cos x − 3 + C ∫ ∫ cos x − 3 cos x − 3 Chọn A x  π 
Câu 11. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) sin = và F = 2   . Tính F (0). 1+ 3cos x  2  A. F ( ) 1
0 = − ln 2 + 2 . B. F ( ) 2 0 = −
ln 2 + 2 . C. F ( ) 2 0 = − ln 2 − 2 . D. 3 3 3 F ( ) 1 0 = − ln 2 − 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B sin x 1 d (1+ 3cos x) 1 Ta có: dx = −
= − ln 1+ 3cos x + C ∫ ∫ . 1+ 3cos x 3 1+ 3cos x 3  π  Do F = ⇔ C = ⇒ F   ( ) 2 2 2 0 = − ln 2 + 2 .  2  3
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: 2 3 y = sin . x cos x là: 1 1 1 1 A. 3 5
sin x − sin x + C . B. 3 5
− sin x + sin x + C . 3 5 3 5 C. 3 5
sin x + sin x + C . D. 3 5
sin x − sin x + C . Hướng dẫn giải Ta có: 2 3 x dx = ∫ ∫( 2 4 sin .cos .
sin x − sin x).cos . x dx = ∫( x x
sin x − sin x).d (sin x) 3 5 sin sin 2 4 = − + C . 3 5 Chọn A
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: 3 y = sin . x cosx là: 1 1 1 A. 4
cos x + C . B. 4
sin x + C . C. 3
sin x + C . D. 2 −cos x + C . 4 4 3 Hướng dẫn giải sin x Ta có: sin . x cos . x dx = sin . x d ∫ ∫ (sin x) 4 3 3 = + C . 4 Chọn B 2 cos . x sin . x dx ∫ Câu 14. Tính
3sin x − sin 3x
3cos x − cos 3x A. + C B. + C 12 12 3 sin x C. + C D. 2
sinx .cos x + C 3 https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải sin x Ta có: cos . x sin . x dx = sin . x d ∫ ∫ (sin x) 3 2 2 = + C 3 Chọn C
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = là: sin x x x A. ln cot + C B. ln tan + C 2 2 x C. − ln tan + C
D. ln sin x + C 2 Hướng dẫn giải dx sin . x dx −sin . x dx d (cos x) 1 cos x −1 Ta có: = = = = ln + C ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 sin x 1− cos x cos x −1 cos x −1 2 cos x +1 Chọn B
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan x là:
A. ln cos x + C
B. − ln cos x + C 2 tan x C. + C
D. ln (cos x) + C 2 Hướng dẫn giải sin . x dx d (cosx) Ta có: tan . x dx = = −
= −ln cos x + C ∫ ∫ ∫ cos x cos x Chọn B 2 1− 2 sin x
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = .  π  2 2 sin  x +   4  A. f
∫ (x)dx = ln sin x+cos x +C . B. f ∫ (x) 1 dx =
ln sin x + cos x + C . 2 C. f
∫ (x)dx = ln 1+sin2x +C . D. f ∫ (x) 1 dx =
ln 1+ sin 2x + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A  π  Áp dụng công thức 2 2 2
1− 2 sin x = cos 2x = cos x − sin x và  x +  = ( x + x)2 2 2 sin sin cos  4  x − x
Hàm số được rút gọn thành f ( x) cos sin = sin x + cos x d sin x + cos x Nguyên hàm f ∫ (x) ( ) dx = ∫
= ln sin x + cos x + C sin x + cos x x e
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x e + là: 3 A. x
−e − 3 + C B. 3 x
e + 9 + C C. 2 − ln x
e + 3 + C D. ln x
e + 3 + C Hướng dẫn giải d e ( x x e + 3) Ta có: dx = = ln x e + 3 + C ∫ ∫ x e + 3 x e + 3 Chọn D https://toanmath.com/ 2
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 2x f x x là: 1 2 1 ln 2 2 A. + C B. .2x + C C. + C
D. ln 2.2x + C 2 2 ln 2.2x ln 2 2x Hướng dẫn giải 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 Ta có: 2 .2 = 2 .2 .ln 2 = ∫ ∫ ∫ (2 ) = .2x x dx x d + C ln 2 ln 2 ln 2 Chọn B 2
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 x f x xe là: x − 2 e x e A. + C . B. + C . 2 2 2 C. x
−e + C . D. x e + C . Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta có: 2 . x = ∫ ∫ ( x ) x x e dx d e = e + C . Chọn D 2 1 . x x e + dx ∫ Câu 21. Tính 2 + 2 1 A. x 1 e + C . B. x e + C . 2 2 1 2 1 C. x 1
e + + C . D. x 1 e − + C . 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 x + 1 x + 1 Ta có: 1 1 x 1 I xe dx d (e ) e + = = = + C ∫ ∫ . 2 2 Chọn C
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln x f x = . x 1 A. f ∫ (x) 2
dx = ln x + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
ln x + C . 2 C. f
∫ (x)dx = ln x+C D. ∫ ( )d x f x
x = e + C Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f ∫ (x)dx = ln d x ∫ (ln x) 2 = ln x + C . 2 ln 2x
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là : x
A. ln 2x + C . B. 2
ln x + C . 2 ln 2x ln x C. + C . D. + C . 2 2 Hướng dẫn giải x x Ta có: dx = x d ∫ ∫ ( x) 2 ln 2 ln 2 ln 2 . ln 2 = + C . x 2 Chọn C 1+ ln x Câu 24. Nguyên hàm dx ∫
(x > 0) bằng x 1 1 A. 2
ln x + ln x + C . B. 2
x + ln x + C . C. 2
ln x + ln x + C . D. 2 x + ln x + C . 2 2 https://toanmath.com/ Hướ ng dẫn giải Chọn A 1+ ln x 1 ln x 1 1 Ta có dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ = dx + ln d x ∫ ∫ (ln x) 2
= ln x + ln x + C . x x x x 2 dx F (x) = ∫ + Câu 25. Tính
x 2 ln x 1
A. F (x) = 2 2 ln x +1 + C
B. F (x) = 2 ln x +1 + C 1 1
C. F (x) =
2 ln x +1 + C
D. F (x) =
2 ln x +1 + C 4 2 Hướng dẫn giải
Ta có: F (x) = d ( 2 ln x +1) = 2 ln x +1 + C ∫ . Chọn B ln x
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: x 2 ln x ln x A. 2
ln x + C
B. ln x + C C. + C D. + C 2 2 Hướng dẫn giải x x Ta có: dx = x d ∫ ∫ ( ) 2 ln ln ln . lnx = + C x 2 Chọn C 2x
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 f (x) = ln(x +1) là: 2 x +1 1 A. 2 2 ln (x +1) + C B. 2 ln(x +1) + C 2 1 1 C. 2 2 ln (x +1) + C D. 2 2 ln (x +1) + C 2 2 Hướng dẫn giải 2x 1 Ta có: 2 2 2 2 2
ln(x +1)dx = ln(x +1) d(ln(x +1)) = ln (x +1) + C ∫ ∫ 2 x +1 2 Chọn D dx Câu 28. Tính ∫ . x ln x
A. ln x + C
B. ln | x | +C C. ln(lnx) + C
D. ln | lnx | + C Hướng dẫn giải dx d (ln x) Ta có: = = ln ln x + C ∫ ∫ . x ln x ln x Chọn D
Câu 29. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 =
thỏa mãn F (5) = 7 . 2x −1
A. F ( x) = 2 2x −1 .
B. F ( x) = 2 2x −1 +1.
C. F ( x) = 2x −1 + 4 .
D. F ( x) = 2x −1 −10 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 d (2x − ) 1 Ta có dx = 2 ∫ ∫
= 2 2x −1 + C ; 2x −1 2 2x −1 https://toanmath.com/
Do F (5) = 7 nên 6 + C = 7 ⇒ C = 1.
Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . x x +1dx ∫ bằng 1 3 3 1 A. 2 3
. (x +1) + C. B. 2 3
. (x +1) + C. C. 2 4 3
. (x +1) + C. D. 2 4 3 . (x +1) + C. 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 3 3 Ta có 3 2 . x x +1dx ∫ = ( 2x + )1 d( 2 3 x + ∫ )1 = (x + )4 2 3 1 + C = (x + )4 2 3 1 + C . 2 8 8  1 
Câu 31. Biết f
∫ (x)dx = 2xln(3x− )1+C với x∈ ;+∞    3 
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f
∫ (3x)dx = 2xln(9x− )1+C . B. f
∫ (3x)dx = 6xln(3x− )1+C . C. f
∫ (3x)dx = 6xln(9x− )1+C . D. f
∫ (3x)dx = 3xln(9x− )1+C . Lởi giải Chọn A Cách 1: 1 1 f
∫ (x)dx = 2xln(3x− )1+C ⇒ f (3x)dx ∫ = f
∫ (3x)d(3x) = 2.(3x)ln(3.3x− )1+C 3 3
= 2x ln (9x − ) 1 + C Cách 2: ′ x Ta có f
∫ (x)dx = 2xln(3x− )1+C ⇒ f (x) = (2xln(3x− )1+C) = ( x− ) 6 2 ln 3 1 + . 3x −1 Khi đó ( x) = ( x − ) 18x f 3 2 ln 9 1 + . 9x −1  x    f (3x) dx ∫ = ∫ ( x − ) 18 2 ln 9 1 + dx   = ∫ ( x − ) 2 2 ln 9 1 dx + 2 + dx ∫   9x −1  9x −1  2
= ( x − ) ( x − ) 2 9 1 ln 9
1 − 9x + 2x + ln 
(9x − )1+C = 2ln(9x − ) 1 + C . 9 9 https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu f
∫ (x)dx = F (x)+C thì f u
∫  (x).u'
 ( x)dx = F u  ( x) + C  .
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = f
∫ (x)dx , trong đó ta có thể phân tích
f ( x) = g (u ( x))u '( x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u ( x) , suy ra dt = u '( x) dx .
Khi đó ta được nguyên hàm: g
∫ (t)dt = G(t)+C = G u(x) +C. 
Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x) .
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho
f (x)dx = F (x) + C. ∫
Khi đó với a ≠ 0, ta có f (a x + b)dx ∫ bằng: 1 A.
F (a x + b) + C B. .
a F (a x + b) + C 2a 1 C.
F (a x + b) + C
D. F (a x + b) + C a Hướng dẫn giải Ta có: I = f
∫ (ax+b)dx Đặ 1
t: t = ax + b ⇒ dt = adx ⇒ dt = dx . a Khi đó: 1 = ∫ ( ) 1 I f t dt =
F (t ) + C a a 1 Suy ra: I =
F (ax + b) + C a Chọn C Câu 33. Hàm số 10
f (x) = x(1− x) có nguyên hàm là: 12 11 (x −1) (x −1) 12 11 (x −1) (x −1)
A. F (x) = − + C .
B. F (x) = + + C . 12 11 12 11 11 10 (x −1) (x −1) 11 10 (x −1) (x −1) C. + + C .
D. F (x) = − + C . 11 10 11 10 Hướng dẫn giải Ta có: I = x ∫ ( − x)10 . 1
.dx . Đăt: t = 1− x ⇒ −dt = dx , x = 1− t .
Khi đó I = ∫(t − ) 1 1 10 11 10 12 11
1 .t .dt = (t − t ).dt = t − t + c ∫ 12 11 1 12 1 11 Suy ra I =
(1− x) − (1− x) +C . 12 11 Chọn A dx Câu 34. Tính ∫
thu được kết quả là: 2 (1+ x )x A. x ( 2 ln x + ) 1 + C . B. 2
ln x 1+ x + C . x 2 1 x C. ln + C . D. .ln + C 2 2 1+ x 2 1+ . x Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ dx xdx 1 Ta có: = ∫ ∫ . Đặt: 2 2 t = 1+ x ⇒ dt = .
x dx , x = t −1. 2 2 2 (1+ x )x (1+ x )x 2 2 Khi đó: 1 1 1 t −1 1 x I = . dt = + C ⇒ I = + C ∫ 2 t.(t − ) .ln ln . 2 1 2 t 2 1+ x Chọn D x ( x + ∫ )3 1 dx Câu 35. Tính là : ( 5 4 x + )5 (x + )4 1 1 (x + ) 1 (x + ) 1 A. + + C B. − + C 5 4 5 4 5 4 2 x 3x x 5 4 2 x 3x x C. 3 + + x − + C D. 3 + − x + + C 5 4 2 5 4 2 Hướng dẫn giải
Ta có: I = x ( x + ∫ )3 1 dx
Đặt: t = x +1⇒ dt = dx, x = t −1 Khi đó:  
I = ∫(t − ) t dt = ∫(t − t ) 5 4 t t 3 4 3 1 . . dt =  −  + C  5 4  (x + )5 (x + )4 1 1 Suy ra: I = − + C 5 4 Chọn B
Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15
x(x + 7) dx ∫ 1 1 1 1 A. (x +7)16 2 + C . B. − (x +7)16 2 + C . C. (x +7)16 2 + C . D. (x +7)16 2 + C 2 32 16 32 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ 1 t 2
t = x + 7 ⇒ dt = 2 d x x ⇒ d x x = dt 2 16 16 1 1 t 1 Ta có 2 15 15
x(x + 7) dx = t dt = . + C = ∫ ∫ ( 2x +7) +C . 2 2 16 32
Câu 37. Xét I = x ( x − ∫ )5 3 4 4
3 dx . Bằng cách đặt: 4
u = 4x − 3 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. 5 I = u du ∫ . B. 5 I = u du ∫ . C. 5 I = u du ∫ . D. 5 I = u du ∫ . 16 12 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 4 3 3
u = 4x − 3 ⇒ du = 16x dx ⇒
du = x dx . 16 1 5 ⇒ I = u du ∫ . 16 6 8 7 Câu 38. Cho 2x
∫ (3x−2) dx = A(3x−2) + B(3x−2) +C với A, B ∈ và C∈ . Giá trị của biểu
thức 12A + 7B bằng 23 241 52 7 A. . B. . C. . D. . 252 252 9 9 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Đặ t + t t = 3x − 2 2 ⇒ x = 1 ⇒ dt = dx . 3 3 2 t + 2 2 8 7 2 t 4 t 1 8 4 7 Ta có: 6 .t dt ∫ = ∫( 7 6
t +2t )dt = . + . + C = .(3x − 2) +
.(3x − 2) + C . 3 3 9 9 8 9 7 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A = , B = , 12. + 7. = . 36 63 36 63 9 a b − − 2017 1 x 1 x
Câu 39. Giả sử x ∫ (1− x) ( ) ( ) dx = −
+ C với a,b là các số nguyên dương. Tính 2a − b a b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Tacó: 2018 2019 ∫ ( − x − x
x 1− x)2017 dx = ∫(x −1+ )
1 (1− x)2017 dx = ∫( 1− x)2017 − (1− x)2018 ) (1 ) (1 ) dx = − + + C 2018 2019
Vậy a = 2019,b = 2018 ⇒ 2a − b = 2020 . Chọn D x
Câu 40. Nguyên hàm của dx ∫ là: 2 x +1
A. ln t + C , với 2
t = x +1.
B. − ln t + C , với 2
t = x +1. 1 1 C.
ln t + C , với 2
t = x +1. D. −
ln t + C , với 2 t = x +1. 2 2 Hướng dẫn giải Đặt 2
t = x +1 ⇒ dt = 2xdx . x 1 1 1 ⇒ dx = ... = dt = ln t + C ∫ ∫ . 2 x +1 2 t 2 Chọn C 2x ∫ ( dx 4 2 x + 9) Câu 41. Tính là: 1 1 A. − + C B. − + C 5( x + 9)5 2 3( x + 9)3 2 4 1 C. − ( + C D. − + C x + 9)5 2 (x +9)3 2 Hướng dẫn giải 2x Ta có: I = ∫ ( dx 4 2 x + 9) Đặt: 2
t = x + 9 ⇒ dt = 2 . x dx Khi đó: I dt − 1 4 = = t .dt = − + C ∫ ∫ 4 3 t 3t 1 Suy ra: I = − + C 3( 2 x + 9) Chọn B (7x − )2017 1
Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K = ∫ ( dx ? 2x + )2019 1 https://toanmath.com/ 2018 2018 2018 1  7x −1 18162 (2x + ) 1 + (7x − ) 1 A. .  . B. . 18162  2x +1 18162 (2x + )2018 1 2018 2018 18162 − (2x + )2018 1 + (7x − )2018 1 18162 (2x + ) 1 − (7x − ) 1 C. . D. . 2018 18162 (2x + )2018 1 18162 (2x + ) 1 Hướng dẫn giải (7x − )2017 2017 1  7x −1 1 Ta có: K = = ∫ ( dx dx ∫  2x + ) . 2019 1  2x +1 (2x + )2 1 Đặ 7x −1 9 dt 1 t t = ⇒ dt = dx ⇔ = dx 2x +1 (2x + )2 1 9 (98x + )2 1 2018 2018 1 t 1  7x −1 2017 ⇒ K = t dt = + C = . + C ∫   9 18162 18162  2x +1 Chọn D 1
Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm dx ∫ bằng: 2 x +1 1 1 A. 2 t + C . B. t + C . C. 2 t + C .
D. t + C . 2 2 Hướng dẫn giải  π π Ta đặ  1
t: x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt   . 2  2 2  cos t 1 ⇒
dx = ... = dt = t + C ∫ ∫ . 2 x +1 Chọn D (2x +3)dx 1
Câu 44. Giả sử ∫ (
( C là hằng số). + ) = − + C
x x 1 ( x + 2)( x + 3) +1 g ( x)
Tính tổng các nghiệm của phương trình g ( x) = 0 . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x ( x + )
1 ( x + 2)( x + 3) +1 = ( 2 x + x)( 2 3
x + 3x + 2) +1 = (x + x) 2 2 3 +1 . Đặt 2
t = x + 3x , khi đó dt = (2x + 3) dx . Tích phân ban đầ dt 1 u trở thành = − + ∫ ( . t + ) C 2 1 t +1 (2x +3)dx 1
Trở lại biến x , ta có ∫ ( . + ) = − + C
x x 1 ( x + 2)( x + 3) 2 +1 x + 3x +1 Vậy g ( x) 2 = x + 3x +1. − + 3 − − 5 g ( x) 3 5 2
= 0 ⇔ x + 3x +1 = 0 ⇔ x = hoặc x = . 2 2
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 − . https://toanmath.com/
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 3 1 A. f ∫ (x) 2 dx =
x 2x + 3 + C . B. f
∫ (x)dx = (2x+3) 2x+3 +C . 3 3 2 C. f
∫ (x)dx = (2x+3) 2x+3 +C . D. f
∫ (x)dx = 2x+3 +C . 3 Hướng dẫn giải Chọn B
Xét I = ∫( 2x + 3)dx .
Đặt 2x + 3 = t 2
⇔ t = 2x + 3 ⇔ 2tdt = 2dx . 1 1 2
I = t.tdt = t dt ∫ ∫ 3
= t + C = ( x + )3 1 2 3 + C ⇔ f
∫ (x)dx = (2x+3) 2x+3 +C . 3 3 3
Câu 46. Hàm số F ( x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 y = x +1 ? F ( x) 3 = (x + )43 1 + C 4 A. 8 .
B. F ( x) = (x + )4 3 1 + C . 3 3 3
C. F ( x) = ( x + ) 3 1
x +1 + C .
D. F ( x) = (x + )3 4 1 + C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 3 I = x +1dx ∫ . Đặt: 3 t = x +1 3 ⇒ t = x +1 2
⇒ 3t dt = dx . 3 3 3 2
⇒ I = t.3t dt ∫ 3 = 3t dt ∫ 4 = t + C = (x + )4 3 1 + C = (x + ) 3 1 x +1 + C . 4 4 4 3
Vậy F ( x) = ( x + ) 3 1
x +1 + C . 1 8 T 4 F ( x) F ( x)
f ( x) = x F ( ) 1 = 1
Câu 47. Tìm hàm số biết
là một nguyên hàm của hàm số và . A. F ( x) 2 = x x . B. F ( x) 2 1 = x x + . 3 3 3 C. F ( x) 1 1 =
+ . D. F (x) 2 5 = x x − . 2 x 2 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: F ( x) = x dx ∫ Đặ 2 t t = x suy ra 2
t = x và dx = 2dt . Khi đó 3
I = t.2tdt = t + C ∫ 2
⇒ I = x x + C . 3 3 1 Vì F ( ) 1 = 1 nên C = .Vậy F ( x) 2 1 = x x + . 3 3 3
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = . 2 2x +1 A. f ∫ (x) 1 dx =
2x +1 + C . B. f
∫ (x)dx = 2x+1+C . 2 https://toanmath.com/ 1 C. f
∫ (x)dx = 2 2x+1+C . D. f ∫ (x)dx = + ( C . 2x + ) 1 2x +1 Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt 2x +1 = t 2
⇒ 2x +1 = t ⇒ dx = tdt . Khi đó ta có 1 t 2x +1dx ∫ 1 dt = ∫ = 1 = dt ∫ 1 = t + 1 C = 2x +1 + C . 2 2 t 2 2 2
Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2
f (x) = x 1+ x là: 1 1
A. F (x) = ( 1+x )32
B. F (x) = ( 1+x )22 3 3 2 2 x 1 C. F x = ( 2 ( ) 1+ x )
D. F (x) = ( 1+x )22 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: 2
I = x 1+ x dx ∫ 3 Đặ t t: 2 2 2
t = 1+ x ⇒ t = 1+ x ⇒ t.dt = . x dx Khi đó: I 2
= t.t.dt = t dt = + C ∫ ∫ 3 1 Suy ra: I = ( 1+x )32+C 3 Chọn A
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 2x x +1 là: 2 A. (x + )3 2 1 + C B. − (x + )3 2 2 1 + C 3 1 − C. ( x + )3 2 1 + C D. (x + )3 2 1 + C 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2
I = 2x x +1dx ∫ Đặt: 2 2 2 t =
x +1 ⇒ t = x +1 ⇒ 2tdt = 2xdx . 3 Khi đó: I 2t 2
= t.2t.dt = 2t .dt = + C ∫ ∫ 3 2 Suy ra: I = (x + )3 2 1 + C . 3 Chọn A
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 2x 1− x là: 1 A. (1− x )3 2 + C B. − ( − )3 2 1 x + C 3 2 C. ( − )3 2 2 1 x + C D. − (1− x )3 2 + C 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2
I = 2x 1− x dx ∫ Đặt: 2 2 2
t = 1− x ⇒ t = 1− x ⇒ 2
− tdt = 2xdx . Khi đó: I t = t. ∫ ( 2 − t) 3 2 2 .dt = 2 − t .dt = − + K ∫ 3 https://toanmath.com/ 2 Suy ra: I = − (1− x )3 2 + C . 3 Chọn D
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = x 3x −1 là: 1 7 1 5 1 6 1 4 A. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . B. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . 21 15 18 12 1 3 1 4 1 C. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . D. 3 (3x − ) 3 1 + (3x − ) 1 + C . 9 12 3 Hướng dẫn giải Ta có: 3
I = x 3x −1dx ∫ . Đặt: 3 3 2
t = 3x −1 ⇒ t = 3x −1 ⇒ t .dt = dx 3 7 5 Khi đó: t +1 1 1  t t  2 I =
.t.t .dt = ∫ ∫( 6 4
t + t ) dt =  +  + C 3 3 3  7 5  1  1 7 1 5  Suy ra 3 I =  (3x − ) 3 1 + (3x − )1 +C  . 3  7 5  Chọn A
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = 2x 1− 2x là: ( − 4 7 x)3 ( − x)6 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( − x) 3 3 1 2 3 (1− 2x) A. − + + C B. − + + C 6 12 8 14 ( − 4 7 x)3 ( − x)6 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( − x) 3 3 1 2 3 (1− 2x) C. − + C D. − + C 6 12 8 14 Hướng dẫn giải Ta có: 3
I = 2x 1− 2xdx ∫ Đặ 3 t: 3 3 2
t = 1− 2x ⇒ t = 1− 2x ⇒ − t .dt = dx . 2 Mặt khác: 3 2x = 1− t 4 7 Khi đó: I 3 3 3  t t  3 2 3 6
= − (1− t )t t .dt = −
(t − t )dt = − ∫ ∫  −  + C 2 2 2  4 7    3 ( − x)4 ( − x)7 3 3 1 2 1 2   Suy ra: I = − − + C . 2  4 7    Chọn B Câu 54. Cho 3 2 I = x x + 5dx ∫ , đặt 2 u =
x + 5 khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2
I = (u − 5u )du. ∫ B. 2 I = u du. ∫ C. 4 3
I = (u − 5u )d . u ∫ D. 4 3
I = (u + 5u )d . u ∫ Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt 2 u = x + 5 2 2
⇒ u = x + 5 ⇒ d u u = d x x Khi đó: 3 2 I = x x + 5dx ∫ 2 2 = x x x + x = ∫ ∫( 2 . . 5d u − 5). . u d u u = ∫( 4 2
u − 5u )du 4
Câu 55. Cho I = x 1+ 2x dx ∫ và u =
2x +1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 https://toanmath.com/ 3 1 3 A. 2 I = x ( 2 x − ∫ )1dx. B. 2 I = u ( 2 u − ∫ )1du . 2 1 1 3 5 3 1  u u  3 1 C. I =  −  . D. 2 I = u ( 2 u − ∫ )1du. 2  5 3  2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B 4
I = x 1+ 2xdx ∫ 0 Đặ 1 t u = 2x +1 ⇒ x =
( 2u − )1 ⇒ dx = udu, đổi cận: x = 0⇒ u =1, x = 4⇒ u = 3. 2 3 Khi đó 1 I = ( 2u − ∫ ) 2 1 u du . 2 1 x − 3
Câu 56. Khi tính nguyên hàm dx ∫
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A. u ∫ ( 2 2
u − 4)du . B. ∫( 2
u − 4)du . C. ∫ ( 2
2 u − 4)du . D. ∫( 2 u − 3)du . Hướng dẫn giải Chọn C  = Đặ dx 2udu t u =
x +1 , u ≥ 0 nên 2 u = x +1 ⇒  . 2 x = u −1 − 2 − − Khi đó x 3 u 1 3 dx ∫ = .2udu ∫ = ∫ ( 2 2 u − 4)du . x +1 u x
Câu 57. Cho f (x) = ( 2
2 x +1 + 5 , biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa 2 ) x +1  3 
F (0) = 6 . Tính F   .  4  125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 t =
x +1 ⇒ tdt = d x x . x f (x)dx = ∫ ∫ ( 2
2 x +1 + 5 dx = ∫( t + ) 2 2
5 dt = t + 5t + C = ( 2 x + ) 2
1 + 5 x +1 + C . 2 ) x +1
F (0) = 6 ⇒ C = 0 .  3  125 Vậy F =   .  4  16 5 dx
Câu 58. Tính tích phân: I = ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5 . Tổng a + b là x 3x +1 1 A. 2 . B. 3 . C. 1 − . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 5 dx I = ∫ x 3x +1 1 https://toanmath.com/ 2 − Đặ u 1 1
t u = 3x +1 → x = → dx = 2udu 3 3
Đổi cận: x =1→ u = 2 x = 5 → u = 4 4 4 2 u +1− (u − ) 4 1 u −1 3 1 Vậy I = du = du = ln = ln − ln = 2ln 3 − ln 5 ∫ ∫ 2 u −1 u +1 u −1 u +1 5 3 2 2 ( )( ) 2
Do đó a = 2; b = 1
− → a + b = 1. x
Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 = là: 2 1− x 1 1 A. ( 2 x + 2) 2 1− x + C B. − ( 2 x + ) 2 1
1− x + C 3 3 1 1 C. ( 2 x + ) 2 1
1− x + C D. − ( 2 x + 2) 2
1− x + C 3 3 Hướng dẫn giải 3 x Ta có : I = dx ∫ 2 1− x Đặt 2 2 2
t = 1− x ⇒ t = 1− x ⇒ t − dt = xdx 2 3 − Khi đó: (1 t ) t 2 I = −
tdt = (t −1)dt = − t + C ∫ ∫ . t 3 2 3 ( 1− x ) 1 Thay 2
t = 1− x ta được 2 I =
− 1− x + C = − ( 2 x + 2) 2 1− x + C . 3 3 Chọn D 2x
Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 x +1 1 A. 2
x +1 + C B. + C 2 2 x +1 C. 2
2 x +1 + C D. 2
4 x +1 + C Hướng dẫn giải 2x Ta có: I = dx ∫ 2 x +1 Đặt: 2 2 2 t =
x +1 ⇒ t = x +1 ⇒ 2t.dt = 2 . x dx . Khi đó: I 2t.dt = = 2t + C ∫ t Suy ra: I 2 = 2 x +1 + C . Chọn C 4x
Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 4 − x A. 2 2
− 4 − x + C . B. 2
4 4 − x + C . 2 4 − x C. − + C . D. 2 4
− 4 − x + C . 2 Hướng dẫn giải 4x Ta có: I = dx ∫ . Đặt: 2 2 2 t =
4 − x ⇒ t = 4 − x ⇒ 4
− tdt = 4xdx . 2 4 − x https://toanmath.com/ Khi đó: 4 − tdt 2 I = = 4
− t + C ⇒ I == 4 − 4 − x + C ∫ . t Chọn D 1
Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm I = dx ∫ bằng: 2 −x + 2x + 3
A. sin t + C . B. t − + C .
C. − cos t + C .
D. t + C . Hướng dẫn giải 1 Ta biến đổi: I = dx ∫ . 4 − ( x − )2 1  π π Đặ 
t x −1 = 2 sin t, t ∈ − , ⇒ dx = 2costdt   .  2 2 
⇒ I = dt = t + C ∫ . Chọn D  3  x − x +
Câu 63. Biết rằng trên khoảng ; + ∞ 
 , hàm số f ( x) 2 20 30 7 = có một nguyên hàm 1 7 T 1 7 T  2  2x − 3 F ( x) = ( 2
ax + bx + c) 2x − 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2
t = 2x − 3 ⇒ t = 2x − 3 ⇒ dx = tdt 2 2 2  t + 3   t + 3  20 − 30 + 7     2 Khi đó 20x − 30x + 7  2   2  dx ∫ = tdt ∫ = ∫( 4 2
5t +15t + 7)dt 2x − 3 t 5 3 = 5 3
t + 5t + 7t + C = (2x − 3) + 5 (2x − 3) + 7 2x − 3 + C = ( x − )2 2 3
2x − 3 + 5(2x − 3) 2x − 3 + 7 2x − 3 + C = ( 2 4x − 2x + ) 1 2x − 3 + C
Vậy F ( x) = ( 2 4x − 2x + ) 1
2x − 3 . Suy ra S = a + b + c = 3 .  1 1+ 3  a 1 1+ 3 b Câu 64. 3
∫ x + x+1+ +
dx có dạng x − + x + ( x+1)3 4
+ C , trong đó a, b 2   x 2   4 x 2 3
là hai số hữu tỉ. Giá trị ,
b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1 .
C. a, b ∈ ∅ D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1:  +  Theo đề 1 1 3 , ta cần tìm 3
∫ x + x+1+ +
dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 2   x 2   Ta có:  1 1+ 3   1 1+ 3  3 3
∫ x + x+1+ +
dx = ∫ x + +  dx + x +1 dx ∫ . 2 2     x 2 x 2      +  Để 1 1 3 tìm ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx ta đặt 3 I = ∫ x + +  dx và I = x +1 dx ∫ và tìm 1 2   x 2   2 I , I . 1 2 https://toanmath.com/  1 1+ 3  *Tìm 3 I = ∫ x + +  dx . 1 2   x 2    1 1+ 3  1 1 1+ 3 3 4 I = ∫ x + +  dx = x − +
x + C , trong đó C là 1 hằng số. 1 2 1   x 2 4 x 2 1   *Tìm I = x +1 dx ∫ . 2
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt t = x +1,t ≥ 0 ta được 2t = x +1, 2tdt = dx . 2 2 Suy ra I =
x +1 dx = 2t dt = t + C = ∫ ∫ ( x+1)3 2 3 + C . 2 2 2 3 3  1 1+ 3  1 1 1+ 3 2 1 1 1+ 3
∫ x + x+1+ +
dx = I + I = x − + x + C + x +1 + C = x − + x + 2   ( )3 3 4 4 1 2 1 2 x 2 4 x 2 3 4 x 2    +  + Suy ra để 1 1 3 a 1 1 3 b 3
∫ x + x+1+ +
dx có dạng x − + x + ( x+1)3 4 + C thì 2   x 2   4 x 2 3 a = 1∈ ,  b = 2∈ . 
Vậy đáp án chính xác là đáp án D
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a 1 1+ 3 b
Ta thay giá trị của a, b ở các đáp án vào x − + x + ( x+1)3 4 + C . Sau đó, với 4 x 2 3 a b 1
mỗi a, b ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C . 3 2 4 Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự ,
b a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I = x +1 dx ∫ . 2
Dùng phương pháp đổi biến.
Đặt t = x +1,t ≥ 0 ta được 2t = x +1, tdt = dx . 1 1 Suy ra I =
x +1 dx = t dt = t + C = ∫ ∫ ( x+1)3 2 3 + C . 2 2 2 3 3  1 1+ 3  1 1 1+ 3 1 1 1 1+ 3
∫ x + x+1+ +
dx = I + I = x − + x + C + x +1 + C = x − + x + 2   ( )3 3 4 4 1 2 1 2 x 2 4 x 2 3 4 x 2    +  + Suy ra để 1 1 3 a 1 1 3 b 3
∫ x + x+1+ +
dx có dạng x − + x + ( x+1)3 4 + C thì 2   x 2   4 x 2 3 a = 1∈ ,  b =1∈ . 
Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I = x +1 dx ∫ . 2 1 I = x +1 dx = + C ∫ . 2 2 2 x +1 https://toanmath.com/  1 1+ 3  Suy ra 3
∫ x + x+1+ +  dx không thể có dạng 2   x 2   a 1 1+ 3 b x − + x + ( x+1)3 4
+ C , với a, b∈ . 4 x 2 3
Nên không tồn tại a,b thỏa yêu cầu bài toán.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. dx T = ∫ ( + n n x + )n 1 1 Câu 65. Tìm ? 1 − 1  1 n   1 nA. T = +1 + C   B. T = +1 + C   nxnx  − C. = ( n + ) 1 1 n T x + C D. = ( n + )1 1 n T x + C . Hướng dẫn giải 1 1 −n 1 − − dx dx x − −   n− 1 n Ta có: 1 T = = = dx = x +1 dx ∫ ∫ ∫ ∫ (   + + n +  xn x + ) 1 1 1 n n n 1 1 +  1  1  1 n nx .n +1   + n 1   nx   x  Đặ 1 n t: − 1 t = +1 n ⇒ dt = − = −nx − n n 1 x x + 1 − 1 1 − 1 1 − −  1 nn n ⇒ T = − t dt = t + C = +1 + C ∫   n nxChọn A 1 2 − x R = dx ∫ 2 + Câu 66. Tìm x 2 x ? tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x A. R = − + ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x B. R = − − ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x C. R = + ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  tan 2t 1 1+ sin 2t 1  x D. R = − ln + C t = arctan   . 2 4 1− với sin 2t 2  2  Hướng dẫn giải  π Đặ 
t x = 2 cos 2t với t ∈ 0;    2  dx = 4 − sin 2t.dt  Ta có: 2  2 − x 2 − 2 sin 2t 4 sin t sin t  = = = 2  2 + x 2 + 2 cos 2t 4 cos t cos t 2 1 sin t 2 sin t 1− cos 2t ⇒ R = − .
.4 sin 2t.dt = − dt = − dt ∫ ∫ ∫ 2 2 2 4 cos 2t cos t cos 2t cos 2t 1 1 tan 2t 1 1+ sin 2t ⇔ R = − dt + dt = − + ln + C ∫ ∫ 2 cos 2t cos 2t 2 4 1− sin 2t https://toanmath.com/ Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t = cos x,u = sin x , nguyên hàm của I = ∫(tan x + cot x)dx là:
A. − ln t + ln u + C .
B. ln t − ln u + C .
C. ln t + ln u + C .
D. − ln t − ln u + C . Hướng dẫn giải x x Ta có: ∫( x + x) sin cos tan cot dx = dx + dx ∫ ∫ . cos x sin x sin x 1 Xét I = dx ∫
. Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx ⇒ I = − dt = −ln t + C ∫ . 1 cos x 1 1 t cos x 1 Xét I = dx ∫
. Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx ⇒ I =
du = ln u + C ∫ . 2 sin x 2 2 u
⇒ I = I + I = − ln t + ln u + C 1 2 Chọn A  π  F   F ( x) f ( x) 3 = sin . x cos x F (0) = π Câu 68. Biết
là một nguyên hàm của hàm số và . Tính  2  . 4 6 T  π  F = π −    π   π  1  π  1 A.  2  . B. F = π   . C. F = − +π   . D. F = +π   .  2   2  4  2  4 Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos d x x . 4 t 4 sin x
F ( x) = f ∫ (x)dx 3 = sin x cos d x x ∫ 3 = t dt ∫ = + C = + C . 4 4 4 sin π x F (0) = π ⇒
+ C = π ⇔ C = π ⇒ F (x) 4 sin = +π . 4 4 π 4 sin  π  2 1 F =   = +π .  2  4 4 sin 2x
Câu 69. Tìm nguyên hàm dx ∫ . Kết quả là 2 1+ sin x 2 1+ sin x A. + C . B. 2
1+ sin x + C . C. 2
− 1+ sin x + C . D. 2
2 1+ sin x + C . 2 Hướng dẫn giải. Chọn D Đặt 2 t = 1+ sin x sin 2x 2t 2 2
⇒ t = 1+ sin x ⇒ 2tdt = sin 2 d x x ⇒ dx = dt ∫ ∫ 2 1+ sin t x 2
= 2dt = 2t + C = 2 1+ sin x + C ∫  π 
Câu 70. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 2 3 = sin 2 .
x cos 2x thỏa F = 0   là  4  https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1 1 A. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x + . B. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4 C. F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x − . D. F ( x) 3 5 = sin 2x + sin 2x − . 6 10 15 6 10 15 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt t = sin 2x ⇒ dt = 1 2.cos 2 d x x ⇒ dt = cos 2 d x x . 2 Ta có: 1 1 1 1 F ( x) 2 3 = sin 2 . x cos 2 d x x ∫ 2 = t . ∫ ( 2
1− t )dt = ∫( 2 4
t − t )dt 3 5 = t − t + C 2 2 6 10 1 1 3 5 = sin 2x − sin 2x + C . 6 10  π  1 π 1 π F = 0   3 5 ⇔ sin − sin + C = 1 0 ⇔ C = − .  4  6 2 10 2 15 1 1 1 Vậy F ( x) 3 5 = sin 2x − sin 2x − . 6 10 15
Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 5 = tan x . 1 1 A. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x −
tan x + ln cosx + C . 4 2 1 1 B. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x +
tan x − ln cosx + C . 4 2 1 1 C. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x +
tan x + ln cosx + C . 4 2 1 1 D. f ∫ (x) 4 2 dx = tan x −
tan x − ln cosx + C . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D I = f ∫ (x) 5 sin x 5 dx = tan d x x = dx ∫ ∫ 5 cos x ( 2 1− os c x).( 2 2 2 1− os c x x ).sinx sin .sin .s inx = dx = dx ∫ ∫ 5 5 cos x cos x ( 2 1− t ).( 2 1− t ) 2 4 Đặ 1− 2t + t
t t = cos x ⇒ dt = − sin d x x I = −dt = −dt ∫ ∫ 5 ( ) 5 ( ) t t  1 2 1  = − + −  − − 1  1 dt = ∫  5 3 4 − 2 t
− + 2t − dt = t − t− − ln t + C ∫  5 3  t t t   t  4 1 − − 1 1 1 4 2
= cos x − cos x − ln cos x + C = . − − ln cos x + C 4 2 4 4 cos x cos x 1 = .(tan x + )2 2 1 − ( 2 tan x + )
1 − ln cos x + C 4 1 = ( 4 2
tan x + 2 tan x + ) 1 − ( 2 tan x + )
1 − ln cos x + C 4 1 1 1 4 2
= tan x − tan x − ln cos x + + C 4 2 4 1 1 4 2
= tan x − tan x − ln cos x + C . 4 2 https://toanmath.com/
2 sin x + 2 cos x
Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm của I = dx ∫ là: 3 1− sin 2x A. 3
2 t + C . B. 3
6 t + C . C. 3
3 t + C . D. 3 12 t + C . Hướng dẫn giải Ta có:
2 sin x + 2 cos x
2 (sin x + cos x) I = dx = dx ∫ ∫ . 3 1− sin 2x
(sin x −cos x)2 3
Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = (sin x + cos x)dx . 1 2 1 3 3 ⇒ I = dt = 2.
t + C = 6 t + C ∫ . 3 2  2 t  1+ −    3  Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT
Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 2 x 1 x e + =  − − 1  1 − − + A. 5 3 4 2 t
− + 2t − dt = t − t − ln t + C ∫  . B. ∫ ( ) 3 1 d = 3 x f x x e + C . t  4 1 3 x + C. f ∫ (x) 3 x 1 dx e + = + C . D. f ∫ (x) 3 x 1 dx = e + C . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 3 2
t = x +1 ⇒ dt = 3x dx Do đó, ta có f ∫ (x) 3 3 x + t 1 1 t 1 2 1 x 1 dx x e dx e . dt e C e + = = = + = + C ∫ ∫ . 3 3 3 f ∫ (x) 3 1 x 1 + Vậy dx = e + C . 3 dx
Câu 74. Tìm nguyên hàm I = ∫ . 1 x + e A. = − ln 1 x I x
− e + C . B. = + ln 1 x I x
+ e + C . C. = − − ln 1 x I x
+ e + C . D. = − ln 1 x I x + e + C . Hướng dẫn giải Chọn D d x x e dx I = = ∫ ∫ . 1 x x + e e (1 x + e ) Đặt x x
t = e ⇒ dt = e dx x e dx dt 1 1  I = = = − = − + + = − + + = − + + ∫ ∫ ∫  e ( x x x t t C e e C x e C x 1 x + e ) ln ln 1 ln ln 1 ln 1 t(1+ t)  t t +1
Câu 75. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
thỏa mãn F (0) = 10 . Tìm F ( x) . 2ex + 3 1 1 x ln 5
A. F ( x) = ( x − ln (2e + 3) = ( +10−ln 2ex F x x + 3 ) +10 + . B. ( ) ( . 3 3 3 https://toanmath.com/   
C. F ( x) 1 x 3 = x − ln e + +10 + ln 5 − ln 2    . D. 3   2      − F ( x) 1 x 3 ln 5 ln 2 = x − ln e + +10 −    . 3   2   3 Hướng dẫn giải Chọn A
F ( x) = f ∫ (x) 1 ex dx = dx = x ∫ ∫ . x + ( x + ) d 2e 3 2e 3 ex
Đặt = ex ⇒ d = ex t t dx . Suy ra   F ( x) 1 1 t 1 ex 1 = dt = ln + C = ln ∫   + C = x − + + C . x ( ln(2ex 3) (2t +3)t 3 2t + 3 3  2e + 3  3 1 ln 5
Vì F (0) = 10 nên 10 = (0 − ln 5) + C ⇔ C = 10 + . 3 3 1 x ln 5
Vậy F ( x) = ( x − ln (2e + 3) +10 + . 3 3 ln 2x
Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm dx ∫ bằng: x 1 A. 2 t + C . B. 2 t + C . C. 2 2t + C . D. 2 4t + C . 2 Hướng dẫn giải Đặ 1 1
t t = ln 2x ⇒ dt = 2. dx ⇒ dt = dx . 2x x ln 2x 1 2 ⇒ dx = ... = tdt = t + C ∫ ∫ . x 2 Chọn A
Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số sin x cos = 2 .2 x y
(cos x −sin x)? sin +cos = + sin x cos 2 .2 x A. 2 x x y C . B. y = . C. sin cos ln 2.2 x x y + = . D. ln 2 sin x+cos 2 x y = − + C . ln 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: sin x cos = 2 .2 x I ∫
(cos x −sin x)dx sin x+cos = 2 x ∫
(cos x −sin x)dx .
Đặt: t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x −sin x)dx . sin x+cos 2 x sin x cos 2 .2 x t 2t ⇒ I = 2 dt = + C ∫ = + C = + C . ln 2 ln 2 ln 2 sin x cos 2 .2 x
Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y = . ln 2 ln 2
Câu 78. Cho hàm số ( ) = 2 x f x
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. ( ) = 2 x F x + C . B. ( ) = 2 (2 x F x − ) 1 + C . C. ( ) = 2 (2 x F x + ) 1 + C . D. 1 ( ) 2 x F x + = + C . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn A 1
Cách 1: Đặt t = x ⇒ 2dt = dx . x 2 x ln 2 ( ) = ( ) =
= 2t2.ln 2 = 2.2t + = 2.2 x F x f x dx dx dt C + C ∫ ∫ ∫ nên A sai. x Ngoài ra:
+ D đúng vì ( ) = 2.2 x F x + C .
+ B đúng vì ( ) = 2.2 x − 2 + = 2.2 x F x C + C′.
+ C đúng vì ( ) = 2.2 x + 2 + = 2.2 x F x C + C′ .
Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì
chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi.
Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. ( ) 1+ ln x f x =
Câu 79. Nguyên hàm của .
x ln x là 1+ ln x 1+ ln x A.
dx = ln ln x + C ∫ . B. 2
dx = ln x .ln x + C ∫ . . x ln x . x ln x 1+ ln x 1+ ln x C.
dx = ln x + ln x + C ∫ . D. dx = ln .
x ln x + C ∫ . . x ln x . x ln x Hướng dẫn giải Chọn D + x Ta có I = f ∫ (x) 1 ln dx = dx ∫ . . x ln x + Đặ x t
x ln x = t ⇒ (ln x + )
1 dx = dt . Khi đó ta có 1 ln I = dx ∫ 1 = dt ∫ = ln t + C . x ln x t = ln .
x ln x + C 2 a (x+ )2 b
Câu 80. ∫( x + ) x −5x+4 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx có dạng 1 e
+ sin 2x + C , trong đó a, b là hai số hữu 6 2
tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3 . C. 3; 2 . D. 6; 1. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề +
, ta cần tìm ∫ (x + ) 2(x ) ( 1 1 e
+ cos 2x)dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ∫( − + + − − + −   +
x + ) x 5x 4 7 x 3 x x x 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx = ∫(x + ) ( 2 ) ( ) 1 e
+ cos 2x dx = ∫(x + ) (x )2 2 5 4 7 3 1 1 e dx + cos 2x dx   ∫ . Để 2 x −5 x+4   + tìm ∫(x + ) ( ) 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x dx ta đặt = +1 x I x e dx ∫
và I = cos 2x dx ∫ 1 ( ) ( )21   2
và tìm I , I . 1 2 + *Tìm = ( + ∫ ) ( )21 1 x I x e dx . 1 Đặ 2 ′ t t = ( x + )
1 ; dt = 2 ( x + ) 1 ( x + ) 1 dx = 2 ( x + ) 1 dx . + +
I = ∫(x + ) (x )2 1 t 1 t 1 (x )2 1 1 1 e dx = e dt = e + C = e + C ∫
, trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 2 2 2 1 https://toanmath.com/
*Tìm I = cos 2x dx ∫ . 2 1 I = cos 2x dx = sin 2x + C ∫ . 2 2 2 ∫( − + − + + x + ) x x x 1 x 1 1 x 1 5 4 7 3 1 e ⋅e + cos 2x) ( )2 ( )2 2 1 1
dx = I + I = e
+ C + sin 2x + C = e + sin 2x + C. 1 2 1 2 2 2 2 2 Suy ra để 2 a (x+ )2 b
∫( x+ ) x −5x+4 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx có dạng 1 e
+ sin 2x + C thì 6 2 a = 3∈ ,  b =1∈ .  Chọn A Cách 2:
Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị a, b ở các đáp án vào a (x+ )2 1 b e
+ sin 2x + C và lấy đạo hàm của chúng. 6 2 Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp b, a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:
Tìm I = cos 2x dx ∫ . 2
I = cos 2x dx = sin 2x + C ∫ . 2 2 ∫( − + − + + x + ) x x x 1 x 1 5 4 7 3 1 e ⋅e + cos 2x) ( )2 (x )2 2 1 1
dx = I + I = e
+ C + sin 2x + C = e + sin 2x + C. 1 2 1 2 2 2 Suy ra để 2 a (x+ )2 b
∫( x+ ) x −5x+4 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx có dạng 1 e
+ sin 2x + C thì 6 2 a = 3∈ ,  b = 2∈ .  D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: + Tìm = ( + ∫ ) ( )21 1 x I x e dx . 1 Đặ 2 ′ t t = ( x + ) 1 ; dt = ( x + ) 1 ( x + ) 1 dx = ( x + ) 1 dx . + +
I = ∫(x + ) ( )2 t t ( )2 1 1 1 x x e
dx = e dt = e + C = e + C ∫
, trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 1 1
Học sinh tìm đúng I = sin 2x + C nên ta được: 2 2 2 ∫( − + − + + x + ) x x x x 1 x 1 5 4 7 3 1 e ⋅e + cos 2x) ( )2 ( )2 2 1 1
dx = I + I = e
+ C + sin 2x + C = e + sin 2x + C. 1 2 1 2 2 2 Suy ra để 2 a (x+ )2 b
∫( x+ ) x −5x+4 7x−3 1 e ⋅e
+ cos 2x)dx có dạng 1 e
+ sin 2x + C thì 6 2 a = 6 ∈ ,  b =1∈ .  x
e (3x − 2) + x −1 I = dx
∫ x−1( xe. x−1+ )1 Câu 81. Tìm ? A. = + ln ( x I x e . x −1 + ) 1 + C . B. = − ln ( x I x e . x −1 + ) 1 + C . C. = ln ( x I e . x −1 + ) 1 + C . D. = ln ( x I e . x −1 − ) 1 + C . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ ( − )+ − x −1 ( x e . x −1 + ) 1 x x + e (2x e x x − ) 1 3 2 1 x e (2x − ) 1 I = dx = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ x −1 ( x e . x −1 + ) 1 x −1 ( x e . x −1 + ) 1 x −1 ( x e . x −1 + ) 1 x xee x − x x (2 ) Đặ 1
t: t = e . x −1 +1 ⇒ dt =  + e x −1 dx  = dx  2 x −1  2 x −1 Vậy x e (2x − ) 1 1 ⇒ I = dx + = + = + + = + − + + ∫ ∫ ∫ x − ( dx x dt x t C x e x C x e x − + ) ln ln ( x. 1 )1 1 1 1 t Chọn A x ln ( 2 1+ x ) + 2017x
Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ? x +   ln ( . e x + e) 2 1 2     A. ( 2x + )+  ( 2 ln 1 1008 ln ln x + ) 1 +1 . B. ( 2x + )+  ( 2 ln 1 2016 ln ln x + ) 1 +1 . 1 C. ln ( 2 x + ) 1 + 2016 ln ln  ( 2 x + ) 1 +1 . 2 1 D. ln ( 2 x + ) 1 +1008 ln ln  ( 2 x + ) 1 +1 . 2 Hướng dẫn giải x ln ( 2 1+ x ) + 2017x Đặt I = dx ∫ x +  
ln ( .ex + e) 2 1 2    +Ta có: x ln ( 2 1+ x ) + 2017x x ln ( 2 1+ x ) + 2017x x ln  ( 2 1+ x ) + 2017 I = dx = dx = dx ∫ ∫ ∫ ( + ) 2x 1+ +  + +  +  + +  2 ( 2x )1 ln  ( 2 1 x ) lne ( 2x )1 ln  ( 2 1 x e x e ) 1 ln .      + Đặ 2x t: t = ln ( 2
1+ x ) +1⇒ dt = dx 2 1+ x t + 2016 1  2016  1 ⇒ I = dt = 1+ dt = t +1008 ln t + C ∫ ∫  2t 2  t  2 1 ⇔ I = ln ( 1 1 2 x + ) 1 + +1008ln ln  ( 2 x + ) 1 +1 + C = ln  ( 2x + )1+1008lnln  ( 2 x + ) 1 +1 + C  2 2 2 Chọn D 2 2x + (1+ 2 ln x) 2 .x + ln x G = ∫ ( dx
x + x ln x)2 2 Câu 83. Tìm ? 1 − 1 1 1 A. G = − + C . B. G = − + C . x x + ln x x x + ln x 1 1 1 1 C. G = − + C . D. G = + + C . x x + ln x x x + ln x Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ 2x + (1+ 2 ln x) 2 2 2 2 2 .x + ln x
x + 2x ln x + ln x + x + x
(x + ln x)2 + x(x +   ) 1 G = ∫ ( dx = dx = dx ∫ ∫
x + x ln x)2
x ( x + ln x)2
x ( x + ln x)2 2 2 2  1 x 1  1 x 1 1  x 1  + + − + ⇔ G =  +  dx = − + dx = + JJ = dx  ∫ ∫ ∫ 2  x
x ( x ln x)2  x
x ( x ln x)2 x
x ( x ln x)2  + + +     x +1
Xét nguyên hàm: J = ∫ ( dx x x + ln x)2 + Đặ 1 x +1
t: t = x + ln x ⇒ dt = 1+ = x x 1 1 − 1 − ⇒ J = dt = + C = + C ∫ 2 t t x + ln x Do đó 1 − 1 − 1 : G = + J = − + C x x x + ln x Chọn A 1− ln x
Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h ( x) = ? 1−n x .ln . x ( n x + lnn x) 1 1 1 1 A. ln − ln n + lnn x x x + 2016 . B. ln + ln n + lnn x x x + 2016 . n n n n 1 1 1 1 C. − ln + ln n + lnn x x x + 2016 . D. − ln − ln n + lnn x x x − 2016 . n n n n Hướng dẫn giải Ta có: 1− ln x 1− ln x 1 1− ln x 1 L = dx = . dx = . dx ∫ ∫ ∫ 1−n x .ln . x ( n x + lnn x) 2 −n 1 x x − .ln . x ( n x + lnn x) 2 x ln x  lnn x  1+   n x xn 1 − Đặ ln x 1− ln x dt t dt t: t = ⇒ dt = dx ⇒ L = = ∫ ∫ 2 x x t ( n t + ) 1 n t ( n t + ) 1 + Đặt n n 1 u t 1 du . n t − = + ⇒ = dt 1 du 1  1 1  1 1 u −1 ⇒ L = ∫ ( ∫ − ) = − du =
. ln u −1 − ln u  + C = .ln + C     n u u 1
n u −1 u n n u lnn x 1 n t 1 1 lnn n x ⇔ = .ln + = .ln x L C + C = .ln + C n n t +1 n lnn x n lnn n x + x +1 n x Chọn A https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] . Khi đó: d u v = uv − d v . u ∫ ∫ (*)
Để tính nguyên hàm f (x)dx ∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = d
u v (chú ý dv = v '( x) dx ).
Sau đó tính v = dv
∫ và du = u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u ∫ .
Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn udv
∫ . Ta thường gặp các dạng sau   ● x
Dạng 1. I = P ∫ (x) sin dx  
, trong đó P(x) là đa thức.u cos xu  = P (x) 
Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv = dx     cos x
● Dạng 2. = ∫ ( ) ax+b I P x e
dx , trong đó P ( x) là đa thức. u  = P(x)
Với dạng này, ta đặt  . d ax+b v = e dx
● Dạng 3. I = P
∫ (x)ln(mx+ n)dx, trong đó P(x) là đa thức. u  = ln  (mx + n)
Với dạng này, ta đặt  . dv = P  (x)dx   ● sin x Dạng 4. x I = e dx ∫  . cos x  sin x u  =  
Với dạng này, ta đặt  cos x .  d x v = e dx BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm x sin 2xdx ∫
ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1
A. x sin x + cos x + C B. x sin 2x −
cos 2x + C 4 2 1 1
C. x sin x + cos x D. x sin 2x − cos 2x 4 2 Câu 2.
Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x là:
A. F ( x) = −x cos x − sin x + C .
B. F ( x) = x cos x − sin x + C . https://toanmath.com/
C. F ( x) = −x cos x + sin x + C .
D. F ( x) = x cos x + sin x + C . Câu 3. Biết x cos 2 d
x x = ax sin 2x + b cos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab = . B. ab = .
C. ab = − . D. ab = − . 8 4 8 4 1 1 (x +a)2 2 Câu 4.
Cho biết F ( x) 3
= x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = . Tìm nguyên hàm 3 x 2 x
của g ( x) = x cos ax . 1 1
A. x sin x − cos x + C . B. x sin 2x −
cos 2x + C . 2 4 1 1
C. x sin x + cos x + C . D. x sin 2x + cos 2x + C . 2 4 Câu 5. Nguyên hàm của 2
I = x sin xdx ∫ là: 1 1 1 A. ( 2
2x − x sin 2x − cos 2x) + C . B. cos 2x +
( 2x + xsin2x)+C . 8 8 4 1  1  C. 2 x −
cos 2x − x sin 2x + C   .
D. Đáp án A và C đúng. 4  2  Câu 6.
Tìm nguyên hàm I = ( x − ∫ ) 1 sin 2 d x x
(1− 2x)cos2x +sin 2x
(2− 2x)cos2x +sin 2x A. I = + C . B. I = + C . 2 2
(1− 2x)cos2x +sin 2x
(2− 2x)cos2x +sin 2x C. I = + C . D. I = + C . 4 4 Câu 7.
Tìm nguyên hàm sin xdx ∫ 1
A. sin xdx = cos x + C ∫ .
B. sin xdx = − cos x + C ∫ . 2 x
C. sin xdx = cos x + C ∫ .
D. sin xdx = 2 −
x cos x + 2 sin x + C ∫ . Câu 8. Nguyên hàm của 2
I = x sin x cos xdx ∫ là: 1 2 A. 3 3
I = −x cos x + t − t + C, t = sin x . B. 3 3
I = −x cos x + t −
t + C, t = sin x . 1 3 1 3 1 2 C. 3 3
I = x cos x + t − t + C, t = sin x . D. 3 3
I = x cos x + t −
t + C, t = sin x . 1 3 1 3 x Câu 9.
Một nguyên hàm của f ( x) = là : 2 cos x
A. x tan x − ln cos x
B. x tan x + ln (cos x)
C. x tan x + ln cos x
D. x tan x − ln sin x x
Câu 10. Một nguyên hàm của f ( x) = là : 2 sin x
A. x cot x − ln sinx
B. −x cot x + ln (sin x)
C. −x tan x + ln cos x
D. x tan x − ln sin x https://toanmath.com/ x  π π 
Câu 11. Cho f ( x) = trên − ; 
 và F ( x) là một nguyên hàm của xf ′( x) thỏa mãn 2 cos x  2 2   π π 
F (0) = 0 . Biết a ∈ − ; 
 thỏa mãn tan a = 3. Tính F (a) 2
−10a + 3a .  2 2  1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 DẠNG 2.
Câu 12. Họ nguyên hàm của x e
∫ (1+ x)dx là: x 1 A. x x
I = e + xe + C . B. x I = e + xe + C . 2 1 C. x x I =
e + xe + C . D. = 2 x x I
e + xe + C . 2 Câu 13. Biết 2 x 2 x 2 d x xe x = axe + be + C ( a, b ∈ ∫
). Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab = − . B. ab = .
C. ab = − . D. ab = . 4 4 8 8 1 Câu 14. Cho biết 2 e x x dx ∫ 2
= e x (ax + b) + C , trong đó a,b∈ và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4
nào dưới đây là đúng.
A. a + 2b = 0 .
B. b > a . C. ab .
D. 2a + b = 0 . Câu 15. Biết ( ) = ( + ) x F x
ax b e là nguyên hàm của hàm số = (2 + 3) x y x
e .Khi đó a + b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. − x 1
Câu 16. Biết ∫( + 3) 2 2 . d − x x e x = − e
(2x + n)+C , với , m n ∈  . Tính 2 2
S = m + n . m
A. S = 10 .
B. S = 5 .
C. S = 65 . D. S = 41.
Câu 17. Tìm nguyên hàm = (2 − ∫ ) 1 −x I x e dx . A. = − (2 + ) 1 −x I x e + C . B. = − (2 − ) 1 −x I x e + C .
C. = − (2 + 3) −x I x e + C .
D. = − (2 − 3) −x I x e + C .
Câu 18. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = (5 + ) 1 ex f x x
và F (0) = 3. Tính F ( ) 1 . A. F ( ) 1 = 11e − 3 . B. F ( ) 1 = e + 3 . C. F ( ) 1 = e + 7 . D. F ( ) 1 = e + 2 . ( ) = (2 −3) x f x x e ( ) = ( + ) x F x mx n e ( , m n ∈ ) Câu 19. Cho hàm số . Nếu là một nguyên hàm của
f ( x) thì hiệu m − n bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5.
Câu 20. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 e x f x =
và F (0) = 2 . Hãy tính F (− ) 1 . 15 10 15 10 A. 6 − . B. 4 − . C. − 4 . D. . e e e e DẠNG 3.
Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là:
A. x ln x + x + C
B. Đáp án khác
C. x ln x + C
D. x ln x − x + C
Câu 22. Nguyên hàm của I = x ln xdx ∫ bằng với: https://toanmath.com/ 2 x 2 x 1 A.
ln x − xdx + C ∫ . B. ln x − xdx + C ∫ . 2 2 2 1 C. 2 x ln x − xdx + C ∫ . D. 2
x ln x − xdx + C ∫ . 2
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln ( x + 2) . 2 2 x x + 4x A. f
∫ (x)dx = ln(x+2)− + C . 2 4 2 2 x − 4 x − 4x B. f ∫ (x)dx = ln ( x + 2) − + C . 2 4 2 2 x x + 4x C. f
∫ (x)dx = ln(x+2)− + C . 2 2 2 2 x − 4 x + 4x D. f ∫ (x)dx = ln ( x + 2) − + C . 2 2 ln x
Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g ( x) = ( ? x + )2 1
−ln 2x − x ln 2 x −ln x x A. + ln +1999 − ln +1998 x +1 x + . B. 1 x +1 x + . 1 ln x x ln x x C. − ln + 2016 + ln + 2017 x +1 x + . D. 1 x +1 x + . 1 ln (cos x)
Câu 25. Họ nguyên hàm của I = dx ∫ là: 2 sin x A. cot .
x ln (cos x) + x + C . B. − cot .
x ln (cos x) − x + C . C. cot .
x ln (cos x) − x + C . D. − cot .
x ln (cos x) + x + C .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln x . 3 1 3 2 A. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . 9 3 3 2 3 2 C. f ∫ (x) 2 dx = x (3ln x − ) 1 + C . D. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . 9 9 ln x + 3
Câu 27. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) ( ) = sao cho F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 . Giá trị 2 x của F (− )
1 + F (2) bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2 − ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2 + ln 5 . 3 6 3 3 6  4 − x
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 3 = x ln   ? 2  4 + x  2  4 − x  4 2
x −16   4 − x A. 4 2 x ln   − 2x . B. 2 ln     − 2x . 2  4 + x  2  4   4 + x  2  4 − x  4 2
x −16   4 − x C. 4 2 x ln   + 2x . D. 2 ln     + 2x . 2  4 + x  2  4   4 + x  2 x dx
Câu 29. Tìm H = ∫ ( ? x x + x)2 sin cos https://toanmath.com/ x A. H = + + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos x B. H = − + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos −x C. H = + + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos −x D. H = − + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos a b 1 Câu 30. ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx có dạng ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C , trong đó a, b là hai số 3 6 4
hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. 1 f (x) e
Câu 31. Cho F (x) =
là một nguyên hàm của hàm số . Tính f ( ′ x)ln d x x ∫ bằng: 2 2x x 1 2 e − 3 2 2 − e 2 e − 2 2 3 − e A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2e 2 e 2 e 2 2e a 1+ ln x
Câu 32. Cho F ( x) = (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
, trong đó a , b∈ . x 2 x
Tính S = a + b . A. S = 2 − .
B. S = 1 .
C. S = 2 . D. S = 0 . a
Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f ( x) x = + ( với mọi x khác 1 − . x + ) e bx 3 1 1 Biết f ′(0) = 22 − và f
∫ (x)dx = 5. Tính a +b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 .
Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( )    1  x f x = (ax) 1 e ln +   thỏa mãn F = 0   và F ( ) 2018 2018 = e . Mệnh đề nào sau đây  x   a  đúng?  1   1  A. a ∈ ;1   . B. a ∈ 0;  .
C. a ∈[1; 2018) .
D. a ∈[2018; +∞) .   2018   2018 DẠNG 4:
Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ex sin d = ex cos − ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
B. ex sin d = −ex cos + ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
C. ex sin d = ex cos + ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
D. ex sin d = −ex cos − ex x x x cos d x . x ∫ ∫ x
J = e .sinxdx ∫ Câu 36. Tìm ? x e x e A. J =
(cos x −sin x)+C . B. J =
(sin x + cos x)+C . 2 2 x e x e C. J =
(sin x −cos x)+C . D. J =
(sin x + cos x + )1+C . 2 2 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1. Câu 1. Tìm x sin 2xdx ∫
ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1
A. x sin x + cos x + C B. x sin 2x −
cos 2x + C 4 2 1 1
C. x sin x + cos x D. x sin 2x − cos 2x 4 2 Hướng dẫn giải
Ta có: I = x sin 2xdx ∫ du = dx  = Đặ u x  t:  ⇒  1 dv = sin 2xdx v = − cos 2x  2 Khi đó: 1 1 1 1
I = uv − vdu = − x cos 2x + cos 2xdx = − x cos 2x + sin 2x + C ∫ ∫ 2 2 2 4 Chọn B Câu 2.
Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x là:
A. F ( x) = −x cos x − sin x + C .
B. F ( x) = x cos x − sin x + C .
C. F ( x) = −x cos x + sin x + C .
D. F ( x) = x cos x + sin x + C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I = f
∫ (x)dx = xsin xdx ∫ .  =  = Đặ u x du dx t  Ta có  .
dv = sin x dxv = − cos x I = f
∫ (x)dx = xsin xdx = −xcos x+ cos xdx = −xcos x+sin x+C ∫ ∫ . Câu 3. Biết x cos 2 d
x x = ax sin 2x + b cos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab = . B. ab = .
C. ab = − . D. ab = − . 8 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  1 d v = cos 2 d x x v = sin 2x  2 Khi đó 1 1 x cos 2 d x x = x sin 2x − sin 2 d x x ∫ ∫ 1 1
= xsin 2x + cos 2x + C 2 2 2 4 1 ⇒ 1 a = , b = . 2 4 1 Vậy ab = . 8 1 1 (x +a)2 2 Câu 4.
Cho biết F ( x) 3
= x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = . Tìm nguyên hàm 3 x 2 x
của g ( x) = x cos ax . https://toanmath.com/ 1 1
A. x sin x − cos x + C . B. x sin 2x −
cos 2x + C . 2 4 1 1
C. x sin x + cos x + C . D. x sin 2x + cos 2x + C . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C 1 x + a 2 ( )2 2
Ta có F ′( x) = x + 2 + = . Suy ra a = 1. 2 2 x x Khi đó g
∫ (x)dx = xcos d x x = d x sin x = .
x sin x − sin d x x = .
x sin x + cos x + C ∫ ∫ ∫ . Câu 5. Nguyên hàm của 2
I = x sin xdx ∫ là: 1 1 1 A. ( 2
2x − x sin 2x − cos 2x) + C . B. cos 2x +
( 2x + xsin2x)+C . 8 8 4 1  1  C. 2 x −
cos 2x − x sin 2x + C   .
D. Đáp án A và C đúng. 4  2  Hướng dẫn giải Ta biến đổi: 1− cos 2x  1 1 1 1 2 2
I = x sin xdx = x dx = xdx − x cos 2xdx = x −
x cos 2xdx + C ∫ ∫   ∫ ∫ ∫ 1  2  2 2 4 2  1 I
I = x cos 2xdx ∫ . 1 du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  1 . dv = cos 2x v = sin 2x  2 1 1 1 1
⇒ I = x cos 2xdx = xsin 2x − sin 2xdx = x sin 2x + cos 2x + C ∫ ∫ . 1 2 2 2 4 1  1  1 2 ⇒ I = x −
cos 2x − x sin 2x + C =   ( 2
2x − 2x sin 2x − cos 2x) + C 4  2  8 . 1 1 = − cos 2x + ( 2
x + x sin 2x) + C 8 4 Chọn C Câu 6.
Tìm nguyên hàm I = ( x − ∫ ) 1 sin 2 d x x
(1− 2x)cos2x +sin 2x
(2− 2x)cos2x +sin 2x A. I = + C . B. I = + C . 2 2
(1− 2x)cos2x +sin 2x
(2− 2x)cos2x +sin 2x C. I = + C . D. I = + C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D du = dx  = − Đặ u x 1  t  ⇒  1 dv = sin 2 d x x v = − cos 2x  2 Khi đó I = ∫(x − ) 1
x x = − ( x − ) 1 1 x + x x = − ∫ (x − ) 1 1 sin 2 d 1 cos 2 cos 2 d 1 cos 2x + sin 2x + C 2 2 2 4 Câu 7.
Tìm nguyên hàm sin xdx ∫ https://toanmath.com/ 1
A. sin xdx = cos x + C ∫ .
B. sin xdx = − cos x + C ∫ . 2 x
C. sin xdx = cos x + C ∫ .
D. sin xdx = 2 −
x cos x + 2 sin x + C ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = x , ta có sin xdx = 2t sin tdt ∫ ∫  =  = Đặ u 2t du 2dt t  ta có 
dv = sin tdtv = − cost
2t sin tdt = 2
− t cost + 2costdt = − 2t cost + 2sin t + C = 2 −
x cos x + 2 sin x + C ∫ ∫ Câu 8. Nguyên hàm của 2
I = x sin x cos xdx ∫ là: 1 2 A. 3 3
I = −x cos x + t − t + C, t = sin x . B. 3 3
I = −x cos x + t −
t + C, t = sin x . 1 3 1 3 1 2 C. 3 3
I = x cos x + t − t + C, t = sin x . D. 3 3
I = x cos x + t −
t + C, t = sin x . 1 3 1 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: u  = xdu = dx  ⇒  . 2 3
du = sin x cos x u  = − cos xdx 2 3 3
⇒ I = xsin x cos xdx = −x cos x + cos xdx + C ∫ ∫ . 1  1 I Xét 3
I = cos xdx = cos x ∫ ∫ ( 2 1− sin x dx . 1 )
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . ⇒ I = ∫( 1 2 1− t ) 3
dt = t − t + C . 1 2 3 1 3 3 3
⇒ I = −x cos x + I = −x cos x + t − t + C . 1 3 Chọn A x Câu 9.
Một nguyên hàm của f ( x) = là : 2 cos x
A. x tan x − ln cos x
B. x tan x + ln (cos x)
C. x tan x + ln cos x
D. x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = dx ∫ 2 cos x u  = x   = Đặ du dx t:  1 ⇒  dv = dx  v = tan x 2  cos x
Khi đó: I = uv − vdu = x tan x − tan xdx = x tan x + ln cos x + C ∫ ∫ Chọn C x
Câu 10. Một nguyên hàm của f ( x) = là : 2 sin x
A. x cot x − ln sinx
B. −x cot x + ln (sin x) https://toanmath.com/
C. −x tan x + ln cos x
D. x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = dx ∫ 2 sin x u  = x   = Đặ du dx t:  1 ⇒  dv = dx  v = − cot x 2  sin x
Khi đó: I = uv − vdu = −xcot x + cot xdx = −xcot x + ln sin x + C ∫ ∫ Chọn B x  π π 
Câu 11. Cho f ( x) = trên − ; 
 và F ( x) là một nguyên hàm của xf ′( x) thỏa mãn 2 cos x  2 2   π π 
F (0) = 0 . Biết a ∈ − ; 
 thỏa mãn tan a = 3. Tính F (a) 2
−10a + 3a .  2 2  1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có: F ( x) = xf ′ ∫ (x)dx = d x f ∫
(x) = xf (x)− f ∫ (x)dx x sin x Ta lại có: f ∫ (x)dx = dx ∫ = d x (tan x ∫
) = x tan x − tan d x x ∫ = x tan x − dx ∫ 2 cos x cos x 1 = x tan x + d ∫
(cos x) = x tan x + ln cos x +C ⇒ F (x) = xf (x)− x tan x −ln cos x +C cos x
Lại có: F (0) = 0 ⇒ C = 0 , do đó: F ( x) = xf ( x) − x tan x − ln cos x .
⇒ F (a) = af (a) − a tan a − ln cos a Khi đó ( ) a 1 1 f a = = a ( 2
1+ tan a) = 10a và 2 =1+ tan a =10 2 ⇔ cos a = 2 cos a 2 cos a 10 1 ⇔ cos a = . 10 1 Vậy F (a) 2 −10a + 3a 2 2
=10a − 3a − ln −10a + 1 3a = ln10 . 10 2 DẠNG 2.
Câu 12. Họ nguyên hàm của x e
∫ (1+ x)dx là: x 1 A. x x
I = e + xe + C . B. x I = e + xe + C . 2 1 C. x x I =
e + xe + C . D. = 2 x x I
e + xe + C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: x I = e ∫ (1+ x) x x x x
dx = e dx + e xdx = e + C + xe dx ∫ ∫ ∫ . 1  1 I Xét x I = e xdx ∫ . 1  =  = Đặ u x du x t  ⇒  . x xdv = e dxv = e https://toanmath.com/ x x 1 x
⇒ I = xe − xe dx ⇒ I = xe + C ∫ . 1 1 2 2 x 1 x
⇒ I = e + xe + C . 2 Chọn B Câu 13. Biết 2 x 2 x 2 d x xe x = axe + be + C ( a, b ∈ ∫
). Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab = − . B. ab = .
C. ab = − . D. ab = . 4 4 8 8 Hướng dẫn giải Chọn C du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  1 2 x 2 dv = e d x x v = e  2 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra: 2 2 2 d x xe x = xe − e dx ∫ ∫ 2 2 x
= xe − e + C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a = ; b = − ⇒ ab = − . 2 4 8 1 Câu 14. Cho biết 2 e x x dx ∫ 2
= e x (ax + b) + C , trong đó a,b∈ và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4
nào dưới đây là đúng.
A. a + 2b = 0 .
B. b > a . C. ab .
D. 2a + b = 0 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt u = x ⇒ du = dx , 2 x e x 2
dv = e dx ⇒ v = . 2 2 x 2 e e x x 2 x 2 e e x x 2 e x Ta có 2 e x x dx ∫ = − dx ∫ = − + C =
(2x − )1+C . Suy ra a = 2, b = 1 − . 2 2 2 4 4 Câu 15. Biết ( ) = ( + ) x F x
ax b e là nguyên hàm của hàm số = (2 + 3) x y x
e .Khi đó a + b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải
Ta có: (2x+3) xd = ∫ (ax+b) x e x
e , nghĩa là:
(ax+b) x  ' = (2x+3) x e e   ⇔ . x x + (ax + )=(2x+3) x a e e b e x ⇔ (ax + + )=(2x+3) x e a b e
Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1
Vậy a + b = 3 . Chọn B − x 1
Câu 16. Biết ∫( + 3) 2 2 . d − x x e x = − e
(2x + n)+C , với , m n ∈  . Tính 2 2
S = m + n . m
A. S = 10 .
B. S = 5 .
C. S = 65 . D. S = 41. Hướng dẫn giải Chọn C du = dx  = + Đặ u x 3  t  ⇒  − 1 2 x 2 − dv = e d x x v = − e  2 https://toanmath.com/ Khi đó ∫( + 1 − x 1 3) − x 1 − x 1 2 2 . d = − ( +3) 2 − x x e x e x + e dx ∫ 2 = − . ( +3) 2 − x e x − e + C 2 2 2 4 1 − x 1 2 = − .(2 + 6 + ) 2 1 − x e x
+ C = − e (2x + 7) + C ⇒ m = 4;n = 7 . 4 4 2 2
S = m + n = 65.
Câu 17. Tìm nguyên hàm = (2 − ∫ ) 1 −x I x e dx . A. = − (2 + ) 1 −x I x e + C . B. = − (2 − ) 1 −x I x e + C .
C. = − (2 + 3) −x I x e + C .
D. = − (2 − 3) −x I x e + C . Hướng dẫn giải Chọn A  = −  = Đặ u 2x 1 du 2dx t  ⇒  . − xdv = e d − x xv = −e Ta có = − (2 − )
1 −x + 2. −xd = − ∫ (2 − )
1 −x − 2 −x + = −(2 + ) 1 −x I x e e x x e e C x e + C .
Câu 18. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = (5 + ) 1 ex f x x
và F (0) = 3. Tính F ( ) 1 . A. F ( ) 1 = 11e − 3 . B. F ( ) 1 = e + 3 . C. F ( ) 1 = e + 7 . D. F ( ) 1 = e + 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) = (5 + ∫ ) 1 ex F x x dx .  = +  = Đặ u 5x 1 du 5dx t  ⇒  .
dv = exdxv = ex ( ) = (5 + ) 1 ex − 5ex F x x dx ∫ = (5 + ) 1 ex − 5ex x
+ C = (5 − 4)ex x + C .
Mặt khác F (0) = 3 ⇔ 4
− + C = 3 ⇔ C = 7 . ⇒ ( ) = (5 − 4)ex F x x + 7 . Vậy F ( ) 1 = e + 7 .
Câu 19. Cho hàm số ( ) = (2 − 3) x f x x e . Nếu ( ) = ( + ) x F x mx n e ( ,
m n ∈ ) là một nguyên hàm của
f ( x) thì hiệu m − n bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn A Tính ∫(2 − 3) x x e dx .
Đặt = 2 − 3 ⇒ d = 2d ; d x = d x u x u x v
e x ⇒ v = e . Suy ra:
∫(2 −3) xd = (2 −3) x −2 x x e x x e e dx + C ∫
= (2 − 3) x − 2 x x e
e + C = (2 − 5) x x e + C
Suy ra: m = 2 ; n = 5
− Vậy m − n = 7 . F ( x) ( ) 3e x f x = F (0) = 2 F (− ) 1 Câu 20. Cho
là một nguyên hàm của hàm số và . Hãy tính . 1 7 T 15 10 15 10 A. 6 − . B. 4 − . C. − 4 . D. . e e e e Hướng dẫn giải Chọn C Ta có = ∫ ( ) 3 d = e x I f x x dx ∫ . https://toanmath.com/ Đặt 3 3
x = t ⇒ x = t 2
⇒ dx = 3t dt khi đó 3 x t 2
I = e dx = 3 e t dt ∫ ∫ . 2  =  = Đặ t u 2tdt du t  ⇒  ⇒ = ( t 2 3 e − 2 et I t tdt ∫ ) t 2 = 3e − 6 et t tdt ∫ .
etdt = dv et = v Tính ettdt ∫ .  =  = Đặ t u dt du t  ⇒ 
⇒ et d = et − etd = et − et t t t t t ∫ ∫ .
etdt = dv et = v 3 3 3 Vậy t 2
⇒ = 3e − 6(et − et I t t )+C ⇒ ( ) x 3 2 = − ( x 3 3e 6 e − e x F x x x )+C . 3 3 3
Theo giả thiết ta có F (0) = 2 ⇒ C = 4 − ⇒ ( ) x 3 2 = − ( x 3 3e 6 e − e x F x x x )−4 ⇒ F (− ) 15 1 = − 4 . e DẠNG 3.
Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là:
A. x ln x + x + C
B. Đáp án khác
C. x ln x + C
D. x ln x − x + C Hướng dẫn giải
Ta có: I = ln xdx ∫  dx  =  = Đặ u ln x du t:  ⇒  x dv = dx v = x
Khi đó: I = uv − vdu = xln x − dx = xln x − x + C ∫ ∫ Chọn D
Câu 22. Nguyên hàm của I = x ln xdx ∫ bằng với: 2 x 2 x 1 A.
ln x − xdx + C ∫ . B. ln x − xdx + C ∫ . 2 2 2 1 C. 2 x ln x − xdx + C ∫ . D. 2
x ln x − xdx + C ∫ . 2 Hướng dẫn giải Ta đặt:  1 du = dx u  = ln x  x  ⇒  . 2 dv = xdx xv =  2 2 x 1
⇒ I = x ln xdx = ln x − xdx ∫ ∫ . 2 2 Chọn B
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln ( x + 2) . 2 2 x x + 4x A. f
∫ (x)dx = ln(x+2)− + C . 2 4 2 2 x − 4 x − 4x B. f ∫ (x)dx = ln ( x + 2) − + C . 2 4 https://toanmath.com/ 2 2 x x + 4x C. f
∫ (x)dx = ln(x+2)− + C . 2 2 2 2 x − 4 x + 4x D. f ∫ (x)dx = ln ( x + 2) − + C . 2
2 Hướng dẫn giải Chọn B  dx u = u  = ln (x + 2) d  Đặ  x + 2 t  ⇒  2 dv = d x x xv =  2 2 2 x 1 x suy ra f
∫ (x)dx = xln
∫ (x+2)dx = ln(x+2)− dx ∫ 2 2 x + 2 2 x = (   − − x + ) 2 x − x − + x = ∫  (x + ) 2 1 4 4 x 4x ln 2 2 d ln 2 − + C . 2 2  x + 2  2 2 ln x
Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g ( x) = ( ? x + )2 1
−ln 2x − x ln 2 x −ln x x A. + ln +1999 − ln +1998 x +1 x + . B. 1 x +1 x + . 1 ln x x ln x x C. − ln + 2016 + ln + 2017 x +1 x + . D. 1 x +1 x + . 1 Hướng dẫn giải  1 u  = ln x du = dx  Đặ   x t  1 ⇒  dv = ( −   x +  ) dx 2 1 1 v =  x +1 − ln x 1 − ln x  1 1  − lnx 1 dx ⇒ S = + dx = + − dx = + + dx − ∫ ∫  ∫ ∫ x +1 x ( x + ) 1 x +1  x x +1 x +1 x x +1 . − ln x ( − ⇔ = + x − x + ) ln x x S ln ln 1 + C = + ln + C x +1 x +1 x +1 Chọn A ln (cos x)
Câu 25. Họ nguyên hàm của I = dx ∫ là: 2 sin x A. cot .
x ln (cos x) + x + C . B. − cot .
x ln (cos x) − x + C . C. cot .
x ln (cos x) − x + C . D. − cot .
x ln (cos x) + x + C . Hướng dẫn giải Ta đặt: u  = ln (cos x) 
du = − tan xdxdx ⇒  . dv = v = −cot x 2  sin x ⇒ I = − cot .
x ln (cos x) − dx = − cot . x ln ∫
(cos x)− x +C . Chọn B
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln x . https://toanmath.com/ 3 1 3 2 A. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . 9 3 3 2 3 2 C. f ∫ (x) 2 dx = x (3ln x − ) 1 + C . D. f ∫ (x) 2 dx =
x (3ln x − 2) + C . 9 9 Hướng dẫn giải Chọn A I = f
∫ (x)dx = x ln .d x x ∫ . Đặ 1 t: t = x ⇒ dt =
dx ⇒ 2tdt = dx . 2 x 2 2 2
⇒ I = 2 t ln t .dt = 4 t ln t.dt ∫ ∫ .  1 du = dt  =  Đặ u ln tt t:  ⇒  . 2 3
dv = t dt tv =  3  1 1   1 1  2 3 2 3 3 3 ⇒ I = 2 t ln t − t dt = 2
t ln t − t + C = t  ∫    (3lnt − )1+C  3 3   3 9  9 3 2 2
= x (3ln x − )1+C 9 3 1 2
= x (3ln x − 2) + C . 9 ln x + 3
Câu 27. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) ( ) = sao cho F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 . Giá trị 2 x của F (− )
1 + F (2) bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2 − ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2 + ln 5 . 3 6 3 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A
Cách 1: Ta có hàm số f ( x) liên tục trên các khoảng ( 3 − ;0) và (0;+∞). ln ( x + 3) Tính dx ∫ . 2 xu  = (x + ) 1 ln 3 du = dx  Đặ   x + 3 1 t  dx ⇒  (Chọn C = − ) dv = 1 1 x + 3  3 2 v x = − − = −   x 3 3x ln x + 3 x + 3 1 x + 3 1 Suy ra: F ( x) ( ) = dx = − ln x + 3 + dx ∫ ∫ = −
ln ( x + 3) + ln x + C . 2 ( ) x 3x 3x 3x 3 • 1 2 Xét trên khoảng ( 3 − ;0) , ta có: F ( 2
− ) = ln 2 + C ; F (− ) 1 = ln 2 + C 1 3 1 3
•Xét trên khoảng (0;+∞), ta có: 5 1 F ( ) 4 8 1 = −
ln 4 + C = − ln 2 + C ; F (2) = − ln 5 + ln 2 + C 2 2 3 3 2 6 3  1   8  7 Suy ra: F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 ⇔ ln 2 + C + − ln 2 + C = 0 
⇔ C + C = ln 2 . 1   2   3   3  1 2 3 https://toanmath.com/ Do đó  2   5 1  : F (− ) 1 + F (2) = ln 2 + C + − ln 5 + ln 2 + C  1   2   3   6 3  2 5 1 7 10 5
= ln 2 − ln 5 + ln 2 + ln 2 = ln 2 − ln 5 . 3 6 3 3 3 6
Cách 2: (Tận dụng máy tính) •Xét trên khoảng ( 3 − ;0) , ta có: 1 − 1 − (− ) x + F 1 − F ( 2 − ) = f ∫ (x) ln ( 3) dx =
dx ≈ 0, 231 → A ∫ (lưu vào A ) ( ) 1 2 x 2 − 2 −
•Xét trên khoảng (0;+∞), ta có: 2 2 ( x + F 2) − F ( ) 1 = f ∫ (x) ln ( 3) dx =
dx ≈ 0, 738 → B ∫ (lưu vào A ) (2) 2 x 1 1 •Lấy ( )
1 cộng (2) theo vế ta được: F (− )
1 + F (2) − F ( 2 − ) − F ( )
1 = A + B ⇔ F (− )
1 + F (2) = A + B ≈ 0,969 . So các phương án ta Chọn A  4 − x
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 3 = x ln   ? 2  4 + x  2  4 − x  4 2
x −16   4 − x A. 4 2 x ln   − 2x . B. 2 ln     − 2x . 2  4 + x  2  4   4 + x  2  4 − x  4 2
x −16   4 − x C. 4 2 x ln   + 2x . D. 2 ln     + 2x . 2  4 + x  2  4   4 + x Hướng dẫn giải  2 16x   4 − x du =  =  4 Đặ u ln    x −16 t: 2   4 + x  ⇒  4 4 x x −16   3  = v = − 4 dv x dx =  4 4 2 4 2 4 2  4 − x
x −16   4 − x
x −16   4 − x  4 2 ⇒ x ln ∫   dx =  ln   − 4xdx = ∫  ln   − 2x + C 2 2 2  4 + x   4   4 + x   4   4 + x Chọn B 2 x dx
Câu 29. Tìm H = ∫ ( ? x x + x)2 sin cos x A. H = + + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos x B. H = − + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos −x C. H = + + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos −x D. H = − + . x ( x x + x) tan x C cos sin cos Hướng dẫn giải 2 x x cos x x Ta có: H = = ∫ ( dx dx ∫
x sin x + cos x) . 2
(xsin x + cos x)2 cos x https://toanmath.com/ x = 
x sin x + cos x udu = dx  2 cos x Đặ   cos x t  ⇒  x cos x
d ( x sin x + cos x) 1 dv = =   ( dx v = −
x sin x + cos x)2
(xsin x + cos x)2 
x sin x + cos x x 1 1 −x ⇒ H = − . + dx = + tan x + C ∫ 2
cos x x sin x + cos x cos x
cos x ( x sin x + cos x) Chọn C a b 1 Câu 30. ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx có dạng ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C , trong đó a, b là hai số 3 6 4
hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ∫( 2 x x + + x x) 2 2 1 ln
dx = 2x x +1 dx + x ln x dx ∫ ∫ . Để tìm ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx ta đặt 2
I = 2x x +1 dx ∫
và I = x ln x dx ∫
và tìm I , I . 1 2 1 2 * 2
I = 2x x +1 dx ∫ . 1
Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 t =
x +1, t ≥ 1 ta được 2 2
t = x +1, xdx = tdt . Suy ra: 2 2
I = 2x x +1 dx = 2t dt = t + C = ∫ ∫ ( x +1)3 2 2 3 2
+ C , trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 3 3 1
* I = x ln x dx ∫ . 2
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.  1 du = dx  =  Đặ u ln xx t  ⇒  , ta được: dv = xdx 1 2 v = x  2
I = x ln x dx = udv = uv − vdu ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 = x ln x − x ⋅ dx = x ln x − xdx = x ln x − x + C ∫ ∫ 2 2 2 x 2 2 2 4
∫(2x x +1+ xln x) 2
dx = I + I = ( x +1)3 1 1 2 2 2 2
+ C + x ln x − x + C 1 2 1 2 3 2 4 . 2 = ( x +1)3 1 1 2 2 2
+ x ln x − x + C 3 2 4 Suy ra để a b 1 ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx có dạng ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C thì 3 6 4 a = 2 ∈ ,  b = 3∈ .  Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. https://toanmath.com/ a b 1
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C . Sau đó, với mỗi a 3 2 4 a b 1
của các đáp án ta lấy đạo hàm của ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C . 3 2 4
Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên
việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2
I = 2x x +1 dx ∫ . 1
Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 t =
x +1, t ≥ 1 ta được 2 2
t = x +1, tdt = 2xdx . Suy ra: 1 1
I = 2x x +1 dx = t dt = t + C = ∫ ∫ ( x +1)3 2 2 3 2
+ C , trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 3 3 1 1 1 Học sinh tìm đúng 2 2 I = x ln x −
x + C theo phân tích ở trên. 2 2 2 4
∫(2x x +1+ xln x) 1
dx = I + I = ( x +1)3 1 1 2 2 2 2
+ C + x ln x − x + C 1 2 1 2 3 2 4 . 1 = ( x +1)3 1 1 2 2 2
+ x ln x − x + C 3 2 4 Suy ra để a b 1 ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx có dạng ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C thì a = 1, b = 3 3 6 4 .
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2
I = 2x x +1 dx ∫ . 1
Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 t =
x +1, t ≥ 1 ta được 2 2
t = x +1, tdt = 2xdx . Suy ra: 1 1
I = 2x x +1 dx = t dt = t + C = ∫ ∫ ( x +1)3 2 2 3 2
+ C , trong đó C là 1 hằng số. 1 1 1 3 3 1 1 1 Học sinh tìm đúng 2 2 I = x ln x −
x + C theo phân tích ở trên. 2 2 2 4
∫(2x x +1+ xln x) 1
dx = I + I = ( x +1)3 1 1 2 2 2 2
+ C + x ln x − x + C 1 2 1 2 3 2 4 . 1 = ( x +1)3 1 1 2 2 2
+ x ln x − x + C 3 2 4 Suy ra để a b 1 ∫( 2
2x x +1 + x ln x)dx có dạng ( x +1)3 2 2 2
+ x ln x − x + C thì 3 6 4 1 a = 1∈ ,  b = ∉ . 3
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . https://toanmath.com/ 1 f (x) e
Câu 31. Cho F (x) =
là một nguyên hàm của hàm số . Tính f ( ′ x)ln d x x ∫ bằng: 2 2x x 1 2 e − 3 2 2 − e 2 e − 2 2 3 − e A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2e 2 e 2 e 2 2e Hướng dẫn giải Chọn A ′ 1 f (x) f (x)  1  1 Do F (x) =
là một nguyên hàm của hàm số nên = 
 ⇔ f ( x) = − . 2 2x x 2 x  2x  2 x 1 e ln x = u   dx = du Tính I = f ( ′ x)ln d x x ∫ . Đặt  ′ .  ( ) ⇒  x f x dx = dv 1  f  ( x) = v e ′ e e 2 − Khi đó = ( ) f x 1 1 e 3 I f x .ln ( x) e ( ) − dx ∫ = − .ln x − = . 2 ( ) 1 x 2 x 2x 2 2e 1 1 1 a 1+ ln x
Câu 32. Cho F ( x) = (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
, trong đó a , b∈ . x 2 x
Tính S = a + b . A. S = 2 − .
B. S = 1 .
C. S = 2 . D. S = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 1+ ln x  Ta có I = f ∫ (x)dx = dx ∫  . 2  x  1 1  + ln x = u dx = du  Đặ   x t  1 ⇒  khi đó dx = dv  1  2  x − = v  x 1 1 1 1 I = − ( + x) 1 1 ln + dx ∫
= − (1+ ln x) − + C = − (ln x + 2) + C ⇒ a = 1 − ;b = 2 . 2 x x x x x
Vậy S = a + b = 1 . a
Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f ( x) x = + ( với mọi x khác 1 − . x + ) e bx 3 1 1 Biết f ′(0) = 22 − và f
∫ (x)dx = 5. Tính a +b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn D 3 − a Ta có f ′( x) x x = + + ′ = − + = − ( nên f (0) 3a b 22 ( ) 1 . x + ) be e bx 4 1 1 1   1 1 ∫ ( ) a dx f x d x x =  +  ∫ = a + b ex
x dx = aI + bJ ∫ ∫ .  3 ( x + ) e bx dx 3 1  x +1 0 ( ) 0 0  0 1 dx 1 1 3 Tính I = ∫ = − = ( . x + )3 1 2 ( x + )2 1 0 8 0 1 u  = x du = dx Tính = ex J x dx ∫ . Đặt  ⇒  .
dv = exdxv = ex 0 https://toanmath.com/ Khi đó 1 1 3 = ( ex ) 1
− exd = ex − ex J x x = 1 ∫
. Suy ra a + b = 5 (2) . 0 0 8 0  3 − a + b = 22 −  a = 8 Từ ( ) 1 và (2) ta có 3a ⇔ 
. Vậy a + b = 10 . + b = 5  b  = 2  8
Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( )    1  x f x = (ax) 1 e ln +   thỏa mãn F = 0   và F ( ) 2018 2018 = e . Mệnh đề nào sau đây  x   a  đúng?  1   1  A. a ∈ ;1   . B. a ∈ 0;  .
C. a ∈[1; 2018) .
D. a ∈[2018; +∞) .   2018   2018 Hướng dẫn giải Chọn A   x = ∫  ( ) 1 x I ax + x =  ∫ (ax) ex e ln d e ln dx + dx ∫ (1)  x x
 Tính ex ln (ax)dx ∫ :  u  = ln(ax) 1  = x Đặ du dx t  ⇒  x x ⇒ ∫ ( ) x ax x = (ax) e e ln d e ln − dx ∫
dv = exdxxv = ex
 Thay vào (1), ta được: ( ) = ex F x ln (ax) + C .   1  1  F = 0      = ea .ln1+ C = 0 C 0  Với   a     e   a = .  ln  ( .2018 a ) 2018  = e ln  ( .2018 a ) 2018 + = 1 2018 F  (2018) 2018 = e C e    1 Vậy a ∈ ;1   .  2018  DẠNG 4:
Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ex sin d = ex cos − ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
B. ex sin d = −ex cos + ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
C. ex sin d = ex cos + ex x x x cos d x . x ∫ ∫ .
D. ex sin d = −ex cos − ex x x x cos d x . x ∫ ∫ Hướng dẫn giải Chọn B Đặt  = ex u x
du = e dx  ⇒  dv = sin d x xv = − cos x
⇒ ex sin d = −ex cos + ex x x x cos d x . x ∫ ∫ . x
J = e .sinxdx ∫ Câu 36. Tìm ? x e x e A. J =
(cos x −sin x)+C . B. J =
(sin x + cos x)+C . 2 2 x e x e C. J =
(sin x −cos x)+C . D. J =
(sin x + cos x + )1+C . 2 2 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ x x  =  = Đặ u e du e .dx t: 1 1  ⇒  dv = sin . x dx v = − cos x  1  1 x ⇒ = − cos x + cos x = − cos + ∫ ( x J e x e xdx e x T
T = e .cos xdx ∫ ) Tính x
T = e .cos xdx ∫ : x ⇒ T = e sin x x − e sin x
xdx = e sin x − J ∫ x e x ⇒ J = −e cos x
x + e sin x − J ⇔ 2 x
J = e (sin x − cos x) ⇔ J =
(sin x −cos x)+C 2 Chọn C https://toanmath.com/
Document Outline

  • 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN - P1_ĐÔNG NQA
    • NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
    • A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
    • B - BÀI TẬP
    • DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
    • DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
      • C – HƯỚNG DẪN GIẢI
    • DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
    • DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
  • 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN - P2_ĐÔNG NQA
    • DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
      • BÀI TẬP
    • DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
    • DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
    • DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
      • HƯỚNG DẪN GIẢI
    • DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
    • DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
    • DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
  • 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN_ĐÔNG NQA
    • PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
    • BÀI TẬP
      • PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
      • PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
        • HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
        • HÀM CHỨA CĂN THỨC
        • HÀM LƯỢNG GIÁC
        • HÀM MŨ –LÔGARIT
    • HƯỚNG DẪN GIẢI
      • PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
      • PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
        • HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
        • HÀM CHỨA CĂN THỨC
        • HÀM LƯỢNG GIÁC
        • HÀM MŨ –LÔGARIT
  • 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN_ĐÔNG NQA
    • PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
    • BÀI TẬP
      • DẠNG 1.
      • DẠNG 2.
      • DẠNG 3.
      • DẠNG 4:
    • HƯỚNG DẪN GIẢI
      • DẠNG 1.
      • DẠNG 2.
      • DẠNG 3.
      • DẠNG 4: